GEOMETRIA
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o I.JJ CI TUCLIDES
DE ÁLEXAI\IDRIA
Das poucas inlormaçõesque lemos sobreessema lemáticoqrepo.ouc vr_ veu en lre osseculosTTIe IV a.C.. sâbe-sFque fol con,v,ldâ.ìo â ensiÌiar"noáuseu escola.criada por Plolomeu.em Alexandria.pâssandoãi grânde paíe da sua vtdâMuttâs das obras de Euclides foram perdidas. mas amais lmportante, Os EJgTettos. dae de 3oo a.C. Compõe-seìe um conjunto de 13 lilvros (ãu ca_ PrIulost,,onoeUucttdeslaz uma exposiçãoriAorosae ordcnada dos âssunlos bâsicosdâ Malemátjca elementar.Inclujndo Arit mética, Geometriae ÁlÉebrâ. Os EÌ,emenúoséconsiderada â mais antjga obra da Matemátic" e uri. d". mâl,slmportantes. Suâ conlribuição lot tdo gúnde. que a malor parte dâs pro_ posrçoesnela contjdâs e lratâda na cscola âtual. priní-ipalmenleno ca rpu da ceometria. conhecida hoJecomo ceometrta Eucìtdlanàj ;;À;;ãue"seu criador. "
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INTRODUCAO Sabe-sequeos babilônios,povoquehabitavaa Mesopotâmia, dêixarâmdocumenlosque geométricos, quasesempreligadosàAstrologia, mostramconhecimenlos desde2 000anosaC. A palavraGeometriasignìfica,em grego,medira terra.Os agrimensores egípcios(1300 anosa.c.)recoÍiam à Gêomêtíiaparadeterminara áreadeseuscamoose oaradelirnitarsuas terrasquandoas cheiasanuaisdo Nilocobriamou apagavam os maicosanteriores. queos egípciosdominavam A construção de pirâmides demonstra a Geometria. Porvoltadê 600âC.,Íilósofose matemáticosgregos,entreos quaispodemosinc u r Tageométricosda época. les dê MileÌoe Pitágoras,passârama sistematizaros conhêcimentos E vozcorrenteque a Geometria,antesdos grêgos,êra puramenteexperimentâ1, ou seja,não queregiamos conhecimenÌos geomé' haviâqualquercuidadocom matemáticos os princípios tricos.Foram,então,os gregosos primeirosa introduziroíaciocíniodeduììvo.Foi,poíém,com o matemáticogregoEuclidesque estaciênciarêâlmêntêse desenvolveu, fâzendodâ cidade porvoltade300anos egípciâdeAlexandíiâ, ondêv:viaEuclidês, o centromundialdaGeometria, que outíospovosantigoshaviamadquiíidodêtorma Sistematizando os conhecimentos desordenadaatravés dotempq Euclidesdeu-lhêsoídemlógica,êstudandoâ fundoâs propÍiêdadesdas figurasgeométricas,as árease os volumes. parliadecer' ParaEuclides, aGeomelriaera umaciênciadedutiva óujodesenvolvimento tas hipótesesbásicas:os axiomasou postulados.O grandetíâbalhode Euclidesfoi reunirem 13volumes,sob o título "Elementos",tudo o que se sabiasobíêa Geometriaem seu tempo. A GeometÍiaé constantemente aplicadana vida prática:nos píojetosde edificios,pon. tes,estradas,carrose aviões;na navegaçáoaéreae marítima;nabâlística;no cálculodovolu. me de areia,cimentoe água;nos moldesde costuraelc.
NOCOESPRIMITIVAS Dosestudosrealizadosno 19grau,sabêmosqueo ponto,a relae o planosâo noçõespri' mitivasda Geomet a Plana,êm que o universode trabalhoé o plano.
Suasrepresentações são:
(pontoA)
(retar)
(planoa) 231
queseráo gspaço,e desenvolverêmos Agora,ampliaremos o nossouniversodetrabalho, o estudbda Goomêt.iaEsoacial. Forisso definimos:
POSTULADOS que em geral,consideramos certasproposições Nosestudosdedutivosda Matemática, equê sãochamasãoacêitassemdemonstraçáqinspiíadasna experiênciaenaobservação, das Doslulados. Veiamosâlgunsdessespostulados. . Posluladosda reta
. Poslulâdosdo plano
232
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.B )
oíigemdos sêmiplanos. A retar pedencea ambose chama_se Os semiplanosa1ê a2são diÌos oposlos
O planoo é consideradoa odgemdos dois sêml_êspaÇos. o plano necessarÌamente à outÍainteÍcepta Umaretaouepassade umadessasregiôes
DEAPRENDIZAGEM EXERCÍCIOS Responclâ. â) Quantosponlosexistemnumareta?E fora dela? b) DadoumpontoP,quantasretâse\istemque o contêm? c) DâdosdoispontosA e B dislintos,quantas pontosl poÍ esses retassãodeterminadas d) QuantospontosexistemnumpÌaÌro?E iora dele? e) SejaumareÌat quepossuidoispontosdjs ljntosnumplanoa. Podesedizerquea re_ coniidano planoa? ta r estáinteirâmente
2 Responda. a) Qüantasretasestãocontidasnüm plano? b)- Uma retaÌ de um plaúo ít divide_oem cluas regiões? essas Ìegiões.Comosãochamadas c)Oqüeéespaço? d) \o e.paçoe\i'enr qrJr',4.relâ'Ì I q.rar' ios planos? e) Um plarÌoa divideo espaçoE em dois se_ mi-eipaço'.t e F) t ma Íelaoucna"a de o pldnece\\ârìamenle f paraF) inlercepìa
233
DETERMIN
DO PLANO
Um planoÍicadêterminâdo dê quatromaneiras distjntas: Trêspontosnáo alinhadosdetêrminamum plano(postuladoP3do plano). Í
umaretâe umpontoÍoradêladeterminam umúnicoolano.
pranos quecontêm areta,determinada pê' ,""o#,1?T!B?Èï,il::""ii"'IájïtJ::"s"dê quêcontémo pontoB exteriorà relar,é o
pranoo porqueA, B e p sãotrêspontosn?unico retasconcofiêntesdeterminâm
Sejamduas retasconcorrêntesno pontop um pontoA sobrêa relaí distintodo ponloB sabemosquea retas e o pon. ,to A. . Consjdêrando exteriora s. determinam um planoo. Essepranod conrériìa retar por estaremneresituadosos poritosp ê A dâ mesmareta. 2U
\
DuasretasDaralelasdeteÍminamum olano.
s e r. Seiamas retasoâralêlas ponto A e Bdistintos o plano ems,determinamos um Pemre doispontos Considerando d poíquee A e B sãotrêspontosnãoâlinhados.
DEAPRENDIZAGEM EXERCÍCIOS a) Quantosplanoípassampor uma retâ? b) Como podemosdeterminafum plano? c) Quandotrêspontosdislintosdeterminam um plano? d€rìmtrìân d) Tiêspontos,quesãoosvértices gulo,determinaÍnum únicoplanoÌ pcìcs e) Quantossàoos planosdeterminados pontosA, B, C e D da figuË seguinlc?
3 Responda: pelas a) Quantossãoos planosdeterminados retasa eb da figuraseguinte?
semb) PorqueâsmesasdetrêspernasassenÌam preperlèìtâmede? 2 Justìfiqueas afirmações: deÍinem a) lrè.ponlo'de umacircunfercrcia Ìrm plano. b) O cenrroe oi e\tr(mo.de um diame o de n;o deÍinemurÍ nìano umacircunlerènciâ delidc uma.rrcrnÍcrè1ciâ c) Doisdiámerro' nemum plaDo,
4 O' ponro'A, BeC 'àonàocolineare. e nenhur.. delesperlenceà rctr r. aì Qualo númeromii\imode pìano.queN demserdefinidospelostrêspontosea retar? quep! b) Qualonumero mrnìmo? Neneca.o. .'çõe.relariva. ocupama retac o\ tré\poÍ
235
7
POS|çOES RELATIVAS DEDUASREIASNO ESPACO Sêjaa seguintefigura,queíepresenta umbtocoretangular:
l
Nele,podemosobservarque: . As retasa (EF)e b (EH)estáocontidasnum mesmoplano . As retasa (Ej) e c (,LB)eslão contidasnum mesmoptano. . As retasb (EH)e c (AB)estãocontidasêm planosdiferenÌes. Daías definiçóês: . RelascoplanaÌes Sãoduas íetascontidasnum mesmoplano Exe m p los:aeb;aec. . Rglagreversas Sâo duas relasnáo contidasnum mesmoplanoe que náo têm pontocomum_ Exemplo:b e c. No caso de duas rêtasseremcoplanaíeqêlas podemser:
con@ÍÍenlês (un pontocomum)
paralelas (nenhumpontocomum)
ObsêNaçõês: 1?)Quandoduasretasconcorentes formâm entresiumângulode90o, perpendiculaaes. sãochamadas
236
coincidentes (lodosos ponloscomuns)
Í
2i) Sejamr e s duas reÌasreversas. sobrea retar,poíeiemplq Consideremos a retasl parâlêìa umpontoPe poreletracemos a Íelas, pelâsretasconcorrentês Oânqulotormâdo pelasíêânguloformado re s ê poúeÍiniçâo.o tasreversasres, íormamumângulode 901 sáo chamadasoÍlogonals. Quandoduasrêtasreversas Vemos,entãq quê lantoas retaspêrpenolcu' larescomoasrêtasortogo' naisÍormamângulosde 90o;a distinçãoentrêêlas estánofatodequeasÍetas p€apendiculares sãocoPla' nao. narese asonogonals,
f
re s são peípendiculaíes re s s ã o o rt o g o n a is rrs
DIZAGEM DEAPREN EXERCíCIOS I Responda: asreta\r a) Eiistindoum planouquecontêm retas? e b, como sãochamadasessas b) DadasduasreÌas.r e s seexìslìrum plano s'comosao a quecontémf masnào€ontem sl retas r e chamadâsas c) S€duas retasr € s sàocoplanarese nâo têm ' ponto comum,como sãochamadasessâsrctas? d) Sea inteÍsecçãodeduasÍetasr e sé um conjunlo !a.zjoe náoe{ste um planod que as iontém, podemosdizerquer essãore!€rsas? e) Podemo'aÍirmarqueduasretascoplanaÍes sàosempreconcorrentes?
3 Dadâ a figrra, iderÌtifique:
B D
a) um par de Íetâs reversas b) um paÌ de retasaopbnares. c) dois paÍesde Íetascopìtlnaresconcorrentes' d) dois paresde retascoplanarcsparaÌelas' res4 A nguraabaixoéumcubo ObseÍvando-a. ponda:
o sótidoda Íigurasegüin[qe{reva 2 observando
a) Quâl é o ângulo formado pelasretasEF e FG? b) Qual é o ângulo foÍmado peÌasrúas EF e a) um paÍ de retascoplanares. b) um paÍ de retasreversas c) um pfi de retasconcorrenÍes. d) um par de Íetas PaÍalelas
BC? c) As Íetas AB e AE são perpendiculaÌesoü oíoaonais? d) As rctas AB e CG são perpendicuÌaÍesou oÍtogonâis?
237
POS|çOES RELATTVAS DEUMA RETAE UM PLANO NO ESPACO Umaíeta e um plano podemocuparas seguintêsposiçõesl
í
I
A íetar está contÍdano plânoô.
A retaÍ furao
A re t a ré p a ra lê la âo planoo,
plano 04
. Fìetacontidano planotquandoa retae o planotêm doìspontosdistìntos em comum. . Retaconcorrentêou secanleao planotquandoa rêtaeo planotêm um únicooonloem comum. . Retaparalelaao planotquandoa retae o plano não apresenÌamponto em comuÍI|.
EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM I A íigura a seguirmostra uma porta entreaberta e o canto cleüma sala.
3 Responda: a) Quandoumarelar furaum planoo, qual a po'ição da Íerar em relaçàoao planod l b) QÌìandoumaretar estácontidanum plano c) Quala posiçâorclarivaenrÍEumarelare um planod,sernd=7? 4 Observando a figÌrÍÌ s€guinte, responda:
a) Queposiçôesrclatìvastêm asrerasr e s; set;xer;yet? b) Queposiçõesrelativastêm a Íetae o piano yeÉ;t€(Y;Íep? 2 Observando a figura seguinte, responda:
A
&\
B
a) Qüal a posiçâoda retaAB em relação planoda base(ABC)?_ b) Qüal a posiçâoda retaVA em reìação planoda base(ABC)? 238
a) Quâl é a posìçãoda retaÉi em reÌaçaoao pÌano(ABCID)da base? b) Quâl é a posjçâoda reraCDeÌnrelaçãoao plano(ÀBCD) da base? - em relaçàoao c) Qual é a posiçãoda rcraFC plano (ABCD) da base? d) Qual é â posìçâoda reraCcemretâçãoao plano (BCFGX e) Qual é a posiçãoda reÌaAEenl reÌaçãoao plano(EFGH)? 0 Qual é a posiçãoda retaDllcm relaçãoao plano(ACEG)?
POSICOES RELATIVAS DEDOISPLANOSNO ESPACO posiçóes: Doisplanosa eP pooêmocuparno êspaçoas seguintes
,t secantes ou concorrentes
paratetos
coincidêntês
nãotêmpontoemcomum. Plànospaíalelos: Planossecanles: têmumaúnicarelaemcomum. Planoscolncidentes: têmmaisde umaretâêmcomum.
EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM
Responda: a) DoisplaÌÌosc eB secortams€gundoumâÉta r Qual éa posiçãorelati!ã dosplanosd e0 ? b) Sedoìsplanosa ePtêmemcomumumarcta r, podemosdizeÍ qued eB sãoparalelos? c).Seo e É sãodoisplanosdislintosparalelos, planosnãotêmponpodemosdizerqueesses
2 obseÍvando a figura, €screva:
3 Observando a figuÍâ segúnte,responda:
a) Qual a posiçãorelativaentreosplanos(VAB)
e (vBc)?
fi
1".:'.i
b) Qual a ìntersecção dos planos(ABCD) e (VBç)? c) Há planosparalelosna figural d) Qual a posiçãorelativadospÌanos(VAD)€ (VBC)?
i.".]:'.'r
AE a) um paÍ de pÌanosDaralelos, b) um par de planos secantes. c) urn plano paralelo ao plano (BCFG). d) um plano secant€ao plano (EFGH). e) uln plarÌo paralçlo ao plano (ABEF). 0 um plano secant€ao plano (ADEH).
239
PERPENDICULARISMO ENTRERETAE PLANO Se umaretaI Íuraum planor!numpontop e é perpendicular a dLlasíêÌâsde o quepas. sam pelo pontoB entáoâ reta r é pêrpendicularao planoa.
.setsãor etas porP ]-,," deo passando
1
podemosverificar No cuboda figuraseguinte, facilmente êssefalo:
BF .L AB BFaBC
= íF é pêrpêndicular ao plano (ABCD)dabâse.
PROJECAO ORTOGONAL . Projoçãoo.togonalde um ponlo Consideremos um ponÌoP ê um plânoa, conÍormea figura.
a c ê quefurea no pontoPl Pelopontoq tracemosumaretar peÍpendicular
Naturalmente, se P < a, entãoP' = P
. Projeçãoortogonalde uma reta o planono pontoA,conforme umaretar oblíquaa um plano(xequeÍure Consideremos â fig u r a l.
Í
1 ÍiguÍa2
g U íâ1 '
Tomêmos umpontoB êmr e vamosdetêrminaro ponÌoB', queé a projeçãooíÌogonalde
2). sobrêo planoo (figura pelospontosA e B: então,a reÌaI determinâda Obtemos,
A reta a e a proieçãooÍlogonalda reta r sobíêo planoa. . Projeçãoortogonalde uma ligura gooméirica deponÌos. Consideremos, entãquma queumafigufageométricaé umconjunto Sabemos Í ig u r aF ê um planod. todosos ortogonalde a proieção Determinando pontosda figurâF sobreo planod, vamosobtera ti_ guraFì
DEAPRENDIZAGEM EXERCÍCIOS I consideremos üma reia r perpendicular a um plano {} no ponto A. Uma rela s' contida em a, pd"a pelo pon o { Qudl e â Po'ic;o de r em relação a s?
a um uma retar p€rpendjcular 3 Consideremos o. planoo e seiaP o pontoemquer encontftì Uma relas,contidaemo, nàopassapeloponou ortoto P As retasr e ssãopeÍpendiculares gonais?
2 S ejamo. r et a '' e t i o n c o rìe n l e s e c o n i rd ânsum f lanoo. Deu ma € a r.' c b e \e q u e r s e I l-l Nes s asc ond i ç ò e sp, o d e -s ed i z e r q u e I r al
4 Duasretasr e s distintassâotaisque r a d e s ! o. Quâl é a posiçãoreÌâtivaentrer e s? 241
5 As retas11€ 12são concorrentese estãocont! das nurn plano a. Sabe-seque uma reta t é tal quer I rrer I rr.Qüaléaposiçâodarerar em relaçãoao pÌano a? ó ob,enandoocubodaligumaol.Jo, re'ponda: a) Qualea projeçáoortogonaldoponloC \o. bre o plano (ABCD) da base? b) Quâlé d píojeçáooflogonâìdoponloA sabre o plano (BCFCX onoSonaI do ponroVrso_ c) QualéapÍojeçáo bÍe o plano (ABCD) da base?
ANGULOENTRERETAE PLANO Considerêmos uma rêtar oblíquaa um planoa em A, conformemostraa figura.
O ângulo0 quê a retar Íormacom ã sua projeçãoortogonalsobíêo é o ânguloentrea rerae o prano Claroestá que: . o ânguloentreum?retar e um planod, quandoí a o, é um ânguloreto . o ânguloentreumarelar e um planoc, quandor ll d, é um ângulonulo.
DrsÍÂNcrAs . DislânciaenlÍe ponlo e plano
t0
a Sejamdadosum plano(xe um pontoA, foía de d. PorA,traçamosumâpêrpendicular d, que corta o planono pontoAl projeçâoortogonalde A em d.
A mêdidado segmênto AA'é a dislância entreo pontoAe o planoo. l
. Distânciâentre ret†plano paÍalêtos Consideremos um planod e uma retar, não contidaêm d. e tal a!ê r z o. Tomemo^s um pontoA qualquerde I e vamosdeterminâía distânciaentreA e a, o que nosdá a disÌânciaentrêr e a.
f . Distânciaenlre planosparalêlos Consideremos dois planosa ê É taisqued ,.,,É. Ìomemo-sum pontoA qualquêrde o e vamosdeterminara distânciaentreA e É, o que nosdá a distânciaentrea e d.
. Distânclaentreduas rclas rêversas Considêremos duas íeÌâs reversas,I e s. Tomemosum pontoA sobres e tracemosI Z r. Sêjâa o planodêteÍminadopelasretasr e s,lemos eue| , d. A distânciaêntrea retar e o planoo seÍáâ distânciaprocuradaentreas retasreversas r e s; paraissqtomemosum ponloI qualquerdê re determinemos a disÌância enÌreB e o pla-
Então:
243
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM í-\ \ | |.tafigura,a retar é oblíquaao plaooo emP X€ x = 30o,calculey.
iì
( 3 pbservando o cuboda figura,responda:
.kwtc - tgr*:ÈtFl rgH#,'hJ ^u Eeâ!êÊról
a) QualéadistârciaentreopontoEeoplano da base(ABCD)? ,i, b) Qualé a distânciaerìrÍeoìontoÃeoptâno
(cDcH)?
\ 2 h.esoonda: . a) Sâodadosum plano o e um ponto P fo.a de d, Peloponto P trâçamosuma perpendicular ao plano a e quefuÍa a no ponto Q Qual éadistânciaentrePe.r? b) Uma Íeta r e um plano d sãopaÉlelos. Em relaçâoà reta r, podemosdizer que A é um de seuspontos. Quâl éâ distânciaentrea rctaÍeopìanod? c) Sejama e P dois planosdhtintos paraleÌos. Sabendoque A é um ponto qualqueÍ de o e B um ponto qualquer deÉ, podemosdizer quea medidado segmeÍioAB ésemplea distânciaenlreaeÉ? d) Sendodadal duas retasrwersas,r e s, qual é a distânciâ entre elas? e) Sejama e B dois plaDosdistintos paralelos. Toma-seum ponto A qualquer de c| e um ponto B qualquerdeP erqifica-se quea distânciaentÍeaeÉé igualà medidado segmento ÀB Podemos,então,dizer que a Íeta deteÍminadapelospontosAeB éperpendicuÌâraosirlanosdeÉ?
c) Qual é a distância entre a reta EFeoplano (ÀBCD) da base? d) Qual é a distânciaentre a reta BC eo plâno (ADEH)? e) Qual é a distância entrc os planos (ABCD) e (EFCH)? D Qgl é a distânciaenrreasÍetasreveÍsasEH e CD? EG 8l Qualéâ di\lânciaeniÍ€asrerasparalelas eAC? onsidereo DontoP extemo ao Dlanoo da fi-
O segmentoPA perpetrdiculara a medê15cm, e PB obliquo â a, mede25 cÍn. Calculea medidada pIoieçãoortogonâl dePB sobre o plano a.
ÂNGULO DIEDRo Doisplanosconconentesdividem quatroregiões oespaçosm dênominadas ângu106diedaosou simplesmento dledros
,g
Í
Um únicodiedroé limitadopor dois gemiplanosd e É e uma rêla comum r
A retaíé chamadaargsia dodiedíoe osdoissemiplanos, ae É,sãoasíacêsdo diedro.
1
SECCAO NORMALDEUM DIEDRO Seccionândo umdiedrodearestar porumplano1 perpendicular a r,obtemosumângulo - denominado AOB s€ccãonormaldo diedro
Emque:AÕB= secçãonoímâldo diedro. A medida deumdiedroá a medida desuasecção normal. Obseívâçãor quatro Sedolsplanosseiantesa eÉformarem diedros iguaisdêmêdida 90oserâoditos pgrpsndiculares.
245
TEOREMAS DO PARALELISMO Daremos, agoía,algunsteoremas queconsideramos fundamentais sobíeparalelismo, in-
teressantêsparao seu conhecimentoê pâraaplicaçõesfutúías.
Íeorcma 1 - Se uma reta té patulela a uh plano q e se existi um Dtanog que conem I e é secante a q segundo uma rcta s, então as rctas I e s sáo panlelas.
.i rlld H
Écontémr =TIr ls
Demonstração: Defatqsere s nãoÍossempaíalêlas por estarem contidas noplanoB, deveíiâm têrum pontoA comum. EssepontoA,naluralmente, pertenceria à rêtâr ê aoplânoa, o quêcontraria a hipólesê. Logo,r I s. Ieorcma 2 - Se uma rcta t, não contida num plano d,é paralelaa uma rcta s, contída êm d, então I e e são patalelos.
(, c
Hlsc."
+ T I rl(x
tr " Demonstração:
t:,
246
que Asretasíe sdeterminam um planoÉ, é secantea d, segundoumaíêtaquesó pode sera. Sere a tivessemum pontocomumA,ele pertenceria aos planosa e É; como conseqüêncja,o pontoApertenceriaàretare à reta s, o quecontíâriaa hipótese. Logqr o.
v
Teo'ema3 - Sed e P sâo planos paíalelos, então qualquerrcta rcontidaem d é paÊlela ao Dlano0.
, Í" n B (rcd
-Lrtp
t Dêmonslraçáol Se r não fosse paralelâao plâno É,teriâ um ponto em P,o qual sêriacomum a a e B,contrariandqpois,a hipóÌese. l!go, | , Ê. Têorema4 - Se um plano d contém duas rctas I e ê concotentes e ambas paralelas a um outroplanoê, entáo,s e Ê são panlelos.
rC d,sC o
= Tlo | É r,s sãoconcorÍentes í llP,s lP
Demonstraçâo: entãose inSea e d nãosâoparalelos, sêgundoumarêtat. terceptam, Comore s seriamparalelas à rêtat, en. de r ê s,terÍa' tãq pelopontoA, intersecção mosduasretasparalelas a t, o queé umabsuroo Logqa B.
DEAPRENDIZAGEM EXERCÍCIOS | (Mack-Sp) A reta Í é paralelaao plano a Entâo: . a) todas as retasd€ o sâo paÍalelasa r. b) a relar nào podesercoplanarcom nenhì,c) existemem a rctas paÍal€lasâ r e também existemem a retasÍeversasem relaçãoa I a r e lelasperd.)exitem em a Íetasparalelas pendicularesa r e) todo plano que contém r é paraleÌo a @.
2 €.C. Chagao Sejaum plano o e um ponto P não peÍtencentea d. Quantasretasparalelasa d podemsertraçadas, no máximo, pelo ponto P? a) Nenhuma. b) Uma. c) Duas. d) Três. e) lnfinitas.
f
3 tPUC-SP)Quai dasproposiçòe1 abai\oe fat\a? a) As int€rsecçôes de doisplanospaÍalelos,com um terceiroplanq sâoretaspaÍalelas. b) Sedoi, plano.di.linto\.àoparatetos. roda retacontidã em um deleséparalelaao outro plano. c) Doirplanosdi.lintorpdralelos a um rerceiío sàoparaleÌosentresi. sàoparalelo.,loJa dì Sedot planos retapdralelaa um delesé pâralelaao ouÌro.
4 tCe\cem-5P) t ma.ondiçáonece\\ária e \utì cienleparaqDedoisplano!,eiamparalelo. e
d) Doisplanosparalelos à mesmaretasãopa ralelos. e) Um planoparaleloa trêsretasde um mesmo planoé paraleloa esteplano. ó (PUC-SP)Qualdasafirmaçõesabaixo é VER DADEIRA? d) Seduasrera, concorrenle. de um planosão respectivamenÌe pamlelâsa duasretasde o.úo plano,enlão€sses pÌanossãoparalelos. b) PoÍ umaretadadapode-se conduzjrum plano paraìeìoa um plano dado. conduziruma 'or qualquerponÌoépossível queseapójeem duasreiasreversas da d,
a) uma reÌade um sejaparalelaao outro b) duasreÌasde um sejamparalelasao outro. c) duasÍetasparaÌelasdeum sejamparâlelasao d, rodareradeum\eiaparaleta a quaiquer rera eì um deìes conlenha dua\relasconcor ren(e., paElelâsao outro. 5 (S. Carlos-USP)Quâl a afirmaçãocorrera? a) Um planoparalelo a umaretade um oulru plano é paraleloa esreplano b) Um planoperpendicular a uma re|ade urn plano é perpendicular a esteplano c.)Umplano paraÌeloaduas retasdeum plano é pamÌeloâo ptano
e) f
retaé paralelaa dois planos,entào .anossàoparalelos. jm planos retr'ersos.
7 (F.C.Chagat Sâodadasâs proposições: Ì Dois planossãoparaleÌosseduasrelz." deum delessâopamlelas ao outroplano II Sedoisplanosrêmum pontocomum,então elestêmumaretâcomumquepassa pelo ponro. llÌ - SeduasreÌasdisrintassãopamlelas aum plano,enlàoeìas.áoparalela5 enrrcsi. E corretoafirmar que: a) âpenasuma delâsé verdadeira. b) apenasI e Il sãoverdadeiras. c) apenasI e IIÌ sãoverdadeiras. d) apenasII e Ill sâoverdadeiras. e) I, Il e III sãoverdadeiras.
TEOREMAS DO PERPEN DICULARISMO Vejamosalgunsteoremassobreperpendìcuransmo: Ieorcma 1 - Se uma rcta | é perpendicutaía um ptano a, entáo I faz ânguto de g7o com qualquet rcta contida em d.
Sê s é uma retado planorye que passa pelopontoA ondeí fuíao. então.peladetiniçaq r -L s.
Í
Supondoque s nãopassepelopontoA. vamosconsiderarumaíeta s de o que passaporAeé paíalelaà retas. se ré perpendicular a o. é.tamEntão. bém,perpendicular a todasas rêtasdeo que pâssampelo pontoA; logo,r a sl nrí
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Íêorcma2 - Seumarctarfazângulorctocomduasrctasconcoffentesset de umplano d, entáo a rcta r é petpenclicularaÔplano d. 19casol
Defato,sendor-L s e r ! t, vamos porAe talque traçararetat'de d passando f tt. Becaímos, entãqnoteoremaanterior. Daíl
2! caso:
De f a t q s e n d o rL s e r I t , v a mo s tíaçarâs retass' e t' dê d passandopor A ê ìais que s' I s e t' t, recaindo,entãq no teoremaâôtêrioí Daí:
Ieorcma3 - Sejamcladosuma retare um planod taisque | ! d no pontoA.Sendos uma íeta de d que passa pelo ponto A e t uma íeta de d perpendicular a s e concoftentecom esta numpontoB I A, entãoqualqueÍretaquepassa pelo ponto B e por um ponto de | é petpendiculaí à rcta t.
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Iêorcma 4 - Duas retas I e s perpendiculares a um mesmo f)lano d sâo paralelas. Í
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Dêrnonstraçáo: Se r L d, entãor formaângulorêto comduasretasconcorrentes, aeb,contidas Se s I o. entáos ÍoÍmâânguloreto com as mêsmasretasa e b de @, Logo,r ls. Teorema5 - Sedolsp lanosa eÊsãoperpendicularcs segundoumarctat, ese umaíeta a contidaem d, é peryendiculatà rcta t, então| é peryendícutata p.
"("'u n la ô É= Ì
ì T Ir ! I
Dernonstração: Se.ve Êsãoperpendiculaíes, êntãoadêveconteíumaretâstalque s _Lp. Logicâmênte,a retare perpendicular à interseceão t, ou seta,s r t. Comor r t e s -Lt, temos,peloteore. ma anterior,r s. Co mo rls e s J 0 , lo g o r L B . 250
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DIZAGEM EXERCICIOS DEAPREN planoo. | (Mack-SP)A relaré p€'pendicularao Então: a) todas as retas d€ o são pamlelasa r. b) arcta r não podesercoplaíar com nenhuma retade d. c) existememd retasperpendiculares a r €também exìstemem a retasreversasem relação d) existemem d retaspamleÌase retasperp€ndicularesa Í, e) todo plano que contém r é paraleÌo a d. 2 (Cice)SeréumplanoeP é um ponroquenáo pertencea r, entãoi a) por P passaum únicoplanoperpendicular b) por P nâopar\aneúum pìanoperpendicular a Í, c) por P passamexatament€2 planos p€ryendiculaÍes a r. d) por P passauma infinidade de planos per pendicularcsa r. e) todo plano quepassapor P é peryendicular 3 euc,sP) são dadasas proposiçõ€s: I Uma reÌaé perpendìcuiara um plano quandoelaéperpendrculara todasasretas desseplano. oulro enll - Seum planoéperpendiculara tào ele é perpendicular a qüalqu€r reta oesseouÍo III - Sedoisplanosdisrinror sãoparaleìos, então loda rcta de um é pâraÌelaao outro. E correto afiÌmar que, a) I, lI e lll sãoverdadeirâs. b) I, lI e lll sãofalsas. c) apenasll é verdadeira. d) apenasIII é verdadeiÌâ. e) apenasII e III sâo veÍdadeiras. 4 (Ufal-AL) Sejama e É dóis planosperpendicu laÌesentresi. A reta r é perpendicularao plano (! e a retas é perpendicular ao plânoB. Nessas condições: â) a Íetarnão podeteÍ pontoscomunscom o planod. b) asÍ€tasr e s sãoconcorrentes, c) as retasr e s podem ser reversals. \ e\ráconrrda d, a reLa em um pìanoperpendie) as retasr e s são paralelasèntre sj.
5 (Cescem-SP)Identifique a alterrÌativa verdad€iÉ: a) Seduasrela5pâralelas íesenconrraÍno plano rem A e B enráoa retaAB é perpend cular a r e a s. b) SedoisplanossãoperyendicuÌars,qualqueÍ outro qu€ os coía o faz segundoduas retas perpendiculares. .l c) Seumareraé pâralelaa um pláno.elâ-épa ralela a todas as retasdesseplano. d) PaÍauma relaserperpendicular a um planq é suficienteque ela sejaperpendiculara uma reta do pÌano que passapor seutraço. e) n.d.a. ó (UCP-PR) Assinalea attemativa correta: a) Uma condiçãosuficientepâÉ quedois planos sejamparalelosé que duas rctasde um sejampaÍalelasao oütÍo b) No espaçqduasrctasperpendiculares a uma terc€im reta são sempÍepâíalelas, c) Sedois planos s€interceptam,um terceiro planoqueinrercepra umdosdoi5plano(dr ve, sempre,interceptaro outro. d) Um planoperpendicular a umarelade um outro plano é perpendicular a este último plano e) Seumâ retâ é pâÍâlela a dois planos, então planossãopamlelos. esses planodeumamesae 7 ( ITA-SP)Considereo um ponlo dadoderleplano Vocèdi\pôedeumafoìha de papelquepo\,ur um.d bordoreto.Do brando €stafolha de papel, conduzauma peÍpendicularao plano da mesa,peloponto 4ado. A justificatìvadetal constÍuçãoestáemum dos teoremasabaixo: â) Seumaretaé p€rpendicuÌar a um plano,todo planoquepassaporelaéperpeÍdicular b) Sedoisplano\ .ào perpend iculare'.rodar( tadeumdelesquefor perpendicular à inter secçãoseÉ perpendicular ao outro. c) Seumarelaeperpendicular aduâsrelaJcon \euponlodeinlersecçào. correnlespelo en tàoa rcLae perpendicülar ao planodetetmi nâdo por essasduas retas. pa5\auma d) Porum ponro e-yÍerìor a um pLano pìanoesomenre rerapeÍpendìcuìaÌao uma. e) Todasasperpendiculares a umareta,tÍaçada,por umde'eu5ponro!,pertencem a um plâno.
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353 ObseÍvando o sólidodafiguÍaseguinre, associeV ou Facadaafirmação: V
355 lela geometriaplana, sabemosque o ângulo inrernode um polígonoe o ângulo formadopor dois ladosconsecutivos e que, se o poligono é regulat a medida do ângulo interno podeser calculadapela fórmula (n 2) 180' âi - s - :2 -: . sendon o númeÍode lâdosdo polígono. J Ne(ra' condiçóes, sendoa figuÍaabaixoìm sólidodebasepenÌagonalregular,pergunÌa-s€:
a) As retas ú e VB sãocoplânares, b) As retasBC e CD sâo paralelas. c) As retasAB e CD sâo paralelas. d) As retasVA e.CD sAoreversas, VC sãocoplanares. 0 As retasBC e AD 354 Observandoa figura següinte,responda: a) Quahmedidado ânguloforÌnadopelasÍetasAB € BC? b) Qual.gmedidado âÌÌguloformadopelâsretasAB e AF? c) Qualì medidado ânguÌoformadopelasretasAB e CH? d) Quahmedidado ânguloformadopelasretasAF e cH? e) Quaisretassàoorrogomis com a retaAB? a) Quâjssãoasretass€cantesao plano (ABC DE) da base? b) Quaissâoas retasconÌidâsnesseplano? c) Há âlsumaretaparaleÌaao plano(ABCDE) da base?
35ó A circunferênciade c€ntro O da figura esti contidano planoa e tem raio ignala 4 cm.
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O segmento OP med€I cm eé perpendicular aoplanod. CalcuÌeamedida da distânciade P a qualquerponto da circunferência.
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