⇨ Curso de Matemática Básica. ⇨Aula-04: Conversão de Unidades e Trigonometria. ↣ Conversão de Unidades: ⇒ PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL(S.I.) FATOR 10
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PREFIXO
SÍMBOLO
Tera
FATOR
T
Giga
G
Mega
M
Kilo
k
Hecto
h
Deca
da
PREFIXO
SÍMBOLO
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Pico
p
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Nano
n
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Micro
μ
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Mili
m
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Centi
c
10
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Deci
d
10
⇒ UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO: NOMES SÍMBOLOS Múltiplos
Quilometro
km
1000 m
Hectômetro
hm
100 m
Decâmetro
dam
10 m
Metro
m
1m
Decímetro
dm
0, 1 m
Centímetro
cm
0, 01 m
Milímetro
mm
0, 001 m
Unidade Fundamental Submúltiplos
VALORES
⇒ UNIDADES DE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE: → METRO QUADRADO: m2 = 1 m2 = 1m x 1m
1 1 1 m 2 10 2 m 2 → DECÍMETRO QUADRADO: dm2 = 0,01 m2 = m x m 10 10 100 1 1 1 1 m x m m 2 4 m 2 10 4 m 2 → CENTÍMETRO QUADRADO: cm2 = 0,0001 m2 = 100 100 10000 10 1 1 1 1 → MILÍMETRO QUADRADO: mm2 = 0,000001 m2 = m x m m 2 6 m 2 10 6 m 2 10 1000 1000 1000000
⇝ OBS: Devemos interpretar uma área como sendo o produto de duas dimensões.
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⇒ UNIDADES DE MEDIDAS DE VOLUME: → METRO CÚBICO: m3 = 1 m3 = 1m x 1m x 1m
1 1 1 1 1 m 3 3 m 3 10 3 m 3 → DECÍMETRO CÚBICO: dm3 = 0,001 m3 = m x m x m 10 10 10 10 1000 1 1 1 1 1 → CENTÍMETRO CÚBICO: cm3 = 0,000001 m3 = m x m x m m 3 6 m 3 10 6 m 3 10 100 100 100 1000000 1 1 1 1 1 →MILÍMETRO CÚBICO: mm3 = 0,000000001 m3 = m x m x m m 3 9 m 3 10 9 m 3 10 1000 1000 1000 1000000000
⇝ OBS: Devemos interpretar um volume como sendo o produto de três dimensões. ⇒ RELAÇÃO IMPORTANTE: VOLUME 1 m3
CAPACIDADE 1 kl = 1000 l = 103 l
MASSA 1 t = 1000 kg = 103 kg
1 dm3
1l
1 kg
1 cm3
1 ml
1g
⇨ 1 m3 = 1000 l = 1m x 1 m x 1 m
1m x 1m ↓
↓
x 1m ↓
100 cm x 100 cm x 100 cm
↓
↓
↓
⇝ 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000mm
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⇨ 1 dm3 = 1l = 1 dm x 1 dm x 1dm
1 dm x 1 dm x 1dm ↓ ↓ ↓ 10 cm x 10 cm x 10 cm ↓
↓
↓
⇝ 1 dm = 0, 1m = 10 cm = 100 mm ⇨ 1 cm3 = 0, 001 l = 1 ml = 1 cm x 1 cm x 1 cm
1 cm
x 1 cm
↓
↓
↓
↓
x
1 cm ↓
↓
- EXEMPLOS: 01) Um reservatório tem a forma de um prisma reto-retangular (paralelepípedo) e mede 0,50 m de largura; 1,20 m de comprimento e 0,70 m de altura. Estando o reservatório com certa quantidade de água, coloca-se dentro dela uma pedra com forma irregular, que fica totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1 cm. Isto significa que o volume da pedra mede, em centímetros cúbicos. a) 0,42 b) 60 c) 600 d) 6.000 e) 420.000 02)(ENEM-2009/PROVA APLICADA): O Aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aqüífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.
Disponível
em: http;//notícias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul.2009 (adptado)
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Comparando as capacidades do Aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do Aquífero Guarani é a) 1,5 x 102 vezes a capacidade do reservatório novo. b) 1,5 x 103 vezes a capacidade do reservatório novo. c) 1,5 x 106 vezes a capacidade do reservatório novo. d) 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatório novo. e) 1,5 x 109 vezes a capacidade do reservatório novo. 03)(IBMEC): Uma caixa d'água é abastecida à razão constante de 15 l/min, e, simultaneamente, seu conteúdo escoa, por uma torneira, à razão constante de 7l/min. Se, em certo instante, o volume de água nessa caixa é de 800 l, então, a caixa estará com 2000 l em: a) 2 horas. b) 4 horas. c) 1 hora e 30 minutos. d) 2 horas e 30 minutos. e) 3 horas. 04)(UFSM-1991): Uma mangueira de área de secção reta de 0.5x10 -4 m2 deita água em uma proveta na razão de 3.0 l em 0.5 minutos. A razão e a velocidade média do líquido são, respectivamente, a) 2 m3/s; 10-4 m/s. b) 10-4 m3/s; 2 m/s. c) 1.5 m3/s; 3x104 m/s. d) 1.5 m3/min; 3x104 m/min. e) 0.3x10-4m3/s; 3/5 m/s.
↣ Trigonometria: ↦ Introdução: Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:
A partir da análise do desenho podemos dizer que a segunda rampa é mais íngreme ou tem maior aclive, pois seu ângulo de subida é maior (55° < 30°). Analisemos a seguinte situação-problema: Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das duas rampas abaixo é a mais íngreme?
Em situações como essas que envolvem lados e ângulos de um triângulo, podem ser resolvidas com o estudo da Trigonometria.
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↦ Índice de subida: Para cada ponto P alcançado na subida, temos um percurso, um afastamento e uma altura. Observe os seguintes exemplos:
Observe a rampa e a tabela a seguir:
Para cada um dos pontos, a razão entre a altura e o afastamento correspondente é dada por: Ponto A:
.
Ponto C:
Ponto B:
Ponto D:
É importante observar que a razão entre a altura e o afastamento, para cada ponto de uma mesma subida, é uma constante (sempre a mesma). No exemplo dado, essa constante é e damos o nome de índice de subida. Índice de subida
.
↦ Ideia de Tangente: Usamos a palavra tangente para associar a medida do ângulo de subida e o índice na mesma subida. A tangente do ângulo de subida é igual ao índice de subida associado, e será indicado por k1.
A partir de agora temos condições de resolver a situação-problema proposta inicialmente: vamos retomar as duas figuras e depois construir seus modelos matemáticos, que são dois triângulos retângulos.
Índice de subida da primeira ou tg α
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Índice de subida da segunda ou tg β Como
.
a primeira subida é a mais íngreme.
↦ Ideia de Seno: Em qualquer subida podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, que será um número que indicamos por k2, ao qual chamaremos de seno de ̂ . . O número K2, da mesma forma que a medida do ângulo de subida, pode nos indicar quanto a subida é ingreme.
↦ Ideia de Cosseno: Em qualquer subida podemos determinar a razão entre o afastamento e o percurso, que será um número que indicamos por cosseno de ̂ .
O número k3, da mesma forma que a medida do ângulo de subida, pode nos indicar quanto a subida é ingreme.
↦ determinação dos valores dos arcos notáveis.
↦ Algumas aplicações de Seno, Cosseno e Tangente: ¹ Decomposição de Forças/Equilíbrio:
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² Plano Inclinado:
³Velocidades no lançamento oblíquo:
↪ Lista de Exercícios: → Lista de Exercícios de Conversão de Unidades: 01)(CVM): Um reservatório tem 1,20 m de largura; 1,5 m de comprimento e 1 metro de altura. Para conter 1260 litros de água, esta deve atingir a altura de: a) 70 cm.
b) 0,07 m.
c) 7 m.
d) 0,7 dm.
e) 700 cm.
02)(BB): Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir ? a) 2h.
b) 2h 36 min.
c) 3h.
d) 3h 18 min.
e) 3h 20 min.
03) Um campo de forma retangular tem por dimensões 3 dam e ¼ hm. Sabendo-se que 2/3 de sua área estão cultivados, a área da parte não cultivada, em m2, é: a) 250.
b) 300.
c) 450.
d) 500.
e) 750.
04) O estacionamento de certa agência bancária, de formato retangular, tem 25 m de comprimento. Para cimentá-lo foram gastos $ 675.000,00, à razão de $1.500,00 o metro quadrado. A largura desse estacionamento, em metros, é: a) 28.
b) 25.
c) 22.
d) 20.
e) 18.
05) Sabemos que um recipiente de 1 dm3 contém 1l de água. Em uma caixa d'água em forma de paralelepípedo reto-retangular de 2 m de largura, 1,20 m de comprimento e 80 cm de profundidade, a capacidade, em litros, é igual a a) 192.
b) 1920.
c) 2440.
d) 19200.
e) 24400.
06)(ETFQ-Adaptado): Uma indústria embala sua produção de óleo vegetal em latas de 30 cm 3. Quantas destas latas são necessárias para embalar uma produção de 900 l de óleo vegetal ? a) 30 000.
b) 3 000.
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c) 300.
d) 90 000.
e) 9 000.
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07)(UFRGS-RS-2005): Observe a tabela abaixo, usada em informática.
A medida, em gigabytes, de um arquivo de 2000 bytes é a) 2-3.
b) 53 . 2-30.
c) 103 . 2-30.
d) 53 . 2-26.
e) 103 . 2-26.
08)(PETROBRÁS): Um terreno retangular tem 100 m de largura e 50 m de comprimento. A área desse terreno é de: a) 5 km2.
b) 0,5 km2.
c) 0,05 km2.
d) 0,005 km2.
e) 0,0005 km2.
09) O volume do tanque de combustível de um ônibus é de 64.000 cm 3. Sendo o consumo desse ônibus de 1 litro a cada 12 km, determinar a distância máxima que esse veículo pode percorrer até esgotar todo o combustível. a) 76,8 km.
b) 768 km.
c) 7680 km.
d) 7680 m.
e) 768 m.
010)(ENEM-2009/PROVA FRAUDADA): Uma fotografia tirada em uma câmera digital é formada por um grande número de pontos, denominados pixels. Comercialmente, a resolução de uma câmera digital é especificada indicando os milhões de pixels, ou seja, os megapixels de que são constituídas as suas fotos. Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, esses pontos devem ser pequenos para que não sejam distinguíveis a olho nu. A resolução de uma impressora é indicada pelo termo dpi (dot per inch), que é a quantidade de pontos que serão impressos em uma linha com uma polegada de comprimento. Uma foto impressa com 300 dpi, que corresponde a cerca de 120 pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que os pontos serão pequenos, que a olho não será capaz de vê-los separados e passará a ver um padrão contínuo. Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, com resolução de pelo menos 300 dpi, qual é o valor aproximado de megapixels que a foto terá ? a) 1,00 megapixel.
b) 2,52 megapixels.
c) 2,70.
d) 3,15.
e) 4,32.
011)(ENEM-2009/PROVA FRAUDADA): Segundo a Associação Brasileira de Alumínio (ABAL), o Brasil foi o campeão mundial, pelo sétimo ano seguido, na reciclagem de latas de alumínio. Foi reciclado 96,5 % do que foi utilizado no mercado interno em 2007, o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em média, um movimento de 1,8 bilhões de reais anuais em função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões referentes à etapa da coleta, gerando, assim, ʺempregoʺ e renda para cerca de 180 mil trabalhadores. Essa renda, em muitos casos, serve como complementação do orçamento familiar e, em outros casos, como única renda da família. Revista Conhecimento Prático Geografia, n° 22 (adaptado)
Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de coleta gira em torno de a) R$ 173,00.
b) R$ 242,00.
c) R$ 343,00.
d) R$ 504,00.
e) R$ 841,00.
012)(ENEM-2009/PROVA FRAUDADA): Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente. Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05 após depositar a moeda de a) 1 centavo no 679° dia, que caiu numa segunda-feira. b) 5 centavos no 186° dia, que caiu numa quinta-feira. c) 10 centavos no 188° dia, que caiu numa quinta-feira. d) 25 centavos no 524° dia, que caiu num sábado. e) 50 centavos no 535° dia, que caiu numa quinta-feira.
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013)(ENEM-2009/PROVA FRAUDADA): Pneus usados geralmente são descartados de forma inadequada, favorecendo a proliferação de insetos e roedores e provocando sérios problemas de saúde pública. Estima-se que, no Brasil, a cada ano, sejam descartados 20 milhões de pneus usados. Como alternativa para dar uma destinação final a esses pneus, a Petrobras, em sua unidade de São Mateus do Sul, no Paraná, desenvolveu um processo de obtenção de combustível a partir da mistura dos pneus com xisto. Esse procedimento permite, a partir de uma tonelada de pneu, um rendimento de cerca de 530 kg de óleo. Disponível em: http://www.ambientebrasil.com.br . Acesso em: 3 out. 2008 (adaptado).
Considerando que uma tonelada corresponde, em média, a cerca de 200 pneus, se todos os pneus descartados anualmente fossem utilizados no processo de obtenção de combustível pela mistura com xisto, seriam então produzidas a) 5,3 mil toneladas de óleo.
d) 5,3 milhões de toneladas de óleo.
b) 53 mil toneladas de óleo.
e) 530 milhões de toneladas de óleo.
c) 530 mil toneladas de óleo. 014)(ENEM-2009/PROVA APLICADA): O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 ,) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal? a) 1.400.
b) 14.000.
c) 140.000.
d) 1.4000.000.
e) 14.000.000.
015)(ENEM-2009/PROVA APLICADA): A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95 % a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1000 bytes, 1 MB = 1000 KB, 1 GB = 1000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95 %, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar. a) um CD de 700 MB.
d) um memory stick de 16 MB.
b) um pendrive de 1 GB.
e) um cartão de memória de 64 MB.
c) um HD externo de 16 GB. 016)(ENEM-2011): Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 21 abr. 2010 (adaptado).
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual é a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após a o início do caos ? a) 3390 pés.
b) 9390 pés.
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c) 11200 pés.
d) 19800 pés.
e) 50800 pés. Matemática Básica
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017)(ENEM-2011):
Café no Brasil
O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras.
Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010.
Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120 ml de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam mais café, aumentando o consumo em do que foi consumido no ano anterior. De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010 ? a) 8 bilhões de litros.
d) 40 bilhões de litros.
b) 16 bilhões de litros.
e) 48 bilhões de litros.
c) 32 bilhões de litros. 018)(ENEM-2012): Os hidrômetros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que alguns deles possuem uma combinação de um mostrador e dois relógios de ponteiro. O número formado pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m3, e os dois últimos algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em décimos de litros, conforme ilustrado na figura a seguir.
Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a a) 3 534,85.
b) 3 544,20.
c) 3 534 850,00.
d) 3 534 859,35.
e) 3 534 850,39.
019)(TC): Um reservatório em forma de paralelepípedo tem as seguintes dimensões: 1,20 m de comprimento, 0,80 m de largura e 0,50 m de altura. Sabendo que faltam 5 cm para ficar cheio, pode-se afirmar que o número de litros d'água existente nesse reservatório é: a) 18.
b) 240.
c) 355.
e) 432.
020)(UFSM): Um líquido ideal preenche um recipiente até certa altura. A 5 m abaixo de sua superfície livre, esse recipiente apresenta um orifício com 2 x 10-4 m2 de área, por onde o líquido escoa. Considerando o módulo da aceleração gravitacional g = 10 m/s2 e não alterando o nível da superfície, a vazão através do orifício, em m3/ s, vale a) 1 x 10-3.
b) 2 x 10-3.
c) 3 x 10-3.
d) 4 x 10-3.
e) 5 x 10-3.
021)(UFMG-MG): Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. As tábuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos 20 cm por 7, cm. O número de tacos necessários para esta substituição foi: a) 1029.
b) 1050.
c) 1470.
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d) 1500.
e) 1874. Matemática Básica
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022)(F. M. Santos-SP): Sendo a velocidade média do sangue capilar 0.05 cm/s e a área da seção transversal do capilar 10- 4 mm2, o tempo necessário para a passagem de 1 mm3 de sangue por uma seção transversal qualquer do capilar é um valor mais próximo de: a) 6 s.
b) 60 s.
c) 6 min.
d) 60 min.
e) 6 h.
023)(FNS): Quanto tempo (em horas) uma torneira que despeja água em uma caixa d'água à razão de 1l/h leva para encher uma caixa cúbica de 4 m de aresta ? a) 62 000.
b) 63 000.
c) 64 000.
d) 65 000.
e) 66 000.
024)(FURNAS): Quantas garrafas de 750 ml são necessárias para encher 3/5 de um barril de 50 litros ? a) 25.
b) 50.
c) 50.
d) 75.
e) 80.
025)(FUVEST-SP): A artéria aorta de um adulto tem um raio de cerca de 1 cm e o sangue nela flui com velocidade 33 cm/s. a) Quantos litros de sangue por segundo são transportados pela aorta? b) Sendo 5 litros o volume de sangue no organismo, use o resultado anterior para estimar o tempo médio que o sangue leva para retornar ao coração. ↪ Gabarito: 01) A
02) E
03) A
04) E
012) D
013)
014)
015)
022) E
023) C
024) B
025)
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05)
06) A 016) C
07) D
08) D
017)
018)
09) B 019) D
010) E 020 ) B
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011) B 021) C
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