Euuacões trifonbmétricas t
TRIGONOMETRICA Todaequação emqueíìguraumafunçáotrigonométrica, com arcodesconhêcido, rêcebe o nomede equaçãotÍigonomólrica. Assim,são equaçõestíigonométricas: '1) se n x= 0 4) cos( 2x- ã) = 1 2 ) co sx = ]
5) senx.tgx + 2cosx = 2 6) sen2x+ 1 = 0
3)2senx - cosecx = 1
Chamam'se soluçãode umaêquâçãotrigonométrica os valoresdavariável, casoexistam, que satisÍazêma equaçãodada.
RESOLUCAO DEEQ
oEsTRtGONOITIÉrntcm
.a)Equações da foÍmasenx = m,com -l < m < í Vejamosalgunsêxêmplos. 19exomplo:Resolvera equaçãosen x = 1. Resolução:
Pelaíìgura: ---
2
Daí:
l ì
1 - se n f- l I
sen
-" 2
A soluçãogera Í ) ral da êquação
x=i = R e sp o s ta.S x =f fx en 88
+ 2 k ',ke 4
+ 2k*
Kaz
a equaçãosen(3x- Í) = 29oxgmplo: Resolver
+
Resolúçâo:
-- 6 L .L
sen(3x Í) = sen+ 3y
ou
+ zxr
n =(
3 x=(
t
2"-a
+
" +2 kr
+ 2 kÍ 3 x=Ì! 't3r 2kr ^- 18 ' 3 B ê s p o s l áS=Jx<R . l x=Ë
sen(3x- Í) = "unf t# 3x Í= + 2kr ex=f
+r+2kr
3 x= - t
+ 2kÍ
17r
+Soux =t{
2kr
+!,xcit,
DEAPRENDIZAGEM EXERCÍCIOS I Resohãasseguintesequaçõestrigonométricâsl a)senx=t b)2senx - /, = 0 2 Derermineo conjuntoreÍdadedas seguintes equações: a)2senx+l =0 b)2sen2x = I 3 Acheo conjunrosoluqio dasseguinlesequaçòes trigonométricas: . l^ r\ v5 a)sentzx- . t:--.] \ ,11 b)sen(x - Í) = Ë
4 DeteÍmine o €onjunto soluçãoda equação lsen2rl-! 5 ResoÌvaa equação \D senx + t :0 equaó Acheo conjunroverdadedasseguintes ções: a)sen2x=0 b) sen4x = I c)s€n5x:2 7 Calcüle os €lores reajsde \ que sarisfazema equação:
,;=
Í
b) Equaçôêsda íoímacos x = n, com í < n < 1 Vejamosalgunsêxemplos. 19exemplo:Resolvera equaçãocos x = 4. 2 Resolução: Pêlafigura:
=
4
"o.*
ou4 =
,tatt COSX=+ I
=
f ou
b/ "o"/-+ì \
,
c os x= c os- ì
-íË J=
ì
"o"*=4
,
r - {lÌì' "o "* = - "{--Ë) +z = ""3 \ ol Daí: .x=*
),
Re sp o s ta: S=
i x (R l x
+ 2kn
ou .x= = tf,
l- x= tX Ë + 2 kr J
+ zxn
+ ZX",XcZl
2?exemplo: Rêsotver a eOuaeao cos {f
t x) = O.
Resotução:(+ * =o * *") = *"(" """ ") "o"(á
oaí:f + x.=f Besposta: s =lxtx=f r r,"]
)
+f
* x") + t< "-x = *
+ k'.
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I Resolvaasequações: a) cosx =
ï b) co ssx= I c) cos3x = -1 ar co s{} + x) =r e t.o sí* 90
-*ì =o
2Determine o conjunro soluçãoda equação lcos1r' 9 = L 3 Resohãass€guinlesequaçòesIrigonomélrica!. a)2cos3x= I l
ur-,/,- 91= $ \ " ,1
.t c,*sf_;,f=;
t
c) Equaçõosda Íormatg x = t, paÍa lodo I real
Vejamos o exemplo. Resolver a equação uaçãotg à = Resoluçáo:
,\
= tg Pêlafigura:1€ +
o
ta2x = \,9 l
= *+
l9esposta.
I
-!L (
ts2x= tsá
's = + +kÍ+x=+ ++ Daí:2x
3 '3
i-
I
R l x =+
+ k+,k<zl
EXERCICIO DEAPRENDIZAGEM ResolB ar seguintesequaçôestrigonométdcas: a)tg3x=l
rE "ì i" ), =
e)ts (2x - Í) =
b)tglx-:l=l
d)tg 3x -
0tg4x=0
15
1
EQUAçÕES TRTGONOMÉTR|CAS QUE ENVOLVEM ARTIFICIOS Vejamosalgunsexemplos. 19exemplo:Rêsolvêra equaçâosec x = -2. I Resolucào . Comosec x = . têmos: cos x
=-' "a1-=
-2 cosx
1
co sx = -{. . Devemos, ênlãqíêsolver a equação equivalente cosx = - f . 91
Fêlafigura,temos:
.co sx= co s+
2r
ou
/
.co sx= co s+ !j
\T o
Da ír .x= { r zx"
2,
ou ^
t
+ 2kr
"+[
t
/g e sp o sta.S =
xlx=
2j
+2krou x =
t Z X , . x rZ
{
29exemplo: Regolveíaêquação2sên2x5senx + 3 = O. Flesolução:Estaêquaçáoé umâ equaçãodo 29 grauem sen xl
(a = z 2 s en2x - b s ênx + 3 = o 1 b = - s
i" =e I
À=b2_4ac=
_la t ís"n ,, = {. lessevarornao convem,pois """ " 1<senx<1) I
x= l isên Devemos resolver a êquaçáo sênx = 1.
t = senf
= s e n x= se n f
F e s p o s faS : =L x(R l x =S
- x= f
+ 2kn
+2 G,kczl
39exêmplo: Resolver a equaçáo sena + 4 cosx = -4. Resoluçâo:Inicialmentê, lamostíansÍoÍmar a equagão dâdanumaequivalente do21grâuem cosrx.substituindo sen'x porI ,- cos.x (lembre_se de que ? sên- x=^1 cos.x) l se nx+co s-x=1 1 -co szx+4 co sx= 4- - 9o,s2x + 4cosx +S= O cos- x- 4cosx - 5 = 0 (a = t co s'x-4 co sx S =0 lb= 4 = s {.c pois -1 < cosx < Ì convém, cosx = 4 * 6 {cosx = 5 (e55gv21q1não = -1 {cos x Dêvemos, entãq resolvêra equaçãocos x = -1. cosx = -1 ì = cosx = c o s Í x = r+ 2 k r r _^ ^ .-l ' - """ 'l Fesp o slá. S = lxC Rlx = t + 2kr . k c z ] 92
t
Resolver â equaçãosên3x = cosx. 49exemplo: . Comocosx = Rêsoluçâo:
- x). vamoslransformara êquaçãodada "*(+ quecontémapenasumaÍunçãotÍigonométrica x: equivalente se n 3 x= co sx é se n 3 x= *"( r u
. Resolvendo sensx = sen,(f a equaçâo 3 x.=i - x+2 kÍo u .-=" (á
- x),temos: x) + zr ,r
x= f + rf
x= f
Í
t
2x= + + 2 kr
4x=+ + 2kr
+ t< "
kËoux = ï Ã +
Pê s p o s t â : s=[x<R rx=
-)
+ hr ,k( z
sênx = 0.
Resolver â equaçáosen2x 59exemplo:
dâdâ,sen2x por2 senx cosx: Besolução:Vamossubsliluir,naequação 2 sênx cosx- senx=0 = se n 2 x- sê n x =0 se n x(2 co sx 1-)=0 colocandosên x êm evidência
(1)sênx=03x=kn
{ a 2 c o s x 1 = O- 2 c o s x= t - c o s x= } = o " o " * = c o s + o u c o s x= á) "o"* ] -"{ DaL.x = + + 2kr
) /
o
trt
\\z
ou
/
/
.x=-++2kÍ
/ 3
Hesposra.s^( =
ix
.r 2kÍoux= -i
x = l(Íoux =
* zx")
sen2x + s€nx = 0.
Resolveí a equaçãosen3x 69ex€mplo:
Agrupando os termos,temosì Resoluçáo: (sen3x + senx) - sen2x= 0 vem: êmpíodutoa somaindicadanosparênteses, Transformando-se
z sen$fì!
.
3, "o"
t
I
senzx= o
2 se n 2 x.co sx- se n2 x = 0 93
Colocando-se sên 2x em evidência: senà(2cosx
1) = 0
sen 2x = 0
0u
2cosx - 1 = 0
2x.=k.Ì *=
cos' =
]
co sx= co s+
";"
x = 1ã
FesposlaS j =[r.m
" =k.f
oux= -+3L
+ 2kÍ
t
+ 2kÌ,k< z)
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I R€solvaasseguintesequaçõestrigoriomérricas: a)cosecx= -râ b)cotgx = -1 c) sec2x = 2 2 Derer.mine o conjunto soluçáoda equâçâo 2 sen'ì - 6senx - 8 = 0 3 Resolvaas equações: a)2cosA 3cosx+l=O b)cos\ + cosx = 0 c) sen']x senx = 0 4 Cajculeo conjuntosolucãoda eouacào 2 senax- 3 sen\ + t: o 5 Ach€,o con,unto verdadeda equaçâo 2senrx+ 5cosx - 4 = 0 ó Resolvaas equações: a)cos'?x=l-senx b)3cosx=3-senâ 7 Resolvaa equação2 senx - cosecx : 1 8 Resoh.?as equações: a, sen4x = cos x b) cos3x = senx c) tg 2x : cotg x 9 Resolvaar equações: a)sen2x+senx=0 b)cos2x + cosx = 0 94
l0 Resolvaa equaçaosenx
cosx = 1.
ll Resolvaa equação senx = senx + I 12 Resolvaas equações: a)senx tgx+2cosx:2 b)2senÍ + cotgx = I + 2cosx 13 (Mack-SP) Resoh,aa equaçào: 2 senzi + 6cosx - cos2x = 5 14 (CesgÍanrio)ResoÌvaa equâção ICOS\+ Senx)' = t I 5 (Vunesp)Detennineum \ìalor den < N*, tal que - selasoluçãooa equaçao: 8cosa0- 8cos,d + I = 0 ló Resoh.ãa equação senx (2 - sen2x) = cosx . sen2x 17 GEI-SP) Sendotg x = t, pro\a-se que cos2f - l -!t+ta) Ache sen2x em função de t b) Resolvaa equaçãosen2x + cos2x = I l8 Aplicãndoas fórmulasde tmnsÍormaçáo em pÍodutq Íesolvaal equações: a) cos7x + cosx = 0 b) sen5x - senx = 0 c) cos9x = -cosx d) sen4x + s€n2x = 0 e) cos5x + cosx + cos3x:0
t
DADO NUM INTERVALO a soluçãogeralde umaequaçáo tíigonométrica. a d€lerminaí Aprendemos trigonométrica numintervalo umâêquação dado: Veremos, agoíâ,comoresolver 2 secx = tgx + cotgx,paía0 < x < 2Í. Í9 exêmplo: Resolver a equação 1 .ÌOX = -e CO t O X= . : . le mo s ' Resolução:Comosecx = cos cosx senx x ' '
cos x sên x
_99!r cosx - cosx
2 cos x
senx cos x
2senx
t
t
cosx sên x sen2x+ cos2x
senx.cosx
senx.cosx
2senx=1= ""nr ,=| Inicialmentq vamosdeterminar a soluçáogeraldestaequaçâo:
]
+ ..' ^
o senr = senf, ou
ô
.x = * ou .x=+r
o
+ 2kr soluçãoOeral
+ 2kÍ
Dêlerminemos, agora,osvaloÍesdexnoIntêrvalo dado0 < x < 2r, atÍibuin. do valoresparak (k € Z)ì
x=+ + 2 o Ì Parak = 0 -
P âíak = 1-
x=Ë
+2
0
x= 4 tr
x=+ +2 1 r -
t=+
+2Í áx=- =: (nãovalepoisx > 2Í)
x=Ë
x=+-
+ 2r - x= - :+ (nãovâle,poisx > 2r)
12
1 n
-
Resposra: s=l+ *l 95
29 êx€mplo:Resolvêro sistema: x + sen y = 'l ísen
lx r
y=
y)( á,com(x, Io,2Í1.
Resolução:Prêparando o sistema, temosl fse n xtse n y=1 -
ísenx+ seny= 1
O
l - * r = â - 1 " = ïv@ Substituindo-se Oem O, vem: *" (á
-,
+ se n v= 1
se n f.co sv
co sf
I
senv+seny= 1
co sy + sê n y= 1 " /ì se ì{ +se n y= 1 Ji -seú = r seny Elêvando ao quadradqtemos: 1 se n 2 y=1 2 se n y+sen2y 2 se n 2 y-2 sê n y=O se n y(se n y- 1 )= 0 -seny = 0ouseny= 1 No interyalo [0,2Í], y = 0 ouy = i Daêquaçâo@, vem:
y=0,x=+ y=+-x=o Besposta:
'=[(',á)'{á,q]
EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM I Resoh.âas equações: a)sen1 -.en r 2 = 0.para0 < y < 2, = b)2senx tg x, parao < x < 2tr .2 Resolvaa equaçãocom 0 < x < 2tr: 2lsenx 2-5lsenx +2=0 3 {faap-SPtnche o: porsireis!aloresde o rea, com 0 < d < 2r, paÍa os quais â equaçâo x'- xV2 - cosd = 0 admiteumaraizdupla 4 Considere a funçãot(x) = senlx + + zl I \ a) Acheos\.ãloresdex € [ - 3Í, Í] pala osquais a função f assumeo !ã1or máximo. quel{d) o) sâDenoo
e,Í < o <ï. T = calculeo !"lor de A sencr + cosa.
, aI 96
5 (Faap-SP)Resoh,"a equação 2cosrx- cosx = 0, sendo0< x < Í ó Quaissàq deOôa 360', osarcosquesatisfazem
àequaçao: sen,($) \.
|
7 Resolvâa equâçãotgâ
\z -.í*ì
I
= lr
3tgx + 2= 0,no
;nrewao[0,] l. +l t
8 Ga.ap.SPì Resoh,"aequaÉ|oÌg x
2\m\ = 0;
o<'<á. 9 DeteÍmine o conjuDto solução dâ equâção Lg2x + 2senx = 0, noitrÌenãjoo < x < 2r.
t
| 0 letermine x, com 0 < x < 2Í, sabendoqu€ â s€qüência(cosx, cos2\ cos3x) éuma progressão âritmética de mzão não nuÌa. sugestao:taça coszx = r cos-x r cos3x = 4cos'x - 3cosx ll Determine o conjunto solução da equação 2sen\ - s€nxnointenalo0< x < 2Í 12 Determineo menoÍ valoÍ positivo de x pam o
15Conçidere a funçâoI real.de !"ria!el reâI. f(x) = 2 cos(2Í x) + I a)calculet(3r) + f l-+ l \r
b) Resolva a rquaçàoÍ(u
+
/
\z
rí \
x(l-í,Íì
ì .|. I4/ .ott I
ló (Cessranrio) Resolvaa €quação cos2Y | 2sen'x + 2 - 0,com0 < x < 2,r | 7 Resolvaa equaçâosen5x - sen3x - Éenx = 0, . no intervalo 0 <x< Í.
qualg "'" = T 13 (FEI-SP) ResolB as equações: a)cosx+cos-x=
4;
tr<x<tr
b)senx + se*} + sen3x+ ... = 1; 0.*.á 14 calculex ( N e, € R, taisque í3sen0 = 2x - I = x - 2 Ì cosp
f
| 8 (Mauá-SP) Determineo coniunio soluçãoda equaçãosenx + sen3x = 2s 2x, com
0< x< r .
19 Resolva a eouacâo.en I rcosr t e Na lo 0 < x < 2 Í .
t.norn-
20 Resolvao sisterna: f s e n x= 2 s e n y = lx y 60', cornx, y € t0,2Í1.
EXERCÍCIOS DEFIXACAO I23 naotra asseguintes equaçò€s |Íigonoméúi€as:
u r " .n\ lz x +* l =t J/ o
u lse n lx ]l =
124 Determineo conjuntosoluçãoda equação zse n Íë + 30'ì + I = o \l
I
125 Acheo conjuntoverdadeda equação se n Íx+ *l
zl
\
sen{2x- tr) = o
| 2ó ResoÌvaas equações:
a l . o s l x-*lJ/=o \
b) cos2x = I 127 Sejaa função Íeál, de variávelÍeal, f(x) = I - sen5x. a) CaÌculeo doÍúnio eo contradomíniode f. b) DeteÍmine os zerosde f(x). c) Acheo \aloÍ máximoeo !ãlor Íúnimo de f. d) Bsboceo gúfico def(x) no int€n"lo [0,2Íì.
128 Sejaf a função de vaÍiávelÍeal definida por (2x) + 2 f(x) = 4 s:en gemldoszemsde f, Determìneumaexpressão 129 Dadaa funçaofur = -tf tel2x calculex, d€ modo que f(x) :
a' <l v;
| 30 S€jaa função f, defiúda em R por f(x) = 2 + 3cos(5Í + x). a) Caiculeos valoreçde x € R paraasquâis a função f assum€o valor mínimo. queÍíxì =-j b) Sabendo
ei
<a<
r.
calculeo \ãlor de sen(o + Í). l3l Resolvaa equação 2così+cosx l=0 132 GaaÈSP) Ìaesohã 4 sen\ - llsen\+6=0 133 Dèa soluçàogeraldasseguintesequações LngonometÍicas: a)cosa+cosx-2=0 b) 2 senh = sênx c) 2senh + cosx = 1
97 ,)
134 Sabendoque c é a rnenor miz positiva da equaçãotg x : 2 secx - cotg x, calcule M=coÍd+ìsend
l0 < x < 2 Í
135 Acheo menorvalor positivode p, de modo que a eqüaçàoÍg p\ - coLgp:' admira I | 3ó Resolvaas equações: a) senx = secx - cosx b)l+3tg'zx=5secx 137 Resolva, em R, a equaçao ÌÌ cos2x tg'zx
=
I
L* cotg2x
147 Resolva o sisterna = Jsen2x 2senx
sec2x
*
I cos€c2x
138 Resolvaasequaçòes: a)cos2x= I + 4senx b)tgx + cos2x = I
140 (Mack-SP)Resc!ìva a equaçâo cosx + cos3x + cos5x + cos7x = 0 l4l FEI-SP) Resolva senx + sm 3x = s€Ìr2x + seú4x 142 Sejaa lunçáofreal.Íle\âriá\elreal, definida I
| 49 €aap-SP)Cal€ul€o ânguloxde primeiroquadÌante, tal que senr = cos (5x). i | 50 Sendo0< r < rÍ,derermine a sonÌadasraJcs da €quaçãologr(cos2x) - logr(senx) = 0.
-\
a) Determinea e\pres\áogeraldacmiresde c(x) b) Achex e [- Í, Í], de nodo que \5 s(x) = I | 43 (Mauá-SP) Resolvaa equação coy (senx) = l, no intervalo0 < x < 2tr 144 Resolvaa equação,com 0 ( x < 2 r: sen2x . cosecx - I _ corg\'secÌ ICY
l5l Dadaa equação *"t2
+ lcosír+x)l.oode "l 0 < x < Í, câlcuÌeo valor de sen2x.
* "1+. *ì
| 53 Oetermineo menor valor de x tal qüe
0' <x< 360"e
154 nesolvaa equaçaqcom r C I- Í, Íl: senx.cosx - sen(-x) . cos3x | 55 (Vunesp)OsângulosinternosA, B eC de um LÌìãnguloABC esláoem progressào arilmética. Seé válida a relação cosA - cosB cosC - -t l"'.aerermine a medida dessesânaulos.
l5ó eucc-Sp) sabendo,se que cos\=zcos';
- ì ecos.x+ sena= I.
paÍa quais valoresde x no intenalo Í0, 2Íl é !átida a isualalade2senxcosz4
2
145 íVauá-sPlDererminee y queçariçtaçam ^
I r e r =. 2).+: I co-'isr = x +r
ì
-
l-.v<n
+
+ c o s z x s e n x c o s x +1 = 0 ? | 57 Resolvaa equaçãqno intervalo[0,2Í]: o c o s ' -+ c o s x -l= 0
la
l4ó (MaD.r'SP, Derermineaç(oluçoes daequdçio sen(2x - 180") - cosx = 0, no int€rvalo 1t<x<2T. SuSeÍão:Façasen(2x - 180') = -sen 2x. 98
t
152 ResoÌvar equação, sâbendoquex€ t0,2711.
| 39 €uvesfsP) Resolvâem ÌRa equação cosx . sen2x = senx (t + cos2x)
Porsrx,:r+ÌC(4\-Èl
148 (Mauá-SP)DetermiÍÌex, no inreÍvaÌoâbeno ì0, 5Í[, que satisfâçaa equaçâo 2 cos (2x) cos x : 3
158 saresequeroglsen{ \
.I
roeí*.*ì - -5. clfl zl \
)= : e L---99!a e roq - t+cosa
i I