cap.10 - MATRIZES by Henrique Litaiff

MATRZES

JACOBI( reo4 - 1a5r ) CarI Gustâv Jacob JACOBI nasceu na Alemanha, onde fez seus estudos, dedicando-se prlncipalmente à Filologia e à Matemática. aperfeiçoando-se nesta últtma. Difereritemente de multoõmatemáticos de seu teiroo. iacobi era um professornalo e gostavâ de ensinâr. Seus prlncipâis trabaÌhos foram no campo dâ'feoriâ dâs Funções Elípt-icase daTèoria Aos Determinantes. Nesta, Jâìobi prcocupou-se coin a notação adequada para os determinantes, crjândo âìgoritmos e Ìegras práticâs pâra sua ufrltzacáo. Fol Dor essemotÍvo consideradúm dos Éranãesrèsponsavers oelo desenvol\,'lmentô da Tcoria dos Dererminanler

sl tJl

o IJ

z I

{

MATRIZES

INANTES

TEOREI'A DE

i," ..,,,,,s.-PllcE

TEOREMA DEJACOBI

SISTEMAS LINEARES

ffiKm€wffiffiffiffi t

DEFINICAO As matrizessãotabelasde númerosreaisutilizadasêmquasetodosos ramosda ciéncia e da engenharia. porcérebroseletrônicos Váriasoperaçõesexecutadas pormatrizes. sãocomputâções São utilizadasna Estalística,na Economia,na FísicaAtômica,êtc. Vêjamosum êxêmplo: Considerê a tabêlaa seguií,quêindica o númerodê vendasefetuadâspor umaagênciadêautomóveis durântêo primeirotrimestre. Sêouisêrmossaberaouântidâdê dê carrosVoyagevêndidosêm janêirq iíemos procuraronúmeroqueêstánaquar' ta linhae na oÍimgiracolunada tabela. No quadroindicadqos númeroscolocadosnas disposiçõeshorizontaisformamo que denominamoslinha e os colocadosnas disposicóêsvêrlicaischâmamosde coluna. 20 t8 25 O conjuntoordenadodos números 12 10 't5 e denominadomalíiz ê câda número quê Íormâma tâbela 1 5 9 2 0 é chamadoelêmentoda matíiz. 18 15 21 Nesteexemplo,temosìrmamatrizdo tipo 4x3 {lê-sê:quatÍopor ttês),isto é, umamatriz Íormadapor4 linhase trêscolunas. Representa-se uma matíizcolocando-se seusêlementosentreparêntesesou entrecolcneles.

T+

lzo

lt2 1 15 ì18

18 '10 I 15

3l coruna

zsl-------*t.

'15l.......*211;n66 ''nnu 20 l"*31 1;n66 21 _al rinha l

lzo

ou1 1 2 Ir3

18 10 9 '15

25 15 20

Umamatrìzdotipo m x n (lêse:m porn),m,n mentosdispostos em m linhase n colunâs. 121

A ORDEMDEUMAMATRIZ Parase indicaraordem pÍimêiroonúmerodelinhase,emsegui. dê umamatriz,dizemos dâ, o númerode colunas. Veiamosalgunsexemplos.

q li

b) t4

ordêm2 x3

,,121 ordem'1 x 3 {matriztinha)

MatÍizlinháé â matrizquetemsomênteumalinha. c) l;l

ordem2 x 1(malrizcolu n a )

Malrizcolunaé a matrizque tem somentêumacoluna. d) l;

ãl

ordem2 x 2lnattiz nula:l

Malíizíulâé a matrizquetemtodososseuselementos iguâisazeroVamos rêprêsentá.la sempre por0.

REPRESE NTACÃOALGÉBR ICA Utilizamoslelrasmaiúsculaspaíaindicârmatrizes genéricasê lglrasmlnúsculascorÍespondêntespaÍaos elementos. Algêbricamente, uma matrizA podesêr repíesentada por:

(^ . a.s. . . a r" \ ., az:. . .az" ì I azt ^azz I aat asz a$...a3n I

I tl

lc o m m , n ( N-

am, affi...amn/ Ym1 Comoo quadÍoAé bastantêextensqa matrizmx n serárêpresentadaabreviadamentepor

Os elementosdâ matrizA sáo indicadospor aú,onde: i€ 11,2,3, . .ml . , ê j€ [ 1 , 2 , 3 , . . .n, ] . Oelemento a[é afetadodedois índices, ondeoprimeiÍqi, represênÌaa linha,eo segun. dq j, indicaa colunaàs quaiso elêmentoaij pertencê. Assim,temos: 4,1(lê.se: a um um)- elemento tocâtizado nalt tinha ê 1t cotuna a32(lêSe:a três dois) elomênto localizadona3? tinhae 2i cotuna -

MATRIZQUADRADA a Sê o número de linhas de uma matriz Íoí igual ao número de colunâq a matriz é dita

quadÌada. Quandonos referimosa uma matíizquadradan x n, podemosdizêrque a sua ordemé ne m v€ zo e nxn. Exomplos:

á]

é u m ar n a t roi zeo r oe zm

(liË)

.; é uma metrizdeoídém 3

Os elementosaiide uma matrizquadrada,em quê i = j, formamumadiagonaldenominadadiagonalpíincipal.

diagonal

di agonal Píincipal

A oútra diagonaléchamâdadiagonalsecundária. Exemplo:Acharos elementosda matrizA = (aiÀx2êm que aij = 3i - j. genéricada matrizé: Fesolução.A íeprcsêntação t-

A = l"r, [4.'

- I

azrl

a32l a[=3i

= 3.11= 2 -j+aj1 ap=3'1-2='l a21=3'21=5

a z=3 '2 -2=4 a3i =3 ã32=3

l2 Fesposta. A = |5 l8

al 7l

3 3

1=8 2=7

EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Construaa matriz A = (ajtr.r definidapor í( t)'',,se ir j dii:10,s€i=j 2 Construaasmatrizes: a) A = (ajrr"r,tal que air = 2i b) B = (bi)a,r, tal que .

Íi*

"r r ti

j,'"i<

4 CalcìÌlea somadoselementos da 21colunada marrizB - (bij)2xr, em quebij = 2i + j I 5 E'creva oselemenro5da malrLA - {a,)r, Lai í t-sei * i 0,sej=j

ó DfÍerminea \oma do\ eìemenro,da dügonal principal comoselementosdd \ecundiaeonal dáriada malri,,A - ta,rldeoidem4. emque

j ,se ì> j

3 {cheo, elemen'o, dà marri/A - ia, , de ordem3, em quea,; = i'z + ;'?.

7 Quantoselementost€m uma matliz quadrada cleoÍdem 6?

MATRIZUNIDADEOU MATRIZIDENTIDADE A matíizquadradade ordemn;êmquetodososelementosdâdiagonalprincipalsãoiguais a 1(um)ê os dêmaiselementossâo iguaisa 0 (zero),é dênominadamatÍizunidadeou malriz identidade. Bepresênta.se a matrizunidadepor .,. Exemplos: ,l, = t1 l0

0l ìI

e umamatrizunidade de ordêm2

o ol

iJ=10

1,1

é u mama k izu n id â d e d e o í d ê m3

MATRIZ TRANSPOSTA Se A é uma matrizde ordemm x n, denominamoslransposlade A â mâtrizde oÍoem n x m obtida,trocando.seordenadamente as linhasDelascolunas. Indica-sea trânsDostade A oor A'. Exomplo:Sejaa malriz:

1 2l

3 v2

, 11 5l a suâtransposta éA = | ol3"' 12

Observeque: a 1: linhadê A é igualà 1i colunade Ai. a 2i linhadê A é igualà 29colunade At. a 3: linhadê A é igualà3: colunade Ar. 124

-3 5

*l 0lzxs

IGUALDADE DEMATRIZES Sejamas matrizesÂ= (aij)e B = (bi)de mêsmaordem.Se cadaelêmentode A Íoí igual ao elemêntocorrespondente {êìementoqúe ocupaa mêsmaposiçáo)de B,as matrizesÀe B sáo ditas iguais. Consideremos as matrizes:

A=l

ì1

/+ r s + e\

5l 2l

B =1 2 2 \1 - 2

5x1l a:21

quê as matrizesA e B são do mesmotipo (3 x 2). Observamos 3ebÍ=4 0eb21 =2 -'1 eb31 = 1 8eb12=5+3 5eb22=5x1 2eb32= 4 i

1 2 2

+ e = + +

Nessêcaso,dizemosA =

i todos os elemênloscorrespondenies

e\ /q r 5l = {2 2 2l \1 2

j , ", '*" (

Assim:

s+ :\ sxil a :2 1

com: vi € 11,2,3, ..., m l vi ( [1,2,3,...,n]

Exemplo:Dadasas matrizêsA = | ,Í l'"

calcularx e y paraque A = Br.

ïl

+y [" 5

* ' u] '

Resolução:

o=",r[,ãr]=

sl '-

x+y= 2 3x y= 10

Rêsolvendo o sistema, temos: I x +y=2 -3 +y=2 y= { 3 x y=1 0 4x.= 12 Resposta: x = 3êy =

1 125

EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I Determine â transposta da mat zA = (aiJr-r, íi emquea'r= ir

isei= i.ei-ì

5caìcur e\ey.sabendoq*ít - í,t ì \r x-llì v,/l\r o/ ó Determinea, b, x, y, sabendoque

2 Oualea marriztransposra da matrizidentidadc de ordem2? 3 Achea transpostada matriz A = (arrr-, tâl /.Í\ /. r\

+ c os f 6 I

i *+ y:a+ t\_/: \2x y a- b/

t 7 Dadas as matrizes

l- {

![ al

n = l(-e-1: rÍ1.s = ft [Y'ü f4

4 Dada â marÍiz A = (i (A)' = A

Iì 1l

11 ro"* q*

6 sl

i 1ì1, 86J

calculex, y e z para que B = AÌ

OPERACOES COMMATRIZES Agoíavamoscomêçârâ operaícom as matíizês,istoé, assimcomofazemos,porexemplq com númeíosíeâis. a) AdiQãoe sublrãção A adiçáoou a subtraçãodê duasmatrizesA e B do mesmotipo é efêtuâdasomândo-se ou subtraindo-se os seuselementoscorrespondentes, ExemDlo: sendoA = / + s\

e ^É = /r \ z r/ [s

zl'

têmos: 4 2

A_B=

4 2

1).(l27 ll= I\ 42 ++ 51 3 1 + 72/ì = 1í 53 8iì l Í)( l - 27tl= \ I- 2 4- - 51 3+1 - 2\7l= \-/s7 - 61b\

De uma forma geíal, se A = (aitmxn,B = (bij)mrneC = (cij)mÌn,temos:

C =A -B =",,

=a, -b,

Podemos, também,efêtuara subtraçáodâ seguinteÍorma: C=A -B -C=A +(-B ) lsto é, a matrizC é igualà matrizA adicÌonadaà opostada matrizB. 126

. MalÍizoposla Dênomina-se matÍizoposlade umamatíizA a matriz- A cujoselemenlossãoos simétricos dos elementoscorrespondentes dê A.

Exomplo:

de A.

I z sl o=l-u il

o=ll_zõ;l sì

Obseívequeâ opostadamatrizAé obtidatíocando-seos sinaisdê lodosos elemenloa

. PíopÍiedades

1 ? )A + B = B +A ( comutâtiva) 2ï(A + B) + C = A + (B + C) (associativa) 3:)A + 0 = A (elqmento neutro) 4 9 )A +( A )=0 ( elem ento oposto) Vejamosâlgunsêxemplos_

íe exempto: Dadâs asmatrizês A= calcular: a)A + B

Res ot uçaã) o A:+ B = ^ . b)A

l] r =

[_:

b)A - B' - C

"=[_3

rl Í z sJ=[ r

- [: 2 -3

B '-c=A -(B Ì+c)=

2 3

,t -t -32 nesrosta: a) i il [

or[ j

-;1"" [: =[:l], 3l ;l[[-?

+ 2l . l3 + 5l - [6

ll[:al 11. [-3

- 2t =[ t1- 6J 8

2eexempro: Dâdas asmatrizês A = Í ;ì"

l5l

câlculara matrizx,talquex

= Í-ll.

\21

A + B = 0.

Resolução: O 22 meínbro da equação é umamatriznuladeordem3 x 1.

s e x: - A + B = o = x = a - B /s\ Ír l /+ l x = a + ( .8 ) = l_ 2 1+ Í 4 l = l2 l I 5 / \- 2 1 \3 1 l+l Resposta: X= l2l t" l

127

f'.

iì

EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I nadasasmatrizes r = li

Í:

" = [o

a1 ^

c)B +C+A

Z Da d a marri/A

| a2l

-'1"-=ls

a) A+ B b) A + C

ó DadarasmatÍizes:.-

:l'

-))

s1"'"' ' '

15\

calcule: a)A - B b )B -c c )A -B

frrol 3 l2

amatrjzXtalqueX = A + A'. (ar),,1ralque ar 3sendo A B íb,r),,talqueb, -i + j A+8.

j e 2' l.calcule

d)C-\.J'B e )A . - c t 0 C- (B --À )

4l,obre n h a

[0r21

ì\

i 2

A= l 2 4 l.B- l r o le c lr 2 1 . 2l \ rr/ \4 \0 r /

3ì

T s e n d o M I: r 0 - 2 1 . \ 4 3 5l / lo o \ / o - r r \

r=lo r oler=l : \00r/

o rl. 201

calcÌrl€X, de modo que: a)X M=N-P b)P+X=M-N c)x+(M P)=N

4 Achem, n, p e q, de modo que:

lm z m l+ t ' = [r sl I p p l [ q - : q' ll [ r s l ' 5Sejam ar mafiirer { - {ai rrrr. com aij = 2i jreB = (Ìrì)2x2, combü = aü + L Calcule: A c)(A + B)' d)4. - B' a)A-Bb)B

8 Ache x, y, z e w, de modo que:

/- ./,ì \.

Í- u

\ 4

iì

r /- \

í- r

o .|

8 - 5l

b) Multiplicaçãode um númeroreal por uma matíiz Considêremos as matíizês:

'=(s H) ^=(3B)" que: Observamos âÍ =

2 , b Í=

6=3

3 bi 1 = 3

a11

ap =

5,he=

15=3

+b 1 2 = 3

azr=

3.b,r=.9=3

(3)-br= 3

azz=

6,b'2=

a 1 2 o s e le me n t odsa ma t í iz B sãoiouaisaoselementos ^ a 2 r d a ma iiz A , mu lt ip lic a d o s pelonúmeÍoreal3. azz

18=3

+b z z = 3

^ "

paramultiplicaíumamatrizporumnúmeroreal,bastamultiplicaÍtodososseus Fortanto, elementospelonúmerqê o resultadoé umâ matrizdo mesmotipo. Dala umamatrizA = (ad ê um númêrorealk, chama-sêproduÌodê k por A a matriz B = (bd,ondebrj= k'aü. B= k.A +b,j ' 128

(it' t =k.aij

23" ' mJ l;ì; ì : t . ã : : , . : ; ;

r' Vêlamos algunsêxêmplos.

./rro-e l

19êxemplo: Calculaí: a) - + . | 20 6 '\'2 0 Resoluçâo: -

./rro-e\

.1 20 6 '1 o '\2

6l 201

6l = l 1o 2ol I 1

lt q u eA = l ì 2 9e x € m p lS o:a b ê n d o -se

3 0 - 10/

cl ^fr ol - 1. i l ea= 1;

ízÀ,|+N= a a o b tear s ma tíi zeMs e N ta isque:LM+3N=2A+B' = R e s o-l u c ão ízu : +N =n -g = 2A B'.= + aN + ila "

2Ìú+N = A ?t\4- 6N = -4A -5N = -3A = 3 (4=t C)

^Í zì o s lo z l

N = ---

fzu+ r= e -a iM+3N =24+B

= =

B 2a 38

=N=l

I 6l 13 5l

a I

t0 + |

6t\,,t 3N = -34 + 38 N4 + 3 N= 2A+ B

= A+ 48 5l\,1 Àr _ A + ( - aB) 5

"H [:

Ltr4 EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM to"0""",.*'"oo=(3 1 ?),

=(ï -i 3), ": ( ,1_i3)""

3 xesorva o sistema I ï ] lo* "u [ï

=(_;)"" =(-1) ,...."

câlcule o rcsultado das seguintesoperações:

a) 2À - B + 3C

u l e -$ o*c ) .Í 3l 101 = 2l eB = 4l, resolva 2 Da d a sA a equa| ,l 8l l çã o 2 x-A* | n=o

= 4 Calculeamatrizx,sabeno.nr." ï' [ 1

= ." ( ,t à l ) " u * o r '="

5 Calculea e b, de modo que:

=[_;-_':] "[-]ãl.' [l _?] 1n

l .''

SOMATORIOS . Na multiplicaçãodemalrizesqueveromosno próximoitêm,utilizaremososímbolodêso. mâtóÍlo , (ietrasigmamaiúsculado alfabetogrêgo)pararepresentarumâ soma. Forêxemplqa somâ a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 o podesêr representada por abreviadamênte Â somâtóriodealcom ivaíiandode 1 a 6) !1r lte-se:

lstosignificaquq fazendosucessivamente i = j,2,3,4,5,6obtêmosos termosda somaO Gêneralizandq temos:

Emque:i é o índiceda soma; p é o limite infêriordo somatório; n é o limitesuperiordo somatório 5

I Íi,

Exempto: calcuteX 3i2. ' i= 1

Resotução:I,3ì2 = 3j2 + 3.t + 3.32+ 3.42+ 3.52

1 2 +2 7 +l ts +75

X g i '=3 + 5

t3É = 165

Fesposfa.' 165

EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM I Calcute:

3 Encodre s.sendo s =,ì

a)t(5i

i=l

130

4 calculJG

2 carcure ) Í+ì.z ,=0

b )X (t -i )

t c,r",1."à , Ë.

I -,ì l'"

u*,!fa.

jl.

Exemplo: Sêiamas matrizes A=

3:lâ;1,=[l =o " lu21 l;1"".",.'."

arr a:z,l

l a ,r a rzl l b ,, b,zl lazl a22l | | = au,l brl lârr lb" 3x2

lâ,,b,r+ arb21 aÍbe + afo22l la:rbÍ + a22b21ãzbp t ã32b21 a31b12+ a32o2l [tu1b11

2x2

3x2

linhaporcoluna, . .Obseryequea operaçãode multiplicaçãoé êÍetuadamultipticando-se istoé,cadaêlêmentode umalinhaémultiplicadopêtoêtêmentoòorrespondente dè dmacolu_ na e, em seguida.os píodulossâo adicionados. o êlêmênÌo cj111:linhaê 19coluna)dâmatrizprodutoé encontrado mullipli. .Ponanto, candoseos elementosdâ 1i linhade A peloselemêntosda ji colunade B. somando_sêos produtosobtidos. Obsêrveo esquemaparailustrar:

Emque: êl=âtbtr*ârzbzt

F"ì'

Nâ multiplicaçãode duasmatrizesAe B,o númêrode colunasde A devesêr iquatao numerode linhâsde B,e o produtoAB têm o mêsmonúmerode linhâsde A e o mêsÍio número de colunasde B.

Se A édotipo3 x 2,eB édotip o 2 x 2 ,e n t ã oA B é d o t ip o3 x 2 . SeA é dolipo5 x 3, ê B édo tipo3 x 1,entãoAB é do tipoS x t. Sê A édotipo3 x 4,eB édotip o 2 x 5 ,e n t ã on ã oe x is t êA . B .

. Propriedades possuiâsseguintes dêmaÌrizes propriedades, seexistirem osprodulos .Amultiplicação envolvidos: 1ïA (BC)= (AB).C (associativâ) 2i)4.(B + C) = AB + AC (distributiva à direita) 3:)(B + C). A = BA + CA (distributivaà êsquerda)

132

MULTIPLICACÃO DEMATRIZES VamosintroduziressaopêrâçãopoÍ meiode um exemploorátjco UmadocêiraproduzdoÍs tiposde docês,A e B. . OroOrnao Oêssesdocessão utilizâdosos ingíèdiêntesX, y e Z, conformeindica u,"05âr.a

Arabeta dadaserárepresentada petâmatriz A,

= [3 il ^ quesêjam suponhâ Íâbricados 50doceè dot'0"o roL1"JJo",,oo B,pordia. " Eslaquântidadede docespodeser íêpresenLada petamatrizcotun",

= [:9ì " se quisermos determinar â quantidadede ingredientes X.y e z uütiruoo"potï1",pro"". demos da sêguinteforma: In g r e d iente x :5 . 50 + 8.20 = 410 In g r e d ìenteY :350 + 2. m = 19 0 Ingrêdiente Z : 4 . 50 + 7 20 = 340 Estasquantidadespodemser reprêsentadas pela matriz: C =

InroI lle o l

13401 FodemosobterestamalrizC,denominâdamatrizprodutodeApor B,da seguintêforma:

" [i;l r:st [iii] . Câdaelementoda matrizC é a somados produtosordenadosde uma linhada matrizA pêla colunada malriz B, ísto é:

4 1 0 =5.50 +8.20 1 9 0 =3.50 +2 20 3 4 0 =4.50 +7.20 Definição: Dâdauma matrizA = (arl)m,n ê uma mâtrizB = (bldnxe, denomina-se piodutode A por B a matdzC = (cdmxptal que o elementociké a somados produtosda i-ésimalinha de A peloselementoscorrespondentês da j-ésimacolunadê B.

13í

{

Observaçõesl 1i) A multiplicaçãode matrizesnãoécomulativa,istoê existemmatrizêsA e Btais que AB I BA. 2?)Se ocorrerAB = BA,dizemosque as matizes A e B comulam. 3?)Na multiplicaçãode matrizesnão valea lei do anulâmentodo produto,isto é, podê m o sterA B = 0,mesmocomAl0 e B + O 4:) Nãovaletambéma leÌ do cancêlamêntqisto é, podomoster AB = AC,mêsmocom

A r o eB l c.

Vejamos algunsêxemplos. í9 êxemplo: Etetuaí:a)Í9 7\ Í1 2 3 \ \0 8 / \4 5 6 1

-21 4l

b)11 2 3l

4 9.2+7.5 9 3+7.6ì l s t+t 0 2+ 8 5 0 3+8 61 \0 .1+ 8.4

aesotuçao: a\[s t\ lt 2 3 ì \ 0 8l Ì4

/ s + zo ta + 3 s 2 7 + a 2 \ 0+ 40

[0 r32

0+481

foz ss osl \32 40 481

b )t1 2 3l

[ ;]

o+2'\

2 r + 3 4 1= lo - 4 + 1 4 = I 8 l

b)r8l

d(31 """0*,"", :3 ?3)

29 exemplo:Resolveía equaçâomatíicialX Il Resolução:

x[ 1

2 3l =l i

;

1x3

2x3

i l =xé d o t ip o z x t .

[ Ê ],no= [iï s l I a z a s a l= [l1z t a l a = z 2 3 l -b = 1 lb 2 b 3 b l Resposta:

"=lll

, o =[ l; : ]

EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM liiuroo",

-;) " (-?

7 Considereas matrìzesA = (ai)eB = (bir, quadradas de ordem2. com ai -li t4ie b. 4j.-3j.Sabendoquec-A. &de termineC'.

b)(1 3 5)

E Dadas as marriz€s

(;)

"(i; )

( í)

(

l3ì

d)[?/(0- 3

[a u r l

Ír - r o l

t r aJeó I íl.der er [6 mjne a e b,par a queA B=l ; iJ ^[ ^-

i: ) 2)

9 CaÌculea e b, de modo queasmarrizes

,(-?;)(3j)

^=l

lâ

/ r o o \ /2 2 l \

"fái ?/[j i ,J

0 1 "' = [o z1 ' o ' u t" ,1

l0sdbendoqueM I" il.r cìrle MN - NM.

l " ,l t| l l

= lí

Yl.*r .

(21oadasasmatrizes

I 2 oì

/ , ^ ^\

^ =(ll,;'"=t-í;l ò

llsendoA - í.'

l' 1l..ur .,leo -ttll"s \. \ o,f matriz X, tal que A . X = B

calcììle(A + a) 1e.'- a;.

It o

,l o"o"".u,,r o , [i J 31..r*n^,. 0 rl

12 Re'oi"a a ecuaçâo (2

i)'(,i )

(,!n"a* e =(; ?)""=(3 à), "'""'"

l3Determine x e y na igualdade

ir,senaoa= (ã i),":(;

14Gatec-SP)Calculeae b m equaçãòmatricial

AB e BA, mostraúdo que AB í BA.

calcuÌq seexistir: a)AB b)AC

à),"=(l), c) BC

Ír-tlfõl 12o 01 6 , S a b e n d o q u el oA -l o l e a - l o + ol. l0 031 l \02,| calcule x paraqueã

134

e ='B

A,. '

/: \j

r\'z/r\ / r:\ 4 \v/=\2/

- lcose senpÌ Íxl p a r a v( x) - ( 4 2 ) [ u l I ' e " a \ o 5 0 ][ y l [aÌ

ed = + rad. O l5 (Fu!esr-SP) Dadasas o = [1 -uui'., Í r rl Ba.Le'min. a e b. demodoque [ú il. AB = I, ondeI é amatrizidentidade

," ,J'

DEMATRIZES INVERSAO Dadosos númerosrêâisa e b, com a * 0 e b I 0, podemoster: a

b= b

a=1

l, oub = a em que b é o inverso de a. Da equaçãoacima,temos:b = + Vamosutilizarum raciocínioanálogoparaduas mâtrizesquadradasA e B. Sê existirumamatrizB talque

l dizemosque a matrizB é a malÍiz inveísade A e a indicamospor A Portânto:

Observações: 1?)I é uma matÍizidentidadêdê mesmaordemquê as matrizesA e B. e,em casocontrário,nãoinveÍ. 23)Seexistiíainvêrsa,dizemosquea malrizAé Inversível Eívelou singulaí ela é única. 3i) Se â matrizquadradaA é inversível, Exemplo:Detêrminara inversâda matnzA' - = Í? 1ì \1 5l

Resotucào: Fezendo A' = 11 qì ' u, \ç

queA A '= Sabemos

/z n\ /a u\ =\o /t o\ /z a+ a c 2b + 4d\ =lo /r oÌ b+5d/ o/ r/=\a + s c 1l s /\c \r Pela igualdade de matrizes,temos os sislemas: (^,t^11ë + 1u =' _._q-^_ r ---

6 "' -

' .,ta +S c=0

.^,ízo*+o=o= o=-feo=]

tz t

Resposta;

lO+5d=i

atc r =l | 6 1 ^ t-:

lo 135

EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM I Determine a inversadas matrizesi

â),,"=íi "'^=(Ì ï ái 0\

2 ecrca in"".saaamatri,A =

[]

quea inversa 4 Mosrre d 1 ^^^*( \ -r t3ì -^ \r - 4l (

5 CaaÈsP)Dadas asm",n*, o - [] 3l L, )l "

3 vort."qu" a : [À -l 2léaií"."t.i, 0 rl lr t2l 1 -21

=i ,".."0"^ [

-ll

-r,lìr

rì

ll.ca tcu te+n,rn ' .

[- i

ó Da d A a s=

[ã _ ïl.e = [í

- ij.

toì -" = lft Ía bl' oeÌeÌÍune oslãloresd€ 1tS aebtaisqueB = P.,C.. P-'.

I^l

l ^t

| 8ó Escrevana forma de tabela as seguintesmatriz€si a)A . (âij)rrr.sendoa{ ij. _ b)B = Orj)rÌr, sendobìj = (-1)" '.

l t 9 t Da d a s A - lY l. B - l 'ile c - lil, c a r _ r.r

!d7 Corstrua a matriz realquadÍadâÀ aleordem

r92seA_[? iiì..-h ll. lr -rtil,,-[ I rut Lz I

3, definidapor: aìj - f{.jse i < ; li--j+lsei>i'

[-to ) 2 | t88s";"^-ur,;e-| i â

tL 1! 5 9

r l t' ; ;; I

9 t1 l 5 t5 l

I r t8gsejamA - |16 ,^^"'l r l"s-[?l ?1. L-" 'os'iii l-- t" "l DeteÍmine a, b e c para que A = B, 190 CalcuÌex-ey, sabendoque:

["' v'1 ,[:* tt' ll'[+x 136

t.t

cule X ial que X + A - (B + C) = 0.

calculeuma malriz X de odem 2. ral que X-A B+X

a) Qual é a oldem de A? b) EscÍevao elementoaj2. c) EscÍe1,a â sua transpostâ. d) Pam que valoresde i tem-seajj = 0?

-vl [o oì :yl- [s - r l

193 cal"'netr (t'

2o).

194 Efetue:

",(_ i,i;l)íi ;ì tl ' \' , I i

3ì

b){-iJ<z + -o 195 Dadasasmatrizes Í r -rl

o = l ó i l " n= [l

a) l' .b)A'

-;], """",",

c) A'?B

ayotl

19ó Calculeo produto,L . B de matrizesonde A = (ai/z*r e B = (bi)r,, sâo tais que

a ìj =i j + ' " 0, = lilÌ : iË i? j t97 see =

ì!

+ :e . tt t. !j, calcule.e'

lt 0l on o e r= [6 rl.

= (ï i)"r=(? re8DadasasmarrizesA

l),

199 Dadaa marrizA = (aú)r*r,tatque

=1ísen/+i\sei=j . determi An' .e " \cost. I j sei I

2ooD ad-(l',';."= alA calculexexseAB = C.

il. c a lc u t e a e b , d e

..A= [ Í_ s s mo.o o q u e 203sendoq

+l ll.

Í.1

llee-lÍl.calculex.r^ai - li Lr rt t,l queAX = B.

/^ 204 Dadad maLrizA - lÍ \r

calculeA+ 2B - AB.

(Íj)

2 0 2 Da d a ma rri,A,

[i]..- [ ì l

,\ i l. u.t'. u r/

I -uL'-

À taloueAB = r. *.ao I = 11 9ì. \u ,/ 205 Oadasas matrizes lll Ír

A= l; t'

;leM =l; t I

;l: .J

_r a) cletermine M . I b) aletermineo traço da matriz M A M, sabendoqueo Ìraçode umamâtrizé a soma doselemenro'da diagonalprincipal.

20ósendo A, ll

Yl..ur.,r. t,q- e- i.

201 Dadasasmatrizes A = (aij),comi, j = 1,2, /,

"' .B j ]j.+te r; [_ minea matrizX, tal queBt + X = 2A. - -' l en d o a,,

,ì

q - ll lle a li ll. 2 o T r F F r -se sPr - \u zl \z tt determineX = (A

B-')'.