REVISTA NO. 1
2013 ALGEBRA LINEAL DESDE CERO Acerca de los Autores Pag. 1
Vectores Pag 3
Rectas Pag 6
Planos Pag 9
Aritmética Modular Pag. 11
Por: Boris Becerra: 12461
Matrices Pag 13
Henzer García: 12538 Cesar Luis:
12539
José López:
12716 13/02/2013
[ALGEBRA LINEAL DESDE CERO] 13 de febrero de 2013
Acerca de los autores…
Nació el 27 de octubre de 1992, Palín, Escuintla, Guatemala. Cursó sus estudios primarios y secundarios en su lugar de origen y en el año 2011 se graduó de Perito en Mecánica Automotriz en el Centro Educativo Técnico Laboral Kinal, ciudad de Guatemala y actualmente es estudiante de segundo año de la carrera Ingeniería Mecánica en la Universidad del Valle de Guatemala. Estudiante becado por la Fundación Juan Bautista Gutiérrez. Entre sus gustos y pasatiempos está jugar fútbol, compartir con su familia y salir con los amigos.
José David López Sequen
Nació el 22 de febrero de 1993, Rabinal, Baja Verapaz, Guatemala. Cursó sus estudios primarios y secundarios en su lugar de origen y el diversificado en el Colegio Tecnológico en Informática de Cobán, Alta Verapaz la carrera de Bachiller Industrial y Perito con especialidad en Computación. Actualmente es estudiante de segundo año de la carrera Ingeniería en Ciencias de la Computación y Tecnologías de la Información en la Universidad del Valle de Guatemala y es también estudiante becado por la Fundación Juan Bautista Gutiérrez. Entre sus gustos y pasatiempos está jugar fútbol, tocar instrumentos cómo la marimba y el teclado, compartir con los amigos y ver películas.
César Aníbal Luis Alvarado
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Nació el 21 de julio de 1993, Sanarate, El Progreso, Guatemala. Estudió la primaria en una escuela rural en su lugar de origen y el ciclo básico en el Colegio Enrique Novella Alvarado (ENA) en el mismo lugar. Se graduó de Perito en Informática en el Centro Educativo Técnico Laboral Kinal en el año 2011 y actualmente es estudiante de segundo año de la carrera Ingeniería en Ciencias de la Computación y Tecnologías de la Información en la Universidad del Valle de Guatemala. Es también estudiante becado por la Fundación Juan Bautista Gutiérrez. Entre sus gustos y pasatiempos está jugar fútbol y Ping Pon, hacer ejercicios y salir con los amigos.
Henzer Ottoniel García Cruz
Nació el 20 de enero de 1994, Ciudad de Guatemala. Estudió en el Liceo Javier, ciudad de Guatemala, desde la primaria hasta el diversificado, graduándose de Bachiller en Ciencias y Letras. Actualmente es estudiante de segundo año de la carrera Ingeniería en Ciencias de la Computación y Tecnologías de la Información en la Universidad del Valle de Guatemala. Le gusta tocar la guitarra, ir al gimnasio y jugar videojuegos.
Boris Fernando Becerra Peláez .
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VECTORES Vector: Segmento de recta dirigido desde un punto inicial (cola), hasta un punto final (cabeza).
Vectores equivalentes: Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud y la misma dirección. Posición estándar: Se les llama así a los vectores cuando su punto inicial está en el origen.
Número Real: “escalar”.
Será
llamado
Vectores Ortogonales: cuando el Angulo entre los vectores sea recto. Dos vectores ortogonales son ortogonales si el producto escalar entre ambos es 0.
Componentes: dimensiones de un vector, en Rn. Se encierran entre paréntesis. Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos cuando se puede escribir uno como múltiplo escalar del otro.
Vector Cero: Es aquel vector cuya magnitud es igual a cero y su dirección no se puede determinar.
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El negativo de un vector: son aquellos vectores que tienen la misma magnitud pero dirección opuesta. Producto Punto: el producto punto o producto escalar entre dos vectores (). el resultado del producto punto es un escalar.
Longitud de un vector: la longitud de un vector puede determinarse en base al producto escalar, se define como la raíz cuadrada del producto punto entre el mismo vector. Propiedades del producto punto: el producto punto posee la propiedad conmutativa así como la propiedad distributiva. Vector Unitario: es un vector con magnitud (norma o longitud) igual a 1. Vectores Unitarios Estándar: En general, en Rn se denotados como .
Combinación Lineal de un vector: un vector v es una combinación lineal de vectores v v v v si existen escalares tales que v v v . Los escalares c1, reciben el nombre de coeficientes de la combinación lineal.
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Normalización de un Vector: Es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección de un vector v dado.
Distancia entre dos vectores: es el análogo directo de la distancia entre dos puntos en la recta numérica real o entre dos puntos en el plano cartesiano. La distancia u v entre los vectores u y v en se define por u v u v .
Proyección: si u y v son vectores en yu , entonces la proyección de v sobre u es el vector roy on v ( ) u.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz: para todos los vectores u y v en u v u v .
Desigualdad del triángulo: para todos los vectores u y v en |u
v|
|u|
,
v .
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RECTAS Definición: Sea x y y x y dos puntos en . La línea que une a tales puntos se llama recta y la ecuación de esa recta está dada por la forma general: x y , misma ecuación que puede traducirse a una función y en términos de x y x , dónde es la pendiente de la recta y es el intercepto con el eje y.
Cuando la recta pasa en el punto x
y
la ecuación general se reduce a
.
En el lenguaje vectorial, puede verse que tal ecuación es el producto punto entre los vectores [a,b] y [x,y]. a,b*[x,y]=0
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Forma Vectorial de la recta: t⃗ , donde t es un escalar llamado Parámetro.
x⃗
⃗ p
x⃗
⃗⃗⃗⃗ , es el vector desde el origen hasta cualquier punto X sobre la recta. ox
⃗ p
⃗⃗⃗⃗ , es el vector desde el origen hasta un punto conocido (proporcionado). op
Podemos escribir la recta vectorial en términos de sus componentes a través de sus ecuaciones paramétricas: x
p
t
y
p
t
Ahora, ¿Qué sucede cuando estamos trabajando en tres dimensiones, ?. Simplemente, las ecuaciones anteriores lo prolongamos tomando en cuenta el eje z.
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Forma general: x
y
z
x
y
z
Son las ecuaciones de dos planos intersectados.
Forma Normal:
⃗ x⃗ n
⃗p n ⃗
x
np
x
np
x
np
Forma Vectorial:
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Dónde d es el vector de dirección de la recta, p es el vector op dónde p es un punto sobre la recta.
Ecuaciones Paramétricas: x
p
y
p
z
p
Despejando t en cada una de las ecuaciones paramétricas, tenemos las ecuaciones simétricas: x
p
y
p
z
p
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PLANOS
Todo plano en IR3 puede determinarse al especificar un punto p sobre y un vector distinto de cero n (normal) a por n s “x” r pr s nt un punto arbitrario sobre , se tiene que n(x-p) = 0 ó n x = n p lo anterior se denomina la normal de un plano. La forma general de la ecuación de un plano es ax + by + cz = d, donde n = [a, b, c] es un vector normal al plano. Distancia desde un punto “F” fuera de un plano hasta un plano. L st n l punto “F” l pl no stá por royn F on F s un v tor qu v s un punto “ ” ono o so r l pl no y “n” s l v tor normal al plano. Vectores Coplanares Los v tor s “u” “v” “w” son opl n r s s p rt n en al mismo plano. Cuando los vectores son coplanares cumplen con lo siguiente: (u x v)w=0 (u x w)v=0 (v x w)u=0
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Planos Paralelos: Son los planos paralelos tiene sus vectores normales paralelos entre si.
Planos ortogonales: Son
los
planos
que
tiene
sus
vectores
normales
ortogonales.
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Ángulo entre dos Planos: El ángulo entre dos planos, es determinado por el ángulo entre sus vectores normales y está dado por os , donde n1 y n2 son los vectores |
|
de los planos uno y dos. El ángulo siempre debe darse en radianes.
ARITMETICA MODULAR Definición: En la aritmética modular solo existen dos operaciones, la suma y la multiplicación. Inverso Aditivo: Son aquellos números que al momento de sumarse dan como resultado el elemento neutro o sea el cero. Inverso multiplicativo: Son aquellos números que al momento de multiplicarse dan como resultado el elemento neutro de la multiplicación o sea el 1. Vectores de verificación: Se utilizan para comprobar la autenticidad de los distintos productos o de los libros.
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UPC: Código universal del producto.
ISBN: Número
internacional
de
libro.
Ecuaciones consistentes: Son aquellas ecuaciones que tiene un o infinitas soluciones. Ecuaciones inconsistentes: Son aquellas ecuaciones que no tienen ninguna solución.
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MATRICES Es un arreglo rectangular de números llamados elementos o entradas de la matriz. S rv l p l r l t n m t r qu s gn f “m r ”. Cuando se le agrega el prefijo -ix, el significado s onv rt n “ut ro”. Un m tr z on m renglones y n columnas se llama matriz de m X n. [
]
x
y
x
y *
+
Matriz aumentada asociada al sistema: Es aquella matriz que en la primera parte contiene cada uno de los coeficientes de las ecaciones y en la última parte los terminos constantes.
[
⃗]
Métodos directos para resolver matrices: Matriz en forma escalonada: -
Se trata de reducir la matriz de coeficientes a la forma escalonada. Cada renglón distinto de cero, se llamara entrada principal Sección 10 | Álgebra Lineal desde Cero
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Operaciones de renglón: *RENGLON QUE SE VA A MODIFICAR* nt r m o l r nglón “ ” on l r nglón “j” . mult pl r l r nglón “ ” por l s l r “k” . sum rl l múlt plo l r nglón “j” s lo gr go l r nglón
“” .
Método inventado por Karl Friedrich Gauss (eliminación gaussiana): Se busca obtener en cada entrada principal de la matriz un numero formando una escalera de extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho, dejando los números bajo ella igual a cero. x
[
p vot
= R3 + R2 [
y
x
y
z
x
y
z
] R2 – 2R1, R3 + R1 [
p vot
]
]
Para determinar cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones dado, se lleva a la forma escalonada la matriz aumentada.
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Posibles patrones que puede tener: [
[
]
Si la última fila es de 0, y el último es un número diferente a cero, no tiene solución.
]
Si la última fila tiene todo 0, tiene infinitos números de soluciones.
Eliminación de Gauss-Jordan: Es la misma que la eliminación Gaussiana, solo que además se busca dejar con cero la parte superior de la escalera.
Sistema lineal homogéneo: Se puede escribir de la forma [A | 0]. Es decir el vector de términos constantes es el vector nulo. Un sistema lineal homogéneo SIEMPRE tiene solución.
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2x+y=0 -x+3y=0
*
+
*
+
*
+
*
+
Ejemplo: [
] ( )
[
[
]
[
]
] forma escalonada reducida.
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Espacio generado y conjunto generado Sea:
Cada v que pertenece e2. Por eso se dice que conjunto generado.
se puede escribir como la combinación lineal de e1 y = {e1, e2}. es el espacio generado {e1, e2} es el
Nota importante: Al tener los escalares en términos de “x” y de “y” garantizamos que {[1, 0], [0, 1]} genera todo R2. Independencia Lineal Se dice que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si uno de ellos puede escribirse como combinación lineal de otros. Una definición más formal de lo anterior es: un conjunto de vectores v1, v2,…, vk es linealmente dependiente si existen escalares c1, c2, …, ck al menos uno de los cuales no es cero, tales que c1v1 + c2v2 + … + ckvk = 0 Un conjunto de vectores que no es linealmente dependientes se le denomina linealmente independiente. Los vectores v1, v2,…, vm en son linealmente dependientes si y sólo si al menos uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal de los otros. Cualquier conjunto de vectores que contenga el vector cero es linealmente dependiente. Pues si 0, v2,…, vm están en , entonces se puede encontrar una combinación no trivial de la forma c1v1 + c2v2 +… + cmvm = 0 al hacer c1= 1 y c2 = c3 =… = cm = 0 Sección 10 | Álgebra Lineal desde Cero
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Sea v1, v2, …, vm vectores (columna) en y sea A la matriz de n X m [v1, v2, …, vm] con dichos vectores como sus columnas. Entonces v1, v2,…, vm son linealmente dependientes si y sólo si el sistema lineal homogéneo con matriz aumentada [A| 0] tiene una solución no trivial. Sean v1, v2,…, vm vectores (renglon) en y sea A la matriz de m X n [v1, v2,…, vm], con dichos vectores como sus renglones. Entonces v1, v2,…, vm son linealmente dependientes si y sólo si el rango(A) < m. Cualquier conjunto de m vectores en
es linealmente dependiente si m > n.
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