das Teoria prohmhiItdades t
INTRODUCAO os seguintesexperimentos: Considêremos . aquecimentoda águacontidaem uma panela; . ouedalivíede um colpo Conhecidasce{as condiçóes,podemospreveía tempeÍaturâem queaágua êntraráêm ebulicãoê a velocidadecom que o corpoatingiráo solo *rdsuttadospoderÌisêrprevistos.isto é. podemser dêterminedos ô" óão denominadosexperlm€niosdeterminíslicos' antesda"io"ii.*ioièuios süa rêâlizacáo, tambémos experimentos: Considêremos . lancamentodê uma moedae lêiturada fìguÍada facevoltadaparâcima: . lanóâmentode um dâdo comume leiturado númerovoltadoparacima; . nas;imentodê uma criança; . sorteiode umaca a do bâralho podê_ Seêssesexpeíimentostoremrepetidosváriasvêzes,nas mesmascondições,não remosprêvero seu rêsultado nasmesmascondiÇõesapresenquê,ao seremrealizados repetidasvêzês, Exoerimentos r.r..-r"ãurt"aài uàiì"oos,nãosêndopossivel.portântoaprêvisãológicados resuìtadossão denominâdosexpeÍimenlosaleatóÍios. Um expeíimentoaleatódoapresentaas sêguintescaíacierísticasfundamentais: . oodêreoetir-se váriasvezesnas mêsmascondições: . ê conhecidoo conjuntode todos os resulladospos9íveis; . náo se oodepreveíqual o rêsultado aleatóriosestãosulêitosà lei do acaso Os exoerimentos dêocoF descobriías posaibilidades Comonãooodemosprevero resultadqprocuraremos aleatóíio rênciadê cadaexpêrimento de ocorrência À teoriadaoiobabilidadeestudaa formade estabeleceíâs possibilidades de cadaexpeíìmêntoaleatório 21Cì
/
ELEMENTOS . EspaçoamostÍal- éo conjuntodêtodosos resulladospossíveisde um experimento alêatório.Indicaremoso espaçoamostíalpoÍ lJ. . Evontoé qualquersubconjuntodo espaçoamostral. Velamosalgunsêxêmplos. 19êx€mplo: Determinaío espaçoamostralnos seguintesexpêrimentos. a)Joga-seuma moêdâe lê.sea figurada facevoltadaparacima. b)Joga-seum dado comume lê"seo númêrovoltâdoparacima. ,. I c) Jogam-seduâs moedasdiferentes e lêem-seas figurasdasfacêsvoltâdâspara cima. Resoluçâo: a) U = lcara,coroaì b) u = [1,2, 3,4, 5, 6,] c) U = [(cara,caía)(câra,coroa)(coroa,coroa)(coroa,caía)ì 29 exemplo: Sêjâumaurnaconlendo3 bolaspretase 3 bolasvermêlhas. Dessaurnasão retiíadas,sucessivamentê, 3 trolas.Calcularexplicitando os êlementosdos sêguintes êventos. a) As três bolastêm a mêsmacor. b) Duasdâs bolassáo oretas. c) As trés bolassão vermelhas. d) O númerode bolâspretasé igualao númerode bolasvermelhas. Resolução: 12 bola
2? bola
39 oota PPP
t:
P V P WP V WV
VPP VPV
O espaçoamostralserá:
(pvv), u = (ppp),(ppv), (vpp), (vpv), (wp),(vvv)l {pvp), (WV)];b) [(PPV), Bespostas: â) [(PPP), (PVP), (vpp)];c) l{WV)l;d)ó.
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Dêo espaçoamosrmldos segujntesexperimmlos: simuiLâneode a) Iançamenro rrèsmoedâ' Fa= cam, K = corca; ça:C b) lançamento sìmulúneode um dadoe uma mo€dâi c) distÍibuição dos 4 filhos de uma fâmília, quantoao sexo.por ordemde nalcimenro,
2 ConsideÍeo experìme o: lançamentode dois dados,um blarco e outÍo verde,e observaçâo da face superior. Determine: a) o espaçoamostÊI. b) o evento:ocorÍênciade númerosignah nos dois lados. c) o evento:ocorÍênciade númeroscuja soma seja5. 211
ï
TIPOSDEEVENTOS Considereo oxperimenloaleatóíio:lançamentode um dadocomume observação do númerovoltadoDaracima. O espaçoamostralserá:U = [1,2,3,4,5,6]. . Evontocealo:é o píóprioespâçoâmostral. Ex€mplo:eventoA * ocoríênciade um númeromenorque 8 A = [1,2,3,4,5,6]
. ËÌrgnto impossiÌrol: é o subconjunto vaziodo espaçoamostral. Exomplo: êventoB ocoÍônciade umnúmeromaiorquo10 -
,.,
. Evêniounlão:é â íeuniãode doiseventos. Exgnplos:eventoA ocoírênciade um númeroímpar+ E = Í1,3, 5l eventoB -+ oconênciade um númeropâr primo 3 B = Í21 eventoA U B oòorrênciâde um númeroimpaí ou de uà;úmero par prÍmor A u B- = 11,2,3 , 5 l . Ewnto int€Ísocção:é a intersecçãode dois evenlos. Exemplos:eventoA ocoÍrênciadê um númeropar + A = Í2, 4, 6l êventoB - ocorrênciadê um númeromúltiplode 4 + B = Í4ì evento An- B' ocoríência de um númeropaÍemúltiplodê4 : An B = [4] . Evenlosmuluamgnleoxclusivos:sáo aquêlesquê têm conjuntosdisiuntos. Exemplo€:eventoD r ocorrênciade númeropar + D = [2,4, 6] evêntoE J ocorrênciade númeroímpar E = [1,3, 5l . Evenloscomplementares: são dois evênlosA e à tais que: = (o AUA u êvêntouniãoé o próprioespâçoamostrat) AnA = ó (o eventointersecçãoé o coniuntovazio) Exgmpfos:evêntoA + ocorrênciadê númeropat A = í2,4,61 eventoà - ocorrénciade númêroímpar = i1, 3, 5í - A que:A Uà = U = J1,2,3,4, 5,61 Observe A nA = ó
I Em tüna cafia há 5 Dâp€leÍâ! numeÍadasde I a 5. Retiram-sêdüasdelâsao acasoecalcula-se a soma dos númeÍosescritos. Determine os eventos: a) obter uma soma par e múltipla de 3. b) obter uma soma ímpar ou mútipla de 3. c) obter uma soma múltipla de 7.
2 ConsideÍe o latrçammro de dois dados, um ltÍanco e um verúelho. Dados + os e\,€trtos A: sair 5 no dado brarco e B: sair 5 no dado vermelhq caÌcule: A)AUB b )A n B c )A
r
PROBABILIDADE DEUM EVENTO Se,numfônômeno aleatóriqo número dêêlêmêntosdo espaçoamostralé n(Uleonúme. rodeelementosdoeventoAén(A),entâoaprobabilidadedeocoríeroov€ntoAéonumero P(A)tal que: P(A) = Estadefiniçãoóválida,quandooespaçoamostralUíoreqüipÍobabilísiico, istoé,qulndo todos os êlêmentosde U tiverema mesmaorobabilidadê. Nolas: 1? ) P( ó)= 0êP (U)= 1. 23)Como0 < n(A)< n(U),tem-se:o< P(A)< 1. 33)É comumíepresentarmos as probabilidades em porcentagem. Foí êxemplqem vez de dizermosP(A)=
podêmosdizêrP(A)= 5O%. +, Vejamosalgunsexemplos. gxemplo: í9 No lançamenlode um dado,detêrminara probabilidade de se obter: a)o número2; c) um númeromúltiplode 3. b) um númêíopaí; Pesolução:O espaçoamosr.ialé U = 11,2,3,4,5,6j, portanton(U)= 6. a) ocorrênciado número2: A = 12Ì portanton(A) = 1 n/Âì
= = 0J666ou p(A)= 16,66% PíA)=# . ntu) o ^ b)ocorência de númeropar: B = [2,4,6j, portanton(B)= 3
= - IÍ91 = - 3 = 1 = = rrt]r ","' n{Uj a - z - o.souP(B) 500/0 c) ocoÍência de númeromúltiplode 3: porlanton(C)= 2 C = 13,61, p,cr - ilÇI -2 -1 rrur = 0.3333ou p(O = 33.3goa ììÚi Resposlas: â) 16,66% b) 50% c) 33,33% 29ex€mplo:Deum baralhocom 52cartastiíam-sè,sucessivamente, semreposiçãqduascartâs. Dolerminara probabilidade dos evêntos: a) as duas carlassão'tâmas"; b) as duascartassâo dê'buíos': Resoluçáo:a) Cálculodo númerode olemôntosdo ospaçoamostral: 1: possibilidadê29 possibilidade 52 n(U)= 52 51 = 2652 ã1 Cálculodo númerodê elemenlosdo evêntoA: duasdamas. Têmos4 damas;poítantoìAa,2= 4 3 = 12'+ n(A)= 12 n(A) = 12 = 1
nA'= n(u) zesz zzt
213
b)Cálculodo númerode elemenlos do evenloB: duascaítâsde ouíos. Temos13canasde ouÍos,portantoA13,2 = 13. 12= 156 n{B) 156 13 1 n(u) 26F2 221 - 17 ''--.--'--
.
1
-' 22't
..
I
-' 17
EXERCTCIOS DEAPRENDIZAGEM I No Lançamenro de um dado.derermine a probabilidadede seobteÍ: a) o número L b) um número pÍimo. c) um número divisivel por 2. d) um númeromenoÍque 5. e) um número maior que 6. 2 No hnçarnento simultâneode dois dados,irm brancoe um vermelho. determineaprobabilidade dos seguinteseveúos: a) os númercssão iguais; b) a soma dos númerosé igual a 9. pam 3 Vocèfa.zpaíe deum grupode lopessoaq, trêsdasquaisseftiodìíribuidos prêmiosiguais. Calcúe aprobabiÍdadedequeiocê sejaum dos premiados. 4 Jogando-sedois dados,quala probabilidadede queasomado5pontosobridos sejamenorque 5 íVune<p)Um baraihode l2 canasrem4 ases. Retiram.se dua5caías umaapósoutra,Qual a probabiÌidade de quea segundasejaum á. sabendo-seque a pÍimeiÍa é um ás? ó De um baralhodeJ2 cartastim-seao acasouma de que . dascaÌlas.Dererminea probabilidade a) uma damrL tr) uma dama de paus. c) uma carta de ouros. 7 Com os dígitos l, 4, 7, 8 e 9 sâo formados númerosde tlês algaÍismosdistintos.Um deles é escolhidoao acaso.Qual a probabiÌidadede ele seÍ ímpaÌ? E Uma caixacontém 9 biìhetesnumemdosde I a 9. Se3 destesbilhet6 sãotirèdosjuìtos, qual a probabiüdadedeserpaÍ a somadosnúmeros? 214
9 Uma sacolaconrém5 bolasbrancase l0 bolas prctas.Se3 bolas sãotimdas ao acasq qual a probabilìdade de sairemtoda.da mesmacor? | 0 Um grupo deseisamigos(4, & C, D E eF) preLende realizarum passeioem um barcoonde5ó há 3 lueares.É fetto um sorteio para seremescolhidosostrêsaújgosqueocüparãoo barco. Calcule: a) a probabilidade dequeA s€jaescolhido eB não o seja, b) aprobabilidadedeAeBseremescolhidos. ll Considereas 24 peÍmulações,sem repetiçãq que podemosformar com os algarismosl. 2. I e 5. Uma delasé escolhidaao acaso,Determine: a) a pmbabilidade de essenúmero seÌ p:ü. b) a probabiüdade de essenúmeroserimpaÍ. c) a pÍobabilidade de essenúmero ser maior que 3 000. 12 No lançamentodedoisdadosìguais,qual a pÍo, babilidadedea somadospontosser8 eum dos dados apresentaÍ6 pontos? | 3 Oito casaispaÍticipam de uma Íeunião. Escolhendo duâspessoasaleatoÍiamente,determtíe a probabilidade de que: a) sejaÍnmarido e mulher. b) uÌna seja do sexomasculinoea outÉ do femìnino. l4 (Furesr-SP) Umaurnaconrém 3 bolas:uma\€rdg uma azule uma branca.Tira-seuma bola ao acaso.registra-sea cor e coloca-se a bolade roha na urna.Repele-se essaexperiência mais duas vezes.Qual a prcbabilidade de seremregistradâstÌ€s coresdistintas?
Í
PROBABILIDADE DAUNIÁO DEDOISEVENTOS SendoA e B evêntosdo mesmoêspaçoamostralU,têm.seque:
P (A U B )= P( A)+ P( B)- P( AnB) Demonstraçâo: Sejamos coniuntosA, B e U:
t
que:niAU B) = n(4 + n(B) n (An B) Sabêmos dividindo-sepor n(U) vem: n(AUB) _ n(A) n(B) n(AnB)
nili) - ãiÚt -ì(ut
-
n(u)
P(AUB)= P(A)+ P{B) P(AnB) Conclusão: A probabilidade do êventoA ou Bé igualàsomadâsprobabilidadesdos êventos A e B,diminuída da probabilidade do eventoA n B. Observação: SeAnB = d= P(AnB) = P(d)= 0, obtemos
@rrr =rr^iiarr Exemplo: Qualé a probabilidade de se jogaí um dadoe se obtero númeío3 ou um número ímpar? Feso/ú/Çáo; O espaçoamostralé U = 11,2,3, 4, 5, 6l n(U)= 6 í ocoÍência do número3 e A = [3] ... n(A) = 1 Os evêntossão: I I ocorrência de númeroímpar B = Í1,3, 5l ... n(B)= 3 -
.;''1.1 , ,, .l-.;.-'rl.'..li.'.-i
A n B = Í s l . . n ( A n B=) 1
: ,<l-.-''\
-
/3ì'
a {y':
É .,
"/
P{AUB)= P(A)+ P(B)- P(AnB)
.ffiP P(AUB)=i(U141-.ill P (AU B)= + -* = f = ]o u e rru B) = 50% -+
. Ouìrométodo O êventoocorrênciade número3 ou númeroímparé: A = 11,3,51 n(A )= 3 Logo,
P(A)= j&
=
Besposta:50Yo 215
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM | (i È,r-sr) Jogarìoo-se oor3dados,quata probâbilidade dequea somadospontosobtidos sejâ 4ou5? 2 Umaurnaconrém 8 botasveÍmelha5 setebÍâncasecinco azús, Châmândo V, B e A, respecüvamenle,aos acontecimentos'sair bola veÌmeÌha","brèncs" e "azÌrl" na retiradade uma bola, câìcule: a) P(v), P(B) e P(A). b) P(v u B), P(A U B) e P(A U v). 3 Rerirando-teuma caÌta de um baralho de 52 cartas,qual a prcbabilidade de ocorÍer um rcr ou uma carta de espadas? 4 Uma uma conléml0 bolasnumeradas de I a 30.ReÌirando-se umabolaaoaca;o.quala probabilidade de que seunúmerc sejâ:
a)par? b) impaÍ?
c) pare menorque15? d) múltiplode4 ou 5?
5 Uma uma contémzl0caíòes,numerados de I a 40,Serelirarmosao acâsoum canâodessaurna"quala probabilidade de o númeroescÍito nocaí?ioserum mütiplo de4ou múdplode3?
ó Numaescolafuncionâmdoiscursot um dedeseúo publicitáÌio eoutÌo de deseúo aÌtístico, perfazendoum total de 90 \agas. No final da úscrìçâq haviaó0 alunosinscri@spam des€úo pubücilirio e50paradesenhoaÍrisricq sendo que algünsoptaÍam pelos 2 curcos. Delermjng escolheDdo ao acasoI aluno do curso, qual â probabiüdadede ele ser: ; a) alunode desenhopublicitário. b) aluno de desenhoardstico c) aluno somentede desenhopübliciúrio d) aÌuno de desenlìo aÌtístico ou desenho publicitíio. e) aluno de desmbo aÍLi$ico e desenho publicit/írio. 7 Um número inteiro é escolhidoao acasodenlre osnúmeros(1,2. J, . . .. 60).Calcülea probabilidade de: a) o número ser múltiplo de 4. b) o númeÍo ser primo c) o númeÍo seÍ diüsível por 2 ou por 5. 8 Escolheodoao acasoumadasletmsda palavra PROBABILIDADE, responda: a) Qual a Fobabilidâde deter €scolhidoum B? b) Qual a probabilidadede |f,Í €scollÌjdoum A ou um D?
PROBABILIDADE DO EVENÏOCOMPLEMENTAR SêjâmA e A dois eventosde um espaçoamostralLJ;sendoà o evontocomplementaÍ de A, temos:
Demonstração: Sejamos conjuntos:
A +Ã =U
3
n (A )+ n (A )= n (U)
n(A
n(A)
nru)
ãiut - ï(üt =ã(ut P(A) + P(A) = 1 216
r
Exgmplo: Consideremos um conjuntodê10Írutas,das quais3 eslãoestíagadas.Escolhen2 frutasdêssêconjunto,determinaía píobabilidade de quê: do-sealeatoriamente a) ambasnâo estêlamêstragadas. b) pelomenosuma estejaestragada. Resolução:al . Cálculodo númerode maneiEspelasquaisduâsÍrutaspodem serescolhidas. I tn l
n(U)= lãÌ = ,"=- =ffi
= 45maneiras
. Cálculodo númerodêmanêiras pelasquaisduasfrutaspodem serescolhidas. .
= ' ; ? ;,u t = 2 r m a n e ir a s
= =4 "(A {1Ì n(A )
r
t
21 = 7 =75 =it
b) Ã é o evento:pelomênosuma fruta está estragada. P (A )t P (A )=1=15 P (a)=1
Fésposlas.'^,7 ot 15
É
+P(A )= 1
-P (A )=Ë
-, 15
DEAPRENDIZAGEM EXERCíCIOS o de doisdadol. DeteÍ I Considereolançament a) a probabilidade de se obter um total de 7 b) a probabilidadede nâo seobter um totaÌ de ? pontos, . 2 SejaA o evento:rerimdade umacaÍlade paus delm bamlho de 52 cartas.Calcule P(A) e P(A). A e B de uma 3 consideredoisaconte(imenÌos mesma experiência aleatória. Sabendo que P{A) = +.
PlBr =
calcule:
â) P(An B) b ) P(A)
-
ePíAUB) =
-
4 Considercolançamenrode um dadoequiljbÍa do. Calculea probabilidadede: a) sair um mütiplo de 3. b) não sairmúltiplo de 3. 5 De um lolede 14peças.da5quaic5 .âo deleiDeLermj tuosas,escolhemos 2, aleaÌoriamenre queambas5ejamdefeia.) a probabilidadede deb) aprcbabiLidadedequeambas nàosqjaJn lèituosas. c) a prcbabilidadede queumasejadefeituosa ó Uma urna conrémI bolasbranca'e 4 prelá". Tiramos,sucessiÌâmente, 2 bolas.Determineâ pÍobabìÌidade de: a) as bolas tercm a mesmacor. b) as bolas tercm coresdiferentes.
217
EXPERIMENToS NÃo EQÜ IPRovÁvr|s Considerôa roletaindicadana figura.
t
_ Observ€queo espaçoamoslrâté U = 11,2,3l e queos eventosetementarês i.1l, I2l e [3Ì não são eqüiprovávois, isto ê não têm â mesmachancede ocorrênciâ.oois: . a áreado número1 correspondeà quartapartedo círculo: . a árêado número2 correspondêà quartapartêdo círculo: . a áreado número3 correspondeà metadedo cí1culo Do exposto.temos:
e61= f, e14= f, e1s1 = " p(2)
lstoé: P(3)= 2 P\11= 2
Fortanlqessêêxperimentoé ditonãoeqülprovável, poisos evêntoselemêntares do êspaço amostralnão apresêntama mesmaprobabilidadê de ocorrência. ExoÍÌrplo:Numamoêdaviciada, a probâbilidadedeocoÍrercara numlânçamentoé iguataqua. tro vêzesa probabilidadedê ocorrercoroa.Calculâraprobabiiidade deoãorrercara num lânçamêntodessamoêda. Re6olução: Sejam os êventos: A: ocoÍêr'bara' B: ocorrer'boroa' com P(A) = 4P(B) Comoos eventossão exclusivos. temos: P(A)+ P(B)=.1i4P(B) + P(B)= 1 5P(B)= 1
prer= J
ou P(B)= 20%
Substituindo-sê vem: P(A)+P(B)=13P(A)
P(A)
Besposta:úVo 218
1
4 ou P(A) = 80%
Í
r\ EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM 3 l,ança-seum dado viciado,de forma que cada quecadanúnúmeropaÌ \aì o triplo de veTes
I Observea roietada figura.
â) Quaìaprobabilidâde deocorrerum núme. Ío impaÍ? E um númeÍo pâr? b) Qual a probabilidadede se obteÍ número c) Qual a probabilidadedequesaiaum núÌÌfro I múltiplo de 2 ou de 3? -:
de \ajr o númerol? a) Quala probâbitìdade b) Quat a probabilidade de saiÍ o número 7? c) Qual a probâbilidadedeseobterum número paÌÌ E um número ímpar? 2 Trêscarros,A, BeC, paflicipamde umâcorrinÌâisprobabilidadesdegada-A remduasveze5 nhaÍqueI e B remÌrès!eze.ríÌaìsprobabitidadesde ganharqueC. Derermineas probabiìi dadesde vitória de cadâ cârro.
MULTIPLI
4 TÌêscorredoÍ€s,A, B e C, participam de uma competiçãoA€ Btêm amesmaprobabilidade de rencerecadaum remquarro\e/e5maisprobabilidades de!encerdo queC. CalculePíAì. P(B) e P(c).
DEPROBABILIDADES
Emanálisecombinatória,vimoso princípÌoÍundamêntalda contagem;em probabilidade,há uma rêgraanáloga,denominâdaregrado produto. Enunciado: detal é compostoporvárioseventossucessivosê indepêndêntes, Se um acontecimento modoquê: é pj, o píimêiroeventoé A e a sua probabilidade probabilidade B e a suâ é p2, o segundoêventoé o terceiroeventoé C e a sua píobabilidadoé p3.
Ke asua probabilidadê é pk, o k-ésimoevenÌoé entãoa probabilidade de que os êventosA, B, C, ...,K ocoríamnessaoídemé:
219
vVejamosâlgunsexemplos. de que apareçacoroa 19exemplo:ljma moedaé lançada4 vezesQualâ probâbilidade nâs quatrovezes? R6olução: U = lcarâ,coroaj 11
19lançamênto-pr=-29 lançamento
p, =
-
49 lançamento
]
p 2p3 P ortanto:p=pi Flesposta:
3 9 la n ç a mê n t o-p 3 = á
"=+
-
pa =
]
+ + +=+
Í
E
duascartasao acasq sem reposição,dê um baralhode 52 caí29 €xemplo:Retirando-se dê ser a primêirade pause a segundade copas? tas,qual â probabilidade p,=
Resoluçào:cartadepaus
11
= -;1
;;
cartade copas ' P, = 5ï 13
P-P 1 Pz -4 5 1 -2 0 4
Besposta:
ìõt
duascaixas,I e ll. Na caixaI há 4 bolaspretasê 6 bolasazuis'e 39 exemDlo: _ Considerem-se na caixall há I bolaspretâsê 2 bolasazuis Escolhê-sêao acaso uma caixa€, de que estâ bola seja: em seguida,delase tìrâ uma bolâ.Ouala probabilidade bl azull a) preta? de escolnaParacadacaixa - } Resolução:P{obabilidade
_
1
Èsquema: i
z r-=--
4/10
prêta(4)
6/10-
a 2 u l( 6 )
'i -;
i, = # n-
=ão
0,",u,u, - à ío- = ao ì--.._,," --_919,-'---tìO-.--.-..---azur(2)
z
.+ + =:,
a) â bola escolhidaé Preta: 1aa = = fr=t tô È
b) a bola escolhidaé azul: A' R'
ã+fr=T=Ê a1f " Fespostas; 220
b)+
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I Retirando-seduascartasao aaaso.com reposipão.de um baralhocom 52caia$ quala probabilidade de sera pÍimeira de ouros e a segunda de espadas? 2 Num recipienleadequadoesLàocolocadas7 bo las.sendo3 pÍelâse4 bÍancas. RetiraidodoÍe cipientea.leatoria$enteuma bola e Íepondo-a no m€smq apósanotadaa suacor, erepetindo essaopemçàomajsduasve7es.calculea probabilidade de qu€ as tÍês bolas retimdar sejam bmncas. 3 Umamoedaélançada 5 vezes. Quala probabilidade de que apaaeçacam nas cinco vezes? 4 Qualé a probabilidadede umcasalter 4 filhos e todos do s€xofeminino? 5 Relirando-selíes caÍrasao acaso.com reposiçào,de um bâÍalho com 52 €âías, qual a pÍobabilidadede serâ primeira depaus,a segrmda de ouros e a teÌceiÍa de espadas? ó Tim-seao acasoumacarrade um baralho.Qual a probabilidadede a carta serüm Íei de copast
7 No Ìançamentodeum dado eumamoeda,qual a probabilidade de obtermos cam e núLÌnero maior que 3? 8 Sabe-sequq nurn grupo de 30 p€ssoasquetrabalham numa fazerÌdade criação de gado, 12 sãoaÌfabetizadas.Seum pesqúsadorescolher J delasao acaso.uma apósa outÍâ, qual a píobabilidadq I a) de todas seremalfabetizadas? b) de todas seremanalfabetas? 9 Considereduas sacolas, Ae B. NasacolaA, !emos 5 bolas bÍaÌìcase 15verdes,e na sacolaB temos? bolasbrancase 13verdes,Seescolhermos, ao acaso,uma sacolae, em seguida,retiÉÍmos umabol4 qual a pÍobabilidadede que estaboÌa seja: a) branca? b) verde? | 0 L m grupode l0 pessoaÁ apregmlaa composição: m itâlianos e 10portugueses; 15homense 15mulhercs; 5 casadose 25 solteims. Detemine a probabiüdadede queuma pessoa escolhidaao acâsoseja uÍn homeÌn casadoe português.
PROMBILIDADE CONDICIONAL SejamA e B dois eventosdo um espaçoamostralLJ,com P(B)I 0. probabilidadedeAcondicionadaa B a probabilidade Denomina-se deocoÍênciado evento A, sabendosequ€ vai ocorrerou já ocorreuo eventoB. A Drobabilidade condicionalé dêÍinidaDor:
o Mâs
= i(mql eP(B) = n(B) P(AnB) "iút
Substituindo ernO temos:
= n(q-EâlEI P(A/B) de B e, nossecasq tom-s€: sê P(A/B)= P(A),o eventoA é dito Indop€ndgnte
P(ô= r$ÊEt * 221
Í
Ex€mplo: Numâclassêcom 60 alunos,40estudamsó Matemática,10êstudamsó Fisicae SestudamMatemáticaeFísica.Deteíminaraoíobâbilidadede umalunooueestuda l\4atemálíca estudartâmbémFÍsica. Resolução:
n( N4nD= 5 n(l\4)= 45 P(F/M)= il!:J{I
5
= 75í 1 = g
Besposta: 1
t
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM Atâbelaaseguirmostra a distribüçâo de I 000 estudantesde uma universidâde classificados segundoa áreade concentação de seuscurrículos e o ano em qu€ estãomatricì. ados.
Consideretambém os eventos: X: o estudanteesú no 1! ou 29 ano. Y o estudanteestáno 39 ou 49 arÌo. Selecionandoum estudanteao acasoeÍÌtre os I 000 consideHdos,calcule: a) P(E),P(B) e P(H). b) P(29ano e E), P(49ano e B). c) P(x e B), P(Y e E). d) P(E ou B), P(B ou H). e) P(E/49 ano) e P(39 anolB).
queocoffeu 2 Jogando-seum dado € sabendo-se um núLrnero maiorque4,qual aprobabiiidade de ser um número par?
3 ípUCC-Spl Lança-se um paÍ dedadosnâoviciados.Sea soma,nos dois dados.é 8. calcìrl€ aprobabilidadedeocorrera face5eÌnum deles.
DISTRIBUICAO BINOMIAL õela umaexperiência Seja expeíénclarêalizada rêa zaoacom n têntativasindependentes e com dois resultados possíveisem cadatêntativa:sucêssoou ííacasso(íalha). SejapaprobabilidaqêdeocoírênciadoêvêntoE(sucêsso)eq=1-paprobabitidade de ocorrênciado evenloE ífracassoì. A probabilidade dê obtermosr vêzêso resulladodesejâdoé dada por: . p n -' (l )n '= Essaêxprêssão é conhecidacomolei binomialdasprobabilidado$. Só podeseraplicada a êxpêriências aieâtóriâscom as sêguintescaracterísticas: '1:) A expeíiênciâé repetidâum númeÍon de vezês,nas mesmascondiÇões. 2:) Após cadaêxpêíiênciaocoÍrêevêntoE (sucesso)ou evêntoE (fracásso). 3:) p é constantêem todasas n êrpeíiênciâs. 4i) As experiências são independenles uma da outra. 222
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VejamosalgunsexemPlos. de ocorÍerum 3 ou um 4 19exemplo:Um dado é lançado6 vezesCalcular a protìabilidade duasvezes. possivêisl 1,2'3,4,5 um dadopodêmosobter6resultados Rêsolução:Quandolançamos ou 6. de ocoríerum 3 ou um 4 em cada lançâmentoé A probabilidade
o=-? = ) de nãoocoírerum 3 ou um 4 é q = 1 A probabilidade
5
=
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Onúmerg
desucessosér= 2, logo:
e = ( i ) o a ' = "=(? )(tf (ã [ D' Resposta:
q -- 1,qrol" ---',-- ' 243 ^,,D
P = 32,92o
de vitóriaquandojoga Na reali29 ex€mplo:Um iogadorde xadreztem + de probâbilidade de esseiogadoívencer: zação de cinco partidas,dlterminara probabilidade a) duas Partidâs; b) mais que a metadedas Partidas Resolução: a )
f n =5 | ^_ 2 Da d o s:l n -5
1 o =,-o =i- +=+ I\t=z
e=(l)o'c"'
-P= e=ffouP=34,56%
(r)(É)' /e\'
4 ou 5 partidas'logo: b) O jogadoívencêmaisda mêtadedâspartidassêvêncêr,3, i Pp"no"rs1 P61.1= P16nc",:1+ P1u"n"",+1
íe\o . (3) . (;)(Ê)' (3)' o* =(:)(3)'(3)' (S) \51
P ."=10 + * *u ;F + +1.
e " o,= i k ,i # * & Respostas:a)34,56oh
-
32
3125
+ËouP=s1,7a%
bJ31,74% 223
-,
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I Uma moedaélançada4 vezes.DeteÍminea pÍo. babiÌidade de ocorrerem: a) duas coÍoas,
b) trêscaras.
2 Um dadoé lançado5 vezes. Calcuìea pÍobabi lidade de ocorrer: a) o número I duasv€zes. b) o número 3 quatro vezes. c) o número 4 ou o número 5 cinco vezes. 3 A pÍobabilida.lede seescolherumapeçadefeituosaem uma rojae de
. ( arcurea proba
; peças,Idelas bilidade deque ao seescolheí4 sejamdefeituosas.
4 Uma prorado ripomúripla escolha contéml0 testes,com 5 altemativas cada um. Somente ma aÌemaÍ ivaé corÍeta paracaú teÍe Qual a probabilidade deumalunq'thutandd osd€z testes,acertar metadedas rcspostâs? 5 O casalDeolindo e Etvira queÍ ter 6 filhos. De rermineâ probabilidade de esses lìlbg serem: â) 4 homense duas mulheÍesr b) 6 homens. Ó Calculea probabilidadede que uma familia com 4 filhos Lenhano máximo3 homms,supondoque a píobabiüdade de que nasçaurÍ. .l
nomemè
. --
332 Considereo lançamentode um dado perfei, to. Calcule a probâbilidade de seobteÍ: â) ìim número impa.r. b) um númem primo impar. 333 Mauá'SP) I-ançam-sedois dadoscom faces numeÍadasde I a 6. CalcuÌea probabilidade de que a soma obtìda seja 10. 334 (Mauá-SPtrançandosimulLaneamenre doìs dados,cujâs facessão Íumeradas de I a 6, qual a probabilidade de: a) seremobtidos númercscujo produto seja ímpar? b) seremobtidos númeÍoscujo produto seja paf? 335 €uvest-SP) Sorteian-sedois númerosnaturaisao âcasqentre101e I 000,inclusive,com reposição Calculea probabilidade de que o algarismo das unidadesdo produto dos númerossoÍteadosnão seja zero, 33ó Numjogo de "sueca'',as40 cartasde um baÍalho (10Eecada naipe) são distribuidas, l0 pam cada um dos quatÍo jógadorcs. a) Qual a probabilidadede um jogadoÍ rec€beÍ dez cartasalecopas? b) Qual a probabilidadede um jogadoÍ Í€ceber seiscartasde copase quatro de paus? 337 (Mauá-SP)Uma uÍna contémzÍObolasbrancas,25 bolâs prctase 15vermelhas,todas de mesmoformatoeindistinguir€ispelotato Retimndo uma boÌa âo acaso,deúerminea probâbilidadedequeelasejapretaou vermelha. 224
338 Numa caixaestao8 peçascom pequenosdefeitos, 12com graüdesdefeitose 15perfeitas. Uma peçaé ÍetiÌada ao acaso Qual a probabilidade dequeestasejaperfeitaou tenhapequenosdefeitos? 339 I-ança-seuma moedat€s vezesconsêcutivaj e anotam-seordenadsmente osrcsútadosobtidos. Responda: a) Qual a probabilidadedeseobtertÌ€scaras? b) QuaI a probabilidade de seobteÍ tÍês câÍas ou três coroas? c) Qual a probabilidade de seobteÍ uma só caÍa? d) QualaprobabilidadedeseobteÌ nomáximo duas coroas? 3/O RetiÍamos4 boÌasde uma caira contendo 3 boÌas amarelas,4 bolas vermeÌhase 5 bolas príâs. Determine: a) a prcbabilidade de que pelo menosuma das 4 bolas ÍetiÍadas seja amaÌela. b) a probabilidadedequeúerüurÌradâs4 tìolas rctimdas seja amarela. 341 Na retiradadeuma cartadeum baralhode52 cartas,consideÍeos acontecimentos: A: sair uma cartâ de orÌros; B: sair uma figuÍa.
Calcule: a).P(A U B) b) P(A n B)
c) P(A U B)
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Num determinadoaro, l0oopacientessofren- 347 Na gavetade um aÍmário há 2 chavestipo A do de câncerfomm intemadosnum hospiÌal. e uma de tipo B. Noutra gavetahá um cAdea O tipo decâncerea idadedecadapacientesão do queéabertopelaschâvesdo tipo A eã que indicados na tab€la acima. sãoabertaspelaschavesdo tipo B. Uma pes, soaescolhe,ao acasq uma chaveda primera Escolhendoaleatodamenteüm pacienledengavetaeum cadeadoda segundagaveta.Qual trc essesmiÌ, responda. a probabilidade deo cadeâdoserabertopela chaveescolhida? a) Qual a probabiÌidadede eleter cânceÍósseo? b) Qual a probabiìidade de ele ter câncer estomacale pertencerà faixa eííria mtÍe 348 (Vunesp)Tem-seum Iot€ d€ 6 peçasdefeituosas.Quer-seacrescenaâr a esseloÌeb peçasper10e 30 anos? feìtas,demodo quq retjrândo,ao acasoesem c) Qual a probabilidade de eleter cânceÍes reposição,duaspeçasdo novo lore, a proba tomacal ou pulmonar? bilidadedeseremambasdefeituosas sejame d) Qual â probabilidadede eleter câncerósnoÍ que 10q0.Calcül€o menor \ãlor possíiel seooü estorÌracalepertenceÍà faixa etfuia de b. entÍe 30 e 50 ânos?
343 o dadoindicadona figüra teminscritosrÌasfacesos númeÍosdela6.
349 Ao daremum sinal,David e Ramosdev€m€screverüma vogal ao acaso Ache a probabilidadede que: a) a vogalescritapor ambossejai.. b) escrevamos dois a mesmavogal,
Sabêseque,num laìçamento,a probâbilidade de fi caÍ \olLadapaÌa cjma uÍna das fac€se diÊtamenteproporcionalao númeronelainscrito Calculeâ pmbabilidadede: a) saiÍ o número4. b) saiÍ um múltiplo de 3.
350 A probabilidade de um atìrador acerrarum allo e
probabilidâdequeete . Lem ;- Quaìa de,em 7 tiÍos, ac€rtar3?
351 sâbese que irnr! róc,ricn cirLirsìca é bcm sucôdidâ cm 958 doscasos. a) Sea opcração Íorrealizadal0vezesinrÌependentemenie, quâlé â pÍobâbitidade de que 8 scjanì bem sucedidâs? pÌetaq 345 Uma uma contem5 bolas 2 bolasazu$ b) Sea operação lbr.ealizada t00vezesrn. e 6 bolas bnncas. Qual é a pÍobabilidade de dependenreìnenre. qurl é r píìbrbitidade retirarmosuma pretaq semÍeposiçãodesta, dequepeloìnenos 95 seirìÌn bemsrcediuma azul? 344 No lançamantode uma mo€da e um dado, qual a probabilidaded€ obtermoscorca eum número menor que 3?
34ó euc-sP) ciÍa-se o ponreiro (v€ja a figura) e anola-seonúmeroqueeleapontaao pamr. Repete-sea operação.Qual a probabilidade 352 Ounçsp-SP)Numa certacomunidade52q0 dos habitântessâo mulh€rcse, destas,?,4q0 de quea somadosdois Ìrúmerosobtidos sejâ sãocanhotaj. Dos homeÍÌs,2,5qo sâocânho5? tos. CaÌculâr as pÍobabilidades segì.rintes: a) a d€queum indiüduo dessacomunidade, seÌecionadoao acasq seja canìoto. b) ade queum Íecém-nascido nessacomunidade do sexomascul;no. sejacanhoro.
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