2. Diagramas en pruebas geométricas por reductio ad absurdum∗ Abel Lassalle Casanave UFBA/ CNPQ Brasil abel.lassalle@gmail.com Después del drástico rechazo, a fines del siglo XIX, del uso de recursos que genéricamente podríamos llamar gráficos en demostraciones matemáticas, la literatura reciente en filosofía de las ciencias formales ha vindicado su legitimidad. Si denominamos homogéneas a las pruebas exclusivamente lingüísticas, que según la concepción standard de demostración predominante durante el siglo XX serían las únicas demostraciones posibles, entonces la vindicación mencionada supone una noción heterogénea de demostración. En particular, las demostraciones de la geometría sintética clásica – un caso paradigmático de demostración heterogénea – han recibido una atención creciente. Se distingue en una demostración euclidiana la parte textual, que autoriza pasos de la demostración acerca de aspectos denominados exactos, de la parte gráfica – el diagrama – que autoriza pasos acerca de aspectos denominados co-exactos. En este trabajo presento, en primer lugar, y siguiendo a Ken Manders, cómo la distinción exacto / co-exacto ha iluminado también el concepto de demostración por reductio ad absurdum. Pero, en segundo lugar, pretendo descartar una posible objeción, con base en las pruebas por absurdo, a la tesis que defendemos, a saber, que las figuras (u otros elementos diagramáticos) pueden ser consideradas bajo la especie de muestras. I. Las pruebas por reductio anuncian algo monstruoso. Supongamos dos círculos diferentes, tocándose en un punto Γ. La Proposición III. 6 de los Elementos reza: Si dos círculos se tocan uno a otro, su centro no será el mismo. 1 Aunque nada podría parecer más obvio, la demostración procede por absurdo. Sean ΑΒΓ y ΓΔΕ los círculos en cuestión y Γ el punto donde se tocan. Sea Ζ el centro de ambos círculos. Con alivio, pero también con alguna desilusión, la figura relacionada exhibe dos círculos (en un sentido a elucidar) que *
Para la realización de este trabajo el autor fue beneficiado con subsidios de la CAPES/ Brasil (CAFP / BA 012/42) y del CNPq / Brasil (304660/2010-8). El autor agradece las observaciones de Frank Sautter (UFSM/Brasil), Sérgio Schultz (PUC / Brasil) y Oscar Esquisabel (UNLP / Argentina) a una versión preliminar del trabajo. 1 Seguimos la traducción de María Luisa Puertas Castaño en Euclides (2007), pero cuando no se trata de una cita textual nos permitimos seguirla libremente.
se tocan, pero cuyo supuesto centro claramente no lo es de ambos. (En verdad, ni siquiera es necesario que parezca serlo de uno cualquiera de los círculos.) Tracemos ΖΓ y “al azar” la recta ΖΕΒ, construcciones permitidas por el Postulado 1, que autoriza trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
La demostración prosigue así: qua radios, ΖΓ y ΖΒ son iguales por definición de círculo, pues Ζ es el centro del círculo ΑΒΓ; por la misma razón, son también iguales ΖΓ y ΖΕ, pues Ζ es el centro del círculo ΓΔΕ. Como cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí, por la Noción Común 1, ΖΒ y ΖΕ son también iguales. Pero por el diagrama sabemos que ΖΕ es menor que ΖΒ. Luego, la recta finita menor sería igual a la recta finita mayor, la parte igual al todo, lo cual es absurdo por la Noción Común 5: el todo es mayor que la parte. Luego, círculos que se tocan no tienen el mismo centro. Fue Kenneth Manders quien finalmente iluminó la naturaleza de las demostraciones geométricas en general, así como el rol de las figuras en ellas en particular, a saber, consiguió discriminar cuál es la contribución de la parte textual de la demostración y cuál la contribución de la parte diagramática. En efecto, en lugar de la vaga referencia al recurso a figuras en una demostración, Manders ha determinado bajo qué condiciones Euclides recurría a las figuras, a saber, cuando se trata de aspectos del diagrama que Manders denomina co-exactos, por oposición a otros aspectos que llama exactos, establecidos en la parte textual.2 La demostración de III.6 permite ilustrar fácilmente las tesis de Manders. Por ejemplo, que dos segmentos sean (no trivialmente) iguales, es establecido en la parte textual: en la demostración anterior, la igualdad de dos segmentos se sigue de: a) por definición: los radios de un mismo círculo son iguales; b) por una noción común: dos segmentos iguales a un tercero son iguales entre sí. Estas propiedades son propiedades 2
Para estos tópicos, véase Manders (2008a) y, fundamentalmente, Manders (2008b).
métricas: la igualdad debe ser textualmente justificada ¿En qué momento utilizamos el diagrama? El diagrama nos autorizó a justificar que un segmento es menor que otro del cual es parte, esto es, basándonos en un aspecto mereológico del diagrama que resultó de la interrelación de las sucesivas entradas diagramáticas: por peor que fueran dibujados los círculos que se tocan y la recta ZB, ZE sería menor que ZB. Justamente, en la invariancia a la deformación reside que algunos aspectos del diagrama sean calificados como co-exactos. Consideremos otro ejemplo, la demostración de I.1: construir un triángulo equilátero de lado igual a una recta finita dada. Por más deformados que dibujemos dos círculos cuyos centros respectivos sean los puntos extremos A y B de una recta finita dada, los círculos se cortan en C. Y eso precisamente es “ser un punto”:
Pero, a diferencia del caso que examinamos anteriormente, en lugar de una propiedad mereológica, es una propiedad topológica la que permite obtener el punto como resultado de la interacción de las sucesivas entradas diagramáticas. Que los segmentos AC y AB y BC sean iguales es un aspecto exacto, que solamente puede ser justificado textualmente, pero no diagramáticamente: que AB y AC, así como AB y BC en la figura arriba sean iguales se sigue de la definición de círculo, pues AB y AC son radios del círculo ABC, y AB y BC lo son del círculo ABE. (En general, la igualdad de segmentos depende prima facie de relaciones entre radios de círculos, mientras que igualdad de ángulos rectilíneos – el segundo y principal tópico de los primeros libros de los Elementos – depende de la congruencia de triángulos.) La demostración de I.1 tiene un paso más: AC y BC son iguales, pues cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. Así se completa la demostración: hemos construido un triángulo equilátero. Ahora bien, que una línea sea recta o que algo sea círculo es estipulado por el texto: son también aspectos exactos. Es verdad que podríamos pensar que los círculos podrían ser
dibujados de forma tal que la diferencia entre los segmentos parte-todo de III.6 fuese muy difícil de reconocer visualmente, y que la deformación de los círculos en I.1 hiciese desproporcionadamente desiguales los segmentos determinados por los extremos del segmento dado y C. No obstante, que el dibujo ofrezca un “caso claro” es parte de la disciplina de usar los diagramas o disciplina diagramática, esto es, la habilidad para dibujar diagramas lo suficientemente buenos. En efecto, cuando una entrada textual involucra una línea recta o un círculo, hay un límite para deformación del dibujo que consiste en no introducir u omitir indebidamente aspectos co-exactos. Por ejemplo, sería inaceptable que una recta fuese dibujada como una curva pronunciada, pues entonces su prolongación podría conllevar co-exactos impropios como, por ejemplo, intersecciones con otras rectas; por otro lado, también sería inaceptable que el dibujo de un círculo no encierre una región de forma tal que conlleve la distinción interior-exterior. Ahora bien, como hemos visto, es la topología y la mereologia del diagrama, que no depende de la disciplina diagramática, i.e., que no depende de evitar interacciones indebidas haciendo dibujos lo suficientemente buenos, la que permite legítimamente justificar pasos de la demostración que es, por lo tanto, heterogénea. Examinemos un poco más detalladamente desde esta perspectiva la demostración de III.6. Por ejemplo, se podría objetar que falta analizar un caso, a saber, que los círculos se toquen “por fuera”, esto es, que sean tangentes. Pero la objeción no parece correcta, pues el punto de partida es que los círculos que se tocan tengan el mismo centro; ahora bien, para que un punto sea centro es condición necesaria que sea interior a ambos círculos. (Un argumento semejante también excluye que el punto Γ en la circunferencia sea centro. Y, por cierto, que Γ sea el punto en que se tocan es también un aspecto exacto que solamente el texto puede declarar / justificar.) La distinción es relevante, dado que el diagrama nos puede informar que un punto es interior a un círculo, ya que es un aspecto topológico, pero no que un punto es centro, pues en este caso se trata de una propiedad métrica (aspecto exacto), a saber, la igualdad de las líneas que unen el centro con la circunferencia. Por más deformados que dibujemos los círculos, el requisito es que uno de ellos esté dentro del otro; por peor que dibujemos el centro, el punto debe ser interior a ambos círculos. Y las sucesivas entradas que introducen ΓZ, ZG y ZB bajo las condiciones dadas harán que ZE y ZB sean uno parte del otro y, por lo tanto, uno menor que el otro. Esta
información mereológica puede ser extraída legítimamente del diagrama. Un tanto paradojalmente, se podría decir que la mejor manera de entender cómo funcionan los elementos diagramáticos es examinar las demostraciones por el absurdo, no las demostraciones directas, como la de I.1. Esta es la razón por la cual Manders, a quien hemos seguido hasta ahora, discute en su clásico Manders 2008b primero las demostraciones por absurdo. En efecto, la prueba directa de I.1 sugiere una concepción meramente instancial de las figuras, que inmediatamente se enreda con los problemas de la perfección y la universalidad de las pruebas. Obviamente, esa concepción instancial no se puede aplicar a las demostraciones por absurdo, pues no se puede defender que se parta siquiera “por aproximación” de círculos que se tocan con un mismo centro. Y Manders reclama con razón un tratamiento uniforme del uso de diagramas, sea en pruebas directas, sea en pruebas indirectas. II. Para defender una concepción instancial de los elementos diagramáticos, aunque preservando la exactitud de la geometría, se pueden tomar caminos diferentes – la abstracción o la mano transcendental entre otros – cuyas dificultades son bien conocidas. Se puede también simplemente dejar de lado esa concepción y considerar los elementos diagramáticos desde el punto de vista de la concepción formal de demostración como constantes de individuos o parámetros que permiten la ulterior aplicación de la regla de generalización universal.3 Y esto también valdría para demostraciones por absurdo (aunque via instanciación existencial). Ahora bien ¿no hay otra alternativa? Según proponemos, la alternativa puede ser concebir las figuras como muestras. Uso la palabra muestras en su sentido primario en castellano, a saber, aquel que utilizamos cuando hablamos del muestrario de tejidos de un sastre, por ejemplo. 4 Ciertamente, una muestra en este sentido supone una porción del tejido del cual decimos que es muestra, pero 3
El locus clásico de esta perspectiva es, por supuesto, Foundations of Geometry de Hilbert. Pero Hilbert no pretendía acompañar la estructura de las pruebas de Euclides, aunque un trabajo en esa dirección lo encontramos en Luengo (1996). La discusión generada en torno de la distinción exacto / co-exacto ha llevado a formalizaciones de la geometría euclidiana que difieren de la de tipo axiomática hilbertiana, como la de Avigad, Dean & Mumma (2009) en cálculo de secuentes. Para un enfoque diferente, donde las figuras son símbolos de un sistema formal, véase Miller (2007). En ese trabajo, el problema de la generalización es tratado considerando todas las configuraciones topológicas posibles del diagrama. 4 En el Real Diccionario de la Academia Española se lee que la primera acepción de muestra es: 1. f. Porción de un producto o mercancía que sirve para conocer la calidad del género. Debo al Prof. Roberto Torreti la referencia.
la condición de muestra involucra un tipo de generalidad. En efecto, la muestra puede, por ejemplo, ser muestra de la textura de un tejido, pero no de un tejido de un color en particular. Tratándose del primer caso, mal habríamos entendido la muestra si cuando nos presentasen el paño lo rechazásemos porque su color es diferente. O porque el paño tiene forma rectangular, mientras que las porciones de tejido del muestrario fueran circulares. Además, no tiene ningún sentido exigir de la muestra que el pedazo de tejido en cuestión sea en algún sentido perfecto: la muestra circunstancialmente podría tener alguna “imperfección”, por ejemplo, una mancha, pero esto no dejaría de hacerlo una muestra. Dijimos que en la reconstrucción formal usual de la universalidad de una prueba euclidiana el diagrama es eliminado recurriendo al uso de la regla de generalización universal. Pero en Netz (1998) se ha objetado, con sólidos argumentos filológicos, que, por ejemplo, la traducción “Sea AB un segmento” no es apropiada, que ‘AB’ es, desde el punto de vista semiótico, un índice (en sentido peirciano) que remite a un diagrama previamente presentado. Por cierto, si una prueba euclidiana es heterogénea, debe haber alguna forma de interrelación texto-diagrama para la cual Netz ofrece una buena explicación. Pero menos satisfactoria es su explicación subsecuente de la generalización. En efecto, Netz defiende que la generalización consiste en la posibilidad de repetir la demostración, siguiendo el ejemplo de I.1, para otras rectas finitas o segmentos.5 Yo creo que hay una confusión aquí, cuya base es la compresión meramente instancial del diagrama. Acaso en espíritu wittgensteniano, la confusión consiste en que la prueba no es acerca de la figura, sino con la figura. Pero entonces la repetibilidad de la prueba, que es una condición general para denominar prueba a algo (qué querría decir tener la prueba de un teorema, si no se la pudiera reproducir), es confundida con repetir la prueba acerca de otra figura, cuando de lo que se trata es simplemente de repetir la prueba misma con otra figura. La repetibilidad de una prueba, que no exige una copia fiel, supone, es claro, un margen de variación aceptable, aunque pueda ser difícil determinar cuál sea ese margen. Ciertamente, si la prueba es con birome roja y no azul, aún podríamos hablar de la misma prueba; pero no diríamos que la prueba fue repetida de una prueba en que los signos utilizados ya no sean reconocibles (dentro de márgenes aceptables) como los signos
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Véase Netz (1998), pp. 252-258.
correspondientes. Al decir que la prueba es con la figura, decimos que las figuras son signos que son utilizados dentro de márgenes de deformación aceptables. Concebir las figuras como signos tiene una consecuencia inmediata que es afín con las tesis de Manders y que elimina una objeción clásica al uso de figuras, a saber, su imperfección. En efecto, de una instancia puede reclamarse perfección, pero de un signo carece de sentido hacerlo, ya que basta reconocerlo como el signo apropiado. (La idea de que las figuras sean signos ya estaba en Leibniz, quien además declaraba que eran signos con semejanza.) Vista como instancia de un concepto geométrico, ciertamente cualquier figura es imperfecta, pero queremos defender la idea de que en la demostración funciona como una muestra, que justamente es una manera de explicar la (aparente) dimensión de instancia de la figura. Nuestra modesta contribución a la concepción de Manders consistiría en aclarar el estatuto representacional de las figuras (o de elementos diagramáticos en general) qua signos, a saber, muestras. Y, por consiguiente, contribuir a la elucidación del tipo de generalidad involucrada en las pruebas euclidianas. Consideremos el segmento AB de I.1. Es verdad que no puedo dibujar tan mal el segmento AB como un círculo, pues un segmento no divide el plano en una región exterior y otra interior. Es decir, mientras que la exigencia inaceptable de perfección se vincula con propiedades métricas, la imperfección admitida debe preservar las propiedades topológicomereológicas. Y son estas las propiedades de un diagrama que son las relevantes para su condición de muestra. Esto también parece consecuente con Manders cuando afirma: Euclidean demonstration, I propose, attains uniformity of reasoning for its instances by licensing attribution based on what the diagram looks like only for co-exact conditions clearly displayed.6
Y esta concepción muestra sus virtudes justamente donde la concepción instancial no puede ser aplicada, a saber, en las demostraciones por absurdo: If diagram imperfections only were in play, one might well hold that the function of diagrams could fruitfully be approached by first elaborating a notion of perfect geometricals of which the text is literally true, then treating diagrams actually drawn in geometrical demonstrations as approximations to perfect ones; finally deriving from all this an understanding of the bearing of the imperfect diagram on inferences in the text. But no detour through ontology and semantics which treats of truth in a diagram in a sense which entails joint compatibility of all claims in force in the reductio context can
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Manders 2008a, p. 74.
speak to the difficulty with the role of diagrams in reductio arguments, which are pervasive in Euclid.7
Pero, ¿de qué podría ser muestra un diagrama en una demostración por reductio si por definición el diagrama no podría “instanciar” los conceptos involucrados? Aunque no podamos instanciar dos círculos (geométricos) con el mismo centro (geométrico), sí podemos instanciar qua predicado físico una forma circular dentro de otra con un punto interior a ambas, de forma tal que serán las propiedades topológicas de tal medio de representación aquellas cuya consideración hará de esa instancia una muestra de la cual se podrá concluir que un segmento es parte de otro. Pero esto no es acerca de la figura dibujada, sino acerca de los conceptos geométricos así representados con las figuras qua signos. Con la noción de muestra, un tipo especial de signo, pretendo evitar caer en una dualidad confundente entre la figura como instancia de un concepto geométrico y simultáneamente como signo icónico de un concepto, pues no recurro a ningún tipo de semejanza ni figurativa ni estructural. Las conclusiones que alcanzamos utilizando diagramas de Venn no son – ni nadie lo pensaría – acerca de círculos, sino acerca de relaciones entre conceptos como subordinación, exclusión, etc., que tales círculos, marcaciones mediante, representan, aunque para ello usemos las propiedades topológicas de formas circulares que se solapan. Las pruebas son claramente con los diagramas, sin confusión posible con lo representado. Eso porque los diagramas de Venn no son muestras. (Y si se dijese que son instancias de círculos solapados no se los estaría considerando en su función representativa de las relaciones conceptuales en cuestión.) Las formas geométricas de los signos utilizados en geometría inducen a pensar que una prueba es (también) acerca de la figura, pero no (y en qué sentido) con la figura. Finalmente, obsérvese que para las demostraciones directas vale lo mismo: no es una pretendida perfección de una instancia lo que está en juego, sino los co-exactos que no pueden ser “corregidos” mejorando los dibujos. Las formas triangulares o circulares representan qua muestras las propiedades topológicas/mereológicas del caso, pero no instancian círculos o triángulos geométricos. Y esto, en el caso particular de las demostraciones por absurdo, nada tiene de monstruoso.
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Manders 2008b, pp. 85-86.
Referencias bibliográficas Allwein, G., Barwise, J. (eds.) (1996) Logical Reasoning with Diagrams. New York: Oxford University Press. Avigad, J., Dean, E., Mumma, J. 2009. “A Formal System for Euclid’s Elements”, Review of Symbolic Logic, 2(4): 700-768. Euclides. 2007. Elementos. Madrid: Editorial Gredos. (Traducción y notas María Luisa Puertas Castaño) Luengo, I. 1996. “A Diagrammatic Subsystem of Hilbert’s Geometry”. In G. Allwein & J. Barwise (ed): Logical Reasoning with Diagrams. New York: Oxford University Press, pp. 149-176. Mancosu, P. (ed.) (2008) The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press. Manders, K.: (2008a) “Diagram-Based Geometric Practice”. In: MANCOSU, P. (ed.): The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press 2008. pp. 65-79. _________. (2008b) “The Euclidean Diagram”. In: MANCOSU, P. (ed.): The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press 2008. pp. 80-133. Miller, N. 2007. Euclid and His Twentieth Century Rivals: Diagrams in the Logic of Euclidean Geometry. Stanford: CSLI Publications. Netz, R. 1999. The Shaping of Deduction in Greek Mathematics. Cambridge : Cambridge University Press.