Autor: Prof. Luis E. Camacho
lf 03220035101806X
Datos de Identificaci贸n del Alumno
Mi Colegio / Liceo se llama:_____________________________________
Nombres : _______________________________ Apellidos:__________________________________
Grado:______________
Secci贸n :___________________
Turno:___________________
Direcci贸n de mi Liceo:__________________________________________________________
Nombre de mi Profesor:______________________________________
1
Prologo
El cuaderno de Ejercicios de Matemática que utilizarán los alumnos del 5º Año de Media General, refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa actual. Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.
Los Teques, Enero del 2005
2
Contenido .- Suma de polinomios..................................................................................................................................................................................5 .- Propiedades de la suma de polinomios....................................................................................................................................................6 .- Propiedades de la suma de polinomios....................................................................................................................................................7 .- Sustracción de polinomios.......................................................................................................................................................................8 .- Producto de polinomios...........................................................................................................................................................................9 .- Propiedades del producto de polinomios........................................................................................................................................ 10,11 .- División de polinomios..........................................................................................................................................................................12 .- Regla de Ruffinni...................................................................................................................................................................................13 .- División de un polinomio p(x) entre un binomio (x a).......................................................................................................................14 .- Teorema del Resto.................................................................................................................................................................................15 .- Teorema de Descartes.......................................................................................................................................................................... 16 .- Calculo de raíces enteras mediante Ruffini..........................................................................................................................................17 .- Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini..................................................................................................................18 .- Raíces fraccionarias aplicando Ruffini.................................................................................................................................................19 .- Inecuaciones Lineales en R...................................................................................................................................................................20 .- Inecuaciones de segundo grado en una variable..................................................................................................................................21 .- Representaciones de los ejercicios anteriores......................................................................................................................................22 .- Variación Ordinaria.............................................................................................................................................................................23 .- Ecuaciones de Variaciones...................................................................................................................................................................24 .- Permutaciones Ordinarias....................................................................................................................................................................25 .- Combinación Ordinarias......................................................................................................................................................................26 .- Números Combinatorios.......................................................................................................................................................................27 3
.- Binomio de Newton..............................................................................................................................................................................28 .- Puntos en el Espacio............................................................................................................................................................................29 .- Componentes de un vector ligado........................................................................................................................................................30 .- Suma de Vectores.................................................................................................................................................................................31 .- Sustracción de vectores........................................................................................................................................................................32 .- Producto de un vector por un número real..........................................................................................................................................33 .- Combinación lineal..............................................................................................................................................................................34 .- Vectores Colineales..............................................................................................................................................................................35 .- Vectores linealmente dependientes e independientes...........................................................................................................................36 .- Distancia entre dos puntos...................................................................................................................................................................37 .- Ecuación de la recta en el espacio.......................................................................................................................................................38 .- Ecuación del plano en el espacio.........................................................................................................................................................39 .- Adición y producto de matrices............................................................................................................................................................40
.-Regla de Sarrus.....................................................................................................................................................................................41 .- Teorema Rouche-Frobenius.................................................................................................................................................................42 .- Secciones Cónicas......................................................................................................................................................................43,44,45 .- Probabilidad y Estadística..............................................................................................................................................46,47,48,49,50
4
Suma de Polinomios 1.- Sumar p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x3 – 2x2 + 4x
2.- Sumar t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3
3.- Sumar s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ; h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4
4.- Sumar s(x) = 2/5x2 + 1/4x – 8/2 ; h(x) = 2/6x – 5/4
5
Propiedades de la suma de Polinomios 1.- Conmutativa .- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5
2.- Conmutativa p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7
3.- Asociativa p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ;
4.- Asociativa p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6
h(x) = 2x –6
6
Propiedades de la suma de Polinomios 5.- Elemento Neutro .- p(x) = 5x2 + 3x – 6
6.- Elemento Neutro p(x) = 8x2 – 3x + 2
7.- Elemento Simétrico .- p(x) = 5x2 – 3x + 8
8.- Elemento Simétrico p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2
7
Sustracción de Polinomios 1.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4
2.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8
3.- p(x) = 3x2 –5x + 8 ; q(x) = 6x + 8
4.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x +6
8
Multiplicación de Polinomios 1.- p(x) = 3x2 + 5x –5
;
q(x) = 4x – 8
3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7
2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6
4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4
9
;
q(x) = 2x + 2
; q(x) = 3x + 7
Propiedades del Producto de Polinomios 1.- Conmutativa p(x) = 2x + 4
; q(x) = 3x – 2
3.- Asociativa p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3
2.- Conmutativa p(x) =4x – 6
; q(x) = 5x + 6
4.- Asociativa p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1
10
Propiedades del Producto de Polinomios 5.- Distributiva p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2
6.- Distributiva p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12
7.- Elemento neutro p(x) = 5x2 + 3x – 6
8.- Elemento neutro p(x) = 4x2 – 6x + 5
11
División de Polinomios 1.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3)
2.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3)
3.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2)
4.- Dividir (5/2x2 + 2/2x – 1/3):(1/2x+3)
12
Regla de Ruffini 1.- Resolver x4-11x2-18x-8=0
2.- Resolver x3-3x2-4x+12=0
3.- Resolver x3+ 4x2+ 5x+2=0
4.- Resolver x3+ x2-5x+3=0
13
DivisiĂłn de un polinomio p(x) entre un binomio (x ď‚ą a)
1.- Resuelve (2x3+ 3x2-4x+3) : (x + 2)
2.- Resuelve (x2+ 4x-8) : (x-6)
3.- Resuelve (3x3+ 2x2-6x+2) : (x-7)
4.- Resuelve
14
(6x4-6x2-8) : (x + 4)
Teorema del Resto 1.- (3x2+ 4x-6) : (x + 3)
2.- (4x3-2x2-6x+1) : (x-6)
3.- (2x3-5x2-4x+9) : (2x-3)
4.- (6x2-7x+2) : (x-4)
15
Teorema de Descartes 1.- (5x2+ 2x-6) : ( x-2)
2.- (4x2-6x+5) : (x-3)
3.- (3x2+ 5x+6) : (x-3)
4.- (5x2-7x+2) : (x-4)
16
Calculo de raíces enteras mediante Ruffini 1.- Resolver x3+ 6x2+ 11x+6 = 0
2.- Resolver x3 – 7x – 6 = 0
3.- Resolver x4 –5x2 + 4 = 0
4.- Resolver 10x4 – 20x2 + 10 = 0
5.- Resolver x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0
6.- Resolver x4 + 4x3 + 3x2 – 4x – 4 = 0
17
Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini 1.- Factorizar -x4 + 8x2 – 16
2.- Factorizar x3 + x2 – x – 1 = 0
3.- Factorizar x3 – 8x2 + 17x – 10 = 0
4.- Factorizar x4-4x3+ 3x2+ 4x-4 = 0
18
Raíces fraccionarias aplicando Ruffini 1.- x3+ x2-5x+3
2.- x5-21x3+16x2+108x-144
x3-3x+2
3.- x4+5x3+8x2+7x+3
x3+x2-x-1
4.-
x3+2x2-x-2
-x4 + 8x2 – 16 x3-3x2-4x+12
19
Inecuaciones Lineales en R 1.- 2x + 3x – 5 4 – x 4
2.- 3x – 5 – 2 2x - 4 5
3.- 4 – 6x – x 4x + 6 3 2
4.- 5x – 4 3 – 2
20
Inecuaciones de segundo grado en una variable 1.- Representar y = x2 – 6x + 9
2.- Representar y = x2 +3x + 2
3.- Representar y = x2 – 4x + 3
4.- Representar y = x2 + 5x + 4
21
Representaciones de los ejercicios anteriores 1.-
2.-
3.-
4.-
22
Variaci贸n Ordinaria 1.- Calcular V7, 2
2.- Calcular V8,5
3.- Calcular V12,4
4.- Calcular V11,4
23
Ecuaciones de Variaciones 1.- Resolver 4Vx , 3 = 25
2.- Resolver 6Vx , 4 = 12
3.- Resolver 8V x , 2 = 10
4.- Resolver 10V x , 6 = 20
24
Permutaciones Ordinarias 1.- Resolver P4,2
2.- Resolver P6,2
3.- Resolver P8,5
4.- Resolver P12,4
5.- Resolver P9, 3
6.- Resolver P24,6
25
Combinaci贸n Ordinaria 1.-
C3,2
2.-
C8,3
3.-
C12,5
4.-
C7,3
26
Números Combinatorios 1.- Resolver
3.- Resolver
12
12
x2 - 1
x2 + 5
16
16
5y – 1
2y + 3
2.- Resolver
4.-
20 -2y + 6
27
7
7
4y + 2
2y – 1
20 5y – 1
Binomio de Newton 1.- (x – y)3
3.-
(1 – x2)5
2.- ( 3x + y)4
4.- (2 + 2y)4
28
Puntos en el Espacio 1.- Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a y b son puntos de corte.
2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras, donde a y b son puntos de corte.
3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c, d, e, f son puntos de corte.
29
Componentes de un vector ligado 1.- a = ( 4,-7) ; b = (-5,-7)
2.- a = ( 5,8) ; b = (-6,9)
3.- a = ( -4,-7) ; b = (-5,9)
4.- a = ( -4,-7) ; b = (-5,9)
30
Suma de Vectores 1.- Sumar a = (-2,5) b = (-5,-6)
2.- Sumar a = (4,-5) b = (10,4)
3.- Sumar a = (-7,-4) b = (6,10)
4.- Sumar a = (-1,4) b = (8,-6) c = (-4,9)
31
Sustracci贸n de Vectores 1.- Restar
3.- Restar
b = (8,-6) ; c = (-4,9)
p = (10,-6) ; q = (4,4)
2.- Restar b = (6,1) ; a = (-1,4
4.- Restar a = (-5,9) ; b = (-12,7)
32
Producto de un vector por un número real 1.- Dado a = (-2,7). Hallar 3 . a
2.- Dado b = (1,6). Hallar -5 . b
3.- Dado c = (3√2,4√2). Hallar -8 . c
4.- Dado d = (10,-5). Hallar 2/4 . d
33
Combinación Lineal 1.- Dados a = (-4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a – 4 . b
2.- Dados p = ( -4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q
3.- Dados x = (5,4) ; y = (-5,2). Hallar: 3 . x + y
4.- Dados a = (3,9) ; b = (-2,-8). Hallar: 6 . a – 4 . b
34
Vectores Colineales 1.- Expresar a = (3,5) como combinaci贸n lineal de b = (4,3) y
2.- Expresar c = (-3,2) como combinaci贸n lineal de z = (2,1) y
c = (-2,1)
t = (3,5)
35
Vectores linealmente Dependientes e Independientes 1)
x + y +2 z , 4 x – 3 z , 2 x + 7 y
3.- 4 x – 2 y + 3 z , 5 x + 4 y - z
2) 2 x + 3 y – z , 3 y – 4 z ,
4.- x - y
36
x + y - z
- z ,2x + 3y + 2z , x + z
Distancia entre dos puntos 1.- P1(2,4)
P2(2,5) P3(2,5)
2.- P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)
37
Ecuaci贸n de la recta en el espacio 1.-
2x + y = 4
2.-
3x + 2y = 1
2x + y = 4 3x + 2y = -1
38
Ecuación del plano en el espacio 1.- Hallar la distancia desde el origen a la recta 2x – 0y + 5 = 0
2.- Hallar la distancia desde el origen a la recta 3x – 4y + 3 = 0
3.- Hallar la distancia desde el origen a la recta x – 3y + 9 = 0
4.- Hallar la distancia desde el origen a la recta 5 x – 13y + 7 = 0
39
Adici贸n y Producto de Matrices 1.- Hallar la suma de las matrices
A = 2 4 0
B=
-2 -2 9 2
2.- Hallar la suma de las matrices
0 2 9
A = 1 -8 4
-3 3 6
7 -1
1
3
-3 6 7
9
1
3.- Hallar el producto de las matrices 3A+ 2B
A = 2 5 1 -2 -1 6 2
7
-3
B=
5 -2
A = 5 6 0
1 1 1
-7 3 2
3
0 0 3 7 5 9 2
4
4
4.- Hallar el producto de las matrices 6.A
6 2 4
1
B=
9
9
40
7 -1
Regla de Sarrus 1.- Calcular el valor de la siguiente determinante:
2.- Calcular el valor de la siguiente determinante:
2
4 -3
3
4 -2
2
1
0
2
5
0
4
9
1
-1
8
1
3.- Calcular el valor de la siguiente determinante:
4.- Calcular el valor de la siguiente determinante:
-4
5 -6
7
5
4
3
1
8
5
0
9
-2
5
9
-2
2 7
41
Teorema Rouche-Frobenius 1.- Resuelve:
2.- Resuelve:
4
2
4
1
-1
2
6
7
1
2
6
0
0 -4
6
4
2
4
8
0
-3
7
1
5
-1
2
6
7
3
2
0
1
3.- Resuelve:
4.-
Resuelve:
3
2
0
1
2 -1 6 7
3
2
0
1
0
1
6 -2
8
-3
9
0
1
6 -2
8
0
3
1 4
42
5
1
9 5
Secciones Cónicas 1.- Dibuja la gráfica de la ecuación (circunferencia) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 16
2.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 4 9 determinar sus vértices, sus focos, la longitud de sus ejes y la excentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.
43
Secciones Cónicas 3.- Dibuja la gráfica de la ecuación (circunferencia) (x – 5)2 + (y – 6)2 = 25
4.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 16 4 determinar sus vértices, sus focos, la longitud de sus ejes y la excentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.
44
Secciones Cónicas 5.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ± 2 y sus vértices son V(0,4) y V’(0,-4)
6.- Determina la ecuación de la parábola que cumple con las condiciones dadas: a) vértice en el origen y foco en F(2,0) y2 = 12x . b) vértice en el origen y directriz y-1 = 0
45
Probabilidad 1) Hallar la probabilidad de que: 2) Hallar la probabilidad de que al 3) Hallar la probabilidad de que al meter Al lanzar dos dados salga el N° 4 lanzar dos monedas salga cara y sello. la mano en un envase que contiene una y 6. ficha azul, dos rojas y una verde, salga una azul y una roja
4) Hallar la probabilidad de que al lanzar 5) Hallar la probabilidad de que al 6) Hallar la probabilidad de que al una moneda y un dado salga sello y 3. lanzar dos dados y dos monedas, salga: lanzar 3 monedas, salga: cara, cara y 2,5,cara y sello sello
7) Hallar la probabilidad de extraer un 4 del tablero: 4 3 4
6 3 7
4 4 8
9 6 5
1 4 4
8) Hallar la probabilidad de extraer una “a� del tablero: a e i o u e a a u i o u i a e o u i a a
46
9) Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas y un dado, salga: cara, sello y N° par.
Probabilidad EstadĂstica 10.- Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 8 rojas, 15 blancas, 16 azules y 20 naranjas. Halle la probabilidad de que sea: a.- Naranja; b.- No sea roja o azul; c.- No Azul
2.- Âż CuĂĄl es la probabilidad de contestar correctamente al menos 2 de las 6 preguntas de un examen verdadero o falso?
47
Estadística 1)
Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:
Intervalos
frecuencia clase
frecuencia acumulada
01
- 05
6
6
06
-
10
8
14
11
-
15
4
18
16
-
20
5
23
2) Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular
Clases
frecuencias
punto medio
frecuencia acumulada
01-05
5
3
5
06-10
6
8
11
11-15
4
13
15
16-20
7
18
22
48
Estadística 3) Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras Intervalos
frecuencias
001-002
6
003-004
8
005-006
7
007-008
4
Punto medio
P.mx f
4) Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular Intervalos
frecuencias
01-02
5
03-04
3
05-06
7
07-08
2
Punto medio
P.mx f
49