'...,'j-:ì.r.t:
LIDADES COMBNATORIA/ PROBABI .:.:
.l.],
I.API"ACE
1749 - tA27 t
PÍerre Simon de l,APlÁCE Dasceu nâ Frânca e é considerado um dos grandes matemátlcos do período da Revolução Frâncesa. Dstudou nâ Escola Mllitâr. exerceu cargos poÌíticos, cntre eles o de Ministro do InteÍior de Napoleão. !'oi professoÌ da Escolâ NormaÌ e cÌâEscolâ PoÌitécnica de Pâris, além de DârticiDai do CoúÌltê de Pesos e Mcclidâs. _ Càmo cientlstâ, l-âplace contribuiu para o desenvolvlmento da Física, pdnclpâlmente com ÌelaÇào a Mccãnica Celeste. Na Matemática, que ele con3idcrava uma colcç5od; ln\lrunrrnlos . quc ele manejava com iruiLa ìÌabllldâde. seus pÌl ncipâis csrudui \ ultarâm se para a Teorlâ das Probâbjlidadcs. Nas suas prfhcloal! obtãs. Teodu Ano'líttcados Probabtlldades. de l8Ì2. eEnsoios Filoióf.co; dds Probcrbilidades,de 1814, l,âplace mostÌou um grande conheclmento de Anállse, aplicando as noções de Cálculo Avânçâdo no estudo das Drobabilidades.
(Y)
Ltt
6
,z
LI -
z T
3
Análise t
FATORIAL Sendon um númerointêirq maior quê 1 (um),define.sefatorialde n, e indica-sen!, a
expressão
. íne[,{en>t onoê: ln! 1lèse:n fatorialou fatoíiatdê n).
o"riniç0"" fll : rf ""n""i"i", Vejamogalgunsexemplos.
'19ex€mpto: Calcular 3! +-!
nesotuÇao: n!,
5.4.3.2
1
120
3 .2 .1 +2 .1
- 1& - ,.
Resposta: 15
(x + 3)! + (x + 2)! = 8(x + 1)! 29êxemplo: Resolver a equação (x + 3)! + (x + 2)! = 8(x + 1)! Rèsoluçâo: (x + 3)(x + 2)(x + 1)l r (x + 2)(x + 1)! = 8{x + 1)! (x + 1)!(x + 3)(x + 2) + (x + 2)l = I (x + 1)! E +'3 )(x t 2 ) +íx +A =8 r i.i/ x'? +3 x+2 x+6 +x+2 =8 x2 +6 x=o
x(x+ 6)= o I
'x = -6 (nãosatisfâz)
Fesposla.' x = O
I t t-
181
39€xemplo: SimpliÍicar a o(pressão-lt-+!)l (n-1 l) n! = nl Í1 -nf + 1)l = - n! -
Resotução: +l_])L "L =l-n Resposla.
l=-n
-n
49 oxemplo:Rêsolvera equação(n - 4)! = 120 (n - 4)! = 120+ {n - 4)l = 5. 4.3. FÌesolução: (n-4)! = 5 ! n 4= 5
i
2 1
h- O
Besposta n = g
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM 5 Sirìrplifique: (x + l)! - (x xl -(x-l)!
I catcule: -'
4l-2!-01 5!
l!
1)!
ó Derermineo conjunrosoluçàodasequaçòes â)(x + 5.)!+ (x + 4)! :35(x + 3)!
brí
b ,- +
= Jo
2 Simpìifiqueasexpressões: n! ü!-(n+l)! ,, -' (n - 1)! '", , n! (2n (n + 2)! + 2)! h, ,r, -' (2n+ l)! -' (n - 1)!
7 Calculem ( lN,de modo que ú! +(mt)! 5 (m+l)l-m! 16
3 câlcule: ^. I00!+ 10t!
I ConsideÌea expressão: aí{ì = (x + 1)! 2(x - l)! (r + l)! + l0(x l)l a) Simplifique A(x)
l0! + ll! + l2I L, u, ----iì {-
-ãi
4 Resohaasequações: a) x! = 15(x- l)! d)(n-9)!
iìll _3ìl=?j;
b) Kesolvaa equaçãoA(x) = =l
- 4)!"y 181-D!=se
ú-
9 Determine o conjunto vedade da equação (n + ì)! n! õn - (nl l)!-
PROBLEMAS DECONÏAGEM Análisecombinatóriaé a parteda Matemáticaque estudao númeíodê possibitidadês de ocorrênciadeumd€terminado (evento) aconlecimento sem,necessariamentê descíever to. das as possibilidades O esquemadesenvolvido nosexemplosa sêguir mostralodasas Dossibilidades de um acontecimenloe é chamadoárvor€da6 posslbllldadgs 182
f
l9 oxgmplo: Quatrocanos(q, cãca,cddisputamumacorída.Quantas sâoaspossibilidades dechegadapaÍaos trâsprimôiros lugarês? 19lugar 29lugar 3?lugar ordemdg chegada (4posslbllldades) (3possibilldados) (2 posslbllldados) (2,| po€3lbllldados)
lc s l c,r C1
Ì"i
C4
C2
C1 03 C4
/ \
íc, Ì"" {c" !cr lc, (ca
-----------.-..-..-I cr tca íc'
c1
- =' - - Ic;
Ca
c, --_---------
lct Icr Í", Ic2
Ic.
C4
O1 A2
1""
Íc, Ìc. -_- _- - .- ..- .- .[c,
qc2ca qc2c4 qcac2 qc4ca c2 Cl Ci=Ca C2 Ca C2 C4 C2 C4 Ca C1
C{l Ci' C4 C1 Ca C2
Ca Ca Ca Ca Q4 Ca C4 C,í C4
C1 C4 C1 C2 Q2 ê3 C1 Ca Cl
C2 C2 C4 C4 Q1 C1 C2 C2 Ca
f
tc2
que: o núm€rode possibilidadês parao 19lugaré 4. Observe parao 2: lugaÍé 3. o núÍnoro de possibilidad€s paíao 39 lugaÍé 2. o númerode possibilidades o númerolotal de possibilidadês é 4 . 3. 2 = 24.
:..
Fesposla. O númeíode possibilidâdes de chegadaé 24. 2: êxemplo:Numhospitalexistêm3 portasde entíadaquê dão paraum saguãoondeexistêm 4 elevadores. lJmvisitantêdevêse dirigìrao 5?andarutilizando-se de um dos elevadores,De quantasmaneirasdifêrêntespoderáfaze-lo?
1: etapa 2i etapâ maneiras diferentes (3posslbllidad€s)(4posribllld6des) (12posslbllldadqs) le t
ì"i l" t v2
1"" Íer le .
1". que: . o númeíode possibilidad€s paraa 1: €tapaé 3. Observe . o númerode possibllldad€paraa 2: €tapaé 4. . o númêrototalde manelÍâsé3.4 = 12 Resposaáj12mâneiras-
P1 el
Ft az Fr €o Pr €l P2 e1 P2 e3 P2 e1
Fr €r P3 e2 Pi e3 P3 e4
183
r PRINCIPIO FUNDAMENTAL DACONTr'GEM O princÍpiofundamentalda contagêmmostra-nosum métodoalgébricoparâdetêrminar o númerode possibilidades de ocorrênciade um acontêcimento sêm Drecisarmos descrever todâs as possibilidades. podeocorrerporváriâsetapassucessivase independentes Se um acontecimento dê tal modoque: pl é o númerode possibilidadesda 1: etapa p2é o númerode possibilidades dâ 29 etapâ
t
pké o númerode possibilidades da k-ésimaetapâ, então:p1 p2 . . . pk é o númerototal de possibilidâde8 de o .contecimêntoocorrer.
Exemplo: Os númerosdos telêÍonesde SãoPaulotêm 7 algarismos.Delerminaro numero máximode telefonesque podemser instalados.sabendo-se queos númerosnão podemcomeçarcom zero
Resorueão:]IIItrtlI '10
10
'10
10
10
10
Comos algarismos e 9)temos9 oossibitidades difeíenres oe {0,1,2,3,4,5,6,7,8, êscolhaparao primeiroalgarismo(o zeronão podedeí colocado)do númeÍooo têlêfonêe dez possibilidadespaíaos outrosalgarismos. Logq pelo princÍpiotundamentalda contagem,têmos: 9 10 10 10. 10. 10 . 10 = 9 0 0 0 0 0 0 FêsposÍa: O númerodê têlêtonesé 9 000000.
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM | {l aapSP)\um hospiral e\j(temI poÍâ\deen rmdaquedàoparaum âmpìoraguàono qüal exisrem5 eìe\adores. lrm ü5itanredere sediridoselevaBúaoó: andarulilLando{edeum dores.De quanrasmaneimsdilerentes poderá fazêlo?
184
2 6cv-SP1 Um restauranteofereceno cardápio 2 çaladas disrinÌas.4lipos de pralosde carnq 5 !"riedadesde bebidase I sobremesardiferenLes,Uma pessoadesejaumasalada.um pmto de câÌng uma bebidae umâ sobremesa. De quanlasmâneirasa pessoapodeni [a-.eÍseupedido?
f
3 Uma companhiade móveisteÍn dezdesenhos paÉ mesase qualÌo desmhos paÍa cadeiras, Quantos paÈs de desenlÌosde mesae cadeira pode a compânhia formar'Ì 4 Quatrolimesde furebol(vasco Arlérico,Codnthia$ e IntEmacional)disputamum tomeio declassrQua asequaissáoaspossibilidade\ ficação para os trfu primeiros lügares?. 5 Numâ eleiçàode umaescolahá trèscandidatos a presidente,cinco a vice-presidentqseisa secrcádoe selea LesourEiro. Quantospodem seÍ os Í$ultados da eleição?
ó QuaDtascomissõesde trêsmemb.ospodemos formar com os alunos A)Íton, PedÍq Odair e Válter? . \./f:'" 7 Quantosnimeros de tres abarismos distintos podem serformados usando-seos algarismos l,2,3,4 e 5? 8 Oito cami0hosconduzemao cume de uma monlania.Dequanro\modo.umapeççoa pode subir e descerpor caminhosdiferente$ 't
ARRANJOS SIMPLES ArÌanloslmplesé o tipodeagrupamento semrepêtiçâo êmqueuingrupoédiÍerentede pelaoÍdemou pêlanaluroza doselemêntos componenlês. (el€mentos)distintos Ex6mpfo: númeíos podem Quântos dedoisalgarismos serformados usan- -.... 3,4 e 5? do-seos algarismos {elementos)2, 19algarismo (4 possibllldados)
29algarismo (3posslbilidades)
números foímâdos (12númgÍos)
14 t5
l2
l4
2 3 5
l? l;
24 25 32 34 35 42 43 45 52 53 54
queosgÍupog(números Observe obtidosdifêremêntresi: ou olgmenios) . . pelaoÌdemdoselementos (23e 32,porêxemplo); . pelosolomenlo6 (natuÌoza) (25e 43,porexemplo). componentes Osgruposássimobtldossãodenomjnados arÌaniossimplesdos4 êlemêntos lomados 2 a 2, e sãoindicados 4a,2. Daídefine-sê: AÍÍanlosslmplosden elementos tomadosp a p sâotòdosos agrupamentoss€mÍêpêtiçãoqueé possív€lformarcomp (ô > p)elemenlosditeÍgnt€s €scolhidos€ntre osn elomentosdê umooniunto dado Indicase:An,pou 4. 185
. a..) ì
FORMULADOSARRANJOS SIMPLES Quantaspalavrasde duas letrâsdistintaspodemosÍormarcom as lêtrasA. B. C e D? 1i letra (4 possibilidades)
29 letê (3 possibilldades) ÍR
a
là ID
.BN
ÍA
Jc ID
c
BD CA CB CD DA DB DC
B D
IA IB tc
D
palavras Íormadas 3=14 14 AB AC AD.
Obsêrveque: com 4 letrâs,temos: palavÍas de 2lêtías+ com 4 letras,teríamos:palavras d e 3 le t ra s+ com 6 letras,teríamos:palavrâs de 2letras= palavrasde3lêtras+ pâlavrasde 4 lêtras + com n letras,teríamos:palâvras de 2letras+
4.3 4.3.2 6.5 6. 5 . 4 6.5 4 3 n(n - 1)
*,"1|.*o: nl'* en(n- 1)(n- 2) I
patavradsê p t e t ra sr n (n
1 )(n 2 ). . . (n _ p + . 1 )
Genêralizando: O númerode arranjossimplesde n elêmentosem gruposdê p elementosé dado por:
An,p= n(n
1)(n - 2) . . . (n - p + r) I :
An,p * lê-se:arranjossimplesdê n elementostomadosp â o Notêque o dêsenvolvimenlo dê An.o contémp fatores.
UMA FORMULAIMPORTANTE Ca lculando A 7,1, temos:A 7,4= 7 . 6 . S . 4 Multiplicando e dividindopo.3!,obtemos: 7.6 .5 .4 .3t =3r 7t =Ì7 7l ---
3-
4r
Generalizandq temos:An,e= n (n
1)(n , 2)
- p+
t)
f
--\
Multiplicando e dividindopor(n - p)1, obtemos: An ,e=n(n-Í)
(n
2) ...(n-p+1)
!n (n
P )! p)l
'4r=ffi Estatórmulamostraquêosafianjosdos n elementostomadosp a p podemsêrescritos utilizando-se Íatoíiais. Vejamosalgunsexemplos. 19êxomplo:Calcular:a) A6,2 Resolução:a)46,2 = 6. 5 = 30 hr 4 5 .4 + 4 3 .2 _
5.4
i
t 3 2+3.2 4.3 2
-
126 10
63
Fespostas.a)30 29 exêmplo:CalcularE = A7,3+ A3,2- A5,4 Resolução:E = Ar,s + As,z- As,.{
' - (7 3x - Ì3-Zt! - ts - +-[ -
7.6.5.4
44-Z-
3.2.1
3.2.1
54321
120= 96
E=210.r6 Resposta:
At6.+ A" 39 exemDlo:Resolvera equacàor An. 4
o"ïlro". Resotuçâo:
= 9
=n
n(n
1 )(n -2 )(n -3 )(n - 4) ( n- 5) + ( n 4) l _o n (n - 1 )(n- â( n - 3) ( n-4 )(n -5 )+n 4 =n 2 9n+ m +n- 4=9 n2 8 n +1 6 =9 )n '=7 n.^ B n +7 =0 :n ,,=1 .
Co mo n 2 6 -n =7
Âêspostá. S = l7l podemos 49êxemplo: Salgârismos foÍmarcomos algaíismos Quantosnúmeros'de 1,a 3,4, 5 ê 7, sêmíepetì-los? porêxemplo: Resolução:Os númeíosformados devêmtêr 3 âlgaíismos,
trtrFl
Invenendo.se aordemdestesalgarismos, obtemosnovosnúmeÍos,portantqo pro. blêmaé de arranjossimples. Aô,s= 6 5 += t20 Fesposta. FodemosÍormar1m números. 147
59 exemplo:Quantosnúmerosparêsde 4 algarismospodemosformâícom os algarismosO, 1,2, 3, 4, 5 e 6, sem rêpeti.los? Resolução:Fossuimosum total de selê algârismose os númerosque vamoslórmardevem ter qualroalgarismos. Parao númeroformadosér pâr,devêterminarem O,2, 4 ou 6j logo:
TTTtr TtrTtZ Tt]Ttr
.t
nLr t-ltr
Quandoos númerostêrminamem 2, 4 ou 6, eles não podemcomeÇarpor zeío.
trTTtr trT T tr trTItr
;-
Foítantqo total de númerosé: 4 A63 3 As,2 4 6 5 4 -3 . s 480 - 60 420
4
Fesposta. Fodêmosformar420númeÍos. 69 exemplo:Numasalade20 alunos,dêseja-seÍormargíuposde estudosde lrês elementos, que tenhampíojetosdiferentes. a) De quantosmodosdifêrentêsse podemêscolheíos alunos? b) DequânÌasmaneirasse podêmescolheros alunos,sâbendo-sê que dois dos alunosnão podempertencêíao mêsmogrupo? Resolução:a) Comoos projetossão diÍerentes,a ordêmdos alunosé imporÌantê;logo: Am,e= 2O.19 18 = 6840 b) Gíuposem que não entrâ nenhumdos dois alunos: Are,s= 18 17 16 = 4896 Gruposem que êntíâ apenasum dos alunos(A ou B)l A -B --
-A -B -
--A --B
6.4€2=6.18.17=18 3 6 O númerode maneiIaséi = 489 6 + ' 1 8 3 6 = 6 7 3 2 A €,3 * 6 416,2 Fésposta. 6 732rnaneiras. 188
Í
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I calcule: A s.z ^, A,az+ À.r "' &r + Asr ..A( ,+4 ",-4., -' A'0.: Ar.r
| 0 QuaÍìtossãoos númercscompreendidosentre 2 000e3 000.loÍmadosporalgaÍismosdisrintos escolhidos entre1, 2, 3, 4, 5, 6. 7. 8 e 9t
ZSimptjtique:;3.]r:-::j+]a 3 Resolvaa equação4,2 = 12 4 ResoÌva asequaçõès:
b ) 4 - , = 30 c)A4j-À,r-o d)4.,, + A.
1,2+ A"
42- 20
5 Quanbsnúmemsde5 algaÍismos djstintospodemosformar com os algaÌismos1,2, 3, 4, 5, 6;'7,8e9'Ì ó QuanLa!paia\ ra" de J leua\. semrepetiÉo podemosformarcomâs9 primeira.Ìetíai do nos so aÌfabeto? 7 QuantosDúmeros del algaÍhmos.semrepail, 2 ção.podemosformaÍ com os aLgaÍismos 3.4, 5,6.7.8 ef. incluindoseÍnpRo algiarismo 4? 8 Com os algarismosl, À 3. 4. 5 e ó sàoformados números de quatro algaÌismos distjrÌtos Dentre eles,quãntos são divisiveispor 5? 9 Quanrd númeÍosde4 algaÍismosdjsl inrospodemosformaÍ com os aÌgaÍismo.0,l,2,1,4, -167,8e9?
ll considereo conjuntoA = [2, 4, 5,6]. a) Calcúe quaÌìtosnúmeroscom a.lgarismos diferentessepodem formar com oselementos de À. b) Dos númeÍosobtidosno iternanrcrior,drantos sãomúltiplos de 5? | 2 QuantosnúmeÍosde 3 algarismosdistintospodemosformar com osalgaÌismosdo sistemadecimal, sem os repetiÍ, de modo que: a) comecemcom l. b) come€emcom 2 e teÍminem com 5, l3Num carnpeonato {Ìe futebothá 10 eqüipcs disputântes. Sabendose que duas quaisquer entrc essasequipesse enfrentamduasvezese quea rendâÌnérliade cadâjogo é R$ 20 000,00, deteÌmine o total de dinheìro aÌrecadadono finâl do câmpeonato. 14 Cinco homense uma mulher pretendemutilizar um baÌìcode cincolugarcs.De quantasman€irasdiferentes!'odem sentar-se,nuncaficando eÌn pé a mulher? | 5 Um GrãndePÉmio de FóÍmula I vai seÍ dispuLadopor 24pilorcs, dosquaisapenasrÍ€ssão brasileiros. Em quantos ÍesulÌados possiveis dessapÍovapoderemosteÍ ao menosum piloto brasileim figumndo emuma dastÉs primeiras colocações?
189
i
COMBINACÕES SIMPLES . . combinaçãosimplesé o lipo deagrupamenlosem repetiçáoeínque um arupoe dtÌerenre oê ouÌro apênaspelânaturezados elêmentoscomoonenlês Exemplo:Quântascomissõesde 2 pessoâspodemser Íormadascom S alunos(A, B,C, D e E)de uma classe? 19aluno (5 possibilidades)
2! aluno númerode comissões (4 possibitidadês) íO comissôes) .t
B
A_
c
D E
c
D E
c
0_
B D E
c
E
E
B C D
Í
AB AC AD AE BX BC BD BE
CD
AB BD AC BE AD CD AE CE BC DË
DX DE DC EK Eg Efl
queos gruposABe BA representam Obs,erve a mesmacomissáo.Os alunosA e B,nãoimportâa-ordem, formamapenasumacomissião. lstosigniticaqueumãmesmâ comissãofoj contâda duas vezes.portantq o total dã comibsOesé dez l 20 l-'n 12 ,-'" quêos gruposobtidosdiferementresÍpeloselêmentoscomoonen. Observemos tês (natuíeza). não importandoa ordem(posição)em que aoarecem. Osgruposassimobtidossãodênominados combinaçõês simplesdosSelemento stomados2a2. lndica-sê: C5,2. Daí definê-se: C,ombìnâçôes simplêsde n elementosdis.tjntostomadosp a p (n > p)sãolodosossub_ c-onlunlosdepetementosque é possivelformara partirde um conjüirto com n elemen_ ] i tos. 190
SIMPLES FORMULADASCOMBINACOES bastacâlcularo númerode arraniose divì_ PârâcalcularÍnoso númêrodê 6ombinaçóes, dir o rosuhadopor2 t20: 2 = 10),quêé o fatorìaldo númerode elementosque campóemcada comissãoíâ. de gruposde p elementos é igualao númeío de n elementos O númerodecombinações dê aÍrâniosde n elementostomado€p a p, divididopor p!, isto é, ^ p = A ." \'n pi-
nl Ìn -
o)l =
n! Fln - pt!
i
t
-t-
Ci, p - lê-se:combinâçãosimplesde n elementostoÍÌìadosp a p. Veiamosalgunsexemplos19 arêlnplo:Quanta6comissõêsconstituídasde 3 pessoaspodêmser formadascom 5 pes' soas?
Resotução: A6comissóês ÍoÍmadaE d@vsm ter3 pêssoas, norexemnto: f] @ Q pessoaqobtemosa mêsmâcomissáo. Foftâi1,tô, Invêncndo-se a or.demdêôtas píoblema é de combinaçâo = 1,5.3
3!ls:-3Í
5! =Ìl2.,
"I ..24_ = 35 ..13 1"
=10
Resposta: Fodemosformar10comissõês. 29sxemplo: Sobíe uma rêta, m&rcem.$êI PorÌLose sobie ui9â outre rcta, ptraJêli i Fal'iairt.
marcam-se5 pontos. Qrlaçìta6tí,iì!ìgülgo dbblerÍì@6 uniÍìdo 3 qlraisqüÊrdraÈse$ pontos?
Besolução:
Comos trezepontos,podemosobtercl3,ì triângulos. Paíaa retarl + Cs,snão formamtriãngulosporqueestâoalinhados. Paraa reta12 cs,snão formamtriângulos. Fortantqo total de triângulosobtidosé dado poÍ Crg,r Ce,s- Cs,s= 286 - 56
10 = 220
Fêsposta. 220tíiângulos. ï91
'a
39 exêmplo:Umaclassêtem 1Oalunose S alunas.Formam-se comissõesde 4 alunose duas alunas. Determine o númêro decomissõês emqu" pu.tiiip"ã ãúnã'ià naop"nicipa.aalunây. BesoluQão:Devêmosescolheri
3 alunosentreos I rêstantes = c. , 2 alunasentrêas 4 rêstantes = Cj'i Aescolha podeserefetuadade dosalunos C9r maneiras e a êscolhadas alunas. de.C"2.Entâqpetoprincipiotundamentat dac-o"l"s"r, t*;õ;;;;;ì;;oi'J e oâoopor:
t
9! 4l 3t6t 2t 2l 4.3 cs,3 c4,2 = 9.8.7 3 Z i T. j 504
Í
Fesposia. 504comissòes.
EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM'* 1 calcule:
q'l-1 "
Ce.:
+a;
2 R€solvaâ eqüação: C,,+C,,.2=6 3 Resolvaasequações: a)C-,r-C",,2=0
u;f*:'r
=z
4 (FEI-SP)Resohaa equaçãoA5. = 6qj ". 5 rt rpnr se ,{ lo e C: - t{, acheo !ãtor (n + p)! â" -' n! ó Ache n, de modo que Cn*:,,+r=28 7 Calculeo \ãlor d€ x na equação: 4,,I 6 Cx,, =0 8 De quanrasmaneira.podemore\calaÍum ti me_delurebolde \alão dispondode 8 jogado 9 GME-SP)Com l0espécies de fruras,quantos tìposdesalada,contendo6 especies difèrentes poclemserfeitas?
rv Vuanta\\'on ìòe5 com6 Ìnrmbro.podcmos Ìormar com 10aìunôs? rr ìuma,atd.remo,5rapale.e 6 moças. euan_ rosgrupospodemosformar de2 mpazese 3 mo, l2 Em um congresso há 30 físicose 20maÌemaucos.Quantascomissões de 3 fhicose 4 ma!c_ máticospodemosformar?
t
r!, L\umacta\.ede IUe5tudante\. um grupode4 seÌáseÌecionado paraümaexcürsão. De quanlasmdnerla5 ogrupopoderâ\er formadosedois dosclezsãomaridoemulhere sóìÌãojuntos? l4 reja,+umconjunro dc rOpe,\oa.; desas,ap( nas4têmmaioridadeCalculeonúmerodeco mrssões de 3 elemenros quepod€mosforrÌÌar comelemenlo.de A. tendocadacornis.áope_ ro menosuma Éessoa com maioridade l5 Lrnaempre.,e formada po, 6 sócio\braçitel rose4Japoneses, Dequantosmodospodemos ÌormaÌ umadiretoriade5sócios,s€ndo3 brasileirose 2 japoneses? , ló Numa turma de 30 alünos,9 rêm motocicteÌa e ourro,8tèmbicictera. euanto\grupo\dife t aluno.\e podemformarnaquelarur renlesde ma,demodoa ha\ereÍncadâBrupo4 moroci_ cletas€ 2 biciclera\?
192 -'í
! I
17 Numa reunião de congregaçãqem que cada 20 (Faap-SP)Num plano temos 16pontos; 9 deprofessor cumpriment ou Lodos osseuscolegas. lespenencem auma rela.QuantascircunfeËnregistÍaÍam-se 210apeíos de màos,Delermicias podem passarpor 3 quaÌsquerdaqueìes pontos? neo númeÍode professoÍespíesentesà reunião. I I Uma uma contém l0 bolas brancase 6 pretas. De quantosmodosé possiveltiraÍ 7 bolas,sendo pelo menos4 delaspretas? l9 (Mauá-SP)Reunindo-seosobjetosdeumacerLâcoleção(odos diÍerentes entresi 4 a 4),o númerode gruparÌenLos coincidecomo loral de gÍupamentosdessesmesmosobjetos reunidos ó a 6. Sabendoqueos grupamenÌorsedìsÌin guempelapresença d€ao menosum objelodi ferenteèm cadaum deles.d€termineo número de objetos da coleção.
2l Qual o númerode diagonaisde um hexágono? 22 De quanLas maneiraspodemosescolher5 caÍtas de um baÉlho de 52 cartas: a) indìstintâmente? b) as 5 do mesmonaipe? 23 Um examiíador dispõede 6 questõestteÁlgebÍa e 4 de Geometriapara montar uma pÍova de4 questões.QuantaspÍovasdifeÍenteselepode montar usando2 questõesdeÀgebra e2 de Ceometria?
PERMUTACOES SIMPLES Permutação simplesé o tipo dê agíupamentoordenadqsem repetiçáo,em quê êntram todos os elementosem câda grupo ExomploiOuantosnúmerosde 3 algarismosdistinlospodêmser Íormados usândo-seos algarismos(elementos) 2, 4 o 5? 19 algarismo 29 algarismo 39 algarismo números formados (3 possibilidades) (2 posslbllldadês) (l possibilidade) . (6 númeÍos)
I4 l5
4
t2
Ìs l2
4
l4
245 254 425 452 524 542
grupos(números)assimobtidosdiÍerêm Obsêrvequeos umdooutroapenaspela ordemdos elomênlos{245e 254,por exemplo). peÍmulagõesslmplesdos 3elemenOs gíuposassimobtidossãodenominados tos tomados3 a 3 e são indicadosP3.
quea permutação isto Observe simplêsé umcasoparticularde arranjosimples,
DASPERMUTACÕES SIMPLES FÓRMULA quêos arranios Obserue dos3 êlementos tomados3 a 3 sãoas peímutaçóês dos3 elem e n t o sl s, t o ê & 3 = P 3 =3 2 1 =6 Emgeíâ|,temos: An . o= n (n - 1 )(n 2 )... (n - p + 1) 193
t
1)(n 2)... (n . n + 1 )
An,n=Pn=n(n
= n { n - 1 ){ n- 2 ). . . 1 , p o rt a n t q
P í = n (n- 1) ( n - 2) ...1=
n!
Vêiâmos algunsêxemplos: 19exemplo: CalcularE,sendoE = et + e &rh R e s o t ua àEo=p : q +2
P o ^-P o
- E=st
+ 2.6l:41
Í
2l
E=120+ 2.720- 24 E=816 FesposÍar 816 29 êx€mplo:Quantosnúmerosde 4 algaíismosdistintospodemseí ÍóÍmados,usando-seos algarismos1,3, 5 ê 7?
Resotução :f][II
Pa=4! =4.3.2.1=24 Fesposta: Podemser formados24 números. 39 exèmplo:Quantosanagramastem a palavraMITO? Besolução:Qualquêrordenaçáodas letrâsde uma pâlavraé denominadaânagÌama. Comoa palavraMITOtem 4 letras,temos: Aa.a= Pa = 4l = 24 ânagramas Bésposúaj 24anagramas. 49 exemplo:Considerêos númerosobtidosdo número'j2 34S,eÍetuando"se todasas pêrmu. taçõesdeseusalgarismos.Colocandoesses númerosemordêmcrescenre. oual o lugarocupadopêlo número43 521? Besolução:Vamoscolocaraspeímutações obtidaspelosS algarismosem ordemcrescentà
tr u T T T T T tr T L:] I T tr u tr tr u l T tr T T T tr E T n tr tr nu tr fl tr l ls tr L. I L:] tr T;I
T;l
fJ t'I T;-l
i.l fJ
-:-l TI
ll t^ 1 f:t
L:]
Fesposta. Ocupao 909lugâr 194
=
6
=
6
=
2
= -Pz=21 =P1 =1! =
2
-P3=3! -P:=3! +P2=2t
+ 90o
1@ 8S
i
í
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I CâlcrleE. sendoE = ",
- , (=.T-
I
I De quantosmodosdifer€ntes podemsenÌar-se
2 Calcule o valoÍ alem que verifica a Ìelação: P-+m P- 2 3 8
a) se ficarem todas em fila? b) seficaremtodasem fila, masos lugar€sextremosforcm ocupadospelomaisvelhoepelo mais novo?
3 Ouantor"áoo' anaerarnas da oata'raCÀÈ:
9 rt I l-SP)NumcaÍocorn5 lusare.smairdl"gãrdo motolistâviajam6 pessoas, dasquais3 labemdirigir.De quantasmanejrassepodem disporessas 6 pessoas em viagem?
4 Quantosanagramasda palavra EDIïORA a) começamcom À? b) com€çamcom A e termiÍam com E? 5 Quantoaosanagrama. da palarra f NICM A calculg. a) o númem total deÌes. b) o número dos que teÍminam com A. c) o númemdos quecomeçamcom EN. ó Um eíudanreganhounumacomperiçáo quaI roìivrosdiferen|f,sde\4aremalicd, rre,difercnIesdeFísica edotdilerentes deQuimica. Quererdo manter juntos os da mesmadisciDlina, calculouquepoderáenfiÍeirá-lo.numapraleleiradee.LânÌqdemodosdi\erso..Calculees sâ quantidadede modos. 7 Quantosnúmero5de 5 algari(mosdistinto.podemserformados,usando-seos algarismosI, 2,3,5e8?
ll (Mauá SP)De quantosmodospodemosordenar 2 Ìivrosde Matemáticar ldePAriugxêre4 Je fi'ica, de modoqueo( li\ ro, de umamema matéiiafiqu€msemprejuntosq aiémdis-c..osdeFí'ìcaliquem.entreçi..emprenâ me,lÌ (Faap-SP) PeÌmurando osalgarjsmos 2,4e 6 e 8, lbrmamósnúmeros.Dispondoesses número, emordemcreccenrq quâlo numeroqueoc"pa a 22i posição? | 2 (EFE.)Calculeo númerode permutações que podemserfeitascom âsletrasda palavraCAPITUI-O, de forma quenão fiquemj untasdìras vogâise duasconsoantes. l3 l-oimado,e dispo.to\ emordemâlfabèricd l. do' or anagmmas da palavral-SAN,derermi ne a posiçãoqueocuparáa palavraNASE.
PERMUTACAO COM ELEMENTOS REPETIDOS Até agoraestudamospermutaçãocom elemenlosdistintos. Vejamoso queaconÌêcêquandoem umaquantidaden dê êlementoshouvêrumaquanti, dadêde elementosrepetidos. 19exemplo:Consideremos a palavrâCAÀIA.
cAMA(1)
trocandooCpe lo lú(em1)obtemos:N4ACA (2) trocandooCpe lo A(em1)obtèmos:ACMA(3) trocandooA pelo A(em1)obtemos:CAMA(4) lrocandooA pe lo A(em2)obtêmos:N,ACA(5)
Conlinuândocom esseprocesso,obleríamos24 palâvras(P4= 4!),'12dâs quais (1ê 4 são iguais,2e 5 são iguais). repetidas Cadapalavrafoicontâdâduasvezes,no casodê a palavratêr2 letras(Ae A) repetidas. 195
i
2? exemDlo:Considêremos a oalavrâABACATE: Nestecasotemos3letrasrepêtidas.Elaspodemseí permutadas6 vezss(3!),Íazendocom que cada palavrasejaíepetlda6 vezes.C,omoo númerode p€rmutaçõespossíveisé 120(6!),o númerototal de palavrâsé 6 vezesmenor,ou sela,m 6). {.120: Conclusão:De acordocom o expostqtemos: possíveiscomn elementos, "O númeíodêpermutaçôes dentreosquaisumcertoelemen. to sê rêpelêo vêzês,é igualao Íatorialde n divididopeloíatorialde d . .t
Setivermosn elementos, dosquais:d sãoiguaisa A, B sáoiguaisa B, .r sáoiguaisâ C, o númerodo permutações distintasdosn êlêmentos será: P.
=
;! Étl
Vejamos. '19exemplo:Quantosanagramastem a palavraNATALIA? Basoluçâo:A palavraNATÁL|A têm 7 letras,sendoque 3 são iguaisa A, portantq
p:= Ii = 7 6 !.4 ' J ! 3!
31 -840
Fesposfai 840anagrâmas. 29 exemplo:Quantosanagramastem a palavraARITMETÌCA? Resolução:A palâvraARITÌúÉTICA tem 1Oletras,sqido: 2 iguaisa A 2 ìguaisa I 2 iguaisaT
2= portantq cfi,'?' -*$a Besposlar 453600anagramas.
196
= +soooo
-
Í
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Quantos anagramastêm as palavras: a) PATA? b) PAR,ALÈIOCRAMO? c) GUANABARA?
4 Quantosanagramas diferent$podemserformadoscomasletrâsda palavraARAPONCÂ. de modo que a letÉ P ocupesempIeo último lugar?
2 Quantossàoos anagramasda palal ra M Ál FMATICA que começampor logal? (Nãd leve em conta o ncento)
5 Usando uma veza letra A, Ìrma veza letÉ B e (n - 2)vezesa letraC, podemosformar 20 anagramasdiferentescom n letrasemcadaanâgama. CalcuÌen. t
3 Determinea quantidadede númerosdistintos qüepodemosobter permutandoos algarismos
ar13 431
b) 343434
EXERCíCIOS DEFIXACÃO 2ó0 Simplifique:
2óó ResoÌvaa equação: (n!)']- 3n! -18=0
(a + 3)! (a + 1)!
'-''.-aì
2ól Resolvaa eqr.raçâo: ( x + 2 ) ! _r^
2ó2 Sendo.q=
m!
4
-7
1 l,
Ìm +-it I
calcì.emtalqìleA = 2. 2ó3 Seja a funçao (x + l)! x! _ fÍÌr ''' (x + 1)! (x + 2)! a) Simplifique f(x). b) Acheo valor numéricode fpara x = 2 c) Resohaa equaçãof(x) = 4
25
2ó4 Sabendoque n ( IN1 resolvaa eqüação: log [(n - l)!] + log (n!) + los n = - loc(24 + 23 nl) ,._i\
Í 2óZ Numacidadeos númerosdostelelonestèm \,-/ 7 algarismosenão podemcom€çarpor 0. os três primeiÍos constituem o prefixo. Sabendo-sequeemtodasasfarmácÌasosquatro ú1timos dígitos sâozerc e o prefixo Íão t€m digitos Ìepetidos,deteÌmineo númerc de telefonesquepodemseÍinstaladosnasfarmácjas. 2ó8 Uma âgênciade propagarÌdadevecriar o nome de um pÍoduto novo a partÍ de 4 sílabâs significari s,já defmidas.Qualquerumadessas4 siÌabas,sozinhaou combinadacom uma ou maisdasoutÍastÌÊs,podeÍáformaÍ um nom€ atmente,Calculeo númeÍo de nomesdiferentespossiveisde sermontados,semrepe_-tìçâo de silabas. (2ó9lFatec-SP) Uma empresadistÍibú a cadacan\'/ didato a empÌego.rm questionáriocom três perguntas.Na primeim, o candidatodevedecÌaÉr suaescolaridade,escolhendouma das cinco alternativas.Na segunda,deÌr escoÌher, em ordemde preferência, lÉs de $is locâjs ondegostariadetrabalhar.Na últim4 de\r'e e3colherosdoisdiâsdâ semanaeÍnquequeÍ folgar.Quantosquestiotrárioscom conjuntosdifercntesde respostaspode o enminâdor encontmr? _
(2ó5?ara cadaírar seusclimt€s,umaempí€sa uuv liza 5 dígitos. Os aleaÍismosutilizados são l, 2, 3, 4 e 5 (não é permitido Íepetir algaÍismo no mesmocódigo). Exemplosde códigos: \270)etermine o númeÍo de placasde caÍÍo que ''----podem serformadascontendoduasìetrasdisilï5l?lt [+ïiTiTãTil tinLa\ seguida!por trêsalgarismos.com o pÍi" de códigospossiveis. Derermjneo número meiÍo diferentede zeÍo
197
,=,
Í
271(FCV-SP)ExistemapeÍrâsdoismodosdeatingir uma cidadeX partindo de uma outra A. Um delesé ir atéuma cidadeintermediáriaB e de lá atingir X, e o outro é ir até C e de Iá chegaÌa X. (Vejao esquema.)Exist€m l0 estÉdas ligando A a B; 12Iigando B a X; 5 li gandoAaC; SligandoCaX; nenhumaligação entreB e C e nenÌÌumaligação entreA e X. Determineo númerodepercursosdiferen tes que podem ser feitos para atingir X pela prim€ira vez, partindo-se de A. B
E
9
t-
"ï
c 272 nesolvaa equação: A" * 1,2+ An *2,3= 2(4.,3- A.+ r,r)+ n 273 Resolvaa equação: 24.,r+50=Ar.,, 274 t FuveçÌSP)Câlculequanrosnúmerosmútriplos de tÍês, de quatro aÌgarismosdistintos, podem sef formados com 2, 3, 4, 6 e 9. 275 Com os algarismos0, l, 2, 4 e t semos repetir, quâÌìtosnúmeÌoscompÍe€ndidosenlr€2m e I 000 podemosfoÍmaÍ? 27ó CoÌìsiderandotodos os númercsd€ seisalgarismosdistiotosquepodemserformadoscom os aÌgarìsmos l, 2, 3, 4, 6, 7 e 9, determine: quantos a) sãopares. b) quantos sãoímpares. 277 Entre os20 professoresdeuma escola,devem serescoìhidostËs pam os cargosde diretoÌ, vice diretor e odentador pedagógico De quantasmaneirasa escolhapode ser feitat 278 Num acidenteautomobilístico,depoisdeouüdas váriastestemunhas,concÌuiu seque o moÌori.tâculpadopeloacidentedirigia o vei ' culocujapÌacaerâcon.Lj|úda deduas! ogais distintasequatro algarismosdifer€nt€s.eo algarismodasunidadesera o dígito 2. Calcule o númem de v€icülossuspeitosdo acidente,
281 Dadooconjunto I = {2,3,4,5,6i,derermine quantosnúmeroscom algarismosdifeÍentes sepodem format sabendoque: a) iêm quatroaigaÍismos. b) sâomenor€sdoque 4 m0 emúltiplosde5. 282 Considere o conjumoA = [0, l, 4,5, 7, 8Ì. Utilizandooselementos desteconjuntoe sem os repetir, responda. a) Quantosnúm€rosdislintossepodemescre, veÍ com cinco algarismos? bì Denrre05númerosdo irema. quallos \ão t ímpares? c) Quantos númeÍos de quatro aleârismos distintoscontêmos dígitosI e 5? 283 Resolvaa equaçao: An,r=Co.ú 2+lOm 284 (FEI SP) Resolvaa equação:
285 Calculem en no sistema: tAd,,
= 156
28ó Resolvaa equaçâo:
42(c; --c"
=4" ,,1
287 Uma empresatem 5 direrorese l0 gerenÌes. distintasconstiruídas de Quantascomissôes I diÌetor e 4 gerentespodem s€r foÍmadas? 288 tFNU luma embaixada Irabalham 8 brasileiÍos€ 6 estÍangeiros. comissões de Quantas 5 fuúcionáriospodemserformadas,devendo cadacomissãoseÍconstituídade 3 brasileims e 2 estrangeiÍos? 289 Dadasduasretasparal€las,tomam-se? pontossobÍeumadelase 4 sobrea outÍa.Quantos triângulos existemcujos vérticessejam3 dospontosacimaconsiderados? 290 (FEI-SP) Calculeo número de diagonaisdo dodecágono. 291 Dado' 20 ponrosdo espaçqdos quaisnào existem4 coplanares,quantos planos ficam definidos?
279 Considere o conjuntoA = Í0, l, 3, 5, 71. Calculequantosnúmeroscom algarismosdiferentessepodem formar com os elementos
292 Sàodados l2 ponto"em um ptano.dosquais 5 e \omente5 eÍãoafinlados.Quanrostriiingxlos podemserformadoscom véfticesem 3 dos 12pontos?
280 Resohaas equaçòes: a) Cn,, : Cn,3 b) C, + ?,1: ll Ci,
293 GaapSP) Em uÍn câmp€onatodedoisturnos, em que devemjogar 12 equipesde futebol, qual o númeÍo totaÌ dejogos a seremrealizados?
'|98
Í
Considerenum plano l0 ponlos 302 Quantossubconjuntosde 5 cartas,contendo 294 (Vr.ìne\p) €xatamente3 ases,podemserformadosde um ponque4 desses Suponha distintosenlresi. baralho de 52 caÍtas? que dors tos Dertençama uma mesmaÍeía € m al inhados qualsquerdosdemaisnàoesLeia A, B, c, D. E e F. ficamem pá Calculeo 303 SeisDessoas, iom nènhumdosponrotrestanteç. uma ao lado alaoutra, pala uma fotogÉfia. número de r€tas determinadaspor essesl0 SeA e B seÍecusama ficaÍ lado a lado e C e D insisiem em apaÍec€ruma ao lado da oudi\295 Uma salatem 6 lâmpadascom interrìrptores tm, detÍmjneo númeÍodepossibilidades pode-\e quanlo\ modo\ pessoas dispor€m. De s€ tiÍrtas para as s€is independentes menorumadaslâmpadaç ilumlnáìa,sepeìo 304 Numexamgum prol€lsordispòedel0quesdgr'eficar acesa? rõe(queserâoentreglera um aìuno Saben6 quesFes. do-sequeo alunoÉm queresolver 29ó Um carnpeonatode futebol é disputaclo.poÍ pode fazer a quantas difeÌentes maneiÍas d€ s€8rnnÌedeacordocomo esquema m eouiD€s, l9ì Éormarn-se4suposde5eqúpes.Em cada a) não houveÍ n€nhumarestriçâo? Brupoasequipesjogamentresi. oblémse,assim.um campeãode caclagÌupô asduas b) nâopoder€solÌ€Ísimultaneâmente de 8Íupojogamlo29)OsqualÍocampeóe( primeims? dosenlresi, surglndodal o câmpeao c) temquercsolveÍpelo menoscincodassete DeteÍmin€o númerototâl dejogosdisputados' primeimsquestões? 297 Com 12pe.soasadultasentreas quais-háI 305 Quantosanagramasda palâvrdPRoBLEMA comô0anosdeidade,qualè o númerodeco' a) começamcom R? 8 membro'quesepodeformar.de mis\óesde b) começaú com P e terminam com M? pelo me_ modo qu€em cadauma delasfigure c) começamcom vogal? nos uma pessoasexagenária? d) termiíam com consoante? Do cardápiode umaie$a constâ298 (Osec-SP) vam dezdiferentestipos d€ salgadinhos,dos 30ótFaaD-SPlOuanlosanaSÍamaspodemser quarssóquatroseriamseÍvidosquentes.O gariormados comapalarraVFSIIBI LAR.em dearrumararÍN€s.âe serq la que as 3 ÌeirasV E S, nestaorclem,perman€çomencâÌregado so foi inslÍuidoparâquea me<maconllresse çam juntas? 2 fÍios e só de salgâdinhos tipos 2 diferent€s Dequanlormo- 307 Em urn testede múltipla€scolhacom 12queslipo\ doi quentes. dilerenles tões, há 5 alternati\as distintâs, sendouma garçomÌevea libeÍdâdedesedosdifeÍenle"o únicacoíreta Determineo númerodemodos pera a lm!€ssa' compor lecioÍIaÍossalgaaünhos distinlosde ordenarasalteÍrativasdemaDeim instruções? as Íespeitando quea únicacorÍeÌanão sejanema primeira connem a última. 299 (PUC-SP)Nasaraadeumcinema.Iomm qu€ aca_ pessoas filme a o sobre sultadâs40 I, 2, 3 e 4, semÍepeti-los' bavamdeassistir.Osr€sultadosobtidosforam 308 Com os algarismos númerosmaioresque podemos escÍever "x" pes'oasgoíaramdo fiìme 5 osseguinÍes:27 2 400. Det€rminex homensnãogostararne 12muÌheÍesgostarâm' enüE distribuir deseja A g9Ìênciadessecinema as pessoasconsultadas,cinco ingressospara 309 ruEG) Calculede qüântasmaneiraspodem numa serdisposlaç4 damase 4 cavalheiros. um próximo filme De quantos modos pode pessoâ Íiquemjuntosdoìscadenào Íila,deformaqu€ serf;ita essadistribuição, secadâ ' valheircs e duas damas. \€ Í€ceberno Írniximoum incl€ssoeeÌáamente tr€singressosdevemserdadosa mulheíesque 310 (Unicamp-SP) Numa Koúbi viajam 9 pesnão gostaramdo fillne? soas,das qüais 4 podem diÍigÍ De quantas 12 bomaneiÉsdiferentesépossívelacomodá-Ìas(3 podemos qua"to" modos slardar Sôí"Ole --[as distintas em 4 caixas,sea pnmera caxa no banco da fÍente, 3 no banco do meio e 3 3: no bancodetÍát de forma queuma das4 que deveconter 3 bolas, a 21 cai/.a, 5 bolas, a dirigem ocüPeo lugar da direção? I bola? caixa, 3 bolas e a 4i caixa' 3Ol 0TA-SP)UmaunìÂconÉm 12bolas.dai quair i sãoDretase 5. bÉncas. De quantosmodos podemostiÍar 6 bolasda um4 dasquaisduâs sâo bÉncas?
3ll GEt-sP) Formados e drspostosem orclem irescenteosnúmerosqueseobtêmpeímutando-s€osalgarismos2, 3, 4, 8 e9, quelugar ocuDa o númeÍo 43 892? '199
Í