,tw#nxsxmffimw mürmulmrms J
INTRODUCAO Atéo momento, operamoscom os númêros sênx, cosx etg x notriàngulo retàngulq onde x rêprêsenta a mêdidade um ânguloagudo Ìúaso que ocorreráse x Íor a medidade um ângulomaioÍ que 90o? lÌira respondeíaestapeígunta,precisamosnos libertardotriânguloíetânguloe amp ar as noçõesdê sen x, cos x ê tg x paraos casosem quê x rêpresentâ ã medidaãe um ângulo maiorque 90o,isto e, um ânguloobtuso Esteé o estudoquê desenvolveíêmos nestecapítulo.
ESTUDO DAFUNCAOSENO
o ciclotrigonométrico.no qualmarcamos o pontoÌú.queéimagem, noci_ , do ,Considêremos clo. nümerorealx. conÍormeindicaa tiguía.
(
o
M'
Consj*)remos tambémo arcoÀMao qualcorresponde o ângulocentralx. SejâOMo raiodociclo,e M"êM'asprojeçõêsdo pontolvlnosêixosy e x,rêspectivamente. DeÍinimos comoseno(doarcoÂN,l oudoângulox)aordenadâ dopontoM,ê indicamosi
senx = ÕM" 30
ondeOM" é a ordenadado oontoM.
t
Ì
ObservequeestadeÍiniçãocoincidecom a queconhecíamospaíaotriângulorelângulo, isto é, no triânguìoíetânguloOM'Mtemos: sen x=g
o[,4'..sen x = o M'
oMl
Obsêrvaçãoimpodânte: Estanovadêfiniçâotem a vantagemde ser aplicâdade uma formamaiscompleta,por_ que90'ou360oe atédê ânguloscom queagorapodêmos falaremsenodeângulosmaiorês medidasnegativas. .T
b) ValoÌesimportantesde sen x Ìúarcândoos pontosM, ìmâgensdos númêrosreaisq +
VamosrcsolvêralgunsexemPlos.
Resolução:Vamoscalculara 1?determinaçãopositiva: 90
3600
+450ô=9o o +
1 3600
1
Entáo: sên 450o = sen 90o = 1 Resposta: 1 29 éxemplo:CalcularsenË
.
Besolução:Vamoscalculara 19detêrminaçãopositiva: 19r
==+ =+ l9L = 11 *sì .' senË
Aesposta:$
Í
\o I = sen á
Y1
ô,-
l  m^e.
4500
l9 exemplo:Calcularsen 450'.
45oo
-
1^1
2r -L -3--- !a\.r.Ã sen 60o = r+
EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM quex = 3 Sabendo Íad,caÌcule: + + $4 - 3sen2x "= *' ã
I Determineo valor de: a) sen900" d) sen765' b) senI 620' e)sen( 2130") c) sen(-900")
4 Represente, no ciclq um ângulo x tal qÌre:
" l * " =- t
2 Câlculeo valor de:
u r* " " = f
.,,."*=|-'"-.[+.1
d)sen+
b) senll r
t
c) Gráílco Vamosestudar avariaçãoda funçãosênx, com xvariândono intervalolo, a[,istoé,o ponto Ìú parÌedo pontoA e se movimentasobreo ciclo no sentidoanti-horáíio
o=:a- - *
+1 í
\
:-_,
/r':ï rl \
--''l
1
o-- - + -------
=2"
r'ri i-\ ;-7lrl- Ì-it
+ r\l _ ti.L -\:l/*"óid"
tu3i
z
--
O gráÍicoda funçãosenoé châmadode senóldg. O gráÍicocontinuaà diÍéitade 2Í e à esqueÍdâde 0 (zêro). Analisandoo gráÍico,podemosconstruiro quadro:
3r 2 -'"
Observando o gráficq concluímosque: . o domínioda funçãosen x é o conjuntodos númeíosrêais,isto é, D = lR. . a imagemda Íunçãosenx é o intervato [ 1, +1],istoé,-í < sonx < 1, . a partirde 2Í a íunçãosenorepetêsêusvalores,po antoé umafunçãoperlódlca.Observeque,a partirde um dêterminadovalorde x cadavezquesomâmos2Í,afunçãoseÇ ), no assumêsêmpreo mesmovâlor(+1);portantqo períododa funçãosenoé p = 2Í.
r
Estaconclusãopodêserobtidaa partirdociclotrigonométricoondemarcamoso arcox.
M"
\"
senx
oM"
sen{x + 2Í)
õti,,
sen(x + 4r)
T
o
comt Jz
sen (x + 2kÍ) = OM"
_ Quandosomamos2kr âo ârcox, estamosobtendosempreo mesmovalorparao seno (OM');portanto,â funçãosenoé periódicade pêríodo2Í, isto é:
se n x = s en( x + 2kÍ)
k€Z
. AÍunçáoy: senxé ímpar.
Vejamosalgunsexemplos. '19exêmplo:Construiío gráficoda funçáoy = 2 senx, dandoodomíniqa imageme o período.
Resolução:Tabelandoa Íunçãq temos:
Observando o gráficqtemos:D = IR
tm= l- 2,21
p= 2Ì 33
ffi
:ia:::l:li;i:
29exêmplo: C,onstruirográficodafunçãoy = 2 + senx,dandoodomÍniqaimagemêopêríodo
Resolução:Tabelandoa função,temos:
l
t- \ z Observando o gráfico,temos:D = lR
Ì3L
2
2rN
rm= I1,3l
39exemplo:Construiro gráficoda Íunçãoy = sen2x,dândoo domíniqa imageme o período
Resolução:Ìabelandoa funçãq têmos:
Observando o gráfico,temos:D = ÌR
lm= 1 1 , 1 1 p = Í
49 oxemplo:Construiro gráficoda funçãoy = sen(x + I ) , dandoodominio, a imaoeme o penooo. Resolução:Tabelandoa Íunçãq temos:
Obsêrvando o gíáficq temos:D = ìR
34
rm= [0,1]
I
Observação: Dos exêmplosdados,vedficamosque o peííodode uma funçáo y = a . sen kx é p = ou seja,influenciano períodoapenâso coêÍicientêde x. +, .p a íay = 2senx,temosk='1
oai:o = !
= z"
. p a r â y = se n 2 x,te mo sk =2
dai: o = ! = "
,J 5'l êxeÍnplo:Determinaro domínioda funçáoy =
sên(x - + ),nouniverso
o <x-+ <2'. Resolução:Pâraque existaa raiz,dêvêmosterj
sen(x-+)>0 Fazendo'se z=xf,,vem: senz> 0 Nociclo:
O arcoz deveÍicaí compreendido entre0 < z < tr. Substituindo:
(tD . 0<x -+ <Í 0)
D e ( l )-x+
<r
De( ll) x- + > o
x>f
x-<n+t
,<+ Na íeta real:
(t)
(D (t)n(D D = l x <RJ +
*-*+l
i. , :. :.
69èxomplo: Determinar k paíaqueexistao aÍcoquesatistgz a iguatdade senx = 2k _ 5. ResoluçâoiDevemos ter: - 1 < sônx < t substituindo. temos:
_1< 2!__isa '1
D e (1 )2-k 5 < 1 2 k<5 +1 2k < 6 k<3
Del?2k- S> - 1 2k> - 1 +s 2k>4 k>2
---
Naretareal: (1)
t4 1n(2) 2<k<3 Fespostaj S = Ík(Rl2
< k < 3ì
79 €xêmplo:S6jaa íunçãorealde variávelrealdeÍinidapor f(4 = 3 + 2 sen x. a)Quala imagêmde f? b)A Íunçãof é par ou ímpaf Justlficar. Besolução:a) Sabemosque a imagêrnda funçãosenoé o intervaloI_ 1, .11, togo: 1 < sênx < 1 + - 2 < 2 s e n x < 2
3 _ 2< 3 + 2 se n x< 3 + 2 1 < Í( x) < s Fonantqlm{l)= [1,5] b)Í(x)= 3 + 2senx f(x)= 3 + 2 se n (-x) = 3 - 2senx ..f(x)# (-x) n6mpar, nemímpar
3ô
t
,.;.
Í
lEXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Construa o gráfico das seguintesfurções, no ìntervalo [0, 2Í[, dando o dominiq a imagem e o periodo: a)v:3senx
c)v:
se"í--+ì
b)y=2-senx
d)y:
) ."" L ---4
2 Construa o gráfico da função i I0, 2Íl IR definidapor y = 2 + seÍx + lsenx l. 3 Con(LruaosráÍicodasfunçóesa següir.no intervaìo [0,2Í[, e dê o domíniq a suaimageme o período:
a r v=lq l
5 Deúermineo dominio dâs funções:
a) v =
ó {PUC SP) Derermine}..de modo qüese{veri - ) !l llque send = i:-ì: , 7 Determineosvalorcsdeb quetornam possív€is as igualdades:
a) sen"=
c)Y
= senf
b) y : 5sen10x
d) y
= *"r(*
senao.e
180ï.
20, sendoo <
8 Calculek pâmqueexisrao ârcoque(aÌisfa.z a iguâldadesenx - k, k + l.
4 Detemin€o pedododasfunções: a)y:sen8x
< 27
-L < 211 3
b) seno = -7b f,
b) y=se n lx+=!l
,
-'+)
9 Dada a função f(x) = 7 sen(3x),rcsponda: a) Qual a imagem de fl b) A funçãofé par ou impar?Justifique
ESTUDO DAFUNCÃOCO-SENO a) Delinição C,onsideremos o ciclotrigonométíicono quâlmârcamos o ponÌolú, que é imagem,nocìclq do númêrorêax, conformêindicaa f igura.Consideremos tambémo ârcoAM ao qual correspondeo ângulocentralx. (
o
Selâõfii o raiodocicloe M" o l\4'asprojeções do pontoM noseixosy e x, respectivamênte. Dêfinimoscomo co-seno(do arcoAM ou do ângutox) â abscissado ponlo Àr,ê indrca.
mos:
ondeOl\4'éa abscissado pontoM. ObsêrvêqueestadeÍiniçãocoincidecom a queconhecíamospaíao triânguloretângulo, . isto é, no triânguloretânguloOM'Mtemos. ôr\i' = -:::lL = Ol\4'..co s x = O M co sx = ll oM1 37
Observação importantê: a-::
Estanovadefiniçãotêm avantagemdeseraplicâdadêumaformamaiscompletaporque agorapodemosÍâlaremco-senode ângulosmaioresque90oê 360oe atédê ângilos com me" didas nêoativas. b)Valoresimportantesde cos x lúarcandoos pontosl\4,imagensdos númerosrêâis0,
e 2Í, têmos:
f
Vêjamosâlgunsêxemplos. 1?exêmplo:Calcularcos 1 8300 Resolução: 1 830. | 360"
o3o" t 5 18300 = 30o f 5
3600
Entãor cos 18300= cos30o 2? exemplo:Calculaío valorde cos l3?r. 13-
H eso tuQão: ;;
=;
ror=[
1:\
+o]2"=
cos 13?r=cosÍ=
38
'1t
= ';
+,
1
=6+
"+ 0 . 2 "
1.
1
z
EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM &etermine o valor de:
@FEIsP) calcuteo valord€
a) cos450o
d) cos6Í
b) cos( 900")
e) cos 11Í
c) cos I 620"
.,.""2
) = lsen;
I ícos3i Í)
€/F_uresrSP)QualdosnúÌnem,é o naior? Ju\a) sen830'ou ser 1 195. b) cos(- 535') ou cos 190"
@alcule A, sabendoque
".,+
/ì gòendo x = cosr\ + co! -. Ì-
I
caicute: + msl;.
c) GíáÍico funçáocosx.comx variando nointêrvâlo [0. ' istoé.o pon. - Vamosestudaravaíiâçàoda partedo pontoA ê se movimentasobreo ciclo no sentidoanti-horário-1. to l\4
O Oráficoda funçãoco-sênoé chamadoco-senóide. O gráficocontinuaà direitade 2Í e à êsquerdade 0 (zero). Analisândoo gráÍicq podemosconstruiro quadío:
Observando o gráficq concluímosque: . o domÍnloda funçáocos x é o conjuntodos númêrosrêâis,isto é, D = lR. . a imagemda funçãocos x é o intervalo[- 1, +1], isto é 1 < cos x < í. . o pêríododa funçãocoseno é iguala 2Í, isto é:
cosx = cos(x + 2kÍ)
k<z 39
.AÍu n çã oy = cosxépar.
co$ x = cos( xl
.
't
Vêiamosalgunsexemplos. gráficodaÍunçãoy= 3 cosx, dandoodomínio,a imagemeo período 19exemplo:C,onstruiro
Besolução:Tabelandoa funçãq lêmos:
D=R
r m= [- 3,3l
29 exemplo:ConstÍuiío OráÍicodâ Íunção, - c o s ã, pêríodo
dando o domíniq a imagem e o
Besolução:
D=R
r m= [- 1, 1l
Observaçáo: O período da funçáoy= a . coskx é dadoporp = 40
?.
P=2'(
,:..--
Í
DEAPRENDIZAGEM EXERCíCIOS 4 Sabeído que o coniunto imageme o periodo da tunçâo) - p - q cos(rx)!ãiem.rcspe{ti\ãmente,I 1,5Ìe+ Íad, calculep, q € r.
I Esboc€,em um periodo, o grafico das segrrintes funções: c) Y:5 + cosx a)Y = -cos x
b )v=3 cos f
ayy= cos(x f)
2 DeteÍmine o p€Íiodo das funções: a) y = cosex ^,., _ . -^" í1 blY = cos-
5 DeteÍmine o domínio das funções:
rì - 1l
"rv:{*[";),0<*1;
<2r
Dry-
3 DeteÍmine k, de modo que setenìa: l0 â)cosx=5k b)cosx=k,+2k+l . k+l
< 2r
ó Dadaa fu nçâorealde!€riável realdefinida por f(x) = 4 - 3 cos 2x, Íesponda: a) Qua.la imagem de fl b) A função f é par ou impâr? Justifique
C,Co sx=-i - .
ÏANGENTE DAFUNÇAO ESTUDO a) DsÍinição daretaôfrlcomoêixodastangentes' dafiguraeTaintêísecção SejaociclotrigonométÍicô tg T
o
Definimoscomotangente(doarcoÁü ou do ângulox)a medidaalgébricado segmento ÃT , e indicamostg x = ÃT.
pâíao triânguloretángulq coma quêconhecíamos queestadefinição coincide Observe temos: ê OAI Ol\4'lú íeiângulos istoê nostíiângulos ^
oM't\4- a oAT
õM'
TNí
OA
AT
_9992! 1
9ênx
.
ondecosxr O;istoéxt ï
+kr 41
b)Valores importantes dgt9 x
r
Vêjamosalgunsexêmplos: 19exemplo:Deteíminaro vâlordê tg 1 g45o 1845"
L
J6o:
ols ls
1845o=4 5 ó r5
3600
Então: t9 1845" = t945" = 1 29 exemplo:Detêrminaío valorde tg 25 { Fazenoo:
2 5+=24++.f=e"+1 Então:
ts25+= ts+ = rg
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I Determineo \.âlorde: a) tg 900. b) ts( - 540) c) ts 1 500ô
d)ts(-1035ï e)ts Í
0,r+
3 Acheo valor numéricoda expressão sen(30o+ x, + cos{lx) x _ 60. tc (r t5") -,. parax = 600.
2 Determineo valoÍ da expressão:
, - -.(-l )-,'e,, -.-(-+ )
42
4 Determinem, fara que se.iaraizda equa f ção:tg2x m cosrx+ sen2x= 0
c) GÉfico VamosesÌudara variaçãoda Íunçãolg x,com xvâ andono ìntêrvalo[0,2Í], istoe,o ponto M partedo pontoA e se movimentasobreo ciclo no senlidoânti_horáíio tg x
I
ii TI 'r
5d4
|
t 7rl 4 i --i-,'7
nOentólde
O gráficoda funçâotangenieé chamadotangentóide. O gráficoda funçãotangentecontinuaà direitade 2Í e à esquerdade 0 (zêro). Analisandoo gráfico,podemosconstruiío quadro:
o gráfìcq concluÍmosque: Observândo . o do mínioda funçáoy = tgxéD = [ x € lR x t + + kÍcoÍnk<z\. . a imagemda Íunção y = t9 x é o intervaloI -@, +@ [, isto é, -ó < tg x < +.. o período da funçãoy = tgxéP = Í Estaconclusãopodeseaobtida,também,a panir do ciclo trigonométíicoondemarca_ mos o arcox. tg
AT Ãi tg (x + 2,r) = ÃÍ
í.^
+
,i
v
t,r' o
tg( x + kÍ) = AT comkcz tg (x + k?r)= tgx
k<z 4Í)
r I
. AÍ u n ç ã o y= t9 xé ímp a í lq T1
tgx =
tg (-x)
Í
Vejamosalgunsêxemplos. 19 êx€mplo:Determinaro domÍnioda Íunçãoy = tg (x - 30o). ReèoluçãotA condiçâodê existênciaé: x-30or90o+k.1800 Dâí:xl30o +90or k. 1 8 0 0 x r 1200+ k. 180ó R esp o sta.D=[x<R
xI120o.r
k.1800]
29 exemplo:Qualé o peíÍododa funçãoy = tg (2x
ï), Rêsolução:Sabêhosquea funçãotangenteé periódicade períodop = tr. Devêmos verificar o que ocorrecom o alco. (z* f ì quandovariade 0 a r. zl \
^- t
= o- ^= +-, < =+
2x-i=r-2 x=r* ï=+, , = t i 3 --tp=ï-ï=i=t
Pesposta:p =
+
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Determineo domínio das seguintesfunções: a)y:ts(x+600)
b)y=E(x-+) 2 DeÌermineo peÍlododa.5seguintes funçóes: = a)y te(3' - -" )
tlv = tc(sx+ f )
3 Calculeo parãmí ro realnì. de modoqueexista o arco x, ta.lque t8x = -=;.3
ex€1270',360o[.
4 fuhe m € R. que toma possivela condiçàu
t s x = l0 - m , .c o m x ( [ + , +z[ . la
I
DA FUNCAOCO-TANGENTE ESTUDO a) Deíinlção da íigurae seiaC a intersecçáoda retaôú com o eixodas Considereb ciclotrigonométrico co"tangenles,
!
(
c
dosegmêncomoco.tangente 1doarcoÁü oudoângulox)a medidaalgébrica BC,e indicamos cotgx = BC. to -Detinimos Of,'Me OBC: os triângulosrêtângulos Observê Ào M ' M- Á OB C porconstruÇão OM = lV'M,entáo :g- = I BC OB OM-'- õM" BC OB B C l
senx
cosx
= cotg x
onde sen x I 0, isto é, x . kÍ.
Podêmosêscrêvertambém
c ot ox = "jt x cos
-
f
coÌgx
'l
tgx
b) GÍáíico VamosêsÌudâravariaçâo da funçãocoìangente,com x variandono intêrvalo[0,2Í], isto ponto pârte ponto o N/| do A e se movimenlasobreo ciclo no sêntidoanti-horário. ê colg,lY
coìangenìóide
45
7O gráficoda funçãoco-tangentêé chamado co.tanogntóide O gráÍicoda funçãoco-tangentêcontinuaà direitadÌe2Í ê à esquêrdade O{zero). Analisandoo gráÍicq podemosconstruiro euadro:
r l: rtriÈ{dÉüt:: Observando o gráficqconcluimos que: . o domÍnio y = cotgxé D = Íx (tR lx r kÍcom k ( ZÌ. dafunçâo . a imagêm dafunçãoy = cotgx é o intervalo I - ó, + @[, istoé,_ r < cotgx < + ó
. O pêríodo da funçãoy = cotgxéigualaÍ.
cotgx cotg(x + 2) cotg(x + 2Í)
cotgE + kÍ)
lsto e,
,k<z
. A funçãoy = cotgx é ímpar,isto é: cotg x = -cotg( 46
x)
EE
.
com k< z
Vejamosalgunsexemplos. í9 êxemplo:Calcularo valorde cotg 1 6200. Resolução:
180" No ciclo: 1620o=180o+4 3600 cotg 1 620o= cotg 1800=
existe) g-fu" {nao
Âesposfa, Não existê.
29€xomplo: Quaìé o domínioda funçâoy = cotO + f f )r é: x + f, + *" Feso/ução.'A condiçáodeexistência Daí:
x+i
*k" + kt,
x* -f,
Resposta: D = x ( R l x r
-ì
t
+ k Íj
EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM I Determine o valor de: a) cotg 9m'
3 Determine o pe odo dâs seguintesfunções:
a ) y = c o r s { 2 x+ l \
b) cotg I 440ô c) cotg(-1410.) d) cotg 12Í e) cotg7Í
'/
utv:coq{ lx+ { l \
./
4 Calculeosldtre( dem, demodoquea expreç-
fl cotc ï
, +Á m
çAo -
2 Calcule o domírio das funções: a)y=cots(x+30')
u y y = c org l x-{l \
./
..yy=co tg{:x+}} */ \
represenle acolangentedeum l: ângüÌo do terceiro quadrante t,' 5 Derermine m < R râl quela o =
.
cotg d = 8. ó Achem ( R, de modoquer6corg x ex€Ì30'.60oÍ.
m - .
-a
\!7 -)
---'
ESTUDO DASFUNÇOES: SEçANTE ECO-SECANTE Consideíeo ciclo tíigonométricoda íigura.
'|
I D
i
\ (
I \\
o
Í\
-i
M'^J\ s i l
pelopontoM,intêrceptamos Trâçândo umaretatangenteàcircunferência o eixooasaoscìssasno pontoS e o eixodâs ordenadasno ponto D
I
Da Íigura.deÍinimossec x : OS e cosecx = ODUtilizandoa semeìhançadê tíiângulos,podemosobter:
l ì I
co mco sx+0
c o ms ê n x l0
podemosestabelêcero quadro: DeacordocomêstasÍórmulas,
t
i ,
I 1
- Vejamosalgunsexemplos. '19exemplo:Qualé o domínioda funçãoy = sec [x ]l? Resoluçào:A condiçãodê existênciaé: x uat:
x-*
+*
+k"
Re€posta: D=[x(Rlx/Í+kir] 48
$ + $ + x ".
Calcularm, de modoquesecd = n29exempfo:
2ed|-)+'2Íl
Resolução:Dêvêmoster sec o > 1, logo: m
2>1+m>3
Be sp o sfai S =[m(Rìm>3] 39exemplolCalcularo valorde cosec( 1 035')' Resolução: 1035" I 360' 315' l-2
1035 0= 3 1 5 Ó+ 2 (-3 6 0 " )
1035o= -3150+2 Como 315o= 45o
360'
3600,temos:
12 .,t2
cosec( 1035') = cosêc4so=s#t-
-T
.,t2
Resposta: \8
DEAPRENDIZAGEM EXERCÍCIOS l i l,balcule o valor de: a) sec540' b) sec900" c)sec( 1410")
funções: 4 Det€rmineo dominiodasseguintes d) sec11Í ,9r €, sec 4 25Í ^
o valor de: !2ìCalcule a) cosec810'
" ) y =* * " ( " .+) b) y = - ". ( 3. - + ) c) y = cosec(x
d) cosec13Í
b) cosec1 800'
e) coseci!
c) cosecI 470'
n cosec -
60')
5 CalcuÌem, de modo que: 2m l -ì' m lz b)coseco=rÌr+4m+1ed€
+l .,,+]
3 DeteÌmine o domínio das funções:-1
")"=* " ( - r + ) b)y= 5...(,,,+) c)y= se c(++) arv= ""(i-rm") 49
?'
20 senao x=
catcute
3,
senJx + sen t
- sen
3l (Mack,SP)Determineo domíniode y = úen 3x para0 < x < r.
qv
32 Calculeo valoÍ da expressão
2l CalcuìesenI 860..
-1 22 Determiney, sabendoque:
v=*" í{
cos810ô + 4cos3780.-
I-* ...
li -l" ì. o í n
'
n<lN*
b) sen .-
;
sen(
r
33 (Fatec-SP) Seiamx. v e R. Sex + -2 f= (\
23 Cakule o númerodesignadopelasexpressões: a) sen3ó0' + sen5zl0o- 4 sen I 7l0o
cost 3:0.
]
,
4
y_
. cal cul eo vator oe t. sendo 6 senx + senv cosx - cosy
34 Derermineas coordenada\dos ponros A. B, C eD
37 n)
24 Esboce,emum perlodq o sìáf,rcodasfuncòes: ll
,
a l y = lzse n f l 'l |
b )y: - s en2x
225"
25 (Fuvest-SP)Foramfeitososgnificos dasfun-
çõesf(x) = sen4xe s(x)= fr;
, nu* *
no inleÍ\,alo10,2n[.DeleÍmineo númerode pontos comuns aos dois gráficos. 2ó Det€rmineo peÍlodo decadafunçãoâ seguiÍ:
"1"
a)y=* "í+ +'.ì \_
35 Construa o gáfico das funçõesi
|
=
3ó QuaÌ é o periodo das funções:
b ) t x ) = 4 +:'.n ín " + Jì r,l \
a) y : coslr'
cl y
DJy = cosi? "\
dìy = coslzx - +
27 (PUCC) Dada a funçâo rdgonométÍica y= -lr
*.níx - f ). calcute o periodo \ -/ e a suaimagem. 28 DeleÍmineo valor de k, paÍaqueexistao arco - s* que satrsmza rguarcade
=
-
4cos l5x + -r I' r/ \ l?
37 Calcujem, sabendoqueo periododa tunçáo y = cos4ÌIì)(é+.
lL- t
ï:É
29 Calcule os valoresde b que rornam possível 4h-1 a rguamaoe sena = j. sendoo 6 190.,18001.
b) y:2+3cosf
ï.
38 Derermine o wlorde 1,.paraqueexjslao a,co x que satisfâza igualdade: arcosx=+
4k+l b)cosx:2k'z+ 4k + 2
30 calcule: â) cos765' b) cos(- 2 l30o) c) cosË
39 DeÌermineos !ãioresdo paÍàmerm realm, de modoquea igualdâdesegujnre sejapossive,. cosx = m" - i ex€ l-+-, 2rl. tz
50
I
40 calcule o dominio dâ função:
<2 r
48 CalüIe o valor da expressão: 4 corg6300 - 2 cotg3 645' + cotg 810' 49 Calculeo períododasfunçôes:
4l calcule o \alor de:
a)19360
üÍs+
b) ts (-90')
€) ts I 470',
c)tg1080"
D tc+
42 sendox = rad,calculeA. f A = sen3x + cos4x - tg 2x. 43 Determine o domínio das funções: a) y = lc (5x 45o)
a,y=cotcÍ+ + 70"1 I
/
-\ b) y=cotc( 7r - TJ 50 Achek, de modo quecotg c{ - Ë e d ( 1270o,360'[.
?k + l0
J 5l Calculeo valor da expÌtssãosecI J00" sec
7
+ cosecrË
cos€c990".
52 S€x = 180', calcuÌeo valor dey na expressão:
ur v =r g l : r + * l \
",|
44 Achea, de modo que Igd = a'-;
a
Ì ;
| 1. I €a< lÍ.;l
Deterrnineqdominjo ea imag€m 45 (Cescea-SP)
(,,) = :te h darunçào: \
*.,| ì
4ó DeteÍmine o período das funçõ€s: a)y = ts4x
t)v = teï
47 Calculeo dominio das funções: â)y=cotc(x-60') / -\
b ) f ( \ )= 5 co Ìcl 2 + )\ Ë I. \l
'""
2
53 Acheo domíniodasfunções:
a ) f ix ) = s e c Í s x + + l \ "/ b)y = cosec(2x + 180')
54 DeteÍmineos valoresde m para que setenha m-l 55 Corìstrua o gúfico das funções: a)y = secÍconx( [0,2í]. b) f(x) = cosecx com x < I0, 2Í1.
51