Enmafi 2016

III Encuentro Internacional de Matemáticas y Fïsica: La influencia de la Tecnología en la Educación Matemática y las Ciencias Fïsica.

COMITÉ INSTITUCIONAL Leonidas Rico Martínez, Rector José Gustavo Roncancio Rodríguez, Vicerector Académico Alberto Fajardo Oliveros, Vicerector de Investigaciones y Posgrados Diana Alí Capdevilla, Vicerectora Adminsitrativa Carlos Emilio Ardila Ospina, Decano Facultad de Educación Javier Martínez Plazas, Coordinador Licenciatura en Matemáticas y Física COMITÉ EDITORIAL Y ORGANIZADOR Javier Martínez Plazas Beatriz Tapiero García Alberto Villa Valencia Henry Polanco Cerquera Mónica Sofía Montilla Rodriguez COMITÉ ACADÉMICO INTERNACIONAL

GUSTAVO RAUL CAÑADAS DE LA FUENTE. Universidad de Granada. España MIGUEL RODRIGUEZ WILHELMI. Universidad Pública de Navarra. España PATRICIA KONIC. Universidad Nacional de Rio Cuarto. Argentina MARCEL DAVID POCHOLÚ. Universidad Nacional de Villa María. Argentina IRMA ROSA FUENLABRADA. Centro de investigación y de estudios avanzados del Instituto Politécnico Nacional. Cinvestav. México ORESTES COLOMA RODRIGUEZ. Universidad de Ciencias pedagógicas. Cuba.

OSVALDO DE JESUS ROJAS VELASQUEZ. Universidad Antonio Nariño. Cuba NACIONAL JHONNY ALEXANDER VILLA OCHOA. Universidad de Antioquia. Colombia HILBERT BLANCO ALVAREZ. Universidad de Nariño. Colombia EDINSSON FERNANDEZ MOSQUERA. Universidad de Nariño. Colombia GERMAN GUERRERO PINO. Universidad del Valle. Colombia ANDERSON DUSSAN CUENCA. Universidad Nacional. Colombia JOHN HENRY DURANGO URREGO. Universidad de Antioquia. Colombia MÓNICA MARCELA PARRA ZAPATA. Universidad de Antioquia. Colombia PAULA ANDREA RENDÓN MESA. Universidad de Antioquia. Colombia CAROLINA HIGUITA RAMÍREZ. Universidad de Antioquia. Colombia LORENA MARIA RODRIGUEZ RAVE. Universidad de Antioquia. Colombia MARÍA DENIS VANEGAS VASCO. Universidad de Antioquia. Colombia JUAN FERNANDO MOLINA TORO. Universidad de Antioquia. Colombia JOSE ANTONIO MARIN PEÑA. Universidad de la Amazonia. Colombia JOSE HERNANDO OTALORA BONILA. Universidad de la Amazonia. Colombia ELIAS FRANCISCO AMÓRTEGUI CEDEÑO. Universidad Surcolombiana. Colombia MARTHA CECILIA MOSQUERA URRUTIA. Universidad Surcolombiana. Colombia MIGUEL ERNESTO VILLARRAGA RICO. Universidad del Tolima. Colombia MONICA BERNAL VACA. Universidad de los Andes. Colombia DICLENY CASTRO CARVAJAL. Universidad del Tolima. Colombia SONIA CALDERON SANTOS. Universidad de los Andes. Colombia.

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Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra –incluido el diseño tipográfico y de portada–, sea cual fuere el medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito de la Universidad de la Amazonia y la Licenciatura en Matemáticas y Física. Si disfrutaste estas memorias, por favor invita a tus amigos a descargar su propia copia en enmafi2016.wix.com/inicio

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ÍNDICE Presentación EnMaFi 2016 Agradecimientos PONENCIAS ¿ES SUFICIENTE SABER MATEMÁTICAS PARA ENSEÑAR MATEMÁTICAS? MIGUEL WILHELMI. ESPAÑA CONTEXTOS, TAREAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN LA MODELACIÓN. JHONNY VILLA. UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA. COLOMBIA ETNOMATEMÁTICA: UNA HERRAMIENTA POLÍTICA PARA AMÉRICA LATINA. HILBERT BLANCO. UNIVERSIDAD DE NARIÑO. COLOMBIA ¿QUÉ DIFICULTADES, PARA SER INCORPORADOS, ENCUENTRAN EN EL AULA LOS RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA DESARROLLADA DESDE UNA PERSPECTIVA SOCIO-CONSTRUCTIVISTA DEL APRENDIZAJE? IRMA ROSA FUENLABRADA. MÉXICO POSIBILIDADES DEL DISEÑO DE TAREAS AL INTEGRAR LAS TIC EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA ESCOLAR. EDINSSON FERNANDEZ. UNIVERSIDAD DE NARIÑO LA IMPORTANCIA DE LA FILOSOFÍA EN LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA FÍSICA. MIGUEL GRIZALES. UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA EL SOFTWARE EDUCATIVO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA CUBANA. ORESTE COLOMA. CUBA OBSERVANDO MARIPOSAS Y ACEPTANDO SURCOS DEJADOS POR NANOTUBOS DE TIO2: UNA EVIDENCIADEL FENÓMENO DE IRIDISCENCIA. ANDERSON DUSSAN.UNIVERSIDAD NACIONAL LA CULTURA ESTADÍSTICA: UN COMPONENTE PRIORITARIO DE LA INVESTIGACIÓN. GUSTAVO CAÑADAS. ESPAÑA -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.UNA PROPUESTA PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE ÁREA A TRAVÉS DE UN PENSAMIENTO OPERACIONAL. DIANA CAROLINA PÉREZ DUARTE. UNIV. DE CUNDINAMARCA TERCERA LEY DE NEWTON. UNA CONSTRUCCIÓN DESDE EL ANÁLISIS DIDÁCTICO. JOSE ANTONIO MARIN - JOSE MANUEL AGUDELO - ALEXANDRA CASTRO. UNIV. DE LA AMAZONIA TAREAS MATEMÁTICAS PARA HACER EMERGER EL SIGNIFICADO MATEMÁTICO DE NÚMERO ENTERO: UNA MIRADA DESDE EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS. ALBEIRO GIRALDO OSPINA. UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA LA LIBERTAD COMO FUNDAMENTODE LA MATEMÀTICAS. HERNANDO. SURCOLOMBIANA

CREACIÓN

INTELECTUAL

EN

PROPUESTA PARA PROMOVER LA MOVILIZACIÓN DE LOS PROCESOS DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR A PARTIR DE LA FUNCIÓN LINEAL. JHON FREDY SABI. UNIV. DE LA AMAZONIA

UNA PROPUESTA PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE ÁREA A TRAVÉS DE UN PENSAMIENTO OPERACIONAL.DIANA CAROLINA PÉREZ DUARTE. UNIV. DE CUNDINAMARCA LA VINCULACIÓN DE APPLETS JAVA COMO ESTRATEGIA PARA EL FORTALECIMIENTO DEL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE LA FUNCIÓN LINEAL. YEISON ANDRÉS VÁQUIRO PLAZAS - DÍBER ALBEIRO VÁQUIRO PLAZAS FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS: UN EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL ANÀLISIS DIDÁCTICO EN LA FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES. ELIZABETH HURTADO MAURO OCHOA - JUAN ALEXANDER TRIVIÑO. UNIV. DE LA AMAZONIA EL TRABAJO COOPERATIVO: UNA PROPUESTA DE APRENDIZAJE DE LAS FRACCIONES CONESTUDIANTES DE GRADO QUINTO. NELSON ANDRÉS ACEVEDO FORERO, GEORYANY GUERRERO ORDÓÑEZ Y DAWSON CORTÉS JOVEN. UNIV. DE LA AMAZONIA FRACCIONES Y OPERACIONES ENTRE ELLAS. BREICEN ANDREA -ACEVEDO VARGAS -JHOAN SEBASTIAN RUIZ RODRÍGUEZ - CARLOS ENRIQUE RESTREPO RAMÍREZ. UNIV. DE CUNDINAMARCA EL TEOREMA DE BAYES EN EL PROCESO DE FORMACIÓN DE LOS ESTUDIANTES DE MEDICINA. LUIS FERNANDO PÉREZ DUARTE, PEDRO AGUSTÍN MONTERREY GUTIÉRREZ, OSVALDO JESUS ROJAS VELÁZQUEZ. UNIV. ANTONIO NARIÑO IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO TEÓRICO A PRIORI DE COMPETENCIA MATEMÁTICA. ARNULFO CORONADO. UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA DEFINICIÓN DE NÚMERO IRRACIONAL: UN ESTUDIO EN LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICAS USADOS EN EL GRADO OCTAVO EN FLORENCIA. ALIRIO QUESADA Y ALBEIRO GIRALDO.UNIV. DE LA AMAZONIA MOVILIZACIÓN DE REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA COMO PROPUESTA PARA LA COMPRENSIÓN Y EL APRENDIZAJE DE LA PROPORCIONALIDAD. ALBENIS YUSTES MEDINA. BLANCA ADRIANA TOVAR. UNIV. DE LA AMAZONIA SECUENCIAS DIDÁCTICAS PARA LA CONVERSIÓN ENTRE LOS REGISTROS DE REPRESENACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL. EDWIN ANDRÉS PEERDOMO – YAMIL TAFUR VIRTUALIZACIÓN DEL MUSEO INTERACTIVO DE LA CIENCIA Y LA CREATIVIDAD, MICC, DE LA UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA. JHON FREDY SABI - HUGO HERNANDO DÍAZPABLO ANDRÉS MURCIA LA VARIACION DE LA MASA DE UN HUEVO, DURANTE SU PROCESO DE INCUBACIÓN. KAREN FAISURY CANO DIAZ- YURY NEIDA PÉREZ CASTAÑEDA- JAMES FAJARDO PROAÑOS- JOSÉ A MARIN APRENDIENDO FRACCIONES MEDIANTE EL MÉTODO PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ESTUDIANTES DE GRADO QUINTO. ESTEFANÍA DEVIA PEDREROS.JACQUELINE MÉNDEZ ROJAS. DAWSON DIDIER CORTÉS JOVEN. UNIV. DE LA AMAZONIA EL USO DE PROYECTOS EN LA CLASE DE ESTADÍSTICA FAVORECE EL DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO ESTADÍSTICO. BEATRIZ TAPIERO GARCÍA. HENRY POLANCO CERQUERA. UNIV. DE LA AMAZONIA

COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR EN ESTUDIANTES DE GRADO SEXTO DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA RURAL. KENNEDY CHIVARA SANCHEZ. ALBERTO ANTONIO VILLA. UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR. UN ESTUDIO DE CASO: LA FUNCIÓN LINEAL. POMPILIO SANCHEZ. ARNULFO CORONADO. UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA EL PAPEL DE LAS TAREAS MATEMÁTICAS EN EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA. ALIRIO QUESADA SALAZAR.SAMUEL MORALES PARRA ESTADO ACTUAL DEL CONCEPTO DE SIMETRÍA EN ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO EN INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE FLORENCIA CAQUETÁ. FERNEY ANTURI- FRANCISCOINTERACTIVA PHYSICS – LA OPORTUNIDAD DE UN LABORATORIO VIRTUAL. RAMON MAJE. UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA ALTERNATIVA EN EL AULA PARA CONTRIBUIR EN LA MOVILIZACIÓN DE LOS NIVELES DE DOMINIO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS. YESID QUINTANA UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA LA MODELACIÓN DE PROYECTOS AGROINDUSTRIALES, DE SERVICIOS Y TURÍSTICOS DESDE LOS CENTROS DE FORMACIÓN, TRANSVERSALES A LOS PEI, UTILIZANDO LAS NORMAS INTERNACIONALES DE INFORMACIÓN FINANCIERAS, COMO PARADIGMA QUE PERMITE EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS EMPRESARIALES PARA ENFRENTAR EL POST-CONFLICTO. JOSE GUSTAVO GUEVARA LA MODELACIÓN MATEMÁTICA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS HACIENDO USO DE LA TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LA DIDÁCTICA (TAD) COMO ESTRATEGIA PARA DESARROLLAR PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN LOS ESTUDIANTES DE GRADO SÉPTIMO DE LAS EDUCATIVAS JUAN BAUTISTA LA SALLE Y JUAN BAUTISTA MIGANI. EDIXON CAICEDO ROSAS, MARIBEL PACHECO, JOHN ALEXÁNDER RODRÍGUEZ GONZÁLEZ. JUAN BAUTISTA LA SALLE Y JUAN BAUTISTA MIGANI LA METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE ACTIVO EN LA ENSEÑANZA DE MOVIMIENTO PARABÓLICO EN LA EDUCACIÓN MEDIA. NASLY YADIRA MARTINEZ. GERMAN FARFAN. UNIV. DE LOS LLANOS ENSEÑANZA DE LAS LEYES DE NEWTON BAJO LA METODOLOGÍA DEL APRENDIZAJE ACTIVO. NASLY YADIRA MARTINEZ. GERMAN FARFAN. UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS CONSTRUCCIÓN DE MONTAJES EXPERIMENTALES CON MATERIALES DE BAJO COSTO COMO PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA ACÚSTICA PARA LOS VISITANTES DEL MUSEO INTERACTIVO DE LA CIENCIA Y CREATIVIDAD DE LA UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA. HAROLD FABIÁN SAPUY VILLEGAS -YEISON MARIN HURTADO. UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.RECONOCIMIENTO DE NIVELES DE RAZONAMIENTO ALGEBRAICO EN EDUCACIÓN PRIMARIA Y SECUNDARIA. MIGUEL WILHELMI TALLER CONVERSATORIO: EL DESARROLLO DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN LOS PRIMEROS AÑOS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA. PARTE I: EL ESTUDIO DE LA FORMA, LA PERCEPCIÓN GEOMÉTRICA.IRMA ROSA FUENLABRADA LA COMPRENSIÓN DE LA CORRELACIÓN. GUSTAVO CAÑADAS

DESARROLLO DE AMBIENTES VIRTUALES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE (EVEA), MEDIANTE SAdHEA- WEB. ORESTES COLOMA HACIA UN CONOCIMIENTO DIDÁCTICO-MATEMÁTICO ESPECIALIZADO. PATRICIA KONIC RAZONAMIENTO COVARIACIONAL A TRAVÉS DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA. JHONY ALEXANDER VILLAUNIV. DE ANTIOQUIA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS: CONOCIMIENTO EXPERIENCIA)- GERMAN GUERRERO

Y

REALIDAD

(TEORÍA

Y

TAREAS QUE FOMENTAN HABILIDADES DE VISUALIZACIÓN 3D: POLIEDROS, CÓNICAS Y SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN USANDO CABRI 3D. EDINSSON FERNANDEZ EL USO DE LA CALCULADORA EN LA ESCUELA PRIMARIA. HILBERT BLANCO INVESTIGACIÓN, CIENCIA, TECNOLOGÍA: IMAGINACIÓN Y REALIDAD. ANDERSON DUSSAN CONSTRUCCION DE LAS CONICAS CON REGLA Y COMPÁS. AUGUSTO SILVA SILVA. UNIV. SURCOLOMBIANA SIMETRÍAS INVARIANTES DE ALGUNOS POLÍGONOS REGULARES MAURICIO PENAGOS. UNIV. SURCOLOMBIANA EL ANÁLISIS DIDÁCTICO: UNA ALTERNATIVA PARA EL DISEÑO DE TAREAS MATEMÁTICAS. ELIZABETH HURTADO - MAURO OCHOA - JUAN ALEXANDER TRIVIÑO. UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA LA PROBABILIDAD Y EL AZAR EN JUEGOS COTIDIANOS EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO EN AULA MULTIGRADO DE EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA. PROPUESTA SECUENCIA DIDÁCTICA PROGRAMA TODOS A APRENDER – HUILA. YAMIL TAFUR DÍAZ-OSCAR FERNANDO CHAMBO RUÍZ DEMOSTRACIONES SIN PALABRAS. OSVALDO JESÚS ROJAS VELÁZQUEZ, MARY FALK DE LOSADA, KELLY KARINA RODRÍGUEZ GARCÍA. UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO

¿Es suficiente saber matemáticas para enseñar matemáticas?

Miguel R. Wilhelmi Universidad Pública de Navarra, España Resumen Enseñar matemáticas es complejo y apasionante. Decía Albert Einstein que “no entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela”. Para llegar a ese punto de claridad y sencillez hay que trabajar duro. Enseñar matemáticas no es un arte.

No existen los profesores “muy didácticos” por naturaleza. La experiencia es un grado, pero no es suficiente. Las matemáticas son necesarias, pero no suficientes. Como cualquier oficio, la docencia en matemáticas tiene sus claves, sus restricciones y su especificidad. La didáctica de las matemáticas se ocupa de elaborar técnicas de enseñanza que pueden ser comunicadas y reutilizadas y, sobre todo, de determinar medios de control y gestión de procesos de estudio de las matemáticas. “¿Sabe usted freír un huevo?”, espetó Albert Einstein al periodista. “Sí”, contestó éste desorientado. “Entonces explíquemelo sin presuponer que yo sé qué es una sartén, el aceite y el huevo”.

Palabras clave: conocimiento y saber, ontología matemática, prácticas operativas y discursivas, construcción y comunicación de conocimientos, intervención docente en matemáticas, didáctica de las matemáticas.

1. ¿Qué tipo de cuestiones se abordan en Didáctica de las matemáticas?

Se propone a un niño el siguiente ejercicio: “Realiza la siguiente operación: 2,57 + 3,82” El niño realiza el cálculo colocando los números decimales según la escritura vertical convencional. Suma la parte entera por un lado y la parte decimal por otro, como si fueran números independientes (figura 1).

Figura 1. Cálculo incorrecto de una suma con decimales ¿Cómo valorar la respuesta dada por el estudiante? Un análisis apresurado puede llevar a afirmar que el estudiante no manifiesta ningún conocimiento y que es precisa una intervención específica para enseñarle qué son los números decimales y cómo se opera con ellos.

Sin embargo, la respuesta del estudiante puede ser indicativa de:

 Dificultades inherentes a la noción matamática. La construcción de los números decimales supone una ruptura con la noción de número natural, dado que difiere de éstos en su naturaleza y utilidad. Así, se pasa de un conjunto, los números naturales, iterativo (cada número tiene un siguiente) a otro, el de los decimales (positivos), no iterativo (dado un número decimal, no existe siguiente o, lo que es lo mismo, entre dos números decimales existen infinitos también decimales). El número natural, utilizado profusamente para contar y ordenar, deja entonces paso al número decimal usado preferencialmente para medir y (re)partir.  Conocimientos del niño. El niño demuestra competencia en la suma de números naturales con dos cifras con llevadas, así como el conocimiento de los pasos iniciales del algoritmo de la adición con decimiales. No pues es tanto “lo que no sabe”, sino los conocimientos sobre los que habrá que hacer emerger unos contenidos nuevos.  Intervenciones del docente. En la introducción de los números decimales, con ánimo de reducir el envite epistemológico, son clásicas analogías de estos números con los naturales o las fracciones (figura 2), que pueden condicionar el desempeño de los niños.

“Los números decimales son los mismos que los naturales, pero con coma”.

“Para sumar números decimales, hay que poner uno encima del otro, haciendo coincidir las comas, y a continuación sumar la parte decimal y entera”.

“Los números decimales son otra forma de escribir las fracciones”.

Figura 2. Introducción por analogía de los números decimales ¿Cómo influyen las afirmaciones de los docentes en el desempeño de los niños? ¿Inducen a error? ¿Son necesarias o útiles? ¿Pueden o deben ser evitadas? ¿Las analogías “enseñadas” juegan un papel diferente al de las “construidas” o “descubiertas”?

El análisis didáctico precisa pues integrar en un todo estos aspectos matemáticos, cognitivos y de enseñanza. De forma más precisa, ¿es posible diseñar una secuencia de enseñanza que permita, al menos para la mayoría de los niños, una adquisición paulatina de los números decimales, evitando errores previamente identificados? Si no es posible, ¿es entonces posible prever intervenciones docentes que permitan gestionar errores y dificultades en la adquisición de la noción de número decimal por los niños?

La didáctica de las matemáticas promueve rechazar las dicotomías: bien-mal, correctoincorrecto, verdadero-falso, buen-mal estudiante, buen-mal docente, etc., afrontando cuestiones que integren las dimensiones epistemológica (relativa a las matemáticas), cognitiva (al sujeto que aprende) y de enseñanza (a las intervenciones de quien enseña).

De esta forma, esta disciplina afronta cuestiones del tipo:  ¿Qué nociones matemáticas están involucradas? ¿Cuáles son previas y cuáles emergentes en la actividad propuesta?  ¿Qué conocimientos posee el niño?  ¿Qué tipo de intervención ha realizado el maestro? ¿Qué estrategias utilizará el maestro para integrar en el proceso de estudio los errores y dificultades de los niños? ¿Son todos los errores de la misma naturaleza? ¿Qué papel juega el error?

(Wilhelmi, 2009, 5-8).

 ¿Cómo hacer evolucionar los conocimientos del niño para que adquiera el saber que se desea enseñar?  ¿Qué tipo de tareas proponer? ¿Qué tipo de materiales utilizar? ¿Cómo organizar el sistema didáctico y, muy en particular, las interacciones entre iguales en la construcción y comunciación de los contenidos matamáticos?

2. ¿La enseñanza de las matemáticas es un arte?

Comenius (1592-1670) publica en 1639 Didáctica Magna, donde describe las características del “arte de enseñar”. Desde entonces tienen sentido expresiones tales como “ese profesor es muy didáctico” o “ese profesor ‘sabe’ cómo llegar a sus estudiantes”.

Comenius postula que las reglas de la enseñanza no dependen ni del saber que se desea enseñar, ni del sujeto a quien se enseña: Se puede enseñar todo, a todos. Así, determina unas reglas generales para la enseñanza:    

Un docente para muchos estudiantes.

Mismos libros para todos.

Todos los estudiantes en la misma clase hacen lo mismo al mismo tiempo.

Un mismo método para todas las disciplinas.

De manera sucinta, la didáctica como arte se puede definir como la “actividad de alguien que quiere enseñar algo a otra persona que no lo demanda o incluso que no quiere aprenderlo”. Evidentemente esta perpectiva está en la base de la sociabiliazación del conocimiento y, en particular, en la toma de conciencia de la necesidad de instruir a todos los sujetos de una sociedad, con independecia de sus características individuales o de su situación social. El problema no es pues la orientación de la enseñanza, sino el presuponer que los procesos de gestión, comunicación y producción de conocimiento no están ínitimamente condicionados al propio conocimiento.

La reforma de los 60-70, de las “Matemáticas modernas” o “Reforma conjuntista”, parte de la premisa de que el rendimiento está condicionado por las matemáticas que se enseñan, demasiado volcadas a la obtención temprana de algoritmos y a su aplicación sistemática (figura 3), no por la manera en que estas matemáticas son enseñadas.

Figura 3. Algoritmo de la suma (Álvarez, 1956)

Esta reforma representa la “cara matemática” de una aproximación estructuralista a la realidad y al saber, que también se da en lingüística y en otras áreas (Piaget, 1996). La enseñanza de las matemáticas se basa entonces en estructuras algebraicas y en nociones conjuntistas. Esta orientación se ve apoyada en la época por el surgimiento de la epistemología genética piagetiana; empero, la reforma fracasa.

Kline (1974) escribe ¿Por qué Juanito no sabe sumar?, donde cuestiona el nuevo enfoque, denunciando que la fundamentación y conceptualización del número no es eficaz para la adquisición de los conocimientos matemáticos más elementales, tales como las cuatro operaciones elementales (adición, sustracción, multiplicación y división). Se gesta entonces una “vuelta a lo básico” (Offner, 1978); es decir, rescatar la importancia de las operaciones elementales para la resolución de problemas y para la adquisición del número. Así, se acepta tácitamente que las nociones matemáticas se adquieren con el uso, que precede a la conceptualización de dichas nociones. Con otras palabras: “se utiliza lo que ‘no se sabe’ para aprenderlo”. Esta aparente contradicción es consustancial al currículo en espiral (Bruner, 1960) y permite afrontar la dificultad inherente a la adquisición de la noción de número por el niño (Godino, Font, Wilhelmi y Lurduy, 2011).

En 1985, Baruk publica Las edades del Capitán, libro que denuncia la pérdida de sentido por los estudiantes en la realización de actividades matemáticas. Se muestra cómo una muestra considerable de estudiantes, responden “36” a la siguiente situación: “Hay 26 ovejas y 10 cabras en un barco. ¿Cuántos años tiene el capitán?” Evidentemente, la pregunta carece de sentido. Brousseau y su equipo, lejos de valoraciones catastrofistas y de interés mediático, se acercan a la fuente, los niños, para preguntarles porqué responden a un cuestión carente de sentido. La respuesta de los niños es del tipo: “la pregunta no tiene sentido, pero cuando el profe pregunta, hay que contestar”. Así, se pone de manifiesto el escaso reparto de responsabilidad en la construcción y comunicación del saber en la escuela, que recae casi en exclusividad en el docente. Se pueden entonces dar interpretaciones vinculadas al contrato didáctico, que determina el tipo de relación que se establece entre el docente, los estudiantes y las matemáticas, siendo necesaria una problematización expresa del contenido matemático que se pretende enseñar. Esta es la clave del nacimiento de la Didáctica tal y como se entiende actualmente: las matemáticas ya no “vienen dadas”, es preciso (re)construirlas en la escuela, mediante situaciones fundamentales diseñadas ad hoc (Brousseau, 1998).

3. ¿Qué objetos intervienen en la construcción de las Matemáticas?

La (re)construcción de las matemáticas en la escuela precisa de una análisis previo de la naturaleza de los objetos que involucra. Son comunes situaciones del tipo:  Docente de física a docente de matemáticas: “Estoy con el tiro parabólico y les he tenido que enseñar todo. ¿Es qué no les habéis enseñado todavía la función cuadrática?”  Docentes de matemáticas: “Les he puesto un problema que ya habíamos hecho, pero cambiando los datos... ¡Nada, un desastre!... ¡No estudian nada, son unos vagos!” ¿Por qué se repiten estas situaciones en todos los contextos educativos y con las diferentes cohortes de estudiantes? La estructura del edificio matemático no tiene un correlato evidente con los procesos de construcción y comunicación de las matemáticas por los sujetos. El que el tiro parabólico en física se escriba con “otras letras” (usualmente, h, t, g), diferentes a las usuales en matemáticas (y, x) confieren al objeto “parábola” otra

presencia, que impide el reconocimiento por los estudiantes. ¿Significa esto que los estudiantes “no se preocupan” o “tienen bajo nivel”? No, sencillamente, las matemáticas involucran lenguajes, definiciones, proposiciones, propiedades, situaciones y argumentos, que están condicionados por el uso y contexto (Godino, Batanero, y Font, 2007), que condicionan las prácticas operatorias, discursivas y regulativas, y que determinan una configuración de objetos y procesos (figura 4).

Figura 4. Objetos y procesos en las prácticas matemáticas De esta forma, esta complejidad ontosemiótica condiciona los procesos de estudio de las matemáticas y supone un desafío para el docente, que debe conocer primero esta complejidad, para luego gestionar el proceso de estudio, posibilitando una negociación eficaz del significado en el aula. Así, el docente debe determinar condiciones para que un sujeto se apropie de un conocimiento nuevo, responsabilizándose de la actividad que realiza, para la que necesariamente (puesto que está en vías de aprendizaje) no tiene a priori medios de control. El desafío es principal y paradójico (figura 5).

[Periodista] “¿Podría explicar, con pocas palabras, qué es la Teoría de la Relatividad?

[Einstein] ¿Sabe usted freír un huevo?

[Periodista] Sí [desorientado].

[Einstein] Entonces explíquemelo sin presuponer que yo sé qué es una sartén, el aceite y el huevo.

[Periodista] …

Figura 5. La enseñanza como desafío ¿Cómo afrontar este reto? ¿Qué herramientas puede utilizar el docente? ¿Qué influencia tienen los distintos objetos y procesos matemáticos? Partamos de un ejemplo: ¿Hay más números pares (2, 4, 6, 8, …) o naturales (1, 2, 3, 4, …)? La Teoría de conjuntos permite afirmar que “los mismos”, dado que los conjuntos asociados son coordinables, es decir, se puede establecer una biyección entre ellos. Sin embargo, esta afirmación va contranatura, dado que desde Los Elementos de Euclides sabemos que “el todo es mayor que la parte”; para conjuntos finitos, claro. Con otras palabras, la afirmación “hay más

números naturales que pares” se basa un conocimiento cierto en un contexto (conjuntos finitos), que deja de ser válido en otro (conjuntos infinitos). ¿Cómo enseñar este conocimiento? ¿Es lo mismo enseñar el conocimiento que adquirir la formalización matemática del mismo? Pensemos en un pantalón “mágico” con dos bolsillos, donde se puede introducir tantos objetos como queramos. Si se saca alternativamente un objeto de cada bolsillo y este proceso se repite indefinidamente o hasta agotar los elementos, se debe aceptar que hay los mismos objetos en ambos bolsillos, dado que siempre se pueden formar parejas. En el caso de los números naturales y pares: del bolsillo izquierdo se saca el número 1, del derecho el 2, formándose la pareja (1,2); de manera similar, se formarían las parejas: (2,4), (3,6), (4,8), (5,10), (6,12), (7,14), etc. Es decir, para todo número natural hay un número par que permite formar una pareja.

Esto puede enunciarse de manera general (figura 6).

Definición. Dado un pantalón con dos bolsillos se dice que es mágico si se puede poner en cada bolsillo los objetos que se quiera.

Teorema. Dado un pantalón mágico, si se saca alternativamente un objeto de cada bolsillo y siempre que se saca un objeto de un bolsillo se puede sacar otro del otro bolsillo, entonces hay el mismo número de objetos en los dos bolsillos.

Figura 6. Teorema del pantalón mágico En resumen, el teorema del pantalón mágico desprovee a los “conjuntos coordinables” del lenguaje, definición, propiedades y argumentaciones matemáticas estándares, pero preserva un significado propio y útil. En este contexto la didáctica de las matemáticas aporta herramientas para la introducción de objetos y procesos matemáticos y su desarrollo en prácticas operativas y discursivas en niveles crecientes de complejidad y de utilidad en contextos diversos.

A modo de conclusión: ¿qué es la didáctica de las matemáticas?

La didáctica de las matemáticas es la disciplina que se encarga de la construcción y comunicación de contenidos matemáticos, en lo que esta construcción y comunicación tienen de específico de las matemáticas. Con otras palabras, es la disciplina que se ocupa de elaborar técnicas de enseñanza de las matemáticas que pueden ser comunicadas y reutilizadas y de determinar medios de control y gestión de procesos de estudio, determinando la responsabilidad de los agentes (estudiantes y docente) y la estructuración idónea del medio didáctico para la introducción o desarrollo de contenidos matemáticos en un determinado contexto o nivel educativo.

La didáctica de las matemáticas aporta entonces:  Instrumentos técnicos para la gestión de procesos de estudio de las matemáticas.  Instrumentos teóricos para la fundamentación, análisis y valoración de dichos procesos y para la búsqueda a priori de medios más eficaces e idóneos.

En esta estructuración, dado que es preciso articular las dimensiones epistemológica, cognitiva y de enseñanza, se puede afirmar que ni la psicología, ni la pedagogía ni las matemáticas son suficientes para ser un buen docente.

Por otro lado, dado que la construcción de las matemáticas por los sujetos no es lineal ni tiene un paralelismo directo con la construcción axiomática de las matemáticas, es preciso prever propuestas que partan del conocimiento previo de los sujetos, estableciendo, en sucesivos procesos de complejidad, la adquisición de objetos y procesos más eficaces,

generales o económicos. Esta perspectiva rompe necesariamente con la tentación de los docentes de recriminar a sus colegas de etapas inferiores por el desempeño de los estudiantes (figura 7).

Figura 7. La escalera educativa (Frato, 1990) Cada etapa educativa tiene su especificidad y dificultad, siendo necesaria una articulación que tiene que partir por el reconocimiento de la actividad que se realiza en otras etapas.

Aquí es radicalmente necesario valorar la enseñanza elemental (inicial y primaria), donde se tiene un reto radical: la introducción de las nociones esenciales y básicas, sin el recurso a unas matemáticas ya formalizadas.

Referencias Brousseau, G. (1998). Théories des situations didactiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.

Brousseau, G. (2007). Introducción a la Teoría de Situaciones Didácticas en Matemáticas. Buenos Aires: Zorzal.

Bruner, J. (1960). The process of Education. Boston, MA: Harvard University Press.

Godino, J. D., Batanero, C., & Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 39 (1-2), 127-135.

Godino, J. D., Font, V., Wilhelmi, M. R., & Lurduy, O. (2011). Why is the learning of elementary arithmetic concepts difficult? Semiotic tools for understanding the nature of mathematical objects. Educational Studies in Mathematics, 77 (2), 247-265.

Offner, C. D. (1978). Back-to-Basics in Mathematics: An Educational Fraud. The Mathematics Teacher, 71(3), 211-217.

Piaget, J. (1996). Le Structuralisme. Collection « Que sais-je? ». Paris : PUF. Tonucci, F. (Frato) (1990). Con ojos de niño. Buenos Aires: Barcanova.

Wilhelmi, M. R. (2009). Didáctica de las matemáticas para profesores. Las fracciones: un caso práctico. En C. Gaita (Ed.), Enseñanza de las matemáticas IV. (pp. 1-22) Lima: PUCP-IREM. [Disponible en (08/0916): http://irem.pucp.edu.pe/wpcontent/uploads/2011/10/actas_2009_iv_coloquio.pdf].

ETNOMATEMÁTICA: UNA HERRAMIENTA POLÍTICA PARA AMÉRICA LATINA1 Hilbert Blanco-Álvarez2 María Luisa Oliveras3 1. LA DIMENSIÓN POLÍTICA DE LA ETNOMATEMÁTICA La Etnomatemática surge como una respuesta al eurocentrismo, y desde su dimensión política, busca contribuir, entre otras cosas, a: I. “Valorar y fortalecer el patrimonio sociocultural de los pueblos, comunidades y grupos socioculturales mediante el estudio de sus prácticas; II. Dar un desarrollo alternativo a la historia y la filosofía de las matemáticas, que visibilice las múltiples formas de constitución de sus objetos y prácticas, resaltando su carácter social, político y económico. Esto implica un desplazamiento desde el plano ontológico hacia el epistemológico en el estudio de los conceptos matemáticos; III. Desarrollar una educación [matemática] basada en la equidad y el respeto por la diferencia y la diversidad sociocultural, es decir sensible a los factores sociales, culturales y políticos, ya sea en el marco de sistemas educativos nacionales, de proyectos de educación intercultural o de proyectos de educación propia”. (PeñaRincón, Tamayo-Osorio, & Parra, 2015, p. 138) (las cursivas son nuestras)

Además, la Etnomatemática comparte, junto a otros acercamientos socioculturales y políticos de la educación matemática, que las matemáticas no son neutras culturalmente, que las matemáticas son una construcción humana y social, y se reconoce la necesidad de formar estudiantes críticos, desde las matemáticas, frente a problemas sociales como: el racismo, las diferencias de género, el elitismo, la democracia, el poder, etc. (Blanco-Álvarez, 2012), una educación matemática emancipadora, liberadora (Gerdes, 2012).

La Etnomatemática nos invita a ver las matemáticas desde una perspectiva histórica, social y humana. Nos invita a ampliar el universo matemático y cultural y si entendemos las matemáticas desde esta postura será más asequible hablar de equidad, currículos propios, diversas formas de legitimar el conocimiento, inclusión social, diversidad cultural, diversidad de pensamientos matemáticos, y de otras historias de las matemáticas. Si una persona es capaz de respetar la diversidad de géneros, de pueblos, la diversidad cultural, si es capaz de entender que hay otras historias de las matemáticas, si coloca las matemáticas escolares en un mismo nivel epistemológico a las matemáticas extra-escolares, todo esto nos llevará a un gran cambio social y en última instancia hacia la paz, tal como lo señala (D’Ambrosio, 2001).

La Etnomatemática, es una herramienta que nos proporciona elementos para reivindicar saberes locales como matemáticas, que nos permite valorar y visibilizar el conocimiento matemático del colonizado frente al conocimiento matemático del colonizador. La Etnomatemática nos permite hacer justicia y dar legitimidad a saberes que no eran reconocidos como matemáticas, y ese es el fin último de la Etnomatemática desde su dimensión política.

Este documento es una versión resumida del original publicado en Blanco-Álvarez, H., & Oliveras, M. L. (2016).

Etnomathematics: A political tool for Latin America. RIPEM-International Journal for Research in Mathematics Education, 6(1), 112–126.

2 Profesor del Departamento de Matemáticas y Estadística. Universidad de Nariño, Colombia, y Director de la Red Latinoamericana de Etnomatemática. E-mail: hilbla@udenar.edu.co 3 Profesora Titular de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. España. E-mail: oliveras@ugr.es 1

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En adelante exponemos un ejemplo del uso de la Etnomatemática como herramienta política. Fue en un curso de formación docente en Tumaco, Colombia en el año 2012, donde se deja ver en las evaluaciones que los maestros hacen del curso al finalizar el mismo, el reconocimiento a la importancia y la necesidad política de reafirmar los saberes de la comunidad afrodescendiente de Tumaco.

2. CURSO DE FORMACIÓN DE MAESTROS AFRODESCENDIENTES EN COLOMBIA: UNA EXPERIENCIA DE FORMACIÓN ETNOMATEMÁTICA EN EL SENTIDO POLÍTICO. Exponemos una experiencia de formación de maestros afrodescendientes en Tumaco-Colombia en 2012 donde la Etnomatemática fue utilizada como herramienta política para formar conciencia en los maestros de la importancia de reivindicar los saberes de la comunidad y que éstos ganaran espacios en el aula, pero ya no como conocimientos de segunda categoría.

2.1 La problemática El curso fue motivado por una serie de problemáticas educativas que fueron detectadas en la comunidad de Tumaco, Colombia, cuya población es el 95% afrocolombiana, 3 % indígena y 2% mestizos, que se presentan en la tabla 1 (Jaramillo, Jurado Valencia & Collazos (2011, p. 93).

Característica Currículo relacionado cultura

Debilidad

escolar 1. con la 2.

3.

4.

Es necesario que desde la escuela se trabaje en el auto reconocimiento, en la valoración de la cultura negra, de lo que somos, de nuestra cultura, de la historia; esto es muy importante y los primeros que deben hacerlo son los profesores y profesoras.

No se aporta a fortalecer la identidad de la comunidad.

Es necesario construir una propuesta desde la educación propia. Un currículo etnoeducativo: afro e indígena.

No se responde a las necesidades contextuales del medio.

Tabla 1. Mayores dificultades educativas percibidas por la comunidad en el municipio de Tumaco

Estas debilidades se pueden clasificar como políticas y curriculares, la 1 y 2, tienen que ver con problemas de falta de identidad, de valoración de la cultura afrocolombiana; y las debilidades 3 y 4, se refieren a debilidades del currículo escolar que no es diseñado para responder a las necesidades propias de la cultura afro.

Estas son necesidades muy sentidas por la población afrocolombiana de Tumaco, pues aunque está reglamentado que las instituciones educativas y los maestros pueden incorporar elementos culturales al currículo esto aún no es una realidad en las aulas ( ley 115 de 1994 de Colombia, en el capítulo 3: Educación para grupos étnicos).

Por otra parte, el PRETAN: Proyecto Etnoeducativo Afrocolombiano (Organizaciones de Comunidades Negras de Nariño, 2011) propone aportar elementos que permitan en la clase de matemáticas tener en cuenta la tradición oral del pueblo afronariñense y los elementos culturales que circulan a nivel de prácticas cotidianas y discurso de ancestralidad, fortaleciendo así el eje de aprendizaje: Identidad afro.

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Así mismo, el PRETAN llama la atención sobre las características del perfil de maestro afrocolombiano, que deben responder a: a). Un mayor compromiso del maestro para con la comunidad y su identificación con la cultura afronariñense, b). Ser conocedor y respetuoso de la cultura afronariñense, c). Ser un ejemplo de vida para los estudiantes promoviendo y motivando en ellos el deseo de terminar sus estudios, d). Un maestro investigador e innovador de su propia práctica en el aula de clase basándose en la literatura actualizada y en el acumulado cultural histórico de la comunidad, e). Un maestro ético, con valores como la tolerancia, el respeto, la solidaridad, y la gratitud. Que desde su práctica docente propenda por afianzar en el estudiante su identidad, su cultura en miras de contribuir en la construcción de un horizonte comunitario de desarrollo, y f). Un maestro constante en su proceso permanente de formación académica y cultural para asegurar una educación competitiva, contextual, crítica, intercultural y liberadora.

Del mismo modo, el PRETAN llama la atención sobre la construcción y desarrollo de un currículo propio, que busque en forma permanente la reflexión y la acción para transformar las condiciones de existencia de las comunidades. Además, dicho currículo propio es un agente catalizador de procesos identitarios, de interacción social y afirmación de la autonomía de la comunidad. Es un currículo donde el maestro juega el papel de agente social, promotor de procesos participativos y organizativos y el estudiante tiene un papel central.

Otras características importantes de resaltar del currículo propio son: a). Toma como punto de partida la praxis social como contexto donde se construye la realidad de los hombres y mujeres afronariñenses, b). Cualifica el nivel de conciencia política, dando continuidad al pensamiento propio liberador, c). Impulsa el liderazgo comunitario en los maestros, estudiantes, padres de familia y demás actores sociales como estrategia para garantizar la organización y cohesión de la comunidad Afronariñense, d). Reconoce la diversidad de códigos sociales, lingüísticos y construcciones culturales del pueblo afronariñense, y e). Está constituido por los siguientes elementos: objetivos, principios, niveles, grados y ciclos de la educación propia, ejes de aprendizaje, plan de estudios, proyectos pedagógicos, didácticas, investigación escolar, otros escenarios educativos y formas de evaluación comunitaria de la etnoeducación afro en el departamento de Nariño (Organizaciones de Comunidades Negras de Nariño, 2011) 2.2 Propuesta de un curso de formación de maestros desde la etnomatemática 2.2.1 Descripción del curso de formación Teniendo en cuenta la problemática presentada, se propuso realizar un Curso de Formación de Maestros desde la Etnomatemática con el objetivo de formar a los maestros de matemáticas desde una perspectiva cultural que responda tanto a las necesidades académicas del área como a la recuperación del pensamiento matemático autóctono y ancestral de las comunidades afro de la costa pacífica nariñense y de esta forma hacer de las matemáticas un área significativa para los estudiantes al integrarla con los saberes de la comunidad, la cultura afro y el territorio.

Un curso que se orientara por la dimensión política de la etnomatemática, proponiendo una educación que estimulara el desenvolvimiento de la creatividad, conduciendo a nuevas formas de relaciones multiculturales (Oliveras, 2006). Esas relaciones proporcionan un espacio adecuado para preservar la diversidad y eliminar la desigualdad discriminatoria, dando origen a una nueva organización de la sociedad. Hacer de las matemáticas una disciplina que preserve la diversidad y elimine la desigualdad discriminatoria. La Etnomatemática tiene ese objetivo mayor, lo cual refuerza las características del currículo propio.

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El curso tenía la siguiente estructura, tabla 2.

Fase Planeación

Implementación

Etapa Diseño cooperativo curso

TeóricaConceptual

del

Momentos Reunión para elaborar un pre-diseño del curso y definir: objetivos, contenidos, fases, maestros a quien iba orientado el curso, duración, horarios, lugar Reunión para socializar el diseño del curso Concepciones de los maestros sobre las matemáticas Relación de la cultura y el currículo

Investigación de matemáticas extraescolares en prácticas culturales de la comunidad Diseño de actividades Aplicación

Diseño de las actividades

Forma de trabajo Discusión grupal

Discusión grupal Discusión grupal Lectura de documentos, trabajo en grupos y discusión grupal Trabajo de investigación por grupos y exposición de los resultados Metodología Estudio de clase

Puesta en juego de las actividades diseñadas y Autoevaluación y coevaluación del trabajo en clase Resultados Evaluación Evaluación del curso por parte de los Reflexión individual maestros participantes por escrito Tabla 2. Fases, momentos y forma de trabajo del Curso orientado desde la Etnomatemática

En la ejecución del curso participaron 28 maestros: 23 maestros de educación primaria y 5 de educación secundaria, cuya formación académica era muy variada y solo uno de ellos era licenciado en matemáticas. Los maestros tomaron el curso voluntaria y gratuitamente.

2.3 Reflexiones finales de los maestros sobre el curso de formación Al finalizar el curso, se realizó una evaluación sobre la calidad del programa de formación, uno de los ítems era: hacer una reflexión sobre el proceso de formación. Los maestros escribieron sus reflexiones. Fue muy gratificante como profesor (primer autor) del curso y como investigadores que dichas reflexiones respondían directamente a las debilidades educativas que se presentaron en la tabla 1, las cuales los maestros no conocían.

Dichas reflexiones las hemos categorizado de acuerdo a las debilidades que señalamos en la tabla 1 y hacemos algunos comentarios de ellas.

Reflexión maestro 1 Debilidad con la que se relaciona “El proceso de formación fue muy bueno porque nos llevó1. Auto reconocimiento y valoración de la cultura a rescatar toda nuestra cultura porque hemos sido negra aculturizados y hemos perdido nuestra propia identidad como afrodescendientes y por eso no hay una apropiación Fortalecer la identidad de la comunidad de nuestro territorio”

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El acercamiento a la Etnomatemática le permitió a este maestro ser crítico, reflexivo, sobre los procesos de aculturización que vive la comunidad tumaqueña, y de la falta de apropiación o de empoderamiento de la cultura afro por parte de la población, lo que los lleva a una falta de pertenencia de su territorio.

Reflexión maestro 2 Debilidad con la que se relaciona “Es de vital importancia atender esta capacitación porque1. Auto reconocimiento y valoración de la cultura en la realización del Proyecto Educativo Institucional no negra se ha dado importancia a nuestra cultura, nos hemos enfocado a aceptar lo que nos imponen las editoriales,2. Fortalecer la identidad de la comunidad desconociendo nuestra cultura. Esto nos permite valorar lo nuestro y así las niñas y los niños de nuestra región amarán su estudio y el lugar donde viven”

Este maestro reconoce que por mucho tiempo ha aceptado lo que dicen las editoriales, haciendo en el aula solo lo que dice el texto escolar. Este maestro es consciente de que hay otras formas de trabajar en la clase de matemáticas, que permiten estudiar el pensamiento matemático de la comunidad y que es importante rescatar ese pensamiento e incorporarlo en el aula de clase.

3. REFLEXIONES FINALES Hemos señalado un ejemplo de cómo la enseñanza de las matemáticas orientada desde una perspectiva etnomatemática puede ayudar a reforzar y revindicar la cultura de las comunidades afrodescendientes y enriquecer el currículo al tener en cuenta elementos de la cultura.

Sin embargo, somos conocedores de un sinfín de obstáculos que tiene esta labor, al encontrar en varios países de América Latina poco reconocimiento político a los grupos afrodescendientes, poca flexibilidad curricular, falta de formación continua de los maestros, poca o nula participación de las comunidades afrodescendientes en las instituciones educativas, y falta de material educativo contextualizado. Además de las dificultades geográficas y curriculares señaladas por la OEI: “El primero se vincula con la residencia en zonas rurales, geográficamente aisladas y, por lo mismo, alejadas de los principales espacios educacionales, a los cuales los niños no pueden incorporarse, ya sea por las grandes distancias que los separan de estos o por la escasez de oferta. En algunos casos acceden, pero lo hacen, entre otras carencias, en condiciones inadecuadas por la falta de infraestructura, mantenimiento, materiales didácticos y profesores (CEPAL, 2008). El segundo factor se relaciona con la falta de adecuación, relevancia y de pertinencia en los currículos, que obstaculiza el ingreso de estos grupos al sistema escolar por la escasa vinculación entre su cultura y entorno con las materias impartidas en las escuelas” (Organización de Estados Iberoamericanos OEI, 2010, pp. 93–94)

Es importante resaltar que es necesario, prestar atención a la dimensión histórica que nos aportará mucha información sobre los procesos de generación y transmisión de las prácticas matemáticas en América Latina. La dimensión cognitiva de la etnomatemática que nos permite analizar los proceso de aprendizaje, analizar las lógicas de producción del conocimiento matemático; la dimensión conceptual y epistemológica que nos permiten estudiar en profundidad la naturaleza de las matemáticas y entender la existencia de diferentes juegos de lenguaje, formas de vida y gramáticas que dan sentido al conocimiento matemático de acuerdo a la práctica social donde se enmarque; y la dimensión educativa que nos permite pensar nuevas organizaciones curriculares y

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nos plantea nuevos retos en la formación de los niños y en la formación inicial y continua de los maestros de matemáticas. Además, por último, trabajar en la dimensión política de la etnomatemática es imperativo.

4. REFERENCIAS Blanco-Álvarez, H. (2012). Estudio de las actitudes hacia una postura sociocultural y política de la educación matemática en maestros en formación inicial. REDIMAT: Journal of Research in Mathematics Education, 1(1), 57–78.

D’Ambrosio, U. (2001). Paz, Educação matemática e Etnomatemática. Teoria E Prática Da Educação, 8(4), 15–33.

Gerdes, P. (2012). Etnomatemática, Cultura, Matemática, Educação (2a ed.). Lulu editores.

Oliveras, M. L. (2006). Etnomatemáticas. De la multiculturalidad al mestizaje. In J. Gimenez, J. M. Goñi, & S. Guerrero (Eds.), Matemáticas e interculturalidad (pp. 117–149). Barcelona: Graó.

Organización de Estados Iberoamericanos OEI. (2010). 2021, Metas Educativas. La educación que queremos para la generación de los Bicentenarios. Madrid: CEPAL Organización de Estados Iberoamericanos OEI Iberoamericana, Secretaría General.

Organizaciones de Comunidades Negras de Nariño. (2011). Proyecto Etnoeducativo Afronariñense. Tumaco: Secretaria Departamental de Educación de Nariño.

Peña-Rincón, P., & Blanco-Álvarez, H. (2015). Reflexiones sobre cultura, currículo y etnomatemáticas. In K. de la Garza & R. Cortina (Eds.), Educación, pueblos indígenas e interculturalidad en América Latina (pp. 213–246). Quito: Ediciones Abya-Yala.

Peña-Rincón, P., Tamayo-Osorio, C., & Parra, A. (2015). Una visión latinoamericana de la etnomatemática: tensiones y desafíos a. RELIME. Revista Latinoamericana de Investigación En Matemática Educativa, 18(2), 137–150.

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¿Qué dificultades, para ser incorporados, encuentran en el aula los resultados de la investigación en Didáctica de la Matemática desarrollada desde una perspectiva socioconstructivista del aprendizaje?

M en C Irma Fuenlabrada irfuen@cinvestav.mx Departamento de Investigaciones Educativas (DIE) Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN (Cinvestav) México En las últimas décadas los sistemas educativos de diversos países se han venido cuestionando la calidad de la educación matemática que se ofrece a los alumnos de la educación básica (3 años de edad a 15 años1); particularmente, el cuestionamiento radica en la necesidad de desarrollar en los alumnos su pensamiento matemático; es decir, que adquieran conocimientos matemáticos a la vez que, en el proceso de aprendizaje vayan reconociendo en qué situaciones es pertinente utilizar el conocimiento y de qué manera.

La tendencia generalizada es propiciar en los alumnos, a través de la enseñanza, una actitud ante los problemas de búsqueda de estrategias y argumentos para resolverlos en lugar de que esperen –como lo ha propiciado la enseñanza tradicional-, a que alguien que “sabe más que ellos”, por ejemplo, su maestro, les diga cómo resolverlos y con base en una explicación les muestre los argumentos que validan las soluciones. Sabemos, que esto último, sitúa al alumno en un ejecutor de una serie de acciones que, en el mejor de los casos, llega a dominar a través de la repetición mecanicista de procesos sin que encuentre en ello un sentido que le permita comprender cabalmente aquello que se le enseña.

Aunado a la argumentación y búsqueda de solución a los problemas, también se espera que los alumnos desarrollen su capacidad para analizar situaciones, identificar tipos de problemas, formular preguntas, emitir juicios, aplicar estrategias y tomar decisiones. Asimismo, que puedan valorar los razonamientos y las evidencias proporcionados por otros y puedan modificar, en consecuencia, los propios puntos de vista.

Entre las diversas búsquedas para lograr los propósitos enunciados, varios países han propuesto -y México es uno de ellos-, tomar en cuenta los resultados de la investigación en didáctica de la matemática desarrollada desde una perspectiva constructivista sociocultural del aprendizaje (Artigue, 1995; Brousseau, 2007; Fregona y Báguena, 2011; Fuenlabrada y Block, 1999; Fuenlabrada 2005ª y 2005b; Sadovsky, 2005). Entre los resultados más destacables de la investigación en didáctica, cabe señalar los siguientes: a) el alumno es el centro de la enseñanza; b) el alumno aprende en la

En México, este rango de edad se cubre en la Educación Básica organizada a través de tres niveles educativos: Preescolar (3 años), Primaria (6 años) y Secundaria (3 años).

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búsqueda de solución a diversas situaciones problemáticas que retan su intelecto, para ello pone en juego sus conocimientos y experiencias previos y, c) el aprendizaje se da por aproximaciones sucesivas hacia el conocimiento validado socialmente.

Sin embargo, la implementación de dicho enfoque requiere de una nueva concepción sobre el diseño curricular, un referente importante para reflexionar sobre el particular, son los trabajos de César Coll (2006ª, 2006b), particularmente, sobre su definición de contenidos imprescindibles y contenidos deseables, con el fin de evitar la contradicción entre enfoque de enseñanza y cantidad de contenidos factibles de ser enseñados de acuerdo con el enfoque constructivista sociocultural. Es imperativo reconocer que en la educación básica no es posible enseñar todo aquello que podría considerarse de beneficio para la formación de los niños y jóvenes que la cursan, es necesario buscar opciones, es necesario hacer elecciones, para que evitar la sobrecarga de contenidos, favoreciendo de esta manera la asimilación significativa y funcional de los contenidos. Otro referente se puede encontrarse en el informe final de la investigación desarrollada bajo la coordinación general de Fuenlabrada y Taboada (2014) denominada “Diseño del Modelo de Educación Básica Comunitaria”. En gran medida el currículo debe definirse con base las siguientes consideraciones: a) selección de contenidos básicos imprescindibles; b) lo que los alumnos pueden aprender en función de su edad (pensamiento preoperatorio característico de los niños de preescolar, pensamiento operatorio de los niños de la primaria y el pensamiento formal de los jóvenes de la secundaria) y, c) el tiempo disponible para la enseñanza (jornada escolar y ciclo escolar).

Sin embargo, hay una distancia entre los planes y programas diseñados con base en una postura constructivista sociocultural del aprendizaje y lo que sucede en las aulas cuando los maestros tienen que realizarlo con sus alumnos. Por ello, para los investigadores en didáctica no solo es importante seguir estudiando el funcionamiento de las situaciones didácticas en la interacción de los alumnos con el medio creado; sino también, es necesario estudiar cómo el maestro interpreta, adapta, redefine o recrea las situaciones de enseñanza que provienen de la investigación porque las decisiones que asume impactan en las posibilidades de interacción que tienen los alumnos con el medio, ahora con más frecuencia se desarrolla investigaciones sobre la reproductibilidad y las trasformaciones docentes (Chevallard, 1997; Ponte, 1999; Fuenlabrada y Ávalos 2002; mercado, 2002; Moreno y Azcárate, 2003;Pozo, 2006; Block, David., et al.2007; Fuenlabrada , 2010, Monje, 2013). Los distintos tipos de investigación didáctica que focalizan al hacer docente de los maestros, pueden, en términos generales, clasificarse en: a) estudios sobre las restricciones que enfrenta el maestro para reproducir un sistema didáctico en las condiciones de enseñanza de las escuelas (tiempos, currículo, demandas institucionales, entre otros), b) la dificultad de quienes diseñan la innovación educativa para comunicar las situaciones didácticas a los docentes y, c) los saberes y creencias docentes que

inciden en la interpretación de las situaciones y en la gestión de la enseñanza. En esta ponencia, nos ocupamos específicamente este último punto.

La enseñanza organizada desde una perspectiva constructivista sociocultural del aprendizaje cuestiona y por tanto tensa los saberes y creencias docentes. Porque el conocimiento matemático de los maestros, demandado por los nuevos lineamientos metodológicos hace necesario que: a) conozcan los diferentes aspectos que hacen a un conocimiento; b) conozcan los usos y funciones del conocimiento objeto de la enseñanza y, c) identifiquen grupos de situaciones (problemas) en los que el conocimiento es útil para resolverlos. Respecto a cómo aprenden los alumnos, los profesores requieren asumir que: a) el aprendizaje se realiza en la búsqueda de solución a una situación que reta el conocimiento y experiencia de los alumnos y, b) cuando los alumnos están buscando la solución a la situación planteada manifiestan sus conocimientos y experiencias (¿qué saben?, ¿cómo lo saben?, ¿qué les falta por aprender?). Finalmente sobre la enseñanza y su gestión, es necesario que los profesores: a) planteen la situación de manera clara para que los alumnos sepan lo que se tiene que resolver, lo que está permitido y lo que no está permitido, sin decirles cómo esperan que la resuelvan, esto es competencia de los alumnos; b) organicen al grupo para que resuelvan la situación (individual, parejas, equipos, todo el grupo) y tengan previsto el material -cuando es necesario como apoyo al razonamiento-, y c) dejen que los alumnos resuelvan la situación como ellos consideren conveniente, interviniendo solo en caso necesario para reestablecer la situación planteada.

Que los maestros hagan suyos los nuevos lineamientos metodológicos para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en la educación básica requiere de un proceso de formación inicial y capacitación que les permita redefinir su práctica docente y desarrollar las nuevas competencias docentes que ahora les son demandadas.

Investigaciones recientes, muestran que en los procesos de capacitación continua de maestros en servicio es posible lograr una redefinición de sus saberes y creencias docentes si, bajo la coordinación y acompañamiento de un experto, dialogan con una propuesta de desarrollo curricular a través de la experimentación con sus grupos de situaciones didácticas, seguido de espacios que les permitan analizar y reflexionar con otros maestros y con el experto los resultados de la experimentación; contrastándola con: los planteamientos de la innovación educativa (propuesta de desarrollo curricular), las características didácticas de las situaciones particularmente implementadas en aula y los avances en el aprendizaje de sus alumnos. Es necesario que este dialogo se realice durante un ciclo escolar, para que los profesores puedan observar los efectos de la nueva metodología de enseñanza en sus alumnos, de no ser así difícilmente se adhieren a ella.

BIBLIOGRAFÍA Artigue, M. (1995) “Ingeniería Didáctica”. En Ingeniería Didáctica en Educación Matemática, 33-60.

Artigue, M., R. Douady, L. Moreno, P. Gómez. Bogotá: Grupo Editorial Iberoamérica Block David, Antonio Moscoso, Margarita Ramírez y Diana Solares (2007) “La apropiación de innovaciones para la enseñanza de las matemáticas por maestros de educación primaria”, Revista Mexicana de Investigación Educativa, 12 (33): 263-294.

Brousseau Guy (2007) Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Libros del Zorzal, Argentina (traducción Dilma Fregona).

Chevallard Yves (1997) La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. (eo.1991) Argentina, Aique Grupo Editor S.A. (traducción Claudia Gilman).

Coll, C. (2006a). “Lo básico en la educación básica. Reflexiones en torno a la revisión y actualización del currículo de la educación básica”. Revista Electrónica de Investigación Educativa 8 (1). http://redie.uabc.mx/vol8no1/contenido-coll.html Coll, C. (2006b). “Lo básico en la educación básica. Reflexiones en torno a la revisión y actualización del currículum de la educación básica”. Transatlántica de Educación, vol. 1., pp. 69-77.

Fregona Dilma y Pilar Orús Báguena (2011) La noción de medio en la teoría de las situaciones didácticas. Una herramienta para analizar decisiones en las clases de matemáticas. Buenos Aires, Argentina, Libros del Zorzal.

Fuenlabrada Irma y David Block (1999) “Materiales curriculares de matemáticas para el nivel básico” en Encuentros de Investigación educativa 95-98 (coord. Remedi Eduardo) México, DIECinvestav y Plaza y Valdés editores, pp. 259-286 Fuenlabrada Irma y Alejandra Ávalos (2002) “Transformaciones de las concepciones de los maestros sobre contenidos geométricos en un curso de capacitación” en Encuentros de Investigación Educativa 95-98. Eduardo Remedi (coord.) Departamento de Investigaciones Educativas (DIE) y Plaza y Valdés editores, México, pp.59-89.

Fuenlabrada, Irma (2005a). ¿Por qué y para qué un nuevo programa de educación preescolar? Cero en Conducta. 20 (51), 55-75.

Fuenlabrada, Irma (2005b). ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños de preescolar?

La importancia de la presentación de una actividad. En Curso de Formación Profesional para el Personal Docente de Educación Preescolar. Volumen I. México: SEP. Fuenlabrada, Irma (2010) Investigación Evaluativa de la Implementación del PEP04. Campo de Pensamiento Matemático. Informe Final. Entregado a la Dirección de Desarrollo Curricular de Preescolar de la DGDC de la SEP (Junio, 2010). México. Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav).

Fuenlabrada, Irma y Eva Taboada (2014). Informe final de la Consultoría: Diseño del modelo de Educación Básica Comunitaria. Realizada en el marco del proyecto “Programa de Educación Comunitaria. Fase II: Constructores de Equidad, financiado parcialmente con recursos del Banco Interamericano de Desarrollo (BID), contrato N° BID-2285/SCI-04/2014. Diciembre 28, 2014 Mercado Ruth (2002) Los saberes docentes como construcción social. La enseñanza centrada en los niños. México, FCE Monje, Claudia (2013). Procesos de apropiación de los lineamientos para la enseñanza y el aprendizaje del número con base en el Programa de Educación Preescolar 2004. Tesis de maestría para obtener el grado de Maestro en Ciencias en la especialidad de Investigaciones Educativas.

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Pozo Juan et all (2006) “Enfoque en el estudio de las concepciones sobre el aprendizaje y la enseñanza” en Las concepciones de profesores y alumnos. Barcelona, ed., Graó, Crítica y fundamentos 12, pp. 55-94.

Sadovsky, Patricia (2005): "La teoría de situaciones didácticas: un marco para pensar y actuar la ensañanza de la matemática". Reflexiones teóricas para la educación matemática, Buenos Aires, Libros Del Zorza

POSIBILIDADES DEL DISEÑO DE TAREAS AL INTEGRAR LAS TIC EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA ESCOLAR Por: Edinsson Fernández M. Profesor del Área de Educación Matemática del Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad de Nariño.

Email: edinfer@udenar.edu.co

Resumen: Existen algunas posibilidades de acción que son materialmente posibles al integrar las TIC en la enseñanza de las Matemáticas, en particular, se disertará sobre un término que actualmente se estila en la literatura internacional en Educación Matemática, los “Affordances”. Luego, cómo las TIC han ofrecido y otorgado representaciones matemáticas interactivas entre el usuario y el computador.

Por ejemplo, también se observará que se entiende por Visualización Matemática en el campo de las TIC en Educación Matemática. Por último, se mostrarán algunos tipos de tareas geométricas usuales en Cabri II Plus y Cabri 3D. 1. Introducción.

Las TIC ha ofrecido y otorgado múltiples representaciones y potencialidades interactivas desde el inicio de la incorporación de los computadores en las clases de matemáticas. Según Hegedus & Moreno-Armella (2014), estas potencialidades o “Affordances”, como se denomina en idioma inglés, en la literatura internacional, significa la cualidad de un objeto o ambiente que permite a un individuo realizar una acción. El término se estila en varios campos: psicología perceptual, cognitiva, diseño industrial, HCI (Human-Computer Interaction), inteligencia artificial, diseño de interacción. La primera definición de este término fue introducida por el psicólogo James J. Gibson en su artículo “Teoria de Affordances” en 1977, el cual lo describe en términos de que todas son todas las posibilidades de acción que son materialmente posibles.

En el campo de las TIC en la Educación Matemática, en los últimos años, se ha empezado a depurar este término en el siguiente sentido: las posibilidades de acción que el usuario de un software es consciente de poder realizar.

En esta vía, la conferencia mostrará los affordances que podría realizar tanto un estudiante como un profesor cuando integra Tecnologías Digitales en las clases de geometría.

2. Visualización en el estudio de la Geometría Escolar.

Respecto a las investigaciones recientes y el interés que se ha suscitado la visualización en el campo de la Educación Matemática, se han discutido diversas posiciones teóricas acerca de la visualización analizando el papel que desempeñan las Representaciones y la Visualización en el aprendizaje de las Matemáticas en los estudiantes, exponiendo diversas definiciones y tipos. De esta manera, se han llegado a refinar las definiciones que provinieron inicialmente de la Psicología Cognitiva.

Una de las principales conclusiones de muchos investigadores (Fernández, 2011) se refiere al papel que juegan las representaciones visuales y a los fenómenos de visualización matemática en la enseñanza y aprendizaje de la Geometría, en particular, se subrayó que son núcleos fundamentales para comprender las dificultades que se presentan ante estos procesos, lo cual ha conllevado a que se fomenten de manera incremental estudios. También se han generado muchas publicaciones debido a desarrollos investigativos sobre la integración y usos efectivos de los ambientes informáticos en las últimas tres décadas, tanto en el campo de las Matemáticas como en la Educación Matemática, que han creado un renacimiento y un boom a nivel mundial y de esta manera se ha empezado a recuperar la enseñanza de la geometría a nivel mundial.

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En efecto, en las Matemáticas, gracias a que en las tecnologías computacionales, se han desarrollado cada vez mejores y diversas técnicas de graficación por computador, entonces los matemáticos han sacado provecho de esto para estudiar fenómenos de recurrencia, iteración de procesos matemáticos, determinación de patrones y generación de imágenes fractales, lo cual ha conllevado a estudiar la naturaleza de las matemáticas cuando se trabajan en ambientes computacionales (Zimmerman & Cunningham, 1991; Balacheff, 1994).

Por otra parte, en Educación Matemática, se han tenido en cuenta aspectos cognitivos que mejoran la comprensión de la Geometría como resultado de los procesos y habilidades que se favorecen con la visualización matemática en los estudiantes, y además, gracias a la integración de los AGD en la enseñanza, que han ofrecido nuevas maneras de realizar actividades geométricas, según Laborde, Kynigos, Hollebrands y Strässer (2006).

Para comprender este resurgimiento se debe considerar un aspecto epistemológico de la

Geometría. Ya ha sido señalado por varios didactas interesados en la relación entre la enseñanza de la geometría y los fenómenos visuales, entre ellos Zimmerman y Cunningham (1991), Laborde

(2002), Laborde et al. (2006) y Mariotti (2006). Ellos han afirmado que los aspectos didácticos de la geometría puede ser entendidos solo si se tiene en cuenta su naturaleza dual, al considerarla, por una parte, como el estudio de conceptos y relaciones lógicas, que históricamente provinieron de un análisis extenso del espacio, pero que más tarde se convirtió en un campo de investigación y discusión de los fundamentos axiomáticos separados de cualquier experiencia espacial, es decir, la tendencia a considerarla abstracta, formal y estructuralista.

Y por otra parte, la geometría referida a conceptos espaciales, procedimientos y relaciones usadas dentro de la sociedad para varios objetivos, como la arquitectura, construcciones de pueblos o ciudades, para el diseño de paquetes de mercancías para el almacenaje y así como otros objetivos y actividades, es decir, la tendencia a comprenderla desde un punto de vista intuitivo y concreto.

Esta primera postura de ver las matemáticas de manera general conllevó a que en el siglo pasado, la literatura matemática fuese predominantemente algebraica, y en consecuencia, cobró mayor fuerza los procesos analíticos y simbólicos, dejando de lado la segunda tendencia. Esto se acentuó más con la reforma curricular que hubo en muchos países en la segunda mitad del siglo pasado, denominada las Matemáticas Modernas (Kline, 1986), donde se enfatizó en la parte formal de la geometría mientras se evitaba recurrir a toda costa de los dibujos y figuras.

Este renacimiento se atribuyó en particular, al impulso que le ha dado la integración efectiva de los Ambientes de Geometría Dinámica (AGD) y que ha dejado claro el carácter estructural de los dibujos que se generan en pantalla de computador o en una calculadora.

Por lo tanto, es importante clarificar algunos aspectos relacionados con los AGD y la visualización.

Estos ambientes permiten a los estudiantes, no sólo construir figuras con ciertas propiedades y por lo tanto visualizarlas, sino que también les permite transformar construcciones en tiempo real. Para tal efecto, los AGD tales como el Cabri Géomètre 1, permite la experimentación de las figuras geométricas.

Así pues, la visualización matemática, considerando la naturaleza de la Geometría, su evidente uso en ella, así como el dinamismo producido y ayudado por los AGD, se torna diferente de otras posturas, por lo que se toma aquí la definición de Zimmerman y Cunningham (1991): la visualización es el proceso de producir o usar representaciones geométricas o gráficas de conceptos matemáticos, principios o problemas a mano o computador. […] la visualización da profundidad y significado al conocimiento matemático, y sirve como guía para resolver problemas, e inspira descubrimientos creativos. (pp. 4-5) El Cabri Géomètre es uno de los software más utilizados e investigados en la Didáctica de la geometría escolar a nivel mundial, según Strässer (2002).

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Es de enfatizar que la visualización se acepta como un proceso para formar imágenes mentales y también como una habilidad que se adquiere para luego trazar con una figura o bien con lápiz y papel, o con ayuda de una calculadora o de un computador. La figura sirve para representar un concepto matemático o un problema matemático y refuerza la comprensión. Así mismo, se adopta de estos investigadores que la visualización no es un fin en sí mismo sino un medio para conseguir la imaginación, el entendimiento matemático. Es decir, cuando uno se forma tales imágenes, es para descubrir y entender las matemáticas así como para usarlas como un apoyo para resolver problemas no rutinarios. Visualizar como proceso y como habilidad es algo que se adquiere y por lo tanto se debe auxiliar a los estudiantes a obtenerlo.

En consonancia con Laborde (1998), la visualización juega un papel importante en la resolución de problemas geométricos, más aun cuando la visualización se hace concreta en una pantalla de computador gracias a un programa informático. Esta investigadora señala que la evidencia visual y el análisis geométrico que se pueda realizar en un software suscita nuevas interpretaciones y experimentaciones en el ambiente informático.

3. Las Representaciones en Geometría y las Representaciones Ejecutables.

En el campo de la didáctica de la geometría se ha señalado reiteradamente que una de las dificultades más notoria para la comprensión de la Geometría, al transitar de un pensamiento geométrico informal hacia uno formal, es la falta de distinción entre el dibujo y el objeto geométrico representado. Moreno (1998) argumenta que este problema se da porque en Geometría, en un primer momento, se proporciona una única forma de representación, la figural. Sin embargo, Duval (1992) como muchos otros investigadores, concuerdan en declarar que: “para construir un concepto matemático, se necesitan al menos dos sistemas de representación que vayan dotados, además, de un mecanismo de traducción de uno hacia el otro” (Moreno, 1998, p. 11).

De modo que una representación matemática en un ambiente informático posee una cualidad (Moreno & Hegedus, 2009), que está ausente en el medio estático, a saber, la ejecutabilidad de la representación. Esta es responsable de la clase de interacciones que el estudiante puede tener cuando las matemáticas quedan “incrustadas” en el medio digital. Moreno (2002) afirma que en la actualidad, los ambientes informáticos de matemáticas, encarnan sistemas de representación que presentan características novedosas: son ejecutables, y virtualmente producen funciones cognitivas que anteriormente eran privativas de las personas. Moreno y Sriraman, (2005), dan un ejemplo al respecto: Una función cognitiva es la graficación de funciones. La graficación de funciones es diferente al realizarla con un ambiente informático que cuando se hace mediante lápiz y papel. En este último ambiente, se requiere cierto nivel de destreza en la manipulación algebraica pero en un ambiente informático se requiere que deba interpretar la gráfica. Estos dos [ambientes] son complementarios pero no equivalentes. (p. 481) Otra característica de los usos de los ambientes informáticos matemáticos es que ofrecen diversas representaciones del mismo objeto matemático y en las cuales se puede interactuar, hacer relaciones matemáticas entre el mismo sistema de representación, y lo que es más importante, permiten pasar de un sistema de representación a otro, es decir, hacen posible de manera automática la articulación entre más de un sistema de representación (Kaput, 1992).

Con ellas, se pueden obtener propiedades y relaciones matemáticas de los objetos matemáticos, distintas a las que se observan mediante lápiz y papel. Moreno (2002) afirma que esto no convierte al estudiante en un “desempleado” y que esto tiene consecuencias diversas para el proceso de construcción del conocimiento, pues ahora, su trabajo consiste más en interpretar, analizar matemáticamente (Kaput, 1992) y reflexionar sobre los fenómenos y los objetos nuevos, que aparecen en la pantalla y que son el resultado de la ejecución (Moreno & Sriraman, 2005).

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De esta manera, el carácter estático que poseen los sistemas de representación tradicionales se puede complementar con las representaciones ejecutables, las cuales son manipulables, dinámicas, con capacidades visuales, gestuales y que “la ejecutabilidad de la representación del objeto matemático incrementa la expresividad matemática”. (Moreno, Hegedus & Kaput, 2008, p. 102). Así mismo, permiten actuar directamente sobre ellas e intervenir matemáticamente. Estos investigadores se refieren a esta intervención con el término de co-acción que se explicará a continuación.

3.1. Las Representaciones Ejecutables y Dinámicas en los AGD. Desde una perspectiva evolutiva 2 Moreno et al. (2008) afirman que los sistemas de representación matemáticos han tenido una transición desde lo estático hasta lo dinámico. Por ejemplo, las exploraciones matemáticas en un AGD como Cabri, están mediadas por sistemas de representación ejecutables que son activos. Todas estas características que presentan los sistemas de representación ejecutables, se enfocan primordialmente en el medio en el cual el usuario (estudiante o profesor), opera. Para describir este cambio, introducen el término co-acción, el cual significa que quien ejecuta la acción con un AGD, puede pensar y explorar al guiar y ser guiado por el mismo ambiente informático, como una actividad fluida, siendo la co-acción más que una iteración de las interacciones entre el usuario y el ambiente computacional. En este sentido, Hegedus y Moreno (2011) afirman lo siguiente: La noción de co-acción explica cómo los usuarios de tecnología están involucrados en algo más que una empresa semiótica tradicional cuando interactúan con un “interfaz” digital; en cambio, ésta nos permite pensar y explorar al guiar y ser guiado por el mismo ambiente informático. Esto es una relación reciproca –co-acción– y no sólo un arreglo unilateral de interacción. Un ambiente [como Cabri] que permite a los usuarios construir cosas y ver la interacción entre sus acciones de-constructivas y re-constructivas presenta un intercambio físico y dinámicamente entre la fuerza presionada en el ratón [del computador] para la acción programática. Vemos que las acciones de nuestra fuerza presionada han estado estructurando una acción pensada. (p. 3) Al respecto de este tipo de representaciones en los AGD, Kaput (1992) afirma que son interactivas, porque precisamente se pueden modificar interactivamente: transportándolas por toda la pantalla del computador o de una calculadora gráficadora, rotando las figuras, alargándolas, modificando valores de una función y observando la variación en el resultado instantáneamente e incluso dinamizándolas. Por ello, se dice que la geometría que se puede trabajar y estudiar con Cabri es una Geometría Dinámica. Cabe destacar que las representaciones dinámicas son geométricas y pueden ser ejecutadas por el usuario o por el ambiente mismo, pero también están disponibles en contextos algebraicos como numéricos.

Lo que permite que el estudiante tenga acceso a realizar conjeturas y a generalizar lo que está ejecutando cuando arrastra los puntos que se dejan mover sobre un objeto, el cual dinámicamente va re-dibujando y actualizando la información, en tiempo real, sobre la pantalla a medida que el estudiante arrastra el ratón. Al hacer esto, él puede eficientemente probar grandes iteraciones de una construcción geométrica.

4. La gestión de las clases mediadas por los AGD: tipologías de tareas.

En un AGD la comunicación con el estudiante (ó el usuario del software) está basada en la

visualización que, además, tiene la peculiaridad de ser dinámica. Así, una actividad imprescindible es La perspectiva evolutiva viene de los trabajos de los autores referenciados (Moreno et al, 2008). Ellos afirman que la comprensión del objeto matemático evoluciona cuando es sometido a un proceso iterativo de representaciones. Y que el objeto siempre está en construcción. Cada representación añade una nueva arista a la comprensión del objeto y de esta manera se constituye el objeto en evolución. De esta manera declaran que la objetividad se incrementa a medida que se añade un sistema de representación. De modo que la complejidad del objeto no sólo es “matemáticamente pura” sino que involucra la dimensión cognitiva.

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relacionar los hechos geométricos con la información observada en un dibujo que se mueve, o en una figura en el que se pueden desplazar ciertos elementos para obtener nuevos dibujos con las mismas propiedades geométricas que el dibujo originalmente dado.

Este aspecto dinámico es fundamental y novedoso, según Laborde (1998), en la visualización e incide en la generalización y en la abstracción, en el descubrimiento de propiedades invariantes y en la posibilidad de conjeturar y experimentar el cumplimiento de propiedades geométricas que no estaban previamente establecidas.

La intervención del profesor como gestionador de la actividad cognitiva en la clase es fundamental cuando se trabaja geometría con los estudiantes usando un AGD debido a que se trata de fomentar en el alumno la reflexión encaminada a dar significado a las percepciones visuales dinámicas; en definitiva, de conseguir que los estudiantes establezcan relaciones entre diferentes sistemas de representación para un mismo concepto geométrico (Hitt, 1998; 2000; 2002). Y puedan así, lograr la comprensión del hecho geométrico.

De tal manera, que para el diseño didáctico se tendrá en cuenta la importancia de las tipología de tareas geométricas que se pueden proponer a los estudiantes cuando se integra los AGD, sacando provecho del uso de las representaciones matemáticas ejecutables y dinámicas propias del ambiente.

Está caracterización que se presentará ha sido adaptada de los trabajos investigativos de Laborde (1998, 2001; 2008).

4.1. Tareas Tipo I: construcción de figuras.

En el ambiente tradicional de una clase de geometría sin computadores, una de las actividades típicas presentadas por el profesor es ofrecer a los estudiantes, un enunciado verbal (hablado o escrito) donde se les exige trazar una figura geométrica hecha con papel y lápiz. Esta tarea se refiere a que los estudiantes tienen que pasar de una representación verbal dada a una representación gráfica produciendo el (los) objeto(s) geométrico(s) usando instrumentos de dibujo geométrico, tales como la regla y el compás.

Pero esta misma actividad llevada a un AGD es diferente por la misma naturaleza y las especificidades que trae consigo el ambiente informático. Según Laborde, (1998, 2001; 2008), si en este tipo la propuesta al estudiante consiste en producir figuras, usando un AGD, entonces se puede hacer algunas variaciones en la gestión de este tipo de tareas. En consecuencia, se pueden observar tres subcategorías, las cuales son: I-A, I-B y I-C. I-A). La construcción de una figura geométrica donde sea ostensible la permanencia de los invariantes geométricos cuando se somete al modo de arrastre.

I-B). La construcción de una figura pero cumpliendo ciertas condiciones geométricas.

I-C). La construcción de una figura pero usando ciertas herramientas del software.

4.2. Tareas Tipo II: descripción verbal.

En la clase de Geometría, es común solicitar a los estudiantes que dada una representación gráfica en el papel (o en el tablero), ellos deban describirla verbalmente, bien sea por escrito ó de manera hablada. Es decir, que los estudiantes deben comprender el dibujo que están mirando y dar una representación verbal.

Por lo tanto, las representaciones gráficas hechas en el ambiente tradicional de papel y lápiz, son dibujos estáticos, pues no se tiene movimiento ni el profesor puede saber si se preserven los invariantes geométricos. En cambio, cuando se lleva este tipo de tarea al AGD, lo primero que el estudiante observa en la pantalla es un dibujo, sin embargo, puede empezar a explorarlo, ya sea por medio del arrastre para encontrar invariantes o recurriendo a otras herramientas tales como la medición de magnitudes o bien por la comprobación de propiedades.

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Por ejemplo, al trabajar con Cabri, si se les pasa a los estudiantes una figura geométrica, entonces los estudiantes tienen que “develar” el proceso de construcción que produjo esa figura, para ello, recurren a explorar cuáles son los puntos que se dejan arrastrar de la figura, qué invariantes aparecen cuando se arrastra alguno de sus objetos iniciales, llega a utilizar las herramientas de medir, comprueban si los puntos de la figura son colineales, si pertenecen a un objeto matemático, si cumplen con ciertas características de los objetos matemáticos que ellos creen que posiblemente sea, y por lo tanto, se atreven a dar una explicación verbal, a argumentar o a realizar una demostración del hecho geométrico que dicen que son consecuencia de la exploración del objeto construido.

4.3. Tareas Tipo III: cajas negras y macros.

Aquí la tarea consiste en reconstruir la misma figura que aparece en el ambiente, es decir, trazarlo en la pantalla lo más exactamente posible, y de esta forma, se comporte igual que la figura dada cuando se es arrastrada. Aquí se debe realizar su reconstrucción por medio de las primitivas geométricas del software. Este tipo de actividad parece contribuir, de una manera muy apropiada, a la construcción de relaciones entre propiedades geométricas visuales por un lado y al conocimiento geométrico por otro.

4.4. Tareas Tipo IV: enunciados de teoremas y su validación.

Este tipo de tarea está siendo actualmente investigado en muchas partes del mundo con el renacimiento del estudio de la Geometría a través de la integración de los AGD en el aula de clases.

Tiene que ver con los procesos de argumentación y demostración en Geometría.

Al respecto, se entiende la demostración en los AGD, de acuerdo con Camargo, Perry y Samper (2006) o en Perry, Samper, Camargo, Echeverry y Molina (2007) como una actividad que combina dos aspectos estrechamente relacionados: el proceso de demostrar y el producto de la demostración .

El proceso incluye acciones propias de la heurística como visualizar, explorar, analizar, conjeturar y verificar siempre y cuando movilicen el razonamiento hacia la búsqueda de validación, de tal forma que den significado a la actividad de argumentar para aceptar afirmaciones y provean los elementos para responsabilizarse de la verdad de dichas afirmaciones. El aspecto producto incluye acciones propias de la práctica de justificar, que movilizan el razonamiento argumentativo hacia la formulación de explicaciones, pruebas o presentaciones sistemáticas de resultados.

4.5. Tareas Tipo V: Cambio de representación gráfica a la algebraica.

Esta tarea es propuesta por Schumann (2004). Básicamente consiste en que teniendo la curva ya construida en un AGD, el usuario le solicita al ambiente que le presente automáticamente la ecuación que representa dicha curva, usualmente con la herramienta “Coordenadas o ecuación”. Más que una tarea, Schumann (2004) propone un método para combinar el uso de un CAS con un AGD cuando se estudian curvas. También enfatiza que esta herramienta puede servir para corroborar el tipo de ecuación que corresponde a la curva construida en el ambiente y en la cual se cree que está siendo representada gráficamente en la pantalla.

5. Tareas para fomentar la visualización tridimensional.

Las dificultades que se presentan en el aprendizaje de los conceptos matemáticos, de manera particular en la geometría, generan en los estudiantes una confusión entre el objeto geométrico en 3D y su representación que a su vez provoca en los mismos una falta de comprensión en los conceptos matemáticos y no les permite desarrollar procesos de visualización y examinar conexiones y relaciones de dichos objetos geométricos, puesto que, A pesar de vivir en un mundo tridimensional, la mayor parte de las actividades geométricas proporcionadas a los alumnos son bidimensionales (...). Esta dificultad es consecuencia de tener que representar sobre el plano lo que se ve en el espacio. (Villarroel, Méndez & Lavaque, 2010, p.1).

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Por otra parte, se considera que en el proceso de formación de profesores es importante y necesario identificar y evaluar “habilidades espaciales” de los maestros y su relación con aspectos de la enseñanza (Gonzato, Godino & Neto, 2011, p.6), esto, como una manera de favorecer y fortalecer los procesos de enseñanza y aprendizaje de la geometría espacial. Por lo cual, siguiendo a Gonzato (2013), y refiriendo a las distintas investigaciones que mencionan la influencia y el cambio que genera la integración de las TIC en el currículo de la enseñanza tradicional, dado que “El incremento en la capacidad de visualización que se produce en el trabajo con representaciones gráficas ayuda al estudiante en su proceso de comprensión de los conceptos matemáticos” (Fernández & Garzón, 2007, p.8), además, las TIC ofrecen interesantes posibilidades didácticas, que articulan la capacidad de visualización tridimensional en los individuos e influyen en la modificación de sus conceptos respecto de la enseñanza de la geometría tradicional con papel y lápiz.

Así, en esta conferencia se presentará la integración didáctica del AGD Cabri 3D, a través del cual se pretende mostrar algunas construcciones geométricas en el espacio, con el fin de evaluar la visualización de objetos tridimensionales como un conjunto de habilidades relacionadas con el razonamiento espacial (Gonzato, Godino & Neto, 2011, p.8), y así favorecer el aprendizaje de las matemáticas. Esto, teniendo en cuenta las cinco categorías presentadas por Gonzato (2013), en las que propone actividades considerando aspectos centrales que se ponen en juego para resolver tareas, como son: coordinar e integrar vistas ortogonales de objetos, rotar un objeto tridimensional en el espacio, plegar y desplegar desarrollos, componer y descomponer en partes y generar sólidos de revolución.

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La Importancia de la Filosofía en la Enseñanza y el Aprendizaje de la Física ¿Se puede enseñar o aprender física sin filosofía? O, ¿Tienen fundamento filosófico los modelos pedagógicos? O en otras palabras: ¿Se puede enseñar física ingenuamente? ¿Sin ser conscientes de las posiciones filosóficas que hay detrás?

¿Suministra la mecánica cuántica una descripción completa o incompleta de la naturaleza? ¿Presenta información acerca de casos individuales o da una descripción probabilística del funcionamiento de los átomos? ¿Es una explicación causal o no causal? ¿Hay determinismo o indeterminismo?

Los productos logrados por medio de la física clásica muestran un mundo determinista, o sea, partiendo de un estado presente se puede conjeturar un estado futuro. No obstante, en la física cuántica conseguir predicciones exactas en el comportamiento de las partículas subatómicas no es posible. Se presenta un indeterminismo imposible de entender a partir de la física clásica. Einstein alguna vez dijo: “Dios no juega a los dados”, no puede haber un libre albedrío del electrón. Estas dos posturas opuestas se hicieron evidentes en la Quinta Conferencia de Solvay: mientras que unos estaban a favor del realismo, otros defendían el instrumentalismo.

Más allá del debate histórico a favor de una u otra postura, para la física lo relevante es la necesidad de que los físicos, los maestros de física y sus estudiantes conozcan algo de filosofía. Dentro de la física siempre se trabaja sobre supuestos filosóficos, pero los científicos, como los maestros pueden ser conscientes o no conscientes de ello. Los físicos como los docentes deben pasar por un mínimo de aprendizaje en filosofía de la ciencia, no para ser filósofos, sino para entender qué posturas o qué visiones filosóficas hay detrás de la ciencia que realizan, y así, lograr una mejor eficacia en sus investigaciones y en el proceso enseñanza-aprendizaje.

Lugar: Auditorio Ángel Cuniberti.

Conferencia.

Recursos: Video Beam.

PROPUESTA DE ACTIVIDADES A DESARROLLAR EN EL MARCO DEL III ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Y FÍSICA Conferencia al encuentro: El Software Educativo en la enseñanza de la Matemática en la escuela cubana.

Resumen: En la conferencia se abordará la experiencia acumulada durante 20 años en el desarrollo de software educativo para la escuela cubana desde las entonces Universidades de Ciencias Pedagógicas y se ejemplificará con los resultados obtenidos en el desarrollo de estos materiales didácticos para la enseñanza de la Matemática en la escuela primaria (1º a 6º grado), la Secundaria Básica (7º a 9º grados) y el Preuniversitario (10º a 11º grados) a partir de la definición del modelo pedagógico concebido para las colecciones de softwares educativos que dan soporte al currículum vigente en la educación en Cuba.

Otras conferencias: 1. Competencias TIC para docentes en formación y en ejercicio. ¿Asignatura pendiente o desafío permanente?

2. El papel de las TIC en el sistema de acreditación de instituciones, carreras y programas de maestrías y doctorado en Cuba 3. Integración curricular de las TIC en el Sistema Nacional de Educación en Cuba 4. La formación de doctores en el área de Tecnología Educativa. Experiencias en la Universidad de Holguín.

Curso: Desarrollo de Ambientes Virtuales de Enseñanza Aprendizaje (EVEA) mediante SAdHEA-Web. Sinopsis: El curso, con carácter teórico-práctico, ofrecerá los conocimientos y las herramientas necesarias para el desarrollo de Ambientes Virtuales de Enseñanza Aprendizaje mediante el Sistema de Autor para el Desarrollo de Hiperentornos de Aprendizajes para la Web (SAdHEA-Web), desarrollado por el Centro de Estudios de Software y sus Aplicaciones Docentes (CESOFTAD), de la Universidad de Holguín. Este sistema fue seleccionado para participar en el Stand Cuba de la Convención Internacional Informática 2009 y desde entonces ha sido utilizado para el desarrollo de softwares educativos on-line por diversos Ministerios e instituciones en Cuba.

El sistema de autor SAdHEA-Web fue desarrollado con PHP, JavaScript, tecnología AJAX y MySQL como soporte de base de datos y ofrece grandes beneficios a los docentes de diversas disciplinas que se interesen por elaborar sus propios softwares educativos, pues solo requiere de conocimientos básicos de ofimática y el conocimiento de las potencialidades de los AVEA, así como la forma de concebir pedagógicamente los mismos.

Entre sus características se pueden mencionar que: no exige conocimientos de programación para los usuarios, permite actualización sistemática, el producto resultante es software libre y multiplataforma, incorpora conceptos y servicios propios de la Web, distribución flexible (Internet, Intranet, Laboratorio escolar y PC local), posibilita diferentes prototipos y diseños de la interfaz y permite diferentes roles para el desarrollo (aprendiz y usuario avanzado).

Además, el sistema de Autor cuenta con herramientas y asistentes propios que permiten, de manera sencilla, la creación de varios juegos didácticos y una amplia variedad de tipologías de ejercicios interactivos con una demostrada concepción pedagógica para cada uno de los softwares educativos creados.

Este sistema además de haber sido empleado para el montaje de las aulas virtuales en diferentes universidades pedagógicas en Cuba, ha sido utilizado para el desarrollo de dos softwares educativos encargados por el Ministerio de Educación de Venezuela y en un Diplomado en el Centro Regional de Formación Docente e Investigación Educativa de Tamaulipas, México.

Observando Mariposas y Aceptando Surcos Dejados por Nanotubos de TiO2: Una Evidencia del Fenómeno de Iridiscencia Anderson Dussán C. Ph.D. Universidad Nacional de Colombia - Bogotá, Dpto. de Física, Grupo de Materiales Nanoestructurados y sus Aplicaciones La naturaleza ofrece un sin número de fenómenos que desde las ciencias aún no es clara su ocurrencia o que no han sido avistados para la realización de trabajos específicos en aras de la comprensión de los mismos. El fenómeno de la iridiscencia causada por múltiples reflexiones de la luz en superficies traslucidas o semitransparentes es uno de los fenómenos ópticos más llamativos por su majestuosidad en el cambio de la luz (región visible - ) ocurrido por la variación del ángulo en el que se observa una superficie; cambios de fase e interferencia de las reflexiones modulan la luz por la amplificación o atenuación de las diferentes longitudes de onda presentes en el espectro.

Muchos de nosotros hemos tenido experiencia directa con lo que podría ser atribuido a la evidencia de la iridiscencia y sin embargo, una explicación gobernada por la trivialidad o quizás la simpleza de lo observado o una respuesta lógica dando por sentado que era de esperarse, impide una observación y relevancia en lo que verdaderamente se conjuga para su ocurrencia. Pompas de jabón, machas de aceite sobre el agua, colores en la superficie de un CD al movimiento, escarabajo brasileño (Lamprocyphus augusto), entre otros, son algunos ejemplos donde los fenómenos de colores observados pueden ser asociados a la iridiscencia.

En este trabajo se presenta un estudio detallado de las huellas o marcas dejadas por nanotubos de TiO2 fabricados por el método de anodizado electroquímico y que una vez separados por efecto del estrés mecánico sobre la superficie, dejan señales donde fueron crecidos presentando a su vez rizos de colores cuando el ángulo de incidencia de la luz es variado entre 20 y 60. Un estudio detallado tanto teórico como experimental, a través de medidas de reflectancia espectral, SEM y paquetes de cómputo respectivamente, permitieron modelar y dar una explicación relacionada al fenómeno de cambio en  dentro del rango visible asociado a la evidencia de iridiscencia en el material. Teniendo en cuenta lo anterior y la semejanza con lo observado en las mariposas de las especies Greta Oto y Morpho Cypris, se presenta un estudio de la morfología en la superficie de las alas de las mariposas y la aplicación del modelo observado en las huellas dejadas por los nanotubos de TiO2 cuando son retirados de la superficie de la lámina de Ti.

1

LA CULTURA ESTADÍSTICA: UN COMPONENTE PRIORITARIO DE LA INVESTIGACIÓN Gustavo R. Cañadas Abstract In addition to the constant presence of statistical information in the media, many national and international institutions provide today free access to their statistical data base through the Internet. Consequently, there is an increasing social need for statistics education that helps understand and interpret this information in decision making. In this work we summarise research describing the competences needed in building and critically reading statistical tables and graphs.

Keywords Statistical literacy; statistical tables and graphs; reading levels; understanding levels; association judgments 1. Introducción Hoy día es constante la presencia de la estadística en nuestra sociedad y se reconoce su utilidad como herramienta metodológica que permite analizar la variabilidad, determinar relaciones entre variables, diseñar estudios y experimentos y tomar decisiones adecuadas en situaciones de incertidumbre. Como consecuencia la enseñanza de la estadística se ha incorporado en todos los niveles educativos (Batanero, 2002). Además instituciones como la Unión Europea y la Organización de Naciones Unidas sienten la necesidad de medir el progreso en la sociedad actual, con indicadores como la cohesión social, riqueza o calidad de vida. Así, las agencias y oficinas estadísticas ponen a disposición de los ciudadanos toda clase de datos, con la intención de informarles y hacerles partícipes de sus decisiones, un objetivo importante en una sociedad democrática. Por lo anterior, es importante analizar críticamente la información en la prensa y otros medios de comunicación, como herramienta valiosa para conocer y analizar mejor la realidad. Pero, para poder desarrollar una mejor comunicación entre estas instituciones y el público a quien se dirigen, surge la necesidad de que los ciudadanos sean estadísticamente cultos.

2 1.1. Tablas y gráficos estadísticos como objetos culturales Uno de los retos de la enseñanza es conectar ésta con la realidad. Esta conexión entre escuela y vida cotidiana se podría llevar a cabo en el tema de estadística, aprovechando la presencia de datos en los medios de comunicación. Espinel (2007) indica la conveniencia de ampliar la enseñanza con gráficos presentados con frecuencia en la prensa, que no suelen ser trabajados. Además de por su presencia en los medios de comunicación e Internet, el aprendizaje de las tablas y gráficos estadísticos es importante, por otros muchos motivos. Por un lado, son un potente instrumento para comunicar información y para resumirla en forma eficiente. Wild y Pfannkuch (1999) hablan de la transmumeración como uno de los modos esenciales de razonamiento estadístico, los gráficos y tablas son instrumentos de transnumeración por su papel de organización, descripción y análisis de datos.

La importancia de tablas y gráficos se debe también a que la ciencia las utiliza como representaciones semióticas externas para construir y comunicar los conceptos abstractos. Por tanto, el aprendizaje de los conceptos científicos está ligado al de estas representaciones y al de sus procesos de construcción y transformación. Estas representaciones se usan también en las ciencias como puente entre los datos experimentales y las formalizaciones científicas y ayudan a determinar las relaciones entre las variables que intervienen en los fenómenos, para poder modelizarlos. En la enseñanza de las ciencias, las tablas y gráficos también ayudan a visualizar conceptos y relaciones abstractas difíciles de comprender (Postigo y Pozo, 2000).

Watson (2006), por su parte, resalta la importancia de las tablas y gráficos, por facilitar la transición entre la obtención de datos y el cálculo de resúmenes estadísticos. Esto es debido a que los datos ya han sido organizados y agrupados según los distintos valores de una o varias variables estadísticas y por tanto su interpretación puede ser de gran ayuda a la hora de calcular e interpretar las medidas de tendencia central y de dispersión. En lo que sigue, analizamos la importancia actual de la cultura estadística y las definiciones de este término

3 por diversos autores, y describimos las competencias relacionadas con la interpretación y construcción de tablas y gráficas, dando recomendaciones para la enseñanza.

2. ¿Qué es la cultura estadística?

La cultura estadística se relaciona con constructos como son “conocimiento estadístico” y “razonamiento estadístico”; aunque existen diferentes definiciones de la misma, todas coinciden en la necesidad de capacitar a los ciudadanos para tratar con diversos tipos de informaciones estadísticas y sus representaciones, que se les presentan por distintos medios de comunicación y en diferentes contextos. Gal (2002) define la cultura estadística como unión de dos competencias: interpretar y evaluar críticamente la información estadística, y discutir o comunicar sus opiniones respecto a tales informaciones estadísticas cuando sea relevante. Watson (2006) sugiere que la cultura estadística implica ser capaz de comprender el texto, significado e implicaciones de la información estadística en el contexto en que se presenta. Rumsey (2002), prefiere hablar de competencia estadística, incluyendo en ella las competencias necesarias en el razonamiento y pensamiento estadístico. A continuación analizamos estas competencias para dos objetos estadísticos básicos: las tablas y los gráficos.

3. Lectura e interpretación de tablas y gráficos Hay un acuerdo general en que una persona culta debiera poder leer críticamente las tablas y gráficos estadísticos que encuentra en la prensa, Internet, medios de comunicación, y trabajo profesional. Esto supone no sólo la lectura literal, sino identificar las tendencias, variabilidad y posible asociación.

3.1. Niveles en la lectura Muchas de las tablas que aparecen en la prensa o Internet, combinan diversos tipos de información numérica, clasificada en función de dos o más variables. Por otro lado, un gráfico es un objeto semiótico complejo, en el que podemos identificar los siguientes elementos estructurales, cada uno de los cuáles tiene sus propios convenios de construcción e

4 interpretación que deben ser adquiridos por los estudiantes (Friel, Curcio y Bright, 2001): (1) el título y las etiquetas; (2) el marco; (3) los especificadores.

Para poder leer e interpretar tablas y gráficos es necesario, aunque no suficiente, conocer estos elementos estructurales y los convenios relacionados con los mismos. Las habilidades implícitas en la lectura y comprensión de tablas y gráficos estadísticos pueden ser abordadas desde diferentes taxonomías; la de Curcio (1989) plantea los siguientes niveles: (1) Leer entre los datos; (2) Leer dentro de los datos; y (3) Leer más allá de los datos. Con un nivel añadido a los anteriores por Friel, Curcio y Bright (2001) “leer detrás de los datos”.

3.2. Estrategias y concepciones en los juicios de asociación Otro tipo de investigaciones se ha centrado en las estrategias que usan las personas para realizar juicios de asociación entre las variables representadas en tablas y gráficos.

Matemáticamente, la asociación es una extensión de la idea de dependencia funcional; admitiendo la existencia de correspondencia o relaciones entre dos variables de tipo aleatorio, que pueden variar en intensidad desde la independencia hasta la dependencia funcional.

La investigación sobre los juicios de asociación, iniciada por Inhelder y Piaget (1951), quienes consideraron que la comprensión de este concepto implica las de proporción y probabilidad. Los autores indican como variables que puede dificultar un juicio de asociación, la intensidad, el signo de la misma y el tamaño de la muestra. Una comprensión completa de la asociación requiere el uso de todos los datos y comparar las proporciones.

Estepa (1994) y sus colaboradores han trabajado con más detalle sobre el tema, identificando estrategias usadas en los juicios de asociación en variables numéricas dadas mediante gráficos. También piden a los sujetos argumentar sus respuestas, identificando algunas concepciones incorrectas sobre la asociación: causal, local y determinista.

Un papel primordial es el contexto, Monteiro y Ainley (2007) se preocupan de la interpretación de gráficos estadísticos en contexto escolar y contextos extra-escolares, como

5 la prensa. En el contexto escolar, se insiste en conocimientos y procesos estadísticos, prestando poca atención al contexto social de los datos, lo que lleva, a veces, a fallos. Por eso recomiendan que en la escuela se busquen ejemplos tomados de la vida cotidiana.

4. Construcción de tablas y gráficos También es posible definir varios niveles de dificultad en la construcción de tablas y gráficos. Por ejemplo Arteaga (2008) propuso una clasificación de los gráficos, que podría extenderse a la construcción de tablas, en función de su complejidad y los niveles de lectura que posibilitan en la clasificación de Curcio (1989) y Friel, Curcio y Bright (2001). Los gráficos de mayor nivel de construcción, permiten mayor nivel de lectura en la clasificación de Curcio (1989) y facilitan la resolución de problemas estadísticos.

Por otro lado, la competencia gráfica supone que los gráficos construidos sean correctos. Espinel (2007) describe también errores en la representación de escalas numéricas en la recta real, representación de intervalos, construcción del gráfico. Esta autora también observó que algunos futuros profesores no tienen coherencia entre su construcción del gráfico y la forma en que evaluaron las respuestas de estudiantes ficticios.

5. Implicaciones para la enseñanza Actualmente son numerosas las agencias internacionales y oficinas estadísticas que ponen a disposición de los ciudadanos toda clase de datos, en un esfuerzo para desarrollar una mejor comunicación entre los productores de estadísticas y los consumidores. Muchas de dichas informaciones son presentadas en forma de gráficos y tablas, por lo que una persona estadísticamente culta debiera ser capaz de comprender e interpretar estos objetos. Los gráficos de barras pueden introducirse desde edades tempranas y ofrecen la oportunidad de desarrollar relaciones con otras áreas del currículo de matemáticas, ya que para su interpretación en temas familiares para los alumnos son sólo necesarias habilidades con las correspondencias biunívoca, suma y resta. En niveles superiores y para gráficos de barras

6 más complicados, serán necesarios conocimientos de proporcionalidad y porcentajes. El aprendizaje puede ampliarse progresivamente con otros tipos de gráficos. Es importante también hacer notar a los estudiantes las relaciones entre los distintos gráficos y observar que no todos son adecuados para una misma situación. Además el estudio de dichas relaciones puede facilitar la comprensión de gráficos más complejos. Watson (2006) propone introducir en la escuela tareas en las que los estudiantes creen sus producciones gráficas a partir de datos de distintas variables estadísticas proporcionados por el profesor. Los alumnos deberán pensar en posibles relaciones entre las distintas variables y crear sus propias representaciones gráficas para contrastar así sus hipótesis iniciales.

El trabajo con información estadística extraída de los medios de comunicación sería otra estrategia pedagógica para acercar los contextos escolares y extra-escolares. Pero habría que ser cuidadoso eligiendo gráficos y tablas accesibles para los alumnos, y traten de temas familiares para ellos (Monteiro y Ainley, 2007). Finalmente resaltamos que la formación de ciudadanos “estadísticamente cultos” requiere también la preparación previa de los profesores que han de educarlos. El paso al título de grado en la formación de los maestros proporciona una oportunidad valiosa para la mejora de la cultura estadística de los futuros profesores.

Agradecimientos: Proyectos EDU2013-41141-Py EDU2016-74848-P(MEC) y grupo FQM126 (Junta de Andalucía).

Bibliografía Arteaga, P. (2008). Análisis de gráficos estadísticos elaborados en un proyecto de análisis de datos. Trabajo fin de Master. Departamento de Didáctica de la Matemática.

Batanero, C. (2002). Los retos de la cultura estadística. Conferencia en las Jornadas Interamericanas de Enseñanza de la Estadística, Buenos Aires. Confederación Latinoamericana de Sociedades de Estadística.

Curcio, F. R. (1989). Developing graph comprehension.Reston, VA: N.C.T.M.

7 Espinel, C. (2007). Construcción y razonamiento de gráficos estadísticos en la formación de profesores. Investigación en Educación Matemática XI, 99-119.

Estepa, A. (1994). Concepciones iniciales sobre la asociación estadística y su evolución como consecuencia de una enseñanza basada en el uso de ordenadores. Tesis Doctoral.

Universidad de Granada.

Friel, S., Curcio, F. y Bright, G. (2001). Making sense of graphs: critical factors influencing comprehension and instructional implications. Journal for Research in Mathematics Education 32(2), 124-158.

Gal, I. (2002). Adult's statistical literacy: Meaning, components, responsibilities.

International Statistical Review 70(1), 1-25.

Inhelder, B. y Piaget, J. (1955). De la logique de l´enfant à la logique de l´adolescent.París: Presses Universitaires de France.

Monteiro, C. y Ainley, J. (2007). Investigating the interpretation of media graphs among student teachers. International Electronic Journal of Mathematics Education 2 (3), 188207. On line: http://www.iejme/.

Postigo, Y. y Pozo, J. I. (2000). Cuando una gráfica vale más que 1000 datos: la interpretación de gráficas por alumnos adolescentes. Infancia y Aprendizaje, 90, 89 - 110.

Rumsey, D. J. (2002). Statistical literacy as a goal for introductory statistics courses.Journal of Statistics Education 10(3). Online: http://www.amstat.org/publications/jse/.

Watson, J. M. (2006). Statistical literacy at school: growth and goals. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Wild, C. y Pfannkuch, M. (1999). Statistical thinking in empirical enquiry (con discusión).

International Statistical Review, 67(3), 223-265.

Germán Guerrero --- física.

Conferencia "El conocimiento de la naturaleza y las matemáticas" Resumen: El objetivo de la conferencia es indagar por la relación entre ciencias de la naturaleza y matemáticas, en particular por la importancia de las segundas para la primera.

La relación inversa, la importancia del mundo real para las matemáticas, también es interesante, pero no será aborda aquí. Con dicho propósito, primero se presenta la complejidad del tema a través de la exposición de puntos de vista al respecto de pensadores ilustres de la filosofía y la ciencia, desde una perspectiva hitórica: Platón, Aristóteles, Galileo, Descartes y Newton. En segundo lugar, se proporcion las reflexiones actuales de la filosofía de la ciencia sobre La naturaleza de los conceptos científicos, para abordar el tema central y para que sean tenidos en cuenta en la enseñanza de las ciencias naturales. Esto último también permitirá ilustrar la forma como trabaja la filosofía de la ciencia.

Taller: "Enseñanza de las ciencias: Conocimiento y realidad (teoría y experiencia)" 1) "La teoría del espacio y La epistemología de Kant: Comentarios críticos" Resumen: El artículo, en su mayor parte, expone la teoría del espacio físico propuesta por Kant en su contexto histórico y epistemológico, y finaliza haciendo algunos comentarios críticos a la misma. El contexto histórico lo considero en dos dimensiones: una que tiene que ver con los desarrollos científicos sobre el espacio y la otra con las cuestiones epistemológicas propiamente. El primer contexto histórico lo conforman las concepciones del espacio físico de Newton y Leibniz, en tanto que el segundo está relacionado con el escepticismo de Hume sobre la causalidad.

2) "Elementos para la enseñanza de las ciencias derivados de la obra de T. S. Kuhn".

Resumen: El artículo busca contribuir a la reflexión pedagógica y a la práctica pedagógica presentando tres estrategias para la enseñanza de las ciencias. 1) La importancia de diseñar e implementar libros de texto con diferentes enfoques que permitan desarrollar una imagen de ciencia más compleja que la lineal y acumulativa privilegiada por la enseñanza tradicional.

2) Un nuevo concepto de teoría empírica en donde no se traza una jerarquía epistemológica entre leyes y aplicaciones de una teoría, sino en el que, por el contrario, se evidencia la unidad entre estos dos elementos. 3) Pensar la enseñanza de una nueva teoría como un proceso de aprendizaje de un lenguaje y de conocimiento del mundo. Las tres estrategas se presentan en el contexto, y como derivaciones, de los trabajos de T. S. Kuhn.

III Encuentro Internacional de Matemática y Física Influencia de la tecnología en la educación Matemática y las Ciencias Físicas.

EnMaFi 2016

La integración de “recursos” al conocimiento didáctico-matemático: Un problema de investigación Autor: Patricia M. Konic Universidad Nacional de Río Cuarto

Contexto La diversidad de paradigmas existentes derivados de la investigación en educación matemática contribuye a la riqueza del campo, no obstante, se debe reconocer que esto simultáneamente dificulta el uso de los resultados de investigación (Artigue, 2003). En tal sentido, existe una tendencia a transformar el conocimiento derivado de la investigación en estrategias educativas con la absoluta certeza de su “eficacia”.

Una consecuencia de lo expuesto precedentemente ha derivado en el desplazamiento de las investigaciones, de manera progresiva, tambien hacia la consideración de la complejidad del conocimiento del profesor, tanto en su desarrollo como en el modo en que se pone de manifiesto en la práctica (Ponte y Chapman, 2006).

En este sentido la particularidad del conocimiento del profesor se pone de manifiesto cuando Hill, Ball y Schilling (2008) distinguen especialmente el modo de conocer el contenido matemático por un profesor de alguien que no lo es.

Los paradigmas de enseñanza siguieron emergiendo. Uno nuevo e indiscutible en la sociedad actual es la producción de recursos didácticos para trabajar con docentes en ambientes de laboratorio. Se trata de propuestas de como enseñar ciencias, en particular matemática, asistida por tecnologias y en forma abierta.

Resumen Partiendo de la base que la sola existencia o disponibilidad de recursos, no es suficiente para cambiar las formas de enseñanza y para favorecer con ello el aprendizaje, es objetivo de esta conferencia plantear algunas cuestiones en torno a esta premisa, en particular respecto de la enseñanza de la matemática.

III Encuentro Internacional de Matemática y Física Influencia de la tecnología en la educación Matemática y las Ciencias Físicas.

EnMaFi 2016

Es conocido que el alto acceso a las nuevas tecnologías no producen fuertes impactos o cambios sustantivos en los procesos del enseñar y aprender.

Resulta central poder dar un uso “adecuado” a los recursos, integrándolos a la didáctica específica de cada disciplina.

Las declaraciones oficiales e incluso una formación específica que promueva la incorporación de nuevas tecnologías para la enseñanza de la matemática, resultan insuficientes para que efectivamente se integren los recursos al conocimiento didáctico- matemático (Carvajal, Font y Gimenez, 2014; Karsenti y Lira, 2010).

En el proceso de la progresiva incorporación de las TIC en el ámbito educativo, una tarea central es poner esfuerzos desde múltiples niveles y perspectivas para conseguir una comprensión más acabada sobre cómo, hasta qué punto y bajo qué circunstancias y condiciones la incorporación de las TIC a los procesos formales de enseñanza y aprendizaje modifican las prácticas educativas y afectan positivamente, cuando lo consiguen, los aprendizajes de los estudiantes. Se plantean entonces los siguientes interrogantes: ¿Es actualmente un problema de investigación el tratamiento de los recursos para la enseñanza de la matemática? ¿Qué herramientas teóricas provee la investigación para dicho tratamiento? ¿Existen criterios fundamentados que colaboren en la determinación de la incorporación de un recurso que favorezca el conocimiento didácticomatemático?

En otros términos, es necesario centrar la atención en determinar herramientas que permitan evaluar la incorporación de recursos, en particular las TIC, para impulsar el conocimiento matemático pretendido.

Palabras Claves Conocimiento didáctico-matemático Investigación/prácticas Recursos

FOCO DE CONTENIDO: TERCERA LEY DE NEWTON.

“Una construcción desde el Análisis Didáctico” Autores: Alexandra Castro Hidalgo (ardtna@yahoo.es), José Manuel Agudelo Sánchez (jmagudelos@gmail.com), José Antonio Marin Peña (jamarinp@uniamazonia.edu.co) UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA Florencia-Caquetá Docentes Licenciatura en Matemáticas y Física.

RESUMEN: “Diseño de Unidades Didácticas para los Programas de Curso “Cinemática y Dinámica y el Problema del Movimiento”: Una propuesta para formación de profesores en la Licenciatura Matemáticas y Física” para primer semestre, es el espacio en el cual se realiza este proceso investigativo, tomando como foco de Contenido, la tercera ley de Newton (acción y reacción). Este foco se analiza a través de: análisis de Contenido, análisis cognitivo, análisis de la instrucción y análisis de la actuación.

Lo anterior son elementos a tener en cuenta para la construcción de la Unidad didáctica, Como resultado se observa que el proceso de planeación a través del Análisis didáctico, permite activación de capacidades que conllevan al desarrollo de competencia y en este caso en la física del movimiento referida a la tercera ley de Newton. Este tipo de metodología permite al docente ir mejorando su práctica de aula, pues la unidad didáctica construida exige ser reformulada permanentemente según el contexto y los ritmos de aprendizajes de los estudiantes en la que se aplica.

Palabras Claves: Tercera Ley de Newton, Análisis Didáctico, Unidades Didácticas

1.

INTRODUCCION El proceso de acreditación de la Licenciatura en Matemáticas y Física, en la

Universidad de la Amazonia, plantea la generación de una reestructuración de los procesos didáctico y pedagógico, para el desarrollo de cada uno de los diferentes espacios que conforman el nuevo plan curricular. Este hecho, proporciona los elementos necesarios para la generación de investigación en torno al que hacer del maestro y principalmente en lo relacionado en su planeación académica. Buscando proporcionar elementos que permitan dicha planeación, el Colectivo de Investigación en Educación Matemática (CIEM) de la Universidad de la Amazonia, plantea el proyecto “El análisis didáctico: Una posibilidad de integración curricular en la formación de profesores de matemáticas y física” dentro del cual se plantean la construcción de la unidad “Diseño de Unidades Didácticas para los Programas de Curso “Cinemática y Dinámica y el Problema del Movimiento”: Una propuesta para formación de profesores en la Licenciatura Matemáticas y Física.” Esta propuesta investigativa se hace bajo el estudio del Análisis

Didáctico, el cual se ubica en el nivel de la planificación local dentro de la teoría curricular (Gómez, 2007).

2. MARCO CONCEPTUAL Los estudios realizados, fundamentalmente en España, por Luis Rico, Pedro Gómez, Lupiáñez, J. L, Puig, L, entren otros, entorno a la planificación curricular para la enseñanza de las matemáticas escolares, han permitido elaborar herramientas que permitan al maestro la selección de las temáticas a enseñar, al estudio de su estructura conceptual, a conocer los procesos históricos de la construcción de dicho conocimiento, las formas en las cuales se puede representar dicho conocimiento, al igual que los fenómenos donde se puede identificar su aplicabilidad (Análisis de contenido). En un segundo momento es importante pensar en las dificultades que se pueden llegar a tener para el proceso de enseñanza, los posibles obstáculos que se presenten en el estudiante para el aprendizaje, las condiciones que se puedan presentar en el medio en el cual se desarrolle la actividad (Análisis Cognitivo). En el análisis de instrucción, se estudia los medios de los cuales dispone el profesor para lograr sus fines; gira alrededor de la descripción, análisis y modificación de las diferentes tareas planeadas para lograr que el estudiante comprenda y aprenda los diferentes significados de los contenidos escolares, la secuenciación de ella y la superación de dificultades (Flores, 2012). Finalmente el estudiante realiza las diferentes actividades planeadas para alcanzar la meta en las tareas propuestas, y tras de ello el docente realiza la verificación del cumplimiento de los objetivos trazados, la activación de capacidades y el desarrollo de competencias. Hay que entender que este proceso se realiza con estudiantes que se están formando para ser maestros de las matemáticas y las ciencias física (análisis de la actuación).

3. METODOLOGIA En el proceso de investigación realizado se genera dinámicas de auto formación a partir de la revisión de los diferentes referentes teóricos entorno al análisis didáctico, que a la fecha se ha implementado con gran éxito en el campo de la enseñanza de las matemática

pero con una escasa aplicación y divulgación de resultados en el campo de las ciencias experimentales como en el caso de la física. Comprendido las diferentes etapas del análisis didáctico para la planeación de una temática específica a enseñar, se procede a la construcción de estructuras conceptuales en problemas concretos como en este caso La Tercera Ley de Newton.

Comprendido la red conceptual y el nivel de complejidad que lleva el aprendizaje de la temática se procede al diseño y definición competencias, objetivos de aprendizaje y capacidades a ser desarrolladas por los estudiantes en el momento de abordar acciones tendientes a la comprensión del concepto físico. Definidas las competencias, objetivos y capacidades, se procede a la definición del nivel de complejidad como también el diseño de las tareas a ser trabajadas por estos. Ya con las tareas definidas y diseñadas se llevan al aula para su validación y ajuste respectivo.

Como elemento de verificación de la pertinencia de este tipo de planeación a través del análisis didáctico, se diseñan e implementan tareas de evaluación que permiten corroborar el nivel de pertinencia que tiene esta metodología para la enseñanza de las ciencias experimentales, como en este caso la ciencia física.

4. ACCIONES Y RESULTADOS Los procesos de planificación basados en el análisis didáctico, se ha aplicado a espacios académicos del programa de la Licenciatura en matemáticas y física en la Universidad de la Amazonia, y con especial interés en el área de las matemáticas y la física escolar para los primeros semestres. Aunque la literatura encontrada ha sido principalmente en el campo de las matemáticas, el área de las ciencias físicas ha venido realizando un estudio por analogía, encontrando una riqueza importante en el campo de la fenomenología para la construcción de las estructuras conceptuales en el campo de la mecánica, y especialmente focalizado en el estudio de la tercera ley de Newton.

A partir de conocer los diferentes conceptos, leyes o principios, que pueden ser estudiados en los espacios académicos de “Cinemática y dinámica, y el Problema del movimiento”, del primer semestre de la licenciatura, se ha estructurado un red conceptual general desde la cual se establece los conocimientos a trabajar con el estudiante (ver figura No.1), las representaciones a utilizar, la fenomenología a estudiar y la aplicabilidad desde lo cotidiano, al igual de cómo ser enseñado.

Para el desarrollo de este foco, se establecen como objetivos: Analizar

la

interacción entre dos cuerpos para el cumplimiento de la Tercera Ley de Newton; y Conceptualizar la tercera ley de Newton a partir de situaciones problémicas. Dentro del grupo de competencia PISA, se establece la activación de: Pensar y Razonar, Argumentar y Justificar, Comunicar, Modelizar, Resolver Problemas, Representar, Lenguaje Simbólico, Herramientas tecnológicas.

Del grupo de capacidades establecidas para ser activada, alguna de ellas son las siguientes: Identifica las características propias de la tercera ley de Newton y su aplicación en experimentos que ponen a prueba su valides; Analiza situaciones donde se evidencia la fuerza de acción y reacción; Elabora representaciones de las fuerzas de acción y reacción en problemas prácticos.

A partir del grupo de capacidades, se

establecieron unos posibles caminos de aprendizaje que pudiese seguir el estudiante, los cuales se verificaron a partir del proceso experimental desarrollado y del cual se pudo observar la generación de otros, a partir del nivel de compresión que tuviese el estudiante.

El trabajo en el aula siempre se realiza en grupo de 4 o 5 personas, para permitir el análisis, y puesta en común de cada uno de los conceptos y explicaciones de los estudiantes, generándose, internamente en el grupo, concesos que son presentados posteriormente en plenaria.

Figura No.1. Estructura Conceptual Tercera Ley de Newton.

5. CONCLUSIONES La planeación de la actividad escolar a través del análisis didáctico, ha permitido al docente reflexionar sobre el nivel de apropiación de los contenidos del área en la cual trabaja y con ello el manejo didáctico y pedagógico que ha venido desarrollando.

A partir del estudio de situaciones problema se hace una mirada global de las diferentes temáticas que deben ser estudiadas para la búsqueda de solución a dicho problema, esto ha llevado a que en éste tipo de planeación se requiera la construcción de estructuras conceptuales que permitan al docente reconocer rutas de aprendizaje en el estudiante A través del reconocimiento del nivel de complejidad de las estructuras conceptuales, es importante identificar que capacidades deben ser activadas en los

estudiantes para lograr el desarrollo de las competencias.

A partir de situaciones problema, se elaboran tareas en las que se ha de tener en cuenta los sistemas de representación a utilizar, los fenómenos relacionados con la temática a estudiar, la estructura conceptual del contenido, objetivos de aprendizaje y competencias, limitaciones de aprendizaje y grados de dificultad en la enseñanza, complejidad de la tarea y significatividad

Bibliografía Cañadas, María C. y Gómez Pedro. (2012) Apuntes módulo 2. Análisis de contenido. MAD-2.

Universidad de los Andes. Bogotá.

Flores, Pablo. Gómez Pedro y Marín Antonio. (2012) Apuntes, módulo 4. Análisis de instrucción.

MAD-2. Universidad de los Andes. Bogotá.

GOMEZ, Pedro. (2007). Desarrollo del conocimiento didáctico en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Granada, España: Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. Disponible en http://funes.uniandes.edu.co/444 Hewitt, P. G. (1999) Física Conceptual, Tercera edición, Editorial Pearson Educación, Addison Wesley Logman, México Lupiáñez, J. L. (2009). Expectativas de aprendizaje y planificación curricular en un programa de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Didáctica de la Matemática. Tesis de doctorado no publicada, Universidad de Granada, Granada, España. Disponible en http://tinyurl.com/8k4wt9j Proyecto De Mejoramiento De La Enseñanza De La Fisica En La Escuela Media, Eje: Las prácticas curriculares y la mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Entre Rios, a través del Museo Interactivo de Ciencias, Puerto Ciencia. República Argentina.

Raymond A. S. (1997) Física, Tomo 1, Cuarta edición, Editorial McGRAW HILL, Rico, L., Marín, A., Lupiáñez, J. L. y Gómez, P. (2008). Planificación de las matemáticas escolares en secundaria. El caso de los números naturales. Suma, 58, 7-23. Disponible en http://funes.uniandes.edu.co/533/

Tareas matemáticas para hacer emerger el significado matemático de número entero: una mirada desde el desarrollo de competencias matemáticas

Albeiro Giraldo Ospina1 Universidad de la Amazonia

Presentación La presente investigación en el aula es un avance del proyecto “Las tareas matemáticas: su incidencia en la calidad de la actividad matemática de aprendizaje de los estudiantes”. El proyecto es desarrollado por el grupo de investigación “Lenguajes, Representaciones y Educación”, línea de investigación: Competencias matemáticas, categoría B de Colciencias, Universidad de la Amazonia. Su propósito es contribuir a resignificar las tareas matemáticas a partir de la calidad de la actividad matemática de aprendizaje del estudiante.

Marco teórico Por un lado, Solar (2009) quien señala que una competencia matemática está compuesta por tareas, procesos matemáticos y niveles de complejidad, y que en dicha estructura, las tareas matemáticas son un aspecto importante para organizar la enseñanza y el aprendizaje, ya que se formulan para el desarrollo de procesos matemáticos que ponen en juego capacidades del estudiante y sus objetivos se determinan teniendo presente, entre otros, los diferentes momentos que se producen en la actividad matemática de aprendizaje: acercamiento a compartir significados matemáticos (Bishop, 2005); y por otra lado, el número entero como objeto matemático complejo y abstracto (Bell, 1990), y en el que su introducción es un punto crítico en el aprendizaje de las matemáticas para los niños en el grados 7° de educación básica, fueron los referentes teóricos para la investigación.

Metodología La presente experiencia de aula fue realizada en el marco de un enfoque mixto (enfoque cuantitativo y cualitativo). La producción y recolección de información se focalizó en la participación de los estudiantes del grado séptimo en el aula de clase, en una institución oficial de Florencia (Caquetá), y en el desarrollo de una secuencia de tareas (Constituida por cinco tareas) con nivel de complejidad reproducción. Por cuestiones de extensión del documento se presenta la actividad matemática de aprendizaje de los estudiantes en torno a la tarea No 1, a continuación: LA ESCUELA DE DEPORTES La escuela de deportes del barrio “Jorge Eliécer Gaitán” abre inscripciones para conformar uno de los siguientes equipos: Profesor Universidad de la Amazonia, Magíster en Docencia de la matemática de la Universidad Pedagógica Nacional, miembro del grupo de investigación “Lenguajes, Representaciones y Educación”, línea de investigación: Competencias matemáticas.

1

Tabla 1 Número de jugadores que conforman diferentes equipos deportivos DEPORTE Baloncesto Fútbol Béisbol Voleibol Polo acuático

NÚMERO DE JUGADORES EN EL CAMPO 5 11 9 6 7

Se inscribieron 9 participantes, para conformar equipos mixtos (niños y niñas). (a) ¿Es suficiente el número de inscritos para conformar un equipo de fútbol? ¿Por qué? (b) ¿Es suficiente el número de inscritos para conformar un equipo de Baloncesto? ¿Por qué? (c) ¿Es suficiente el número de inscritos para conformar un equipo de Voleibol? ¿Por qué? (d) ¿Es suficiente el número de inscritos para conformar un equipo de Béisbol? ¿Por qué? (e) ¿Es suficiente el número de inscritos para conformar un equipo de Polo acuático? ¿Por qué?

Resultados La actividad matemática de aprendizaje de la tarea No 1, se caracterizó por la participación de los 38 estudiantes (100%) que a la fecha constituían el grado séptimo A (7A) y que fueron distribuidos en grupos de dos (2) estudiantes La demanda cognitiva de la tarea No 1, en sí, no constituyo ninguna dificultad para ellos.

Teniendo en cuenta la dinámica en la actividad matemática de aprendizaje de los estudiantes, se le adiciono el siguiente inciso: El director de la escuela de deportes debe presentar un informe al profesor de Educación Física de la Escuela del barrio “Jorge Eliécer Gaitán” sobre el número de inscritos que sobran o faltan para conformar los respectivos equipos. Ayúdale al profesor de Educación Física a presentar el informe.

Los estudiantes utilizaron, mínimo, dos registros semióticos de representación: tabular y gráfica. De los 19 grupos, 14 (el 74% aproximadamente), en la representación tabular, en general, registraron la cantidad de niños que faltaban y sobraban para conformar los equipos referenciados en la tabla; es decir, codificaron (proceso fundamental de la competencia Representar) en un registro semiótico la información proveniente de la respuesta dada en la primera parte de la tarea.

Al pasar al registro de representación gráfica, los estudiantes codificaron la información de manera icónica, dado que su foco de interés fue el color: definir con color

azul la cantidad de inscritos que sobraban, con color rojo los que faltaba, y rosado la cantidad que no sobran ni faltan. Es decir, sustituyeron al objeto número natural mediante su significación por una representación.

En los demás grupos, 5 de 19 (aproximadamente el 26%), los registros de representación semiótica realizados no tuvieron relación con la demanda cognitiva presente en el inciso adicional de la tarea No 1.

La tarea No 2: El número de hermanos, su característica se enmarcó en exigir a los estudiantes procedimientos rutinarios para resolverla (recolección, ordenación, tabulación y graficación de datos estadísticos). Además, debían realizar una operación sencilla como es el cálculo de la media aritmética o promedio de los datos, es decir, reproducir conocimiento ya practicado por ellos. Y a partir del dato del promedio, responder 6 preguntas, en torno a ¿cuántos herman@s de más o de menos hay en las familias que tienen 0, 1, 2, 3, 4 y 7 hermanos? Posteriormente, teniendo en cuenta la información obtenida, organizarlas en una tabla.

Ya para el momento, el grado lo constituían, no 38, sino 39 estudiantes, por la inclusión de un estudiante nuevo. En tal sentido, la actividad matemática de aprendizaje fue realizada por 18 grupos de dos (2) estudiantes, y un grupo de tres (3) estudiantes. La demanda cognitiva de la tarea fue realizada sin mucha dificultad, por 15 de los 19 grupos (aproximadamente el 80%).De igual manera, la Tarea No 3: El equipo de jabalina; la tarea No 4: tabla de posiciones Liga Aguila, y la Tarea No 5: La excavación. Es importante señalar que la penúltima tarea, surgió a raiz de la conversación que venían realizando los estudiantes al ingresar a la aula de clase (la mayoría), después de observar el primer partido de microfutbol del campeonato interclases que iniciaba en la institución y de los equipos del futbol profesional colombiano de los cuales eran hinchas.

Ya desarrolladas las cinco tareas por los estudiantes, se regresó nuevamente a la tarea No 1, y se les planteó los siguientes interrogantes: Con relación a la tarea No 1, LA ESCUELA DE DEPORTES, ¿cómo saber cuándo son dos (2) jugadores que sobran para conformar alguno de los equipos o son dos (2) jugadores los que faltan para conformar alguno de los equipos sin tener que escribir las palabras sobra o falta? ¿Podrías colocar al número alguna seña o signo para diferenciarlos? ¡Inténtalo!

Un (1) grupo, el 6% aproximadamente, de los dieciséis (16), (porque siete (7) estudiantes no asistieron a clase ese día), colocaron al número natural 2 el signo para significar que sobraban jugadores y el signo para significar que faltaban jugadores.

El 38% de los grupos, aproximadamente, represento de manera general, mediante los siguientes signos, la manera de representar los que faltan y sobran (Ver gráfico No 1)

Gráfico No 1 Sin embargo, a este tipo de representación, no fue colocado el número natural 2.

Es interesante la representación simbólica utilizada por un 6% de los grupos.

Evocaron de su pensamiento la representación de la potenciación, el número natural dos (2) como base y denotando con la letra f como exponente los que faltan y con s los que sobran (gráfico No 2). Es evidente esta simbolización, dado que en el enunciado se solicitaba colocar alguna seña o signo al número para diferenciarlo, pero en ningún momento aclarando si era delante, atrás, abajo o arriba.

Gráfico No 2 Una simbología algo similar al anterior grupo, se presentó en otro grupo (ver gráfico 3). Sin embargo, la simbología utilizada para el exponente es diferente. Es de resaltar que en la representación utilizada por este grupo, empieza a emerger el signo + y el signo -

Gráfico No 3

Y es precisamente a partir de aquí, y en los grupos siguientes, que predomina el uso del signo – y el signo +. En particular para este grupo (ver gráfico No 4), ya el signo – lo asocia con un significado: faltan dos (2) jugadores para conformar el equipo de futbol; y el signo +, representa sobran dos (2) jugadores en la conformación del equipo de polo acuático.

Gráfico No 4 Tres (3) grupos, aproximadamente el 19%, dieron un significado diferente a los signos – y +, dado por el grupo anterior. Es decir su codificación fue contraria, no obstante se valora, ya que los signos son usados por los seres humanos para referir algo en el mundo (cosas, sentimientos, ideas, etc.) en un cierto contexto y con un cierto sentido. Esto se puede apreciar en el gráfico No 5.

Gráfico No 5 En este penúltimo grupo, resalta que además de indicar que el signo – representa cuando hacen falta jugadores, y que el signo + cuando sobran jugadores, los codifican con un color: rojo para el signo menos, y azul para el signo + (Gráfico No 6).

Gráfico No 6 Finalmente, el último grupo es claro es señalar lo que significa el signo – y lo que significa el signo +. Además, hace uso de un registro semiótico de representación como es el tabular para mostrar la traducción de un lenguaje escrito a un lenguaje simbólico, lo cual es evidencia de la organización y estructuración de su pensamiento matemático (Gráfico No 7).

Gráfico No 7 Conclusión Los resultados indican que la implementación de las tareas matemática propuestas cumplieron con el propósito de contribuir para que los estudiantes participaran en el proceso de hacer emerger el significado matemático de número entero. En este proceso, jugó un papel trascendental los registros semióticos de representación: tabular, gráfico y simbólico. La actividad matemática de aprendizaje de los estudiantes se caracterizó por evidenciar el

desarrollo de procesos matemáticos propios de la competencia matemática representar: codificación, decodificación y traducción. En palabras de Duval (2004), la adquisición conceptual de un objeto pasa por adquirir representaciones semióticas, esto es, representaciones por medio de signos. Lo que significa, que para el caso de las matemáticas, en particular, el aprendizaje de los objetos es conceptual; el sujeto no entra en “contacto” directo con los objetos, pues estos no son accesibles perceptual ni instrumentalmente, se hace necesario servirse obligatoriamente de representaciones.

Referencias Bibliográficas Bishop, A. (2005). Aproximación socio cultural a la educación matemática. Cali: Universidad del Valle. (Original publicado en 1999).

Solar, H. (2009). Competencias de modelización y argumentación en interpretación de gráficas funcionales: propuesta de un modelo de competencia aplicado a un estudio de caso. (Tesis doctoral). Bellaterra: Universitat Autònoma de Barcelona, Departament de Didàctica de la Matemàtica; I de les Ciències Experimentals.

Barcelona.

Bell, A (1990). Enseñanza por diagnóstico. Algunos problemas sobre números enteros. En Revista: Investigación y experiencias didácticas.

Duval, R. (2004). Los problemas Fundamentales en el Aprendizaje de la Matemáticas y las Formas Superiores del Desarrollo Cognitivo (M. Vega, Trad.). Cali: Universidad del Valle.

(Original publicado en 1999).

LA LIBERTAD COMO FUNDAMENTO DE LA CREACIÓN INTELECTUAL EN MATEMÀTICAS

“La esencia de la matemática reside en su libertad” George Cantor

La creación intelectual, ya sea asociada a la producción de conocimiento científico o la realización de las obras de arte, demanda del agente creador la disposición de un amplio margen dentro del cual pueda moverse con plena libertad e independencias frente a juicios previamente establecidos, patrones arbitrariamente impuestos, metodologías beneficiadas con el reconocimiento oficial, necesidades inducidas por la manipulación y el control social, etc.

De hecho, en la mayoría de los procesos creativos, durante el encuentro del sujeto creador con el problema que se propone resolver o el interrogante que pretende responder o la obra que se desea materializar, se violan los cánones de la rigidez, la pretenciosa infalibilidad de las disquisiciones formales y la arrogancia del objetivismo y el racionalismo. En el momento sublime de la intimidad del autor y su obra hay una mutua entrega que requiere, para su realización plena, de la disposición del hacedor a dejar de lado prejuicios y prevenciones y asumirse como portador y transmisor de emociones, pasiones y sentimientos que necesariamente dejaron su huella en el resultado final.

La creación intelectual no puede ser un acto de enajenación y desmaterialización exigido al individuo creador para poder acceder, en el sentido platónico, al máximo nivel del conocimiento. La libertad para su creación intelectual debe estar asociada a la libertad de pensamiento y ésta, a su vez, a la autonomía del ser creador para tomar decisiones, escoger procedimientos direccionar su discurrir.

En consecuencia, libertad y autonomía deben corresponderse con formas de organización social que procuren el desarrollo integral de la capacidad creadora del hombre al tenor incluso, de su libre albedrío e independientemente de las prioridades oficiales que limitan y restringe la investigación científica y la reflexión intelectual.

La creación intelectual debe iniciarse con la escogencia, libre y voluntaria, del tema objeto reflexión.

Esta elección, generalmente se fundamenta en las motivaciones personales despertadas y estimuladas por el tema de investigación en el autor. No pueden esperarse grandes resultados ni construcciones exitosas de una elaboración intelectual sobre temáticas ajenas a los intereses y motivaciones socioculturales del autor, en especial cuando le han sido impuestas en razón de una

relación de dependencia o subordinación. En relación con este aspecto de la libre escogencia de la temática para la reflexión intelectual, se hace necesario ocuparnos de un tema más delicado que el tema de la libertad como fundamento de la creación intelectual. Se trata de la democratización de la creación intelectual.

A lo largo de la historia de la humanidad, en todas las comunidades y civilizaciones cuya organización social está determinada por las relaciones de apropiación tanto de la riqueza material como de los medios o recursos para generarla, la confrontación resultante de la actitud asumida frente al direccionamiento del ejercicio intelectual se ha resuelto a nivel oficial a favor de quienes ejercen el control político de la comunidad y, además, cuentan con el apoyo de los poseedores de las riquezas materiales. Así, por ejemplo, en la Grecia clásica Platón preconizaba intelectual, abstraída de cualquier soporte material o fáctico, en función de la perfección espiritual del hombre. La búsqueda de la virtud, siempre oculta tras las manifestaciones fenoménicas de la naturaleza y la confusión de los prejuicios inducidos por la experiencia, exigía separar la reflexión teórica de las prácticas materiales las cuales estaban reservadas para espíritus innobles incapaces de trascender las. Se correspondía esta interpretación con la hegemonía ejercida pòr la aristocracia sobre la educación en general y la reflexión filosófica en particular. De allí, la clasista división entre las artes liberales practicadas por los ciudadanos nobles con suficientes recursos económicos como para despreocuparse frente a las contingencias materiales y poder entregarse plenamente al cultivo del pensamiento, y las manualidades u oficios plebeyos practicados por ciudadanos del común y la servidumbre.

La matemática ha sido una de las ciencias más afectadas por este tipo de direccionamientos oficiales que pretenden limitar su producción y ejercicio a la satisfacción de necesidades materiales. En el año 1663, por ejemplo, Robert Hooke, al promulgar el estatuto de la Royal Society, describió así sus propósitos “mejorar el conocimiento de las cosas naturales y todas las artes útiles, las manufacturas, las prácticas mecánicas, las máquinas y los inventos por medio de experimentos sin chapucear en teología, metafísica, moral, política, gramática, retórica y lógica” Afortunadamente, también a lo largo de la historia del género humano, ha existido personajes que viajaron en contravía de las disposiciones oficiales. Los que incursionaron, por fuera de los códigos y los preceptos de la escolástica, en teorías que trascendieron lo inmediato y se atrevieron a dar nuevas interpretaciones del ser y el existir terminaron dejando una impronta que siempre ha encontrado en la rebeldía juvenil sus mejores discípulos y continuadores.

La matemática, una ciencia juvenil por excelencia, es un claro ejemplo de actividad intelectual libre e independiente que ha entregado sus mejores secretos a los espíritus desprovistos de prejuicios y dogmas en relación con su actitud frente a la búsqueda del conocimiento.

Si alguna ciencia ha estado ligada al desarrollo intelectual del ser humano esa ha sido, precisamente, la Matemática. Asociada inicialmente al fascinante proceso de diferenciación entre lo uno y lo múltiple, empezó a tomar forma a través de los referentes simbólicos que en las diferentes culturas materializaron el concepto de numero; una de las construcciones mentales más importantes del

intelecto humano a través de toda su historia. Tal reconocimiento me aparte de la famosa afirmación hecha por el prestigioso matemático Alemán Leopold Kronecker (1823-1981).

“Dios creo los números naturales; todo lo demás es obra del hombre” Empleado en las comunidades primitivas para contabilizar y enumerar elementos de un mismo conjunto, el número se fue posicionando como recurso clave en la solución de problemas prácticos relativos a las mediciones de áreas, volúmenes y reparticiones, mediante el empleo de técnicas de conteo y la comparación de magnitudes de la misma especie. Así, por ejemplo, el área de una región plana o el volumen de un cuerpo se expresaban a través del número que cuantificaba las veces que la unidad de medida estuviera contenida en la una o en el otro, en algunos casos, mediante la razón de dos números determinados por una unidad de medida común. De esta forma el proceso de contar, que trasciende el simple ejercicio de la enumeración, se convierte en uno de los primeros recursos de exploración e indagación mental empleados por el hombre para la explicación y comprensión del mundo exterior, sobreviviendo a sus exigencias y adecuandolo a sus necesidades.

No es presunción o recurso propagandístico que la Escuela Pitagórica, una de las primeras y más importantes escuelas de Occidente cultura del pensamiento filosófico y científico, haya soportado su cosmovisión en la afirmación “Todo es número”, A juicio de ellos, podemos explicarnos el universo (Incluyéndonos dentro de él) con el simple recurso de los números naturales.

Los procesos de Numeración y Medición, ligados al concepto de número, dieron origen a la Aritmética y la Geometría, las dos grandes fuentes donde nacen las matemáticas a partir de los desarrollos teóricos, independientes del mundo sensible, sobre las operaciones que podían efectuarse con los números al igual que el comportamiento de estos respecto a esas operaciones, para el caso de la Aritmética, y el conocimiento de las formas que se asumen los objetos físicos de la naturaleza y las relaciones entre sus elementos para el caso de la Geometría.

Con los Griegos del siglo VI (a.C) se inician los trabajos de organización y sistematización de los conocimientos pertinentes a los dominios de la Aritmética y la Geometría integrándolos en una estructura organiza en la cual dichos conocimientos pueden ser derivados (demostrados se dira luego) de unos pocos principios, convenientemente formulados y previamente aceptados por los especialistas, mediante un proceso lógico-deductivo. El trabajo más elaborado que registra la historia en tal sentido se conoce como “LOS ELEMENTOS”, un compendio de trece (13) libros en los cuales se recogen todos los conocimientos que para la época podían tipificarse como pertenecientes a la matemática. El trabajo se realizó hacia el año 300 a.n.e y se atribuye a EUCLIDES DE ALEJANDRIA. La influencia de esta obra en la consolidación de la cultura occidental ha sido determinante. Texto obligatorio para la formación básica elemental en el mundo Helenístico desde su publicación en el siglo IV (a.n.e), y en el Occidente Latino a partir de su descubrimiento y divulgación en el siglo XII hasta nuestros días. La precisión de sus enunciados, el funcionamiento de la lógica deductiva en los procesos de demostración de los teoremas; la concatenación de los diferentes resultados obtenidos y la reducción al mínimo del número de principios en los que se fundamentan las deducciones, hizo

de los ELEMENTOS el referente obligado y anhelo como modelo de organización y sistematización del conocimiento y le dio a la matemática el mérito suficiente y necesario para ser considerada como la primera de las ciencias, al tenor de los parámetros empleados actualmente para hacer tales reconocimientos. Pero no solo fue la matemática referente de organización para las demás manifestaciones del conocimiento; desde muy temprano su hegemonía se puso de manifiesto sobre las llamadas ciencias de la naturaleza a las cuales liberó de las tinieblas metafísicas donde estaban confinadas por obra y gracia del escolasticismo. Precisamente, para darle credibilidad y aceptación a las nuevas investigaciones los precursores de las ciencias modernas se apoyaron tanto en los conocimientos como en los recursos metodológicos empleados para producir tales conocimientos.

Al respecto, resulta muy ilustrativa la afirmación de Galileo. “… El gran libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje matemático y sus símbolos son lso números, las rectas, las circunferencias, las esferas, los triángulos…etc.”

Descartes, en su discurso del método, afirmó que: “…Las largas cadenas de razones, muy simples y fáciles, por medio de las cuales generalmente los geómetras llegan a alcanzar las demostraciones más difíciles, me habían proporcionado la ocasión de imaginar que todas las cosas que pueden ser objeto del conocimiento de los hombres se entrelazan de igual forma y que, absteniéndose de admitir como verdadera alguna que no lo sea y guardando siempre el orden necesario para deducir unas de otras, no puede haber algunas tan alejadas de nuestro conocimiento que no podamos, finalmente, conocer ni tan ocultas que no podamos llegar a descubrir.(…) y considerando que, entre todos los que hasta ahora han investigado la verdad en las ciencias, SOLO LOS MATEMATICOS han podido encontrar algunas demostraciones, es decir , algunas razones ciertas y evidentes, en modo alguno dudaba que debía comenzar por las mismas que ellos han examinado, aunque no esperarse de ellas ninguna otra utilidad, sino habituar ,mi ingenio a conocer la verdad y a no contentarse con falsas razones” No fue propiamente una estrategia de mercadeo lo que llevó a Newton a titular su grandiosa obra como: “Principios Matemáticos de la filosofía Natural”.

Lo anterior nos podía llevar a pensar que la matemática se justifica en y por las demás ciencias (específicamente las denominadas ciencias de la naturaleza. Entramos aquí en el discutidísimo terreno de la utilidad de la matemática el cual, a sus ves, nos propone aspectos mucho más delicados como las génesis y la naturaleza del conocimiento matemático que podemos recoger en el siguiente interrogante: ¿Son las matemáticas un constructo mental totalmente independiente del mundo sensible o, por el contrario, corresponden a procesos mentales motivados por múltiples y diversas manifestaciones de objetos pertenecientes al mundo material?

Independientemente de la respuesta que demos a este interrogante siempre ha existido a lo largo y ancho de la historia de la matemática corrientes de opinión que lo han visto, vivido y trabajado como un ejercicio intelectual autónoma e independiente tanto del mundo material como de las

aplicaciones que pueda tener en la solución de problemas prácticos. Otros la han trabajado de manera efectista en función de los resultados materializados en fórmulas o recetas.

En la antigüedad Platón se erige como el portaestandarte de los precursores del cultivo puro del pensamiento desligando totalmente la teoría de la práctica. Para él la búsqueda del conocimiento es un procesos gradual hacia la perfección espiritual del hombre que a medida que supere las limitaciones impuestas por la exigencia material se libera de las trabas e imperfecciones que le impiden alcanzar el conocimiento pleno, la verdadera sabiduría. Concebido de esta manera el proceso del conocimiento, la matemática se convierte en recurso fundamental para la agudización del intelecto y la apertura del entendimiento hacia formas más avanzadas del saber.

En tiempos más cercanos a nosotros (1830) el joven matemático Alemán Carl Gustav Jacob Jacobi se quejaba, en carta escrita a Legendre, que: “… El señor Fourier opinaba que la finalidad primordial de las matemáticas consistía publica y en la explicación de los fenómenos naturales; pero un filósofo como él debería haber sabido que la finalidad única de la ciencia es la de rendir honor al espíritu humano y que, por ellos, una cuestión sobre números vale tanto como una cuestión sobre el sistema del mundo” He aquí una concepción eminentemente artística de la matemática. El arte en cualquiera de sus manifestaciones tiene como fin primordial, prácticamente único, rendir honor al espíritu humano.

El arte es una creación exclusivamente humana que trasciende la siempre recreación, como fial copia, de los objetos de la naturaleza. El arte implica complejas elaboraciones mentales en las cuales se integran categorías tan abstractas como belleza, sublimidad, emoción, sensualidad, reflexividad, alegría, arrobamiento etc., y diferenciar lo consciente de lo inconsciente es prácticamente imposible. El arte queda plenamente justificado por la gratificación espiritual que produce tanto en su realizador como en quienes son capaces de atenderlo.

El arte no está destinado a la solución de problemas de interés público ni a satisfacer necesidades materiales de tipo individual o colectivo. El supremo fin del arte es reafirmar la condición humana.

La matemática como arte ha sido la divisa de los más exquisitos creadores de teorías en esta ciencia.

La liberación del ejercicio matemático de los compromisos con las ciencias naturales, como aportador de métodos para la búsqueda de la verdad y resultados para la exploración e interpretación del universo, permitió el autoexamen, la autorreflexión, y el vertiginoso desarrollo del conocimiento matemático.

Bertrand Russell, uno de los más refinados cultores de la matemática como Arte, manifestó que: “El verdadero espíritu de la alegría, de exaltación, el sentimiento de ser más que un hombre, que son la piedra de toque de la excelencia más elevadas, se hallan en la matemáticas como en la poesía” Al igual que el arte, la matemática se desarrolla en función de su libertad. La creación matemática es tan libre como lo puedes ser el propio pensamiento.

Las anteriores caracterizaciones podrían hacer pensar que el conocimiento matemático así producido constituye un conocimiento inútil que no contribuye al bienestar en cuanto no resuelve problemas materiales prácticos. A lo sumo, al igual que el arte, contribuiría a curar la neurosis del autor. Sin embargo, curiosa y paradójicamente, se han dado (y continúa dándose) casos de aplicación prácticas en el mundo de lo sensible (no solo en las ciencias físicas) de teorías extremadamente abstractas que carecen del más mínimo soporte intuitivo.

G. H. HARDY, matemático inglés de finales del siglo XX especializado en teoría de números y fiel representante del purismo matemático, justificaba la grandeza de la matemática en su utilidad en la belleza. He aquí otra de las categorías, tal vez la más importante, que caracteriza el arte. Si justificamos la matemática por su valor artístico debemos indagar por la belleza que hay en ella sea cual sea el concepto que se tenga de lo bello.

Lo primero que me atrevo a afirmar al respecto, es que en la matemática hay belleza para todos.

Desde las formas sublimadas por los griegos como ideales de perfección en un mundo exterior armónico y equilibrado por la voluntad de los dioses hasta las formas irregulares del universo fractal, no lineal, caótico e indeterminismo que no nos es dado como una obra terminada sino como posibilidad interpretativa asignada por la incertidumbre.

En nuestra cultura occidental, el gusto por la belleza fue estimulado y condicionado a partir de los Griegos a través de la idealización y sublimación de las formas como lo recto, lo plano, lo circular, lo redondo, lo triangular, lo cuadrado, etc, y la equilibración en la distribución espacial de los cuerpos como responsable de la estabilidad y armonía del universo, de allí su interés por el estudio de las simetrías la proporcionalidad, la razón áurea o el número de oro. Incluso la música, como armonización de sonidos para acompañar los procesos de meditación y relajamiento, estaba sujeta a exigentes reglas en cuanto a longitud, diámetro, número y distribución de las cuerdas para garantizar el tono y timbre del sonido exigido por las circunstancias del momento que se acompañaba.

Platón recogió los elementos básicos constitutivos de la naturaleza en los únicos cinco sólidos regulares que existen (usualmente se denominan sólidos platónicos y en la cultura occidental son referentes de belleza y hermosura). El tetraedro (fuego), el cubo (tierra), el octaedro(aire), el icosaedro (agua). a partir de allí estableció un paradigma de belleza que aún traza derroteros en la cultura occidental.

PROPUESTA PARA PROMOVER LA MOVILIZACIÓN DE LOS PROCESOS DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR A PARTIR DE LA FUNCIÓN LINEAL Mag. Jhon Fredy Sabi Rojas Universidad de la Amazonia ibas1501@gmail.com Resumen: Se presentan los resultados de una investigación, en la cual se plantea una propuesta para promover la movilización de los procesos de la competencia matemática representar que está basada en tareas matemáticas. La investigación se realizó con estudiantes de grado noveno de una institución educativa de Florencia Caquetá. Se exponen los referentes utilizados en la investigación y la metodología llevada a cabo. Finalmente se presentan los resultados obtenidos, los cuales dan cuenta del nivel inicial de los estudiantes participantes con respecto a los procesos de esta competencia y su evolución al finalizar la investigación.

Palabras claves: Competencia matemática representar; tareas matemáticas; procesos; movilización.

INTRODUCCIÓN La educación colombiana, y en particular la educación matemática colombiana, ha pasado por algunos cambios en las últimas décadas en pro de mejorar la calidad académica: hasta la década de los setenta, la formación matemática se caracterizó por su relación con el desarrollo de las capacidades de razonamiento lógico, por el ejercicio de la abstracción, el rigor y la precisión, y por su aporte al desarrollo de la ciencia y la tecnología en el país (MEN, 2006).

Con estas razones como base, la educación matemática tenía la convicción de que los estudiantes sólo se necesitaban aprender un listado de temas, ecuaciones y/o algoritmos para desarrollar su pensamiento matemático (MEN, 2006). Pero estas bases fueron cuestionadas por su carácter axiomático, el cual no tenía en cuenta el valor social de las matemáticas.

Es por ello que se produce otro cambio en la educación matemática colombiana que trajo como consecuencia la creación de los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998) y los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 2006), los cuales no dan prioridad a los contenidos sino a lo que los estudiantes pueden lograr hacer con esos contenidos. Con la inclusión de estos estándares, el sistema educativo colombiano solicita a las instituciones educativas del país trabajar, desarrollar y evaluar a los estudiantes por competencias.

En lo que corresponde a las competencias matemáticas, en el currículo de matemáticas colombiano no se contempla las ocho competencias elegidas por PISA: representar, plantear y resolver problemas, pensar y razonar, comunicar, modelizar, argumentar, usar herramientas y recursos, utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones. Lo que se establece en los lineamientos curriculares y estándares básicos de competencias son procesos generales (razonamiento, resolución y planteamiento de problemas, comunicación, modelación y elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos (MEN, 1998, pág.

18), (MEN, 2006, pág. 6)) que permiten el desarrollo de los cinco pensamientos matemáticos. Estos procesos generales son equivalentes a las competencias matemáticas establecidas por PISA, así como lo menciona González & Gomez (2013): “…el nivel de expectativas de aprendizaje que captan las competencias matemáticas PISA es equivalente al que describen los procesos generales de los documentos colombianos” (pág. 4).

En lo referente a la competencia matemática representar, Solar (2011) presenta tres procesos que se encuentran asociados a la competencia: “entender y utilizar las relaciones entre diversas representaciones de la misma entidad, escoger y traducir representaciones en otras y usar representaciones para interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos (construcción de modelo intermedio)” (Solar, 2011, pág. 33). La movilización de estos procesos conlleva a que el estudiante no sólo comprenda y utilice representaciones dentro de una misma entidad sino también entre distintas entidades para así poder dar explicación a un fenómeno o situación determinada.

A partir de lo expuesto anteriormente, se evidencia que existe una necesidad de desarrollar en nuestros estudiantes la capacidad de interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representación de un objeto matemático y la habilidad de escoger el tipo de representación que más se ajuste para la explicación de una situación dada. Por ende, se plantea la siguiente pregunta de investigación ¿Cómo movilizar procesos asociados a la competencia matemática representar en los estudiantes de grado noveno?

REFERENTES TEÓRICOS Las competencias matemáticas son consideradas como los procesos matemáticos que llevan a cabo los estudiantes al momento de desarrollar tareas matemáticas (OCDE, 2003). Estos procesos son característicos de cada competencia matemática y se movilizan a medida que los estudiantes desarrollan tareas matemáticas de nivel de complejidad creciente.

Los procesos matemáticos son pieza clave para desarrollar las competencias matemáticas en los estudiantes, debido a que estos procesos conllevan a desarrollar las capacidades de los estudiantes, lo cual a su vez contribuye a la adquisición de competencias. (Solar, 2011).

La movilización de los procesos asociados a la competencia matemática representar por medio de tareas matemáticas, es el centro de esta investigación. Por lo tanto se ha tomado como referente principal lo planteado por Espinoza et al. (2009) en su trabajo Análisis de las competencias matemáticas en NB1. Caracterización de los niveles de complejidad de las tareas matemáticas, en el cual, caracterizan cuatro competencias matemáticas, denominadas por ellos como competencias organizadoras del currículo, a saber: resolución de problemas, representación, razonamiento y argumentación y manipulación de expresiones matemáticas (Espinoza, et al, 2009, págs. 36-37).

Para poder realizar la movilización de estos tres procesos, Solar (2011) manifiesta que las tareas matemáticas juegan un papel muy importante, ya que permiten que el estudiante avance entre los distintos niveles de complejidad, según la tarea propuesta. Las tareas matemáticas son uno de los componentes de la competencia matemática (Solar, 2009), por

lo tanto, el diseño de tareas matemáticas es un aspecto importante que realiza el docente para movilizar competencias matemáticas en sus estudiantes. Su correcto diseño permite poner en juego las capacidades de los estudiantes. Las tareas matemáticas son de complejidad creciente (Garcia B., 2013) por lo que permite que el estudiante desarrolle, de manera progresiva, procesos matemáticos de mayor nivel de complejidad para poder resolverlas.

En el proyecto PISA (OCDE, 2003), se presentan tres componentes importantes que debe tener la tarea matemática que movilice competencias matemáticas en lo estudiantes: los contextos, que es el lugar donde se sitúa la tarea matemática. El contenido matemático, que es el conocimiento matemático que está presente en la tarea. Las competencias, asumidas como los procesos matemáticos que los estudiantes aplican en la resolución de las tareas.

Estos tres componentes son básicos para el diseño de las tareas matemáticas.

Debido a que los estudiantes aplican procesos matemáticos a medida que resuelven las tareas matemáticas, éstas deben aumentar su complejidad. Es por ello que se plantean tres niveles de complejidad de tareas matemáticas los cuales son (OCDE, 2003): Reproducción, son tareas que están diseñadas, como su nombre lo indica, para que el estudiante reproduzca el conocimiento adquirido. Conexión, las tareas que se encuentran en este nivel, tienen algo del nivel de reproducción, pero además incluye situaciones problema que tienen respuesta no rutinaria. Reflexión, las tareas que se encuentran en este nivel, les exige a los estudiantes crear estrategias de solución y aplicarlo en situaciones complejas.

Ramírez García y Lorenzo (2012) resaltan el papel que juegan las tareas matemáticas en la movilización de las competencias matemáticas, ya que por medio de éstas y dependiendo de su nivel de complejidad, los estudiantes colocan en práctica los procesos necesarios para su resolución. Al respecto menciona: “Las tareas, pues, se configuran como el elemento esencial para movilizar competencias, al tiempo que su empleo en el aula pueden contribuir al incremento de los niveles curriculares del alumnado” (Ramírez García & Lorenzo, 2012, pág.

7).

METODOLOGIA La metodología cualitativa estudia la realidad en su contexto natural, tal y como sucede, intentando sacar sentido de, o interpretar los fenómenos de acuerdo con los significados que tienen para las personas implicadas. La presente investigación es de enfoque cualitativo y centra su objeto de estudio en la movilización de los procesos asociados a la competencia matemática representar que realizan los estudiantes de grado noveno con respecto a la función lineal y afín por medio de tareas matemáticas contextualizadas y familiares para los estudiantes.

La investigación es realizada en cinco fases continuas, de sucesiva ampliación y profundización en las descripción e interpretación en la problemática de estudio. Estas fases son las siguientes: Fase 1: Construccion de los antecendentes, planteamiento del problema y justificación de la investigación, así como la construcción del marco conceptual con respecto a los procesos asociados a la competencia matemática representar, el diseño de tareas matemáticas y los modelos de caracterización de competencias matemáticas. Fase 2: Diseño

del instrumento de caracterización de los procesos de la competencia matemática representar en los estudiantes. Diseño y aplicación de dos tareas matemáticas iniciales a cada uno de los estudiantes. Fase 3: Aplicación de otras dos tareas matemáticas a los cuatro estudiantes, pero esta vez formandos en parejas para evidenciar como movilizan los procesos de la competencia matemática representar al negociar significados. Fase 4: Desarrollo de dos tareas no convencionales (no de lapiz y papel) por parejas, utilizando programas de simulación de gráficas para evidenciar la movilización de los procesos. Fase 5: Sistemaización y analisis de los datos recolectados en la fase dos, tres y cuatro para determinar la movilización de los procesos de la competencia matemática representar y que factores hacen que se produzcan estas movilizaciones en los estudiantes.

El trabajo de campo se realiza en una institución educativa del municipio de Florencia Caquetá: la Institución Educativa Ciudadela Siglo XXI de la ciudad de Florencia. Esta institución es de carácter urbana. La población con la que se va a trabajar en la investigación son estudiantes de grado noveno. La muestra escogida son cuatro estudiantes voluntarios de dicho grado de edades entre los 14 y 15 años de edad. El papel del investigador no sólo se limita al de observador, sino también al de investigador activo, permitiendo así interactuar y orientar las distintas cuestiones presentadas durante la etapa de recolección de datos.

La recolección de los datos es realizada en las fases dos, tres y cuatro y se obtuvieron a través de tres fuentes: observaciones directas, notas de campo (diario de los estudiantes y docentes) y videograbaciones.

El análisis de los datos recolectados se realiza teniendo en cuenta dos unidades de análisis: las representaciones producidas por los estudiantes en los documentos de trabajo y la interacción realizada por los estudiantes al trabajar en parejas. La primera unidad de análisis, las representaciones producidas por los estudiantes en los documentos de trabajo, se utiliza para el trabajo realizado en la fase dos donde los estudiantes realizan el trabajo de manera individual. Aquí se observa, además de las representaciones que realizan ellos, las maneras de construcción de dichas representaciones, el proceso que llevaron a cabo para realizarlas, los códigos que utilizaron y las relaciones con las representaciones. La segunda unidad de análisis, se utiliza para el trabajo realizado en las fases tres y cuatro, donde los estudiantes conforman parejas. Aquí se observa la negociación de las representaciones que realizan los estudiantes al resolver las tareas. Estas dos unidades permiten dar cuenta de cómo los estudiantes movilizan los procesos de la competencia matemática representar porque permiten ver el trabajo cuando el estudiante trabaja sólo y cuando negocia y comparte significados con los demás.

RESULTADO OBTENIDOS Los resultados presentados a continuación dan evidencia de la movilización presentada por los estudiantes al realizar las tareas matemáticas propuestas, a partir de un estado inicial.

 TAREA DIAGNOSTICA, Td: La tarea Td corresponde a una situación del consumo de una vela y consta de 6 ítems de distintos niveles de complejidad. Se realizó el análisis teniendo en cuenta la unidad de análisis uno y su correspondiente categoría y sub categorías de análisis. Los resultados encontrados en torno a las subcategorías de análisis se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 1. Nivel inicial en que se encuentran los estudiantes (casos) de acuerdo al modelo teórico.

PRIMERA UNIDAD DE ANÁLISIS: TRABAJO INDIVIDUAL T1.

La tarea 1 llamada “receta de galletas” hace referencia a una situación donde Ana quiere hornear galletas pero no sabe cómo colocar la temperatura del horno en escala de grados Celsius ya que el horno tiene la temperatura en escala Fahrenheit. Esta tarea se encuentra en el nivel de reproducción correspondiente a los niveles 0 y 1 y el proceso 1, P1, de la competencia matemática representar, según el modelo teórico. Se realizó el análisis teniendo en cuenta la unidad de análisis uno y su correspondiente categoría y sub categorías de análisis. Los resultados encontrados en torno a las subcategorías de análisis se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 1. Nivel en que se encuentran los estudiantes (casos) de acuerdo al modelo teórico, después de realizada la T1.

PRIMERA UNIDAD DE ANÁLISIS: TRABAJO INDIVIDUAL T2.

La tarea 2 llamada “llenado de tanques” hace referencia a una situación donde un tanque que tiene forma de paralelepípedo se coloca a llenar a una razón constate. Esta tarea se encuentra en el nivel de conexión correspondiente al nivel 2 y el proceso 2, P2, de la competencia matemática representar, según el modelo teórico. Se realizó el análisis teniendo en cuenta la unidad de análisis uno y su correspondiente categoría y sub categorías de análisis. Los resultados encontrados en torno a las subcategorías de análisis se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 3. Nivel en que se encuentran los estudiantes (casos) de acuerdo al modelo teórico, después de realizada la T2.

SEGUNDA UNIDAD DE ANÁLISIS: TRABAJO EN PAREJAS T3.

En esta segunda unidad de análisis se tiene en cuenta la negociación de significados al momento de construir representaciones entre las parejas de trabajo formados por los casos.

En esta unidad se van a tener en cuenta los trabajos hechos por las parejas al momento de realizar la tarea T3.

La tarea T3 trata de dos situaciones de leyes físicas llamadas la ley de Ohm y la ley de Hooke.

Estas situaciones se presentan con la ayuda del programa GeoGebra. Aquí las parejas tenían que seguir las indicaciones dadas para dar solución a la tarea. Esta tarea se encuentra en el nivel de reflexión correspondiente al nivel 3 y al tercer proceso, P3, de la competencia matemática representar, según el modelo teórico, aunque algunos ítems de la tarea están en el nivel de conexión. Se realizó el análisis teniendo en cuenta la unidad de análisis dos y su correspondiente categoría y sub categorías de análisis. Los resultados encontrados en torno a las subcategorías de análisis se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 2. Nivel en que se encuentran los estudiantes (casos) de acuerdo al modelo teórico, después de realizada la T3.

El análisis presentado las tablas anteriores evidencia la movilización de los procesos de la competencia matemática representar en los cuatro estudiantes que participaron en la investigación, a partir de las tareas propuestas, relacionadas con el objeto matemático función lineal. Se observa un aumento en la comprensión, utilización y construcción de representaciones a partir de la solución de situaciones en distintos contextos que llevan al estudiante a realizar procesos de construcción de representaciones de situaciones problema, traducción entre distintas representaciones y la justificación al momento de escoger la representación más adecuada para explicar una situación, ya que de situaciones contextualizadas los estudiantes ponen en manifiesto los conocimientos adquiridos y a partir de ellas construyen nuevos conocimientos (Ramos & Font, 2006).

CONCLUSIONES. Una vez terminada la investigación, se presentan algunas conclusiones con respecto a los aspectos principales de la misma, como: al marco conceptual, el diseño de tareas para movilizar los PACMR y la misma propuesta. A continuación se presentan dichas conclusiones.

Con respecto al diseño de tareas matemáticas, esta investigación da evidencia sobre la importancia de diseñar tareas que tengan situaciones conocidas para los estudiantes. Estas tareas también deben tener un nivel creciente de complejidad para que exija a los estudiantes movilizar procesos de las competencias matemáticas, en este caso la competencia matemática representar. Pero estas tareas deben tener en cuenta el nivel inicial en que se encuentran los estudiantes, ya que si los estudiantes se encuentran en un nivel básico y van a desarrollar tareas de nivel superior difícilmente podrán resolverlas. Por tal motivo, se hace necesario primero indagar sobre el nivel inicial de los estudiantes antes de implementar cualquier

propuesta llámese secuencia, tareas, actividades, para no ocasionar un efecto contrario a lo que se pretende lograr.

Referente a la propuesta diseñada, se corrobora que el diseño de este tipo de propuestas permite que los estudiantes avancen en el camino de movilización de procesos que conllevan a la construcción de significados y a la comprensión de situaciones extra matemáticas que exigen un mayor análisis y justificaciones por parte de los estudiantes.

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La vinculación de applets java como estrategia para el fortalecimiento del aprendizaje significativo de la función lineal Esp. Yeison Andrés Váquiro Plazas1 Mg. Díber Albeiro Váquiro Plazas2 Resumen La investigación se desarrolla como parte de una revisión bibliográfica referida al uso de las nuevas tecnologías, específicamente la utilización de los llamados Applets Java, para el desarrollo de una clase sobre el concepto de la Función Lineal, que busca no solo lograr un aprendizaje significativo en los estudiantes a partir del planteamiento y solución de problemas, sino también evaluar su implementación, comparado con el enfoque tradicional con el que se ha venido trabajando este objeto matemático en los estudiantes que toman el curso Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica en la UNAD Zona Sur. Palabras Clave: Aprendizaje Significativo, Aprendizaje Autónomo, Resolución de Problemas, Applets Java, Función Lineal 1. Introducción Desde la teoría constructivista para el aprendizaje autónomo mediado por las nuevas tecnologías y a partir del enfoque de resolución de problemas, se pretende generar ésta propuesta que muestra la construcción de una alternativa como posible solución a la cuestión planteada ¿Cómo lograr un Aprendizaje Significativo desde un aprendizaje autónomo a partir de la resolución de problemas, del concepto Función Lineal en los estudiantes del curso Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica de la UNAD Zona Sur, utilizando Applets Java? Promoviendo así el uso de las nuevas tecnologías de la información y las comunicaciones.

El interés que presentan los estudiantes frente a las prácticas virtuales hace que los resultados obtenidos se reflejen de manera eficaz, pues la reducción del tiempo durante la toma de datos y el aprovechamiento del tiempo restante durante la práctica, hace que la reproducción de los eventos realizados, lleven a la conceptualización de los temas de manera más ágil y amena. Hay que resaltar que el uso de applets permite el desarrollo de un mejor aprendizaje, haciéndose más interactivo, con relación a la enseñanza tradicional y de esta manera conseguir una motivación por parte del estudiante para que desarrolle libremente sus capacidades y métodos de estudio de las matemáticas.

2. Planteamiento del problema La investigación se desarrolla como parte de una revisión bibliográfica referida al uso de las nuevas tecnologías, específicamente la utilización y construcción de los llamados Applets Java, para el desarrollo de una clase sobre el concepto de la Función Lineal, que busca no solo lograr un aprendizaje significativo en los estudiantes a partir del planteamiento y solución de problemas, sino también evaluar su implementación, comparado con el enfoque tradicional con el que se ha venido trabajando este objeto matemático en los estudiantes que toman el curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica en la UNAD Zona Sur. La herramienta tecnológica que se utilizará, son los llamados Applets de Java, que permite a través del ordenador mostrar aplicaciones animadas y gráficas de todo tipo. El tema de la Función Lineal 1Docente

Ocasional MT. Universidad Nacional Abierta y a Distancia-UNAD, Florencia-Colombia. Contacto: yeison.vaquiro@unad.edu.co 2 Docente Ocasional TC. Universidad Nacional Abierta y a Distancia-UNAD, Florencia-Colombia. Contacto: diber.vaquiro@unad.edu.co

será abordado inicialmente con situaciones problema, posteriormente las mismas situaciones problema se llevarán a cabo con los applets.

Lo anterior tiene en cuenta también algunos de los siguientes problemas según Díaz (1997) que se pueden presentar en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática, en el marco de la competencia del profesor de Matemáticas: ¿Están aptos todos los estudiantes para, potencialmente, aprender el contenido matemático? ¿Qué papel juega el profesor en lograr el aprendizaje de dicho contenido teniendo en cuenta tales potencialidades? ¿Solamente el profesor logra que aprendan aquellos estudiantes con potencialidades para aprender y en los otros casos no se logra el aprendizaje aunque el profesor sea competente?

Ahora bien, el cómo saber llegar al estudiante, brindándoles los elementos adecuados para que sea autor de su propio conocimiento, que sepa identificar dentro de una situación de su cotidianidad, los diferentes procesos físicos-matemáticos que se pueden presentar, y con ello el desarrollo de alternativas para la solución de situaciones problemáticas, a partir habilidades como la de aprender a pensar y resolver problemas.

Es en nuestras aulas de clase donde se debe fomentar una enseñanza en la que el estudiante analice situaciones cotidianas, con las cuales vive, pero para ello se requiere que el docente tome una actitud diferente a la de reproducir contenidos de libros y piense cómo se pueden aplicar al entorno con el cual se está en permanente contacto, siendo por lo menos lo más aproximado posible. Por ello, el uso de material virtual para el desarrollo de clases en la educación matemática es importante, porque puede en cierta medida lograr una dinamización del aprendizaje y motivación en los estudiantes.

Sin embargo, con esto no se quiere decir que el uso de las nuevas tecnologías por si solas mejoren en forma automática los procesos de enseñanza-aprendizaje en los estudiantes, ni los prepare mejor para enfrentar las diferentes situaciones problemáticas que se presenten en un mundo como el actual. No, por el contrario sin un correcto enfoque didáctico-pedagógico adecuado, estas nuevas tecnologías podrían quedarse cortas en la construcción de conocimiento y por ende del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Se debe tener en cuenta que ambos ambientes, el trabajo tradicional de aula así como el uso de material virtual para el desarrollo de la clase son complementarios.

Se pretende con el siguiente trabajo generar una alternativa de solución a la cuestión planteada ¿Cómo lograr un Aprendizaje Significativo desde un aprendizaje autónomo, del concepto Función Lineal en los estudiantes del curso Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica de la UNAD Zona Sur, utilizando Applets Java?

3. Impacto esperado Con el presente trabajo se pretende impactar de manera positiva tanto a estudiantes como a docentes.

En los estudiantes, se espera que alcancen un aprendizaje significativo, según las competencias requeridas de acuerdo con su programa de estudio, alcanzando con ello un óptimo desempeño en su vida académica, teniendo en cuenta que los estudiantes Unadistas, en su gran mayoría son personas de estratos 1 y 2, quienes viven en lugares alejados y de difícil acceso. De igual manera, se resalta el hecho de que por ser la Zona Sur de la UNAD, se beneficiarán estudiantes de ciudades como San Vicente del Caguán, Florencia, Pitalito, Neiva e Ibagué, así como de veredas y municipios aledaños a cada una de las ciudades mencionadas anteriormente.

En los docentes, se espera que la anterior propuesta despierte el interés por generar nuevas formas para el quehacer docente, así como el uso de herramientas tecnológicas que facilitan los procesos

de enseñanza-aprendizaje. De igual manera, se espera que los applets java, sean incorporados en cada curso del componente de matemática o de Ciencias Básicas para la mejora continua del aprendizaje en los estudiantes.

La implementación de applets java para el proceso de enseñanza-aprendizaje de conceptos matemáticos que propone el presente trabajo mejoraría de manera positiva los aspectos curriculares y didácticos en la forma como se presentan los contenidos académicos de los cursos del componente de Ciencias Básicas de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. 4. Objetivos 4.1 Objetivo General Implementar los Applets Java, para el estudio, análisis y aprendizaje del concepto Función Lineal, en los estudiantes que toman el curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica de la UNAD Zona Sur. 4.2 Objetivo Especifico Identificar las dificultades que poseen los estudiantes que toman el curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica de la UNAD Zona Sur, para la comprensión del concepto Función Lineal, a partir Situaciones Problema.

Discutir los conceptos básicos a través de videoclips e implementar el Applets Java, para la comprensión del concepto Función Lineal, como estrategia para dinamizar su aprendizaje a través del enfoque de resolución de problemas.

Generar los applets necesarios que sirvan de apoyo para el proceso de aprendizaje de la Función Lineal, para los estudiantes de la UNAD. Evaluar la Implementación de los Applets Java, a través de un instrumento tipo cuestionario que evidencie el aprendizaje significativo adquirido por el estudiante.

5. Usuarios directos e indirectos potenciales de los resultados del proyecto de tesis Como usuarios directos de los resultados del proyecto se tiene a los estudiantes Unadistas, quienes en su gran mayoría son personas de estratos 1 y 2, que viven en lugares alejados y de difícil acceso.

Se resalta el hecho de que por ser la Zona Sur de la UNAD, se beneficiarán estudiantes de ciudades como San Vicente del Caguán, Florencia, Pitalito, Neiva e Ibagué, así como de veredas y municipios aledaños a cada una de las ciudades mencionadas anteriormente.

De igual manera se beneficiarían de manera directa a los docentes y tutores, ya que el presente trabajo sirve como estrategia para ser aplicada en sus clases.

De manera indirecta, se estarían beneficiando estudiantes y docentes, de otras instituciones educativas, tanto de nivel básico, secundario y medio como de nivel superior, ya que los temas que se abordan son de matemáticas básicas, conocimientos esenciales en la vida académica de cualquier persona. Por ser de java, dichos applets se pueden vincular a un blog o sitio web, y hacerlo público para cualquier persona que desee actualizar sus conocimientos en matemáticas de una manera dinámica e interactiva.

6. Marco teórico y estado del arte A continuación se presentan algunas ideas de los desarrollos que se vienen dando en Latinoamérica y el mundo en lo referente a la enseñanza de las matemáticas, en especial los casos en los que están involucradas las Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación; de igual manera,

se hace una breve presentación a cerca del enfoque de resolución de problemas para la enseñanza y aprendizaje, el cual sirve de base para el desarrollo de esta propuesta.

Ubicación Conceptual La enseñanza de las ciencias en Colombia genera grandes preocupaciones en torno a los “procesos de aprendizaje, las relaciones entre el pensamiento científico y el pensamiento común, la estructura de las teorías, las relaciones que existen entre las prácticas escolares y el pensamiento de los maestros”. Estas son ideas expuestas para que como docentes se reflexione en el quehacer en las clases de matemáticas, biología, física y cualquier otra ciencia, frente a la actitud de muchos maestros a la hora de abordar la enseñanza de éstas áreas.

Algo que sirve como proceso de reflexión para todos es el hecho de que “el ambiente que predomina en las clases y en los currículos es el de presentar como ciencia los resultados que otros obtuvieron en otros tiempos y condiciones para problemas que no son nuestros, no el de enseñar a resolver problemas”. Con el ánimo de romper con paradigmas de este tipo se presenta la siguiente propuesta, la cual permite mostrar una enseñanza de las matemáticas enmarcada en el análisis de situaciones cotidianas, puesto que “aprender ciencia no es solo adquirir un conocimiento nuevo, sino cambiar la forma de concebir el mundo, reorganizar nuestras intuiciones y creencias primordiales…” (Gómez, 2006) Esto conlleva entonces a cuestionarnos cómo abordar el proceso de enseñanza de las matemáticas, y sobre todo el método a seguir para que en el estudiante se logre un aprendizaje que le permita realizar aplicación de lo aprendido en la solución de problemas con los cuales se puede enfrentar en su diario vivir. Hoy se requiere “una educación de mayor calidad para hacer frente a unas exigencias económicas y sociales cada vez más cambiantes y complejas para que los que terminen la escuela puedan estar a la altura de las necesidades del mercado laboral y de una ciudadanía democrática, donde se requieren competencias cada vez más amplias” (citado por García, 1998 de Stuart M. y Davies P. Aprender a Pensar, Pensar a Aprender. Editorial Gedisa. Barcelona, España 1994.)

La teoría de resolución de problemas es un método didáctico que enfrenta al estudiante con la realidad por medio de situaciones cotidianas, con el fin de que comprenda algunos heurísticos que lo ayuden a tomar decisiones en situaciones similares que se le puedan presentar en su vida profesional. Este método es de gran importancia para el estudiante en su desempeño social, pues mejora sus capacidades para asumir riesgos, para analizar posibles soluciones y elegir las más adecuadas y analizar las consecuencias de estas capacidades que permiten el desarrollo de sus habilidades de abstracción, análisis y creatividad, que le facilitan su vida en sociedad.

Método basado sobre el paradigma de enseñar a pensar como el expuesto por Nickerson, Perkin y Esith, contempla cinco enfoques principales:  

  

Operaciones Cognitivas, el cual consiste en el diseñar estrategias y prácticas específicas que faciliten la implementación y el refuerzo de estos procesos básicos (comparación, clasificación, inferencia) por parte del individuo.

Orientación heurística, enfoque en el que se supone la existencia ya en las mentes de los individuos de las capacidades básicas de las que se ocupa el enfoque de operaciones cognitivas, y se centra en la habilidad para pensar y transferir heurísticos hacia diversas situaciones problema.

Pensamiento formal, desarrollado por Piaget, y centrado en posibilitar el paso del alumno desde el pensamiento concreto al pensamiento formal; esto a través de tres fases como, la de exploración, la de invención y la de aplicación.

El enfoque del pensamiento por medio del lenguaje y la manipulación de símbolos, basado en la visión de Vigotsky, donde se establece la relación entre lenguaje, pensamiento y acción.

El enfoque de pensar sobre el pensamiento, donde se han desarrollado programas con el objeto que el individuo reconozca y regule sus propios procesos cognitivos, entre los que se

destacan el programa Matew Lipman con contenidos de tipo filosófico como imparcialidad, objetividad, coherencia y comprensión. Programa como el desarrollado por Tolumin, Rieke y Janik, donde se considera que el individuo piensa a través de la elaboración de argumentos, la afirmación y la refutación. También se encuentra dentro de este enfoque la metacognición, donde se supone que conocer acerca de las capacidades y limitaciones propias puede ayudar a mejorar el desempeño cognitivo de los individuos.

Ubicación Didáctica – Cognitiva En cuanto a lo cognitivo, el estudiante permanentemente se encuentra confrontado a situaciones de diferente nivel de complejidad para la búsqueda de soluciones. En el estudio de las matemáticas también sucede de igual manera, y en enfoques como el de resolución de problemas se plantea que las habilidades cognitivas que el estudiante debe aplicar son: El análisis, la síntesis, la transferencia de conocimiento y la creatividad.

Herramienta a Utilizar – Applets Java Un applet es un pequeño programa, normalmente interactivo, que se ejecuta en una página web, en la que aparece como una parte más de la misma. Una vez cargado actúa rápida y perfectamente sin más dilación y es compatible con todos los sistemas, por lo que su uso se ha generalizado.

Escritos en el lenguaje de programación Java creado por la empresa Sun Microsystem son usados no sólo por programadores que dominan este lenguaje, sino también por diseñadores o usuarios que pueden incluir en sus páginas applets, personalizados o no, sin más que copiar y pegar unas líneas de código al realizar su sitio web. El lenguaje Java es compatible con todos los sistemas y se utiliza en diversas plataformas.

Los applets se usan en los sitios web para dinamizar la navegación, animar imágenes o menús, controlar marcos o capas, introducir banners, incluir formularios, crear juegos... y, por su puesto, para realizar aplicaciones educativas.

Posibilidades de los Applets En el ámbito de las Matemáticas se está conformando un estilo de páginas web que combinan applets con explicaciones y cuestiones a resolver con diversas aplicaciones que podríamos clasificar en tres niveles: Nivel 1. Ilustrar conceptos. Comprobar propiedades Nivel 2. Calcular, operar, comparar Nivel 3. Programar, resolver cuestiones y problemas 7. Metodología propuesta    

Tipo de Investigación: es de tipo descriptivo (se analiza una situación problema, que arrojará resultados, con respecto a un objeto matemático).

Nivel de Conocimiento: Comprensivo Enfoque: Constructivista Paradigma de la investigación: Mixto

El trabajo se desarrollará a través de siguientes fases que permitirán el cumplimiento de los objetivos propuestos anteriormente, se trabajará con el grupo que toma el curso Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica de la UNAD Zona Sur, en la ciudad de Florencia Caquetá, el cual será divido en tres grandes grupos, cada uno aproximadamente de 35 estudiantes, los cuales a su vez serán distribuidos en pequeños equipos de trabajo colaborativo, con integrantes de máximo 5 estudiantes.

Las siguientes son las fases para el desarrollo de la investigación a realizar: FASE UNO: Definición de la Población y muestra  



 

Población: Son los estudiantes que toman el curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica en la UNAD Zona Sur. Muestra: Se eligen 105 estudiantes, debido a que son los estudiantes que toman el curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica en la UNAD Zona Sur, los cuales serán distribuidos en 3 grupos de 35 personas, y a su vez serán divididos en pequeños grupos colaborativos de máximo 5 estudiantes.

Características de los participantes: Estudiantes de la UNAD Zona Sur, en edades que oscilan entre los 17 a los 40 años, pertenecientes a varias escuelas, como Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería, Ciencias Agrarias, Pecuarias y de Medio Ambiente y Ciencias Sociales, Artes y Humanidades.

Instrumentos a utilizar para recolectar la información: Cuestionario con situaciones problemas contextualizadas.

Programas a ser utilizados para sistematizar la información: Se utilizará la hoja de cálculo de Excel como herramienta para organizar y sistematizar la información que se capture.

FASE DOS: Diagnosticando el Grado de Dificultad sobre el concepto de Función Lineal.

En esta fase se pretende diseñar, construir y aplicar una batería que consta de situaciones problemas referidas a la Función Lineal, las cuales irán enfocadas con el fin de identificar los conocimientos previos y el grado de dificultad que cada uno de los estudiantes que toman el curso Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica de la UNAD Zona sur, posee con respecto a la temática en cuestión. De igual manera, en esta fase se presentará a los estudiantes explicaciones a través de videoclips sobre los temas a tratar.

A continuación se presenta una caracterización de lo que cada situación problema permitirá identificar en el estudiante: La situación Problema 1 del cuestionario, permitirá identificar en el estudiante, su nivel de comprensión del problema, y de interpretación, además, permitirá reconocer si posee habilidad para graficar el tipo de función respectivo y modelado de la función a través de su expresión algebraica.

La situación Problema 2 del cuestionario, permitirá identificar en el estudiante, la habilidad para comprender el problema y de solucionarlo correctamente, a través de la interpretación algebraica de la función.

La situación Problema 3 del cuestionario, permitirá identificar en el estudiante, la habilidad para identificar y argumentar nuevos conceptos que hacen parte de la Función Lineal, como lo son, la pendiente de la recta y los interceptos, además de permitir el reconocimiento de la función desde la interpretación de una tabla de datos y posterior representación gráfica.

La situación Problema 4 del cuestionario, permitirá identificar en el estudiante, la habilidad para interpretar la función desde su representación gráfica, para luego llevarla a una representación tabular, y algebraica. Identificando y fortaleciendo otros conceptos como pendiente, par de puntos, e interceptos.

FASE TRES: Diseñando y Construyendo Applets Java.

Una vez analizados los resultados obtenidos y teniendo en cuenta las dificultades encontradas en la fase anterior, se procederá con el diseño y la construcción de un Applets Java, que permita el estudio, análisis y aprendizaje del concepto de La Función Lineal.

FASE CUATRO: Evaluando y Comparando Resultados.

Una vez llevada a cabo la experiencia, se aplicará la misma batería de preguntas que se aplicó en la fase uno, se diseñará un cuadro comparativo que muestre lo obtenido con respecto al trabajo realizado con el Applets Java y la metodología Tradicional, donde de manera detallada se evidenciarán por respuesta a los problemas propuestos, los logros que se obtuvieron.

En esta fase se pretende reunir los resultados obtenidos en cada una de las fases anteriores para dar respuesta a la cuestión planteada ¿Cómo lograr un Aprendizaje Significativo desde un aprendizaje autónomo a partir de la resolución de problemas, del concepto Función Lineal en los estudiantes del curso Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica de la UNAD Zona Sur, utilizando Applets Java?

FASE CINCO: De Socialización.

En ésta última fase se socializará y argumentará ante la comunidad educativa los resultados de la investigación, además se dará sustentación respectiva, pretendiendo con ello presentar a una revista indexada, los resultados de la investigación llevada a cabo.

8. Resultados esperados 

Identificar en el estudiante, un nivel óptimo para la comprensión e interpretación de situaciones problema, reconociendo habilidades a través de la representación de funciones desde la gráfica, la tabla y la expresión algebraica



El uso de los Applets Java como apoyo en los procesos de enseñanza-aprendizaje del concepto de función.



Se espera que existan dificultades cognitivas para la solución de las situaciones problemas por parte de los estudiantes.



Se espera que al comparar la implementación de los Applets Java con la metodología tradicional rompa con los esquemas que se llevan a cabo con una clase Magistral, evidenciando que las TIC son excelentes herramientas para apoyar los procesos de enseñanza-aprendizaje.



Se espera lograr un Aprendizaje Significativo desde un aprendizaje autónomo a partir de la resolución de problemas, del concepto Función Lineal en los estudiantes del curso Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica de la UNAD CEAD Florencia, utilizando Applets Java.

9. Cronograma de actividades Cronogram a de actividades ETAPAS

PRIMER MES

SEGUNDO TERCER MES MES

Definición de la Población y X X X X X X X X muestra Diagnosticand o el Grado de FASE Dificultad X X X X DOS sobre el concepto de Función Lineal Diseñando y FASE Construyendo TRES Applets Java Evaluando y FASE Comparando CUATRO Resultados FASE De CINCO Socialización

CUARTO MES

QUINTO MES

SEXTO MES

FASE UNO

X X X

X X X X

X X X X

10. Consideraciones adicionales Los Applets de Java, permite a través del ordenador mostrar aplicaciones animadas y gráficas de todo tipo.

El tema de la Función Lineal será abordado inicialmente con situaciones problema, y videoclips explicativos, posteriormente las mismas situaciones problema se llevarán a cabo con los applets.

Existen dificultades para la utilización de applets java, debido a que algunos estudiantes carecen de conocimientos referentes al manejo de software para graficar y simular funciones, sin embargo, para evitar dichas dificultades se proponen cortos videoclips que brinden la instrucción suficiente para el uso del applets.

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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS: UN EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL ANÁLISIS DIDÁCTICO EN LA FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES

Elizabeth Hurtado Martínez e.hurtado@udla.edu.co Mauro Ochoa Correa m.ochoa@udla.edu.co Juan Alexander Triviño Quiceno j.trivino@udla.edu.co Docentes Investigadores Colectivo de Investigadores en Educación Matemática - CIEM Licenciatura en Matemáticas y Física Facultad Ciencias de la Educación Universidad de la Amazonia

Resumen La presente ponencia se estructura a partir de la experiencia que se vive con estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas y Física de la Facultad de Ciencia de la Educación de la Universidad de la Amazonia en Florencia Caquetá, Colombia, en el marco de los procesos de la Práctica de Formación Profesional Docente (PFPD) al interactuar con niños y niñas de grado octavo de la Institución Educativa Técnico Industrial en el año 2015. En este contexto, los estudiantes del séptimo semestre de la licenciatura en mención, orientaron su práctica docente-investigativa a aportar al mejoramiento de la comprensión de los casos de factorización y conocimientos sobre los polinomios algebraicos en estudiantes de grado octavo a partir del diseño, gestión y evaluación de una unidad didáctica sustentada desde el análisis didáctico. En este documento se hace una breve síntesis de sus resultados.

El Contexto de la PFPD en la Universidad de la Amazonia.

La PFPD en la Universidad de la Amazonia, son asumidas según sus lineamientos generales, como: “…un proceso formativo, teórico y práctico, que está intencionalmente orientado a la formación pedagógica de los futuros maestros”, (Universidad de la Amazonia, 2011, p. 2), se realiza desde el primero hasta el último semestre académico, en procura de desarrollar en los estudiantes competencias de desempeño profesional en el campo pedagógico-didáctico, en investigación y en lo político-administrativo. Particularmente, la PFPD se orienta a: a) “Generar espacios de reflexión y acción pedagógica y didáctica, a través de estrategias de investigación formativa, fundamentadas en la relación teórico-práctica construida desde las diferentes disciplinas del currículo. b) Contribuir a formar profesores que comprendan el papel que juegan en la orientación de las nuevas generaciones para construir un proyecto de nación.

c) Aportar elementos que contribuyan a la formación integral del futuro profesor en su ser, hacer, conocer y convivir. d) Desarrollar procesos investigativos que le permitan al profesor en formación caracterizar, problematizar y proyectar alternativas de intervención pedagógica para contribuir a mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje en contexto educativos específicos. e) Propiciar el reconocimiento e intervención de la problemática en el aula e identificar aspectos específicos de la enseñanza de cada disciplina, en el marco del proyecto educativo institucional”.

(Universidad de la Amazonia, 2011, p. 2-3).

La PFPD se estructura en tres fases: De Caracterización, De Problematización y De Proyección. En el momento de proyección, los profesores en formación adelantan experiencias de docencia e investigación mediante el diseño, gestión y evaluación en el aula de tareas de aprendizaje que permitan identificar las competencias y capacidades que se logran alcanzar en los escolares al realizar dichas tareas y valorar la eficacia de la tarea.

En este contexto, los estudiantes del séptimo semestre de la licenciatura en Matemáticas y Física, sustentaron sus procesos de práctica docente-investigativa desde el análisis didáctico tomando como tema de interés los casos de factorización de polinomios algebraicos en estudiantes de grado octavo.

Marco conceptual El análisis didáctico es “un procedimiento cíclico que describe cómo el profesor debería idealmente diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje”, (Gómez, 2007, p. 30). Este se estructura en cuatro tipos de análisis: de contenido, cognitivo, de instrucción y de actuación.

De acuerdo a lo planteado por Gómez (2007), el análisis de contenido, se refiere a la descripción ideal del conocimiento disciplinar del profesor sobre el objeto matemático: Su estructura conceptual, su fenomenología, sus diferentes sistemas de representación y su modelización. El análisis cognitivo, se orienta al reconocimiento de los procesos de aprendizaje del objeto matemático, sus errores y dificultades, los objetivos de aprendizaje, las competencias a desarrollar en los estudiantes, las capacidades y los posibles caminos de aprendizaje. El análisis de la instrucción hace referencia a las acciones del profesor para diseñar tareas matemáticas, recursos y materiales didácticos para ser implementados en el aula.

Finalmente, el análisis de la actuación, se refiere a la acción de los profesores en el aula al gestionar las tareas, el aprendizaje de los estudiantes y los procesos de evaluación.

La PFPD de los estudiantes se centró en el objeto matemático “Factorización de Polinomios”, el cual es un tema que ha ocupado el interés de los desarrollos curriculares de los profesores de grado octavo, en el marco del estándar curricular “Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada” (Ministerio de Educación Nacional, 2006, p. 87) y de investigaciones que identifican las posibles dificultades que se presentan en el aprendizaje, como la de Morales y

Sepúlveda (2006). Estos autores, citados por Rubio (2013), afirman que dos posibles causas asociadas a estas dificultades son:  “Porque el reconocimiento del tipo de expresión algebraica ya implica dificultades asociadas con la utilización de números, letras y signos de operación para conformarlas, así como por la noción de variable.  Porque aun conociendo los diferentes métodos no saben cuál de ellos utilizar en un determinado momento”. (p. 17).

Complementando estos planteamientos, Socas (1989), citado por Rubio (2013), registra “cuatro tópicos de dificultades […] en los cursos de álgebra: 1) Dificultades debidas a la naturaleza del tema algebraico dentro del contexto de las matemáticas.

2) Dificultades que surgen de los procesos del desarrollo cognitivo de los alumnos y de la estructura y organización de sus experiencias.

3) Dificultades atribuibles a la naturaleza .del currículo, a la organización de las lecciones y a los métodos de enseñanza usados.

4) Dificultades debidas a actitudes afectivas y no racionales hacia el álgebra”. (p. 17).

Los planteamientos anteriores sustentan la necesidad de generar procesos de aula que trasciendan el aprendizaje mecánico de los casos de factorización y aporten algunos elementos que ayuden a resolver estas dificultades. En esta perspectiva, el proceso de PFPD de la licenciatura, se sustenta en los siguientes propósitos particulares:  Identificar la estructura conceptual, los sistemas de representación y la Fenomenología del concepto factorización de polinomios algebraicos a partir del análisis de contenido como fuente de información relevante para el diseño de una unidad didáctica.  Definir los objetivos de aprendizaje, las capacidades y las competencias matemáticas que se esperan alcanzar en el aprendizaje de factorización de polinomios algebraicos a partir del análisis cognitivo.  Diseñar unidad didáctica que contenga tareas matemáticas, recursos y material didáctico necesario para fortalecer la comprensión de factorización de polinomios algebraicos e identificar los caminos de aprendizaje a partir del análisis de la Instrucción.  Gestionar en el aula de matemáticas las tareas matemáticas que sustentan la unidad didáctica.  Sistematizar el impacto logrado en el aprendizaje de los escolares en torno al concepto factorización de polinomios algebraicos a través del análisis de la actuación.

Resultados A continuación se relacionan algunos resultados del proceso desarrollado en torno al análisis didáctico realizado sobre el tema matemático “Factorización de polinomios”.

Análisis de contenido. Colectivamente, con los estudiantes de la licenciatura se elaboró la estructura conceptual que se muestra en la siguiente figura. Ella se conformó por cinco subestructuras asociadas a: conocimientos previos (S1), concepto de factorización (S2), casos de factorización (S3), sistemas de representación (S4) y fenomenología (S5).

Figura No. 1 Mapa conceptual referido a la factorización de polinomios

S1

S2

S3

S4

S5

Análisis cognitivo. Se definieron los objetivos de aprendizaje y las capacidades que desarrollarían los estudiantes, asociados a competencias particulares, tomando como referente las competencias definidas por PISA (2012). Un ejemplo de estas capacidades y competencias son las que se registran a continuación para dos objetivos de aprendizaje que se han tomado como ejemplo de lo construido.

Tabla No. 1 “Objetivos de aprendizaje, capacidades y competencias asociadas a la factorización de polinomios” Objetivo de aprendizaje No. 1 Elaborar el concepto de factorización a partir de la representación de un término como el producto de factores utilizando las fichas Competencias N° Capacidades C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

Encuentra el producto de dos números Identifica todos los posibles factores de un número compuesto Identifica el significado de la ley de los signos en la descomposición factorial de un número Encuentra el producto de expresiones literales Identifica todos los posibles factores de expresiones literales Representa un término como el producto de factores primos Identifica diferentes formas de expresar un término como el producto de dos factores Identifica el factor faltante en un producto dado equivalente para que este sea equivalente a la expresión algebraica dada

PR

AJ

x

C

RP

x

R

x

x

x

x x

x

LS

x

M

x

x

x

x x

x

x x x

x x

x x

Objetivo de aprendizaje No. 2 Deducir el procedimiento para factorizar polinomios que tiene factor común Competencias N° Capacidades A L PR C RP R J S Identifica todos los posibles arreglos rectangulares con C1 x x las condiciones dadas Establece regularidades al hacer los arreglos C2 x x rectangulares Representa gráficamente cada área dada en C3 x x representación algebraica C4 Identifica las dimensiones de cada arreglo rectangular x x x Establece relaciones entre las dimensiones del arreglo C5 x x rectangular y el área del rectángulo Deduce la forma de factorizar una expresión algebraica C6 x que posee factor común Comunica el procedimiento para factorizar una C7 x expresión algebraica que posee factor común Demuestra habilidad en la técnica para factorizar C8 x expresiones algebraicas que poseen factor común PR: Pensar y Razonar; AJ: Argumentar y justificar; C: Comunicar; RP: Resolver problemas; R: Representar; LS: Lenguaje simbólico y M: Modelizar

M

x x x

Análisis de instrucción. Se diseñaron tareas de diagnóstico, de aprendizaje y de evaluación. A manera de ilustración se presenta la tarea diagnóstica con la finalidad

de identificar los conocimientos previos de los estudiantes y una tarea de aprendizaje asociada al objetivo de aprendizaje No. 2.

Tarea diagnóstica: Actividad Uno: Ayuda a Don Carlos a: Don Carlos proyecta construir un parqueadero en la ciudad de Florencia. Para ello dispone de un terreno rectangular que piensa dividir en tres secciones: Una para el área administrativa, otra para parqueo de motos y la otra para parqueo de vehículos, con las dimensiones que se muestran en la figura.

Figura No.2 El parqueadero de Don Carlos

X

X

PARQUEO DE MOTOS

3

ADMINISTRACIÓ N

X-3 PARQUEO DE VEHICULOS

a. Determinar la expresión algebraica que representa el perímetro del terreno. b. El área de cada zona en que se ha dividido el terreno. c. El área de todo el terreno rectangular. d. El perímetro del terreno si el valor de X se duplica. e. El área de la zona para parqueo de motos si el valor de X se reduce a la mitad. f. El área de la zona de parqueo de vehículos si el valor de X se aumenta en 6 unidades.

Actividad Dos: En la “Sala de Espera” que se piensa construir en la zona de Administración, se tiene proyectado colocar un pedestal de volumen -3X + 2X2 – 2 y de altura 2X + 1, para ubicar un busto del abuelo de Don Carlos, tal como muestra la figura. Ayuda a Don Carlos a calcular el área del pedestal sobre la cual se colocará el busto.

Figura No.3 Pedestal para el busto del abuelo de Don Carlos

Nota: Recuerda que el volumen del pedestal se obtiene con el producto del área de la base por su altura.

Actividad 3: Un estudiante de grado octavo le dijo a Don Carlos que el volumen del pedestal debería ser 3X2 + 5X - 22 y que la altura debería estar dada por X - 2, y le ayudó a calcular el área de la base utilizando división sintética. Don Carlos guardó la hoja en la que se había realizado la división sintética en uno de sus bolsillos, pero de camino a su casa lloviznó y al sacar la hoja para guardarla en su billetera, le alcanzaron a caer algunas gotas de agua y varios números se alcanzaron a borrar, tal como se muestra en la figura. Ayúdalo a completar la

división. Para facilitarte el trabajo, hemos colocado un círculo en el que se borraron números.

Tarea de aprendizaje No. 1. “Vitrales algebraicos” Como ya se manifestó, esta tarea tiene como objetivo de aprendizaje “deducir el procedimiento para factorizar polinomios que tienen factor común”, para lo cual se utilizarán fichas de diferente color recortadas en foamy.

Problema a resolver: En una iglesia se dispone de una ventana rectangular en la que se piensan ubicar vitrales en forma de rompecabezas. Los vitrales a utilizar tienen las siguientes dimensiones:

a

a

a

a

b

b 1

b b

1

1

1

Actividad 1: En la siguiente tabla se registra la expresión algebraica que representa el área que deben tener los vitrales a ubicar en la ventana. Utilizando los vitrales que consideres necesarios, arma el conjunto de vitarles a utilizar en la ventana y completa la tabla. ÁREA DADA

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA DE:

LA BASE

LA ALTURA

BASE x ALTURA

a2 + a a2 + 2ª 2a2 + 4ª 2a2 +4ab + 8 5ab + 10b 6b2 – 4b 2a2 +3ab+4b2

Actividad 2: Utilizando los vitrales que consideres necesarios forma rectángulos que tengan la base dada en la siguiente tabla y completa los datos solicitados BASE 2a 3b a+1 a+b

RECTÁNGULO FORMADO

ALTURA

BASE x ALTURA

2b + 1 a+b+2

Finalmente, como producto de la gestión de las tareas y a manera de conclusión, en correspondencia con lo planteado por Gómez (2006), sobre el análisis de actuación, se evidencia que en torno al análisis didáctico los estudiantes en formación desarrollaron habilidades para: Indagar, seleccionar y organizar la información relativa al tema matemático sobre el cual se va a planificar la clase, reconocer los diferentes significados del concepto matemático y poder tomar decisiones sobre los que considere relevantes para las particularidades del contexto escolar en el que gestionará las tareas, reconocer los posibles errores y dificultades que presentarán los estudiantes cuando aprenden el concepto matemático, tomar decisiones sobre las competencias y capacidades a desarrollar en los estudiantes, prever los caminos de aprendizaje que se activarán al desarrollar las tareas de aprendizaje, seleccionar, diseñar y evaluar tareas de aprendizaje, gestionar y evaluar las tareas diseñadas y valorar el aprendizaje de los estudiantes.

REFERENCIAS Gómez, P. (2006). El análisis Didáctico en la Formación Inicial de Profesores de Matemáticas de Secundaria. Universidad de Granada. Descargado el 15/08/2009 de http://funes.uniandes.edu.co/1278/1/Gomez2006Analisis_SEIEM_15.pdf.

Gómez, P. (2007). Desarrollo del Conocimiento Didáctico en un Plan de Formación Inicial de Profesores de Matemáticas de Secundaria. Tesis doctoral.

Granada, España: Universidad de Granada.

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Universidad de la Amazonia. (2011). Acuerdo 024 del 13 de julio de 2011 del Consejo Académico, Prácticas de Formación Profesional Docente.

Florencia, Caquetá.

EL TRABAJO COOPERATIVO: UNA PROPUESTA DE APRENDIZAJE DE LAS FRACCIONES CON ESTUDIANTES DE GRADO QUINTO Nelson Andrés Acevedo Forero, Georyany Guerrero Ordóñez y Dawson Cortés Joven nelforero102009@hotmail.com, yoguis78@hotmail.com, dawsondidier@gmail.com Universidad de la Amazonia, Colombia Presentación El presente documento muestra los avances preliminares de resultados en una investigación para mejorar el aprendizaje de las fracciones mediante el trabajo cooperativo en estudiantes del grado quinto de la Institución Educativa Alto del Obispo de San Agustín (Huila). En los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (2006) se plantea “…que el aprendizaje de las matemáticas no es una cuestión relacionada únicamente con aspectos cognitivos, sino que involucra factores de orden afectivo y social, vinculados con contextos de aprendizaje particulares” (p.47), este puede desarrollarse a través del trabajo cooperativo, con equipo de estudiantes incorporando en la clase la interdependencia positiva, responsabilidad individual y grupal, interacción estimuladora, algunas prácticas interpersonales y grupales y la evaluación grupal. Se utiliza una metodología con un enfoque cuantitativo, bajo un diseño no experimental de tipo longitudinal panel, donde inicialmente se aplica el instrumento prueba objetiva (pre-test). Posteriormente, tras desarrollar la estrategia pedagógica, se aplica de nuevo el instrumento inicial (post-test); los datos se procesan en el programa estadístico informático Statistical Package for the Social Sciences versión 22, los cuales se interpretan y analizan para evidenciar una evolución de grupo que determina que se puede mejorar el aprendizaje de las fracciones mediante el trabajo cooperativo en el aula de clase.

1. REFERENTES TEÓRICOS En la educación básica primaria es fundamental el desarrollo del estudio de las fracciones, tal como lo plantea los Estándares Básicos de Competencias de Matemáticas (2006), al igual que los Derechos Básicos del Aprendizaje (2015) planteados por el Ministerio de Educación 1

Nacional, situación que ha sido a lo largo de los años compleja y nada sencilla de comprender para los educandos. Al respecto plantea Godino (2004) “parece ser que las primeras ideas de fracción de los niños son de naturaleza tridimensional imprecisas” (p.225).

El aprendizaje de los números fraccionarios se ha caracterizado por la ausencia de éxito cuando se utiliza en la escuela primaria, en la secundaria y hasta en los primeros años de universidad. La dificultad está en que los estudiantes atribuyan un significado correcto a las fracciones en diferentes contextos. Situación que se da generalmente por el empleo de una metodología tradicional de tipo receptivo – repetitivo, es decir que se fundamenta en una concepción reproduccionista. (Orientaciones Pedagógicas de Segundo a Quinto Grado, 2010).

En este sentido, es necesario un cambio significativo en el tipo de actividad que se da en el aula, con estrategias de diseño y desarrollo en ambientes de aprendizaje centrados en el educando, enfocada la práctica en lograr construir conocimientos con significado a partir del reconocimiento y valoración de los conocimientos previos (Sequeiros, 2010; Ausubel, Novak, y Hanesian, 1983) de las formas de pensar, razonar y argumentar, “que permitan el despliegue de mayores capacidades de aprendizaje que las manifestadas habitualmente”.

(Arceo y Vila, 2012).

Razón por la cual una de las metas que debe cumplir la educación es transformar las rutinas escolares, para lo cual esta investigación se enmarca en el aprendizaje de las fracciones mediante el fortalecimiento del trabajo cooperativo, que, de hecho, es un aspecto que motiva y moviliza a todas las comunidades escolares. En tal sentido, se toman los aportes del Laboratorio de innovación educativa (2009), Deporto y Rodríguez (2015), Riera (2011), quienes a nivel general plantean que este es un término usado para referirse a un grupo de procedimientos que parten de la organización de la clase en pequeños grupos mixtos y heterogéneos, los alumnos trabajan conjuntamente de forma coordinada entre sí para resolver tareas académicas y profundizar en su propio aprendizaje, a través del intercambio de ideas, la negociación de puntos de vista diferentes, la confrontación de posturas; teniendo presente en este mismo orden y dirección, los aportes y las orientaciones trazadas por Ferreiro y 2

Espino (2011) quienes afirman que formar equipos no significa desarrollar equipos. Una vez que se han formado es necesario enseñarles cómo trabajar en equipo y cómo desarrollar habilidades cooperativas.

Dentro de las teorías significativas más relevantes del trabajo cooperativo y que siguen siendo y se tomaron como referente actual, se encuentran las de D. Johnson, R. Johnson y Holubec (1999), entre otros, los cuales aplican las teorías para mejorar el aprendizaje escolar, permitiendo dotar de habilidades sociales y comunicativas, y que contribuyen a que las producciones de los estudiantes sean más ricas, es decir, responde a sus necesidades para el estudio de las fracciones como eje articulador de procesos, permitiéndoles aprender de manera práctica

y significativa,

desarrollando

la interdependencia positiva, la

responsabilidad individual y grupal, la interacción estimuladora y algunas prácticas interpersonales y grupales y evaluación grupal.

2. METODOLOGÍA El enfoque de la investigación es de carácter cuantitativo, porque la recolección de los datos se fundamenta en la medición, se presentan mediante números y se analizan a través de métodos estadísticos, utilizando un instrumento de prueba objetiva pre-test y post-test, para recoger información. Se desarrolla bajo un diseño no experimental, las variables se presentan de manera real y, en consecuencia, se tiene mayor validez externa. Es decir, por sus características propias es el más adecuado para el problema que se quiere resolver y el contexto en el cual se encuentra inmerso el presente estudio. Es de tipo longitudinal panel, examinando cambios a través del tiempo y aplicados al mismo grupo de estudio. Se puede decir, este tipo de diseño sirve para un grupo específico y es conveniente para una muestra que es relativamente estática.

3. ACTIVIDADES Para desarrollar el estudio se organiza en forma de fases. Al respecto, en la primera fase se tomó como base un cuadro de triple entrada que permitió construir el instrumento, el cual

3

fue una Prueba Objetiva de selección múltiple, con 24 ítems, para medir mediante la técnica “pre-test y pos-test” el aprendizaje de los estudiantes en el estudio de las fracciones. En la segunda fase se realizó la construcción de instrumentos de forma y contenido y se realizó el proceso de validez y fiabilidad, utilizando los “Indicadores del alpha de Cronbach” lo cual permitió determinar que la prueba era fiable. En cuanto a la estrategia didáctica de intervención se construyó teniendo en cuenta las etapas: análisis, diseño, construcción, implementación, evaluación; articulados a los referentes teóricos y propósitos de la investigación. En cuanto al tamaño de los grupos y organización espacial del aula se tuvo en cuenta lo planteado según las palabras de Johnson et al. (1999) “en los grupos reducidos, el desempeño de cada miembro es más visible y los alumnos son más responsables de sus actos, lo que garantiza la participación activa de todos” (p.17). En la tercera fase de recolección de datos o información se aplicó la prueba objetiva (pre-test) a la muestra, la cual se tomó utilizando la fórmula para el cálculo del tamaño de muestra para poblaciones finitas (conocidas). En la cuarta fase, análisis de datos, la información recolectada del presente estudio, se procesó utilizando en el paquete informático estadístico Statistical Package for the Social Sciences versión 22.

4. RESULTADOS La siguiente información presentada muestra el resumen general de los datos recogidos.

Tabla 1. Resumen general de la información recogida Resumen general de los datos recogidos en la prueba Pre-test del estudio exploratorio.

Resumen general de los datos recogidos en la prueba Post-test.

4

De los 16 estudiantes a quienes se les aplicó la prueba

De los 16 estudiantes a quienes se les aplicó la

objetiva Pre-test, que constó de 24 ítems, un estudiante

prueba objetiva Post-Test, que constó de 24 ítems,

acertó tres (3) preguntas de las que constaba la prueba lo

un (1) estudiante acertó quince preguntas de las que

que representa el 6.3%, asimismo un (1) estudiante

constaba la prueba lo que representa el 6.3%,

contestó bien cuatro preguntas que corresponde al 6.3%;

asimismo un (1) estudiante contestó bien dieciséis

dos (2) estudiantes marcaron correctamente cinco

preguntas que corresponde al 6.3%; tres (3)

preguntas que equivale al 12.5%; cinco (5) estudiantes

estudiantes marcaron correctamente dieciocho

contestaron efectivamente ocho preguntas lo que

preguntas que equivale al 18.8%; cuatro (4)

representa un 31.3%. En este mismo orden dos

estudiantes contestaron efectivamente diecinueve

estudiantes marcaron bien 9 preguntas para un 12.5%,

preguntas lo que representa un 25%. En este mismo

tres

preguntas

orden cuatro estudiantes marcaron bien veinte

correspondientes al 18.8%. De igual forma un (1)

preguntas para un 25%; dos (2) tuvieron bien

estudiante contestó once preguntas correctamente para

veintiuna preguntas correspondientes al 12.5%, y

un 6.3% y solamente un (1) estudiante acertó doce

un (1) estudiante acertó veintitrés preguntas

preguntas correspondientes al 6.3%. La prueba arrojó

correspondientes al 6.3%. La prueba arrojó una

una media de 8,00 con una desviación estándar de 2,556

media de 19,13 con una desviación estándar de

y representada con una moda de 8.

1,928 y representada con una moda de 19.

(3)

tuvieron

bien

diez

(10)

Así mismo, la tabla 2 muestra el resumen de los valores de algunos de los estadísticos mostrados en la Comparación medias, desviaciones y moda, de prueba pre-test y post-test.

Tabla 2. Comparación medias, desviaciones y moda, de prueba pre-test y post-test.

Datos

válidos 16 - perdidos 0

Pretest Media 8,00 Desviación estándar 2,556 Moda 8

COMPARACIÓN PRUEBA OBJETIVA

Post Test 19,13 1,928 19

4.1 Interpretación de datos Se aplicó la prueba t de Student con el programa Statistical Package for the Social Sciences versión 22, para dos muestras relacionadas como caso de contraste de medias para grupos relacionados: los mismos sujetos (los estudiantes de la IEADO) fueron medidos en dos momentos diferentes. La información se relaciona a continuación en las siguientes tablas.

5

Tabla 3. Estadísticas de muestras emparejadas Par 1

pretestgen postgener

Media 8,00 19,13

N 16 16

Desviación estándar 2,556 1,928

Media de error estándar ,639 ,482

Tabla 4. Correlaciones de muestras emparejadas N Par 1

pretestgen & postgener

16

Correlación -,054

Sig. ,842

Tabla 5. Prueba de muestras emparejadas Diferencias emparejadas Desviación estándar

Media Par 1

pretestgen – postgener

-11,125

Media de error estándar

3,284

95% de intervalo de confianza de la diferencia Inferior

,821

-12,875

Tabla 6. Diferencias emparejadas

Par 1

Los

pretestgen – postgener

estudiantes

Diferencias emparejadas 95% de intervalo de confianza de la diferencia Superior -9,375

participantes

de

este

t -13,551

estudio

tenían

gl 15

unos

Sig. (bilateral) ,000

conocimientos

significativamente bajos en el estudio de las fracciones antes de la intervención con la estrategia didáctica (M = 8,00 SE = 2,556) que después de la intervención (M = 19,13 SE = 1,928 t(15) = -13,551 p˂,05, r = 90).

Lo anterior evidencia que hay diferencia estadísticamente significativa porque la t (significación bilateral) es menor que 0,005 y además porque entre el límite inferior y el límite superior del intervalo de confianza no se encuentra o difiere de cero (0). Es decir, se presentó una evolución de grupo, lo que permite determinar que se mejoró el aprendizaje de los estudiantes en el estudio de las fracciones utilizando el trabajo cooperativo en el grado quinto de la IEADO. Al final se encontró que el trabajo cooperativo es un vehículo importante en la educación y aprendizaje de las fracciones en los estudiantes, para vivir mediante la promoción de intereses, desarrollo del sentido común, bajo una sana convivencia.

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BIBLIOGRAFÍA

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Educativas.

Recuperado de http://investigacion.ilce.edu.mx/panel_control/doc/tecycomeduno27.pdf Ausubel, D., Novak, J., & Hanesian, H. (1983). Psicología educativa: Un punto de vista cognoscitivo. México: Trillas.

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Godino, J. (2004). Didáctica de las Matemáticas para Maestros. Granada: GAMI, S. L. Johnson, D. W., Johnson, R. T., & Holubec, E. J. (1999). El aprendizaje cooperativo en el aula. Buenos Aires: Paidós.

Laboratorio de innovación educativa. (2009). qué–por qué–para qué-cómo aprendizaje cooperativo propuesta para la implantación de una estructura de cooperación en el aula.

Recuperado de http://www.madrid.org/dat_capital/upe/impresos_pdf/AprendizajeCooperativo2012. pdf Riera, G. (2011). El aprendizaje cooperativo como metodología clave para dar respuesta a la diversidad del alumnado desde un enfoque inclusivo. Revista Latinoamericana de Inclusión Educativa, 5(2), pp. 133-149.

Sequeiros, L. (2010). Apuntes de aprendizaje significativo – Constructivismo y aprendizaje.

Recuperado de http://www.bubok.es/buscar/teor%C3%ADa-de-aprendizaje

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IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO TEÓRICO A PRIORI DE COMPETENCIA MATEMÁTICA Arnulfo Coronado. arcoronado_123@yahoo.es. Docente Universidad de la Amazonia RESUMEN. El modelo teórico a priori, (MTA), de competencia matemática, (CM), se elaboró en el marco del proyecto de investigación institucional, “Desarrollo de competencias matemáticas en estudiantes de Educación Básica y Media en el Departamento del Caquetá”.

En la presente ponencia se presentan unos primeros resultados de su aplicación en una secuencia de tareas, asociadas al objeto matemático tanto por ciento, propuesta a estudiantes de grado sexto de la Institución Educativa Jorge Eliécer Gaitán, de la ciudad de Florencia (Caquetá).

La información obtenida se sistematizó en una rejilla; los resultados obtenidos indican que el MTA de CM elaborado, puede considerarse como una construcción didáctica que contribuirá a reducir la sensación de los docentes de no contar con elementos o herramientas que favorecen el desarrollo de las competencias matemáticas de los estudiantes.

PALABRAS CLAVE: Competencia Matemática, modelo de competencia matemática, tanto por ciento, secuencia de tareas.

1. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA En la actualidad, el desarrollo de competencias y en particular de CM hace parte del discurso curricular local, nacional e internacional. Se considera un concepto básico para enfrentar los cambios que se presentan en el mundo actual y en especial los que se evidencian en el campo educativo. En consecuencia, las competencias se consideran hoy por hoy un organizador curricular de gran importancia.

De otra parte, el discurso al respecto presenta unos desarrollos teóricos que no han incido lo esperado en las prácticas de aula. Solar (2009), expresa que entre los profesores existe una sensación de falta de herramientas para promover el desarrollo de las competencias y desde la óptica didáctica hacen falta experiencias empíricas para su estudio.

Este déficit investigativo, sumado a la escaza conceptualización institucional, evidenciada en los PEIs de colegios y escuelas de la Educación Básica y Media en el Departamento del Caquetá, sobre competencia, y la reducción conceptual por parte de los profesores de CM a el saber hacer en contexto (Garcia, et. al., 2012), constituyó la base motivacional para formular la pregunta de investigación ¿Cómo contribuir al desarrollo de las competencias matemáticas de los estudiantes de grado sexto de la Institución Educativa Jorge Eliécer Gaitán, ubicado en la ciudad de Florencia (Caquetá)?.

Con base en un modelo teórico a priori elaborado por Horacio Solar en su tesis doctoral y focalizada en la enseñanza, se formuló como hipótesis de trabajo la elaboración de un modelo teórico a priori de competencia matemática centrado en el aprendizaje.

En el proceso investigativo se tomó el objeto matemático tanto por ciento, se diseñó una secuencia de tareas y la información sobre la actividad matemática de aprendizaje que esta generó

se recogió en una rejilla diseñada a partir del concepto de competencia matemática adoptado en general y en particular, a partir de los conceptos adoptados para las competencias matemáticas representar, razonar y argumentar, y comunicar, ver anexo 1. Se sistematizó la información y a la luz de los referentes teóricos, esta se analizó. A continuación se precisarán los resultados obtenidos y los referentes teóricos y conceptuales utilizados.

2. MARCO DE REFERENCIA CONCEPTUAL Sobre el concepto de competencia matemática. Perrenoud (2003), citado por Luengo, Luzón y Torres (2008), afirma que la competencia es la facultad de movilizar un conjunto de recursos como: saberes, capacidades, informaciones, etc,…, para solucionar con eficacia una serie de situaciones. En este sentido, para Perrenoud la competencia está conectada socialmente a contextos profesionales y culturales, razón por la cual éstas y su desarrollo no son exclusividad de los contextos escolares.

García, Acevedo y Jurado (2003), manifiestan que el concepto de competencia es ambiguo y uno de sus sentidos se concentra en la dimensión en la que la competencia tiene relación con la educación integral y la formación de seres humanos críticos. En este sentido Gascón (2011), expresa que basado en un aprendizaje de procesos, continuo y de toda la vida, el enfoque por competencias centra su atención en la formación integral del estudiante y la direcciona hacia un ejercicio profesional, social y cívico.

Según Vanegas y Escobar (2007), citados en Fandiño (2006), se necesita una concepción de competencia matemática que supere el solo “saber hacer en contexto”, se requiere un concepto que integre de manera interrelacionada componentes presentes en toda competencia: el saber qué, el saber qué hacer y, el saber cómo, cuándo y por qué hacerlo. En esta misma dirección, el Dr Vasco en su conferencia desarrollada durante el 11° Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, ECME 11, celebrado en la ciudad de Bogotá en al año 2010, expresó que a cambio de rechazar los discursos sobre competencias, le corresponde a la comunidad académica construir un concepto potente y configurar un discurso propio que pedagógicamente sea productivo, Vasco (2010).

Para D´Amore, Godino y Fandiño (2008), las CM poseen una base cognitiva disciplinar y unos contenidos matemáticos como medio de promoción y desarrollo. Precisan que la CM como concepto complejo dinámico y polisémico se compone de tres aspectos: El cognitivo: conocimiento de la disciplina El afectivo: disposición, voluntad, deseo de dar respuesta a un requerimiento (interno o externo) La tendencia de acción: persistencia, continuidad y dedicación Con base en los referentes teóricos expuestos se asumió la CM como la participación en la que los estudiantes movilizan aspectos de su desarrollo humano (cognitivos, afectivos, de tendencia de acción y metacognitivos), con el propósito de intervenir en los diferentes entornos

en los que realizan sus proyectos de vida matemáticos.

y se requiera de procesos matemáticos y no

Sobre el concepto de modelo de competencia matemática. Se comparte con Chacín (2008), que el modelo es considerado como un espacio conceptual que propicia la comprensión de la realidad compleja, ya que selecciona los elementos más representativos y establece relaciones entre ellos; y con Solar (2009), que el modelo como una estructura que articula las expectativas de aprendizaje consta de tres componentes: un contenido matemático en términos de tareas, unos procesos organizadores del currículo en términos de competencias específicas, y el progreso de la competencia en términos de niveles de complejidad.

Entonces, el modelo teórico a priori se asumió como una estructura para organizar, describir, explicar y articular los componentes de la CM con la actividad matemática de aprendizaje, los objetivos de las tareas y las formas de evaluación. Su finalidad es contribuir a planificar el desarrollo coherente y progresivo del proceso de movilización de las CM cuando el estudiante resuelve tareas y desarrolla procesos cognitivos, afectivos y de tendencia de acción con complejidad creciente. Su carácter de “a priori” se explica en el modelo porque sus diferentes componentes fueron concebidos y asumidos como parte del modelo y de la propuesta, previo al proceso de implementación en el trabajo de aula. Se focaliza en articular los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje. Así, el MTA adoptado es el artificio para la articulación de las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante.

3. METODOLOGÍA. Métodos o técnicas de análisis empírico y fuentes utilizadas.

El estudio realizado es una investigación cualitativa con enfoque interpretativo en la que se utilizó la complementariedad de métodos. La recolección de información se obtuvo de fuentes como transcripciones de videograbaciones, entrevistas no estructuradas y las notas de la observación participante consignadas en los diarios de campo de los investigadores. La información recogida sobre la participación de los estudiantes en tres situaciones problémicas o tareas de diferente complejidad, se sistematizó en la rejilla compuesta por: a) componentes del MTA antes referenciado y b) indicadores establecidos de manera previa y a priori para procesos asociados por un lado a las competencias matemáticas razonar y argumentar, representar y comunicar, y de otro lado asociados a los aspectos del desarrollo humano: cognitivo, afectivo y tendencia de acción. De las frecuencias reportadas emergieron los datos para la realización del análisis correspondiente y la elaboración de conclusiones.

4. ACTIVIDADES Y ANÁLISIS DE DATOS La actividad matemática de aprendizaje de 29 de 36 estudiantes que integran el curso sexto A, al enfrentar las demandas de la tarea No 1 (opiniones sobre el proceso de paz), se caracterizó

por la representación del objeto matemático frecuencia absoluta, mínimo en dos sistemas semióticos de representación.

En lenguaje simbólico formal o lenguaje matemático, el 100% de los estudiantes participantes en la tarea No 1, (aproximadamente el 81% de los estudiantes del curso), utilizaron la numeración indo - arábiga (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para representar la frecuencia de un evento o de una misma respuesta. En ocasiones usaron signos no matemáticos como rayas, palos, cuadrados o chulos. Usaron también el lenguaje tabular o gráfico, llegando a ello mediante conversiones de la representación del objeto matemático frecuencia absoluta, que inicialmente se ha representado en lenguaje matemático. Esto evidencia que los estudiantes reconocen el objeto matemático frecuencia absoluta en diferentes contextos, lo representan en diferentes sistemas y utilizan símbolos matemáticos para generalizar información.

Estos resultados eran previsibles, pues la tarea 1 es de bajo nivel de complejidad (reproducción); que en nuestro caso, fue utilizada en la fase de aprendizaje denominada introducción o acercamiento a compartir significados del objeto matemático. Fase en la que regularmente, se utiliza un objeto matemático que hace parte de la estructura conceptual del objeto matemático a estudiar. Así, los significados compartidos del objeto matemático frecuencia absoluta, sirvió de base para el surgimiento de conceptos o significados sobre el objeto matemático tanto por ciento; de esta manera, marcó el inicio de un proceso en el que se discutió, debatió y compartió, en clase, el significado del objeto matemático tanto por ciento.

Se resalta que 15 estudiantes, a iniciativa propia, aproximadamente el 52%, estimulados por la necesidad de presentar la información obtenida en la Feria del Emprendizaje de la institución, recurrieron al objeto matemático tanto por ciento, es decir, que mediante transformaciones al interior de un sistema de representación matemático, representaron las frecuencias absolutas obtenidas en términos de frecuencias relativas o tantos por ciento. De ellos, 6 estudiantes, aproximadamente el 21%, no obtuvieron éxito, tal vez el poco conocimiento del nuevo objeto matemático y la población encuestada en una cantidad diferente de 100 personas incidieron desfavorablemente, pues de 4 grupos cuya población encuestada es de 100 personas, 3 grupos, 9 estudiantes, aproximadamente el 31%, lo hicieron de manera correcta. De igual manera, es importante resaltar que 8 estudiantes (28%), presentan de manera escrita los argumentos matemáticos utilizados para justificar la representación de frecuencias absolutas como frecuencias relativas o tantos por cientos, esto, a pesar de no ser una demanda solicitada. Entendemos esta iniciativa de los estudiantes en el marco de la interacción entre los sujetos de la clase, pues siempre se propició la disposición, la voluntad al trabajo y la inclinación cultural favorable al desarrollo de procesos matemáticos, afectivos y de tendencia de acción.

En el desarrollo de la tarea 2 (divulgando el pensar y sentir sobre el proceso de paz) focalizada en socializar a toda la clase los resultados de la tarea 1, los dos primeros grupos

expresaron el número de votantes por el SÍ, y por el NO (frecuencia absoluta) en varios registros semióticos de representación: en lenguaje simbólico formal (lenguaje matemático), en una tabla, en un diagrama de barras, en forma numérica (fracción), en forma porcentual (indicador 1). El grupo número tres (3), lo hizo la representación en solo dos registros: tabular y diagrama de barras.

Esta diversidad de representaciones semióticas del objeto matemático frecuencia absoluta, indica que este fue operado de diferentes maneras y que la consideración de todas sus representaciones semióticas, gesta desde la perspectiva del aprendizaje, concepciones o significados de un nuevo objeto matemático, en este caso, del objeto matemático tanto por ciento.

Al colocar 100 en el denominador de las fracciones, se piensa que los dos primeros grupos comprendieron el concepto matemático tanto por ciento; pues además de lo anterior, como respuesta dada a la tarea (Indicadores 2, 3, 5 y 6) lo representaron (codificaron y decodificaron) y argumentaron verbalmente y por escrito. Al grupo 3 les fue difícil establecer el porcentaje, fue necesaria la ayuda de sus compañeros.

Así, todos los tres grupos comunicaron en y con las matemáticas: leyeron e interpretaron el gráfico cartesiano de barras, los dos primeros grupos argumentaron (verbalmente y por escrito) su información en representación tabular, fraccionaria y porcentual (indicadores 1, 2, 3, 5,6 y 7).

El grupo tres (3) sólo pudo traducir el diagrama de barras a su representación tabular, más no a su representación porcentual, que era lo que se esperaba. Fue necesaria la intervención de sus compañeros para culminar el desarrollo del significado matemático compartido en forma previa.

Ello implicó formas de negociación cultural en la clase. Durante el proceso de socialización, fue evidente la interacción entre los participantes, el trabajo en equipo, la participación y la presencia de un discurso matemático de los estudiantes que comienza a usar el lenguaje y los símbolos matemáticos para significar y argumentar.

La tarea 3 (corroborando información sobre el proceso de paz), a cambio, introduce situaciones bastante diferentes a las dos anteriores. De los 32 estudiantes que debían evaluar los resultados obtenidos por sus compañeros en la tarea 1, solo 3 propusieron las soluciones adecuadas en el marco de lo demandado. Los otros 29 no evidencian el desarrollo de procesos que les permitiera proponer una solución aceptable al problema. Se argumentan y valoran las dificultades de los estudiantes en esta tarea, pues es en ese marco que podría caracterizarse su actividad matemática de aprendizaje: Las dificultades para decodificar y traducir a otro sistema de representación semiótica (tratamiento y conversión) genera una limitada comprensión del problema y, por tanto, respuestas incorrectas. La información a evaluar no es utilizada para construir los razonamientos que les permitan demostrar comprensión del problema, capacidad de operar (calcular con %) y de argumentar los procesos matemáticos que condujeron a las respuestas. Solo el 9.4% (3 estudiantes) evidencian un buen nivel de comprensión de la tarea y de los datos en los que pueden apoyarse (Indicador 1); describen y argumentan los errores en la tarea resuelta por sus compañeros, hacen los cálculos (operan) y argumentan la respuesta que construyen (Indicadores 1 y 2). Ello evidencia

que han compartido y desarrollado el significado matemático, lo representan (codifican y decodifican), operan con él y argumentan por escrito su respuesta evidenciando una traducción aceptable de las representaciones que han codificado y decodificado. (Indicador 2 y 3). El E31 se autocorrige, evidenciando una mayor comprensión y una nueva solución del problema (Indicadores 4 y 5). En conclusión, como la tarea requería “evaluar” la solución propuesta por seis (6) de sus compañeros, se encuentra que el 90.6% de los estudiantes (29) tienen evidentes limitaciones para comprender, valorar y argumentar la calidad de las soluciones propuestas.

5. CONCLUSIONES. De manera general en la actividad matemática de aprendizaje de los estudiantes al enfrentar la secuencia de tareas 1, 2 y 3 ya descritas, se evidenció el desarrollo de procesos matemáticos y de tendencia de acción (pragmática de uso) para reconocer, representar y usar los objetos matemáticos en la solución de problemas contextualizados: los estudiantes representan en al menos dos sistemas de representación semiótica, usan los signos matemáticos, calculan, operan y grafican; comunican en y con las matemáticas los procesos desarrollados para solucionar las tareas matemáticas propuestas. Aun así, en su actividad matemática de aprendizaje aún persisten formas de representación semiótica no propias del lenguaje matemático (palitos, rayas, cuadros, etc.) que sin duda, limitan un incipiente proceso de matematización y la calidad del discurso matemático.

Esto implica deficiencias en la calidad de la participación y en el aporte a la evaluación colectiva de procesos y resultados en la clase como comunidad de aprendizaje.

De otra parte, se hizo notoria la muy limitada calidad de su discurso (oral y escrito) al valorar procesos y soluciones a las tareas matemáticas que han desarrollado sus compañeros en clase. Es muy posible que los resultados de la tarea 3 puedan también explicarse por la falta de familiaridad de los estudiantes con este tipo de actividad matemática y con el nivel de exigencia y responsabilidad que implica una evaluación. No obstante, ello no influyó para que, durante todo el proceso de intervención, los estudiantes demostraron gusto e inclinación favorable al trabajo individual y en grupo, continuidad y persistencia en la construcción y sustentación de sus soluciones, así como a preguntar y buscar orientación en el profesor y en sus compañeros. Esto constituye un clima favorable para consolidar la clase como una comunidad de aprendizaje.

En lo que atañe al modelo teórico a priori de competencia matemática implementado, sus resultados inducen a pensar que es un modelo que al transcender el aspecto cognitivo; tener presente otros aspectos de desarrollo humano (afectivo y de tendencia de acción); requerir del diseño de tareas con crecientes niveles de complejidad determinados por la naturaleza de los objetos matemáticos y los contextos en los que toma significados, los momentos propios de cada metodología de enseñanza -aprendizaje, y los procesos asociados a cada una de las competencias matemáticas especificas; es un modelo que contribuye al desarrollo integral del estudiante, ayuda a explicar y comprender la participación del estudiante en su actividad matemática de aprendizaje,

facilita el entendimiento de las actuaciones del estudiante. En consecuencia, coadyuva a evidenciar dificultades y avances en el desarrollo del pensamiento matemático del estudiante, en su pensar y sentir, y en sus tendencias de acción.

De esta manera, el modelo de competencia matemática propuesto y aplicado puede considerarse como un aporte al reto planteado por el Dr Vasco. Se coloca a disposición de comunidad de educadores matemáticos para que sea criticado y mejorado, siempre lo hemos considerado como un modelo en proceso de construcción. Se espera sea recibido como una contribución, que reduzca la sensación en los docentes, de no contar con elementos que favorecen el desarrollo de la competencia matemática de los estudiantes.

6.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

Chacín, B. (2008). Modelo teórico-metodológico para generar conocimiento desde la extensión universitaria. Laurus, 14(26), 56-88.

D’Amore, B., Godino, J. y Fandiño, M. (2008). Competencias y Matemática. Colombia: Bogotá, Magisterio.

Fandiño, M. (2006). Currículo, evaluación y formación docente en matemática. Bogotá, Magisterio.

García, B., Coronado, A., Montealegre, Q. L., Giraldo, O. A. y otros. (2012). Competencias matemáticas: un estudio exploratorio en la educación básica y media. Florencia, Caquetá: Universidad de la Amazonia.

Gracía, G., Acevedo, M. y Jurado, F. (2003). La dimensión socio-cultural en el criterio de competencia: el caso de matemáticas. Colección cuadernosdel seminario en educación No 5. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.

Luengo, J., Luzón, A. y M, Torres (2008). Las reformas educativas basadas en el enfoque por competencias: una visión comparada. Profesorado. Revista de curriculum y formación del profesorado, 12 (3), 1-16

Solar, H. (2009). Competencias de modelización y argumentación en interpretación de graficas funcionales: propuesta de un modelo de competencia aplicado a un estudio de caso. Tesis doctoral. UniversitatAutònoma de Barcelona, (2009).

COMP

PROCESOS

. Describir e interpretar

RAZONAR Y ARGUMENTAR – REPRESENTAR - COMUNICAR

. Aplicar .Comunicar . Argumentar

INDICADORES O DESCRIPTORES 1. Reconoce en diferentes contextos o situaciones problémicas, los objetos matemáticos estudiados y los representa en diferentes sistemas semióticos de representación.

2. Utiliza signos matemáticos para generalizar información sobre los distintos objetos matemáticos o sus elementos consustanciales.

3. Explica con argumentos, de manera verbal o escrita, su concepto sobre los distintos objetos matemáticas estudiadas.

. Proponer . Codificar . Descodificar . Traducir . Disposición . Persistencia . Valorar

4. Calcula y utiliza operaciones y propiedades de los objetos matemáticos estudiados cuando tabula, grafica o concluye.

5. Soluciona problemas y tareas matemáticas en las que se encuentran inmersos los objetos matemáticos estudiados y comunica los procesos desarrollados.

6. En su actividad matemática de aprendizaje se evidencia un discurso que le permite participar en clase y aportar en la evaluación de procesos y resultados.

7. Demuestra continuidad y permanencia en su actividad matemática de aprendizaje.

TAREAS

ASPECTOS DESARROLLO HUMANO

COGNITIVO - AFECTIVO - TENDENCI A DE ACCIÓN - METACOGNITIVO

Participación en la que los estudiantes movilizan aspectos de su desarrollo humano (cognitivos, afectivos, de tendencia de acción y metacognitivos), con el propósito de intervenir en los diferentes entornos en los que realiza su proyecto de vida y requiera de procesos matemáticos.

COMPETENCIA MATEMÁTICA

ESTUDIANTES 1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Anexo No 1. Rejilla para valorar el proceso y los resultados de la secuencia de tareas

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DEFINICIÓN DE NÚMERO IRRACIONAL: UN ESTUDIO EN LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICAS USADOS EN EL GRADO OCTAVO EN FLORENCIA1.

1. PRESENTACIÓN. Este trabajo hace parte de la producción académica desarrollada en el marco de la investigación “Un estudio de los números irracionales en los libros usados en el grado octavo en Florencia”, investigación aprobada como tesis de Maestría en Docencia de las Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional 2008, y se realiza a partir de la Dimensión de análisis conceptual, con su respectiva categoría: Definición de número irracional, la cual se refiere a las dos definiciones de número irracional que se presentan comúnmente en los libros de texto de matemáticas; además, de otras tres definiciones que fueron detectadas producto de un pre-análisis hecho a los libros de texto seleccionados.

2. REFERENTES TEÓRICOS Investigadores en Educación Matemática, consideran la definición de un concepto matemático como una secuencia de palabras o una expresión verbal del concepto, resultado de su largo proceso de evolución histórica. Entre las definiciones, se suelen distinguir las definiciones formales y las personales. Las formales son aquellas “convenidas y aceptadas por la comunidad científica de los matemáticos en un momento dado (que se suelen encontrar escritas en los libros), y las personales, como aquellas “que utilizan las personas (estudiantes, profesores, matemáticos) como interpretación, construcción o reconstrucción de una definición formal”. (Azcarate & Camacho, 2003, p.137). Las definiciones juegan un papel determinante en el aprendizaje de las matemáticas escolares y las matemáticas avanzadas; sin embargo, entre los dos niveles de matemáticas se establece una diferencia en las definiciones de los objetos matemáticos; en la primera, los objetos se describen, mientras que en la segunda, se definen.

1

Albeiro Giraldo Ospina, albeiro70@gmail.com Docente Catedrático de Matemáticas, Universidad de la Amazonia; Director de tesis de Maestría. Docente Matemáticas y Física, Institución Educativa Jorge Eliecer Gaitán, Florencia – Caquetá. Integrante del grupo de investigación “Lenguajes, Representaciones y Educación”, línea de investigación Competencias Matemáticas, maestría en Ciencias de la Educación con énfasis en Didáctica de las Matemáticas.

Alirio Quesada Salazar, alirio51@hotmail.com Docente de Matemáticas, Universidad de la Amazonia, Florencia, Caquetá. Miembro del colectivo de investigación en Educación Matemática (CIEM), línea investigación en Didáctica de la Matemática, licenciatura en Matemáticas y Física de la universidad de la amazonia.

Precisamente, y en cuanto a las definiciones, Sirotic (2004), señala que en los libros de texto de la Escuela Secundaria se presenta comúnmente dos definiciones de número irracional: 

Un número irracional es un número que no puede expresarse como un cociente de dos enteros, con el divisor diferente de cero.



Un número irracional es un número cuya parte decimal no es periódica y tiene un número infinito de dígitos (p. 40).

Considera que estas dos definiciones no son una definición formal de número irracional (como sí lo es la dada a través de las cortaduras de Dedekind, por ejemplo), son simplemente una descripción de, o una introducción al número irracional, presentadas con propósitos didácticos, dado el nivel de escolaridad en el que el estudiante se encuentra; además, son utilizadas por estudiantes y profesores para clasificar números reales, como racionales e irracionales.

Podría pensarse que el presentar estas dos expresiones como la definición del número irracional, se ha desvirtuado el saber sabio, es decir, se ha hecho una “mala transposición didáctica”; pero en el fondo, y dado el propósito didáctico y pedagógico del hecho, estas dos manifestaciones cumplen un papel similar al de la definición formal del número irracional, cual es el de permitir a través de ellas, identificar si un número es irracional o no; este es el uso que actualmente le dan estudiantes y maestros en la escuela.

En lo referente a la primera definición del número irracional, señala Sirotic (2004), que es utilizada en la matemática escolar para definir, identificar, representar y probar la irracionalidad; la representación que caracteriza el número racional (como un número que se puede escribir de la forma

a , con a y b enteros y b  0 ), se vuelve negación, para definir un número irracional. b

Esto es posible, porque los dos conjuntos, racional e irracional son disjuntos, y a su vez constituyen el conjunto de los números reales.

Indica, que para mostrar que un número dado es irracional (que no puede representarse como

a , con a y b enteros y b  0 ), como por ejemplo b

2 , los libros de texto utilizan

generalmente pruebas indirectas, llamadas “argumentación por contraejemplo”, con el cual se demuestra que

2 no es un número racional 2.

Sirotic (2004) señala que en la práctica, esta prueba por contradicción causa problemas de aceptación en los estudiantes. A menudo sienten un sentido de vacío y falta de explicación del por qué

2 no es un número racional; tal vez, parte del problema, es que la contradicción no

contradice la declaración simple “ 2 es racional”, sino contradiciendo una más sofisticada “ 2 es racional porque proviene de una fracción irreductible”.

En cuanto a la segunda definición, es utilizada en la matemática escolar para definir, identificar, y representar la irracionalidad. En los libros de texto, es común definir que los números irracionales tienen una representación decimal no periódica, pero ¿cómo el lector puede saber que la expansión decimal, de por ejemplo 2 , no empieza a repetirse, digamos, 100 lugares después?

Sirotic (2004) señala que posiblemente, la idea de infinito no está todavía en la intuición de los aprendices; y además, que para conocer que los decimales de

2 no empezaron a repetirse

después de cualquier periodo finito, se deben saber tres cosas: Primero, “ 2 no puede expresarse como una razón de dos enteros (esto por fe o por la prueba clásica de irracionalidad de 2 )”; segundo, “ que cada número decimal periódico puede expresarse como una razón entre dos enteros; y tercero, “ saber que 2 no puede ser racional e irracional a la vez ( los dos conjuntos son mutuamente excluyentes).”(p.45) 3. METODOLOGÍA El presente trabajo se enmarcó en el campo de la investigación de la Didáctica de la Matemática, en la línea del análisis de libros de texto, de naturaleza cualitativa con características de orden descriptivo-interpretativo. Tomando en consideración que el contexto es el educativo (el

Para ver en detalle la presentación de dicha prueba, puede remitirse a la investigación “Un estudio de los números irracionales en los libros usados en el grado octavo en Florencia”, aprobada como tesis de Maestría en Docencia de las Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, 2008.

2

ambiente escolar), nos ubicamos en dos espacios: uno de ellos los conceptos a ser enseñados, y el otro, en las herramientas de apoyo a los procesos de aprendizaje de dichos conceptos.

En cuanto a los conceptos, seleccionamos los números irracionales y, en relación con las herramientas de apoyo, los textos escolares de matemáticas de octavo grado de circulación nacional y utilizados en las instituciones educativas (tanto públicas como privadas), de Florencia (Caquetá, Colombia). Para la selección de dichos textos recurrimos a la identificación de cuáles eran los textos más utilizados por los docentes para la enseñanza y aprendizaje de los números irracionales en dicho grado. Para tal efecto, se realizó una encuesta a 43 docentes de las 14 instituciones educativas oficiales y de las 2 únicas instituciones privadas del área urbana del municipio de Florencia.

Una vez seleccionados los textos, adelantamos un pormenorizado análisis de la Dimensión de Análisis conceptual de un objeto matemático, con su respectiva categoría: Definición del número irracional. Seguidamente se elaboró un modelo de rejilla donde se organizó la información de cada texto, registrándose en una matriz de análisis la información relacionada. Luego, a partir de la información obtenida se elaboró una tabla, con el propósito de organizar y presentar los datos, y así, facilitar el respectivo análisis.

4. RESULTADOS Los libros de texto de matemáticas del grado octavo analizados, fueron ordenados de acuerdo al año de edición; estos son: [1] Londoño, N & Bedoya, H. (1989). Álgebra y Geometría. Serie matemática progresiva.

Editorial Norma; [2] Villegas, M. (2000). Matemática 2000. Editorial Norma; [3] Londoño, N., Guarín, H & Bedoya, H. (1993). Dimensión Matemática. Editorial Norma; [4] Beltrán, L. (1995).

Procesos matemáticos. Editorial Santillana S.A; [5] Camargo, L., García, G., Serrano, C & Samper, C. (1999). Alfa 8. Editorial Norma; [6] Guzmán, L. (2001). Desafíos. Editorial Norma; [7] Bautista, M., Salgado, D., Nivia, L., Acosta, M & Orjuela, J. (2003). Álgebra y geometría I. Editorial Santillana; [8] Samper de Caicedo, C. (2006). Conexiones Matemáticas. Editorial Norma.

En seguida presentamos la descripción y análisis de los libros de texto de matemáticas seleccionados, en cuanto a la categoría Definición de número irracional.

LIBRO Nº

[1] [2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Definición de número irracional

D 1 : Número que no puede expresarse como un cociente de dos enteros, con el divisor diferente de cero 3

D 2 : Número de infinitas cifras decimales no periódicos.

D 3 : Raíz matemática que no puede expresarse exactamente.

D 4 : La acción de un operador irracional sobre el número.

D 5 : Números asignados a puntos de la recta que no son ocupados por números racionales.

Tabla 1. Definición de número irracional.

De acuerdo con la tabla 1, las definiciones de número irracional de mayor recurrencia son: D 1 : Número que no puede expresarse como un cociente de dos enteros, con el divisor diferente de cero, y D 2 : Número infinitas cifras decimales no periódicas; las de menor uso, D 4 : La acción

Aquí hemos escrito la definición completa de número irracional en el ámbito de la representación verbal escrita; sin embargo, como se pondrá de manifiesto en el análisis de esta categoría, hay algunos textos que omiten la condición necesaria que el divisor tiene que ser diferente de cero.

3

de un operador irracional sobre el número 1, y D 5 : Números asignados a puntos de la recta que no son ocupados por números racionales.

Así mismo, 4 textos (50%) exhiben una sola definición (de los cuales 2 emplean D 2 ); 2 textos (25%), presentan simultáneamente 2 definiciones (de las cuales D 1 la presentan ambas); 2 textos (25%) presentan las mismas tres definiciones (D 1 , D 2 y D 3 ) de manera simultánea. El texto [3] no ofrece alguna de las definiciones de mayor uso; los demás recurren al menos a una de éstas dos definiciones.

Los textos [1], [5], [6], [7] y [8] definen al número irracional como D 2 : “número de infinitas cifras decimales no periódicas”, hecho que nos induce a colegir que el número irracional es un número real no racional, dado que, en la presentación sobre el número racional, éste es definido como “número de infinitas cifras decimales periódicas”. En estas definiciones se hace uso de la característica decimal que poseen tanto los números racionales como los números irracionales, para definirlos. De otra parte - además de la definición mencionada-los textos [5] y [6], definen al número irracional como “Raíz matemática que no puede expresarse exactamente”, consideramos que esto es una definición errónea, pues no se estaría considerando como irracionales números que no fueran raíces no exactas.

Aunque en los texto [2], [4] y [6] se define al número irracional como “aquel que no puede ser expresado como el cociente de dos enteros”, omite el requisito que el divisor debe ser diferente de cero. Esta definición nos lleva a conjeturar que el número irracional es un número real no racional, en virtud a que, el número racional lo definen “como aquel que puede escribirse de la forma

a , con a , b enteros y b  0 ”. Es importante subrayar que los textos [2] y [4] no utilizan la b

característica decimal de los números irracionales para definirlos, sino que ésta es vista como una propiedad representacional de un número irracional cuando es expresado como un decimal; sin embargo, no se observa conexión entre la definición dada al número irracional y la expresión decimal de él, debido a que señalan, por ejemplo a

2 , como aquel que no puede ser expresado

como el cociente de dos enteros, y no muestran la representación decimal de él, sino la de un número trascendente computable (0,10100100010000…).

A pesar de que en los textos [5] y [8], se define al número irracional “como aquel que no puede escribirse de la forma

a , con a , b enteros y b  0 ” , esto no lleva a la idea de que el b

número irracional es un número real no racional, debido a que, en el tratamiento que dan los textos a los números racionales no los define como “aquellos que pueden escribir de la forma

a , con b

a , b enteros y b  0 , sino como número de infinitas cifras decimales periódicas.

El texto [3], define al número irracional como “la acción de un operador irracional sobre el número 1” (p. 21). Está definición no lleva a pensar en el número irracional como el número real no racional, porque en el texto no está definido el número racional.

En síntesis, respecto a la definición de número irracional, la mayoría de los textos analizados acuden a una (o a ambas) de las siguientes definiciones:  Un número irracional es un número que no puede expresarse como un cociente de dos enteros, con el divisor diferente de cero.  Un número irracional es un número cuya parte decimal no es periódica y tiene un número infinito de dígitos.

En lo que concierne a la primera, algunos textos la presentan incompleta, pues omiten la condición necesaria de que el divisor tiene que ser diferente de cero; y en la segunda, utilizan la característica representacional decimal del número irracional, como definición.

5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

AZCARATE, C & CAMACHO, M. (2003). Sobre la Investigación en Didáctica del Análisis

Matemático. En: Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. Vol. X, No.2. Consultado en: http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol10/matias-carmen.pdf

SIROTIC, N. (2004). Prospective Secondary Mathematics Teachers Understanding of irrationality. Tesis de maestría. Simon Fraser University. Canadá.

MOVILIZACIÓN DE REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA COMO PROPUESTA PARA LA COMPRENSIÓN Y EL APRENDIZAJE DE LA PROPORCIONALIDAD.

Albenis Yustes Medina alyume08@gmail.com Blanca Adriana Tovar Piza blancaadrianatovar@gmail.com

Resumen: Este documento presenta una ponencia que tiene como propósito, dar a conocer los resultados de un trabajo de investigación acerca de la importancia de la movilización de los registros de representación semiótica: verbal, tabular y gráfico del objeto matemático la proporcionalidad, en estudiantes del grado quinto de Básica Primaria; Teniendo en cuenta la teoría de las representaciones semióticas expuestas por Duval (2004), basada en la movilización de registros para el aprendizaje de los objetos matemáticos, mediante el desarrollo de tareas, a partir de la actividad cognitiva del pensamiento e interacciones de los estudiantes.

Palabras claves: Registros de representación semiótica: verbal, tabular y gráfico, transformación, conversión, tratamiento, movilización, actividad matemática cognitiva, tareas matemáticas, proporcionalidad.

Introducción: En el contexto educativo actual, investigaciones en didáctica de las matemáticas han generado propuestas importantes en los procesos de enseñanza y aprendizaje, especialmente en el sistema educativo de nuestro país; es así, como en las prácticas de aula, la actividad matemática es estudiada desde varias perspectivas, entre las cuales se encuentra lo cognitivo y el pensamiento matemático. Por lo tanto, para desarrollar la actividad matemática se requiere de un contexto de representación, como lo afirma Duval (2006): “La actividad matemática se realiza necesariamente en un contexto de representación” en el que aparecen los objetos de conocimientos matemáticos. Es decir, si la “representación” es asumida desde perspectivas de autores como Castro & Castro (1997) haría referencia a :“signos, notaciones, figuras y expresiones de uso de las matemáticas; y como parte fundamental de los sistemas semióticos de signos, incluidos el gráfico”; Sin embargo, la “representación” en el contexto de la investigación reportada se concibe acompañada de un “registro”, como lo denomina Duval: registro de representación semiótica , al que definió como “el lenguaje de las

matemáticas”, lenguaje a través del cual, se registra de manera verbal, numérica, tabular, gráfica, entre otros, el objeto de conocimiento matemático (Duval, 2006).

En este sentido y desde la perspectiva de los modos de funcionamiento cognitivo requeridos en la actividad matemática, la investigación gira entorno a la movilización de sistemas específicos de representación para el aprendizaje, es decir, para aprender y comprender un contenido matemático se requieren por lo menos dos formas distintas de expresar y representar dicho contenido, estas formas han sido llamadas por Duval (2004) registros de representación semiótica. De este modo, la propuesta fue encaminada hacia la formulación e implementación de tres tareas matemáticas secuenciales con diferentes registros de representación semiótica, definidas en el contexto de representación del objeto matemático “la proporcionalidad” en concordancia con la movilización de registros de representación: verbal, tabular y gráfico, que permitan contribuir en las prácticas de aula, y alcanzar mejores niveles de comprensión y aprendizaje de los estudiantes.

Para cumplir con el objetivo trazado de contribuir en la movilización de los registros de representación verbal, tabular, gráfico a partir del estudio de la proporcionalidad en los estudiantes del grado quinto de la Institución Educativa Jorge Villamil Cordovez, Sede “El Chircal”, del corregimiento de Chillurco, Pitalito-Huila en el año 2015, se realizó inicialmente un diagnóstico que permitió conocer los saberes previos de los estudiantes acerca de las representaciones semióticas del objeto matemático la proporcionalidad ,es decir, se establecieron las actividades cognitivas tratamiento y conversión del objeto matemático la proporcionalidad realizados por los estudiantes y de esta forma , conociendo sus fortalezas y debilidades al respecto, surge la necesidad de diseñar tareas matemáticas que contribuyan en la movilización de los registros de representación verbal, tabular y gráfico de la proporcionalidad .

El presente estudio retoma la propuesta de Flóres, et al. (2013), en la que se establecen los componentes a tener en cuenta para el diseño de tareas matemáticas: formulación, meta, recursos, capacidades, contenido matemático, situación de aprendizaje, agrupamiento e interacciones; por tanto, en la investigación se diseñan tres tareas matemáticas con nivel de complejidad ascendente, que requieren de la comprensión y por ende propenden el desarrollo de la actividad cognitiva llámese tratamiento ó conversión de la representación, como lo afirma Duval (2006), para este caso, la producción de una respuesta, sea un texto o un esquema, movilizan simultáneamente la formación de representaciones semióticas y su tratamiento.

Dentro de los componentes a tener en cuenta en el desarrollo de tareas son “las interacciones estudiante- estudiante” acorde a lo que plantea (Zabala A., 1993) citado por Marín 2010, p.5), juegan un papel importante en la actividad matemática al permitir valorar la influencia del entorno sobre el desarrollo de la misma y conocer en que medida el proceso de interacciones enriquece el desarrollo de las tareas.

A partir de la información consolidada en los instrumentos, se obtienen los resultados en cada una de las tareas y a la vez, su influencia en el cambio de registro de representación sobre el aprendizaje de las matemáticas; lo cual lleva a reconocer la importancia de la actividad cognitiva y la comprensión que realizan los estudiantes del objeto

proporcionalidad, lo cual implica y exige la pluralidad en la utilización de sistemas de expresión y representación de un objeto matemático.

Referentes conceptuales: La investigación se fundamenta en la teoría de los registros de representación semiótica de Duval (2004), tomando como unidad de análisis “La movilización de los registros de representación semiótica del objeto matemático la proporcionalidad”; también se realiza una aproximación desde su evolución histórica, epistemológica, estructura conceptual, Sistemas de representación y fenomenología del objeto matemático la proporcionalidad, desde planteamientos como los de Gómez y Cañadas (2012), Gómez (2007), y Kaput (referido por Gómez y Cañadas, 2012) Guacaneme (2001) y finalmente para concretar la propuesta y diseño de las tareas matemáticas se referencia a Flóres, et al. (2013), y Duval(2006), con el fín de orientar la propuesta hacia tareas de producción y tareas de comprensión de las cuales los resultados sean directamente observables y fácilmente interpretables.

Duval (2004), desde la teoría semiótica de los registros de representación, sustenta que “No hay noésis sin semiosis” es decir, todo acto cognitivo de un objeto requiere de representaciones semióticas, teniendo en cuenta esta afirmación, y desde el aprendizaje de las matemáticas, no hay conocimiento que un sujeto pueda movilizar sin una representación, es necesario, caracterizar tratamientos (pasaje dentro del mismos registro de representación) y conversiones ( pasaje entre diferentes registros de representación) realizados por los estudiantes en las actividades matemáticas. (Ver ilustración 1)

Ilustración 1. Los procesos cognitivos fundamentales del pensamiento. (Duval, 2006)

De acuerdo a lo expuesto por Duval (2006), cuando se analiza cualquier actividad matemática se tienen que distinguir dos clases de transformación: tratamiento y conversión, es decir, la trasformación de una representación semiótica en otra implica estos procesos cognitivos tratamiento y conversión de por lo menos dos registros de representación semiótica, es así como la actividad matemática permite la movilización de los registros de representación semiótica, interés de la presente investigación.

En las tareas propuestas es necesario identificar la influencia del cambio de registro de representación sobre el aprendizaje de las matemáticas, es importante reconocer que la actividad cognitiva y la comprensión que realizan los estudiantes de las matemáticas exigen la utilización de sistemas de expresión y representación más allá de las imágenes y el lenguaje natural, como propone Duval(2004), lo cual requiere, que se utilicen varios registros de representación: verbal, tabular, numérico, gráfico y algebraico, para que haya aprendizaje y comprensión, lo cual permite al estudiante distinguir el objeto de su representación y encontrar sus diferencias.

Respecto al objeto matemático, se exponen los planteamientos de Gómez y Cañadas (2011), Gómez (2007), y Kaput (referido por Gómez y Cañadas, 2012), Guacaneme, E. A. (2001). Lo cual le permite a la investigación realizar una aproximación del objeto matemático la proporcionalidad desde su evolución histórica, epistemológica, estructura conceptual, sistemas de representación y fenomenología.

Flores, Gómez y Marín, (2013, p.13), exponen los componentes de la tarea matemática, (Ver Ilustración 2), los cuales permiten relacionar de forma adecuada cada uno de los aspectos más relevantes en la planeación de la tarea.

Ilustración 2. Esquema de los componentes de una tarea citados por, Flores, Gómez y Marín,( 2013, p. 13)

En primer lugar es necesario que la formulación sea interesante, motive el aprendizaje del estudiante; establecer metas claras y alcanzables a partir del desarrollo de la tarea, emplear los materiales y recursos pertinentes con las capacidades que se aspira a desarrollar con los estudiantes y como también definir el contenido a abordar a partir de la tarea y enmarcarla dentro de un contexto significativo para el estudiante, que facilite de esta forma el aprendizaje; Finalmente para poner en marcha la tarea se debe tener en cuenta el y

agrupamiento y las interacciones, es decir, planificar un trabajo de aula que contribuya a las metas trazadas.

Metodología: En esta investigación se ha consolidado el predomino del enfoque cualitativo y se utiliza como método el estudio de caso, con dos estudiantes, que consiste en analizar un caso o varios en detalle a través del tiempo, empleando múltiples fuentes de datos que se encuentran en el entorno, se concatenan la teoría con los datos recolectados y se analiza la movilización de los registros de representación semiótica: verbal, numérico tabular y gráfico, del objeto matemático la proporcionalidad, observando el desarrollo de las actividades cognitivas: formación, tratamiento y conversión realizadas por los estudiantes al desarrollar las tareas matemáticas propuestas en la investigación.

Inicialmente se propone una prueba diagnóstica para establecer los conocimientos previos de los estudiantes y posteriormente se vinculan al estudio tres tareas matemáticas contextualizadas y diseñadas acorde con los referentes teóricos y finalmente plasmar resultados, análisis, ideas, conclusiones sustentadas en los referentes teóricos e interpretaciones de lo observado. Permitiendo describir la movilización de los registros de representación semiótica: verbal, tabular numérico y gráfico del objeto matemático la proporcionalidad en los estudiantes, a partir de la aplicación de tareas.

Para cumplir con los objetivos planteados en esta investigación, a partir de lo anteriormente expuesto se desarrollan las siguientes fases: Fase 1 Diagnóstico: En esta fase se realiza un diagnóstico inicial que permite vislumbrar el problema de investigación y definir la proporcionalidad como objeto matemático en diferentes contextos, profundizando en algunos antecedentes de estudios realizados, a partir de dos ejes fundamentales: Los registros de representación semiótica y el objeto matemático la proporcionalidad; Se tomaron documentos base del Ministerio de Educación Nacional, Pruebas ICFES y PISA que reflexionan acerca de la representación en el aprendizaje de las matemáticas.

Fase 2 Formulación de tareas: En esta fase se diseñó una prueba diagnóstica que permitió explorar los conocimientos previos de los estudiantes respecto al objeto matemático la proporcionalidad. Posterior a ello se diseñaron tres tareas matemáticas contextualizadas de acuerdo a la propuesta de Flores, et al. (2013) Previo abordaje de los conceptos, y ajustadas a partir de los resultados de una prueba diagnóstica con el objetivo principal de explorar tratamientos y conversiones (movilización de registros) como lo propone Duval (2004); realizados en las tareas por los estudiantes sobre las representaciones (verbal, numérica, tabular y gráfica) del objeto matemático la proporcionalidad y observación directa en el transcurso del desarrollo de las tareas.

Fase 3 Intervención en el aula: En esta fase se aplican los instrumentos diseñados que tendrán lugar durante tres sesiones extra clases.

SESION 1: Aplicación de prueba diagnóstica.

SESIÓN 2: Aplicación de tarea 1 formulada en registro de representación verbal a la cual denominamos “receta de un ponqué”.

SESIÓN 3: A partir de la aplicación de la Tarea 1, se procedió a formular la Tarea 2 en registro tabular, teniendo en cuenta fortalezas y debilidades de la Tarea 1, La tarea es denominada “Competencias deportivas- Ciclismo en mi escuela” SESIÓN 4: Teniendo en cuenta los resultados de la Tarea 2, se debe enfatizar en los registros de representación gráfico, por lo tanto se formula la Tarea 3, “el gallinero”.

Análisis de datos: De acuerdo a la sistematización de los datos obtenidos en cada tarea, se formula una matriz de registro de resultados por tarea, de cada una de las actividades cognitivas, al igual que la matriz de recolección de la información de las interacciones estudiante-estudiante en cada una de las tareas. Se lleva a cabo la reducción de datos, a partir de la triangulación referido por Hernández, Sampieri (2010): “(…) Al hecho de utilizar diferentes fuentes y métodos de recolección, se le denomina triangulación de datos”. Por ende se construye una rejilla de triangulación de la información de las tareas aplicadas y las interacciones registradas en la observación directa y consignada en las notas de campo En la Tarea 1 “Las recetas”, los estudiantes E1 y E2 evidencian movilización del registro de representación verbal al tabular; identifican que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas, al igual que del verbal al numérico.

En la Tarea 2. Los estudiantes E1 Y E2 realizan una conversión al registro numérico, partiendo del enunciado de la situación formulado en registro verbal, es decir, los estudiantes siguen ligados al registro de representación numérico, en este sentido Duval (2004), afirma que los estudiantes se inclinan por los monoregistros para dar solución a las situaciones matemáticas y no emplea la pluralidad de registros de representación. Sin embargo, se esperaba la movilización al registro gráfico.

En la Tarea 3, “el gallinero”, se observa que los estudiantes E1 Y E2 logran la comprensión de la situación planteada y se evidencia la movilización del registro de representación gráfico al tabular; los estudiantes realizan una conversión al registro tabular y del tabular al gráfico; realiza tratamientos adecuados a partir, del registro de representación gráfico, por lo tanto, se infiere que hubo la lectura esperada de la gráfica, los estudiantes reconocen que las variables son inversamente proporcionales y en el tratamiento del registro de representación tabular, hallan la constante de proporcionalidad. Los estudiantes encontraron la relación entre las dos magnitudes y concluyen que son inversamente proporcionales ya que a medida que el número de gallinas aumenta los días disminuyen.

En cuanto a las interacciones entre estudiante- estudiante, en lo referente a que los estudiantes se escucharan, colaboraran y aprendieran de otros en la resolución de la tarea, se evidenció que en los estudiantes timidez, poco diálogo con los demás compañeros, a pesar de que se les da libertad y se les motiva para que lo hagan. En la segunda tarea se agrupan los estudiantes para que en el desarrollo de la actividad Tarea 2 se mejore el diálogo y se compartan puntos de vista y se evidencia e infiere que este fue un factor decisivo a la hora de escoger el registro de llegada, en este caso se dejó de lado el registro gráfico para enfocarse

nuevamente en lo numérico y en la Tarea 3 los estudiantes desarrollan la tarea motivados y en un ambiente más colaborativo.

Conclusiones: Los resultados permitieron confirmar la teoría propuesta por Duval (2004), relacionada con la “pluralidad de registros de representación semiótica” como facilitadores en la aprehensión del contenido y comprensión del objeto matemático; lo que permite que el estudiante desarrolle el pensamiento matemático y también se comprueba que los estudiantes acostumbran a solucionar cada situación propuesta con el registro numérico, situación que viene muy arraigada a la enseñanza impartida en el pasado. El uso de diferentes representaciones permitió mayor comprensión del objeto matemático, por ejemplo en los registros de representación tabulares, igual que en las representaciones gráficas, los estudiantes logran distinguir fácilmente las magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales, y la constante proporcional.

La aplicación de tareas contextualizadas y ajustadas a las necesidades que presentaron los estudiantes, motivaron y facilitaron el desarrollo y la interpretación de las mismas; y a su vez fortalecieron sus procesos de aprendizaje evidenciando que las situaciones contextualizadas influyen en la identificación de las unidades significantes que son transformadas en otros registros (Duval, 2004); sin embargo en un primer momento en la Tarea 2, el estudiante E1 presentó algunas dificultades en la conversión del registro gráfico, y se inclinó por una conversión en registro numérico , Entonces, en la Tarea 3, se hace énfasis en la movilización del registro en mención; Caso contrario sucedió con el registro tabular ya que se convierte en fortaleza al realizar la conversión desde el numérico para los estudiantes.

Los resultados respecto a las interacciones estudiante –estudiante, dentro de la actividad matemática, permitieron visualizar la retroalimentación de la actividad matemática entre los estudiantes participantes, a partir del diálogo, la discusión de razonamientos y aclaración de dudas que les conllevaron al desarrollo de las tareas.

Bibliografía Castro,

E., & Castro, E. (1997). representaciones http://cumbia.ath.cx:591/pna/Archivos/CastroE97-2531.PDF.

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modelización

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Duval, R. (2004). Semiosis y Pesamiento Humano. Registros semióticos y aprendizajes. (M. Vega, Trad.) Cali: Merlin I.D. Duval, R. (2006). Un tema crucial en la educación matemática: la habilidad para cambiar un registro de representación. LA GACETA DE LA RSME, 9.1, 143-168.

Flóres, P., Gómez, P., & Marín, A. (2013). Modulo 4: Análisis de instrucción. En P. Flores, P. Gómez, & A. Marín.

Gómez, P. (2007). Desarrollo del conocimiento didáctico en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Granada, España: Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.

Gómez, P., & Cañadas, M. C. (2012). Apuntes sobre análisis de contenido. Módulo 2 de MAD. Documento no publicado., Universidad de Los Andes, Bogotá.

Guacaneme, E. A. (2001). Estudio didáctico de la proporción y la proporcionalidad:Una aproximación a los aspectos matemáticos formales y a los textos escolares. Cali.

Hernandez Sampieri, R. (2010). Metodología de la Investigación. Mexico: McGRAW-HILL / INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. .

ICFES. (08 de septiembre de 2015). www.icfesinteractivo.gov.co. Recuperado el 10 de septiembre de 2015 Marín, A. (2010). google académico. Recuperado el 12 de 01 de 2016, de google académico: http://fqm193.ugr.es/media/grupos/FQM193/cms/Marin2005Tareas.pdf

PONENCIA

“SECUENCIAS DIDÁCTICAS PARA LA CONVERSIÓN ENTRE LOS REGISTROS DE REPRESENACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL”

YAMIL TAFUR DÍAZ EDWIN ANDRES PERDOMO POLANIA

UNIVERSIDAD DE LA AMAZONÍA III ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA FLORENCIA – CAQUETÁ 2016 1

PONENCIA

“SECUENCIAS DIDÁCTICAS PARA LA CONVERSIÓN ENTRE LOS REGISTROS DE REPRESENACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL”

YAMIL TAFUR DÍAZ EDWIN ANDRES PERDOMO POLANIA

Propuesta de Ponencia presentada para participar en el III encuentro internacional de Matemáticas y Física.

UNIVERSIDAD DE LA AMAZONÍA III ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA FLORENCIA – CAQUETÁ 2016 2

1. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA

Dada la experiencia como docentes de matemáticas y al revisar algunos trabajos relacionados con el objeto de estudio de la investigación “La conversión entre los registros de representacion gráfico y verbal de la Función Lineal y criterios de congruencia”, se evidencia que los estudiantes presentan dificultades a la hora de realizar conversiones entre los registros de representación de la función lineal, es decir, trabajan con los registros de manera aislada y sin reconocer las relaciones existentes entre éstos. En esta dirección Duval (2004, p.28) sostiene que se ha probado que cambiar la forma de una representación es, para muchos alumnos de los diferentes niveles de enseñanza, una operación difícil e incluso en ocasiones imposible.

Al realizar dicha revisión, en trabajos como Planchart (2000), Guzmán (2006), Posada & Villa-Ochoa (2006) y Ospina (2012), se encontró que estas investigaciones han centrado su interés en describir las dificultades que presentan los estudiantes a la hora de hacer conversiones entre los diferentes registros de representación de la función, algunos con mayor aproximación al concepto de función lineal.

En este orden de ideas, desde la Maestría en Ciencias de la Educación, Énfasis en Didáctica de las Matemáticas, de la Universidad de la Amazonía, se llevó a cabo una investigación que contribuyera a fortalecer el proceso de conversión entre los registros de representación de la función lineal, es decir, no sólo identificar y describir las dificultades que presentan los estudiantes cuando realizan la conversión, sino que a partir del diseño e implementación de secuencias didácticas caracterizadas por la ingerencia de problemas significativos del contexto cafetero inherente a los educandos de grado décimo, se alcanzara la coversión entre los registros de representación de la funcion lineal. En la presente Ponencia más que reportar los resultados de la investigación, es develar las características que se tuvieron en la cuenta para la construcción y aplicación de las secuencias didácticas dentro del diseño metodológico, reportando algunos resultados o producciones escritas y realizadas por seis estudiantes participantes en la investigación.

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2. REFERENTES TEÓRICOS En cuanto los registros de representación de la función, Font (2001) afirma que: La representación verbal se relaciona con la capacidad lingüística de las personas, y es básica para interpretar y relacionar las otras tres; la representación en forma de tabla se relaciona con el pensamiento numérico; la representación gráfica se conecta con las potencialidades conceptualizadoras de la visualización y se relaciona con la geometría y la topología; mientras que la expresión analítica se conecta con la capacidad simbólica y se relaciona principalmente con el álgebra. (Font, 2001, p. 182, citado en Gutiérrez & Parada, 2007, p.36)

Por otra parte, existen tres actividades cognitivas inherentes a toda representación semiótica, las cuales son la formación, el tratamiento y la conversión. Aunque las tres se encuentran estrechamente ligadas, se hizo énfasis en la conversión por el propósito del trabajo. La conversión es la transformación de la representación de un objeto, de una situación o de una información dada en un registro, en una representación de este mismo objeto, de esta misma situación o de la misma información en otro registro. (Duval, 2004, p. 46).

Para el trabajo se entendió la conversión en los términos en que Duval plantea y además se evidenció que un estudiante realizara de manera adecuada una conversión si se cumplen los tres criterios de congruencia entre las representaciones; la correspondencia semántica entre las unidades significantes, la univocidad semántica terminal e igual orden de aprehensión entre las unidades significantes. Se entiende por unidad significante el valor que pueden tomar las diferentes variables en una representación.

Debido a que muchos de los enfoques obedecen a demandas ajenas a las que viven los estudiantes en sus regiones, se hace necesario la inclusión de mecanismos que tengan en cuenta características propias de cada comunidad en la que se desarrollan procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, en ese sentido se abordó el enfoque socio formativo de las competencias, debido a que como lo plantea Tobón, García & Pimienta (2010, pág. 17), dicho enfoque busca que el currículo apunte a prácticas cotidianas y regulares que promuevan la formación integral de las personas, analizando y reflexionando en torno a las dinámicas sociales, culturales y económicas.

Por lo anterior, se plantearon situaciones de aprendizaje situado en el contexto cafetero, teniendo en cuenta elementos que relacionan los conceptos matemáticos y prácticas cotidianas de los estudiantes que están inmersas en cada una de las secuencias didácticas.

Con respecto a las secuencias didácticas para promover la conversión entre los registros de representación de la función lineal, se dan a conocer aquellos elementos que se asumieron para el desarrollo teórico y metodológico de la investigación, y al respecto Tobón, García & Pimienta (2010) afirman que: Las secuencias didácticas son, sencillamente, conjuntos articulados de actividades de aprendizaje y evaluación que, con la mediación de un docente, buscan el logro de determinadas metas educativas, considerando una serie de recursos. En la práctica, esto implica mejoras sustanciales de los procesos de formación de los estudiantes, ya que la educación se vuelve menos fragmentada y se enfoca en metas. (p.20).

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3. METODOLOGÍA Esta investigación se enmarcó en el enfoque cualitativo, ya que permite la realización de un estudio detallado del fenómeno en un contexto real y en situaciones cotidianas inherentes a los participantes, en este sentido, Hernández, Fernández & Baptista (2010), hacen referencia a que el enfoque cualitativo puede: “concebirse como un conjunto de prácticas interpretativas que hacen al mundo “visible”, lo transforman y convierten en una serie de representaciones en forma de observaciones, anotaciones, grabaciones y documentos. Es naturalista (porque estudia a los objetos y seres vivos en sus contextos o ambientes naturales y cotidianidad) e interpretativo (pues intenta encontrar sentido a los fenómenos en función de los significados que las personas les otorguen)”. (p.10).

En ese sentido, la investigación hizo énfasis en las actuaciones de los estudiantes al enfrentarse a situaciones propias del concepto de función lineal, sin cuantificar los procesos llevados a cabo por los mismos en cada una de las secuencias didácticas y teniendo en la cuenta la obtención de representaciones semióticas congruentes. Además, la investigación se asumió con la técnica del estudio de casos, el cual es explicativo, ya que tiene como propósito investigar y explicar las características del fenómeno con mayor profundidad. En esta dirección Stake (citado en Muñiz, 2013, p.1) plantea que “los estudios de caso tienen como característica básica que abordan de forma intensiva una unidad, ésta puede referirse a una persona, una familia, un grupo, organización o una institución”. Por estas razones, la investigación analizó seis casos en los que se estudia el proceso de conversión entre los registros de representación de la función lineal, a partir de situaciones propias de dicho concepto y en el contexto cafetero en el que se desenvuelve cada caso.

El presente trabajo tuvo como objetivo el diseño e implementación de secuencias didácticas en las que las actividades propuestas se determinan por la injerencia de problemas significativos del contexto.

Las secuencias didácticas diseñadas e implementadas se caracterizan por tener la siguiente estructura. Tomaremos como base la Secuencia Didáctica 1.

1. Número y nombre de la tabla.

2. Número de la Secuencia Didáctica y su respectivo nombre 3. Número de Sesión y su respectivo nombre: en cada sesión se indica cuál es el objetivo, el registro de partida, el de llegada y el nivel de complejidad planteados por PISA/OCDE, para cada uno de los ítem que componen cada sesión

4. Se implementó una prueba diagnóstica y 3 Secuencias Didácticas de las cuales las Secuencias Didáctica 1 y 2 estaban compuestas por 3 sesiones cada una y la Secuencias Didáctica 3 la componían 2 sesiones.

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4. ACTIVIDADES 4.1 ANÁLISIS DE DATOS La investigación se desarrolló en dos fases, la primera consistió en la aplicación de una prueba inicial con el propósito de identificar los conocimientos alcanzados por los estudiantes de grado décimo en materia de conversión; el cuestionario estaba conformado por tres situaciones, con seis, seis y cinco ítems respectivamente, los cuales se caracterizan por ser intra-matemáticos o que de alguna manera conservan cierto grado de convencionalidad. Algunos ítems favorecieron en mayor medida a que los estudiantes tuvieran que realizar algún tipo de conversión y uno de ellos es el que mostraremos.

La situación número dos planteada en el cuestionario cuenta con el siguiente enunciado:

Figura 1. Nota de campo estudiante (E2) Los criterios de congruencia entre representaciones mencionados en uno de los apartados anteriores, son las unidades de análisis planteadas de manera a priori y posteriormente se tendrán en cuenta aquellas que vayan emergiendo a partir de la recolección y el análisis de los datos.

Obsérvese en la figura 1, que los dos primeros criterios se cumplen, ya que a cada unidad significante (Tiempo en horas) del registro de partida, le corresponde una unidad significante (Salario en pesos) en el registro de llegada y a la vez a cada unidad significante del registro de partida le corresponde una y sólo una unidad en el registro de llegada, pero el tercer criterio de congruencia no se da, ya que no se mantiene el orden de aprehensión entre las unidades significantes, ya que el estudiante (E2) ha invertido las unidades correspondientes a los ejes en la representación gráfica; es decir, las dos representaciones no son congruentes.

La totalidad de estudiantes presentaron dificultades con las variables intervinientes en dicha situación y en su gran mayoría con el uso de otra representación, en este sentido se abrió el 6

camino para el diseño de las secuencias didácticas que contribuyan a la conversión entre los sistemas de representación de la función lineal.

La segunda fase fue la elaboración y aplicación de 3 secuencias didácticas que permitió la intervención en el aula de clase y el diseño de la matriz de análisis de cada una de las Secuencias didácticas.

A continuación se presenta el análisis de los resultados de la Secuencia Didáctica 1, sesión 1 del episodio 1 del estudiante (E5) y parte de su respectiva entrevista semiestructurada:

I1: Bueno Silvia, ¿Qué entendió usted por magnitud?

E5: Magnitud como la diferencia como no se, expresar las magnitudes que intervienen en el proceso de recolección, como la diferencia entre Orlando y Martin I1: ¿La diferencia en qué?

E5: La diferencia en lo que recolectaban, por ejemplo, la magnitud puede ser el tiempo, el número de arrobas que recogían. …….

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5. RESULTADOS

El proponer situaciones del contexto propio de los estudiantes, genera mayor motivación e interés para la comprensión de las matemáticas, para el caso de la conversión (ésta permite un mayor

acercamiento a unas matemáticas que cobran sentido en actividades de su cotidianidad). De igual manera, se puede realizar registros de representación en la función lineal la cual genera rupturas de

paradigmas estandarizados y arraigados en el aula de clases de matemáticas.

Las secuencias didácticas, contribuyen en la consecución de metas y rompen el deseo de cumplir simplemente con los contenidos del área porque ellas tienen actividades concatenadas las cuales permiten establecer relaciones entre conceptos, sistemas de representación, fenómenos y niveles de complejidad inherentes al objeto matemático.

Los aprendizajes de los educandos se fortalecieron porque según la matriz creada y aplicada para analizar los resultados generados de las secuencias didácticas fueron mutando paulatinamente debido a que los índices porcentuales develados en el transcurso del proceso los estudiantes superaron las oportunidades de mejora detectadas con relación a la conversión entre los registros de representación de la función lineal.

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6. BIBLIOGRAFÍA Duval, R. (2004). Semiosis y pensamiento humano. Cali - Colombia: Grupo de educaciòn matemática.

Guzmán, R. (2006). Dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado de educación secundaria al trabajar con los diferentes registros de representación de la función lineal.

Acapulco (Mexico): Universidad Autonoma de guerrero.

Hernández, R., Fernández, C., & Baptista, P. (2010). Metodología de la investigación. Mexico: Mc Graw Hill.

Muñiz, M. (2013). Estudios de caso en la investigación cualitativa. Mexico: Facultad de Psicología, Universidad Autónoma de Nuevo leon.

Ospina, D. (2012). Las representaciones semioticas en el aprendizaje del concepto de función lineal. Manizales (Colombia): Universidad autonoma de Manizales.

Planchart, O. (2000). La visualización y la modelación en la adquisición del concepto de función.

Cuernavaca (Mexico): Universidas Autónoma del Estado de Morelos.

Villa, J., & Posada, F. (2006). Propuesta didáctica de aproximación al concepto de función lineal desde una perspectiva variacional. Medellin (Colombia): Universidad de Antioquia.

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VIRTUALIZACIÓN DEL MUSEO INTERACTIVO DE LA CIENCIA Y LA CREATIVIDAD, MICC, DE LA UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA. Mag. Jhon Fredy Sabi Rojas ibas1501@gmail.com Universidad de la Amazona Esp. Hugo Hernando Díaz Raga hu.raga@udla.edu.co Universidad de la Amazona Estu. Pablo Andrés Murcia Figueroa akriuz@gmail.com Universidad de la Amazona RESUMEN: Se presenta un proyecto de investigación establecido por el Semillero de las Tecnologías de la Información y la Comunicación para la enseñanza de la Física, SEMTICFI. Se presenta una propuesta para virtualizar el Museo Interactivo de la Ciencia y la Creatividad, MICC, de la Universidad de la Amazonia, comenzando con tres montajes interactivos. Se les diseñara videos para mejorar la comprensión de su funcionamiento y applets con los que podrán intercambiar variables para observar que pasa con el montaje. Se presenta la metodología llevada a cabo y los resultados y conclusiones obtenidos.

Palabras Clave: Tic´s, virtualización, montajes, interactividad, aprendizaje.

INTRODUCCIÓN El actual desarrollo tecnológico que se presenta en todos los ámbitos del ser humano nos obliga a estar actualizando constantemente nuestras formas de realizar las actividades diarias.

En el sector educativo se está observando el creciente uso de la tecnología para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de cada una de las áreas del saber. Por ello podemos ver programas para la enseñanza del inglés, las matemáticas y, lo que nos interesa, la física.

Hablando específicamente de la Física, podemos observar en internet muchos programas y aplicaciones que permiten que tanto estudiantes como docentes tengan acceso al conocimiento de una manera más práctica (Castiblanco & Vizcaíno, 2008). Pero también existen los museos interactivos de ciencia los cuales son espacios donde se aprende por medio de la interacción con montajes diseñados con el fin de adquirir los conocimientos científicos a partir del juego y la recreación (Orozco, 2006).

La Universidad de la Amazonia cuenta con un museo interactivo llamado Museo Interactivo de la Ciencia y la Creatividad, MICC por sus siglas, el cual se encuentra ubicado en la sede centro de la universidad. Este museo está en proceso de restauración tanto de su espacio físico como de sus montajes, los cuales ya hay varios restaurados. Este museo ha hecho varias visitas a instituciones educativas a nivel municipal y departamental. Los estudiantes y

docentes participes de las visitas del MICC se divierten y aprenden los conceptos físicos de los montajes, los cuales son explicados por el coordinador del museo.

Pero se presenta el siguiente inconveniente: algunos de los montajes, como “las antenas de sonido”, “la silla giratoria” y “hable por usted mismo”, son muy llamativos para los asistentes y la explicación que les da el coordinador del museo sobre el funcionamiento y explicación física de los mismos, en muchas ocasiones no son muy bien entendidas por ellos por su nivel educativo y por ello el conocimiento físico no muchas veces es aprendido ni compartido.

Por tal motivo se realiza este proyecto de investigación, el cual aún está en desarrollo y se presentaran sus resultados finales en el mes de octubre. Se presenta los objetivos investigativos, el marco teórico que la sustenta, la metodología que se lleva a cabo y unos resultados iniciales y unas posibles conclusiones.

OBJETIVOS GENERAL:  Desarrollar materiales audiovisuales e interactivos de tres montajes del MICC, los cuales permitan lograr una mejor comprensión de los conceptos físicos, relacionados con los mismos, en los visitantes del MICC de la Universidad de la Amazonia.

ESPECÍFICOS:  Construir cartillas didácticas sobre la explicación física del funcionamiento de cada uno de los tres montajes seleccionados, a partir de la indagación teórica realizada. 

Contribuir a la comprensión de conceptos físicos en los visitantes del MICC a partir de la construcción de material audiovisual e interactivo de tres montajes del MICC.



Fomentar una cultura ciudadana en ciencia, tecnología e innovación en los visitantes del MICC.

MARCO TEÓRICO  Incorporación de las TICs en la enseñanza de la Física El estudio de la Física nos permite desarrollar aspectos, no solo cognitivos sino también afectivos de las personas en tanto a las cuestiones éticas que conllevan los resultados de las investigaciones científicas. También nos permite enfocarnos en los procesos de pensamiento con el objetivo de crear, aumentar y desarrollar nuestras capacidades creadoras y analíticas con respecto a la comprensión, producción y uso de nuevas tecnologías que se han desarrollado a la par de los avances científicos. Por tal motivo es importante tener en cuenta dos aspectos al momento de incorporar las TICs en la enseñanza de la Física: “La formación del pensamiento para producir y/o acoplar tecnologías de la información con una actitud crítica y reflexiva, lo cual denominaremos inteligencia tecnológica, y el aprovechamiento de

éstas para construir conocimiento científico, lo cual denominaremos inteligencia científica” (Castiblanco & Vizcaíno, 2008, pág. 3).

Además, el uso de las TICs en la enseñanza y aprendizaje de la Física permite crear ambientes donde se propicien condiciones ideales que muy difícilmente se podrían lograr en un laboratorio de colegios o universidades (Serrano Sanchez & Prendes Espinoza, 2012). Con estos ambientes se produce un contraste con la teoría y lo encontrado en el laboratorio produciendo así procesos cognitivos de comprensión de los conceptos físicos en cuestión.

Pero no hay que olvidar el papel del docente, ya que así se cuenten con todas las herramientas posibles, el papel del docente como mediador entre la enseñanza y el aprendizaje es fundamental para la adquisición del conocimiento científico (Arrieta & Delgado, 2006).  Uso de las TIC´s en los museos interactivos de ciencia Entre otros aspectos existen museos de segunda generación o Museos interactivos de ciencias, en pocas palabras, se centran en analizar y exponer el orden natural del universo, aplicando leyes y principios fundamentales de la ciencia. No poseen colecciones y sus módulos permiten al visitante interactuar con el objeto sin que exista un contexto. A esta categoría pertenecen la gran mayoría de los Museos de ciencias nacionales e internacionales En las generaciones de museos interactivos, se representan por exposiciones que tienen como objetivo profundizar en problemas relacionados con interacciones ciencia-tecnologíasociedad y medio-ambiente, centrados más en el hoy y el mañana que en el pasado contemplando así, diferentes puntos de vista (Guisasola, Solbes , Barragués, Moreno, & Morentin, 2007).

El museo interactivo de la ciencia y la creatividad de la Universidad de la Amazonia, se ha considerado dentro del grupo de investigación como museo de cuarta generación (4G). El Museo interactivo tiene como objetivos enmarcados: incidir positivamente en la calidad de la educación aplicada a la física utilizando como herramienta las Tecnología de la Información y la Comunicación “TIC”, contribuir en el desarrollo de OVAS (Objeto virtual de aprendizajes) que permita la enseñanza de una manera más interactiva y amena.

En este orden de ideas, todos y cada uno de los museos de ciencia trasfieren hacia un determinado fin, lograr la comunicación de la ciencia e incluir también otros temas importantes para la sociedad como la sustentabilidad, la equidad, las polémicas científicas y el equilibrio entre el conocimiento universal (Gomez Mont, 2013).

METODOLOGÍA El presente proyecto de investigación tiene repercusión directa en la comunidad educativa de las instituciones educativas del departamento y a la comunidad en general visitante del museo. Se enmarca en una metodología cualitativa en cuanto lo que se pretende es contribuir a la comprensión de conceptos físicos con ayuda de materiales audiovisuales e interactivos y

a la fomentación de una cultura científica a través de la lúdica y la diversión. Además, en este proyecto se prioriza la interacción de los visitantes del MICC con los montajes y materiales audiovisuales e interactivos lo que conlleva a realizar una observación participante con la comunidad visitante. Para conocer si el proyecto ha contribuido a la comprensión de los conceptos físicos, se realizaran entrevistas cortas a distintos visitantes después de que hayan interactuado con el montaje. Estas encuestas nos permitirán realizar ajustes para la siguiente fase del proyecto.

Además se platearon las siguientes actividades para cumplir con los objetivos propuestos: Actividad 1: Indagar y recolectar teoría sobre los conceptos físicos de los tres montajes del MICC con los que se van a trabajar.

Actividad 2: Elaborar tres materiales audiovisuales (videos) donde se explique el funcionamiento y fundamentación física de los tres montajes seleccionados.

Actividad 3: Elaborar tres materiales interactivos (applets) de los tres montajes seleccionados con los que los visitantes interactúen para afianzar los conceptos físicos.

Actividad 4: Impulsar la indagación científica y uso tecnológico en los visitantes del museo MICC durante las salidas realizadas.

RESULTADOS A continuación se presentan los resultados parciales que se han obtenido con respecto a cada una de las actividades mencionadas: Actividad 1: Se ha recolectado la información teórica que explica el funcionamiento de los tres montajes seleccionados: Antenas de sonido: Este montaje consiste en dos antenas parabólicas de color amarilla en las cuales se puede hablar en un aro que ,arca el foco de la antena y se puede escuchar lo que habla otra persona que está ubicada a varios metros de la primera. Su funcionamiento se explica por medio de las propiedades de las antenas parabólicas, las cuales reciben la información, esta se refleja siempre en el foco de la antena y vuelve y se transmite a todas partes y cuando la información llega a la otra antena vuelve y se repite.

Imagen 1. Antenas de sonido

Imagen 1. Antenas de sonido

Imagen 2. Estudiantes hablando por medio de las Antenas de sonido

Hable con usted mismo: Este montaje consiste en una manguera que se encuentra enrollada en un soporte en el que se puede hablar por un extremo y podemos escuchar nuestra propia voz en el otro extremo del tubo. Su funcionamiento se explica por medio de la velocidad del sonido en tubos abiertos en los que depende según su longitud la frecuencia de vibración y los nodos fundamentales que se forman.

Silla giratoria: Este montaje consiste en una silla que gira libremente y se encuentra soldada en una base de hierro. Tiene unos brazos que a su vez tiene una masa a cada lado. Cuando se pone a girar la silla, la persona sentada en ella intenta acerar las masas para así aumentar la velocidad de giro de la silla. Cuando se alejan las masas del centro la velocidad de la silla disminuye. Su funcionamiento se explica por medio de la conservación del momento angular, la inercia y la fuerza centrípeta.

Actividad 2: Con respecto a esta actividad se están diseñando los videos explicativos de los tres montajes. Según el cronograma de actividades, al final de agosto ya se tendrían terminados.

Actividad 3: Con respecto a esta actividad, los estudiantes encargados los están realizando paralelamente a los videos. De igual manera se espera tenerlos terminados a finales del mes de agosto.

Actividad 4: Esta actividad se piensa llevar a cabo al inicio del mes de septiembre una vez terminados los videos explicativos y los applets.

CONCLUSIONES Hasta el momento se pueden establecer las siguientes conclusiones de la investigación.  La interactividad ayuda a la comprensión de los conceptos físicos en los participantes del museo. Con la ayuda de la virtualización de los montajes esta interactividad es mayor.  La claridad de los conceptos físicos es primordial para la elaboración de cualquier material digital.  La elaboración de los videos y applets es una trabajo laborioso en el que se debe tener cuidado al momento de visualizar lo que se espera.  La cultura científica de la región se debe impulsar con proyectos similares, con el apoyo de las tecnologías actuales se puede lograr un avance significativo.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS • Arrieta, X., & Delgado, M. (2006). Tecnologías de la información en la enseñanza de la física de educación basica. Revista Venezolana de Información, Tecnología y Conocimiento, 63-76. Obtenido de http://www.scielo.org.ve/pdf/enl/v3n1/art05.pdf • Castiblanco, O. L., & Vizcaíno, D. F. (2008). El uso de las TICs en la enseñanza de la fisica.

Ingenio Libre, 20-26.

Obtenido de http://www.unilibre.edu.co/revistaingeniolibre/revista7/articulos/El-uso-de-las-TICs.pdf • Gomez Mont, C. (2013). Los museos virtuales como espacios para el aprendizaje.

VIRTUalis, Año 4(8), 34-44.

• Guisasola, J., Solbes , J., Barragués, J. I., Moreno, A., & Morentin, M. (2007).

COMPRENSIÓN DE LOS ESTUDIANTES DE LA TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD Y DISEÑO DE UNA VISITA GUIADA A UN MUSEO DE LA CIENCIA. Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias, 2-20. Obtenido de https://www.researchgate.net/publication/28139189_Comprension_de_los_estudiantes_de_ la_Teoria_Especial_de_la_Relatividad_y_diseno_de_una_visita_guiada_a_un_museo_de_l a_ciencia.

• Orozco, G. (2006). Los museos interactivos como mediadores pedagógicos. Sinéctica, 3850.

Obtenido de http://sinectica.iteso.mx/assets/files/articulos/26_los_museos_interactivos_como_mediador es_pedagogicos.pdf.

• Serrano Sanchez, J. L., & Prendes Espinoza, M. P. (2012). La enseñanza y el aprendizaje de la física y el trabajo colaborativo con el uso de las TIC. Revista Latinoamericana de Tecnología Educativa, 11(1), 95-107. Obtenido de http://relatec.unex.es/F1EF6D33-89D4428C-A82B-8876E7A3A05C/FinalDownload/DownloadIdA47B8601552C761D64D7D3A4CF055E35/F1EF6D33-89D4-428C-A82B8876E7A3A05C/article/viewFile/825/629

“LA VARIACION DE LA MASA DE UN HUEVO, DURANTE SU PROCESO DE INCUBACIÓN” Karen Faisury Cano Diaz1, Yury Neida Pérez Castañeda1, James Fajardo Proaños1, José A Marin2 faisurycano@gmail.com, yurineidaperez21@hotmail.com, jafapro06@hotmail.com, 1. Estudiantes Licenciatura en Matemáticas y Física, 2. Docente Facultad Ciencias de la Educación, Universidad de la amazonia Resumen Como parte del trabajo en clase de los espacios académicos de Termodinámica y el Problema del Calor y la temperatura, de la Licenciatura en Matemáticas y Física, tercer semestre, se realiza el planteamiento de una pregunta que sirva como base para dar inicio a un proceso de investigación. ¿Cómo varia la masa de un huevo durante el proceso de incubación, debido a la transferencia de calor desde un sistema natural y uno artificial? Fue la pregunta que nos plantamos para ser desarrollada durante el semestre académico para los dos espacios de trabajo. La indagación, el diseño experimental, la recolección de datos, análisis de estos, graficación, fueron algunos de los pasos seguidos para la búsqueda de respuesta a la pregunta. Se planteó una hipótesis inicial “el huevo aumenta su masa durante el proceso de incubación” y a través del proceso experimental se encontró que es todo lo contrario. A partir del estudio de la información colectada y del proceso experimental, se identificó las formas de transferencia de energía, lo que es un sistema abierto y cerrado, consecuencias de la exposición de un cuerpo a procesos de absorción de energía. El proceso llevado a cabo de manera conjunta para los dos cursos permitió un mejor aprendizaje de las temáticas de la termodinámica, al igual que la metodología de resolución de problemas a partir de procesos investigativos, nos dotó de herramientas para seguir adelante hacia el conocimiento de nuevas situaciones, ahora relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de la ciencias, en especial de la física.

Palabras clave Transferencia de calor, temperatura, masa, incubación, resolución de problemas.

Abstract As part of the work in class of the academic spaces of thermodynamics and the problem of the heat and the temperature of the Degree in Mathematics and Physics education, third semester, is the approach of a question that will serve as the basis to start a process of investigation. How varies the mass of an egg during the incubation process, due to the transfer of heat from a natural system and one artificial? It was the question that we stand up to be developed during the academic semester for the two places of work.

The inquiry, the experimental design, data collection, analysis of these, plotting, were some of the steps followed in the search for an answer to the question. An initial hypothesis was raised "the egg increases its mass during the incubation process" and through the pilot process it was found that the opposite is true. From the study of the information collected and the pilot process, they identified the forms of transfer of power which is an open system and closed, consequences of exposure of a body to processes of absorption of energy. The process carried out jointly for the two courses allowed a better learning of the thematic of thermodynamics, as well as the troubleshooting methodology from investigative processes, we provided tools to move forward toward the knowledge of new situations now related with the teaching and learning of science, in particular of physics.

Key Words Heat transfer, temperature, mass, incubation, Resolution of problems.

Introducción Los procesos de certificación de calidad de la Licenciatura en Matemáticas y Física, desde el año 2003, generó proceso académicos importantes en lo relacionado al currículo mismo del programa, involucrando nuevas metodologías, herramientas didácticas y de planeación del currículo, permitiendo encontrar puntos congruentes entre los espacios académicos, facilitando en el estudiante la construcción de conocimiento y su consolidación.

En el transcurso del desarrollo del tercer semestre académico del programa de licenciatura en Matemáticas y Física, se trabajó en los espacios de Termodinámica y el Problema del Calor y la Temperatura, a partir de resolución de problemas y procesos investigativos, de manera que nos llevó a la generación de una pregunta, con la cual se trabajó durante el semestre, argumentado la posible solución desde lo teórico, al igual que con la realización de montajes experimentales que permitieran contrastar lo estudiado.

El presente trabajo tiene como propósito mostrar la transferencia de calor realizada hacia el huevo en el proceso de incubación durante dos momentos, uno natural y otro artificial. Debido al conocimiento adquirido sobre los procesos de incubación se planteó la siguiente hipótesis “el huevo aumenta su masa durante el proceso de incubación” Durante el proceso natural se utiliza una gallina clueca y una cantidad apropiada de huevos, a la que se le adecuó un nido con todas las precauciones para obtener resultado.

Durante la incubación artificial de los huevos se utiliza un prototipo construido en casa. Se realiza el proceso de observación en los dos sistemas y luego se contrastan los resultados. El objetivo central fue medir la variación de la masa del huevo debido a la transferencia de calor en el proceso de incubación.

A partir de este se realizaron actividades como el de consulta en torno a la transferencia de calor y también con respecto a las características del huevo, se midió el calor suministrado por las gallinas y de las bombillas al huevo durante el proceso de incubación, la masa del huevo durante cada día, se diseñó y construyó un prototipo de incubación manual (casera). Por último se construye un informe final del proceso vivido durante todo el semestre para los dos espacios académicos y se sustenta ante los dos docentes, quienes evalúan el proceso y los resultados a los cuales se llegó.

Marco teórico Según Howell, J. R. Buckius, R.O. (1990), considera que la transferencia de calor es la energía que puede atravesar las fronteras de un sistema debido a la diferencia de temperaturas. Cuando una lata de jugo de naranja helado se coloca en un cuarto caliente, la experiencia ha mostrado que el jugo de naranja (el sistema) aumenta su temperatura hasta aproximarse a la del cuarto. El estado del sistema ha cambiado ya que por sus fronteras cruza energía desde el ambiente a causa de la diferencia de temperaturas entre el cuarto y el jugo. Esta trasferencia de energía no es trabajo, ya que no es posible imaginar un procedimiento en que el único efecto sea la elevación de una presión. “En Termodinámica se define el trabajo termodinámico en un proceso dado como el trabajo realizado por las fuerzas que durante el proceso los alrededores ejercen sobre el sistema” generando cambios en las variables como presión, temperatura y volumen. Medina, Rodríguez. A. Ovejero, Sánchez. J. (2010) Según Sears et all. (1996) la temperatura se origina en las ideas cualitativas de “caliente” y “frío” basada en el sentido del tacto. Un cuerpo que se siente caliente suele tener una temperatura más alta que el mismo cuerpo cuando se siente frío. Esto es un tanto vago y los sentidos pueden engañarse. Sin embargo, muchas propiedades de la materia que podemos medir dependen de la temperatura. La longitud de una barra de metal, la presión de vapor en una caldera, la capacidad de un cable para conducir corriente eléctrica y el color de un objeto brillante muy caliente, todo esto depende de la temperatura. De igual forma consideran que el calor es la interacción que causa cambios de temperatura es básicamente una transferencia de energía de una sustancia a otra. La transferencia de energía que ocurre solo por una diferencia de temperatura se llama flujo de calor o transferencia de calor, y la energía así transferida se llama calor. Un ejemplo de ello es, si metemos una cuchara fría en una taza de café caliente, la cuchara se calienta y el café se enfría para acercarse al equilibrio térmico.

Según Howell, J. R. Buckius, R.O. (1990) la Primera ley de la termodinámica o conservación de la energía es un cambio de energía total (cinética, potencial e interna) es igual al trabajo realizado en la masa de control más el calor transferido a dicha masa. Y la Segunda ley de la termodinámica es la transferencia de calor o transferencia de energía desorganizada con la propiedad del sistema que caracteriza lo anterior de este, su incertidumbre o el desorden de su estado. Esta conexión entre la transferencia de calor y una propiedad de certidumbre que muestra la dirección de un proceso corresponde a la segunda ley de la termodinámica.

Sin embargo, se debe resaltar el conocimiento del sistema del huevo. A partir de la literatura sobre la constitución del huevo, se encontró que éste tiene la siguiente Composición: (Huevo Entero líquido Pasteurizado 2009) “Los huevos contienen 2 partes de clara por 1 de yema. El huevo entero contiene Humedad 74.6%, Proteína 12%, grasa 11%, y Carbohidratos 1.2 %. La formación y estructura del huevo se explica en el siguiente enunciado “Las yemas se forman en el ovario de la gallina y caen dentro de la boca del oviducto, en el camino se cubren de capas de clara producidas por las células secretoras de albúmina, proteína, y finalmente de calcio y otros minerales cerca del fondo del oviducto y que forman el cascarón. Esto sucede sin importar que la gallina este fertilizada o no. Durante la fertilización el espermatozoide sube por el oviducto hasta la yema, y la fertiliza antes de que se cubra de albúmina. El cascarón es poroso, lo cual permite el intercambio de gases vital para el embrión que se desarrolle si es fertilizado. Por otra parte se descubrió que (estructura del huevo) está compuesto principalmente de carbonato de calcio, una sal. Contiene aproximadamente de 8,000 a 10,000 poros, que permiten que la humedad y los gases salgan (O2 y CO2). Hecho por el cual se convierte en un sistema abierto y no uno cerrado” como se había considerado en el momento inicial de la observación de este proceso.

Callejo Ramos, plantea que el tamaño del huevo, tiene un grado de importancia para su incubación. No debe incubarse huevos de peso inferior a 52 g., ni superior a 69 g. En los huevos pequeños, el desarrollo embrionario es difícil y los pollitos que nacen son más pequeños y débiles de lo deseable (no deben pesar menos de 35 g.). Los huevos excesivamente grandes, más frecuentes al final del período de puesta, presentan dificultades para su incubación, dado que:  Se alarga su período de incubación.  Aumenta el riesgo de deshidratación, porque suelen tener la cáscara más delgada de lo normal, es decir, con una mayor conductividad a los gases.  No caben en los alvéolos de las bandejas de incubación.

Las características físicas del huevo se verán reflejadas en la siguiente tabla.

Tabla No. 1 Información nutricional del huevo. % HUMEDAD % PROTEÍNA HUEVO 74 13 ENTERO CLARA 88 10 YEMA 47 16

% LÍPIDOS 12

% C.H. 0.7

% MINERALES 0.9

0.03 34

0.8 0.6

0.5 1.11

Fuente:http://usapeec.org.mx/publicaciones/presentaciones/pdf/huevo_entero_liquido_pasteurizado.pdf

Interacción en el aula En el espacio académico el Problema del calor y la temperatura se genera un momento de reflexión, donde los estudiantes escogen un tema para investigar; esto seda ya que en Los lineamientos curriculares del programa de la Licenciatura en Matemáticas y Física esta descrito que el proceso de aprendizaje debe ser experimental, por esto los estudiantes realizaron un debate de diferentes temas y finalmente se decidieron a experimentar la deshidratación que sufre el huevo en el procesos de incubación en forma artificial y natural.

“La palabra problema debe ser entendida en un sentido amplio, ya que incluye, por ejemplo, pequeños experimentos, conjuntos de observaciones, tareas de clasificación, etc. (Schmidt, 1995; López y Costa, 1996).” Por lo tanto el estudiante se ve obligado a realizar observaciones y toma de datos, en caso plantean diferentes ideas, análisis colectivo y documentación teórica para formalizar los conceptos básicos y llegar a la apropiación del conocimiento los cuales conducen a diferentes situaciones en el laboratorio. Es decir, “La investigación como un proceso que promueve acciones formativas individuales y colectivas para comprender y actuar ante la problemática educativa en la perspectiva del desarrollo integral humano sostenible (Consejo Nacional de Acreditación; 1998; p.29)”. En otras palabras, esta metodología de aprendizaje hace que el estudiante aprenda a trabajar en equipo y realice procesos de aprendizaje autónomo

Según Birch (1986), el aprendizaje a partir de problemas es el mejor medio disponible para desarrollar las potencialidades generales de los alumnos, debido a que se genera problemática y se adquiere un gran conocimiento utilizando como centro de investigación nuestro propio entorno. Gaulin (2001) plantea que hablar de problemas implica considerar aquellas situaciones que demandan reflexión, búsqueda, investigación y donde para responder hay que pensar en las soluciones y definir una estrategia de resolución que no conduce, precisamente, a una respuesta rápida e inmediata. Por ende, se debe tener un largo proceso donde se comprueba o se contradice la hipótesis que se plantea durante el desarrollo del experimento de investigación.

“Por otra parte, el desarrollo de las actividades de investigación dirigida exige bastante tiempo y obliga, en cierta medida, a un delicado equilibrio entre las necesidades contrapuestas de profundización y visión coherente y ello exige con frecuencia el sacrificio de parte de los contenidos (Gil,1987). Este tipo de metodología, nos lleva a. Que los desarrollos teóricos que se están haciendo, no sean acelerados sino que son procesos de construcción colectiva. Por lo tanto van a requerir de más tiempo, y al requerir de más tiempo esto hace que mucho de los contenidos que se programen es posible que se requieran reubicar o se tengan que dejar de lado en un momento determinado, para poder seguir avanzando en estos procesos de investigación.

Metodología Diseño experimental Para la verificación de nuestra hipótesis “el huevo aumenta su masa durante el proceso de incubación”, se plantea la construcción de un proceso experimental que permita tener elementos cuantitativos para definir si se cumple o no. Para ello se pensó en realizar el proceso de incubación de huevos de aves (gallinas) y durante dicho tiempo ir registrando el valor de variables como peso, temperatura y al final analizar la información colectada.

Para el desarrollo de este proceso experimental se diseña dos modelos a seguir. Uno de tipo artificial y uno de tipo natural, el artificial es la construcción de una incubadora en donde se ubicaron unos huevos que van a estar con energía y ventilación constante que se le ubica. Mientras el natural consiste en realizar el seguimiento a la incubación de los huevos que una gallina realiza. Para cada uno de los casos se va hacer seguimiento de la masa de los huevos del primer al veintiuno día, se mide dos veces al día a las 6:00am y 5:00pm. De igual manera se va hacer seguimiento de la temperatura y se mide la temperatura de la gallina y del ambiente del huevo; se realiza al mismo tiempo que se mide la masa. En este proceso es donde se hace seguimiento a ¿qué es lo que sucede con la masa del huevo?, para cada uno de los casos se hizo una tabla donde se argumentaron con los datos tanto de temperatura como la variación de la masa.

Resultados obtenidos Al realizar todo el proceso durante los 21 días, tiempo requerido para la eclosión del huevo, se registraron los datos de medición de temperatura del ambiente bajo la gallina y del aire al interior de la incubadora artificial en tres momentos del día, el valor de la masa del huevo dos veces cada día. De ésta forma se obtuvieron los siguientes datos: Tabla No. 2 proceso de incubación natural.

NATURAL huevo

1

6am

5:00:00 p, m,

Promedio

días

51,9

51,6

51,75

1

51,3

51,1

51,2

2

0,6

51

50,8

50,9

3

0,3

50,5

50,4

50,45

4

0,5

50,2

49,9

50,05

5

0,3

49,7

49,6

49,65

6

0,5

49,5

49,3

49,4

7

0,2

Δ masa

49

48,8

48,9

8

0,5

48,7

48,5

48,6

9

0,3

48,4

48,3

48,35

10

0,3

48,3

48,2

48,25

11

0,1

47,9

47,7

47,8

12

0,4

47,5

47,4

47,45

13

0,4

47,2

47

47,1

14

0,3

Δ masa

Tabla N° 3 proceso de incubación artificial.

ARTIFICIAL huevo

1

6am

5:00:00 p, m,

Promedio

días

65,3

65

65,15

1

64,9

64,6

64,75

2

0,4

64,5

64,4

64,45

3

0,4

64,1

64

64,05

4

0,4

63,7

63,6

63,65

5

0,4

63,4

63,3

63,35

6

0,3

63,1

62,9

63

7

0,3

62,6

62,4

62,5

8

0,5

62,2

62

62,1

9

0,4

61,9

61,8

61,85

10

0,3

61,6

61,5

61,55

11

0,3

61,3

61,1

61,2

12

0,3

60,9

60,7

60,8

13

0,4

60,5

60,3

60,4

14

0,4

60,1

60

60,05

15

0,4

59,7

59,6

59,65

16

0,4

59,4

59

59,2

17

0,3

58,8

58,7

58,75

18

0,6

58,6

58,5

58,55

19

0,2

58,4

58,2

58,3

20

0,2

58

57,8

57,9

21

0,4

TEMPERATURA Vs TIEMPO

T 44 42

y = 0,0213x + 37,163 R² = 0,0541

40

H. NATURAL

38 H. ARTIFICIAL

36 y = 0,013x + 37,095 R² = 0,0341

34 32 30

t 1

3

5

7

9

11 13

15 17 19 21

Gráfica No.1 TEMPERATURA Vs TIEMPO

MASA Vs TIEMPO y = -0,3655x + 65,506 R² = 0,9991

70 65 60 55

H. NATURAL

50 45

H. ARTIFICIAL

y = -0,3454x + 51,865 R² = 0,9923

40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021 Grafica No. 2 MASA Vs TIEMPO

DELTA DE MASA Vs TIEMPO

Δm 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

y = -0,0025x + 0,3911 R² = 0,0247

NATURAL

y = -0,0143x + 0,4615 R² = 0,161

ARTIFICIAL Lineal (NATURAL)

1

3

5

7

9 11 13 15 17 19

t

Gráfica No. 3 DELTA DE MASA Vs TIEMPO

Lineal (ARTIFICIAL)

La gráfica N° 1 corresponde a la relación entre la temperatura, tiempo. En los dos casos la temperatura tiende a ser constante, la gráfica N°2 es directamente proporcional en sus dos procesos “natura, artificial” y la gráfica N° 3 nos muestra el delta de la variación de la masa del huevo tanto natural como artificial por la trasferencia de calor recibida de la gallina como del bombillo, el delta de la variación del proceso experimental natural va desde 0,1 g hasta 0,6 g por día, con un ancho de 0,5 g. El procedimiento artificial va con un delta de 0.2 g hasta 0.6 g con un ancho de 0,4 g Discusiones Cuando se revisa la información correspondiente a la temperatura del ambiente en el cual se encuentran los huevos, se puede decir que fue aproximadamente constante durante todo el tiempo de incubación.

Esto se argumenta del hecho que la temperatura corporal de la gallina permanece constante y el calor suministrado a los huevos no puede ser superior al que tiene la gallina. Durante el proceso, en varias ocasiones la gallina se levanta del nido para buscar comida, momento en cual los huevos quedan expuestos a la temperatura ambiente y debido a la aireación, pueden que baje algo la temperatura de ellos, pero no es significativa ya que la gallina al poco tiempo (aproximadamente 5 minutos) regresa al nido.

Para el caso de la incubadora artificial, donde el calor suministrado a los huevos proviene de la incandescencia de un bombillo de filamento de tugsteno, siempre permaneció encendido y al interior de ella se ubicó un pequeño ventilador para airear los huevos, hecho por el cual la temperatura de este sistema se mantiene constante y se ve reflejado en el porcentaje de pérdida de masa del huevo, a final del proceso.

A partir de la literatura sobre la constitución del huevo, se encontró que (estructura del huevo) está compuesto principalmente de carbonato de calcio, una sal. Contiene aproximadamente de 8,000 a 10,000 poros, echo por el cual se convierte en un sistema abierto y no uno cerrado como se había considerado en el momento inicial de la observación de este proceso. Debido a este hecho, se considera que la pérdida de masa que posee el huevo en cualquiera de los dos sistemas (natural, Artificial), se debe a que el huevo sufre un proceso de deshidratación debido a la transferencia de calor desde la gallina en el caso de la incubación natural o desde la bombilla en el caso de la incubación artificial, hecho por el cual los fluidos que constituyen el huevo se van evaporando y el huevo registra una disminución de su masa a medida que pasa el tiempo.

Por medio de los datos colectados se construyeron graficas en los cuales se concluye que la temperatura fue constante esto quiere decir que la energía suministrada al huevo fue constante durante todo el tiempo aproximadamente. Por consiguiente la acumulación de energía que se suministró durante el tiempo hizo que el huevo se deshidratara y cambiara su masa y a la vez se transformara de huevo a pollo.

CONCLUSIONES La metodología seguida para el desarrollo de los espacios académicos (resolución de problemas), generó en los estudiantes una actitud diferente frente a cómo abordar dichos espacios, al igual que los procesos de investigación. Se da un mayor interés por la búsqueda de conocimiento en el campo de la física y de cómo plantear situaciones similares para el proceso de enseñanza – aprendizaje.

Como hipótesis se había planteado que “el huevo aumenta su masa durante el proceso de incubación”, y al observar los resultados se encontró que se da es una disminución de masa en el huevo debido a la cantidad de calor suministrada, evento causado por la evaporación a través de los poros del huevo. El comportamiento de la disminución se presenta de forma casi constante, de manera que se obtiene una tendencia a una función lineal.

Respecto a preconceptos que se tenían sobre el proceso de incubación, como: pensar que el pollito nacía con mayor masa a la inicial del huevo, se concluye que nace con el peso de acuerdo a la disminución de masa del huevo, es decir con menor masa que la inicial.

Creer que la masa del huevo disminuida era consumida por el embrión, es falso, porque de ser así, su masa sería igual durante todo el proceso ya que el embrión continúa dentro del huevo, por ende no cambia su masa. Como conclusión, parte de la masa se evapora a través de los 8000 a 10000 poros del huevo a causa de la transferencia de calor generada por la gallina o el bombillo, hecho que lo lleva a sufrir una deshidratación.

Referencias bibliográfica Berry, J.G. (2010) Incubación artificial. http://www.elsitioavicola.com/articles/1802/incubacian-artificial/ Callejo Ramon, A. Manejo del huevo fertil antes de la incubación http://ocw.upm.es/produccionanimal/produccion-avicola/contenidos/TEMA_7._INCUBACION/7-1-manejo-del-huevo-fertil-antesde-la-incubacion/view Campanario, J. M. (1999) ¿Cómo Enseñar Ciencias? Principales Tendencias y Propuestas. Enseñanza de las ciencias. Volumen 2. (179-192) Echarri Loidi, J. M. (1950) Incubación natural www.magrama.gob.es/ministerio/pags/biblioteca/hojas/hd_1950_14.pdf Estructura del huevo http://www.uabcs.mx/maestros/descartados/mto01/estructura.htm Fernández Martínez, M. Una forma de reproducción ecológica, económica y divertida. www.lapinina.org/noticias/gallinas/archivos_g/incubacionnatural.pdf Gutierrez, L.M., gonzalez, G.T. y Torrijos, R.Y. (2015) Incubación artificial. http://preescolarcosta.galeon.com/pagina9.htm Howell, J.R. Buckius, R.O. (1990) Principios de termodinámica para ingenieros. Mc Graw-hill Interamericana de Mexico. Primera edición. México. 1990.

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APRENDIENDO FRACCIONES MEDIANTE EL MÉTODO PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ESTUDIANTES DE GRADO QUINTO Estefanía Devia Pedreros1 Jacqueline Méndez Rojas2 Dawson Didier Cortés Joven3 Presentación La presente ponencia presenta los resultados de una investigación realizada con estudiantes del grado quinto de primaria de la Sede La Palma de la Institución Educativa San Isidro de Acevedo – Huila, en la que se pone en juego el Método de Planteamiento y Resolución de Problemas (MPyRP) como estrategia de intervención en el aula de matemáticas en el aprendizaje de la Fracción, para movilizar la Competencia Matemática Planteamiento y Resolución de Problemas (CMPyRP). La Actividad de aprendizaje ejecuta unas tareas matemáticas relacionadas con situaciones problémicas contextualizadas (en este caso, producción y comercialización del café) tal y como lo indica Vasco (1994), permitiendo la evolución de los niveles de complejidad e interdisciplinariedad, así, como los aspectos afectivos y tendencia de acción.

La investigación se propone teniendo en cuenta las falencias encontradas en las aulas de clase por los investigadores relacionados con el objeto matemático fracciones (OMF), la CMPyRP y el uso de planteamiento de problemas en las actividades curriculares, en las cuales se evidencian dificultades tales como: a. En cuanto al OMF:  Dificultades frente a la comprensión del concepto de fracción y sus diferentes significados.  Consideración del uso de aspectos sobre las fracciones, tales como: contrato Didáctico, representaciones semióticas y su tratamiento, imágenes, modelos, mis concepciones, fenomenología, estructura conceptual, entre otros.  Dificultades en la contextualización de problemas con fracciones y la operatividad con las mismas.

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Universidad de la Amazonia. e-mail: stefaniadevia@hotmail.com

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Universidad de la Amazonia. e-mail: jmendezr1975@gmail.com

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Universidad de la Amazonia. e-mail: dawsondidier@gmail.com

b. En cuanto a la CMPyRP:  Uso insuficiente de estrategias que permitan la movilización de la CMPyRP  Reflexión teórica de la CMPyRP en el desarrollo del aprendizaje de las matemáticas.  Bajos resultados hallados en las pruebas externas que permiten evidenciar el desarrollo de la CMPyRP. Por lo anterior es necesario explorar una estrategia metodológica que permita al estudiante plantear y solucionar problemas, generar habilidades para contextualizar los aprendizajes, en particular sobre las fracciones; extender la actividad más allá del aula de clase, hacer partícipe a todo el entorno educativo, pues los alumnos tendrán que indagar con los padres y maestros, percatarse de las actividades socio-económicas regionales, de cómo funcionan las fracciones en las artes, las ciencias y las tecnologías.

1. REFERENTES TEÓRICOS Los referentes teóricos que sustentan la investigación están basados en el constructo que conforma en sí la estrategia didáctica propuesta como aporte a la movilización de la CMPyRP, tal como se observa en la siguiente figura:

Figura 1. Componentes de la Estrategia Didáctica de intervención en el aula matemática según Devia y Méndez (2015)

La estrategia didáctica relaciona el componente cognitivo con el afectivo y de la tendencia de acción. El desarrollo de tareas con los diversos niveles de complejidad e interdisciplinariedad proponen en el estudiante empoderarse en la solución de problemas

propios del entorno cafetero. A continuación se referencia los autores con los cuales se orientó la investigación:  Objeto Matemático Fracción (OMF): Kieren (1980), Freundenthal (1983), Vasco (1994), Solar (2008).  Planteamiento de Problemas: Stoyanova (1998), Silver y Cai (1996), Villanueva (2009).  Método de Resolución de Problemas: Polya (1969), Alfaro (2006), Rico (1996).  Competencia Matemática Plantear y Resolver Problemas: Vasco (2012), Chomsky (1965).

Se incorpora el término planteamiento de problemas al método propuesto por Polya, toda vez, que este autor se centra en la resolución más que en el planteamiento del problema.

Se considera de gran importancia esta interrelación entre planteamiento y

resolución debido a su aporte significativo en la movilización de la CMPyRP, pues a través de la invención, ejercitación y el análisis del problema el estudiante logra empoderarse de esta competencia, lo que en particular se valida en este trab ajo de investigación. El método de aprendizaje favorece la formación del pensamiento matemático integrado a la cotidianidad.

2. METODOLOGÍA Los participantes objeto de esta investigación y en cuyo proceso de aprendizaje se centró el objetivo del presente trabajo, son cinco (5) estudiantes del grado quinto de la Sede La Palma de la IESI del municipio de Acevedo Huila, entre ellos 2 niñas y 3 niños, con edades entre los 10 y 12 años.

La investigación realizada fue de carácter cualitativa, en el sentido que se indagó sobre el proceso de “aprendizaje de la fracción” a un grupo de estudiantes del grado quinto de primaria, enfatizando en el “Método de planteamiento y resolución

de

problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las fracciones”.

La práctica de aula se desarrolló con la estrategia de investigación-acción, aplicando las actividades de aprendizaje estratégicamente planeadas, en cuatro (4) sesiones en bloques de 2 horas cada una.

En

particular se trató de identificar

patrones

de

comportamientos emotivos, cognitivos y tendencia de acción, que evolucionaron en “forma espiral”, en el sentido de que los sujetos de esta investigación: observaron, actuaron y participaron activamente en el planteamiento y resolución de problemas demostrando mayores niveles de complejidad.

Como técnica metodológica se tuvo en cuenta el estudio de caso, esta técnica se basa en una práctica de intervención en el aula que permite analizar las actuaciones de los estudiantes mediante el desarrollo de tareas matemáticas sobre fracciones en contextos específicos. Los participantes objeto de estudio, habitan en una zona cafetera, por lo tanto están estrechamente relacionados con la producción, comercialización y ganancias del café, lo cual se aprovechó para enseñar integralmente todas las operaciones con fracciones, esto generó motivación y un buen acogimiento a las situaciones problemáticas planteadas y demostraron capacidad creciente para resolver problemas involucrando integralmente las operaciones con fracciones.

3. ACTIVIDADES Para llevar a cabo la metodología propuesta se definieron las siguientes actividades: a. Prueba diagnóstica: A través de un taller, se realizó la verificación de los conocimientos previos, se aplicó en el último periodo del año 2015. b. Preparación de los instrumentos: Se estudiaron las actividades básicas de la cultura cafetera (producción, comercialización y finanzas básicas) c. Se aplicó la prueba Piloto con un grupo de estudiantes similar a la población objeto de estudio. d. Validación de los instrumentos: Ajuste y corrección de los instrumentos e. Aplicación de los instrumentos: Se hizo la aplicación de los instrumentos. f. Análisis de resultados: Tabulaciones y conductas observadas g. Conclusiones: Desde el punto de vista afectivo, cognitivo y la acción frente a la CMPyRP. h. Retroalimentación para el plan curricular: Para ser tenido en cuenta en la revisión curricular. i. Recomendaciones.

4. RESULTADOS Después de analizar la información mediante unas tablas matrices de los procesos y aspectos de la CMPYRP y se utilizaron los códigos de indicadores con mayor frecuencia ocurridos en las acciones de la actividad de aprendizaje, se realizó la respectiva triangulación de la información correlacionada con las tareas permitiendo llegar a los siguientes resultados.

Con la aplicación de la estrategia didáctica MPyRP se contribuye a superar las dificultades presentadas por los estudiantes en la formulación y resolución de problemas, puesto que, demostraron empoderamiento, motivación y habilidad para la resolución de problemas de su contexto; tal como se pudo observar al aplicar la T1 (Tarea sobre la producción del café), en lo referente a la interpretación de las preguntas y la justificación de las respuestas, lo cual se fue superando por los estudiantes al realizar la T3 (Tarea sobre las ganancias del café), al verificar el uso de diversas opciones para la solución del problema, lo cual culmina en un juego de roles que permitió la retroalimentación.

Se evidencian alcances significativos para la movilización de la CMPyRP en la interpretación de los diversos enfoques de la fracción, no solo como parte-todo sino como razón, además el uso de operadores; es decir, los problemas contextualizados incluidos en las tareas permitieron construir las operaciones con fraccionarios como procesos.

Se interrelacionaron las problemáticas del entorno social del estudiante, en este caso relacionado con la cultura del café, desde la estrategia didáctica MPyRP, lo cual facilitó la apropiación de procesos cognitivos y metacognitivos como la planeación, ejecución, monitoreo y evaluación de las tareas propuestas y aplicadas en esta intervención. Estos procesos contribuyeron a desarrollar en el estudiante la capacidad de plantear y resolver problemas del contexto, justificar y explicar las soluciones obtenidas.

Se identificó un alto grado de participación y responsabilidad, dada la motivación de los estudiantes al realizar las actividades matemáticas propuestas. Estas situaciones resultaron ser de su interés pues al tratar el OMF se trajo al ambiente educativo institucional lo que normalmente realizan los estudiantes en la cotidianidad.

Se evidenció que la complejidad del OMF, vistas con la metáfora de un archipiélago de los fraccionarios Kieren (1980), requiere también usar aspectos interdisciplinarios en los aprendizajes para afianzar la participación activa de los estudiantes, como lo plantea Vasco (2012), esto porque las fracciones están muy vinvuladas con la cotidianiedad y otros conocimientos.

Al inicio de la investigación el MPyRP resultó poco utilizado en el desarrollo del plan curricular a nivel del grado quinto de primaria en la IESI, como también lo experimentó Schoenfeld (1992), pero se evidenció que efectivamente este método se puede aplicar con posibilidades de éxito, puesto que los estudiantes después de superar una fase crítica lo aceptan con satisfacción, esto significa que el método se debe implementar estratégicamente.

Se destacó en esta investigación la importancia de la interrelación entre formación del pensamiento matemático con las competencias comunicativas, puesto que los estudiantes se vieron estimulados primero que todo al leer críticamente y comunicar sus dudas antes de cualquier intento de solución matemática al problema real planteado dentro del contexto en el cual desarrollan su vida los estudiantes, afirmando la importancia de los aspectos socio formativos, planteados por Gardner (2005) y Vygosky (1978).

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Alfaro, C. (2006). Las ideas de Polya en la resolución de problemas. Cuadernos de investigación y formación en educación matemática. Número 1., 1-13.

Chomsky, (1965). Aspects of the theory of syntax. Cambridge, Mass.: MIT Press. Comrie,

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Devia y Méndez (2015). El aprendizaje de las fracciones mediante el método planteamiento y resolución de problemas con estudiantes del grado quinto de primaria sede la palma de la institución educativa san isidro de Acevedo Huila. Tesis de Maestría. Uniamazonía.

Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of Mathematical Structures. Reidel Publishing Company, 28-33, 133-177.

Gardner, H. (2005). Inteligencias Múltiples, La teoría en la práctica. En H. Gardner, Inteligencias Múltiples (pág. 14). Barcelona: Paidós.

Kieren, T. (1980). The rational number construct-its elements and mechanisms. Colombus, Ohio: ERIC/SMEAC. Montealegre C., M. (2014). Matemáticas para la Creatividad, Vol. I, II, III, IV y V. Santafé de Bogotá, D.C.: Tiempos ecológicos.

Polya, G. (1969). Como plantear y resolver problemas. México: Trillas Rico, L. (1996). Aprendizaje de las Matemáticas. Granada: Universidad de Granada.

Silver, E. A., & Cai, J. (1996). An analysis of arithmetic problem posing by middle school students.

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Solar, H. (2008). Representaciones. Santiago.

Stoyanova, E. (1997). Extending and exploring students' problem solving via problem posing: A study of years 8 and 9 students involved in mathematics challenge and Enrichment stages of Eluer Enrichment Program for Young Australians. Australia: Thesis PhD, Editorial Cowall University.

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Barranquilla: Universidad del Norte.

Vygosky, L. S. (1978). Pensamiento y Lenguaje, Tomo II. Buenos Aires, Argentina: La Pleyade.

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EL USO DE PROYECTOS EN LA CLASE DE ESTADÍSTICA FAVORECEN EL DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO ESTADÍSTICO Tapiero García, Beatriz – Polanco Cerquera, Henry beatriz1006@hotmail.com - henrypolanco123@hotmail.com.

Universidad de la Amazonia, Florencia, Caquetá (Colombia)

PRESENTACIÓN: La presente ponencia se estructura a partir de los resultados obtenidos en el trabajo de investigación para la tesis de maestría Desarrollo del Razonamiento Estadístico a través de un Proyecto en el Estudio de Datos y Gráficos; la estadística se ha ido consolidando y ganando mayor espacio en los currículos de las instituciones educativas, como resultado de los diversos estudios que han realizado investigadores, estadísticos y profesionales de las matemáticas, al considerar que la estadística es la ciencia que facilita el análisis, interpretación, representación de datos y conexión información que las personas encuentran a diario en los diferentes medio de comunicación como prensa, televisión e internet; aunque en Colombia ha sido incorporada en los currículos escolares atendiendo los lineamientos del Ministerio de Educación Nacional (MEN 1998), es común encontrar que la clase se continúe orientando de forma memorística, donde el docente explica el proceso a través de un ejemplo y la tarea del estudiante es realizar ejercicios para practicar lo aprendido, es decir, se favorece la práctica y memorización de fórmulas para solucionar problemas que en muchas ocasiones son descontextualizados e impiden que el estudiante comprenda el entorno en el cual se encuentra.

La elaboración de proyectos en la clase de estadística, es una de las formas para desarrollar los contenidos estadísticos de acuerdo al nivel educativo en el que se encuentre, el proyecto surge de una situación contextualizada y propuesta por los estudiantes, haciendo mayor énfasis en el análisis e interpretación de los datos obtenidos, favoreciendo de esta manera el razonamiento estadístico y desarrollando el ciclo de investigación propuesto por Wild y Pfannkuch (1999) PPDAC (Problema, Plan, Datos, Análisis y Conclusiones).

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REFERENTES TEÓRICOS Los referentes teóricos están relacionados con el razonamiento estadístico y el ciclo de investigación de Wild y Pfannkuch (1999) y en el trabajo por proyectos los aportes de Batanero y Díaz (2011).

Razonamiento estadístico Con frecuencia se usa el término razonar (de forma general), asociado a todo proceso de pensamiento, los docentes manifiestan a sus estudiantes la necesidad de establecer procesos de pensamiento y razonamiento para dar justificaciones y argumentos a diferentes situaciones. El razonamiento es un proceso mental cuya función es concebir ideas y apoyar su veracidad. Garfield y Ben-Zvi (2008), consideran que si las ideas que se generan son de tipo estadístico, se habla de razonamiento estadístico: El razonamiento estadístico es la manera en que la gente razona con las ideas estadísticas y le da sentido a la información estadística […] puede involucrar conexiones de un concepto a otro (por ejemplo centros y dispersión) o combinar ideas acerca de datos y azar. El razonamiento estadístico también significa entender y ser capaz de explicar procesos estadísticos y de interpretar los resultados estadísticos (Garfield y Ben-Zvi, 2008, p. 34).

La interpretación de los resultados estadísticos a los que se refiere Garfield y Ben Zvi (2008), hacen referencia a la capacidad de conectar los resúmenes, las tablas, las medidas y los gráficos con el contexto del cual se han obtenido los datos; Wild y Pfannkuch (1999) consideran que se razona estadísticamente si se establecen conexiones, se plantean preguntas adecuadas, se diseñan y analizan experimentos utilizando métodos apropiados, es decir, generar una mejor comprensión dentro de un contexto particular. En este sentido, el ciclo investigativo se concibe como una de las dimensiones del modelo propuesto para describir el razonamiento estadístico.

El ciclo investigativo: Consiste en una serie de pasos que involucra desde el planteamiento del problema, considerado como parte del ciclo estadístico PPDAC (Problema, Plan, Datos, Análisis y Conclusiones), hasta su resolución.

El ciclo de investigación PPDAC como elemento didáctico para el desarrollo del razonamiento estadístico en los estudiantes al trabajar por proyectos, permite ahondar en el problema desde la definición de situaciones problema hasta su solución, pasando por unas etapas que todo docente debe reflexionar cuando se busca generar en los estudiantes una actitud reflexiva que implica el desarrollo del razonamiento estadístico.

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Para el ciclo de investigación PPDAC, cada una de las fases, presentada en la figura, tiene un propósito bien definido, a continuación se describirá cada una de ellas.

Dimensión 1: Ciclo Investigativo PPDAC CONCLUSIONES 5 ANÁLISIS

PROBLEMA 1

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DATOS

PLAN

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Figura: Fases del ciclo de investigación PPDAC. Wild y Pfannkuch (1999) 1. El problema. En esta fase, el estudiante debe plantear qué desea investigar, cuál es su tema de interés, es decir, tener claro cuál es la dinámica del problema y definirlo.

2. Plan. Para este caso se requiere definir qué tipo de datos se van a recoger, identificar la necesidad de un sistema o técnica que permita obtener datos, tener claridad sobre la importancia de hacer y tomar una muestra como una estrategia de medición del instrumento de recolección de datos.

3. Los datos. Esta fase se dispone de una serie de momentos que permite al estudiante el trabajo con los datos reales de forma directa: a. Diseño de los instrumentos: en esta etapa se elaboran los instrumentos necesarios para recolectar los datos; puede ser a través de encuestas, entrevistas, otros. b. Aplicación de los instrumentos: una vez definido los instrumentos de recolección, se aplican a una población ya definida para lo cual se ha considerado el tiempo y el medio para aplicarlos. c. Aplicación de técnicas para agrupar: se debe tener claro las diferentes técnicas estadísticas que permita agrupar y clasificar los datos obtenidos.

4. Análisis. En esta fase, considera una de las más importantes, se pretende interpretar los datos recolectados a través de los conocimientos estadísticos adquiridos

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previamente, con el fin de inferir conclusiones e identificar tendencias y cualidades del conjunto de datos. De esta manera el uso contextualizado de la estadística contribuye en el desarrollo de la cultura estadística y permite que el estudiante de cuenta de su razonamiento estadístico a partir de una situación de su entorno próximo.

5. Conclusiones y recomendaciones. El proyecto finaliza con la elaboración de las conclusiones, generación de nuevas ideas a partir de los datos y de su análisis al igual que la elaboración del informe con base en los resultados y los razonamientos estadísticos.

Los proyectos estadísticos A nivel internacional, Batanero y Díaz (2011) en el libro Estadística con proyectos, proponen la enseñanza de la estadística a través de proyectos que deben estar amparados en situaciones contextualizadas y que deben surgir principalmente a partir de ideas planteadas por los estudiantes; los proyectos se conciben como una de las mejores estrategias para el desarrollo de las temáticas en la clase de estadística, Holmes (1997) citado por Batanero y Díaz (2011), afirma que al trabajar la estadística a través de proyectos, se despierta el interés y motivación de los estudiantes, permite contextualizar la estadística y se comprenden mejor las ideas estadísticas. Concebido de esta manera, el desarrollo de la clase de estadística a través de proyectos, se convierten en una estrategia eficaz para la enseñanza de la estadística.

Arteaga (2011) considera la enseñanza de la estadística por proyectos, como una estrategia para desarrollar el trabajo cooperativo, además porque ofrece metodologías que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje de la estadística, favoreciendo el razonamiento estadístico siempre y cuando los proyectos sean adaptados según el contexto y la edad de los estudiantes. La utilización de los proyectos busca centrar la estadística en sus aplicaciones además de relacionarla con otras áreas del saber, dejando de lado el aprendizaje memorístico de fórmulas y algoritmos para fomentar el desarrollo del razonamiento estadístico.

Los proyectos además de aumentar la motivación de los estudiantes Holmes (1997), permite: (a). Contextualizar la estadística y hacerla más relevante, porque adquiere significado el trabajo con los datos que necesariamente han surgido de un problema. (b).

Despertar el interés y la motivación en los estudiantes porque los proyectos pueden ser propuestos por ellos mismos. (c). Se conceptualiza con respecto a los datos y esto permite la adquisición de nuevos conceptos que no se tienen en cuenta con los datos descontextualizados. (d). Se puede evidenciar que la estadística es más que un contenido matemático; el uso de los proyectos permiten al estudiante analizar e interpretar información contextualizada desde diferentes fuentes, entender y dar solución a un problema de investigación que nació de su propio interés.

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METODOLOGÍA: Se asume como alternativa didáctica, la enseñanza de la estadística a través de un proyecto que revela los aspectos cognitivos de la estadística y mejor comprensión del objeto de estudio. La implementación del proyecto en la clase de estadística es novedosa para los estudiantes, porque a partir de un tema específico, se plantean interrogantes, determina las variables que inciden en la situación, construye instrumentos para recolección de la información, realiza consultas, utiliza modelos para mostrar la información y da solución a los interrogantes planteados inicialmente; siendo estos aspectos fundamentales en el razonamiento estadístico; estos procesos se desarrollan a partir de las fases propuestas por Wild y Pfannkuch (1999) en el ciclo investigativo, en cada una de ellas se redactan unos indicadores que permiten identificar cuál es el avance o alcance por parte de los estudiantes en el desarrollo del proyecto.

La metodología adoptada en la investigación se basa en el enfoque cualitativo-interpretativo, el cual permitió realizar la exploración y análisis de las actividades realizadas por los estudiantes y de esta manera promover el desarrollo del razonamiento estadístico de los estudiantes en la construcción y desarrollo de un proyecto estadístico. Se realiza análisis bajo el marco teórico asumido, de las respuestas obtenidas y el alcance de los estudiantes según los indicadores alcanzados en cada uno de los casos observados, a partir de los instrumentos utilizados para la recolección de datos (notas de campo, audios, entrevistas y videos), que se hace evidente en el lenguaje, las actuaciones y los registros escritos de los estudiantes.

ACTIVIDADES: El desarrollo del proyecto se realizó en cada una de las etapas del ciclo de investigación, inicialmente los estudiantes en plenaria manifestaron varios casos sobre los cuales les gustaría conocer más a fondo; al final concluyeron que el tema a investigar sería “Embarazos a Temprana Edad” luego se identifican las preguntas a realizar soportados en los criterios planteados por Batanero y Díaz ( 2011, pp.23 ) “¿Qué quieres probar?¿Qué tienes que medir /observar /preguntar?, ¿Qué datos necesitas? ¿Cómo encontrarás tus datos?, ¿Qué harás con ellos?, ¿Crees que puedes hacerlo?, ¿Encontrarás problemas?, ¿Cuáles?, ¿Podrás contestar tu pregunta?, ¿Para qué te servirán los resultados?” Posteriormente se define los instrumentos para la recolección de los datos, para este caso una encuesta; finalmente se realiza la tabulación y análisis de los datos a partir de los datos recolectados; esto permite a los estudiantes generar razonamientos a partir de las preguntas propuestas inicialmente.

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RESULTADOS Los resultados de esta investigación muestran que la enseñanza de la estadística a través del proyecto despierta en los estudiantes la motivación, el interés y la participación en la clase, promueven el razonamiento estadístico en tanto que facilitan el uso de lenguaje estadístico, considerado como uno de los elementos que interviene en el desarrollo del razonamiento estadístico, las formas de representación, capacidad de análisis, interpretación y argumentación desde la situación propuesta; se evidenció que a medida que se avanzaba en la implementación del proyecto los estudiantes desarrollaron habilidades comunicativas, interpretativas, de reflexión y análisis; el estudio de los datos y los gráficos en el desarrollo del proyecto estadístico permitió consolidar el ciclo de investigación propuesto por Wild y Pfannkuch (1999) en las etapas de Problema, Plan, Datos y Análisis; además, el trabajo por proyectos favoreció el componente actitudinal de los estudiantes hacia la clase de estadística, generó nuevos razonamientos, se evidenció en los estudiantes la persistencia y la imaginación puesto que el tema propuesto surgió a partir de su propio interés.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Batanero, C. (2001). Los Retos de la Cultura Estadística. Granada España.

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COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR EN ESTUDIANTES DE GRADO SEXTO DE LA EDUCACION PRIMARIA RURAL AUTORES: KENNEDY CHIVARA SANCHEZ ALBERTO ANTONIO VILLA VALENCIA RESUMEN El propósito de este trabajo es promover la Competencia Matemática Comunicar, en estudiantes de grado sexto de educación básica secundaria. Para ello, se analizaron los aspectos de la competencia desde los componentes cognitivo, afectivo y tendencia de acción, y desde los procesos matemáticos de participación, negociación, actividad discursiva, motivación y dedicación.

La investigación se desarrolló en el marco del enfoque cualitativo, asumiendo como estrategia el estudio de caso, integrado por cuatro estudiantes, con quienes se implementó una secuencia didáctica denominada: “Uso y aplicación de los números decimales en la nutrición de las personas”, aplicado en la fenomenología de la cotidianidad de los números decimales, en la nutrición de las personas, para llevar una dieta saludable.

Palabras claves: competencia matemática, competencia comunicativa, evaluación por competencia, secuencia didáctica, niveles de dominio y números decimales.

ABSTRACT The proposal of this work is to contribute and promote the Mathematic Communicate Competence, in students of sixth grade in high school. For that reason, the aspects of the competence were analyzed since the cognitive function, affective and tendency of the

actions, but also the mathematic processes of participation, negotiation, discursive activity, motivation and dedication.

The research was developed in the framework of qualitative approach, assuming as strategy the case study, integrated by four students, with whom was implemented a denominated didactic sequence, use and application of the decimal numbers in the nourishment of the people.

Work keys: mathematic competence, communicative competence, assessment by competence, didactic sequence, command levels and decimal numbers.

REFERENTES TEÓRICOS Este capítulo está estructurado bajo las siguientes categorías: Competencia, Competencia Matemática, Procesos Matemáticos Asociados a los Aspectos de la Competencia Matemática Comunicar.

El concepto de competencia nació en el mundo empresarial a principios de la década de los setenta para designar al conjunto de elementos o factores que son necesarios para el éxito en el desempeño profesional. Nace desde posiciones básicamente funcionales, es decir, están estrechamente ligadas al papel que deben cumplir los empresarios, funcionarios y demás personas que hacen parte de las empresas, con la intención de cumplir con unas metas y las acciones humanas eficientes.

De otro lado, Jiménez (2002) afirma que el concepto de competencia no nació en el contexto de la educación, ni en la pedagogía, ni en la didáctica general o específica, si no que llegó a otros campos. Para este autor, la competencia en el campo educativo es producto de la necesidad de poder resaltar las cualidades de los estudiantes, en un plan, donde la competencia sea de carácter cuantificable.

Sin embargo, Barrantes expresa que la competencia en el contexto educativo es más generalizada y permite una proyección más amplia de apreciaciones; para este autor, su entrada en el ámbito de la educación es reciente (Barrantes, 2001, p.127), con mayor auge después de mediados de los años noventa cuando se utilizó en la construcción de propuestas curriculares de formación centradas en el enfoque por competencias.

En particular, Rey (2003) define la competencia como “la capacidad de generar aplicaciones o soluciones adaptadas a cada situación, movilizando los propios recursos y regulando el proceso hasta lograr la meta pretendida”. En este sentido, la competencia discrimina el saber necesario para afrontar determinadas situaciones y el ser capaz de enfrentarse a las mismas. De igual forma, para Echeverría (2002). Poseer una competencia (ser competente) en algún dominio personal, profesional o de la vida social es dominar los aspectos esenciales de la vida.

Competencia Matemática.

Desde una perspectiva internacional, países como Portugal y Dinamarca son países que han desarrollado el enfoque de competencias dentro del área de matemáticas, y éstos han sido puestos en marcha a través de proyectos en educación matemática, cuyo objetivo es el desarrollo de las competencias matemáticas. Uno de los pioneros en este tema es Italia, caracterizado en el desarrollo de un Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos en conocimientos y habilidades en ciencias, matemáticas y lectura, denominado PISA (Por sus siglas en inglés: Programme for International Student Assement).

Competencia Matemática Comunicar.

Es indudable que la comunicación es el motor que permite que los procesos de formación académica se lleven de manera clara, coherente y precisa, para ello, se deben tener en cuenta algunos criterios que tiene que ver con la intencionalidad comunicativa,

los tipos de lenguajes y la función que cumple la información en cada nivel, grado y ciclo escolar.

Los lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998), plantea que la comunicación es uno de los procesos más importantes para aprender matemáticas y para resolver problemas.

Al respecto, la comunicación juega un papel fundamental, para construir vínculos entre las nociones informales e intuitivas en cada estudiante.

De otro lado, la comunidad internacional, a través del proyecto PISA (2004), manifiesta que comunicar incluye, expresarse uno mismo en una variedad de vías, sobre temas de contenido matemático, de forma oral y también escrita; y entender enunciados sobre estas materias de otras personas en forma oral y escrita. Por lo tanto, el estudiante debe convertirse en un miembro de una comunidad matemática, comunicándose en el lenguaje de esta comunidad, para compartir sus reglas de integración y ser un participante activo de la misma (Sfard, 2008).

Procesos Matemáticos Asociados a los Aspectos de la Competencia Matemática Comunicar.

Para promover la Competencia Matemática Comunicar en los estudiantes del grado sexto, se articularon los aspectos cognitivos, afectivos y tendencia de acción que plantea D’Amore; Godino & Fandiño (2008) con los procesos de participación, negociación, actividad discursiva, motivación y dedicación que son considerados en la educación matemática (Sfard, 2008; Bishop, 2005).

Los procesos matemáticos asociados a los aspectos de la Competencia Matemática Comunicar son retomados de la investigación de Ramírez & Loaiza (2013), donde se caracterizó la Competencia Matemática Comunicar teniendo en cuenta los postulados de

D’Amore; Godino & Fandiño (2008). De igual forma, se tuvieron en cuenta los planteamientos de Sfard (2008), y Bishop (2005).

Con base a esta propuesta de competencia, se retoman los aspectos cognitivos, afectivo y tendencia de acción asociados a la Competencia Matemática Comunicar. Para lo cognitivo se seleccionaron los procesos matemáticos de participación, la negociación y la actividad discursiva; en lo afectivo se asoció la motivación; y en la tendencia de acción se asoció la dedicación.

METODOLOGÍA Este apartado ofrece los referentes metodológicos de la propuesta didáctica, la cual busca contribuir a promover los procesos matemáticos asociados a los aspectos de la Competencia Matemática Comunicar, en estudiantes de grado sexto de la educación básica secundaria de Colombia en el departamento del Caquetá.

Esta investigación se fundamentó en un estudio de carácter no probabilístico transicional descriptivo de enfoque cualitativo. Está diseñada en cuatro (4) fases fundamentales donde se estructuran y sustentan los objetivos propuestos.

Se aplicó el estudio de caso a cuatro (4) estudiantes de grado sexto de la Institución Educativa Rural Nieves Arriba del municipio de Valparaíso Caquetá.

Muestra.

Se fundamentó en un estudio no probabilístico intencionado.

Propuesta Didáctica Secuencia Didáctica.

La estrategia de trabajo investigativo está fundamentada en una secuencia didáctica de clases aplicadas a cuatro estudiantes del grado sexto. Este ejercicio pedagógico se estructuró en siete (7) sesiones de clases. El desarrollo de las actividades matemáticas planteadas en la presente investigación han sido elaboradas teniendo en cuenta el modelo propuesto por Tobón (2010), el cual permite realizar la mediación en el aprendizaje en

el que el estudiante no aprende sólo contenidos, sino que desarrolla competencias para desenvolverse en la vida, convirtiéndose en una persona reflexiva, crítica con valores y principios que le permite interactuar en diversos contextos (Tobón, 2010).

Resultados.

Para el análisis de los resultados es importante recalcar que en la secuencia didáctica se incluyeron siete (7) actividades matemáticas que fueron diseñadas para contribuir a promover los procesos matemáticos asociados a los aspectos de la Competencia Matemática Comunicar.

Con base a la propuesta didáctica se presentan los hallazgos en este proceso investigativo.

A manera de síntesis, se exponen las situaciones más sobresalientes durante la promoción de cada proceso matemático durante la actividad de aprendizaje en los estudiantes. 

Se puede afirmar que en los episodios de clase analizados e interpretados, predominó en la actividad de aprendizaje el proceso cognitivo de la participación.

Una de las razones se deduce porque hubo una gran asertividad de los niveles de dominio ocurridos relacionados a este proceso comunicacional de carácter cognitivo.



Las evidencias determinan que los criterios con mayor dominio están en el nivel autónomo; los estudiantes propusieron y explicaron los componentes de una dieta saludable para un día, de acuerdo la cantidad de calorías, proteínas, carbohidratos y grasas que se deben consumir, utilizando números decimales.



De igual forma, la negociación promovió niveles adecuado de comunicación. Se desarrollaron criterios correspondientes a compartir y desarrollar significados matemáticos.



La actividad discursiva se promovió en los estudiantes porque manejaron las estructuras del diálogo y expresaron de forma coherente las ideas.



Se evidenció que se promovieron la motivación y la dedicación en los estudiantes; pues manifestaron interés por participar de forma agradable de la actividad matemática, escucharon y respetaron los aportes de sus compañeros, se preocuparon por mostrar un discurso de calidad y constantemente mostraron dedicación por promover con su discurso la construcción del significado matemático.

BIBLIOGRAFÍA

Bishop, A.J. (2005). Aproximación sociocultural a la educación matemática. Santiago de Cali, Colombia: Programa editorial Universidad del Valle.

Cruz, I. (2013). La competencia matemática comunicar (tesis de maestría). Universidad de la Amazonia, Florencia, Colombia.

D'Amore, B., Godino, J., & Fandiño, M. (2008). Competencias y matemática. Bogotá, Colombia. Editorial Magisterio.

Echeverría, B. (2002). Gestión de la Competencia de Acción Profesional. Barcelona: Universidad de Barcelona.

MEN. Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Santa Fe de Bogotá: Magisterio, 1998.

MEN. Lineamientos curriculares Lengua Castellana. Santa Fe de Bogotá: Magisterio, 1998.

OCDE. (2004). Learning for Tomorrow´s World. First Results from PISA 2003.

Pozo, J. (2010). Teorías cognitivas del aprendizaje. Facultad de Psicología de la Universidad Autónoma de Madrid. Ediciones Morata, S. L. Décima edición. Madrid, España.

Rey, B y otros (2003): Les compétences á l’ecole. Apprentissage et évaluation, Bruxelles. De Boeck.

Sfard, A. (2008). Aprendizaje de las matemáticas escolares desde un enfoque comunicacional.

Santiago de Cali, Colombia: Programa editorial Universidad del Valle.

Tobón, S., Pimienta, J., & García, J. (2010). Secuencias didácticas: Aprendizaje y evaluación de competencias. Mexico: PEARSON.

Competencia Matemática Representar. Un estudio de caso: la función lineal Pompilio Sánchez Arnulfo Coronado Resumen En esta ponencia, producto de la actividad investigativa que realiza el grupo de investigación Lenguajes Representaciones y Educación de la facultad Ciencias de la Educación, de la Universidad de la Amazonia, en el marco del macroproyecto institucional de investigación “Desarrollo de Competencias Matemáticas en estudiantes de Educación Básica y Media”; se hace, en atención al objetivo de investigación propuesto, una caracterización de la Competencia Matemática Representar (CMR), asociada al objeto matemático función lineal.

Para el alcance del objetivo propuesto y los aportes de D’Amore, Godino, y Fandiño (2008), se elaboró un modelo teórico a priori de Competencia Matemática (CM); se aplicó el modelo en estudiantes de grado décimo de la Institución Educativa Rural La Esmeralda del municipio de Puerto Rico Caquetá. Se siguió la metodología cualitativa en la cual se adoptó el estudio de caso como método de investigación.

Los resultados más destacados son: el empleo de diferentes sistemas de representación en el que el componente matemático y el uso social de las matemáticas se asoció al predominio de la representación icónica para las situaciones problémicas propuestas. Para representar o codificar los coeficientes de variación predominó el empleo de signos no convenidos en la matemática. Al realizar tratamientos (transformaciones dentro de un mismo sistema de representación), los estudiantes presentaron menos dificultades que al realizar conversiones (transformaciones entre diferentes sistemas de representación); en especial, para construir una expresión algebraica para la función lineal. En cuanto a los procesos afectivos y de tendencia de acción, se evidenció el deseo y la voluntad por responder a todas las tareas matemáticas propuestas durante la actividad matemática, la perseverancia y dedicación se evidenciaron en cada jornada de trabajo.

Referentes Teóricos Competencias Matemáticas. De acuerdo con Espinoza, et. al. (2009) la noción de competencia matemática se encuentra presente en tres proyectos educativos en Educación Matemática (por efectos de espacio se enuncia sólo uno): El proyecto MAT789; realizado por Paulo Abrantes a mediados de la década de los 90s, tuvo como propósito vincular a los estudiantes en la resolución de situaciones inherentes a la vida diaria para potenciar sus capacidades. En este proyecto, se acogió el concepto de competencia matemática

Docente catedrático, adscrito al Departamento de Pedagogía, Universidad de la Amazonia Docente titular, adscrito al programa de Licenciatura en Matemáticas y Física, Universidad de la Amazonia.  

como uso de conocimiento y se hizo énfasis en la integración de conocimientos, procedimientos y actitudes.

En consecuencia, se asume como competencia matemática un concepto complejo, dinámico y polisémico en el que se encuentran tres aspectos centrales: “el cognitivo: conocimiento de la disciplina, el afectivo: disposición, voluntad, deseo de responder a una determinada solicitud (externa o interna), la tendencia de acción: pertinencia, continuidad, dedicación” (D´Amore, Fandiño y Godino, 2008, p. 44).

- Competencia Matemática Representar (CMR). Las representaciones matemáticas se entienden como aquellas herramientas matemáticas: acciones, signos o gráficos, mediante los cuales los estudiantes abordan e interactúan con el conocimiento matemático, asignándole significado a las estructuras matemáticas y conectando los objetos mentales con los objetos matemáticos. (Rico, Castro y Romero, 1997).

Por tanto, la (CMR), es comprendida como la capacidad de usar el lenguaje simbólico, formal y técnico, descodificando y traduciendo dicho lenguaje y entendiendo sus relaciones con el lenguaje natural. Al igual que, escoger diferentes formas de representación dependiendo el contexto, la situación y el propósito (Espinoza et. al, 2009).

La Función Lineal y sus Representaciones. Teniendo en cuenta que los objetos matemáticos son de naturaleza abstracta y que solo es posible acceder a los mismos a través de sus representaciones, es importante resaltar la necesidad de emplear diferentes tipos, puesto que cada modo, significativamente distinto, de entender un concepto, necesita de un sistema de simbolización propio. Es decir, las representaciones son un medio de comunicación que permiten que los estudiantes se relacionen con los diferentes objetos de conocimiento, tal como lo expone Hitt (1997, citado por Rico, 2009) “las representaciones desempeñan un papel destacado en los procesos de construcción de conceptos y por ello son importantes en el proceso de enseñanza, aprendizaje y comunicación del conocimiento matemático” (p.7).

En consecuencia, en este estudio se considera que las representaciones semióticas deben cumplir: a) la función de comunicación (intercambio social), b) la de objetivación (toma de conciencia) y c) la función de tratamiento (manipulación de la información); de modo que el sistema de representación permite describir las actividades matemáticas que tienen lugar en el discurso matemático del aula. Se confiere así, un significado de la estructura matemática desde la perspectiva de las matemáticas escolares; en consecuencia, en lo que respecta a función lineal, se pueden identificar las siguientes representaciones: a) Verbal, b) Diagrama sagital, c) Tabular, d) Gráfica, e) Algebraica.

Así mismo, en cuanto a los aspectos asociados a competencia matemática, del establecimiento de las diferencias entre la competencia en matemática y la competencia matemática en D´Amore, Godino y Fandiño (2008), se deduce que la competencia

matemática incluye los componentes sustanciales de la competencia en matemática: “dominio conceptual y afectivo que media entre el estudiante mismo y la matemática” (p.

43). Y va más allá, en la competencia matemática, como concepto complejo dinámico y polisémico se evidencian los siguientes aspectos:  El cognitivo: conocimiento de la disciplina. En concordancia con el objeto matemático inmerso en la presente investigación: el conocimiento de la función lineal, la cual, según D´Amore, Godino y Fandiño (2008), se considera como una porción limitada del saber matemático; asimismo, se cataloga entre los diferentes tipos de contenidos como un contenido disciplinario; más concretamente, como un contenido matemático que, como una reelaboración parcial, continua y autónoma y, de ésta forma, convertirla en conocimiento, por tanto, éstos deben atender los intereses de los estudiantes, lograr su atención y satisfacer sus curiosidades intelectuales. El afectivo: disposición, voluntad, deseo de dar respuesta a un requerimiento (interno o externo). La asunción en la presente tesis de la competencia como concepto complejo y dinámico planteado por D´Amore, Godino y Fandiño (2008), permite desde su componente dinámico afirmar que las bases cognitivas de las competencias matemáticas son de carácter disciplinar; es decir, que en la base de la competencia matemática se encuentra las matemáticas como disciplina científica, cuyos contenidos matemáticos, si bien son compartidos, movilizan el desarrollo de las mismas, no son suficientes para su desarrollo pleno, pues su carácter transversal desborda la disciplina.  La tendencia de acción: persistencia, continuidad y dedicación. componente que permite que el estudiante aumente sus conocimientos y vaya más allá de la simple repetición de fórmulas y conceptos matemáticos y tenga la posibilidad de ingeniar, crear, investigar, cuestionándose constantemente y construir matemáticas desde sus heurísticas.

De manera que al hacer referencia a este componente de la competencia, se requiere, según D´Amore, Godino y Fandiño (2008) que el estudiante sienta la necesidad de involucrarse aceptando el rol que debe cumplir en la construcción de su propio conocimiento; por tanto, además de sentirse motivado a realizar las actividades, él debe tener la voluntad de implicarse en ellas, de demostrar sus propios conocimientos.

Actividades El desarrollo de la investigación se realizó durante tres momentos presenciales con los estudiantes en los cuales se obtuvo información de diferentes fuentes, tales como: observaciones directas, diarios de campo y video grabaciones (Hays, 2004). Esta información permitió interpretar y analizar las diferentes representaciones construidas por los estudiantes, tendientes a responder la pregunta orientadora y los replanteamientos hechos en cada sesión.

Momento uno. En el cual en conjunto con la docente del área de agropecuarias se preparó una charla enfocada temáticamente en la concepción de finca como empresa, con

el objetivo de conocer por parte de los estudiantes sus intereses inmediatos, de forma escrita y oral, en relación a aspectos comerciales, productivos, sociales, educativos, políticos, culturales y ambientales, entre otros.

Momento dos. En este encuentro se analizaron diferentes variables asociadas a la producción pecuaria y agrícola tales como: las relaciones entre las excretas de animales y efecto invernadero, cantidad de animales y erosión de suelos, pasto producido y cantidad de animales alimentados, policultivos y mejoramiento de suelos e ingresos económicos familiares, entre otros. La participación de los estudiantes en la discusión facilitó la identificación de aquellos más interesados en continuar indagando al respecto.

Con los estudiantes seleccionados se decidió consultar diferentes fuentes, para obtener información adicional sobre las variables antes señaladas y otros aspectos relacionados con los costos de producción de un litro de leche, la cantidad de leche producida diaria y mensual y los ingresos obtenidos por comercialización.

Momento tres. Este momento consta de cuatro sesiones. En la primera sesión se discutió la información recolectada por los participantes con el fin de delimitar el problema a resolver y determinar los aspectos que contribuyen a dicho propósito, al igual que las fuentes consultadas. En las sesiones dos y tres, se desarrollaron la primera y segunda situación problema consistente en la determinación de los procesos de codificación y descodificación, también las diferentes formas de representación presentadas por los estudiantes con base a las tareas propuestas de cada situación. (Ver figura 1).

Figura 1. Símbolos utilizados por E4 en T1.

Figura 2. Conversión realizada por E3 en T1.

En la última sesión se desarrolló la tercera situación cuyo objetivo fundamental era de indagar sobre el proceso de traducción, que involucraba tratamientos y conversiones (Figura 2). Es de anotar que en todos los momentos se tuvo en cuenta las diferentes actuaciones tendientes a destacar los otros dos aspectos de la competencia como lo son el aspecto afectivo y tendencia de acción, los cuales estuvieron muy ligados a la vinculación de los estudiantes a la participación en la solución de las tareas, debido a

que éstas tareas están estrechamente relacionadas con una problemática de interés que vive la comunidad de la región, como es la rentabilidad de la producción lechera.

Metodología La investigación cualitativa centra su interés en contextos reales o circunstancias cotidianas con dinámicas propias basadas en experiencias individuales y colectivas, y en las formas particulares de comunicación entre los participantes; en consecuencia, la presente investigación centró su interés en el estudio de las diferentes formas de representación utilizadas por los estudiantes al enfrentarse a situaciones problémicas propias de su entorno como estudiantes campesinos y vinculados a actividades pecuarias.

En este sentido, de acuerdo con Stake (1995), se asume que la característica más destacada de la investigación cualitativa es el énfasis en la interpretación; pues, a partir de sus observaciones y la confrontación con otros datos, los investigadores sacan sus conclusiones. De ahí que la interpretación de las actuaciones y desempeños, como evidencias de la movilización que realizan los estudiantes de sus saberes en procesos de representación, hacen parte del foco de interés del presente estudio.

Así mismo, se implementó el método de estudio de caso, el cual permitió describir los desempeños de los estudiantes para caracterizar la (CMR), de acuerdo con la concepción adoptada, sus aspectos, procesos, indicadores propuestos a priori y los que emergieron en los momentos de la producción de los datos, su sistematización y análisis.

Lo anterior, a partir de un contexto y una situación problémica real estrechamente relacionada con un objeto matemático (en este caso con la función lineal como objeto de investigación), los cuales permiten explorar las experiencias, las ideas y los argumentos de los estudiantes como base de las observaciones y análisis del estudio (Hays, 2004).

En consecuencia, el trabajo de campo se realizó en la Institución Educativa La Esmeralda del municipio de Puerto Rico, departamento del Caquetá. El sustento de sus habitantes y de los estudiantes se deriva de la actividad agrícola y pecuaria, en especial la ganadería. La institución es de carácter rural, de especialidad técnica agropecuaria; por tanto, se orienta hacia el Emprendimiento Agropecuario como área transversal de acuerdo con el currículo institucional propuesto y es evidente en el Proyecto Educativo Institucional. En concordancia con lo anterior, la Institución considera el campo como empresa y pretende que desde esta concepción los estudiantes desarrollen su proyecto de vida.

Por lo tanto, la población participante en el estudio de caso, se conformó por cuatro estudiantes campesinos de décimo grado con edades que oscilan entre 15 y 16 años, y que de manera voluntaria, decidieron articularse al estudio de casos. La participación de los docentes, en la presente investigación, no sólo fue como investigadores, sino, que se fundamentó en el rol de investigadores participantes, por cuanto además de ser docentes, orientaron las diferentes discusiones presentadas en cada sesión.

Resultados Los resultados se presentan de acuerdo a los aspectos de la (CMR), Respecto al aspecto Cognitivo. En el proceso se codificación, se evidenció que en la mayor parte de sus actuaciones codifican información relacionada con la función lineal mediante diferentes representaciones semióticas (íconos, tablas, verbal). Sin embargo, estas representaciones obedecen más a una demanda cognitiva de la tarea que al establecimiento de una relación directa entre las variables descritas. Es de resaltar que la representación icónica prevalece ante las demás representaciones, esto se debe posiblemente a la relación existente entre cada tarea matemática con el contexto inmediato de los estudiantes.

Se destaca el carácter y uso social de las matemáticas; de esta manera, al codificar las variables dependiente e independiente de la función lineal, su representación se produjo mediante los signos: P.L, $, P$L, para indicar las iniciales y símbolos de las variables relacionadas y no se tuvieron en cuenta los signos validados (símbolos) en matemáticas como x y y.

Por otra parte, en cuanto al proceso de descodificación, se evidenció que los estudiantes extrajeron información acerca de la función lineal y la representaron regularmente por medio de íconos en los cuales se denotó la semejanza entre lo representado y sus prácticas cotidianas. Sin embargo, se resalta en la representación icónica el uso repetitivo de signos no convenidos al descodificar la información presentada. Este proceso es de gran importancia para el aprendizaje de las matemáticas, pues contribuye a generar en el estudiante nuevas formas de representar y su acercamiento desde una noción compartida de los objetos matemáticos.

Finalmente, en el proceso de traducción, los estudiantes realizaron diferentes representaciones del objeto matemático en estudio mediante tratamientos; es decir, transformaciones al interior de un mismo sistema de representación, entre ellas, del lenguaje verbal escrito a una expresión algorítmica. De igual forma, la constante de proporcionalidad directa la expresan mediante un cociente entre dos cantidades; se evidenció la no aplicación de las condiciones de linealidad. No obstante, la dificultad general radicó en el paso de una forma de representación a otra (proceso de conversión) y por tanto, a los estudiantes no les fue posible establecer una expresión algebraica equivalente a la gráfica de la función lineal previamente obtenida.

Respecto al aspecto Afectivo, los estudiantes pertenecientes al estudio de caso, conocían la problemática a tratar en el trabajo como es la rentabilidad de la leche; que junto a la modalidad empresarial de la institución y la formulación de tareas matemáticas inherentes a su cotidianidad tales como: la medicación del ganado, la comercialización de la leche y la proyección económica de la finca, contribuyeron a aflorar en los estudiantes sus conocimientos empíricos para que se generara un clima de expectativa y

de participación natural, decidida y espontánea, y así lograr que se implicaran con voluntad propia en los desarrollos de las distintas tareas propuestas. No obstante, a pesar de mostrar interés y deseo de profundizar sus conocimientos en torno a la rentabilidad de la leche ninguno fue creativo para responder a la demanda de cada tarea.

En cuanto al aspecto Tendencia de Acción. En este aspecto se evidenció que en la solución de algunas tareas se requirió mucho tiempo; pese a ello, los estudiantes demostraron un trabajo continuo y dedicado. Además sortearon dificultades como las ambientales, personales, la falta de materiales para realizar las tareas etc. Siempre fueron persistentes y tuvieron en cuenta elementos de la matemática para la solución de las tareas propuestas. Es de resaltar la comodidad y el protagonismo de los estudiantes en toda la investigación, además la responsabilidad de cada uno para realizar consultas y la argumentación espontánea de los procedimientos utilizados. De esta forma se presentó en todo momento una actitud de querer participar lo cual favoreció la actividad matemática de los estudiantes, por cuanto manifestaron interés, deseo y voluntad de contribuir activamente en la búsqueda de la solución de la situación problemática planteada.

Conclusiones En lo institucional, se espera que la investigación realizada fortalezca la especialidad Técnico Agropecuario, se reconozcan los beneficios de adoptar las situaciones problémicas en el currículo y, en consecuencia, implementar la formulación y resolución de problemas como metodología en la Institución Educativa Rural la Esmeralda.

Respecto del objeto matemático en estudio, en las discusiones de docentes del área de matemáticas en esta Institución, se evidenció el uso de los conceptos función lineal y función afín sin distinción alguna. Esta confusión que se presenta no solamente en docentes, sino también en estudiantes y libros de texto. Coronado y Montealegre (2007).

Los diferentes aspectos y procesos asociados a la (CMR) y la representación misma de la función lineal, se constituyen en objetos de estudio o investigación. Por su significancia en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas merecen ser investigados con mayor profundidad, para continuar aportando elementos científicos al desarrollo del enfoque por competencias.

Referencias Bibliográficas Coronado, A y Montealegre, L. (2007). Tratamiento didáctico de la función lineal en libros de texto de matemáticas para la educación básica secundaria: un estudio en el departamento del Caquetá. (Tesis de maestría). Universidad Pedagógica nacional. Bogotá, D.C. D’Amore, B., Godino, J. y Fandiño, M. (2008). Competencias y Matemática. Bogotá: Editorial Magisterio.

Espinoza, et al. (2009). Anรกlisis de las competencias matemรกticas en NB1.Caracterizaciรณn de los niveles de complejidad de las tareas matemรกticas.

FONIDE- Fondo de Investigaciรณn y Desarrollo en Educaciรณn.

Hays, P. (2004). Case study research. En Foundations for research: Methods of inquiry in education and the social sciences (pรกgs. 217-234). Mahwah, NJ: LEA. Rico, L. (2009). Sobre las nociones de representaciรณn y comprensiรณn en la investigaciรณn.

Stake, R. (1995). Investigaciรณn con estudios de casos. 2ยช ediciรณn. Madrid: ediciones Morata.

EL PAPEL DE LAS TAREAS MATEMÁTICAS EN EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA ALIRIO QUESADA SALAZAR alirio51@hotmail.com SAMUEL MORALES PARRA smoralesp@uniamazonia.edu.co Presentación: En los últimos cinco años, el Colectivo de Investigadores en Educación Matemática viene desarrollando su actividad investigativa en el contexto del conocimiento didáctico de los profesores de matemáticas, particularmente en las posibilidades que ofrece el análisis didáctico para el diseño, gestión y evaluación de procesos curriculares en la formación de profesores de matemáticas y física. El proyecto de investigación “El análisis didáctico: Una posibilidad de integración curricular en la formación de profesores de matemáticas”, está delimitado a un contexto local: la formación del profesor de matemáticas de la Universidad de la Amazonía, referida a contenidos matemáticos (CM) específicos, con el permanente interés de dar respuesta a los cuestionamientos planteados por pares académicos del Consejo Nacional de Acreditación, en las visitas realizadas al Programa de Licenciatura en Matemáticas y Física desde el año 2003, con miras a la acreditación de alta calidad.

La investigación se orientó, particularmente, al diseño de la unidad didáctica de los contenidos que estructuran los espacios académicos “Las Geometrías” y “El problema de la Congruencia y de la Semejanza”, que se orientan en el Segundo semestre de la Licenciatura en Matemáticas y Física de la Universidad de la Amazonia.

Referentes Teóricos: Fenomenología de las Transformaciones Isométricas e Isomórficas El análisis fenomenológico contribuye a establecer las situaciones y contextos en los que se usan los conceptos o contenidos geométricos relacionados con la transformación geométrica, en el sentido funcional: usos o aplicaciones. El estudio de la fenomenología de las trasformaciones posibilita ligar el uso competente de las nociones matemáticas en fenómenos del contexto, y aproximar el aprendizaje de los estudiantes al uso eficiente atendiendo sus distintas necesidades.

En la selección y diseño de tareas para el aprendizaje, se deben buscar, motivar a los estudiantes, haciendo que éstas estén más cercanas a ellos o a su entorno; en algunos casos, se puede proponer tareas que relacionen las matemáticas con otras áreas científicas.

Evaluación de Logros Tarea Uno A: Traslación, Rotación, Reflexión, con Herramientas Convencionales, Objetivos de Aprendizaje: En el documento de la tarea, se plantearon tres objetivos de aprendizaje, relacionados con la clasificación de la transformación,

identificación de sus propiedades y sus aplicaciones en diversas situaciones, con el apoyo de herramientas.

Traslación Dado el trapecio ABCD y el vector ⃗ de magnitud 5cm: 1) Grafique el vector ⃗ en sentido suroccidente y con dirección -120°

Los 5 grupos de trabajo graficaron el vector con las especificaciones dadas, a excepción del equipo 1 al que le faltó registrar la medida y la dirección del ángulo; la falta de los elementos mencionados no permite reconocer si el grupo construyó un ángulo de 240° o de -120° (ángulo solicitado).

2) Desplace únicamente cada uno de los vértices (puntos) en la dirección, sentido y magnitud indicados por el vector ⃗ . a) Explique lo sucedido con cada punto luego del desplazamiento.

Los procesos desarrollados por cada uno de los grupos no permite evidenciar que los vértices se hayan trasladado paulatinamente uno a uno, pero la imagen construida y las respuestas a los literales a y b admiten inferir que así lo hicieron.

Los equipos coinciden en afirmar que “Cada punto del trapecio se traslada en la misma dirección, sentido y magnitud dadas por el de vector”

b) Compare la posición de cada punto de la figura original con el correspondiente de la imagen. c) ¿A qué conclusión llega? Explique en forma escrita.

Los grupos coinciden en sus respuestas, cuando afirman por ejemplo: “Cada punto”: “Se desplaza vectorialmente con un sentido, dirección y magnitud dada, quedando en una posición diferente” Podemos interpretar que la expresión “se desplaza vectorialmente” significa que el desplazamiento se hizo teniendo en cuenta la dirección, magnitud y sentido del vector v, entonces la respuesta es correcta.

“Los puntos siguen siendo los mismos teniendo en cuenta la dirección del vector y su magnitud”. Únicamente el Grupo 3 se aproxima a la respuesta esperada.

3) Desplace el trapecio ABCD teniendo en cuenta el vector ⃗ .

Teniendo en cuenta los lados del trapecio y los homólogos en la imagen ¿Qué características se observan? Explique en forma escrita.

Se esperaba que en sus respuestas mencionaran dos características de la translación: paralelismo e igualdad de longitud entre los lados homólogos. Los grupos 2, 3 y 5 manifiestan la característica “igual longitud”. El grupo 4 considera el “paralelismo”. El grupo 1 informa qué le hizo a la preimagen pero no respondió al interrogante.

4) Determine la longitud de cada uno de los lados de la preimagen y compare estas medidas con las de los lados homólogos. ¿A qué conclusión llega?.

Los cinco grupos acertaron con las respuestas; por ejemplo: a) “Son iguales todas sus medidas” b) “Las dos figuras son congruentes, todas sus dimensiones son iguales” 5) Establezca la medida de cada uno de los ángulos de la preimagen y compare estas medidas con las de los ángulos homólogos. ¿A qué conclusión llega?

Hubo cuatro grupos que respondieron en términos de igualdad en la medida de los ángulos y, en consecuencia, se da la congruencia de los mismos; en cambio el grupo dos, como no midió los ángulos de los dos trapecios, omitió la respuesta.

6) Halle las áreas de los trapecios preimagen e imagen ¿A qué conclusión llega?

Los grupos coinciden en afirmar que las áreas de los polígonos son iguales, porque tienen en cuenta la igualdad entre la medida de los lados homólogos y la congruencia entre los ángulos correspondientes, sin embargo, sólo calcularon el área de la imagen; les faltó informar acerca de los procesos desarrollados para determinar la longitud de la altura.

7) Redacte una conclusión general obtenida de las seis actividades anteriores, con las explicaciones del caso.

Tanto el grupo uno como el cinco, manifiestan que la preimagen y la imagen son congruentes, pero no especifican lo que significa ser congruentes. En la respuesta del grupo uno se omite mencionar que en la traslación se conserva también el tamaño de la figura. En la respuesta del grupo tres, se puede interpretar que las clasificaciones “cualitativas” se refiere a que se conservan forma y tamaño, y en las “cuantitativas”, se conservan las dimensiones de lados y ángulos. En términos generales, las respuestas dadas se ajustan a lo esperado.

Rotación Dado el trapecio ABCD: Ubique un punto E al lado derecho de éste; tome el punto E como centro de rotación y: 1) Rote el segmento (lado) un ángulo de -70º Cada uno de los grupos rotó el trapecio tomando como centro de rotación el punto E, pero no permitieron evidenciar el proceso desarrollado paso a paso para mostrar el giro del lado 2) Repita el proceso anterior con cada uno de los lados restantes del trapecio. a) Explique en forma escrita lo sucedido con cada lado luego de la rotación. b) Compare cada lado de la figura original con el correspondiente de la imagen. c) ¿A qué conclusión llega? Explique en forma escrita.

Cada grupo respondió a la pregunta enunciando máximo dos de las características de la rotación, es decir, existe cambio de dirección de acuerdo a la magnitud del

ángulo, el cambio de posición de la imagen depende del ángulo de rotación previamente establecido. Los lados correspondientes de la imagen y la preimagen son iguales, en consecuencia no existe transformación física de la preimagen. b) Compare cada lado de la figura original con el correspondiente de la imagen.

Los grupos coinciden en la aseveración de que efectivamente las longitudes de los lados correspondientes de las dos figuras planas son iguales. c) ¿A qué conclusión llega? Explique en forma escrita.

Los cuatro grupos acertaron en relación con la conclusión dada, sólo que de acuerdo su nivel académico de formación, con un primer caso de rotación no es conveniente ni suficiente para llegar a hacer una generalización sobre esta clase de transformación geométrica.

3) Gire el trapecio un ángulo de 80º (sentido anti horario). a) Teniendo en cuenta los lados del trapecio y los homólogos de la imagen obtenida, ¿Qué características se observa? Explique en forma escrita. b) Compare las dos figuras (preimagen e imagen) ¿Qué características se aprecian?

Explique en forma escrita.

En la transformación geométrica “rotación” los estudiantes que conformaron el grupo dos son quienes lograron desarrollar los procesos y responder al resto de las preguntas de esta parte de la tarea, con lo que desde ya se pone de manifiesto que el trabajo con esta transformación geométrica es la más difícil de comprender y construir haciendo uso de las herramientas convencionales.

Reflexión: 1. Dado el trapecio ABCD, al lado derecho de, éste trace dos rectas l y m paralelas entre sí, separadas una distancia de 5cm.

2. Coloque un espejo de tal forma que el borde esté alineado con la recta l y observe en él la imagen reflejada del trapecio ABCD. Localice a pulso los vértices de la imagen y nómbrelos con A’, B’, C’ y D’. ¿Qué relación existe entre cada punto de la imagen y la preimagen con respecto al espejo? Construya el trapecio imagen A’B’C’D’.

3. Repita los pasos del numeral 2 pero ahora con el espejo en la recta m y observando el trapecio A’B’C’D’. a) ¿Qué relación existe entre cada punto de la imagen A’’B’’C’’D’’ y la preimagen A’B’C’D’ con respecto al espejo?

Teniendo en cuenta que en la reflexión los puntos correspondientes de la preimagen y la imagen se encuentran a la misma distancia del eje de reflexión (espejo) y que la imagen se “invierte” (la parte derecha de la pre-imagen queda a la izquierda en la imagen), los grupos G3 y G4 interpretaron fielmente esta situación, mientras que los grupos G1 y G2 solo tuvieron en cuenta una de las dos características, con respecto a los vértices: en las dos figuras las distancias de los vértices a la recta se

mantienen. El grupo G5 se alejó de estas dos características, teniendo en cuenta únicamente el cambio de posición de la figura. b) Construya el trapecio imagen A’’B’’C’’D’’. Explique lo sucedido con la posición y distancia a cada punto A’’, B’’, C’’, D’’ y los puntos A, B, C y D; luego de la transformación. Compare cada lado de la figura original – trapecio ABCD – con el correspondiente de la segunda imagen.

La respuesta del grupo G5 expresa exactamente lo que sucede con el desarrollo de la actividad propuesta en el literal b) de la pregunta 3, en tanto que los grupos G3 y G4 resaltan que las distancias se conservan, omitiendo los otros aspectos. El grupo G1 observa la conservación de las medidas y el cambio de posición de la figura; similarmente el grupo G2 prioriza su atención en la congruencia de los lados y en el cambio de sentido de la figura. c) ¿A qué conclusión llega? Explique por escrito.

De cierta manera el grupo G 2 se aproxima significativamente a la respuesta correcta, cuando manifiesta “Queda con sus mismas dimensiones, cambia su posición y sus vértices se invierten simétricamente”, restando por expresar que las distancias al eje de reflexión se mantienen. En términos generales, los grupos restantes coinciden en decir que luego de la reflexión se obtiene una figura congruente con la original.

4. ¿A qué conclusión llega en relación con las respuestas a las 3 actividades anteriores? Expréselo por escrito.

A la respuesta del grupo G1: “… la figura 1 se transforma en la figura 2 y la figura 2 en la figura 3; la figura 3 es la traslación con respecto a la primera figura”, solo falta agregar que, en la reflexión, la distancia de los puntos homólogos al eje de reflexión es la misma y que la figura se “invierte”. Los restantes grupos coinciden en recalcar que hay cambio de posición.

5) Ahora mida la distancia (perpendicular) de cada vértice del trapecio ABCD a la recta m y esa misma distancia tómela al lado derecho de esta recta y nombre cada vértice con A’B’C’D’. a) Compare las dos figuras ¿Qué características se aprecian? Explique por escrito. b) Determine la medida de cada uno de los lados de la preimagen y compárelas con las de los lados homólogos. ¿A qué conclusión llega? Explique por escrito. c) Establezca la medida de cada uno de los ángulos de la preimagen y compárelas con las de los ángulos homólogos. ¿A qué conclusión llega? Explique por escrito.

Respuestas al literal a) Aunque en la primera actividad, propuesta en el ítem 5, requería que se observara que las distancias de cada vértice y su homólogo al eje de reflexión se mantienen,

que se conserva la forma de la figura original y que el sentido de los vértices se invierte, los grupos concuerdan en afirmar que la posición de los vértices se invierte.

Las dos características restantes no fueron percibidas pos los demás grupos; únicamente el grupo G1 advierte que las distancias al eje de reflexión se conservan.

Respuesta literal b): Los grupos aciertan al afirmar que la longitud de cada lado se conserva luego de la reflexión Respuesta literal c): Es correcto cuando todos los grupos coinciden al decir que la magnitud de los ángulos correspondientes se conserva.

6. Compare las áreas correspondientes ¿A qué conclusión llega?

Todos los grupos aciertan al sustentar que las áreas de las dos figuras son iguales.

7. Redacte una conclusión general obtenida de las seis actividades anteriores, con las explicaciones del caso.

G 1: “En la reflexión los vértices equidistan con respecto al eje; y la forma con sus medidas longitudinales y angulares no cambia aunque se cambie su posición” G 2: “El proceso de reflexión nos permite una figura en una posición opuesta” G 3: “En conclusión, determinamos que en la reflexión se garantiza el homólogo exacto del trapecio original, es decir, no afecta los ángulos, ni la longitud; solo su posición y se invierten los vértices hasta que en la pre-imagen número 3 vuelve a la imagen principal” G 4: “Las dos figuras son congruentes” G 5: “Éstas transformaciones geométricas que son traslación, rotación y reflexión conservan la forma y las medidas de las figuras utilizadas en este caso el trapecio” Teniendo en cuenta que en las seis actividades anteriores se evidencia que: a) b) c) d) e) f) g)

dos reflexiones consecutivas equivalen a una traslación, las distancias de los vértices homólogos al eje de reflexión son iguales, los vértices se invierten, los lados correspondientes tienen las mismas medidas, los ángulos homólogos tienen la misma medida, las áreas de las dos figuras son iguales, la forma se conserva,

Los grupos concuerdan en que las figuras conservan su forma, las medidas de lados y ángulos se mantienen y que los vértices equidistan del eje de reflexión, situación que, en cierta medida, recogen lo esencial de la reflexión.

Metodología

Para el tratamiento del problema, la investigación se estructuró en las siguientes cuatro fases: De conceptualización: Esta fase comprendió los procesos de apropiación de los conceptos geométricos sobre las transformaciones geométricas (Isométricas e Isomórficas) en el plano, de interés de la Unidad Didáctica, así como el conocimiento de los referentes teóricos - conceptuales que sustentan el análisis didáctico: el análisis de contenido, cognitivo, de instrucción y de actuación, de los diferentes contenidos que conforman la unidad didáctica diseñada.

De diseño: En esta fase, en el marco de la unidad didáctica, se diseñaron y construyeron las cinco tareas matemáticas de aprendizaje sobre las transformaciones geométricas: Isométricas e Isomórficas; en el plano, inherente a los contenidos disciplinares que estructuran los espacios académicos “Las Geometrías y El Problema de la Congruencia y de la Semejanza”, que se orienta en el Segundo semestre del Programa de Licenciatura en Matemáticas y Física en la Universidad de la Amazonía.

De gestión: en el aula de geometría y con los estudiantes del 2° Semestre de la Licenciatura, se implementaron las cinco tareas matemáticas de aprendizaje previamente diseñadas. En este avance se hace referencia a los desarrollos correspondientes a la Tarea uno: Trasformaciones Isométricas con el apoyo de herramientas convencionales (regla, escuadra, compás, trasportador) y con herramientas TICS: Software de geometría dinámica – Geogebra.

Evaluación: En esta fase se evalúa el impacto de las tareas matemáticas de aprendizaje, construidas e implementadas para la formación inicial del profesor de matemáticas y física.

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(2012).

Módulo

3

Análisis

Cognitivo.

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ESTADO ACTUAL DEL CONCEPTO DE SIMETRÍA EN ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO EN INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE FLORENCIA CAQUETÁ Ferney Anturí Vargas feanva@gmail.com

Javier Martínez Plazas

javiermartinezplazas@yahoo.com

Francisco Alfredo Bernal Zúñiga fraalbezu@hotmail.com

Universidad de la Amazonia (Colombia) Temática del Trabajo La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas elementales y avanzadas a través de sus aplicaciones.

Resumen En la Licenciatura en Matemáticas y Física se desarrollan los espacios académicos Estadística y Probabilidades (Matemáticas Escolares) y Problemas de la Aleatoriedad (Problema de Aula) durante el sexto semestre. Para lograr la integridad de estos espacios académicos los estudiantes indagaron sobre el concepto de simetría (asimetría) en estadística. La investigación se realizó en las instituciones educativas San Francisco de Asís, Técnico Industrial y La Salle, del municipio de Florencia (Caquetá); el grupo focal (muestra) lo conformaron 81 estudiantes a los cuales se les aplicó un test acerca del tema que permitiera determinar las falencias que tienen los estudiantes en dichos conceptos. Se resalta el hecho dentro de los resultados que los estudiantes a pesar de contextualizar estos conceptos no estructuran definiciones, conllevando a la falta de comprensión y análisis de situaciones formales por parte de los estudiantes.

Palabras claves: Estadística, simetría, asimetría, distribución de probabilidad.

Introducción Durante el desarrollo de los diferentes semestres, sexto de la Licenciatura en Matemáticas y Física, se indaga sobre los diferentes problemas de enseñanza y aprendizaje de la estadística. En este sentido, durante el primer semestre académico de 2015 los estudiantes (docentes en formación) identificaron a través del estudio de investigaciones experimentales como las de Eisenbach (1994), Pollasek (1981), Russell y Mokros (1991), Batanero (1999), Vallecillos (2000), Manzano (2001), Mateus (2011), falencias en la enseñanza y el aprendizaje de la simetría (asimetría) en estadística.

Lo anterior generó en el segundo semestre académico del 2015 desarrollar una experiencia de aula para confrontar lo encontrado en el estado del arte y la realidad en las instituciones educativas en estudiantes de la educación básica y media. El trabajo se realizó con 81 estudiantes de las instituciones educativas San Francisco de Asís, Técnico Industrial y La Salle, del municipio de Florencia (Caquetá) a quienes se les aplicó un prueba que contenía preguntas sobre el concepto y la aplicación de dicho concepto en la estadística.

El presente trabajo implicó el estudio de dicho concepto (Matemáticas Escolares) por parte de los estudiantes de la Licenciatura y la indagación didáctica de éste (Problema de Aula) en conjunto, docente del espacio académico, estudiantes y docentes de las instituciones educativas; de tal manera que se plasmara la realidad frente a este tema en el sentido didáctico y que en el primer periodo académico del 2016 se diseñen actividades de intervención de aula para mejorar las falencias y potenciar los aspectos favorables encontrados.

Desde el análisis teórico, en términos generales, como lo plantean Kruskal y Mosteller (1979) la simetría comparte significado en el sentido popular y estadístico (Citados por Manzano, 2001), la simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios (Wikipedia, 2016). A pesar de la presentación anterior de la simetría, este concepto no es lejano para la gente del común, más que un tema de matemáticas es una relación que se maneja a diario.

Si cada persona se detuviera a analizar el cuerpo humano, notaría que éste a simple vista pareciese simétrico, por su perfección y que al trazar una línea imaginaria, quedarían dos partes iguales, pero si lo analizamos más a fondo notamos que no es igual, similar mas no igual, por tanto nuestro cuerpo es asimétrico. Ejemplos sencillos y cotidianos como este, son los que nos muestran que en verdad la simetría hace parte de nuestro entorno, cuando abrimos los ojos y vemos simetría en nuestro mundo.

En análisis de datos, como lo plantea Manzano (2001), se aplica a las distribuciones que cumplen con la siguiente característica: definido un centro (media aritmética, mediana, centro de amplitud total, etc.) las dos mitades resultantes se corresponden, cada una, con la imagen reflejada de la otra. Dicha característica implica que varios índices de tendencia central tengan la misma medida, i.e., cualesquiera dos valores equidistantes al centro cuentan también con la misma frecuencia (y, por tanto, con la misma frecuencia acumulada con respecto al mismo centro). La importancia de la simetría se entiende cuando se estudia la distribución de probabilidad de un conjunto de datos, de allí que se requiere el auxilio de índices que sean sensibles a las características señaladas, de tal forma que sean capaces de traducir en una cuantía concreta el grado de simetría. Algunos coeficientes para determinarla, son: Coeficiente de Pearson, Coeficiente de Bowley, Coeficiente de Fisher.

MARCO DE REFERENCIA ¿QUÉ ES SIMETRÍA? Simetría es una igualdad o identidad de elementos dispuestos a ambos lados de un eje. El trazado de este eje puede ser: Horizontal, Vertical, o Diagonal y las formas se reflejan en igual distancia del eje. Si nos ponemos a mirar el universo que nos rodea descubriremos que la simetría siempre ha estado ahí, desde la construcción de templos y obras monumentales como las pirámides, la simetría no es ajena a ninguna de las artes, uno de los problemas de la noción de simetría, es que muchas personas la relacionan como un proceso físico matemático, es cierto, que ella se estudia o se enfatiza más en esta área, pero ¿Entonces? Solo los matemáticos físicos pueden observar e identificar la simetría y asimetría en su entorno, este concepto no es lejano para nadie, está más que un tema de matemáticas es una relación que llevamos todos, incluso en nuestro cuerpo si cada persona se detuviera a analizar notaría

que nuestro cuerpo a simple vista pareciese simétrico, por su perfección y que al trazar una línea imaginaria, quedarían dos partes iguales, pero si lo analizamos más a fondo notamos que no es igual, similar mas no igual, por tanto nuestro cuerpo es asimétrico, ya que la asimetría cuando se divide por un eje sus dos partes no son iguales, ejemplos sencillos y cotidianos como este, son los que nos muestran que en verdad la simetría hace parte de nuestro entorno, cuando abrimos los ojos y vemos simetría en nuestro mundo. Cuando nuestros telescopios nos permiten deducir el orden simétrico de las órbitas planetarias y de galaxias lejanas. Pero además, cuando cada uno de nosotros abrimos nuestros propios ojos y nuestra propia mente y descubrimos pautas que unen lo grande y lo pequeño, lo pasado y lo futuro nos convertimos en partícipes de la aventura del conocimiento, una aventura que nos brinda además un placer muy especial, el placer de descubrir y comprender.

Aparte de estas aplicaciones de la simetría y asimetría hay una en particular que fue el motivo para la realización de este proyecto de investigación; la aplicación de simetría y asimetría en estadística, la cual es fundamental para temas estadísticos tales como la distribución de probabilidad normal, en esta se debe rectificar su simetría a través de diferentes coeficientes, como el Coeficiente de asimetría de Pearson, Coeficiente de asimetría de Bowley, Coeficiente de asimetría de Fisher. Estos se hacen notar cuando se grafica un histograma, ya que contiene la noción de simetría con respecto a un eje, en el cual se encuentra la media, mediana y la moda.

Como se puede apreciar en la figura 1.

Figura 1. Histograma de una distribución normal

ASPECTOS METODOLÓGICOS Por la naturaleza de la información a analizar, el tipo de investigación es cualitativa, su enfoque es pedagógico, de carácter experimental. Se determina un grupo focal de 81 estudiantes de grado décimo, de tres instituciones educativas de la ciudad de Florencia, La Salle, San Francisco de Asís y Técnico Industrial.

Como instrumento de recolección de información, se diseñó un test conformado por siete ítems, que consta de preguntas abiertas, preguntas con múltiple respuesta e imágenes que ilustran simetría o asimetría. Como instrumentos de análisis de la información se utiliza una rejilla y se sistematizará por medio de tablas con la ayuda de herramientas como Microsoft Excel y como técnica de análisis se utilizará la estadística descriptiva.

TEST. 1. ¿Qué considera Usted por simetría, ejemplifique?

2. ¿Qué considera Usted por asimetría, ejemplifique?

3. ¿Especifique cuál de las siguientes figuras es simétrica y cual asimétrica?

A. _______________ B. _______________ C. _______________ D. _______________ E. _______________ F. _______________ 4. ¿Explique qué diferencias encuentra en las dos figuras?

5. ¿De las siguientes gráficas de funciones, cuál considera usted, que es simétrica y asimétrica?

6. ¿En un colegio un profesor está organizando a sus estudiantes como se muestra en la imagen 1, quiere ubicar a las estudiantes de la imagen 2, ¿En qué puesto las pondrá? ¿Por qué? Tenga en cuenta la forma inicial de organización.

7. Con respecto a esta tabla realice un gráfico de barras y describa su forma. ¿Será simétrica o asimétrica?

ANÁLISIS Y RESULTADOS. El análisis del estudio del Conocimiento previo de los estudiantes acerca de Simetría y Asimetría, se representó en tablas con la ayuda de Microsoft Excel, en el cual se plasmó la información obtenida por preguntas, luego se hicieron gráficos que ilustran los resultados con más claridad, se hizo el análisis por pregunta ya que cada una tiene un objetivo específico, acerca de los conocimientos que los estudiantes deben tener acerca del tema.

En la siguiente imagen se representan los resultados de las preguntas 1 y 2 ya que ambas cuestionan acerca de conceptos y se prestan para confrontar o relacionar las dos versiones de los estudiantes acerca del tema interrogado.

La figura 1, muestra los resultados de la pregunta ¿Qué considera usted por simetría? y ¿Qué considera por Asimetría?, de la cual se pretende identificar los conceptos que poseen los estudiantes acerca de dichos temas y la contextualización o ejemplos que observen en el diario vivir, para dicho estudio se tomó un espacio muestral de 81 estudiantes de los cuáles se evidencio lo siguiente, ­ ­

­

Se evidencio en los ejemplos de los estudiantes que conocían la simetría y asimetría pero no identifican su concepto aunque en algunos se notó que solo la reconocen o comparan con dos objetos similares haciendo diferencias.

Los estudiantes que crearon un concepto de Simetría y Asimetría fueron pocos, pero se evidencia que hay una diferencia del 11% entre la cantidad de estudiantes que contestaron el concepto de Simetría y el concepto de Asimetría, esto en consecuencia que relacionaban el primer concepto con la igualdad de dos objetos y unos pocos con la igualdad que se podían evidenciar entre dos partes de un solo objeto creando una línea imaginaria, en la palabra Asimetría crearon una idea de contrario a Simetría pero no identificaron el significado ni donde se evidenciaba, ya que muchos objetos son diferentes y no lo relacionaban con la palabra.

En los estudiantes que manifestaron no saber el concepto ni ejemplificar, se notó la indisponibilidad para dar ideas ya que al ver las palabras no las lograron relacionar con

conocimientos previos y otros confundieron el concepto con la comparación entre varios objetos.

La Fig. N°2, es la representación gráfica de los resultados obtenidos de la pregunta 3 del test, el cual propone la caracterización o identificación de elementos Simétricos o Asimétricos.

La figura número dos presenta los resultados de la caracterización de seis (6) imágenes, donde el estudiante debe identificar cuáles figuras son Simétricas y cuáles son Asimétricas. Los resultados se representaron por respuesta correcta de acuerdo a la imagen, como se evidenció en el análisis anterior gran cantidad de estudiantes perciben ejemplos en el entorno se simetría y asimetría, otros solo fallaron en el reconocimiento de algunas imágenes ya que su línea variaba u otros factores como; los estudiantes que tuvieron 0 preguntas correctas confundieron desde el principio el concepto llevándolos a identificar de forma incorrecta todas las imágenes, los estudiantes con 1, 2 y 3 preguntas correctas solo contestaron al azar o a la confianza de hacer comparaciones entre otros fenómenos antes vistos, en los que acertaron a 4 respuestas correctas se pudo evidenciar la falta de atención que manejan al observar, por ejemplo en la imagen del pocillo, no tuvieron en cuenta la parte de donde se sostiene y en la piña la diagonal trazada no les dio la respuesta tan clara como las otras imágenes, es de relevar que ésta fue la imagen que más causó error en las respuestas, de allí se verifican las 5 respuestas correctas y los estudiantes que contestaron 6 correctas, con el porcentaje más alto, desde la respuesta que dieron al inicio ya tenían claro que los conceptos presentados eran igualdad entre dos partes.

La imagen 3 es la ilustración de la pregunta número 4 la cual contextualiza el concepto de Simetría y Asimetría.

En la pregunta número cuatro se mostraban dos imágenes una simétrica y otra asimétrica, se buscaba identificar la capacidad de análisis de los estudiantes, se pudo evidenciar la falta de comprensión y atención de la relación con el tema visto, una cantidad importante de estudiantes no relacionan la figura con los temas, otros hacen la diferencia de acuerdo a las definiciones antes dadas por sí mismos. Se concluye que la mayor dificultad del estudiante no la falta de manejo de conceptos sino la comprensión lectora.

La figura número 5 es la identificación de los conceptos a través de funciones en el plano cartesiano.

La figura anterior da a conocer los resultados de la identificación de Simetría y Asimetría pero por medio del plano cartesiano, donde se busca la identificación de los dos conceptos pero más arraigados a la parte de representación matemática, ésta caracterización se hizo con el fin de buscar un resultado más lógico que experimental, se obtuvo como resultado que los estudiantes ya observando las anteriores figuras en gran cantidad acertaron, evidenciando que los que tuvieron respuestas erróneas fueron aquellos que confunden los dos términos. Los estudiantes que no contestaron, no mostraron disponibilidad al contestar el test.

La figura número cuatro representa los resultados de lo estudiantes al identificar el concepto en problemas de aplicación

En el problema de contextualización se pretendía tener más respuestas correctas o un promedio similar a los anteriores, ya que en las preguntas pasadas se buscaba el análisis de los estudiantes mediante gráficos, esta pregunta recogía eso y además preguntaba el orden en donde se debía acomodar las dos niñas que ingresaron nuevas de una forma que se siguiera la secuencia que ya estaba planteada, puesto que había dos maneras de contestar para que quedaran en orden, pero había una respuesta que representaba mejor la secuencia y esa era el puesto 1 y 4, al igual que los puestos 2 y 3, esta pregunta resultó siendo confusa para los estudiantes ya que en los promedios anteriores más de la mitad de la población sabía y en esta el promedio más alto no contesto, los estudiantes no supieron interpretar la pregunta, uno incluso respondió que todos los puestos eran correctos pero no tuvo en cuenta que se le pidió seguir el orden ya presentado. En esta pregunta más de la mitad de los estudiantes erraron ya que se basaron en la acomodación cotidiana que utilizan los docentes en una institución.

La figura número 5 representa los resultados de las respuestas de los estudiantes acerca de la representación gráfica e interpretación de la misma y del tema.

Como se puede observar en la (Fig.N°5) se buscaba que el estudiante realizara un gráfico de barras y determinara si la figura dada por la gráfica es simétrica o asimétrica, donde se dio un cuadro de valores sencillo para representar; se observó un bajo nivel de los estudiantes al representar datos y generar conclusiones a partir del concepto dado, es de admitir la sorpresa que se generó en este resultado ya que las preguntas previas guardaban relación y las respuestas fueron acertadas, algunos estudiantes prefieren no contestar o tratar de hacer el gráfico pero no analizar el resultado.

CONCLUSIONES En el test realizado a los estudiantes de las diferentes instituciones, se observó que poseen ideas sobre simetría y asimetría, es decir, en los establecimientos educativos han abordado el tema, pero al momento de expresar el concepto de una manera formal no lo lograron. Hay algo que cabe resaltar, los estudiantes poseen la capacidad para identificar la simetría y asimetría en el entorno, esto se deduce del alto porcentaje de estudiantes que acertaron en las preguntas que buscaban la identificación del concepto a partir de imágenes, además de la capacidad para reconocer la relación entre el tema tratado y las gráficas trazadas a partir de funciones.

Se notó un bajo desempeño a la hora de comprender un problema de contexto, cuando se les pide a los estudiantes que apliquen el orden ya presentado en el enunciado, donde se tiene la particularidad de un estructura simétrica, a partir de este aspecto se presenta la confusión en los estudiantes, ya que colocaron puestos al azar, sin pensar en su estructura ya enunciada, con esto nos demuestran el mal manejo de la competencia lectora, lo que influyó en los resultados obtenidos.

La mayor falencia que se observó en los estudiantes es la dificultad para graficar, un alto porcentaje de estudiantes no logró realizar un diagrama de barras de acuerdo a una tabla con los datos necesarios, además se buscaba la identificación del concepto de simetría o asimetría, un bajo porcentaje de estudiantes graficó, pero no completo su análisis, de lo anterior se deduce que los estudiantes no poseen la capacidad representar sus resultados gráficamente ni de analizar gráficas.

En vista de lo anterior, se evidencia la necesidad de que en las instituciones fortalezcan en los estudiantes los conceptos formales de simetría y asimetría; además de sus diferentes representaciones gráficas y aplicaciones.

Bibliografía.

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Mateus N. A. (2011). Diseño de una propuesta para enseñar simetría estadística. XIII Conferencia Internacional de Educación Matemática. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá, Colombia.

Alternativa en el aula para contribuir en la movilización de los niveles de dominio de la competencia matemática plantear y resolver problemas Yezid Quintana Chilito1, y-quintana@hotmail.com 1. Magister en Ciencias de la Educación con Énfasis en Didáctica de las Matemáticas.

Uniamazonia.

Resumen. Este trabajo es el resultado de una investigación realizada en la Universidad de la Amazonia, cuyo objetivo fue contribuir en la movilización de los niveles de dominio de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas en estudiantes de grado 6° de la educación básica secundaria. Se propone el diseño y aplicación de una secuencia didáctica cuyas situaciones problema involucran los números naturales, además, se aporta como una alternativa en la práctica de aula, además, la investigación se hizo énfasis en los niveles de dominio de una competencia que plantea (Tobón, García y Pimienta, 2010).

Palabras clave: niveles de dominio, competencia matemática Plantear y Resolver Problemas, situación problema.

Introducción El trabajo de aula desarrollado a partir del enfoque por competencias,

contribuye a una

formación integral de los estudiantes, en particular, les permite comprender el papel de las matemáticas en el mundo y propiamente en su contexto escolar, lo cual pueden evidenciar a través de sus desempeños al desarrollar actividad matemática, donde se integran aspectos en la movilización de la competencia como lo cognitivo, la tendencia a la acción y lo volitivo.

En ese sentido, desarrollar competencias matemáticas en el aula de clase, en especial la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas, permite que los estudiantes logren identificar los problemas relacionados con su propia vida cotidiana de manera autónoma (Tobón et al., 2010). Por tanto, la investigación tuvo en cuenta el enfoque por competencias, da a conocer una experiencia de aula implementada a través una secuencia didáctica, diseñada para movilizar la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas en los estudiantes de grado sexto, esto permitió que en una fase inicial, a partir de unos descriptores diseñados a priori, se analizara el nivel competencial de las actuaciones de los estudiantes al resolver situaciones problema, donde se involucran los números naturales.

Marco teórico A continuación se relacionan los referentes teóricos que sustentan y delimitan el estudio, para lo cual se presenta el planteamiento del problema de investigación: ¿De qué manera los estudiantes de grado sexto movilizan los niveles de dominio de la Competencia Matemática Plantear y Resolver Problemas? Este trabajo se enmarca en la línea de investigación en didáctica de las matemáticas, teniendo en cuenta el enfoque por competencia.

En particular

esta investigación, asume el concepto de competencia que plantean, Tobón et al., (2010), desde el enfoque socioformativo: “Las competencias no son un concepto abstracto: se trata de las actuaciones que tienen las personas para resolver problemas integrales del contexto, con ética, idoneidad, apropiación del conocimiento y puesta en acción de las habilidades necesarias” (p.11).

Se asume que una persona competente en una actividad o dominio, además de conocimientos y destrezas, debe poseer una serie de habilidades y capacidades que le permiten desenvolverse en variadas situaciones asociadas a la actividad o dominio, de manera crítica, constructiva y reflexiva.

Al igual que Tobón, los investigadores Rico y lupiañez (2008) exponen que desde la década de los noventa la educación obligatoria en los diferentes niveles sigue siendo netamente académica, lo cual no prepara de manera adecuada a niños y jóvenes para la vida como individuos y como ciudadanos. En el mismo sentido, Garagorri (citado por Rico y Lupiañez, 2008) expone que el currículo basado en competencias se presenta como una alternativa al currículo tradicional y académico, ya que pasa de la lógica del “saber” a la lógica del “saber hacer”. Esto indica, que las instituciones educativas deben contribuir en la formación integral de los niños y los jóvenes desde un enfoque por competencias, permitiéndoles que identifiquen y solucionen problemas de su cotidianidad aplicando los contenidos matemáticos que son requeridos para la movilización de las competencias.

Metodología La investigación se desarrolló desde el paradigma cualitativo, éste, proporcionó la profundidad en la triangulación de los datos, dispersión, riqueza interpretativa, contextualización del ambiente o entorno, detalles y experiencias únicas. También aporta un punto de vista “fresco, natural y holístico” de los fenómenos, así como la flexibilidad (Hernández, 2010). En ese sentido, se asumió como enfoque la investigación-acción la cual contribuyó a la reflexión sistemática sobre la práctica social y educativa con vistas a la mejora y al cambio tanto personal como social (Sandín, 2003).

Es así, como se analizaron las actuaciones de los cinco estudiantes (estudio de caso) cuando debían

plantear y resolver situaciones problemas que para su solución requieren del uso de las operaciones básicas con números naturales, este análisis ha permitido identificar elementos que movilizan la Competencia Matemática Plantear y Resolver Problemas.

Resultados Con la implementación de la secuencia didáctica, en la Institución Educativa Rural Santander del municipio de Florencia a un grupo de cuatro estudiantes de grado sexto, se incluyeron cuatro actividades matemáticas que fueron diseñadas para contribuir a la movilización de los niveles de dominio de la Competencia Matemática Plantear y Resolver Problemas. Los resultados se obtuvieron a partir de la triangulación de los datos (entrevista, notas de los estudiantes, notas de campo y videos); esto se hizo asumiendo como unidad de análisis la Competencia matemática PRP y se determinaron como categorías de análisis los aspectos cognitivo, afectivo y tendencia de acción teniendo en cuenta, también, los procesos matemáticos que se ponen en juego al plantear y resolver problemas.

En la actividad matemática 1 (resolución de problemas) los estudiantes demuestran a través del trabajo en equipo identificar el proceso algorítmico que deben usar para llegar al resultado esperado; cada estudiante utilizó y relacionó los números naturales, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático para interpretar la información, como para ampliar y establecer las conexiones entre los conocimientos que cada uno poseía y los que requerían para resolver el problema en consonancia con la estrategia seleccionada.

Seguidamente, en la actividad matemática 2

de la secuencia didáctica, se solicitó a los

estudiantes plantear un problema a partir de la información contenida en una lámina, la cual estaba relacionada con el contexto de los estudiantes (precios de los productos que ofrece la cafetería escolar).

La actividad del planteamiento del problema se diseñó con el fin de aportar al incremento de conocimiento matemático, la motivación, la creatividad y a la superación de errores matemáticos habituales que cometen los estudiantes (Ayllón, 2012). En el desarrollo de la actividad matemática 2, se observó que todos los estudiantes tuvieron disposición de participar en la actividad, unos más que otros, pero en términos generales todos estaban motivados a trabajar en equipo, se considera que este aspecto incidió para que cada uno aportara las ideas que los llevó al planteamiento del problema. Además, manifestaron algunas dificultades cuando establecían las estrategias que

debían seguir para plantear el problema, habitualmente trabajan con el ensayo y error, al probar algún procedimiento conocido, sin reflexionar previamente si era adecuado o no, y cuando no daba el resultado esperado, iniciaban otro procedimiento que les permitiera avanzar en el planteamiento del problema.

En relación a la actividad matemática 3 de la secuencia didáctica, se solicitaba a los estudiantes leyeran en equipo la siguiente situación: “El papá de Leonisa recibe un salario mínimo que es de $616.027 por su trabajo mensual, y debe cancelar los gastos e imprevistos que pueden resultar durante el mes en su hogar”, y con la información presentada debían plantar y resolver una situación problema.

Según los descriptores diseñados para el nivel de dominio autónomo dos estudiantes (E1 y E2) alcanzan un nivel de dominio de la competencia PRP en razón a que en el desempeño (no requieren de asesoría permanente de otras personas),

demuestran personalización de las actividades,

resuelven problemas con criterio propio y en cuanto a los estudiantes (E3 y E4) alcanzaron un nivel de dominio básico lo demuestran porque resuelven problemas simples del contexto, proponen enunciados básicos de un problema sencillo, poseen conceptos básicos (conocimientos matemáticos relacionados con las operaciones algorítmicas), realizan las actividades que se proponen y su motivación es continua cuando plantean y resuelven un problema. En este sentido, en cuanto al planteamiento del problema Espinoza et al (2013), consideran que un problema que requiere de más pasos y procesos de cálculo, con mayor dificultad, es porque presenta una riqueza en su enunciado.

Por consiguiente, los cuatro estudiantes demostraron actitudes matemáticas consideradas para este estudio, siendo persistente, crítica, precisa, creativa, autónoma, ello le permitió reflexionar sobre sus estrategias y resultados en el planteamiento del problema, motivándole para buscar distintas alternativas para plantear el problema, durante el trabajo con sus compañeros en esta actividad matemática se experimentó un avance en el nivel de dominio de la competencia, comportándose de un modo totalmente distinto: hubo participación activa durante todo el proceso de planteamiento del problema, donde los estudiantes mostraron persistencia.

Con relación a la última actividad matemática 4, se solicitó a los estudiantes que plantearan actividades que fueran de su preferencia para la celebración del día del estudiante, para este festejo se disponía de $1´500.000 que entregaba la rectora de la institución educativa, en ese sentido debían definir la programación a realizar para que el dinero se distribuyera proporcionalmente.

En el desarrollo de la actividad matemática, los estudiantes presentaron procesos cognitivos involucrados como la edición de la información necesaria, la selección de la información requerida, la comprensión o familiarización con los datos que eran requeridos en el planteamiento y la traducción de la información de una forma de representación a otra; tarea que le exigió a los estudiantes una demanda de mayor madurez cognitiva y la dedicación de tiempo considerable para su realización. Al respecto, Ayllón (2012), se refiere al planteamiento de problemas como uno de esos factores positivos para movilizar competencias en los estudiantes, porque la actividad seguida por ellos exigía establecer conexiones entre conocimientos que poseen separadamente, así como realizar una serie de acciones propias del aprendizaje. Los estudiantes, plantean y resuelven un problema compuesto, se requiere más de un tipo de operación para llegar a la solución. Según Rico & Lupiañez (2008), el trabajo con los números naturales se debe centrar en desarrollar en los estudiantes capacidades operatorias y algorítmicas, de orden y de notación, los estudiantes escriben en su orden los números al realizar las operaciones algorítmicas.

En este sentido, los estudiantes al desarrollar la Actividad 4 demostraron en su trabajo de equipo el estudio y el uso de los procesos algorítmicos, algunas regularidades numéricas, estimación y cálculos mentales que les permitió resolver el problema planteado. Además, se destaca la originalidad con que asumieron los estudiantes la selección de la información para plantear el problema iniciando con las posibles actividades a desarrollar para la celebración del día del estudiante, según la información dada en la Actividad 4. Los cuatro estudiantes aportan ideas, organizan y contribuyen en la selección de la información para el planteamiento del problema.

Conclusiones Teniendo en cuenta que esta investigación estuvo orientada mediante la pregunta ¿De qué manera los estudiantes de grado sexto movilizan los niveles de dominio de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas?, se da respuesta a dos interrogantes relacionados con los objetivos de investigación propuestos: ¿Qué características deben tener las actividades que conforman las secuencias didácticas, para que los estudiantes de grado sexto movilicen los niveles de dominio de la competencia matemática plantear y resolver problemas?, en ese sentido la implementación de la secuencia didáctica contribuyó para que los estudiantes demostraran los niveles de dominio de la competencia matemática PRP, y de acuerdo a los resultados obtenidos, para lograr este propósito en los

estudiantes las actividades cumplieron con las siguientes características: estaban relacionadas con situaciones de contexto, de manera fueron de interés para los estudiantes y les permitió pasar de la lógica de contenidos a la lógica de la acción, tal como lo plantea Tobón (2010), permiten el trabajo en equipo, buscando que los estudiantes complementaran sus habilidades, actitudes y conocimientos matemáticos, requieren de los estudiantes un nivel de demanda cognitiva creciente, de manera que los estudiantes hicieran uso de sus conocimientos previos, orientado a que descubran nuevos conocimientos matemáticos y aprendan a usar los que ya tienen, y que integren, además de conocimientos, actitudes, valores, conceptos, teorías y habilidades procedimentales, para que el estudiante plantee y resuelva problemas vinculados con su entorno sociocultural y acordes con sus objetivos, posibilidades e intereses, a través del trabajo en equipo.

En relación a la segunda pregunta, ¿Qué aspectos inciden en la movilización de la competencia PRP, en los estudiantes de grado sexto de educación secundaria?, los niveles de dominio de la competencia matemática PRP evidenciada en los estudiantes se reconocen e infieren por las actuaciones demostradas en los aspectos cognitivos, afectivo y tendencia de acción al plantear y resolver un problema, el análisis confirmó la importancia de las actividades diseñadas e implementadas para lograr los objetivos en la movilización de la competencia. De acuerdo a los resultados obtenidos los aspectos que contribuyen en el avance de los niveles de dominio de la competencia matemática PRP, aspecto Cognitivo, hace referencia a los conceptos matemáticos, procedimientos algorítmicos y estrategias para plantear y resolver problemas; aspecto afectivo y tendencia de acción, se refieren a las actitudes de los estudiantes en el desarrollo de actividades matemáticas, determinadas por las emociones y sentimientos experimentados al enfrentar el planteamiento y la resolución de un problema, y la voluntad y persistencia con que lo realizan.

Durante la implementación de la secuencia didáctica, los estudiantes manifestaron o expresaron, mediante ideas, percepciones, gustos, preferencias, opiniones, creencias, emociones, sentimientos y comportamientos hacia las matemáticas, lo cual determinó el nivel de aceptación o de rechazo en la participación de la actividad por parte de cada uno de los estudiantes.

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Tobón , Pimienta & García, (2010), Secuencias didácticas, Aprendizaje y Evaluación de x x Competencias. Editorial Pearson, México.

La Modelación de Proyectos Agroindustriales y Turísticos Educativos, Transversales a los PEI. Mcs. José Gustavo Guevara M. – jgusguer@hotmail.com Universidad de la Amazonia Docente asistente Resumen: La coyuntura histórica que atraviesa la república de Colombia, en todos los ámbitos; económico, social y cultural, obliga a todas instituciones educativas a repensar su quehacer cotidiano, desde la construcción simbólica, hasta la económica, resultado de un devenir por la cultura que la rodea, con sus valores, miedos, necesidades y aspiraciones. La escuela se vuelve entonces en el punto de encuentro, donde los saberes tradiciones se permean con el conocimiento de quienes ya han hecho ese recorrido, sin menospreciar la realidad existente en dicha escuela. Siempre se ha pensado que la producción Agroindustrial es para las haciendas o consorcios industriales que manejan grandes capitales, poseen grandes extensiones de tierra y manejan monocultivos( léase, caucheros, arroceros, bananeros, etc.) pero no se ha pensado en una producción agroindustrial, de pequeñas extensiones, con productos regionales y que garanticen la soberanía alimentaria y hagan frente a los grupos económicos, ni en proyectos empresariales diferentes a los extractivos, como turismo contemplativo. Como hacerlo? La forma más sencilla es introducir en los PEI, de cada escuela, colegio los proyectos agroindustriales regionales y no extractivos, como eje nucleador, garantizando, la transferencia cultural y tecnológica de los habitantes de la región, concretando y creando cultura productiva que pasando por Normas Internacionales Financieras, garantice soluciones tecnológicas benévolas con nuestro ambiente, generando sostenibilidad y la preservación del ambiente regional.

Justificación La realidad económica que nos golpea todos los días, está forzando a las comunidades a pensar cómo hacer frente a esta demoledora maquinaria que busca reducir nuestra capacidad de conseguir los insumos básicos para el sustento diario. La cultura ancestral da algunas alternativas para enfrentar esta maquinaria.

Cambiar nuestro paradigma de consumo. En tantos años de colonización, la introducción de factores exógenos culturales, han hecho posible la desaparición de principios culturales que garantizan la coexistencia del hombre y la naturaleza.

Volver al paradigma del equilibrio que conserva el ambiente. Necesidad de pensar primero en el otro ser viviente; en reconocer que el otro tiene derecho a vivir como lo hago yo, en condiciones de igual dignidad. El concepto de interdependencia. No vivimos solos; nuestras vivencias, psicosociales se entrelazan para desarrollar su autorregulación y autorrealización a partir de la necesidad nuestra y la del otro.El valor monetario no puede aplicarse a todo lo que vemos. En nuestra realidad debemos recuperar la capacidad de valorar muchos eventos fuera del valor monetario (importancia histórica, importancia por su capacidad para hacer amigos, importancia por pertenecer a una especie única y en vía de extención y tantas otras valoraciones distintas al dinero Donde Iniciar?

Es indiscutible que debe ser en todos los ámbitos, pero estratégicamente, debe iniciar en los procesos de formación de los habitantes que participan de la Escuela, Colegio y Universidad.

Se plantea la necesidad de construir proyectos transversales a los PEI, de cada institución de formación, susceptibles de modelación mediante las Normas Internacionales Financieras, que permitan valorar sensiblemente la conveniencia económica de estos, sin menoscabar las realidades culturales de .las comunidades involucradas, dando la oportunidad de que estas contribuyan formal y fuertemente en la toma de decisiones, empoderando su actividad antropológica.

En la actualidad existen colegios que tienen algunos proyectos que permea parte de su PEI, con proyectos empresariales que buscan incentivar la formación hacia la construcción de microempresas (Colegio Jorge Eliecer Gaitán, Industrial, Sagrados Corazones, Escuela el Caraño, etc.) sin embargo estos proyectos adolecen de la valoración de las Normas Internacionales de Información Financiera y por tanto están fuera de la posibilidad de poder conseguir alguna financiación externa.

Veamos un proyecto que tendría una posibilidad de ser analizado.

CRIA Y LEVANTE DE CODORNICES, PROYECTO A DESARROLLAR CON ESTUDIANTES DE PRIMARIA PRESENTADO POR: GUIOVANNA COLLAZOS G

.

INSTITUCION EDUCATIVA AMIGOS JEAN PIAGET

INGRESOS

HUEVOS CODORNIZ VENTA AVES TOTAL INGRESOS EGRESOS Materia Prima Insumos Mano de Obra Directa Otros Gastos Producción Gastos de Administración Impuestos Por Pagar Total Egresos Flujo Neto Operacional Saldo Inicial

AÑO 1

FLUJO DE CAJA DEL PROYECTO AÑO 2 AÑO 3

AÑO 4

48.960.000 1.600.000

54.621.000 1.696.000

60.725.700 1.797.760

67.304.318 1.905.626

75.132.872 2.019.964

50.560.000

56.317.000

62.523.460

69.209.944

77.152.836

24.508.286 312.000 7.705.661 831.600 11.758.261

26.187.300 330.720 8.168.000 881.496 12.463.757 1.960.494

27.990.617 350.563 8.658.080 934.386 9.975.614 3.054.485

29.928.359 371.597 9.177.565 990.448 14.004.277 5.490.947

32.011.553 393.893 9.728.219 1.049.875 14.844.533 12.766.008

45.115.807 5.444.193

49.991.767 6.325.233

50.963.745 11.559.715

59.963.192 9.246.751

70.794.081 6.358.756

7.192.167

12.636.360

18.961.593

30.521.308

39.768.059

La pregunta que a todos nos preocupa, ¿cómo financiar dicho Proyecto?

Resolver este interrogante ha llevado a la necesidad de saber cómo justificar los gastos, clasificar dichos gastos, ponderarlos y visualizar si puede el proyecto ser Autosostenible.

AÑO 5

Se hace hincapié en que en esta oportunidad solo se presentará el posible análisis financiero, como una muestra de cómo se ha de modelar dicho proyecto, las ventajas que pueden sacarse de dichos análisis y como se desarrollan algunas competencias como el manejo numérico, variacional y técnicas de las NIIF, tan importantes para fomentar el desarrollo de microempresas.

Este análisis busca dar unos lineamientos básicos para adaptar este esfuerzo que hace cada institución, a dichos parámetros, sin perder de vista el contenido misional de cada centro de formación.

Palabras Claves : NIIF, Líneas de tiempo, Valor presente, Valor futuro, Valor presente neto.

Tasa interna de retorno.

Referentes teóricos 1. Matemáticas Financieras Líneas de Tiempo. Es una representación gráfica que pretende trasladar la información de un proyecto económico a un diagrama que permita visualizar y controlar los cambios en los ingresos y gastos del mismo.

2. Equivalencias en el tiempo Valor Presente. Consideremos el caso en el cual tenemos un valor en pesos de hoy (llamado valor presente

) y deseamos hallar ¿a qué valor corresponderá en un periodo n futuro

En cada periodo, se causa un interés igual al producto I= i •

. Al finalizar el periodo

definido en la gráfica tenemos la obligación causada así, para el primer periodo: Vf1 =

(1+ i)

Al finalizar el n- periodo la obligación causada será: interés simple

interés Compuesto

Vfn

V f n  V p 1  i 

I2 +

 V p 1  i 

…+ In = …+

n 1 n 1

 V p 1  i  V f n  Vp1  i 

 In



= Vp + I1 +

 i Vp1  i 

n 1

n 1



1  i   Vp1  i n 11 Vp + iVp + iVp +

n

iVn = Vp (1 + i + i +

… + i) Vfn =

(1+ni)

Es decir existe una constante de proporcionalidad que determina la equivalencia entre los dos factores. Esta constante está determinada por el interés, (I= i •

).

Partiendo de la función que permite el cálculo del valor futuro, se puede obtener la función para el valor presente, la tasa de interés y los periodos.

El interés de esta actividad es calcular y evaluar un evento financiero, con el objeto de conocer las variables que intervienen y modelarlas hasta que se ajusten a los requerimientos o a nuestras limitaciones.

3. Valor presente neto El valor presente neto, muestra varias facetas, para ser tenidas en cuenta por el evaluador, en nuestro caso el maestro, el estudiante ó el padre de familia; por un lado muestra que el VPN, puede ser considerado como VPN<0, VPN=0 y VPN>0.

Veamos el siguiente caso: Se propone comprar una máquina envasadora de jugo de limón para la empresa LemónGust, que tiene un valor $37.0000,000. Con un costo de mantenimiento mensual de $800.000 durante 5 años y se espera vender al finalizar los 5 años por $25.000.000.

Los beneficios adicionales que esperamos obtener con máquina de estiman en $2.000.000 mensuales. Si la tasa de interés es de 3% mensual, ¿es conveniente que se compre?.

Se calcula de forma independiente los egresos y los ingresos, luego se realiza la diferencia entre estos dos valores para obtener la ganancia.

Egresos. Valor de la máquina

=37.000.000. Costo de mantenimiento mensual $800.000

lo que genera una serie denominada uniforme, lo que convierte el valor mensual en una cuota fija durante 60 meses.

La fórmula para el valor presente de esta serie uniforme.  1  i n  1   1  0.0360  1   Vp  A   800.000 n  60   i 1  i  0.03 1  0.03    22.140.451 egreso

= V costo +

egreso

= 37.000.000 + 22.140.451 = 59.140.451

Ingresos.

El valor presente de la venta dentro de 5 años es venta maquinaria

25.000 .000

1  0.0360

Vf

=

1  i 

 4.243 .327

=

=25.000.000

   

El valor presente de los ingresos mensuales adicionales.

Cuota fija

A = 2.000.000 n=60 i = 0.03 mensuales

 1  i n  1   1  0.0360  1   Vp  A  2.000.000 n  60   i 1  i    0.031  0.03 Vp  55.351.127

Valor presente de los ingresos

= V presente+

   

ingresos

= 4.243.327 + 55.351.127 = 59.594.454 Ahora podemos hallar el valor de la ganancia Valor Presente de los Ingresos

= 59.594.454

Valor presente de los Egresos

= 59.140.451

Saldo Neto

= 454.003

→ VPN

4. Tasa interna de retorno El índice que se estudiará no depende de la tasa de oportunidad del inversionista (T.I.O), sino que corresponde a una característica propia del proyecto, y por lo tanto es independiente de la tasa de interés del evaluador. Este índice nos calcula la tasa de interés que producen los dineros que están en el proyecto.

Es importante hacer notar que la tasa interna de retorno (T.I.R.), es aquella que producen los dineros que aún permanecen en el proyecto, y no por los que él ha devuelto.

La tasa interna de retorno la definimos como aquella tasa de interés que hace que el valor presente de los ingresos menos el valor presente de los egresos, sea igual a cero.

Los flujos netos de caja de un proyecto se divide en dos partes; recuperación de la inversión y el rendimiento sobre la inversión que permanece en el proyecto.

Un evento más didáctico se mostrará a continuación: Sea el flujo de fondos de un proyecto en el que en un periodo hay un egreso de $ 1.000, en el periodo 6 el proyecto devuelve $ 509 y en el periodo 12 se retira el saldo de $ 695.

Con la tasa interna de retorno vamos a conocer que tasa de interés ganaron los dineros que permanecen en el proyecto, de tal forma que no tiene en cuenta entre 6º y 12º mes los $509, que ya devolvió.

Entonces el V.P.N (i) = 0, ya que la T.I.R. es aquella tasa que hace que el

neto sea igual a

cero.

Entonces: VP.N. =

de los ingresos

–

V .P.N .(i ) 

de los egresos.

509

1  i 

6



695

1  i 12

 1.000  0

ó 509

1  i 

6



695

1  i 12

 1.000

La tasa de interés i que hace posible dicha igualdad, se conoce como tasa interna de retorno, por lo tanto es obligatorio conocer dicha tasa de interés.

Utilizaremos el método de prueba y error. Este método consiste en asumir un valor para la tasa de interés, reemplazarlo en la ecuación hasta hallar el valor de i que haga válida la ecuación anterior.

En nuestro ejemplo consideremos una tasa del 0.025 mensual. Reemplacemos dicha tasa en la ecuación dada.

V .P.N .(i ) 

509

1  0.025

6

695



1  0.02512

 1.000  0

ó 509

1  0.025



6

695

1  0.02512

 1.000

438,91  516,77  995,68  1.000 Por lo tanto debemos probar con otro valor de i.

Consideremos una tasa del 2% y

reemplacemos nuevamente.

V .P.N .(i ) 

509

1  0.02

6



695

1  0.0212

 1.000  0

ó 509

1  0.02

6



695

1  0.0212

1.000

451,98  548  999,98  1.000 Como vemos, aún cuando 999,98 es diferente de 1.000, esta tasa hace que el V.P.N. se acerque a cero. Podemos decir que los dineros invertidos en el proyecto rentan una tasa del 2% mensual.

Definiremos los tres criterios para la T.I.R. Si la T.I.R. es mayor que la tasa de interés de oportunidad, se acepta el proyecto.

Si la T.I.R. es igual a la tasa de oportunidad es indiferente aceptar o rechazar el proyecto.

Si la T.I.R es menor que la tasa de oportunidad se rechaza el proyecto.

Comprobemos la afirmación que hicimos referente a que la tasa interna de retorno es el interés que rentan los dineros que permanecen en el proyecto y no tiene en cuenta aquellos dineros que han sido devueltos.

Calculemos el valor futuro de los $ 1.000 a 6 meses con la tasa interna de retorno T.I.R = 0.02 mensual.

V fe  V p 1  i  ; V p  1.000 ; i  0,02 ; n  6 n

V f  1.0001  0,02 

6

V f  1.126,16 Teniendo dicho valor hacemos un retiro por $509, por lo tanto en el proyecto permanecen $ 617,16, los cuales estarán 6 meses más en el proyecto bajo una tasa de interés del 2% mensual

V fe  V p 1  i  ; V p  617,76 ; i  0,02 ; n  6 n

V f  617,76 1  0,02 

6

V f  695 Como se ve es posible tener un valor de rentabilidad bueno.

Referencias bibliográficas.

Alvarez A.(1995).Matemáticas Financieras .Santafé de Bogotá-Colombia. MCGRAW-HILL Interamericana S.A. Baca. G.(1995)Evaluación de Proyectos. Mexico. MCGRAW-HILL Interamericana de Mexico S.A. Barry,C.F(1997).Economía Ambiental. Colombia. MCGRAW-HILL Interamericana S.A. Cardona A.(1986). Matemáticas Financieras Colombia. Interamericana.

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Robert.T. Milton R.(2003) Cálculo. España. MCGRAW-HILL Interamericana de España S.A.U.

III ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA: "La influencia de la tecnología en la Educación Matemática y las Ciencias Física" COMUNICACIONES BREVES La modelación matemática en Circuitos Eléctricos haciendo uso de la Teoría Antropológica de la Didáctica (TAD) como estrategia para desarrollar pensamiento matemático en los estudiantes de grado séptimo de las Educativas Juan Bautista La Salle y Juan Bautista Migani Ponentes: Edixon Caicedo Rosas, Maribel Pacheco, John Alexánder Rodríguez González.

PROBLEMA La matemática es una ciencia esencial, como lo plantea Rodríguez (2011) cuando dice que “En todas las ciencias está presente la matemática y por tanto puede usarse la relación matemática-ciencias como recurso didáctico en cualquier nivel educativo”. De esta manera, la matemática siempre ha estado presente en el desarrollo del ser humano y ha permitido avances en diversos campos del saber, por consiguiente se hace necesario que el estudiante sea partícipe de su proceso de enseñanza-aprendizaje y el docente más consciente de su rol.

El proceso de enseñanza y aprendizaje ha sufrido cambios significativos teniendo en cuenta las pruebas estandarizadas que se realizan a nivel internacional (PISA) y nacional (SABER) propuesta por la Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE). En estas pruebas los estudiantes se encuentran con problemas e inconvenientes en el proceso de modelación porque tienen dificultades en la representación de su realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible, debido a que, en el proceso de enseñanza, no se contextualizan los saberes y por ende no se involucra el interés del estudiante, se hace mayor énfasis en la técnica, cálculos numéricos y solución de algoritmos; situación que conlleva a la falta de conceptualización de los temas estudiados y a no describir ni representar situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).

Una consecuencia de esta problemática son los resultados en el campo internacional donde “Colombia se ubicó en el puesto 62 en el componente de matemáticas entre 65 países que participaron en la prueba desarrollada por el Programa Internacional para la Evaluación de los Estudiantes (o prueba PISA, por sus siglas en inglés) del 2012” (Ayala-García, 2015, pág. 1).

De igual manera, en el campo nacional frente a las pruebas saber 9° 2015 los resultados de las instituciones no fueron los mejores, es el caso de los estudiantes de las I. E. Juan Bautista La Salle y Juan Bautista Migani quienes obtuvieron un promedio de 279 y 272 puntos respectivamente frente a un promedio nacional de 296 puntos (ICFES, 2016), presentando dificultades en las competencias de razonamiento y argumentación como también en la de comunicación, representación y modelación.

Estas debilidades se manifiestan al interpretar, describir la realidad y actuar sobre ella o cuando deben buscar y seleccionar información pertinente para la solución de sus trabajos o para plantear representaciones abstractas del mundo y muchas otras que dificultan integrar sus conocimientos, actitudes y destrezas para resolver problemas.

Considerando la concepción que se tiene de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, se hace necesario plantear una Propuesta de Intervención Educativa, que permita propiciar un pensamiento matemático en los estudiantes de grado séptimo de las Instituciones Educativas Juan Bautista la Salle y Juan Bautista Migani. Por lo tanto, se toma como referencia los gustos de los estudiantes por la tecnología, haciendo uso de la modelación matemática en circuitos eléctricos, a través de la Teoría Antropológica de la Didáctica como estrategia para la integración de saberes durante el último periodo del año lectivo 2016.

REFERENTES TEÓRICOS Teoría antropológica de lo didáctico La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) se caracteriza por tener como objeto de investigación el proceso de transposición didáctica de llevar el “saber sabio al saber enseñado” todo el proceso de enseñanza aprendizaje que se desarrolla en el aula y la utilización del saber matemático hasta su incorporación en el aula de clase.

La TAD permite estudiar como objeto mediador los circuitos eléctricos desde la tecnología e informática, la física y la matemática. Esta acción contribuye a la reflexión teórica, al momento de preparar las clases. Proceso que toma el conocimiento científico para desarrollarlo en el aula, lo que se conoce como transposición didáctica del “saber sabio al saber enseñado” Según Chevallard (1999), los elementos que forman la estructura de la praxeología son dos aspectos asociados: el primero, el nivel de la práctica (praxis) que consta de tareas (acciones realizadas sobre el objeto en cuestión) y técnicas (relaciones que existen entre un tipo de tarea y la manera de realizarla), que se identifican generalmente con el saber–hacer.

El segundo, de manera inseparable se encuentra el discurso razonado sobre la práctica (logos) formados por las tecnologías (describe, explica y justifica por qué una técnica funciona) y las teorías (explica la tecnología, como la tecnología explica la técnica), reconocidas como el saber.

Modelación matemática Según Salett y Hein (2004), la modelación matemática, originalmente, como metodología de enseñanza, parte de un tema y sobre él desarrolla cuestiones o preguntas que quiere comprender, resolver o inferir. Esas preguntas deberán ser respondidas mediante el uso del conjunto de herramientas matemáticas y de la investigación sobre el tema.

La ventaja de trabajar la modelación matemática en el aula es que se puede escoger un problema cotidiano que despierte el interés y la curiosidad del estudiante, situación que permite realizar un trabajo de investigación para conocer todos los factores y variables implicados en problema, posteriormente y con la orientación del profesor elaborar un modelo matemático, que al ser aplicado debe tratar de resolver el problema planteado.

Con esta estrategia se aprende matemáticas desde otra perspectiva, otros contextos y de forma significativa, integrando las matemáticas con otras áreas del conocimiento y encontrando que pueden ser utilizadas para resolver problemas propios del entorno y no problemas vagos que nada significan para el estudiante.

Pensamiento matemático Tradicionalmente en el aula se ha puesto demasiado énfasis en el trabajo sobre problemas y ejercicios rutinarios, al abordar cada uno de los temas en el área de la matemática. Los estudiantes están acostumbrados a que sean solamente los docentes, quienes propongan las situaciones a resolver y que éstas tengan sólo una solución correcta.

Este sistema de enseñanza y aprendizaje, en donde los estudiantes son receptores de datos, ha traído consecuencias negativas como el bajo rendimiento académico, e inclusive fobia a la matemática. Por ello, Ulate (1999) citada por Berrocal y Gómez (2002) afirma que “el problema del bajo rendimiento académico en el área de la matemática, radica en las malas bases y principalmente, la falta de estrategias que conlleva al desarrollo del pensamiento lógico-matemático” (pág. 130). Por esta razón, se hace fundamental programar y llevar a la práctica procesos de aprendizaje que faciliten el desarrollo del pensamiento matemático.

Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez, Garza (2005) citados por Bosch (2012), “consideran que el pensamiento matemático incluye, por un lado, pensamiento sobre tópicos matemáticos, y por otro, procesos avanzados del pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación o razonamiento bajo hipótesis […].Por lo tanto, el pensamiento matemático se desarrolla en todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a sus múltiples tareas”.

Por consiguiente, el pensamiento matemático incorpora cálculos matemáticos, pensamiento numérico, solución de problemas, con el fin de interpretar conceptos abstractos, razonamiento y comprensión de relaciones.

Para el desarrollo del pensamiento matemático, se debe tomar como punto de apoyo, los cinco procesos generales de la actividad matemática que se establecen en los estándares básicos de competencias, establecidos por el Ministerio de Educación Nacional de Colombia, los cuales son: formulación, tratamiento y resolución de problemas; modelación; comunicación; razonamiento; formulación, comparación y ejercitación de procedimientos.

Estos procesos se deben desarrollar en cada uno de los cinco tipos de pensamientos, (numérico, espacial, métrico o de medida, aleatorio o probabilístico y variacional) de acuerdo a los Lineamientos Curriculares en área de Matemáticas (MEN, 2006, pág. 56).

METODOLOGÍA Para implementar la modelación matemática en la escuela es necesario desarrollar nuevas estrategias didáctica, que permitan al estudiante adquirir un conocimiento de manera ágil, útil y práctico, partiendo de un problema real.

Hoy en día los jóvenes están en contacto permanente con la tecnología a través de celulares, videojuegos, computadoras y otros artefactos electrónicos, donde los circuitos eléctricos son la base fundamental de su funcionamiento, por tal razón, se asume “el circuito eléctrico” como objeto mediador de estudio, permitiendo la integración curricular desde la matemática, la física y la tecnológica, posibilitando una integración de saberes, como la que plantea Yves Chevallard en su Teoría Antropológica de lo Didáctico que permite partir de un saber sabio (contenido científico) teniendo en cuenta el saber a enseñar (contenido curricular) y finalizando con el saber enseñado (lo enseñado en el aula).

Esta integración de saberes se abordaría desde cada asignatura, por ejemplo: en las Matemáticas temas como medición, unidades de medida, operaciones básicas con números reales, ecuaciones y otras; en la asignatura de Física se trabaja el circuito eléctrico y su clasificación, ley de Ohm, resistencias, voltajes y otros; y en Tecnología e Informática, se trabajará la modelación de circuitos eléctricos a través de simuladores virtuales de electrónica y protoboard.

Los avances en herramientas informáticas han permitido que muchos de los problemas de la vida real se puedan tratar de formar virtual. En este proyecto muchos de los conceptos sobre circuitos eléctricos que se trabajan de forma teórica se pondrán inicialmente a prueba usando el simulador “EDISON”, software que consiste en un laboratorio multimedia y foto-realista para la exploración y la edición de esquemas eléctricos y electrónicos.

Entre las funciones con las que cuenta el programa, se puede destacar las de visualizar, editar, probar y reparar esquemas electrónicos de forma simulada, antes de llevar a cabo dichas operaciones en la vida real. Este simulador permite que los estudiantes construyan circuitos virtuales en serie, paralelos y mixtos y observen las diferencias y ventajas de cada uno. Es importante resaltar que el uso del simulador no genera costos a los estudiantes y pueden realizar infinidad de experimentos sin que haya peligro alguno de un

cortocircuito u otro problema de seguridad. Con esta herramienta virtual el estudiante puede contrastar las mediciones de voltaje y resistencia en los circuitos eléctricos, con los resultados que tiene en su cuaderno usando fórmulas.

Posteriormente, el estudiante debe crear circuitos eléctricos usando un protoboard, herramienta que permite unir los diferentes componentes eléctricos sin usar soldadura.

Igualmente podrá realizar mediciones dentro del circuito usando un multímetro y crear nuevos circuitos electrónicos que resuelvan problemas cotidianos, lo que pondrá a prueba los conocimientos adquiridos durante la práctica en las diferentes áreas.

ACTIVIDADES Actividad 1: Explorando y trabajando ando con “DivercyOhm” Pensamiento: Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos Estándar: Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.

Objetivo: Desarrollar actividades que contribuyan a potenciar el pensamiento numérico y sistemas numéricos, haciendo uso de diseños esquemáticos de circuitos eléctricos y la medición de sus componentes por medio de la Ley de Ohm. Resultado: El estudiante representa diagramas esquemáticos de diferentes circuitos eléctricos (serie, paralelo o mixto) con su correspondiente simbología y calcula magnitudes eléctricas haciendo uso de la ley de Ohm. Actividad 2: Jugando con Edison Pensamiento: Aleatorio y Sistemas de Datos Estándar: Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación Objetivo: Implementar actividades que contribuyan a potenciar el pensamiento Aleatorio y Sistemas de datos haciendo uso de los circuitos eléctricos en el simulador Edison Resultado: Con la ayuda de los diagramas esquemáticos (circuitos eléctricos en serie, paralelos o mixtos) de la actividad N°1, el estudiante los diseña virtualmente en el simulador

de electrónica Edison y verifica mediante el voltímetro o multímetro digital si las mediciones de intensidad de corriente, resistencia y tensión corresponde a lo planteado en la actividad anterior, cuando usó la Ley de Ohm. Actividad 3: Usando la imaginación Pensamiento: Aleatorio y sistemas de datos Estándar: Uso modelos (diagramas de árbol, por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia de un evento.

Objetivo: Diseñar actividades donde el estudiante resuelva problemas cotidianos haciendo uso de circuitos eléctricos.

Resultado: Usando el protoboard o una maqueta el estudiante debe diseñar un circuito eléctrico que dé solución a un problema cotidiano (alarma contra ladrones, sirena policial, encendido de lámparas de alumbrado público, etc.).

CRONOGRAMA ACTIVIDADES Diseño de la Propuesta de Intervención Educativa Actividad 1 Explorando y trabajando ando con

Fase I

Fase II

Fase III

x x

“DivercyOhm” Actividad 2 Jugando con Edison

x

Actividad 3 Usando la imaginación

x

Sistematización y Análisis de la Propuesta de

x

intervención Educativa.

Actualmente esta Propuesta de Intervención Educativa, se encuentra en la fase inicial de diseño y fundamentación teórica. Por lo tanto, aún no se tienen resultados. Con ella se busca desarrollar pensamiento matemático en los estudiantes de grado séptimo de las

Instituciones Educativas Juan Bautista la Salle y Juan Bautista Migani durante el cuarto periodo del año lectivo 2016, a partir de la modelación matemática de circuitos eléctricos.

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BANCO DE LA REPUBLICA. CENTRO DE ESTUDIOS ECONÓMICOS REGIONALES (CEER)-CARTAGENA(217), 1-33.

Berrocal Mora, R., & Gómez Berrocal, O. (2002). Razonamiento Lógico-Matemático en las escuelas. Educare(2), 129-132.

Bosch Saldaña, M. (2012). Apuntes teóricos sobre el pensamiento matemático y multiplicativo en los primeros niveles. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 15-37. Obtenido de http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6 Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19(2), 221 - 266.

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Santa Fe de Bogotá, Colombia: Minisrterio de Educaión Nacional. Obtenido de http://www.mineducacion.gov.co/1759/articles-116042_archivo_pdf2.pdf Rodríguez, M. E. (2011). La matemática y su relación con las ciencias como recurso pedagógico. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas., 77, 35-49.

Obtenido de http://www.sinewton.org/numeros Salett Biembengut, M., & Hein, N. (2004). Modelación matemática y los desafíos para enseñar matemática. Educación Matemática, 16(2), 105-125. Obtenido de http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=40516206

LA METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE ACTIVO EN LA ENSEÑANZA DE MOVIMIENTO PARABÓLICO EN LA EDUCACIÓN MEDIA N. Y. Martínez1 y G. L. Farfan2 1 2

Grupo Cavendish Universidad de Los Llanos nmartinez@unillanos.edu.co

Programa Licenciatura en Matemáticas y Física Unillanos german.farfan@unillanos.edu.co

Resumen Este documento presenta los resultados de la implementación de una unidad didáctica para la enseñanza de movimiento parabólico en grado décimo en el colegio CETEL de Villavicencio, bajo la Metodología de Aprendizaje Activo – MAA para ello se analizan los resultados del pre – test y el post-test, y a partir de los resultados se evalúa la efectividad de la estrategia mediante el factor de Hake, encontrándose que ésta tuvo una ganancia relativa media. El presente trabajo se presenta en el EnMaFi 2016 como comunicación breve.

Presentación del problema El problema de la enseñanza de las ciencias no es un problema nuevo, dentro de los diversos aspectos a considerar se puede mencionar, como lo señala Solbes (2007) que para los estudiantes la ciencia no es atractiva, ni fácil de comprender y no es interesante, entre otras causas se puede señalar que las clases de ciencias se hacen con una marcada tendencia tradicional, donde se hace hincapié en un proceso memorístico de adquisición de conocimientos, donde el centro del proceso es el docente y el alumno es un agente pasivo, que está más preocupado por una valoración o nota que por su mismo proceso de aprendizaje; bajo este enfoque se tiene escaso trabajo práctico que le permite al estudiante validar sus hipótesis y participar de manera activa en su proceso de aprendizaje.

De otra parte Nieda y Macedo (1998) en su libro un currículo científico para estudiantes de 11 a 14 años, argumentan en relación con la ciencia, que la preocupación de la educación debe ser contribuir a incentivar en los estudiantes la capacidad para aprender. Se resalta en el mismo documento que esto no es sólo 1

una tarea que le compete a la enseñanza de las ciencias. Así mismo se debe reflexionar y trabajar en cómo la ciencia contribuye de manera decisiva a que los niños, jóvenes y adultos adquieran las herramientas necesarias que les permita aprender y continuar su proceso de aprendizaje, de tal forma que puedan comprender y desenvolverse en el mundo en el cual les corresponde vivir, un mundo en donde lo único constante es el cambio.

La situación descrita de apatía y falta de interés en los estudiantes por el aprendizaje de la física no es ajena a los alumnos de grado décimo del colegio CETEL, donde los niveles de atención y motivación no generan actitudes favorables para el proceso de enseñanza – aprendizaje de dicha área, convirtiéndose en un reto para el docente diseñar estrategias adecuadas que incentiven la participación activa del dicente en su proceso de formación.

Referentes teóricos La Metodología de Aprendizaje Activo – MAA - implica compromiso y responsabilidad de los estudiantes, quienes son considerados el centro del proceso educativo, se involucran en las diversas actividades guiadas en la clase, los docentes asumen un rol de guía, orientador, fomentan la colaboración entre sus estudiantes, proponen actividades que permiten a los estudiantes contrastar sus concepciones previas, y hacen de su aula de clase una experiencia activa de laboratorio, ya que como ha demostrado la experiencia, tal como afirman Strauss M y Fulwiler (1990), “solamente la verbal no deja nada significante ni permanente en la mente de los estudiantes”.

La MAA busca que los estudiantes comprendan conceptualmente, tal como señala Richard Hake (1998), mediante una participación activa, en diversas actividades que impliquen siempre trabajo mental y que produzcan información mediante la discusión y trabajo con los compañeros y docente.

Para el trabajo experimental, Thornton y Sokoloff (2004) proponen trabajo con laboratorio de aprendizaje activo LAA, o clases demostrativas interactivas CID. Para el desarrollo de las sesiones o clases, proponen la siguiente metodología: 1. El maestro describe la demostración y la realiza sin hacer las mediciones, o plantea el problema a discutir.

2. El docente solicita a los alumnos que realicen sus predicciones en forma escrita e individual 2

3. Se propone luego que trabajen en grupos pequeños, para que discutan con sus compañeros las predicciones, para que entonces elaboren sus predicciones finales.

4. Después, el profesor lleva a cabo la demostración, realiza la experimentación si se trabaja con las CID, o los estudiantes realizan la práctica, si se traba con los LAA 5. Posteriormente los alumnos describen y analizan los resultados observados 6. Finalmente, discuten con el profesor otras situaciones físicas parecidas sobre las que cabe aplicar la misma clase de ideas y conceptos.

Metodología Para la validación de la Unidad didáctica que se diseñó bajo la MAA para la enseñanza de movimiento semiparabólico, ésta se sometió a juicio de expertos, fue evaluada por 4 profesionales con experiencia docente en la básica y la media y dominio en física. Los conceptos de los expertos fueron favorables.

Para la intervención en el aula, se trabajó en el Instituto Educativo Cetel sede Villavicencio, institución de carácter privado. En este centro la Educación es por ciclos, se trabajó en el ciclo V correspondiente a los grados 10 y 11 de educación formal, este ciclo cuenta con 24 alumnos, la clase de física se trabaja en dos horas semanales. Se aplicó una prueba diagnóstica, que permitió evaluar las ideas previas que tienen los estudiantes frente al tema, posteriormente se hicieron 10 intervenciones en el aula para el desarrollo de la unidad, finalmente se aplicó una prueba que permitió hacer un análisis de la efectividad de la metodología empleada. Para evaluar la efectividad de la estrategia, se trabajó con el factor de Hake o ganancia relativa de aprendizaje conceptual “g”. De acuerdo con los resultados, se tendrá una ganancia alta para 1998).

≥ 0,7, media para 0,7 >

≥ 0,3 y baja para

< 0,3 (Hake,

Análisis de datos La prueba diagnóstica (Anexo 1) consta de 10 preguntas, organizadas por componentes se tiene que las preguntas 1 a 3 evalúan los conceptos de velocidad y aceleración en el movimiento unidimensional; las preguntas 5, 7 y 8 indagan por la comprensión del movimiento bidimensional y las componentes rectangulares 3

de un vector, el concepto de aceleración de la gravedad se valora en la pregunta 4, la 6 indaga por el alcance horizontal máximo, la pregunta 9 está asociada con el concepto de caída libre y tiro vertical y finalmente la pregunta 10 evalúa la relación de la velocidad en función de tiempo. En la gráfica 1 se presentan los resultados

Número de estudiantes

del pre y post test.

20 15 10

PRE TEST POST TEST

5 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Pregunta

Gráfica 1. Resultados prueba pre- test y post-test En la tabla No 1 se presentan los resultados generales de la prueba pre-test y del post-test, así como la ganancia relativa g, calculada mediante la ecuación 1.

PRE-TEST

=

% −% 100% − %

POSTFactor de TEST Hake 65 128 0,36 Tabla 1. Resultados pre-test, post-test, ganancia relativa de aprendizaje

(1)

Se encuentra que a nivel general se obtuvo una ganancia relativa media. Es interesante resaltar que Richard Hake, encontró que al trabajar bajo metodologías tradicionales g tiene un valor de 0,23 con una desviación estándar de 0,04, en contraste con los resultados obtenidos al trabajar con metodología activa, en donde encuentra que g es de 0,48 con una desviación estándar de 0,14. En la tabla No 2, se presentan los resultados por componentes, así como el factor de Hake.

COMPONENTES

No preguntas 4

Pre-test Post-test

Factor de Hake

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO 1, 2 Y 3 33,33 45,83 UNIDIMENSIONAL MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL COMPONENTES 5,7 Y 8 22,22 43,06 RECTANGULARESDE UN VECTOR ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD 4 0,00 62,50 TIRO PARABOLICO (ALCANCE MAXIMO) 6 12,50 66,67 CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL 9 45,83 75,00 VELOCIDAD EN FUNCIÓN DE TIEMPO 10 45,83 62,50 Tabla 2. Resultados pre-test, post-test por componentes, ganancia relativa de aprendizaje

0,19 0,27 0,63 0,62 0,54 0,31

Además del factor de Hake se tuvo en cuenta el grado de dificultad de la pregunta, los datos se relacionan en la tabla No 3. Doran (1980) lo define como el número de respuestas correctas (N i) sobre el número total de estudiantes que hicieron la prueba (N), el grado de dificultad se representa con la letra P, es decir

=

;

Un

ítem se considera muy fácil cuando su índice de dificultad es de 0.85 a 1.00, moderadamente fácil de 0.60 a 0.85, moderadamente difícil de 0.35 a 0.60 y muy difícil de 0.00 a 0.35.

Preguntas Pre-test Post-test

1 0,29 0,71

2 0,42 0,21

3 4 5 6 0,29 0 0,04 0,13 0,46 0,63 0,58 0,67 Tabla 3. Grado de dificultad

7 0,33 0,42

8 0,29 0,29

9 0,46 0,75

10 0,46 0,63

Teniendo en cuenta los resultados, se encuentra que una posible explicación a los hallazgos está en el grado de dificultad de las preguntas tanto en el pre- test como en el post-test, las preguntas 1,3,4,5,6,7 y 8 fueron muy difíciles para los estudiantes, las preguntas 2, 9 y 10 fueron moderadamente difíciles, no hubo para los estudiantes preguntas moderadamente fáciles ni muy fáciles. En cuanto al post-test, se encuentra que las preguntas 2 y 8 fueron muy difíciles, las preguntas 3, 5, 7 fueron moderadamente difíciles, los ítem 1, 4, 6, 9 y 10 fueron moderadamente fáciles y ninguna pregunta fue muy fácil. En cuanto a la ganancia relativa o factor de Hake, se encontró que hubo una ganancia media en los conceptos de relación velocidad en función de tiempo, caída libre y tiro vertical, alcance máximo y aceleración de la gravedad; ganancia baja en las preguntas asociadas con movimiento bidimensional y componentes rectangulares de un vector, así como velocidad y aceleración en

5

el movimiento unidimensional. Se encuentra que donde hubo ganancia baja las preguntas representaron un grado de dificultad para los estudiantes.

Conclusiones El factor de Hake o ganancia de aprendizaje conceptual permite validar la efectividad de una estrategia, de acuerdo con los resultados la MAA favorece el aprendizaje conceptual.

Las estrategias propuestas en clase dieron especial importancia a las ideas previas de los estudiantes, elemento importante de la MAA y base para mejorar los procesos de aprendizaje.

Los niveles de atención, motivación e interés por la física se hicieron evidentes en las diferentes intervenciones.

Agradecimientos A la Universidad de los Llanos por el apoyo financiero en la ejecución del Proyecto Diseño e implementación de la Metodología de Aprendizaje Activo para la Enseñanza de Física de grado 10, C03-F03-382015.

A los estudiantes del ciclo V de la Institución Educativa Cetel de Villavicencio.

Referencias Bibliográficas Doran, R. (1980). Basic measurement and evaluation of science instruction. National Science Teachers Association, Washintong, D. C. Hake, R. R. (1998), “Interactive-engagement versus traditional methods: A sixthousand-student survey of mechanics test data for introductory physics courses”, American Journal of Physics, enero.

NIEDA, Juana, and, MACEDO, Beatriz. (1998). Un Currículo científico para estudiantes de 11 a 14 años.

Biblioteca del Normalista de la SEP - MÉXICO. Sokoloff, D. R. y R. K. Thornton (2004), Interactive Lecture Demostration Active Learning in Introductory Physics, EUA, John Wiley & Sons.

6

SOLBES, Jordi , et al. (2007). El desinterés del alumnado hacia el aprendizaje de la ciencia: implicaciones en su enseñanza. Didáctica de las ciencias experimentales y sociales, No 21, 91- 117.

Strauss M., Fulwiler T. (1990). Writing to learn in large lecture classes. J. Coll. Sci. Teach.19:158–163.

White, R. T., & Gunstone, R. F. (1992). Probing Understanding. Great Britain: Falmer Press.

Anexo 1 – Prueba diagnóstica INSTITUTO EDUCATIVO CETEL CENTRO EDUCATIVO TÉCNICO LABORAL PRIMARIA Y BACHILLERATO ACADÉMICO POR CICLOS

7

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ______________________________ ÁREA: Física CICLO: V DOCENTE: GERMÁN FARFÁN PRUEBA DIAGNÓSTICA Nombre: _____________________________________ Grado: ____________ Fecha: _____________ Instrucciones: A continuación, encuentra 10 preguntas, debe responderlas de forma ordenada en la hoja de respuestas dispuesta para tal fin, argumentando en cada caso la opción que escoja, si es preciso acompañe las respuestas de gráficos y esquemas. Tan pronto termine entregue la prueba al docente junto con la hoja de respuestas. Trabaje de forma Individual y analice muy bien cada pregunta.

CONTESTE LA PREGUNTA 1 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACION: En el grafico se muestra un automóvil que aumenta su velocidad hacia el este y un camión que va disminuyendo su velocidad hacia el este.

1. La de

dirección correcta la

aceleración

del

automóvil y el camión es:

RESPONDA LAS PREGUNTAS 2 y 3 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACIÓN: Isaac conduce su camioneta LAND ROVER del año 1986, debido a los años y la falta de un mantenimiento adecuado posee una fuga de aceite en el motor que es constante, y que deja el siguiente rastro

8

2. Si su coche se mueve de derecha a izquierda, entonces: A. B. C. D.

Su velocidad tiene una dirección hacia la derecha y la aceleración es nula Su velocidad tiene una dirección hacia la derecha y su aceleración tiene una dirección hacia la derecha Su velocidad tiene una dirección hacia la izquierda y su aceleración tiene una dirección hacia la izquierda Su velocidad tiene una dirección hacia la izquierda y su aceleración tiene una dirección hacia la derecha.

3. En otra ocasión dejo el siguiente rastro de aceite:

Es un movimiento con: A. Velocidad hacia la derecha y aceleración hacia la derecha B. Velocidad hacia la derecha y aceleración hacia la izquierda C. Velocidad hacia la derecha, primero lento y constante, y luego acelerando a una alta velocidad D. Velocidad hacia la derecha, primero alta desacelerando hasta una posición de reposo, a continuación, manteniendo la posición de reposo, y, finalmente, acelerando a un ritmo menor que la desaceleración inicial.

RESPONDA LAS PREGUNTAS 4-8 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACION: Mauricio realiza una prueba de lanzamiento de bala, el atleta realiza un tiro como el mostrado en la figura: 4.

La aceleración de la bala en los puntos Q, R y A esta mejor representada en:

5. Los vectores que mejor representan la componente horizontal de la velocidad en los puntos Q y R son:

9

6. Para que la bala llegue hasta el punto de máximo alcance (B) el ángulo debe: A. B. C. D.

aumentar disminuir aumentar 15°. disminuir 15°.

7. La magnitud de la velocidad en el eje y en el punto R es (V0: velocidad inicial del balón; α: ángulo de lanzamiento del balón) A. V0Cosα; porque sólo existe la componente horizontal de la velocidad.

B. nula; porque el balón comienza a descender en ese punto.

C. V0; porque la velocidad del balón es constante.

D. V0Senα; porque en ese punto hay la mayor aceleración.

8. La magnitud de la velocidad en el eje x en el punto R es (V0: velocidad inicial del balón; α: ángulo de lanzamiento del balón) A. B. C. D.

V0Cosα; porque sólo existe la componente horizontal de la velocidad. nula; porque el balón comienza a descender en ese punto.

V0; porque la velocidad del balón en x es constante.

V0Senα; porque en ese punto hay la mayor aceleración.

RESPONDA LAS PREGUNTAS 9-10 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACION:

9. Según el gráfico anterior la velocidad que tiene la pelota en su altura máxima es: a.

v=30 m/s

c.

v=10 m/s

b.

v=-30 m/s

d.

v=0 m/s

10

11 10. La tabla de valores de la situación anterior es la siguiente: t(s) v(m/s)

t1=0s v=30 m/s

t2=1s v=20 m/s

t3=2s v=10 m/s

t4=3s v=0 m/s

t5=4s v=-10 m/s

De acuerdo a la tabla de valores mostrada anteriormente ¿cuál es la gráfica Velocidad contra tiempo, que representa el movimiento descrito? a.

b.

c.

d.

Hoja de respuestas Marque con una “x” la opción que considere correcta en cada caso. No marque más de dos opciones por pregunta, si hace esto la pregunta se anula.

Preguntas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

11

CONSTRUCCIÓN DE MONTAJES EXPERIMENTALES CON MATERIALES DE BAJO COSTO COMO PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA ACÚSTICA PARA LOS VISITANTES DEL MUSEO INTERACTIVO DE LA CIENCIA Y CREATIVIDAD DE LA UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA

Harold Fabián Sapuy Villegas1 Yeison Marin Hurtado2 1. Estudiante del noveno semestre de la licenciatura en matemáticas y física f.villegas94@hotmail.com 2. Estudiante del noveno yeisonmarin110@hotmail.com

semestre

de

la

licenciatura

en

matemáticas

y

física

Resumen. EL Presente documento consiste en la elaboración de tres montajes experimentales como medio de aprendizaje para la enseñanza de la física, en el tema “acústica”. Será mostrado a los visitantes del Museo Interactivo De La Ciencia y La Creatividad de la Universidad De La Amazonía; con el fin de que los visitantes obtengan conocimientos de una forma interactiva, ante esto se elaboraron tres guías didácticas, una para cada montaje como instrumento para generalizar los conocimientos previos de los visitantes.

1 Presentación Este proyecto será realizado con el fin de que los visitantes Del Museo Interactivo De La Ciencia Y Creatividad De La Universidad De La Amazonia, conozcan desde montajes experimentales (M.E.) el efecto de la acústica que se presenta en nuestro entorno cotidiano, y que a través Del Museo Interactivo De La Ciencia Y La Creatividad de la Universidad de la Amazonía, se puedan exhibir los montajes experimentales como medio didáctico para la enseñanza y el aprendizaje.

Este proyecto se llevará a cabo desde la problemática a través MICC, y demostrando que es necesario el uso de M.E. para la enseñanza de las ciencias físicas (ondas).

Partiendo de este medio se presenta una justificación del proyecto, que se utilizará para el planteamiento de montajes experimentales. Se plantea un objetivo general; en él se identificará a lo que se quiere llegar con la propuesta, y unos objetivos específicos donde se escribirá paso por paso la realización del proyecto; se plantea una hipótesis donde se procederá la investigación del proyecto, un marco referencial que será un apoyo teórico que sustenta esta investigación, la intervención que tendrá el MICC respecto al proyecto que se ejecutará y los referentes teóricos que se trabajarán para

el mejoramiento del trabajo que se llevará a cabo respecto a la didáctica planteada; la metodología que se trabajará en la realización del proyecto y en la construcción de los montajes experimentales; se propone un cronograma de actividades el cual se deberá seguir para la realización del proyecto y los montajes experimentales. Dados estos puntos se determinará un presupuesto del cual se necesita para el diseño de los montajes experimentales y demás situaciones que se presenten en el transcurso del desarrollo de la investigación.

2

Objetivos

OBJETIVO GENERAL Generar un aprendizaje significativo en los visitantes del Museo Interactivo de la Ciencia y la Creatividad de la Universidad de la Amazonía en lo relacionado con los fenómenos ondulatorios a partir de la construcción e interacción de tres montajes de bajo costo OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Indagar sobre los tipos de montajes de bajo costo con los que se puedan enseñar los fenómenos ondulatorios.

• Construir tres montajes de bajo costo para la enseñanza de las ondas y sus fenómenos ondulatorios e implementarlos en el MICC. • Diseñar tres guías didácticas para los montajes construidos e implementarlas con los visitantes del MICC para determinar si el aprendizaje obtenido es significativo después de la interacción con los montajes.

3 MARCO REFERENCIAL La física es una ciencia que también se desarrolla en el ámbito de la experimentación por lo tanto, puede ser comprobada a través de experimentos. Además sus teorías permiten establecer previsiones sobre pruebas que se desarrollen en el futuro.

Según Alonso/Rojo en su libro física “campos y ondas” define el concepto de onda como una perturbación que se propaga en el espacio, y que circunda a la región donde se produjo inicialmente; el concepto de onda electromagnética lo define como el espectro luminoso generado por la luz y las ondas de radio; y las ondas elásticas son las producidas por sustancias las cuales se propagan, por la intervención d las fuerzas intermoleculares y por ello la velocidad y otras características de la onda dependen de las propiedades elásticas, como por ejemplo las cuerdas; la ondas elásticas es una onda transversal ya que todas las partículas se mueven en dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda; pág. 212-213-214.

La luz: Es una parte de la radiación electromagnético que puede ser vista por el ojo humano. Desde la física, el termino luz se refiere a todo el campo de la radiación conocido como espectro electromagnético, formada por partículas elementales carentes denominadas fotones. Respecto a la luz, este espectro se presenta desde estos fenómenos ondulatorios: La refracción, Se define como la variación brusca de dirección que sufre la luz al cambiar de medio, este fenómeno se debe al hecho de que la luz se propaga a diferentes velocidades según el medio por el que viaja; La difracción, Se determina como el responsable de que al mirar a través de un agujero muy pequeño todo se vea distorsionado o de que los telescopios y microscopios tengan un número de aumentos máximo limitado; La reflexión, Es el fenómeno que ocurre cuando la luz incide en un cuerpo y en ello se retiene la energía en unos instantes remitiéndola en todas las direcciones; La dispersión: Es el fenómeno que produce cuando la luz se emite en sustancias materiales donde la velocidad del espectro se reduce.

Además Alonso/rojo en su libro física “campos y ondas” nos dice que los fenómenos de la reflexión y refracción son característicos de los movimientos ondulatorios y se observan tanto en las ondas elástica, como el sonido, cuanto en las ondas electromagnéticas, como la luz; pág. 227.

Ondas sonoras: Se define como una onda longitudinal que es transmitida con el sonido. Si se propaga en un medio elástico y continuo genera una variación local de presión o densidad la cual se transmite en forma de onda esférica, periódica o cuasi periódica.

Materiales de bajo costo: Son materiales totalmente económicos y manipulativos utilizados para construcción de montajes experimentales y se adecuan según su utilidad.

Importancia del museo interactivo en la enseñanza de las ciencias físicas La humanidad ha venido desarrollando diferentes métodos o herramientas para la enseñanza de las ciencias y entre esos están los museos interactivos que son llamados centro de ciencias, una herramienta cultural para promover la comprensión publica de la ciencia que basan su quehacer en el juego, experimentación y la interacción.

Obstáculos para la enseñanza-aprendizaje de la física Para la mayoría de las personas, la física y las demás ramas relacionada a esta, tienen un gran nivel de dificultad en las personas por que se les dificultan las ciencias. Esta concepción es difícil de erradicar debido a que los jóvenes al iniciar la educación media empiezan a escuchar cosas acerca

de las dificultades que han tenido personas o estudiantes de grados superiores en cuanto a asignaturas como la física, matemáticas y la química.

Según Luis H. Barbosa “Cuando un maestro de Física se plantea el reto de originar un espacio agradable para el aprendizaje de las ciencias en alguna institución de educación media o superior en nuestro país, se enfrenta a una problemática con distintos matices: Primero, su formación ha sido dentro de un contexto de enseñanza tradicional, por tanto, lo primero que plantea el maestro, es un escenario pasivo, con tablero, marcador, incluso sin muchas palabras ni ideas, y más bien, con muchos desarrollos y demostraciones matemáticas. Segundo, los intereses del estudiante, y su madurez conceptual, están lejos de soportar un escenario con una simbología exótica y sin sentido para comprender esa maraña.” (pág. 246-252).

Esta podría ser una de las causas por la cual los estudiantes perciben que la física tiene ciertas dificultades y a la vez no tiene ninguna relevancia en el mundo en que se desenvuelven y muchas veces la consideran como una clase adicional de matemáticas.

Lo expresa J.I. Marulanda y L.A. Gómez “Es evidente la dificultad generalizada que se presenta entre los estudiantes con el aprendizaje de la física. Parte del problema está relacionado con la complejidad inherente al estudio de esta ciencia ya que en muchos casos se elaboran conceptos que resultan ser abstractos para el estudiante, en el sentido de que éste no tiene un referente al cual acudir. Esta es una situación que origina, en la mayoría de los casos, una actitud de apatía hacia el estudio de esta disciplina y que indudablemente afecta el rendimiento académico.”

Ventajas del uso de materiales de bajo costo experimentales

en la realización de prácticas

Es muy común encontrarse con docentes que se excusan para no realizar sus prácticas de laboratorio en las aulas, que no cuentan con instrumentos, materiales o laboratorios adecuados, o que sus estudiantes son muy apáticos y que las actividades a realizar no las tomaría enserio.

4

Metodología

En este apartado se mostraron los montajes experimentales que se diseñaron para la explicación del tema de acústica (fenómenos ondulatorios), los cuales serán exhibidos ante los visitantes en el MICC. Estos montajes son:  

La Caja de Humo El Tubo de Rubbén



Generador de ondas estacionarias La caja de humo

Antes de dar inicio con la explicación de los pasos del diseño de este montaje, se relatara un breve bosquejo sobre la aplicación que tiene este montaje con los fenómenos físicos: Dado este apartado se dará inicio a los respectivos materiales que se requerirán para el diseño de este montaje: El Tubo de Rubens: El tubo de Rubens es un instrumento que muestra las variaciones de presión en forma de onda transversal dando visibilidad de la onda a través del gas propano.

Para este montaje experimental se recurrió de la información dada por el catálogo de experiencias de cátedra para la docencia de la física general, tomada desde la pág. 37 hasta la 39; Es un artículo en el que explican detalladamente el procedimiento para la construcción del montaje.

GENERADOR DE ONDAS ESTACIONARIAS Mediante este experimento se presentaran los diferentes tipos de ondas estacionarias que se forman en una cuerda fija en un extremo y que serán mostradas a través de un montaje físico.

GUIAS DIDÁCTICAS Desde el artículo “Las Guías Didácticas recursos necesarios para el aprendizaje autónomo” García y de la Cruz (2014), definen las guías didácticas como un recurso del aprendizaje que mejoran el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje por su eficacia al permitir la autonomía e independencia cognoscitiva del estudiante. En realidad una guía didáctica debe estar bien elaborada y al servicio del estudiante, debería ser un elemento motivador y de primer orden para despertar el interés por la materia o asignatura correspondiente.

Según este apartado, las guías didácticas son una herramienta metodológica que permite orientar al estudiante en las actividades propuestas, generando en ellos un buen aprendizaje significativo de las actividades.

Se diseñaran tres guías didácticas una para cada montaje experimental, mostrando paso a paso el funcionamiento de ello, con el fin de evidenciar el aprendizaje significativo en los visitantes del MICC una vez de haber interactuado con los montajes.

5

Análisis de datos Institución Educativa La Salle

5.1.1

10

Caja de humo

RESULTADOS ENCUESTA CAJA DE HUMO INST.EDU.LA SALLE

5 0

¿Cuántos contestaron? ¿Cuántos no contestaron? ¿Cuántos contestaron? ¿Cuántos no contestaron?

ESTUDIANTES INST.EDU. LA SALLE

ADULTOS

¿Qué sucede cuando el rayo de luz toca el espejo plano, concavo y convexo? Justifique tu respuesta. ¿Qué pasa si el rayo de luz toca un espejo plano que este acostado? Justifique tu respuesta. ¿Qué ocurre cuando el rayo de luz toca en un recipiente rectangular transparente contenido de agua y luego de agua turbia con harina? Justifique tu respuesta. ¿ dibuje cada procedimiento (actividad) observado anteriormente, y explica que fenómenos o efectos suceden en cada uno.

Este montaje permitió brindar una clara explicación acerca de los fenómenos ocurridos por los rayos luminosos, además se dio respuesta a algunos enigmas que los estudiantes y adultos tenían acerca de la reflexión de los espejos, del porque nos podemos ver en un espejo tan correctamente; o porque no podemos ver a simple vista la luz de un rayo láser.

5.1.2

Generador de ondas estacionarias

RESULTADOS GENERADOR DE ONDAS ESTACIONARIAS 10 5 0

¿Cuántos contestaron? ¿Cuántos no contestaron? ¿Cuántos contestaron? ¿Cuántos no contestaron?

ESTUDIANTES INST.EDU. LA SALLE

ADULTOS

Representa mediante un dibujo cunado se prende el motor. Justifica tu respuesta. ¿Qué sucede cuando halas el hilo de algodón de diferentes maneras? Explica. ¿Cómo puedes explicar las caracteristicas de la onda a partir de lo que viste? a partir de lo anterior, ¿cómo cree usted que se forma una onda estacionaria?

Respecto a este montaje experimental se evidencio que fue un buen instrumento para la enseñanza de la onda estacionaria ya que ellos mismos podían manipular el experimento y aclarar sus propias dudas; el problema encontrado fue que al responder las preguntas de la guía de manera escrita no fueron claros al dar la respuesta, pero al responder de manera verbal daban una respuesta clara.

5.1.3

Tuve de Rubens

RESULTADOS TUBO DE RUBBENS 10 5 0

¿Cuántos contestaron?

¿Cuántos no contestaron?

¿Cuántos contestaron?

ESTUDIANTES INST.EDU. LA SALLE

¿Cuántos no contestaron?

ADULTOS

¿Qué pasa con la llama cuando se enciende el amplificador? ¿Qué sucede con la llama cuando se coloca un tema musical que contenga sonidos altos y bajos? Dibuja algunos que observastes. a partir de lo observado, ¿Cómo podrias expleciar las partes de una onde?

Respecto a este montaje experimental se evidencio que fue un buen instrumento para la enseñanza ya que al ser un experimento novedoso y llamativo fue muy fácil captar la atención de los estudiantes y esto hizo que se pudiera explicar y mostrar mejor las diferentes conceptos que daban explicación a las características de las ondas por medio de la música.

6

Conclusiones

Los resultados obtenidos durante las actividades desarrolladas fueron muy esperanzadores ya que se ve reflejado que al utilizar y al estudiar la física desde la parte experimental se ven muy buenos resultados y esto es gracias a que las personas que estuvieron en las actividades de los tres montajes experimentales manipularon estos montajes apropiándose más del tema. Estas actividades se desarrollaron gracias a la ayuda de las guías didácticas, un instrumento permiten facilitar el aprendizaje en los visitantes del museo interactivo por lo que podemos decir y mostrar la ayuda que nos dan estas estrategias de aprendizaje, la física por ser una ciencia muy amplia y para algunos muy difícil de comprender es de gran ayuda este tipo de actividades innovadora.

7

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ESTALELLA, José. Ciencia recreativa, enigmas y problemas – observaciones y experimentos Trabajos de habilidad y paciencia. Barcelona: Editorial Gustavo Gili, S. A., 4 edición.

VANCLEAVE, Janice. Física para niños y jóvenes, 101 experimentos superdivertidos. México: Editorial Limusa, S.A., 1999 ARCE U, María Elena. El valor de la experimentación en la enseñanza de las ciencias naturales. El taller de ciencias para niños de la sede del atlántico de la universidad de Costa Rica: una experiencia para compartir. En: Revista educación. Vol; 26. No. 1 (Dic, 2002); p.147-154.

MARULANDA, J.I; GÓMEZ, L.A. Experimentos en el aula de clase para la enseñanza de la física.

En: Revista colombiana de física. Vol. 38. No. 2 (Jun. 2006); p. 699-702.

Hands-On Science (http://www.hsci.info/(20/04/2007) Héctor Castañeda; tesis de maestría “diseño de manual experimental física empleando materiales cotidianos; 2012. (pág. 1-2) Benito Vásquez y Antonia Rua; articulo “actividades manipulativas para el aprendizaje de la física. (pág. 3).

Luis H. Barbosa (pág. 246-252) Manual de la UNESCO para la enseñanza de las ciencias (pág. 201, 202, 203, 206, 207, 212 y 213).

Catálogo de experiencias de cátedra para la docencia de la física general (pág. 37 hasta la 39).

Artículo: “las guías didácticas, recursos necesarios para el aprendizaje autónomo” (Ignacio García Hernández y Graciela de las Mercedes de la Cruz Blanco; 2014). Sitio web: www.scielo.sld.cu/scielo.php?script=sci_arttext&pid=s2077-28742014000300012 LIBRO ALONSO/ROJO “FÍSICA CAMPOS Y ONDAS” LIBEROAMERICANA, S.A. Wilmington, Delaware, E.U.A.

1987, Editorial ADDISON-WESLEY

TALLER RECONOCIMIENTO DE NIVELES DE RAZONAMIENTO ALGEBRAICO EN EDUCACIÓN PRIMARIA Y SECUNDARIA Miguel R. Wilhelmi, Universidad Pública de Navarra Juan D. Godino, Universidad de Granada 1. OBJETIVOS 1) Determinar y analizar las características del Razonamiento Algebraico en Primaria y Secundaria.

2) Distinguir tipos de objetos y procesos algebraicos en tareas matemáticas escolares.

3) Asignar niveles de razonamiento algebraico a la actividad matemática mostrada al resolver tareas escolares.

4) Incorporar los conocimientos de Educación Primaria en el desarrollo del Razonamiento Algebraico en Secundaria.

2. MÉTODO  De la práctica a la teoría. A partir de una situación práctica se discriminan y describen los fundamentos matemáticos y didácticos presentes en la misma.

 De la teoría a la práctica. A partir del discurso teórico, se proponen instrumentos de cambio para la mejora de procesos de enseñanza y aprendizaje que involucren la actividad matemática analizada.

3. DESARROLLO 1. Resolver tareas matemáticas, propias de primaria y secundaria, a ser posible, de varias maneras.

2. Analizar los objetos y procesos involucrados en la resolución de las tareas.

3. Enunciar tareas relacionadas cuya solución modifique los objetos y procesos involucrados y el nivel educativo de referencia.

4. Presentación, discusión y valoración del modelo de los niveles de algebrización de la actividad matemática.

5. Síntesis, conclusiones y cuestiones abiertas.

REFERENCIAS Godino, J. D., Aké, L., Gonzato, M. y Wilhelmi, M. R. (2014). Niveles de algebrización de la actividad matemática escolar. Implicaciones para la formación de maestros. Enseñanza de las Ciencias, 32(1), 199219. [Disponible (08/09/16): https://ddd.uab.cat/pub/edlc/edlc_a2014v32n1/edlc_a2014v32n1p199.pdf].

Godino, J. D., Neto, T., Wilhelmi, M. R., Aké, L., Etchegaray, S. y Lasa, A. (2015). Niveles de algebrización de las prácticas matemáticas escolares. Articulación de las perspectivas ontosemiótica y antropológica.

Avances de Investigación en Educación Matemática, 8, 117-142. [Disponible en (08/09/16): http://www.aiem.es/index.php/aiem/article/view/105].

Godino, J. D., Wilhelmi, M. R., Neto, T., Blanco, T. F., Contreras, A., Díaz-Batanero, C., Estepa, A., & Lasa, A. (2015). Evaluación de conocimientos didáctico - matemáticos sobre razonamiento algebraico elemental de futuros maestros. Revista de Educación 370, 199-228. [Disponible en (08/09/16): http://www.mecd.gob.es/revista-de-educacion/numeros-revista-educacion/numerosanteriores/2015/370/370_8.html].

ANEXO I. CARACTERÍSTICAS DE LOS NIVELES DE ALGEBRIZACIÓN NIV

0

1

2

3

4

5

6

OBJETOS - Objetos con un primer grado de generalidad (números particulares) -Significado operacional de la igualdad.

-Variables como receptores de números particulares -Objetos con un segundo grado de generalidad (conjuntos, clases o tipos de números) -Significado relacional de la igualdad - Variables como incógnitas.

-Objetos con un segundo grado de generalidad (conjuntos, clases o tipos de números) -Significado relacional de la igualdad - Variables como incógnitas, números generalizados y cantidad cambiante - Se usan indeterminadas, incógnitas, ecuaciones, variables y funciones particulares. (Objetos intensivos con un segundo grado de generalidad) Variables, incógnitas y parámetros; Familias de ecuaciones y funciones (Objetos intensivos con un tercer grado de generalidad) Variables, incógnitas y parámetros; Familias de ecuaciones y funciones (Objetos intensivos con un tercer grado de generalidad) Estructuras algebraicas abstractas (espacios vectoriales, grupos, anillos, …)

Relaciones binarias generales y sus propiedades.

(Objetos intensivos con un 4º grado de generalidad)

TRANSFORMACIONES

LENGUAJES

Operaciones aritméticas con números particulares

Natural, numérico, icónico, gestual. Pueden intervenir símbolos que refieren a objetos extensivos o datos desconocidos.

Operaciones con objetos de primer grado de generalidad, aplicando propiedades de la estructura algebraica de N y la igualdad como equivalencia.

Natural, numérico, icónico, gestual; se usan símbolos implicando información espacial, temporal y contextual.

-Operaciones con objetos de primer grado de generalidad, aplicando propiedades de la estructura algebraica de N y la igualdad como equivalencia.

- Ecuaciones de la forma, .

- En tareas funcionales se reconoce la generalidad, pero no se realizan operaciones con las variables para obtener formas canónicas de expresión.

Simbólico – literal, usado para referir a los objetos intensivos reconocidos, aunque todavía ligados a la información espacial, temporal y contextual.

-Operaciones con objetos de un segundo grado de generalidad.

- Ecuaciones de la forma Ax ± B = Cx ± D. - Se hacen operaciones con indeterminadas o variables para obtener formas canónicas de expresión.

Simbólico – literal; se usan los símbolos de manera analítica (sin significados), sin referir a información contextual.

Hay operaciones con variables, pero no con los parámetros.

Simbólico – literal; los símbolos son usados analíticamente, sin referir a información contextual.

Hay operaciones con los parámetros y, por tanto, con objetos con un tercer grado de generalidad.

Simbólico – literal; los símbolos son usados analíticamente, sin referir a información contextual.

Hay operaciones con los objetos que forman parte de las estructuras.

Simbólico – literal; los símbolos son usados analíticamente, sin referir a información contextual.

ANEXO II. TAREAS Tarea 1. Justificación de conjeturas Un alumno formuló la siguiente conjetura: “Sumo tres números naturales consecutivos. Si divido el resultado por tres obtengo siempre el segundo número” a) ¿Es correcta la conjetura formulada por el alumno? Explica su posible razonamiento. b) ¿Qué tipo de justificación piensas podría dar un alumno de primaria a esta conjetura?

Tarea 2. Patrón geométrico Considera la siguiente secuencia de figuras:

a) Representa los dos términos siguientes de la secuencia e indica el número de segmentos necesarios para construir cada una. b) Enuncia una tarea más difícil. c) Discute un posible tránsito de los conocimientos propios de Educación Primaria a los de Secundaria relacionados con la tarea.

Tarea 3. Presupuesto de gastos Un estudiante recibió de sus padres una cierta cantidad de dinero para comer durante 40 días. Sin embargo, encontró sitios en donde pudo ahorrar 4 euros al día en la comida. De esta forma, el presupuesto inicial le duró 60 días. ¿Cuánto dinero recibió? Resuelve el problema por dos métodos distintos.

Tarea 4. Relación entre dos programas de cálculo aritmético Noelia y Marga piensan, independientemente, sendos números. Noelia multiplica su número por 3, resta 18 y acaba dividiendo este resultado entre 9. Marga resta 4 al número que pensó, a continuación, multiplica el resultado por 5 y acaba dividiendo el resultado por 10. Si, casualmente, obtienen el mismo resultado final, ¿qué relación hay entre los números pensados por Noelia y Marga?

Tarea 5. Movimiento uniforme Supón que remas en piragua 5 millas/hora (mi/h) a favor de la corriente en un río desde tu campamento base hasta una presa, y que seguidamente regresas al campamento. La velocidad constante a la que remas en todo el viaje es de x mi/h, y la velocidad de la corriente del río es de 1 mi/h. a)Analiza la situación según la velocidad x de remo. b)Generaliza la situación.

Tarea 6. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Resuelve, sin aplicar los métodos clásicos de sustitución, igualación ni sustitución, los siguientes sistemas: a)

b) c)

Analiza y discute las similitudes y diferencias de los sistemas propuestos.

1

LA COMPRENSIÓN DE LA CORRELACIÓN Gustavo R. Cañadas, María M. Gea, Carmen Batanero, Pedro Arteaga y José Miguel Contreras Universidad de Granada grcanadas@ugr.es, batanero@ugr.es, mmgea@ugr.es, parteaga@ugr.es, jmcontreras@ugr.es Abstract The aim of this workshop is providing participants with information that help them planning of teaching and the assessment of students. We consider the representations of bidimensional data, the variables in correlation tasks, the students’ difficulties and some technological resources. This information will be presented in a practical way, involving participants in the solution of tasks they can propose to their students and in the didactical analysis of the same.

Keywords: Correlation, teaching, interpretation, high school, university.

1. INTRODUCCIÓN El estudio de la correlación extiende la dependencia funcional a fenómenos caracterizados por la incertidumbre y es frecuente en la ciencia, tecnología y gestión. Contribuye a comprender, controlar y predecir los sucesos aleatorios que aparecen en la vida diaria y que requieren la percepción de la correlación (Alloy y Tabachnik, 1984). En consecuencia, el razonamiento correlacional es una actividad cognitiva fundamental (McKenzie y Mikkelsen, 2007), aunque no por ello está exenta de dificultades.

En este taller nos hemos centrado en datos estadísticos cuantitativos, cuya relación de dependencia se analiza mediante la correlación. Este tema se incluye en España en el primer curso de Bachillerato (estudiantes de 16 y 17 años), tanto en la especialidad de Ciencias y Tecnología, como en la de Humanidades y Ciencias Sociales (MECD, 2015). La enseñanza del tema no es simple, pues se basa en la comprensión de múltiples conceptos como los de variable

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estadística y distribución bidimensional; diferentes tipos de frecuencias (conjunta, marginal o condicionada); dependencia estadística, funcional e independencia; así como covarianza y coeficiente de correlación. La investigación sobre el tema, por otro lado, sugiere que se pueden presentar dificultades (Batanero y Borovcnik, 2016; Engel y Sedlmeier, 2011).

El objetivo principal de este taller es motivar a los profesores sobre la problemática de una buena enseñanza, que permita el aprendizaje correcto de la correlación por parte de sus alumnos y a desarrollar en ellos el sentido de la correlación (Gea, Batanero y Roa, 2014). Para ello se plantean los siguientes objetivos específicos: a) proporcionar ejemplos de tareas que potencien el tratamiento de la correlación en el aula; b) favorecer el dinamismo de la enseñanza y el interés de los estudiantes; c) proponer actividades de evaluación para detectar y diagnosticar algunos de los sesgos descritos y concienciar a los estudiantes de estos sesgos permitiendo así desarrollar un adecuado razonamiento correlacional; y (d) presentar a los participantes resultados de las investigaciones sobre el razonamiento en correlación. A continuación se describen los diferentes apartados del taller y las actividades a desarrollar.

2. REPRESENTACIONES DE DATOS BIDIMENSIONALES La investigación descrita por Estepa (2007) nos acercan un poco más a comprender el modo en que los alumnos adquieren la noción de correlación. Estas investigaciones consideran cuatro formas de representar la correlación: (1) descripción verbal, cuando describimos una distribución bivariada mediante el lenguaje natural; por ejemplo, indicamos que entre la talla y el peso de las personas hay una correlación alta y positiva; (2) tabla de valores o presentación de un conjunto de pares de valores numéricos de una distribución bivariada; en el ejemplo anterior, proporcionaríamos una tabla con datos de talla y peso de un grupo de personas; (3) diagrama de dispersión, cuando el conjunto de pares de valores de una distribución bivariada se presentan en

3

un diagrama cartesiano; y (4) coeficiente de correlación, cuando se da un valor numérico como medida de asociación existente entre las variables que conforman la distribución, por ejemplo, si decimos que el valor del coeficiente en el ejemplo anterior fue igual a 0,96.

Para adquirir un razonamiento correlacional adecuado es de vital importancia dominar los procesos de traducción entre estas representaciones. Es decir, el alumno ha de saber traducir entre la tabla de datos, sus representaciones gráficas, las descripciones verbales sobre la correlación y el valor del coeficiente. Por ello se comienza el taller analizando las representaciones más usuales de datos bivariantes (Gea, 2014). A continuación, se hace observar a los participantes la ventaja de cada tipo de representación y se plantean algunas tareas de traducción entre representaciones, analizando la actividad matemática requerida del estudiante en cada una de ellas y posibles dificultades que podrían encontrar.

3. VARIABLES EN LAS TAREAS DE ESTIMACIÓN DE LA CORRELACIÓN Un modo de comenzar la enseñanza de la correlación en los cursos de Bachillerato es pedir a los estudiantes que estimen la intensidad de la asociación a partir de los diagramas de dispersión (un estudio de este tipo se realiza en Estepa, 2008). Es por ello importante tener en cuenta las siguientes variables, que afectan a la dificultad de las tareas de correlación: signo de la correlación entre las variables, intensidad de la dependencia, concordancia entre los datos y las teorías previas, y tipo de covariación de entre los descritos por Barbancho (1992). Para informar a los asistentes sobre la importancia de estas variables, se proponen algunas tareas de estimación de la correlación, pidiéndoles identificar el tipo de covariación, el signo de la correlación, estimar sus intensidad y reflexionar sobre los datos y sus teorías previas. Seguidamente se analizan estas variables en las tareas propuestas y la forma en que estas variables permiten graduar la dificultad de estas tareas cuando queremos utilizarlas en la evaluación de los

4

estudiantes (Gea, 2014).

En el taller se pide, además, interpretar los tipos de covariación que podrían explicar la correlación, diferenciando la relación de correlación y de causalidad.

4. ANÁLISIS DE LAS DIFICULTADES DE LOS ESTUDIANTES La investigación sobre razonamiento correlacional se encuentra ampliamente desarrollada en el ámbito de la psicología. Para informar a los profesores de estas investigaciones, en este apartado del taller se trata de identificar las dificultades potenciales de los estudiantes en las tareas propuestas anteriormente. Además de responder a las propuestas por los profesores, observadas en su experiencia, se proporcionará información sobre concepciones incorrectas y sesgos en la interpretación de la correlación descritas en la investigación.

En el diseño y planificación del taller se ha tenido en cuenta bibliografía actual sobre correlación, presentando ejemplos de los errores más comunes: (1) estudios sobre razonamiento correlacional, que describen su importancia como actividad cognitiva fundamental; (2) destrezas requeridas para traducir datos bivariados de representación numérica o descripción verbal a gráfica o tabular, y viceversa; y (3) concepciones incorrectas sobre la correlación.

5. RECURSOS TECNOLÓGICOS En la actualidad, se recomiendan el uso de la tecnología en la enseñanza de la estadística, por la ventaja que supone en el cálculo y representación gráfica, en el trabajo con datos reales y para el aprendizaje de conceptos a través de la simulación. Hoy en día existe una gran variedad de recursos tecnológicos como la calculadora, hoja de cálculo, applets y programas de ordenador específicos, que pueden facilitar la realización de cálculos y gráficos. El aprendizaje de y a través de la tecnología es esencial en esta etapa educativa, sobre todo para desarrollar este tema.

El uso de la tecnología en la enseñanza de la estadística ha sido reconocido, entre otros,

5

por Pratt, Davies y Connor (2011), que destacan la reducción del tiempo de cálculo y la ampliación del tipo de gráficos que el alumno puede realizar interactivamente. Igualmente señalan la posibilidad de trabajar con proyectos, en que el alumno parte de un problema de investigación y completa todos los pasos de una investigación. Por este motivo se finaliza el taller describiendo algunos recursos para el estudio de la correlación. Entre ellos destacamos los conjuntos de datos reales, que hoy día son accesibles desde muchas instituciones en Internet, y que permiten plantear a los estudiantes proyectos de investigación. Una gran ventaja, de esto, es que se potencia la interdisciplinariedad en clase de estadística, permitiendo aprender contenidos que no se adquieren habitualmente con problemas tomados de los libros de texto (Hall, 2011).

También se muestran las potencialidades de las utilidades de Excel para el estudio de la correlación, así como algunos applets disponibles en Internet, que se describen con más detalle en Gea (2014). Estos recursos permiten visualizar la correlación y sus diferentes tipos, así como observar el efecto de los puntos atípicos sobre el valor del coeficiente de correlación. Asimismo, hacen asequible a los estudiantes el criterio de mínimos cuadrados, que los estudiantes utilizarán en el análisis de la regresión al representar las desviaciones de los puntos a la recta de regresión y comprobar su efecto sobre la suma de cuadrados.

6. CONSIDERACIONES FINALES La preparación del profesor de matemáticas para enseñar estadística es una preocupación actual entre las sociedades de profesores y las sociedades de investigación en educación estadística. Es por ello que los investigadores tratan de acercarse al profesor, para informarle de los resultados de la investigación educativa y ayudarles a prepararse para la docencia. Al mismo tiempo, las reflexiones de los profesores y la interacción con los mismos durante estos talleres amplían el conocimiento del investigador sobre el trabajo en el aula.

6

Esperamos que el tipo de tareas sugeridas, junto con la bibliografía comentada, pueda ser útil a los profesores responsables de impartir el tema de correlación. Recomendamos al profesor incluir algunas de estas tareas en el trabajo con sus alumnos, para ayudarles a desarrollar un razonamiento correlacional potente, que les ayude en la toma de decisiones. En este sentido, es importante reforzar el uso de la tecnología, teniendo en cuenta la alta idoneidad didáctica del uso de recursos tecnológicos en la enseñanza, sobre todo desde la componente afectiva, pues estos recursos son muy motivadores para el estudiante. Además, al facilitar el aprendizaje y potenciar la creatividad, se refuerza la componente cognitiva, al poder ampliar las aplicaciones del tema, lo que lleva a conectar las matemáticas con otras materias.

Agradecimiento: Proyectos EDU2013-41141-P y EDU2016-74848-P (MEC) y grupo FQM126 (Junta de Andalucía).

7. REFERENCIAS Alloy, L.B. y Tabachnik, N. (1984). Assessment of covariation by humans and animals: the joint influence of prior expectations and current situational information. Psychological Review, 91(1), 112-149.

Barbancho, A.G. (1992). Estadística elemental moderna. Barcelona: Ed. Ariel. (Cuarta edición).

Batanero, C. y Borovcnik, M. (2016). Exploring and modelling association. En C. Batanero y M. Borovcnik (Eds.), Statistics and probability in high school (pp. 117-161). London; Sense Publishers.

Engel, J. y Sedlmeier, P. (2011). Correlation and regression in the training of teachers. En C. Batanero, G. Burrill, & C. Reading (Eds.), Teaching statistics in school mathematics-challenges for teaching and teacher education: A Joint ICMI/IASE study (pp, 247-258). New York: Springer.

7

Estepa, A. (2007). Caracterización del significado de la correlación y regresión de estudiantes de Educación Secundaria. Zetetiké, 15(28), 119-151.

Estepa, A. (2008). Interpretación de los diagramas de dispersión por estudiantes de bachillerato.

Enseñanza de las Ciencias, 26(2), 257-271.

Gea, M. M. (2014). La correlación y regresión en bachillerato: análisis de libros de texto y del conocimiento de los futuros profesores. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Granada.

Gea, M. M., Batanero, C. y Roa, R. (2014). El sentido de la correlación y regresión. Números, 87, 25-35.

Hall, J. (2011). Engaging teachers and students with real data: benefits and challenges. En C. Batanero, G. Burrill, y C. Reading (Eds.), Teaching statistics in school mathematics. Challenges for teaching and teacher education. A joint ICMI and IASE study (pp. 335-346). New York: Springer.

Mckenzie, C.R.M. y Mikkelsen, L.A. (2007). A Bayesian view of covariation assessment.

Cognitive Psychology, 54(1), 33-61.

MECD. (2015). Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. Madrid: Autor.

Pratt, D., Davies, N. y Connor, D. (2011). The role of technology in teaching and learning statistics, En: C. Batanero, G. Burrill, y C. Reading (Eds.), Teaching statistics in school mathematics. Challenges for teaching and teacher education. A joint ICMI and IASE study (pp.

97-107). New York: Springer.

HACIA UN CONOCIMIENTO DIDÁCTICO-MATEMÁTICO ESPECIALIZADO Autor: Patricia M. Konic Universidad Nacional de Río Cuarto Argentina

PRESENTACIÓN Se plantea el siguiente Taller con el propósito de poner en debate conocimientos específicos para la enseñanza de la matemática. El objetivo central es propiciar condiciones para que el futuro profesor adopte una actitud reflexiva sobre su propia práctica. En particular que se apropie de herramientas adecuadas para el análisis didáctico-matemático de situaciones/problemas.

Se pretende generar un proceso reflexivo que ponga en descubierto la emergencia de objetos matemáticos de diversos tipos (conceptos, procedimientos, propiedades, argumentos, lenguaje) como así también potenciales conflictos de significado.

Los objetivos específicos de este taller se focalizan en: 1. Explorar ideas iniciales sobre los tipos de objetos que intervienen en la práctica matemática.

2. Lograr el reconocimiento de objetos en una tarea matemática.

3. Reflexionar sobre la idoneidad epistémica de una tarea.

METODOLOGIA Se presentará a los asistentes tareas para, en un primer momento, realizar una exploración sobre objetos matemáticos que intervienen en su propia práctica, y luego generar un debate y puesta en común sobre los tipos de objetos emergentes caracterizándolos. Así mismo, se planteará el reconocimiento de los mismos y el significado que se les atribuye en una nueva tarea.

Por último se estudiará un modo de analizar el grado de idoneidad didáctica de las tareas presentadas.

ACTIVIDADES Las sesiones se desarrollarán en dos etapas: Primera Etapa. Objetos que intervienen en la práctica matemática y sus significados.

Las tareas han sido extraídas de Konic (2011) las cuales abordan la problemática del sentido del número (Godino, Font, Konic y Wilhelmi, 2009) y particularmente la identificación de un número a partir de sus formas de representación.

La cuestión de las relaciones entre distintas representaciones de un número aporta al desarrollo de su significado como entidad conceptual y apoyan a la caracterización de propiedades algebraicas. Esta relación esencial es muy difícil de adquirir como lo demuestran diversas investigaciones. O’Connor (2001), teniendo en cuenta dicha importancia analiza el proceso llevado a cabo por profesores que conducen una clase, con el propósito de que los alumnos puedan responder a los siguientes interrogantes: ¿Puede cualquier fracción ser convertida en decimal?, y recíprocamente, ¿Puede cualquier decimal ser convertido en fracción? Teniendo en cuenta dicha investigación se ha elaborado la tarea que se presenta a continuación. Esta tarea contribuye al conocimiento del contenido: relación entre número y expresión decimal de un número. Pone en juego tanto la conceptualización, la precisión de la representación de las nociones matemáticas, como la relación entre conceptos. Actividades estas esenciales que permiten al futuro profesor participar con solidez en la formulación o evaluación de tareas de enseñanza.

Tarea 1 a) Como sabes el número racional 2/5 se puede representar en forma decimal: 2/5=0,4. ¿Se puede representar, en forma decimal, cualquier número racional dado como una fracción? Distingue los casos posibles y justifica. b) Como sabes el número racional 0,7 se puede escribir en forma fraccionaria (0,7 = 7/10) ¿Se puede escribir en forma fraccionaria cualquier número expresado en forma decimal? Distingue los casos posibles y justifica. c) Dada la expresión fraccionaria irreducible de un número racional, ¿Que condición debe cumplir el denominador de dicha fracción para que represente a un número decimal?

Las consignas que guiarán la trayectoria del proceso reflexivo serán las siguientes: 1) Resolver la tarea.

2) ¿Qué es para ti un concepto matemático? Identifica los conceptos matemáticos que intervienen en la resolución de la tarea.

3) ¿Qué es para ti una proposición matemática? Identifica las proposiciones matemáticas en la resolución de la tarea.

4) ¿Qué es para ti un procedimiento matemático? Describe el procedimiento matemático en la resolución de la tarea.

5) ¿Qué es para ti una demostración matemática? Elabora una justificación matemática para la respuesta dada en la tarea.

6) Uno de los conceptos que intervienen es el de “número decimal”, mencionado para determinar las condiciones que debe cumplir el denominador de una fracción para que lo represente.

6a) Elabora una definición para este concepto.

6b) Indica otros usos o significados que puede tener la palabra “decimal”.

7) ¿Cómo se presenta el concepto de número racional? Identifica los elementos que lo caracterizan.

8) Indica qué papel desempeñan los elementos identificados en el apartado anterior.

9) Describe otros posibles procedimientos que se podrían aplicar para resolver la tarea.

Tal como se ha tratado de manera específica en la tarea 1, la problemática de las representaciones se retoma en la tarea 2, dado que se considera esencial para la comprensión del número decimal (conceptualización de los distintos tipos de números). En tal sentido con la Tarea 2 se aborda la distinción entre número racional y número irracional. Parte de esta tarea ha sido seleccionado de una investigación realizada por Zasquis y Sirotic (2004). Se trata precisamente de una investigación sobre la interpretación que hacen futuros profesores sobre los conceptos de número racional e irracional a través de distintas representaciones. Los dos primeros apartados corresponden a dicha investigación. El apartado c) se ha incorporado, con él se pone en relación el carácter irracional del número π y su relación con una representación decimal del mismo. El tratamiento de los números irracionales en la escolaridad elemental, especialmente en números que intervienen en la práctica cotidiana, puede pensarse como un conocimiento

común. Pero, desde la perspectiva de la enseñanza, ese conocimiento suele presentarse conflictivo para usos y tratamientos en cursos más avanzados. Por tanto, se torna necesario para un futuro profesor en tanto posibilita el uso de ellos, pero desde una perspectiva que le permita ejercer cierto “control” para evitar futuros conflictos de significado.

Tarea 2 a) El número: 0,121221222122221…. ¿es racional o irracional? Justifica la respuesta. b) Consideremos el número

53 53 . Al hacer la división la calculadora muestra 0.63855421687. ¿Es 83 83

un número racional o irracional? Justifica la respuesta. c) Una expresión decimal aproximada de  es 3,141592. Escribe una expresión decimal aproximada de

 cuyo error sea menor que 1 milésima. Justifica la respuesta.

Segunda Parte. Conocimiento matemático-didáctico especializado.

En esta etapa se explicitarán los elementos teóricos que fundamentan el grado de idoneidad epistémica de la tarea, la que será valorada con herramientas provenientes del

Enfoque Ontosemiótico para el

Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS), dado que este Enfoque incluye una propuesta de indicadores empíricos para determinar la mencionada idoneidad (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007; Godino, 2013).

REFERENCIAS Godino, J (2013). Indicadores de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, 11, 111-132.

Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V. y Wilhelmi, M. (2006). Análisis y valoración de la idoneidad didáctica de procesos de estudios de las matemáticas. Paradigma, Volumen XXVII, Nº 2, 221-252.

Godino, J., Font, V., Konic, P. y Wilhelmi, M. (2009). El sentido numérico como articulación flexible de los significados parciales de los números. En J. M. Cardeñoso y M. Peñas (2009), Investigación en el aula

de Matemáticas. Sentido Numérico (pp. 117- 184). Granada: SAEM Thales y Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. (Edición electrónica, http://thales.cica.es/granada/ ) Konic, P. (2011). Evaluación de conocimientos de futuros profesores para la enseñanza de los números decimales. Tesis Doctoral. Universidad de Granada, España.

O´Connor, M.C. (2001). “Can any fraction be turned into a decimal?” A case study of a mathematical group discussion. Educational Studies in Mathematics, 46, 143-185.

Zazkis, R. y Sirotic, N. (2004). Making sense of irrational numbers: focusing on representation. En M. J. Høines y A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 497–504). Bergen, Norway: PME.

TAREAS QUE FOMENTAN HABILIDADES DE VISUALIZACIÓN 3D: POLIEDROS, CÓNICAS Y SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN USANDO CABRI 3D. Por: Edinsson Fernández M. Profesor del Área de Educación Matemática del Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad de Nariño.

Email: edinfer@udenar.edu.co RESUMEN. Dada la importancia en Didáctica de las Matemáticas y diversas investigaciones sobre aspectos de Visualización así como también del uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), en este cursillo se presenta la integración didáctica del Ambiente de Geometría Dinámica (AGD) Cabri 3D, a través del cual se pretende realizar construcciones geométricas en el espacio, con el fin de evaluar la visualización de objetos tridimensionales como un conjunto de habilidades relacionadas con el razonamiento espacial (Gonzato, Godino & Neto, 2011, p.8), y así favorecer el aprendizaje de las matemáticas; así, se plantearán tareas categorizadas por Gonzato (2014).

INTRODUCCIÓN Las dificultades que se presentan en el aprendizaje de los conceptos matemáticos, de manera particular en la geometría, generan en los estudiantes una confusión entre el objeto geométrico en 3D y su representación que a su vez provoca en los mismos una falta de comprensión en los conceptos matemáticos y no les permite desarrollar procesos de visualización y examinar conexiones y relaciones de dichos objetos geométricos, puesto que, A pesar de vivir en un mundo tridimensional, la mayor parte de las actividades geométricas proporcionadas a los alumnos son bidimensionales (...). Esta dificultad es consecuencia de tener que representar sobre el plano lo que se ve en el espacio. (Villarroel, Méndez & Lavaque, 2010, p.1).

Por otra parte, se considera que en el proceso de formación de profesores es importante y necesario identificar y evaluar “habilidades espaciales” de los maestros y su relación con aspectos de la enseñanza (Gonzato, Godino & Neto, 2011, p.6), esto, como una manera de favorecer y fortalecer los procesos de enseñanza y aprendizaje de la geometría espacial. Por lo cual, siguiendo la tesis doctoral elaborada por Gonzato (2013), y refiriendo a las distintas investigaciones que mencionan la influencia y el cambio que genera la integración de las Tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en el currículo de la enseñanza tradicional, dado que “El incremento en la capacidad de visualización que se produce en el trabajo con representaciones gráficas ayuda al estudiante en su proceso de comprensión de los conceptos matemáticos” (Fernández & Garzón, 2007, p.8), además, las TIC ofrecen interesantes posibilidades didácticas, que articulan la capacidad de visualización tridimensional en los individuos e influyen en la modificación de sus conceptos respecto de la enseñanza de la geometría tradicional con papel y lápiz.

Así, en este cursillo se presenta la integración didáctica del Ambiente de Geometría Dinámica (AGD) Cabri 3D, a través del cual se pretende realizar construcciones geométricas en el espacio, con el fin de evaluar la visualización de objetos tridimensionales como un conjunto de habilidades relacionadas con el razonamiento espacial (Gonzato, Godino & Neto, 2011, p.8), y así favorecer el aprendizaje de las matemáticas. Esto, teniendo en cuenta las cinco categorías presentadas por Gonzato (2013), en las que Página 1 de 5

propone actividades considerando aspectos centrales que se ponen en juego para resolver tareas, como son, coordinar e integrar vistas ortogonales de objetos, rotar un objeto tridimensional en el espacio, plegar y desplegar desarrollos, componer y descomponer en partes y generar sólidos de revolución.

En la primera sesión, se presentará algunos aspectos básicos acerca del AGD Cabri 3D y construcciones geométricas básicas tales como: crear un punto en el plano base; construir un plano en 3D; construir rectas y planos perpendiculares.

En la segunda sesión, se trabajarán particularmente una de las categorías mencionadas anteriormente, como son generar solidos de revolución, en particular, construir geométricamente las superficies Cuádricas: elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

PRIMERA SESIÓN DEL CURSILLO Acerca del Cabri 3D El Ambiente de Geometría Dinámica (AGD) Cabri 3D permite construir y manipular de manera directa objetos geométricos en tres dimensiones, tales como rectas, planos, circunferencias, poliedros, etc. Con este ambiente se puede visualizar, observar, experimentar, explorar y comprobar propiedades geométricas de manera interactiva. Se pueden realizar o crear construcciones geométricas dinámicas, desde la más elemental hasta la más compleja.

Muchas investigaciones coinciden que en el ambiente de lápiz y papel se presenta dificultades en el momento de la enseñanza y/o el aprendizaje de la Geometría Espacial, por ejemplo al hacer representaciones en perspectiva de objetos tridimensionales, así como también es complicado realizar maquetas en cartón, es ahí, donde el AGD Cabri 3D se convierte en una herramienta útil para de la Didáctica de la Geometría, puesto que permite abordar esas dificultades de construcción y visualización, además de que aporta las ventajas de la geometría dinámica.

Primeras Construcciones usando Cabri 3D       

Crea un punto en el plano de base.

Desplazar un Punto en el Plano Crear un Punto en el Espacio. (encima o abajo del plano de base) Desplazar un Punto en el Espacio.

Suprimir un objeto o deshacer/rehacer una acción ¿Cómo construir rectas perpendiculares o planos perpendiculares? ¿Cómo podemos ocultar y mostrar los objetos ocultados?

Rotación alrededor de un eje.

Una transformación geométrica es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. En Cabri 3D la herramienta Rotación alrededor de un eje es una transformación que permite construir varias partes de un sólido a partir de una de sus partes.

Abrir un nuevo documento. Suprimir el origen. Crear un triángulo en el plano base con la herramienta Triángulo. Denotar los vértices con las letras A, B, C. Con la herramienta Circunferencia, construir una circunferencia que tenga como eje uno de los lados del triángulo por ejemplo AB y pasando por el otro Página 2 de 5

vértice C del triángulo. Ahora construir un punto P sobre la circunferencia (este punto se mueve sobre el círculo).

Seleccionar la herramienta Rotación. Si se acerca al triángulo, aparecerá un mensaje “Rotación este triángulo”, de clic, luego acerque el puntero hasta el lado AB, de clic cuando aparezca el mensaje “Rotación alrededor de esta arista”. Acercando el puntero hasta el vértice C, de clic cuando aparezca el mensaje “desplazando el vértice C”, posteriormente acérquese al punto P para dar clic cuando aparezca el mensaje “en dirección del punto P”. Hacer girar el triángulo alrededor de AB moviendo el punto P. Ver Figura 1.

Figura 1. (Triángulo ABC rotado alrededor del lado AB Ahora construya Usted solo(a): Un triángulo equilátero y rote el triángulo equilátero por cada una de sus aristas.

Luego gire cada uno de los triángulos de tal manera que se unan en un mismo punto. ¿Qué observa?

SEGUNDA SESIÓN DEL CURSILLO Una superficie definida por una ecuación de segundo grado en tres variables recibe el nombre de superficie cuádrica o simplemente cuádrica. Una sección plana de una cuádrica es una cónica o una forma degenerada o límite de ésta.

Actividades de Construcción geométrica de Solidos de Revolución.

Se presentará la forma en que se generan algunos solidos de revolución (cono, cilindro, esfera y cono truncado), es decir, a través de la rotación de una región del plano alrededor de uno de sus ejes. Así mismo, se va a mostrar la trayectoria que sigue cada región para formar este tipo de sólidos.   

Construya una elipse en el plano ¿Cuántos puntos se necesitan?.

Construya una elipse en el plano vertical x=0.

Construya un elipsoide como sólido de revolución. Ver Figura 3.

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Figura 2. (Un Elipsoide como sólido de revolución.)

Construya lo mismo para la parábola en 2D, luego en 3D un paraboloide como solido de revolución. Ver Figura 3.

Figura 3. (Un paraboloide como solido de revolución.)

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Realice lo mismo para un hiperboloide.

REFERENCIAS Álvarez, Z. & Fernández, D. (2008). La transformación de rotación en el espacio: diseño curricular e integración en el aula del ambiente de geometría dinámica Cabri 3D. Comunicación presentada En 9° Encuentro Colombiano de Matemática Educativa (16 al 18 de Octubre de 2008). Valledupar, Colombia.

Chaucanes, D., Enríquez, J. & Fernández, E. (2015). La Elipse y las Esferas de Dandelin: un estudio a través de la transición de doble vía entre la Geometría Plana y la Geometría Espacial usando Cabri 3D. En J. A. Rua & L. A. Zabala (Coords.), Memorias del VII Congreso de Formación y Modelación en Ciencias Básicas, 37-38. Cursillo llevado a cabo en este Congreso, Medellín: Sello Editorial Universidad de Medellín.

Díaz-Barriga, E. (2010). Descubriendo Dn con Cabri 3D. Introducción a Dn con Cabri 3D. Toluca, México: Kali.

Fayó, A. (2013). Cuádricas generadas por la revolución de cónicas alrededor de un eje en Geometría Dinámica. En L. A. Zabala & J. A. Rua (Eds.). Memorias del V Congreso Internacional de Formación y Modelación en Ciencias Básicas (pp. 24-25).

Fernández, E. & Descanse, Z. (2015). Tareas que fomentan habilidades de visualización tridimensional usando Cabri 3D. En J. A. Rua & L. A. Zabala (Coords.), Memorias del VII Congreso de Formación y Modelación en Ciencias Básicas, 30-31. Cursillo llevado a cabo en este Congreso, Medellín: Sello Editorial Universidad de Medellín.

Fernández, E. (2011). Situaciones para la enseñanza de las cónicas como lugar geométrico desde lo puntual y lo global integrando Cabri Géomètre II Plus. (Tesis de Maestría no publicada). Universidad del Valle, Cali, Colombia.

Gonzato, M. (2014). Evaluación de conocimientos de futuros profesores de educación primaria para la enseñanza de la visualización espacial.

Recuperado de https://www.dropbox.com/s/ss9cevanhq3w0tb/Tesis%20MGonzato.pdf.

Gonzato, M., Godino, J. D. & Neto, T. (2011). Evaluación de conocimientos didáctico- matemáticos sobre la visualización de objetos tridimensionales. Educación Matemática, 23(3), 5-37.

Ministerio de Educación Nacional (2004). Pensamiento Geométrico y Tecnologías Computacionales. Serie Documentos. Bogotá, Colombia: Enlace Editores Ltda.

Laborde, C. (2011). Descubriendo Cabri 3D a través de situaciones de aprendizaje para los alumnos. En XVIII Congreso Colombiano de Matemáticas. Cursillo llevado a cabo en el Congreso organizado por la Sociedad Colombiana de Matemáticas en la Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia.

Silva, T. (2012). O Cabri 3D como habitat para o estudo dos Sólidos de Arquimedes. En Actas del VI Congreso Iberoamericano de Cabri IberoCabri 2012. Perú: Pontificia Universidad Católica del Perú.

Villarroel, Y., Méndez, N. & Lavaque, J. (2010). Cubos: Una propuesta didáctica basada en la visualización.

Revista de Educación Matemática. Facultad de Matemática, Astronomía y Física. Córdoba, Argentina: Universidad Nacional de Córdoba. 25.

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Investigación, Ciencia, Tecnología: Imaginación y Realidad Taller de Experimentos en la Frontera del Conocimiento Anderson Dussán C. Ph.D. Universidad Nacional de Colombia - Bogotá, Dpto. de Física, Grupo de Materiales Nanoestructurados y sus Aplicaciones

Durante los últimos años son muchas las estrategias que alrededor de las ciencias, su enseñanza y aplicación al desarrollo tecnológico, se han incrementado para dar una mejor comprensión y completitud a los fenómenos naturales. La enseñanza de las ciencias, en particular de la física, ha cobrado importante interés por un sinnúmero de docentes que más allá del concepto han tratado de apropiar cada uno de los elementos que se suscriben alrededor de un fenómeno y explicar claramente las características que lo hacen de interés para la ciencia misma y su entorno.

El desarrollar nuevas ideas y cambios en los procesos de enseñanza de las ciencias permite, sin lugar a duda, que no sólo haya un acercamiento a las causas y efectos que explican su suceder, sino que inequívocamente se traduce en una atracción mágica por parte de los agentes deseosos del conocimiento y comprensión del mundo que los rodea: Los estudiantes.

Un mundo de desarrollo tecnológico como el nuestro puede ser entendido bajo diferentes escenarios; Un primer escenario, el global en el que existen políticas a nivel de gobierno claras, sociales y económicas que direccionan y marcan el horizonte hacia la solución de problemas identificados como importantes; otro, el investigativo, donde lo que prima es la búsqueda de información y conocimiento en procura de generar un nuevo aporte en la dirección establecida, y el escenario de la comprensión y aprehensión de los conceptos, leyes y teorías bien establecidas que permitan el encantamiento y la fascinación por entender el engranaje del conocimiento con la ciencia y la tecnología a través de metodologías, sistemas y/o dispositivos que han revolucionado nuestra humanidad.

Acceder al conocimiento a través de la ciencia y la tecnología, debe ser una tarea importante a partir de todos los frentes como las escuelas de formación básica–media-especializada, el núcleo familiar y la interacción del individuo con el mundo a partir de su imaginación; entendido esto último como la capacidad que tiene el individuo de crear una representación en su mente con la información asimilada.

En el marco de este Taller se presentarán actividades constructivas de diferentes experimentos alrededor de conceptos físicos que evocan en primera instancia sorpresa y suposiciones alrededor de su desarrollo, pero que a la luz de un ambiente y/o entorno propicio marcan una diferencia importante y trascendental haciendo la ciencia más cercana y parte de la vivencia del espectador, el estudiante.

En cada una de las sesiones se aumentará el grado de complejidad dentro de la comprensión misma del fenómeno, proyectando al final del taller una interacción de los participantes con experiencias desarrolladas y generadoras de nuevo conocimiento, aportando elementos importantes dentro de la investigación de materiales y el conocimiento profundo de las propiedades que los gobiernan.

METODOLOGIA Y ACTIVIDADES SESION 1: Introducción importancia relación Investigación-Ciencia-Tecnología Esta sesión iniciará con una breve introducción de la importancia de la experimentación en la comprensión de los fenómenos naturales y por ende en la investigación, como parte fundamental de iniciativas macro en el desarrollo de ideas tecnológicas.

Posteriormente, se desarrollarán experimentos junto con el soporte físico que los sustenta, su importancia en la comprensión del fenómeno y la aprehensión del conocimiento alrededor del tópico seleccionado.

Los experimentos a realizar, tienen como fin primordial mostrar la simplicidad en su desarrollo y evidenciar claramente el concepto involucrado, como parte esencial en el trabajo de interacción con los estudiantes en los procesos de aprendizaje de las ciencias-física.

Desarrollos Experimentos de Física: 

Materiales Ferrofluidos [Polarización en Campo Magnético]



Haciendo Vacío – Importancia del Vacío en la Experimentación [Gases Ideales]



Brillos en la Oscuridad [Óptica – Ley de Snell]



Imágenes en 3D [Hologramas – Óptica]

SESION 2: Diseñando Sistemas e Investigando Nanoestructuras Esta sesión se enmarcará en el conocimiento y diseño de los diferentes sistemas que permiten de manera accesible iniciar los procesos de investigación en la fabricación de materiales inorgánicos para aplicaciones en nanotecnología. 

Sistemas de anodizado



Preparando por Estado Sólido – Molienda Mecánica



Método SILAR



Otros

BIBLIOGRAFIA Natalio Botana, Jorge Sábato, LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA EN EL DESARROLLO FUTURO DE AMÉRICA LATINA. http://docs.politicascti.net/documents/Teoricos/Sabato_Botana.pdf Carlos Briones Llorente, Elena Casero Junquera, José Ángel Martín Gago, Pedro Amelio Serena Domingo, Nanociencia y Nanotecnología. Entre la ciencia ficción del presente y la tecnología del futuro, ISBN: 978-84-691-7266-7 Manuel Castells, La era de la información Economía, Sociedad y Cultura La sociedad red, Siglo XXI editores Buenos Aires, Vol.I

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA PROPUESTA DE TALLER Profesor AUGUSTO SILVA SILVA III ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA: “la influencia de la tecnología en la educación matemática y de las Ciencias” - EnMaFi2016 28, 29 y 30 de Septiembre de 2016 Florencia - Caquetá CONSTRUCCION DE LAS CONICAS CON REGLA Y COMPÁS PRESENTACION Las construcciones con regla y compás hacen parte de las Matemáticas clásicas griegas temas de los cuales se ocuparon Arquímedes, Euclides, Hipócrates, Aristarco y Pappus entre otros. La regla y el compás, se tenían que usar con restricciones muy severas, que impedían llevar a cabo algunas construcciones. De esta forma nacieron los tres problemas clásicos de la Matemática griega: duplicación del cubo, trisección del ángulo y cuadratura del círculo. La solución definitiva a estos problemas se hizo muhos siglos después con la aparición del Algebra Moderna.

Las curvas llamadas genéricamente Secciones Cónicas admiten ser construidas con regla y compás al estilo de la Matemática griega.

Estas construcciones tienen las siguientes características: 1. Los requisitos para hacerlas son pocos: Punto medio y mediatriz de un segmento, perpendicular a una recta, y, paralela a una recta dada.

2. Se apoyan en la definición de cada una de las curvas.

3. Facilitan el desarrollo algebraico posterior del tema. (deducción de las ecuaciones de cada curva.)

4. Contribuyen al desarrollo de la motricidad fina del futuro docente de Matemáticas, característica fundamental en el trabajo profesional del profesor de Matemáticas.

METODOLOGIA: El taller puede desarrollarse en dos sesiones, las cuales tienen el mismo formato: 1. Exposición del profesor con base en diapositivas.

2. Ilustrar las construcciones, en tablero contiguo a la pantalla de proyección.

3. Trabajo individual de cada participante: Debe sugerirse aprovisionarse de regla y compás para asistir al Taller.

El trabajo a desarrollar en cada sesión es: PRIMERA SESION: 

Presentación del tema

  

Los tres problemas clásicos de la Matemática Griega.

Construcciones elementales Trabajo individual

SEGUNDA SESION:  Construcción de la parábola  Construcción de la elipse  Construcción de la hipérbola  Trabajo individual REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:    

Matemáticas: Episodios históricos desde Babilonia hasta Polomeo Asger Aaboe, Biblioteca de Matemática Contemporánea. Editorial Norma. ¿Qué es la Matemática? Richard Courant. Editorial Aguilar. Madrid 1979 Geometría Analítica. Charles H. Lehmann. Editorial Limusa, México 1979.

Profesor: AUGUSTO SILVA SILVA Matemático Universidad Nacional, Bogotá 1975.

Especialista en Matemática Avanzada Universidad Nacional. Bogotá. 1986 Magister en Educación y Desarrollo Comunitario. Universidad Surcolombiana. CINDE. Neiva, 1996.

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA PROPUESTA DE TALLER Profesor MAURICIO PENAGOS III ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA “la influencia de la tecnología en la educación matemática y de las Ciencias” EnMaFi2016 28, 29 y 30 de Septiembre de 2016 Florencia – Caquetá Simetrías invariantes de algunos polígonos regulares Propuesta para reflexionar sobre el estudio de las leyes de composición interna u operaciones binarias que se estudian en el álgebra moderna.

Nivel: educación media y universitaria Enfoque metodológico: cualitativo y descriptivo empleando el método de análisis de contenido.

El taller se desarrolla en dos sesiones, las cuales tienen el mismo formato: 1.

Exposición del profesor con base en diapositivas.

2. Explicitar algunas justificaciones en el tablero 3. Trabajo participativo de los asistentes al taller.

PRIMERA SESION: 

Presentación del tema y motivación



Operaciones binarias



Semigrupos, monoides y grupos. Ejemplos



Tablas de Cayley

SEGUNDA SESION: 

Simetrías del triángulo equilátero



Simetrías del cuadrado



Utilización del software Geogebra como herramienta tecnológica



Trabajo individual

Las estructuras algebraicas facilitan formalización del pensamiento. Cuando se logra desarrollar el razonamiento algebraico, el estudiante adquiere habilidades para representar, generalizar y descubrir regularidades y patrones, a la vez que progresa en el uso del lenguaje y el manejo del simbolismo para comunicar el pensamiento matemático.

Dada la naturaleza del álgebra, muchos conceptos estudiados son complejos y no es fácil encontrar una aplicación o ilustración sencilla. La pregunta de que motiva la presente investigación es: ¿Qué condiciones se requieren para definir ley de composición interna que ilustre y facilite la enseñanza de la estructura algebraica de grupo en los estudiantes de una licenciatura en matemáticas?

Introducción El Álgebra moderna es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las relaciones y operaciones entre objetos matemáticos desde un punto de vista abstracto y genérico, independiente de los objetos concretos. Esta disciplina matemática inició su desarrollo a partir de finales del siglo XIX con la continuación de los trabajos de Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois. Es así como se desarrolla el estudio de las llamadas estructuras algebraicas dejando atrás el interés por la simple solución y estudio de las de ecuaciones numéricas.

Debido a su naturaleza formal, fundamentada en la definición de un conjunto (de números, funciones, matrices, etc) y en las relaciones que existen entre los objetos matemáticos que lo constituyen, la enseñanza y el aprendizaje del álgebra moderna presenta un grado de dificultad adicional. Por otro lado la dificultad para encontrar ejemplos ilustrativos y sencillos que permitan poner en evidencia las relaciones del álgebra con otras áreas del conocimiento dejan en el aprendiente (y hasta en el docente) algunas preguntas sueltas. Por otro lado en la literatura se encuentran pocos recursos didácticos que faciliten la enseñanza de esta rama de las matemáticas que permita despertar el interés en el estudiante por esta área.

En atención a lo anterior, con el presente trabajo se quiere ilustrar de manera sencilla y práctica una aplicación particular del álgebra moderna y sus propiedades a través del

estudio de las transformaciones invariantes del triángulo equilátero, el cuadrado y el rectángulo. Para ello se realizará un taller que promuevan y refuerce la comprensión de los conceptos. Se utilizará una herramienta didáctica apoyada con el software matemático Geogebra. Como un ejemplo concreto se estudiará el grupo de las simetrías del triángulo equilátero y del cuadrado.

Referentes Ayres, J. (1991). Algebra Moderna. Mèxico: Mc Graw Hill.

Dubinsky, E. (2000). De la investigación en matemática teórica a la investigación en matemática educativa: un viaje personal. Revista Latinoamericana de Investigación en, 47-70.

Herstein, I. (1980). Álgebra Moderna. México: Trillas.

León, N. (2013). Qué enseñar sobre un tema de matemática escolar y cómo enseñarlo: elementos clave en la formación docente. Recuperado el 29 de Febrero de 2016, de Repositorio Digital de Documwentos en Educación Matemática FUNES: http://funes.uniandes.edu.co/3751/2/LeonQue%CC%81ensen%CC%83arCemacyc2013.pdf Ministerio de Educación Perú. (2007). Aspectos metodológicos en el aprendizaje del álgebra en secundaria. Recuperado el 29 de Febrero de 2016, de MINEDU: Fascículos de Matemática para Docentes de Secundaria: https://xi7mrq.dm2302.livefilestore.com/y3m3XvW2afkYmUJHRYLxyFNQoOC8ciKF_aKmY nwIshXGFvmYOUdwn5Bt9qDGVFttHjJ4Wb7Md4TvKe31aUj3i5crvxQ_boZWyKh_M2hwsULaw/04_mat_d_s2_f1%5B1%5D.pdf?psid=1 Pinzón, A. (1975). Conjuntos y Estructuras. Mèxico: TEC-CIEN LTDA. Sanchez, O. (2012). Propuesta didáctica para enseñanza de (Z,+,.) a estudiantes de séptimo grado(Tesis de Maestría). Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia.

UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA FACULTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA PROGRAMA ACREDITADO EN ALTA CALIDAD

COLECTIVO DE INVESTIGADORES EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA - CIEM FLORENCIA – CAQUETÁ

SEPTIEMBRE 28, 29 Y 30 DE 2016

SEMINARIO – TALLER: “EL ANALISIS DIDACTICO: UNA ALTERNATIVA PARA EL DISEÑO DE TAREAS MATEMATICAS” UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA

AUTORES: ELIZABETH HURTADO MARTINEZ. MAURO OCHOA CORREA. JUAN ALEXANDER TRIVIÑO QUICENO

SEMINARIO-TALLER “EL ANÁLISIS DIDÁCTICO: UNA ALTERNATIVA PARA EL DISEÑO DE TAREAS MATEMÁTICAS Elizabeth Hurtado Martínez e.hurtado@udla.edu.co Mauro Ochoa Correa m.ochoa@udla.edu.co Juan Alexander Triviño Quiceno j.trivino@udla.edu.co Docentes Investigadores Colectivo de Investigadores en Educación Matemática - CIEM Licenciatura en Matemáticas y Física Facultad Ciencias de la Educación Universidad de la Amazonia

1. PRESENTACIÓN: El seminario-taller tiene tres finalidades: (a) Ampliar el conocimiento de los participantes sobre conceptos del currículo de matemáticas, (b) Reconocer la multiplicidad de significados de los contenidos matemáticos, sus diversas formas de ser representados y fenómenos que ofrecen información relevante para realizar procesos de planificación curricular y c) Identificar opciones para definir y relacionar objetivos de aprendizaje, competencias matemáticas, capacidades, tareas matemáticas, materiales y recursos en los procesos de enseñanza de las matemáticas.

2. REFERENTE TEÓRICO: EL CONOCIMIENTO DIDÁCTICO, LOS ORGANIZADORES DEL CURRÍCULO Y EL ANÁLISIS DIDÁCTICO Rico (1997) y Gómez (2007), asumen el conocimiento didáctico (CD) como el conocimiento que permite al profesor de matemáticas desarrollar actividades profesionales de planificación curricular, diseño y evaluación de unidades didácticas. Este conocimiento está relacionado básicamente con: a) El concepto de currículo, sus dimensiones y niveles de reflexión. b) Una fundamentación teórica sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; igualmente sobre los principios y criterios que sostienen los procesos de evaluación. c) Una consideración particular sobre los contenidos del currículo y su estructura conceptual d) Un análisis cognitivo sobre cada uno de los distintos contenidos. e) Un análisis semiótico de los contenidos y sus implicaciones didácticas. f) Un análisis fenomenológico de los contenidos y su didáctica. g) Un análisis epistemológico e histórico. h) Análisis y valoración de los contextos en los que se presenta cada concepto y de sus significados y usos. i) Revisión y reflexión sobre los materiales, recursos y tecnologías con los que se pueden considerar y trabajar estos contenidos y conceptos. j) La diversidad de representaciones utilizadas para cada sistema conceptual, junto con algunas de las modelizaciones usuales de los correspondientes conceptos.

Los “organizadores del currículo” propuestos por Rico (1997, p. 44) son herramientas conceptuales y metodológicas que le permiten al profesor recabar, organizar y seleccionar información sobre los múltiples significados de los objetos matemáticos. Un currículo es una propuesta de actuación educativa, que en el caso de las matemáticas, puede considerarse como un “plan de formación en matemáticas para los niños, jóvenes y adultos que tiene lugar en el sistema educativo de un país” (Rico y Lupiáñez, 2006, p. 34).

Según Gómez (2006) El análisis didáctico, como una herramienta para el diseño de unidades didácticas, se articula en torno a los organizadores del currículo. El análisis didáctico introduce un nuevo nivel de reflexión curricular, centrado en la actividad del profesor como responsable del diseño, implementación y evaluación de temas de la matemática escolar y que, en correspondencia con las cuatro dimensiones del currículo, propone cuatro tipos de análisis que lo estructuran: el análisis de contenido, el análisis cognitivo, el análisis de instrucción y el análisis de actuación. Los tres primeros análisis se ocupan del diseño, mientras que el análisis de actuación se centra en la puesta en práctica, implementación y la posterior evaluación de los resultados obtenidos. En la siguiente figura se muestra la relación entre las tres categorías conceptuales: el conocimiento didáctico, los organizadores curriculares y el análisis didáctico: Figura No. 1 Análisis didáctico y organizadores del Currículo

MATERIALES Y RECURSOS Carretero, Coriat y Nieto (1995), definen los materiales y recursos de la siguiente forma: Recursos. Se entiende por recurso cualquier material, no diseñado específicamente para el aprendizaje de un concepto o procedimiento determinado, que el profesor decide incorporar en sus enseñanzas.

Materiales. Los materiales se distinguen de los recursos porque, inicialmente, se diseñan con fines educativos. En general, un buen material didáctico transciende la intención de uso original y admite variadas aplicaciones. Por ello, no hay una frontera que delimite claramente qué es un material y qué es un recurso.

La tiza y encerado, el cuaderno del alumno, la calculadora, la fotografía y diapositiva, la prensa, los programas y anuncios de radio y TV, los vídeos, los programas de ordenador de propósito general (procesadores de texto, hojas de cálculo, editores de gráficos, gestores de bases de datos), los juegos, el retroproyector y la historia de las matemáticas son ejemplos de recursos.

Las hojas de trabajo preparadas por el profesor, los programas de ordenador de propósito específico (paquetes de estadística elemental, por ejemplo) y los materiales manipulativos son ejemplos de materiales.

P. Flores, P. Gómez y A. Marín (2011), señalan que los materiales y recursos permiten al profesor plantear tareas para que los alumnos utilicen los conceptos matemáticos. Así, por ejemplo, los alumnos ponen en juego su idea de polígono cuando tienen que resolver la tarea de construir el polígono de mayor perímetro con el Tangram. Fruto de esta tarea se replantean qué es un polígono, cuáles son aceptables, etc., lo que les lleva a acudir a la definición para poder llegar a resolver la tarea.

TAREAS MATEMÁTICAS Marín (2010), denominan tarea a una propuesta para el alumno que implica una actividad de él en relación con las matemáticas y que el profesor planifica como instrumento para el aprendizaje o la evaluación del aprendizaje. Marín nos señala que no se incluirá en el término tarea las actividades en las que el profesor no ha planteado expresamente cuáles son las acciones que se le demandan al alumno y no puede, por ello, evaluar su consecución.

Christiansen y Walther (1986) recuerdan que las tareas para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas están en relación con los elementos que intervienen en la enseñanza: a los alumnos entre sí, con el profesor y las matemáticas, a través de un contenido del currículo.

Componentes de la tarea matemática P. Flores, P. Gómez y A. Marín (2011), establecen las siguientes componentes para la tarea matemática: 1. La formulación de la tarea, es decir, los estímulos que facilitan que los alumnos lleven a cabo la actividad de aprendizaje.

2. La meta de la tarea matemática, que establece de qué manera la tarea pretende contribuir a los objetivos de aprendizaje de la unidad didáctica.

3. Un conjunto de materiales y recursos disponibles.

4. Un conjunto de capacidades que se activan al usar los materiales y recursos para lograr la meta 5. El contenido matemático que está implicado en la tarea, tanto en su intención educativa como el que es necesario para resolver la tarea matemática.

6. La situación de aprendizaje, como el contexto en el que adquieren significado las acciones que se contemplan en la tarea.

Los autores reafirman que la tarea matemática se pone en juego en clase mediante la actuación del profesor y los alumnos, que se organiza atendiendo, al menos, a cómo están situados los alumnos para resolverla y qué tipo de comunicación se da entre los integrantes de la clase. Al examinar una tarea matemática debemos tener en cuenta cómo se gestiona, es decir, cómo se pone en marcha. Por ello vamos a añadir dos elementos adicionales.

7. Formas de agrupar a los alumnos para realizar las tareas.

8. Procesos de interacción que se promueven entre alumno y profesor y entre pares (los alumnos entre ellos).

Figura No. 2 Esquema de los componentes una tarea

3. METODOLOGÍA Y CONTENIDOS DEL SEMINARIO-TALLER: Las actividades que estructuran la metodología privilegia la participación activa y constructiva de los asistentes al seminario-taller. La presentación de los referentes conceptuales y procedimentales, serán una excusa para la reflexión permanente de las prácticas de aula de los profesores y para el auto reconocimiento de la necesidad de crear una cultura del mejoramiento constante de los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas.

Para el alcance de los objetivos definidos en el seminario-taller se presentan los contenidos temáticos que se abordaran en las diferentes sesiones:

No. 1 2 3

Tabla No.1 Contenidos a abordar en las sesiones

Nombre del tema Consideraciones sobre el currículo de matemáticas Análisis de Contenido Análisis cognitivo

Referente Bibliográfico

Rico, Luis (1997) María C. Cañadas y Gómez Pedro (2012) María José Gonzales y Gómez Pedro (2012)

El desarrollo de estos contenidos, distan de ser una exposición teórica y acrítica de los mismos, para ser asumidos como motivaciones para la reflexión sobre las prácticas de aula de los profesores en su cotidianidad escolar.

Para el desarrollo de estos contenidos se centrará la atención en contenidos matemáticos como: Fracciones, números enteros, Ecuaciones lineales y factorización de polinomios.

La metodología para el seminario-taller se muestra en la siguiente tabla: Tabla No.2 Metodología Encuentro Uno ENCUENTRO UNO: Septiembre 29 No. Propósito Conocer tareas matemáticas diseñadas que promueven la activación de capacidades y el 1 fortalecimiento de competencias matemáticas en diferentes contenidos matemáticos.

Actividad

Tiempos

A1: Desarrollar diferentes tareas matemáticas con el uso de herramientas tecnológicas y la incorporación de material manipulativo.

10:00 – 12:00 m.

Para el desarrollo de la actividad propuesta se socializarán tareas que incorporan materiales didácticos como el tangram, juego de fracciones, sumadora de enteros, pista algebraica, balanza algebraica, algebloks,…

Tabla No.3 Metodología Encuentro Dos ENCUENTRO DOS: Septiembre 30 No. Propósito Aprender a diseñar tareas matemáticas que promueven la activación de capacidades y el 2 fortalecimiento de competencias matemáticas en diferentes contenidos matemáticos.

Actividad

Tiempos

A2: Diseñar tareas matemáticas sobre diferentes tópicos matemáticos.

10:00 – 12:00 pm.

Esta actividad se hará en grupos de dos o tres participantes, quienes diseñarán una tarea tomando como referente uno de los contenidos matemáticos mencionados: Fracciones, números enteros, Ecuaciones lineales y factorización de polinomios. Estas producciones serán socializadas y se conformará un compendio con ellas para que sirvan de insumos para el ejercicio profesional de todos los asistentes al seminario-taller.

4. BIBLIOGRAFÍA Carretero, R., Coriat, M. y Nieto, P. 1995. Secuenciación, Organización de Contenidos y Actividades de Aula. En Junta de Andalucía (ed.). Materiales Curriculares. Educación Secundaria. Vol 17. Área de Matemáticas. 65-173.

Christiansen, B. y Walther, G. (1986). Task and activity. En B. Christiansen y A. G. Howson (Eds.), Perspectives on mathematics education (pp. 243-307). Dordrecht: Kluwer.

Gómez, P. (2007). Desarrollo del conocimiento didáctico en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada.

Lupiáñez, J. L. y Rico, L. (2006). Análisis didáctico y formación inicial de profesores: competencias y capacidades del aprendizaje de los escolares. En P. Bolea, M. J. González y M. Moreno (Eds.), Investigación en Educación Matemática. X Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM) (pp. 225-236). Huesca: Instituto de Estudios Altoaragoneses y Universidad de Zaragoza.

Marín, A. (2010). Tareas para el aprendizaje de las matemáticas: Organización y secuenciación. Documento no publicado. Granada: Universidad de Granada. Descargado el 29/08/2016, Disponible en: http://tinyurl.com/c9txx5w.

P. Flores, P. Gómez y A. Marín (2011). Módulo 4 análisis de instrucción. Descargado el 29/08/2016, Disponible en: https://core.ac.uk/download/files/475/12342338.pdf.

Rico, L. (1997). Los organizadores del currículo de matemáticas. En L. Rico (Ed.), La Educación Matemática en la enseñanza secundaria (pp. 39-59). Barcelona: ice - Horsori.

TALLER LA PROBABILIDAD Y EL AZAR EN JUEGOS COTIDIANOS EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO EN AULA MULTIGRADO DE EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA. PROPUESTA SECUENCIA DIDÁCTICA PROGRAMA TODOS A APRENDER PTA – HUILA.

YAMIL TAFUR DÍAZ OSCAR FERNANDO CHAMBO RUÍZ

UNIVERSIDAD DE LA AMAZONÍA III ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA FLORENCIA – CAQUETÁ 2016

TALLER LA PROBABILIDA Y EL AZAR EN JUEGOS COTIDIANOS EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO EN AULA MULTIGRADO DE EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA. PROPUESTA SECUENCIA DIDÁCTICA PROGRAMA TODOS A APRENDER PTA – HUILA.

YAMIL TAFUR DÍAZ OSCAR FERNANDO CHAMBO RUÍZ

Propuesta de taller presentada para participar en el III encuentro internacional de Matemáticas y Física.

UNIVERSIDAD DE LA AMAZONÍA III ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA FLORENCIA – CAQUETÁ 2016

PRESENTACIÓN Las instituciones educativas colombianas públicas y privadas desarrollan planes de mejoramiento curricular basados en pruebas internas (evaluaciones acumulativas, sistema de evaluación institucional, evaluaciones de aula) y externas (pruebas Saber 3, 5 y 9 y SABER ICFES 11). Estas pruebas le permiten a cada institución tener una panorámica de su realidad académica desde lo institucional y su relación con la región y el país.

En el área de matemáticas las pruebas externas se sustentan en los estándares básicos de competencia de matemáticas, los lineamientos curriculares del área, matrices de referencia y los DBA. En los cuales se plantean tres competencias:  Comunicación Representación y Modelación.  Razonamiento y la Argumentación,  Planteamiento y Resolución de Problemas.

Estas competencias se desenvuelven a partir de componentes básicos que se encuentran intrínsecos en cada una de las competencias,  Componente Numérico Variacional  Componente Geométrico. Métrico  Componente Aleatorio En las pruebas SABER 3° y 5° aplicadas en la entidad territorial certificada del departamento del Huila, en el año 2015, los resultados en el área de matemáticas presentan un diagnóstico preocupante: Un 45% de los estudiantes de tercero se encuentran en los niveles insuficiente y mínimo; en grado quinto un 64% se encuentran en la misma situación, lo que equivaldría a decir que en educación básica primaria se

encuentra en 54,5% de los estudiantes con deficiencias que requieren atención especial, en primera medida, reconociendo en cual competencia y componente requiere mayor atención y una vez diagnosticado, ejercer acciones planeadas desde los planes de mejoramiento institucional .

Es por este motivo que el presente taller busca presentar algunas estrategias que ayuden a mejorar los resultados encontrados, en especial, el desarrollo del pensamiento aleatorio. Se logró identificar que en el departamento del HUILA una de las principales debilidades se encuentra en este punto, ya que no pocos estudiantes presentan dificultad a la hora de predecir, tomar decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, riesgo o ambigüedad por falta de información confiable, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar. Al respecto los estándares de competencia en matemáticas plantean (MEN, 2006): Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura, abordándolos con un espíritu de exploración y de investigación mediante la construcción de juegos de azar y la utilización de estrategias como la exploración de sistemas de datos, la simulación de experimentos y la realización de conteos” (p, 64).

Uno de los principales retos para desarrollar el Pensamiento Aleatorio, específicamente, el azar y la probabilidad radica en que su enseñanza no se articula a las planeaciones curriculares y se deja como un contenido aparte, que se enseña al finalizar el año escolar, por lo cual en el presente taller se busca presentar algunas mediaciones que permitan la construcción de secuencias didácticas que permitan fortalecer elementos disciplinares para el desarrollo del sistema aleatorio y sistemas de datos , particularmente en lo relacionado con el azar y la probabilidad.

REFERENTES TEÓRICOS Para el planteamiento de los objetivos que delinean el taller, se realizó un análisis de las principales tendencias de enseñanza del pensamiento aleatorio a nivel Internacional, Nacional y local. La experiencia a partir del trabajo como tutores PTA y el uso del material educativo del programa. Los principales referentes bibliográficos que presenta el taller son:  Batanero, C. Y Díaz, C. (Eds.) Estadísticas con proyectos. Departamento de Didáctica de la Matemática..  Duval, R. Semiosis y Pensamiento Humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales.  Ministerio de Educación Nacional. Derechos básicos de aprendizaje.  Ministerio de Educación Nacional. Estándares básicos de Competencias en Lenguaje, matemáticas, ciencias y competencias ciudadanas.  Ministerio de Educación Nacional. Lineamientos curriculares de matemáticas.  Ministerio de Educación Nacional Guía de matemáticas para los docentes de primaria y cartillas para el estudiante.

METODOLOGÍA DEL TALLER En este taller se emplearan estrategias orientadas a la comprensión de los procesos propios que se manejan en la estrategia PTA en los colegios focalizados, a través de los cuales se establecerá la comunicación oral y escrita, sin dejar de lado el habla y la escucha como habilidades propias de comunicación humana.

Es importante que los participantes del taller tomen apuntes, participen relatando su propia experiencia, hagan procesos de construcción de significado como la anticipación, resúmenes, inferencias, planificación de clases, el análisis y elaboración de secuencias didácticas y las tareas propias de un investigador al indagar por el objeto de estudio investigado.

También se hace énfasis en la mediación de los expositores para que los participantes construyan su propio aprendizaje, mediante la orientación personalizada que realiza el expositor y el empleo de técnicas para que los participantes logren autonomía, capacidad en la resolución de problemas, habilidades y destrezas para el trabajo cooperativo, para el uso efectivo de la tecnología de la información y comunicación y, sobre todo, la habilidad de relacionar la temática trabajada al contexto educativo en que se desempeñan. La importancia de este taller radica en la capacidad de impulsar la formación en cascada.

El taller pretende dar a conocer a los asistentes cómo el MEN mediante el Programa “Todos a aprender”: el Programa para la Transformación de la Calidad Educativa, busca mejorar las condiciones de aprendizaje

en los establecimientos educativos,

lo que redundará en el mejoramiento de las competencias básicas de los estudiantes en las áreas de matemáticas y Lenguaje, seguidamente se modelara una STS (Sesión de Trabajo Situado) que se diseñó y se desarrolló en la I. E San Andres del Municipio de Tello, departamento del Huila, para multigrado teniendo en cuenta el componente

aleatorio en relación con las competencias comunicación, razonamiento y resolución de problemas y que actualmente se está trabajando a nivel nacional en todos las comunidades de aprendizajes de los establecimientos educativos que se encuentran focalizados por el Programa.

Este taller se desarrollara de la siguiente manera: ACTIVIDADES

DÍA 1

TIEMPO

1.

Presentación del taller para los dos días

5 Minutos

2.

Prolegómenos Programa Todos Aprender 2.0 (PTA)

10 Minutos

2.1 ¿Qué es?

5 Minutos

2.2 Objetivos

5 Minutos

2.3 Metas

5 Minutos

2.4 Cómo se hace?

5 Minutos

2.5 Ruta de formación y acompañamiento

15 Minutos

2.6 Como se plantea el programa en Matemáticas.

10 Minutos

2.7 Planteamiento del problema: componente aleatorio y sistema de datos

20 Minutos

3.

Actividad “Azar y Probabilidad”

20 Minutos

4.

Video: microlección “La fiesta de Riqui con juegos aleatorios”

20 Minutos

TOTAL TIEMPO:

120 Minutos

DIA 2.

TIEMPO

1. Organización del espacio, grupos de trabajo y asignación de roles

5 Minutos

2. Objetivos

5 Minutos

3. Actividad 2: Papel de los Lineamientos curriculares a trabajados en la actividad (E.B.C, DBA, Componente, Competencias, Aprendizajes, Afirmación)

15 Minutos

4. Conceptualizaciรณn

10 Minutos

5. Desarrollo Taller Azar y probabilidad.

20 Minutos

6. Trabajo Grupal

25 Minutos

7. Socializaciรณn mediantes carteles

20 Minutos

8. Preguntas y comentarios.

10 Minutos

9. Evaluaciรณn y cierre del taller.

10 Minutos

TOTAL TIEMPO:

120 Minutos

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICOS

 Batanero, C. Y Díaz, C. (Eds.) (2011). Estadísticas con proyectos. Departamento de

Didáctica

de

la

Matemática.

España.

http://www.ugr.es/~batanero/pages/ARTICULOS/Libroproyectos.pdf  Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales ( M.V. Restrepo, Trad.) Santiago de Cali, Colombia: Berlín I.D.  Icfes (2015) Reporte de resultados prueba saber Huila. Santafe de Tomado

Bogota. de

http://www2.icfesinteractivo.gov.co/ReportesSaber359/consultaReporteEntidadTe rritorial.jspx  Ministerio de Educación Nacional. (2015a). Derechos básicos de aprendizaje.

Bogotá.

http://www.colombiaaprende.edu.co/html/micrositios/1752/articles-

349446_genera_dba.pdf  Ministerio de Educación Nacional. (2006a). Estándares básicos de Competencias en

Lenguaje,

matemáticas,

ciencias

y

competencias

ciudadanas.

http://www.mineducacion.gov.co/1759/articles-340021_recurso_1.pdf  Ministerio de Educación Nacional. (2006b). Lineamientos curriculares de matemáticas. Bogotá.  Ministerio de Educación Nacional (2015). Guía de matemáticas para los docentes de primaria y cartillas para el estudiante. Bogotá, Colombia.