ffim&m*õss tr*ryunwmátricas s
Í
RELACOES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTAIS Entreas funçõestrigonométricas vislas nasunidadêsanteriores. existemaloumasreta_ çÕêsque são chamadasrelaçõeslrigonométricasfundamentais.
senx
xt+
+ kÌ,k< Z
x*kÌ,k<Z
xt+
+ kÍ,k< Z
x. lkt,k<Z
Vamosagorademonstraí paraisso,conmaisumaíelaçãotrigonAmétrica Íundamentâ1. siderêmos o ciclotrigonométíico da figura.
. Ott,t = I .õM' = cosx . õM" : tVM'= senx
(lúN.4). + (oÌ)" =(or\4). isen x)'z+ {cos x)'z= 1,que podêmosescrevêr
Estarelaçãoé válidapaíatodos os valoresde x. 60
í
Veiamosâlgunsexemplos. 'l? exemplo:Dadosen x =
com O < x < calcularcos x. f,, á, RosoluçãotUsândoa relaçãosen2x+ cos2x= l, lemos: /1Ì 2
{f,)
O
^ +cos'?x= 1-
ã
x 1 + cos'?=
co sx= tf; ComoO < x <
= "o"" f;
ã
(isto é, x ( 19 quadrante, ondecos x é positivo).temos:
.t
Resposta:cosx = f;
2? exemploilÌtra quê valoresde a temos,simullaneamente, sen x = a + 1 e cos x = a? Re6olução:Usandoa relaçáosen2xt cosl = 1 ê substituindo,temos: ( a+1)'?+(a)'?=1 a2+2a+1+a2-1 2 a2+2a=o (a= o slou a l2a + 2) = O 12ã+ 2 = 0 = a = -1 R esp o sta:a =ooua=
-1
que 2sen2x+ cos2x= 7 , c o mO < x < 3? exemploiSabendo-se ã , c a lc u la rs e n x e cos i. Resolução:Sabendoque senzx+ cos2x= 1,vamosresolvero sistêma:
I
=t sena+ cos'?x
(2 sen'?x + cos'?x= f Da1aequação: s e n 2 xl co s2 x=1
sen2x= 1 - cos2x
-
Substituindo-se na29êquâção: 2(1
cos2x)+ cos2x= f,
2 - 2 cos2x+ cos'?x=
f
- cos2x= - 1 cosx=t] . comoo < x < (x ( 19quâdràntê),temos: cosx = ã + . Vamoscalcularsenx: 3 , sê n .x= Y - senx= .i s en 'x= 1 -+ 4
. ComoO < x < = â, temos:senx -T
Fesposta. senx= f
. Í.
""o"*
=
f.
.lt
-2
Í
49exêmplo: ' J 2 Dadocos x = -iq.com
I
< x < ,.catcutartgx.
Resolução:.Paracalculârtgx,devêmosconhecerovalordesenxeparaissousamosarelâ, çãosen2x+cos2x= 1 : t
, 1ã 12
^ s en'x +( Ë l
.^.,.-
=1
3
senx = .iË
Como
.Ã
< x < Í(x < 29quadrânte. ondesenx é positivo). temos:
|
.-.
se n x=ã . . Vamoscalculartg x, usandoa relaçâolg x = igl]!
:
=+(+)=*
t Besposta: tgx =
,
= -\E
\2
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM rDaoo( smr-
; r<x<;.calculetgr.
ecosr
4 .com
/luaoos(enx-
t eco(x_.; < x < 2r, calculecotg x.
com
y s e . e c - \ 2 , c o mO <y < f . . c a t c u t e c o, . , ' x e cotgx. seúx, tg l0 seuo senx= ."-a- zecosx = a - l, dererll tPuc-spr senaocosx = -L
_ lruadocoçx= -!
+DaoocosÀ-
i,com -i,com;
<\<
r,de
<r<
r.cal-
;.
12 Determineo valor de m ( ìR,tal que: arsena=recotga-2m+1.
cule o valor de senx.
b)tgx = 4ecosx = m -.Ã lserenr - t.com0<\< tgxecotgx. ó Sabendo que senl u < x <
t
+ : cosï
i.
calcuh
= 3, com
. csrcutesenx e cosx.
7 (FEI-SP) Sendox um ârÌgulodo primeirc quaclÍantee tg x : 3, calcule senx. I Resolvaos pÍoblemas: a) Sesenx =
calcujecosecx. Ì1 . b) DadocosecÀ - €com0 < r < -{ ,cal
62
"
'r;I sen\--,dererminem.
2.
13SetO.tgx+ 16 cosx = l7 . secx, qualo (Sugestão:coloqu€ a expressãodada em funçâode senx.) r+ òaoenoo quesen(,r + x) = com i . r . -1 . calcule\en r. cos \. rs ì 2
t
CÁLCULO DO VALORDEUMA EXPRESSÃO TRIGONOMÉTRICA Observemos os seguintesexemplos. 19exêmplo:Sabendo-seque sen x = I
, calcularo valorda exprêssãoy :
Resoluçáo:Vamos,inícialmente, escrêverâ êxpíessãoem funoãode sen x e cos x.
.. '
sec2x- 1 lg'x + l 1
cos2x co*x sen<x+ cosux coFx
sen2x , . cosza - '
cos2x côs.x
.Í
'1
1
so{x sen.x + coszx
r cos-x _ Então.v ' sen.x + cos.x
Comol - cos2x= sen2xe sena + cos2x= 1. temos:
.y= sen2x -y= 1 y = Besposta: |
l \2 \2
\T1 1
x <$,catcutarM = o;3jÏ""
quecolgx = 29exemplo: sâbendcse f, "". FÌêsotucãot cotox = 9
4
cosx - I 4 - SênX 1 cosx=;senx
s en2x r c os l = 1- s ena* 9 1 ï ' *
=t
16sên2x+ I senzx= 16 25 sen'zx= 16 senx = ij S eÍ<x<Ë ,vem:senx=
-Ë
4
t-ogo, cosx =ì " senx=cosx=T 3 . / \
Portanto:
Hesposrâj
"[ì',('^
.ltn M = -1
= + cosx ,r-: ''
u= -
4ì 5l
-"=--= -
E
6
m - "= -t -t
=M=+
Í
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM Olr,rI-sry s"r'ao,.n * = |,
ó Sabendoque 4ta2x= 9e450" < x < 5400. calcÌrleo valor da e\prcssão -4senx 6cosx + cotgx.
c o m 0 <x<+,ca l cu l e :
7 s a b e nqduoe coa s = - +.".Ì".+1,
senx cosx - Ìsx
calcule:
/a'\ \2 sabendoquecosr - + . cajculeo valord<.
L. seco - coseco
",- Ìd"
cotsx - I Sesenx = -1 . calculeo valorda e\prssào:
8 Acheo lalor da e\pre\são4 qenx - I cos:r, sabendoquetg x = - 15e x <190.,180.1.
Y = tcx + cotcx
que , - @ttra se, Sabendo + úg, < 0, calcul€o valoÍ -" da expressão -
I
.
2tE0 tc' o
@1"ra-S".1SuUnaon
f exe
do pÍimeiÍo quadranngcalcule o valor dâ expressão25 sen'zx- 9 tg\.
tsesenÀ .t. í. rde 32tgx + l.
r.calcuteolalor
l0 Sabendo _4 queseno 5 d <l;, 2rl. catcute: a ró s " -: ì e o b) cos(54O.+ a) c) sec(1350. o)
RELACÓES TRIGONOMETR ICASDER IVADAS DAS RELACÕES OESFUNDAMENTAIS Já êstudâmosas cinco rêlaçóestrigonométricas quê sãol fundâmentais,
l)sen2x + cosa = 1 l l ) tgx = senx cos x
l$ s e c x =
1 cos x
senx
lll)cotox = cos x sen x Vamos,âgora,estudaralgumasrelaçôesquesãoimportantêsequedecorremdascinco relaçõesf undamentaisvistâs. . 1?relaçáo Sâbemosquê: to x = jg!f! cos x cos x sen x
Estarêlaçâoé válidaparatodox I -F.
. 2i rêlação a figura,têmosl Observando .F=tgx .d = secx No triânOuloretânguloOAT(Â é reto),aplicando Pitágoras,temos:
(-Ar)'?+(oA-f=(õD'? (tg x)'?+ (1)'?= (secx)2,que podêmosescíever: í
sec2x=1+ tg2x pa,alodoxt é válìda Estârelaçâo + +kr. . 3i relação a Íigura,temos: Obsêrvando .BS=cotgx . õS = cosecx NotriânguloretânguloOBS(Êé reto),peloteorêma dê Pitágoras:
(Es)'z+(oB)'?=(os)'? (cotg x)2 + (1)2= (cosecx)2,que podemosêscrevêr:
icosec' x=I+ cotg' x
Ì
Estarelaçãoé válidaparatodo x F kÍ. VejamosalgunsêxêmPlos í9 exemplo:Dadocotg x = j o sendox um ângulodo terceìroquadrante,calcularo valor de sen x. cosec2x= I t colg2x = cosec'x = I +] Resotuçáo:
=+ cosec'?x x = tf cosec *= comox e]r,$], temo"' "o"""
f
Fortanto, cosecx = -I
t
2\E
I
Respo6ta:
iI I I
L
sen x
_T
29 exemplo:Se cotg x = Resolução: Se cotg x =
f
tgx. , calcular
=f ,t".o", fr u"otn"
1 _\E = 2-tgx=+lgx - 2 -12.t9x
-tgx
=1A
Resposta: lgx = \2
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I se tgr =
./t
calculecotg x. 3 ,
I
3 Sabendoquesec'zx+ tgx - 7 = 0e 0<x<f,calculecosx.
que2 rg'x * 2 Sabendo ecuex < A:
lf
=t ìõàx o .!ãloraleA, sendo , r[, carcure
Í"
senx + cosx.
4 Derermineos valoresde a paÌa que se renha Itgx=2a+3 (cotgx:a+Ì ï
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS uma igualdadeda formaf(x) = g(x),ondef(x)e g(x)são funçõestrigono. . .Consideíemos méÌricas. paraqualquervaloííêâldex, paraos quaisos valoresdas funSeessaigualdadeéválida que = g(x)é uma iden dadetrlgonométrica. existem. dizemos f(x) çõês
Exêmplos: . A igualdade cos2x= 1 - sên'xéválidapaíaqualquê.xreal;logqé umatdentidad€tÍi.
gonoméldca. . A igualdadecotg x _1 é válidâpâratodox É rgx + trigonométrica. . Dêmonstração de umá identidade
+ krÍ:logoé umaidentidade
provarque.uma identidadetrigonométrica podomosutilizarouaplicar é vêrdadeira, . Para qualquêr já estudadasnestaunidade(equê são,ta;bém, umadas rêlâçõêstrigonomélricas identidades) e escolhêrum dos seguintespíocêssosde demonslrâçâo: 19pÍocesso:Partimosde um membroda idêntidade(geralmentê o maiscomplicâdo)e chegamosao outro membío. Exemplo: Demonstrâra identidade(1 + cotg2x). (1
cos2x)= 1.
Resoluçáo:vamospartirdo 19mêmbrqprocufandoêxpressaras funçõesem senx ou cos x: (1 cotg'?x)
@
1
.rl
cosl) = r
Ír * "o"lt ìtt \ sên'x I
=1 - cos2x)
ljeú +9d!ì(1 I \ sên_x
como sen2x+ cos2x= 1e 1 . trtt"" = f lsêrfx f1
=f
-
cosa = sên2x,temos:
a idêntidade demonstíada
29 processo:Vamostransformaro 19 membroda identidâdef(x)em umafunçãoh(I) e, Ìransformamos o29 mêmbrodaidentidadeg(x)tambémem umafunçàoË{x), separadamentê, levandoêm considêraçãoa propíiedade:
Í(x)= h(x)ì I + f(x)= s(x)
s(x)= h(x)J
Exemplo: Dêmonstíara identidâdetg x + cotgx = tgx
cosec2x.
Resolução:Vamosexpressaras funçõesem sen x ou cos x: tgx + cotgx = tOx cosêc2x I senx cosx senx cosx sen2x cosx senx 1 1 sen2xi cos2x = c osx.senx cosx senx Comosen2x+ cos2x= 1,temosl cosx.sênx
cosx senx
+ demonstÍadaa idenlidâdê
39 pÍocêssorVamosconstruiruma funçãoh{x) = Í{x) equivalea f(x) = g(x),pois f(x) g{x) = 0 <à Í(x) = g(x).
g(x)e provarque h(x) = 0; isso
ExemploiDemonstrara identidadetrigonométricatg2x + cos2x= sêc2x sen2x. Resolução: Vamosfazer f(x) g(x) = 0 sec2x+ sen2x= 0 tg2x + cosa lg2x seca + cos2x+ sen2x= o 1
tg2x-sec2x+1=o Vamosexpressartg2xe seca em Íunçãode sen x e cos x. 1 sen2x ,.-^
;;t
c.sa -'-"
se n 2 x 1 + co s2 x_ ^ --"a"1 - " 1
senTiiosE - t 1 -.1
=O
3 O = O+
a i dênti dade d emonstíada
67
Í
EXERCÍCIOS DEAPREN DIZAGEM I t sandoo l9 processqdemorutreasidenrjdadestÍigoÍométricas: senx ^. cosx = t "' secx - cosec x b) (cos a + cos b) (cos a - cos b) + + Gena + senb)Gena senb) = 0 c) Setâ-cOSa tslâ cosecâ - sena 2 Usandoo 29 processqdemonstÍeasidentida destÍigorÌométricas: a) tg'zx + cosa = sec2x sen2x b) seczx cosec2x= (tg x + cotg x) (Ìg x - cotgx)
3 Lsandoo l9 processqdemonslreas idenrjdâd€strigonométricas: Ìgx -, r + rg'x b) (cos a sena) (coseca - seca) + 2 = 4 Mostre que tgx cos x . cosecx = L
f
.l
5 D€moÌìstreque^(tgx, senDt ì 0 - ;sr, = (secx lf
=
ó Proveque: ssnx +- I + cosx = zcosecx TììõsÌ
EXERCíCIOS DEFIXACÃO ocsendosenx-
1-
;,com0< culecosx e tg x.
og L,adoco5r j..oÌn-j cule senx, tg x e cotg x.
\<
i,cal-
<\<r.cal-
ó T l a a otg x= r{ co mr <, <
f
,ca-
ó8 Cabule m, demodo quesetenha.simultanea, mentqsenx: Vmécosx: rÁ-m, + f otsendocos x ex(l ; ;.t'1,calcuh o valor numérico da e\pressão cos(Í+x)+sen(x). 70 Sabendoque 9 . senl + 18 . cos2x= 13, com0 < x < calcuÌesenx e cosx. +,
78 Demonstreque: a) (senx + tg x) (cos x + cotg x) = = (1 + senx) (l + cosx) b) (l + tg x)'? + (1 tg x)2 = 2 . sec,x 79 No. unir en osenrquesâodefinida\ asexpreÍ sões,pro\€ que:
72 Determineos !€loÍes de 4 de modo que
",-õs xlãitx
= +. cósx
l
75 SabendoqueJrgx - sec{ = t.calculeospossiveisvaÌoresdeA, sendoA = 3 secx + tg x 7ó Simpunquea eroressao2 ïnì rFl cosa TTSimplifiquea expressão A ='Gecx cos\) (cosecx - senx) (tg x + cotg x).
. I - senx ar-:{secx-tlxr
73 Calculeo valorde: seck secx . cosecx . dado I cotg x
com
. determineo valor de 1 ".*a y = cosx - senx.
7l Secotgx = l, como < x < +,calcule s€nxecosecx.
senx+ cosx= 5a
I
74@uvest-SP)Setg x = ],
L.
secx+ tqx
^, cosa+cosb sena + senb
: secx Ìc x sena-setrb cosa - cosb
80 Demonstreasidentidades: -. I + cosa = {corsa + cosec a)) ") i =.*; b)senï..tg1 + cos,x cotgl = tga + + cotg.Ì _ I