ffi$ffimmmm üËrxmmrem EQUAÇAO LINEAR Todâequaçãoda foíma alxl + â2x2+ ... + anxn= b é denominadâ equaçãolinear en que:a., a/, , . .. a. são os coefjclenleg
. _.,x" sã o a s in c ó g n it a s b
é o Ìermoindependentê
Exemplos:a) 2x1 3x2 + N3= S é umaequação linearâ três incógnitas. o)x + y = z + t: -1 é umaequaçao nearaquatroiniOg;itas. Obsêrvaçõesj
t1
flï*iïï:"Jãiïïdependente
b rorisuara 2610, a equação rinear denomina.se equação
Exemplo:5x - 3y = O 29)Umaequaçãolinearnão aprêsentatermos clâform" xi. x, . x2 elc.. .- Ísto equaçãolem umaúnicaincógnita. -.- é. "-", lêrmoda -. cada cujoexpoente é sêmpref. As e q u a ÇÕ 3x1 es +2x, = _Je.4x.y +z = v Zn á os ã olin e a re s . 3f) Á soluçãodê,umaequaçãolinearan incógnitas é a seqüénciade númerosreaisou ènupla
lã';ïã;;;#àïï?j''"câdos
respectivamente notrs"io"i,, *,, . .i, *ï,ïiiãfr u","o",r"i
4?) Umasoluçãoevidenteda equaçâotineâr homogênea3x + y = Oé a dupta(0,O). Vejamosalgunsêxemplos. 19exemplo:Dâdaa equaçãolinêar4x
y + z = 2, êncontrarumâ de 6uas solirçóês.
Resolução:Vamosatribuirvâloresarbitrários a x e y e obtero valordê z. x= 2 tortântq uma sotuçãoé a tripla ordenada(2,O, _6). 157
29êxemplo: Dadaa equação 3x - ry = 5,determinar d parâquea dupla(- 1,d)sejasolução da equâção. Resolução: \_1,d|
Resposta: d = -4
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM fiquat
aasseguintes equações sãolií€arcs? =0
a) 4 a - b+;
(3ì"t"..in" pu. que(-1, 1, -2) s€jasoìumx + y - 22 = 6. çãoda equação
/s
b\sx+ 2yz-0 c) x'z- 5y-o d) xyz = Ì
\!?Daoaa equaçao -t
(lAche duassoluçoesda equação:
= -t,acne"pai ra que (o, a + l) torne a sentençav€rdadeim. llPekrmine duassoluçòes da equaçào x+2y z=0.
ftCacute a aemoaoque( - l, a + l, 2.)nãose]a
- \ + + &=0.
'- soluçàodâ equação2x + 4y + z 0. -
SISTEMA LINEAR sistemalinearde m equaçóêsnâs n incógnitasx1,x2,. . ., xna todo sistê.Denomina-se ma oa Íorma:
em queaÍ, a12,. . -, a1n, bj, b2,..., bnsãonúmerosrêais. Sêo conjuntoordenadode númerosreais(ol,02,. . ., on)satisfizertodâsas equaçõesdo sistema,seíádenominadosoluçãodo sislemalinear. ObseNação:Sê o teímoindependonte de todâsas equaçõesdo sistemafor nulo,isto é, b1 = b2 = ... = bn = 0, o sistemalinearserá ditohomogôn€o
ExgÍnplo:/ l A x+v
z=o
l'x+y+nz=o
t5x - 2y + 32 = 0 Umasoluçáoêvidentedo sistemalinearhomogéneoé x = y = z = O. Seo sistemahomogêneo . Eslasoluçãochama-sesoluçãolrivialdo sistomahomogênêo. admitiroutrasoluçãoondêâs incógnitasnãosão lodasnulaq a soluçãoseráchamâdasoluQãonão.lrivlal. 158
t
SISÏEMAS LINEARES EQUIVALENTES Sedoissistemaslineares51e 52admitema mêsmasoluçáqelessãodiiossislemas€quivalentes. Exemplo: Calcularm e n, de modoque sejamequivalenÌes os sisiêmas:
f x y=r y= (2x+
fmx ny= I {n x t my = 2
5
ResoluÇão:
J
. Cálculode x e y. 2x+y=5
Substituindo-se x ê y no segundosjstema, vem: 2m- n = -'1 = 2 n +m=2
2m- n = 2m+4n = 4
2 m-n=-1
2m-1 =
1
_ t*
I
1
Resposta: m = 0en = 1.
EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM '''
2xÌ+3x,
xr=0
xl 2 x z + x j :5 xr + x2+x] =
3 ve,itiqueseo*isr(ma' ., Í':,: 2
a) Veriliquese(2, t, 1)é soluçãode S. b) Verifiquese(0, 0, 0) é soluçãode S. + = k' \Srseia o.isrema:ì3x ) [\-zy=K+r
9
Caìcuìe k pamqüeo 'i.lema'ejâhoÌo8èn<o.
:"
,,1 ,ì-i,-; ,"".,,.,.";.
d (l -L!e.r-S P lD (rc' mi l e a e b, de moJo que ,e l^ o\ \r\tcmâ\ 1 ., l am equrl arente( : . e Ì11- Ì- 4
la x + b y = l
159
EXPRE ssÃo MATRICIAL DEUMSISTEMA DE EQUcoEs LINEARES Dentrêsuasvariadasaplicaçõês, âs mâÌíizessão uÌilizadasnaresoluçãodeum sistema de equaçõeslineares. Sejao sisÌemalinear: + ... + ahxn = b1 + ... + a2nxn= b2
,t
:: + ... + amnxn= bm
ï,
ntarostesistemada seguintêformâ
Utilizando
l' ' I lx, I
tt=tl tt tttl
lx " t
lb 1I lb zI tl
lb " l
TT maÍizcoluna constlluída pêlasincó0nitas
maÍizcoluna dostermos independêntes
Obseíveque se vgcêefetuara multiplicaçãodas matrizêsindicadasirá obtero stsrema oaoo, Sea matíizconstituídapeloscoeflciênteg dasincógnilasÍorquadrada, o sêudeterminanle é dito determinante do sistema. t^
l 2 xr +5- x 2- &= 0 Exêmplo: Selao sistema: 14x1 3xz+ 6& = -1 lilx1 +
x " -à3= 8
poí meiode matrizes,da seguinteforma: Ele podeser repÍesentado
[íïi][ii]
tl 8l
t
I ExprcssematÍicialmente os sistemâs:
a1f z x+ y = s (x-3y=0
( - *+y+ "- t:z 2x- y+t= 0 ", - ' l 1 Y- z+ 31 =l \+2y z+4t= - 5 | 2 A c\pressãomatricial aleìrm sistemaS é:
2a+ b+c= -1 b) a +c=0 _3 a+5b-c=2
[: lr
sl [al il lbl -
l-+l I 7l
Determine as equaçõesde S.
160
quântoao númerodesoluçõês, Os sistemaslinearessãoclassificados, daseguintetorma:
REGRADECRAMER A íegrade Crameíconsistenum métodoDârâse resolverum sistemalinear. Veiamosa demonstraçâo dessaregraparaum sistemalinearde trêseeuaçÕes a três incógnitas. (auxr+ar"*r*a13x3=b1
Sejao sistêmâ:1a)1X1+ atxt + âÌxì = Dr la31xi+a32X2+â313=D3
f^ 412 â13 | Seiam dessesistema. _t^-A = la", ar) a' | â matrizincompleta - ^l
lo' Io'
ap 413 422 423 432 433
a matrizobtida deA,substituindo-se a colunadoscoeÍicien. tes de xr pela coluna dos termos independênÌês.
l,/lultiplicando: a'1?equâçãoporArl (coíatoídearì a 2? êquâçãopor 421lcoÍaiordeaã) a 39 êquaçãopor A31lcofalorde a3r)ê somandoos produtos,temos: â11411x11_â12A11x2+ â13A11x3= b1A1ì ã21421x1 t ã22Avx2 + aBA21x3 = b2421 a3rA31xl + 432431x2t â$A31xs = b3431 {a1jA1j + aã421 t a31A3tx1 + (aj2A11 + a22A,21+ a32A3ìx2 + (a1341í + a23421+ a$43ìx3 = b1411 + b2A21 + bsA3i
È
t
Nessaigualdade,convémdêstacarque: . A exprêssãoâÍAÍ + az1A2j+ fu1431, pelotêoíeínadeLâplace,podeseí repíêsentadâ por dêt A. . As expressõesâ124Í + a22421 + a$Â31ê arcAÍ * a23A2ì+ asA31são iguaisa 0. . A expressão blAÍ + b2421 + qA3r,peloteoremadê Laplacqpodeserrepresentada por det41. 161
Ì
Daí a igualdadeé expíessapor:det A x1 = det A1.
^ r-
detA
Do mesmomodo,se mulÌiplicârmosâ: 1: equaçãopor A1, 2f equâçãopor 422 3f equâçãopor A3r,âo somârmosos produlos,terêmos:
i
ti ; em queA2éãmaÍizobtidadêA, substituindo-se a colunadoscoêficientes oe xr-pelaJoluna dos têrmosindêpêndêntes. det A.
podêmosobtêr: Analogâmentê,
, em que A3é a mâtrizobtidade A,
substituìndo.se a colunados coeficientesde x3pêlacolunados têrmosindepêndentes. Genêralizândqnum sisÌemalineaío valorda incógnitaxi é dado pelaexpressão A é â matrìzincomplêtado sistema; em que: Ai é â matrizobtidadê A, substituindo.se as colunasdos coêÍicientesde x, pelacolunados termosindependenles.
.. x i = det A, d e tA
Vejamosalgunsexemplos. ( = 7 2l ^.. 19 exemplo:Resotvero----sistema , .I = -2 -(I x+5Y
Resotução: ^=[l |
-ll +dêÌA=11 7
^'=l_) "-
íl
à l=detar
- 33
det A, 33 ^ dêtA - 11 -"
n z = lì Y=
11
; l= d e rA r=
dêt A"
11
,
-;tãObserveque o sistemaé possívele determinado Resposfa. S = [(3, -1)] ( 2? exemplo:Rêsolvêro sistema - -----(I Hesotuceo: I í ' A =l j t-'-'t A . = l:
rl jl=detA =0 il-
logo: det A, ^ - dêtA = Besposta: S = A 162
-.,. +. = 5 :x I Y=2
detA . = -7
7
o
&= [- ]t]= d e tAv= 7
rmpossrver r = :Ë*
= f,im p o ssive r
i x , + 2 xr -
&= o
Resolver o sistema{ 3x1 4x; + 5& = 10 r39êxomplo: x2+ x3= 1 Ix1 + Resolução:. Cálculodo determinantê da matrizincompleta.
[r z -rl
A =1 3 4 5 l =d ê tA = - 12 [1 1 1 l . Cálculo do dêterminante dâsincógnitâs. I o r -rl
lr z ol
t
n,=lrõ r- dl-aeta,= -zn A:= ls a rol=detÁ:= o11 1 1l ll
1 0 310 1 1
1 lJ
1l 5 l +d e tA, = + 12 1J
. Cálculodas incógnitas.
,."=#nr. ==j =o
, =:1"-:i' = ---:-::=2 xz=
det A'
+1,
l;
"^,í.=-
=
1
O sistemaé possívele dêtermtnaoo. Fesposfa.S = l(2,-j,0)l
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Resolvaos sistemasa seguit utìtizando a regÌ-a de Crâmer.
4 Determineo conjuntosoÌuçãoalosistema: x + y -1 0 : 0 x -z 5=0 y -z 3=0
")l ,i 13ï =')l'ï '. 3v. =s = * 2 Resolva ' ' - -o- sisrema: - '' -t2Í^" \+2 )^t |
I0
3 Resolva,utjljzandoa regrade Cmmer:
., \
( *+ z y z=2 y+3 2 =e 1 2 " "l (3x + 3y 22 = 3
fzu r* "=: b +2c=3
b) la
l a+b +
c-6
( 2"y -t"=t c) í- x + 3y + z= -10 l 3x+2 y -22= -2
5 Resolvaas equaçõesmatdciais:
"(?-l)(i):(,'ï
"(ií i)(')É) ó Ache o conjunto soluçãodo sistema ia+b+c+d=0
I I I
2a+5d=4 ì 3 c -2 d = 1 ,4b+ 3d:5
.
163
DISCUSSAO DEUM SISTEMA LINEAR â n incógnitas. Seiao sistemalinearde n equaçóes aÍx1 + 412X2+ ... + alnxn = bl ax(l + autY2+...
+.aàXn =b2
I an1x1+ an2x2+ ... + annxn = bn
Discutiro qistemaé saberseêleé possÍvel, impossível ou iídotgÍminado Utlllzando â Íegíade Cíâmer,lemos: .. = detA1 x..2= detA2 xt detA detA "
x" = detA" ìët Ã:
Vejamosalgunsexemplos. í_ 3x + my = 2 í9 6xêmolo:Discutiro sisteme ---- -LI x
Y=' r
Resolução: Vamoscalcularo valordosdeterminantes: l =l i
tl
_ ïl =d e tA =
- 3- m
Ar = li
-ìl -
A-, = l : t,
Íl,t= d e tA ' = 1
tl
d e tA í = - 2 - m
Fazendo: detA = 0 á -3 - m = 0 m=- 3 = detA1 0 -2 - m = 0 ín= 2 Diacussão: (sistemapossívêl S P D +mí-3 e del€rmlnâdo) (slstemapo8eÍvel sP l 3 e IndeteÍminado) (sistêmaimpossÍv€l) S l é m=-3 'm 164
I
r
2?exemplo: Determinar k, de modoqueo sistema l kx+2 y - z=0 {x-3 v+z=0 =2 l x+ú
a d mita soluçâo única.
Rêsolução: O sistemaadmitesoluçâoúnica,quandoé possívele determinado, isto ê detA + 0. 2 lk A =1 1 -3 11 0
1l l l =d e tA.o 2 l -6 k 5/0 _ 6 kr 5
t
k ' -+
Resposta: kt
39 gx€mploiDeterminaím, de modoque o sistema
x Y =2 x+mY +z=0 y-z=4 -x+
se iaincompatível.
Resoluçáo: A =l
0l | 1 -1 1 m 1 l =d êtA= 1 -1 1 l -1
0l 1 2 -1 A , =1 0 m 1 l =d e tA' = 1 4 1 -1 1
m
1
2m - 6
1 2 0l 'I 0 1 l =d o tAz= - + -1 4 ,1 1 A 3=l
1 1
| l-1
-1 2l m 0l=detA3 = 6 m+ 6 1 4l
Fazendo: detA =O+-m-1 = 0 detA 1 =0+
2m
detA g=0-
6m + 6 = 0
l%íam= z= *
ffi ffiffi$i
-Ê
lteremos:x= --
(indetêrminado).
R esp o g íajS l 3m=-1.
6=0 m= 3
4 (impossivel). y = t-
õ
(impossível)e
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Classifiquee resol!" os sisremas:
a'. (x * , =i ty = - r i: "
.(N +z r= s "ri * +y =4
.. íx + v = :
7 Determinea e b paraque o sistema
le " + ^ y= tz
t4x + 4y = b sejaindet€Íminâdo. I Qual o valor de p paraque o sisrema
o ) +' z y= I l z*
r , [n, x + py
I
2 Discutaos sistemas: a 1[,n +y=z
[*- Y= z b l fkx+y=1 tx + Y :2
3 (Faap-SP)Discuta o sistema
[zr,-ty =t,1 t x+kY=1-k 4 Determinek para que o sist€maiídicado seja determinado:
[r+y=s {3x
, =+
+ z = 0 admiraumasoluçãolinical
2y=k
tx+ky=5 5 Calculeâ pam que o sistema
l a - r- 2 y +u=t
[ -2\ + ay - 2a = I seja determinado (Sugeçrào: tÍansponeos termosque nào pos. suemìncógnitaspaÉ o 2: membro.) ó Calculeos \,ãloresde a pala que o sistema í3x+2v=l sejacompatrlqeoeleÍÌnrnado Iax - +i, O
9 Determineo valor de k paraqueo sjsÌema
q-r
(u
22 = 2 \4x (2Y-:*=:
seiaindeterminado. t
l0 Determineosvalores ileme k, demodoquese, ja compativele inde(erminado o sistema:
(
m"= - t "+ zy y+z=4
\3x l-b t + 4 y -2 2 = k ll (Fuvest-SP) Paraqüaisvalores dea o sistema {" * y * = t ìinearl2x + 3y +' 42 = a^ admiresolução?
I
t
zz=a'
| 2 Paraquevaloresd€ k o sisrema
I x+y +zz= r
\3x - y + 22= 3 z ( r + kz= é compatívele determinado?
DISCUSSAO DEUM SISTEMA DEEQUACÕES LINEARES HOMOGENEAS . Comojávimos,umsistemalinearhomogêneo é formadoporequaçõês cujostermosindêpendentes sãotodosnulos,istoé: a1jx1 + Afx2 +..,
+ ahxn =0
anxl + Au:X2+ ... + a2nxn = 0
An1\ + ad2x2+ ... + annxn
. Todosislemalineal homogêneoé somprepossível,pois admitea solução(0,O, . . ., O), chamadasoluçãotrlvial. 166
t
queparaumsistemahomogêneo Obsgrve teromossempre detA 1 = 0,de t A 2= 0 , .
,detA. = 0.
Fortanlo,paraadiscussáode um sistemalinearhoíhogêneo é suficienÌeo estudodo de. têrminantedos coêÍicientesdas incógnitas.
! -Í- "*y- r = o Exêmplo: Calcular o valorde m paíaqueo sistemâI x - y + mz = O tenhasomente =o lx + Y -z a soruçâo triviar. Feso/ução. Paraquêosistematenhasomente a soluçâotriviâ|, istoê,sêiadeterminado, é necessárioquêdetA . 0.
1 1 I
ffif ,18ffi
1 -11 1 1
ml =d e tn= 2m- 270 1) 2m- 2- m,1
Ím(R m*1 1
EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM \,',Iü\ /Ì\Iassifique quanroaonúmerode.oluçóe'.o, ' seguintessistemashomogêneos:
=
r*, o a.rí:,, l - à x ' +ã x,=o ( x + y+u =o .
b){x
y-32=0
= lx + 4Y 0
VCalcule o r.alorde a oaraoueo sistema 'Iax+v:0 ^ dâ dilèrentes =-o renhâsoluçõe1 l* - í triüaÌ. t{oet.rrnin.rn It
paraqueo sisrema
l 2x- y+32=0 l x + 4y - 52:0 (3x + my + 22= 0
\fl:alcule / '
o valordea paraqueo sisrema lax + y + 2 = 0 \ 2 * -y + z -a = 0 a,/ 5 - 0 .eraimpo\.í\e.. {.ar-r
do ÁGuvest-SP)SejaM amatrizaloscoeficientes
f' ,, + a *
x,+ 2 \= o
lxr + xr+ 2rr+ xr+ ) x1 +2\2+ + xr+ xr+ (2xr
Àa=0 &=0 &=0
a) Calcule o determinantede M. b) Prcve que o sistemaadmite uma única soÌução.
tenhasoluçõespÍóprias. 167
'!
Vejamosalgunsexemplos:
(nx - s v = 2
19gxemDlo:Resolvero---'sìstema I ;:: + 4Y ;L = 1 0 -tzx
â 29equaçáopor 2 e trccandca de posiçãocom a 1f equaçãopara Reaoluçâo:Dividindo-se fazero coeficientede x iguala 1,vem: I.
) x+zY =5
t4x -3y = -2 x, multiplica-se a 19equaçãopor(-4) e soma-se c$m Paraeliminaía incógnita a 2i equação:
lx + z y= s
-11y = -22
|
Da2?equaçãqvem: 1 1 y= -2 2 -y =2 y = 2 na 29êquaçãqtemos: Substituindo x +4 =5 3 x=1 Observâção: somente os coeÍicientes, istoé,a mâFodomos resolver estesislemautilizando ao sistemada sêgulnleforma: trizcompletaassociada
I't
z
1 4 -3
I'r l0
5l f9
-2-
z
11
sl
221
Da2?equaçáo, vêm: 1 1 y=-2 2 )y=2 Substituindo na 1i equaçáqtemos: x +2 Y =5 -x+4 =5 FesposÍaj S = [(1,2)]
29ex€m9fo:
Íx+2y+42=5 Resolver o sistema l2x - y+22=8 (3 x 3Y- z=7
x é aÍ = 1. Resolução: O coeÍiciente da primeiraincógnitâ . Ìúulliplicando por(- 2)e por(- 3),e somana primeira equaçáqrespectivamente, oblemoso sislemaequivalente: do,respectivamonte, comâ 29e 39equações,
lx + z y + t z = {
-5y-
62 =
5
= -8 [ -w-tsz 169
RESOLUCÃO DEUM SISTEMA LINEARPOR ESCALONAMENTO â)Sistemaescálonado Um sislêmalinearé dito escalonadoquandoeslá dispostonâs seguintesformas:
l x + 3 y=4 ( 0 x + y=1
l x+2 y-z=2 e í0 x.r5 y+z=1 to x +0 y z=7
I
na pÍimêirâequaçãoaparecemtodâsas incógnitas,na 2?desapaÍecea in. Observeq-ue cógnitax, na 39 desaparecêa incógnitay, e assimsucessivamãnte. b) Métododo €scalonamento procêssode resoluçãode um sistemalinearque envolveâ eliminaçãode incógnitas . O è, denominado métododo oscalonemênto Estemétodoprocuíâtransformarosistemadadoemsistemasequivalentes ítêma mes" ma solução),ate chegara um sistemaêscalonado, usandoas sêguintespropriedades: . Trocaras posiçôesde duasequações. . Trocaías incógnitasde posição . Dividiruma das equaçõespor um númeíorealdiÍerentede zêro . Í\4ultiplicar umaêquaçãopor um númerorêalê adicionaroresultadoa outraequaoáo
. Aplicaçãodo método Sejâo sistema 411X1+ ãpx2 + 413x3+ ... t â1nxn= b1 axxl + 422x2 * azsx: + ... +az.xn= b2 :: -f a.3x3 + ... + amnxn= Dm
ParâtransÍormá.lonum sistemaescalonadqdevemosprccedêrda seguinteforma: . Tornaro coeficiênteaÍ igualâ 1. . Tornariguaisa zeroos coeficientesde x1nas êquaçóes abaixoda 1?. Localizadas . Fazer,se houvêrnecessidâde, o coeficiêntede x2na 2a equaçãoiguala 1. . Tornariguâisa zeroos coeficientêsde x2nas êquaçóeslocalizâdasabaixo da 2: ê assim sucessÍvamentê. aÌé obtêrum sistemaequivalentêna formaescalonada. Daúltima.equaçáo, âchâ.seovalordâ incógnitaxn,quêsubstituídona penúltimaequa_ ção permileencontíaíxn 1,e assim por diantecom os valoresde x3,;2 e xj. 168
t
rr . Dividindo-se a 29 equaçãopor -5, vem:
x+2 y+4 2 =5
= " , 9, Z l3z=
-gy-
8
. Multiplicandose por(9) a 29êquâçâo e somando-èe coma3aequaçâq vem: = lx + 2y+ 42 5 ) ,,-6 .-2
i*'
í
iti'. gi:,
11_
^
22
Dâ 3: equaçâqtemos:
Ì:r l
-!z=
L
4
-z=z
Substituindo-se na 29 equação.vem: .. 12 2 ^ Dâ 1i equaçáqlemos: x-4+8=5=x=1 Utilizandoa matrizcompleta,podemossimplificarã resoluçâo
l.
z
4 51
281 12 -1 13 3 -l 7l
Irz4 5l
l 0 -5 [0 -s
6 -13
2l : 8l
-1 3
,8
lrr4 s lo r9Z lc5
l0
I
It
z
4
"
11 c
lor 9?l I
l" I
c
5l
o
ls
cl
22 1 cl
Da 3? equação,vem: Ë z=
-È
-z=2
Substituindona 2i equaçâo,temos:
v+9
=? =v= z
Substituindo na 1?equaçãqobtemos: = 1 x-4 +8 =5 +x Resposta: s = t0,-2, 2Ì 170
_r
( a t bt c= Rêsolveí o sistêma 39sx€mplo: 13a - b + 2c = 14. c= - 3 l 2 a -2 b + Resolução:Utilìzando têmos: a matrìzcomplêta, 1 1 1, l oÉ à l1 2 14l--ì-1 13 Í
L2 -2 1 11 1 l 0 -4 [ 04 1 11 1 4 l0 0 l0
-3 1 +
1 1
12| ,^. -221 \-'t)
t
1 1 0
Da 3i equaçãqtemosl 0a + 0b + 0c = -5 (impossível) Reêposta: S = A)
( x+2v -z = q 4 : e xe m p fo: i Íesotvero srsrema _ y-z = S L3X Resolução:Obsêrvequeo númerode incógnitas(três)é maioído queo númerode equações (duas). Utilizândoa matrizcomplêtâ,têmos:
2 -1 lr 13 -i i 5 l
l't"141 7
l0
4l
4
!-3 ' "-
7l
é: O sistemaequivalente
lx+ \ - z = a 7y+42:
I
7
Noteque o sistemaé indeterminadqporém,fazêndoz = a, obtemosa solução geral: . Da 2l equação
-7y + 4a = -z - v = a^ï 7 ? equâção X+
Fesposta. S =
,Wl-a=+-x=14ía
$.'+'41 171
r r =g íl t-gv* 59ex€mpfo: Resolvor o sistemal3x + y + 42 = -1 [5 x - r y+ 32=2 Rosoluçáo: Ìocandoa 3?colunade posiçâocomâ 1:,temos: z-3 y+4 x=3 4 2 + yl -3 x= 1 3 z-2 y+5 x=2 Utilizando a matíizcompleta, lemos:
3 l ìG
[r -a13r
-l J ---:-
14
Ì
!
2l13 2s 4 3l Ít -s rs r3l ,r) -rs lo l0
7
-7
lr
s
4
-7 1
3l ,.---
1 1 l0 107771 4 l 1 -3 1 -1 l0 [0 0 0
-1 1 i- 7,
+ sistema indererminado
il
Fazêndcse x = À,vem: . Da 2i equação y-I= 1 -1 -y=À . Da 1: equação z 3(À -1)+4ì=3+z= Re sp o sla. S = i0,ì- 1, -\)l
-l
6? gxgmplo:Qualo valorde m parâque o sislemaa seguirtenhâsoluçãoúnica?
fmx+ 3y = tz t4x - y =10 Resolução:Opeíandocom a matrÍzcompleta,lemos:
[m [ 4
o rzl*1
,1
101+
l@ Ir -r3 ro 121 lm l.
l'
[m
- T1
5l
zl
-i
-m
mr fZ
3 12t
5 2 4 -5 m
Da2: equaçáo, vem: l m+1 2 I = 2-------4 5m l-^
tt
Obsêívândo estaequação, verificâmosque o sistemaserápossívele delerminadose
ÃL 1 t
Resposta: m I -12 172
;
-
/ -0,istoé . m
12.
f
\y'
EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM I Resolvaos sistemâs:
ó Discuta os srstemas;
.,[ x + 2 y=t -'t l 3 x+X y=9
a tl a x-2 y =8 Ix+5 y= -9
üí z*-r-q
.- í:x+lv=l D '{:x + zy = 2
(-ax+6y=
-8
a+4 b +3c=l a- 3 b - 2x.=5 2 a +5 b +4c:4
sejaIndetenrunado l
8 CalculeosvaloÍesde k em, de modo que o s$í,.-. . : temalinear | Ï - 'v ' seiaimpossivel. (aY:
5 xr 4 y- 22=O x+ 8y- 22=O 2 .,{+ y- z=O
9 Determinem, de modo que o sistemaa segur se.,adeterminado
3 Resolmo sistema:
3x- y+mz=r Í x+ y+42=0 I -2x +4y z=3 [
z + t=2 í x+ y+ 5 I x- y- 2 2 - 3t= t= -9 \2 x+y- 3 1 '+ z + t= -6 l3 x- y-
lO Ache o llalor de k paÌa qu. o .irt"."
4 Àcheo !ãlor dey Íro sistema:
( *++y-
x+ y+ z=0 y+mz=2 I "z=l tmx+2y+
7 Detemine k, parâ que o sistemâ I4x+Ln:14 Ì|g + 9i:2l
2 Resobaos sistemas:
b)
a) [x+3y=ab)[ (2x+by=4
y xz=O x- 2y -22 =0 2x+ky+ z=0
z =r
l 4 x + 5 y + 2 2 =1 2 2 y + 32 =8 Ix 5 DeteÍmineo conjuntosoluçãodossistemas:
a t í z x + y+ z=5 l - 2 x + y+ z-L
b ) i :** y=3 l 5 x+3 y=1
(2x+5Y+52=17
[x-aY=7
adrnitasoluF€spóprias.
ll Para quevaloresreaisdep e q o seguintesistema não admite soluçãol
( 3x+py+az:o 5 l- x + y+32: {2x-3y+
z:q
EXERCíC|OS DEF|XAçÃO 233 Achem,demodoque( - l, 2, - 3)sejasolu- 4b + mc : 0. çâodâequaçãolinear2a 234Resolmos sistemas:
a \ [ 2 , - y = rsb ) [x +y+2 2 : - r l' x + 3 y=2 5 l 4 x+y+4 2 : - 2 y+2 2 =-4 [2 x 235 Resoll"4utilizandoa regradeCramer:
2 a - 3 b+c=2 3 a + 2Ì=o b-c+d=
-4
23ó Calcule o valor de t no sistema:
Ix + y + z + t: o l2 x -y + t = l ly + z -2 r: o l4 y + 3 2 = 7 237 Resolvao sistema: -s e n a [ * * ru * y . s e n a : t x (-s e n a ) + y . c o s a = c o s a 23E (Fuvest-SP) AcheÍrLdemodoqueo sistema t +.."o":0 naincógnitâ x f "o" mseux: I teúa solução [cosx173
239 nesolvâ asequaçòes:
249 Acheo conjuntosoluçãodo sisrema abaixo, por escalonam€nio.
rì /-ì /rì /r _r/ *,(r ", (y / \5/
,= t íx+ zy+ l3x+ y- 1r z= - 2 l2x+3y - z= l
o,(? tì í,ì=í\ rì r/ \y/ // \r
250 Resolva,por escalonamento, o sistema:
240 Ounesp)Derermineumvatordepquetome incompatíveÌ o seguintesistema:
l2a+3b+4c=s ia+ b+ c=2
( *+ zy-s" -t l2 x (ix
6y+pz=9 ay z=p
[4a-5b+2c=3 251 Resolvao sistema:
241 Calcule o valordea, paraqueo sistema sejacompativel e f,, * y = r = t3x + 3Y a + I d€termjnado.
lt x + y
242 GEI,SP)Derermine a€ b paÍaqueo sisrema f1 a tlr+(â+b)y=a {ta' u':rr+ {a2+ b1y = b admitaumaúniôâsolução. --")
z=
.Ì
z
7x 2z=1 | 5y+32= -1 | 252 Resolvao sistemapor escâlonamento:
f z x + : yy ++2+2z==2e
1" \\+1y+22=7 253 P.esolva, por escalonâmenro, o sistema:
243 Discutao sist€ma:
x+y-z+r=0 x-y+z-t=2 x+y+z-t= x-y z-Ì=
3 z =l o
f r x++yr+ z = ó Íx (4x+y+pz=q
4 4
244 Calcule os ralores de a para que o sist€ma 254 Discura,por escalonamertqo sistema: (_",",=_, -r-a fzr+my=: reìacompaÌivele l*:" 8y = 0 {mx 2y + 42 = 5 determirÌado. lüt255 Determinem, paraqueo sisrema
í**u n r=t 2 4 5o a a oo si ste rn l xa+;4 J+z=a , l 2 x.+2 y+(3 -a \z= b,
í+r+rm-2tr=o i0 i r. ' rx iri
(eÌârmpo'trver'
calculeosvaloresdea e b, paú queestesiste- 25ó Calculemep,deformaqueosistemaseguÌnma seja compativ€le indeterminado. te sejaimpossível. 24ó Calcule o vaÌor de \ para que o sistema
[x+y
v=o
{x + Ày z = 0 {x + ô + l)y + z = 0 âdmita soluções(\ y, z) distintasde (0, 0, 0). 247 Determineos valoresde a pâra que o sistema
f **'"
y= o
2cosa=0 (x+y nasincógnitasx e y tenhasotuçõesdiferenrcs da rriviâ1. 248 Calculeo valor de ). para que a equaçãoma,
/À a s -a\ /x \ /o\ Ìr i ciar 0l l y l =l 0l | -t ^t Illzl I 0 l0l seiaindeterminada. 174
13\+2y=4Íí,+4
(6x
(p+2)y=l
257 Calculemep,deformaqueosistemasegüinte seja ind€terminado.
fo"+ 1- - 1y = l {9x-2y=p+l 258 Ache o valor de a para que o sistema
liir ï
.' i _ l
te n h a m a ;sd euma s o ru ç a o '
lz r+ : y + lz = a 259 Calcule X,demodoqueo sistema a seguirseja impossível. (x + 3 y + 4 2 = t
I |
v+\'=z
2x+22=3
Í