GUIA DE ESTUDIO DE MATEMATICAS SUPERIOR PARA INGENIEROS Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería en Sistemas Profesor Narciso Agudo 2011 Elaborado por: Luis Eduardo Vivar
CONTENIDO DEL PORTAFOLIO Introducción ........................................................................................................................................ 4 INFORMACIÓN GENERAL ............................................................................................................... 5 OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS ........................................................................................ 6 Objetivos Generales:....................................................................................................................... 6 Objetivos Específicos:...................................................................................................................... 6 METODOLOGÍA ................................................................................................................................ 8 EVALUACIÓN .................................................................................................................................... 8 DESCRIPCIÓN DE LA MATERIA ...................................................................................................... 8 CONTENIDO ................................................................................................................................. 9 1.
LA TRANSFORMADA DE LA PLACE: .............................................................................. 9
2.
SERIES E INTEGRALES DE FOURIER. ............................................................................... 9
3.
ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SUS APLICACIONES. 10
4.
TRANSFORMADA Z ........................................................................................................ 10
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................. 11 ........................................................................................................................................................... 13 ............................................................................................................ 13 ............................................................................................... 14 Definición de la Transformada de Laplace ................................................................................ 15 Primer teorema de traslación para transformada y transformada inversa ............................... 28 Derivada de una transformada. ................................................................................................. 35 Transformada de una derivada. ................................................................................................. 35 Integral de una transformada. ................................................................................................... 36 Solución de ecuaciones diferenciales lineales mediante transformada de Laplace. .................. 41 ........................................................................................................................ 45 ....................................................................................................................................................... 45 Otra forma de Denotar la Serie de Fourier ............................................................................. 49 Función “par” e “impar”............................................................................................................ 49 Propiedades: .............................................................................................................................. 50
Desarrollo de funciones de medio intervalo .............................................................................. 52 Representación Compleja de La Serie de Fourier .................................................................... 54 Transformada de Fourier .......................................................................................................... 55 ................................................................. 56 Restricciones ............................................................................................................................. 57 Notación General...................................................................................................................... 58 Orden de una ecuación diferencial de derivadas parciales. ...................................................... 58 Linealidad ................................................................................................................................... 59 Tipos de ecuaciones diferenciales parciales .............................................................................. 60 Métodos para la Solución de las ecuaciones diferenciales parciales ......................................... 61 Ecuación de calor ...................................................................................................................... 73 Prueba Formativa de Matemáticas Superiores para Ingenieros .................................................... 86 ............................................................................................................ 88 Las sucesiones para las cuales xk=0 para k<0 se llaman sucesiones causales
.................... 89
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................. 90
Introducción
Estos apuntes han sido elaborados con el objetivo de contribuir al desarrollo del curso Matemática Superior para Ingenieros dictado en la Universidad Tecnológica de Panamá, de manera que puede ser utilizada tanto por estudiantes como profesores en dicho curso. En el desarrollo del contenido se presentan los diferentes teoremas más importantes y al mismo tiempo se presentan ejemplos típicos de problemas resueltos para facilitar la comprensión y el mejor uso del material., donde podemos decir como tema de introducción que las matemáticas es la base hoy día para el diario vivir, con ellas es posible conocer los fenómenos que se dan y no son percibidos así a simple vista. Basándonos en este concepto , viendo su importancia y sabiendo la complejidad que podían tener algunos métodos matemáticos la asignatura de matemáticas superiores para ingenieros, quiere lograr en cada estudiante un análisis lógico y expansión de la mente al momento de analizar un problema matemático en el campo de la ingeniería. Se presentan los siguientes métodos: transformada de la place para la resolución de ecuaciones con cambios de variables, la transformada de Fourier para ver el comportamiento de las ondas, resolución de ecuaciones parciales como métodos para analizar funciones en el tiempo y la transformada Z para aplicaciones en resoluciones de campo eléctrico en tres dimensiones.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO CIENCIAS EXACTAS LIC. EN INGENIERIA EN SISTEMAS Y COMPUTACION MATEMÁTICAS SUPERIORES PARA INGENIEROS
INFORMACIÓN GENERAL 1) Denominación: 2) Facultades:
Matemáticas Superiores para Ingenieros
3) 4) 5) 6) 7) 8)
Licenciatura en Ingeniería.
Carreras: Año y Semestre: Código: Frecuencia Semanal: Créditos: Requisitos:
Ingeniería Civil, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Industrial, Ingeniería Mecánica e Ingeniería de Sistemas Computacionales.
Segundo año, segundo semestre 8321 Teoría: 5 hrs. 5 Ecuaciones Diferenciales
OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS Objetivos Generales: 1.1. Obtendrá la información teórica y práctica para aplicar con precisión esta asignatura en el estudio de fenómenos físicos. 1.2. Analizará críticamente los conceptos y técnicas adquiridas en el curso para resolver los diferentes problemas que se le presentan en el campo de la ingeniería. 1.3. Utilizará el razonamiento lógico mediante la aplicación de algoritmos matemáticos, que faciliten encarar estudios superiores interdisciplinarios y la resolución de los problemas que los mismos plantean. Objetivos Específicos: 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. 1.21. 1.22. 1.23. 1.24.
Definir el concepto de transformada de Laplace. Determinar la transformada de funciones elementales. Calcular la transformada de funciones dadas. Definir el concepto de transformada inversa. Determinar la transformada inversa de funciones elementales. Calcular transformada inversa de funciones dadas. Utilizar el primer teorema de traslación para calcular la transformada de Laplace y la transformada inversa de funciones dadas. Definir el concepto de función escalón unitario. Escribir una función dada en término de funciones escalón unitario. Calcular la transformada de la función escalón unitario. Utilizar el segundo teorema de traslación para calcular la transformada de Laplace y la transformada inversa de funciones dadas. Calcular la derivada de una transformada. Calcular la transformada de una derivada. Calcular transformada de integrales. Utilizar el teorema de la convolución para calcular la transformada inversa de funciones dadas. Calcular la transformada de una función periódica. Resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformada de Laplace. Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformada de Laplace. Enunciar las propiedades de la transformada en Z. Determinar la transformada Z inversa a partir del conocimiento X(z). Determinar una ecuación en diferenciales para representar sistemas de tiempo discreto.
1.25. Establecer la relación entre la Transformada de Laplace y la Transformada Z. 1.26. Determinar los coeficientes de Euler de una serie Trigonométrica. 1.27. Desarrollar en serie de Fourier una función dada. 1.28. Desarrollar en serie de Fourier funciones pares e impares. 1.29. Desarrollar en serie de senos o cosenos una función definida en medio intervalo. 1.30. Calcular la integral de Fourier. 1.31. Definir el concepto de transformada de Fourier. 1.32. Resolver aplicaciones de señales periódicas. 1.33. Resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales por integración directa. 1.34. Resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales utilizando factor de integración. 1.35. Resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales por el método de separación de variables. 1.36. Resolver la ecuación de calor, de onda y de Laplace. 1.37. Resolver problemas de vibraciones longitudinales y transversales de una viga mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. 1.38. Resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales mediante la transformada de Laplace.
METODOLOGÍA 1) Las clases se desarrollarán mediante un método activo dinámico. 2) Se utilizará el recurso de preguntas y respuestas después de cada exposición teórica. 3) Se resolverán problemas ejemplos y se someterán a discusión. Los estudiantes tendrán una participación activa. 4) Se asignarán tareas al estudiante que requieran el completo dominio de lo expuesto en clases. 5) Hacer una sesión de repaso antes de cada prueba parcial.
EVALUACIÓN Se sugiere una evaluación formativa y sumativa.
4 pruebas parciales…………… (40%) Prueba semestral……………… (40%) Portafolio estudiantil……………(20%
DESCRIPCIÓN DE LA MATERIA En este curso se estudia la: Transformada de Laplace; Transformada Z, Transformada de Fourier, series e integrales de Fourier; ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y sus aplicaciones.
CONTENIDO 1. LA TRANSFORMADA DE LA PLACE: (20 horas) 1.1. Definición de la Transformada de Laplace. Notación. 1.2. Propiedades: linealidad, existencia. 1.3. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales. 1.4. Transformada inversa. 1.4.1. Definición 1.4.2. Transformada inversa de funciones elementales 1.4.3. Propiedad de linealidad 1.5. Primer teorema de traslación para transformada y transformada inversa. 1.6. Función escalón unitario y función impulso. Aplicaciones a deformación de vigas. 1.7. Segundo teorema de traslación. 1.8. Derivada de una transformada. 1.9. Transformada de una derivada. 1.10. Integral de una transformada. 1.11. La convolución. 1.12. Transformada de funciones periódicas. 1.13. Función impulso o Delta de Dirac. 1.14. Solución de ecuaciones diferenciales lineales mediante transformada de Laplace. 2. SERIES E INTEGRALES DE FOURIER. (22 horas) 2.1. Funciones periódicas. Series Trigonométricas. 2.2. Series de Fourier, coeficientes de Euler. 2.3. Funciones que tienen período arbitrario. 2.4. Funciones pares e impares. 2.5. Desarrollo de medio rango. 2.6. Convergencia de las series de Fourier. 2.7. Derivación e integración de series de Fourier. 2.8. La integral de Fourier. Teoremas básicos 2.9. La transformada de Fourier. 2.9.1. Propiedades de la transformada de Fourier 2.9.2. La respuesta de frecuencia. 2.9.3. Transformación de la función escalón impulso 2.9.4. Transformada de Fourier en tiempo discreto 2.9.5. Transformada de Fourier en tiempo continuo 2.10. Aplicaciones a la ingeniería 2.10.1. Respuesta a la frecuencia y sistemas oscilatorios. 2.10.2. Aplicaciones a tipos especiales de señales periódicas. 2.11. Transformada inversa de Fourier.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SUS APLICACIONES. (20 horas) 3.1. Ecuaciones diferenciales en Derivadas Parciales. 3.2. Soluciรณn por integraciรณn, factor de integraciรณn y ecuaciones no homogรฉneas. 3.3. Ecuaciones en derivadas parciales separables 3.4. Ecuaciones clรกsicas y problemas de valor en la frontera 3.4.1. La ecuaciรณn de transmisiรณn de calor. 3.4.2. La ecuaciรณn de onda 3.4.3. La ecuaciรณn de Laplace 3.5. Vibraciones longitudinales y transversales de una viga. 3.6. Aplicaciones de la transformada de Laplace en la soluciรณn de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. 4. TRANSFORMADA Z (13 horas) 4.1. Definiciรณn y notaciรณn de transformada Z. 4.2. Propiedades de la transformada Z. 4.3. Transformada Z inversa. 4.4. Sistemas de tiempo discretos y ecuaciones en diferencias. 4.5. Sistemas lineales discretos. 4.6. La relaciรณn entre la transformada de Laplace y la transformada Z.
BIBLIOGRAFÍA 1) Peter V. O’ Neil
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Volumen 1 y 2; Tercera Edición. Editorial CECSA. México 1999.
2) Glyn, James
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Segunda edición. Pearson Educación. México 2002.
3) Murray, Spiegel
Transformadas de Laplace. Mc Graw Hill. Primera Edición 1998. Analisis de señales. Mc Graw Hill. Primera Edición 1999. Matemática Avanzada para ingenieros y científicos. 2001.
4) Pablo Irrajabal 5) Murray Spiegel
.
Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ciencias y Tecnología Departamento de Ciencias Exactas Calendario de Actividades del II Semestre de 2011 Matemática Superiores para Ingenieros
CONTENIDO 1. La Transformada de Laplace (1.1 a 1.14) 3. Series e Integrales de Fourier (3.1 a 3.11). 4. Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales y Aplicaciones. 2. Transformada Z (2.1 a 2.6).
N° DE HORAS FECHA PROBABLE APROXIMADAS DE PARCIALES 20
5 de septiembre
20
7 de octubre
15
1 de noviembre
13
25 de noviembre
Profesora: Digna Camarena. Coordinadora de Matemática Superiores. Móvil: 67211378
Definición de la Transformada de Laplace En el modelo matemático lineal de un sistema físico, como el de una masa y un resorte o en el de un circuito eléctrico en serie podemos observar que el lado derecho de la ecuación diferencial, en el caso no homogéneo, existe una función f(t) impulsadora o E(t), que es un voltaje aplicado. Por lo general, estas funciones son continuas; sin embargo, no es raro encontrarse con funciones discontinuas. Por ejemplo, el voltaje aplicado a un circuito podría ser continuo por tramos y periódico. En este caso, es difícil hallar la solución de la ecuación diferencial, los métodos de variación de parámetros o el de los coeficientes determinados. Es por esto que la transformada de Laplace es una valiosa herramienta para resolver estos problemas. En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferenciación y la integración transforman una función en otra función; por ejemplo si f(x) = x 2 , entonces esta función por derivación la podemos transformar en una función lineal: f´( x ) = 2x; es decir se transforma en una ecuación lineal. De igual manera,
se transforma en
una familia de ecuaciones cúbicas. Podemos agregar que estas dos transformaciones poseen la propiedad de linealidad; esto es: la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Simbólicamente,
Siempre y cuando exista cada derivada e integral. En nuestro caso, la transformada de Laplace también goza de la propiedad de linealidad, es por ello que es muy útil para resolver problemas de valor inicial lineales.
En esta parte introductoria a la definición de la transformada de Laplace tomaré una función en dos variables f(x,y); luego la integraré con respecto a una de las variables, lo cual producirá otra función de la otra variable; observe que al mantener a y constante se tiene que:
De igual manera, una integral definida de la forma
transforma una
función f(t), ( función de tiempo continuo), en una función F (s), algebraica.
Esto nos conduce a la transformada integral, donde el intervalo de integración no acotado es, [ 0, ∞). Si f(t) está definida para t ≥ 0, entonces la integral impropia se define como un límite:
Si existe el límite, se dice que la integral es convergente; si no existe, entonces la integral es divergente. En general, el límite anterior se da sólo para ciertos valores de la variable s. La elección k ( s, t ) = e – s t proporciona una información integral importante.
Definición Sea f una función definida para t ≥ 0. Entonces la integral, –
=
–
Se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Observación: Esta integral impropia transforma una función f ( t ) en una función del parámetro s. Ejemplo 1. Evalúe: Solución.
–
= = = = = = En general, evalúe
; s›0 ; a, constante
Ejemplo 2: Evalúe: Solución.
–
= = = = =
Al evaluar
,
; s›0
y En general,
concordamos que:
Ejemplo 3. Evalúe:
= = = =
–
u=-t(s–a) du = - ( s – a ) dt
= =
=
u = sen 2t
; s›a
du = 2 cos 2t dt
Ejemplo 4. Evalúe:
u = cos 2t
dv = e – st dt
–
=
= =
=
= +
=
dv = e – st dt
v=
=
=
s›0
Propiedades: linealidad, existencia. Al igual que las transformadas derivadas e integrales, la transformada de Laplace goza de la propiedad de linealidad. Sean f ( t ) y g ( t ) dos funciones que tienen transformada de Laplace, entonces
Ejemplo 5.Evalúe: =
=
s›0
Continuidad a trozos Definición: Una función f continua se dice que es continua a trozos o seccionalmente continua en un intervalo [ a, b ] si f es continua en cada punto del intervalo salvo posiblemente en un número finito de puntos en los que hay discontinuidad de salto, es decir, en cada uno de esos puntos existen los límites laterales pero son distintos. Una función f se dice continua a trozos en [ 0, ∞ ) si f es continua en [ 0, b ] para todo b › o.
Podemos decir que: a) La función es continua sobre cada intervalo. b) La función tiende a un límite finito conforme se tiende hacia los puntos extremos de cada sub-intervalo desde su interior.
Orden Exponencial Definición: Se dice que una función f es de orden exponencial si existe una constante
y
constantes positivas t 0 y M tales que, para todo t › t 0 Observación: Si, por ejemplo, f es una función creciente entonces la condición para todo t › t 0, simplemente expresa que la gráfica de f en el intervalo ( t 0, ∞ ) no crece más rápidamente que la gráfica de
donde ahora
es una constante positiva.
Por ejemplo, la función definida por no es de orden exponencial ya que, como se muestra en la siguiente figura, su gráfica crece más rápidamente que cualquier Probar que la función
para todo
.
es de orden exponencial.
Solución: En efecto, se cumple
y t 0 es cualquier número real positivo.
Teorema de Existencia Se han definido los dos conceptos anteriores, continuidad a trozos y orden exponencial de una función, persiguiendo la convergencia de la integral que define la transformada de Laplace. Para la función f la continuidad a trozos asegura su integración y el orden exponencial indica que su producto por e
-s t
está acotado. Estas dos condiciones son
suficientes para que exista la transformada de Laplace de una función. Teorema: Si la función f es continua a trozos en [ 0, ∞ ) y de orden exponencial α, entonces existe su transformada de Laplace
[f (t)] para valores s › α.
Transformada de Laplace de algunas funciones elementales. f(t) 1
t
tn;
e kt ,
k cte.
sen at, a cte.
cos at, a cte.
senh at, a cte
cosh at, a cte
Transformada inversa 1.
Definición:
La utilización práctica de la transformada de Laplace requiere no solo el cálculo de la misma a partir de una función dada, sino también el problema inverso, es decir, encontrar una función f conocida su transformada de Laplace
( f ). Dos interrogantes se plantean:
1. Dada una función F, ¿existe siempre una función f cuya transformada sea F? No necesariamente, ya que existen funciones F que no son transformadas de ninguna función f. 2. Suponga que tal función existe, ¿es única? No necesariamente, pues dos funciones que difieran sólo en un punto tienen la misma transformada. Sin embargo, de todas las funciones que posiblemente tengan la misma transformada una sola de ellas es continua.
Ejemplo 6. Evalúe: Solución:
=2
= =
Ejemplo 7.Evalúe: Solución:
= = =
Transformada inversa de funciones elementales
-1
f(t)
{ f ( t)} 1
T
tn;
e kt ,
k cte.
sen at, a cte.
cos at, a cte.
senh at, a cte
cosh at, a cte
Propiedad de linealidad El operador
-1
, también es lineal
Ejemplo 8. Evalúe: Solución: = =
–
Ejemplo 9. Evalúe: Solución:
= = = = - 2 cos2t + 3 sen2t
Primer teorema de traslación para transformada y transformada inversa No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas. Si
conocemos que, podemos calcular la transformada de como una traslación, de F ( s ) a, F ( s – k ) como lo enuncia el siguiente teorema.
Primer teorema de traslación Si k es un número real y
{ f ( t )}, existe, entonces
, donde .
Problema 10:
Problema 11:
Forma inversa del primer teorema de traslación
Observación: Si consideramos a como una variable real, entonces la gráfica de F ( s – k ) es la misma de F ( s ) trasladada unidades sobre el eje . Si k › 0 , la gráfica de F ( s ) se desplaza unidades a la derecha, mientras que, si , la gráfica se traslada unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslación se acostumbra escribir
Ejemplo 12. Evalúe: Solución: Usando el primer teorema de traslación
= = Ejemplo 13. Use la forma inversa del primer teorema de traslación para calcular
Solución: Usando el primer teorema de traslación
= =
Ejemplo 14. Evalúe: Solución: Para usar la forma inversa del primer teorema de traslación debemos completar el cuadrado en el denominador = = = =
-2
= =
1.1. Función escalón unitario y función impulso. Aplicaciones a deformación de vigas En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario. Definición de función de Heaviside La función escalón unitario o función de Heaviside se define como
Problema 15:
Problema 16:
La funci贸n escal贸n
Segundo teorema de traslación.
Si
;
Ejemplo 17: Resuelva Solución:
Ejemplo 18: Resuelva Solución:
Resuelva Solución:
Ejemplo 19: Hallar la ℒ de la función representada en la siguiente figura.
Solución:
Inversa del Segundo Teorema de Traslaci贸n
Ejemplo 20: Calcular,
Ejemplo 21: Calcule,
Ejemplo 22: Calcule,
Derivada de una transformada. Para n=1, 2, 3â&#x20AC;Ś
Ejemplo 23: Calcular,
Transformada de una derivada.
Ejemplo 24: Calcular,
Integral de una transformada. Convolución Si dos funciones f y g son continuas parte por parte para t≥0 entonces la convolución de f y g está definido por:
Ejemplo25: Hallar la convolución de Solución:
Teorema de convolución Sean y entonces:
dos funciones continuas parte por parte para t≥0 y de orden exponencial,
Ejemplo 26: calcular Solución:
El teorema de convolución para calcular la transformada inversa está dada por:
Ejemplo27: Determinar Solución:
Transformada de funciones periódicas. Si una función periódica tiene periodo t, siendo t>o, entonces, . La transformada de Laplace de una función periódica puede obtenerse integrando sobre el periodo.
Funciones peri贸dica
Funci贸n serpentina T=2a
Funci贸n onda cuadrada T=2a
Funci贸n onda triangular T=2
Teorema: Sea contínua a trazos para t≥0 y de orden exponencial. SI periodo T entonces:
es periódica de
Ejemplo28: Hallar la transformada de Laplace de la función periódica mostrada en la siguiente figura:
T=2 Solución:
Ejemplo29: Hallar la transformada de Laplace de la funci贸n peri贸dica mostrada en la siguiente figura:
Soluci贸n:
Soluci贸n de ecuaciones diferenciales lineales mediante transformada de Laplace. Ejemplo30: Resolver:
*Paso1: Expresar cada ecuaci贸n como la derivada de una transformada.
*Paso2: Formar el sistema de Laplace
*Paso3: Resolver el sistema utilizando determinantes:
Ejemplo 31: Resolver:
*Paso1: Expresar cada ecuaci贸n como la derivada de una transformada
*Paso2: Formar el sistema de Laplace
*Paso3: Resolver el sistema
Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ciencias y Tecnología Prueba Parcial de Matemática Superior
Nombre: ___________________________________
Cedula: _________________
Grupo: __________________ Profesor: _____________________ 13-09-2011
Resolver cada problema de manera clara y ordenada. Todo aquello que no sea legible se considerara nulo. Haga un uso adecuado de los teoremas explicados en clases para que pueda obtener resultados óptimos. 1. Use la definición para encontrar L{f(t)}, si f(t) = t sent
2.
3.
4. L{ sent U{t- }
5. L{
6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:
La Serie de Fourier surge de la práctica de representar una función f(t) en términos de seno y cosenos. La razón se debe a la facilidad con que se resuelven ciertos problemas cuando se transformar a series periódicas de Fourier. Una representación general de la serie de Fourier:
Dónde:
, donde
son números de Fourier.
Ejemplo 1: Obtener la expansión en Serie de Fourier de la función periódica f(t) de período 2π definida por f(t) = t, para 0 < t < 2π .
Entonces con los tres números de Fourier la serie quedaría así:
Ejemplo 2: Obtener la expansión en Series de Fourier de la función periódica de período 2π definida por:
Cuando esto se evalúa como en los ejemplos anteriores queda un término como cosnπ, el cual es igual a , el cual es reemplazado en la ecuación quedando como resultado final:
en este caso sucede que sennπ = 0.
La serie quedaría así:
Otra forma de Denotar la Serie de Fourier Dónde,
y, T = 2p
en donde el T es el período.
Resolviendo el ejemplo anterior, pero con la segunda notación de la Serie De Fourier podemos comprobar que ambas formas de resolución para estos problemas son valederas y las respuestas son las mismas.
Función “par” e “impar” a. Una función es par si: f(-x) = f(x). Ejemplo de esto: Visto gráficamente con el y = cosx que es par:
b. Una función es impar si f(-x) = –f(x) Veamos el ejemplo con la gráfica del y = senx que es impar:
Propiedades: Una función par por otra función par es igual función par. Una función impar por otra función par es igual a una función impar. Una función par por otra función impar es igual a una función impar. Si f es par la: Si f es impar la: Nota: Entonces si la función es par solo hay que buscar los valores de En caso tal de que sea impar solo se busca . Ejemplo 3: Sea f(x) = x
y -2<x<2
f(x) es impar, entonces solo buscaremos a p=2
Quedando Entonces la serie sería:
.
.
Ejemplo 4: f(x) = |x| para –π<x<π, es par entonces se buscan
p=π
Entonces la serie sería:
Desarrollo de funciones de medio intervalo Proyección par:
Consta en trazar la gráfica y haciendo su proyección par calculamos su recorrido en medio intervalo para definir su par en cosenos.
Proyección impar:
Tiene el mismo procedimiento solo para definir recorridos en términos de senos.
Proyecci贸n peri贸dica
Ejemplo 5: f(x) = x^2
a. Proyecci贸n par
b. Proyecci贸n impar:
-L<x<L
P=L
c. Proyección periódica Se vuelve normal sin importar si es par o par. Es decir, se buscan los tres números de La Serie de Fourier.
Representación Compleja de La Serie de Fourier
Ejemplo 1: P=π
Entonces la Serie en forma compleja quedaría expresada así:
Transformada de Fourier Se emplea en series periódicas a diferencia de La Serie De Fourier. Las condiciones para obtener la transformada de Fourier son las Condiciones de Dirichlet, es decir, que la señal sea absolutamente integrable, lo que significa que: a. Que tenga un grado de oscilación finito. b. Que tenga un número máximo de discontinuidad. La transformada de Fourier es la particularización de ℒ con s = jw. Para
existe una inversa que se expresa como:
Formas equivalente de ℒ:
La función F(α) se llama transformada de Fourier de f(x) y se suele escribir: Y la función f(x) es la transformada inversa de Fourier de Ejemplo 6: a. Transformada de Fourier b. Representar f(x) y su transformada para α = 3 a-
para α ≠ 0 Parte b:
y se escribe:
Una ecuación diferencial en derivadas parciales es una relación entre una función de varias variables independientes con sus derivadas parciales respecto a cada una de esas variables. Si
, entonces
Restricciones A nuestra ecuación general vamos a hacerle ciertas restricciones para adecuarlas a los problemas que vamos a desarrollar. Una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal con dos variables de 2doorden es una ecuación de la forma:
Donde A,B,C,D,E,F,G son constantes. Reducimos la ecuación diferencial a una ecuación diferencial en derivadas parciales con coeficientes constantes. Una ecuación diferencial en derivadas parciales muy simple puede ser:
donde u es
una función de x,y. Esta relación implica que los valores de son completamente independientes de x, entonces la solución general de esta ecuación es u(x,y)= f(y) es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria análoga a esta es
y la solución es u(x)=c, ces
constante independiente de x. Este ejemplo ilustra que la solución general de las ecuaciones diferenciales ordinarias son constantes, para las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son funciones arbitrarias. Lo que si es cierto, es que la solución general de una ecuación diferencial parcial no es única, por lo que de esta forma, tienes que proporcionar condicionales de contorno capaces de definir la solución única.
Notación General En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando un subíndice tensorial:
En física matemática se suele utilizar el operador nabla ( ) denotado por en coordenadas cartesianas espaciales y un punto upara las derivadas que evolucionan en el tiempo, por ejemplo: La ecuación de Onda (Notación matemática) (Notación física)
Orden de una ecuación diferencial de derivadas parciales. El orden de una ecuación diferencial en derivadas parciales la da la mayor derivada parcial que aparece en la ecuación Ejemplo1: 4to orden Ejemplo2: 2do orden Ejemplo3: , t>0
orden 2
Linealidad Por la compleja que pueda ser la diferencial parcial de orden n restringimos la ecuación diferencial a una de segundo orden. Definición Ecuación diferencial lineal parcial de 2do orden: Se dice que es lineal si ésta se puede escribir de la forma:
Con A,B,C,D,F y G funciones de x y y. Observaciones: muchas veces es más fácil diferencial o visualizar cuando una ecuación diferencial parcial no es lineal: 1. Cuando hay un producto entre la función y su derivada. 2. Cuando el grado de la función y su derivada es distinto de 1. 3. Cuando la función y sus derivadas están multiplicadas por una función hiperbólica. Ejemplos: Determine cuál de las ecuaciones son lineales o no. 1. Resp:Es lineal porque tiene la forma de la definición.
2. Resp: No es lineal porque el exponente respecto a x es distinto de 1.
Tipos de ecuaciones diferenciales parciales Una ecuación diferencial parcial lineal de 2do orden con dos variables dependientes y con coeficientes constantes de la forma:
Se puede clasificar en: 1. Hiperbólica si 2. Parabólica si 3. Elíptica si
Ejemplo: Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales parciales: 1)
Es una ecuación hiperbólica 2)
Es una ecuación elíptica 3)
Es una ecuación parabólica
Métodos para la Solución de las ecuaciones diferenciales parciales Esta primera parte de resolver ecuaciones diferenciales parciales está ligada a los métodos de resolver ecuaciones diferenciales parciales ordinarias con una pequeña transformación de la ecuación diferencial parcial la podemos llevar a una ecuación diferencial ordinaria.
Solución por integración: si la ecuación diferencial parcial es de la forma
Su solución se define al integrar n veces la expresión recordando que:
Ejemplo7:
Ejemplo8:
Ejemplo9:
Ejemplo4:
Solución por factor de integración Este método consiste en transformar una E.D.P.L de segundo orden en una ecuación diferencial lineal de primer orden y tratarla como una ecuación diferencial parcial ordinaria. Ejemplo5:
F.I=
Ejemplo6
F.I=
Solución de Ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas. Las ecuaciones que se tratan tienen la característica que las derivadas parciales que van a aparecer son con respecto a una sola de sus variables para poder encontrar el método. Ejemplo 7:
= solución complementaria
Ejemplo8:
= solución complementaria
Solución de ecuaciones diferenciales parciales separables El método de separación de variables busca una solución particular en forma de un producto de una función de la variable x por la variable y o sea: La idea del método es convertir una ecuación lineal de dos variables, en una ecuación diferencial ordinaria, por lo que tenemos que hacer:
El m茅todo se puede reducir en tres pasos: 1. Se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias 2. Se buscan las soluciones de estas ecuaciones que cumplan con la condici贸n de frontera 3. Se forma una combinaci贸n lineal de las soluciones para satisfacer las soluciones iniciales.
Ejemplo 9 Determinar la soluci贸n de:
Caso 1: i)
ii)
Caso 2: i)
ii)
Caso 3: i)
ii)
Ejemplo 9: Hallar la soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial parcial satisface las condiciones de frontera u(0,t)=0,
Caso 1: i)
ii)
Por las condiciones de frontera tenemos que:
u(l,t)=0
,k>0 que
(Soluci贸n trivial)
(Soluci贸n trivial) Caso 2: i)
ii)
Por las condiciones de frontera tenemos
(Soluci贸n trivial) Caso 3: i)
ii)
Por las condiciones de frontera tenemos
;n=1,2,3,4…..
Ejemplo 10 Hallar la solución de la ecuación diferencial parcial Para
,0<x<2, t>0
Para evitar la soluciĂłn trivial resolveremos directamente el caso 3 para i)
ii)
Por las condiciones de frontera tenemos:
n=1,2,3,4â&#x20AC;Ś..
n=1,2,3,4â&#x20AC;Ś.
Con la condición inicial
La cual representa una serie de Fourier de medio recorrido en seno.
Ecuación Clásica y problemas de valores en la frontera Definición (Ecuaciones clásicas) Llamaremos a las ecuaciones diferenciales
k>0
(1)
(2)
(3)
Las ecuaciones clásicas de la física matemática con algunas pequeñas variantes, según la aplicación, a estas ecuaciones clásicas se les llaman: (1) Ecuación de calor en una dimensión (2)Ecuación de onda unidimensional (3)Ecuación de Laplace en 2 dimensiones Decir “una dimensión” significa que x representa una variable espacial y representa el tiempo . Estas ecuaciones según su tipo se clasifica en: Parabólicas Hiperbólicas Elípticas
Ecuación de calor k>0 Se origina en la teoría del flujo de calor; esto es, el calor transferido por conducción en una varilla o alambre delgado, donde la función u(x,t) es la temperatura en un punto x a lo largo de la varilla en cierto tiempo t.
Una varilla delgada de longitud L con sección transversal A en el intervalo [0,L] tiene temperatura inicial f(x)y sus extremos se mantienen a una temperatura 0 en todo momento t>0; Sección transversal A
x
Si esta varilla satisface lo siguiente: i. El flujo de calor dentro de la varilla solo tiene dirección x. ii. La superficie lateral o curva de la varilla está aislada, esto es, no se escapa calor a la superficie. iii. No se genera calor dentro de la varilla. iv. La varilla es homogénea, es decir, su masa por unidad de volumen ρ es constante. v. El calor específico y la conductividad térmica del material de la varilla K son constantes. Condiciones iniciales Como la solución de la ecuación de calor depende del tiempo t, podemos indicar que ocurre cuando t=0, esto es, podemos establecer las condiciones iniciales. Si f(x) representa la distribución inicial de la temperatura en la varilla, entonces u(x,t) debe satisfacer la única condición inicial:
Condiciones de frontera x=0 y x=L Lo cual traducimos en dos condiciones de frontera de la siguiente manera: y t>0. Como f(x) es continua, entonces f(0)=0 y f(L)=0. En general hay tres tipos de condiciones de frontera asociados a la ecuación de calor; En la frontera podemos especificar una de las siguientes ecuaciones: i. u ii. iii.
h=constante. representa la derivada normal de u (derivada direccional de u, en dirección
perpendicular a la frontera). La condición i se le llama condición de frontera de I tipo (condición de Dirichlet); ii se le llama condición de frontera de II tipo (condición de Newman) y iii se le llama condición de frontera de III tipo (condición de Robin). Por ejemplo, cuando t>0, la condición frecuente en el extremo derecho de la varilla puede ser: a) , U0 constante b) c)
,
constante
La condición a expresa que la frontera x=L se mantiene a una temperatura constante todo momento t>0 por algún medio.
en
La condición b expresa que la frontera x=L está aislada según según la ley empírica de la transmisión de calor, el flujo del mismo a través de una sección (esto es, la cantidad de calor por unidad de área y por unidad de tiempo que es conducida a través de la frontera) es proporcional al valor de la derivada normal de la temperatura u. Así, cuando la frontera x = L está térmicamente aislada, no entra ni sale calor de la varilla y La condición c representa el calor que se pierde del extremo derecho de la varilla al estar en contacto con un medio como aire o agua, que permanece a una temperatura constante. Según la ley de Newton del enfriamiento, el flujo del calor que sale de la varilla
es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la misma u(L, t) en el extremo y la temperatura u, del medio que la rodea. Observamos que si se pierde calor del extremo izquierdo, la condición en la frontera es El cambio de signo algebraico concuerda con la hipótesis de que la varilla tiene una temperatura mayor que el medio que rodea sus extremos; de manera que:
Se pueden especificar condiciones distintas al mismo tiempo en los extremos de la varilla y
t>0
La condición de frontera (a) es homogénea si condición (b) es homogénea y (c) es homogénea si
, si y si
es no homogénea. La es no homogénea.
Observaciones: En el análisis de una variedad de fenómenos físicos se llega a ecuaciones como 1,2 o 3 y sus generalizaciones donde intervienen una mayor cantidad de variables espaciales. En ocasiones la ecuación (1) se denomina ecuación de difusión, porque la difusión de las sustancias disueltas en una solución es análoga al flujo de calor en un sólido. En este caso, la función u(x,t)satisface la ecuación diferencial que representa la concentración de sustancias disueltas. La ecuación (1) también surge en el estudio de flujo de electricidad por un cable largo o línea de transmisión, por lo que en este contexto se llama ecuación del telégrafo, también se puede demostrar que bajo ciertas hipótesis, la corriente y el voltaje en el conductor son funciones que satisfacen dos ecuaciones idénticas de la forma (1).
Solución de la ecuación de calor con valores en la frontera Una varilla circular delgada de longitud L, con temperatura inicial f(x) y que sus extremos se mantienen a la temperatura 0 en todo momento t>0. El problema de los valores de frontera establecen que: 0<x<L
t>0 t>0 0<x<L
Por las condiciones iniciales tenemos:
n=1,2,3,4… n=1,2,3,4… n=1,2,3,4…
Esta es la solución del problema de flujo de calor donde los extremos están a 0 grados centígrados, por lo que indica condiciones de fronteras homogéneas. En el modelo anterior del problema de flujo de calor en un alambre uniforme, si suponemos que los extremos del alambre están aislados, es decir, no fluye calor hacia afuera o hacia adentro por los extremos del alambre. El principio de conductividad de calor implica que el gradiente de la temperatura debe anularse en los extremos. t>0. Luego el problema de la ecuación de calor o flujo de calor con valores iniciales y valores de frontera 0<x<L
Por las condiciones iniciales:
n=0,1,2,3,4… n=0,1,2,3,4…
Cuando los extremos del alambre se mantiene a 00 Celsius o cuando están aislados, las condiciones en la frontera son homogéneas. Pero cuando los extremos del alambre se mantienen a temperatura constante, es decir, y t>0
Entonces las condiciones en la frontera son no homogéneas, luego la solución del problema de flujo de calor, con las condiciones no homogéneas en la frontera consta de una solución en estado estacionario que satisface las condiciones no homogéneas en la frontera más una solución transitoria es decir .
Ejemplo 11: Una barra metálica de 100cm de longitud tiene x=0 a x=100 inicialmente la mitad de la barra está a 60o C mientras que la otra mitad está a 40oC. Asumiendo una difucividad de 0,16U y7 que la superficie de la barra está aislada, determinar la temperatura de toda la parte de la barra al tiempo T.
x=0
K=0.16
Formulación matemática: 0<x<100 Condiciones de frontera: u(0,t)=0 Condiciones iniciales:
u(100,t)=0
x=100 L=100
Por condiciones de frontera:
n=1,2,3,4….. n=1,2,3,4….. n=0,1,2,3,4… n=0,1,2,3,4…
Buscamos
Valoramos n:
Al analizar los resultados podemos destacar que: I. Para n impar la serie corre: II. Para n par la serie corre:
n=2,6,10,14…..
III. Para n=4,8,12,16….. =0 se anulan se escribe así:
Respuesta final:
La ecuación de Onda La ecuación de onda es de la forma
Considere una cuerda de longitud L, tensa entre dos puntos sobre el eje x en x=0 y x=L, al hacer vibrar la cuerda, el desplazamiento es de manera vertical en el plano xu de tal modo que cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular al eje x (vibraciones transversales). Representa el desplazamiento vertical de cualquier punto de la cuerda, medido a partir del eje x cuando t>0.
Si esta cuerda cumple con: 1. La cuerda es perfectamente flexible. 2. La cuerda es homogénea, es decir, su masa por unidad de longitud es constante. 3. Los desplazamientos u son pequeños en comparación con la longitud de la cuerda. 4. La pendiente de la cuerda es pequeña en los dos puntos. 5. La tensión t actúa tangente a la cuerda y su magnitud T es tangente en todos los puntos. 6. La tensión es grande en comparación a la fuerza de gravedad. 7. No hay otra fuerza externa actuando sobre la cuerda.
Condiciones iniciales Es posible especificar el desplazamiento de la cuerda (o forma) inicial f(x)y su velocidad inicial g(x). En términos matemáticos, se busca una función u(x,t) que satisfaga la ecuación de onda y las dos condiciones iniciales. 0<x<L La cuerda se puede tomar y hallar de acuerdo a la gráfica adjunta soltándola desde el reposo en x=0
h
Condiciones de frontera La cuerda está fija en 2 extremos en el eje x1x=0 y x=L. Esto se traduce en las condiciones de frontera siguientes: t>0
Soluci贸n de la ecuaci贸n de onda con valores de frontera Ecuaci贸n de onda:
Condiciones de frontera: Condiciones iniciales:
Por las condiciones de frontera
n=1,2,3,4….. n=1,2,3,4…..
Para determinar
Luego
y
y
utilizaremos la condición inicial
se reemplazan en la ecuación.
Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ciencias y Tecnología Prueba Formativa de Matemáticas Superiores para Ingenieros Nombre:____________________________
Grupo:________________
I Use la definición de transformada de Laplace para obtener la transformada de f( t ), cuando f(t) está definida por: a) t e – t
b) t sent
II Utilice el teorema de linealidad para obtener las siguientes transformadas a) t 2 + e t sent
b) cosh bt
III Calcule
a)
b)
c) d)
III Trace la gráfica de: a)
–
IV Use el teorema de la derivada de un transformada de Laplace, de manera inversa, es decir: f ( t ) = a)
n=1 b)
V Calcule las integrales y luego la transformada de Laplace
a)
b)
VI Calcule a)
a)
VII Calcule la transformada de La place de la función periódica
VII Resuelva las ecuaciones diferenciales, utilizando la transformada de Laplace y´´ + y = sent Y ´´ - y ´ = e t cost
y(0) = 1 y(0) = 0
y´ (0) = -1 y´ (0) = 0
Una sucesión finita, la cual denotamos par es un conjunto de n+1 números reales, o complejos ordenados, este conjunto de números esta ordenado, así que la posición que ocupa el número es importante la posición está definida con el índice k llamado índice de posición k(k . Si el número de elementos es finito, entonces tenemos una sucesión finita y si el número de elementos es finito tenemos una sucesión finita de la forma. ,
}
Cuando tratamos con nuestras de función en el tiempo t es necesario contara con medios que nos permitan tener t<0 para esto, tenemos que la sucesión de números se extiende al infinito en ambos sentidos y lo denotamos como ,
}
Las sucesiones para las cuales xk=0 para k<0 se llaman sucesiones causales
Definición y notación de la Transformada Z La transformada Z es una sucesión denotada por
Z
= x(Z) =
Siempre que la sumatoria exista y Z es una variable compleja e indefinida y X(Z) se conocen como par de transformadas para las sucesiones causales es decir Xk = 0 para k<0, la transformada Z se define por: = x(Z) = Ejemplo #1: Calcular la transformada Z de {
Z{
}
Serie Geométrica
}= =
0<
< 1 Converge r≥1 Diverge
x k = ak x(z) =
BIBLIOGRAFÍA Moodle, Matemáticas Superiores para Ingenieros, Profesor Narciso Agudo, 2011 es.wikipedia.org/wiki/Transformada_Z es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier www.unizar.es/pde/fjgaspar/Aplicaciones.pdf Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Vol. 1, Ecuaciones Diferenciales, Dennis G. Zill, Michael R. Cullen Folleto de Matemática Superior para Ingenieros, Profesora Xenia de Hill, Panamá 1992 Guía de Problemas resueltos de Matemática Superior para Ingenieros