Trabajo Fin de Grado Luis Lozano Bodeguero by Luis Lozano Bodeguero

APLICACIONES DE LA ESTÁTICA GRÁFICA AL DISEÑO DE ESTRUCTURAS MEDIANTE HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS

Luis Lozano Bodeguero. 50895732-K Exp.: 10246 l.lozanobode@hotmail.com

Tutor: José Luis Fernández Cabo ETSAM

aula TFG 3

ENERO 2016 TRABAJO FIN DE GRADO PLAN 2010

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ÍNDICE

1. Resumen.............................................................................................................2 2. Introducción.......................................................................................................2 2.1. Objetivo..............................................................................................2 2.2. Notas históricas...................................................................................3 3. Bases de la estática gráfica.............................................................................6 4. Método................................................................................................................8 4.1. Método empleado............................................................................9 4.2. Herramienta empleada..................................................................13 4.3. Aplicación del método mediante la herramienta......................13 5. Estudio de casos...............................................................................................14 5.1. Puente Samuel Beckett..................................................................14 5.2. Aeropuerto Stuttgart........................................................................19 5.3. Nave del almacén de aduanas de Chiasso................................25 6. Conclusiones....................................................................................................31 7. Bibliografía........................................................................................................32

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1.RESUMEN En el presente artículo se expone un método gráfico para la optimización y el diseño estructural teniendo como principio la estática gráfica, aprovechando las posibilidades que las herramientas informáticas aportan. El método expuesto trabaja con la modificación de variables parametrizadas en el Diagrama de Fuerzas, y sitúa la estática gráfica como una herramienta de diseño desde la fase inicial del proyecto, la fase de "form-finding". Partiendo del concepto de reciprocidad de Maxwell, la modificación del Diagrama de Fuerzas supone la modificación de la forma. La ventaja de este método es que queda asegurado el equilibrio de la solución en todo momento y no requiere de elementos adicionales de sustentación en la estructura. En primer lugar se presentan unas notas históricas sobre la evolución de la estática gráfica, y una breve explicación de sus conceptos básicos, introduciendo la relación entre Diagrama de Fuerzas y diagrama de forma. A continuación se expone el método con un detallado ejemplo gráfico, y finalmente la aplicación de dicho método en tres casos de diferente topología. Palabras clave: diagrama de fuerzas, diagrama de forma, optimización, reciprocidad, form-finding, parametrizado, estática gráfica.

2. INTRODUCCIÓN El uso de la estática gráfica en el diseño de estructuras supone una integración entre diseño, cálculo y construcción, debido a que permite al diseñador tener conciencia de la forma de la estructura y del flujo de las fuerzas en todo momento, estando éstas en continua relación. Dicha integración se ha perdido desde mediados del siglo XIX por el uso de la herramienta matemática para el diseño, que ha desplazado a la estática gráfica únicamente a la parte de análisis de la estructura. La pérdida de la posibilidad de usar la estática gráfica como herramienta de diseño ha supuesto el encarecimiento de proyectos (debido a que los componentes estructurales son un porcentaje importante del precio final) y la obligación de incorporar métodos adicionales de sujeción de la estructura.

2.1. OBJETIVO El documento tiene por objetivo el resurgir de la estática gráfica como herramienta de diseño de primer orden, gracias a las posibilidades de las herramientas informáticas. Se pretende la inversión del uso habitual de la estática gráfica, es decir, que no sea únicamente una herramienta de análisis sino que sea usada también en la fase de diseño, para ello se tendrá como origen el equilibrio de fuerzas, no una forma ya dada. Se presenta un método capaz de favorecer el form-finding teniendo asegurado en todo momento el equilibrio de fuerzas del sistema. Este continuo equilibrio de fuerzas del sistema se consigue porque en todo momento el polígono de fuerzas y la forma de la estructura están cerrados, y queda asegurada la coherencia entre ambos gracias a su relación recíproca.

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2.2. NOTA AS HISTÓR RICAS La estática e grá áfica apare ece antes que la herram mienta mattemática y ambas ava anzan en paralelo hasta poco después de e la mitad del d siglo XIX X, momento o en que con la aparición del ática gráfica a la parr que empiieza a desa aparecer, dejando d ordenadorr se consolida la está protagonissmo a la herramienta matemática m a. La base co onceptual de d la estátic ca gráfica se encuentrra en la ley del d paralelo ogramo, la cual fue aplicada por p vez prim mera por Leo onardo Da Vinci en 150 00 con sus dibujos d ace erca de la descompo osición de fu uerzas (fig. 1), aplicó esstos concep ptos de la estática e gráfica desde sus primeros in nventos.

Figura 1. Dibujos Leonaardo Da Vinci.

mon Stevin en e 1586 fue e el primero o en anticip par el teore ema de Varignon relattivo a la Sim resultante de las fuerzzas y mome entos en un cuerpo (STE EVIN.S, 1586 6), el cual re esultaría el inicio i de a gráfica. Stevin dem mostró el equilibrio e de e un cuerp po sobre u un plano in nclinado la estática gráficamente (fig.2): empleaba una cuerda a con peso os distribuido os a lo largo o de ella so obre dos nados de diferente d pe endiente y lo ongitud, da aba una resspuesta grá áfica sobre la forma lados inclin generada por esta cu uerda y sus pesos.

Figura 2 Figura 2. Experimento Stevin.

Figura 3. Figura 3 Experimento Varignon.

Pierre Varig gnon (mate emático fra ancés) es el primero en n tratar con nceptos de la estática a gráfica (sin definirla como tal) en 1725 en e su trabajo "Nouvelle e Mecaniqu ue ou Statiq que" (VARIG GNON.P, p de un experimen nto (fig.3) en e el que colgaba c una serie de pesos de un u hilo y 1725). A partir analizaba la forma generada g por dicho hilo. Comiienza a inttroducir la idea del polígono p erada por el e hilo) y po olígono de fuerzas f (diagrama que e representa a el flujo funicular (fforma gene de las fuerzas en el interior i de la geometría). Estudia a la relació ón que existte entre lass fuerzas p dichos pesos p sobre el hilo con la forma ge enerada po or el hilo. ejercidas por

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Karl Culmann (ingeniero alemán) profundiza en la relación existente entre el polígono funicular y el polígono de fuerzas (idea ya introducida por Varignon), en su obra publicada en 1865 "Die graphische Statik" (CULMANN.K, 1865). Culmann no publicó su trabajo terminado ya que trabajó en el campo ideal, fue su alumno Wilhelm Ritter quien publicó entre 1888 y 1906 el trabajo sobre la estática gráfica más reconocido, el libro técnico formador de generaciones de ingenieros editado en cuatro volúmenes (RITTER.W, 1888-1906). Culmann estudió la relación directa entre el polígono de fuerzas y el funicular del sistema de fuerzas y sus reciprocidades (fig.4). Numerosos autores colocan a Culmann como el origen de la estática gráfica. Culmann consideraba al dibujo como el verdadero lenguaje de lo ingenieril oponiéndose al método del análisis matemático. Daba tal valor a la estática gráfica debido a la rápida compresión que el sistema aporta y su relación inmediata entre la forma y las fuerzas.

Figura 4. Gráficos Culmann.

Maxwell (físico británico) en 1870 estableció que los nodos, líneas y áreas de la geometría tienen su recíproco en el polígono de fuerzas (MAXWELL.JC, 1870): cada nodo de la geometría se ve representado en un área del polígono de fuerzas, cada línea de la geometría en otra línea del polígono de fuerzas, y cada área de la geometría en un nodo de las fuerzas (fig.5). La relación recíproca que expuso Maxwell entre elementos era de perpendicularidad.

Figura 5. Concepto de reciprocidad de Maxwell.

Luigi Cremona (matemático italiano) en su obra "Le figure reiproche nella grafica statica" de 1872 (CREMONA.L, 1872) propuso un avance a la relación entre el polígono de fuerzas y el de formas propuesto por Maxwell, haciendo que esta relación geométrica de reciprocidad entre el diagrama de fuerzas y el polígono funicular fuera paralela (fig.6) en vez de perpendicular como había sido propuesto anteriormente por Maxwell. De tal forma que cada línea de la geometría tenía una paralela en el diagrama de fuerzas, lo cual lo convirtió en mucho más intuitivo y rápido de ver. Además aportó que la longitud de cada línea del polígono de fuerzas representaba la magnitud el esfuerzo axil del elemento de la estructura con el que estaba relacionado. A su vez, la longitud de cada línea del diagrama de forma representaba la longitud real de la geometría de la estructura.

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Figura 6. Reciprocidad paralela de Cremona.

La estática gráfica alcanza su consolidación a finales del siglo XIX, tal como lo demostró Maurice Koechlin (alumno de Culmann) tras su análisis gráfico de la Torre Eiffel. Sin embargo, a mediados del siglo XIX comienza el desplazamiento de la estática gráfica cediendo terreno al método matemático, estando ya completa la teoría clásica de las estructuras. Dicho protagonismo del método matemático sobre el gráfico implicó un nivel mayor de racionalización de los métodos de diseño estructural, pero también supuso una desintegración entre diseño, cálculo y construcción (conceptos que hasta el momento la estática gráfica mantenía unificados). Desde este punto se evidencia la separación entre la ingeniería y la arquitectura, dejándose la estática gráfica principalmente como herramienta didáctica para la compresión de estructuras. A día de hoy, la estática gráfica es utilizada como herramienta de enseñanza de estructuras para arquitectos en muchas universidades como Cambridge, ETH Zurich o Mit entre otras. En el campo de la producción de arquitectura, el ordenador en el siglo XXI está realzando la estática gráfica y haciéndola revivir. El valor de la estática gráfica y su habilidad de producir intuitivos y directos reconocimientos del sistema de fuerzas ha sido enfatizado por arquitectos e ingenieros (LACHAUER.L, 2015) como Gaudi (fig.7), Luigi Nervi (fig.8), Frei Otto (fig.9), o Conzett (fig.10).

Figura 7. Sagrada Familia. 1882.

Figura 8. Palazzetto dello Sport. Figura 9. Estadio Olímpico de 1960. Munich. 1972.

Figura 10. Pasarela Traversina. 2005.

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3.BASES DE LA ESTÁTICA GRÁFICA La estática gráfica es una rama de la mecánica que permite manejar las condiciones de equilibrio de un sistema de fuerzas de manera gráfica. La estática gráfica se fundamenta en tres principios (BEER.F.P, 2007): la ley del paralelogramo, la primera ley de Newton y el principio de transmisibilidad. La ley del paralelogramo (fig.11) establece que dos fuerzas P1 y P2, que actúan sobre una partícula, son equivalentes en su acción a una fuerza resultante única R que se obtiene como diagonal del paralelogramo construido con los vectores dados. La primera ley de Newton establece que si la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, el cuerpo permanece en reposo. El principio de transmisibilidad (fig.12) considera a las fuerzas como vectores deslizantes, parte de la evidencia experimental de que una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción. Por el principio de transmisibilidad se establece que las condiciones de un cuerpo se ven inalteradas si una fuerza P se remplaza por una fuerza P', de misma magnitud y dirección pero aplicada en un punto distinto en la misma línea de acción. De la combinación de ambas se resuelve el equilibrio en los cuerpos con fuerzas no aplicadas en un mismo punto (fig.13).

Figura 11. Ley del paralelogramo.

Figura 12. Principio de transmisibilidad.

Figura 13. Paralelogramo y transmisibilidad.

En el caso de que actúen más de dos fuerzas coplanares en un cuerpo, mediante la combinación de la ley del paralelogramo (fig.11) y el principio de transmisibilidad (fig.12), se traza el polígono de fuerzas: si el polígono de fuerzas formado por las fuerzas dadas P1, P2, P3 y P4 forman un polígono abierto, existe una fuerza resultante R y no hay equilibrio de fuerzas (fig.14); si este polígono de fuerzas es un polígono cerrado no existirá fuerza resultante y habrá equilibrio de fuerzas ∑ F=0 (fig.15), (BEER.F.P, 2007).

Figura 14. Polígono abierto.

Figura 15. Polígono cerrado.

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Si las fuerzas forman un polígono cerrado queda demostrado que el sistema está en equilibrio de fuerzas ∑F=0, pero puede existir un momento de giro en el sistema. Se dividirán las fuerzas en el polígono funicular en dos grupos con resultantes R1 y R2 iguales y opuestas denominadas par resultante (fig.16): en el caso particular de que las líneas de acción de ambas resultantes coincidan en el polígono funicular, el sistema de fuerzas se halla en equilibrio de momentos con respecto a cualquier punto del plano ∑M=0.

Figura 16. Par resultante.

En el caso de que actúen más de dos fuerzas en un cuerpo pero que todas ellas no estén contenidas en un único plano, se debe proceder en cada punto del mismo modo agrupando las fuerzas dos a dos, la resultante ha de ser nula para que se verifique así el equilibrio del sistema. En caso de que éste polígono de fuerzas sea abierto el valor de la resultante será la magnitud y dirección de la fuerza que se debe aplicar al sistema para que resulte en equilibrio. El polígono de fuerzas y el polígono de forma están relacionados de modo directo, una vez trazadas las fuerzas en el diagrama de fuerzas estas podrán ser descompuestas con el objetivo de trazar un flujo de fuerzas, para ello se dibuja un punto arbitrario O denominado polo. Se trazan los rayos polares (rectas que unen el polo O con los puntos final e inicial de los vectores de fuerza), los que representan el flujo de fuerzas en la geometría. Mediante el movimiento del polo O en el diagrama de fuerzas se produce la modificación de la forma (figs.17 y 18).

Figura 17. Relación fuerzas‐forma.

Figura 18. Relación fuerzas‐forma.

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La nomenclatura de Bow completa y clarifica el método de Cremona, tiene la principal función de relacionar el polígono funicular y el polígono de fuerzas mediante referencias alfanuméricas: las regiones internas a la estructura y delimitadas por las barras de la misma se denominan con números; las regiones externas a la estructura, consideradas cerradas en el infinito y delimitadas por las acciones y reacciones, se denominan con letras mayúsculas (fig.19). Para nombrar cada fuerza externa (acción o reacción) o interna (esfuerzos) se usarán dos letras (minúsculas), números o su combinación: situándose en un nudo se determina un sentido de giro (horario o antihorario, pero siempre el mismo), según las áreas próximas a cada fuerza se situará en primer lugar la del área primera seguido del segundo(a1, 23, 3d) (fig.20). Con dicho criterio el polígono de fuerzas y el polígono de forma estarán relacionados según el criterio de reciprocidad (CREMONA.L, 1872), tal que cada línea se relacionará con una línea, cada punto con un área y viceversa (fig.21).

Figura 20. Nomenclatura de fuerzas.

Figura 21. Polígono de fuerzas.

Figura 19. Polígono de forma.

4.MÉTODO A continuación se expone el método empleado en el trabajo, el cual tiene sus fundamentos en los principios de la estática gráfica. El método trata de situar a la estática gráfica como una herramienta de diseño de primer orden, empleada en la fase de producción de la idea y no únicamente como una herramienta de análisis (finalidad que se le dota más comúnmente). Esta nueva interpretación de la estática gráfica aunaría diseño, cálculo y construcción, conceptos que hasta mediados del siglo XIX se mantenían integrados y con las herramientas informáticas se pretende su reaproximación. Programas informáticos capaz de llevar adelante este método son Grasshopper y Geogebra.

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4.1.MÉTODO EMPLEADO El método empleado en el trabajo es la estática gráfica, el método explicado a continuación solo podrá ser usado para sistemas en los que no existan momentos flectores sino que únicamente axiles (tracción y compresión). Siguiendo rigurosamente los pasos descritos a continuación (se adjunta un modelo de un puente tipo que irá siguiendo el proceso: con tres tirantes paralelos entre sí que sostienen el tablero, sujetos por un mástil con forma funicular y contrarrestados por un tirante anclado a un terreno irregular): 1.- IDENTIFICAR LA TOPOLOGÍA En primer lugar se determina la topología de la geometría (fig.22) (con independencia del tamaño o forma de la misma), y se identifican los nudos y las barras y sus uniones entre sí. Nudos: Barras:

Figura 22.

2.- DEFINIR CONSTRICCIONES GEOMÉTRICAS DE NODOS Se determina la naturaleza geométrica de cada punto del sistema en función de su posición (fig.23), se identifica cada punto según la posibilidad de movimiento que se le otorgue distinguiéndose entre: I. puntos fijos / II. puntos deslizables por una línea (recta, curva o irregular) / III. puntos libres Punto fijo: Punto deslizable: Punto libre:

Figura 23.

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3.- DEFINIR CONSTRICCIONES GEOMÉTRICAS DE BARRAS Es posible que existan ciertas constricciones o propiedades de las barras que nos interesen dentro de la topología elegida (fig.24). Entre muchas, algunas de éstas podrían ser: barras paralelas entre sí, barras verticales, barras horizontales, barras en dirección a un punto común... Paralelas: Verticales: Horizontales: A punto común:

Figura 24.

4.- DETERMINAR ACCIONES Y LOCALIZAR REACCIONES Ya teniendo totalmente definida la topología se determinan las acciones en magnitud y posición, y se localiza la posición de las reacciones (fig.25), la posición de las acciones y reacciones será en un punto que podrá ser fijo, deslizable o libre (explicado en apartado 2). Acciones: Reacciones:

Figura 25.

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5.- IDENTIFICAR REGIONES Se da una referencia alfanumérica a las regiones internas y externas de la forma, siguiendo la nomenclatura de Bow (pág.8): con números las regiones internas, y con letras mayúsculas las regiones externas (fig.26). De dicho modo cada fuerza externa (acciones y reacciones) e interna (esfuerzos) quedarán nombrados por dos letras, números, o su mezcla: los esfuerzos internos se nombrarán por las regiones que tienen a ambos lados (23, a1, 1e...); para las acciones y reacciones, se considera un sentido horario o antihorario (es indistinto, pero se elige uno para la nomenclatura de todos), y se nombrará la acción empezando por la región primera según el giro y seguido de la región al lado contrario de la fuerza (ab, de...). Regiones internas:

1,2,3...

Regiones externas:

A,B,C...

Figura 26.

6.- TRAZADO DE POLÍGONO DE FUERZAS Se traza el polígono de fuerzas (fig.27) de acuerdo a la parametrización dada según la relación de reciprocidad de Cremona (CREMONA.L, 1872): se comienza trazando las acciones, nombrando sus extremos con letras minúsculas según las regiones contiguas en la forma (apartado 5), y se prosigue uniendo los extremos de éstas con los puntos correspondientes a las regiones contiguas según la topología elegida, con el fin de hallar los esfuerzos internos, respetando las constricciones geométricas ya preestablecidas (apartado 3). Una vez dibujado el polígono de fuerzas se traza la forma resultante (fig.28) mediante paralelas por los nodos correspondientes ya fijados (apartado 2).

Figura 27.

Figura 28.

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7.- TOMA DE DATOS Y COMPARACIÓN Podremos obtener diversas formas dentro de la misma topología ya elegida moviendo los puntos del diagrama de fuerzas, teniendo en todo momento asegurado el equilibrio de fuerzas de la estructura por encontrarse cerrado el polígono de fuerzas. Esto nos permitirá visualizar diversas posibilidades (figs.29-31). La longitud de las líneas en el diagrama de forma permite obtener datos acerca de la medida real de cada barra. La longitud de las líneas en el diagrama de fuerzas permite obtener datos sobre los esfuerzos internos de cada barra. Tras la multiplicación de ambas medidas (fuerza y longitud) se obtiene la cantidad de estructura del sistema, lo que a su vez derivará en cantidad y coste de material, pudiendo usar este dato como comparativo entre varias propuestas. La cantidad de estructura no es un dato de comparación absoluta de costes, puesto que no implica conceptos influyentes como la estabilidad del sistema, o la dificultad de ejecución entre otros, pero resulta un dato bastante orientativo.

Figura 29.

Figura 30.

Figura 31.

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4.2.HERRAMIENTA EMPLEADA La herramienta empleada en el trabajo es el programa informático Geogebra (fig.32). Geogebra es un programa de geometría que permite parametrizar las construcciones; trabaja con puntos, vectores, segmentos, rectas y planos tanto en dos como en tres dimensiones. Geogebra supone la herramienta fundamental para este trabajo debido a la posibilidad que ofrece de interrelacionar el diagrama de fuerzas y diagrama de formas. Además, el programa cuenta con una hoja de cálculo (similar a hojas Excel) que te permite anotar las medidas de los segmentos de la hoja de dibujo y operar con estos valores. El programa permite extraer los datos tanto en formato imagen como en Gifs (imágenes interactivas).

Figura 32. Interfaz de Geogebra.

4.3.APLICACIÓN DEL MÉTODO MEDIANTE LA HERRAMIENTA A continuación se muestran imágenes extraídas del programa Geogebra, siendo aplicado el método a seguir de la estática gráfica en el experimento de Varignon (VARIGNON.P, 1725)(fig.3). Se observa cómo tras la modificación del flujo de las fuerzas se produce una variación de la forma funicular (figs.33-36).

Figura 33.

Figura 34.

5.ESTUDIO DE CASOS

Figura 35.

Figura 36.

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5.ESTUDIO DE CASOS Se ha aplicado el método propuesto a tres arquitecturas ya existentes: el puente de Samuel Beckett, el sistema estructural del aeropuerto de Stuttgart, y la nave del Almacén de aduanas de Chiasso. Se ha partido de la topología estructural propia y se han propuesto diversas alternativas formales, siguiendo el método ya explicado (págs.9-12) mediante el programa informático Geogebra (pág.13). En estos tres casos elegidos no existen momentos flectores en sus elementos estructurales principales por lo que el método se puede aplicar. Las diferentes imágenes mostradas de las propuestas, tanto su diagrama de forma como diagrama de fuerzas, han sido directamente sacadas del programa Geogebra.

5.1.PUENTE SAMUEL BECKETT

Figura 37.

El puente de Samuel Beckett (fig.37) se ubica en el centro de Dublín, Irlanda, uniendo la orilla sur del río Liffey con la norte, el arquitecto del proyecto es Santiago Calatrava y es construido en 2007. El arquitecto inspira el diseño del puente en la tradicional arpa irlandesa, en su diseño los tirantes evocan las cuerdas siendo así el puente una mezcla de simbolismo y modernidad. El puente hace homenaje a Samuel Beckett, premio Nobel de literatura en 1969, que junto al puente James Joyce, el cual se encuentra aguas arriba sobre el mismo río, la ciudad rinde homenaje a dos de sus autores más importantes. El puente es diseñado como entrada marítima de Dublín, por un lado debía permitir el tráfico fluvial y por otro conectar las dos partes de la ciudad, por ello el tablero puede girar 90º mediante un mecanismo de rotación sobre la base del pilono. Estructuralmente, el sistema tiene su base en la estática gráfica. Se trata de una pasarela de 124 metros de largo y 27 de ancho con vigas en voladizo dispuestas transversalmente a la dirección principal de la misma. La sustentación de la pasarela se debe a 31 tensores de cable paralelos entre sí que transmiten el peso propio del puente y su carga de uso desde el eje central del tablero a un pilono. El pilono, de 40 metros de altura, tiene una forma funicular funcionando únicamente a compresión (al conseguir la no existencia de esfuerzos de flexión en ningún componente de la estructura se consigue optimizar la estructura siendo necesario menos sección de material). El pilono es contrarrestado por 6 tirantes traseros anclados al terreno, los cuales cierran el polígono de fuerzas del sistema.

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A continuación, tras la descripción y el análisis de las características generales del puente, se procede al estudio de diversas variantes de diseño que podrían haber existido poniendo estas en continua comparación según su cantidad de estructura. Previamente se estudia la topología del sistema (fig.38). Los valores que se han parametrizado son: longitud de tirantes, longitud del contrarresto y arranque del contrarresto.

Figura 38. Topología del sistema.

En primer lugar, tras el trazado de la topología en Geogebra, se expone el caso real (fig.40), para ello se han ido moviendo los valores parametrizados (longitud de tirantes, longitud del contrarresto y arranque del contrarresto) hasta hacerlo coincidir con la imagen. En la elección de la forma exacta dentro de las posibilidades de la topología se presupone que el arquitecto buscó un equilibrio entre la componente de diseño y la económica. Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resulta tener una cantidad de estructura de 3.157 (en función de nuestras cargas).

Figura 39. Polígono de fuerzas. Caso realizado.

Figura 40. Polígono de forma. Caso realizado.

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A continuación se ha llevado a cabo una fase de form-finding (búsqueda de nuevas formas) a partir de las tres variables parametrizadas en la topología inicial: longitud de contrarresto (1), longitud de tirantes (2), y arranque del contrarresto(3). En las diferentes propuestas según los valores parametrizados se muestran el diagrama de forma, el diagrama de fuerzas, la parábola que nos permite encontrar el punto de menor cantidad de estructura (en el eje de abscisas la cantidad de estructura y en el de ordenadas el punto más alto del tirante de contrarresto) y el valor de cantidad de estructura. En los tres casos se encuentra el menor valor de cantidad de estructura moviendo únicamente un valor en el Diagrama de Fuerzas, éste se encontrará en el punto en que la parábola que se traza tenga su punto lo más a la izquierda posible. _En el primer caso (fig.43) se dejan fijos el arranque del contrarresto (se mantiene igual al caso construido) y la dirección del contrarresto, variando únicamente la longitud del contrarresto con el movimiento de un punto del Diagrama de Fuerzas (fig.42). Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resulta tener una cantidad de estructura de 3.069 (en función de nuestras cargas). Por lo tanto se deduce que únicamente variando la longitud del contrarresto se podrían haber reducido gastos en cantidad de material en un 3%.

Figura 41. Cantidad de estructura mínima (1).

Figura 42. Diagrama de fuerzas (1).

Figura 43. Diagrama de forma (1).

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_En el segundo caso (fig.46) se dejan fijos el arranque del contrarresto (se mantiene igual al caso construido) y la dirección de los tirantes variando únicamente su longitud con el movimiento de un punto del Diagrama de Fuerzas (fig.45). Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resulta tener una cantidad de estructura de 2.417 (en función de nuestras cargas). Por lo tanto se deduce que únicamente variando la longitud de tirantes se podrían haber reducido gastos en cantidad de material en un 23%.

Figura 44. Cantidad de estructura mínima (2).

Figura 45. Diagrama de fuerzas (2).

Figura 46. Diagrama de forma (2).

_En el tercer caso (fig.49) se dejan fijos la dirección y longitud de los tirantes (se mantiene igual al caso construido) variando únicamente el arranque del contrarresto con el movimiento de un punto del Diagrama de Fuerzas (fig.48). Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resulta tener una cantidad de estructura de 2.916 (en función de nuestras cargas). Por lo tanto se deduce que únicamente variando el arranque del contrarresto se podrían haber reducido gastos en cantidad de material en un 8%.

Figura 47. Cantidad de estructura mínima (3).

Figura 48. Diagrama de fuerzas (3).

Figura 49. Diagrama de forma (3).

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Finalmente se procede a la búsqueda del caso óptimo (fig.52), el de menor cantidad de estructura, dejando de lado el diseño. Para esta búsqueda se han ido moviendo los tres puntos del Diagrama de Fuerzas (fig.51), hasta encontrar el punto más a la izquierda de las múltiples parábolas (fig.50), obteniendo así el punto de menor cantidad de estructura. Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resultaría tener en su caso más óptimo una cantidad de estructura de 2.090 (en función de nuestras cargas). Por lo tanto se deduce que habiendo mantenido la topología del puente se podrían haber reducido gastos en cantidad de material en un 34%.

Figura 50. Cantidad de estructura mínima (óptimo).

Figura 51. Figura 52. Diagrama de fuerzas Diagrama de forma (óptimo). (óptimo).

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5.2.AEROPUERTO DE STUTTGART

Figura 53.

El Aeropuerto de Stuttgart (fig.53) es un aeropuerto internacional ubicado a 13 km al sur de la ciudad alemana Stuttgart. Es diseñado por el arquitecto Meinhard Van Genkar y construido en 2004. La apariencia externa del aeropuerto parece una gran ala inclinada en la llanura de las afueras de Stuttgart, con un interior que sorprende por su evocación al bosque de Birnam de Macbeth debido a su sistema estructural que recuerda a las formas de sus árboles; en él se manifiesta el diálogo entre una estructura pesada de hormigón contra unos tubos de acero aparentemente ligeros que la sustentan. La cubierta del edificio está formada por doce crujías rectangulares de 22x32 metros, siendo sostenida cada una de ellas por un juego propio de un árbol (fig.55): emane del suelo de forma vertical el tronco, que consta de cuatro tubos estructurales de acero paralelos y conectados entre sí, éstos se doblan para convertirse primero en ramas principales que más adelante se bifurcan en racimos de ramas cada vez más pequeñas, finalmente 64 "ramitas" soportan una retícula ortogonal de vigas sobre la que se apoya el forjado.

Figura 54. Imagen interior del aeropuerto.

Figura 55. Módulo estructural unitario.

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El sistema estructural recoge las cargas verticales del peso de la cubierta y las transmite de forma aparentemente descuidada hasta el suelo, llegando así a la reacción final. Este flujo de esfuerzos internos por ramas y troncos tiene su principio en la estática gráfica, donde ninguno de sus elementos trabaja a flexión, lo cual reduce notablemente los costes materiales y cantidades de material. A continuación, tras la descripción y el análisis de las características generales de la estructura, se procede al estudio de diversas variantes de diseño que podrían haber existido poniendo éstas en continua comparación según su cantidad de estructura. Previamente se estudia la topología del sistema (fig.56), de la que se deduce que está formado por un conjunto de tronco (1) - ramas primarias (4) ramas secundarias (16) - ramitas (64). Se trabaja el caso con su proyección en dos dimensiones sobre uno de sus alzados principales. Se considera como puntos móviles de la estructura cada uno de los siete nodos existentes, obteniendo dicho movimiento como resultado de la modificación del diagrama de fuerzas.

Figura 56. Topología del sistema.

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En prrimer lugar, tras el trazado de la topología t arbórea a en Geogebra,, se expone e el caso real (fig.57 7), para ello se han ido movien ndo los nod dos como resultado r d de la variac ción del diagrama de fuerzas (fig.58) hastta hacer co oincidir cada nodo de la forma co on la realida ad. En la d la forma exacta de entro de lass posibilidad des de la to opología se e presupone e que el elección de arquitecto buscó un equilibrio e en ntre la com mponente de d diseño, fu uncionalida ad y la económica. gas conside eradas, el siistema resu ulta tener un na cantidad de estruc ctura de Partiendo de las carg nción de nu uestras carg gas). 137 (en fun

Figura 57. Polígono de e forma. Caso re ealizado.

Figura 58. Polígono de fuerzas. Caso realizado.

Manteniendo los princip pios de estta topologíía de tronco-ramas-ra amas secu undariase procede a la búsq queda del caso óptimo (fig.59)), el de m menor cantidad de ramitas, se estructura,, mediante la variación n del diagra ama de fue erzas (fig.60); el caso o obtenido supone "la negación" del sistema a llevando todo los nudos n a la base, lo cu ual evidentemente a nivel de diseño seríía un fracaso pero sirv ve de punto o de partid da para comparación de cantida ades de estructura.. En este ca aso el valor obtenido o co omo cantid dad de estru uctura no e es tan significativo a nivel de comparar ca antidad de e material, porque el sistema s resu ultaría tene er poca esttabilidad ue no pand deo ya que e no hay constriccion c nes interme edias), lo que le pena alizaría y global (qu exigiría aum mentar sec cción. Partie endo de las cargas con nsideradas, el sistema resultaría te ener una cantidad de d estructurra de 117 (e en función de d nuestras cargas). Porr lo tanto se deduce qu ue se podría an haber re educido los gastos de m materiales del d caso real habien ndo mantenido la topo ología en un 15%.

Figura 59. Diagrama de forma (óptimo o).

Figura 60. Diagrama d de fuerzas (óptimo).

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A continuació c ón se ha lle evado a ca abo una fasse de form--finding (bú úsqueda de e nuevas formas) buscando diferentes d intereses en cada caso. c Estas nuevas fo ormas se han h ido v de e los puntoss móviles de el Diagrama a de Fuerza as, lo cual su upone el encontrando tras la variación odos de la a forma porr estar ésto os parametrrizados y re elacionadoss con el movimiento de los no m assegurado el e equilibrio del sistema a por el diagrama de fuerzass, estando en todo momento D d Fuerzas. En cada ca de aso se muestra el Diagrama de Fu uerzas, el Diiagrama cierre del Diagrama de Forma, la cantidad d de estructtura de la propuesta, p y el comparrativo con e el caso real. _En el e primer ca aso se disp ponen todo os los nudoss a una altura constan nte (fig.61),, lo cual podría ser útil si se de eseara pon ner forjados intermedio os con alturra libre igua al. Partiendo de las cargas con nsideradas,, el sistema resulta tene er una canttidad de esttructura de 136 (en fun nción de nuestras ca argas). Porr lo tanto se e deduce que q habien ndo puesto los nudos a altura co onstante se habrían mantenido o los gastos en cantida ad de materrial constan ntes.

Figura 61. Diagrama de forma (1).

Figura 62. Diagrrama de fuerzas (1).

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_En el e segundo caso se disponen todo os los nudoss en alturas inferiores (ffig.63), lo cu ual daría la posibilid dad de colo ocar un forjado bajo cubierta siin presencia a de nudos. Partiendo o de las cargas con nsideradas,, el sistema resulta tene er una canttidad de esttructura de 123 (en fun nción de nuestras ca argas). Porr lo tanto se e deduce que q habiendo puesto los nudos en e alturas in nferiores se habrían disminuido o los gastos en e cantidad d de materrial en un 9% %.

Figura 63. Diagrama de e forma (2).

Figura 64. Diagrama d de fuerzas (2).

aso se dispo onen todos los nudos en e alturas su uperiores (fiig.65), lo cu ual daría _ En el tercer ca dad en plan nta baja de usos que e requirieran n grandes alturas libre es sin prese encia de la posibilid nudos ni barras b inclinadas. Partie endo de la as cargas co onsiderada as, el sistema a resulta te ener una cantidad de d estructurra de 262 (e en función de d nuestras cargas). Porr lo tanto se e deduce que q habiend do puesto los nudos en alturas su uperiores se habrían aumentad do los gastoss en cantida ad de mate erial en un 191%. 1

Figura 65. Diagrama de e forma (3).

Figura 66. Dia agrama de fuerrzas (3).

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_En el e cuarto ca aso se dispo onen los nud dos de mod do desordenado (fig.67 7), lo cual transmite una sensac ción de ma ayor movim miento e irregularidad. Partiendo de d las carga as considerradas, el sistema ressulta tener una u cantida ad de estruc ctura de 160 (en funció ón de nuesttras cargas)). Porr lo tanto se e deduce que q habien ndo puesto los nudos de tal mod do desordenado se habrían au umentado lo os gastos en n cantidad de materia al en un 16% %.

FFigura 67. D Diagrama de fo orma (4).

Figura 68. Diagram ma de fuerzas (4).

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5.3. NAVE DEL ALMACÉN DE ADUANAS DE CHIASSO

Figura 69.

La nave del almacén de aduanas de Chiasso (fig.69) se ubica al sur de Suiza en la frontera con Italia, diseñado por el arquitecto e ingeniero Suizo Robert Maillart en 1924. La nave cubre una extensión de 20 metros de profundidad por 25 metros de ancho. El diseño de cada pórtico está formado por un arco inferior con forma funicular, el tejado superior y los montantes verticales, habiendo una distancia entre apoyos de 25 metros. Muchos autores han dado diversas opiniones acerca de la forma de la arcada: una analogía con formas de la naturaleza, referencias de estilo, referencias a las vigas Vierendeel... sin embargo Max Bill aportó "the form follows the flow of forces", la forma sigue el flujo de las fuerzas, situando así a la forma lo resultante de un equilibrio vectorial obtenido mediante la estática gráfica, estando de acorde con los condicionantes impuestos por el del lugar (ZASTAVN.D, 1872). A continuación, tras la descripción y el análisis de las características generales de la nave, se procede al estudio de diversas variantes de diseño que podrían haber existido poniendo estas en continua comparación según su cantidad de estructura. Previamente se estudia la topología del sistema (fig.70). Los valores que se han parametrizado son: inclinación de la cubierta, longitud de montantes y ángulos extremos.

Figura 70. Topología del sistema.

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En primer lugar, tras el trazado de la topología en Geogebra, se expone el caso real (fig.72), para ello se han ido moviendo los valores parametrizados (inclinación de la cubierta, longitud de montantes y ángulos extremos) en el Diagrama de Fuerzas (fig.71) hasta hacer coincidir la forma con la imagen real. En la elección de la forma exacta dentro de las posibilidades de la topología se presupone que el arquitecto buscó un equilibrio entre la componente de diseño, la de uso y la económica. Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resulta tener una cantidad de estructura de 263 (en función de nuestras cargas).

Figura 71. Polígono de fuerzas. Caso realizado.

Figura 72. Polígono de forma. Caso realizado.

A continuación se ha llevado a cabo una fase de form-finding (búsqueda de nuevas formas) a partir de las tres variables parametrizadas en la topología inicial: inclinación de la cubierta (1), longitud de montantes (2), y ángulos extremos(3). En los tres valores parametrizados se muestran el diagrama de forma, el diagrama de fuerzas, la parábola (o recta) que nos permite encontrar el punto de menor cantidad de estructura (en el eje de abscisas la cantidad de estructura y en el de ordenadas el punto más alto de la cubierta) y el valor de cantidad de estructura. En los tres casos se encuentra la menor cantidad de estructura moviendo únicamente un valor en el Diagrama de Fuerzas, éste se encontrará en el punto en que la parábola tenga su punto lo más a la izquierda posible.

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_En el primer caso (fig.75) únicamente se varia el ángulo de inclinación de la cubierta como resultado de la diferente inclinación del ángulo del Diagrama de Fuerzas (fig.74). Se mantienen fijos la longitud de los montantes y los ángulos de los extremos (se mantiene igual al caso construido). Se obtiene por resultado que la cantidad mínima de estructura variando el ángulo de la cubierta se alcanzaría cuando ésta fuera horizontal. Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resulta tener una cantidad de estructura de 260 (en función de nuestras cargas). Por lo tanto se deduce que únicamente variando la inclinación de la cubierta se podrían haber reducido gastos en cantidad de material en un 2%.

Figura 73. Cantidad de estructura mínima (1).

Figura 74. Diagrama de fuerzas (1).

Figura 75. Diagrama de forma (1).

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_En el segundo caso (fig.78) únicamente se varía la longitud de los montantes como resultado de la mayor o menor extensión de unas barras del Diagrama de Fuerzas (fig.77). Se mantienen fijos la inclinación de la cubierta y los ángulos de los extremos (se mantiene igual al caso construido). Se obtiene por resultado que la cantidad de estructura va disminuyendo a medida que mayores sean los montantes, se ha considerado un límite, ya que a partir del cual se podría considerar inservible la nave. Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resulta tener una cantidad de estructura de 233 (en función de nuestras cargas). Por lo tanto se deduce que únicamente variando la longitud de los montantes se podrían haber reducido gastos en cantidad de material en un 12%.

Figura 76. Cantidad de estructura mínima (2).

Figura 77. Diagrama de fuerzas (2).

Figura 78. Diagrama de forma (2).

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_En el tercer caso (fig.81) únicamente se varían los ángulos de los extremos como resultado de la mayor o menor extensión de unas barras del Diagrama de Fuerzas (fig.80). Se mantienen fijos la inclinación de la cubierta y la longitud de los montantes (se mantiene igual al caso construido). Se obtiene por resultado que la cantidad de estructura disminuye cuanto más se aproxime el nudo al suelo. Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resulta tener una cantidad de estructura de 259 (en función de nuestras cargas). Por lo tanto se deduce que únicamente variando los ángulos de los extremos se podrían haber reducido gastos en cantidad de material en un 2%.

Figura 79. Cantidad de estructura mínima (3).

Figura 80. Diagrama de fuerzas (3).

Figura 81. Diagrama de forma (3).

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Finalmente se procede a la búsqueda del caso óptimo (fig.84), el de menor cantidad de estructura, manteniendo unas condiciones de uso después de las limitaciones ya analizadas (altura libre de uso). Para esta búsqueda se han ido moviendo las variables del Diagrama de Fuerzas (fig.83), hasta encontrar el punto más a la izquierda de las múltiples parábolas, obteniendo así el punto de menor cantidad de estructura. Partiendo de las cargas consideradas, el sistema resultaría tener en su caso más óptimo una cantidad de estructura de 221 (en función de nuestras cargas). Por lo tanto se deduce que habiendo mantenido la topología de la nave y sus condiciones de uso se podrían haber reducido gastos en cantidad de material en un 16%.

Figura 82. Cantidad de estructura mínima (óptimo).

Figura 83. Diagrama de fuerzas (óptimo).

Figura 84. Diagrama de forma (óptimo).

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6.CONCLUSIONES El protagonismo tomado por la herramienta matemática desde el siglo XIX ha supuesto una total desintegración entre diseño - cálculo - construcción, considerándose como procesos independientes entre sí. Dicha desintegración ha supuesto el distanciamiento entre el arquitecto y el ingeniero, perdiendo su esencia el factor diseño y el estético de la forma estructural, y obligando a modificaciones del diseño por imposiciones del calculista. La tarea de definir estructuras exige un proceso interactivo de diseño-análisis, un proceso que mediante el método matemático tradicional supone un continuo sistema de prueba y error hasta encontrar una solución suficientemente estable, estéticamente adecuada y de coste razonable; sin embargo, mediante la estática gráfica, las fases de diseño y análisis son simultáneas. Por lo tanto, es necesario recuperar el uso de la estática gráfica en la fase cero del proyecto, la del diseño y producción de la forma arquitectónica, aprovechando las posibilidades y la precisión que las herramientas informáticas aportan. Este trabajo pretende ser una contribución para la Arquitectura e Ingeniería civil, procurando un acercamiento entre ambas y buscando la ayuda mutua en el campo del formfinding, en la búsqueda de nuevas formas arquitectónicas.

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