Algebra Lineal 1 Valerie Macario 13294
Segmento de recta dirigida que representa desplazamiento desde un punto A al punto B. Sus características principales es que poseen magnitud y dirección. Su notación es cualquier letra minúscula con una pequeña flecha encima o minúscula y negrita:
⃗
O
Las componentes de los vectores siempre irán entre corchetes [ ]. Se le llama componente a las coordenadas que tiene en un plano cartesiano. Su representación gráfica es una flecha que indica la orientación (Imagen 1). Imagen 1. Vectores
Notas importante acerca de los vectores.
Magnitud: ‖⃗ ‖
√
Dirección: expresar en radianes
Vector Posición Estándar Empieza desde el inicio (imagen 1). Imagen 2. Posición estándar
Vector cero o nulo [
]
Vector unitario Vector con magnitud 1, por ejemplo: ⃗ =[
√
√
] entonces ‖ ⃗ ‖=√
=1
Pero si no se tuviera una componente como: ⃗ = [ ,y] entones ‖ ⃗ ‖=√
= 1 se debe despejar para y
Vectores iguales ⃗ = ⃗ ⃗ y son iguales unicamente si sus componentes son iguales, y cuando tienen misma longitud/magnitud/norma y dirección; es decir: [1,3] [3,1].
Vectores paralelos ⃗ ‖ ⃗ ⃗ y son pararelelos si es un múltiplo escalar uno del otro ⃗ = ⃗ =4 ó = ⃗
, es decir:
Vectores octagonales o perpendiculares ⃗ ⊥ ⃗ ⃗ y son octagonales cuando el ángulo entre ellos es de 90°.
Operaciones con vectores
Suma ⃗ + ( + ⃗⃗ ) = ( ⃗ + ) + ⃗⃗ ⃗ + = +⃗ ⃗ + = ⃗ el inverso aditivo es 0 ⃗ + ⃗ c( ⃗ + ) = c + c ⃗ (c + d) ⃗ = c + d ⃗ c(d ⃗ ) = (cd) ⃗ 1⃗ = ⃗
Asociativa Conmutativa Neutro aditivo es el vector cero Inverso aditivo Distributividad Distributividad Escalar por escalar dejando vector El 1 deja igual el vector
Combinación lineal Se dice que es una combinación lienal de los vectores ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ,… ⃗⃗⃗⃗ . Es el hecho de despejar para lo que se pide, por ejemplo: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
Distancia entre vectores Primero se debe hacer la resta entre los vectores, luego se debe calcular la magnitud. ‖⃗ ‖
Proyección El resultado es otro vector. En la imagen 3, cuando tienen la misma dirección que . En la imagen 4, cuando entre ⃗ y , la proyección es opuesta a . La fórmula es
⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
Imagen 3. Proyección de ⃗ sobre
Imagen 4. Proyección de
sobre ⃗
Angulo entre vectores Debe darse siempre en radianes o grados. ⃗ ‖ ⃗ ‖‖ ‖
Producto punto o producto escalar Sean ⃗ = [ , ] y = [ , ] ⃗ [ + , ] # Real + # Real = Escalar
Producto vectorial o producto cruz Solo puede calcularse entre vectores de 3 componentes ( . El resultado es otro vector perpendicular a los dos vectores que se multiplicaron. Función: ⃗
[
] [ ]
[
]
Normalizar un vector Es el proceso mediante el cual se encuentra un vector unitario en la misma dirección de . ⃗
‖ ‖
Rectas y planos
Rectas en Una recta que pasa por el origen tiene intercepto con el eje y igual a 0. Es decir, que en la unión de forma general, C debe ser 0.
= 2da dimensión (x, y) = 3era dimensión (x y, z)
Forma general C tiene que ser 0 para que el intercepto sea 0.
Forma normal ⃗
⃗
⃗ = vector normal = vector correspondiente a un punto fijo conocido sobre la recta. = vector correspondiente a cualquier punto sobre la recta. Forma vectorial
[ ]
[
]
[
]
Forma paramétricos ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Rectas en Se necesitan dos vectores de , a diferencia de Forma general
.
Forma vectorial ⃗ = punto cualquier en el plano = punto fijo conocido sobre el plano ⃗ = vectores de dirección = escalares (llamados también parámetros) Imagen 5. Vectores en 3D.
Forma normal ⃗ [
] [ ]
⃗ [
] [ ]
⃗ = vector normal al plano ( ⃗ ⃗ ) = vector correspondiente a un punto fijo conocido sobre plano. = vector correspondiente a cualquier punto sobre plano. Forma paramétrica ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗