MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Métodos de integración son las diferentes técnicas elementales que usamos para calcular la integral definida de una función.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA
∫ p . f ' x . f p−1 x . dx=f p x +K;p∈ℤ−{0 }; K = constante ∫ f ' x . a f x . log a . dx=a f x +K;a> 0, ; K = constante
∫
∫
f' x . dx= ln f x + ; K =constante f x f' x . dx = ln f x +K ; K = constante f x
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
f' x
1− f 2 x -f' x
1− f 2 x
f' x
1 f 2 x
. dx = Arcsen f x +K ; K = constante
. dx = Arccos f x +K ; K = constante
. dx = Arctag f x +K ; K = constante
f' x
f x . f 2 x −1 -f' x
f x . f 2 x −1
. dx = Arcsec f x +K ; K = constante
. dx = Arccosec f x +K ; K = constante
∫ f ' x . cos f x . dx=sen f xK ; K =constante ∫− f ' x . sen f x . dx=cos f x K ; K =constante
∫ ∫ ∫ ∫
f' x
cos 2 x
. dx = Tag f x +K ; K = constante
-f' x . dx = Arctag f x +K ; K = constante sen 2 x f' x . sen x . dx = Sec f x +K ; K = constante cos 2 x
-f' x . cos x . dx = Cosec f x +K ; K = constante sen 2 x 1
En ocasiones, algunas integrales se pueden reducir a integrales inmediatas. Veamos algunos ejemplos. ö÷
çæ 2
ö÷
ççè 3 -1ø÷÷÷ ççè 3 -1ø÷÷÷ 5 5 3 2 2 2 dx = . 6x. 3x + 4 dx = . .6x 3x + 4 dx ( ) ( ) 6 ò 6 2ò 3 3x2 + 4
ò
æç 2
5x
15 = 12 ò
çæ 2 ÷ö
çèç 3–1÷÷÷ø æ 2 ö÷ ç ÷ .(6.x )(3x2 + 4) .dx = çè 3 ø
f x =3x 4
Denominado f(x) a la función
−1 3
2
dx= 15 . f x +K =15 . 3x 4 K 2
15 2 3 = . f' x . f x ∫ 12 3
x 3
log
5
∫
2
12
−1 3
12
log
. dx=
x
−1
1 5 . ∫ 3 . log 5 . 3 . log 5 x
x 3
. dx =
Denominado f(x) a la función f x =5
x log 3
=e
x log . log 5 3
x
x
log 1 3.log 5 log 3 1 1 = .∫ 5 . dx = .∫ f ' x . f x . dx = .5 3 3.log 5 x 3.log 5 3.log 5
∫
5
3.x
3.x
5 3.x1
. dx=
1 5 .∫ 3.log 5 . 3.x . dx = 3.log 5 5 1
3.x Denominado f(x) a la función f x =5 1
=
∫
1 f ' x 1 1 .∫ . dx = . log f xK = . log 5 3.x1K 3.log 5 f x 3.log 5 3.log 5 1
−2x 3x 2
. dx=8 .∫
1
−16x 24x 2
Denominado f(x) a la función f x =
=
8 . 4
∫
4 9
1−
=
4x−3 9
2
. dx=
8 . 4
∫
. dx =8. ∫
1
9−4x−32
. dx =
4x−3 9
f' x
1− f x
2
. dx=
8 8 æ 4x - 3 ö÷ .ArcSenf (x ) + K = .ArcSen çç +K è 3 ø÷÷ 4 4
Hay que destacar, que dado que el conjunto de funciones elementales no es invariante bajo la operación de integración, existen integrales que no se pueden expresar como funciones elementales, y por tanto no se les puede aplicar un método de integración
2
MÉTODOS DE FUNCIONES RACIONALES Para las integrales de funciones racionales se cumple P x
gra P x gra Q x =SOLUCIÓN A } ∫ Q x . dx = {Si Si gra P x gra Q x =SOLUCIÓN B
SOLUCIÓN A: Como existe un C(x), R(x) con gra C(x) ≤ gra P(x) y gra R(x) < gra Qx), tal que P(x) = C(x),Q(x) + R(x) se cumple:
P x
Rx
∫ Q x . dx = ∫ C x. dx ∫ Q x . dx Siendo la 1º integral inmediata y la segunda del tipo de solución B, que vemos a continuación. SOLUCIÓN B: Supongamos que el polinomio Q(x) es de grado ( p + 2.q ), con p, q números naturales, y que Q(x) se puede descomponer como: Q (x ) = a.Õ(x - x r )m( r ) × Õ ((x - a s)2 +b s2 ) u
v
r =1
s =p +1
r =u
s=v
r=1
s=1
n (s )
Donde, p=∑ m r ; q=∑ n s Teniendo en cuenta que existirán las constantes reales
A ,A r1
r2
,..., A rm( r); B s1, B s2, ..., B sn(s);C s1,C s2, ..., C sn( s)
Tal que descomponiendo en fracciones simples como queda: é ù p é R (x ) A rm(r ) ùú + q êê B s 1 +C s 1.x + ... + B sn s +C sn s .x úú = a × å êê Ar 1 + ... + å Q (x) (x - x r )m(r ) úûú s=p+1 ê (x -a s)2 +b s 2 é(x -a s )2 + 2 ù n( s) ú r=1 ëê( x - x r ) b s ûú ûú êë ëê ( )
( )
Integrando esta expresión:
ò
R (x ) × dx = Q (x )
é ù p é Arm(r ) ùú + q êê B s 1 +C s 1.x + ... + B sn s +C sn s .x úú × dx ê Ar 1 + ... + a × å m(r ) 2 2 n( s ) ò å ê (x - x r ) úúû s =p +1 ê(x - a s ) + b s é(x - a s )2 +b 2 ù ú r =1 êë (x - x r ) êë s úû êë úû ( )
( )
Y todos los términos de la descomposición se integran fácilmente, teniendo en cuenta que:
3
1 . dx={ ∫ x−a n
log x−aK ; si n=1 −1 K ; si n1 n−1. x−a n−1
BC.x
x −a
∫ x−a 2 b2 . dx= B C.a .∫ x−a1 2b 2 C.∫ x−a2b2 . dx = x−a C 1 = 2 B C.a. . Arctag . log x−a 2b 2 K b b 2 BC.x
∫ x−a 2b 2 n . dx =
se resuelve por partes hasta obtener la integral anterior
Veamos un ejemplo.
∫ (x
3
1 ⋅ dx = — x + x —1) 2
∫
1 x 1 ⋅ dx — ∫ 2 ⋅ dx = log x — 1 — log ( x 2 + 1) + K x —1 x +1 2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN El método de sustitución de consiste en encontrar una función x = g(t) (con derivada continua en un intervalo I y con g(I) ⊂ Dominio de la función a integrar) que al sustituir sustituida por x en la integral se convierte en otra mas sencilla (de variable t) Veamos un ejemplo.
∫ 1− x 2 . dx = Si efectuamos la sustitución: x : ℝ [0,1 ] : t x t =sin t
Como se cumple que la derivada de x(t) es continua en todo los números reales y que la imagen de x(t) está incluida en el Dominio de la función a integrar, nos queda: = ∫ 1−sen t . cos t.dt =∫ cos t.dt =∫ 2
2
1cos 2t . dt = 2
t sen 2t t sen t cos t = K = K = 2 4 2 2 =
1 1 . Arc sen x . sen Arc sen x .cos Arc sen x K = 2 2
x . 1−x 1 = . Arc sen x K 2 2 2
2
Para resolver integrales de la forma
∫ R f x , g x . dx Donde R es una función racional y f y g son funciones reales, existen una serie de sustituciones para casos particulares que detallamos a continuación en la siguiente tabla 4
f(x)
g(x)
f(x(t))
g(x(t))
x'(t)
CAMBIO
x
a
X
Log a t
t
1 a.t
a =t
x
e
x
Lg t
t
1 t
a =t
x
Log x
e
t
t
e
x
Arc tan x
Tan t
t
1 2 cos t
Arc tan x = t
x
Arc sen x
Sen t
t
Cos t
Arc sen x = t
x
Arc cos x
Cos t
t
- Sen t
Arc cos x = t
x
Arc Th x
Th t
t
1 Ch 2 t
Arc Th x = t
x
Arc sh x
Sh t
t
Ch t
Arc sh x = t
x
Arc Ch x
Ch t
t
Sh t
Arc Ch x = t
Sen x
Cos x
2t 1t 2
1−t 2 1t 2
2 1 t 2
2 Arc tag t = x
SI ES PAR EN Sen x
1 −t 2
t
−1 1−t 2
Arc cos t = x
SI ES PAR EN Cos x
t
1 −t 2
1 1−t 2
Arc Sen t = x
SI ES PAR EN Sen x y Cos x
1 1−t 2
t 1−t 2
1 1 t 2
Arc tan t = x
2t 1−t 2
1t 2 1−t 2
2 1 −t 2
2 Arc Th t = x
SI ES PAR EN Sen x
t 2−1
t
1 1−t 2
Arc Ch t = x
SI ES PAR EN Cos x
t
t 21
1 t 1
Arc Sh t = x
SI ES PAR EN Sen x y Cos x
1 1−t 2
t 1−t 2
1 1 −t 2
Arc Th t = x
Sh x
Ch x
ni
x
axb h cxd
d.t m−b a−c.t m
h t
ni m
X
X
t
Log x = t
2
m.a.d −b.c a −c.t 2
ni
a.xb =t m c.xd
m = m.c.m. (1,2,,,,,r) 1
1
x n .abx n p
1
∫ n .t q. q bt p . dt
t
Para integrar
1
∫ n .t q. q bt p . dt 5
1
1 n −1 .t n
x=t n m ,n , p ∈ ℚ
q=
m1 −1 n
q
Si p , q ∈ℤ
Se hace le cambio
z =t
Si p , q ∈ℚ−ℤ
Se hace le cambio
z =b.t a
p
q
Si q ∈ℚ−ℤ , p ∈ℤ Se hace le cambio
z p=
b.t a t
x
p2 − qxr 2
p.sen t −r q
p.cos t
p.cos t q
q.x r = p.sen t
x
p2 qxr 2
p.tan t −r q
p cos t
p.cos t 2 q. cos t
q.x r = p.tan t
x
qxr 2− p2
p.cos t−r q
p.tan t
p.sen t q. cos 2 t
q.xr =
x
Si
a0 ; c≤0
Si
a0 ; c0
ax 2b x c Si
p sen t
a.x 2b.xc− x a=t a.x 2b.xc− c=t a.x 2b.xc =t
a0 ; c≤0
x − 2 es raíz de a.x b. xc=0
Veamos algunos ejemplos. sen x ò cos4 x dx = {Haciendo cos x = t; como es – sen x × dx = dt } = 1 æ 1ö 1 1 = ò 4 dt = çç– ÷÷ × 3 + K = – +K è 3ø t t 3 × cos3 x
ò (e =
ò
x
1
)2 dx = {Haciendo e x = t; como es e x × dx = dt } = 1
t2 dt = t
ò
æ 3ö 1 2 dt = çç– ÷÷ × 3 + K = – 3×x + K è 2ø 2 t t 3 ×e 2 1
1 2
El MÉTODO ALEMÁN, se utiliza para resolver integrales de la forma
∫
Px
a.x 2b.xc
, dx ; siendo P(x) un polinomio,
Esta integral se simplifica Hallando un polinomio Q(x) de grado menor que P(x) y un número real λ, de la igualdad y luego se utiliza los métodos anteriores
∫
Px
a.x b.xc 2
. dx=Q x . a.x 2b.xc.∫
1 . dx a.x b.xc 2
Para hallar Q(x) y λ, derivamos ambas expresiones y obtenemos la igualdad Px
a.x 2b.xc
=d
Q x . a.x 2b.xc 1 . 2 dx a.x b.xc
6
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES El método de integración por partes de la integral
∫ f x . g x . dx donde f y g son dos funciones con derivadas continuas en un intervalo I, en utilizar la siguiente igualdad para integrar:
∫ f x . g ' x . dx= f x . g x −∫ f ' x . g x . dx Este método se usa cuando es más fácil integrar f'(x).g(x) que f(x).g'(x), Veamos un ejemplo.
∫ x.sen x. dx=∫ x.cos x ' . dx= x.sen x −∫ sen x. dx = = x. sen xcos xK El método de integración por partes se suele emplear para funciones f(x) y g(x)
como por ejemplo: f(x)
g(x)
Función inversa trigonométrica, circular o hiperbólica, o función logarítmica.
Polinomio racional de x
Función (normalmente inmediata ).
en
x
de
o
Constante distinta de cero o función polinómica en x, o función racional de x.
Función trigonométrica circular o hiperbólica directa, o función exponencial (normalmente de integración inmediata).
Función trigonométrica circular o hiperbólica directa.
función
exponencial integración
Este método también se usa para obtener integrales de recurrencia. Veamos un ejemplo.
Para integrar
∫ arcsen x . dx
, Tomando
u = arcsen x(x);
v = x;
será. du=
dx ; 1−x 2
dv = dx.
Se halla la relación de recurrencia
∫ arcsen x . dx=arcsen x . x−∫
x = 1−x 2
= x.arsen x − 1−x 2K 7
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR RECURRENCIA La
El método de integración por recurrencia, consiste en encontrar una relación
entre la integral que queremos hallar (habitualmente una función con exponente entero n) y otra integral similar (la misma función con exponente entero menor que n). Es decir dicha relación será de la forma:
∫ f x , n. dx=g x , nr.∫ f x , n−k . dx Donde f(x,n) y g(x,n) son funciones reales de variable x y parámetro n, r es un número racional y k un número natural. Aplicando dicha fórmula por recurrencia, se puede ir rebajando el nivel del exponente, hasta que sea fácil de calcular, y a partir de ella calcular la que queremos obtener. La mayoría de las veces se utiliza la integración por partes para hallar esta relación de recurrencia, Veamos un ejemplo.
I n=∫ sen n x. dx=∫ sen n−1 x.−cos x ' . dx =
=−sen n−1 x.cos x−n−1 .∫ sen n−2 .−cos 2 x . dx = =−sen n−1 x.cos xn−1 .∫ sen n−2 .1−sen 2 x . dx =
=−sen n−1 x.cos xn−1 .∫ sen n−2 . dx−n−1.∫ sen n x.dx = Quedando la relación de concurrencia: I n=
n−1 sen n−1 x. cos x . I n−2− n n
Se puede ver una relación de integrales y su respectivas relación de recurrencia en WIKIPEDIA (http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmulas_de_reducción).
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