ffiwdmxçffim ffiffiryr*rem#rw
rynxmffiwmre€w dadoao primêiroquadrânte é dêteíminarumarcodo primeiroquâdrante, . Reduzirumarco cujasíunçõestrigonométricasseiamiguaisem valorabsolutoàs do arcodado._'' Temostrês casos:
,igra:on"'d"'"to"
o" arcossuplementares x e;
x indicadosno ciclo trigonométricoda
Da igualdadedos triângulosretângulosOMiMI e o t\,1,2tú2, vem:
s en(r - x ) = s s nx
cos (Í
x) = -cos x
Portanto: t0 {,Í_ x) = sen(,Í-x) c o s (r-x )
= -!9!l
cosX
_
-
,^".
' l v^t'
tg (?r- x) = -tgx
ísenosior.,ars Doisaícossuplementâros lêm:I e lang€ntês simélricos tco-senos 52
í
: " :I
ObservaçÕes: '19) poisx + (tr - x) = Íou x)são suplêm€nlares, ,osarcoscujâsmêdidassãoxe(Í / 180". bâstaacharo seu 21) pa@teduzitum arco do29 quadranteparao 19 quadrante, suplemenÌo. Veiamosâlgunsêxêmplos. de um arcode 120o. 19exemplo: Calcularas tunçõestrigonométricas Resoluçáo:Um arcode medidâ120oestá no 29 quâdrante;portanto,vamosachara medida y do seu suplemento:12Oo+ y = 180Ô+ y = 600 \ Então: sen120Õ= sen60' =
\Ã sen 12O" =;
cosec1200= cosêc60o cosêc1200= '1 122\B = = 3 ú '3 2 cos 1200= -cos 600 = cos 1200 = tg 120" = -tg 60" = tg 120o =
-T 1
rB
l5 l= cotq 12Oo= tg 120" -í 3 '1 = sec120'= 2 sec 1200- cos 1200 = _ i 2 29 exemplo:Simplificara expressão cos(540o-o) + sen(12600 d) -sen(900o -d).
cotg 120" _1 -
Besolução:Sabemosque: 5,t0o=1800+3600 12600= 1800+ 3 3600 9000=1800+2 3600 Logq cos (540" d) = cos (1800 a) = -cosd sên (12600- d) = sen (18Oo- d) = sen a sen(900'- o) = sen(1800 o) = sena Substituindo, têmos:- coso + senê
seno = - cosd
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM I calcuÌeo valordasfunçôestrigonométÍicas do aì lJ5.
bì jl
c) I 590' d) -=-
2 catcute: a) sen135' + 4 cotg120' b) cos510' + ts Ë
3 Simplifique: a) sen(9Í - i) + sen(5,r x) b)ts(3Í - x) + tg(- 5r - x)
Í
29 coso:REDUçÃO DO3? QUADRANTE P-ARA O QUADRANTE Considerêmos os arcosexplementares x e Í + x indicadosno ciclo tíigonométricoda figuía.
.t *"'
/
u', í, ^^
Da igualdadedos triângulosretângutosOl\4!Mie OM,2M2,vem:
sen (?r+x)= - sen x Fortanto: ts (Í+x) = !9!l4trÈ
= - senx = !9! L = tgx il - cos x
tg (Í +
rg X
senose co,senos simétricos
Doisarcosexplemêntares têm:
tangentes iguais Obsêrvações: 1i)os arcoscuiasmedidassãoxelr + x) sâo êxplemêntaÌes, pojs (Í + x) _ x = ?r ou 18Oo. 2:) pararêduzirum arcodo 39 quadranteparao 19quadrante,bastasubtrair18Oodo arcoinicial.
Exemplo:Calculâras funçôoslrigonométrÍcâs de um arcode 22So. Resolução: Umarcodê 225o estáno 39quadrantê;ponantqvamoscalcularamedidaydo seu exptemenÌo
2 2 5 ' y= 1 8 0 " -y=4 5 " Então:sen2250= -sen 45o= cos2250= -"o"+S" =
f
I
Í
tg 2250 = tg 45ô = 1
""'" "-
- tg zzs" 1_
sec225"= coJ25"
2 cosec225o =
=
a*-ZE"
= -12
_A-
,ï
DEAPRENDIZAGEM EXERCICIOS @abule
as funçôestrigonométricasde um ar-
@Acheo vaÌordesen240' - cos570'.
d) 930.
Osimplifique asexpressôes: a) sen(x - 900') + cos(x - 540') b) ts (x + 540') tg (7Í+x)
PARAO DO 49 QUADRANTE REDUCÃO 39 COSO:
19 QUADRANTE
x e 2Í - x indicadosno ciclo trigonométricoda os aícosreplementares Consideremos fioura.
M" . /
2Ì-x
[,11
:r .__ )
ía
,/l
')1x à
.-\ \
o'
lv2
ê OM'2M2, vêm: Da igualdadedos triânoUlosretângulosOÌú'11\r1
Fortanto: sen(?r to - {2,r x) = (2r cos
x) - - senx =
- X)
cos x
tgx
f
7:
senose tangentes simétricos
Dojsarcosreplementares têm:
co-senos iguais Observações: 1:) os arc^o_s cujasmedidassãox e (2r
x)sãor€plementares, pois(2Í
x)
x=
+ 2r ou 3600 2i) parareduzirum aacodo 49 quadrantepaíao 19quadrantg bastâacharo seu íeptemênto Exemplo:Dêlerminaras Íunçõestrigonomótricas de um ârcode 2 1OOo. Resolução: 2 1000I 3600
3oo"[s
21000=300o+5.3600 L-
1: detsminação po€iiiva
Como270o< 300ô< 3600,o arcoestá no 49 quadrantê. Vamos,enlão,dete.minara mêdjday do seu replêmento: 300o+y=36003y=600 Então:sen 21OOo= son 30Oo
-sen 60ô =
cos 2 lOOo= cos 3OOo= cos 60. =
ìr
+
tg 2 100' = tS ?,00' = -tg 60. = -€ _ c otq2lOOo===1==- =_1 = ts2lOOo - _ ! 3 s eczruu"=
v€ i-
11 = cõs?ÌõOo- ì -= 2
z
cosec2 1000=
1
1 t,tã senZ-ìm"= -va = Ï'
2
EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM I Determìneâs fimçõestrigonomaÍicasdeum arco d€: rì 1<o
hr lll
2 Simplifique a explessão: sen(4Í x) + cos (8tr
I
II I
t
3 CalculeseÍì330. - cos2 4{í'".
q+ x) - sen0m"
x). -
4 Reduzaao 19quadrante: a) sen2 510' b) ts I 000ô c) secI 560.
.
t
t
EDADEDOSARCOSCOMPLEMENTARES PROPRI doisarcoscujasmedidassãox e (+ no ciclotrigonométrico Consideremos
")
I
que: verificamos Obseruando o ciclotíigonométíicq . os arcoscujas medidassão x e ( L
\+
pois 1) sáo complementares,
x)+x=fou eo r
.co sx = õMr,senx = Ìvllvlt
" o .( ;
-* ) -e-F,s en{ã
ì=ot
OMlME oPiB têmosì Considerando os triângulos (=t) O l \4 =O P M1Ôtvì= PloP (x)
: ÀOM1M = ÀOP1P
(reto)
ú 1 =Ê1
Daíresultaque:
senl-
OP-1= ÓlMì PPI = tu11\,4j
"o"
(á
rJ =
"o" "
x) = sen x
do arco{ ; Assim.teremosas tunçõestÍigonometÍicas
x)em luncaodo arco.".
")
"""\2
.)
" n (; *É -4 ="cos I+
") _ {l
cos x sên x
57
DIZAGEM DEAPREN EXERCÍCIOS 4 Simplifiquea expÍessão:
I SiÍnplifiquea expressão:
*'(+ ")*"(+- 4 *" (+- 4. . * (*
4
*'t "r *' (" *') '
x, + cosx.
*",Ë
2 (FCV-SP)Simplifiquea expressâo: cos(m" + x) + cos(180' x) + cos(360' x) + 3€os(90'- x) sen(270" + x) - sen(m" + x) - cos(90" - x) + sefl(360'+ r)
Í
!
3 SiÍnplifique:
DEFIXAÇÃO EXERCíCIOS de: 5ó Quaissaoosarcossuplementârcs r r'I r 75 "? brla? rì 16"?Jr + ?
b)
Ì c)Í-
i
'
o.o,e(f * ")
a) tg (3Í + x)
de: 57 Quaissàoos arcosexplementares ar20"?
ó2 E{prima em função cl eÌgxecotgxas
d) ll5"'/
b ) t c l;
a)cote(f
ì
s e n ( , r + x ) . c o s ì( + * ( *
-.)
-l
de: 58 Quaissãoos arcoscomplementâÍes
r , l ó "?
b )ìi ?
(,Ë r
J) Í?
ó3 simplifiqüer
59 Cdìluleas lunçòerI ngonomerrìca' do\ aÍcos
*' o"*.r .*"(f *-) 'gt+n-*r
a) ó90" b) ó 360" ó0 Simplifiquea expressào: scn(lltr+x)-cos( Í+x)
tg(h+x)-
ól Exprima ern Íun(ão de sen \ e cos r as a) sen(4Í + x)
e) sen(3Í
b) cos(5Í + x)
.,'''
c) sen(4Í - x) d) cos(- Í
x)
. 2
x)
sen(270" - x-) ts (540" tg (540' + xì . co\ í540'
x) \)
seL(4Í - r) tÂl++xl.sen(Í
\)
cosec(57r x) cotg ( x). sen(n +x)
x) +x) x)
ó4 Calcule o valor da expressão: ' sen330' + sen(-450') rg l20o . cotg( 210')
59
cotg{ +
c os l : l! xl = s en(l '
*"(+ i=
cos l-4_
cosec (+ - xJ=
xl
senx - cos x
i 1 senx
xl
I
sên _ xl tá
Veiâmos algunsexemplos. y= 19exemplo: Simplificaí a expíessão
cos x
*"{+ ").ç*"".(á -,) ""-\z ") ts{+ 4 cos x sec x Senx.cotgx
co sx.se cx . cos x -sêrÍx ,sêí x
c€íx.secx c€s x
Rêsposfa.secx qu" 29êxemplo: Demonstra,
l-+ ""n \z
Resotuçáo: sen(+ + 4= *"Í+
* ,ì = I
"o"
1 x1l=cos(,x)
cos(-x) = Ol\4I cos( x) = cosx cos x = OÌü
No ciclo trigonomélrico, temos:
58
,.
',
Í