r
metermlnantes f
INTRODUCAO Consideremos o seguinteproblema:
ouooe" = ( l
3),"
= (ï)"
"
= ( tl) ,a " ,u ,' ,n u ." " yd e m o d o q u e=A.B c
Feloenunciâdqtemos:
Ir
\2
sì . Í" ì /rrl s/ \v/ --\s/
Apticando a mutripticaçáo demarrizes. temo",(ï
petaisuatdade dematrjzes, obtemos o sistem" [i: I ï = Resolvendo pelo métododa adiQão,Ìêmos: algêbricamente, 4x + 3y = 11 .(5) 2ox+) ú= 55 2 x.r 5y=9.{
4x+3 y=11 2x+5 y=9
138
3)
.((4)
-
-6x-1ú=
-27
20t - 6x= 55 - rx(20
6) = 28
-V
6 v = -22 + 20
20y 6y = y (20 - 6) = 14
111ì
I ?ï)=
\si 11 I
29 exemplo:Fìêsolver a equação Re6olução'.tx + 3
x+3
2
xl
5
2
l" r
5
= 0 = 5(x + 3) - 2(x - 1)= 0 5 x+15- 2x+2= 0 3x = -17 *=
_
'17 3
a=[lÍ] " " " ro" r u ,
,t
EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM OAche o valor dos det€rminantes: - 5 -2
3
Ir
-t
I "e"b
logba I )
asequaçoes: @nesotva x x+2
::
I +{5 c)
da matriz @alcule o deterrninante
-Ì
2 ,'11+ tE
/ -l
\E
I
l* l ab
o)
57
que0 < x < 2r. Íesolvaaequaçào 96abendo 3
'lt
b+l
SejaA = (aij)uma matrizquadmdade 2: oí, dem, ial que aij - iz + i j. Calcule det A.
@senaoe=(l;)""=(;;)
nesotraa inequaçao Q[Faao-SÌt * " a 14. ' 4 2xl
(d)ouau o."ui' e = [2 al..ut",,t., " t lll
calculedet (AB).
a) det A. b) det Az.. c)detA'.
MENORCOMPLEMENTAR ,^
consideremos a mâtrizquâdrada de3ï orde-,n = lãl] 1"",
^
-
I
â:, ;j] l. a.2 a33l
Chama-semgnoÍ@mplgm€ntarql relativoa um elementoa da matrizA o detêrminante associadoà matíizquadradade 2f ordem,obtidaem A, e que'seobtémelimlnândose, em A, a linhae a colunaque contêmo elementoaiiconsldeíado
r
. . . Nolamosquêâ exprêssãonumérica(4 5) _ (2 3).que podeseí êxpressatamoem pelo numero14.é o dênominador comumdasexprêssòes que nospermilócalcularo valor de x e de y, e determinase o sistemadado é determinadoou indêt;r.inãão. óãìã"r, nome: deleÍminantê Ao mesmotempq observamosqdê estaexpressãoestá associâdaaos teÍmosda matr|z
lq 12
3l . sl
ffi
ijs*Ëfit
Daí podemosdizerque:
Í
t
A têoriados detêrminanlês surgiuquasêsimultanêamente na Alemanhâ e no Jâpão. pordoismatemáticos, Elaloidesenvolvida Leibniz(1646_1716)eSêkishinsuke Kowai1642 - 1708),ao solucionarêmum problemade eliminaçôesnecessáÍiasá resoluÇão de um sjste_ ma de n equaçõeslinearêscom n incógnitas os trabalhosdeCramer,Bezout,Laplace, Vandermon. . Depoisvêfi, omoídêmcronológica, oê. Lagrange, Caucllyê Jacobi.
DETERMINANTE DEUMAMATRIZQUADRADA DE29 ORDEM Dadaa matrizquadrâdade 29 ordemA =
Íu " Ia ã
"r, l, chama-sedeteíminante ^ul
âssociadoà matíiz A (ou determinantêde 2? oíoêm)o númêroreal obtido pela difêrênça all a22 - àtz ' àzt Indica-sel
âr,r.
Observaçâo: rn"n,113âXl"tt't
o = (alj), deordêm1'define-se comodeterminanle deA o seupróprioele-
Vejamosalgunsexemplos. 19 exemplo:Acharo valordo determinantê4 6 Resolução: 4
3 -1
3 -1
= + ( 1)-6
(3 )=
4+18=14
Respostai 14 139
Po anto:
Drr =
ffi --u,r-.,.f -
422
423
432
433
Ap
ar3
432
433
aÍ
413
421
423
em A a linhal e a coluna| | àÍ - etiminamos lul,
âtz an\ /ui linha2eacolunal l@- - "" a e ti mi n a mosêmA - "".1. au a*l
\"i' I""
-
Exemplo:Dadaa matíizA
em A a linha3 e a coluna2 | a2r eliminamos
=lõ -11
Resoluçáo:
It sendoA = lõ
lõ
Drr =
2
1 1 2
3
4
2
I
5
3\ 4l , câlcular DÍ, D12,DÉ, D21ê D32. ' tl
, temos:
'1
4 ,1
-2
D.:z=
0 5 AesposÍasr9, - 20, -5, 5,8
aztl
1
,l
0
a\, a'.\
ar2
'1"" @ -""rÍ
\5
De=
a22 uoI ã32 a..l
23 04
-2
COFATOR àtz aúì la " a matrìzquâdradadê 3i ordem:A = | azr a22 az: I Considêremos au \"" "../ ( Í)"ipelomenor . Chama-se @fatord€ â o númêrorealquese obtémmultiplicando'se por quê Aij. é represenlado dê aii e complementaÍ Então:
A, temos: â matrizquadrada Assim,seconsìdeíarmos n r , = ( -n i " i
D 1 r=( 1 f +1 '
a22
423
ãsz
433
(Nessecasoeliminâmos a Iinha1 e â coluna1.)
-__l
141
7
a\ |/ l2- 3.L
-t ^^2 3_ \
_-
n v 23_- , \
.||\ 2+ 3.
l
ârr
3e
' tur
42
I |
(Nêssecasq eliminamos a linha2 ê a coluna3.) Exemplo:Dadaa malrizA =
a) Arr
b) Ars
31-21 4 3
0 7
2l,calcular : 8l
c) As2 ,
Resolução:al A =
[3; r Lio 137
-cl
ã l - r' , = 1 r y' *i- p ' ,
8,1 An = (
1 )' , * ' . 0 1 1
02 78 4 2,1
Iü
b)A
7
13
l.i t4 0 Fesposias.a) -14
?l=n" 8l
= 24
ï
a o '. ".113 7
2l
3
[*'.-?;"'-8l
4
b) 28
zF au = { -1)3+ ' ?. c)
2
14
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Selaa matr;z
A=l
I r 2 \-1
3 Dada a matriz
-3 o\ 4 il z 6l
CalculeDu, Drr, Dr2,D2r,Djr e D32. 2 Dadaa natriz
o 3 -2
l 2l 4 51, 7 \l
^
: [?
-31,carcute:
a) Alt, Aì2, A2re A22 b)a An +at2.Al2 4 SejaA a mârrizquadndade3: ordememque 4r - i + j. Determineo colatordo elemento
calcde AB, A2l, Aj2 e Alr.
142
Á
DETERMINANTE DEUMAMATRIZQUADRADADE 39 ORDEM a matrizquâdrâdâde 39 ordem: Considerêmos Ura\ a,ll
412 422
DêÍine-secomo determìnante da matrizA o número: all a2j a31
A12 Az2 432
aB a22a31
all a22a$ + a12ana31 + aga21a32
dêÌA=
t
413 423 433
a12a21a33
a11az3a32
Agrupândo-se os termosque têm all, 412e ai3,isto é, os elementosda 1i linha,e colocando-osem êvidência,vem: det A = all a2z a$
a12a21a$ + afia21a32
a.n a8a32 + ai2axa3i
del A = aÍ (a22a$ - axa3ò 422
a12ía21a$
423
a23a3i) + a13(421a32
421
423
âsr
433
-â t ae
433
af a22a3
a22a3i)
fâÉ 431
432
Emque: 4zz
423
432
433
Àzt
az3
431
433
421
422
= AÍ é o coÍatorde ar1
= A12é o cofâÌor dê al2
= AÉ é o cofatorde a13
a3l
togo: det A = all All -l âlz 412 * â13413
Observação: Se agíuparmosem det A os têrmosque contêmos elementosa21,a22ê a23, da 2i Ìinhada matrizA, obteremos: istoé,os elementos * a*An detA = azrAz + a'22.A22
de 3?ordemto" Assim,podêmosutilizaressasfóÍmulâsparacalcularum determinante mandocomo retêrênciaqualquerlinhaou colunada matrizA. PorexèmDlo. tomandocomo rêÍerênciaa 2? colunâ,temos: det A = a12 ' A12 l
à22 4p
1 â32
432
143
de 3i ordemé conhecidocomoteoremad€ E6temétodoparacalculaíum deteÍminante cujoenunciado e o seguintel Laplace, dê umamatrizquadíâdaA, de 3: ordêm.é igualà somados produtos O determinante dos elementosde uma linhaou colunaqualquerpelosrêspectivoscoÍatores.
lz
1 4 -2
da matrizA, sendoA = l0 calcularo determinantê Exemplo: Ì6 Resoluçáo:
3\ 51. 1l
t
o det A de duas formas: Calcularemos dâ 1?linha:det A = âÍ Atr "| â12Aú a) fulosêlêmentos -
05
-24
= +30
61 deÌA = 2(14)+ (-1)(+30 )+ 3 ( 2 4 ) + d e t A = 2 8 -3 0 -7 2 b) Pêloselementosda 19coluna:dêt A = a1141 + a21421 + a31431
3
| -1 121
detA = 2(14)+ 0(-5) + 6 (-1 4 rqesroslas-a) 74
detA = 28 + 0 - 102
bl -74
Observeque parase aplicaressemétodoé mêlhorêscolhêrâ linhaou a colunaqueliveí o maiornúmerode zeros.
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM 3 oadasasmatrizes e = Í2 \J
I Calcüleos determinantes
23t a)l
t2 2
0
416
b )4
I
-l -l
65
s
Il
u
a
o 2
lì" -31
o). catcute do o determinante
| 1l
produtoAÌ . B. 2 calcul€o valor de S: 2
s=
I
2
502 164 144
014 025 036
4 caÌcuÌeos determinantes segúntes,rÌsandoo teoremadelaplace
5 ResoÌvaa equação 0l 2
x
-3
t
DESARRUS REGRA Fodemos obteíodêteíminante deumamâtíizquadrada de3: oídemutilizando umaregra práticamuitosimplêsdenominada íegíade Saííus. lu,, Sejaa matrizA = | a,. l.31
ap u,. Ì aú, | 432 .*l
Vamosrepetira 11e a 2i colunaà direitada matriz,conforme o esquema abr,ixolJ
Multiplicando os Ìêrmosentresi,sêguindo os traçosemdiagonal aospro e associando dutoso sinãlindicado. temos: detA
= all 422ae: + a12a23a31+ afia21a32
afi a22az1 -
arta23a32 - a12a21a3t
Vejamosâlgunsexêmplos. 19exemplo: Calcularo determinante da matrizA, sendoA
01 23
3 4 5
Resoluçáo:Repetindoa 1: e a 2: coluna,temos:
( 3X4)(1) , (5)(0)(2)
Resposb:
27 't45
v'
29èiièmplo: tìesolver a equâção x44
ResoluçAo: _x x --<x x '
_-'---x,x-,,--'
r
I
^.
o ,-\\
+ 4 x 2+ 4 x 2 - x 3 :>-.-l_----.-l----' -4 x 2
x3
- 16x
-4x2
\
4x2
4\2
4x2
16x 4x2=o
x3+ 8x2 1ôx=o x3 gx2+ 16x=O
x (x ' ? 8 x + 1 ô )= 0 t = x=O x2 8x+16=O+x=4
t
= Í0,41 Fesposfa:'S
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I CaÌcìrlecadauÌn dosdeterminantes a s€guirutilizando a regrade Salrus.
2 .3 a) 4 1 234
5 Para que vatoresreaisde x o determinânte
x01 0x0 Ì01
030 z3l 425
5 3
é positivo?
t
6 Resolvaa equação: | 212 0 c.)l 1 I 14 3
I senx senx
053 042 016
I 0
cosx 0 0
0 1 1
I
2
7 Sejaa mâtrizA = (a"r),de ordem3, tal que 2 Sabendoquea :
t
3
2
2
l3l 22i 113
I sei<j ksei= j I sei>j
calculea2 - 2b.
3 Calcule os númeÍosreaisx € y tais que
001 2 x4 ÌÌy
=lel0ll
ll
x y
Calculek, demodo queo determinanteda matriz A sejanulo.
8 Acheo valor do determinanteda matriz P'z,sa-
x+l 3x x2 146
| x
I
x-1
o
o r
I
-l
l
\D
ll ll
frl
(UF PR) Considereas matrizes
"= /:\ '
3
^f2 ' 1,
bendoque P =
0 I
4 Resollaas equaçòes:
. 2'4 a) 2 4 1 t2
e kۓR.
ï ;
Í\ ." :í^ + r '/
\ z -Y
x+ ,' l z -x l
quea malrizB é sabendo ".=(, i). ìgualàmatrizC, calculeo determinante damatriz A.
t
I
DEUMAMATRIZQUADRADA DETERMINANTE D EOR DE M>n 3 Consideremos a matrizouadrâdaA. de ordemn.
^l-,:, ï
Podemos calculâro dêteíminante da matrizA utilizandoo teorêmade Laplacodas se. gurntesÍoímâs: 1?lorma:Fixandoa linhai
2: forma:Fixandoa colunâi t-r ldetA = alrA r, I a2 4 2 1* a 3 iA ii + . . . t:
Exemplo: Calculâívalordodeterminantei2. ' í€; 1 4 , -2 1 -5 0326
+ a n iA n iI
--1'-0+" I 3 2 1
ResoluÇão: Pa.ao câlculodessedeterminante, aplicaremoso teoremade Laplacqaté chegarmosa um determinantede 3i ordem,e depoisêmpregaíêmos a regíâde Sarrus. ,' Assim,desenvolvendo o determinanlêacima,segundoos elementosda 1: linha,temos: =
â11 All
a11Air = 2
(-1 )1 + r'
det
A
a 1 2 A1 2 = 3 .(
= (-1 )
Ì
1 )1+ 2
4p
A12 !
-2 S
1 )l + 4 .
3 1 l= 2 . 1 7 = j4
3 1
02
6
4 I
,2
0 = 0 .{
1 2
41
(-1 )1 + 3
1 0
Substituindo emO, lêmos:
â13 A13 a
3 2 ,5 3 det A dêt A
= -3 . 4 4 = € 1 6
=
1.(
a,,
Aro O
132
1 1 1= ) 111
I
u
- 132 + 'l'11
Resposta:13
I
147
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I Calcule os determinantes:
"l "ll 2 4 -1 I
3
t 3 5 3
I
-Ì -ì -l
x']
I 4 Ì t
2 2 Ì
3 Resol!aasequaçòeç:
o
7,50J2 Ì0042 1 1 ll b)
I llI
x
t/to
ll0x xtx0
t l0
xl0l
4 Determineos valoresde a para os quais: c)
130
2 5 3
laa0 aÌ0a a01a oaat
>0
2 Determjneoconjunrodelodoso\wloresdr, que satisfazema equação: 5 Acheo maior valor reâtde r, rat qu€:
0400
0020 x0x'zO I x ìoex 0 8 lx
x6 3 4 0t05
8
PROPRI EDADES DOSDETERMI NANTES Vamosestudaralgumaspropriedades dos dêterminanles. 'l: proprledado
o o\
Sejaa matrizquadrada A= Í3 ì
da 11linhâsãoiguaisa zeío
5l , onoeobservâmosquetodosos elemêntos 6l
2 2
Vamoscalcularo determinanteda matrizl
000 325 426
i0 =i 3 tt4
0 2
0 5
0 3
2
6
4
0 2 2
Então: Se os elementosde uma linha ou coluna de umâ matriz ouadradaÍorêm iguaisa zêrq seu deteíminanteseránulo 2f pÍopriedade Sejaa matíizqoadradaA = dâ 1: e da 2?colunasão iguâis. 148
2 2 2
2 2 2
6\ 5l , ondeobseryamosquetodosos elementos 1l
Vamoscalcularo determinanteda matriz:
226 335
22 22
226
= \2J l2J \1)+ (2). (5) (2)+
221
441
ì r 1r ( 2) ( = 2r( +Zi+ú ) )- (2 Ì(5 (2) + ( 6 ) (2 )(2 )- (2 )(2 {6
V4 ' ú
{ =o
Se os elêmêntosde duas linhas (ou duas colunas)de uma matrizquadradatorem seíáiguala zêro. iguais.seudeterminantê ,
ili
ì--r1ì1.7
3i pÍopriedade l^
quadÍada A -. Íz seia ' a matriz \4 26 4
^ì o e: | ; seudêteÍmindnte 151
=30
'15
24=6.
Vamostrocârâ posiçãoentreas linhasda matriz(2 /4 Ì2
15\ ;"", d"t",.inantee t2 6/
,,:)
e obteremosa matriz
15 6
Então:
ï'l
Se trocarmosde posição entre si duas linhas (ou duas colunas)de auadrada.o determinanteda novamatrizé o ânteriorcom sinal trocado
4?propíiedade A: Sejaa matrizquadrada 3
5
2
4
i. l"
"\ é: -J : sêudeleÍminãnte
da 1i linhapor4 e teremosa mâtíizquadrada todosos elementos Vamosmultiplicar t1t B= | \z
12 ,nì -' l: sêudeterminante érL l2 al
20 4
ComoS= 4 2, então:
todosos elementosdê umâ linha (ou de uma coluna)por Se multiplicarmos um númerorêal k, entãoo dêterminanteda nova matriz é o anteriormultiplicadopeìonúmerok. 149
{
5: propriedade
'l
seja a matrizquadradaA = íí =4
é: ; seudeterminante
4I
6= -2.
u ,, linhâdeA pêtasomadestatinhacomo produto da 1?linhapor S, obr"fJ3"t"r'ndo 3 + 1(-3) = O e 4 + 2 1 -3 1 toSo,B = Í' \0
= -2
12 ' l: seudetêrminante é. o2 2l
=
t 2 -0 =
2.
Fortanto:det A = det B Então: Se somarmosa uma linha ou coluna de uma matriz quadradauma outra linha ou colunamultiplicada poí um númeroqualquêr, o dêierminante da mâtriznâo se atÌera. Estapropriedâdeé conhêcidacomoTeoremado Jacobi. 6? propriedade Sejamas matrizesquadradas
lz
A= l q
4 1 0
5\
2 l e B =l 3/
I t
o
2 3
ol
ol , ondeobser vamque os os etementos 4l
S I
Ì0 \ dê ummesmoladoda diagonalprincipalsáotodosnulos.Osdetêrminantes valem: det A +
d e tB=
2 0 0
0 0
1 0
2 3
-1 2 3
0 5 I
0 -1 o2
4 1 0
:2.
0 5 8
= (1 ). 5 . 4 =
1 .3 = 6.. delA = 6
20.. detB =
20
Entãoi Se os elêmentos de uma matriz euaoraoa situados de um mesmo lado da diagonal íorêm todos nulos, o determinântedâ matriz será igual ao produlo dos êlemenlos da diagonalprincipal. 7i propriodade
2 -1 1
consicere asmatrizes n= {l a suatranspostâ Ar = Íl
lã
150
-1
3\ 4l e 5/
?I
5l
r
E)íemplos:
r
Ir '19)Matíizde Vândermondê dos números(2,3,4):
1l
4l 161
12.3 14 e
29)N4atriz de Vandeímonde dos númêros (- 1,5,3, 1):
11 -1 - 1
5
1 3
125
27
r
Demonstra-se que o dêterminanteda mâtrizdê Vandermonde é ig u a la :
detA = (a2 a1)(a3- a1)(aa- ar...
(a. - a" ,i)
Vejamosalgunsexêmplos.
f r
19 ôxemplo:Calcularo dêteÍminântedâ matriz:A = | 3
1
2 4 ls 127 8
,qeso/uçãoi A baseé (3,2, 4, 5);togo: 30 20 31 21 32 22 33ú4s
Besposta:
i
rl
4 5l 16 2sl 64 i2sl
50l 5 ' l d e t A = (2 = 3)(4 - 3).(4 -2) (5 5,Ì dêt A = -1 . 1 . 2 -2 . 3 . 1 531 det A =
40 41 42
3) (5
2) (5
12
29exomplo: Resolvêr a
2
"O*Or" | ]
4 \2
3
9
Besolução: 124 1xx2 139
1 2 4
'1 1 x3 xrg
= ( x - 2) ( 3- 2) ( 3 x) = o
(x- 2)(3 x)= 0<,x=2 F€sposlâ. S = 12,31
.
'x=3
EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM rv
x' \,
I Calcule: I 567
lzs x
I
+s
2Calculeovalordea(R, aarque: lÌ l a2a3a a2 4a2
152
=2 9zz
3ca*r", ro'gz ,lrro I lo*2
to{n
4 Ache o valor do deteÍminante: llll -2 I 4t9t6 -8 1
-3
4
n
64
I loe200
ÌogZoo
4)
valem: Os seusdeterminantes de tA
-
det Ar=
123 2 01
1
4 5
120 2 -'t
1
1 2 0
2 1 1
1 2 3
2 1
-23 + detA =
23
23=detA' =
23
=
DEAPRENDIZAGEM EXERCICIOS d sesuir. I Calcule o râlordo'dererminanres 'em
2l .ando d. propri ed" de..Lal cul eo. determì
2
5 I ,7
.1l 1 a) z 4 l3 6
,L ïl
0 -2 1900 t5510 60432
0
5109 b) 0 3 1 1
008 0
DE DETERMI NANTEDEVANDERMON A, dê ordemn, n > 2, definidaporl Seiaâ matrizquadíada a. .-i -
a;
a, ... â;
--.---:-,--
- - -.- -l
i1 ,1'----":---1-i ai
ai
a3... âi
(a1, pelaspotênc 0,1,2,. . , n 1,dosnúmeros iasdeexpoentes constituída Estâmatriz. potências. da maA ou malriz basê das a2,a3,. . ., an),é dênominadamatíizdeVandermonde a.) é o coniuntode númeíos(aÌ. a" a3 tÍizdê Vandeímonde 151
DEUM DETERMINANTE CALCULO SIMPLIFICADO Utilazando o têoremade Jacobi,podemostacilitaro cálculode um dêterminanrê oe oídemn, n >3, tazendo com queíiquemnulosos (n - 1)êlementos de umalinhaou coluna. Vejamosalgunsexemplos. 't9 sxemolo:Calcularo deteíminanÌe: 1234 2316 4105 2 -3
.t 7
1
Resolução:Emprimeirolugar,êscolhemos um elementoigualâ 1 e fixamosa sua linhâ ou coluna. Porexemplo, tomandoo elemento ari 1ê fixandoa 1i linha.temosl 2316 4105 Emseguida, aplicamos o teoremade Jacobidasseguintes Íormas: . mulliplicando.se por(- 2)os elèmentos da 1?linhaeadicionando-osaos êlementos da2: linha. 12 34 01 52 41 05 2 -3
7
1
. mulliplicando-se por(- 4)oseìêmêntos da1?linhaeadicionando-osaos êlêmentos da3?linha. 12 34 0 1 - 5-2 0 9 12-11 2 -3
7
1
. multiplicando.se por3 os elementos dâ 19linhae adicionândo-os aoselementos da4i linha. 1 ,23 4 0 1 09 1 2 -11 0- 4
5 16
-2 13
Aplicandoem seguidao teoremade Laplaceê tomandocomo referênciaos êlêmentos dâ 1i coluna,temos: D=1
( 1)r*1
15-2 ,12 I 4 16
11 13
Por último,utilizandoa regradê Saíus, obtemos:D Resposta:769 153
I 29 exemplo:Calcularo deteíminante: -2304 2 -3 2426 4-260
3
5
rgeso/ução; Observequeo determinantenâopossuielemêntoiguala 1,maspodemosobtê.lo colocando 2 em evidència na 31linha:
!
Vamostixaí o elementoa31e aplicaro teoíemade Jacobi.Daí,temos: . multiplicando-sê, por 2,3 e -4 os elemêntosda 3f linha e respectivamente, adicionando-os, íespectivamente, aos êlemêntosdâ 1:, 2i e 49 linhag,vem: 07210 0 I 1213 0 -10
0 10
14 -12
Aplicandoo teoremade Laplaceaos elementosdà j9 coluna.temos: D=2.1.i
1)3+r
80 '10
101
ill
10
Utilizando a íêgrade Sarus, ootemos: D= 184 Besposta:
184
EXERCÍCIOS DEAPREN DIZAGEM I Calculeos determinanres: a)l
2 ll-2
l'
2
3
3
lr b) l
5 32 8 3 3 )l
12 o
t
|
-r 3
2
2
|
2 Acheo vdlor dosdereÌminântes:
I
I 3 5
2 I 3
200 Ì30 031 422
-l -3 -5
1 r
3 caÌcule: Ìl il
154
Ì 2 3 4
26 Ì -l 50 3l 64 33 l
t1
r
EXERCíCIOS DEFIXACÃO 208 Resolvaa equaçâo:
x+ 3
2l S scics - t'iìanÌarri,,quadíro. dJL,rdemJ.
5
0,sei<j 2
209sauenao quea =
Calculeo valor do deLcÌìÌinanÌedc S. I
I
26 , calculeovaÌorde3a + br.
410
2l9t onrrlerear malrzerc
.B=í-1r
210 tir.tacl:Pt Determrneocoruunro \olui;o od
ÌI
\
/.i1 |
\ Ã
,ì
tl
l\ tl
1x equaçãolÌ
I
=
II
Calculeo valor de N, saben.loqrÌr N=50+det(A.B).
ÌÌ rl
,] .e=[o 2rse ^ =[2 L 3 4l tl
:]...r.,r. tl
númerorealx, tal quedel(A
x
B)
/t 220na marrtz lr \r
0.
I
cos21
2
.,1
'"n*
I
221SeA= 3
",,.'
I
213 padasasmatrlzes, calculeo determìnante da marriz A'? + B':
"= (; ï." =(i
ï
r(\)= x - x 222seo < x <
2 r4 se jqa - [ ' '1.,,..,,."o.,.,o,.. a . n , l.t rl raisqueo delerminant< da marriurA: s€.iaiguala zero. 215 Calcüleo vaÌoÍ dosdeterminant€s: 713211 b)ll a)] I 2 1 o 1 | 2 1 1t -4 15 2ló Para quevaloresde x setem
22 2 2x2 22 x 2 | 7 Deterrnineem IRa solüçãoda equação 2x 1 -l -2 - 8 - locr4. 312
*')."*," 1 e
a) s€udetermjnanle. b) os vaÌoresde x que anuÌamessedeternìì-
212 DetermineosvaloresreâisLlcsen\ e co\ \, !1. sen2x
* 2 3
tal que
à1" l, c â lc rì Ìf ct
dc'A J.
2, determine o menoi\.'rordc\, senx 8 5 0 scnx coisx l=0
00
aU
223 (PUC-SP) Carcurc: a) O deierminante damârriz Ì0 l+x'? 0t xl ondex ( lR.
x+l 4
';.1
2+x
b) Quaissãoosvaloresdex queanulamo de teÍminantede A?
229 calcuteo vatordo determinante:
da matriz 224 calculeo determinante
/ -r\
M=(AB).c.sendoA=t 3, l -t
B = ( -2 3
5 )e C =l \
o r |
2 3
z\ 0l 41
225 DetermiÍeo conjuntosolüçãoda eqüação:
lsenxr9 I Y I
:I
' cosx
r."n " -.enx .ì,I
0lx
1
4
.t
o
I
* =l lll
2
I
ll
i 1 i l 'a " è '- * * "-= I
l*'
2 3 b) 5 -6 2 -t 32t5
lll
222 233 234
21
8
03
10 eB=lâ
I
0 0 0l
-l
6
-2 0 2 0
-l 4 3
232 Acheo valordo determinante:
228 @üvest-SP) câlculeos determinantes:
156
5
230 Dadoo porinômio
2310 4213 1521 0 3
2x0
227 (FuvesfsP) caÌcule:
2
-4
231 Calcule os deteÍminantesl
r1x): 0xn
a0 I 1 11
l
3
raízesde F(x).
22ó Estudea variaçãodo sinalda fìrnção f: lR ìR,definidapoÍ: -
I 0 0
o
= -co sx
no intervalo0 < x < 2Í.
A=
| 2 01000 04021 0 -5
4
03 t4
-1 -2 3 -l
6 3 4 3
3 6 -l -4
4 3 5 2
Ì