Profesor de Matem谩tica; Especialista en Planificaci贸n y Evaluaci贸n.
LF 03220025103327 ISBN 980-345-249-5
Prologo
El cuaderno de trabajo que utilizarรกn los alumnos del 9 no Semestre, refleja en forma sencilla y prรกctico los objetivos bรกsicos del programa de Matemรกtica. Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante lo prรกctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.
Los Teques, Mayo del 2003
1
Agradecimientos:
Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y ejercicios:
Prof. Miguel Carmona
Especialmente a: A mi esposa: por su apoyo. A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo. A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión. A mis Liceos apreciados:
U.E.P.”Gran Aborigen U.E.N.”Teresa de la Parra U . N . E . O . P . E .M
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Contenido .- Función Constante............4 .- Suma y producto de funciones constantes...........5,6 .- Función Idéntica...........6,7 .- Polinomios. Valor numérico............8,9 .- Suma, resta, multiplicación y división de Polinomios.........10,11,12,13,14,15,16 .- Productos Notables.........17,18 .- Factorización.........20,21,22,23 .- Ecuaciones con una incógnita..........24,25,26,27 .- Bibliografía............28
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Función Constante de Q en Q: Denominamos función constante de Q en Q a toda función que asocia a cada elemento de Q un elemento constante también de Q. Se anota f: Q
Q tal que f(x) = a siendo a є Q un elemento fijo.
Ejemplo: 1.- Dada la función
f: Q
Q tal que f(x) = 2, determinar las imágenes de los
siguientes elementos: 1 ; -2, 1/3 y 10 Para x = 1
f(x) = 2 ; f(1) = 2
Para x = -2
f(x) = 2 ; f(-2) = 2
Para x = 1/3
f(x) = 2 ; f(1/3) = 2
Para x = 10
f(x) = 2 ; f(10) = 2
Se puede observar que todos los elementos de x, tienen la misma imagen que es 2 por eso la función se denomina constante. Representación Sagital Q
Q
1 -2 1/3
2
10
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Suma y Producto de Funciones Constantes: La suma de dos funciones constantes f y g es otra función que se anota (f + g). Sean f y g las funciones constantes definidas así: F:Q
Q tal que f(x) = a1
;
x Q
g:Q
Q tal que g(x) = a2
;
x Q
La función suma (f + g)(x) se define así: (f + g) : Q
Q tal que (f + g)(x) = f(x) + g(x)
El producto de dos funciones constantes f y g es otra función que se anota (f . g). Sean f y g dos funciones definidas así: f:Q
Q tal que f(x) = a1 ; x Q
g:Q
Q tal que g(x) = a2
;
x Q
La función producto (f . g) se define así: (f . g) : Q
Q tal que (f . g)(x) = f(x) . g(x)
Ejemplos: 1.- Dadas las funciones f(x)=1 y g(x) = 4 definidas de Q en Q, determinar la función suma y función producto. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
sustituyendo
(f . g)(x) = f(x) . g(x) sustituyendo
(f + g)(x)= 1 + 4 = 5 (f . g)(x)= 1 . 4 = 5
5
Ejercicios: Dadas las funciones f(x)= 2 ; g(x)= -1 ; h(x)= 6 ; t(x)= ½ definidas de Q en Q, determinar:
1) (f + g)(x)
2) (f . g)(x)
3) (f + h)(x)
4) (f . h)(x)
5) (f + t)(x)
6) (f . t)(x)
7) (g + h)(x)
8) (g . h)(x)
9) (g + t)(x)
10) (g . t)(x)
Función Idéntica de Q en Q: Denominamos función idéntica de Q en Q, a la función que asocia a cada elemento de Q el mismo elemento de Q. La función idéntica se anota con la letra I, por lo tanto: Q tal que I(x) = x ; x Q
I:Q Ejemplo:
1) Dada la función Idéntica I(x)=x definida de Q en Q, determinar las imágenes de los siguientes elementos: 1, -2, ½, 3. Para x = 1
I(x) = x ; I(1)=1
Para x = -2
I(x) = x ; I(-2)=-2
Para x = 1/2 Para x = 3
I(x) = x ; I(1/2)=1/2 I(x) = x ; I(3)=3
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Representación Sagital
Q
Q
1
1
-2
- 2
½
½
3
3
Sumas y Productos de Funciones Idénticas: Suma: (I + I)(x)= I(x) + I(x) = x + x = 2x (I + I + I)(x)= I(x) + I(x) + (I)(x) = x + x + x = 3x etc. Producto: (I . I)(x) = I(x) . I(x) = x . x = x2 Ejemplos: 1) Dada la función idéntica I(x) = x, definida de Q en Q. Determinar cada una de las siguientes expresiones para el elemento 5. a) (I + I)(x)
b) (I . I)(x)
c) (I + I + I)(x)
Resoluciones: a) (I + I)(x) b) (I . I)(x)
= (I + I)(5) = 2 . 5 = 10 =
(I . I)(5) = 52 = 25
c) (I + I + I)(x) = (I + I + I)(5) = 3 . 5 = 15
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Polinomios: Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.
P(x) = A0 + A1x + A2x² A3x³......An A0 = término independiente. x = variable. A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio
Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos. Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término independiente. Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de ellos. Binomio: polinomio que consta de dos términos. Trinomio: polinomio que consta de tres términos.
Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de la variable. a.- p(x) = 2 + 3x + 5x²
segundo grado
b.- q(x) = 3x³ - 4x + 9
tercer grado
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Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la variable se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el término independiente.
Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad en unidad. Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor. Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a mayor.
Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.
Ejemplo: Dado P(x)= 2x² + 3 dónde x = 3 P(3) = 2(3)² + 3
= p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21
Ejercicios: 1.- p(x) = 2x –4 dónde x = 3 2.- q(x) = 4x + x² dónde x = 2 3.- t(x) = x³ -2 dónde x = 4 4.- p(x) = 3x² + 2x dónde x = 3 5.- q(x) = x³ + 4x – 2 dónde x = 3 6.- p(x) = 4x –x + 5 dónde x = 2
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Adición de Polinomios: Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir los polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+).
Regla para sumar polinomios: 1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se completa con ceros. 2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.
Ejemplo: En forma entera: P(x) = 5x³ + 4x² - 6x + 8 Q(x) =
3x² - 4x + 3 5x ³ +7x²-10x +11
Ejemplo: En forma racional:
P(x) = 2/2x² - 3/5x + 4/3 Q(x) = 3/2x + 5/4 2/2x+9/10x+31/12
operaciones: -3 + 3 = -6+15 = 9 5 2 10 10 4 + 5 = 16+15 = 31 3 4 12 12
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Ejercicios: Dados los polinomios: p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x4 – 2x3 + 4x2 – 2x + 6 t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ; h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4 Hallar la suma de los polinomios: 1.- p(x) + q(x)
2.- p(x) + t(x)
3.- q(x) + t(x)
4.- r(x) + s(x)
5.- r(x) + h(x)
6.- s(x) + h(x)
Propiedades de la Adición de Polinomios: a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una ley de composición interna. b.- La adición de polinomios es conmutativa. c.- Es asociativa. d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo. e.- El polinomio simétrico de p(x) es –p(x). f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.
Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)
Ejercicios: a.- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5 b.- p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7 c.- p(x) = 6x2 + 6x – 10 ; q(x) = 5x2 + 4x – 6 d.- p(x) = 12x2 – 4x – 8 ; q(x) = 6x2 + 7x – 6
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Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) =
p(x) + q(x) + h(x)
Ejercicios: a.- p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ; h(x) = 2x –6 b.- p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6 c.- p(x) = 7x2 + 6x – 4 ; q(x) = 9x2 + 8x – 6 ; h(x) = 4x –9 d.- p(x) = 11x – 7 ; q(x) = 4x2 + 3x – 6 ; h(x) = 4x – 10
Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)
Ejercicios: a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6
c.- p(x) = 8x2 – 3x + 2
b.- q(x) = 4x2 – 6x + 5
d.- q(x) = 7x2 + 6x – 12
Elemento Simétrico: p(x) + -p(x) Ejercicios: a.- p(x) = 5x2 – 3x + 8
c.- p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2
b.- q(x) = 2x2 - 7x + 9
d.- q(x) = -3x3 – 4x2 + 8x + 9
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Sustracción de Polinomios: Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico, es decir –q(x).
P(x) – q(x) = p(x) + -q(x)
p(x) = minuendo q(x) = sustraendo
Ejercicios: a.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4
c.- p(x) = 3x2–5x + 8 ; q(x) = 6x + 8
b.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8
d.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x + 6
Multiplicación de Polinomios: El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por la suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por todos los de la otra.
Ejemplo: En forma Entera: Dado p(x) = 2x2 – 5x + 6 ; q(x) = x2 – 3x + 5 . Hallar: p(x) . q(x) q(x) = x2 - 3x + 5 p(x) =2x2 – 5x + 6 2x4 – 6x3 + 10x2 - 5x3 + 15x2 – 25x 6x2 – 18x + 30 2x2 – 11x3 + 31x2 – 43x + 30
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Ejemplo: En forma Racional: p(x) = 2/3x2 + 4/6x –3/2 q(x) =
2/5x +4/3
operaciones:
4 x3 + 8 x2 – 6 x 15 30 10
8 + 8 = 312 30 9 270
8 x2 + 16 x – 12 9 18 6
- 6 + 16 = 52 10 18 180
4 x3 + 312 x2 + 52 x -12 15 270 180 6
Ejercicios : Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios: 1.- p(x) = 3x2 + 5x –5
;
q(x) = 4x – 8
2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6
;
q(x) = 2x + 2
3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7 4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4
; q(x) = 3x + 7
5.- p(x) = 4x3 + 6x2 – 9x + 9 ; q(x) = 3x – 6 6.- p(x) = 3/4x2 + 6/3x – 5/2
q(x) = 4/4x – 6/2
7.- p(x) = 4/6x2 + 7/3x + 2/5
q(x) = 3/6x – 7/2
8.- p(x) = 5/3x2 + 1/2x + 3/2
q(x) = 2/4x + 8/2
Propiedades de la Multiplicación de Polinomios: a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo tanto; es una ley de composición interna. b.- Es conmutativa. c.- Es asociativa. d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación.
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e.- El elemento absorbente es el elemento nulo. f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares. g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios. h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.
Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades: 1.- Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x) a.- p(x) = 2x + 4
; q(x) = 3x – 2
b.- p(x) =4x – 6
; q(x) = 5x + 6
c.- p(x) = 4x2 – 6x + 8 ; q(x) = 3x – 7 d.- p(x) = 6x2 – 7x + 6 ; q(x) = 6x – 2
2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x)
=
p(x) . q(x)
. h(x)
a.- p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3 b.- p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1 c.- p(x) = 4x2 + 6x – 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x – 1 d.- p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2 – 7x + 2 ; h(x) = 3x – 4
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3.- Distributiva: p(x) .
q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)
a.- p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2 b.- p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12 c.- p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x – 1 ; h(x) = 6x + 1 d.- p(x) = 6x – 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x – 2
4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x) a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 b.- q(x) = 6x – 8
c.- p(x) = 4x2 – 6x + 5 d.- h(x) = 4x3 – 5x2 + 7x – 2
División de Polinomios: D(x) = d(x) . c(x) + r(x)
D(x) = dividendo d(x) = divisor c(x) = cociente r(x) = residuo
Ejercicios: a.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) b.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3)
e.- Dividir (20x2 + 10x – 5) : (5x + 5) f.- Dividir (10x2 + 13x – 2) : (5x – 1)
c.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2)
g.- Dividir (4x3 – 2x2 – x + 1) : (2x –3)
d.- Dividir (x4 – x2 – 2x – 1) : (x2 – x – 1)
h.- Dividir (5/2x2 + 2/2x – 1/3) : (1/2x+3/5)
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Productos Notables: Se denomina productos notables, a determinados productos que cumplen reglas fijas, por lo tanto, su resultado puede escribirse directamente sin necesidad de efectuar la multiplicación.
Casos: 1.- Cuadrado de una Suma: el cuadrado de una suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ejemplo: (3a + 2ab)2 = (3a)2 + 2 (3a).(2ab) + (2ab)2 9a2 + 12a2 + 4a2 b2
Ejercicios:
a.- (5x2 y + 2ª2 x)2 =
c.- (4p5 q4 + 8p2 )2 =
b.- (3x3 + 5y3 )2 =
d.- (7a3 + 9b4 )2=
2.- Cuadrado de una Diferencia: el cuadrado de la diferencia de dos términos, es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 Ejercicios:
a.-
(a – 2b)2 =
b.- ( 3a2 - 7b4 )2 =
c.-
(2x2 y – y2 x)2
=
d.- (4a4 b3 -7a5 )2 =
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3.- Suma por Diferencia: la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. El cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término. (a + b) . (a – b) = a2 – b2 Ejercicios: a.- (4x2 y + 3) . (4x2 y – 3)=
c.- (2a3 b4 + 5p) . (2a3 b4 – 5p)=
b.- (3x3 – 2y) . (3x3 + 2y)=
d.- (6x3 + 8y6 ) . ( 6x3 – 8y6 )=
4.- Producto de la Forma: el resultado es siempre un trinomio cuyas características son: a.- El 1er término es el cuadrado del término común. b.- El 2do término es el término común multiplicado por la suma algebraica de los términos no comunes. c.- El 3er término es el producto de los términos no comunes. (x + a) . (x + b) = x2 + (a + b)x + a . b Ejercicios: a.- (m + 4) . (m - 2)=
b.- (a2 - 4) . (a2 – 3)
d.- (a + 7) . (a + 9)=
e.- (b + 5).(b + 8)=
c.- (x + 4) . (x + 6)=
f.- (q + 7).(q + 4)=
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5.- Cubo de la Suma de dos Términos: el cubo de la suma de dos términos, es igual al cubo del primero más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Ejercicios: a.- (3a + 5b)3 =
b.- (6x3 + 7y)3 =
c.- (4ª2 b + 3x)3 =
6.- Cubo de la Diferencia de dos Términos: el cubo de la diferencia de dos términos, es igual al cubo del primero menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 - b3
Ejercicios: a.- (3a – 9x5 )3 =
b.- (7ab3 – 6x )3 =
c.- ( 2a2 - 4y)3 =
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Factorización de Polinomios: Es el proceso que permite transformar un polinomio en el producto indicado de dos o más factores.
Casos de Factorización:
Para descubrir que factores intervienen en la formación de un polinomio, se procede por tanteos, por lo tanto, en forma general no es fácil transformar un polinomio en el producto indicado de dos o más factores, porque no todos los polinomios son factorizables, sin embargo, cuando el polinomio presenta una determinada forma, se puede factorizar con ayuda de un conjunto de reglas: a.- Factor común. b.- Binomios en forma de diferencia de cuadrados. c.- Trinomio cuadrado perfecto. d.- Trinomios de la forma x2 + ax + b. e.- Por agrupación de términos semejantes.
a.- Factor Común: Es el polinomio donde todos sus términos tienen el mismo factor. Este factor común, puede ser un número, una letra, o la composición de números y letras. Cuando un polinomio tiene factor común, se puede factorizar así: se escribe el factor común multiplicando a un paréntesis dentro del cual se escriben los cocientes que resultan de dividir cada término entre el factor común.
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Ejemplo: factorizar 3x4 + 6x3 + 2x
f.c= x
x(3x3 + 6x2 + 2) Ejercicios: a.- 3x4 + 7x3 – 7x2 + 8x
d.- 6x3 y3 + x2 y – 9xy
b.- 5a3 + 7a2 – 9a
c.- 3a 5 b4 + 2 a4 b3
e.- 4a6 b5 + 6a5 b4 – 8a3 b2
b.- Factorización en forma de Diferencia de Cuadrados:
Cuando un binomio está formado por una diferencia de cuadrados; es decir, que cada término tiene raíz cuadrada, su factorización es igual al producto de dos paréntesis formados por la suma y por la diferencia de dichas raíces. Ejemplo: Factorizar 4a2 - b2
4 raíz = 2 a2 = a
(2a + b) . (2a – b)
b2 = b Ejercicios: a.- 1 – 36x2 y6
b.- 36 – x2
c.- 25x2 – 64b2 x6
d.- 1 – 4x6
e.- 1 - 9b2 x6 4 25
f.- 16a2 - 1 100 4
c.- Factorización de Trinomios Cuadrados Perfectos: Se denomina trinomio cuadrados perfectos al que se origina de elevar al cuadrado un binomio.
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Regla para factorizar trinomios: a.- Se ordena el trinomio con relación a una de sus letras y se tiene que cumplir que el primero y el tercer término tengan el mismo signo y tengan raíz. b.- Se obtienen las raíces del 1er y
3er
término.
c.- Se escriben estas raíces separadas por el signo del 2 do término dentro de un paréntesis elevado al cuadrado. d.- Se tiene que cumplir que el doble del producto de las raíces sea igual al segundo término. Ejemplo: Factorizar x2 + 14xy + 49y2 Raíz del primero: x2 = x Raíz del tercero : 49y2 = 7y Doble producto de las raíces: 2.x.7y = 14xy 2
Resultado = ( x + 7y) Ejercicios: a.- x2 - 6x + 9 d.- 16a6 + b4 – 2a3 b3 16
b.- -x2 + 6x – 9 e.- x2 + y2 – xy 4
c.- 12x2 + x4 + 36 f.- x2 + 10
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d.- Factorización Trinomio de la Forma x2 + ax +b
Características: a.- El coeficiente del 1er término es 1. b.- El 1er término está formado por una letra o varias, elevadas a una potencia par. c.- El 2do término está formado por el producto de un número que multiplica la raíz del 1ero. d.- El 3er término es un número.
Ejemplo: Factorizar x2 + 7x + 10
x . x = x2 2+5=7
(x + 2) . (x + 5)
2 . 5 = 10 Ejercicios: a) x2 + 10x – 24 d) y2 + 15y + 36
b) a2 – 5a - 24 e) a2 - 6a - 40
c) x2 + 11x – 12 f) a2 + 11a + 24
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Ecuaciones de primer grado con una incógnita en Q.
Es toda igualdad en que hay una cantidad desconocida, denominada incógnita, y que solamente se verifica para determinados valores de dichas incógnitas. Se conoce también la ecuación de primer grado cuando x tiene como exponente 1.
Ejercicios:
a) Resolver 5x – 3 = 6
resp. x = 9/5
b) Resolver 2x + 4 = 5x – 3
resp. x = 7/3
c) Resolver 6x – 2 + x = 4 + 3x – 2
resp. x = 1
d) Resolver (2x – 3x) – (5x – 1) = 3x – {2 + (x + 1)}
e) Resolver 3(x – 1) = - 2
resp. x = 1/3
f) Resolver 3 – 4 (x – 2) = 5( -x + 3) – 2x
g) Resolver 5 – x = 3
x
resp. x = 4/3
resp. x = 6
2
h) Resolver x + 1 - x – 3 = 1 5
resp. x = 2/6
2
resp. x = 29/6
4
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Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado:
Expresiones usuales para el planteamiento de problemas:
1) La suma de dos números........................................................ x + y 2) El doble de un N°................................................................... 2x 3) El triple de un N°.................................................................. 3x 4) El doble de un N° más el triple de otro................................ 2x + 3y 5) Dos N° consecutivos............................................................. x + (x + 1) 6) Un N° par............................................................................. 2x 7) Dos N° pares consecutivos................................................... 2x + (2x + 2) 8) Tres N° pares consecutivos................................................. 2x + (2x + 2) + (2x + 4) 9) El opuesto de un N°...........................................................
–x
10) El exceso de dos N°............................................................. x – y 11) Un N° excede a otro en ocho unidades.............................. x = y + 8 12) Un N° excede a su opuesto en cuatro unidades................. x = -x + 4 13) Un N° impar........................................................................ 2x + 1 14) Dos N° impares consecutivos............................................. (2x + 1) + (2x + 3) 15) La semisuma de dos N°...................................................... x + y 2 16) El exceso de un N° y su cuadrado...................................... x – x2 17) El doble producto de la suma de dos N°............................ 2(x + y) 18) El producto de dos N° menos su diferencia...................... xy – (x – y) 19) El producto de dos N°........................................................ xy
20) La mitad de un N°............................................................. x 2 21)El semi producto de dos N°................................................ xy 2
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22)El doble producto de dos N°.............................................. 2xy 23)El consecutivo de un N° entero........................................ x + 1 24)Un n° entero que precede a otro....................................... x – 1 25)La diferencia de los cuadrados de dos N°........................ x 2 – y2 26)El cuadrado de la suma de dos N°................................... (x + y)2 27)Los cuatro quintos de un N°............................................ 4 x 5
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Problemas:
1) Cinco veces el valor de un N° más su mitad, es igual a 22. Determinar el N°. Resp: x = 4
2) La diferencia entre 21 y seis veces el valor de un N°, es igual a la diferencia entre 27 y ocho veces el valor del N°. Determinar el N°. Resp. x = 3
3) La suma de dos N° es 30 y uno de ellos es el triple del otro menos dos. Hallar los N°.
Resp. x = 8 ; x = 22
4) La suma de las edades de tres personas es 57 años. La mayor, es diez años mayor que la menor, y la del medio cinco años menor que la mayor. Determinar la edad de cada una. Resp. x1 = 14 ; x2 = 19 ; x3 = 24 5) Pedro obtuvo en un examen, 2 puntos más que Juan. Si la nota de ambos sumaban 32 puntos. ¿ Cual fue la nota obtenida por Juan?. Resp. x = 15 puntos.
6) A una persona le preguntaron la edad que tenía y contestó: “La mitad, el tercio y la cuarta parte de mis años, suman los años que tengo más tres.”¿Qué edad tenía?. Resp. x = 36 años
7) Si el doble de la edad que tiene María le quitamos el cuádruplo de la que tenía hace seis años, resultará su edad actual. ¿ Que edad tiene?
Resp. x = 8
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BIBLIOGRAFÍA
NAVARRO, E......................................................Matemática 8 vo . Grado. Distribuidora Zacarías. Caracas. Venezuela. 1987.
SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando......Matemática 7mo . Grado. Ediciones: CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993.
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