Inequacões trigonoinenricas t
ICA TRIGONOMETR INEQUACAO arcodesconhecido denoÌoda inêquaçãoem quoÍiguraumaÍunçáotrigonométricacom mina-sêInequaçãotrigonomótÍicá. Assim,são inêquaçõestrigonométricas:
t )s enx > f
3)2 sên1( senx> O
z ) c os x <f
4) tgx< 1
TRIGONOMETRICAS DEINEQUACOES RESOLUCAO Vejamos algunsexemplos. Resolvêr a inequação senx > 0, parâ0 < x < 2Í. 19exemplo: Resolúção:
ffi
Observando o ciclo trigonométíicoou o gráficq temos:
s enx >0
êffiffiffi
0<x <í
Fesposfa. S = [x(lRl0 < x < Í]
99
í
29 exemplo:Resolvera inequaçáosên x >
, 't2 ,com0< x< 2Í. 2
Resolução:
ì
\r2 | 2)
2
t
Observando o ciclo trigonomélÍicoou o gráfico,temos:
sèn x> -+
- o<x < + ou! < x < 2r
Re sp o s fai S = Ix €R O <,,.f;ouf ; . * < z o 1 39exemplo: Resolver a inequação cosx < -f , comOç x g 2tr. Resolução:Utilizando-so somentea representação no ciclo trigonométrico, vêm:
DaÍigura,temos:
.c o s<x+ R e'sp o s ta. S = {x c n;i (
4
. r.
- ï .* .1
7," 4) I
4? exemplorDeterminaroconjuntosoluçãoda inequação2 sen2x+ senx _ 1 > O. Re6olução:Fazendo-se 2 senA + senx - 1 = O,veml = 1 +a,--2 ""n* -1 SenX = __: . senx<1 4\ = senx -1
o u " " n rt ]
trx<R
FesposÍa.' S = 100
nr;.".f ["e
j
.ï
59exemplo:Resolver a inequação tg x > Vg paraO< x < 2Í. Resoluçáo:
.i
,:iiri
z
Obsêruando ográficqvemosquea soluçãodainêquaÇaoe: ,. tgx>v3á o u Ë < x < -ã '3 r â -. * . â
.4 :.-. 'l.i:t/ \
:j'
\
I
""2
/qesposÍa. S =
r
t
,/ -,,'
lx €R + <x < ; o u - t < x < + l t
Ãt
1- l
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Resoh,aasseguintesinequaçôestrigonométd. cas,no intenalo 0 < x < 2Í:
a) 2 se n x> -l
d )l se n xl <|
l ) cosx>]
e) 0 < senx< I
c) r gx>l
r t".".t>+
2 G'fÀ-.SP)Resolvaainequaçãqcoqr0 < x < 2Í 4senl - 2(l + V2)senx+ V2< 0. 3Sendo0< x < 2T,resolva a iíequação 4 s mx . c o s x -l< 0 . 4 Acheo conjuntosoluçãoda inequação 2 s e n h+ s e n x- I \ n
EXERCÍCIOS DEFI 159ksolva a inequação."r'*tf,
0 <x< 2Í. ló0 Resolr,aa inequaçãocosx 2
"orn
lóó (Fatec-SP)Resohea inequâção -õì2x- < 2tgx
, para
ló7 runjcampsP) fuhe os!"lor€s dex, com 0o < < x < 360p,taisque2co*x + 5senx - 4 > 0.
lól ResoÌu a inequaçãorg x > - f3, pa.a 0<x<2r.
ló8Resotra a inequâçâo.com 0 < x < 2r: senx > cosx.
o <x< 2Í.
ló2 (Fatec.SP) R€solvaa ineqüâção 0 < I + 2cos2\< 16+ l,pârâo< x < Í. lóil oetermine O < x < 2'rtalquetg lx + +l> 0. \ '/ ló4 Detemined paraquea equação x, + V2r(+ cosá= 0, como < d < Í, não admitaÍaízesreafu. ló5 (Fei-SP)R€solvaa inequaçâo se n x+sen2x-coa2x>O.
ló9 (Fuv€st-SP)Resohaa iDequação |
.
.li
? < s e n d . c o s<0 ï , s e Dd o o < d < n e d emradianos.
170 Guvesr-SP) No inErvalo0 < r < 4. termineo conju[to solução: a) da €quaçãosen2x cosx = 0; b) da inequaçõosen2x - cosx > 0.
d*
171 Sejaa função f(x) (VTcosx+ l) (2setrx - 1.),definida em0 < x < 2Í. DeteÍmineÃdemodoque setenhaf(x) > 0. 101
ffiwwwffiwmffim Mw Kw&ffi wxgex$wm rywm$mryn {
INTRODU O ob,etivoda Trigonometria é a .esoluçãocompletadê triângulospelocálculo. Observeo lriângulorepresentado na figurââ seguir:
Utilizarêmosa sêguinteconvenção: ângulos:letrasmaiúscutasÂ, ô, ô; ladosíespeclivamênie opostos:letrasminúsculasâ, b, c. Todotriânguloé formadopor seis êlementospdncipaisê um secundáÍio Principais 3 lados:â, b, c 3 ângulosinternos:Â, Ê, Ô Elementos sêcundárioárea:S Resolverum triânguloé determinarosseusseiselementosprincipaispor meiooos ete. mentosdadosou conhecidos. Nêstecapítuloestudaremos três relaçõesentreos elemêntosdê um triângulota lel dos sènos,a lei dos co.senose o leotomada ãÍea. 102.
LEIDOSSENOS O tÍiânguloABCabaixoestáinscritonumaciÍcunterência de raioR.
Í
t
Observe,agora: . Traçamoso diâmeiroBD. . A^:;=è1ç ^
e D= +
=A = D
(Â e Ò sáo ângulosinscíitos.) . O triânguloBCDé reÌângulo(estáinscritonumasemicircunf erência) de hipotenusâ BD No À relângulo BCq temos: \2)
s enÓ =+=s e n A = * =
2F=
. Traçamoso diâmetÍoAE.
cA -- = cA 2 -rr= E (Ê e Ê são ângulosinscritos.) . O triânguloACEé retângulo(estáinscritonumasêmicircunÍerência) de hipotênusaAE. No retângulo ACE,lemos: ^
(3)
se nÊ=+=senÊ=+
. Traçamoso diâmetroAF. ââ
. c =Ë eÊ=+ -Ò = (Ôe Ê sâoângulosinscritos.) . O triânguloABFé retângulo(estáinscritonumasemicircunÍêrênciaì de hiootenusa AE 103
ffi
ffiffiffi
Notriânguiorêtângulo ABEtemos:
sen Ê=+ +sê nÔ=+ + (1),(2)e (3),temos: Comparando âs relações
r Daía lei dos senos:
Exemplo:No triânguloseguinte,calcularâs medidasx e y indicadâs.
Resolução:A medidado 39 ânguloé 3Oo,pois 180o- (i35" + rSo; = 36" = Usando = --- --- a lêidos - -----senos: -- s ê"-=: n 3 0 o ---+: s e n1 3 5 0 - sen15o
Comosen30o= +. sen135o= + remos:
e sên15" =
=È =ÉE +E ,l 2 xx 1 =.tZ =Z =t)x=z
+2 4 =6:E'+ = f t 1 Re9posta: x = 2e y = 16- t 104
= y = o- r
.t6 t2 4'
v
EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM 'l Dado o triânguloda figum, calculex e t
4 Determine o. ángulo,B e a de um rriánsul ABC. Darao auâl À - l5'. ,en Á senc =;.
'-'
.
5 (Fuv€st-SP)Em umiriânguloABColado AB mede4\[eo;nguìoC.opo'ÌoaoladoqB rne que de45' . Determineo raioda ciÌcünferênciq circunscreve o triângulo. 2 \ um r Í iáng u ÍoAB C . B c -
'"
2
'-
I0 . . b
";
Í
ó O úiânguloABC éinscritoa umacircunfeÉn' ciaderâioR = 2,comomostrãafieuraseguinre.Ses çn à ,en B,c"l(uleo \alordc 5.
,
.C a i c u l e a s m e d i d a rd o (á nB U
los  eô.
= 4m,BC = Jme
LErDOSCO-SENOS o ângulo quando: Sejâum ìriângulo ABCqualquer e consìderemos . O tÍiânguloABC é acutângulo
BCH,temos: No  retângulo a ' z = h ' ? + (c m)2 No A retânguloACH,temos: b 2 = h 2 + m2 )h 2 = b 2 m2 temosl Substituindq a 2 -b 2 _ m2 + (c m)r+ à 2 -b 2 + c 2 _ 2 . c . m No retânguloACH,temos: ^ c o s A = ï = m= b . c o s A Substituindo, temos: a 2 = l> 2 + c 2 2 b c c o s Â
a
. O tÌiânguloABC á obtusánguloe  é obruso No  retânoulo BCH,temos: a 2 = h 2 + (c + m), No a retânguloACH,temos: l> 2 = h 2 + m2 -h 2 = b 2 m2
h
1800
Substituindo, temos: a 2 - t o 2- m2 + (c + m)2 a 2 = b 2 + c 2 + â . c . m -
E
No A retânguloACH,temos: cos( 'Í8 0'  )= cos =f
*m=
g çs5A
Substituindq temos: a 2 =b 2 +c2 +2.c ( b.cosA )
Da demonstraçáoÍêita,podemosdizeíque:
Forextensão,a lei dos co-senos,também,permiteescrever:
Êxêmplo:Doisladosconsecutivos de umparalelogíamo medem6 cm e216cm.Sêcadaângulo aquoooo paratetogramo mede30o.calcularas medidasdasdjagonais. .Fesolução:. Cálculoda medidad1da diagonatmeno.:
d:,= 62- e,fs),- 2 . 6 . 2!6. cos3oo
d1= 3a+ e- - 24\ 5. + d ? = s6 + tz- so
a1=e
t
tI I
dr = 2r€ cm 106
Í
. Cálculoda medidad2da diagonalmaior:
dl= 6'?+ (2{3)2 2 6 2,riJ cos 150' d; =36+
- 24t3 l
V3
o!=so+ 1 2 +36 d7=at dz = 2'tT cm
f
t
Respostar As diagonais medêm2Ì6 cmlmenodê 2úJ cm (maior).
DEAPRENDIZAGEM EXERCÍCIOS I Num LriànguloABC, b - 4 m. c = r6m e  = 30'. Calculea rnedidaa. 2 Calculeamedjdac indicadana ligura.<abendoquea:4b:3\tee=45'. A
dois ladosconçecuritos @ \um paralelogmmo. medem7 cm e 4 cm e a diagonalmenormede J37 cm.CaÌculeasmedidasdosâneulosdesse pamÌeÌogÌamo. ó (\ unesp,Provequenáoè po\sivelcon\ ruir um triângulode ladosa = 2eb = I, demaneÍa que o ângulo comprcendidoentreos Ìadosa e c tenhamedidaigual a 45o. TNum ldângulo ABC temos:a = I + V3, de"e b - 2eC - 30'. Calcule o perrmetro tÍiângìlo.
3 No triângnlo ABc da figum, calcule coso.
c
de 8 L m triángLrto inscÍitonumacircunÍerencia raio igual a l0 cm determina,nesta,três arcos cujo.comprimenro.\ào prcporcionai'aosnúmeros3,4e5.
DeteÍmine: 4 ConsideÍe o triângulo de lados indicados figuÍa.
x2+x+i CaÌculea m€dida do ângúo d.
â) os ângulosdo triângulo; b) os Ìadosdo triânguL;I (Jnicamp-SP) A águautiÌizada na casade um \irioécaptadaebombeâdado do paraumacaixâ{':igüaa 50m dedisúncia.Acâsaeúi a 80 m dedistâÌciada caixa-d'ág!aeo ànguloformado pelasdireçõeò cai,\a-dásuâ-bombae cai,\ad'água-casaé de 600. S€sepretendebombear águado mesmoponto de capÌaçãoatéa câ(4. quanÌo\metrcsde encandmenro 'ão necessã rios?
107
ÁREA DEUMTRIÂNGULo Consideremos: . O triânguloacutângulo ABC da figuraseguinte:
sabemosque:S =
Al
#
Notriânguloretângulo AHC(Hé rêtouÌemos: senô =
f
+ h = b senô( 2)
Substituindo (2)em{1),têmosl Lr
ì
-
._ â.{b.senô) " --. , --
.=
1-,ü
. O tíiânguloobtusângulo ABC(Ôé obtuso)da figurasêguintê:
queS = Sabemos #
A,
No triânguloretânguloAÉÍC(Ê é reto)l
sen(1800 - Ôl= -fi
-
senc= f h = b.senÔ
Substituindo (2)em (1),temos: c
a (b senC) _ 2
ê _ a o .sênu
v_j
Dasdemonstracões Íêitâs.temosl Numtíiânguloqualquêí â áreaéigualaosêmiproduto dasmedidas dedoistadospelo senodo ânguloformâdopor esseslados. Entãq por extensáo,podemosescrever:
c"-
b.c.senÂ
T
ExoÍhplo: Numtíiân9uloABC,dois ladosmedem1Ocm e 6 cm ê Íormamentresi um ânoulo de 60'. Câlculara áreado triângulo ABC. Feso/uçãor Supondo b = 10cm,c = 6cmeÁ = 60ô,temos: b.c.sen 2 Aesposla. S = 1519cm2
+S=
10'6
Sen60o =S
ou ìt S = 1516cm2
t
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I Ache a árca do triângulo da figua.
3 çqlcule a área-dotriânguloABC, sendo AB =4cm,A=30"eC=45". 4 Num tíânsulo ABC, b = \f:, c = r''e S = 19 . Calculea medidado áneuloÁ. 5 Qualéaáreddeum ü iárBUlo i.ó,cele'noqual cadaladoconBUenlcmcdcl0 rm e o ánúlo adjacenteà basemede?5o?
2\2m no quâldoi' 2 Qualé a #ea de um pamlelo8mmo ladoscoÍLsecutivos medem7 cm e 5 cm, sâbendo-sequeelesformâmÌrm ângulode 120'?
na li172 Achea medìda do ánguloà indìcado gura.
ó I InalclrO perímerro deum Indngulo eqúrlatero ABCmedeoOcm. Prolonsa^e a ba.eBC e Ir cn . româ.e Cç 'obreo prolongamenro ç aopoFlo\4. meiodolldo AB. I iga-,eoponro N è a inrenecçào do ìadoACcoms\í. adìcüì. a áreado quadriláteroBCMN.
a) SeAB = 3 m, calculecos(!. b) Se6 = AÊC, opostoao ladoAc, for 60", calculesenc. 175 NuÍÍ I Íiánsuloi.o.celes, a ba'emede\ eLddâ ìadocongruenremede). Sco ánBuìo oJìo.ro à basemede1200,caÌculey cm tunçãode x. l7ó rMdck-sP,Dorslado\con'ecurivo. de um medem8 me l2meÍormam _ pâralcìogmmo um ângulode 60'. Calcül€as dìagonais.
| 73 No tÌiângulo isósceìes da figuÍa, calcuÌecosa.
l77os tados de um triângulo formam uma progressão aritméÌicade razâo I e o major ;nguloéodobrodo menor. Derermineo\aìo dosÌadosdessetriângulo. 178 Numlosaneo ABCD a somadasmedidas dos ângÌlosobtusosPé o triplo dasomadasme didasdosângulosaaüdoso.
174 NumtriâryuÌoABC-temos AC : 3 m, BC = 4 meo = B A C.
Sabendoque a sua diagonalmenor m€de d cm, câlcule: a) asmedidasde a e É; b) a medidade süaarestax. 109
r 179 Um nariona'egano rumoF (le,re,quanoo uma luz é observadana maÌcação 60. NE. ApósnavegarI J00merros.a luzpas5aa ser vistaaos45'NE, conformeindicaa figum. Delermine a menoídistància a queo na!io passaráda lü2, se o rumo for mantido, Dado senl5o = 0,26.
182 Achea áreado
ABC quandoA ^ AB = 6eAC = 5.
L(l uz)
t | 83 (Mapofei-SP)As diagonaisde um paÍaleto, gramomedeÌnl0me20melormamum â,' gÌrÌo de 60'. Ache a áreado paÉlelogramo. 80 Na figuÍa indicada,calculex e i. Dados:
BÂc = 30. BD - 6 ú m AB = 6m
l8l se;ao triânsulo da figura, onde b = ri6 + V3eA = 45'-
4 Calculea medidado ladoa e osângulosÊ b) Calculeo raio R do cin:ulo circunscrito e a áreaS do triângulo.
11 0
| 84 Num triânguÌoìsósceles debase6 cÍrì,ô ângu10opostoà basemede120". Calculea áreado trìâneulo (Sugestão:usandoa lei dos senos, caÌcÌ e a medida de cada Ìado congruente) 185 Considere os rriângulosTr e'1, abai\o indicados.Sea áreado triângnlo Tr é 3 m,, qual seráa áreado tdângulo T2?
IABUA DGRAZOESÍRIGONOI/IËÌ[ICAs
1oò 110 120 130 140
16" 17" 18ô . 190
20. 22a
23 25" 270 280
2s" 300
340
35" 360
38" 39" 40.
430 45a
0,017 0,035 0,052 0,070 0,087
1,000 0,999 0,999 0,998 0,996
o,o17
46.
0,035 0,052 0,070 0,087
48. 49. 50.
0,105 0,122 0,139 0,156 0,174
0,995 0,993 0,990 0,988 0,985
0,1 0 5 0,123 0,1 4 1 0,1 5 8 0,T 7 6
5to
0,191 0,208 o,225 o,242 0,259
0,982 0,978 o,974 0,970 0,966
o,276 0,292 0,309 0,326 0,342
0,7'19 0,731 0,743 0,755 0,766
0,695 0,682 0,669 0,656 0,643
1,036 1,072 1,11 1,150 1,192
540 550
o,777 0,788 0,79S 0,80s 0,819
0,629 0,616 0,602 0,588 0,574
1,235 1,280 1,V7 1,376 1,428
0,194 0,2 1 3 4,231 0,249 0,268
56" 57. 58" 59" 60"
0,829 0,839 0,848 0,857 0,866
0,559 0,545 0,530
1,483 1,540 1,600 1,664 1,732
0,961 0,956 0,951 0,946 0,940
0,287 0,306 0,325 o,344 0,364
610
0,875 0,883 0,891 0,899 0,906
0,485 0,469 0,454 0,438 0,423
0,358 0,375 0,391 0,407 0,423
0,934 o,927 o,921 0,914 0,906
0,384 o,404 o,424 0,445 0,466
66" 67" 68"
0,914 0,921 0,927 0,934 0,940
0,407 0,391 o,375 0,358 .o,342
2,246
0,438 0,454 0,469 0,485 0,500
0,899 0,891 0,883 0,875 0,866
0,488 0,510 0,532 0,554 o,577
714 724 734
0,946 0,951 0,956 0,961 0,966
0,326 0,309 0,292 o,276 0,259
2,904 3,078 3.271 3,447 3,732
0,515 0,530 0,545 0,559 o,574
0,857 0,848 0,839 0,829 0,819
0,601 0,625 0,649 0,675 0,700
76.
o,242 o,225 0,208 0,191 0,17 4
4,011 4,332 4,705
790 800
0,970 0,974 0,978 0,982 0,985
0,588 0,602 0,616 0,629 0,643
0,809 0,799 0,788 o,777 0,766
4,727 4,754 0,781 0,810 0,839
8'1. 82" 83" 84" 85"
0,988 0,990 0,993 0,995 0,996
0,156 0,139 0,122 0,105 0,087
6,314 7,115 8,144 9,514 11,430
0,656 0,669 0,682 0,695 0,707
o,755 o,743 0,731 0,719 0,707
0,869 0,900 0,933 0,966 1,000
860
0,998 0,999 0,999 1,000
0,070 0,052 0,035 0,017
14,301 19,081 28,636 57,290
520
53.
62. 63. 64. 65.
690 704
750
74.
a7a 880 89.
0,500
1,804 1,881 2,050 2,145
2,475 2,605
ttl