MATEMÁTICA Prof. Favalessa 1. Para encher um reservatório com água, pode-se usar duas torneiras. A primeira torneira enche esse reservatório em 36 minutos. A segunda enche o mesmo reservatório em 24 minutos. Certo dia, em que esse reservatório estava vazio, a primeira torneira é aberta durante um período de k minutos. Ao fim de k minutos, a primeira torneira é fechada e abre-se, imediatamente, a segunda, que fica aberta por um período de k 3 minutos. 2 Se o volume de água atingido corresponde a da capacidade do reservatório, então o tempo total gasto foi 3 a) 31% de hora b) 30% de hora c) 28% de hora d) 27% de hora Resposta: [A] A torneira 1 enche 1/36 do tanque em 1 minuto. A torneira 2 enche 1/24 do tanque em 1 minuto, daí k k 3 2 2x 3K 9 48 5k 39 k 7,8min. 36 24 3 Tempo total em porcentagem da hora: 7,8 7,8 3 0,31 31%. 60 2. Uma empresa foi contratada para executar serviço de pintura no alojamento dos alunos do 1º ano CPCAR. O prazo estabelecido no contrato para a conclusão do serviço foi de 10 dias. O serviço começou a ser executado por uma equipe de 6 funcionários da empresa, cada um trabalhando 6 horas por dia. 3 Ao final do 8º dia de serviço somente do serviço de pintura havia sido executado. 5 Para terminar o serviço dentro do prazo, a equipe de serviço recebeu mais 2 funcionários e todos passaram a trabalhar 9 horas por dia. Com isso a produtividade da equipe duplicou. A nova equipe, para concluir o trabalho, gastou mais de 1 dia, porém menos de 2 dias. Se h representa o número de horas que cada funcionário da nova equipe trabalhou no 10º dia de trabalho, então h é um número compreendido entre a) 0 e 2 b) 2 e 4 c) 4 e 6 d) 6 e 8 Resposta: [B]
3. Uma mãe dividiu a quantia de R$ 2100,00 entre seus três filhos de 3, 5 e 6 anos. A divisão foi feita em partes inversamente proporcionais às idades de cada um. Dessa forma, é verdade que a) o filho mais novo recebeu 100 reais a mais que a soma dos valores recebidos pelos outros dois filhos. b) o filho mais velho recebeu 20% a menos que o filho do meio. c) a quantia que o filho do meio recebeu é 40% do que recebeu o mais novo. d) se a divisão fosse feita em partes iguais, o filho mais velho teria sua parte acrescida de 40% em relação ao que realmente recebeu.
Resposta:
[D]
1
Partes x, y e x. Como a divisão foi feita em partes inversamente proporcionais, temos: k 3 k 5 k 6
x 3x
5y
6z
k
y z
x
y z
k 3
2100
k 5
k 6
2100
k
3000
logo x = 1000, y = 600 e x = 500 A única alternativa correta é a [D], pois se a divisão fosse feita em partes iguais, cada um receberia R$ 700,00, ou seja, o filho mais velho receberia 200 reais a mais e 200 é 40% de 500. 4. De acordo com a Organização Mundial de Saúde, um Índice de Massa Corporal inferior a 18,5 pode indicar que uma pessoa está em risco nutricional. Há, inclusive, um projeto de lei tramitando no Senado Federal, e uma lei já aprovada no Estado de Santa Catarina, proibindo a participação em eventos de modelos que apresentem esse índice inferior a 18,5. O Índice de Massa Corporal de uma pessoa, abreviado por IMC, é calculado através da expressão m em que m representa a massa da pessoa, em quilogramas, e h sua altura, em metros. Dessa IMC h2 forma, uma modelo que possua IMC 18,5 e massa corporal de 55,5 kg, tem aproximadamente que altura? a) 1,85 m. b) 1,81 m. c) 1,77 m. d) 1,73 m. e) 1,69 m. Resposta: [D]
18,5
55,5 2
h2
h
55,5 18,5
h2
3
h
3
h 1,73 m.
5. José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente. Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto? a) 600, 550, 350 b) 300, 300, 150 c) 300, 250, 200 d) 200, 200, 100 e) 100, 100, 50 Resposta: [B] Seja x o total de laranjas: 6x 5x 4x , e Na primeira viagem, temos (José, Carlos e Paulo). 15 15 15 4x 6x 4x 6x 2x 3x , e Na segunda viagem, temos (José, Carlos e Paulo). 10 15 10 15 10 15 Carlos foi o único que transportou mais laranjas. 6x 15
5x 15
50
x
750
Portanto, na segunda viagem, José transportou 300 laranjas, Carlos transportou 300 laranjas e Paulo transportou 150 laranjas. 6. Paula, Flávia e Olga se uniram para comprar uma confecção. Paula entrou com R$ 36.000,00, Flávia com R$ 45.000,00 e Olga com R$ 63.000,00. Um ano após o início desta sociedade, constatou-se que a confecção havia dado a elas um lucro de R$ 19.200,00. Dividindo esse lucro proporcionalmente ao investimento inicial das sócias, quanto Paula, Flávia e Olga deverão receber, respectivamente? a) R$ 4.800,00, R$ 6.000,00 e R$ 8.400,00. b) R$ 3.400,00, R$ 6.500,00 e R$ 9.300,00. c) R$ 5.200,00, R$ 6.400,00 e R$ 7.600,00. d) R$ 4.200,00, R$ 6.800,00 e R$ 8.200,00. e) R$ 5.400,00, R$ 6.850,00 e R$ 6.950,00. 2
Resposta: [A]
x 36000
y 45000
z 63000
19200 36000 45000 63000
x 36000
y 45000
z 63000
2 15
x y z
4800 6000 8400
7. Uma fábrica de calçados, localizada em Nova Serrana, emprega 16 operários, os quais produzem 120 pares de calçados em 8 horas de trabalho diárias. A fim de ampliar essa produção para 300 pares por dia, a empresa mudou a jornada de trabalho para 10 horas diárias. Nesse novo contexto, o número de operários será igual a a) 16. b) 24. c) 32. d) 50. Resposta: [C]
8. Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I b) II c) III d) IV Resposta:[D]
e) V
Sejam hi e ri , respectivamente, a altura no desenho e a altura real da árvore i. hi ri
Logo, como 9 rI
1 100
rI
E, em que E é a escala adotada, vem 900 u.c.,
9 rII
2 100
rII
4,5 1 4,5 rIV 1350 u.c. e rIV 300 rIV Portanto, a árvore IV tem a maior altura real.
6 rIII
450 u.c., 2 300
rIV
2 300
rIII
900 u.c.,
675 u.c.
9. Uma empresa está asfaltando uma rodovia de 50 km. Sabendo-se que ela levou 12 dias para asfaltar 20 km, quantos dias levará para asfaltar os 30 km restantes? a) 14. b) 16. c) 18. d) 20. e) 24. Resposta: [C] 20km ............12 dias 30km...............x dias 20 12 20x 360 x 18dias Logo, 30 x
3
10. Uma piscina possui duas bombas ligadas a ela. A primeira bomba, funcionando sozinha, esvazia a piscina em 2 horas. A segunda, também funcionando sozinha, esvazia a piscina em 3 horas. Caso as duas bombas sejam ligadas juntas, mantendo o mesmo regime de funcionamento, a piscina será esvaziada em: a) 1 hora. b) 1,2 horas. c) 2,5 horas. d) 3 horas. e) 5 horas. Resposta: [B] O tempo que as duas bombas juntas levam para esvaziar a piscina é dado pela metade da média harmônica dos tempos que cada bomba leva para esvaziar a piscina, ou seja, 2 3 6 1,2 horas. 2 3 5 11. Para a reforma do Ginásio de Esportes da EPCAR foram contratados 24 operários. Eles iniciaram a reforma no dia 19 de abril de 2010 (2ª feira) e executaram 40% do trabalho em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. No final do 10º dia, 4 operários foram dispensados. No dia seguinte, os operários restantes retomaram o trabalho, trabalhando 6 horas por dia e concluíram a reforma. Sabendo-se que o trabalho foi executado nos dois momentos sem folga em nenhum dia, o dia da semana correspondente ao último dia do término de todo o trabalho é a) domingo. b) segunda-feira. c) terça-feira. d) quarta-feira. Resposta: [D]
10 x
20 40 6 24 60 7
x
21 dias
Portanto, o trabalho todo foi terminado em 21 + 10 = 31 dias. Foram 28 semanas completas (de segunda a domingo), mais 3 dias (segunda, terça e quarta). Resposta: quarta-feira. 12. Três agricultores resolveram alugar um trator para arar a terra. Combinaram que o custo do aluguel seria dividido de acordo com o tempo de uso de cada um. Após ararem as terras, pagaram pelo aluguel do trator R$ 486,00 . Sabendo-se que Paulo usou o trator por 4 horas, Pedro por 6 horas e Antônio por 8 horas, então Pedro deve pagar a) R$ 216,00 b) R$ 108,00 c) R$ 162,00 d) R$ 270,00 Resposta: [C] Sejam x, y e z, respectivamente, as partes do aluguel que couberam a Paulo, Pedro e Antônio. Do enunciado, temos: x y z k, em que k é a constante de proporcionalidade. Mas 4 6 8 x y z 486 4k 6k 8k 486 k 27. Portanto, Pedro deve pagar 6k 6 27 162 reais. 13. Em abril de 2009, o observatório espacial americano Swift captou um feixe de raios gama proveniente de uma explosão no espaço. Cientistas italianos e ingleses apresentaram conclusões de que as luzes captadas provêm do colapso de uma estrela ocorrido há 13 bilhões de anos, apenas 630 milhões de anos após o Big Bang, expansão súbita que originou o Universo. Batizada de GRB 090423, a estrela é o objeto celeste mais antigo já observado pelo homem. Revista Veja. 4 nov. 2009 (adaptado). Suponha uma escala de 0 h a 24 h e considere que o Big Bang ocorreu exatamente à 0 h. Desse modo, a explosão da estrela GRB 090423 teria ocorrido à(s) a) 1,10 h. b) 1,16 h. c) 1,22 h. d) 1,84 h. e) 2,01 h. Resposta: [A] Considere a figura abaixo, em que x denota o horário em que ocorreu a explosão da estrela GRB 090423.
4
Como os segmentos são proporcionais, temos que
x 24
0,63 13,63
x 1,11h.
14. Três torneiras X, Y e Z, abertas simultaneamente, enchem um tanque em três horas. Cada uma das torneiras tem vazão constante e, sozinhas, encheriam o tanque em x horas, 8 horas e 6 horas, respectivamente. Nestas condições, o valor de x será a) 18. b) 20. c) 22. d) 24. Resposta: [D] Em 1 hora
1 x
1 8
1 6
1 3
24 3x 4 x 24 x
8x 24 x
x = 24 horas
15. Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em raias adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades constantes. Sabe-se que, nas duas primeiras vezes em que ambos estiveram lado a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m de uma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o comprimento dessa piscina é a) 21 m. b) 27 m. c) 33 m. d) 54 m. Resposta: [C] S eja P a medida da piscina, e A e B os nadadores partindo de pontos simétricos desta, então no primeiro encontro teremos: A nadou 15 m B nadou P - 15 m No segundo encontro: A nadou P + 12 m B nadou P + (P - 12) m Como a velocidade é proporcional ao espaço, já que em ambos os casos So = 0, podemos montar uma regra de três: A...............................B 15 m............................P - 15 m P + 12 m....................P + (P - 12) m Ou seja, para cada 15 m que A nada, B nada (P - 15) m. Fazendo-se a multiplicação em cruz, teremos: 30P - 180 = P² + 12P - 15P - 180 30P = P² + 12P - 15P (como P não pode ser zero, podemos dividir ambos os membros por este valor) 30 = P + 12 - 15 P = 30 + 3 P = 33 m
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