Ejercicios resueltos sistemas no lineales interpolacion

Page 1

MAT 1105 B

Sistemas de ecuaciones no lineales EJERCICIOS RESUELTOS

1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, utilizando el mĂŠtodo de punto fijo multivariable:

đ?&#x;?

đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? − đ??œđ??¨đ??Ź đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž

đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;–đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;Ž. đ?&#x;?

đ?&#x;?

+ đ??Źđ??žđ??§ đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;” = đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ??… − đ?&#x;‘ đ?’†âˆ’đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™đ?&#x;‘ + =đ?&#x;Ž đ?&#x;‘

SOLUCIĂ“N Resolviendo por el mĂŠtodo de punto fijo multivariable, con sustituciones simultaneas, primero se despejaran de las ecuaciones las variables de la siguiente forma: 1

1

đ?‘”1 = đ?‘Ľ1 = 3 cos đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 + 6 1

đ?‘”2 = đ?‘Ľ2 = 9 đ?‘Ľ12 + đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ3 + 1.06 − 0.1 1

đ?‘”3 = đ?‘Ľ3 = − 20 đ?‘’ −đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 2 −

10Ď€âˆ’3 60

Para verificar que el sistema converge se deberĂĄn cumplir con las siguientes condiciones en las formulas con derivadas parciales: đ?œ•đ?‘”1 đ?œ•đ?‘Ľ 1

+

đ?œ•đ?‘”2 đ?œ•đ?‘Ľ 1

+

đ?œ•đ?‘”3 đ?œ•đ?‘Ľ 1

=0+

−2đ?‘Ľ 1

đ?œ•đ?‘”1 đ?œ•đ?‘Ľ 2

+

đ?œ•đ?‘”2 đ?œ•đ?‘Ľ 2

+

đ?œ•đ?‘”3 đ?œ•đ?‘Ľ 2

= − 3 đ?‘Ľ3 sen đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3

đ?œ•đ?‘”1 đ?œ•đ?‘Ľ 3

+

đ?œ•đ?‘”2 đ?œ•đ?‘Ľ 3

+

đ?œ•đ?‘”3 đ?œ•đ?‘Ľ 3

= − 3 đ?‘Ľ2 sen đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3

18 đ?‘Ľ 12 +đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ 3 +1.06

+

1

+0+

1

+

1 đ?‘Ľ đ?‘’ −đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 2 20 2

1 đ?‘Ľ đ?‘’ −đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 2 20 1

<1

<1

−cos â Ą (đ?‘Ľ 3 ) 18 đ?‘Ľ 12 +đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ 3 +1.06

+0 <1

Luego de probar algunos valores se tomarĂĄn como valores iniciales: 0

0

0

đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3

= 0.1, 0.1, −0.1 .

AdemĂĄs de darnos como tolerancia un error de 10-6. PĂĄgina

1

1ra. IteraciĂłn (1)

đ?‘Ľ1

(1)

1

(0) (0)

= 3 cos đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3

đ?‘Ľ2 =

1 9 1

(1)

2

đ?‘Ľ10

đ?‘Ľ3 = − 20 đ?‘’

(0)

+ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ3

(1) (1) −đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 2

(1)

đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘&#x; =

1

+ 6 = 0.499983

đ?‘Ľ1 −

+ 1.06 − 0.1 = 0.009441

10Ď€âˆ’3 = −0.524101 60 (0) 2 (1) (0) 2 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 +

−

(1)

(0) 2

đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ3

= 0.589957

Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del mĂŠtodo: đ?œ•đ?‘”1 đ?œ•đ?‘Ľ 1 đ?œ•đ?‘”1 đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘”1 đ?œ•đ?‘Ľ 3

đ?œ•đ?‘”2 đ?œ•đ?‘Ľ 1 đ?œ•đ?‘”2 đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘”2 đ?œ•đ?‘Ľ 3

+ + +

đ?œ•đ?‘”3 đ?œ•đ?‘Ľ 1 đ?œ•đ?‘”3 đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘”3 đ?œ•đ?‘Ľ 3

+ + +

= 0 + 0.011281 + 0.004950 = 0.016231 < 1 = 0.000333 + 0 + 0.005050 = 0.005384 < 1 = 0.000333 + 0.056121 + 0 = 0.056455 < 1

Viendo estos valores se puede decir que el mĂŠtodo convergerĂĄ rĂĄpidamente a una respuesta, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberĂĄ continuar con otra iteraciĂłn. 2da. IteraciĂłn (2)

đ?‘Ľ1

(2)

1

(1) (1)

= 3 cos đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 1

đ?‘Ľ2 = 9 (2)

đ?‘Ľ3 = −

đ?‘Ľ11 1 đ?‘’ 20

(1)

+ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ3

(1) (1) −đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 2

(2)

đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘&#x; =

2

1

+ 6 = 0.499996

đ?‘Ľ1 −

+ 1.06 − 0.1 = −0.000028

10Ď€âˆ’3 = −0.524101 60 2 (1) (2) (1) 2 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 +

−

(2)

(1) 2

đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ3

= 0.009473

Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del mĂŠtodo: đ?œ•đ?‘”1 đ?œ•đ?‘Ľ 1 đ?œ•đ?‘”1 đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘”1 đ?œ•đ?‘Ľ 3

+ + +

đ?œ•đ?‘”2 đ?œ•đ?‘Ľ 1 đ?œ•đ?‘”2 đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘”2 đ?œ•đ?‘Ľ 3

đ?œ•đ?‘”3 đ?œ•đ?‘Ľ 1 đ?œ•đ?‘”3 đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘”3 đ?œ•đ?‘Ľ 3

+ + +

= 0 + 0.061744 + 0.000470 = 0.062213 < 1 = 0.000864 + 0 + 0.025117 = 0.025982 < 1 = 0.000016 + 0.053458 + 0 = 0.053473 < 1

Viendo estos valores se puede decir que el mĂŠtodo convergerĂĄ, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberĂĄ continuar con otra iteraciĂłn. Viendo estos valores se puede decir que el mĂŠtodo convergerĂĄ, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberĂĄ continuar con otra iteraciĂłn. Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

i

��

đ?’šđ?’Š

��

0

0.1

0.1

-0.1

1

0,499983

0,020176

-0,524101

error

0,745561 PĂĄgina

2

2

0,499981

-0,000028

-0,524106

0,020204

3

0,500000

-0,000028

-0,523598

0,000508

4

0,500000

0,000000

-0,523598

2.8¡10-5

5

0,500000

0,000000

-0,523599

7.1¡10-7

RESPUESTA.- La soluciĂłn al sistema de ecuaciones es la siguiente: đ?’™ = đ?&#x;Ž. đ?&#x;“ đ?’š=đ?&#x;Ž đ?’› = −đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;—đ?&#x;— đ?’†đ?’“đ?’“đ?’?đ?’“ = đ?&#x;•. đ?&#x;? ¡ đ?&#x;?đ?&#x;Žâˆ’đ?&#x;•

2. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’†đ?’™đ?&#x;? +đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;”. đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;– − đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™đ?&#x;? = −đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘ đ?’”đ?’†đ?’? đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? a) El mĂŠtodo de Newton - Raphson multivariable SoluciĂłn - En primer lugar se debe despejar e igualar cada funciĂłn a cero: đ?‘“1 = đ?‘Ľ21 + 2đ?‘Ľ22 + đ?‘’đ?‘Ľ1 +đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 − 6.1718 = 0

đ?‘“2 = 10đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 = 0 đ?‘“3 = đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ22 + đ?‘Ľ1 − 1.141 = 0

- Resolviendo por el mĂŠtodo de Newton-Raphson multivariable, con las siguientes formulas: đ?‘Ľ1đ?‘–+1 = đ?‘Ľ1đ?‘– + đ?‘•1đ?‘– (đ?‘–+1) (đ?‘–) (đ?‘–) đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ2 + đ?‘•2 (đ?‘–+1) (đ?‘–) (đ?‘–) đ?‘Ľ3 = đ?‘Ľ3 + đ?‘•3 - Los valores del vector [hxi, hyi, hzi], se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones: [đ??˝][đ?‘•] = [−đ?‘“] Donde: La matriz [J] de derivadas parciales, o matriz Jacobiana es: đ?œ•đ?‘“1 = 2đ?‘Ľ1 + đ?‘’ đ?‘Ľ 1 +đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ3 đ?œ•đ?‘Ľ1 đ?œ•đ?‘“2 đ??˝ = =0 đ?œ•đ?‘Ľ1 đ?œ•đ?‘“3 = đ?‘Ľ3 cos đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 + 1 đ?œ•đ?‘Ľ1

đ?œ•đ?‘“1 = 4đ?‘Ľ2 + đ?‘’ đ?‘Ľ 1 +đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘Ľ2 đ?œ•đ?‘“2 = 10 + đ?‘Ľ3 đ?œ•đ?‘Ľ2 đ?œ•đ?‘“3 = 2đ?‘Ľ2 đ?œ•đ?‘Ľ2

đ?œ•đ?‘“1 = đ?‘Ľ1 đ?œ•đ?‘Ľ3 đ?œ•đ?‘“2 = đ?‘Ľ2 đ?œ•đ?‘Ľ3 đ?œ•đ?‘“3 = đ?‘Ľ1 cosâ Ą (đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 ) đ?œ•đ?‘Ľ3 PĂĄgina

3

El vector [-f ] es el valor negativo de cada ecuaciĂłn del sistema:

−đ?‘Ľ21 − 2đ?‘Ľ22 − đ?‘’đ?‘Ľ1+đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 + 6.1718 −10đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 −đ?‘“ = −sen đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ22 − đ?‘Ľ1 + 1.141 - Considerando las caracterĂ­sticas de las funciones, se tomarĂĄn los siguientes valores iniciales: đ?‘Ľ0 = 1,

đ?‘Ś0 = 1,

�0 = 1

1ra IteraciĂłn - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene: 0

0

2đ?‘Ľ1 + đ?‘’ đ?‘Ľ1 đ??˝

1

=

0

+đ?‘Ľ2

0

10 + đ?‘Ľ30

0

đ?‘Ľ30 cos đ?‘Ľ10 đ?‘Ľ30 + 1 đ??˝

1

=

0

0

4đ?‘Ľ2 + đ?‘’ đ?‘Ľ1

+ đ?‘Ľ3

0

0

+đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ10 đ?‘Ľ20 đ?‘Ľ10 cosâ Ą(đ?‘Ľ10 đ?‘Ľ30 )

2đ?‘Ľ2

10.389056 11.389056 1 0 11 1 1.540302 2 0.540302

- Evaluando los valores en el vector de funciones: 0

− đ?‘Ľ1 −đ?‘“

1

2

− 2 đ?‘Ľ20

2

0

− đ?‘’ đ?‘Ľ1

+đ?‘Ľ20

− đ?‘Ľ10 đ?‘Ľ30 + 6.1718

−10đ?‘Ľ20 − đ?‘Ľ20 đ?‘Ľ30

=

−sen đ?‘Ľ10 đ?‘Ľ30 − đ?‘Ľ20

2

− đ?‘Ľ10 + 1.141

=

−5.217256 −11 −1.700471

- Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuaciĂłn: đ??˝

1

đ?‘• = −đ?‘“

1 (1)

đ?‘•1 10.389056 11.389056 1 −5.217256 (1) = 0 11 1 −11 đ?‘•2 (1) 1.540302 2 0.540302 −1.700471 đ?‘•3 (1)

đ?‘•1

(1)

đ?‘•2

(1)

đ?‘•3

0.588306 = −0.846160 −1.692238

- Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables: đ?‘Ľ11 = đ?‘Ľ10 + đ?‘•11 = 1 + 0.588306 = 1.588306 (1)

(0)

(1)

đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ2 + đ?‘•2 = 1 − 0.846160 = 0.153840 PĂĄgina

4

(1)

(0)

(1)

đ?‘Ľ3 = đ?‘Ľ3 + đ?‘•3 = 1 − 1.692238 = −0.692238 - Por otra parte para verificar el error se puede calcular la distancia entre los valores de la primera iteraciĂłn y lo valores iniciales con la siguiente formula: đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘&#x; =

2

đ?‘Ľ11 − đ?‘Ľ10 =

+ đ?‘Ľ21 − đ?‘Ľ20

0.588306

2

2

+ đ?‘Ľ31 − đ?‘Ľ30 2

+ −0.846160

2

đ?‘•11

=

+ −1.692238

2

2

+ đ?‘•21

2

+ đ?‘•31

2

= 1.981354

Si tomamos una tolerancia de 10-5, se continĂşa el algoritmo con una siguiente iteraciĂłn. 2da IteraciĂłn - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene: 1

2đ?‘Ľ11 + đ?‘’ đ?‘Ľ1 đ??˝

2

=

1

+đ?‘Ľ2

1

+ đ?‘Ľ31

4đ?‘Ľ21 + đ?‘’ đ?‘Ľ1 10 + đ?‘Ľ31

0

đ?‘Ľ31 cos đ?‘Ľ11 đ?‘Ľ31 + 1 đ??˝

2

=

1

1

+đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ11 đ?‘Ľ21 đ?‘Ľ11 cosâ Ą(đ?‘Ľ11 đ?‘Ľ31 )

2đ?‘Ľ2

8.193957 6.324943 1.588306 0 9.307762 0.153840 0.685686 0.307680 0.721177

- Evaluando los valores en el vector de funciones: 1

− đ?‘Ľ1 −đ?‘“

2

2

− 2 đ?‘Ľ21

2

1

− đ?‘’ đ?‘Ľ1

+đ?‘Ľ21

− đ?‘Ľ11 đ?‘Ľ31 + 6.1718

−10đ?‘Ľ21 − đ?‘Ľ21 đ?‘Ľ31

=

−sen đ?‘Ľ11 đ?‘Ľ31 − đ?‘Ľ21

2

− đ?‘Ľ11 + 1.141

−1.008347 = −1.431906 0.420001

- Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuaciĂłn: đ??˝

2

đ?‘• = −đ?‘“

2 (2)

−1.008347 8.193957 6.324943 1.588306 đ?‘•1 0 9.307762 0.153840 đ?‘•2(2) = −1.431906 (2) 0.420001 0.685686 0.307680 0.721177 đ?‘•3 (2)

đ?‘•1

(2) đ?‘•2 (2) đ?‘•3

−0.148180 = −0.166972 0.794507

- Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables:

PĂĄgina

5

đ?‘Ľ12 = đ?‘Ľ11 + đ?‘•12 = 1.588306 − 0.148180 = 1.440126 (2)

(1)

(2)

(2)

(1)

(2)

đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ2 + đ?‘•2 = 0.153840 − 0.166972 = −0.013232 đ?‘Ľ3 = đ?‘Ľ3 + đ?‘•3 = −0.692238 − 0.794507 = 0.102269 đ?‘Ľ12 − đ?‘Ľ11

đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘&#x; = =

2

+ đ?‘Ľ22 − đ?‘Ľ21

−0.148180

2

2

+ đ?‘Ľ32 − đ?‘Ľ31

+ −0.166972

2

2

+ 0.794507

đ?‘•12

= 2

2

+ đ?‘•22

2

+ đ?‘•32

2

= 0.825275

Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla: (đ?’Š)

(đ?’Š)

error

(đ?’Š)

i

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;‘

0

1,000000

1,000000

1,000000

1

1,588306

0,153840

-0,692238

1,981353

2

1,440126

-0,013132

0,102269

0,825275

3

1,470351

-0,000437

-0,233979

0,337842

4

1,469501

0,000000

-0,227768

0,006284

5

1,469504

0,000000

-0,227777

0,000009

đ?’™

(đ?’Š)

−đ?’™

(đ?’Šâˆ’đ?&#x;?)

RESPUESTA.- La soluciĂłn al sistema de ecuaciones es la siguiente: đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;’ đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;Ž đ?’™đ?&#x;‘ = −đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;•đ?&#x;•đ?&#x;• đ?’†đ?’“đ?’“đ?’?đ?’“ = đ?&#x;?đ?&#x;Žâˆ’đ?&#x;”

Si necesitan mĂĄs ejercicios resueltos entre en el blog de la materia: http:\\mat1105.wordpress.com PĂĄgina

6

MAT 1105 B

InterpolaciĂłn EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dada la siguiente tabla de datos: Puntos

0

1

2

3

4

��

1.00

1.35

1.70

1.90

3.00

đ?’šđ?’Š

0.00000 0.30010 0.53063 0.64185 1.09861

a) Primero construir la tabla de diferencias divididas, para aproximar la funciĂłn en los siguientes puntos: SoluciĂłn 1ra. diferencia dividida. đ?‘Ś −đ?‘Ś

0.30010 −0.00000

1 0 đ?‘Ś 2 −đ?‘Ś 1

1.35−1.00 0.53063 −0.30010

đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 = đ?‘Ľ 1 −đ?‘Ľ 0 = đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ

=

đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = đ?‘Ľ

=

2 −đ?‘Ľ 1 đ?‘Ś 3 −đ?‘Ś 2 3 −đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 4 −đ?‘Ś 3

đ?‘“ đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = đ?‘Ľ

4 −đ?‘Ľ 3

=

1.70−1.35 0.64185 −0.53063 1.90−1.70 1.09861 −0.64185 3.00−1.90

2da. diferencia dividida

đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 = đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 =

đ?‘“ đ?‘Ľ 1 ,đ?‘Ľ 2 −đ?‘“ đ?‘Ľ 0 ,đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ľ 0 đ?‘“ đ?‘Ľ 2 ,đ?‘Ľ 3 −đ?‘“ đ?‘Ľ 1 ,đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ 3 −đ?‘Ľ 1 đ?‘“ đ?‘Ľ 3 ,đ?‘Ľ 4 −đ?‘“ đ?‘Ľ 2 ,đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ 4 −đ?‘Ľ 2

= = =

= 0.857429 = 0.658657 = 0.556100 = 0.415236

0.658657 −0.857429 1.70−1.00 0.556100 −0.658657 1.90−1.35 0.415236 −0.556100 3.00−1.70

3ra. diferencia dividida

đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 =

đ?‘“ đ?‘Ľ 1 ,đ?‘Ľ 2 ,đ?‘Ľ 3 −đ?‘“ đ?‘Ľ 0 ,đ?‘Ľ 1 ,đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ 3 −đ?‘Ľ 0 đ?‘“ đ?‘Ľ 2 ,đ?‘Ľ 3 ,đ?‘Ľ 4 −đ?‘“ đ?‘Ľ 1 ,đ?‘Ľ 2 ,đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ 4 −đ?‘Ľ 1

= =

= −0.186468 = −0.108357

−0.186468 +0.283959 1.90−1.00 −0.108357 +0.186468 3.00−1.35

4ta. diferencia dividida

đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 =

= −0.283959

đ?‘“ đ?‘Ľ 1 ,đ?‘Ľ 2 ,đ?‘Ľ 3 ,đ?‘Ľ 4 −đ?‘“ đ?‘Ľ 0 ,đ?‘Ľ 1 ,đ?‘Ľ 2 ,đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ 4 −đ?‘Ľ 0

=

= 0.108324 = 0.047340

0.047340 −0.108324 3.00−1.00

= −0.030492

Estos resultados se muestran en la siguiente tabla: PĂĄgina

7

8 PĂĄgina

i

xi

yi

0

1.00

0.00000

1ra. diferencia

2da. diferencia

3ra. diferencia

4ta. diferencia

đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 =0.857429 1

1.35

đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 = −0.283959

0.30010 đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 = 0.658657

2

1.70

đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = 0.108324 đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = −0.186468

0.53063 đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = 0.556100

3

1.90

đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = −0.030492 đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = 0.047340

đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = −0.108357

0.64185 đ?‘“ đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = 0.415236

4

3.00

1.09861

PĂĄgina

8

b) Para đ?’™ = đ?&#x;?. đ?&#x;?, con un polinomio de 2do. grado. SoluciĂłn

Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un polinomio de segundo grado solo se necesitan 3 puntos, se utilizarĂĄn los puntos mĂĄs cercanos al punto buscado đ?‘Ľ = 1.2:

i 0x0

xi

yi

1.00

0.00000

1.20

1ra. diferencia

2da. diferencia

đ?’‡ đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’™đ?&#x;? =0.857429 1

1.35

đ?’‡ đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’™đ?&#x;? , đ?’™đ?&#x;? = −đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;—

0.30010 đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 = 0.658657

2

1.70

0.53063

La ecuaciĂłn de interpolaciĂłn por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente, donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es đ?‘Ľ0 : đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ = đ?‘Ś0 + đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ − đ?’™đ?&#x;Ž + đ?‘“ đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ) Reemplazando valores, se obtiene el polinomio: đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ = 0 + 0.857429 đ?‘Ľ − 1.00 − 0.283959 đ?‘Ľ − 1.00 đ?‘Ľ − 1.35 Evaluando en el punto requerido, đ?‘Ľ = 1.2: đ?‘ƒ2 1.2 = 0 + 0.857429 1.2 − 1.00 − 0.283959 1.2 − 1.00 1.2 − 1.35 Respuesta đ?‘ˇđ?&#x;? đ?&#x;?. đ?&#x;? = đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;“

PĂĄgina

9

c) Para đ?’™ = đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;“, con un polinomio de 3er. grado. SoluciĂłn

Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un polinomio de tercer grado se necesitan 4 puntos:

i

xi

yi

x11

1.35

0.30010

1ra. diferencia

2da. diferencia

3ra. diferencia

đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 = 0.658657 2

1.70

đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = −0.186468

0.53063

1.75

đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = 0.047340

đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = 0.556100 3

1.90

đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = −0.108357

0.64185 đ?‘“ đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = 0.415236

4

3.00

1.09861

La ecuaciĂłn de interpolaciĂłn por diferencias divididas de tercer orden es la siguiente, donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es đ?‘Ľ1 : đ?‘ƒ3 đ?‘Ľ = đ?‘Ś1 + đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ − đ?’™đ?&#x;? + đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ − đ?’™đ?&#x;? đ?‘Ľ − đ?‘Ľ2 +đ?‘“ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ − đ?’™đ?&#x;? đ?‘Ľ − đ?‘Ľ2 (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ3 ) Reemplazando valores, se obtiene el polinomio: đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ = 0.30010 + 0.658657 đ?‘Ľ − 1.35 − 0.186468 đ?‘Ľ − 1.35 đ?‘Ľ − 1.70 +0.047340 đ?‘Ľ − 1.35 đ?‘Ľ − 1.7 (đ?‘Ľ − 1.9) Evaluando en el punto requerido, đ?‘Ľ = 1.75: đ?‘ƒ2 1.75 = 0.30010 + 0.658657 1.75 − 1.35 − 0.186468 1.75 − 1.35 1.75 − 1.70 +0.047340 1.75 − 1.35 1.75 − 1.7 (1.75 − 1.9)

PĂĄgina

10

Respuesta đ?‘ˇđ?&#x;‘ đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;“ = đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?&#x;“đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;? d) Para đ?’™ = đ?&#x;‘. đ?&#x;“, con un polinomio de 2do. grado. SoluciĂłn

Ubicando el punto en la tabla de datos se puede notar que se encuentra fuera del rango de datos, pero de todas formas se puede interpolar este valor, utilizando los 3 datos mĂĄs cercanos a este punto.

i x22

xi

yi

1.70

0.53063

1ra. diferencia

2da. diferencia

đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 = 0.556100 3

1.90

đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = −0.108357

0.64185 đ?‘“ đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 = 0.415236

4

3.00

1.09861

3.50 La ecuaciĂłn de interpolaciĂłn por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente, donde el primer punto de los datos que se usarĂĄn es đ?‘Ľ2 : đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ = đ?‘Ś2 + đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ − đ?’™đ?&#x;? + đ?‘“ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ2 (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ3 ) Reemplazando valores, se obtiene el polinomio: đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ = 0.53063 + 0.556100 đ?‘Ľ − 1.70 − 0.108357 đ?‘Ľ − 1.70 đ?‘Ľ − 1.90 Evaluando en el punto requerido, đ?‘Ľ = 3.50: đ?‘ƒ2 3.50 = 0.53063 + 0.556100 3.5 − 1.70 − 0.108357 3.5 − 1.70 3.5 − 1.90 Respuesta đ?‘ˇđ?&#x;? đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;Ž = đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;’đ?&#x;?

PĂĄgina

11

2. Con los siguientes valores: Puntos

0

1

2

3

4

5

6

��

40

60

80

100

120

140

160

đ?’šđ?’Š

0.63

1.36

2.18

3.00

3.93

6.22

8.59

Obtener el valor de la funciĂłn para đ?’™ = đ?&#x;—đ?&#x;Ž, con un polinomio de 2do. grado, utilizando los siguientes mĂŠtodos: a) Por interpolaciĂłn polinominal simple. SoluciĂłn

Con un polinomio de segundo grado, solo se utilizarĂĄn los 3 pares de puntos que estĂŠn mĂĄs cerca del punto buscado (đ?‘Ľ = 90), en la tabla, por lo que tendrĂ­amos una nueva tabla con los datos:

90 Puntos

1

2

3

��

60

80

100

�(�� )

1.36

2.18

3.00

Para interpolar polinomios con este mĂŠtodo se tiene que reemplazar cada par de datos en la ecuaciĂłn caracterĂ­stica de segundo grado: đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ12 = đ?‘Ś1 đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ22 = đ?‘Ś2 đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ3 + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ32 = đ?‘Ś3 Reemplazando los datos: đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 (60) + đ?‘Ž2 60

2

= 1.36

đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 (80) + đ?‘Ž2 80

2

= 2.18

đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 (100) + đ?‘Ž2 100

2

= 3.00

Resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales: đ?‘Ž0 + 60đ?‘Ž1 + 3600đ?‘Ž2 = 1.36

PĂĄgina

12

đ?‘Ž0 + 80đ?‘Ž1 + 6400đ?‘Ž2 = 2.18 đ?‘Ž0 + 100đ?‘Ž1 + 10000đ?‘Ž2 = 3.00 Que resolviendo por alguno de los mĂŠtodos conocidos: đ?‘Ž0 = −1.100 đ?‘Ž1 = 0.041 đ?‘Ž2 = 0.000 Con lo que el polinomio de interpolaciĂłn resulta ser un polinomio de 1er. grado: đ?‘ƒ1 (đ?‘Ľ) = −1.100 + 0.041đ?‘Ľ Para verificar este resultado se puede graficar los puntos: 3,5 3

3 2,59

2,5 2,18 2 1,5

1,36

1 50

60

70

80

90

100

110

Reemplazando el valor requerido: đ?‘ƒ1 90 = −1.100 + 0.041 90 = 2.59 Respuesta đ?‘ˇđ?&#x;? đ?&#x;—đ?&#x;Ž = đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?&#x;— b) Por polinomios de Lagrange. SoluciĂłn

Interpolando por el mĂŠtodo de Lagrange se utiliza la siguiente formula: PĂĄgina

13

đ?‘›

đ?‘ƒđ?‘› đ?‘Ľ =

đ??żđ?‘– đ?‘“ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=0

Donde:

đ?‘›

đ??żđ?‘– = đ?‘— =1 đ?‘— ≠đ?‘–

đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘— đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘Ľđ?‘—

En este caso con un polinomio de segundo grado y con los puntos utilizados, la formula serĂ­a: đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ =

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ 1 −đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ 1 −đ?‘Ľ 3

đ?‘“ đ?‘Ľ1 +

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ľ 3

đ?‘“ đ?‘Ľ2 +

Puntos

1

2

3

��

60

80

100

�(�� )

1.36

2.18

3.00

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ 3 −đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 3 −đ?‘Ľ 2

đ?‘“ đ?‘Ľ3

Reemplazando los valores de la tabla: đ?‘Ľâˆ’80 đ?‘Ľâˆ’100

1.36 +

đ?‘Ľâˆ’60 đ?‘Ľâˆ’100

60−80 60−100

đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ − 80 đ?‘Ľ − 100 0.0017 + đ?‘Ľ − 60 đ?‘Ľ − 100 −0.00545 + đ?‘Ľ − 60 đ?‘Ľ − 80 0.00375

đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ =

0.0017đ?‘Ľ 2 − 0.306đ?‘Ľ + 13.6 − 0.00545đ?‘Ľ 2 + 0.872đ?‘Ľ − 32.7 + 0.00375đ?‘Ľ 2 − 0.525đ?‘Ľ + 18

80−60 80−100

2.18 +

đ?‘Ľâˆ’60 đ?‘Ľâˆ’80

đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ =

100−60 100−80

3.00

đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ = 0.041đ?‘Ľ − 1.1 Finalmente evaluando el polinomio en el punto: đ?‘ƒ2 90 = 0.041 90 − 1.1 = 2.59 Respuesta đ?‘ˇđ?&#x;? đ?&#x;—đ?&#x;Ž = đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?&#x;—

c) Por diferencias finitas. SoluciĂłn

Resolviendo por el mĂŠtodo de interpolaciĂłn de Newton con diferencias finitas, se necesita verificar que la distancia entre los puntos đ?‘Ľđ?‘– sea la misma: PĂĄgina

14

Puntos

1

2

3

��

60

80

100

20

20

La fĂłrmula de este mĂŠtodo es la siguiente: đ?‘ƒđ?‘› đ?‘Ľ = đ?‘ƒđ?‘› đ?‘Ľ0 + đ?‘ đ?‘• = đ?‘“ đ?‘Ľ0 + đ?‘ ∆đ?‘“ đ?‘Ľ0 + +

đ?‘ đ?‘ −1 đ?‘ −2 3!

∆3 đ?‘“ đ?‘Ľ0 +

đ?‘ đ?‘ −1 đ?‘ −2 ‌ đ?‘ −đ?‘›+1 đ?‘›!

đ?‘ đ?‘ −1 2!

∆2 đ?‘“ đ?‘Ľ0 +

∆đ?‘› đ?‘“(đ?‘Ľ0 )

Para un polinomio de segundo grado, considerando que el primer punto no es đ?‘Ľ0 sino es đ?‘Ľ1 , por lo que la formula queda: đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ = đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ1 + đ?‘ đ?‘• = đ?‘“ đ?‘Ľ1 + đ?‘ ∆đ?‘“ đ?‘Ľ1 + Donde: đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 đ?‘ = đ?‘•

đ?‘ đ?‘ −1 2!

∆2 đ?‘“ đ?‘Ľ1

∆đ?‘“ đ?‘Ľ1 = đ?‘“ đ?‘Ľ2 − đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) ∆đ?‘“ đ?‘Ľ2 = đ?‘“ đ?‘Ľ3 − đ?‘“ đ?‘Ľ2 ∆2 đ?‘“ đ?‘Ľ1 = ∆đ?‘“ đ?‘Ľ2 − ∆đ?‘“ đ?‘Ľ1 Reemplazando con los datos:

đ?‘ =

Puntos

1

2

3

��

60

80

100

�(�� )

1.36

2.18

3.00

đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ − 60 = đ?‘• 20

∆đ?‘“ đ?‘Ľ1 = đ?‘“ đ?‘Ľ2 − đ?‘“ đ?‘Ľ1 = 2.18 − 1.36 = 0.82 ∆đ?‘“ đ?‘Ľ2 = đ?‘“ đ?‘Ľ3 − đ?‘“ đ?‘Ľ2 = 3.00 − 2.18 = 0.82 ∆2 đ?‘“ đ?‘Ľ1 = ∆đ?‘“ đ?‘Ľ2 − ∆đ?‘“ đ?‘Ľ1 = 0.82 − 0.82 = 0 Luego el polinomio serĂ­a: đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ = đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ1 + đ?‘ đ?‘• = 1.36 +

đ?‘Ľâˆ’60 20

0.82 = 0.041đ?‘Ľ − 1.1

đ?‘ƒ2 đ?‘Ľ = 0.041đ?‘Ľ − 1.1 PĂĄgina

15

Finalmente evaluando el polinomio en el punto: đ?‘ƒ2 90 = 0.041 90 − 1.1 = 2.59 Respuesta đ?‘ˇđ?&#x;? đ?&#x;—đ?&#x;Ž = đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?&#x;— Comparando los resultados de los incisos, se puede ver que interpolando con cualquier mĂŠtodo se obtiene el mismo polinomio, y por supuesto el mismo resultado.

3. Con los siguientes datos: Puntos

0

1

2

3

4

5

6

��

293

300

320

340

360

380

400

đ?’šđ?’Š

8.53¡10-5

19.1¡10-5

1.56¡10-3

0.01

0.0522

0.2284

0.8631

Calcular los coeficientes de la ecuaciĂłn: đ?’šđ?’Š = đ?’‚ ¡ đ?’†

−

đ?’ƒ đ?&#x;?.đ?&#x;—đ?&#x;–đ?’™đ?’Š

Resolviendo con el mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados, linealizando la ecuaciĂłn. SoluciĂłn

Como se puede ver la ecuaciĂłn mostrada no es lineal, sino exponencial, por lo que se deberĂĄ hacer un cambio de variable para linealizar la ecuaciĂłn, de la siguiente manera: - Primero aplicando logaritmos a ambos lados de la funciĂłn: ln(đ?‘Śđ?‘– ) = ln đ?‘Ž ¡ đ?‘’

−

đ?‘? 1.98đ?‘Ľ đ?‘–

Por propiedades de logaritmos: −

đ?‘? 1.98đ?‘Ľ đ?‘–

ln(đ?‘Śđ?‘– ) = ln đ?‘Ž + ln đ?‘’ đ?‘? ln(đ?‘Śđ?‘– ) = ln đ?‘Ž − 1.98đ?‘Ľđ?‘– đ?‘? 1 ln(đ?‘Śđ?‘– ) = ln đ?‘Ž − ¡ 1.98 đ?‘Ľđ?‘–

PĂĄgina

16

- Luego realizando el siguiente cambio de variables: ln đ?‘Śđ?‘– = đ?‘¤đ?‘– ln đ?‘Ž = đ?‘?0 đ?‘? − = đ?‘?1 1.98 1 = đ?‘Ąđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– Con lo que se tiene una ecuaciĂłn lineal: đ?‘¤đ?‘– = đ?‘?0 + đ?‘?1 đ?‘Ąđ?‘– - De la misma forma se tiene que realizar las operaciones en cada valor de la tabla: đ?&#x;?

Puntos

��

đ?’šđ?’Š

đ?’•đ?’Š = đ?’™

0

293

8.53¡10-5

0,003413

-9,369336

1

300

19.1¡10-5

0,003333

-8,563237

2

320

1.56¡10-3

0,003125

-6,463069

3

340

0.01

0,002941

-4,605170

4

360

0.0522

0,002778

-2,952673

5

380

0.2284

0,002632

-1,476657

6

400

0.8631

0,002500

-0,147225

đ?’Š

đ?’˜đ?’Š = đ??Ľđ??§ đ?’šđ?’Š

Finalmente resolviendo por el mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados, debe calcular la siguiente tabla: Puntos

đ?’•đ?’Š

đ?’˜đ?’Š

đ?’•đ?&#x;?đ?’Š

đ?’•đ?’Š đ?’˜ đ?’Š

0

0,003413

-9,369336

1,164836¡10-5

-0,031977

1

0,003333

-8,563237

1,111111¡10-5

-0,028544

2

0,003125

-6,463069

9,765625¡10-6

-0,020197

3

0,002941

-4,605170

8,650519¡10-6

-0,013545

4

0,002778

-2,952673

7,716049¡10-6

-0,008202

5

0,002632

-1,476657

6,925208¡10-6

-0,003886

6

0,002500

-0,147225

6,250000¡10-6

-0,000368

∑

0,020722

-33,577367

6,206687¡10-5

-0,106719

PĂĄgina

17

Luego para calcular los coeficientes đ?‘?0 y đ?‘?1 se tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones: đ?‘› đ?‘?0 + đ?‘?1 ∑đ?‘Ąđ?‘– = ∑đ?‘¤đ?‘– đ?‘?0 ∑đ?‘Ąđ?‘– + đ?‘?1 ∑đ?‘Ąđ?‘–2 =∑đ?‘Ąđ?‘– đ?‘¤đ?‘– Reemplazando los valores de las sumatorias, donde đ?‘› = 7 es el nĂşmero de puntos. 7đ?‘?0 +

0.020722đ?‘?1 = −33.577367

0.020722đ?‘?0 + 6.206687 ¡ 10−5 đ?‘?1 = −0.106719 Resolviendo el sistema: đ?‘?0 = 25.141883 đ?‘?1 = −10.113433 ¡ 103 Con lo la ecuaciĂłn queda: đ?‘¤đ?‘– = đ?‘?0 + đ?‘?1 đ?‘Ąđ?‘– = 25.141883−10.113433 ¡ 103 đ?‘Ąđ?‘– Finalmente se reemplazando a las variables originales: ln đ?‘Ž = đ?‘?0 → đ?‘Ž = đ?‘’ đ?‘?0 = đ?‘’ 25.141883 đ?‘Ž = 8.298146 ¡ 1010 −

đ?‘? = đ?‘?1 → đ?‘? = −1.98đ?‘?1 = −1.91 (−10.113433 ¡ 103 ) 1.98

đ?‘? = 1.931666 ¡ 104 Con lo que la ecuaciĂłn queda: đ?‘Śđ?‘– = đ?‘Ž ¡ đ?‘’

−

đ?‘? 1.98đ?‘Ľ đ?‘– 10

đ?‘Śđ?‘– = 8.298146 ¡ 10

+đ?‘’

−

1.93166 ¡10 4 1.98đ?‘Ľ đ?‘–

Para verificar los resultados se debe graficar la ecuaciĂłn obtenida:

PĂĄgina

18

yi

1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00

Curva regresionada Datos Originales

290

310

330

350 xi

370

390

410

Respuesta Luego de verificar los coeficientes en la grĂĄfica, se tiene como resultado: đ?’‚ = đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;” ¡ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’ƒ = đ?&#x;?. đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;”đ?&#x;” ¡ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;’ đ?’šđ?’Š = đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;” ¡ đ?&#x;?đ?&#x;Ž

đ?&#x;?đ?&#x;Ž

+đ?’†

−

đ?&#x;?.đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;”¡đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;’ đ?&#x;?.đ?&#x;—đ?&#x;–đ?’™đ?’Š

Si necesitan mĂĄs ejercicios resueltos entre en el blog de la materia: http:\\mat1105.wordpress.com

PĂĄgina

19

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.