Meccanica dei fluidi

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Corso secondo semestre 2011

U n i S A m a r c e l l o m i c c i o @ l i b e r o . i t 1 6 / 0 7 / 2 0 1 0

   Â

Descrizione  Macroscopica  di  un  fluido.  -­â€?

-­â€?

Da  un  punto  di  vista  macroscopico  la  descrizione  di  un  fluido  consta  nella  rappresentazione  delle  proprietĂ Â del  fluido  attraverso  funzioni  del  punto  nello  spazio  e  nel  tempo.  Alla  base  di  questo  tipo  di  descrizione  câ€™è  la  definizione  delle  proprietĂ Â meccaniche  delle  singole  particelle  che  compongono  il  fluido,  ossia  la  descrizione  microscopica. Â

Descrizione  Microscopica  di  un  fluido.  -­â€?

-­â€?

Proprio  perchĂŠ  questo  tipo  di  descrizione  tende   a  definire  le  proprietĂ Â di  ogni  singola  particella  è  estremamente  difficile  da  ricavare  ed  impossibile  da  specificare  come  condizione  iniziale.  Per  ovviare  a  questo  problema  si  considera  un  comportamento  medio,  ossia  da  un  gran  numero  di  molecole  deve  emergere  il  comportamento  collettivo.  La  descrizione  macroscopica  ha  appunto  il  compito  di  estrarre  tale  comportamento. Â

Relazione  tra  mondo  Microscopico  e  Macroscopico.  -­â€?

I  due  livelli  Microscopico  e  Macroscopico  sono  uniti  da  un  legame  di  tipo  statistico,  in  base  al  quale  si  giunge  alla  definizione  delle  proprietĂ Â Macroscopiche  attraverso  distribuzioni  di  probabilitĂ Â delle  proprietĂ Â Microscopiche.  Â

Le  equazioni  di  Bilancio.  -­â€?

Per  un  sistema  isolato  valgono  le  leggi  di  conservazione  delle  grandezze Â

-­â€?

meccaniche  microscopiche:  M,  đ?‘„  , Ć?  .  Tenendo  conto  del  carattere  vettoriale  della  QuantitĂ Â di  moto  esistono  cinque  integrali  primi  che  definiscono  queste  quantitĂ : Â

đ?‘€= đ?‘„= Ć?=

Marcello Miccio

đ?‘š! Â Â đ?‘š! Â đ?‘„! Â đ??¸!" + đ??¸!" Â

1 Â

    -­â€?

 Tuttavia  in  un  sistema  non  isolato  tali  grandezze  non  si  conservano,  ma  variano  lentamente.  Su  questa  osservazione  si  configura  un  concetto  di  flusso. Â

Volume  di  controllo.  -­â€?

-­â€?

Per  rendere  quantitativa  questa  analisi  occorre  identificare  parti  diverse  del  fluido.  Infatti  poichĂŠ  un  fluido  le  molecole  sono  continuamente  in  moto  l’unico  modo  possibile  per  descrivere  il  fenomeno  è  quello  di  identificare  a  priori  un  volume  di  controllo  e  far  riferimento  a  M,  đ?‘„  , Ć?   che  in  un  preciso  istante  si  trovano  nel  volume  considerato.  Occorre  inoltre  ragionare  in  modo  statistico  per  svincolarsi  dal  problema  relativo  alla  posizione  e  velocitĂ Â di  ogni  singola  particella.  Si  deve  lavorare  dunque  con  grandezze  mediate  che  hanno  la  proprietĂ Â di  essere  additive  rispetto  al  volume.  Quindi  M,  đ?‘„  , Ć?   possono  essere  rappresentate  come  integrali: Â

đ?‘‘đ?‘€ = đ?œŒđ?‘‘đ?‘‰  dđ?‘„ = đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘‰  đ?‘‘Ć?   =  đ??¸đ?‘‘đ?‘‰  I  flussi.  -­â€?

Le  grandezze  M,  đ?‘„  , Ć?   costituiscono  gli  invarianti  meccanici  additivi,  in  quanto  sono  grandezze  additive  rispetto  al  volume  e  se  si  considera  un  volume  di  controllo  isolato  tali  grandezze  sono  grandezze  costanti. Â

-­â€?

Quindi  se  M,  đ?‘„ , Ć?   contenute  in  un  volume  di  controllo  variano  tale  variazione  è  attribuita  ad  una  interazione  con  l’esterno  che  può  avvenire  attraverso  la  superfice  del  volume  di  controllo  oppure  a  causa  di  campi  di  forza.  Ăˆ  possibile  rendere  tale  concetto  quantitativo  introducendo  delle  equazioni  di Â

-­â€?

bilancio  che  collegano  le  variazioni  temporali  di  M,  đ?‘„  , Ć?   all’interno  di  volume  di  controllo  con  il  flusso  attraverso  la  superfice  di  tale  volume   Â

Marcello Miccio

2 Â

   Â

Definizione  concetto  di  flusso.  -­â€?

Consideriamo  un  volume  isolato,  diviso  da  una  superfice  (  linea  retta  ). Â

  Â

  -­â€?

-­â€?

Dato  che  ciascuna  delle  due  parti  non  è  isolata,  perchĂŠ  è  in  contatto  con  l’altra,  la  sua  M,  đ?‘„  , Ć?    è  libera  di  variare,  ma  poichĂŠ  le  grandezze  totali  sono  costanti  l’aumento  da  una  parte  deve  essere  compensato  da  una  uguale  diminuzione  dall’altra.  Si  configura  cosĂŹ  un  concetto  di  flusso  associabile  alla  superfice  di  separazione  (  linea  retta  oppure  linea  zigrinata)  .  Il  carattere  scalare  o  vettoriale  del  flusso  può  essere  fatto  discendere  dalla  necessaria  indipendenza  dell’orientazione  locale  della  superfice  di  separazione.  Infatti  se  si  sostituisce  il  contorno  retto  con  quello  zigrinato  è  lapalissiano  che  questa  sostituzione  può  modificare  l’orientazione  locale  dell’area  del  tratto  di  contorno  considerato  con  una  alterazione  piccola  a  piacere  della  forma  e  dell’estensione  del  volume. Â

Flusso  di  una  grandezza  scalare.  -­â€?

AffinchĂŠ  il  bilancio  non  venga  influenzato  da  una  sostituzione  di  questo  tipo,  linea  retta  con  linea  zigrinata,  il  flusso  totale  di  una  grandezza  scalare  â€œfâ€?  attraverso  una  superfice  di  controllo,  non  deve  dipendere  dall’effettiva  area  della  superfice,  ma  deve  dipendere  esclusivamente  dalle  proiezioni  di  tale  superfice  sui  piani  coordinati.  Esempio  in  đ?‘… ! :  Â

           Marcello Miccio

3 Â

    -­â€?

-­â€?

Qui  infatti  le  proiezioni  dei  due  tratti,  linea  retta  e  linea  zigrinata,  presentano  stesse  proiezioni  sui  due  assi  X,Y.  Analogo  ragionamento  vale  anche  nel  caso  tridimensionale  che  è  quanto  ci  occorre  per  definire  il  concetto  di  flusso.  Sotto  queste  ipotesi  allora  si  può  scrivere  il  flusso  totale  in  questa  forma: Â

đ??˝!! đ?‘‘!! đ?‘‘!! + đ??˝!! đ?‘‘!! đ?‘‘!! + đ??˝!! đ?‘‘!! đ?‘‘!!  -­â€?

-­â€? -­â€? -­â€?

Considerando  i  tre  elementini  di  superfice  (đ?‘‘!! đ?‘‘!! ,    đ?‘‘!! đ?‘‘!! ,   đ?‘‘!! đ?‘‘!! )   abbiamo  che  essi  costituiscono  le  componenti  di  un  vettore  che  ha:   Per  modulo    â†’                La  superfice  infinitesima  â€œđ?‘‘đ?‘ â€?  Per  direzione  â†’                Quella  normale  â€œ  đ?‘›â€?  alla  superfice  stessa.  Ne  consegue  che  per  le  proprietĂ Â del  prodotto  scalare  (   đ??˝!! ,    đ??˝!! ,   đ??˝!!  )  si  trasformano  da  un  sistema  di  riferimento  ad  un  altro  come  le  componenti  di  un  vettore  che  chiameremo:   đ??˝!    Â

-­â€?

Possiamo  dunque  riscrivere  il  flusso  totale  in  questa  forma: Â

đ??˝! .   đ?‘› đ?‘‘đ?‘   -­â€?

Definito  il  flusso  totale  si  può  finalmente  scrivere  l’equazione  di  bilancio:  ! !"

-­â€?

đ?‘“đ?‘‘đ?‘‰ = − Â

đ??˝! . Â Â đ?‘› đ?‘‘đ?‘ Â Â

Il  segno  meno  viene  introdotto  perchĂŠ  per  convenzione  si  considera  che  se  vi  è  un  aumento  della  quantitĂ Â â€œfâ€?  nel  volume  di  controllo  allora  il  flusso  deve  decrescere. Â

Flusso  di  una  grandezza  vettoriale.  -­â€?

-­â€?

Per  trovare  il  flusso  di  una  grandezza  vettoriale,  come  la  quantitĂ Â di  moto,  basta  ricordare  che,  cosĂŹ  come  la  trasformazione  lineare  del  vettore  â€?  đ?‘› đ?‘‘đ?‘ â€?  in  uno  scalare  avviene  attraverso  il  prodotto  scalare  per  un  vettore,  la  trasformazione  lineare  del  vettore  â€?  đ?‘› đ?‘‘đ?‘ â€?  in  un  vettore  avviene  attraverso  il  prodotto  scalare  con  un  tensore  doppio.  Allora  con  la  nozione  di  tensore  è  possibile  scrivere  l’equazione  di  bilancio  per  una  grandezza  vettoriale:   ! !"

Marcello Miccio

đ?‘“đ?‘‘đ?‘‰ =  − Â

đ??˝! . Â Â đ?‘› đ?‘‘đ?‘ Â Â

4 Â

   Â

Equazioni  di  bilancio  in  forma  integrale.  -­â€?

Avendo  studiato  il  modello  matematico  che  descrive  il  nostro  problema  possiamo  ora  applicare  questi  concetti  a  M,  đ?‘„  , Ć?   :  ! !" ! !"

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = −  ! !"

-­â€?

-­â€?

đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł =  − Â

đ??˝! . Â Â đ?‘› đ?‘‘đ?‘ Â Â

đ??˝! . Â Â đ?‘› đ?‘‘đ?‘ Â + Â đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł Â

đ?œŒđ?‘’đ?‘‘đ?‘Ł = − Â

đ?šĽ! .   đ?‘› đ?‘‘đ?‘  +  đ??żđ?‘‘đ?‘Ł Â

L’equazione  della  quantitĂ Â di  moto  è  corretta  con  l’aggiunta  della  forza  â€œfâ€?  che  rappresenta  l’aumento  della  quantitĂ Â di  moto  prodotto  da  eventuali  campi  di  forza.  Tipicamente  nelle  applicazioni  è  proprio  la  forza  peso,  pari  a  (đ?œŒđ?‘”).  L’equazione  invece  dell’energia  è  corretta  con  l’aggiunta  del  corrispondete  lavoro  compiuto  da  â€œfâ€?.  Tipicamente  nel  caso  della  forza  peso  è  pari  a  đ?‘žđ?‘” .  Â

Equazioni  di  bilancio  in  forma  differenziale.  -­â€?

Le  equazioni  di  bilancio,  sotto  l’ipotesi  che  la  grandezza  fisica  â€œfâ€?  sia  una  grandezza  continua,  possono  essere  scritte  anche  in  forma  differenziale  sfruttando  il  Teorema  della  Divergenza:  Â

đ??˝! .   đ?‘› đ?‘‘đ?‘ =  -­â€?

Allora  si  possono  riscrivere  le  equazioni  di  bilancio  in  forma  integrale  in  questo  modo: Â

� �� ! !"

đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł = −

∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł  Â

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = − ∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł   +  đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł  ! !"

-­â€?

∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł  Â

đ?œŒđ?‘’đ?‘‘đ?‘Ł = − ∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł   +  đ??żđ?‘‘đ?‘Ł Â

Inoltre  poichĂŠ  queste  relazioni  devono  essere  soddisfatte  per  ogni  volume  di  integrazione  si  possono  scrivere  anche  in  questa  forma: Â

đ?›żđ?œŒ + ∇ ∙ đ??˝! = 0  đ?›żđ?‘Ą Marcello Miccio

5 Â

   Â

đ?›żđ?‘„ + ∇ ∙ đ??˝! = đ??š  đ?›żđ?‘Ą đ?›żđ??¸ + ∇ ∙ đ??˝! = đ??ż  đ?›żđ?‘Ą

 Equilibrio  termodinamico. Â

Consideriamo  un  fluido  che  si  trovi  in  queste  due  condizioni:   1) Fluido  di  composizione  molecolare  ben  definita  racchiuso  in  un  sistema  isolato.  2) Fluido  in  stato  di  quiete  abbastanza  lungo  per  trovarsi  in  equilibrio  termodinamico.  -­â€? Sotto  queste  due  ipotesi  un  fluido  può  essere  descritto,  dal  punto  di  vista  macroscopico   da  solo  due  variabili,  dette  variabili  termodinamiche.  -­â€? In  questa  condizione  la  massa  e  l’energia  totali  sono  costanti  mentre  la  quantitĂ Â di  moto  è  nulla  poichĂŠ  il  fluido  si  trova  in  condizioni  di  quiete,  quindi  le  uniche  due  variabili  necessarie  a  descrivere  il  sistema  sono  đ?‘€, đ?œ€  .  -­â€? Da  queste  due  variabili  dipendono  tutte  le  altre  grandezze  termodinamiche  (p,  s  ,  T,  h  ecc.)  -­â€? Attraverso  opportune  trasformazioni  si  possono  esprimere  le  relazioni  termodinamiche  in  termini  di  un’altra  coppia  di  variabili  (  T,  p  ),  ma  le  variabili  indipendenti  restano  sempre  due.  -­â€? Possiamo  formalizzare  la  dipendenza  dai  flussi  in  questo  modo:  -­â€?

đ??˝! =  đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’  )  đ??˝! =  đ??˝! 0  = 0  đ??˝! =  đ??˝! đ?œŒ, đ?‘’   Â

Marcello Miccio

Â

6 Â

   Â

Equilibrio  termodinamico  Locale.  Se  il  fluido  è  in  moto  e  non  è  in  equilibrio  termodinamico,  si  può  suppore  che  esista  almeno  un  equilibrio  termodinamico  locale.  -­â€? Il  concetto  di  equilibrio  termodinamico  locale  comporta  l’introduzione  di  due  scale:  -­â€? đ?‘™ →   Una  scala  caratteristica  delle  interazioni  molecolari,  è  detto  â€œcammino  libero  medioâ€?  ed  indica  quanto  spazio  percorre  mediamente  una  particella  prima  di  urtane  un’altra.  -­â€? đ??ż →  Una  scala  caratteristica  del  moto  del  fluido.   -­â€? Si  può  dunque  considerare  la  condizione  di  equilibrio  termodinamico  locale  se  e  solo  se  vale  una  delle  seguenti  condizioni:  1) đ?‘™ ≪ đ??ż  -­â€?

!

2) đ??ž! = !  < 0,01  -­â€? -­â€?

Dove  il  rapporto  tra  le  due  scale  è  detto  â€œNumero  di  Knudsenâ€?.  In  queste  condizioni  di  equilibrio  termodinamico  locale  i  flussi  devono  dipendere  da:  Â

đ??˝! =  đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  )  đ??˝! =  đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  )  đ??˝! =  đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  )   La  pressione.  -­â€?  PoichĂŠ  i  fluidi  a  differenza  dei  solidi  sono  mezzi  isotropi,  essi  non  ammettono  direzioni  privilegiate  quindi  la  funzione   đ??˝! =  đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’  )  deve  restare  inalterata  anche  dopo  una  rotazione  del  sistema  di  riferimento.   -­â€?  Esiste  un  unico  tensore  le  cui  componenti  sono  invarianti  per  una  rotazione  del  sistema  di  rifermento  ed  è  il  tensore  unitĂ .  -­â€?  Quindi  il  flusso  di  quantitĂ Â di  moto  deve  essere  necessariamente  espresso  dal  prodotto  di  una  funziona  scalare  delle  variabili  đ?œŒ, đ?‘’   per  il  tensore  unitĂ .  -­â€?  Se  indichiamo  con  â€œpâ€?  (  pressione  )  tale  funzione  scalare  allora  si  può  scrivere: Â

Marcello Miccio

7 Â

   Â

đ??˝! = đ?‘?  đ?œŒ, đ?‘’  đ??ź =  đ?‘?  đ?œŒ, đ?‘’  -­â€?

-­â€?

1 â‹Ž 0

â‹Ż â‹ą â‹Ż

0 â‹Ž Â 1

Inoltre  se  il  fluido  è  in  condizioni  di  quiete  il  tensore  đ??˝!  si  riduce  al  solo  termine  đ?‘?đ??ź  ,  ossia  la  pressione  coincide  con  la  componente  fuori  diagonale  del  tensore  degli  sforzi.  Sotto  queste  osservazioni  possiamo  andare  a  riscrivere  l’  equazione  di  bilancio  della  quantitĂ Â di  moto:  ! !"

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = − ∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł   +  đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł  đ??˝! = đ?‘?đ??ź  → Â

� ��

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = 0 Â

− ∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł   +  đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł = 0  âˆ’ ∇đ?‘?đ??ź  đ?‘‘đ?‘Ł   +  đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł = 0  -­â€?

Ricordando  che  queste  relazioni  devono  essere  soddisfatte  per  qualsiasi  volume  di  integrazione  si  deve  avere: Â

 đ?‘“ = ∇đ?‘?   Idrostatica.  -­â€? -­â€?

L’ultima  relazione  che  abbiamo  ottenuto  descrive  il  moto  di  un  fluido  in  condizioni  di  quiete  rispetto  a  un  sistema  di  riferimento  inerziale.  Solitamente  nelle  applicazioni  la  generica  forza  â€œfâ€?  è  proprio  la  forza  peso,  quindi  possiamo  riscrivere  la  relazione  e  ottenere  l’equazione  dell’idrostatica: Â

∇đ?‘? =  đ?œŒđ?‘”  -­â€?

Questa  relazione  può  essere  ulteriormente  semplificata  se  si  scompone  il  gradiente  di  pressione  e  ne  valutiamo  le  componenti: Â

đ?‘‘đ?‘ƒ =0 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘ƒ = 0  đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘ƒ = −đ?œŒđ?‘” đ?‘‘đ?‘§ Marcello Miccio

8 Â

    -­â€? -­â€?

La  pressione  dunque  è  funzione  della  sola  quota  đ?‘§  Inoltre  se  ora  consideriamo  un  fluido  incomprimibile  đ?œŒ đ?‘?, đ?‘‡ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’,  si  può  integrare  la  componente  â€œzâ€?  del  gradiente  di  pressione:    !" !"

= −đ?œŒđ?‘”    →        đ?‘‘đ?‘ƒ = −đ?œŒđ?‘” đ?‘‘đ?‘§     →  Â

! đ?‘‘đ?‘ƒ !!

=−

! (đ?œŒđ?‘”)đ?‘‘đ?‘§  !!

đ?‘ƒ − đ?‘ƒ! = − đ?œŒđ?‘” đ?‘§ − đ?‘§!    â†’     đ?‘ƒ =  đ?‘ƒ! − đ?œŒđ?‘” đ?‘§ − đ?‘§!  -­â€?

 Se  pongo,   (đ?œŒđ?‘” = đ?›ž)          (đ?‘§! − đ?‘§ = â„Ž)  ,   possiamo  dunque  riscrivere  in  questo  modo: Â

đ?‘ƒ =  đ?‘ƒ! + đ?›žâ„Ž  Pressione  relativa  -­â€? -­â€?

La  pressione  che  abbiamo  considerato  fin  ora  è  detta  â€œ  pressione  assolutaâ€?.  Tuttavia  nei  problemi  applicativi,  con  condotti  o  recipienti  la  cui  parete  è  esposta  a  due  pressioni,  si  utilizza  la  â€œpressione  relativaâ€?  definita  in  questo  modo:  Â

đ?‘ƒ!"# = đ?‘ƒ!"" − đ?‘ƒ!   Â

 đ?‘ƒ ! Â

Â

⏚

đ?‘ƒ!!!  âŹš

 -­â€?

Introduciamo  ora  la  pressione  ricavata  poco  anzi  nella  definizione  della  pressione  relativa:  đ?‘ƒ =  đ?‘ƒ! + đ?›žâ„Ž  â†’  đ?‘ƒ!"# = đ?‘ƒ!"" − đ?‘ƒ!  â†’   đ?‘ƒ!"# = đ?‘ƒ! + đ?›žâ„Ž − đ?‘ƒ!  â†’   đ?‘ƒ!"# = đ?›žđ?‘”  Â

Spinte  su  superfici  immerse.  -­â€? -­â€?

L’unico  sforzo  presente  in  un  fluido  stazionario  è  quello  normale,  ossia  la  pressione.  Considerando  come  unica  forza  agente  su  un  fulido  stazionario  la  forza  peso  si  ha  che  la  spinta  su  una  superfice  a  contatto  con  il  fluido  deve  soddisfare Â

Marcello Miccio

9 Â

    -­â€?

l’equazione  della  pressione.  Allora  la  spinta  su  una  superfice  infinitesima  â€œdsâ€?  è  data  dalla  relazione: Â

đ?‘‘đ??š = đ?‘? ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘  -­â€?

Integrando  questa  relazione  lungo  la  superfice  S,  area  su  cui  vogliamo  conoscere  la  spinta,  otteniamo  la  spinta  totale:  Â

đ??š= -­â€?

đ?‘? ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ = Â

 (đ?‘ƒ! + đ?›žâ„Ž) ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ Â

Questa  equazione  è  di  tipo  vettoriale  e  può  essere  scissa  nelle  sue  tre  componenti: Â

đ??š! =  (đ?‘ƒ! + đ?›žâ„Ž) đ?‘‘đ?‘ !  đ??š! =  (đ?‘ƒ! + đ?›žâ„Ž) đ?‘‘đ?‘ !  đ??š! =  -­â€?

đ?‘ƒ! + đ?›žâ„Ž đ?‘‘đ?‘ ! Â

Solitamente  la  spinta  su  una  superfice  immersa  si  calcola  per  esigenze  di  progetto  come  il  dimensionamento  di  una  diga  oppure  per  valutare  l’effettiva  resistenza  alle  onde  del  mare  di  una  chiglia  navale.  Â

Spinta  su  una  superfice  piana.  -­â€? -­â€?

Una  superfice  piana  può  essere  rappresentata  dalle  pareti  di  un  recipiente  oppure  dalle  fondamenta  di  una  piscina.  In  questi  casi  si  ha  che:  1) Un  lato  della  superfice  è  totalmente  a  contatto  con  il  fluido.  2) L’altro  lato  è  parzialmente  immerso  nel  fluido,  quindi  è  a  contatto  con  l’atmosfera.    Â

Â

đ??š! Â

 Marcello Miccio

10 Â

    -­â€?

Scegliamo  ora  come  sistema  di  riferimento  un  sistema  di  coordinate  in  modo  che  la   superfice  orizzontale  del  pelo  libero  coincida  con  il  piano  â€œzâ€?  e  l’origine  sia  a  pressione  đ?‘ƒ = đ?‘ƒ!  ,  allora  posso  stimare  la  spinta  su  una  superfice  orizzontale  in  questo  modo:   đ??š = Â

đ?›žâ„Ž  đ?‘‘đ?‘ Â

 Spinta  su  superfice  inclinata.  -­â€?

Se  invece  ora  ci  proponiamo  di  valutare  la  spinta  su  una  superfice  piana  inclinata  valgono  analoghi  ragionamenti,  tuttavia  si  deve  correggere  il  dislivello  â€œhâ€?  tenendo  conto  dell’inclinazione  della  parete  su  cui  vogliamo  conoscere  la  spinta.    đ??š! Â

 Â

đ??š =  -­â€?

đ?›žâ„Ž  đ?‘‘đ?‘ =

đ?›ž đ?‘Ś sin đ?›ź  đ?‘‘đ?‘ =  đ?›ž  đ?‘Ś! sin đ?›ź đ?‘† Â

Dove  con   "đ?‘Ś! â€?   indichiamo  la  coordinata  y  del  baricentro  della  figura  di  superfice  S.  Â

Â

Marcello Miccio

Â

11 Â

   Â

Corpo  completamente  immerso.  La  spinta  totale  applicata  su  un  corpo  completamente  immerso  è  data  dalla  solita  equazione  vettoriale:   Â

đ??š = Â

 (đ?‘ƒ! + đ?›žâ„Ž) ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ Â

    -­â€? -­â€?

Procediamo  a  calcolare  le  componenti,  iniziando  con  la  componente  â€œxâ€?.  Ăˆ  opportuno  eseguire  l’integrazione  in  due  passaggi:  1) Prima  a  â€œzâ€?  costante  su  fasce  orizzontali  di  altezza  â€œdzâ€?.  2) Poi  tutte  le  fasce  verticali  con  â€œzâ€?  variabile. Â

đ??š! =  -­â€?

-­â€? -­â€? -­â€? -­â€?

-­â€?

!"##$ Â !" Â !"#$%

(đ?‘ƒ! + đ?›žâ„Ž)

!"#$%&' Â !"#$%"

đ?‘‘đ?‘†! Â

 Dall’integrale  esteso  su  una  singola  fascia  si  ottiene  due  volte  la  proiezione  della  fascia  sul  piano  x,  una  volta  con  il  segno  (+)  ed  una  volta  con  il  segno(  -­â€?)  ,  dunque  il  risultato  dell’integrale  è  zero.   Da  questo  segue  che  la  componente  đ??š! = 0  .  Analogo  ragionamento  segue  per  la  componente  đ??š! = 0  .  Quindi  si  può  affermare  che  i  corpi  totalmente  immersi  non  sono  soggetti  a  nessuna  spinta  orizzontale.  Per  la  componente  â€œzâ€?  invece  non  valgono  le  stesse  considerazioni  in  quanto  la  pressione  dipende  dalla  coordinata  â€œzâ€?  e  quindi  non  può  essere  portata  fuori  dal  segno  di  integrale.  Tale  componente  si  ricava  applicando  il  teorema  della  divergenza  all’equazione: Â

đ??š! =

Marcello Miccio

đ?‘? ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘    →    đ??š! =  ∇đ?‘?  đ?‘‘đ?‘‰ =

đ?œŒđ?‘”  đ?‘‘đ?‘‰ =  đ?›žđ?‘‰!"#$"   Â

12 Â

    -­â€? -­â€?

Qui  â€œVâ€?  indica  il  volume  del  fluido  spostato,  o  per  rendere  ancora  meglio  l’idea  possiamo  dire  che  â€œVâ€?  è  pari  al  volume  del  corpo  immerso.  La  forza  verticale  espressa  dalla  compente  đ??š!  è  diretta  verso  l’alto  ed  è  detta  spinta  di  Galleggiamento  oppure  spinta  di  Archimede.  Â

Centro  di  spinta  di  un  corpo  totalmente  immerso.  -­â€?

Ăˆ  definito  come  il  punto  di  applicazione  della  spinta  di  Archimede.  In  particolare  scegliendo  arbitrariamente  l’origine  di  un  sistema  di  riferimento  la  coordinata  â€œxâ€?  del  centro  di  spinta  "đ?‘‹! "  si  ricava  dalla  relazione: Â

đ?‘‹! đ?›žđ?‘‰ = -­â€?

-­â€?

1 ����      →    �! =  �

đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘‰ Â

Analogamente  si  possono  ricavare  le  altre  coordinate  del  centro  di  spinta: Â

đ?‘Œ! =

1 �

đ?‘Śđ?‘‘đ?‘‰ Â

đ?‘?! =

1 �

đ?‘§đ?‘‘đ?‘‰ Â

Allora  il  punto  cosĂŹ  ottenuto  è  il  baricentro  del  fluido  spostato  ed  è  pari  al  punto  di  applicazione  della  spinta  di  Archimede.  Â

Â

Marcello Miccio

Â

13 Â

   Â

Corpo  galleggiante.  -­â€?

-­â€?

Questi  corpi  differiscono  da  quelli  totalmente  immersi  perchĂŠ  non  sono  delimitati  totalmente  da  superfici  a  contatto  con  un  fluido.  Si  definiscono  dunque  in  base  al  pelo  libero  del  fluido.  Definiamo  ora  la  parte  immersa  di  un  corpo  galleggiante  come  quella  delimitata  dalle  superfici  bagnate  dal  fluido  e  quella  del  prolungamento  del  pelo  libero  attraverso  il  corpo  stesso.  Â

     -­â€?

Per  questo  tipo  di  problema  la  spinta  di  Archimede  è  data  dalla  solita  relazione: Â

 đ??š! = -­â€? -­â€?

đ?‘? ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘    →    đ??š! = Â

∇đ?‘?  đ?‘‘đ?‘‰ =

đ?œŒđ?‘”  đ?‘‘đ?‘‰ =  đ?›žđ?‘‰!""#$%&   Â

 Tuttavia  qui  il  volume  â€œVâ€?  indica  il  volume  della  sola  parte  immersa  del  corpo.  Anche  qui  il  punto  di  applicazione  della  spinta  di  Archimede  è  pari  al  baricentro  del  fluido  spostato.   Â

Â

Marcello Miccio

Â

14 Â

Stabilità idrostatica. -­‐

-­‐

-­‐

Un corpo totalmente immerso, come pure un corpo galleggiante è soggetto a due forze: 1) Una spinta di Archimede applicata nel suo centro di spinta (B) diretta nella direzione delle “Z” positive. 2) Una Forza dovuta alla forza Peso applicata nel suo baricentro (G) diretta nella direzione delle “Z” negative. Sotto queste considerazioni un corpo può rimanere statico nella direzione verticale se e solo se queste due forze sono uguali in modulo. Inoltre per avere stabilità si deve avere che il baricentro (G) e il centro di spinta (B) siano allineati sulla stessa retta verticale, altrimenti il corpo ruoterebbe a causa della coppia di forze. Si possono dunque presentare tre differenti configurazioni: A) Equilibrio Statico → Si ha quando il momento della coppia di forze è nullo, questo poiché agiscono sulla stessa retta verticale. B) Equilibrio Instabile → Si ha quando il momento della coppia di forze è diverso da zero, tale momento produce una rotazione del corpo immerso o galleggiante. C) Equilibrio Indifferente → Si ha quando sul corpo non nasce nessun momento.

Definizione di Sistema. -­‐

Il sistema è una quantità di fluido avente una ben determinata identità, che deve considerarsi come composta sempre dalle stesse particelle fluide e che può muoversi, deformarsi e interagire con il mondo esterno.

Definizione Volume di Controllo. -­‐

Il volume di controllo è un volume individuato nello spazio in maniera completamente arbitraria. È un’entità geometrica totalmente indipendente dalla massa e con un volume che può essere mobile, fisso, deformabile e indeformabile.

Marcello Miccio

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   Â

Â

Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds.   -­â€?

Premessa:  tale  teorema  restituisce  una  relazione  tra  la  variazione  nel  tempo  di  una  generica  proprietĂ Â termo  fluidodinamica  che  costituisce  il  sistema  e  la  variazione  nel  tempo  della  stessa  proprietĂ Â contenuta  nel  volume  di  controllo. Â

 Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds  per  Volume  di  Controllo  FISSO  ed  INDEFORMABILE.  đ??ťđ?‘?:      A)  Consideriamo  un  Volume  di  controllo  Fisso  e  Indeformabile.  B) Consideriamo  un  Flusso  Monodimensionale,  ossia  un  flusso  in  cui  le  proprietĂ Â del  sistema  sono  costanti  sezione  per  sezione,  ma  variano  da  sezione  a  sezione.  đ??ˇđ?‘–đ?‘š:  1) Consideriamo  lo  schema  rappresentato: Â

 2) Data  la  configurazione,  possiamo  scrivere:   -­â€? Al  tempo  â€œtâ€?                        â†’   đ?‘‰đ??ś ≅ đ?‘†đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž  -­â€? Al  tempo  â€œ  đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą  â€?            â†’   đ?‘‰đ??ś  đ?‘›đ?‘œđ?‘›  đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘‘đ?‘’  đ?‘?đ?‘œđ?‘›  đ?‘–đ?‘™  đ?‘†đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž.  3) Allora  basandosi  sullo  schema  si  possono  formalizzare  tali  relazioni:  -­â€? Al  tempo  â€œtâ€?             â†’ đ??ľ!"#$ đ?‘Ą = đ??ľ!" (đ?‘Ą)        -­â€? Al  tempo  â€œđ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ąâ€?   â†’  đ??ľ!"#$ đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą = đ??ľ!" đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą +  đ??ľ!! đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą − Marcello Miccio

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   Â

đ??ľ! đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą   4) Sottraggo  ora  la  prima  equazione  ad  ambo  i  membri:  đ??ľ!"#$ đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą − đ??ľ!"#$ đ?‘Ą = đ??ľ!" đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą − đ??ľ!" (đ?‘Ą)  +  đ??ľ!! đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą − đ??ľ! đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą   Se  ora  consideriamo  le  generiche  sezioni  đ??´! ,  đ??´!  possiamo  andare  a  riscrivere  gli  ultimi  due  termini:  đ??ľ! đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą =  đ?‘?! đ?‘š = đ?‘?! đ?œŒđ?‘‰ = đ?‘?! đ?œŒđ??´! đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ą  -­â€? đ??ľ!! đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą =  đ?‘?!! đ?‘š = đ?‘?!! đ?œŒđ?‘‰ = đ?‘?!! đ?œŒđ??´! đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ą   5) Sostituisco  ora  gli  ultimi  due  addendi  per  come  li  ho  trasformati:  -­â€?

đ??ľ!"#$ đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą − đ??ľ!"#$ đ?‘Ą = đ??ľ!" đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą − đ??ľ!" đ?‘Ą + đ?‘?!! đ?œŒđ??´! đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ą − đ?‘?! đ?œŒđ??´! đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ą  6) Divido  ora  ogni  termine  per  â€œđ?‘‘đ?‘Ąâ€?:  đ??ľ!"#$ đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą − đ??ľ!"#$ đ?‘Ą đ??ľ!" đ?‘Ą + đ?›żđ?‘Ą − đ??ľ!" đ?‘Ą = + đ?‘?!! đ?œŒđ??´! đ?‘Ł − đ?‘?! đ?œŒđ??´! đ?‘Ł  đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą 7) Ricordando  la  definizione  di  derivata  e  di  flusso  possiamo  riscrivere  il  tutto:   !!!"#$  !"

=

!!!" Â !"

+ đ?œŒđ?‘?(đ?‘Ł! ∙ đ?‘›)đ?‘‘đ?‘ Â

Tale  relazione  può  essere  generalizzata  per  qualsiasi  proprietĂ Â esprimendola  in  questa  forma:  đ?‘‘đ??ľ!"#$  đ?‘‘ = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œŒđ?‘? đ?‘‘đ?‘‰ +

đ?œŒđ?‘?(đ?‘Ł! ∙ đ?‘›)đ?‘‘đ?‘ Â

  Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds  per  Volume  di  Controllo  MOBILE  e Â

Marcello Miccio

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   Â

DEFORMABILE.  1) Per  estendere  tale  risultato  a  un  volume  di  controllo  mobile  e  deformabile  si  deve  sostituire  la  velocitĂ Â assoluta  con  quella  relativa:  đ?‘‰!"# = đ?‘‰!"" − đ?‘‰!  -­â€? Dove  đ?‘‰! indica  la  velocitĂ Â con  cui  si  muove  il  volume  di  controllo.  2) Allora  vado  a  riscrivere  il  Teorema  del  Trasporto  introducendo  la  velocitĂ Â relativa:  đ?‘‘đ??ľ!"#$  đ?‘‘ = đ?œŒđ?‘? đ?‘‘đ?‘‰ + đ?œŒđ?‘?(đ?‘Ł!"" − đ?‘Ł! ) ∙ đ?‘›đ?‘‘đ?‘  đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą Applicazione  del  Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds  al  Bilancio  di  Massa.  1) Consideriamo  l’equazione  di  bilancio  della  massa  in  forma  integrale:  ! !"

đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł =  − Â

đ??˝! . Â Â đ?‘› đ?‘‘đ?‘ Â Â

2) Per  estendere  tale  relazione  a  un  volume  di  controllo  Mobile  e  Deformabile  applichiamo  il  Teorema  del  Trasporto:   đ?‘‘đ??ľ!"#$  đ?‘‘ = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œŒđ?‘? đ?‘‘đ?‘‰ +

đ?œŒđ?‘?(đ?‘Ł! ∙ đ?‘›)đ?‘‘đ?‘ Â

3) Ora  poniamo:     (đ??ľ!"#$ = đ?‘€)             (đ?‘? = 1)   e  otteniamo:  đ?‘‘đ?‘€  đ?‘‘ = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œŒ đ?‘‘đ?‘‰ +

đ?œŒ(đ?‘Ł! ∙ đ?‘›)đ?‘‘đ?‘ Â

4) Ricordando  la  formulazione  integrale  del  Bilancio  della  massa  riscrivo  il  primo  membro  e  introduciamo  il  vettore  đ??˝! :  đ?‘‘  đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł = −

đ??˝! ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ +

đ?œŒ(đ?‘Ł! ∙ đ?‘›)đ?‘‘đ?‘ Â

5) Porto  tutto  al  primo  membro  e  scrivo  i  due  integrali  di  superfice  in  un  unico Â

Marcello Miccio

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   Â

integrale: Â đ?‘‘ Â đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł +

(  đ??˝! − đ?œŒđ?‘Ł! ) ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ = 0 Â

6) Se  ora  consideriamo  la  velocitĂ Â del  volume  di  controllo  costante  (đ?‘Ł! = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą)  è  possibile  effettuare  un  cambiamento  di  sistema  inerziale  secondo  la  relazione:  đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ∗ + đ?‘Ł! đ?‘Ą   7) In  base  dunque  al  riferimento,  mobile  oppure  fisso,  avrò  differenti  relazioni:  ! Â

∗ ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ = 0             Fisso:           !" đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł +  đ??˝! ! Â

Mobile:              !" đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł + (  đ??˝! − đ?œŒđ?‘Ł! ) ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ = 0  8) Ponendo  uguali  queste  due  ultime  relazioni  otteniamo  la  legge  di  variazione  del  âˆ— +  đ?œŒđ?‘Ł  flusso  di  massa  tra  sistemi  di  riferimento  differenti:    đ??˝! =  đ??˝! !

9) Se  consideriamo  ora  una  condizione  di  equilibrio  termodinamico  locale,  tale  legge  di  variazione  deve  valere  anche  per  la  dipendenza  dai  flussi  e  quindi  si  ha:    âˆ— (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł ∗  ) +  đ?œŒđ?‘Ł  đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  )=  đ??˝! !

10)

Sotto  l’ulteriore  ipotesi  di  fluido  in  quiete  (  đ?‘Ł ∗ = 0)   si  può  scrivere:  đ?‘Ł = đ?‘Ł ∗ + đ?‘Ł!           đ?‘Ł ∗ = 0     â†’     đ?‘Ł = đ?‘Ł!   âˆ— đ?œŒ, đ?‘’, 0  +  đ?œŒđ?‘Ł     â†’     đ??˝ (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  )  =  đ?œŒđ?‘Ł        đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  )=  đ??˝! ! ! !

đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  )  =  đ?œŒđ?‘Ł                             â†’        đ??˝!  =  đ?œŒđ?‘Ł           Ho  ottenuto  cosĂŹ  l’espressione  del  flusso  di  massa  per  qualsiasi  sistema  di Â

Marcello Miccio

19 Â

   Â

riferimento  inerziale.   Applicazione  del  Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds  al  Bilancio  di  QuantitĂ Â di  Moto.  1) Consideriamo  l’equazione  di  bilancio  della  quantitĂ Â di  moto  in  forma  integrale:  ! !"

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘‰ = − Â

đ??˝! . Â Â đ?‘› đ?‘‘đ?‘ Â + Â đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł Â

2) Per  estendere  tale  relazione  a  un  volume  di  controllo  Mobile  e  Deformabile  applichiamo  il  Teorema  del  Trasporto:  đ?‘‘đ??ľ!"#$  đ?‘‘ = đ?œŒđ?‘? đ?‘‘đ?‘‰ + đ?œŒđ?‘?(đ?‘Ł! ∙ đ?‘›)đ?‘‘đ?‘  đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą  3) Ora  poniamo:   (đ??ľ!"#$ = đ?œŒđ?‘Ł  )            (đ?‘? = đ?‘Ł)   ed  otteniamo:  đ?‘‘đ?‘„  đ?‘‘ = đ?œŒđ?‘Ł đ?‘‘đ?‘‰ + đ?œŒđ?‘Ł(đ?‘Ł! ∙ đ?‘›)đ?‘‘đ?‘  đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą 4) Ricordando  la  formulazione  integrale  del  Bilancio  della  quantitĂ Â di  moto  riscrivo  il  primo  membro  e  introduciamo  il  tensore  đ??˝!  :  đ?‘‘  đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘‰ = −

đ??˝! ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ +

đ?œŒđ?‘Ł(đ?‘Ł! ∙ đ?‘›)đ?‘‘đ?‘ Â

5) Porto  tutto  al  primo  membro  e  scrivo  i  due  integrali  di  superfice  in  un  unico  integrale:   đ?‘‘  đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘‰ +

(đ??˝! − đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł! ) ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ = 0 Â

6) Se  ora  consideriamo  la  velocitĂ Â del  volume  di  controllo  costante  (đ?‘Ł! = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą)  è Â

Marcello Miccio

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   Â

possibile  effettuare  un  cambiamento  di  sistema  inerziale  secondo  la  relazione:  đ?œŒđ?‘Ł = đ?œŒđ?‘Ł ∗ + đ?œŒđ?‘Ł!  7) In  base  dunque  al  riferimento,  mobile  oppure  fisso,  avrò  differenti  relazioni:  Fisso:           Mobile:       Â

! Â !"

! Â !"

đ?œŒđ?‘Ł ∗ đ?‘‘đ?‘‰ =  −  đ??˝!∗ ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ Â

(đ?œŒđ?‘Ł + đ?œŒđ?‘Ł! )đ?‘‘đ?‘‰ = − (đ??˝! − đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł! ) ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘        Â

8) Vado  ora  a  riscrivere  la  relazione  per  il  caso  mobile  ricordando  l’equazione  di  bilancio  della  massa  e  moltiplicandola  per  đ?‘Ł!  :  đ?‘Ł!

! !"

đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł =  −đ?‘Ł! Â

∗ .   đ?‘› đ?‘‘đ?‘   đ??˝!

∗  nella  relazione  del  caso  mobile:  9) Quindi  possiamo  introdurre  đ??˝! ! Â

∗  ) ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ = 0              !" đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘‰ + (đ??˝! − đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł! − đ?‘Ł! đ??˝!

 10) Ponendo  uguali  queste  due  ultime  relazioni  otteniamo  la  legge  di  variazione  del  flusso  di  quantità  di  moto  tra  sistemi  di  riferimento  differenti:     11)

∗  đ??˝! = đ??˝!∗ + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł! + đ?‘Ł! đ??˝! Se  consideriamo  ora  una  condizione  di  equilibrio  termodinamico  locale,  tale Â

legge  di  variazione  deve  valere  anche  per  la  dipendenza  dai  flussi  e  quindi  si  ha: Â

12)

∗ (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł ∗  )  đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  ) = đ??˝!∗ (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł ∗  ) + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł! + đ?‘Ł! đ??˝! Considerando  il  fluido  in  condizioni  stazionarie  si  può  scrivere:  đ?‘Ł = đ?‘Ł ∗ + đ?‘Ł!           đ?‘Ł ∗ = 0     â†’     đ?‘Ł = đ?‘Ł!  âˆ— (đ?œŒ, đ?‘’, 0  )  đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  ) = đ??˝!∗ (đ?œŒ, đ?‘’, 0  ) + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł! + đ?‘Ł! đ??˝!

đ??˝! đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł  = đ?‘? đ?œŒ, đ?‘’  đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł!  13)

đ??˝! = đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł  Ho  ottenuto  cosĂŹ  l’espressione  del  flusso  di  quantitĂ Â di  moto  per  qualsiasi Â

Marcello Miccio

21 Â

   Â

sistema  di  riferimento  inerziale.  Â

Teorema  del  Momento  Angolare.  -­â€?

-­â€? -­â€?

La  meccanica  dei  fluidi  trova  molte  applicazioni  nell’uso  di  macchine  rotanti,  come  turbine.  Per  tali  macchine  è  spesso  conveniente  scegliere  un  volume  di  controllo  pari  al  volume  della  macchina  stessa.  Consideriamo  l’equazione  di  bilancio  della  quantitĂ Â di  moto  in  forma  integrale:   ! !"

-­â€?

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘‰ +  (đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł) ∙  đ?‘› đ?‘‘đ?‘  =  đ?œŒđ?‘”đ?‘‘đ?‘Ł Â

  Per  ottenere  il  momento  angolare  si  deve  moltiplicare  vettorialmente  ogni  termine  per  il  raggio  vettore  (  đ?‘&#x;  )  ,  definito  rispetto  ad  un  polo:  !

  !" đ?‘&#x;  Ă—đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘‰ +  -­â€?

đ?‘&#x;  ×(đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł) ∙  đ?‘› đ?‘‘đ?‘  =  đ?‘&#x;  ×đ?œŒđ?‘”đ?‘‘đ?‘Ł Â

 Il  vettore  đ?‘&#x;  può  essere  portato  sotto  il  segno  di  integrale  perchĂŠ  il  momento  totale  del  sistema  è  dato  dalla  somma  dei  momenti  angolari  degli  elementini  di  massa  del  sistema  (  Ipotesi  vera  ma  non  dimostrata  al  corso).  Â

Profili  di  velocitĂ . Â

 1) Profilo  Parabolico.  -­â€? Ăˆ  tipico  di  un  flusso  laminare,  ossia  un  flusso  in  cui  il  moto  del  fluido  avviene  con  scorrimento  di  strati  infinitesimi  gli  uni  sugli  altri,  senza  alcun  rimescolamento.  -­â€? Qui  il  moto  consta  in  un  moto  delle  molecole  molto  ordinate.  -­â€? La  velocitĂ Â massima  si  raggiunge  al  centro  della  parabola  ed  è  legata  alla  Marcello Miccio

22 Â

   Â

generica  velocitĂ Â â€œuâ€?  dalla  relazione:  đ?‘Ś! 1 − !  â„Ž

đ?‘˘ = đ?‘˘!"# Â

2) Profilo  Appiattito.  -­â€? Ăˆ  tipico  di  un  flusso  turbolento,  ossia  un  flusso  in  cui  il  moto  del  fluido  avviene  in  modo  caotico  senza  seguire  traiettorie  ordinate  e  stabilite.  -­â€? Qui  il  moto  è  la  manifestazione  di  un  moto  estremamente  disordinato,  caotico,  instazionario  ed  imprevedibile.  -­â€? La  velocitĂ Â massima  si  raggiunge  al  centro  del  profilo  ed  è  legata  alla  generica  velocitĂ Â â€œuâ€?  dalla  relazione:  !

� = �!"#

đ?‘Ś ! 1−  ℎ

 Coefficiente  di  correzione  dei  profili.  -­â€?

-­â€?

L’introduzione  di  questo  coefficiente  serve  a  correggere  i  risultati  che  si  ottengono  sfruttando  il  flusso  di  quantitĂ Â di  moto,  poichĂŠ  tali  risultati  si  basano  sempre  su  velocitĂ Â medie  e  non  su  velocitĂ Â istantanee.  Allora  il  coefficiente  đ?›˝  tiene  conto  dell’errore  che  si  commette  con  questo  tipo  di  approssimazione  e  permette  di  trasformare  una  disuguaglianza  in  uguaglianza:  đ?œŒ

-­â€?

-­â€?

! đ?‘Ł ! đ?‘‘đ?‘ ≠đ?œŒđ?‘Ł! đ?‘†             →             đ?œŒ

! đ?‘Ł ! đ?‘‘đ?‘ = đ?›˝đ?œŒđ?‘Ł! đ?‘† Â

Interessante  è  calcolare  il  valore  del  coefficiente  đ?›˝  nei  vari  casi  che  si  presentano:  1) Profilo   laminare  piano  2) Profilo   turbolento  piano  3) Profilo   laminare  cilindrico  4) Profilo   turbolento  cilindrico  Per  far  questo  si  deve  calcolare  per  ogni  caso: Â

A) La  velocita  media:              đ?‘Ł! =

! !

đ?‘Ł Â đ?‘‘đ?‘ Â

B) Il  valore  dell’integrale:     đ?œŒ đ?‘Ł ! đ?‘‘đ?‘  Marcello Miccio

23 Â

   Â

C) Sfruttando  poi  la  definizione  del  coefficiente  đ?›˝  si  ricava  il  suo  valore.   Â

Equazioni  di  Bilancio  in  forma  Differenziale  Conservativa.  1) Consideriamo  le  equazioni  di  bilancio  di  massa  e  quantitĂ Â di  moto  per  un  fluido  in  moto:  đ?›ż đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł + đ?œŒđ?‘Ł ∙ đ?‘› đ?‘‘đ?‘ = 0 đ?›żđ?‘Ą  đ?›ż đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł ∙  đ?‘› đ?‘‘đ?‘ = đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł đ?›żđ?‘Ą   2) Per  riscriverle  in  forma  differenziale  sfrutto  sempre  il  teorema  della  divergenza:   ! !" ! !"

đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł +  ∇ ∙ đ?œŒđ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ł = 0 Â

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł ∇ ∙ (đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł)đ?‘‘đ?‘Ł  =  đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł Â

3) Ora  poichĂŠ  queste  relazioni  devono  essere  soddisfatte  per  ogni  volume  di  integrazione  si  può  scrivere:  đ?›żđ?œŒ + ∇ ∙ đ?œŒđ?‘Ł = 0  đ?›żđ?‘Ą đ?›żđ?œŒđ?‘Ł + ∇ ∙ (đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł) = đ?œŒđ?‘”  đ?›żđ?‘Ą Derivata  sostanziale.   -­â€?

-­â€?

Ăˆ  un  operatore  utilizzato  in  fluidodinamica  per  trattare  la  variazione  nel  tempo  di  una  grandezza  (  scalare  o  vettoriale  )  di  una  particella  mentre  si  muove  con  un  campo  di  velocitĂ Â dipendente  da  posizione  spaziale  e  temporale.  Tale  operatore  è  definito  in  questo  modo  per  una  grandezza  scalare:  !" !"

-­â€?

=

!" !"

+ đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘“  Â

Mentre  per  una  grandezza  vettoriale  è  definito  in  questo  modo: Â

Marcello Miccio

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   Â

!! !" -­â€?

=

!! !"

+ đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘“  Â

In  generale  si  può  dire  che:  !"

A)    â†’     Termine  instazionario,  infatti  tiene  conto  della  non  stazionarietĂ Â !"

del  campo  di  moto.  B) đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘“  â†’  Termine  Convettivo,  tiene  conto  della  variazione  di  una  grandezza  di  una  particella  che  è  trasportata  con  velocitĂ Â đ?‘Ł  attraverso  un  gradiente  della  grandezza  stessa.  Forma  Differenziale  convettiva  dell’equazione  di  bilancio  della  massa.  1) Consideriamo  la  formulazione  conservativa  dell’equazione  di  bilancio  della  massa:   đ?›żđ?œŒ + ∇ ∙ đ?œŒđ?‘Ł = 0  đ?›żđ?‘Ą 2) Sviluppiamo  ora  il  secondo  addendo  svolgendo  la  derivata  del  prodotto:  đ?›żđ?œŒ + đ?œŒâˆ‡ ∙ đ?‘Ł + đ?‘Ł ∙ ∇đ?œŒ = 0  đ?›żđ?‘Ą 3) Ricordando  ora  la  definizione  di  derivata  sostanziale  possiamo  scrivere  il  primo  e  il  terzo  addendo  in  un  unico  membro:  Â

đ??ˇđ?œŒ + đ?œŒâˆ‡ ∙ đ?‘Ł = 0  đ??ˇđ?‘Ą Equazione  di  bilancio  della  massa  per  Fluidi  Incomprimibili.  1) Consideriamo  l’equazione  di  bilancio  della  massa  in  forma  conservativa:  đ?›żđ?œŒ + ∇ ∙ đ?œŒđ?‘Ł = 0  đ?›żđ?‘Ą 2) Supponiamo  ora  di  studiare  un  fluido  incomprimibile,  ossia  un  fluido  per  cui   đ?œŒ đ?‘?, đ?‘‡ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą  :  đ?›żđ?œŒ = 0        â†’         âˆ‡ ∙ đ?œŒđ?‘Ł = 0          â†’          âˆ‡ ∙ đ?‘Ł = 0  đ?›żđ?‘Ą Forma  Differenziale  convettiva  dell’equazione  di  bilancio  della  quantitĂ Â di  moto.  1) Consideriamo  la  formulazione  conservativa  dell’equazione  di  bilancio  della  Marcello Miccio

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   Â

quantitĂ Â di  moto:  đ?›żđ?œŒđ?‘Ł + ∇ ∙ (đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł) = đ?œŒđ?‘”  đ?›żđ?‘Ą 2) Trasformo  ora  il  primo  termine  con  derivata  del  prodotto:  đ?›żđ?œŒđ?‘Ł đ?›żđ?œŒ đ?›żđ?‘Ł = đ?‘Ł + đ?œŒ  đ?›żđ?‘Ą đ?›żđ?‘Ą đ?›żđ?‘Ą 3) Possiamo  riscrivere  l’ultimo  termine  considerando  l’equazione  della  massa  in  forma  differenziale  conservativa  e  moltiplicandola  per  đ?‘Ł  :   đ?›żđ?œŒ đ?‘Ł = −∇ ∙ (đ?œŒđ?‘Ł)đ?‘Ł  đ?›żđ?‘Ą 4) Trasformiamo  ora  il  termine  âˆ‡ ∙ (đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł)  con  derivata  del  prodotto:  âˆ‡ ∙ đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł = ∇ ∙ đ?œŒđ?‘Ł đ?‘Ł + đ?œŒ(đ?‘Ł ∙ ∇)đ?‘Ł  5) Vado  a  riscrivere  la  relazione  iniziale  includendo  questi  passaggi  effettuati:  đ?›żđ?‘Ł đ?œŒ − ∇ ∙ đ?œŒđ?‘Ł đ?‘Ł + ∇p + ∇ ∙ đ?œŒđ?‘Ł đ?‘Ł + đ?œŒ đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł = đ?œŒđ?‘”  đ?›żđ?‘Ą 6) Il  secondo  e  il  quarto  addendo  sono  uguali  e  opposti  quindi  si  ha:  đ?›żđ?‘Ł đ?œŒ + ∇p + đ?œŒ đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł = đ?œŒđ?‘”  đ?›żđ?‘Ą 7) Dividendo  ora  per  đ?œŒ  e  ricordando  la  definizione  di  derivata  sostanziale  si  può  scrivere:  đ??ˇđ?‘Ł ∇đ?‘? + = đ?‘”   đ??ˇđ?‘Ą đ?œŒ

Espressione  flusso  quantitĂ Â di  moto  in  condizioni  di  Quasi  Equilibrio  Termodinamico.  -­â€?

-­â€?

-­â€?

-­â€?

Spesso  l’ipotesi  dell’equilibrio  termodinamico  locale  non  è  sufficiente  allora  consideriamo  una  condizione  di  â€œQuasi  equilibrio  termodinamicoâ€?,  ossia  una  situazione  in  cui  i  flussi  hanno,  non  solo  una  dipendenza  puntuale  dalle  variabili  di  stato,  ma  anche  una  dipendenza  dagli  intorni  di  tali  punti  espressa  dai  gradienti  delle  variabili  di  stato.  Analiticamente  questo  si  traduce  in:  đ??˝! = đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł, âˆ‡Ď , ∇e, ∇đ?‘Ł)  Per  introdurre  una  dipendenza  lineare  dai  gradienti  degli  invarianti  meccanici  additivi  si  può  scrivere  il  tensore  đ??˝!  in  questa  forma:  !" đ??˝! = đ??˝! đ?œŒ, đ?‘’, đ?‘Ł + đ?‘Žâˆ‡Ď + đ?‘?∇e + c∇đ?‘Ł  Studiamo  ora  gli  ultimi  tre  termini  che  sono  appunto  termini  dissipativi  e  li Â

Marcello Miccio

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   Â

-­â€? -­â€? -­â€?

-­â€? -­â€? -­â€? -­â€? -­â€?

-­â€? -­â€?

indichiamo  in  questo  modo:  đ??˝!! = đ?‘Žâˆ‡Ď + đ?‘?∇e + c∇đ?‘Ł  Qui  i  tre  coefficienti  a,  b,  c  sono  tre  tensori  di  ordine  superiore.  I  tensori  â€œa,  bâ€?  sono  di  ordine  3,  mentre  il  tensore  â€œcâ€?  è  di  ordine  4.  Imponiamo  ora  l’invarianza  per  rotazione  legata  all’isotropia  dei  fluidi,  questo  comporta  immediatamente  che  i  tensori  â€œa,  bâ€?  sono  nulli  poichĂŠ  non  esiste  un  tensore  di  ordine  dispari  le  cui  componenti  siano  indipendenti  da  una  rotazione  del  sistema  di  riferimento.  Allora  si  ha,   đ??˝!! = c∇đ?‘Ł   ossia  il  tensore  đ??˝!!  dipende  linearmente  dal  gradiente  di  velocitĂ Â (  principio  di  Curie).  Tuttavia  non  tutte  le  componenti  di  tale  tensore  sono  indipendenti  anche  qui  per  la  necessaria  invarianza  rispetto  ad  una  rotazione.  Esistono  infatti  solo  tre  tensori  le  cui  componenti  sono  indipendenti  dal  sistema  di  riferimento  che  chiamiamo  đ?›ź , đ?›˝, đ?›ž.  Esplicitando  l’azione  di  ciascun  termine  sul  tensore  "c∇đ?‘Ł"  si  può  scrivere:  đ??˝!! = đ?›źâˆ‡ ∙ đ?‘Łđ??ź + đ?›˝âˆ‡đ?‘Ł + Îł(∇đ?‘Ł)!  Si  può  ricavare  un’ulteriore  relazione  tra  i  tre  coefficienti  scalari  rimasti  liberi  imponendo  che  il  fluido  raggiunga  una  condizione  di  quiete  se  messo  in  moto  con  una  rotazione  rigida  ad  đ?œ” = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’.  Per  far  questo  occorre  però  determinare  quale  forma  del  tensore  âˆ‡đ?‘Ł!!  corrisponde  ad  una  rotazione  rigida.  Come  è  noto  dalla  fisica  una  rotazione  rigida  è  definita  dalla  relazione:  đ?‘Ł = đ?œ”Ă—đ?‘…  Cioè  è  descritta  da  un  campo  di  velocitĂ Â che  varia  linearmente  con  le  coordinate  della  matrice  dei  coefficienti: Â

     Â

0 đ?œ”! −đ?œ”!

 -­â€?

-­â€? -­â€?

−đ?œ”! 0 đ?œ”!

đ?œ”! −đ?œ”!  0

 Il  tensore  gradiente  di  velocitĂ Â le  cui  componenti  sono  espresse  da  questa  matrice  è  sempre  antisimmetrico  quindi:  âˆ‡đ?‘Ł!!  ! = −∇đ?‘Ł!!  Con  quest’ultima  relazione  possiamo  andare  a  riscrivere  il  tensore  đ??˝!! :  ! đ??˝!! = đ?›źâˆ‡ ∙ đ?‘Ł!! đ??ź + đ?›˝âˆ‡đ?‘Ł!! − Îłâˆ‡đ?‘Ł!!  Il  primo  termine  è  nullo  poichĂŠ  la  divergenza  di  un  tensore  che  ha  sulla  diagonale  principale  tutti  zero  è  ovviamente  nullo,  quindi  si  ha: Â

Marcello Miccio

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    ! đ??˝!! = đ?›˝âˆ‡đ?‘Ł!! − Îłâˆ‡đ?‘Ł!! Â

Â

! Da  cui  segue  che:          đ??˝!! = 0   â†”   đ?›˝ = đ?›ž  -­â€? Abbiamo  cosĂŹ  trovato  l’ulteriore  relazione  tra  i  tre  coefficienti  e  vado  a  riscrivere  đ??˝!! :  đ??˝!! = đ?›źâˆ‡ ∙ đ?‘Łđ??ź + đ?›˝ ∇đ?‘Ł + (∇đ?‘Ł)!  -­â€? Restano  cosĂŹ  solamente  i  due  coefficienti  alfa  e  beta,  questi  due  coefficienti  possono  essere  riscritti  introducendo  il  primo  ed  il  secondo  coefficiente  di  viscositĂ :  đ?œ‡ = −đ?›˝ 2  đ?œ† = −đ?›ź − đ?›˝ 3 -­â€? Avendo  introdotto  questi  due  nuovi  coefficienti  possiamo  scrivere  đ??˝!!  in  altra  forma:  2 đ??˝!! = đ?œ‡ ∇ ∙ đ?‘Łđ??ź − ∇đ?‘Ł − ∇đ?‘Ł ! − đ?œ†âˆ‡ ∙ đ?‘Łđ??ź  3  -­â€? Possiamo  allora  finalmente  scrivere  l’espressione  del  flusso  di  quantitĂ Â di  moto  in  condizioni  di  quasi  equilibrio  termodinamico:   2 đ??˝!! = đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł + đ?œ‡ ∇ ∙ đ?‘Łđ??ź − ∇đ?‘Ł − ∇đ?‘Ł ! − đ?œ†âˆ‡ ∙ đ?‘Łđ??ź  3  Equazioni  di  Navier-­â€?Stokes.  -­â€? Le  equazioni  di  bilancio  di  massa  e  quantitĂ Â di  moto  ricavate  sotto  l’ipotesi  di  quasi  equilibrio  termodinamico,  sono  dette  equazioni  di  Navier-­â€?Stokes  e  valgono  per  ogni  tipo  di  fluido  data  la  generalitĂ Â con  cui  le  abbiamo  ricavate.  -­â€? Riportiamo  qui  le  equazioni:  đ?›żđ?œŒ  + ∇ ∙ đ?œŒđ?‘Ł = 0  đ?›żđ?‘Ą

-­â€?

Â

đ?›żđ?œŒđ?‘Ł 2 + ∇ ∙ đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł + đ?œ‡ ∇ ∙ đ?‘Łđ??ź − ∇đ?‘Ł − ∇đ?‘Ł đ?›żđ?‘Ą 3

!

− đ?œ†âˆ‡ ∙ đ?‘Łđ??ź = đ?œŒđ?‘” Â

 Equazioni  di  Navier-­â€?Stokes  nel  caso  incomprimibile.  -­â€? Nel  caso  di  fluido  incomprimibile,  đ?œŒ đ?‘?, đ?‘‡ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’,  le  equazioni  di  N-­â€?S  assumono  una  forma  piĂš  semplice:  -­â€? Come  abbiamo  giĂ Â visto  per  la  massa  si  ha:  Marcello Miccio

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   Â

đ?›żđ?œŒ + ∇ ∙ đ?œŒđ?‘Ł = 0  đ?›żđ?‘Ą

đ?›żđ?œŒ = 0        â†’         âˆ‡ ∙ đ?œŒđ?‘Ł = 0          â†’          âˆ‡ ∙ đ?‘Ł = 0  đ?›żđ?‘Ą  -­â€?

-­â€?

Mentre  per  la  quantitĂ Â di  moto  otteniamo  una  relazione  piĂš  semplice  imponendo  che  âˆ‡ ∙ đ?‘Ł = 0  nel  equazione  di  bilancio  della  quantitĂ Â di  moto  di  N-­â€?S:  đ?›żđ?œŒđ?‘Ł ∇ ∙ đ?‘Ł = 0   â†’  + ∇ ∙ đ?‘?đ??ź + đ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł + đ?œ‡ −∇đ?‘Ł − ∇đ?‘Ł ! = đ?œŒđ?‘”  đ?›żđ?‘Ą Considerando  ora  anche  đ?œ‡ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  si  può  scrivere: Â

∇ ∙ đ?œ‡âˆ‡đ?‘Ł = đ?œ‡âˆ‡ ∇ ∙ đ?‘Ł = đ?œ‡âˆ‡ 0 = 0  -­â€?

-­â€?

Introducendo  la  derivata  sostanziale  e  dividendo  tutto  per  la  densitĂ Â si  ottiene  l’equazione  della  quantitĂ Â di  moto  di  N-­â€?S  nel  caso  incomprimibile:  đ??ˇđ?‘Ł ∇đ?‘? đ?œ‡ + = đ?‘” + ∇ ∙ ∇đ?‘Ł  đ??ˇđ?‘Ą đ?œŒ đ?œŒ Tale  equazione  può  essere  ulteriormente  riscritta  ricordando  la  definizione  di  laplaciano  âˆ‡! đ?‘“ = ∇ ∙ ∇đ?‘“:  đ??ˇđ?‘Ł ∇đ?‘? đ?œ‡ + = đ?‘” + đ?›ť2 đ?‘Ł  đ??ˇđ?‘Ą đ?œŒ đ?œŒ

 Â

Marcello Miccio

Â

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   Â

Fluido  newtoniano.  -­â€? -­â€?

-­â€?

-­â€? -­â€?

-­â€?

-­â€?

Un  fluido  è  detto  newtoniano  se  la  sua  viscositĂ Â non  varia  al  variare  della  velocitĂ .  Consideriamo  una  corrente  uniforme  che  fluisce  tra  due  lastre  piane,  quella  inferiore  fissa  e  quella  superiore  mobile  che  muove  a  velocitĂ Â â€œuâ€?.  Â

 Da  evidenze  sperimentali  si  ha  che  in  questa  configurazione  la  forza  per  unitĂ Â di  superfice  necessaria  a  spostare  la  lastra  superiore  è  proporzionale  alla  velocitĂ Â della  lastra  e  inversamente  proporzionale  alla  distanza  tra  le  lastre:  đ??š đ?‘˘ ∞  đ??´ â„Ž La  forza  per  unitĂ Â di  superfice  applicata  alla  lastra  mobile  è  pari  allo  sforzo  di  taglio  (đ?œ?)  applicato  dalla  lastra  stessa  al  fluido.  Introducendo  dunque  la  costante  đ?œ‡  ,  detta  viscositĂ Â dinamica,  si  può  enunciare  la  legge  di  viscositĂ Â di  newton:  đ?‘˘ đ?œ? = đ?œ‡  â„Ž Che  può  essere  generalizzata  a  strati  infinitesimi  di  fluido  introducendo  un  gradiente  di  velocitĂ :  đ?‘‘đ?‘˘ đ?œ? = đ?œ‡  đ?‘‘đ?‘Ś Un  fluido  soggetto  a  tale  legge  è  un  fluido  newtoniano. Â

Â

ViscositĂ Â Dinamica.  -­â€? La  viscositĂ Â dinamica  è  il  coefficiente  di  proporzionalitĂ Â che  compare  nella  legge  di  viscositĂ Â di  newton.  -­â€? L’unitĂ Â di  misura  è  il  poise  e  nel  sistema  c.g.s.  è  cosi  definito:  1  đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘’ = 1 Â

Â

Marcello Miccio

Â

đ?‘” Â đ?‘?đ?‘š Â đ?‘

30 Â

   Â

ViscositĂ Â cinematica.  -­â€?

La  viscositĂ Â cinematica  è  definita  dal  rapporto  tra  la  viscositĂ Â dinamica  di  un  ! fluido  e  la  sua  densitĂ :   đ?œˆ =  !

-­â€?

L’unitĂ Â di  misura  è  lo  stokes  e  nel  sistema  c.g.s   cosĂŹ  definito:  đ?‘?đ?‘š! 1  đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘˜đ?‘’đ?‘ = 1   đ?‘

Â

Definizione  di  pressione  statica,  dinamica,  totale.  -­â€? Per  un  fluido  in  movimento  si  possono  distinguere  tre  tipi  di  pressione  differenti:  1) Pressione  Statica:  è  definita  come  la  pressione  esercita  da  un  fluido  sulle  pareti  di  un  recipiente  in  cui  è  contenuto.  Agisce  in  tutte  le  direzioni  ed  è  indipendente  dalla  velocitĂ Â del  fluido.  Come  abbiamo  giĂ Â visto  per  l’idrostatica  tale  pressione  è  definita  come:  âˆ‡đ?‘?!" = đ?œŒđ?‘”  2) Pressione  Dinamica:  è  definita  come  la  pressione  corrispondente  alla  parte  di  energia  contenuta  nell’unitĂ Â di  massa  di  fluido  a  causa  della  sua  velocitĂ Â (  energia  cinetica).  Agisce  nella  stessa  direzione  del  moto  del  fluido  ed  è  ! definita  in  questo  modo:  đ?‘?! = đ?œŒđ?‘Ł !  ! 3) Pressione  totale:  è  definita  come  la  somma  dei  due  contributi  statici  e  dinamici:  đ?‘?!"! = đ?‘?!" + đ?‘?!    Soluzione  esatta  dell’equazione  di  Navier-­â€?Stokes  nel  caso  piano.  -­â€? Nel  caso  di  fluido  incomprimibile  si  può  fare  un’ulteriore  semplificazione,  infatti  se  consideriamo  l’equazione  della  quantitĂ Â di  moto  ed  al  posto  della  pressione  totale  andiamo  a  considerare  i  due  contributi  che  la  formano,  pressione  statica  e  dinamica,  si  ha:  âˆ‡đ?‘?!" = đ?‘”  đ?œŒ đ??ˇđ?‘Ł ∇đ?‘?! đ?œ‡ 2 + = đ?›ť đ?‘Ł  đ??ˇđ?‘Ą đ?œŒ đ?œŒ -­â€? La  prima  si  ottiene  imponendo  stazionarietĂ ,  la  seconda  invece  trascurando  il  termine  della  gravitĂ .  -­â€? CosĂŹ  facendo  si  può  scrivere  l’equazione  della  quantitĂ Â di  moto  di  N-­â€?S  includendo  la  gravitĂ Â nella  pressione,  che  può  essere  calcolata  indipendentemente.   -­â€? Allora  le  nuove  equazioni  con  quest’ulteriore  semplificazione  sono: Â

Marcello Miccio

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  âˆ‡ ∙ đ?‘Ł = 0

đ??ˇđ?‘Ł ∇đ?‘? đ?œ‡ 2  + = đ?›ť đ?‘Ł đ??ˇđ?‘Ą đ?œŒ đ?œŒ -­â€? -­â€?

-­â€?

-­â€?

-­â€? -­â€?

-­â€?

Â

 Consideriamo  ora  il  caso  particolare  in  cui  sia  la  velocitĂ Â che  la  pressione  siano  funzioni  di  una  sola  direzione  spaziale,  la  â€œyâ€?.  Supponendo  inoltre  che  il  vettore  đ?‘Ł  abbia  solo  due  componenti,  đ?‘Ł = (đ?‘˘, đ?‘Ł),  esplicitiamo  le  equazioni  di  N-­â€?S  per  componenti.   đ?‘˘!! đ?‘Ł! = 0 đ?‘?! đ?‘˘! + đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘Łđ?‘˘! + = đ?œˆ(đ?‘˘!! + đ?‘˘!! ) đ?œŒ  đ?‘?! đ?‘Ł! + đ?‘˘đ?‘Ł! + đ?‘Łđ?‘Ł! + = đ?œˆ(đ?‘Ł!! + đ?‘Ł!! ) đ?œŒ   Ora  poichĂŠ  la  velocitĂ Â e  la  pressione  sono  funzione  della  sola  â€œyâ€?  tutte  le  derivate  rispetto  â€œxâ€?  sono  nulle,  inoltre  se  mi  metto  nel  caso  stazionario,  si  ha:   đ?‘Ł! = 0 đ?‘?! = đ?œˆđ?‘˘!!  đ?œŒ đ?‘?! = 0 Studiamo  la  terza  equazione.  PoichĂŠ  la  pressione  è  indipendente  dalla  â€œxâ€?  allora  possiamo  manipolarla  in  questo  modo:  đ?œ•đ?‘? đ?œ• đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? = 0      â†’      = 0     â†’      = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ Allora  integrando  questa  ultima  relazione  si  ha:     đ?‘? = đ??ś! đ?‘Ľ + đ??ś!  Studiamo  ora  la  seconda  equazione.   Essa  è  un’equazione  differenziale  del  secondo  ordine,  e  andando  a  integrarla  due  volte  rispetto  a  â€œyâ€?  si  ottiene:  đ?‘?! đ?‘?! đ?‘Ś + đ??ś! = đ?‘˘!     â†’     đ?‘Ś ! + đ??ś! đ?‘Ś + đ??ś! = đ?‘˘  đ?œ‡ 2đ?œ‡ Riassumendo  le  equazioni  ricavate  sotto  queste  ipotesi  abbiamo  un  sistema  di  tre  equazioni  che  ci  descrive  le  proprietĂ Â di  un  fluido  che  muove  in  un  moto  piano.  đ?‘Ł! = 0 đ?‘?! ! đ?‘Ś + đ??ś! đ?‘Ś + đ??ś! = đ?‘˘  2đ?œ‡  đ?‘? = đ??ś! đ?‘Ľ + đ??ś!

Marcello Miccio

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   Â

Calcolo  coefficienti  đ?‘Şđ?&#x;? , đ?‘Şđ?&#x;?  nel  caso  piano.  -­â€? Consideriamo  la  configurazione  in  figura.  Qui  la  lastra  inferiore  è  fissa  e  la  lastra  superiore,  posta  ad  una  distanza  â€œLâ€?  da  quella  inferiore,  muove  ad  una  velocitĂ Â â€œUâ€?. Â

-­â€?

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 Per  la  condizione  di  aderenza  esplicito  le  condizioni  al  contorno:  đ?‘˘ đ?‘œ =0  đ?‘˘ đ??ż =0 Con  queste  due  condizioni  ricavo  i  valori  dei  coefficienti  đ??ś! , đ??ś!  ed  otteniamo  un  relazione  che  ci  descrive  il  profilo  di  velocitĂ Â in  questa  configurazione  piana:  đ?‘?! đ?‘Ś đ?‘˘= đ?‘Ś(đ?‘Ś − đ??ż) + đ?‘ˆ  2đ?œ‡ đ??ż Nel  caso  particolare  in  cui  đ?‘ˆ = 0,  ho  un  flusso  detto  di  Poiseuille.  Nel  caso  particolare  in  cui  đ?‘?! = 0,  ho  un  flusso  detto  di  Couette. Â

 Parametri  flusso  di  Poiseuille.  !! -­â€? Il  flusso  di  Poiseuille  è  descritto  dall’equazione:    đ?‘˘ = đ?‘Ś(đ?‘Ś − đ??ż)  !! Â

-­â€?

 PoichĂŠ  il  profilo  è  di  tipo  parabolico  la  velocitĂ Â massima  si  raggiungerĂ Â nel  ! centro  di  tale  profilo,  quindi  per  ottenerla  si  deve  imporre:   đ?‘Ś = ! Â

-­â€?

Per  ricavare  invece  la  portata  si  deve  valutare  l’integrale:  đ?‘„ =

-­â€?

Nota  la  portata  possiamo  ricavare  la  velocitĂ Â media:   đ?‘Ł! = ! Â

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Parametri  flusso  di  Couette.  ! -­â€? Il  flusso  di  Couette  è  descritto  dall’equazione:      đ?‘˘ = đ?‘ˆ  !

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 PoichĂŠ  il  profilo  è  di  tipo  lineare  la  velocitĂ Â massima  si  raggiungerĂ Â proprio  in  corrispondenza  della  altezza  massima,  quindi  per  ottenerla  si  deve  imporre:  đ?‘Ś = đ??ż  ! Per  ricavare  invece  la  portata  si  deve  valutare  l’integrale:  đ?‘„ = ! đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ś  !

Nota  la  portata  possiamo  ricavare  la  velocitĂ Â media:   đ?‘Ł! =  !  Correnti  dipendenti  dal  tempo  (  problema  di  Rayleigh)   -­â€? Consideriamo  una  lastra  piana  infinita  sul  cui  lato  superiore  è  presente  un  dominio  infinito  di  fluido.  -­â€? Il  fluido  e  la  lastra  sono  a  riposo,  tuttavia  a  partire  da  un  tempo  đ?‘Ą = 0  la  lastra  è  messa  in  movimento  con  velocitĂ Â â€œVâ€?.  -­â€?

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In  questa  configurazione  le  condizioni  al  contorno  sono:  đ?‘˘ đ?‘Ś, 0 = 0             đ?‘˘ đ?‘œ, đ?‘Ą = đ?‘‰      đ?‘?đ?‘œđ?‘›  đ?‘Ą > 0 Per  descrivere  ora  questo  problema  sfruttiamo  le  equazioni  di  N-­â€?S  scritte  in  componenti:  đ?‘˘!! đ?‘Ł! = 0 đ?‘?! đ?‘˘! + đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘Łđ?‘˘! + = đ?œˆ(đ?‘˘!! + đ?‘˘!! ) đ?œŒ  đ?‘?! đ?‘Ł! + đ?‘˘đ?‘Ł! + đ?‘Łđ?‘Ł! + = đ?œˆ(đ?‘Ł!! + đ?‘Ł!! ) đ?œŒ

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 Ora  ci  mettiamo  nelle  ipotesi  di:    1)Flusso  instazionario   2)  Gradiente  di  pressione  nullo  (đ?‘?! = 0)    3)  VelocitĂ Â funzione  della  sola  â€œyâ€?.  đ?‘Ł! = 0 đ?‘˘! = đ?œˆđ?‘˘!!  đ?‘?! đ?‘Ł! + = đ?œˆđ?‘Ł!! đ?œŒ Studiamo  la  seconda  equazione,  essa  è  una  equazione  differenziale  del  secondo  ordine.  Per  cercare  una  soluzione  di  questa  equazione   introduciamo  una  nuova  variabile  "  đ?œ‚"  e  tentiamo  di  esprimere  tutto  in  funzione  di  questa  nuova  variabile,  (questo  metodo  di  soluzione  è  detto  metodo  di  similitudine):  đ?œ‚ = đ??ľđ?‘Śđ?‘Ą ! .  Dunque  se  đ?‘˘ = đ?‘˘(đ?œ‚)  si  deve  avere:  đ?œ•đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ đ?œ•đ?œ‚ đ?‘› đ?‘‘đ?‘˘ = = đ?œ‚  đ?œ•đ?‘Ą đ?‘‘đ?œ‚ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘Ą đ?‘‘đ?œ‚ đ?œ•đ?‘˘ 1 đ?‘‘đ?‘˘ = đ?œ‚           đ??ˇđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Łđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ž  đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž  đ?œ•đ?‘Ś đ?‘Ś đ?‘‘đ?œ‚ đ?œ•!đ?‘˘ 1 ! đ?‘‘! đ?‘˘ = đ?œ‚      đ??ˇđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Łđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ž  đ?‘ đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘Ž   đ?œ•đ?‘Ś ! đ?‘Ś ! đ?‘‘đ?œ‚ ! Con  queste  trasformazioni  possiamo  andare  a  riscrivere  â€œđ?‘˘! = đ?œˆđ?‘˘!! "  :  đ?‘› đ?‘‘đ?‘˘ đ?œˆ ! đ?‘‘! đ?‘˘ đ?‘‘ ! đ?‘˘ đ?‘› đ?‘Ś ! đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘˘! = đ?œˆđ?‘˘!!  â†’    đ?œ‚ =  ! đ?œ‚     â†’   ! − = 0  đ?‘Ą đ?‘‘đ?œ‚ đ?‘Ś đ?‘‘đ?œ‚ ! đ?‘‘đ?œ‚ đ?œ‚ đ?œˆđ?‘Ą đ?‘‘đ?œ‚ In  questa  ultima  relazione  devono  rimanere  solamente  i  termini  in  "đ?œ‚, đ?‘˘"  quindi  scegliamo  il  valore  di  tre  variabili  in  questo  modo:  đ?‘Ś 1 1 đ?œ‚=           đ?‘› = −           đ??ľ =        2 2 đ?œˆđ?‘Ą 2 đ?œˆ Sostituendo  ora  queste  posizioni  si  ottiene  una  equazione  differenziale  in  cui  compaiono  solo  "đ?œ‚, đ?‘˘"  :  đ?‘‘! đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘˘!! + 2đ?œ‚ = 0     â†’      ! = −2đ?œ‚  đ?‘‘đ?œ‚ ! đ?‘‘đ?œ‚ đ?‘˘ Per  ottenere  l’espressione  del  profilo  di  velocitĂ Â integriamo  due  volte  quest’ultima  relazione:  đ?‘‘đ?‘˘ ! Prima  integrazione:         ln đ?‘˘! = −đ?œ‚ ! + ln đ??ś!     â†’     = đ??ś! đ?‘’ !!     đ?‘‘đ?œ‚ !               Seconda  integrazione:    đ?‘˘ = đ??ś! đ?‘’ !! đ?‘‘đ?œ‚ + đ??ś!   Per  trovare  i  valori  dei  coefficienti  esplicito  ora  le  condizioni  al  contorno  nella  variabile  eta: Â

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đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;  đ?œ‚ = 0                   đ?‘˘ = 0   đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;  đ?œ‚ → ∞                  đ?‘˘ = đ?‘Ł   -­â€? Si  trova  cosĂŹ  una  relazione  del  tipo:  2 ! !!! đ?‘˘ =đ?‘‰ 1− đ?‘’ đ?‘‘đ?œ‚  đ?œ‹ ! -­â€? Quest’ultima  relazione  può  essere  scritta  in  modo  piĂš  semplice  introducendo  la  â€œfunzione  degli  erroriâ€?:   đ?‘Ś đ?‘˘ = đ?‘‰ 1 − đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“ đ?œ‚ = đ?‘‰ 1 − đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“  2 đ?œˆđ?‘Ą  Soluzione  esatta  dell’equazione  di  Navier-­â€?Stokes  nel  caso  cilindrico.  -­â€? Per  ricavare  la  soluzione  esatta  dell’equazioni  di  N-­â€?S  nel  caso  cilindrico  si  procede  analogamente  al  caso  piano.  Ragionando  infatti  sotto  le  stesse  ipotesi  si  giunge  a:    đ?‘?!   = đ?œˆđ?‘˘!!   đ?œŒ -­â€? Per  risolvere  in  modo  piĂš  semplice  questa  equazione  differenziale  scriviamo  il  laplaciano  al  secondo  membro  in  coordinate  cilindriche:  đ?‘?! 1 đ?œ• đ?œ•đ?‘˘ = đ?‘˘!! = đ?‘&#x;  đ?œ‡ đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; -­â€? Per  ottenere  l’espressione  del  profilo  di  velocitĂ Â integriamo  due  volte  rispetto  ad  â€œrâ€?:  đ?‘?! đ?œ• đ?œ•đ?‘˘ đ?‘&#x; = đ?‘&#x;  đ?œ‡ đ?œ•đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; đ?‘?! đ?œ•đ?‘˘ đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’:                   đ?‘&#x; ! + đ??ś! = đ?‘&#x;  2đ?œ‡ đ?œ•đ?‘&#x; -­â€? Divido  ora  per  â€œrâ€?  entrambi  i  membri:   đ?‘?! đ??ś! đ?œ•đ?‘˘  đ?‘&#x; + =  2đ?œ‡ đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; đ?‘?! ! đ?‘†đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘Ž  đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’:      đ?‘˘ = đ?‘&#x; + đ??ś! log đ?‘&#x; + đ??ś!  4đ?œ‡   Â

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Parametri  per  un  condotto  cilindrico.  -­â€? Per  valutare  i  parametri  di  una  corrente  che  fluisce  attraverso  un  condotto  cilindrico  di  raggio  â€œRâ€?  ,  si  devono  trovare  i  valori  delle  due  costanti  đ??ś! , đ??ś! . Â

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-­â€? -­â€?

 Tali  valori  si  trovano  esplicitando  le  condizioni  al  contorno  e  sfruttando  la  relazione  del  generico  profilo  di  velocitĂ :  đ?‘˘ đ?‘… = 0                   đ?‘‰đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘ĄĂ  đ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘Ž  đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘›đ?‘˘đ?‘™đ?‘™đ?‘Ž. đ?œ•đ?‘˘  = 0   đ?‘‰đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘ĄĂ   đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘Žđ?‘™  đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ  đ?‘‘đ?‘’đ?‘™  đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘œ đ?œ•đ?‘&#x; !!! Sotto  queste  due  condizioni  si  trova  un  profilo  del  tipo:  đ?‘?! ! đ?‘˘= (đ?‘&#x; − đ?‘… ! )  4đ?œ‡ La  velocitĂ Â massima  si  ottiene  imponendo:  đ?‘&#x; = 0  ! La  portata  si  trova  risolvendo  l’integrale:  đ?‘„ = ! đ?‘˘  2đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;  !

!

La  velocitĂ Â media  invece  è  data  da:     đ?‘Ł! = = !  ! !" Parametri  per  corrente  in  un  anello.  -­â€? Consideriamo  una  corrente  che  fluisce  in  un  anello  formato  da  due  cilindri:  1) Quello  interno  di  raggio  đ?‘…!  che  muove  in  direzione  assiale  con  velocitĂ Â â€œUâ€?  2) Quello  esterno  di  raggio  đ?‘…!  che  è  fisso  -­â€?

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 Il  profilo  di  velocitĂ Â anche  in  questa  configurazione  è  descritta  dalla  solita  ! relazione:   đ?‘˘ = !!! đ?‘&#x; ! + đ??ś! log đ?‘&#x; + đ??ś! Â

Qui  i  valori  dei  due  coefficienti   đ??ś! , đ??ś! si  trovano  esplicitando  le  opportune  condizioni  al  contorno:  đ?‘˘ đ?‘…! = 0  đ?‘˘ đ?‘…! = đ?‘ˆ !" Note  le  due  costanti  si  può  stimare  la  velocitĂ Â massima  impendo:  !" = 0  La  portata  si  trova  risolvendo  l’integrale:  đ?‘„ =

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!! đ?‘˘  2đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;  !!

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La  velocitĂ Â media  invece  è  data  da:     đ?‘Ł! =

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!(!! !!! ! )

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 Corrente  tra  due  cilindri  rotanti.  -­â€? Consideriamo  una  corrente  che  fluisce  tra  due  cilindri  rotanti:  1) Quello  interno  di  raggio  đ?‘…!  che  ruota  con  velocitĂ Â angolare  đ?œ”!  2) Quello  esterno  di  raggio  đ?‘…!  che  ruota  con  velocitĂ Â angolare  đ?œ”!  !! -­â€? L’equazione  differenziale  che  descrive  il  problema  è  sempre:    = đ?œˆđ?‘˘!!  !

Tuttavia  per  semplificare  l’analisi  di  questo  problema  consideriamo  una  corrente  a  gradiente  di  pressione  nullo  (đ?‘?! = 0)  e  scriviamo  il  laplaciano  in  coordinate  cilindriche:  đ?œ• 1 đ?œ•đ?‘&#x;đ?‘˘ đ?‘˘!! = = 0  đ?œ•đ?‘&#x; đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; -­â€? Per  ottenere  il  profilo  di  velocitĂ Â integriamo  due  volte  rispetto  in  â€œrâ€?:  1 đ?œ•đ?‘&#x;đ?‘˘ đ?œ•đ?‘&#x;đ?‘˘ đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’:  =  đ??ś!   â†’   =  đ??ś! đ?‘&#x;    đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; đ?‘&#x;! đ?‘&#x;  đ??ś! đ?‘†đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘Ž  đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’:     đ?‘˘đ?‘&#x; =  đ??ś! +  đ??ś!   â†’    đ?‘˘ =  đ??ś! +  2 2 đ?‘&#x; -­â€? Per  ricavare  i  valori  delle  due  costanti  devo  sfruttare  le  condizioni  al  contorno  espresse  dalle  velocitĂ Â angolari  dei  due  cilindri:  đ?‘˘ đ?‘…! = đ?œ”! đ?‘…!  đ?‘˘ đ?‘…! = đ?œ”! đ?‘…! Le  equazioni  di  Eulero.  -­â€? Consideriamo  le  equazioni  di  N-­â€?S  per  fluidi  incomprimibili  -­â€?

∇∙đ?‘Ł =0 !! ∇! ! + = đ?›ť ! đ?‘Ł:  !"

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Supponiamo  di  studiare  un  fluido  senza  l’influenza  delle  viscositĂ ,  ossia  una  condizione  in  cui    đ?œ‡ = 0 ,   con  questa  approssimazione  si  ottengono  le  equazioni  di  Eulero.   âˆ‡âˆ™đ?‘Ł =0 đ??ˇđ?‘Ł ∇đ?‘?  + =0 đ??ˇđ?‘Ą đ?œŒ Queste  equazioni  a  differenza  di  quelle  di  partenza  sono  equazioni  differenziali  del  primo  ordine,  infatti  con  la  semplificazione  effettuate  si  perdono  le  derivare  di  ordine  maggiore.  CosĂŹ  si  perdono  informazioni  importanti  che  non  ci  permettono  di  descrivere  il  fenomeno  nel  suo  complesso.  Tuttavia  le  leggi  di  Eulero,  anche  se  non  costituiscono  una  buona Â

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approssimazione  del  fenomeno  nelle  vicinanze  del  contorno  di  un  corpo  rigido,  lontano  dal  corpo  dove  la  viscositĂ Â đ?œ‡ ≅ 0  queste  equazioni  costituiscono  una  buona  approssimazione  del  fenomeno  e  sono  dunque  valide.   Forma  Debole  delle  legge  di  Bernulli.  -­â€? Consideriamo  l’equazione  di  Eulero  della  quantitĂ Â di  moto  esplicitando  il  termine  relativo  alla  gravitĂ ,  prima  inglobato  nella  pressione:   đ??ˇđ?‘Ł ∇đ?‘? + = đ?‘”  đ??ˇđ?‘Ą đ?œŒ -­â€? Esplicitiamo  ora  la  derivata  sostanziale  e  moltiplichiamo  ogni  membro  per  "đ?‘Ł"  đ?œ•đ?‘Ł đ?‘Ł đ?‘Ł + đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł đ?‘Ł + ∇đ?‘? = đ?‘Ł  đ?‘”  đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ -­â€? Consideriamo  il  caso  stazionario  e  quindi  la  derivata  temporale  è  nulla:  đ?‘Ł đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł đ?‘Ł + ∇đ?‘? = đ?‘Ł  đ?‘”  đ?œŒ -­â€? Cerchiamo  ora  di  esprimere  ogni  termine  come  il  gradiente  di  un  oggetto,  allora  introduciamo  e  scriviamo  đ?‘”  come  il  gradiente  di  un  potenziale:  đ?‘” = −∇đ?œ‘!"#$%#&$'(#)*        đ?‘?đ?‘œđ?‘›   đ?œ‘!"#$%#&$'(#)* = đ?‘” đ?‘§  -­â€? Inoltre  si  può  riscrivere  il  primo  termine  in  questo  modo:  đ?‘Ł! ∇  đ?‘Ł  đ?‘Ł  = ∇  2 -­â€? Allora  l’espressione  di  partenza  diventa:   đ?‘Ł! đ?‘Ł đ?‘Łâˆ™âˆ‡ + ∇đ?‘? + đ?‘Ł   âˆ‡đ?‘”đ?‘§ = 0  2 đ?œŒ -­â€? Raccogliamo  il  termine  comune  ai  tre  addendi:  đ?‘Ł! đ?‘? đ?‘Łâˆ™âˆ‡ + + đ?‘”đ?‘§ = 0  2 đ?œŒ -­â€? Da  cui  segue  che:  đ?‘Ł! đ?‘? + + đ?‘”đ?‘§ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  2 đ?œŒ Abbiamo  cosĂŹ  ottenuto  il  trinomio  di  Bernulli,  tale  relazione  ci  dice  che  qualcosa  è  costante  lungo  una  linea  di  corrente,  tangente  punto  per  punto  a  al  campo  di  velocitĂ .     Marcello Miccio

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Forma  Forte  delle  legge  di  Bernulli.   -­â€? Consideriamo  l’equazione  di  Eulero  della  quantitĂ Â di  moto  esplicitando  il  termine  relativo  alla  gravitĂ ,  prima  inglobato  nella  pressione:   đ??ˇđ?‘Ł ∇đ?‘? + = đ?‘”  đ??ˇđ?‘Ą đ?œŒ -­â€? Esplicitiamo  ora  la  derivata  sostanziale:  đ?œ•đ?‘Ł 1 + đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł + ∇đ?‘? = đ?‘”  đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ -­â€? Ricordiamo  ora  la  proprietĂ Â del  doppio  prodotto  vettoriale:  đ?‘ŁĂ— âˆ‡Ă—đ?‘Ł = ∇đ?‘Ł  đ?‘Ł − đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł  -­â€? Da  questa  relazione  ricavo  l’ultimo  membro  e  poi  sostituisco  nella  relazione  di  partenza:  đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł = ∇đ?‘Ł  đ?‘Ł − đ?‘ŁĂ— âˆ‡Ă—đ?‘Ł  đ?œ•đ?œŒ đ?‘Ł 1 + ∇đ?‘Ł  đ?‘Ł − đ?‘ŁĂ— âˆ‡Ă—đ?‘Ł + ∇đ?‘? = đ?‘”  đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ  -­â€? Introducendo  la  VorticitĂ ,  definita  in  questo  modo  đ?œ” = âˆ‡Ă—đ?‘Ł   ,  e  considerando  il  caso  stazionario  si  può  riscrivere  il  tutto:  1 ∇đ?‘Ł  đ?‘Ł − đ?‘ŁĂ— đ?œ” + ∇đ?‘? = đ?‘”  đ?œŒ -­â€? Cerchiamo  ora  di  esprimere  ogni  termine  come  il  gradiente  di  oggetto,  allora  introduciamo  e  scriviamo  đ?‘”  come  il  gradiente  di  un  potenziale:  đ?‘” = −∇đ?œ‘!"#$%#&$'(#)*        đ?‘?đ?‘œđ?‘›   đ?œ‘!"#$%#&$'(#)* = đ?‘” đ?‘§  -­â€? Inoltre  si  può  riscrivere  il  primo  termine  in  questo  modo:  đ?‘Ł! ∇  đ?‘Ł  đ?‘Ł  = ∇  2 -­â€?  Se  imponiamo  vorticitĂ Â nulla  allora  l’espressione  di  partenza  diventa:  đ?‘Ł! 1 ∇ + ∇đ?‘? + ∇đ?‘”đ?‘§ = 0  2 đ?œŒ -­â€? Raccogliamo  il  termine  comune  ai  tre  addendi:  đ?‘Ł! đ?‘? ∇ + + đ?‘”đ?‘§ = 0  2 đ?œŒ -­â€? Da  cui  segue  che:  đ?‘Ł! đ?‘? + + đ?‘”đ?‘§ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  2 đ?œŒ In  questa  relazione  sono  nulle  le  derivate  di  ogni  termine  del  trinomio  di  Bernulli  lungo  tutte  le  direzioni,  quindi  il  trinomio  è  costante,  non  solo  lungo  Marcello Miccio

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una  linea  di  corrente,  ma  anche  in  qualsiasi  direzione.   Tubo  di  Venturi.  -­â€? Il  venturimetro  o  tubo  di  Venturi  è  uno  strumento  che  serve  a  misurare  la  portata  di  una  condotta.  Esso,  infatti,  calcola  la  velocitĂ Â media  del  fluido  partendo  dalla  relazione  esistente  tra  questa  grandezza  e  la  pressione  .  -­â€? Ăˆ  un  dispositivo  che  consta  in  un  tubo  di  sezione  convergente  seguito  da  una  sezione  divergente. Â

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 Per  studiarne  il  funzionamento  scriviamo  la  legge  di  Bernulli  per  le  sezioni  1,  2,  3.  đ?‘Ł! ! đ?‘?! đ?‘Ł! ! đ?‘?! đ?‘Ł! ! đ?‘?! + + đ?‘”đ?‘§! = + + đ?‘”đ?‘§! = + + đ?‘”đ?‘§!  2 đ?œŒ 2 đ?œŒ 2 đ?œŒ  Supponendo  che  il  condotto  sia  orizzontale  possiamo  trascurare  il  termine  relativo  alla  quota:    đ?‘Ł! ! đ?‘?! đ?‘Ł! ! đ?‘?! đ?‘Ł! ! đ?‘?! + = + = +  2 đ?œŒ 2 đ?œŒ 2 đ?œŒ Inoltre  dalla  legge  di  conservazione  della  Massa  si  ha  che:     đ?‘Ł! = đ?‘Ł!  <  đ?‘Ł!  Quindi  dal  bilancio  di  Bernulli  si  deve  avere  che:                        đ?‘?! = đ?‘?!  >  đ?‘?!  Quindi  se  con  un  manometro  si  conosce  la  differenza  di  pressione  prima  e  dopo  la  sezione  2  si  può  facilmente  calcolare  la  velocitĂ Â del  fluido  e  quindi  la  portata.  Tuttavia  per  il  corretto  funzionamento  di  questo  strumento  di  misura  i  restringimenti  della  sezione  del  condotto  devono  avvenire  in  modo  dolce  e  graduale,  altrimenti  insorgono  i  fenomeni  della  separazione  e  dei  vortici.  Tali  fenomeni  rappresentano  una  dissipazione  energetica,  ossia  un  costo  in  termini  di  energia.  Allora  poichĂŠ  il  bilancio  di  Bernulli  è  un  bilancio  di  energie  âˆ†! meccaniche  deve  essere  corretto  con  l’aggiunta  di  un  termine  ( !! )  che  tenga  conto  di  tale  dissipazione. Â

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đ?‘Ł! ! đ?‘?! đ?‘Ł! ! đ?‘?! ∆đ?‘?! + + đ?‘”đ?‘§! = + + đ?‘”đ?‘§! +  2 đ?œŒ 2 đ?œŒ đ?œŒ

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-­â€?

-­â€?

-­â€? -­â€?

Tubo  di  Pitot.  Il  tubo  di  Pitot  è  uno  strumento  utilizzato  per  misurare  la  velocitĂ Â di  un  fluido  (tipicamente  un  gas)  relativa  al  fluido  stesso.  Fu  inventato  nel  1732  dallo  scienziato  francese  Henri  Pitot. Â

 Un  tubo  di  Pitot  è  infatti  fornito  di  due  prese  di  pressione,  una  all'estremitĂ Â anteriore  disposta  perpendicolarmente  alla  corrente  (presa  totale)  e  una  sul  corpo  del  tubo  disposta  tangenzialmente  al  flusso  (presa  statica).  Inoltre  il  tubo  interno  è  collegato  ad  un  manometro.  Supponendo  di  lavorare  con  un  fluido  incomprimibile  si  può  scrivere  il  binomio  di  Bernulli:  đ?‘Ł! ! đ?‘?! đ?‘Ł! ! đ?‘?! + = +  2 đ?œŒ 2 đ?œŒ Se  consideriamo  una  linea  di  flusso  proveniente  dall’infinito  si  ha  che  essa  si  arresta  quando  giunge  all’intercapedine  2,  quindi   đ?‘Ł! = 0  (velocitĂ Â di  ristagno)   Quindi  possiamo  riscrivere  il  bilancio  di  Bernulli  con  la  sola  incognita  della  velocitĂ Â "đ?‘Ł! "  :   đ?‘Ł! ! đ?‘?! đ?‘?! + =      â†’  đ?‘Ł! = 2 đ?œŒ đ?œŒ

-­â€?

2 đ?‘?! − đ?‘?!  đ?œŒ

Il  tubo  di  Pitot  è  utilizzato  su  tutti  gli  aeroplani  e  in  automobilismo  (tipicamente  Formula  Uno,  durante  i  test  pre-­â€?stagionali)  come  sensore  per  la  determinazione  della  velocitĂ Â rispetto  all'aria  e  nelle  gallerie  del  vento  per  la  misurazione  della  velocitĂ Â della  corrente  d'aria. Â

Marcello Miccio

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     Forma  Adimensionale  delle  euqazioni  di  Navier-­â€?Stokes.   -­â€? Le  equazioni  di  N-­â€?S  possono  essere  scritte  in  forma  adimensionale  allo  scopo  di  diminuire  il  numero  di  parametri  da  cui  dipende  un  problema  e  permettere  di  descrivere  un  fenomeno  in  modo  universale,  non  tenendo  conto  degli  ordni  di  grandezza.  -­â€? Consideriamo  dunque  le  equazioni  di  N-­â€?S  ottenute  nel  caso  incomprimibile: Â

∇∙đ?‘Ł =0

đ?œ•đ?‘Ł -­â€?

+

đ?‘Łâˆ™âˆ‡ đ?‘Ł +

1

∇đ?‘? = đ?‘” + đ?œˆđ?›ť ! đ?‘Ł

Â

đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ Introduciamo  delle  grandezze  adimensionali:  1) đ?‘Ľ! = đ??ż!  đ?‘Ľ!  2) đ?‘Ł! = đ?‘Ł!  đ?‘Ł!  3) đ?œŒ! = đ?œŒ!  đ?œŒ!  4) đ?‘”! = đ?‘”!  đ?‘”!  5) đ?‘?! = đ?œŒ! đ?‘Ł!!  đ?‘?!  ! 6) đ?‘Ą! = đ?‘Ą!   đ?‘Ą! = !!  đ?‘Ą!  !

-­â€?

-­â€?

-­â€?

Definite  queste  grandezze  adimensionali  scriviamo  ora  le  equazioni  di  N-­â€?S:  đ?‘Łđ?‘&#x; đ?œ•đ?‘˘đ?‘Ž đ?‘Łđ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘Łđ?‘&#x; đ?œ•đ?‘˘đ?‘Ž đ?œ•đ?‘Łđ?‘Ž ∇ ∙ đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ľ+ đ?‘Łđ?‘Ś = 0   â†’   + =    + = 0  đ??żđ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ž đ??żđ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Śđ?‘Ž đ??żđ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Ľđ?‘Ž đ?œ•đ?‘Śđ?‘Ž đ?œ•đ?‘˘! đ?œ•đ?‘Ł! + = 0   â†’  âˆ‡ ∙ đ?‘Łđ?‘Ž = 0  đ?œ•đ?‘Ľ! đ?œ•đ?‘Ś! Procediamo  ora  ad  adimensionalizare   l’equazione  della  quantitĂ Â di  moto:  đ?‘Ł ! ! đ?œ•đ?‘Ł! đ?‘Ł ! ! đ?œŒ! đ?‘Ł ! ! đ?‘Ł!! ! + đ?‘Ł ∙∇ đ?‘Ł + ∇ đ?‘? =  đ?œˆ ∇ đ?‘Ł + đ?‘”! đ?‘”!   đ??ż! đ?œ•đ?‘Ą! đ??ż! ! ! ! đ?œŒ! đ??ż! ! ! đ??ż! ! ! Dividiamo  ora  tutto  per  đ?‘Ł ! !   ,  moltiplichiamo  tutto  per  đ??ż!  e  si  ottiene: Â

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đ?œ•đ?‘Ł! đ?œˆ ! đ?‘”! đ??ż! + đ?‘Ł! ∙ ∇! đ?‘Ł! + ∇! đ?‘?! =  ∇! đ?‘Ł! + đ?‘”!   đ?œ•đ?‘Ą! đ??ż! đ?‘Ł! đ?‘Ł!!

-­â€?

 Restano  cosĂŹ  solo  due  gruppi  adimensionali  ed  è  convenzione  dare  un  nome  ai  loro  inversi:  đ??ż! đ?‘Ł! = đ?‘…đ?‘’        đ?‘ đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ  đ?‘‘đ?‘–  đ?‘…đ?‘’đ?‘Śđ?‘›đ?‘œđ?‘™đ?‘‘đ?‘ Â

đ?œˆ!

-­â€?

-­â€?

đ?‘Ł ! = đ??šđ?‘&#x; !     đ?‘ đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ  đ?‘‘đ?‘–  đ??šđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘˘đ?‘‘đ?‘’   đ?‘”! đ??ż! Andiamo  quindi  a  riscrivere  le  equazioni  adimensionali  introducendo  questi  due  gruppi  adimensionali:  âˆ‡ ∙ đ?‘Łđ?‘Ž = 0 đ?œ•đ?‘Ł! 1 ! 1  + đ?‘Ł! ∙ ∇! đ?‘Ł! + ∇! đ?‘?! = ∇! đ?‘Ł! + !  đ?‘”! đ?œ•đ?‘Ą! đ?‘…đ?‘’ đ??šđ?‘&#x;  Naturalmente  se  tutte  le  grandezze  prese  in  considerazione  sono  adimensionali  è  superfluo  specificarlo  con  il  pedice  â€œaâ€?,  se  invece  si  ha  a  che  fare  con  grandezze  miste,  dimensionali  ed  adimensionali,  si  deve  specificare  la  natura  di  ciascuna  grandezza. Â

  Equazioni  adimensionali  di  Stokes.  -­â€? Le  equazioni  che  abbiamo  appena  trovato  possono  essere  scritte  in  una  forma  piĂš  compatta  attraverso  delle  opportune  manipolazioni,  iniziamo  a  riscriverle  in  componenti:   đ?‘˘!! đ?‘Ł! = 0 1 đ?‘˘! + đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘Łđ?‘˘! + đ?‘?! = (đ?‘˘ + đ?‘˘!! )  đ?‘…đ?‘’ !! 1 đ?‘Ł! + đ?‘˘đ?‘Ł! + đ?‘Łđ?‘Ł! + đ?‘?! = (đ?‘Ł + đ?‘Ł!! ) đ?‘…đ?‘’ !! -­â€? Ovviamente  sono  tutte  grandezze  adimensionali  allora  ometto  i  pedici  per  non  appesantire  troppo  la  notazione.  -­â€? Per  studiare  e  risolvere  queste  equazioni  differenziali  si  può  procedere  in  due  direzioni  differenti:  1) đ?‘…đ?‘’ ≪ 1  2) đ?‘…đ?‘’ → ∞  -­â€? Studiamo  ora  il  caso  in  cui  đ?‘…đ?‘’ ≪ 1.  Consideriamo  quindi  le  due  componenti  dell’equazioni  delle  quantitĂ Â di  moto  e  moltiplichiamo  ogni  termine  per  "đ?‘…đ?‘’":   Marcello Miccio

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đ?‘…đ?‘’  đ?‘˘! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘Łđ?‘˘! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘?! = (đ?‘˘!! + đ?‘˘!! )  đ?‘…đ?‘’  đ?‘Ł! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘˘đ?‘Ł! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘Łđ?‘Ł! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘?! = (đ?‘Ł!! + đ?‘Ł!! )

 -­â€? Introduciamo  ora  una  nuova  pressione  (đ?‘? ! )  ed  un  nuovo  tempo  (đ?‘Ą ! ):  đ?‘?! đ?‘?=         â†’           đ?‘?! = đ?‘…đ?‘’  đ?‘?  đ?‘…đ?‘’ đ?‘Ą đ?‘Ą = đ?‘…đ?‘’  đ?‘Ą !    â†’              đ?‘Ą ! =       đ?‘…đ?‘’   -­â€? Andiamo  dunque  a  riscrivere  le  due  componenti  dell’equazioni  delle  quantitĂ Â di  moto  introducendo  queste  due  nuove  variabili:   1 1 đ?‘…đ?‘’  đ?‘˘! ! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘Łđ?‘˘! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘?! ! = (đ?‘˘!! + đ?‘˘!! ) đ?‘…đ?‘’ đ?‘…đ?‘’  1 1 ! đ?‘…đ?‘’  đ?‘Ł! ! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘˘đ?‘Ł! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘Łđ?‘Ł! + đ?‘…đ?‘’  đ?‘? ! = (đ?‘Ł!! + đ?‘Ł!! ) đ?‘…đ?‘’ đ?‘…đ?‘’ -­â€? Se  ora  imponiamo  il  limite  di  đ?‘…đ?‘’ ≪ 1  si  ha  che  i  termini  non  lineari  scompaiono  ed  otteniamo  un  sistema  di  tre  equazioni  dette  equazioni  di  Stokes:  đ?‘˘!! đ?‘Ł! = 0  đ?‘˘! ! + đ?‘?! ! = (đ?‘˘!! + đ?‘˘!! )  đ?‘Ł! ! + đ?‘?! ! = (đ?‘Ł!! + đ?‘Ł!! ) -­â€? Con  la  semplificazioni  effettuata  sono  scomparsi  i  prodotti  di  velocitĂ ,  quindi  da  un  problema  non  lineare  siamo  passati  ad  un  problema  lineare  per  cui  vale  il  principio  di  sovrapposizione  degli  effetti.  -­â€? Mentre  non  si  perdono  i  termini  con  le  derivate  di  ordine  maggiore,  quindi  il  numero  di  condizioni  al  contorno  è  lo  stesso  del  problema  di  partenza.   Teoria  della  Lubrificazione  di  Reynolds.  -­â€? Esistono  condizioni  in  cui  le  equazioni  adimensionali  di  Stokes  valgono  anche  quando  đ?‘…đ?‘’  đ?‘›đ?‘œđ?‘›  è  đ?‘šđ?‘œđ?‘™đ?‘Ąđ?‘œ  đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’  đ?‘‘đ?‘–  1.  -­â€? Consideriamo  una  corrente  che  fluisce  tra  due  lastre:  1) La  lastra  superiore  è  orizzontale  e  muove  con  una  velocitĂ Â â€œUâ€?.  2) La  lastra  inferiore  è  fisse  ma  è  inclinata  di  un  certo  angolo  "Îą"  rispetto  all’orizzontale.     Marcello Miccio

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 -­â€?   PoichĂŠ  a  lastra  inferiore  è  inclinata  rispetto  alla  superiore  la  distanza  tra  le  lastre      varia  e  tale  variazione  è  espressa  dalla  funzione  :  â„Ž đ?‘Ľ = â„Ž! + -­â€?

Per  descrivere  questo  problema  sfruttiamo  le  equazioni  adimensionali  di  Stokes: Â

 -­â€?

-­â€?

â„Ž! − â„Ž! đ?‘Ľ     đ??śđ?‘œđ?‘›  đ??ż = đ?‘™đ?‘˘đ?‘›đ?‘”â„Žđ?‘’đ?‘§đ?‘§đ?‘Ž  đ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’  đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’  đ??ż

đ?‘˘!! đ?‘Ł! = 0  đ?‘˘! ! + đ?‘?! ! = (đ?‘˘!! + đ?‘˘!! )  đ?‘Ł! ! + đ?‘?! ! = (đ?‘Ł!! + đ?‘Ł!! )

Consideriamo  il  caso  stazionario  e  studiamo  in  particolare  la  seconda  equazione:  đ?‘˘!! đ?‘Ł! = 0 đ?‘?! ! = (đ?‘˘!! + đ?‘˘!! )  đ?‘?! ! = (đ?‘Ł!! + đ?‘Ł!! )   đ?‘?! ! = (đ?‘˘!! + đ?‘˘!! )   Questa  equazione  differenziale  può  essere  scritta  in  modo  piĂš  semplice  se  trascuriamo  il  termine  "đ?‘˘!! ",  tale  approssimazione  è  valida  in  quanto  la  funzione  â„Ž đ?‘Ľ  varia  lentamente.  Quindi  si  ha:  đ?‘?! ! = đ?‘˘!! Â

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 -­â€?

-­â€?

-­â€?

Per  trovare  ora  il  profilo  di  velocitĂ Â espresso  da  questa  equazione  differenziale  integriamo  due  volte  in  â€œyâ€?:   đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’:   đ?‘?! ! đ?‘Ś + đ??ś! = đ?‘˘!   đ?‘?! ! đ?‘Ś ! đ?‘†đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘Ž  đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’:  + đ??ś! đ?‘Ś +  đ??ś! = đ?‘˘  2 Questo  profilo  di  velocitĂ Â può  essere  espresso  come  un  polinomio  di  secondo  grado  se  poniamo:  đ?‘?! ! đ??ś! =     â†’      đ?‘˘ = đ??ś! đ?‘Ś ! + đ??ś! đ?‘Ś +  đ??ś!     2 Per  trovare  i  valori  delle  tre  costanti  esplicitiamo  le  condizioni  al  contorno:  đ?‘˘ 0 = 0         đ?‘‰đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘ĄĂ  đ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘Ž  đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘“đ?‘–đ?‘ đ?‘ đ?‘Ž đ?‘˘ â„Ž = đ?‘ˆ    đ?‘‰đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘ĄĂ  đ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘Ž  đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘šđ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘™đ?‘’  ! đ?‘˘  đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘„     đ?‘ƒđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ž  đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘Ž  đ?‘™đ?‘’  đ?‘‘đ?‘˘đ?‘’  đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ !

-­â€?

-­â€?

-­â€?

-­â€?

Svolgendo  i  calcoli  si  trovano  delle  relazioni  in  cui  i  tre  coefficienti  sono  espressi  anche  in  funzione  della  portata,  tuttavia  la  portata  non  è  ancora  determinata.  Tuttavia  poichĂŠ  sappiamo  che  la  portata  che  fluisce  tra  le  due  lastre  è  costante  i  profili  di  velocitĂ Â devono  avere  uguale  area  del  trinagoloide  che  li  rappresenta.  Quindi  il  profilo  avanzando  si  incurva,  ciò  significa  che  esiste  un  gradiente  di  pressione  che  varia  all’interno  del  condotto.  Se  supponiamo  che  la  pressione  parta  da  quella  atmosferica  e  ritorni  a  quella  atmosferica  possiamo  dunque  scrivere:  đ?‘?! ! đ??ś! =   â†’   đ?‘?! ! = 2đ??ś!  2 Integriamo  ora  entrambi  i  membri:  !

!

-­â€? -­â€? -­â€?

!

đ?‘? ! đ?‘‘đ?‘Ľ =

!

!

2đ??ś! đ?‘‘đ?‘Ľ Â

 Il  primo  integrale  per  la  supposizione  fatta  porta  contributo  nullo,  quindi  ci  resta  un  singolo  integrale  dove  l’unica  incognita  è  proprio  la  portata  Q.  Tale  integrale  si  risolve  facilmente  introducendo  la  funzione  â„Ž đ?‘Ľ  e  passando  alla  variabile  di  integrazione  â€œhâ€?.  Interessante  è  anche  andare  a  studiare  le  forze  che  agiscono  sulla  lastra  superiore:  1) đ??š! =

Marcello Miccio

! ! đ?‘?! !

đ?‘‘đ?‘Ľ    đ??šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘§đ?‘Ž  đ?‘‘đ?‘–  đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘Łđ?‘Žđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ          Â

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   Â

2) đ??š! = 3) -­â€?

!! !!

!

! !" đ?‘‘đ?‘Ľ     đ??šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘§đ?‘Ž  đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘Łđ?‘–đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ž  ! !"

∞ ! Â

Si  nota  inoltre  che  il  rapporto  tra  queste  due  forze  definisce  appunto  l’attrito  e  si  osserva  che  quanto  piĂš  le  lastre  sono  vicine  minore  è  l’attrito  tuttavia  non  devono  venire  mai  a  contatto  altrimenti  a  causa  della  rugositĂ Â l’attrito  aumenta  vertiginosamente. Â

  Funzione  di  Corrente. Â

-­â€?

La  funzione  di  corrente  è  uno  strumento  che  ci  permette  di  avere  notevoli  vantaggi  nel  manipolare  e  equazioni  adimensionali  di  Stokes  in  quanto  si  opera  con  una  unica  variabile.  Consideriamo  le  equazioni  adimensionali  di  Stokes: Â

-­â€?

đ?‘˘!! đ?‘Ł! = 0  đ?‘˘! ! + đ?‘?! ! = (đ?‘˘!! + đ?‘˘!! )  đ?‘Ł! ! + đ?‘?! ! = (đ?‘Ł!! + đ?‘Ł!! ) Introduciamo  ora  la  funzione  di  corrente  "Ψ"  definita  in  questo  modo: Â

-­â€?

đ?œ•Ψ đ?œ•Ψ                               đ?‘Ł = −đ?›š! = −  đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ  Iniziamo  a  sostituire  questa  posizione  nell’equazione  della  massa:  đ?œ• đ?œ•Ψ đ?œ• đ?œ•Ψ đ?‘˘!! đ?‘Ł! = 0     â†’     đ?›š!" − đ?›š!" = 0     â†’    âˆ’ = 0  đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ• đ?œ•Ψ đ?œ• đ?œ•Ψ đ?›š!" = đ?›š!"    â†’    =  đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ Tale  relazione  risulta  identicamente  soddisfatta   âˆ€  đ?›š đ?‘Ľ, đ?‘Ś  poichĂŠ  l’ordine  di  derivazione  è  indifferente.  Sostituiamo  ora  le  due  posizioni  fatte  nell’equazione  equazioni  della  quantitĂ Â di  moto:  đ?›š!! ! + đ?‘?! ! = đ?›š!"" + đ?›š!!! = ∇! đ?›š!  âˆ’đ?›š!! ! + đ?‘?! ! = − đ?›š!!! + đ?›š!"" = −∇! đ?›š! .   đ?‘˘ = đ?›š! =

-­â€?

-­â€? -­â€?

 -­â€?

Cerchiamo  ora  di  ottenere  una  unica  equazione  da  queste  due,  quindi  deriviamo  la  prima  rispetto  ad  â€œyâ€?  e  la  seconda  rispetto  ad  â€œxâ€?. Â

Marcello Miccio

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    -­â€?

-­â€?

-­â€?

Â

đ?›š!!! ! + đ?‘?! !" = ∇! đ?›š!!

 âˆ’đ?›š!!! ! + đ?‘?! !" = −∇! đ?›š!! Sottraiamo  membro  a  membro  ed  otteniamo:  đ?›š!!! ! + đ?‘?! !" + đ?›š!!! ! − đ?‘?! !" = ∇! đ?›š!! +∇! đ?›š!!  đ?›š!!! ! + đ?›š!!! ! = ∇! đ?›š!! +∇! đ?›š!!  Ricordando  la  definizione  di  laplaciano  e  raccogliendo  al  secondo  membro  si  ha:  âˆ‡! đ?›š! ! = ∇! đ?›š Â

 ProprietĂ Â della  Funzione  di  Corrente.  -­â€? La  funzione  di  corrente  ha  un  significato  fisico  ben  preciso.  Infatti  cure  a  đ?›š = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  sono  linee  di  flusso  del  moto.  đ??ťđ?‘?:  â†’ đ?›š = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘‡â„Ž:  â†’ đ??żđ?‘’  đ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘’  đ?‘Ž  đ?›š = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘œ  đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘’  đ?‘‘đ?‘–  đ?‘“đ?‘™đ?‘˘đ?‘ đ?‘ đ?‘œ  đ?‘‘đ?‘’đ?‘™  đ?‘šđ?‘œđ?‘Ąđ?‘œ   đ??ˇđ?‘–đ?‘š:    -­â€? PoichĂŠ  per  ipotesi  abbiamo  che  đ?›š = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  si  deve  avere:  đ?›š = đ?›š! + đ?›š!    â†’    đ?›š! + đ?›š! = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  -­â€? Passiamo  al  differenziale  entrambi  i  membri:  đ?›š! đ?‘‘đ?‘Ś + đ?›š! đ?‘‘đ?‘Ľ = 0  -­â€? Ricordando  ora  come  si  è  definita  la  funzione  di  corrente  si  può  riscrivere  quest’ultima  relazione:  uđ?‘‘đ?‘Ś − đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ľ = 0     â†’    đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ľ  -­â€? Abbiamo  cosĂŹ  ottenuto  l’equazione  differenziale  che  descrive  le  curve  di  flusso  del  moto  nel  caso  bidimensionale,  che  è  quanto  volevamo  dimostrare.       Â

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Corrente  di  Stokes  attorno  ad  un  cilindro.  -­â€? Consideriamo  il  caso  di  una  corrente  che  investe  un  cilindro,  quindi  un  problema  bidimensionale. Â

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 Esprimiamo  le  condizioni  al  contorno  per  questo  tipo  di  configurazione:  1)đ??´đ?‘™đ?‘™đ?‘Ž  đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘’  đ?‘‘đ?‘’đ?‘™  đ?‘?đ?‘–đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘œ:        đ?›š! = 0         đ?›š! = 0  1)đ??´  đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘’  đ?‘‘đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘§đ?‘Ž  đ?‘‘đ?‘Žđ?‘™  đ?‘?đ?‘–đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘œ:        đ?›š! = đ?‘Ł!         đ?›š! = 0  Per  descrivere  questo  problema  sfruttiamo  l’equazione  di  Stokes  ricavate  con  la  funzione  di  corrente:  âˆ‡! đ?›š! ! = ∇! đ?›š  Se  consideriamo  un  sistema  di  riferimento  solidale  al  cilindro  si  può  supporre  che  il  flusso  sia  stazionario:   âˆ‡! đ?›š = 0  Consideriamo  ora  la  condizione  al  contorno  đ?›š! = đ?‘Ł! .  Integrando  questa  relazione  si  ha:   đ?›š = đ?‘Ł! đ?‘Ś = đ?‘Ł! đ?‘&#x; sin đ?œƒ  Si  può  dare  una  espressione  piĂš  generale  alla"  đ?›š"   introducendo  una  funzione  đ??š đ?‘&#x;  che  varia  solo  al  variare  del  raggio  "đ?‘&#x;":  đ?›š = đ??š đ?‘&#x; sin đ?œƒ   Sostituendo  questa  espressione  di  "đ?›š"   in  âˆ‡! đ?›š = 0   si  ha:  1 đ?‘‘ đ?‘‘ 1 ! đ?‘&#x; − ! đ??š = 0  đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘&#x; Risolvendo  questa  equazione  differenziale  si  trova  una  relazione  del  tipo:   1 đ??š đ?‘&#x; = đ??´đ?‘&#x; ! + đ??ľđ?‘&#x; ln đ?‘&#x; − + đ??śđ?‘&#x; + đ??ˇđ?‘&#x;  2 Da  cui  ricaviamo  anche  l’espressione  della  đ?›š  :  1 đ?›š =  đ??´đ?‘&#x; ! + đ??ľđ?‘&#x; ln đ?‘&#x; − + đ??śđ?‘&#x; + đ??ˇđ?‘&#x; sin đ?œƒ  2 Ora  però  è  matematicamente  impossibile  determinare  i  valori  delle  quattro  costanti  A,  B,  C,  D  in  modo  da  dare  senso  alla  risoluzione.  Proprio  per  questa  impossibilitĂ Â il  problema  è  detto  â€œParadosso  di  Stokesâ€?.  Il  problema Â

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dell’insolvenza  è  dovuto  alle  condizioni  all’infinito,  infatti  gli  effetti  a  grande  distanza  dal  cilindro  decadono  lentamente,  quindi  si  deve  tener  conto  dei  termini  non  lineari  anche  quando  đ?‘…đ?‘’ ≪ 1.   -­â€? Tuttavia  se  si  considera  una  condizione  per  cui   (  đ?‘&#x; = đ?‘? < ∞  )  il  problema  ammette  soluzione.    Corrente  di  Stokes  attorno  ad  una  sfera.  -­â€? Per  analogia  possiamo  studiare  il  caso  di  una  corrente  che  investe  una  sfera  tuttavia  ora  si  deve  tenere  conto  che  stiamo  affrontando  un  problema  tridimensionale. Â

 Ragionando  in  modo  simile  al  problema  precedente  si  giunge  ad  una  espressione  della  funzione"  đ?›š"   del  tipo:  đ??´ 1 đ?›š =  + đ??ľđ?‘&#x; + đ?‘Ł! đ?‘&#x; ! sin! đ?œƒ  đ?‘&#x; 2 -­â€? Qui  delle  opportune  condizioni  al  contorno  è  possibile  determinare  i  valori  delle  costanti  A,  B.  -­â€? Tuttavia  questa  soluzione  è  valida  esclusivamente  per  un  flusso  stazionario  che  fluisce  attorno  ad  una  sfera  fissa.   Soluzioni  approssimate  dell’equazioni  di  Navier-­â€?Stokes.  -­â€? Consideriamo  le  equazioni  adimensionali  scritte  in  forma  vettoriale  trascurando  il  termine  gravitazionale:  âˆ‡âˆ™đ?‘Ł =0 đ??ˇđ?‘Ł 1 !  + ∇đ?‘? = ∇ đ?‘Ł đ??ˇđ?‘Ą đ?‘…đ?‘’ -­â€? Ora  ci  proponiamo  di  studiare  queste  equazioni  ponendoci  nel  limite  di  đ?‘…đ?‘’đ?‘Śđ?‘›đ?‘œđ?‘™đ?‘‘đ?‘  molto  grande:  âˆ‡âˆ™đ?‘Ł =0 đ??ˇđ?‘Ł đ?‘…đ?‘’ → ∞               + ∇đ?‘? = 0 đ??ˇđ?‘Ą -­â€? Sotto  questa  condizione  abbiamo  ritrovato  le  equazioni  di  Eulero  atte  a  descrivere  un  moto  non  viscoso  (  đ?œ‡ ≅ 0  ).  -­â€?

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-­â€?

Tuttavia  per  la  â€œcondizione  di  aderenzaâ€?  le  forze  viscose  non  possono  essere  trascurata  in  prossimitĂ Â di  una  parete  solida.  Tale  zona  è  detta  â€œStrato  Limiteâ€?,  qui  i  gradienti  di  velocitĂ Â sono  abbastanza  grandi  da  compensare  il  basso  ! valore  di  ( ).  !" In  definitiva  si  può  dire  che  l’approssimazione  di  moto  non  viscoso,  quindi  le  equazioni  di  Eulero,  sono  valide  nelle  regioni  del  campo  di  moto  in  cui  il  numero  di  Reynolds  è  elevato,  ossia  dove  le  forze  viscose  sono  trascurabili,  oppure  a  grande  distanza  dalle  pareti  solide  di  un  corpo.  Il  termine  che  nelle  equazioni  di  Eulero  viene  trascurato  (  âˆ‡! đ?‘Ł  )  che  contiene  le  derivate  di  ordine  maggiore.  Matematicamente  trascurare  questo  termine  significa  abbassare  il  numero  di  condizioni  al  contorno  che  possono  essere  imposte  al  problema.  In  particolare  non  è  possibile  imporre  la  condizione  di  aderenza  in  prossimitĂ Â della  parete  solida.  Pertanto  le  equazioni  di  Eulero  non  sono  in  grado  di  fornire  soluzioni  fisicamente  valide  in  prossimitĂ Â di  pareti  solide,  questo  perchĂŠ  al  fluido  è  permesso  di  non  aderire  alla  parete. Â

  Equazione  della  vorticitĂ .  -­â€? Consideriamo  le  equazioni  di  Eulero  ricavate  sotto  l’ipotesi  di  Reynolds  molto  grande:   âˆ‡âˆ™đ?‘Ł =0 ∇∙đ?‘Ł =0 đ??ˇđ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ł            + ∇đ?‘? = 0 + đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł + ∇đ?‘? = 0 đ??ˇđ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą -­â€? Ricordiamo  ora  la  proprietĂ Â del  doppio  prodotto  vettoriale:  đ?‘ŁĂ— âˆ‡Ă—đ?‘Ł = ∇đ?‘Ł  đ?‘Ł − đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł  -­â€? Da  questa  relazione  ricavo  l’ultimo  membro  e  poi  sostituisco  nella  relazione  di  partenza:  đ?‘Ł ∙ ∇ đ?‘Ł = ∇đ?‘Ł  đ?‘Ł − đ?‘ŁĂ— âˆ‡Ă—đ?‘Ł  đ?œ•đ?‘Ł + ∇đ?‘Ł  đ?‘Ł − đ?‘ŁĂ— âˆ‡Ă—đ?‘Ł + ∇đ?‘? = 0  đ?œ•đ?‘Ą -­â€? Introducendo  la  VorticitĂ ,  definita  in  questo  modo  đ?œ” = âˆ‡Ă—đ?‘Ł   ,  si  può  scrivere:  đ?œ•đ?‘Ł + ∇đ?‘Ł  đ?‘Ł − đ?‘ŁĂ—đ?œ” + ∇đ?‘? = 0  đ?œ•đ?‘Ą -­â€? Ora  possiamo  fare  due  osservazioni:  1)đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;  đ?‘™đ?‘’  đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘’đ?‘ĄĂ  đ?‘‘đ?‘’đ?‘™  đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘‘đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘œ  đ?‘Łđ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘™đ?‘’:  âˆ’ đ?‘ŁĂ—đ?œ” = đ?œ”Ă—đ?‘Ł  !!

-­â€?

2)  âˆ‡  đ?‘Ł  đ?‘Ł  = ∇ !  Riscriviamo  ora  il  tutto  includendo  queste  due  ultime  considerazioni: Â

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đ?œ•đ?‘Ł đ?‘Ł! + ∇ + đ?œ”Ă—đ?‘Ł + ∇đ?‘? = 0  đ?œ•đ?‘Ą 2 -­â€? Consideriamo  ora  il  rotore  di  ogni  termine:   đ?œ•đ?‘Ł đ?‘Ł! âˆ‡Ă— + ∇ + đ?œ”Ă—đ?‘Ł + ∇đ?‘? = 0  đ?œ•đ?‘Ą 2 -­â€? Ricordando  ora  la  proprietĂ Â del  rotore  per  cui  il  rotore  di  un  gradiente  è  sempre  nullo  si  ha  che  rimangono  solo  due  termini:  đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?œ” âˆ‡Ă— + âˆ‡Ă—đ?œ”Ă—đ?‘Ł = 0      â†’     + âˆ‡Ă—đ?œ”Ă—đ?‘Ł = 0  đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą -­â€? Abbiamo  cosĂŹ  ottenuto  l’equazione  della  vorticitĂ .  Si  ha  inoltre  che  zero  è  soluzione  di  questa  equazione  dunque  tutte  le  correnti  irrotazionali  soddisfano  le  equazioni  di  Eulero.     Teorema  di  Kelvin.  -­â€? Introduciamo  questo  teorema  per  dimostrare  che  la  circolazione  della  velocitĂ Â non  varia  quando  la  si  calcola  su  un  cammino  chiuso  che  si  muove  con  la  stessa  velocitĂ Â del  fluido.  Questo  equivale  a  dire  che  se  una  corrente  è  irrotazionale  in  un  punto  tale  corrente  sarĂ Â irrotazionale  in  qualsiasi  punto  del  campo  di  moto,  indipendentemente  dal  tempo.  -­â€? Per  formalizzare  questo  concetto  introduciamo  la  circolazione  del  vettore  velocitĂ Â attorno  ad  un  cammino  chiuso  â€œđ?›¤â€?:  đ?›¤= -­â€?

Sfruttando  il  teorema  del  rotore  si  può  scrivere:  đ?›¤=

-­â€? -­â€?

-­â€?

đ?‘Ł Â đ?‘‘đ?‘Ľ Â Â

đ?‘Ł Â đ?‘‘đ?‘™ =

âˆ‡Ă—đ?‘Ł  đ?‘‘đ?‘ =

đ?œ”  đ?‘‘đ?‘ Â

Abbiamo  ottenuto  cosĂŹ  una  relazione  che  lega  la  circolazione  delle  velocitĂ Â con  un  integrale  della  voritcitĂ .  Consideriamo  ora  un  configurazione  per  cui  sia  il  contorno  "đ?›¤"  sia  la  velocitĂ Â đ?‘Ł  dipendano,  oltre  che  dallo  spazio,  anche  dal  tempo.    đ?‘‘đ?‘Ľ đ?›¤= đ?‘Ł  đ?‘‘đ?‘™   đ?‘‘đ?‘ Valutiamo  ora  come  varia  la  circolazione  nel  tempo,  quindi  deriviamo  rispetto  al  tempo.  Sotto  il  segno  di  integrale  si  deve  sviluppare  la  derivata  del  prodotto: Â

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đ?‘‘đ?›¤ = đ?‘‘đ?‘Ą -­â€?

-­â€?

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-­â€?

Â

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•!đ?‘Ľ +đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘™  đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘ đ?œ•đ?‘ đ?œ•đ?‘Ą !!

Per  come  l’abbiamo  definito  il  primo  termine  ( !" )  è  proprio  la  derivata  sostanziale  della  velocitĂ Â e  ricordando  l’equazione  di  Eulero  si  ha:  đ??ˇđ?‘Ł = −∇đ?‘?  đ??ˇđ?‘Ą Inoltre  manipolando  il  secondo  differenziale  sotto  il  segno  di  integrale  possiamo  scrivere:  đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ• đ?œ• đ?‘Ł! 1 đ?œ•đ?‘Ł ! đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Ł = đ?‘Łđ?‘Ł =đ?œ• =       đ?‘†đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Žđ?‘šđ?‘œ  đ?‘–đ?‘™  đ?‘“đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘œ  đ?‘?â„Žđ?‘’  = đ?‘Ł  đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘ đ?œ•đ?‘ 2 đ?œ•đ?‘ 2đ?œ•đ?‘ đ?œ•đ?‘Ą Sotto  queste  considerazioni  possiamo  riscrivere  l’integrale  di  partenza:   đ?‘‘đ?›¤ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ł ! = −∇đ?‘? + đ?‘‘đ?‘™   đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘ 2đ?œ•đ?‘ Se  ora  supponiamo  che  il  gradiente  di  pressione  abbia  unica  componente,  cioè:   đ?œ•đ?‘? ∇đ?‘? =  đ?œ•đ?‘Ľ Possiamo  riscrivere  il  tutto:  đ?‘‘đ?›¤ đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ł ! đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘Ł ! = + đ?‘‘đ?‘™ = + đ?‘‘đ?‘™  đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘ 2đ?œ•đ?‘ đ?œ•đ?‘ 2đ?œ•đ?‘  Ora  sotto  il  segno  di  integrale  abbiamo  tutto  in  funzione  di  una  sola  variabile  quindi  possiamo  tornare  al  differenziale  esatto:   đ?‘‘đ?›¤ đ?‘‘đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ł ! = + đ?‘‘đ?‘™  đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘ 2đ?‘‘đ?‘ In  questo  modo  stiamo  integrando  due  differenziali  esatti  lungo  un  percorso  chiuso  quindi  entrambi  avranno  valore  nullo  e  si  ha:   đ?‘‘đ?›¤ = 0  đ?‘‘đ?‘Ą Â

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Corollario.  -­â€? Quindi  se  consideriamo  una  regione  di  fluido  con  vorticitĂ Â nulla  (  đ?œ” = 0  ),  sfruttando  questo  risultato  possiamo  dire  che  per  un  contorno  chiuso  che  si  muove  con  la  stessa  velocitĂ Â del  fluido  si  deve  avere:  đ?‘‘đ?›¤ đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘ đ?‘‘ = đ?‘Ł  đ?‘‘đ?‘™ = âˆ‡Ă—đ?‘Ł  đ?‘‘đ?‘ = đ?œ”  đ?‘‘đ?‘ = 0  đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą -­â€? Questo  equabile  a  dire  che  se  una  regione  di  fluido  che  si  muove  con  la  stessa  velocitĂ Â del  contorno  "đ?›¤"  è  una  corrente  irrotazionale  (  đ?œ” = âˆ‡Ă—đ?‘Ł = 0  ),  tale  corrente  sarĂ Â irrotazionale  in  ogni  punto  del  campo  di  moto.  Flussi  a  Potenziale.  -­â€? Consideriamo  una  corrente  irrotazionale:  đ?œ” = âˆ‡Ă—đ?‘Ł = 0  -­â€? Ricordando  la  proprietĂ Â del  rotore  per  cui  se  il  rotore  di  un  campo  è  nullo  allora  si  può  esprimere  tale  campo  come  il  gradiente  di  un  potenziale  scalare,  si  può  scrivere:  đ?‘Ł = ∇đ?›ˇ  -­â€? Sotto  questa  considerazione  si  può  riscrivere  l’equazione  di  continuitĂ :   âˆ‡ ∙ đ?‘Ł = ∇ ∙ ∇đ?›ˇ = ∇! đ?›ˇ = 0  -­â€? Otteniamo  cosĂŹ  la  classica  equazione  di  Laplace  che  a  differenza  delle  equazioni  di  Eulero  è  una  equazione  lineare.  -­â€? Scriviamo  l’equazione  di  Laplace  in  coordinate  cartesiane  e  polari:  1) đ?›ˇ!! + đ?›ˇ!! = 0  !

-­â€? -­â€? -­â€?

-­â€?

-­â€?

-­â€?

!"!

!!!

2) đ?‘&#x; !" !" + !!!   Cerchiamo  ora  di  risolvere  l’equazione  di  Laplace  in  forma  polare  cercando  una  soluzione  particolare  sfruttando  il  metodo  di  separazione  delle  variabili:  La  soluzione  sarĂ Â della  forma:  đ?›ˇ đ?‘&#x;, đ?œƒ = đ??š đ?‘&#x; đ??ş đ?œƒ  Tentiamo  di  scrivere  una  funzione  di  due  variabili  đ?›ˇ đ?‘&#x;, đ?œƒ  come  il  prodotto  di  due  funzioni  di  una  singola  variabile.  Introduciamo  questa  posizione  nell’equazione  di  Laplace.   đ?œ• đ?‘&#x;đ?œ•đ??š đ?œ•!đ??ş đ?‘&#x; đ??ş + đ??š ! = 0  đ?œ•đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘&#x; đ?œ•đ?œƒ In  questo  modo  si  può  scrivere  la  relazione  anche  con  le  derivate  ordinarie  perchĂŠ  ogni  funzione  è  di  una  sola  variabile:   đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ??š ! ! đ??ş + đ??šđ??ş !! = 0  Portiamo  il  secondo  addendo  al  secondo  membro  e  dividiamo  tutto  per  (đ??šđ??ş):  đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ??š ! ! đ??ş !! ! ! !! đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ??š đ??ş = −đ??šđ??ş    â†’     = −  đ??š đ??ş CosĂŹ  si  ha  che  il  primo  membro  dipende  solo  da  â€œđ?‘&#x;",  mentre  il  secondo  solo  da Â

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-­â€? -­â€?

Â

"đ?œƒ"  .  L’unica  possibilitĂ Â affinchĂŠ  questa  equazione  differenziale  sia  soddisfatta  âˆ€  (đ?‘&#x;, đ?œƒ)è  che:  đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ??š ! ! đ??ş !! =− =  đ??ž !      đ??ˇđ?‘œđ?‘Łđ?‘’  đ??ž !  è  đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž  đ?‘œđ?‘?đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž  đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘Žđ?‘™  đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ   đ??š đ??ş Quindi  si  deve  avere:   đ??ş !! − =  đ??ž !  đ??¸đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’  đ?‘‘đ?‘’đ?‘™  đ?‘šđ?‘œđ?‘Ąđ?‘œ  đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘œđ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘œ  , đ?‘?đ?‘œđ?‘›  đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’:  đ??ş đ?œƒ = đ?‘’ Âą!"#  đ??ş đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ??š ! ! =  đ??ž !     đ??¸đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’  đ?‘‘đ?‘–  đ??¸đ?‘˘đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ  đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘›đ?‘œđ?‘›  đ?‘Ž  đ?‘?đ?‘œđ?‘’đ?‘“đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–  đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–  đ??š Si  deve  dunque  trasformare  la  seconda  equazione  in  una  equazione  differenziale  a  coefficienti  costanti:  đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ??š ! ! − đ??šđ??ž ! = 0  Introduciamo  una  nuova  variabile  â€œtâ€?:  1 1 đ?‘‘ đ?‘Ą = log đ?‘&#x;   â†’   đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘‘đ?‘&#x;    â†’    = đ?‘&#x;  đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘ đ?‘&#x;đ?‘‘đ??š 1 1 đ?‘‘! đ??š ! ! ! ! ! đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ??š − đ??šđ??ž = đ?‘&#x; − đ??šđ??ž = đ??š − đ??šđ??ž = ! − đ??šđ??ž ! = 0  đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą Per  questa  equazione  differenziale  abbiamo  una  soluzione  del  tipo:  đ??š đ?‘Ą = đ?‘’ Âą!"  Riportando  la  soluzione  nel  dominio  della  â€œrâ€?  la  soluzione  diventa:  đ??š đ?‘&#x; = đ?‘&#x; Âą!  Quindi  possiamo  riassumere  le  soluzioni  al  variare  della  costante  â€œkâ€?  in  questo  modo:  đ??ş đ?œƒ = đ?‘’ Âą!"# đ??śđ?‘œđ?‘›  đ??ž ≠0    đ??š đ?‘&#x; = đ?‘&#x; Âą! đ?›ˇ đ?‘&#x;, đ?œƒ = đ??š đ?‘&#x; đ??ş đ?œƒ = đ?‘’ Âą!"# đ?‘&#x; Âą!   đ??ş đ?œƒ = đ??ś! đ?œƒ + đ??ś! đ??śđ?‘œđ?‘›  đ??ž = 0      đ??š đ?‘&#x; = đ??´ log đ?‘&#x; + đ??ľ đ?›ˇ đ?‘&#x;, đ?œƒ = đ??š đ?‘&#x; đ??ş đ?œƒ = đ??ś! đ?œƒ + đ??ś! đ??´ log đ?‘&#x; + đ??ľ  Â

Marcello Miccio

56 Â

   Â

Pozzo  o  sorgente  -­â€?

-­â€? -­â€?

Una  sorgente  o  un  pozzo  è  una  soluzione  dove  la  velocitĂ Â dipende  unicamente  dalla  distanza  da  un  punto,  per  esempio  l'origine  degli  assi,  ed  è  diretta  radialmente  (cioè  verso  questo  punto  oppure  in  direzione  opposta).  Per  trovare  la  soluzione  è  conveniente  riferirsi  ad  un  sistema  di  coordinate  polari  (o  cilindriche).  Â

 Una  configurazione  di  questo  tipo  ha  un  potenziale  pari  a:  đ?›ˇ! = đ?‘Ž ln đ?‘&#x;  Dato  che  la  velocitĂ Â dovrĂ Â possedere  unicamente  direzione  radiale,  la  sua  componente  tangenziale  sarĂ Â nulla:  đ?œ•đ?›ˇ đ?‘Ž =  đ?œ•đ?‘&#x; đ?‘&#x; Data  una  superfice  circolare  di  riferimento  è  interessante  valutare  la  portata  per  unitĂ Â di  lunghezza:  !! !! đ?‘Ž đ?‘„ = đ?‘Ł ∙ đ?‘›  đ?‘‘đ?‘ = đ?‘Ł! 2đ?œ‹đ?‘&#x;  đ?‘‘đ?‘&#x; = 2đ?œ‹đ?‘&#x;  đ?‘‘đ?‘&#x; = 2đ?œ‹đ?‘Ž  đ?‘&#x; ! ! Dalla  portata  possiamo  valutare  il  valore  della  costante  â€œaâ€?:  đ?‘„ đ?‘„ đ?‘Ž=     â†’  đ?›ˇ! =  ln đ?‘&#x;     2đ?œ‹ 2đ?œ‹ Se  invece  consideriamo  una  corrente  di  tipo  pozzo  valgono  analoghe  considerazioni  tuttavia  le  linee  di  flusso  hanno  direzione  opposta  quindi  il  flusso  deve  essere  corretto  con  un  meno:  đ?‘„ đ?›ˇ! = −  ln đ?‘&#x;  2đ?œ‹  đ?‘Ł! =

-­â€?

-­â€?

-­â€?

Â

Marcello Miccio

57 Â

   Â

Vortice.  -­â€? Consideriamo  una  corrente  a  rotazione  potenziale  per  cui  la  componente  radiale  della  velocità  è  ovunque  nulla. Â

-­â€? -­â€?

 Una  configurazione  di  questo  tipo  ha  un  potenziale  pari  a:  đ?›ˇ! = đ??śđ?œƒ  Dato  che  la  velocitĂ Â dovrĂ Â possedere  unicamente  direzione  tangenziale,  la  sua  componente  radiale  sarĂ Â nulla:  1 đ?œ•đ?›ˇ đ?‘? =  đ?‘&#x; đ?œ•đ?œƒ đ?‘&#x; La  costante  â€œcâ€?  è  legata  alla  circuitazione  attorno  un  cammino  chiuso  che  comprende  le  linee  di  flusso  del  vortice  secondo  la  relazione:   đ?‘Ł! =

-­â€?

!!

đ?‘?  đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œƒ = 2đ?œ‹đ?‘?  đ?‘&#x; ! Dalla  circuitazione  possiamo  valutare  il  valore  della  costante  â€œcâ€?:  đ?›¤=

-­â€?

�  �� = � =

đ?‘?=

đ?‘Ł! Â đ?‘‘đ?‘™

đ?›¤ đ?›¤     →  đ?›ˇ! = đ?œƒ  2đ?œ‹ 2đ?œ‹

    Â

Marcello Miccio

Â

58 Â

Corrente irrotazionale che investe un cilindro. -­‐

Consideriamo una corrente uniforme che investe un cilindro stazionario.

-­‐

Le linde di flusso provenendo dall’infinito si imbatto sulla parete laterale del cilindro con un andamento regolare e formano un campo simmetrico.

-­‐

Consideriamo ora una corrente uniforme che investe un cilindro che ruota con una certa velocità angolare rispetto al suo asse.

-­‐

In questo caso la rotazione del cilindro attorno al proprio asse costringe le particelle fluide a contatto con la superfice del cilindro a ruotare con il cilindro stesso a causa della “Condizione di Aderenza”.

-­‐

Si crea dunque un campo asimmetrico. Infatti nella zona superiore del cilindro le particelle fluide sono più veloci, mentre nella parte inferiore sono rallentate.

-­‐

Considerando un bilancio di Bernulli si deve avere che la pressione sulla parte superiore del cilindro è minore rispetto a quella sulla parte inferiore, si crea dunque una forza diretta verso l’alto detta Portanza.

Marcello Miccio

59

   Â

Equazioni  dello  Strato  Limite.  Lo  Strato  Limite  è  una  regione  molto  sottile  adiacente  ad  una  parete  solida  di  un  corpo,  nella  quale  le  forze  viscose  e  le  rotazionalitĂ Â non  possono  essere  ignorate,  per  questo  motivo  le  equazioni  di  Eulero  non  hanno  significato  fisico  in  questa  particolare  regione. Â

-­â€?

-­â€?

Consideriamo  dunque  una  lastra  piana  immersa  in  una  corrente  parallela. Â

 -­â€?

-­â€?

-­â€?

Per  descrivere  questo  fenomeno  consideriamo  le  equazioni  di  N-­â€?S  adimensionali  sotto  l’ipotesi  di  flusso  stazionario.  đ?‘˘! + đ?‘Ł! = 0 1 đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘Łđ?‘˘! + đ?‘?! = (đ?‘˘ + đ?‘˘!! )  đ?‘…đ?‘’ !! 1 đ?‘˘đ?‘Ł! + đ?‘Łđ?‘Ł! + đ?‘?! = (đ?‘Ł + đ?‘Ł!! ) đ?‘…đ?‘’ !! Definiamo  ora  due  nuove  variabili:  đ?‘Ś 1 1)    đ?‘Ś = đ?‘Œđ?œ€     â†’     đ?‘Œ =          đ?‘?đ?‘œđ?‘›   đ?œ€ =  đ?œ€ đ?‘…đ?‘’ đ?‘Ł 2)   đ?‘Ł = đ?‘‰đ?œ€     â†’     đ?‘‰ =  đ?œ€ Andiamo  ora  a  riscrivere  le  equazioni  adimensionali  introducendo  queste  due  nuove  variabili,  iniziamo  con  l’equazione  della  massa:   1 đ?‘˘! + đ?‘Ł! = đ?‘˘! + đ?œ€đ?‘‰! = đ?‘˘! + đ?‘‰! = 0    â†’   đ?‘˘! + đ?‘‰! = 0       đ?œ€

-­â€?

Procediamo  ora  introducendo  le  variabili  nelle  due  equazioni  della  quantitĂ Â di  moto:  1 1 1 đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘‰ đ?œ€đ?‘˘! + đ?‘?! = đ?‘˘!! + đ?œ€đ?œ€  đ?‘˘!! đ?œ€ đ?‘…đ?‘’ đ?‘…đ?‘’   1 1 đ?œ€đ?‘˘đ?‘‰! + đ?œ€đ?‘‰đ?‘‰! + đ?‘?! = đ?œ€đ?‘‰ + đ?œ€đ?‘‰!! đ?œ€ đ?‘…đ?‘’ !!

-­â€?

Moltiplichiamo  ora  la  seconda  equazione  per  (đ?œ€): Â

Marcello Miccio

60 Â

   Â

1 đ?‘˘ +  đ?‘˘!! đ?‘…đ?‘’ !!   1 1 đ?œ€đ?œ€đ?‘˘đ?‘‰! + đ?œ€đ?œ€đ?‘‰đ?‘‰! + đ?œ€ đ?‘?! = đ?œ€ đ?œ€đ?‘‰ + đ?œ€đ?œ€đ?‘‰!! đ?œ€ đ?‘…đ?‘’ !! đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘‰đ?‘˘! + đ?‘?! =

-­â€?

Considerando  ora  il  limite  di  Reynolds  molto  grande  (  đ?‘…đ?‘’ → ∞  )  si  ha:  đ?‘…đ?‘’ → ∞

-­â€?

đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘‰đ?‘˘! + đ?‘?! =  đ?‘˘!!  đ?‘?! = 0

Otteniamo  cosĂŹ  un  sistema  di  tre  equazioni,  dette  equazioni  dello  strato  limite,   atte  a  descrivere  il  moto  di  un  fluido  in  prossimitĂ Â di  una  parete  solida:  đ?‘˘! + đ?‘‰! = 0  đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘‰đ?‘˘! + đ?‘?! = đ?‘˘!!  đ?‘?! = 0

 Equazioni  di  Prandtl.   -­â€? Consideriamo  le  equazioni  dello  strato  limite:  đ?‘˘! + đ?‘‰! = 0  đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘‰đ?‘˘! + đ?‘?! = đ?‘˘!!  đ?‘?! = 0 -­â€? Data  la  configurazione  di  una  lastra  piana  ferma  investita  da  un  fluido  esplicitiamo  le  condizioni  al  contorno:  1) Alla  superfice:   đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;  đ?‘Ś = 0    đ?‘˘, đ?‘Ł = 0  2) A  grande  distanza:  đ?‘˘ = đ?‘ˆ = đ?‘˘ !"#$%& đ?‘Ś → ∞  !  đ?‘? = đ?‘ƒ !"#$%&

-­â€?

-­â€?

 Dalla  terza  equazioni  del  sistema  abbiamo  che  se  consideriamo  la  pressione,  come  esclusivamente  quella  esterna  di  Eulero,  essa  deve  soddisfare  la  legge  di  Bernulli:  !!"#$%& đ?‘Ł đ?‘?! = 0        â†’        đ?‘? = đ?‘? đ?‘Ľ !"#$%&     â†’      đ?‘? đ?‘Ľ !"#$%& + = đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’   2 Possiamo  derivare  quest’ultima  relazione  rispetto  ad  â€œxâ€?  in  quanto  sia  la  pressione  che  la  velocitĂ Â sono  funzioni  della  sola  â€œxâ€?  e  si  ha:  đ?‘?!!"#$%& + đ?‘˘đ?‘˘!!"#$%& = 0     â†’    đ?‘?!!"#$%& = −đ?‘˘đ?‘˘!!"#$%&  .  Â

Marcello Miccio

61 Â

    -­â€?

Sostituiamo  ora  "đ?‘?! "  nella  seconda  equazione  del  sistema  con  l’ultima  relazione  che  abbiamo  trovato:   đ?‘˘! + đ?‘‰đ?‘˘! − đ?‘˘đ?‘˘!!"#$%& = đ?‘˘!!     â†’    đ?‘˘! + đ?‘‰đ?‘˘! = đ?‘˘đ?‘˘!!"#$%& +đ?‘˘!! Â

-­â€?

Con  questa  manipolazione  abbiamo  ottenuto  un  sistema  di  due  equazioni,  dato  dalla  combinazione  delle  tre  di  partenza.  Tali  equazioni  sono  dette  equazioni  di  Prandtl.   đ?‘˘! + đ?‘‰! = 0   đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘‰đ?‘˘! = đ?‘˘đ?‘˘!!"#$%& +đ?‘˘!!  Â

Soluzione  di  Blasius  per  le  equazioni  di  Prandtl.  -­â€?

Riprendiamo   il   sistema   delle   equazioni   di   Prandtl   per   lo   strato   limite   sottile  bidimensionale   e   stazionario.    Â

-­â€?

đ?‘˘! + đ?‘‰! = 0   đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘‰đ?‘˘! = đ?‘˘đ?‘˘!!"#$%& +đ?‘˘!!

Consideriamo  una  lastra  piana  di  spessore  infinitesimo  e  lunghezza  infinta  immersa  in  una  corrente  uniforme  di  velocitĂ Â â€œUâ€?   parallela  alla  lastra. Â

 -­â€?

 Esprimiamo  dunque  le  condizioni  al  contorno: Â

Marcello Miccio

62 Â

   Â

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;  đ?‘Ś = 0      đ?‘˘, đ?‘Ł = 0  đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;  đ?‘Œ → ∞    đ?‘˘ = đ?‘ˆ  -­â€?

PoichĂŠ  la  corrente  è  uniforme  ed  ha  espressione  solo  nella  dimensione  â€œxâ€?  dalla  prima  equazione  del  sistema  si  ha:  đ?‘˘! + đ?‘‰! = 0    â†’    đ?‘˘! = 0    â†’    đ?‘˘ = đ?‘ˆ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ Â

-­â€?

Ricordando  come  abbiamo  trasformato  prima  il  gradiente  di  pressione  per  arrivare  alle  equazioni  di  Prandtl  si  ha:  đ?‘?!!"#$%& = −đ?‘˘đ?‘˘!!"#$%& = 0     â†’     đ?‘?!!"#$%& = 0 Â

-­â€?

Quindi  nello  strato  limite  su  una  lastra  piana  si  ha  gradiente  di  pressione  nullo  per  questo  è  detto  â€œ  strato  limite  a  gradiente  di  pressione  nulloâ€?. Â

-­â€?

Con  questa  considerazione  l’equazione  del  moto  diviene:  đ?‘˘đ?‘˘! + đ?‘‰đ?‘˘! = +đ?‘˘!!  Â

-­â€?

Proviamo  ora  a  risolvere  questa  equazione  differenziale  introducendo  la  funzione  di  corrente:  đ?œ•Ψ đ?œ• ! Ψ đ?œ•Ψ đ?œ• ! Ψ đ?œ•!Ψ + − =  đ?œ•đ?‘Œ đ?œ•đ?‘Œđ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Œ ! đ?œ•đ?‘Œ ! đ?›š! đ?›š!" − đ?›š! đ?›š!! = đ?›š!!! Â

 -­â€?

Per  risolvere  questa  equazione  differenziale  del  terzo  ordine  è  necessario  introdurre  una  nuova  variabile:  đ?œ‚=

-­â€?

đ?‘Œ  đ?‘Ľ!

Supponiamo  inoltre  che  la  funzione  "Ψ"  abbia  una  forma  del  tipo:  Ψ=đ?‘Ľ ! đ??š đ?œ‚ Â

-­â€?

Per  come  abbiamo  introdotto  "đ?œ‚"  si  deve  avere  che: Â

Marcello Miccio

63 Â

   Â

đ?‘˘ = đ?›š! = -­â€?

CosĂŹ  si  può  riscrivere  â€œuâ€?:  đ?‘˘=

-­â€?

1 đ?›š!     đ?‘šđ?‘Ž    đ?›š! =  đ?‘Ľ ! đ??š ! đ?œ‚   ! đ?‘Ľ

1 ! ! đ?‘Ľ đ??š đ?œ‚ = đ??š ! đ?œ‚   ! đ?‘Ľ

Ricaviamo  ora  le  altre  derivate  che  compaiono  nell’equazione  differenziale  che  vogliamo  risolvere:  đ?›š! = đ?‘?đ?‘Ľ !!! đ??š + đ?‘Ľ ! −đ?‘? đ?›š!"

đ?‘Œ đ?‘Ľ !!!

đ??š ! Â

đ??š! đ?œ‚ đ?‘Œ = = −đ?‘? !!! đ??š !!  đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?›š! = đ??š !  đ?›š!! = đ?›š!!! =

-­â€?

1 !!! đ??š Â đ?‘Ľ !!

Sostituiamo  queste  derivate  in  â€œđ?›š! đ?›š!" − đ?›š! đ?›š!! = đ?›š!!! "  e  si  ha:  đ??š ! −đ?‘?

-­â€?

1 !! đ??š Â đ?‘Ľ!

đ?‘Œ đ?‘Ľ !!!

đ??š !! − đ?‘?đ?‘Ľ !!! đ??š + đ?‘Ľ ! −đ?‘?

đ?‘Œ đ?‘Ľ !!!

1 !! 1 đ??š = !! đ??š !!! Â ! đ?‘Ľ đ?‘Ľ

đ??š!

Svolgendo  i  prodotti  e  moltiplicando  per   "đ?‘Ľ !! "  si  ottiene:  âˆ’đ?‘?  đ?‘Ľ !!!! đ??šđ??š !! = đ??š !!! Â

-­â€?

!

Se  supponiamo  che  il  coefficiente  abbia  valore  (  đ?‘? = !  )  possiamo  scrivere:  1 ! 1 1 −  đ?‘Ľ !!!! đ??šđ??š !! = đ??š !!!    â†’    âˆ’  đ?‘Ľ !!! đ??šđ??š !! = đ??š !!!     â†’   âˆ’  đ??šđ??š !! = đ??š !!!  2 2 2

-­â€?

Quest’ultima  equazione  differenziale  con  le  seguenti  condizioni  al  contorno  è  detta  â€œSoluzione  di  Blasiusâ€?: Â

Marcello Miccio

64 Â

   Â

 đ??šđ??š !! + 2đ??š !!! = 0 đ??š 0 =0  đ??š! 0 = 0 đ??š! ∞ = 1 -­â€?

Abbiamo  quindi  un’equazione  differenziale  ordinaria  del  terzo  ordine  con  tre  condizioni  al  contorno  di  cui  due  corrispondono  alla  superďŹ cie  della  lastra  e  una  a  grande  distanza  da  essa. Â

-­â€?

Una  volta  trovata  la  soluzione  per  ritornare  alle  variabili  fisiche  iniziali  si  deve  tenere  conto  delle  posizioni  fatte:  đ?œ‚=

đ?‘Œ đ?‘Œ đ?‘Ś =              đ??śđ?‘œđ?‘›    đ?‘Œ =   ! đ?‘Ľ! đ?œ€ đ?‘Ľ!

   Calcolo  Sforzo  Tangenziale  alla  parete  nello  strato  limite.  -­â€?

Nel  caso  di  una  corrente  parallela  che  fluisce  su  una  lastra  piana  se  si  vogliono  considerare  le  forze  agenti  sulla  parete  si  deve  tener  conto  anche  delle  forze  di  resistenza  viscose,  qui  non  trascurabili. Â

-­â€?

Come  abbiamo  giĂ Â visto  lo  sforzo  di  taglio  è  dato  dalla  relazione: Â

đ?œ?=đ?œ‡  -­â€?

đ?‘‘đ?‘˘ = đ?œ‡  đ?‘˘!!  đ?‘‘đ?‘Ś

Tuttavia  questa  è  una  espressione  dimensionale,  quindi  per  avere  una  formulazione  che  abbia  valenza  generale  procediamo  ad  adimensionalizzare  questa  relazione: Â

đ?‘˘!! = -­â€?

đ?‘Łđ?‘&#x; ! đ?‘˘!  đ??żđ?‘&#x;

Introduciamo  ora  anche  le  due  variabili: Â

Marcello Miccio

65 Â

   Â

 đ?‘Œ =

�!! =

-­â€?

đ?‘Ś đ?‘Œ              đ?œ‚ = !    đ?œ€ đ?‘Ľ!!

đ?‘Ł! 1 ! đ?‘Ł! 1 1 !  đ?‘˘ =  đ?‘˘  đ??ż! đ?œ€ ! đ??ż! đ?œ€ !! ! đ?‘Ľ!

Dalla  soluzione  di  Blasius  si  ha  che   đ?‘˘!! = 0,332  ,  quindi  possiamo  scrivere  lo  sforzo  di  taglio  in  questo  modo: Â

đ?œ? = 0,332  đ?œ‡

-­â€?

đ?‘Łđ?‘&#x; 1 1 đ??żđ?‘&#x; đ?œ€

1 Â đ?‘Ľ2đ?‘Ž

! !

!

Esplicitiamo  ora  la  forma  adimensionali  di  (đ?‘Ľ! )  e  ricordiamo  che  đ?œ€ =

đ?œ? = 0,332  đ?œ‡

đ?‘Łđ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘&#x; đ??żđ?‘&#x; đ??żđ?‘&#x;

1 2

đ?œˆ

đ??żđ?‘&#x;

1 2

đ?‘Ľđ?‘‘

= 0,332  đ?œ‡ 3

1

đ?‘Łđ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘&#x; đ??żđ?‘&#x;

đ?œˆ

1 2

1 đ?‘Ľđ?‘‘

!" 1 2

 : Â

Â

1

đ?œ? = 0,332  đ?œ‡    đ?‘Łđ?‘&#x; 2     đ?œˆâˆ’2    đ?‘Ľđ?‘‘ −2  -­â€?

Con  le  semplificazioni  effettuate  è  scomparsa  "đ??ż! ",  infatti  la  soluzione  di  questo  problema  parabolico  non  deve  dipendere  dalla  lunghezza  della  lastra,  la  soluzione  non  può  dipendere  da  ciò  che  viene  dopo  il  tratto  considerato. Â

-­â€?

Noto  lo  sforzo  di  taglio  si  può  facilmente  calcolare  la  forza  di  resistenza  viscosa  che  agisce  sulla  parete,  infatti:  !

đ??š=đ?‘Š

đ?œ?  đ?‘‘đ?‘Ľ Â

!

-­â€?

Dove  abbiamo  indicato  con  â€œLâ€?  la  lunghezza  della  lastra,  mentre  con  â€œWâ€?  l’ampiezza  della  lastra. Â

-­â€?

Risolviamo  questo  integrale: Â

đ??š = 0,332  đ?œ‡    đ?‘Łđ?‘&#x;

đ??ż

3 1 − 2     đ?œˆ 2   đ?‘Š

   đ?‘Ľđ?‘‘

−

1 2

 đ?‘‘đ?‘Ľ Â

0

Marcello Miccio

66 Â

   Â

đ??š = 0,332   đ?œ‡    đ?‘Łđ?‘&#x;

3 1 1 − − 2     đ?œˆ 2   đ?‘Š   2đ??ż 2  3

1

1

đ??š = 0,664   đ?œ‡    đ?‘Łđ?‘&#x; 2     đ?œˆâˆ’2   đ?‘Š   đ??żâˆ’2   Spessore  đ?œšđ?&#x;—đ?&#x;— .  -­â€?

Approfondiamo  il  concetto  di  spessore  dello  strato  limite,  supponiamo  di  definire  lo  spessore  "đ?›ż"  come  quella  "đ?‘Ś"  tale  che:  đ?‘˘ = 0,99đ?‘ˆ   â†’   đ??š ! đ?œ‚ = 0,99   Â

-­â€?

Dalla  tabella  dei  valori  della  soluzione  di  Blasius  questo  valore  di  đ??š !  corrisponde  ad  un  đ?œ‚ ≅ 5  . Â

-­â€?

Per  quantificare  l’altezza  di  questo  spessore  ricordiamo  queste  tre  definizioni:    đ?œ‚ =

đ?‘Œ

!            đ?‘Œ =

đ?‘Ľ!! -­â€?

đ?‘Ś đ?›ż!!       đ?‘Ś =  đ?œ€ đ??ż!

Ora  le  combiniamo  mettendole  insieme:  1 1 đ?›ż!! 1 1 đ?›ż!! 1 đ?‘Ł! đ??ż!   đ?œ‚ = !        â†’   5 = !    = !   đ?œ€ đ??ż! đ?œ€ đ??ż! đ?œˆ đ?‘Ľ!! đ?‘Ľ!! đ?‘Ľ!! 5=

! đ?‘Ł! !

đ?œˆ

�!! 1  1 �!

! !

! !

đ?›ż!! đ??ż!  = đ??ż! đ?‘Ľ!

! !

đ?‘Ł! đ??ż! đ?œˆ

! !

Â

đ?›ż!!  đ??ż!

!

  â†’    đ?›ż!!

đ?‘Ľ! đ?œˆ ! = 5   đ?‘Ł!

   Â

Marcello Miccio

Â

67 Â

   Â

Spessore  di  Spostamento.  -­â€?

Lo   spessore  di  spostamento,  đ?›ż*,  rappresenta  la  quantitĂ Â di  cui  si  dovrebbe  aumentare  lo  spessore  della  lastra  affinchĂŠ  il  flusso  ideale  uniforme  abbia  la  stessa  portata  dell’effettivo  flusso  viscoso. Â

 -­â€?

Numericamente  è  definito  in  questo  modo:  !

đ?‘Ľ! đ?œˆ ! đ?›ż ∗ = 1,72   đ?‘Ł! Spessore  di  quantitĂ Â di  moto.  -­â€?

A  seguito  del  fatto  che  lo  strato  limite  causa  un  difetto  di  velocitĂ Â rispetto  alla  corrente  uniforme,  ha  senso  chiedersi  di  quanto  dovrebbe  essere  â€œspostataâ€?  verso  l’esterno  la  parete  in  modo  tale  che  la  quantitĂ Â di  moto  effettiva  rimanga  uguale  a  quella  della  corrente  uniforme.  Chiamiamo  spessore  di  quantitĂ Â di  moto  e  lo  indichiamo  con  θ  proprio  questa  distanza. Â

-­â€?

Numericamente  è  definito  in  questo  modo:  !

Â

Marcello Miccio

Â

đ?‘Ľ! đ?œˆ ! đ?œƒ = 1,328   đ?‘Ł!

68 Â

Esperimento di Reynolds. -­‐

Il tubo di Reynolds permette la visualizzazione dei possibili regimi di movimento di un fluido. A monte di tale tubo è situata, nel banco didattico, una vaschetta di raccolta contenente acqua in quiete con superficie libera a quota pressoché costante.

-­‐

L'imbocco del tubo è ben raccordato. All'interno di esso viene iniettato tramite un ago, del liquido colorato (nel nostro caso inchiostro rosso) che abbia all'incirca lo stesso peso specifico dell'acqua. Se la velocità dell'acqua nel tubo è piccola, l'inchiostro iniettato forma un filetto che mantiene la sua traiettoria rimanendo distinto dal liquido circostante: tale regime di moto, detto laminare, avviene per filetti fluidi paralleli fra i quali non vi sono scambi di massa.

-­‐

Aumentando la portata fluente nel tubo e quindi la velocità dell'acqua, il filetto colorato acquista un andamento fluttuante: si tratta di una fase di transizione dal regime laminare ad un regime instabile che si realizza aumentando ulteriormente la velocità dell'acqua. In questo caso si nota la diffusione dell'inchiostro nel tubo.

Marcello Miccio

69

    -­â€?

Tale  regime  di  moto  è  detto  turbolento  ed  è  caratterizzato  da  irregolari  fluttuazioni  delle  velocitĂ Â delle  particelle  e  continui  scambi  di  massa  fra  le  diverse  regioni  del  campo  di  moto.  Â

Media  e  Media  di  insieme.  -­â€?

Per  studiare  e  descrivere  il  moto  turbolento  abbiamo  bisogno  di  introdurre  due  concetti: Â

1)  Media  -­â€?

Permette  di  descrivere  le  proprietĂ Â medie  di  un  sistema  in  regime  stazionario.             Per  esprimere  per  esempio  la  pressione  sfruttiamo  la  relazione:  đ?‘?!"#$%

1 = �

!

đ?‘? Â đ?‘‘đ?‘Ą Â !

2)  Media  di  insieme  -­â€?

Permette  di  descrivere  le  proprietĂ Â medie  di  un  sistema  in  regime         instazionario,  qui  infatti  la  medie  sono  in  funzione  del  tempo  e  vengono  ricavate  ripetendo  un  gran  numero  di  volte  esperimenti  simili. Â

-­â€?

 La  media  di  insieme  è  cosĂŹ  definita:  < đ?‘? >  =

-­â€?

1 đ?‘

đ?‘?! đ?‘Ą Â

La  media  di  insieme  gode  di  due  proprietĂ Â importanti:  A) La  linearitĂ Â B) La  combinazione  lineare Â

-­â€?

Costituisce  tuttavia  un  problema  il  prodotto  in  quanto:  < đ?‘˘đ?‘˘ >≠< đ?‘˘ >  < đ?‘˘ >  Â

-­â€?

Definiamo  ora  la  distanza  istantanea  dalla  media,  detta  anche  fluttuazione  come:  đ?‘˘! = đ?‘˘âˆ’< đ?‘˘ > Â

Marcello Miccio

70 Â

    -­â€?

La  fluttuazione  è  comoda  perchĂŠ  ci  permette  di   scrivere  il  prodotto,  infatti:  < đ?‘˘đ?‘˘ >  =  < đ?‘˘! +< đ?‘˘ > đ?‘˘! +< đ?‘˘ > Â

-­â€?

Svolgo  i  prodotti  ed  ottengo:  < đ?‘˘đ?‘˘ >  =  < đ?‘˘! đ?‘˘! + đ?‘˘! < đ?‘˘ > +đ?‘˘! < đ?‘˘ > +< đ?‘˘ >< đ?‘˘ >> Â

-­â€?

PoichĂŠ  le  fluttuazioni  rappresentano  lo  scostamento  dal  valor  medio,  la  loro  media  temporale  è  nulla,  quindi  si  ha:  < đ?‘˘đ?‘˘ >  =  < đ?‘˘! đ?‘˘! >  < đ?‘˘ >< đ?‘˘ > Â

Equazioni  del  moto  turbolento.  -­â€?

Con  il  concetto  di  media  di  insieme  possiamo  scrivere  le  equazioni  di  N-­â€?S  in  modo  da  poter  studiare  il  moto  turbolento:   âˆ‡âˆ™đ?‘Ł =0 đ?œ•đ?‘Ł 1  + ∇đ?‘Łđ?‘Ł + ∇đ?‘? = đ?œˆđ?›ť ! đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ

-­â€?

Per  l’equazione  della  massa  si  ha:  < ∇ ∙ đ?‘Ł >  =  âˆ‡ ∙< đ?‘Ł >  = 0 Â

-­â€?

Nel  riscrivere  invece  l’equazione  della  quantitĂ Â di  moto  si  devono  trasformare  i  termini  non  lineari  con  la  proprietĂ Â del  prodotto  della  media  di  insieme:  <

đ?œ•đ?‘Ł 1 + ∇đ?‘Łđ?‘Ł + ∇đ?‘? >=< đ?œˆđ?›ť ! đ?‘Ł >  đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ

đ?œ•<đ?‘Ł> 1 2 + ∇  < đ?‘Ł  >  < đ?‘Ł  > + ∇< đ?‘Ł ! đ?‘Ł ! > + ∇< đ?‘? >= đ?œˆđ?›ť đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ -­â€?

< đ?‘Ł > Â Â

CosĂŹ  facendo  si  ottiene  una  relazione  simile  a  quella  ottenuta  per  il  moto  laminare  tuttavia  compare  un  termine  in  piĂš,  tale  termine  è  detto:  âˆ‡< đ?‘Ł ! đ?‘Ł ! >   â†’ đ?‘‡đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’  đ?‘‘đ?‘’đ?‘”đ?‘™đ?‘–  đ?‘†đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘§đ?‘–  đ?‘‘đ?‘–  đ?‘…đ?‘’đ?‘Śđ?‘›đ?‘œđ?‘™đ?‘‘đ?‘  < đ?‘Ł ! đ?‘Ł ! >   â†’   đ?‘†đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ  đ?‘‘đ?‘–  đ?‘…đ?‘’đ?‘Śđ?‘›đ?‘œđ?‘™đ?‘‘đ?‘  Â

Marcello Miccio

71 Â

    -­â€?

Tuttavia  da  queste  due  equazioni  che  descrivono  il  moto  turbolento  non  si  è  in  grado  di  ricavare  le  proprietĂ Â medie  del  fluido  perchĂŠ  la  presenza  di  questo  termine  aggiuntivo  non  ci  permette  di  avere  un  sistema  chiuso  che  ammetta  soluzione. Â

-­â€?

Un  tentativo  di  risoluzione  è  quello  di  considerare  il  tensore  degli  sforzi  di  Reynolds  proporzionale  ad  un  gradiente  di  velocitĂ Â influenzato  da  una  viscositĂ Â turbolenta  (  Eddy  viscosity).  âˆ‡< đ?‘Ł ! đ?‘Ł ! >    âˆ?   âˆ’  đ?œˆ! ∇< đ?‘Ł > Â

Soluzione  dell’equazioni  del  moto  turbolento.  -­â€?

Consideriamo  una  corrente  turbolenta  che  fluisce  in  un  condotto  infinitamente  lungo. Â

 -­â€?

Le  equazioni  del  moto  turbolento  sono:  âˆ‡ ∙< đ?‘Ł >  = 0

đ?œ•<đ?‘Ł> 1 2 + ∇  < đ?‘Ł  >  < đ?‘Ł  > + ∇< đ?‘Ł ! đ?‘Ł ! > + ∇< đ?‘? >= đ?œˆđ?›ť đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ -­â€?

< đ?‘Ł > Â

Supponiamo  che  le  proprietĂ Â medie  di  questa  corrente  turbolenta  siano  funzioni  solo  di  â€œyâ€?  e  supponiamo  anche  che  le  derivata  temporale  sia  nulla,  quindi  si  ha:  < đ?‘Ł >!  = 0 đ?œ•<đ?‘Ł> 1  +< đ?‘˘ >< đ?‘˘! > +< đ?‘Ł >< đ?‘Ł! > +< đ?‘Ł ! đ?‘Ł ! >! + < đ?‘? >! = đ?œˆđ?›ť ! < đ?‘Ł > đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ < đ?‘Ł >!  = 0 1  < đ?‘Ł ! đ?‘Ł ! >! + < đ?‘? >! = đ?œˆ < đ?‘˘ >!! đ?œŒ

-­â€?

Il  primo  termine  l’abbiamo  giĂ Â incontrato  prima  ed  è  proprio  lo  sforzo  di Â

Marcello Miccio

72 Â

   Â

Reynolds.  Inoltre  integrando  la  seconda  equazione  in  â€œyâ€?  si  ha:  Ď„!" +

1 < đ?‘? >! đ?‘Ś = đ?œˆ < đ?‘˘ >! + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?œŒ

âˆ’Ď„!" +

1 < đ?‘? >! đ?‘Ś − đ?œˆ < đ?‘˘ >! = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?œŒ

-­â€?

Nello  scrivere  lo  sforzo  di  Reynolds  si  deve  introdurre  un  meno  perchĂŠ  gli  sforzi  sono  definiti  come  â€œmeno  il  flusso  di  quantitĂ Â di  motoâ€?.  Â

-­â€?

Questi  tre  termini  che  rimangono  sono  definiti  come:   Ď„!"   â†’   đ?‘†đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ  đ?‘‘đ?‘–  đ?‘…đ?‘’đ?‘Śđ?‘›đ?‘œđ?‘™đ?‘‘đ?‘  1 < đ?‘? >! đ?‘Ś = Ď„ !  â†’    đ?‘†đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ  đ?‘‡đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’  đ?œŒ đ?œˆ < đ?‘˘ >! = Ď„!  â†’ đ?‘†đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ  đ?‘‰đ?‘–đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘œ Â

-­â€?

Interessante  è  andare  a  graficare  questi  tre  sforzi,  infatti  poichĂŠ  lo  sforzo  totale  è  costante  la  somma  degli  sforzi  di  Reynolds  e  degli  sforzi  Viscosi  deve  restituire  una  retta.  Ď„ ! = Ď„!" + Ď„! + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ Â

-­â€?

Inoltre  da  evidenze  sperimentali  si  è  notato  che:  1) In  prossimitĂ Â della  parete  solida  lo  sforzo  è  quasi  totalmente  sforzo  Viscoso  2) Lontano  dalla  parete  lo  sforzo  è  quasi  totalmente  sforzo  di  Reynolds Â

-­â€?

Il  differente  comportamento  evidenziato  permette  di  definire  due  differenti  zone:  A) Wall  Layer       â†’  Zona  dove  lo  sforzo  è  quasi  tutto  sforzo  Viscoso  B) Defect  Layer   â†’  Zona  dove  lo  sforzo  è  quasi  tutto  sforzo  di  Reynolds Â

Â

Â

Marcello Miccio

Â

73 Â

   Â

Caratteristiche  del  moto  Turbolento.  -­â€?

CI  proponiamo  ora  di  studiare  e  capire  come  è  fatto  il  profilo  di  velocitĂ Â di  un  fluido  in  regime  turbolento  che  attraversa  un  condotto  di  forma  cilindrica.                                W.  L. Â

D. Â L. Â

W. Â L. Â

h Â

Â

-­â€?

Nella  schema  sono  evidenziate  le  due  diverse  zone,  Wall  Layer  e  Defect  Layer. Â

-­â€?

Per  comprendere  come  è  fatto  questo  tipo  di  profilo  esplicitiamo  tutti  i  parametri  da  cui  può  dipendere:  đ?‘˘ = đ?‘˘  đ?‘Ś  , Ď„! , đ?œŒ, đ?œˆ, â„Ž     Dove  con  "Ď„! "  si  indica  lo  sforzo  alla  parete. Â

-­â€?

Il  diverso  comportamento  fisico  che  si  ha  nelle  due  zone,  Wall  Layer  e  Defect  Layer,  si  traduce  nel  fatto  che  in  ognuna  delle  due  zone  può  essere  trascurata  una  della  variabili  da  cui  dipende  â€œuâ€?.  1) Nel  Wall  Leyer  si  trascura  â€œhâ€?,  poichĂŠ  si  suppone  che  l’altezza  del  Wall  Layer  sia  molto  minore  del  diametro  del  condotto  â€œhâ€?,  quindi  si  ha:  đ?‘˘ = đ?‘˘  đ?‘Ś  , Ď„! , đ?œŒ, đ?œˆ   2) Nel  Defect  Layer  si  trascura  "đ?œˆ",  poichĂŠ  nel  mezzo  del  condotto,  in  lontananza  dalle  parete  l’effetto  della  viscosità  è  quasi  nullo,  quindi  si  ha:  đ?‘˘ = đ?‘˘  đ?‘Ś  , Ď„! , đ?œŒ, â„Ž  Â

-­â€?

Per  semplificare  ora  il  problema  introduciamo  una  grandezza  adimensionale,  detta  â€œVelocitĂ Â di  Pareteâ€?:  đ?‘˘âˆ— =

-­â€?

Ď„!  đ?œŒ

Questo  parametro  ci  permette  di  adimensionalizzare  le  due  funzioni  che  esprimono  il  profilo  di  velocitĂ Â e  ci  permette  anche  di  esprimerle  in  funzione Â

Marcello Miccio

74 Â

   Â

di  una  singola  variabile:  đ?‘ đ?‘’đ?‘™  đ?‘Šđ?‘Žđ?‘™đ?‘™  đ??żđ?‘Žđ?‘Śđ?‘’đ?‘&#x;   â†’   Â

đ?‘˘ đ?‘Śđ?‘˘âˆ— =đ?‘“  đ?‘˘âˆ— đ?œˆ

đ?‘ đ?‘’đ?‘™  đ??ˇđ?‘’đ?‘“đ?‘’đ?‘?đ?‘Ą  đ??żđ?‘Žđ?‘Śđ?‘’đ?‘&#x;   â†’    -­â€?

đ?‘˘ đ?‘Ś =đ??š  đ?‘˘âˆ— â„Ž

Scegliamo  ora  come  sistema  di  riferimento  un  sistema  la  cui  origine  coincide  con  l’asse  di  simmetria  del  condotto  cilindrico,  proprio  in  questo  punto  la  velocitĂ Â â€œuâ€?  avrĂ Â espressione  massima  allora  va  corretta  la  relazione  che  definisce  il  profilo  di  velocitĂ Â nel  Defect  Layer:  đ?‘˘ − đ?‘˘!"# đ?‘Ś =đ??š  đ?‘˘âˆ— â„Ž

-­â€?

CosĂŹ  facendo  abbiamo  ottenuto  due  funzioni  universali  che  si  possono  ricavare  anche  sperimentalmente.  Inoltre  poichĂŠ  il  profilo  di  velocità  è  sempre  una  curva  continua  deve  esiste  un  punto  in  cui  queste  due  funzioni  restituiscono  lo  stesso  valore,  questo  accade  quando  ci  si  trova  nella  zona  intermedia: Â

-­â€?

In  questa  zona  intermedia  si  ha:  1) Quando   Â

!!∗ !

>> 1     →     đ?‘“ ≅ đ?‘Ž + đ?‘? log

!

!!∗ !

   Â

!

2) Quando    ! << 1        â†’     đ??š ≅ đ??´ + đ??ľ log !     -­â€?

Mettendo  insieme  queste  due  condizioni,  ossia  imponendo  che  esista  un  punto  in  cui  le  due  funzioni  restituiscano  lo  stesso  valore  otteniamo:  â„Žâ‰Şđ?‘Śâ‰Ş

đ?œˆ  đ?‘˘âˆ—

đ?‘˘ đ?‘˘ − đ?‘˘!"# (đ??ˇđ?‘’đ?‘™  đ?‘Šđ?‘Žđ?‘™đ?‘™  đ??żđ?‘Žđ?‘Śđ?‘’đ?‘&#x;) = (đ??ˇđ?‘’đ?‘™  đ??ˇđ?‘’đ?‘“đ?‘’đ?‘?đ?‘Ą  đ??żđ?‘Žđ?‘Śđ?‘’đ?‘&#x;)  đ?‘˘âˆ— đ?‘˘âˆ— đ?‘˘ đ?‘˘âˆ— đ?‘˘!"# = đ?‘Ž + đ?‘? log đ?‘Ś + đ?‘? log = + đ??´ + đ??ľ log đ?‘Ś − đ??ľ log â„Ž  đ?‘˘âˆ— đ?œˆ đ?‘˘âˆ— -­â€?

Per  avere  senso  questa  uguaglianza  i  due  coefficienti  â€œb,Bâ€?  devono  essere  uguali  quindi  si  ha: Â

Marcello Miccio

75 Â

   Â

đ??śđ?‘œđ?‘›  đ?‘? = đ??ľ    â†’ đ?‘Ž +  đ?‘? đ?‘™đ?‘œđ?‘” -­â€?

Riscriviamo  tutto  in  funzione  di  "

!!"# !∗

đ?‘˘âˆ— đ?‘˘!"# = + đ??´ − đ??ľ log â„Ž  đ?œˆ đ?‘˘âˆ—

" Â : Â

đ?‘˘!"# đ?‘˘âˆ— â„Žđ?‘˘âˆ— = đ?‘Ž +  đ?‘? đ?‘™đ?‘œđ?‘” − đ??´ + đ?‘? log â„Ž = đ?‘Ž −đ??´ +  đ?‘? đ?‘™đ?‘œđ?‘”  đ?‘˘âˆ— đ?œˆ đ?œˆ -­â€?

Quest’ultima  relazione  può  essere  ulteriormente  riscritta  introducendo  la  costante  di  Von  Karman:  1 đ?‘˘!"# 1 â„Žđ?‘˘âˆ— = đ?‘? = đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘‘đ?‘–  đ?‘‰đ?‘œđ?‘›  đ??žđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Žđ?‘›    â†’    = đ?‘Ž −đ??´ +  đ?‘™đ?‘œđ?‘”  đ??ž đ?‘˘âˆ— đ??ž đ?œˆ

-­â€?

Qui  la  costante  â€œAâ€?  varia  al  variare  della  geometria  del  condotto. Â

-­â€?

Mentre  la  costante  â€œaâ€?  varia  al  variare  della  rugositĂ Â della  parete. Â

Considerazioni  sul  Moto  Turbolento.  -­â€?

Consideriamo  un  condotto  in  cui  fluisce  una  corrente  turbolenta  ed  applichiamo  un  bilancio  di  quantitĂ Â di  moto,  trascurando  il  termine  gravitazionale  e  ponendoci  nel  caso  stazionario:  3 Â

1 Â

Â

2 Â

 đ??˝! ∙  đ?‘› đ?‘‘đ?‘ = 0   -­â€?

Scrivo  i  tre  contributi  per  le  sezioni  1,  2,  3  del  volume  di  controllo  includendo  anche  gli  sforzi  tangenziali:  đ?œ•đ?‘˘! đ?œ•đ?‘˘! đ?‘‘đ?‘ − đ?‘?! + đ?œŒđ?‘Ł!! − đ?œ‡ đ?‘‘đ?‘ + đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś ! ! Supponiamo  ora  che:  1) Il  condotto  sia  di  sezione  costante,  quindi  đ?‘Ł! = đ?‘Ł!  2) La  pressione  media  sia  costante  per  ogni  sezione  Allora  possiamo  semplificare  il  bilancio  e  resta:  đ?‘?! + đ?œŒđ?‘Ł!! − đ?œ‡

-­â€?

-­â€?

Marcello Miccio

!

đ?œ?! đ?‘‘đ?‘ = 0  Â

76 Â

   Â

!,!

-­â€?

-­â€?

-­â€?

-­â€?

−đ?‘?! + đ?‘?! đ?‘‘đ?‘ = đ??ż

!"#$%"&#'

đ?œ?! đ?‘‘đ?‘™ Â

đ?‘?! − đ?‘?! đ??ˇ  4  đ??ż Â

Per  dare  una  formulazione  generale  a  questo  tipo  di  problema  adimensionalizziamo  "  đ?œ?! "  ponedo:   đ?œ?!

-­â€?

đ?œ?! đ?‘‘đ?‘ = 0 Â

Se  introduciamo  ora  dei  valori  medi  possiamo  scrivere:  đ?‘?! − đ?‘?! đ?‘† = đ??ż  đ?‘ƒ  đ?œ?!           đ??śđ?‘œđ?‘›   đ?œ?! = đ?‘†đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ  đ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘Ž  đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘œ  đ?‘?! − đ?‘?! đ?‘†  đ?œ?! =   đ??ż  đ?‘ƒ PoichĂŠ  abbiamo  un  condotto  cilindrico  possiamo  specificare  il  rapporto  tra  la  sezione  ed  il  perimetro:  đ?œ‹đ??ˇ ! đ?‘† đ??ˇ  đ?‘ƒ = đ?œ‹đ??ˇ      đ?‘† =      â†’ =  4 đ?‘ƒ 4 Ricordando  il  diametro  da  quest’ultima  relazione  definiamo  un  diametro  idraulico,  che  ci  permette  di  far  valere  queste  considerazioni  anche  in  caso  di  condotti  non  cilindrici:  4đ?‘† đ??ˇ! =  đ?‘ƒ Sostituendo  il  rapporto  tra  la  sezione  ed  il  perimetro  nell’espressione  dello  sforzo  medio  si  ha:   đ?œ?! =

-­â€?

!

Il  secondo  integrale  si  può  scomporre  supponendo  la  lunghezza  del  condotto  costante  e  pari  a  â€œLâ€?.  !,!

-­â€?

đ?‘?! − đ?‘?! đ?‘‘đ?‘ +

đ?‘Ł! đ?‘Ł! đ?‘?! − đ?‘?! đ??ˇ = đ??ś!  đ?œŒ   →   đ?‘“đ?œŒ =  2 2 đ??ż Â

Dove   "đ??ś!  , đ?‘“"   sono  due  coefficienti  legati  dalla  relazione:  đ??ś!  = 4đ?‘“ Â

-­â€?

Ricordiamo  ora  come  abbiamo  definito  la  â€œvelocitĂ Â di  pareteâ€?: Â

Marcello Miccio

77 Â

   Â

đ?‘˘âˆ— = -­â€?

Ponendo  uguale  quest’ultima  relazione  alla  forma  adimensionale  di  "  đ?œ?! "  si  ha:  Ď„! = đ?œŒ  đ?‘˘âˆ—

-­â€?

Ď„!    â†’  Ď„! = đ?œŒ  đ?‘˘âˆ— !   đ?œŒ

!

đ?‘Ł!  đ?‘˘âˆ— ! đ??ś!  đ?‘˘âˆ— = đ??ś!  đ?œŒ   â†’   ! =  â†’   = 2 đ?‘Ł 2 đ?‘Ł

đ??ś! Â Â 2

In  queste  ultime  considerazioni  fatte  abbiamo  ragionato  sempre  con  la  velocitĂ Â media  "đ?‘˘âˆ— ",  tuttavia  nell’espressione  del  profilo  di  velocitĂ Â nel  caso  turbolento  compare  la  velocitĂ Â massima  "đ?‘˘!"# ".  Cerchiamo  allora  la  relazione  che  lega  queste  due  grandezze:  đ?‘Ł=

1 đ?‘

đ?‘˘  đ?‘‘đ?‘     Â

đ?‘˘ − đ?‘˘!"# đ?‘Ś đ?‘Ś =đ??š     â†’    đ?‘˘ = đ?‘˘!"# + đ?‘˘âˆ— đ??š  đ?‘˘âˆ— â„Ž â„Ž đ?‘Ł= -­â€?

1 đ?‘

đ?‘˘!"# + đ?‘˘âˆ— đ??š

đ?‘Ś â„Ž

 đ?‘‘đ?‘ =

1 đ?‘˘  đ?‘ + đ?‘ !"#

đ?‘˘âˆ— đ??š

đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘ Â Â â„Ž

PoichĂŠ  la  funzione  â€œFâ€?  è  una  funzione  universale  non  dipende  da  nessuna  variabile  e  quindi  il  suo  integrale  è  una  costante:  đ?‘Ł = đ?‘˘!"# + đ?‘˘âˆ—  đ??ś!      đ??śđ?‘œđ?‘›  đ??ś! = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ Â

-­â€?

Ricordiamo  ora  il  profilo  di  velocitĂ Â ottenuto  per  un  moto  turbolento:  đ?‘˘!"# 1 â„Žđ?‘˘âˆ— = đ?‘Ž −đ??´ +  đ?‘™đ?‘œđ?‘”  đ?‘˘âˆ— đ??ž đ?œˆ

-­â€?

Alla  luce  delle  considerazioni  fatte  possiamo  riscrivere  questa  relazione  in  questo  modo:  đ?‘Ł − đ?‘˘âˆ—  đ??ś! 1 â„Žđ?‘˘âˆ— = đ?‘Ž − đ??´ + +  đ?‘™đ?‘œđ?‘”  đ?‘˘âˆ— đ??ž đ?œˆ đ?‘Ł 1 â„Žđ?‘˘âˆ— = đ?‘Ž − đ??´ + đ??ś! +  đ?‘™đ?‘œđ?‘”  đ?‘˘âˆ— đ??ž đ?œˆ

Marcello Miccio

78 Â

    -­â€?

Moltiplico  e  divido  per  â€œvâ€?  nell’argomento  del  logaritmo  ed  introduco  l’uguaglianza Â

!∗ !

=

!! Â !

: Â

2 1 â„Ž  đ?‘Ł đ?‘˘âˆ— = −đ??´ + đ??ś! +  đ?‘™đ?‘œđ?‘”   đ??ś!  đ??ž đ?œˆ đ?‘Ł đ??ś!  2 1 = −đ??´ + đ??ś! +  đ?‘™đ?‘œđ?‘” đ?‘…đ?‘’   đ??ś!  đ??ž 2 -­â€?

Abbiamo  cosĂŹ  ottenuto  un’equazione   non  in  forma  chiusa  che  è  detta  â€œEquazione  di  Colebrook  -­â€?  Whiteâ€?. Â

  Caratteristiche  profilo  di  velocitĂ .  -­â€?

Nel  regime  turbolento  le  espressioni  dei  profili  di  velocitĂ Â sono  basate  su  considerazioni  semi-­â€?empiriche,  dove  le  costanti  vengono  determinate  sperimentalmente. Â

-­â€?

Consideriamo  un  generico  profilo  di  velocitĂ Â di  una  corrente  turbolenta: Â

 -­â€?

A  seconda  dalla  distanza  dalla  parete  si  possono  distinguere  tre  regioni:  1) Strato  laminare. Â

-­â€?

In  questa  regione  gli  effetti  viscosi  sono  predominanti.  Il  moto  avviene  per  scorrimento  di  filetti  regolari  ed  il  profilo  di  velocitĂ Â si  può  approssimare  ad  un  profilo  di  tipo  lineare  (  flusso  Couette). Â

-­â€?

Da  evidenze  sperimentali  si  ha  che  ci  si  trova  in  questa  regione  finchĂŠ: Â

Marcello Miccio

79 Â

   Â

0 ≤  đ?‘Ś ! < 5  -­â€?

Numericamente  si  può  dare  una  definizione  di  questo  spessore  introducendo  la  relazione:   đ?‘Ś ! =

đ?‘Śđ?‘˘âˆ— đ?‘Śđ?‘˘âˆ— đ?œˆ 2   â†’    5 =     â†’   đ?‘Ś = 5 = 5  đ?œˆ đ?œˆ đ?‘˘âˆ— đ??ś! Â

2) Strato  separatore.  -­â€?

In  questa  regione  iniziano  a  manifestarsi  gli  effetti  turbolenti,  tuttavia  quelli  viscosi  sono  ancora  predominanti. Â

-­â€?

Da  evidenze  sperimentali  si  ha  che  ci  si  trova  in  questa  regione  finchĂŠ:  5 ≤  đ?‘Ś ! < 30 Â

-­â€?

Numericamente  si  può  dare  una  definizione  di  questo  spessore  introducendo  la  relazione:   đ?‘Ś ! =

đ?‘Śđ?‘˘âˆ— đ?‘Śđ?‘˘âˆ— đ?œˆ 2   â†’    30 =     â†’   đ?‘Ś = 30 = 30  đ?œˆ đ?œˆ đ?‘˘âˆ— đ??ś! Â

3) Strato  turbolento.  -­â€?

In  questa  regione,  a  differenza  delle  altre  due,  gli  effetti  turbolenti  sono  predominanti  rispetto  agli  effetti  viscosi. Â

-­â€?

Da  evidenze  sperimentali  si  ha  che  ci  si  trova  in  questa  regione  finchĂŠ:   đ?‘Ś ! ≼ 30 Â

L’abaco  di  Moody.  -­â€?

Il  diagramma  di  Moody  (noto  anche  come  "abaco  di  Moody")  è  un  diagramma  che  permette  di  calcolare  direttamente  il  valore  del  coefficiente  di  attrito  â€œfâ€?  senza  ricorrere  all'equazione  di  Colebrook-­â€?White  che  è  di  difficile  risoluzione  in  quanto  è  una  equazione  non  in  forma  chiusa. Â

-­â€?

Si  tratta  di  un  diagramma  tracciato  su  una  scala  logaritmica,  poichĂŠ  è  necessario  che  ricopra  una  vastissima  gamma  di  valori,  sia  del  numero  di  Reynolds  (i  cui  valori  sono  posti  lungo  l'asse  delle  ascisse),  sia  del Â

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80 Â

   Â

coefficiente  f  (sull'asse  delle  ordinate).

-­â€?

Il  diagramma  di  Moody  lega  il  coefficiente  di  perdita  di  carico  â€œfâ€?  al  numero  di  Reynolds  descrivendo  la  curva  dei  â€œtubi  lisciâ€?. Â

-­â€?

Tuttavia  la  possibilitĂ Â che  le  pareti  di  un  condotto  siano  non  lisce  ci  deve  far  introdurre  il  concetto  di  rugositĂ . Â

-­â€?

La  rugosità  è  definita  come  l’altezza  media  delle  asperitĂ Â "đ?œ€"   sulla  superfice  di  parete. Â

-­â€?

Per  avere  una  analisi  generale  della  rugositĂ Â si  divide  quest’ultimo  paramento  per  il  diametro  idraulico  in  modo  da  avere  un  parametro  adimensionale.  đ?‘…đ?‘˘đ?‘”đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘ĄĂ  đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™đ?‘’:   Â

-­â€?

Avendo  definito  anche  la  rugositĂ Â ci  si  aspetta  che  il  coefficiente  di  perdita  di  carico  sia  influenza  anche  dalla  rugositĂ Â stessa  ossia:  đ?‘“ = đ?‘“ đ?‘…đ?‘’,

-­â€?

đ?œ€  đ??ˇ!

đ?œ€   đ??ˇ!

Questa  doppia  dipendenza  si  traduce  graficamente  nell’introduzione  di  piĂš  ! curve  sul  diagramma  di  Moody  che  variano  al  variare  di  " ! ".  !

-­â€?

Ăˆ  interessante  notare  che: Â

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81 Â

   Â

1) Per  numeri  di  Reynolds  bassi  le  curve  sono  molto  prossime  alla  curva  per  tubi  lisci,  questo  perchĂŠ  per  numeri  di  Reynolds  bassi  il  coefficiente  di  perdita  di  carico  dipende  principalmente  dal  numero  di  Reynolds  e  non  dalla  rugositĂ Â relativa.  2) Per  numeri  di  Reynolds  alti  le  curve  si  dispongono  in  modo  quasi  parallelo  all’asse  orizzontale,  questo  perchĂŠ  per  numeri  di  Reynolds  alti  il  coefficiente  di  perdita  di  carico  dipendete  principalmente  dalla  rugositĂ Â relativa  e  non  dal  numero  di  Reynolds.   Caduta  di  pressione.  -­â€?

Ricordando  come  si  è  introdotto  il  coefficiente  di  perdita  di  carico  si  può  ricavare  una  espressione  valida  per  il  calcolo  della  caduta  di  pressione  dovuta  all’attrito  presente  nelle  condotte.  Tali  perdite  sono  dette  â€œperdite  distribuiteâ€?.  đ?‘Ł! đ?‘?! − đ?‘?! đ??ˇ! đ?‘?! − đ?‘?! đ??ż  đ?‘Ł ! ∆đ?‘? đ??ż  đ?‘Ł ! đ?‘“đ?œŒ =    â†’       = đ?‘“         â†’      = đ?‘“    2 đ??ż  đ?œŒ đ??ˇ! 2 đ?œŒ đ??ˇ! 2

Correnti  attraverso  sistemi  di  tubazioni.  -­â€?

PoichĂŠ  abbiamo  analizzato  le  perdite  di  carico  relative  ad  una  singolo  condotto  analizziamo  ora  il  contributo  dissipativo  dei  vari  raccordi  o  giunzioni  che  spesso  si  presentano  in  un  rete  di  tubazioni. Â

-­â€?

Considerando  le  seguenti  geometrie  si  osserva  che  in  entrambi  i  casi  vi  è  il  formarsi  del  fenomeno  della  separazione:  Â

 -­â€?

Il  fenomeno  della  separazione  è  un  fenomeno  dissipativo,  rappresenta  un  costo  in  termini  energetici  che  nel  nostro  caso  si  traduce  in  una  perdita  di Â

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82 Â

   Â

carico.  -­â€?

Allora  in  un  sistema  di  condotte  per  calcolare  le  perdite  di  carico  complessive  si  deve   non  solo  tener  presente  il  contributo  dissipativo  dovuto  alle  perdite  distribuite  ma  anche  quello  dovuto  alle  giunzioni  o  raccordi,  dette  â€œperdite  di  carico  localizzateâ€?. Â

-­â€?

Numericamente  questa  caduta  di  pressione  è  data  dalla  relazione:  âˆ†đ?‘?  đ?‘Ł ! = đ??ž    đ?œŒ 2

-­â€?

Qui  â€œKâ€?  è  un  coefficiente  tabellato  che  assume  valori  differenti  al  variare  delle  geometrie  e  tipologie  di  raccordi.  Questo  coefficiente  ha  una  espressione  analitica  solo  in  due  casi  particolari:  !

!

!!

!

1) đ?‘…đ?‘–đ?‘‘đ?‘˘đ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’  đ?‘?đ?‘–đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž   â†’   đ??ž = ! 1 − !! = ! 1 − !!  !

!! !

2)  đ??¸đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’  đ?‘?đ?‘–đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž   â†’   đ??ž = 1 − !

!

!!

!

= 1 − !! Â

 Misuratori  di  portata.  -­â€?

Abbiamo  giĂ Â studiato  due  misuratori  di  portata  come  il  tubo  di  Venturi  ed  il  tubo  di  Pitot  ora  però  ci  proponiamo  di  analizzare  un’ulteriore  sistema  piĂš  semplice  ma  ugualmente  efficace,  il  diaframma. Â

 -­â€?

-­â€?

Ăˆ  caratterizzato  dall’avere  due  piccole  sporgenze  piane  all’interno  del  condotto  che  creano  una  irregolaritĂ Â del  flusso,  ossia  una  separazione  che  produce  una  caduta  di  pressione.  Anche  in  questo  caso  come  per  il  tubo  di  venturi  si  va  a  misurare  tramite  un  manometro,  la  variazione  di  pressione  "∆đ?‘?"  presente  tra  due  punti.  Nota  questa  differenza  di  pressione  è  facile  calcolare  dal  bilancio  energetico  di Â

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83 Â

    -­â€?

Bernulli  la  velocitĂ Â del  fluido  e  quindi  la  portata.  Il  diaframma  è  quindi  un  misuratore  di  portata  che  si  basa  sull’introduzione  volontaria  in  un  condotto  di  una  perdita  di  carico  concentrata  quindi  è  un  dispositivo  che  conviene  utilizzare  solo  nel  caso  in  cui  una  caduta  di  pressione  all’interno  del  condotto  non  comprometta  il  normale  funzionamento  del  sistema  nel  suo  complesso.  Â

Portanza  e  Resistenza.  -­â€?

Consideriamo  una  corrente  turbolenta  che  investe  un  corpo  â€œtozzoâ€?,  per  esempio  un  profilo  alare. Â

 -­â€?

Tale  corrente  investendo  il  profilo  alare  genera  una  forza  â€œFâ€?  composta  da  due  componenti:  1) La  componente  perpendicolare  al  campo  di  velocità  è  detta  â€œPortanzaâ€?.  Â

-­â€?

La  portanza  è  dovuta  alla  particolare  forma  del  profilo  alare  che  sfrutta  le  leggi  dell'aerodinamica,  quali  ad  esempio  il  principio  di  Bernulli,  che  stabilisce  che  all'aumentare  della  velocitĂ Â del  fluido  la  pressione  statica  diminuisce.  Â

-­â€?

Essendo  la  velocitĂ Â dell'aria  maggiore  sull'estradosso  (parte  superiore  dell'ala),  e  minore  sull'intradosso  (parte  inferiore  dell'ala),  la  conseguente  differenza  di  pressione  genera  la  portanza. Â

-­â€?

Numericamente  è  data  da:   đ?‘Ł ! đ??š! = đ??ś!  đ?œŒ   đ??´  2

-­â€?

Dove  "Ď "  è  la  densitĂ Â dell'aria,  "V"  è  la  velocitĂ Â di  volo;  "A"  è  la  superficie  di  riferimento  (nel  caso  di  velivoli  si  tratta  di  superficie  alare).  Â

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84 Â

    -­â€?

CL  è  un  coefficiente  adimensionale  detto  coefficiente  di  portanza.  Esso  varia  in  funzione  della  forma  geometrica  dell'ala,  dell'angolo  d'attacco,  del  Numero  di  Reynolds  e  del  Numero  di  Mach   2) La  componente  parallela  al  campo  di  velocità  è  detta  â€œResistenzaâ€?. Â

-­â€?

Essa  è  composta  fondamentalmente  da  tre  termini: Â

-­â€?

La  resistenza  di  attrito  è  dovuta  alla  viscositĂ Â del  fluido  Â

-­â€?

La  resistenza  di  pressione  è  dovuta  alla  differenza  di  pressione  agente  sulla  parte  anteriore  e  posteriore  del  corpo  in  moto.  Anch'essa  è  fondamentalmente  dovuta  alla  viscositĂ Â del  fluido Â

-­â€?

La  resistenza  indotta  è  dovuta  al  meccanismo  di  generazione  della  portanza.  Sul  estradosso  del  profilo  alare  la  pressione  è  inferiore  rispetto  all'intradosso.  Le  equazioni  di  Navier-­â€?Stokes  stabiliscono  che  in  tali  condizioni  il  flusso  d'aria  tenderĂ Â a  passare  dall'intradosso  all'estradosso  laddove  questo  è  possibile.  Nel  caso  di  un'ala  di  lunghezza  finita  questo  si  verifica  in  corrispondenza  delle  estremitĂ Â alari.  In  questi  punti  l'aria  acquista  una  componente  di  velocitĂ Â perpendicolare  alla  direzione  del  volo  che,  sommandosi  alla  componente  parallela  (velocitĂ Â di  volo)  genera  un  movimento  vorticoso  che  dissipa  l'energia  creando  resistenza. Â

-­â€?

Numericamente  è  data  da: Â

-­â€?

 đ?‘Ł ! đ??š! = đ??ś!  đ?œŒ   đ??´  2 dove  â€œĎ â€?  è  la  densitĂ Â dell'aria,  â€œVâ€?  è  la  velocitĂ Â di  volo,  â€œAâ€?  è  la  superficie  di  riferimento  (nel  caso  di  velivoli  si  tratta  di  superficie  alare,  nel  caso  di  autovetture  si  usa  la  superficie  frontale  del  mezzo). Â

-­â€?

“CD  â€œ  è  un  coefficiente  adimensionale  detto  coefficiente  di  resistenza.  Esso  varia  in  funzione  della  forma  geometrica  dell'ala,  dell'angolo  d'attacco,  del  numero  di  Reynolds  e  del  numero  di  Mach.  Â

Â

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Â

85 Â

   Â

Correnti  Comprimibili.  -­â€?

Per  la  trattazione  di  correnti  comprimibili  si  ha  bisogno  di  una  terza  equazione,  oltre  a  quella  della  massa  e  della  quantitĂ Â di  moto,  che  è  quella  dell’energia.  Ăˆ  possibile  ottenere  questa  equazione  in  modo  molto  semplice  se  viene  ricavata  dalla  grandezza  entropia  ritenuta  costante. Â

-­â€?

Esprimiamo  dunque  la  densitĂ Â in  funzione  dell’entropia  e  della  pressione:  đ?œŒ = đ?œŒ  đ?‘?, đ?‘ Â

-­â€?

Consideriamo  una  condizione  in  cui  ci  si  sposta  poca  da  uno  stato  di  quiete  introducendo  una  piccola  perturbazione:  đ?‘? = đ?‘?! + đ?‘?! đ?‘? = đ?‘?! đ?‘„đ?‘˘đ?‘–đ?‘’đ?‘Ąđ?‘’  đ?‘ = đ?‘ !       â†’       đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘?đ?‘Žđ?‘§đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’       đ?‘ = đ?‘ !     (Per  ipotesi)  đ?‘Ł = đ?‘Ł! đ?‘Ł=0

-­â€?

Per  valutare  cosa  varia  scriviamo  le  equazioni  di  bilancio  della  massa  e  quantitĂ Â di  moto  nel  caso  unidimensionale  considerando  la  densitĂ Â variabile:  đ?œ•đ?œŒ đ?œ• + đ?œŒ  đ?‘˘ = 0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ  đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘˘ 1 đ?œ•đ?‘? +đ?‘˘ + =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œŒ đ?œ•đ?‘Ľ

-­â€?

Sviluppiamo  ora  la  densitĂ Â in  serie  di  Taylor:  đ?œŒ  đ?‘?, đ?‘ = đ?œŒ! +

-­â€?

đ?œ•đ?œŒ đ?œ•đ?œŒ đ?‘?! + đ?‘  đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘ !

PoichĂŠ  l’entropia  è  ritenuta  costante  l’ultimo  termine  è  nullo:   đ?œŒ  đ?‘?, đ?‘ = đ?œŒ! +

-­â€?

đ?œ•đ?œŒ đ?‘?   đ?œ•đ?‘? !

Introducendo  le  pertubazioni  e  tenendo  conto  di  come  si  è  espressa  la  densitĂ Â con  lo  sviluppo  in  serie  di  Taylor  le  due  equazioni  di  bilancio  diventano:  đ?œ•đ?œŒ đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘˘! + đ?œŒ! =0 đ?œ•đ?‘? ! đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ  đ?œ•đ?‘˘! 1 đ?œ•đ?‘?! +0+ =0 đ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ! đ?œ•đ?‘Ľ

-­â€?

Cerchiamo  ora  di  ottenere  una  sola  equazione  data  dalla  combinazione  delle  due,  quindi  deriviamo  la  prima  rispetto  a  â€œtâ€?  ,la  seconda  rispetto  ad  â€œxâ€?  e Â

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86 Â

   Â

moltiplichiamo  la  seconda  per"đ?œŒ! "  :  đ?œ•đ?œŒ đ?œ• ! đ?‘? đ?œ• ! đ?‘˘! + đ?œŒ! =0 đ?œ•đ?‘? ! đ?œ•đ?‘Ą ! đ?œ•đ?‘Ąđ?œ•đ?‘Ľ đ?œ• ! đ?‘˘! đ?œŒ! đ?œ• ! đ?‘?! đ?œŒ! + =0 đ?œ•đ?‘Ľđ?œ•đ?‘Ą đ?œŒ! đ?œ•đ?‘Ľ !

-­â€?

Â

Sottraendo  membro  a  membro  si  ha:  đ?œ•đ?œŒ đ?œ• ! đ?‘? đ?œ• ! đ?‘˘! đ?œ• ! đ?‘˘! đ?œ• ! đ?‘?! + đ?œŒ! − đ?œŒ! − = 0  đ?œ•đ?‘? ! đ?œ•đ?‘Ą ! đ?œ•đ?‘Ąđ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľđ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ ! đ?œ•đ?œŒ đ?œ• ! đ?‘? đ?œ• ! đ?‘?! − = 0  đ?œ•đ?‘? ! đ?œ•đ?‘Ą ! đ?œ•đ?‘Ľ !

-­â€?

Quest’ultima  equazione  è  detta  â€œequazione  delle  corde  vibrantiâ€?. Â

-­â€?

Si  può  dare  una  espressione  piĂš  generale  a  questa  equazione  se  si  pone:  đ?œ•đ?œŒ đ?œ•đ?‘?

= !

1 Â Â Â Â đ?‘Ž!

-­â€?

Sostituendo  questa  posizione  si  ottiene  â€œl’equazione  delle  ondeâ€?: Â

-­â€?

1 đ?œ• ! đ?‘? đ?œ• ! đ?‘?!  âˆ’ = 0    đ?‘Ž! đ?œ•đ?‘Ą ! đ?œ•đ?‘Ľ ! Questa  equazione  differenziale  ha  una  facile  soluzione  del  tipo:  đ?‘?! = đ??š đ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘Ą Â

-­â€?

Tale  soluzione  linearizzata  è  un’onda  di  pressione  detta  â€œsuonoâ€?.  !"

La  velocitĂ Â con  cui  propagano  le  onde  di  pressione  è  proprio   !" si  può  ricavare  la  velocitĂ Â del  suono:  đ?‘Ž= -­â€?

!

!

= !!    da  cui Â

đ?œ•đ?‘?     đ?œ•đ?œŒ

Questa  è  la  velocitĂ Â con  cui  si  propagano  le  perturbazioni  in  qualsiasi  mezzo  liquido,  solido  o  gassoso.  Â

Â

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Â

87 Â

   Â

VelocitĂ Â del  suono  per  gas  perfetti.  -­â€?

Spostiamo  la  nostra  analisi  esclusivamente  su  gas  ideali  ossia  quei  gas  che  soddisfano  la  legge:  đ?‘? = đ?œŒđ?‘…đ?‘‡ Â

-­â€?

PoichĂŠ  prima  per  ricavare  l’equazione  delle  onde  abbiamo  supposto  di  lavorare  con  entropia  costate,  ricordiamo  ora  una  relazione  valida  per  un  processo  isoentropico:  !

đ?œŒ = đ?œ†   đ?‘?!       đ??śđ?‘œđ?‘›  -­â€?

đ?œ† → đ?‘ˆđ?‘›đ?‘Ž  đ?‘œđ?‘?đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž  đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’   đ??ž → đ?‘…đ?‘Žđ?‘?đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘œ  đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž  đ?‘–  đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–  đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘–

Deriviamo  quest’ultima  relazione  rispetto  alla  pressione:  ! ! 1 đ?œ•đ?œŒ đ?œ• 1 ! = đ?œ†   đ?‘?! = đ?œ†   đ?‘?! !! = đ?œ†   đ?‘?!  đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ??ž  đ??ž  đ?‘? !

-­â€?

Al  numeratore  compare  proprio  "đ?œŒ = đ?œ†   đ?‘?! "  quindi  si  può  riscrivere  il  tutto:   đ?œ•đ?œŒ đ?œŒ =  đ?œ•đ?‘? đ??ž  đ?‘?

-­â€?

Ricordando  ora  come  si  è  definita  la  velocitĂ Â del  suono  si  ha:  đ?‘Ž=

-­â€?

đ?œ•đ?‘?  = đ?œ•đ?œŒ

đ??ž  đ?‘? = đ??ž  đ?‘…  đ?‘‡  đ?œŒ

Da  quest’ultima  relazione  si  evince  che  la  velocitĂ Â del  suono  è  funzione  della  sola  temperatura.   Â

Â

Marcello Miccio

Â

88 Â

   Â

Numero  di  Mach.  -­â€?

ll  numero  di  Mach  (M)  è  un  gruppo  adimensionale  definito  come  il  rapporto  tra  una  velocitĂ Â e  la  velocitĂ Â del  suono  nel  fluido  considerato.   đ?‘€=

-­â€?

đ?‘Ł = đ?‘Ž

đ?‘Ł!

đ?œ•đ?œŒ  đ?œ•đ?‘?

Permette  di  stabilire  quanto  siano  importanti  gli  effetti  di  comprimibilitĂ Â del  fluido  in  esame.  Quando  infatti  il  valore  del  numero  di  Mach  è  ridotto  al  di  sotto  del  valore  0,2  si  commette  un  errore  trascurabile  considerando  il  valore  della  densitĂ Â costante.  Â

Studio  del  diverso  comportamento  di  un  fluido  in  regime  Subsonico  e  Supersonico.  -­â€?

Consideriamo  un  condotto  di  diametro  lentamente  variabile  attraversato  da  una  corrente  comprimibile: Â

 -­â€?

Dall’equazione  di  bilancio  della  massa  si  ha:  đ?œŒ  đ?‘‰  đ?‘† = đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ Â

-­â€?

Dal  bilancio  energetico  di  Bernulli  si  ha:   đ?‘?  đ?‘Ł ! + = đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?œŒ 2

-­â€?

Il  bilancio  di  Bernulli  può  essere  riscritto  introducendo  l’entalpia:   đ?‘?  đ?‘Ł !     = â„Ž    â†’    â„Ž + = đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’  đ?œŒ 2

Marcello Miccio

89 Â

   Â

đ?œŒ  đ?‘Ł  đ?‘† = đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’    đ?‘Ł ! â„Ž+ = đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ 2 -­â€?

Scriviamo  ora  il  differenziale  di  entrambe  le  equazioni:  đ?‘‘đ?œŒ  đ?‘Ł  đ?‘† + đ?œŒ  đ?‘‘đ?‘Ł  đ?‘† + đ?œŒ  đ?‘Łđ?‘‘đ?‘† = đ?‘œ   đ?‘Ł ! đ?‘‘â„Ž + đ?‘‘ =0 2 Â

-­â€?

Dividiamo  ora  la  prima  equazione  per  "đ?œŒ  đ?‘Ł  đ?‘†"  e  nella  seconda  sostituiamo  ! “đ?‘‘â„Ž = ! đ?‘‘đ?‘?"  :  đ?‘‘đ?œŒ đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘†  +  + =0 đ?œŒ đ?‘Ł đ?‘†   1 đ?‘‘đ?‘? + đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = 0 đ?œŒ

-­â€?

Manipoliamo  ancora  la  prima  equazione  moltiplicandola  per  "đ?‘Ł ! "  e  ricordando  che:  đ?œ•đ?œŒ 1 1 = !    â†’    đ?œ•đ?œŒ = ! đ?œ•đ?‘?  đ?œ•đ?‘? đ?‘Ž đ?‘Ž 1 1 đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘† đ?‘Ł !  ! đ?œ•đ?‘? + đ?‘Ł !  + đ?‘Ł ! =0 đ?œŒ đ?‘Ž đ?‘Ł đ?‘†  1 đ?‘‘đ?‘? + đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = 0 đ?œŒ

-­â€?

Cerchiamo  ora  di  ottenere  una  singola  relazione  allora  sottraiamo  membro  a  membro  le  due  equazioni:  1 1 đ?‘‘đ?‘† 1 đ?‘Ł !  ! đ?œ•đ?‘? + đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł  + đ?‘Ł ! − đ?‘‘đ?‘? − đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = 0  đ?œŒ đ?‘Ž đ?‘† đ?œŒ 1 1 đ?‘‘đ?‘† 1 đ?‘Ł !  ! đ?œ•đ?‘? + đ?‘Ł ! − đ?‘‘đ?‘? = 0  đ?œŒ đ?‘Ž đ?‘† đ?œŒ đ?œ•đ?‘? đ?‘Ł ! đ?‘‘đ?‘† ! − 1  + đ?‘Ł = 0  đ?œŒ đ?‘Ž! đ?‘† !" !

Marcello Miccio

đ?‘€! − 1  + đ?‘Ł !

!" !

= 0 Â

90 Â

    -­â€?

-­â€?

-­â€?

Da  quest’ultima  risulta  evidente  il  differente  comportamento  che  assumono  i  fluidi  nel  regime  subsonico  e  nel  regime  supersonico,  infatti:  đ?‘†đ?‘’  đ?‘€ < 1     đ?‘† ↓↑       đ?‘Ł ↑↓  đ?‘†đ?‘’  đ?‘€ > 1    đ?‘† ↓↑       đ?‘Ł ↓↑ Cioè  finchĂŠ  si  è  in  regime  subsonico  al  diminuire  della  sezione  (S)  la  velocitĂ Â (v)  aumenta,  mentre  nel  regime  supersonico  al  diminuire  della  sezione  (S)  la  velocitĂ Â (v)  diminuisce  e  viceversa.  Su  questo  tipo  di  considerazioni  si  basa  la  progettazione  dell’ugello  convergente-­â€?divergente  (  detto  anche  ugello  di  De  Laval)  che  permette  ad  un  fluido  di  raggiungere  una  velocitĂ Â supersonica  in  modo  continuo. Â

              Marcello Miccio

91 Â

   Â

Studio  dell’andamento  delle  pressioni  all’interno  dell’ugello  di  De  Laval.  -­â€?

Interessante  è  studiare  come  varia  la  pressione  al  variare  della  sezione  dell’ugello,  in  particolare  a  seconda  del  valore  della  pressione  all’uscita  dall’ugello  il  fluido  sarĂ Â soggetto  a  fenomeni  differenti.

 -­â€?

Consideriamo  i  casi  che  possono  presentarsi:  !"#$%

1) đ?‘?! <  đ?‘?!  â†’   Questa  condizione  si  esprime  sottoforma  di  un’onda  di  espansione  appena  il  fluido  fuoriesce  dall’ugello.  Quest’onda  si  propaga  alla  velocitĂ Â del  suono  e  poichĂŠ  questa  espansione  avviene  all’esterno  dell’ugello  non  condiziona  il  sistema  di  forza  all’interno  dell’ugello  stesso.  2) đ?‘?! >  đ?‘?!!"#  â†’   Questa  condizione  indica  la  presenza  di  un’onda  di  compressione,  piĂš  precisamente  un’onda  d’urto  che  trasfoma  di  colpo  un  regime  supersonico  in  un  regime  subsonico  con  un  brusco  aumento  di  pressione.  -­â€?

Una  situazione  limite  si  ha  quando  l’urto  normale  si  localizza  in  corrispondenza  della  sezione  di  uscita  dell’ugello. Â

Marcello Miccio

92 Â

    -­â€?

Infatti  se  indichiamo  con   đ?‘?!.!.!. =  (đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘ đ?‘–đ?‘œđ?‘›  đ?‘ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Žđ?‘™  đ?‘†â„Žđ?‘œđ?‘?đ?‘˜  đ?‘Žđ?‘Ą  đ??¸đ?‘Ľđ?‘–đ?‘Ą)  la  pressione  a  valle  dell’urto  si  possono  distingure  due  casi:  !"#$%

A) đ?‘?!

< đ?‘?! < đ?‘?!.!.!.  â†’ đ?‘†đ?‘–  â„Žđ?‘Ž  đ?‘˘đ?‘›  đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘œ  đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘›đ?‘œ  đ?‘Žđ?‘™đ?‘™â€˛đ?‘˘đ?‘”đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘œ  !"#$%

B) đ?‘?!.!.!. < đ?‘?! < đ?‘?! -­â€?

→ đ?‘†đ?‘–  â„Žđ?‘Ž  đ?‘˘đ?‘›  đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘œ  đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘›đ?‘œ  đ?‘Žđ?‘™đ?‘™â€˛đ?‘˘đ?‘”đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘œ Â

Quantitatiamente  questi  problemi  si  risolvono  con  l’ausili  di  alcune  tabbelle  dove  i  sono  riportate  varie  proprietĂ ,  dette  proprietĂ Â di  ristangno,  in  funzione  del  numero  di  Mach.   Â

Correnti  nei  tubi  con  attrito.  -­â€?

La  sola  famiglia  di  correnti  non  isoentropiche  che  si  è  trattata  al  corso  è  quella  delle  correnti  adiabatiche  con  attrito. Â

-­â€?

Non  ci  soffermiamo  ad  analizzare  i  meccaniscmi  dell’attrito  ma  ne  ammettiamo  gli  effetti  che  sono  espressi  da  queste  condizioni: Â

-­â€?

-­â€?

đ?‘†đ?‘’  đ?‘€ < 1     đ?‘Ł ↓       đ?‘‡ ↑  đ?‘†đ?‘’  đ?‘€ > 1    đ?‘Ł ↑       đ?‘‡ ↓ Per  calcolare  la  perdita  di  carico  dovuta  alla  dissipazione  energetica  causata  dall’attrito  si  ricorre  ad  una  tabella,  detta  tabella  di  Fanno,  dove  in  funzione  del  numero  di  mach,  oltre  alle  proprietĂ Â di  ristagno,  è  riportato  il  numero  adimensionale:  đ??żâˆ— đ??š! = đ?‘“  đ??ˇ ∗ Qui   "đ??ż "  indica  la  lunghezza  massima  del  condotto  per  cui  đ?‘€ = 1.     Â

Prego  tutti  voi  lettori  di  segnalare  eventuali  errori  all’indirizzo:  marcellomiccio@libero.it  Â

Marcello Miccio

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