cap.6 - TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS by Henrique Litaiff

kwwxm#mrwmwffiw €n*gmmff'ffiffi*rffiffis .1

INTRODUCAO Considereo arcox indicadono ciclo trigonométricoda figura.

cos x e sen x, islo é: O pontoM é determinâdopêlascoordenadâs M (cos x, sen x) é dadoatíâvésdas razõestíigonoméFortarÌtgqualquêrpontoda circunferêncìa tricas dos arcosa e b, positivosou negativos.

reterentês a umúnicoarco. Nesasfunções trigonométíicâs Atéomomentqestudamos dosârcosda forma: novasfórmulastrigonométÍicas ta unidadedemonstraremos (a + b).(a - bl,2a e;

' paravalorespositivos,cula ìnicialmente,vamos mf,strarqueas Íóímulassãoverdadeiras quepossamosaplicá_ primeiroquadrântê generalizá.las, pertence ê, depoiq de moda soma ao las a dois valoíesauaisqueí 69

FORMULAS DAADICAO . Cálculode sên (a + b) cuiasomaaindapêrtenceao pri_ . Sejama e b doisarcospositivos,do primeiroquadrante, mêiroquadrante, ou seja:

0.^.ï

, o. b.+

, O<a+b<+ t-t Observando a figura,lemos: {ân0ulosagudosdê tados perpendictrlâres)

. FS =oR-eFS= FO (ladosopostosde um relângulo)

(1) No triânguloretânguloOPD(P é reto),temos: se n ( a+b)=

=:u

UL'

=pD = p S + S O = 6 q 1 5 9

(2) No triânguloretânguloOQR(Qé reto),temos: ÃD-

se n a =*+QR=OR.sêna L'H

(3) No tíiânguloÍetângutoDSR(S é rêto),temos: cosd = cosa =:^i UH

=S D = D R. c o s a

(4) Dessêmodq a igualdadeO podêseí êscrital sen( a + b) = õFi .sena + DR . c o s a (5) No triânguloretângutoORD(Ê é reto),temos: sen b =:j

nÈN

senb = -:í" =DR = s e n b ôD1 ' aìp

co sD = =- -cosb= oDl

õE-

,O B = c o s b

(6) Dessêmodq â igualdadê@ podêser escritaj sê n ( a + b) = cosb sena + se n b . c o s a ou arnoa:

,.=

. Cálculode sen (a - b) que: Obsêruêmos ( a- b ) =la +( b)l = (-b) sen senb cos (-b) = cos b Da Íórmulada somâ,temos: sen(a - b) = sen[a + (-b)] = sêna . cos( b) + sen( b) .cosa

Dâí:

se n(a- b) = s ena. c os b - s e n b . c o s a Vejâmosâlgunsexemplos. '19exemplo:Calcularsen 105o. Resoluçáo: Transtormandq temos: sen 105ô= sen (45ô+ 600) Aplicando-sêâ fóímulado senode uma soma,vêm: sen (45o+ 60o)= sen 45o . cos 60o + 6en600 cos 45o

=+ + sên(45o+60ô) -+ =+ sên(45ó + 600)

sên{45o+ 600)= *to*

aesoosta:Ej& 29ex empSf oe:n dsoe n ,=, j f

"""nv

calcularo valorde sên (x

= t,o < x,v < !, y).

Resolução:Cálculode cos x:

. 144 se n 2 x+co s2 x=t = l ffi +cosl= co "*=9 - 13

Cálculode cos y: sen2ytcosl=1r

9 +cos2v= 1 co sv = 9

Cálculode sen(x - y): se n ü - y) = se n xco sy- cosxseny= 5 4 _ 36 _ 2 0 _ 1 6 _ -1132 .3 5 13 5 - ô5 6 5 -6 5

Bêsposta: 16

39exomplo: Sendox + y = +

Res olu çl 1ãsloex: + V = f t

e sêny =

-t= +

senx, com0 < x, y < ], calcr-rtar f

, y+ se n x= " " " $

- V)

(2) desenvolvêndq temos:

.cosy cos-f.seny.

s enx= s enÉ -v ) = s e n f (3) cálculodo cos yl

s enfo+c os !=r * f

+ c o s , y= t c o s v= Ë

Substituindo. temos: s.^, =

= + * =*i*

aesoosta: \-Q

EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I Calcule: a) sen75'

u * .(" + ; )

ó UsandoasfórmuÌasda ediçâo,mostÍeque: a )s e n (Í + x )= -s e n x

c) sen15'

or *" ( i - *)

= 2 Sabendoeuesenx com0< x < rI, f *). "acutesen[f

rr ,

3 Apücandoasfórmulasdeadição,calcule:

=+.+) .)*'+(r"ç.+ o*"f (r"e"f=^-+)

4 Simplifique a exprcssão: y = sen(135' + x) + sen(135- x) 5 Sejama um arco do l: quadÉnte e É um arco do 29 quadÉÍÌte, tais que cos o - 0,8 e senB = 0'6. Calculesen(a + P). 72

-,.) :

'* (;

"o.,

7 Demonstrea identidade: setra.seno - c) + senb.sen(c + senc.sen(a - b):0 8 Sabendoque x * t = *

senx=

, calcule:

b)tgx

9 Da d os e na = -1 ,

teu: f

f , como< x < f

a) cos y

, r <]",f

sen(a - b).

a) +

]*,u\,"

[,cac,rre

. Cálculodê cos (a + b)

que: Na unidade4 destevolume, estudamos sen l"o"

(;

tl = ")

"o" "

arcoscomplementares

""n,.

Daípodêmos êscrever:

= senp -ta+ otl cos(arb)

cos(â.r b)= senp -a-ol co s(a+ b )= """[{1

-") -o]

pelafórmulajá estudada,temos: Desênvolvendo

co s( a+ b )=

-a), c os u-se n o . c o s $ --f* E c os â

Daí: -"(+ cos(a + b) = cosa cosb

-a),

senb sena, ou

. Cálculode cos (a - b) VamosÍecodar que: cos (a - b) = cos [a + {-b)] sen(-b) = sênb cos (-b) = cos b Da fórmulada soma,têmos: cos(a b) = cos[a + (-b[ = cosa cos(-b)

sena sen(-b)

Daí: Vejamosalgunsexemplos. 'l?.exemplo: Calcularcos 15o Besoluçáo:Transformandq temog: cos 135o= cos (90" + 45') Aplicandoa Íórmulade co-senode uma soma,temos: cos (90" + 45") = cos 90o . cos 45o sen 90o . sên 45o

co s(9 0 + " 4 5 " )=0 .ï co s{g o '+ 4 5 o = ) -i a _tt;

Resposlâ: --:í

,.Jz 2

29exêmplo: sendo cos(3r a) = f

,ae 3ro,ecos(f

. t) = +, b < 4 9 Q ,

calculârcos (a - b). Resoluçáo:Sabemosque: cos (3Í

a) = cos (Í - â) = -cos a e

c o s( 1 + r ) =

"o".

= -f

s e n b r se n b = - +

Utilizando-se a relaçáofundamental,vêm: sen2a+ cos2a= r

senra +

= t

sena= tf comoa(39Qjsena=

.12

=f, s en2b+c os 2b=t

+ c o s r u= r ,4

co s o = = Ë Comob c 49Q-coso=f Fortanlo: cOS(a - b) = cos a . cOSb + sêna senb

c os (b) a = l + l + . ( 9 ) ( - +) cos(a b)= -+í

. #

= 3\aõ4!2 -"o",u- b)

Resposta: 3.12 4,12 1-

EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Usando as fórmulas da âdiçàq calcÌrle: a) cos75'

b) cos 15'

c)cosf (***

=-ã,

s e n x . c o/ s_r

-+)

2 Usandoasfórmulâsda adiçãqmostrcque a) cos(Í x) = -cosx b) cos(2r - x) = cosx c) cos + Ì) = senx [Ë 3 Da d o cosx=

cotno< r <

€â1cule:

a)c os ( f r ì

@--

4 Quala foÍma maissimplesalaexpÍessão c o s x . c o s (r x ) ,

or*.(.-*)

5 Demonstreque c o s (a- b ) - c o- sl(a + b ) _ . _ k sen(a + b) + sen(â - b) ó (FEI-SP)câlcule: t\ L = sen( ; + xr senír + x)+

+ cos(f

+ x)cos(,r - x)

7 Sendoxey arcosdo I9 quadrante, senx = * e cosy = calculeo Ìâ1ordecos(x - y). i ,

-r

. Cálculode tg (â + b) èôn /â rr -. u/ sâbemosque tg (a + b) = l:!-19-^^(a + D) cos ,-

o 29 membro: Vamos,entáq desenvoìvêr a tç9!! 1,!9!ji-90s r. /â r hì - iglj senb cosa.cosb-sena Dividindoo 29 membropor cos a cos b, temos: sen b cos a seaia cos b r!9!I @_q9!i r9 tc .r ot = coaã . cosT-. s s_ senã - cosa c o s F cosa cosE

comojffi

= tgu

" #ï*

rv .r n, u/ '.,,\o

sena , seno cosa - cosb sênb sena r cos5 '- cosâ

= ts b,temos:

tg(a + b) = Estarelaçáoé válidâparaos valoresdê a, b ê a + b que pêítêncêmaodomínioda tunção tangente,ou seja:

. p a r al odoa t+

+k r

.p a ra todob *i

+x "

. paratodo{â +b)++

+ k1l

. Cálculod€ tg (a - b)

quetg (- b) = -tg h Vamos lembrar ,^ , b) ts (â - b) = ts [a + { bI = ---Ì"ÌË " !sl_ .ìôi.Tj-Daíleremos: tg(a - b) =

Estarelaçãoéválidapaíaosvaloresdea,bea-bquepêdêncemaodominiodaÍunçáo tangêntqcomojá vimosanleiiormente. e tg b =

Exemplo:Sabendoque tg a = f

calculartO (a + b).

Êesotuçâo: ts(a+ b)= T*áJ++ Substituindo, temos:

ts(a + b) = :-

a. a

'510

Besposta: ã

'ï

2+ 1

ìõ

EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Calcule: a)rs 15'

b)tc (j-

+ _i,

2 euc-sP)sets (x + y):33etsx = 3, câÌculetg y.

ì. quecosx = !t sab€ndo com0 < r <i, Í.

cacutete(f

+ x).

a)=

7 Suponhax e y númercsrears,iais que: t s (x -y )= iï e t g x . t g y = I Calculeo móduÌodenúmeroS-= tg Xr+ tg y. tg x.

9 Sabendoqu€ sen(x + 5") =

tsa ] | + tga

5 Sabendoqúetg o = * câlcule: a)rgíp.+A

o.^.t,

8 Sex + y = + eBy = 2,calculeoÌ"lorde

4 Demonstrea identidade: teÍ45' -

ó Qual o valor de tg Ã de modo que tg (45o + x) + rg (x - 45o) = 2, com

x € ìr,Ét. ,r B = -*,

b) ts(a - B)

"o-

calcutetc(i + x.f.

quets a : I, rcb = lO Sabendo tgc = -1, calcuìetg (a + b,

+ e c).

FORMU LASDAMULTIPLICACAO Esteìtemé apenasuma aplìcaçãodas fôrmulasda soma(a + b) dê dois arcos.Nesta somafaíemosb = á, obtendoo arcoduplo2a. . Cálculode sen 2â quesen(a + b) = 5sn 6 . c o s b + s e n b . c o s a . Sa b êmos Fazendo b = a, temos:sen(a + a) = sena cosa + sêna.cosa

Daí: . Cálculode cos2a S a b ê moqsu eco s(a + b ) = co s a.cosb - s,ena.senb F â z e n dbo= a ,te mo s:co g + (aa) = cosa.cosa - sena.sena Daí: . Cálculode tg 2a Sabemosquê tg (a +

b)=-r+t:lth

Fazendo b = a.temos:to(a + a) = , t-qa+lga l r ga.r ga uat:

tg 2 a =

2Ìga 1 - tg2a

Vejamos algunsexemplos. 19exsÍnplo: Conhecendo-se senâ = +, O< a < +, câlcular: a) sen2a Resolução: a)sen2a+ cos2a= t

b) cos 2a

c) tg 2a

+ cos'?a= 1

- f;

=$ cos'a

= - "o"" f = 2senacosa=sen2a =, + + =sen2a = E24 sen2a

= r - z. (f b) c os 2a= 1 - 2s en2a, )' "o"2"

cos2a=t-fi-"o"zu=-* qA

cìtoa = j9!3 cos a ,l^

to2a=-7ft-'to2a= Resposta: alff;b) -*rO 2? exemplo: Dadossêna =

{

-"----iF =

esen O =

},com

O< a,b <f

,calcularcos(2a+ b).

Besolução: Desênvolvendocos (2a + b), temos: cos(2a + b) = cos2a.cos b sen2a.sen b Nestaigualdade,precisamosconheceÍ:

( 1c) o s2 a c o s2 a= 1 - 2se n 2 aco s2 a= 1 z.I (2)cosb * sen2b .r cos'z f =rrd

- " " tzu = tr

+ cos2b= 1

= "o:'b i* comoo<b.ã -"o"0= - íi*

=-f

(3 se ) n2 a + se n2 a = 2 se na.cosa sen2a+ cos2a= f + cos2a = 1 * cos,a = f, - f,

como o<a.Ë-"or "= t í + = f vj sen2a=2 + + - senza= Substituindq temos:cos{2a + b) = cos2a cos b - sen2a . senb,

cos( 2 â +b+-+ ) =+ + .EÉ .N co s(2 a +b )=-i 9 Respogta: \,i15-: \,9

-Ë

= - cos( 2a+ b) '/ì5 -

r-*EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM lO €aap-sP) setg a =

| (Faap-SP)Catculesen2x, sesenl = 4'" é um arco do 29 quadmnte.

$, calcuje rs(a | 2b).Suponha < 0 a. b <

2 (Cescem-SP)Sendo0 ( 49 quadÉnte e

cose=

26. +, caìculecos 3 s e n t rsoeno = o <. <|, t," o carcur€sen(+ + 2a). quecosx : 4 Sabendo com0 < x,y <

]

calcul€: a) tg2b

ecosy = s.

b)tg(a - b)

13 Provea idenrjdade

2^ ÍE 2x

- .o," r - ,n

a)sen3a:3sena - 4sen3a b)cos3a - 4cos3a- 3cosa Jtsa-tda cl Ig ra = '-------------- -

calculet8 2x e cotg 2x. + , b) Sabendoquetg 2a : l, calculetg aó (FEI-sP)se senx - s6s1=

I _ Jtg-a

cacute

Sugestão:Faça 3a = 2a + a

7 (FEI-SP)CalculeseÍ12x,sabendoqne tgx + cotgx = 3.

ìrc òe cosx = calculecos4x. 7 .

8 Sabendoque a é üm ângulo do terceiro

ló Simplifique a expÌessão y : cos'z(â + b) + cos'(a cos2a cos 2b

calculesen(2a)e

cos (2a). 9ttaap-Set Se a e b sáo ãngulosposiüvos inlerior€:a 180'.caicuies€n2aecos2b,sabendo

o u .r " " u= -f

e"o't = | .

| 7 Sabendoque oaB e T são ângnlosinternos de um triângulo, mostreqüe: cos2a + cos2É+ cos27+ + 2 cosd . cos6 . cos 'Y = I

FORMULAS DADIVISAO Vamosestuda(agora,as Íórmulasquê nos pêrmitemcalculars€n e tg ã , senoodado um númeroreala.

. Cátcuto do cosâ

= sabendoquea = + + f ,tem o s : c o s ac o s $ cos a = cos2ã - sen'+ 7A

l4 vostre que:

a) Dada tg x =

12Sabendo quetg (a +b) = 4úgaJi-2,

5 Resolvaos pÍoblemas:

quadrantee ts a =

ll t v a c kS P lS e rg r me rg 2 \ = lm, m > 0 , caÌculeo \,alordo ânguloagudox.

calculecos(x + 2y).

].r*u

cos ã . á

= Ì - cos'ã. lemos:

Çomosen'ã co sa = cos'

cos'z â )-

cosa:

cos'?â

t + cos'f

c o s a = 2 c o s râ

cos'?f = 1t-eesa

t . Cátcutodo sên ã = s a bê mo sq u e :co sa (f *â) =*fâ "o" Comocos2f = 1 - sen2ã, temos: se n '? f -se n '!

c o sa =1

- cosâ= sen,]

sen' ?f

zsen2 !

= J-_-9993

senf = +

. cátcutoda tg

Sabemosque:

t si= -

sen4 cos

_ --\- Il

!s!" 2

cos+

='F-

F* ï-

Vejamosalgunsexemplos. í9 êxemplo:Dadocos a =

com O < a <

Resotuçâo: *"i = t1F

â,

calcularcos

â l

cosf =

= -"f t.çff c omoo<a<â,êntão c o s f =

= += +

AesOosta: ff 29ex€mplo: Dâdosêna = catcutarsen , como < a < f , f f Resotuçâo: *";

= a

I I I

/t1""*

Vamos,êntãq calcularcos a: cos2a = 1-.sen2a-cos ' a

= I

"o"" =f Substituindqlemos: '1

senf

----

senf - *! -6-

c.omoo < a < 4. entãosen4= ^E- "u 2 2 Ì6 Besposta:

3-15 6

39 êxemplo:Câlcularcos 15o. Pesotuçáo:sabemosque 15o =

c9s â

ï"

a = so'

- cosr5o= Ì

[t;eu

,T. v3

cos 15o = .t

\l '\2

J 2J € c os ts .= + Resposta: 80

út€ "osts.=

cos'lso = .t

-"o"rs"=úâ€

l2+E!----

49 exemplo:Dadotg

câlculartg a. â ,

Resotução: a= $

tga =

,n ( â. â) r^ â

rga =

tga =

,.^â

'ez - 'ez

1-ts+ rc+ -, ^ a

1 _ts " +

Bespostar lg a = -,u2 ,_,v2

EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM = j, I Da.locosa

corno< a < f

catcule cosf .

quecos ó Sabenao f a;sen f

\2 2

b) cos*

2 Calcule cos22' 30'.

c)tgã

3 Resolvaos problemas: a)Secosâ=j,comO<a<f,

calculesen+. b )D a d os € na =!,*

o <" <i ,

calculesenf .

7 Resolvaos problemas:

a)sets+ =

te a. ] , deterrnine

b) Dadatg;

, calculesena.

8 (Mauá-sP) Dados seno =

. e.", t,; caìcule A = 25sen2e+ Vro sen; .

4.rcle o mloraesen . f Sugestão:faça

= g. 2

9 Calcul€o vaÌordetg 15..

5 (Ufes-ES)Sabendoque sen6 0 € 29 qüadrante,calculetg

quesení ll"- -"ì - - ! .o'. l0 Sauenao t \z I . u .2r, calculeo vaÌordecos ! f

FÓRMULAS DATRANSFoRM,qçÃo EMPRoDUTo . FormafatoÌadada expressãosgn m + sen n Sabemosque: sen ( a+ b) = sena.cosb + senb . c o s a { 1 ) sen ( a- b) = sena cosb senb . c o s a (2 ) Fazendo(1) + (2),temos: se n( a + b) + sên(a

b) = 2.sêna . c o s b (3 )

Indicando-se: a + b = m = a-b=n

2a= m + n = a =

m in

2b= m-n -O =

m; n

Substituindona relaçáo(3),temos:

s enm+ s e n n= 2 . s e n. [ + n . co sjn i- n . Formafatoíadada expressãosen m - son n quê: Sabemos sen ( a+ b) = sênâ.cosb + sênb. c o s a (1 ) sen ( a- b) = sena.cosb senb. c o s a (2 ) Fazêndo(1), (2),temos: sen (a + b) - sen(a - b) = 2 . sen b cos a (3) Como:a + b = m a b=n

^= ^ ïn "=-

Substituindona relação(3),temos:

Vejamosalgunsêxêmplos. 1? exeíÍplo:Fatorâí(outransformaíêm produto)a êxprêssãoy = sen 4Oo+ sen3Oo. Resolução:Na expressãodâda,temos:m = 4Ooe n = 3Oo Aplicandoa formafatoíadade sen m t sen n, temos: y = sen4Oo+ sên3Oo= 2. sen 40' + 30o . cos ,Oo :30o = 2 . sen 35ô . cos 5ô. Re 'p o sta: y = 2.sen35o.coss..

29 exemplo:Fatoíâry = 1+ sen 30o. que 1 = sen 90o,temosl Re6olução:Lembrando y = sen9Oo+ sen 30o = 2 --- 90o + 30o """. = 2 sen600 cos 30o Besposta: y = 2 sên 60o cos 30.

90o - 30o

39 exemplo:(FGV-SP) Transformar em produtoa expressáoy = sen x Besotuçâo:Já sabemosque cos x = sen {*

cos x.

xì .

Substituindona expressãodada,temos:y = sen ,

sen í 1 \z

*ì . I

Aplicandoa fórmulada fatoraçáo,temos:

Y=2

. (á -4 cos----r **(+ ,)

sê n

x y = 2 sen y =z.sen

4 +x j--

-x /a t

y = /. senlx_ |) y =ú R e sp o sta:

x+ f

cos

cos ã

- y= z

" " n l$

- Çl." o s- ,L

-7 = v = ' 4. ""n{ , f )

s en(x-+

EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I llanforme em produo as expressôes: a) sen4x + sen2x b) sen5x - senx c) sen55' + sen35'

5 Simplifique:

2 Fatorc a expressãoy = I + senx.

ó Tlansforme em prcduto: a)sen(x+m)+senx b)sen(x+m)-senx c) sen7x cos3x

3 T|ansformeem produto as expressões: a) sen3x + sen5x b) sen?x - senx c) 1 sen2x 4 (Mack-SP)Transformeemprcduto a exFessão y = sen(135' + x) + sen(135" - x).

a ) se n ++ se n + b) sen105'

sen15'

7SiÍnptifiquey = s€n30" sen80' senl0' + sen40'

8 Tlansformeemumaaalição: sen2x cos3x. 83

r''. FoÍmâ Íatoaadada gxpr€ssãocos m + cos n Sabemosque: co s( a +b)=cosa co s( a - b)=cosa

cosb - sena s e n b (1 ) cosb + sena s e n b (2 )

Fazendo(1) + (2),temos: co s( a + b) + cos(a b) = 2.cosa . c o s b (3 )

Como:a + b = m a - b =n

m+n 2-

m-n

Substituindona relaçâo(3),temos:

Forma íalorada da €xpressãocos m - cos n Sabêmosque: co s( a + b) = cosa cosb - sena . s e n b (1 ) co s( a - b) = cosa cosb + sena s e n b (2 ) Fazendo('l)

12),temos:

cos{a + b) - cos(â

C,omo: a+ b= m a -o =n

b) = -2 . sena . senb (3)

m+n

m-n 2

"=-

Subslituindonâ relação(3),lemos:

19exêmplo: Fatorar a oxpressão A = sen4x t sen2x + sen7x - senx. ResoluçâoiA = sen 4x + sen 2x + sen 7x

A = 2sen3r f ?L .

"os

sen x

4* 2, + z senZ;_ìL t

A = 2 sen3x . cosx + 2 sen3x cos4x A = 2 sen3x(cosx + cos4x) A = 2 sen3x 2 cos 4x x 665 4x:-ì! i

A = 4s€n3x."o"$ . " o "f . Resposta: A = 4sen3x. "o" $ "o" $

29 êxêmplo:Fatorara expressãoA = cos 6x + cos 2 x.

Resotuçáo: cos 6x +cos2x = 2cosll + 2x "cos 6x + cos 2x = 2 . cos 4x cos 2x

Rêsposta: A = 2cos4x.cos2x 39 exemplo:simptificaía êxprêssãoy - cos 19: + cos =59: cos 40o - cos 50. Resoluçáotcos 4oo + cos 50ô = 2. co., _40o _ + 50o

40o - 50'

= 2.cos45o cos(-5o) = 2 c o s4 5 ô. c o s 5 0 cos40o_ cossoo= _2.s e - 4 0 ' + 5 0 o . ^ ^ ^ 4 0 . = -2

sen 45o

::" {:91

50ó

= 2 sen 45o . sen 50

s e n5 o

Substituindo, têmos:

v=ffiÍm=

= çqq!: = coÌs5"

Fesposla. cotg 5o

EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I TÌansformeem produto as €xpÌessões:

a) cos70o+ cos20o

ó Fatore a expressão: y = sen2x + sen4x + sen6x + sen8x.

b)cos2x + cos ! 7 Simplifique a expÌessão:

c) cos45o - cos25o

senóx + sen2x 2 Ìïalsforme ern produro cos(5x + 2) - cos3x y = cosx + 1. 3 Fatorea erpressâo 4 Usandoa5tórmula5defaroraçáo. simplifiquea

exprcssão:

. -

cosx+ cosv cosx- cosy

5 Simplifique a expressâo: cos70" + cos20" .. .' s€n70' - G"-0'

cos 6x

cos 2x

8 TÌansforme em produto a expressão: y = senrx

senz3x.

9 TÌansforme em produto: I + cos2x + cos3x + cos5x. l0 Transformeem uma soma: a) sen2x sen4x b) cos4x . cos lox 85

8t sâodados sena =

f "-'t 0 < a , b<+.D e te rmi n e : a) sen (a

92 Dernonstre que ts (45o+ x) =

|,*-

b) cos (a + b)

93 Sabendoque sen(Í-

82 €EI-SP) Calcul€sen15. + cos 15".

tg(92 - y) =

f a) sen(x + y.) b) cos (x - y) c)tg(x + y) d) cote (x + y)

83 Simplifique a expÍessâo: y = cos(180' - x) - 5 sen(270' + x) r + 4 cas(180' + x) 84 Demonsrnasidentidades: a)sen(a+ b) sen(a - b) = sen'za sen'?b b)cos(a+b) cos(a - b) = cos2a qen'?b

* * , L\ ,

É,comx€aea.e , comy e19 Qcàcute:

94 Dernonstreque: sen\'çeny-;

85 Demonstreque

. o. ', , . o . í ** 4l/ì \

+ x.f=

a - "ì - o . J/

lcosíì-])

cos{\ ty,l.

95 Calcuteo valor de A, sabendoque A = Gena + s€nb)'?+(cosa + cosb)2e a-b-*.

8ó Simplifique:

*ì/ *.o.í-! \J

\o '."Í+

'ìl

87 uostre que sen(30' + a) + cos (60' + (}) = cos (t. E8 G,EI-SP)Sendots A : 2 e ts B = 1, acherg (A - B). 89 SabendoqueÌs A = x. ts B = ! e N = tg (A - B), calculeo valor de 20 N, quandox = 10. 90 Sãodadossena : mecos a : n, com O<a<

Determine em luncàode m(n:

a)sen(f

- a)

btcosl*

+ al

x+ v= + 97 Conhecenr lo sen a= calcule sen2a e tg 2a.

,i.^.,,

98 sar enaocue,ena - ],com 0 < a < f caÌculecos2ae sec2a.

99 1uF-cE)Sesenx + cosx = l-, sen2x. 100 Sabendo quetg x = j, cotS2x.

calcule

calcuÌets 2x e

l0l O4auá-sP) Dados€n = *-ot " caÌculecos2x.

o t8 [a-ïl quesenx = tr òaDe-se

9ó Calcul€ o valor de M, sabendoque M = (senx - cosy)2 + (seny - cosx), e

l0 2 s e s e n=xf Í

eseny =

com0 < x. v < +.

ã. Calculeenlào:

a) sen(x + y) b) cos (x - y) c) tg (x + y)

d) cotg (x - y) e) sec(x + y) f) cosec(x - y)

= "."nv *,--.

cos(Zx+ y). Supoúa0 < r, y < l0 3 Da d o s s e n=a 0 < a,b <

f, cos(2a + 2b).

]

esent :

], "ocalculeo valorde

llr4 Demorutreasidentidades: a ) se n 2 x.cotgx= cos2x+ I

ll3 Osânguloso eB penencema doisquadrames não cons€cutivos.

u)cosza = -l l4l

secoso = -,

I + tg. a c) I + tga.te2a = sec2a 105 sâbendoque a = send + sen2a e b: cosd + cos2d, demonstreque a2 + b'? : 2 (1 + cos s).

l0óoadocosx =

senf , , calcute

c o s ] e tcf. = l0TSesena

f ,""-0. a < f ovalordesenf + cos f.

cos (2a) + sena.

ll0oaaatgf = tI

M = 16

, calculeo raLorde

lll Secos0=

calcule o vaÌorrleM, sendo f,, sen; senË .

ll2 (PUc-sP) CalculeÍ sabendoque

y=co sË.c os j l

â, sen(d + 6)

dt cos3

p) b) cos(d c) sen2 t3

e) ïc2 Q 1) s€c(d

catcule:

ll4 Fatoreas expressões: a.)y = sen2x + cosx b)y = senx + 2 sen5x+ sen9x I

ll5 tITA-SP)fÌaJìslormeem produroae\píe\sào: y = s€n3x + senr,

I | 7 Sabendoque cos 10. = 0,9848,calcule o valor de cos70o + cos50o.

[, câlculeo valorde

= ffi l0gsetef- *n,ou.cu..o.*

lló 1Ìansformeem produtoa €xpr€ssão cos70' - sen60..

= lE

108saunao oo""".'f e a € lÍ, +

, calcule

esenp =

ll8 nove que cos40' + cos80" + cos t60o = 0. Sugeslão: Transformeprimeiroem pÍoduto cos40o + cos80o. ll9 Qual a exprusão que se obtém fatorando+e v_ sena senD ? ' cosa + cosb | 20 Thnsforme em produto cosx+cos4x+cos2x.. l2l

Iìansforme em uma adiçao: a) 2 sen5x cosx b) - 2 sen7x sen3x

| 22 (PUC-SP) Transforne €m produto sena + 2sen2a + sen3a.