Educação Financeira by Mariane SantAnna

INTRODUÇÃO Esta apostila é destinada aos (às) estudantes do curso de Educação Financeira do CEP Ceilândia. O módulo complementa os livros de Matemática Financeira, não os substitui. As atividades propostas no módulo são contextualizadas e criadas a partir do orçamento pessoal, resgatando como padrão a cesta básica de consumo informada pelas instituições de pesquisa. A Matemática Financeira é uma ferramenta para analisar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro ao longo do tempo, alternativas para aplicação e obtenção dos recursos financeiros. E vamos trabalhar ao longo do curso com o aplicativo Excel. Já para facilitar o entendimento dos(as) estudantes começamos pela revisão de Razão e Proporção, Porcentagens e Grandezas Proporcionais.

01.

Razões e Proporções

01.1 – Razões Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

4 = 2 (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart). 2

⎛1⎞ Podemos afirmar também que o kart tem a metade ⎜ ⎟ , do comprimento ⎝2⎠ do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão. 1 A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada 2 metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida. Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero) a o quociente ou a:b. b A palavra razão vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão.

2 Exemplos: 1) Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. A Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). 2) Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. A Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações: 1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo: Razão entre 1 e 4 pode ser representada por 1:4 ou

1 ou 0,25. 4

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos: a) A razão entre 1 e -8 é

−1 −1 1 b) A razão entre e é 5 , como é uma fração de fração, ou 1 5 4 4 divisão de fração, a regra matemática diz que:

Conserva-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso da segunda fração.

3 −1 −1 4 Sendo assim temos: 5 = . , na multiplicação de frações a regra 1 5 1 4 matemática diz que:

Multiplica-se o numerador com numerador e o denominador com denominador. Obtendo-se então:

− 1.4 − 4 = 5.1 5

Exemplo: PIB-Percapita =

PIB População

* Resolução: *

1.800.000.000.000 = 8.181,82 220.000.000

01.2 - Termos de uma razão Observe a razão:

a (lê-se "a está para b" ou "a para b"). b a Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o b número b é denominado conseqüente. a :b =

Veja o exemplo:

A leitura desta razão é: 3 está para 5 ou 3 para 5.

01.3 - Razões inversas Considere as razões

4 5 e . 5 4

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja,

4 5 . = 1. 5 4

Nesse caso, podemos afirmar que

4 5 . são razões inversas. 5 4

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1. Observação:

Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o conseqüente da outra, e vice-versa. Observações: 1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos. Exemplo: O inverso de

2 5 é . 5 2

01.4 - Razões equivalentes Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira: Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero), obtemos uma razão equivalente. Exemplos:

são razões equivalentes.

01.5 - Razões entre grandezas de espécies diferentes Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas O conceito matemático é: Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade. Exemplo: Arthur fez o percurso do Rio a São Paulo (420Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? E o que significa essa razão? Resolução: Razão =

420 Km = 84 km / h 5

Essa razão significa que, a cada hora, foram percorridos em média 84 km.

01.5 - Proporções Situação Problema: Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

6 Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos 120 40 = afirmar que a igualdade é uma proporção. 48 16 Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões. 01.6 - Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c e d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

a:b = c:d ou

a c = b d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção.

Exemplo: Dada a proporção

3 27 temos: = 4 36

Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

01.7 - Propriedade fundamental das Proporções Observe as seguintes proporções: Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120 Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180 Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360

De modo geral, temos que:

Podemos então enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 01.8 - Aplicações da propriedade fundamental Determinação do termo desconhecido de uma proporção Exemplos: Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5.x = 8.15 (aplicando-se a propriedade fundamental temos) ⇒ 120 ⇒ 5.x = 120 ⇒ x = ⇒ x = 24 5 Logo, o valor de x é 24.

8 Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5.(x-3) = 4.(2x+1) ⇒ (aplicando-se a propriedade fundamental temos) ⇒ − 19 ⇒ 5x - 15 = 8x + 4 ⇒ 5x - 8x = 4 + 15 ⇒ -3x = 19 ⇒ 3x = -19 ⇒ x = 3 − 19 Logo, o valor de x é . 3 Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução:

5 35 = ⇒ (aplicando a propriedade fundamental) ⇒ 5.x = 8.35 ⇒ 8 x 280 5x = 280 ⇒ x = ⇒ x = 56 5 Logo, o valor de x é 56. Resolução de problemas envolvendo proporções Exemplo: Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários? Solução: A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40 dm3 = 0,04 m3, pois é a regra de transformação de decímetro cúbico para metro cúbico.

(aplicando a propriedade fundamental) 1. 2 = 0,04 . x 0,04x = 2

x = 50 m3 Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

01.9 - Quarta proporcional Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo: Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6. Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental) 8. x = 12 . 6 8.x = 72

x = 9 Logo, a quarta proporcional é 9.

1.10 - Proporção contínua Considere a seguinte proporção:

9 12 = 12 16

10 Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:

Proporção contínua é toda proporção que apresenta os meios iguais. De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo: Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. Solução: Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental) 20.x = 10.10 20x = 100

x=5 Logo, a terceira proporcional é 5.

Média geométrica ou média proporcional

a b = , o número b é denominado b c média geométrica ou média proporcional entre a e c. Dada uma proporção contínua

11 Exemplo: Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.

Solução:

5.20 = b.b 100 = b2 b2 = 100 b= b = 10 Logo, a média geométrica positiva é 10.

1.11 - Propriedades das proporções 1ª propriedade: Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Exemplo: Determine x e y na proporção

x 3 = , sabendo que x + y = 84. y 4

Lembrando que x + y = 84

Solução:

Assim:

x + y = 84 ⇒ x = 84 – y ⇒ x = 84 - 48 ⇒ x = 36. Logo, x = 36 e y = 48. 2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Demonstração Considere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo: Sabendo-se que x – y = 18, determine x e y na proporção

x 5 = . y 2

Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x – y = 18 ⇒ x = 18 + y ⇒ x = 18 + 12 ⇒ x = 30. Logo, x = 30 e y = 12. 3ª propriedade:

13 Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. Demonstração: Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. Demonstração: Considere a proporção:

a c = Permutando os meios, temos: b d a b = Aplicando a 2ª propriedade, obtemos: c d a−c b−d = Permutando os meios, finalmente obtemos: c d

14 Exemplo: Sabendo que a - b = - 24, determine a e b na proporção

a b = . 5 7

Solução: Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade: Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente. Demonstração: Considere a proporção:

Multiplicando os dois membros por

a , temos: b

Assim:

Observação Importante: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:

1.12 - Proporção múltipla Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais.

Assim:

é uma proporção múltipla. Dada a série de razões iguais a:

, de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:

2 - Resolução de Problemas 02.1 – Grandezas Proporcionais Introdução Entenderemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: volume, massa, superfície, comprimento, velocidade, tempo, entre muitos outros. É comum ao nosso cotidiano as situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo, e são inversamente proporcionais entre si. Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção e são diretamente proporcionais entre si.

02.2 - Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: Tempo (minutos) 5 10 15 20

Produção (Kg) 100 200 300 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min ⇒ 100Kg 10 min ⇒ 200Kg Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min ⇒ 100Kg 15 min ⇒ 300Kg Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

02.3 - Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo:

17 Velocidade (m/s) 5 8 10 16 20

Tempo (s) 200 125 100 62,5 50

Observe que: uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s ⇒ 200s 10 m/s ⇒ 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s ⇒ 200s 20 m/s ⇒ 50s Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

02.4 - Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples: 1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2) Identificar se proporcionais.

grandezas

são

diretamente

inversamente

3) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m2) 1,2 1,5

Energia (Wh) 400 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

19 Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) 400 480

Tempo (h) 3 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas 3 5

Preço (R$) 120 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia 8 5

Prazo para término (dias) 20 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

02.5 - Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

21 Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas 8 5

Caminhões 20 x

Volume 160 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

22 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens 8 4

Carrinhos 20 x

Dias 5 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios, em caso de dúvidas entre em contato com seu tutor: 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

03 - PORCENTAGEM É uma forma de expressar acréscimos ou reduções, em preços ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que para cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.

24 Significa que para cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Tabajara, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Tabajara, 90 são craques.

Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos:

25 01

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. EXERCÍCIOS: 01

Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 02

Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$ 250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$ 250,00, resulte nos R$ 300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: O FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro 10% 15% 20% 47% 67%

Fator de Multiplicação 1,10 1,15 1,20 1,47 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto 10% 25% 34% 60% 90%

Fator de Multiplicação 0,90 0,75 0,66 0,40 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

04. MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: O juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

4.1 JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J=P.i.n Onde:

J= juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = P.i.n

8 x 2 = R$ 160,00 100 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. J = 1.000 x

Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) M = P.( 1 + ( i . n ) ) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70.000 [1 + (10,5:100).(145:360)] = R$ 72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples: 01

Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0,13:6 = 0,02167 ⇒ logo, 4m15d = 0,02167 x 9 = 0,195 j = 1.200 x 0,195 = R$ 234

Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36:360 dias = 0,001 a.d.

30 Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$ 5.000,00 03

Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 : 0,030 = R$ 116.666,67 04

Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150 : 100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2 : 3 ano = 8 meses

4.2 JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

31 M = P . (1 + i)n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J=M-P Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035 = 0,0149 e log 1,509=0,1788) Resolução: P = R$ 6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=? Usando a fórmula M = P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: log x = log 1,03512 ⇒ log x = 12 log 1,035 ⇒ log x = 0,1788 ⇒ x = 1,509 Então M = 6000.1,509 = 9054 Portanto o montante é R$ 9.054,00

Relação entre juros e progressões No regime de juros simples: M( n ) = P + n r P No regime de juros compostos: M( n ) = P . ( 1 + r ) n Portanto: Num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética.

Num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica.

4.3 TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, e produzem o mesmo montante final. Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a ). Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im. O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a: M’ = P(1 + im)12 . Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter a seguinte relação matemática entre os montantes:

M = M’. Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12 Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12 Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

Exemplos: 01

Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

Resolução: Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2 1 + ia = 1,082 ia = 0,1664 = 16,64% a.a. 02

Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

Resolução: 1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1,005)12

33 ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

4.4 TAXAS NOMINAIS A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 9 340% ao semestre com capitalização mensal. 9 1150% ao ano com capitalização mensal. 9 300% ao ano com capitalização trimestral. Exemplo: 01

Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva: 15:12 = 1,25 ⇒ 1,2512 = 1,1608

4.5 TAXAS EFETIVAS A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 9 140% ao mês com capitalização mensal. 9 250% ao semestre com capitalização semestral. 9 1250% ao ano com capitalização anual. Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

4.6 FLUXO DE CAIXA O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:

Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.

4.7 VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO Na fórmula: M = P . (1 + i)n O principal P é também conhecido como: Valor Presente (PV = present value) O montante M é também conhecido como: Valor Futuro (FV = future value). Então essa fórmula pode ser escrita como: VF = VP (1 + i) n Isolando PV na fórmula temos: VP = VF / (1+i)n

Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente. Exemplo: Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês? Solução: FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36