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TRIGONOMETRIA . :.]
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MOÍlIRE
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1754 | Abrahaú de MOI\TìE nasceu na França. por llìotivo de pcrscÉuicâo reÌi_ C Io sa .âcabouexllondosrnâtnglilc Í râ . o n d n , 1 : rv e a rrh s l, " r, r' , ; i; , ì ; " ; r" r. rr_ quâJllo Oesenvolvjape\quisâs cm MclcmáticiÌ. Muiro lntercs,Sdo irr Troria dcs pÍobâbili.lrrlc.. f\4oivrccprese lou rir . obra Doìrtrüìa rÌcrsProbcLbilÍdades,de Ì z t B, urais ,ìc 5d fiiirf.-ïs èiüiienao jogos. Usou dados numeÌâdos, rlrnâs tentândo des"rlu'otu.i piãó"""o" e"rui" r umâ nolâção cspecilìcâl, tra a Teoriâ das probchilidades. Ìr_muma ouÌrâ oDÌâ tiìÍnosâ. Miscelarìea AÍ.ralíflca, de 173O, Moivre de_ se /olve-_untI)rocesso an:rÌitjco p.lra a trigorÌometria. Dcstâcou_se Ììessc Irâ D-âlnoc loÌmulâ lcos 0 + j sen 01. .n\ 0 n I i \Fn n €. rlìtc rclâl.tulrdc\ luÌrçòps rriAonômelricâ.ì com os núìn(ros coìnnlí-xô\
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TRIGONOMETRIA 4rnúHculonerÂHeulo í,.,,Á,.íïl:1.j.:r!r6ïl:rls6lllÌ,rl*ttàd
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BAslcos coNcElTos
TRANSFOBMAçOES TRIGONOMETRICAS
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EouAçóEs
i. Ji::19J.!llf.i' DE RESOLUçÃo OUAISAUER TRÁNGULOS
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s^*:^iT^11"^11!::_99-L9yt9
arbitrariâmenrê ospontosA.
A1.A2. Ar, pontostraçamosperpêndiculaíes "9"d9"..romamos ao lâdoBÃqueencontramo outroladodõ ^ _.e poresses ângulonos pontosC.C,, C,. C3....,reópectivamente. ,,-.Oblemos.assim.ostriàngutosretângulosABC,AlBCl,ArBCr,...todossemêthantêsenrrêsr: podemos.êntão.eslabelêceras proporcões:
BC'
BÃ
g BCr AiCl
BA
BAr
BA, BC:
EBAz=
O númêrok1,assimobtido,é châmadosenodo ânguloagudoa e se indicapor: sên (Y= +:' O númêrok2,assimobtidq é châmadoco.$êngdo ânguloagudoo e se indicapoí:
"o"
o = !4
BC
O númeroka,assimobtidq é chamadotangent€do ânguloagudod e se jndicapor:
__-_ Ãe
tg o sã! chamâdos razôestrigonométíicas do ângutoaguoo e ^^O^.^l^fl:1"^-:1:._cos-a, oependem ^ nao oospontosA.4.. 4r,...(sóvariamquandovariaro ângulo).
NOTRtÂNGULo E4!1oF! IRtGoNoMÉTRtCAS
RETANGULO
Observando o tíiânguloÍetânguloABC (Â
= hipotenusa = a b -A C AAB
10
AC AB B + ô= 9q" AC = catêtoopostoao ânguloÊ A B = catetoadjacênte ao ânguloB
= catetoadjacente ao ângutoô = catêtoopostoao ânguloô
Í
no A Trioonometria triânfubrutângulo T
t
INTRODU palavraformadapoÍtrêsradicaisgregos:lÍi (tíês),gonos(ângulos)eme. ATrigonometÌia, por (medií), tron tem obietivoo cálculodas medidasdos ladose ângulosde um Ìriângulo apÍesentavestí_ Ini6ialmente consideradaumaextensãoda Geometria,a Trigonometria gios de seu estudoentreos babilônios,que a utilizavampararesolverproblemasprátìcosde Astronomia,navegaçãoe agrimensura. poisfoio a grandeimpulsionadora daTrigonometria, Pode-se dizerqueÍoiaAstronomia empregoupelaprimeiravezrelaçõesêntíe astíônomogregoHiparco(190a.G- '125a.C.)quem os ladose os ângulosde um triânguloretângulo No séculoVlll, importantestrabalhoshindusforamtraduzidosparao árabe,o quepossibilitouaos matemáticosárabesnotáveisdescobertassobrea Trigonometria. No séculoXV,Purback,matemáticoalemãonâscidona Baviera,constróia,primêiratábua trigonométrica. toi escrilo Porémo primêìrotratadofeitode maneirasistemáticâsobrea Trigonometria pelomatemáticoalemâoJohannlVüllettambémchamadoRegiomontanus, denominadoTraque Regiomontânus Íoi discípulode Purback. Sabe-se tadodosTriângulos. Suaaplicação Atualmente, a Trigonometria nãose limitaapenasa estudaros triân9ulos. se estendeaoutroscamposda Matemátìca,comoa Análise,e a outroscamposda atividade a Engenharia humânâ,como a Eletricidade, a Ìúecânicâ,â Acústica,a lVúsica,â Topografia, Civiletc.
RAZOES TRIGONOMETRICAS DEUMANGULOAGUDO Considereo ângulo,r,de vérticeB, indicadona figura.
rz
o que vimos no ìtemanterior,vem: Consìderando'se
Ê=4 = *."hifffj:,"ïÊ- "une=* ""n catetoadiâcentea B hipolênusa - cosô= 9 oDosto a B cateto cateú adjacentea B - toÊ=!
c os g=4=
BC
sen u
t
t
Forextensãqlêmos:
catêtoopostoa Ô hipotenusa - senô
AB BC ACBC
@ =AC
q catetoadiacentea C + cosc -hipotenusa catetoopostoa c_ catetoadjacêntea c
=toÔ=f
Vejamosalgunsexemplos. '19exemplo:No triânguloíetângulodado,calcularsên B,cos Ê o tg Ê.
c=3
Feso/ução: sen B =s _s enB =m cos B
=f -co"e={
tgB = !
.rtõ _ -10 - 1 3"tõ, 0
-toe=1
29 ex€mplo:Umapessoaêstádistantê80m da bâsedeum prédìoe vêo pontomaisalto do prédiosob um ângulode 16oem íelaçãoà horizontal.Qualé a alturado prédio?Dado:tg 16o= 0,28. Besoluçâo: catetoopostoao ângulode 16o 8 0 = catetoadjacenteao ângulode 16o a.,- 1 16, = = i^ tq16'=: " - x 22,40íí\ óu '0,28 ìtu rqesposta. A altuÍa do prêdio é = 22,40m 1l
F
39 exêmplo:Umaviâolevantavôoem B,e sobefazendoumânguloconstantede 15ocom a horizontâ|. A quealturaestaráe quâla distánciâpercorridaquândooassar pelaveíticalquepassapor uma igrêjâsituadaa 2 km do pontode Dartida? Dâdos:sên 15o = 0,26e tS 15o= 0,27. Resolução: Cálculoda alturax em rêlaçãoao solo: lg 15o =
2 ood '
2 000
x = 540m Cálculoda distânciaPercorridà y: sen 15o = ì!
540 - 0,26 -
.. 540 Y=026 2000m FesposÍa.
y = 2076,9m
A alturâ é de 540 m e â distânciapêrcorridaé de 2 076.9m.
EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM I
Em cadacasq calculesend, cosa e tg d.
a)
3 Umdtorre\enicatdeaiturâI2 metroe e virla \ob um ángulode 10"por umape\sodque5e encontm a umadisráocia \ dâ .uabasee cuios olho.e.Éo no mesmoplanoho'izonratderrr bâseDeterminara dìsiânciax_ Dado: rg 30" = 0,58
B
6, a"
4-I
4 Doi' observadores A e B vèemum baláo.rep€ctrvamentqsobânsulosvisuah de20. e,10.' conforme indicaa tieum.Sabendo quea disr;nciaenrreA e B e de 200 m, cãtcuteh. Dados:tg 20. = 0,364e tg 40. = 0,839.
2 Calculex e y no triângulo alafigurâ. Dados:cos40o = 0,76e sen40. = 0,64.
íÁ,
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;;I:ri ;a i
i. . ! . ì
:t:i;it:!l:ã t..-..çH ..Ú ..r 7 Calcule o perímelro do triâlgqlo ABC da figura,sabendoqueBC
po.radonumalotred. 5 Um euardanoreçrâ1. dealtura, 20mno topodeumacolinade500m que \ê o inrciode um incèndio numadireção Íormacoma horizontal um ángüìode 17".A quedi'r;nciaaproümadadacoìinaes_á o fogo' Dado:rg 17' = 0,30.
"o.o= J.
-
r.r 11 . . . {r . . r . ! aa+ -lr . . r r {s. l
B
l:!fM:!::Ìi1!:t
;:l:i;il;:;i:il "'_"Ie"'o l U m e r . r . r . à !.i .....i
=
ó o perimeüodo rriànguloi'óscelesda fi8uÍaê isuala64mecosd = :. I 8 O triângulo isósceles ABC teÍn áreaA = 36ÌÍn e dois ângrdosde medjda d paÍa os qllais
"or o=J.J A
a)Calculeaeb. b) Determine a áreado triângulo.
Calcüle: a) o comprimentoda baseBC. b) o comprimertoh da aÌturarelativaa eslâ
DEVALORES MUITOIMPORÏANTE UMATABELA a) Numtriânguloeqüilátero da Íigura. o lÍiânguloeqüilátero Considere
. A medidadê cadaângulointêrnoé 60'. . A medidada alLuÍaem Íunçâodo ladoÍ é: lv B .
HI
lz No triânOulorêtânguloACH(Ê = 90"),temos: '1
sen 30"= +
z
/l5
cos3oo= +
ts3 o=# "
2
cos 300 -Ì€
t\B sen 600 _2 cos 600 = t
\'5 tg 60" =
u2
.13t2 1
sen 600
r3
cos 600 _ 1 tg 600 = \g
z
13
b) Numtriânguloretângulo isósceles Sejâo triânguloisósceles da figura.
. Os catetostêm a mêsmamêdìdaf. . Cadaângulomêde45o. . A hipoÌênusâmede| \2.
t sen 450 = t E
cos 450 =7I8 + cos 45o
,t2 T !2
,tt
+ sên 45o
- T''lz
t945" = 1
2
antêrìores, temosa seguintelabêlade valorês: Dasconsiderâçóês
'1
rg
-T
z
2
::ì.. ri f ì
,.*'jtl
'12
Í
i'i;". Ìg
2 1
'1
EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM Uma escadaapoiadaemumapaÍede,num pon to distânte4 m do solq forma com essapar€de um ânsulo d€ 60o. Qual é o comprimento da escadaem m?
2 Considere o triânguloda fisura.
DadoAB = 4\|q calcuìea medidadeAC eAH. 14
de um ponÌoP da su3 CDvesì- sP) A latirude p€rfície da Ïbrrâ é o ângulo que a reta OP foÍ ma com o plano do equador (O é o centro da Terrâ).No dia2l demaÍço,osraiossolaÍessão planodo equador.Calculeo coÍ, paralelosao prim€nto da sombra projetada, no dia 21 de marçoao meio dia, por um prédiode 30metÍos de altura, localizado a 30' de latiiude
Um obseÍvâdorvê um prédìomedianteum ângulovìsuaÌ d. Afasrando-se2 metrosdo ponto onde está,o observadoÍvê o prédio ÌÌediânteum ângulovisuâl B. Dâdos:a = 45. e t-sB= {, a"t...in" u âlturado prédio. 5 (Fuvest- SP)Catculex indicadona figurâ.
N
-soiãres
a \
I NÌÌm exercíciodetiro, o aho seencontmnunüÌ parede cuja base está situada a 82 m do atimdor. Sabendoque o atiÍadoÍ vê o alvo sob um ângulode 12' emreÌaçâoà horizontal,calcule a que distância do chão estáo alvo. Dado:tg 12' - 0,21. 2 Numtriângulo retângulq a hipotenusamede 3a e os catetosmealem2aú e a. calcule: a) a tangente do ângulo oposto ao menoÍ b) o senodo ângulo oposto ao maior cateto, 3 A paÌtir deüm pontq obser!?-seo topo derìm prédiosobum ângulode 30'. Caminhando 23 m em dir€ção ao prédio, atingimos outro ponto,de ondesevêo topo do pÌédio s€gundo um ângulode 60'.
DespÍezandoa altum do observador,calculq em metros,a altura do prédio. i4)-lm móvel parte de A e sesuenuma diÍeção que forma com a rcta AC um ângnlo d€ 30' . Sabe-sequeo rhóvelcaminhacom uma velocidadeconstantede50km/h. Det€rminea que após disúnciaomóvelseencontxadaretaAc 3 holas de percurso.
s.)€aap-SP)Calculeaáreadotriângulo ABC, de alturah = y'lcm, sea : 30oet3 = 45"
c
ó (Faap- SP)A somadoscompÍimentosdasbasesdeumtEpéziorctângulovaÌe30m. A basemaior medeo dobro da menor.Calculeâ altÌrra do tEpézio, sabendoque seu ângulo agudomede30'. 7 (vunesp) Duas circunferênciasde raios r e R tangenciam as retas suportcs dos Ìados do triângulo ABC respeúivamentenos pontos Xr, Xr, Xr e Yr, Yr, Yr, conform€a figurâ. Os ânguìosinternosdo triânguloABC nos vérticesA eB medem30gmus.Calculea dis.tânciaentreos pontosXr eYr em funçâode reR.