8 algebra 2 pidruchnuk merzlyak by Marina Suprun

УДК 373:512 ББК 22.141я721 М52

Видано за рахунок державних коштів Продаж заборонено

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (Лист № 1.4/18-1127 від 12.05.2008 р.)

Відповідальні за випуск: Головний спеціаліст Міністерства освіти і науки України Прокопенко Н.С. М етодист вищ ої категорії інституту інноваційних технологій і змісту освіти М іністерства освіти і науки України Потапова Ж.В.

І8 В М

978-966-8319-57-0

У Д К 3 7 3 :5 1 2 ББК

2 2 .1 4 1 я 7 2 1 М 52

Видано за рахунок державних коштів Продаж заборонено

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (Л и с т № 1 .4 /1 8 - 1 1 2 7 в ід 1 2 .0 5 .2 0 0 8 р .)

Відповідальні за випуск: Головний спеціаліст Міністерства освіти і науки України Прокопенко Н.С. Методист вищої категорії інституту інноваційних технологій і змісту освіти Міністерства освіти і науки України Потапова Ж.В.

І8В М 9 7 8 -9 6 6 -8 3 1 9 - 5 7 -0

Від авторів ЛЮБІ ВОСЬМИКЛАСНИКИ! У цьому навчальному році ви продовжуватимете вивчати алгебру. Сподіваємося, що ви встигли полюбити цю важ ливу і красиву науку, а отж е, з інтересом будете засвоюва ти нові знання. Ми маємо надію, щ о цьому сприятиме під ручник, який ви тримаєте. Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою . Підручник розділено на три параграфи, кож ний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Особливу увагу звертайте на текст, виділений жирним шрифтом. Також не залишайте поза увагою сло ва, надруковані курсивом. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв’ язування задач. Ці записи можна розгля дати як один з можливих зразків оформлення розв’ язання. До кож ного пункту підібрано задачі для самостійного розв’ язування, приступати до яких радимо лише після за своєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і складні задачі (особ ливо ті, які позначено «зірочкою » (*)). Свої знання можна перевірити, розв’ язуючи задачі у тестовій формі з рубрики «Перевір себе». Кожний пункт завершує особлива рубрика, яку ми на звали «Учимося робити нестандартні кроки ». У ній зібрано задачі, для розв’ язання яких потрібні не спеціальні знання з алгебри, а лише здоровий глузд, винахідливість і км іт ливість. Ці задачі корисні, як вітаміни. Вони допомож уть вам навчитися приймати несподівані й нестандартні ріш ен ня не лише в математиці, а й у житті. Я кщ о після виконання домаш ніх завдань залишається вільний час і ви хочете знати більш е, то рекомендуємо звернутися до рубрики «Коли зроблено ур ок и ». Матеріал, викладений там, є непростим. Але тим цікавіше випробу вати свої сили! Дерзайте! Бажаємо успіху!

ШАНОВНІ КОЛЕГИ! Ми дуже сподіваємося, щ о цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій і ш ляхетній праці, і будемо щиро раді, якщ о він вам сподобається. У книзі дібрано обширний і різноманітний дидактичний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим наба гато зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціа ції та індивідуального підходу в навчанні. Червону кольором позначено номери задач, щ о реко мендуються для домаш ньої роботи, синім кольором — но мери задач, які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на розсуд учителя можна розв’ язувати усно. Матеріал рубрики мож е бути використаний для організації роботи математичного гуртка і факультативних занять. Бажаємо творчого натхнення й терпіння.

УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ п°

завдання, що відповідають початковому і середньому рівням навчальних досягнень; п завдання, щ о відповідають достатньому рівню нав чальних досягнень; ті" завдання, що відповідають високому рівню навчаль них досягнень; п задачі для математичних гуртків і факультативів; © доведення теореми, що відповідає достатньому рівню навчальних досягнень; © доведення теореми, щ о відповідає високому рівню навчальних досягнень; А закінчення доведення теореми.

§1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

•

У цьому параграфі ви познайомитеся з дробами, ч и сельниками й знаменниками яких є вирази зі змінними, навчитеся додавати, віднімати, множити і ділити такі дроби, познайомитеся з рівняннями, які складено за допомогою цих дробів.

•

Ви дізнаєтеся, завдяки яким правилам можна замінити дане рівняння на більш просте.

•

Ви розширите своє уявлення про поняття «степінь». Навчитеся підносити числа до степеня з цілим від'ємним показником.

•

Ви навчитеся будувати математичні моделі процесів, у яких збільшення (зменшення) однієї величини в кіль ка разів призводить до зменшення (збільшення) другої величини у ту саму кількість разів.

Раціональні дроби Перед вивченням цього пункту рекомендуємо повторити зміст пункту 1 на с. 224 і пункту б на с. 227.

У курсі алгебри 7 класу було розглянуто цілі вирази, тобто такі, щ о складаються з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення й ділення на відмін не від нуля число. Ось приклади цілих виразів: х - у,

, щ2 + 2т + п2,

- х - 4 , - + —, х : 5, у, 7. З

У VIII класі ми розглянемо дробові вирази. Дробові вирази відрізняються від цілих тим, що вони містять дію ділення на вираз зі змінними. Ось приклади дробових виразів: а

2х + ±-, ( х - у ) : ( х + у); Ь

сі 5

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Цілі й дробові вирази називають раціональними вира зами. Я кщ о в раціональному виразі замінити змінні числами, то отримаємо числовий вираз. Проте ця заміна можлива лише тоді, коли вона не призводить до ділення на нуль. Наприклад, вираз 2 + а

а -1

при а = 1 не має змісту, тоб-

то числового значення цього виразу не існує. При всіх ін ш их значеннях а цей вираз має зміст. О з н а ч е н н я . Д о п у с т и м и м и з н а ч е н н я м и змінних, що входять до раціонального виразу, називають усі зна чення змінних, при яких цей вираз має зміст. Наприклад, у розглянутому вище виразі допустимими значеннями для змінної а є всі числа, крім а = 1 . Допустимими значеннями змінних, які входять до ціло го виразу, є всі числа. Окремим видом раціонального виразу є раціональний дріб. Це дріб, чисельником і знаменником якого є много члени1. Наприклад, х . х 2 -2X1/ . 12 . а + Ь _ > > > ~ * 7 х + у а 5

Зазначимо, що раціональний дріб може бути як цілим виразом, так і дробовим. Знаменником раціонального дробу не може бути м ного член, який тотож но дорівнює нулю. Раціональні вирази

1 Нагадуємо, щ о числа і одночлени вваж ають окрем ими видами м но гочленів (див. п. 6 на с. 227). б

1. Раціональні дроби

Допустимими значеннями змінних, які входять до ра ціонального дробу, є всі значення цих змінних, при яких значення знаменника дробу не дорівнює нулю. Схема, зображена на рисунку 1, ілю струє зв’ язок між поняттями, що розглядаються в цьому пункті.

ПРИКЛАД Знайдіть допустимі значення змінної, що входить до виразу -1 +. х

я х - 5

Розв язання

Дріб — має зміст при всіх значеннях х , крім х = 0, а дріб 3 х . ■ с має зміст при всіх значеннях х , крім х = 5.

х - 5

Отже, ш уканими допустимими значеннями змінної є всі числа, відмінні від 0 і 5.

1. Чим відрізняються дробові вирази від цілих? 2. Як разом називають цілі і дробові вирази? 3. Які значення змінних називають допустимими? 4. Які дроби називають раціональними? 5. Окремим видом яких виразів є раціональні дроби? 6 . Який многочлен не можебути знаменником раціонального дробу? „ „ а

з виразів

”

х +2

За2

5х2 , х

— + 7 ,—

' т ?п\ 0 , - 4 ) » + і ,

) цілими виразами; нальними дробами? 1

Ь2

І2 - 6 і + 15

, З а - 7 , -------- --------,

: ? ти є:

дробовими виразами; 3) раці%

^ 2.° Чому дорівнює значення дробу --------- , якщ о: 2с + 1

) с = -3 ;

с =

3.° Знайдіть значення виразу — — —, якщ о: ‘ Зт + 2 п 1) т — - 1 , п — 1; 2) т = 4, п = - 5 . 4.° Чому дорівнює значення виразу: 2

1) а

~ -1

а - 5

при а = - 4 ;

у 7

х + 2

прих = - 5 , у =

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Знайдіть допустимі значення змінної, що входить до виразу: ! З* . 2 + У. 9) 5) 1 ) 2х - 5; х 2 х +і ’ 1 + </’ 1 х + 4 18.У Ю) 6) 2) 9 9 х (х - 6 ) т х 2 +4 х 5 9 7) 2 . > 3) 11) х - 5’ х —4 М +1 ’ .2 х -5 . 5 . 12) 8) 4) (х - 3) (х + 5) 1х 1- 4 ’ 9 ’ При яких значеннях змінної має зміст вираз: о3)\ — /71— ^ - +і -----^ ;. 1) —1- ; 5) ---у

о\ ’

т - 9

х +7 •

х + 9'

4Л __ - ___ • } |х |- 3 ’

де - 8

х - 1

) ___ 2х ~ 3------ ? ’ (х + 2 ) ( х - 1 0 )

7.’ Запишіть раціональний дріб, який містить змінну х і має зміст при всіх значеннях х , крім: 1) х — 7; 2) х = —1; 3) х = 0 і х = 4. Запиш іть раціональний дріб, щ о м істить змінну у, допустимими значеннями якої є: 1) усі числа, крім 5; 2 ) усі числа, крім - 2 і 0 ; 3) усі числа, крім З, - 3 і 6 ; 4) усі числа. 9.* Автомобіль проїхав по шосе а км зі швидкістю 75 км /год і по ґрунтовій дорозі Ь км зі ш видкістю 40 к м /год . За який час автомобіль проїхав увесь ш лях? Складіть вираз і знайдіть його значення при а = 150, Ь = 20. 10. Учень придбав зошити по 60 коп., заплативши за них т грн., і по 90 коп., заплативши за них п грн. Скіль ки зош итів придбав учень? Складіть вираз і знайдіть його значення при т = 2,4; п = 4,5. 11.* Доведіть, щ о при всіх допустимих значеннях змінної X значення дробу: 1 х^ + 1 1 ) —ї додатне; 2 ) ------------- 5- від’ ємне. х

6х - 9 - х

Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної х значення дробу: 8

1. Раціональні дроби ч\ 1

)

—х

—5-----

х +5

недодатне;

2 ) — 5-----------

х - 2х + 1

. ,

невід ємне.

13.’ Відомо, щ о 5л: - 15у = 1. Знайдіть значення виразу:

1 ) * - 3 у,

3 )1 5 2 ^ ;

2) —

4) -з

2дг - 6і/

;

т.

х - бдгі/ + 9і/

14.* Відомо, щ о 4а + 8Ь = 10. Знайдіть значення виразу: . ч лі 1 ) 26 + а; ’

5 — а + 2Ь

0 ч а + 4й& "Н4& 2а + 46

3) — ------—— .

15.” Знайдіть область визначення функції: 1) У = — Ц г»

У = — Ц --

4 —— х

х - і х

16." При яких значеннях змінної має зміст вираз: і)

-І 5 -? 2

+—

1 ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 17. Скоротіть дріб: і\ А -

' 15’

—• 18’

) —• 45’

) —

48'

18. Зведіть дріб: з

1) - до знаменника 14; О

— до знаменника 60. 15

19. Подайте у вигляді степеня вираз: 1 ) сґа 3; 3) а° : а3; 2) (а5)3; 4) (а 8) 4 : (а2)8. 20. Розкладіть на множники: 1) 6 а - 156; 5) а 6 + а2; 2 ) 2 а + а&; 6 ) 12т2п - 4тп; 3) 7ато + 7Ьп; 7) 2 х 2 - 4 * 3 + 10х4; 4) 4 х 2 - 12х у; 8 ) 10а 362 - 15а2& + 25аЬ2. 21. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) аЬ - ас + Ьй - сй; 2) 3т + 3п - т х - пх;

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

3) аь + а3 + 2а2 + 2; 4) 8 а2Ь - 2а 2 - 4Ь2 + Ь. 22. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена: 1) а2 - 8 а + 16; 3) 40ху + 16х2 + 25у 2; 2) 9 х 2 4- 6х + 1; 4) а 8 - 4а*Ь + 4Ь2. 23. Розкладіть на множники: 1) х 2 - 9; 4) а2Ь2 - 81; 7) с 3 - гі3; 2) 25 - 4у 2-, 5) 100тв - 1; 8 ) а3 + 8 ; 3) 3 6 т 2 - 4 9 п2; 6 ) а 10 - Ь6; 9) 27/п6 - п9. 24. Розкладіть на множники: 1) 7а2 - 7; 4) - 8 а 5 + 8 а 3 - 2а; 2) ЗЬ3 - 36; 5) х - 4у + х 2 - 16 у2; 3) 2дг3 - 2х у 2; 6 ) аЬ6 - аЬ4 - Ь6 + Ь\ 25. Яка з рівностей є тотож ністю : 1) Зх2 - 36 ху + 108і/2 = 3 (де - 6у)2; 2) 4 т3 - 500п6 = 4 (т - 5п) (т - 5тп + 25я2)? Поновіть у пам’ яті зміст пункту 2 на с. 224.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 26.

Дано два числа: а = 4 4 ...4 , Ь = 3 3 ...З. Чи можна підібрат цифр

п цифр

ти такі / п і п , щ об: 1 ) число а було дільником числа Ь; 2) число Ь було дільником числа а?

І Основна властивість ШШ раціонального дробу Рівність З а - 1 + 2а + 5 = 5а + 4 є тотож ністю , оскільки вона виконується при всіх значеннях а. _.

За —1 + 2а + 5

5а+ 4

а +1

Рівність ------------------ = --------- також природно вважати тотож ністю . Але вона виконується при всіх значеннях а, крім а = - 1 . При а = - 1 раціональні дроби, які утворюють дану рівність, не мають змісту. Отже, треба уточнити при йняті в 7 класі означення тотож но рівних виразів і тотож ності. 10

2. Основна властивість раціонального дробу

О з н а ч е н н я . Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких допустимих значеннях змінних, називаю ть т отожно

рівними.

О з н а ч е н н я . Рівність, правильну при будь-яких допусти мих значеннях змінних, називаю ть т о т о ж н і с т ю .

Наприклад, рівність - — - = 1 е тотожністю, оскільки вона а - 2

виконується при всіх допустимих значеннях а, тобто при всіх а, крім а = 2 . У 7 класі розглядались тотож ні перетворення цілих ви разів. Тепер розглянемо тотож ні перетворення дробових виразів. Згідно з основною властивістю відношення виконується рівність: — = — , де а, Ь і т — деякі числа, причому Ь Ф 0 і т Ь

Ьт

Раціональні дроби мають властивість, аналогічну основ ній властивості відношення: якщ о чисельник і знаменник р аціон ального дробу по множити на один і той самий м н огочл ен, який тотож но не дор івн ю є нулю , то от рим аєм о дріб, тотожно р ів ний даном у. Цю властивість називають основною властивістю раціо нального дробу і записують: — = А '-С , дб А, В і С — многочлени, причому многочлев в - с ни В і С тотож но не дорівнюють нулю. А •С

Відповідно до цієї властивості вираз — — можна замів •с нити на тотож но рівний дріб — . Таке тотож не перетворенВ ня називають скороченням дробу на множник С. ПРИКЛАД 1 о

•

і\

6а 3Ь2 г)\ 3* + 15у . оч у 2 + 4у + 4

Скоротіть дріб: 1) ——2—г ; 2) — ^— 24а Ь

ох

> 3)

~— •

+ 2у

Розв'язання 1) Одночлени 6а3Ь2 і 24а2Ь* мають спільний множник б а2Ь2 Тоді маємо:

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ 6а V

в -ва2Ь2

24а V

4Ь2 -0 ( і2й2

462

2) Розкладемо чисельник даного дробу на множники: Зх + 15у _ 3 (х + 5у) Здс

Зх

Отже, чисельник і знаменник даного дробу мають спіль ний множник 3, скоротивш и на який, отримуємо: Зх + 15у _ 3 (х + 5г/) _ х + 5у Зх

Зх

3) Розклавши попередньо чисельник і знаменник даного дробу на множники і скоротивш и на спільний множник у + 2 , маємо: у 2 + 4у + 4 _ (у + 2)2 _ у + 2 у 2 + 2у

У (у + 2)

З основної властивості дробу випливає, що А _ -А

-в

—А

Кожен з дробів — в разу ----- , тобто В

. -А = А

-в'

і — можна записати у вигляді ви~в -А _

-в

в'

ПРИКЛАД 2

Скоротіть дріб ^

5а - а

Розв’язання Маємо: 4 а - 2 0 _ 4 (а - 5) _

4 (а - 5) _ _ 4

5а - а 2

- а (а - 5)

а (5 - а)

ПРИКЛАД З

Зведіть: 2

1) дріб

- ^- 3

до знаменника 15а&3с5;

ЬЬс

2) дріб —- — до знаменника а 2 - 4Ь2; а + 2Ь

3) дріб

в~ Ь до знаменника ЗЬ - 2а. 2а - 36 12

2. Основна властивість раціонального дробу

Р озв’язання 1) О скільки 15аЬ3с ь = 56с3-За&2с 2, то новий знаменник відрізняється від знаменника даного дробу множником ЗаЬ2с2. Отже, чисельник і знаменник даного дробу треба помнож ити на додатковий множник : а2

а 2 -З а / V

5Ьс3

а (її

3 а 3Ь2с 2

ЬЬс3 • Зіі:'1. :

2Ь)

15а63с 5

а 2 - 2аЬ

а + 26

(а + 26) (а

2Ь)

а 2 - 4Ь2 '

3) Помноживш и чисельник і знаменник даного дробу на число - 1 , отримуємо: а - 6

(а - 6) • ( 1)

_ 6 -а

2а - 36 ~ (2а - 36) • (-1 ) ~ 36 - 2а ’

ПРИКЛАД 4

Зведіть до спільного знаменника дроби: 1\

2/д

- 2. й 9а 266

5п ‘ _

п\

Я »

• 1

о\

4а"

+ 6 і * а - 6 ’ * * * / а2 - 36 а2 + 6 а ’ Розв’язання 1) Д обуток знам енників даних д р обів, який д ор івн ю є 9а2Ь6’ 6а4Ь3 = 54авЬ9, можна прийняти за їх спільний знаменник. Проте зручніше за спільний знаменник узя ти одночлен 18а466, коефіцієнт якого 18 є найменшим спільним кратним коефіцієнтів 9 і 6 даних знаменників, а кож ну зі змінних а і Ь взято з найбільшим показником степеня, з яким вона міститься у знаменниках даних дробів. Оскільки 18а4Ь6 = 9а 266 -2 а 2, то додатковим множником 6 а46 3

’

до дробу -^гЦг є одночлен 2а2. Ураховуючи, щ о 18а4Ь6 = 9а 6 = ба'Ь^-ЗЬ3, маємо, щ о додатковим множником до дробу 5л2 6 а 463 г.

Отже,

оиЗ

є одночлен аЬ . 2т 9а 266

9а V 5п 2

2т • 2а ‘

4а т.

•2а 1

18а V

5п 2 ■36:і

’ 1563я 2

6а 463 6 а 463 •З6 3 18а466 ' Спільний знаменник даних дробів дорівнює добутку їх знаменників. Маємо: 13

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

а - Ь

а +Ь

(а + Ь) (а - Ь)

а - Ь

а +Ь

а - Ь

(а - Ь ) (а + Ь)

„ 2 - Ьь2 а а +Ь „2

- Ь

3) Для знаходження спільного знаменника раціональних дробів буває корисним попередньо розкласти їх знамен ники на множники: .2 аг - 36 = (а + 6 ) (а - 6 ), а2 + 6а = а (а + 6 ). Отже, за спільний знаменник даних дробів можна взяти вираз а (а + 6 ) (а - 6 ). т °д а

4а2 -3 6

6 а 2 + 6а

^4а2 (а + 6) (а - 6) „

а (а + 6)

4а3 а (а + 6) (а 6а - 36 а (а + 6) (а - 6)

4а3

-3 6 а

6 а - 36 а

- 36а

ПРИКЛАД 5

Побудуйте графік функції у =

лг- 1 Р озв’язання Дана функція визначена при всіх зна ченнях х , крім 1. Маємо: £^ = м М = ї +1 х У д: - 1 х-1 О тж е, ш уканим граф іком є пряма у = х + 1 за винятком однієї точки, абс циса якої дорівнює 1 (рис. 2 ).

ПРИКЛАД 6

Розв’ яж іть рівняння (а 2 - 9) х = а + 3. Р озв’язання Запишемо дане рівняння у вигляді (а + 3) (а - 3) х = = а + 3 і розглянемо три випадки. 1 ) а = 3. Тоді отримуємо рівняння Ох = 6 , яке не має коренів. 2) а — - 3 . У цьому випадку отримуємо рівняння Ох = 0, коренем якого є будь-яке число. 3) а Ф 3 і а Ф —3. 14

2. Основна властивість раціонального дробу гг,

а + З

(а + 3) (а - 3)

а - З

Тоді х = -----------------= -------- .

В і д п о в і д ь : якщ о а = 3, то рівняння не має коренів; якщ о а = - 3 , то коренем є будь-яке число; якщ о а Ф 3 і а Ф -З , 1

то х = ------- . Л а ~3 9 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------•

1. Які вирази називають тотожно 2. Щ о називають тотожністю?

рівними?

3. Сформулюйте основну властивість раціонального дробу. ба2

27.° Якому з наведених виразів тотожно дорівнює дріб ——: 19 з

!>Т;

2> ї ;

о 4

3)! г ;

240

4> Т І ? 7

28.° Чи є тотож ністю рівність: , ч 3т 2

і)

„

7т

3т '

Т х4Т 16

2Ь _

8Ь .

&) _ з —

4* 8

п\

— „ !

5с

х2 .

20с

лч 8 т 2

8 4Т і’

8/п.5 9

9л

9л/л3

29.° Скоротіть дріб: іч

14а_,

о\

^ 21а ’

^ 4 ;

5х '

4аЬс .

20 л: ’

ІбаЬ 4 ’

12Ьс

;

б) 56та68" 70 ;

32хі/

42т

ггч -1 0 п 5л4

’

-9 р д

30.° Подайте частку у вигляді дробу й скоротіть отриманий дріб: 1) 6 а : (18а5); 3) 35а8Ье : ( -4 9 авЬ8). 2) 1667 : (48Ь4); 31.° Скоротіть дріб: 1) „ч

21 у 5х2

2) — ; 6х

3) - Ц - ;

Ю с5

.ч

2т4

Сч

— т-;

40аЬ 6 3 х 5ц4

) ----- т ^ ; 42х

-4 2 а 2 -1 3 а V

32.° Спростіть вираз: 1) — ; 2) - — ; -ь ь 33.° Відновіть рівності: ^ч а

3) - — ; -ь і

2З

4а с

т-=-.

26а Ь

4) - — . -ь

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ ол т _ 4т _

У п

2п

2 ""

_ ЗтАп 3

тпр

34.° Зведіть дріб: 1

)

до знаменника б5;

— до знаменника 27п4; 9л

3) —

до знаменника 3 5 х 3у2;

7х у

4) -Щг до знаменника 24р9с. 6р

35.° Зведіть дріб: 1

)

до знаменника у8; У

— до знаменника Зь

3) —

6 6 3;

до знаменника

т3п2;

4т л 11с

4) — * до знаменника 30&с£ . 15<Г

36.° Скоротіть дріб: а (х + 2 ). 1) Ь(х + 2) ’ 4 (а - б)2 . 2) ( а - б )3 ’ с 3(с - 4)5 . 3) с 6(с - 4)3 ’ 2а + 2Ь 4) 7 (а + 6) ’ 37.° Скоротіть дріб: і ч

а -6

2 (6 - а) ’ Зх - 6 у

7х

о\ т 1 - Ь т п

1) Т77І— оч

- 21у . 5х - 15і/ ’ 4а - 206. 6) 1 2 а6 ’ 6х + 1 2 7) 6х ’ а - 56 , 8) а2 —5а6 5)

3) —

— ;

15л - 3/п ’

7а 4 - а 3Ьш

4у-2х'

у2 - 2 5 .

Ю) Н) 12

)

+ 2 і/ ’

а 2 + 4а + 4 9а + 18 с 2 - 6с + 9 с2 - о 9 т3 + 1

’

- т +1

Сч х 2 - 25

5х2 - х 3 ’

у2 -

12у

+ 36

Ь4 - 7 аЬ3 ’

36 - у 2

оч 4х - 1 6 г /.

12а2 - 6а .

38.° Скоротіть дріб: 1 ч З т - Зл .

16 у

7 т -7 л ’

оч

5 а + 256

2) — «----------; 2а 2 + Ю аб

д:2 - 49 6х + 42 16

;

3 -6

’

962 - 1

6 ) —=------------;

96 2 + 6 6 + 1

2. Основна властивість раціонального дробу -7 4

Ь5 ~ &4 .

* *

. 5

оч 7 т 2 + 7 т + 7 .

. в »

Ь5 - & 6>

64 - х 2

т 3- 1

’

'З х 2 -2 4 х '

39.° Зведіть дріб: 1) ■ а до знаменника 4а + а+2 2) ——— до знаменника т т - 3п

3) —

;

- 9п2;

до знаменника Ту - 14х;

2х-у

4) —

51)

до знаменника 4а 2 + 12а6 + 962;

2 а + 36

5) — + 1

до знаменника л:3 — 1.

хг +х + 1

40.° Подайте вираз х - 5у у вигляді дробу із знаменником: 1) 2; 2) х ; 3) 4у 3-, 4) * 2 - 25г/2. О 6 41.° Зведіть дріб ------- до знаменника: Ь- 4

1) 5Ь - 20; 2) 12 - ЗЬ; 3) Ь2 - 4Ь; 4) Ь2 - 16. 42.° Подайте дані дроби у вигляді дробів з однаковими зна менниками:

(т - л )2

За + 36 За

•

а2 - б 2 ’ 2а

4а - 4

5 -5 а ’

7а

а2 - Ь 2 '

т- п

)

со ь

а-Ь

3т 2п 4 ’ 2

і ----------; Зх - 2

2х + 1 а-Ь

О"

7т3п 3 а + Ь .

00 Чз

2а3 ’ . 4у

8аЬ 3*

9 -Ь 2 '

43.° Зведіть до спільного знаменника дроби: 1

;

1 К. 2 2

)

7 —475

15х у с%\ с • 2

6а 4Ь5

2-------

- тп

;

9аЬ2 ’ 2

2 т - Зло ч —2

т - п

х +1

X - ху 6а •

(і —

т+ п

1П 3 » Юх у

)

—

а - 2Ь

г.4

1 + С2

, - . 6

у - 1 ху - у За С

-4-0-

8) ~2------------т

+ 5 т + 25

4 4 / Скоротіть дріб: 1Ч '

(За + З6)2 . . х.

а + Ь

оч (6х - 18г/)2 .

’

а +Ь .

2т + 9

’

. 2

Л 2

- 9у

’

. 1

с'

т —5

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

оч х у + х - Ьу - 5 . 4у + 4

дч а 2 - аЬ + 2Ь - 2а

’

а 2 - 4а + 4

4 5 / Скоротіть дріб: ^

2 т 2 - 72п 2 .

а3 - 8

( 4 т + 24п)2

о.

а 3 + 2а 26 + а б2

аЬ —а —2Ь + 2

а 3 - а б2

46.* Знайдіть значення дробу, попередньо скоротивши його: і ч 15а

+ Ю аб

5—,

п і

якщ о а = - 2 ; Ь = 0,4;

ЗаЬ + 2Ь

9Ь - 4 с‘2 , 1 Б-------- 2 > ЯКЩ° & = о * с =

оч

12&2с - 86с2

3) 36х 2~ 1 2 х у 2 У » якщ о х = г/ - 36х

„ 8 —О „т6 ЛV Сі

4) -д а

1 ,2

; у = -3 ;

ґ\

§•, якщ о а = - 0 ,1 .

+а

47.* Знайдіть значення виразу: 1) 16* ~ 4~

ПРИ х = 2,5; у = - 2 ;

б х - Зі/

49с2 - 9

2) ---- 5------------ при с = - 4 . 49с

+ 42с + 9

48.* Зведіть до спільного знаменника дроби: 1

)

2£ -

і -з ^ — ;

5р-15 пч За + 1

р - 27 . а-

2 .

' 9а - 2 - 6а _ +. ,1 1 9а п_2 - 1

а + З а 2 - 7а

а 2 - 14а + 49 ’

• х' 2 - ,І ’

Зх___

х а2

2- п і 2х + 1

5 > :аХ —аЬ - ас + Ьс

. х Ь

2 + 2х •

2а —26

+ 1 аЬ

4а —4с

49.* Запишіть у вигляді дробів з однаковими знаменниками дроби: 1)

і За - 2 ’

9а + 6

а - 56

а + Час

9а 2Ь - 4Ь а

+ 7ас - 5 аЬ - 35 Ьс

50.*’ Знайдіть значення виразу 2ху ~ у 9 , якщ о — = 2. Зхі/ + х 18

2. Основна властивість раціонального дробу 4а2

аЬ

51.” Знайдіть значення виразу — — —

якщо - = 5.

а Ь+ 1 4 Ь

52." Відомо, що 2а -

= 1. Знайдіть значення виразу:

1) —-— ;

а - ЗЬ

а 2 " 9* 2

0,5а + 1,5Ь

2 ^

53 ." Знайдіть значення виразу — -т— , 0

як щ о 4т +

3 2 т 2 - 18п2

+ Зп =

54 ." Чи існує таке значення а, при якому дріб ^ а

+ а

—-—-

+а +1

набуває від’ ємного значення? 55 ." Побудуйте графік функції: -.4

х2 - 4

~х^2 2)

.. х 2 - Юх + 25 2х2 - 4х

3)!/ = —

у =^ - ;

^-Ь-------------- Г -

4) у = —----------

3 -х

х+4

56." Побудуйте графік функції: х 2 - 8 х + 16

оч

1 ) ‘ >°

х 2 - Зх 2 х 2 - 2

3 > ! / = — ; -------- 7 Г Г -

2) у = х - - ; X

57." Побудуйте графік функції: і \

1*1

оч

х2 -1

2 )ї =й ГГ58." Розв’ яж іть рівняння:

1) * ± і = 1;

х +1

х -5

= 10;

|х| —6

= 0.

5 9 ." Розв’ яж іть рівняння:

х + 4

= -

х - 7

60.* Для кож ного значення а розв’ яж іть рівняння: 1) ах = 1; 3) (а - 6 ) х = а 2 - 12а + 36; 2) ах = а; 4) (а 2 - 4) х = а - 2. 61.* Для кож ного значення а розв’ яж іть рівняння: 1) (а + 3) х = 3; 2) (а 2 - 9а) х = а 2 - 18а + 81.

І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 62. Спростіть вираз: 1) (х + 2) (х - 9) - Зх (3 - 2х); 19

’

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

2) (а + 5) (а - 2) + (а + 4) (а - 5); 3) (у - 8 ) ( 2 у + 1 ) - (3у + 1 ) (у - 6 ); 4) (2х - 3у) (2х + 3у) + (Зх + 2у) (Зх - 2у); 5) (х + І ) 2 - (х - 3) (х + 3); 6 ) (у - 4) (у + 3) - (у - б )2. 63. Побудуйте графік функції: 1) у = 2; 2 ) у = 2 л:; 3) у = 2 х - 1 . 64. Я кого найменшого значення та при яких значеннях а і Ь набуває вираз (а - 2) (а + 2) + 4Ь (Ь - а)? 65. Відстань від села Вишневе до залізничної станції на 14 км менша ніж відстань від села Яблуневе до тієї са мої станції. Час, за який автобус проїж дж ає відстань від села Вишневе до станції, становить 45 хв, а час, за який легковий автомобіль проїжджає від села Яблуневе до станції, на 5 хв більше, при цьому ш видкість авто мобіля на 1 2 к м /го д більш а за ш видкість автобуса. Знайдіть ш видкість автобуса і ш видкість легкового ав томобіля.

І ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 66

. Виконайте дії: 1) — + — ; 18

2 )— +— ; 16

3 ) - - —; ' 32

4)4-1 —. 11

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 67. На сторонах квадрата записано чотири натуральних числа. У кож ній вершині квадрата записано число, яке дорівнює добутку чисел, записаних на сторонах, для яких ця вершина є спільною. Сума чисел, записаних у вершинах, дорівнює 55. Знайдіть суму чисел, записа них на сторонах квадрата.

І Додавання і віднімання раціональних ■ Н дробів з однаковими знаменниками 3 .

Ви знаєте правила додавання і віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками. їх можна виразити та кими рівностями: а , Ь_ а + Ь с

—

Ь_ а - Ь

сс

•

За цими самими правилами додають і віднімають раціо нальні дроби з однаковими знаменниками. Щ об додат и раціональні дроби з однаковим и знам ен никами, треба додат и їх чисельники, а знаменник зали шити той самий. Щ об віднят и раціональні дроби з однаковим и знам ен никами, треба від чисельника перш ого дробу віднят и чисельник др угого др обу, а знам енник залишити той самий. ПРИКЛАД 1

Виконайте віднімання: п

7л:- 5 '

3 * -5

8х2

0 ч у'г + 2у

8*2 ’

12і/ - 2 5 .

у 2 - 25

оч

} 2а-\

2а - З 1 - 2 а*

Р озв’язання П

7х ~ 5

3* ~ 5 - 7х - 5 - (Зх - 5) _ 7х - 5 - Зх + 5 _

8х2

\х_ _ _1_ 8х2

2х'

у 2 + 2 у _ 12у - 25 = у 2 + 2у - (12у - 25) _ у 2 + 2 у - 1 2 у + 25 = у 2 - 25

оч

у 2 - 25

: у 2 - Юу + 25 _

(у-5)2

у 2 - 25

(У + 5) (у - 5)

_ 2а - 3 _

2а - 1

1 - 2а

2а - 1

у 2 - 25

^ у - 5 у + 5■

2а - 3 -( 2а - 1)

2а - 3 _

2а - 1 2а - 1

_ 4 + 2а - 3 _ 2а + 1 2а - 1

2а - 1

ПРИКЛАД 2

Відомо, щ о — = - 3 . Знайдіть значення виразу 2т —- . п

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Розв'язання Подамо даний дріб у вигляді суми цілого й дробового ви разів: 2т + п _ 2 т т

п_ _

п_

Я кщ о — = -3 , то — = - - . Отже, п

2 т + п _ о + і — 9 —— — 1 — т т 3 3

ПРИКЛАД З

Знайдіть усі натуральні значення п, при яких значення 2п 2 + Зл - 1 5

виразу ------------------ є цілим числом. л

Розв’язання Подамо даний дріб у вигляді різниці цілого й дробового виразів: 2л2 + Зп - 1 5

2л2 , 3 л

------------------- = ----- Н ----------------= Лп + о п

Вираз 2п + 3 набуває натурального значення при будь15

яком у натуральному п. Вираз 2п + 3

набуває цілого

тт

значення, якщ о значення виразу — є цілим числом. Це п

можливо лише при таких значеннях п: 1, 3, 5, 15. В і д п о в і д ь : при п = 1, або п = 3, або п = 5, або п = 15.

^ 1. Як додати раціональні дроби з однаковими знаменниками? І 2. Як відняти раціональні дроби з однаковими знаменниками? 6 8 .°

Виконайте дії: 1

) ’

А )

—+ б 6 а Ь

—;

; З 3 о\ т ,4 т . д

п п ’ 6с 2 с .

,»

Ь ) т± п _ г п - 2 п б 6 2а - ЗЬ , 9Ь - 2а Ь ) ------------- 1-------------- ; 6 аЬ 6 аЬ ггч 5с + 4й , 4й + 9с . ’ са^ са^ оч

(і

8т + 3 10т

2т + З 10т

69.° Подайте у вигляді дробу вираз: 7к

Ак

с,\

а- Ь

о •

3. Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковим и знаменниками оч

а -1 2 6

, а + 156 .

10а + 66

66 - а .

27а

11а3

’

4)^Т у_х^У . ху

6) х ^ х у + 2 х у -3 х 2

ху

Xу

X у

70.° Спростіть вираз: чч

__а^______ 9 а+ 3

а + 3 ’

і2 -1 6 „ч

х2 -1

б2 Ч

( т - 5)2

4х + 8 .

х2 -1 »

<2 - 1 б ’

т2

’

5х + 9

Вч

(т - 5)2 ’

206 + 100 .

+ ю

6 + 10

с2

1 4с-4 9

с-7

’ ’

71.° Спростіть вираз: лч

с2

і}

с -9

оч Зх + 5

2х + 7 .

х2 - 4

х2 - 4 '

У ~2

у - 2

с - 9 ’

—^— 2 —

(а - б )2(а - б )2

72.° Виконайте дії: а + 6 ,

іч

8162

а2

9 6 -а

а - 96

с -7

7 -е

_5/л т —п

Тії—; -|---5л

гч і2 . 5) —-----+ ■

п - т

З і- 6

Я) 2х - 4у

14у. 4х - 14у

х - 3у

Зу - х

4 „ 6 - Зі

^чч _ уУ2 ____ 1 - 2 у 0

’

і/ » -- 1

73.° Спростіть вираз: 2 у -1

Зс

3(1 .

——— І- ———;

с-а

оч 3/л + 2л

т - 8л

2т - З п

Зп - 2 т

з)

1 -у

а -с

Ь2 2 6 -1 4

7 4 / Знайдіть значення виразу: 1

) £ І^ І8 _ а- 8

оч

при а =

;

а - 8

+ Зс + 7 с +3 ----- 5 ---------- + -------- я с 3 .- 8 8 -е 3

при

С -

о -3 .

7 5 / Знайдіть значення виразу: 1 ч 5х + 3 ^ 6 х - 1

іч

49 1 4 -2 6

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

76.' Спростіть вираз: ^

5 г а -1

20л ’ 1-1т т 2- 4 к2

N Б 1

8л + 7

20л т - 9

1 !М 5

7л - 8

20л 9т + 2 3к

46 + 1

к° - 1

1 - к°

77.’ Спростіть вираз: 6д - 1

| 4а - 7

16а- 8

|- 2 а - 2 . 8 - 16а ’

2а2 + 12а

8а - 9

а 2 + 14а - 16

а 2 - 25

25 - а 2

а 2 - 25

78.’ Подайте у вигляді дробу вираз: 15-8 а

14-7 а .

' (а - - І) 2)

362 +

(Ь - 2)

оч

,,(1 - а)2 .2 » . 126

з +■

т 2 - 8п

2т - 8л

' <т ~ 2) (« ~ 5)

(2 - лг) (5 - п)

з,

(2 - ЬУ

79.* Спростіть вираз: х 2 -1 6 х

| 2х + 49 .

(х -7 )4

(7 -х )4 ’

) У2 + У

(у - 6) («/ + 2)

У + 36 (6 - у) (2 + у ) "

8 0 / Доведіть тотож ність: ^

(а + б)2 _ (а - б)2 _ ^ 4а6

4а6

’

(а + Ь)2 + (а - Ь)2 = 2 а 2 + б2

а 2 + б2

8 1 / Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної х 12лт —25

8л: + 10

2 0 х -1 5

20х - 1 5

значення в и р а з у -----------+ ------------ не залежить від знаи

чення X. 8 2 / Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної 17и + 5

9 - 11у

значення виразу —----------------- не залежить від зна21у - З 21у - З чення у . 8 3 / Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної вираз

а 2 —6

7а —4

За + 6

(а - 2)

(а - 2)4

г------------ 7 н----------т набуває додатних зна-

чень. 8 4 / Доведіть, щ о при всіх допустимих значеннях змінної вираз

2 -Ь 2

7 -3 6

, 7 6 -2 0

7г---------- г + ---------* набуває від ємних зна-

(6 - 5)

(6 -

(6 - 5)

чень. 24

3. Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками

8 5 ." Подайте даний дріб у вигляді суми або різниці цілого і дробового виразів: -<чДГ-ЬЗ ±) ; х 86

л\ Сї

а - 2

." Подайте даний дріб у вигляді суми або різниці цілого і дробового виразів: 1\ 4а ~ Ь . ' а ’

о\Ь2 + 7Ь + З Ь+7

8 7 ." Відомо, що — = 4. Знайдіть значення виразу: у. х

2х-3у. у

3) Х І + / . ху

8 8 ." Відомо, щ о —= - 2 . Знайдіть значення виразу: ь ч а - Ь ; а

о\ 4а + 5Ь — -— ; Ь

І)

оч а

_ 2а6 + 6 аЬ

3 ) ------------------- .

89 ." Знайдіть усі натуральні значення п, при яких є цілим числом значення виразу: ^

я + 6, п

) Зп - 4 п - 14 .

’

4п + 7 2п - З

90 ." Знайдіть усі натуральні значення п, при яких є цілим числом значення виразу: і ч 8л - 9 .

-*•'

0 \ л 2 + 2л - 8 . л

9л - 4

' Зл о - 5к *

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

91. З двох сіл, відстань між якими дорівнює 9 км, одночас но назустріч один одному виїхали два велосипедисти, які зустрілися через 20 хв. Якби велосипедисти їхали в одному напрямі, то один з них наздогнав би другого через 3 год. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста. 92. Р озв’ яж іть рівняння: 1) 1 - 4 (х + 1) = 1,8 - 1,6х; 2) 3 (0 ,5л: - 4) + 8 ,5х = 10х - 11. 93. Доведіть, що вираз (а + 4) (а - 8 ) + 4 (2а + 9) при всіх значеннях а набуває невід’ ємних значень. 25

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Кі ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 94. Замість зірочки запишіть такий одночлен, щоб справ джувалася рівність: 1 ) а2Ь■* = а V ; 3) 6 х 5 •* = 1 2 х 10. 2 ) 5х у 3 •* = 1 0 х 4у6; 95. Замість зірочки запишіть такий многочлен, щ об справ джувалася рівність: 1 ) * ’ (а - Ь ) = (а + Ь ) ( а - Ь)2; 2) (а + 10Ь)-* = а3 - 100аЬ2. 96. Зведіть до спільного знаменника дроби: 1) — і — ; ' За

рУ о\

ЗЬ

т- п

Зп

рУ

’ О

т + п

х-2у

х + у

У ;

сч

' «у-36 \

;

—|

а -1

•

і —£ а

+ а

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

97.

Чи може парне число мати непарних дільників більше ніж парних?

Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

Застосовуючи основну властивість дробу, можна дода вання і віднімання дробів з різними знаменниками звести до додавання і віднімання дробів з однаковими знаменни ками. А

Нехай треба додати два раціональних дроби — і — . А

А - Б

С •В

Можна записати: — = ------- ; — = ------- . в в -я і» і> • в гр

, С

А - В

С' В

А - И + С- В

Ь- В

В- Б

Тоді — + — = ------- + ------- = ------------------. В • £>

Тут за спільний знаменник обрано вираз, який дорівнює добутку знаменників даних дробів. 26

4 . Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

Зазначимо, щ о добуток знаменників даних дробів не завжди є найбільш зручним спільним знаменником. Нагадаємо, що при знаходженні спільного знаменника звичайних дробів ми знаходили найменше спільне кратне знаменників, розкладаючи їх на прості множники. Анало гічно для знаходження спільного знаменника раціональних дробів може виявитися зручним розкладання знаменників на множники. Зрозуміло, щ о сума і різниця двох раціональних дробів є раціональними дробами.

ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз: 1) —

аЬс

+Ц ^Ї

—-------------------;

7т+7я

2а

25 - 1 0 а + а

5) — ----х -4

7т-7л

о-. Юл + 14

'*•’

а с

За - 15

х-2

ГГ+

л2 - 4 9

7 - я

Розв’язання 1) Спільним знаменником даних дробів є одночлен а2Ьс. Отже, 2 уЬ + 1 +

^ 1-а _

аЬ + а + Ь - аЬ _ а + Ь

аЬс

а 2с

а 2Ьс

2) Розклавш и попередньо знаменники даних дробів множники, отримуємо: т__________ я 7 т + 7л

гп_________ п

7 т -7 л

7 ( т + л) 2

— т ~ тп ~ т п ~ 7 ( т 2 - л 2)

„

— т ~ 2т я - я

10я + 14

10л + 14

7-л

(я - 7) (я + 7)

_ Юя + 14 - 6 (я + 7) _

( л - 7 ) ( л + 7)

_ Юя + 14 - 6я - 42 _

п (т + гі) _

7 ( т + я) ( т - я)

7 ( т 2 - л 2)

3) Маємо: я 2 - 49

_ т (т - гі) -

7 ( т - я)

на

я -7

4л - 2 8

(я - 7) (л + 7) 4 (я - 7)

(я - 7) (л + 7) “ (я - 7) (л + 7) ~ я + 7 *

2а

25 - 10а + а 2 6а - а + 5

За-1 5 5а + 5

(5 -а )2

3 (а - 5)

З (а - 5)2

3 (а - 5)2 27

^2а (а - 5)2

3 (а -5 )

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

5) У цьому випадку спільний знаменник даних дробів дорів нює добутку їх знаменників. Тоді * -V *^ х

_ * - > х + 2 _ х (х - 2) - (х + 2) (х - 4) _

х - 4

х - 2

(х - 4) (х - 2)

х 2 - 2х - х 2 + 4х - 2х + 8

(х - 4) (х - 2)

ПРИКЛАД 2 21с2

Подайте у вигляді дробу вираз ——— - Зс. 7с —2

Р озв’язання Подавши вираз Зс у вигляді дробу зі знаменником 1, отримуємо: г 21с2 _ о 7 с- 2

21с2

21с2 - 21с2 + 6с _

° ~ 1с - 2

1 ~

7с- 2

6с

_ 7с - 2 *

—...— .

;

1. Як виконати додавання й віднімання раціональних дробів з різ-

ними знаменниками? Щ о є сумою і різницею двох раціональних дробів?

98.° Виконайте дії: 1

)

+ х 3;

о\ 5Ь

ь.

4га

—~ —~~у

«ч т л. т •

14 ~ 7 ’

)

о\

;

ЗЬ

аЬ

11. _

6га ’

2с

5а

15а6 ’

аЬс

аЬт

99.° Подайте у вигляді дробу вираз: 1

) £ - Х ; 8

5) -^т + — 5

4) — + — ;

І£+«; 7

3 ) ^ - і ;

2у

сЛ

8х

ср

)-% --^ . 3 5с5

100.° Спростіть вираз: 1

4) 6р +1 __ 2р + 8 .

) £ ± І ++ ------^ І ;• 12

^С/ 26— - 7 ісс

ос/ + т а ЗЬ 2с

---------------------- ,

Зх - 2

Зу - 1

І/

5/71 — ТІ

Зр /71 — 6/1

5 ) ----------------5Г*

6) 28

7 14т 7ят х + 4 ~у - 3 . 11х

11у ’

14с2

4. Додавання і віднімання раціональних дробів з різним и знаменниками „л а + 6 , а - с . аЬ

10)

ас

8) 4 + — р

X I/

1 ч 2 т - Зп

11)

;

10Л с + й

о\ Ь + 4 ■ Зк - 4 . к

п к‘

7 т - 2л .

2п

ттг

са

2 *

—8(1

с 3а а3

101.° Виконайте додавання або віднімання дробів

1) 2) 3)

9 -5 6

7 - 5с

4(1 + 7

а - 6

7(і

6</

6а + 2

2а + 4

аЬ

а 2Ь

Сч с 2 —16

}

5 - к

р + 10

у\

5р

5/е

‘ >

т - п

р - п

тп

пр

с —9

---------- с

1+X .

’

1 - аЬ

1 - ай

аЬс

асгі

102.° Виконайте дії:

1) 1 + ^

2; X+1

—

•

т + п'

а а - 3 с

/ 3 с -1

а + 3 с Зс + 1

Зі/ - 2

2у + 1 а-Ь

а-Ь

а +Ь

103.° Перетворіть у дріб вираз:

а-+

а-Ь

2 ) 4 _ 5х + 4 х +2 X

Ь -2

6+ 2'

104.° Спростіть вираз: Сг

Ь (а - Ь)

а (а - Ь)

2) - + а

4) 5)

а (а - 6) ’

2х + 2

х -2

х (х - 2 )'

У 5 (і/ + 3) ’

У 2 (у + 3) 5т + 3

7т + 4

2 ( т + 1)

3 ( т + 1)

с - а а (а + Ь)

с + Ь 6 (а + 6)

105.° Виконайте Ви дії:

а ( а + Ь)

Ь(а + Ь)

5 (х + 7) 6 (х + 7) 4я + 2 _ 5п + З

4) 2) гЬ - Ь (Ь + 2) ( ге л— - 1х)) 4 (л -—і; 1) о3 \ ч 106.° Виконайте додавання або віднімання дробів: За + 1

с —1

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

/га + 1

т - 1

5) 7З7/га -1 5

6) 107.

2т - 10 '

т - 2п

т - Зга

6гаї + 6га

4т + 4га ’

а2 + 2

а + 4

а + 2а Зх - 4 у

2а+ 4 3у - х

х 2 - 2х у

х у - 2у 2

Спростіть вираз:

1) 2) 3)

6 6- 5 —

4 6 -1 46 - 20 ’ 16

гаї т + 8гаі а - 2 а -1 2а - 6

, 1.2

4 )

За - 9

2 а 2 + 2а6 6+ 4 _

а +6 а + 4

аб - б2 а 2 - аб с - 4 + 4с + 9 4с + 24

+ 6с

108. ’ Виконайте дії:

її

+ * +4 .

§ х + 3

х2

За + 6

4) —

- 9 ’

- +

а 2 - б2

а + Ь

2) 3)

109.

- 64

а - 8

962 - 4

ЗЬ -2'

гаг + 5

/та2 + 10/га + 25

б2

а +6

а 2 + б 2 + 2а6 '

Спростіть вираз: і) ^

+ ^ - ;

X - у

х -у

о\ і/_________ У ' /- 8 1 У+ 9 ’

10а

1 9

25а га

га -

5а + З га2

га2 - 14га + 49

110. Подайте у вигляді дробу вираз: 36 + 2а

1 ) |о + 1 ;

5) 2 -

Ь) - — — - 6 ;

дч 36 + 4

3) - + - + га /га

7) 8)

4) 4 - і + 3; р р 1 1 1 . ’ Виконайте дії: 1

) а

;

- і + т;

12/71

6т

+ 5

2 6 -1

2АГ - к ;

к-Ь

) 5-

9га Зга 4у - 12 У- 2

2/га

206

5) Зп

2) - + х - 2; 3) ^

6-2

106.

4 . Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

112.' Спростіть вираз: а2 + 1

,а + 1

, “ ■■■■ - + ^ г ; а - 2а +1 а - 1

- 4

-Ь

а +Ь

’

З) £ ±

і +_М Ц ! с -7 49 - с 5а + 3 6 -З а . 2а2 + 6а

а + 4

а - 4 а +4

а-4

) - ^ - - ^ - +- ^ Р~5

р +5

7) і —

І-;

У 1 6 -у 2 6 -1 4Ь

а2 - 9 ’

;

25 - р

46 + 2

і/ - 4 26 + 1

462 - 1

3 - 66

113." Спростіть вираз: 1 ч тга + и

т 2 + л2 . 9

от - л 2)

і ^

х + у 2а

т2 - п

6 -2

9 >

б 2 + 66 + 9

- ї І

б2 - 9

В )-Н - +- ї - - і = і ;

2ху + х + у а +4

4а2 - 1

х + Зх х + З і/ + 2 у - 2

2а2 + а ’

У-2

у + 2

16 у2 - 4

114." Доведіть, щ о при всіх допустимих значеннях змінної значення даного виразу не залежить від її значення: 1 ч 2х + 1 . 2 х - 1

' Л 2х

. ’’ /,6 - оЗх

- 4

х +7

1Л»

оч 24 - 2а

6х - 1 2 ’ а 2 - 1 6

2а - 8

о а + о4

115.* Подайте у вигляді дробу вираз: 1

)

-а + — — ;

3) £ і ± ! - с - 3;

а +2

За + 6

с - З

+3а - Ь ;

4) - ^ - - 2 т - 1 . 4т. - З

116.’ Спростіть вираз: 1 )6 + 7 - —

6+ 7

;

2) 5 є - 10~ 29с + 1 0с2 + 2 . 2с - 5

117.* Спростіть вираз і знайдіть його значення: іч

оч

2а - 4 2с + 3

1) ------------- 5-----------------, якщ о а = 5; 2

)

а2 - 4 а + 2 , 2с - 3 16с

— 5------ + — 5-------------- 5-----,

2с2 - Зс 2с2 + Зс 4 с 2 - 9 2 2 оч т + 16л т + 4л

— 5-------- 5- ------------- ,

- 16л

2лг - 8л

якщ о с = о

1) — --------- ; х ~ 5— ■, якщ о х = 5; х

п с

;

якщ о т = 3, п = 0,5.

118." Знайдіть значення виразу: 5 * -2 0

0 ,8

- 8х + 16

ол 2у - 1

2у

А) —-----------2у

2у-\

г-, якщ о и =

2у-\у2

|со

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1 1 9 / Доведіть тотож ність:

1) 2^

а + 1 ^

а а - & а - аб а. + 3 а + 1 . 6 а -1

а2 - 1

а2 -1

2а 2 + 4

а - 2

а + 1

а2 -1

а +1

а -1

1 2 0 / Доведіть тотож ність:

1) 2)

За

6а - 46

6а + 46

46 - 9 а 2

Зс + 9

+ Зс

Зс

За - 26

1 2 1 / Знайдіть різницю дробів: 1

) а + 1- ______ і ___ • } а3 - 1

2) —

а2 + а + Г

6+3

1 2 2 / Спростіть вираз: 9 т2 - 3 т п + п г

2) 1 -

9 т2 + Зтп + п 2 .

3т - п 2 6 -1

3т + п 26

462 - 26 + 1

26 + 1 '

1 2 3 / Доведіть тотож ність: За2 + 24

а3 + 8

а2 - 2 а + 4

а +2

а + 2

124." Спростіть вираз: іч

а - 6

„2 - 61 8 а

а + 6

2 , + 7Г а+аб 6 - аб 2) _ ^_ + ^ * + * 2+4 х - 2

* + 2

— 1 (а - об)2

*2- 4

8* - 2х3 ’

а 2 - 2562

х 2 + 9х + 18

х +5

х у + Зу - 2х - 6

у - 2

(а + 56)2 ’

125." Доведіть тотож ність: 1) 2^

а +3 + а -3 а 2 —За За + 9 6 -4

2а - 1

+ 12

9 —а*”

б2 - 26 - 24

а - З За 2

2а6 - 4 - 6 + 8а

2а-1 32

6 2 - 66

63 + 2 7 *

4 . Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

126." Доведіть тотож ність:

(а - Ь) (а - с)

(а - Ь) (Ь - с)

(с —а) (с - Ь)

127." Доведіть тотож ність: Ьс

ас_______!_______аЬ

(а - Ь) (а - с)

(Ь - а) (Ь - с)

(с - а) (с - Ь)

= 1.

128.* Спростіть вираз:

(а - 1) (а - 2)

(а - 2) (а - 3)

(а - 3) (а - 4)

129.* Спростіть вираз: 1

(а - 1) (а - 3)

■

(а - 3) (а - 5)

(а - 5) (а - 7)

130.* Доведіть тотож ність: 1 .+ - ! - + 1 -а

1+ а

1 + а2

1 + а4

+ .

1 + а8

1 + а 16

32 1 - а 32'

131.* Доведіть тотож ність: 12

1 + а8

1 + а 16

+ 1 -а 2

1 + а2

1 + а4

132.* Доведіть, щ о коли а-— + ^ а + Ь + Ь+ с

Ь+ с а +с _ ^

Ь+ с

а+6

а +с

а + с

48 1 - а 32’

+ - — - = 1, то а + Ь

І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 133. Знайдіть корінь рівняння:

1 ) £ + £ ^ 1 = 4;

2) ^ ^ - ^ ^

134. Розв’ яж іть систему рівнянь: |х + у = 8 , [Зх - 2у = 9;

= 3.

|2х + 5і/ = 13, [Зх - 5г/ = -1 3 .

135. За перший день триденної гонки велосипедисти про.

їхали — усього маршруту, за другии д е н ь 15

2 5

усього

маршруту, а за третій — реш ту 90 км. Я ку відстань проїхали велосипедисти за 3 дні? 136. (З болгарського фольклору.) П ’ ятеро братів хотіли поді лити 2 0 овець так, щоб кожен з них одержав непарну кількість овець. Чи можливо це? 33

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

137. Чи є правильним твердження, що при будь-якому на туральному п значення виразу (5 п + 7) 2 - (п - І )2 ді литься націло на 48? Г: ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВО І ТЕ м и

138. У каж іть число, обернене до числа: 1)

2)7;

3) - 3 1 ;

4)^;

5 )0 ,1 2 .

139. Знайдіть значення добутку: 1

)-* —; 6

2) 6

-— ; 18

3) —•( - 2 - ) . 8 \ З/

140. Виконайте ділення: « ї Н - р ) 8 2)8:^ ; 3 > - п :<- 24): 141. Знайдіть значення степеня:

х>(іГ;

2>(і)';

М - * !) ’8

4)1і :5і

4 ,Ю -

^ УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 142. Два пороми одночасно відпливають від протилежних берегів річки і перетинають її перпендикулярно до них. Ш видкості поромів сталі, але різні. Пороми зустріча ються на відстані 720 м від одного з берегів, після чого продовж ують рух. Діставшись берегів, пороми відразу починають рухатися назад. На зворотному ш ляху вони зустрічаються на відстані 400 м від другого берега. Яка ширина річки? ЗАВДАННЯ В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № 1

Який з наведених виразів є цілим? Ач т + п

А ) -------- ; т

т + п

т+ п

В) —— ; 7т

г,\

Б) 10;

В) 5;

Г) т + — . 7т

При якому значенні змінної не має змісту вираз А ) 0;

тт.

Б) — — ;

За

2а - 1 0

Г) 0; 5.

При яких значеннях аргументу функція у = * + 2 х - 1 невизначеною? 34

Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 1

А ) - 1 ; 1;

Г) - 2 ; 1.

В) - 2 ; - 1 ; 1;

Б) 1;

4. Скоротіть дріб

. 14 а

А \

За

п Л .

А) Б) — • В) і ? ’ 2а 2 55 _ і 5 5. Якому з наведених дробів тотожно дорівнює дріб —я-----? А) 6

ь-з

Б)

. Скоротіть дріб

б2 - 9

ь +З

В)

Зс - 1

в ) т-; 4с

7. Виконайте віднімання: А) о т ,

х +2 , х-2 ' „

6+ 3

12 с - 4с

Б) - 4 с ;

А ) 4с;

Г)

6-3

Б)

5х + 10 , х -2

5дг

х-2

Г ) " Г4с "*

Г) - 5 .

В) 5; 4 - т , 2т - 5

. Виконайте додавання: -------- + —-----т - З

А)

т - 1, т- З

Б)

1 -3 т

3 - т

9. Подайте у вигляді дробу вираз А)

Зп п —4

Б)

10. Спростіть вираз

Зп

А ) (Зт - 2)г '

а а

Зп п- 6

18 п л

п - 6 Зт + т - 2

Б> З т - 2 а - 12

Б)

В)

Зт - 2 1

11. Спростіть вираз А)

4 - п ’ 2т + 1

Г) - 3 .

В) 3;

т- З

Зп. Г)

6-/1

9т 2 - 1 2 т + 4

В)

(З т - 2) а - 4 , а

+ 4а

В) а;

Г)

т Зт - 2

а + 4

Г) а + 4.

12. На якому рисунку зображено графік функції У=

- 4л; + 4 х-2

Множення і ділення раціональних дробів. Піднесення раціонального дробу до степеня Ви знаєте правила множення і ділення звичайних дробів, їх можна виразити такими рівностями: а

с _ ас

а . с _ асі

1 ь'а ~ ь< і’

ь ' а~

ьс'

За аналогічними правилами виконують множення і ді лення раціональних дробів. Д обут ком д в ох раціон альних дробів є дріб, чисельник якого дор івн ю є добут ку чисельників даних дробів, а зна менник — добут ку їх знаменників. Част кою дв ох рац іон ал ьн и х дробів є дріб, чисельник якого дор івн ю є добут ку чисельника діл ен ого і знам енни ка дільника, а знаменник — добут ку знаменника діл е ного і чисельника дільника. ПРИКЛАД 1

Виконайте дії: V 21сс }

Ь8

оч а 2 + 2аЬ

б2

’ 1 4 с1 ’

2) (2х -

12)

}

•2 *

4*— — ;

а + 9

а 2 - 4Ь2 ‘ З а + 27 ’

) -^ 2 ~^5с : ( с - 7 ) .

- 12* + 36

с + 2

Р озв’язання 1) Маємо: 21с 6 # Ь2 б8

) •- 2— —

х 2 - 1 2 х + 36

_ 2 (х - 6) •4х _ (х - б)2

дч

)

14с 4 ~ 68 • 14с4

26° '

Подавши многочлен 2х - 12 у вигляді дробу зі знамен ником 1 , отримуємо: (:2.x -

_ 21с 6 •Ь2 _ Зс^

~ 12

Xі - \ 2 х + 36

8х

~ X-б' 3 (а + 9)

а 2 + 2аЬ ша 2 - АЬ2 _ а (а + 26) а + 9

За + 27

5с2 - 35с , _ с+ 2 '^ С

•- 2— —-------- =

„ч

а +9

(а - 26) (а + 26)

_ 5с2

За а - 26

- 35с , с - 7 _ 5с (с - 7) 1 _ 5с с+2 * 1 ~ с+2 с-7 ~ с + 2’

5 . М ноження і ділення раціональних дробів. Піднесення дробу до степеня

Правило множення двох дробів можна узагальнити для знаходження добутку трьох або більше раціональних дробів. Наприклад, для трьох дробів маємо: А

£. = А ' с ’ р

£ . Е. = А ' с

£>

я ~ в-

в- и - я '

ПРИКЛАД 2 2а5

Спростіть вираз

Ш 3

1062 . 4 а 2 7с4 ' 9Ьс3 '

Розв’язання Маємо: 2а 5

1062

15б3

7 с4 * 9Ьс3 ~ 1563

4а 2

2а5

ІОЬ2 7 с4

9Ьс3

2а 5 ■ІОЬ2 • 9Ьс3

4а2

15Ь3 - 7 с 4 - 4 а 2

_ 2 • 10 •9 •а 5Ь3с 3 _ 3а 3 15 •7 •4 • а 2Ь3с*

7с

Застосовуючи правило множення дробів, можна отрима ти правило піднесення раціональних дробів до степеня. Для натурального п, п > 1 , маємо: п мпожників

(а \ П_ А . А . Ів)

~ В ' В

_ А - А •■■■• А _ А "

В ~ В- В -...-В

п множників

Для п = 1 домовилися, що \в) Отже, га \ п

~ в"*

п множників

, де п — натуральне число.

Щ об піднест и раціональний дріб до ст епеня, треба піднест и до ц ього ст епеня чисельник і знаменник і пер ший результ ат записати як чисельник, а другий — як знаменник др обу. ПРИКЛАД З

Подайте у вигляді дробу вираз Розв’язання

За 2 26с4

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1. Щ о є добутком двох раціональних дробів? 2. Щ о є часткою двох раціональних дробів? 3. Як піднести раціональний дріб до степеня? З

143.° Якому з наведених виразів дорівнює добуток

2) і ; с

8 с

144.° Виконайте множення: 1) Зо!., « і ; с

5) 1 4 т 9 *-7т ^ з;

уг

16 л

2) Т6 ‘ Г~; 8а о\

8л6;

У .

а\

Ь)

Ьх

1С 4

516с5

17с4

40а4 ’

21с3

39 р

1 3р 2

28с 2 '

15а

Юа

12 *

48а6

145.с Спростіть вираз: 11х3

Ь2 . 2»

3 ) Т ь ' 2а;

4т2

тк° 12 ’

—

2тп + л 2

2т

6т

оч О)

7а + 76 6

32а

к\

27 т 3 56к6р 2

т- 2 ' а 2а + 8

6Л . а + 6

оч

с -- 1і

сс т+ и 6

4х + 8

’

Г ’ -Г -І + 6 с 2 - 2с

* - 9

ОІ

а - 3 . 8а

У5 . ЗЗх7 ’

т +7

т 2 - 49

гт\ 7) (а + 4)

— •

а2 - 9

ь)

а -Ь ’

/71

л\

г;

у8 7 *8 9тр

5л:4

146.° Спростіть вираз: і \ й & 3 і)

2х .

х - 9

4 а 2 - 4а + 1

а +1

За + 3

2а - 1

і1ЛЧ лч

75 +1

*X2 +

10)

а2 -2 5

4а2

4а

а2 -5 а

І 47.с Виконайте множення: і\ За + Ь 4с 2)

с . За + 6 ’

4 ч 186 б2 - 1 6

а б ^ .і| ; 8 -Ь у х6

б4 х8

т .

х - у'

.(т о -З л );

2 6

- 9п Зс - 9

9с2 + 38

6+ 4 . 36 ’

с +1

Зс + 1 с - З

З?

5. М ноження і ділення раціональних дробів. Піднесення дробу до степеня

148.° Я ком у з наведених виразів дорівнює частка : -^ ? с с з с6 4) 4с6. 3) 4с ;

2)т ;

» т ;

149.° Виконайте ділення: іі

•

9а . 18а

2) | :Ьі

в)

7с_ 3) а

7) 24а3 : —

За

6а

56 ’ 20 б2 ’ Знайдіть частку: '

а2 ’ а8 ’ і9 іЗ

2) — 27 .

7 2 771 П

36а

6х

: (4а 2с).

ю : (З О х У ); 21т

5) 4 9 т -1

;

Ос

Юх

16* у 33г5

55г6

151.° Спростіть вираз: 1

)

2) 3) 4)

152.

а -6

7а

х 2 - у 2 . 6 * + 6у .

де

х с - 5

с - 5

с —4с

5с —20

* ~У . х

-у

2) 3)

а + 7

6) а

а + 7

а + 2

: ( а - 2 );

7) (/?2 -1 6 /е 2) : ^ ^ ; .

Х(/ Зхі/ Виконайте ділення: 5т - 2 тг . 5т - 2 п 1) Юк

а - 25 . а - 5 ,

Юк2

а 2 —аЬ

аб а

- 16 . а + 4 . а - 3

р + 3

. р +3 .

У » У- ^

Р - 2р

4р - 8

а 2 - б2

а +6

2а6

аб

Р а 2 - 2аЬ + б 2

а - 3 ’ .

У2

-8 1

у 2 - 16у + 64

(х 2 - 49у2) :

153.° Виконайте піднесення до степеня

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

'5 а6

Зт _

6а 6 Л2

2п 3

154.° Подайте у вигляді дробу вираз:

1 ) ( а 3* Т . і \

( Юс7 Т _ .і; і, 3сГ )

\. ь3 )

4т

\2 .

)

9п )

( 2 т 3п 2

к Ьр

155.’ Спростіть вираз:

1) 2) 3)

6 а 462

1462

5а3с 8

З5с3

а 7с 5

18 б 4

33т8

8 8 т '1

34п8

51л4

З б *6

2а

С-. 8 * 54р

ь\

21 х

4 91/5 ‘ 25і/4

Зр л

їх

24л:9

т п

21 т6

з \

2 9 х2

16і/ '

156.’ Спростіть вираз: о

1) 2)

4» 3

За Ь

10с5 За

і 4 2

4Ь с

56'

2 7а 7 ‘ 9а 3с 3 7с*

26 2с 2

9а6

66л

50а

ґ 2хГ ^

14с

.18

а3

(зх6 ^

у 10 У V і7 157.' Замініть змінну х таким виразом, щоб утворилася тотож ність:

4а

■Х = —9 У•

Зс

:х =

6^ 12

158.’ Виконайте множення і ділення дробів:

1) 2)

х2-9

5л: + Ьу

Х + У

X 2 - Зх

4с - а

2с2 - 2а2

с2 + сгі

4с2 - сс/

б2

66 + 9

б2 - 36 + 9 а3

16а

За 26 3 а + б3 а2

б2

б3 + 27

56 - 15 ’

4а + 16 ’

а 2 - аб + 62

т + 4 т л + 4п

2 - Зт

З т2 - 2т

а3 16

Ю) 40

2 - 2а + 4 а2 + 4

12а62

7а - 7 6

т + 2п

«3

12 а3 а2 -1 6

00 +

8а

X -1 2 л : + 36 Зх + 21 За + 156 .

’

х 2 - 49 4х - 24 ’ 4а + 206

а 2 - 8162 ’ а 2 - 18а6 + 8162

5. М ноження і ділення раціональних дробів. Піднесення дробу до степеня

1 5 9 / Спростіть вираз: 1

)

7а 2

5 -а

а2 - 2 5

& +Ь

Ь- а .

а3 - б3

Ь+ а ’

а4 - 1 а 3) 3 а - а 1, + а 2 ’ 4)

а 2 - 8аЬ . 862 - аЬ .

12Ь

)

24а

5 т 2 - 5п2 2

15п - 1 5 т

т +п 2 тп - 36т

* 4 т 2 + 4л2 2 п + 12 ' 6 т - 12 ’

т3 - 8 а4 - 1

. а-1

сі" —а +

4 х 2 - 100 6х

•

. а3 + 1 *

(2х2 -

20л

1 6 0 / Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1

)

а2 -8 1

а - 9

а 2 - 8а

а 2 - 64

4 х 2 - 4у 2

, якщ о а = - 4 ;

6 х + 6у

, якщ о х = 4,2, у = - 2 ,8 ;

3) (За2 - 18а + 2 7 ): —— як що а = 0,5; 4а 6 в а +а , якщ о а - 0 , 8 . 4) (За - З)2 ’ 9 а 2 - 9а

1 6 1 / Знайдіть значення виразу: 1) і . 6 якщ о а а 2 - аЬ

З Ь- — ;

Ь2 - а

а 2 + 4 аЬ + 4 Ь2 2 лі 2

а - 9с?

За + 6 Ь 2а -

, якщ о а = 4, Ь — - 5 .

1 6 2 / В ід ом о, щ о х ---X х * + "Т* X 1 6 3 / Відомо, що Зх + — X 9*

+ “т •

164." Дано: х 2 + ^ = 41. Знайдіть значення виразу х + —. X X 165." Дано: х 2 + \ = 6 . Знайдіть значення виразу х - —. х X 166." Спростіть вираз: 1

)

а2 -3 6 а а

+ аЬ - 6а - 6Ь 2

+ а - аЬ - Ь , а

а 2 + а + аЬ + Ь

+ аЬ + 6а + 6Ь , а 2 + 2аЬ + Ь2

- а - аЬ + Ь

а 2 - а + аЬ - Ь 41

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

167.' Виконайте дії: 1

ч 25 - 5а + 56 - аЬ

аЬ - 5а - 5 6 + 25 .

25 + 5а - 56 - аЬ

аЬ + 5а + 56 + 25 ’

а 2 - 2аЬ + Ь2

, а 2 - аб + 4а - 46

а 2 - аЬ - 4а + 46

а 2 - 16

168." Доведіть тотож ність

=; •— —— = 1.

а - 36 . а 2 - 962

4а + 126

169." Доведіть тотож ність: а2 + а

6а + 6

2а - 12

2а + 12

9а'* + 18а2 + 9а _ 1^ а 2 - 36

Г ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 170. Р озв’ яж іть рівняння: 1) ( 2х + З) 2 - 2х (5 + 2х) = 10; 2) ( х - 2) (х - 3) - (х - 6) ( х + 1) тт

•

2х + 1

171. Доведіть, щ о рівняння —

= 12.

х - 4

х +5

— = —- — не має к о

ренів. 172. З пункту А в пункт В, відстань між якими дорівнює 192 км, зі ш видкістю 60 к м /год виїхав мотоцикліст. Через ЗО хв назустріч йому з пункту В зі ш видкістю 75 к м /год виїхав другий мотоцикліст. Скільки часу їхав другий мотоцикліст до зустрічі з першим? 173. У двох бідонах разом 80 л молока. Я кщ о з першого бідона перелити 2 0 % молока в другий бідон, то в обох бідонах молока стане порівну. Скільки літрів молока було в кож ному бідоні? 174. (З підручника «Арифметика» Л. Ф. М а гн и ц ьк ого'.) Дванадцятеро людей несуть 12 хлібів. Кожний чоловік несе по 2 хліби, жінка — по половині хліба, а дити на — по чверті хліба. Скільки було чоловіків, ж інок і дітей?

1 М агницький Л. Ф . (1 6 6 9 -1 7 3 9 ) — росій ський математик-педагог, автор знаменитого підручника «А риф м етика» (1 703), за яким навчалося багато поколінь. 42

6. Тотожні перетворення раціональних виразів

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

175. Василь і Петро по черзі заміняють у рівнянні х 4 + *хл + + * х 2 + *х + * = 0 один знак * на деяке число. Першим заміну робить Василь. Петро прагне, щоб отримане рівняння мало корінь. Чи може Василь йому завадити?

■ И

І Тотожні перетворення раціональних виразів

Правила дій над раціональними дробами дають змогу будь-який раціональний вираз перетворити в раціональний дріб. Розглянемо це на прикладах. ПРИКЛАД 1

Спростіть вираз: / За_________ 6а \ а -2

\ . а - 4 _ 2а2 + 8а

а2 - 4 а + 4/

а2 - 4

а -2

Розв’язання Як і обчислення значення числового виразу, що містить кілька арифметичних дій, спрощення даного виразу можна виконати по діях, визначаючи порядок виконання відповід но до порядку виконання арифметичних дій: спочатку — віднімання виразів, які стоять у дуж ках, потім — ділення, і наприкінці — віднімання: ^

2ч

За

6а

а -2

а 2 - 4а + 4

________ 6а а -2

(а -2 )2

_ За2 - 6а - 6а _ За2 - 12а _ (а -2 )2

(а - 2)2

За2 - 12а . а - 4 _ За 2 - 12а _ а 2 - 4 _ За (а - 4) _ (а - 2) (а + 2) _ (а - 2)2

' а2 - 4

(а -2 )2

а - 4

(а -2 )2

а - 4

_ За (а + 2) _ За2 + 6а „ а -2

а -2

’

дч За2 + 6а _ 2а2 + 8а _ За2 + 6а - 2 а 2 - 8а _ а 2 - 2а _ а (а - 2) _ а -2

а -2

В і д п о в і д ь : а. 43

а -2

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Перетворення раціонального виразу можна виконувати не по окремих діях, а «ланцю ж ком ». П роілюструємо цей прийом на наступному прикладі. ПРИКЛАД 2

Доведіть, щ о при всіх допустимих значеннях змінної За

а +5

54а

значення виразу - — - + ——— • % не залежить від зна а —3 18 —6а 5а + а л чення а. Р озв’язання За а —3

а +5

54а

18 —6а

За +

а +5

54а

За +

5а + а 2 а —3 6 (3 —а) а (5 + а) а —З За _ 9 _ За - 9 _ 3 (а - 3) _ д а - 3

а -3

а - 3

3 —а

а - З

Отже, при всіх допустимих значеннях а значення дано го виразу дорівнює 3. ПРИКЛАД З

Доведіть тотож ність: (а^Т_ + а - 7 ) . і З а - 1 \За - 1

а + 1/

а 2 - 7а

а + 1'

Розв’язання У цьому випадку для перетворення лівої частини даної рівності доцільно розкрити дужки, застосовуючи розподіль ну властивість множення: І а - 7

, а - 7\ З а -1 а - 7 За - 1 + • = г •—з------ + а + 11 а 2 - 7 а За- 1 а2 - 7а *V 1 З а - 1 _ а + 1 + За - 1 _

За - 1

а (а + 1)

а - 7 а +

4а

а (а + 1)

З а -1 а2 - 7 а _4 а + 1

Тотож ність доведено. ПРИКЛАД *

1 1 1 — + —+ —

Спростіть вираз — — -— -

1 1 1 — +— + — аЬ Ьс ас

Розв’язання Записавши даний вираз у вигляді частки чисельника і зна менника, отримуємо: 44

6. Тотожні перетворення раціональних виразів

= (1 + 1 + 1 ) . ( ± + Л + ± ) = Ь1± ас

~Ь с

1 1 + — + аЬ Ьс ас

Vа

сі

\аЬ

Ьс

ас!

+ аЬ . с + а + Ь

аЬс

Ьс + ас + аЬ

аЬс

Ьс + ас + аЬ

аЬс

с + а +Ь

с +а +Ь

аЬс

Заданий вираз можна спростити іншим способом, вико ристовуючи основну властивість дробу, а саме помножити його чисельник і знаменник на одночлен аЬс: 1 1 1 /1 1 1\ . 1 . 1 . 1 + + І — + — + — І аЬс — • аЬс + - • аЬс + - • аЬс а

іЬ аЬ

Vа

Ь с >________ ___а________ Ь________ с_______ __

1 1

+ — + —— + — + — і Ьс Ьс асас

\аЬ

Ьс а с '

аЬс

— • аЬс + — ♦аЬс + — • аЬс аЬ Ьс ас

_ Ьс + ас + аЬ с +а +Ь Ьс + ас + аЬ

Відповідь:

с +а + Ь

176.° Спростіть вираз: т + 9п

б>

» (і +ї ) ' 7 ;

т - п

3> И

4) 5)

)

:И

1а2

2а

Ь2

)

+ *

А 4

;

т+ п

т + п

і х -1

•Т4 + -----х ’

а-Ь

- а Ь тЬ + 1 а

Ь2 - 1

X + ху

10 )

6 -1

х + у

х -у і

X2 + у 2 '

177.° Спростіть вираз: Кч а

а 2 - Ь"

а+Ь

ь2

5 ) ----------- 5— : -------- : Ь

2 ) (£ + £ + * ) . _ \Ь

а-Ь )

\т —1

лч і а

а 2 + 62 ’

де - 8 Зх + 6

84 х 2 - 8х '

~ і) :

Ь\

їх х + 2

4аЬ

а + 3 /

-------- 8 _ ) . £ І ± 8 а . \а + 2

а + 3

а + 81

а -4

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1 7 8 / Виконайте дії: а + 2

)

. а2 - 4

2а + 1

За- 3

а - 2

б2 + 3 6

(6 -3

6 + 3\.

б 3 + 96

І6 + 3

б -з

/З с + 1

Зс - і \

2с

ІЗ с -1

Зс + 1 /

6с + 2

4) ( - ----\а

- 4а6 +

- 46

5) ( _ _ » 2 8 --------\а - 10а + 25

(а - 5) 5Г

а2 - 2 5 /

_________________ х2 + 6 2х +1

в)( х~ + 6х + 9 179."

Ві Виконайте

б2 - 1 6

б 2 - 66 + 9

х 3 - 9х

дії:

6+ 4 ^

х 2 + Зх /

26 - 6 ~ 6 - 4 ’

(т~1

4т

Іт +1

т -1 /

т - 1

з» - г Ч X -у І 2а- 3 4)

х 2 + 2ху + у 2 _

\а2 Vа - 44а а + 4

а -1

у2 - х 2

\ . а2 - 2

а2 - 2 а І

а л - 4а

1 8 0 / Спростіть вираз:

іУаЬ

3» ( М +? ) - ^ 4) 5) 6

)

а -1

а+1

За - 8

2 6 - а 2

а2 +1

1 -а

(а - 1 )

х + 2у _ х - 2 у ___ х - 2у

■ 2

х + 2у

16у

+ а

х 2 - 4 і/2

4а - 28 \

а + 2

а3 + 8 / 46

’ 4у

х + 2у’ „2

б. Тотожні перетворення раціональних виразів

1 8 1 / Спростіть вираз:

+ 14х + 49

х+6

2) І с -

с 2 + Зс , 24 .

с + 8

о \ / 36 Ч * 2-9

\х +

2с - 9

- 64

д: - З * + 3

3+ х\. 6 3 - х ) " 3 - х ’

2у - 1

І 9</ + 6 [

у і/ 2 + 2і/ + 4

г/'1 - 8

Л У2 - 4 18 У~ 2 , 1

182/ Доведіть тотож ність: /

аЬ

’ І а2 -Ь 2

2Ь

_ а - Ь

2 Ь - 2 а ) ' а2 - Ь 2 ~

’

2 ) ( ^ _ £ ^ 2 ) : £ ± 2 + _ 2_ = _ і ; \4 - а

36 - с

а + 2/ с

а-2

- 12с + 36

1 8 3 / Доведіть тотож ність:

1) 2)

ь а 2 - аЬ

а-Ь

Ь2 - аЬ

(а - Ь)2

4а&

а+Ь

, 3а + Ь

а + Ь

(а - Ь Г

= 3.

184/ Чи залежить значення виразу від значення змінної, яка входить до нього:

і) К \а Ч - 1 - а- і+га І- Ь а -^ а 2)

7а а

- 49

а + 7/

а 2 + 14а + 49

а -7

1 8 5 / Доведіть, що значення виразу не залежить від зна чення змінної, яка входить до нього: 1 х Зх* - 27 ’

4х2 + 2

/6 х + 1

6* - 1

І х-3

х +З

8 а 1’ - 18а 2а - З

4а 2 + 9

2а

14а2 - 1 2 а + 9

4а2 - 9 /

186/ Спростіть вираз: 6а - 9

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

2 ^ > +1 4) — Ь—

2а + Ь

За

- 1

1+ 1 8 7 / Спрості™> вираз: а - Ь'

1 ) - а + Ь +_а а

- Ь

а +Ь

)

1 8 8 /' Спростіть вираз: -2

а + Ь

+ ■

(

6а

Ь- а а+Ь

Ь3 - аЬ2 а +2

2-а

4 а Л- 4 а 2 + а

1 - 8а'!

- Ь

4 а 2 + 2а + 1 4

1- 2 а)

2а2 + а

8а - 1

2а2 + а '

189/* Спростіть вираз: ' 18у2 + 3у 27і/3 - 1

____________ Зу + 1 V 9у2 + 3 у + 1

Зу - 1

'І

5 - 6 у \

Зу-і)'

190.” Доведіть тотож ність:

1) 2)

16 (а - 2)

(а - 2)

а + 11

а +5

а +9

а2 -8 1

1 а2 - 4

(а + 2)

а+7

8а

(а - 2 )

\ в/ а + 3

= 1;

а 2 - 1 8 а + 81 / ' І а - 9 /

191.” Доведіть, щ о при всіх допустимих значеннях змінної Ь2 + 9

, (Ь + 3\

вираз

- и -з

9 -Ьг

I набуває Ь2

+3 ь

додатних значень. 192." Підставте замість х даний вираз і виконайте спро щення: лч х - а 1

) ------- , якщ о X = х - Ь

аЬ а + Ь

а - Ьх Ь + ах

, якщ о X =

а- Ь

а+Ь

І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 193. Розв’ яж іть рівняння: 1) (Зх - 1) (4х + 5) - (2х + 3) ( 6 х + 1) = 4; 2) 8 х (2х + 7) - (4х + З) 2 = 15. 194. Доведіть, що значення виразу 2 14 - 2 12 - 21(| ділиться націло на 1 1 . 48

6. Тотожні перетворення раціональних виразів

195. Доведіть, що при будь-якому натуральному п значення виразу 3" + 2 -

+ 2 + 3" - 2" ділиться націло на

196. У перш ому складі було картоплі у 3 рази більше, ніж у другому. Коли з перш ого складу вивезли 400 кг кар топлі, то в ньому залишилося картоплі у 2 рази менше, ніж було в другому. Скільки картоплі було в першому складі спочатку? 197. Куртка коштувала на 200 грн. менше від костюма. Під час сезонного розпродаж у куртка подеш евш ала на 1 0 % , а костюм — на 2 0 % , після чого куртку і костюм можна було придбати за 1010 грн. Я кою була почат кова ціна куртки і яка — костю м а? 198. З пункту А в пункт В автомобіль їхав зі ш видкістю 60 к м /год , а повертався з пункту В у пункт А зі ш вид кістю 70 к м /год інш ою дорогою, яка на 15 км коротша від першої, і витратив на зворотний ш лях на 30 хв менше, ніж на шлях з А до Б. За який час він проїхав з пункту А в пункт В? 199. Робітник мав виготовляти щодня 10 деталей. Проте він виготовляв щодня 1 2 деталей і вже за 2 дні до за кінчення терміну роботи йому залишилося виготовити 6 деталей. Скільки деталей мав виготовити робітник? 200.* (З українського фольклору.) За 30 монет купили 30 пта хів. Скільки купили птахів кож ного виду, якщ о за З горобців платили одну монету, за 2 голубів — теж одну монету, а за одну горлицю — 2 монети, причому кож ного виду купили хоча б одну пташку?

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

201. Розв’ яж іть рівняння: 1)

3) 0,21л: - 0 ,7 * = 0; 5) 25х2 - 36 = 0;

2) х 2 + 6 х = 0;

4) х 2 - 16 = 0;

х 2 + 4 = 0.

202. При якому значенні змінної не має змісту вираз: ч

х2 + 1

х + 4

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

-і__ !_ •

*} х +7 х - 2 ’

*---- •

° } х2 -

1 0

б)

х + 25’

х + 2------- ?

(х +

1 0

)(х -

1 2

203. При якому значенні змінної значення дробу дорівнює нулю:

» £?і ;

Поновіть у пам’ яті зміст пунктів 14, 15 на с. 229, 230. УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

204. На дош ці написано многочлени х + 2 і 2х + 1. Д озво ляється записати суму, різницю або добуток будь-яких двох з уж е написаних многочленів. Чи може на дош ці з ’ явитися многочлен 2х 3 + х + 5? ЗАВДАННЯ В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № 2 л

тт

1 2

1. Подайте у вигляді дробу вираз — ^

пь

----- §-.

А) Г + т; Зт п

Б>

В> -тГ п7 І

3т п

2. Виконайте множення: (а + А)

(а - 56);

Б)

3. Спростіть вираз А ) Ь + 3;

Б)

о 9

5. Спростіть вираз А) — ; х

—

з*

—25Ь

Г)

а + ЬЬ

Ь- 7 Ь-3

В) —

Ь-3

;

Г)

а - 5Ь

ь+з

: Ю сЛ 2.

о» 10

В) в) .

т п

В) — -— ;

Ь- 7

іб

А) ^

(а + ЬЬ);

- 3;

П £

5&)-~2

Ь2 - 6Ь + 9

4. Виконайте ділення:

36 т

Г) ї » -

3х + 9 д г + 3

------ : ----------.

х2-2х

Ах-8

Б)

В) 12;

Г) х.

п 2 - Зп

п 4 - 27п

64га - 1

64га + 16л + 1

6. Подайте у вигляді дробу вираз ----- 5----- : ----- 2-----------50

Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 2

А)

_____ 8/г + 1_____ (8л - 1) (л2 + Зп + 9)

Б)

8л + 1 (8л - 1) (л - Зл + 9)

8л - 1 (8л + 1) (л2 + Зл + 9) 8л - 1 Г) ' (8л + 1) ( пг - Зл + 9) В)

7. Виконайте піднесення до степеня: 8а Б) - 2 £ ;

А) Ц Г ;

2а

16а

В)

2 \4

Гч ’

16а ,12 ЬУ

8і. Спростіть вираз ( — --------- -— ) : —-— . А) —

а + 6

;

\а

- 6

а + 6/

Б) —

;

В)

а - 6

(а -

6 );

Г)

(а +

9. Я кому числу при всіх допустимих значеннях а дорівнює значення виразу

А>1-

30$

— — +19а - 25 5і -

Б) 2;

\ в І За —5 За /

В )-і;

оє значення зш 10. Чому дорівнює виразу —— За - 5Ь = 0,2 (2а + А ) 4;

Б) - 4 ;

В) 3; 6

Г) - 2 . , якщ о

В) 34; а

~ + ~о а___

Г) - 3 .

. Знайдіть значення виразу

Б) 38;

12. Спростіть вираз

6 )?

11. Відомо, щ о х + — = * 2+ X 4А ) 36;

\ За + 5 ~

Г) 35.

Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

Розглянемо два рівняння: х 2 = 4 і |х |= 2. Очевидно, що кож не з них має одні й ті самі корені: - 2 і 2. У таких випадках говорять, щ о рівняння х 2 = 4 і |х |= 2 рівносильні.

Наведемо ще приклади пар рівносильних рівнянь: - х = 2

2х

;

2х = 4 і 4х - 8 = 0; х 2 = 1 і (х - 1 ) (х + 1 ) = 0 . Розглянемо рівняння X2 = - 5 І І X | = - 3 . Кожне з цих рівнянь не має коренів. Такі рівняння прийнято вважати рівносильними. О з н а ч е н н я . Два рівняння називаю ть р і в н о с и л ь н и м и, якщо вони м аю ть одні й ті самі корені або кожне з рів нянь коренів не має.

Кожне з рівнянь (х - 2) (х + 1) = 0 і х - 2 = 0 має корінь х = 2. Проте ці рівняння не є рівносильними, оскільки ко рінь - 1 першого рівняння не є коренем другого рівняння. У VII класі ви вивчили властивості рівнянь з однією змінною. Тепер, застосовуючи поняття «рівносильне рів няння», ці властивості можна сформулювати так. • Я кщ о до обох частин даного рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, яке рівносильне даному. • Я кщ о який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, яке рівносильне даному. • Я кщ о обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, яке рівносильне даному. Розглянем о задачу: «А втом обіл ь, проїхавш и 180 км ш ляху, збільшив ш видкість на 1 0 к м /год і реш ту шляху, 52

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

що становить 2 1 0 км, проїхав за той самий час, щ о й першу частину ш ляху. Знайдіть початкову ш видкість автом о біля». Нехай х к м /год — шукана ш видкість. Тоді ш видкість автомобіля на другій частині шляху дорівнює (х + 1 0 ) км /год. Автомобіль подолав першу частину шляху за 210

год, а дру-

гу — за --------- год. * дг + 10 180

210

Рівняння ----- = -------- є математичною моделлю розгля де Л Г 10 нутої реальної ситуації. Обидві частини отриманого рівнян ня є раціональними виразами. О з н а ч е н н я . Рівняння, ліва і права частини якого є ра ціональними виразами, називають р а ц і о н а л ь н и м . З означення випливає, щ о, розв’ язуючи задачу, ми от римали раціональне рівняння. Зазначимо, щ о лінійні рівняння з однією змінною, тобто рівняння виду а х = Ь, є раціональними. Розглянемо раціональне рівняння виду —- = 0, де А і В — в многочлени. Ви знаєте, що дріб дорівню є нулю т оді й т ільки тоді, коли чисельник дорівню є нулю, а зн ам ен ник відм інний від

А В вимагати одноча сного виконання двох умов: А = 0 і В Ф 0. Це означає, щ о при розв’ язуванні рівнянь указаного виду слід керуватися таким алгоритмом: • розв’ язати рівняння А = 0; • перевірити, як і із знайдених коренів задовольняють умову В Ф 0; • корені, які задовольняють умову В Ф 0, включити до відповіді. нуля. Тому, щ об розв’ язати рівняння виду — = 0, треба

ПРИКЛАД 1

Р озв’ яж іть рівняння — ~ ^

+ — = 0.

X2 - 4х + З 53

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Розв’язання П рирівняємо чисельник дробу, який стоїть у лівій час тині рівняння, до нуля. М аємо: (х - 1) (х + 1) = 0. Кореня ми цього рівняння є числа —1 і 1 . Перевіримо, чи задовольняють ці корені умову х 2 - 4х + + 3*0. При х = - 1 отримуємо, щ о х 2 - 4х + 3 = 8 Ф 0. При х — 1 отримуємо, щ о х 2 - 4х + 3 = 0. Отже, х = - 1 є коренем заданого рівняння, а х = 1 — ні. В і д п о в і д ь : -1 . Таким чином, розв’ язання рівняння виду — = 0 зводитьВ ся до розв’ язання рівняння А — 0 і перевірки умови В Ф 0. У таких випадках говорять, що рівняння ^ = 0 рівносиль не системі: А = 0, В

Наприклад, рівняння ~ ^ + - о рівносильне си с темі: * ‘ 4х + 3 Г(х - 1 ) (х + 1) = 0, |х 2 - 4х + З Ф 0. Як ми з ’ ясували, розв’ язком цієї системи є х = - 1 . Тепер ми можемо завершити розв’ язування задачі про автомобіль. Маємо: 180 _ 210 х

де +

П ереходимо до рівносильного рівняння 180 210 _ 0 0

Звідси

х 180 (х +

+ 1 0

х(х +

1 0

2 1 0

* _ 0 .

)

1800 - 30 * _ д х (х +

1 0

)

Останнє рівняння рівносильне системі: [1800 - ЗОх = 0,

}х (х +10) 54

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

Коренем рівняння, яке входить до системи, є число 60; очевидно, що воно задовольняє ум ову х (х + 10) Ф 0. В і д п о в і д ь : 60 км /год. Як відомо, будь-який раціональний вираз можна подати у вигляді дробу. Тому будь-яке раціональне рівняння можна звести до рівняння виду — = 0. Саме так ми зробили, в розв язуючи рівняння

180

2 1 0

х +

ПРИКЛАД 2 у,

Розв яж іть р ів н я н н я

Зх + 5 6

х + З

1 4х 2 -

- 1

Розв’язання Маємо: Зх + 5 З (2 х + 1 )

(2 х -

4х - 2 З (2 х -

— =

) (2 х + 1 ) ) (2 х + 1 )

х - 1*

;

Здобуте рівняння рівносильне системі: 4 х - 2 = 0, х Ф 0,5, х Ф - 0 ,5 . Звідси х = 0,5, х Ф 0,5, х Ф - 0,5. Отже, дане рівняння не має коренів. В і д п о в і д ь : коренів немає. ПРИКЛАД З ,

2 х 2 - 4х - 1 6

Розв яж іть рівняння ----------

х = 0.

Розв’язання Подамо ліву частину рівняння у вигляді дробу: 2 х 2 - 4х - 16 - х 2 + 4 х

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Отримане рівняння рівносильне системі IV -1 6 = 0, [х - 4 * 0, звідки отримуємо: х = 4 або х = -4, х * 4; х = -4. В і д п о в і д ь : -4. ПРИКЛАД 4

Турист проплив на човні 3 км за течією річки і 2 км проти течії за ЗО хв. Знайдіть ш видкість човна в стоячій воді, якщ о ш видкість течії дорівнює 2 км /год. Розв’язання Нехай швидкість човна в стоячій воді дорівнює х км /год. Тоді його швидкість за течією річки дорівнює (х + 2) км /год, а проти теч ії — (х - 2) к м /г о д . Т урист проплив 3 км З 2 год. за течією за ------ год, а 2 км проти течії — за х +2 х -2 Оскільки весь ш лях було пройдено за 30 хв = ^ год, то 2

х +2

х -

Р озв’ яжемо отримане рівняння: З , 2 _ х + 2 х - 2 Зх -

+ 2х + 4

х 2 - 4А

’

1 _ п .

о2

10* - 4 - х 2 + 4 _ п 2 (х 2 - 4)

1 0 х -х 2 =(); 2 (х 2 - 4)

[ Юх - х 2 =

} 2 (х 2 - 4) * 0; х

(10

х *

- х) = 0 ,

х Ф -2; 56

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

х = 0 або х - 1 0 . Корінь х = 0 не задовольняє змісту задачі. Отже, швид кість човна в стоячій воді дорівнює 1 0 к м /год . В і д п о в і д ь : 10 к м /год . •

1. Які два рівняння називають рівносильними? 2. За допомогою яких перетворень даного рівняння можна отри мати рівняння, рівносильне даному? 3. Яке рівняння називають раціональним? 4. Сформулюйте умову рівності дробу нулю. 5. Опишіть алгоритм, за яким розв'язують рівняння виду ^ = 0, де А і В - многочлени.

205.° Чи є рівносильними рівняння: 1) х ■+ 2 = 10 і Зх = 24; ) - 2х =

-6

- х = 1; З 3) х - 5 = 0 і х (х - 5) = 0; 4) (Зх - 1 2 )(х + 2) = 0 і (0,4 - 0 ,1 х )(7 х + 14) = 0; 5) - = 0 X

6)х

х2 = -4 ; + х

^ ^ х

= 1?

+ 1

206.° Складіть рівняння, яке рівносильне даному: 1) 2х - 3 = 4; 2) |х |= 1; 3) х + 6 = х - 2. 207.° Розв’ яж іть рівняння: 1)£^6=0;

х -4

2) 3) 4)

= 0;

х - 4 х

^ = 0;

9) —

х —1

= 1;

10)

х +

■

= 2;

х -6

12) £ Л І = 2х + 1,

х - 5

х - 3 57

= 0;

+ —Ц- = 0 ;

х - 2 х + 3

11) —

2х^9=0 х - 5

= 0; + 1

х + З х + З

5) ?-х- ±-1 Л = 2; х

8 ) ^ ^ - ^ ^

- 2

х -2

х+1

2х - 1

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

13) £ ± 1 _ _ 6 _ = 0 ; х х- 2 .. .ч 2х х 2 + 15х « 14) ----- 5-------- = 0; х -5 х - 25 208.° Розв’ яж іть рівняння:

15) З -

1) —у—— —— = 0 ; х - 2х + 1

2 ) х2 -

7) —

х2 -З х

2х + 1 = 0 ;

х +

- 1

= 0.

2* 2

+ £ + 5 _ о? х

х 6

= 0;

2 + Зх ч х + 7 2х - 3 ^ = 0; 8) 2*2+3* +- - х = 1; х - "7 2х 2 х +1 + 1 х - "7 і ч їй —ал !. 5х ил + -ги лч 4і _ 4 - і 6 л 4) --------- + ------ — = 0; 9) —= 1. X- 1 X+ 1 х -*- 8 х +8 х —6 х - 8 5) х- 2 X 209.° Яке число треба відняти від чисельника і знаменника 15 2 дробу — , щоб отримати дріб, який дорівнює - ? 19 З 210.° Яке число треба додати до чисельника і знаменника

—

* 0 1 со я

дробу — , щоб отримати дріб, який дорівнює - ? 32 6 2 1 1 / Складіть пару рівносильних рівнянь, кожне з яких: 1 ) має один корінь; 3) має безліч коренів; 2) має два корені; 4) не має коренів. 2 1 2 / Розв’ яж іть рівняння: !) - ^ — + - ^ - = 2; х - 4 х +2 2)

2 6

оч ’

х2 - 9 2у'г + 5 1 -у 2

6 х х + 1 6 х +14

2х - 1

_ 30х + 9 1

36х2 7_ 6

х 2 + Зх _ х - 3 ’ у +1

у -І у +

2х + 1

’

= + 2х + 1 2х - 1 1 - 4х2 ’ 7__________ 4 _ _ _ З 6) (х + 2) (х - 3) (* - З)2 (х + 2)2 „ч 2х - 1 _ Зх - 1 _ 6х + 64 + ф х +4 4 -х х2 - 16 58

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння оч

о)

х -

х - 3

х - 1

- 36

__ п

V»

213. Р озв’ яж іть рівняння: х-2 'х г,ч

- і ’

Зх + 1 Зх - 1 _ Зх - 1 Зх +

оч

2х 2 - 2х

_ х 2 + 27

- х ~ х

}

1 ~

- 9х2 ’

~ х -

х 2 + 2х

х 2 - 2х

о)

х -2

х + 1

Счх 2 - 9х + 50

3) ------ + —= -------- ;

_ х + 2.

х +

2-4

х - З х

5------- =

х - 5 х

х+1

’

* +4 . х2 - 4 ’ , х-5

------- + ------- . х -5

214." Моторний човен проплив 8 км за течією річки і по вернувся назад, витративш и на весь ш лях 54 хв. Знайдіть ш видкість течії, якщ о власна ш видкість човна дорівнює 18 км /год. 215.' Теплохід пройш ов 28 км проти течії і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 4 хв менше. Знайдіть ш видкість теплохода в стоячій воді, якщ о ш видкість течії дорівнює 1 км /год. 2 і і? Човен пройшов 6 км проти течії річки і 12 км за течією , витративши на весь ш лях 2 год. Знайдіть швидкість човна в стоячій воді, якщ о ш видкість течії становить 3 к м /год . 217.“ Розв’ яж іть рівняння: 1) 2) 3) 218.

х + 5

х -5

х 2 - 5х

2 х 2 + Юх

х + 25. 2 х 2 - 50

х2 - 9

2 х 2 - 12х + 18

9х + 1 2

х 3 - 64

х - 4

З 2х2 +

1 х 2 + 4х + 16 ‘

Розв’ яж іть рівняння: 1

ч 4 у + 24 5у 2 - 45

у + 3 5у 2 - 15г/

у + 2_______ і

у - 3

у 2 + Зу ' у + з

+1 4у + 2 8 у 2 - 4у + 2 ’ 219.* Для кож ного значення а розв’ яж іть рівняння: 8у3

х - а

2 ) ^

= 0;

3) а

= 0;

4) ( » г .Д )(«^ а = 0 ;

х + 5

а) = 0 ;

х - З

х - 7 59

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ 5 ) ( х - 4) (х + 2) _ 0 .

(х - 4) (х + 2)

= 0.

- =0

При яких значеннях а рівняння

не має

х2 -4

коренів? Гл (х При яких значеннях а рівняння —

а) (х - За) х +9

= 0 має

один корінь? ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

222. На кінець року населення міста становило 72 100 меш канців. Визначте кількість мешканців у цьому місті на початок року, якщ о приріст населення за цей час становив 3 % . 223. Відстань між двома станціями електропоїзд проходить за 45 хв. Якщ о його швидкість збільшити на 10 км /год, то він пройде цю відстань за 40 хв. Яка відстань між станціями? 224. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної даний вираз набуває невід’ ємного значення: 1) (а - 5)2 - 2 (а - 5) + 1; 2) (а - Ь) (а - Ь - 8) + 16. 225. Знайдіть значення функції / (х) = Зх - 7 при: 1) х = - 3 ; 2) х = 2 - . При якому значенні аргументу значення З функції дорівнює 0,2?

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

226. Знайдіть значення виразу:

227. Не виконуючи обчислення, порівняйте значення ви разів: 3) (-2 3 )5 і (~2)4; 1) ( - 5 ,7 ) 2 і 0 ; 4) - 8 8 і ( - 8 ) 8. 2) 0 і ( -6 ,9 ) 3; 60

8 . Степінь з цілим від'ємним показником

228. Подайте у вигляді степеня: 1) з основою 2 числа 4; 8; 16; 32; 64; 2) з основою 10 числа 100; 1000; 10 000; 1 000 000. 229. Знайдіть значення виразу: 1) 18а2, якщ о а = ——; 6

3) 16 + Ь4, якщ о Ь = - 2 ;

2) (18а)2, якщ о а =

4) (16 + Ь)4, якщ о Ь = - 2 . 6 Поновіть у пам’ яті зміст пункту 3 на с. 225. ^

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

230. Чи існує натуральне число, яке при множенні на 2 стає квадратом натурального числа, а при множенні на 3 — кубом натурального числа?

8 . Степінь з цілим від'ємним показником Часто для запису великих чисел у компактному вигляді використовують степінь з натуральним показником. На приклад, 129 140 163 = З17, 282 475 249 = 710. У науці та практиці для короткого позначення великих значень величин використовують степінь числа 10. Наприклад, відстань від Землі до Полярної зірки при близно дорівнює 4 470 000 000 000 000 км або 4,47• 10ІГ>км. Маса Сонця дорівнює 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг або 1 ,9 9 -Ю 30 кг. Це були приклади з макросвіту, тобто світу дуже великих фізичних величин. Наведемо приклади з м ікросвіту, тобто світу дуже ма леньких фізичних величин. Маса атома Гідрогену дорівнює 0,000000000000000000000000001661 кг. 61

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Радіус атома Оксигену дорівнює 0,0000000066 см. Для запису цих величин так само можна використову вати степінь числа 10. Маємо: 0,000000000000000000000000001661 кг =

1027

кг,

0,0000000066 см = ^ 4 см. 109 Проте якщ о домовитися позначити — ==■ і —^ відповідно 10 10а 10~27 і 10 9, то для розглянутих величин отримаємо «одно поверхову» форму запису: = 1 ,6 6 1 -1 0 -27, М = 6, 6 . н г 9. 1027 ’ ’ 109 Аналогічно можна домовитися, щ о, наприклад, ~ = 5"2, ^ £

= (-3 )-‘ , ^

= (0 ,7 )-.

О з н а ч е н н я . Для будь-якого числа а, яке не дорівню є нулю, і натурального числа п а п= — . а 1 1 З означення випливає, щ о, наприклад, 2 3 =-=• = - , 2 8 п

-5-(їГ=(7^=16’(0-3)"’-Гг-Т-

Отже, можна підносити число до будь-якого цілого сте пеня, крім нуля. Заповнимо цю прогалину. О з н а ч е н н я . Для будь-якого числа а, яке не дорівню є нулю, а0 = 1. Наприклад, 5° = 1, (-1 7 )° = 1,

= 1, л° = 1.

З а у в а ж е н н я . Вираз 0" при цілих п, які менше або до рівнюють нулю, не має змісту. З наведених означень випливає, що при будь-якому а Ф 0 і цілому п числа а" і а п є взаємно оберненими. Тому рівність а

виконується при будь-якому цілому п. 62

8. Степінь з цілим від'ємним показником

Наприклад, при п — - 2 маємо а2 = а

У довідковій літературі ви можете знайти таку інформа цію: «Маса Венери дорівнює 4 , 9 - 1024 кг. Маса Марса дорівнює 6,423-102< кг. Площа поверхні Місяця складає 3,8-10' км2». Наведені числа записано в так званому стандартному вигляді. О з н а ч е н н я . С т а н д а р т н и м в и г л я д о м ч и с л а на зивають його запис у вигляді добутку а •10", де 1 < а < 10 і п — ціле число. Число п називають порядком числа, записаного в стан дартному вигляді. Наприклад, порядок числа, яке виражає масу Сонця в кілограмах, дорівнює ЗО, а порядок числа, яке виражає масу атома Гідрогену в кілограмах, дорівнює -2 7 . У стандартному вигляді можна записати будь-яке додат не число. Н априклад, 171,25 = 1,7125 -1 0 2; 0 ,0095 8 = = 9 ,5 8 -1 0 3. Проте стандартний вигляд числа на практиці використовують для запису великих і маленьких чисел. При цьому порядок числа дає уявлення про величину числа. ПРИКЛАД 1

Знайдіть значення виразу: 2) 1,2"2;

3) З“3-15 + 6 2-8 - 4,3°.

Розв’язання

І взагалі, якщ о а Ф 0 і Ь Ф 0, то

4 *- 8 - 1 = 3) 3-3 -15 + 6~2 - 8 - 44,3° , 3 ° = 4 -г 1-15 5 +А З 6

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ ПРИКЛАД 2

Подайте вираз (а - Ь)~2 (а 2 - Ь~2) у вигляді раціонально го дробу. Розв’язання у.2 —а ,.2 Ь

(а - ЬУ2 ( а '2 - Ь'2) = — Ц - . ( 4 - 4 ) = — (а — - Ь)* Ь)

/ь

(о. - а)

\а \а*

(Ь - а)(Ь + а) _

2» 2

а Ь

Ь‘ Ь2 І)

Ь+ а

2» 2

(а ( а -- Ь 1

а Ь (о - а)

Ь+ а

2і З

а 2Ь2

З*2

а Ь - а Ь

ПРИКЛАД З

Запишіть у стандартному вигляді число: 1) 564 000 000; 2) 0,0036. Розв’язання 1) 564 000 000 = 5 ,6 4 -1 0 0 000 000 = 5,64• 108. 2) 0,0036 = 3,6 •0,001 = 3,6 •—

1000

= 3,6 •- Ц = 3,6 •10~3. ю

ш --------------------------------------------------------------------------------------------• 1. Чому дорівнює а " для будь-якого числа а, відмінного від нуля, і натурального числа пі 2 . Чому дорівнює нульовий степінь будь-якого відмінного від нуля числа? 3. Щ о називають стандартним виглядом числа? 4. У яких межах має знаходитися число а, щоб запис а •10", де п - ціле число, був стандартним виглядом числа? 5. Як називають число п у записі а • 10п числа в стандартному в и гляді?

231.° Я ком у з виразів дорівнює вираз а -в. 1 ) - а 6;

2)4,*; а

3 ) і ; а

4) - і в а

•

232.° Подайте степінь у вигляді дробу: 1) З"8; 3) а 9; 5) 12 і; 7) (а - Ь)-2; 2) 5 6; 4)<Г 3; 6) т " 1; 8) (2х - 3Уу \ 233.° Замініть степінь дробом: 1) 14~4; 2) р”20; 3) (т + п)~1; 4) (4с - 5^ Г 10. 234.° Подайте дріб у вигляді степеня з цілим від’ ємним показником або у вигляді добутку степенів: 64

8. Степінь з цілим від'ємним показником

1)і;

3)1;

»£ ,

7 )^ 1 ;

2) і ;

4) і ;

6 )^ ;

235.° Замініть дріб степенем з цілим від’ ємним показником або добутком степенів: 1)

1 •

2) — •

I I 11 ’

к4 ’

Зї — •

4) т •

л6

’

~^ (х -2 у )9‘

236.° Подайте числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,

—,

— , — у вигляді степеня з основою: 1) 2; 2) —. 32

237.° Подайте у вигляді степеня одноцифрового натураль ного числа дріб:

1) — ;

2) — ;

3) — ;

216

4) — .

625

128

238.° Подайте у вигляді степеня з основою 10 число: 1)0,1; 2)0,01; 3) 0,0001; 4) 0,000001. 239.° Подайте числа 1, 3, 9, 27, 81, і , З

— , — у вигляді 27

степеня з основою: 1) 3; 2) - . 3

240.° Обчисліть:

\— З

1) 5”2;

3) (-9 ) 2; 5) Г 24;

7) ( - 1 ) 17; 9)

2) 2~4;

4) 0,2"3; 6) ( - 1 ) 16; 8 ) (| )° ;

2) 0,3 і;

3) ( - б ) 3;

(!Ґ=

5) 6)

(3іГ

242.° Обчисліть значення виразу: 1) З-1 - 4"1; 4) 9 . 0 , 1 і; 2) 2 3 + 6 2; 5) 0,5‘ 2*4_1;

(І \ ( /)"

+ (-2 ,3 )° - 5“2;

6) (2 і - 8 і •16)’ 1

243.° Чому дорівнює значення виразу: 1) 2“2 + 2"1; 2) З-2 - 6 і; 65

;

10) (-1 і ) ' .

241.° Знайдіть значення виразу: 1) 20 2;

(|)

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

3) 0,03° + 0,7°; 4) (9 •З 3 - 12-1)-1? 244.° Яке з даних чисел записане в стандартному вигляді: 1) 12 •10 і; 2 ) 1 , 2 - Ю 4; 3 ) 0 ,1 2 - 1 0 4? 245.° Запишіть число в стандартному вигляді та вкажіть порядок числа: 1) 3400; 4) 0,000008; 7 ) 0 ,8 6 - 1 0 '; 2)15; 5 )0 ,7 3 ; 8) 0 ,2 3 -1 0 4; 3) 0,0046; 6) 250 •102; 9) 9300 •105. 246.° В икористовую чи стандартний вигляд числа, запи шіть: 1) швидкість світла у вакуумі дорівнює 300 000 к м /с; 2) висота Говерли, найвищої гори України, дорівнює 2061 м; 3) площа України становить 603 700 км 2; 4) середня відстань від Землі до Сонця становить 149,6 млн км; 5) атмосферний тиск на висоті 100 км становить 0,032 Па; 6) діаметр молекули води дорівнює 0,00000028 мм. 247.° Запишіть число в стандартному вигляді та вкаж іть порядок числа: 1) 45 000; 4) 0,032; 2) 260; 5) 0,059 •108; 3) 0,00024; 6) 5 2 6 -1 0 4. 248.° Запишіть у вигляді натурального числа або десятко вого дробу число, записане в стандартному вигляді: 1 ) 1 , 6 - Ю 3; 3 ) 2 , 1 - Ю ' 2; 2) 5 ,7 -Ю 6; 4) 1 ,1 -1 0 \ 249.° Запишіть у вигляді натурального числа або десятко вого дробу число, записане в стандартному вигляді: 1 ) 2 , 4 - Ю 2; 2) 4,8• 105; 3 ) 1 , 4 - Ю " 3; 4) 8 ,6 - Ю '4. 250.* Доведіть, щ о

= (-) .

2 5 1 / Знайдіть значення виразу: 1) ( - 1 ) 1 - 10 і + 9° - (-2 )3 + ( | ) 2 *( -1 ,5)~3; 2) (2,5)-2 - ( 8 5)0 + ( і | ) 3 + 0 , Г 1. 66

8 . Степінь з цілим від'ємним показником

252.* Розташуйте в порядку спадання:

2) 4 43, 4°, 4~2. 253." Розташуйте в порядку зростання: 1) 7“2, 72, 7"1, 7°;

.*> (і)’ - ( ї Г - ( і ) ’ - ( і Г 254. Порівняйте значення виразів: 1 ) 1 2 ° і (-6 )°; 4) З-1 •7_1 і 2 1 '1; 2) 0 ,2 3 і 0 ,2 '3; 5) 5 '1 - 7"1 і 2_1; 3) 4 *

0 ,2 5 -;

6 )(і)"'+ (і)"

(і + і

255.* Порівняйте значення виразів: 1) З-2 і (-3 )°; 2) З-1 + 2"1 і 5_1;

М ІҐ -Є Ґ

‘ (Н Г -

2 5 6 / Подайте у вигляді дробу вираз: 1) аЬ~1 + а_16; 2) З а '1 + а£Г2; 3) т2п2 (т~ 3 - п~3); 4) (а + Ь)_1 - (а-1 + б '1); 5) (с-2 - (Г2) : (с + гі); 6)

V ) ' ( *2

•

2 5 7 / Подайте у вигляді дробу вираз: 1) а"2 + а 3; 3) ( с '1 - гі_1М с - гі)-2; 2) т п “4 + т _4п; 4) (х “2 + і/ 2) *(л:2 + у2)"1. 2 5 8 / П орядок деякого натурального числа дорівню є 4. Скільки цифр містить десятковий запис цього числа? 2 5 9 / Десятковий запис деякого натурального числа скла дається із семи цифр. Чому дорівнює порядок цього числа? 2 6 0 / Яке число більше: 1) 9 ,7 -Ю 11 чи 1,2• 1012; 3) 2 ,3 4 -Ю 6 чи 0 ,2 3 -1 0 7; 2) 3,6 •10~5 чи 4,8• 10_6; 4) 42,7 •10~9 чи 0,072 •10 7? 67

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

261.* Яке число менше: 1) 6 ,1 -1 0 19 чи 6 ,1 5 - 1018; 2) 1 ,5 -1 0 9 чи 0 ,9 -1 0 8? 262.* У таблиці наведено середні відстані від Сонця до пла нет Сонячної системи: Планета Відстань, км Венера 1 ,0 8 2 -108 Земля 1 ,4 9 5 -108 Марс 2 ,2 8 0 -108 Меркурій 5 ,7 9 0 -107 Нептун 4 ,4 9 7 -109 Сатурн 1 ,4 2 7 -109 Уран 2 ,8 7 1 -1 0 я Юпітер 7 ,7 8 1 -1 0 8 1) Яка планета знаходиться на найменшій відстані від Сонця, а яка — на найбільшій? 2) Яка з планет, Марс або Сатурн, знаходиться далі від Сонця? 3) Складіть таблицю, записавш и в лівому стовпці назви планет у порядку збільшення відстані від них до Сонця, а в правому — відстані їх до Сонця, виражені у млн. км. 263.* У таблиці наведено маси атомів деяких хімічних еле ментів: Елемент

Маса атома, кг

Елемент

Маса атома, кг

Нітроген Алюміній Гідроген Гелій Ферум

2 ,3 2 -1 0 -26 4 ,4 8 -1 0 '26 1 ,6 6 -1 0 ”27 6 ,6 4 -1 0 27 9 ,2 8 -1 0 26

Аурум Купрум Натрій Станум Уран

3,27 •10~25 1 ,0 5 -1 0 25 3 ,8 1 -1 0 26 1,97 •10~25 3 ,9 5 -1 0 25

1) Маса атома якого з наведених елементів найменша, а якого — найбільша? 2) Маса якого з елементів, Кугіруму чи Натрію, більша? 3) Складіть таблицю, упорядкувавши елементи в по рядку зменшення маси їх атомів. 264.* У таблиці наведено запаси деяких речовин у міне ральних ресурсах світу: 68

8. Степінь з цілим від’ємним показником

Речовина Алюміній Вольфрам Залізо Золото Марганець Мідь

Речовина Нікель Олово Ртуть Фосфати Хром Цинк

Запаси, т 1 ,1 -Ю 9 1 ,3 -1 0 6 8 ,8 - Ю 10 1 ,1 -1 0 ' 6 ,3 5 -108 2 ,8 -109

Запаси, т 6 , 8 - 107 4 ,7 6 - 10й 1,15-10* 1 ,9 8 -Ю 10 4 ,4 -1 0 ° 1,12*10®

1) Запаси якої з наведених речовин найбільші, а якої — найменші? 2) Запаси якої з речовин, нікелю чи цинку, більш і? 3) Складіть таблицю мінеральних ресурсів, розмістив ши речовини в порядку зменшення їх запасів.

І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 265. Маса чавунної болванки 16 кг. Яка потрібна найменша кількість болванок, щоб відлити 41 деталь масою 12 кг кожна? 266. У деякому місті на сьогоднішній день проживає 88 200 мешканців. Скільки мешканців було в цьому місті 2 роки тому, якщо щорічний приріст населення становив 5 % ? 267. Дмитро ходить з дому до стадіону піш ки зі ш видкістю 4 к м /год . Я кщ о він поїде до стадіону на велосипеді зі ш видкістю 12 к м /год , то приїде до нього на 20 хв раніше, ніж зазвичай. На якій відстані від дому Дмит ра знаходиться стадіон? 268. Спростіть вираз: 2а 2 + 2 _ а + 1 а2 -

а -

За - З 2

а +

269. Чи можна стверджувати, що при будь-якому натураль ному п значення виразу (5 п + 6 ,5)2 - (2 п + 0 ,5 )2 крат не 42?

ГІ ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 270. Подайте у вигляді степеня з основою а вираз: 1) а7-а 5;

2) а 7 : о 5;

3) (а 7)5; 69

4) Іа° ^ а* • а

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

271. Спростіть вираз: 1) - 4 т 3п5-5т 4п2;

2) ( - 2 т7п2)4;

3) 8 * У •( - | * У ) •

272. Знайдіть значення виразу:

Поновіть у пам’ яті зміст пункту 4 на с. 225.

^ УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 273.

У деякому будинку живуть тільки подружні пари з ма ленькими дітьми, причому в кожного хлопчика є сестра і хлопчиків більше, ніж дівчат. Чи може дорослих бути більше, ніж дітей?

Властивості степеня з цілим показником У 7 класі ви вивчали властивості степеня з натуральним показником. Вони залишаються справедливими і для сте пеня з будь-яким цілим показником. Д л я будь-якого а Ф 0 і будь-яких цілих т і п викону ю т ься рівності: ат-ап = ат+ п; (1) (ан' ) " = а тп. ( 2) Д л я будь-яких а Ф 0 і Ь Ф 0 та будь-якого цілого п ви конуєт ься рівність: (аЬ)п = апЬ\ (3) Рівність (1) виражає основну властивість степеня. Дове демо її. Для натуральних т і п цю рівність уж е було доведено в 7 класі. Розглянемо тепер випадок, коли т і п — цілі від’ ємні числа. Я кщ о т і п — цілі від’ ємні числа, то —т і - п — нату ральні числа. Тоді а~т-а~" = а"т + ("п) = а ~т~п. Маємо: ат •а п = - А - •- і - = а

—т

—п

_ —т

*_ „ = Ч гт = •а

—п

—т —п

-(т + п )

= « '" +л-

9. Властивості степеня з цілим показником

Для того щоб доведення основної властивості степеня стало повним, слід розглянути ще такі випадки: один з по казників степеня т або п від’ ємний, а другий — додатний; один або обидва показники дорівнюють нулю. Розгляньте ці випадки самостійно. Рівності (2) і (3) доводять аналогічно. З основної властивості степеня випливає такий важливий наслідок: для будь-якого а Ф 0 і будь-яких цілих т і п ви конуєт ься рівніст ь: „т . „т —п { Л\ а :а _ = а . (4) т

Справді, аЛ т :. а_ л =

~ т

=а

_ - п

•а

_ т + (-л )

—а

~ т - п

—а

З властивостей (2) и (3) можна отримати ще одну влас тивість степеня з цілим показником: для будь-яких а Ф0 і Ь Ф 0 і будь-якого цілого п виконуєт ься рівність:

(ї ) ' - £ Справді,

(5)

= (а •Ь 1)" = а" •(б-1) = а" •Ь~п =

Властивості (1 )-(5 ) називають властивостями степеня з цілим показником. ПРИКЛАД 1

Подайте у вигляді степеня вираз: 1) а 14•а 12; 2) а '3 : а 9; 3) (а 4)“2•а 7 : а6. Розв’язання 1) Застосувавши основну властивість степеня, отримуємо: -14 „ 1 2 _ „ - 1 4 + 12 _ -2 = а . а •а — а 2) Використовуючи рівність ат : а" = ат~ ", маємо: а '5 : а 9 = а-5 “ (~9) = а~5 + 9 = а4. 3) Застосувавши послідовно правила піднесення степеня до степеня (властивість (2)), множення і ділення степенів з однаковою основою (властивості (1) і (4)), отримуємо: (а 4)'2-а '7 : а6 = а” 4' ™ ■а 7 : а6 = а8-а~7 : ае = = а8 + (_7) “ 6 = а"5. ПРИКЛАД 2

Знайдіть значення виразу:

1) (5~5)” 4 : (б 7)"3; 2) 16-9-8 12; 3) ^

18 '

/ , , \-8 ; 4) (і| | ) • (|)

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Розв’язання 1) Маємо: (б 5) 4 : (б’ 7) '3 = 520 : 521 = 5 '1 = - . 5

2) Подавши числа 16 і 8 у вигляді степенів з основою 2, отримуємо: 16~9- 8 12 = (2“)~9' (2а)12 = 2“36•236 = 2° = 1. 3) Використовуючи правило піднесення дробу до степеня д / у— 3 / у— З (властивість (5)), маємо: = З3 = 27.

ПРИКЛАД З

Спростіть вираз: 1) 0,6т 2п 6 - - т V ; З 2) (а-2 + 9) (а 2 - 4) - (а 2 + 6) (а-2 - 6). Розв’язання 1) 0 ,6 т2п~6 - А т~4п3 = ^0,6 •

•(т2 •т 4) •(п в •п3) =

= 0,2т. гп~3. 2) (а 2 + 9) (а-2 - 4) - (а-2 + 6) (а 2 - 6) = = а”4 - 4а'2 + 9а"2 - 36 - а 4 + 36 = 5а 2. ПРИКЛАД 4

Виконайте множення (3,4 >1014) • (7 •10 8) і результат запишіть у стандартному вигляді. Розв’язання ( 3 ,4 - 1014) ‘ ( 7 •10 8) = (3,4• 7 )-(1 0 14' 10 8) = 2 3 ,8 - 106 = = 2,3 8 -1 0 * 106 = 2 ,3 8 - 107. •

Сформулюйте властивості степеня з цілим показником.

274.° Подайте вираз у вигляді степеня або добутку степе нів: 1) а-6-а 9; 2) а5*а"8; 3) а 5"а 10-а ”12; 72

9. Властивості степеня з цілим показником

4) а 2 : а6; Л-з. 5) а,77 .: а"3;

7) а 12•а 20 : а 9; йч 8) (а-5)4;

10) (а2)'4 •(а 3) 2 : (а '8)3; ї ї ) (аАЬ 2сяу 10;

6) а 3 : а - 1 5 .

9) (а V ;

12)

^10Ь-7 а о

\~2

с б с(.-1 4 275.° Подайте вираз у вигляді степеня або добутку степе нів: 1) а6 •а '10; 4) ( а '2)6; 7) а"16•а8 : а"4; 5) (а~8&_1с 7) '4; 8) (а 3)8 : ( а 1)7- ( а '7) 2) а~4 :■ а~7-; -з 3) а 5 : а"9: 6) -і Ьс

276.° Знайдіть значення виразу: 1) 95- 9~7;

4) 2“9* 2 '12 : 2~22;

2) 10“ •10 ;

5) (17 )

7) 3_* - ( | )

14 7-5

>(17 ) ; 8)

6 5 . (6~3)4 . 6) /л-7ч2 л~3 , (6 ) •6 277.° Знайдіть значення виразу: 3) З-1 8

> 21.

1) б -9-б 6;

-6 3) 5“7 : 5 °-5

2) 7-їв

4А

- (/4А

(4-3)7

278.° Спростіть вираз: 1) За“3*4а 4; 2)

’

-2

22 "

7) (с ва Г 7;

106

8) - а " 3^"6 ‘ —а 7Ь4; З 7 9) 0,2с”3<25•1,5с“2сГ5; 10) 4х8. ( - З х " У ) 2; ю^-'О 27л 13т 11 ) 12л" 26 т 2

156"

3) (2с у ; 4) т 2п -т п 2; 5) аЬс~1-аЬ 'с; 6)

)

5) 0,8

кр-6

12)

*4 р4

18 р ~ У . 15кГ2

279.° Спростіть вираз: 1) 2 а 5Ь2- З а 2Ь~5; 2) ( | тп _3 )

3 , 6 а 2Ь 0 ,9 с Л

“3

4) 0,8 а “6&8- 5 а ‘°&“8;

> 73

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ 25х~3

у4

-К -2

6) 28сяа 2- (2сс/_1) -7 ’ -4 у " 5х 280." Знайдіть значення виразу: 5) 25~4 : (0,2"3Г 2; 1) 8 '3*27; (-Зб)~3 •б8 2) 27~2 : 9’ 4; 6) 5)

2 1 6 _і ' ( - 6 )

3) 100 " : 1000 ’ *0,01 ; /

Ч-4 ґ ,

81~2 • 16“3 ’

145 •2

2) 32~5 : 64“4; \-7 ґ .

- 7

28~2 •7 8 ' оо

гіо

4> К ) • ((!)); 281.’ Знайдіть значення виразу: 1)9~4-2 7 2; 4

-10

0 ,5 4;

2 2 6

4 4 ~3

. •II9 ’

*2 " 8

; \5

10~2 •15-4 зо -6 282.' Виконайте дії і зведіть отриманий вираз до вигляду, який не містить степеня з від’ ємним показником: -з 1 ) - 2 ,4 а '4Ь Ч - 2 а V 5)’ 3; 4 ) | _ І а - ^ 6) * (-6 а2Ь9у 2; 6)

3>(Ч)’ • (!)

2) ( - Ю х ^ у г т

- ( 0Ду* V ; 5)

V-З 3) 1 ^ т~*п •|і ^ т Іп~41 ;

ґ 7р*' 5к

■49 т 6п4;

/ 4х . -5 V3

( 1 6 * - У ) 2-2 зу 2 8 3 / Виконайте дії і зведіть отриманий вираз до вигляду, який не містить степеня з від’ ємним показником: 1) 3,6а*&4-(-З а "Ч Г Т ;

2) 1 ^ х - у - ( 4 * - У 3)

; 4)

^5т_4 ^ 6

•1 2 5 т 10п2;

л _1

7а

-6 •(а АЬ)4.

2 8 4 / Винесіть за дуж ки степінь з основою а і з найменшим з даних показників: 1) а3 - 2а4; 2) а-3 - 2а~4; 3) а3 - 2 а '4. 2 8 5 / Винесіть за дужки степінь з основою Ь і з найменшим з даних показників: 1) Ь3 + ЗЬ2; 2) Ь~3 + ЗЬ~2; 3) Ь~3 + ЗЬ2. 74

9. Властивості степеня з цілим показником

2 8 6 / Подайте у вигляді добутку вираз: 1) а 2 - 4; 4) а 3 + 6‘ 3; 2) а“46~а - 1; 5) т 4 - 6т 2р~х + 9р~2; 3) 2 5 х 'У 12 - г~2; 6) а-8 - 49а~2. 2 8 7 / Подайте у вигляді добутку вираз: 1) я-4 - 25; 3) а 10 + 8а 5Ь~7 + 166‘ 14; 2) т~6 - 8п~3; 4) а 4 - а 2. 2 8 8 / Доведіть тотож ність: а-8 - Ь~в = (а -1 - б”1) (а-1 + б-1) (а 2 + У 2) (а~4 + б"4). 2 8 9 / Спростіть вираз: 1) ( а 4 + 3) ( а 4 - 3) - ( а 4 + 2)2; -2

-2

2) " г

т +п

+ у~2

2 *~ 2

X'1

Зх 2 - Зх Іу 1

а “5 + а

- у

а~АЬ~Ь + а - 8

6~5

• : ----- ^5-----а

-6'

2 9 0 / Спростіть вираз: 1) (х 2 - І )2 - (х“2 - 4) (х 2 + 4); а 2 - 1 0 а V і + 256 ~2 2) а - 1 - 56

оч

лч

— 2 + п— 2 5т , -3 , -1 -2 4/п. + 4т п 6

+ Зс С

— 1

-2

т + п

-2 ’

Ьс

+ АЬ

2 9 1 / П орядок числа а дорівню є - 4 . Визначте порядок числа: 1) 10а; 3) 100а; 5) 10 000а; 2) 0,1а; 4) 0,001а; 6) 1 000 000а. 2 9 2 / Порядок числа 6 дорівнює 3. Визначте порядок числа: 1) 106; 2) 0,016; 3) 0,00016; 4) 10006. 2 9 3 / Виконайте обчислення і результат запишіть у стан дартному вигляді: 5

1) (1,8* 104) -( 6 - 1 0 3);

3) 5 , 4 ; 9 ■10

2) ( 3 - Ю 6) - ( 5 , 2 - 1 0 9);

4 ) 1-7 - 1° В 3 ,4 • 10“ 75

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

2 9 4 / Виконайте обчислення і результат запишіть у стан дартному вигляді: пЛ1) (1,6• 10>-5ч) *ІЛ (4-1 10 );

оч 3)

2) (5 •10_3) -(1 ,8 - 10_1);

7* 10"' 1.4 •10~ 6.4 •103

8 •10'2 2 9 5 / С ередня від ста н ь від З ем лі до С онця д ор ів н ю є 1,5» 108 км, а ш видкість світла — З* 108 м /с . За скіль ки хвилин світло від Сонця дійде до Землі? Відповідь округліть до одиниць. 2 9 6 / Густина міді дорівнює 8 ,9 -1 0 3 к г /м 3. Знайдіть масу мідної плити, довжина якої 2, 5*10 1 м, ширина — 12 см, а висота — 0,02 м. 2 9 7 / Маса Землі дорівнює 6 •1024 кг, а Місяця — 7,4 •1022 кг. У скільки разів маса М ісяця менша від маси Землі? Відповідь округліть до одиниць. 298/* Спростіть вираз і запишіть результат у вигляді раціо нального виразу, який не містить степеня з від’ ємним показником: .-і

а-1 + Ь~1

-2

2) 3)

(*Г«

а 1 -Ь~х

- 4 —9

5с с~3 - З т

<Г3 + 6 2с

-4

- 2

■

90 с"6 + 6 с

16 - т

Зт

т '4 -

-8 8т „7 + т~ч _ 4

299,’ Спростіть вираз і запишіть результат у вигляді раціо нального виразу, який не містить степеня з від’ ємним показником: 1) 2)

а 2+ 5 а 4 - 6а 2 + 9

-і

Г 1-

5Ь~1 - 36

-2

-2 - 5,, ' -і

2гг1 +

2Ь

Ь~ 1 - 7

300/ Порядок числа а дорівнює - 4 , а порядок числа Ь дорів нює 3. Яким може бути порядок значення виразу: 1) аЬ; 2) а + Ь; 3) а + 10Ь; 4) 10а + 0,16? 76

9. Властивості степеня з цілим показником

3 01 ." Порядок числа т дорівнює 2, а порядок числа п дорів нює 4. Яким може бути порядок значення виразу: 1) т п; 2) 0,01тга; 3) 1 0 0 т 4- п; 4) 0 ,0 1 т + пі І

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

302. Середнє арифметичне двох натуральних чисел дорів нює 18. При діленні більш ого з цих чисел на менше отримаємо неповну частку 3 і остачу 4. Знайдіть ці числа. 303. Завдяки заходам з економії електроенергії за перший місяць її витрати було зменшено на 20 % , за др у гий — на 10 % порівняно з попереднім, а за третій — на 5 % порівняно з попереднім. На скільки відсотків у результаті було зменшено витрати електроенергії? 304. Для відкачування води із затопленого приміщення було задіяно 3 насоси. Перший з них може викачати всю воду за 12 год, другий — за 15 год, а третій — за 20 год. Спочатку протягом 3 год працювали перший і другий насоси, а потім підключили третій насос. За який час було відкачано всю воду? 305. Книжка кош тує 19 грн. У покупця є лише купюри по 5 грн., а в продавця — лише по 2 грн. Чи може поку пець розрахуватися за книж ку без додаткового розм і ну грош ей? У разі позитивної відповіді визначте, яку найменшу кількість купюр відповідної вартості повин ні мати покупець і продавець. І І

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

306. Знайдіть значення функції у = - — , якщ о: х 1) х = 2; 2) х = - 1 ; 3) х = 3,5; 4) х = - 6 . X 4* 2 307. Ф ункцію задано формулою у = ------- . Яка область ви де - 6

значення даної функції? Заповніть таблицю, обчислив ши відповідні значення функції: X У

-3

-2

-1 77

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

308. Побудуйте графік функції у — 2х - 1. Чи проходить цей графік через точку: 1) А (ЗО; 59); 2) В (-1 5 ; -2 9 )? 309. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків функцій у = 2,7х - 8 і у = 1,2л: + 7. 310. Розв’ яж іть графічно систему рівнянь: \2х —у —З, [Зх + у = 7. Поновіть у пам’ яті зміст пунктів 17, 18, 19 на с. 231 -2 32.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 311. Після закінчення тенісного турніру, який проводився за олімпійською системою (той, хто програв, вибуває), виявилося, щ о тільки 32 учасники виграли зустрічей більше, ніж програли. Скільки тенісистів брало участь у турнірі?

ІО. Функція у = £ та ї ї графік У 6 класі ви познайомилися з такою залежністю однієї величини від другої, коли збільшення (зменшення) однієї величини в кілька разів призводить до збільшення (змен шення) другої величини у таку саму кількість разів. У 7 класі ви дізналися, що ця залежність є функціо нальною і визначає функцію у = кх, де к Ф 0, яку називають прямою пропорційністю. Існує також функціональна залежність, яка характе ризується тим, щ о із збільшенням (зменш енням) однієї величини у кілька разів друга величина зменшується (збіль ш ується) у стільки ж разів. Таку залежність називають оберненою пропорційністю . ПРИКЛАД 1 Нехай є 100 грн. Позначимо через х грн. ціну 1 кг това ру, а через у кг — кількість цього товару, яку можна при дбати за 100 грн. 78

10. Ф ункція У - — та її графік

Зрозуміло, що залежність змінної у від змінної х є обер неною пропорційністю: збільшення ціни х у кілька разів призводить до зменшення кількості товару у у стільки ж разів, і навпаки, зменшення ціни веде до збільшення кіль кості купленого товару. Цій функціональній залежності відповідає функція, яка 100

задається формулою у = ----- . х ПРИКЛАД 2

Розглянемо прямокутник, площа якого дорівнює 18 см 2, а сторони — х см і у см. Тоді

Збільшення (зменшення) знаменника х у кілька разів веде до зменшення (збільшення) величини у у стільки ж разів, тобто залежність змінної у від змінної х є оберненою пропорційністю . У розглянутих прикладах математичною моделлю реаль них ситуацій є функція, яку можна задати формулою виду

О з н а ч е н н я . Функцію, яку можна задати формулою виду у = —, де к * 0, називають о б е р н е н о ю X ністю.

пропорцій-

Оскільки у виразі — допустимими значеннями змінної * к х є всі числа, крім 0, то областю визначення функції у - — X також є всі числа, крім 0. 0

Розглянемо функцію у - —. У таблиці вказано деякі * значення аргументу і відповідні їм значення функції. X

-6

-4

-3

-2

- 1 ,5

-1

1,5

-1

- 1 ,5

-2

-3

-4

-6

1,5

Позначимо на координатній площині точки, координати яких вказано в таблиці (рис. 3). 79

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ Уі , •

Уі

• • • • 1

•

• • >•і х\

'• • • •І

! і

: Р ис. З

Р ис. 4

Чим більше точок, координати яких задовольняють рів6

нянню у = —, нам удасться позначити, тим менше отримана х 6 фігура (рис. 4) буде відрізнятися від графіка функції у = —. Серед позначених точок не мож е бути точки, абсциса якої дорівнює нулю, оскільки число 0 не належить області 0 визначення даної функції. Тому графік функції у - — не має спільних точок з віссю ординат. Крім того, графік не має спільних точок також і з віссю абсцис. Справді, рівняння — = 0 не має розв’ язків. Отже, X число 0 не належить області значень даної функції. Я кщ о х > 0, то — > 0, тобто у > 0; якщ о х < 0, то у < 0. х Отже, точки графіка даної функції можуть знаходитися тільки в І і III чвертях. Зауважимо, що зі збільшенням модуля абсциси відстань від точки графіка функції у = — до осі абсцис зменшується X і мож е стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюва тиме нулю. Справді, чим більше модуль аргументу, тим менше модуль відповідного значення функції. 80

к 10. Ф ункція У = ~ та її графік

Аналогічно можна встановити, що зі збільшенням моду ля ординати відстань від точок графіка до осі ординат зменшується і може стати як завгодно малою, проте ніколи не дорівнюватиме нулю. Якби вдалося позначити на координатній площині всі 6 точки, координати яких задовольняють рівнянню У = ~ ’ то ми отримали б фігуру, зображену на рисунку 5. к

Ф ігуру, яка є графіком функції у = - , де к Ф 0, називаX ють гіперболою. Гіпербола складається з двох частин — ві0

ток гіперболи. На рисунку 5 зображено гіперболу у = —. Я кщ о к > 0, то вітки гіперболи розміщ ені в І і III чвер тях, а якщ о к < 0 - то у II і IV чвертях. 0

На рисунку 6 зображено графік функції у = к

Зауважимо, що областю значень функції у = —, де к Ф 0, • 0. г» * є все числа, крім к

У таблиці наведено властивості функції у - —, вивчені X у цьому пункті. 81

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Область визначення Область значень Графік Нуль функції (значення аргумен ту, при якому значення функції дорівнює 0)

Усі числа, крім 0 Усі числа, крім 0 Гіпербола Не існує

к Покажемо, як графік функції у - — можна використоX вувати при розв’ язуванні рівнянь. ПРИКЛАД

Р озв’ яж іть рівняння — = X + 3. X

Розв’язання

Розглянемо функції у = — і X у = х + 3. П обудуємо в одній системі координат графіки цих функцій (рис. 7). Вони перети наються у двох точках, абсциси яких дорівнюють 1 і - 4 . У точ ках перетину графіків функцій самі функції набувають рівних значень. Отже, при знайдених абсцисах значення виразів ^ і х + 3 рівні, тобто числа 1 і - 4 є коренями рівняння — = х + 3. Перевірка це підтверджує. X Описаний метод розв’ язування рівнянь називають гра фічним. У VII класі ви ознайомилися з графічним методом розв’ язування систем рівнянь і знаєте, що цей метод не завжди дає точний результат. Тому перевірка знайдених коренів є обов’ язковим етапом розв’ язування рівняння. У подальшому (п. 21) ви навчитеся розв’ язувати це рів няння, не застосовуючи графіків. •

1. Поясніть, яку залежність між величинами називають оберненою пропорційністю. 2. Яку функцію називають оберненою пропорційністю? 82

І'

10. Ф ункція у = - та її графік к

3. Щ о є областю визначення функції у = —, де к Ф 0 ?

4. Як називають фігуру, яка є графіком оберненої пропорційності? 5. Як називають частини, з яких складається гіпербола? к

6. Щ о є областю значень функції у = —, де к Ф 0 ?

7. У яких чвертях розташований графік функції у = —, якщо к > 0 ?

якщо/е < 0? 8. Поясніть, у чому полягає графічний метод розв'язування рів нянь.

312.° Автомобіль проїж дж ає деяку відстань за 10 год. За який час він проїде цю саму відстань, якщ о його швид кість: 1) збільшиться у 2 рази; 2) зменшиться в 1,2 раза? 313." Довжина прямокутника дорівнює 30 см. Я кою стане його довжина, якщ о при тій самій площі ширину прямокутника: 1) збільшити в 1,5 раза; 2) зменшити в 3,2 раза? 314.° За деяку сум у грошей купили 40 м тканини. Скільки метрів тканини купили б за ту саму суму грошей, якби її ціна за 1 м: 1) зменшилась у 2,6 раза; 2) збільшилася в 1,6 раза? 315.° П іш охід пройшов 12 км. Заповніть таблицю, у пер ш ому рядку якої вказано ш видкість, а в другому — час руху. к м /год

2,4

і, год

Задайте формулою залежність і від V. 316.° Об’ єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 48 см 3. Заповніть таблицю, у першому рядку якої вказано площу його основи, а в другому — висоту. 5 , см 2

240

16 8

к, см

Задайте формулою залежність к від 5 . 83

4,8

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

317.° Бригада із 7 робітників з однаковою продуктивністю пра ці може виконати певне виробниче завдання за 12 днів. Скільки треба робітників з такою самою продуктив ністю праці, щоб виконати це завдання за 4 дні? 318 Заготовлених кормів вистачить для 24 коней на 18 днів. На скільки днів вистачить цих кормів для 36 коней? 319.° Серед даних функцій укаж іть обернені пропорцій ності: 1 ) у = 2х;

3) у = —\

5) у = - М ; 7) у = ± ;

2 )„ = | ;

4) „ — І ;

в)у = ^ ;

2х

8), =£ .

320.° Задано функцію у = — . Знайдіть: X 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорів нює - 3 ; 6; 0,2; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 12; - 6 ; 100. 321.

Задано функцію у = ------ . Знайдіть: X 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорів нює - 4 ; 0,9; 18; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 6; - 0 ,3 ; 8. £ 322.° Побудуйте графік функції у = — . Користуючись грах фіком, знайдіть: 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорів нює 4; - 1 ; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 2; - 8 ; 3) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень. 32"

Побудуйте графік функції у = — . Користуючись гра фіком, знайдіть: 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорів нює 2; -1 0 ; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 5; - 2 ; 84

к 10. Ф ункція у = - та и графік

значення аргументу, при яких функція набуває від’ ємних значень. 28 324.° Не виконуючи побудови графіка функції у = — , установіть, чи проходить графік через точку: 1) А ( - 4 ; - 7 ) ; 3) С (0,5 ; 14); 2) В (14; - 2 ) ; 4) £> (0,2; 140). 325.° Не виконуючи побудови графіка функції у - - — , X установіть, чи проходить графік через точку: 1) А ( - 6 ; - 8 ) ; 3) С ( 0 ,3 ;- 1 6 ) ; 2) В (12; - 4 ) ; 4) И (0,4 ; -1 2 0 ). 3 2 6 / На рисунку 8 зображено графік залежності часу І руху з пункту А до пункту В від ш видкості V руху. К орис туючись графіком, установіть: 1) за який час можна дістатися з пункту А до пункту В, якщо рухатися зі швидкістю 8 км/год, 24 км/год; 2) з якою ш видкістю треба рухатися, щоб дістатися з пункту А до пункту В за 3 год; 4 год; 3) чому дорівнює відстань м іж пунктами А і В. 3 2 7 / Д ротяний реостат п ід ’ єднано до блоку живлення (рис. 9). Опір реостата К залеж ить від полож ення повзунка і може змінюватися в межах від 0 до 6 Ом.

реостат

повзунок

Рис. 8

Рис. 9

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

К ористую чись граф іком залеж ності сили струму І від опору Д (рис. 10) за умови, щ о напруга на кінцях реостата залишається не змінною, установіть: 1) чому дорівнює сила струму, як що опір дорівнює 2 Ом; 2) при якому значенні опору сила струму дорівнює З А ; 3) скільки вольт становить напру га на кінцях реостата. 328." З найдіть значення к, при к якому графік функції у = X проходить через точку: 1) А ( - 5 ; 4); 3) С (1,5; -8 ).

2)В(і;-2);

3 2 9 / Графік функції у = - проходить через точку А (10; 1,6). X Чи проходить графік цієї функції через точку: 1) В ( - 1 ; -1 6 ); 2) С ( - 2 ; 8)? 3 3 0 / Побудуйте в одній системі координат графіки функцій У = -X і У х і визначте координати точок їх перетину. 3 3 1 / Р озв’ яж іть графічно рівняння: 1) - = 4 - х ; 2) х - 2 = - і X X 3 3 2 / Р озв’ яж іть графічно рівняння: 1) - = 6 - х ;

2) 2х = ± ;

3) х-

= -х .

3 3 3 / Р озв’ яж іть графічно систему рівнянь: [х у = 4, 1)

[4 у = х;

х - у = 1, х у = 2.

3 3 4 / Р озв’ яж іть графічно систему рівнянь

\ху = 5, [ у - х = 4.

3 3 5 / Установіть графічно кількість розв’ язків системи рів нянь: 86

к 10. Ф ункція у —— та м графік

2) І 1 " 3 - 1’ 3 ) { Х!/ = 6' [лг + Зг/ = 0; [ х - 3 у = 0; [ З х - 2 у = 6. 3 3 6 / Установіть графічно кількість розв’ язків системи рів'х у = - 8, нянь 2х + Зу = 6. 3 3 7 /’ Знайдіть координати всіх точ ок графіка ф ункції у = — , у яких абсциса і ордината рівні. х 338/* Знайдіть координати всіх точ ок графіка ф ункції = - — , у яких абсциса і ордината — протилежні X числа. у

339.” Побудуйте графік функції у = т—т. І* І 340/* Побудуйте графік функції: - 2 х + 10, якщ о х < 2, якщ о х < - 1 , 12 1 ) у = < х 2 ) у = — , якщ о 2 < х < 4, X (де + 3, якщ о х > -1; З, якщ о х > 4. 341/" Побудуйте графік функції: - —, якщ о х < -2, X 2, якщ о - 2 < х < 2, У= —, якщ о х > 2. х 342/* Побудуйте графік функції: і)

9л: - 1 8

оч

У = х 2- 2- х- ’

2) У =

343/* Побудуйте графік функції у =

5х2 - 5

г2 І—7 - . х - х

- 4х

[ ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 344.

Доведіть, щ о при всіх допустимих значеннях змінних, які містить вираз, його значення не залежить від зна чень а і Ь: а 2 - Ь2

а + ЗЬ

\а2 - 2 а Ь + Ь2

а + Ь

а 2 - Ь2 1

Ь_ а -Ь ’

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

345. Р озв’ яж іть рівняння: З 5х + 25

1 2х - 10

5 х 2 —25

346. Ціну шафи знизили на ЗО % , а через деякий час підви щили на ЗО % . Як змінилася, збільшилася чи змен шилася, ціна шафи порівняно з початковою і на скіль ки відсотків? 347. (Задача Сунь-Цзи1.) Два чоловіки отримали монети, які вони повинні поділити між собою так, що коли до монет, які матиме один з них, додати половину монет 2 другого, або до монет, які матиме другий, додати - мо3 нет перш ого, то в обох випадках буде 48 монет. Скіль ки монет отримав кож ен з них? 348. Я кщ о лижник буде рухатися зі ш видкістю 10 к м /год , то дістанеться пункту призначення на 1 год пізніше від запланованого часу прибуття, а якщ о рухатиметь ся зі швидкістю 15 км /год — то на 1 год раніше. З якою швидкістю він повинен рухатися, щоб прибути до пунк ту призначення в запланований час? ^

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

349. Кожний з трьох учнів виписав 100 різних слів. Після ц ього слова, я к і зустр іл и ся не менш е двох разів, викреслили. У результаті в одного залишилося 45 слів, у другого — 68, а в третього — 54. Доведіть, що щ о найменше одне слово виписали всі троє. ЗАВДАННЯ В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № З

1 » • х 2 -100 п 1. Розв яж іть рівняння ------------= 0. лг-10 А ) - 1 0 ; 10; Б) 10; В) - 1 0 ; 2. Р озв’ яж іть А ) - 1 0 ; 10; 1

рівняння V-"-10 = 0х2 -100 Б) 10; В) -1 0 ;

Г) коренів немає.

Сунь-Цзи — китайський математик, який ж ив у III чи IV ст. 88

Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № З

3. Яка з наведених рівностей є правильною? А ) 10"3 = -1 0 0 0 ;

В) (-2 Г 3 = -

« Н їГ -П * г> 7 * = - 494. Як записують у стандартному вигляді число 42 000? А ) 4,2• 103; Б) 4 ,2 -Ю 4; В) 0,42• 105; Г) 42• 103. 5. Я к за п и сую ть у вигляді д е ся т к о в о го др обу чи сл о 6 ,3 -1 0 3? А ) 0,63; Б) 0,063; В) 0,0063; Г) 0,00063. 6. Подайте число ^

у вигляді степеня з основою 5.

А ) 5 2; Б) 52; В) 5~3; Г) 53. 7. Чому дорівнює значення виразу ( 1 ,7 - 108) - ( 6 - 10 °)? А ) 1,02 - 105; Б) 1,02 - 106; В) 1 0 ,2 -1 0 6; Г) 1,02 •107. 9

• З- 5

8. Знайдіть значення виразу — ------=-. 81,- 27

А ) 81;

Б )—;

’

В) 27;

Г) — . 27

9. Яка з даних функцій не є оберненою пропорційністю? А ) у = —; х

Б) у = - 1 ;

В ) у = | -;

Г) у = ^ - .

2х

10. На одному з рисунків зображено графік функції у - — . х

Укаж іть цей рисунок. Б)

А)^ уу

Г)

В )у у

у 0

V X

11. При якому значенні к графік функції у = — проходить через точку А ( - 3 ; 0,6)? А ) - 1 ,8 ; Б) - 0 ,2 ; 12. Розв

Я Ж ІТ Ь

А ) 0; 4;

В) - 2 ,4 ; З ї +1

4х2 +

х +4

4 -х

р ів н я н н я ---------------------Б) - 4 ; 0;

Г) - 3 ,6 .

2ї -1

В) - 4 ; 89

— 5------.

—16

Г) 0.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

? •

ПІДСУМКИ У цьому параграфі: •

було введено такі поняття: > раціональний дріб; > дробовий вираз; > раціональний вираз; > допустимі значення змінних; > раціональне рівняння; > рівносильні рівняння; > степінь з цілим показником; > стандартний вигляд числа; > обернена пропорційність;

•

ви > V > >

навчилися: скорочувати раціональний дріб; виконувати д ії з раціональними дробами; розв'язувати деякі види раціональних рівнянь; підносити числа до нульового степеня і степеня з цілим від'ємним показником;

•

ви > > >

вивчили: основну властивість дробу; властивості рівносильних рівнянь; властивості степеня з цілим показником;

> деякі властивості функції у = —;

•

ви дізналися, що графіком функції у = — є фігура, яку називають гіперболою;

•

ви познайомилися з графічним методом розв'язування р ів нянь.

§2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА •

Ви дізнаєтеся про деякі властивості ф ункції у = х2.

•

Ознайомитеся з новою дією «добування квадратного кореня». Для вас стане зрозумілим, що для вивчення навколишнього світу раціональних чисел недостатньо.

•

Ви вивчите властивості нового математичного об'єкта «арифметичний квадратний корінь». Навчитеся спро щувати вирази, які містять квадратні корені.

Функція у = х 2 та ї ї графік Позначимо через у площу квадрата зі стороною х. Тоді У = * 2Я кщ о змінювати сторону х квадрата, то відповідно змі нюватиметься і його площа у. Зрозуміло, що кожному значенню змінної х відповідає єди не значення змінної у. Отже, залежність змінної у від змінної х є функціональною, а формула у = х 2 задає функцію. Розглянемо функцію у = х 2, областю визначення якої є всі числа. У таблиці наведено деякі значення аргументу і відповідні їм значення функції. X - 3 - 2 ,5 - 2 - 1 ,5 - 1 У 9 6,25 4 2,25 1

- 0 ,5 0

0,5

0,25 0 0,25

1,5

1 2,25 4

2,5

6,25

Позначимо на координатній площині точки, координати яких наведено в таблиці (рис. 11). Уі

Уі •

•

Уо •

•

• •

' • •

- х (і

Рис. 11

• •

1 •

• 0

•

• 1

Рис. 12 91

р ■ "п

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Чим більше точок, координати яких задовольняють рів нянню у = х 2, позначимо, тим менше отримана фігура (рис. 12) відрізнятиметься від графіка функції у = х 2. Пара (0; 0) є розв’ язком рівняння у = х 2. Отже, графік даної функції проходить через початок координат. Оскіль ки у = х 2 і х 2 > 0 , то у > 0 , тобто серед позначених точок не може бути таких, щ о мають від’ ємні ординати. Областю значень функції у = х 2 є всі невід’ ємні числа. Оскільки х 2 — (- х )2, то можна зробити висновок: якщ о точка А (х 0, у 0) належ ить граф іку ф ун кц ії, то й точка В (~х0, у0) також належить графіку (рис. 12). Якби вдалося позначити на координатній площині всі точки, координати яких задовольняють рівняння у = х 2, то отримали б фігуру, яку називають параболою (рис. 13). Точка з координатами (0; 0) поділяє параболу на дві рівні частини, кож ну з яких називають віткою параболи, а саму точку — верш иною параболи. У таблиці наведено властивості функції у — х 2, вивчені у цьому пункті. Область визначення Область значень Графік Нуль функції (значення аргументу, при якому значення функції дорів нює 0)

У сі числа Усі невід’ ємні числа Парабола х = 0

11. Ф ункція у = х 2 та ЇЇ графік

ПРИКЛАД

Розв’ яж іть графічно рівняння х 2 = х + 2. Розв’язання В одній системі координат побудуємо графіки функцій у = х 2 \у = х + 2 (рис. 14). Ці графіки перетинаються у двох точках, абсциси яких дорівнюють 2 і - 1 . Перевірка під твердж ує, щ о знайдені значення є коренями даного рів няння.

•

1. 2. 3. 4.

Щ о є областю визначення функції у = х 2? Щ о є областю значень функції у = х 2? Яка фігура є графіком ф ункції у = х 2? При якому значенні аргументу значення функції у = х 2дорівнює

нулю? Порівняйте значення ф ункції у аргументу.

х 2 при протилежних значеннях

350.° Ф ункцію задано формулою у = х 2. Знайдіть: 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорів нює - 6 ; 0,8; - 1 ,2 ; 150; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 49; 0; 2500; 0,04. 351.° Не виконуючи побудови графіка функції у = х 2, ви значте, чи проходить цей графік через точку: 1) А ( - 8 ; 64); 3) С (0,5 ; 2,5); 2) В ( - 9 ; -8 1 ); 4) І) (0,1; 0,01). 352.' Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій у = х 2 і у = 4х - 4. П обу дуйте графіки даних функцій і позначте знайдені точки. 353.' Розв’ яж іть графічно рівняння: 1) х 2 = х - 1;

2) х 2 - 2х - 3 = 0;

3) х 2 = —. х

354.' Розв’ яж іть графічно рівняння: 1) х 2 = - 4х - 3; 2) х 2 - Зх + 5 = 0; 93

3) х 2 + - = 0. X

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

3 5 5 / У становіть графічно кіл ькість р озв’ язків систем и рівнянь: 1)

ГУ = .

х\

у = 2;

* ) і у - х 2 = 0’ [х - у + 6 = 0 ;

У= х

[у = -2 ;

[ у - х 2 = 0, [2х + 5у - 10.

3 5 6 / У становіть графічно кіл ькість р озв’ язків системи рівнянь: 1)

У= х ,

Зх + 2у = -6 ;

\У = х% [х - З у = - 3 .

357/* Ф ункцію і задано у такий спосіб: 4, якщ о х < - 2, І (*) = х 2, якщ о - 2 < х < 1, 2х - 1, якщ о х > 1. 1) Знайдіть / ( -3 ) , і ( -2 ) , Г ( -1 ) , Г (1), Г (3), / (0,5). 2) Побудуйте графік даної функції. 2х + 3, якщ о х < - 1 , 358.*' Дано функцію / (х) = •х 2, якщ о - 1 < х < 2, 4, якщ о х > 2. 1) Знайдіть Г (-4 ) , / (-0 ,3 ), І (1,9), ^ (3), Г ( -1 ) , І (2). 2) Побудуйте графік даної функції. [х 2, якщ о х < 0, 359.** Дано функцію і (х) = (х + 1, якщ о х > 0. 1) Знайдіть і ( -7 ) , 1 (0), і (2). 2) Побудуйте графік даної функції. 360.' Дано функцію / (х) =

— , якщ о х < - 1, X х 2, якщ о х > - 1 .

1) Знайдіть і (-1 2 ), / ( -1 ) , і (-0 ,9 ), Г (3), І (0). 2) Побудуйте графік даної функції. 361/* Побудуйте графік функції:

11. Ф ункція у

X і та

її графік Уі

/ \ / \ 1 / ч у 0 1

б)

а) Рис. 15

Побудуйте графік функції у = — . X 3 63 ." Знайдіть область визначення, область значень і нулі функції у = - х 2. Побудуйте графік цієї функції. 364.* Побудуйте графік рівняння: 362.

У- X

= 0;

(х І)2 + (у - І ) 2 365. Побудуйте графік рівняння

Х2 - У

У~ х У -х

= 0.

(X + 2) 2 + ( у - 4 ) 2

366. Задайте функцію, графік якої зображено на рисун ку 15, у спосіб, який ви користано в задачі 357. 367.' Задайте функцію, графік якої зображено на рисун ку 16, у спосіб, який ви користано в задачі 357.

І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 368. Доведіть тотож ність: ^ .2 ґ а а,2 + Ь (а + ЬУ а - Ь

а +Ь

а - Ь

369. Розв’ яж іть рівняння: 6

х +З

х +6 г 2 - 2х

= а + Ь.

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

370. Доведіть, що значення виразу 276 - 9' кратне 48. 371. З двох пунктів, відстань між якими дорівнює ЗО км, одночасно назустріч один одному вийшли два п іш охо ди і зустрілися через 3 год 45 хв. Якби один з них вийшов на 2 год раніше за другого, то вони зустрілися б через 4,5 год після виходу першого. Знайдіть швидкості кож ного піш охода. ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

372. Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює: 1) 25 см 2; 2) 1600 дм2; 3) 0,04 м2. 373. Розв’ яж іть рівняння: 1) х 2 = 9;

2) х 2 = — . 49

374. При яких значеннях а рівняння х 2 = а не має к о ренів? 375. Побудувавши графіки функцій у = х 2 і у = 1, знайдіть координати їх спільних точок. УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

376. Натуральні числа х, у, г такі, що х + у, у + г, х + г — прості числа. Доведіть, що серед чисел х, у, г є при наймні два числа, які дорівнюють 1.

1 2 . Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь Розглянемо квадрат, площа якого дорівнює 49 см2. Нехай довжина його сторони дорівнює х см. Тоді рівняння х 2 = 49 можна розглядати як математичну модель задачі про зна ходження сторони квадрата, площа якого дорівнює 49 квад ратним одиницям. Коренями цього рівняння є числа 7 і - 7 , квадрати яких дорівнюють 49. Кажуть, щ о числа 7 и - 7 є квадратними коренями з числа 49. 96

12. Квадратні корені. Ариф метичний квадратний корінь

О і н а ч е н н я К в а д р а т н и м к о р е н е м з числа а нази вають число, квадрат якого дорівню є а. Наведемо кілька прикладів. Квадратними коренями з числа 9 є числа 3 і - 3 . Справ ді, З2 = 9, ( - 3 ) 2 = 9. 25

Квадратними коренями з числа — є числа Справді, (| )

(-!)

* 5

-= .

Квадратним коренем з числа 0 є тільки число 0. Оскільки не існує числа, квадрат якого дорівнює від’ ємному числу, то квадратний корінь з від’ єм ного числа не існує. Додатний корінь рівняння х 2 = 49, число 7, є відповіддю до задачі про знаходження сторони квадрата. Це число називають ариф м етичним квадратним корен ем з ч и с ла 49. Означення. А ри ф м ети чн и м квадратним ко р е н е м з числа а називають невід’ ємне число, квадрат якого дорівню є а. Арифметичний квадратний корінь з числа а позначають 4а. Знак 4~ називають знаком квадратного кореня або радикалом (від латинського слова гайіх — корінь). Запис 4а читають «квадратний корінь з а » , опускаючи при читанні слово «арифметичний». Вираз, який стоїть під знаком радикала, називають під кореневим виразом. Наприклад, у запису 4 ь ^ 5 двочлен Ь - 5 є підкореневим виразом. З означення арифметичного квадратного кореня випливає, що підкореневий вираз може набувати тільки невід’ємних значень. Дію знаходження арифметичного квадратного кореня з числа називають добуванням квадратного кореня. Розглянемо кілька прикладів: 49 - 3, оскільки 3 > 0 і З2 = 9; /25 V 4

5 2

5 ^ п . [5\2 25 - —; 2 \2/ 4

. — = - , оскільки - > 0 і

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

\/о = 0, оскільки 0 > 0 і О2 = 0. Узагалі, якщ о Ь > 0 і Ь2 = а, то \!а = Ь. Д л я будь-якого невід’ ємного числа а справедливо, що \[а > 0 і (у/а) - а . Наприклад, (\[і) = 4 , І\І2) = 2 , (7 5 ,2 ) = 5 ,2 . П ідкреслимо, щ о до поняття квадратного кореня ми прийшли, розв’ язуючи рівняння виду х 2 — а, де а > 0. Коренями цього рівняння є числа, кож не з яких є квад ратним коренем з числа а. Знаходження коренів рівняння х 2 = а проілюструємо, розв’ язавши графічно рівняння х 2 = 4. В одній системі координат побудуємо графіки функцій у = х 2 і у = 4 (рис. 17). Точки перетину цих графіків мають абсциси 2 і - 2 , які й є коренями заданого рівняння. Зрозуміло, що рівняння х 2 = а при а < 0 не має коренів, щ о підтверджують графічні міркування: графіки функцій у = х 2 і у = а при а < 0 спільних точок не мають (рис. 18). При а = 0 рівняння х 2 = а має єдиний корінь х = 0. Графічний метод дозволяє зробити такий висновок: якщ о а > 0, то рівняння х 2 = а має два корені. Дійсно, парабола у = х 2 і пряма у = а, де а > 0, мають дві спільні точки (рис. 18). При цьому коренями рівняння х 2 = а є числа %/а і -\[а. Справді, (\/а) = а, і-\[а) = а.

12. Квадратні корені. Ариф метичний квадратний корінь

Наприклад, рівняння х 2 = 5 має два корені:

і -л/б.

ПРИКЛАД 1

Знайдіть значення виразу (-8 ^2) . Розв’язання Застосувавши правило піднесення добутку до степеня і то тож ність ш

2 - а, отримуємо: ( -8 7 2 )' = (-8 )2 •Ш У = 64 ■2 = 128.

ПРИКЛАД 2

Р озв’ яж іть рівняння: 1) ^ 4 х - 3 - 0 ; 2) V1 + 4~х + 2 = 2. Розв’язання 1) Маємо: ^\[х - 3; \/х = 6. Тоді х = б 2; х = 36. 2) Маємо: >/і + х + 2 = З2; х = 7.

= 2 ; 1 + 7 х + 2 = 22; \Іх + 2 = 3;

ПРИКЛАД З

Р озв’ яж іть рівняння (X - 5)2 = 16. Розв’язання (х - 5)2 = 16; х - 5 = - 4 або х - 5 = 4; х = 1 або х = 9. В і д п о в і д ь : 1; 9. ПРИКЛАД 4

Розв’ яж іть рівняння (Зх - 1)" = 2. Розв’язання (Зх - І ) 2 = 2; Зх - 1 = -7 2 або Зх - 1 = >/2; Зх = 1 - \І2 або Зх = 1 + З Відповідь:

1 - \ І2

1 + У І2

3 99

уі2;

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ПРИКЛАД 5 При яких значеннях х має зміст вираз: 1)

2) - = ? — ? V* -2

Розв’язання 1) Вираз 7 - 5л: має зміст, якщ о підкореневий вираз -5л; набуває невід’ ємних значень. Підкореневий вираз є до бутком двох множників, один з яких є від’ ємним числом. Отже, цей добуток набуватиме невід’ ємних значень, якщо другий множник х буде приймати недодатні значення. В і д п о в і д ь : при х < 0. 2) Даний вираз має зміст, якщ о виконуються дві умови: має зміст вираз 7 х і знаменник 7 х - 2 відмінний від нуля. Отже, повинні одночасно виконуватися дві умови: х > 0 і 7 х - 2 * 0 . Звідси х > 0 і х * 4. В і д п о в і д ь : при х > 0 і х * 4. ПРИКЛАД б Розв’ яж іть рівняння: 1) 7 - х + 7 х - 2 = 2; 2) 7 х 2 - 2 х + 7 х - 2 = 0; 3) (х + 2) 7 х - 2 = 0. Розв’язання 1) Ліва частина даного рівняння має зміст, якщ о підкореневі вирази - х і х - 2 одночасно набувають невід’ ємних значень. Маємо: - х > 0, тоді х < 0. Зрозуміло, щ о при х < 0 вираз х —2 набуває тільки від’ ємних значень. Отже, ліва частина даного рівняння не має змісту. В і д п о в і д ь : коренів немає. 2) Ліва частина даного рівняння є сумою двох доданків, кожен з яких може набувати тільки невід’ ємних значень. Тоді їх сума дорівнюватиме нулю, якщ о кожен з доданків дорівнює нулю. Отже, одночасно мають виконуватися дві умови: 7 х 2 - 2х - 0 і 7 х - 2 = 0. Це означає, що треба знайти спільні корені отриманих рівнянь. У таких ви падках каж уть, щ о треба розв’ язати систему рівнянь: 17х2 - 2х = 0, (7 х - 2 = 0 . 100

12. Квадратні корені. Ариф метичний квадратний корінь

їх - 2 х = 0, Г х ( х - 2 ) = 0, [ х = 0 або х - 2 , Маємо: < < < [ х - 2 = 0; [х = 2; |х = 2. Р озв’ язком останньої системи є число 2. В і д п о в і д ь : 2. 3) В икористовую чи ум ову рівності добутку нулю, отр и муємо: х + 2 = 0 або 7 х - 2 = 0; х = - 2 або х = 2. Проте при х = - 2 вираз 7 х - 2 не має змісту. Отже, дане рівняння має єдиний корінь х = 2. В і д п о в і д ь : 2. !>

1. Щ о називають квадратним коренем з числа а?

2. Щ о називають арифметичним квадратним коренем з числа о? 3. Як позначають арифметичний квадратний корінь з числа а?

4. 5.

7~ ? 7а ?

Як називають знак

Як читають запис 6. Як називають вираз, який стоїть під знаком радикала? 7. Яких значень може набувати підкореневий вираз? 8. Як називають дію знаходження арифметичного квадратного кореня з числа? 2 9. Чому дорівнює значення виразу ( 4 а ) для будь-якого невід' ємного числа? 10. Скільки коренів має рівняння х 2 = а при а > 0? Чому вони дорівнюють? 11. Чи має корені рівняння х 2 = а при а = 0? при а < 0?

377.° Чому дорівнює квадратний корінь з числа 16? з чис ла 1? з числа 0? Чому дорівнює арифметичний квад ратний корінь з цих чисел? 378.° Чи є правильною рівність (відповідь обґрунтуйте): 1 ) 7 2 5 = 5;

3 )> /3 6 = - 6 ;

5) ^0,81 = 0 ,9 ;

2) То = 0 ; 4) ТоГЇ = 0,2; 6 )7 Ї0 = 1 0 0 ? 379.° Знайдіть значення арифметичного квадратного к о реня: 1) 4 9 ;

2) 749;

3) 7 Ї0 0 ; 101

4)7225;

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

5) 7 Ш ;

8) 7 Ш ;

11)

14) ^

;

6) л/0,01;

9) 7 Ї0 0 ;

12)

15) 70,0004;

7) 71721;

10) 73600;

13) . 1 — ; 16) 70,000025. V 16 380.° Знайдіть значення арифметичного квадратного к о реня: 1)

736;

7 0,04;

7) 72500;

10)

764;

7 о749;

8) 7 ю 000;

11) 7 ^ 0 0 0 9 ;

7 Ї44;

7Гб9;

9) у [ ^ ;

12) 7оГоЇ96-

381.° Чи має зміст вираз:

5 )(7 І 2 Ґ ?

1 )7 2 ;

3 )7 ^ 2 ;

2) -7 2 ;

4) Т М ) 2;

382.° А риф м етичний квадратний корін ь з як ого числа дорівнює: 1 )4 ;

2 )0 ;

3 ) 0 ,8 ;

4 )2 ^ ;

5 ) 1 ,6 ;

6 )-9 ?

383.° Користуючись таблицею квадратів натуральних чисел, розміщ еною на форзаці, знайдіть: 1) 7484;

4) 75929;

7) 768 ,89 ;

2) 7729;

5) 75,76;

8) 767 600;

3) 71156;

6) 714,44;

9) 7384 400.

1) 7841;

3) 79,61;

5) 772,25;

2) 71296;

4) 7Ю ,24;

6) 7672 400.

Знайдіть:

385.° Користуючись мікрокалькулятором, знайдіть значен ня квадратного кореня (результат округліть до со тих): 1) 72;

2) 77;

3) 7 Й ; 102

4) Т Г в ;

5) 72,439.

12. Квадратні корені. Ариф метичний квадратний корінь

386.° Користуючись мікрокалькулятором, знайдіть значен ня квадратного кореня (результат округліть до сотих): 2) у[5Л; 3) ТІО; 1) Т§; 387.° Знайдіть значення виразу: 1) (Т7)2;

4) -(ТІО)2;

5) (2Тз)2;

Ті 7Ч 8 ,( 1 ^ ;

3) (-Т ії)2; 388.° Обчисліть:

4) ^12,56.

9) ( - 0 , 3 Т2)2 6)

1) (Тб)2;

з) (3 Т2 )2;

2) (-Т2І)2;

4) (-4 Т 5 )2;

в) (І ^ г в ) .

389.° Знайдіть значення виразу: 7) ^ Т О 0 9 -2 ;

1) Т іб + 9;

2) ТЇ6 + 79;

8) -2 ТО, 16 + 0,7;

3) 7 3 6 - 7 4 9 ;

9) (ТГз)2- 3 •(Тв)2;

4) 736 •Т І9;

10) |-(Т Ї8)2-(|Т24)^;

5) 5 7 4 - 7 2 5 ;

11) 50

6) ТО, 81 + 70 , 01 ;

12) 74 - 52 - б 2.

■ И

;

390.° Обчисліть значення виразу: 1 ) Тз + Т зб;

4) і 7900+0,271600;

2) Т72-Т64;

5) (27б)2 - 3(^/2Ї)2;

3) ТЇ6 •Т225; 6) ТіО2 - 4 -З2. 391.° Знайдіть значення виразу: 1) Ті2 + а, якщо а = 0,25; 2) Т7 - 36, якщо 6 = 2; 3) 72а - Ь, якщо а = 34, Ь = 19. 103

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

392.° Знайдіть значення виразу: 1) \/27 + т, якщ о т = 54; 2) 7 т - Зп,якщ о т = 0,13, п = -0 ,0 4 . 393.° Р озв’ яжіть рівняння: 1) 7 х = 9 ;

3) 7 х - 0,2 = 0 ;

2) 7 х = - 1 6 ;

3 )7 * -

395.° Розв’ яж іть рівняння: 1) ж2 = 25; 2) х 2 = 0,49; 3) х 2 = 3; 396.° Р озв’ яж іть рівняння: 1) х 2 = 100; 2) х 2 = 0,81; 3) х 2 = 7; 397." Знайдіть значення виразу:

| N3

1 )7 * =20;

4) Т х + 7 = 0.

СО

2) 7 х = ± ; 4 3 9 4 / Розв’ яж іть рівняння:

4) х 2 = -2 5 . 4) х 2 = 3,6.

1) -0,06 •Л о 000 + -7=2= - 2,5 73,24; V256

2) 764 •7 М 5 + 72а + 17; 3) > /і| ї + 3 ^ 7 Ї - 0 , б 7 з 0 2 5 ;

4) (і 775^ +7262 - 2 4 2;

5) (з Тв)2 + (8 7з)2 - 2 (724 )2; 6)

7 Ї4 4 : 76,04 - 72^56 •72500.

398." Знайдіть значення виразу: 1) 0,15 7 3 6 0 0 - 0 ,1 8 7 4 0 0 + ( ю 7 0 , 08 )2; 2)— л 1— + 7 8 2 + 152; Т збї 14 V 169 3) ( - 8 ^ + ^ Ї . 7

2 , 2 5 ] : ( о, і 7 ЇЗ )2.

3 9 9 / При яких значеннях х має зміст вираз: 1) 7 х ;

2) уР

х;

3) Т х2; 104

4) 7 - х 2;

12. Квадратні корені. Ариф метичний квадратний корінь

5) 7 х - 8;

8) 7 ( * - 8 ) 2;

П ) -т^ — ;

14) 7 М ;

6) 7 * Г ^ ;

12) 7 х • 7 - х ;

15) ^/-| х |;

. 1

7* + з

7 (* - ®)

7) 7 х 2 + 8;

10)

;

13)

їв )

7 * •7 -х 7* - з 400.* При яких значеннях у має зміст вираз: і ) 72у; 2) 7-З у ;

5) 7 - у 4;

3) V*/3;

л/М

7 » -і’ 1 ? 8) 7^ + 1

і 7Г

Розв’ яж іть рівняння: 1) 7бх - 4 ==0 ;

3) 75 х - 4 ==6 ;

б) 7 х ^ - 3 6 - 8 ,

2) 75 х - 4 =: 0 ;

4 ) - £ = 6; \х Розв’ яж іть рівняння: * 1) -У ІХ - 2 = 0;

“ --9 ; \ІХ + 3

\1х -

- = 6; 5

2) 72 х + 3 ==ї ї ; 4) 7 і з о - х 2 = 9 Р озв’ яж іть рівняння: 1) (х + б )2 == 0; 3) (х + 6Г = 3; 2) (х + б )2 == 9; 4) (7х + б)2 = 5. Розв’ яж іть рівняння: 1) (2х - З)2 = 25; 2) (х - З)2 = 7; 3 ) (2х -- З)2 = 7 405.’* Розв’ яж іть рівняння:

1) 7з + 72 + х = 4; 2) \І2 + \' 3 + 7 ? = 3; 3) > І 4 - 7 і О + V ? = 2.

406." Р озв’ яж іть рівняння: 1) >/і7 + 7 7 х ^ 6 = 5 ;

2) у}і + УІ2 + 1 х = 1 .

407.*’ При яких значеннях а і 6 має зміст вираз:

1) л/аб;

2) 7 -а і»;

3) 7 аЬ2; 105

4) 7 а262;

5) 7 -а 26 ?

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

408.” Чи можна стверджувати, що при будь-якому значенні х має зміст вираз: 1) ч/х2 - 4х + 4; 2) \Іх2 - 4х + 5 ? 4 0 9 ." Доведіть, що не існує такого значення х , при якому має зміст вираз уі- х 2 + 6л: - 12. 410 ." Який з даних виразів має зміст при будь-якому зна ченні х: 1) \Іх2 + 8х + 15; 4 1 1 ." Р озв’ яж іть рівняння:

2) %/х2 - 1 0 х + 2 7 ?

1) л/х = -х ;

4) \/х2 + 2х + \Іх2 - 4 = 0 ;

2) Т^ + ч /х - 1 = 0 ;

5) (х - 1) %/хн-Т = 0 ;

3) \1х2 - х + \ Іх- 1 = 0 ;

6) (х +1) \Іх —1 = 0.

4 12 ." Розв’ яж іть рівняння: 1) \/х +

уі^х

2) 7 х + ^

= 0;

3) \Іх2 - 2х + 1 + 7 х 2 - 1 = 0 ;

= 1;

4) (х - 2) ч/х - 3 = 0.

413 ." При яких значеннях а рівняння х 2 = а + 1: 1) має два корені; 2) має один корінь; 3) не має коренів? 4 1 4 ." Побудуйте графік функції: 1) у =

уі- х 2;

2) у = 7 - х 2 - 4х - 4 + 2; 3) у = (Т х ) . 415." Побудуйте графік функції у = \І2х - 1 - х 2 - 1 . 416.* Для кож ного значення а розв’ яж іть рівняння: 1) а л/х - 1 = 0 ;

3) а \/х - 1 = а;

2) 7(а - 1) х = 0 ;

у іх - 2

= а.

4 1 7 / При яких значеннях а рівняння (-Ух - і|(х - а) = 0 має тільки один корінь?

106

Коли зроблено уроки

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

418. Будинки на вулиці пронумеровано поспіль числами від 1 до 24. Скільки разів цифра 1 зустрічається в нуме рації? 419. Спростіть вираз: 28 —а

М - 5+ \а - 2

!\“ а + 5 + а -

— Ч/ 5 - а + а -+ 5

е і

5 .

420. Робітник одержав 470 грн. авансу купюрами по 5 грн. і по 20 грн. Скільки було купюр кож ного виду, якщ о всього було 31 купюра?

І ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ н о во ї ТЕМИ 421. Порівняйте: 1) 2,4578 і 2,4569; 2) -1,9806 і -1,981. 422. Прочитайте періодичний дріб і назвіть його період: 1) 0,(5); 2) 1,(32); 3) 8,4(65); 4) 3,424242.... 423. Перетворіть у десятковий дріб: 1)

3) — ;

—;

5) — .

424. Перетворіть звичайний дріб у нескінченний періодич ний десятковий дріб і визначте його період:

1) ’

2) — ;

3) — ;

4) — . 33

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

425. Знайдіть усі тризначні натуральні числа п такі, що сума цифр числа п в 11 разів менша від самого числа п. КОЛИ ЗРОБЛЕНО УРОКИ_____________________

Чи р ост ут ь у городі радикали? У Стародавній Греції дію добування кореня ототож ню вали з пош уком сторони квадрата за його площею, а сам квадратний корінь називали «сторон ою ». У Стародавній Індії слово «мула» означало «п очаток», «основа», «корінь дерева». Це слово почали застосовувати 107

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

і до сторони квадрата, виходячи, мож ли во, з такої асоціації: із сторони квадрата, як з кореня, виростає сам квадрат. М ож ливо, том у в латинській м ові поняття «сторона» і «корінь» виражаються одним і тим самим словом — гасііх. Від цього слова походить термін «радикал». Слово гасііх можна також перекласти як «редис», тобто коренеплід — рослина, їстівною частиною якої є корінь. У Х ІІІ-Х У ст. європейські математики, скорочуючи слово гасііх, позначали квадратний корінь знака ми К, К, В*. Наприклад, запис \І7 мав такий вигляд: Я27. У XVI ст. стали використовувати знак V. П оходження цього символу, мабуть, пов’ язано з рукописною латинською буквою г. У XVII ст. видатний французький математик Рене Декарт, поєднавши знак V з горизонтальною рискою , отримав символ \Г, який ми використовуємо сьогодні.

Числові

МНОЖ ИНИ

Натуральні числа — це перші числа, якими почали к о ристуватися люди. З ними ви ознайомилися, коли вчилися рахувати предмети. У сі натуральні числа утворю ють мно жину натуральних чисел, яку позначають буквою N. Той факт, що деяке число т є натуральним, тобто нале ж ить множині натуральних чисел, позначають так: т є N (читають: «ем належить єн »). Наприклад, 5 є N. Число 0 не є натуральним. Пишуть 0 Є N (читають: «нуль не нале ж ить єн »). П рактичні потреби привели до виникнення дробових чисел. Пізніше з ’ явилася необхідність розглядати величи ни, для характеристики яких додатних чисел виявилося недостатньо. Так виникли від’ ємні числа. Усі натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль утворюють множину цілих чисел, яку позначають буквою 2. 108

13. Числові м нож ини

Наприклад, - 2 є 2", 0 є 2 , 5 є 2. Множина натуральних чисел є части ною множини цілих чисел. Говорять, що множина N є підмнож иною множини 2 , і пишуть N с 2 (читають: «єн підмножина зет»). Цілі й дробові (як додатні, так і від’ єм ні) числа утворюють множину раціональних чисел, яку позначають буквою (?.

Рис. 19

Наприклад, - є <2, - 0 ,2 є (?, 0 є (?, -З є (?, 15 є (?. З Зрозуміло, що 2 с <?. Схема, зображена на рисунку 19, показує, як пов’ язані між собою множини N , 2 і Кожне раціональне число можна подати у вигляді від ношення — , де т п

— ціле число, а п — натуральне. На-

приклад, 5 = ^ ; - 3 = ^ ; 0,2 = ^ ; 0 = ^ ; 5,3 = ^ . 1 1 О і II) З мож ливістю такого подання пов’ язана назва «раціо нальне число»: одним з перекладів латинського слова гаііо є «віднош ення». У VI класі ви дізналися, що кож не раціональне число можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу або у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Для дробу — таке подання можна отримати, виконавши п

ділення числа т на число п «к уточ к ом ». Наприклад, - = 0 ,6 2 5 ; — = 0 ,4 5 4 5 4 5 .... 8 11 Число ^ записано у вигляді скінченного десяткового дробу, а число ^

— у вигляді нескінченного десяткового

періодичного дробу. У запису 0,454545... цифри 4 і 5 періо дично повторюються. Групу цифр, яка повторюється, називають періодом дробу і записують 0,(45), тобто — = 0,(45). Зауважимо, щ о будь-який скінченний десятковий дріб і будь-яке ціле число можна подати у вигляді нескінченно го десяткового періодичного дробу. Наприклад, 109

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

0,625 = 0,6250 000... = 0,625(0);

2 , 000 ...

2 ,( 0 ).

Отже, кожне раціон альне число можна подат и у ви гляді нескінченного десят кового періодичного дробу. Справедливим є й таке твердження: кожний нескінчен ний десят ковий періодичний дріб є записом деяк ого р а ціонального числа. У IX класі ви навчитеся записувати нескінченний десятковий періодичний дріб у вигляді зви чайного дробу. Сума і добуток двох натуральних чисел є натуральними числами. Проте різниця таку властивість має не завжди. Наприклад, (5 - 7) Є N. Сума, різниця, добуток двох цілих чисел є цілими числами. 5 Проте частка таку властивість не має. Наприклад, - і. 2. Сума, різниця, добуток і частка (крім ділення на нуль) двох раціональних чисел є раціональними числами. Отже, дія віднімання мож е вивести результат за межі множини N, дія ділення — за межі множини 2 , проте ви конання будь-якої з чотирьох арифметичних дій не виво дить результат за межі множини (?. Ви познайомилися з новою дією — добуванням квадрат ного кореня. Виникає природне запитання: чи завжди квадратний корінь з невід’ ємного раціонального числа є чис ло раціональне? Розглянемо рівняння х 2 = 2. Оскільки 2 > 0, то рівняння має два корені: 72 і - 7 2 (рис. 20). Проте не існує раціо нального числа, квадрат якого дорівнює 2 (доведення цього факту ви можете знайти в роз ділі «К оли зроблено у р о к и »), тобто числа 72 і -7 2 не є раціо нальними. їх називають ірраціо нальними (приставка «ір» озна чає заперечення). Отже, дія добування кореня з раціонального числа може ви вести результат за межі множ и ни ф. 110

13. Числові м нож ини

Ж одн е ірраціональне чи сл о не м ож н а подати у вигляді

дробу — , де т е 2 , п е N , а отж е, й у вигляді нескінчен ні ного періодичного десяткового дробу. Ірраціональні числа мож уть бути подані у вигляді не скінченних неперіодичних десяткових дробів. Наприклад, за допомогою спеціальної ком п’ютерної про грами можна встановити, що уі2

= 1,4142135623730950488016887242097... .

Числа V2 і - 7 2 — це не перші ірраціональні числа, з якими ви зустрічаєтесь. Число я, яке дорівнює віднош ен ню довжини кола до діаметра, є ірраціональним: ті = 3,1415926535897932384626433832795028841971693... Ірраціональні числа виникають не тільки в результаті добування квадратних коренів. їх можна конструювати, будуючи нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Наприклад, число 0 ,1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ... (після коми записуються послідовно степені числа 10) є ірраціо нальним. Дійсно, якщ о припустити, щ о цей десятковий дріб має період, який складається з п цифр, то з деякого місця він повністю складатиметься з нулів, тобто почина ючи з цього місця в запису не повинно бути ж одної одини ці, що суперечить конструкції числа. М ножини ірраціональних і раціональних чисел утворю ють множину дійсних чисел, яку позначають буквою К. Тепер «ланцю ж ок» N с 2 с ф можна продовжити: N с 2 с С? с Я. Дійсні числа На заняттях матема тичного гуртка ви може те д ізн а т и ся , щ о цей ланцюжок також можна продовжити. Зв’ язок між числови ми множинами, які роз глянуто в цьому пункті, ілю струє схема, зобра жена на рисунку 21. 111

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Над дійсними числами можна виконувати чотири ариф метичних дії (крім ділення на нуль), у результаті отрим у ватимемо дійсне число. Цим діям притаманні звичні для вас властивості: а + Ь= Ь+ а

переставна властивість додавання

аЬ — Ьа

переставна властивість множення

(а + Ь) + с = а + (Ь + с) сполучна властивість додавання (аЬ) с = а (Ьс) а (Ь + с) = аЬ + ас

сполучна властивість множення розподільна властивість

Додатні дійсні числа можна порівнювати, використовуючи правила порівнювання десяткови х дробів, тобто порівнювання цифр у відповідних розрядах. Наприклад, 7,853126... < 7,853211... . Будь-яке додатне дійсне число більше за нуль і за будьяке від’ ємне дійсне число. Будь-яке від’ ємне дійсне число менше від нуля. Знаходячи довжину кола і площу круга, ви користува лися наближеним значенням числа л (я = 3,14). Аналогічно при розв’ язуванні практичних задач, де необхідно викона ти дії з дійсними числами, ці числа заміняють їх наближе ними значеннями. Наприклад, \І2 ~ 1,41. На закінчення підкреслимо, що з будь-якого невід’ємного дійсного числа можна добути квадратний корінь і в резуль таті цієї дії отримати дійсне число, тобто дія добуття квад ратного кореня з невід’ ємного дійсного числа не виводить результат за межі множини Д. • 1. Якою буквою позначають множину натуральних чисел? 2. Щ о означає запис т є N7 Як читають цей запис? 3. Як читають запис а € N7 4. Які числа утворюють множину цілих чисел? 5. Якою буквою позначають множину цілих чисел? 6. У яком у випадку одна м нож ина є під м н о ж и ною інш ої м н о жини? 7. Як читають запис N с 21 8 . Які числа утворюють множину раціональних чисел? 112

13. Числові множ ини

9. Якою буквою позначають множину раціональних чисел? 10. У вигляді якого відношення можна подати кожне раціональне число? 11. Як пов'язані між собою раціональні числа і нескінченні десяткові періодичні дроби? 12. Як називають числа, які не є раціональними? 13. Які множини утворюють разом множину дійсних чисел? 14. Якою буквою позначають множину дійсних чисел? 15. Як взаємопов'язані м ножини ЛГ, 2 , ^ і Л?

426.° Яке з наведених тверджень хибне: 1) - 3 — дійсне число; 2) - 3 — раціональне число; 3) - 3 — ціле число; 4) - 3 — натуральне число? 427.® Чи є правильним твердження: 1) 1 є АГ;

4) 1 € й ;

7) ^7 ї й ;

2) 1 є 2 ;

5) - 2 ,3 є АГ;

8) Т І 2 Ї е Д;

3) 1 є (?;

6) - 2 ,3 є Д;

Д? О

428.° Чи є правильним

твердження:

1) 0 є ЛГ;

4) - | є <2;

7) ^9 є 2;

2) 0 е 2 ;

5) - | й Д;

8) ^9 є Д?

3) 0 є Д;

6) 79 є <2;

429.° Чи є правильним твердження: 1) будь-яке натуральне число є цілим; 2) будь-яке натуральне число є раціональним; 3) будь-яке натуральне число є дійсним; 4) будь-яке раціональне число є цілим; 5) будь-яке дійсне число є раціональним; 6) будь-яке раціональне число є дійсним; 7) будь-яке ірраціональне число є дійсним; 8) будь-яке дійсне число є раціональним або ірраціо нальним? 430.° Я кі з даних нескінченних дробів є записами раціо нальних чисел, а які — ірраціональних: 113

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

431.° 432.° 433/

434/

1) 0,(3); 2) 0,4(32); 3) 0,20200200020... (кількість нулів між сусідніми двійками послідовно збільш ується на 1)? Порівняйте: 1) 6 ,5 4 2 ... і 6 ,4 5 2 ... ; 2) -2 4 ,0 6 4 ... і -2 4 ,1 6 5 ... . Порівняйте: 1) 0 ,2 3 4 ... і 0 ,2 2 5 ... ; 2) -1 ,3 3 3 ... і -1 ,3 4 5 ... . Укаж іть яке-небудь значення а, при якому рівняння х 2 = а: 1) має два раціональні корені; 2) має два ірраціональні корені; 3) не має коренів. Порівняйте числа: 1) у

і 6,12;

4) -2 ,(3 6 ) і -2 ,3 6 ;

2) 3,(24) і 3,24; 3) я і 3,(14); 435.' Порівняйте числа: 1) -

і 0,2;

5) 7,(18) і 7,(17).

2) £ і 0,77; 9

3) -1 ,(6 4 5 ) і -1 ,(6 4 3 ).

4 3 6 / Запишіть у порядку спадання числа 3,(16); я; -1 ,8 2 ...; -0 ,0 8 ...; 2,(136). 4 3 7 / Запишіть у порядку зростання числа 1,57; 1 ,5 7 1 ...; £

1,(56); 1,(572).

4 3 8 /' Доведіть, що сума, різниця, добуток і частка двох раціональних чисел є число раціональне. 439.” Доведіть, що сума раціонального та ірраціонального чисел є число ірраціональне. 4 4 0 /' Чи правильно, що: 1) сума будь-яких двох ірраціональних чисел є число ірраціональне; 2) добуток будь-яких двох ірраціональних чисел є чис ло ірраціональне; 3) добуток будь-якого ірраціонального числа і будьякого раціонального числа є число ірраціональне? 114

13. Числові м нож ини

Г ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 441. У кожному під’їзді на кожному поверсі дев’ятиповерхового будинку є по 8 квартир. У якому під’ їзді і на якому поверсі знаходиться квартира № 186? 442. Натуральні числа а і Ь такі, що а — парне число, а Ь — непарне. Значення якого з даних виразів не може бути натуральним числом:

2) 4 ;

5а

4) Ь -1

443. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної значення виразу не залежить від значення а: 4 - 4а + а

2 + “ 2^— )•(а - 2 ) 2 - ^ Г • а - 4/

а+2

444. У цеберці є кілька літрів води. Я кщ о відлити полови ну води, то в ньому залишиться на 14 л води менше, ніж вміщ ується в цеберці. Я кщ о долити 4 л, то об’ єм 2 води становитиме - того, щ о вміщ ує цеберко. Скільки з літрів води вміщ ує цеберко?

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 445. Знайдіть значення виразу: 1) |-3,5 |- |2,6 |; 2) |- 9 ,6 |- |-32 |. 446. Модуль якого числа дорівнює 6? 447. Для яких чисел виконується рівність: 1) |а |= а;

2) |а і = -а ; 3) І а І = |- а |; 4) |а |= - |а |? 448. Для яких чисел одночасно виконуються обидві рівності |а| = а і | а | = — а? 449. Знайдіть значення кож ного з виразів а2, ( - а ) 2, |а \2 при а = - 8 і при а = 7. Зробіть висновок. 450. Відомо, що а > 0, с < 0. Порівняйте з нулем значення виразу: 1) « V ; 2) о с 5. 115

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

^ УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 451. У класі ЗО учнів. Вони сидять за 15 партами так, що половина всіх дівчат класу сидять з хлопцями. До ведіть, що учнів не можна пересадити так, щоб поло вина всіх хлопців класу сиділо з дівчатами. _____________

КОЛИ ЗРОБЛЕНО УРОКИ

__________

Відкриття ірраціональності У п. 13, розв’ язуючи графічно рівняння х 2 = 2, ми вста новили, щ о довжина кож ного з відрізків ОА і ОБ дорівнює

72 (рис. 22). П окаж емо, що число 72 ірраціональне. П рииустимо, що число

уі2

раціональне. Тоді його м ож

на подати у вигляді нескоротного дробу — , де т і п — на туральні числа. Маємо: 72=^. п

Тоді (>/2) = (—) , 2 = ^ \ , т2 = 2л2. \п І

З останньої рівності випливає, що число т2 парне. А це означає, що парним є і число т. Тоді т = 2к, де к — деяке натуральне число. Маємо: (2 к)2 = 2п2; 4к2 = 2 ті2; п2 = 2к2. Звідси випливає, що число п2, а отж е, і число п є парні. Таким чином, чисельник і знаменник дробу — — парні п

числа. Отже, цей дріб є скоротним. Отримали суперечність. Цей приклад демонструє, що існують відрізки (у нашому випадку це відрізки ОА і ОВ на рисунку 22), довжини яких не виражаються раціональними числами, тобто для вимірювання в ідр ізк ів р а ц іон а л ьн и х чисел недостатньо. Цей факт було відкрито у ш ко лі в ел и к ого д а в н ь огр ец ь к ого вченого Піфагора. Спочатку піфагорійці вважа ли, що для будь-яких відрізків 116

Коли зроблено уроки

А В і СБ завж ди мож на знайти такий відрізок М N , який у кожному з них вкла дається ціле число разів. Звідси виплива ло, щ о віднош ення довж ин будь-яких двох відрізків виражається відношенням натуральних чисел, тобто раціональним числом. Наприклад, на рисунку 23 АВ = 5МЛГ, СВ = 2М И і

= - . Відрізок ММ назива Піфагор єм 2 (бл. 570 — ють спільною м ірою відрізків А В і С£). бл. 500 р. Я кщ о для відрізків існує спільна міра, до н. е.) то їх називають спільномірними. Напри клад, відрізки АВ і С£> (рис. 23) є спільномірними. Отже, давньогрецькі вчені вважали, що будь-які два відрізки є спільномірними. А це надавало змогу виразити довжину будь-якого відрізка раціональним числом. Справді, нехай деякий відрізок АВ обрано за одиничний. Тоді для відрізка АВ і будь-якого інш ого відрізка СБ існує відрізок є, який є їх спільною мірою. Отримуємо АВ = пе, С£> = те, де т і п — деякі натуральні числа. Звідси т СО _ т е _ пг Оскільки АВ = 1, то СВ = АВ

пе

Проте самі ж піфагорійці зробили видатне відкриття. Вони довели, що А діагональ і сторона квадрата неспіль Сномірні, тобто якщ о сторону квадрата взяти за одиницю, то довжину діаго м налі квадрата виразити раціональним числом не можна. Для доведення розглянемо довіль ний квадрат АВ СБ і візьм ем о його стор он у за одиницю довж ини. Тоді його площа дорівнює АВ 2 = 1. На діа гоналі АС побудуєм о квадрат А С Е Ґ (рис.24). Зрозуміло, що площа квадра та АСЕР у 2 рази більш а за площу квадрата АВСБ. Звідси АС2 = 2, тобто 117

.в >£> •АГ Рис. 2 3

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

АС = уі2. Отже, довжина діагоналі АС не виражається ра ціональним числом. Це відкриття змінило один з фундаментальних посту латів давньогрецьких вчених, який полягав у тому, що відношення будь-яких двох величин виражається відношен ням цілих чисел. Існує легенда про те, що піфагорійці тримали відкриття ірраціональних чисел у найсуворішій таємниці, а людину, яка розголосила цей факт, покарали боги: вона загинула під час корабельної катастрофи.

І ВПРАВИ 1. Доведіть, щ о число -у/з — ірраціональне. 2. Доведіть, що коли натуральне число п не є квадратом натурального числа, то число 4п — ірраціональне.

1 4 . Властивості арифметичного квадратного кореня Легко перевірити, що ч/б2 = 5, \]і,42 = 1,4, \[о2 = 0. Може здаватися, що взагалі у/аі2" = а. Проте це не так. Наприклад, рівність у/(-5)2 = -5 є неправильною, оскільки -5 < 0, на справді 7(-5)2 = лІ25 = 5. Також можна переконатися, що, наприклад, \](-7)2 = 7, у](-2,8)2 = 2 ,8 . Узагалі, є справедливою наступна теорема. Т е о р е м а 14.1. Д л я будь-як ого дійсного числа а вико н уєт ься рівніст ь Д о в е д е н н я . О Для того щоб довести рівність у[а = Ь, треба показати, щ о Ь > 0 і Ь2 = а. Маємо: |а \> 0 при будь-якому а. Також з означення модуля випливає, щ о (| а |)2 = а 2. А Наступна теорема узагальнює доведений факт. 118

14. Властивості арифметичного квадратного кореня

1 4 .2 ( а р и ф м е т и ч н и й к в а д р а т н и й к о р і н ь і з с т е п е н я ) . Д л я будь-як и х дійсного числа а і нат урального числа п виконуєт ься рівніст ь

Теорема

4 а * = |в"|.

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теоре ми 14.1. Проведіть це доведення самостійно. 1 4 .3 ( а р и ф м е т и ч н и й квадратний к о р і н ь з д о б у т к у ). Д л я б удь-як и х дійсних чисел а і Ь т аких, що а > 0 і Ь > 0, виконуєт ься рівніст ь

Теорема

4аЬ —4а •4 ь. Д о в е д е н н я . © Маємо: 4а > 0 і 4ь > 0. Тоді 4а •4 ь > 0. Крім того, (4а ■4 ь) = (4 а ) •(4 ь ) = аЬ. Отже, вираз 4а •4і> набуває тільки невід’ ємних значень, і його квадрат дорів нює аЬ. ▲ Зазначимо, що ця теорема є справедливою для добутку будь-якої кількості множників. Наприклад, якщо а > 0, Ь > 0 і с > 0, то 4аЬс = 4їаЬ)с = 4аЬ •4с = 4а •4Ї> •4с.

1 4 .4 ( а р и ф м е т и ч н и й квадратний к о р і н ь з д р о б у ) . Д л я будь-як и х дійсних чисел а і Ь т аких, що а > 0 і Ь > 0 , вик онуєт ься рівніст ь

Теорема

І£ — Та V* ’ Т Г

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теоре ми 14.3. Зрозуміло, що з двох квадратів, площі яких 5 1 і 3 2 (рис.25), більшу сторону має той, у якого площа більша, тобто якщо 5, > 3 2, то ^5^ > у/з^. Це очевидне міркування ілюструє таку властивість арифметичного квадратного кореня: для будь-як и х н евід’ єм них чи &’2 сел а 1 і а 2 т аких, що а 1 > а2, викону єт ься нерівніст ь

у [а [ > у[а^. 119

Рис. 25

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ПРИКЛАД 1

Знайдіть значення виразу: 1) 7 (-7 ,3 )2;

2) у і і ¥ ;

3) 7 0 ,8 1 -2 2 5 ;

4) Ж V 49

Р озв’язання 1) 7 (-7 ,3 )2 =|-7,3| = 7,3. 2) Т Г 2Т = 1,22 = 1,44. 3) 7 0 ,8 1 -2 2 5 = 7 0 ,8 1 -7 2 2 5 = 0 ,9 - 1 5 = 13,5. [їв _ 7 І 6 _ 4 } V 49 ~ 7 49 _ 7 *

ПРИКЛАД 2

Знайдіть значення виразу: 1) 7 І 8 - 7 2 ;

2) V150

Розв’язання

1) Замінивши добуток коренів коренем з добутку, дістанемо: 7 Ї 8 •72 = 718 •2 = 736 = 6. 2) Замінивши частку коренів коренем з частки (дробу), матимемо: 724 _ /~24~ 71^ V 150

ГГ _ 2 V 25 5’

ПРИКЛАД З

Спростіть вираз: 1) 7 а 14; 2) 79а0, якщо а < 0; 3 )7 т 2п2, якщ о т > 0, га < 0; 4) 7 а а6. Розв’язання

1) За теоремою про корінь зі степеня маємо: і 77 І 7 І {а1, якщо а > 0, 7 а 14= | а '| = 7 [ - а , якщо а < 0. 2) Маємо

7 9 а 6 = 3 •|а3 \. Оскільки за умовою а < 0, то

а3 < 0. Тоді

79а® = 3 •|а3 |= -За3. 3) УІт2п2 = |т |•|п |= т •( - п) = -т п. 120

14. Властивості арифметичного квадратного кореня

7 а 36 = |а 18 |. Оскільки а 18 > 0, то 7 а яг’ = |а 18 |= а 18.

ПРИКЛАД 4 Знайдіть значення виразу: 1) 7 3 7 2 - 122;

2) 78 •648;

3) 7 1 6 ,9 -0 ,4 .

Р озв’язання 1) Перетворивши підкореневий вираз за формулою різниці квадратів, отримуємо: 7 3 7 2 - 1 2 2 = 7 ( 3 7 - 1 2 ) (37 + 12) = 725^49 = 5 •7 = 35. 2) Подавши підкореневий вираз у вигляді добутку квадратів раціональних чисел, маємо: 78• 648 = 7 8 - 2 - 3 2 4 = 7 і6 •324 - 4 •18 = 72. 3) 7 1 6 ,9 -0 ,4 = 7 1 6 9 -0 ,0 4 = 1 3 -0 ,2 = 2,6. ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції у = 7 х 2 + х. Розв’язання

У,

Оскільки ЛІХ2 = І х |, то у = І X І + X. Я кщ о х > 0, то у = х + х = 2х. Я кщ о х < 0, то у = - х + х = 0. 2х, якщ о х > 0, Отже, у = 0, якщ о х < 0. Графік функції зображено на рисун ку 26.

1 0

Рис. 26

1. Якому виразу тотожно дорівнює вираз \Іа ? 2. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь зі степеня. 3. Сформулюйте теорему про корінь з добутку. 4. Сформулюйте теорему про корінь з дробу. 5. Відомо, що невід'ємні числа а 1 і а2 такі, що ах > а2. Порівняйте значення виразів л/а^ і у[а^. 121

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

452.° Чому дорівнює значення виразу: 1) х /0 4 1;

4) 3 ^ ¥ ;

7) 5 7 (-Ю )4;

2) 7 (-1 ,8 )2;

5) Тв4";

8) - 4 7 ( - і ) 14;

3) 2 у І{- 15)2;

6) 7(-2)10;

9) -1о7з° ?

453.° Знайдіть значення виразу: 1) 7 а 2, якщ о а = 4,6; -1 8 ,6 ; 2) 7б*, якщ о Ь = - 3 ; 1,2; 3) 0,1 л/с®, якщ о с = - 2 ; 5.

454.° Обчисліть значення виразу: 9) 7 2 5 -6 4 -0 ,3 6 ;

1) 79 •25; 2) 7 1 6 -2 5 0 0 ;

10) 7 0 ,0 1 -0 ,8 1 -2 5 0 0 ;

3) 7 0 ,6 4 -3 6 ;

н ) Ж100;

4) 7 4 0 0 -1 ,4 4 ;

12)

5) 7 0 ,0 9 -0 ,0 4 ;

13)

6) 7 6 ,2 5 -0 ,1 6 ;

14)

7) 7 б 2 - З4;

15) ’ >36-81

8) 772 -2 8;

ЙЕ. \ /2 5 б ’

,/з — - 2 — ;

' V

Е П ш

7 V 2 5 -100

455.° Чому дорівнює значення виразу: 1) 7 3 6 -8 1 ;

5) 7 0 ,3 6 -1 ,2 1 ;

9) 7 2 ,2 5 -0 ,0 4 -1 6 0 0 ;

2) 7 9 0 0 -4 9 ;

6) 7б2 - З6;

Ю) л|13|;

3) 7 1 6 -0 ,2 5 ;

7) 7 4 4 - З2;

11)

79 -1,69 ;

8) 7 2 ° -5 2; 122

12)

7 1

- - —; 9

_9_ 25

14. Властивості арифметичного квадратного кореня

456.° Знайдіть значення виразу: 1) 7 Ї 2 - 7 3 ;

4) 7 0 ,0 0 9 .7 1 0 0 0 ;

7 )7 ^ 4 -^ ;

2) 732 •72;

5 ) Т 2 0 0 -Т 0 Д 8 ;

3) 7 Ї8 •750;

6) 7ЇЗ •72 •726;

9) 7 2 3 •3 •7 2 5 -3 3.

457.° Знайдіть значення виразу: 1) 7 2 7 -7 3 ;

3) 7 Ї 0 - 7 Ї 2 Д ;

- 7278;

2) 7Ї8 •72;

'4 ) 7 0 5 •ТбО;

6) 75- 23 •7б3 -2 3.

458.° Знайдіть значення частки: 14

-*-/

^75 . г > \/3

оч 7з . і— > %/48

772 .. /— > 750

4) 6) - ^ ї = ; 7г ’ Той*’ ТІ47 * 459.° Знайдіть значення виразу: 14

А/

7 48 .

—7=“ >

ОЧ7б^3.

7б •7з . г- * \/2 — Тз-ТГб

сч Т б -Т І

&) ,------- ,

Оі

УЗ

л/0,7

О, 7Ї50. ^ /— » V6

^ 798 . і----- > -4/242

т=

’

\/3

4 6 0 / При яких значеннях а виконується рівність: 1) 7 а 2 = а; 2) 7 а 2 = - а ? 4 6 1 / При яких значеннях а і Ь виконується рівність: 1) 7 а Ь = 7 а - 7 & ;

3) ^ а Ь = 7а •7-^>?

2) Т а ї = 7-^а •л/~&; 4 6 2 / Знайдіть значення виразу, подавши попередньо під кореневий вираз у вигляді добутку квадратів раціо нальних чисел: 1) 718 •32;

4) 775 •48;

7) 7 2 ,7 -1 ,2 ;

2) 78 •98;

5) 7288 •50;

8) 7 8 0 -4 5 ;

3) 7 3 ,6 -1 4 ,4 ;

6) 74,5 •72;

9) 7 3 3 -2 9 7 .

123

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

463.' Знайдіть значення виразу: 1) 718 •200;

3) 7 1 4 ,4 -0 ,9 ;

5) х/12,5-32;

2) 73,6 •0,4;

4) 7 1 3 -5 2 ;

6) 7 і0 8 -2 7 .

4 6 4 / Знайдіть значення виразу:

5) |

1552 - 1 3 4 2

1) 7412 - 402;

3) 78,52 - 7 ,5 2;

2) 7 і 452 - 1442;

4) 721,8а - 1 8 , 22; 6) /—

84 1392 - 8 6 2

52 - 4 5 , 52 *

4 6 5 / Знайдіть значення виразу:

1) 7 б ,8 2 -3 ,2 2;

2) 7 9 8 ,5 2 - 97,52; 3) і

т 2282 - 1642 '

4 6 6 / Замініть вираз тотож но рівним, який не містить зна ка кореня: 1) Ть2; 2) - 0 , 4 7 с 2; 3) 7 ^ ; 4) Т т 5". 4 6 7 / Замініть вираз тотож но рівним, який не містить зна ка кореня: 1) 1,2 Т х2;

2 )7 7 ;

4 6 8 / Спростіть вираз: 1) 7 т 2, якщ о т > 0; 2) Тп2, якщ о п < 0; 3) 7 і 6 р \ якщ о р > 0; 4) 7^ 36/е2, якщ о к < 0;

5) V?*; 6) -Уо.256 " , якщ о Ь < 0; 7) 7^1 х 4*/2, якщ о у > 0; 8) То, 01а°610, якщ о а < 0, Ь > 0; 9) -1 ,2 * 7 6 4 * 18, якщ о дг < 0; І 1 2 , 22 36 1°) — 4 в ю > якщ о Ь < 0; а Ьс

124

3 )7 ^ °.

14. Властивості арифметичного квадратного кореня ...

3 ,3 а 4 /

11) - Ч —Л Ь3

Ь24

V 121а

26,

„

якщ о а < 0;

12) -0 ,5 т 5 лД796т6п8, якщ о т < 0.

469." Спростіть вираз: 1) 7 9 ^ ; 2) 70,81 гі6, якщ о <2 > 0; 3) - 5 V4х2, якщ о х < 0; 4) - 0 ,1 7 і0 0 г 10, якщ о

> 0;

5) V/>6<78, якщ о р > 0; 6) \І25т34п'іН, якщ о т < 0, л < 0; 7) ай2 \Іа4Ь16с 22, якщ о Ь > 0, с < 0; о,

8 т 3р4 /б25А30р40

г\

8 ) ----- 5^ , ---------^—, якщ о т < 0, & > 0. А

144т6

470.“ Я кі з наведених рівностей виконуються при всіх дій сних значеннях а: 1) л/а2 = а;

2) ч/а4' = а 2;

3) Та® = а 3;

4) \/а® = а 4 ?

471.” При яких значеннях а виконується рівність: 1) \!а™ = а 5;

2) уіа™ = - а 5; 4) 472.” Побудуйте графік функції:

Та2 = (%/а) ; Та2 = {у/-а) ?

1) у = уГх 2 - х, якщ о х < 0; і— 2) у = 2х + \Іх2;

3) у - 4 х •4х\ 2 4) у = - у = + 3. УІХ2

473.” Побудуйте графік функції: 1) у = Т х 2 - 2х, якщ о х > 0;

2) у = Т^х •7 - х .

474." При якому значенні х виконується рівність: 1) Т х2 = х - 4; 2 )у [х * = 6 -х ; 475.* Розв’ яж іть рівняння: 1) л/х2 = х + 8;

3 ) 2 л /? = х + 3?

2) 7х^ = 6 х - 1 0 . 125

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Г ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 476. Знайдіть значення виразу "

а 2 - 5а

^ а 2 - 1 0 а + 25

. 1 2 5 -а 3

а2 - 2 5 ; ’

5+а

при а = 4,5. 477. Тракторист мав засіяти поле за 8 днів. Проте через погану погоду він засіював щодня на 3 га менше від норми і тому виконав роботу за 10 днів. Яка площа поля? 478. Натуральне число а — парне, а число Ь — непарне. Значенням якого з даних виразів обов’ язково є парне число: 1) ( а + Ь)Ь;

2)^;

3 )^ ;

4 ) ^ ?

^ УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 479. На дош ці записано 102 послідовних натуральних чис ла. Чи можна розбити їх на дві групи так, щоб сума чисел у кож ній групі була простим числом (у кожній групі має бути не менше ніж два числа)?

І Тотожні перетворення виразів, Я Н Н які містять квадратні корені Користуючись теоремою про корінь з добутку, перетво римо вираз 7 4 8 : 748 = 7 і б - з = 7 Ї6 •7 з = 4 7з. Отже, вираз 748 ми подали у вигляді добутку раціональ ного числа 4 та ірраціонального числа 7з. Таке перетворен ня називають винесенням множника з-під знака кореня. У даному випадку було винесено з-під кореня множ ник 4. Розглянемо виконане перетворення у зворотному порядку: 4 7 з = 7 Ї6 •7 з = 7 1 6 -3 = 748. Таке перетворення називають внесенням множника під знак кореня. 126

15. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

ПРИКЛАД 1

Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 7150; 2) 772а8; 3) 'Ід35; 4) у]-Ьіа; 5) уІа2Ьл, якщ о а < 0. Розв’язання 1) Подамо число, яке стоїть під знаком кореня, у вигляді добутку двох чисел, одне з яких є квадратом раціональ ного числа: ТЇ50 = 7 2 5 -6 = 5 7б. 2) 772а8 = 736а 8 •2 = 6а 4 72. 3) 3 умови випливає, що Ь > 0. Тоді 7 ^ =Т ^

= |ь17|^ь = ь 177ь.

4) 3 умови випливає, що Ь < 0. Тоді

= 7Ь М-(~Ь) =\ь'7 \4 ^ь= -ь 17^ь.

5) 3 ум ови випливає, щ о Ь > 0. Т оді у/а2Ья = \1а2Ь2Ь = = |а |•|&17б - -а Ь 7 Ь. ПРИКЛАД 2

Внесіть множник під знак кореня: 1) - 2 77; 2) а 77; 3)

3 6 ^ ; 4) с 7 7 . Розв’язання

1) - 2 77 = - 7 4 - 7 7 = - 7 2 8 . 2) Я кщ о а > 0, то а 77 = 7 а 2 •77 = 7 7 а 2, якщ о а < 0, то а 77 = - 7 а 2" •77 = - Т?^2. 3) 3 умови випливає, що 6 < 0. Тоді 36 ^ ~

~ 'ІУЬ2 •

4) 3 умови випливає, що с > 0. Тоді с 7 7 = 7 с 2 •7 7 = л /7. ПРИКЛАД З

Спростіть вираз: 1) Тб4а + 724а - ТбООа;

2) (з + 2 7з) (2 - 7з); з) (7 - з 7г)2- (716 + 7б) (7Ї6 - 7Ю. 127

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Розв’язання

1) Маємо: \/54а + л/24а - 4 600а - 4 9 •6а + \/4 6а - %/і00 •6а = = 3 \/ба + 2 \/ба - 10 \/ба = \/ба (3 + 2 - 10) =

= 4ба •(-5) = -5 л/ба.

2) (з + 2 7з) (2 - 4 з ) = 6 - 3%/з + 4 \ /3 -2 (%/з)2 = = б + 7 з - б = 7з. 3) Застосовуючи формули скороченого множення (квадрат двочлена і добуток суми та різниці двох виразів), отри муємо:

(7 - 3 42)" - (4їо + 7б) (ч/їо - 4Е) = 72 - 2 •і •з VI + (з Т2 )2 = 49 - 42 VI + 18 - (10 - 5) = 62 - 42 72. ПРИКЛАД 4

Розкладіть на множники вираз: 1) а2 - 2; 2) Ь - 4, якщо Ь > 0; 3) 9с - 6 4Ьс + 5; 4) а + Та; 5) 43 + 6; 6) Т35 - л/їб. Розв’язання

1) Подавши даний вираз у вигляді різниці квадратів, маємо: а 2 - 2 = а2 -І\І2) - (а - \/2)(а + 7 2 ).

2) Оскільки за умовою 6 > 0, то Ь - 4 = (л/б Ґ - 4 = ( 4ь - 2) ( +

2).

3) Застосуємо формулу квадрата різниці: 9с - 6 Тбс + 5 = (3 л/с )2 - 2 •3 4с •75 + (>/5 Ґ = (з Тс - л /б Ґ . 4) Маємо: а + 4 а = { 4 а ) + 4 а - 4 а (4а + і) . 5) 4 з + 6 = 4 з + 2 - { 4 з )2 = 4 з ( і + 2 4 з ).

6) Тзб- %/Ї5 = Тб•4 Ї - Тб-Тз = 45І4Ї-4з). ПРИКЛАД 5

Скоротіть дріб: і\ Ь 1 п\ 2 3 \ 2 п\ сі ■6 а і . 1) —р= ; 2 ) г=— ; 3) ------- г==----- , якщ о а > 0, Ь > 0. уіЬ+1 л/2 а -2 \ а Ь + Ь 128

15. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

Розв’язання 1) Розклавши чисельник даного дробу на множники, отри муємо: Ь - 1 _ (\[ь ) -1 _ (7й -і)(7б +і) _ ГГ 7^ + 1~ 7&+1 7 б +1 ~ оч 2 - з 7г (\ І 2, ) 2 т= - з 72 7г (7т=-------= г - з ) у[т: „ іг -з . 2) — г — = 72 72 7г

3) Оскільки за умовою а > 0 і 6 > 0 , то чисельник і знаменник даного дробу можна розкласти на множники таким чином: а- Ь

_ ( 7 а - 7& ) ( 7 а + 7 ~ь) _ 7 а + 76

а-2\[аЬ+Ь

(7 а -7 & )2

7 а - 7&

ПРИКЛАД б

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1) - Ц - ; г7з ’

б7г-і

Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу означає перетворити дріб так, щоб його знаменник не міс тив квадратного кореня. Р озв’язання 1) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на 7з, отримуємо: 15 _ гТ з

15 7з

2 7 з -Т і

15 ТІ

15 7з _ 5 7з

2(7з)2

2 -3

2) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на вираз 5 72 +1, отримуємо: 14

14 (б 7г + і) _ 14 (.5 7г + і) _ 14 (б 72

57 2 -1

(б 7г - і ) (б 72 +і)

_ 14 (б 72 49

+ і) _

(б 72)2 - 1

+ і) _

50-1

2(5 72 + і) _ 10 7г + 2 _ 7

. б7з 0ч 10 72+2 В і д п о в і д ь : 1) —— ; 2) —-. 0 .

Са

ПРИКЛАД 7

Доведіть тотожність

^ 7а 7а + 7&

7& 7а - 7&

27а&1 Г7а Г~ 7а6 + — Д ^ а > у 129

= 7а + 7Ь.

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Розв’язання 4~а

4ь

7а + 4ь

4а - 4 ь

2 4аЬ ^ Ь

4 а ( 7 а - 4Ї>) + 4 ь ( 4 а + 4 ь ) +

4аЬ + Ь

4а -

4а + 4ь

а 2

\[аЬ

7^-

4ь (7а + 4 ь ) 4а + 4ь

(4 а + 4 ь ) (7 а - 4 ь )

_ (а + 2 4аЬ + ь)(4а - 4ь) _ а-Ь

_ а - 4аЬ + 4аЬ + Ь+ 2 4аЬ ^ а- Ь _

(7а

( 4 а + 4ь)(4~ а -4'ь)

+ 4 ь ) 2 (4а - 4 ь ) _ ~

П ^

+УІЬ'

ПРИКЛАД 8

Спростіть вираз ^12 + 6 7 з . Розв’язання Подавши підкореневий вираз у вигляді квадрата суми, отримуємо: Т і2 + б Т з = ^9 + 2 •3 7 з + (>/з)2 = УІ(3 + 4 3 )2 = 3 + 7з. В і д п о в і д ь : 3 + 73. 480.° Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 78;

4) 754;

7) 4275;

10) 7 0 ,48;

2) 7 Ї2 ;

5) 7490;

8) 7 Ї0 8 ;

11) 4450;

3) 732;

6) 4500;

9) 40,72;

12) 736 300.

481.° Спростіть вираз: 1) § ^ 4 5 ;

3) — Т2Ш ; ю

2) І Т Ї 2 8 ;

4) - 0 ,0 5 74400.

482.° Винесіть множ ник з-під знака кореня: 1) 427;

4) 7 І2 5 ;

7) - 2 70,18;

10) | 7 9 8 ;

2) 724;

5) ^ 796;

8 )| Т б З ;

11) 10 ТоГоЗ;

3) 720;

6) 0,4 7250; 9) 0,8 71250; 130

12) 0,7 7 і0 0 0 .

15. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

483.° Внесіть множ ник під знак кореня: 1) 7 72;

4) - 1 0 7 Ї4 ;

7) - 7 3 2 ; 4

10) - 0 , 3 4Ї0Ь;

484.° Внесіть множник під знак кореня:

2 ) 9 72;

4) 12 4Ь;

6) -10 70,7 т; 8) - ^ Т Ї 8 р .

485.° Спростіть вираз:

3) 5 4с + з4сї -

4 7а + 3 7а - 5 7а;

4с + з4сї;

4) 7б + 7 7б - 4 7б.

2) б 4 д + 2 4 ь - 8 4 Ь ;

486.° Спростіть вираз:

1) 3 4а-2 4а;

3) 9 7 6 - 2 7 3 + 8 7 3 - 3 76.

2) %/с + 10 7с - 14 4с; 487.° Замініть вираз на тотож но рівний йому: 1) \І9а + 725а -7 4 9 а ; 2) 4 Ш - - 4 3 6 Ь ; 6

3) 2 70,04с - 0,3 Тїбс + - 70 ,81с; З

488.° Спростіть вираз:

1) 2 7 їх + б 7і6х - 7б25х; 2) 3 7 0 ,09у - 0 ,6 7Ї44^ + ^ 2)

3 7 0 ,0 9 .^ -0 ,6 7144^ + ^

489.° Спростіть вираз:

1) 8 72 -7 3 2 ;

3) 7 9 6 - 3 7б;

2 ) 6 7з - 727;

4) 131

2 7 5 0 0 - 8 75;

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

5) 5 7 7 - 7 7 0 0 - 0 , 5 728;

6) 2 720 - - 745 - 0,6 7Ї25. З 490.° Раціональним чи ірраціональним є значення виразу: 1) 748 - 6 - 4 73;

2) 7 Ї6 2 - 9 72 + 727 ?

491.° Спростіть вираз: 1) 4 7700 - 27 77;

4) 5 7 Ї2 - 7 73;

2) 775 - 6 73;

5) 3 772 - 4 72 + 2 798;

3) 2 750 - 8 72;

6) ± 7 Ї 0 8 + 7363 - 1 7243.

492.° Спростіть вираз: 1) 7 2 (7 5 0 + 7 8 ) ;

3) (3 75

4 7 з ) • 7б;

2) (7 з - 7 Ї 2 ) •73;

4) 2 72 |з 7 і 8 - 7 2

+ 7321.

493.° Спростіть вираз: 1 )7 7 (7 7 -7 2 8 );

3) (4 7 з - 7 7 5 + 4 ) - з 73;

2) (7 Ї 8 + 7 72 ) •72;

4) (7 б0 0 + 7 б - 7 2 4 ) •7б.

494.° Виконайте множення:

1) ( 2 - 7 з ) ( 7 з + і) ; '

6) [ у - 7 7 ) (у + 77);

7) (4 72

(7 2 + 75)

7 2 -7 5 );

- 2

7з)

3) (а + 7 ь ) (а - 7 б ) ;

8) ( т + 7 п ) ;

4) ( 7 б - 7 с ) ( 7 ь + 7 с ) ;

9) ( 7 а - 7 б ) ;

5) (4 + 7 з ) ( 4 - 7

з );

10) ( 2 - 3 7

7з

4 7 1 );

з )2.

495.° Виконайте множення: 1

) ( 7 7 + з )(з 7 7 - і ) ;

5) ( 7 5 - х ) (75 + х ) ;

2) (4 72 - 7 з ) ( 2 72 + 5 7 з ) ; 6) (7 Ї9 + Т Ї7 ) (7 Ї9 - Т І 7 );

3) (7р ~ ч ){\Гр + ? );

7) (Те + 7Ю ;

4) ( б - 7 Г з ) ( б + 7 Ї З ) ;

8) ( 3 - 2 7 Ї 5 ) 2.

496.° Чому дорівнює значення виразу: 1) (2 + 77 Ґ - 4 77;

2) (7 б - 7 з ) 2 + б 72 ? 132

15. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

497.° Знайдіть значення виразу: 1) (3

+ Тб)* - 6 Тб;

2) (Тї2 - 2 Т2)2 + 8 Тб.

498.° Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1)

4 т і

;

12 . Т і’

т г т

4~ п ;

7) — •

*Т Г

ТІ5 ’

24 5 Тз "

499.° Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: іл

1) -т^= ;

оч

2) -р-; ол 3) - .^= ; 4) - г =; 5) -тЗО =;

Vїї

Тб

Тю

л/26

500.’ Розкладіть на множники вираз: 1) а 2 - 3;

6) —2г .

%/15

З л/ ї

9) Ь + 6 Т& + 9;

2) 462 - 2;

10) 3 + 2Т§с + с;

3) 5 - 6с2;

11 ) 2 + 72;

4) а - 9, якщо а > 0;

12) 6 л/7 - 7;

5) т - п, якщо т > 0, п > 0;

13) а - Т а ;

6) 16л; - 25у, якщо

л; > 0,у > 0;

7) а - 2 Та + 1;

14) Т& + 736; 15) Т Г б-Т б.

8) 4 т - 28 Т тп + 49л, якщо т > 0, я > 0; 501/ Розкладіть на множники вираз: 1) 15 - л:2; 6) т + 2 Ттп + я, якщо т > 0, я > 0; 2) 49л:2 - 2;

7) а - 4 Та + 4; > 0,<7> 0;

3) 36/> - 64?, якщо 4) с - 100, якщо с > 0;

9) Т^р - р ;

5) а - 8Ь Та + 16Ь2; 502/ Скоротіть дріб: і\

а2 - 7

ОЧ ^

Тз

3-Ь“

с- 9 .

5 Та - 7 Т ї .

} Тс - 3 * а -6

-Ь . о >

10) ТЇ2 + Т32.

о\

} а+ Т Г ^

8) 5 + Тб;

Г~

Г~ 9

л/а + Тб

133

}

25а - 496

ЙЧ 100а2 - 9 6 .

Г~ 9

Юа + 3 \ Ь

’

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

о)

\І2 - 1 . Г~ Г- > 7б -7з

Т І5 - Тб .

11Ч а + 2 \ Г а Ь+ Ь' г~ г > \ а + уі Ь

5-7 і0

Тз5 + Т Й ).

і т

ІЗ -Т іЗ .

її))

і—

л/7 + л/2

10.

462 - 4Ь Т с + с

І.6)

т=

л/13

26 - ч/с

503.' Скоротіть дріб: лч

хг

,,1 ТІО + Тб — г— »

V* - 5

л/5

оч Т а + 2

—;

23-УІ23

5) ---- т = ^ ;

« - 4 3)

гг\

\ / а -> [ь

-------- г ” — * а-2у/аЬ+Ь

оч й - 8 \ / б + 1 6

723

а- З ґ > Та + Т І ’ г

\І24 - УІ28 6)

Тбї-ТбЗ ’ 504.' Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 73а2, якщ о а > 0;

3) 7 і 2 а 1;

2) 7бЬ2, якщ о Ь < 0;

4) V ? .

505.' Винесіть множ ник з-під знака кореня:

1) 7 і 8х 12;

2) Ту®-

506.' Спростіть вираз: 1) 7 9 8 - 7 5 0 + 732; 2) 3

78 + Т Ї2 8 - - Т Ї 6 2 ; З

3) 0,7 7 3 0 0 - 7 ,/- ^ - + - Т Ї 0 8 ; V 49 З 4) 4Ьа - 2 \І20а + 3 780а; 5) 4а?Ь - —7 а 5&, якщ о а > 0, Ь > 0; а

6) 7с® + 4с Тс® - 5с2 7 с. 507.' Спростіть вираз: 1) 0 ,5 Т Ї 2 - З Т 2 7 + 0 ,4 7 7 5 ; 2) 2,5 7286 + - ТбЗЬ - 1 0 7 0 ,07&; З

3) 781а7 - 5а3 Та + - 7а^. а 134

7& - 4

15. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

5 0 8 / Доведіть, що: ) х /Г І+ Т Т ? = V? + 2 ;

^14 + 8 7з

= 78 + 7б.

5 0 9 / Спростіть вираз: 1) ( 2 Т З - і ) ( Т 2 7 + 2 ) ;

4) (7 + 4 7 з ) (2 - 7 з Ґ ;

2) ( 7 5 - 2 ) 2 - ( 3 + л/ 5 )2;

5) (л/б + 2 Тб - >/б - 2 Т б ) .

3) 7 7 Ї 7 - 4 -л /Т Ї7 + 4;

510. Знайдіть значення виразу: 1) (з Т 2 + і ) ( л / 8 - 2 ) ;

3) ( Ю - 4 7 б ) ( 2 + 7 б ) 2; — ——— — , 2 2) (З - 2 7 7 )2 + (3 + 2 7 7 )2; 4) (V9 - 4 72 + Т І + Т Т І ) . 5 1 1 / Скоротіть дріб: ТІ . 1,1 ---- 2------- ’

! л 4а + 4 а

-5

728 - 2 Т І а . 6а - 21 ’

3) а + 4 ^

а-4Ь

* 2 -6 у

І---- ’

.г + 6 у - Х у ] 2 4 у Та + 7 6

7 ^

+ 46 , якщо а > О, Ь > 0; 6) т ^

. ^

’

~ 27 .

у/т-3

5 1 2 / Скоротіть дріб: 1Ч

а - 6

} 7 ш - 7 ш

оч 2)

оч а - 2 7 а + 4 ’

2а + 10 \І2аЬ + 2ЬЬ 6а - 75Ь

а 7а + 8

’

о . ^ п. , якщо а .> 0, о > 0;

5 1 3 / Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1)

7і +і ’ оч

77 + 7з

15-г - ; 7 Ї5 -7 І2 ’ 19

•

'7 а -4 ь’

я\ Тз +1

2 л/5 - 1

%/3 - 1

514.‘ Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1)

2) 7 5 -2

3) > /і0 -л /2 135

г 9 г ; УІх + уІу

4) 2 + \2

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

515/ Доведіть рівність: 1)

= 10;

5 - 2 Тб

5 + 2 Тб

> /2

7г

7 г -і

7г + 1

= 4 72.

= - 8; зТг + 4 з Т г - 4 516. Доведіть, що значенням виразу є раціональне число:

ТГГ + Тб , Т і ї - Т і з + гТ з

з -г Т і’

Л Т -Л

л +л

517/ Спростіть вираз: 1) 2) 3)

4) 5)

4 Та - 4

Та - 2

Тт + 1 _ Тт + 3 . Тт - 2

Тт

Ту + 4

Тх - 4

Тхї/ + у

7) 8)

х +

Та Та + 4

, Ть +■

Тай - 6

Ю)

а + Та

ТЬ

2 Та + 2

Тс - 5 Т^

с - 25 '

Та -

’

Т^ а -1

Та +1

Та + Ть

Тб

Та

Ть

Та - Тб

ТГ

Т ^ -з ТГ + з

Т& - Та

Зс

12 Тх ^ . Тх + 3 де - 9 де - 3 Тх

518. Спростіть вираз: 1)

Та - 3

Та - 4

Та + 1

Тв

Та +1

Тб + і

а - Тав

Тх

у - 2 ^у

’

ТаЬ - Ь .

7х

3 Ту ~ 6

Тт

Т т + Тп

Т т - Тп

5) ; 6)

7х + 1 у Тх - :

Тп

Т т - Тп

4Тх ^ х + Тх .

х- 1

Т І-Г Та + 8

а - 64

Та +3

т;

а + 8 Та

а - 3 Та

51 9/’ Винесіть множник з-під знака кореня: 1) Т-от9;

Тт~п7, якщо от < 0, п < 0

2) Та4613, якщо а * 0; 5) ^45х яу и , якщо у < 0; 3) уІ4х6у, якщо х < 0; 6) Тб4а2Ь9, якщо а > 0; 136

15. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

7) 7242т " & 18, якщ о Ь < 0;

8) у]~т2п2р 1а, якщо т > 0, п < 0. 520." Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 7 -л і19; 2) 7 а 23Ь24, якщо 6 ^ 0 ; 3) 749а 2Ь, ЯКЩО (X ^ 0) 4) 7 ^ ;

5) Т27х15г/34, якщо у < 0; 6) 7~50твп6р7, якщо т > 0, п > 0. 5 21 ." Внесіть множник під знак кореня: 1) а 73;

5) х у 2 у[ху, якщо х < 0;

2) 6 7 ^ ;

6) 2р

3) с 7 7 ;

7) 2Рл/ - | ;

4) т 7л, якщ о т > 0;

8) аб2 Л/^, якщ о а > 0.

Р.

522.' Внесіть множник під знак кореня: 1)

т 77, якщ о т > 0; 4) х 4і/ \]х5у, якщ о у < 0;

2) ЗлТб, якщ о я < 0; 5) 7 3)

6) 5аЬ \

Т р ®;

5Ь

якщо а < 0, Ь > 0.

523 ." Доведіть тотож ність: 1)

і 7а + 7

а 7а

'<7 а + 41 , 7 7а - 4 9

1б7а а + 14

+ 49

+ 27

7а - ;

7а - 7&

а —3 7а

а-

7 аЬ - 1 +9

137

а 7а

+ 27

7а + 1 = 7а.

>/а

п — <;

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

524.' Спростіть вираз: 1)

7а - \ІЬ

а + \[аЬ

а -Ь

(7 б -7 а ) + 7&

. 7а - 7ь . ^ а + 7аї>

\[аЬ 7а - у/ь 7^ + 7 ь - - ^ 7а + \ІЬ ^ ^ 7а + уіЬ

\ІЬ 7а

525.* Спростіть вираз: 1) х/з + 2^/2;

2) ^7 + 4 73;

3) х /і Г + Ї Т І о .

2) Т і5 + б Т б ;

3) ^7 + 2 7 Ї 0 .

526. Спростіть вираз: 1)

+ 2 77;

527.* Спростіть вираз: і і ! _ л .і л . л 528. Доведіть, що: 1 Ті + і

+-^ =

+ ___ !___ + ____!____ + + 7КЮ + 799 ’ и «

Тб + Тз

■+ ...+

1 7 7 + 75

7 9 1 -1 %/91 + 789

529.* Доведіть, що:

72 •72 + 72 •^2 + УІ2 + Ш •> /2 -7 2 + 72 = 2. 530.* Спростіть вираз:

2) >/22 + 6 ч/ з + 7 і З+ 748

Г ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 531. Робітник мав виготовляти щодня 12 деталей. Проте він виготовляв щодня 15 деталей, і вже за 5 днів до кін ця терміну роботи йому залишилося виготовити ЗО де талей. Скільки деталей мав виготовити робітник? 532. При розпродажу ціну на товар знизили на 20 % . На скільки відсотків треба підвищити ціну на товар, щоб вона дорівнювала початковій? 533. Човен проплив 32 км за течією річки за 4 год, а проти течії — за 8 год. Знайдіть власну ш видкість човна і ш видкість течії. 138

16. Ф ункція у = Т х та її графік

534. Федір і Олеся їхали в одному поїзді. Федір сів у два надцятий вагон від голови поїзда, а Олеся — у шостий вагон з хвоста поїзда. Виявилося, що вони їдуть в од ному вагоні. Скільки вагонів у поїзді? 535. Число а — додатне, а число Ь — від’ ємне. Який з даних виразів набуває найбільшого значення: 1) а26; 2) - а 2Ь2; 3) -аЬ2; 4) аЬ; 5)- а2Ь? УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

536. Космічний корабель відвідує планету Гостинну через рівні проміж ки часу (не обов’ язково через цілу кіль кість днів). Чи може бути так, що перше відвідування в цьому році відбулося в понеділок, друге — у вівторок, а четверте — у неділю? .

16 . Функція у = Т х та ї ї графік Якщ о площа квадрата дорівнює х, то його сторону у м ож на знайти за формулою у - Тх. Зміна площі х квадрата призводить і до зміни його сторони у. Зрозуміло, щ о кожному значенню змінної х відповідає єди не значення змінної у. Отже, залежність змінної у від змін ної х є функціональною, а формула у = Тх задає функцію. Оскільки у виразі Тх допустимими значеннями змінної х є всі невід’ ємні числа, то областю визначення ф ункції у = Тх також є всі невід’ ємні числа. Вираз Тх не може набувати від’ ємних значень, тобто жодне від’ ємне число не може належати області значень розглядуваної функції. Покажемо, що функція у = Тх може набувати б у д ь -я к и х н ев ід ’ єм н и х значень, наприклад, у = 7,2. Справді, існує таке значення аргументу х, що

Тх = 7,2, а саме х = 7,22. На цьому прикладі ми бачимо, щ о для будь-якого невід’ ємного числа Ь завжди знайдеться таке значення х, що Тх = Ь. Таким значенням аргументу х є число б2. 139

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

У‘ • 1 1• 0 1

•

•• •

••• •

х\

0Г і

Рис. 27

Рис. 28

Отже, областю значень функції у = 4 х є всі невід’ ємні числа. Ураховуючи область визначення та область значень функ ції у = V *. можна зробити висновок, що її графік розташ о ваний тільки в першій координатній чверті. У таблиці наведено деякі значення аргументу і відповід ні їм значення функції у - 4ос : X

0,25

2,25

6,25

0,5

1,5

2,5

Позначимо на координатній площині точки, координати яких наведено в таблиці (рис. 27). Чим більше точок, координати яких задовольняють рів няння у = \[х, позначити, тим менше отримана фігура буде відрізнятися від графіка функції у = \[х (рис. 28). Якби вдалося на координатній площині позначити всі такі точки, то отримали б фігуру, яку зображено на рисун к у 29. У старш их класах буде доведено, що графіком функ ції у = \Гх є фігура, яка дорівнює вітці параболи у = х г.

140

16. Ф ункція у = \[х та її графік

Нехай х х і х 2 — два довільних аргументи функції у = Тх такі, що х 4 < х г Тоді з властивості арифметичного квад ратного кореня випливає, що

< у[х^. Це означає, що

більшому значенню аргументу функції у = Тх відповідає більше значення функції, і навпаки, більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу, тобто якщо у[ х ^ <

^[х~2, то х ] < х 2 (рис. ЗО).

У таблиці наведено властивості функції у = Тх, вивчені у цьому пункті: Область визначення

Усі невід’ ємні числа

Область значень

Усі невід’ємні числа

Графік

Вітка параболи

Нуль функції (значення аргументу, х = 0 при якому значення функції дорів нює 0)

ПРИКЛАД 1

Розв’ яжіть графічно рівняння

Тх

Розв’язання В одній системі координат по будуємо графіки функцій у = \Гх і у — 6 - х (рис. 31). Ці графіки перетинаються в точці, абсциса якої дорівнює 4. Перевірка під твердить, що число 4 є коренем даного рівняння.

Рис. 31

ПРИКЛАД 2

Порівняйте числа: 1) 6 і л/зї; 2) З 4 Ї і \/б5. Розв’язання.

1) Оскільки 6 = ч/Зб і 36 > 31, то %/36 > \/31, тобто 6 > л/зТ. 141

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

2) Маємо 3 77 = 7бЗ, 63 < 65, 7бЗ < 7б5. Отже, 3 77 < 7б5. ПРИКЛАД З

При яких значеннях х виконується нерівність у[х < 3 ? Розв'язання Запишемо дану нерівність так: -їх < 79. Оскільки біль ш ому значенню функції у = \Гх відповідає більше значення аргументу, то можна зробити висновок, що х < 9. У рахо вуючи, що вираз \[х має зміст тільки при х > 0, отрим ує мо, що дана нерівність виконується при 0 < х < 9. ПРИКЛАД 4

Спростіть вираз \ /( 7 5 - 2 Ґ + \ [ й 5 - 3 ) 2. Р озв’язання Оскільки 75 > 2 і 75 < З, т о 7 5 - 2 > 0 і 7 5 - 3 < 0 . Отже, маємо:

Т(75 - 2 ) 2 +>/(75 - З)2 = |75 - 2 1+ 175 - 3 |= = 7 5 - 2 + 3 - 7 5 = 1. В і д п о в і д ь : 1.

1. Яка область визначення функції г/ = 4 х ?

2. Яка область значень функції у = 7 х ? 3. У якій координатній чверті знаходиться графік функції у = \[х ?

4. Яка фігура є графіком функції у = \[х ? 5. Чому дорівнює нуль функції у = 7 х ? 6 . Невід'ємні числа а і Ь такі, що а > Ь. Порівняйте 7 а і 7 Ь. 7. Відомо, що 7 а < Тб. Порівняйте числа а і 6. 537.° Ф ункцію задано ф ормулою у = 7 х . Заповніть таб лицю: X

0,01

1600

3 9

У 142

1,5

16. Ф ункція у = \[х та її графік

538.° Функцію задано формулою у = \[х. 1) Чому дорівнює значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 0,16; 64; 1,44; 3600? 2) При якому значенні аргументу значення функції дорівнює 0,2; 5; 120; -4 ? 539.° Не виконуючи побудови, визначте, через які з даних точок проходить графік функції у = У х : А (36; 6), В (4; -2 ), С (0,81; 0,9), (-1 ; 1), Е (42,25; 6,5). 540.° Через яку з даних точок проходить графік функції у = у/х:

1)А(16;4); 2) В (49; -7 ); 541.° Порівняйте числа:

3) С (3,6; 0,6); 4) В (-36; 6)?

1) У86

і л/78;

4) ^

2) УЇД

і4 Ї 6 ;

5) - 7 і - \/Ї8;

3) 5 і 726;

і 1;

У її і 2 УЇ0;

8)0 , 6 і 7ЇД;

6) Зл/2 і 2 л/З; 9 ) У 7 5 і 4 Т з .

542.° Порівняйте числа: 3) ч/зз і 6; 2) л/32 і Уб;

5) Тзо і 2 %/7;

4) З7б і у/Ї2; 6) 7 .1 - і -%/20.

V7 2 5 4 3 / Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіка функції у = \[х і прямої: 1) у = 1; 2) у = 0,8; 3) у = - 6; 4) у = 500.

544.’ Запишіть у порядку спадання числа 8; \/б2; 7,9; л/б5; 8,2. 545.' Запишіть у порядку зростання числа Т38; 6,1; 6; л/35; 5,9. 546.’ Між якими двома послідовними цілими числами зна ходиться на координатній прямій число: 1) У2 4) У7; 7) У59; 2) УЗ

5) УЇЗ;

8) -УЇЇ5;

3) У5

6) Уо, 98;

9) -У 76,19?

143

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

547.' М іж якими двома послідовними цілими числами зна ходиться на координатній прямій число:

1) Тб;

3) 729;

5) -7 в 6;

2) VI9; 4) 7 Ї6 0 ; 6) - ^ 3 0 5 ? 5 4 8 / Укаж іть усі цілі числа, які розташовані на коорди натній прямій між числами:

-Т з ї і - 2 ,3 ;

1) 3 і Тб8;

2) 77 і 777;

4) - 7 4 2 і 2,8.

549." Укаж іть усі цілі числа, які розташовані на коорди натній прямій між числами: 1) 73 і 7ЇЗ; 2) 7 І0 і 790; 3) - Т Ї 4 5 і - Т Ї 7 . 5 5 0 / При яких значеннях х виконується нерівність: » 1) 7 х > 2; 2 ) 7 * <4; 3)6<Тх<9? 5 5 1 / При яких значеннях х виконується нерівність: 1) 7 ^ < 8; 2 ) 7 * >7; 5 5 2 / Розв’ яж іть графічно рівняння: 1) 7 х = х;

3) \[х = х + 2;

2) 7 х = х 2;

4)\[х = 0 ,5х + 0,5;

10 < 7 х < 2 0 ?

5) 7 х = —; 6) 7 х = 1,5 - 0 ,5х.

5 5 3 / Розв’ яж іть графічно рівняння: 1) -їх = - х - 1;

2 ) \[х

х;

3) 7 х - — . X

5 5 4 / Спростіть вираз:

1) >/(і - 72)2;

3) 7(2 7б - з)2;

4) 7 ( Т з - 2 Ґ + \ / ( 3 - 7 з ) 2.

>/(7б - Т 7 )2;

5 5 5 / Спростіть вираз: 1)

7(^5 - 4)2;

2) \/(78 - З)2 - 7 ( 7 2 - З Ґ .

5 5 6 /' Р озв’ яж іть рівняння 7 х = -X 2. 557.” Дано функцію / (х) =

—, якщ о * < 0, * № якщ о л: > 0. 144

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

547." Між якими двома послідовними цілими числами зна ходиться на координатній прямій число: 1) 7б;

3) 729;

5) -7 8 6 ;

2) 7 Ї9 ; 4) 7 Ї6 0 ; 6) ~ 73 0,5 ? 548.* Укаж іть усі цілі числа, які розташовані на коорди натній прямій між числами: 1) 3 і 7 б8;

3) -У з Т і - 2 ,3 ;

2) 77 і 777;

4) - 7 4 2 і 2,8.

5 4 9 / Укаж іть усі цілі числа, які розташовані на коорди натній прямій між числами: 1) 73 і 7 Ї 3; 2) 7 Ї0 і 7 90 ; 3) - 7 Ї 4 5 і - 7 4 7 . 5 5 0 / При яких значеннях х виконується нерівність: 1) 7 х > 2; 2) 7 х < 4; 3) 6 < 7 х < 9 ? 5 5 1 / При яких значеннях х виконується нерівність: 1) 7 х < 8; 2) 7 х > 7; 5 5 2 / Р озв’ яж іть графічно рівняння: 1) Тх = х;

3) 7 х = х + 2;

2) 7 х = х 2;

4) 7 х = 0 ,5х + 0,5;

3) 10 < Тх < 20 ? 5) 7 х = —; X 6) 7 х = 1,5 - 0 ,5х.

5 5 3 / Р озв’ яж іть графічно рівняння: 1)

7 х = - х -1 ;

2) 7 х = 2 -

х;

3) 7 х = - .

5 5 4 / Спростіть вираз:

7(1 - Т2)2;

3) 7(2 7 5 - З ) ';

\ /(Т б - Т 7 ) 2;

4 ) >/(Т З -

2 )2 + > / ( 3 - Т з ) 2.

5 5 5 / Спростіть вираз: 1)

\/(75 - 4)2;

2) > /(7 8 - З ) '- > / ( 7 2 - 3 ) \

556.“ Розв’ яж іть рівняння \/х = - х 2. 4

557." Дано функцію і (х) =

, якщ о х < 0,

Т і , якщ о х > 0. 144

16. Ф ункція у = у іх та ЇЇ графік

1) Знайдіть і (-8 ) , і (0), / (9). 2) Побудуйте графік даної функції. х 2, ЯКЩО X < 1,

558.“ Дано функцію / (ж) = 7 ^ , якщ о X > 1. 1) Знайдіть ї ( -2 ) , І (0), / (1), / (4). 2) Побудуйте графік даної функції. 559.” Установіть область визначення, область значень і нулі функції у = 4 - х . Побудуйте графік даної функції. 5 60." Побудуйте графік функції у = -4=. \ІХ

561.* Спростіть вираз: 1 ) 7 8 - 2 77;

3) 7 і 2 - б 7 3 ;

2) 7 5 -2 % /б ;

4) 7 3 8 - 1 2 72.

562.* Спростіть вираз: 1) 7 9 - 4 7 5 ;

2) 7 7 - 2 716;

3) >/з 7 ^ 2 0 Т з .

563.* Скільки коренів має рівняння 7 х = а - х залежно від значення а? 564.* Спростіть вираз \ /(7 а + і) - 4 7 а + \ /( 7 а - 2 ) + 8 7 а . 565.* Спростіть вираз > /(7 ї - б ) 2 + 24 7а - \/(\^а + б) - 24 7 а .

Г“ в п р а в и д л я - п о в т о р е н н я 566. У першому контейнері було 90 кг яблук, а в друго му — 75 кг. Після того як з першого контейнера взя ли у З рази більше яблук, ніж з другого, то в першому залишилося у 2 рази менше, ніж у другому. Скільки кілограмів яблук взяли з перш ого контейнера? 567. Від пристані проти течії річки відплив моторний човен, власна ш видкість якого дорівнює 12 к м /год . Через 40 хв після виходу човна зіпсувався мотор, і човен течією річки через 2 год принесло до пристані. Яка ш видкість течії? 145

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

568. Доведіть тотож ність: С а - 2Ь 1 . 1) ч а 2 + 2аЬ

О\ і

2а

\а + 3

а 2 - 4Ь2 ' (2Ь - а)2 / 4а -*и

а + 2Ь

)

а и2 — - »9

- ба + 9 /

а + 1

а 2 - 2аЬ

2Ь

а 2 + 4 аЬ + 4Ь2

а2

а а2 — -

9а

«----------- 1*------------------- — = а. 4

а +3

569. Відстань між двома містами легкова машина проїж джає за 2 год, а вантажна — за 3 год. Через який час після початку руху вони зустрінуться, якщ о виїдуть одночасно назустріч одна одній з цих міст?

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГТЕМЙ 570. Розв’ яж іть рівняння: 1) * 2 = 0;

4) -З * 2 + 12 = 0; 7) | * 2 - 5х = 0;

2) х2 - 1 = 0; 5) 5х2 - бх = 0; 8) х 2 - 2х + 1 = 0; 3) х2 + 5х — 0; 6) 0,2х2 + 2 = 0; 9) 9х2 + ЗО* + 25 = 0.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 571. Натуральні числа від 1 до 37 записано в рядок так, що сума будь-яких перш их кількох чисел ділиться на наступне за ними число. Яке число записано на третьо му місці, якщ о на перш ому місці записано число 37, а на другому — 1? ЗАВДАННЯ В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № 4

1. Яке з наведених тверджень хибне? A ) - 5 — ціле число; Б) - 5 — раціональне число; B) - 5 — ірраціональне число; Г) - 5 — дійсне число. 2. Яке з чисел є ірраціональним? А ) 74;

Б) 7 ^ 4 ;

В) ^0,04;

Г) 7 Ї0 0 .

3. Графіком якої з функцій є парабола? А ) у = 2х;

Б ) у = х 2;

В ) у = -\ х

146

Г ) « / = |. 2

Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 4

4. На якому з рисунків зображено графік функції у = Тх ? у

В) у,

Г 0

Г)1

' X

д:

А)

5. Який з наведених виразів не має змісту? А ) \І2;

Б) -7 2 ;

В) 7^2;

Г) ч/<-2)2

6. Обчисліть значення виразу \ І 7 х -3 при х = 4. А) 5; Б) -5 ; В) 25; Г) -2 5. 7. Чому дорівнює значення виразу 7^6 •0,81 ? А ) 6,9;

В) 5,4;

Б) 54;

Г) 0,54.

8. Знайдіть значення виразу А ) 2;

Б) 4;

В) 2,5;

Г) 0,4.

9. Спростіть вираз 79а - Тіба + 7б4а. А ) 15 7а ;

Б) 15а;

В) 7 7а;

Г) 7а.

10. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дро-

А ) 72;

Б) 4 72; В) 6 72; а -2 11. Скоротіть дріб а - 2 \І2а + 2 А)

7а + \І2 7 ^ -7 ^ ’

Б)

а +2

В) 1;

Г) 10 72.

І')

7а - 72 7а + \І2

12. Спростіть вираз (2 + 7 5 ) (2 - \Іо) + (Тб + і) - V/20. А ) 15;

Б) 5;

В)10-ч/5;

147

Г ) 1 0 + бТ б.

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ПІДСУМКИ У цьому параграфі: •

було введено такі поняття: у квадратний корінь; > арифметичний квадратний корінь; 'р множина; у підмножина; > ірраціональне число; г дійсні числа;

•

ви навчилися: р добувати квадратні корені з невід'ємних чисел; у спрощувати вирази, які містять квадратні корені; > будувати графіки функцій у = х 2 і у =

ви вивчили: у властивості арифметичного квадратного кореня;

■р деякі властивості функцій у = х 2 і у = \[х.

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ •

Ви навчитеся розв'язувати рівняння виду ах? + Ьх + с = 0.

•

Вивчите знамениту теорему Вієта для квадратного рів няння.

•

Оволодіете прийом ам и розв'язування рівнянь, які зв о дяться до квадратних.

Квадратні рівняння. Розв'язування неповних квадратних рівнянь Ви вмієте розв’ язувати лінійні рівняння, тобто рівняння виду ах = Ь, де х — змінна, а і Ь — деякі числа. Я кщ о а Ф 0, то рівняння ах = Ь називають рівнянням перш ого степеня. Наприклад, кожне з лінійних рівнянь 2х = 3, Зх = 0,

- х = - 7 є рівнянням перш ого степеня. А ось лінійні рів3

няння Ох = 0, Ох = 2 не є рівняннями першого степеня. Числа а и Ь називають коефіцієнтами рівняння першого степеня ах = Ь. Те, що рівняння першого степеня є окремим випадком лінійного рівняння, ілюструє схема, зображена на рисун ку 32. Ви також ум ієте р озв ’ я зувати деякі рівняння, які містять змінну в другому степені. Наприклад, готуючись до вивчення цього пункту, ви розв’ язали рівняння х 2 — 0, х 2 - 1 = 0, х 2 + 5х = 0, х 2 - 2х + 1 = 0 (вправа № 570). Кожне з цих рівнянь має вигляд ах2 + Ьх + с = 0. О з н а ч е н н я . К в а д р а т н и м р і в н я н н я м називають рівняння виду а х2 + Ьх + с = 0, де х — змінна, а ,Ь ,с — де які числа, причому а Ф 0. 149

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Числа а, Ь і с називають коефіцієнтами квадратного рівняння. Число а називають першим або старш им ко ефіцієнтом, число Ь — другим коефіцієнтом, число с — віль ним членом. Наприклад, квадратне рівняння -2 х 2 + 5х + 3 = 0 має такі коефіцієнти: а = -2,& = 5,с = 3. Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорів нює 1, називають зведеним. Наприклад, х 2 + л/2х - 1 = 0, х 2 - 4 = 0, х 2 + Зх == 0 — це зведені квадратні рівняння. Оскільки в квадратному рівнянні а х2 + Ьх + с = 0 стар ший коефіцієнт не дорівнює нулю, то незведене квадратне рівняння завжди можна перетворити в зведене, рівносиль не даному. Розділивши обидві частини рівняння а х 2 + Ьх + + с = 0 на число а, отримаємо зведене квадратне рівняння х 2 + - х + - = 0. а

Якщо в квадратному рівнянні а х2 + Ьх + с = 0 хоча б один з коефіцієнтів Ь або с дорівнює нулю, то таке рівнян ня називають неповним квадратним рівнянням. Існують три види неповних квадратних рівнянь: 1. При Ь = с — 0 маємо: ах2 = 0. 2. При с — 0 і Ь Ф 0 маємо: а х 2 + Ьх = 0. 3. При Ь = 0 і с * 0 маємо: а х 2 + с = 0. Розв’яжемо неповне квадратне рівняння кожного виду. 1. Оскільки а Ф 0, то рівняння а х г = 0 має єдиний корінь х — 0. 2. Рівняння а х 2 + Ьх = 0 подамо у вигляді х (а х + Ь) = 0. Це рівняння завжди має два корені х і х 2, один з яких дорівнює нулю, а другий є коренем рівняння першого степеня а х + Ь = 0. Звідси х, = 0 і х, = - - . 1

3. Рівняння ах2 + с = 0 подамо у вигляді х2 = - —. Оскільа

ки с Ф 0, то можливі два випадки: - - < 0 або - - > 0. а

Очевидно, що в першому випадку рівняння коренів не має. 150

17. Квадратні рівняння. Розв'язування неповних квадратних рівнянь

У другому випадку рівняння має два корені: х г =

Отримані результати підсумовує наступна таблиця. Значення коефіцієнтів Ь і с

- - < 0

Ь = 0, - - > 0 а

а х2 =

о II н

о II

II ■о

Ь Ф 0, с — 0

Корені

Рівняння 0

а х 2 + Ьх = 0 а х2 + с =

ах2 + с =

л ь Хі = 0 > * 2 = - коренів немає

ПРИКЛАД

Р озв’ яж іть рівняння х 2 - 7“ = 0. І* І Розв’язання При х > 0 маємо: х 2 - — = 0 ; х 2 - 4 = 0; х — 2 або х = - 2 . х Але корінь х = - 2 не задовольняє умову х > 0. При х < 0 маємо: х 2 + — = 0 ; х 2 + 4 = 0. Останнє рівх няння не має коренів. В і д п о в і д ь : 2.

Яке рівняння називають лінійним? 2. Яке рівняння називають рівнянням першого степеня? 3. Наведіть приклад лінійного рівняння, яке є рівнянням першого степеня, і приклад лінійного рівняння, яке неє рівнянням першо го степеня. 4. Яке рівняння називають квадратним? 5. Як називають коефіцієнти квадратного рівняння а х 2 + Ьх + с - 0? 6. Яке квадратне рівняння називають зведеним? 151

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

7. Яке квадратне рівняння називають неповним? 8 . Які існують види неповних квадратних рівнянь? Скільки коренів може мати рівняння кожного виду?

572.° Укажіть серед даних рівнянь квадратні і назвіть, чому дорівнюють старший коефіцієнт, другий коефіцієнт і вільний член кож ного з них: 1) х = 0; 6 ) Зх 3 - х 2 + 6 = 0; 2) х 2 = 0; 7) - 2 х 2 + 7х - 8 = 0; 3) х 2 + х = 0; 8 ) х '1 - х - 9 = 0; 4) х 2 + 1 = 0; 9) 6 - х 2 + 4х = 0; 5) х 2 - 4х + 2 = 0; 10) - х 2 - 2х + 3 = 0. 573.° Складіть квадратне рівняння, у якому: 1 ) старший коефіцієнт дорівнює б, другий коефіцієнт дорівнює 7, а вільний член дорівнює 2; 2 ) старший коефіцієнт дорівнює 1 , другий коефіцієнт дорівнює -

а вільний член дорівнює

З 3) старший коефіцієнт дорівнює - 0 ,5 , другий коефіцієнт дорівнює

, а вільний член дорівнює

4) старший коефіцієнт дорівнює 7,2, другий коефі цієнт дорівнює - 2 , а вільний член дорівнює 0 . 574 .г‘ Складіть квадратне рівняння, у якому: 1 ) старший коефіцієнт дорівнює - 1 , другий коефіцієнт дорівнює - 2 , а вільний член дорівнює 1 , 6 ; 2 ) старший коефіцієнт і вільний член дорівнюють 2 , а другий коефіцієнт дорівнює 0 . 575.® Подайте дане рівняння у вигляді о х 2 + Ьх + с = 0, укаж іть значення коефіцієнтів а, Ь і с: 1) 6 х (3 - х) = 7 - 2х2; 2) х (х + 1) = (х - 3) (7х + 2); 3) (5х - І )2 = (х + 4) (х - 2); 4) 4х (х + 8 ) - (х - 6 ) (х + 6 ) = 0. 576.° Подайте дане рівняння у вигляді о х 2 + Ьх + с = 0, укаж іть значення коефіцієнтів а, Ь і с: 1 ) х (х + 1 0 ) = 8 х + 3; 2) (х + 2 ) 2 = 2х 2 + 4. 152

17. Квадратні рівняння. Розв'язування неповних квадратних рівнянь

577.° Укаж іть, які з даних рівнянь є зведеними, і перетво ріть незведені рівняння у зведені: 1) х 2 - 5х + 34 = 0; 4) 16 - 6 х + х 2 = 0; 2) 2 х 2 + 6 х + 8 = 0; 5) - х 2 + 8 х - 7 = 0; 3) ± х 2 + х - 5 = 0 ; 6 ) - 0 ,2 х 2 + 0 ,8х + 1 = 0. З 578.° Перетворіть дане квадратне рівняння у зведене: 1) ± х 2 - 2 х - 3 = 0;

3) Зх 2 + х + 2 = 0.

2) - 4 х 2 + 20х - 16 = 0; 579.° Я кі з чисел 1; 0; - 3 ; 2; - 1 0 є коренями рівняння х 2 + 9х - 10 = 0? 580.° Доведіть, що: 1 ) число - 1 не є коренем рівняння х 2 - 2 х + 3 = 0 ; 2)

числа - + 3 =

і - 3 є коренями рівняння Зх"’ + Ю х +

0 ;3

3) числа -\І2 і 72 є коренями рівняння Зх 2

- 6

581.° Доведіть, що: 1) число - 5 є коренем рівняння х 2 + Зх - 10 = 0; 2) число 4 не є коренем рівняння ^ х 2 - 4х = 0. 582.° Р озв’ яж іть рівняння: 1) 5х 2 - 45 = 0; 3) 2х 2 - 10 - 0; 5) 64х2 - 9 = 0; 2) х 2 + 8 х = 0; 4) 2х 2 - Ю х = 0; 6 ) х 2 + 16 = 0. 583.° Розв’ яж іть рівняння: 1) х 2 + 7х = 0; 3) Зх 2 - 6 = 0; 2) 2х 2 - 11х = 0; 4) - 8 х 2 = 0. 584.° Р озв’ яж іть рівняння: 1) (Зх 1) (х + 4) = - 4 ; 2 ) (2 х - І ) 2 - 6 ( 6 - х) = 2 х; 3) (х + 2) (х - 3) - (х - 5) (х + 5) = х 2 - х. 5 85 .” Р озв’ яж іть рівняння: 1) (Зх - 2) (Зх + 2) + (4х - 5 ) 2 = Ю х + 21; 2) (2х 1) (х + 8 ) - (х 1) (х + 1)= 15х. 586.° Знайдіть два послідовних натуральних числа, добуток яких на 36 більший за менше з них. 153

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

587.° Знайдіть два послідовних натуральних числа, добуток яких на 80 більший за більше з них. 588.* Доведіть, що числа 2 -% /з і 2 + >/з є коренями рів няння х 2 - 4х + 1 = 0. 589.' Розв’ яж іть рівняння: 1} £ і и §£ _

2) * 1 ^ - £ ! л ! = 2.

590." Розв’ яж іть рівняння: 1 ) £ І ± £ _ £ = 0; 7

591." При якому значенні т: 1 ) число 2 є коренем рівняння х 2 + т х - 6 = 0 ; 2) число - 3 є коренем рівняння 2 х г - 7х + т - 0; 3) число ^ є коренем рівняння т2х 2 + 14х - 3 = 0? 592.' При якому значенні п: 1 ) число 6 є коренем рівняння х 2 - пх + 3 = 0 ; 2) число 0,5 є коренем рівняння п х 2 - 8 х + 10 = 0? 593.’ Розв’ яж іть рівняння, розклавши його ліву частину на множники способом групування: 1) х 2 - 6 л- + 8 - 0; 3) х 2 + 22х - 23 = 0. 2 ) х2 + 1 2 х + 20 = 0 ; 5 9 4 / Розв’ яж іть рівняння, виділивши у його лівій частині квадрат двочлена 1) х 2 - 4х + 3 = 0 3) х 2 + 8 х + 2 0 = 0 . 2) х 2 + 6 х - 7 = 0 595.' Розв’ яж іть рівняння, розклавши його ліву частину на множники: 1) х 2 - Ю х + 9 = 0; 3) х 2 - х - 2 = 0; 2) х 2 + 2х - 3 = 0; 4) х 2 + 6 х + 5 = 0. 5 9 6 / Сума квадратів двох послідовних цілих чисел на 17 більша за подвоєне більше з них. Знайдіть ці числа. 597.‘ Знайдіть два послідовних цілих числа, сума квадратів яких дорівнює 1 . 5 9 8 / При якому значенні т не є квадратним рівняння: 1) (т - 4) х 2 + т х + 7 = 0; 2 ) (т2 + 8т) х 2 + (т + 8 ) х + 1 0 = 0 ; 3) (т 2 - 81) х 2 - 6 х + т - 0 ? 154

17. Квадратні рівняння. Розв'язування неповних квадратних рівнянь

5 9 9 / Яким числом, додатним чи від’ ємним, є відмінний від 0 корінь неповного квадратного рівняння а х 2 + + Ьх = 0, якщ о: 1) а > 0, Ь > 0; 3) а > 0, Ь< 0; 2) а < 0, Ь> 0; 4) а < 0, Ь< 0? 600/ Чи має корені неповне квадратне рівняння а х2 + с = 0, якщ о: 1) а > 0, с> 0; 3) а > 0 , с < 0 ; 2) а < 0, с > 0; 4) а < 0, с < 0? 601/* Яким многочленом можна замінити зірочку в рівнян ні Зх2 - 2х + 4 + * = 0, щоб утворилося неповне квад ратне рівняння, коренями якого є числа: 1) 0 і 4; 2) - 1 і 1? 602.” Яким многочленом можна замінити-зірочку в рівнян ні х 2 + 5 л : - 1 + * = 0, щоб утворилося неповне квад ратне рівняння, коренями якого є числа: 1) 0; - 7 ; 2) - 4 ; 4? 603.” Розв’ яж іть рівняння: 1) л:2 - 3 |л: |= 0;

3 ) л ; 2 - ^ = 0; X

2 ) х 2 + \ х \ ~ 2 х = 0;

4 ) х г - ^ = 0. *

604.” Розв’ яж іть рівняння:

1) л;2 - 7 |х |= 0;

3 ) 2 х 2- ^ 4 = 0.

2 ) л;2 - 6 |х |+ х = 0 ; 605.” При якому значенні а рівняння (а - 2) х 2 + (2а - 1) х + а2 - 4 = 0 є: 1 ) лінійним; 2 ) зведеним квадратним; 3 ) неповним незведеним квадратним рівнянням; 4) неповним зведеним квадратним рівнянням? 6 0 6 ." У становіть, при яком у значенні а один з коренів квадратного рівняння дорівнює 0 , і знайдіть другий корінь рівняння: 1) х 2 + а х + а - 4 = 0; 2) 4х 2 4- (а - 8 ) х + а2 + а = 0; 3) а х2 + (а + 3) х + а2 - За = 0.

155

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Г ВПРАВИ 607.

Виконайте дії: 1

608.

ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

)

3 -2 а 2а

1-а*

’

д2- ^ ' + 26; зь

с + 4

2 . с - 4с

2,-5 с - 16

5) 6

)

5 6а5

72 а 3Ь

4а

Ь2

: (27а26);

- 1 . 10а + 5

а2 - 9

СІ + З

Спростіть вираз: 1) 10 7 з - 5 %/І8 + 2 775;

3) ( 5 - У 2 )2;

2) (3 \/5 - УІ20) Уб;

4) (л/Ї8

- л/з) %У2 + 0,5 724.

609. Який з графіків, зображених на рисунку 33, є графіком функції: 1) У = * 2;

у =

2 л:;

з ) у = |;

/ &

я а) 610. Учень задумав двоцифрове число. Я кщ о кож ну цифру цього числа збільшити на 2 , то отримане число буде на 13 менше від подвоєного задуманого числа. Яке число було задумано?

^ УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 611. Друкарський автомат отримує на вході картку з числа2 ми (а; Ь) і видає на виході картку з числами { а + ь - ° 4 2 ’ 1 1 —

Чи м ож на за доп ом огою цього автомата з картки (0,25; 1000) отримати картку (1,25; 250)? 156

Формула коренів квадратного рівняння Знаючи коефіцієнти а і

рівняння першого степеня ах =

можна знайти його корінь за формулою х = - . а

Виведемо формулу, яка дає змогу за коефіцієнтами а, Ь і с квадратного рівняння а х2 + Ьх + с = 0 знаходити його корені. Маємо: а х 2 + Ьх + с = 0. (1) Оскільки а Ф 0, то, помноживш и обидві частини цього рівняння на 4а, отримаємо рівняння, рівносильне даному: 4 а2х 2 + 4 аЬх + 4 ас = 0. Виділимо в лівій частині цього рівняння квадрат дво члена: о о 4 а х + 4 аЬх + 6 “ - 6 + 4ас = 0; (2ах + Ь)2 = Ь2 - 4ас. (2) Існування коренів рівняння ( 2 ) та їх кількість залежить від знака виразу Ь2 - 4ас. Цей вираз називають дискрим і нантом квадратного рівняння а х2 + Ьх + с = 0 і позначають буквою Б , тобто О = Ь2 - 4ас. Термін «дискримінант» по ходить від латинського слова сіі&сгітіпаге, що означає «роз різняти», «розділяти». Тепер рівняння (2) можна записати так: (2ах + Ь)2 = £). (3) Можливі три випадки: І) < 0, В = 0, О > 0. 1. Я кщ о І) < 0, то рівняння (3), а отж е і рівняння (1), к о ренів не має. Справді, при будь-якому значенні х вираз (2адг + Ь)2 набуває тільки невід’ ємних значень. В и с н о в о к : якщ о £> < 0, то квадрат не рівняння ко ренів не має. 2. Я кщ о В = 0, то рівняння (3) набуває вигляду: (2ах + Ь)2 = 0. Звідси 2ах +

= 0; х = —— . 2а

В и с н о в о к : якщ о 0 = 0, то квадрат не рівняння м ає Ь

один корінь х = - — 157

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Я кщ о і ) > 0, то рівняння (3) можна записати у вигляді: (2а х + Ь)2 =(у[15)2. Звідси 2а х + Ь = - •Л5 або 2ах + Ь = 4 3 . Тоді х = .—

або х =

Ь-п

2а

-Ь + 4 и 2а

В и с н о в о к : якщ о X) > 0, то квадрат не рівняння м ає два корені х, і х 2: -Ь

- Ь - 4 о

Х1 "

2а

+\ГБ 2а

Також застосовують коротку форму запису: -ь ± 4 о Х ~

2а

Цей запис називають ф орм улою коренів квадратного рівняння а х 2 + Ьх + с = 0. Отриману формулу можна застосовувати і для випадку, коли = 0. Тоді Х

- Ь ± 4

2а

о _ _

_Ь_

2а

При розв’ язуванні квадратних рівнянь зручно керувати ся таким алгоритмом: • знайти дискримінант І) квадратного рівняння; • якщ о И < 0 , то у відповіді записати, щ о коренів не має; • якщ о £> > 0 , то скористатися формулою коренів квад ратного рівняння. Я кщ о другий коефіцієнт квадратного рівняння подати у вигляді 2 к, то можна користуватися інш ою формулою, яка в багатьох випадках полегш ує обчислення. Розглянемо квадратне рівняння а х2 + 2кх + с = 0. Знайдемо його дискримінант: І) = 4кг - 4ас = 4 {к2 - ас). Позначимо вираз к2 - ас через £>,. Я кщ о > 0, то за формулою коренів квадратного рів няння отримуємо:

18. Формула коренів квадратного рівняння

тобто

х =

~іі І \/І). —

о де В = к - ас. 1

ПРИКЛАД 1

Розв’ яж іть рівняння: 1) Зх2 - 2х - 16 = 0; 4) х 2 — 6 х + 1 1 = 0; 2) -0 ,5 л :2 + 2х - 2 = 0; 5) 5 х2 - 16л: + 3 = 0. 3) х 2 + 5х - 3 = 0; Розв’язання 1) Для даного рівняння а = З, Ь = - 2 , с = -1 6 . Дискримінант рівняння В = Ь2 - 4ас = ( - 2 ) 2 - 4 - 3 - ( - 1 6 ) = 4 + 192 = 196. Отже,

В і д п о в і д ь : -2 ; 2 - . З 2) Маємо: О = 2 2 - 4 - ( - 0 , 5 ) - ( - 2 ) = 4 - 4 = 0. Отже, дане рівняння має один корінь: -2і Л = 2 . -1 Зауважимо, що дане рівняння можна розв’ язати іншим способом. Помноживш и обидві частини рівняння на - 2 , отримуємо: л:2 - 4л: + 4 = 0; (л: - 2 ) 2 = 0; х - 2 = 0; л: = 2. В і д п о в і д ь : 2. 3) Я = 5 2 - 4• 1 •( - 3 ) = 25 + 12 = 37. .

-5-УІ37

- 5 + %/з7

Рівняння має два корені: х, = ----- ------ , х 2 = -----„ .

- 5 ± >/з7

В і д п о в і д ь : -------------.

4) В = ( - б ) 2 - 4 - 1 - 1 1 = 36 - 44 = - 8 < 0. Отже, рівняння не має коренів. В і д п о в і д ь : коренів немає. 5) Подамо дане рівняння у вигляді 5х 2 + 2 - ( - 8 ) х + 3 = 0 і застосуємо формулу для рівняння виду а х 2 + 2 кх + + с = 0: 159

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

І ) 1 = ( - 8 ) 2 - 5 -3 = 49; *і В і д п о в і д ь : - ; 3. 5

ПРИКЛАД 2

Р озв’ яж іть рівняння:

1) х2 + 6 Т і2 -1 6 = 0;

3) 9х2 - 8* + —

л: - 1

= 1+ - 5 -

х - 1

2) х 2 - 1 0 ( 7 х Ґ - 2 4 = 0; Розв’язання 1) Маємо: х 2 + 6 |х \- 16 = 0. При х > 0 отримуємо рівняння х 2 + 6х - 16 = 0, яке має корені - 8 і 2 , проте корінь - 8 не задовольняє умову

х > 0. При х < 0 отримуємо рівняння х 2 - 6 х - 16 = 0, яке має корені - 2 і 8 , проте корінь 8 не задовольняє ум ову х < 0. В і д п о в і д ь : - 2 ; 2. 2) Оскільки І 4 х) = х при х > 0, то шукані корені мають задовольняти дві умови одночасно: х 2 - ІОх - 24 = 0 і х > 0. У такому випадку каж уть, що дане рівняння

Рівняння х 2 - ІОх - 24 має корені - 2 і 12, але корінь не задовольняє умову х > 0 . В і д п о в і д ь : 12. -2

Маємо:

3) Дане ріі

1_ 9

г> і д п о в і•д ь : —і В

9 160

18. Формула коренів квадратного рівняння

ПРИКЛАД З

При якому значенні 6 має один корінь рівняння: 1) 2 х2 - Ьх + 18 = 0; 2)* ( 6 + 6 ) х 2 - ( 6 - 2) х + 1 = 0? Розв'язання 1) Дане рівняння є квадратним і має один корінь, якщ о його дискримінант дорівнює нулю. Маємо: В = б 2 - 4 - 2 - 1 8 = б 2 - 144; Ь2 - 144 = 0; Ь = - 1 2 або Ь = 12. В і д п о в і д ь : Ь = —12 або Ь = 12. 2) При Ь = - 6 отримуємо рівняння 8 лс + 1 = 0, яке має оДин корінь. При, Ь Ф - 6 дане рівняння є квадратним і має один корінь, якщ о його дискримінант дорівнює нулю: В = (Ь - 2 ) 2 - 4 {Ь + 6 ) = Ь2 - 4Ь + 4 - 4Ь- 24 = = Ь2 - 8 6 - 20. М аємо: б 2 - 8 6 - 20 = 0, звідси 6 = - 2 або 6 = 10. В і д п о в і д ь : 6 = - 2 або 6 = 10, або 6 = - 6 .

Кілька поколінь учителів математики та їх учнів набу вали педагогічного досвіду й поглиблювали свої знання, користуючись чудовою книж кою «Квадратні рівняння» блискучого українського пе дагога й математика Миколи Андрійовича Чайковського (1887-1970). М. А . Чайковський зали шив велику наукову й педа гогічну спадщину. Його робо ти відомі далеко за межами України. М .А .Ч а й к о в с ь к и й

161

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

1. Який вираз називають дискримінантом квадратного рівняння? 2. Як залежить кількість коренів квадратного рівняння від знака дискримінанта? 3. Запишіть формулу коренів квадратного рівняння. 4. Яким алгоритмом зручно користуватися при розв'язуванні квад ратних рівнянь?

612.° Знайдіть дискримінант і визначте кількість коренів рівняння: 1) х 2 + 2 х - 4 = 0; 3)2л :2 - 6 л : - 3,5 = 0; 2) х 2 - Зх + 5 = 0; 4)5х 2 - 2х + 0,2 = 0. 6 13 .е Яке з наведених рівнянь має два корені: 1) х 2 + 4х + 8 = 0; 3) 4 х 2 - 12х + 9 = 0; 2) Зх 2 - 4х - 1 = 0; 4) 2х 2 - 9х + 15 = 0? 6 1 4 / Яке з наведених рівнянь не має коренів: 1 ) х2 - 6 х + 4 = 0 ; 3) Зх 2 + 4х - 2 = 0 ; 2) 5х 2 - Ю х + 6 = 0 ; 4) 0 ,04х - 0 ,4х + 1 = 0 ? 615. Розв’ яж іть рівняння: 1 ) х 2 - 4х + 3 == 0 ; П ) 2 х 2 -- х - 6 = 0 ; 2 ) х 2 + 2 х - 3 == 0 ; 1 2 ) Зх 2 -- 4х - 20 = 0 3) х 2 + Зх - 4 == 0 ; 13) Ю х 2 - 7х - 3 = 0 4) х 2 - 4х - 21 = 0 ; 14) - 5 х 2 + 7х - 2 = 0 5) х 2 + х - 56 == 0 ; 15) - 6 х 2 - 7х - 1 - 0 6 ) х2 - 6 х - 7 = 0 ; 16) Зх 2 -- Ю х + 3 = 0 7) х 2 - 8 х + 1 2 = 0 ; 17) - З х 2 + 7х + 6 = 0 8 ) х 2 + 7х + 6 == 0 ; 18) х 2 - 4х + 1 = 0 ; 9) - х 2 + 6 х + 55 = 0; 19) 2 х 2 -- х - 4 = 0 ; 1 0 ) 2х 2 - Зх - 2 = 0 ; 2 0 ) х 2 - 8 х + 2 0 == 0 . 616 Р озв’ яж іть рівняння: 1 ) х 2 - Зх + 2 = 0 ; 7) 4 х 2 - Зх - 1 = 0 ; 2 ) х 2 + 1 2 х - 13 = 0 ; 8 ) - 2 х 2 + х + 15 = 0 3) х 2 -- 7х + 10 == 0 ; 9) 6 х 2 + 7х - 5 = 0 ; 4) х 2 Ю) 18х2 - 9х - 5 = 0 ; 0; 5) 2 х 2 - 5х + 2 == 0 ; Н ) х 2 - 6 х + 1 1 == 0 ; 1 2 ) - х 2 -- 8 х + 1 2 = 0 6 ) 2 х2 =0 ; 617.с При яких значеннях змінної: 1) значення многочленів 6 х 2 - 2 і 5 - х рівні; II

£» п

і н і -і і -т Н

162

18. Формула коренів квадратного рівняння 2)

значення двочлена у - 6 дорівнює значенню тричле на у 2 - 9у + 3; 3) тричлени 4 т2 + 4 т + 2 і 2 пі2 + 1 0 т + 8 набувають рівних значень? 618.° При яких значеннях змінної: 1) значення двочлена 4 х + 4 дор івн ю є значенню тричлена Зх 2 + 5х - 10; 2 ) значення тричленів 1 0 р 2 + 1 0 /) + 8 і Зр2 - 1 0 р + 1 1 рівні? 619.° Знайдіть корені рівняння: 1) (2х - 5) (х + 2) = 18; 2) (4х - З) 2 + (Зх - 1) (Зх + 1) = 9; 3) (х + З) 2 - (2х - І ) 2 = 16; 4) (х - б ) 2 - 2х (х + 3) = ЗО - 12х; 5) (х + 7) (х - 8 ) - (4х + 1) (х - 2) = -2 1 х ; 6 ) ( 2 х - 1 ) ( 2 х + 1 ) - х ( 1 - х) = 2 х (х + 1 ). 620. Розв’ яж іть рівняння: 1) (х - 4 ) 2 = 4х - 11; 2) (х + 5 ) 2 + (х - 7) (х + 7) = 6 х - 19; 3) (Зх - 1) (х + 4) = (2х + 3) (х + 3) - 17. 621.° Знайдіть натуральне число, квадрат якого на 42 біль ший за дане число. 622.° Знайдіть периметр прямокутника, площа якого дорів нює 70 см 2, а одна зі сторін на 9 см більша за другу. 623. Добуток двох чисел дорівнює 84. Знайдіть ці числа, якщ о одне з них на 8 менше від другого. 624.° Д обуток двох послідовних натуральних чисел на 89 більший за їх суму. Знайдіть ці числа. 625.° Сума квадратів яких двох послідовних натуральних чисел дорівнює 365? 626.* Розв’ яж іть рівняння: 1) 2х 2 + х У б - 1 5 = 0;

)

= _і;

2) х 2 —х(ч/б —і) —л/б = 0 ; 4) * * --+ * - х* + 17 = ^ ~ . 3

627. Р озв’ яж іть рівняння: 1) х 2 + З х ч / 2 + 4 = 0; 163

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ 2)

х 2-

Ш + 2) + 2 4 з =

3) 2 £ ^ _ З

х± 4

;

3 =л;_ 1

628." При якому значенні а число -

630/

632/

634/

636/

637/

є коренем рівняння

а2х 2 + 4а х - 5 = 0 ? При якому значенні а число 2 є коренем рівняння х 2 - 0 ,5 а х - За2 = 0? Від квадратного листа картону відрізали см уж к у у формі прямокутника завширшки 3 см. Площа лис та, що залишився, становить 40 см 2. Я кою була дов жина сторони квадратного листа картону? Від прямокутного листа паперу, довжина якого дорів нює 18 см, відрізали квадрат, сторона якого дорівнює ш ирині листа. П лощ а частини прям окутника, що залишилася, дорівню є 72 см 2. Я кою була ширина листа паперу? Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщ о один з них на 14 см менший від другого, а гіпотенуза дорів нює 34 см. Знайдіть сторони прямокутника, якщ о їх різниця дорівнює 31 см, а діагональ прямокутника дорівнює 41 см. Знайдіть три послідовних непарних натуральних чис ла, якщ о квадрат перш ого з них на 33 більше, ніж подвоєна сума другого і третього. Знайдіть чотири послідовних парних натуральних числа, якщ о сума перш ого й третього чисел у 5 разів менше, ніж добуток другого та четвертого чисел. Доведіть, щ о коли старший коефіцієнт і вільний член квадратного рівняння мають різні знаки, то рівняння має два корені. (Стародавня індійська задача.) На д в і з г р а ї р о з д і л и в ш и с ь , Р озваж ал и сь в гаї мавпи. Одна восьм а їх в квадраті Г учн о разом забавлялись. К р и к о м радісним дванадцять Все п ов ітря к ол и ха л и . 164

18. Формула коренів квадратного рівняння

Разом скільки, ти дізнайся, Мавп було у тому гаї? 6 38 ." У турнірі з футболу було зіграно 36 матчів. Скільки команд брало участь у турнірі, якщ о кожна команда зіграла по одному разу з кож ною інш ою командою? Скільки сторін має многокутник, якщ о в ньому м ож на провести 90 діагоналей? 6 4 0 ." Розв’ яж іть рівняння: 1) |х 2 + 7х - 4 |= 4;

2) 5 х 2 -

5) х 2 -

3) х |х |+ 641

|х |+ 3 = 0; 6х

- 5 = 0;

+ ^ 4 - 1 2 = 0; І*! 8

%/х2 + 15 = 0 ;

) х 2 + 4 у/х2 - 1 2 = 0.

Розв’ яж іть рівняння: 1) |х 2 + Ю х - 4 |= 20;

3) -г—. - 14х - 1 5 = 0 ; 1*1

2) х |х |+ 12х - 45 = 0;

4) х 2 -

ч/х2 - 9 = 0.

6 4 2 ." Розв’ яж іть рівняння: 1) х 2 + 2х н— - — = —-— н 8 0 ; 2) х* + 8{>Іх) - 3 3 = 0. х - 8

х - 8

Р озв’ яж іть рівняння: 1)

6 44 ."

6 46 ."

6 47 ."

649.*

+5х-— = 1 - — ; 2) 5х2 - 1 4 ( л / х ) 2 - 3 = 0. X+ 1 X+ 1 При якому значенні Ь має один корінь рівняння: 1) 2х 2 + 4х - Ь = 0; 2) Зх 2 - Ьх + 12 = 0? При якому значенні Ь має один корінь рівняння: 1) 6 х 2 - 18х + Ь = 0; 2) 8 х 2 + Ьх + 2 = 0? Доведіть, щ о при будь-якому значенні р має два корені рівняння: 1) 4 х 2 - р х - 3 = 0; 2) х 2 + р х + р - 2 = 0. Доведіть, що при будь-якому значенні т не має к о ренів рівняння: 1) х 2 + т х + т2 + 1 = 0; 2) х 2 - 2 т х + 2т2 + 9 = 0. Доведіть, що при будь-яком у значенні Ь рівняння х 2 + Ьх - 7 = 0 має два корені. Р озв’ яж іть рівняння: 1) х 2 —(За + 1) х + 2а“ + а = 0; 6 х 2

165

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

2) х 2 - (2а + 4) х + 8а — 0; 3) а2х 2 - 24ах - 25 = 0; 4) 3(2а - 1) х 2 - 2 (а + 1) х + 1 = 0. в 50. Розв’ яж іть рівняння: 1) х 2 - (2а - 5) х - За2 + 5а = 0; 2) х 2 + (За - 4) х - 12а = 0; 3) а х2 - (а + 1 ) х + 1 = 0 . 6 5 1 / При якому значенні Ь має один корінь рівняння: 1) Ьх2 - 6х - 7 = 0; 2) (Ь + 5) х 2 - (Ь + 6 ) х + 3 = 0; 3) (Ь - 4) х 2 + (2Ь - 8 ) х + 15 = 0? При якому значенні Ь має один корінь рівняння: 1) Ьх2 + х + Ь = 0; 2) (Ь + 3) х 2 + (Ь + 1) х - 2 = 0? І

ВПРАВИ” д л я ПОВТОРЕННЯ

653. Спростіть вираз: /а +Ь І

4Ь \ а + Ь а + Ь/

654. Знайдіть значення виразу

а-Ь

(°~3)3 1 —— при а - - . а

•а

655. Розташуйте у порядку зростання числа У і7, Зл/2 і 4. 656. Є брухт металу двох сортів, які містять 5 % і 45 % ні келю відповідно. Скільки брухту кож ного з цих сортів треба взяти, щоб одержати 120 т сплаву з 30-відсотковим вмістом нікелю? 657. У книж ці бракує кількох аркуш ів. На лівій сторінці розвороту є номер 24, а на правій — номер 53. Скіль ки аркуш ів бракує між цими сторінками? ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 658. Р озв’ яж іть рівняння, знайдіть сум у і добуток його коренів та порівняйте їх з другим коефіцієнтом і віль ним членом рівняння: 1) х 2 - 4х - 12 = 0; 2) х 2 + 9х + 14 = 0. 166

19. Теорема Вієта

659. Заповніть таблицю, де а, Ь і с — коефіцієнти квадрат ного рівняння а х 2 + Ьх + с = 0, а х 1 і х 2 — його к о рені: Р івн я н н я

7 х2 - 8 х + 6 х2 + 13*

15 = 0

^ УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТИ? КРОКИ 660. Доведіть, що з 101 кубика, пофарбованого у довільні кольори, можна вибрати або 1 1 кубиків одного кольо ру, або 1 1 кубиків різного кольору.

Теорема Вієта Готую чись до вивчення цього пункту, ви р озв ’ язали вправи №№ 658, 659. М ожливо, ці вправи підказали вам, яким чином сума і добуток коренів квадратного рівняння пов’ язані з його коефіцієнтами. Т е о р е м а 19.1 ( т е о р е м а В і є т а ) . Я кщ о х л і х 2 — корені квадрат ного рівняння а хг + Ьх + с = 0, то Ь с X1 + Д?2 — ; %іХ% •

Франсуа Вієт (1540-1603) — фран цузький математик, за фахом — юрист. У 1591 р. упровадив буквені позначення не лише для невідомих величин, а й для коефіцієнтів рівнянь, завдяки цьому стало можливим виражати властивості рівнянь та їх корені загальними форму лами. Серед своїх відкриттів сам Вієт особливо високо цінив установлення залежності між коренями і коефіцієнта ми рівнянь. 167

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Д о в е д е н н я . О Нехай дискримінант даного рівняння І) > 0. Застосовуючи формулу коренів квадратного рівнян ня, запишемо: - Ь - уі О

- Ь + УІБ

X, = ----------- , х 9 = -------------. 1

2а

Маємо: х 1 + х 2 = ~Ь~ ^ + - ■ + ^ 1

2а

_ -Ь-у/Б 2а

-Ь + у!г> _ '

= - ь - у і Б - ь + уЇБ ^ _ ь

2а

( - Ь)2

- (у[Б)2 _ Ь2 4а2

_ Ь2 - (Ь2 - 4ас) _ с 4а 2

“

4а2

_ “

~ а ‘

З а у в а ж е н н я . Теорема Вієта є справедливою й тоді, ,ьому вважають, що х хг = х 2 = - — . Маємо: коли Б = 0. При цьому 2а *1 + *2 = 2 ' ( ~ ^ ) = _ а ’ _

Ь2 _ 4ас _ с

Хі* 2 ' 4 « * ■ ! ? ■ « ■ Н а с л і д о к . Я кщ о х { і х 2 — корені зведеного квадрат но го рівняння х 2 + Ьх + с — 0, то Хг + Х2 = -Ь , *!*2 = С’ тобто сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а до буток коренів дорівнює вільному члену. Т е о р е м а 19.2 ( о б е р н е н а

до

теореми

Вієта).

Я кщ о числа а ї р такі, що а + Р = - — і ар = - , то ці чиса

ла є кореням и квадрат ного рівняння а х 2 + Ьх + с — 0. Д о в е д е н н я . 0 Розглянемо квадратне рівняння а хг + + Ьх + с = 0. Перетворимо його у зведене: х 2 + ^ х + ± = 0. а

Згідно з умовою теореми це рівняння можна записати так: х 2 - (ос + р) х + а|3 = 0. (*) 168

19. Теорема Вієта

Підставляючи у ліву частину цього рівняння замість х спочатку число а, а потім число (3, отримуємо: а2 - (а + (3) а + ар = а 2 - а 2 - еф + ар = 0; (З2 - (а + (3) р + ар = р2 - ар - (З2 + ар = 0. Таким чином, числа а і Р є коренями рівняння (*), а от ж е, і коренями квадратного рівняння а х 2 + Ьх + с = 0. ▲ Н а с л і д о к . Я кщ о числа а і р такі, що а + р = — Ь і ар = с, то ці числа є кореням и зведеного квадрат ного рівняння х 2 + Ьх + с = 0. Застосовуючи цей наслідок, можна розв’ язувати деякі квадратні рівняння усно, не використовуючи формулу к о ренів. ПРИКЛАД 1

Знайдіть суму й добуток коренів рівняння Зх 2 - 15х + + 2 = 0.

Р озв’язання З’ ясуєм о, чи має дане рівняння корені. М аємо: X) = (-1 5 ) 2 - 4 •3 ■2 = 225 - 24 > 0. Отже, рівнян ня має два корені: х х і х 2. —15

Тоді за теоремою Вієта х г + х 2 = — — = 5, х {х 2 = - . ПРИКЛАД 2

Знайдіть коефіцієнти Ь і с рівняння х 2 + Ьх + с = 0, якщ о його коренями є числа - 7 і 4. Розв’язання За теоремою Вієта Ь = - ( - 7 + 4) = 3, с = - 7 - 4 = -2 8 . ПРИКЛАД З

Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, ї х . .

корені якого дорівнюють: 1) 4 і

Р озв’язання 5 1) Нехай х 1 = 4 і х 2 = - - . Тоді

оч

6 -

•

6 + уІ7

2) — ^ — і —

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

За теоремою, оберненою до теореми Вієта, числа х 1 і х 2 є кореням и рівняння х 2 - Щ х - ^ - - 0 .

П омнож ивш и

обидві частини цього рівняння на 7, отримуємо квадрат не рівняння з цілими коефіцієнтами: ї х 2 - 23х - 20 = 0. 2) Нехай х, =

і х2 =

— . Тоді

_ 6 - уі7 , 6 + УІ7

X, + Х.л —--------- н---------- —6, 1 2 2 2 6-УІ7

6 + 77

36 - 7

х ,х 9 = ---------1 2

= —•. 4

Отже, х ] і х 2 є коренями рівняння х 2 - бх + ^ = 0. Звід си шуканим є рівняння 4х 2 - 24х + 29 = 0. ПРИКЛАД 4

Відомо, що х 1 і х 2 — корені рівняння 2х 2 - Зх - 9 = 0. Не ,

„

розв язуючи рівняння, знайдіть значення в и р а з у

Розв'язання

, 1

1----- . *1

За теоремою Вієта х х + х 2 = | , ххх 2 = — . Тоді маємо: 1 , 1 х2 хх

*і + * а _ 3 . / 9\ ... х хх 2 2 V 2/

1 З

Відповідь: - і . З ПРИКЛАД 5

Число 4 є коренем рівняння Зх 2 - Ю х + п = 0. Знайдіть другий корінь рівняння і значення п. Розв’язання Нехай х 5 і х 2 — корені даного рівняння, причому х ] = 4. За теоремою Вієта 10 10 А 2 8 х і, + х ,г = — = — , 3 п’ - х,х„ з , х г, = ------4 з 1 2 = —з. 2

В і д п о в і д ь : х2 = - - , О

п = -~ . О 170

19. Теорема Вієта

ПРИКЛАД б

Складіть квадратне рівняння, корені якого на 4 більші за відповідні корені рівняння х 2 + 6 х - 14 = 0. Р озв’язання Нехай х 1 і х 2 — корені даного рівняння, х[ і х 2 — корені ш уканого рівняння. За умовою х[ = х 1 + 4, х'2 = х 2 + 4. За теоремою Вієта х х + х 2 = - 6 , х ,х 2 = -1 4 . Тоді маємо: х[ + х'2 —Х| + 4 + х 2 + 4 = (хх + х 2) + 8 = —6 + 8 = 2; х[х'2 = (X! + 4) (х 2 + 4) = хгх 2 + 4 (хх + х 2) + 16 = = -1 4 + 4 - ( - 6 ) + 16 = -2 2 . Отже, за теоремою, оберненою до теореми Вієта, шуканим є рівняння х 2 - 2 х - 2 2 = 0 . В і д п о в і д ь : х 2 - 2х - 22 = 0. 9

1. Сформулюйте теорему Вієта. 2. Сформулюйте наслідок з теореми Вієта. 3. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Вієта. 4. Сформулюйте наслідок з теореми, оберненої до теореми Вієта.

Чому дорівнює сума коренів рівняння х 2 + 5х - 10 = 0: 1) 5; 2) - 5 ; 3) -1 0 ; 4) 10? Чому дорівнює добуток коренів рівняння х 2 - 14х + + 12 = 0 : 1) - 1 4 ; 2)14; 3)12; 4 )-1 2 ? ШІЛ. Не розв’ язуючи рівняння, знайдіть суму й добуток його коренів: 1) х 2 + 6 х - 32 = 0; 3) 2х 2 - 6 х + 3 = 0; 2) х 2 - Ю х + 4 = 0; 4) Ю х 2 + 42х + 25 = 0. Не розв’ язуючи рівняння, знайдіть суму й добуток його коренів: 1) х 2 - 12х - 18 = 0; 3) Зх 2 + 7х + 2 = 0; 2) х 2 + 2х - 9 = 0; 4) - 4 х 2 - 8 х + 27 = 0. 665.° Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, установіть, чи є коренями рівняння: 1 ) х 2 - 8 х + 1 2 = 0 числа 2 і 6 ; 2) х 2 + х - 56 = 0 числа - 7 і 8 ; 171

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

3) х 2 - 13л: + 42 = 0 числа 5 і 8 ; 4) х 2 - 20х - 99 = 0 числа 9 і 11. Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, установіть, чи є коренями рівняння: 1 ) х 2 + 2х - 3 = 0 числа 1 і - 2 ; 2 ) х 2 + 5* + 6 = 0 числа - 2 і - 3 . 667.° Знайдіть коефіцієнти б і с рівняння х 2 + Ьх + с = 0, якщ о його коренями є числа: 1) - 8 і 6 ; 2) 4 і 5. Знайдіть коефіцієнти Ь і с рівняння х 2 + Ьх + с = 0, якщ о його коренями є числа: 1) - 2 і 0,5; 2) - 1 0 і -2 0 . 669.° Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1) 2 і 5; 3) - 0 ,2 і - 1 0 ; 5) 0 і 6 ; 2)

- - і 2; 4 ) 2 - 7 з і 2 + 73; 6 ) - 7 7 і 77. З Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1) - 7 і -

;

2) 5 і - 0 , 4 ;

4) 5 - Т Ї О і 5 + ТІО.

671.' Число - 2 є коренем рівняння л:2 - 8 л: + <7 = 0. Знайдіть значення ^ і другий корінь рівняння. Число 7 є коренем рівняння х 2 + р х - 42 = 0. Знайдіть значення р і другий корінь рівняння. 673.' Число ^ є коренем рівняння

х 2 - Ьх + 4 = 0. Знайдіть

значення Ь і другий корінь рівняння. Число - 0 ,2 є коренем рівняння 4л: 2 - 5,6л: + т = 0. Знайдіть значення т і другий корінь рівняння. 675.’ Відомо, що Л’1 і х 2 — корені рівняння 2л:2 - 7дг - 13 = 0. Не розв’ язуючи це рівняння, знайдіть значення ви разу х 1х 2 - 4 х 1 - 4 х 2. Відомо, що л^ і х 2 — корені рівняння 5л:2 + 4л: - 13 = 0. Не розв’ язуючи це рівняння, знайдіть значення ви разу 9 х гх 2 ~ х 1 - х 2. 172

19. Теорема Вієта

677." При якому значенні Ь корені рівняння х 2 + Ьх - 17 = 0 є протилежними числами? Знайдіть ці корені. 6 7 8 / Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, розв’ яж іть рівняння: 1) х 2 - 5х + 4 = 0; 5) х 2 - 9х + 20 = 0; 2) х 2 + Ьх + 4 = 0; 6 ) х 2 - х - 2 = 0; 3) х 2 - 4х 5 = 0; 7) х 2 + 2х - 8 = 0; 4) х 2 + 4х 5 = 0; 8 ) х 2 - Зх - 18 = 0. Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, розв’ яж іть рівняння: 1) х 2 - Ю х + 24 = 0; 3) х 2 - 2х - 8 = 0; 2) х 2 + 6 х + 8 = 0; 4) х 2 + х - 12 = 0. 6 8 0 / Я кі з даних рівнянь мають два додатні корені, які — два від’ ємні, а які — корені різних знаків: 1) х 2 - 12х + 14 = 0; 4) х 2 + 16х + 10 = 0; 2) х 2 + 6 х 42 = 0;5) х 2 - 24х + 0,1 = 0; 3) х 2 - 7х ЗО = 0; 6 ) х 2 + 20х + 3 = 0? 6 81 /" Один з коренів рівняння х 2 - Ю х + с = 0 на 8 менший від другого. Знайдіть значення с і корені рівняння. Корені рівняння х 2 + 20х + а = 0 відносяться як 7 : 3. Знайдіть значення а і корені рівняння. 683.'* Корені х 1 і х 2 рівняння х 2 - 7х + т = 0 задовольняють умову 2 х 1 - 5х2 = 28. Знайдіть корені рівняння і зна чення т. Корені х 1 і х 2 рівняння х 2 + 4х + п = 0 задовольняють умову Зхх - х = 8 . Знайдіть корені рівняння і зна чення п. 685.” Знайдіть, користуючись теоремою, оберненою до тео реми Вієта, корені рівняння: 1) 2х 2 - 5х + 3 = 0; 3) 16х2 - 23х + 7 = 0; 2) 2х 2 + 5х + 3 = 0; 4) - 8 х 2 - 19х + 27 = 0. Знайдіть, користуючись теоремою, оберненою до тео реми Вієта, корені рівняння: 1) 7х 2 4- 1 ї х - 18 = 0; 2) 9 х 2 - 5х - 4 = 0. 687.” Відомо, що х ( і х 2 — корені рівняння х 2 - 9х + 6 = 0. Не розв’ язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 1) — + — ; Х\

2) х 2 + х\;

Х2

173

3) (х, - х 2)2;

4) х х + х®.

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ВІДОМО, ЩО Х х і х 2 — корені рівняння х 2 + Ьх - 16 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:

1) х\х2 + х\х{,

2 ) ^ - + ^ -;

3) |х2 - х1 [.

х2

689.” Складіть квадратне рівняння, корені якого на 2 мен ші від відповідних коренів рівняння х 1 + 8 х - 3 = 0 . 690. Складіть квадратне рівняння, корені якого на 3 біль ш і за відповідні корені рівняння х 1 - 12х + 4 = 0. 691.” Складіть квадратне рівняння, корені якого у 3 рази менші від відповідних коренів рівняння 2 х 2 - 14х + + 9 = 0. Складіть квадратне рівняння, корені якого у 2 рази більші за відповідні корені рівняння 2х 2 - 15х + 4 = 0. 6 9 3 / Сума квадратів коренів рівняння Зх 2 + ах - 7 = 0 дорівнює

Знайдіть значення а.

6 9 4 / Корені х 1 і х 2 рівняння х 2 - а х +

= 0 задовольняють

умову — + — = —. Знайдіть значення а. х2

6 9 5 / Чи є правильним твердження: 1) рівняння 7х 2 + 4х - а2 - 1 = 0 має корені різних знаків при будь-якому значенні а; 2) якщ о рівняння х 2 + 6 х + а2 + 4 = 0 має корені, то незалежно від значення а вони обидва від’ ємні? 696.* Знайдіть усі цілі значення Ь, при яких має цілі корені рівняння: 1) х 2 + Ьх + 6 = 0; 2) х 2 + Ьх - 12 = 0. Знайдіть усі цілі значення Ь, при яких має цілі корені рівняння: 1) X2 + Ьх + 8 = 0; 2) X2 + Ьх - 18 = 0. 6 9 8 / Корені рівняння х г + Ьх + с = 0 дорівнюють його к о ефіцієнтам б і с . Знайдіть Ь і с. 6 9 9 / При якому значенні а сума квадратів коренів рівнян ня х 2 - 4х + а = 0 дорівнює: 1) 12 ; 2) 6? При якому значенні а сума квадратів коренів рівнян ня х 2 + (а - 1) х - 2а = 0 дорівнює 9? 174

Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 5

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

701.

Скоротіть дріб: с 2 + 10с + 25 5с + 25

12Ь3 - 8Ь2 .

4 - т2

702. У саду посадили однаковими рядами 48 дерев. Рядів виявилося на 8 менше, ніж дерев у кож ному ряду. Скільки дерев у кож ном у ряду і скільки рядів дерев посадили? 703. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій у = х 2 і у = х + 2. Накресліть графіки даних функцій і позначте знайдені точки. 704. У саду 60 % дерев становлять вишні й сливи, з них 30 % становлять сливи. Який відсоток усіх дерев саду становлять сливи?

і ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 705. К ори стую чи сь методом групування, розкладіть на множники многочлен: 1 ) х2 - їх + 1 0 ; 3) а2 + 8 а + 1 2 ; 2) у 2 + Зу - 4; 4) х 2 - х - 6 .

УЧИМОСЯ РОБИЛИ НЕСТАНДАРТИ? КРОКИ 706. Василь задумав три цифри х, у, г. Петро називає три числа а, Ь, с. Василь повідомляє Петру значення ви разу а х + Ьу + сг. Я кі числа повинен назвати Петро, щоб за отриманою інформацією визначити, які цифри задумав Василь?

ЗАВДАННЯ В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № 5

1. Яке з даних рівнянь не є квадратним? А ) х 2 = 0; В) х л + х = 0; Г) х 2 + х - 2 = 0. Б) х 2 + х = 0; 175

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

2. Розв’ яж іть рівняння 9х - х 2 = 0. А ) - 3 ; 0; 3; Б) 0; 3; В) - 3 ; 3; Г) 0; 9. х^ ^ ^ 2 3 —^ 3. Р озв’ яж іть р ів н я н н я ------------------ = ------- . *

А ) 0; 5;

Б) 5;

В) ч/б;

Г) -Т б ; л/б.

4. Яке з наведених рівнянь не має коренів? А ) х 2 - Ьх — 2 = 0; В) х 2 - 2х + 5 = 0; Б) х 2 - 5х + 2 = 0; Г) х 2 + 2х - 5 = 0. 5. Скільки коренів має рівняння 6 х 2 + ІЗ х + 5 = 0? А ) два корені; В) ж одного кореня; Б) безліч коренів; Г) один корінь. 6 . Знайдіть корені рівняння х 2 + 4х - 21 = 0. А ) 7; - 3 ; Б) - 7 ; 3; В) - 7 ; - 3 ; Г) 3; 7. 7. Чому дорівнює сума коренів рівняння х 2 - Юх - 12 = 0? А ) 10; Б) - 1 0 ; В) - 1 2 ; Г) 12. 8 . Чому дорівнює добуток коренів рівняння Зх 2 - 16х + + 6 = 0?

А)

;

Б) 2;

В ) -1 6 ;

Г)

9. При яких значеннях змінної набувають рівних значень вирази (Зх - 1) (х + 2) і (х - 12) (х - 4)? А ) -1 2 ,5 ; 2; В) - 2 5 ; 4; Б) 12,5; - 2 ; Г) 25; - 4 . 10. Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють З —уі2 і 3 + \І2. А ) х 2 + 6 х - 7 = 0; В) х 2 + 6 х + 7 = 0; Б) х 2 - 6 х - 7 = 0; Г) х 2 - 6 х + 7 = 0. 11. Р озв’ яж іть рівняння х |х |- 9х - 10 = 0. А) -1 ; Ю ; ^

Б) 10; ~9 - ^

;

В) - 1 ; г ) _ 1; 10. 2

12. Число - 5 є коренем рівняння 2х 2 + 9х + с = 0. Знайдіть другий корінь рівняння і значення с. А ) х 2 = 0,5; с = - 5 ; В) х 2 = 9,5; с = 22,5; Б) х 2 = - 0 , 5 ; с = 5; Г) х 2 = 9,5; с = -2 2 ,5 . 176

2 0 . Квадратний тричлен О з н а ч е н н я . К в а д р а т н и м т р и ч л е н о м називають многочлен виду а х 2 + Ьх + с, де х — змінна, а, Ь і с — деякі числа, причому а / О.

Наведемо приклади многочленів, які є квадратними тричленами: 2х 2 - Зх + 5; х 2 + 7х; х 2 - 5; Зх2. Зазначимо, що ліва частина квадратного рівняння а х 2 + + Ьх + с = 0 є квадратним тричленом. Означення. Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення квадрат ного тричлена дорівнює нулю.

Наприклад, число 2 є коренем квадратного тричлена х2 - 6х + 8 . Щ об знайти корені квадратного тричлена а х2 + Ьх + с, треба розв’ язати відповідне квадратне рівняння а х 2 + Ьх + + с = 0. Число £> = Ь2 - 4ас називають дискримінантом квадрат ного тричлена а х 2 + Ьх + с.

Я кщ о £) < 0, то квадратний тричлен коренів не має. Я к щ о £) = 0 , то квадратний тричлен має один корінь, якщ о І) > 0 — то два корені. Розглянемо квадратний тричлен х 2 - Зх + 2. Розкладемо й ого на м нож ники м етодом групування (п одібн у впра ву 705 ви виконували під час підготовки до вивчення цього пункту). Маємо: х 2 - Зх 4- 2 = х 2 - х - 2х + 2 = х (х - 1) - 2 (х - 1) == = (х - 1 ) (х - 2 ). Про таке тотожне перетворення говорять, що квадратний тричлен х 2 - Зх + 2 розкладено на лінійні множники х - 1 і х - 2. Зв’ язок між коренями квадратного тричлена і лінійними множниками, на які він розкладається, установлює наступ на теорема. 177

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Т е о р е м а 20.1. Я кщ о дискримінант квадрат ного три члена а х 2 + Ьх + с додат ний, то даний т ричлен можна розкласт и на лінійні множники: а х1 + Ьх + с = а (х - д^) (х - х 2), де х ] і х 2 — корені квадрат ного т ричлена. Д о в е д е н н я . © Оскільки числа х ] і х 2 є коренями квад ратного рівняння а х2 + Ьх + с = 0, то за теоремою Вієта х, + х , =

х,х„ = - . Тоді а (х - х.) (х - х„) = а

= а (х 2 - (х, + х 2) х + х 1х 2) = а |х2 + —х + —| = а х 2 + Ьх + с. ▲ З а у в а ж е н н я . Якщ о дискримінант квадратного тричле на дорівнює нулю, то вважають, що квадратний тричлен має два рівні корені, тобто х = х 2. У цьому випадку розклад квадратного тричлена на множники має такий вигляд: а х2 + Ьх + с = а (х - х ^ 2. Т е о р е м а 20.2. Я кщ о дискримінант квадрат ного три члена від’ ємний, то даний т ричлен не можна розкласт и на лінійні множники. Д о в е д е н н я . О П рипустим о, що тричлен а х 2 + Ьх + с можна розкласти ки, тобто а х2 + Ьх + с = а(х - т) (х - п). даного квадратного тричлена. Отже, невід’ ємний, щ о суперечить умові. А

даний квадратний на лінійні м нож ни Тоді т і п — корені його дискримінант

ПРИКЛАД 1

Розкладіть на множники квадратний тричлен: 1) х 2 - 14х - 32; 2) - х 2 + 17х - ЗО; 3) Зх 2 - 7х + 2. Розв’язання 1) Знайдемо корені даного тричлена: х 2 - 14х - 32 = 0; х х = - 2 , х 2 = 16. Отже, х 2 - 14х - 32 = (х + 2) (х - 16). 2) Маємо: - х 2 + 17х - ЗО = 0; х 2 - 17х + ЗО = 0; х 1 = 2, х 2 = 15. 178

20. Квадратний тричлен

Отже, - х 2 + 17х - ЗО = - (х - 2) (х - 15). Розв’ яжемо рівняння Зх 2 - 7х + 2 = 0. Маємо: *і = £» *2 = 2 Тоді Зх2 - ї х + 2 = 3 (х -

і) (х -

2) = (Зх - 1) (х - 2).

П РИ КЛАД 2

Скоротіть дріб

6а2 - а - 1

9а

-1

Р озв’язання Розкладемо на м нож ники квадратний тричлен, який є чисельником даного дробу: 6 а2 - а - 1 = 0 ; і і а, = — ; а, = - ; 1 3 2 2 6а!

- а

- 1

= б(а + і ) ( а - і ) =

з(а + і ) - 2 ( а - і ) =

= (За + 1) (2а - 1). Тоді маємо: 6 а 2 - а - 1 _ (За + 1) (2а - 1) _ 2а - 1

Відповідь:

9а2 - 1 2а - 1

(За + 1) (За - 1)

За - 1

П РИ КЛАД З

При якому значенні т розклад на множники тричлена 2х 2 + 9х + ти містить множник (х + 5)? Розв’язання Оскільки розклад даного тричлена на множ ники має містити множник (х + 5), то один з коренів цього тричлена дорівнює - 5 . Тоді маємо: 2 - ( - 5 ) 2 + 9* ( - 5 ) + т = 0; т —-5 . В і д п о в і д ь : т = -5. •

1. Який многочлен називають квадратним тричленом?

2. Щ о називають коренем квадратного тричлена? 179

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

3. Щ о називають дискримінантом квадратного тричлена? 4. У якому випадку квадратний тричлен не має коренів? має один корінь? має два корені? 5. У якому випадку квадратний тричлен можна розкласти на ліній ні множники? 6. За якою ф ормулою квадратний тричлен можна розкласти на лінійні множники? 7. У якому випадку квадратний тричлен не можна розкласти на лінійні множники?

707.° Знайдіть корені квадратного тричлена: 1) х 2 - х - 12; 3) Зх2 - 16х + 5; 5) 4 х 2 + 28х + 49; 2) х г + 2 х - 35; 4) 16х2 - 24* + 3; 6) Зх2 + 2 ї х - 90. 708.° Чи можна розкласти на лінійні множники квадратний тричлен: 1) х 2 - 12х + 6; 3) 2а2 - 8а + 8; 2) Зх2 - 8х + 6; 4) - 6 Ь2 + 6 + 12? 709.° Розкладіть на лінійні множ ники квадратний три член: 1) х 2 - 7х + 12; 7) 4х2 + Зх - 22; 2) х 2 + 8х + 15; 8) -З а 2 + 8а + 3; 3) х 2 - Зх - 10;

9) - б 2 - - 6 + 1; 6 6 4) - х 2 - 5х - 6; 10) - 2 х 2 - 0 ,5 х + 1,5; 5) - х 2 + х + 2; 11) 0 ,4 х 2 - 2х + 2,5; 6) 6 х2 - 5х - 1; 12) - 1 , 2 т 2 + 2 , 6 т - 1. 710.° Розкладіть на лінійні м нож ники квадратний три член: 1) х 2 - Зх - 18; 4) 5х2 + 8х - 4;

7 ) - ^ х 2- 2 х - 3 ; 4

2) х 2 + 5х - 14; 5) 2а2 - За + 1; 8) 0 ,3 т 2 - З т + 7,5. 3) - х 2 + Зх + 4; 6) 462 - 116 - 3; 711.° Скоротіть дріб: ч х2+ х - 6 .

*■)

х +З 4

оч

Зх-15

х - х - 2 0

. у

.ч х 2 - Зх + 2 '

X 180

д)

х 2 - 7х + 1 2 '

х2 -З х х 2 + Ах

20 . Квадратний тричлен

7 1 2 / Скоротіть дріб: х г - 6х + 5 . х -5

’

2а: + 12

дч х 2 + 9 х + 14

х 2 + Зх - 1 8 '

х 2 +7х

7 1 3 / Скоротіть дріб: 1)

4а2 - 9

оч с 2 - 5 с - 6 .

— 5------------- ;

2а

с - 8 с + 12

2) » * - " ? - » ;

4) з " 1*

46 - 4 6 + 1

х 2 - 16

сч

3) -=------------- ;

- 9 а -1 8

2’

32 - 4 х - х*

;

- 1

+ 9 т - 10

2 + 9л - 5л

714.' Скоротіть дріб: і)

4х2 + х - 3 .

з)

2~ ~ ; х

2 ) 2 у 2 + Зу - 5 .

а 2 + 5а + 4

2 а - а -2 0

4 ) 3 + 206 - 7Ь2

у 2 - 2у + 1 ’

762 - 66 - 1 '

7 1 5 /’ При якому значенні Ь розклад на лінійні множники тричлена: 1) 2 л :2 - 5 х + Ь містить множник (х - 3); 2) - 4 х 2 + Ьх + 2 містить множник (х + 1); 3) Зх2 - 4 х + Ь містить множник (Зх - 2)? 716. При якому значенні а розклад на лінійні множники тричлена: 1) 2 х2 - 7х + а містить множник (х - 4); 2) 4 х2 — ах + 6 містить множник (2х + 1)? 7 1 7 /’ Спростіть вираз: 1)

9а2 - 4

а -2

2 а 2 - 5а + 2

За + 2

6 -1 2) -V а : ( б3 - 6 \262 + 36 +

, а -1 1 - 2а

1 1

б2 - 1 с 2 + Зс

3)' (\с - Г- с ^-6

с2 - 6 с +—9І) ’ -------(2с - 6)?•

2т

/ 3

\т - 4

718.

4т - 6

т+1

\ _ 4т - 16

т2 - Зт - 4 /

2т-З

Доведіть, що при всіх допустимих значеннях а зна чення виразу не залежить від значення змінної: 25а2 - 36

. 5а + 6 | 9а - 8 .

10а2 - 9а + 2 ‘ 5а - 2

(

\а + 3

1 - 2а ’

) : 2а + 1 .

а - 1 а2 + 2 а - 3 / 181

а +3

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

719.” Побудуйте графік функції: 1) у =

+ 5.

3 ^ 0 * . ± 3 . £ І =Л.

х -1

х -3

х + 2

720." Побудуйте графік функції: , ч

і)у =

х 2 - 2х - 8 ,

оч

— ;

2) у =

х - 4

х2- х - 2

д:2 - х - З О

х + 1

дг + 5

— .

721.* Розкладіть на множники многочлен: 1) х 2 - 6х у + Ьу2\ 3) 3 т2 - 8тп - Зп2; 2) а2 + ЬаЬ - 36Ь2; 4) 4 х 2 - 5х у + у 2. 722. Розкладіть на множники многочлен: 1) а2 - 14аЬ + 4062; 2) 12і>2 + Ьс - 6с2. 723.* Розв’ яж іть рівняння: 1) (а2 - а - 6) х = а2 - 9; 2) (а2 - 8а + 7) х = 2а2 - 13а - 7. 724.* Розв’ яж іть рівняння (а 2 + 7а - 8) х = а2 + 16а + 64. І

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

725. Скоротіть дріб: 1)

3+ 7І

і оч 2 - л / б

2 \/3 2)

9а - Ь 2

5) -----------

> /6 -3

Ь - \[ь \/і0 - 5 ^ 2

4а - 2 2 \[а + л/2

9а + 6 Ь \ І а + Ь г ^

а \Га - 8 а + 2 л/а + 4

726. Який із графіків, зображених на рисунку 34, є графі ком руху піш охода, який іш ов зі сталою ш видкістю? Визначте ш видкість руху цього піш охода. і к |\Д

щ б) Рис. 34

727. Змішали 2 л молока ж ирністю 8 % і 3 л молока ж ир ністю 6 % . Яка ж ирність утвореної сум іш і? 182

21. Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

Г ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 728. Розв’ яж іть рівняння: 1) х 2 = 9;

3) (4х + І )2 = 9;

5) 4 х = 9;

2) х 2 = - 9 ;

4) (х - І )2 = 5;

6) Тх = -9 .

729. Розв’ яж іть рівняння: іч

4лг - 1 _ х + 5 . х -2 х -2 ' 2 у2 - Зу - 20 у - 4

оч Ьх - 3 х +1

Ах - 2 _ х + 2

’

4 ) _ і _______ 1 _ = ________9_____

^ ’

у - 5

у +4

(у - 5) (і/ + 4)

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 730. Розглядаю ться всі прям окутники, довж ини сторін яких — натуральні числа. Яких прямокутників більше: 3 периметром 1000 чи з периметром 1002?

Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

ПРИКЛАД 1

Розв’ яж іть рівняння х 4 - 13х2 + 36 = 0. Розв’язання Позначимо х 2 = І. Тоді х ‘ = І2. Отримуємо квадратне рівняння зі змінною І: і2 - 13* + 36 = 0. Розв’ язуючи це рівняння, знаходимо: 11 = 4 , і г — 9. Оскіль ки і = х 2, то розв’ язування заданого рівняння зводиться до розв’ язування двох рівнянь: х 2 = 4 і х 2 = 9. Звідси х 1 = - 2 , х 2 = 2, х 3 = -3, х 4 = 3. В і д п о в і д ь : - 2 ; 2; - 3 ; 3. О з н а ч е н н я . Рівняння виду а х4 + Ьх2 + с = 0, де х — змін на, а, Ь і с — деякі числа, причому а * 0, називають біквадратним рівнянням. 183

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Заміною х 2 — і біквадратне рівняння зводиться до квад ратного рівняння аі2 + Ьі + с = 0. Такий спосіб розв’язування рівнянь називають методом заміни змінної. Метод заміни змінної можна використовувати не тільки при розв’ язуванні біквадратних рівнянь. П РИ КЛАД 2

Р озв’ яж іть рівняння (2 х - І )4 + (2 х - І )2 - 2 = 0. Розв'язання Зробимо заміну (2х - І )2 = і. Тоді дане рівняння зводить ся до квадратного рівняння і2 + і - 2 = 0. Звідси і - - 2 , і = 1. Тепер треба розв’ язати два такі рівняння: (2х - І ) 2 = - 2 і (2 х - І )2 = 1. Перше з них коренів не має. З другого рівняння отри муємо: 2 х - 1 = - 1 або 2 х - 1 = 1. Звідси х 1 = 0, х 2 = 1. В і д п о в і д ь : 0; 1. П РИ КЛАД З

Розв’ яж іть рівняння 6х + 5 у/х +1 = 0. Р озв’язання Нехай у[х = і. Тоді х = і2. Маємо: б і2 + Звідси *! = " ,

+ 1 = 0.

Ч = ~\-

Отримуємо два рівняння: З’ 2' Оскільки у[х > 0, то ці рівняння коренів не мають, а от ж е, і задане рівняння коренів не має. В і д п о в і д ь : Коренів немає. П РИ КЛАД 4

Розв’ яж іть рівняння

+ 2х = 5-* -+ 18 . X- 6 X- 6 Р озв’язання ^ . . . ( х 2 + 2х = 5х + 18, Дане рівняння рівносильне системі < |х —6 Ф 0. 184

21. Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

Звідси:

х 2 - Зх - 1 8 = 0, х

Ф 6;

х = - 3 або х = б, х * 6; х = -3 . В і д п о в і д ь : -3 . ПРИ КЛАД 5

Р озв’ яж іть рівняння х 2 - 4х + 4

х2- 4

х + 2

Розв’язання Маємо:

(х - 2)г

( х - 2 ) ( х + 2)

х + 2

5 (х + 2) - 4 (х - 2) - (х - 2)

0; _

(х - 2) ( х + 2)

Отже, дане рівняння рівносильне системі 5 (х + 2) - 4 (х - 2) - (х - 2)2 = 0, •х Ф 2, х

-2 .

Звідси: 5х + 10 - 4х + 8 - х 2 + 4х - 4 = 0, х

х Ф

2, -2 ; х 2-

5х - 1 4 = 0,

-2 ;

х = 7 або х = -2 , х ф 2, х ^ —2; х = 7. В і д п о в і д ь : 7. Яке рівняння називають біквадратним? 185

§ В. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

731.° Розв’ яж іть рівняння: ф х 4 - 5х2 + 4 = 0; 2) х 4 - 5х2 + б = 0; 3) х4 - 8 х 2 - 9 = 0; 732.° Розв’ яж іть рівняння: 1) х 4 - 29х2 + 100 = 0; 2) х 4 - 9 х 2 + 20 = 0; 3) х 4 - 2х2 - 24 = 0; 733.° Р озв’ яж іть рівняння: ^

х 2 + З.у - 4

4)х 4 + 14х2 - 32 = 0; 5) 4 х4 - 9 х2 + 2 = 0; 6) Зх4 + 8 х 2 - 3 = 0. 4) х 4 + Зх2 - 70 = 0; 5) 9х4 - Ю х2 + 1 = 0; 6) 2х4 - 5х2 + 2 = 0.

_ д .

х+1

уч х 2 + 4х _ 9л; + 50 _

’

х -5

2) х* ~ 6 х ~ 7- = 0 ;

8) *— — + 15 ~ 2* = 0;

3) Зх\ ~ х~—

9) ” г ! г = 4;

х - 7

х +

+ 1 0

5 ) ^ ^

1 0

- 2

11) х + 1 = - ;

х +2

д^_+10х = 12х + 48 х - 8

х - З

10) 5 £ ± 1 8 = д ;

’

=- ^ ;

х + 2

’

= 0;

*2 - 8 * = _ 2 0 _ х

х - 3

1.2) 5 —

х - 8

= ——. х2

734.° Розв’ яж іть рівняння: х2 - 5 х - 6

і)

—X

с- ч х 2

+12х

х + 4

2) 4x2 ~ 7лг---2 = 0 ;

7) 2 ~

х -2

2x2+6 = Л ^ ; х +8

х + 8

5 х - 1 2 _ Л. х + 4

- - - = 6;

х + 6

= 7у;

у - 4

х ^ + 4 х = 5х + 5 6 . х + 7 х +7

8 ) у _ М

= ю . у

735.’ Р озв’ яж іть рівняння: 1) (х + З)4 - 3 (х + З)2 - 4 = 0; 2) (2х + І )4 - 10 (2х + І ) 2 + 9 = 0; 3) (6х - 7)4 + 4 (6х - 7)2 + 3 = 0; 4) (х - 4)4 + 2 (х - 4)2 - 8 = 0. 736.' Р озв’ яж іть рівняння: 1) (Зх - І )4 - 20 (Зх - І ) 2+ 64 = 0; 2) (2х + З)4 - 24 (2х + З)2- 25 = 0. 186

21. Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

737.' Р озв’ яж іть рівняння: 1) х - 3 \/х + 2 = 0;

4) 8 \1х + х + 7 = 0;

2) х - \Іх - 12 = 0;

б л/х - 27 + х = 0;

8х - 1 0 \іх + 3 = 0.

3) Зх - 10 \[х + 3 = 0; 738.’ Розв’ яж іть рівняння: 1) х - 6 \ / х + 8 = 0;

3) 2 х - З Т х + 1 = 0.

2) х - 5 7 х - 5 0 = 0; 739." Розв’ яж іть рівняння: 1) х.. т9х .+ 18 = 0 ;

3) х*2 ~ 12? + ЗІ? = 0;

х2 - 9

х 2 - Юх + 25

оч Зх2 - 14х - 5

іч х 2 -7х + 6

2) -------5---------- = 0 ;

4) -5------------ = 0.

Зх + х

х + 2х - З

740.' Р озв’ яж іть рівняння: 1 } х 2 - 9 х - 10 _ 0 . X2 - 1

х 22+ 5 х

~14=0. х 2 - 6х + 8

о\

5х + 2 _ 4х + 13 .

741.' Р озв’ яж іть рівняння: ч

2у

Зу + 3 .

у -3 ~

’

х -1

2 ) 3х + 4 = 2 х ^ 9 х - 3 х +1

х + 7 ’

З*2 - ? * . ! ! = Зх - 4 . х-1

742.' Знайдіть корені рівняння: =

1 ) 2х-13

2) Зг2- 4 х ~ 20 = 2 х - 5 .

х± 6.

х - 6

х +2

743.' Знайдіть корені рівняння: 1) -10 “ - ++- * == 1; !; х +2

т^

6) - -

1 4 -х

т^

14 + х

= 1;

3 -х

х 2 - Ьх

х - 5 ’

=і ; х + 4 х +4

х + 2 х

3) ^Х ~11 +| - ^X - = - ^ ® - ; 8) х~ + ^2 ° Х - І

х + 3

х~ - 2

х - 4

х + 1

2х + 18 .

х - 3

4х ~ - 1IV 0 ,( X х ”Г +и 6

х + 1

+ 4 ^ - = °; х -3 6 х

х -б х , х + 7

х + б х 63 - 5х

X2 і

7- + -----7 = 4; - •і

х -1

1 л\

10) 187

4 х

1 Лх ., І+ ОС Ю 25

1 Vх X+ ^Ь

-о —

- 25

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

744. Розв’ яж іть рівняння: 1) 2) 3) 4)

_ 1. 16

. х + 2 х + 2

х -2

х2 - 4 '

х + 3

х - З

2у + 3 _ 2у + 2

24,

у + 1

- Ю х + 25 х - 20 х

х 2 і = 0; у -і х - З . _1. > х х - 5х 5 10

2у - 2

Зх

5) 6)

х +10 “ 5 ’

+ Юх

- 100

- Юх

745.* При якому значенні змінної: 1) сума дробів

24 - і

16- дорівнює 3;

х -2

х + 2

2) значення дробу — на - більше за значення дробу х

х + 20

При якому значенні змінної: ЗО на -1 менше від значення 1 ) значення дробу х +3 2 * — ЗО ; дробу X 20 2) значення дробу — на 9 більше за значення дробу X 20 ? х + 18

7 47." Розв’ яж іть рівняння: 1) 2)

3) 4)

2х - 10 ,

х +1 6

5х - 1

х+1 х —х + 1 , 5 - 2х З

— х 2 - 4х + З 4х - 6 х +2

х - З 14

х + 1

+ Зх + 2

Зх - 1

х X2 + X 6 Р озв’ яж іть рівняння: х2-4

Зх + 2

+ 39

+ 5х + 6

21. Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

2 )-Л _ + х +1 х -1

х + 3

X2 + 2 х - З

749." Р озв’ яж іть рівняння, використовуючи метод заміни змінної: 1) ( х 2 - 2)2 - 8 (х 2 - 2) + 7 = 0; 2) ( х 2 + 5 х)2 - 2 (х 2 + 5х) - 24 = 0; 3) (х 2 - Зх + 1) (х 2 - Зх + 3) = 3; 4) (х 2 + 2х + 2) (х 2 + 2х - 4) = - 5 . 7 50 ." Р озв’ яж іть рівняння, використовуючи метод заміни змінної: 1)

\ X І

_ 6- <2х ~. *> + X

= о?

2) з ^ і + ^ + 1 = 3 і х +1

Зх - 1

751.“ Р озв’ яж іть рівняння: 1) (х 2 - 6х)2 + {х 2 - 6х) - 56 = 0; 2) (л:2 + 8х + 3) (х 2 + 8л: + 5) = 63; 3) 4)

х4

4х2

- 5 = 0;

(х - 2 Г х ~2 х +4 _ х - 3 _ З х - 3

х + 4

752.* Для кож ного значення а розв’ яж іть рівняння: , ч х 2 - 8х + 7 _ Л

г>\ х 2 - (За + 2) х + 6а _ п

1) --------------- ---- и;

о)

х - а

х ~а - =0;

х - 6

4 ) ^ ^

х 2 - 8х + 7

- - і*;

= 0.

х + 3

х 2 - ах + 5

753.* При яких значеннях а рівняння --------------- = 0 має х -1

один корінь?

І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 754.

Чи є правильним твердження, що при всіх допустимих значеннях змінної значення виразу ( а _ 1)3 ( _ ! _ + \а

-1

+ _2_ а

є додатним числом? 189

- 2 а + 1/

а +1

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

755. Яким числом, раціональним чи ірраціональним, є зна ч/б + 2 \/б - 2 0 чення виразу —т=---------- т=---- І >/б - 2 V6 + 2 756. Побудуйте графік функції: ^ -2о, —8 , якщ о х < д г У= х 2, якщ о х > - 2.

^ УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 757.

На екрані монітора ком п’ ютера записано число 1. Щ о секунди ком п’ ютер додає до числа, що знаходиться на екрані, суму його цифр. Чи може через якийсь час на екрані з ’ явитися число 123 456 789? КОЛИ ЗРОБЛЕНО УРОКИ

Розв’язування рівнянь методом заміни змінної У пункті 21 ви познайомилися з розв’ язуванням рівнянь методом заміни змінної. Розглянемо ще кілька прикладів, які ілю струю ть ефективність цього методу. ПРИКЛАД 1

Р озв’ яж іть рівняння * ~

~- 6 ---- 5——------ = -2 . х

—Зх —6

Розв’язання Нехай х ~ 3*

= і. Тоді

, 8*------ =- . Отримуємо рівх

-З х -6

8 „ . . Г*2 + 2 * - 8 = 0, няння і — = -2 , яке рівносильне системі \ і І* * 0. Звідси * = - 4 , і2 = 2. Тепер розв’ язування заданого рівняння зводиться до розв’ язування двох рівнянь: і \ х 2 - Зх - 6

1) -------------- = -4 ; X

2) * 2 ~ Зх ~ 6 = 2 . X

190

Коли зроблено уроки

Розв’ яж іть ці рівняння самостійно. В і д п о в і д ь : - 3 ; - 1 ; 2; 6. П РИ КЛАД 2

Розв’яжіть рівняння (2х2 + Зх - І)2 - Ю х2 - 15х + 9 = 0. Р озв’язання Запишемо це рівняння так: (2 х 2 + Зх - І)2 - Ю х2 - 15х + 5 + 4 = 0; (2 х 2 + Зх - І )2 - 5 (2 х 2 + Зх - 1) + 4 = 0. Нехай 2х2 + Зх - 1 = і. Тоді і2 - 51 + 4 = 0. Звідси £, = 1, іг = 4. Отже, 2 х2 + Зх - 1 = 1 або 2 х 2 + Зх - 1 = 4. Розв’ язавши ці два квадратні рівняння, дістанемо від повідь. В і д п о в і д ь : -2 ;

- | ; 1.

П РИ КЛАД З

Розв’ яжіть рівняння (2х2 - Зх + 1) (2х2 + 5х + 1) = 9х2. Розв’язання За допомогою перевірки легко переконатися, що х - 0 не є коренем даного рівняння. Тоді, поділивши обидві час тини даного рівняння на х 2, перейдемо до рівносильного рівняння: 2 х 2 - Зх + 1

2 х г + 5х + 1 _ д

X З в ід с и

^2х - 3 + -| (2х + 5 + —) = 9.

Зробимо заміну: 2х + —- 3 = і. Тоді І (і + 8) = 9. Звідси = = 9З урахуванням заміни отримуємо два рівняння: 1) 2х + —- 3 = 1; X 2) 2х + —- 3 = - 9 . X Пропонуємо розв’ язати ці рівняння самостійно. „ .

2 + \І2 2

2 - лі2 2

-3 - \І7 2

В і д п о в і д ь : --------- , ---------, ------------, 191

-3 + уІ7 2

§ В. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ПРИ КЛАД 4

Розв’ яж іть рівняння 7 |х + —|- 2 |х2 +

=9.

Розв’язання Нехай х + — = І. Тоді X (Х + х) = *2’ д;2 + 2 + Л ' = ^25 х 2 + \ = 12 - 2 . Така заміна дозволяє переписати вихідне рівняння таким чином: 71 - 2 ( 12 - 2) = 9; 2 іг - 7і + 5 = 0. 5 Звідси і — 1, і2 = 2

1 1 5 Отже, х + — = 1 або х + — = - . х

Пропонуємо розв’ язати ці рівняння самостійно. В і д п о в і д ь : і ; 2. П РИ КЛАД 5

Р озв’ яж іть рівняння (х 2 - 2х + 2)2 + Зх (х 2 - 2х + 2) = = Ю х2. Р озв’язання За допомогою перевірки переконаємося, що х = 0 не є коренем даного рівняння. Тоді рівняння ( х 2 - 2 х + 2)2 + 3 ( х 2 - 2х + 2) _ 1() х2

отримане в результаті ділення обох частин заданого рівнян ня на х 2, є рівносильним даному. ^

2х -}■ 2

Заміна --------------- = І приводить до квадратного рівняння X і2 + Зі - 10 = 0. Завершіть розв’ язування самостійно. В і д п о в і д ь : 2 -\ І2 ; 2 + \І2; - 1 ; - 2 . Після наведених прикладів може виникнути запитання: чому при розв’ язуванні цих рівнянь ми не пробували спро стити їх за допомогою тотож них перетворень? 192

Коли зроблено уроки

Справа в тому, що намагання спростити рівняння при вело б до необхідності розв’ язувати рівняння виду а х4 + + Ьх3 + с х 2 + сіх + е = 0 (ви можете переконатися в цьому самостійно). При а Ф 0 таке рівняння називають рівнянням четвертого степеня, при а = 0 і Ь Ф 0 його називають рів нянням третього степеня. Окремим видом цього рівняння, коли Ь = 0 і с( = 0, є біквадратне рівняння. Його ви роз в ’ язувати вмієте. У загальному випадку для розв’ язування рівнянь третьо го і четвертого степенів необхідно знати формули знахо дження їх коренів. З історією відкриття цих формул ви можете познайомитися в наступному оповіданні.

[“ ВПРАВИ 1. Розв’ яж іть рівняння: лч З х 2 - 9х

( х + 1) ( х + 2)

_ о.

(х - 1) (я + 4)

= 1;

3) х (х + 3) (х + б) (х + 8) = 100; 4) (х + 2) (х + 3) (х + 8) (х + 12) = 4 х 2;

6) 2 (х 2 + х + І ) 2 - 7 (х - І ) 2 = 13 (х 3 - 1); 7) (х - б)4 + (х - 4)4 = 82. В і д п о в і д ь : 1) - 1 ; 1; 2; 4; 2) - 3 ; 0; ■4) - 6 ; - 4 ;

> 3) - 4 ± л/21;

б) ± ; 2; 6) 2; 4; - 1 ; - І ; 7) 3; 7.

Таємна зброя Сципіона Даль Ферро Ви легко розв’ яжете кож не з наступних рівнянь третьо го степеня: х 3 - 8 = 0, х 3 + х 2 = 0, х 3 - х = 0. Усі вони є окремими видами рівняння а х Л+ &х2 + сх + + сі = 0, де х — змінна, а, Ь, с і сі — деякі числа, причому 193

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

а Ф 0. Вивести формулу його коренів — задача складна. Недарма появу цієї формули вважають значним математич ним відкриттям X VI сторіччя. П ерш им винайш ов р озв ’ язання рівняння виду х 3 4+ р х = д, де р і ц — додатні числа, італійський математик Сципіон Даль Ферро (1 4 6 5 -1 5 2 6 ). Знайдену формулу він зберігав у секреті. Це було зумовлено тим, що кар’ єра вче ного того часу багато в чому залежала від його виступів у публічних математичних турнірах. Було вигідно зберіга ти відкриття в таємниці, розраховуючи використати їх як секретну зброю. Після смерті Даль Ферро його учень Ф іоре, володіючи секретною формулою, викликав на математичний двобій талановитого математика-самоучку Нікколо Тарталья (1 4 9 9 1557). За кілька днів до турніру Тарталья сам вивів фор мулу коренів рівняння третього степеня. Диспут, на якому Тарталья здобув переконливу перемогу, відбувся 20 лютого 1535 року. Уперше секретну формулу було опубліковано в книзі відомого італійського вченого Джероламо Кардано (1 5 0 1 1576) «Велике м истецтво». У цій роботі також описано метод розв’ язування рівняння четвертого степеня, відкри тий Л ю довіко Феррарі (1 5 2 2 -1 5 6 5 ). У Х У ІІ-Х У ІІІ ст. зусилля багатьох провідних математи ків зосередилися на пош уку формули для розв’ язання рів нянь 5-го степеня. Отриманню результату сприяли роботи

Нікколо Тарталья

Джероламо Кардано

Нільс Хенрік Абель

22. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

італійського математика Паоло Руффіні (1 7 6 5 -1 8 2 2 ) і нор везького математика Нільса Хенріка Абеля (1 8 0 2 -1 8 2 9 ). Сам результат виявився цілком несподіваним: було доведе но, що не існує формули, за якою можна виразити корені будь-якого рівняння 5-го степеня і вище через коефіцієнти рівняння, використовуючи лише чотири арифметичні опе рації та дію добування кореня.

2 2 . Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій У пункті 7 ви вже ознайомилися з використанням раціо нальних рівнянь як математичних моделей реальних ситу ацій. Розглянемо ще кілька прикладів. П РИ КЛАД 1

З пункту А виїхав велосипедист, а через 45 хв після цього у тому самому напрямку виїхала вантажівка, яка наздогнала велосипедиста на відстані 15 км від пункту А. Знайдіть швидкість велосипедиста і ш видкість вантажівки, якщ о ш видкість вантажівки на 18 к м /год більша за ш вид кість велосипедиста. Розв’язання Нехай ш видкість велосипедиста дорівнює х к м /год , тоді ш видкість вантажівки становить (х + 18) км /год. Велосипе дист проїжджає 15 км за — год, а вантажівка — за —10 - год. х

х + 18

Оскільки вантажівка проїхала 15 км на 45 хв, тобто на 3

х + 18

год, швидше, ніж велосипедист, т о --------------- = - . Маємо: 15 _ х 5 _ х

15 х +18 5 х + 18 195

_ 3 . 4 ’ _ 1 4 ’

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ 20х + 360 - 20л: - х 2 - 18.Г _ д. 4 х (х + 18)

х 2 + 18х - 360 = 0, - х Ф 0, х * -1 8 ; х = 12 або х = -ЗО. Корінь -ЗО не задовольняє умову задачі. Отже, ш видкість велосипедиста дорівню є 12 к м /го д , а ш видкість вантажівки становить 12 + 18 = 30 (к м /год ). В і д п о в і д ь : 12 к м /год , ЗО к м /год . П РИ КЛАД 2

Одна бригада працювала на ремонті дороги 7 год, після чого до неї приєдналася друга бригада. Через 2 год спільної роботи ремонт було закінчено. За скільки годин може відре монтувати дорогу кожна бригада, працюючи самостійно, якщ о перш ій для цього потрібно на 4 год більш е, ніж другій? Розв’язання Нехай перша бригада може самостійно відремонтувати дорогу за х год, тоді другій для цього потрібно (х - 4) год. За 1 год перша бригада ремонтує — частину дороги, а дру1 * г а ------------- частину дороги. Перша бригада працювала 9 год х -4

• •

і відремонтувала — дороги, а друга працювала 2 год і відред: монтувала відповідно - 2- - дороги. Оскільки в результаті х -4

х-4

було відремонтовано всю дорогу, то - + ------- = 1. Отримане рівняння має два корені х 1 = 12 і х 2 = 3. Д ру гий корінь не задовольняє умову задачі, оскільки тоді дру га бригада мала б відремонтувати дорогу за 3 - 4 = - 1 (год), щ о не має змісту. Отже, перша бригада мож е відремонтувати дорогу за 12 год, а друга — за 8 год. В і д п о в і д ь : 12 год, 8 год. 196

22. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

П РИ КЛАД З

Водний розчин солі містив 120 г води. Після того як до розчину додали 10 г солі, її концентрація збільшилась на 5 % . Скільки грамів солі містив розчин спочатку? Розв’язання Нехай початковий розчин містив х г солі. Тоді його маса дорівнювала (х + 120) г, а маса солі становила —

час

тину маси всього розчину. Після того як до розчину додали 10 г солі, її маса в розчині склала (х + 10) г, а маса розчи ну — (х + 130) г. Тепер сіль становить ■-■* 10 частину розх +130

1 X чину, що на 5 % , тобто на — , більше, ніж ---------- . Звідси * 20 х + 120 х +10

х + 130

X + 120

маємо —

=—. 20

Отримане рівняння має два корені х { = ЗО і х 2 = -2 8 0 , з яких другий корінь не задовольняє умову задачі. Отже, розчин містив спочатку ЗО г солі. В і д п о в і д ь : ЗО г. 758." Перші 150 км дороги з міста А до міста В автомобіль проїхав з певною ш видкістю , а решту 240 км — із ш видкістю на 5 к м /год більш ою. Знайдіть початкову ш видкість автомобіля, якщ о на весь ш лях з міста А до міста В він витратив 5 год. 759.' Один мотоцикліст проїж дж ає 90 км на 18 хв швидше за другого, оскільки його ш видкість на 10 к м /год більша за ш видкість другого мотоцикліста. Знайдіть ш видкість кож ного мотоцикліста. 700 3 одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 240 км, виїхали одночасно автобус і автомобіль. А в тобус рухався зі ш видкістю на 20 к м /год менш ою, ніж автомобіль, і прибув до пункту призначення на 1 год пізніше за автомобіль. Знайдіть ш видкість ав томобіля і ш видкість автобуса. 761.* Поїзд запізнювався на 10 хв. Щ об прибути на станцію призначення вчасно, він за 80 км від цієї станції 197

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

762.'

763.'

764."

765.’

766.’

767.'

768.*

769."

збільшив свою ш видкість на 16 к м /год . Знайдіть по чаткову ш видкість поїзда. Із села Вишневе в село Яблуневе, відстань м іж якими дорівнює 15 км, вершник проскакав з певною швид кістю, а повертався зі ш видкістю на 3 к м /год більшою і витратив на 15 хв менше, ніж на ш лях з Вишневого до Яблуневого. Знайдіть початкову ш видкість верш ника. Друкарка мала за певний час надрукувати 180 сторі нок. Проте вона виконала цю роботу на 5 год раніше строку, оскільки друкувала щ огодини на 3 сторінки більше, ніж планувала. Скільки сторінок вона друку вала щ огодини? Перший насос перекачує 90 м3 води на 1 год швидше, ніж другий 100 м3. Скільки води щогодини перекачує кожен насос, якщ о перший перекачує за годину на 5 м3 води більше, ніж другий? Робітник мав за певний час виготовити 72 деталі. Проте щодня він виготовляв на 4 деталі більше, ніж планував, і закінчив роботу на 3 дні раніше терміну. За скільки днів він виконав роботу? Катер пройшов 16 км за течією річки і ЗО км проти течії, витративши на весь шлях 1 год ЗО хв. Знайдіть власну ш видкість катера, якщ о ш видкість течії ста новить 1 км /год. Човен проплив 15 км за течією річки і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 1 год біль ше. Знайдіть ш видкість човна за течією річки, якщ о ш видкість течії становить 2 к м /год . За течією річки від пристані відійшов пліт. Через 4 год від цієї пристані в тому самому напрямку відій шов човен, який наздогнав пліт на відстані 15 км від пристані. Знайдіть ш видкість течії, як щ о власна ш видкість човна становить 12 км /год. Катер проплив 45 км за течією річки і 28 км проти течії, витративши на весь шлях 4 год. Знайдіть швид кість течії, якщ о власна ш видкість катера становить 18 к м /год .

22. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій 5

770.’ Турист проїхав - всього ш ляху на катері, а решту — 8

на автомобілі. Ш видкість автомобіля на 20 к м /год більша за ш видкість катера. Автомобілем він їхав на 1 год ЗО хв менше, ніж катером. Знайдіть ш видкість автомобіля й ш видкість катера, якщ о всього турист подолав 160 км. 771.' М іж міський автобус мав проїхати 72 км. Коли він проїхав 24 км, то був затриманий біля залізничного переїзду на 12 хв. П отім він збільш ив ш видкість на 12 к м /г о д і прибув у пун кт призначення із зап із ненням на 4 хв. Знайдіть початкову ш видкість авто буса. 772.' Група ш колярів виїхала на екскурсію з міста А до міста В автобусом, а повернулася до міста А залізни цею, витративши на зворотний шлях на ЗО хв більше, ніж на шлях до міста В. Знайдіть ш видкість поїзда, якщ о вона на 20 к м /год менша, ніж ш видкість авто буса, довжина ш осе м іж містами А і В становить 160 км, а довжина залізниці — 150 км. 773.* Турист проплив на байдарці 4 км по озеру і 5 км за течією річки за той самий час, за який проплив би 6 км проти течії. З якою ш видкістю турист плив по озеру, якщ о ш видкість течії дорівнює 2 к м /год ? 774.' Теплохід пройшов 16 км по озеру, а потім 18 км по річці, яка бере початок з цього озера, за 1 год. Знай діть ш видкість теплохода в стоячій воді, якщ о ш вид кість течії становить 4 км /год. 775.* Знаменник звичайного дробу на 3 більший за його чисельник. Я кщ о чисельник цього дробу збільшити на 4, а знаменник — на 8, то отриманий дріб буде на - більший за даний. Знайдіть даний дріб. 6 776.' Чисельник звичайного дробу на 5 менший від його знаменника. Я кщ о чисельник цього дробу зменшити на 3, а знаменник збільшити на 4, то отриманий дріб буде на - менший від даного. Знайдіть цей дріб. З 199

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

7 7 7 / Два робітники, працюючи разом, м ож уть виконати виробниче завдання за 20 днів. За скільки днів може виконати це завдання кожен із них, працюючи само стійно, якщ о одному для цього потрібно на 9 днів більше, ніж другому? 7 7 8 / Одному маляру треба на 5 год більше, ніж другому, щоб пофарбувати фасад будинку. Коли перший маляр пропрацював 3 год, а потім його змінив другий, який пропрацював 2 год, то виявилося, щ о пофарбовано 40 % фасаду. За скільки годин може пофарбувати фасад кожний маляр, працюючи самостійно? Першого дня тракторист працював на оранці поля 6 год. Другого дня до нього приєднався другий трак торист, і через 8 год спільної роботи вони закінчили оранку. За скільки годин може зорати це поле кожний тракторист, працюючи окремо, якщ о перш ому для цього потрібно на 3 год менше, ніж другому? 7 8 0 / До розчину, який містить 20 г солі, додали 100 г води, після чого концентрація солі зменшилася на 1 0 % . Скільки грамів води містив розчин спочатку? Сплав міді й цинку, який містив 10 кг цинку, спла вили з 10 кг міді. Одержаний сплав містить на 5 % міді більше, ніж початковий. Скільки кілограмів міді містив початковий сплав? 7 82 ." Через 2 год 40 хв після відправлення плоту від при стані А за течією річки назустріч йому від пристані В відійшов катер. Знайдіть ш видкість течії річки, якщ о пліт і катер зустрілися на відстані 14 км від пристані А , ш видкість катера в стоячій воді дорівнює 12 к м /год , а відстань між пристанями А і В дорівнює 32 км. 7 83 ." До басейну підведено дві труби. Через одну трубу басейн наповнюють водою, а через другу спорож ню ють, причому для спорожнення басейну треба на 1 год більше, ніж на його наповнення. Я кщ о ж відкрити обидві труби одночасно, то басейн наповниться водою за ЗО год. За скільки годин можна наповнити порож ній басейн водою через першу трубу?

22. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

7-ц і

Для наповнення басейну через перш у трубу треба стільки часу, як і для наповнення через другу й тре тю труби одночасно. Через першу трубу басейн напов нюється на 2 год швидше, ніж через другу, і на 8 год швидше, ніж через третю. Скільки часу потрібно для наповнення басейну через кож ну трубу? 7 85 ." Автобус мав проїхати відстань між двома містами, яка дорівнює 400 км, з деякою ш видкістю . П роїхав ши 2 год із запланованою ш видкістю , він зупинився на 20 хв, і щоб прибути у пункт призначення вчасно, збільшив ш видкість руху на 10 к м /год . З якою ш вид кістю автобус мав проїхати відстань між містами? 786. Робітник за певний термін мав виготовити 360 дета лей. Перші 5 днів він виготовляв щоденно заплано вану кількість деталей, а потім щодня виготовляв на 4 деталі більше й уж е за день до строку виготовив 372 деталі. Скільки деталей щодня мав виготовляти за планом робітник? 7 8 7 / Щ об виконати певне виробниче завдання, одному робітникові треба на 12 год менше, ніж другому, і на 4 год більше, ніж обом робітникам для спільного ви конання завдання. За скільки годин може виконати це завдання перший робітник?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 788. Обчисліть: 1) (2 7 -З '4)2;

2) -7— 7

3) (109)2-1000“6.

789. Знайдіть значення виразу а 2 - 2 \Іба + 2 при а = 7 5 - 3 . 790. Побудуйте графік функції у = - 2 х + 4. 1) Чому дорівнює нуль даної функції? 2) У каж іть значення х , при яких у > 0. 3) Чи проходить графік функції через точку М ( - 36; 68)? н 791. При якому значенні к графік функції у = — проходить х через точку А (-\ /і2 ; %/з )? Побудуйте цей графік. 201

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

792. Яка з рівностей є правильною: 7 (^ 3 - 2)2 = 7 з - 2 чи >/(>/3- 2 ) 2 = 2 - \/3 ? Відповідь обґрунтуйте. 793. Спростіть вираз:

1) ( і а- ' Г3)

;

3) (0,2а_1Ь2)2-4а5*Г4.

^ УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТИ» КРОКИ 794. На тарілці лежать 9 ш маточків сиру різної маси. Д о ведіть, що можна один зі ш маточків сиру розрізати на дві частини так, що одержані 10 ш маточків можна буде розкласти на дві тарілки, маса сиру на кож ній з яких буде однаковою.

ЗАВДАННЯ 8 ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № 6 1. Знайдіть корені квадратного тричлена 5 хг - х - 6. А ) 2; - 0 ,6 ; Б) - 2 ; 0,6; В) 1; - 1 ,2 ; Г) - 1 ; 1,2. 2. Розкладіть на множники квадратний тричлен - х 2 - 4 х + 5. А ) (л- - 1) (х + 5); В) - ( х - 1 ) ( х + 5); Б) (х + 1) (х - 5); Г) - ( х + 1) (х - 5). 3. Скоротіть дріб * . X + X- 6 А) —

х-2

;

Б) —

х-2

;

В) —

х+2

;

Г)

х+2

4. Розв’ яж іть рівняння х л + 7х2 - 18 = 0. А ) - 3 ; 3;

В) - 3 ; \2; -л /2 ; 3;

Б) -УІ2; уІ2;

Г) ^2; 3.

5. Знайдіть корені рівняння {х 2 - 4дг)2 - 2 (х 1 - 4л;) - 15 = 0. А ) - 1 ; 1; 3; 5; Б ) - 1 ; 5; В) 1; 3; Г) 1; 3; 5. 6. Розв’ яж іть рівняння х - \[х - 1 2 = 0. • А ) - 3 ; 4;

Б) - 2 ; 2;

В) 16; 2 02

Г)9; 16.

Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № б

7. Розв’ яж іть рівняння А) -2 ;

х2- 6

х- 3

Б) 3;

х- З

В) - 2 ; 3;

8. Розв’ яж іть рівняння

Зх - 1

Г) - 3 ; 2.

10 - 9х х 2 - 2х

А)

Б)

-2 ;

В)

Г) 2.

9. З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 350 км, виїхали одночасно вантажний і легковий авто мобілі. Ш видкість вантажівки на 20 к м /год менша від ш видкості легкового автомобіля, через що вона прибу ла до пункту призначення на 2 год пізніше за легковий автомобіль. Н ехай ш ви дк ість вантаж н ого автом обіля дорівн ю є х к м /год . Яке з рівнянь є математичною моделлю си туації, описаної в умові задачі? д .

3 5 0

350

~х~ ~ х + 20 ~ Б .

3 50

3 5 0

)

’ 2 .

х + 20

р .

’

— 2*

х + 20 ~ ~

3 5 0

’ 2

х - 20

10. Катер проплив ЗО км за течією річки, ш видкість якої дорівнює 1 к м /год , і повернувся назад, витративши на весь ш лях 3 год 10 хв. Нехай власна швидкість катера становить х км /год. Яке з рівнянь відповідає умові задачі? А

)

_ 3 0 _

і ;

В )

Х + І Х - 1

_ 3 0 _

3 0 =

Х + І Х

Б) — -------— = 3,1; Х + І Х - 1

Г)

Х + 1

і .

+ -5 2 - = 3 - . X —1

11. Робітник мав за деякий час виготовити 96 деталей. Щ одня він виготовлював на 2 деталі більше, ніж пла нував, і закінчив роботу на 3 дні раніше строку. Нехай робітник виготовляв щодня х деталей. Яке з рів нянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі? 96

п , 96

§ 3 . КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

12. Два робітники, працюючи разом, мож уть виконати де яке виробниче завдання за 10 год, причому один з них може виконати це завдання самостійно на 15 год ш вид ше за другого. Нехай перший робітник може виконати самостійно зав дання за х год. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі? А) — + X Б) — + х

15 1 0 -х 15 х -1 0

= 1;

В)

= 1;

Г ) ! 0 + _ 1 0 _ = 1.

х х

204

х + 15 х -1 5

= 1;

Підсумки

•

ПІДСУМКИ У цьому параграфі: •

було введено такі поняття: > рівняння першого степеня; > квадратне рівняння; > коефіцієнти квадратного рівняння; > неповне квадратне рівняння; > зведене квадратне рівняння; > дискримінант квадратного рівняння; > квадратний тричлен; > корінь квадратного тричлена; > дискримінант квадратного тричлена; > біквадратне рівняння;

•

ви навчилися: > розв'язувати неповні квадратні рівняння; > розв'язувати квадратні рівняння за допомогою формули к о ренів квадратного рівняння; > застосовувати теорему Вієта; > розкладати на м нож ники квадратний тричлен з невід'ємним дискримінантом; > розв'язувати раціональні рівняння, які зводяться до квадрат них; > розв'язувати деякі рівняння методом заміни змінної;

•

ви > > > >

вивчили: алгоритм розв'язування неповних квадратних рівнянь; формулу коренів квадратного рівняння; теорему Вієта (пряму і обернену); правило розкладання квадратного тричлена на множники.

І Вправи для повторення І курсу алгебри 8 класу 795. Знайдіть значення виразу: лч Зт - п л _ о 1) --------- , якщ о т = - 4 , п = 3; т + 2п 2) а ~ 2а , якщ о а = - 0 ,8 . 4а + 2 796. При яких значеннях змінної має зміст вираз: 1 )7 6 -1 1 ; 2)

8) 9)

3) - Л - ; 2 -у 4)

10) ;

11)

7 5) —

х-2

1*1 + 7 х - 25

Іх І- 5 х

• X

;

12)

2х_____ 3 х-1

іоч

х-б ’

5 6 -і X 1_____ (х - 3) (х - 4)

7) п г - г ї

14)

х8 + 3 ’

(х +*8)+(х8 - 3) '

797. Спростіть вираз: 1) (5 х - 7у) ( 5 х + 7у) + (7л: - 5у) ( 7х + 5у); 2) (д: + 4 )2 - ( х - 2 ) ( х + 2);

3) (8а - 36) (8а + 36) - (6а - 56)2; 4) ( т - 3) ( т + 4) - (т + 2)2 + (4 - т) (т + 4); 5) 0,4а (5а - 1) (5а + 1) - 0,5 (5 - 2а)2 + 0,3 (3 + 2а)х х (3 - 2а). 798. Подайте частку у вигляді дробу й скоротіть отриманий дріб: 1) 4 тп2р : (28т2прь) ; 2) -ЗОлгУ : (3 6 л :У ) ; 3) - 63л:у 9 : (-72лг.у7). 206

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

799. Скоротіть дріб: і ч Зх - 6у . Зх л.

7 ч а 3 + 64 .

’

За + 12 ’

За + 96 .

о-. хЬ - Ьу + 56 - х у .

4 « + 126 ’

оч

х2 -2 5

дч 7 тг -

д 2 - 49 . За + 21

.ч ’

12х2 - 4 х 2 - 6х

сч

б)

+7 ,

. лч а 2 + Ьс - Ь2 + ас

аЬ + с 2 + ас - Ь2 ''

х2 - 9

7т

1 4 т ' 1 + 14

о------------ і

1]1)

+ 6х + 9

в) 4 ^ 4 ;

6 + 6

)

2 0 т / ; 2 - 20лі2/і + Ьтл Ютоп - 5т х

2-------

+ уг - х г - у

800. Знайдіть значення виразу: 5

„ 3 ..9

1) * у з * у , якщ о х - - 0 ,2 , у = 0,5; ЖУ оч

4а 2 - 36

2) — ^-------------- , якщ о а = 2; 5а

- 30а + 45

о , (За + 36)2

3) і Д ? ' я щ о о : = ? 6 = 4) 20x2 ~ 140*у + 245у2, якщ о 2лг - 7у = -0 ,5 . 4х - 14г/

801.

Скоротіть дріб (п — натуральне число): 1) _ ж _ . 2„2п+з 2 л +3 с 2л+1 •5_2п+1* 2) 3)

2 2п+1

. 7 П+1

6 - 28 я

;

. дгл+г^'ч3 ’ 41 •9"

5 ) дЛ+2

- О

2 •5п

802. Р озв’ яж іть рівняння: 1) (а + 2) х = 7; 3) (а + 3) х = а2 + 6а + 9; 2) (а + 6) х = а + 6; 4) (а2 - 4) х = а - 2. 803. Подайте у вигляді дробу вираз: 1 ч 7а ^

4а .

7х - 2у + Зх + 7у .

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

8 )^У . + 1±У ; 8

7 р -

10*

4 х + 11

а2 + а '

4а

15а

804.

„ч 6 а 2 -

| 7 - 2 р ш

15а

’

Спростіть вираз: 5) (30^1)! + (0 ^ 3 )!. 2

9ч у2 - 3 у

Ту - 2 5 .

оч 9 р

•З; “

Кч

2 -

Юр

+ 5

Зр + 6

(2 9 р -

—+ -

Зр + 6

- » <)

Зр + 6

,.ч 7х + 5 . 5х + 11

— — +

—>

3 -х

4а

х - 4

у2

25 -

4 -

З х

О?

- у2

4а

х -3

(х -

а -2

2 -а

0 ч 6а

4а

5 -а

а -5

й)

. О >

х )

805. Виконайте додавання і віднімання дробів: 1)

3) — --------— ; 24 ху

0 , 7 , 5 .

5Ь2 - 8 Ь + І

, ' Ь ,> аЬ

2, 2 а Ь

806. Виконайте дії: 1)

2) 3) 4) 5)

2а - 1

За + 2

а - 4

2 (а - 4)

х +2

4 -х

Зх + 9

5х + 15 ’

т +1

т +2

т - 3

т+З

V ;

X + І/

у -Х 2

у _ ш

Х -у

Зт2 - 3тп

Зт - 2п

9т2 - 1 2 т + 4 и 2

а + 3

а-2

а - 2а

5а - 10

,а + 2

о) —х--------------------- 1-------7)

8) 2

5а

а -1

За - 3

1 8 ху

2 а 2 - 4а + 2

ї± - - т ;

т —2

208

26-1

а Ь

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу ^

807.

2х + 1

2х - 1

х 2 - 6х + 9

х2- 9

х 2 + 6х + 9

Доведіть тотож ність: 2 2 . (6 - с) (с - а)

(а - 6) (с - 6)

(« - с) (6 - а)

808 . Запишіть дріб у вигляді суми цілого виразу й дробу: 1ч а - 7 .

-*■/

оч а 2 + 2а - 2 .

„

оч х 2 + Зх - 2

а +2

„

х - З

809 . Відомо, що — = 4. Знайдіть значення виразу: у

1) х + У •

2) Зх + 4у

о\

X ’ X 810 Знайдіть усі натуральні значення п, при яких є нату ральним числом значення виразу:

12л2 - 5 л + 33

*) ------------------- >

о)

10 - 4 л п

п3 - 6 л 2 +54

1 2 -З л

л2

;

81 І. Виразіть змінну х через інші змінні, якщ о: 1) х + —= 1;

2) - + - = Ь;

х а

3) - + - = - . 6

812. Доведіть тотож ність: 1) _____ 1

а 2 + 12а + 36

+ ______І_____= - 1 4 4 . . . .

3 6 -а 2

а2 - 1 2 а +36

(а 2 - 36)2 ’

а2 -

(а - 6) (а - с)

(6 - а) (6 - с)

(с - а) (с - 6)

8 1.'{.‘ Спростіть вираз: 1

а (а + 3)

(а + 3) (а + 6)

■

(а + 6) (а + 9 )

(а + 9) (а + 12)

81 І. ‘ Д о в е д і т ь , що коли а- + Ь+ с - а ~ Ь+ с , то 6 = 0 або с = 0. а + 6 -с

81.'». Виконайте множення:

а -6 -с

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

5) 816.

•34 и5;

4* У

16 и

7 а 3Ь

25 а 5у Зх 4Ь

36.

2х у - у - 7аЬ а

У а Ь + 2аЬ

+ 2аЬ

т - 64

4 ’

+ 8т

*3 +8

2 х 2 - 16* + 32

а 3 - 1агЬ

9т

т - 81

Зх* - 6х + 12

4х

- 64

Подайте вираз у вигляді дробу: /

5 \2

з)

4) 818.

21хЬ

іл 3 2 10 у а

Виконайте множення: 1)

817.

241 ‘

Ю хУ За 4Ь3 2а4Ьі

5х*

25х5

4 а 2Ь3

Виконайте ділення: 10* + 25 . * - 5

2) 3) 4)

-1

6) 7)

, а ‘ + 2и + 1 .

а - 8

а- 8

’

аЬ + Ь2 . аЬ + а 2 . 8Ь

2а

2 с -З

: (2 с - 3);

с -1

„2

* - ю

* 2 - 100 а2

х + 8*у + 16у

16/

25*2 - 4у2

2 5 * 2 + 20*і/ + 4 1/2 ’ л4 -2 7 л

п 2 - Зп .

49п

49л

- п

- 14л + 1 5 т 8 + 5 т 4л° + 5 л ‘

Зт ° + 6л'

2 т 10 - 8 л 14

5а2 - 20аі> . 30 (а - 4Ь)2

За2 + Ь2 9о4 - б4 819. Вважаючи дані дроби нескоротними, замініть х і і одночленами так, щоб утворилася тотож ність:

* 7а2Ь3

_у_ _ 6а 3с-2 . 4с

820. Дано: Зх — = *

36/л2л 4 .

’

35р

21л

Ьтр

. Знайдіть значення виразу 9х +

„.

821. Дано: 4 х 2 + —5- = 6 . Знайдіть значення виразу 2х — . *

210

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

822. Спростіть вираз: З* 6к *) ~ 2К '•“ 5ЇЇ"» де к і п — цілі числа; У У к

ьк +

Ь+ 3 ^ к + 2

2) а

за+2 : ------2ЇГП— * де /е — ціле число; с с _ (хп + 3у п)2 - 12х V . ж2" - 9у 2п х 3п + П у 3п ' (хп - Зі/п)2 + 12х V ’ число. 823. Спростіть вираз: 16 -а 2, 1) \ а - 4 а + 4 / З2а3 14х - 50 . 2) ( 7 х - - ^ - ) : \ х - ЗІ З х-9 3)

2а

+ а+7

а- 2

8 - 4а 7а + а"

4) ( - ^ г + - ї ------- ) \с - 8 с2 - 16с + 64/ ( а________а____ 2 З 5)

уа + Ь

а2 + аЬ + Ь2 у

Ь ,6 + 6

36 + Ь2 36 - Ь2

9с - 65 _ 8с + 64 с2 - 64 С - 8 а а- Ь

а2 а2 - Ь2 <’

Ь } 6Ь + Ь2 Ь - б ] ' (6 - Ь)2 ’

»ч / 2х 1-х 2 \ х 2-2х + 1 . х - 1 Ч х 8+ Г х 2- * + 1 * - 1 / 4 *х +Г 824. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях а значен ня виразу 1______ 6 _ _ 1 ^ . 4 (2а2 - 9) _ 2а2 (а - З)2 9 - а2 (а + З)2 ) ' 8 1 - а 4 9 - а2 не залежить від значення а. 825. Спростіть вираз: 25 В а 1 а + 1° ; м _ а

2 ) і ---------- і ------- . І -------- *— 1. — а+1

826. Р озв’ яж іть рівняння: 1) 2ж±6 = 2. х+3

2) ж2 -1 6 _ _ 8; х+4 211

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

Зх 2х + 5

Зх - 2

= 2;

5х

2х - 1

Зх-1

х +4

4 -х

х 2 - 16

827. Р озв’ яж іть рівняння: 1) ^ - = 0;

2) ^ ^ = 0.

х + а

х-1

828. Знайдіть значення виразу:

1) 2~3 + 4~2;

*>(! Г •(!)*> 6 1 + 3 2.

4 )2

+ (-1 ,8 )° - 5 " 1;

829. Перетворіть вираз так, щоб він не містив степенів з від’ ємними і нульовими показниками: 1)

з * Л У 12

7 а°Ь-3с4 '

1,001° т „-3

- 1 1 . 16 -2 2

Ь с

830. Подайте вираз у вигляді степеня або добутку степенів: 1) а"7-а 10; 9) ( о 12) '2; 2) а •а 10) (а'3)4 : (а’ 2)5 : (а"1)'7; - 4 1 .-1 1 . 3) 6і Ь~'-Ь 11) (т Зп4р ‘ ) 4; 4) х 2 .: х, 3 .; 12) (а"1*"2)"3; 5) а 12 : а-4; 13) (*У 4)Ч *‘У 3)3; 6) а 7) а

а -1 2

ч.

а о

14)

с (

а„-10 •а 4;

15)

-З ,4

_7 \ - 3

а и -7

8) (а3Г 5; 831 Знайдіть значення виразу: 1) I I " 23- I I 25; 4) 10“15 10 14 •10 2) З17-З '14; 5) (14 ,0)5-(14 V ; 3) 4“16 : 4“12;

З 12 •(З 6) " 3 (З-3)-4 • (З-4)2

832. Знайдіть значення виразу: 1) 25~3*58;

2) 64 3 : 32 3;

(~27)~12 •9 5 8 Г 4 •3 7 154 •б -6 45

3) 10 10 : 1000

«(0,001) л; 6)

•З

(0,125)^ -16~7 32

212

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

833. Спростіть вираз: 1) - х~3у ь •- х 4у~7\ ’

2) 0 ,2 а 126 9- 50а“10Ь10; 3) - 0 ,3 а 10&7- 5а”8Ь“6; 4) 0,36<Г5ЬV •( - 2 1 ) а 4£г4с '5; 5) 2 х 7- (- З х “У ) 3;

6) (а269Г Ч - 2 а 4610); 7) (-5 а _3&2с_2)~2•(0,1 а2Ь-3с)~3; 8) 0 ,1 т ьп4-(0,01 т~3п)~2; 9) - 6 і а~7Ь4 •(| а '2621 3; 10) - ( 4 а - 4Ь3Г 2 - ( - | а 3Ь-3)

;

1 1 \ 19а 15 11Ь~1Х . 33?Г14

і оч

76а ~17 ’

1 9х~3 Л

_2 - ( 2 7 * - у ) 2. І 5*' і 834. Спростіть вираз: 1) (а 5 - 1) ( а 5 + 1) - (а 5 - 2)2;

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

835. Виконайте дії і результат подайте у стандартному ви гляді: 1) 1,3 -1 0 4 + 1,8-10® ; 3) 5 ,6 -1 0 3 - 3,2 •102; 2) 1 ,5 - 102 - 2,8• 10-2; 4) 4 ,8- 1(Г3 + 6 - Ю '4. 836. Скоротіть дріб (п — ціле число): лЛ -І

(.4 а

„2 л -3 »

ггЛ + 1

2) І

л 2 п - 1

; о Л + 1

+ а

+а

’

е Л - 2

^ ;

0 - п

;

-1

с л + 2

+ а

с п

7) ІЧ 6

-2

а + а

6) ^

3) 4)

+ а

- д + 2

п П - І

14"

-3 .

2" + 1

837. Ф ункцію задано формулою у = - — . Знайдіть: х 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорів нює - 4 ; 8; 1,2; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 24; -1 8 ; 60. 0

838. Побудуйте графік функції у = —. Користуючись грах фіком, знайдіть: 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорів нює 2; - 1 ,5 ; 4; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює - 2 ; 3; - 4 ,5 ; 3) значення аргументу, при яких функція набуває від’ ємних значень. 5 839. Побудуйте графік функції у = ,— ,. 1*1 840. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій 4

у = — і у = а: - 3 та вкажіть координати точок їх переX тину. 841. Знайдіть значення р, якщ о відомо, щ о графік функції у = — проходить через точку: 1 ) А ( - 3 ; 2); 2) в | - ^ ; з|; С (-0 ,4 ; 1,6). 214

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

842.

Побудуйте графік функції: 12

1) У =

, якщ о х < —З, X 1 - х, якщ о х > -3 ; Зле - 1, якщ о л: < 2,

2) У = — , якщ о 2 < х < 5, л: - 3, якщ о х > 5. 843.

844.

Побудуйте графік функції: лч

4х + 12

!) У =

2 ~ х + Зх

оч

32 - 2 х і

2) у = х з - :16х ■■ Знайдіть значення виразу:

1) 0,4 7 б 2 5 - - 7 Ї 4 4 ; 4

V 25

. / з £ - 0,04 7 і0 000; >

2) 7 б 4 - 7 0 ,2 5 + 7 2 4 + 9; 5) - 7б25 5

7289.

7 0 , 2 5 - 7 7 2 + 242;

845. Знайдіть значення виразу: 1) ( 7 з ) 2 -7 іГ б 9 ; 2) ( з 7 Ї 5 ) 2 - ( і 5 7 з ) 2; 3) 50 •( - і 7 ? ) 2 -

•(з 7 2 )2;

4) 71089 - ( і 7 2 1 6 ) ; 5) 1 739,69 - ^ 759,29 + ( - 1 775 ) ; 6) ^ 7 і 7 2 - 1 5 2 + ^ 2 ^ 5 ± ^ - 0 ,3 7 9 0 0 . 846. Розв’ яж іть рівняння: 1 ) 7 * =2;

4) 2 7л-- 7 = 0 ;

2) 7 * = ± ;

5) 7 х + 5 = 0;

\[х

- 3 = 0;

6) —7 ^ + 5 = 0 ; 4

215

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

Н ) - 7 = = ~ 3; %/х + 4

у / 7 х -4 = 0;

9) 77* - 4 = 2;

ь-' II

/“ ч О т-Н

яН:

7) у[7х - 4 = 0 ;

) ^4 + ^ІЗ + х = 5 .

847. Знайдіть значення кореня: 1) 7 9 -1 0 0 ;

5ч ! ;

2) 7 0 ,4 9 -1 6 ;

6»

3) 7 6 7 6 -0 ,0 4 ;

,/ 9

4) 7 0 ,6 4 -0 ,2 5 -1 2 1 ;;

./з — - 4 — . V 36 49

^ •1024; V 64 1089

848. Знайдіть значення кореня: 1) 7 7 5 -2 3 4 ;

4) 7 2 8 9 0 -2 ,5 .

7 2 -8 0 0 ;

71,6

-12 ,1 ;

849. Знайдіть значення виразу: 1

) 7108 - 73;

4) 7 0 4 •7 ^ 9 ;

2) 752 •7ЇЗ;

х, 7288. * Л ’

3) 7160 •7250;

7о, 225

850. Знайдіть значення виразу: 1) 7 ( 1 7 , 1 )2;

5) 7 Ї Ї 7;

7 (-1 ,1 7 )2;

) 7 ("2 3 )4;

3) | 7 (6 2 )2;

7) 7 2 е -7 4;

4) - 2 ,4 7 (-4 )2;

851. Спростіть вираз: 1

) у[д*, якщ о д >

;

7 (-3 ) 1 -2 6 -(-0 ,1 )2.

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

2) 4 ? , якщ о і < 0; 3) \І49т2п&, якщ о т > 0; 4) 70,81а°610, якщ о а > 0, Ь < 0; 5) - х 7іООх20, якщ о х < 0; 5

в . 20 34

6) --------- — , якщ о а > 0, с < 0; аЬ с

7) Щ г \ Г їо > ЯКЩ° у Ь

> 0, х < 0;

8) -0 , ї х 2 х/і, 9 б х 18у 16, якщ о х < 0. 852. Спростіть вираз:

1) уі(10-V II)2; 2) > / ( 7 Ї 0 - 1 і ) 2; 3) а/ ( 7 Ї 0 - 7 Ї Ї ) 2; 4) 7(3 - %/б)2 + 7 ( 2 - 7 б ) 2;

853. Спростіть вираз: 1) л/ і 8 + 8 л/2; 2) ^ 3 8 - 1 2 ^ 2 ; 3) х/іб + 6 л/7 + л/23 - 8 ч/7; 4) л/26 - 6 ТЇ7 - ^ бб - 1 4 Т Ї7 ; 5) л/46 + 10 %/21 + 7 4 6 - 1 0 721. 854. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 724;

3) 7700;

5) ^ Т Ї9 6 ;

7) -1 ,6 750;

2) 7бЗ;

4) 7 0 3 2 ;

6) -2 ,4 ТбОО; 8) - , 3 — . 8 V

217

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

855.

Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 7 і0 а 2, якщ о а > 0;

4) %/36т2л, якщ о т < 0;

2) 7 і 5й2, якщо Ь < 0;

х ву 5, якщо х > 0;

3) л]хпу 12; 6) 7700а 5Ь22, якщо Ь < 0. 856. Внесіть множник під знак кореня:

1) зТІО;

3) 0,3 73;

5) -798;

7) -0 ,5 730;

4) - Т Ї 7 5 ;

6) - 5 77;

8) 4 7а.

2 7ЇЗ;

857. Внесіть множник під знак кореня: 3) х Т я7;

1) а 75;

2) 858. Порівняйте числа:

4) л 7 т , якщо п < 0.

б 7 б і 6 75;

3) 0 ,3 у Щ

755 і 3 7б;

4) - л/ ї б ± і -л /б ^ . З 44 З

859. Спростіть вираз: 1) \/б4а + Т іа - 7і21а; 2) 7 І5 + 720 - 7320; 3) 6 7Ї25а - 2 780а + 3 ТЇ80а. 860. Виконайте множення: 1) ( 7 8 0 - 7 4 5 ) 7 5 ; 2) (27б + 754 - 796) 7б;

3) ( і 2 - 7 ї о ) ( з + 7їо); 4) (2 7 5 + 7 7 )(2 7 7 - 7 5 ); 5) ( Т Ї 9 - 7 І З ) ( 7 Ї 9 + 7 Ї З ) ; 6) (4 Ттп + 9 7 л ) (4 у[т - 9 7 л );

7) (Тбх + Т їїу )2; 8) ( з Т П - г Т ї о ) 2. 218

і Т аз;

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

861. Скоротіть дріб: 1)

X2—19 .

х + у/ї 9 ’

2 9 -л/29 7^

’

а - 6 у/аЬ + 9Ь

\[х - 6 . х -3 6 ’

5) ------------------- , якщ о а > 0, Ь > 0;

т + 8 \[т. т - 64

а - 96 11 - л/зз Т і ї -:

862. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

1) 2)

6 V I’ 71+ 9 5) л/я + 9 3 6)

Ть; 7 а л/а

+ ТІ5 ’ 18 - УІ29 '

со | І ьо

2 3) л/іЗ ’

Т гї

863.* Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1 о, 2 1)

\/б + \І 2 + 1 ’

л/іО + л/б - л/з '

864. Знайдіть Зн значення виразу: 1) 2)

5 4-3^2

5 4 + Зл/г’

^4 + %/І5 + 1

\І4 + УІ15 -1

3) (^5 - 2 Тб + х/б+ЇТб )2. 865. Спростіть вираз: 2)

" л /Г -3 - - 9 ’ 866.* Спростіть вираз: 1)

у/ь - уіс

\[с ,

+ б) - 2 0 у[х +\ІІ\Гх-4) + 1 6л/х;

2) •\/а + 2Т<і + 3 + 4 + у]а —2 •'/а + 3 + 4. 867.* Спростіть вираз: 1 1 1 і + - 7 = ----------- ? = + - ? = = ----------- 7 = + . . . + • ТбО + ^47 УІ5 + УІ2 Т І + Тб л/ії + Тв 219

’

уіЬ -\ іс

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

868.* Доведіть, щ о:

х/гТТз -^2 + 72 + 7з

■'І2 + \І2 + УІ2 +

-У І2 -У І2 + ^2 + Л

=1.

869. Розташуйте у порядку зростання числа: 13; 7 і 65; 12,7; Т Ї7 Ї; 13,4. 870. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = \[х і у — х — 6 та визначте координати точки їх перетину. 871. Між якими двома послідовними цілими числами м іс титься число: 1) л/Г7; 2) л/б7; 3) у/ї03; 4) -^ 5 1 ,2 5 ? 872. Я кі цілі числа містяться на координатній прямій між числами: 1) 6 і Тб7;

3) ->/53 і - 4 ,9 ;

2) ТЇ4 і 752;

-л/зі і 2,7?

^п —2 , якщ о х < 0, X 873. Дано функцію / (х) = З, якщ о 0 < х < 4, УІЇ, якщ о х > 4. 1) Знайдіть / (-0 ,5 ), / (0), / (4), ( (9). 2) Побудуйте графік даної функції. 874. Р озв’ яж іть рівняння: 1) х 2 - Ах - 32 = 0; 5) ж2 + 6х - 15 = 0; 2) х 2 - Ю х + 21 = 0; 6) Зх2 - х - 5 = 0; 3) 6 х 2 - 5х + 1 = 0; 7) 4 х 2 + 28х + 49 = 0; 4) 8 х2 + 2х - 3 = 0; 8) х 2 - 16х + 71 = 0. 875. Розв’ яж іть рівняння: 1) (х - 4) (х + 2) - 2 (Зх + 1) (х - 3) = х (х + 27); 2) (4х - З)2 + (Зх - 1) (Зх + 1) = 9; 3) (х + 4) (х 2 + х - 13) - (х + 7) (х 2 + 2х - 5) = х + 1; 4)

2 ( х 2 - 9)

* + 1 _

876.

* - 41 . 4

’

х 2 + 5х

х + 3

2х2 - 2

Р озв’ яж іть рівняння: 1) х 2 + (5а - 1) х + 4а2 - а = 0; 220

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

2) х 2 - (2а + 3) + 6а = 0; 3) агх 2 - Ю ах + 16 = 0. 877. Розв’ яж іть рівняння: 1) |х 2 - 2х - 6 |= 6; 3) х |х |+ 2 х - 15 = 0; 2) х 2 - 6 |х |- 16 = 0; 4) ||х 2 - 6х - 4 |- 3 |= 1. 878. Р озв’ яж іть рівняння: 1) х 2 - 6х + — ’

= — ------ 8;

х -2

х-2

2) {\[х - б) (15х2 - 7х - 2) = 0 ; 3) (х 2 + 6х) (Т х - 4) (х 2 - 8х - 48) = 0. 879. Розв’ яж іть рівняння: 1) 7 х 2 + Зх - 4 +

уіх2 +

бх + 8 = 0;

2) х 2 - 4х + 4 + |х 2 - Зх + 2 |= 0; 3) \І25 - х 2 + 1х 2 + 8х - 20 |= 0. 880. Не обчислюючи дискримінанта, знайдіть, при якому значенні а рівняння: 1) х 2 + 22х + а = 0; 2) х 2 - ах + 81 = 0 має один корінь. Знайдіть цей корінь. 881. При якому значенні Ь коренями рівняння х 2 + Ьх - 23 = 0 є протилежні числа? Знайдіть ці корені. 882. Число

є коренем рівняння 12х2 - Ьх

+ 5

= 0.Зн

діть значення Ь і другий корінь рівняння. 883. Число 0,2 є коренем рівняння 8 х2 - 3,2х + к = 0. Знай діть значення к і другий корінь рівняння. 884. Корені х 1 і х 2 рівняння х 2 - Ьх + 20 = 0 задовольняють умову х 1 = 5х,. Знайдіть значення Ь і корені рівняння. 885. Складіть квадратне рівняння, корені якого менші за відповідні корені рівняння х 2 - Зх - 5 = 0 на 1. 886. Р озв’ яж іть рівняння: х2 - їх х + 1 З х 2 + 4х х2 -9

8 . х + 1’ 3 -4 х х2 - 9

4 -х

2х - 2

4х - 3

7 -х

’

221

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

4) 5) 6)

х -6

63__________2___ _ 7_ х 2 + Зле

де2 - Зх

х - 2

х + 4

(х + 4) (х - 2) ’

х2 +2х

х2 - 4

х + 4 СО

ж2 - 2х + 1

5х (2 - х) ’

т-Н

х +1

х3 - 1

х2 + х + 1

887. Розв’ яж іть рівняння: 11 х ~ 1 х + 5

5 _ 10 . х - 1 _ з ’

. х +

2) *2 ~ 3* + 6 + _ ^ х ------ = 3; X

2 -----—------5 = 0 ;

(Зх - І)2

Зх - 1

4) - 5 - ^ х

- Зх + 6

+ 2х —8

2 - ^ ------ = 2. х

+ 2х - З

у ^ ^_ О д у ^ О

888. При яких значеннях а рівняння ----------------= 0 має х - 2

один корінь? 889. Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте): 1) якщ о числа т і п є коренями квадратного рівняння а х2 + Ьх + с = 0, де а Ф 0 і с Ф 0,то числа -т і - п є коренями рівняння а х 2 - Ьх + с = 0; 2) якщ о числа т і п є коренями квадратного рівняння 2 1 1 а х + Ьх 4- с = 0, де а Ф 0 і с Ф 0, то числа — і — т

є коренями рівняння с х 2 + Ьх + а = 0? 890.* Знайдіть усі цілі значення Ь, при яких має цілі корені рівняння: 1) х 2 + Ьх - 6 = 0; 2) х 2 + Ьх + 21 = 0. 891.* Відомо, щ о х. і х.. — корені рівняння х 2 - (2а - 5) х + + а - 7 = 0. При якому значенні а виконується рівність + 2 * 2 = х^х21 892.* При я к ом у значенні а д обуток корен ів рівняння х 2 + (а + 9) х + а2 + 2а = 0 дорівнює 15? 222

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

893. Автобус мав проїхати 255 км. П роїхавши — ш ляху, він зупинився на 1 год, а потім продовжив рух із швид кістю на 5 к м /го д менш ою за початкову. Знайдіть початкову ш видкість автобуса, якщ о в пункт призна чення він прибув через 9 год після виїзду. 894. У сплаві міді й цинку міститься 20 кг цинку. До цьо го сплаву додали 3 кг міді та 4 кг цинку. Одержаний сплав містить на 5 % більше міді, ніж початковий. Скільки міді містив початковий сплав?

І Відомості з курсу алгебри 7 класу Цілі вирази 1. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу Вираз, складений зі змінних, чисел, знаків арифметич них дій і дуж ок, називають виразом зі змінними (або зі змінною, якщ о вона одна). Я кщ о замість змінних (змінної) підставити у вираз їх значення, то отримаємо числовий вираз, значення якого називають значенням виразу зі змінними при даних зна ченнях змінних. Числові вирази і вирази зі змінними називають алгеб раїчними виразами. Вирази зі змінними, які не містять ділення на вирази зі змінними, називають цілими виразами. Запис аЬ є позначенням двоцифрового числа, яке має а десятків і Ь одиниць, тобто аЬ = 10а + Ь. Аналогічно запис аЬс є позначенням трицифрового числа, яке має а сотень, Ь десятків і с одиниць, тобто аЬс= 100а + 106 + с, і т. п. 2. Тотож но рівні вирази. Тотож ності Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, називають тотож но рівними. Рівність, правильну при будь-яких значеннях змінних, що входять до неї, називають тотож ністю . Заміну одного виразу інш им, який тотож но дорівнює йому, називають тотож ним перетворенням. Довести тотож ність — це означає довести, що дана рів ність є тотож ністю . Для доведення тотож ностей використовують такі прийо ми (методи): • тотож но перетворюють одну з частин даної рівності, отримуючи інш у частину; • тотож но перетворюють кож ну з частин даної рівності, отримуючи один і той самий вираз; 224

Відомості з курсу алгебри 7 класу

• показують, щ о різниця лівої і правої частин даної рівності тотож но дорівнює нулю. Щ об довести, що рівність не є тотож ністю , досить навес ти контрприклад: указати таке значення змінної (змінних), при яких дана рівність не справджується. 3. Степінь з натуральним показником Степенем числа а з натуральним показником п, більшим за 1, називають добуток п множників, кожний з яких дорів нює а. Степінь з основою а і показником п позначають ап і чи тають: «а в п-му степені». Степені з показниками 2 і З можна прочитати інакше: запис а2 читають «а у квадраті», запис а3 — «а в к убі». Степенем числа а з показником 1 називають саме це число. З наведених означень випливає, що а п = аа ... а , де п > 1, . $ п МНОЖНИКІВ а 1 = а. При піднесенні невід’ ємного числа до степеня отримуємо невід’ ємне число. При піднесенні від’ ємного числа до степеня з парним показником отримуємо додатне число, а при піднесенні від’ ємного числа до степеня з непарним показником отри муємо від’ємне число. 4. Властивості степеня з натуральним показником Для будь-якого числа а і будь-яких натуральних чисел т і п справдж ується рівність: атап = ат+ п, тобто при множенні степенів з однаковими основами показиики додають, а основу залишають тією самою. Для будь-якого числа а, відмінного від нуля, і будь-яких натуральних чисел т і п таких, що т > п, справджується рівність: а т .: а„п = а - п, 225

Відомості з курсу алгебри 7 класу

тобто при діленні степенів з однаковими основами від по казника степеня діленого віднімають показник степеня дільника, а основу залишають тією самою. Для будь-якого числа а і будь-яких натуральних чисел т і л справджується рівність: (а''')'1 = атп, тобто при піднесенні степеня до степеня показники пере м нож ую ть, а основу залишають тією самою. Для будь-яких чисел а і Ь та будь-якого натурального числа п справдж ується рівність: (аЬ)п = апЬ", тобто при піднесенні добутку до степеня кож ний множник підносять до степеня і отримані результати перемнож у ють. 5. Одночлени Вирази, які є добутками чисел, змінних та їх степенів, називають одночленами. Одночлен, який містить тільки один відмінний від нуля числовий множ ник, що стоїть на першому місці, а всі інші множники якого — степені з різними основами, називають стандартним виглядом одночлена. Число 0, а також одночлени, які тотож но дорівнюють нулю, називають нуль-одночленами. їх не відносять до одно членів стандартного вигляду. Числовий множник одночлена, записаного в стандартно му вигляді, називають коефіцієнтом одночлена. Одночлени, які мають однакові буквені частини, нази вають подібними. Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, що входять до нього. Степінь одночлена, який є числом, відмінним від нуля, вважають таким, що дорівнює нулю. Вважають, щ о нуль-одночлен степеня не має. Добутком двох одночленів є одночлен. При піднесенні одночлена до степеня також отримують одночлен.

226

Відомості з курсу алгебри 7 класу

6. Многочлени Вираз, який є сум ою кіл ькох одночленів, називають многочленом. Одночлени, з яких складено многочлен, називають чле нами многочлена. Многочлен, який складається з двох членів, називають двочленом, а з трьох членів — тричленом. Одночлен є ок ремим видом многочлена. Вважають, щ о такий многочлен складається з одного члена. Зв’ язки між многочленами, одночленами та їх окремим ви дом — числами ілю струє схема, зображена на рисунку 35. Якщо серед одночленів, з яких складається многочлен, є подіб ні, то їх називають подібними Рис. 35 членами многочлена. Зведення подібних членів многочлена дає змогу заміни ти многочлен на такий, що тотож но дорівнює йому, але більш простий — з меншою кількістю членів. Щ об додати два многочлени, слід кожний з них взяти в дуж ки і поставити між ними знак «п л ю с», потім розкри ти дужки і звести подібні доданки (якщ о такі є). Щ об від одного многочлена відняти другий, слід кожний з них взяти в дуж ки, поставити перед від’ємником знак «м ін у с», потім розкрити дужки і звести подібні доданки (якщ о такі є). Подання многочлена у вигляді добутку кількох много членів називають розкладанням многочлена на м н ож ники. Універсальних рекомендацій щодо послідовності дій з роз кладання многочлена на множники не існує. Проте можна скористатися таким алгоритмом: 1) якщ о це можливо, то розкладання треба починати з ви несення спільного множника за дуж ки; 2) перевірити, чи можна застосувати формули скороченого множення; 227

Відомості з курсу алгебри 7 класу

якщ о не вдається застосувати формули, то спробуйте скористатися методом групування (тобто об’єднати члени многочлена в групи у вигідний спосіб). 7. Множення одночлена на многочлен

Щ об помножити одночлен на многочлен, треба помно ж ити цей одночлен на кожний член многочлена й отримані добутки додати. При множенні одночлена та многочлена виконується переставна властивість множення. Тому наведене правило дає змогу множити многочлен на одночлен. 8. Множення многочлена на многочлен Щ об помножити многочлен на многочлен, можна кожний член одного многочлена помножити на кож ний член дру гого і отримані добутки додати. При множенні многочлена на многочлен завжди отри муємо многочлен.

Формули скороченого множення 9. Д обуток різниці і суми двох виразів Д обуток різниці двох виразів та їх суми дорівнює різни ці квадратів цих виразів: (а - Ь) (а 4- Ь) = а2 - Ь2. 10. Різниця квадратів двох виразів Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різни ці цих виразів та їх суми: а2 - Ь2 = (а - Ь) (а + Ь). 11. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток перш ого й другого виразів плюс квадрат другого виразу: (а + Ь)2 = а 2 + 2 аЬ + Ь2. 228

Відомості з курсу алгебри 7 класу

Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату перш о го виразу мінус подвоєний добуток першого й другого ви разів плюс квадрат другого виразу: (а - Ь)2 = а2 - 2аЬ + Ь2. 12. Перетворення многочлена у квадрат суми або різниці двох виразів Формули а2 + 2аЬ + Ь2 = (а + Ь)2, а2 - 2аЬ + Ь2 = (а - б)2 дають змогу «згорнути» тричлен у квадрат двочлена. Тричлен, який можна подати у вигляді квадрата дво члена, називають повним квадратом. 13. Сума і різниця кубів двох виразів Многочлен а2 - аЬ + Ь2 називають неповним квадратом різниці. Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих ви разів і неповного квадрата їх різниці: а3 + Ь3 = (а + Ь) (а2 - аЬ + Ь2). Многочлен а2 + аЬ + Ь2 називають неповним квадратом суми. Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми: а3 - Ь3 = (а - Ь) (а 2 + аЬ + Ь2).

РІВНЯННЯ 14. Корінь рівняння Коренем рівняння називають значення змінної, при як о му рівняння стає правильною числовою рівністю. Р озв’ язати рівняння — означає знайти всі його корені або переконатися, що їх узагалі немає. Часто умова задачі є описом якоїсь реальної ситуації. Складене за цією умовою рівняння називають математич ною моделлю даної ситуації. Проте знайдений корінь рів няння не завжди є відповіддю задачі. Слід з’ ясувати, чи не 229

Відомості з курсу алгебри 7 класу

суперечить отриманий результат реальній ситуації, яка описана в умові задачі. Під час розв’ язування задач на складання рівнянь зруч но використовувати таку схему: 1) за умовою задачі скласти рівняння (сконструювати ма тематичну модель задачі); 2) розв’ язати рівняння, отримане на перш ому кроці; 3) з ’ ясувати, чи відповідає знайдений корінь змісту задачі, і дати відповідь. 15. Властивості рівнянь Я кщ о до обох частин даного рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане. Я кщ о дане рівняння не має коренів, то, додавши до обох його частин одне й те саме число, отримаємо рівняння, яке теж не має коренів. Я кщ о який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в другу, змінивши при цьому його знак на проти лежний, то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане. Я кщ о обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме число, відмінне від нуля, то отримаємо рів няння, яке має ті самі корені, що й дане. 16. Лінійне рівняння з однією змінною

Рівняння виду а х = Ь, де х — змінна, о і Ь — деякі чис ла, називають лінійним рівнянням з однією змінною. Якщ о а Ф 0, то, поділивши обидві частини рівняння а х = Ь на о, отримаємо

= —. Отже, якщ о а

а Ф

0, то рівняння

ах

=Ь

має єдиний корінь, який дорівнює —. а

Якщ о а = 0, то лінійне рівняння набуває такого вигляду: Ох = Ь. Тут можливі два випадки: Ь = 0 або Ь Ф 0. У першому випадку отримуємо рівняння Ох = 0. Звідси, якщ о а = 0 і Ь = 0, то рівняння а х = Ь має безліч коренів: будь-яке число є його коренем. 230

Відомості з курсу алгебри 7 класу

У другому випадку, коли Ь Ф 0, то при будь-якому зна ченні х маємо хибну рівність Ох = Ь. Звідси, якщ о а = 0 і Ь Ф 0, то рівняння ах = Ь коренів не має. Рівняння ах = Ь

ь х ~а

а = 0, Ь = 0

а = 0, Ь Ф 0

х — будь-яке число

коренів немає

Ф ункц ії 17. Функція. Область визначення і область значень функції Правило, за допомогою якого за кожним значенням не залежної змінної можна знайти єдине значення залежної змінної, називають функцією, а відповідну залежність од нієї змінної від другої — функціональною. Зазвичай незалежну змінну позначають буквою х, залеж ну — буквою у, функцію (правило) — буквою /. Я кщ о змінна у функціонально залежить від змінної х , то цей факт позначають так: у = / (х) (читають: «ігрек дорівнює еф від ік с»). Незалежну змінну ще називають аргументом функції. Для функції / кож ному значенню аргументу х відповідає деяке значення залежної змінної у. Значення залежної змінної ще називають значенням функції та позначають / (х). Усі значення, яких набуває аргумент, утворюють область визначення функції. Усі значення, яких набуває залежна змінна, утворюють область значень функції. Позначення деяких функцій: У = \х\ - «ціла частина числа». Значення функції дорів нює найбільшому цілому числу, яке не більше за від повідне значення аргументу. у = {х} — «дробова частина числа», {х} = х - [х]. 18. Способи задання функції Ф ункція вважається заданою, якщ о вказано її область визначення і правило, за допомогою якого можна за кожним 231

Відомості з курсу алгебри 7 класу

значенням незалежної змінної знайти значення залежної змінної. Оскільки функція — це правило, то її можна задати за допомогою речень. Такий спосіб задання функції називають заданням функції описом. Найпоширенішим способом задання функції є задання функції за допомогою формули. Я кщ о функцію задано формулою, права частина якої — цілий вираз, і при цьому не вказано область визначення, то вважатимемо, що областю визначення такої функції є всі числа. Щ е одним способом задання функції є табличний. Ф ун кція задається таблицею з двох рядків. Усі числа, записані в першому рядку таблиці, складають область визначення даної функції. Стовпець таблиці являє собою пару «неза лежна змінна — залежна змінна». Цей спосіб зручно вико ристовувати у тих випадках, коли область визначення функції складається з кількох чисел. Я кщ о значення аргументу в кожному наступному стовпці на 1 більше за значення аргументу в попередньому стовпці, то говорять, щ о таблицю складено з кроком 1. 19. Графік функції Графіком функції / називають геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції /. Коли якась фігура є графіком функції Д то виконуються дві умови: 1) якщ о х0 — деяке значення аргументу, а / (х0) — відпо відне значення функції, то точка з координатами (дг0; /■(х0)) обов’ язково належить графіку; 2) якщ о (х 0; у 0) — координати довільної точки графіка, то х 0 і у 0 — відповідні значення незалежної і залежної ЗМ ІННИХ функції /, тобто у0 = /■ ( х 0) . Фігура, зображена на координатній площині, не може слугувати графіком деякої функції, якщ о існує значення 232

Відомості з курсу алгебри 7 класу

аргументу х, за яким значення змінної у знаходиться неодно значно. Фігура може бути графіком деякої функції, якщ о будьяка пряма, перпендикулярна до осі абсцис, має з цією фі гурою не більше за одну спільну точку. 20. Лінійна функція, її графік і властивості Ф ункцію , яку можна задати формулою виду у = кх + Ь, де к і Ь — деякі числа, х — незалежна змінна, називають лінійною. Графіком лінійної функції, область визначення якої — всі числа, є пряма. Оскільки пряма однозначно задається будь-якими двома своїми точками, то для побудови графіка лінійної функції достатньо обрати лише два довільних зна чення аргументу, обчислити відповідні значення функції і провести пряму через дві віднайдені точки. Лінійну функцію, яку задають формулою у = кх, де к Ф 0, називають прямою пропорційністю. Пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції (це ви ражає схема, зображена на рисун ку 36). Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через поча Рис. 36 ток координат. Тому для побудови графіка прямої пропорційності достатньо вказати яку-небудь точку графіка, відмінну від початку координат, і про вести пряму через цю точку і точку О (0; 0). Я кщ о у формулі у = кх + Ь покласти к = 0, то отримаємо у = Ь. У цьому разі значення функції залишатимуться не змінними при будь-яких змінах значень аргументу. Графі ком такої функції є пряма, яка паралельна осі абсцис.

Системи лінійних рівнянь з двома змінними 21. Рівняння з двома змінними Рівність, яка містить дві змінні, називають рівнянням з двома змінними. 233

Відомості з курсу алгебри 7 класу

Пару значень змінних, яка перетворює рівняння з двома змінними в правильну рівність, називають розв’ язком рів няння з двома змінними. Той факт, що пара х = а, у = Ь є розв’ язком рівняння, прийнято записувати так: (а; Ь) є розв’ язком рівняння. У дуж ках на першому місці пишуть значення змінної х, а на другому — значення змінної у. Я кщ о змінні в рівнян ні позначено буквами, відмінними від х і у, то, записуючи розв’ язок у вигляді пари, потрібно домовитися, значення якої змінної ставиться на перше місце в парі, а якої — на друге. Зазвичай беруть до уваги порядок букв латинського алфавіту. Р озв’ язати рівняння з двома змінними — це означає знайти всі його розв’ язки або показати, що воно не має розв’ язків. Властивості рівнянь з двома змінними аналогічні влас тивостям рівнянь з однією змінною (див. п. 15 на с. 230). Графіком рівняння з двома змінними називають геомет ричну фігуру, щ о складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площ ини, координати яких (пари чисел) є розв’ язками даного рівняння. Коли якась фігура є графіком рівняння, то виконуються дві умови: 1) усі розв’ язки рівняння є координатами точок, які нале жать графіку; 2) координати будь-якої точки, що належить графіку, — це пара чисел, яка є розв’ язком даного рівняння. 22. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік Лінійним рівнянням з двома змінними називають рів няння виду ах + Ьу = с, де х і у — змінні, а, Ь, с — деякі числа. У кож ному з випадків, коли Ь Ф 0 або Ь — 0 і а Ф 0, гра фіком рівняння а х + Ьу — с є пряма. Нехай о = Ь = 0 у лінійному рівнянні а х + Ьу = с. Маємо Ох 4- Оу = с. 234

Відомості

курсу алгебри 7 класу

Я кщ о с Ф 0 , то це рівняння не має розв’ язків, а отж е, на координатній площині не існує точок, які могли б слугува ти графіком рівняння. Я кщ о с — 0 , то рівняння набуває вигляду: Ох + Оу = 0. Будь-яка пара чисел є його розв’ язком. Отже, у цьому випадку графіком рівняння є вся координатна площина. Наступна таблиця підсумовує всі випадки, яким може бути графік рівняння а х + Ьу = с . Рівняння

Значення

ах

+ Ьу — с

ах

+ Ьу =

Ьу =

+ Ьу =

а х 4ах

Ь Ф 0, а і с будь-які

—Ь =

= Ь = 0,

невертикальна пряма

—

Ь — 0, а Ф 0, с будь-яке а

Графік

а , Ь, с

—

= 0 с Ф

вертикальна пряма уся координатна площина —

23. Системи рівнянь з двома змінними Якщ о треба знайти усі спільні розв’ язки кількох рівнянь, то говорять, що треба розв’ язати систему рівнянь. Систему рівнянь записують за допомогою фігурної дужки. Розв’ язком системи рівнянь з двома змінними називають пару значень змінних, які перетворюють кожне рівняння на правильну рівність. Р озв’ язати систем у рівнянь — означає знайти всі її розв’ язки або довести, що розв’ язків немає. 24. Графічний метод розв’ язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними Графічний метод розв’ язування системи рівнянь полягає в наступному: • побудувати на одній координатній площині графіки рівнянь, що входять до системи; • знайти координати всіх точок перетину побудованих графіків; 235

Відомості з курсу алгебри 7 класу

• отримані пари чисел і будуть ш уканим и р озв ’ я з ками. Графічний метод є ефективним тоді, коли треба визна чити кількість розв’ язків системи. Якщ о графіками рівнянь, що входять в систему лінійних рівнянь, є прямі, то кількість розв’ язків цієї системи зале жить від взаємного розміщення двох прямих на площині: • якщ о прямі перетинаються, то система має єдиний розв’ язок; • якщ о прямі збігаються, то система має нескінченно багато розв’ язків; • якщ о прямі паралельні, то система розв’ язків не має. 25. Розв’ язування систем лінійних рівнянь методом підстановки За допомогою цього метода розв’ язування системи ліній них рівнянь з двома змінними зводиться до розв’ язування лінійного рівняння з однією змінною. Щ об розв’ язати систему лінійних рівнянь методом під становки, треба: 1) виразити з будь-якого рівняння системи одну змінну че рез другу; 2) підставити в друге рівняння системи замість цієї змінної вираз, отриманий на першому кроці; 3) розв’ язати рівняння з однією змінною, отримане на дру гому кроці; 4) підставити знайдене значення змінної у вираз, отриманий на першому кроці; 5) обчислити значення другої змінної; 6) записати відповідь. 26. Розв’ язування систем лінійних рівнянь методом додавання За допомогою цього метода розв’ язування системи ліній них рівнянь з двома змінними зводиться до розв’ язування лінійного рівняння з однією змінною. Щ об розв’ язати систему лінійних рівнянь методом дода вання, треба: 236

Відомості з курсу алгебри 7 класу

1) дібравш и «вигідні» множ ники, перетворити одне або обидва рівняння системи так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами; 2) додати почленно ліві й праві частини рівнянь, отриманих на першому кроці; 3) розв’ язати рівняння з однією змінною, отримане на дру гому кроці; 4) підставити знайдене на третьому кроці значення змінної у будь-яке з рівнянь вихідної системи; 5) обчислити значення другої змінної; 6) записати відповідь.

Модуль числа 27. Модуль числа Модулем числа а називають відстань від початку відліку до точки, яка зображує це число на координатній прямій. Модуль числа а позначають так: |а |(читають «модуль а »). Модуль додатного числа дорівнює цьому числу, модуль від’ємного числа дорівнює числу, яке протилежне даному. |0 |= 0. За допомогою фігурної дуж ки властивість модуля числа а можна записати так: . (а, якщ о а > 0 ; Іа І = і [-а , якщ о а < 0. Модуль числа набуває тільки невід’ ємних значень. Модулі протилежних чисел рівні: |а \= |- а |.

Координатна площина 28. Прямокутна система координат Проведемо на площині дві перпендикулярні координат ні прямі так, щоб їх початки відліку збігалися. Ці прямі називають осями координат, точку О їх перетину — почат ком координат. Горизонтальну вісь називають віссю абсцис 237

Відомості з курсу алгебри 7 класу

і позначають буквою х , вертикальну вісь називають віссю ординат і позначають буквою у. Вісь абсцис називають також віссю х , а вісь ординат — віссю у, вони разом утворюють прямокутну систему коор динат. Таку систему координат називають декартовою. Площину, на якій задано прямокутну систему координат, називають координатною площиною. Координатні осі розбивають площину на чотири частини, які називають координатними чвертями і нумерують так, як показано на рисунку 37.

І чверть

II чверть

1 III чверть

-2 -

3 х

IV чверть

-3 Рис 37

На координатній площині позначимо точку М (рис. 38). Пряма, що проходить через точку М перпендикулярно до осі абсцис, перетинає її в точці А , а пряма, перпендикулярна до осі ординат, перетинає цю вісь у точці В. Точка А на осі х має координату 3, а точка В на осі у — координату - 2 . Число 3 називають абсцисою точки М , число - 2 — ор динатою точки М . Числа 3 і - 2 однозначно визначають місце точки М на координатній площині. Тому їх назива ють координатами точки М і записують: М (3; - 2). Записуючи координати точки, абсцису завжди ставлять на перше місце, а ординату — на друге. Якщ о точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює нулю, а якщ о точка лежить на осі ординат, то нулю до рівнює її абсциса. 238

ШШ Відповіді та вказівки 50. 0,3. 51. 5. 53. — . 54. Ні. Указівка. Подайте даний дріб 32 / _ у вигляді 58. 1) х — будь-яке число, крім - 1 ; 2) коа

ренів немає; 3) коренів немає. 59. 1) Коренів немає; 2) - 7 . 60. 1) Я кщ о а = 0, то коренів немає; якщ о а

0, то х = —; а

2) якщ о а = 0, то х — будь-яке число; якщ о а Ф 0, то х = 1; 3) якщ о а = 6 , то х — будь-яке число; якщ о а Ф 6 , то х = = а - 6; 4) якщ о а = -2 , то коренів немає; якщ о а = 2, то х — будь-яке число; якщ о а

2, то х = — — . а +2 61. 1) Я кщ о а = - 3 , то коренів немає; якщ о а Ф - 3 , то х =

-2 і а

- ; 2) якщ о а = 0, то коренів немає; якщ о а = 9, то

а + 3

а —9

х — будь-яке число; якщ о а * 0 і а * 9, то х = ------- . 64. - 4 а

при а = 2Ь. 65. 48 к м /год , 60 к м /год . 76. 1)

3) - і - . 77. 1) і ; 2) 1 -А

79. 1) — Ц - ; 2) (х - 1 )2

78. 1)

а+5

2) — ; т +2

2) - І - ; 3)

1 -а

6 -2

п -5

87. 2) 5; 3) 4 - . 88. 2) -3 ; 3) -4,5.

</ + 2

89. 1) 1; 2; 3; 6; 2) 1; 2; 7; 14; 3) 1; 2; 8. 90. 1) 1; 3; 9; 2) 1; 2; 4; 8; 3) 2. 91. 15 км /год, 12 км /год. 92. 1) - 2 ; 2) коренів не має. 112. 6)

7) — ^ - т ; 8) р - 5

' 16у-у3

116. 2) 4. 117. 1) р 121.2)

Ь2 - З Ь + 9 2

2) — ; 3) —о 2х

(а 2

) І ; б) ’ х

. у + 2

2) 2,5; 3) 0,1. 118. 1) 1,2; 2)

.122.

1) - - І " - -?; 2)

9 т2 - п 2

т т ; 4) —

256 )

ц з. 1 2 6 -6

&Ь + 1

124. 1)

аЬ

• 1 2 8 .------- --------- . Указівка. По(а - 1) (а - 4)

дайте кожний з доданків у вигляді різниці двох дробів. На приклад, ------------

(а - 1) (а - 2)

а -2

— -— . 1 2 9 .------- -------- . 132. Укаа -1

(а - 7) (а - 1)

зівка. До кож ного з дробів, які записано в лівій частині рівності, додайте 1, а до правої частини додайте 3. 135. 270 км. 239

Відповіді та вказівки

160. 1) - 5 ; 2) 0,9; 3) - 5 ; 4) - 3 ,2 . 161. 1)

162. 83.

163. 10. 164. 7 або - 7 . 165. 2 або - 2 . 166. 1) 1; 2) 1. 2 167. 1) (а ~ 5)..; 2) 1. 170. 1) 0,5; 2) х — будь-яке число, (а + 5)

172. 1,2 год. 173. 50 л, 30 л. 174. 5 чоловіків, 1 жінка, 6 дітей. 178. 1) - І - ; 2) 1 -а

6) 2)

х + 3 2а

179. 1) 3> Ь Ь

З с-1

4) - Ц - ; 5) - Ц ; а - 26

а + 5

2) - 1 ; 3) х + у; 4) ± ± | . 180. 1)

3 -6

4) —

6 -3

а - 2

; 5) 2; 6) а - 2. 181. 1)

дг-8

2) с - 5;

7 -х

3) - 2 ; 4) У + 2 . 184. 1) Не залежить; 2) залежить. 186. 1) —; 6

2) а - 3 ; 3 ) а + 1; 4) — а

і.

. 187.1) — 6

189. - у . 192. 1) 4 ; ь

2 ) - а. 188. 1)

2) 1. 193. 1) - 1 - ; 3

2а6

2) - . 4

195. Указівка. Подайте даний вираз у вигляді 1 0 -З" - 5•2". 196. 480 кг. 197. 500 грн., 700 грн. 198. 2 год. 199. 90 де талей. 200. 9 горобців, 10 голубів, 11 горлиць. 207. 2) К о ренів немає; 3) - 2 ; 4) х — будь-яке число, крім 2; 5) х — будь-яке число; 6) 3; 7) 0,5; 8) коренів немає; 9)

10) 17; О

11) 12; 12) 1 - ; 13) - 4 ; 4; 14) 0; 15) 4. 208. 1) - 1 ; 2) коренів 4

немає; 3) 10; 4) коренів немає; 5) 4; 6) лг — будь-яке число крім 0; 7) 6; 8) х — будь-яке число, крім - 0 ,5 ; 9) - 3 ; З 209. 7. 210. 10. 212. 1) — ; 2) коренів немає; 3) 7; 4) 0; - 2 4

5) коренів немає; 6) -1 7 ; 7) 0; 8) коренів немає. 213. 1) 10 2) -0 ,5 ; 3) - 3 ; 4) - 4 ; 4; 5) коренів немає; 6) - 5 . 214. 2 км /год 215. 29 к м /год . 216. 9 км /год. 217. 1) Коренів немає; 2) 9 3) 0. 218. 1) 0,6; 2) 0. 219. 1) Я кщ о а Ф 1, то х = 1; якщо а = 1, то коренів немає; 2) якщ о а Ф - 5 , то х = а; якщ о а = = - 5 , то коренів немає; 3) якщ о а = 0, то х — будь-яке число, крім 3; якщ о а Ф 0 і а Ф 3, то х = а; якщ о а = 3, то коренів немає; 4) якщ о а Ф 7, то х = а або х = 6; якщ о а = 7, то х = 6; 5) якщ о а Ф 4 і а Ф - 2 , то х = 4 або х - - 2 ; якщ о 240

Відповіді та вказівки

а = 4, то х = - 2 ; якщ о а = - 2 , то х = 4; 6) якщ о а Ф 4 і а * - 2 , то л: = а; якщ о а = 4 або а = - 2 , то коренів немає. 220. а = 2 або а = - 2 . 221. а = - 9 , або а — - 3 , або а = 0. 222. 70 000 мешканців. 223. 60 км. 251. 1) 2,7; 2) 9 - ^ - . 125 258. 5. 259. 6. 265. 31 болванка. 266. 80 000 мешканців. 267. 2 км. 280. 6) - - ; 6

7) - ; 9

8) - . 7

281. 5) 16; 6) 144.

291. 1) - 3 ; 2) - 5 ; 3) - 2 ; 4) - 7 ; 5) 0; 6) 2. 292. 1) 4; 2) 1; 3) - 1 ; 4) 6. 295. 8 хв. 296. 5,34 кг. 297. У 81 раз. 298. 1) — ; а +Ь 2 2) -АЬ2; 3) 15с3 + 5; 4) — 299. 1) ^ ; 2)

300. 1) - 1 або 0; 2) 3 або 4; 3) 4 або 5; 4) 2 або 3. 301. 1) 6 або 7; 2) 4 або 5; 3) 4 або 5; 4) 4 або 5. 302. 28; 8. 303. На 31,6 % . 304. 5 год 45 хв. 305. Так, треба 5 купюр по 5 грн. і 3 к у пюри по 2 грн. 331. 1) 2; 2) - 1 ; 3; 3) коренів немає. 332. 1) 2; 4; 2) - 1 ; 1; 3) коренів немає. 345. Коренів немає. 346. Змен шилася на 9 % . 347. 36 монет, 24 монети. 348. 12 км /год. 353. 1) Коренів немає; 2) - 1 ; 3; 3) 2. 354. 1) - 3 ; - 1 ; 2) к о ренів немає; 3) - 1 . 369. 4. 371. 5 км /год, 3 км /год. 397 .1) -1 0 ; 2) 25; 3) - 2 3 ,8 ; 4) 13; 5) 216; 6) - 2 0 . 398. 1) 13,4; 2) 21; 3) -2 0 . 399. 2) х < 0; 3) х — будь-яке число; 4) х = 0; 5) х > 8; 6) х < 8; 9) х — будь-яке число, відмінне від 8; 10) х > 0 і х * 9 ; 11) х > 0; 12) х = 0; 13) такого значення х не існує; 14) х — будь-яке число; 15) х = 0; 16) х — будь-яке число, відмінне від 0. 400. 2) у < 0; 3) у > 0; 4) у < 0; 5) у = 0; 6) у > 0; 7) у > 0 і у Ф 1. 401. 6) -1 0 ; 10. 402. 4) - 7 ; 7. 405. 1) 167; 2) 2116; 3) коренів немає. 406. 1) 4900; 2) к о ренів немає. 407. 1) Я кщ о а * 0 і 6 * 0, то а і 6 — числа одного знака; якщ о а = 0, то Ь — будь-яке число; якщ о 6 = 0, то а — будь-яке число; 3) якщ о Ь Ф 0, то а > 0; якщ о Ь = 0 то а — будь-яке число; 5) якщ о а Ф 0, то Ь < 0; якщ о а = 0 то Ь — будь-яке число. 408. 2) Указівка, х 2 - Ах + 5 = = (х - 2)2 4- 1. 409. Указівка, - х 2 + 6х - 12 = - ( х - З)2 - 3. 410. Вираз 2). 411. 1) 0; 2) коренів немає; 3) 1; 4) - 2 ; 5) - 1 ; 1; 6) 1. 412. 1) 0; 2) коренів немає; 3) 1; 4) 3. 413. 1) а > - 1 ; 2) а = - 1 ; 3) а < - 1 . 416. 1) якщ о о = 0, то х > 1; якщ о а Ф 0, 241

Відповіді та вказівки

то х = 1; 2) якщ о а = 1, то х — будь-яке число; якщ о а * 1, то х = 0; 3) якщ о а = 0, то х > 1; якщ о а Ф 0, то х = 2; 4) якщ о а < 0, то нема коренів; якщ о а > 0, то х = а2 + 2. 417. а < 0 або а — 1. 418. 13. 419. а + 10 . 420. 10 купюр по 5 -а 5 грн., 21 купюра по 20 грн. 438. Указівка. Нехай — П

і — — дані раціональні числа. Тоді їх сума дорівнює т<1 + пр , Я

п?

тобто є число виду у , де 8 є 2 , і є N. 439. Указівка. Я кщ о припустити, щ о дана сума є число раціональне, то з цього випливає, що дане ірраціональне число можна подати у ви гляді різниці двох раціональних чисел. 440. 1) Ні, напри клад, Тз + ( - Т з ) = 0 ; 2) ні, наприклад, Тз •Тз = (Т з )2 = 3;

3) ні, наприклад, Тз •0 = 0. 441. У третьому під’ їзді на шосЬ2

тому поверсі. 442. —-. 444. 18 л. 474. 1) Ні при якому знаа

ченні х; 2) 3; 3) - 1 ; 3. 475. 1) - 4 ; 2) 2. 476. - 4 . 477. 120 га. 506. 1) б Т 2 ; 2) 11 7 2 ; 3) 10 ТЗ; 4) 9 Тба; 5) -а4аЬ\ 6) 0. 5 0 7 . 1) -б Т З ; 2)

2) б Т 7 Ь;

10а3 Та.

5 0 9 . 1) 16 + ТЗ;

-1 0 75 - 5 ; 3) 1; 4) 1; 5) 4. 510. 1) 1 0 - 4 ^ 2 ; 2) 74; 3) 4;

4) 32. 517. 1) Та -2 ; 2) --------------- 3) -^ = ; 4) А Г а ., т- 2\т

5) — + г ^ ; 6) •уб

7) - Ь £ - ; 8) Та -1 ; 9) ^

518. 1) —

у/ху

\с+5

2) —

а + у/а

\аЬ

1 6 -а

^ ґ ; 10) Тї. \Іа-\Ь

4) Д ; 5) 7^; 6) \] у

' т

9 -а

519.1) т 4 Т -т ;2 )а 266 Тб;3)-2х3 Ту ; 4 )т 3л3 7 т п ;5 ) -З х у 7 Тбх; 6) 8а&4 7&; 7) -1 1 т 5Ь9 72т; 8) тпр7 УІ^р. 520. 1) - т 9 7 - т ; 2) а11^12 Та; 6)

-7а Тб;

а4Ь4 Та&;

-Зх7г/17 ТЗх;

-5 т 3п3р 3 Т-2р. 521. 2) Оскільки з умови випливає, що 242

Відповіді та вказівки

Ь < 0, то Ь

= - \ ] - Ь 3; 3) Тс7”; 5) - у ] х 3у 5; 8) Та 3Ь3.

522. 2) -Тб4 п 2; 3)

6) -Т -5 а % . 524. 1)

г ; 2) Т^.

у/а + \ІЬ

525. 1) Т2 + 1; 2) Тз + 2; 3) Тб + Тб. 526. 1) Т7 + 1; 2) Тб + 3; 3) Т5 + Т2. 527. 9. 530. 1) 4 + Т2; 2) зТз+1. 531. 180 де талей. 532. На 25 % . 533. 6 км/год, 2 км/год. 534. 17 ва гонів. 552. 1) 0; 1; 2) 0; 1; 3) коренів немає; 4) 1; 5) 4; 6) 1. 554. 4) 5 - 2 Т З . 555. 2) -Т 2 . 556. 0 . Указівка. Ліва части на цього рівняння набуває тільки невід’ємних значень, а пра

ва — тільки недодатних. 561.1 ) Тт —1; 2) Тз - Т2; 3) 3 - ТЗ; 4) 6 - Т2. 562. 1) Тб - 2; 2) Тб - Т2; 3) 5 - 2 Тз. 563. Якщо а > 0, то один корінь, якщо а < 0, то коренів немає.

564. 2 Та + 1 при а > 1; 3 при 0 < а < 1. 565. 12 при а > 36; 2 Та при 0 < а < 36. 566. 63 кг. 567. З км/год. 569.1 год 12 хв. 586. 6; 7. 587. 9; 10. 589. 1) 0; 14; 2) коренів немає. 590. 1) 0;

- ; 2 ) -2 Т2; 2Т2. 596. -3 ; -2 або 3; 4. 597. -1 ; 0 або 0; 1. 3

598. 1) 4; 2) 0; -8 ; 3) -9 ; 9. 603. 1) 0; -3 ; 3; 2) 0; 1; 3) 1; 4) -2 ; 2. 604. 1) 0; 7; -7 ; 2) 0; 5; -7 ; 3) -1,5; 1,5. 605. 1) 2; 2) 3; 3) 0,5; -2 ; 4) такого значення не існує. 606. 1) а = 4, х 2 = -4 ;

2) а = 0, х 2 = 2 або а = -1 , х2 = ^; 3) а = 3, х2 = -2 . 610. 35. 617. 1) 1;

2) 1; 9; 3)

618. 1) 2;

2) -3 ; і .

619.1) 4; -3,5; 2) 1; - і ; 3) 2; | ; 4) -3 ± ТЇ5; 5) 3; 6; 6) 2,0 о

620. 1) 3; 9; 2)

2±

(

і 3) коренів немає. 621. 7. 622. 38 см.

623. 6 і 14 або -1 4 і -6 . 624. 10; 11. 625. 13; 14. 626. 1) Тб; = ^ ф -; 2) -1 ; Тб; 3) 6; - § ; 4) - 1 ; |±. 627. 1) -Т 2 ; - 2 Т2; Сл

СіСл

2 ) 2; ТЗ; 3) 1; - . 628. -20; 4. 629.1; - - . 630. 8 см. 631. 6 см 8 З

або 12 см. 632. 16 см, ЗО см. 633. 9 см, 40 см. 634. 9; 11; 243

Відповіді та вказівки

13.

635. 4; 6; 8; 10. 637. 16 мавп або 48 мавп. 638. 9 команд.

639.15 сторін. 640.1) - 8 ; - 7 ; 0; 1; 2) - 1 ; 1; 0,6; -0 ,6 ; 3) - 3 + 7 Ї 4; 4) - 2 ; 2; 5) 3; 5; - 3 ; - 5 ; 6) 2; - 2 . 641. 1) -1 2 ; 2; - 2 ; - 8 ; 2) 3; 3)

15; - 7 ± 734; 4) 9; - 9 . 642. 1) - 1 0 ; 2) 3. 643. 1)

2) 3. 6 644. 1)6 = - 2 ; 2) Ь = -1 2 або 6 = 12. 645. 1) Ь = 13,5; 2) Ь = - 8 або 6 = 8. 649. 1) х = 2а + 1 або х = а; 2) х = 2а або х = 4; 3)

якщ о а

0, то х = — або х = — ; якщ о а = 0, то коренів

немає ; 4) якщ о а = ^ , то х = ^ ; якщ о а * ^ , то х = ^ або х = — -— . 650. 1) х = За - 5 або х = - а ; 2) х = -З а або х = 4; 2а - 1 3) якщ о а = 0, то х = 1; якщ о а Ф 0, то х = 1 або х = —. а 651. 1) Ь = 0 або Ь = 3)

2) 6 = - 5 або Ь = 2 Тб або Ь = - 2 Тб;

Ь = 19. 652. 1) 6 = 0 або Ь = - 0 ,5 або Ь = 0,5; 2) Ь = -З

або Ь = - 5 . 653. —

. 654. 9. 655. 4, Т Ї7, 3 72. 656. 45 т,

75 т. 657. 14 аркуш ів. 671. х 2 = 10, д = - 2 0 . 672. х 2 = - 6 , р = - 1 . 673. х 2 = 2, Ь = 14. 674. х 2 = 1,6, т = -1 ,2 8 . 675. -2 0 ,5 . 676. - 7 . 681. х 1 = 1, х 2 = 9, с = 9. 682. х, = -1 4 , х 2 = - 6 , а = 84. 683. X! = 9, х 2 = - 2 , т = - 1 8 . 684. х 1 = 1, х 2 = - 5 , п = - 5 . 687. 1) 1,5; 2) 69. Указівка, х* + х% = = (х, + х 2)2 - 2х , х 2; 3) 57; 4) 567. 688. 1) 80; 2) - — ; 3) 789. 16 Указівка. |х 2 - х, |= у](х2 - х ,)2. 689. х 2 + 12х + 17 = 0. 690. х 2 - 18х + 49 = 0. 691. 6 х2 - 14х + 3 = 0. 692. х 2 + 8 = 0. 693. а = 2 або а = - 2 . 694. а = 6 або а 696. 1) 7; - 7 ; 5; - 5 ; 2) - 1 1 ; 11; - 1 ; 1; - 4 ; 4. 697. 9; - 6 ; 6; 2) -1 7 ; 17; - 7 ; 7; - 3 ; 3. 698. Ь = с = 0 або с = —2. 699. 1) а = 2; 2) такого значення а не 700. а = 2. 702. 4 ряди по 12 дерев. 704. 18 % . 713. 1) 2)

2 6 -1

714. 1)

3) х -1

с - 2

і/ —1

т + 10

3) —

а -5

244

; 5)

; 4) —

6 -1

х +8

15х + = -6 . 1) - 9 ; Ь = 1, існ ує. а- 6

;

5л+ 1

. 715. 1) - 3 ; 2) - 2 ;

Відповіді та вказівки

3) - . 716. 1) - 4 ; 2) - 1 4 . 717. 1) 1; 2) — і і ; З

4) 4.

721. 1) (х - у ) ( х - 5у); 2) (а + 96) (а - 46); 3) (З т + п) ( т - Зп); 4) (4х - у) (х - у). 722. 1) (а - 46) (а - 106); 2) (36 - 2с) (46 + Зс). 723. 1) Я кщ о а = 3, то х — будь-яке число, якщ о а = - 2 , то коренів немає, якщ о а ^ З і а ^ - 2 , то х =

а + 2

; 2) якщ о

а = 7, то х — будь-яке число, якщ о а = 1, то коренів немає, якщ о о / 7 і а ^ 1, то х = 2а- ~ - . 724. Я кщ о а = - 8 , то а -1

х — будь-яке число, якщ о а = 1, то коренів немає, якщ о а * - 8 і а * 1, то х = а + 8 . 727. 6,8 % . 729. 1) Коренів неа - 1

має; 2) - 4 ; 3) 3; 4) у — будь-яке дійсне число, відмінне від - 4 і від 5. 733. 1) - 4 ; 1; 2) - 1 ; 3) - § ; 4) - 2 ; 10; 5) 7; 6) - 6 ; З 7) - 5 ; 10; 8) 5; 9) 2; 8; 10) - 2 ; 9; 11) - 3 ; 2; 12) 4; -0 ,4 . 734. 1) - 1 ; 2) -0 ,2 5 ; 3) 0,5; 6; 4) 8; 5) - 3 ; 6) - 3 ; 12; 7) - 1 ; | ; 8) - 3 ; 13. 739. 1) 6; 2) 5; 3) 7; 4) 6. 740. 1) 10; 2) - 7 . 741. 1) 3 ± V I8; 2) - 2 3 ; 1; 3) - 2 7 ; - 1 ; 4) 3. 742. 1) 4; 9; 2) 5. 743. 1) - 1 ; 18; 2) - 9 8 ; 2; 3) - 1 ,5 ; 4) - 2 ; 5) - 3 ; 4; 6) - 3 ; 7) 2; 8) 9; 9) 1; 10) 9. 744. 1) - 6 0 ; 50; 2) - 3 ; 3) - 9 ; 24; 4) 2; 5) - 2 0 ; 2; 6) 15. 745. 1)

14; 2) -5 6 ; 60. 746. 1) - 1 5 ; 12; З 2) - 2 0 ; 2. 747. 1) - 5 ; 2) корен ів нем ає; 3) 3 - ; 4) 1. З 748. 1) -1 5 ; 1; 2) 1,5. 749. 1) ->/3; л/3; - 3 ; 3; 2) - 6 ; - 4 ; - 1 ; 1; 3) 0; 3; 4) - 1 ; - 3 ; 1. 750. 1) - і ;

1; 2) 0,5. 751. 1) - 1 ; 7;

2; 4; 2) - 6 ; - 2 ; -4 ± > /2 0 ; 3) - 2 ; 1; 4) - § ; 10. 752. 1) Я кщ о З а = 1, то х = 7; якщ о а = 7, то х = 1; якщ о а Ф 1 і а * 7, то х = 1 або х = 7; 2) якщ о а Ф 1 і а Ф 7, то х — а; якщ о а = 1 2 або а = 7, то коренів немає; 3) якщ о а * 2 і а Ф - , то х = 3 а З 2 або х = 2; якщ о а = 2 або а = - , то х = 2; 4) якщ о а = 0, З то х — будь-яке число, відмінне від - 3 ; якщ о о = - 3 , то 245

Відповіді та вказівки

коренів немає; якщ о а Ф 0 і а Ф - 3 , то х = а. 753. а = 2 4 ь, або а = - 2

або а = 6. 758. 75 к м /год . 759. 50 к м /год ,

60 к м /год . 760. 80 к м /го д , 60 к м /год . 761. 80 к м /год . 762. 12 к м /г о д . 763. 12 сто р ін о к . 764. ЗО м 3, 25 м 3. 765. 6 днів. 766. 31 к м /год . 767. 10 к м /год . 768. З к м /год . 769. 2 к м /год або 2,25 к м /год . 770. 60 к м /год , 40 к м /год . 771. 60 км /год. 772. 60 км /год. 773. 8 км /год. 774. 32 км /год. 775.

776.

. 777. 45 днів, 36 днів. 778. 15 год, 10 год.

779. 21 год, 24 год. 780. 80 г. 781. ЗО кг. 782. З км /год. 783. 5 год. 784. 4 год, 6 год, 12 год. 785. 80 км /год. 786. 24 де талі. 787.12 год. 789.6. 804. 3) - . 810. 4) 1, 2, 3. 8 1 3 .------ ------. З

а ( а + 12)

814. Указівка. Розгляньте різницю лівої і правої частин даної рівності. 867.

. 890. 1) - 5 ; 5; - 1 ; 1; 2) -1 0 ; З 10; - 2 2 ; 22. 891. а - 1. 892. а - 3.

246

Відповіді до завдань у тестовій формі «Перевір себе» Номер задачі

Номер завдання

247

Предметний покажчик

першина параболи 92 Вітки гіперболи 81 — параболи 92 Винесення множника з-під зна ка кореня 126 Вирази дробові 5 — раціональні 6 Властивості арифметичного квадратного кореня 118 — степеня з цілим показником 70 Внесення множника під знак кореня 126 і іпербола 81 Графічний метод розв’язування рівнянь 82 искримінант квадратного рів няння 157 тричлена 177 Добування квадратного кореня 97 Допустимі значення змінних 6 Дріб раціональний 6 — нескінченний десятковий неперіодичний 111 --------------періодичний 110 ‘вільнення від ірраціональності в знаменнику дробу 129 Знак квадратного кореня 97

К о р і н ь к в а д р а т н и й 97 а р и ф м е т и ч н и й 97

— квадратного рівняння 150 тричлена 177 Метод заміни змінної 184 Множина дійсних чисел 111 — натуральних чисел 108 — раціональних чисел 109 — цілих чисел 108 Обернена пропорційність 79 Основна властивість раціональ ного дробу 11 ; <арабола 92 Період дробу 109 Підкореневий вираз 97 Під множина 109 Порядок числа 63 івняння біквадратне 183 — квадратне 149 зведене 150 неповне 150 — раціональні 53 — рівносильні 52 Розкладання квадратного три члена на лінійні множники 177

248

тандартний вигляд числа 63

Предметний покаж чик

Степінь з цілим від’ємним по казником 62 — з нульовим показником 62 еорема Вієта 167 — обернена до теореми Вієта 168 Тотожність 11 Тотожно рівні вирази 11

ормула коренів квадратного рівняння 158 Числа дійсні 111 — ірраціональні 110 — натуральні 108 — раціональні 109 — цілі 108

Додаток. Орієнтовне тематичне поурочне планування № з/'п

Зміст навчального матеріалу

Кількість годин

І. Раціональні вирази (32 год) 1

Я 3 4 5

б 7 8 9 10 11 12

Раціональні дроби Основна властивість раціонального дробу Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками Тематичне оцінювання № 1 Множення і ділення раціональних дробів. Піднесення раціонального дробу до степеня Тотож ні перетворення раціональних виразів Тематичне оцінювання № 2 Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння Степінь _а_цілим від’ ємним показником Властивості степеня з цілим показником к • Ф ункція у = —та її графік

13 Тематичне оцінювання № 3

2 2 2 4 1 3 5 1 2 3 3 3 1

II. Квадратні корені. Дійсні числа (14 год) 14 Ф ункція у = х 2 та її графік Квадратні корені. Арифметичний 15 квадратний корінь 16 Властивості арифметичного квадратного 17 кореня

Тотож ні перетворення виразів, які містять квадратні корені 250

2 2 2 2 3

І Зміст

Від авт орів.........................................................................................З

§ 1. Раціональні вирази 1. Раціональні д р о б и ........................................................ 5 2. Основна властивість раціонального дробу. . . . 10 3. Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками......................21 4. Додавання і віднімання раціональних дробів з різними зн а м ен н и к а м и ........................... 26 Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 1 . . . 34 5. Множення і ділення раціональних дробів. Піднесення раціонального дробу до с т е п е н я ..................................................................... 36 6. Тотож ні перетворення раціональних виразів..................................................43 Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 2 . . . 50 7. Рівносильні рівняння. Раціональні р ів н я н н я ........................................................................ 52 8. Степінь з цілим від’ємним п о к а зн и к о м ............. 61 9. Властивості степеня з цілим показником . . . . 70 н 10. Ф ункція у = —та її г р а ф ік .......................................78 X Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 3 . . . 88

§ 2. Квадратні корені. Дійсні числа 11. Ф ункція у = х 2 та її г р а ф і к ....................................91 12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь....................................................... 96 • Чи ростуть у городі р а д и к а л и ?............................ 107 13. Числові м н о ж и н и ..................................................... 108 • Відкриття ір р а ц іон а л ьн ості..................................116 14. Властивості арифметичного квадратного к о р е н я .................................................. 118 252

Зміст

15. Тотож ні перетворення виразів, які містять квадратні к о р е н і ...............................126 16. Ф ункція у = 4 х та її граф ік..................................139 Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 4 . . 146

§ 3. Квадратні рівняння 17. Квадратні рівняння. Розв’ язування неповних квадратних рівнянь...............................149 18. Формула коренів квадратного рівняння. . . . 157 19. Теорема В іє т а ..............................................................167 Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 5 . . 175 20. Квадратний т р и ч л е н ................................................177 21. Розв’ язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівн янь.............................................183 • Розв’ язування рівнянь методом заміни з м ін н о ї...........................................................190 • Таємна зброя Сципіона Даль Ф ерро....................193 22. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій....................................... 195 Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 6 . . 202 Вправи для повторення курсу алгебри 8 к л а с у

206

Відомості з курсу алгебри 7 к л а с у ....................................... 224 Відповіді та в к а з ів к и ................................................................ 239 Відповіді до завдань у тестовій формі «Перевір с е б е ».............................................................................. 247 Предметний п ок а ж ч и к ............................................................. 248 Додаток. Орієнтовне тематичне поурочне план уванн я................... 250

Видано за рахунок державних коштів Продаж заборонено

Навчальне видання МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович ЯКІР Михайло Семенович АЛГЕБРА П ід р уч н и к для 8 класу за га л ьн оосвіт н іх навчальни х закладів

Для середнього шкільного віку Відповідальний за випуск В. Л. Маркіанов Редактор М. В. Москаленко Художник С. Е. Кулинич Художній редактор С. Е. Кулинич Комп’ ютерна верстка І. В. Чернухи Коректор І. Л. Безсонова Підписано до друку 26.05.2008. Формат 6 0 x9 0 /1 6 . Гарнітура шкільна. Папір офсетний. Друк офсетний. Умов. друк. арк. 16,0. Обл.-вид. арк. 15,95. Наклад 137 500 прим. Зам. № 161. Свідоцтво ДК № 644 від 25.10.2001 р. ТОВ ТО «Гімназія* 61103, м. Харків, вул. Дерев’янка, 16а Тел. (057) 758-83-93, 719-17-26 Віддруковано з готових діапозитивів у друкарні ПП «М одем», м. Харків Тел. (057) 758-15-80

Форзац 1___________________

« М о я лю бов — У к раїна і м а т ем а т и к а ». Ц і сл ова М и ха й л а П и л и п ов и ч а К р а вч ук а (1 8 9 2 - 1 9 4 2 ) ви к ар бован о на гра н іт н ом у п ост а м ен т і п а м ’я т н и к а н а ук овц еві. М и сп о д ів а єм о ся , щ о це п а т р іот и ч н е в и сл ов л ю в а н ня в и да т н ого у к р а їн ськ о го м а т ем а т и к а ст а н е дл я вас надійн им дор оговк а зом на ш л я х у д о п роф есіонал ізм у.

Квадрати і куби натуральних чисел від 1 до 10 п

п2

100

п3

125

216

343

512

729

1000

Степені чисел 2 і З п

2п

128

256

512

1024

81 243 729

2 18 7 6561 19683 59049

Властивості степеня з цілим показником атап = ат +п

( а Ь ) п = а пЬ п

( а т )" = а тп

а \ Щ

\п

ат : а п = а т " п (а

а = ^ ( Ь * 0) ф

Властивості арифметичного квадратного кореня Я к щ о а > 0 , то ( Л )2 = а Д л я б у д ь -я к о го д ій с н о го а Я к щ о а > 0 і Ь > 0 , то -

Я к щ о а > 0 і Ь > 0 , то

\Га * =| а \

\Г а Ь = у /а ^ ІЬ ^

Формула коренів квадратного рівняння ах2+Ьх + с = 0