PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE VECTORES A, B 1. Qué condiciones deben cumplir
para que se cumpla cada una de las siguientes proposiciones en forma independiente?
a) b) c)
μA+ μB = 0 μ A − μ B = −2 μ B μA•μA = 0
SOLUCIÓN:
2. El producto escalar de
a) b)
A
y
B
toma los siguientes valores.
A• B = AB A• B = −1 2 ( AB )
En cada caso indique las características del vector proyección de
A
SOLUCIÓN:
ABCDEFG 3. En el paralelepípedo
indicado en la figura determinar:
sobre
B.
PQ Y
ST
en función de sus componentes. PQ SE. b) El ángulo formado por y a)
SOLUCIÓN: a) PQ = OQ − OP PQ = 3 i + 0 j + 0 k − 3 i + 4 j + 4 k PQ = 0 i − 4 j − 4 k
( (
) ( )
ST = OQ − OP ST = 0 i + 4 j + 2 k − 6 i + 4 j + 2 k ST = − 6 i + 0 j + 0 k
)
( (
) ( )
)
b) SE = OE − OP SE = 0 i + 0 j + 4 k − 6 i + 4 j + 2 k SE = − 6 i − 4 j + 2 k
( (
) ( )
)
PQ • SE θ = cos −1 PQ ⋅ SE −1 0 i − 4 j − 4 k • − 6 i − 4 j + 2 k θ = cos 42 + 42 62 + 42 + 22 8 θ = cos −1 ( 5,66 )( 7,48) θ = 79,11°
(
(
) (
)(
A, B 4. Determinar la suma de
C
y
)
C
)
A = 5 i − 10 j + 7 k; B = 9 i + 4 j + 2 k
en donde
XY es un vector en el plano que forma un ángulo de 45° con la dirección X positiva del eje de las y se aleja del origen, su magnitud es 12. y
SOLUCIÓN:
C X = 12 cos 45 = 8,5 C Y = 12 cos 45 = 8,5 C = 8,5 i + 8,5 j + 0 k
(
)
R = A + B+ C R = 5 i − 10 j + 7 k + 9 i + 4 j + 2 k + 8,5 i + 8,5 j + 0 k R = 22,5 i + 2,5 j + 9 k
( (
) (
) (
)
( 2 A− 3 B ) • ( A+ 4 B ),
5. Encontrar el valor de
) A = 4 u, B = 3 u
A
conociendo que B.
y
que el vector es perpendicular al vector SUGERENCIA: Escoger un sistema de referencia adecuado. SOLUCIÓN:
( (
) )
A = 0 i + 4 j+ 0 k B = 3 i + 0 j+ 0 k
R R R R R
( (( (( (
) (
)
= 2 A− 3 B • A+ 4 B = 2 0 i + 4 j+ 0 k − 3 3 i + 0 j+ 0 k • 0 i + 4 j+ 0 k + 4 3 i + 0 j+ 0 k = 0 i + 8 j + 0 k − 9 i + 0 j + 0 k • 0 i + 4 j + 0 k + 12 i + 0 j + 0 k = − 9 i + 8 j + 0 k • 12 i + 4 j + 0 k
) ( ) ( ) (
)) (( )) (( )
) ( ) (
))
))
= −76
6. Sabiendo que
A
10 i + 5 j − 3 k
es
B
y tiene una longitud de 10m, la proyección B Y = −5 m α = 60°. C el ángulo director Y que el vector se inicia en el punto ( 0, 4, 5) ( 2, 2, 1). D y finaliza en el punto Encontrar un vector que satisfaga a: A + B− 1 2 C + D = 0
SOLUCIÓN:
(
A = 10 i + 5 j − 3 k
)
( ) C = (2 i − 2 j− 4 k ) B = 5 i − 5 j + 7,07 k
A + B− 1 2 C + D = 0 1 10 i + 5 j − 3 k + 5 i − 5 j + 7,07 k − 2 i − 2 j − 4 k + D = 0 2 15 i + 0 j + 4,07 k − i − j − 2 k + D = 0 14 i + j + 6,07 k + D = 0 D = − 14 i − j − 6,07 k
( ( (
) (
(
)
) (
) (
)
)
)
8.
A partir de la figura determinar: R = 2 NP + 3IB − 4CF a) El vector b) El vector proyección de c) El ángulo entre
NJ
y
MI
SOLUCIÓN: a)
AD
GA
d) Un vector perpendicular a
P: Punto medio de
sobre
AD
GC
y
GP
NP = OP − ON NP = 5 i + 3 j + 4 k − 0 i + 9 j + 0 k NP = 5 i − 6 j + 4 k
( (
) ( )
)
IB = OB − OI IB = 10 i + 0 j + 8 k − 5 i + 6 j + 4 k IB = 5 i − 6 j + 4 k
( (
)
) (
)
CF = OF − OC CF = 0 i + 6 j + 8 k − 10 i + 0 j + 0 k CF = − 10 i + 6 j + 8 k
)
R R R R
) ( ) (
( (
) ( )
= 2 NP + 3IB − 4CF = 2 5 i − 6 j + 4 k + 3 5 i − 6 j + 4 k − 4 − 10 i + 6 j + 8 k = 10 i − 12 j + 8 k + 15 i − 18 j + 12 k − − 40 i + 24 j + 32 k = 65 i − 54 j − 12 k
( (
(
) ( ) ( )
b) MI = OI − OM MI = 5 i + 6 j + 4 k − 0 i + 9 j + 4 k MI = 5 i − 3 j + 0 k
( (
) ( )
)
AD = OD − OA AD = 10 i + 6 j + 0 k − 0 i + 0 j + 8 k AD = 10 i + 6 j − 8 k
( (
) ( )
)
)
)
MI AD =
MI • AD ⋅ μ AD AD 5 i − 3 j + 0 k • 10 i + 6 j − 8 k
( =
MI AD
) (
) ⋅ (10 i + 6 j− 8 k )
10 2 + 6 2 + 8 2 10 2 + 6 2 + 8 2 50 − 18 = ⋅ 0,70 i + 0,42 j − 0,56 k 14,14 = 2,26 0,70 i + 0,42 j − 0,57 k = 1,6 i + 0,95 j − 1,28 k
(
MI AD MI AD
(
(
MI AD
)
)
)
c) NJ = OJ − ON NJ = 5 i + 6 j + 0 k − 0 i + 9 j + 0 k NJ = 5 i − 3 j + 0 k
( (
) ( )
)
GA = OA − OG GA = 0 i + 0 j + 8 k − 0 i + 6 j + 0 k GA = 0 i − 6 j + 8 k
( (
) ( )
)
NJ • GA θ = cos NJ ⋅ GA −1 5 i − 3 j + 0 k • 0 i − 6 j + 8 k θ = cos 5 2 + 32 ⋅ 6 2 + 82 18 θ = cos −1 ( 5,83)(10) θ = 72,02° −1
(
(
) (
)(
)
d) GC = OC − OG GC = 10 i + 0 j + 0 k − 0 i + 6 j + 0 k GC = 10 i − 6 j + 0 k
( (
) ( )
)
)
GP = OP − OG GP = 5 i + 3 j + 4 k − 0 i + 6 j + 0 k GP = 5 i − 3 j + 4 k
( (
) ( )
)
i j k GC × GP = 10 − 6 0 5 −3 4 GC × GP = ( − 24 ) i − ( 40 ) j + ( − 30 + 30 ) k GC × GP = − 24 i − 40 j + 0 k
(
)
A = 3i−7 j 9. Dados
B = −2 j − 3 k
y
Encuentre: a) El vector
R = − A− B
b) El vector perpendicular a A R c) El ángulo entre y
A
SOLUCIÓN: a) R = − A− B R = − 3 i − 7 j − − 2 j− 3 k R = − 3 i + 9 j+ 3 k
(
(
) (
)
b)
i j A× B = 3 − 7
k 0
0 −2 −3
(
A× B = 21 i + 9 j − 6 k
)
)
y
B
c)
A •R θ = cos −1 A⋅R −1 3 i − 7 j • − 3 i + 9 j + 3 k θ = cos 32 + 7 2 ⋅ 32 + 9 2 + 32 − 9 − 63 θ = cos −1 ( 7,61 ) ⋅ ( 9,95 ) θ = 161,96°
(
(
) (
)(
N 20° O
)
A = 3 i + j; B
A, B, C, 10. Determine la suma de
)
donde
XZ, contenido en el plano
en la dirección se aleja del origen su longitud es 3m. Los ángulos β = 15° γ = 105°, C directores de son y su módulo es 10m. SOLUCIÓN:
11. Una pelota es lanzada en línea recta desde el origen 0 a un punto
P(10, 15, 0 ) m .
Hallar: a) Los cosenos directores. b) Un vector en la dirección de
OP
cuya longitud sea 3m.
XY, YZ, XZ c) Las proyecciones
de
OP
SOLUCIÓN:
12. Un carro parte de
P( 0, 50, 60) km
S 60° E
con respecto a la pista, en dirección y llega a una distancia de 75km, luego cambia de rumbo y corre 100km siguiendo R = −5 i + 12 k una dirección y sentido que coincide con el unitario de: a) Encuentre la posición final del carro con respecto a la pista. b) El vector unitario de la posición final
SOLUCIÓN:
13. En la figura determinar:
AB = AE = CD = OC = OD = BE = 100 u CB = DE = OA = 80 u
a) El ángulo formado por
AC
b) El vector proyección de
y
OC
EC
sobre
CD
SOLUCIÓN:
14. Encontrar el ángulo formado por la velocidad y la aceleración en el instante en
N 30° O
que la rapidez es 30m/s en la dirección y un ángulo de elevación de 2 5m s 0,6 i − c j − 0,4 k 45°, la aceleración es de en dirección
(
SOLUCIÓN: 15.
)
En la figura determinar: a) La posición geográfica de
L
OQ
Q con respecto a QL
b) La proyección de
sobre V = LN − 2PQ
c) El unitario de
SOLUCIÓN:
16. Dos cubos de 12 y 20 cm de lado, están colocados como indica la figura.
Encontrar:
a)
AJ + NB
b) El ángulo formado por c) La proyección de
SOLUCIÓN:
HK
JM
y
sobre
GF GF
a) AJ = OJ − OA AJ = 12 i + 20 j + 0 k − 0 i + 0 j + 20 k AJ = 12 i + 20 j − 20 k
( (
) ( )
)
NB = OB − ON NB = 20 i + 0 j + 20 k − 0 i + 32 j + 0 k NB = 20 i − 32 j + 20 k
( (
) ( )
)
R = AJ + NB R = 12 i + 20 j − 20 k + 20 i − 32 j + 20 k R = 32 i − 12 j + 0 k
( (
)
) (
)
b)
JM = OM − OJ JM = 0 i + 32 j + 12 k − 12 i + 20 j + 0 k JM = − 12 i + 12 j + 12 k
( (
) ( )
GF = OF − OG GF = 20 i + 0 j + 0 k − 0 i + 20 j + 0 k GF = 20 i − 20 j + 0 k
( (
) ( )
)
)
JM • GF θ = cos JM ⋅ GF − 12 i + 12 j + 12 k • 20 i − 20 j+ 0 k θ = cos −1 122 + 12 2 + 12 2 ⋅ 20 2 + 20 2 − 240 − 240 θ = cos −1 ( 20,78) ⋅ ( 28,28) θ = 144,76° −1
(
(
) (
)(
)
)
c) HK = OK − OH HK = 12 i + 32 j + 0 k − 0 i + 20 j + 12 k HK = 12 i + 12 j − 12 k
( (
) ( )
GF = OF − OG GF = 20 i + 0 j + 0 k − 0 i + 20 j + 0 k GF = 20 i − 20 j + 0 k
( (
) ( )
HK GF =
HK GF
)
)
HK • GF ⋅ μ GF GF 12 i + 12 j − 12 k • 20 i − 20 j + 0 k
( =
) (
20 2 + 20 2
) ⋅ ( 20 i − 20 j+ 0 k) 20 2 + 20 2
HK GF = A = 2 i + 3 j+ 6 k 17. Conociendo los vectores:
vector proyección del vector
A
B = −2 i + 4 j + 4 k .
y
Determinar el B. sobre la recta de acción del vector
SOLUCIÓN: A• B AB = ⋅ μB B 2 i + 3 j+ 6 k • − 2 i + 4 j+ 4 k − 2 i + 4 j+ 4 k AB = ⋅ 22 + 42 + 42 22 + 42 + 42 − 4 + 12 + 24 AB = ⋅ − 0,33 i + 0,66 j + 0,66 k 6 A B = − 1,76 i + 3,52 j + 3,52 k
(
(
) ( (
)(
)
)
)
18. Se tiene una cuerda fija en el punto
A
y se hala con una fuerza de 50N de modo B.
que el otro extremo está en el punto
Determinar: a) El vector fuerza
( F)
i , j, k .
en términos de DG F b) La proyección del vector sobre SOLUCIÓN: a)
(
(
r = 4 i + 10 j − 3 k
(
)
(
F = 50 N 0,36 i + 0,89 j + 0,268 k F = 18 i + 44,5 j − 13,5 k
(
)
)
b)
DG = G − D DG = 4 i + 0 j + 0 k − − 4 i + 0 j + 0 k DG = 8 i + 0 j + 0 k
( (
)
4 i + 10 j − 3 k μr = 4 2 + 10 2 + 32 μ r = 0,36 i + 0,89 j − 0,27 k
) ( )
)
)
F• DG FDG = ⋅ μ DG DG 18 i + 44,5 j − 13,5 k • 8 i + 0 j + 0 k FDG = ⋅ i + 0 j+ 0 k 8 144 FDG = ⋅ i + 0 j+ 0 k 8 FDG = FDG = 18 i + 0 j + 0 k
(
) (
(
)
(
19. Dados los puntos
)(
)
)
A( 2, 1, 2) ; B( 5, − 1, 4)
y
C( 7, 2, 1).
Determinar los siguientes
vectores:
a) b) c) d)
D E F
G
paralelo a
AB
y de módulo 15N. ABC perpendicular al triangulo y módulo 20. de módulo 10u y paralelo a la bisectriz del ángulo en la dirección de
AB
sobre
AC
y con módulo igual al módulo de la proyección de
BC
e) Determinar
Q = 5 i + mj− k
" m"
para que H = a i + b j+ 5 k
f)
ABC .
El vector
sea perpendicular al vector que sea paralelo a
BC.
SOLUCIÓN: a) AB = B− A AB = 5 i − j + 4 k − 2 i + j + 2 k AB = 3 i − 2 j + 2 k
( (
) ( )
)
D = 15 N 0, 73 i- 0, 49 j+ 0, 49 k D = 10,90 i- 7, 28 j+ 7, 28 k
(
b)
(
)
)
(
)
3 i − 2 j+ 2 k μ AB = 32 + 2 2 + 2 2 μ AB = 0,727 i − 0,485 j + 0,485 k
(
)
AB.
uuu BC = C- B uuu BC = 7 i+ 2 j+1k - 5 i- j+ 4 k uuu BC = 2 i+ 3 j- 3k
( (
) ( )
j
i
)
k
AB × BC = 3 − 2 2 2 3 −3 AB × BC = ( 6 − 6) i − ( − 9 − 4 ) j + ( 9 + 4 ) k AB × BC = 0 i + 13 j + 13 k
(
)
(
)
0 i + 13 j + 13 k μ AB×BC = 132 + 132 μ AB×BC = 0 i + 0,707 j + 0,707 k
(
(
E = 20 0 i + 0,707 j + 0,707 k E = 0 i + 14,14 j + 14,14 k
(
)
)
)
c)
d) uuu uuu uuu AB • BC ABBC = uuu × m BC BC 3 i- 2 j+ 2 k • 2 i+ 3 j- 3k 2 i+ 3 j- 3k uuu ABBC = × 22 + 32 + 32 22 + 32 + 32 uuu -6 ABBC = × 0, 426 i+ 0, 639 j- 0, 639 k 4, 69 uuu ABBC = 0,54 i+ 0,82 j- 0,82 k
(
) (
) (
(
(
)
)
)
AB BC = 0,54 2 + 0,82 2 + 0,82 2 AB BC = 1,28 AC = C− A AC = 7 i + 2 j + 1 k − 2 i + j + 2 k AC = 5 i + j − k
( (
)
(
) (
)
)
5 i + j− k μ AC = 52 + 1 + 1 μ AC = 0,962 i + 0,192 j − 0,192 k
(
(
)
G = 1,28 0,962 i + 0,192 j − 0,192 k G = 1,23 i + 0,25 j − 0,25 k
(
)
)
e) AB • Q = 0 3 i − 2 j+ 2 k • 5 i + m j− k = 0 15 − 2 m − 2 = 0 − 13 m= −2 m = 6,5
(
) (
)
⇒ Q = 5 i + 6,5 j − k
f)
(
(
BC = 2 i + 3 j − 3 k
)
)
2 i + 3 j− 3 k μ BC = 2 2 + 32 + 32 μ BC = 0,426 i + 0,639 j − 0,639 k
(
)
− k = H ( μ BCz ) − 5 = H ( − 0,639) H=
5 0,639
H = 7,82
(
H = 7,82 0,426 i + 0,639 j − 0,639 k H = 3,33 i + 5 j − 5 k
(
)
)