Searching for the relationship between mathematics and architecture by Marielena Papandreou

διερευνώντας τη σχέση των μαθηματικών με την αρχιτεκτονική σπουδάστρια: Παπανδρέου Μαριέλενα / επιβλέπων : Παπαλεξόπουλος Δημήτρης / Ιούλιος 2015

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών

διάλεξη//διερευνώνταςτηνσχέσητωνμαθηματικώνμετηναρχιτεκτονική

σπουδάστρια // Παπανδρέου Μαριέλενα επιβλέπων καθηγητής // Παπαλεξόπουλος Δημήτρης

περίοδος Ιουλίου 2015

εξώφυλλο // μεγάλη αυλή του Βρετανικού Μουσείου, Foster + Partners (αρχιτέκτονες), Buro Happold and Waagner-Biro (μηχανικοί), Λονδίνο, Ηνωμένο Βασίλειο, 2000. Τρεις εξισώσεις περιγράφουν το μετασχηματισμό από το ορθογωνικό εξωτερικό όριο στο κυκλικό εσωτερικό διατηρώντας την συνέχεια της καμπυλότητα με την χρήση τριγωνισμών. Η επίλυση της σύνθετης αισθητικής και των δομικών απαιτήσεων αντανακλάται στην κομψότητα των μαθηματικών που προέρχονται από τον Chris Williams.

Οι αναφορές στα μαθηματικά, και ειδικότερα στην αριθμητική και τη γεωμετρία, αποτελούν ένα γενικό χαρακτηριστικό της αρχιτεκτονικής κατά τη διάρκεια της ιστορίας. Τα μαθηματικά μερικές φορές αντιμετωπίζονταν ως το αληθινό θεμέλιο, η θεωρητική τεκμηρίωση της αρχιτεκτονικής πειθαρχίας, και άλλες φορές ως μια συλλογή από χρήσιμα εργαλεία σχεδιασμού. Προς το τέλος του 18ου αιώνα με την ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού, άρχισε η σταδιακή αποξένωση μεταξύ των δύο κλάδων, αφού οι αρχιτέκτονες δυσκολεύονταν να παρακολουθήσουν τις γρήγορες εξελίξεις και την αυξημένη εξειδίκευση των μαθηματικών της εποχής τους. Κατά την τελευταία δεκαετία, με την έναρξη της χρήσης των υπολογιστών μας δόθηκε η ευκαιρία όχι μόνο να επανασυνδεθεί η αρχιτεκτονική με την γεωμετρία, αλλά να αναζητήσουμε τις δυνατότητες της μη-ευκλείδειας γεωμετρίας και επιπλέον να συνειδητοποιήσουμε τις ευκαιρίες που μας προσφέρουν άλλοι κλάδοι των μαθηματικών, όπως η τοπολογία, ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, καθώς και οι αλγόριθμοι. Οι σημερινοί αρχιτέκτονες χρησιμοποιούν καθημερινά τα μαθηματικά για να αγκαλιάσουν τη λαχτάρα τους για δημιουργία και για την επίτευξη των στόχων τους, πολλές φορές χωρίς να το αντιλαμβάνονται, εφόσον βρίσκονται κάτω από την επιφάνεια του λογισμικού που χρησιμοποιούν.

περιεχόμενα

εισαγωγή

μια σύντομη αναφορά στην εξέλιξη των μαθηματικών του χώρου *οι πρώτες έννοιες

από την πορεία των μαθηματικών στη γλώσσα των μορφών *η θεωρητική τεκμηρίωση

η εκδοχή του σήμερα, η αλληλεπίδραση του σχεδιασμού με τα υπολογιστικά εργαλεία *η ψηφιακή ροή εργασίας

επίλογος

βιβλιογραφία

πηγές φωτογραφιών

*η χρήση του αριθμού *οι νέες γεωμετρίες *τοπολογία, διαφορικός λογισμός και διαφορική γεωμετρία *από τον 19ο αιώνα και μετά

*η πρακτική εφαρμογή *ο νέος προσανατολισμός

*η επίδραση της τεχνολογίας στην κατασκευή *το λογισμικό και η πληροφορία *αλγόριθμοι και υπολογιστική πολυπλοκότητα *make your own software buzz

13 15 17 19 21 25 28 30 35 39 42 45 49

εισαγωγή

1. Παρθενώνας. Ο σχεδιασμός του ναού αντανακλά μια αίσθητική που οφείλεται στην χρήση των μαθηματικών αναλογιών. 2. Γεωμετρικές χαράξεις στην όψη της «Santa Maria Novella» του Leon Battista Alberti, Φλωρεντία(1456) 3. Εξώφυλλο βιβλίου του Huntley με τίτλο «Η θεϊκή αναλογία» 4. Εξώφυλλο του βιβλίου Islamic Art and Geometric Design, The Metropolitan Museum of Art, New York, 2004

Πολλοί από μας σαστίζουμε μόνο στο άκουσμα της λέξη «μαθηματικά». Συνήθως φέρνει στο μυαλό μας πολλά χρόνια αναγκαστικής μάθησης σε αποπνικτικές αίθουσες. Αρκετοί σχεδιαστές έχουν αισθανθεί ότι έχουν το δικαίωμα να απελευθερωθούν από τους περιορισμούς μιας τέτοιας, εξαιρετικά απαιτητικής και λογικής, πειθαρχίας.1 Ο George L. Legendre συγκρίνει τα μαθηματικά με τις «υδραυλικές σωληνώσεις» - το ουσιαστικό αλλά καθόλου ελκυστικό σύστημα που κρύβεται πίσω από την αρχιτεκτονική σκέψη.2 Βεβαία, οι αρχιτέκτονες έχουμε συνήθως πρόβλημα με την πιο βαρετή εφαρμογή των μαθηματικών που σχετίζεται με λειτουργικές και υπολογιστικές διαδικασίες, ακόμα και σήμερα που τα ψηφιακά μέσα επιτρέπουν τον αυτοματισμό αυτών των διαδικασιών, τον προγραμματισμό και την ευελιξία σχεδιασμού που φέρει. Πέραν όμως από αυτή την επίμονη αστάθεια της διάθεσης μας σε σχέση με την πειθαρχία, είναι απαραίτητο να αναγνωρίσουμε ταυτόχρονα μια διαρκή ρομαντική σχέση που έχει η αρχιτεκτονική με έναν συγκεκριμένο κλάδο των μαθηματικών - την γεωμετρία. Αυτό είναι αναμενόμενο αφού η γεωμετρία αποτελεί την πιο οπτική εκδήλωση των μαθηματικών. Πρόκειται για ένα δεσμό που έχει κυριαρχήσει ανά τις ηπείρους και έχει αντέξει στο πέρασμα του χρόνου. Είναι εμφανής από τους αρχαίους ναούς, τις αναγεννησιακές εκκλησίες, τις ισλαμικές δομές μέχρι και τις σύγχρονες ψηφιακές επιφάνειες - έφτασε μάλλον το σημείο της κορύφωσης του με τον όρο «ιερή γεωμετρία» στην Ιταλία του 15ου αιώνα , όταν σε ορισμένους αριθμούς και μοτίβα αποδόθηκαν συμβολικές ιερές ιδιότητες.3 Συμφώνα με την ιστορική προσέγγιση του Antoine Picon στο άρθρο του «Architecture and Mathematics: Between Hubris and Restraint»4 προς το τέλος του 18ου αιώνα, με την ανάπτυξη του λογισμού και την ευρύτερη εξέλιξη και αυξανόμενη εξειδίκευση των μαθηματικών άρχισε σταδιακά να αποξενώνεται η αρχιτεκτονική από τα μαθηματικά. Μέχρι τότε οι αρχιτέκτονες χρησιμοποιούσαν τα μαθηματικά τόσο για να τεκμηριώσουν την 1 2 3 4

Jackie Craven, Love Architecture, Hate Math?, http://architecture.about.com/od/becomeanarchitect/fl/Do-Architects-Use-Math.htm George L. Legendre, AD Mathematics of Space, July/August 2011, John Wiley & Sons Ltd, pg 9 Robert Lawlor, Sacred geometry, London: Thames and Hudson, 1982 George L. Legendre, AD Mathematics of Space, July/August 2011, John Wiley & Sons Ltd, pg 28-35

αρχιτεκτονική τους πρακτική, όσο και ως ένα σύνολο από εργαλεία για την επίλυση του σχεδιασμού. Όταν οι αρχιτέκτονες του 19ου αιώνα όπως o Eugène-Emmanuel Viollet-le-Duc, αναζήτησαν θεμέλια πάνω στα όποια θα μπορούσαν να εδραιώσουν την αρχιτεκτονική τους δημιουργία, βρήκαν περισσότερο ενδιαφέρον στις επιστήμες της βιολογίας και της φυσιολογίας από ό,τι στα μαθηματικά της εποχής τους που σχετίζονταν με τον απειροστικό λογισμό. Ενώ η αριθμητική και η γεωμετρία παρέμειναν εξαιρετικά χρήσιμα και πρακτικά εργαλεία, σταδιακά έχασαν την αύρα τους ως σχεδιαστικές τεχνικές αιχμής. Αυτή η αποξένωση έχει διαρκέσει μέχρι σήμερα, ακόμη και αν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές έχουν επιτρέψει στους αρχιτέκτονες τη χρήση διάφορων μαθηματικών εργαλείων. Στην πραγματικότητα, η σημερινή κατάσταση είναι αρκετά παράδοξη, εφόσον κάτω από την επιρροή των ψηφιακών εργαλείων οι αρχιτέκτονες δεν έχουν χρησιμοποιήσει ποτέ ξανά τόσα πολλά μαθηματικά αντικείμενα, από τις καμπύλες Bézier μέχρι τους αλγορίθμους, ενώ όμως ταυτόχρονα παραμένουν αδιάφοροι στο ζήτημα της σχέση της αρχιτεκτονικής με τα μαθηματικά. Τα τελευταία 20 περίπου χρόνια, η αρχιτεκτονική έχει αλλάξει σημαντικά από την έλευση της τεχνολογίας των υπολογιστών και των πληροφοριών. Το σχεδιαστικό λογισμικό (design software) και τα μηχανήματα κατασκευής (numerical fabrication machinery) έχουν αναδιατυπώσει τον παραδοσιακό ρόλο της γεωμετρίας στην αρχιτεκτονική και έχουν ανοίξει νέους ορίζοντες στις δυνατότητες που παρέχονται από τον παραμετρικό σχεδιασμό, την τοπολογία και άλλους κλάδους των μαθηματικών. Το αντίκτυπο των υπολογιστικών συστημάτων έχει τεκμηριωθεί ευρέως. Αυτό που είναι λιγότερο σαφές, είναι ο ρόλος των ίδιων των μαθηματικών σε αυτή την «αρχιτεκτονική επανάσταση». Ενώ η σχεδιαστική μας κουλτούρα έχει σθεναρά αγκαλιάσει τις καινοτομίες της πληροφορικής, πολύ λιγότερο έχει ενδιαφερθεί για τις ρίζες των επιτευγμάτων. Υπάρχουν αρκετοί λόγοι πίσω από αυτό το παράδοξο. Τα μαθηματικά είναι ένας βαθιά αφηρημένος κλάδος, και ως εκ τούτου αρκετά παρεξηγημένος. Πολλοί από εμάς μπορούμε να ανακαλέσουμε αναμνήσεις σκληρής εργασίας, απογοήτευσης, ακόμα και αποτυχίας. Όσον αφορά το σχεδιαστικό λογισμικό σαν εργαλείο, τουλάχιστον με μια πρώτη ματιά, φαίνεται να το αντιλαμβανόμαστε πιο εύκολα, σε σχέση με τα μαθηματικά. Στα ψηφιακά περιβάλλοντα που σχεδιάζουμε η διατυπωμένη σύνταξη των μαθηματικών κρύβεται πίσω από τα εργαλεία που μας παρέχονται και ταυτίζεται με την λειτουργικότητα του ψηφιακού μέσου. Σε αυτή την κρίσιμη συγκυρία, είναι σημαντικό να διερευνηθεί ο αντίκτυπος των μαθηματικών στη σύγχρονη δημιουργικότητα, που περιέργως έχει παραμεληθεί με την έναρξη της εποχής του ψηφιακού σχεδιασμού. Είναι αναγκαίο οι αρχιτέκτονες, οι σχεδιαστές, οι ιστορικοί και οι μηχανικοί να προβληματιστούμε σχετικά με τις ρίζες της διαδικασίας, και τους πολλαπλούς τρόπους που αυτές διαμορφώνουν τις πρακτικές, ενώ συμβάλουν παράλληλα στο να καθοριστούν νέες κατευθύνσεις. Μια καλύτερη κατανόηση του πεδίου των μαθηματικών και κατ’ επέκταση της σημασίας που έχουν για τους αρχιτέκτονες θα μπορούσε να αποτελέσει ένα απαραίτητο βήμα προκειμένου για να ξεπεραστεί αυτή η αδιαφορία της σημερινής εποχής. 5. Borja Ferrater, Office of Architecture in Barcelona (OAB), Χρονολογικό διάγραμμα των κατασκευών και των γεωμετριών στην αρχιτεκτονική του 20ου αιώνα, 2006

6. Philippe Morel, Mathematical Subject Classification , 2005 // το διάγραμμα έγινε για πρώτη φορά για να εικονογραφηθεί μια διάλεξη με τίτλο “Some Geometries” στο συμπόσιο “Loopholes between theory and practice” στο Harvard Graduate School of Design, τον Απρίλιο του 2005. Η ιδέα ήταν να δείξει ότι η γεωμετρία δεν είναι ένα ομοιογενές πεδίο, αλλά ένα πολύ σύνθετο και περίπλοκο τοπίο. 12

μια σύντομη αναφορά στην εξέλιξη των μαθηματικών του χώρου Τα μαθηματικά δεν είναι ένα σταθερό και καλά καθορισμένο αντικείμενο, αλλά μάλλον ένα πλήθος αντικειμένων, πρακτικών, θεωριών, γνωστικών και συλλογικών κατασκευών, που έχουν ιστορία και μεγάλη ποικιλομορφία. Βρίσκουν εφαρμογή στο φυσικό κόσμο, στον χώρο και γενικά στην ευρύτερη πραγματικότητα. Η Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Ο χώρος στα μαθηματικά είναι ένα σύνολο που έχει μια μαθηματική δομή. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα.5 Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων. Παρακάτω θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης και ειδικότερα των γεωμετρικών εννοιών και θα προσπαθήσουμε να εξετάσουμε τα κρίσιμα σημεία που άλλαζαν τη σκέψη, τις παραδοχές και τα εργαλεία στην μελέτη της γεωμετρίας. Στη συνέχεια θα διακρίνουμε το πως όλα αυτά επηρέασαν με τη σειρά τους τον τομέα της αρχιτεκτονικής.

*οι πρώτες έννοιες Η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών, λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών. Οι ρίζες της εντοπίζονται σε κάποιες αναπτυγμένες κοινωνίες της Ανατολής από την 5η ως και τη 2η χιλιετία π.Χ. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι είναι από τους πρώτους που ανέπτυξαν αυτό τον κλάδο των μαθηματικών, ενώ δεν είναι τυχαίο ότι οι λαοί αυτοί ζούσαν κοντά σε μεγάλα ποτάμια, όπου με τις συχνές τους πλημμύρες μετέβαλλαν το γύρω χώρο σ’ ένα απέραντο λασπότοπο. Οι κάτοικοι, επομένως, αντιμετώπιζαν την επιτακτική ανάγκη να μετρούν τη γη, να επανακαθορίζουν τα όρια των αγρών και να επινοούν τρόπους κατασκευής αρδευτικών έργων, ώστε να ελέγχονται οι πλημμύρες και έτσι να μετατρέπουν τους 5 http://el.wikipedia.org/wiki/Γεωμετρία

λασπότοπους σε πλούσιους σιτοβολώνες και ορυζώνες.6 Αποτέλεσμα των αδιάκοπων αυτών προσπαθειών ήταν η ανάπτυξη των αρχών της τριγωνομετρίας, διαιρώντας τον κύκλο σε 360 μοίρες και υπολογίζοντας τον αριθμό π, δηλαδή το πηλίκο του μήκους της περιφέρειας του κύκλου δια το μήκος της διαμέτρου του, περίπου ίσο με 3+1/8.7 Για τους ανατολικούς λοιπόν λαούς η γεωμετρία προέκυψε ως αναγκαίο εργαλείο για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Για τους αρχαίους έλληνες όμως, αποκτά θεωρητική διάσταση με κύριους εκπροσώπους τον Θαλή τον Μιλήσιο, ο οποίος συνέβαλλε στην ανάδειξη και ανάπτυξη της αποδεικτικής μεθόδου, και τον Ευκλείδη, που μέσα από τους 13 τόμους του έργου του «Στοιχεία», ήταν ο πρώτος που τοποθέτησε τη γεωμετρία σε αξιωματική βάση (δικαιολογημένος λοιπόν και ο όρος «Ευκλείδεια γεωμετρία»). Δεν πρέπει να παραβλέψουμε να αναφέρουμε και τους Πυθαγόρειους οι οποίοι τελειοποίησαν την αποδεικτική μέθοδο.8 Κατά την διάρκεια της περιόδου των Ελληνικών Μαθηματικών (6ο-3ο π.Χ. αι.) εισάγεται η έννοια της Χρυσής Τοµής και υπολογίζεται.9 Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε φ, προς χάριν του Φειδία, και χρυσός αριθμός καθώς δημιουργεί την αίσθηση της αρμονίας των αναλογιών. Χρυσά ορθογώνια βρίσκουμε στον Παρθενώνα, ενώ το σύστημα της χρυσής τομής το αξιοποίησαν πολλοί αρχιτέκτονες, ανάμεσα τους και ο Le Corbusier για να δημιουργήσει το δικό του σύστημα αναλογιών, γνωστό ως Modulor. Την εποχή αυτή, επίσης, αναπτύσσεται και η Ευκλείδεια Γεωµετρία. Τον όρο «στοιχεία» οι Αρχαίοι Έλληνες τον αποδίδουν σε κάθε σύστημα μαθηματικών προτάσεων και Θεωρημάτων που βασίζεται σε αξιώµατα. Ο Ευκλείδης προσπάθησε να οικοδομήσει το σύστηµα του βασισμένο σε 5 αιτήµατα και σε θεμελιώδης και κοινές έννοιες (αξιώματα), η αλήθεια των οποίων είναι προφανής.10 Τα πρώτα 3 αιτήματα αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ευθυγράμμου τμήματος, προέκτασης ευθείας και κατασκευής κύκλου. Εισάγεται η αποκλειστική χρήση του κανόνα και του διαβήτη, όπου ο περιορισμός αυτός έπαιξε σπουδαίο ρόλο στην εξέλιξη της Γεωµετρίας, αφού οδήγησε στην ανακάλυψη πολλών καμπυλών στην προσπάθεια των μαθηματικών να επιλύσουν τα τρία περίφημα “άλυτα” προβλήματα της Αρχαιότητας, τα οποία είναι ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας. Το 5ο αίτημα, που είχε να κάνει με την τομή ή την παραλληλία ευθειών, καθορίζει τη φύση σχεδόν ολόκληρης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η άρνηση της ισχύος του, αποτέλεσε την αφετηρία για την ανακάλυψη των λεγομένων σήμερα μη-Ευκλειδείων Γεωμετριών. 6 Αλιμπινίσης Αναστάσιος, Κοντογιάννης Δημήτριος, Δημάκος Γεώργιος, Τασσόπουλος Γεώργιος, Εξαρχάκος Θεόδωρος, Θεωρητική Γεωμετρία Α’ Λυκείου, Ο.Ε.Δ.Β, 1990-98 7 http://en.wikipedia.org/wiki/ Γεωμετρία 8 Βασίλειος Παπαντωνίου, Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα, ΤΕΙ Πειραιά | Επιστημονικό Συμπόσιο 1-2 Ιουνίου 2012 – Γεωμετρία: από την Επιστήμη στην Εφαρμογή 9 το ίδιο, Λέγοντας χρυσή τομή εννοούμε την διαίρεση ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ σε δυο άνισα μέρη από ένα σημείο Μ, έτσι ώστε το πηλίκο της διαίρεσης του μήκους του ΑΒ δια του μήκους του μεγαλύτερου τμήματος να ισούται µε το πηλίκο της διαίρεσης του μήκους του μεγαλύτερου προς το μήκος του μικρότερου` 10 Heath, T.L. (1956), The Thirteen Books of Euclid’s Elements, Dover Publications: New York. 14

Τα 5 Αιτήµατα του Ευκλείδη είναι τα ακόλουθα: 1. Δυο διαφορετικά σημεία ορίζουν μοναδική ευθεία γραμμή, στην οποία τα σημεία αυτά ανήκουν. 2. Κάθε πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται κατά τρόπο συνεχή σε άπειρη ευθεία γραμμή. 3.Με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα, γράφεται κύκλος. 4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 5. Αν μία ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος «εντός και επί τα αυτά» γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που είναι αυτές οι γωνίες (ορισμός παραλληλίας: Παράλληλες είναι οι ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και που δεν τέμνονται)

Ο Ευκλείδης, εκτός από τα αιτήματα χρησιμοποίησε θεμελιώδεις έννοιες. Δεν τις όρισε, απλώς τις περιέγραψε με τις ουσιώδεις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα έγραψε: – Σημείο είναι αυτό που δεν έχει μέρος. – Γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος. – Επίπεδο είναι ότι έχει μήκος και πλάτος, κλπ. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία για πολλούς αιώνες υπήρξε η βάση, πάνω στη οποία στηρίχθηκε η ανάπτυξη πολλών άλλων κλάδων των Μαθηματικών και άλλων επιστημών. Η λογική συνέπεια που απαιτούν οι αποδείξεις των Θεωρημάτων της, σε συνδυασμό με την άμεση εποπτεία των σχημάτων, την ανέδειξαν ως το κατ΄ εξοχήν μάθημα που οξύνει το πνεύμα και την καλαισθησία του ανθρώπου και αποτελεί μέχρι σήμερα, σε όλο τον κόσμο, ένα από τα πιο βασικά διδακτικά εργαλεία.

7. Σελίδα τίτλου της πρώτης αγγλικής έκδοσης του Sir Henry Billingsley των Στοιχείων του Ευκλείδη, 1570

*η χρήση του αριθμού Η ανάπτυξη της γεωμετρίας εμποδίστηκε κατά ένα μέρος από τεχνικούς περιορισμούς που οφείλονταν στο ότι δεν γινόταν χρήση της έννοιας του αριθμού, δηλαδή της αριθμητικής και της άλγεβρας. Ακολούθησε μια περίοδος, κατά τη διάρκεια της οποίας η γεωμετρία διαδόθηκε στη Δύση, ενώ στις Ινδίες και στην Αραβία αναπτύσσονταν η αριθμητική και η άλγεβρα. Τον 13ο αιώνα ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι έφερε στη Δύση τις λογιστικές μεθόδους των Ινδών και των Αράβων, ενώ εξακολουθούσε να ενδιαφέρεται για γεωμετρικά προβλήματα. Οι μαθηματικές σπουδές άρχισαν στη Δύση, κατά τον 16ο αιώνα, με ιδιαίτερη έμφαση στην άλγεβρα.11 Οι εξελίξεις αυτές άνοιξαν τον δρόμο προς την αναλυτική γεωμετρία, την οποία θεμελίωσαν ο Pierre de Fermat και ο René Descartes (Καρτέσιος). Ο τελευταίος δημοσίευσε το 1637 το έργο του «Γεωμετρία» ως συμπλήρωμα στο «λόγος περί της μεθόδου», για να υποστηρίξει ότι η πιο κατάλληλη μέθοδος για τη μελέτη γεωμετρικών προβλημάτων είναι η αλγεβρική και έτσι να εγκαθιδρύσει τη μέθοδο των συντεταγμένων. Αναλυτική γεωμετρία είναι το είδος της γεωμετρίας που θεωρεί το γεωμετρικό χώρο διανυσματικό.12 Κάθε διάνυσμα αντιστοιχεί σε ένα σημείο του χώρου, ενώ τα γεωμετρικά σχήματα και οι γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ των σημείων και διάφορων σχημάτων περιγράφονται με διανυσματικές σχέσεις, οι οποίες μπορούν να επεξεργαστούν όπως και οι αλγεβρικές. Έτσι, μέσω της αναλυτικής γεωμετρίας, υποστηρίζεται ότι πλέον η γεωμετρία δε χρειάζεται καθόλου αξιωματική θεμελίωση, αλλά αρκεί να στηριχθεί μέσω κατάλληλων ορισμών στην άλγεβρα. Το καρτεσιανό σύστημα δηλώνει το σχήμα ως μια αλγεβρική συνάρτηση σε σημεία σε ένα πραγματικό αριθμημένο χώρο συντεταγμένων. Με γνώμονες την μεθοδολογική αυστηρότητα και την ανάγκη για γενίκευση, ο René Descartes δεν έβλεπε τις καμπύλες ως ανεξάρτητες χωρικές πραγματικότητες, αλλά ως το σύνολο των λύσεων σε μια δεδομένη εξίσωση. Για τον Isaac Newton, από την άλλη πλευρά, όλες οι μετρήσεις ήταν μια συνάρτηση του χρόνου. Μια καμπύλη που προέκυπτε από τη Νευτώνεια «μέθοδο των ροών» ήταν μια πραγματικότητα που κινούταν.13 (Κάπου εδώ εμφανίζονται οι πρώτες ιδέες που θα πυροδοτήσουν την ανάπτυξη του λογισμού τους επόμενους αιώνες.) Η έντονη αντίθεση μεταξύ των απόψεων των δύο τιτάνων του 17ου αιώνα δεν ήταν μόνο θέμα ιδιοσυγκρασίας, ή ιστορικής σύμπτωσης. Εξέφρασε την ίδια τη φύση των μαθηματικών, διχασμένη ανάμεσα δύο αντίθετες, αλλά αδιαχώριστες τάσεις. Από τη μία πλευρά έχουμε την αυστηρότητα και την οικονομία των μέσων, από την άλλη, μια επιθυμία για εξερεύνηση νέων μονοπατιών και την κατάκτηση αυτών. Από την οπτική γωνία του τελευταίου, τα μαθηματικά δεν θα πρέπει να είναι μόνο ένα καλά οργανωμένο τελετουργικό, αλλά ένα εργαλείο για τον έλεγχο και τη δημιουργία πραγμάτων.14 11 Οι σχετικές έρευνες εμφανίζονται στα έργα των Ιταλών Νικολό Ταρτάλια, Τζερόλαμο Καρντάνο κ.ά. , http://greek_greek.enacademic. com/31439/γεωμετρία 12 McCrea W.H. (2006), Analytical Geometry of Three Dimensions, 2ed, Dover Publications: Mineola - New York. 13 Amy Dahan-Dalmedico, Mathematics and the sensible World - representing, constructing, simulating, AD Mathematics of Space, July/ August 2011, John Wiley & Sons Ltd 14 το ίδιο 15

8. Προβολική γεωμετρία // Ευθείες γραμμές συνδέουν τα σημεία στο χώρο με το "σημείο" στο πίσω μέρος του ματιού. Αν διασταυρώσουμε αυτές τις γραμμές με ένα επίπεδο, το αποτέλεσμα είναι μια προβολή του τρισδιάστατου χώρου σε μία δισδιάστατη επιφάνεια.

9. Παραστατική Γεωμετρία // Αρχιτεκτονικό αξονομετρικό όπως κατασκευάζεται, εικόνα από MIT OpenCourseWare παρουσίασης ης θεωρίας του μαθήματος : Geometric Disciplines and Architecture Skills: Reciprocal Methodologies, Fall 2012 16

Ένα απόσπασμα από το Discours de la méthode δείχνει τους αλγεβρικούς συμβολισμούς του Καρτέσιου. Με την εξαίρεση του συμβόλου «ίσον» και τη συνήθειά του να γράφει yy αντί του y^2, o συμβολισμός του Καρτέσιου είναι ο συμβολισμός που χρησιμοποιούμε σήμερα. (University of Vermont)

10. Διάγραμμα που δείχνει τα είδη προβολών, Ισομετρική προβολή, Σημεία, γραμμές και ο ορισμός πλάγιου επίπεδου σε σύστημα Monge //εικόνες από το MIT

OpenCourseWare του μαθήματος : Geometric Disciplines and Architecture Skills: Reciprocal Methodologies, Fall 2012

*οι νέες γεωμετρίες Κατά την ίδια περίοδο, ο Blaise Pascal και ο Gérard Desargues προσέγγισαν τη γεωμετρία από μια διαφορετική οπτική γωνία, αναπτύσσοντας τις συνθετικές έννοιες της προβολικής γεωμετρίας.15 Ο Desargues μελέτησε καµπύλες που μπορούν να προκύψουν ως κεντρικές προβολές γεωμετρικών σχημάτων και να έχουν κοινές και χαρακτηριστικές ιδιότητες, οι οποίες διατηρούνται αναλλοίωτες κατά την εφαρμογή των προοπτικών μεθόδων. Συγκεκριμένα απέδειξε τις κωνικές τομές (έλειψη, παραβολή, υπερβολή) ως κεντρικές προβολές του κύκλου.16 Εισήγαγε την έννοια του επ’ άπειρον σηµείου, σύµφωνα µε την οποία δημιουργείται µια γεωμετρία που δεν περιέχει παράλληλες γραμμές. Η νέα αυτή γεωμετρία είναι µια µη ευκλείδεια γεωμετρία, αφού μέσα σ’ αυτήν δεν υπάρχει η έννοια της παραλληλίας, ενώ οι ιδέες της πηγάζουν από την έννοια της προβολής.17 Τα παραπάνω και σε συνδυασμό με το γεγονός ότι ο Desargues ασχολούταν παράλληλα με την στερεοτομία των λίθων, συνέβαλαν σημαντικά στην εξεύρεση μιας μεθόδου για την αντιμετώπιση από απλοϊκών έως και αρκετά πολύπλοκων γεωμετρικών καταστάσεων που σχετίζονταν με την κοπή της πέτρας. Ακόμα, αναπτύχθηκε η παραστατική γεωμετρία, ως μια γραφική μέθοδος για την αντιμετώπιση πολυάριθμων πραγματικών πρακτικών προβλημάτων. Αποτελεί κλάδο των εφαρμοσμένων Μαθηματικών που σκοπό έχει τη γραφική επίλυση (με κανόνα και διαβήτη) προβλημάτων που ανάγονται σε στερεά σχήματα. Ακολουθεί την εξής μέθοδο: αντικαθιστά τα στερεά σχήματα με τις προβολές τους σε δύο ή τρία επίπεδα, καλούμενα προβολικά, με τρόπο τέτοιο ώστε, όταν ανάγονται στο χώρο, να χρησιμοποιούνται επ΄ αυτών γνωστές γραφικές μέθοδοι.18 Από καθαρά μαθηματική άποψη η παραστατική γεωμετρία δεν παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Αντίθετα όμως, είναι πάρα πολύ χρήσιμη αφού αποτελεί τη βάση, αφενώς όλων των τεχνικών σχεδιάσεων και αφετέρου πολλών λογισμικών συστημάτων που χρησιμοποιούμε σήμερα. Μεγάλη συμβολή στη θεμελίωση και ανάπτυξη της Παραστατικής Γεωμετρίας είχε, αργότερα, ο Γάλλος Μαθηματικός και Μηχανικός Graspard Monge όπου στο βιβλίο του «Geometrie Descriptive» το 1795 ταξινόμησε όλες τις γνώσεις που υπήρχαν μέχρι την εποχή του και ανέπτυξε τη μέθοδο των ορθογωνίων προβολών.19 Για πολλούς αιώνες, προσπάθειες πολλών διάσηµων µαθηµατικών 20 για την απόδειξη του 5ου αιτήµατος απέβησαν άκαρπες. Η αµφισβήτηση του αξιωµατικού συστήµατος του Ευκλείδη αφορούσε αφενός την επάρκειά του, αφετέρου το αν ήταν ανεξάρτητο των άλλων τεσσάρων ή ήταν θεώρηµα που προέκυπτε ως λογική συνέπεια των άλλων αιτημάτων. Ο Georg Simon Klügel (γερμανός μαθηματικός και φυσικός) στη Διδακτορική του διατριβή21 συμπέρανε ότι το 5ο αίτημα δεν μπορεί να αποδειχθεί. Έτσι, η μαθηματική σκέψη στράφηκε προς 15 Οι αρχές της ανάγονται στον Πάππο και στον Απολλώνιο. Με τη δημιουργία της προβολικής γεωμετρίας συνδέονται τα ονόματα των Μονζ, Πονσελέ, Σασλ, Στάινερ, Πλούκερ, Στάουντ κ.ά. / Βασιλείου Ε. Στοιχεία Προβολικής Γεωμετρίας, εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα 2009. 16 http://archiviomacmat.unimore.it/PAWeb/Sito/Inglese/254i.htm 17 John Tabak, GEOMETRY: The Language of Space and Form, Revised Edition, Facts On File, Inc., 2004 18 Μαρκάτης Στυλιανος, Παραστατική Γεωμετρία, Αθήνα : 2014 19 http://en.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge 20 Από τον Ποσειδώνιο 135-51 π.Χ. µέχρι τον G.S. Klugel το 1763 µ.Χ./ Rosenfeld, B.A. (1988), A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space, Springer-Verlag: New York. 21 Με την επίβλεψη του Καθηγητή A.G. Kästner στο Πανεπιστήμιο του Göttingen με τίτλο «Μελέτη των πιο διάσημων προσπαθειών για την απόδειξη της θεωρίας των παραλλήλων», το ίδιο 17

Ένα σύστημα αξιωμάτων γίνεται αποδεκτό αν είναι: 1. Επαρκές: Να εξασφαλίζει, δηλαδή, την Λογική συνέπεια οποιασδήποτε γεωμετρικής ιδιότητας του χώρου. 2. Απαλλαγμένο αντιφάσεων: Να μην υπάρχουν αντιφάσεις μεταξύ των αξιωμάτων, αλλά και να μην προκύπτουν αντιφάσεις από τον συνδυασμό τους. 3. Λογικά καθεαυτό ανεξάρτητο: Δηλαδή, κανένα, από τα αξιώματα να μην προκύπτει εν μέρει ή εν όλω, ως Λογική συνέπεια των άλλων.

11. Μια επιφάνεια μπορεί να μην έχει καθόλου καμπυλότητα και να είναι επίπεδη, να έχει θετική καμπυλότητα και να μοιάζει με σφαιρα, ή αρνητική καμπυλότητα και να μοιάζει με ψευδόσφαιρα.

Το πέμπτο αξίωμα ορίζει ότι, αν το άθροισμα των μέτρων των γωνιών Α και Β είναι μικρότερο από 180 °, τότε γραμμές l1και l 2 τέμνονται από την πλευρά του l3 που βρίσκονται η Α και Β

Η εναλλακτική του Lobachevsky στο πέμπτο αξίωμα: Δεδομένου l γραμμή και ένα σημείο P όχι στην l, υπάρχουν δύο διακριτές γραμμές που διέρχονται μέσα από P που είναι παράλληλες στη l.

12. Τοπολογία // Διάγραμμα για το πρόβλημα της γέφυρας Königsberg, ένα από τα πρώτα τοπολογικά προβλήματα. Αναφέρεται στη σχετική διάταξη των γεφυρών. Οι λευκές λωρίδες πάνω από το "ποτάμι" αντιπροσωπεύουν τις γέφυρες του Königsberg. 18

Στην θετικά καμπυλωμένη επιφάνεια μιας σφαίρας το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο θα είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες και στην αρνητικώς καμπυλωμένη επιφάνεια της σέλας το άθροισμα των γωνιών είναι μικρότερο από 180 μοίρες.

την ιδέα της αντικατάστασής του, διατηρώντας ακέραια τα 4 άλλα αξιώματα. Η ιδέα που επικράτησε ήταν να αντικατασταθεί το 5ο αίτημα από την άρνησή του. Η άρνηση του 5ου αιτήματος σημαίνει ότι: Από σημείο εκτός ευθείας άγονται είτε τουλάχιστον δυο παράλληλες προς αυτή, είτε καμία. Η πρώτη περίπτωση οδήγησε στη δημιουργία της Υπερβολικής Γεωμετρίας,22 όπου το κύριο χαρακτηριστικό της είναι ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των 180ο. Η δεύτερη οδήγησε στην Ελλειπτική Γεωμετρία23 όπου το κύριο χαρακτηριστικό της είναι ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180ο.

*η τοπολογία, ο διαφορικός λογισμός και η διαφορική γεωμετρία

Οι γεωμετρικές ιδέες του Lobachevsky μπορούν να πραγματοποιηθούν κάνοντας γεωμετρία στην επιφάνεια αυτού του αντικειμένου, που ονομάζεται ψευδόσφαιρα. Παρατηρήστε το μέγεθος και το σχήμα του τριγώνου καθορίζεται από τα τρία σημεία στην επιφάνεια της ψευδόσφαιρας. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου είναι μικρότερο από 180 μοίρες.

Ο περίφημος κύκλος των 9 σημείων( ή αλλιώς κύκλος του Feuerbachή του Euler), διέρχεται από 9 σημεία ενός τριγώνου και μπορεί να κατασκευαστεί για οποιοδήποτε τρίγωνο

Εν τω μεταξύ ένα πρόβλημα εκείνης της εποχής, που έμεινε γνωστό σαν το πρόβλημα των γεφυρών του Konigsberg, δημιουργεί την πρώτη επαφή των μαθηματικών με την τοπολογία. Το πρόβλημα ήταν το εξής: θέλουμε να οργανώσουμε στην πόλη Konigsberg έναν περίπατο του οποίου η διαδρομή θα περνά μια φορά και μόνο από κάθε μια των επτά γεφυρών και θα επιστρέφει στην αφετηρία.24 Αυτό το ερώτημα, που ανήκει ουσιαστικά στη γεωμετρία, δεν έχει καμία σχέση με τις γεωμετρικές έννοιες της απόστασης ή του σημείου αναφοράς, επειδή αναφέρεται στη σχετική διάταξη των γεφυρών. Οι υποθέσεις μπορούν να κωδικοποιηθούν μόνο σ’ ένα γράφημα(επίσημα αναφέρεται σαν κύκλος του Εuler) το οποίο θα περνά ακριβώς από μια και μόνο μια διαδρομή και καταλήγει στην αφετηρία. Η τοπολογία είναι ο μαθηματικός κλάδος στον οποίο, όπως και στο παραπάνω πρόβλημα, η γεωμετρία φαίνεται ασθενής. Δύο σχήματα είναι ισοδύναμα αν έχουν «την ίδια μορφή», όπου η ιδιότητα αυτή εκφράζεται μαθηματικώς με την έννοια του ομοιομορφισμού. Ο κύκλος του Euler είναι ένα αντικείμενο με μια αμετάβλητη χαρακτηριστική ιδιότητα. Κατά ένα τρόπο πιο γενικό, θα λέγαμε επίσης ότι το αντικείμενο της τοπολογίας είναι να παρουσιάσει τα αμετάβλητα των ιδιοτήτων των αντικειμένων που μελετά. Τον 18ο αιώνα αναπτύχθηκε, επίσης, ο απειροστικός λογισμός (ο οποίος είχε ήδη κάνει την εμφάνιση του από τα τέλη του προηγούμενου αιώνα, όπως αναφέραμε, με τον Νευτώνα και τη μέθοδο των ροών)και έφερε ριζικά διαφορετικές μαθηματικές αντιλήψεις. Είναι η μαθηματική μελέτη της αλλαγής, κατά τον ίδιο τρόπο που η γεωμετρία είναι η μελέτη του σχήματος και η άλγεβρα είναι η μελέτη των πράξεων και η εφαρμογή τους για την επίλυση των εξισώσεων.25 Έχει δύο βασικούς κλάδους: τον διαφορικό λογισμό (σχετικά με τα ποσοστά των αλλαγών και τις κλίσεις των καμπυλών) και τον ολοκληρωτικό λογισμό (σχετικά με την σώρευση των ποσοτήτων και τις περιοχές κάτω από τις καμπύλες). Αφετηρία αυτού του κλάδου αποτέλεσαν κατά ένα μέρος προβλήματα γεωμετρικά, όπως εκείνα του ορισμού της εφαπτομένης μιας καμπύλης, του εμβαδού κ.ά. Στα προβλήματα αυτά γινόταν χρήση συντεταγμένων, δηλαδή αναλυτικής γεωμετρίας. Με τη βοήθεια του απειροστικού λογισμού η γεωμετρία εμπλουτίστηκε με νέα συμπεράσματα. Στην περίοδο αυτή η γεωμετρία κατευθυνόταν από την 22 Με θεμελιωτές τους Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856),Farkas Bolyai (1775-1856) και Karl Freidrich Gauss (1777-1856)/ Mohammad A. Yazdani, Ph.D. «A Brief Historical Antecedents to the Evolution of Geometry Education», Journal of mathematical Sciences & Mathematics Education, 2007 23 Με θεμελιωτές τους Gauss και Felix Klein, το ίδιο 24 John Tabak, BEYOND GEOMETRY: A New Mathematics of Space and Form, Facts On File, Inc., 2011 25 http://el.wikipedia.org/wiki/Λογισμός 19

13. Ο απειροστικός λογισμός έχει δύο κυρίως κλάδους τον διαφορικό λογισμό (σχετικά με τα ποσοστά των αλλαγών και τις κλίσεις των καμπυλών) και τον ολοκληρωτικό λογισμό (σχετικά με την σώρευση των ποσοτήτων και τις περιοχές κάτω από τις καμπύλες). Αυτοί οι 2 κλάδοι συνδέονται μεταξύ τους με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Είναι η μαθηματική μελέτη της αλλαγής, κατά τον ίδιο τρόπο που η γεωμετρία είναι η μελέτη του σχήματος και η άλγεβρα είναι η μελέτη των πράξεων και η εφαρμογή τους για την επίλυση των εξισώσεων. 20

Ο Gauss απέδειξε πως αν Α1Α2Α3 είναι ένα τρίγωνο πάνω σε τυχαία επιφάνεια, τότε ισχύει πάντοτε Â1 + Â2 + Â3 – 180ο = ∫ ∫ Κ dS– όπου dS είναι το στοιχειώδες εμβαδό. Αν ένα τρίγωνο κείται σε επιφάνειες με Κ = 0, τότε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου θα είναι 180ο και αναφερόμαστε στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αν Κ > 0, τότε το άθροισμα των γωνιών γίνεται μεγαλύτερο από 180ο και έχουμε την Ελλειπτική Γεωμετρία, με μοντέλο τη σφαίρα (αφού για τη σφαίρα Κ= 1/R2 > 0). Αν Κ < 0, τότε το άθροισμα των γωνιών γίνεται μικρότερο από 180ο και έχουμε την υπερβολική γεωμετρία με μοντέλο την ψευδοσφαίρα (αφού για την ψευδοσφαίρα έχουμε Κ= - 1/R2 < 0).

14. Διαφορική γεωμετρία // Gaussian curvature in surfaces, MIT OpenCourseWare, Geometric Disciplines and Architecture Skills: Reciprocal Methodologies, Fall 2012

15. Για κάθε δεδομένο σημείο πάνω σε μια καμπύλη επιφάνεια μπορούμε να ρωτήσουμε: προς ποια κατεύθυνση η επιφάνεια λυγίσει περισσότερο; Τα μοναδιαία διανύσματα Χ1 και Χ2 κατά μήκος των οποίων βρίσκουμε τη μέγιστη και ελάχιστη καμπυλότητα(κ1 και κ2) καλούνται κύριες κατευθύνσεις, ενώ οι καμπυλότητες Κi καλούνται οι κύριες καμπυλότητες.

16. Ροή καμπυλότητας. // Η γενική ιδέα πίσω από τη ροή καμπυλότητας είναι ότι έχουμε μια τιμή Ε (αποκαλούμενη ενέργεια) που μετρά την ομαλότητας της γεωμετρίας μας.

αριθμητική, την άλγεβρα και την ανάλυση, χωρίς να έχει ανεξάρτητη υπόσταση και αυτοτέλεια. 26 Η Διαφορική γεωμετρία πήρε την ονομασία της από τη μέθοδό της, που βασίζεται στην εφαρμογή του διαφορικού λογισμού. Με την εφαρμογή αυτού η γεωμετρία των καμπυλών και των επιφανειών εμπλουτίστηκε με νέες έννοιες. Μια από αυτές τις βασικές έννοιες είναι η καµπυλότητα Κ των επιφανειών. Ο Johann Carl Friedrich Gauss απέδειξε ότι υπάρχουν στον χώρο τρία είδη επιφανειών με σταθερή καμπυλότητα, αυτές για τις οποίες είναι: Κ = 0 ή Κ > 0 ή Κ < 0. 27

*από τον 19ο αιώνα και μετά Αποτέλεσμα της εμφάνισης των «νέων γεωμετριών», ήταν η προώθηση ιδεών που οδήγησαν σε μία από τις μεγαλύτερες μαθηματικές δημιουργίες του 19ου αιώνα, τη γεωμετρία του Riemann. Ο γερμανός μαθηματικός ήρθε να στηρίξει και να επεκτείνει τις νέες ιδέες, απ΄ την μια μεριά με τις μελέτες του για την ελλειπτική γεωμετρία και από την άλλη με την γενίκευση των μη ευκλείδειων γεωμετριών, οι οποίες τον οδήγησαν στον ακριβή ορισμό της σύγχρονης έννοιας της αφηρημένης πολλαπλότητας Riemann. 28Το 1854, δημιουργεί και διατυπώνει τα περί Διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων και Γεωμετρία Riemann, που προτείνουν ουσιαστικά την επέκταση της Διαφορικής Γεωμετρίας των επιφανειών σε «ν» διαστάσεις. Η θεωρία της Γεωμετρίας Riemann αποτελεί τον βασικό κορμό της Σύγχρονης Γεωμετρίας, εξακολουθεί να είναι μια πολύ ενεργή περιοχή της μαθηματικής έρευνας, ενώ αποτελεί τη γλώσσα που έχει εκφρασθεί η γενική θεωρία της Σχετικότητας του Einstein.29 Οι πολλαπλότητες Riemann αξιοποιούνται στα πεδία της Γεωμετρικής μοντελοποίησης, της επεξεργασίας ψηφιακού σήματος, επεξεργασίας εικόνας, αλλά και στην οικονομετρία, στη διαμορφωτική γεωλογία, στη στατιστική και στη θεωρία της πληροφορίας.30 Οι «γεωμέτρες» του 19ου αιώνα υπήρξαν μάρτυρες μιας περιόδου-έκρηξη σε σχέση με την ρεαλιστική κατανόηση του κλάδου. Αρχίζει μια περίοδος μελέτης των μη Ευκλείδειων γεωμετριών, όπως η προβολική, η παραστατική, η ευκλείδειος γεωμετρία του πολυδιάστατου χώρου, η σφαιρική και άλλες. Ταυτόχρονα παλιές αλγεβρικές ιδέες επανέρχονται πίσω στο γεωμετρικό πεδίο. Σε αντιστοιχία με αυτές τις νέες εξελίξεις οι μαθηματικοί μελετάνε είδη μετασχηματισμών σε ποσά στο χώρο. Από την άποψη αυτή οι αλγεβρικοί μετασχηματισμοί του συστήματος αντανακλώνται σε γεωμετρικούς μετασχηματισμούς του χώρου και αντίστροφα. Γεννιέται έτσι μια πιο βαθιά σύνδεση μεταξύ της άλγεβρας και της γεωμετρίας. 26 Ε. Βασιλείου - Μ. Παπατριανταφύλλου, Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας καμπυλών και επιφανειών, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Αθήνα 2010 27 Το ίδιο, βλεπε ακόμα Martin Raussen, Elementary Differential Geometry: Curves and Surfaces, Department of Mathematical Sciences, AALBORG UNIVERSITY, DENMARK, Edition 2008 28 Sigmundur Gudmundsson, An Introduction to Riemannian Geometry, Lund University, 2014 29 Το ίδιο, Επαληθεύει μερικές βασικές προβλέψεις της θεωρίας της σχετικότητας όπως η καμπύλωση των φωτεινών ακτινών στο διάστημα. 30 Βασίλειος Παπαντωνίου, Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα, ΤΕΙ Πειραιά | Επιστημονικό Συμπόσιο 1-2 Ιουνίου 2012 – Γεωμετρία: από την Επιστήμη στην Εφαρμογή 21

17. Οι μαθηματικοί του 19ου αιώνα μετασχηματισμών σε ποσά στο χώρο

μελετάνε

19. Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό, χημικό, βιολογικό, οικονομικό, οικολογικό, κλπ, που εξελίσσεται με την πάροδο του χρόνου. Η θεωρία των Δυναμικών συστημάτων δίνει μια γραφική και ποιοτική κατανόηση των διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες προκύπτουν παντού στη φύση, όταν ιδιότητες, όπως η θέση, η πυκνότητα, ή μεταβολή της θερμοκρασίας αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου. Τα δυναμικά συστήματα είναι μια νέα περιοχή των μαθηματικών που έχει πολλές εφαρμογές: για παράδειγμα, η πρόγνωση του καιρού, πώς λειτουργεί η Google, το μέλλον του ηλιακού μας συστήματος κ.α

είδη

18. Hilbert, D. (1899), Grundlagen der Geometrie, Teubner, Leipzig

20. Η συμβολή του υπολογιστή // Ένα higraph είναι ένα διάγραμμα που αναπαριστά σχέσεις σε μια οπτική δομή, αναπτύχθηκε από τον David Harel το 1988. Τα Higraphs επεκτείνουν τα μαθηματικά γραφήματα περιλαμβάνοντας τις έννοιες του βάθους και της ορθογωνιότητας. Πιο συγκεκριμένα, οι κόμβοι σε ένα higraph μπορεί να περιέχουν άλλους κόμβους στο εσωτερικό τους, δημιουργώντας μια ιεραρχία. Η ιδέα αναπτύχθηκε αρχικά για εφαρμογές σε βάσεις δεδομένων και για αναπαράσταση γνώσης.

21. Στα μαθηματικά, οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης εκφράζουν τις συντεταγμένες των σημείων της καμπύλης ως συναρτήσεις μιας μεταβλητής, που ονομάζεται παράμετρος 22

Με βάση τις κατευθύνσεις της μέχρι τότε έρευνας, o Klein οδηγήθηκε στο να προτείνει µια ταξινόμηση των γεωμετρικών θεωριών σε διαδοχικά επίπεδα, όπου το κάθε επίπεδο να χαρακτηρίζεται από σταθερές ιδιότητες. Ξεχωρίζοντας τα τέσσερα κύρια επίπεδα, αυτά µε την μεγαλύτερη ιστορική σηµασία αναφέρουµε την Ισομετρία, την Οµοιοθεσία, την Προβολή και την Τοπολογία. Η Ισομετρία, η οποία ασχολείται κυρίως µε αποστάσεις και γωνίες, είναι η γεωμετρία που μελετά τις ιδιότητες που δεν μεταβάλλονται κατά την μεταφορά και περιστροφή. Η Οµοιοθεσία που μεταβάλει το μήκος, αλλά κρατά τις γωνίες και τους λόγους των μηκών σταθερά αποτελεί για τον Klein επίσης µια ξεχωριστή γεωμετρία, η οποία μαζί µε την ισομετρία ορίζουν την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Η Προβολική Γεωμετρία μελετά τις ιδιότητες που παραµένουν αμετάβλητες κατά την προβολή, ήτοι –μεταξύ άλλων– το λόγο των λόγων, την αλληλοτοµία και την ευθυγράμμιση. Η Τοπολογία μελετά τις ιδιότητες που παραµένουν αμετάβλητες κατά τη διάρκεια τοπολογικών μεταμορφώσεων, κατά βάση στρέβλωση και τέντωμα επιφανειών (Barr, 1964:3 ).

Ο Hilbert θεώρησε τον Ευκλείδειο 3-διάστατο χώρο αποτελούμενο από τρία είδη θεμελιωδών στοιχείων (σημεία, ευθείες, επίπεδα) και για τις σχέσεις μεταξύ αυτών δημιούργησε πέντε ομάδες αξιωμάτων (θέσης, διάταξης, μετρικά, παραλληλίας, συνέχειας). Τα στοιχεία, όπως το σημείο, η γραμμή, το επίπεδο, και άλλα, θα μπορούσαν να υποκατασταθούν, όπως λέει ο Hilbert, από τραπέζια, καρέκλες, μπουκάλια μπύρας και άλλα τέτοια αντικείμενα. Είναι οι ορισμένες σχέσεις τους που συζητούνται. Να αναφέρουμε εδώ πέρα ότι με την εξέλιξη των μαθηματικών εμφανίζονται παράλληλα νέα πεδία για έρευνα, όπως για παράδειγμα η υπολογιστική γεωμετρία, που μελετά τον σχεδιασµό και την ανάλυση αποδοτικών αλγορίθμων και δοµών δεδοµένων για την επίλυση γεωµετρικών προβληµάτων.

Να μην παραλείψουμε εδώ να αναφέρουμε τον Felix Klein και τον David Hilbert που συνέβαλλαν στην αναδιοργάνωση του σώματος όλων των γνωστών γεωμετριών. Ο πρώτος το 1872 ως καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Erlangen, διατυπώνει την πρώτη γενική επισκόπηση της γεωµετρίας από το 300 π.χ. όπου ο Ευκλείδης συνέθεσε τα «Στοιχεία» 31 μελετώντας τις ιδιότητες των σχημάτων που παραμένουν αμετάβλητα από μια δεδομένη τάξη μετασχηματισμών.32 Ο δεύτερος, λόγω της αμφισβήτησης του αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη και κυρίως όσον αφορά στην πληρότητά του, οδηγήθηκε στη διατύπωση ενός νέου αξιωματικού συστήματος το 1899 µε την περίφημη εργασία του «Grundlagen der Geometrie» (Επί των θεμελίων της Γεωμετρίας).33 Ο Hilbert έβλεπε τα στοιχεία της γεωμετρίας ως μεταβλητές μιας επίσημης γλώσσας. Το έργο του ήταν το τέλος μιας μακράς περιόδου ερευνών και οφείλει την ριζική του καινοτομία στην ικανότητά του να ενσωματώσει το γενικό με το τεχνικό και τη μαθηματική φιλοσοφία με την πρακτική. Σε πλήρη αντίθεση με το έργο Hilbert, ο Γάλλος Henri Poincaré (Ανρί Πουανκαρέ) ασχολήθηκε, μεταξύ άλλων, με ζητήματα που βρίσκουμε στις φυσικές επιστήμες, όπως η μελέτη της ουράνιας μηχανικής, η οποία τον οδήγησε να αναπτύξει ποιοτικές μεθόδους για τη μελέτη των δυναμικών συστημάτων.34 Αυτές οι μέθοδοι διερευνούσαν τις σχετικές σχέσεις και τη γενική συμπεριφορά των τροχιών, τη σταθερότητα και την πολυπλοκότητα τους, επιτρέποντας σε κάποιον να ψάξει για μαθηματικές επιλύσεις, ακόμη και όταν δεν ήταν μετρήσιμες. Από αυτές τις νέες μεθόδους, άλλοι μαθηματικοί ήταν σε θέση να αναπτύξουν τις τρέχουσες θεωρίες της πολυπλοκότητας και του χάους. Σήμερα η εικόνα των μαθηματικών κυριαρχείται από εμπεριστατωμένες δομές, ενώ οι αξιωματικές μέθοδοι είναι ζητήματα του παρελθόντος. Σε ένα τεχνολογικό περιβάλλον που χαρακτηρίζεται από την πανταχού παρουσία των ηλεκτρονικών υπολογιστών, ένα διαφορετικό σύνολο τομέων αποκτούν συνεχώς αυξανόμενη σημασία: τα διακριτά μαθηματικά, οι αλγόριθμοι, η αναδρομική λογική και οι συναρτήσεις, η θεωρία της κωδικοποίησης, η θεωρία των πιθανοτήτων και η στατιστική, τα δυναμικά συστήματα και ούτω καθεξής. Η συμβολή του υπολογιστή στην μαθηματική έρευνα είναι κάτι δεδομένο και μη αναστρέψιμο από τις αρχές του 20ου αιώνα. Κάτω από την επιρροή της τεχνολογικής προόδου χρησιμοποιείτε η μηχανή για την εξερεύνηση αποτελεσμάτων και τη δημιουργία αποδείξεων.35 Οι ιδρυτές του περιοδικού «Πειραματικά Μαθηματικά» (Experimental Mathematics) συνοψίζουν αυτή την τάση κατηγορηματικά: «Ο ρόλος των υπολογιστών στο να προτείνουν εικασίες, εμπλουτίζοντας έτσι την κατανόηση των αφηρημένων εννοιών με παραδείγματα και οπτικοποίηση τους είναι μια υγιής και ευπρόσδεκτη εξέλιξη.»36 31 Cache, Bernard. «Geometries of the simulacra», Architecture of Geometry - Geometry of Architecture. Rotterdam: Berlage Institute, 2003 32 Felix Klein, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, Dover Publications (New York), 2004 33 David Hilbert, Foundations of Geometry, 1899. Trans EJ Townsend, PhD, University Of Illinois Reprint Edition, The Open Court Publishing Company (La Salle, IL), 1950 34 Amy Dahan-Dalmedico, Mathematics and the sensible World - representing, constructing, simulating, AD Mathematics of Space, July/ August 2011, John Wiley & Sons Ltd, pg 23 35 Ένας μεγάλος αριθμός εικασιών που προέκυψαν από εκτεταμένη υπολογιστική δραστηριότητα είχε χρησιμοποιηθεί χρόνια πριν μπορέσει να αποδειχθεί, όπως ήταν η περίπτωση, για παράδειγμα, των τοπολογικών ιδιοτήτων του ελκυστή του Lorenz. 36 D Epstein and S Levy, Notices of the American Mathematical Society, ‘Experimentation and Proof in Mathematics’, 1995, Vol 42, No6 23

24 22. Vitruvius, Design of a City, Illustrated by Cesare Cesariano, 1521Â

από την πορεία των μαθηματικών στη γλώσσα των μορφών

Architecture and Mathematics have constantly balanced between two extremes: an experiential dimension often imbued with contemplative connotations, and the quest for operative techniques that do not necessarily present a spatial meaning. Hence the ambiguity we find ourselves in today, faced simultaneously with architecture’s estrangement from mathematics and the spectacular diffusion of computational tools. — Antoine Picon, ‘Between Intuition and the Quest for Operative Techniques’, public lecture, Symposium on ‘Mathematics in Space’, Harvard Graduate School of Design, 5 March 2010

Μέσα από τις εξελίξεις μπορεί κάποιος να διαπιστώσει πως η ανάπτυξη διαφορετικών γνωστικών περιοχών και εργαλείων επηρεάζει και υποστηρίζει µε τη σειρά της άλλα επιστημονικά και τεχνολογικά πεδία. Η αρχιτεκτονική και η γεωμετρία είναι άρρηκτα συνδεδεμένες κατά τη διάρκεια της ιστορίας. Η αρχιτεκτονική, με την ευρύτερη έννοια του όρου, θα λέγαμε ότι είναι η χειραγώγηση του χώρου που προορίζεται για ανθρώπινη χρήση. Από την άλλη η γεωμετρία είναι η μελέτη των ιδιοτήτων και των σχέσεων των μεγεθών στο χώρο. Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι είναι ένα απαραίτητο εργαλείο για τον αρχιτέκτονα, δεδομένου ότι εκείνος εργάζεται με μορφές, και η γεωμετρία είναι η γλώσσα των μορφών. Συμφώνα με τον Antoine Picon, μέχρι τον 18ο αιώνα η σχέση μεταξύ των μαθηματικών και της αρχιτεκτονικής ήταν έντονη και διφορούμενη(όπως φαίνεται και μέσα από τις ανησυχίες της Αναγέννησης σχετικά με την προοπτική και τη γεωμετρία). Τα μαθηματικά μερικές φορές αντιμετωπίζονταν ως το αληθινό θεμέλιο, η τεκμηρίωση της αρχιτεκτονικής πειθαρχίας, και άλλες φορές ως μια συλλογή από χρήσιμα εργαλεία σχεδιασμού. Τα μαθηματικά «ενδυνάμωναν» τον αρχιτέκτονα, αλλά και του θύμιζαν τα όρια του τι θα μπορούσε να επιδιώξει. Οι αναφορές στα μαθηματικά, ειδικότερα στην αριθμητική και τη γεωμετρία, αποτελούσαν ένα γενικό χαρακτηριστικό της αρχιτεκτονικής.37

*η θεωρητική τεκμηρίωση Η χρήση των μαθηματικών αναλογιών ήταν διαδεδομένη μεταξύ των αρχιτεκτόνων και ήταν σαφώς συσχετισμένη με την φιλοδοξία μιας αρχιτεκτονικής που βασίζεται σε σταθερές αρχές, τις οποίες έμοιαζε να τις διέπει ένα φυσικός χαρακτήρας. Εξάλλου ο φυσικός κόσμος θεωρείτο ότι υπάκουε σε αναλογίες, από τα μοτίβα που διέπουν τη μορφή και τη δομή του, μέχρι τους νόμους που περιγράφουν την αντίσταση των υλικών και των 37 George L. Legendre, AD Mathematics of Space, July/August 2011, John Wiley & Sons Ltd, pg 28-35

23. η χρήση των μαθηματικών αναλογιών 38 39 40 41 42 26

κατασκευών, έως και τις αρμονικές σχέσεις των ήχων που γίνονται αντιληπτές από το αυτί. Η αναλογία μπορούσε να ερμηνευτεί ως η ίδια η ουσία του κόσμου και από αρκετούς είχε θεωρηθεί ότι κατείχε θεϊκές ρίζες.38 Υπό το πρίσμα αυτό, ο όρος αναλογία ταυτίστηκε με την ισχύ, την «δύναμη» της δημιουργίας, και ο αρχιτέκτονας εμφανίστηκε ως υποκατάστατο του Θεού, όταν κινητοποιούσε, με τη σειρά του, αυτή τη δύναμη για να σχεδιάσει τα κτίρια του. Στη λεπτομερή ανακατασκευή του Ναού της Ιερουσαλήμ από τον ισπανό ιησουίτη Juan Bautista Villalpandus39 η πεποίθηση ότι η αρχιτεκτονική μελέτη του ναού ήταν μια έκφραση αυτής της «δημιουργικής δύναμης» προέκυψε από την εφαρμογή ενός συνόλου από θεωρίες σχετικές με τις αναλογίες, τις οποίες «υπαγόρευσε ο Θεός στους οικοδόμους» του ναού. Ο ιστορικός Joseph Rykwert 40 έχει δείξει πόσο ισχυρές ήταν αυτές οι εικασίες στην ανάπτυξη του αρχιτεκτονικού κλάδου τον 16ο και 17ου αιώνα. Μέσω της χρήσης των αναλογιών ο αρχιτέκτονας βίωνε την ευχαρίστηση της ενδυνάμωσης. Από την άλλη, η αναλογία θα μπορούσε επίσης να εξεταστεί από μια διαφορετική οπτική γωνία- αυτή που υιοθετείται από τον Αναγεννησιακό θεωρητικό Leon Battista Alberti για τον οποίο ο σκοπός της αρχιτεκτονικής ήταν να δημιουργήσει ένα κόσμο αντίστοιχο με την περατότητα του ανθρώπου, έναν κόσμο στον οποίο θα πρέπει να προφυλάσσεται από το αδρό και καταστροφικό φως του θείου.41 Σε αυτή τη δεύτερη αντίληψη, η αναλογία δεν αντιπροσώπευε πλέον την υβριστική στάση που έφερνε η απεριόριστη δύναμη, αλλά και το αντίστροφο: μια μετριοπάθεια και αυτοσυγκράτηση. Ο φιλόσοφος Pierre Caye συνοψίζει αυτή τη δεύτερη στάση δηλώνοντας ότι ο στόχος των αρχιτεκτόνων όπως ο Alberti ήταν να ξαναχτίσουν κάτι που μοιάζει με την Κιβωτός του Νώε παρά να μιμηθούν το ναό της Ιερουσαλήμ.42 Η ευχαρίστηση της «δύναμης» από τη μία πλευρά, και η απαραίτητη αυτόσυγκράτηση για την προστασία του ανθρώπου από την

Jacques Benigne Bossuet (Γάλλος θεολόγος και φιλόσοφος του 17ου αιώνα), Introduction a la Philosophie, ou de la Connaissance de Dieu, et de Soi-Mesme, R-Md’Espilly (Paris), 1722, pp 37–8. με βάση την ερμηνεία του οράματος του Προφήτη Ιεζεκιήλ (μεταξύ 1596 και 1604) http://en.wikipedia.org/wiki/Juan_Bautista_Villalpando Joseph Rykwert, On Adam’s House in Paradise: The Ideaof the Primitive Hut in Architectural History, Museum of Modern Art (New York), 1972. Leon Battista Alberti, “De re aedificatoria”, Tiranti, London, 1955 Pierre Caye, Empire et Decor: Le Vitruvianisme et la Question de la Technique a l’Age Humaniste et Classique, JVrin (Paris), 1999.

θεία δύναμη από την άλλη (η αναφορά στα μαθηματικά στη Βιτρούβιανη παράδοση ισορροπούσε μεταξύ αυτών των δύο άκρων)43. Αυτή πολικότητα ήταν ίσως απαραίτητη για να δοθεί μια σφαιρική ερμηνεία στον όρο αναλογία. Όπως παρατηρεί ο Picon αυτή η πολικότητα, ή μάλλον αυτή η ισορροπία, έχει παραβιαστεί σήμερα. Οι μαθηματικές διαδικασίες με τις οποίες βρίσκονται αντιμέτωποι οι αρχιτέκτονες, από τον λογισμό έως τους αλγορίθμους, ανήκουν αναμφισβήτητα στην πλευρά της δύναμης. Η εμφάνιση του φυσικού κόσμου, για παράδειγμα, στην διαδικασία της δημιουργίας, αλλά και η δυνατότητα του να εκφράζεται με μαθηματικούς όρους, διαβιβάζει την ίδια ευχαρίστηση και τον ίδιο κίνδυνο ανεξέλεγκτης ύβρης όπως στις περασμένες εποχές. Αυτό που ίσως μπορούμε να παραδεχτούμε είναι η δυνατότητα για τα μαθηματικά να είναι, επίσης, μέσο αυτοσυγκράτησης, στο να κινηθούμε έναντι αυτής της υβριστικής «δύναμης». Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί πως η αναζήτηση για αυτοσυγκράτηση συναντάται σε κάποιες από τις υφιστάμενες ανησυχίες μας σχετικές με την αειφορία. Το μόνο πράγμα που κατά πάσα πιθανότητα δεν θα πρέπει να ξεχαστεί είναι ότι, όπως ακριβώς η χρήση των μαθηματικών, έτσι και η βιωσιμότητα έχει διττή φύση- μπορεί να σχετιστεί τόσο με την δύναμη όσο και με την αυτοσυγκράτηση.

24. Γραφική αποκατάσταση του ναού της Ιερουσαλήμ 43 George L. Legendre, AD Mathematics of Space, July/August 2011, John Wiley & Sons Ltd, pg 28-35

25. Tempio Malatestiano, Rimini (1450-68) Leon Battista Alberti

*η πρακτική εφαρμογή Από μια αρχιτεκτονική οπτική γωνία, η ίδια μαθηματική αρχή μπορεί να αποτελεί ταυτόχρονα μια «θεμελιώδη βάση» και ένα πρακτικό εργαλείο. Η αναλογία του Βιτρούβιου λειτουργούσε τόσο ως ένας τρόπος για να τεκμηριώσει θεωρητικά την αρχιτεκτονική του, όσο και σαν μία μέθοδος για την παραγωγή των κτιρίων. Αυτή η δεύτερη διττή φύση που αναγνωρίζει ο Picon, έχει να κάνει με το γεγονός ότι τα εργαλεία μπορούν να θεωρηθούν ως ρυθμιστικά μέσα που επιτρέπουν τον συντονισμό και τον έλεγχο, αλλά και να παράγουν μια τυποποίηση με σκοπό την εφεύρεση. Μέχρι τον 18ο αιώνα, οι περισσότερες χρήσεις των μαθηματικών και των αναλογών είχαν να κάνουν με το συντονισμό και τον έλεγχο παρά με την αναζήτηση νέων λύσεων. Όμως τα εργαλεία μπορούν να είναι κινητήρια μέσα για την εξερεύνηση του ακόμα άγνωστου και να υπηρετήσουν την εφεύρεση. Μετά τον 16ο αιώνα, η γεωμετρία που χρησιμοποιείται για την κοπής της πέτρας, γνωστή ως στερεοτομία, απεικονίζει τέλεια αυτή την κατάσταση. Από τον Philibert De L’Orme μέχρι τον Gaspard Monge, αυτή η γεωμετρία προβολικής φύσης θεωρήθηκε μέσο άσκησης μεγαλύτερου έλεγχου στην αρχιτεκτονική παραγωγή. Όμως, αυτή η φιλοδοξία εξέφραζε την, κάπως αντιφατική, επιθυμία για την προώθηση της ατομικής εφεύρεσης. Ο De L’Orme ενσάρκωσε αυτή την αντίφαση, αφού εκτός από σημαντικές αρχιτεκτονικές υλοποιήσεις, όπως το κάστρο της Anet ή το βασιλικό παλάτι των Tuileries, κύριο επίτευγμα του ήταν η πρώτη ολοκληρωμένη θεωρητική άποψη σε σχέση με τις γεωμετρικές μεθόδους που επιτρέπουν στους σχεδιαστές να γίνουν αυθεντίες στην τέχνη της στερεοτομίας.44 Μέχρι τον De L’Orme, αυτή η τέχνη ήταν ένα μυστικό που μεταδίδονται από το αρχιμάστορα στον μαθητευόμενο, ένα μυστικό που βασιζόταν σε συνταγές και τεχνογνωσία.45 Ο De L’Orme ήταν στην πραγματικότητα ο πρώτος που κατανόησε κάποιες από τις υποκείμενες προβολικές αρχές σε μια τέτοια εργασία. Για αυτόν, ο στόχος ήταν διπλός: αφενώς, ήθελε να πετύχει καλύτερο έλεγχο της παραγωγής του κτιρίου (βλ. κάστρο της Anet), αφετέρου αποσκοπούσε και στο να εφεύρει. Ο έλεγχος και η εφεύρεση, ήταν δύο στόχοι που βρίσκονταν επίσης στην agenda του μαθηματικού Gaspard Monge, του εφευρέτη της παραστατικής γεωμετρίας. Η παραστατική γεωμετρία στην πραγματικότητα προέρχεται από τη γεωμετρία

44 Philippe Potie, Philibert De L’Orme: Figures de la Pensee Constructive, Parentheses (Marseilles), 1996. 45 Yves Pauwels (Centre d’Études Supérieures de la Renaissance, Tours) – 2004, Philippe Potié (École d’architecture de Grenoble) – 2004, http://architectura.cesr.univ-tours.fr/Traite/Notice/ENSBA_Les1653.asp?param=en 28

Trompe D’Anet , De L’Orme, The Projective Cast: Architecture and Its Three Geometries, Robin Evans, 2000

Ελλειψοειδής θόλος. Πλάκα 44 , CharlesFrançois-Antoine Leroy, Traité de stéréotomie, 1870.

25. Philibert De L’Orme , Hôtel de ville d'Arles, France

που χρησιμοποιούνταν για την στερεοτομία και είχε διερευνηθεί από τον De L’Orme στην αυγή της γαλλικής Αναγέννησης. Για τον Monge, η παραστατική γεωμετρία είχε να κάνει τόσο με την τυποποίηση όσο και με την εφεύρεση, αφού εγκαινίασε τον κλάδο του τεχνικού σχεδίου στην Ευρώπη.46 Προκειμένου τα μαθηματικά να παρέχουν ένα πραγματικό εργαλείο για τους σχεδιαστές, πρέπει να χρησιμοποιούνται τόσο για τον έλεγχο όσο και για την ανακάλυψη νέων πραγμάτων. Σήμερα, αυτό που λείπει συνήθως δεν εναι τόσο η ικανότητα των μαθηματικών να ενισχύουν την πλευρά της εφεύρεσης, αλλά μάλλον η συμβολή τους στη διαμόρφωση και την τυποποίηση των προβλημάτων σχεδιασμού. Στις σύγχρονες πρακτικές ψηφιακής αιχμής, οι μαθηματικοί φορείς και τα μοντέλα τις περισσότερες φορές χρησιμοποιούνται σε μια προοπτική που έχει να κάνει με την εμφάνιση και την ικανότητα να μαγέψουν, προσπαθώντας να ματαιώσουν τα υπάρχοντα συστήματα.

26. Philibert De L’Orme , château d’ Anet, France "Η δύναμη των υπολογιστών μας επέτρεψε να αρθρώσουμε νέες οργανώσεις και διαμορφώσεις του χώρου με βάση απλούς κανόνες, ιδιότητες και ανάλογες σχέσεις, όπου η πολυπλοκότητα παράγεται από αναδρομικές επαναλήψεις των απλών διαδικασιών. Έχουμε δημιουργήσει δικά μας εργαλεία εργασίας(scripting) κωδικοποιώντας τα από βασικές αρχές, συντάσσοντας τα από αριθμητική συνταγές που αποκαλούμε αλγόριθμους υπολογιστών. Ήμαστε σε θέση να παράγουμε αυτό που το εμπορικό λογισμικό δεν θα μπορούσε να προσφέρει: φόρμες που βασίζονται σε διαφορετικές εννοιολογικές διαδικασίες. Έχουμε κωδικοποιήσει ρουτίνες που προσομοιώνουν την ανάπτυξη , την υποδιαίρεση, τη διάβρωση στη βασική τους μορφή και που διασταυρώνονται για να δημιουργήσουν υβριδικά συνταγές. Με τον τρόπο αυτό έχουμε πολλαπλασιάσει τα αποτελέσματα και να ανακαλύψει νέους κόσμους από διαφορετικές λύσεις." Daniel Bosia, Long Form and Algorithm - AD Mathematics of Space, July/August 2011, John Wiley & Sons Ltd, pg 61

46 Joel Sakarovitch, Epures d’Architecture: De la Coupedes Pierres a la Geometrie Descriptive XVIe-XIXe Siecles,Birkhauser (Basel), 1998.

28. Stefano Rabolli-Pansera, Stereotomic Self-Portrait, Diploma Unit 5 (Engineering the Immaterial), Architectural Association, London, 2003 //

Παραστατική Γεωμετρία στην πράξη. Υποβλήθηκε σε εργασία για ένα προπτυχιακό μάθημα σχεδιασμού. Η αναπαράσταση με βάση το σύστημα του Monge του επίπεδου σχεδίου καταδεικνύει μια τεχνική αμετάβλητη από τα τέλη του 18ου αιώνα.

*η αλλαγή και ο νέος προσανατολισμός «Η εισαγωγή των μαθηματικών με βάση τον διαφορικό λογισμό τον 18ο αιώνα αποδείχθηκε μοιραία για τη σχέση των μαθηματικών και της αρχιτεκτονικής.» τονίζει ο καθηγητής της Ιστορίας της Αρχιτεκτονικής και της Τεχνολογίας στο Harvard Graduate School of Design. Συμφώνα με την προσέγγιση του στο άρθρο «Architecture and Mathematics: Between Hubris and Restraint « βρίσκει δυο σημαντικούς λόγους συμφώνα με τους οποίους ο 18ος αιώνας δημιούργησε το χάσμα μεταξύ αρχιτεκτονικής και μαθηματικών. Το τέλος του 18ου αιώνα σηματοδοτεί ένα οριακό σημείο στη σχέση μεταξύ αρχιτεκτονικής και μαθηματικών. Μέχρι εκείνη τη στιγμή, η αριθμητική και η γεωμετρία ήταν σταθερές αναφορές για τον αρχιτέκτονα, ως θεμελιώδη γνώση, καθώς και ως πρακτικά εργαλεία, ως δύναμη και ως κίνητρο για συγκράτηση, ως μέσο ελέγχου και τυποποίησης, καθώς και ως μια κατευθυντήρια γραμμή για την απροσδόκητη εφεύρεση. Σε όλους αυτούς τους ρόλους, τα μαθηματικά συνδέονταν ισχυρά με τη χωρική διαίσθηση, αφού η αριθμητική και η γεωμετρία βοηθούσαν στην κατανόηση του χώρου, όμως αυτή η συνενοχή έρχεται στο τέλος της με την ανάπτυξη του λογισμού. Αρχικά, 30

Η εφαρμογή των “νέων μαθηματικών” στην οικονομική επιστήμη.

Eugène Viollet-le Duc, πρόταση για ένα σφυρήλατο βραχίονα από σίδερο, το Entretiens sur l’architecture, 1863-1872.

Η καλύβα από το νησί Trinidad αποτέλεσε πρότυπο αρχέτυπης κατοίκησης για τον G. Semper

τα νέα αυτά μαθηματικά αποκάλυψαν την ύπαρξη ενός κόσμου που σίγουρα δεν ακολουθεί τους κανόνες της αναλογικότητας που είχαν απασχολήσει τους αρχιτέκτονες για αιώνες. Ακόμα, το γεγονός ότι ορισμένες από τις λειτουργίες που εμπλέκονται στον απειροστικό λογισμό δεν είχαν διαισθητική έννοια ήταν προβληματικό. Σήμαινε ότι τα νέα μαθηματικά ήταν σαν μηχανές που διέθεταν ένα ορισμένο βαθμό αυτονομίας από την διαισθητική εμπειρία. Μεταξύ των αιτιών που εξηγούν μια τέτοια κατάσταση, η πιο θεμελιώδης έγκειται στο γεγονός ότι ο διαφορικός λογισμός έχει να κάνει με την εξέταση του χρόνου και τους ρυθμούς μεταβολής. Αντί να ασχολείται με καθαρά χωρικές διαστάσεις, πραγματεύεται στοιχειώδης δυναμικές διαδικασίες και όχι στατικά όντα. Τα πιο εντυπωσιακά αποτελέσματα του λογισμού ήταν αυτά που σχετίζονται με δυναμικά φαινόμενα όπως τα υδραυλικά και τη μελέτη των ροών.47 Αργότερα θα συμβάλει επίσης στην ανάπτυξη της οικονομικής θεωρίας, παρέχοντας τα μέσα για να μελετηθούν η κυκλοφορία των αγαθών και των κεφαλαίων. Ένας άλλος λόγος που εξηγεί το αυξανόμενο χάσμα μεταξύ της αρχιτεκτονική και των μαθηματικών ήταν η νέα σχέση μεταξύ θεωρίας και πρακτικής που και αυτή έχει σχέση με τις εξελίξεις του κλάδου των μαθηματικών. Στο παρελθόν, οι μαθηματικές φόρμουλες θεωρούνταν εκφράσεις μιας υψηλότερης πραγματικότητας και η τέχνη του σχεδιαστή ήταν ένα παιχνίδι με τις αναλογίες προκειμένου να επιτευχθεί το καλύτερο αποτέλεσμα. Ως δείκτες αυτής της υψηλότερης πραγματικότητας, οι φόρμουλες ήταν μια έκφραση της δύναμης. Ως μέσες τιμές που θα μπορούσαν να πειραχτούν ακολουθούσαν τη λογική του περιορισμού. Στο νέο κόσμο του λογισμού που βρήκε εφαρμογή σε τομείς, όπως η αντοχή των υλικών ή τα υδραυλικά συστήματα, τα μαθηματικά δεν παρέχουν πλέον μέσους όρους, αλλά σταθερά όρια που δεν μπορούν να παραποιηθούν. Από εκείνη τη στιγμή και μετά, τα μαθηματικά σχετίζονταν με τη ρύθμιση ορίων σε φαινόμενα όπως η ελαστικότητα, και την κατ’ επέκταση σχεδίαση σύμφωνα με τους νόμους της συμπεριφοράς.48 Ο σχεδιαστής παύει να εμπλέκεται σε αυτές τις διαδικασίες και ακολουθεί η σταδιακή απομάκρυνση των μαθηματικών και της αυξημένης τεχνικής εξειδίκευσης μακριά από τα χέρια του αρχιτέκτονα. Κατά συνέπεια, οι αρχιτέκτονες του 19ου αιώνα ενδιαφέρονται όλο και λιγότερο για τα νέα μαθηματικά του καιρού τους, ενώ στρέφονται στην ιστορία, την ανθρωπολογία και τις βιολογικές επιστήμες. Οι θεωρητικοί όπως ο Viollet Le-Duc49 ή Gottfried Semper είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα αυτού του νέου προσανατολισμού. Παρά τους ισχυρισμούς για το αντίθετο, που γίνονται από αρχιτέκτονες όπως ο Le Corbusier50, αυτή η αδιαφορία για τα μαθηματικά θα παραμείνει η παγκόσμια αλήθεια της σύγχρονης αρχιτεκτονικής.

47 48 49 50

John Tabak, BEYOND GEOMETRY: A New Mathematics of Space and Form, Facts On File, Inc., 2011 http://www.o-lay.net/innovative/elastic-bending Eugène-Emmanuel Viollet-le-Duc, “Entretiens sur l’Architecture” 2 volumes, Paris, 1863 Le Corbusier, “Le Modulor”, Boulonge-sur-seine: Architecture d’Aujoud’hui, Groupe Expansion, 1948

Οι μαθηματικοί του 16ου και 17ου αιώνα που ασχολήθηκαν με την άλγεβρα έθεσαν τις βάσεις για τις μελλοντικές καινοτομίες στον κλάδο της αναλυτικής και διαφορικής γεωμετρία, αυτής της νέας γεωμετρίας των συμβόλων και των πρόσημων, αντί για γραμμές και σχήματα, που επιτρέπει τις πρόσφατες επιτεύξεις των σύγχρονων λογισμικών . Ως εκ τούτου, οι αρχιτεκτονικές, οι μηχανικές και υπολογιστικές μας προτάσεις (όπως και η περισσότερη γεωμετρία που «παράγεται και καταναλώνεται» σήμερα) υπολογίζονται παρά απεικονίζονται , και μπορούν να γραφτούν αντί να σχεδιαστούν. Ο σύγχρονος ενστερνισμός των γεωμετριών που προτείνουν τα σύγχρονα μαθηματικά είναι παράγωγο της αντίστοιχης εξέλιξης στη θεμελιακή βάση του χώρου και σχήματος. Με την έναρξη της χρήσης των υπολογιστών μας δόθηκε η ευκαιρία όχι μόνο να επανασυνδεθεί η αρχιτεκτονική με την γεωμετρία αλλά να αναζητήσουμε τις δυνατότητες της μη-ευκλείδειας γεωμετρίας και επιπλέον να συνειδητοποιήσουμε τις ευκαιρίες που μας προσφέρουν άλλοι κλάδοι των μαθηματικών, όπως ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, καθώς και οι αλγόριθμοι. Φαίνεται να έχει συμφιλιωθεί η αρχιτεκτονική με πολύπλοκες μαθηματικές θεωρίες, αφού για πρώτη φορά,οι αρχιτέκτονες μπορούν να εντάξουν ακόμα και την παράμετρο του χρόνου στον σχεδιασμό. Αυτό είναι δυνατό να επιτευχθεί πρακτικά, με τη χρήση διάφορων εργαλείων που προσφέρουν την δυνατότητα να μελετώνται οι διαφορετικές ανάγκες ενός χώρου ανάλογα με την χρονική περίοδο, και κατ’ επέκταση να επιτρέπεται η προσαρμογή αρχιτεκτονικών στοιχείων στην μεταβολή των συνθηκών. Από την άλλη το παιχνίδι με τον χρόνο μπορεί να αποτελεί και μια πιο υποκείμενη συνθετική πρόθεση, αφού παραδείγματος χάρη παρατηρείται συχνά τα τελευταία χρόνια από τους σχεδιαστές η τάση να δημιουργούν γεωμετρικές ροές (με τα ψηφιακά εργαλεία) και οι αρχιτεκτονικές μορφές να μετατρέπονται σε τμήματα ή παγώματα των ροών αυτών.51 Τα τελευταία δίνουν σημαντική έμφαση στο να μπορέσουμε να κοιτάξουμε κάτω από την επιφάνεια την οποία σχεδιάζει ο σύγχρονος αρχιτέκτονας, ενώ ταυτόχρονα να προβούμε σε μια πληρέστερη κατανόηση αφενός των διαδικασιών και αφετέρου του λογισμικού που χρησιμοποιείτε για την επίλυση των προβλημάτων του σχεδιασμού.

29. Greg Lynn, Kleiburg housing project, Bijlmermeer, Ολλανδία, 2006 // Για την υφιστάμενη μονάδα κοινωνικής στέγασης, που χτίστηκε

στις αρχές της δεκαετίας του 1970 τα προάστια του Άμστερνταμ, ο Lynn προτείνει μια ημιδιάφανη επένδυση από ανοξείδωτο χάλυβα εργάστηκε πάνω σε μια διαδικασία με γνώμονα τις εξερευνήσεις της μορφής(calculus based form) και μέσα από έναν Παιχνιδιάρικο πειραματισμό ανακαλύψε μερικές καινούργιες δυνατότητες στον τομέα του λογισμικού.

30. Greg Lynn, Blobwall // αποτελεί μια μελέτη της μορφής και του υλικού. Γενικότερα στο έργο του Lynn αναγνωρίζουμε μια «ροή» που προκύπτει από τα υποκείμενα μαθηματικά του λογισμικού που χρησιμοποιεί, τα οποία βασίζονται στον λογισμό.

31. OCEAN and Scheffler + Partners, Νέα Τσεχική Εθνική

Βιβλιοθήκη, Πράγα, competition entry, 2006 // Μέσα από μια αναλυτική υπολογιστική διαδικασία οι όγκοι της Βιβλιοθήκης αντιμετωπίστηκαν ως διανυσματικό πεδίο των κυριότερων δυνάμεων. Αυτή η δομική πληροφορία και σε συνδυασμό με άλλες παραμέτρους όπως η γωνία της πρόπτωσης του ηλιακού φωτός, οι άξονες θέασης και άλλα χωρικά χαρακτηριστικά αποτέλεσαν συνθετικά εργαλεία.

51 Ingeborg M Rocker, Calculus-based form: an interview with Greg Lynn, AD Programming Cultures, July/August 2006, pages 88–95 32

η εκδοχή του σήμερα, η αλληλεπίδραση του σχεδιασμού με τα υπολογιστικά εργαλεία

Ο αλγόριθμος του Casteljau για μια καμπύλη bezier και ένα δοσμένο σημείο της Α, υπολογίζει τους δείκτες των καμπυλών bezier (γ1) και (γ2) στις οποίες διαμερίζεται η αρχική καμπύλη από το Α – οι δείκτες της (γ1) είναι τα έντονα μαύρα σημεία και το Α ενώ της (γ2) είναι το Α και τα έντονα κόκκινα σημεία / από το βιβλίο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, από την επιστήμη στην εφαρμογή σελ 260

Μετατροπή καμπυλών bezier σε B-Splines, από το βιβλίο Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και Επιφανειών των Ε. Βασιλείου - Μ. Παπατριανταφύλλου, ΑΘήνα 2010, Πανεπιστήμιο Αθηνών, σελ 60

Οι μαθηματικές αρχές πολύ συχνά κρύβονται πίσω από τα αποτελέσματα που φαίνονται στην οθόνη. Η σχετική απουσία των μαθηματικών, όταν εντάσσονται κάτω από το περιβάλλον του τυποποιημένου λογισμικού είναι απλώς μια ψευδαίσθηση, αφού για την εκτέλεση διαδικασιών χρησιμοποιούνται μαθηματικά μοντέλα. Αυτό είναι ένα πραγματικό ζήτημα που πρέπει να ξεπεραστεί αν θέλουμε να κατακτήσουμε πραγματικά αυτό διακυβεύεται στον υποβοηθούμενο-από-τον-υπολογιστή σχεδιασμό(computer-aided design). Επιπλέον, με τη βοήθεια υπολογιστή, ο σχεδιαστής δεν ασχολείται πια με αντικείμενα αλλά με θεωρητικά απεριόριστες σειρές αντικειμένων και με τις σχέσεις που αυτά συνδέονται. Στην αρχιτεκτονική, τα σημερινά μαθηματικά έχουν ακόμα να κάνουν με την δύναμη και την εφεύρεση. Η συγκράτηση και ο έλεγχος, λόγω της συνεχόμενης σύστασης νέων προτύπων και κριτηρίων, φαίνεται να έχουν χαθεί μέχρι στιγμής. 52 Οι σημερινοί αρχιτέκτονες χρησιμοποιούν καθημερινά τα μαθηματικά για να αγκαλιάσουν τη λαχτάρα τους για δημιουργία και για την επίτευξη των στόχων τους, πολλές φορές χωρίς να το αντιλαμβάνονται. Με την υπάρχουσα τεχνολογική κατάσταση υπάρχουν πολλά μονοπάτια που θα μπορούσαν να ακολουθήσουν. Ένα από αυτά έχει να κάνει με τον παραμετρικό σχεδιασμό, με τον όρο αυτό εννοούµε ένα λογισµικό που µας επιτρέπει να συνθέσουµε ένα αρχιτεκτονικό έργο σύµφωνα µε µια µακρά αλυσίδα συσχετισµών. Με γνώμονα την αναζήτηση για κριτήρια, αλλά και την πρόθεση για καινοτομία αρκετοί σχεδιαστές φαίνεται να οδηγούνται σε ένα άλλο μονοπάτι που έχει να κάνει με τη δημιουργία εφαρμογών για την επίλυση προβλημάτων του σχεδιασμού. Η φράση «φτιάξε το δικό σου software» αποτελεί μια από τις πιο σύγχρονες τάσεις στον αρχιτεκτονικό κόσμο. Η γραφή κώδικα (scripting) και οι αλγόριθμοι ενισχύουν αυτή την τάση. Με τους αλγόριθμους, βλέπει κανείς την επιστροφή του προβληματισμού που θίξαμε και παραπάνω, σε σχέση με την έλλειψη διαισθητικού περιεχόμενου ορισμένων εργασιών. Ένα ακόμα μονοπάτι που αξίζει να εξεταστεί είναι η προσομοίωση, η οποία σχετίζεται αρκετά με τη αυξανόμενη σημασία που δίνεται στα σενάρια και τα γεγονότα. Υπό αυτό το πρίσμα, 52 Antoine Picon, Digital Culture in Architecture: An Introduction for the Design Professions, Birkhauser (Basel),2010.

32. Οι τρεις εποχές του CAD // Την ροή των πληροφοριών από τον σχεδιαστή μέχρι την υλοποίηση των εν λόγω δεδομένων σε κατασκευασμένη κτίριο την βλέπουμε από αριστερά προς τα δεξιά.

lines

surface models

solid modeling

NURB surface modeling

parametric modeling

1960s

1970s

1980s

1960s-80s

1980s

33. εισαγωγική διάλεξη του μαθήματος 4.510 digital design fabrication, fall 2008, ΜΙΤ

η αρχιτεκτονική γίνεται κάτι το οποίο συμβαίνει. Ότι παράγεται συνεχώς συγκρίνεται με μια μορφή δράσης.53 Πρόκειται για μια εξέλιξη που βρίσκεται στον πυρήνα του σύγχρονου αποδοτικού προσανατολισμού.

*η ψηφιακή ροή εργασίας Είναι πλέον κοινή πεποίθηση ότι το ψηφιακό µέσο δεν ορίζει µια νέα κατηγορία έρευνας µε «θολά» τα πεδία των εφαρμογών του, αλλά συνιστά ένα εργαλείο σχεδιαστικής δράσης, πλήρως ενσωµατωµένο στον αρχιτεκτονικό σχεδιασμό. Ωστόσο, οι «φυσικές» ιδιότητες του κάθε µέσου - άρα και του ψηφιακού - επηρεάζουν αποφασιστικά την προσέγγιση του σχεδιασµού, και τελικά αποτελούν εργαλείο διαμόρφωσης της σκέψης και αναπόσπαστο μέρος της δημιουργικής πράξης.54 Ο υπολογιστής εξαιτίας της υπολογιστικής του ισχύος αποτελεί ισχυρό σύμμαχο, δεν είναι ένα σχεδιαστικό εργαλείο· αλλά ένα υπολογιστικό εργαλείο, µε τη σχεδίαση να αποτελεί μια εφαρμογή της υπολογιστικής του ικανότητας. Αυτό που κάνει είναι να υπολογίζει αριθμούς, και κατ’ επέκταση σχέσεις μεταξύ τους. Ως χρήστες των ψηφιακών μέσων, απολαμβάνουμε την πολυτέλεια του να µην έχουμε την παραμικρή ιδέα για το τι συμβαίνει στα παρασκήνια κι όμως να μπορούμε κάλλιστα να πετύχουμε αξιόλογα αποτελέσματα µέσω απλών χειρισμών στο πληκτρολόγιο ή το ποντίκι. Πριν από μερικά χρόνια, με την εισαγωγή όλο και πιο ισχυρών συστημάτων CAD (computer-aided design) φάνηκε σαν να έχουν σχεδόν εξαλειφθεί τα μαθηματικά από την αρχιτεκτονική πρακτική, που ούτως ή άλλως θεωρούταν αντιπαθή λόγω της «μη-δημιουργικής» αυστηρότητας τους. Θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι η εφαρμογή τους αντικαταστάθηκε από τη χρήση λογισμικών CAD με την πεποίθηση ότι κάπου στο βάθος το πρόγραμμα θα φροντίσει όλους τους υπολογισμούς. Σύμφωνα με αυτή τη λογική, ακόμη και ιδιαίτερα εξελιγμένες μαθηματικές έννοιες όπως οι καμπύλες NURBS (non-uniform rational b-splines)κατάφεραν να γλιστρήσουν στην αρχιτεκτονική, και παρόλο που ήταν κατανοητές από πολύ λίγους, βρήκαν ευρεία εφαρμογή.55 Πρόσφατα αυτό φαίνεται να αλλάζει και πάλι, με τους αρχιτέκτονες να δείχνουν ξαφνικά ένα συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και τις αφηρημένες έννοιες. Με μια πιο προσεκτική εξέταση, η επακόλουθη εξέλιξη αυτής της κατάστασης είναι τα πολύπλοκα σχήματα που εξαπέλυσαν τα ψηφιακά εργαλεία σχεδιασμού, τα οποία διέκοψαν την ομαλή ροή της αλυσιδωτής διαδικασίας από το σχεδιασμό (CAD, computer-aided design) στον μηχανικό υπολογισμό (CAE - computer-aided engineering) και τελικώς στην κατασκευή (CAM - computer-aided Manufacturing) με τη βοήθεια υπολογιστή.56 Σήμερα έχουμε φτάσει στο σημείο της αυτόματης υλοποίησης των αντικειμένων που σχεδιάζουμε μέσω ψηφιακών μηχανών κατασκευής. Ωστόσο, μια αποδεκτή ενιαία ψηφιακή ροή εργασίας απαιτεί περισσότερο από το πάτημα ενός κουμπιού από τον σχεδιαστή για την εκπλήρωση της. Για να καταλάβουμε καλύτερα αυτή την περίπτωση πρέπει να ρίξουμε μια ματιά στη στενά συνδεδεμένη σχέση των μαθηματικών με τη θεωρία των υπολογιστών. Πρώτα από όλα, ο αρχιτεκτονικός σχεδιασμός είναι μια διαδικασία επικοινωνίας. Η αρχική ιδέα του 53 54 55 56

Yasha Grobman and Eran Neuman (eds), Performalism: Form and Performance in Digital Architecture, Tel Aviv Museum of Art (Tel Aviv), 2008 Sean Ahlquist & Achim Menges, Computational Design Thinking, Wiley, 2011 Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer and Axel Kilian, Architectural Geometry, Bentley Institute Press (Exton), 2007 Νικόλαος Μπιλάλης, Εμμανουήλ Μαραβελάκης, Συστήματα CAD/ CAM και τρισδιάστατη μοντελοποίηση, Κριτική, 2009

σχεδιαστή είναι πολύ μακριά από το τελικό δομημένο αποτέλεσμα, και χρειάζονται τα αναγκαία μέσα για να περιγράφει ένα σχέδιο με τρόπους τέτοιους που να παρέχουν επαρκείς και σαφείς οδηγίες προς τους κατασκευαστές. Παραδοσιακά και παρ’ όλη την ψηφιοποίηση των διαδικασιών, αυτό ακόμα επιτυγχάνεται κυρίως με σχέδια δυο διαστάσεων (2-D). Μαθηματικά μιλώντας, η προβολή ενός τρισδιάστατου αντικειμένου επάνω σε ένα δισδιάστατο φύλλο χαρτιού είναι ένας μετασχηματισμός που πρέπει να ρυθμιστεί προσεκτικά ώστε να δώσει αποτελέσματα με σωστό και μεστό περιεχόμενο. Για παράδειγμα στην περίπτωση μιας επίπεδης επιφάνειας, η προβολή της ορίζεται έτσι ώστε να κρατηθούν τα μήκη και οι μοίρες των χαραγμένων γωνιών, επιτρέποντας μετρήσεις στο σχέδιο που δίνουν έγκυρες πληροφορίες σχετικά με την πραγματικότητα. Δυστυχώς, τέτοια προβαλλόμενα επίπεδα δεν υπάρχουν πια σε ένα πολύπλοκο σχήμα χωρίς επίπεδες επιφάνειες. Επομένως, οποιοδήποτε δισδιάστατο σχέδιο μπορεί να μεταφέρει πληροφορίες για την σχετική διάταξη των στοιχείων του σχήματος, δηλαδή το πως αυτά συνδέονται μεταξύ τους, αλλά όχι το πόσο απέχουν το ένα από το άλλο. Έτσι κάθε δισδιάστατο σχέδιο ενός τέτοιου σχήματος παύει να φέρει αξιόπιστες μετρήσεις. Αυτή η απώλεια των πληροφοριών, τελικά, καθιστά αδύνατη την ανασύνθεση του τρισδιάστατου αντικείμενου με βάση ένα σύνολο δισδιάστατων σχεδίων και έτσι η παραδοσιακή γλώσσα της αρχιτεκτονικής καθίσταται ανεπαρκής. Τα συστήματα CAD, βέβαια, έχουν εξελιχθεί από το στάδιο όπου απλώς προσέφεραν μια δισδιάστατη απεικόνιση του σχεδιαζόμενου αντικειμένου. Σήμερα, τα μοντέλα CAD μπορούν να αποθηκεύσουν τις τρισδιάστατες πληροφορίες ενός αντικειμένου και κατόπιν αιτήματος, συνεπή δισδιάστατα σχέδια μπορούν να παραχθούν από αυτά τα τρισδιάστατα μοντέλα.57 Έτσι πολύπλοκα σχέδια διαμορφώνονται σε τρεις διαστάσεις και κατόπιν «ισοπεδώνονται» σε δισδιάστατα σχέδια. Με αυτό τον τρόπο το μοντέλο γίνεται ο πυρήνας της επικοινωνίας. Ένα μοντέλο, εξ ορισμού, είναι πάντα μια αφαίρεση της πραγματικότητας. Η κατασκευή ενός μοντέλου σημαίνει την μείωση της άπειρης πολυπλοκότητας του πραγματικού κόσμου σε ένα επίπεδο όπου μπορεί να περιγραφεί σωστά και να είναι εύχρηστο. Αυτό που είναι προφανές στο ψηφιακό εργαστήρι ενός σχεδιαστή μερικές φορές λησμονείται όταν έχει στο χέρι του σχεδόν άπειρο χώρο ψηφιακής αποθήκευσης: ένα τέλειο μοντέλο δεν περιέχει όσο το δυνατόν περισσότερες πληροφορίες, αλλά τόσο λίγες όσο είναι αναγκαίο για να περιγράψει τις ιδιότητες ενός αντικειμένου ξεκάθαρα. Κάθε επιπλέον bit που δεν είχε νόημα για το συγκεκριμένο σκοπό το μόνο που κάνει είναι εμποδίζει την ανάγνωση. Στην θεωρία της πληροφορικής, αυτό είναι γνωστό ως «περιγραφική πολυπλοκότητα» : η πολυπλοκότητα ενός αντικείμενου καθορίζεται από το μήκος της συντομότερης δυνατής περιγραφής.58 Ενώ η μοντελοποίηση ξεκινά με τη συλλογή δεδομένων, είναι πολύ πιο σημαντικό στη συνέχεια να πεταχτεί οτιδήποτε αποδεικνύεται επιφανειακό και περιττό. Αυτό είναι εύκολο να γίνει, παραδείγματος χάριν, για επίπεδες επιφάνειες και κανονικά πλέγματα, όπου οι λεπτομέρειες που τα περιγράφουν μπορούν να καθορίζονται μία φορά και στη συνέχεια να πολλαπλασιάζονται, και όταν πραγματοποιούνται τοπικές αλλαγές να μην προκαλείται επανεκτίμηση της όλης δομής. Αλλά και πάλι, αυτό παύει να ισχύει μόλις τα σχήματα γίνονται καμπύλα. Οι υπολογιστές είναι πολύ καλοί στην κατασκευή ευθειών αλλά όχι και καµπυλών, εκτός κι αν τους δοθούν συγκεκριμένοι μαθηματικοί τύποι που περιγράφουν τις καµπύλες ως προς κάποιο σύστηµα αναφοράς.59 Μία απλή προσέγγιση για να περιγράψουμε ένα μη-επίπεδο σχήμα θα ήταν να καθορίσουμε ένα μεγάλο αριθμό σημείων και να τα συνδέσουμε με ευθείες γραμμές ώστε να σχηματίζουν ένα πλέγμα (mesh). Ta πλέγματα είναι ένας εύκολος 57 Robert J.K. Jacob, Quentin Limbourg, Jean Vanderdonckt , Computer-Aided Design of User Interfaces, Kluwer Academic Publishers, 2005 58 Jane Burry and Mark Burry, The New Mathematics of Architecture, Thames & Hudson (London), 2010. 59 Πετούσης Μάρκος, Ανάπτυξη Μηχανολογικών Εφαρμογών με τη Βοήθεια ΗΥ: Σημειώσεις για το μάθημα «Cad» του Τμήματος Μηχανολογίας του Τ.Ε.Ι. Κρήτης, Δεκέμβριος 2003 36

34. επίπεδη προβολή // Απλά 3-D

αντικείμενα με επίπεδες επιφάνειες (πάνω) μπορούν να περιγραφούν με σαφήνεια από ένα σύνολο σχεδίων 2-D διατηρώντας τα απαραίτητα μήκη και γωνίες για όλα τα όρια που είναι παράλληλα προς τα επίπεδα προβολής. Για καμπύλες επιφάνειες (κάτω), η προσέγγιση αποτυγχάνει, το επίπεδο προβολής δεν θα διατηρήσει τις μετρήσεις. Οι υπολογιστές είναι πολύ καλοί στην κατασκευή ευθειών αλλά όχι και καµπυλών, εκτός κι αν τους δοθούν συγκεκριµένοι µαθηµατικοί τύποι που περιγράφουν τις καµπύλες ως προς κάποιο σύστηµα αναφοράς

τρόπος για να ορίσουμε πολύπλοκα σχήματα, αλλά έχουν ένα σοβαρό μειονέκτημα: οι επίπεδες πλευρές ενός πλέγματος μπορούν μόνο να προσεγγίσουν ένα καμπύλο σχήμα, το οποίο είναι συνήθως αποδεκτό για την φωτορεαλιστική απεικόνιση του(render), αλλά σίγουρα όχι για την ψηφιακή κατασκευή του(digital fabrication)60 αφού η ακρίβεια της μηχανής υπερβαίνει την ακρίβεια της τρισδιάστατης προσέγγισης του σχήματος (συνήθως 1/10 του χιλιοστού για τον εξοπλισμό κατασκευής μεγάλης κλίμακας) και τα σφάλματα που προκαλούνται είναι δεόντως ορατά. Βέβαια, υπάρχει ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει με ακρίβεια καμπύλες επιφάνειες που αναπτύχθηκε γύρω στο 1950 και 1960. Λόγω της υπολογιστικής πολυπλοκότητα των καμπύλων NURBS χρειάστηκαν σχεδόν 50 χρόνια μέχρι να αρχίσουν την εντυπωσιακή εφαρμογή τους στον τομέα της αρχιτεκτονικής. Οι καμπύλες NURBS επιτρέπουν τον ακριβής ορισμός πολύπλοκων σχημάτων μέσω σημείων ελέγχου (control points).61 Όταν χρησιμοποιούνται σωστά, τα σημεία που απαιτούνται για τον έλεγχο μιας επιφάνεια NURBS είναι σημαντικά λιγότερα από τις κορυφές ενός αντίστοιχου πλέγματος, ενώ ταυτόχρονα οι καμπύλες NURBS επιτρέπουν τον ακριβή υπολογισμό του συνόλου των σημείων επί της επιφανείας. Από την άποψη αυτή, ένα πλέγμα μπορεί να αντληθεί από μια επιφάνεια που έχει δημιουργηθεί με καμπύλες NURBS, όπως ένα πολύγωνο μπορεί να αντληθεί από ένα κύκλο. Αλλά η εύρεση μιας σωστής αναπαράστασης επιφάνειας NURBS από ένα δεδομένο πλέγμα (ή ένα point-cloud) απαιτεί αρκετή γνώση των υποκείμενων μαθηματικών μεθόδων. Έτσι, είναι πιο αποτελεσματική η εργασία με NURBS από την αρχή, η οποία είναι ακριβώς αυτό που τα σύγχρονα λογισμικά τρισδιάστατης μοντελοποίησης προσφέρουν. Αλλά η κατασκευή μιας ελεύθερης-μορφής επιφάνειας (freeform surface) σημαίνει κάτι περισσότερο από μικροαλλαγές σε σημεία ελέγχου, αφού προκειμένου να καταλήξουμε σε κάτι άρτιο και οικοδομήσιμο στο τέλος, σημαίνει ότι πρέπει να κατανοήσουμε τις μαθηματικές έννοιες πίσω από αυτές τις επιφάνειες και να τις συσχετίσουμε με τον υλικό κόσμο.

35. Καμπύλες nurbs (2ου, 3ου, 4ου βαθμού)// MIT OpenCourseWare , 4.500 Introduction to Design Computing Fall 2008 60 Schodek, Bechthold, Griggs, Kao, Steinberg. Digital Design and Manufacturing: CAD/CAM Applications in Architecture and Design. New Jersey: John Wiley & Sons, 2005. 61 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu, 4.500 Introduction to Design Computing, Fall 2008

36. Shigeru Ban, Centre Pompidou, Metz, France, 2010 38

*σχέση της κατασκευής µε την τεχνολογία Οι καμπύλες επιφάνειες έχουν πολλές γεωμετρικές ιδιότητες που επηρεάζουν άμεσα τις επιλογές της πραγματικής κατασκευής τους, όπως για παράδειγμα η ακτίνα καμπυλότητας, η ομαλότητα, η συνέχεια κ.α.62 Τα περισσότερα προγράμματα CAD μπορούν να απεικονίσουν αυτές τις ιδιότητες της επιφάνειας (πολλές φορές και με χρωματικά διαγράμματα) , αλλά ο σχεδιαστής πρέπει να ερμηνεύσει αυτή την απεικόνιση και είτε να ταιριάξει το σχέδιο στο διαθέσιμο υλικό ή να βρει το κατάλληλο υλικό για το συγκεκριμένο σχέδιο. Συνήθως η τελευταία προσέγγιση είναι αυτή που επιλέγεται, όμως, παρόλα αυτά, οδηγεί σε δύσκολες και αναποτελεσματικές λύσεις. Για την ανάπτυξη έξυπνων λύσεων, πρέπει να γνωρίζουμε λεπτομερώς τις ιδιότητες τόσο του σχήματος όσο και του υλικού, και προκειμένου να περιγράφουν επακριβώς σε ένα τρισδιάστατο μοντέλο, πρέπει να γνωρίζουμε πολύ καλά και τα μαθηματικά πίσω από τη φυσική συμπεριφορά των υλικών. Εάν, για παράδειγμα, μια καμπύλη επιφάνεια πρέπει να επιστρωθεί με λεπτές λωρίδες από ξύλο, είναι εύκολο να καθορίσουμε μια «ριγέ» υφή στο αντίστοιχο μοντέλο NURBS και να πετύχουμε μια ικανοποιητική φωτορεαλιστική αναπαράσταση, όμως μια φυσικά λανθασμένη εικόνα. Για μπορέσουμε να αναπαραστήσουμε αυτό που πραγματικά συμβαίνει, πρέπει το μοτίβο των λωρίδων να βασίζεται στις ιδιότητες κάμψης που διέπουν τις λωρίδες ξύλου στον πραγματικό κόσμο. Μόνο με αυτή τη γνώση είναι δυνατόν να δημιουργηθεί μια έγκυρη γεωμετρία για όλες τις σανίδες επί της επιφάνειας και έτσι στη συνέχεια, να μπορέσουμε να εξηγήσουμε σε έναν κατασκευαστή πόσα τμήματα χρειάζονται και πώς αυτά πρέπει να κοπούν.63

37. Η χρήση μόνο μίας επιφάνεια NURBS (αριστερά), επιτρέπει τη συνολική βελτιστοποίηση της ομαλότητας της μορφής. Η μεσαία εικόνα αποτυπώνει ένα διάγραμμα που επιτρέπει στο σχεδιαστή να αξιολογήσει την καμπυλότητα. Η ξύλινη κατασκευή που αποτελείται 6 στρώματα από ξύλινα δοκάρια. Κάθε ένα από αυτά υπολογίζεται από την πρώτη επιφάνεια NURBS.

38. Το μήκος και το σχήμα κάθε δοκού ποικίλλει λόγω της στρέψη στο επίπεδο της επιφάνειας. Αυτό προκαλεί τα όρια της δοκού να ποικίλλουν. Για να είναι επιτυχής η κατασκευή όλοι οι δοκοί πρέπει να κατασκευάστουν αυτόματα από μία μηχανή κοπης NC(numerically controlled). Τα ψηφιακά δεδομένα για να επιτευχθεί αυτό εύκολα λαμβάνονται από το μοντέλο.

62 http://www.cadlab.tuc.gr/courses/cad/chap4.pdf 63 Robert Beson, Relational Geometries - Custom Fabrication and Assembly of Digital Architecture, Byera Hadley Travelling Scholarship 2010

40. O Blumer Lehmann ο οποίος εδρεύει στο Gossau, στη βορειοανατολική Ελβετία, είναι ένας επεξεργαστής και κατασκευαστής ξυλείας. Το εργοστάσιο αγγίζει όλες τις πτυχές της παραγωγής ξυλείας, συμπεριλαμβανομένης της ξήρανσης και επεξεργασίας με μηχανήματα 5 άξονων (5axis machining) των πολύπλοκων στοιχείων ξυλείας.

39. ALA Arkitekter AS, Kilden Performing Arts Center, Kristiansand, Norway, 2012//Το σχήμα της πρόσοψης ορίζεται από μια

ευθειογενή επιφάνεια με μια ευθεία να ορίζει το άνω άκρο και ένα καμπύλο κατώτερο άκρο. Για το σκοπό της προκατασκευής όλες οι λωρίδες έπρεπε να ευθυγραμμιστούν με τους άξονες του κτιρίου, κάτι που δεν θα μπορούσε να επιτευχθεί με την μέθοδο «loft» που προσφέρουν τα τυποποιημένα πακέτα CAD (αριστερά), αλλά χρειάστηκε ο ορισμός μιας επιφάνειας NURBS(δεξιά)

41. Grimshaw, International Terminal, Waterloo, Λονδίνο, Ηνωμένο Βασίλειο, 1993. Το έργο έχει 36 πανομοιότυπα διαμορφωμένες καμάρες διαφορετικών διαστάσεων. 64 Jane Burry and Mark Burry, The New Mathematics of Architecture, Thames & Hudson (London), 2010

Ο αρχιτεκτονικός σχεδιασμός δεν σταματά στον καθορισμό του συνολικού σχήματος, αφού ένας μεγάλος αριθμός από (κατασκευαστικά) στοιχεία πρέπει να ενωθούν, έτσι ώστε να δημιουργήσουν ένα κτίριο. Όταν σχεδιάζουμε μια πολύπλοκη γεωμετρία (ένα «μη-κανονικό» πλέγμα), τα κατασκευαστικά στοιχεία και οι αρθρώσεις από τα οποία αποτελείται, πρέπει να προσαρμοστούν στη γεωμετρική κατάσταση που επικρατεί σε κάθε θέση του πλέγματος, καθιστώντας κάθε κομμάτι μοναδικό. Η έννοια της «παραμετρικής μοντελοποίηση» εισήχθη για να γλιτώσει τους σχεδιαστές από τη χειροκίνητη μοντελοποίηση χιλιάδες εξαρτημάτων που απαιτούνται για την κατασκευή μιας τέτοιας πολύπλοκης γεωμετρίας. Στον παραμετρικό σχεδιασμό η ίδια η διαδικασία της μοντελοποίησης περιγράφεται, αντί να περιγράφεται το τελικό αποτέλεσμα ως μοντέλο. Μία αλληλουχία από οδηγίες (πχ ένας αλγόριθμος) παράγει ένα αποτέλεσμα(output), που θα μπορούσε να είναι ένα λεπτομερές μοντέλο, με βάση κάποια στοιχεία εισόδου(input), μια σειρά παραμέτρων, που δίνονται από τον σχεδιαστή. Μεταβάλλοντας τις τιμές εισόδου διαφορετικά αποτελέσματα μπορεί να παραχθούν. Η πρόκληση της οικοδόμησης ενός παραμετρικού μοντέλου είναι να ξεκαθαριστούν οι αλληλεξαρτήσεις που δημιουργούνται από τις διαφορετικές απαιτήσεις που ο σχεδιαστής ορίζει και να βρεθεί μια σειρά από κανόνες που είναι οι απλούστεροι δυνατοί και ταυτόχρονα αρκετά ευέλικτοι ώστε να φιλοξενήσουν κάθε περίπτωση που προκύπτει.64 Με άλλα λόγια, χρειάζεται να εντοπίσουμε το ακριβές επίπεδο αφαίρεσης που θα ακολουθήσουμε, έτσι ώστε κανένα σημαντικό σημείο να μην χάνεται, αλλά και να μην επιβαρύνεται ο σχεδιασμός μας με περιττές λεπτομέρειες.

*το λογισμικό και η πληροφορία Ο υπολογιστής αντιλαμβάνεται τα πάντα ως αριθμούς και μαθηματικές πράξεις. Κάθε τι που πληκτρολογούμε προξενεί μια αριθμητική εντολή, η επεξεργασία της οποίας θα οδηγήσει σε ένα σύνολο από αριθμούς που θα κάνουν τις κατάλληλες αλλαγές επί της οθόνης. Ο επεξεργαστής που καλείται να διαχειριστεί τα δεδομένα είναι ουσιαστικά ένα κύκλωμα ασύλληπτα μεγάλης πολυπλοκότητας που μπορεί να καταλάβει μόνο μερικές περιορισμένες εντολές, οι οποίες είναι συνήθως αρκετά στοιχειώδεις. Κατά τον σχεδιασμό του, ενσωματώνεται αυτό το σύνολο εντολών (instruction set), το οποίο του επιτρέπει να κάνει όλες τις απαραίτητες μαθηματικές πράξεις, πράξεις λογικού ελέγχου (αληθές/ψευδές) και εργασίες όσον αφορά την είσοδο δεδομένων (input) και την έξοδο αποτελεσμάτων (output). Όλα τα προγράμματα που χρησιμοποιούμε σε έναν υπολογιστή ουσιαστικά είναι μία σειρά εντολών προς τον επεξεργαστή και έχουν δημιουργηθεί από αυτές τις μαθηματικές αρχές. Τόσο κατά τη δημιουργία ενός προγράμματος (με την συγγραφή κώδικα) όσο και κατά τη χρήση του, η απλοποίηση της περιγραφής μιας έννοιας, συνιστά μία από τις πιο κεντρικές και ουσιαστικές διαδικασίες για τη καλύτερη διαχείριση των πληροφοριών και την επιτάχυνση των πράξεων. Παρόλα αυτά, οι χρήστες των προγραμμάτων, και κυρίως λόγω της έλλειψης γνώσεων σε σχέση με το πώς λειτουργεί το λογισμικό, σπάνια προβαίνουν στο κατάλληλο επίπεδο εξάλειψης των περιττών δεδομένων με σκοπό την καλύτερη ροή εργασίας. Σε ένα σχεδιαστικό πρόγραμμα, οι πληροφορίες που είναι παρούσες περισσότερο από μία φορά (περιττές επαναλήψεις) αυξάνουν το βάρος του μοντέλου χωρίς την προσθήκη λεπτομερειών και το σημαντικότερο είναι ότι οδηγούν σε ανωμαλίες ενημέρωσης (update anomalies): το μοντέλο μπορεί να γίνει ασυνεπές (και απρόβλεπτο) αν μεμονωμένα τμήματα ενημερώνονται σε σχέση με μια διαδικασία. Στη θεωρία των βάσεων δεδομένων, η διαδικασία της εξάλειψης τέτοιων ανωμαλιών ονομάζεται κανονικοποίηση, όμως έρχεται με ένα τίμημα. Ενώ η αλλαγή πληροφοριών (η γραφή και αποθήκευση τους) γίνεται ασφαλέστερα και ταχύτερα, η εξαγωγή πληροφοριών (ανάγνωση) γίνεται πιο πολύπλοκη και γενικά αργή, γιατί οι πληροφορίες ανακτώνται από διάφορα σημεία (απ’ άκρη σ’ άκρη) του συνόλου των δεδομένων (dataset).65 Στα προγράμματα CAD, αυτό σημαίνει ότι κατά τη δημιουργία 1.000 παραμετρικών εξαρτημάτων που αναφέρονται σε μια επιφάνεια, θα μπορούσε να είναι αρκετό να αποθηκευτεί ένα μόνο σημείο ανά φορέα και να καθοριστεί μια σειρά από γεωμετρικές λειτουργίες για να δημιουργείται εκ νέου το ακριβές σχήμα του εξαρτήματος στο κάθε σημείο. Ωστόσο, αυτό θα μπορούσε να καταστήσει το μοντέλο αρκετά αργό αφού αυτές πράξεις πρέπει να επαναλαμβάνονται κάθε φορά που ζητείται μια πληροφορία. Έτσι, η συντομότερη δυνατή περιγραφή δεν είναι αναγκαστικά η καλύτερη. Θα μπορούσε να είναι χρήσιμο να κρατηθούν κάποιες περιττές επαναλήψεις, ενώ προσεκτικά εξασφαλίζετε η απαραίτητη συνέπεια ενημέρωσης(update consistency).66 Τα παραμετρικά προγράμματα, όπως το Grasshopper, γενικά παράγουν σε μεγάλο βαθμό κανονικοποιημένα μοντέλα (normalized models). Για τη δημιουργία ενός μοντέλου, ο χρήστης δημιουργεί ένα ιεραρχικό γράφημα που πηγάζει από μια γεωμετρία εισόδου (input geometry).67 To Grasshopper παρέχει την οπτική αναπαράσταση του γραφήματος και αφήνει τον χρήστη να αλληλεπιδρά με αυτό με έναν αρκετά έξυπνο τρόπο. Το γενικό μοντέλο(assembly) 65 Το ίδιο 66 Το ίδιο 67 Andrew Payne & Rajaa Issa, The Grasshopper Primer, Second Edition – for version 0.6.0007, 2009 42

42. Ένας κύκλος σαφώς ορίζεται από τρία μόνο σημεία. Το γεγονός ότι από 30 για παράδειγμα σημεία που ορίζουν το σχήμα ενός κύκλου μπορούν να πεταχτούν 27 από αυτά (90 % των δεδομένων) εξακολουθώντας να έχουμε το ίδιο σχήμα, ήταν σημαντική ανακάλυψη. Επιπλέον, από τον γεωμετρικό ορισμό του κύκλου μπορούμε να πάρουμε πλέον πολύ περισσότερα από τα 30 αρχικά μας σημεία.

43. Παραμετρικό μοντέλο μιας αναδιπλωμένης επιφάνειας ορισμένη από κάποιες γεωμετρικές ιδιότητες(κάτω). Ο πολλαπλασιασμό αυτής με βάση κάποιους κανόνες έχει ως αποτέλεσμα την δημιουργία του παραπάνω συστήματος.

44. Πάνω φαίνεται το ιεραρχικό γράφημα και η γεωμετρία εισόδου (input) που στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι 3 καμπύλες και το τελικό αποτέλεσμα (output). Για την δημιουργία των στοιχείων που ενώνουν τις επιφάνειες (και φαίνονται με πράσινο) αρκεί να δώσουμε ένα σημείο σε κάθε επιφάνεια (που ορίζουν τελικά ένα ευθύγραμμο τμήμα) και την γεωμετρία που θέλουμε να έχουν τα στοιχεία μας (στην περίπτωση αυτή έιναι ένας κύλινδρος).

45. Πάνω είναι ένα σχηματικό διάγραμμα στο grasshopper του ορισμού που απαιτείται για την αντιγραφή ενός γεωμετρικού σχήματος, όπως ένα σύστημα παραθύρων , σε όλη την επιφάνεια ενός πύργου. 43

αποτελεί κατά κάποιον τρόπο µια «σταθερά» η οποία είναι σε θέση να υποστηρίξει όλες τις παραλλαγές. Η μορφή αποτελεί ένα τοπολογικό σύστηµα σηµείων δεκτικών σε παραμέτρους, στις οποίες αναλύεται το αρχιτεκτονικό πρόβλημα. Οι σχεδιαστές πρέπει να γνωρίζουν ότι η προκύπτουσα γεωμετρία σε κάθε στάδιο είναι ευμετάβλητη και άμεσα εξαρτώμενη από τα δεδομένα εισόδου(input). Ο τρόπος με τον οποίο είναι δομημένο και οργανωμένο το συγκεκριμένο λογισμικό εξαλείφει τον κίνδυνο των ανωμαλιών ενημέρωσης(update anomalies) και καταστέλλει επίσης τη δυνατότητα των περιττών επαναλήψεων. Μια ακόμα κοινή παρερμηνεία είναι ότι τα ψηφιακά μοντέλα είναι απείρως ακριβή. Η αλήθεια είναι ότι κάθε υπολογιστική λειτουργία με πραγματικούς αριθμούς υπόκειται σε ελαφρά σφάλματα που οφείλονται στο γεγονός ότι αυτοί οι αριθμοί αποθηκεύονται ως συνδυασμός ενός ακέραιου αριθμού και ενός δείκτη με πεπερασμένη ακρίβεια (αυτό ονομάζεται «floating point» για να τονίσει ότι η θέση της «υποδιαστολής» εξαρτάται από τον μεταβλητό δείκτη).68 Αν και αυτά τα σφάλματα συνήθως παραμελούνται, υπάρχει περίπτωση να αθροιστούν και να δημιουργήσουν προβλήματα, ιδιαίτερα σε πολύπλοκες γεωμετρικές διαδικασίες. Πολλές δραστηριότητες - όπως η παράγωγη μιας επιφάνειας από ένα σύνολο καμπυλών(κλασική τεχνική για τη δημιουργία εδάφους από υψομετρικές καμπύλες), ή η εύρεση της τομής δύο επιφανειών NURBS - χρησιμοποιούν μια αριθμητική προσέγγιση, που τελικά καταστρέφει την έννοια των απείρως ακριβών μοντέλων. Αυτός είναι επίσης ο λόγος που οι προγραμματιστές των συστημάτων CAD παρέχουν μια λειτουργία ανοχής (tolerance setting).69 H αύξηση της ανοχής βοηθάει όταν εργαζόμαστε με ασαφή γεωμετρία εισόδου, αλλά μειώνει επίσης το τελικό αποτέλεσμα της ποιότητας. Ενώ η μείωση αυτής αυξάνει την ακρίβεια, δυσκολεύει τις γεωμετρικές λειτουργίες να πετύχουν και αυξάνει το χρόνο υπολογισμού. Φυσικά, τα σφάλματα που προκαλούνται από τις γεωμετρικές λειτουργίες είναι αδύνατο να αποφευχθούν στο μοντελισμό με CAD, αλλά γνωρίζοντας πότε και γιατί αυτά τα λάθη συμβαίνουν, μπορεί να συμβάλει στη βελτίωση της ακολουθίας του σχεδιασμού και κατ επέκταση της κατασκευής.

Ο άλλος τρόπος απλοποίησης θα μπορούσε να περιγραφεί ως τον καθαρισμό ενός μοντέλου. Στην επιστήμη των υπολογιστών, είναι γνωστό ως αναδόμηση κώδικα (code refactoring) δηλαδή, η αλλαγή του πηγαίου κώδικα ενός προγράμματος χωρίς να αλλάξει τη λειτουργικότητά του, προκειμένου να διασφαλιστεί συντηρησιμότητα και επεκτασιμότητα. Αυτό μπορεί να καθοριστεί άμεσα με ένα σύστημα CAD: πετώντας επιφανειακά τμήματα και απλουστεύοντας παραμετρικές εξαρτήσεις, ένα μοντέλο μπορεί να διατηρηθεί καλοσχεδιασμένο και αποτελεσματικό. Ωστόσο, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η απλοποίηση είναι μη αναστρέψιμη: τη στιγμή που θα απλοποιηθεί η περιγραφή ενός κύκλου από τρία σημεία, στο κέντρο και την ακτίνα, δεν υπάρχει κανένας τρόπος για να ανακτήσουμε τα τρία αρχικά μας σημεία πίσω - οι πληροφορίες διατηρούνται, αλλά όχι η ιστορία τους. Αυτό σημαίνει ότι οι σχεδιαστές πρέπει να είναι βέβαιοι ότι τα μέρη που εξαλείφουν είναι πραγματικά περιττά, διαφορετικά η απλοποίηση γίνεται περαιτέρω αφαίρεση και επηρεάζει τη λειτουργικότητα του μοντέλου

46. Ρύθμιση ανοχής σε διάφορα επίπεδα ποιότητας (curvature tolerance), χαμηλή, μέτρια, υψηλή και υψηλότατη ανοχή όσον αφορά την συνέχεια. Η συνέχεια είναι ο όρος που χρησιμοποιείται για να περιγράψει πώς ανταποκρίνονται τα «μπαλώματα» σε μια επιφάνεια. Εδώ, ένα fillet blend χρησιμοποιείται ως παράδειγμα. Φαίνονται παράδειγματα διαφορετικών επίπεδων της συνέχειας τόσο μιας καμπύλης όσο και μιας επιφάνειας. 68 Jane Burry and Mark Burry, The New Mathematics of Architecture, Thames & Hudson (London), 2010 69 http://www.csit.parkland.edu/~dbock/Class/csc187/Lecture/NURBSModeling_II.html http://knowledge.autodesk.com/support/ alias-products/getting-started/caas/CloudHelp/cloudhelp/2015/ENU/Alias-Tutorials-Legacy/files/GUID-E1BDFBD0-33CC-44C4866D-5F367105A050-htm.html 44

*αλγόριθμοι και υπολογιστική πολυπλοκότητα Η θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών είναι σίγουρα έξω από την ατζέντα του μέσου φοιτητή αρχιτεκτονικής. Αλλά, όταν τα τμήματα του σχεδιασμού ανατίθενται σε προγράμματα (όπως η υπολογιστική βελτιστοποίηση) ή νέα υπολογιστικά εργαλεία αναπτύσσονται στα πλαίσια μιας σχεδιαστικής διαδικασίας (όπως στην παραμετρική μοντελοποίηση), ορισμένες γνώσεις σχετικά με τους αλγόριθμους γίνονται το κλειδί για την κατανόηση της επιρροής τους τόσο στη διαδικασία όσο και στο αποτέλεσμά της. Πρώτααπ‘όλα,σεαντίθεσημεέναπρόβλημασχεδιασμού,έναςαλγόριθμος πρέπει να είναι σαφώς ορισμένος. Δεδομένου ότι οι υπολογιστές δεν μπορούν να μαντέψουν με βάση την εμπειρία και τη διαίσθηση, κάθε βήμα σε ένα πρόγραμμα πρέπει να είναι πλήρως και σαφώς καθορισμένο από τα προηγούμενα βήματα. Οποιαδήποτε απόφαση που παίρνουμε σχετικά με το πώς να προχωρήσουμε πρέπει να είναι ήδη ενσωματωμένη στο πρόγραμμα. Έτσι, καθορίζοντας έναν αλγόριθμο για την επίλυση μιας κατηγορίας προβλημάτων σημαίνει ότι χρειάζεται να γνωρίζει ήδη μια γενική λύση για αυτά τα προβλήματα και πρέπει να περιγράψει μια διαδικασία βήμα-προς-βήμα, έτσι ώστε να εξάγει ένα αποτέλεσμα (output) από τα δεδομένα εισόδου(input).70 Το πρώτο βήμα συνήθως περιλαμβάνει τον ισχυρισμό ότι τα δεδομένα εισόδου ταιριάζουν με τις προδιαγραφές του προβλήματος και μπορούν να υποστούν επεξεργασία. Με άλλα λόγια, το εύρος των επιτρεπόμενων δεδομένων εισόδου, ο λεγόμενος «παραμετρικός χώρος» (parameter space),πρέπει να έχει ήδη οριστεί. Από εκεί και πέρα, ο αλγόριθμος προχωρά ντετερμινιστικά βήμα προς βήμα, έως ότου να παρουσιάζει πάντα το ίδιο τελικό αποτέλεσμα για το ίδιο δεδομένο εισόδου. Δυστυχώς δεν είναι καθόλου δεδομένο ότι ακόμη και ένας ντετερμινιστικός αλγόριθμος θα παραδώσει τελικά ένα αποτέλεσμα. Όταν ένας αλγόριθμος περιέχει κάποιο είδος βρόχου (Loop) γίνεται δύσκολο να αποδειχθεί ότι ποτέ δεν θα χαθεί σε μια διαρκή τροχιά για κάποιο δεδομένο εισόδου. Κατά συνέπεια, παραμετρικά προγράμματα όπως το grasshopper δεν επιτρέπουν βρόχους στα μοντέλα τους. Το διάγραμμα ροής δεδομένων που έχει συσταθεί από τον χρήστη σχηματίζει πάντοτε ένα κατευθυνόμενο γράφημα χωρίς βρόχους (loop-free graph) εξασφαλίζοντας ότι τα δεδομένα περνούν χωρίς ποτέ να φτάσουν στο ίδιο σημείο δύο φορές.71 Στην πραγματικότητα, οι βρόχοι χρησιμοποιούνται σε παραμετρικά προγράμματα, αν 70 S. Bingula, Algorithms for Computer-Aided Design of Multivariable Control Systems, CRC Press, 1993 71 Andrew Payne & Rajaa Issa, The Grasshopper Primer, Second Edition – for version 0.6.0007, 2009

47. Σχηματική αναπαράσταση ενός παραγωγικού αλγορίθμου (generative algorithm) // Οι

εξελικτικές μέθοδοι βρίσκουν αποτελέσματα κατά τύχη για πολλές χωρικές λύσεις, αλλά βασίζονται σε εντελώς ντετερμινιστικούς αλγορίθμους. Αξίζει να σημειωθεί ότι η κωδικοποίηση των ιδιοτήτων ενός στοιχείου σε ένα γονιδίωμα, ο ανασυνδυασμός των γονιδιωμάτων κατά τη διάρκεια της αναπαραγωγής, και η επιλογή με βάση ένα ποσοτικό κριτήριο καταλληλότητας πρέπει να είναι επίσημα και ορίζονται ξεκάθαρα. Κάποιες αποφάσεις σε μερικά βήματα του αλγόριθμου παίρνονται στην τύχη, αλλά αυτό είναι επίσης μέρος της προκαθορισμένης συνταγής.

48. Το Πρόβλημα πλανόδιου Πωλητή // Για τρεις πόλεις Α, Β και Γ, οι έξι μεταθέσεις θα είναι (ABC],

[ACB], [BCA], [BAC], [CBA] και [CAB]. Αν υποθέσουμε ότι δεν έχει σημασία ούτε η πόλη αφετηρίας ούτε η κατεύθυνση , αυτές οι τρεις διαδρομές είναι ουσιαστικά ίδιες. Έτσι, για τρεις πόλεις, υπάρχει μόνο μία δυνατή διαδρομή. Αλλά αυτό αλλάζει γρήγορα για n> 3.

49. (αριστερά) Μονοδιάστατος (1D) παραμετρικός χώρος μιας καμπύλης. Κάθε “t” τιμή είναι ένας πραγματικός αριθμός που αντιστοιχεί σε μια θέση πάνω στην καμπύλη (πάνω). Η μετατροπή του ιδίου μονοδιάστατου (1D) χώρου σε τρισδιάστατο(3D) σύστημα συντεταγμένων (κάτω) 50. (πάνω) Η τομή μιας επιφάνειας με μια καμπύλη // Διάγραμμα που δείχνει τη διαδικασίας που ακολουθεί ο αλγόριθμος για την εκτέλεση της εντολής

και βρίσκονται μόνο εντός των «εξαρτημάτων» (components) που παρέχονται από τον σχεδιαστή του προγράμματος και είναι προσεκτικά κρυμμένοι από το χρήστη έτσι ώστε να αποκλειστεί η περίπτωση των άπειρων βρόχων. Μερικές φορές, ακόμη και οι πεπερασμένο βρόχοι είναι πάρα πολλοί. Υπάρχουν προβλήματα που μπορούν να επιλυθούν με πολύ καλά καθορισμένο και αποδεδειγμένο τερματισμό αλγορίθμων - μόνο που χρειάζεται πάρα πολύς χρόνος να περιμένουμε το αποτέλεσμα. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα για να καταλάβουμε αυτή την κατάσταση είναι το λεγόμενο «πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή» για την εξεύρεση της συντομότερης διαδρομής μέσα από όλες τις πόλεις ενός συγκεκριμένου κατάλογου(λίστα). Ένας αλγόριθμος θα πρέπει να δημιουργήσει όλες τις δυνατές μεταθέσεις μεταξύ των αναφερόμενων πόλεων, να υπολογίσει τα αντίστοιχα μήκη διαδρομής και να βρει την συντομότερη. Δεδομένου ότι ο αριθμός των πόλεων είναι πεπερασμένος, έτσι θα είναι και ο αριθμός των διαδρομών που μπορεί να δοκιμαστεί σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα από ένα ντετερμινιστικό αλγόριθμο. Το μόνο πρόβλημα είναι ότι για n πόλεις, ο αριθμός των μεταθέσεων λογαριάζεται σε ½ × (n-1)!, μια σχέση που αναπτύσσεται από ένα παραγοντικό μέγεθος (δηλαδή, το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερο από ή ίσο με έναν αριθμό). Για n = 16 υπάρχουν ήδη ½ × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 × 12 × 13 × 14 × 15 = 653.837.184.000 εναλλακτικές λύσεις για να ελέγξει, τις οποίες με ρυθμό ένα εκατομμύριο διαδρομές ανά δευτερόλεπτο χρειάζονται περίπου 7,5 ημέρες, και μια μόνο επιπλέον πόλη θα αυξήσει το χρόνος αναμονής σε τέσσερις μήνες. Το ποσό των πόρων που καταναλώνονται από έναν αλγόριθμο σε σχέση με τον αριθμό των δεδομένων εισόδου ονομάζεται «Υπολογιστική πολυπλοκότητα».72 Όπως προκύπτει από το πρόβλημα του πωλητή, η υπολογιστική πολυπλοκότητα των περισσότερων προβλημάτων δεν κλιμακώνεται γραμμικά με τον αριθμό των δεδομένων εισόδου. Ειδικότερα, οι υπολογιστικές προσομοιώσεις όπως η 72 Jane Burry and Mark Burry, The New Mathematics of Architecture, Thames & Hudson (London), 2010 46

ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων (finite element analysis - FEA) και η υπολογιστική ρευστοδυναμική (computational fluid dynamics -CFD) δεν είναι εύκολο να διευρυνθούν, γεγονός που καθιστά πρακτικά αδύνατη την προσομοίωση μεγάλων μοντέλων σε εύλογο χρονικό διάστημα. Η αγορά γρηγορότερων επεξεργαστών θα βοηθήσει μόνο στιγμιαία, ενώ η οικοδόμηση πιο λιτών μοντέλων και η εφαρμογή εξυπνότερων μεθόδων αποτελεί μια αποδοτικότερη προσέγγιση. Ένα άλλο πολύ απλό παράδειγμα και σε σχέση με τα σχεδιαστικά προγράμματα είναι το πρόβλημα της τομής μιας καμπύλης µε µια ευθεία, το οποίο για τον υπολογιστή είναι ισοδύναμο µε την εξεύρεση των ριζών μιας εξίσωσης. Μπορούμε να απλουστεύσουμε τους υπολογισμούς με την πραγματοποίηση µια αλλαγής του συστήματος συντεταγμένων ώστε η ευθεία τομής να ταυτιστεί µε τον άξονα των x’Ox. Τότε φυσικά αλλάζει και το πολυώνυμο της καμπύλης, το οποίο και πρέπει να υπολογιστεί.

51. Εργασία από την διατριβή του Juan Subercaseaux, Emergent Technologies and Design Masters programme, 52. ArupAcoustics, Greater London Assembly, Λονδίνο, 2002 // Προσομοίωση AA Graduate School of Architecture, το 2005, με τον Νικόλαος Σταθόπουλος ως σύμβουλος προσομοίωσης και και απεικόνιση των ακουστικών κυμάτων διάδοσης, διάθλασης και εξασθένησης οπτικοποίησης // Οπτικοποίηση των κύριων παραμέτρων σχετικά με την ροή του αέρα γύρω από ένα προτεινόμενο στο θάλαμο συνεδριάσεων. Η προσομοίωση γίνεται για να παράγει μια απεικόνιση κτίριο στη Χιλή. Το επίκεντρο της προσομοίωσης αφορά την επίδραση της φυσικής και της δομημένης τοπογραφίας στην των ακουστικών χαρακτηριστικών του χώρου. αιολική ροή. Οι ταχύτητες των ρευμάτων, οι διαφορετικές κατευθύνσεις και τις κλίσεις της πίεσης φαίνονται με χρωματικά διαγράμματα που αντιπροσωπεύουν τις τιμές και την ένταση των παραμέτρων. Η μελέτη των ταχυτήτων και κλίσεων της πίεσης εστιάζει στις τοπικές επιπτώσεις στο το περίβλημα του κτιρίου.

Όπως είδαμε, τα πολύπλοκα σχήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν μόνο αν τα ψηφιακά ή ακόμα και παραμετρικά μοντέλα αποτελούν αναπόσπαστο μέρος του αρχιτεκτονικού σχεδιασμού. Τα ψηφιακά μοντέλα, τα οποία αποσκοπούν στην περιγραφή και προσομοίωση πτυχών των πραγματικών αντικειμένων, θα πρέπει να συσταθούν προσεκτικά, με σωστή εστίαση και το κατάλληλο επίπεδο αφαίρεσης για να παραδώσουν ουσιαστικά αποτελέσματα. Ειδικά όταν χρησιμοποιούμε παραμετρικά μοντέλα, οι ιεραρχικές εξαρτήσεις εντός των πολύπλοκων δομών πρέπει να είναι τελείως ξεκάθαρες και να περιγράφονται με ακρίβεια στα επίσημα αλγοριθμικά και μαθηματικά σύμβολα. Μόνο τότε μπορεί να επαναπροσδιοριστεί το αποτέλεσμα εξόδου αυτόματα κατά την αλλαγή των παραμέτρων εισόδου. Αλλά όταν ένα συγκεκριμένο σχέδιο είναι μόνο μία από τις πολλές πιθανές περιπτώσεις που μια παραμετρική μηχανή μπορεί να παράγει, ποια είναι τα κατάλληλα κριτήρια για να συζητήσουμε για την ποιότητα του σχεδιασμού; Σαφώς, η ουσιαστική αξιολόγηση δεν μπορεί να σταματήσει στην ορατή εμφάνιση του αποτελέσματος που εξάγεται. Παρ’ όλα αυτά, η σημερινή αρχιτεκτονική συζήτηση σπάνια καταδύει κάτω από αυτό το επίπεδο, ακόμη και αν οι σχεδιαστές εξελίσσονται σταδιακά σε προγραμματιστές που σχεδιάζουν τα δικά τους, ιδιαίτερα εξελιγμένα εργαλεία. 53. Foster + Partners, Αυλή του Smithsonian Institution, Washington DC, ΗΠΑ, το 2007 // Η γεωμετρία για

το στεφάνωμα της αυλής παρήχθη χρησιμοποιώντας κωδικα υπολογιστή γραμμένο στο MicroStation. Αυτό το script χρησιμοποίησε τους κεντρικούς άξονες των κιόνων, ένα πλέγμα και μια επιφάνεια Β-spline ως δεδομένα είσοδου. Ο κώδικας ήταν πάνω από 5.000 γραμμές και είχε 57 παραμέτρους.

54. Ivan Sutherland’s Sketchpad, 1963 // Real-time computation, γραφική απεικόνιση από τις αλληλεπιδράσεις του φωτός με το στυλό. Ένα παράδειγμα μοντέλου CAD που δείχνει ένα δικτύωμα υπό φορτίο.

*make your own software buzz Ξεκινώντας από τη γενική χρήση των ψηφιακών μέσων και προχωρώντας σε όλο και πιο εξειδικευμένες μεθόδους, παρατηρείται ένα ενδιαφέρον φαινόμενο: τόσο τα επιστημονικά όσο και τα δημιουργικά πεδία, απομακρύνονται συχνά από τη μηχανιστική λογική της χρήση του παρεχόμενου εμπορικού λογισμικού, καθώς ελκύονται από το «πείραγμα» του, φθάνοντας σε μεγαλύτερο βάθος και πέρα από τα όρια που θέτει, µε τη συγγραφή ειδικών scripting εφαρμογών, μέχρι και νέου λογισμικού. Τα μαθηματικά και κατ’ επέκταση ο κώδικας αποτελούν την «πρώτη ύλη» στον ψηφιακό σχεδιασμό. Ο σχεδιασμός µέσω μαθηματικών εννοιών και της χρήσης κώδικα επιδρά σε βάθος στην αντίληψη και την παραγωγή του αρχιτεκτονικού χώρου, της δομής και της μορφής του. Προσαρμοσμένη 49

Given the visual interfaces of better software today, with the right process mindset, you might not even know when you are coding Malcolm McCullough, 20 Years of Scripted Space, AD Programming Cultures, July/ August 2006

55. George L Legendre, High-Rise Sketch, 2011 (πάνω αριστερά) // Αναλυτική γεωμετρία στην πράξη: ένας παραμετρικός κύκλος σαρώνει κατά μήκος μια περιοδική καμπύλη. 56. George L Legendre, Asymptotic Box, Parametric equations, 2004–10 (πάνω δεξιά) // Αυτή η περίεργη επιφάνεια παράγεται με την ανύψωση ενός περιοδικού προϊόντος σε ένα (πολύ) υψηλό εκθέτη προκειμένου να παραμορφώσει μια συνηθισμένη εύκαμπτη επιφάνεια σε ένα «κουτί». Ο όρος «Ασυμπτωτικό», δίνεται αφού το πλαίσιο τείνει προς μια ορθογωνικότητας - χωρίς να την φτάνει. 57. IJP, Yeosu 2012 θεματικό περίπτερο, Yeosu, Νότια Κορέα, 2009 // Μερική μαθηματική διατύπωση. Τέτοια φύλλα εργασίας (πολύ απλουστευμένα εδώ) βρίσκονται στην καρδιά της μεθοδολογίας του γραφείου. Δεξιά φαίνονται οι παραμετρικοί υπολογισμοί επιφανειών. Αριστερά φαίνεται η κάτοψη ορόφου του περιπτέρου που δείχνει το χώρο εισόδου, το πλωτό νησί και τον ύφαλο που το περιβάλλει.Το θεματικό περίπτερο διαθέτει μια στοιχειώδη σφαιρική μορφή κάθεται στην άκρη της θάλασσας, και ολοκληρώνεται με ένα μεγάλο κυκλικό άνοιγμα.

στην αρχιτεκτονική, µια γλώσσα προγραμματισμού συνιστά υπόβαθρο μαθηματικής και τεχνικής γνώσης, µε την οποία ο αρχιτέκτονας αναπτύσσει την ικανότητα να μετατρέπει σκέψεις και ιδέες σε απλές εντολές και στη συνέχεια σε γραμμές κειμένου ειδικής σύνταξης.73 Όταν εργαζόμαστε με μαθηματικές έννοιες και εξισώσεις, παρά με ένα εμπορικό λογισμικό μοντελοποίησης, για την επίλυση των προβλημάτων και τη δημιουργία νέων πραγμάτων, άμεση προϋπόθεση αποτελεί η προσφυγή σε σύμβολα και χαρακτήρες. Η σύνταξη φορμών και διαδικασιών με αυτόν τον τρόπο απαιτεί συγγραφική νοοτροπία. Τα λογισμικά μοντελοποίησης γενικά κατασκευάζονται από την συγχώνευση βημάτων χαμηλότερου επίπεδου σε υψηλότερου επιπέδου, όπως μια πυραμιδική δομή. Το να δουλεύει κάποιος με προκατασκευασμένο εμπορικό λογισμικό είναι σαν να εργάζεται στην κορυφή της πυραμίδας, όπου η αλληλεπίδραση είναι ευκολονόητη, όμως με τους ενσωματωμένους περιορισμούς αρκετές αποφάσεις έχουν ήδη παρθεί. Από την άλλη πλευρά, το να γράφει κάποιος εξισώσεις είναι σαν να εργάζεται, αν όχι στη βάση της πυραμίδας, αρκετά χαμηλά, όπου σχεδόν τίποτα δεν είναι προκαθορισμένο.74 Βεβαία, ο σχεδιασμός με μαθηματικά σήμερα δεν σημαίνει σχεδιασμός χωρίς κάποια μορφή λογισμικού - είναι άσκοπο αν όχι εντελώς αδύνατο σε μια εποχή όπου το λογισμικό είναι το μόνο διαθέσιμο ιδίωμα. Το να εργάζεται κάποιος με τα μαθηματικά σημαίνει να εργάζεται χωρίς διεπαφή (interface), και αυτή η διαφορά έχει σημασία: αφού, όπως κάθε δίαυλος επικοινωνίας, το interface μεταφέρει το μήνυμα, αλλά τελικά υπονομεύει την ελευθερία του σχεδιαστή. Για αρκετούς αρχιτέκτονες και καλλιτέχνες η συγγραφή κώδικα (scripting) είναι το μέσο για να αναπτύξουν τα δικά τους εργαλεία και περιβάλλοντα σχεδιασμού. Τα Μαθηματικά παρέχουν τις βασικές αρχές για την IJP Corporation, ένα αρχιτεκτονικό γραφείο που εδρεύει στο Λονδίνο, με επικεφαλή τον George Liaropoulo Legendre.75 Αποφεύγοντας το εμπορικό λογισμικό, η IJP αναπτύσσει τις δικές της εξισώσεις, ενώ το χωρικό μοντέλο που παράγεται βασίζεται στην έννοια της μαθηματικής επιφάνειας. Με αναλυτικούς όρους, όλες οι μαθηματικές παραμετρικές επιφάνειες διαμορφώνονται και παραμορφώνονται σε άμεση ανταπόκριση με τις αριθμητικές σχέσεις που τις διέπουν. Η ευρύτατη επιρροή αυτής της μαθηματικής πειθαρχίας συναντιέται σε όλα τα αποτελέσματα της εργασίας του γραφείου. Κατά τον Legendre η χρήση «ωμών» εξισώσεων - οι οποίες συνήθως λαμβάνονται ως δεδομένο κάτω από την κουκούλα των προκατασκευασμένων προγραμμάτων- προσφέρουν ένα πολύ μεγαλύτερο έλεγχο αυτού που σχεδιάζεται και κατασκευάζεται. Με αυτή την έννοια, το γραφείο προτιμά να εργάζεται σε ένα υπο-τεχνολογικό επίπεδο, όπου υπάρχει μια συμβολική γλώσσα, κοινή για όλες τις διαδικασίες του ψηφιακού σχεδιασμού. Η πρόταση για τον διαγωνισμό World Expo 2012 στο Yeosu της Κορέας έχει σαν βάση μια εξίσωση που παράγει μια «αντίστροφη επιφάνεια» η οποία αποτέλεσε το περίγραμμα των δύο βασικών στοιχείων της σύνθεσης (πλωτό νησί, τεχνητός ύφαλος). Αντίστοιχα, το 2013, στη συμμετοχή του γραφείου για τον διαγωνισμό του ολυμπιακού πάρκου Queen Elizabeth του Λονδίνου, το υπόστεγο που σχεδιάστηκε βασίζονταν σε μια εξίσωση η οποία παρήγαγε «περιστροφικές Συμμετρίες», πάνω στις οποίες συναρμολογούνταν τα στοιχεία στηρίξης της οροφής. Στην ίδια λογική ο Παναγιώτης Μιχαλάτος και η Sawako Kaijima, οι οποίοι είναι σύμβουλοι στην ομάδα σχεδιαστικής βελτιστοποίησης της εταιρίας ΑΚΤ (Adams Kara Taylor) του Λονδίνου, εργάζονται με μαθηματικούς αλγόριθμους για την ανάπτυξη διαδραστικού λογισμικού.76 Η εφαρμοσμένη έρευνα του ΑΚΤ 73 Sean Ahlquist & Achim Menges, Computational Design Thinking, Wiley, 2011 74 Jane Burry and Mark Burry, The New Mathematics of Architecture, Thames & Hudson (London), 2010 75 George Liaropoulos-Legendre, IJP: The Book of Surfaces, AA Publications (London), 2003 76 Panagiotis Michalatos and Sawako Kaijima, Adams Kara Taylor (AKT), Intuitive Material Distributions, AD Mathematics of Space, July/August 2011, John Wiley & Sons Ltd, pg 66-69

58. Heatherwick Studio, Βρετανικό περίπτερο, Σαγκάη, Κίνα, 2010

επικεντρώνεται στην ανάπτυξη εφαρμογών που συνδέονται με την κατανόηση της δομικής και οικοδομικής συμπεριφοράς στα πρώτα σταδία της διαδικασίας σχεδιασμού (μια πτυχή που ειδικά στην αρχή του σχεδιασμού είναι σχετικά αδιαφανής, αφού είναι δύσκολο να σκεφτούμε τη δομή χωρίς μια καθορισμένη γεωμετρία). Το TopoStruct είναι μία διαδραστική εφαρμογή που αναπτύχτηκε με βάση την θεωρία της βελτιστοποίησης της τοπολογίας. Η μέθοδος που ακολουθεί περιλαμβάνει την αποτελεσματική αφαίρεση του προβλήματος και την ανάπτυξη και εφαρμογή αλγορίθμων, έτσι ώστε να παράγεται η βέλτιστη γεωμετρία, σε αντιστοιχία με την κατανομή του υλικού στο χώρο. Στόχος είναι να δώσει συμβουλές σχετικά με την ροη και την πυκνότητα του υλικού, καθώς και ενδείξεις για τη συμπεριφορά των υλικών ανάλογα με τα δομικά σχήματα που αναδύονται από το πρόγραμμα. Παράδειγμα της εφαρμογής του αποτελεί το βρετανικό περίπτερο του Thomas Heatherwick για την έκθεση World Expo στη Σαγκάης το 2010. Μέσα από το interface που δημιουργήθηκε μπόρεσαν να παρατηρηθούν και να συζητηθούν οι ιδιότητες και τα προβλήματα των διαφορετικών τρόπων διανομής των 60.000 οπτικών ινών στην αφετηρία της διαδικασίας σχεδιασμού.

59. Παναγιώτης Μιχαλάτος και Sawako Kaijima (Adams Kara Taylor/AKT), λογισμικό TopoStruct, 2008 Οθόνη με το λογισμικό TopoStruct για τις διαρθρωτικές βελτιστοποιήσεις και για τη μελέτη διανομής των ράβδων. Το περίπτερο κατασκευάζεται από 60.000 ακρυλικές ράβδους 7,5 μέτρων που αιωρούνται σε μια ξύλινη δομή του πλαισίου. Διαφορετικοί συνδυασμοί των συνοριακών συνθηκών και των δυνάμεων οδηγούν σε μία ποικιλία από μορφές και σχήματα. Τα μοτίβα προκύπτουν από το υλικό και τις δομικές ιδιότητες. 53

Όπως είδαμε η συζήτηση περί μαθηματικών και αρχιτεκτονικής περιστρέφεται συνήθως γύρω από τον τρόπο ενσωμάτωσης των αριθμητικών σχέσεων στα πρότυπα της κατασκευής και των υλικών. Ένας παρόμοιος διάλογος στο πλαίσιο του περιβαλλοντικού σχεδιασμού, προτείνει τα μαθηματικά ως τα μέσα που μπορούν να αποσαφηνίσουν αυτό που ασυνείδητα αντιλαμβανόμαστε ως βέλτιστη απόδοση. Υπάρχουν αρκετά προγράμματα και εφαρμογές που επιτρέπουν τη μελέτη, αλλά και τον σχεδιασμό με βάση περιβαλλοντικές και κλιματικές παραμέτρους. Τα πιο συνήθη είναι αυτά που χειρίζονται την ηλιακή γεωμετρία, υπολογίζοντας τις διαφορετικές συνθήκες ηλιασμού, αερισμού και θερμικών φορτίων ανάλογα την περιοχή, την ημερομηνία και την ώρα. Βέβαια υπάρχουν και αρκετά πιο πολύπλοκες προσεγγίσεις οι οποίες περιλαμβάνουν πολλούς κλάδους των μαθηματικών πέρα από την προβολική γεωμετρία της μετάδοσης του φωτός, όπως τα χαοτικά και πιθανολογικά μαθηματικά των μοτίβων του καιρού και στατιστικούς αλγορίθμους, οι οποίοι απαιτούνται για να κάνουν μια ανάλυση ευανάγνωστη και να αποκτηθούν διακριτά δομικά στοιχεία. Τέτοιες τεχνικές εφαρμόστηκαν από το Special Modeling Group του γραφείου Foster + Partners για τον σχεδιασμό του City of Justice στην Μαδρίτη. Η εφαρμογή αναλυτικών μαθηματικών διαδικασιών, παρήγαγε μια συνθετική λύση. Ένας αλγόριθμος βελτιστοποίησης αποτέλεσε τον περιβαλλοντικό μεσολαβητή, προσεγγίζοντας μια συνεχή διανομή των στοιχείων του χώρου μέσω διακριτών επαναλήψεων με βάση τα δεδομένα του καιρού. Οι όψεις του κτιρίου φέρουν συσκευές σκιασμού οι οποίες εξισορροπούν τα επίπεδα ηλιασμού σε σχέση με τις θεάσεις στο εξωτερικό περιβάλλον ανάλογα με τις εκάστοτε συνθήκες. Καθημερινά τα σχεδιαστικά προγράμματα εμπλουτίζονται από μια πληθώρα χρήσιμων εφαρμογών, οι οποίες δημιουργούνται με στόχο την εξυπηρέτηση των διαφορετικών παραμέτρων που είναι δυνατό να λαμβάνονται υπ’ όψη στον σχεδιασμό. Όπως είδαμε αρκετά σχετίζονται με την προσομοίωση: από τις μηχανικές καταπονήσεις μιας κατασκευής έως τα θερμικά φορτία ενός κτιρίου. Άλλα, προσφέρουν όργανα για την εξερεύνηση και την βελτιστοποίηση της μορφής, την καλύτερη ροή της εργασίας, την παραγωγή, τη σύνδεση του χώρου με ηλεκτρονικές συσκευές, κ.α. Πιο συγκεκριμένα, βοηθητικές εφαρμογές που έχουν να κάνουν με την περεταίρω διερεύνηση της παραγόμενης γεωμετρίας επιτρέπουν στον σχεδιαστή να χρησιμοποιεί ενσωματωμένους, στις διάφορες εντολές του προγράμματος, τύπους για την δημιουργία επιφανειών βάση απλών ή και πολύπλοκων μαθηματικών αρχών. Στη συνέχεια διαιρούν και οργανώνουν αυτές τις επιφάνειες σε στοιχεία του χώρου και τελικά δίνουν μεγαλύτερες επιλογές στον ορισμό και την επεξεργασία των διάφορων γεωμετρικών ιδιοτήτων ενός σχήματος. Επιπροσθέτως, χρήσιμες είναι οι εφαρμογές που επιτρέπουν την επικοινωνία και ανταλλαγή πληροφοριών των προγραμμάτων μοντελοποίησης με άλλα προγράμματα ή και φυσικές συσκευές, με σκοπό τη δημιουργία ενός δικτύου από δεδομένα που αλληλεπιδρούν. Τέλος, σημαντικό ρόλο παίζουν τα ψηφιακά εργαλεία που σχετίζονται με την παραγωγή, οργανώνοντας όλα τα βήματα που είναι απαραίτητα για την κατασκευή ενός μοντέλου. Αυτές οι «πρόσθετες» εφαρμογές συγκεντρώνουν όλο και μεγαλύτερη προσοχή αφού βελτιώνουν την ικανότητα των προγραμμάτων που χρησιμοποιούμε, την ταχύτητα και την ροή της εργασίας από τρισδιάστατη μοντελοποίηση έως την εκτέλεση ενός έργου πραγματικό κόσμο.

Οι χρήστες ενός κτιρίου σπάνια έχουν επίγνωση των διαφόρων πολύπλοκων παραγόντων που επηρεάζουν την άνεση τους και του τι θα μπορούσαν να κάνουν για να τη βελτιώσουν. Από όλες τις ποιότητες του περιβάλλοντος που επηρεάζουν την διαμονή μας σε ένα χώρο - θερμοκρασία, ροή του αέρα, φωτισμός - μόνο ελάχιστα φτάνουν στο επίπεδο που να μπορούμε να συνειδητοποιήσουμε. Όταν αυτές οι ιδιότητες μπαίνουν σε προτεραιότητα για τη δημιουργία ενός κτιρίου, είναι άλλος ένας τρόπος εισαγωγής των μαθηματικών στο σχεδιασμό, αυτή τη φορά στα πλαίσια του φυσικού περιβάλλοντος. Αυτή η εφαρμογή της μαθηματικής ανάλυσης στο σχεδιασμό προωθεί μια χωρική εμπειρία, κατά την οποία τα αποτελέσματα της αναλυτικής διαδικασίας είναι η υποσυνείδητη αντίληψη της άνεσης. Όπως η "έντασις" στις κλασικές εντολές χρησιμοποιεί τη γεωμετρία με ένα λεπτό τρόπο για να κάνει τα πράγματα φαίνονται όπως θα έπρεπε να είναι, ο περιβαλλοντικός σχεδιασμός χρησιμοποιεί τα μαθηματικά για να παράγει μια παρόμοια αίσθηση ικανοποίησης. Και οι δύο εφαρμογές βασίζονται στο κοινό χαρακτηριστικό της αντίληψης.

60. Foster + Partners Specialist Modelling Group, 2009. 61. Αισθητήρα φωτός και interface που σχεδίασε και έφτιαξε ο Peter Liebsch. Μακέτα στην οποία το άνοιγμα του φεγγίτη ορίζεται από την ένταση του φωτός την οποία μετρά ένας αισθητήρα φωτός. Ένα τηλεκοντρόλ επιτρέπει την επέμβαση του χρήστη και, ως εκ τούτου τον έλεγχο του αυτοματοποιημένου συστήματος χειροκίνητα. 62. Foster + Partners, City of Justice, Μαδρίτη, Ισπανία, 2007

63. Οι δυνατότητες που ήταν εντελώς θεωρητικές λίγα χρόνια πριν, τώρα αρχίζουν να υλοποιούνται και να χτίζονται. Ludwig Mies van der Rohe, Armour Institute, 1938, Drafting exercise for first-year students, Architectural review no 862, December 1968 56

επίλογος Όταν εργαζόμαστε για την συγκρότηση ενός χώρου ο πειραματισμός είναι απαραίτητος, τόσο για την εξερεύνηση και την ανάδειξη του πλήρους δυναμικού των εργαλείων που χρησιμοποιούνται, όσο και για την ενθάρρυνση και επέκταση της αρχιτεκτονικής έρευνας. Το ενδεχόμενο να μπορούμε να προσομοιώνουμε τα αναδυόμενα αποτελέσματα ενισχύει τον έλεγχο του παραγόμενου έργου, και τελικά λειτουργεί ως ένα όργανο για την επικύρωση και τεκμηρίωση των σχεδιαστικών αποφάσεων. Δυνατότητες που ήταν εντελώς θεωρητικές λίγα χρόνια πριν, τώρα αρχίζουν να υλοποιούνται και να χτίζονται. Οι αρχιτέκτονες και γενικότερα οι σχεδιαστές βρίσκονται, πιο πολύ από ποτέ πριν, αντιμέτωποι με μια πληθώρα εργαλείων για να κάνουν τη δουλειά τους, με το κάθε ένα από αυτά να διαθέτει εξαιρετική δύναμη. Ακολούθως, το πεδίο εφαρμογής για το πώς αυτά τα εργαλεία επηρεάζουν, επικυρώνουν ή διευκολύνουν το σχεδιαστή αναπτύσσεται ραγδαία και η πρόκληση είναι να περιηγηθούμε ανάμεσα σε τέτοιες δυναμικές περιστάσεις με σαφή αίσθηση κριτικής σχετικά με το πώς αυτά βοηθούν στην προώθηση της αρχιτεκτονικής και προς ποια κατεύθυνση. Σταδιακά οι αρχιτέκτονες φαίνεται να απομακρύνονται από την λογική ενός σχεδιασμού βασισμένο στην τυποποίηση. Η εγκαθίδρυση των «στάνταρντ» υπήρξε τομή στην αρχιτεκτονική πρακτική και επέφερε ευεργετικά οφέλη, όμως δημιούργησε και μια κατάσταση στην οποία η βιομηχανία και όχι ο αρχιτέκτονας είχε τον τελικό λόγο στην κατασκευή ενός μεγάλου ποσοστού κτιρίων. Η πληθώρα των χρησίμων εφαρμογών που αναφέραμε στο τελευταίο κεφάλαιο έρχεται κατά μια έννοια να παίξει ακριβώς αυτό τον ρόλο που η τυποποίηση έπαιξε τον προηγούμενο αιώνα. Στην ουσία το ακολουθούμενο κάθε φορά πρότυπο για την σύνταξη του κώδικα μιας εφαρμογής αποτελεί ένα συγκεκριμένο υπόδειγμα προδιαγραφών, το οποίο υπάρχει ήδη. Είναι οι καρποί των προσπαθειών -η οργάνωση, η ανάλυση και τα συμπεράσματα - που οι επιστήμονες και οι ερευνητές των προηγούμενων γενιών μας άφησαν. Οι αρχιτέκτονες όταν στρέφονται στον προγραμματισμό ουσιαστικά κάνουν μια προσπάθεια ενσωμάτωσης όλων ή κάποιων από αυτά τα στοιχεία σε ένα εργαλείο, το οποίο στην συνέχεια θα μπορέσει να χρησιμοποιηθεί από τους επόμενους. Ουσιαστικά 57

πρόκειται για μια προσπάθεια να δοθεί η δυνατότητα επεξεργασίας και ανάλυσης όλων αυτών των δεδομένων με έναν πιο εύκολο και ευέλικτο τρόπο. Σήμερα, για την σύνθεση ενός χώρου δεν σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να στραφούμε στο μονοπάτι του προγραμματισμού, αλλά εφόσον επιλέγεται το λογισμικό ως βασικό εργαλείο, πρέπει να υπάρχουν στοιχειώδεις γνώσεις για το πως αυτό δουλεύει και τι μπορεί να «καταλάβει» έτσι ώστε να εκμεταλλευόμαστε στο μέγιστο τις δυνατότητες και την υπολογιστική του ικανότητα. Εφόσον οι μαθητές του σήμερα, και οι αρχιτέκτονες του αύριο, είμαστε η πρώτη γενιά που μεγάλωσε σε ένα εντελώς ψηφιακό πολιτισμό, έχουμε διαμορφωθεί από μια περίοδο βαθιάς και δυναμικής αλλαγής, και είμαστε εντελώς εξοικειωμένοι με τις τεχνολογίες που είναι πάντα καινούργιες, στον επαγγελματικό χώρο όλες οι εργασίες μας θα εξαρτώνται από το λογισμικό που θα χρησιμοποιήσουμε. Το ζήτημα είναι πλέον, αφού όλα τα συμπεράσματα κωδικοποιούνται, να αποτελέσουν μια ενιαία εύχρηστη πλατφόρμα, την οποία ως χρήστες να μπορούμε να την κατανοήσουμε, να την διαχειριστούμε και τελικώς να ερμηνεύσουμε τα αποτελέσματα που μας δίνει για να προβούμε στον σχεδιασμό. Και το να την κατανοήσουμε έχει ιδιαίτερη βαρύτητα (ειδικά όταν έχουμε να κάνουμε με προσομοιώσεις) αφού στο ψηφιακό μέσο είναι αναγκαίο να γίνονται αρκετές απλοποιήσεις, σε σχέση με τον πραγματικό κόσμο. Ο σημερινός αρχιτέκτονας δεν πρέπει να περιορίζεται στο είδος των μαθηματικών δεδομένων που μπορούν να τυπωθούν, να χαραχθούν ή να αντληθούν από ένα περιβάλλον, αλλά να χρησιμοποιεί όλο το φάσμα των δυνατοτήτων που του παρέχονται και να συμμετέχει σε μια πιο εμπεριστατωμένη διερεύνηση του κόσμου των μαθηματικών μοντέλων, εφόσον τελικά επιδιώκει να τα χρησιμοποιεί. Με τα σύγχρονα μαθηματικά των υπολογιστών να βρίσκονται στο επίκεντρο της διαδικασίας της αρχιτεκτονικής και να παρέχουν μια ποικιλία μεθόδων για τον αποτελεσματικό σχεδιασμό, την ανάλυση και την κατασκευή πολύπλοκων σχημάτων, είναι σημαντικό να απαλλαγούμε από τις απλοϊκές αντιλήψεις που θεωρούν ότι ο ψηφιακός σχεδιασμός αποτελεί «αυτοματοποίηση» των μαθηματικών, ή αντιστρόφως, ότι τα μαθηματικά είναι μόνο μια αργή, στατική έκφραση της υπολογιστικής δραστηριότητας. Το να τα κατανοήσουμε παίζει κυρίαρχο ρόλο στην εφαρμογή των νέων ψηφιακών τεχνικών σχεδιασμού. Μερικές φορές, χρησιμοποιούνται ως μια εμπνευσμένη ιδέα, αλλά η βαθύτερη αφομοίωση των γεωμετρικών σχέσεων είναι το κλειδί για την βελτιστοποίηση των τεχνικών μοντελοποίησης, οι οποίες προκαλούν μια διαφορετική σύλληψη της μορφής, περισσότερο ως αποτέλεσμα μιας διαδικασίας. Κάπως έτσι εξάλλου θεωρείται ότι και η ομορφιά στη φύση προκαλείται σε μεγάλο βαθμό από τα μαθηματικά που δεν έχουν κατ’ ανάγκην μια άμεση οπτική εκδήλωση στην ίδια τη μορφή, αλλά μάλλον στον τρόπο που η μορφή σχηματίζεται στο πλαίσιο αυτών. Είναι αναγκαίο να τεθεί το θέμα της ποιότητας των διαδικασιών και όχι απλώς της αναθεώρησης των τελικών αποτελεσμάτων που αυτές προσφέρουν, τα οποία μπορούν να παραχθούν σε ατέλειωτες παραλλαγές. Αν δεν θέλουμε να χαθούμε σε ένα ανομοιογενές αρχιπέλαγος γεωμετρικών πειραματισμών, θα πρέπει να αξιολογήσουμε και να κατανοήσουμε την ποιότητα των μηχανών με τις οποίες σχεδιάζουμε, και όχι τα σχέδια που παράγουν. Ποιές είναι οι παράμετροι που καθορίζουν ένα μοντέλο; Πού και πώς χρειάζεται η αφαίρεσης και γιατί περιλαμβάνονται ορισμένα πράγματα και άλλα «πετιούνται»; Πώς οι αλγόριθμοι σχεδιάστηκαν και ποιοί είναι οι κανόνες που πρέπει να ορίζονται; Τι είναι τα μετρήσιμα - και ως εκ τούτου, βελτιστοποιήσιμα - μεγέθη για την ποιότητα του σχεδιασμού και ποιός είναι ο συντελεστής βαρύτητας του ενός έναντι του άλλου; Και τέλος, πώς μπορούμε να 58

Ο τυπικός προπτυχιακός που εισέρχεται μια σχολή αρχιτεκτονικής σήμερα ήταν έξι ετών κατά την αλλαγή της χιλιετίας. Μπορεί να γεννήθηκε την ίδια χρονιά με την πρώτη εμπορικά διαθέσιμη ψηφιακή φωτογραφική μηχανή. Έκανε τα πρώτα του βήματα ενώ το World Wide Web εισήρθε στα σπίτια μας, και το ενσωματωμένο δορυφορικό σύστημα πλοήγησης ήταν διαθέσιμο στα αυτοκίνητα. Μέχρι τη στιγμή που οι σημερινοί "πρωτοετείς" ήταν σε ηλικία 10 ετών, το Facebook ξεκίνησε! Στην εφηβεία τους, ίσως τη στιγμή που πρωτάρχισαν την αρχιτεκτονική ανάγνωση, η ψηφιοποίηση της πληροφορίας ήταν σε πλήρη ροή και η 3D εκτύπωση ήταν mainstream. Μέχρι τη στιγμή που είχαν πρόσβαση στην πρώτη τους διάλεξη στο πανεπιστήμιο, ανέβαζαν τις δικές του τελευταίες εξελίξεις μέσω του κινητού τους και ταυτόχρονα κατέβαζαν plug-in αναβάθμισης των εφαρμογών τους. Οι μαθητές του σήμερα, και οι αρχιτέκτονες του αύριο, είναι η πρώτη γενιά που μεγάλωσε σε ένα εντελώς ψηφιακό πολιτισμό. Έχουν διαμορφωθεί από μια περίοδο βαθιάς και δυναμικής αλλαγής, και είναι εντελώς εξοικειωμένοι με τις τεχνολογίες που είναι πάντα καινούργιες. Στον επαγγελματικό χώρο όλες οι εργασίες τους θα εξαρτώνται από το λογισμικό που θα χρησιμοποιήσουν. Αυτό πρόκειται να εγγράφει τη λογική τους, ίσως ακόμη και την καθημερινή ρουτίνα τους...

επικοινωνούμε και συζητάμε πολύπλοκες αρχιτεκτονικές δομές με έναν ουσιαστικό τρόπο - όχι μεταξύ των ψηφιακών μηχανών, αλλά μεταξύ ανθρώπινων μυαλών που αποτελούν μια ομάδα εργασίας; Επειδή στο τέλος «σχεδιασμός» σημαίνει το να παίρνουμε αποφάσεις, να λαμβάνουμε ευθύνες και για να γίνει αυτό στις υπάρχουσες τεχνολογικές συνθήκες, αφενός πρέπει να συνειδητοποιήσουμε το υπόβαθρο των εργαλείων με τα οποία σχεδιάζουμε, αφετέρου είναι αναγκαίο να είμαστε σε θέση να ερμηνεύσουμε τα αποτελέσματα και να τα μεταφράσουμε σε ποιότητες χώρου.

64. SmartGeometries Workshop 2011 Κοπεγχάγη, Δανία

βιβλιογραφία Alexander Christopher, Notes on the Synthesis of Form, Harvard University Press, Cambridge MA, 1964 Andrea Palladio, I Quattro libri dell’Archtectura, Venetia , 1570 Andrew Payne & Rajaa Issa, The Grasshopper Primer, Second Edition – for version 0.6.0007, 2009 Antoine Picon, Digital Culture in Architecture: An Introduction for the Design Professions, Birkhauser (Basel),2010 Bernard Cache, Geometries of the simulacra, Architecture of Geometry - Geometry of Architecture. Rotterdam: Berlage Institute, 2003 Bernard Cache, Subjectiles et objectiles, vers un mode de production non- standard, Cahiers de la Recherche Architecturale no.40, 1997 Boris Abramovich Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space, Springer-Verlag: New York, 1988 Christopher Hight, Architectural Principles in the Age of Cybernetics, Routledge (New York), 2008 D’Arcy Thompson, On Growth and Form, Cambridge: Cambridge University Press, 1960 David Hilbert, Foundations of Geometry, 1899 Erwin Kreysig, Differential Geometry, Dover Publications (New York), 1981 Eugène-Emmanuel Viollet-le-Duc, Entretiens sur l’Architecture 2 volumes, Paris, 1863 Felix Klein, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, Dover Publications (New York), 2004 Gaspard Monge, Géométrie descriptive, Dulau et cie, 1847 George Liaropoulos-Legendre, IJP: The Book of Surfaces, AA Publications (London), 2003 Hans Sterk, Geometry in Architecture and building, Technische Universiteit Eindhoven, 2005 Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer and Axel Kilian, Architectural Geometry, Bentley Institute Press (Exton), 2007 Horst Nowacki, Wolfgang Lefèvre, Creating Shapes in Civil and Naval Architecture: A Cross-Disciplinary Comparison, BRILL, 2009 Jacques Benigne Bossuet, Introduction a la Philosophie, ou de la Connaissance de Dieu, et de Soi-Mesme, R-Md’Espilly (Paris), 1722 Jane Burry and Mark Burry, The New Mathematics of Architecture, Thames & Hudson (London), 2010. Jay Hambidge, The Parthenon and other Greek Temples, their dynamic symmetry, Yale U.P, 1924 60

Joel Sakarovitch, Epures d’Architecture: De la Coupedes Pierres a la Geometrie Descriptive XVIe-XIXe Siecles,Birkhauser (Basel), 1998 John Tabak, Beyond Geometry: A New Mathematics of Space and Form, Facts On File, Inc., 2011 John Tabak, Geometry: The Language of Space and Form, Revised Edition, Facts On File, Inc., 2004 Joseph Rykwert, On Adam’s House in Paradise: The Idea of the Primitive Hut in Architectural History, Museum ofModern Art (New York), 1972 Lars Spuybroek, Research and Design: The Architecture of Variation, Thames and Hudson, 2009 Le Corbusier, Le Modulor, Boulonge-sur-seine: Architecture d’Aujoud’hui, Groupe Expansion, 1948 Leon Batista Alberti, De re aedificatoria, Tiranti, London, 1955 Martin Raussen, Elementary Differential Geometry: Curves and Surfaces, Department of Mathematical Sciences, Aalborg University, Denmark, 2008 Murray R. Spiegel, Μαθηματικό τυπολόγιο, μετάφραση: Σωτήριος Κ. Περσίδης, ΕΣΠΙ Εκδοτική, 1976 Nick Huggett, Cartesian Spacetime: Descartes, Physics and the Relational Theory of Space and Motion, British Journal for the Philosophy of Science , 2004 Philippe Potie, Philibert De L’Orme: Figures de la Pensee Constructive, Parentheses (Marseilles), 1996 Pierre Caye, Empire et Decor: Le Vitruvianisme et la Question de la Technique a l’Age Humaniste et Classique, JVrin (Paris), 1999 Robert Beson, Relational Geometries - Custom Fabrication and Assembly of Digital Architecture, Byera Hadley Travelling Scholarship 2010 Robert J.K. Jacob, Quentin Limbourg, Jean Vanderdonckt , Computer-Aided Design of User Interfaces, Kluwer Academic Publishers, 2005 Robert Lawlor, Sacred geometry, London: Thames and Hudson, 1982 S. Bingula, Algorithms for Computer-Aided Design of Multivariable Control Systems, CRC Press, 1993 Schodek, Bechthold, Griggs, Kao, Steinberg. Digital Design and Manufacturing: CAD/CAM Applications in Architecture and Design. New Jersey: John Wiley & Sons, 2005 Sean Ahlquist & Achim Menges, Introduction. Computational Design Thinking, West Sussex: Wiley, 2011 Sigmundur Gudmundsson, An Introduction to Riemannian Geometry, Lund University, 2014 Stephen Barr, Experiments in topology. New York: Crowell, 1964 Terri Peters, Brady Peters, Inside Smartgeometry: Expanding the Architectural Possibilities of Computational Design, John Wiley & Sons Ltd , March 2013 61

The Metropolitan Museum of Art, Islamic Art and Geometric Design, New York, 2004 Thomas L. Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, Dover Publications: New York, 1956 Trans EJ Townsend, PhD, University Of Illinois Reprint Edition, The Open Court Publishing Company (La Salle, IL), 1950 Victor Andreevich Toponogov , Vladimir Rovenski (Assistant), Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide, Birkhauser, Boston, 2006 William H. McCrea , Analytical Geometry of Three Dimensions, 2ed, Dover Publications: Mineola - New York, 2006 Yasha Grobman and Eran Neuman, Performalism: Form and Performance in Digital Architecture, Museum of Art (Tel Aviv), Tel Aviv, 2008. Ανθή-Μαρία Κουρνιάτη, Νίκος Κουρνιάτης, Η προοπτική στην αρχιτεκτονική απεικόνιση , Αθήνα: Εκδόσεις Τζιόλα, 2012 Γεώργιος Ε. Λευκαδίτης – Σταµατίνα Γ. Μαλικούτη (Επιµέλεια), Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α από την Επιστήµη στην Εφαρµογή, Σύγχρονη Εκδοτική, 2012 Ευστάθιος Βασιλείου - Μαρία Παπατριανταφύλλου, Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας καμπυλών και επιφανειών, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Αθήνα 2010 Ευστάθιος Βασιλείου , Στοιχεία Προβολικής Γεωµετρίας, εκδόσεις Συµµετρία, Αθήνα 2009 Μαρκάτης Στυλιανος, Παραστατικη ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, Αθήνα , 2014 Μάρκος Πετούσης, Ανάπτυξη Μηχανολογικών Εφαρμογών με τη Βοήθεια ΗΥ: Σημειώσεις για το μάθημα “Cad” του Τμήματος Μηχανολογίας του Τ.Ε.Ι. Κρήτης, 2003 Μαυροµµάτης Α. Σταθοπούλου Σ. , Ταξίδι στον κόσµο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας µέσα από την Τέχνη, Αρσάκεια Σχολεία, Αθήνα 2011 Νικόλαος Μπιλάλης, Εμμανουήλ Μαραβελάκης, Συστήματα CAD/ CAM και τρισδιάστατη μοντελοποίηση, Κριτική, 2009 Στυλιανός Ανδρεαδάκη , Αναλυτική Γεωµετρία, Εκδόσεις Συµµετρία: Αθήνα 1999

*περιοδικά Bob Sheil, AD High Definition: Zero Tolerance in Design and Production, John Wiley & Sons Ltd, 2014 David Epstein and Silvio Levy, Notices of the American Mathematical Society, ‘Experimentation and Proof in Mathematics’, 1995 George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011 MarkGarcia, AD The Patterns of Architecture, John Wiley & Sons Ltd, 2010 Michael Hensel, Achim Menges and Michael Weinstock, AD Techniques and Technologies in Morphological Design, Vol 76, No 2, John Wiley & Sons Ltd, 2006 62

Mike Silver, AD Programming Cultures, John Wiley & Sons Ltd, 2006

*papers Chris J. K. Williams,The analytic and numerical definition of the geometry of the British Museum Great Court Roof, Mathematics & design 2001, Burry, M., Datta, S., Dawson, A., and Rollo, A.J. eds. Deakin University, Geelong, Victoria 3217, Australia, 2001 Kenfield Griffith, Lawrence Sass, Dennis Michaud , A Strategy for Complex-Curved Building Design Design Structure with Bi-Lateral Contouring as Integrally Connected Ribs, Massachusetts Institute of Technology, SiGraDi2006, 2006 Mark Cabrinha, From Bezier to NURBS: Integrating Material and Digital Techniques through a Plywood Shell, Rensselaer Polytechnic Institute, ACADIA05: Smart Architecture. Michael Hofer, Andreas Asperl, Geometry in the CAAD Curriculum, Institute of Discrete Mathematics and Geometry, Vienna University of Technology, Austria Mohammad A. Yazdani, Ph.D. A Brief Historical Antecedents to the Evolution of Geometry Education, Journal of mathematical Sciences & Mathematics Education, 2007 Ησαΐας Σαββίδου, Νικόλαος Τσινίκας, Γιάννης Χατζηκωνσταντίνου , Κατασκευή µεταλλικού κελύφους καµπυλόµορφης γεωµετρίας µε στοιχεία µονής καµπυλότητας, Συνέδριο Μεταλλικών Κατασκευών, Ιωάννινα, 2008

*world wide web http://ocw.mit.edu [MIT OpenCourseWare] http://www.cadlab.tuc.gr/courses/cad/chap4.pdf http://brickisland.net/cs177fa12/?p=320 [california institute of technology] http://www.washingtonpost.com/blogs/answer-sheet/wp/2014/10/17/why-the-coding-for-all-movement-is-more-than-a-boutique-reform/ http://users.sch.gr/ppinats/math_morfes.html http://math.stackexchange.com/questions/733754/visually-stunning-math-concepts-which-are-easy-to-explain http://www.wolframalpha.com/docs/timeline/computable-knowledge-history-5.html http://1ucasvb.tumblr.com/page/2 http://greek_greek.enacademic.com/31439/ γεωμετρία 63

http://prezi.com/_j5pjvds34eb/the-history-of-geometry/ http://lisari.blogspot.gr/2013/11/blog-post_21.html http://architectura.cesr.univ-tours.fr/Traite/Notice/ENSBA_Les1653.asp?param=en http://archiveofaffinities.tumblr.com/post/15474644391/vitruvius-design-of-a-city-illustrated-by-cesare http://www.o-lay.net/innovative/elastic-bending http://en.wikipedia.org/wiki/ Γεωμετρία http://el.wikipedia.org/wiki/Λογισμός http://en.wikipedia.org/wiki/Juan_Bautista_Villalpando http://archiviomacmat.unimore.it/PAWeb/Sito/Inglese/254i.htm http://architecture.about.com/od/becomeanarchitect/fl/Do-Architects-Use-Math.htm

πηγές φωτογραφιών 1.

http://writingthepastblog.blogspot.gr/2013/08/writing-great-ones.html

http://ccat.sas.upenn.edu/george/elevation.html

H. E. Huntley, The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, Dover Books on Mathematics, 1970

The Metropolitan Museum of Art, Islamic Art and Geometric Design, New York, 2004

MarkGarcia, AD The Patterns of Architecture, John Wiley & Sons Ltd, 2010 pg 70-71

George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 126-127

http://www.maa.org/publications/periodicals/convergence/mathematical-treasures-billingsley-euclid

John Tabak, GEOMETRY: The Language of Space and Form, Revised Edition, Facts On File, Inc., 2004, pg 56

http://ocw.mit.edu/courses/architecture/4-105-geometric-disciplines-and-architecture-skills-reciprocal-methodologies-fall-2012/

10.

Το ίδιο

11.

http://blogs.sch.gr/isiglavas/archives/1544

12.

John Tabak, BEYOND GEOMETRY: A New Mathematics of Space and Form, Facts On File, Inc., 2011, pg 151

13.

http://dingdong.ga/microeconomics-in-business-decision-making.html

14.

http://ocw.mit.edu/courses/architecture/4-105-geometric-disciplines-and-architecture-skills-reciprocal-methodologies-fall-2012/

15.

http://brickisland.net/cs177fa12/?cat=5&paged=2

16.

http://brickisland.net/cs177fa12/

17.

Βασιλείου Ε. - Μ. Παπατριανταφύλλου, Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας καμπυλών και επιφανειών, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Αθήνα 2010, σελ. 94-97

18.

http://www.syllogismos.it/libristorici/hilbert.htm

19.

http://www.qub.ac.uk/puremaths/handbook.html

20.

http://www.dcs.ed.ac.uk/home/dt/Java/devel/uml/higraph/

21.

http://www.quazoo.com

22.

http://archiveofaffinities.tumblr.com/post/15474644391/vitruvius-design-of-a-city-illustrated-by-cesare 65

23.

http://architecturerevived.blogspot.gr/2014/01/how-greek-temples-correct-visual.html

24.

Γεώργιος Ε. Λευκαδίτης – Σταµατίνα Γ. Μαλικούτη (Επιµέλεια), Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α από την Επιστήµη στην Εφαρµογή, Σύγχρονη Εκδοτική, 2012, σελ. 627

25.

http://www.namarupa.net/DP_Architettura.html

26.

http://ocw.mit.edu/courses/architecture/4-105-geometric-disciplines-and-architecture-skills-reciprocal-methodologies-fall-2012/

27.

Το ίδιο

28.

George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 22

29.

Mike Silver, AD Programming Cultures, John Wiley & Sons Ltd, 2006, pg 91

30.

Greg Lynn & Mark Rappolt, GREG LYNN FORM, Rizzoli International Publications, New York, 2008

31.

MarkGarcia, AD The Patterns of Architecture, John Wiley & Sons Ltd, 2010, pg 92-93

32.

Terri Peters, Brady Peters, Inside Smartgeometry: Expanding the Architectural Possibilities of Computational Design, John Wiley & Sons Ltd , March 2013, pg 40

33.

http://ocw.mit.edu/courses/architecture/4-510-digital-design-fabrication-fall-2008/

34.

George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 73

35.

http://ocw.mit.edu/courses/architecture/4-500-introduction-to-design-computing-fall-2008/

36.

http://www.jamesewingphotography.com/index.php#mi=2&pt=1&pi=10000&s=0&p=14&a=0&at=0

37.

http://www.icapp.ch/2.Ebene/3menue/eservices_details.html

38.

το ίδιο

39.

http://www.dezeen.com/2012/03/30/kilden-performing-arts-centreby-ala-architects/ και George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 74

40.

Robert Beson, Relational Geometries - Custom Fabrication and Assembly of Digital Architecture, Byera Hadley Travelling Scholarship 2010, pg 29

41.

Terri Peters, Brady Peters, Inside Smartgeometry: Expanding the Architectural Possibilities of Computational Design, John Wiley & Sons Ltd , March 2013, pg 52

42.

George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 73

43.

Michael Hensel, Achim Menges and Michael Weinstock, AD Techniques and Technologies in Morphological Design, John Wiley & Sons Ltd, 2006, pg 52

44.

Andrew Payne & Rajaa Issa, The Grasshopper Primer, Second Edition – for version 0.6.0007, 2009, pg 76

45.

Andrew Payne & Rajaa Issa, The Grasshopper Primer, Second Edition – for version 0.6.0007, 2009, pg 79

46.

http://knowledge.autodesk.com/support/alias-products/getting-started/caas/CloudHelp/cloudhelp/2015/ENU/Alias-Tutorials-Lega cy/files/GUID-E1BDFBD0-33CC-44C4-866D-5F367105A050-htm.html

47.

George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 78

48.

Το ίδιο

49.

Zubin Mohamad Khabaz, GENERATIVE ALGORITHMS using GRASSHOPPER , 2010 pg 77

50.

Andrew Payne & Rajaa Issa, The Grasshopper Primer, Second Edition – for version 0.6.0007, 2009, pg 141

51.

Michael Hensel, Achim Menges and Michael Weinstock, AD Techniques and Technologies in Morphological Design, John Wiley & Sons Ltd, 2006, pg 54

52.

Michael Hensel, Achim Menges and Michael Weinstock, AD Techniques and Technologies in Morphological Design, John Wiley & Sons Ltd, 2006, pg 56

53.

http://www.fosterandpartners.com/projects/smithsonian-institution/

54.

Terri Peters, Brady Peters, Inside Smartgeometry: Expanding the Architectural Possibilities of Computational Design, John Wiley & Sons Ltd , March 2013, pg 36

55.

George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 25

56.

George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 46

57.

George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 50-51

58.

http://www.heatherwick.com/uk-pavilion/

59.

George Liaropoulos-Legendre, AD Mathematics of Space, John Wiley & Sons Ltd, 2011, pg 68-69

60.

Terri Peters, Brady Peters, Inside Smartgeometry: Expanding the Architectural Possibilities of Computational Design, John Wiley & Sons Ltd , March 2013, pg 232

61.

Terri Peters, Brady Peters, Inside Smartgeometry: Expanding the Architectural Possibilities of Computational Design, John Wiley & Sons Ltd , March 2013, pg 98

62.

http://www.archicentral.com/city-of-justice-madrid-spain-foster-partners-5180/

63.

http://ocw.mit.edu/courses/architecture/4-105-geometric-disciplines-and-architecture-skills-reciprocal-methodologies-fall-2012/lecture-notes/MIT4_105F12_lec4-curv.pdf

64.

Terri Peters, Brady Peters, Inside Smartgeometry: Expanding the Architectural Possibilities of Computational Design, John Wiley & Sons Ltd , March 2013, pg 12