DERIVADAS Calcula las derivadas:
Da d a l a cu rv a d e ec u ac i ó n f(x ) = 2x 2 − 3x − 1, h all a l a ec u ac i ó n d e l a rec ta tan g en te, en el pu n to d e abs c is a 2, a di c h a c u rv a.
C a lc u l ar l a d eri v ad a en el pu n to q u e s e in d i c a, ap l ic an d o l a d efi n ic i ó n d e d eri v ad a: en x = −5.
LÍMITES
La sucesión tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.
D ad a l a s u c e s i ó n d e . A v e r ig u a l o s té r m i n o s c u y a distancia al límite es menor que 0.01. Calcular los límites:
1
2
3
4 Calcula los siguientes límites.
1
2
3
4 ESTUDIAR Y REPRESENTAR FUNCIONES
f(x) = 3x – x3
f(x) = x4 – 2x2 – 8
f(x) = ___x3___ (x – 1)2
f(x) = __x4 + 1__ x2
f(x) = __x2__ 2–x
f(x) = ___x___ 1 + x2
VECTORES Y ECUACIONES DE LA RECTA
Calcula el área de un triángulo isósceles, sabiendo que los vértices que determinan el lado desigual son A(0,4) y B(0,-2) y el otro es C(4,1).
Estudia la posición relativa de las rectas: x – 5y + 3 = 0 // _x_ = _y – 6_ 2 4 Dados los vectores u = (-1,2)y v = (3, x), determine “x” para que: a) sean paralelos b) sean perpendiculares. Dada la recta de ecuación: a) b) c) d)
_x – 3_ = -1
_y + 1_, se pide: 2
Un punto y su vector de dirección. Su ecuación general. Su ecuación explícita. Su pendiente y su ordenada en el origen.
E s c r i b e d e t o d a s l a s f o r m a s p o s i b le s l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a q u e p a s a p o r lo s p u n t o s A ( 1 , 2 ) y B ( - 2 , 5 ) . De
un
paralelogramo
ABCD
conocemos
A(1,
C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.
3),
B(5,
1),
C l a s i f i c a r e l t r i á n g u l o d e te r m i n a d o p o r l o s p u n to s : A ( 6 , 0 ) , B(3,0) y C(6, 3). H a l l a r l a p e n d ie n t e y l a o r d e n a d a e n e l o r i g e n d e l a r e c t a 3 x + 2y - 7 = 0. H a l l a r l a e cu a c i ó n d e l a r e c t a r , q u e p a s a p o r A ( 1 , 5 ) , y e s paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (-2, 2). La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es p a r a l e l a a l a r e c t a s ≡ m x + 2 y - 1 3 = 0 . Ca l c u l a m y n . Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2. Hallar la ecuación canónica y general de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4).
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
Demuestra la fórmula fundamental de trigonometría
Sabiendo que sec α = _5_, calcula el resto de las razones trigonométricas. 3
Calcula el valor en radianes del ángulode 22º 30'
En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 2 y el ángulo opuesto a él es de 30º. Calcula la hipotenusa.
¿Cuánto miden los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 m y uno de sus catetos 5 m?
Desde una orilla de un río se ve la copa de un árbol que está enfrente en la orilla opuesta bajo un ángulo de 45º . Si nos alejamos 10 m de la orilla del río la copa del árbol se ve bajo un ángulo de 30º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río. Resuelve los triángulos rectángulos cuyos datos son: 1. 2. 3. 4. 5.
B a c A
b
b=7cm a=25cm b=18cm c=12’7cm a=35cm
c=18cm b=7cm B=40º B=65º C=36º
C
Halla las razones trigonométricas de los ángulos B y C de un triángulo rectángulo, cuyo ángulo recto es A, en los casos siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.
b=3, c=4 a=13, b=5 a=25, c=24 a=10, b=6 b=8, c=15
6. c=24, b=7 7. a=25, b=7 8. b=9, c=12 9. b=12, c=16 10. a=30, c=24
Si senα = 0'28 , α < 90º , Calcula cos α y tgα utilizando las relaciones fundamentales. Calcula el valor de tgα y senα sabiendo que cos α = 2 3 y α < 90º . Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100m, que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura del globo. Las puntas de las ramas de un compás distan 7cm y cada rama mide 12cm. Halla el ángulo que forman las ramas del compás.
Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75m hacia el pie de la torre, ese ángulo mide 60º. Halla la altura de la torre. Dos edificios distan entre sí 150m. Desde un punto del suelo que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal ángulos de 35º y 20º. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo? Halla el área de un octógono regular de 12cm de lado. Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32º con la horizontal. Si me acerco 15m, el ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura de la torre? Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º, y si se retrocede 40m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y la anchura del río. Una escalera de bomberos de 10m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Halla la anchura de la calle. ¿A que altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas? Dos personas A y B observan un globo que está situado en un plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre las personas es de 4km. Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son 46º y 52º respectivamente. Halla la altura del globo y su distancia a cada observador. Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17º. Aproximándose 25,9m hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31º. Calcula la altura del árbol. Pedro quiere subir hasta el borde de una tapia, para ello ha cogido una escalera, pero no le sirve pues tiene la misma altura que la tapia. Como es muy ingenioso ha cogido un cajón de 20cm de alto y lo ha colocado a 1m de distancia de la tapia. Si al poner sobre el cajón la escalera ésta llega al borde de la tapia, ¿Qué altura tiene la tapia? Desde cierto lugar del suelo se ve el punto más alto de una torre, formando la visual un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75m hacia el pie de la torre, ese ángulo se hace de 60º. Calcula la altura de la torre. Calcula la altura de una torre situada en un terreno horizontal, sabiendo que con un aparato de 1,20m de altura, colocado a 20m de ella, se ha medido el ángulo que forma con la horizontal la visual dirigida al punto más elevado y se ha obtenido que mide 48º 30´
Halla la altura de un poste, sabiendo que desde cierto punto del suelo se ve bajo un ángulo de 14º, y si nos acercamos 20m al pie del poste lo vemos bajo un ángulo de 18º. Usando las relaciones fundamentales demuestra: a) ( senα + cos α ) 2 + ( senα − cos α ) 2 = 2 senα ·( cos α senα 1 2 c) 1 + ( tgα ) = ( cos α ) 2 b)
( senα ) 3 +
)2
=1
Sabiendo que el radio lunar es 1738 km, calcula la distancia de la Tierra a la Luna.
Si tgα =
5 calcula cos α y senα ( α < 90º )
Se desea construir un puente sobre un río, que mida 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20º. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce se situará el comienzo de la rampa?
Calcula la
altura de la torre:
Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17 m de largo.
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS A) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
1) 4 y + 1 − 3.4 y − 1 = 0 2) 4 x + 1 = 2 x + 3 3) 3 x + 1 +
18 = 29 3x
4) 9 x + 1 − 3 x = 6534 5) 2 x + 2 x − 1 + 2 x − 2 + 2 x − 3 = 60 6) 4 x + 2 x + 3 = 48 7) 2 x + 4 x = 72 8) 25 2 x − 65.5 2 x − 1 = − 36 9) 2 2 x − 2 x + 2 = 0 10) 3 2 x − 8.3 x + 6 = 0 11) log ( x 2 − 15 x) = 3 12) log (2 x − 1) − log x − log (2 x + 2) = 0 13) log 5 x + log
x =1 2
14) log ( x 2 − 2 x − 3) − log ( x − 3) − log ( x + 1) + log ( x + 3) = 0 15) log 2 ( x + 5) + log 2
x− 4 + log 2 ( x − 1) = 0 x+ 5
16) 2 log x = 16 17) 9 log 2 x + 1 = 10 log x 18) log 2 x − 4 = 0 19) log 32 x + 4 log 3 x + 3 = 0
20) log
4 x+ 1 = 0 2 x+ 3
B) Resolver los siguientes sistemas. log( x + 2 y ) = 1 1) log( x − y ) = 0
4 x = 16 y 2) x + 1 2 = 4 y 7 log x + log y 2 = 5 3) 3 log x + log y = 2
SEMEJANZA-TRIGONOMETRIA. En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?
Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.
Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo.
Calcula sen α y cos α de un ángulo agudo, α , sabiendo que la tg α =
4 . 3
Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70°. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que hay entre la rampa y el suelo. Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50°; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35°. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago.
Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa:
LOGARITMOS
1. Calcula mentalmente: a) log 3 = 3
(
b) log 3 = 3
)
c) log 3 3 = 3
d) log 3 3 = 3
2. Resuelve: a) 2x·5x = 0,1
b) 2x·3x = 81
c) (0,5)x = 64
d) 3log2x = 2
e) 2log3 +
g) 3x·5x = 23
h) (0,5)x = 32
i) 5log2x = 4
j) 5log2 +
l) 3x·2x = 73
m) (0,5)x = 16
n) 4log3x = 5
ñ) 3log5 +
3logx = 1 f) 2x·5x = 0,01 2logx = 2 k) 2x·5x = 0,001 5logx = 4
3. Si log t = 2,1 calcula: calcula:
4. Si log t = 4,3 calcula:
100t a) log = 3 1 b) log 3 = t
10t a) log = 9 1 b) log 4 = t
c) log 10t =
c) log 100t =
4
5
5. Si log t = 1,8,
1000t a) log = 3 1 b) log 5 = t c) log 4 10t 2 =
6. Calcula, utilizando las propiedades de los logaritmos:
a) log 4 50 − 3log 4 3 + 5log 4 3
b) log 3 20 − 2log 3 2 + 4log3 2
c) log 2 30 − 3log 2 5 + 2log 2 5
d) log5 40 − 3log 5 7 + 6log 5 3
7. Expresa en un solo logaritmo: 2 a) 2log a 3 − logb - 5log c 5
b) 5log a 2 −
3 2
logb +
logc 4
c)
3
log a 6 2
+
5 3
loga − 1 − 6log5 a
8. Desarrolla en función de log2, log3 y log5:
2 3 ·5 − 1 a) log 73
2 5 ·5 − 3 b) log 53
3 c) 2log 2 2 3 ·5 3
34 d) 3log 24 2 · 5
( )
9. Resuelve: a) 6 e) 4 i) 5
x
= 7
b) 6
x
= 5
f) 4
x
= 6
j) 5
2x
= 7
c) 6
2x
= 5
g) 4
2x
= 6
k) 5
2x
6= 7
2x 3 4 = 5 2x
2= 6
d) 3log3
2
+ 2logx
3
= 5
h) 5log5 x − 2log 5 3 = 3 l) 2log
2
x
3
− 5log 2 3
2
= log 3 2
10. Razona, si para cualquier valor de a positivo distinto de 1, es verdadero o falso: log a)
1 − log a 3 a = 4 loga 2
log a + log b)
INECUACIONES (4x + 2)(4x + 9) (4x + 6)2
7x(2x +5) - 5x(2x + 3) < (2x + 4)2
loga 4
1 a = 1 8
1 log3 a + log a = − 2 c) 3 9 loga
TRABAJO DE VERANO 2010 MATEMÁTICAS 4º ESO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS DEL GRUPO EDUCATIVO CASTRO-SAN MIGUEL
OBSERVACIONES: 1. El trabajo se realizará en folios – todos los ejercicios llevarán copiado el enunciado de la pregunta - y se presentará en una carpeta, con una portada en la que se indicará: nombre, apellidos, curso y asignatura. 2. Para los enunciados y respuestas se utilizará un bolígrafo azul o negro. (Nota: cuidar la presentación) 3. Numerar los ejercicios. 4. El trabajo de verano se presentará el día del examen, en septiembre. 5. Utilizar el libro y la libreta del curso para preparar el examen de septiembre.
En Septiembre habrá una prueba extraordinaria alumnos con calificación negativa en Junio.
para los
*Se puntuará de la siguiente manera: 8 0% la prueba escrita y el 2 0% los trabajos realizados durante el verano.
En el caso de no presentar los trabajos de verano, la calificación será: INSUFICIENTE La presentación de la libreta del curso – con todos los ejercicios – es condición necesaria para poder aprobar la asignatura. EN LOS BLOGS DE LOS DEPARTAMENTOS DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA-QUÍMICA HAY ENLACES PARA REPASAR LA ASIGNATURA TEMA A TEMA, CON EJERCICIOS RESUELTOS. http://fisicaquimicacastrosanmiguel.blogspot.com/ http://matematicascastrosanmiguel.blogspot.com/ EMAIL: cienciassm2@yahoo.es