ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﺔ ﻭﺍﻟﻘﻮﺍﻃﻊ ﻗﻀﺎﻳﺎ ﻟﻠﻤﺮﺍﺟﻌﺔ – ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻗﻀﺎﻳﺎ ﻟﻠﻤﺮﺍﺟﻌﺔ : ﻛﻨﺖ ﻗﺪ ﺩﺭﺳﺖ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﺍﻟﻤﺎﺿﻲ ﻣﻮﺍﺿﻴﻊ ﻣﺘﻌﺪﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﻭﻣﻦ ﺍﻟﻤﻨﺎﺳﺐ ﺃﻥ ﻧﺘﺬﻛﺮ ﺑﻌﻀﻬﺎ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺒﺪء ﺑﺪﺭﺍﺳﺔ ﻣﻮﺍﺿﻴﻊ ﺃﻛﺜﺮ ﺗﻘﺪﻣﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻌﺎﻡ: (١ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﻙ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﻴﺮ ﺧﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺿﻤﻦ ﺷﺮﻭﻁ ﻣﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﻗﺪﻣﻨﺎ ﻣﺜﺎﻻ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﻓﻘﻠﻨﺎ ﺃﻧﻪ ) ﻣﺜﻞ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﺰﺟﺎﺝ ﺍﻟﺼﻘﻴﻞ ﺍﻷﻣﻠﺲ ﻓﺈﺫﺍ ﺗﺼﻮﺭﻧﺎ ﺃﻧﻪ ﻳﻤﺘﺪ ﻣﻦ ﺟﻤﻴﻊ ﺟﻬﺎﺗﻪ ﺑﻼ ﺣﺪﻭﺩ ﻳﻘﺪﻡ ﻟﻨﺎ ﻓﻜﺮﺓ ﻭﺍﺿﺤﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ( -ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻥ
ﻙ ﻳﻌﻨﻲ :ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻥ ﺇﺣﺪﻯ ﻧﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﻙ
ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻕ ⊃ ﻙ ﻳﻌﻨﻲ :ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻕ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﻙ ﺃﻭ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻕ ﻳﻘﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﻙ .
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻕ،١ﻕ ٢ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﻳﻦ )ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ( ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﻙ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﺮﻣﻴﺰ:ﻕ ⋂ ١ﻕ 𝛷 = ٢ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻕ // ١ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻕ.٢
ﺃﻱ :ﻳﺘﻮﺍﺯﻯ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺨﺎﻟﻴﺔ.
(٢ﺇﺫﺍ ﺣﺪﺩﺕ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻬﺎ ﻣﺜﻞ ﻝ ١ﻗﻄﻌﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﻄﻮﻝ ﻓﺈﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺗﺤﺪﺩ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻗﺎﻃﻊ ﺁﺧﺮ ﻝ ٢ﻗﻄﻌﺎ ﺃﺧﺮﻯ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻟﻄﻮﻝ ﺃﻱ ﺍﻧﻪ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ ]ﺏ ﺟـ[ =ﻝ] ﺟـ ﺩ[ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻓﺈﻥ ﻝ]ﺏَ ﺟـَ[ =ﻝ ]ﺟـَ ﺩَ[ . ﺏ ﺝ ﺩ
ﺏَ ﺟـَ ﺩَ
ﻛﻤﺎ ﻭﺻﻠﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: (١ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻮﺍﺯﻱ ﺿﻠﻌﺎً ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﻭﻳﻤﺮ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺿﻠﻊ ﺃﺧﺮﻯ ﻳﻤﺮ ﺃﻳﻀﺎً ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ. ١
(٢ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﻳﻮﺍﺯﻱ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ. (٣ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪﻭﺩﺓ ﺑﻤﻨﺘﺼﻔﻲ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻧﺼﻒ ﻃﻮﻝ ﺏ
ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ. ﻫـ
ﻡ
ﺝ
ﺩ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ: ﻳﻠﻌﺐ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺩﻭﺭﺍً ﻣﺤﻮﺭﻳﺎً ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻷﺑﺤﺎﺙ ﺍﻟﻘﺎﺩﻣﺔ ﻟﺬﻟﻚ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻨﺎﺳﺐ ﺃﻥ ﻧﻠﻘﻲ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻀﻮء ﻋﻠﻰ ﻣﻮﺿﻮﻉ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻭﺗﻘﻨﻴﺎﺗﻪ: ﻟﻜﻦ ..ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ؟ ﻟﻺﺟﺎﺑﺔ ﻋﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺃﻥ ﻧﻠﺤﻆ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ: ﺃﻱ ﻛﺴﺮ
ﻧﺴﻤﻴﻪ )ﻧﺴﺒﺔ( ﻣﺜﻞ، ، :
... ، ،
ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻨﺴﺐ )ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ( ﺗﺘﺴﺎﻭﻯ ﺑﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﺇﻥ ﺍﺧﺘﻠﻔﺖ ﺑﺴﻮﻃﻬﺎ ﻭﻣﻘﺎﻣﺎﺗﻬﺎ .. ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻧﺴﻤﻴﻬﺎ ﺗﻨﺎﺳﺐ
ﻣﺜﻞ= ، = :
ﻧﻘﻮﻝ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻧﺴﺒﺘﻴﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﻴﻦ ﺃﻧﻬﻤﺎ )ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺘﺎﻥ( ﺃﻭ ﺃﻧﻬﻤﺎ ﺗﺸﻜﻼﻥ ﺗﻨﺎﺳﺒﺎً ﻭﻧﻜﺘﺒﻬﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ:
=
ﻧﺴﻤﻲ ﺏ ،ﻫـ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ،ﻭﻧﺴﻤﻲ ﺟـ ،ﺩ ﻭﺳﻄﻲ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ.
ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ: (١ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
=
ﻓﺈﻥ ﺏ.ﻫـ = ﺟـ .ﺩ ﻭﺑﺎﻟﻌﻜﺲ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺏ.ﻫـ = ﺟـ .ﺩ ﻓﺈﻥ
ﻧﻌﺒﺮ ﻋﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ: ﻓﻲ ﻛﻞ ﺗﻨﺎﺳﺐ :ﺟﺪﺍء ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ = ﺟﺪﺍء ﺍﻟﻮﺳﻄﻴﻦ ٢
=
ﻣﺜﺎﻝ: (٢ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
= ⟸ ٦ × ٣ = ٩ × ٢ﻭﺑﺎﻟﻌﻜﺲ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ = ⟸ ٢ × ٦ = ٣ × ٤ =
ﻓﺈﻥ:
ﺃﻱ
=
ﻓﻲ ﻛﻞ ﺗﻨﺎﺳﺐ :ﺇﺫﺍ ﺑﺪﻟﻨﺎ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺗﻨﺎﺳﺐ ﺟﺪﻳﺪ ﻣﺜﺎﻝ :ﺑﻤﺎ ﺃﻥ = (٣ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
=
ﻓﺈﻥ
=
ﻓﺈﻥ
ﺃﻱ
=
ﻓﻲ ﻛﻞ ﺗﻨﺎﺳﺐ :ﺇﺫﺍ ﺑﺪﻟﻨﺎ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻮﺳﻄﻴﻦ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﻨﺎﺳﺐ ﺟﺪﻳﺪ ﻣﺜﺎﻝ :ﺑﻤﺎ ﺃﻥ = (٤ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
=
ﻓﺈﻥ
ﻓﺈﻥ = ﺃﻱ
=
ﻓﻲ ﻛﻞ ﺗﻨﺎﺳﺐ :ﺇﺫﺍ ﻗﻠﺒﻨﺎ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺴﺒﺘﻴﻦ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺗﻨﺎﺳﺐ ﺟﺪﻳﺪ ﻣﺜﺎﻝ :ﺑﻤﺎ ﺃﻥ = (٥ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
=
ﻓﺈﻥ =
ﻓﺈﻥ
ﺃﻱ
=
ﻓﻲ ﻛﻞ ﺗﻨﺎﺳﺐ :ﺇﺫﺍ ﺛﺒﺘﻨﺎ ﺍﻟﻤﻘﺎﻣﺎﺕ ﻭﺟﻤﻌﻨﺎ )ﺃﻭ ﻃﺮﺣﻨﺎ( ﺍﻟﻤﻘﺎﻣﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺒﺴﻮﻁ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺗﻨﺎﺳﺐ ﺟﺪﻳﺪ ﻣﺜﺎﻝ :ﺑﻤﺎ ﺃﻥ = ﻓﺈﻥ
=
ﻭﻛﺬﻟﻚ = :ﻓﺈﻥ
=
(٦ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
=
ﻓﺈﻥ
=
=
⟸ =
⟸ =
:ﺟـ +ﻫـ ≠ ٠
ﺃﻱ
ﻓﻲ ﻛﻞ ﺗﻨﺎﺳﺐ :ﺇﺫﺍ ﺟﻤﻌﻨﺎ ﺍﻟﺒﺴﻄﻴﻦ ﺇﻟﻰ ﺑﻌﻀﻬﻤﺎ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻣﻴﻦ ﺇﻟﻰ ﺑﻌﻀﻬﻤﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﺴﺒﺔ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺍﻷﺻﻠﻲ ،ﺑﺸﺮﻁ ﺃﻻ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﻤﻘﺎﻣﻴﻦ ﺻﻔﺮﺍً.
٣
ﺃﻭ ﺑﻌﺒﺎﺭﺓ ﺃﺧﺮﻯ :ﺇﻥ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﺒﺴﻮﻁ ﺇﻟﻰ ﺑﻌﻀﻬﺎ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻣﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﺑﻌﻀﻬﺎ ﻻ ﻳﻐﻴﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻣﺜﺎﻝ :ﺑﻤﺎ ﺃﻥ =
=
⟸
=
=
ﻣﻼﺣﻈﺔ :ﺍﺷﺘﺮﻃﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﺍﻷﺧﻴﺮﺓ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺟـ +ﻫـ
≠ ٠ﻭﺫﻟﻚ ﻷﻧﻪ ﻟﻮ ﻛﺎﻥ
ﺟـ+ﻫـ= ٠ﻷﺻﺒﺢ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻭﻫﺬﺍ ﺧﻄﺄ ﻷﻧﻪ ﻻ ﻳﺠﻮﺯ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻛﺴﺮ ﻣﻘﺎﻣﻪ ﺻﻔﺮ. ﺗﺪﺭﻳﺐ: (١ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺘﻘﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﺘﻄﺒﻴﻘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ (٢ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
=
=
.
= = ٩ﻓﺎﺣﺴﺐ ﺏ ،ﺟـ ،ﺩ .
ﺍﻟﺤﻞ: = (١ .١ﺟﺪﺍء ﺍﻟﻮﺳﻄﻴﻦ = ﺟﺪﺍء ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ ⟸ ٣٠ = ٣٠ ⟸ ٦ × ٥ = ٧.٥ × ٤ .٢ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ= :
.٣ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺍﻟﻮﺳﻄﻴﻦ: .٤ﻗﻠﺐ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ= :
=
⟸ =
=
⟸ ⟸
=
.٥ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﻣﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺒﺴﻮﻁ= :
⟸
=
⟸ =
ﻃﺮﺡ ﺍﻟﻤﻘﺎﻣﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﺴﻮﻁ= :
⟸
=
⟸ =
٤
.٦ﺟﻤﻊ ﺍﻟﺒﺴﻮﻁ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻣﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﺑﻌﻀﻬﺎ= : (٢
= =٩
=
=
=
ﻭﻣﻨﻪ
= ⟸ ٩ﺏ = ١٨ = ٩ × ٢ = ⟸ ٩ﺟـ = ٢٧ = ٩ × ٣ = ⟸ ٩ﺩ = ٣٦ = ٩ × ٤
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ﺇﺿﺎﻓﺔ: =
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ
ﻳﻨﺘﺞ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﺘﻘﻨﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﻣﺴﺔ ﻣﻦ ﺗﻘﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ)ﺟﻤﻊ ﺃﻭ ﻃﺮﺡ ﺍﻟﺒﺴﻮﻁ (:
=
ﺍﻵﻥ ﺇﺫﺍ ﻃﺒﻘﻨﺎ ﺍﻟﺘﻘﻨﻴﺔ ﺍﻟﺮﺍﺑﻌﺔ )ﻗﻠﺐ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ( ﻳﻨﺘﺞ ﻟﺪﻳﻨﺎ:
=
ﻭﺑﺬﻟﻚ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺘﻘﻨﻴﺔ ﺍﻹﺿﺎﻓﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
ﻓﻲ ﻛﻞ ﺗﻨﺎﺳﺐ :ﺇﺫﺍ ﺛﺒﺘﻨﺎ ﺍﻟﺒﺴﻮﻁ ﻭﺟﻤﻌﻨﺎ )ﺃﻭ ﻃﺮﺣﻨﺎ( ﺍﻟﺒﺴﻮﻁ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻣﺎﺕ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺗﻨﺎﺳﺐ ﺟﺪﻳﺪ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ﺍﻧﺘﻬﻰ ﺍﻟﺪﺭﺱ
٥