Grigore moisil elemente de logica matematica si de teoria multimilor editura stiintifica 1968 by Maria Alexandra

GR. C. MOISIL

Elemente de logică matematică şi de teoria mulţimilor

�-------

EDITURA ŞTIINŢIFICĂ. BUCUREŞTI

1968

Prefaţă

Evolutia tu lburătoare a stiintelor matematice în "\'re murile no�stre are un prim �spect stra �iu. Apariţ.ia unor ştiinţe cu nume ca Logică matematică, Biologie mate matică, Economie matematică, Psihologie matematică, Teoria matematică a învăţării şi Lingvistică matematică arată că domeniul de aplicare al acestor ştiinţe matema tice s-a lărgit considerabil. înainte aveam o Fizi( ă ma tematică, căreia îi corespundea tehnica clasică. Noilor domenii matematizate le corespund noi domenii ale teh nicii, care toate întrebuinţează calcul"atoarele digitale: programarea automată, bionica, automatele cu auto instruire" traducerea automată. în al doilea rînd matematica de azi se ridică la un grad de abstracţie neîntîlnit înainte. Natura elementelor despre care se enunţau teoremele puncte, drepte, sau cercuri, numere sau vectori, nu mal apare azi în mate matică; elementele sînt implicit caracterizate prin sistemul de axiome. în al treilea rînd caracterul de cantitativ 81 mate maticilor a evoluat către caracterul de structural. în fine punctul de plecare al unei expuneri mate matice e mai spre început decît cel al matematicilor cla sice. Matematica nu evoluează de la axiome la teoreme, de la acestea la aplicaţii. Mersul ei este mult mai între ţesut cu răsfrîngeri şi cu anticipări. Două, trei secole analiza matematică a fundat desco peririle astronomiei, mecanicii corpurilor rigide şi ale mecanicii corpurilor deformabile, ale opticii şi electromag5

netismului. În acelaşi timp matematicienii meditau asu pra fundamentelor acestei analize convergenţa seriilor, continuitatea functiilor, existenta ariei şi cea a planului tangent, derivabilitatea integralelor şi integrabilitatea derivatelor. Normal, cursurile unei universităţi pleacă azi de la notiunea naivă de multime si de la notiunea naivă de " nu � ăr natural. În volumul de faţă plecăm de la noţiunea naivă de mulţime, dar nu pentru a merge înainte: aritmetica trans finită, topologia, algebra, algebra topologică, analiza funcţională, ci pentru a merge înapoi. Teoria naivă a mulţimilor din capitolul I şi IV, în care proprietăţ.ile se citesc pe figuri e dublată în capi tolul II de o teorie in că si mai naivă a reIa tii10r binare. Sper că cititorlll nu va fi dezorientat nici de abundenţa materiei nici de subtilităţile ce apar în acest studiu şi, de asemenea, sper că el îşi va pune problema: aceste proprietăţi nu trebuie ele oare să fie demonstrate? Capitolul V arRtă că nu trebuie să fie demonstra�e decît unele din el " celelalte proprietăţi deducîndu-se imediat; acestea sînt axiomele algebreI)}' booleene. Că mul�imile şi relaţiile formează algebre booleene, acest lucru e dovedit în Capitolul VI, presupunînd dove dite anume proprietăţi ale logicii predicatelor; acestea se pot demonstra cînd sînt admise anume proprietăţi ale logicii propoziţiilor. Acestea sînt demonstrate în ca pitellll VII. Iată mersul înapoi, către mai spre început. Noliunea de funcţie ar fi putut fi de la început sub sumată celei de relaţie. Am preferat, avînd în vedere importanţa pi, să-i dedirăm un capitol special, capitolul III. încadrăm algebric mai spre sfîrşit, la pp. 167 sqq, teoria relaţiilor binare în teoria matricelor cu ele mente într-o algebră booleană iar la pp. 169 sqq în teoria grafurilor şi (( mplexelor unidimensionale. ,

•

Logica matematică se întrebuinţează. . Am yrut, în capitolul VIII, să dăm cîteva din aplicaţiile ei. Primul paragraf expune teoria clasificării dichotomir,e, s uh forma algebric ă. 6

Grupul din Bucureşti a dat o mare dezvoltare cercetă rilor de teoria algebrică a circuitelor de comutaţie. Pentru acest motiv, acestor cercetări le-am făcut loc în al doilea paragraf al acestui capitol VIII. Al treilea paragraf arată cum un domeniu al Econo miei matematice , mult studiat în ţara noastră: progra marea pseudo booleană, e legat de logica matematică. Lingvistica matematică are o frumoasă dezvoltare în Republica So ialistă România, graţie lui Solomon Marcus; în ultimul paragraf al capitolului se arată legăturile între lingvistica matematică şi logica matematică. _

•

Cartea a fost scrisă din amintiri; de acum 34 ani am început să predau, uneori sistematic, deseori nesistematic capitole şi paragrafe de logică matemati'că şi de teoria mlll ţimilor. De atunci mi-au rămas în minte pagini pe (;1ir-e le-am transeris �i din Fundamenta M athematicae si · din volumele lui W. Siel'pinski, St. Banach şi &. K.uratowski: înciepărt aţii mei profesori. Din lecturile mele de atunci n-a rămas decît o singură dovadă: propriotă[jle dato rate studentului meu de pe vremea aceea, C. Trufinesc'l*, date la pp. 95- 96 şi 108-1 11 ale acestui volum. Erau pe atunci şi logica matematică şi teoria mulţi milor capitole înfricoşătoare de care oamenii de bine te îndemnau să nu te apropii. Azi public acest volum pen tru tinerii matematicieni, pentru ingineri, pentru studenţi, pentru profesorii de licee şi elevii din ultimele clase. Cred că o să le folosească. Gr. C. M.

G 1·u.lie 1967

Su.r le theoreme

de iVI.

Banach, in "Comp les rendus de l' Aca

demie des sciences de Roumanie",

t.I , 1936.

Algebra mulţimilor

Ideea de multime o considerăm ca înteleasă de OrI ' cine ca şi ideea e'xprimată prin propoziţia : individul a este un element al multimii IX. ' Această propoziţie o vom scrie a

unde semnu l " E " este semnul relaţiei de apartenenţă. De asemenea, vom scrie

în loc de: individul a nu este element al multimii IX. Ideea de mulţime se întregeşte prin conceptul de mul ţimi egale IX

=�,

adică de multimi care au aceleasi elemente. Aceasta este ' o definiţie a egalităţii dintre mulţimi. Nu vom defini egalitatea între indivizi a

a şi b fiind indi.vizi, ci o vom lua ca idee primitivă. Vom observa că

dacă

a =

b şi

� şi a E

a, li. ,

atunci b E atunci

IX;

E �.

tNCLUZIUNEA

Dacă

, � sînt două mulţimi, spunem că mulţimea este cuprinsă în mulţimea � '" şi scnem li.

dacă orice element al lui

C�,

li.

este şi element al lui

Fig.

(f.

� (fig.1).

în loc de li. C �, putem scrie ş i � => li. , ceea ce se -citeşte "mulţimea � cuprinde mulţ.imea lI.", sau "mu� timea � este o supramulţime a mulţimii lI.". Dacă li. n u este submulţime a lui �' scriem lI.ct � sau

13 1J

c<.

Incluziunea se bucură de următoarea proprietate, numită re{le.zivitatea incluziunii: (1.1 ) precum şi de proprietatea numită transitivitatea inclu (fig. 2 ).

ziunii

1.2. Dacă

li.

C � şi

� C y atunci

l/.

în fine, vom menţiona şi antisimctria incluziunii:

1.3.

Dacă

li.

C � şi � C

lI.,

atunci

li. =

�.

Într-adeYăr, în acest caz li. şi � au acelea�i elemente, căci ()fice element al lu i l/. este �i element al lui � �i viceversa. * sau mulţimea sau: mulţimea

IX ()(

este o este

submulţime a mulţimii �, parte

a mulţimii �.

REUNIUNEA

Dacă li. şi � sînt două mulţimi, n umi m reuniunea lor �i o notăm IXU � mulţi me a elementelor care aparţin cel puţin uneia din mulţimile (x, �; în fig. 3, li. U � este mul[i mea haşurată.

�� -_. -

Fig. �

Este evident că

IXU(3 =f3UlI..

(1 4)

Fig. 3

Aceasta este num ită legea de comutatirz"tale a reuniunii. ' Dacă avem t.rei mulţimi (x, �, y şi formăm mul ţimea IXLJ �,apoi ( (X LJ � ) U y şi dacă formăm p� �Uy,apoi pe li. U (�Uy), ub�inem aceeaşI multime (�.U�)LJy =

Fig. 4

d.U

(/3UO') 11

= IXU (�Uy) a elementelor ce aparţin cel puţin uneia din mulţimile IX, �, Y (fig. 4), deci putem scrie (IX U �) U y = IX U (� Uy). Aceasta este Putem deci să scriem IX U � (IX U�) U y. Dacă avem (fig. 5)

( 1 .5)

numită legea de asociatifJitate a reuniunii. să nu mai întrebuinţăm paranteze şi U y în loc de l/. U (� U y) sau în loc de patru mulţimi, putem forma mulţimile

«IX U �)U)y U a , (l/. u ( � u y)) u a , (l/. u �) U (y u a ) ,

( 1.6)

IX LJ « � U y) U a), IX U (� U (y u a)) . Aceste cinci mulţimi sînt egale în virtutea legii de aso ciativItate, căci din legea asociativă se deduce că mulţi mile (J = 't"

(IX U �) U y,

= IX U (� U y)

sînt egale (J =

't",

deci (J

deCI

«l/. U �) U y) U a

Fig. 5

U a

1:'

U a,

(IX U ( � Uy)) u a .

Tot astfel dacă Â =

�,

atunci A

U (y U �)

(!. Uy) U �,

dar A

Y =

{ac U �) U y

deci. A

U (y U �)

= cr

U a

((O( U �) U y) u a

ş.a.m.d.

Vom putea deci suprima parantezele; cele cinci mul ţimi (1.6) fiind identice, le vom nota

O( U � U y U �. Aceasta · este multimea elementelor care aparţin cel puţip uneia din mulţi�ile 0(, �, y, �. In general, dacă

sînt

mulţimi, vom nota

mulţimea elementelor ce aparţin cel puţin uneia din aceste multimi. Este vizibil că această multime este egală cu o�icare din mulţimile obţinute grupî n'd terme nii. r I"J. special putem, prin definiţie, să luăm (1. 7) 13

In definirea lui aU � nu trebuie să presupunem că a. şi � sînt diferite; aUa. este mulţimea ele mentelor ce apar ţin cel puţ in une ia din mulţimile a, a, deci este for mată din elementele mulţimii a; putem scrie legea de idempo tentă a reuniunii:

aUa=a.

(1.8)

Fig.

Este vizibil, pe fi g. 3, că aCa U �, P Ca U �.

(1.9)

Dacă aC "f, � C "f, atunci orice element al lui aU � este sali element al lui a, sau măcar element al lui � şi în amîndouă cazurile este element al lui "f, deci (fig. 6) : dacă aC "f şi � C "f, atunci a W � C y.

De asemenea, a.

vom o1:serva

(1.10)

că:

� echiralează cu a U � = �.

(1.11)

într-adevăr, di n aC � deducem că orice element al lui a U � sau este element al lui �, sau est e el ement al lui a, deci e ste eleme nt al lui �, deci a U � C�; dar � Ca U �, deCI, dacă a C �, atunci a U �= �. Reciproc, dacă (J. U � = �, deoa�'e ce a C a U �, deducem că aC �. 14

INTERseCŢIA

Dacă C< si � sînt două multimi, numim intersectia lor şi o notăm' C< n � mulţimea f�rmată din element�le co mune lui C< şi �; C< n � este ml'l!imea haşurată din fig. 7. Este evident că este valabilă legea -de comutatiritate a intersecţiei (1.12) CI. n 13 = � n c<.

Fig.

Să formăm pe C< n �, � n , , (C< n �) n y, fl. n (13 n y), Ca tn fig 8. Este vizibil că ( fl. n �) n y �i a n ( � n y) sint aceeaşi mul\ime, şi anume mulţimea elementelor comune 1 ui c<, �, y: '

(C< n �) n y = a n ( � n y).

(J.13}

Fig 8.

(d.Oj]) Of dJJ (!J(}l') �

Vom sup rima p arantezel e, scriind CI; n � n y, în loc de CI; n ( � n y).

(oc n �) n y sau în loc de

Fig.

Dacă avem patru mulţimi, atunci, cum se vede pe fig. 9, mulţi mile ((CI; n �) n y) n o, ( C( n ( � n y)) n o, (CI; n �) n (y n o), CI; n (( � n y) n o), CI; n ( � n (y n o))

( 1.14)

sînt identi ce; în aceste ci nci expresii vom suprima pa rantezele, scriindu-le ŞI,

în genere, vom scrie (1.15

In formarea i ntersecţiei a două mulţimi nu este ne cesar să presupunem că ele sint diferit e; CI; n CI; este mul ţimea elementelor ce ap arţi n şi lui CI;, şi lui CI;; ea est e deci CI;, deci est e valabi lă legea de idempotenţă a intersec ţiei: 16

Cl; n CI; = CI;.

( 1.16)

Este vizib il din fig. 7 că Cl;n � C CI;

D acă

y C

CI; ,

( 1. 1 7)

n � C� .

CI; şi y C �, atunci ( fig. 10) orice elem ent al

Fig. 10

lui y este element comun al lui deci element al lui CI; n �, deci:

CI;

dacă y C CI; şi y C �, atunci y C

CI; C � echi\!alează cu IX n � =

IX.

CI;

şi al lui �, este n �

(1.18) (1.19)

Intr- adevăr, di n CI; C � deducem că ori ce element al l ui CI; este şi element al lui �, deci este element al lui a n �, deci Cl;clX n � j dar IX n �C:x, deci Cl;n � = CI;. R ecip roc, dacă CI; n � = IX, deoarece IX n � C �, deducem CI; C �. MULTIMEA VIDĂ. MUL TlMEA TOTALĂ, MULTIMI CU UN SINGUR ELEMENT

Mulţimi disjuncte. Vom sp une că: 1. 20 Două mulţimi sînt disjuncte dacă nu au ele mente comune (fig. 11 ). Fig. 11

(9 Q)

1. 21 Relaţia de disjuncţie este simetrică: dacă IX si � sînt disjuncte, atunci � şi IX sînt d isjuncte. 2

58S

1.22 D �că fJ. şi � sînt disjuncte, at unci <1. şi � n y sînt .. dlsJuncte ŞL de asemenea a n y şi � sînt disjuncte.

Intr-ade văr, un eleme n . t cpmun lui O( şi � n y ar fi un ele me nt comun lui a, lui � şi lui y (fig. 12), deci ar fi un J3

Fig.

e le me nt comun lu i <1. şi � , de ci, un astfe l de e lement ne existînd , fJ. şi � n y sint disjuncte ; analog p entru IX n y şi �. 1.23 Dacă <1. ş i � sînt disjuncte şi dacă y C a, atunci y şi � sînt disjuncte (fig. 13), căci un element comun lui y şi � fiind ele mcnL al lui y, ar fi e lemen t al l u i <1., deci ar fi ele me nt comun lui a şi �. 1.24 Dacâ <1. şi � sînt disjun cte şi dacă y C a şi o C �, atunci y şi 6 sînt 'disjuncte (fig. 14), că-ci un e le ment co mun lui y şi 6 ar fi un element· comun l ui fJ. şi �. Multimea vidă si multimile cu un element Cînd am dEfinit inte rse ct ia a do�ă multimi nu am mention at fap tul că cele două mulţimi nu ;în t disjuncte. D� ase menea, cînd am vorb it de intersec1ia a tre i mulţimi a, �, y. In ace st ult im caz, ar fi trebuit să precizăm că. IJ.. şi �, � şi y, CI. şi � n y, <l.n � şi y n.u sînt disjuncte.. Te oria ar fi foarte complicată. Este mai uş or să procedăm. altfel. Să. introduce m printre mulţimi şi : . 5 multimea (liC!�ă, adică multiine 12 a care nu are nici ' un ele me�t; o notăm cu 0. .

@{) (f)6) Fig.

F� 14

Deci vom schimba în ţe lesul cu vîntu lu i m ulti me . . De altfel , în limb �jul natural cuvintul mulţi n'te de se m n ează numai mulţimile ce au 'cel puţin două elemente. 18

Vom întrebuinta de aici înainte wvînllli multime (în ' sens matemati�) pentru a desemna: 1. mulţimile astfel numite în limba naturală; 2. mulţimea vidă; 3. multimile cu un elemeet.

1.26 mulţimea care nu are decît un elemen,�, ŞL anume o notăm cu {a}. Graţie introdmel'ii mulţimii vide, intersect,ia o n � se defineşte şi pentru dOl ă md[imi disjuncte, ea fiind în acest caz mulţimea \"idă A spune că

pe a,

IX şi � sînt disjuncte, IX n � = 0 sînt afirmatii echivalente. Formulal'ea de la p. 17 a relaj iei de disj unc�ie a două mulţimi ca fiind relaţia între două mult,imi ce nu au ele mente comune dă 1. orice mulvime, este disjunctă de 0'; 2. 0' şi 0' sînt disj uncte.

Bineînţeles, formularea de la p. 15 a definiţiei in tersectiei a do!" ă mulţimi şi observaţiile de mai sus j t18tifică' aserţ iunile

0' n 0' = 0', 0' nIX = 0', IX n 0' =0'.

(1.27)

Să observăm că {c} şi IX sint disju11cte, l1ală c 1111 aparţine lui IX; dacă c aparţine lui IX, {c}nCl. a n {c} se reduce la {c}. Să reluăm definiţia incluziunii CI. C �, înseamnă (ă orice element al lui IX este element al lui �. 1. Dacă IX este mulţimea { a } care mi are decît ele mentul a, {Ii} C � înseamnă că a· este 1]fl element al lui �. 2. Dacă � este mulţimea {b}, IX C {b}, înseamnă că orice element al lui a este b, deci înseamnă că a, dacă =

are elemente, se compune numai di n b, deci că O( {b} sau IX = 0. 3. Dacă IX = {a} şi � = { b} şi dacă IX C � , deci dacă {a} C {b}, atunci a b. 4. Dacă IX este mulţimea vidă, atuTţci nici un x nu este element al lui IX , deci orice x dacă ar fi el ement al lui 0(, ar fi şi al lui � * , deci avem =

oC�.

(1.28)

Deci: m ulţimea vidă este o submulţime a oricărei mul ,timi. 5. Dacă � este mulţimea vid ă şi dacă O( C � , atunci orice el ement al lui IX ar fi element al lui �, deci nu exi stă n ici un el ement al l ui IX, deci IX este 0, deci: 0 nu are nici o submulţime diferită de ea: dacă IX C 0, atunci O( = 0. 6. Di n cele spuse la punctul 5 putem deduce că 0 C0,

(1.29)

dar această p ropoziţie este adevărată nu în vi rtutea pro p rietăţii de reflexi vitate a incluziunii, căci atunci nu ne gî ndeam şi l a mulţimea vidă ca la o mulţime, ci în vir tutea faptul ui că ea traduce proprietatea: dacă mulţi mea 0 ar avea un element, acel element ar fi şi element al lui 0, care este adevărată, fiindcă 0 nu are nici un element *. Să observăm că orice mulţi me cu un singur element se bucură de p roprietatea că ea m� are decît două submul ţimi : pe ea însăşi şi mulţimea \!idă.

Mulţimile cu un singur element se numesc uneori mul

ţimi atomice.

Lăsăm pe seama cititorului demonstrarea proprietă ţilor reflexivităţii, tranzitivi tăţii şi anti simeţriei rela ţiei de incl uziune pentru cazul cî nd unele din mulţi mi sî nt atomice sau vide. Vom observa că formularea definiţiei reuniu ni i (dată la p. 11) ca fiind mulţimea care are ca elemente elementp'le * Vezi şi p. 153.

ce apar ţi n cel puţin uneia din cele douămulţi mi, apli oatăcuvînt cu cuvînt, dă: IX U 0 =

(1.30)

2. IX U {c}, { c } U IX sînt mulţimi ob ţinute adăugînd el ementelor mul ţimii O( el ementul c (uneori se notează ,,0(; c" mulţimea{ c } U IX = O(U { c }). . Adeseori în loc de 0 se scri e O ; uneori în loc de {a} se scri e a. Multimea totală. Vom considera multimea I a tuturor elem entel or. Oricare ar fi x el este elemEmt al lui �, deci ori care ar fi mulţimea 0(, avem IX C 1,

(1.31)

I U O( = O( U 1= I, I n IX = O( n I = 0(.

(1.32 )

Vom prefera să desenăm orice m ulţi me ca o subm ul ţim e a lui 1, ca în fig. 15.

Fig.

OI o:..

Adeseori în loc de I se scrie 1. Exercitii a � IX, dacă şi numai dacă {a}CIX; a � IX, dacă şi numai dacă {a}nlX = 0; a b, dacă şi numai dacă {a} {b} ; a = bj dacă şi numai dacă a�{b}; IXC{a}, dacă şi numai dacă IX {a} sau IX 0; 6. {a} n {b} = 0, dacă ş i numai dacă a =1= b;.. 7. x � {a} U {b}, dacă şi numai dacă x = a sau x =

1. 2. 3. 4. 5.

C�, dacă şi numai dacă, oricare ar fi y, din y C lX deducem

C (3, dacă şi numai dacă, oricare ar fi y, din y::J (3 deducem

y C �; y::J

lx.

' L EGI L E DE DISTRIBUTI VITATE ŞI DE ABSORBTIE

Legile de d istributivitate . Figurile

vedesc următ.oarele formule

şi 17 ne do

n y) u ( � n y), (7. n �) u y = (x U y) n ( � u y)

( x U �) n

"'(

= ( 7.

Fig. 16

'O'

(d.. UjJ) nil'

Legile

(d.n r) U (;JUl')

comutative

ar ată că sîn t

yalahile

egalită�ile

CI.

n ( � u -( ) = (G( n �) u (7. n y),

(1.33)

CI.

U (� n y)

( 7. U �) n (IX U y).

(1.34)

Fig

(cWfi) Vă'

Aceste legi se numesc legile de distributi\!itate. Ele serycsc Ia desfacerea p arantezelor sau, inver s, la scoate rea de factor comun.

Legile de absorbţie. Avem:

n (a U �) a U (a n �) a

= IX,

(1.35)

(1.36)

CI..

------ � Fig. 18

)

într-adevă,r (fig. 18), eleme ntele comune lui a şi lui (7. U � sîn t cele care aparţin în acelaşi timp lui (7. şi m ăoear uneia dintre oc, �, de ci sîn t ele mente le lui oc, de ci (1.35)

este dovedită. Elemen tele care aparţin şi lui a, şi lui � , şi cele ce ap arţin măcar lui a sî nt toate el eme ntele lui a, şi astfel (1.36) este dovedită. COMPLEMENTARA U NE I MUL TIMI

Vom numi complementară a lui a şi vom nota cu sau oc', sau 1 a, sau Coc mulţimea tuturor eleme[lte lor ce nu aparţin lui a (fig. 19). X E Ci înseamnă x�a. Est e vizibil că orice e leme nt aparţine sau lui a sau lui Ci.: li

(1.37)

Fig. 19

şi nici unul nu aparţine şi lui ' a

n Fi

şi lui 0.

Ci.:

( 1.38) 23

Formulele (1. 37) şi (1.38) au o. mare importanţă şi poartă numele de principiuL excluderii tertiului (tertium non datur) şi principiul contradicţiei *. Principiul contradicţie i este enunţat uneori sub forma: S nu poate fi P şi non P în acelaşi ti mp . Se vede că acesta este înţelesul lui (1.38). Principi ul terţi ul ui exclus se enunţă uneori sub forma: S trebuie să fie sau P sau non-P ; a treia posibili tate este exclusă. Se vede că acesta este înţelesul lui (1.37). Este vizibil că rel aţia între CI; şi Ci este simetrică, deci Ci

(1. 39)

CI;.

Această formulă este une ori numită princi piu l reci pro cităţi i specii lor complementare; el corespunde principiu lui dublei negaţii, uneori enunţat sub forma: negaţia negaţiei echivalează cu afirmaţia, căci a spune că un ele ment aparţine lui Ci, înseamLă a nega că el ar aparţine lui CI;. Legile lui Morgan. Fi gura 20 ne arată că CI;

n 13,

(1.40)

& n l3>=Ciuj3·

(1.41)

UI3

-'-

Intr-adevăr, mulţimea haşurată in amîndouă sensu ri le este CI; U 13 şi ea este mulţimea intersecţie a celei ha şurate într- un sens (Ci) şi a celei haşurate în celălal t sens (13) , deci (1.40). Multimea hasurată într-unul măcar din sensuri este ' CI; n 13 şi ea este formată reunind cele două mul ţimi ha şu rate m ăcar într-un sens Ci şi j3. Daqă CI; C �, -atunci CI; U � =�, deci CI; U 13 = i3, deci ·Ci n j3 = i3, deci j3 c: �; am dovedit astfel l egea de contrap oziţie: *

Uneori numit "principiul necontradicţiei".

Dacă« c: 13, atunci i3

c ii.

(1 .42 )

Această proprietate se citeşte pe fig. 21; comple mentara lui � este multimea hasurată în amîndouă sen-

••�. � cr

�fi

Fig. 20

a J.njJ=d..Uft Ifayurat lUj3=d..nj3

suri le şi este cuprimă în mulţimea haşurată într-un sens, , care este complementara lui' (J., cu IX C �

Fig. 21

ExercitII Paginile ce urmează conţin exerCiţii. Cititorul este îndemnat să facă şi calculul şi figura.

Diferenţa. Se defineşte (fig. 22 ) diferenţa mulţimi

� prin IX �

�

n i3 ;

două

(1.43)

Fig. 22

'15

- � este mulţimea elementelor care a parţin lui IZ, dar nu lui �. . Este evident că: 1. a E cx, dacă şi numai dacă [cx - {a}] U{a } = oc; 2. a � oc, dacă şi numai dacă IZ - {a} = oc;

3. a �

{a}.

Proprietăţi ale diferenţei

(oc n �) y = ( IX - y) n (� -y ) . Soluţie, ca exemplu,: -

(1.44)

(,; n �) - y = ( IX n �) n Y

din idempotenţa intersecţiei = ( (1. n �) n Cr n y), din asociativitatea şi comutativitatea intersecţiei: = ( IX n y) n (� n y), ) n (� - y). = ( IX - y r ntuitiv fig. 23 şi 24. ( 1.45) (cx U �) -y = ( IZ - y) U (� - y), ( cx - �) U(cx cx - (� U y) = (IX - �) n ( cx oc - IX = 0, cx - (� n y)

( cx - �)

y),

(1.46)

y),

(1.47 )

(1.48)

y = oc - (� U y) ,

(1.49)

Fig. 24

Fig. 23

(oc - �) - y

dacă 26

(oc - y)

(cx - �) U � � IX, C � Uy, atunci cx

�, p

( 1.50) Y

(1.51) (1.52 )

oc :J oc - �,

dacă

::J � - y,

dacă

atunci � atunci y

C�,

(1.53J oc C y

oc,

(1.54)

oc:J'Y - �,

(1.55)

Fig. 25

dactt

C�, at unci oc

(Ci.

y C�

�) U (� - y) :J

rt. -

(1.56}

(f.57)

Reziduaţia. Se define�tc (fig. 25) reziduaţia oc : � = oc u 13.

� prin

(1.58)

Se SCrIe uneori

( 1.59)

Proprietăţ i ale reziduaţiei 11.

(1.60)

oc = 1,

(1.60*)

oc�oc=I,

(oc n �)

y = ( CI.

oc �_(� n y)

y) n .(�

y) ,

(oc -+ �) n ( 11. ;+ y) ,

(oc U�) : y = (oc :Jy) U ( � : y),

(� U y)

(1.61) (1.61*) (1.62)

y),

(1.62*)

(.3 n y) = ( oc �) ' u (11. y), ( CI. n �) -+ y = (oc � y) U (� � y),

(1.63)

11.

�

(oc � �) U ( oc

�

(�l,J y) = (a

�) n (oc

(IX U�) � y = ('1. � y) n (�

y) , �

y),

(1.63 *) ( 1.64)

(1.64*) 27

y = oc

(oc :�)

O( � (� � y) (O( O( �

(o:

(1.65*)

(oc n �) � y,

�) : y = (O( : y) ( � --;. y)

(1.65)

( �n y) ,

� � (O(

�) n � c

(1.66)

�, �

(1.66*)

y),

( 1.67)

0(,

(1.67*)

oc n (oc � �) C � dacă o: � � n y, atunci oc dacă o: n � C y,

atunci oc C �� y,

O( C o: oc C ��

dacă o: C �� y,

(o:

)

O( � y O(, �

(1.70)

(1.70*)

�,

(1.71)

atunci O( � y� � � y,

(1.71*)

atunci y

dacă O( C �, dacă oc C �,

(1.68

(1.69*)

0(,

atlinci oc � � C oc

dacă oc C �, dacă O( C �,

(1.68)

(1.69)

atunci �

dacă O( C � y,

�� y,

oc � y

atunci oc:y C �:y,

atunci � � y C oc

�) n (� : y) C oc

(O( � �) n (� � y) C O(

�

y, �

(1.72) (1.72*) (1.73) (1.73*)

Avem: .

(1.74) (1. 75)

Suma (diferenţa simetrică). Se defineşte (fig. 20) suma O( + � (numită de obicei diferenţă simetrică) prin *

)

(1.76)

oc + f3 = ( O( n ]) u (Ci n ��,

(�. 77)

+ f3 = ( O( U �) n (oc u �)

(1 . 78) (1. 7 9) ( 1.80) ( 1.81) (1.82) (1.83) ( 1.84)

oc + � = (O( - �) U (� -

O( .

Fig. 26

Proprietăţi ale diferenţe i simetrice O(

oc + oc = 0, oc + 0 = 0(,

oc + (� + y) = ( O( + �) + y , oc n (� + y ) = (O(n �) + (oc n y) , oc+oc=I. oc+I=oc

Fig. 27

Suma duală sau echivalenţa. Se defineşte ( fig. 28) echivalenţa sau suma duală a două mulţimi 0(, � prin (1.85) affib

De obicei diferenţa simetrică a + b este notată

allb

11.

sau 1Ş1

-+ �

se scrIe uneori

= (O(

O( �

�) n (�

IX)

(1.86

� în loc de oc +"�, deci

oc � � = (11. � �) n (�

0:).

(1.87

Fig. 28

Propr ietăţi ale şumei duale

-+= � =

( O( U �) n (Ci U �),

(1.88)

oc + � = (O( n �) U (ii n 13),

(1.89)

-+ oc = 1, O( -=+- I = oc, -+ y) (oc +- �)

(1.90)

O( +- (� O(

(�

+" y)

�

(1. 91) +- y,

(oc U �) -+ (O( U y) ,

oc +

( 1.92) (1.93) (1.94)

Avem: �,

(1. 95 )

+ � = Ci ::;: �,

(1.96)

O( +' � O( (J.

13 = oc

Cx +

+� . +

(1.97)

(1.98)

oc + � = oc -+ �

Funcţia lui Sheffer. Se defineşte (fig. 29) funcţia lui (sau O( I�) prin

Sheffer O( 1.. �

CI:

1.. �

ii U (},

(1.99)

ceea ce înseamnă:

Fig. 29

care se mai poate eiti "IX implică non �", sau "IX ex clude W', de unde numele e'e e:x;c.luziune rentru func

ţia 1-.

Proprielâţi ale funcţie i lui S heffer IX

1- � = oc . n�, CI.

(1.100)

OC,

(o: 1-�) 1- ( IX 1- �) = C/. n �, (oc1-oc) 1-(� 1-�) = cx U�, 1, cx 1- g cx 1- I = ii, cx �Lcx i= 1. =

(1.101) (1.102) (1.103) (1.104) (1.105) (1.106)

Funcţia "nici".* Se defineşte (fig. 30) funcţia "nici":

oc T � prin

oc T � = ii n�.

(1.107)

Proprietăţ i ale funcţie i "nici" cx T � = IX U �, cx T cx = ii,

(cx T �) T (IX T �) *

r:t.

(1.108). (1.109) U�,

(1.HO)

funcţia lui Peire",. 31

(ocToc) T (�T�) = oc n�,

(1.111)

oc TI = @,

{1.112)

ocT @ = Ci,

(1.1.13)

(1.114)

Fig. 30

Funcţia majoritară. Se defineşte (fig. 31) funcţia ma

joritară O(

# � # y = (oc n�) u (� n y) u (y n oc).

(1.115)

Proprietăţi ale funcţiei majoritare oc # � # y e simetrică în oc,�, y. oc # � #

n�,

oc # � # y = (oc U �) n (� LI y) n (y LI oc),

(1.116) (1.117) (1.118)

Fig. 31

oc # � # I = IX U �, oc

3'2

# � #

�

= oc.

(1.119) (1.120)

Disjuncţia condiţionată·. Se defineşte (fig. 32) funcţia

(IX, �, y) pr in

(IX , �, y) = (IX n �) u (� n y).

( 1 . 121 )

Fig. 32

Proprietăţi ale disj uncţiei condiţionate (� -') cx) n (� -') y ) ,

( 1. 122)

(cx , �, y) = ( CI. f:..J ]) n (y u �).

( 1.123)

(IX, �, y)

fORMA ARISTOTELiCĂ A lUDECĂTILOR

Te o r e mal.

Următoarele condiţ'ii sînt echi()alente

1 . 1 IXC� 1 . 2Ci::Jji

Fig. 33

* Sau funcţia lui Church. 3

- SBS

1.3

O( n

1.4

(1.

I.5

O( n �

1.6

ii U�= 1,

1.7

1.8

(1.��= 1,

�

(1.,

U � = p,

I.9 �

�

oc= 1,

1.10 oc T P

O( -L B

1.11

1.1 se enunţă:

toţ.i

sînt �.

Acesta este tipul de propoziţie universală (fiindcă luat în universalitatea lui) afirmativă. Evident, propoziţia universal-negativă:

este

E. nici un oc nu este B

Fig. 34

spune că

ŞI � sînt disjuncte

O( n� = deci este de tipul 34

I.5, (3 fiind înlocuit cu �, deci � cu TI;

de ci ea este echiva lentă

cx. c�, ii :J

�, n CI. � = IX,

U� =�, oc U � = 1,

CI.

CI. �

�

a==J,

ii T � = CI.

_L � = 1.

Fig. 35

IL Urm(:toarele condiţii si nt echi�'a lente:

Teorema ILi

1 1.2

tiU

1 1.3

CY.

1 1.4

�ctCY.

1 1.5

(Xn�=I=CI.

1 1.6

CI.

1 1.7 ILS

n � =1= 0,

�

=1= I,

ct�,

U � =f= �,

� =f= 0, cx.��=I=I, CI.

11.9

�

oc =1= 1,

11.10 oc T j3 =1= 0, 11.11 oc 1- � =1= 1.

Am notat oc cţ. � şi � D oc p en tru : fi. nu e c up ri nsă în �. Acesta est e t ip ul de p r op oziţ ie p articular-afirmativă 1 1. Există unii fi. care să fi e şi �, . sau, cum se spune uneOrI: Unii E \'ident,

fi.

sînt �.

p rop oziţia .particular-negativă IX care să nu fie şi (3, mai sp une uneori:

O. Există u nii

sau, cum

Unii

nu sînt

se scne 7.

B =1= 0,

deci: a

U � =1= 1, oc ct. �,

i3 ct. �, fi.

n � =1=

oc'

oc U � =1= �, oc

OC4

� =1= 0,

13 =1=

ii T �=I=g

oc 1-�=I= I. 36

[:l

;

II Algebra relaţiilor

RELA T I I BINARE

Ideea de relatie binară este întrebuintată de cititori încă de la încep�t ul studiilor lor; ex·eml)le de relaţii -,< , > , :;P,E �, C,�,ct.,:b, li (e paralel cu), I (divide). . în mod obişnuit, dacă R este· o· relaţie, aRb "Înseamnă

=, =1= , <

că: indi(.lidul a este în relaţia R cu indi(.l idul b. , Implicaţia relaţiilor Şirul de semne

înseamnă:

ori de cîte ori a Rb avem ŞI: aSb.

Exemple: > =) =1=

= ,

ziunea

lor). Se ded uc e

-.<,

==> :;p,

< =>

=> C (egalitatea

că

implicaţia

-.<, >

claselor

relati ilor

>, < = > =f=., imp lică inclu

este refle};iră

(2.1 )

şi tranzitiră,

( 2.2 ) dacă R => S şi S => T , atunci R => T. Conjuncţia relaţiilor Dacă S şi T sînt două relaţ ii, numim conj·uncţi a lor

şi notăm cu

S&T

relaţia dintre a ŞI b, definită prm: a(8&T)b,

înseamnă a8b

şi a T b.

Exemple

rentl'u numere = es te -< & >- ; > este >- & =1= ; < este -< & =1= ; pentru mulţimi este C &:J. Este vizibil că =

(2.3)

8&T =) 8, ) T,

8&T

căci dacă avem şi a8 T şi a Tb, atunci avem a8b ŞI la fel avem aTb, dacă R

> 8 şi R =9 T,

atunci R

� 8&T,

(2.4)

căci din aRb deducem a81! ŞI a 1'b.

Echivalenţa relaţiilor Dacă

avem

R � 8 şi 89 R,

spuorm că al'e loc echivalenta reIat iilor R şi 8 (sau Il şi ,"; sînt echivalente) şi notăm Il (=) 8. Este

\'izibil că c,�hivnle!l!a

e1.:lţiilor es te

re(le:x:i(!â:

R (=)

( 2.5 )

8( )

( 2.6)

simrtrică dacâ ŞI

R ( ) S, alunci =

lranâti(!ă daci'i

R (=) S .)"i S (=) T, atunci R (=) T.

(2.7)

Demonstra ţ iile (a exerci�ill. Avînd cefinită echi\'alen/a, pl'tem pune în evidenţă unr:e proprietăţi nle conjunc iei. 38

Proprietăţi ale conjuncţ/:ci.

Conjuncţia relaţiilor este idempolenlcl:

R&R (=) R,

(2.8)

R&S <=> S&R

(2.9)

comuiati",ă : şi asociati"'tl: R&(S&T) (=) (R&S)&7'.

exercq�u;

Demonstratiile ca

(2.10)

de exemplu,

a[R.&(S&T)]b, Înseamnă aHb �i a(S & T)b, Dar a(S & T)b lnscamJli'i aSb şi a Tb, de ci ar H &(8-& T)Jb înseamnă aRb şi aSb şi aTb. Deoarece a[. (R&S)&TJI! înseamnă a(H &S)b şi a Tii, ial' a (R &S)b inseamnă aRh şi aSb, deducem că I/[(H &8) & Tjb inseamnă aRb şi aSb, şi aTb. Deci a[R&(S&T)Jb �i a[(R&S)&T]b inseamnă a m î n două acelaşi lucru, �i a n l l me aHb şi aSb şi a 'l'b. De(�i dacă a[ll&(S&T)]b, aLunei a[(R&S)&T]b, deri R&(S&T) => (R&S)&T şi (R&S) &1' � R&(S&T), cleei teorema.

Negaţia. unei reia ţii

l'\llInim

dilltre a �i b

egaţi a liii Il şi not,)m defiJliLii a�Lfel a H. li

înseamnă a nu esle în

el a ( i n 11.

ClI

negaţia reIat ir,i ::::::

est

E:"J.:emple :

el]

J'( (sali

It) relaţia

b. c

>- ,

nega! ia rf�la�iei :;.... esLe -< ,

negatia relatiei -< esle

negaţia relatiei:::> este

< .

negatia relatiei

E esLe �

nega! ia re la t i e i � c,,;Le E 34

negaţia relaţiei este =1= , negaţia relaţiei =1= este = =

Disjuncţia relaţiilor Fiind date relaţiile S, T numim disjuncţia lor şi notăm cu SV T

relaţia dintre a şi b definită astfel: a(SV T ) b,

înseamnă: măcar una din relaţiile aSb sau aTb este adevărată. Exemple:

<. este

<V =

>- este > V Proprietăţ i ale disfuncţiei S => S V T, T:::;:. SV T, dacă S => R ş i T � R , at�mci S V T => R , RV R (=). R , S V T (=) T V S , RV (SV T ) (=) ( RV S )V T

(2. 1 1 ) (2. 12) (2.13 ) (2. 14 ) (2.15 )

2.13, 2. 14 , 2 .15 sînt legile de idempotenţă, de comiIta

tivitate şi de asociativitate ale disjuncţiei. Propr ietăţi ale d isj uncţiei şi conjuncţiei

R & (RV S) (=) R,

(2.16)

R V (R &S) (=) R,

(2.17 )

R &(SV T ) (=) ( R &S) V ( R& T),

(2. 18)

RV (S & T ) <=) (R V S ) &( RV T ).

(2.19 )

2.16, 2.17 sînt legile de absorbţie, '2. 18, 2. 19 legile de distributivitate. Demonstraţiile ca exerciţiu. Ca exemplu să demon străm 2.18. Dacă a[R&(S V T)Jb, atunci aRb şi a(S V T)b, deci aRb şi: sau aSb, sau. măcar aTb j deci sau aRb şi aSb, sau măcar aRb şi aTb. In primul caz, a(R&S)b, iar în al doilea, a(R&T)bj deci R&(SVT) =9 (R&S) V (R&T). Dacă a[(R &S) V(R &T)Jb, atunci sau a(R &S)b, sau măcar a(R&T)b, deci măcar unul din cazurile următoare: 1) şi aRb şi aSb; 2) şi aRb şi aTb. In amîndouă cazurile aRb ŞI, In primul caz, aSb, iar în al doilea, aTb, deci a (S V T)b, deci aRb şi a(S V T)b. Deci a[R &(S V T)Jb, deci (R&S)V (R&T) => R &(SV T)� Deci 2.18 este dovedită. Produsul relaţiilor

Produsul S. T a doua relaţii S, T este definit astfel: a(S. T)b

înseamnă că există un

;:,

astfel ca aSz şi zTb.

Exemple: 1. = E (=) E

căci dacă există un z cu a = z şi z E IX, atunci.a E IX, dec� = E => E ; dacă a E IX, există un z (şi anume a); astfe}; ca a = z şi z E 0:, deci E =) = E ; 2. E (=) E Demonstraţia ca exerciţiu. .

3. =

= <=>

Dacă există un z cu a z şi z = b, atunci u = b, deci = = =) = Dacă a. = b, există un z, şi anume acest z este a,. cu a = z şi z = b, deci = =) = =

4 . C C � C, 5. = C (=) C

().

(=) C,

<. (=) <., 8. <. = (=) <., 9. >. (=) > 10. < < ) < , 7.

> (=> > ,

11. 1) II � II, 12. I I => I Demonstraţiile ca exerciţiu. Proprietăţile produsului*

(2.19) (R.S) . T (=)R .(S. T), căci a[(R . S) TJb înseamnă cI există un y cu a(R.S)y şi yTb, deci c1 există un x cu a Rx şi xSy, deci că există x şi y cu aRx, xSy, y Tb, deci că există un x cu aRx şi x(S.T)b, deci a[R.(S.T)Jb, deci (R.S) T =) R.(S.T). Analog ară Ulm că: R.(S.T) ) (R.S). T, (2.20) R.(S V T) (=) (R.S) V (R.T). Dacă a[R.(S V T)Jb, atunci există un x CI aRx şi .x(S V T)b, deci xSb sau m,sC1r xTb. Deci se prezintă unul măcar din următoarele cazuri: sau 1) aRx şi xSb san măC9r 2) aRx şi .xTb. Deci: 1) a(R.S)b sau măcar 2) a(R. T)b deci R.(S V T) � (R.S) V (R.T). Analoga[(R. S)V (R.T)]b dă: 1) a(R.S)b, deci există un x w a Rx şi xSb sau măcar 2) a (R. T)b, dECi există un y cu aRy ŞI yTb, deci în f'mîndouă cazurile există un Z .care dă in acelaşi timp aRz prEc�lm şi uDul din caznrile zSb sau măcarzTb, deci ziS V T)b, deci a[R. (S V T)]b, deci (R.S) V (R. T) ) R(S V T) (2.21) (R V S). T (=) (R.T) V (S.T), •

R.(S&T) (R&S). T *

Vezi p. 197.

)

(R.S)&(R. T), (R.T)&(S. T).

(2.22) (2.23)

Transpusa unei relaţii R este relaţia R - adeseori

notată R

defi nită pri n: xRy Înseamnă y Rx.

Propr ietăţi ale transpusei

Îi (=) R, R&s (=) ii&8,

(2.2/1)

RV S (=) RV S ,

(2.26)

----

(2.25 )

dacă S (=) R , atunci S (=)

(2.27)

RS ( ) S El

( 2.28)

Demonstraţiile ca exerciţill. ExercItII

1. Care est.e transpusa relaţiei:< ,<, > , :;;;,. , = , '::, C. j, !I ,1 sint analo�ele proprieti\tilor -1.1-1. [9, 1.33-1.36 1.37-1.41, 1.43-1.123 penl.ru rel aţii.

2. Care

3. Se noteazii

R' (=) R,

R"+l(=) RR".

Să se arate că Rm R" (=) Rm+".

Obserpaţii 1. Analoga mulţimii vide este relaţia vidă, care este relaţia R pentl'u care, oricare ar fi x,y nu avem xRy; analo!!il mul ţimii to tale este relaţia totală R, aslfel c;1 xRy este valabilă, oricare ar fi x şi y. . 2. O relatie R este definit:i 1"lr,' elementele a dOllă multimi 0:, (3; Cll alte cu ' vin le rela�ia a NI! are sens cînd a CI. şi (3 •dar nu are sens nici dacă a�(3, nici dacii b�(3. De pild;l relaţia < b are sens cînd si b sînt numere reale dar nu ar-e sens cind a c un . număr complex' sau cînd e un vec · tor.

Vom n Ilmi p e o: domeninl relaţiei R şi pe � codomeniul acestei relaţii; relaţia aRb nn va avea sens decît dacă In cazul relaţiei" < " domeniul o: şi codo a E o: şi b E�. meniul � sint identice, o: =�, şi anume si nt mulţimea numerelor reale. în cazul relaţiilor" E " şi �" propcziţia a E p. nu are sens decît dacă a este un individ şi fL este o mulţime (vezi şi C ap . IV) deci dOfI).eniile relaliilor " E " şi �" sînt mu lţi m ea 1 a tLlturor indivizilor, in timp ce codomeniile lor sînt mulţimea tuturor submulţimilor lui I. "

RELATIA DE I DENT ITATE

R elaţia de identitat e se bucură de următoarele prop rietăţi : a ) reflexif'itatea : oricare ar fi x avem x = x �) simetria : ori care ar fi x şi y, dacă x = y, atunci y = x ; ) tranzitif' itatea : oricare ar fi x, y, z, y dacă x = y şi Y = z, atunci x = a) compatibilitatea : dacă x = x*,

alunci

, y = Y*

ŞL

x Ry

(3.1 ) (3.2) z

;

(3.3 ) (3.4 )

R y*.

P ropriet atea � s e scri e : rv

P roprietatea y dă:

(=) =

-�

= .

Proprietatea a d ă p entru ori ce relaţie --'-- R =) R, R = =) R, = R = =) R,

c ăci a( R) b înseamnă că există z cu a = z, zRb, deci înseamnă aRb ; dacă aRb, atunci a = a, aRb dec i R => = R. An�J og în celelalte cazuri. R elaţia de egalit ate* între mulţimi a fo st d efi nită la p. ' 9: a = � î nseamnă că a şi � au acel eaşi ele mente. P entru această relaţie propriefăţile d e reflexivitate (oc şi a au aceleaşi elemente, ceea: ce est e o tautol ogie), de si metri e (d ac ă a şi � a u a celeaşi elem ente, atunci � şi a. au aceleaş i elemente), de tranziti vitate (dac ă· a şi � au ace leaşi el eme nt e şi dacă 13 şi y au ace le aş i elemente, atunci a şi y au acele aş i el emente) şi de compatibilit ate (dac ă =

'" Vezi p. 1 9 7 .

şi IX * au ac eleaşi elemente şi dac ă � şi � * au acele aşi el emente, atunci orice relaţie satisfăcută de oc şi � este satisfăcută de oc * şi � *) sînt consecinţe ale definiţiei date. Vom obs erva că echi valenţa rel aţiilor joacă î n al gebra relaţiilor ace laşi rol pe ca re- l 'j oacă e gali tate a mul· timilor î n algebra multi mil or. , Pr oprietăţi le de re fle' xivitate, d e . si metrie: şi de tran zitivitate ale relaţiei (=) între relaţii au fost puse î n evi denţă la p. .3 8. O proprietate de compatibi-li tate ar fi enunţ ată sub forma.: Dacă R (=) S, atunci ori ce proprietate a lui R es te . o pr opri et�te a lui S ; despr e o astfel de p ropoziţi e v:om vorbi Ia p. '17 5 ., oc

REL ATII' DE: P:REORDIHE

re laţi e

este numită reflexi�'ă dacă ori care ar

fi· x

xRx,

deci, d acă = =9

O relati ' e R es te numită tranziti(Jă dacă di n aRb şi bRe deducem aRc. O relaţie de preordine es te o re laţi e refl exivă ŞI tran zi tivă; pe ntru o as tfel de relaţie avem:

R 2 ( ) R, =

căci dacă aR2b, atunci e xistă un z cu aRz şi zRb şi atunci di n cauza tranzitivităţii, aRb , deci R 2 ) R. D ar dacă aRb din cauza refle xivi tăţii aRa, deci exis tă un z şi anume z = a cu aRz şi zRb, de ci R ) R2, deci =

R2 ( ) R. =

Reciproc, dacă R 2 ( ) R, atunci R 2 =? R, de ci dacă aRb şi bRe exi stă un z, şi an ume z = b, astfel ca aRz ş i zRe, de ci aRze, de ci aRc, deci R este' tr anzi tivă. =

Deci relaţiile de preordine R se pot caracteriza pnn (4. 1) =9 R , R 2 <=> R, (4. 2) =

Exemple : C , ::> , -<: , >- , I I

RELAT I I DE ECH IVALENTĂ

o rela ti ' dacă ' e E este nu mi tă re latie de ech iva len tă este reflexivă, sime tri că şi tranzit ivă. Exemple de relaţii de echivalenţă II , == (mod m) pentr u în tregii pozitivi , negativ i şi nuli , relaţi a de egali tate pentr'l triunghiuri, rel aţ ia de similitudine pent ru triunghiuri sau alte figuri , rel ati a d e e chival enţă pent ru segmente (A B ---- CD însea mnă că A BCD este un paralel ogram, even tual dege nerat, fig. 36 a,b, c,d). Relaţia de e chivalenţ ă afin ă pentru tri unghi uri sau alte figuri plane este o relaţi e de e ch ivalen ţă (fiecărui pun cL A din planu l P î i corespunde pu nct ul A' din pla nul P, astfel ca A 'D' . . . să provi nă d i n A B . . . p rintr- o trans formare afi nă). Relat' iile de e chivalen tă fi ind relatii ' de preordine simetri ce, pot fi caracteri� aLe prin "'> E , (4. 1) =

E <"') E (4. 3) (4.2) E2 (=) E Clase de echivalenţă. Fie M o mulţi me dată ; E o re

laţie de echiv alenţă d efin ită pentru el ementele lui M. Dacă a E j)!J, vom n umi â mul ţimea tutu ror eleme nte lor x echivalente cu a, deci x E â înse amnă xEa. â = b echivalează cn aEb. Da că â b, atunci â Cb şi b c â. Dar b E b, de ci b E â ; de ci bEa, de ci aEb. Dacă aEb , atun c i a E b şi dacă aEb , atunci bEa, deci b E â. =

Dar dacă a E ÎI şi x E â, atun ci aEb şi xEa, do ci xEb , deci x E b, deci â C b; la fel b C â, deci â b. =

b echivalează

cu , â n b =1= 0. Dacă â = b, deoa " rece a E â , avînd a E b, â n b conţ.i ne pe a, deci â n b =;i= 0. â

-:-

Dacă â n

=1= 0, atunci există x E â , x E

xEb, dEci aEx, xEb , deci aEb , deci li â

b sau â n b caz â b.

0, căci â n b

Îl,

deci xEa,

0 sau â n b =1= 0,

în care = Numim M ! E (mulţ ime cît) mul ţ.imea claselor â cu a E M. Oricare ar fi a E M, e.x istă a E 111 lE cu a E a ; este â. destul să luăm ry; Definiţii prin abstracţie. Formarea mulţimii cn M IE constituie u n puternic mijlcc de a defini noi idei 'mate matice ; acest procedeu este numiL de finiţi a prin abstrac ţie. Iată cîteva exemple Ideea de direcţie. Fie II relaţia de paralelism a două drepte I I este o relaţie de fClliyalenţă. D a c ă a e s te o dreaptă, â este mulţimea tuturor dreptel or paralele cu a. Ceea ce au comun aceste drepte este dirE c ţia lor. Aici cuvîn tul " direcţie" n u este încă definit. Putem să prc. c2dăin astfel. Vom numi " direcţii" clasele de ec hivalenţă în ra port cu relaţia de paralelism a dreptclor. A spune că direcţia dreptei a este ry; înseamnă a spune că a E a, a fiind o astfel de clasă de echivalenţă, deci a C .6. , unde .6. este mulţimea dreptelor. Ideea de vector. Se numeşte "segment" mice pereche ordonată (A ,B) de pun c �e. Printre segmente se socotesc şi segmentele nule cu A = B. Relaţia de echip olenţă A B ,...., CD definită p r in " A B CD este un paralelogram pro priu sau d egenerat" împarte segmentele în clase de echi=

...

valenţă numite vectori. A spune A B E 10' , CD E 1,1 înseamnă a spune că A B CD. Clasa de echivalenţă ce conţ.ine _

--+

segmentul A B va fi numi t vectorul A B. Ideea de formă a unei figuri. Fie lliI o figură, adică o mul ţime de pnncte. Vom spune că două figuri M şi 111' sînt asemenea, dacă fiEcărui p unc t A din 11! îi corespunde un punct A ' din M' , astfel ca două triunghiuri, şi anume 47

triunghiul A BC, format din puncte din M , şi A ' B'C', format cu p unctele corespunzătoare din M' să fie întot deauna asemenea. Relaţia de asemănare M ,....., M' a două figuri este o relaţie de echivalenţă căci : C

[=0 •

A=C

8=0

A = /J

Fig. 3 6 A = 8 = CO

) orice figură este asemenea cu ea însăşi ;

�)

dac'ă jJ1 ,...- jJ1' atunci ŞI M' ,...- M ;

y) dacă M ,...- M' şi M' ,....., M", atunci şi M ,....., lW' (demonstraţia ea exerciţiu). Clasele d e echivalenţă sînt formate din figuri care au aceeaşi formă (fără să aibă ne apărat aceeaşi mărime). Cuvîntul "formă'.' întrebuinţat în limb a română poate fi definit precis : numim formă o clasă de echivalenţ,ă în raport cu relaţia de asemănare. Ideea de clasă de resturi. Se spune că doi întregi a, b. sînt congruenţi faţă de un întreg m, ceea ce se scrie : •

a = b (mod m) ,

dacă există u n întreg k astfel c a a -q.

-3

-2

-1

b = km� 2

Fig. 37

întregii se pot reprezenta prin puncte echidistante pe o dreaptă. Dacă dreapta este Înfăşurată În molii convenabil, for* Prin numere intregi se înţeleg numerele întregi pozitive sau negative şi zero. 48

mînd o elice pe un cilindru, numerele congruente se vor afla p e o aceeaşi generatoare, deci vor avea aceeaşi pro iecţ,ie pe cercul bază al cilindrului. O clasă de echivalenţă pentru relaţia " (mod m)" va fi formată din punctele de pe o generatoare. =-

-9

Fig.

� , 2

3 ?

R E L ATI I DE O R D I N E

O relatie se numeste antisimetrică dacă din a ii b si · b R � deducem a = b şi se numeşte strict antisimetrică dacă nu avem niciodată aRb

şi b R a

deci, dacă (a R b ) şi (b R a) nu e niciodată ade"ărată. O relaţie reflexivă, tranzitivă şi antisimetrică se nu meşte relaţie de ordine parţială ; deci condiţiile necesare -şi suficiente ca relaţia R să fie o relaţie de ordine par ţială sînt : =) R,

(4. 1 )

R 2 (=) R, ( R &R) ( )

(4. 2 )

= .

(4.4)

O relaţie s e numeşte ireflexi"ă dacă a Ra 4 - 585

nu e niciodată adevărată 49

deci, dacă =1=

( 4. 5 ) D acă R este o relaţ.ie vom numi R'" Şl RY relaţiile R =)

RA (=) R V RV ( ) R & =

Dacă R este o relaţ ie de ordine parţială, R V este irefle xiră, tranzitifJă şi strict antisimetrieă, căci a R V b implicA a -+ b, a R V b şi b RV c implică a R b şi b R c deci, R fiind tranzitivă , a R e ; dar în acest caz a = c implică a R b şi b R a, deci a R b deci a = b cQntrar lui a R V b (care im plică a -+ b), deci a -+ c, deci a RV e, deci R este tranzi tivă ; a RV b şi b RV a dau, din cauza tranzitivităţ.ii, a RV a,

deci a =1= a, ceea ce este abs urd, deci RV este strict anti simetrică. O relaţie ireflexivă, tranzitivă, strict antisimetrică va fi numită relaţie de ordine parţială strictă. Teorema de mai sus se enuntă deci

Dacă R e o r�laţie de ordine parţială, R V e o relaţie ele ordine parţială strictă. Dacă R e o relaţie de ordine p arţială, R /o e o rela ţie de ordine parţială. Intr-adevăr, a = a deci a R" a ; R" e tranzitivă ,

)( RV c ăci ( R '')2 (=> ( R V ) 2 (=) ( R V ) (=) R 2 V ) V ( = ) 2 (=) R 2 V R V R V = Dar (R ) V (R 2 R2 9 R, ieci ( R "' ) =) R V = =) R A . Arătăm că RA e � � antisimetrică : ( R A ) (=) R V = R V = (=) R V = (=) R V = =

---

�

(=) R A

Dacă R e rela �ia -< sau > , atunci R V e relaţia < sau > ; d acă R e relaţia < sau > R" e relaţia -< s au >Oricare ar fi relaţia R, afJem RV R"

A () A R , =

(=) R V ,

R V V (=) R V R " A (=) R A , 50

căci R V A (=) R V V = (=) ( R & -+ ) V = (=>( R V ) & ) ( -+ V = ) (=) R V = (=) R A ; R A V (=) R A & =F (=)( R V -+ (=) ( R & =F ) V ( = & -+ ) (=) R & -+ (=) R ; R (=) R & -+ (=) ( R & -+ ) & -+ (=) R & ( +- & -+ ) (=) (=) R & -+ (=) R V ; R "' "' (=> R " V (=) ( R V = ) V (=) (=) R V ( = V = )(=> R V = (=) R /' . =

v v

PRODUS CARTEZIAN Fie CY.' ; CY." , două mulţimi şi fie CY. mulţimea cu a' E CY.', a" E CY." Vom scrie

(a',a")

şi

CI.

p erechilor

" (X

vom" spune că CI.: este produsul cartezIan al mulţ!milor CI. " D e exemplu ( fig. 39)

. ŞI

{ a' , b', c' }

CY." = {h", le" } avem CI. =

{ (a' , h " ) , (b' , h "), ( c'h"), ( a ',

k"), (b' , k"), ( c' , k ")}.

{

rf.." Fig. 3 9

(a', k")

(tI', k")

(ii', fi ") -----, al

( b: n")

k', ,

fi'

I I

(e', k") (c ', I�II)

CI b' '" '-' ---.,-------'

(/... '

. Tot astfel avem produ se carteziene în fig. 40 şi 41 . Prin definiţie (a', b' ) ( an , b" ) înseamnă a' a" şi h' b" Prin definiţie 2 (X = CY. X CY.. =

5 1.

0:' F ig. qO

�--

jA. 'xp"

fo"

Fig. � l

)).'

Proprietăţi ale produsului cartezian IX

X (� U y)

(rx. X �) U ( rx. X y ) ,

(2.29)

( rx. U � ) X Y = (rx. X y ) U (� X y) ,

(2.30)

rx. X (� n y) = ( rx.

y) ,

(2.31)

( rx. n�) X y = (rx.

y) .

( 2.32)

�) n ( rx.

y) n (�

X X

Exerciţii l. ., X Clt = " 2. eL X 0 = 0 . 3 . Dacă CIt :::/::. 0 ş i � =/= " atunci CIt x � =/= 0 . 4. Este egalitatea CIt x � = � x CIt . adevărată ?

Ce este o submulţime a lui rx. X � ? Ea este o mul ţime de perechi ( a ,b) cu a E rx. şi b E �. Fie p C rx. X � ; vom scrie a R b, dacă şi numai dacă (a,b) E p . In acest mod : submulţimile lui rx. X � coresp und relaţiilor R între ele mentele lui CY. şi ale lui �. 52

Vom numi fL R submulţimea fL R C cx X � a tuturor perechilor ( a,b ) E fL R care sînt în relaţia R a R b . Exemple. 1. Mulţimea !1 a elementelor lui cx X cx ce corespund relaţiei = este formată din perechile ( a,a) cu a Ecx . .& este numită diagonala lui cx X cx (fig. 42 ) ,

Fig. '�2

---- ---- -- (b, b)

- - -- (a. a) I I I I

I I I I I I I I I I

2. Mulţimea fLR C fLs , dacă şi numai d acă R =) S, căci dacă a R b, atunci (a,b) E fL R şi dacă fLR C fLs, atunci ( a,b ) E fL s, deci a S b. 3. Mulţimile fLR = fLs, dacă şi numai dacă R (=) S , căci fLR fLs înseamnă fLR C fL s şi fis C fLR, deci R =9 S şi S =) R, deci R (=) S. 4 . fLR& S = fL R n lis , căci, (a,b) 6 fLR&S înseamnă a(R &S) b, deci a R b şi a S b, deci ( a, b ) E fL R şi ( a, b) E fL s, deci (a, b ) E fL R n fL s· 5 . fLRVS = fLR U I!s, căci (a , b ) E fLRV S înseamnă a(R V S)b, deci a R b sau măcar a S b, deci ( a, b ) E fL R san măcar (a, b ) E [.Ls, deci ( a, b) E fLR U fLs · =

6 . fL;{ =

fL:R'

Exercitii 1.

Dacă

C � şi

C 8 , atunci cx

2. (cx

�) - (y

X =

C� X 8.

( (cx - y) X t3) U ( cx X ([3 - 8 ) ). 53

RELAT I I n . ARE

Toate elementele unei mulţimi cx au o proprietate comună, şi anume aceea de a aparţine acelei mulţimi ; propoziţia a E cx este o proprietate A a lui a ; a spune 1. a aparţine clasei cx , ceea ce se scrie a E cx ; 2. a are proprietatea A , ceea ce vom scrie A (a) , este acelasi lucru. Dacă �,b sînt În relaţia R,a R b, vom scrie R( a, b ) . A (x) şi R(x,y) sînt funcţii care au ca variabile pe x şi pe y, şi care, dacă a sau a şi b sînt indivizi, au ca valoare propoziţiile A(a), R(a,b ).

Putem concepe relaţii între 3,4 . . . ,n indivizi, care vor fi numite relaţii sau atribute sau predica te : tel'nare, quater nare, . . . , n-are. R( x,y) este un predicat sau o relaţie binară, A (x) un predicat monar sau unar. Exemple de relaţii ternare. Relaţia S(a,b,c), cînd a + b = = c, şi relaţia P(a,b,c) cînd a b = c. Relaţia de ordine ciolică, cînd a,b,c sînt. în această or dine în sensul direct pe cerc (fig. 43 ) Relaţia de separaţie liniară a este între b şi c (fig . 44). Relaţia a ::= b (mod. c) . Exemple de relaţii cuaternare Relaţi a � = !:. definită d

prin bd =1= O :şi ad = bc.

0. , '" o

Fig. 4 3

•

Fig. 44

Relaţia de ech idistanţă ( fig. 45) a- b = c - d Relaţia de separaţie ciclică (fig. 46) bd separă pe ac.

Proprietatea de compatibilitate ( 304) de la po 44 se ex

tinde astfel

c ..

D acă R este

•

Figo 45

I " .i.

Figo

rel aţ,i e n-ară ŞI dacă

al an

bl,

bn ,

a tunci dacă al' 0 0 0 ' an sînt în relaţia bl, b" vor fi în relaţia R o 0 ' 0 '

atunci ŞI

III Funcţii

DEFINITIA N O T I UN I I DE FUNCŢ I E

Spunem că f' este o funcţie cu argumentul în mul ţimea D şi cu valorile în mulţimea C Şl scriem f'

�

dacă f este o corespondenţă care face ca fiecărui x E D să-i corespundă un y E C ; scriem această corespondenţă f( x} = y.

Numim : D domeniul funcţiei f ; C - codomeniul funcţiei f; CD multime a functiilor cu domeniul D Ş I co domeniul C ; este deci echivalent. a scrie -

sau f E CD, x variabila independentă sau argumentul lui f; variabila dependent.ă ; y f(x ) - valoarea funcţ.iei f pentru valoarea x a argu

ment.ului :

�

� f'(x) .

Vom lua ca primitivă ideea exprimată de propoziţi a : dăm �aloa/'ea c �a/'iab ilei x ( *) în care cE IX , IX fiind domeniul de yariaţie al v ariabileqx. S6

Se spune de obicei luăm

x =

( * *)

d ar trebuie observat că aICI semnul " = nu are acelasi 1 + 4. Intr-adevă;, inţeles ca în egalitatea 2 + 3 proprietatea de simetrie a egalităţii ne permite ca, din 2 + 3 = 1 + 4 să deducem că 1 + 4 = 2 + 3 ; din con-o tra, din " dăm lui x valoarea 3" nu putem deduce "dăm lui 3 valoarea x " . Uneori propoziţia ( * ) este scrisă =

( * * * ).

Vom sublinia faptul că nu intră în definiţia noţiunii de funcţie procedeul prin care din c căpătăm pe {(c) . D acă domeniul este finit atunci {(x) poate fi dată de· un t abel sau de un desen. De pildă, graful din figura 4 7" ne defineşte o funcţie care este d ată de tabloul ( * * * * ), .cu domeniul x

= ( al'

a2,

aa,

a4, a5, a6

)

ŞI codom eniul a,

� e,�

a,.

•

. 6,

•

Dacă domeniul este şirul numerelor naturale, un pro ·c edeu important de a defini o funcţie este definiţia re -curentă {( x) esLe definită prin sis �emul de egalităţi {(O) fIn + 1 )

a ( ** )

y[n,f(n)]

Dacă domeniul este multimea numerelor reale sau ·complexe, un procedeu impo;tanL de a defini o funcţie este de a o defini ca funcţie generată de o expreSIe, cum .ar fi

]f x 2

sin x,

�: {(x)d x ,

�(x) .

o tabelă, de exemplu o tablă de logaritmi, defineş t e .() functie d e o variabilă c e ia u n număr finit d e valori ( intrările tabelei), care se extinde la o altă funcţie de o variabilă reală prin diferite procedee de interpolare ; o .aceeaşi tabelă d efineşte mai multe func ţii după proce -d eul de interpolare intrebuinţat. D acă o funcţie ne este dată, ne sint d ate domeniul :şi codomeniul său. De pildă funcţia { cu domeniul X = ( al' a2, a3 , a4, a5, a6) , cu codomeniul ( b l b 2 , b,), b4cb5) 'şi cu corespondenţa dată de tabloul ( *** *) de la p . 5 7 este altă funcţie decît funeţia f* cu acelaşi domeniu X şi cu codo meniul Y * {(a;) (i = 1, (bl, b2, b3) in care { * (ai) 2, 3, 4, 5, 6) ; { şi ( * nu sînt funcţii identice, dar sînt :funcţii egale. =

Aşadar, avem douEl relaţii Între funcţ.ii : IX

) egalitatea f = g definită mai sus prin

7.. '

•

domeniul lui {

(J.. " ((.re) lui ( şi g.

ger)

domeniul lui g

pentru orice x î n domeniul comun al

�) identitatea definită prin :58

(X"

{= g W' codomeniul lui şi �"

{

co domeniul lu i g, deci prin ,z' ,

ExerclJiI (Y

Z) x

(zy ) x

'yx

Zx ,

Dacă c e ste un element 'dat şi dacă

{D.C

--?

C E C,

funcţ.ia

care oricărui :r E D face să-i corespundă· elementul d at c, este numită funcţia constantă c . Evident, dacă. D' =1= D"

{D'.c =1= {D". Numim funcţia care

iD E D D

c·

� D D -4 D, oricărui x ED face să-i i D (x) x ,

corespundă acelaşi

l· D

este numită funcţia identică.

Restricţia şi extensiunea unei funcţii. Valoarea f( x ) a funcţiei { este definită numai pentru x ED. Fie E C D ; numim restricţia lui { la E funcţia definită pe E c D care pe E ia aceleaşi v alori cu { ; o no t ăm fi E -

(tE : E

este definită prin : pentru

-4

E E, ft d.rc)

{( x) .

Invers, dacă g este o fun cţi e definită pe mulţimea E, f{ : E --? C 59

şi dacă D :J E� o funcţie f este numită f pe E

extensinnea

�

lui g, d acă g este restricţia lui

Funcţia caracteristică a unei mulţimi. Funcţia ca racteristică fA(X) a mulţimii A este definită prin

fA ( X)

J \

1 dacă x °

dacă

�A

Deoarece x E D, fA (X) are sens dacă A C D. Funcţia fD (X) este constanta 1 ; funcţia f(lJ (x) este constanta O. 1 . fA n B (x)

fA (x) f8 (x)

căci fA(X) fB(X) = 1, dacă şi numai d acă f.i(X) = fa(x) = = 1 , deci dacă şi numai dacă :r E A şi x E B, adică x E A n Bt adică fAna (x) = 1 . 2 . fD-A ( x)

1 - fA (x)

1, atunci x E D - A , deci x � A , deci căci dacă fD_ A ( x) fA( X) = 0, deci 1 - fA ( X) = 1, i ar dacă fD_ A ( x ) = O, atunci x � D - A ; d ar x este o valoare a variabilei in dependente a lui fD-A , deci x € D şi x E A , deci fA ( X) 1 , deci 1 - fAx) O. =

3 . fAu a(x) = fA( ·1::) + fa (x) - fA ( x )fa( x ) .

D acă fA u a( X) = 0, atunci x � A U B, deci x � A şi x � B, deci = fa (x) = 0 , deci fA( X ) + fa (x) - f A ( x) fa(x) = O . D acă fAUB(X) = 1 , atunci x E A U B ; trei cazuri sînt po sibile, deo arece * A U B = ( A [1 B) U ( A - B ) U ( E - A ) . D acă

fA(X)

*Demonstraţia Ga exerciţiu : (A n B) U (A nB) U (BnA ) = (A n B) U (A n B) U (AnB) U (Bn A) = (A n B) U (AnB) U ( BnA)U(BnA) = [An ( BUB)] U [Bn (AUĂ)] = A U B

.x E A n B, atunci x E A şi X E B, deci fA(X ) fs (x ) 1, deci fA ( X ) + fs (x) - fA(X) fs (x) 1. D acă x E A - B, atunci .T E A, ş i x � B , deci fA(X) 1 , fs( x) = 0, fA(X) + fB (x) - fA (X) fB ( X) 1 ; analog, d acă x E B - A . Deci în toate cazurile fAUS (x) fA ( X ) + fs (x) - fA. (x) fs (x) . 4 . fAUB (X) == fA (X) + fB ( X ) + fA ( X ) fB(X) ( mod. 2). 5. fA-S(X ) = fA ( X) - fA (x) fs( x) . 6 . fA+s (x) = fA(X) + fs (.T) (mod. 2) . 7. fA+S( X ) =fA.(x) + f�(x) + 1 (mod. 2) . 8. fA T s( x ) fA(X ) fsex ) !+ fA(X ) + fs(x) + 1 (mod.2). 9. fAI s (x) == f A(x) fs (x) + 1 (mod. 2 ) Deoarece fiecare submultime A a lui D este caracte =

rizată de funcţia ei caracteristică fA : D � ( 0, 1 )

mulţimea (0, 1 ) , avînd două elemente, v a fi notată aici cu 2 şi mulţimea submulţimilor lui D cu 2 D :

A E 2D

echiiialează cu

C D.

Extinderea unei functii la o functie de submulţimile . . domeniului

Fie vom defini funcţia prin : dacă

A E 2D, ((A )

f f

�

f : 2D

deci

�

C D, atunci

(;, {y I y = f( x ) ,x

E A} tuturor valorilor f( x )

f (A ) este mulţimea cînd x E A . 1 . f( A U B) f (A ) U '{(B) căci y E; j (A U B) Înseamnă y f(x) , x E A U B ; dacă x E A , f(x) E f( A ) , deci f(x) E f( A ) U f(B) ; analog,

deci

dacă

,x E

B, deci

f(A

U B) C

f (A)

f(B). 61

D acă y E deci y E

((A), atunci y

flA

U B) deci

f(x) cu

((A) C flA

E A , deci x E A U B, U

B) ; analog pentru

{(A) U{(B) C ((A U B). A C B, atunci ((A) C ;( B ) .

y E R E) ; deci 2.

Dacă

3. ((A n B) C (( A ) n (( B). 4. . ( ( B). B) �

((A)

5. Dacă X este domeniul lui f atunci mulţimea f( X) cuprinsă în cpdomeniul oricărei funcl,ii g cu g f. =

SUR)ECTI I

În definiţia funcţiei f

D -'? C

nu este inclnsă condiţia ca f(.'E) sa p arcurgă întreg codo meniul C ; este posibil ca pentru un anume element Yo E e ecuaţia f ( x) Yo să nu aibă soluţie. Avem : =

f( D) C

f( D) =1=

d ar putem avea : Spunem că f este o surj ecţie dacă f(D)

deci d acă oricare ar fi Yo E e, există cel puţin un Xo E D cu {( xc) = Yo' Funcţia iD este o swjecţie. Funcţiile constante nu sînt surjecţii decît dacă codome niul nu are decît un element.

y 62

Funcţia pseudoinversă. D acă vom considera ecuaţ,i a f(x), atunci vom numi f*(y) mulţimea tuturor e18-

mentelOl' x cu fI x) = y. Funcţia f * are ca domeniu pe f(D) şi ca valori submulţimi f *(Y) CD. f * f(D) � 2 D• Este natural să presupunem f(D) supunem că f este o surj ecţie şi deci f * : e � 2D .

Vom extinde pe f * la

t::

e, deci să pre

2c � 2 D,

deci

*( 111 ) înseamnă că x E f * (y) cu Y {(x)

y cu Y

iVI,

deci

111, deci. {(x) E 111 .

Exercilii 1.

f* ( M U N) =

f * (M) U f *

(N) ,

? * ( M U N) Înseamnă f(x) E M U N ; dacă f(x) E M, atunci f* (M) U f* (N), deci f* (M U N) C E f * (M) U f * (N) fie x E f * (M), C f * (M) U f * (N ) . D acă căci x E

x E f * (M), deci x E

deci ((x) E M, deci f(x) E M U N, deci x E f* (.IV U N)

deci

f * (M) C f * (M U N) ; analog' r" IN) C f * (MUN), deci f * ( M) U U f * (N) C f * (M U N) , deci teorema. 2.

Dacă M C N, ah.rl\;'

f *(M n N)

{ ""

(M) C f

* (N) .

f * (M) n f * ( N ) .

într-adevăr x E f * (M n N) înseamnă fIx) E M n N, deci f(x)

f* (N) , deci x E f * (M) n f* (N) . Dacă x E r* (M)n

E M, f (x) E N, deci x E f * (M) şi x E n f * (N) , deci f * ( M n N) Cf * (M) n A

n f * (N) , atunci x

f * (M) , deci ((x) E M şi x E t * (N) ,

( (x) E N, deci ( (x) E M

N, deci x Ef * (M n N) , deci

n f * (N) Cf * ( iU n N), deci teorema.

deci

f * (M) 63

Dacă

f: X

A C X,

�

B C Y,

i = flA , :atunci

g· (B)

r o (B) .

II N)ECT I I

Vom spune c ă

{

D -'? C

,este o injecţie, dacă pentru x =1= y avem {(x) =1= t(y),deci ,dacă din {(x) {( y) se deduce x = y. Deci ecuaţia {( x ) = Yo are cel mult o soluţie. D acă { este o inj ecţie, atunci incluziunile 3 , 4 de l a p . 62 s e pot întări : =

? (A

? (A -

? ( A ) n f ( B) ? (A ) - f (B) y E ? ( A ) " n ? ( B) ,

într-adevăr, dacă

? (A ), {(x ") , x " E

a tunci y E

A şi y E ? ( B), deci y {(x") , deci x' = x" E A n B, deci y E E { ( A n B ) , deci { (A ) n { ( B ) C { (A n B). Tot astfel, dacă y E f ( A - B), atunci y {(x ' ) , x' E A - B, deci x' E A , x' It: B, deci y E ? ( A ) ; dacă y E f (B), {(x"), deci x' x" E Y = {(x") cu x " E B ; d ar {(x') A n B contrar lui x' Jt: B, deci y It: ? (B), deci y E ( ( A ) - ? ( B), deci ? (A - B) C f (A.) - ? ( B) . d eci y = {(x') , E B, deci {(x' ) A

E A

Functia identică este o injectie. Funct il:le constante nu sînt il�jectii ' decît dacă domeniul are un ; �ngur element. Exercitii Dacă ( este o inj ecţie, atunci : Din ((A) C (( B) deducem A C B .

Incluziunea ca funcţie. Fie A c B. Vom defini funcţia i'A : A -7 .B prm

1 . domeniul lui �,A este A ; 2. i'A ( x)

Bineînţeles, dacă A = B a tunci (-1 este funcţie iden tică. Dacă însă A C B, dar A +- E, atunci il A este res tricţia funcţiei i dentice. Vom considera pe il A ca o funcţie cu domeniul A şi codomeniul B. iJA este

injecţie.

Adeseori i,.4. va fi numită injecţia canonică a lui A

în B -::J A .

II I )Eql l

funcţie {: D

-7

este o bijecţ,ie, d acă este o injecţie şi o surj ecţie in ace laşi timp. Deoarece { este o surjecţie, ecuaţia {(x) y are cel pu ţin o soluţie pentru orice y E C, deci { *(y) =1= 0 pentru orice y E C ; dacă .'C ' E { *(y), X" E{ *(y), avem (( x') {(x" ) = y, deci, deoarece { este şi o inj ecţie, x' = x " ; deci f* (y) are cel mult un element, deci dacă { este o bijecţie f *(y) are un singur element ( * (y) {x }. Vom defini =

585

astfel o funcţie x = f-1 (y) prin x E f*(y). Deci y şi x = f-I (y) sînt echi:'alente. Dec i , dacă

f(x)

f: D � C este o bijecţie, atunci există o funcţie f-1

�

astfel ca y

f( x) ŞL X

f-1 (y) să fie echivalente.

Se deduce că

1 . (f- 1 t I 2. f-l este

f, o

bijecţie.

Bij ecţiile se mai numesc şi corespondenţe b iuniCJoce. Dacă există o corespondenţă biunivocă între două mulţimi X şi Y atunci spunem că X şi Y sînt cardinal echivalente şi scriem

x -z y SUPRAPUNEREA A DOUĂ FUNCT I I

Fie

f : X � Y, g f

Y � Z.

- J! \

t 66

Fig. 48

Vom defini o funcţie

X� Z

as tfel fie x E X ; Y = f(x) � Y ; z = g(y) E Z ; z este o funcţie de x, z s(x ) Scriem z = g(f(x)). Se spune că diagrama e comutatil!ă (Y. p. 197 ) . Se scrie şi =

g o f,

Operaţia " o " este numită compunerea sau suprapune rea funcţiilor. Te orema

f o ix

i y of

Într-adevăr y ix (x ) = x, z = ( fo ix) (x ) înseamnă z = f(y) f(x ) , iar w = ( iy o f) (x) înseamnă w = i y (f(x ) = f(x) . ="'

Te orem

I I . (legea de asoci ativitate a suprapunerii).

h o (g 0 f) = (h o g) 0 f. Intr-adevăr, dacă y = f(x), z = g(y), w = h (z) , ,atunci (g o f) (x) şi w = [h o (g 0 f )] (x), iar w ( h og)(y) . ( hog ) (f(tE» [( h o g) o f](x).

z =

Aceste două teoreme se enunţă astfel * Mulţimile formează o categorie dacă pentru mulţimea morfismelor Hom ( X, Y) se ia mulţimea yX.

T e o r e fi a I I 1. Dacă f şi g sînt surjecţii, atunci go f este o surjecţie. Intr-adevăr, dacă se dă Zo E Z atunci g(y ) Zo are Yo are cel puţin o soluţie Yo E Y cu g(yo ) = Zo ; dar f( x) cel puţin o soluţie Xo cu f(xo) = Yo, deci s(xo) = (g ° f) (xg) g(f(xo)) = g(yo) = zo' deci s(x) = z'() are cel puţin soluţia Xo' =

Vezi p. 176.

T e o r e m a l V. Dacă f şi g sînt injecţii, atunci şi Ko f este injecţie. Intr-adevăr, dacă s(x/ ) = s(x") , atunci g(f(x')) = g(f f(x") şi f fiind o in (x")), dar g fiind o inj ecţie, f( x/) j ecţie x' x" deci s este o injecţie. =

T e o re m a V. Dacă fşi g sînt bijecţiigof este o bijecţie. T e o r e m a V 1. Condiţia necesară şi suficientă ca funcţia f A --7 B să fie o injecţie este ca din

foh să se ded�lcă

fok

h = k.

Intr- adevăr, dacă f este o inj ecţie pentru orice x, re laţia f(h ( x)) = f( k (x)) dă

h(x) = k (x) . Dacă f nu este o inj ecţie, există a =1= b cu

f( a) D acă X

{c } şi

f(b ) .

h : X --7 A,

k : X --7 A sînt definite de atunci dar

h ( c) = a

k( c) = b ,

h =l= k

f(h(c)) = f(a)

f( b) = f(k(c)).

T e o r e m a V I I . Condiţia necesară şi sufic ientă ca funcţia f :A --7 B să fie o surjecţie este ca din

hof = kof s ă se deducă 68

h = k.

I ntr-adevăr, dacă { este o surjecţie, pentru orice y E B ecuaţia ((x ) = y are o soluţie cel puţin, deci h( f(x)) = k ( ((.T )) dă h(y) = k(y ), deci h = k. Dacă { nu este o surj ecţie adică există YoE B astfel ca {( x ) =1= Yo pentru orice x E A , atunci există h şi k as tfel încît h o { = k o ( şi h =1= k ; într-adevăr, dacă h(yo) =1= k(yo) dar h(y) = k (y) p entru y E {( A ) , h =1= k, dar h ({( x )) = k( f( x ) ). Exercitii 1.

Dacă se dau funcţiile f : X --+· Y g : Y --+ Z

şi dacă h = g o f, atunci pentru extinderile lor A

2 X -+ 2 Y

-+ -+

22.

z 2 •

a vem

f*( f(A) :J A.

f(f * ( B»

f* (A - B )

f* (f ((*( B) )

= f*(A) =

- f* ( B).

f*( BL

6. Fie f

X -+ Y,

g : X --+ Z. Pentru ca să e x iste

funcţie 'i'

.....

g( x ) = cp(f ( x» 69

este necesar şi suficient ca pentrn or ice pereche x' , x " să avem impli . : caţ�a dacă f(x') f(x ") at un c i g (x') g ( .r " ) . Este evident că condiţia este necesară. Reciproc, dacă con di=

ţia este îndeplinită, g( «(y))) sau este vidă, dacă (* «(y)) este vidă, sau are un element, căci dacă ar avea două elemen te : z' E g(f*( y ) ) ) , z " E g(f *«(y) ) , atunci z' g(x' ) , z " = g(x") cu x' E f* (y), x " E f* (y ) , deci y z " ; să numim f(x') (( x") , deci g (x') = g(x " ) , deci z' cp(y) unicul element al lui g(f*« y ) ) ) 0 ; dacă f*«(y ) ) 0 , să luăm pe CP{y ) arbitrar în Z C f' * [ (y)) .:i= 0 cînd y E Y-f[ X), că ci din y E f(X) deducem y = f( x ) , deci x E f *«(y)) :k 0 . f( x ) , deci x E f'* ( (y) ) , deci g(x) E g( f'* [ y ) ) , deci g( x ) Fie y cp( f(x) . 7. Dacă =

dacă f(X U Y ) f'( X) U (( Y ) , X) X, f[f( =

atunci f transformă submulţimile c u u n element ale lui E î n mulţimi cu un element, deci ex istă g : E -+ E cu f g' şi g este biunivoc,l. oc ) f ( 0 ) 0 , c ăci f( 0 ) U 0 f'( 0 ) , fU r ,?') U 0 ) = f'(f[ 0 ) U f( 0 ) 0 , deci f( 0 ) = 0 ; f(f( 0» ) , deci 0 U f( 0 ) �) dacă X =/:: 0 , atunci f( X) *- 0 , căci fiX) 0 dă X 0 ; f(! (X)) = f( 0 ) y) dacă x E E , f({ x}) =1= 0 ; 8 ) fix) = y E E, căci dacă' fix) este o mulţime cu mai mult de un element f(x) A U B cu A ± A U B, B -* A U B şi x = = f(f(x) f(A ) U f( B), deci ((A) U f(B) are un element (pe x) , deci sau f(A) U f(E) f(A ) , sau f(A) U f( E) f( B) ; în primul caz : A f( f(A )) = f(f(A) U f(B)) A U B, în al doilea caz : B f(f(A ) U fi E)� A U B, con trar celor de mai sus ; f(f(B) e: ) f este biunivocă, de oarece fix) f(y) dă x ((f(x) = f(f( y) ) y; �) ((X) e mulţimea lui f(xl cu x E X, căci din x E X deduc { x} C:: X , deci { x } U X X, deci (f(x)) U f(X ) , f.(X) , deci f(x) C C f(X) şi din f(x) E f(X) deducem (f(x) ) C f(X) deci { x} C (f(f(x) )) = X deci x E X. =

A L TE PROPR' ETĂr' A L E FUN CTI I L O R

Vom defini suma directă a două multimi A si ' B ca fiind mulţimea S compusă din element�le care apal'ţin lui A sau măcar lui B, elementele comune fiind consi70

derate de două ori : o dată ca elemente ale lui A şi altă dată ca elemente ale lui B. Cu alte cuvin�e,

Bol

T e o r e m ă: Dacă S este suma directă a mulţimilor A şi B, există două funcţii f şi g f : A � S, g : B � S, astfel încît, date fiind funcţiile u : A -7 X, v B --7 X, să e xiste o funcţie

h S care să dea

u = h o f, v = h g, o

A f

Fig. 49

.. x

g B 71

I ntr-adevăr, deoarece A

�.

j ecţii f, g

Ao, B ,--J Bo există bic

f A � Ao g B � Bo Dacă z E S, deo arece S = Ao UBo şi Ao n Bo = 0, definim pe h(z ) prin dacă Z E Ao atunci z = f(x) cu x E A şi vom lua h(z ) = n(x) ; dacă z E Bo atunci z = g(y ) cu Y E B şi vom lua h (z) = v(y ) ; deci h(z) E X şi h(f( x)) = n(x), h(g ( y) ) = v( y ) . Funcţia h este unică, adică, dacă

h S � X, k S � X, din

h o f = k o f, h og = k og deducem

h = k Intr- adevăr, f, g fiind bij ecţii, au inverse f- l : Ao � A ,

g -l : Bo � B, şi avem pentru z E Ao : h (z f = h( f( f- l ( Z))) = k( f( f-l (Z)))

k(z )

şi pentru z E Bo : h(z) = h( g (g-l (Z )) ) = k( g (g - l( Z )) ) = k (z ) , d eci pentru z E S

h (z) = k( z). Fie f o funcţie

f: A 72

�

să numim A It mul ţimea claselor de echivalenţă ale ele mentelor lui A echivalente prin relaţi a f(a' ) f(a " ) . Fie g : A lt -4 B =

functia definită pentru x E A 1/ prin g(.T ) = (( a) dacă a E � ; fie h A -4 A l t funcţia care oricărui aE A face să-i corespundă h(a)=â E A l! . g este o injecţie căci g(x') = g(x") cu a' E x', a" E x" dă f(a ') = g(x' ) = g( x " ) = f(a") deci a ' , a " sînt echi " valente, deci x ' x h este o surjecţie căci oricare ar fi x E A IJ, x este o clasă de echivalentă, deci există. a E A cu a E x, deci cu . h(a) = x . Am arătat deci c ă : Orice funcţie f este suprap unerea =

goh

uneL w) ecţii g şi a unei surjecţii h. Pentru funcţia f, desenată în figura 47, al' a4, a5, sînt echivalente şi formează clasa âl, a2 , a6 sînt echivalente şi formează clasa â2, aa formează clasa âa şi g ( âl ) = b l , g ( â2 ) = b2, g(âa) = ba deci g este o injecţie iar h(al ) = = h(a4) = h(a5) = âl, h(a�) = h(aa) = â2 , h( aa ) = â3, deci h este o surj ecţie.

. Relaţia de echivalenţă generată de o funcţie. Fie f o funcţie f X -4 Y. Relaţia definită prin

f'(x ' )

f(x " )

este o relaţie de echivalenţă, căci ea este reflexivă căci f( x ) din f(x' ) = f( x " ) deduf(x) simetrică =

..cem f( x" ) = f( x') şi tranzitivă - din {( x ' ) f(x ") şi f( x") = f(x"' ) deducem ((x' ) = f(x"'). Se vede că -

X /E ,..... f( X) , c

·căci corespondenţa între z E X le şi Y = f(x) pentru x Ez face ca fiecărui z E: X l E s ă-i corespundă un singur y, căci dacă x' E z, x" E z, atunci .T'E/x ", deci f(x') f( x ") şi fie ..cărui Y E f( x ) să-i corespund ă un singur z . Clasele de echivalen ţ ă relative la relaţi a de mai sus .se numesc uneori tranşele generate de funcţia, f, i ar X l E .e spaţiul tranşelor generat de func ţia f * . =

Fie E o relaţie d e echivalen ţă Între elementele Al ŞI funcţia .defini lă prin

cp(.T ) cp

este

.'r .

surjecţie

x'Ex " echivalează cu cr (x')

cp ( .T " )

�UNCŢ I I C U DOMEN I U L SAU C U CODOMEN I U L FINIT

Funcţii cu domeniul finit. Ca domeniu finit cu n ele lmente vom alege mulţimea Nn

{1 , , n } . . .

-o func�ie 'fi

�

* Adeseori se întrebuinţează in loc de tranşă, expresia "mul· "ţime de nivel" sau scurt "nivel" 74

' face ca fiecărui i E Nn , deci i cu 1 -< i < n să-i cores pundă un element ai = cp (i) cu ai E A , deci funclia e caracterizală prinlr-un şir finit d e n ele mente ale lui A

Funcţii cu domeniul şi codomeniul finit. O funcţie cp : Nn � Nm face ca cele

obiecte

1 , . . . , 1n să fie aranj ate cîte n

il = cp ( l ) " " , i n = cp (n) , cu 1 -< i l -< m, . . . ,l -< in <.: m, deci lui cp îi corespunde aranj amentul

( il " '" i ,, ) al celor m obiecte, l , . . . m luate cîte n. Spunem că o variabilă în Nn este n-valentă (bivalentă, trivalentă, tetravalentă, pentavalentă etc.). Exercitii Să se construiască : 1. Toate funcţiile cu argumentele şi valorile in N2• 2. Toate funcţiile cu argumentele în N2 şi valorile în Na 3. Toate funcţiile cu argumen tul în Na şi valorile în N2•

.•

Mulţimea f"uncţiilor cu argumentul elemente. Intr- adevăr, o astfel de funcţie e definită prin cp(l), ... , cp(n) .

T e o r e m a l.

în N n şi palorile în Nm are m n

Dar cp(i ) poate avea m valori : 1 <.: cp(i ) -< m ; deci există astfel de funcţii.

T e o r e m a I I.

Nu există o injecţie cp : N n � N II_,

decît dacă m > n. Intr-adevăr, dacă m < n, atunci cp(i) cu 1 -< cp(i) -< m neputînd avea decît m < n valori diferite, se de duce că pentru două valori diferite i' =f=. il! cu 1 -< i' -<. n 1 <:;:: il! -< n să avem cp(i ') = cp (l: " ) . T e o r e m a I I I . Nu există o surjecţie cp : N" � N", decît dacă m -< n . Într-adevăr, dacă m > n cele n valori ale lui cp( il, 1 -< i -< n nu pot fi cele m > n elemente j 1 -< i -<. m T e o r e fi a IV. Nu există o bijecţie cp N n � N m decît dacă m = n . Bijecţiile acestea se numesc permutările te şi se notează

n elemen

Şiruri

O funcţie cu domeniul : mulţimea numerelor naturale

cp : N � A se numeşte un ş�r. Notăm

ai = cp(i) ; un şIr se scrie deci Numim şir dublu o funcţie

cp N2 � A şi notăm

ai j 76

cp(i,j) ,

in genere, numim şir multiplu (r-uplu) o fu n cţi e

cp N"

�

�I notăm

aiI

iT = cp(il

" '"

iT)'

Mulţimi indexate. Avem de-a face u neori cu a) O multime C1. de elemenţe, b) O mulţime 1 a indicilor. c) O funcţie

cp 1 �

C1.,

�are face ca fiecărui indice i E I să-i corespundă elementul �i E Dt . Scriem Dacă 1 este o mulţime fini �ă Nn, mul ţimea indexată {ei }iENn este un şir finit de n elemente din a ; dacă 1 �ste mulţimea N a numerelor naturale, mulţimea inde xată {ei }iE N este un şir simplu, iar dacă 1 N2 , . . . 1 N', nulţimea indexată {eJ iE w este un şir r-uplu. Vom pn ;ea lua ca 1 o mulţime oarecare. =

ULATII FUNCŢI ONA LE

Relaţia y = {{x)

ntre

şi y va fi notată Fi> deci vom scrie

lau ca submulţime a lui X

(x,y) eFf C X

Y X

Y. 77

Această relaţie se bucură de două proprietăţi 1 . D at fiind un x E X, există un y E Y astfel ca xF,y. 2. Dacă xF,y' şi xF,y ", atunci y' = y " Reciproc, dacă o relaţie R satisface aceste condiţii :

1. Dat fiind x E X există un y E Y cu xRy. 2. Dacă xRy' şi xRy ", atunci y' = y " atunci , dat fiind x există u n y şi unul singur astfel ca x R y, deci există o funcţie fR astfel ca x R y să echi valeze cu y = fR (x). O relaţie funcţională F, este caracterizată prin faptul că în reprezentarea ei printr-o submulţime F, C X x Y a produsului cartezian, fiecare submulţime P c,x, a tuturor perechilor (c,y) cu y E Y , c fiind dat, are cu F, un ele ment comun şi unul singur. Reprezentarea este cea clasică u diagramei unei funcţii. Dacă f, g sînt funcţii cu domeniul X iar F" Fg sînt relaţiile funcţionale asociate lui f, g atunci 1. f = g echivalează cu F, (=> Fg 2, Codomeniul lui fc codomeniui iui g echivalează cu F, =) Fg 3. Produsul Fg F, a două relaţii funcţionale este o rela �ie funcţională şi anume este Fgof 4. Transpusa unei relaţii funcţionale nu este în genere o relaţie funcţională : F,(y, X ) înseamnă că y = f(x) deci ea este X E f *(y), f* fiind funcţia pseudoinversă a lui f. 5 . Condiţia necesară şi suficientă ca F,( y,x) să fie o relaţie funcţională, F g(Y,x) este ca f să fie o bijecţie. Pentru aceste motive se spune uneori că R este in versa lui R şi se notează R-I. •

PRODUSU L CARTEZIAN AL MAI M ULTOR M U L T I M I

Date fiind trei mulţimi, putem forma produsele car tezi.ene

A X (B (A X B) 78

Teoremă A X ( B X C)

-c

(A X B)

î ntr- adevăr, elementele lui A X (B X C) sînt pe-o rechile {a, {b, e } }, i ar cele ale lui (A X B) X C sînt. perechile { { a, b }, c }. Funcţia � A X (B X C)

--')o

(A X B) X C,

definită prin �( {a, {b, e } } ) = { {a, b } , e }

este o hij ecţie. Dacă am defini pe A X B X C ca fiind mulţimea tri pIetelor ( a, b ,e) atunci A X ( B X C)

,...., c

A X B X C

(A X B) X C -' A X B X C. c

Vom defini recurent X An = (Al X Legea asociativă ne permite să grupăm termenii orice mod. Prin definiţie

în

A"+! = A" X A ,

deci A" = A X . . . X A -

n ori

Exerc lfiu

Am X A H = A m+" . Daeă P este produsul cartezian P = A x B

sînt funcţiile g(a, b )

f(a, b) = a

atunci oricare ar fi Inulţin'Wa X şi funcţii i e u X � _4. V

există o funcţie

�

h x � p,

astfel ca diagrama

A li X

f "

Fig. 50

să fie comutativă, deci ca

fo h = u g o Iz = v. Intr- adevăr, este destul să luăm

h(x)

( u(x), v(x) .

Dacă am avea altă func ţie

k(:E) = (!X(x), �(x), ar trebui să avem u(x) oc ( x ) = (f o k) (x) = (f o h) ( x) o �(x ) = (g o k) (x) = (g k) (.'E) = v(x ) deci h este unic determinată. =

Să se extindă această teoremă la produsul cartezian al mai multor multimi. Cititorul este în d emnat să compare figurile 49 şi 50.

Funcţii de mai multe variabile o funcţie

asociază fiec ărui un y deci fiecărui sistem ( Xl' Scriem

y E. Y} . . . ) X n ) E Xl X

X" un y E Y

y = {(Xl' . . . , X n ) f este o funcţie de n-variabile { E. Y

X Xn

Xl X

T e oremă YX1 X

X Xn r-' ( c

( YXr )

• .

. . .

) Xn •

Vom do vedi Întîi că CA x B

r-' c

( CB ) A .

Intr- adevăr, fE CA x B înseamnă că{ este o funcţie{(x, y) E C cu x E A , Y E B. Dar {(x, y) g y (x) cu =

�

CB,

deci gy = h(y) cu yE B. In acest mod concepem o funcţie de două variabile ca o funcţie de o variabilă x, care fiecărui X E X face să-i corespundă o funcţie gy •

585

o funcţie de n variabile f defineşte o relaţie n + l - ară

F( xl>

...

Xn, y ), astfel ca :

1 . Dat fiind Xl E Xl' . . . , X n

E Xn , există cel puţin un yE. Y astfel ca F(xl, , Xn, y). 2 . Dacă F(xl, , Xn, y' ) şi F( x1, , X n, y " ) , atunci y '= " = y . O funcţie de două variabile .••

•.•

•••

f : X X Y -+ Z

este o inj ecţie ( a lui X X Y în Z) , dacă din f(x' , y' ) f(x", y") deducem x' = x", y' y " . O astfel de func tie a mai fost numită functie cu valori distincte. , An alog în cazul mai m�ltor variabile. Analog o funcţie de n variabile =

f : Xl X

este

injecţie (a lui Xl X

X Xn

�

X Xn În Y), dacă din

f(x�, .. . , x�) = f(x� , . . . , x: )

deducem x�

x� , . . . , x� = x; .

Proprietăţi diverse 1. Dacă fEZY şi g E ZX, pentru ca să existe o !p E. yx cu f( !p( x» = g( x) este necesar şi sUficient ca g('X) C f( Y) .

Fie f*(z) Ez C Y. Să luăm �(z) arbitrar, dacă z E Z - f( Y)

{

tP(z) E Ez , dacă z E. f( Y), deci tP E YZ ; din z E f( Y) de ducem f(�(z) = z. Luăm cp(x) = �(g(x» , căci X E X, g(x) E. f( Y ) , deci f(� (g(x» ) = g(x ), deci f( !p ( x» = g( x) . 2. Dacă f şi g dau g(X) C f( Y) şi dacă f este o bijec ţie, soluţia ecuaţiei funcţionale

este unică !p 82

r -1 og .

f( !p( x » = g(x)

3. Condiţia necesară şi suficientă ca, dată fiind funcţia cp : X x Y � Z să existe, pentru fiece f f : X x y � w, o funcţ ie g : Z � w,

astfel ca : f( x, y) = g{ cp ( x , y»

este . ca cp să fie o injecţie. Condiţia este necesară : Fie x' =1= x", y' =1= y", ql(x ' ,y')= = cp (x ", y"). Există f( x, y ) cu f(x ' , y ' ) 4 f( x", y " ) . ,De exemplu , f ( x, y) = x. Dar f (x' , y' ) = g ( ql (x', y ") ) = = g ( ql(x", y") = f"(x", y"), contrar celor de mai sus. Condiţia e suficientă : Fie cp-dată şi f dată. Dacă nu există x şi y cu cp ( x, y ) z, să luăm pe g( z) arbitrar În W. Dacă există x şi y cu cp(x,y) = z, atunci există ·un singur sistem, adică x şi y sînt unic determin�te de z : x = = Ii:(z ) , Y = �(z) ; p unem g(z) = f(li:(z), �(z» . 4. Dacă cp : Y x Z � U =

este o �nJecţie, şi numai în acest caz , oricărei funcţii

f( x , y, z) îi putem asocia o funcţie g ( x, w) cu f(x, y, z) = g(x, cp(y, z » .

Dacă ecuaţia este satisfăcută, cp tincte. D acă cp este cu valori distinc le, fie f el emente ; dacă nu există y,z cu v = g(u,\J) arbitrar În W ; dacă există, ele nate

este cu valori dis d ată. Fie u� v două cp(y, z) să luăm pe sînt unic determi

y = Ii:( v ) , Z = �( v ) ; să punem g(u, v) = f( u, Ii:(v), �(v)). 5 . Dacă cp( x, y) este o injecţie, pentru orice f( x, y, z, t) există o g( u, v) cu f( x , y , z, t) = g( cp(x, y), cp(z, t » , 83

Date fiind u,"', dacă există x,y,z , t cu �(x,.y) = �(z,t) = P , atunci ele sînt unice : x = ct. ( u), y = � ( u) , z = ct. ( p) , t = � (r). Luăm de ci g(u,r) = f(ct.( u ), [3 ( u), o:(p), �(r» , altfel luăm g( u, p ) = O . 6. Dacă � ( Xl " ' " Xn ) este o injecţie , dată fiind f( xo, xl" ' " ,xn) , există g ( u,r) cu u,

•..

r( x o , " " XII ) = g ( xo , � ( xl, · · · , x n» FUNCT I I $1 RELATII ÎN MU LŢIMEA CiT

Fie M, o mulţime,

o relaţie

o relatie n-ară între elementele lui M.

echival enţ ă, R

Da �ă :EI -== YI" ' " Xn ::-= Yn ; di n faptul că XI , . . , X" sa tisfac relaţia, nu se deduce că YI " ' " Y n o satisface. R(x1, . . . , xn) nu are ca consecinţă pe R( Yl" " ,Yn) ' Vom spune că relaţia R este compatibilă cu - dacă : din R(x1, . . . , xn ) şi Xl == YI" ' " X" �Y n se deduce R( YI " " , Yn) ' .

• • • ,

Oric e rel aţie R, e s le compatibilă cu relaţia de' ega l itate (v. p. 55). Dacă relaţia R e compatibilă cu = , atunci putem defini pe mulţimea cît

MI = o relaţie

Îl

astfel :

R( ct.1, . . , ct.,,) e ralabilă cu 0:\ c= M / == dacă există un sistem tje elemente Xi c= O:i astfel ca R(xt, . , x,,) să fie valab ilă. In acest caz oricare ar fi elem,entele Yi E ct.i relaţia R( Yl , . . . , Yn) este "ala bilă. Evident, putem extinde această idee p entru rela ţiile n-are R(.1.: 1, , xn) cînd Xj parcurg anume mulţimi Xi : Xi c= Xi, pe care se dau anume I'"e la�ii de echivalenţă == Daca din Xl Yl , . . . , Xr :-= Yn, rezultă că dacă : .

. .

• • •

dacă R(xl, .. , xn ) e valabilă, atunci şi R(YI , . . . , y,,) e valabilă, atunci putem defini o rel aţie Îl ( ct.I , . . . ,C7..n ) pentru lY.. i E Xd �, .

care e valabilă dacă R(x1 , . . . , xn ) e valabiJă pentru un sistem de elemente Xi E ct.j ; în acest caz, . oricare ar fi Yi E ct.i , R( YI ' ' ' ' ' Y'' ) este valabilă.

M �ltimi d e multimi În figurile 1 - 32 apar cîte două, trei sau patru mul ţimi, tot astfel cum avem mulţimi ca {a,b }, {a,b ,e, }, { a ,b, e ,d } cu două, trei sau patru elemente. După cum avem : b E {a,b,e, }, c E: {a,b,e }, a E: {a,b,e, }, tot astfel cu mulţimile IX, �, Y putem forma mulţimea {IX , � , Y L care are trei elemeI)te şi anume pe IX, pe � şi p e y ; IX E: { O( , �, 1' } , � E: (IX, �, y), l' E ( 0( , �, 1') . Mulţimea {IX , � , y } este o mulţime de mulţimi. Mulţimea domeniilor circulare 1 r ;l', cu centrul în O r,-

@�

Fig. 5 1

şi raza

Fig. 5 2

este o mulţime de mulţimi ; şirul

r; c r; c r; ... este un şir crescător de mulţimi ; mulţimea {r;, r;, . . . } este o mulţime infinită de mulţimi. Şirul domeniilor 1

telor

Domeniul circular cu cu < r.

centrul

O şi raza r este mulţimea punc 85

circulare r�·, cu centrul în O ŞI raza .! ( r; n

un ş�r descrescător

rt) este

de mulţimi, iar mulţimea {ro. 1

r·· 2 ,

•••

}

este o altă multime infinită de multimi. D acă consid �răm mulţimea tut u'ror domeniilor cir culare, avem un alt exemplu de mulţime de mulţimi. In genere, o mulţime de mulţimi M este o mulţime ale cărei elemente IX : IX E: M sînt ele însele multimi. Mul ţimile de indivizi vor fi numite mulţimi de dpul 1, i ar mulţimile de mulţimi vor fi numite mulţimi de tipul II Vom introduce mulţimi de tipul III, care vor fi mulţimile de mulţimi de tipul II, adică mulţimile de mulţimi de mulţimi de tipul 1, adică mulţimile de mul ţimi de mulţimi de elemente şi, in genere, p.rin recu renţă, mulţimile de tipul N care sînt mulţimile de mulţimi de tipul N- 1 . Fie M o mulţime de tipul II. Dacă M conţine două elemente 1X1, 0:2, deci M = {IX1, IX2, }, IX1 şi IX2 fiind mul ţimi , IX1 U IX2 este mulţimea tuturor elementelor x, astfel Ca una măcar din apartenenţele x E:

IXl'

(1)

X E: IX2

s ă fie adevărată. D acă M {0:1' IX2, IX3 }, atunci IX1 U IX2 U IX3 = IX1 U (IX2 U IXa) = ( IX1 U IX2) U IXa este mulţimea tutu ror elementelor x, astfel ca măcar una din aparte'n enţele =

x E: IX1,

X E: 1X2 ,

(2 )

X E: 1X3

,IXn }, atunci să fie adevărată. Dacă M = {IX1, 1X2, IX1 U . , . U IXn = (1X1 U U IXn_1) U IXn este mulţimea tuturor elementelor x, astfel ca una măcar din apartenenţele • • •

•••

x E:

să fie adevărată. 86

IX1,

X E: IX2 ,

• • •

IX n

(3 )

REUN I U N E I NFINITĂ

Vom introduce noţiunea de reuniune infinită : ""

U OI.i =

1=1

01. 1

U OI." U

a unei infinităţi de mulţimi, adică de reuniune a unei mulţimi infinite CD

•

de mulţimi astfel : x E U C1.. înseamnă că măcar una din i�1

apartenenţele x E al , . . . , x E a" , . . .

să fie adevărată. Altfel spus : După cum x E al U . . . U 01." Înseamnă că există fel ca pentru acel i să avem x E C1.j (bineînţeles, este indicele uneia din mulţimile 01.1 ' , 01.,, ) deci mulţime C1.i E M, astfel ca X E ai , l a fel în cazul •••

aC>

( �) un i ast acest i există o infinit :

x E U ai Înseamnă că există un indice i, astfel ca pentru i= 1

acel i să avem x E ai , deci că există o mulţime �j E M astfel ca x E OI.i Putem da acum o definiţie generală a ideii de reuniune a mulţimilor unei mulţimi de mulţimi il!, •

U Ol. "'EM Vom defini pe a astfel : x E a Înseamnă că există cel pu ţin o mulţime C1. E M a mulţimii de mulţimi M, astfel ca X E OI. . 5.1 . Oricare ar fi OI. E M, avem C1. C U CX căci dacă OI. E M "'E M şi x E OI. , atnnci X E a . 5.2. Dacă oricare ar fi C1. E M arem OI. C Â at nnci U OI. C A, "'EM căci dacă X E o, există o a E M,astfel ca x E a ; dar deoarece OI.E M, avem aCA, deci X E Â ; deci a C A. =

Reciproc, fie a o mulţ,ime ce satisface condiţiile teoremelor 5 . 1 si ' 5.2 5.3 * orice a E M dă a C a ; 5.3 * * dacă orice a E M dă a C },., atunci a C ).. ; 5.3 dacă o mulţime (j satisface condiţiile 5.3* şi 5.3* * , atunci (j = U a. "'EM

I ntr-adevăr, din 5 .3 * * , luînd },. = o, deo arece din 5.1 pentru orice Cl. E M avem cx c o, deducem a C o. De asemenea, din 5.2, luînd },. o, deoarece din 5.3 * pentru orice rx E M avem rx E! a, deducem a C a. Deci aC a şi o C a, deci a = (j. Să considerăm mul ţimile aij, i şi j fiind numere na turale, şi reuniunile lor =

(ZI

U aij

j= l

precum ŞI

adică aC>

CZI

a = U U CX ij ' ;=1

a este mulţimea tuturor x ce se bucură de proprie tatea că există un i cu x E o; , deci că există un j astfel ca X E rxij . D ar d acă considerăm multimea de multimi M com ' pusă din toate mulţimile aii şi mulţimea

U CXi j , "'iiEM pe care o vom numI

(ZI

este vizibil că cele două mulţimi U U rxi i şi U aii sînt egale, 88

ele conţinînd ca elemente toate elementele

pentru care există un i şi un j cu .1; E O(ii , element.ele uneia măcar din mulţimile O(ij : 00

U Clij = U U IXij ' i� 1 j= 1

E vident, co

U U lI.ij = U U 'l ij '

i = 1 j� 1

j = 1 ;= 1

Mai general, fie M o mulţime de mulţimi 0( . Să gru Fie 6 mulţimea tu păm mulţimile IX în grupuri A , B, turor acestor grupuri. M este formată din toate mulţi mile tuturor grupurilor 6 : ....

M = UA. AES Dacă xE U O(, "'EM

aceasta înseamnă că . există cel puţin o mulţime O( E M cu x E 0( ; dar acea O( aparţine unuia din grupurile A E 6. deci O( E A , A E 6, deci există o A E 6 astfel ca X E U O(.

Fie

deci există

A E6 cu

deci : X E u aA , AE6

xE U

U lI.,

A E S "EA

deci, dacă M = UA, AE6

alunci

U O(

aEM

= U U O(. ÂE ® IXEA

Dacă

AES

U B,

( 5.6 )

B E st =

U B,

BE st

ÂE®

dacă O( sînt mulţimile lui M, (5.6 ) dă U O(

AES IXEA

U �,

BEst �EB

deci, dacă

ÂES

U B,

(5. 7 )

(5.8)

B E ".t

atunci

UCI:

Â E S "EÂ

U �.

BE ".t {3 E B

Relaţia (5.6) înseamnă că mulţimile O( ale lui M Ie-am grupat în două moduri : în grupurile A , care formează mulţimea 6 şi în grupurile B , care formează mulţimea ;ro Reunind mulţimile 1/. întîi în mulţimile U 0(, reuniuni ale acEA

mul �imi]or diferitelor grupuri A din 6 şi reunind apoi mulţimile O( în mulţimile U O(, care sînt reuniuni ale mul aEB

ţimilor diferitelor grupuri din ;r, şi în fine reunind mul ţimile U CI: pentru toate grupurile A din 6, ceea ce ne "EÂ

·dă reuniunea U U 1/., obţinem aceeaşi mulţime cu cea AE3 "'EA

,obţinută reunind în U grupurile B E ;r.

U CI: reuniunile U O( pentru toate

BE ".t IXE B

IXEB

INTERSECŢIE I N FINITĂ

Observaţii an,a loge celor făcute privind reuniunea se

pot face pentru intersecţie.

Intersecţia 0(1 n 0(2 este mulţimea tuturor indivizilor pentru care amîndouă apartenenţele ( 1 ) sînt adevărate, intersecţia 0( 1 n 0(2 n 0(3 este mulţimea tuturor indivizilor" x pentru care cele trei apartenenţe (2) sînt adevărate şi în genere intersecţia 0(1 n . 0(" este mulţimea formată din toţi x pentru care toate cele n apartenenţe (3) sint ade. vărate. Vom defini intersecţia infinită x

aC>

n O(i = 0( 1 n

n 0( "

i= 1

ca fiind mulţimea acelor x pentru care toate apartenen ţele ( 4) sînt adevărate. Mai general definim mulţimea x =

n O(

aEM

ca fiind mulţimea tuturor indivizilor x care aparţin tu turor multimilor 1/. din multime a de multimi M. 5.9. Ori�are ar fi 1/. E M, d"em n 1/. e r:.. uEM

Î ntr-adevăr, dacă

E n IX, atunci uEM

O( E M . 5 . 10. Dacă oricare ar fi IX [.t e n 1/.. uEM

pentru orice

x E IX.

M, avem

Într-adevăr, dacă din x E f.L deducem orice O( E M, atunci x E n O( .

[.t x

1/. ,

atnnci pentru

aEM

Reciproc, fie -r o mulţime ce satisface condiţiile teoremelor 5 . 9 si 5 . 1 0 adică : 5 . 1 1 * ori care ar fi O( E M, avem -r e 0( ; 5 . 1 1 * * dacă orice O( E M dă f.L e 0(, atunci [.t C 't ; 5 . 1 1 dacă o mnlţime -r satisface condiţiile 5.11 * ş i 5. 1 1 * *, atunci 1" = n 0(. uEM

Î ntr- adevăr, din 5 . 1 1 * * luînd !.I. = 'x, deoarece din 5 . 9 pentru orice O( E M avem 1" C IX, deducem că x C 't'_ De asemenea, din 5. 1 0 luînd !.I. = 't', deo arece din 5 . 1 1 * pentru orice O( E M avem 't' C IX , deducem 't' C x . Deci x C 't', 't' C x, deci 't' x. Să considerăm mulţimile IXij , i, j fiind numere na turale, şi mulţimile =

aC>

= n IX i; {� l

precum şi

pe care o scriem CD

aC>

n IXi; ;

j= 1

dacă numIm

mulţimea n

D.ij E M

O(i;

este vizibil că cele două mulţimi

n ij

O(; i

şi n

i= 1

aC>

j= 1

0(;;

aceleasi elemente care sînt elementele comune tuturor mulţi�ilor O( i j , deci aC>

<Xi

n IX ij

(5 . 1 2)

Este evident că 00

n n i=l

j=l

O( I. {-

j=l i=1

IX ' II

( 5. 13)

Mai general să grupăm, ca la p. 89, mulţimile O( ale mul ţimii de mulţimi M în grupuri A , B, . . . ; @) fiind mul ţimea tuturor acestor grupuri, deci :

D acă X = n

ilEM

<'1. ,

.aceasta înseamnă că pentru orice :t. E M avem x E O( ; în spe -eial pentru orice IX 6 A , pentru orice O( E B etc. avem x E O(, -deci

:şi această apartenenţă este valabilă pentru orice A E @), ·deci, dacă

.atunci

aparţine tuturor XA cu A E @) , deci intersecţiei lor xE n

AEG

XA,

deci : xE n

n IX.

AEC5 (lEA

Aşadar,

dacă M = U A, AES

atunci n

ilEM

(1. =

n 0( .

A E f; aEA

( 5. 1 4)

D acă

A E @i

A =

B E st

B, 93

numind M= U A

AE t:

U B,

(5.15)

BEst

( 5.14) dă : n IX =

AE@5 (lE A

(5.16)

n oe.

BE st (lEB

Relaţia (5. 16) înseamnă că mulţimile IX ale lui M Ie-am grupat în două moduri : în grupurile A , care formează mulţimea 6, şi în grupurile B, care formează mulţimea ;ro Intersectînd mulţimile O( întîi în mulţimile n ix, inaEA

tersecţii ale mulţimilor diferitelor grupuri A din 6 şi apoi intersectînd mulţimile XA = n O( pentru toate grupurile aEA

A din 6, rezultatul obţinut nu depinde de felul cum mul ţimile IX din M au fost grupate în grupurile A . ExercItii 1.

M = U { x} ;

M = UX ;

4. 5.

b 6. b 7. b 8. 9. 94

xEM

XE2 M

X c:M

( U or.) X ( U �) = U (or. ilEM

aEM I'>EN

I'>EN

(nor.) X (n�)

ilEM A

I'>EN

(lEM

f (nor.) c n f(or.) ; (lEM

(lEM

f * ( Uor.) = U f *(or.) ; ilEM

IXEM

f * (nOI:) = n f * ( a:) . (lEM

(lEM

�) ;

n (or. X �) ;

ilEM I'>EN

f ( UOI:) = U f (or.) ; IXEM

f este funcţia definită la p. 61 (extinderea lui f la o funcţie de submulţimile domeniului lui f ). 10. D acă f este o injecţie

f ( na) = n f (a) aEM

LEG I L E LUI M O R G A N

infinită :

aEM

pentru reuniunea ŞI intersecţia na

U�

(5.17)

U a = n�

(5. 18)

aEM

asM

aEM

extind formulele 1 .40 şi 1.41. Demonstraţia lui (5. 1 7 ) şi (5.18) nu este gr ea

x E n oc aEM

înseamnă că x � n a, deci că x nu aparţine tuturor mulaE M

ţimilor a, deci că măcar uneia nu-i aparţine, deci că există măcar o a E M cu x e IX . Aceasta înseamnă că există măcar o a E M cu x E OC, deci că xE U �. La fel pentru a aEM

demonstra p e (5. 18) observăm că X E U a înseamnă că aEM

deci că nu există nici o a E M cu x E a, deci că

X e U IX, OIEM

pentru orice IX E M avem x e oc, deci că p entru orice IX E M avem X E oc, deci că x E n �. aEM

Exerciţii

1. Dacă

,, ==

" e o relaţie de echivalenţă a = U �. �Ea/==

2. D acă 6 este un endomorfism al mulţimii X

6 : X -+ X, vom numi

...

Ne (X) = n 6" ( X). n�O

Avem 2.1.

6 (Ne (X) ) = Ne (X), 95

2 . 2 . dacă e

e o

surj ecţie a mulţimii ACX, atunci ACNe (A).

2 . 3 . Ne (A n B ) = Ne(A ) n Ne ( B ) . 2.4. dacă ACB, atunci Ne ( A l CNo (B ) .

PARTITI I

o mulţime P de submulţimi ale lui 1 formează o p ar tiţie a lui 1, dacă sînt îndeplinite următoarele condiţii :

U IX

C1E P

2. Dacă IX E P, � E P, IX -=I= � , atunci IXn �

Clasele de echiralenţă în raport cu o relaţie de echira lenţă formează o partiţie, căci două clase de echivalenţă diferite sînt disj uncte şi, pe de altă p arte, dacă a este un element a E â şi â E IJ -=, avem 1 U â. =

dEI/=

Dacă P este o partiţie, relaţia a - b , definită prin şi b ap arţi1} aceleiaşi mulţimi a lui P, este o relaţie de echiralenţă. I ntr-adevăr, această relaţie e reflexivă şi si metrică ; de asemenea, dacă a :- b şi b == c, atunci a şi b, b şi c aparţin aceleiaşi mulţimi a partiţiei, deci a şi c aparţin aceleiaşi mulţimi a partiţiei, deci a c. a

PRODUS CARTEZIAN I N F I N IT

Fie IXI ,

•••

, IXn n mulţimi nevide. Produsul cartezian IXI X

X IXn

fost definit recurent (p. 79) prin (IXI X

IXn_1) X IXn .

Putem să-i d ăm o altă definitie : Deoarece IXI X IX2 este m �lţimea perechilor (al' a2) cu al E IXI, a2 E IX2, iar IXI X IX2 X IXa este mulţimea tri96

pIetelor (al' a2, aa ) cu al E ocl, a 2 E <x2, aa E <xa , se vede că sîntem îndemnaţi să definim pe ca fiind mulţimea şirurilor de n elemente (al' 0 0 0 an) C U ai E <X i o Această definiţie coincide cu cea obişnuită pentru n = 20 Se vede uşor că

căci funcţia 0:

<Xl

definită prm 0(al,

0 0 0 '

an)

{ (al '

(ln_l ) . a n} ,

' este o bij ecţieo Deci definiţia dată aici coincide, în afar ă de o bijecţie, cu cea de la p o 790 Dar, înseamnă ai E oci , deci înseamnă c ă ai =

cp(i)

cp fiind o funcţie definită pe mulţimea { 1 , 0 0 0 ,n } cu valori în al U U an şi anume astfel ca cp(i) E a·j o

Vom putea defini produsul cartezian infinit

ca fiind mulţimea şirurilor cu ai E <x, 7 - 585

deci cu o funcţie, ai

cp(i), funcţia cp fiind defini tă pe şirul

numerelor naturale {1,

...

n,...

OII

} cu valorile în U !X;, astfel i=l

cp( i) E !Xj In general putem defini astfel produsul cartezian al unei mulţimi indexate { !Xi }iEI P

iEI

!Xi

ca fiind mulţ,imea tuturor funcţiilor cp : 1 � U IX i

iEI

astfel ca

cp( i ) E !Xi Dar fiecare şir

( *)

cp(i) este o funcţie

�

U !Xi i

unde Nn

(1, . , n ) ..

dacă şirul este finit ŞI

cp : N

-7

i=l

!Xi

cu N mulţimea numerelor naturale, dacă şirul este infi nit. Aşadar, în amîndouă cazurile putem sp une că pro dusul cartesian are ca elemente funcţiile cp. Este evident că dacă una din mulţimile IX; este m ul ţimea vidă atunci produsul cartesian este vid. Să presupunem că niciuna din mulţimile IX; nu este vidă şi să presupunem că funcţia cp este o injecţie, deci că din i =/=- j avem !Xi =/=- !Xi. I n acest Caz vom considera mulţimea M, a mulţimilor IX şi funcţia \II

M � U IX aEM

definită prin

� ( O:i )

� (i)

deci

�(o:) E o: deci funcţia � alege cîte un element �( oc ) din fiecare ele ment oc al lui M. Vom spune că � este o funcţie selectifJă. AXIOMA LUI ZERM E L O

Putem oare, dac ă M este o mulţime de' mulţimi toate nevide, să afirmăm că există o funcţie selectivă ? Dacă există o astfel de funcţie selectivă, produsul cartezian al unei multimi de multimi toate nevide este o multime nevidă. ' î n afirmare � existenţei unei funcţii sel � ctive pentru orice multime de multimi nevide constă axioma lui Zer melo num'it ă şi axiom� alegerii, căci ea afirmă existenţa unor alegeri simultane, împărţind pe matematicieni în cei care · afirmau că nu înţeleg această axiomă şi cei care afirmau că nu e necesar ca această axiomă să fie "în ţeleasă". Contribuţii importante la detectarea întrebuin ţ ării acestei axiome, adesea inconştiente, a avut W. Sier pinski. Axioma a stîrnit multe discuţii. Ea este numită şi axioma multiplicativă, * deoarece afirmă că un produs cartezian de mulţimi nevide nu e vid. L/

* Axioma alegerii a fost enunţată, pentru prima oară, de către matematicianul german Ernst Zermelo, la începutul secohilbi nos tru . Numeroasele încercări, făcute de-a lungul multor ani, de a demonstra axioma alegerii, deci de a o transforma într-o teoremă, au eşuat, conducînd in schimb la un humăr mare de propoziţii echi valente cu axioma alegerii. Aceste propoziţii au fost strînse într-o carte de către matematicianul polonez Waclaw Sierpinski, care de altfel a adus ' numeroase contribuţii in legătură cu această axiomă. Un exemplu simplu în care existenţa unei mulţimi selective nu p oate fi ob ţinută fără axioma alegerii este următorul. Să aso ciem fiecărei funcţii reale f, de o variabilă reală, funcţia opusă -f. Să considerăm familia F a tuturor perechilor (f,�f). Existenţa

LEGILE

D ISTRIBUTIVE

generale cer o explicaţie mai amplă.

Legea 1 a n (bl U b2)

se extinde uşor la : a n (bl U

U (a n b,, ) .

deci la n

a n U bi

U (a n bj) .

i=l

i � .1

Putem deci extinde această lege la (al U a2) n

�1

=[i�l

[

al n

U a2 n

;0\ bi] [ i�l ] ] ] (i�l

(al n bJ U

(a2 n b ;l

şi analog la

unei multimi care să con tină cîte un element si numai unul din ' fieca�e p ereche din F, nu j)oate fi obţinută fără axioma alE'gerii. In urmă cu aproape 20 de ani, matematicianul american (de origine austriacă) Kurl G6del a reuşit să demonstreze că dacă sis temul de axiome al teoriei mulţimilor este necontradictoriu, atunci el rămîne necontradictoriu cînd i se adaugă ca o nouă axiomă, axioma alegerii . Era astfel spulberată posibilitatea de a demon stra că axioma alegerii este falsă. Rămînea însă posibilitatea de a demonstra falsitate a negaţiei axiomei alegerii. î nsă şi această po sibilitate a fost spulberată în urmă cu cîţiva ani, de către mate maticianul american Paul Cohen, care a arătat că negaţia axiomei alegerii nu este contradictorie. Acest rezultat, împreună cu cel al lui Kurt Godcl, conduce la co ncluzia că axioma alegerii co nstituie o propoziţie independentă, cu alte cuvinte nici ea, nici negaţia ei nu sînt contradiclorii. Există deci o matematică cu axioma alege-

100

ŞI la

ceea ce Se scrie pe larg (an U

U alnl) n . . . n ( am 1 U U

1 1 , " · ' l,n

(al i 1 n

U am "l1, ) n ami", ) .

Î n aceste ultime formule il, . . ,i", sînt un sir de m nu mere naturale i -< il -< nl , . . , i -< i", -< nl1!. U n astfel de şir e o funcţie iT cp(r), .

funcţia

-< r -<

avînd ca argument numărul natural r : 1 -< ŞI ca valo are pe iT : 1 -< i T -< n,., deci

sau , cu 'HN ,.) � este

cp (

cp(r) EN" T ,

fun(}ţ,ie selectivă ; d eci m

n U Cl:ij

i=1 ;=1

n aj'P(i) 1

(5. 19)

rii şi o matema tică fără axioma alegerii, tot aşa cum există o geo metrie eucJidiană şi geome trii fără postulatul al cincilea al lui Eu clid, adică geome trii neeuclidiene. Rezult.atele lui Gb del şi Cohen relative la axioma alegerii pot fi comp arate, ca importan1ă, cu rezultatele lui Lobacevski şi Bolyai relative la postulatul parale lelor. Dar în momentul de faţă avem o imagine foarte palidă despre graniţa care separă ma tematica cu axioma alegerii, de cea fără axioma alegerii, deoarece nu s-au inventari.at cu atenţie toate si tuaţiile în care s-a folosit axioma alegerii. In orice caz, din rezul. tatul lui Cohen s-au şi ob ţinut unele consecinţe deosebit de in tere' sante, adesea surprinzătoare, cum este următorul rezultat al lui So lomon Feferman : Afirmatia că multimea numerelor reale este o reuniu ne num ărabilă de mulţimi numărabile, este o propoziţie in- ' dependentă. ("!\iotă alcătuită de Solomon lVIarcll s . )

Tot astfel legea 2 : a

U (b1 n b2) = ( a U b1) n (a U b2)

se extinde Ia

i=1

a U n b i = n (a U bi)

deci

U n (Xi i

i=1 i=\

n u

tY.icp(i)·

r;>

(5.20)

Aceste legi de di stribuţie Se extind în cazul general ( 5.21 ) n U (Xji = U n (Xi <p( '") r;> E o/ i E I

i E I JEJi

u n (Xii

iEI jEJi

n u

r;>E'I' i E I

IZi<pC) , I

(5.22)

unde 'P e mulţimea funcţiilor <p cu 'li = � { cp I cp(i) = � ( l i ) , � E

II li' }

iEI

î ntr-adevăr , x E n U (Xii înseamnă că oricare ar fi i E I, x E U

i Ji

(Xii ;

i E I iEJi

deci pentru fiecare i E I există un j E li ,

astfel ca X E a.:i i ; dar acel j E:lj corespunde lui i E I, deci j cp(i ) , fiind o funcţie cu argumentul în 1 şi cu valoarea =

deci o funcţie cp : 1 � U l i ,

astfel ca

iEl

cp ( i ) E li , 102

deci cu �(J;)

cp ( i ) , � este o funcţie selectivă

�(J;) E Ji , deci :

Tot astfel x E U n oc i i înseamnă că există un i fie el io cu x E

iEI jEJi n (7.io i deci că X E oci j pentru orice j, deci fEJ� . 0

dacă se dă o funcţie 'P, x E iY.io 'P(io) ' deci x E U aceasta pentru orice <P E � , deci x E n U oc;CP(i '

Legile de idempotenţă. Cînd scriem a

'l' E V

şi

OCi'P(i)

)

u OC,

aEi,I

am vrea să obţinem pe oc U � , am lua mulţimea Jl1 = {oc, � } = = {Ii } U {� }, bineînţeles dacă oc =F � ; dacă însă oc �, atunci {oc } U {oc } = {oc } = {oc, oc } şi n-am mai p utea obţine pe oc U oc. Pentru a putea obţine pe oc U oc şi pe IX n oc trebuie să definim disj uncţiile şi conjuncţiile

M este o mulţime de elemente, deci dacă

a x

U (7.i ,

EI = n OCi, iEI I

ceea Ce putem face astfel : x E U oc, înseamnă că există un i E I c u x E oci ;

iE I X E n oc; Înseamnă că pentru orice i E I avem x E iEI

!Xj.

O mulţime indexată {oc, h E I este o funcţie cp : I � Jl1

103

Legile de idempotenţă au efectul c ă într"o reuniune U ... U IXn sau intersecţie IXI n . . . n IXn o mulţime IXi care apare de m ai multe ori să nu mai apară decît o dată. Ele arată că IXI

iEI

IXi

U IX

!lE cp(ll

iEI

IX = i

n IX.

aE<v(l)

PROPRIETĂTI ALE ENDOMORFISMEL O R

o functie <p este un endomodism al lui M dacă 10. cp(x) este definit cînd x E Mşi 2°. cp(M) C M. ( Dedekind spune că M este un lanţ pentru cp.) Dacă A este un lanţ pentru cp, atunci şi <p (A) este un lanţ pentru cp. Dacă XCA şi A este un lanţ pentrucp, atunci cp(X) CA. Dacă cp(X) C A şi A este un lanţ pentru cp, atunci există un lanţ B pentru cp, care dă Xc B. Arem cp(B) C A. cp(X) U într-adevăr, B = X U A, deci Xc B şi <p(B) B, deci U cp( A ) C cp(A) C A U X B este lanţ pentru <p şi <p(B) CA. Dacă 9J( este o mulţime de lanţuri A pentru cp, atunci U A este un lanţ pentru cp. =

AE�m

Dacă 9J( este o mulţime de lanţuri A pentru cp atunci, n A este un lanţ pentru cp. AE�m

Dacă A C I este o mulţime dată, să numim Acp = n X în care 9J( este definită ca mulţimea mulţimilor X,

XE9)(

astfel încît a ) X::l A �) X este un lanţ pentru cp. Observăm că 9)c +- 0, căci 1 E 9n şi A cp :::J A.

Acp este lanţ pentru cp, căci este intersecţie de mul ţimi cu aceste proprietăţi. Dacă A C L şi L este lanţ pentru cp, atunci Acp eL. Arem cplA) C Acp. 104

Condiţia necesară ca A să fie lanţ pentru cp este A",= A . Dacă A eB , atunci AIPeBrp. Dacă BeA rp atunci cp ( B) e A rp cp( A rp) (<p(A))qJ; fie L (cp(A))cp, L este lanţ pentru cp;. cp(A)eL, deci există un lanţ pentru cp, fie el K cu AC K, cp(K )e L, deci A <jl C K. cp( A rp) C cp( K) C L, deci <p( Acp)e(cp(A ))cp. Din <p(A) C cp ( A <jl ) şi <p(Acp) este un lanţ deducem (cp(A))'Jl C <p(A rp). Acp A U cp( Arp). Fie L = cp(Acp) <p(Arp)cp K AUL, deci cp(A)CL ; dar L este lanh deci /( este lanţ. Ae K. deci A er e/(. DarA C A,p, deci LeA ,p, deci K C Acp. Dacă A '" C S , atunci =

A cS cp(A'r n S ) c S.

Căci A C Alf C S şi cp(A<ţ n S) C cp(Aer) (<P( A ))'f eA ,p

Dacă A C S

ş�

cp ( A rp n S) es,

atunci A" C S. Din CP(A';l n S) c S şi din cp (A,c n S) e A rp deduc <p (A 'r n S) C A 'l' n S, deci A rp n S este lanţ pentru cp. Or, din A c S, deci A eAqJ n S, deducem că A,p C Arp n S, deci A,p e S. Ultimele două teoreme arată că pentru a -dovedi că .fi '" C S este necesar şi suficient să arătăm că AeS şi cp( A tp n S) C S; această metodă este analogă metodei de inducţie completă. Se poate enunţa: Pentru a dopedi că orice element al lui A are proprie tatea de a aparţine lui S este destul să arătăm : a ) Că orice element al lui A rp aparţine lui S. �) Că o imagine prin cp a oricărui element al lui A rp ce aparţine lui S aparţine şi ea lui S. 105

Dacă Wl este

mlllţime de mulţimi :

( n X)cp c

n Xcp

XEj)]

XE[Q

( U X)cp

U Xcp

XE[Q

XEW"/

Dacă L este un lanţ pentru cp şi cp (L) eA eL, atunci şi

A este un lanţ pentru rp

Dat fiind un endomorfism cp al mulţimii X, mulţimea

rp ( rpn (x) - va fi numită mie -cu cpO(x) X, cp"+l(x) zul endomorfismului rp. Avem =

9(cp este un lanţ pentru rp

Observaţii. Ce Înseamnă U 11. şi ţimea

mulţimi

r:J.

astfel

ca a

ilEm

aE0

vidă? Dar

multimea tuturor multimilor ? Conform definiţiei 'x E U mulţime

aE0

aEI

11.,

r:J.

11.,

0 fiind mul

şi n

aEI

r:J.,

/ fiind

înseamnă că există o

E W1 şi x E

deci x E U

aE0

r:J.

Însemna că ar exista o multime 11. cu a E 0 si x E 11.. Dar IX. E 0 este întotdeau�a falsă, deciJ 11. E fi şi x E IX. este totdeauna falsă, deci x E U 11. este întotdeauna aE0

falsă, deci

(1)

DE0

Conform definiţiei x E n

atE0

11.,

înseamnă că pentru orice

IX., dacă 11. E 0, atunci x E 11.. Dar IX. E 0 este întotdeauna falsă, deci propoziţia : dacă 11. E 0, atunci x E 11. este adevărată (vezi şi p. 153) deci oricare ar fi x, avem xE n l1. atE0

deci

n IX. = /.

Conform definiţiei x E U mulţime 106

IX.

aEI

E / şi x E

IJ.., r:J..

(2) înseamnă că există o Dar {x}EI şi x E {x},

deci există 11. = {x} care îndeplineşte aceste condiţii, deci oricare ar fi x, x E U IX, deci aEI

U IJ..=I

aEI

Conform definiţiei x E n

aEI

IX,

atunci x E 11.. Dar 0 E 1 şi totuşi x � 0,

înseamnă că dacă 11. E 1, deci x � n

"EI

fi x, deci

C/.,

oricare ar

TEOREMA L U I BAtUCH

Dacă X şi Y sînt două mulţimi, rp şi I.ji două injecţii cu rp(X) C Y şi I.ji( Y) C X, atunci putem descompune pe X şi Y în cîte două mulţimi disjuncte cu X = Xl U X2 Xl n X2 = 0, Y

Y1 U Y2

YI n Y2 = 0,

astfel ca

rp (Xl) = Y1 Să considerăm mulţimea A

care dă

I.ji( Y}

X - I.ji(Y ), X-A.

Fie 9)(: clasa tuturor mulţimilor Z care au proprie tăţile:

) �)

IJ..

Z:JA l.ji(rp(Z)} C Z.

Clasa 9R nu este vidă, căci X E M, deoarece A C X şi l.ji(rp(X}) C X. Fie Xl intersecţia mulţimilor olasei 9R: Xl = n Z. ZE9Jl

107

Se vede că XI:J A, . deoarece orice Z.:J A şi, deoarece �(cp( n Z)) = n �(cp(Z)) C cp şi � sînt inj ecţii �(cp(Xl)) =

c n Z ZEW"/

ZE9J!

ZEW"/

Xl'

deci AverI'. A C Xl şi �(CP(XI)) C Xl' dec.i A U y(cp( XI )) C C Xl Pe de altă parte, A U tjJ ( cp(X1 )) :J A şi tjJ(cp(A U U tjJ(cp(X1)))) C � ( cp(A)) U �(cp(.f(CP(Xl)))) C tj;(cp( XI)) C CA U �(CP(XI)). dec i A U lji(cp(XI)) Eilll deci A U U �(CP(XI)) :J Xl' deci

A U y(cp(X1) ) = Xl Să luăm X2=X-XI, YI = cp(X) , Y2 = Y - Y I; se vede că x = Xl U X2

Xl n X2

YI U Y2

Y1 n Y2

Să calculăm pe .�( Y2). Avem lji fiind o injecţie:

lji(Y2) = �(Y) - �(YI),

= (X - A) - �(CP(XI))' =

X -

(A U lji(cp(XI)),

X - Xl' X = 2•

Deci teorema este demonstrată. Exercitii * Dacă cp

<jJ: Y

100

--+

sînt două injecţii, vom numi descompunere de tip Banach a mul� ţimii X în-rap ort cu perechea de injecţii (cp, tjJ) o descompunere

= Xl U X2

Xl n X2

astfel încît dacă

YI = cp(X1), atunci să avem

Y=YIUY2 1 . Dacă

şi � sînt dou ă descompuneri de tip Banach.

X = X�

.X = X� U X�,

X;,

atunci punînd

x;= x; n X�, X� X� U x�,

xi=X� u X�,

şi

sInt descompun eri de tip Banach.

X�, xt x�, Xi n X� = 0, Y1 = 'f'(X�),

presupus că

x� = <)i(Y�), Y = ViU Y�,

y� n Y�

că

XtnX2=0, Y =Yiu Y;, YInY1=0, Să considerăm multimea ' tip Banach. Fie 2.

X� n X�=0, y� = rp(X�), x"= tjJ(Y�), y = yr u Y�,

Y i n y�= O· y�= rp(X�). x� = <)i(Y�),

0, YI =cp(xYl, i�=tjJ(Y;) , =

Trebuie să dovedim

y� sînt astfel ca

�

x� n x� = O, y= y� UY�, yy n y� = O.

a tuturor descompunerilor

X� = u xI,

x�

xi = n X�.

x� = U X;,

"'El!.

'El!.

n X�,

�El!.

'rEl!.

109

"şi

sînt două descompuneri de tip Banach şi

avem

Xf ::J X�:> xi, Xfcx� c X�, pentru orice descompunere

de tip Banach.

3. Mulţimile X1- X�. X� - X� sint invariate de endo morfismul ljio<p iar Yf - Y�, Y� - Y� sînt invariate de endo morfismul <potjJ. 4. Construcţi a dată la p. 107 sqq, dă mulţim ile 00

xi = U (tjJrp)H (X -Iji ( Y)).

(1 }

X� = x-xi.

(2}

n=O

(3)'

Xf= X-Xf·

(4)

Pentru a demonstra aceste teoreme să notăm Xi membrul al doilea din (1 ) şi X� = x - Xi. Din dem onstraţia teoremeilui Banach reiese că Xi şi X� formează o descompunere de tip Banach. Dar

(tjirp)H X::J (h)H Iji( Y) ::J (tji<p)H+l (X). deci, dacă X E xl, există un n cu X� (tji<p)H <jJ(Y). deci x � (tji<p)m <jJ(Y} p entru m > n. deCi Xi n NuC[! (X) = 0. Deoarece xl Xf c c xI n N",'P (X) 0, . avem xi c xi p entru orice O" E 6, deci xi n X�, deci Xl = xi. x; = X�. -

Fie

eJEÂ

U (<ptji)n (y - <piX)). Y- Y�. x� Iji(:!i). x� = x-x�. Y� Y�

Să se arate că

Y� = <p(X�). Intr-adevăr.

110

Y - Y� = Y- [( Y- <piX)) U <plji(y�n [ Y - (Y - <piX))] n [ Y- <p(<jJ( Y�))J.

dar rp(X) C Y, cp(�( Y�)) C <f'(<jJ( Y)) C cp(X),

y�

deci

cp(X) - cp(tjJ( l'�))

cp(X - X�)

cp(X) - cp(X�)

cp(X1).

6. Avem căci

!n.�rp(X)

n (tjJcp)n (X),

n=O

Iar căci

!n<jJrp(X) C tjJ( Y),

[!n<jJrp(X)] n [X - cp( Y)]

deci

{(tjJcp)" rX - cp( Y)]} n (tjJcp) !n<jJrp (X) 7.

Avem

căci, deoarece

X�

tjJ ( ,y) - U (tjJcp)n (X - cp( Y)), n=!

din a E X� deduc a E Iji( Y) şi a � (ljicp)n (X - cp(y)). Se prezintă deci trei cazuri:

01:) a E (tjJcp) n (X) pentru orice n, deci a E !n<jJrp (X), �) există un n cu a E (tjJcp)n tjJ ( Y), dar a � (ljicp)n+l Iji( n deci a E (ljicp)n Iji( Y cp(X)), deci a E Xf; . y) există un n astfel ca a E (tjJcp)n (X), dar a � (tjJcp)n tjJ(Y), deci a � (tjJcp)" (X - tjJ(Y)), deci a E X�. -

Deci, din Xf C X�· deduc cu

X�

X� U !n<jJ<p(X),

111

Aigebre booleene Dacă privim felul cum se desfăşoară capitolele 1 - IV :sÎntem izbiţi de faptul că în capitolul 1 proprietăţile 1.1-1.42 nu au fost demonstrate cititorul a fost îndemnat să privească figurile 1-21 şi să constate că proprietăţile sînt intuitiv justificate. Acest mod de a proceda nu este însă cel al matem a ticienilor, decît dacă a m considera proprietăţile 1 . 1 - 1 .42 ,ca axiome; cu definiţiile 1.43, 1 . 58, 1 . 59, 1 . 76, 1.84 - 1 .87 , 1 .99, 1. 107, 1 . 1 15, 1.121 axiomele 1 . 1 - 1 .42 dau teore mele 1.44 - 1 .57, 1 .60 - 1 . 75, 1 . 7 7 - 1 .83, 1 .88 - 1 .98, 1 . 100-1 . 1 06, 1. 108-1 .114, '1.116- 1 . 120, 1.122, 1 . 123 şi teoremele 1, II de la pp. 33 şi 35. Considerînd ca axiome pe 1 . 1-1 .42, explica ţiile date în text la pp. 9-25 servesc pentru a justifica introdu ·cerea acestor axiome; sistemul de axiome 1 . 1 - 1 .42 a fost sugerat de proprietăţile m u lţimilor considerate ca ,cunoscute intuitiv. Sînt Însă proprietăţile 1 . 1 -1.42 independente? Nu pot fi ele toate deduse din cîteva dintre ele? Vom do vedi în cele ce urmează că' acesta este cazul. Numim algebră booleană o mulţime B în care se dau -o relaţie" C " şi două legi de compoziţie binare 1 " n " 1 �rin lege de comp oziţie binară în mulţimea M se înţelege -o funcţIe M x M --+ M.

112

şi "U" precum şi o funcţie de o variabilă ,, -" cu ur mătoarele axiome: (Axiomele ordinii parţiale)

A xiomele grupului I 1.1

a C a,

1 . 2 dacă a C b şi bec, atunci aCe, b. 1.3 dacă a C b şi bea, atunci a =

Axiomele grupului II. (Axiomele laticelor). an bea, an b C b, d acă x C a şi x C b, atunci x C a n b, 1 1 .4 a CaU b, 11.5 bea Ub, 11.6 dacă a C y şi b C y, atunci a U b C y.

II.l 11.2 II.3

A xiomele III.l III.2

grupului III. (Axiomele distributive)

x n (y U z) C (x n y) U (x n z), x U(y n z):> (x U y) n (xUz).

Axiomele grupului IV. (Axiomele algebrelor booleene)

(x n x) Uy C y, (x l!I x) n y :J y;

IV.l IV.2

Este evident că

IV.1

şi

IV.2

se pot scrie

x n x c y c z U z.

Axiomele scrise mai sus sînt satisfăcute de mulţimi, căci 1.1

1.2

1.3 11.1 1I.2 11.3 11.4 II.5 II.6

1.1

1.2

1.3

Din

1.17

1.37, 1.38

şi

1.18 1.28,1.31

1.9

1.10

se deduc

III.1 III.2 1.33

1.34

IV.

Deci : T e o r e fi ă. Mulţimile formează o algebră booleană. Precum am arătat in cap. 1, prin mulţimi înţelegem lui 1. Această teoremă nu a fost demon submultimile ' strată, căci 1.1-1.42 nu au fost demonstrate. 8

- 585

113

o mulJime .53 în care sînt valabile axiomele 1 şi II . precum ŞI axwma x n (x u y) = x U (x n y) ( A) x se numeş te o latice. într-o latice sînt valabile urmă toarele proprietăţi : =

dacă a C b, c C d, atunci a n c C bn d şi a U c C b U d a na a, aUa a, =

anb bn a, a U b = b U a, an(bnc) = (anb)rîc , a U (bUc) = (aUb)Uc, an(aUb) a, a U (anb) a, an(bUe)c(anb) U(anc), aU (b nC):J(aUb) n(aUe), aC b echivalează cu a n b = a sau cu aUb b. =

Demonstraţie: anccacb; anccccd, deci cu 1I.3, aneCbnd. Analog aUcCbUd anaCa din 11.1 şi aCa, aCa din 1 . 1 , deci din 11.3 acana; deci din 1 . 3 ana = a. Analog aUa = a. anbcb, anbca din 11.2, lI.1 deci din 11.3, anbc ebna, deci prin schimbarea numelui literelor bnac bUa. canb, deci anb bna. Analog aUb an(b ne) Ca, an(b ne)cbnccb, an (bne)cbncCc din 1 1 . 1 .2. Dar an(bcc)ca, an(bne)Cb cu 1 1 . 3 dă an (bnc)Canb; acesta cu an(bnc)ce dă, cu 1 1 .3, an(bne) c(anb)ne. Analog (anb) necan (bnc), deci an(b nc) (anb)nc. Analog au(bUc) = (aUb)Ue. an(aUb)ca din 11. 1 . Dar aCa din 1 . 1 şi aC aUb din 1 1 .4; deci din II�3 aCan (aUb), deci cu I .3. a a n n(aUb). Analog a = aU(anb). anbCa,anccadinlI.1, deci din l I 6 ; (anb)U(anc) C C a. anbcbcbUe, a ncc eC b U e din 1 . 2 şi 1 1.1 , lI.2, 1 1 .4, ILS, deci cu 1 1 . 6 (anb)U(a ne) C bUc. D ar (anb)U(anc)ca şi (anb)U(anc)cbUc, cu 1 1 .3 dă (anb)U(anc)can(bUc). Analog (aUb) n (aUe) C Ca U(bnc). aCb cu aCa dă aCanb, deci cu 1 1 . 1 a anb, a = anbcb dă acb. Analog acb echivalează cu aUb= b. Intr-o lati e e, 111.1 şi. 111.2 sînt eehipalente =

D acă I I I.1 este satisfăcută, împreună cu proprietatea

(xny)U(xnz)cxn (YUz) avem

114

(xny )U(xnz)

n(YUz) .Deci(xUY) n(xuz)=[(xuy)nx]u [(x u z) nz]= = xU[(x u y)nz] = xu[(xnz)u(ynz)] = [xu(xnz)]u U(y n z) = x u (y nz ), deci 111.2. Din 111.2 se deduce I I1.1 ; demonstraţia ca exerciţiu: O latice,în Care III.1 şi 111.2 sint sati�făcJte este nu mit ă o latice distributivă, , c ăci în ea, avem a n (bU e)

(a n b) U (an c),

aU (bn c) = (a U b) n (a Uel,

Aceste relatii sînt 1.33 si 1.34. Proprietăţile dovedit� sînt : 1.4, 1.5, 1.8, 1.16, 1..12, 1.13, 1.35, 1.11 şi 1.19. Intr-o algebră booleană, axioma IV arată că x n x = yn y, xU x = y Uy, deci x n x ş i x U x sînt cop stante. Aceste constante vor fi numite ° şi 1. =

O, x U x = �, xn x

=�

sînt tocmai 1.38, 1.37, iar

°C

z C 1

sînt 1.28, 1.31, dar 0 este numit aici 0, iar 1 este numit Din aceste proprietăţi se deduc 1.27, 1.32

°n

= 0, oU z = z, 1 n z = z, 1U z --:- 1. z

Orice algebră booleană este o latice. Pentru a dovedi această afirmaţie, e necesar să ,demonstrăm legile (A) ; (xU O) n (xu y) = xU (O n y) = avem xn(x Uy) xU ° = x şi x U (xn y) = (xn 1) U (xn y) = xn n (1 Uy) = x n 1 = x, deci demonstraţia e dată. Teoremă. Intr-o algebră booleană sistemul de ecuaţii =

c n x :..- 0 , cUx = 1 l1S

are o soluţie unică

căci dacă cn y = 0, cUy = 1,

;X; = e,

atunci y = y n 1 = Y n (c U x) = (cn y) U (x n y) = = ° U (x n y) = (c n x) u (x n y) = x n (c u y) = x n n 1 = x. Corolar 1. c = c,

căci c

n c = 0,

cUc=1 şi

n c= 0, cUc=L

Corolar II. an b = ă U b,

căci ( a n b) n (ă Uh )

(a n b) U (ă U h)

deci

(a n b n ă) U ( a n b n h ) = 0, (a U ă U b) n (b U ă U h) = 1,

a n b= ă U h. Corolar III. aU b = ă n h,

căci (a Ub) n (ă n b)

(a n ă n b) U (b n ă n h ) O, (a U b) U (ă n b) = (a U b Uă) n (a U b U h ) = 1. =

Corolarele I-III sînt 1.39, 1.40, 1.41. 116

Corolar IV. Dacă ac b , atunci bCa, căci din 'aQb a, ded'U�em·ii U b a n b a; acest coroIat este 1.42. =

In acest mod, proprietăţile 1.1-1.42 sînt dovedite in orice algebră booleană. Dar proprietăţile mulţimilor studiate în 'cap. IV cer introducerea de reuIliuni şi inter secţii infinite de elemente ale unei algebre booleene : Ua

<lEM

na j

aEM

algebrele booleene cu reuniuni şi intersecţii infinite sînt numite algebre booleene continue sau complete. Studiul lor, foarte important, cere ca aceste reuniuni şi intersecţii să fie extinse la mulţimi M, deci cere un studiu al alge brei mulţimilor ca atare. De asemenea, produsul carte�ian introdus în cap. II şi IV este 'un produs cartezian de iiml ţimi, nu de elemente ale unei algebre booleene. Este deci necesar să fundăm algebra mulţimilor. D acă cercetăm capitolul II, observil.rn că axiomele gru purilor I-III se; regăsesc in Axiomele algebrelor booleene 1.1 I.2 I.3 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 1I.6 IIL1. 111.2 Proprietăţi ale relaţiilor 2.1 2.2

2.3

2.4

2.11

2.12 2.18

2.19

Totuşi nu putem încă afirma că relaţiile binare for o algeb ră booleană. Intr-adevăr, în toate formulele 2.1-2.28 nu apare ci relaţie de egalitate între relaţii, ci relaţia de echivalenţă ,, (=) ". Această relaţie , , (=) " este refIexivă, simetrică şi tranzitivă. Putem consideta ceea ce se numeşte o "relaţie în extensiune", care este o clasă de relaţii echivalente în raport cu " (=)". Pentru a putea introduce "conjuncţia", "disjuncţia" şi "negaţia" relaţiilor este nevoie să dovedim că aceste l egi de compoziţie sînt compatibile cu " (=)", deci să do vedim condiţia de compatibilitate; Dacă R (=) S, T (=) W, atunci ( R & T) (=) (S & W), ( R V T) (=) (S V W) şi R (=) s.

mează

cn despre proprietăţile IV.i şi IV.2, să observăm că aşa-numitul principiu al contradicţiei e valabil pentru nici o p erec he a, b nu avem aRb şi a R b,

deci

(a R b şi a J( b) sau a S b echivalează cu a S b. Prin c i pi ul lerţiului exclus se enunţă oricare ar fi a şi b avem: a R b sau măcar d f( b, deci (a R b sau măcar a 1fb) şi aS b echivalează CII a S b. Aceste proprietă[i se scrin (R & Jf) (R

V X)

(=) S,

& S (=) S,

deci dau

(R & S

R) V S

(il vE) & S.

Pulem deci afirma cu Rela!iile billar(' rorll/ea�ii o algebri"i boolranii, prnlrll care relaţia de egalitate esLe ,,(=)"

Exercijil. Să se interpreteze toate prop rietăţile '1.1-1.4.2 pentru relaţii. Relaţiile nu constituie însă o algebră bouleană oareo al g e b r ă booleană in care există (X) o lege de eo m pozi l ie : produsul a două relaţ,ii RS;

care, ci �)

'/,al/spUS(! R a fiecărei relaţii.

Tran�pma satisface conditiile:

.....---.

il n S

�

RUS

R, -

R n S, RUS,

iar prodllStll este asociativ:

R(ST) "1'

(RS)T

şi satisface condiţia

ALGEBRA BOOLEANĂ .532

Numim .532 = (O, 1)

Vom defini în 0:) funcţiot

22 x �X

prlll �) funcţiile " U " şi " n" prin 1 nlO UI O Oi O O O 1 O

�I 1

1 1 1

deci x n y = xy U x y= x + y - xy y) relaţia "C" prin O CO,

O C 1,

1ct° Se arată uşor că .532 este o algebră booleană.

Proprietăţile 1.1 , 1-2, 1.3, 1 1 . 1 , 1 1 .2, 11.4, IL5 sînt imediate iar IV. 1, IV,2 decurg din x nx= O

x Ux= 1 119

Proprietăţile 1 1. 3, 11.6, I II.i, 111.2 se verifică uşor. Perechea de elj3mente (O, 1) este perechea de clase de resturi de întregi n modulo 2 * . Inmulţirea lor este dată de xy = x n y iar suma lor de +1° 1

�I �

Exerciţii. Să se verifice că 1. x + y (x n y) u (x n y) = (xUy) n (x u y) 2. xUy = xy + x + y =

3. Să se calculeze în B2 funcţiile: , ) definite Ia pp. 2 5 - 33. T, #, ( . ,

, �

-=i=-

-L,

* Vezi G r. C. M o i s i l, Introducere în algebră. 1. Inele şi ideale. Editura Academiei R.P.R., Bucureşti, 1954. G r. C. Moi s i 1, Teoria algebrică a mecanismelor automate, Editura tehnică, Bucureşti, 1959.

120

VI Reducerea algebrei mulţimilor ,i a algebrei relaţiilor la logi ca predicatelot IMPL I CAT l A, C ONJUNCŢIA, ECH I VALENTA, D I SJUNCTIA ŞI NEGAT I A

D acă ne gîndim la întreg capitolul 1 şi la întreg capi tolul Il, observăm că în ele apar propoziţii de forma x E 0'., x Ry. Să analizăm def iniţia incluziunii mulţimilor dată Ia p. 10: O'.c� înseamnă că oricare ar fi elementul x E element al lui �, deci dacă x E

c(,

el este şi un

atunci x E �.

c(,

Apare construcţia în limba română: dacă. atunci . Vom scrie, p şi q fiind propoziţii, p

�

in loc de : dacă p, atunci q; alte forme verbale au acelaşi înţeles: - din p se deduce q; - p are ca consecinţă pe q; - p este o condiţie suficientă pentru q; - q este o condiţie necesară a lui p. 121

Ultima formulare este echivalentă cu prima, caCI a spune că q este o condiţie necesară, a lui p Înseamnă a spune că nu putem avea pe p fără să-I 'avem pe q, deci că dacă îl avem pe p, trebuie să-I avem şi pe q. Aşadar, definiţia lui o: C 13 este (x E 0:) -? (x E �) .

D acă considerăm două propoziţii de forma x R y şi x S y, propoziţia (x R y) -,» (x S y),

înseamnă:

dacă x R y, atunci x S y, ceea ce este definiţia dată la p. 37 a relaţiei de implicaţie R=9 S a relatiilor. Se�mul ,,-? poartă numele de implicaţie: dacă p şi q�int propoziţii, atunci şi p -? q va fi o propoziţie. Să considerăm proprietatea egalităţii </. = 13 a două mulţimi, dată la p. 10: atunci o: = 13 ;

proprietatea de reflexivitate a incluziunii se poate scrie: dacă o: =�, atunci o: C � şi � C 0:. Aşadar, putem spune că o: =� Înseamnă că pentru orice x: x E 0:, dacă şi numai dac ă x E �

sau x E o: este condiţie necesară şi suficientă ca x E 13· Vom introduce semnul echivalenţei ,,-" a două pro poziţii propoziţia p -q

este transcrierea simbolică a propoziţiilor româneşti : p dacă şi numai dacă q p este condiţia necesară şi suficientă ca q. 122

t Egalitatea '------------

Propoziţia

� a două mulţimi este caracterizată de

r (X-E-CiJ '

�

(x E �).

-- ---- --- - --

" : :---'

(a R y) � (x S y) înseamnă: x R y dacă şi numai dacă x S y; din definiţia echivalenţei relaţiilor dată la p. 38 se vede că această propoziţie traduce simbolic relaţia R (=) S Dar propoziţia r_8 traduce propoziţia în limba română r � 8 şi 8 � r. Dacă avem două propoziţii p şi q, propoziţia p

şi q

se va scrie P & q, semnul ,,&" fiind semnulconjuncţieipropoziţiilor. Decir_8 înseamnă (r � s) & (8 � r). Cu alte cuvinte, propoziţia I

I ( r _ s) _ [(r � 8) & (8 � r)]

e�!&Jntotdea.una adev_�ra�, căci dacă r _ 8, atuncl avem simultan r � 8 şi s � r, deci avem (1' � 8) & (8 � r) şi dacă avem (r � 8) & (8 � r), atunci r _ 8. Să considerăm propoziţia (x E �) & (x E M. Ea ne spune că x este un element comun şi lui � şi lui �, deci că este un element al lui Ot n �, după definiţia de la p. 15. Tot astfel propoziţia (x R y) & (x S y ) spune că x şi y sint şi în relaţia R şi în relaţia S, deci, după definiţia de la p. 37-38,xşiy sînt în relaţia R & S. 123

Să considerăm definiţia dată la p. 11 pentru reuniu nea C(U� a două mulţimi: x EC(U� înseamnă că xaparţine măcar uneia din mulţimile c(, �, deci că x E C( sau măcar x E �. Dacă p, q sînt două propoziţii, atunci vom scrie p V q

in loc de

•

p sau măcar q.

Să observăm că conjuncţia "sau" are în limba română înţelesul exclusiv: "sau p sau q, dar nu şi p şi q"; acesta este înţelesul latinescului aut (de pildă aut imperator, aut nihil), asupra căruia poartă' exerciţiile de la p. 29'In româneşte conjuncţia "veI", care înseamnă "p sau q, dar poate şi p şi q", adică "măcar una din cele două propoziţii p,q", adică "p sau măcar q" se traduce obişnuit cu "sau"; noi vom preciza: "sau măcar". Semnul " V " este semnul disjuncţiei. U,� Vom ,�t�fiI1,i P,:llJlţimea , ....,-, - C( --. . prin �

iar

l��_.=--�) . .

(

(x E �), )

(x R y) V (x S y) defineşte disjuncţia relaţiilor: relaţia R V S de la p. 40. V om observa că propoziţia '", xlt;C( \

este �egaţia propoziţiei x E o: � neg�ţia propoziţiei p �� fi notata"" p, deCI x It; o: se mm SCrIe \'

\ � (!._E:: 0:), __

cee!L_ce--i.n.troduce. complementara (i a unei mulţimi c(, definită la p. 23 x Ea:, dacă şi numai dacă I (x E 0:). Alte semne pentru negaţie:' I p se mai scrie """' p, Np, p, p'. 124

Negalia K a relaţiei R, dată la p.

prin

(xJry)

Î (x R y).

Semnele:

---:> B

39, es te definită

implicat i a ec hi val e n t a, conjuncţia, disj unctia, nega lia

fac ea unei propozilii p să-i corespundă propoziţia Î P t caJ'e este nega�ia ei, �i unei perechi de propoziţii p, q . să-i corespundă propozitiile.

p---:>q

dacli. p, allll1ci q;

p dac.} �i llllmai dacă q;

...... q

p şi q;

P &q p Vq

P sau măcar

Am arătat că:

( x n [3) [(x & (x E [3)]; (x , (x E� U[3) � [(x Ea) n)); L. �x Î (x Ea). E �

E a)

E �)

(6.1 *) (6.2 *) ��6.3 *)

Ellercifii:

Să se transcric definitiile 1.43 , 1.58, 1.76, '1.88, 1.99, 1;107, ' 1.121. Răspuns:

( x E IX -�) .� [(x E IX) & (1 (x E�))]; (x Ea.: (3) B [(x E 0:) V { I (x E (3))]; (x E IX + (3) � {[(x E IX) & ( I (.'l: E (3))) V [{I (x E IX)) & (x E (3)J); (x E IX "+ (3) B {[(x E IX) V ( 1 (x E (3))] & [( Î (x E IX)) V ( x E �m; {x E 1X..l (3) B [( I (x E <X ) ) V (1 (x E (3))1; (x E IX T (3) B [( 1(.'1: E ot)) & ( I (x E �))J; (x E ('X,�. y)) B. {[(x E <X) & (x E�)) V l( Î (x E (3)) & (x E y)]). 125

Exercitii Să se traducă în limba română definiţiile precedente. Răspuns: x E � - (3 : x este �, dar nu este (3; x E � ....... (3: dacă x este �, atunci este şi (3, x nu este � decît dacă este şi �; x E Ol + (3: x este a, dar nu � sau x este (3, dar nu Ol. Aceasta este traducerea latinescului aut: aut � aut (3 înseamnă "sau � sau (3, dar nu şi ce şi 13" adică: "sau �, dar nu 13" sau ,,(3 dar nu Ol"; x E � :;:: (3: mulţimea acelor x care dacă sint � sînt şi (3" iar dacă nu sînt � nu sînt nici (3; x E � ..l �: mulţimea acelor x care dacă sînt Ol, atunci nu sînt (3; x E Ol T (3: nici Ol nici �.

Exemple de răspuns. Să se transcrie pentru relaţii definiţiile date în exerciţiile precedente pentru mulţ.imi. Menţionăm: x(R & S)y

(6.1 * * }

[(x R y)&(x S y)],

x(RVS)y _ [(x R y) V(x S y)],

li y)

[i(x R y)].

} }

(6.2

(6,3

TIPURI DE DEMONSTRATII

Te ore m al. JRaţjoname ntul pr:i n mo_4lJspo nens.) Dacă p p -+q, atunci q.

Căci dacă di n p deducem q, atunci, afirmat, afirm şi pe q.

dată ce ,p este

Te ore m a II. (Raţi onamentul prin adjllncţiune. ) Dacă p q, 126

atunci P & q.

Te o r e m a Il 1. plicaJ!.e. ) Dacă

n:.r.ecer.ea de la. echi:valenţăla_im.:.,

�-

�

atunci p-'> q ŞL

-,>

Te or e m a IV. (Trec_�.r:.e.!!.. de la impl i c aţia reciproc,ă la echivalenţă.) ·Dacă '

p-'> q q -,> p,

atunci p � q. Te ore Dacă

a V. CI2 emonstraţia prin silogis m ipotetic).

p-'> q q

-,>

atunâ Intr· adevăr, dacă din p se deduce q şi din q se dedu atunci din p se deduce r. T e o r e m a VI. (Demonstraţia p rin silogism ipo�e. .. tic cu e.phivalenţă.) ce

- --_._.

7)��ă

---

q, p q �r, 127

atunci P

Intr-adevăr, dacă condiţia necesară şi suficientă a lui peste q şi dacă condiţia necesară şi suficientă a lui q este r, atunci condiţia necesară şi suficientă a lui p este r. E vi dent , teoremele se pot extinde, pentru a căpăta tipurile de raţionament de mai jos: FI � P2,

p n-l B p n PIB p n

Dacă însă avem Pi +--+ Pi+!, dar Pi �Pi+l ' atunci con duzia este o implicaţie. T �_() r e m a VII. (Principiul dilemei.) -"-..--------- .-

Dacă

. .-_.- .

...

p Vq şi dacă p �r, q ---:> r, .atunci

)I'-(i

;r}

y--

-'»c / r.

Căci sînt două cazuri posibile: p şi q ŞI din amîndouă aceste premise deducem pe r. 128

DEMO NST RATII FOL OSIND TEOREME ALE lOGICII PROPOIIT I ILOR

Prop oziţia

p�p

(6.4)

este totdeauna adevărată, cum se înţelege uşor cînd o tra ducem în limba română. dacă p, atunci p,

de pildă : dacă plouă, atunci plouă, sau sub forma dacă Hector ar fi căţel, atunci Hector ar fi căţel. Aşadar,

(6.4 * )

(x E 0:) � (x E 0:),

ceea ce îns_e amnă, în virtutea celor spuse la p. 122, o: C 0:, care este proprietatea 1 .1 de reflexivitate (x R y) � (xR y),

incluziunii ; (6.4 * * )

ceea ce înseamnă, în virtutea celor spuse la p. 122, R

aceasta este proprietatea de reflexivitate a implicaţiei relaţiil or. Propoziţiile (p & q) � (p),

(6.5)

(p & q ) � (q),

(6.6) (6.7)

(p) � (p V q), (q) � (p V q)

(6.8)

sînt totdeauna adeCJărate. 9

- 585

129

într-adevăr, din p & q se deduce şi p şi q ; pe de altă parte, atît din p cît şi din q se deduce că măcar una din două este valabilă. Să luăm ca p, q propoziţiile x E 0:, X E�. Avem propozi ţiile totdeauna adevărate (6.5 *) [(x E 0: ) & ( x E � )] ....,. (x E 0:) ; & (6.6 * ) [(x E cr.) (x E (3)] ....,. (x E (3); (6.7 * ) (x E 0:) ....,. [(x E 0:) V (x E � )] ; (6.8 *) (x E �) ....,. [(x E 0:) V (x E �)]. Putem forma astfel o demonstraţie: (6.1 * ) [x E (o: n � )] � [( x E cr.) & (x E �)]; (6.5 *) [(x E 0:) & (x E �)] -+ (x E IX); [x E (a n �)] ....,. (x E 0:) ,

care ne arată că ILl

o:n �co:

este adevărată şi, analog, alte trei demonstraţii care do vedesc pe 11.2, 11.4, II.5. Să luăm ca p, q propoziţiile x R y, x S y ; obţinem din

(6.4) - (6.7) :

[(x R y) & (x S y)] ....,. (x R y) ; [(x R y) & (x S y )] ....,. (x S y) ;

(x R y) ....,. [(x R y) V (x S Y)]j (x S y) ....,. [(x R y) V (x S y)].

Putem forma astfel o demonstraţie : [x(R & S) y] � [(x R y) & (x S y) ], [(x R y) & (x S y) [-+ (x R y) [x( R & S) y] ....,. (x R y),

(6.5 **) {6.6 ** ) (6.7 * *) (6.8 **) (6.1 * * ) (6.5**)

ceea ce ne dovedeşte pe ILl pentru relaţii (2.3) sub forma (R & S) =) R, analog pentru 11.2, 11.4, 11.5. 130

Propoziţiile

[p & (q V r )] � [ (p & q) V (p & r)], [(p V q) & (p V r)] � [p V (q & r)]

(6.9) (6. 10)

sînt totdeauna adeCJărate.

hitr-adevăr, p & (q V r ) afirmă pe p şi dilema q V r; dacă q, p fiind afirmat avem p & q; dacă r, p fiind afir mat, avem p & r. Deci (p & q) V (p & r ). Dacă avem simultan p V q, P V r, avem patru cazuri, după cum luăm primul sau al doilea caz în fiecare dilemă oc) P şi p, deci p; !, �) P şi r, caz absorbit de p �ecedentul ; y) q şi p, caz absorbit de anteprecedentul; 8) q şi r, deci avem p V (q & r ), deci am justificat (6.9). Fie XEoc, XE� , x Ey propoziţiilep, q, r; (6.9) şi (6. 1O) dau

{(x E oc) & [ (x E �) V (x E y )]} � {[ (x E oc) & ( x E �)] V (6.9 *) [(x E oc) & (x E y)] } i

{(x E a:) V [( x E �) & (x E y)] } � {[(x E a:) V (x E �)]& (6.10 *) [(x E oc) V (x E y)]) .

Am putea forma o demonstraţie: [ x E (a: n (� U y» )] �[(x Ea:) & (xE(� UY))]; [( x Ea:) & (XE(� U y))]�{( x

(6. 1 *)

a:) & [(XE� ) V (X E y)]l; (a)

{[( x E a:) & [(x E � ) V ( x E y)]}�{[(x E a:) & ( x E �)] V (6.9*) [(x E a:) & (x E y )]}; {[(x E a:) & (x E �)] V [ ( x Ea:) & ( x E y) 1 } � {[ x E (b) (oc n �)l V [x E (oc n y)]). {[XE(a:n�) ] V [XE(oc ny)J} � [XE«oc n �) U (ocGlY))] (6. 2 *) [ x E (oc n (� O y))] � [ x E «a: n �) U ('a: n y»], (6.9° ) 131

dacă am şti că (a), (li) sInt întotdeauna adevărate ; în acest caz, am fi dovedit II!.1. Pentru a dovedi pe (a) şi (b) folosim următoarea lemă: Propaziţi ile : (p

�

q) q)

[(r &p ) � (r & q)],

(6.11)

[(p & s) � (q & s)],

(6.12)

(r V q) j

(6.13)

---,> ---,>

( p � q)

---,>

[(r V p)

<-?

---,>

[( p V s) B (q V s)]

<-?

(6.14)

sînt totdeauna adeCJărale.

Intr- adev ăr, dacă p şi q sint echivalente, r & p şi r&q vor fi de asemenea echivalente, deci (6.11). Analog în cele lalte cazuri. Din (6.11) deducem {[x E (� U y)] <-? [(x E �) V (x E y)]} ---,> ({(x E IX) & [x E (�Uy)]} B{(X EIX) &, [(x E �) V (XEy)]}), (6)1 * )

iar cu (6.2 * ) şi (6.11 * ) formăm o demonstratie prin mo dus ponens, care arată că ( a) este întotdeauna adevă rată. Din 6.14 deducem {[(x E IX) & (x E �)] B [x E (IX n �)]} ---,> ({[(x E el) & (x E �)] V [ (x E el) & (x E y))) � {[x E (el n �)] (e ) V [(x E el) & (x E y)] }),

dar cu 6.1 * şi (e) formăm o demon straţie în modus po nens, care dă {[(x E IX) & (x E �)] V [(x E el) & (x E y)]} <-? B {[x E (el n �)] V [ (x E el) & (x E y)]}.

(d)

Din (6.14) deducem

{[ (x E el) & (x E . y)] � [xE (el n y)]} ---,> ( {[ xE (el n � )] V [(xEel) & (xEy)]} <-?{[XE(el n �)]V[x E (el n y)]}), (e) 132

dar 6.1 * şi (e) dă o demonstraţie în modus ponens. deci { lx E ( el n �) ] V [( x E IX) & ( x E 0y)J) � { [x E ( IX n �)] V [x E ( el n y) ]).

(f)

Dar (d), (f), (b) formează o demonstraţie în silogism ipotetic, deci b este totdeauna adevărată. Deci (6.1 * ) , ( a), (6.9 *), (b ) , (6.2 * ) este o demonstra ţie, deci II 1.1 -

[x E ( IX n (� u y )) ] -+ [ x E (( IX n �) U ( IX n y ) )] este adevărată. Ca exerciţiu, lăsăm pe seama cititorului demonstra ţia lui III.2. De asemenea, lăsăm pe seama cititorului -de monstraţia în cazul relaţiilor.

Propoziţiile:

[(p & ( I p ) ) V q] -+ q, p � [p & (qV ( 1 q)))

(6.1 5} (6.1 6)

sînt întotdeauna adeCJărate.

Ipoteza p & (1 p) - vom scrie p & Ip - este În totdeauna falsă, deci (p &Ip )vq este chiar q ;. deci 6.15. Propoziţia q V (1 q) este întotdeauna adevărată, deci p & (q V (1 q)) se reduce la p, deci 6.16. Luînd p, q ca x E el, X E �, avem: {[( x E el) & I (X E el)] V ( x E � ) } � ( x E �) , (6.15 * ) ( x E el ) � {( X E el) & [( x E � ) V 1 ( X E � ) ]) . ((3'.1 6 * ) Şirul [x E ( ( el n �) U �) ) � {[ x E ( el n Ci)) V (X E �) }, (6.2 *) ([x E ( eln Ci )] V ( X E �) } � {[ (X Eel ) & ( X E Ci ) )V ( X E �) } , (a) U( X E el ) & (X ECi)] V (x E �) } � {[( x E el ) & 1 ( x E IX)] (h) V ( x E �) }) *) (6.1 5 �) )} ) X � ( x E � ) E ( m.r, F. �) & 1 x el V t E 133

ar fi o demonstraţie, dacă (a) şi (b) ar fi întotdeauna adevărate. Acest lucru vrem să-I dovedim : ({[x E (oc n Ci)] V {[x E (oc O Ci)] �[(XE oc) & (XE�)]} V (x E �)} � {[(x E oc ) & (x E Ci)] V (x E�)}) ( 6. 1 4* ) 6.1 * şi 6.8 * dau prin modus ponens pe (a), care e deci adevărată : ( (XE - ) � I (x E oc) ] � {[(XE oc) & (x E �)J � [(x E'oc) & I (c) j(XE oc)]}. -+

Prin modus ponens"6.3* şi (c) dau (d) [(x E oc ) & (x E ri)] � [(x E oc) & I (X E oc)). Dar. 6.11 * dă {[(x E oc ) & (x E 0:)] � [(x E- oc ) & I (x E oc)]} � � ({[(x E oc) & (x E a)]V (x E,�)} (-+ � {[ (x E oc) & I (x E 0')]V (x E �)}), ( e)

in timp ce (d) şi (e) cu modus ponens dau (b), deci (b) este dovedită, deci este dovedit c ă [x E (

deci

) u � )]

�

( x E �),

(oc n Ci) u � c �,

deci IV.i. Lăsăm ca exerciţiu dovedirea lui IV.2, precum şi ale proprietăţilor analoge în cazul relaţiilor . . CUAtHORUL UNIVERSAL

Propoziţiile 6.4 * - 6.28* conţin variabila indivi duală x, iar 6.4** - 6.28** conţin variabilele individuale

x, y.

Să plecăm de la definiţia incluziunii claselor oc C �, pe care o enunţăm: oricare ar fi individul X: (x E oc) � : ( x E �),

şi de la definiţia implicaţiei relaţiilor R 9 S, pe care o enunţăm: oricare ar fi indivizii x,y: (x R x) � (x S y). Apare o idee nouă: "oricare ar fi x". Vom scrie

( x) p în loc de oricare ar fi x: p, deci

(� C �) �(x) [(x E � ) � (x E �)], (� �) � (x) [(x E � ) � ( x E �)]. =

în

(x R y )

implicaţia

�

relaţiilor

putem,

( x S y ) să formăm pe (y)[(x R y) � (xS y )]

plecînd

care înseamnă: dat fiind x ,""5ricare ar fi y : (x R y) � (x S y). Aceasta este o proprietate a lui x. " Să luăm un exemplu : Fie relaţiile " C şi " " pen tru mulţimi şi proprietatea lui 0:, pe care o numim P(o:) : (�) [(o: C �) � (o: = � )]. Mulţimea vidă nu are proprietatea P , căci 0 C � şi o =1= � pentru orice � =f= 0, deci nu este adevărat că (0 C �) � (0 = � ) pentru orice �. Mulţimea totală are proprietatea P , căci dacă 1 C � , deoarece oricare ar fi �, � C I, avem I =�, deci �)]. (� ) [ (I C �) � (1 =

Ideea

(x)(y) [ (x R y)

�

(x S y)]

defineşte pe R => S, deci (R 9 S) � (x) ( y) [(x R y ) � (x S y)]. La fel (R (=)

�

(x) (y) [ (x R y) � (x S y)].

(6.1700) (6.1800) 135

Mulţimea totală 1 este definită prm (x) (x E I). o dată aceste definiţii puse, vom face cîteva obser vatii. , Vom defini propoziţiile din teoria mulţimilor astfel 1 . 1 * x E IZ. este o propoziţie din teoria mulţimilor; 1.2 dacă p este o propoziţie din această teorie, I p este de asemenea o propoziţie din această teorie j 1.3 dacă p, q sînt propoziţii din această teorie, p & q, P V q , P � q şi P � q sînt propoziţii din această teorie ; 1.4 dacă p este o propoziţie din această teorie, atunci şi (x)p, (y)p . . . sînt propoziţii din această teorie. Propoziţiile din teoria relaţiilor binare vor fi definite prin 1 .1 * * şi 1 . 2 - 1 .4, unde 1 . 1 * * este 1.1 ** x R y este o propozi ţi G d in teoria reIa ţiilor binare. Evident, putem avea propoziţii din teoria mulţi milor şi a relaţiilor binare; această nouă teorie are pro po z!ţiile definite de 1.1 *, 1.1 **, 1.2 - 1.4. In aceste teorii avem următoarele tipuri noi de de monstraţie. Cităm în primul rînd: Demonstraţia prin generalizare. D acă o proprietate p(x) este adevărată pentru o valoare x nedeterminată a variabilei , atunci este valabilă ( x ) P(x). Vom scrie Pix) (x) Pix)

Exemple. Am dovedit pe 6.4 * ; fac em raţionamentul (x E IX) -+ (x E IX ) (x)[(x E IX) (x E IX) ] -->-

Am dovedit pe 6.5° ; avem (x E a ) [x E (a n �)] (x) {[x E ( IX n �)] (x E.IX )} Analog ( x) {[ x E ( C( n �)] � ( x E �)], (x) {(x E 0:) � [ x E (o: U �)]},

(6.4 * ) (6.20°)

( x) { (x E �)

136

�

[x E (o: U �)]}.

(6. 22°) (6.23°) (6.24°}

Am dovedit pe 6.9* ; facem raţionamentul de m al sus, pentru a obţine (x) {[x E ( oc n(� Uy) ) ] � [X E ( ( ll n� ) U(ll n î') )] } j (6.25°)· (x) {[x E::{ocU(� n y))] � [x E((ocU� ) n (oc u y) ) ] } ; (6.26°) (6.27°) (x) { [ X E ( (lln(X ) U �)] � ( X E �) }; (6.28°» (x) {(x Eoc) � [x E (an ( �U P))J). Afirmaţii ca cele din (6.20°) - (6.28°) le utilizăm în' felul următor Am definit pe oc C � prin 6'. 1 7°. De pildă :

(oc C ll) --- (X)[(X Eoc) � (X Ell)] , (x) [(x

E IX) -+

E IX)] , •

(a) este un caz particular al lui 6.17°, (b) este (6.20°), ( a) ,. (b), (c ) este silogismul i potetic cu echivalenţe, deci (c)·

este totdeauna adevărată. Am dovedit astfel pe 1 . 1 , adică, axioma 1.1 a al gebrelor bo oleene. Tot astfel 6.21°, 6. 22°, 6.23°, 6. 24°, 6.25°, 6. 26°, 6.27°,. 6.28° sînt axiomele 11.1, 11.2, 11.4, 11.5, IIU, III.2,

IV.1, IV.2.

Pentru a dovedi pe 1.2, 1.3, 11. 3 , 11.6 avem nevoie de cîteva teoreme noi.

Propoziţ ia [ ( p � q) & (q este totdeauna aderărată.

---?

r)]

�

(6. 29)\

Aceasta este o altă formă a principiului raţioJ),?men- tului silogistic din p � q şi q � r deducem p ---? r. Luînd convenabil pe p, q, r, avem

{[( X Eoc) � (x E � )] & [(x E � ) � (x Ey)] } ---? [(X E oc) � · (6.29·)� (x E y)]. Prin generalizare

(x)({r(r; Eoc) � (x E �)] & [(X E �).� (X Ey)] } � (6.29°) -;. rr r � (ţ.) � (x E y )l. 131

Notăm cu A(x), . . . ,P ( x ), . .. expresii care conţin variabile ca cele utilizate pînă acum xE 0:, x !i5 0:, I (x E o:), (XE a) � (x E �) , [ ( x E o:) & ( X E � ) ] � (x E y )

şi aşa mai departe. Vom enunţa principiul :

Propoziţia {( x) [P(x)

�

Q(x)]} � {[(x)P(x)]

�

[(x)Q(x)]}

(6.30)

este totdeauna ade"ărată.

I ntr-adevăr, dacă (x)[P(x) � Q(x)] şi (x)P(x), atunci pentru un individ a avem: P(a)

�

Q(a)

P(a),

deci prin modus ponens Q(a),

această concluzie este valabilă p entru orICe a, deci (x)[Q(x)].

şi

Propoziţia { ( x ) [P(x) &Q(x) ]} � {[ (x)P(x) 1 & [( x)Q(x) ]}

(6.31)

este întotdeauna ade"ărată.

Dacă P(x) &Q(x) este valabilă pentru fiecare x, atunci P(x) este valabilă pentru fiecare x, deci (x)P(x) ; de ase menea Q(x) este valabilă pentru fiecare x, deci (x)Q(x), deci {(x)[P(x) & Q(x) ]} � {[ (x)P(x)] & [(x) Q (x)]}. Dar dacă (x) P(x), atunci pentru fiecare x avem P (x); la fel din (x) Q (x) deducem că p entru fiecare x avem Q(x). 138

Deci pentru fiecare x avem P(x) & Q(x) d eci , (x)[P(x & Q (x), deci {[ (x)P( x ) ] & [(x)Q(x)]} � {(x) [P ( x ) & Q (x)]}. Din cele două implicaţii deducem echivalenţa ( 6.31).

Propoziţia { (x)[P(x)

�

Q(x)] }

�

{[ (x)P ( x)]

�

[( x) Q ( x)] }

( 6.32)

este întotdeauna adevărată. Intr-adevăr, dacă pentru orice x , P ( x) � Q(x) şi dacă pentru orice x , P(x), atunci pentru orice x, Q( x) , deci [(x)P(x ;}� [(x)Q(x )J şi analog [ ( x)Q (x)] � [ (x) P(x)], deci

[(x) P(x ) .-- [(x)Q(x)]. Din (6.30) deducem

[[( x ) ( {[ (x E �) � ( X E: � ) ] & [ (X E� ) � (x Ey)] }:�[ (x E �) � (x E 1' ) ]) � [ (x) {[( X E �) � (x E � ) ] & [(x E�) � (x E y)]} (6.30°) � {( x )[(X E O:) � ( x € y)] }], ceea cel împreună cu ( 6.29C) şi modus ponens, dă ( (x) {[(x Eo:) � (x E � ) ] & [ (X E � ) � (x E y) ] } ) .... { ( x)[ (x E o:) --7 (X E y)] )

( a)

Dar (6. 3 1) dă

( (X) {[(X E o:) � ( x E �)] & [ ( X E � ) � (x E y) J}) � ( {(x)[(x E � ) � (x E � ) ] } & {( x)[(x E � )�(x Ey)]}). ( 13.31 °)

Vom stabili o lemă :

Propoziţiile ( p � q) � [( p � r ) � (q --7 r ) ] , ( p � q) � [(s � p) � (s � q ) ]

(6.33) ( 6.34)

sînt întotdeauna adevărate. 1.39

I ntr-adevăr, dacă p echivalează cu q, atunci a spune că r se deduce din p sau că r se dedu ce din q, înseamnă acelaşi lucru ; de asemenea, că din s se deduce p sau că din s se deduce q. Din 6.33 cu 6.31 0 şi (a) deducem prin silogism

( {(x)[ ( X E el) � ( X E �)]} & {(X)[(X E�) � ( X Ey) ] } ) (b ) � {( x )[ (x E O() � (x E y)] ). Să încercăm să demonstrăm tranzitivitatea incluziunii [(O( C �) & ( � C y)] � (el C y) 6.170 dă (O( C �) � {( x)[(x E O() � ( X E � ) ] ) , (� C y) � {( x)[( x E;; �) � (x E y) ] ) .

Vom stabili următoarea lemă

Propo ziţiile [ (p � q) & (s � t )] � ( (p & s ) � (q & t)], [( p � q ) &(s � t )] � [( p V s ) � (q V t )] , [ ( p � q ) &( s � t )] � [( p � s ) � (q � t ) ]

(6.35) (6.36) (6.37)

sînt întotdeauna adepărale. Aceste propoziţii extind pe 6 . 1 1 -6.14 şi 6.33, 6.34 : dacă p � q şi s � t, putem oricînd înlocui pe p cu q şi pe s cu t, atît în p & s cît şi în p V s sau p � s.

Cu principiul adjuncţiunii (c) (d) dau propoziţia tot deauna adevărată ( e)

« (O( C �) � {( X)[( X E o:) <-> (x E�)] } ) & « (� C y) � (e) � {(X)[(X EO() � (X E �)] }). :Din (6.35) deducem

[((a C �) � { (X)[( X E el) � (x C �)] }) & ( ( � C y) � {(x)[(x E �) � ( x E y)] } ) ] � C (o: ([ �) & (� C y)] � [ { (x)[( X C o:) � (x E �)] } & ( f) {( x )[ ( " F (J \ � ' 't E y)l }1). 140

D ar ( f) �j (e) cu modus ponens dau [( oc C �) &( � C y)] � ( { (X)[(X E oc) --') (x E �) ]} & {(x)[( X E �) --') (X E y)] } ) .

(�i

D ar (g) este p � q, iar ( f ) este q � r , în timp c e din 6.33, 6.34 deducem (6.38) (p - q) --') [(q -+ r ) � (p --') r )] , (6.39) (p (-7 q) -+ [ (s --') q) � (s --') p )], deci aplicîn.d de două ori modus p0l!ens, ajungem la p adică '" [loc c � ) & (� C y )] --') {( X )[ ( X E oc) --') ( x C y)]) .

(h)

Cu 6.170 sub forma (x)[ ( x E oc ) --') (x

y) ]

(-7

( oc C y ),

prin silogiemul ipotetic obţinem [l oc C � ) & (� C y)] --') ( oc C y) ,

cal'e este 1 . 2. Să încercăm să dovedim pe 1.3 [ l oc C �) & (� c oc)]

( oc = �) .

Vom utiliza pe (g) de mai sus sub forma : [ loc C (3 ) & ( � C el)]

(-7

( { (X)[( X E oc). --') (x E [3)] }

& {( x)[( X E �) --') ( X E OC ) } ) şi

(i)

,Ie rna :

Propoziţiile [(p --') q) &(q --') p) ] -+ (p (-7 q) , (p � q) --') [(p --') q) & (q --') p ) , (p (-7 q)

(-7

[(p --') q) & (q --') p)

(6.40) (6.41) (6. 42)

sînt întotdeauna adevărate.

I ntr-adevăr, p (-7 q înseamnă că din p deducem pe f şi din q pe p, (p --') q) & (q --') pl . 141

Din ( 6.40) , alegînd convenabil p e p şi q, avem {[(x E oc) � ( x E �) ] & [( x E �) � (x E oc)] } � (6.40 * ) � [ ( x E oc) � ( x E �)].

D educem p e

( {(x)[( x E oc) � (x E �)] } & {( x) [ ( x E � ) -- (x E oc) ] }) {( x )[( x E oc)

�

( x E �)] } .

(j )

D emonstraţia detaliată ca exerciţiu ; cu 6.18° : ( oc

�)

�

{( x )[( x E oc)

�

(x E �)] } ,

avem [(oc C �) & (� C oc) ] -+ (oc

�).

Lăsăm ca exerciţiu demonstrarea lui (oc

�) � [( o: C �) & ( � C oc)].

Să încercăm să dovedim pe II.3 : [(y C oc) &(y C �)] � � [y C (oc n �)] . Avem (y C oc)

�

{( x)[(x E y)

�

(a)

(x E oc)] },

(y C � ) � {(x) [ (x E y) � ( x E � )] } , [y C ( oc n �)] � {(x)[( x E y) � ( x E (oc n �))] ).

(b) ( c)

Trebuie din ( a ) şi (b) să deducem pe (e). D ar 6.1* este [ x E Joc n �)]

�

(d)

[ ( x E oc) & (x E �)],

geci {(x E y)

'42

{( x E y)

�

[ x E (oc n �)] }

[( x E oc) & ( x E �)] }

�

( e)

provine prin modus ponens din ( d) şi {[ x � (oc n � ) ] � [ (x E oc) & (x E � )] } � ( {( x E y) -+ [ x E; (oc n � ) ] } � {(x E y) � [(x E oc) & (x E � )] }) ,

�

( f)

iar ( f) provine din (6.34) . Din ( e) se deduce ( demonstraţia ca exerciţiu ) :

(x ) {(x E y) � [ x E ( oc n � )] }) � ((x) {(x E y) � � [( x E oc) & (x E �)] }) , ( g) deci (c) provine din [y C ( oc n �)] � {( x )[(x E y)

�

[(x

oc) & ( x E �)] }. (h)

Să deducem pe (h) din ( a) şi ( b ). O lemă :

Propoziţiile (6.43) [(p � q) & (p � r ) ] � [p � (q & r )] , r (q p q (6.44) r] r) ] [(p V � � & ) � [( )� sînt întotdeauna adepărate. Intr-adevăr, dacă p � r şi q � r, atunci din p de ducem şi pe q, şi pe r, deci (6.43). Dacă p � r şi q � r, fiecare termen al dilemei p Vq are drept consecinţă pe r, deci 6.44. Din această lemă deducem că

{[(x E y) � (x E oc)] & [( x E y) � (x E � ) ] } --+ � {(x E y) � [ ( x E oc ) &:(x E � ) ] } este întotdeauna adevărată, deci, cu principiul genera lizării, cu 6.30 şi 6.31

( { (x)[(X E y) � (X E oc)] } & { (X )[X E y) � ( x E � )] }) 4 � « (X) { (X E y) � [(X E oc ) & (X E � )] }) . (k) D educerea lui (h) din (k) o lăsăm pe seama cititorului. La fel se deduce că [( oc C y) & (� C y) ] � [( oc U � ) c y].

Vom demonstra propoziţia : dacă

C �, atunci � :J

ii. 143

Această propoziţie se scrie [(x E oc )

�

(x E � )]

�

[(x

E::

� (x E

Dar

fi)].

(a)

(x E �) � (x E a)

(b)

(x � oc)

(c)

se scrIe (x � �)

�

.sau

1 (x E �) � 1 (x E oc) .

(d)

Vom utiliza Ierna : Prop oziţia (6.45 ) ( p � q) � ( l q � I P ) .este întotdeauna ade\Jărată. într-adevăr, dacă din p deducem pe q, dar q nu ·este adevărată, atunci P nu poate fi adevărată, căci dacă .ar fi, q ar fi adevărată, şi q nu este adevărată. Din (6.45 ) deducem : [ (x E a) � (x E �)] [� [ 1 (x E � ) � 1 (x E oc)]. Din

(x E rt)

(i; E �)

H �

(e)

I ( X E oc ) , 1 (x E � )

i ( e) se deduce (oc C�) �

(� C

oc)

,printr-un raţionament pe care-l lăsăm pe seama :rului. Propoziţia 0'. = a

citito

provine din Ierna următoare, care e princip iul dublei negati.i : Propoziţia (6. 46) P +-+ I I P , este întotdeauna ade\Jărată. '1 44

Propoziţia (6. 4 7 )

pV,p este întotdeauna adevărată.

Acesta este celebrul p rincipiu al excluderii terţiului : o propoziţie este adevărată sau măcar negaţia ei este adevărată. Propoziţia p & ,p .

este întotdeauna falsă, ceea ce s e enunţă : propoziţia , (p & , p)

(6.48 )

este întotdeauna adevărată.

Acesta esLe celebrul prinmpm al contradicţiei (mai corect numit în ultima vreme : principiul necontradic ţiei). Propoziţiile [(p � q) & (p � , q)] � ( , p), [(p - q) & ( , p � q)] � q

( 6.49 ) (6.50)

sînt întotdeauna aderărate.

Acestea reprezintă o altă formă a principiului contra dicţiei, respectiv a terţiului exclus ; într-adevăr, ( 6.49) spune că dacă dintr-o ipoteză p deducem o absurditate, şi pe q şi pe , q, atunci p este falsă. Principiul ( 6.50) ne spune că dacă o concluzie q p o ate fi trasă din amîndoi termenii dilemei p, , p, atunci e a este adevărată. Propoziţia (6.47) dă (x)[(x E IX) V (x E «)]

- demonstraţia c a exerciţiu -, deci pe : IXUoc propoziţia ( 6.48) dă

1, iar .,

, [ ( x E IX) & ( x E "OC) ] ,

deci

585

n ii

care este

, [x E (IX n «)]. 145

Propoziţiile (6.49) şi (6.50) dau

{[(x'E oc) � (x E �)] & [ ( x E oc) � (x E (3)] } � [1 (x E IX)] {[( x E oc) � (X E �)] & [ 1 (x E iX) � ( x E �)] } � (x E �), ceea ce d ă [(IX C �) & ( IX C [3)] � ( IX (ii C �)] � (� 1) . '

@) şi [( oc C �) &

CUANTORUL EXISTENŢ I A L

Am introdus ideea de mulţimi disjuncte

oc n � = 0 ŞI mulţimi nedisjuncte

=1= 0 . Aceste idei se deduc din int ers ecţi e şi din ideile A @, [1. =F 0. Propoziţia (j

't"

xE0 este intot de a un a falsă ; propoziţia 1 (x E 0) este întotdeauna adev ăr at ă, deci propoziţia

(x)[ 1 (x E 0)] este adevărată. D acă insă [1. =F 0, propoziţia x E [1.

poate fi adevărată pentru unii x Ceea c e se spune : există un x astfel c a x E [1.. Această propoziţie o vom scrie (EX)(X E [1. ) , 146

Înth'ducînd cuantorul existenţial CE x) . Deci

-, (Ex )(x E0) Propoziţiile

[ -' (x)p] B [(Ex)( i p) ],

(6.52}

[ -' (E x)p] B [ ( x)( -' p )] ,

(6.53}

[(Ex)p ] � [ 1 (x)( -' p )] ,

(6.54}

[ -' (E.x)( -' p )]

(6.55)

[(x)p]

�

sînt totdeauna adevărate Intr-adevăr, cînd neg că p este adevărată pentru orice x , nu fac decît să afirm existenţa unui x care s':H infirme pe p, deci (6.52) ; dacă neg această existenţă a unui x c are să infirme pe p, înseamnă că p nu este in firmată prin nici un contraexemplu, deci că p este ade vărată pentru orice x, deci (6.55). La fel, d acă neg exis tenţa unui x care să confirme pe p, acesta înseamnă că orice x infirmă pe p, deci (6.53) , în timp ce d acă neg că orice x infirmă pe p, înseamnă că există un x c are-l confirmă, deci (6.54). Prop oziţiile

(x)p V (E x) ( -, p),

(6.56)

( x)( -, p )

(6.57)

(Ex)p

sînt totdeauna adevărate ; propoziţiile

(x)p & (Ex)( -' p),

(6.58)

r.E x)p & (x)( I p)

(6.59)

sînt totdeauna false ; propoziţiile I [(x)p & (Ex)( -' p)] ,

(6.60)

i [(Ex)p & (x)( -' p)]

(6 . 61)

sînt totdeauna adevărate. Justificarea este lăsată pe seama cititorului. 141,

VI I Analiza judecăţilor din capi tolele precedente

A L FABETU L UTIL IZAT

In capitolul VI am demonstrat că axiomele algebre lor booleene din capitolul V sînt valabile pentru mulţimi. Această demonstraţie s-a făcut pornind de la definiţiile 6.1 *, 6.2 *, 6.3 *, 6 . 1 7°, 6.18°, 6 . 1 9°, 6.51° cu ajutorul propoziţiilor 6.4 - 6.16, 6.29, 6.35 - 6.50, care sînt întot deauna adevărate. în propoziţiile din capitolul VI intră : O[ ) Literele p , q, r, S, t care sint variabile propoziţio nale, adică semne ce pot fi inlocuite cu propoziţii. Astfel, înlocuind aceste litere cu propoziţii ale teoriei mulţi milor x E O[, X F- O[, . .. , am obţinut propoziţiile intotdeauna adevărate ale teoriei mulţimilor 6.4 * , .. ' Tot aşa; inlo cuindu-Ie cu propoziţiile teoriei relaţiilor binare x R y, .. , am obţinut propoziţiile intotdeauna adevărate ale teo riei relaţiilor binare 6.4 * * , . . . Bineînţeles, propoziţiile 6.4-6. 1 6, . . . sînt intotdeauna adevărate ; ele pot fi În locuite cu orice propoziţie. De pildă, ( 6.5 ) dă (2 < 3) ==> (2 -< 3) ,

dacă propoziţiile p şi q sînt 2 -< 3, 2 =F 3 , iar p & q, care este (2 -< 3) &(2 =F 3) este 2 < 3. Tot (6.5) dă : "dacă fumez şi scriu, atunci fumez". " �) Semnele " 1 " , " -1- " , " � " , " V , ,, &". Aceste semne leagă una sau două propoziţii, formînd o nouă propoziţie : ...., p, p � q , P H q, P V q, P & q. Procedeul se iterează, formînd pe ...., , p, ...." ...., p, ' 1 "'" 1 p, ... , 1 (p � q), ( ...., p) -1- q, P � ( ...., q), ( "( p) � ( ...., q ) , "'" [ ( Ip ) � � q] ş.a.m.d. 148

y) Literele x,y, . . . , care ţin locul indivizilor ; ideea de individ nu este precizată în cap. VI ; ea apare distin gînd indivizii X, . . . de proprietăţile lor P, Q, .. . ; scrierea P (x) , . . . corespunde ideii : individul X are proprietatea P. �) semnele ( x) , (Ex) sînt numite cuantori. D acă p este o propoziţie ( x)p şi (Ex)p sînt de asemenea propo ziţii. " " e: ) Semnele " c " , ,, � " , " e " , " U , " n , ,, - " . " ,, 0 , ,, 1 " care sînt specifice teoriei mulţimilor. î n teo ria mulţimilor, dezvoltată în cap. 1, apar : - indivizi, notaţi a, . . . , x;. . . ; - mulţimi, notate a, �, - printre mulţimi au ap ărut două mulţimi constante o şi 1 ; - relaţii Între indivizi şi mulţimi : a E 0[, b � ()(. ; o aS,tfel de relaţie a fost în acel capitol considerată ca o pro prietate a indivizilor ; �, y e �, ()(. şi � sînt dis - relaţii între mulţimi : el j uncte ; - semne care leagă una sau două mulţimi, formînd o nouă mulţime : ii, ()(. n �, ()(. U �, ()(. - � etc. Le vom numi legi de compoziţie între mulţimi ; - proprietăţi ale relaţiilor între mulţimi : reflexivi� tatea (incluziunii, egalităţii), simetria (egalităţii) ş.a. - proprietăţi ale legilor de compoziţie : comutativi tatea (reuniunii, intersecţiei) , etc. �) I n teoria relaţiilor binare din cap. II apar literele ce ţin locul indivizilor a, . . . X, . . . şi cele ce ţin locul rela ţiil or R, S, T, . . . , şi scrierea X R y. 'YJ) In teoria relaţiilor hnare din cap. II apar pe 'lîngă semnele de la punctul � de mai sus şi relaţii între relaţii ==> , <=> , (6.1 7°°, 6.18°°) ; semne care leagă relaţiile pentru a forma noi relaţii (negaţie), " (produsul ), " .-. " (trans,, & " , " V It, , ,- " pusa) ; proprietăţi ale relaţiilor între relaţii : reflexivÎtat,ea lui ,, � " şi " <=> " , tranzitivitatea lor, etc ; proprie tăţi ale lui , , &" , " V ", ,, � " , . . . =

1-49

In studiul făcut asupra mulţimilor în c ap. 1 au in trat ideile din IX, E , dar, cum s-a văzut în cap. VI, şi jd eile din �, y, �. în cel al relaţiilor binare au intrat ideile din IX , �, 'Y), dar, cum s-a văzut în cap . VI, şi ideile -din � , y, �. Studiul ideilor din IX, �, y, � formează logica pl'edica teZor, disciplină comună teoriei mulţimilor şi teoriei re laţiilor. Dar o p arte din această logică, cea care nu conţine decît ideile din �, dă loc la propoziţiile 6.4 - 6. 1 6, 6.29, 6.35 - 6.50 ; acest capitol este numit logica propozi ţiilor.

Din contra , proprietăţi de tip ul lui 6. 1 70 - 6.30, 6.3 1 6.32, 6.52- 6.57 conţin cuantori ; ele sînt specifice logi cii predicatelor ; propo ziţii ca 6.4 *, 6.5 * - 6.8 * , ... şi toate celelalte notate cu un asterisc, 6.4 * * , 6. 5 * * - 6.8 * * ,. . , şi toate cele notate cu două asteriscuri sînt şi ele proprietăţi ale logicii predicatelor, dar, neavînd cuantori, fac parte din logica .predicatelor cu variabile libere. Să comp arăm j udecăţile din cap. V. în acest capitol ne-am ocupat de o mulţime B în care se dau : - relaţia de egalitate ; - o relaţie binară " C " ; - două legi de compoziţie binare, " n " şi " U " şi, una monară ,,- " ; - tot obiceiul de a face matematică. Deosebirea din cap. 1 şi cap. V este netă : în cap. 1 s-au j ustificat intuitiv anume definiţii şi anume proprie t ăţi ; în cap . V s-au ales anume proprietăţi ca axiome şi din ele s-au demonstrat altele ca teoreme, demonstra ţiile s-au făcut după obic�iul matematicienilor. Despre acest obicei vom vorbi în acest c apitol. 150

DEFINI TIA SEMANTi C Ă A TEZE LOR i N LOGICA P R O P O ZITII LOR

Vom pleca de la definiţia expresiilor pe care () dăm astfel : 7 . 1 . Literele p, q. .. sînt expresii. 7.2. D acă m este o expresie, -, m: este o expresie. 7.3. Dacă m, $8 sînt expresii m --+ $8, m H $8 , m & $8, m V $8 sînt expresii.

Punerea p arantezelor se face după obiceiul matema. ticiMil� In acest capitol nu vom utiliza alte idei, dar pentru a arăta că tratarea riguroasă corespunde unei necesităţi vom da şi exemple explicative. D acă în locul literelor p,q, . . . punem anume propoziţii determinate, adică fără variabile, fie ale teoriei mulţi milor, fie ale teoriei relaţiilor, fie ale limbii obţinute ( acele propoziţii vor fi adevărate sau false) , obţinem o altă propoziţie, (care la rîndul ei va fi adevărată sau falsă). De � xemplu, în expresiile (p & q) V ( -, q), (p V q) & ( , q) să punem 2 < 3, 3 < 1 în loc de p, q ; 2 < 3 este ade vărată, 3 < 1 este falsă ; propo ziţiile obţinute [ ( 2 < 3) & ( 3 < 1)] V ( , (3 < 1 ) ( (2 < 3 ) V (3 < 1 )] & ( -, ( 2 < 3 ) ) sînt : prima adevărată, (căci -, (3 < 1) este adevărată deci "t sau , (3 < 1 ) " este adevărată, oricare ar fi pro poziţia t ; deci în special prima propoziţie este adevărată) , iar (2 < 3) V (3 < 1) este adevărată, c ăci 2 < 3 este adevărată ; -, (2 < 3) este falsă, căci 2 < 3 este adevă rat �, deci conjuncţia [(2 < 3) V (3 < 1)] & (, ( 2 < 3)) uneI propo ziţii adevărate (2 < 3) V (3 < 1) şi a uneia false , (2 < 3) este falsă. 151

Adevărul şi falsul sînt cele două valori logice pe care le poate avea o propo ziţie * . Valoarea logică a propoziţiei I P ESte d ată în funcţie de valoarea logică a lui p prin tabloul P I falsă adevărată

--==]; 1

adevărată

(1 )

falsă

Într-adevăr, negaţia unei propo ziţii adevărate este falsă, cea a unei propo ziţii false este adevărată. Valoarea logică a propoziţiei p & q este d ată. prin tabloul următor, în funcţie de valoarea logică a lui p �i a lui q :

falsă adevărată.

falsă falsă

falsă adevărată

(2)

căci " p ş i q " este falsă, dacă măcar una din propoziţiile q este falsă, şi nu este adevărată decît d acă şi p şi q sînt adevărate. Valoarea logică a propoziţiei p V q este dată prin ta bloul următor, în funcţie de valoarea logică a lui p şi a lui q : p,

{

V falsă adevărată

falsă

adevăra tă

--- --_

falsă adevărată adevărată adevărată

(3)

CăCi "p sau măcar q" nu este falsă d ecît d acă şi p şi q sînt false ; d acă măcar una este adev ărată, " P sau mă car q" este adevărată. Care este valoarea logică a lui p -? q, deci a lui : dacă p at �nci q ? Această expreSIe înseamnă nu p sau măcar q, * Adeseori, valoarea logică "adevăra t" e notată cu ,,1" iar, va Joarea logică "fals" e notată "O". In ALGOL se întrebuinţează no taţia "true" şi "false"

.152

căci dacă p -.>- q, atunci sau p este adevărată şi deci şi q este adevărată sau p nu este adevărată, deci I p este adevărată. Vom admite identitatea lui p -? q ŞI

a lui ( l p ) V q,

deci valoarea logică a lui p -? q este d ată de tabloul ur mător, în funcţie de valorile Jogice ale lui p ŞI q : q

{

fals��ăr·ată falsă adevărată

adevărată adevărată adevărată falsă

(4 )

Cu alte cuvinte,p --+ q eşte falsă, dacă p este adevă rată şi q falsă, şi numai în acest caz. Valoarea logică a lui p .f-+ q este cea a lui (p -? q ) & (q -? p ) , deci este dată, ţinînd seama de tabelele (2) şi (3), prin tabloul q

fal �� ărată

J l

falsă adevărată

adevărată falsă adevărată falsă

Dacă scriem

1 In loc de aderdr în loc de fals

atunci comparînd tablourile de la p . 1 52-1 5 3 cu cele de la p . 1 1 \) tabloul lui I este iden tic cu cel al lui

iar funcţiile

numită :;.

- &

- - -

- V

- - - - -

+-+

sînt cele definit.E'

n - - U .Ia

pp. 27

şi 29. ultima 153

Dacă avem o expresie Q; în care intră diferite literE putea calcula valoarea ei logică pentru va· date lui p, q, . . . .

p,q, . . . vom lori logice

Exemple p falsă

adevărată

falsă

adevărată

i ( p & i p) l

p&j p falsă falsă

p V ip

p --- p

iip

p -iip

adevărată

falsă

adevărată

ad evărată

ad'evăra tă

adevărată

p&q

(p & q) -+ P

p falsă

falsă falsă

adevărată

falsă

adevărată

falsă

adevărată

(p & q) -+ q

p Vq

adevărată

falsă

p -+ (p V q)

adevărată

-+ (p V q )

p --+ (q

adevărată

falsă

adevărată

a devărată

adevărată

adev ărată

adevărată

Se vede că unele expresii, cum sînt : p --+ p , p V ( i P ) , -, ( p & -' P ) , P - i i P , ( p & q) --+ p, ( p & q) --+ q, p --+ --+ (p V q) , q --+ (p V q) sînt întotdeauna adevărate, oricum ar fi propoziţiile cu care înlocuim pe p, q, . . . Vom numi teze ale logicii propoziţiilor expresiile care

sînt întotdeauna adevărate. T e O r e m a . 1 . Expresiile 6.4- 6.16, 6.29, 6.33-6.50 sînt teze ale logicii propoziţiilor. Demonstraţia ca exerciţiu. Să consider.ăm raţionamentele prin modus ponens m m --+ � 5B 154

( 1)

ŞI

(II) Dacă m şi m ---7 m sînt teze, oricare ar fi propoziţiile �e înlocuiesc literele p,q, . . . ce intră în m, m, atît m cît şi m � m sînt adevărate, deci examinînd tabloul (4), în ( 1 ) m va fi adevărată şi examinînd tabloul ( 5), în ( I I ) . m v a fi adevărată, deci )8 v a fi o teză atît in ( I ) cît şi în ( I I ). Să considerăm raţionamentul prin silogism ipotetic : m � �B 5B � Q: ( In) m � Q: şi m� m m � Q: (IV ) m B Q: In mod analog, dacă m � m şi )8 -+ Q: sînt întot deauna adevărate, pentru orice valori logice ale propo ziţiilor ce înlocuiesc pe p, q, . . . putem avea m falsă, m adevărată şi m adevărată ; în acest caz Q: trebuie să fie şi ea adevărată ; deci m -+ Q: este adevărată. D acă m +-+ m şi � �-+ Q: sînt întotdeauna adevărate, putem avea m falsă şi m falsă, deci Q: falsă m adevărată şi m adevărată, deci Q: adevărată ; deci m +-t Q: este intotdeauna adevărată. D eci şirurile de expresii

.s� 1

155

din (1 ) ( I V) se bucură de proprietatea : dacă � 1' , � T sînt teze, adică sînt întotdeauna adevărate, atunci şi � este teză, adică este întotdeauna adevărată. Un şir de expresii � 1 '''' �n � care se bucură d e această proprie tate, va fi numit schemă deducti()ă ()alabilă. Se vede din tabloul (2) că dacă m şi m sînt întotdea una adevărate, atunci şi m & � este întotdeauna ade vărată, deci schema adj uncţiei m m (V) -

• • •

este o schemă valabilă. Am dovedit astfel regula adjunc tiunii. , Să presupunem că avem m � �. Tabloul lui � de la p. 1 53 arată că sau m şi m sînt amîn două adevărate, deci din tabloul lui � , m -7 � şi m -7 m sînt adevărate, sau şi m şi � sînt false, deci m --+ m şi m --+ m sînt adevărate, deci schemele trecerii de la echi valenţă la implicaţie ( VI) (VI I ) sînt valabile. Dacă avem m -7 m ( * ) m � m ( * *) atunci, dacă m e adevărată, atunci m e adevărată din prima schemă şi dacă m e adevărată, atunci şi m e ade vărată. Deci m şi � sînt în acelaşi timp adevărate. Deci m şi m sînt ln acelaşi timp false, ceea ce se arată şi altfel, şi anume : dacă m e falsă m nu poate fi adevărată, din cauza lui ( * * ) [căci dacă m ar fi adevărată, din ( * * ) 15 6

s-ar deduce că şi 2{ ar fi adevărată] , de ?i � e falsă , şi dacă m e falsă, atunci m n u poate fi adevărată din cauza lui (* ) , eăci dacă m ar fi adevărată şi m ar tre bui să fie). Deci m şi � sînt în acelaşi timp false. Deci avem tipul de raţionament m� m m � 91 (VIII) m- m T e o r e m a I I . Sirurile de expresii (1) - ( V III) sînt scheme deducti()e ()al�bile. Exerc iti i

-+ ( q -+ r )] -+ [ (p -+ q) -+ (p -+ r)l; [p -->- (q -+ /')] -)o- [ (p & q) -+ r] ; [(p & q) -+ r] -+ [p -+ ( q ....... r)] ; (p -+ q) ....... [ (p -->- r) -+ (p -+ ( q & r)) ] ;

( p ....... r)

[(q -->- r)

-->-

(( p V q)

r)]

DEF I N I Ţ I A SI NTACT i C Ă A TEZELOR ÎN L O G I CA PRO PO Z I T I I L O R

Vom considera următoarele expresii ce vor fi numite

axiomele logicii propoziţiilor : 7 . 4 p� ( q � p) ; 7.5 (p � (q � r)) � ((p � q) 7.6 (p - q) � (p � q) ; 7 . 7 (p - q) � ( q � p) ; 7.8 (p --? q) � ((q � p) � ( p 7 . 9 (p & q) --? P ;

7.10 (p & q) � q ; 7.11 (p -7 q) � (( p � r) --? (p

�

r)) ;

+--+

q)) ;

�

( q & r ))) ;

7.12 p --? (p V q) ; 7.13 q --? (p V q) j

157 ·

7.14 ( p ---.., r) � ( (q --? r ) --? « p V q) 7. 15. ( p -4 q) -4 ( 1 q � I p ) ; 7. 16. 'l i P +--> p .

-4

r)) ;

Vom numi demonstraţie în logica propoziţiilor -de expresii

şIr

�1 ' · · · ' � n ,

astfel ca fiecare �i să fie de forma : 7.4 - 7.16 ; IX ) una din axiomele �) provine dintr-o expresie precedentă �i prin substi tuţie. Spunem că o expresie Sl' provine din expresia S) prin substituţia expresiilor mI ' . . . , mr în locul literelor P I , · . , p " dacă în S) am inlocuit pretutindeni litera P l prin expresia mI ' . . . , litera PT prin eJ!:presia mT ; numim , Prl mr ; această substituţie p t !mI , y) provine din două expresii precedente �h, @k (h < i, k < i) prin modus ponens, adică �k este expresia �h --?@;i . .

•

Exemp lu de demonstraţie 1 : �1 este expresia p

-4

�

p) ;

este expresia (p -') (q --? r) ) -4 « ( p -4 q) -') (p -') r) ) �3 este expresia (p -4 (q -4 p ) ) -4 « p -4 q) -4 (p -4 p ) ) ; �4 este expresia (p -4 q) -4 ( p -4 p ) ; �6 este expresia (p -4 (q -4 p )) --? (p -') p ) ; �6 este expresia p -4 p . Se vede că �l şi �2 sînt axiomele 7.4, 7.5, �3 pro vine din �2' s ubstituind pe p lui r. �4 provine din �l şi �3 prin modus ponens. �5 provine din �4 substituind lui q pe p -') q. �6 provine din �1 şi �5 prin modus po nens. �2

Exemplu de demonstraţie II :

�l este expresia ( p --? q) --? « p --? �2 este expresia (p & q) -4 p.; �3 este expresia (p & q) -4 q ;

158

--? (p --?

(q & r))) ;

Q;4 este expreSI a [ (p & q) --? q] --? {[(p & q) --? p]

--? [ (p & q) --? (q & p)] ) ; Q;5 este expresia [( p & q) --? p] --? [(p & q) --? (q & p )] ; Q; 6 este expresia (p & q) --? (q &p) ; Q;7 este expresia (q & p ) --? (p & q) ; Q;s este expresia (p --? q) --? ( (q --? p ) -+ ( p - q» ) ; Q;g este expresia [( p & q) -4 (q & p) --? { [( q & p ) -4 --? (p & q) ] -4 [ (p & "C] ) - (q & p ) ] ) ; Q;lO

& q) este ex presia [(q & p ) --? ( p & q)] --? [(p . &

- (q & & q) - (q p). � 1l este expresia (p

p )] ;

Se vede c ă �l' Q;2' Q; 3 sînt axiomele 7 . 1 1 , 7.9, 7.10 ; (;f4 provine din Q;1, substituind lui p pe p & q şi lui r pe p ; Q;s provine din Q;3 şi Q;4 prin modus ponens ; Q;6 " provine din Q;2 şi Q;s prin modus ponens ; Q;7 provine din �6 substituind lui p pe q şi lui q pe p ; Q;s este axioma 7.8 ; Q;g provine din Q;s prin substituirea lui p & q, q & P în locul lui p , q ; Q;l O provine din Q;6 şi Q;g prin modus ponens. �1 1 provine d in Q;7 şi Q;l O prin modus ponens. Vom da următoarea definiţie sintactică a tezelor lo gicii propoziţiilor : O expresie ;t este o teză a logicii propoziţiilor, dacă există o demonstraţie care să o conţină. Exercitii Să se ,demonstreze că

V q) -+ (q V p) , (p V q( +-+ (q V p), (p V ( q V r) ) � ((p V q) V r) , (p

(p & (q & r) )

+-)o

(( p & q) & r)

sînt teze ale logicii propo ziţiilor după definiţia sintactică.

Vom da definiţia demonstraţiei din ip otezele .ţ>l' . . . , .ţ>p în logica p ropoziţiilor : aceasta este un şir de expresii Q;l,·

Q;n, 159

care fiecare �i sau este una din formele ()(, �, y (ce intră în definit.ia demonstratiei de la p. 1 58) san oste una din ipotez�le 5)1'· 5)s . '

în

Exemplu :

5)1 este expresia p, .\12 este expresia p � q, Q;1 este expresia p, Q;2 este expresia p � q, �3 este expresia (p � q) � (p � 1)) , Q;4 este expresia p q, Q;s este expresia q. Q;1 ' (;f2 sînt SJl' 5)2' iar CE3 este axioma 7.6 ; Q';4 provine <lin Q;2 şi Q';3 prm modus ponens ; Q;s provine din Q;l şi Q;4 prin modus ponens. Deci şirul Q;l, Q:2' Q;3' Q:4' &:5 este o demonstraţie din ipotezele 5)1. 5)2 · �

Vom da definiţia sintactică a schemelor deducti()e ,bile în logica p ropoziţiilor : şirul de expresii

�'ala

�l

, 1

·este o schemă deductivă valabilă în logica propoziţiilor, ·dacă există o demonstraţie din ipotezele �1'. � care să conţină pe !r. Schema ( I I ) este valabilă după definiţia sintactică Vom enunţa teorema fundamentală a logicii propoz iţiilor : Definiţia sintactică şi definiţia semantică sînt echi()a lente şi pentru teze şi pentru schemele deducti()e ()alabile.

Pentru demonstrarea acestei teoreme şi pentru în treaga dezvoltare a logicii propoziţiilor trimitem la un tratat special. Acolo cititorul va putea găsi demonstra ţiile sintactice ale tezelor 6.4 - 6.16, 6.29, 6.33 -6.50 şi .ale schemelor deductive II I-V de mai sus, ca şi alte teze ale logicii propoziţiilor pe care le vom întrebuinţa în paragraful următor. 160

D E F I N I T I A S I NTAC T i C Ă A TEZE L O R i N L OG ICA PREDI CATEL O R

Vom defini expresiile în logica predicatelor prin 7.17 A (x), . . . , B( x,y), . . . C( x,y,z), . . " sînt expresii în logica predicatel or, A,. . fiind predicate, x,. . . variabil e individuale. 7 . 18 Dacă m este o expresie in logica predicatelor, (x) m şi (Ex) m sînt expresii în logica predicatelor. 7.19. Dacă m este o expresie în logica predicatelor, J A este de asemenea o expresie în logica predicatelor. 7.20. D acă m, Q3 sînt expresii în logica predicatelor, m � m , m � , � , m & m , m V 5B sînt expresii în logica pre dicatelor. Vom considera următoarele axiome specifice logicii predi'catelor : 7.21 [( x )P(x)] � P(y) ; 7. 22 {(x)[21 � P( x) ] } � {IU � [ ( x)P(x) ] } ; 7.23 P(x ) � [(Ey) P(y) ] ; 7.2 4 {(x)[P( x) � 2!J } � {[ (Ex) P(x) ] � m } . în 7.22 si ' în 7.24 9,( nu trebuie să contină variabila x. Vom numi demons traţie în logica p�edicatelor un şir de expresii în logica predicate lor. Q':1 , . Q': n , astfel ca Q':i să satisfacă una din condiţiile următoare � ) Q;i provine dintr-o teză a logicii propoziţiilor substituind literelor p,. expresii 9L , din logica predicatelor. �) @:. este una din axiomele 7.21 - 7.24. ,) Există un j < i, astfel încît Q;i :-ă fie de forma ( b) Q;j, b fjind o variabilă individuală. o) Există un h < i şi un k < i, astfel ca Q;k s?i fie

Q; h � Q;i.

O teză a logicii predicatelor este o expresie a lo gicii predicatelor, pentru care există o demonstraţie a logicii pl edicatelor care să o conţină. Exemple de demonstraţie în logica predicatelor . sînt deducerile lui 6.4 *, 6. 4 * * " . . din 6.4, . . . Aceste dedu ceri se fac în baza condiţiei IX . De asemenea, deducerile 11

- 585

161

lui 6.20° 6.24° de la p. 136 s-au făcut graţie lui principiul demonstraţiei prin generalizare. -

numit

Exemplu de demonstraţie în logica predicatelor. Şirul

de expresii

[(x)P(x)] -? P (y), ([(x) P( x) ] -? P(y) } -7 { I P(y) -7 [ I (x) P(x)] ) , [ 1 P ( y)] -? { 1 [ (x)P(x)] } (y) {[ I P(y)] -? [ 1 (x) P (x)] }, « y) ([ I P (y )] -7 [ 1 (x) P( x)] }) -? -? ([(Ex) I P ( x)] -7 [ I (x) P(x)J ), [(Ex) I P(x)] -? [ 1 (x)P(x)], [ I I (x) P(x)] -7 [ 1 ( Ex) I P(x)], [(x) P ( x) ] -+ [I I (x) P( x)], (x) P( x ) -+ [1 (Ex) I P(x)], [1 P(x) -7 [(Ey) I P(y)], {J P(x) -+ [(Ey) J P(y)] } -+ -+ ( [ I (Ey) J P(y)] -+ [ I I P(y ) ] } , [ 1 (Ey) I P(y)] -+ [ I I P( x)], [ I I P( x )] -+ P( x) , [1 (Ey) J P(y) ] -+ P(x) , [ 1 (Ey) J P(x)] -+ [(x) P(x) ]

(a) (b) (c ) (d) (e) (f ) (g) (h) ( i) (j )

(k) (1) ( m) (n) (p)

este o demonstraţie. Intr-adevăr, (a) este 7.21, (b) provine din teza de logica propoziţiilor : (p -+ q) -+ ( I q -+ Ip) (*) prin substituţie ; ( c) provine din ( a), (b) prin modus po nens, (d ) provine prin generalizare din (c) ; (e) este 7,24 ; (f) prov ine din ( d ) şi (e) prin mod us ponens ; (g) provine din ( *) prin substituţie ; (h) provine din 7.16 ; (i) provine din (h) , (g) prin silogism ; (j ) este 7.23 ; (k ) provine din ( * ) prin substituţie ; (1) provine din (k) şi (j) prin modus ponens ; (m) provine din 7.6 şi 7.16 ; (n) provine din (1) 162

şi (ru) prin silogism ; (p) din (n) prin generalizare şi 7.24 i (p ) este rezultatul căutat

[(x) P( x)] +--+ [ , (Ex) , P(x)] , [(Ex) P(x)] +--+ [(x) J P(x)].

(7.25) (7.26)

Să dovedim pe 6.32. Să considerăm şirul de expresii :

{ (x) [ P(x) � Q (x) ] } � [ P( y ) � Q(y)] , [(x) P(x)] � .P(y) , ([(x) P(x)] � P(y) } � « {( x) [P(x) � Q ( x)] } � � [ P(y) � Q(y))] � ( { ( x ) P(x)] � P(y)] } &( {(x) [ P(x) � Q( x)] � [P( y)"� Q(y)] ) ) ) ,

(a) ( b)

& (c)

( [( x ) P(x)] � P ( y) & [ { (x) [ P(x) � Q(x)] } � [ P(y) � (d) � Q(y)], {[ [ (x) P( x) ] � P(y) ] & ( [(x) ( P(x) � Q(x) ]] � [ P(y) � � Q(y)] } � ( ([ (x) P(x)] & [(x) [P(x) � (e) -+ Q(x)] -+ (P(y) & [P(y) -+ Q(y)] }), ([(x) P(x)] & [(x) [P(x) -+ Q(x)]] } -+ { P(y ) & [ P(y) -+ -+ Q(y)] } , { P(y ) & [P (y) -+ Q(y )] }) -+ Q(y), ([(X) P(x)] & {(x) P(x) -+ Q(x) ] } ) -+ Q(y) , ([(x) P(x)] & {(x) [P(x) -+ Q(x)] }) -+ [(x) Q(x)]), « [(x) P(x)] & {(x) [ P(x) -+ Q (x)] } ) --* [(x) Q(x)]) "7 -+ ( { (x) [P(x) -+ Q(x) ] -+ -+ ( { [ (x) P(x)] -+ [(x) Q(x) ] }), { (x) [ P (x) -+ Q(x) ] } -+ { [(x) P(x)] --* [(x) Q(x)]} .

( f) (g) (h)

(i)

(j ) (k)

în aces t şir (a) şi (b) sînt 7.21 ; (c) provine din teza de logica propoziţiilor : p

-+ (q -+ (p & q)), 163

prin substituţie ; (d) provine aplicînd lui (c) modus po nens întîi cu (b) apoi cu (a) ; (e) provine din teza de logica propoziţiilor

[(p -+ q) & (r -+ s)]

[(p & r)

(q & s)]

prin sub,stituţie ; (f) provine din (e) şi (d) prin modus ponens ; (g) provine din teza de logica propoziţiilor

{p & (p

q) ) -+ q

prin substituţie ; (h) provine din (f) şi (g) prin silogismul ipotetic ; (i) provine din (h) prin regula 7 .22 şi modus ponens ; (j ) provine din teza de logică clasică

( (p & q)

-+ r

)

( q -+ (p -+ r»

prin substituţie ; (k) provine din (j ) şi (i) prin modus ponens. Pentru dezvoltarea logicii predicatelor trimitem la tratate speciale ; acolo se va găsi şi înţelesul unei defi niţii semantice a tezelor logicii predicatelor. I DENTITATEA

Relatia de identitate " = " se bucură de următoarele propriet ăţi esenţiale :

7.25

7.26

( a = b) -+ [P( a) -+ P (b)].

În logica predicatelor şi a identităţii vom defini expre siile prin 7.17- 7.20 şi prin : " b" este o expresie, dacă b', b" sînt varia 7.27 b' bile individuale ;. vom defini demonstraţiile ca în para graful precedent, dar la punctul � al definiţiei vom adăuga axiomele 7.25, 7.26, iar la punctul oc vom înlocui cuvintele "expresii 'll , . . . , din logica predicatelor", cu cuvintele "expresii m, . . . , din logica predicatelor şi a identităţii". =

164

Exemplu de demonstraţie :

Să considerăm şirul de expresii :

(a {( a

b) � [ ( a c) � (b c )] , b) � [( a = c) � (b �)] } � {( a a � [( b) � (b c)] }, c)], -+ b a b) [ c) � ( ( a) � [(a = b) � (b - a)], a), b) � (b a) -+ [ ( a b) � (b c)], c) , a ) & (a b)] � ( b b), b)] � (c a) & (a b) � (c a) -+ [(a b)].

(c [( c [(c (c

(a)

(b) (c) (d) (e)

(f ) (g)

, ( h)

(i)

c) �

Acest şir este o demonstraţie, căci (a) este 7.26, luînd ca P ( x) predicatul x c ; (b) provine prin substituţia din teza de logica propoziţiilor =

[p � (q � r)] � [q � (p � r)] ; (c) provine din (b) şi (a) prin modus ponens ; (d) provine din (c) prin substituţie ; (e) provine din (d) şi 7 .25 prin modus ponens, (I) provine din ( c c) - care a) � (a provine din (e) prin substituţia lui a cu c şi a lui b cu a şi (c) prin silogism ipotetic ; (g) provine din (f) prin modus ponens cu o teză ce provine prin substituţie din teza de logica propoziţiilor =

(p � (q � r ) ) � ( p & q) � r) ; ( h) provine din (g) şi (e) ; (i) provine din ( h) prin modus

ponens cu o teză ce provine prin substituţie din teza de logica propoziţiilor

( p & q) � r) � (p � (q � r) ) . Tezele (e) şi (i) sînt legile de simetrie şi tranzitivita l e ale egalităţii (a b) � (b a), 7.27 7.28 (a b) -+ ( b = c) � ( a c) ) . =

165

Totuşi, o proprietate importantă a identităţii : dacă x are toate proprietăţile lui y, atunci x y nu poate fi formu]at.ă decît sub următoarele forme : =

7.29 7.30

(IX) [(X E IX) --+ (y E IZ)) --+ ( x y), ( P) [P(x) --+ P(y)] --+ ( x = y) , =

adică utilizînd cuantificatorul (IX) : pentru orice mulţime, sau cuantificatorul ( P) : pentru orice proprietate, care ne fac să ieşim din cadrele acestui volum. Axiomele 7.4-7.16, 7.21- 7.26, modus ponens şi principiul generali zării sînt suficiente nu numai pentru a justifica proprietăţile din cap. 1, ci şi cele din cap. II, precum şi definiţia relaţiilor funcţionale, deci propriet.ă f(x) este o relaţie ţile din cap. III. într-adevăr, y F( x,y) care satisface condiţiile =

( x) (Ey) F(x, y),

( x ) ( y ) (z) {[F(x, y) & F(x, z)]

--+

z) }.

Produsul a două relaţii este şi el definit prin [x(RS ) y] � ( Et ) [(x R t) & (t S y)] . Mai mult decît atît, 7.17 permite studiul relaţiilor ternare, quaternare, etc. Faptul că există cel mult un individ cu proprietatea P se scrie : ( x ) (y) {[P(x) & P (y)]

--+

( x = y) } ;

faptul că există cel mult doi se scrie : ( x) (y) (z) { [ P(x) & P(y) & P ( z )] �

[( x

y) V ( y = z) V (x

�

z)] ) ;

iar faptul că există cel puţin doi se scrie : (Ex) (Ey) [P(x) & P(y) & ( x =1= y)]

şi aşa mai departe. Aceasta este logica predicatelor de ordinul I. 166

Studiul proprietăţilor din cap. IV privind muiţimil�i' de mulţimi ca şi cel al predicatelor de relaţii (de pHcl�{ t ranzitivitatea unei relaţii) Iese din cadrele logicii predif catelor de ordinul 1 . MULŢI M EA EL EMENT E L O R C E AU O P ROPRIETATE DATÂ

Fie P o proprietate. Numim Cj(xI P(x�

multimea tuturor indivizilor x care au proprietatea R, deci' {a E Cj(xI P(x) } -<-+ P( a ) .

uşor de văzut că

Cj ( xI A ( x» n Cj( xIB ( x) ) , Cj ( xIA ( x) & B ( x) ) Cj( xIA ( x) V B ( x) = Cj( x IA (x) U Cj (x lB( x) ) , Cj(xl i A ( x)) = Cj(x I A(x) =

ŞI că (x) [ A ( x) ( x) [ A ( x)

� �

B (x)] echivalează cu Cj(xIA ( x) C Cj(xIB (x)), B (x)] echivalează cu Cj ( x[A (x)) Cj( xI B (x)), =

0, ( X) [ i A ( x)] echivalează cu Cj (x)A (x)) (Ex) A ( x) echivalează cu Cj( x IA (x) =1= O. =

REL ATI I BINARE ÎNTR-O M U L T I M E FINIT Ă

. Fie M o multime cu n elemente ce vor fi numite el' . . . , eno O rela ţie R Între elementele lui M e deter minată de cele n 2 propoziţii. Pi j : elementul ei este în relaţie R cu elementul ej ' Vom numi : adepăr dacă elementul ei este în relaţie R cu l ej , rij . ;l ementu l als , d acă elementul ei nu este în re1 aţIa R cu el ementul e j ' =

167

Cele n2 elemente fi j formează o matnce p= {l'i j } ; P v a fi matricea asociată relaţiei R ; vom SCrIe p = g)'[ (R) . Exercitii 1.

§lt ( R V S)

mt.( R)

U .llIt (S)

{rij} U { Sij } 2 . m(R cu

f r'ij } n { Sij } 3 . 8l1L ((R)

bj US ij }.

§lL (R) n .l)ll(S)

{ r:j n Sij }.

â'R.(R)

{ rij }

{ fij }

4. ff<.(R

{rij } { sij } unde ri j

U Si j , I'ii n S i i ,

unde .

{ U (rit n Stj) }, t

i'ij sînt daie de tabelele de la pp. 119, 152.

5. §]L ( = )

.l)lt(R) .mr. (S)

e.! -

{ ei j } ,

{adeVăr, fals,

6. §Jt (l) 7. 8'1t (0)

dacă i = j, dacă i 4::. j,

{ adevăr } , { fals } ,

unde { adevăr} , { fals } , sînt matricele ale. căror elemente sînt toate "adevăr", respectiv toate "fals". 8. unde

8JR

(ii )

..--.

{rii} 9. R 168

� =

8l1L(R) , .

� S

{rii} . echivalează cu rij C Si j .

10. Reflexivitatea relaţiei R echivalează cu ri;

ade văr.

1 L Simetria relaţiei R echivalează cu

ri j

'j;.

12. T ranzitivitatea relaţiei r;/t

n ril j C

rij

R echivalează cu •

1 3 . Antisimetria relaţiei R echivalează cu 'ij

n 'ji

fals p entru i

* j.

1 4 . Antisimetria strictă a relaţifi R echivalează cu

rij n I'ji

fals.

Matricele cu elementele O ( fals) şi 1 ( adevăr), sînt un caz particular al matricelor cu elementele Într-o algebră booleană. Definiţiile date mai sus pentru {rij} U {Sij}, {rii } n {Sij}, =,

{r;j, {;;;} , {rij} C {sd se extind acestui c az. Matricele cu n linii şi coloane, cu elementele într-o algebră booleană formează o algebră booleană ; demonstraţiile ca exerciţii.

î n afară de produsul definit Ia 4, putem introduce produsul dual {rId * {sid = { n (ritUSti) }. t

Teoria se poate extinde cazului infinit. TEO RIA

GRAFURI LOR

Noţiunea de relaţie, mai ales în cazul relaţiilor .al că ror domenii şi codomenii sînt finite, se studiază azi sUD o formă geometrică în aşa numita teorie a grafurilor. Un graf este o relaţie al cărei domeniu şi codomeniu coin cid ; aceasta nu este de altfel o restricţie, deoarece dacă X este domeniul şi Y codomeniul relaţiei R, relaţia poate fi extinsă la relaţia R *, al cărui domeniu şi codomeniu sînt identice cu X U Y, iar x R* y est� 'falsă dacă x � X sau dacă y � Y şi este în acelaşi timp cu x R y adevărată sau falsă dacă x E X şi Y E Y. 1 69

Unui graf finit i se asociază o matrice cu elementele 1 'ca mai sus şi un desen format dintr-un sistem de .săgeţi, săgeata ab figurînd în desen dacă propoziţia a R b -este adevărată ; aceste săgeţi se numesc arcele grafului ; a şi b sînt extremităţile, vîrfurile sau nodurile arcului ab, .a este nodul iniţial, b nodul final. în desen ele sînt notate prin p un cte . Un graf finit este un. complex 1-din'Wnsional orientat, adică un sistem format din : oc) simplexele O-dimensionale, care sînt nodurile ,xij. . ,x�o ale grafului ; �) simplexele 1-dimensionale, care sînt arcele xL . . . , X�l -ale grafului ; y) matricea de incidentă (orientată), care este matri 'cea {Eij } , 1 -< i -< oco, 1 '< J -< oc1 cu Eij - 1 dacă ev� este nodul iniţial ,al lui ev{, �ij ,+ 1 dacă ev� este nodul fi nal al lui evi Eij O dacă evo nu este niciuna din extre ,mităţile lui 0V{. Matricea de incidenţă (neorientată) este matricea {'Y)i j } ,cu elementele 'Y1" '"I = l E'"I I . Un lanţ n-dimensional al complexului ( n 0, 1 ) este :un element al lui A cxH ; îl vom scrie : O,

0,1 ) formează două Lanturile n-dimensionale (n 'grupuri ' Co, C l ' Frontiera lantului O-dimensional Xo este elementul ' o( xo) 2: Aj. =

Frontiera lanţului 1-dimensional Xl este lanţul O-di 'mensional

O(x1)

i ,i

Aj Ei; x�.

Un lant cu frontiera nulă e numit un ciclu, Ciclurile n-dimensio � ale formează două grupuri Zo, ZI' Un lanţ O-dimensional xo e numit ciclu frontieră al lanţului 1-di mensional Xi dacă ']70

Se demonstrează că orice frontieră e un ciclu. Ciclu rile frontieră F n formează un subgrup al lui Z I/" Grupul factor Zn jF n este numit grupul de omologie. Cofrontiera lanţului zero-dimensional Xo este lanţul unidimensional a ( xo) = 2: Aj Eji x� . i,i

Cofrontiera lanţului 1-dimensional mentul a (Xl) = �.\

xl ( n =

1) este ele

Lanturile cu cofrontieră nulă vor fi numite cocicluri. Ele forritează un grup Z n. Lanturile care sînt cofrontiera unui lant vor fi numit-e cociclur'i cofrontieră. Ele formează un sub'grup al prece dentului Fn. Grupul factor Z"jFn este numit grupul de coomologie. O noţiune geometrică importantă legată de cele de mai sus este aceea de drum. Un şir de noduri (*) formează un drum deschis care merge din a în b dacă = a, an = b şi aiai+1 este un simplex (orientat) al com plexului. Nodurile al ' an sînt cele două extremităţi ale drumului deschis (nodul iniţial şi nodul final). Şirul de noduri ( * ) este un drum închis dacă al an şi a i ai +1 (inclusiv anal ) este un simplex orientat al complexului. Ciclurile unidimensionale sînt sume de drumuri în chise, fiecare cu multiplicitatea lui. Două noduri sînt conexe dacă ele sînt extremităţile unui drum. Un ciclu zero-dimensional e format din perechile de extremităţi ale unor drumuri, fiecare luat cu multiplici tatea lui. Un graf se spune că e tare conex dacă două noduri oarecare ale lui sînt conexe. Un graf este conex dacă date fiind două noduri ale lui a şi b există un şir de noduri ale lui : CI = a,. . , Cr = b astfel ca Ci Cj să fie conexe.

171

Pentru a înţelege importanţa practică a teoriei gra...: furilor să ne gîndim că o pereche (a,b) de puncte din p lan sau din spaţiu apare în cazuri ca următoarele : 1. a, b sînt nodurile unei reţele electrice iar arcul! .ab este o porţiune de conductor electric prin care trece' sau .nu curentul. Reţeaua poate fi o reţea cu rezistenţe ohmice , capaci tăti sau o retea cu contacte. ' 2. a, b sî�t două localităţi într-o reţea de transport. (de pildă de cale ferată sau de şosele), iar arcul ab este elementul de şosea dintre ele.

TEORIA T I P U R I L O R

Teoria abstractă a mulţimilor poate fi dezvoltată por nind de la exemplul teoriei mulţimilor de puncte diIl! plan, aşa cum am făcut-o pînă acum. în aces t exemplu avem de-a face de la început cu : - indivizi, care sînt în acest caz particular puncte din plan ; fie Il totalitatea lor ; - mulţimi de indivizi, care sînt submulţimi ale lui.; Il, fie 12 totalitatea lor ; - mulţimi de mulţimi de indivizi, care sînt submul ţi mi ale lui 12 ; fie Ia totalitatea lor ; - mulţimi de mulţimi de mul ţimi de indivizi ; care sînt submulţimi ale lui 13 ; fie 14 totalitatea lor" s., a.m.d. Dacă a este un individ, iar IX1 o mulţime de indivizi� expresiile a E IX1 şi a li!O 0:1 au un sens : un individ apar ţine sau nu aparţine unei mulţimi de indivizi. Dacă însă IX2 este o mulţime de mulţimi de indivizi T în timp ce IX1 E IX2 IX1 � IX2 au înţeles, una din aceste propoziţii fiind adevărată, ex presiile 1 72

au inţeles, deo arece IX2 nefiind o mulţime de indivizi, are sens să ne întrebăm dacă un individ îi aparţ,ine sau nu. Propoziţiile {a } E IX2, respectiv {a } � (X2 au însă înţeles. î n schimb, propoziţiile {a } E IXl, {a } � IXl nu au înţeles, deoarece şi {a } şi (Xl sînt mulţimi de indivizi. Propoziţia. { a } C IXl are însă înţeles şi ea echivalează cu a E IXl. Dacă IXl e o mulţime de indivizi IXl C I I , nu

Iar dacă IX2 e o mulţime de mulţimi de indivizi IX2 C 1 2 ş.a.m.d. Aşadar, mulţimile sint de diferite tipuri : tipul 1 al mulţimilor de indivizi ; tipul 2 al mulţimilor de mulţimi de indivizi ; tipul 3 al mulţimilor de mulţimi de mulţimii de indivizi� tipul n + 1 al mulţimilor de mulţimi de tipul n. Am numit Il totalitatea indivizilor, 12 totalit atea mulţimilor de indivizi, In totalitatea mulţimilor de tipul n-1. Cele spuse mai sus înseamnă că : a E IXI are înţeles, dacă a E l I ' IX1 E 12, IXl E IX2 are înţeles, dacă IXl � 12, 0'.2 E 13 , IX2 E O'.3 are înţeles, dacă IX2 E 13, 0'.3 E 14 , şi, în genere O'. E � are înţeles dacă tipul lui � este mai mare cu o unitate decît tipul lui 0'., şi numai în acest caz. Să considerăm formula (3) de Ia p. 107. Pentru a o stabili, am considerat un individ oarecare x, deci x E l I şi mulţimi IX1 de indivizi IXl E 12 ; expresia : "există un IX ast fel ca . " se traduce prin (EIX) [(IX E 12) & ( x E IX) ] ; dar {x } E I2 şi X E {x }, deci teorema (3) trebuie scrisă :

U IXl

"'I E I 2

1 1' 173

Mai general

U 01." = I n .

o:nEIu+l

Să considerăm mulţimea vidă din formula (1 ) p. 1 06. I n reuniunea U OI. semnul ° 'inseamnă : mulţimea de mulţimi '''' E 0

care n u are nici u n element, deci mulţimea d e mulţimi - o vom numi 02 - , astfel ca pentru orice mulţime 01.1 să avem 01.1 � 02. în schimb, în membrul al doilea sem nul {!) înseamnă "mulţimea pentru care nici un individ nu-i este element " , căci x E U 01.1 Înseamnă (E0I.1 )[0I.1 E (2)

&(x E 0I.1 )], deci

"'lE 0 2

U 01.1 = 01.Deci

"'lE 0 2

formula ( 1 ) ar trebui scrisă

c u două multimi vide : mulţimea 01 care nu are nici un element, dar care este o mulţime de tip 1 , deci 01 E 12 ; mulţimea 02 care nu are nici un element, dar care este o mulţime de tip 2 ; şi , mai general '

"'nE 0 "

OI.n = 0n

ş.a.m.d. Analog, formulele (2) ŞI (4) ar trebui s ă fie scrise :

n 01.1 = 1 1

�E 0 2

sau mal general

n 01. 1 = {!) 1 ·

�E�

Teoria tipurilor a fost introdusă pentru a evita cele brele paradoxuri ale teoriei mulţimilor. Iată, ca exemplu,

paradoxul mulţimii tuturor mulţimilor ce nu element.

conţin ca

Pentru o mulţime OI. în genere - indiferent că este c mulţime de indivizi, de mulţimi etc.-putem presupune că propo ziţia OI. E OI. este adevărată, adică mulţimea OI. S E conţine ca element ; 174

propoziţia ot E ot este falsă, adică mulţimea ot nu se conţine ca element. D acă acceptăm desp ărţirea în tipuri, propoziţiile ot E oc şi ot � ot n u a u niciodată sens, deci dilema d e mai sus nu are sens si nu are sens să considerăm multimea M a tu turor mtilţimilor ce nu se conţin ca elem'ent. Definiţia mulţimii M ( ot E M)

+-+

(ex � rx)

nu are sens. D acă însă nu acceptăm teoria tipurilor, această defi niţie are sens. E a însă conduce la un p aradox, căci _

(M E M) � (M � M), adică propoziţia M E M echivalează cu

M � M. Acesta . este celebrul paradox al mulţimii tuturor mulţimilor ce nu se conţin pe ele însele. Dificultăţi de acest tip ne arată că teoria naivă a mulţimilor trebuie depăşită. Acest lucru se face prin teoria axiomatică a mulţimilor, pe care însă nu o vom studia aici. împărţirea mulţimilor în tipuri corespunde unei îm părţiri în tipuri a predicatelor şi relaţiilor. Propoziţiile din c ap. 1 sînt propoziţii care afirmă proprietăţi ale mul ţimilor, deci ale predicatelor de o variabilă. Să considerăm ca proprietăţi următoarele : - predicatul A (x) este s atisfăcut de un individ, dar numai de unul, ceea ce se scrie [ (Ex) A (x) ] & {(x)( y)( [A ( x ) & &A ( y )] � (x = y ) ) } ; - predicatul B (x) este satisfăcut de doi indivizi dife riţi, dar nu există trei indivizi diferiţi care să-I satisfacă, ceea ce se scrie (Ex) (Ey) { (x =1=- y ) &B(x) &B ( y) } & & (x)( y )(z) { [B (x) &B(y ) &B (z)] � [ (x = y ) U ( y = z) U (z = x)] }. Astfel avem proprietăţi ale predicatelor A ( x ) , B (x) . Tot astfel : reflexivitatea, simetria, antisimetria, tran zitivitate a sînt proprietăţi ale relaţiilor binare. Avem o altă ierarhie : ierarhia tipurilor de predicate. Se pune intrebarea : este teoria tipurilor necesară pentru dezvoltarea teoriei mulţimilor ? Inţelegerea corectă =

175

întrebării şi a răspunsurilor ce i se pot da va fi găsită de cititor în alte tratate în care se studiază o teorie m ai puţin naivă a mulţimilor. Totuşi trebuie să observăm că dacă nu putem con sidera că multime a tuturor multimilor e o multime si deci nu putem face asupra ei consideraţiile ce se f�c de' obicei asupra mulţimilor, ar fi exagerat să spunem că nu pu tem nicicum vorbi despre totalitatea mulţimilor. Pentru această totalitate, pe care o numim clasa mul ţimilor şi o notăm cu Ens, putem introduce noţiunea de apartenenţă, ideea A F.; Ens a

avînd un înţeles, şi fiind adevărată cînd A este o mulţime şi falsă cind A nu este o mulţime ( de exemplu Ens It: Ens). D acă A, B sînt două mulţimi p utem introduce tota litatea Horn (A,B) a funcţiilor cu argumentul in A şi va loare în B ; u E Hom( A ,B) va fi notat prin u : A -" B Putem introduce axioma : Hom (A ,B) e o mulţime. Suprapunerea p ° II a funcţiilor poate fi definită pen tru orice triplet de mulţimi A, B, C : dacă U E Hom(A , B) P E Hom(B, C), atunci p O ll E H om ( A , C) şi legea de compo ziţie ,, 0 " este asociativă, iar funcţiile identice iA dau pen tru orice u E Hom ( A , B) iB u = uiA = U În fine, d acă perechile ( A ,B) şi (C,D) sînt distincte! H om(A ,B) şi Hom(C, D) sînt disjuncte. Vom introduce noţiunea de categorie. O categorie (S este o pereche : (S = ( O b (S, Home) formată din ot ) o clasă Ob (S (elementele lui Ob (S sînt numite obiectele lui (S) ; �) o funcţie Home cu două. variabile în Ob (S şi va; lorile Home ( A, B) mulţimi. D acă perechile ( A, B) şi (C,D) sînt distincte H orn (A,B): şi Horn ( C, D ) sînt disjuncte. 176

E lemen Lele

clasei

U HOlll e (A� il) E Ob vor fi numite morfismele lui e. y) O lege de compoziţie ,, 0 " care face ca lui u E; HOUle (A,B) , � E Home (B, C) să-i corespundă � o Il E Home (A,C) , această lege fiind asociativă A E Ob e B e

w O ( (1 o n)

( W ) �) o n

�) Horn ( C, e) nu e vidă, ci are cel puţin un element lc E Home (C , C ) astfel ca dacă u E Hom(A , B) atunci JB o /l

u o JA

I n afară de Ens alte categorii sînt :

Categoria grupurilor, ale cărei obiecte sînt grupurile ,

morfismele ei fiind omomorfismele de grup. Categoria inelelor ale cărei obiecte sînt inelele, mor fismele ei fiind omomorfismele de inel. Categoria modulelor, ale cărei obiecte sînt modulele, morfismele ei fiind omomorfismele de modul. Categoria spaţiilor topologice, ale cărei obiecte sînt spaţiile topologice, morfismele ei fiind funcţiile continue. Categoria spaţiilor diferenţiab ile, morfismele lor sînt transformările diferenţiabile. Categoria automatelor ale cărei obie'2te sînt automatele : Pentru teoria categoriilor trimitem la volumul 1 . B U C UR, Algebra omologică, precum şi la C AB I RI A A�DREIAN CAZA-CU , ARlSTlDE DELEANU şi MARTI'" JURCHESCU : Topologie, ca tegorii, suprafeţe riemanniene, Editura Academiei. Cele spuse ne arată că noţiunea de clasă (clasa 'nu are decît unele din proprietăţile mulţimilor) e necesară. Pentru o expunere a teoriei mulţimilor şi a claselor trimitem la cartea lui C O R�EL CO NSTA"'TINESCU, Teoria mulţimilor, Editura Academiei, 1962. Putem proceda însă altfel . Numai cu formalismul logi cei predicatelor vom introduce relaţiile binare " " şi ,, � " cu un singur tip de indivizi mulţimile şi cu anume aXIOme. =

I Z .;.... 585

177

VI I I Aplicaţiile logicii matematice

APLI CATII L A TEORIA C L ASIF I CĂ RII

Să presupunem că avem diferite obiecte formînd mul ţimea 1 şi să considerăm o proprietate a lor ; fie ot mulţi mea obiectelor care au proprietatea A şi Ci cea a obiec telor care n-au această proprietate. Cele două principii, al terţiului exclus şi al contradicţiei ot U Ci = I ot n Ci 0, =

arată că : 1 . Orice obiect aparţine uneia din mulţimile ot , Ci. 2. Nici un obiect nu aparţine şi mulţimii ot şi mulţi mn ot. Dac ă considerăm două proprietăţi A şi B, obiectele pot fi de patru categorii : Fie ot mulţimea obiectelor care au proprietatea A ; Ci cea a obiectelor care nu o au ; � mulţimea obiectelor care au proprietatea B ; � cea a celor c are nu o au ; obiectele sint de p atru categorii (fig. 53) :

Fig . 53

178

- cele care au şi proprietatea A şi proprietatea B ; ele formează mulţimea ot n � ; - cele care au proprietatea A , dar nu au proprieta tea B ; ele formează mulţimea ot - � ; - cele ce nu au proprietatea A , dar au proprieta tea B ; ele formează mulţimea � - ot ; - cele ce nu au nici proprietatea A , nici proprieta tea B ; ele formează mulţimea (1. T � . E evident că : 1 . Orice obiect aparţine uneia din cele p atru mulţimi de mai sus : (* ) (ot n �) U (ot - �) U (� - ot ) U ((1. T �) = I . 2. Nici un obiect nu aparţine în acelaşi timp la două din aceste mulţimi ( ot n � ) n (ot - � ) = 0, ot ) = 0, (ot n �) n (� (**) (ot n � ) n (ot T �) = 0 , ( ot - �) n (� - ot ) = 0, (ot - � ) n (ot T � ) = 0, (� - ot) n (oc T � ) = @. Demonstraţia formulei (*) e următoarea : (ot n �) U (ot - �) U (� - ot) U ((ot T �) = = ( ot n � ) U (ot n �) U (ii n � ) U ( ii n �) = [ ot n (� U (3)] U [ot n ( � U (3) ] = (ot n 1) U ( ii n 1) c-

= oc U ii

= 1.

D emonstraţia primei formule ( * * ) este (ot n � ) n ( oc

�) = (� n � ) n (ot n (ot n ot) n (� n = ot n @ = @.

�) 13)

179

Demonstraţia celorlalte formule ( * *) o lăsăm pe seama cititorului. Formula ( * ) ne dă clasificarea tuturor obiectelor în patru clase disj uncte, ţinînd seama de cele d ouă proprie tăţi. Dacă considerăm trei proprietăţi A , B, C, putem avea opt mulţimi : ot n � n y, care e mulţimea obiectelor ce au toate trei proprietăţile A , B, C ; cx n � n y, ot n r3n y, ot n � n y, care sînt mulţimile obiec telor ce au două din proprietăţile A , B, C, dar nu pe toate trei ; ot n � n y, cx n � n y, ot n � n y, care sînt mulţimile obiec telor ce nu au decît una din cele trei proprietăţi A , B,C ; cx: n � ny , care e mulţimea obiectelor ce nu au nici una din proprietăţile A , B, C.

Fig . 54

1 . Reuniunea acestor opt mulţimi dă mulţimea totală (ot n � n y) u (oc n � n y) u ( ot n � n y) u ( ot n � n y) u u (ot n i3 n y) u ( Ci n � n y) u (ci n � Il y) U ( ii U n r3 n y) = 1.

2. Fiecare pereche de mulţimi din acestea opt este forf!.lată din mulţimi disjuncte. In genere, dacă considerăm n proprietăţi PI , , P,,, atunci putem descompune mulţimea totală în 2/1 mulţimi şi anume : •.•

1 8.0

o mul ţime a obiectelor ce au toate aceste n proprietăţi : atI n n atn , n mulţimi de obiecte, fiecare conţinînd obiectele ce au n-1 din cele n proprietăţi, dar nu o au pe a n-a : iil n .at2 atI n 0(2

n ata n n lXa n

(l,,_1

atn_l

at" , atn ,

n atn-2 n CXn_1 n atn , n at2 n . . . n at"_2 [l atn-l n an , n(n-1 )j2 mulţimi d e obiecte, fiecare conţinînd obiectele ce au n-2 din cele n proprietăţi, dar nu au alte două : al n CX2 n lXa n at4 n n IXn n "iil n at2 n (la n OCn , at4 n atI n atz n (lI

OCI IXI

at2

n CX2

n (,(3 n 1X4 n . n OCa n CY.4 n

n (,(n-1 n OCn ,

n atn-l

CY.n ,

n(n - 1 ) . . . (n-r+ 1 ) /r ! mulţimi de obiecte, fiecare conţinînd obiectele ce au n-r din cele n proprietăţi, dar nu au pe celelalte r, n(n - 1 ) /2 mulţimi de obiecte, fiecare conţinînd obiectele ce au două din cele n proprietăţi, dar nu au celelalte n-2 : atI n (,(2 n ria n ri 4 n n rin , (Xl n ii2 n (la n C{4 n n �n, atI CiI (i t

n n atz

n CXn_1 n atn, n CXn-1 n rin ,

"iia n ii4 n n CY.a n �4 n

ii2 n at2

n (ia n

(1.4 n

iin-l n oc" ,

181'

n mulţimi de obiecte, fiecare conţinînd obiectele ce nu au decît una din cele IZ proprietăţi, dar nu le au pe cele lalte IZ- 1 : 11.1 n a2 n X3 n n (Xn-l n (X" , (Xl n 11.2 n aa n n (Xn_l n an ,

n (Xn_2 n 11."_1 n CXn, n an_2 n (Xn_l n l1.n , o multime formată din obiectele ce nu au .nici una din cele � proprietăţi : (Xl n CX2 n

cxI n

A P L I CAT I I LA C I RCU ITELE CU CONTACTE

Să presupunem că avem diferiţi întrerup ători ; fie cărui întrerupător îi asociem o variabilă al, . . , an care ia valoarea ° cînd contactul întrerupătorului e în una din poziţii şi valoarea 1 cînd el e în cealaltă poziţie. 13 = 0

--,-

I I

I------'!r---i) I I I I

ilo/

Fig. 55

-_L_

Dacă montăm două contacte de întrerupători în se rie, ca în fig. 56 ,

(

atunci e vizibil c ă : dacă a = 1 , b 1 , deci ab = 1 circuitul A B conduc e ; ( 1 ) dac � a=O, b � 1 , deci. ab = O, ci.rcui�ul AB nu conduce ; . daca a 1 , b =G, deCI ab 0, CIrcUItul AB nu conduce; � dacă a -:- 0, b = O, deci ab = O, circuitul AB nu conduce j ; =

t82

deci : ot. dacă ab = 1 , circuitul cu montaj in serIe conduce, iar dacă ab = O, circuitul nu conduce. Dacă montăm cele două contacte în p aralel, ca în fig. 57,

Fig. 5?

atunci e vizibil c ă : dacă a = 1 , b =1 , deci max (a,b) = 1 , circuitul AB conduce; dacă a = O, b = 1, deci max ( a,b) = 1 , circuitul A B conduce ; (I I) dac ă a = 1, b = O, deci max (a,b) 1, circuitul A B conduce ; dacă a = O, b = O, deci max (a,b) = O, circuitul nu conduce ; =

d eci : �. dacă max ( a,b) = 1, circuitul cu montaj în paralel conduce ; dacă max (a,b) = O, circuitul nu conduce. Să considerăm circuitul din figura 58 : A

.1 Fig.

) �

T /J

183

e vizIbil că (III)

{ dac �a daca a

= =

1, circuitul AB nu conduce ; 0 , cirGuitul AB conduce.

Pentru un circuit vom introduce o variabilă o numim conductibilitatea lui : c

c =

pe care

0, dacă circuitul nu conduce ; 1 , dacă circuitul conduce.

Analiza făcută ne arată că : pentru circuitul A B din fig. 56 avem pentru circuitul AB din fig. 57 avem pentru circuitul AB din fig. 58 avem unde am notat (5 = 1 şi 1 = O. Să

c c

= =

c =

ab, max (a,b), ă,

considerăm circuitul din fig. 59.

F ig .

Fie a conductibiliLatea prin contactul lJlJ şi b cea prin contactul FH ; conductibilitatea prin BDFH este ab. Conduct.ibilitatea prin CE_ est e ă , cea prin G K este b, deci cea prin CEKG este ăb. Circuitele BDFH şi CEKG sînt montate în paralel, deci conductibiIitatea k a circuitului A L este maximul conduc tibilităţii lor, deci K 184

max (ab, iih) .

Lampa L este aprinsă dacă circuitul AL conduce k = 1 şi stinsă în caz contrar k = O . D acă lampa este stinsă, k = O , deci a b = a h = O,. deci sau a sau b este ° si ' sau a sau h este 0, adică a sau b este 1 , deci : =

a = O

b = O.

Dacă, lamp a fiind stinsă, întoarcem unul din comuta toare, atunci : dacă am întors pe a : din situaţia 1 , aj ungem în si tuaţia a = '1 , b 1 , deci k 1 ; din_ situaţia 2 ajungem în situaţ.ia a O ;. b = 0, deci ă b = 1 , deci k 1; dacă am întors pe b : din situaţia 1 aj ungem în a, 0, b = 0, deci a = h = 1 , deci le = 1 ; din situaţia 2 ajun gem în situaţia a = 1, b 1, deci k = 1. D eci dacă lampa este stinsă, oricare din comutatoare· am întoarce lampa se aprinde. Lăsăm pe cititor să arate că dacă lampa este aprinsă, oricare din comutatoare am întoarce ea se stinge. Să comparăm cele de mai sus cu tabelele lui &, V , (. de la p. 1 52 , respectiv 132. Se vede că trecem de la valoarea logică la conducti bilitate cu următorul dicţionar : =

poziţia contacLului întrerupătorului conductibilitatea circuitului

}

. valoarea logică a propoziţiei

adevăr,

O. . . . . . .

fals,

montaj în serie ( fig. 56) montaj în p aralel (fig. 57) montaj invers (fig. 58) .

conjuncţie "ŞI' U , conj uncţie "sau măcar " , negaţie.

Acest dicţionar ne explică cum calculul logic se poat e aplica la studiul circuitelor electrice. 185

A P L I CAT I I ÎN ECON O M I A MATEMATIC Ă *)

Calculul în algebra booleană poate fi întrebuinţat cu succes şi într-o serie de probleme cu c aracter economic , în care trebuie luate anume decizii binare (da sau nu). Dăm mai jos un exemplu tipic. Un anumit produs este consumat în centrele Cl> C2, Ca, C4, în cantităţi de respectiv 10, 12, 8, 1 0 tone. Pen tru fabricarea aceastui produs se pot construi fabrici în oricare din localităţile LI, L2' La, L4 ; capacitatea de pro ducţie a fiecărei fabrici este suficient de mare pentru a acoperi - dacă este cazul - necesităţile tuturor centrelor de consum CI' C2, Ca, C4• Se prevede ca în fiecare an, pentru fiecare fabrică construită, să se amortizeze cîte 3,5 unităţi băneşti din costul ei. Costul transportării unei tone de produs de la diverşii producători posibili LI , L2, La, L4, la diverşii consumatori CI ' C2, C3, C4, este dat În tab elul de mai jos :

0,7

0,6

0,7

0,4

La --

1 --

0,3

0,4

-- --

0,9

0,5 --

0,6

-- --

0,8

0,9 --

0,8

0,3 --

0,4

Se pune problema de a decide in care anume dintre localităţile d ate se vor construi fabrici, în aşa fel încît costul total anual (amortizarea + transporturile ) să fie minim. * Acest paragraf a fost Rl.tdeanu.

186

alcătuit de

L. Ivănf'scu

şi

Pentru rezolvarea acestei probleme, vom introduce variabilele Yi, Y2, Ya, Y4, Xll , X12' X13' x14, X21' , X44, defi nite după cum urmează : 1 , dacă în localitatea Li se (1) construieşte o fabrică ; Yi 0, în caz contrar =

(2)

x ii

cantitatea de produs care se transportă de la Li la Ci .

Este clar că funcţia (3 ) f

3,5YI + 3,SY2 + 3,5Y3 + 3, 5Y4 + 0, 7 xll + + 0,6X12 + XI3 + 0,9x14 + x21 + + 0,7X22 + + 0, 4 x23 + 0, 5X24 + 0,3.x31 + 0, 9X32 + + 0,6X33 + O,3X34 + 0, 4 x41 + 0, 8X42 + 0,8.i43 + + 0, 4 x44

exprimă costul total (anual) care trebuie minimizat, ţi nîndu-se seama de restricţiile impuse de problemă, şi anume, următoarele : 1 , 2, 3 , 4 : dacă Yi (4) Pentru orice i 0, atunci XiI = Xj2 = Xi3 = Xi4 = O ; =

c ăci din faptul că Y i = ° rezultă că în localitatea L i nu s - a construit fabrica, şi deci din Li nu avem ce transporta. Trebuie să avem : (5 )

Xll XI2 X13 X14

+ X21 + X22 + X23 + X24

+ X31 + X41

+ X32 + X42

+ X33 + X43 + X34 + X44

= =

1 0,

12,

8, 1 0,

căci suma cantităţilor care se transportă la consumatorul trebuie să fie egală cu consumul lui Cj ; ( 6) Xij >- ° pentru orice i, j

căci o cantitate negativă de transportat nu ar avea sens ; ° sau 1 , ( 7) YI , Y2, Y3, Y4 din definiţia cantităţilor Yj . =

,,/",

187

Prin urmare, din .punct de vedere matematic, proble ma dată se exprimă astfel : să se minimizeze funcţia (3), ale cărei variabile sînt supuse condiţiilor (4) , (5), (6), (7). La rîndul ei, această problemă se poate reduce la o alta, în care nu apar decît variabilele bivalente YI, Y2' Ya, _Y4 '

In acest scop vom folosi următoarele observaţii, evidente din punct de vedere economic, şi uşor demonstra bile matematic : a. ) Se transportă marfă de la L i la Ci ( X ii > O) dacă ş,i numai dacă următoarele condiţii sînt îndeplinite : a.1) în Li există o fabrică ( Y i = 1 ) ; 1( 2) oricare ar fi localitatea L I! (h =1= i) în care există o fabrică, costul transportului de la LI! l a Cj este mai mare decît costul transportului de la L i la Ci ; �) dacă se transportă marfă de l a Li la Ci , atunci se transportă întreaga cantitate necesară centrului Ci' In tabelul de mai jos se indică, pentru fiecare centru Ci ' localităţile Li în ordinea crescătoare a costurilor trans porturilor de la Li la Ci : CI Ls , L4' LI ' C2 : LI ' L2 ' L4' Ca : L z, Ls, L4' C4 : L3' L4' L2'

L2 '

Ls , LI , LI '

Putem acum traduc e cu usurintă IX ) şi �) , . conditiile . prin relaţiile de mai jos : ( 8) Xn = l OYIY3Y4, X12 = 12YI' XIS = 8YIY2YaY4 , X14 = l O YIYaY4Y2' X21 = 10Y2YaY4YlJ X2Z = 1 2yzY1, X2 S = 8yz, X24 = l O Y2Y3Y4, X31 = 10ys, X32 = 12YaYI?iz'ih Xss = 8YaYz , XM = 10Ya, X41 = 10Y4Ys, X42 = 12Y4YIY2, X4S = 8Y4 Y2Ya, X44 = 10Y4YS' De exemplu, condiţia IX) arată că X2 1 > O dacă şi nu mai dacă Y2 = 1, dar Ys = Y4 = YI = O , adică dacă şi numai dacă Y2Ya iJ4YI = 1 . Ţinînd seama şi dp. B), deducem 188

1, liLullCi x21 1 0, iar dacă Y2YsV4Yl O ; aceste două condiţii sînt echiva lente tocmai cu egalitatea X21 1 0 Y217sY4Yl . în mod analog se demonstrează şi celelalte relat.ii (8) . Ţinînd seama de ( 8), f u ncţ. i a (3 ) devine

c ă dacă Y ZYSY41Î1 =

0 , atunci X21

( 9 ) g( Yl' Y 2 ' Ys, Y4 ) = 1 0 ,7Yl + 6 , 7Y2 + 9 , 5ys + 3 , 5Y4 + + 7YIYSY4 + 1 7YIY2 YS'ii4 + 1 0 YzYaY4Yl + 8,4.Y2Yl + + 5Yz1Nil4 + 1 0,8YsYl:Y2 Y4 + 4.,8YaY2 + 8Y4 YS+ 9 ,6Y4YIY2+ + 6,4.Y4 YzYS·

Pe de altă parte, fiecare din con diţ,iile (5) este echi valentă cu următoarea : (1 0 )

YIY2Ya 'i 4 = O .

( Intr - a dev ăr , se vede uşor că expresiile ( 8) ale variabi lelor xl l , . , X44 satisfac relaţiile ( 5 ) dacă şi numai d acă cel puţin una din variabilele Y i este egală cu 1). In rezumat, p robl e ma dată revine la a găsi minimele funcţiei ( 9) , cu condiţiile restrictive (7) şi (10 ). O astfel de problemă poartă numele de problemă de programare pseudo-booleană , fiindcă funcţia de minimi zat ( 9 ) este o funcţie cu valori reale de variabilele Yl , Y2' Ys, Y4, care iau numai valorile ° şi 1 . APL ICAT I I Î N L I N GVIST I C A MATE MAT l C Ă *

Fie V o mulţime finită şi nevidă (numită �ocab ular) de elemente numite cu�inte. Orice sir finit ai cărui termeni sînt cuvinte este o frază pe V ci colecţie de fraze pe V e ste un limbaj pe V. Fiind date două fraze f a1a2, · an şi g b1b2 • • b"" definim operaţia de compunere a aces tor două fraze h fg a1a2 a"b1b2• • •. bm• Ope raţia de compunere a f razelor esLe a s ociativă ( { fg)h f(gh» , (Iar nu este comutativă, cu alte cuvinte, în general, fg -=1= -=1= gf. Lungimea u nei fraze f a1a2• an este, prin defi•

•

Acest paragraf a fost alcătu i t

•

de S o l o mon I\I arcus.

189,

nitie numărul n al termenilor ei. Se consideră şi fraza ()idă, de lungime egală cu zero. Fiind dat un limbaj L pe vocabularul V şi fiind date două fraze f şi g pe V, spunem că f domină pe g şi scriem * f � g dacă, oricare ar fi frazele u şi (! pe V, din uf() E L rezultă ug() E L. Este evident că relaţia de dominare de pinde de L. Această relaţie este reflexlvă şi tranzitivă.

Notînd cu V* limbajul universal pe V (adică mulţi mea tuturor frazelor pe V), putem deci spune că relaţia de dominare este o relaţie de preordine în Y*. Este uşor de văzut că relaţia � nu este antisimetrică, deci nu este, în general, o relaţ,ie de ordine în Y*. Spunem că două fraze f şi g se domină reciproc şi scriem f � g dacă avem f � g şi g � f. Relaţia de domi nare reciprocă este o relaţie de echivalenţă în ,V*. Dacă V este vocabularul limbii române iar L este co lecţia frazelor româneşti corecte, atunci frumos � subţire, dar subţire nu domină pe frumos ; într-adevăr, fraza am o carte subţire este corectă, în timp ce fraz a am o carte fru mos nu este corectă. Este însă usor de văzut că avem ' frumos � urît.

Semnificaţia lingvistică a relaţiei � este următoarea : dacă a E V, b E V şi a � b, atunci oricare valoare morfo logică a lui a este o valoare morfologică a lui b. De exem plu, valorile morfologice ale lui frumos sînt : adjecti() , singular, masculin şi fiecare dintre acestea este şi o va loare morfologică a lui subţire. însă acest din urmă adjec tiv posedă şi valoarea morfologică de feminin, care nu aparţine lui frumos. Semnificaţia lingvistică a relaţiei � este următoarea : clasele de echivalenţă în raport cu relaţia de dominare reciprocă sînt aşa-numitele clase de distribuţie conside rate în lingvistică, clasa de distribuţie a unei fraze f fiind totalitatea frazelor care apar exact În aceleaşi ambianţe ca şi f. Mai precis, numind context pe V orice pereche or donată < U, () > de fraze pe V şi convenind să spunem că contextul < U,() > acceptă fraza f dacă uf() E L, clasa .., Cititorul nu va confunda semnul ,, --->- " al implicaţiei (v. pp. 27, 121) cu semnul al dominaţiei din acest paragraf. , , --->-

1 90

de distribuţie a frazei f este totalitatea frazelor care sînt acceptate exact de aceleaşi contexte ca şi f. Fie LI C L. Spunem că LI este un sublimbaj al lui L. Fiind date două fraze x şi y, spunem că x domină pe y în raport cu LI şi scriem x -+ y LI

dacă pentru ol'ice pereche de fraze u şi � astfel încît ux� ELI avem uy� E LI' Spunem despre perechea ordonată de fraze ( x,y) că este LI -ereditară prin dominare dacă are lo c una dintre următoarele două situaţii : 10 x � y şi x r:: y ; 20 x nu domină pe y. D acă orice pereche ordonată de fraze este LI-eredi tară prin dominare, spunem că LI este un sublimbaj ere ditar prin dominare. Se poate arăta că subIimbajele ere ditare prin dominare alcătuiesc o algebră booleană de multimi. Spunem despre sublimbaj ul LI că este ereditar prin dZlblă dominare dacă pentru orice pereche ordonată de fraze (x,y) pentru care x � y avem x -+ y şi y X . Se Ll

--->-

poate arăta că sublimbajele ereditare prin dublă domi nare alcătuiesc o algebră booleană de mulţimi. Fie P o partiţie a vocabularului V. Să notăm cu P(x) acel termen al p artiţiei P care conţine cuvîntul x. Se defineşte astfel o aplicaţie a lui V în P. Această apli c aţie este o surj ecţie, dar nu este o injecţie decît în cazul în care partiţia P este partiţia unitate (adică P ( x) {x} pentru orice x E V). I n cazul i n care L este o limbă na turală iar P este partiţia după flexiune (de exemplu P (verde) { verde, verzi . . }) aplicaţia considerată asociază fiecărui cuvînt totalitatea formelor sale flexionare. Această aplicaţie este o bijecţie numai în cazul lim bilor amorfe (cum sînt chineza şi vietnameza), limbi lip site de morfologie (deci în care nu există flexiune). O altă p artiţie interesantă a vocabularului V este aceea care fiecărui cuvînt x îi asociază totalitatea cuvintelor care aparţin aceleiaşi clase de distribuţie ca şi x. Această =

1 91

partiţie se notează de obicei c"" S şi se numeşte partiţia in familii. Fie din nou un limbaj L pe V şi o partiţie P a lui V. 'Şirul P( XI ) P( X2). • • P( xn), unde X1 X2 • Xn este o frază -pe V, este, prin definiţie, P - imaginea frazei X1 X2 • • • Xn prin partiţia P. Un şir P1P2• • Pn de termeni ai parti -ţiei P este marcat dacă el este P - imaginea a cel puţin unei fraze din L . Doi termeni Pi şi Pj se zic P-echiva lenţi dacă pentru orice pereche ��1 şi �2 de P-imagini :şirurile �l Pi�';,2 şi �1 Pj'1,2 sînt amîndouă marcate sau Pj. .amîndouă nemarcate. Scriem în acest caz că Pi B p Denumirea de P-echivalenţă este îndreptăţită, deoarece se verifică uşor că această relaţ,ie este reflexivă, simetrică .şi tranzitivă în mulţimea termenilor partiţiei P. Să :punem P(y ) P'(X) U •

P( !I) <-+ }>(.,) P

iVlulţ,imile P' ( x) determină o nouă partiţie a vocabularu lui V ; aceasta este partiţia dericmtă din P şi se notează ·cu P'. Următoarele două exemple arată semnificaţia lin :gvistică importantă a noţiunii de derivată a unei partiţii. Dacă P este parti ţia unitate a lui V, atunci P' este tocmai partiţia lui V în familii, despre care s-a vorbit mai sus. Dacă P este partiţia lui V după flexiune (deci P(casă) {casă, casa, casei, caselor, case, casele }, P(frumos) {frumos, frumoasă, frumoşi, frumoase , . . . } , etc . ) , atunci P' -este partiţia lui V în părţi de vorbire ( P'( casă) mulţi mea substantivelor, P'( frumos) mulţimea adj ectivelor calificative , etc.). D eci P' defineşte aici o surjecţie a voca bularului V pe mulţimea termenilor parti(.iei P'. Fie L un limbaj pe V şi fie P o partiţie a lui V (par tiţie pe care, pentru sugestivitatea noţ.iunilor, o gîndim -ca partiţia lui V după flexiune). Vom defini în V o rela ţie binară y după cum urmează ay b dacă, pentru orice .a' E P(a) şi p entru orice b' E P(b) , are loc cel puţin una din relaţiile : P(a) n S(b') -=1= (/) ; P(b) n S(a') -=1= 0. Spunem de ;spre cuvintele a şi b că au acelaşi gen grmnatical. Astfel, .dacă L este colecţia frazelor româneşti corecte, avem pom =

'1 9 2

munţi, carte y griidinii şi scaune y caiet. Relaţia este re flexivă şi simetrică în V, dar nu este, în general, tranzi tivă. Există însă o clasă importantă de limbaje pentru care y este o relaţie tranzitivă, deci o relaţie de echiva lenţă. Acestea sînt limbajele pentru care relaţia S ( x) n n P(y) -=1= 0 implică relaţia S(y) n P(x) -=1= 0 (x,y E V). Aceasta este situaţia în limbi ca franceza, italiana şi spaniola, dacă facem abstractie de substantivele defective de nu măr (deci cărora le lipsesc formele de singular sau cele de plural). y

•

Un sunet al unei limbi naturale este o multime finită de trăsături articulatorii (adică relative la mo d ul de ar ticulare a sunetului respectiv) . Astfel, în limb a română, {ocluziv, surd, bilabial }, F =- {fricativ , surd, labi o P dental }, R = { vibrativ, neutru, mediopalatal }. Fiind date două sunete A şi B concepute ca mulţimi de trăsă turi articulatorii, perechea ordonată * (A I B) se numeşte opoziţia dintre A şi B. Mulţimea A n B se numeşte baza opoziţiei iar mulţimile A - B şi B - A se numesc mulţi mile diferenţiale ale opoziţiei . Diferenţa simetrică A + B se numeşte caracteristica opoziţiei. Opoziţia (A I B) este : pri()ati(!ă în fa(!oarea lui A , dacă A n B = B, A - B -=1= @ şi B - A = @ ; pri()ati(!ă în fa(!oarea lui B dacă A n B = = A, A - B 0, B - A -=1= 0 ; pri()ati(!ă dacă este privativă în favoarea lui A sau în favoarea lui B ; opo ziţie zero , dacă A n B A = B, A - B = B - A = 0 ; echipolentă, dacă A - B -=1= 0 -=1= B - A , A n B -=1= 0 ; A -=1= 0, B - A = disjun cti()ă, dacă A n B = 0, A - B = B -=1= 0. Astfel, opoziţia dintre sunetele român"eşti P şi B este echipolentă, deoarece B = {ocluziv, sonor, bi labial }, deci P n B = {ocluziv, bilabial } =1= @, P - B = = {surd } -=1= 0 -=1= {sonor } = B - P ; opoziţia dintre sune tele româneşti S şi R este disjunctivă, deoarece S {fricativ, surd, dental } şi R = {vibrativ, neutru, medio palatal }. =

* N oiăm cu (A / B) pentru a respecta scrierea obişnuită in lingvistica matema tică, perechea numită obişnuit (A , B) . 1 3 - 085

193

Două opoziţii (A I /BI) şi ( A 2 /B2) se zic p roporţionale dacă ele au aceleaşi mulţimi diferenţiale, cu alte cuvinte dacă Al - BI = A 2 - B2 şi BI - A l = B2 - A 2• Se arată uşor că relaţia de proporţionalitate este o relaţie de echivalenţă în mulţimea opoziţiilor ; clasele de echi valenţă corespunzătoare se numesc clase de proporţionali tate. Astfel, în limba română opoziţia dintre sunetele S şi Z este proporţ.ională cu opoziţia dintre sunetele T şi D , S= deoarece avem S - Z T - D = {surd }, Z = D - T {sonor }. Două opo ziţii ( A I /BI) şi (A2/B2) se zic omogene dacă ele au aceeaşi bază, cu alte cuvinte dacă A l n BI A2 n n B2' Se arată uşor că relaţia de omogeneitate între două opoziţii este o relaţie de echivalenţă ; clasele de echi valenţă corespunzătoare se numesc clase de omogeneitate. î n limba germană, opoziţia dintre sunetele D şi B este omogenă cu opoziţia dintre D şi e, baza cQmună a aces tor opoziţii fiind constituită dintr-un singur element : ocIu ziunea slabă. O opo ziţie care nu este proporţională cu nici o altă opo ziţie se numeşte o poziţie izolată. Astfel, opoziţia dintre con soana românească L şi semiconsoana românească notată Y este izolată, deoarece nu există în limba română o consoană laterală aIta decît L , după cnm nu există o consoană anteropalatală alta decît Y. În limb a germană, opo ziţia dintre conso anele P si S este de asemenea izolată. O opoziţie care nu 'este omo genă cu nici o altă opo ziţie este prin definiţie singulară. în limba română, opoziţia dintre conso anele K şi e este singulară, deoarece K = {oclu ziv, surd , velar }, e {ocluziv, sonor, velar }, K ne = {ocluziv, veI ar } şi nu există nici o altă opoziţie între sy nete româneşti, a cărei bază să fie {ocluziv, velar }. In limb a germană, opoziţia dintre conso anele T şi D este sin gulară, deoarece acestea sint singurele ocluzive dentale . =

•

Fie un yocabular V , un limbaj L pe V şi o mulţime gj de elemente numite semnificatii. Sistemul de obiecte < V, L , gj > constituie un sup ; rt biplan. Orice rel aţie binară p cu domeniu l L şi codomeniul & constituie, 194

structură semantică pe suportul hiplan e st e deci o parte a produsului cartezian L X 63. Sistemul de obiecte < V, L, �, p > constituie un limbaj semantic. Într-un astfel de limb aj , două fra z e x şi y din L sînt sinonime d acă (Ez) [(xpz ) & (ypz)]. Numărul cardinal al mulţimii acelor t cu ( xpt) &(ypt) este ordinul de sinonimi e al cuplului de fra z e < x, y >. D acă x şi y sînt sinonime, dar lS(z/xpz) =f= lS(t,ypt) spunem că x şi y sînt parţial sinonime. Două fra z e sinonime care nu sînt parţial sinonime se numesc total sinonime. Două semnifica ţii s şi t sînt omonime d acă (Ex)[(xps)&(xpt ) ] . Numărul c ardinal al mulţimii acelor z cu (zps) &(zpt) este, prin definiţie, ordinu l de omonimie al cupl ului < s, t > . D ac ă semnifi c aţiile s şi t sînt omonime, dar 1S(.x/xps) =f= IS(Ylypt), spunem că f) şi t sînt parţial omonime. D ou ă semnificaţii omo nime s şi t, astfel încît lS(x/xps) If.(y/ypt), sînt total dmo

prin definiţie, <

o V, L, 63 > ; p

nime.

Un limb,aj semantic < V, L, g" p > pentru care, oricare ar fi x E L mulţimea lS(s/xps) conţine cel mult un element este un limb aj fără orrtonimie. Se poate arăta că, într-un astfel de limbaj , mulţimea semnificaţiilor s pentru c are lS(z/zps ) =f=. 0 este cel mult numărabilă. Spunem despre un limbaj fără omonimie că este un limbaj ştiinţific dacă următoarele două condiţii sînt În deplinite IZ) Relaţia p este definită pe întregul limbaj L ( adică (Es)(xps) pentru orice x EL) ; �) Oricare ar fi semnificaţia s E �, mulţimea lS(x/xps) est e infinită. Condiţia ce revine la a spune că relaţia p este o funcţie L -l> i\\. Notînd această funcţie cu f, se poate sRune că un limbaj semantic este un limbaj ştiinţific dacă şi numai dacă el este de forma < V, L � , f > , unde f este o funcţie L -l> 63 şi fiecare mulţime de nivel nevidă a lui f este infinită. Fiind dat un suport biplan < V, L, & > , pentru c a să existe o aplicaţie f : L -l> 63 astfel încît < V, L, �, f > s ă fie un lImbaj ştiinţific este ne c esar şi suficient ca limbajul L să fie infinit. D acă mulţi mile L şi 63 sînt infinite, atunci există o funcţie f : L -l> S 195

care ia o infinitate de valori şi pentru care sistemul < V, L, .35, f > este un limbaj ştiinţific. Un limbaj semantic < V, L, 63, p > este lipsit de siTlţlnimie dacă pentru x, y E L, x =F y avem 0. �(slxps) n fO(tly pt ) Numim limbaj liric orice limbaj semantic lipsit de sinonimie, în care fiecare mulţime fO(slxjJs) (cu x E L) este de puterea continuului. adică echipotentă cu mulţ,imea numerelor reale. =

Addenda

' 1 . Produsul relaţiilor nu este comuLativ. 2. Termenii "relaţie de indentitate" şi "relaţie de ega, litate " sînt Întrebuinţ.aţi cu acelaşi înţeles.

3. D acă gof = koh spunem că diagrama x

-----

----- -+ y

h Z+ e

comutatiCJă.

g --

+ -+ Jtl'

Teze a l e I09 i c i i propoz i ţ i i lor

6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8.

P -+ P

(p & q) ...... P ( p & q) -+ q P -> ( p V q) q -+ ( p V a) 6 . 9 . [ p & (q V r )] -+ [ (p & q ) V ( p & 1')] 6 . 1 0 . [(p V q) & (p V 1')] -+ [p V (q & 1")] 6 . 1 1 . (p � q) -> [ (1' & p) � (1" & q) ] 6 . 1 2 . (p � q) ...... r (p & 8 ) � (q & 8) ] 6 . 1 3 . (p � q) ...... [ (1' V p) � (1' V q) } 6 . 1 4 . (p � q) -> [ (p V 8) � -+ (q V s) ] 6 . 1 5. [(p & (1 p ) ) V q ] -> q 6 . 1 6 . P ...... [p & (q V 1 q)] 6.29. [ (p -> q) & (q -+ I')J -+ (p -+ 1') 6.35. [ (p � q ) & (8 � t) �, (p & 8) � (q & 1)] 6.36. [ (p � q) & (8 � t) -> [ (p V 8) � (q V t) ] 6. 37. [(p � q) & (8 � t)] -> [ (p ...... 8) � (q -+ t) ] 6.38. (p � q) ...... [ (q -+ 1') � (p -+ 1') ] 6 . 3 9 . (p � q) [ (8 -+ q) � (8 -7- p)] 6.4.0. [ (p -> q) & (q -+ p)] ...... (p � q) 6 . 4 1 . (p � q) ...... [ (p -+ q) & (q ->- p)J 6.42. (p � q) H [ (p -+ q) & ( q ...... p )] 6.43. [ (p -+ q) & (p -+ r) J -,.. [ (p -.,. (q & r)] 6.4.4.. [(p -+ 1' ) & (q -> 1')] -+ r (p V q) -+ 1')] 6.45. (p -+ q) ...... (1 q ->- '1 p) 6.4.6 . P � 1 1 P 6 .4. 7 . P V l p '> �

6.4.8. 1 (p & 1 p)

129 129 '1 29

129

129 131 131 132 132 132 132 133 133 137 HO

'14.0 140 141 '14 1 141 141 141 '143 14.3 144. 1 4 4. 14.5 '145 199

P a g.

6 . 1,, 9. [ (p ->- q) & (p -->- 1 q )] -->- ( 1 p ) 6 . 50. [(p -+ q) & (1 p -+ q ) ] -+ q

145 145

•

7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8.

P --> - (q -+ p ) (p -+ (q -> r ) ) �� ((p ( p � q) -+ (p -+ q)

7.13. 7.14. 7.15. 7.-1 6 .

r))

> p) � q ) -+ ( q -+ q) - :>- ( (q > p ) -+ ( p � q )) & q) - -->- p ( identic cu 6.5. ) & q) -+ q (identic cu 6 . 8 . ) -+ q ) -+ ( (p -+ 1") -->- (p -)- (q & r ) ) ) P -+ (p V q) ( identică c u 6 . 7 . ) q -+ (p V q) (identică cu 6 . 8 . ) (p -+ r ) � ( (q -� r) -> ( (p V q ) -+ ,.)) ( p -->- q) -+ (1 q -+ 1 p) (identică cu 6.45) p � 1 1 P (identică cu 6.4.6 )

(p (p 7 . 9 . (p 7. 10 . (p 7 . 1 1 . (p 7.12.

157 157 157 15/ 157 157 157 1 57 157 157 158 158 158

Teze a l e teo r i e i m " l ţ i m i ior şi ale l og i cei pra d i ca te l o r mona r e

a) Definiţii 6.1 * [ x E (cx n (3 ) ] � [ (x E cx ) & (x E (3 )] 6.2.* [ x E (cx U (3)] � [(x E cx) V (x E (3) 6 . 3 . * ( x E a ) H 1 ( x E cx) 6 :1 7° (cx C (3) H (x) [ (x E cx) -o- (x E r�)] 6 . 1 8° (cx = (3) H (x) [(x E cx ) � (x E (3)] 6 . 1 9° ( x) ( x E 1) 6.51° l (Ex) (x E e )

125

125 1 25 135 135 136

147

b) Tezele 6.4.* (p . 1 2 9) , . . . e lco care provin din tezele logicei pro poziţiilor 6.4., e Le. , înlocuind variabilele propoziţionale p, q . . . prin etc. x E cx,

e) Tezele 6.4° (p. 1 3 6 )

etc. care provin din tezele 6 . 4 * (p . 1 3 6) de tipul b prin principiul g"eneralizării. 200

d) Teze de tipul b se obţin şi înlocuind în teze ale log'iCii pr,pp �§t " ziţiilor 6 . 4 (p . 129) etc. p e p , q . . . prin P(x) , Q (x) , . . . pentr rt a: obţine teze de forma 6.4 * P(x) � P (x) . e) Teze de tipul c se obţin şi din tezele de tipul d prin principiul generaIizării, de exemplu din 6 . 4 * pe ( x) [ P ( x) -+ p( x) ]. f) Alte teze ale teoriei mulţimilor şi logicei predicatelor ll1onare : P ag.

6.30. 6.31. 6.32. 6.52. 6.53. 6.54. 6.55. 6.56.

6.57. 6.60. 6.61.

{ (x) [P(x) � Q(.r.)]} -r { [ (x) P(x)] ...,. [ (x) Q ( x)] } { (x) [ P(x) & Q(.ct) ] } � { [(x ) P(x ) ] & [ (x) Q (x)]} { (x) [ P(x) � Q(x ) ] } � ( « (x) P(x)] � [ (x) Q (x) ] } [1 (x)p ] - [ (Ex) (1 p)] [1 (Ex)p] � [ (x) (1 p) ] [ (Ex)p] _ [1 (x) (1 p) [(x)p] � (1 (Ex) (1 p) ] [( x)p] V [ (Ex) (1 p)] [ (Ex)p ] V [(x) (1 p)] 1 [ (x)p & (E.ct ) (1 p)l 1 [(Ex)p & (x) ( 1 p)]

13S 13& 139 H7

booleene

113

g) A x iomele

algebl'elor

I. 1 . O( C O( 1.2. dacă O( C (3 şi (3 C y atunci O( C y 1 . 3 . dacă O( C (3 şi (3 C CI. atunci CI. = (3 I L L O( n (3 C CI. II. 2 . O( n (3 C (3 1 1 .3. dacă y C CI. şi y C (3 atunci y C CI. n (3 1 1 . 4 . O( C CY. U (3 11.5. (3 C CI. U [3 1 1 . 6. dacă O( C y şi (3 C y atunci O( U (3 C Y II U . O( n ((3 U y ) C (O( n (3 ) U ( O( n y) JIU . O( U ((3 n y ) :::J (O( U (3) n ( O( U y) IV.1 (O( n cx:) U (3 C (3 IY.2. (O( U Ci ) n (3 :::J (3

147 147

147

1 !>7

'14 7

129-

HO' H1

129-1 30' 1 2 9-13() H2 12 9-1 3(} 12 9-1 3 (1 143 1 3 '1 133 133: 1 3/,

Alte teze

dacă O( C (3 atunci � C li O( U Ci = I O( n iY. = 0

143 145 14&

;101

dacă dacă

C � şi ex C - atu nci G( = 0 1 C � şi ii C � atunci � =

Teze a l e I � g i cl i r e l a ţ I I l or b i n a r e a ) Definiţii

tl:1 ** [ x(R & S)y] � [ (xRy) & (x S y)] 6.2.** [x(R V S)y] � [(x R y ) V ( :t S .li )] tl . 3 . * * (x R y) � l (X R .li) (x S .li) ] tl . 1 700 ( R 09 S) � { (x) (y) [ (x R y) tl . 1 800 (R (=) S) � { (x) (y) [ ( x R y) � (xSy)]

1 26 1 2 7. 127

'> �

etc. care provin din teze ale logicei b ) Tezele 6.4*'� (p . 129 ) propoziţiilol' 6.4, . . . e tc. inlocuind variab ilele propoziţionale p prin xRy , . . . c ) Teze de tip ul 6. 400

(x) (y) [ (xRy) -)- (x R y)]

care provin din te z e de tipul b: (x R y) -o- (xRy) aplicînd de două ()fi principiul g-eneralizării pentru a obţine

(y) [( x R y)

(xRy)]

(x) (y) [ (x R y)

(xRy)]

d) Alte teze ale logicei relaţiilor binare [(x) (y) R (x, .li)] � [ (y) (.r) R ( x , y) ]

[ (Ex) (Ey) R (x, .li)] � [ (Ey) (Ex) R (x, y)] (x îi y) � (.li R x)

Teze a l e l o g i c i i pred i ca te l o r cu i d en t i t a te

7.25. 7.26. 7.27. 7.28. 7.29. 7 . 30. 202

a =a (a = b ) -+ [P(a) -+ P(b)] a) (a = b) -.... (b e) �'> (a = e)] (a = b) -+ [ ( b (oc) [(x E x) -;. (y E- ex)] -+ (x = .II ) .li) (p) [ Pix) -.,. P(yll -)- (x =

1 64 164 165 165 166 166

Indice de

E: 9 ,

semne

1 ', 9

(=) 38, H9 & 37, 1 23, 148, 152 V 40, 1 2 4 , 1-(.8, 1.52 1 ! H , l!t8, 152

g: 9 , J J 9

C 1 0 , 1 1 :\ , 14 9

U 1 1 , 1 l:3 , H . 9 n J.'i, H 3 , 1 '. 'J n, n , U, U,

CX E0 aEI u E 0 O 1 8 , 1 ·', ')

aE[

lOt" 101

� 1 , l'r9 {a} 19 :2 ':; : 27

-1 -

T .1. =.>

......

1 18

!.i t;

Jf :1 9

' 1 2 � , 1 '. 9

f (II ,

�9

�

1'* 1 :2 1 ,

:, 7 , 1 ·\ 9 ') 1 ') 1 ', 8 , --,

1 f, 8 , I ,, :l

;) G

fM liO

:1 t

:2 7 ,

N'-I'---+

:29

:;0

=-o

X 51

- 23,

4 -'< , 197

L:' 3

:i t]

Ii I r, �l

li:)

i / ) 'j �) i/ .11 f i ;,

�; (.I·l : J'(Y))

lG?

20]

I n d i ce de c u vi nte

A , ju decăţi arislotelice în A 34 (A), axioma (A) ( legea de ab sorbţie) 1 1 4 , 1 1 5 absorbţie, legile d e a pen iru multimi 2 3 - legile d e a pentru relaţii 40 - axioma ( A ) 1 1 4 , !li5 abstracţie, definiţie prin a 47 adevăr, valoarea logică a 1 5 1 , 1 52

adjuncţiei, regula a 1 2 6 afirmative, judecăţi particulare a (în I) 36 - - universale a (în A) 34 algebre booleene 1 'J 2 - - axiomele a. b. 1 1 3 - - multimile formează o a'b ' 113

- - relatiile a.

formează

b 11? orice a . b

- e o latice 1 1 5 antisime tl'ică, relatie Il � 9 - relatie strict Il 49 - inchlziunea multimilor e a 1 0 - implicaţia relaţiilor e a 3 8 apartenenţă, relaţie de Il 9 aristotelică, forma a a judecăţilor 34, 3 6 asociativitatea - conjuncţia relaţiilor e a 39 - disj uncţia relaţiilor e Il 40 - intersecţia infini tă a multimilor e a 93 , mulţimilor e Il 1 6 - produsul cartesian e Il 7 9 - produsul relaţiilor e a 42 204

reuniunea infinită a multi. milor e a 88 - reuniunea multimilor e a 1 2 - suprapune rea ftmcţiiIor e a 67 axioma (A) 1 1 4 axiomele algebrelor booleene 1 1 3 logicii pre dicatelor 1 6 1 ......:.. logicii predicatelol' c u iden titate 1 64 - - propoziţiilor 1 5 7 �

Banach ( teorema lui B) bijecţii 65 binare, relaţii b 3 7 , 1 4 9 bo oleene ( vezi algebre b)

107

caracteristică, funcţie c a unei m ulţimi 60 cartesian, p rodus c a două. multimi 5 1 - produs c a l mai multor mulţimi 7 8 , 9 6 - - legea de asociativitate 7 9 - - a l unei infinităţi de multimi 97 - - axioma lui Zermelo 9 9 categorie 1 7 6 Church, fu nc ţia lui c ::l 3 ciclu 1 7 0 ciclu frontieră 1 7 0 cît, mu lţimea c t.. 7 - funcţii şi rel aţii în mulţimea c

clase de echivalen 'tii -'06 tez.ele logicii propoziţii1Qr''1:�',! cociclu '1 7 1 dem�nstraţie, în logic'a · pre� cociclu cofron tieră '1 7 l dlcatelor 1 61 codomeniul unei functii 56 - - - predicatelor cu iden ' - unei relatii O tita lea 1 6 4 - - - propoziţiilor 1 5 8 cofrontieră i 7'1 comp atibilitate v., 55 - din ipoteze în logica propozitiilor 1 5 9 complementara unei mulţimi 2 3 depe�dentă, variabilă II 5(; complex -1 70 desch is, drum d 1 7 1 compoziţie ( vezi legi de e) diag'onala unui produs carte comutativitatea sian 53 - conjuncţiei relaţiilor 3 9 diferenţa a două mulţimi 25 - disjuncţiei relaţiilOl' ',o - simetrică a două multimi 29 - in tersectiei multimilor 1 5 - dilema, principiul !l 128 - reuniunii multil�ilor 1 1 directă, suma d a două mul conex, graf C 1 7 1 timi 7 0 conjuncţia propoziţiilor 1 2 3 disjuncte, mulţimi !l '1 7 - relatiilor 3 7 disj un cţ.ia (:onr!iţională a două - - asociativitatea e i 3 9 multimi 33 - - co mu lativitatea e i 3 9 - pro poziţiilor 1 2/. - - legile disf.ributive 40 - relatiilor 40 - - legile de idempotenţă 3 9 - - alte proprie tăţi ale e · r asociativitatea !l . r 40 4 0 , 42 - - comu tativitlltea d . l' /.0 - - legile distributive ale !l l' constantă, funcţie c 59 40 contradicţie, pri ncipiul c 2 4 , -- -- idl'll1 poten ţa d . r 40 lt, 5 - alte proprietăţi ale d r 40, coom ologie, grupul de c 171 {, 2 cuantor, existenţial H 6 , H9 distributivitatea, legile de d - u n iversal 1 3 4 , 149 - ale disjun cţiei şi conjunc ţiei relatiilor 40 - ale 'i ntersecţiei şi reuniunii mulţimilor 22 deductivă, schemă !l valabilă - ale intersectiei si reuniunii 156 infinite de ' mulţimi 100 definiţie prin abstracţie 4 7 - ale produsului cartesian 52 - semantică a schemelor vala - ale produsului relaţiilor 4.2 bile ale logicii prepoziţiilor domeniul unei functii 5 6 156 - unei relatii 43 - - a tezelor logicii propo duală, suma d a două 'mulţimi 2 9 ziţiilor 1 54 dublei negaţii, principiul !l . n . - sintactică a schemelor vala 2 4 , 144 bile ale logicii propoziţiilor drum deschis 1 71 1 60 - inchis 1 71 - - a tezelor logicii predi catelor 1 6 1 - - a tezelor logicii propo ziţiilor 1 5 9 E, ju decăţi aristo lelice în E 34 echivalenţa (sau suma duală) echivalente definitiilor sintac tică 'şi semantică pentru a două mulţimi 2 9 '

205

trecerea de la echivalen ţă la implicaţie şi de la impli caţie la echivalenţă 1 2 7 î n logica }Jropoziţiilor 1 22 relatiilor 38 - reflexivitatea e · ( 38 - simetria e · 1 " 38 38 - transitivitale e . clase de e 46 relatii de e 46 - - e generate de o funcţie 73 - silogism ipo tetic cu e 127 echivalenţa între definitia sin tactică şi definiţia semantică În logica prop oziţiilor 1 60 egalitatea, relaţia de e (de identitaLe ) 4 4 , 197 - - e între multimi 9 , 44 - - - - - reflexivitate V, - - - - - simetrie 44 - - - - - - transitivitat.e !,.4 - - e în Lre functii 58 reflexi- - - vitatea simetria transitivitate excluderea tertiu lui (vezi prin cipiul e t)' existenţial, cuauLorul e H6, 1 4 9 exponenţială, legea e pentru produsul cartesian 81 expresie în logica predicatel or '

161

- - logica predîcatclor c u identitatea 1 64 - - logica propoziţiilor 151 extinderea unei funcţii 60 - unei functii de elemente la o funcţie de mulţimi 61

fro ntieră '1 7 0 functie 5 6 - ckracLerist.icţ( a unei mul-i timi 60 constant�( 59 cu d omeniul şi codomeniul firi. i L 7 " , 7 5 206

- iden tică 59 - - e o bijecţie - - - - injecţie 65 - - - surjecţie 62 - majoritară 32 - în multimea cî t 84 - de mai' multe variabile 81 - lui Peirce 31 - lui Sheffer 30 selectivă 99 - codomeniul unei f 56 - domeniul unei 1 56 - egalitatea a două funcţii 58 - extensiunea unei f 59 - extinderea unei f de element la o f de multime 61 - identi tatea a două f 58 - restrictia unei f 59 - supra punerea a două f 66 - - leg'ea de asociativitate a ei 67 - valoarea unei f 56 funcţională, relaţie 7 7

generalizare, demonstraţie prin ' g

136

graf 1 69 - conex 1 7 1 - tare conex 1 7 1 grupul ciclurilor 1 7 0 - - frontieră 1 7 0 - cociclurilor 1 7 1 cofrontieră 1 7 1 d e coomologie 1 7 1 lanturilor 1 7 0 omologie 1 7' 1

Horn 1 7 6

judecăţi aristotelice î n 1 36 dempotenţa eonjuncţiei relatiilor 39 - disjuncţiei relaţiilor 40 - intersectiei multimilor 1 6 - reuniunii mulţimilor 1 4

identică, funcţia i 5 9 iden tita te, iden L i laIc f u n e Liilor 58 - relaţia de identitate (de egalitat e) , l,. 4 . 1 64, 197 - - - compatibilitatea 4/. reflexivi tatea

44,

1 65

sime t ria 4.4., 1 6 5 transitivitatea

ind iscernabilitatea 1 6 6 , - logica p redica t el o r şi a iden tităţii 1 6 4 imp licaţia prop oziţiilor 1 2 2 - - trecerea de la im plicaţie la echivalenţă şi de la echi valenţă la imp licaţie 1 2 7 - relatiilor 3 7 - - reflexivitatea 37 - - lransitivitatea 3/ incidenţă, matrice de i 1 '/ 0 independenţă var iabilA i 5 6 indexată, mulţime i 7 7 inclilziunea multimilor 1 0 - an tisime tria io - reflexivitatea 1 0 - transitivitatea 10 - ca injecţie canonică 65 . indivizi, relaţii între indivizi şi mulţimi , 1 4 9 infinilă, in tersecţie i 9 1 - produs cartesian i 96 - reuniune i 8 7 injecţie 6 4 - incluziunea ca inj ecţie 65 ipotetic, silogismul i 1 2 7 , 1 5 5 ipoteze, demons traţie din i 1 5 9 lanţ, 1 7 0 latice 1 1 4 legi d e compo ziţie '1 1 2 - - Între mulţimi - - - d ,ferenta 25 - - - - - d i ffr enta s i rn , trică (suma) 2 9 - - - - - echivalenta ' (su ma duală) 29 .- - - - - in tersecţia .

- - - - - "nici" , funcţia Il 31 - - - - - Peirc.(> functia lui p 31 - - - - - � euniunea 1 1 - - - - - reziduatia 27 - - - - - suma (diferenta . simetr'ică) 2 9 - - -- - suma duală (echivalenţa) 29 - - - - - SheIfer, f u n c ţia lui s 30 legi cre compo z i t ie) in tre prepo ziţii (vezi propoziţii) leg'i de compoziţie în tre relaţii - - -' - - conjuncţia 37 - - - - - - disjuncţia 40 - - - - - produsul 41 proprietăţile legilor de c.om p oziţie - - - -- asodat.ivi tat(>a (vezi a) - - - - comu tativi late

(vezi

- - - -- idempotenţe ( vezi i) p rop rietăţi le perechilor de legi de compoziţiI" - - - - - absorbţia 2 3 , 40,

114,

l. p . i

1 64

115

- - - - - - distributivitate 23, 40, 1 1 3 logica predica telor - - axiomele l. p 1 6 1 - - demonstratia î n l. p 1 6 1 - - expresii in l. p 1 6 1 - - teze in 1. p de finiţia sin� L aclică 1 6 1 logica predicatelor cu identitate - - - - axiomele 1. p . i 1 6 4 în - - - - demonstratia . - - - - expresii în 1 . 1 64

p, i

- - - - teze în l. p. i 1 6 4 logica predica telor cu variabile libere 1 50 logica propoziţiilor - - axiomele 1 , P 1 57 - - demonstraţia În l. p 1 5 8 - - demonstraţia din ipoteze în I. p , 1 5 9 - - expresii în 1.11 . 1 5 1 - - scheme valabile, definiţia semantică 1 5 6 201

- - teze, d e f i niţia 154

[ 60

seman t i c ă

definitia sin tactică 1 5 7 hiva len ţ a d e fi ni ţ iilor

matrice asociali'l unei relatii 1 6 7 modus poneus 1 2 6, 1 5 1;, J 5 8 -"'lorga n, legile lui 1\1 pentru in tersectie si reu n iu n i ele ' multimi' 24 - - � pentru inler�eciie şi re u n iu n i infinite de multimi . 95

mulţimi 9, 1f, 9 - multime alomiC'ă :20 - cît . 47 - de m u l ţ imi 8 5 - cu nn singur (, le m e n !' - indexată

- t o tală 21 -- tipuri de mulţimi ( vezi ti p uri) subm ultimile u nei multimi formeazii o D Igeb rii boo leană ! J :1

negaţia propoziţiilor 124 negative, judecăţi particular (în O) 3 6 - - universal II (în E ) 3 !.

Ob 1 7 6 O , judecăţi aristo telice în O 36 ordine, relaţia de ordine partială 49 - relatia de ordine parţială strictă 50

partiţii 96 particulare judecăţi I' afirmative (în 1) 3 6 - judecăţi p negative (în O ) 3 6 Peirce , funcţia lui p 3 1

208

predica t e ,

l ogi ca

predicateloJ'

(vezi log'ica predicatelor)

- - - cu variabile libcl'e (vezi log'iea predicatelor cu variabile libere) preordine, rela ţia de preordine !I 5

- --- - --- reflexivi ta Lea -- --- - --- lramitivitalea

po nens, ( vezi modus p) p rincipiul contradicţiei 2 !o. ,

1 45 - dilemei I 2 B -- club Ipi negaţii 2 4 , 144 - exrlllelerii tertiului 2!" llo 5 - generalizării '! 3 6 --- silogismului ipo tetic 1 27 produs car t esi a n (vezi carte sian) produs cartesian infini t (\"ezi ca r t es i a n) produs de relaj.ii (vezi le gi de compoziţie între relaţii) propoziţii, co nju nc ţie 1 2 3 --- disj uncţio 1 2 4 - ech ivalentă 1 2 2 - impl i caţie 1 2- 1 - logica propoziţiilor (vezi logica propoziţiilor) - negaţie 1 2 !, - valoarea log'ică a unei prop oziţii 1 52 - de. teoria multimilor 1 3 6 - - d e teoria reiaţiilor binare '136 - - de teoria multimilor si . relatiilor binare 1 3 6' - pl'opoziţională, variabilă ])1'0po ziţională 1li8 prop rietăţi ale legilor de compo ziţie între mulţimi (vezi legi de compoziţie între mulţimi) ale legilor de comp oziţie între relaţii (vezi legi de compo ziţie între relaţii) ale mu lţ i milor 166 - ale relaţiilor - an tisimetria 49 compatibilitatea 44, 55

ireflexivitatea 49 - - - de a fi relatie funcţională 7 7 •

- - - reflexivitate 44, 45, 46, 49 - - - simetria 44, 46 - - - stricta antisimetrie 49 - - - transitivitate 44, 45 46, 49 reflexivitatea 44, 45, 46, 49 - echivalenţei relaţiilor 38 - identitătii 164 - implicaţiei relaţiilor 37 - incluziunii mulţimilor 10 relaţii antisirnetrice 10, 49 - bi nare 3 7 - - conjuncţia r b 3 7 - - de echivalenţă 4 6 - - - - generate de o funcţie 73 - - de identitate (de egali tate ) 44, 1 64, 197 - - de ordine p arţială 49 - - de ordine parţială strictă 50 - - de preordine 45 - - disjuncţia r · b 40 - - echivalenţa r ' b 38 - - functionale 77 - - implicaţia r b 37 - - negaţia unei r b 39 - - produsul . a două r . b 41 - - proprietăţile r . b (v. proprietăţile relaţiilor) - tn multimea cît 84 - între indivizi 37 - între indivizi şi mulţimi - - apartenenţa 9 - neapartenenţa 9 - Intre legi de compoziţie - - absorbţia 23 - - distribu tivitatea 22 - Intre multimi - disjuncţia 1 7 - - incluziunea 10 - Intre relaţii - - - echivalenţa 38 - - - implicaţia 3 7 - pro p rietăţile legilor d e compOZiţie între relaţii (v. - proprietăţile legilor de compoziţie) .

1 4 -585

cuaternare 54 n-are, 54 reflexive 1 0, 3 7 , 3 8 , 44, 45, strict antisimetrice 49 simetrice 1 0 , 38, 44, 46 ternare 54 transitive 10, 37, 38, 44, 45, 46, 49 restricţia unei funcţii 59 resturi 48, 120 reuniunea multimilor 1 1 - - asociativi't atea 1 2 - - comutativitatea 1 1 - - idempotenţa 1 4 reuniunea infinită 8 7 - - asociativitatea 8 8 reziduaţia 2 7

scheme deductive valabile, defi niţia semantică 156 selectivă, funcţie s 99 semantică (v . definiţia semantică) Sheffer, funcţia lui s 30 simetrică, (v. relaţie s) simetria echivalenţei relaţiilor 38 - idendităţii 44 - relaţiilor de echivalenţă 46 simplex O-dimensional 170 - 1-dimesional 1 70 sintactică (v:: definiţia sintactică) suma directă a două mul�imi 70 suma 29 suma duală 2 9 suprapunerea funcţmor 66 - asociativitatea s .I'. 67 strict antisimetrică 49 surjecţie 62

teze ale logicii propoziţiilor, definitia semantică 1 54 - - -' - definitia sintactică 1 57 - - - predicatelor, definiţia sintactică 1 6 1 •

2(19

- - - cu identitate, defi niţia sintactic" 1 6 !l transpuea unei relaţii !l3 - proprietăţile transpo zitiei !l3 tram;itivitatea echiva len tei re' Ia ţiilor 3 8 - ident ităţi i 44, 1 6 5 - implicaţiei relaţiilor 3 7 - inclm;iunii mulţimilor 1 0 reIa tiilor d e echivalentă 46 de preordine !l5 ' - de ordine !l9 -

universale, judecăţi 34

- - u

afirmative

negative 3!l

valoarea funcţiei 56 logică 1 5 2 variabila dependentă 5 6 - independentă 56 -

Zermelo, axiomul lui

Tabla d e materii

l'refaţă

1. Algebra m u lţimi l o r

Incluziunea Reuniunea

10 11

Infersectla

M u l ti mea v i d ă , m u l t i mea fof a l ă , mul t i mi c u un s i n gur e l emenf

Mulţimi disjuncte Mulţimea vidă ş i mulţimile cu u n element Mulţimea totală

leg i l e

disfr ibufivifate şi de absorb t i e

21 22

Legile de distributivitate Legile de absorbţie

22 23

Comp l e m enfera unei m u l t i m i

Exercit i i

Diferenţa Reziduaţia Suma (diferenţa simetrică) Suma duală sau echivalenţa Funcţia lui Sheffer Funcţia "nici" Funcţia majoritară Disjuncţia condiţionată

25 27 '19 9

32 33

Forma ari s to te lică a j udecătl lor

O 1

I I . Algebra relaţl i l o r

R e l a f i i b i nare

Implicaţia relaţiilor Conjuncţia relaţiilor

�11

Echivalenţa relaţiilor Negaţia unei relaţii Disjuncţia relaţiilor Produsul relaţiilor Transpusa unei relaţii

38 39 40 41 43

Relafia de identi tate Relafii de echI v a l entă

44 45 46

Clase de echivalenţă

Relafli de ordine Produs cartez I an Rel ati i n - are

!l9 51 54

III. FuncţII

D e finitia notIunii de tunctle

R e l afii d e preordine

59 Restricţia şi extensiunea unei funcţii 60 Funcţia caracteristică a unei mulţimi Extinderea unei funcţii l a o funcţie d e submulţimile domeniului 61 Surj ectli

Funcţia pseudoinversă

I n j ecfil

Incluz unea ca funcţie

B l j ecfii

Suprapunerea a do u ă funct i i

Alte proprietăţi ale funcţiilor Relaţia de echivalenţă generată de o funcţie

70 73

Functii cu domeniul sau cu codo menIul II nlt

7 !l

Funcţii cu domeniul finit Funcţii cu domeniul şi codo meniul finit

74 75

Şiruri

Mulţimi indexate

Relati i functionale Produsul cartezi an a l mai mult or m u l ti m I

77 78

Funcţii de mai multe variabile

212

Proprl etăti diverse Functii şi relat i i tn multlmea ctt

' I V. Mu l t i mi d e mu l t i m i Reuniune infinită, I ntersectle I n fi nită Partltil Produs cartezian Infinit

82 84 85 87 91 96 96

Legile de idem p otenţă

99 100 103

Proprletăti a l e endomo r li s m e l or

10ii

Observaţii

1 06

Teorema l u i Banach

107 112 119

Axioma lui Zermelo Legile distributive

V. Ai gebre booleene A l gebra booleană .\} Z

VI. Red ucerea a l gebrei m u l t i m i l or , 1 a algebrei relati i l or la log i ca pred l cate l.pr

Cuantorul existential

121 121 126 129 13ii H6

VII. Ana l iza J u decăt l l o r din capitolele preceden te

A l fabetul uti l i z a t

Teoria tipur i l o r

H8 1 51 157 161 16ii 167 167 169 1'7 2

V I I I . Âpl l cati l l e logi c I I matemati ce

178

Apl icati i l a teoria clas i ficării

178 182 186 189

I m p l icatla, conjuncfi a , echivalenfa, d i sjuncfle şI negati a Tipuri de demonstra tii Dem onstrati i folosind teoreme a l e logicii propoz i t i i l or Cuantorul universal

Definifla semantică a tezelor tn logica propoz itli lor Definitia sintactică a tezelor tn logica propozlfil lor Defl n l tia si ntact ică a teze lor tn lo gica pred icatelor I d entitetea Mu ltimaa e l eQ'l entelor ce au o proprietate dată Rel afll binare tntr- o mulfi m e finl/ă Teoria grafuri l or

Aplicatii l a circuitele c u contacte A plicati i tn Economia matematică A p licatII t n Lingvistica matem atică

213

Adden da

i97

Teze il i e logi c i i propoz i t i i lor

199

Te'ze ale teoriei multi m i l o r Ĺ&#x;i a l e logicii p r e d lcat e lor monare Teze al e logicii

re latIIlor bi na r e

Teze a l e logicii pred icate l or cu I ndice d e semne I nd ice de cuvinte

i dentitata

200 202

202

203

20ďż˝