Graficas de control para variables by Control Estadístico de la Calidad

Gráficas de Control 

Son herramientas estadísticas que muestran el comportamiento de cierta característica de calidad de un proceso con respecto al tiempo.



Su objetivo es evaluar, controlar y mejorar procesos.

Gráficas de control 

Las gráficas de control se utilizan:



Para evaluar el desempeño de un proceso por medio de estudios de capacidad.



Para mejorar el desempeño de un proceso al dar indicaciones sobre las posibles causas de variación, y ayudan a la prevención de problemas.



Para mantener el desempeño de un proceso al indicar el tiempo de ajustes del mismo.

Interpretación de las graficas de control. Una señal de que se ha detectado una causa especial de variación (o señal de un cambio especial en el proceso) se manifiesta cuando un punto cae fuera de los limites de control o cuando los puntos graficados siguen un comportamiento no aleatorio ( por ejemplo, una tendencia a aumentar, un movimiento cíclico, entre otros. A continuación se dan algunos patrones para el comportamiento de los puntos en una gráfica. Además, se exponen algunas pruebas estadísticas para confirmar la existencia del patrón bajo discusión.

Patrón 1. Cambios (brincos) en el nivel del proceso. Este patrón es un cambio que se registra en la gráfica cuando pocos puntos están fuera o muy cerca de los limites de control o cuando una gran cantidad de puntos caen de un solo lado de la línea central. Estos cambios especiales pueden deberse a la introducción de nuevos trabajadores, maquinas, materiales o métodos; también pueden deberse a cambios en los métodos de inspección o a una mayor o menor atención de los trabajadores. Un cambio en el nivel del proceso ocurre cuando se cumple una de las siguientes 4 pruebas:

Prueba 1: Un punto fuera de los límites de control. Prueba 2: Dos de tres puntos consecutivos muy pegados al límite de control superior. Prueba 3: Cuatro de cinco puntos consecutivos muy pegados al límite de control inferior. Prueba 4: Ocho puntos consecutivos de un solo lado de la Línea Central.

Esta cuarta prueba es muy importante cuando se aplica a una carta de atributos. Aquí, si los ocho puntos consecutivos se dan por debajo de la Línea Central, entonces se ha producido una reducción definitiva del nivel promedio de piezas defectuosas que generaba el proceso; todo lo contrario se afirmará si las ocho observaciones se registran por encima de la Línea Central.

Patrón 2. Tendencias en el nivel del proceso Este patrón consiste en una tendencia a incrementar (o disminuir) los valores de los puntos en la gráfica. Una tendencia bien definida y larga no es un patrón aleatorio, por ello se debe a alguna causa especial. Por ejemplo, puede deberse al deterioro gradual del equipo de producción, el desgaste de las herramientas de corte; además de la acumulación de productos de desperdicio en las tuberías, el calentamiento de maquinas o los cambios graduales en las condiciones del medio ambiente.

Para determinar si hay una tendencia en el proceso se tiene la siguiente prueba concreta: Prueba 5: Seis puntos consecutivos ascendentes o descendentes.

Patrón 3. Ciclos recurrentes (periodicidad) Otro patrón no aleatorio que pueden presentar las gráficas es un comportamiento cíclico de los puntos. Por ejemplo, se da un flujo de puntos consecutivos que tienden a crecer y luego se presenta un flujo similar pero de manera descendente, y esto se repite cíclicamente. Cuando un comportamiento cíclico se presenta en la gráfica X, entonces las posibles causas son temperatura u otros cambios periódicos en el ambiente, rotación regular de maquinas u operarios, operarios o proveedores que se usan de forma alternada.

Si el comportamiento se presenta en la grรกfica de rangos, entonces algunas de las posibles causas son el mantenimiento preventivo programado o la fatiga de trabajadores o secretarias. Las cartas p, np, c y u resultan afectadas por las mismas causas. Cuando el ciclo consiste en que los puntos se van alternando entre altos y bajos, se tiene la siguiente prueba: Prueba 6: Catorce puntos consecutivos alternando entre altos y bajos.

Patrón 4. Mucha variabilidad Una señal de que en el proceso hay una causa especial de variación, que provoca que esté fuera de control estadístico, se manifiesta mediante una alta proporción de puntos cerca de los límites de control, a ambos lados de la línea central, y muy pocos o ningún punto en la parte central de la gráfica. Algunas causas que afectan a la gráfica X de esta manera son el sobrecontrol o los ajustes innecesarios en el proceso, diferencias sistemáticas en la calidad del material o en los métodos de prueba y control de dos o más procesos en la misma gráfica.

La grafica R puede ser afectada por la mezcla de materiales de calidades bastante diferentes, distintos trabajadores utilizando la misma gráfica R y datos de proceso operando bajo diferentes condiciones, graficados en la misma carta. Una prueba para detectar la alta proporción de puntos cerca o fuera de los límites es la siguiente: Prueba 7: Ocho puntos consecutivos a ambos lados de la línea central con ninguno en la línea central.

Patrón 5. Falta de variabilidad (estratificación) Una señal de que hay algo anormal en el proceso es que prácticamente todos los puntos se concentren en la parte central de la gráfica, es decir, que los puntos reflejen poca variabilidad. Algunas de las causas que afectan a todas las gráficas de control de esta manera son una equivocación en el cálculo de los límites de control, agrupamiento en una misma muestra a datos provenientes de universos con medias bastantes diferentes y gráfica de control inapropiada para la variable en cuestión.

Para detectar la falta de variabilidad se tiene la siguiente prueba: Prueba 8: Quince puntos consecutivos arriba o debajo de la lĂnea central.

Gráficas de control para variables Las gráficas de control para variables son utilizadas para controlar características de calidad medibles en una escala continua como longitudes, alturas, diámetros, etc.

Sus diferentes tipos son: 1. Gráfica de medias y rangos. 2. Gráfica de lecturas individuales. 3. Gráfica de medias y desviación estándar.

Gráficas de control para variables Los parámetros típicos de una gráfica de control son: 1.- Tamaño de muestra (n). a) Recomendable n= 4 o 5

2.- Numero de muestras. a) Veinte subgrupos con n=5, o 25 subgrupos con n=4 (100 observaciones individuales).

Tabla de constantes de Grรกficas de Control. n

1.880 1.023 0.720 0.577 0.483 0.419 0.373 0.337 0.308

3.267 2.574 2.282 2.114 2.004 1.924 1.864 1.816 1.777

2.659 1.954 1.628 1.427 1.287 1.182 1.099 1.032 0.975

3.267 2.568 2.266 2.089 1.970 1.882 1.815 1.761 1.716

1.880 1.190 0.800 0.690 0.550 0.510 0.430 0.410 0.360

2.660 1.770 1.460 1.290 1.840 1.110 1.050 1.010 0.975

1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078

0.797 0.886 0.921 0.940 0.951 0.959 0.965 0.969 0.972

0.076 0.136 0.184 0.223

0.030 0.118 0.185 0.239 0.284

Gráfica de medias y rangos Este tipo de gráfica es una herramienta estadística que muestra el comportamiento de la media (posición) y la variación (dispersión) de ciertas características de calidad de un proceso con respecto al tiempo. Esta grafica se usa para controlar una característica de calidad continua tomando muestras de tamaño entre 2 y 10.

El objetivo es evaluar, controlar y mejorar la característica de calidad de interés, desde el punto de vista del ajuste de su posición y la reducción de su variación con respecto al tiempo.

Muestra

Dureza

Muestra

Dureza

1.855

1.162

1.606

2.010

1.929

2.431

1.267

1.737

2.011

2.061

2.020

1.473

1.502

2.471

1.518

1.756

1.611

1.570

1.563

1.420

2.378

1.525

1.743

2.193

1.492

2.047

1.931

2.805

1.926

1.988

1.644

1.870

1.703

1.745

1.640

1.756

1.895

1.723

1.901

1.873

2.189

2.281

1.854

1.945

1.801

1.677

1.888

1.751

1.763

1.821

1.828

1.793

1.943

1.894

1.971

2.351

1.790

2.416

2.305

1.985

2.614

1.976

1.649

1.827

2.179

1.930

2.133

1.976

2.133

2.107

2.298

2.533

2.681

1.548

2.233

1.833

1.575

2.039

1.492

1.838

1.971

2.280

1.817

2.333

1.773

1.941

1.376

1.607

2.077

1.788

1.823

2.060

2.290

1.471

1.364

1.883

2.220

1.581

2.290

1.105

Ejemplo: Los cálculos son:

X = X₁ + X₂ + ……. Xk n

X = X₁ + X₂ +……Xk =1.896 k

R = x(k) − x(1)

R = R₁ + R₂ + …….. Rk = 0.662 k

Ejemplo Las ecuaciones del gr谩fico de control de medias vienen dados por las siguientes f贸rmulas: =2.278

Las ecuaciones del gr谩fico de control de rangos vienen dados por las siguientes f贸rmulas: =1399 =0.662

=1.896 =1.514

Gráfica de lecturas individuales Esta gráfica se usa cuando ya se ha llegado a un cierto grado de control del proceso, y su finalidad es verificar ese nivel de control que el proceso ha alcanzado. Esta grafica es muy poco sensible a cambios en el proceso en comparación con las graficas vistas anteriormente. La razón es que el tamaño de las muestras que se toman es n=1. Además se recomienda no tomar menos de 100 muestras (de tamaño n=1) para este tipo de gráfica.

Se tiene la siguiente informaci贸n de aire en la botella en la v谩lvula 44 en una operaci贸n de envasado de cerveza. Botella

Aire 44

Botella

Aire 44

Botella

Aire 44

0.51

0.34

0.59

0.42

0.34

0.42

0.59

0.42

0.34

0.42

0.34

0.42

0.51

0.42

0.34

0.42

0.34

0.59

0.34

0.42

0.51

0.42

0.34

0.42

0.34

0.42

0.68

Los límites de control se calculan con las siguientes formulas: X = ƩX = 0.422 k LSC(X)= X + E₂R = 0.6233 LIC(X)= X - E₂R = 0.2207

LSC(R)= D₄R = 0.2476 LIC(R)= D₃R = 0

R= ƩR = 0.07568 k-1

Gráfica de medias y desviación estándar Aun cuando es muy común la utilización de las gráficas de medias y rangos, en ocasiones es deseable estimar la desviación estándar del proceso directamente en vez de indirectamente mediante el uso del rango R. Esto lleva a las gráficas de control de medias y desviación estándar. En general estas graficas son preferibles a sus contrapartes mas familiares, las gráficas de medias y rangos, cuando: 1. El tamaño de la muestra n es moderadamente grande, por ejemplo n>10 o 12. 2. El tamaño de la muestra n es variable.

Muestra

Dureza

Muestra

Dureza

1.855

1.162

1.606

2.010

1.929

2.431

1.267

1.737

2.011

2.061

2.020

1.473

1.502

2.471

1.518

1.756

1.611

1.570

1.563

1.420

2.378

1.525

1.743

2.193

1.492

2.047

1.931

2.805

1.926

1.988

1.644

1.870

1.703

1.745

1.640

1.756

1.895

1.723

1.901

1.873

2.189

2.281

1.854

1.945

1.801

1.677

1.888

1.751

1.763

1.821

1.828

1.793

1.943

1.894

1.971

2.351

1.790

2.416

2.305

1.985

2.614

1.976

1.649

1.827

2.179

1.930

2.133

1.976

2.133

2.107

2.298

2.533

2.681

1.548

2.233

1.833

1.575

2.039

1.492

1.838

1.971

2.280

1.817

2.333

1.773

1.941

1.376

1.607

2.077

1.788

1.823

2.060

2.290

1.471

1.364

1.883

2.220

1.581

2.290

1.105

Ejemplo: Los cálculos son: n

Ʃ (Xi – X) i=1 n

X = X₁ + X₂ + ……. Xk n

X = X₁ + X₂ + ……. Xk = 1.896 k

s = Ʃsi = 0.273 k

Ejemplo: Los lĂmites de control de medias son: = 2.286 = 1.896

Los lĂmites de control de las desviaciones son: = 0.5703 = 0.273

= 1.507

Capacidad y habilidad del proceso Los procesos tienen variables de salida, los cuales, por lo general, deben cumplir con ciertas especificaciones para que sea posible considerar que tal proceso funciona de manera satisfactoria. Por lo tanto, evaluar la capacidad o habilidad de un proceso consiste en analizar que tan bien sus variables de salida satisfacen las especificaciones previstas. Los índices Cp y Cpk ayudan a enfatizar la necesidad de mejoras para reducir la variabilidad del proceso, también facilitan la comparación del desempeño de distintos proveedores o procesos y proporcionan una idea aproximada del porcentaje de artículos que no cumple con especificaciones.

El índice Cp Si para que un producto elaborado por un proceso se pueda considerar de calidad, los valores de las mediciones de cierta característica del tipo nominal deben ser iguales a cierto valor nominal o ideal (N) o al menos tienen que estar dentro de cierta especificación inferior (EI) y superior (ES), entonces una medida de la capacidad potencial del proceso para cumplir con tales especificaciones la da el índice de capacidad del proceso, Cp:

Capacidad y habilidad del proceso Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

Cp = Especificación Superior - Especificación Inferior _____________________________________________ 6σ Donde σ representa la desviación estándar de la característica de calidad que se mide al producto. Otra forma de expresar al índice Cp es con:

Capacidad y habilidad del proceso Cp = Variación Tolerada ___________________________________________ Variación Real El Cp está comparando el ancho de las especificaciones con la amplitud de la variación del proceso, medida esta última a través de una característica de calidad del producto. Por tanto, si la variación del proceso es mayor que la amplitud de las especificaciones, entonces el Cp es menor que 1.

Capacidad y habilidad del proceso De esta manera, si el valor del Ăndice Cp es menor que 1, es una evidencia de que no esta cumpliendo con las especificaciones. Por el contrario, si Cp es mayor que 1, entonces es una evidencia de que el proceso es potencialmente capaz de cumplir con las especificaciones.

Capacidad y habilidad del proceso Valor del Cp

Clase de Proceso

Decisión

Cp ≥ 2

Clase mundial

Se tiene calidad 6 sigma

Cp ≥ 1.33

Adecuado

1 < Cp < 1.33

Parcialmente adecuado, pero conforme el Cp se acerca a uno se generan más defectos.

0.67 < Cp < 1

No adecuado. Un análisis del proceso es necesario. Requiere modificaciones muy serias.

Cp < 0.67

Totalmente inadecuado. Requiere de modificaciones muy serias

Capacidad y habilidad del proceso En general, el Cp se utiliza para conocer y tomar decisiones sobre el proceso, dependiendo de su valor es el tipo de proceso y la decisi贸n que ha de tomarse. Si al analizar el proceso se encuentra que su capacidad no es compatible con las tolerancias, existen tres opciones: modificar el proceso, cambiar las tolerancias o sufrir e inspeccionar 100% de los productos. Por el contrario, si hay capacidad excesiva, esta se puede aprovechar, por ejemplo, vendiendo la precisi贸n, vendiendo el m茅todo, reasignando productos a maquinas menos precisas, acelerando el proceso y reduciendo la cantidad de inspecci贸n.

Índice Cpk El índice Cp estima la capacidad potencial del proceso para cumplir con tolerancias, pero una de sus desventajas es que no toma en cuenta el centrado del proceso. Sin embargo, se puede modificar el Cp para que además de tomar en cuenta la variabilidad, también evalué donde se localiza la media del proceso respecto a las especificaciones; al Cp modificado se le llama índice de capacidad real, Cpk:

Capacidad y habilidad del proceso Matemáticamente se expresa de la siguiente forma: Cpk = MC _____ 3σ Donde MC es el valor más pequeño de entre (ES - µ) y (µ - EI). A su vez, µ es la media de la característica de calidad.

Capacidad y habilidad del proceso El índice Cpk va a ser igual al Cp cuando la media del proceso se ubique en el punto medio de las especificaciones. Si el proceso no esta centrado, entonces el valor del índice Cpk será menor que el Cp, de manera que la magnitud del Cpk relativa al Cp sea una medida directa de qué tan centrado está operando el proceso. Valores de Cpk mayores que 1 indican que el proceso esta fabricando artículos que cumplen con las especificaciones, mientras que valores menores que 1 indicaran que se están produciendo artículos fuera de las especificaciones. Valores del Cpk igual a cero o negativos, indican que la media del proceso está fuera de las especificaciones. Para calcular el Cp y Cpk para un proceso concreto es necesario conocer la media, µ, y la desviación estándar, σ, de la característica de calidad.

Ejemplo: Una característica importante de los costales de fertilizante es que su peso debe ser de 50 kg. La especificación inferior para el peso es 49 kg, y a la superior es 51. Además, se obtiene que la media del peso es X = 49.76 y el rango medio R = 1.05. Es a través de R que es posible estimar la desviación estándar del proceso σ, ya que se sabe que: σ=R d2

Ejemplo Donde en este caso n = 4, por lo que d2 = 2.059, Por lo que: σ = 1.05 = 0.51 2.059 Así, el Cp para el proceso de envasado está dado por: Cp = 51 – 49 = 2 = 0.65 6 (0.51) 6 (0.51)

Ejemplo Valor del Cp

Clase de Proceso

Decisión

Cp ≥ 2

Clase mundial

Se tiene calidad 6 sigma

Cp ≥ 1.33

Adecuado

1 < Cp < 1.33

Parcialmente adecuado, pero conforme el Cp se acerca a uno se generan más defectos.

0.67 < Cp < 1

No adecuado. Un análisis del proceso es necesario. Requiere modificaciones muy serias.

Cp < 0.67

Totalmente inadecuado. Requiere de modificaciones muy serias

De esta manera, el proceso de envasado es incapaz de cumplir con las especificaciones y, de acuerdo con la tabla requiere de modificaciones muy seria.

Ejemplo Para ver el centrado a través del Cpk, se tiene que el mínimo de (ES – µ) = 1.24 y ( µ - EI) = 0.76 es 0.76, por lo que el : Cpk =

0.76 = 0.497 3 (0.51) De esta manera, como el Cpk es menor que el Cp, entonces el proceso está descentrado, lo cual se ve al comparar la media 49.76 con 50

Valor del índice

Proceso con doble especificación % fuera de especificación

Partes por millón fuera

Proceso con sólo una especificación % fuera de especificación

Partes por millón fuera

0.25

45.33

453,225

22.66

226,628

0.50

13.36

133,614

6.68

66,807

0.60

7.19

71,861

3.59

35,931

0.70

3.57

35,729

1.79

17,865

0.80

1.64

16,395

0.82

8,198

0.90

0.69

6,934

0.35

3,467

1.00

0.27

2,700

0.135

1,350

1.10

0.097

967

0.048

484

1.20

0.032

318

0.016

159

1.30

0.010

0.005

1.40

0.003

0.0014

1.50

0.0007

0.0004

1.60

0.0002

0.0001

Ejemplo En la tabla se observa que el porcentaje de costales fuera de especificaciones que este proceso generarรก por el lado izquierdo con Cpk = 0.495 serรก al menos de 6.68%.