Notas enmecanica de fluidos by Manuel Garcia

Notas de Clase del Curso Mec´anica de Fluidos

Manuel J. Garc´ıa Departmento de Ingenier´ıa Mec´anica, EAFIT University. Cr 49 No. 7 sur 50. Medell´ın, Colombia. 2 de octubre de 2009 VERSION=0.36 DATE=24Sep09

Índice general 1. Propiedades de los Fluidos 1.1. Evoluci´ on de la Mec´ anica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . 1.2. S´ olido vs l´ıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Presi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Presi´ on de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Dimensiones y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.0.1. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. Flujo entre dos cilindros concéntricos (Viscos´ımetro) 1.10.2. Tipos de fluidos de acuerdo a la viscosidad . . . . . 1.11. Compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.0.1. M´ odulo de elásticidad volumétrico . . . . . 1.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13.0.2. Problemas recomendados cap´ıtulo 1 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 6 6 7 9 9 10 10 12 12

2. Est´ atica de Fluidos 2.1. Presi´ on en un punto . . . . . . . . . . . 2.2. Variaci´ on de la presi´ on . . . . . . . . . . 2.3. Man´ ometros . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Presi´ on sobre cuerpos sumergidos . . . . 2.5. Caras inclinadas . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Punto de aplicaci´ on de la fuerza 2.5.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Ejemplo2 . . . . . . . . . . . . . 2.6. Fuerzas en superficies curvas . . . . . . 2.6.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

13 13 14 16 17 18 18 19 20 21 23 23 24

iii

. . . . . . . . . . . .

´ INDICE GENERAL

2.6.2. Ejercicio . . . . 2.7. Flotaci´ on: Principio de 2.8. Cuerpos sumergidos . 2.8.1. Problema . . . 2.8.2. Ejemplo . . . .

. . . . . . . Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

25 25 27 27 28

3. Sistemas y volumenes de Control 3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Flujo Volumetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Teorema de transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Variables (Propiedades) Extensivas E e Intensivas i : 3.3.2. Flujo de una propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Variaci´on de E para un sistema . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Aplicaci´on del Teorema de Transporte de Reynolds .

. . . . . . . .

29 29 31 31 32 32 33 34 35

4. Flujo de Fluidos Ideales Incompresibles 4.1. Fluidos ideales . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Flujo Ideal: . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Ecuación de Euler: . . . . . . . . 4.1.3. Flujo Uniforme (rectil´ıneo) . . . 4.1.4. Reducción en una tuber´ıa . . . . 4.1.5. Ecuación de Torricelli . . . . . . 4.1.5.1. Presión en el Chorro . . 4.1.5.2. Ejemplo (5.8) . . . . . . 4.2. Ecuacion de Trabajo y Energia . . . . . 4.2.1. Principio de Trabajo / Energia: . 4.2.1.1. Energia . . . . . . . . . 4.2.1.2. Trabajo . . . . . . . . . 4.2.1.3. Ejemplo . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

37 37 37 37 39 40 41 42 43 44 45 45 46 48

. . . . . . . . . . . . .

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5. Flujo en dos y tres dimensiones 51 5.1. Ecuaci´ on de Continuidad (Forma diferencial) . . . . . . . . . . . 51 5.2. Ecuaciones de Euler en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3. Ecuaci´ on de Bernulli en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.5. Ecuaci´ on de Bernulli en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.6. Interpretaci´ on Ecuación de Bernulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.6.1. Lineas de Corriente (Flujo Permanente) . . . . . . . . . . 58 5.6.2. Aplicación (Flujo Irrotacional) . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.7. Efecto de la Curvatura de las Presiones . . . . . . . . . . . . . . 59 5.8. Efecto de la Curvatura en la Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.8.1. Ejemplo Aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.9. Identificaci´ on de los puntos de Estancamiento para Interpretación de Flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.9.1. Ejemplos Aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

´ INDICE GENERAL 5.10. Vena Contracta . . . . . 5.11. Funci´ on de Corriente . . 5.12. Potencial de velocidad . 5.13. ECUACIONES DE LOS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FLUIDOS .

. . . .

68 68 70 71

6. Principio de Conservaci´ on del Momentum 6.1. Momentun lineal . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Conservaci´ on del momentum angular . . . . 6.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Prob 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Problema 6.19 . . . . . . . . . . . . 6.3. Fuerza de Propulsi´ on . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Propelers (H´elices) . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

73 73 77 78 79 80 81 83 84 86

7. Ecuaciones de Navier-Stokes 7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Tipos de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1.1. Fuerzas consideradas en fluidos . . 7.1.2. Estado general de Esfuerzos . . . . . . . . . 7.2. Fuerzas sobre un elemento de un Fluido . . . . . . 7.2.1. Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1.1. Suma de Fuerzas sobre el volumen 7.2.1.2. Fuerzas en “x” . . . . . . . . . . . 7.2.1.3. Fuerzas en “z” . . . . . . . . . . . 7.2.2. Cambio de momentum . . . . . . . . . . . . 7.3. Hipotesis de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Forma compacta: . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1.1. Operadores vectoriales . . . . . . . 7.3.1.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1.3. Divergencia . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

87 87 87 87 88 89 89 89 90 90 91 93 94 94 94 94

8. An´ alisis Dimensional 8.0.2. Dimensiones B´ asicas . . . . . . . 8.0.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1. An´ alisis de semejanza . . . . . . 8.1.2. Ejemplo: Cope´ opod . . . . . . . 8.2. Principio de Homogeneidad Dimensional 8.2.1. Clases de variables y constantes 8.3. M´etodo del Producto de Potencias . . . 8.4. Teorema Π de Buckingham . . . . . . . 8.4.1. Procedimiento . . . . . . . . . . 8.4.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . 8.4.1.2. Ejemplo . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

97 97 97 99 100 100 101 102 103 105 105 105 107

. . . . . . . . . . . .

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´ INDICE GENERAL

8.5. Modelaci´ on . . . 8.5.1. Semejanza 8.5.2. Semejanza 8.5.3. Semejanza

. . . . . . . Geométrica Cinemática Dinámica .

. . . .

108 109 109 110

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Introducci´ on Este documento es realizado con un doble propósito en mente. El primero servir de practica a los estudiantes del grupo de investigación en el manejo de LATEX como procesador de documentos. El segundo, y más duradero, servir como gu´ıa a los estudiantes del curso IM041 Mecánica de Fluidos. Este documento ha sido elaborado como material did´ actico de apoyo a tal curso. Estas notas son de libre distribución con propósitos educativos siempre y cuando sea con ´ animos no lucrativos y se conserve el derecho de autor. Estas condiciones pueden sin embargo cambiar en el futuro. Agradecimiento a los estudiantes Gloria P. Correa, Santiago Mejia, Sebastian Parra, Mario Gomez, Ronald Martinod, Andres Franco, Esteban Quiroz, Leidy Suarez y Jorge Alvarez quienes disfrutaron con la digitación del documento en LATEX durante el curso de LATEX realizado en la Universidad EAFIT, Junio 11 - 14 de 2002 Manuel Garc´ıa, 2002-2003.

vii

Cap´ıtulo 1

Propiedades de los Fluidos 1.1.

Evoluci´ on de la Mec´ anica de Fluidos

La siguiente tabla es una sipnosis de la historia de la mecánica de Fluidos. A˜ no Quien Desarrollo Imperio Romano Acueducto 287-212 Arqu´ımedes Flotación, Principio de Arqu´ımedes 1425-1519 Leonardo da Vinci Primer canal cerrado (Milán). Vuelo de Aves Galileo, Torricelli, Mariotte, Pas- Desarrollo Teórico y Experimental cal, Pitot, Bernoulli, Euler 1744 d’Alembert ‘La teor´ıa de fluidos debe necesariamente estar basada en experimentos’. La Paradoja de Alembert “NO hay resistencia al movimiento en flujos ideales”. Discrepancia entre la teor´ıa y la experimentación. 1850 Navier & Stokes Modifican las ecuaciones de flujo ideal para incluir los efectos viscosos. Explican la diferencia entre la teor´ıa y la experimentación. Helmboltz, Kirchoff Desarrollan modelos teóricos y experimentales de vórtices los cuales concuerdan. 1890Reynolds Desarrolla modelos teóricos y experimentales. Rayleigh Análisis dimensional Frode Modelos teóricos experimentales

1.2 S´ olido vs l´ıquido

1904 1900-

1.2.

Lanchester, Lilienthasl, Kutta, Joukowsky, Betz, Prandtl Prandtl

Aeron´autica Boundary Layer Mejora de los m´etodos racionales y uso de computadores

S´ olido vs l´ıquido

Un s´ olido se deforma bajo la acción de una carga y vuelve a su posición inicial cuando se libera la carga. Un fluido se deforma bajo la acción de cargas m´ınimas y sus part´ıculas fluirán bajo la acci´ on de estas. Las part´ıculas cambian de posición unas respecto a otras. Existe sin embargo una fuerza de cohesión de las part´ıculas que las mantienes unidas. Para un gas la fuerza de cohesión es nula y el volumen depende del recipiente que las contiene.

111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111

111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 Solid

Liquido

Gas Fluidos

Figura 1.1: Forma adoptada en diferentes estados de la materia

1.3.

Esfuerzo

Esfuerzo es la medida de las fuerzas internas de un objeto. Considere una superficie como en la figura 1.5. La fuerza ejercida por la Fuerza F sobre la superficie tiene dos componentes. Una normal Fn y una tangencial Ft . El esfuerzo sobre esta superficie se define entonces como la fuerza por unidad de ´area en el l´ımite cuando el ´ area tiende a cero ∆F n ∆A→0 ∆A

σ = l´ım

∆Ft ∆A→0 ∆A

τ = l´ım

El estado general de esfuerzos normalmente se representa sobre un elemento cubico diferencial para el cual se definen esfuerzos normales y tangenciales sobre cada una de sus caras. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

1.4 Densidad

∆F n

∆F

∆F t

∆A

Figura 1.2: Concepto de esfuerzo

1.4.

Densidad

Si ∆∀ es un delta de volumen alrededor de un punto perteneciente a un objeto, entonces la densidad en ese punto se define como ρ = l´ım

∆∀→0

∆m . ∆∀

Se supone que los gases como los l´ıquidos est´an distribuidos uniformemente. ∆∀ no puede ser completamente cero porque a nivel molecular las part´ıculas no est´ an distribuidas uniformemente. Ver figura 1.3 ρ

∆V

Figura 1.3: Densidad versus Cambio en el volumen

El Peso espec´ıfico se define como el peso por unidad de volumen: γ = ρg

1.5.

Presi´ on

La presi´ on sobre una superficie se define como la fuerza normal ejercida sobre esta superficie por unidad de ´ area. Ver figura 1.5. p = l´ım

∆A→0

∆Fn ∆A

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1.6 Presi´ on de vapor

donde Fn es la fuerza normal a la superficie. Unidades: kg N F [F ] = 2 = Pa = 2 → [A| L m/s2 m2 m

(Pascales)

O en sistema estadounidense (US customary system) lb/ft2 = PSI (Pound Square Inch) La presi´ on manométrica se define como la presión medida con respecto a la presi´ on atmosferica. Una presión manometrica positiva significa que es mayor que la presi´ on atmosferica y una presión manometrica negativa significa que es inferior que la presion atmosferica. La figura 1.4 ilustra este significado. A

Presion manometrica

Atmosfera estandar

Presion manometrica de vacio (negativa)

101.3 KPa

P=0

absoluta

Figura 1.4: Presi´on

1.6.

Presi´ on de vapor

La presi´ on de vapor a la cual algunas part´ıculas l´ıquidas escapan de la superficie en forma de vapor. Si el l´ıquido está contenido algunas part´ıculas se evaporan y otras se condensan creándose un equilibrio. Por ejemplo para el agua a 20◦ C la P.V = 0.02 veces la presión atmosférica.

1.7.

Temperatura

Medida interna de la energ´ıa cin´etica de las part´ıculas. Las dos escalas m´as populares son la Celcius y la Faranheit y se relacionan de la siguiente manera: 100◦ C = 212◦ F 0◦ C = 32◦ F Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

1.8 Dimensiones y unidades

111111111111111 000000000000000 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111

Figura 1.5: Presion de vapor

Lo cual nos lleva a la siguiente relaci´on ◦

C = 32 +

212 − 32 ◦ F 100

Adicionalmente en escalas absolutas tenemos: ◦

K = ◦ C + 273

◦

1.8.

R = ◦ F + 459

(1.1) (1.2)

Dimensiones y unidades

La 2a ley de Newton dimensionalmente se escribe: F = ma [F ] = [m][a] =

ML T2

Donde M es la dimensi´ on de la masa, L la dimensi´on de longitud y T es la dimensi´ on de tiempo. Las dimensiones fundamentales son: L,M,T,F y tienen las siguientes unidades en Sistema Internacional (SI): m, gr, seg. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

1.9 Gas ideal

1.8.1.

Ejemplo:

Expresi´ on dimensionalmente homog´enea: m ˙ 2 v2 − m ˙ 1 v1 ML T T

1.9. son

= ρ2 Q2 v 2 − ρ1 Q1 v 1 M L3 L = L3 T T

Gas ideal

Las Condiciones para asumir que un gas puede ser modelado como gas ideal ( Temperaturas no muy bajas Gas ideal Presi´on no muy alta

En un gas ideal se cumple: p = ρRT De donde, p es la presion ρ es la densidad, T la temperatura y R es la constante del gas y se define en terminos de la constante universal de los gases Ru como R=

Ru M

con M la Masa molar del gas. 1.9.0.1.

Ejemplo:

Se tiene un tanque con un volumen de 0.2 m3 , con 0.5 Kg de Nitr´ogeno (masa molar 28 kg/kg-mol), a una temperatura de 20◦ C. Calcular la presi´on. Respuesta: p

ρRT 0,5kg 8,314kJ = × (273 + 20)K 0,2m3 28kg.K = 218KPa(Absoluta)

donde se uso Ru = 8.314 kg/kg-mol.K

1.10.

Viscosidad

Principales caracter´ısticas de la viscosidad: “Pegajosidad” Controla la cantidad de fluido que se transporta por una tuber´ıa Ligada a la deformaci´on del fluido. Para un esfuerzo dado un fluido viscoso se deforma m´ as lentamente que uno menos viscoso. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

1.10 Viscosidad

La viscosidad hace que el fluido se adhiera a la superficie.

Viscosidad

Figura 1.6: Viscosidad en liquidos y fluidos

u(y)

Figura 1.7: Perfil de velocidades

Sup´ ongase un flujo con perfil de velocidad como el que se muestra en la figura 1.7. u(y) es la velocidad en funci´on de la ordenada (“y”) y el esfuerzo cortante est´ a dado por: du τ =µ dy donde

du representa la raz´ on de deformaci´on. La viscosidad tiene unidades dy [τ ] =

1.10.1.

N m = [µ] m2 sm

→

[µ] =

Ns m2

Flujo entre dos cilindros conc´ entricos (Viscos´ımetro)

Se tiene un tubo con φ1 = 20 cm y φ2 = 20.2 cm al cual se le aplica un torque T = 0.13 N con una velocidad angular de 400 rpm. Se pide hallar la viscosidad. Respuesta La fuerza

sobre la superficie del cilindro esta dada por los esfuerzos viscosos τ = µ du

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1.10 Viscosidad

30 cm Figura 1.8: Viscos´ımetro

El gradiente de velocidad puede ser aproximado a un gradiente lineal en casos donde h << R : du wR = dr h

R WR

r+h

Figura 1.9: Viscos´ımetro, perfil de velocidades

T orque

= F × brazo = τ A × brazo = τ (2πRL) × brazo

= µ

(2πRL) × R dr wR = µ (2πRL) × R h 2µwR3 πL = h

despejando para µ µ=

T h 2wR3 πL

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1.11 Compresibilidad

reemplazando los siguientes valores 2π 60 h = (0,202 − 0,200)/2

w = 400

T = 0,13 R = 0,20/2

tenemos µ = 0,00165

1.10.2.

Ns m2

Tipos de fluidos de acuerdo a la viscosidad τ Fluido ideal

Dilatante Fluidos newtonianos

Pseudoplastico du/dy

Figura 1.10: Comportamiento de diferentes tipos de fluidos

Dilatante Arenas movedizas, lodos Pseudopl´ asticos Menos resistentes al movimiento Pl´ asticos ideales Requieren un esfuerzo m´ınimo para comenzar a fluir

1.11.

Compresibilidad

Existen flujos compresibles e incompresibles, la diferencia radica en que los flujos compresibles var´ıa su densidad con la presi´on. l´ıquidos → incompresibles → no cierto completamente, cambio en la densidad → cambio de presi´ on → ondas. Gas o vapor de alta velocidad (del orden de la velocidad del sonido 300 m/s). Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

1.12 Ejercicios

1.11.0.1.

M´ odulo de el´ asticidad volum´ etrico

dρ dρ 1 Eν = −ν dν = −∀ d∀ = ρ dP ıfico. dρ Donde ν = ρ volumen espec´ An´ alogo para el módulo de elásticidad para sólidos:

Eν = −ν

∆P ∆ν

Eν para el agua es 2100 MPa, 21000 la presión atmosférica. Para cambiar un 1 % la densidad del agua se requiere una presión de 21 MPa (210 atm)

1.12.

Ejercicios

Determine las unidades de c,K y f(t) en: 2

m ddt2y + c dy dt + Ky = f (t) kg, m, s. Exprese las dimensiones usando FLT. 1. Densidad 2. Potencia 3. Flujo m´ asico 4. Presi´ on 5. Energ´ıa 6. Caudal Dimensiones de las constantes: d = 4.9t2 distancia, t tiempo F = 9.8m m masa 1/2

Q = 80AR2/3 So

A ´area, R radio, So pendiente, Q flujo

Presi´ on manométrica de 52.3 KPa. Presión absoluta si: 1. Nivel del mar 2. 1000m 3. 30000m 4. 5000m 5. 10000m Se mide un vac´ıo de 31 KPa en un flujo de aire. Calcule la presión absoluta en: Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

1.12 Ejercicios 1. 2. 3. 4. 5.

kpa mmHg PSI ft H2 O inHg

La fuerza sobre un ´ area de 0.2 cm2 se debe a una presión de 120 kPa y a un esfuerzo cortante de 20Pa. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza. Cacule la densidad y el peso espec´ıfico del agua si 0.2 slug ocupan 180 in3 . El peso espec´ıfico del mercurio SHg = 13.6 -0.0024T, con T en ◦ C. Si se asume 13.6 a 50◦ C calcule el error. El peso espec´ıfico de un l´ıquido es 12400 N/m3 ¿Qué masa de l´ıquido est´ a contenida en un volumen de 500 cm3 ?. Use: 1. 2. 3. 4.

Valor Valor Valor Valor

est´ andar de la gravedad 9.80665 m/s2 m´ınimo 9.77 m/s2 m´ aximo 9.83 m/s2 nominal 9.81 m/s2 → 32.2 ft/s2

Se tiene una distribuci´ on de velocidades para dos cilindros conc´entricos giratorios de 0.2m de largo u(r) = 0,4 ametros de r − 1000r m/s. Si los di´ los cilindros son 2cm y 4cm, calcule la viscosidad del fluido si el momento de torsi´ on medido es 0.026 N.m. Una banda de 60 cm de ancho se mueve como en la figura. Calcule la potencia requerida en HP suponiendo un perfil de velocidad lineal en el agua a 10◦ C.

10 m/s

2 mm

Figura 1.11: Banda del problema

La distribuci´ on de velocidad en un tubo de 1.0 cm de di´ametro est´a dada 2 por u(r) = 16( 1−r m/s donde ro es el radio del tubo. Calcule el esfuerzo r02 ) cortante en la l´ınea central a r = 0.25 cm y en la pared del liquido si fluye agua a 20◦ C. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

1.13 Preguntas Calcule la densidad y el peso espec´ıfico relativo del aire en condiciones est´ andar (15◦ C 101.3KPa) Un tanque de 5m3 con aire tiene una presión absoluta de 5 Mpa. Calcule la densidad y la masa del aire cuando la temperatura alcanza los 8◦ C. Peso del aire contenido en un aula de 10x20x4 m. Neum´ atico de un automóvil 35 psi en Michigan con temperatura de -10◦ F → arizona T = 150◦ F. Presión máxima del neumático.

1.13.

Preguntas

- Grafique la relaci´on σ VS

du dy

Para:

1. Flujo Newtoniano 2. B. Pl´ astico 3. Peso en Newtons, kilos, libras (1 Newton = 0.224 Lb). 4. Temperatura 22◦ F en ◦ C (el agua hierve a 212◦ F) 5. El peso espec´ıfico de un l´ıquido es 12400 N/m3 . ¿Qu´e masa de l´ıquido est´ a contenida en un vo´ umen de 500 cm3 ?. Si:

9,8m/s2

9,77m/s2

9,83m/s2

- Determine las unidades de c, K y f(t) 2 m ddt2y + c dy dt + Ky = f (t)

1.13.0.2.

Problemas recomendados cap´ıtulo 1

11 - 33 - 46 - 65 - 67 - 68 - 70

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Cap´ıtulo 2

Est´ atica de Fluidos 2.1.

Presi´ on en un punto

Para encontrar la presi´ on de una part´ıcula en un fluido se comienza asumiendo un vol´ umen prism´ atico infinitesimal al cual se le eval´ ua el equilibrio est´atico. Luego se encuentra el l´ımite cuando el tama˜ no tiende a cero, as´ı:

Px W Py Figura 2.1: Prisma de presi´on

dx dy ρax 2 dxdy ΣFy = may = p cos θ ds − W − py cos θ ds = ρay 2

Fx = max = p sin θ ds − px sin θ ds =

reemplazando ds sin θ = dx y ds cosθ = dy ⇒ p − px

p − py

= 13

ρax dy 2 ρax dx 2

2.2 Variaci´ on de la presi´ on

en el limite cuando dx → 0 y dy → 0 tenemos p − px = 0 → p = px = py p − py = 0 Como no se especific´ o un θ queda demostrado que la presión es igual en cualquier direcci´ on. Es decir la presión es un campo escalar. Esta afirmación es válida para fluidos est´ aticos sin presencia del esfuerzo cortante.

σy τxy σx

Figura 2.2: Tensor de esfuerzos

Si no hay esfuerzo cortante para ning´ un θ entonces el c´ırculo de Mohr debe ser un punto.

2.2.

Variaci´ on de la presi´ on dx

dy z z y

Figura 2.3: Presi´on en un punto

El anterior resultado nos permite asumir que la presión es un campo escalar. La presi´ on en un punto esta definida por un u ńico numero p(x) = α con α ∈ R. Adicionalmente si p(x) es la presión en un punto x, la presión a una distancia Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.2 Variaci´ on de la presi´ on

peque˜ na dx en la direcci´ on x se puede aproximar como: p+

∂p dx ∂x

Supongamos ahora que deseamos conocer la variación de la presión en un elemento de volumen diferencial como en la figura 2.3. Si se elige un punto x en el centro del elemento, la presi´ on en la cara superior será: ∂p dz p+ ∂z 2 la fuerza ejercida en esta cara esta dada por : ∂p dz dx dy −p + dz 2 de la misma manera la fuerza en la cara inferior será : ∂p dz p− dx dy ∂z 2 haciendo sumatoria de fuerzas en z, tenemos : ∂p dz ∂p dz dx dy + p + dx dy − γ dx dy dz ΣFz : maz = dFz = p − ∂z 2 ∂z 2 ∂p dFz = − dx dy dz − γ dx dy dz. ∂z Donde γ es el peso espec´ıfico del fluido. Para las otras dos caras el procedimiento, es similar pero la acción de la fuerza de la gravedad no est´ a presente: ∂p dx dy dz, ∂x ∂p = − dx dy dz. ∂y

dF x = − dF y

La divisi´ on por elemento de volumen, dV = (dx dy dz), d´a : dF x dV dF y dV dF z +γ dV

∂p ∂x ∂p = − ∂y ∂p = − . ∂z = −

x definiendo fx = dF umen en la direcci´on x dV como la fuerza por unidad de vol´ y de la misma forma en las otras dimensiones. Esto se puede escribir en forma

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2.3 Man´ ometros

vectorial como

(f x, f y, f z + ρg) = −

∂p ∂p ∂p , , ∂x ∂y ∂z

o en forma compacta ρg kˆ + f~ = −∇p = −

∂p ∂p ∂p , , ∂x ∂y ∂z

Donde f~ es el vector fuerza por unidad de volumen. Puede concluirse que es el gradiente de presi´ on y no la presión el que equilibra el peso del vol´ umen. Nótese que aqu´ı no se est´ an teniendo en cuenta efectos viscosos, la ecuación se puede escribir como − − ρ→ a = −∇p + ρ→ g → − para fluidos en reposo se tiene a = (0, 0, 0) por tanto ∂p ∂p ∂p = = 0, − = ρg ∂x ∂y ∂z que se reduce a −dp = ρg dz

Ley de Pascal

Esta es una ecuaci´ on diferencial simple que se puede resolver por integraci´on. Si ρ es constante lo que se cumple para fluidos incompresibles y homog´eneos Z z1 Z p1 dp = ρg dz p0

(p1 − p0 ) = −ρ g(z1 − z0 ) Esto es ∆p = −ρ g∆z

(2.1)

la cual usualmente se escribe como p0 = p1 + γh

(2.2)

de donde se puede observar que la variación en la presión es directamente proporcional a la altura. Si hay 2 puntos a la misma altura de un mismo fluido estos estan sometidos a la misma presión.

2.3.

Man´ ometros

Los man´ ometros son instrumentos que utilizan columnas de l´ıquido para medir diferencias de presiones. Ver figura 2.4. Para este caso la presión en dos se puede medir en comparación con la presión en uno. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.3 Man´ ometros

111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 00000 11111 000000000000 111111111111 00000 11111 000000000000 111111111111 00000 11111 000000000000 111111111111 00000 11111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 00000 11111 00000 11111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 00000 11111 00000 11111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 00000 11111 00000111111111111 11111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

Figura 2.4: Ejemplo manometro

De la ecuaci´ on 2.2 tenemos que dos puntos a la misma altura tienen la misma presi´ on. Por tanto el cambio de presión será, ∆p = −ρg∆h. Colocando nuestro sistema de referencia a la altura del punto dos tenemos p2 = p1 + ρgh Dado que p1 es la presi´ on atmosférica, implica que el termino ρgh mide la presión relativa a la atmosferica y es llamado presión manométrica. (p2 )manometrica = ρgh

2.3.1.

Ejemplo

Cuando la presion es muy alta se utliliza un liquido de mayor densidad con el proposito de tener columnas de liquido mas cortas 000000000000 111111111111 111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000 111111 000000000000 111111111111 000000 111111 000000000000 111111111111 000000 111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 00000011111111 111111 000000000000 111111111111 00000000 000000 111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000 111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 00000011111111 111111 000000000000 111111111111 00000000 000000 111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000 111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 00000011111111 111111 000000000000 111111111111 00000000 000000 111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 00000011111111 111111 000000000000 111111111111 00000000 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000000000 111111111111 00000000 11111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

γ1

γ2

de los puntos 1 y 2 p2 − p1

= γ1 (z2 − z1 )

p3 − p2

= γ2 (z3 − z2 )

Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.4 Presi´ on sobre cuerpos sumergidos

sumando p3 − p1

−γ1 (−h) − γ2 (H)

p3 − p1

γ1 h − γ2 H

asumiendo presi´ on manom´etrica ⇒

p3 = 0

p1 = −γ1 h + γ2 H

De que tama˜ no es la columna de presi´on si p1 = 1atm ?

2.3.2.

Ejemplo

Considere la siguiente configuraci´on con 4 diferentes fluidos. La gravedad especifica del aire puede considerarse igual a cero para este ejemplo. Aire 3

11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 000000 111111 00000000000000 11111111111111 000000 111111 00000000000000 11111111111111 000000 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 000000 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 000000111111111 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 000000 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 000000111111111 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 000000 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 000000 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 000000111111111 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 000000 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 000000111111111 111111 00000000000000 11111111111111 000000000 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 000000000 111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111

Agua

2cm

Aceite 1111111111 0000000000 4 000000 111111 0000000000 1111111111 000000 111111 0000000000 1111111111 13cm 1111111111 000000 111111 0000000000 5 000000 0000000000111111 1111111111 000000 111111 000000 111111

20cm

S=1.6

Figura 2.5: Ejemplo3 manometro

(p2 − p1 ) + (p3 − p2 ) + (p4 − p3 ) + (p5 − p4 )

−[ρH20 g(−20) + ρ1 S1 (23) + ρ1 Saire (13) + ρ1 S2 (−13)] =

2.4.

343P a

Presi´ on sobre cuerpos sumergidos

Las cargas distribuidas se manejan igual que en estática. La magnitud es F = ρgh Area y se aplica en el centroide cuando la superficie está dispuesta de forma plana, la fuerza se aplica de forma perpendicular al área. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.5 Caras inclinadas

Figura 2.6: Cargas sobre cuerpos sumergidos

2.5.

Caras inclinadas

En el caso de que la superficie sumergida este inclinada respecto al plano horizontal, el ´ area estar´ a sometida a una presi´on variable al desplazarse de un punto a otro, adem´ as la resultante estar´a aplicada en un punto diferente al centroide como se demostrar´ a mas adelante.

Figura 2.7: Ejemplo2 manometro

La magnitud de la fuerza sobre un diferencial de ´area dA a una altura h dF = ρghdA = ρgy sin θdA integrando Z

dF = ρg

y sin θdA = ρg sin θ

ydA. A

Pero por definici´ on de centroide Z yA =

ydA

Remplazando F = ρg sin θyA Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.5 Caras inclinadas

definiendo y sin θ como h la profundidad del centroide tenemos F = ρghA

2.5.1.

Punto de aplicaci´ on de la fuerza

Para encontrar el punto de aplicaci´on de la fuerza se procede a realizar una sumatoria de momentos. Por definici´on Z F yp = yp dA ZA F yp = yρgy sin θdA Z ρg sin θyAyp = ρg sin θ y 2 dA Z yAyp = y 2 dA = Ix donde y es el brazo y p dA es la fuerza Por teorema de ejes paralelos tenemos yAyp = Ix = y 2 A + Ic yp = y +

Ic Ay

sabiendo que Ic , A y y son positivos, se deduce que yp > y, lo que significa que el punto de aplicaci´ on de la fuerza está más abajo que el centroide del área.

11 00 00 11

centro de presion

Figura 2.8: Cargas sobre cuerpos sumergidos

Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.5 Caras inclinadas

21 Z

F xp =

Z xρghdA =

(ρgy sin θdA)xp

yAxp

xp =

2.5.2.

xρgy sin θdA Z ρg sin θ xydA Z xydA = Ixy

Ixy yA

Ejemplo

Encontrar las fuerzas sobre una compuerta rectangular inclinada de ancho 5 pies. El peso especifico del agua es 64 lbf/ft3 .

h 6ft

θ 8ft

Figura 2.9: Cargas sobre cuerpos sumergidos

Se encuentra que el centro de gravedad esta a 3ft del fondo pa esta en ambas caras F = γhA = 38400lbf As´ı el centro de presi´ on esta en yp

= y+

Ic Ay

bh3 = 417f t4 12 417 sin θ = 0,417 Ah

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2.5 Caras inclinadas

40 0

0. 41

Figura 2.10: Distribuci´on de fuerzas

h 4ft

Agua

8ft θ 6ft Figura 2.11: Figura del ejemplo

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2.6 Fuerzas en superficies curvas

2.5.3.

Ejemplo2

Cuanto vale h para que se abra la compuerta ? centro de presi´ on Ic Ic sin θ = Ay Ah h = h+4 l

= γhA = γ(h + 4)A Ic Ic sin θ = = Ay A(h + 4)

Planteando las ecuaciones de momento

Figura 2.12: Fuerzas sobre la compuerta

ΣMB

F (4 − l)

= p(4 − l)

F (4 − l)

= γA(h + 4)A − Ic sin θ

donde h=(

2.6.

F (4 − l) − Ic sin θ )−4 A2

Fuerzas en superficies curvas

Considere la superficie curva sumerjida que se muestra en la figura 2.13. El volumen de fluido adyacente a la superficie se ha subdividido en dos bloques para facilitar su an´ alisis. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.6 Fuerzas en superficies curvas La sumatoria de fuerzas da como resultado, ΣFy

= WAire + WH20 + W2 − Fv

ΣFx

= FBC = FH

Donde FH y Fv son las fuerzas resultantes que soporta la placa sumergida. Puesto que el fluido no soporta cortante entonces entonces las fuerzas FH pasan por la misma direcci´ on de las resultantes horizontales y Fv pasa por la direcci´on de las fuerzas verticales.

2.6.1.

Ejemplo

Suponga que un barco con forma rectangular se encuentra sumergido parcialmente en el agua. Si los bordes de las esquinas sumergidas tienen perfil circular, cual es la fuerza resultante sobre esta superficie. Fuerza horizontal γ(24 − 1,5/2)(1,5 ∗ b) = FH = 348,8kN localizado en l=

b ∗ 1,53 Ic = = 0,008 Ay 12 ∗ (1,5)b(23,25)

Fuerza vertical FBC − W = Fv0 pi1,52 γ(1,5)b(2A) − (1,52 − )γb = 355,2kn 4

Paire w1 Fbc

Fv Figura 2.13: Cargas sobre cuerpos sumergidos

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2.7 Flotaci´ on: Principio de Arqu´ımedes

24m

Figura 2.14: Fuerzas en las partes curvas de un tanque

aplicada en −Fv e − W (1,17) + FBC (0,75) = 0

⇒

e = 0,74

W F1 Figura 2.15: Ejemplo del barco

2.6.2.

Ejercicio

Hallar la fuerza vertical. pir2 2 V = r − 4 pir2 2 ΣFy = −3 r − γb + 2rbγ(2r) − F 4 pir2 Fv = −3 r2 − γb + 4r2 bγ 4

2.7.

Flotaci´ on: Principio de Arqu´ımedes

Para que un cuerpo permanezca en su posici´on al sumergirse en un fluido, debe haber una fuerza que equilibre el peso del cuerpo. Esta fuerza recibe el Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.7 Flotaci´ on: Principio de Arqu´ımedes

A D

C Figura 2.16: Ejercicio del circulo

nombre de fuerza de flotación. Para encontrar esta fuerza se hace un análisis de equilibrio de fuerzas para un vol´ umen sumergido que incluye el cuerpo, el vol´ umen se escoge de forma que se simplifiquen los cálculos. Para analizar las fuerzas vamos a tomar un cilindro con base igual a la proyecci´ on vertical del objeto contenido. El vol´ umen de l´ıquido puede ahora ser subdividido en dos, el que esta por encima del objeto y el que está por debajo.

W1 1 0 1 0 0 1 0 1 11 00 0 1

F’1

1 0 W2 1 0 0 1

F’2

p2 Figura 2.17: Cuerpo sumergido

Del balance de fuerzas sobre estos vol´ umenes de l´ıquido se pueden obtener las reacciones a las fuerzas F1 y F2 ( Resultantes de la presi´on sobre las superficies). Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.8 Cuerpos sumergidos

La fuerza neta que ejerce el agua sobre el objeto ser´a Fb = F10 − F20 . As´ı para la parte inferior tenemos F20 − W2 − p2 A = 0, y para la superior, −F10 − W1 + p1 A = 0. Sumando las 2 ecuaciones, (F20 − F10 ) − (W2 + W1 ) + (p1 − p2 )A = 0 resolviendo F1 − F2 = −(W2 + W1 ) + γhA = 0, donde, W2 + W1 es el peso del volumen de agua rodeando el objeto γhA es el peso del cilindro total en el agua FB = F1 − F2 representa el volumen del objeto por el peso espec´ıfico del agua, es decir el volumen de agua que el objeto desplazo al sumergirse.

2.8.

Cuerpos sumergidos

El empuje actua sobre el centro de gravedad del volumen despejado

ESTABLE

INESTABLE

Figura 2.18: Estabilidad de cuerpos sumergidos

2.8.1.

Problema

Determinar la densidad de la corona sabiendo que su volumen es igual a 189 in3 , Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

2.8 Cuerpos sumergidos

F neta = 4.7lb

F flotac

W Figura 2.19: Problema de la corona

2.8.2.

Ejemplo

Un barco de area seccional 3000m2 cuyo casco esta sumergido 9m. Cuanto peso en contenedores puede adicionarsele antes de que alcance una profundidad de 9.2m. Considere γ = 10 kN m3 . Wcontenedores = Wc = 3000 × 0,2 × 104 = 6000 kN

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Cap´ıtulo 3

Sistemas y volumenes de Control 3.1.

Definiciones

Figura 3.1: Volumen de Control (rojo) y el movimiento de un sistema de particulas.

Volumen de Control es la superficie imaginaria que define un volumen constante sobre el tiempo y por el cual la masa, la energ´ıa y el momentum fluyen. En la figura 3.1 el volumen de control se muestra en rojo. Sistema: Un sistema se define como un conjunto de part´ıculas que se mueven y deforman. La figura 3.1 muestra el conjunto de particulas en dos tiempos diferentes t y t + dt. En el primer instante t el volumen del sistema coinciden con el volumen de control. Un dt de tiempo mas tarde, las particulas del sistema se habr´ an desplazado en el sentido del flujo. El volumen en verde muestra el sistema en el instante t + dt. Si asumimos que las velocidades en 1 y 2 son uniformes entonces I es el volumen de fluido que entra la superficie de control y 0 es el volumen de fluido 29

3.1 Definiciones

que abandona el volumen de control. Como la masa del sistema es constante entonces podemos afirmar que (mI + mR )t = (mR + mO )t+dt ,

(3.1)

adem´ as si el flujo es permanente (steady) (mR )t = (mR )t+dt , entonces: (mI )t = (mO )t+dt . El volumen a la entrada es A1 ds1 y a la salida A2 ds2 . Entonces: (mI )t = ρ1 A1 ds1 = (mO )t+dt = ρ2 A2 ds2 ,

(3.2)

por definici´ on de velocidad ds1 = v1 , dt

ds2 = v2 , dt

se tiene : ρ1 A1 v 1 dt = ρ2 A2 v 2 dt esto es, la ecuaci´ on de continuidad: ρ 1 A1 v 1 = ρ 2 A2 v 2 , En otras palabras el flujo a la entrada es igual al flujo a la salida: m ˙ = ρi Ai v i = cte. .

(3.3)

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3.2 Flujo Volumetrico

3.1.1.

Ejemplo 2

200 mm d

3 300 mm d

50 mm d

Figura 3.2: Ejemplo

Se tiene una tuber´ıa disyunta en uno de sus extremos, el cual fluye un flujo uniforme de fluido a raz´ on de 400 Kg s . Si la velocidad en 3 es 5 m/s, cual es la velocidad en la salida 2 ? Respuesta La ecuaci´ on de continuidad ρ 1 A1 v 1 = ρ 2 A2 v 2 + ρ 3 A3 v 3 , en el caso en que ρ1 = ρ2 = ρ3 , entonces 400 kg/s = ρ A1 v 1 = ρ (A2 v 2 + A3 v 3 ) 400 kg/s = π(0,025 m)2 (5 m/s) + π(0,1m)2 v 2 ρ v2 ∼ = 12m/s

3.2.

Flujo Volumetrico

Si el fluido viaja a una velocidad v a traves de una superficie, entonces la cantidad de liquido que pasa un diferencial de área se puede calcular de la siguiente manera. Suponga que el diferencial de área es lo suficientemente peque˜ no tal que el flujo es uniforme en esa area diferencial. Una particula inicialmente en la superficie despues de un tiempo dt se encontrará a una distancia ds = v dt en la direcci´ on de la velocidad v. Si tomamos en cuenta todas estas particulas, estas definen un volumen que cruza en un tiempo dt como se muestra en la figura 3.3. Para calcular este volumen considere que la velocidad forma un angulo θ con la superficie el volumen sera igual a v = ds dA cos θ. Note adicionalmente Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

3.3 Teorema de transporte de Reynolds dA cos θ

t=dt

n ds

dA t=0 dA

Figura 3.3: Flujo a trav´es de una superficie arbitraria y su vista de perfil para calcular el volumen que pasa en un tiempo dt

que el angulo θ es el angulo que hace un vector normal a la superficie con la ˆ Luego el volumen que pasa un diferencial velocidad y por tanto v cos θ = v · n. de superficie en un tiempo dt y considerando que ds = v dt, ser´a ˆ dt dA dV = v dt dA cos θ = v · n El flujo se define entonces como la cantidad de liquido que pasa por una superficie S por unidad de tiempo ZZ ˆ dA q= v·n S

3.3. 3.3.1.

Teorema de transporte de Reynolds Variables (Propiedades) Extensivas E e Intensivas i:

Las propiedades de un fluido en un sistema pueden clasificarse en intensivas y extensivas. Las siguientes propiedades son Extensivas: Masa del sistema. Energ´ıa del sistema. Momentum del sistema. Si E es una variable extensiva entonces una variable intensiva i se define como la variable extensiva E por unidad de masa. i=

E masa.

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3.3 Teorema de transporte de Reynolds

Una propiedad extensiva es la cantidad total de la propiedad en todo el sistema, por lo tanto ZZZ ZZZ E=

i dm =

Sistema

3.3.2.

iρ d∀.

(3.4)

Sistema

Flujo de una propiedad

Consideremos ahora un flujo de una propiedad a travez de una superficie de forma arbitraria como en la figura 3.3. El diferencial de volumen que cruza la ˆ dA dt y la superficie de control en un dt de tiempo es d∀ = dA cos θ ds = v · n cantidad de una propiedad i asociada a este diferencial de volumen ser´a: dE = i ρ d∀ dt ˆ dAdt). dE = iρ (v · n

(3.5)

Por tanto el flujo de la propiedad por unidad de tiempo ser´a dE ˆ dA. = i ρv · n dt Finalmente, la cantidad total de la propiedad E que pasa por unidad de tiempo a trav´es de una superficie (S) ser´ a: ZZ ˆ dA. E˙ = i ρv · n S

La cual es una extension del concepto de flujo de cualquier propiedad i del fluido a trav´es del vol´ umen de control. y

Figura 3.4: Volumen de Control (VC) y su Superficie de Control (SC) en rojo. El sistema de part´ıculas en un instante t coincide con el volumen de Control en rojo se desplaza a la posicion en verde luego de un instante dt

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3.3 Teorema de transporte de Reynolds

3.3.3.

Variaci´ on de E para un sistema

El cambio en la propiedad extensiva E de un sistema de part´ıculas en un lapso de tiempo dt y Et − Et+dt lo podemos calcular observando el volumen de control en la figura 3.4. En un instante t las part´ıculas del sistema coinciden con el volumen de control (volumen en rojo). Un instante de tiempo dt más tarde las particular del sistema se habrán desplazado y se aparecen como el volumen verde en la gr´ afica. Luego el valor de la propiedad del sistema en el tiempo t, Et , es la propiedad del volumen en rojo y en el tiempo t + dt, Et+dt es la propiedad del volumen en verde. Si dividimos estos vol´ umenes en los I, R y O, podemos afirmar que el cambio de una propiedad extensiva E en un tiempo dt para un sistema de part´ıculas está dada por: Et+dt − Et = (ER + EO )t+dt − (ER + EI )t

(3.6)

Para los cuales EO es el flujo en la salida y EI es el flujo en la entrada: Z ˆ dA (EO )t+dt = dt iρ v · n CSSalida

Z (EI )t = −dt

ˆ dA, iρ v · n

CSEntrada

El signo menos aparece como resultado del producto punto entre v y n en la entrada. La propiedad del volumen restante R esta dada por   ZZZ (ER )t+dt =  iρ d∀ , R

t+dt

  ZZZ (ER )t =  iρ d∀ . R

Reemplazando los anteriores valores en ecuaci´on 3.6 se obtiene:     ZZZ ZZZ Et+dt − Et =  iρ d∀ − iρ d∀ R

t+dt

ZZ + dt CSSalida

(3.7)

ZZ ˆ dA + dt iρ v · n

ˆ dA. iρ v · n

CSEntrada

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3.3 Teorema de transporte de Reynolds

Dividiendo por dt   ZZZ Et+dt − Et =  iρ d∀ dt R

  , ZZZ − iρ d∀  dt R

t+dt

(3.8) ZZ

ZZ ˆ dA + iρ v · n

+ CSSalida

ˆ dA iρ v · n

CSEntrada

En el l´ımite cuando dt → 0, R → (R + I) entonces dE |Sistema dt

  ZZ ZZZ ∂  iρ d∀ + = ∂t

ZZ ˆ dA + iρ v · n

CSSalida

ˆ dA , iρ v · n

CSEntrada

(3.9) El cual se conoce como el Teorema de Transporte de Reynolds y relaciona la rapidez de cambio de una propiedad extensiva en un sistema de particulas, dE de cambio de una variable extensiva dentro del Volumen de dt , con la rapidez RRR ∂ Control ∂t iρ d∀ y el flujo neto a trav´es de la superficie de control es CV RR ˆ dA. iρ v · n CS

3.3.4.

Aplicaci´ on del Teorema de Transporte de Reynolds

Supongamos la variable extensiva es la masa E = masa, por tanto i = masa/masa = 1. Adicionalmente debido a que la masa de un sistema se mantiene constante ∂E ∂m = =0 ∂t ∂t Aplicando el teorema de Reynolds tenemos     ZZZ ZZ ZZ ∂  ˆ dA + ˆ dA , ρ d∀ = −  ρ v·n ρ v·n ∂t CV

CSSal

CSEnt

si el flujo es de densidad constante ( permanente) tenemos   ZZZ ∂  ρ d∀ = 0, ∂t CV

por tanto: ZZ 0= CSSal

ZZ ˆ dA + ρ v·n

ˆ dA ρ v·n

CSEnt

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3.3 Teorema de transporte de Reynolds

para flujo uniforme a la entrada y la salida ZZ ˆ dA = ρ2 v 2 A2 , ρ v·n

(3.10)

CSSal

ZZ ˆ dA = −ρ1 v 1 A1 . ρ v·n

(3.11)

CSEnt

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Cap´ıtulo 4

Flujo de Fluidos Ideales Incompresibles 4.1. 4.1.1.

Fluidos ideales Flujo Ideal:

Flujo ideal es un flujo no viscoso =⇒ no hay efectos de fricci´on entre capas de fluido o entre el flujo y la pared.

4.1.2.

Ecuaci´ on de Euler:

línea de corriente

v+dv p+dp

dA p

Figura 4.1: Diferencial de Flujo

4.1 Fluidos ideales

Analicemos el balance de fuerzas en un tubo de corriente. Un tubo de corriente esta formado por un conjunto de part´ıculas alrededor de otra que se mueve con velocidad v tangencial a la trayectoria, describiendo una l´ınea de corriente( Ver figura 4.1.) Si hacemos esta conjunto lo suficientemente peque˜ no entonces podemos considerar la trayectoria de estas part´ıculas son paralelas y describen un tubo de corriente. Por la segunda ley de newton tenemos que la suma de fuerzas a lo largo de un segmento del tubo de corriente ser´a: dm as = p dA − (p + dp) dA − W sin θ Donde seno θ esta dado por sin θ = dz/ds . Adicionalmente as es la aceleraci´ on tangencial y el diferencial de peso W se puede expresar en t´erminos del diferencial del volumen, = p dA − p dA − dp dA − ρ g(dA ds)

m as dv ds ρ dA v dv

ρ (dA ds) v

dz ds

= −dp dA − ρ g dA dz = −dp dA − ρ g dA dz

Dividiendo por ρ dA, se tiene la ecuaci´ on de Euler en una dimensi´on dp + g dz + v dv = 0 ρ

(4.1)

para flujo incomprensible normalmente se divide por la gravedad dp v dv + + dz = 0, γ g

(4.2)

sabiendo que d(v 2 ) = 2v dv, tenemos dp d(v 2 ) dz + + =0 γ 2g g

(4.3)

Si suponemos que el fluido es incompresible y como g es constante d(p)/γ = d(p/γ), por tanto: p v2 d + + z = 0, (4.4) γ 2g Puesto que la derivada de una funci´on igual a cero significa que la funci´on es igual a una constante obtenemos: p v2 + + Z = H = Constante γ 2g

(4.5)

la cual se conoce como La Ecuaci´ on de Bernoulli y es valida para puntos Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

4.1 Fluidos ideales

arbitrarios sobre una misma l´ınea de corriente. Los t´erminos son: H p γ v2 2g z

: Constante de Bernoulli, Cabeza Total : Cabeza de Presi´on : Cabeza de velocidad : Cabeza Potencial

Una representaci´ on esquem´ atica esta dada en la figura 4.2 note que la cabeza total se mantiene constante. Es importante notar que esta ecuaci´on se deriva partiendo del hecho de que el fluido se acelera como consecuencia de una diferencia de presi´on. Linea de Energia v12 /2g

Linea hidraulica

v22 /2g

v32 /2g p3 /γ

p2 /γ p1 /γ z3 z2 z1

Datum

Figura 4.2: Diagrama mostrando los aportes de la ecuaci´on de Bernoulli La ecuaci´ on de Bernoulli puede aplicarse en m´ ultiples situaciones como: Flujos unidimensionales. Extensi´ on a tres dimensiones considerando l´ıneas paralelas de corriente (tuber´ıas, canales, ductos). En flujos ideales la velocidad es constante a lo largo de la secci´on transversal.

4.1.3.

Flujo Uniforme (rectil´ıneo)

Si la trayectoria de una particula es recta entonces su aceleración centrifuga es cero por tanto para lineas de corriente rectas y paralelas entre si la la aceleracion centrifuga ser´ a cero. Es decir aceleración en la dirección normal a las Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

4.1 Fluidos ideales

lineas de corriente paralelas ds

p2 h

h α p1

z2 − z1

z2 z1 α

Datum

Figura 4.3: Diferencial de Flujo Uniforme.

l´ıneas de corriente es cero. Por tanto la suma de fuerzas normales a las l´ınea de corriente es igual a cero. Ver figura 4.3 (p1 − p2 ) ds − γ h ds cos α = 0 donde(p1 − p2 ) ds es el diferencial de presi´on y γ h ds cos α es el peso. Reemplazando cos α = (z2 − z1 )/h tenemos: (p1 − p2 ) ds = γ ds(z2 − z1 ) p1 − p2 = z2 − z1 γ p1 p2 + z1 = + z2 . γ γ

(4.6)

Por lo tanto p1/γ +z es una constante sobre la secci´on transversal de las l´ıneas de corriente paralelas. Esto se denomina Distribuci´ on de Presi´ on Hidrost´ atica porque es igual que para un fluido en reposo.

4.1.4.

Reducci´ on en una tuber´ıa

Considere por ejemplo el flujo a trav´es de un tubo que sufre un angostamiento en el di´ ametro como se muestra en la figura 4.4 Por la ecuaci´ on de continuidad (ρAv = cte). Por tanto podemos concluir que para flujos uniformes la velocidad aumenta al disminuir el di´ametro como Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

4.1 Fluidos ideales

baja presion

Figura 4.4: Ecuaci´on de Bernoulli

consecuencia de la variaci´ on de presión. Si tomamos una linea de corriente en el punto medio, entonces z no cambiará a lo largo de la trayectoria. Aplicando la ecuaci´ on de Bernoulli a lo largo de esta l´ınea de corriente tenemos p v2 +z + = cte. γ 2g Quiere decir que si la velocidad aumenta entonces la presion deberá disminuir para que la cabeza total se mantenga constante. Se concluye entonces que en las regiones donde las l´ıneas de corriente se acercan la presión bajará. Sin embargo esta afirmaci´ on no significa que el aumento en la velocidad sea el causante de la baja en la presi´ on. La forma como ocurre este fenómeno no se explica con la ecuaci´ on de Bernoulli.

4.1.5.

Ecuaci´ on de Torricelli

La velocidad de salida de un flujo ideal a trav´es de un peque˜ no orificio bajo una cabeza est´ atica varia con la raiz cuadrada de la cabeza. v=

p 2gh ≡ caida libre

Prueba: En el punto 1, de la figura 4.5,la velocidad es cero y la presi´on p1 es igual a la presi´ on atmosf´erica, por tanto p1 v2 + 1 + Z1 γ 2g

=h=

=h= h=

p2 v2 + 2 + Z2 , γ 2g p2 v2 + 2, γ 2g p2 v2 + 2. γ 2g

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4.1 Fluidos ideales

v=0

h 2 v Datum v chorro Figura 4.5: Equaci´ on de Torricelli: Para la descarga de un tanque la velocidad de salida se comporta como la caida libre de una part´ıcula.

Donde Pz es la presi´ on en el chorro. Para calcularla analizamos un diferencial de fluido en el interior de un chorro como se muestra en la figura 4.6 4.1.5.1.

Presi´ on en el Chorro

p + dp dz p dA

Figura 4.6: Presi´on en un chorro libre

Aplicando la segunda ley de Newton en la direcci´on vertical tenemos: pdA − (p + dp)dA − γdAdz −dpdA − γdAdz −dpdA dp

= −(dm)g, = −(ρdAdz)g, = −γdAdz + γdAdz = 0, =

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4.1 Fluidos ideales

Como el gradiente es cero a lo largo de la secci´on transversal se concluye entonces que la presi´ on al interior del chorro es igual a la presi´on atmosferica, es decir p2 = patm = 0 (manometrica). Por lo tanto, podemos concluir h = v2

p2 v2 + 2, γ 2g p 2gh.

Lo cual demuestra la ecuaci´ on de Torricelli !

4.1.5.2.

Ejemplo (5.8)

Ver ejercicion 5.8 del texto [1]

150 mm

1.5m C A

Datum

1.2

B 100 mm

Figura 4.7: Ejemplo 5.8

El petroleo fluye a una velocidad de vA = 2,4m/s.. ¿C´ ual es el nivel en el tubo abierto C ?

Soluci´ on: Por continuidad tenemos: v A AA (0,150)2 2,4 π 4 vB

= v B AB , (0,1)2 = vB π , 4 = 5,4m/s

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4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia Por ecuaci´ on de Bernoulli: pA v2 + zA + A γ 2g (2,4)2 1,5 + 1,2 + 2g pB γ F´ıjese que si zA = zB =⇒

4.2.

= = =

pB v2 + zB + B , γ 2g 2 pB 5,4 + , γ 2g 1,5m.

pB = 0,3 m. γ

Ecuacion de Trabajo y Energia

Una forma alternativa de encontrar la ecuación de Bernoulli es utilizar el principio de Trabajo-Energia mecánica. A diferencia de la sección anterior, en este caso partimos de un volumen de control y no de una linea de corriente.

turbina

Salida Entrada Volumen de control Bomba Figura 4.8: Volumen de control para el calculo de la ecuaci´on de Energia Supongamos un volumen de control, como el de la figura 4.8 para el cual se hacen las siguientes consideraciones: Velocidad uniforme en la entrada y salida Velocidad perpendicular al area de entrada y salida Una bomba se considera como un instrumento que le a˜ nade energia al fluido Una Turbina se considera como un instrumento que le quita energia la fluido. Al sistema de part´ıculas que pasa por este volumen de control se le esta haciendo trabajo debido a las fuerzas de presi´on y de viscosidad en la superficie del volumen de control y adicionalmente las bombas y turbinas ejercen un trabajo neto sobre el fluido. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia

4.2.1.

Principio de Trabajo / Energia:

La primera ley de la termodinamica sin considerar generacion interna de calor ni la energia interna de las moleculas estipula que el trabajo hecho en un fluido es igual al cambio de energÂ´Äąa potencial y cinÂ´etica del sistema. dW = dE. En terminos de tasa de cambio de energÂ´Äąa para un sistema tenemos dE dW = . dt dt 4.2.1.1.

Energia

El teorema de transporte de Reynolds provee con una ecuaciÂ´on para evaluar la tasa de cambio de una variable extensiva como la energÂ´Äąa:

Z Z Z ZZ â&#x2C6;&#x201A; dE

= i Ď dV + iĎ v Âˇ ndA, dt sistema â&#x2C6;&#x201A;t VC SC donde VC es el Volumen de Control y SC su superficie, E es la energia total del sistema (variable extensiva) e i es la energia por unidad de masa (variable intensiva) y esta dada por i=

2 dE = gz + v 2 |{z} dm | {z } potencial cinÂ´ etica

Para flujo permanente (no cambia en el tiempo) y dividiendo el termino del flujo en las superficies de entrada y salida, se tiene:

ZZ ZZ dE

= iĎ v Âˇ n dA, + iĎ v Âˇ n dA, dt sistema SC entrada SC salida Si ademÂ´ as Ď es constante ZZ ZZ 2 dE v2 =Ď gz + v Âˇ n dA + Ď gz + v 2 v Âˇ n dA. dt 2 salida

entrada

Como se supuso flujo uniforme y perpendicular a la superficie de entrada y la salida, entonces si v 1 es la velocidad a la entrada y v 2 es la velocidad a la salida, tenemos dE (v2 )2 (v1 )2 = Ď gz2 + v2 A2 â&#x2C6;&#x2019; Ď gz1 + v 1 A1 , dt 2 2 (v2 )2 (v1 )2 = Ď g z2 + v2 A2 â&#x2C6;&#x2019; Ď g z1 + v 1 A1 . 2 2 Notas de clase de mecÂ´ anica de fluidos â&#x20AC;&#x201C; version preliminar por Manuel J. GarcÂ´Äąa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia

Utilizando el principio de conservaci´on de masa gρ1 A1 v1 = gρ2 A2 v2 = Qγ. Tenemos dE = γQ dt

(v2 )2 z2 + 2g

(v1 )2 − z1 + . 2g

Es decir el cambio de energ´ıa en el tiempo de un sistema esta dado por el flujo neto de energia en un volumen de control. ¿Por qu´e no es cero si se asumi´o flujo permanente? 4.2.1.2.

Trabajo

Para completar la ecuacion de trabajo energia necesitamos calcular el trabajo ejercido sobre este sistema de particulas. psalida vsalida Salida

interaccion fluido−fluido interaccion fluido−solido

ventrada pentrada Entrada

El trabajo producido por las diferentes fuerzas sobre un fluido se puede clasificar en fuerzas de volumen y fuerzas de contacto. Entre las fuerzas de contacto encontramos: las fuerzas de presión y las fuerzas cortantes debidas a la viscosidad. Adicional a esto encontramos el trabajo producido por elementos mec´ anicos como bombas y turbinas. Ver figura 4.2.1.2. Las fuerzas de presión que producen trabajo están localizadas u ńicamente a la entrada y salida del volumen de control porque en la superficie solida las fuerzas de presión son perpendiculares a la velocidad. Si el trabajo se define como fuerza por desplazamiento, W = f · s, entonces ˙ = f · v. Para la fuerza ejercida por la el trabajo por unidad de tiempo será W ˆ , el trabajo por unidad presi´ on en una peque˜ na área dA tenemos f = −(p dA) n ˙ = −(p dA)ˆ de tiempo sobre una superficie dA quedará W n · v. Por tanto el trabajo de la presi´ on sobre toda la superficie del fluido esta dado por Z W˙ p = −p(v · n)dA sc

Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia

La cual es la tasa de trabajo neto (flujo de trabajo). Esta superficie se puede dividir en tres partes: superficie de entrada (interacción fluido-fluido), superficie de salida (interacci´ on fluido-fluido) y superficie de contacto con el solido (interacci´ on fluido-estructura). Adicionalmente en la interacción fluido estructura la presi´ on es perpendicular a la superficie y perpendicular a la velocidad del fluido, por tanto el trabajo neto de la presión en la parte solida es cero. Para un flujo uniforme y perpendicular a la superficie de entrada y salida esta integral se simplifica en ˙ p = p1 A1 v1 − p2 A2 v2 W Que se puede reescribir como: p2 p1 W˙ p = γA1 v 1 − γA2 v2 = Qγ γ γ

p1 p2 − γ γ

Otras fuerzas importantes son las fuerzas de fricción las cuales son el resultado podemos considerar el trabajo hecho por las fuerzas viscosas. La viscosidad produce fuerzas cortantes principalmente en la interacción del fluido con la estructura. Estas fuerzas cortantes van en la dirección opuesta al fluido y por tanto producir´ a un trabajo negativo W˙ τ = F τ · v = −Fτ v Esta fuerza cortante depende de la viscosidad del fluido y de la rugosidad. Detalles de como estimar el trabajo de las fuerzas cortantes se vera un capitulo posterior. EL trabajo de estas fuerzas se puede escribir en términos del caudal como W˙ τ = −Q γEτ donde Eτ es la cabeza debida a la fricción del fluido en las paredes del volumen de control. El trabajo de las neto sobre el fluido de las fuerzas de superficie sera ˙ p + W˙ τ Wneta(flujo) = W Adicional al trabajo de las fuerzas de presión y las fuerzas viscosas sobre la superficie de control se encuentra el trabajo neto de elementos mecánicos en el volumen de control. Este trabajo se puede globalizar de forma genérica como tiempo. ˙ neta W = Q γEp − Q γET (maquinas)

donde Ep y ET se conocen como la cabeza producida por la bomba y la cabeza proporcionada a la turbina. Entonces la tasa de trabajo neta Entonces el trabajo total sera: ˙ =W ˙ neta ˙ neta W +W = Qγ (flujo) (maquina)

p1 p2 − − Eτ + Ep − ET γ γ

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4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia Reordenando tenemos la ecuacion de Trabajo-Energia Z1 +

v2 p2 v2 p1 + 1 + Ep = Z2 + + 2 + ET + Eτ γ 2g γ 2g

donde Ep representa la energ´ıa por unidad de peso aportada por la bomba al fluido y ET la energ´ıa por unidad de peso suministrada a la turbina. Esta ecuaci´ on es similar a la ecuación de Bernoulli sin embargo hay sus diferencias: La ecuaci´ on de Bernoulli no incluye términos de trabajo producido por maquinas ni efectos de la viscosidad. Adicionalmente la ecuación de Bernoulli se cumple solo para l´ıneas de corriente y la ecuación de energ´ıa para vol´ umenes de control. 4.2.1.3.

Ejemplo Ecinetica

linea de Energia linea hidraulica

37 Bomba

Linea de Energia

Epotencial DATUM

1 3.4 1.16 Linea hidraulica

Figura 4.9: Ejemplo

El flujo de agua es 0.15 m3 /s. ¿C´ ual es la potencia de la bomba si la presi´on en el punto uno es p1 = 250 mm Hg(vac´ıo) y en el punto dos es p2 = 275 KPa? Presi´ on a la salida p2 275000P a = = 28,1 m (Agua) γ 9800N/m3 Presion Entrada p2 = −250mm γ

13,57 1000

= −3,4

Ecuaci´ on de continuidad: Q = A1 v 1 = A2 v 2 v 1 = 4,77v 2 = 8,48 m/s. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia

Ecuaci´ on Trabajo /Energia: p1 v2 p2 v2 + 1 + Ep = Z2 + + 2, γ 2g γ 2g 4,772 8,48 0 − 3,4 + + Ep = 3 + 28,1 + . 2g 2g Z1 +

⇒ Ep = 320J/N ⇒ P ot =

QγEp 1000

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Cap´ıtulo 5

Flujo en dos y tres dimensiones 5.1.

Ecuaci´ on de Continuidad (Forma diferencial) D

B dx

Figura 5.1: Conservaci´ on de masa en un elemento diferencial.

Del teorema de transporte de Reynolds para flujo estacionario aplicado a la variable extensiva E = masa tenemos: ZZ ZZ dE =0= ρv · n dA + ρv · n dA, dt sc-entrada sc-salida 51

5.2 Ecuaciones de Euler en 2D

Aplicado a un elemento como en la figura 5.1. En AB tenemos: ρAB = ρ −

∂ρ dx2 ∂x2 2

Velocidad perpendicular a AB, en AB: v AB = v2 −

∂v2 dy dy 2

Luego el flujo en AB: Z ∂ρ dx2 ∂v2 dy ρv · n dA = ρ − v2 − ∂x2 2 dy 2 AB De igual manera se pueden CD y DA Z ρv · n dA BC Z ρv · n dA CD Z ρv · n dA

obtener expresiones para el flujo en las lineas BC, ρ+ ρ+ ρ−

= = =

El flujo total sera por tanto: Z Z ~+ 0= ρ~v · dA AB

∂ρ x1 ∂v1 dx1 v1 + , ∂x1 2 ∂x1 2 ∂ρ dx2 ∂v1 dx2 v1 + , ∂x2 2 ∂x2 2 ∂v1 dx1 ∂ρ dx1 v1 − . ∂x1 2 ∂x1 2

~+ ρ~v · dA

~ ρ~v · dA

Por tanto, después de sumar y eliminando los términos cuadráticos tenemos: ρ

∂v1 ∂ρ ∂v1 ∂ρ + v1 +ρ + v1 =0 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x1

Si ρ = constante (Flujo incompresible) ∂v1 ∂v1 + =0 ∂x1 ∂v2 Una forma mas elegante usando el teorema de la divergencia se encuentra en las notas.

5.2.

Ecuaciones de Euler en 2D

Estas se derivan aplicando la segunda Ley de Newton a un sistema diferencial. Por simplicidad tomaremos el un elemento 2D (ver figura 5.2) con diNotas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.2 Ecuaciones de Euler en 2D

mensiones dx1 por dx3 . Sin embargo la derivaci´on se puede extender a tres dimensiones considerando que las fuerzas en la componente x2 son iguales a las de la componente x1 .

pD dx1 dx3 x3

pA dx1 dx3

pC dx1 dx3

p A

B pB dx1 dx3 x1

Figura 5.2: Fuerzas sobre un Elemento diferencial en dos dimensiones

Segunda Ley de Newton para un diferencial de volumen de masa dm esta dado por dF = (dm)a (5.1) donde dF representa la suma de las fuerzas vectoriales sobre el diferencial de volumen con componentes en x1 y x3 para el caso bidimensional. Las fuerzas en la direccion x3 estan dadas porlas presiones en las caras B y D (Figura 5.2) m´ as el peso del elemento. dF3 = pB dx1 dx2 − pD dx1 dx2 − W. Las presiones en B y D se pueden aproximar a partir de la presi´on en el centro del elemento como pB

∂p dx3 ∂x3 2 ∂p dx3 p+ . ∂x3 2 p−

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5.2 Ecuaciones de Euler en 2D

Incluyendo estos valores de la presi´on en la ecuaci´on anterior tenemos ∂p dx3 ∂p dx3 dF3 = p − dx dy − p + dx1 dx2 − ρg dx1 dx2 dx3 ∂x3 2 ∂x3 2 ∂p dF3 = dx3 dx dy − ρ g dx dy dx3 . ∂x3 De manera similar podemos obtener las fuerzas en x1 dF1 = pA dx3 dx2 − pC dx3 dx2 ∂p dx1 ∂p dx1 dx3 dx2 − p + dx3 dx2 dF1 = p − ∂x1 2 ∂x1 2 ∂p dF1 = − dx1 dx3 dx2 ∂x1 Resumiendo tenemos para las fuerzas sobre el elemento ∂p ∂p dx1 dx3 dx2 − dx1 dx3 dx2 , ∂x1 ∂x1 ∂p dx3 dx1 dx2 − ρ g dx1 dx2 dx3 . dF3 = − ∂x3

dF1 = −

(5.2a) (5.2b)

Adicionalmente la aceleración de un Flujo esta dada por la aceleración convectiva m´ as la aceleración temporal. Para un flujo estacionario en 2 dimensiones la aceleraci´ on esta dada por ∂v1 ∂v1 + v3 ∂x1 ∂x3 ∂v3 ∂v3 a3 = v1 + v3 ∂x1 ∂x3 a1 = v1

en notaci´ on compacta a = [∇v] v

(5.3)

Reescribiendo la segunda ley de newton 5.1 con las expresiones obtenidas en (5.2) y (5.3)   ∂p − dx1 dx3 dx2  ∂x1    = ρ dx1 dx2 dx3 [∇v] v   ∂p − dx3 dx2 dx3 − ρ g dx1 dx2 dx3 ∂x3 Dividiendo por la masa ρ dx1 dx2 dx3 y dejando el termino de la gravedad g en Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.3 Ecuaci´ on de Bernulli en 3D un vector aparte tenemos: 

 ∂p  1  ∂x1  +  ρ ∂p  − ∂x3 −

0 −g

! = [∇v] v

En notacion compacta 1 ∇p + b = [∇v] v ρ

(5.4)

donde b representa las fuerzas de volumen por unidad de masa. La ecuaci´on 5.4 junto con la ecuaci´ on de continuidad ?? constitullen las ecuaciones de Euler. 1 ∇p + b = [∇v] v (5.5a) ρ div v = 0 (5.5b) Las cuales se pueden escribir en notaci´on extendida para el caso 2D como 1 ∂p = ρ ∂x1 1 ∂p − = ρ ∂x2 1 ∂p − +g = ρ ∂x3 Ecuaci´ on de Continuidad −

5.3.

∂v1 ∂v1 ∂v1 + v2 + v3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂v2 ∂v2 ∂v2 v1 + v2 + v3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂v3 ∂v3 ∂v3 v1 + v2 + v3 ∂x1 ∂x2 ∂x3

(5.6b)

∂v1 ∂v2 ∂v3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3

(5.6d)

(5.6a)

(5.6c)

Ecuaci´ on de Bernulli en 3D

Partiendo de la ecuaci´ on 5.4 la cual es la segunda ley de newton para un fluido no viscoso podemos llegar a una expresión que contiene la ecuación de Bernoulli previamente desarrollada para una linea de corriente. Para comenzar miremos el termino de las fuerzas de volumen por unidad de masa b. Este termino se puede pensar como el gradiente de un potencial φ esto es b = ∇φ. En el caso de la gravedad en efecto representa un potencial de gravedad y se puede obtener de la siguiente manera ∂φ =0 ∂x1 b = ∇φ = ∂φ = −g ∂x3 De la primera ecuaci´ on podemos ver que φ no es función de x1 y de la segunda por separaci´ on de variables tenemos dφ = −gdx integrando obtenemos φ = Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.4 Tarea

−g x3 + cte. Reescribiendo la ecuaci´on (5.4) tenemos 1 ∇p + ∇φ = [∇v] v ρ Del analysis en las notas de clase tenemos que la aceleracion convectiva se puede escribir en terminos del rotacional y del gradiente de la norma de la velocidad de la siguiente manera [∇v] v = (ξ × v) + ∇

kvk2 . 2

Reemplazando este resultado en la ecuaci´on anterior tenemos la segunda ley de newton en terminos de la vorticidad del fluido kvk2 1 ∇p + ∇φ = (ξ × v) + ∇ . ρ 2

(5.7)

para el caso que el fluido es irrotacional (ξ × v) = 0 tenemos 1 kvk2 ∇p + ∇φ = ∇ . ρ 2 Agrupando en un solo gradiente 1 kvk2 p+φ+ ∇ =0 ρ 2 Lo cual concluye que el termino en en par´entesis es una constante. Recordando que φ = −g x3 + cte. 1 kvk2 p + x3 + = cte ρ 2 La cual es la ecuaci´ on de Bernoulli. La unica diferencia es que esta vez es valida para particulas distribuidas en cualquier parte del fluido y no sobre una linea de corriente solamente. La unica condici´on para que esto se cumpla es que el flujo debe ser irrotacional!.

5.4.

Tarea

La tarea consiste en demostrar que a partir de la ecuaci´on (5.7) se puede llegar a la ecuaci´ on de Bernoulli cuando el fluido se considera a lo largo de una linea de corriente

Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.5 Ecuaci´ on de Bernulli en 2D

5.5.

Ecuaci´ on de Bernulli en 2D

Multiplicando la ecuaci´ on (??) por dx y la ecuaci´on (??) por dz y sumando t´erminos tenemos: 1 − ρ

∂p ∂p dx + dz ∂x ρ

∂u ∂u ∂w ∂w dx + w dx + u dz + w dz + gdz ∂x ∂z ∂x ∂z

(5.8)

Sumando y restando en la ecuaci´on (5.8) los siguientes t´erminos: w

∂w ∂u dx y u dz ∂x ∂z

se obtiene:

−

1 ρ

∂p ∂p dx + dz ∂x ρ

∂u ∂u ∂w ∂w dx + u dz + w dz + w dz ∂x ∂z ∂x ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u + w dx − w dx + u dz − u dz + gdz ∂z ∂x | ∂z {z∂x }

A∗

donde en los cuatro u ´ltimos t´erminos tenemos: A∗ = wdx

∂u ∂w − ∂z ∂x

+ udz

∂w ∂u − ∂x ∂z

∂u ∂w − ∂z ∂x

(wdx − udz)

y los dos primeros t´erminos corresponden a: d

u2 + w2 2

porque du =

∂u ∂u dx + dz ∂x ∂z

entonces udu = u

∂u ∂u dx + u dz ∂x ∂z

Reorganizando estos resultados se obtiene: −

dP 1 =d ∂z ρ

u2 + w2 ∂w ∂u + + (udz − wdx) + gdz 2 ∂x ∂z | {z } | {z } ξ:vorticidad v 2 =u2 +w2

Se tiene: Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.6 Interpretaci´ on Ecuaci´ on de Bernulli

−

dP dv 2 (dP ) = d + ξ (udz − wdx) + dz γ 2g

Integrando: −

5.6.

p v2 1 − +Z =H − γ 2g ρ

Z (udz − wdx)

(5.9)

Interpretaci´ on Ecuaci´ on de Bernulli

La ecuaci´ on (5.9) muestra que la suma de los t´erminos de Bernulli es igual a una constante si la vorticidad ξ es igual a cero. Esto es si el flujo es IRROTACIONAL es decir, cada masa de fluido en flujo irrotacional tiene la misma energ´ıa unitaria. Si el flujo es irrotacional entonces la integral en la ecuaci´on(5.9) debe ser evaluada.

5.6.1.

Lineas de Corriente (Flujo Permanente)

w v u

dx Figura 5.3: Lineas de corriente Seg´ unR la Figura (5.3) w u = integral ξ (udz − wdx) = 0

dz dx

⇒ wdx = udz por tanto el termino de la

En flujo rotacional los t´erminos de Bernulli son constantes, sin embargo la constante es diferente para cada linea de corriente

5.6.2.

Aplicaci´ on (Flujo Irrotacional)

Aunque H es constante solo se puede calcular

p γ

2 + v2g

como H − z (Figura

5.4), las presiones pA y pB no se pueden calcular hasta conocer v A y v B . sin Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.7 Efecto de la Curvatura de las Presiones

Linea de Energia

( pγ

)

( pγ

)

2g B

ZA ZB

Figura 5.4: Aplicaci´on flujo irrotacional

embargo para calcular v se puede usar la ecuaci´on de continuidad (??). “Solo que no se tiene una t´ecnica para resolver estas ecuaciones.”

5.7.

Efecto de la Curvatura de las Presiones

De acuerdo a la Figura(5.5) efectuando sumatoria de fuerzas sobre el elemento y considerando la segunda ley de Newton obtenemos: X

Fr = dm ar

(p + dP ) ds − P ds + W cos(θ) = dm ar

(5.10)

Aproximando el diferencial de masa en terminos conocidos, dm = ρ ds dr

(5.11)

W = gdm = gρ ds dr

(5.12)

hallando el angulo de inclinacion del diferencial respecto al eje vertical, dz (5.13) dr y determinando la aceleraci´ on radial en t´erminos de la velocidad lineal del diferencial y el radio cos(θ) =

ar =

v2 r

(5.14)

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5.7 Efecto de la Curvatura de las Presiones

ds p+dp v

θ dz

Figura 5.5: Diferencial en trayectoria curva

Podemos remplazar las ecuaciones (5.11),(5.12),(5.13)y (5.14) en (5.10) obteniendo: dP ds + ρ g ds dr dP + ρ g dr

dz dr

= ρ g ds dr

= ρ g dr

v2 r

dP v2 + dz = dr γ gr d d dr

p +z γ

v2 dr gr

v2 gr

(5.15)

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5.8 Efecto de la Curvatura en la Velocidad Lo cual quiere decir que

d dr

p γ

> 0 SIEMPRE, es decir

p γ

creciente respecto a r como lo indica la Figura (5.6) p +Z γ

Figura 5.6: Relaci´on

p γ

+ z vs r

Si se tienen dos l´ıneas de corriente con la misma curvatura (Figura (5.7) entonces:

B A r

Figura 5.7: Lineas de corriente con misma curvatura

5.8.

p +z γ

> B

p +z γ

Efecto de la Curvatura en la Velocidad

Derivando la ecuaci´ on de Bernulli en la direcci´on radial d p v2 d + +z = (H) = 0 dr γ 2g dr d p d v2 +z + =0 dr γ dr 2g

(5.16)

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5.8 Efecto de la Curvatura en la Velocidad remplazando la ecuacion (5.15) en (5.16) tenemos: v2 2 dv =− v 2gr 2g dr Luego vdr + rdv = 0 d(vr) = 0

Integrando para un fluido con un solo centro de curvatura (Torbellino) tenemos v.r = cte → v =

cte r

La velocidad es inversamente proporcional al radio(Flujos irrotacionales). Intuitivamente esto representa un remolino en el lavamanos. Sin embargo esta ecuaci´ on no puede ser usada en general. Intuitivamente significa que curvas cerradas implican alta velocidad. Mayor Presión

Menor Presión

v uniforme

Figura 5.8: Efecto de la curvatura en la velocidad

Un ejemplo de esto se puede observar en la Figura (5.8)

5.8.1.

Ejemplo Aplicado

Tomando la tuberia mostrada en la Figura (5.9) y (5.10) un fluido que corre por esta se pueden realizar las siguientes afirmaciones: Para ambas paredes la presi´on est´atica es la misma: Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.8 Efecto de la Curvatura en la Velocidad

r Alta Curvatura

Alta Velocidad

A v1

No curvada

Uniforme

Figura 5.9: Perfil de velocidad en curvatura

p estatica =

p +z γ

= A

p +z γ

pero z es mas grande arriba por tanto p es mas baja arriba. Luego en caso de existir cavitaci´ on ocurrir´ a primero arriba. Por la ecuaci´ on de continuidad tenemos: Q = A1 v 1 = A2 v 2 = A3 v 3 RR donde v 1 y v 3 son uniformes y v 2 = A12 v dA es una velocidad promeA2 dio. Bernulli en t´erminos de potencia en 1 y 2: P ot1 = Qγ

p1 v2 + z1 + 1 γ 2g

v dA γ {z }

Z Z

v A2

= P ot2

caudal

Z Z =

p2 v2 + z2 + 2 γ 2g

Z Z p2 v3 + z2 dA + dA γ A 2g

La l´ınea de energ´ıa (EL) se aplcia a todos los puntos del fluido. Si se asume v A = v promedio (v) entonces se puede aplicar la ecuaci´on de energ´ıa para obtener valores aproximados de v 1 y de Q: pA v2 p1 v2 + zA + A = + z1 + 1 γ 2g γ 2g v 1 A1 = v A AA ⇒ v A =

v 1 A1 AA

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5.9 Identificaci´ on de los puntos de Estancamiento para Interpretaci´ on de Flujos

Linea de Energia xx xxx xx xx x xx x xxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxxx x xxxx xxxx xxx xxxx xxxx xx xxxx xxxx x xxxx xx xxxx xxxx xx xxxx xxxx x xxxx xx xxxx xxxx xxxx xx xxxx xxxx xxx xxxx xxxx xxxx xxx xxxx x xxxx xxxx x xxxx xx xxxx xxxx xx xxxx xxxx x xxxx xx xx x xx xxx xx x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

v12/2g

1.5m

vA2/2g

0.6 m

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0.6 m

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

0.75m

2 Figura 5.10: Ejemplo practico

Qap = v 1 A1 dado que v A es mayor que v promedio , entonces Qap > Qreal El valor real deber´a calcularse usando: Z Z Z Z 3 p p1 v2 v + z1 + 1 = v + z dA + dA Q γ 2g γ 2g A2

La cual debe resolverse por ensayo y error.

5.9.

Identificaci´ on de los puntos de Estancamiento para Interpretaci´ on de Flujos

En un punto de estancamiento v = 0, entonces H = γp + z, lo que quiere decir que la lectura de la presi´on en estos puntos conduce al calculo de H y p (Figura (5.11))

5.9.1.

Ejemplos Aplicados

1. Tomando como base la Figura (5.12), sea γ = 50lb/f t3 , pB = 60psi, pA = 20psi Cual es la velocidad en A si el flujo es irrotacional?

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5.9 Identificaci´ on de los puntos de Estancamiento para Interpretaci´ on de Flujos

xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

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Figura 5.11: Puntos de estancamiento

Soluci´ on: Punto B es un punto de estancamiento, entonces: H=

pB = 17,28f t γ

Ecuaci´ on de energ´ıa: z+

p v2 1 + =H− γ 2g g

Z ξ (udz − wdx)

donde: −

1 g

Z ξ (udz − wdx) = 0

Ecuaci´ on de energ´ıa evaluada en A: 2

zA +

pA v2 2lb/in2 ,144in /f t2 v 2A + A = 10f t + + =H lb γ 2g 50 /f t3 2g v 2A = 1,52 2g v A = 9,89f t/s

2. Seg´ un el esquema mostrado en la Figura (5.13) El fluido tiene una velocidad v B en B por tanto la l´ınea de energia esta por encima del nivel del agua. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.9 Identificaci´ on de los puntos de Estancamiento para Interpretaci´ on de Flujos EL

17.28' vA

10'

Figura 5.12: Ejemplo puntos de estancamiento

v2 pB +zB + B γ 2g |{z} =0

Una vez conocida v B (por experimentación) la velocidad a lo largo de BB se conoce si se conoce la trayectoria de la l´ınea de corriente BB La presi´ on en la sección L es hidroestática (l´ıneas de corriente paralelas). La presión en A00 = γ.y El u ńico punto de estancamiento es A00 donde pA00 = H v2 En un punto c pγc + 2gc se puede calcular conociendo la trayectoria zc y H para calcular v c y pc , fácilmente calculables. La presi´ on a la salida del chorro es la presión atmosferica (Figura (5.14)), sin embargo las l´ıneas de corriente estan curvadas a la salidad, entonces

d dr

p γ

+z >0

3. Segun el esquema mostrado en la Figura (5.15), calcular el flujo e identificar los puntos de estancamiento. Soluci´ on: Presi´ on en el chorro es cero por lo tanto la velocidad en el chorro varia con z. Cabeza total: ( punto A) Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.9 IdentificaciÂ´ on de los puntos de Estancamiento para InterpretaciÂ´ on de Flujos

vb2 2g B

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

P v2 + g 2g

(

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

)

xx xxx xx xx xx xx x xx xx xx xx xx x

B xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx

vc c

xx xx x xxx xx xxx xx xx x xx xx x

xxxxxxxxx

A'' Figura 5.13: Ejemplo aplicado

H =z+

v 2A v2 = 1,5 + A 2g 2g

Cabeza en el chorro: 1,5 +

v 2A v2 =H= 2g 2g

por tanto s v=

v 2A â&#x2C6;&#x2019;z 2g 1,5 + 2g

El flujo es por tanto: Z

0,9

1,5v A = q =

0,9

vdz = 0,3

0,3

v2 2g 1,5 + A â&#x2C6;&#x2019; z dz 2g

m3 Por ensayo y error q = 2,81 /s m Notece que A0 es un punto de estancamiento, entonces p v2 H= +z+ =z Îł 2g

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5.10 Vena Contracta

p atm xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx

Figura 5.14: Salida del chorro vb2 2g B

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx xx xx xx xx xx xxx xx xx xx xxx xx xx xx x xx xx x xx xx x xxx x xx

(

p v2 + g 2g

)

xx xxx xx xx xx x xx xx x xx xx x xxx

xx xxx xx xx xx x xx xx x xxx x xx

B vc c

xxxxxxxxx

xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx

A''

Figura 5.15: Ejemplo aplicado

5.10.

Vena Contracta

La presi´ on aumenta en dirección opuesta al centro de curvatura. Por métodos anal´ıticos se puede demostrar que la dimensión de la vena contracta es: φV =

5.11.

π φorificio π+2

Funci´ on de Corriente

Concepto basado en el principio de conservaci´on de masa y el concepto de l´ınea de corriente Conservaci´on de masa ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.11 Funci´ on de Corriente

Centro de curvatura

Vena Contracta

Líneas paralelas

Distribución de Presiones

Figura 5.16: Vena Contracta

Se define una funci´ on continua ψ(x, y) como

∂ψ ∂y

v=−

∂ψ ∂x

entonces se satisface la ecuaci´ on de continuidad ∂u ∂v ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ + = − =0 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x Velocidad tangente a la l´ınea de coriente

~v × d~s = (u, v) × (dx, dy) ∧

~v × d~s = (u dy − v dx) K ∴ u dy − u dx = 0 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

5.12 Potencial de velocidad

V ds

~ es un vector diferencial perteneciente a la Figura 5.17: Linea de corriente, ds l´ınea de corriente, ~v es la velocidad en un punto sobre la linea de corriente. sustituyendo u, v en t´erminos de ψ u dy − v dx = 0 ∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y lo cual es precisamente dψ =⇒ dψ = 0 a lo largo de la l´ınea de corriente Vorticidad ∂u ∂v − ξ= ∂x ∂y sustituyendo ψ ξ=−

∂2ψ ∂2ψ − ∂x2 ∂y 2

para flujos irrotacionales ξ = 0 −

∂2ψ ∂2ψ − =0 ∂x2 ∂y 2

ecuaci´on de Laplace

∇2 ψ = 0

∆ψ = 0

5.12.

Potencial de velocidad

se define φ tal que V = −gradφ = −

∂φ ∂φ , = −∇φ ∂x ∂y

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5.13 ECUACIONES DE LOS FLUIDOS

La ecuaci´ on de continuidad en t´erminos de potencial ∂2φ ∂2φ + 2 =0 ∂x2 ∂y la vorticidad ∂v ∂u − ∂x ∂y ∂2φ ∂2φ =− + ∂x∂y ∂y∂x =0

ξ=

−→ solamente se pueden caracterizar flujos irrotacionales

5.13.

ECUACIONES DE LOS FLUIDOS

Aceleraci´ on ∂u ∂u ∂u ∂u +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∂v ay = +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w ∂w +u +v +w az = ∂t ∂x ∂y ∂z

ax =

identificando ∇=

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z

~v = (u, v, w)

tenemos en forma compacta ~a =

∂~v ∂~v ∂~v ∂~v +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z

∂ ∂ ∂ ~v .∇ = (u, v, w) , , ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ =u +v +w ∂x ∂y ∂z

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5.13 ECUACIONES DE LOS FLUIDOS

∂ ∂ ∂ ~v u +v +w ∂x ∂y ∂z ~ ∂~v ∂~v ∂V +v +w =u ∂x ∂y ∂z

⇒ (~v .∇) ~v =

~ luego la aceleraci´ on ~a = ∂∂tv + (~v .∇) ~v Conservaci´ on de masa en 2D: ∂u ∂v − =0 ∂x ∂y

en 3D:

∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z

En forma compacta ∇.~v = 0 “divergencia en ~v ” Vorticidad vel.angular → ω = 1/2 ξ → vorticidad ξ = ∇ × ~v

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Cap´ıtulo 6

Principio de Conservaci´ on del Momentum 6.1.

Momentun lineal

Segunda Ley de Newton:(Part´ıcula) impulso → (

P~ F )dt = d( mv ) → momentum

V2 Volumen de control

P2 A 2

Sistema individual Volumen diferencial = d

V1 P1 A 1

m = ρd Figura 6.1: Segunda Ley de Newton para el sistema individual X

dv d F~ = m~a = m = (mv) dt dt X

d F~ = (ρv d∀) dt 73

6.1 Momentun lineal Para todo el sistema X

F~ext =

Z Z Z sis

d F~ext = dt

d (ρv d∀) dt

Z Z Z (ρv d∀)

(6.1)

sis

Ecuaci´ on de Transporte de Reynolds(Flujo Permanete) Z Z dE ~ = iρv dA dt sc Reconociendo E como la variable extensiva igual a el momentum del sistema en un tiempo dado Z Z Z d dE = ρv d∀ dt dt sis La variable intensiva ser´a el momentum por unidad de masa mv = v. m

Aplicando estos dos resultados a la ecuaci´on de Reynolds d dt

Z Z Z

Z Z

~ vρ v dA

ρv d∀ = sis

Z Zsc

Z Z ~ − ρv v dA

= sc-salida

~ ρv v dA sc-entrada

Para flujo uniforme y perpendicular a la superficie de control a la entrada y ~ = ±v dA salida ⇒ v dA d dt

Z Z Z

Z Z

Z Z v 2 dA − ρv 1

ρv d∀ = ρv 2 sis

v 1 dA 1

= ρv 2 Q2 − ρv 1 Q1 RRR d ρv d∀ −→ Tasa de cambio del momentum del sistema. =⇒ dt sis De la ecuaci´ on 6.1, segunda Ley de Newton para el sistema Z Z Z X d Fext = ρv d∀ dt sis Por tanto X

Fext = ρv 2 Q2 − ρv 1 Q1

Por conservaci´ on de masa Q1 ρ1 = Q2 ρ2 X

Fext = ρQ(v 2 − v 1 )

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6.1 Momentun lineal

La cual es una ecuaci´ on vectorial que se puede escribir en t´erminos de sus componentes X

Fextx = ρQ(v 2x − v 1x )

Fexty = ρQ(v 2y − v 1y )

EJEMPLO P2A 2 Atmosfera V2 4 cm diámetro

Rx 8 cm diámetro

P1 A 1 x

V1 Ry

Sección Flexible

Figura 6.2: flujo=0.01 m3 /s (ignorar peso y viscocidad) Velocidades Promedio Q 0,01 = 1,99m/s = A1 π(0,08)2 /4 0,01 Q = = 7,96m/s v2 = A2 π(0,04)2 /4 v1 =

Antes de calcular Rx y Ry se necesita calcular P 1 y P 2 Utilizando la ecuaci´on de energ´ıa v 21 P1 v2 P2 + = 2+ → P2 = Patmosferica 2g γ 2g γ γ 2 9800 ∴ P1 = (v 2 − v 21 ) = (7,962 − 1,992 ) = 29700Pa 2g 2(9,81) Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

6.1 Momentun lineal

Ecuaci´ on de momentum P1 A1 − Rx = m(v ˙ 2x − v 1x ) 29700 (π/4) (0,08)2 − Rx = 1000(0,01)(−1,99)

∴ Rx = 169N Ry = m(v ˙ 2y − v 1y ) Ry = (1000)(0,01)(7,96) = 79,6N Ry = 79,6N EJEMPLO Calcular F/m arrastre por unidad de longitud Volumen de control escluye el cilindro: ρ = 1,23Kg/m3 El flujo m´asico que entra por ∆ B y 2

A 10m

U(y) = 29+y /100

B U = 30 m/s

U =30m/s

Figura 6.3:

sale por BC, CD, AB La ecuaci´on de momentum:

Z −F =

v x ρv.ˆ n dA Zsc

ρv 2 dA + U∞ m ˙ AD + U∞ m ˙ BC −

ACD Z 10

ρv 2 dA

AAB

1,23(29 + y 2 /100)2 dy + 2(30)m ˙ AD − 1,23(39)2 (20) −→ ∗

donde se supuso m ˙ AD = m ˙ BC Para calcular m ˙ AD se usa la ecuaci´on de continuidad: Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

6.2 Conservaci´ on del momentum angular

ρu(y) dy − ρ(10)(30)

0=m ˙ AD + 0

1,23(29 + y 2 /100) dy − 1,23(10)(30)

=m ˙ AD + 0

∴m ˙ AD = 8,2Ky/s por metro Reemplazando en * F = −21170 − 492 + 22140 F = 480N/m

6.2.

Conservaci´ on del momentum angular P 2A 2 P mv

P 1A 1 r

y o

Datum

Figura 6.4: Conservaci´on del momentum angular El momento del momentum de un sistema es igual a la suma de los momentos de las fuerzas externas que act´ uan sobre ´el. Para un sistema diferencial con masa m = ρ d∀ y velocidad v se cumple X

F =

d d(m~v ) = (ρv d∀) dt dt

el momento de esta fuerza ser´ a entonces X

~r × F~

= ~r × =

d (ρv d∀) dt

d (~r × vρ d∀) dt

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6.2 Conservaci´ on del momentum angular

Para todo el sistema ser´a: Z

d (~r × vρ d∀) sistema dt Z X X d ~ Mo = ~r × Fext = ~r × vρ d∀ dt sistema X

~r × F~ext =

Teorema de Reynolds (Flujo Permanente): Z Z dE ~+ ~ = iρv · d A iρv · dA cs cs dt salida in donde E = momento del momentum ~r × mv ~r × mv = ~r × v i= m Z d dE = (~r × v)ρ d∀ dt dt Z Z d ~ ∴ (~r × v)ρ d∀ = (~r × v)ρv · dA dt sc Si las l´ıneas de flujo son rectas paralelas y perpendiculares a la superficie de ~ = dQ entrada y salida ⇒ v · dA Z Z dE = ~r × vρ dQ + ~r × vρ dQ dt salida entrada X ∴ ~r × F~ext = ~r × v sal ρQ − ~r × v in ρQ X

6.2.1.

Mo = ρQ(~r × v sal − ~r × v in )

(6.2)

Ejemplo

Si en el ejemplo anterior se coloc´o un solo alambre para sostener el codo. Donde se debe colocar? La magnitud y el a´ngulo de la fuerza se obtienen del resultado anterior p F = 1692 + 79,62 = 186,8 79,6 θ = arctan = 25,22◦ 169 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

6.2 Conservaci´ on del momentum angular

15cm

20cm

Figura 6.5: Ejemplo conservaci´on del momentum Distancia de aplicaci´ on ~ −P2 A2 (0,2) + ~r × R

ρQ(~r × ~v sal − ~r × v in )

r(186,8)

(1000)(0,01)(0,20(7,96) − 0v in )

r(186,8)

15,92 15,92 = 0,085m 186,8

r = 8,5cm

6.2.2.

Prob 6.7

Calcular la fuerza ejercida por el agua en el orificio de la placa. Asuma que el agua en el chorro entre el orificio de la placa y la vena contracta pesa 4.0 lb. Ver figura 6.7. d1 = 1000 = 0,83ft πd2 A1 = 4 1 = 0,545ft2 z1 = 1ft P1 = 3ft · γH2 O

d2 = 600 = 0,5ft πd2 A2 = 4 2 = 0,196ft2 z2 = 0ft P2 = 0

79.6N 169 N Figura 6.6: Suma de fuerzas del ejemplo Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

6.2 Conservaci´ on del momentum angular

3’ 10"d 0.75’

0.25’ 6"

Figura 6.7: Problema 6.7 Ecuaci´ on de continuidad A1 v 1 = A2 v 2 ⇒ v 2 =

A1 25 v1 = v1 A2 9

Ecuaci´ on de energ´ıa P1 v2 v2 v2 + z1 + 1 = 2 ⇒ 4f t + 1 = γ 2g 2g 2g

25 9

v 21 2g

⇒ v 1 = 6,17ft/s v 2 = 17,15ft/s Q = 3,36ft3 /s Ecuaci´ on de Momentum X Fext

= P1 A1 + W − Fz = Qρ(v 2 − v 1 )

4lb + ρA1 (0,75ft) = 29,53lb

⇒F

60 lb

∴ Fuerza en el plato es 60.0 lb ↓.

6.2.3.

Problema 6.19

Para el chorro mostrado en la figura 6.9, hallar su altura: d1 = 100 = 0,083ft πd2 A1 = 4 1 = 0,00545ft2 P1 = 0 z1 = 0

P2 = 0 z2 = H

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6.3 Fuerza de Propulsi´ on

Q = 0,05454ft3 /s Continuidad Q = A1 v 1 ⇒ v 1 =

Q 10,0 ft/s A1

Ecuaci´ on de Energ´ıa v 21 v2 = 2 + H ⇒ v2 = 2g 2g

q v 21 − 2gH

Ecuaci´ on de Momentum −W W2 H

6.3.

q = Qρ(−2v 2 ) = −2Qρ v 21 − 2gH 4Q2 ρ2 (v 21 − 2gH) W2 v 21 = 1,21 ft − = 2g 8gρ2 Q2

Fuerza de Propulsi´ on

Para la figura 6.12, se observa lo siguiente: El volumen de control se toma a la izquierda a una distancia tal que la velocidad es la velocidad no alterada del fluido v 1 , a la derecha se toma exactamente a la salida Fuerzas Externas: contacto: • Fluido-Fluido: p1 A,

p1 (A − A2 ),

p2 A2 ,

• Fluido-solido Fp (fuerza de propulsi´on) volumen: peso despreciable

F1 W Fz F2 Figura 6.8: Fuerzas en la placa del problema 6.7 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

6.3 Fuerza de Propulsi´ on

H 1"d

Figura 6.9: Chorro del problema 6.19

Volumen de control A

A H 1"d

Figura 6.10: Volumen de control en el problema 6.19

1 lb A

A V2

Figura 6.11: Entradas y salidas del volumen de control del problema 6.19 Sumatoria de fuerzas externas sobre el fluido: X Fx = p1 A − p1 (A − A2 ) − p2 A2 + Fp Considerando ρa la densidad del aire y m ˙ a = el flujo másico de aire e igualmente ρf la densidad del combustible y m ˙ f = el flujo másico de combustible podemos escribir ka ecuación de cambio de momentum en la dirección x de la Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

6.3 Fuerza de Propulsi´ on

1 Combustible

p1 V2

p1 p2 Fp

V1 Volumen de control Figura 6.12: Fuerza de propulsi´on

siguiente manera ZZ ZZ ρv x v x · n ˆ dA = cs

−ρa v 1 v 1 dA +

ρa v 2 v 2 dA + A2

ρf v 2 v 2 dA A2

= v 2 (m ˙ f ) + (v 2 − v 1 )(m ˙ a) Por tanto la ecuacion de impulso-momentum se puede escribir como (p1 − p2 )A2 + Fp = m ˙ a (v 2 − v 1 ) + m ˙ f v2 Resolviendo para la fuerza Propulsiva Fp tenemos Fp = m ˙ a (v 2 − v 1 ) + m ˙ f v 2 + (p2 − p1 )A2

6.3.1.

Ejemplo

Una unidad de propulsi´ on a chorro se dise˜ na para tener (proveer) una fuerza de propulsi´ on de 200.9 kN cuando se mueve (vuela) a una altura de 10 km y a una velocidad de 250 m/s. Experimentalmente se mide la velocidad a la salida como 1.2 km/s y la presi´ on 35 kPa. Si el ´area de salida es 1.4 m2 y el flujo de Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

6.4 Propelers (H´ elices)

aire 198 kg/s, ¿cu´ al es el consumo de combustible? Fp = m ˙ a (v 2 − v 1 ) + m ˙ f v 2 + (P2 − P1 )A2

200,9 ∗ 103 N

kg (1200m/s − 250m/s) + m ˙ f (1200) s + (35,0 − 26,5) ∗ 103 Pa ∗ 1,4m2

198

∴m ˙ f = 0,75 kg/s En 1 hora de vuelo m ˙ = 0,75 kg/s ∗

6.4.

3600s ∗ 1h = 2700 kg 1h

Propelers (H´ elices)

P3 F

V4 A4

A Figura 6.13: Propelers o helices

Para la h´elice mostrada en la figura 6.13, se observa que: Se seleccionan dos puntos 1 y 4 para los cuales P1 = P4 Por la forma del tubo de aire P2 < P1 , P4 < P3 La fuerza externa en el fluido es F Ecuaci´ on de momentum en 1 y 4 (P3 − P2 )A = F = (v 4 − v 1 )ρQ Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

6.4 Propelers (H´ elices)

Suponiendo Q = Av, donde v es la velocidad media en A, se tiene entonces P3 − P2 = (v 4 − v 1 )ρv

(6.3)

Bernoulli entre 1 y 2 1 1 P1 + ρv 21 = P2 + ρv 22 2 2 Bernoulli entre 3 y 4 1 1 P3 + ρv 23 = P4 + ρv 24 2 2 Como se escogi´ o P1 = P4 , y sumando las dos u ´ltimas ecuaciones: P3 − P2 =

1 ρ(v 24 − v 21 ) 2

(6.4)

Igualando (6.3) y (6.4) (v 4 − v 1 )ρv

1 ρ(v 24 − v 21 ) 2 1 (v 4 − v 1 )(v 4 + v 1 ) 2 (v 4 − v 1 ) v4 + v1 2

(6.5)

Potencia que entrega: Po = F v 1

v 1 :Velocidad a la que se mueve el propeler × fuerza de empuje.

Po = (v 4 − v 1 )ρQv 1 Potencia que recibe: Para calcular la potencia que recibe el fluido aplicamos equacion de energia en un volumen de contro que va desde el puntos 1 hasta el punto 4. v 21 v2 + EB = 4 , 2g 2g donde EB es la Energia por unidad de peso transferida al fluido por la helice. Luego la potencia ser´ a Pi = γQEB ρQ 2 = (v 4 − v 21 ) 2 ρQ = (v 4 − v 1 )(v 4 + v 1 ) 2 = ρQ(v 4 − v 1 )v

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6.4 Propelers (H´ elices) Eficiencia ideal: η=

Po v1 = Pi v

Dado que v 1 < v implica que la eficiencia sera η < 1 siempre.

6.4.1.

Ejemplo

Figura 6.14: Ejemplo propelers Para el avion de h´elice mostrado en la figura 6.14, calcular el tubo de corriente, el empuje y la eficiencia. 3 γaire = 12 N/m v = 88,9 m/s Pi = 1120 kW φhelice = 3m

1120 ∗ 103

πd2 v 1 + v 4 ρQ 2 πd4 2 (v 4 − v 1 ) , Q = v prom = 2 4 2 4 ρπd2 (v 1 + v 4 )(v 24 − v 21 ) 2×4×2 12π(3)4 88,9 + v 4 (v 24 − 88,92 ) (2)(9,8)(4) 2 ⇒ v 4 = 103 m/s

Los di´ ametros aguas arriba y aguas abajo se pueden calcular a partir del flujo πd2 v 4 + v 1 Q = Av = = 678 m3 /s 4 2 A1 = vQ1 A4 = vQ4 ⇒ d1 = 3,12m d4 = 2,89m F = (v 4 − v 1 )ρQ = 11,7 kN v1 η= = 0,928 v

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Cap´ıtulo 7

Ecuaciones de Navier-Stokes 7.1.

Introducci´ on

Aplicables a flujo laminar y turbulento Son no lineales ρ uniforme y constante Punto de entrada a la mec´ anica de fluidos moderna. Su deducci´ on se hace a trav´es del Teorema de transporte de Reynolds y el principio de conservaci´ on del momentum. Para el cual:

7.1.1.

E = mv

→

Propiedad extensiva

i=v

→

Propiedad intensiva

Tipos de fuerzas

1. Fuerzas de interacci´ on (Fuerzas de superficie) 2. Fuerzas de volumen (gravedad, magnetica) 7.1.1.1.

Fuerzas consideradas en fluidos

Gravedad Presi´ on (Esfuerzo Normal) Fuerzas superficiales (Esfuerzo cortante) 87

7.1 Introducci´ on Fuerzas sobre fluidos en movimiento debido la viscosidad: τ =µ

dv dy

En la figura: 7.1 se muestra el perfil de velocidad de un fluido entre dos placas.

v y

Figura 7.1: Distribuci´ on de esfuerzo cortante en un fluido entre dos placas. La placa superior se desplaza con una velocidad v haciendo que el fluido tambi´en se desplace. Observese que el fluido cercano a la placa inferior, fija, no se desplaza.

7.1.2.

Estado general de Esfuerzos

Considere un elemento de material de tama˜ no diferencial como el que se muestra en la figura 7.2. Entonces sobre cada una de las caras actua un par de esfuerzos: Normales σ Esfuerzos = Cortantes τ Arreglo en forma matricial de los esfuerzos denomina Tensor de Esfuerzos:  σx τxy [σ] =  τyx σy τzx τzy

sobre cada cara del elemento se  τxz τyz  σz

En la figura 7.2 se observan los esfuerzos sobre las caras de un elemento infinitesimal. En general el esfuerzo en un punto del material sobre una cara plana de normal n b = (n1 , n2 , n3 ) esta dado por:      t1 σx τxy τxz n1  t2  =  σy τyz   n2  . t3 σz n3 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

7.2 Fuerzas sobre un elemento de un Fluido

σz τ zy τ zx τ xz τ yz

τ xy σx τ yx

σy

Figura 7.2: Representacion del estado general de esfuerzos en un Elemento infinitesimal

7.2.

Fuerzas sobre un elemento de un Fluido

La segunda Ley de Newton F = ma puede ser expresada de la siguiente manera: X→ − d d = (E) = (mv) F (7.1) dt dt | {z } | {z } Fuerzas cambio de Externas momentum

7.2.1.

Fuerzas externas

En forma vectorial tenemos: X→ X X − F = Fxbi + Fy b k Ahora se procede a calcular las fuerzas sobre una superficie de control de tama˜ no diferencial. Para realizar esto localizamos un punto en el centro el cual tiene un estado de esfuerzos determinado y extrapolamos estos valores a la superficie del volumen de control usando la definicion de derivada parcial. La figura 7.3 muestra los valores de la fuerza para la cara derecha.

7.2.1.1.

Suma de Fuerzas sobre el volumen de control

La suma de fuerzas sobre el volumen de control correspondiente al elemento plano mostrado en la figura 7.3 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

7.2 Fuerzas sobre un elemento de un Fluido

σz τxz σx

σx

τzx

∂σx dx σx + dz ∂x 2

τzx

τxz σz

∂τxz dx τxz + ∂x 2

Figura 7.3: Fuerzas en la cara de un elemento en el plano xz localizado en el centro de un volumen de control diferencial. Por calculo podemos encontrar las fuerzas sobre la superficie del volumen de control.

7.2.1.2.

Fuerzas en “x”

X→ − ∂σx dx ∂σx dx F x = σx + dz − σx − dz ∂x 2 ∂x 2 ∂τxz dz ∂τxz dz + τxz + dx − τxz − dx ∂z 2 ∂z 2 Simplificando X− → ∂σx ∂τxz dx dz + dz dx Fx = ∂x ∂z

7.2.1.3.

Fuerzas en “z”

X− → ∂σz dz ∂σz dz Fz = σz + dx − σz − dx ∂z 2 ∂z 2 ∂τxz dx ∂τxz dx + τxz + dz − τxz − dz − ρg dz dx ∂x 2 ∂x 2 Simplificando X− → ∂σz ∂τxz Fz = dx dz + dz dx − ρg dz dx ∂z ∂z

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7.2 Fuerzas sobre un elemento de un Fluido

w w+ u A

∂w dx ∂x 2 u+

∂u dx ∂x 2

Figura 7.4: Velocidad en la frontera BC

7.2.2.

Cambio de momentum

d Observese el termino a la derecha de la ecuaci´on 7.1 Para calcular (mv) dt se usa el teorema de transporte de Reynolds

Z Z Z ZZ d dE

= iρ d∀ + iρv · dA dt sistema dt VC SC Para el cual E = mv y i = v. Reemplazando estos valores, y recordando que se esta trabajando sobre un vol´ umen diferencial, el primer termino de la derecha queda: Z Z Z Z Z Z ∂ ∂ iρ d∀ = vρ d∀ ∂t ∂t VC ZZZ ∂ = ρ v d∀ ∂t VC ∂ (ρv d∀) = ∂t ∂v = ρ dx dz ∂t ∂u b ∂v b = i+ k ρ dx dz ∂t ∂t Para calcular el segundo termino de la derecha considere un elemento diferencial como en la figura: 7.4. ZZ ZZ iρv · dA = vρ(v · n b)dA CS Z Zcs ZZ ZZ ZZ = ··· + ··· + ··· + ··· BC

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7.2 Fuerzas sobre un elemento de un Fluido Resolviendo la integral sobre la frontera BC, ver figura 7.4: ZZ BC

vρ(v · n b)dA ∼ = Z Z u+ BC

∂ω dx b ∂u dx ∂u dx b i+ ω+ k ρ u+ dA ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2

Debido a que la integral es sobre un elemento diferencial, esta se puede suprimir: ZZ ∂u dx ∂u dx ∼ u+ dzbi vρ(v · n b)dA = ρ u + ∂x 2 ∂x 2 BC ∂ω dx ∂u dx +ρ ω+ u+ dz b k ∂x 2 ∂x 2 En forma similar se puede calcular la integral sobre las fronteras CD, DA y AB. Luego tomar los terminos en ‘x’ y en ‘z’ y simplificar se obtiene: ZZ ∂u ∂ω ∂u b ∼ vρ(v · n b)dA = ρdxdz 2u +u +ω i ∂x ∂z ∂z SC ∂ω ∂ω ∂u b k + ρdxdz 2ω +u +ω ∂z ∂x ∂x Si a la anterior ecuaci´ on se le aplica el principio de conservaci´on de masa: ∂u ∂ω + = 0, ∂x ∂z entonces, ∂u ∂ω ∂u u 2 + =u . ∂x ∂z ∂x Luego la integral de superficie se transforma en ZZ ∂u b ∂ω ∂ω b ∂u ∼ v(ρv · n b)dA = ρ dx dz u +ω i + ρdxdz ω +u k ∂x ∂z ∂z ∂x CS dE d = (mv) queda: dt dt d ∂u ∂ω ∂u ∂u b b b (mv) = ρ dx dz i + ρ dx dz k + ρ dx dz u +ω i dt ∂t ∂t ∂x ∂z ∂ω ∂ω b + ρ dx dz ω +u k ∂z ∂x

Por tanto el cambio de momentum

Igualando este resultado a la suma de fuerzas externas y reordenando teminos

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7.3 Hipotesis de Stokes

en bi y b k:

bi b k

7.3.

∂σx ∂τxz ∂u ∂u ∂u + =ρ +u +ω ∂x ∂z ∂t ∂x ∂z ∂σz ∂τxz ∂ω ∂ω ∂ω + − ρg = ρ +u +ω ∂z ∂x ∂t ∂x ∂z

(7.2a) (7.2b)

Hipotesis de Stokes

Relaciona los esfuerzos con la viscosidad y la presi´on de la siguiente forma ∂u ∂x ∂ω σz = −P − 2µ ∂z ∂u ∂ω τxz = µ + ∂z ∂x σx = −P + 2µ

(7.3a) (7.3b) (7.3c)

Donde ∂u ∂ω + ∂z ∂x 1 P = − (σx − σz ) 2

Tasa de deformación Presión termodinámica

Para completar el desarrollo de las ecuaciones din´amicas 7.2, se reemplazan los valores otenidos por la hipotesis de Stokes 7.3 ∂u ∂u ∂ω ∂ ∂u bi : ρ +u +ω = −P + 2µ ∂t ∂x ∂z ∂x ∂x ∂ ∂u ∂ω +µ + ∂x ∂z ∂x ∂ω ∂ω ∂ω ∂ ∂ω b k: ρ +u +ω = −P + 2µ ∂t ∂x ∂z ∂z ∂z ∂ ∂u ∂ω +µ + − ρg ∂x ∂z ∂x Aplicando continuidad ∂u ∂ω + =0 ∂x ∂z Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

7.3 Hipotesis de Stokes

en bi : ρ

∂u ∂u ∂ω +u +ω ∂t ∂x ∂z

Entonces:

∂2u ∂2ω ∂P ∂2u + 2µ 2 + µ 2 + µ ∂x ∂x ∂z ∂z∂x 2 ∂ ∂ u ∂u ∂ω ∂P +µ 2 +µ 2 + =− ∂x ∂z ∂x ∂x ∂z =−

∂u ∂u ∂ω +u +ω ∂t ∂x ∂z

=−

∂2u ∂P ∂2u +µ 2 +µ 2 ∂x ∂z ∂x

Similarmente en zb se tiene: ∂ω ∂ω ∂ω ∂P ∂2ω ∂2ω ρ +u +ω =− + µ 2 + µ 2 − ρg ∂t ∂x ∂z ∂z ∂z ∂x Dividiendo por ρ y reordenando: bi : b k:

7.3.1.

2 ∂u ∂u ∂ω 1 ∂P ∂ u ∂2u +u +ω =− +ν + ∂t ∂x ∂z ρ ∂x ∂x2 ∂z 2 2 ∂ω ∂ω 1 ∂P ∂ ω ∂2ω ∂ω +u +ω =− +ν + −g ∂t ∂x ∂z ρ ∂z ∂z 2 ∂x2

(7.4) (7.5)

Forma compacta: ∇=

∂ , ∂x

∂ ∂z

v = (u, ω)

7.3.1.1.

Operadores vectoriales

7.3.1.2.

Gradiente ∂u ∂ ∂  ∂x , = ∂ω ∂x ∂z ∂x 

∇v =

7.3.1.3.

u ω

 ∂u ∂z   ∂ω ∂z

Divergencia ∇v =

∂ ∂ , ∂x ∂z

u ω

∂u ∂ω + ∂x ∂z

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7.3 Hipotesis de Stokes  ∂u  ∇2 v = ∇ (∇v) =  ∂x ∂ω ∂x

95  2 ∂ u ∂u   ∂   ∂z   ∂x  =  ∂x2    2 ∂ω ∂ ∂ ω ∂z ∂z ∂x2

 ∂2u ∂z 2   ∂2ω  ∂z 2

Aplicando estos resultados 1 (v · ∇) v = − ∇P + ν∇2 v + F ρ Donde F = gb k

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Cap´ıtulo 8

An´ alisis Dimensional Método que permite reducir el n´ umero de variables dimensionales (y complejidad) que intervienen en la descripción de un fenómeno f´ısico dado. Su objetivo es reducir un sistema descrito por n variables dimensionales → k variables adimensionales es decir la reducci´ on de variables es n − k

8.0.2.

Dimensiones B´ asicas

Dimensiones b´ asicas en mec´ anica de fluidos M L T Θ

Masa Longitud Tiempo Temperatura

En algunas ocasiones se puede considerar la fuerza como dimensi´on b´asica F L T Θ

8.0.3.

Fuerza Longitud Tiempo Temperatura

Ejemplo

Un ciclista al entrenar en un velódromo da vueltas alrededor de la pista dibujando circulo de radio R con una velocidad constante v. Se observa que al girar en c´ırculos, el ciclista se inclina naturalmente un ángulo A. Ver figura 8.1. La pregunta que surge es si el ciclista corriera a cierta velocidad v 0 dando c´ırculos de radio R0 cual seria la inclinación A0 ? En otras palabras queremos 97

98 Variable Longitud Tiempo Masa Temperatura Fuerza ´ Area Frecuencia Velocidad Aceleración Viscosidad dinámica Tensión superficial Energ´ıa(Trabajo) Densidad Conductividad térmica

Unidades [L] [T] [M] [Θ] [MLT−2 ] [L2 ] [T−1 ] [LT−1 ] [LT−2 ] [ML−1 T−1 ] [MT−2 ] [ML2 T−2 ] [ML−3 ] [MLΘ−1 T−2 ]

Cuadro 8.1: Formulas Dimensionales de Algunas Variables F´ısicas

Figura 8.1: Inclinaci´on de un ciclista al girar en una pista de vel´odromo

calcular el ´ angulo A en funci´on del radio y la velocidad, A = f (R, v) . ¿Cuantos experimentos debo realizar para encontrar esta relaci´on? Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

8.1 Generalidades

Rta: Para encontrar la relaci´ on experimentalmente se tendr´ıa que dejar una de las variables fija y variar las otras dos. Por ejemplo para un radio fijo se puede medir el ´ angulo para diferentes velocidades. Entonces el ciclista tendr´ıa que girar a un n´ umero n de diferentes velocidades para un radio fijo. Adicionalmente si se desea observar la influencia del radio en la variación del ángulo se debe realizar este conjunto de mediciones para m radios diferentes. El n´ umero total de mediciones ser´ a igual a n × m. Si se utiliza an´ alisis dimensional en problema queda descrito en términos de una sola variable A = f 0 (Π) 2 v 0 A=f gR

8.1.

Generalidades

Suponga un fen´ omeno f´ısico descrito por F = f (`, v, ρ, µ) Para el cual no se conoce la relaci´on y por tanto debe encontrarse experimentalmente. Para hacer esto se necesitan 10 experimentos por cada variable. El an´ alisis dimensional cambia anterior relaci´on por F ρv` =g ρv 2 `2 µ es decir CF = g (Re) donde CF (coeficiente de fuerza) y Re (Numero de Reynolds) son 2 n´ umeros adimensionales que describen el sistema, as´ı el problema se transforma en un problema con una variable adimensional que solo necesita 10 experimentos para describir el fen´ omeno. Funci´ on es matem´ aticamente diferente pero contiene la misma informaci´ on. No se necesita cambiar las variables dimensionales por separado sino solo una lo cual significa variar un grupo adimensional. Ayuda a planear y pensar experimentos. Da con frecuencia informaci´ on sobre las relaciones f´ısicas que se intentan estudiar. Proporciona las leyes de escala (semejanza). Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

100

8.1 Generalidades La semejanza se refiere a la relaci´on hecha entre un modelo y un prototipo

8.1.1.

An´ alisis de semejanza

Se utiliza el an´ alisis de semejanza para realizar experimentos sobre modelos a diferente escala, evitando realizarlos sobre el prototipo de tama˜ no real que resulta un problema para las pruebas del laboratorio. Pero como encontrar las condiciones a las que debe probarse el modelo sabiendo las condiciones en las que opera el prototipo? Para esto se utiliza el an´alisis de semejanza y los n´ umeros adimensionales. Los n´ umeros adimensionales caracter´ısticos del sistema deben tener el mismo valor para modelo y prototipo, esto asegura que hay semejanza entre ambos. Para el caso dado habr´a semejanza si. Re|modelo = Re|prototipo ,

y adem´as

(8.1)

CF |modelo = CF |prototipo

(8.2)

En general, y por simplicidad se usa el sub´ındice p para denotar prototipo y m para denotar modelo, por ejemplo, Rem = Rep . Ahora bien suponga que se desea conocer la fuerza sobre un prototipo con base en las fuerzas medidas en un modelo. Si hay semejanza entonces los coeficientes de fuerzas del modelo y prototipo son iguales, F F = . ρv 2 l2 p ρv 2 l2 m Por tanto la fuerza en el prototipo, Fp ser´a igual a Fp = Fm

8.1.2.

ρp ρm

vp vm

lp lm

Ejemplo: Cope´ opod

Cope´ opod: crust´ aceo acu´atico de 1 mm de di´ametro Se quiere conocer la resistencia al movimiento para esto se construye un modelo a escala 100:1 en el cual se mide una fuerza de 1.3 N a 30 cm/s el modelo se pone en glicerina. Soluci´ on Agua(prototipo) µp = 0,001kg/ (m.s) Glicerina(modelo) µm = 1,5kg/ (m.s)

ρp = 999kg/m3 ρp = 1263kg/m3

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8.2 Principio de Homogeneidad Dimensional

101

Figura 8.2: Cope´opod

escala de longitud `m = 100mm `p = 1mm

ρm vm `m = 25,3 µm 1,3N Fm = = 2 2 2 2 3 ρm vm `m (1263kg/m ) (0,3m/s) (0,1) = 1,14

Rem = CF m CF m

para asegurar semejanza: Rem = Rep 25,3 =

999 vp (0,001) 0,001

por tanto vp = 2,53 × 10−2 m/s Adicionalmente se tiene, CF m = CF p 1,14 =

Fp 2

999 (0,0253)2 (0,001)

por tanto Fp = 7,31 × 10−7 N

8.2.

Principio de Homogeneidad Dimensional

Si una ecuaci´ on expresa correctamente una relaci´on entre variables de un proceso f´ısico, debe ser dimensionalmente homog´enea, esto es todos los sumandos Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

102

8.2 Principio de Homogeneidad Dimensional

deben tener las mismas dimensiones. Como ejemplo considere las siguientes ecuaciones. La primera corresponde a la cinem´ atica de part´ıculas y la segunda se conoce como la ecuaci´on de Bernoulli para fluidos. 1 S(t) = So + vo t + at2 2 P v2 + + z = cte γ 2g

[L] [L],

En ambos casos la dimensi´on de cada uno de los sumandos es [L].

8.2.1.

Clases de variables y constantes

Para el caso de la siguiente ecuaci´on cada una de las variables y constantes las podemos clasificar como 1 S = So + vo t + gt2 2

[L] ,

constante dimensional: {So } = L , {vo } = LT −1 variable dimensional: t = T constante pura: 1/2 Una posible forma de adimensionar esta ecuaci´on es dividirla por So , S vo t 1 gt2 =1+ + So So 2 So que puede escribirse de la siguiente forma, 1 gSo ∗ 2 t S ∗ = 1 + t∗ + 2 v2 | {z o }

Ecuaci´ on adimensional

donde S ∗ = SSo , y t∗ = vSoot son las nuevas variables adimensionales. El problema original: S = f (t, So , vo , g) definido con cinco cantidades se transforma en S ∗ = g (t∗ , α) ,

α=

gSo vo2

3 cantidades

definido con solo 3 cantidades. Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

8.3 M´ etodo del Producto de Potencias

8.3.

103

M´ etodo del Producto de Potencias

Motivaci´ on: No se conoce la teor´ıa y se intenta encontrar una relación funcional S = f (t, So , vo , g) , debido al principio de homogeneidad dimensional si la dimensión de S es longitud ({S}= L) entonces la dimensi´ on de f igualmente longitud. Por tanto t, So , vo y g se deben combinar para dar [L]. Buckingham demostró que la función f debe estar constituida por términos cuya dimensión es [L] f1

(cte) (t) (So ) (vo ) (g) ,

donde cte es adimensional y los coeficientes a, b, c y d son desconocidos. Sin embargo la dimensi´ on de f1 debe se igual a [L], es decir {f } = L. En t´erminos dimensionales esta ecuaci´ on se puede escribir como: [L] = [T ]a [L]b [LT −1 ]c [LT −2 ]d , agrupando las potencias para: tiempo:

0 = a − c − 2d

longitud:

1=b+c+d

se generan 2 ecuaciones con 4 inc´ ognitas, por lo tanto solo se puede resolver en funci´ on de 2 variables, despejando c y d en funci´on de a y b se obtiene: c = 2 − a − 2b d=a+b−1 por lo tanto la ecuaci´ on se convierte en a

f1 = cte (t) (So ) (vo )

2−a−2b

a+b−1

(g)

expandiendo y agrupando los t´erminos en a y b se genera f1

= cte

vo2 g

tg vo

So g vo2

b ,

donde f1 es un termino t´ıpico de f y a y b son arbitrarios, lo cual implica que f puede variar en forma arbitraria con los par´ametros gt gSo y vo vo2 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

104

8.3 M´ etodo del Producto de Potencias

los cuales son adimensionales. Se puede concluir que la funci´on original S = f (t, So , vo , g) se transforma en Sg vo2 S ∗∗

= =

gt gSo , v o vo f 0 (t∗∗ , α)

´ El ANALISIS DIMENSIONAL no determina la ecuación del fenómeno f´ısico, sino que expresa el problema en términos de un menor n´ umero de variables. ¿Que pasa si se despeja a y b en términos de c y d?

Par´ ametro

Definici´ on

N´ umero de Reynolds

Re =

N´ umero de Mach

Ma =

U a

Velocidad flujo Velocidad sonido

N´ umero de Froude

Fr =

U2 gL

Inercia Gravedad

Flujo con superficie libre

N´ umero de Weber

We =

ρU 2 L γ

Inercia Tensi´ on superficial

Flujo con superficie libre

N´ umero de cavitaci´ on (n´ umero de Euler)

Ca =

p − pv ρU 2

Presi´ on Inercia

N´ umero de Prandt

Pr =

µCp k

Disipaci´ on Conducci´ on

N´ umero de Eckert

Ec =

U2 Cp To

Energ´ıa cin´ etica Entalpia

Disipaci´ on

Relaci´ on de calores espec´ıficos

γ=

Entalpia Energ´ıa Interna

Flujo compresible

N´ umero de Struhal

St =

ωL U

Oscilaci´ on Viscosidad media

Rugosidad relativa

Re =

ε L

Rugosidad Longitud del cuerpo

N´ umero de Grashof

Gr =

β∆T gL3 ρ2 µ2

ρU L µ

Cp Cv

Relaci´ on cualitativa Inercia Viscosidad

Flotabilidad Viscosidad

Importancia Siempre

Flujo compresible

Cavitaci´ on

Convecci´ on de calor

Flujo oscilatorio

Turbulento, pared rugosa

Convecci´ on natural

Cuadro 8.2: Grupos Adimensionales en Mec´anica de Fluidos

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8.4 Teorema Π de Buckingham

8.4.

105

Teorema Π de Buckingham

El teorema Π de Buckingham estipula que si n variables dimensionales intervienen en un fen´ omeno f´ısico, este problema se puede reducir en j variables j =n−k donde k es el numero de variables adimensionales. La reducci´ on j es igual al m´aximo n´ umero de variables dentro de los n variables que no se pueden combinar para tener un n´ umero adimensional. La reducci´ on “j” es en general menor que m el numero de dimensiones fundamentales (como M, L, T...) que intervienen, j = n − k ≤ m. Para la mayor´ıa de los casos j = m.

8.4.1.

Procedimiento

1. Encuentre el n´ umero total de variables n. [(ρ, l, g...) −→ n]. 2. Encuentre el n´ umero de dimensiones fundamentales. (L, M, T, Θ) −→ m. 3. La reducci´ on ser´ a j =n−k ≤m 4. Buscar el m´ aximo n´ umero de variables que combinadas no forman un numero adimensional j. En general j ≤ m. 8.4.1.1.

Ejemplo

Suponga que en un fen´ omeno f´ısico la fuerza F es funci´on de longitud, velocidad, densidad y viscosidad, as´ı: F = f (`, v, ρ, µ) 1. n = 5 2. dimensiones fundamentales F M LT −2

` L

v LT −1

ρ M L−3

µ M L−1 T −1

donde m=3 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

106

8.4 Teorema Π de Buckingham

3. La reducci´ on ser´a j =5−k ≤3 4. Numero de variables que combinadas no pueden formar un n´ umero (grupo) adimensional. Por ejemplo el grupo `vρ. a

(L) (v) (ρ) a

(L) (LT −1 )b (M L−3 )c = Lo M o T o la u ´nica soluci´ on es a = b = c = 0 que quiere decir que no pueden formar un grupo adimensional diferente al trivial en este caso j =3=5−k =3 por tanto tenemos k = 2 → n´ umeros adimensionales

5. Se combina L, U, ρ con cada una de las otras variables para obtener los n´ umeros adimensionales

a) Π1 = `a v b ρc F a

{Π1 } = (L)

LT −1

M L−3

M LT −2

= M o Lo T o a + b − 3c + 1 = 0

Longitud: Masa:

c+1=0 −b − 2 = 0

Tiempo:

resolviendo se tiene a = −2b = −2c = −1 dando por resultado Π1 =

F = CF ρv 2 L2

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8.4 Teorema Π de Buckingham

107

b) Π2 = La v b ρc µ−1 {Π2 } = (L)a (LT −1 )b (M L−3 )c (M L−1 T −1 )−1 = Lo M o T o ,

agrupando y resolviendo se tiene a=b=c=1 dando por resultado Π2 = 8.4.1.2.

ρU L = Re µ

Ejemplo

θ Densidad= ρ

Tension Superficial=

Figura 8.3: Experimento de capilaridad Dada h = f (d, g, ρ, γ, θ) a) Determinar una expresi´ on adimensional b) Si h = 3cm en un experimento dado ¿cuanto valdr´a h en un caso similar si el di´ ametro y la tensi´ on superficial son la mitad, la densidad es el doble y el ´ angulo de contacto es el mismo Soluci´ on n=6 Dimensiones fundamentales F LT esto es m = 3 y por tanto j =6−k ≤3 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

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8.5 Modelaci´ on Variables que no se pueden combinar ensayar: γ, ρ, g

´o

ρ, g, d

⇒j=3 por tanto k = 3 Como θ no tiene dimensiones Π3 = θ Seleccionar ρ, g, d como variables base para el calculo de los grupos fundamentales Π1 = ρa g b dc h 0

Π2 = ρa g b dc γ Se obtiene γ ρgd2 h γ =⇒ = f θ d ρgd2

Π1 =

8.5.

h d

Π2 =

Modelaci´ on

”Las condiciones de flujo para un modelo de ensayo son completamente semejantes a los del prototipo si los valores correspondientes al modelo y prototipo coinciden para todos los par´ametros adimensionales” Por ejemplo Π1 = f (Π2 , ...Πk ) describe un fen´ omeno f´ısico, si Π2m = Π2p ,

Π3m = Π3p ,

...

, Πkm = Πkp

entonces Π1m = Π1p Dependiendo de los n´ umeros adimensionales que intervengan en un fenómeno la semejanza puede puede ser Geométrica Cinemática Dinámica Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

8.5 Modelaci´ on

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Figura 8.4: Semejanza geométrica en el ensayo con modelos:(a) prototipos; (b) modelo a escala un décimo. (Tomado del libro Mecánica de Fluidos, Frank M White, Ed McGraw Hill)

8.5.1.

Semejanza Geom´ etrica

Un modelo y un prototipo son geom´etricamente semejantes si y solo si todas las dimensiones espaciales en las tres coordenadas tiene la misma escala de relaci´ on. Adicionalmente se debe cumplir: Todos los ´ angulos se conservan Todas las direcciones de flujo se conservan La orientaci´ on del modelo y del prototipo con respecto a otros objetos se conserva La figura 8.5 ilustra estos aspectos.

8.5.2.

Semejanza Cinem´ atica

”Los movimientos de dos sistemas son cinemáticamente semejantes si part´ıculas hom´ ologas alcanzan puntos homólogos en instantes homólogos”. Los flujos no viscosos a bajas velocidades son cinemáticamente semejantes donde: (a) los flujos sin superficie libre son cinemáticamente semejantes con relaciones de escala de longitud y tiempo independiente. Ver figura 8.6 (b) los flujos con superficie libre son cinemáticamente semejantes con escalas de longitud y tiempo relacionadas por la conservación del n´ umero de Froude. Ver figura 8.6 Notas de clase de mec´ anica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garc´ıa VERSION=0.36 DATE=24Sep09

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8.5 Modelaci´ on

V3 Esfera grande

Esfera enorme

Esfera de tamaño medio

Esfera pequeña

(a)

Elipsoide grande 4:1

Elipsoide de tamaño medio 3,5:1

Elipsoide pequeño 3:1

(b) Figura 8.5: Semejanza y no semejanza geom´etrica de flujos: (a) semejantes; (b) no semejantes.

8.5.3.

Semejanza Din´ amica

Existe escala din´ amica entre modelo y prototipo cuando existe semejanza geométrica y cinem´ atica y si todas las fuerzas del modelo y del prototipo guardan la misma proporci´ on. Semejanza din´ amica en el flujo por debajo de una compuerta. El modelo y prototipo tienen pol´ıgonos de fuerzas semejantes, en puntos homólogos, si los n´ umeros de Reynolds y Froude son iguales en ambos: (a) prototipo; (b) modelo. Ver figura 8.7 Semejanza din´ amica ocurre si: Flujo compresible: Los n´ umeros de Reynolds y Mach y la relación de calores espec´ıficos correspondientes son iguales. Flujo incompresible: • Sin superficie libre: Reynolds del modelo y prototipo son iguales. • Con superficie libre. Los n´ umeros de Reynolds, Froude y Weber son iguales en modelo y prototipo

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8.5 Modelaci´ on

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Figura 8.6: Semejanza Cinem´ atica. (Tomado del libro Mec´anica de Fluidos, Frank M White, Ed McGraw Hill

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8.5 Modelaci´ on

Figura 8.7: Semejanza Din´amica.(Tomado del libro Mec´anica de Fluidos, Frank M White, Ed McGraw Hill

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Bibliograf織覺a [1] Robert L. Street, Gary Z. Watters, and John k. Vennard. Elementary Fluid Mechanics. Wiley, seventh edition, 1996.

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