Revista Matemรกtica
Edici贸n:
Las Coordenadas polares
EDITORIAL En el desarrollo de nuestro plan de estudios, se han tratado diversidad de temas que han requerido el uso de planos para el óptimo adelanto de las temáticas tratadas (coordenadas cartesianas). Ahora, dentro de este trabajo se observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares.
Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo.
COORDENADAS POLARES
.
Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto o, llamado el polo o el origen, y trazamos desde o un rayo inicial llamado el eje polar. Entonces se puede asignar a cada punto en el plano unas coordenadas polares (r,0), como sigue. r =distancia dirigida de 0a P =ángulo dirigido, en sentido antihorario, del eje polar al segmento 0P A continuación se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en le sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un retículo de circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo
En coordinas rectangulares, cada punto (x , y) tiene una representación única. Esto no ocurre en coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, ) y (r,2+ )representan un mismo punto. A si mismo como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, ) y (-r, + ) representan un mismo punto. En general, el punto (r, ) se puede ex presar como:
El lector puede comprobar que si r<0, se verifican las mismas relaciones. Cambio de coordenadas Las coordenadas polares (r,) de un punto están relacionados con sus coordenadas rectangulares (x, y) por:
(r, ) = (r, + 2n) o como:
x = r cos 2. tg = y = r sen r=x + y
(r, ) = (-r,+ (2n+ 1)) siendo n un entero. Además, el polo esta representado por (0,),donde es cualquier ángulo.
CAMBIO DE COORDENADAS Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x , y) esta sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r=x + y. Además para r >0, la definición de las funciones trigonométricas implica que: tg = , cos= y sen =
Ejemplo1 Cambio de coordenadas polares a rectangulares. Para el punto c = (2,), x = r cos=2 cos=-2 e y = r sen =2 sen =0 Así pues, las coordenadas rectangulares son (x, y)=(-2,0). Para el punto (r,) = (,), X=cos = e sen = Por tanto, las coordenadas (x , y)=,
GRAFICAS EN POLARES Una forma de representar la gráfica de una ecuación en polares consiste en pasar de coordenadas rectangulares y después dibujar la gráfica de la ecuación rectangular. Ejemplo 3 REPRESEN TACION GRAFICA DE ECUACIONES POLARES Describir la gráfica de una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una ecuación rectangular. a) r = 2 c) r = sec
b) =
Solución
La grafica de la ecuación polar r=2 está formada por todos los puntos que distan 2 unidades del polo. En otras palabras, la gráfica es una circunferencia de radio 2 centrada en el origen, podemos confirmarlo usando la relación r= x+ y para obtener la ecuación rectangular. x EMBED Equation.3 + y EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 Ecuación rectangular. La grafica de la ecuación polar EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 contiene todos los puntos de la semirrecta radial que forma un ángulo de EMBED Equation.3 con el semieje x positivo. Podemos confirmarlo usando la relación tg = EMBED Equation.3 para obtener la ecuación rectangular y= EMBED Equation.3 Ecuación rectangular La grafica de la ecuación polar r = sec EMBED Equation.3 no es evidente por simple inspección, por lo que podemos comenzar por pasarla a forma rectangular usando la relación r cos EMBED Equation.3 = x.
r=sec Ecuación polar r cos = 1 x=1 Ecuación rectangular Deducimos que la gráfica es una recta vertical. NOTA: Un método para representar a mano la gráfica de r = 2 cos 3 consiste en confeccionar una tabla de valores. 0r20-202 Ex tendiendo la tabla y marcando los puntos, se obtendrá la curva del ejemplo 4.
Ejemplo 4. REPRESENTACION DE UNA GRAFICA EN POLARES Representar la gr谩fica de r = 2 cos 3 Soluci贸n: Comenzamos por escribir la ecuaci贸n en forma param茅trica. X = 2 cos 3 cos y = 2 cos 3 sen
e
Para dibujar la curva se puede se puede hacer variar de 0 a , si se intenta reproducir esta grafica encontrara que, al hacer variar de 0 a 2 lo que ocurre realmente es que la curva se recorre dos veces.
Mostraremos a continuaci贸n algunas gr谩ficas en coordenadas polares.
r = sen(2q)
r = sen(3q)
r = sen(4q)
r=sen(5q)
Criterios de Simetría en Coordenadas Polares El grafico de una ecuación polar es simétrica respecto al 1. Eje polar: si al remplazar (r, ɵ) por (-r, -ɵ) ó (r, π - ɵ) en la ecuación se obtiene, una ecuación equivalente. 2. El eje π /2 si al remplazar (r, ɵ) por (r, π -ɵ) ó (r, - ɵ) en la ecuación se obtiene, una ecuación equivalente. 3. Polo si al remplazar (r, ɵ) por (r, ɵ) ó (r, π + ɵ) en la ecuación
1. Sustituimos (r, -ɵ) por (r, ɵ) en r = 2 cos ɵ :
Hasta hemos visto que r = 2 cosaquí (-ɵ) = 2 cos ɵ las funciones del tipo r = Estasen(aq) sustitución son no ha alterado rosas la o ecuación. rosetas. Luego, de r = 2 ɵde es simétrica El el grafico número pétalos respecto al eje polar. depende del valor de a, si a es par, el número de pétalos es 2a; y si a es impar el número de pétalos es a. Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede hacer una tabulación sólo con algunos valores de q que casi siempre son: 0, p/2, p, 3p/2, 2p. y ver cómo cambia el valor de r. 1. Sustituimos ( r , ɵ ) por
en r = 1
+ sen
se obtiene, una ecuación equivalente. Ejemplo: Probar que el grafico de: 1. r = 2 cos ɵ es simétrica respecto al eje polar 2. r = 2 sen ɵ es simétrica respecto al
eje π /2 2
3. r = 4 sen 2 ɵ es simétrica respecto
al polo
Esta sustitución no ha alterado la ecuación. Luego, el grafico del r = 1 +
es simétrica respecto al eje
r 2=
2. Sustituimos
4 sen 2 .
Esta
sustituci贸n
no
ha
alterado
la
ecuaci贸n. Luego, el grafico de simetrica Respecto al polo
es
Humor
Área en coordenada s polares. Para calcular la fórmula del área de una región cuyo contorno esta determinado por una ecuación polar, necesitaremos aplicar la fórmula del área de un sector circular: A=1r2θ
(1)
2 en la cual, r es el radio y θ la medida del ángulo central. Esta fórmula se . puede demostrar, aprovechando que el área de un sector es proporcional a su ángulo central, se modo que: A = (θ/ 2π) π r2
1r2θ 2 Sea R la región limitada por la curva cuya ecuación polar es r = F (θ) y los rayos θ = a y θ = b, donde F es una función positiva y continua, y 0 < b – a ≤ 2π. Sea P una participación del intervalo [a,b] mediante los números θ1, y a = θ0 < θ1 ... θn = b. Entonces, los
∆θ1 = θ1 - θ i –1 Si escogemos θi en el i – ésimo subintervalo [θ i –1 , θ1 ], el área ∆θ i , de la i – ésima región se estima, mediante el área del sector circulo cuyo ángulo central es ∆θ i, y su radio es F(θ i) así ∆A i ≈ 1 [ F (θ i)]2 ∆θ i 2 n Por lo tanto A ≈ ∑ 1 [ F (θ i)]2 ∆θ i (2) i = 1 2 Es una aproximación al área total, A, de R. La aproximación de la ecuación (2) mejora cuando ||p|| 0; ya que las sumas en esta ecuación son sumas de Riemamn de la función g(θ) = 1 [ F (θ )]2 , resulta 2
=
rayos θ = θ1 dividen a R en n regiones menores cuyos ángulos centrales son
A≈∑ i=1
1 [ F (θ i)]2 ∆θ i 2 = ∫ 1 [ F (θ)]2 dθ 2
Por consiguiente, la formula para calcular el área de la región R en ecuaciones es: b
A = ∫ 1 [ F (θ)]2 dθ a 2