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ℕ
∀𝑱
⊥
∃𝑰
ℂ
𝑎 −1 lim0 𝑥 𝑥
≠
𝟎
𝑙𝑛 𝑎
1 lim − 𝑐 𝑜 𝑠 𝑥 1 𝑥 0 = 2 2
~
𝑎 lim 0 𝑥
−
1
⟺
𝑥
ℕ
⊆
⊂
𝑙𝑛
∃
𝑰
∧
≈
𝑎
∃
∀𝒙
ℚ
ℚ
lim
𝑥 0
1+𝑥
𝑥
+∞
∧
/
⇒
lim 1 − 𝑐 𝑜 𝑠 𝑥 𝑥 0 =0
≅ 𝛼
𝑫
𝟎
∅
ȁ𝑥
𝑥 lim 𝑥 ∞𝑎 = 0
∀
∃!
𝑙𝑛 1 + 𝑥 lim 𝑥 0 𝑥
1
−∞ 𝛼
lim
𝑥 0
∩
ℝ
𝒙
∄
lim 1 + 𝑥
𝑥 0
𝑎 𝑟 𝑐 𝑠 𝑒 𝑛=𝑥1
∄
∈
⇒ 𝒇 𝒙 ∈𝑱
ℚ
<
:
∥
1 𝑥
ℤ
∪
𝑒
lim 𝑡 𝑔 𝑥 𝑥 0 =1
∉
∉
∀
lim 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 𝑥 0 =1
lim+ 𝑥 𝑙 𝑛 = 0 𝑥 0 > ∈ ℤ 1
𝑥
⟺
log 𝑎 1 + 𝑥 lim 𝑥 0 𝑥
⇒
=
≡
log 𝑎
=
≤
lim 1 + 𝑥
𝑥 0
1 𝑥
𝑒 1
Indice • SIMBOLI, INSIEMI, INTERVALLI ………………..….………………………..….…… 3 • ARITMETICA • ALGEBRA
………………..….……………………..….……………………..….………………………….………..….……
………………..….……………………..….……………………..….…………………..…………………..…………..……
• GEOMETRIA PIANA
………………..….……………………..….………………………………..….……….…
• GEOMETRIA SOLIDA
………………..….……………………..….……………………………..….…………
• GEOMETRIA ANALITICA • LOGARITMI
8 18 30 33
………………..….……………………..………………..………….……
36
………………..….……………………..….……………………..….……………………………..…………………
47
• GONIOMETRIA
………………..….……………………..….……………………..….………………..….……………..…
• TRIGONOMETRIA • ANALISI LICEO
………………..….……………………..….…………………………………..….………….…
55
………………..….……………………..….……………………..….…………………..….…………..…
59
• ANALISI VERSO L’UNIVERSITA’ • ELEMENTI DI LOGICA • PROGRESSIONI
………………..……………………..…..….……
80
………………..….……………………..….………………………..………...……
86
………………..….……………………..……………………..….……………………..………….……
• CALCOLO COMBINATORIO • PROBABILITA’
48
………………..….…………………………..….……………
………………..….……………………..….……………………..….…………………..….…………...…
• NUMERI COMPLESSI
………………..….……………………..….………………………..….………………
• LE GRANDEZZE FISICHE
………………..….……………………………………..…………………
• ELEMENTI DI STATISTICA
………………..….……………………………..…………….……
87 88 89 93 95 97
2
Alfabeto Greco
v 1.5
minuscole
maiuscole
α β γ δ ε ζ η ϑ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω
Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
come si legge
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alfa beta gamma delta epsilon zeta eta teta iota cappa lambda mu ni csi omicron pi ro sigma tau ipsilon fi chi psi omega
.
3
Simbologia simbolo
significato
simbolo
uguale
minore
circa uguale, approssimato
valore assoluto di
diverso
minore e uguale
maggiore
più infinito
maggiore e uguale
insieme dei numeri reali
insieme dei numeri interi
insieme dei numeri complessi
insieme dei numeri razionali
insieme vuoto
appartiene
tale che
non appartiene
tale che
esiste (almeno un)
incluso strettamente
non esiste
incluso
esiste ed è unico
unione
per ogni
intersezione
intervallo chiuso, cioè contiene gli estremi
intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra
intervallo aperto, cioè esclude gli estremi
intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra
parallelo
lunghezza del segmento AB
perpendicolare
vettore v
identico, coincidente
simmetria centrale di centro C
congruente
equivalente simile
o modulo di
meno infinito
insieme dei numeri naturali
simmetria assiale di asse r
r (O; α )
vero
traslazione di vettore v
rotazione di centro O e angolo α e
falso
implica (se … allora)
o
se e solo se (doppia implicazione)
media aritmetica
prodotto:
somma:
probabilità di A condizionata a B
scarto quadratico medio
v 1.7
significato
…
probabilità dell’evento A
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.
4
Insiemi definizione
l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto
secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero” esempio
rappresentazione per elencazione gli elementi dell’insieme sono indicati tra parentesi graffe
per caratteristica
grafica (o di Eulero Venn)
si descrivono le caratteristiche degli elementi dell’insieme
si usano delle linee chiuse che contengono gli elementi dell’insieme
4 2
1
3
operazioni tra insiemi unione
l’unione tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme presi una sola volta 4
1
2
4
5
3
2 5
4
1
3
3 2
intersezione l’intersezione tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo e al secondo insieme, cioè dagli elementi comuni. Se non ci sono elementi comuni gli insiemi si dicono disgiunti
4 2
1
3
5
differenza
la differenza tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme esclusi quelli del secondo insieme 4 2
1
3
5
insieme complementare l’insieme complementare di un insieme rispetto ad un altro che lo contiene è l’insieme differenza dei due
3
cioè cioè v 1.5
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6
5
1
7
2
4
8
.5
Insiemi prodotto cartesiano tra due insiemi il prodotto cartesiano tra due insiemi è l’insieme delle coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento al secondo insieme
il prodotto cartesiano NON è commutativo
insieme delle parti di un insieme
l’insieme delle parti di un insieme è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme dato 2 3
13
1
2
1 2 se l’insieme è formato da elementi, l’insieme delle parti Nell’esempio precedente è formato da 3 elementi e quindi
2
3 1
3
è formato da elementi. è formato da elementi
partizione di un insieme
la partizione di un insieme è un insieme formato dai suoi sottoinsiemi (o parti) che verificano le seguenti proprietà:
• nessuna delle parti è vuota • le parti sono a due a due disgiunte, cioè non hanno elementi in comune • l’unione delle parti è uguale all’insieme iniziale i sottoinsiemi
oppure
e
rappresentano due diverse partizioni di A consideriamo l’insieme delle classi della scuola tale insieme costituisce una partizione dell’insieme S perché soddisfa le tre proprietà della definizione
1A
2A
3A
1B
2B
3B
relazioni di De Morgan
I relazione
II relazione
il complemento dell’unione degli insiemi è uguale all’intersezione dei complementi degli insiemi v 1.5
il complemento dell’intersezione degli insiemi è uguale all’unione dei complementi degli insiemi
I complementari sono considerati rispetto ad un terzo insieme (detto Universo) che contiene A e B © 2011 - www.matematika.it
.6
Intervalli: classificazione e rappresentazione definizioni Si definisce intervallo l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi e . Gli estremi e possono essere finiti o infiniti. è detto estremo sinistro o inferiore, è detto estremo destro o superiore dell’intervallo • •
Un intervallo si dice:
• •
limitato se gli estremi sono finiti illimitato se almeno uno degli estremi è infinito
intervalli limitati
intervallo
intervallo chiuso intervallo aperto
intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente intervallo
intervallo chiuso inferiormente e illimitato superiormente intervallo aperto inferiormente e illimitato superiormente intervallo illimitato inferiormente e chiuso superiormente
intervallo illimitato inferiormente e aperto superiormente intervallo illimitato
rappresentazione grafica
a
b
a
b
a
b
a
b
chiuso se gli estremi sono compresi aperto se gli estremi non sono compresi
rappresentazione insiemistica
rappresentazione algebrica
intervalli illimitati
rappresentazione grafica
rappresentazione insiemistica
rappresentazione algebrica
a a b b
osservazione su alcuni testi l’intervallo aperto è indicato con le parentesi tonde per cui si trova equivalentemente:
v 1.7
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.
7
Classificazione dei numeri reali numeri naturali N
numeri interi Z
numeri razionali Q
numeri irrazionali I
un numero si dice razionale se può essere espresso come rapporto di due numeri interi
essi sono formati da numeri naturali, interi, decimali, periodici semplici e periodici misti
un numero si dice razionale se NON può essere espresso come rapporto di due numeri interi
essi sono formati da una parte intera e da una parte decimale con infinite cifre non periodiche
numeri reali R i numeri reali sono formati dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e l’insieme dei numeri irrazionali I
R
I
Q
Z
-3 -12
N
1 5
0 8 15,35672129654.…
numeri algebrici e numeri trascendenti
• •
esiste un’altra classificazione che divide i numeri reali in: numeri algebrici e numeri trascendenti un numero si dice algebrico se è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi un numero si dice trascendente se NON è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi Esempi
• •
5
è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione
è un numero trascendente. perché non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti interi pur essendo soluzione dell’equazione polinomiale che non è a coefficienti interi
•
i numeri razionali Q sono tutti algebrici i numeri irrazionali I possono essere sia algebrici che trascendenti
oltre i numeri reali numeri immaginari
=
v 1.4
numeri complessi © 2011 - www.matematika.it
.8
Numeri primi fino a 10.000 un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1 ---
37 89
2
41
593 659 743 827 911
59
13 61
17 67
19 71
23 73
29 79
31 83
107
109
113
127
131
137
139
149
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
367
503
53
11
103
359 433
47
7
101
157
281
43
5
97
151 223
3
227 439 509 599 661 751 829 919
163 229 373 443 521 601 673 757 839 929
167 233 379 449 523 607 677 761 853 937
173 239 383 457 541 613 683 769 857 941
179 241 389 461 547 617 691 773 859 947
181 251 397 463 557 619 701 787 863 953
191 257 401 467 563 631 709 797 877 967
193 263 409 479 569 641 719 809 881 971
197 269 419 487 571 643 727 811 883 977
199 271 421 491 577 647 733 821 887 983
211 277 431 499 587 653 739 823 907 991
997
1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1249
1259
1277
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
1069 1163 1321 1439 1511 1601 1693 1783 1877 1987 2069 2143 2267 2347 2423 2543 2657 2713 2801 2903 3011 3119 3221 3323 3413 3527 3607 3697 3797 3907 4003 4093 4211 4283 4409 4513 4621 4721 4813
v 1.7
1087 1171 1327 1447 1523 1607 1697 1787 1879 1993 2081 2153 2269 2351 2437 2549 2659 2719 2803 2909 3019 3121 3229 3329 3433 3529 3613 3701 3803 3911 4007 4099 4217 4289 4421 4517 4637 4723 4817
1091 1181 1361 1451 1531 1609 1699 1789 1889 1997 2083 2161 2273 2357 2441 2551 2663 2729 2819 2917 3023 3137 3251 3331 3449 3533 3617 3709 3821 3917 4013 4111 4219 4297 4423 4519 4639 4729 4831
1093 1187 1367 1453 1543 1613 1709 1801 1901 1999 2087 2179 2281 2371 2447 2557 2671 2731 2833 2927 3037 3163 3253 3343 3457 3539 3623 3719 3823 3919 4019 4127 4229 4327 4441 4523 4643 4733 4861
1097 1193 1373 1459 1549 1619 1721 1811 1907 2003 2089 2203 2287 2377 2459 2579 2677 2741 2837 2939 3041 3167 3257 3347 3461 3541 3631 3727 3833 3923 4021 4129 4231 4337 4447 4547 4649 4751 4871
1103 1201 1381 1471 1553 1621 1723 1823 1913 2011 2099 2207 2293 2381 2467 2591 2683 2749 2843 2953 3049 3169 3259 3359 3463 3547 3637 3733 3847 3929 4027 4133 4241 4339 4451 4549 4651 4759 4877
1109 1213 1399 1481 1559 1627 1733 1831 1931 2017 2111 2213 2297 2383 2473 2593 2687 2753 2851 2957 3061 3181 3271 3361 3467 3557 3643 3739 3851 3931 4049 4139 4243 4349 4457 4561 4657 4783 4889
1117 1217 1409 1483 1567 1637 1741 1847 1933 2027 2113 2221 2309 2389 2477 2609 2689 2767 2857 2963 3067 3187 3299 3371 3469 3559 3659 3761 3853 3943 4051 4153 4253 4357 4463 4567 4663 4787 4903
Š 2011 - www.matematika.it
1123 1223 1423 1487 1571 1657 1747 1861 1949 2029 2129 2237 2311 2393 2503 2617 2693 2777 2861 2969 3079 3191 3301 3373 3491 3571 3671 3767 3863 3947 4057 4157 4259 4363 4481 4583 4673 4789 4909
1129 1229 1427 1489 1579 1663 1753 1867 1951 2039 2131 2239 2333 2399 2521 2621 2699 2789 2879 2971 3083 3203 3307 3389 3499 3581 3673 3769 3877 3967 4073 4159 4261 4373 4483 4591 4679 4793 4919
1151 1231 1429 1493 1583 1667 1759 1871 1973 2053 2137 2243 2339 2411 2531 2633 2707 2791 2887 2999 3089 3209 3313 3391 3511 3583 3677 3779 3881 3989 4079 4177 4271 4391 4493 4597 4691 4799 4931
1153 1237 1433 1499 1597 1669 1777 1873 1979 2063 2141 2251 2341 2417 2539 2647 2711 2797 2897 3001 3109 3217 3319 3407 3517 3593 3691 3793 3889 4001 4091 4201 4273 4397 4507 4603 4703 4801 4933
.
9
Numeri primi fino a 10.000 4937
4943
4951
4957
4967
4969
4973
4987
4993
4999
5003
5009
5233
5237
5261
5273
5279
5281
5297
5303
5309
5323
5333
5347
5011 5113 5351 5443 5531 5653 5743 5849 5939 6073 6173 6271 6359 6473 6581 6701 6803 6907 6997 7121 7229 7349 7487 7561 7669 7757 7879 8009 8111 8231 8317 8443 8573 8677 8753 8861 8971 9091 9199 9311 9413 9491 9623 9733 9829 9929
5021 5119 5381 5449 5557 5657 5749 5851 5953 6079 6197 6277 6361 6481 6599 6703 6823 6911 7001 7127 7237 7351 7489 7573 7673 7759 7883 8011 8117 8233 8329 8447 8581 8681 8761 8863 8999 9103 9203 9319 9419 9497 9629 9739 9833 9931
5023 5147 5387 5471 5563 5659 5779 5857 5981 6089 6199 6287 6367 6491 6607 6709 6827 6917 7013 7129 7243 7369 7499 7577 7681 7789 7901 8017 8123 8237 8353 8461 8597 8689 8779 8867 9001 9109 9209 9323 9421 9511 9631 9743 9839 9941
5039 5153 5393 5477 5569 5669 5783 5861 5987 6091 6203 6299 6373 6521 6619 6719 6829 6947 7019 7151 7247 7393 7507 7583 7687 7793 7907 8039 8147 8243 8363 8467 8599 8693 8783 8887 9007 9127 9221 9337 9431 9521 9643 9749 9851 9949
5051 5167 5399 5479 5573 5683 5791 5867 6007 6101 6211 6301 6379 6529 6637 6733 6833 6949 7027 7159 7253 7411 7517 7589 7691 7817 7919 8053 8161 8263 8369 8501 8609 8699 8803 8893 9011 9133 9227 9341 9433 9533 9649 9767 9857 9967
5059 5171 5407 5483 5581 5689 5801 5869 6011 6113 6217 6311 6389 6547 6653 6737 6841 6959 7039 7177 7283 7417 7523 7591 7699 7823 7927 8059 8167 8269 8377 8513 8623 8707 8807 8923 9013 9137 9239 9343 9437 9539 9661 9769 9859
10729 10859
v 1.7
10501 10631 10733 10861
10513 10639 10739 10867
10529 10651 10753 10883
10531 10657 10771 10889
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6229 6323 6421 6553 6661 6763 6863 6967 7057 7193 7307 7451 7537 7607 7717 7841 7937 8081 8179 8287 8389 8527 8629 8719 8821 8933 9041 9157 9257 9371 9461 9551 9679 9787 9883
6043 6133 6247 6329 6427 6563 6673 6779 6869 6971 7069 7207 7309 7457 7541 7621 7723 7853 7949 8087 8191 8291 8419 8537 8641 8731 8831 8941 9043 9161 9277 9377 9463 9587 9689 9791 9887
5827 5903 6047 6143 6257 6337 6449 6569 6679 6781 6871 6977 7079 7211 7321 7459 7547 7639 7727 7867 7951 8089 8209 8293 8423 8539 8647 8737 8837 8951 9049 9173 9281 9391 9467 9601 9697 9803 9901
5647 5737 5839 5923 6053 6151 6263 6343 6451 6571 6689 6791 6883 6983 7103 7213 7331 7477 7549 7643 7741 7873 7963 8093 8219 8297 8429 8543 8663 8741 8839 8963 9059 9181 9283 9397 9473 9613 9719 9811 9907
5527 5651 5741 5843 5927 6067 6163 6269 6353 6469 6577 6691 6793 6899 6991 7109 7219 7333 7481 7559 7649 7753 7877 7993 8101 8221 8311 8431 8563 8669 8747 8849 8969 9067 9187 9293 9403 9479 9619 9721 9817 9923
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5077
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10111 10223 10453 10567 10667 10789 10903
10133 10243 10457 10589 10687 10799 10909
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10139 10247 10459 10597 10691 10831 10937
10141 10253 10463 10601 10709 10837 10939
10151 10259 10477 10607 10711 10847 10949
10159 10267 10487 10613 10723 10853 10957
. 10
Tavola Pitagorica 1
2
3
4
3
6
9
12 15 18
2 4
4 8
6
8
5
6
10
11
12
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14
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12 16 20 24
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7
14 21 28 35 42
9
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10 15 20 25 30
8
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10 12
5 6
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12 18 24 30 36 16 24 32 40 48 18 27 36 45 54
10 20 30 40 50 60 11 22 33 44 55 66 12 24 36 48 60 72 13 26 39 52 65 78 14 28 42 56 70 84
21 35 42 49 56 63 70 77 84
24 40 48 56 64 72 80 88
45 54 63 72 81
20 40 50 60 70 80 90
22 44 55 66 77 88
24 48 60 72 84
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28 56 70 84
30 60 75 90
98 105
96 104 112 120
99 108 117 126 135
90 100 110 120 130 140 150 99 110 121 132 143 154 165
96 108 120 132 144 156 168 180
91 104 117 130 143 156 169 182 195 98 112 126 140 154 168 182 196 210
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 LA TAVOLA PITAGORICA “ I pitagorici che si manifestarono sempre pieni di genio inventivo sottile, per evitare di commettere errori nelle moltiplicazioni, divisioni e misure, si servirono di una figura tracciata in modo particolare, la quale, in onore del loro maestro, chiamavano Tavola Pitagorica (mensa pythagorea) perché, riguardo alle cose ivi rappresentate, le prime discipline erano dovute a quel maestro. Chi venne dopo chiamò tale figura Abaco. Essi pensavano che quando era frutto di una meditazione profonda sarebbe stato più facilmente conosciuto da tutti, ove fosse stato presentato dinnanzi agli occhi in un certo modo; in conseguenza diedero a quella figura il seguente aspetto”. Gino Loria, Storia della matematiche (Boezio pag. 801)
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∏ Pigreco le prime 2.000 cifre
3,14159
26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 85863 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 13891 24972 17752 83479 13151 55748 57242 45415 06959 50829 53311 68617 27855 88907 50983 81754 63746 49393 19255 06040 09277 01671 13900 98488 24012 85836 16035 63707 66010 47101 81942 95559 61989 46767 83744 94482 55379 77472 68471 04047 53464 62080 46684 25906 94912 93313 67702 89891 52104 75216 20569 66024 05803 81501 93511 25338 24300 35587 64024 74964 73263 91419 92726 04269 92279 67823 54781 63600 93417 21641 21992 45863 15030 28618 29745 55706 74983 85054 94588 58692 69956 90927 21079 75093 02955 32116 53449 87202 75596 02364 80665 49911 98818 34797 75356 63698 07426 54252 78625 51818 41757 46728 90977 77279 38000 81647 06001 61452 49192 17321 72147 72350 14144 19735 68548 16136 11573 52552 13347 57418 49468 43852 33239 07394 14333 45477 62416 86251 89835 69485 56209 92192 22184 27255 02542 56887 67179 04946 01653 46680 49886 27232 79178 60857 84383 82796 79766 81454 10095 38837 86360 95068 00642 25125 20511 73929 84896 08412 84886 26945 60424 19652 85022 21066 11863 06744 27862 20391 94945 04712 37137 86960 95636 43719 17287 46776 46575 73962 41389 08658 32645 99581 33904 78027 59009 94657 64078 … … …
è il numero trascendente che rappresenta il valore del rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro. Per determinare il suo valore Archimede usò il metodo dei perimetri, cioè considerò i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza di raggio che approssimano la lunghezza della stessa circonferenza. All’aumentare del numero dei lati dei poligoni, si ottiene una coppia di classi contigue di numeri che ammette come elemento separatore. v 1.4
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e numero di Nepero le prime 2.000 cifre
2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 382178 525166 427427 466391 932003 059921 817413 596629 043572 900334 295260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 149934 884167 509244 761460 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077744 992069 551702 761838 606261 331384 583000 752044 933826 560297 606737 113200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 141692 836819 025515 108657 463772 111252 389784 425056 953696 770785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496465 105820 939239 829488 793320 362509 443117 301238 197068 416140 397019 837679 320683 282376 464804 295311 802328 782509 819455 815301 756717 361332 069811 250996 181881 593041 690351 598888 519345 807273 866738 589422 879228 499892 086805 825749 279610 484198 444363 463244 968487 560233 624827 041978 623209 002160 990235 304369 941849 146314 093431 738143 640546 253152 096183 690888 707016 768396 424378 140592 714563 549061 303107 208510 383750 510115 747704 171898 610687 396965 521267 154688 957035 035402 123407 849819 334321 068170 121005 627880 235193 033224 745015 853904 730419 957777 093503 660416 997329 725088 687696 640355 570716 226844 716256 079882 651787 134195 124665 201030 592123 667719 432527 867539 855894 489697 096409 754591 856956 380236 370162 112047 742722 836489 613422 516445 078182 442352 948636 372141 740238 893441 247963 574370 263755 294448 337998 016125 492278 509257 782562 092622 648326 277933 386566 481627 725164 019105 900491 644998 289315 056604 725802 778631 864155 195653 244258 698294 695930 801915 298721 172556 347546 396447 910145 904090 586298 496791 287406 870504 895858 671747 985466 775757 320568 128845 920541 334053 922000 113786 300945 560688 166740 016984 205580 403363 795376 452030 402432 256613 527836 951177 883863 874439 662532 249850 654995 886234 281899 707733 276171 783928 034946 501434 558897 071942 586398 772754 710962 953741 521115 136835 062752 602326 484728 703920 764310 059584 116612 054529 703023 647254 929666 938115 137322 753645 098889 031360 205724 817658 511806 303644 281231 496550 704751 025446 501172 721155 519486 685080 036853 228183 152196 003735 625279 449515 828418 829478 761085 263981 395599 006737 648292 244375 287184 624578 03……...
Il numero e detto numero di Nepero è la base dei logaritmi naturali che generalmente vengono indicati con ln(x). Il numero e come il numero π è un numero trascendente oltre che irrazionale. v 1.4
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.
13
Criteri di divisibilità - Frazioni generatrici - Frazioni con lo zero Criteri di divisibilità divisibilità per 2
un numero è divisibile per 2 quando l’ultima cifra è pari cioè quando termina per: 0, 2, 4, 6, 8
• •
316 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (6) è pari 315 non è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (5) non è pari
divisibilità per 3 •
un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue • cifre è un multiplo di 3
342 è divisibile per 3 perché che è multiplo di 3 89757 è divisibile per 3 perché 8+9+7+5+7=36 ed ancora 3+6=9 che è un multiplo di 3
divisibilità per 5
un numero è divisibile per 5 quando l’ultima cifra è 0 o 5
• •
345 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5 346 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 6
divisibilità per 11
un numero è divisibile per 11 quando la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è 0 o un multiplo di 11
• •
3465 è divisibile per 11 perché e e 2798 non è divisibile per 11 perché e e che è diverso da 0 e da un multiplo di 11
Frazioni generatrici
frazione generatrice di un numero decimale • •
al numeratore si scrive il numero dato senza virgola al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero dato
frazione generatrice di un numero periodico semplice
• •
al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo
frazione generatrice di un numero periodico misto
• •
al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo
dalla frazione al numero
•
per trasformare una frazione in numero basta dividere il numeratore per il denominatore
frazioni con lo zero
è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore
v 1.6
è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore © 2011 - www.matematika.it
è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore
.
14
Altri criteri di divisibilità divisibilità per 4 un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre
• •
316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di 4 310 non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4
divisibilità per 7
un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7
• •
287 è divisibile per 7 perché
376 non è divisibile per 7 perché
divisibilità per 9 •
un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 9
•
che è multiplo di 7
che non è multiplo di 7
873 è divisibile per 9 perché multiplo di 9
546 non è divisibile per 9 perché non è multiplo di 9
che è
che
divisibilità per 13 •
un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13
•
845 è divisibile per 13 perché e che è multiplo di 13 1467 non è divisibile per 13 perché 146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) = 14 +16 =33 che non è multiplo di 13
divisibilità per 17 un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17
• •
1071 è divisibile per 17 perché e 1467 non è divisibile per 17 perché e diverso da 0 o da un multiplo di 17
che è
divisibilità per 19
un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di 19
• •
1216 è divisibile per 19 perché e 1467 non è divisibile per 19 perché e 15+(2∙0)=15 che è diverso da un multiplo di 19
divisibilità per 23 un numero è divisibile per 23 se la somma fra il numero senza la cifra delle unità e il settuplo del numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di 23
• •
345 è divisibile per 23 perché di 23 102 non è divisibile per 23 perché multiplo di 23
è multiplo non è
divisibilità per 25
un numero è divisibile per 25 se finisce con 0, 25, 50, 75 v 1.5
• •
375 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75 346 non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 46
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15
Proporzioni definizione una proporzione è una uguaglianza tra rapporti
medi estremi proprietà
il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:
fondamentale
scambiando fra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione
del permutare
scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione
dell’invertire
sommando all’antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione
del comporre
dello scomporre
trovare un medio in una proporzione •
sottraendo all’antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione
si moltiplicano gli estremi e si divide per l’altro medio
trovare un estremo in una proporzione •
si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo
proporzione continua
una proporzione si dice continua se i medi sono uguali
x si chiama “medio proporzionale” tra a e b
esempi
proprietà dello scomporre
trovare un medio in una proporzione proporzione continua una proporzione si può risolvere trasformandola in equazione:
• •
si applica la proprietà fondamentale: si risolve l’equazione ottenuta:
approfondimento: questo metodo è utile quando nella proporzione l’incognita è presente più volte, ad esempio: v 1.5
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Sezione aurea - Percentuale - Pendenza Sezione aurea di un segmento dato un segmento di lunghezza ( ) la sua sezione aurea ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il segmento stesso e la parte rimanente cioè:
l x
• • •
l-x
per risolvere la proporzione la si trasforma in equazione:
si applica la proprietà fondamentale: si sviluppano i calcoli:
si risolve l’equazione di II grado in :
il numero
è chiamato numero aureo, viene indicato di solito con la lettera esempio
Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza
e vale circa 0,6180339887…
basta applicare la formula dimostrata precedentemente
•
Calcolo percentuale il valore di n può essere positivo o negativo a seconda che si tratti di un aumento o di uno sconto
esempi •
Calcolare il costo di un capo di abbigliamento dal prezzo di 160 euro scontato del 25% , quindi n = − 25%
•
Quanto si è ridotto percentualmente un volume se passa da 300 cl a 270 cl?
il segno meno indica che si tratta di una riduzione
Pendenza
Δh Δx
10 % indica che in 100 metri orizzontali (∆x) c’e un dislivello di 10 metri in verticale (∆h)
esempio •
v 1.8
Calcolare la pendenza in percentuale di una strada con dislivello verticale di 25 m su una distanza orizzontale di 120 m cioè ∆h=25 m ∆x=120 m © 2011 - www.matematika.it
. 17
Prodotti notevoli e Scomposizioni prodotti notevoli somma per differenza
quadrato di un binomio cubo di un binomio
quarta potenza di un binomio quinta potenza di un binomio quadrato di un trinomio cubo di un trinomio
particolari prodotti notevoli
scomposizioni raccoglimento totale a fattore comune
raccoglimento parziale a fattore comune differenza di due quadrati somma di cubi
differenza di cubi
somma di due potenze di esponente 5
differenza di due potenze di esponente 5 somma di due potenze di esponente 7
differenza di due potenze di esponente 7 quadrato di binomio =s e • • • •
trovare due numeri m ed n tali che:
e
si sostituisce si effettua un raccoglimento parziale
trinomio notevole con esponente pari trinomio con somma e prodotto caso
trinomio con somma e prodotto caso cubo di binomio
riduzione a differenza di quadrati quadrato di un trinomio cubo di un trinomio puoi scomporre v 1.4
come © 2011 - www.matematika.it
.
18
Radicali definizione si definisce radice n-sima di un numero reale a, con
, quel numero reale b tale che:
cioè
nomenclatura
m è l’esponente del
si chiama radicale
n = è l’indice della radice
radicando
è il radicando
proprietà
non ha significato
radice con indice pari
radice con indice dispari
radice algebrica
non esiste in
---
radice aritmetica
operazioni con i radicali semplificazione
riduzione allo stesso indice prodotto di radicali
e
rapporto di radicali trasporto di fattore dentro il segno di radice ∗ trasporto di fattore fuori il segno di radice ∗ potenza di radicali radice di radice somma algebrica di radicali simili osservazioni
* v 2.3
• •
Si possono portare fattori dentro una radice di indice pari solo se sono positivi, altrimenti se ne modifica il segno Quando si porta un fattore fuori una radice di indice pari esso può assumere segno positivo o segno negativo © 2011 - www.matematika.it
19 .
Radicali razionalizzazione del denominatore di una frazione caso:
una sola radice quadrata al denominatore formula
ricorda che:
caso:
esempio
una sola radice non quadrata al denominatore formula
ricorda che:
caso:
esempi
un polinomio al denominatore con una o più radici quadrate formula
ricorda che il prodotto notevole:
caso:
esempio
si può applicare anche ai seguenti casi 2
un binomio al denominatore con una o due radici cubiche
formula
esempio ricorda i prodotti notevoli:
radicale doppio la formula si applica
formula
solo se è un quadrato perfetto
esempio
ricorda che se v 2.3
non è un quadrato perfetto non è conveniente applicare la formula del radicale doppio © 2011 - www.matematika.it
20 .
Potenze definizione si definisce potenza di base a e di esponente n , il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante volte sono le unità dell’esponente: n volte
proprietà
potenze con la stessa base prodotto di potenze con la stessa base
rapporto di potenze con la stessa base potenza di potenza
potenze con lo stesso esponente prodotto di potenze con lo stesso esponente
rapporto di potenze con lo stesso esponente potenza ad esponente negativo frazione ad esponente negativo potenza ad esponente frazionario frazione ad esponente frazionario potenza ad esponente frazionario negativo altri esempi
Fai attenzione alle parentesi ed all’esponente che può essere pari o dispari
frazioni con lo zero
è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore v 2.0
è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore © 2011 - www.matematika.it
è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore
.
21
Equazioni di secondo grado formule risolutive equazione
nome
procedimento
equazione completa
si applica la formula
equazione completa con b pari
si applica la formula ridotta
equazione pura
si isola e si estrae la radice quadrata algebrica
equazione spuria
si raccoglie la x e si applica la legge di annullamento del prodotto
equazione monomia
soluzioni o radici
ha sempre due soluzioni nulle
le soluzioni di una equazione sono anche dette radici dell’equazione
significato del delta
un’equazione di 20 grado ammette sempre due soluzioni che sono distinte, coincidenti o non reali secondo il segno del soluzioni reali e distinte
soluzioni reali e coincidenti
soluzioni non reali
proprietà somma delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )
prodotto delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )
testo dell’equazione di 20 grado conoscendo la somma e il prodotto delle soluzioni scomposizione del trinomio di secondo grado dove le soluzioni dell’equazioni di secondo grado
e
sono
regola di Cartesio: segno delle soluzioni data l’equazione di 20 grado con •
permanenza variazione v 2.8
• •
:
si osservano i segni dei coefficienti a, b, c
ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva
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. 22
Equazioni parametriche: tabella delle condizioni condizioni sotto forma di enunciato una soluzione è nulla
una soluzione è uguale ad un numero n è assegnata la somma delle soluzioni
è assegnato il prodotto delle soluzioni le soluzioni sono opposte
cosa fare
sotto forma algebrica
soluzione • • • • •
le soluzioni sono reciproche
•
le soluzioni sono concordi
•
le soluzioni sono coincidenti
•
le soluzioni sono reali e distinte
•
l’equazione è pura
•
è assegnata la somma dei reciproci delle soluzioni
•
le soluzioni snoo antireciproche
•
le soluzioni sono discordi
•
le soluzioni sono reali
•
le soluzioni sono non reali
•
l’equazione è spuria
•
è assegnata la somma dei quadrati delle soluzioni
è assegnata la somma dei quadrati dei reciproci delle soluzioni è assegnata la somma dei cubi delle soluzioni è assegnata la somma dei cubi dei reciproci delle soluzioni una soluzione è multipla dell’altra • • • • v 1.9
•
nell’equazione data porre
nell’equazione data porre
porre la somma uguale a n
porre il prodotto uguale a n porre la somma uguale a 0
porre il prodotto uguale a 1
porre il prodotto uguale a -1 porre il prodotto > 0 porre il prodotto < 0 porre il porre il porre il porre il
nell’equazione data porre nell’equazione data porre porre porre
uguale a n
•
porre
•
porre
•
porre
•
risolvere il sistema
uguale a n
uguale a n
ricorda che
è l’equazione di secondo grado è il discriminante associato all’equazione di secondo grado
è la relazione tra la somma delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado
è la relazione tra il prodotto delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado © 2011 - www.matematika.it
. 23
Equazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni binomie ha due soluzioni (opposte) solo se il radicando è maggiore o uguale a 0
n = pari
ha una soluzione ed il segno dipende dal segno del radicando
n = dispari
cosa è: un’equazione si dice binomia se è formata da un termine di grado n ed un termine noto come si risolve: si ricava xn e si estrae la radice n-sima distinguendo i casi con n pari ed n dispari esempi caso n pari
• •
nessuna soluzione
esempi caso n dispari
• •
equazioni biquadratiche
cosa è: un’equazione si dice biquadratica se è formata da un termine di 4° grado uno di 2° grado ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’ origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione data esempio di 4 soluzioni: caso
e
positivi
• esempio di 2 soluzioni: caso
negativo e
positivo (o viceversa) nessuna soluzione
• esempio di 0 soluzioni: caso
e
negativi nessuna soluzione
•
equazioni trinomie
nessuna soluzione
cosa è: un’equazione si dice trinomia se è formata da un termine di grado 2n uno di grado n ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la nuova variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’ origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione data esempio
• nessuna soluzione
•
v 1.8
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24 .
Disequazioni di Secondo Grado
l’equazione associata ha due soluzioni distinte
l’equazione associata ha due soluzioni coincidenti
x1
x2
valori esterni
l’equazione associata ha due soluzioni coincidenti
l’equazione associata non ammette soluzioni reali
x2
valori interni
x
x
x
x
tutti i numeri tranne
l’equazione associata non ammette soluzioni reali
l’equazione associata ha due soluzioni distinte
x1
x1
x2
x1
valori esterni con estremi compresi
x2
valori interni con estremi compresi
x
x
solo x
x
disequazioni immediate
v 2.1
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. 25
Equazioni irrazionali e in valore assoluto equazioni irrazionali equazioni irrazionali con una sola radice quadrata nessuna soluzione
con un polinomio a secondo membro
con un numero n a secondo membro
con lo zero a secondo membro
equazioni irrazionali con due radici quadrate
si applica lo schema risolutivo per equazioni irrazionali con una sola radice quadrata equazioni irrazionali con radici cubiche
per risolvere una equazione con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo
*
*
*
equazioni in valore assoluto definizione di valore assoluto il valore assoluto di
è uguale a
se
è maggiore o uguale a zero ed uguale a –
se
è minore di zero
equazione con un solo valore assoluto
con un polinomio a secondo membro
un numero n a secondo membro
equazioni con due o più valori assoluti
A>0 si studia il segno di A e B • •
I
II
III
B>0 a
b
si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico dall’osservazione del grafico l’ equazione si scinde nei seguenti sistemi: I
v 1.8
zero a secondo membro
II
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III
26 .
Disequazioni irrazionali con una sola radice quadrata ed un polinomio a secondo membro
casi particolari con una sola radice quadrata ed un numero positivo n a secondo membro
con una sola radice quadrata ed un numero negativo -n a secondo membro nessuna soluzione
nessuna soluzione
con una sola radice quadrata e lo zero a secondo membro nessuna soluzione
con solo due radici quadrate
con radici cubiche
(o in generale con radici ad indice dispari)
con una sola radice cubica
con due radici cubiche
per risolvere una disequazione con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo
con radici ad indice diverso
nel caso di disequazioni con radici ad indice diverso, si calcola il mcm degli indici, si portano le radici allo stesso indice (il mcm degli indici), si sviluppano i calcoli e si risolve la disequazione ottenuta applicando uno degli schemi precedenti
v 1.5
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. 27
Disequazioni in valore assoluto definizione di valore assoluto il valore assoluto di
è uguale a
se
è maggiore o uguale a zero ed uguale a –
se
è minore di zero
con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro
casi particolari con un solo valore assoluto ed un numero positivo n a secondo membro
con un solo valore assoluto ed un numero negativo -n a secondo membro nessuna soluzione
nessuna soluzione
con un solo valore assoluto e lo zero a secondo membro nessuna soluzione
con due o più valori assoluti A>0 si studia il segno di A e B •
II
III
B>0 a
b
si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico
•
dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi: I
v 1.9
I
II
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III
. 28
Disequazioni irrazionali e in valore assoluto
sintesi
disequazioni irrazionali con una sola radice quadrata ed un polinomio a secondo membro
con due sole radici quadrate
con una sola radice cubica
con due radici cubiche
per risolvere una disequazione con una o due radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo disequazioni irrazionali immediate con un numero n positivo a secondo membro
disequazioni irrazionali immediate con lo zero a secondo membro
∗
∗
∗
disequazioni in valore assoluto
nessuna soluzione
definizione di valore assoluto il valore assoluto di
è uguale a
se
è maggiore o uguale a zero ed uguale a –
se
è minore di zero
con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro
con due o più valori assoluti
A>0 si studia il segno di A e B • • I
I
II
III
B>0 a
b
si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0, dette x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi: II
III
disequazioni in valore assoluto immediate con un numero n positivo a secondo membro
disequazioni in valore assoluto immediate con lo zero a secondo membro
v 3.1
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nessuna soluzione
A=0
29 .
Aree
delle principali figure piane
triangolo
quadrato
rettangolo
b
b
parallelogramma
rombo
cerchio
O
circonferenza
sia:
il semiperimetro, • •
B
settore circolare
O
triangolo equilatero
b
d
D
b
trapezio
quadrato
il lato,
α
segmento circolare ad una base
A
O
B
α
A B
poligoni regolari pentagono
esagono
ottagono
decagono
l’apotema (cioè il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato)
l’apotema di un poligono regolare è il raggio della circonferenza inscritta al poligono:
l’apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza del lato per un numero fisso tabella dei numeri fissi f di alcuni poligoni regolari
poligono
triangolo equilatero quadrato
pentagono v 1.7
numero fisso
poligono
0,289
esagono
0,688
ottagono
0,500
ettagono
numero fisso
poligono
0,866
ennagono
1,207
dodecagono
1,038
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decagono
numero fisso 1,374 1,539 1,866 .
30
Teorema di Pitagora – primo e secondo teorema di Euclide premessa C
c2
c1 h
p1
A
p2
H
i
B
AB = i = ipotenusa AC = c1 = primo cateto BC = c2 = secondo cateto CH = h = altezza relativa all’ipotenusa AH = p1 = proiezione di c1 sull’ipotenusa HB = p2 = proiezione di c2 sull’ipotenusa
teorema di Pitagora enunciato secondo l’equivalenza
Q2
C
Q1
in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:
c2
c1 A
B
i
enunciato in formula
in ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti :
Q
primo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza
C
Q c1 A
c2
p1
B
R i
in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensione la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:
enunciato secondo la similitudine
in ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:
secondo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza
C h
A
v 1.2
p2
p1
R
Q
p2
B
in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni del cateti sull’ipotenusa:
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enunciato secondo la similitudine
in ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:
.31
Triangoli rettangoli particolari triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°
i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore
C
cM
cm 60°
30°
A
B
i
triangolo rettangolo con angoli di 45° (isoscele) C
c
c
45°
45°
A
i = ipotenusa c = cateto B
i
triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°
i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore
C
cM
cm
18°
72° A
B
i
applicazioni TRIANGOLO EQUILATERO: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°
l
TRIANGOLO ISOSCELE: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°
l
30° 30°
h 60°
h=altezza
l
72°
l=lato
h=altezza
raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo qualsiasi C
= raggio circonferenza inscritta =raggio circonferenza circoscritta = area = semiperimetro
C b
r A
A
R
a c
B v 1.8
h 72°
60°
l
l=lato
18°
l
B
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32 .
Volumi
e superfici
delle principali figure solide
cubo
parallelepipedo rettangolo
prisma retto
piramide retta a base regolare
piramide retta
tronco di piramide
cilindro
cilindro equilatero (h=2r)
cono
tronco di cono
sfera
cono equilatero (a=2r
v 1.6
)
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.
33
Volumi
e superfici
segmento sferico ad 1 base
delle principali figure solide
segmento sferico a 2 basi
spicchio sferico
α
10 teorema di Guldino
20 teorema di Guldino
la superficie generata da una linea (poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (perimetro)
il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie
l
r
r
S
solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi che hanno le facce formate da poligoni regolari e tutte uguali tra loro. Sono solo cinque:
tetraedro
4 triangoli equilateri
esaedro(cubo) 6 quadrati
ottaedro
8 triangoli equilateri
dodecaedro
12 pentagoni regolari
per tutti i poliedri vale la formula di Eulero :
poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l’unione delle facce facce = figure piane che compongono il poliedro spigoli = segmenti di incontro delle facce vertici = punti di incontro degli spigoli
v 1.6
= superficie totale del poliedro = superficie di tutte le basi del poliedro = superficie laterale del poliedro
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icosaedro
20 triangoli equilateri
faccia spigolo
●
vertice
.
34
Volumi
delle principali figure solide
cubo
parallelepipedo rettangolo
prisma retto
piramide retta
tronco di piramide
cilindro
cono
tronco di cono
sfera
segmento sferico ad 1 base
segmento sferico a 2 basi
spicchio sferico
Îą
solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi che hanno le facce formate da poligoni regolari e tutte uguali tra loro. Sono solo cinque:
tetraedro
4 triangoli equilateri
esaedro(cubo) 6 quadrati
ottaedro
8 triangoli equilateri
dodecaedro
12 pentagoni regolari
per tutti i poliedri vale la formula di Eulero : v 1.5
facce = figure piane che compongono il poliedro spigoli = segmenti di incontro delle facce vertici = punti di incontro degli spigoli
Š 2011 - www.matematika.it
icosaedro
20 triangoli equilateri
faccia spigolo
â&#x2014;?
vertice . 35
Geometria analitica in sintesi punti distanza tra due punti punto medio baricentro
tra due punti
di un triangolo di vertici C
area di un triangolo di vertici
B A
retta forma implicita
equazione della retta
forma esplicita
e
forma segmentaria
q
m = coefficiente angolare
● ●
q = intersezione con l’asse delle y
p
1
m
p = intersezione con l’asse delle x
equazione della retta passante per due punti
coefficiente angolare della retta passante per due punti equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare m
//
condizioni di parallelismo tra due rette r ed s
condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s
oppure
s
r
punto di intersezione tra due rette r ed s retta in forma implicita
retta in forma esplicita
● P(x0,y0)
⊥
P(x0,y0) d
distanza di un punto da una retta r
r
equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r, s
b2
r
s b1
tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms rette particolari
y
x
v 1.8
y
●
n
asse x
y
y
y
y
x
asse y
●
x
parallela asse x
x n
parallela asse y
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x
x
bisettrice I e III q.
bisettrice II e IV q.
36.
Geometria analitica in sintesi parabola F
P
● ● ●
d
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y
P
d
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice:
●
● ●
F
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x
equazione completa
coordinate del vertice coordinate del fuoco equazione dell’asse
equazione della direttrice
equazione della retta tangente alla parabola nel punto : formula di sdoppiamento area del segmento parabolico parabole particolari
b=0
c=0
b=0 c=0
b=0
b=0 c=0
c=0
significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c ●c ●c
a<0
a>0
c●
c
●
a>0
a<0
se a=0 la parabola degenera in una retta
circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro:
r
●
equazione completa
P
coordinate del centro C
C(α,β)
relazione del raggio r
equazione della circonferenza di centro
e raggio r
equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto : formula di sdoppiamento v 1.8
equazione dell’asse radicale di due circonferenze
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37.
Geometria analitica in sintesi circonferenze particolari
●
●
se
la circonferenza si riduce al punto
●
●
●
r
R
esterne
●
origine degli assi cartesiani
posizioni reciproche di due circonferenze
C2
C1
.
●
●
●
secanti
tangenti esterne
●
●
ellisse
●
● ●
tangenti interne
interne
●
concentriche
P
● ●
●
F1
F2
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:
ellisse con i fuochi sull’asse x
F2●
F1
●
P
●
ellisse con i fuochi sull’asse y
2a
lunghezza asse maggiore
2b
2c
distanza focale
2c
2b
lunghezza asse minore
equazione canonica
2a
relazione tra i parametri a, b, c coordinate dei fuochi eccentricità
equazione della retta tangente all’ellisse nel punto : formula di sdoppiamento ellisse traslata
l’ellisse si dice traslata se gli assi del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani y
●
O(α,β) v 1.8
coordinate del centro dell’ellisse
Y
X
x
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equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY
38.
Geometria analitica in sintesi iperbole P
L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:
● F1
●
●
F2
iperbole con i fuochi sull’asse x
2a
2b
●
●P
F1 ●
iperbole con i fuochi sull’asse y
lunghezza asse trasverso
2b
distanza focale
2c
lunghezza asse non trasverso
2c
F2
equazione canonica
2a
oppure
relazione tra i parametri a, b, c coordinate dei fuochi
equazione degli asintoti eccentricità
equazione della retta tangente all’iperbole nel punto : formula di sdoppiamento iperbole equilatera: a = b equazione
relazione tra a, c
coordinate dei fuochi equazioni asintoti
iperbole equilatera ruotata di
F2 ●
F1●
F1 ●
k>0
equazione coordinate dei fuochi
F ● 2
k<0
iperbole equilatera ruotata e traslata o funzione omografica equazione
y
coordinate di O’
O’
x
v 1.8
equazioni asintoti
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39.
Geometria analitica in sintesi iperbole traslata
l’iperbole si dice traslata se gli assi del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani y
Y
coordinate del centro dell’iperbole
●
X
O(α,β)
equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse X riferita al sistema XOY
x
condizione di appartenenza di un punto ad una retta r o ad una conica per stabilire se un dato punto retta r oppure ad una conica :
appartiene ad una
• •
sostituire le coordinate di in r o in se si ottiene un’identità, il punto P appartiene alla retta o alla conica
posizione di una retta rispetto ad una conica ●
γ
● ●
γ
retta secante
γ retta tangente
per stabilire se una retta è secante, tangente o esterna ad una conica • •
retta esterna
bisogna:
ricavare la y dell’equazione della retta e sostituirla nell’equazione della conica si ottiene un’equazione di II grado e se ne calcola il se
ricerca dell’equazione di una retta tangente ad una conica da un punto esterno • • • • •
• •
v 1.8
parallela ad una retta di coefficiente angolare m
si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro : si ricava la y dall’equazione del fascio di rette
•
si ottiene un’equazione di II grado in x
•
•
si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica
•
si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di II grado nell’incognita
•
si sostituiscono i valori ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti
•
si risolve l’equazione in
ottenendo
ed
•
si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con assegnato: si ricava la y dall’equazione del fascio di rette si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica
si ottiene un’equazione di II grado in x
si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione nell’incognita si risolve l’equazione in
ottenendo
e
si sostituiscono i valori e nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti
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40.
Geometria analitica: assi e punti sistema di assi cartesiani monometrico ortogonale
• • •
distanza tra due punti
origine degli assi cartesiani
asse delle ascisse : asse delle ordinate
• O(0,0): origine degli assi cartesiani • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto simmetrico di rispetto all’asse • : punto simmetrico di rispetto ad • : punto simmetrico di rispetto all’asse
la distanza tra due punti A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB. La distanza AB considerata nel triangolo rettangolo ABC rappresenta l’ipotenusa, applicando il teorema di Pitagora si ha:
punto medio
di due punti il punto medio è un punto del segmento AB equidistante dagli estremi del segmento stesso cioè AM = MB Le sue coordinate sono: inversamente: note le coordinate di un estremo e del
punto medio, le coordinate del secondo estremo sono:
il punto B si dice il simmetrico di A rispetto ad M e viceversa A si dice il simmetrico di B rispetto ad M
baricentro
di un triangolo di vertici
il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle mediane. Le sue coordinate sono:
inversamente: note le coordinate di due vertici del
triangolo e del suo baricentro, le coordinate del terzo vertice sono: v 2.4
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41 .
Geometria analitica: assi e punti area di un triangolo determinante l’area del triangolo di vertici determinante della matrice dei punti A, B, C
+
+
è uguale alla metà del valore assoluto del
+
metodo geometrico C
F
yC
E
●
per calcolare l’area del triangolo ABC • yB
●
A
yA
•
B
D
● xA
si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC
si sottraggono dall’area del rettangolo, le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA formati per costruzione:
xB
xC
formule di geometria piana formula classica:
C ●
a h
b
●B
triangolo rettangolo: formula di Erone:
c A ●
con p il semiperimetro:
allineamento di tre punti B
●
●
● ●A
C
per verificare se tre punti A,B,C sono allineati si può: 1. calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C 2. se l’area è uguale a zero i punti sono allineati oppure: 1. calcolare le distanze AB, BC, AC 2. se AB + BC = AC i punti sono allineati
per stabilire se un triangolo è rettangolo basta verificare che le lunghezze dei lati soddisfano il teorema di Pitagora, cioè che: v 2.4
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42 .
Geometria analitica: la retta equazione della retta forma implicita
y
q
●
r
forma esplicita ●
p
x forma segmentaria
assioma: la retta è costituita da infiniti punti del piano
nell’equazione della retta r
in forma esplicita: • •
in forma segmentaria: •
m è detto coefficiente angolare q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y
p è il punto di intersezione tra la retta e l’asse x q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y
•
significato geometrico di m e di q
y
q
●
y
m<0
m>0 ●
r ●
p
1
p
●
m
m ●
●
x
q
●
●
x
1
r
il coefficiente angolare m è l’ordinata del punto che ha distanza di 1 unità dal punto di intersezione di r con l’asse x
rette particolari
equazione asse x
y
equazione asse y
y
x
y
equazione retta parallela all’asse x
y=n
●
x
n
●n
x
y
y=x x
x
equazione della bisettrice del I e III quadrante
Le coordinate di un punto si trovano assegnando alla
v 1.3
x
0 1
equazione della bisettrice del II e IV quadrante
y
y=-x x
Per disegnare una retta basta trovare due punti e congiungerli. assegnata la retta
equazione retta parallela all’asse y
x=n
y
un valore a piacere e calcolando la corrispondente .
y
-1 2
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y
2
-1
1
x
.43
Geometria analitica: la retta ricerca dell’equazione di una retta equazione della retta passante per due punti equazione della retta ed il coefficiente angolare m noto un punto equazione del fascio di rette coefficiente angolare della retta passante per due punti
per trovare l’equazione di una retta passante per due punti • calcolare il coefficiente angolare
con la formula precedente
• utilizzare la formula dell’equazione del fascio di rette sostituendo ad m il valore A o di B
si può anche: ed a
le coordinate di
condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due rette
r
r
s
s
oppure
due rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali
due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari antireciproci
punto e retta
ricerca del punto
di intersezione di due rette non parallele
s
r
•
●
•
si mettono a sistema le equazioni delle due rette
del sistema rappresentano le le soluzioni coordinate del punto di intersezione
condizione di appartenenza di un punto
per verificare se un punto
r
•
P0
●
y0
• •
x0
distanza di un punto r
ad una retta appartiene ad una retta r:
si sostituiscono le coordinate e alla y nell’equazione della retta si sviluppano i calcoli
del punto alla x
se si ottiene una identità, il punto appartiene alla retta
da una retta r formula con l’equazione della retta in forma implicita
P0
formula con l’equazione della retta in forma esplicita v 1.3
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.44
Geometria analitica: la retta distanza tra due rette parallele r ed s s
r
per trovare la distanza di due rette parallele :
• si ricavano le coordinate di un punto qualsiasi
P0
appartenente ad una della due rette
• si applica la formula della distanza del punto trovato dall’altra retta
equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r ed s (non parallele) b2
note le equazioni delle rette r ed s in forma implicita r: ed s:
s
r
b1
qualunque siano gli angoli formati dalle due rette, le bisettrici sono sempre perpendicolari tra loro s
ricorda che la bisettrice di un angolo è definita come l’insieme dei punti equidistanti dai lati. Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione delle bisettrici ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottengono le equazioni delle bisettrici.
b
P
r
equazione dell’asse di un segmento AB noti •
P
A
•
•
M ● B
•
:
si calcola il punto medio
si calcola il coefficiente angolare
del segmento AB
del segmento AB
si ricava il coefficiente angolare dell’asse (è perpendicolare ad AB)
nell’equazione del fascio , si sostituisce ad m il valore e alle coordinate quelle del punto medio ottenendo l’equazione dell’asse
ricorda che l’asse di un segmento è definito come il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi. Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione dell’asse ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione dell’asse del segmento
A
P
●
B
allineamento di tre punti A, B, C
per verificare se tre punti A, B, C sono allineati si può: • B
• ●
C
●
• •
A
• •
v 1.3
ricavare
ed
, e verificare che
trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che B appartiene alla retta calcolare l’area del triangolo di vertici ABC e verificare che è uguale a zero
trovare le equazioni delle rette passanti per A e B e per A e C, e verificare che queste sono uguali
trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che la distanza di B da tale retta è zero
verificare che la somma delle distanze AB e BC è uguale alla distanza AC cioè AB + BC = AC
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.45
Geometria analitica: la retta fasci di rette Un fascio di rette è l’insieme delle rette aventi in comune un punto oppure una direzione tipi di fasci
fascio proprio
●
fascio improprio
C
è l’insieme delle rette del piano passanti per uno stesso punto detto centro del fascio
è l’insieme delle rette del piano aventi una direzione comune, cioè con lo stesso coefficiente angolare
come si presenta l’equazione di un fascio
l’equazione è quella di una retta (generalmente in forma implicita) nella quale compare, oltre alle incognite ed , anche un’altra lettera ( ) detta parametro Esempio:
classificazione di un fascio di rette
data l’equazione per classificare il tipo di fascio: •
•
si calcola il coefficiente angolare
•
esempio per un fascio di rette proprio
se
contiene il parametro
il fascio è proprio
se il parametro si semplifica, il fascio è improprio
esempio per un fascio di rette improprio
rette generatrici di un fascio • • •
le rette generatrici di un fascio sono due e sono quelle che hanno dato origine al fascio nel caso del fascio proprio le rette generatrici sono incidenti nel caso del fascio improprio le rette generatrici sono parallele ricerca delle equazioni delle rette generatrici di un fascio •
• • retta all’infinito
retta per k=0
ricerca del centro
dato il fascio di rette, si sviluppano i calcoli si raccoglie a fattor comune il parametro
le due parti così ottenute sono le equazioni delle rette generatrici del fascio
del fascio proprio di rette • •
si mettono a sistema le equazioni delle due rette generatrici o di due generiche rette del fascio
la soluzione del sistema rappresenta le coordinate del centro del fascio
come scrivere l’equazione di un fascio di rette
equazione del fascio di rette date le due rette generatrici r ed s equazione del fascio di rette proprio noto il centro
v 1.3
equazione del fascio di rette improprio noto il coefficiente angolare m
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.46
Logaritmi definizione base argomento logaritmo in base di
il logaritmo di un numero è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento cioè: esempio:
teoremi principali
perché
teorema del prodotto
teorema del rapporto
teorema della potenza
proprietà derivate dai teoremi principali
potenza ad esponente frazionario invertire la base
invertire l’argomento invertire la base con l’argomento scambiare di base ed argomento cambio di base
trasformare un numero n in logaritmo trasformare un numero n in potenza con il simbolo
casi particolari
si indica il logaritmo in base e dove
è il numero di Nepero
sulle calcolatrici scientifiche sono presenti i tasti log e ln che consentono di calcolare i logaritmi in base 10 e base “e”. Per calcolare un logaritmo in una base diversa è necessario utilizzare la formula del cambio di base
grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale
v 2.7
logaritmo con a > 1
logaritmo con 0 < a < 1
esponenziale con a > 1
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esponenziale con 0 < a < 1
. 47
Angoli: misura e conversioni rappresentazione 90o
180o
0o 360o
0
100c
0c 400c
c
300
conversioni da gradi sessagesimali a radianti
Il grado sessagesimale è la 360a parte dell’angolo giro nelle calcolatrici il sistema di misura è denotato con il simbolo DEG o D
270o
200c
definizione
Es.:
da radianti a gradi sessagesimali
Il radiante è l’angolo il cui arco è uguale al raggio
•
nelle calcolatrici il sistema di misura è denotato con il simbolo RAD o R
Es.:
un radiante vale circa 57° 17′ 44′′
Il grado centesimale è la 400a parte dell’angolo giro
nelle calcolatrici il sistema di misura è denotato con il simbolo GRAD o G
perché
•
sostituire a
semplificare
perché
da gradi centesimali a sessagesimali
Es.:
perché
conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la parte intera dalla parte decimale si moltiplica la parte decimale per 60
la misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e parte decimale, la parte intera rappresenta i primi
la parte decimale si moltiplica ancora per 60, il risultato rappresenta i secondi si ottiene così la conversione richiesta
conversione da gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) di grado a gradi sessagesimali decimali data la misura sotto forma di gradi, primi e secondi, si isolano i secondi e si dividono per 60 il valore ottenuto si somma ai primi
il valore ottenuto si divide ancora per 60 la misura ottenuta si somma ai gradi
si ottiene così la conversione richiesta
v 1.6
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.48
Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà seno 90°
P valori
1
α
180°
segno e crescenza nei quadranti
0°
O
360°
H
270°
0° 90° 180° 270°
0
0
coseno
quadrante 1° 2° 3° 4°
valori
α O
0°
180° 270°
P
segno e crescenza nei quadranti
0
90°
segno
4°
+
2° 3°
tangente
crescenza
+
T
valori A
0°
segno e crescenza nei quadranti
180° 270°
quadrante
segno
1°
+
0
90°
B
quadrante 1°
0
α O
2°
0
+
3° 4°
cotangente
crescenza
C P
valori
α O
secante
0° 90° 180° 270°
segno e crescenza nei quadranti
0 0
quadrante 1° 2° 3° 4°
E
P α
v 1.2
crescenza
+ +
P
K
O
segno
segno
crescenza
+ +
cosecante P
α O
S
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.49
Funzioni goniometriche e relazioni fondamentali definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica di centro O e raggio 1
seno α
P ● O
K●
α●
α
T P● ●
O
H
coseno α
B
●P
α
●
α
O
tangente α
secante α ●
α
● A
C ● ●P
P
O
cotangente α
E
●
● S
cosecante α P ●
α
O
O
le cinque relazioni fondamentali
relazioni che esprimono una funzione goniometrica rispetto alle altre in funzione di …
il segno
in funzione di …
in funzione di …
in funzione di …
o – va preso a seconda del segno della funzione e nel quadrante in cui si trova l’angolo grafici di funzioni goniometriche
seno
v 1.7
coseno
tangente
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cotangente
.
50
Le cinque relazioni fondamentali dimostrazioni
• • •
si considera il triangolo rettangolo POH si applica il teorema di Pitagora: dove:
• •
si considerano i triangoli rettangoli TOA e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione:
• •
• • • •
• • • •
• • • • v 1.6
dove: si ottiene:
si considerano i triangoli rettangoli CBO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( 90°− α e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione: dove: si ottiene:
si considerano i triangoli rettangoli POS e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione: dove: si ottiene:
si considerano i triangoli rettangoli PEO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali (90°− α e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione: dove: si ottiene:
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.
51
Tabella dei valori di funzioni goniometriche di angoli ricorrenti gradi
radianti
seno
coseno
tangente
cotangente
0°
0 π
0
1
0
∞
3+ 5 − 5− 5 4
3+ 5 + 5− 5 4
4 − 10 + 2 5 5 −1
4 − 10 + 2 5
6− 2 4
6+ 2 4
2− 3
2+ 3
5 −1 4
10 + 2 5 4
25 − 10 5 5
5+ 2 5
2− 2 2
2+ 2 2
2 −1
2 +1
1 2
3 2
3 3
3
10 − 2 5 4
5 +1 4
5− 2 5
25 + 10 5 5
4
2 2
2 2
1
1
3π 10
5 +1 4
10 − 2 5 4
25 + 10 5 5
5− 2 5
3
3 2
1 2
3
3 3
3π 8
2+ 2 2
2− 2 2
2 +1
2 −1
2π 5
10 + 2 5 4
5 −1 4
5+ 2 5
25 − 10 5 5
5π 12
6+ 2 4
6− 2 4
2+ 3
2− 3
9π 20
3+ 5 + 5− 5 4
3+ 5 − 5− 5 4
4 − 10 + 2 5
4 − 10 + 2 5 5 −1
1
0
∞
0
9°
15° 18°
22°30 30° 36°
45° 54°
60° 67°30 72° 75° 81°
90°
20
π 12
π 10
π 8
π 6
π 5
π
π
π 2
5 −1
5 −1
180°
π
0
−1
0
∞
270°
3π 2
−1
0
∞
0
360°
2π
0
1
0
∞
v 1.6
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52.
Angoli associati angoli supplementari
angoli complementari
secondo quadrante
primo quadrante
angoli che differiscono di un angolo piatto
angoli che differiscono di un angolo retto
terzo quadrante
secondo quadrante
angoli esplementari
angoli la cui somma è 270°
quarto quadrante
terzo quadrante
angoli opposti
angoli che differiscono di 270°
quarto quadrante
quarto quadrante
90°
90°
90°- α
90°+ α 180°- α 180°
α α α
O
α α
0°
O
0° 360°
α α 270°- α
270° v 1.8
α
180°
360°
-α 360°- α
180°+ α
α
α α
270°+ α 270°
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.53
Formule goniometriche addizione e sottrazione
duplicazione
triplicazione
bisezione
parametriche o razionali
(
)
prostaferesi
Werner
v 1.5
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.
54
Teoremi sui triangoli rettangoli relazione tra angolo , cateti e ipotenusa dalla definizione di seno si ha:
B
dalla similitudine dei triangoli rettangoli OHP e OCB si ha: In generale in ogni triangolo rettangolo si ha:
P
α
O
C
H
Analogamente in ogni triangolo rettangolo si ha per il coseno:
esempio B c
a
α O
b
C riepilogo relazioni
altri esempi
e
e
C
γ
e
a
e
b
e
β A
v 1.5
c
B
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e
e
55
.
Teoremi sui triangoli qualsiasi teorema della corda la misura di una corda è uguale al prodotto del diametro 2r per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda:
B β
α
A
oppure
corollario C
per il teorema della corda, detto r il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo, il rapporto tra un lato (inteso come corda) e il seno dell’angolo opposto è uguale a 2r:
γ β
α
B
A
teorema dei seni o di Eulero in ogni triangolo ogni lato è proporzionale al seno dell’angolo opposto:
C b
γ
a
α
β
A
B
c
teorema delle proiezioni in ogni triangolo la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti di quelle degli altri due per il coseno dell’angolo che ogni lato forma con il primo:
C b
γ
a
α
β
A
c
B teorema del coseno o di Carnot in ogni triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, meno il doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.
C b
a
γ
β
α A
c
B
area di un triangolo L’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due
C b
a
γ
α A v 1.9
β c
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56 .
Formule di Trigonometria formule di Briggs C b
dato un triangolo qualsiasi di cui siano note le misure dei lati e il semiperimetro p, i seni delle semiampiezze degli angoli sono espresse dalle seguenti relazioni:
a
γ
α
β
A
c
B
formula di Erone C b
l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a,b,c e del semiperimetro p come:
a
A
B
c
teorema delle tangenti o di Nepero C
a
b α A
β c
B
applicazioni della trigonometria alla geometria analitica significato
y = mx+q
trigonometrico
del
coefficiente
angolare m di una retta di equazione
y=mx+q
α
r α
v 1.6
s
tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms
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.
57
Formule di Trigonometria applicazioni della trigonometria alla geometria C b
a
R
α
A
raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo
γ
O β
c
oppure
B
raggio della circonferenza inscritta in un triangolo
C γ
b
a
r
α A
= area
β
B
c
oppure
= area p = semiperimetro
raggio delle circonferenze ex-inscritte (cioè tangente a un suo lato e ai prolungamenti degli altri due) oppure
ra C
oppure
γ b
a α
oppure
β
A
B
c
mediane di un triangolo
C b
= area p = semiperimetro
a
γ
α
M β
ma
A
B
c
bisettrici di un triangolo
C γ
b
ba
α/2
A
D
a β
B
c
area di un parallelogramma
area di un quadrilatero
D
C
C D
b A
v 1.6
α a
B
A
α
d1
d2 B
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58
Elementi di topologia della retta insieme l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto
secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero”
intervallo un intervallo è l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti) oppure
oppure
per approfondimenti sugli intervalli vai alla scheda Intervalli: classificazione e rappresentazione
intorno completo di un punto
l’intorno completo di un punto
è un intervallo che contiene il punto
intorno circolare di un punto l’intorno circolare di un punto
è un intervallo di centro il punto
e può essere aperto o chiuso 5
4
10
e può essere aperto o chiuso
minimo di un insieme
5
3
7
il minimo m di un insieme è l’elemento appartenente all’insieme tale che sia minore o uguale a tutti gli altri elementi dell’insieme dato l’insieme dato l’insieme
massimo di un insieme
2
5
2
5
il massimo M di un insieme è l’elemento appartenente all’insieme tale che sia maggiore o uguale a tutti gli altri elementi dell’insieme dato l’insieme
dato l’insieme
minorante di un insieme
2
5
2
5
il minorante di un insieme è un elemento minore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme dato l’insieme
, 1 è un minorante mentre l’intervallo
maggiorante di un insieme
è l’insieme di tutti i minoranti
il maggiorante di un insieme è un elemento maggiore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme v 1.6
dato l’insieme
, 5 è un maggiorante mentre l’intervallo
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è l’insieme di tutti i maggioranti
.
59
Elementi di topologia della retta estremo inferiore di un insieme l’estremo inferiore inf I di un insieme I è il massimo dell’insieme dei minoranti di dato l’insieme
infatti l’insieme dei minoranti di è
ed il massimo è proprio 2
estremo superiore di un insieme
l’estremo superiore sup I di un insieme I è il minimo dell’insieme dei maggioranti di dato l’insieme
•
infatti l’insieme dei maggioranti di è esempio
2 è il minimo
•
dato l’insieme •
è l’insieme
dei minoranti
•
ed il minimo è proprio 5
2 è l’estremo inferiore
5 NON è il massimo
•
che si può anche scrivere
è l’insieme
dei maggioranti
•
2
5 è l’estremo superiore
punto di accumulazione
insieme dei maggioranti
insieme dei minoranti 5
per un insieme
un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto cade almeno un elemento dell’insieme distinto dal punto stesso fai attenzione che l’appartenenza o meno del punto all’insieme non è legata all’essere o meno di accumulazione per l’insieme stesso come vedremo meglio nei successivi quattro esempi
esempi
ed è di accumulazione
ed è di accumulazione
e non è di accumulazione
e non è di accumulazione
sia
ed
sia
ed
sia
ed
2
4 appartiene ad I ed è di accumulazione
sia
ed
1 appartiene ad I e non è di accumulazione
6
2
6
1
2
6
1
2
6
2 non appartiene ad I ed è di accumulazione
1 non appartiene ad I e non è di accumulazione
4
un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l’insieme stesso si dice punto isolato
v 1.6
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.
60
Funzione: definizione e tipi definizione Siano dati due insiemi, il primo detto Dominio ed il secondo Codominio.
Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio. Una funzione si indica con dove codominio e si chiama immagine di .
è un generico elemento del dominio ed
(o
) appartiene al
tipi di funzione
esistono quattro tipi di funzione: semplice, iniettiva, suriettiva e biunivoca (o biettiva)
D
a ● b ● c ● d ●
C ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
è una funzione semplice né iniettiva né suriettiva
•
• • •
a ● b ● c ● d ● fig.1
C
a ●
● 1
a ●
b ●
● 2
b ●
c ●
● 3
c ●
d ●
● 4
d ●
D
fig.4
C ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
è una funzione iniettiva non suriettiva
D
è una funzione biunivoca
•
D
non è
una funzione è una corrispondenza
D
C
a ●
● 1
b ●
● 2
c ●
● 3
d ● fig.2
C ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
è una funzione suriettiva non iniettiva
D
C
a ●
● 1
b ●
● 2
c ●
● 3
fig.3
d ● fig.5
non è
una funzione è una corrispondenza
fig.6
una funzione si dice semplice quando soddisfa solo definizione di funzione (fig.1)
una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio (fig.2)
una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio (fig.3) una funzione si dice biunivoca ( o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio e viceversa (fig.4)
in tutti gli altri casi la legge non è una funzione e viene detta corrispondenza (fig.5 e fig.6)
restrizione e funzione inversa
Si dice restrizione di un insieme un suo qualunque sottoinsieme proprio. Ad esempio in fig.1 restrizione di
è una
Si chiama funzione inversa della funzione la funzione che fa corrispondere ad ogni elemento del codominio uno ed un solo elemento del dominio, in altre parole va dal codominio al dominio
è invertibile se è biunivoca (fig.4). Una funzione iniettiva si può invertire se si effettua una opportuna Una funzione restrizione del codominio, ad esempio la funzione in fig. 2 si può invertire se si effettua una restrizione sul codominio . all’intervallo Le corrispondenze delle figure 5 e 6 pur non essendo funzioni si possono invertire e le loro inverse sono funzioni
v 2.3
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61 .
Funzione: definizione e tipi funzioni numeriche •
una generica funzione si indica con
è detta variabile indipendente ed appartiene al Dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al Codominio
•
se ed
•
sono numeri reali allora la funzione si chiama funzione reale di una variabile reale
in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano, l’insieme dei punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione
grafico di una funzione reale
C
D 0● ● 1● ● ● ●
consideriamo la funzione radice cubica
x
0
● 0 ● ● 1 ● ● ●
-1
-8
-2
rappresentazione insiemistica Codominio
8
●
0
-1 1
●
1
Codominio
fig.1
coppie di numeri associati
è una funzione biunivoca
• • • • v 2.3
grafico della funzione
tipi di funzione
Codominio
è una funzione iniettiva non suriettiva
fig.2
Codominio
fig.4
Dominio
Dominio
Dominio
è una funzione suriettiva non iniettiva Codominio
una funzione è una corrispondenza
fig.5
fig.3
Dominio
Dominio
non è
Dominio
●
●
2
Codominio
è una funzione semplice né iniettiva né suriettiva
●
●
●
●
Dominio
•
Codominio
non è
una funzione è una corrispondenza
fig.6
fig.1: è una funzione semplice, non iniettiva perché ad elementi distinti del dominio corrisponde lo stesso valore, non suriettiva perché la parte negativa del codominio (segnata in nero) non corrisponde ad alcun valore fig.2: è una funzione iniettiva ma non suriettiva perché la parte negativa del codominio (segnata in nero) non corrisponde ad alcun valore fig.3: è una funzione suriettiva ma non iniettiva perché ad elementi distinti del dominio corrisponde lo stesso valore fig.4: è una funzione biunivoca perché è sia iniettiva sia suriettiva fig. 5 e fig.6: non sono funzioni perché ad ogni elemento del dominio corrispondono due valori del codominio © 2011 - www.matematika.it
62 .
Grafici di funzioni elementari
v 2.5
potenza con n pari
radice con n pari
potenza con n dispari
radice con n dispari
coseno
arcocoseno
logaritmo con a>1
esponenziale con a>1
tangente
arcotangente
logaritmo con 0<a<1
esponenziale con 0<a<1
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seno
cotangente
arcoseno
arcocotangente 63.
Grafici di funzioni: trasformazioni Noto
grafico di una funzione in alcuni casi è possibile disegnare il grafico di una nuova funzione che dipende da quella nota secondo una semplice relazione assegnata. funzione iniziale
il
Di seguito si riportano i casi più comuni
traslazione verso l’alto di
unità
dilatazione sull’asse y di un fattore
ribaltamento rispetto all’asse x
ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse delle x
traslazione verso sinistra di
unità
contrazione sull’asse x di un fattore
ribaltamento rispetto all’asse y
riflessione rispetto all’asse delle y
traslazione verso il basso di
unità
contrazione sull’asse y di un fattore
ribaltamento rispetto all’asse x e all’asse y
ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse x e successiva riflessione rispetto all’asse delle y
traslazione verso destra di
v 2.2
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unità
dilatazione sull’asse x di un fattore
64 .
Dominio di funzioni funzione
condizione
n pari
• •
v 1.6
α
frazione positiva o irrazionale positivo
α
frazione negativa o irrazionale negativo
le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite se sono necessarie più condizioni esse vanno messe a sistema © 2011 - www.matematika.it
.
65
Definizione di limite di una funzione premesse l+ε
Jl
f(x)
l
f(x)
●
l
●
●
●
xo―δ
Ix0
considerata una funzione •
●
l―ε
xo x
•
●
●
xo
●
x xo+δ
sia D il suo dominio sia
si dice che
un punto di accumulazione per D
è il limite per
che tende a
di
e si scrive
se:
definizione insiemistica
definizione algebrica
definizione mista
altri casi: definizioni MISTE
x0
x0
l
l
v 2.2
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.
66
Tutte le definizioni di limite di una funzione: insiemistica, algebrica, mista
Data una funzione
l
: sia D il suo dominio e sia
●
un punto di accumulazione per D
●
xo
x0
x0
l
l
v 1.8
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. 67
Algebra e calcolo
di
limiti
algebra dei limiti
il segno davanti a nei risultati va stabilito in base alla regola dei segni
forme indeterminate
calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata •
mettere in evidenza il monomio di grado massimo
•
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
•
dividere numeratore e denominatore per il termine di grado massimo
•
semplificare dove è possibile
•
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
•
scomporre numeratore e denominatore
•
semplificare
•
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
ricordando che: •
moltiplicare e dividere per
•
sviluppare i calcoli
•
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
ricordando che:
regola pratica per risolvere
regola pratica per risolvere :
v 1.3
•
sia
è il grado del polinomio al numeratore
•
sia
il grado del polinomio a denominatore
•
moltiplicare e dividere per
•
sviluppare i calcoli
•
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
• •
sostituire solo nel monomio di grado massimo
•
se
•
se
•
se
tenere conto dei segni
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tenendo conto dei segni
.
68
Limiti notevoli
funzioni goniometriche
funzioni esponenziali e logaritmiche
ad ogni limite notevole si possono applicare le seguenti proprietĂ . a titolo di esempio si riportano applicate al primo limite notevole delle funzioni goniometriche
limite iniziale
se ad x si sostituisce n¡x il risultato resta lo stesso
se si inverte il testo il risultato si inverte se si inverte il testo il risultato si inverte
frazioni equivalenti
per il calcolo dei limiti notevoli può essere utile ricordare alcune operazioni possibili con le frazioni
v 2.3
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69 .
Continuità – Monotonia, massimi e minimi– Concavità, flessi definizione di funzione continua in un punto • f(x)
f(x0) = l
• •
●
●
• •
xo
data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione la funzione si dice continua nel punto se:
cioè se:
diversamente il punto si dice punto di discontinuità per si osservi che in un punto isolato la funzione è continua
classificazione dei punti di discontinuità per classificare un punto
di discontinuità si calcolano separatamente il limite da sinistra ed il limite da destra a seconda dei valori di ed i punti si classificano in tre specie:
si dice di prima specie se:
l2 l1
si dice di seconda specie se:
si dice di terza specie o eliminabile se
l 1= l 2
● ●
●
●
xo
●
xo
xo
con
oppure
si dice salto della funzione
si elimina imponendo
monotonia: crescenza e decrescenza di una funzione
f(x2)
●
f(x1)
●
f(x1)
●
f(x2) ● x2
● x1
si dice crescente in
quando x =
f(x)
f(x)
a
●
b se:
●
●
x2
x1
a
b
si dice decrescente in
se:
massimi e minimi relativi di una funzione
M
f(x0) ● f(x)
se almeno uno dei due limiti è uguale a
con
f(x)
●
●
m
f(x0) ● ●
●
x0
x
●
x
Ix0
è massimo relativo per la funzione y = f(x) se:
●
x0
Ix0
è minimo relativo per la funzione y = f(x) se:
concavità e flessi di una funzione
sia
una funzione definita in
e derivabile in f(xt) ●
f(x) ●
, sia
, sia t è la tangente ad
t
P0
F
t P0
in P0
t
f(x) ●
f(xt) ● ●
xt
●
●
x0 x
●
Ix0
è concava verso l’alto in
se:
esiste un intorno di x0 tale che la funzione si trova al di sopra della retta tangente in tutto l’intorno v 2.6
x0
x●t x●
●
Ix0
è concava verso il basso in
se:
esiste un intorno di x0 tale che la funzione si trova al di sotto della retta tangente in tutto l’intorno © 2011 - www.matematika.it
x0
ha un punto di flesso in
se
la retta tangente attraversa la curva in P0 stesso
70
.
Rapporto incrementale – Derivata definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto
f(x0)
•
f(x)
f(x0+h) Δy
•
Δx
xo
data una funzione dominio D della funzione
nel punto
si chiama incremento della variabile x
•
il rapporto incrementale ha senso per ogni
appartenente al
si chiama rapporto incrementale della funzione il rapporto:
•
xo+h
ed un punto
si chiama incremento della funzione
tale che
appartiene al dominio D della funzione
definizione di derivata prima di una funzione in un punto •
data una funzione
•
ed un punto
si definisce derivata prima di
del dominio D della funzione
nel punto
il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di
se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che dominio e per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i simboli: ,
in
:
è derivabile nell’intervallo o nel ,
definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto
si definisce derivata prima sinistra di nel punto il si definisce derivata prima destra di nel punto il limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale in : in : di di
significato geometrico di derivata
t f(x0)
la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto . Cioè:
P0
x0 per trovare l’equazione della retta tangente ad una funzione • • • v 1.2
si calcola la derivata prima della funzione nel punto
nell’equazione del fascio di rette
si ottiene così l’equazione della retta tangente:
nel punto
ottenendo
si sostituisce
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: con
ed
con .
71
Derivate derivate delle funzioni elementari dove k è una costante
regole di derivazione Prodotto di una costante k per una funzione somma di due o piĂš funzioni prodotto di due funzioni prodotto di tre funzioni
rapporto di due funzioni
funzione composta funzione elevata ad una funzione v 1.3
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.
72
Punti di massimo e minimo relativi ed assoluti - Punti angolosi e Punti cuspidali ricerca diretta dei punti di massimo e minimo relativo di una funzione •
•
si calcola la derivata prima di
•
si pone
•
se:
è un punto di flesso ascendente
si risolve l’equazione ottenendo le soluzioni
•
si analizzano singolarmente i punti trovati
•
se:
è un punto di flesso discendente
•
minimo relativo
si calcola
se:
minimo relativo
massimo relativo
si calcola
massimo relativo
si calcola
massimi e minimi assoluti di una funzione
f(b)
f(b)
f(x1)
f(x)
f(a) f(x2)
f(a) a
sia
x1
x2
massimo relativo
una funzione continua in
a
b
minimo assoluto
massimo assoluto e sia
un punto di
è un massimo assoluto se è il punto di ordinata maggiore in
è un minimo assoluto se è il punto di ordinata minore in
x
minimo assoluto :
………. e così via
b
massimo assoluto
cioè se:
cioè se:
punti angolosi e punti cuspidali
● x0
x0
si dice punto angoloso se:
si dice punto cuspidale se:
con almeno uno dei due limiti finito
o viceversa
I punti angolosi e i punti cuspidali possono essere punti di massimo o di minimo per la funzione ma non possono essere individuati con i metodi tradizionali per la ricerca dei massimi e dei minimi poiché in essi la funzione è continua ma non derivabile. Per essi va fatta una specifica indagine basata sulla studio della crescenza e decrescenza della funzione a sinistra e a destra del punto angoloso o cuspidale. v 1.3
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.
73
Integrali indefiniti immediati
immediati generalizzati
---
dove k è una costante
in generale dove F è la primitiva di f
regole di integrazione prodotto di una costante k per una funzione
somma di due o piĂš funzioni
v 1.4
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metodo di integrazione per parti
. 74
Studio del grafico di una funzione ricerca del dominio (o campo di esistenza) della funzione
1
n pari
Le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite
studio del segno della funzione
2
+ ●
●
―
―
+ +
+
+ ● ―
●
●
• • • •
●
●
si individuano le regioni di piano dove la funzione è positiva (+) o negativa ( ) all’interno del dominio
si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste
intersezioni con l’asse x o zeri della funzione: •
●
•
si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione
intersezione con l’asse y (solo se il dominio lo consente) :
●
• •
si sostituisce 0 alla x nella funzione
si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y
gli eventuali punti di intersezione con l’asse x (o zeri della funzione) si possono anche dedurre dall’osservazione del grafico del segno
studio delle eventuali simmetrie e periodicità di una funzione
funzione pari
• • •
si risolve la disequazione
studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani
3
4
si pone la funzione maggiore di zero
si sostituisce x con − x se la funzione è pari
funzione dispari
• • •
si sostituisce x con − x se la funzione è dispari
funzione periodica
• • •
si sostituisce x con se la funzione è periodica
lo studio delle simmetrie si effettua solo se il dominio e il segno sono a loro volta entrambi simmetrici
v 1.8
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75.
Studio del grafico di una funzione asintoti di una funzione
5
asintoto verticale dove si cerca: • nei punti di discontinuità della funzione • nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso
f(x)
●
come si cerca:
xo
asintoto orizzontale
dove si cerca: •
f(x)
a
se il dominio lo consente
come si cerca:
n
•
solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo
asintoto obliquo
dove si cerca:
•
come si cerca:
f(x)
studio della monotonia di
6
a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzontale
e ricerca dei massimi e minimi relativi •
monotonia
•
cresce
+
7
decresce
-
max
•
cresce
min
+
•
•
verso l’alto
+
si risolve la disequazione
si individuano le regioni di piano dove: è crescente
è decrescente
osservando il grafico della crescenza e decrescenza si individuano i punti di massimo e di minimo. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio
studio della concavità e ricerca dei flessi di una funzione •
concavità
si calcola la derivata prima di
verso il basso
flesso
-
verso l’alto
flesso
+
•
•
si calcola la derivata seconda di si risolve la disequazione
si individuano le regioni di piano dove:
è concava verso l’alto
è concava verso il basso
osservando il grafico della concavità si possono individuare i punti di flesso, essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione
Per ottenere una maggiore precisione nel disegno del grafico si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti attribuendo valori arbitrari (appartenenti al dominio) alla x nel testo della funzione e calcolando le rispettive y v 1.8
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76.
Principali teoremi di Analisi teoremi sui limiti 2 ●
f(x)
1 ● x0 f(x)
f(x2)>0
> 0
f(x1)>0
x2
x0
teorema della permanenza del segno
Se una funzione in un punto x0 è dotata di limite ≠ 0 allora esiste almeno un intorno I di x0 tale che per tutti i punti di I
(escluso al più x0 ) i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite teorema del confronto detto anche dei “carabinieri”
h(x)
g(x)
f(x)
x0
Se una funzione in un punto è dotata di limite finito allora esso è unico
Dalla definizione di funzione, basta ricordare che ad ogni valore della x deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quindi, se per assurdo la funzione f(x) avesse nello stesso punto x0 più di un limite, essa non sarebbe più una funzione e ciò contraddice l’ipotesi del teorema
x1
teorema di unicità del limite
Date tre funzioni f(x) , g(x), h(x): 1. se esiste un intorno I del punto x0 in cui g(x) è compresa tra f(x) e h(x) in tutti i punti dell’intorno I escluso al più x0 stesso 2. se f(x) e h(x) tendono in un punto x0 allo stesso limite finito
allora anche g(x) avrà in x0 limite uguale ad teoremi sulle funzioni continue
teorema di Weierstrass
M ●
m
M●
f(x)
●
a
k
b ●
●
f(x)
●
m●
x1
a
b
f(x)
f(b)
f(a)
v 1.4
●
a
● z1
● z2
●
b
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora è dotata di massimo e minimo (assoluti)
Osserva che un massimo (minimo) assoluto non deve necessariamente essere un massimo (minimo) relativo, vedi, ad esempio, il punto m sul grafico
teorema dei valori intermedi
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora assume tutti i valori compresi tra il suo minimo “m” ed il suo massimo “M”
In altre parole, il teorema afferma che ogni punto (k) dell’intervallo [m, M] è immagine di almeno un punto (x1,…) dell’intervallo [a, b]
teorema degli zeri
Se una funzione f(x):
è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] assume valori di segno opposto in a e b cioè f(a) • f(b) < 0 allora esiste almeno un punto z interno all’intervallo ]a, b[ in cui la funzione si annulla cioè f(z)=0 1. 2.
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77 .
Principali teoremi di Analisi teoremi sul calcolo differenziale la derivabilità implica la continuità
f(x)
Se una funzione è derivabile in un punto x0 allora la funzione è ivi anche continua
Si osservi che il teorema non si può invertire, infatti: nel punto angoloso x0 della figura la funzione è continua ma non derivabile in quanto la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra
x0
teorema sulla derivata della funzione inversa
il teorema può essere utilizzato per calcolare la derivata di funzioni inverse. Si voglia ad esempio calcolare la derivata di inversa della funzione
Se una funzione è derivabile in x0 e la sua derivata è diversa da zero, allora anche la funzione inversa x = f-1(x0) è derivabile nel punto corrispondente y0 = f(x0) e si ha:
teorema di Rolle
f(a)=f(b)
a f(b) f(a)
●
●
c1
c2
b
P
B
●
A
f(x)
f(x)
●
a
c
b
Se una funzione f(x) è:
continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la derivata prima si annulla cioè f ′(c)=0 1. 2. 3.
teorema di Lagrange
Se una funzione f(x) è:
continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che: 1. 2.
teorema di Cauchy
il teorema è detto degli incrementi finiti e si Se f(x) e g(x) sono funzioni: può enunciare anche dicendo: 1. continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] se le due funzioni verificano le ipotesi indica2. derivabili nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ te, in un opportuno punto x0 dell’intervallo 3. e inoltre g ‘(x) in ogni punto interno dell’intervallo ]a, b[ ]a, b[ il rapporto tra le rispettive derivate in x0 è uguale al rapporto tra gli incrementi delle allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che: funzioni
teorema di de L’Hopital si osservi che: Se 1. il teorema si estende anche al caso in cui 1. e il imite si presenta nella forma 2. indeterminata 2.
il teorema, quando opportuno, può essere applicato più volte consecutivamente
v 1.4
f(x) e g(x) sono funzioni: derivabili in un intorno I di x0 con derivate continue e g′(x)≠0 in detto intorno 3. il limite del loro rapporto si presenta nella forma
allora
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78 .
Principali teoremi di Analisi f ’(x) > 0
teorema sulla monotonia di una funzione in un intervallo
f ’(x) < 0
Se una funzione f(x) è continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I e se la derivata prima in I è positiva (negativa) allora la funzione f(x) è crescente (decrescente) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè
Se la funzione è crescente (decrescente) in un intervallo I allora la derivata prima in tale intervallo sarà positiva (negativa) teorema sui massimi e minimi di una funzione (di Fermat)
M ●
Se una funzione f(x) ammette un massimo (minimo) in x0 allora la derivata prima in x0 è nulla cioè f ′(x0) = 0
F ●
m ●
Il teorema non si può invertire infatti i punti in cui la derivata prima è nulla, cioè f ′(x0)=0, detti punti stazionari , possono essere punti di massimo di minimo o di flesso orizzontale
teorema sulla concavità di una funzione in un intervallo
f ’’(x)<0
f ’’(x)>0
Se una funzione f(x) è derivabile due volte nei punti interni di un intervallo I e se la derivata seconda è positiva (negativa) allora la funzione è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè
Se la funzione è concava verso l’alto (il basso) in un intervallo I allora la derivata seconda sarà positiva (negativa) teorema sui flessi di una funzione
Se una funzione f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda
F
continua in x0 e se tale punto è un flesso allora la derivata seconda è nulla in x0, cioè f ′′(x0)=0
Il teorema non si può invertire, basti pensare alla funzione y=x4 che nell’origine degli assi cartesiani ha derivata seconda uguale a 0: f ′′(x4)=12x2 che calcolata in 0 risulta nulla. In tale punto però non vi è un flesso, bensì un punto di minimo
x0
teoremi sul calcolo integrale
O
teorema della media
Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo [a, b] tale
f(c) a
c
b
dal teorema deriva la formula che permette di calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione f(x) conoscendo una sua primitiva F(x):
che:
teorema fondamentale del calcolo integrale
Se una funzione f(x) è continua in [a, b] allora esiste la derivata prima della funzione integrale in ogni punto x dell’intervallo [a, b] e si ha:
F ′(x) = f(x)
In altre parole il teorema, nell’ ipotesi indicata, afferma che la funzione integrale è una primitiva di f(x)
v 1.4
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79 .
Sviluppo in serie di funzioni elementari sviluppo in serie di Taylor
• • •
f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in
è detto resto di Peano e si legge: o piccolo di
o piccolo è un infinitesimo di ordine superiore a
, cioè:
algebra degli o piccoli: per
se
si ha:
si ha lo sviluppo in serie di Mac Laurin
sviluppo in serie di Mac Laurin di funzioni elementari funzione potenza con funzione radice quadrata funzione esponenziale con base funzione esponenziale con base funzione logaritmo in base funzione seno funzione coseno funzione tangente funzione cotangente funzione secante
funzione cosecante funzione arcoseno funzione arcocoseno funzione arcotangente v 1.8
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funzione arcocotangente
80 .
Serie numeriche definizioni Data la successione
:
si considerino le somme parziali
si dice serie di termine generale
e si indica con
oppure con
carattere della serie
se S è finito
•
altrimenti
•
•
se
Se
converge
se
converge
se
la serie
si dice convergente
la serie
è indeterminata
la serie
si dice divergente
prime proprietà
condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generico sia infinitesimo
assegnate
converge
e
e
e
convergenza del prodotto di una costante per una serie
converge
convergono
convergenza della somma di due serie
serie notevoli simbologia
carattere
divergente
divergente
convergente irregolare
convergente divergente irregolare
convergente
...
divergente
convergente v 1.7
(positivamente o negativamente)
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nome
serie armonica serie armonica generalizzata serie geometrica di ragione serie geometrica di punto iniziale e ragione serie di Mengoli .
81
Serie numeriche Criteri di convergenza criterio del confronto per serie a termini non negativi
Date le successioni •
e
se
sia:
converge
se
converge
diverge
diverge
criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi
Date le successioni • •
e
,
se
sia:
se
e
se
le serie e sono entrambe convergenti oppure divergenti
e
converge
converge
diverge
criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi
Data la successione
sia:
•
con
•
converge
se se
diverge
e
se
converge
e
criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi
Data la successione • •
se
sia: con
può essere utile in caso di serie con esponenziali
diverge
converge
se
,
diverge
diverge
se
non si può dire nulla
criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi
Data la successione
sia:
• •
con
,
se
converge
se
non si può dire nulla
se
può essere utile in caso di serie con fattoriali
diverge
criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente
Data la successione
Data la serie alternante Data la serie v 1.7
sia:
e la serie
• •
se
converge
se
criterio di convergenza assoluta
se
converge
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converge .
82
Grafici - Domini - Derivate di funzioni iperboliche seno iperbolico
settore seno iperbolico
dominio:
dominio:
coseno iperbolico
settore coseno iperbolico
1
1 dominio:
dominio:
tangente iperbolica
settore tangente iperbolica
1
1
-1 -1
dominio:
dominio:
cotangente iperbolica
settore cotangente iperbolica
1 -1
1
-1
dominio:
v 1.3
dominio:
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.83
Definizioni e Sviluppo in serie di funzioni iperboliche definizione delle funzioni iperboliche seno iperbolico
coseno iperbolico
tangente iperbolica
cotangente iperbolica
secante iperbolica
cosecante iperbolica
definizione funzioni iperboliche inverse settore seno iperbolico
settore coseno iperbolico
settore tangente iperbolica
settore cotangente iperbolica
settore secante iperbolica
settore cosecante iperbolica
sviluppo in serie di Mac Laurin per alcune funzioni iperboliche
funzione seno iperbolico funzione coseno iperbolico funzione tangente iperbolica funzione cotangente iperbolica funzione secante iperbolica funzione cosecante iperbolica settore seno iperbolico settore tangente iperbolica v 1.4
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.
84
Coordinate polari
ed
Equazioni di curve notevoli
coordinate polari
y
●
coordinate cartesiane del punto P
P
coordinate polari del punto P
ρ
distanza di P dall’origine
θ x
passaggio di coordinate da cartesiane a polari
misura dell’angolo orientato in senso antiorario formato da con il semiasse positivo delle x
da polari a cartesiane
equazione cartesiana parametrica e polare di curve notevoli grafico
equazione cartesiana
equazione parametrica
equazione polare
retta
con segmento di estremi Q
con
P x2
x1
con
con
e
parabola con asse parallelo all’asse y
con circonferenza
●
di centro
e raggio r
con circonferenza
di centro l’origine e raggio r
con ellisse ●
con ellisse traslata di centro ●
con v 2.0
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.
85
Elementi di logica delle proposizioni definizioni Una proposizione (o enunciato) è una affermazione che può essere Vera o Falsa Es.: 1) “Parigi è la capitale della Francia” ; “Roma è la capitale della Francia” sono proposizioni la prima è vera, la seconda è falsa 2) “Il colore giallo non mi piace” ; “ Londra è la città più bella del mondo” non sono proposizioni Una tautologia è una proposizione sempre Vera per qualsiasi valore di verità degli elementi che la compongono “Ora sono le nove o non sono le nove”
Es.:
Una contraddizione è una proposizione sempre Falsa per qualsiasi valore di verità degli elementi che la compongono “Ora sono le nove e non sono le nove”
Es.:
Un paradosso è una proposizione formulata in evidente contraddizione con l'esperienza comune o con i propri principi elementari della logica tale che, se si suppone vera risulta falsa e viceversa Es.: “Questa frase è falsa” infatti se supponiamo che la frase sia Vera allora risulta Falsa. Viceversa se supponiamo che la frase sia Falsa allora risulta Vera
principi
Principio di non contraddizione : una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa
Principio del terzo escluso : se una proposizione è vera allora la sua negazione è falsa e non esiste una terza possibilità
operatori logici e tavole di verità proposizioni V
V
F
F
V F
non
e
o
xor
implicazione
doppia implicazione
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
p∧q =q∧ p p∨q =q∨ p
F
V
F
V
V
F F
proprietà associativa
p ∧ (q ∨ r ) = ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )
proprietà distributiva
p ∨ (q ∧ r ) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )
p∧ p = p p∨ p = p
proprietà di idempotenza
p ∧ ( p ∨ q) = q
p ∨ ( p ∧ q) = p
v 1.8
F
proprietà commutativa
p ∨ (q ∨ r ) = ( p ∨ q) ∨ r
p∨q = p∧q
V
proprietà e leggi
p ∧ (q ∧ r ) = ( p ∧ q) ∧ r
p∧q = p∨q
V
1a legge 2a legge
proprietà di assorbimento leggi di De Morgan
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.
86
Progressioni Progressioni Aritmetiche una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra un elemento ed il precedente è costante:
La differenza tra un elemento ed il suo precedente è detta ragione e si indica con Esempio:
è una progressione aritmetica di primo elemento
e ragione
formule assegnata la progressione aritmetica
calcolo dell’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcolo dell’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcolo della somma dei primi n elementi
con
Calcola
e ragione noto
Calcola la somma dei primi 5 termini
Progressioni geometriche una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra un elemento ed il precedente è costante: Il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è detto ragione e si indica con Esempio:
è una progressione geometrica di primo elemento
e ragione
formule assegnata la progressione geometrica
calcolo dell’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcolo dell’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione
calcolo della somma dei primi n elementi calcolo del prodotto dei primi n elementi v 1.8
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con
Calcola
e ragione
noto
Calcola la somma dei primi 5 termini : Calcola il prodotto dei primi tre termini:
.
87
Calcolo combinatorio calcolo combinatorio
Permutazioni
• •
con ripetizione di oggetti
Disposizioni
• •
senza ripetizione di oggetti
c
• •
Combinazioni
esempi
Permutazioni
•
•
• •
quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola LIBRO? n=5
con ripetizione di oggetti
quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola MAMMA? n=5 r1=3 r2=2
Disposizioni
in quanti modi diversi 5 alunni si possono sedere utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di 4 cifre su 3 sedie numerate? n=5 k=3 si possono formare? n=3 k=4
Combinazioni
un negoziante vuole esporre 4 paia di scarpe scelte tra 10 modelli diversi. In quanti modi si può effettuare la scelta? n=10 k=4
c
•
senza ripetizione di oggetti
•
si vogliono distribuire 7 matite identiche a 4 bambini, in quanti modi diversi si possono distribuire? fai attenzione n=4 e k=7
fattoriale di un numero n Si chiama fattoriale di un numero naturale si può anche scrivere come
esempi
e si indica con oppure come
(si legge n fattoriale) il prodotto:
per convenzione
coefficiente binomiale
Il simbolo si chiama coefficiente binomiale di n su k. Il suo valore è dato da:
proprietà
v 2.2
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88
.
Probabilità definizione classica di probabilità
E rappresenta un evento;
è la probabilità che si verifichi l’evento
alcune proprietà
evento impossibile
Due eventi ed si dicono complementari se uno è la negazione dell’altro. Vale la relazione:
evento certo
esempi
Consideriamo il lancio di un dado. Ai seguenti eventi sono associate le seguenti probabilità: esce il numero 2
esce un numero maggiore di 4
esce il numero 7
esce un numero compreso tra 1 e 6
tipi di eventi
eventi incompatibili Due o più eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude gli altri
esempio: consideriamo il lancio di un dado con i seguenti eventi esce il numero 2 esce il numero 3 Nel lancio di un solo dado se si verifica non si può verificare quindi i due eventi sono incompatibili
eventi compatibili
Due o più eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi degli altri
esempio: consideriamo il lancio di due dadi contemporaneamente ed i seguenti eventi esce il numero 2 su uno dei due dadi esce il numero 3 sull’altro dado I due eventi ed sono compatibili perché l’uno non esclude l’altro
Nell’ambito degli eventi compatibili si distinguono eventi indipendenti ed eventi dipendenti
eventi indipendenti
Due o più eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi di uno non modifica la probabilità di verificarsi degli altri
eventi dipendenti
Due o più eventi si dicono dipendenti quando il verificarsi di uno modifica la probabilità di verificarsi degli altri esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52 carte ed i seguenti eventi esce una carta di cuori esce una figura Se la prima carta estratta è rimessa nel mazzo e si procede all’estrazione della seconda carta, i due eventi ed sono indipendenti Se invece la prima carta estratta è lasciata fuori, la seconda estrazione dipenderà dalla prima ed i due eventi ed sono dipendenti
v 1.5
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89.
Probabilità calcolo della probabilità di due o più eventi probabilità totale Si parla di probabilità totale di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichi uno solo degli eventi Per il calcolo bisogna distinguere tra eventi incompatibili ed eventi compatibili
probabilità totale di due o più eventi incompatibili
generalizzando
La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi incompatibili:
esce il numero 2 esce un numero dispari
probabilità totale di due o più eventi compatibili dove
è la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi
La probabilità totale di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi Più complessa è la probabilità totale di tre eventi compatibili: esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi compatibili:
esce il numero 2 esce un numero pari
probabilità composta Si parla di probabilità composta di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichino tutti gli eventi contemporaneamente. Nel caso di eventi incompatibili la probabilità composta è nulla. Nel caso di eventi compatibili bisogna distinguere tra eventi indipendenti ed eventi dipendenti.
probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti
generalizzando
La probabilità composta di due o più eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi indipendenti
esce una carta di cuori esce una figura
v 1.5
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90.
Probabilità probabilità composta di due o più eventi compatibili dipendenti dove
è la probabilità che si verifichi l’evento
Tale probabilità è detta probabilità condizionata di
una volta verificatosi l’evento
al verificarsi di
La probabilità di due eventi dipendenti è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi probabilità condizionata di al verificarsi di Più complessa è la probabilità composta di tre eventi dipendenti:
per la
esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e non la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi dipendenti:
esce una carta di cuori esce una figura
approfondimento: probabilità subordinata Consideriamo una situazione più complessa: supponiamo di avere tre scatole contenenti palline blù e gialle come indicato in figura e, scelta una scatola a caso, calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla dalla scatola scelta 1a scatola
2a scatola
3a scatola
Consideriamo i seguenti eventi scelta della prima scatola scelta della seconda scatola scelta della terza scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la prima scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la seconda scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la terza scatola di estrarre una pallina gialla da una scatola scelta a caso Calcoliamo la Probabilità
teorema di Bayes Consideriamo l’esempio del riquadro precedente gli stessi eventi con in più i seguenti eventi estrazione della pallina gialla dalla prima scatola estrazione della pallina gialla dalla seconda scatola estrazione della pallina gialla dalla terza scatola Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla da una precisa scatola
ognuna delle tre formule precedenti rappresenta una applicazione del teorema di Bayes v 1.5
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91.
Probabilità tutte le definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista definizione classica di probabilità (da Fermat a Laplace) La probabilità classica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili: La definizione classica, detta anche a priori, si utilizza quando: • gli eventi hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile calcolare il numero dei casi favorevoli e dei casi possibili esempio: vedi gli esempi delle pagine precedenti
definizione frequentista di probabilità (di Venn e Von Mises)
La probabilità frequentista di un evento è uguale al rapporto tra il numero di prove riuscite ed il numero di prove effettuate (tutte nelle stesse condizioni): è detta anche frequenza dell’evento E
La definizione frequentista, detta anche a posteriori, si utilizza quando: • gli eventi non hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile effettuare un certo numero di prove sperimentali tutte nelle medesime condizioni
esempio: consideriamo una puntina da disegno e lanciamola verso l’alto. Essa può cadere in due posizioni diverse:
Si effettuano
con la punta rivolta verso l’Alto oppure con la punta rivolta verso il Basso. Si vuole calcolare, ad esempio, la probabilità che cada con la punta verso il Basso. In casi come questo non si può applicare la probabilità classica ma la probabilità frequentista.
lanci, si conta il numero
di volte in cui la puntina si ferma con la punta verso il Basso e si ha:
maggiore è il numero di lanci e più attendibile sarà il valore trovato
alcune proprietà come per la probabilità classica anche la frequenza è un numero compreso tra 0 e 1
non vuol dire che l’evento è impossibile ma solo che non si è mai verificato nelle prove
non vuol dire che l’evento è certo ma solo che si è sempre verificato durante le prove
legge dei grandi numeri Al crescere delle prove effettuate la probabilità frequentista di un evento si avvicina sempre più alla probabilità classica dello stesso evento
Tale legge, detta anche legge empirica del caso, stabilisce una relazione tra la definizione classica di probabilità e quella frequenti sta. Un enunciato equivalente della legge dei grandi numeri è il seguente:
Su un numero molto alto di prove effettuate la frequenza di un evento assume un valore molto vicino alla sua probabilità classica definizione soggettivista di probabilità (di Bruno De Finetti) La probabilità soggettivista di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna al verificarsi dell’evento
La definizione soggettivista si utilizza quando non ci sono le condizioni per utilizzare le definizioni precedenti.
vediamo alcuni esempi nei quali si può applicare solo la probabilità soggettivista. Si vuole calcolare la probabilità • che una nuova trasmissione televisiva incontri il favore del pubblico • che una squadra di calcio con una formazione rinnovata vinca una partita • che un nuovo prodotto commerciale incontri il favore dei consumatori v 1.5
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92.
Numeri Complessi numeri immaginari
• •
si chiama unità immaginaria e si indica con la radice quadrata di
un numero immaginario si ottiene dalla radice quadrata di un numero negativo. ad esempio:
•
:
le potenze di
in generale
si ripetono di 4 in 4 infatti: con r resto della divisione di n per 4. Ad esempio:
perchè
numeri complessi (forma algebrica)
•
•
con r = 3
un numero complesso z è la somma di un numero reale e di un numero immaginario: Esempio:
due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta. Esempio:
Somma:
e
sono numeri complessi coniugati
operazioni tra numeri complessi
Dati due numeri complessi
si sommano le parti reali e le parti
e
immaginarie
Prodotto: si effettuano i prodotti tra i due binomi ricordando che
Rapporto: si moltiplica e si divide il rapporto dei due numeri per il complesso
Potenza:
coniugato del denominatore
si effettua la potenza del binomio
Per la potenza : se l’esponente è maggiore di 3 conviene usare la formula di De Moivre (vedi oltre)
esempio
risolvi la seguente equazione di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso:
v 2.3
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. 93
Numeri complessi: approfondimento rappresentazione nel piano complesso (piano di Gauss) di un numero complesso z forma algebrica
forma trigonometrica i
i
z
z
b
ρ
a
R
= parte reale
b
θ
= parte immaginaria
a
R
passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica
• •
= modulo
= anomalia
per il teorema di Pitagora si ottiene:
per le relazioni di trigonometria dei triangoli rettangoli si ha:
per determinare l’angolo è necessario tenere conto dei segni di a e b per individuare il quadrante in cui si trova il punto e di conseguenza l’angolo , vedi esempi seguenti
potenza n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica (formula di De Moivre)
Esempio:
radice n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica con k=0,1,2,…,n-1 Esempio:
con k =0 e k =1 cioè:
k =0
k =1
nel campo complesso la radice n-sima di un numero ha sempre n soluzioni, ciò implica che non si può effettuare la semplificazione tra l’indice della radice e l’esponente del radicando, cioè: altrimenti si perdono soluzioni
forma esponenziale di un numero complesso
La forma esponenziale di un numero complesso z è:
si ottiene applicando alla forma trigonometrica di v 2.2
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la formula di Eulero . 94
Le grandezze fisiche grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (SI) nome lunghezza massa
unità di misura
simbolo
Metro
m
Chilogrammo
kg
carica elettrica
Coulomb Kelvin
C
K
intensità luminosa
Candela
cd
intervallo di tempo temperatura
Secondo
intensità di corrente elettrica
Ampere
angolo piano
Radiante
quantità di sostanza angolo solido
area
volume densità
velocità
accelerazione frequenza
velocità angolare forza
pressione
quantità di moto
momento angolare energia lavoro
potenza calore
capacità termica calore specifico calore latente
intensità di campo elettrico
differenza di potenziale elettrico forza elettromotrice capacità elettrica resistenza resistività
intensità di campo magnetico flusso magnetico
induttanza elettrica v 1.6
A
Mole
mol
Steradiante
sr
grandezze derivate nome
s
rad
unità di misura e simbolo
unità SI
metro quadrato
m2
chilogrammo al metro cubo
kg/m3
metro al secondo quadrato
m/s2
metro cubo
metro al secondo
m3
m/s
Hertz
Hz = 1/s
Newton
N = kg⋅m/s2
chilogrammo per metro al secondo
kg⋅m/s
radiante al secondo Pascal
rad/s
Pa = N/m2
chilogrammo per metro al quadrato al secondo
kg⋅m2/s
Joule
J = N⋅m
Joule
J = N⋅m
Watt
W = J/s
Joule al Kelvin
J/K
Joule
J = N⋅m
Joule al Kelvin per chilogrammo
J/(K⋅kg)
Newton al Coulomb
N/C
Joule al chilogrammo
J/kg
Volt
V = J/C
Farad
F = C/V
Volt
V = J/C
Ohm
Ω = V/A
Tesla
T = N/A⋅m
Ohm per metro Weber Henry
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Ω⋅m
Wb = T⋅m2 H = V⋅S/A
.95
Le grandezze fisiche Altre unità di misura Ångstrom (Å) micron (μm)
lunghezza 10-10 m 10-6 m
unità astronomica (UA) anno luce (a.l.) parsec (pc)
caloria (cal)
elettronVolt (eV) atmosfera (atm)
ora (h)
1,50∙1011 m
giorno (d)
9,461∙1015 m 3,09
mese
1016 m
anno (a)
energia 4,186 J
2.600.000 s
31.600.000 s
temperatura
carato (car)
133 Pa Pa
86.400 s
gradi Fahrenheit (°F)
pressione 1,013 Pa 105
3600 s
gradi Celsius (°C)
1,602 ∙10-19 J
mm di mercurio (mmHg) bar (bar)
minuto (min)
intervallo di tempo 60 s
quintale (qt)
pesi 0,0002 kg 100 kg
tonnellata (ton)
1000 kg
Tabelle di conversione
lunghezze 1 pollice (in) = 0,0254 m
pesi 1 grano (grain) = 0,065 g
volumi 1 litro (l) = 1 dm3
1 lega marina = 5556 m
1 tonnellata (ton) = 1000 kg
1 cm3 = 0,000001 m3
1 piede (ft) = 0,3048 m
1 oncia (oz) = 0,032 g
1 miglio (mi) = 1609,3 m
1 carato = 0,2 g
1 litro(l) = 1000 cm3 1 dm3 = 0,001 m3
Nota: l’ettaro (simbolo ha) è l’unità di superficie usata in agrimensura 1 ha = 10.000 m2 il nodo è l’unità di misura di velocità usata in marina 1 nodo = 1,852 km/h
multipli e sottomultipli delle unità di misura
simbolo Y Z E P T G M k h da km hm dam m dm cm mm v 1.6
nome Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Chilo Etto Deca
lunghezze chilometro ettometro decametro metro decimetro centimetro millimetro
fattore 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
simbolo d c m μ n p f a z y
nome deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto
scale di misura per le grandezze più utilizzate kg hg dag g dg cg mg
pesi chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo decigrammo centigrammo milligrammo
tempo --secolo a. anno --mese d giorno h ora min minuto s secondo
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fattore 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24 volumi
--hl dal l dl cl ml
--ettolitro decalitro litro decilitro centilitro millilitro .96
Elementi di statistica nome
definizione
frequenza assoluta
numero di volte in cui il dato si presenta
frequenza percentuale
frequenza relativa
frequenza relativa
frequenza assoluta diviso il numero di dati
media aritmetica
somma di tutti i dati diviso il numero di dati
media geometrica
radice n-sima del prodotto degli n dati
valore che compare più frequentemente nei dati sperimentali
moda
valore del dato a metà nell’insieme numericamente ordinato dei dati
mediana
semidispersione
valore massimo meno valore minimo diviso due
scarto
se il numero di dati è pari si calcola la media aritmetica dei due dati centrali
differenza tra il valore del dato e il valore medio: somma dei quadrati degli scarti diviso il numero di dati
scarto quadratico medio
radice quadrata dello scarto quadratico medio
deviazione standard
errore relativo massimo
semidispersione diviso media aritmetica
errore percentuale
n
formula
esempio
assegnati i seguenti =10 valori sperimentali ordinati in senso crescente, calcoliamo per essi le principali definizioni di statistica
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
v 1.4
misure
34 34 35
assoluta
frequenza
media aritmetica
relativa
percentuale
36
34
2
0,2
20%
37
37
2
0,2
20%
36 36 37
39 40
35 36 39 40
1 3 1 1
0,1 0,3
0,1 0,1
10% 30% 10% 10%
media geometrica moda
mediana
semidispersione
36 36
scarto del dato n. 1
scarto del dato n. 8
scarto del dato n. 10
scarto quadratico medio
deviazione standard
errore relativo massimo errore percentuale
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% . 97
Note • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • .
98
99