Técnicas em Olimpíadas de Matemática - Invariantes
34) (OBM-2003) Esmeralda tem uma pilha com 100 pedras. Ela divide essa pilha em duas novas pilhas e em seguida multiplica as quantidades de pedras nessas duas novas pilhas e escreve o produto em um quadro. Ela então escolhe uma pilha com mais de uma pedra e repete esse procedimento: a pilha é dividida em duas, as quantidades de pedras nessas duas pilhas são multiplicadas e o produto escrito no quadro. Esta operação é realizada até se obter apenas pilhas com 1 pedra cada. Quais são os possíveis valores da soma de todos os produtos escritos no quadro? 35) (Cone Sul-2011) Em uma lousa estão escritos os números inteiros positivos de 1 até 4n inclusive. Em cada momento, Pedro apaga dois ab números da lousa, a e b, e escreve o número . Pedro repete o 2a2 + 2b2 procedimento até que sobre apenas um número. Demonstrar que este 1 número será menor que , sem importar quais números Pedro escolha n em cada momento. 36) (Bulgária 2004) Considere todas as “palavras” formadas por a’s e b’s. Nestas palavras podemos fazer as seguintes operações: Trocar um bloco aba por um bloco b, trocar um bloco bba por um bloco a. Podemos fazer também as operações ao contrário. É possível obter a sequência baaa...aa a partir de aaa...aab ? 2003
2003
1.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS – PARTE B 1) Um dragão possui 100 cabeças. Quatro espadas podem, cada uma, cortar 15, 17, 20 ou 5 cabeças, respectivamente, do dragão. Em cada um destes casos 24, 2, 14 ou 17 cabeças, respectivamente, crescem no dragão. Se todas as cabeças forem cortadas o dragão morre. Pode o dragão morrer? 2) (OBM Jr.-96) Prove que todo inteiro positivo n pode ser escrito como n = ± 12 ± 22 ± ... ± m2 para algum inteiro m e alguma escolha conveniente de sinais + e – . (Por exemplo, 11 = 12 – 22 + 32 + 42 + 52 – 62) 3) (Maio-2002) Seja k um número inteiro positivo fixo, k ≤ 10. Dada uma lista de dez números, a operação permitida é: escolher k números da lista, e somar 1 a cada um deles. Obtém-se assim uma nova lista de dez 21
Técnicas em Olimpíadas de Matemática - Jogos
jogador que fica sem jogada, isto é, na sua vez de jogar as 45 fichas estão espalhadas sobre a mesa. Quem perde o jogo, A, B ou C?
10) (Rússia-78) Uma ficha está localizada em uma das casas das quinas de um tabuleiro n × n. Cada um dos dois jogadores move, um de cada vez, a ficha para uma das casas vizinhas (isto é, com um lado em comum). É proibido mover a ficha para uma casa já visitada. Quem não poder mais mover a ficha perde. Prove que para todo n par o primeiro pode sempre vencer e se n é ímpar então o segundo pode sempre vencer. 11) (Espírito Santo-99) Uma barra de chocolate, de formato 6×8, tem 48 divisões em quadradinhos iguais. Luzia e Gustavo fazem a seguinte brincadeira. Luzia começa dividindo a barra em duas partes, sem quebrar os quadradinhos que compõem a barra. Em seguida Gustavo pega uma das partes deixadas por Luzia e a divide em outras duas, sem quebrar os quadradinhos. E continuam dessa forma. Perde o jogo quem não tiver jogada, isto é aquele para o qual restaram os 48 quadradinhos de chocolate. Pergunta-se: quem ganha o jogo, Luzia ou Gustavo? Por que? 12) (Ceará-96) Considere a seqüência de números e retângulos abaixo, que será objeto de um jogo. Em cada jogada, temos que colocar um dos sinais + ou – em cada retângulo desocupado. Quando os oitos retângulos estão ocupados, efetua-se a soma algébrica que ficou indicada e com isso o jogo termina. O jogo começa pelo jogador A. O jogador B só ganha se o resultado final for – 4, – 2, 0, 2 ou 4 (nos demais casos o jogador A é vencedor). Existe uma estratégia que garante sempre a vitória de um mesmo jogador independente de como o outro começa? Qual é essa estratégia e que jogador sempre ganha?
13) (Alemanha-84) São dados 2n x’s em uma linha. Dois jogadores alternadamente escolhem um x e o substituem por um dos dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. O segundo jogador vence se e somente se o número resultante de 2n dígitos (em base dez) é divisível por 9. Para quais valores de n existe uma estratégia vencedora para o segundo jogador? 14) (OBM-89) Um jogo é disputado por dois adversários, A e B, cada um dos quais dispõe de dez fichas numeradas de 1 a 10. O tabuleiro do jogo consiste em duas filas de casas, numeradas de 1 a 1492, na primeira fila, e de 1 a 1989, na segunda fila. No n-ésimo lance (n = 1, 2, …, 10), A coloca sua ficha de número n em qualquer casa vazia, e B então coloca sua ficha de número n em qualquer casa vazia da fila que não contém a ficha de 65
Técnicas em Olimpíadas de Matemática - O Princípio das Gavetas
57) (Torneio das Cidades-2007) Dos primeiros 64 inteiros positivos são escolhidos dois conjuntos com 16 elementos cada um. O primeiro subconjunto contém somente números ímpares e o segundo contém somente números pares. A soma dos elementos de cada conjunto é igual. Prove que entre todos os números escolhidos existem dois cuja soma é 65. 58) (IMO-94 Shortlist) M é um subconjunto de {1, 2, 3, ..., 15} tal que o produto de quaisquer três elementos distintos de M não é um quadrado. Determine o número máximo de elementos que M pode ter. 59) (Lista de Treinamento Cone Sul-2001) Seja S um subconjunto de {1, 2, 3, ..., 2001} tal que não existem dois elementos de S cuja diferença é 4 ou 7. Qual é o maior número de elementos que S pode ter? 60) (Rússia-81) Dezoito times de futebol jogam 8 rodadas de um torneio. Prove que existe um trio de times que não jogou um contra o outro ainda. 61) (St. Petersburg-2001) Em um tabuleiro 10 × 10 são escritos números naturais não excedendo 10. Todos dois números que ocuparem casas vizinhas são primos relativos. Prove que algum número deve aparecer no tabuleiro pelo menos 17 vezes. Obs: Define-se casas vizinhas como casas que possuem pelo menos um vértice comum. 62) (Rússia-2001) Prove que em todo conjunto de 117 números distintos de três dígitos é possível selecionar 4 subconjuntos, dois a dois disjuntos, tais que as somas dos números em cada subconjunto são iguais. 63) (Lista de Treinamento Cone Sul-2008) Cientistas estão reunidos para um congresso matemático. Sabe-se que dois cientistas com o mesmo número de amigos não possuem amigos em comum. Se existem cientistas que se conhecem, prove que existe um cientista que possui apenas um amigo. 6.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS – PARTE B 1) Que número mínimo de participantes deve ter a Olimpíada Brasileira de Matemática para que se tenha certeza de que existem dois participantes naturais do mesmo estado fazendo aniversário no mesmo dia?
84
Técnicas em Olimpíadas de Matemática - Poliminós
5) Um T-tetraminó é uma peça da forma quadrado tetraminó é uma peça da forma
, enquanto que um .
Demonstre que um tabuleiro de xadrez 8×8 não pode ser coberto usando quinze T-tetraminós e um quadrado tetraminó. 6) (St. Petersburg-97) É possível construir um tabuleiro 75×75 usando para isto peças das seguintes formas:
7) (México) Se tentamos cobrir um tabuleiro 5×5 com peças de tamanho 2×1, sempre sobrará uma casa descoberta. Quais são as casas do tabuleiro que podem eventualmente ser esta casa descoberta? 8) (Nebrasca-93) É dado um tabuleiro 6×6 com 36 quadrados de lado 1. Mostre que este tabuleiro não pode ser coberto usando exatamente 11 peças cuja forma é
e uma peça cuja forma é
.
9) (Lista de Treinamento Cone Sul-2003) É possível dividir um retângulo 66 × 62 usados somente retângulos 12 × 1? 10) Um tabuleiro 7 × 7 é coberto usando 16 peças 3 × 1 e uma peça 1 × 1. Determine quais são as casas possíveis para a localização da peça 1 × 1. 11) (Teste de Seleção Cone Sul-2005) Um tabuleiro (3n + 2)×(3n + 2), n ≥ 1, é coberto por uma peça 1×1 e 3n2 + 4n + 1 peças 3 × 1. Determine a quantidade de quadrados onde a peça 1 × 1 pode ser colocada. 12) (Maio-2008) Matias cobriu um tabuleiro quadrado de 7 × 7, dividido em casas de 1 × 1, com peças dos três tipos a seguir
98
Técnicas em Olimpíadas de Matemática - Paridade - Soluções
posições do círculo apenas de branco e preto. E analisemos apenas as pretas. Todas as pretas terão que ter vizinhos sendo um homem e uma mulher. Logo, as casas brancas serão alternadas: homem, mulher, homem... Absurdo. Pois com 25 casas brancas, na última e na primeira brancas haverá 2 homens. Absurdo! Segue o resultado.
18) Pinte o tabuleiro do modo padrão do tabuleiro de xadrez. O rei deve percorrer uma vez cada casa do tabuleiro, visitando 32 casas pretas e 32 casas brancas. Toda vez que o rei faz um movimento para os lados ele passa para uma casa de cor distinta da que estava ocupando. Se o rei faz um movimento em diagonal então ele sai de uma casa para outra de mesma cor. Logo, se a quantidade de movimentos em diagonal for ímpar o rei terá percorrido ao final do seu trajeto um número de casas pretas distinto do número de casas brancas. 19) Seja a seqüência a1, a2, …, a1997, onde cada ai corresponde a um número escrito na circunferência Faremos a1 = 1 e os outros iguais a 0, seguindo o sentido horário. Para transformar todos os termos em 1’s basta eleger (um seguido do outro) todos os termos a partir de a3 até a1995 (não é preciso alterar a1 pois ele já vale 1), fazendo com que seus vizinhos (que valem todos 0) se transformem em 1. Assim, quando elegemos a3, a2 e a4 valerão 1, quando escolhemos em seguida a4, a3 e a5 valerão 1, depois quando escolhemos a5, a4 e a6 valerão 1. Notemos que com 1997 números é possível, pois quando escolhemos a1996 (que vale 1 devido a escolha de a1995) temos a seguinte situação final: a1995 = 1 e a1997 = 1, fechando a circunferência com todos os 1997 elementos iguais a 1. Com 1998 números não é possível, pois o número de 0’s e 1’s é alterado de 2 em 2, e como existem 1998 números, sendo 1997 0’s inicialmente, então o número de 0’s é sempre ímpar, nunca podendo valer 0. 20) Se fossem todos distintos a 3ª linha teria como algarismos das unidades os números 0, 1, 2, 3, ..., 9, onde existem 5 números pares e 5 números ímpares, fazendo com que sua soma seja um número ímpar. A soma descrita das duas primeiras linhas possui como algarismo das unidades o resto por 10 de 2(0 + 1 + 2 + ... + 9), que é par (vale 0). Assim, a situação proposta é impossível. 21)
117
Técnicas em Olimpíadas de Matemática - Contagem - Soluções
e b3 – b2 ≥ 1. Entretanto, para formar {b1, b2, b3} basta escolher 3 10 números distintos de 1 a 10. Assim, existem = 120 subconjuntos. 3
14) Fixe uma garota e considere as demais posições no sentido horário. Cada uma das 8 garotas deve ser seguida por ao menos 2 homens. Assim, distribua as 8 garotas e entre cada par de garotas insira 2 homens. Ainda existem 9 homens para serem colocados na mesa nos 8 grupamentos de homens. Se xi é a quantidade de homens que vai ser inserida entre as garotas i e i + 1 (a garota 9 é a mesma da garota 1), deve-se determinar o número de soluções naturais do sistema x1 + x2 + ... + x8 = 9. Assim, 16! existem maneiras de inserir os demais 9 homens. 7!9! Como uma das garotas foi fixada, pode-se permutar as demais 8 garotas de 7! maneiras, enquanto que os homens podem ser permutados de 25! 16! 16!.25! 7!.25! = . maneiras. O total de possibilidades vale 7!.9! 9! 15) Seja b o número total de concertos e n o número de concertos que cada par de cantores cantam juntos. Contando o número total de vezes que 8 4 cada par de cantores se apresenta: n = b ⇒ 14n = 3b ⇒ 14 | b 2 2 Vamos mostrar que b = 14. Para tanto deve-se montar um esquema dos concertos com 14 músicas: 1234, 5678, 1256, 3478, 1458, 2367, 1357, 2468, 1278, 3456, 1467, 2358, 1368 e 2467 Assim, com 14 músicas pode-se montar os concertos. 16) Vamos separar a análise em casos: i) (A ≠ B ≠ C ≠ D): Sem levar em conta as rotações existem C D 7.6.5.4 = 840 pinturas. Como pode-se rotacionar 4 vezes o tabuleiro, no total existem 840/4 = 210 pinturas. ii) (A = B ≠ C ≠ D): 7.6.5 = 210 (não existe simetria) iii) A = D ≠ B ≠ C: 7.6.5/2 = 105 iv) A = D ≠ C = B: 7.6/2 = 21 v) A = B ≠ C = D: 7.6/2 = 21 vi) (A = B = C ≠ D): 7.6 = 42 pinturas (não existe simetria) A
B
138
Técnicas em Olimpíadas de Matemática - Probabilidade - Soluções
22 22 23 24 4 33 com um número ímpar de partidas vale 3 + 5 + 7 + ... = = . 2 3 3 3 1 − 2 21 3 4 4 16 Logo, a probabilidade de X vencer o jogo vale + = . 7 21 21
26) Vamos analisar o que pode ocorrer: Se na 1ª extração saírem 4 meias de cores distintas então encerra-se o processo. Se na 1ª extração saírem 2 pares de meias de mesma cor estas 4 meias são descartadas e outras 4 meias são extraídas. Note que estas 4 meias não podem possuir cores distintas, pois sobraram apenas 3 cores na mala. Se na 1ª extração existirem apenas um par de meias de mesma cor, estas devem ser descartadas e trocadas por outras duas meias da mala. Se essas duas novas meias tiverem cores distintas encerra-se o processo. Se essas duas meias tiverem a mesma cor deve-se descartá-las e trocá-las por duas novas meias da mala. Note que agora existem ainda na mala duas meias, que fazem par com as meias que estão fora da mala e ainda não foram descartadas. Assim, existem apenas dois casos a serem considerados. 5 4 2 4 8 i) na 1ª extração as 4 cores são distintas: p1 = = 10 21 4 ii) na 1ª extração exatamente dois pares possuem a mesma cor e são trocados por duas meias de cores distintas: 4 5 22 2 4 4 4 16 p2 = = = 10 6 7 15 105 4 2 8 Assim, a probabilidade pedida vale p1 + p2 = . 15 27) Se o número das duas bolas é k, então a probabilidade é: k k −1 4k(k − 1) = 1 + 2 + 3 + ... + n (1 + 2 + 3 + ... + n ) − 1 n(n + 1)(n − 1)(n + 2) Logo, variando k desde 1 até n: 164
Técnicas em Olimpíadas de Matemática - O Princípio das Gavetas - Soluções
51) Dica: Conclua que existem no máximo 4 barracas. 52) Dica: Mostre que dados n pontos no plano, o número máximo de n n triângulos escalenos é igual a − 2 . 3 2 53) Dica: Como de cada cidade partem 5 linhas aéreas, de cada cidade partem pelo menos 3 linhas operadas pela mesma empresa. 54) Dica: Ordene os inteiros em uma fileira a1 < a2 < ... < a17 . Analise os casos em que a9 ≥ 58 e que a9 < 58.
55) 88. Demonstre que a cor do menos bolas possui 12 bolas. 56) 9. Dica: Demonstre que entre 7 números que deixem restos distintos por 20 existem dois pares (a, b) e (c, d) de modo que a + b ≡ c + d (mod. 20). Depois analise os casos em que existe repetição de restos. 57) Dica: Particione A da seguinte forma: {1, n + 1, 2n + 1}, {2, n + 2, 2n + 2}, ..., {n, n + n, 2n + n} 58) Dica: Demonstre que pelo menos um dos pontos médios dos segmentos obtidos unindo dois vértices do pentágono possui coordenadas inteiras. Una este ponto aos vértices do pentágono. 59) Dica: Tome um dos vértices e analise todas as possibilidades para as pinturas dos 4 segmentos que partem deste vértice: todos da mesma cor, 1 de uma cor e 3 de outra ou 2 de uma cor e 2 de outra. 60) Dica: Perceba que existem C10, elementos.
5
214
= 252 subconjuntos de S com 5