A Íiouíaa seguiínosmostrâum planoô ' poliqoum pontãVtoÍadã o e umasupeÍticie em d nalP conÌada
A Íiouraqeometíicaconstituídaportodos no os seam;ntoaque tém uma extíemidade polrponto superlÍcie da e aoutÍanum oonto"v ãonalP denomina-se Piràmide
é, pois um sólidodelimitâdo A oirámide sua baseé um poligonoe ooÍ ÍacêsDlanas; são triângulos latêrais ;uas Íaces
ELEMENTOS Numapirâmide,convémdestacâíos se_ guinteselemenlos: t., .ì
.:
241
. A basêé um polígono. . As pirâmidessãodesignadâsdeacordocomo númerode ladosdos polígonosda basê.
Pirâmide triangular a basêé umtriângulo quadrangular a baseé umquaddlátero Pirâmide pentagonal - a baseé um pentágono Pirâmidê Pirâmide hexagonal a baseé umhexágono. e assimpordiante Assim,têmos:
t
pirâmide triangular (baseé umtriângulo)
piíâmidêhêxagonal (basêé um hexágono)
. A distânciah do pontoV vérticeda pirâmide,âo plano da basechama-sêaltura da pirâmide.
PIRAMIDE RETAE PIRAMIDE REGULAR Umapirâmidese diz aetaquandoâ projêçãoortogonaldo vérticecai no ceôtÍoda base. A piíâmideé regularquandofor retae sua basefor um polígonorêgular.
Numapirâmideregular,convémdestacâr: . O polígonoda baseé regularq portanto,ins. critíveinuma circunferénciade Íaio OA = r, chamadoraio da base. . O apótemado polígonoregularda baseé chamadoaoólemada basee sua medidaseráindicadaporm. . As aÍêstaslateraissãocongruêntesesuamedidâseráindicadapora. . A.sfaceslateraissãotriângulosisóscelesconapóleínada base(m) oruêntês. . A âlluradeumafacelateral(é a alturârêlativa â basede umtriãnguloisósceles)é chamadaapótomada pirâmidêê sua mêdidaseráindicadapor g. 282
Vejamosalgunsexemplos. í9 êxemploiNumapirâmidequadrangularregular,a arestada basemedeg cm. Sabendo-se queaalturadapirâmidêé3cm, calculaía áreatateratea áreatotatdessapirâmide. Resolução:Desenhando a pirâmide,têmos:
D"d*{i==1"# t
Comoa baseé ìrm quadrado,temos: m= m= = Z ã - m 4cm . Cálculodo âpótemada piíâmide(g) Comoo é retângulqapticandopitágoras,temos: ^VON4 =h2 +m2 42-9 2 = 2 5 -9 = S c m 92 -02=32+ . Cálculoda árealateral(S?) I d F . ^ = =?" sr* - s,," = :z - sro""= 20cm, + sr = 4 . 20+ sr = 80cm, sr=4 stu"u
. Cálcutoda áreatotal (Sr) Sr = So + So + Sr = 64 + 80 = Sr = 144cm2 Resposta: q = 80 cm'?eSr = 144cm2 29 exomplo:Numapirâmidetriangularregulara arestada basêmede6 dm e a arestalaleral, 8 dm.Calcular: a) o apótemada pirâmide. b) o apótemada base. c) a alturada pirâmide. d) a árêatotal da pirâmidê. Resoluaão:Sejaa pirâmideda Íigurâ:
t
82=
M
b) Do
92+32=64=g'?+9 g = !55om
B
:om
temosr ^VAB,
t
M
3dm
eqüilátero é pontode encontro dasâlturase das O centroV' do triângulo
={ t'o=v'v=+ medianas eV'lvl vv = |
+ -0"3
V' lV=\6dm\'
6. di" l \ I \l U " \
cJDoaW lú.lemos:
q ì )
q lr\ \=/
\N/
1,6s1'?=n'?+68;'z 55=h2+3 h'?= .v6t h = 2\.[3 dm
V'
rvl
r5dm
o) soase=
^o r-e =
rh Ê 7:
r.o 2-
-
6 3í3
= ^ so"*
I 56"." = 916 dm'z
= o ^ta c e =
6
2' 55
Sr""e s\85 dm'? Sr = Suu""+ 3Siace= q = 9\5 + 9\65 Sr = I (\,9+."65)dm'?
Besposta: a) J55 dm 284
b) \6 dm
c) 2alrsdm
d) I (\,€ + .165)dm'?
O
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM Considere a pirâmidequadrangular regularindicadana figura. V
ó \uma pirãmidereculard€ basequadrâda. a áreada ba(ee lô cm: e a altDramede8 (m. CalcüleaáreaÌareral eaárearolalda piúmide 7 NumâpirâmidequadrancularÍegular,a soina detoctas assuasareslasmede176cm.sabendo quea arenalaterdlèiguaìa a da aresta da
1
basgcalcule: a) a medjdada alÌurada pirâmide b) a áreaÌotal dâ pirâmide.
rtõ-B
Calcule: a) a medidado apótemada base. b) a medidado apótemada pjrâmìde. c) a medidada areÍa lareml. d) a áreatotãl da pirâmide.
t
8 O apóÌemadeumapirâmideregularé igualao semlperimeÌro da bâs€,e estaé um quadrado inscritonum circülode 8 metrosde raio.Cal, culeâ áreatotal da pirâmide 9 UÍnapiÉmidequadrangular regulaftemÌodas as aresÌasiguais,s.-ndoa áreada baseigual a Ì6 cln'. Qual é a suaâltura?
2 Numa pir.âmideregularde bâseÌriangular a arestada basemede2\3 cm e a altura medc iguata )pn Íigurano"mo*raum cubodearesÌa 4 cm. Calcule: iomo ba.e o quadrado / \ r cm, romdncto-\e AB( D e coÍno!érriceo pontoV (centroda faa) o âpóaema da base. ce AB'C'D' do cubo),obrém-se umapirâmide. b) o apótemada pirâmide. é a árearoraldessapirâmide? Qual c) a arestalateral. d) a árealateral. e) a árealotal da pirâmide. 3 Con!idere a piÍâmidehe{agonat Íe8utarindicadana figura.
D
BC Calcuìe: a) o apótemada base. b) o apótemada piÍâmide. c) a arestalateral, cl)â áreatotal da pirâmide
tl O sólidoda lìguraé composiode um pâralele-
pípedorerângulqdedimensôes40 cm, 16cm e 16cm, e duaspirâmidesquadmngulares Íegularesiguaisde altum 15cm,exrernas ao paralelepípedo e com as basesrespectivamenre coìncident€s com as facesquadradas do pamleÌepipedo.
4 \uma piÌrimidc basequadrângula,. 'e8ulârde â medidado perimetroda baçeË40cm. Saber,. do quea alturada pirâmideé 12cm. calculea árealateÍaldessapirâmide 5 Calculea áreâlaÌemlde umapirâmide lriangular reguÌar,cu.jaârestalateralmedell cm e o apótemadâ pirâmidemede12cm.
Calculea áreada superÍicie roraldo (otido.
245
Í
TETRAEDRO O sólidoquepossuì,no total,quatrotacês é.pois.umâpié chamado têtraedíoO tetrâedro râmide dê basêtriangular
Quandotodas as facês do tetraedro êqüiláteros, elese diz rêgulaí triângulos
Altura do lelraedroregular No tetraedroregulârda Íigura,temos: . O âpótemalateraldoletÍaêdroé a alturade um ou seia,g = Ì:. tíiànguloeqüiláteÍo. . O pontoH,sendoo centrodeumtrìângulo eqüideencontrodasmê_ látero,éo baricentro(ponto dianas)dessetriângulo,ou seja:
.
-, 1 t r'
MH = - i s H B =ã s
Consideíandoo triânguloretânguloDHI\4e aplìcandoPitágoras,têmos: /r \^
s ' = h ' + l + s l ' - h ' = s ' - Ìi s' ì' / t''=*s' co mog= $,temos :n'=
2a'[6
LOgO:
286
r. -
all
. Ár€alotaldo lelraedrorcgular A áreatotaldo tetraedro regularé iguala quatrovezesa áreade umaface. Sêa faceé umtriângulo êqüilátero de ladoa,temosl sr =4
s , a .ê =s,=+..a " .
Exomplo: A arestade um telraedroregularmêde12cm. Calculaí:
t
a) a medidada âlturado tetraêdro b) â áreatotal do tetraedro
Resoluçâo:at
h=+
.
12\,6
h = 416cm b ) 5 1=atr6*q=12,\5 Sr = 14416cm2 Fesposta. a) 4\6 cm
b) 14416cm,
I A arestade um lerraedroregularmedel5 cm. Calcule a medida h da altura.
5A area.tolal de um Letraedro regulaÍé 25V3cm'. Calculea medidâh dâ altüÉ. I saDenooque o apotemade um tíraectro regL-
lar mede4r5 cm, calcute:
Z Calculea aresLâ de um relraedroregularde al3 Quale â áreaIoraldotelraedroregulardearei ta l0 em? 4Num rermedroreaular,a alura medeh = 2f6cm. Calculea áreatotal d€ssetetraedro.
a./. cm a) a medida da arestado tetmedro b) a áreaúotal do tetÉedro. 7 A somadasmedidasde todas asarestasde urÌÌ terraedroregxla;é 72 cm. Calculea medjdârr da altura dessetetraedÍo
m7
t
VOLUMEDEUMA PIRAMIDE A figuraao ladonosmosÌrâumprismare-
Vamosdecompor o prismaemtrêspirâmides,@,@e @, seccionando.osegundo os planos DBCê DEC:
Destamanêira.obtemosas seguintesfigurasl
c Considerando-se a decomposiçãodo prisma,temos: . Pirâmide à piíâmide @, pois: O é equivalênte '1e 2 têm basescongruentes(^ ABC = a DED. 1 e 2 têm a mesmaallura (a do prisma). . Pirâmide à pirâmide @ é equivalente @, pois: (ACEF= À BCE,poiscadaum 2e3têmbasescongruentes dêssêstriângulos é a metaBCEF). de do retângulo 2 e 3 têm a mesmaaltura(emrelaçáoàs basesconsideradas, a alturae adistânciado ponto D ao retânguloBCEF). 2AA
. Pirâmide transitiva. à pirâmidê @, pelapropíiêdâde O é êquivalente Daí,podemosdizeíque:
r:llir:::,*::,
podeserdecomposto emtrêspirâmidês tíiângulâres equiTodoprismatriangular valenÌes. por: Designando dado. V' = volumedo prÍsmatriangular Vj = volumeda piíâmide Oì V2 = volumeda piíâmide@lpodemosindicar:V1 = V2 = V3 V3 = volumeda pirâmide(91 Logo: Vj+V2+V3=V '-3V =V '
t
u- lu
lvolumeda piíá'nide= d do volumedo pflsma) Comoo volumedo pÍismâé dadopeloprodutoda áreada basêpelamedidada altura, podemosdizeíquê: qualquer é igualaumterçodo produloda áreada base ovolumedeumapirâmide pelamêdidada altura,ou sêja:
l
Vejamos algunsexemplos. que a altura 19exemplo:A basede uma pirâmideé um quâdradode aresta3 cm. Sabendo_sê da pirâmidemede10cm,calculaío volumedessapirâmide. Resolução:seja a piíâmideda tigura:
3cm
Dados:t;- 10cm
comoV =
+
S b.h,temos:
. Cálcuroda áreada baseíSor rogo:S ô = ( A basee um quadÍaoo:
S ò = 3 ' - S Ò- g c rr
. Cálculodo volume(V)
v=l
s - h-v =l
J
9 io v = 3 o c m '
Respostaj O volumeda piíâmìdeé 30 cm3. 249
t
2? exêmplo:Numapirâmidehexâqonâlregular,a arestada basemede, = 2 cm. Sabendo-sê que a árealateraldâ pirâmideé 30 cm', calcularo volumeda pirâmide Resolução:Sejaa pirâmideda Íigura:
o"o*, =rrïi,, [!, t
. Cálculoda áreade uma facê (S, Comoa baseé hexagonal,â pirâmidetem seis faces lâÌêrais:
s ,=ã
=s Í=
= Ë - sr bcm2
. Cálculodo apótêmada pirâmide(g) S r"""= ?
-5='2u-
-g = 5 c m
. Cálculodo apóÌêmada base(m) A baseé um hexágonoíegular;logo: t,n
sb=6
=
t,l1
m = r6 c m ^==ï . Cálculoda alturada piíâmidê(h) 92 = h2 + m2 - 52 = h2 + (\r3)'= h'?= 25 - 3 = h'?= 22 - h ='t22 cn . Cálculoda áreada base(Sb) Comoa baseé um hexágonoregulaí,a suaáreaé iguala seisvezesa área do triânguloeqüiláterode arestaI = 2 cm. r='ï
^ 2 ..
-44"' -sô=6.
t.l ã
-; "
. S " = 6 í 3 c m,
. Cálculodo volumeda pirâmide (V) , = V = 2 1 6 6 c mr v= 5b.n=v=3 6J 3 "9, Fesposlâ. o volumeda pirâmideé 2\66 cm3.
EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Abasedeumapirâmidede 5 cmdealÌuméum quâdradode í-3 cm de Ìado.Calculeovolume da pìrâmìde
290
2 Nurnapirâmided€ basequadrada, aalturâúe de8. m e o \olumeè 200cm'. (.rìculea medida Í da arestada base.
qua- | 2 regular 3 oual éo volumedeumâpirámide dransular,cuja ba'eesráin\cÍila nÌrmacìrcunleréniiaderaio4cmecujaallurâmedeó cm' f ív2 ) iúÃÚre*e,n,mquaa,aaoinscriroumapiÍãm'Delerminforolumede 4 tPUC-SP) IaleralIem aÍe\ld cuja de hexagonalrcgxlar' l3 oa daorcunfelènciacircun'cnlâa raio l0 meo s€m€de6 m. 5 A árealateÍal de uma pirâmjdeÌtgular hexagomeda b^ase queâdresta Sabendo naìé72cm'z. prÍamroe da volume o = 4 cm, calcule de i reó- j\che o volume de ìnna piÉmide hexagonal ."t.na. q* o pèrimetroda basemede "riui. medelo cm dapiràmide ;4 \ I cmeoapólema de 7 Calcule o volum€ de um tetÍaedro regÌrÌar
consialer€um cubo de arestaigual a 3 cm e.se_ iam\4NPQc\4N PQ duaslacesopo\lasoe(_ cuUo. Ìomunao como ba\e o quâdrado úN|PQecomoténiceo ponÍoM pod€mo'ob". oe(rera pinimideN'l'VNPQCalculeovoiume sa PìÍâmide regulaÍa areía dâ Numi pi'âmidehexaeonal lbvel cm lateral áIed e a barr mede6 cm da volume o Ache Pirâmide'
l4 (Mack-SP)U'na piúmide,cujabaseéumqua' rrm lado2a,remo me\movoìumeque àradode Df ladoa de pii.ma,cujaua'eeumquadrado en'rea' aìrura'dâ piÍ;midce ierminea raz:ro prjsma do | 5 Um sótdo de madeiradë densidade0,65.g/cml Íegularedc e lormadodeum prisÌna heraSonal a lrgula' (onrormeindica um" pi'zmìderetsular.
cu umapiìámide 8 A fisuraabaìxomo"lm_no\ ô rm o' calel lo de rel;n8ü iâ b;,e é um Lri;nguìo pÌaío ao perpendicuìaÍ VA é ,q. are"ra e 8 cm. da pirámidc' da base.CalcÌrleo volLrme
S Jbendoqre d rre r JJ hd' e d
pì' mr c oc
ìl.ó.i i'11,r,"" ,r.p'''mrererncmea:
â mar!d ''.rr dd pr'àìrrJtmedeìn drn drcule
9 A basede um t€traedroreguìaÍ tem uma.ârea de 3ú cm2.Calcule o voiume do letra€drc'
\ resularc 144\2 'r' de um rcrraedro Xo 'otume /'\alcule â arestado tettãedro
tema formade Lrmoctae ll Uma pedmpreciosa a alroregulârdearesta8 mm, conlormernorcâ figuÍa.
de r'(:ô rcrnd ÍÚÍr'r tò.\Ln''p, I m depo'rro l eF
.l ê tr,ndD i rdmi oede bd' c ' l JaJrJdi Jonr m oem t,cr oJJrbai \o en quc l uJ:' r' dÍe' l a' i ,r I meuo' . L n' e' r' o errher e* e ôet" ' " neti o" ' ' rrp' ^ dc trìLi o um ' l ' o ' ìx.* * Jo r0u0 po' m< fl " ubrco P o' rro uue.L.ì,' R ì nU pr Íìel Ío i ' rbh o \ rìr' l rrr F0 üuefu' l , R S cub,rco ônal deve custar R$ 50.00 por metÍo (açao a de Calcule â {lúântidâdede cadâ tipo
,,
ì.. '.
',
a,,, l'
CalcuÌeo volÌìmed€ssaPedra 291
.-
t
TRONCODEPIRAMIDE Quandosê interceptamtodasasarestaslatêraisdeumapirâmideporum planoparalelo às bases,obtém.seuma secçãopoligonalAB'C'D'Ê'FdenominadasecçãotÍanswrsaldâ pirâmide.
t
O planoPsêpâraa pirâmideemdoissólidos,umapirâmidêVAB'C'D'E F e outro AB'C'D'E'FABCDEF denominadotroncodê oiÍâmidê. Numtroncode piíâmide, temos: . as basesdo troncosão â bâseda piÍâmide e â secção; . âs faces lateraissão trapézios; . a distância entre as basês do tronco chama.sealtura do koncoesuamedidaé expressapor k.
1
Quandoa pirâmideoriginalé regular,o Ìroncode pirâmidese diz aegulaÍ.Nêssêcaso: . as basêssão polígonosregularessêmêlhantes; . as Íaces lateraissáo lrapézìosisóscelês; . a alturade um dessestíapéziosé chamadaapólêmado tronco. Exemplo:Á"sbasesde um troncode pirâmideregularsáo quadradosde lados2 cm e8 cm, respeclivamentê. A ârèstalateraldotroncomedê5 cm. Calculea altuta,a âteataterale a áreatotal do lronco. Resoluçâo:
í, = e"t = { a 5cm
Dados:\t' = 2cm
Cálculoda área lateíaldo tronco{S"l Inicìâlmente, devêmos calculara alturada fâcelaleral: 52=Í2+32 Í . = 2 5 -9
292
,
Vamoscalcular,a seguir,a áreada face lateral: ii.iltgrllll1tiãlilrl ,# S r= i € +2 ) 4 -S ,=20cm ' O :" será: temosquatrotaceslaterais e a árealateral Comoa baseé quadrângula(
Sr = 4.Sr + Sr = 4 20 = Sr = 80 cm'z . Cálculoda áíeatotal do Ìronco(sü Vamosindicar:B = áíeada basemaiorou da baseda pirâmide. b = áreâda basemenorou da sêcçâo. =82 = B = 6 4 c m' ? E ntãoiB = i2 =b=22 èb= 4 c m2 b=l'2 -B q = 64 + 4 + 80 = Sì = 148cm2 DaírSt = B + b + 51+ . Cálculoda alturado tronco(k)
t
-t_
:f{, . li 8'.rr\ uEv
l\,1'Pl\r, temos: o triângulo retânSuio ConsideÍando lyN,l
Resposta:
Aplicandoo têoíemade Pitágoras,temos k2 = 7 t k = l?cm. 42 = 32 + k2 = k2 = 16 - I A altuía do troncoé !7 cm, sua árealateralé 80 cm'?e sua áreatotal é 148cm2.
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM ì Deleí m inea á re al a re Íd l ea a re ato l a l d o l ro Í , co de piÍâmide regülar dado lla figum abaixo.
3 Uú troncode pirâmideqúadrangülarregular possuiáreada superfície lâtemlde480cm2e os perimctro\da. ba.e. Íre,lem.recpectitamenle do apórel0 . m e r0 (m. Dcrcrmire medìda " 4 o sóljdoda fisuraéformadopor umtroncode pirâmidcregularquâclrangularsobrcposloa um
16m
LK
2 Um troncode pirâmideregulartem comoba' delado.4cme I2 cm, Í iàLnguìo.eqüilálero\ 'e. A arc'taìaleíaldo lron(omerespeclj\amenre. de 6 cm. Calculea árealatemle a áreaiotal do
SâbendoqueAB = l8 cm, El = l0 cm, IJ = = 6cm, câÌcuÌea áreada superfíci€ totaldesse sólido.
293
ï
=-FF
--
._,
PROPRIEDADES Considêremos o troncode pirâmideíepresentado pelafiguraseguinte:
h
. . . . . . .
B = áreada basemaior D = âreada basêmenor h = alturada pirâmide VABCD d : alturada piíâmideVAB-IC,D'. t k = alturado tronco. V' = volumeda piÍâmidemenor. V volumeda pirâmidemaior. -
Comoas basesdasduaspirâmides sãoparalelas, utÍlizando semelhança detriângulos, Iemos: 1: propriedade: ÀVN4A'
- rv,le=ffi _d -h =+g _d Ávg'c'- avBc -h d ÁVC'D', - €s h ^vcD =+# Td AVAD'- avAD
2? propriedade: ÁVAB'
EntAo:
3: propriedade: Se o polÍgonoAB,C,D,ésemelhanteao poligonoABCq temos: b
= / A'B' Ì, lÀB/
b
= /d Ì, ' \Fl
T = \Fi 294
-
r
Vêiâmos algunsexemPlos. quetêmporbase tem10cmdealtura. piràmide, umquadradode lado4cm, 19exemplo: ' uma àsbasês,demodoque dovérticedovepassarumplalo paralelo A quedistância tenhaumaáreade4 cm'? a sêcçãotransversal figura: Resolução:Sejaa
l.
,",*,lB== 1u"*, ,0", I
vem: â 3? propriedâde, Utiìizando'se bd24 =
E
h , -1 6
_d2 10.
d2=25 d = 5Cm Resposta. 5 cm A basede umapìrâmideregularé umtriângulode8 cm de lado A âltuíada pirâmi29 exemolo: ' seccionamos a mêdidadaarêstada basemênorquando deédê 10cm.Calcular a pirâmìdepor um plano parâlêloà baseê distândo4 cm de seu vértice Resolução:Da figurâ.temos:
Ì Ì
fdf4
T = li- E = 1 0 | = 3,2cm
Resposta: 3,2cm
DEAPRENDIZAGEM EXERCÍCIOS I A basedeum tetmedroéüm triângnlo cujosla dosmedem20 cm,24 cm e 32cm. Aumâ distância de 3 cm do vénice passaum plaúo para quea âltumdo lellaedro Sabendo leìoà base. â' medidas do' ìado.da secçào é4cm,calcule
2 Sejaumapirâmidede 8 cm de alturaequ€tem como baseum quadradod€ 5 cm delado QuaÌ do !el éa áreada \ecçàorran'ver'alÍeitaa6cm pirâúide? tic€ dâ
295
3 A áreada basede um teúaedro é 24 cm2e a aÌ tum do t€traedroé4 cm. A quedistânciado vér trc€devepassarum plânoparaleloà basepâía que a áreadâ secçàoseja15cmr?
7 Uma pirâmidercgulâÍremahürade 4 cm. A quedistânciado vérticedevemostraçaÍ um plano pdraleìoàbase, demodoqueeledir idaa Di râmideem dois sólidosde vòtumesiguais?
oaie oe uma ptramìdetem area
8 Dadâuma piÌámide,uma secçâofeita a I cm oa bâsetemumaãreaiguald da a,eada ; ba'e Calculdrâ medrdah da ajruradapidmide
2r)cm.{
\eflice.corta-sed pirâmrde ì do por um plano paraleloà base.DereÌmjne área clasecçào. g cmevolu5 Considereumapirâmidedealtura me 108cmJ.Um plano paraleloà basedessa pirâmidecorta-a,determìnando umtroncode piiâmidedeâltura I cm.Calculeo volumedessc lronco de pirâmide.
r 'I
ó Sejauma pirâmidenaqual ìrmasecçâoé fejta â 2 cm da bâse.Sabendoquea áreâda secção
9 tMaudSP)A alrurah de umâpiÍâmide e di\ idida em I pâflesiguaispor doisptano\secanba\eSendoBaáÌeadaba\e,de e rguala -9 daaieadabd(eLalculeadr(ráncid re!pardlelold rermine o volumedo t.oncoIimiradopeta5duas da secçãoao vérÌiceda pirâmide. paralelas,em funçãode B e h. secçoes
VOLUME DOTRONCO DEPIRÃMIDE Consideremos o troncode pirâmideíêpresenladopelafiguraseguinte:
i
áreadâ base mâior. áreadâ basemenor. âltuíâ da pirâmideVABCD alturada pirâmideVAB'C'Di alturado tronco. volumêdo tronco.
I
1 k
c
Pelafigura,podêmosobservarque: . volumedo tíonco = (votumeda pirâmidevABcD) . volumeda pirâmide VAaCO=
. S. r,
J
. volumeda pirâmide VAB'C'D'=
(votumeda pirâmidevAB,c,D)
* n. o= l. o
(h-k)
EnlAo:
u=*"n+orr,rr=*
Í B . h -b
(h
kI=
* n r-
b ). h + b . k l
Comoo volumedeveser dadoem funçãodos elementosB, b e k do Ìíoncoda pirâmidê, vamoscalcularhêm funçáodesseselementos.ltâraissq usaremosa píopriedadedã sêcçãó rransversat: h .12 h Y = " nh. r r h z íB h-:
296
=
/h tl L -J .'Lr2 r
.,G \!
-
n-K
Substituindo na Íórmulâdo volume,temos:
v=+t(B - 01 " uS u= r* ,ra-S;$
+
que: Obsêrva"se (B - b) _ =
-trg - ,b
{B
+ o. t r
+o.r,r .{€----õJ(!E+ \b ) = --É== r\b + \ul
b) r/aB+ !6)
t'e- 'oiliBlìõt Da í, te m o sv: =J [, l tr.(16+\6) r k . b ] V =t-tk .B +k
t
vB vb+k.bl
Exemplo: E dadoum troncodê pirâmidecujasbasessãoquadradosde ladosÍ = 16m e Í' = 6 m.A alÌuradêumâÍacelateraldotroncomede13m.Calcular o volumê oessetronco. Besoluçâo:
fr = ro m
D a d os :l f'=6m = l f 13m
. Cálculoda alturado tronco(k) 6m i-l
, + 8+
;.4 .i .--'
k, = 169 - 25 k2 = i44 k = 12m . Cálculodo volumê(V) +B =162 B=12 B =2 5 6 m2 -=b=36m2 b =(f'), =b=6, 132= k2 + 52
iz ( 2 5 6+ ' ls 2 r o+ s e 1
v= I {B +,G.b+b)-v -
v=4.388 V = 1 552 m3 Fesposta. O volumedo troncoé 1 552 m'. 297
t
DEAPRENDIZAGEM EXERCíCIOS áreade I Ar bâses deumtÍoncodepiÍâmidetèm qÌte Sabendo 25 mzeló m2,respecri!âmenÌe, a alturado troncoé20 m, calculeo voÌumedo Na figuÍa abaüo: 2 (Fuvest-sP) F
de lados2.8. a.) ABCDeEFCH sàotrapézios 5e5. b) As basesestãoem planospaÉlelos cuja distânciaé 3. c) As retasAE, BF, CG e DH são pâralelas. Calcule o volume do sólido. 3 As basesde um tronco de pirâmide sãotriânsuloseoüláteÍosde lados4 cme 8 cm. A alt u; do rroncoé 2VJ cm. Calculeo volumedo 4 A cestade roupasindicada na figura tem a forma deum Íonco depirâmidequadmnguÌar.As ar€stasdas basesmedem48 cm e 30 cm.
5 Qualéo volumede um Ìroncode pirãmidede alÌura6 cm,seassuasbasessàoquadradosde ó As basesdeum üonco de piÍâmidesãoquadrâaaldosdelados3 cmeó cm.Quanlomedem tuÍa e a arestalateral dessetroncq sabendo-se oue o volum€do troncoé 105cm'? .] 7 Um engenheiroestá projeLandouma sapata (I)anede um alicerce,deconcreÌoem foÍmade tronco de pirâmide regular,com as dimensòes indicadasna figura.
Sabendoque em I mr de concretogastam-se, I saco\decrmento. delerÍuaproximadamente n€ quantos sacosserãogastospara iazer essa sapata. 8 Um tronco depiÍâmidedebasesquadÍadâstem 21 000cmr de volume.A altumdotmnco mede 30 cÍi e o lado do quadmdo da basemaior, 40 cm. Determineo ladodo quadradoda base 9 É dadaumâpiúmidecujaáreada ba'eé B e e*â pirámide cujaâltumé h. Seccionando+e por um plano paralelo à basq obtém-seum rroncode pirámideno qual a basemenortem áÍeab e a alturamedet. Sabendoque B -- 4b e h - 3k, calculeovolumedo troncoem fun_ çãodeBedeh. l0 Ara"ãoentreasáreâs&sbasesbeBdeumtron. Sea alturado troncoé 1,calculeo volumeV emfunçàoda áreaB da basemaior. é co de Diràmide Je base'oa'alelas
Sabendo-seque a altum da cestamede50 cm, qual o volume de Íoupa que ela comporta?
DEFIXACÃO EXERCíCIOS 4l I Uma pirâmide regularde basequadÉda tem ahura20 cm, Sabe-se oue!ua árealaletaìe. cede de 6(ff cm'] a área da base Calcule a arestada base, 298
inç 412 { basede umapirámide è umqüadrado critonumcírculoderaio4 cm.Calculea áÍea laletoÌalda pìÉmidg sabendoqueaaresaa Él é o dobro da arestada base
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413 Considere umapiniLrnide regulardebà5equa- 420 o sólido da fislra é formado poÍ duas pirâmidesquadrangulares Íegülar.sdesig[ais,tendrada. Sabendoque o lado da ba.e mede do a baseem comum, 12cme a altürada pirAmidemede8 cm, calcule: â) a áreada base. b) a áreaÌateral. c) a áreatotal. 414 A ba"ede umapiúrnjde é uma daslacesde da umcubodeare\Laa. Sendoa areçralaLeral pnâmide iSualà diagonal do cubo e supondo queapirâmideeo cubo€stãoemsemi-espaços opostosem relaçãoao plano da baseda piÌzìmidq calcule,em função de 4 a áreatotal do sólido formado pela ünião da pirâmide com
j.
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Sabendoque a aÌesÍada basemede6 dm, câlculeâ áreada supefícietotaldessesólido 421 Qual é o volume d€ uma pirâmide he,tagonal regulardealtura9íJcm, cuja aÍestada bâse é4cm? 422 Numa pnâmideresular,a áreatotal é 120cm'z e a árealateml é igual a cinco vezesa áreada base.Câlculeo volumed€ssapiÌâmide,saben do que â altura mede9 cm.
415 A basedeuÌÌÌapnâmidetiiânguÌaÍ regulaÌestá inscritâ num cínulo de 12 cm de diâmetro. Sâbe'sequea medidadaârestalaÌeralé o triplo dâ medidada aÌ€stada bâse.Determineâ 'iÌea dâ bâsee a áreatotal da pirâmide. 4l ó e figura ane.rarepresenta umapirâmidedealtura 6 cm e que tem como baseum triângülo retângulodecâtetos6 cm e8 cm. Sabendoque a arcstaVA da piúmide éperpendicularàsba-
423 Numa pirâmidedebasequadmala,a aÍestâda base,a aÌtumda püâmideeo volumeformâm, nessaordem,uma PG. Sea arcstada basemede úcm, caìcuteâ medidada altura. 424 e area_rordlde um lerÍaedÍo regular é 36í3 cm'- QuaÌé o volumedess€t€traedrc? 425 O sólìdoda figuraé formadopor um cübode arerrdI2 cmedua"pinimjderreguìare. iguajs. por baseduas faces tendo respectivament€ opostasdo cubo.
a) a áreada base. b) a árealateral. c) a áreatotal.
41 7 A ar€stade urn tetraedroreguÌarmede2 cmCalcul€: a) a medida dâ altura do teiraedro. b) a áreatotal do tetraedro 418 Numa pirâmideregularhe{agonal,a arestada basetem 12cm e a arestalaieraÌ tem 20 cm. Calculeo volum€da pirâmide 419 Uma pirâmideresulâr,de baseqLìãdÍâda,tem arcstada base8 cm e apótemada pirâmide5 cm, Derermine, emcm', o volumedeç'apìrámide.
Sabendoquea distânciaentreos vértìcesdas piÍâmidesé de 32 cm,calculeo voìumedesse sóÌido. 42ó ryunesp)Considereuma pirâmidede altura p eum cubodear€stac, Seasbasesdessesdors sólidossâocongruentes e seelestêm o mesmo !olumc.derermine a íaráoenlÍep e c
299
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ADB, ADC e BDC 435 As basesdeum troncodepirâmidesãorriân427 (MauáSP)No tetraedro, guloseqüiláteros sãolriângubsretângulos. delâdos2cme8cm,resp€cS.Ìbendoque as est$ dâ fâce opostaao ÌivamenÌeA alturâ do troncomedeú cm.' são10.Ì0e 5V2, caÌcuÌe rfledrotri retâììgulo Calculeo volume. o reu voÌume. 43ó Considere o troncode pirâmideindicadona lìguÍa. '\ ,,''] /i\
'',)/ '/
, ..;'o
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: -----: 5\2 . 428 Uma pirârnidetem20cm deahume suabasc 1cm2.10cmrdeárca.Quâlseráa áreade uma secçàofeila a 5 cm do \éÍice da pirâmide? 429 Câtculea altura de uma pirâmide,sabendo queumasecçâq feilaa4cmdabasq temuma áreaisuaÌ -1 a a
da áreada base.
+JU q qd.ede umdpiúmideé um quadrado de 16cm de lado e lem ,1i2cm de ahura.QLìal e d ;-eadeu.n"'e.\io'eir" a 2 .m dedr.rância do \€rtice?
10c
t 16cnì CaÌcule: a) a árealaleraldo trorco. b) â áreatotal do tronco. c) o volumedo tronco. .rJ/ U lroncodeÌì'âmtderegular he\agonalìndtcadona figuratemarestâlateral5cm e áreas dasbases54íicm'ze 6 r'5cm'?.Calculeo scu
431 seia-ma piràmioena qua.a areada bâsee )00 rm . Umd.ecçáoiei.da 5 cm do \eflice Ìemumaáreade50cmr.CalcuÌea medidada alÌurada pirâmide. 432 (IIA-SP) UnÌa pirâmide rem o volume V = 15dm'e suaalturamed€32 dm. Pelo ponto A dessaareía lateEl, à dislânciade 438 lIre,Sr; es aresraslateraisde uma piÌâmid€ regularde 12faceslateraistêm comprim€nto ,l dm do véúiceda pirâmide,conduz'seom i. O raio do círculocircunscritoao poligono planopaúlelo à bâse(dapirâmide).Calcule o volumedo lronco de pirâmideobÌido. da basedeía D;úmidemede -ti = ,. Calcu le o volumed€stapirâmid€. 433 Um troncodepirânidehexagonaì regulartem o apólemamedindol8 cm e o perimetroda 439 A árealateral de uma pirâmide regnlar quabaeemaioÍigualaotriplodoperimetrodabadrangular é igual ao dobÍo da áreada base, \e menor.Calculea altum do tÍonco,sabenCalculeo volumedessapirâmide,sabendoque do que basemenorlem 54 úcm']de áreao lado do polígono da basem€de6 m. 434 Uma pirâmideregularde basequadradatem 44{, o sólidoindi,radona figuraé formadopor um âresta debase6 cmealtural2cm.AumadÌstrcnco depirâmidercgularqüadrangularcom lânciade4 cm do vérrice,secciona-se essapiaúíemade20 cmeârestasdasbasesde50 cm râmidecomumplanoparaleloàbase Calcue 30 cm,e um cubocom umafacecoincidenle a arcstadasecçâqo apóÌema,a areslalatete com â basemenoÍdo tÍonco, râ1,a área lareral e a áreâtotaÌ do tronco de pirâmideassimobtido.
t: 300
a) Calculea áreada sup€Ìfíci€total desse sólido b) DeteÍmjneo volume dessesólido. Use y'j = l,?
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