Complexity in between order and chaos by Marirena Kladeftira

πηγή εξωφύλλου: http://www.educatetruth.com/wp-content/uploads/2013/09/Chaos.png

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διάλεξη 9ου εξαμήνου Κλαδευτήρα Μαριάνθη Eiρήνη Aρ. μητρώου 04108020 Επιβλέπων καθηγητής_ Δ. Παπαλεξόπουλος

complexity Ανάμεσα στην οργάνωση και το χάος

Μάρτιος 2015

Ευχαριστίες Ευχαριστώ τον καθηγητή μου κ. Παπαλεξόπουλο για την καθοδηγησή του και τη βοήθειά του, τον μαθηματικό μου που μου μετέδωσε την αγάπη του γι’ αυτόν τον άπειρο κόσμο των μαθηματικών και όσους βοήθησαν, με τον δικό τους τρόπο, να ολοκληρωθεί αυτή η εργασία.

Περίληψη Αντικείμενο αυτής της εργασίας είναι η σχέση των μαθηματικών µε την αρχιτεκτονική στη βάση των νέων θεωριών που αναπτύχθηκαν τον 20ό αιώνα. Τέτοιες θεωρίες είναι η θεωρία του χάους, η θεωρία της πολυπλοκότητας, η φρακταλική γεωμετρία. Τα μαθηματικά αυτά, πολύ μακριά από την γνωστή ευκλείδεια γεωμετρία µας προσφέρουν πολύτιμα εργαλεία σχεδιασμού για να αντιμετωπίσουμε τα προβλήματα που εμφανίζονται στο πολύπλοκο σύγχρονο περιβάλλον. Η γένεση της μορφής και της δομής μπορεί να γίνει μέσα από μια διαδικασία επανάληψης και ανατροφοδότησης ενός συστήματος κανόνων, οι οποίοι θεωρούνται θεμελιώδεις παράμετροι για το σχεδιασμό. Έτσι το αρχιτεκτονικό αποτέλεσμα αναδύεται και δεν προκαθορίζεται, αφήνοντας χώρο για το απρόβλεπτο. Προσομοιάζει φυσικές δομές, οι οποίες είναι πιο αρεστές στο ανθρωπινο μάτι και, όπως δείχνουν οι μελέτες, μειώνουν τις στρεσογόνες ορμόνες που όλο και πληθαίνουν λόγω του σύγχρονου τρόπου ζωής. Πέρα από την γένεση της μορφής στην αρχιτεκτονική κλίμακα, οι θεωρίες αυτές βρίσκουν εφαρμογή και στην αστική κλίμακα, καθώς μπορούμε να δημιουργήσουμε συστήματα με τα οποία προσομοιώνεται η πολυπλοκότητα των παραγόντων των πόλεων. Μέσα σε ν διαστάσεις, με κύτταρα που αντιπροσωπεύουν τον χώρο και συντελεστές που αντιπροσωπεύουν τον ανθρώπινο και επεμβατικό παράγοντα, εμφανίζονται μοτίβα ανάπτυξης των πόλεων, που είναι ικανά να απεικονίσουν μια μελλοντική κατάσταση της πόλης με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια απ’ ότι οι επισφαλείς προβλέπεις ενός πολεοδόμου, σχεδιαστή. Τέλος, μας δίνεται η δυνατότητα να αναζητήσουμε το ιδεατό μοντέλο της πόλης, ως προς την αποδοτικότητά του και την ικανοποίηση των χρηστών.

Abstract The dissertation in question examines the relationship between the field of mathematics and the field of architecture, in regard to the new mathematical theories that were developed in the 20th century. Chaos theory, complexity theory and fractal geometry are all too distinct from Euclidean geometry and offer valuable tools for design that address the problems generated by the contemporary complex environment. The generation of form and structure can evolve from a recursive process in accordance with a set of strict rules. These rules reflect fundamental parameters of the design process. Thus, architecture emerges from a bottom up process that cannot be predefined, making room for the unpredictable and surprising. It simulates natural structures that please the eye, while according to researchers it eliminates stressful hormones that tend to build up due to the modern way of life. Apart from the emergence of the architectural form, these theories provide for a new research field in urban settings. We are now able to develop complex systems that simulate the complexity of agents in the city. On a n-dimensional grid, exist cells that represent location and agents that represent human activity and intervention. Urban patterns emerge that visualize a future state of the city fabric, in much more detail and accuracy than would a sole designer. Finally, a new opportunity has arisen in search of the ideal city in regard of efficiency and satisfaction of users.

περιεχόμενα Πρόλογος

007

Εισαγωγή

010

Μαθηματικές έννοιες η θεωρία του χάους κριτήρια χαοτικών συστημάτων χάος VS τυχαιότητα

Η έννοια της πολυπλοκότητας ορισμός και ανάλυση ορισμός της πολυπλοκότητας στη φυσική μετρήσιμη πολυπλοκότητα και ο ρόλος της

Πολυπλοκότητα και αρχιτεκτονική θεωρητικές προσεγγίσεις διεπιστημονικότητα και μεταφορά εννοιών

013 017 020 022 024 027 030 033

Χάος και αρχιτεκτονική fractals αυτο-ομοιότητα IFS | το παιχνίδι του χάους fractal architecture | δύο ρεύματα κλασματική διάσταση fractals πριν τα fractals φρακταλική αρχιτεκτονική μετά τον Mandelbrot αντίκτυπος στον ψυχισμό και το συναίσθημα

038 042 048 052 053 059 062 072

Πολυπλοκότητα και πολεοδομία θεωρητικές προσεγγίσεις cellular automata | το παιχνίδι της ζωής εφαρμογή στον σχεδιασμό

Επίλογος

076 078 086 100

πρόλογος

Πρόλογος Ιστορικά, η αρχιτεκτονική ήταν κομμάτι των μαθηματικών και σε πολλές περιπτώσεις του παρελθόντος οι δύο επιστήμες δεν ήταν διακριτές. Στον αρχαίο κόσμο, οι μαθηματικοί ήταν αρχιτέκτονες, των οποίων τις κατασκευές – οι πυραμίδες, τα ζιγκουράτ, οι ναοί, τα στάδια και τα αρδευτικά έργα- θαυμάζουμε σήμερα. Στην κλασική Ελλάδα και την αρχαία Ρώμη, οι αρχιτέκτονες ήταν απαραίτητο να είναι και μαθηματικοί. Όταν ο Βυζαντινός αυτοκράτορας Ιουστινιανός θέλησε έναν αρχιτέκτονα να χτίσει την Αγιά Σοφιά ως ένα οικοδόμημα που όμοιό του δεν έχει χτιστεί ποτέ, απευθύνθηκε σε δύο καθηγητές μαθηματικών, τον Ισίδωρο και τον Ανθέμιο. Η παράδοση συνεχίστηκε στον Ισλαμικό πολιτισμό, καθώς αρχιτέκτονες στο Ισλάμ δημιούργησαν έναν πλούτο από δισδιάστατα μοτίβα αιώνες πριν οι δυτικοί μαθηματικοί έδωσαν στον κόσμο μια ολοκληρωμένη ταξινόμηση. Nikos A. Salingaros1

1. Z Sagdic, Ottoman architecture: relationships between architectural design and mathematics in architect Sinan’s works, Nexus III : architecture and mathematics, Pacini Editore, Πίζα, 1 Ιουνίου, 2000, σελ 123-132. 2. Antoine Picon, Architecture and Mathematics, Between hubris and restraint, AD Volume 81 Τεύχος 4: Mathematics of Space, 1η έκδοση, John Wiley & Sons, Ltd., Ιούλιος, 2011,σελ. 28-35

Τα μαθηματικά αποτελούσαν ανέκαθεν αναπόσπαστο κομμάτι της αρχιτεκτονικής. Είναι εμφανές από αρχαιοτάτων χρόνων αν αναλογιστούμε τη μαθηματική ακρίβεια χιλιοστών με την οποία τοποθετούσαν τα μάρμαρα του Παρθενώνα, τη στενή σχέση με τις αναλογίες, τους λόγους και τη χρυσή τομή, που είχαν χτίσει στην Αναγέννηση, μέχρι σήμερα, όπου υπολογιστικές μέθοδοι, παραμετρικά εργαλεία αλλά και αλγοριθμικές διαδικασίες έχουν εισαχθεί για τα καλά στη διαδικασία σχεδιασμού πολλών αρχιτεκτονικών γραφείων. Άρα γιατί αυτό το ξαφνικό ενδιαφέρον για τα μαθηματικά; Όπως εξέφρασε και ο Antoine Picon2 υπήρχε μια αποξένωση ανάμεσα στην αρχιτεκτονική και τα μαθηματικά. Με την έλευση όμως των ψηφιακών εργαλείων, μας προσφέρθηκε η δυνατότητα να επανασυνδεθούμε με τη γεωμετρία και με μαθηματικές έννοες, οι οποίες ξεπερνούν τα αυστηρά όρια της ευκλείδειας γεωμετρίας και να κατανοήσουμε τις δυνατότητες που εμπεριέχονται και σε άλλες περιοχές των μαθηματικών, όπως η άλγεβρα, οι αλγόριθμοι, τα φράκταλς. Δίνοντας λοιπόν στους αρχιτέκτονες το μαθηματικό υπόβαθρο να κατανοήσουν και να κατακτήσουν αυτές τις μεθόδους, τους δίνεται η ευκαιρία να εισχωρήσουν εις βάθος σε μια νέα μέθοδο σχεδιασμού και να λύνουν τα προβλήματα που ανακύπτουν στον πυρήνα τους κι όχι απλώς να ψάχνουν λύσεις μέσα από ψηφιακά σχεδιαστικά προγράμματα που έχουν πολύ συγκεκριμένη πλατφόρμα. Αρχιτεκτονική και μαθηματικά συνεχώς ισορροπούσαν μεταξύ δύο άκρων: σε μια

πρόλογος

βιωματική διάσταση συχνά διαποτισμένη με στοχαστική χροιά, και σε μια αναζήτηση χειρουργικών τεχνικών που δεν παρουσιάζουν κατ’ ανάγκη μια χωρική έννοια. Εξ ου και η ασαφής στάση στην οποία βρισκόμαστε σήμερα, αντιμέτωποι ταυτόχρονα με την αποξένωση της αρχιτεκτονικής από τα μαθηματικά και τη θεαματική διάδοση των ψηφιακών εργαλείων. Antoine Picon3 Παρά το γεγονός ότι τα ψηφιακά εργαλεία έχουν εισχωρήσει τόσο πολύ στη διαδικασία σχεδιασμού, υπάρχει λιγότερη απήχηση όσον αφορά το πραγματικό υπόβαθρο αυτών των εργαλείων: τα μαθηματικά. Υπάρχουν διάφοροι λόγοι γι’ αυτό το παράδοξο. Καθώς τα μαθηματικά αποτελούν μια αφηρημένη επιστήμη μπορούν πολύ εύκολα να παρεξηγηθούν. Πολλοί είναι εκείνοι που φέρνουν αναμνήσεις στο μυαλό αποτυχίας, δυσκολίας και αγανάκτησης στο άκουσμα των μαθηματικών, ήδη από την εποχή των σχολικών τους χρόνων. Δεν μπορούμε, όμως, να αδιαφορούμε μπροστά στο γεγονός ότι η αρχιτεκτονική γεωμετρία από τη φύση της είναι μια αυτόνομη επιστήμη η οποία μπορεί να εξετασθεί αυτοτελώς και μαζί και το αντίκτυπο που έχει στη σύγχρονη δημιουργικότητα ως μια ανοιχτή δύναμη δημιουργίας που στοχεύει στην επίλυση προβλημάτων. Η επιστήμη αυτή, λοιπόν, χωρίζεται σε υποπεριόδους στις οποίες υπάρχουν εντελώς διαφορετικές προτεραιότητες χρήσης του μέσου. Δηλαδή, η διαφορά ανάμεσα σε αυτές τις περιόδους έγκειται στο πως έκαναν κάτι, παρά στο τι ήταν αυτό. Η ειδοποιός διαφορά ανάμεσα στη γεωμετρία του Andrea Palladio και στην σύγχρονη αρχιτεκτονική γεωμετρία δεν είναι ότι δεν πιστεύουμε πια στο ιδεατό σχήμα του κύκλου, αλλά στο γεγονός ότι επιλέγουμε συνειδητά να το αποτυπώσουμε σε καρτεσιανές συντεταγμένες ή σε ένα παραμετρικό σύστημα. Όπως έγραψε ο Πλάτων στον «Φίληβο»• αυτό που καταλαβαίνω εδώ από ομορφιά […], δεν είναι αυτό που ο κοινός άνθρωπος αντιλαμβάνεται γενικά με τον όρο αυτό, όπως, για παράδειγμα, την ομορφιά των ζωντανών πραγμάτων και την απεικόνισή τους. Αντιθέτως, ενίοτε είναι ευθύγραμμη… και κυκλική, με τις επιφάνειες των στερεών σωμάτων να δομούνται με διαβήτες, με χορδή και με τρίγωνο. Γιατί αυτές οι μορφές δεν είναι σαν τις άλλες, όμορφες υπό κάποιες συνθήκες• είναι πάντα όμορφες από μόνες τους. Έτσι, λοιπόν, δεν είναι το μέσο που αλλάζουμε στις εκάστοτε χρονικές περιόδους, αλλά το πως το χρησιμοποιούμε και με ποιον τρόπο το προσαρμόζουμε στην σύγχρονη πρακτική, ώστε να παραγάγουμε νέα καινοτόμα αποτελέσματα και μοντέλα, τα οποία θα υποδείξουν λύσεις στα προβλήματα που έχουν ανακύψει στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα.

3. Antoine Picon, ‘Between Intuition and the Quest for Operative Techniques’, public lecture, Symposium on ‘Mathematics in Space’, Harvard Graduate School of Design, 5 Μαρτίου 2010

πρόλογος

Αυτός ο πρόλογος δεν θα ήταν σχετικός, χωρίς μια απάντηση πάνω στο τι πραγματικά μπορούν να προσφέρουν τα μαθηματικά σήμερα στην πρακτική της αρχιτεκτονικής. Πέρα από την αποτελεσματικότητα ή την τεχνική, τα μαθηματικά στο σχεδιασμό προσφέρουν τελικά μια προσωπική κυριαρχία του σχεδιαστή έναντι του σχεδίου του, αφού αντί να στηρίζεται σε ένα σχεδιαστικό λογισμικό της αγοράς, έχει άμεση πρόσβαση σε σύμβολα και διαδικασίες παραγωγής. Για να δημιουργήσει κανείς διαδικασίες και μορφές με αυτόν τον τρόπο, απαιτείται μια συγγραφική λογική, μια νοοτροπία δημιουργίας, σχεδόν εκ του μηδενός. Αν τα έτοιμα σχεδιαστικά προγράμματα χτίζονται σε μια ιεραρχική βάση βημάτων, από χαμηλά προς τα πάνω σαν πυραμίδα, τότε ο αρχιτέκτονας που τα χρησιμοποιεί βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας χρησιμοποιώντας έτοιμα εργαλεία και παρότι η διάδραση με το πρόγραμμα μπορεί να γίνεται ενστικτωδώς, στην πραγματικότητα οι αποφάσεις έχουν ήδη προκαθοριστεί και εκείνος δεν έχει καμία δύναμη παρέμβασης, εις βάθος, στις διαδικασίες παραγωγής αρχιτεκτονικού αποτελέσματος, οι οποίες είναι δεδομένες. Το να γράφει κανείς κώδικα, τον τοποθετεί αμέσως αν όχι στη βάση, πολύ κάτω στην πυραμίδα όπου σχεδόν τίποτα δεν είναι προκαθορισμένο. Παρόλα αυτά, το να δουλεύεις με μαθηματικά, είναι κάτι διαφορετικό από το να γράφεις κώδικα. Το να δουλεύεις με μαθηματικές έννοιες και εργαλεία σημαίνει να δουλεύεις χωρίς πλατφόρμα. Άλλωστε, όπως κάθε μέσο επικοινωνίας, η πλατφόρμα στην οποία δουλεύει κανείς δεν δέχεται πάρα μόνο όση πληροφορία μπορεί από το μήνυμα, το οποίο τελικά οδηγεί σε μια στρεβλωμένη αντίληψη, που στην πραγματικότητα υπονομεύει το μήνυμα και την κυριαρχία του σχεδιαστή.

εισαγωγή

Εισαγωγή Η αρχιτεκτονική είναι επιτυχής όταν αγγίζει τον χρήστη με την όραση, το συναίσθημα και το ένστικτο μέσα από την πολυπλοκότητά της. Για το λόγο αυτό η πολυπλοκότητα είναι ένα γενεσιουργό εργαλείο. Όλες οι παραδοσιακές κοινωνίες ανέπτυξαν ένα μοναδικό, ατομικό λεξιλόγιο αρχιτεκτονικής, με το οποίο έκαναν τη μετάβαση σε μια σύνθετη, πολύπλοκη σχεδιαστική γλώσσα. Η διεθνοποίηση, όμως, στις αρχές του 20ού αιώνα έσβησε σταδιακά όλες αυτές τις παραδόσεις, με συνέπεια την ορατή ελάττωση της σχεδιαστικής πολυπλοκότητας. Πως μπορούμε να επανεντάξουμε την πολυπλοκότητα αυτή στην αρχιτεκτονική φόρμα, το χώρο αλλά και στο επίπεδο; Συνήθως ευρηματικές κατευθυντήριες γραμμές έρχονται από την επιστήμη. Υπό αυτή την έννοια η έρευνα αυτή κάνει λόγο για μια τέτοια μέθοδο σχεδιασμού, η οποία προκύπτει από τον χώρο των μαθητικών και εστιάζει στις ανακαλύψεις που έγιναν στο χώρο αυτό κατά τον 20ο αιώνα. Παραδόξως, παρατηρούμε μια ενδιαφέρουσα συγκυρία, όπου ενώ κοινωνικά οι συνθήκες αλλάζουν για να μεταβούμε στην διεθνοποιημένη κοινωνία στην οποία ζούμε και σήμερα, γίνονται ανακαλύψεις στις επιστήμες των μαθηματικών και της φυσικής, οι οποίες ουσιαστικά έρχονται να δώσουν λύσεις και κατευθύνσεις σε σχεδιαστικά προβλήματα που προκύπτουν από τις πολύπλοκες σχέσεις πολλαπλών παραγόντων που επεμβαίνουν στο δομημένο περιβάλλον. Η πολυπλοκότητα είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται ευρέως για να περιγράψει κάτι το οποίο δεν είναι απλό, αλλά έχει πολλές ερμηνείες ανάλογα την ειδικότητα. Θα εστιάσουμε στη συμπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων όταν αυτά εφαρμόζονται στην αρχιτεκτονική. Κεντρική ιδέα στην θεωρία της πολυπλοκότητας είναι μικρά μικρά μέρη, τα οποία αναπαράγονται, συνδυαζόμενα ή αλλάζοντας, ακολουθώντας απλούς κανόνες. Μετά από έναν αριθμό επαναλήψεων, το αποτέλεσμα είναι ένα σύστημα που ποικίλει, του οποίου το μέλλον δεν είναι εύκολα προβλέψιμο. Το ίδιο το σύστημα επιστρέφει νέες πληροφορίες από απλές “εισόδους” δεδομένων. Αυτή η διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε αναλογικά συστήματα, ως αποτελέσματα διαδικασιών, που περιλαμβάνουν αυτοοργανούμενα συστήματα στη φύση που οδηγούν σε χωρική μορφή και υλικότητα.

εισαγωγή

Οι αρχιτέκτονες συχνά παρατηρούν φυσικά αντικείμενα, τα οποία αποκτούν τη δομή και την υλικότητά τους μετά από επαναλαμβανόμενες αλληλεπιδράσεις στοιχείων με το περιβάλλον τους. Ο D’arcy Thompson στο βιβλίο του Ανάπτυξη και μορφή 4 παρουσίασε την σύγκλιση φυσικής και βιολογίας μέσα από μαθηματικές διαδικασίες που διέπουν τη μορφή, το σχήμα, την ανάπτυξη και την κλίμακα. Η αρχιτεκτονική υιοθετεί αυτές τις διαδικασίες στη βιομίμιση, αλλά οι μαθηματικές αρχές που τις διέπουν μπορούν να αποσπαστούν και να εφαρμοσθούν μόνες τους χωρίς να εξαρτώνται από την άμεση αναλογία φυσικής μορφής, επιτρέποντας την ύπαρξη σε συστήματα που δεν έχουν άμεση εμφανή αναφορά μεταφορικά ή γεωμετρικά στη φύση. Η “ανάδυση” είναι πλέον μια βασική έννοια σε ειδικότητες πέρα από τις φυσικές επιστήμες, οι οποίες συνήθως περιστρέφονται γύρω από παρατηρήσεις και εμπειρικές γνώσεις.

4. D’Arcy Thompson, Ανάπτυξη και μορφή, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1999 5. Ο Michael Batty στο βιβλίο του Cities and Complexity: understanding cities with Cellular Automata, Agent-Based Models, and Fractals, 1η έκδοση, MIT Press, Cambridge, MA, 2007 κάνει λόγω για μια διαφορετική μορφή αντιμετώπισης του σχεδιασμού των πόλεων, προκειμένου να αντιμετωπισθούν αποτελεσματικά ζητήματα πολυπλοκότητας που προκύπτουν από τις σύγχρονες συνθήκες κατοίκησης στις πόλεις και την αδυναμία του μέχρι τώρα σχεδιασμού “από πάνω προς τα κάτω”, από έναν σχεδιαστή, να δώσει επαρκείς λύσεις για μια βιώσιμη ανάπτυξη των πόλεων.

Στην αρχιτεκτονική, η πολυπλοκότητα δεν είναι απλώς μια μαθηματική ιδέα, την οποία οικειοποιούμαστε από το φυσικό κόσμο ή από τη θεωρία συστημάτων και την επανεφαρμόζουμε στο σχεδιασμό. Είναι μια συμφυής ιδιότητα του πλασμένου κόσμου, και περισσότερο εμφανής στα μοτίβα ανάπτυξης ανθρώπινων επεμβάσεων στο τοπίο. Αυτά τα μοτίβα μπορεί να είναι αρχαία, αλλά η μαθηματική προσέγγιση κατανόησής τους είναι σχετικά πρόσφατη. Στον αστικό και πολεοδομικό σχεδιασμό, είναι μια ενδιαφέρουσα κοσμολογική, οργανωτική και γεωμετρική στροφή της οπτικής γωνίας που διαθέταμε, η οποία δίνει έμφαση στο σχεδιασμό από κάτω προς τα πάνω (από τις διακριτές μικρές δυνάμεις από τις οποίες “αναδύεται” το τελικό αποτέλεσμα) και όχι στην από πάνω προς τα κάτω λογική, που μας είναι γνώριμη από την πολεοδομία του 19ου αιώνα και ακόμα περισσότερο από αυτή του Μοντερνισμού. Ο Michael Batty παρατήρησε ήδη από τη δεκαετία του ’90 ότι υπάρχει ανάγκη για εύρεση παραμέτρων σε μικροκλίμακα, ώστε η πόλη να γίνεται αντιληπτή βάση των δράσεων των ατόμων, τα οποία τις κατοικούν5 . O Batty χρησιμοποιεί τις ιδέες της ετερογένειας και του επιμερισμού μελετώντας την “ανάδυση” των πόλεων μέσα από κύτταρα που αναπαριστούν τη φυσική και χωρική δομή της πόλης, και μέσα από παράγοντες (agents) που αναπαριστούν την ανθρώπινη και κοινωνική οντότητα της πόλης. Μιλάει για τη φρακταλική πόλη, η οποία χαρακτηρίζεται από αυτο-ομοιότητα και “τάξη” σε όλες τις κλίμακες, ενώ ταυτόχρονα συνδέει την ανάπτυξή της με τις αρχικές συνθήκες καθιστώντας έτσι το σύστημα ευμετάβλητο και ευαίσθητο σύμφωνα με την αρχική του κατάσταση, όπως προστάζει η θεωρία του χάους. Αυτό επιβεβαιώνεται με την παρατήρηση ότι οι ρυθμοί ανάπτυξης συνήθως

εισαγωγή

είναι πολύ μικροί για να γίνει εμφανής η δραματική αλλαγή που επιφέρει η χαοτική συμπεριφορά, όπως είναι εμφανές σε άλλα συστήματα. Τα μαθηματικά που διέπουν τα συγκεκριμένα συστήματα σε συνδυασμό με την ευκολία που παρέχουν προγράμματα προσομοίωσης στον υπολογιστή, έχουν κάνει εύκολη την προσομοίωση των μοτίβων κατοίκησης των πόλεων, ακόμα και για την πιο πολύπλοκη πόλη. Προφανώς αυτή η προσέγγιση ενέχει και αναλυτικό αλλά και σχεδιαστικό χαρακτήρα.. Με γνώμονα τα παραπάνω στα κεφάλαια που ακολουθούν θα γίνει μια αναλυτική προσέγγιση της θεωρίας του χάους καθώς και μαθηματικών όρων και συστημάτων που έχουν προκύψει από αυτήν. Θα εξετασθεί η έννοια της πολυπλοκότητας όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, ως στόχος σχεδιασμού, εφικτός με τη χρήση μορφοκλασματικών καμπύλων και κυτταρικών αυτομάτων, μέθοδοι οι οποίες δεν υπάρχουν παρά μόνο εδώ και είκοσι χρόνια στην βιβλιογραφία της αρχιτεκτονικής, αφού τη δεκαετία του ’90 έγιναν οι πρώτες νύξεις για τη χρήση τους ως εργαλεία σχεδιασμού.

μαθηματικές έννοιες η θεωρία του χάους

Μαθηματικές έννοιες η θεωρία του χάους Η θεωρία του χάους απέχει πολύ από το απόλυτο χάος, που ενδεχομένως μπορεί να σκεφτεί κάποιος όπως υποδεικνύει το όνομά της. Η “χαοτική συμπεριφορά” των συστημάτων πρωτοανακαλύφθηκε τη δεκαετία του 1890 από τον Henri Poincaré, ο οποίος, ενώ μελετούσε το πρόβλημα των τριών σωμάτων που έλκονται και απωθούνται, καθώς βρήκε τροχιές που δεν ήταν ούτε περιοδικές, ούτε διαρκώς αυξανόμενες, ούτε έτειναν σε μια δεδομένη κατάσταση. Περίπου την ίδια περίοδο ο Jacques Hadamard, δημοσίευσε μια μελέτη πάνω στην χαοτική κίνηση τριών σωμάτων που γλιστρούν χωρίς τριβή σε μια επιφάνεια διαρκούς αρνητικής καμπυλότητας. Ίσως ο πιο γνωστός άνθρωπος, όμως, που συνέβαλε σε μεγάλο βαθμό στην ανάπτυξη της θεωρίας του χάους είναι ο Edward Norton Lorenz. Τη δεκαετία του 1960, o Lorentz δημιούργησε ένα απλοποιημένο μοντέλο που παρουσίαζε προβλέψεις ροών αέρα που επηρέαζαν τις καιρικές συνθήκες. Επρόκειτο για ένα σύστημα επαναλήψεων με μεταβλητές, το οποίο μπορούσε να λειτουργεί όλο το βράδυ. Σε μια προσπάθεια επανάληψης ενός συγκεκριμένου “κύκλου” ο Lorentz ανακάλυψε τη σημασία που είχαν μικρές αλλαγές στις αρχικές τιμές. Εισάγοντας έναν μικρότερο αριθμό κατά κάποια δεκαδικά ψηφία σε μια αρχική τιμή έφερε ως αποτέλεσμα τελείως διαφορετικά δεδομένα καιρικών προβλέψεων μετά από ένα σεβαστό αριθμό επαναλήψεων. Αυτό το φαινόμενο είναι ευρέως γνωστό, ως το “φαινόμενο της πεταλούδας”, από την ιδέα ότι το φτερούγισμα της πεταλούδας σε ένα σημείο του κόσμου, μπορεί να συντελέσει στη δημιουργία ενός ανεμοστρόβιλου σε ένα άλλο σημείο, σε κάποια άλλη χρονική στιγμή. Η φράση αυτή καθιερώθηκε εξαιτίας της εργασίας που παρέδωσε ο Λόρεντζ το 1972 στην Αμερικανική Ένωση για την Πρόοδο της Επιστήμης (American Association for the Advancement of Science) στην Ουάσινγκτον D.C., με τίτλο “Προβλεψιμότητα: Μήπως το χτύπημα των φτερών μιας πεταλούδας στη Βραζιλία, μπορεί να προκαλέσει έναν τυφώνα στο Τέξας;”. Τα χαοτικά συστήματα έχουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά, είναι μηγραμμικά, ντετερμινιστικά και όχι πιθανολογικά, ευαίσθητα στις αρχικές συνθήκες και παρουσιάζουν διαρκή ανωμαλία (order in disorder). Μικροαλλαγές στις αρχικές συνθήκες ενός χαοτικού συστήματος επιφέρουν

μαθηματικές έννοιες η θεωρία του χάους

πολύ διαφορετικά αποτελέσματα σε σχέση με προηγούμενες εφαρμογές. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να έχουμε έναν άπειρο αριθμό πιθανών αποτελεσμάτων, τα οποία είναι αδύνατον να προβλέψει κανείς μακροπρόθεσμα. Αυτό συμβαίνει παρόλο που τα συστήματα αυτά είναι ντετερμινιστικά όπως προαναφέρθηκε, εννοώντας πως η μελλοντική τους συμπεριφορά είναι απόλυτα καθορισμένη από τις αρχικές συνθήκες του συστήματος, χωρίς να επεμβαίνουν τυχαίοι παράγοντες. Αυτή η συμπεριφορά είναι ευρέως γνωστή ως ντετερμινιστικό χάος ή απλά χάος. Εντούτοις ακόμη και σε ένα απολύτως ντετερμινιστικό σύστημα υπάρχουν σημεία ασταθούς ισορροπίας ή ασταθούς κινήσεως. Αν ένα μολύβι ισορροπεί κάθετα πάνω στη μύτη του ( η οποία θεωρείται ένα σημείο), τότε η παραμικρή επίδραση του περιβάλλοντος, το βήξιμο ενός προσώπου ή ο τρανταγμός ενός αυτοκινήτου που περνά από το δρόμο είναι δυνατόν να προκαλέσει εκτροπή προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Ακόμη και αν είχαμε πλήρη έλεγχο του περιβάλλοντος γύρω από το μολύβι που βρίσκεται σε ασταθή ισορροπία θα μπορούσε ένα πολύ μακρινό ανεπαίσθητο γεγονός, ένα αυτοκίνητο στην Ιαπωνία ή έστω μία έκρηξη αστέρος σε ένα μακρινό γαλαξία, να προκαλέσει εκτροπή προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση. Μόνον αν γνωρίζαμε τις θέσεις και τις κινήσεις όλων των σωματίων του Σύμπαντος θα μπορούσαμε να προβλέψουμε απόλυτα την κίνηση του μολυβιού από την ασταθή του θέση. Αλλά αυτή η γνώση μας θα ήταν αρκετή για να επιδράσει στις κινήσεις μας και εμμέσως να προκαλέσει ανάλογη εκτροπή του μολυβιού. Εξάλλου οι πολύ μικρές επιδράσεις, ατομικής κλίμακας, υπάγονται στη θεμελιώδη κβαντική απροσδιοριστία Heisenberg, η οποία δεν επιτρέπει καν την απόλυτη γνώση των θέσεων και ταχυτήτων όλων των σωματίων του σύμπαντος. Επομένως όπου υπάρχουν ασταθείς καταστάσεις (ασταθείς ισορροπίες ή κινήσεις) υπάρχει περιθώριο τύχης, το οποίο δεν μπορεί με κανένα τρόπο να εξουδετερωθεί. Στην πραγματικότητα τα χαοτικά συστήματα μπορούν να έχουν μια προβλέψιμη πορεία για ένα χρονικό διάστημα, ενώ στη συνέχεια έχουν μια φαινομενικά τυχαία συμπεριφορά. Το χρονικό διάστημα για το οποίο μπορούμε να προβλέψουμε τη συμπεριφορά ενός τέτοιου συστήματος εξαρτάται από τρεις παραμέτρους. Καταρχάς με πόση ακρίβεια μπορούμε να μετρήσουμε τις αρχικές συνθήκες του συστήματος, δεύτερον πόση απόκλιση θεωρούμε αποδεκτή στην πρόβλεψή μας και τέλος, από μια χρονική κλίμακα, η οποία ονομάζεται Lyapunov time από τον Ρώσο μαθηματικό Aleksandr Lyapunov και είναι εκθετική του αριθμού e (βάση του φυσικού λογαρίθμου). Με άλλα λόγια η απόκλιση των αποτελεσμάτων αυξάνεται εκθετικά όσο περισσότερος είναι ο χρόνος. Για να δώσουμε ένα παράδειγμα, η ίδια φόρμουλα ισχύει και στα δελτία καιρού. Όσο πιο μικρός είναι ο χρόνος πρόβλεψης,

Εικ. 1 Ο παράξενος ελκυστής Lorentz

μαθηματικές έννοιες κριτήρια χαοτικών συστημάτων

τόσο πιο έγκυρη η πρόβλεψη και αντίστροφα. Γενικά ισχύει ότι μια πρόβλεψη σε χρονικό διάστημα δύο ή τρεις φορές και πάνω της χρονικής κλίμακας Lyapunov δεν μπορεί να έχει νόημα και όταν δεν μπορούν να γίνουν ουσιαστικές προβλέψεις τότε το σύστημα φαίνεται τυχαίο σε μας.

κριτήρια χαοτικών συστημάτων Παρά το γεγονός ότι δεν υπάρχει μαθηματικός ορισμός για το πότε ένα σύστημα θεωρείται χαοτικό ή όχι, υπάρχει ένα σύνολο ιδιοτήτων που είναι ευρέως αποδεκτό και το οποίο είναι ενδεικτικό ενός συστήματος με χαοτική συμπεριφορά. Σύμφωνα με αυτό ένα σύστημα μπορεί να χαρακτηρισθεί ως έχων χαοτική συμπεριφορά αν ισχύουν οι εξής τρεις ιδιότητες 6: 6. Boris Hasselblatt, Katok Anatole, A First Course in Dynamics: With a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press, Cambridge, 2003

Εικ. 2 Η χαοτική κίνηση ενός εκκρεμούς που γράφει διαφορετική τροχιά καθώς αλλάζουν οι αρχικές συνθήκες.

i. το σύστημα πρέπει να είναι ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες. Αυτή η φράση που αναφέρθηκε νωρίτερα στο κείμενο είναι καίριας σημασίας. Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες σημαίνει πως ένα σύστημα είναι αυθαίρετα στενά προσεγγίσιμο από άλλα σημεία με τελείως διαφορετικά μελλοντικά αποτελέσματα. Δηλαδή, ακόμα και η παραμικρή αλλαγή των αρχικών συνθηκών θα οδηγήσει σε τελείως διαφορετικά αποτελέσματα. Έτσι, μια αυθαίρετα μικρή διαταραχή της τρέχουσας τροχιάς μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά διαφορετική μελλοντική συμπεριφορά. Με την ίδια λογική στο “φαινόμενο της πεταλούδας”, το χτύπημα των φτερών αντιπροσωπεύει μια μικρή αλλαγή στην αρχική κατάσταση του συστήματος, η οποία προκαλεί μια αλυσίδα γεγονότων που οδηγούν σε μεγάλης κλίμακας φαινόμενα. Αν δεν είχε χτυπήσει τα φτερά της η πεταλούδα, η τροχιά του συστήματος θα μπορούσε να ήταν πολύ διαφορετική. Ο εκθέτης Lyapunov χαρακτηρίζει την έκταση της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες. Ποσοτικά, δύο τροχιές εντός του χώρου φάσης με αρχικό διαχωρισμό δΖ0 αποκλίνουν |δΖ(t)| ≈ eλt |δZ0|, όπου λ είναι ο εκθέτης Lyapunov. Ο ρυθμός διαχωρισμού μπορεί να είναι διαφορετικός για διαφορετικούς προσανατολισμούς του αρχικού φορέα διαχωρισμού. Έτσι, υπάρχει ένα ολόκληρο φάσμα από εκθέτες Lyapunov - ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τον αριθμό των διαστάσεων του χώρου φάσης. Είναι σύνηθες να αναφέρεται μόνο ο μεγαλύτερος, δηλαδή ο μέγιστος εκθέτης Lyapunov, διότι αυτός καθορίζει τη συνολική προβλεψιμότητα του συστήματος. Ένας θετικός μέγιστος εκθέτης Lyapunov συνήθως λαμβάνεται ως ένδειξη ότι το σύστημα είναι χαοτικό.

μαθηματικές έννοιες κριτήρια χαοτικών συστημάτων

ii. το σύστημα πρέπει να είναι τοπολογικά μεταβατικό. Τοπολογική μεταβατικότητα ορίζεται ως η ιδιότητα του συστήματος να εξελίσσεται με την πάροδο του χρόνου, με στόχο κάθε περιοχή ή ανοιχτό σύνολο του χώρου φάσης να συμπίπτει με οποιαδήποτε άλλη περιοχή7 . Η ιδιότητα αυτή αντιστοιχεί στην κοινή διαίσθηση και αναφέρεται αλλιώς και ως τοπολογική ανάμειξη. Ένα παράδειγμα που μπορούμε να δώσουμε είναι η ανάμειξη χρωμάτων, η οποία είναι ένα χαοτικό σύστημα το οποίο στοχεύει στην τέλεια ανάμειξη όλων των χρωμάτων σε ένα, με άλλα λόγια αυτό που περιγράφεται πιο πάνω ως η κάθε περιοχή ή ανοιχτό σύνολο του χώρου φάσης να συμπίπτει με οποιαδήποτε άλλη περιοχή. Η τοπολογική μεταβατικότητα αποτελεί μια πολύ σημαντική ιδιότητα ενός χαοτικού συστήματος και δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να θεωρείται ως δευτερεύουσα. Η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες, παρότι είναι σημαντική, από μόνη της δεν είναι ικανή να προσδιορίσει αν ένα δυναμικό σύστημα8 παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά ή όχι και συνεπώς, λανθασμένα πολλές φορές παρουσιάζεται σε περιγραφές ως επαρκής συνθήκη. Δίνοντας ένα απλό παράδειγμα θα γίνει αντιληπτός ο λόγος για τον οποίο δεν επαρκεί μόνο η συνθήκη (i). Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα δυναμικών το οποίο παράγεται διπλασιάζοντας συνεχώς την αρχική τιμή. Όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, κάθε φορά που παράγεται ένα αποτέλεσμα - στην προκειμένη περίπτωση το διπλάσιο της αρχικής τιμής-, αυτό γίνεται εκ νέου η νέα αρχική συνθήκη κ.ο.κ. Αυτό το σύστημα έχει προφανώς ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες, δεδομένου ότι κάθε ζεύγος διαφορετικών κοντινών σημείων θα διαχωριστεί τελικά, αφού διπλασιάζοντας συνεχώς η διαφορά τους όλο και θα μεγιστοποιείται. Ωστόσο, το σύστημα αυτό δεν παρουσιάζει καμία ανάμειξη, καμία τοπολογική μεταβατικότητα. Στην πραγματικότητα έχει μια πολύ απλή συμπεριφορά , αφού όλα τα σημεία εκτός του μηδενός θα τείνουν κάθε φορά προς το θετικό ή το αρνητικό άπειρο. Συνεπώς, το σύστημα αυτό δεν έχει κανένα χάος και λανθασμένα θα κατηγοριοποιούνταν ως τέτοιο αν δεν λαβαίναμε υπόψιν την ιδιότητα της τοπολογικής μεταβατικότητας. iii. το σύστημα πρέπει να εμφανίζει ένα πυκνό σύνολο (dense set) που αποτελείται από όλες τις περιοδικές τροχιές του συστήματος. Η πυκνότητα των περιοδικών τροχιών αντιπροσωπεύει το γεγονός ότι κάθε σημείο στο χώρο προσεγγίζεται αυθαίρετα στενά από περιοδικές τροχιές. To θεώρημα Sharkovskii είναι η βάση της απόδειξης των Li και Yorke (1975)9 ότι κάθε μονοδιάστατο σύστημα το οποίο παρουσιάζει τακτικό κύκλο της περιόδου 3, θα εμφανίσει επίσης τακτικoύς κύκλους για κάθε άλλο μήκος περιόδου, καθώς επίσης και εντελώς χαοτικές τροχιές. Όταν η απομάκρυνση δύο γειτονικών τροχιών είναι μικρότερη, π.χ. γραμμική στο χρόνο, τότε αποδεικνύεται ότι ο χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov είναι μηδέν και η κίνηση

7. Σε αυτό το σημείο είναι θεμιτό να παραθέσουμε τον ορισμό του χώρου φάσης ώστε να είναι πιο εύκολα αντιληπτή η ιδιότητα της τοπολογικής μεταβατικότητας. Στα μαθηματικά και τη φυσική, ο χώρος φάσης ενός δυναμικού συστήματος ορίζεται ως ένας χώρος στον οποίο απεικονίζονται όλες οι δυνατές καταστάσεις του συστήματος, με κάθε διακριτό σημείο να προσδιορίζει μια κατάσταση μια δεδομένη στιγμή. Για μηχανικά συστήματα, ο χώρος φάσης περιλαμβάνει όλες τις πιθανές θέσεις και σημειακές θέσεις των μεταβλητών. Μπορούμε να το αντιληφθούμε με απλά λόγια ως ένα γραφικό διάγραμμα όλων των καταστάσεων του συστήματος. Η έννοια του χώρου φάσης αναπτύχθηκε στα τέλη του 19ου αιώνα από τους Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré και Willard Gibbs. 8. Δυναμικά συστήματα ονομάζονται σύνολα σωμάτων που οι κινήσεις τους διέπονται από ορισμένους φυσικούς νόμους, Π.χ. το νόμο της βαρύτητας, τους νόμους των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων, ή άλλους νόμους που καθορίζονται από τις εξισώσεις της κινήσεως. 9. Tien-Yien Li, James A. Yorke, «Period Three Implies Chaos», American Mathematical Monthly 82 , 1975 , σελ. 985–92

μαθηματικές έννοιες κριτήρια χαοτικών συστημάτων

ονομάζεται οργανωμένη. Για παράδειγμα, αν ένας αστροναύτης βγει έξω από το δορυφόρο του και αποκοπεί από αυτόν θα αρχίσει να απομακρύνεται, αλλά με γραμμικό ρυθμό. Η απόστασή του από το δορυφόρο θα γίνει κάποτε πολύ μεγάλη, αλλά η τροχιά του αστροναύτη βρίσκεται πολύ κοντά στην τροχιά του δορυφόρου. Έτσι, αν οι περίοδοι των δύο τροχιών είναι Τ και Τ + δΤ, μετά από μία περιστροφή η απόστασή τους θα είναι 2π (δΤ/Τ), (σε γωνία ως προς τη γη) και μετά από Ν = Τ/ δΤ περιστροφές ο αστροναύτης θα έχει κάνει μία πλήρη περιστροφή -ως προς τη γη- περισσότερη (ή λιγότερη) από ότι ο δορυφόρος και θα βρεθεί πάλι κοντά στον δορυφόρο του. Σύμφωνα, λοιπόν, με αυτές τις τρεις ιδιότητες μπορούμε να διακρίνουμε αν ένα δυναμικό σύστημα παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά ή όχι. Ωστόσο, όπως προαναφέρθηκε, μια χαοτική συμπεριφορά μπορεί να είναι φαινομενικά τυχαία μετά από μια ορισμένη χρονική περίοδο. Στην πραγματικότητα η τυχαιότητα και η χαοτική συμπεριφορά δεν ταυτίζονται και λανθασμένα θεωρούνται ταυτόσημες καταστάσεις από πολλούς. Παρακάτω, θα διαπιστώσουμε πως η χαοτική συμπεριφορά διαφέρει από την τυχαιότητα και γιατί είναι σημαντική αυτή η διάκριση.

μαθηματικές έννοιες χάος VS τυχαιότητα

χάος VS τυχαιότητα Παρά το γεγονός ότι η λέξη χάος μπορεί να φέρνει στο μυαλό μας την απόλυτη τυχαιότητα και αταξία, είναι λάθος να μπερδεύουμε τους δύο όρους. Το χάος δεν είναι ταυτόσημο με την τυχαιότητα και λανθασμένα μπορεί να γίνεται έτσι αντιληπτό από κάποιους ανθρώπους. Υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ χάους και τύχης. Το χάος, όπως σημειώθηκε και στο προηγούμενο κεφάλαιο είναι ένα ντετερμινιστικό φαινόμενο, που σημαίνει ότι διέπεται από πολύ αυστηρούς νόμους, ενώ αντίθετα, η τύχη δεν υπόκειται σε γνωστούς νόμους. Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να πούμε ότι σε ένα σύστημα με χαοτική συμπεριφορά η κίνηση κάθε σωματιδίου που ανήκει σ’ αυτό έχει απολύτως καθορισμένη συμπεριφορά που διέπεται από φυσικούς νόμους, ενώ σε ένα τυχαίο σύστημα τα σωματίδια ακολουθούν μια κίνηση απρόβλεπτη, μέσα σε ορισμένα όρια. Πολλές φορές η διάκριση μεταξύ χάους και τυχαιότητας ανάγεται σε ένα φιλοσοφικό ερώτημα, αφού η ύπαρξη τυχαίων γεγονότων δεν επαρκεί για να δοθεί ικανοποιητική εξήγηση για τα περισσότερα φυσικά φαινόμενα, όπως οι κινήσεις πλανητών και αστέρων, φαινόμενα ηλεκτρομαγνητισμού ή φαινόμενα ατομικής και πυρηνικής φυσικής και στοιχειωδών σωματιδίων. Πάντως, η ύπαρξη τύχης δεν είναι ασυμβίβαστη με την αυστηρότητα των ντετερμινιστικών νόμων. Εκεί όπου υπάρχουν αστάθειες (ασταθείς ισορροπίες ή ασταθείς τροχιές) εμφανίζονται και τυχαία φαινόμενα που οφείλονται στις πολύ μικρές επιδράσεις του περιβάλλοντος, του εγγύς και του μακράν. Έτσι λοιπόν επιστρέφουμε στο φιλοσοφικό ερώτημα, αν υπάρχουν τελικά πραγματικά τυχαία γεγονότα που δεν υπάγονται σε κανένα νόμο. Σε περιπτώσεις που χειριζόμαστε ηλεκτρονικούς υπολογιστές και έχουμε ανάγκη μερικούς τυχαίους αριθμούς, στην πραγματικότητα χρησιμοποιούμε έναν αλγόριθμο που επιστρέφει τους λεγόμενους “ψευδοτυχαίους” αριθμούς, π.χ. το 100ό, 200ό, κ.λπ. δεκαδικό ψηφίο του αριθμού π (3,14…). Δηλαδή, οι αριθμοί αυτοί που επιστρέφονται από το πρόγραμμα είναι απολύτως καθορισμένοι, αν και στα μάτια μας φαίνονται ως τυχαίοι, αφού μπορεί να χρησιμοποιούν κάθε φορά διαφορετικό σύνολο αριθμών. Για παράδειγμα στο παραμετρικό πρόγραμμα Grasshopper το στοιχείο του αλγορίθμου που παράγει τυχαίους αριθμούς έχει άπειρες “θέσεις”. Θέτοντας ο χρήστης το στοιχείο στη θέση 1, αυτό θα παραγάγει το πρώτο σύνολο ψευδοτυχαίων αριθμών, ενώ θέτοντας το στοιχείο στη θέση 3 ή 4 κλπ., θα επιστραφούν διαφορετικά σύνολα ψευδοτυχαίων αριθμών, τα οποία φαινομενικά στον χρήστη είναι κάθε φορά τυχαία. Εντούτοις, δεν υπάρχει ένας αλγόριθμος ο οποίος μπορεί να διακρίνει αν μία ακολουθία φαινομενικά τυχαίων αριθμών είναι πραγματικά τυχαία ή ψευδοτυχαία. Επομένως

μαθηματικές έννοιες Χάος VS τυχαιότητα

η διάκριση μεταξύ τυχαίων και εξαιρετικά πολύπλοκων συστημάτων δεν είναι εν γένει δυνατή. απάντηση στο ερώτημα αν υπάρχουν πραγματικά τυχαία φαινόμενα δεν μπορεί να δοθεί με παρατηρήσεις. Πράγματι, τα αίτια τα οποία προκαλούν την α ή β συμπεριφορά ενός συστήματος κοντά σε μία αστάθεια είναι τόσο πολλά και τόσο μικρά, ώστε είναι αδύνατον να παρατηρηθούν και να ελεγχθούν πειραματικά. Υπάρχουν επιπλέον ανυπέρβλητα όρια ακριβείας, που δίνονται από τις σχέσεις απροσδιοριστίας του Heisenberg, πέραν των οποίων δεν μπορούμε ούτε θεωρητικά να επεκτείνουμε τις μετρήσεις μας. - Γ. Κοντόπουλος10

10. Ο Γεώργιος Κοντόπουλος είναι Έλληνας μαθηματικός, γεννήθηκε το 1928 στο Αίγιο και σπούδασε μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ασχολήθηκε με τη θεωρία του χάους και τους τομείς της γαλαξιακής δυναμικής, της γενικής σχετικότητας και της ουράνιας μηχανικής. Υπάρχουν περίπου 4.500 αναφορές στο έργο του και 320 περίπου δημοσιευμένες ευχαριστίες.

Έχει ενδιαφέρον να σημειώσουμε πως το θέμα της διακρίσεως μεταξύ τυχαίων και χαοτικών γεγονότων έχει συνδεθεί αρκετές φορές με το πρόβλημα της ελεύθερης βούλησης. Η ελεύθερη βούληση, όμως, δεν αποτελεί τυχαίο γεγονός. Έστω ένας άνθρωπος που βρίσκεται σε ένα δίλημμα και πρέπει να επιλέξει το α ή το β, συνήθως δεν το αποφασίζει ρίχνοντας ζάρια ή ένα νόμισμα ποντάροντας κορόνα-γράμματα. Αλλά ακόμα και ακολουθήσει αυτή την τακτική, το σύνηθες είναι μετά το αποτέλεσμα να ξανασκέφτεται όλα τα δεδομένα για να αποφασίσει, δηλαδή δεν στηρίζεται μονό σ’ αυτή την ενέργεια, εκτός κι αν εξαναγκάζεται με τη βία να το κάνει. Ουσιαστικά ζυγίζει στο μυαλό του όλα τα στοιχεία υπέρ της α ή της β λύσης και τότε αποφασίζει. Η ελευθερία του συνίσταται στη συνειδητή εσωτερική διεργασία, γεγονός που οι μέχρι τώρα επιστημονικές έρευνες, ακόμη, δεν έχουν κατορθώσει να ερμηνεύσουν.

η έννοια της πολυπλοκότητας ορισμός και ανάλυση

Η έννοια της πολυπλοκότητας ορισμός και ανάλυση Στο λεξικό αρχιτεκτονικών όρων Αρχιτεκτονική ο όρος της πολυπλοκότητας ορίζεται ως εξής: πολυπλοκότητα, η [αγγλ. complexity] (ψηφ. τεχν.) σύμφωνα με μια τρέχουσα αντίληψη, η πολυπλοκότητα ενός συστήματος μετριέται από το πλήθος των στοιχείων του και των σχέσεων που έχουν μεταξύ τους. Χαρακτηριστικό των πολύπλοκων συστημάτων είναι η ανάδυση συμπεριφορών, καθώς η διάδραση των στοιχείων τους είναι δυνατό να γίνει με μη-γραμμικό και απρόβλεπτο τρόπο, δίνοντας διαφορετικά κάθε φορά αποτελέσματα, χωρίς να σημαίνει ότι δεν είναι δυνατή η περιγραφή των στοιχείων και η διατύπωση κανόνων που διέπουν τις σχέσεις τους. Με αυτήν την έννοια, δεν μπορεί να διαπιστωθεί μια ενιαία και σταθερή στο χρόνο ταυτότητα του συνόλου, ούτε η ταυτότητα να διαπιστωθεί από την απλή θεώρηση της ταυτότητας των επιμέρους στοιχείων. Το σύνολο παρουσιάζεται ως πολλαπλότητα και τα στοιχεία ως μοναδικότητες, που συγκροτούνται από τα ίδια χαρακτηριστικά τους και από τις πολλαπλές διασυνδέσεις τους με άλλα στοιχεία του συστήματος. Οι θεωρήσεις της πολυπλοκότητας τροφοδοτούν τόσο τη συγκρότηση της έννοιας της πολλαπλής πόλης, όσο και τις απόψεις που επεξεργάζονται τη δυνατότητα παραγωγής πληθυσμών αρχιτεκτονικών επιλύσεων μέσα από τη συγκρότηση ενός σώματος παραμετρικών ή και διαδραστικών οντοτήτων και των σχέσεων τους.11 Η πολυπλοκότητα αντιπροσωπεύει την κατασκευαστική συνθετότητα, πληροφορίες σχετικά με το πως ένα σύστημα λειτουργεί αλλά και το πως είναι φτιαγμένο. Φυσικά, όταν αναφέρουμε τη λέξη σύστημα δεν εννοούμε απαραίτητα κάποιο μαθηματικό μοντέλο, αλλά ένα σύνολο φτιαγμένο από παραμέτρους, όπως θα ήταν κι ένα κτήριο. Ο McAdams στο άρθρο του αναφέρει πως στο λεξικό ο ορισμός του όρου “Complex” είναι αυτό που αποτελείται από διασυνδεδεμένα ή συνυφασμένα τμήματα. Αν τα στοιχεία, λοιπόν, είναι συνδεδεμένα το ένα με το άλλο, αυτό θα το χαρακτηρίζαμε ως ένα σύστημα12 . Ένα χαρακτηριστικό όλων των πολύπλοκων συστημάτων είναι η χαοτική φύση τους. Χάος στο ευρύ κοινό, θεωρείται συνώνυμη έννοια με το τυχαίο και την αταξία. Αν αυτό ήταν αλήθεια τότε θα υπήρχε ελάχιστη βάση για να μελετηθεί από μαθηματικούς, φυσικούς και άλλους.13 Οτιδήποτε μπορεί να αλλάξει από μια δεδομένη κατάσταση είναι μεταβλητό, μια οντότητα που

11. Δημήτρης Παπαλεξόπουλος στο Χαράλαμπος Μπούρας και Δημήτρης Φιλιππίδης, Αρχιτεκτονική, εκδοτικός οίκος Μέλισσα, Αθήνα, 2013 12. Michael A. McAdams, Complexity Theory and Urban Planning, Fatih University, Κωνσταντινούπολη, Τουρκία, Μάιος 2008 13 McAdams ibid.

η έννοια της πολυπλοκότητας ορισμός και ανάλυση

μεταβάλλεται με το χρόνο ορίζεται ως σύστημα. Σύστημα είναι το ανθρώπινο σώμα, ένα σχολείο, μια επιδημία. Η εσωτερική πολυπλοκότητα ενός συστήματος είναι ανεξάρτητη του αν ένα σύστημα φαίνεται απλό ή όχι. Κάτι το οποίο είναι άδειο, που δεν περιέχει καμία κατασκευαστική πληροφορία, είναι απλό και όχι πολύπλοκο. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει πως ένα πολύπλοκο σύστημα πρέπει να “φαίνεται” και πολύπλοκο, γι’ αυτό γίνεται λόγος για “εσωτερική πολυπλοκότητα”. Στόχος της πολυπλοκότητας είναι να δώσει την πιο απλή και εύκολη λύση, η οποία απαντά ικανοποιητικά σε όλες τις παραμέτρους. Έτσι κι ένα σύστημα δεν θα μπορούσε να υπάρξει χωρίς τον επαρκή βαθμό εσωτερικής πολυπλοκότητας που θα του επιτρέπει να λειτουργεί. Σύμφωνα με τον Ν. Σαλίνγκαρο, το να κρύβει κανείς την εσωτερική πολυπλοκότητα ενός συστήματος συνιστά στο να μην είναι ειλικρινής σχετικά με το σχεδιασμό, αν και αναγνωρίζει πως συνήθως η οπτική πληροφορία ενός τεχνητού αντικειμένου παραμένει λιγοστή για στιλιστικούς λόγους. Καθώς, λοιπόν, οι αρχιτέκτονες συχνά δίνουν περισσότερη έμφαση στο οπτικό αποτέλεσμα δημιουργείται μια σύγχυση σχετικά με το φαίνεσθαι και την ουσία του αποτελέσματος, γεγονός το οποίο αποπροσανατολίζει πολλές συζητήσεις περί πολυπλοκότητας στην αρχιτεκτονική. Στο σημείο αυτό, νομίζω είναι σωστό να κάνουμε μια διάκριση ανάμεσα τις έννοιες του πολύπλοκου και περίπλοκου. Μπορεί η σημασία τους να είναι πολύ κοντινή, αλλά η πολυπλοκότητα για την οποία μιλάμε εδώ δεν συνδέεται με την περιπλοκότητα. Κάτι το οποίο είναι περίπλοκο (αρχ. Περί + πλέκω) είναι κάτι που έχει προκύψει από μια συμπλοκή πραγμάτων, ένα ανακάτεμα. Εν αντιθέσει, όταν αναφερόμαστε σε κάτι το οποίο είναι αμιγώς πολύπλοκο (αρχ. Πολύ + πλοκή), αναφερόμαστε στη μη απλότητά του και τη σύνθετη δομή του. Άρα μπορεί ένα πολύπλοκο σύστημα να είναι περίπλοκο, αλλά η αναλογία αυτή δεν λειτουργεί και αντιστρόφως.

Εικ. 3 Η έννοια της εντροπίας. Όσο περισσότερο αυξάνεται η εντροπία, τόσο περισότερο αυξάνεται η αταξία ενός συστήματος και η τυχαιότητα.

η έννοια της πολυπλοκότητας ορισμός της πολυπλοκότητας στη φυσική

ορισμός της πολυπλοκότητας στη φυσική Οι ορισμοί της θεωρίας της πολυπλοκότητας, όπως και του χάους, είναι ποικίλοι και αλλάζουν και ανάλογα στην ειδικότητα στην οποία αναφερόμαστε. Μπορεί φαινομενικά αυτές οι δύο θεωρίες να μην συνδέονται, αλλά στην πραγματικότητα η θεωρία του χάους δεν είναι παρά ένα παρακλάδι που υπάγεται στην θεωρία της πολυπλοκότητας και προσπαθεί να την εξηγήσει. Θα μπορούσε να πει κανείς πως η πολυπλοκότητα είναι πολύ πιο δύσκολο να οριστεί και να αποσαφηνισθεί απ’ ότι είναι η θεωρία του χάους. Προκύπτει από τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, ο οποίος λέει ότι σε ένα σύστημα με το πέρασμα του χρόνου η εντροπία13 μπορεί μόνο να αυξηθεί. Δηλαδή, η εντροπία είναι το μέτρο αταξίας του συστήματος. Όσο αυξάνει η εντροπία σε ένα σύστημα, αυξάνει και ο βαθμός αταξίας, όπως και οι βαθμοί ελευθερίας του15 . Αυτό ισχύει σε όλα τα συστήματα, που σημαίνει ότι με τη μεταβολή του χρόνου το σύστημα τείνει σε μεγαλύτερη αταξία (χάος) και για να ανατραπεί αυτή η κατάσταση χρειάζεται παραγωγή έργου, ενέργεια δηλαδή. Για παράδειγμα, ένας λόχος στρατιωτών αν είναι στοιχισμένος και έχει συντονισμένο βηματισμό έχει πολύ μικρότερη εντροπία, απ’ ότι όταν οι στρατιώτες είναι διασκορπισμένοι στο στρατόπεδο. Για να επανέλθει η τάξη πρέπει να τους ειδοποιήσει ο υπεύθυνος και κατ’ επέκταση να καταναλωθεί έργο. Τα πολύπλοκα συστήματα δεν παραμένουν για πάντα ασταθή. Υπάρχει ένας σημείο στο οποίο τελικά κατασταλάζουν. Τα σημεία αυτά ονομάζονται ελκυστές (attractors) και ουσιαστικά υποδεικνύουν την κατάσταση ισορροπίας του συστήματος. Υπάρχουν κάποιοι ελκυστές, οι οποίοι ονομάζονται «παράξενοι ελκυστές» (strange attractors) και αναφέρθηκαν πρώτη φορά από τον David Ruelle16 τη δεκαετία του 1970, όταν παρουσίασε τις αναταράξεις των ρευστών ως χαοτική συμπεριφορά. Οι συγκεκριμένοι παράξενοι ελκυστές που παρουσιάστηκαν από τον Ruelle είναι fractals, ένα όρος που θα αναλύσουμε σε επόμενο κεφάλαιο. Ο πιο γνωστός παράξενος ελκυστής πάντως, είναι ο ελκυστής Lorenz, ο οποίος πήρε το όνομά του από τον Edward Norton Lorenz που τον ανακάλυψε. Ένα γνωστό παράδειγμα πολύπλοκου συστήματος είναι η κοινωνία, η οποία αποτελείται από πολλά αυτόνομα συστατικά, κυρίως ανθρώπους, που δρουν σε τοπικό επίπεδο. Η εκάστοτε κατάσταση της κοινωνίας είναι η παγκόσμια δομή. Κάθε άτομο και συστατικό αντιδρά στην εκάστοτε κατάσταση και συμβάλει στην δημιουργία της νέας κατάστασης της κοινωνίας, η οποία είναι πλέον η τρέχουσα κατάσταση στην οποία πάλι τα μέρη του συστήματος αντιδρούν και ούτω καθεξής. Παραδείγματα άλλων πολύπλοκων συστημάτων αποτελούν ο καιρός, η οικονομία, το διαδίκτυο και πολλά ακόμα φαινόμενα στη φύση όπως το ανοσοποιητικό σύστημα, ο εγκέφαλος, η εξέλιξη κ.α. . Ένα από τα πιο πολύπλοκα συστήματα είναι η ανάπτυξη του ανθρώπου. Πώς από ένα και

14. Η εντροπία είναι η έννοια μέσω της οποίας μετράται η αταξία, της οποίας η μέγιστη τιμή αντικατοπτρίζει την πλήρη αποδιοργάνωση (ομογενοποίηση των πάντων) και ισοδυναμεί με την παύση της ζωής ή αλλιώς της εξέλιξης. Σε μια τέτοια κατάσταση δεν υπάρχει καμία διαδικασία και δε βρίσκεται «σε λήθαργο» (κρυμμένη) κανενός είδους πληροφορία που να επιτρέπει την εξέλιξη (ή τη ζωή) αν με κάποιο τρόπο γίνει εκ νέου παροχή μόνο ενέργειας. Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/ Entropy 15. Ilya Prigogine, From Being to Becoming: Time and complexity in the physical sciences, W H Freeman & Co, ΗΠΑ, Μάρτιος, 1981 16. Ο David Pierre Ruelle είναι ένας μαθηματικός Γαλλικής και Βέλγικης καταγωγής, που επικεντρώθηκε σε μαθηματικές θεωρίες, οι οποίες βρίσκουν εφαρμογή στη φυσική. Ασχολήθηκε με τη στατιστική φυσική και τα δυναμικά συστήματα.

Εικ. 4 Ρεαλιστική αναπαράσταση παράξενου ελκυστή

η έννοια της πολυπλοκότητας ορισμός της πολυπλοκότητας στη φυσική

μόνο κύτταρο εξελίσσεται ένα ολοκληρωμένο και τέλειο δίκτυο κυττάρων και λειτουργιών, ο άνθρωπος. Ένα πολύπλοκο σύστημα αποτελείται από πολλά ανεξάρτητα στοιχεία. Αυτά τα συστατικά αλληλοεπιδρούν σε τοπικό επίπεδο ενώ, η συνολική συμπεριφορά είναι ανεξάρτητη από την εσωτερική δομή των μερών του. Ακόμη, η συνολική συμπεριφορά του συστήματος είναι σαφώς καθορισμένη. Τα ανεξάρτητα στοιχεία από τα οποία αποτελείται το σύστημα είναι πολλά σε αριθμό και ο όρος ανεξάρτητα έχει τη σημασία του. Ουσιαστικά ένα πολύπλοκο σύστημα δεν είναι ένα σύστημα φτιαγμένο από επιμέρους κομμάτια. Είναι ένα όλον φτιαγμένο από άλλες ολότητες (a whole built up of other wholes). Άρα με τη σειρά τους κι αυτά τα ανεξάρτητα στοιχεία μπορούν να είναι επίσης πολύπλοκα συστήματα. Για παράδειγμα το οικοσύστημα που είναι ένα πολύπλοκο σύστημα αποτελείται από ζώα, φυτά, κύτταρα κ.ο.κ. . Η θεωρία της πολυπλοκότητας και τα πολύπλοκα συστήματα μελετώνται από πολλές επιστήμες. Η θεωρία αυτή βρίσκει εφαρμογή στα κυτταρικά αυτόματα, στην φρακταλική γεωμετρία, στην τεχνητή νοημοσύνη, στα νευρωνικά δίκτυα17 . Ακόμα, βρίσκει εφαρμογή στην κβαντική φυσική χωρίς να απορρίπτει προηγούμενες μεθόδους. Για παράδειγμα όσοι ασχολούνται με την θεωρία πολύπλοκων συστημάτων χρησιμοποιούν ακόμα σημαντικό μέρος της στατιστικής και άλλων μαθηματικών για την ανάλυσή τους.

17. Νευρωνικό δίκτυο ονομάζεται ένα κύκλωμα διασυνδεδεμένων νευρώνων. Στην περίπτωση βιολογικών νευρώνων, πρόκειται για ένα τμήμα νευρικού ιστού. Στην περίπτωση τεχνητών νευρώνων, πρόκειται για ένα αφηρημένο αλγοριθμικό κατασκεύασμα το οποίο εμπίπτει στον τομέα της υπολογιστικής νοημοσύνης, όταν στόχος του νευρωνικού δικτύου είναι η επίλυση κάποιου υπολογιστικού προβλήματος, ή της υπολογιστικής νευροεπιστήμης, όταν στόχος είναι η υπολογιστική προσομοίωση της λειτουργίας των βιολογικών νευρωνικών δικτύων με βάση κάποιο μαθηματικό μοντέλο τους.

η έννοια της πολυπλοκότητας μετρήσιμη πολυπλοκότητα και ο ρόλος της

μετρήσιμη πολυπλοκότητα και ο ρόλος της Με λίγα λόγια όπως αναφέραμε και νωρίτερα για τη θεωρία του χάους, τα πολύπλοκα συστήματα είναι μη-γραμμικά, ντετερμινιστικά, δυναμικά, και κινούνται ανάμεσα σε τάξη και αταξία (δίπολο order – disorder). Στο άρθρο του στο Oz journal ο Ν. Σαλίνγκαρος αναφέρει πως ένα χρήσιμο εργαλείο για να μετρήσει κανείς την πολυπλοκότητα ενός συστήματος είναι η Kolmogorov-Chaitin πολυπλοκότητα, δηλαδή πόσες λέξεις χρειάζονται για μια σχετικά ακριβή περιγραφή. Για παράδειγμα ένα μονόχρωμο φόντο στην οθόνη του υπολογιστή έχει μηδενική πολυπλοκότητα, αφού όλα τα pixel της οθόνης μπορούν να περιγραφούν από μια και μόνο λέξη, το χρώμα τους18 . Ο ίδιος χρησιμοποιεί αυτή τη μέθοδο στα μαθήματά του, όπου σαν άσκηση ζητά από τους φοιτητές του να περιγράψουν το αγαπημένο τους κτήριο με τα απολύτως απαραίτητα δομικά στοιχεία για να κατανοήσει κανείς τη μορφή του. Έτσι οι περιγραφές φτάνουν από μια έως τέσσερις σελίδες, αναλόγως το κτήριο. Μετρώντας οι φοιτητές τις λέξεις που έγραψαν για την περιγραφή, υπολογίζουν ταυτόχρονα το βαθμό πολυπλοκότητας του κτηρίου που έχουν διαλέξει. Προφανώς, μινιμαλιστικά κτήρια θα είχαν μικρότερο βαθμό πολυπλοκότητας, αφού θα είχαν πολύ σύντομη περιγραφή, ενώ πολύπλοκα κτήρια θα χρειάζονταν περισσότερη περιγραφή και άρα μεγαλύτερο αριθμό λέξεων. Είναι σαφές ότι αυτό είναι ένα πείραμα για να κατανοήσει κανείς το βαθμό της πολυπλοκότητας και πως μπορεί να γίνει μετρήσιμος. Δεν είναι τόσο απλό να προσεγγίσουμε την πολυπλοκότητα ενός κτηρίου, απλώς περιγράφοντας τι βλέπουμε απ’ έξω. 18. Nikos A. Salingaros, Complexity in Architecture and Design, Oz journal, τεύχος 36, Μάιος, 2014, σελ. 18-25

Ένα μακροχρόνιο αίνιγμα σχετικά με την πολυπλοκότητα είναι τα δυο είδη πολυπλοκότητας που υπάρχουν. Υπάρχει η οργανωμένη πολυπλοκότητα (organized complexity) και η ανοργάνωτη πολυπλοκότητα (disorganized complexity). Είναι σαφές ότι η δεύτερη σχετίζεται με την τυχαιότητα και με την έννοια του πολύπλοκου που όμως δεν παρουσιάζει κάποια μοτίβα ή κάποια δυνητική κατάσταση σταθεροποίησης. Και οι δύο αυτές μορφές της πολυπλοκότητας αν τις μετρούσαμε με τον κανόνα Kolmogorov-Chaitin θα βρίσκαμε ότι και οι δύο εμφανίζουν υψηλό αριθμό λέξεων και άρα υψηλό αριθμό πολυπλοκότητας, αλλά έχουν εντελώς διαφορετική εσωτερική μαθηματική δομή. Λογικά καταλαβαίνει κανείς ότι η οργανωμένη πολυπλοκότητα σχετίζεται άμεσα και εκφράζεται με τη θεωρία του χάους, ενώ η ανοργάνωτη πολυπλοκότητα δεν μπορεί να προβλεφθεί ή να αναλυθεί με, γνωστές τουλάχιστον, μαθηματικές μεθόδους.

η έννοια της πολυπλοκότητας μετρήσιμη πολυπλοκότητα και ο ρόλος της

Τι σχέση, όμως, μπορεί να έχουν τα δυο είδη πολυπλοκότητας με την αρχιτεκτονική και στο σχεδιασμό και ποιο από τα δύο μας αφορά; Η πληροφορία που μας ενδιαφέρει στην πραγματικότητα για να κάνουμε αυτή την διάκριση είναι ότι η οργανωμένη πολυπλοκότητα προκαλεί μια αρμονική αντίδραση στον ανθρώπινο εγκέφαλο, σε αντίθεση με την ανοργάνωτη πολυπλοκότητα, η οποία γίνεται αντιληπτή ως κάτι το εντελώς τυχαίο. Μόνο η πρώτη δημιουργεί μια συναισθηματικά εύφορη κατάσταση, ενώ αντίθετα η αίσθηση τυχαιότητας αυξάνει το άγχος και την αγωνία. Γι’ αυτό το λόγο ένας αρχιτέκτονας πρέπει να αντιλαμβάνεται την πολυπλοκότητα, να την επεξεργάζεται συνειδητά και να είναι ικανός να χειρίζεται την πολυπλοκότητα που αποκαλύπτεται κατά τη διάρκεια του σχεδιασμού ως ακόμα ένα σχεδιαστικό εργαλείο. Δεν έχει νόημα πλέον να χρησιμοποιούμε την έννοια της πολυπλοκότητας ως μια μεταφορική έννοια αποκομμένη από την πραγματικότητα, μια εννοιολογική τυχαιότητα η οποία δεν είναι διαχειρίσιμη.

Εικ. 5 Λεξικές περιγραφές της πολυπλοκότητας. Αριστερά: “ένας κύκλος με διάμετρο 1 στο κέντρο”. Δεξιά: “Ένας κύκλος με διάμετρο 1 με κέντρο στο σημείο α, ένας κύκλος με διάμερεο1 με κέντρο στο σημείο β, ένας κύκλος με διάμετρο 1 με κέντρο στο σημείο γ, ....”

η έννοια της πολυπλοκότητας μετρήσιμη πολυπλοκότητα και ο ρόλος της

19. Ο Joseph Amadee Goguen ήταν καθηγητής πληροφορικής στο πανεπιστήμιο University of California, San Diego, USA και βοήθησε στην ανάπτυξη της γλώσσας προγραμματισμού OBJ. Επίσης συνεισέφερε στον τομέα της ασαφής λογικής (Fuzzy logic) 20. Joseph Goguen, The logic of inexact concepts, Synthese, Τεύχος 19, Νούμερο 3-4, 1969, σελ. 325373 21. McAdams, ibid.

Ο Joseph Goguen19 είπε πολύ εύστοχα πως είναι σχεδόν αδύνατη η ακριβής περιγραφή κάθε πραγματικής φυσικής κατάστασης. Άρα το ζητούμενο σε κάθε περιγραφή που είναι αναγκαία για οποιαδήποτε ανθρώπινη δραστηριότητα είναι να μειωθεί το επίπεδο της ασάφειας μέχρι το σημείο εκείνο που θα είναι μικρής σημασίας και δεν θα εμποδίζει την περιγραφή. Πρέπει να ισορροπήσουμε τις ανάγκες για την ακρίβεια και την απλότητα και να μειώσουμε την πολυπλοκότητα χωρίς υπεραπλούστευση, ώστε να ταιριάζει το επίπεδο της λεπτομέρειας με το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε σε κάθε βήμα του. Η ανακρίβεια της περιγραφής δεν είναι μειονέκτημα, αλλά αντιθέτως, είναι μια ευλογία εφόσον επαρκείς πληροφορίες μπορούν να μεταφέρονται με λιγότερη προσπάθεια. Την αόριστη περιγραφή την θυμόμαστε επίσης ευκολότερα. Δηλαδή, η ανακρίβεια βοηθάει στην αποτελεσματικότητα.20 Άρα και στην αρχιτεκτονική είναι δυνατόν να μειώσουμε την πολυπλοκότητα στο σημείο που εξυπηρετεί το σκοπό της και βοηθάει στην επαρκή επίλυση των εκάστοτε παραμέτρων. Εν γένει τα επιστημονικά ρεύματα ορίζουν και ορίζονται από την εποχή που «γεννιούνται» και με τη σειρά τους επηρεάζουν ή δημιουργούν τόπο για τη γέννηση καινούργιων κινημάτων. Έτσι τοποθετούνται και τα διάφορα αρχιτεκτονικά ρεύματα μέσα σ’ αυτό το πλαίσιο επιστημονικού εκσυγχρονισμού και έχει ενδιαφέρον να δούμε με ποιους τρόπους σχετίζονται, συγκρούονται ή ταυτίζονται τα επιστημονικά ρεύματα με την αρχιτεκτονική. Προσφέρουν μια διαφορετική οπτική γωνία για το σχεδιασμό, αλλά και για την αξιολόγηση της αρχιτεκτονικής με μετρήσιμους όρους. Όπως ο φορντισμός, ο ρασιοναλισμός και η νευτώνεια φυσική συνδέονται με το μοντέρνο κίνημα, κατ’ ανάλογο τρόπο οι θεωρίες της πολυπλοκότητας και του χάους μπορούν να συνδεθούν με τον μεταμοντερνισμό ή και τη σύγχρονη πρακτική της αρχιτεκτονικής. Υπό αυτή την έννοια, όπως το μοντέρνο ήρθε σε ρήξη με την αναγεννησιακή λογική και το νεοκλασικό, έτσι και αυτές οι θεωρίες έρχονται σε σύγκρουση με τις ιδέες που κυριαρχούσαν τον 19ο και 20ο αιώνα.21

πολυπλοκότητα και αρχιτεκτονική θεωρητικές προσεγγίσεις

Πολυπλοκότητα και αρχιτεκτονική θεωρητικές προσεγγίσεις Η γραμματική της «ανάδυσης» προκαλεί συνεχώς. Ποικίλει από άκομψες φούσκες σε κομψότατες κυμματομορφές, από ακανόνιστα φράκταλς σε απρόσωπα datascapes.22 Αμφισβητεί τις παλιές γλώσσες του κλασικισμού και του μοντερνισμού με την ιδέα ότι μια νέα αστική δομή είναι δυνατή, μια δομή πιο κοντά στα πολυποίκιλα φυσικά μοτίβα. Μπορεί κάποιος να μην συμφωνεί αρχικά και να διατηρεί μια κριτική στάση απέναντι στις ελλείψεις της, αλλά σε δεύτερη ματιά μπορεί να αποδειχθεί πιο ενδιαφέρουσα, περισσότερο σε αρμονία με την αντίληψη της αδιάκοπης επανάληψης υποστυλωμάτων και υαλοπετασμάτων.23 Στόχος του μοντέρνου κινήματος ήταν να συστηματοποιήσει τη διαδικασία παραγωγής και να απλουστεύσει την πολυπλοκότητα του δομημένου περιβάλλοντος δημιουργώντας βασικούς λειτουργικούς κανόνες. Ένα σύστημα τυπολογιών και προτύπων που θα είναι εφαρμόσιμο παντού. Η αφαίρεση του περιττού και του διακοσμητικού οδήγησε στο less is more του Mies Van der Rohe και στην γεωμετρική αφαίρεση της μορφής. Όπως προαναφέρθηκε το μοντέρνο κίνημα συμβάδιζε με τις τεχνολογικές εξελίξεις της εποχής, τον φορντισμό, το ρασιοναλισμό που προωθούσαν την τυποποίηση και την κυριαρχία της λειτουργίας. Με την εξέλιξη, όμως, της μαθηματικής επιστήμης, τις νέες ανακαλύψεις της θεωρίας του χάους, της φρακταλικής γεωμετρία, δημιουργήθηκαν νέα δεδομένα τόσο για την εξέλιξη των επιστημών, όσο και για την ερμηνεία του φυσικού κόσμου. Ακόμα άλλαξαν, όπως ήταν φυσικό, οι δομές των πόλεων και του τρόπου ζωής με αποτέλεσμα η μέχρι τότε ισχύουσα πρακτική να μοιάζει για κάποιους «φτωχή» για να εξυπηρετήσει τις ανάγκες της εποχής. Κάποιοι μεταμοντέρνοι άσκησαν κριτική στην πρακτική του μοντέρνου και προσπάθησαν να επενδύσουν στην θεωρία της πολυπλοκότητας με σκοπό να αναπτύξουν μια νέα μέθοδο σχεδιασμού και θεώρησης των πραγμάτων. Ο Robert Venturi μίλησε γι’ αυτά τα ζητήματα, εκφράζοντας την άποψη ότι οι ανάγκες του προγράμματος, των τεχνολογικών μέσων και της έκφρασης ακόμη και σε απλά κτήρια που βρίσκονται σε απλό περιβάλλον είναι ποικίλες και αλληλοσυγκρουόμενες, σε βαθμό που παλιότερα δεν μπορούσε να αντιληφθεί κανείς. O Venturi πιστεύει

22. Ο όρος datascape έχει οριστεί με διάφορους τρόπους, αλλά όλοι οι ορισμοί φαίνεται να μεταφέρουν ένα παρόμοιο νόημα. Ο Brett Steele περιγράφει τα datascapes ως «οπτικές αναπαραστάσεις όλων των ποσοτικοποιημένων¬ δυνάμεων, οι οποίες μπορεί να έχουν επίδραση στο έργο του αρχιτέκτονα ή ακόμη είναι σε θέση να προσδιορίσουν τις ενέργειές του και να τις κατευθύνουν». Ο James Corner αποκαλεί τα datascapes ως “απεικονίσεις εποικοδομητικές που¬¬ υποδηλώνουν νέες χωρικές διαμορφώσεις ... «αντικειμενικά» συγκροτημένες (από αριθμούς, ποσοτικά δεδομένα, γεγονότα, και καθαρά δεδομένα) ώστε να έχουν μεγάλη δύναμη πειθούς στους γραφειοκρατικούς και διαχειριστικούς χάρτες του συμβατικού σχεδιασμού, αφού αναπαριστούν δεδομένα με επιλεκτικά γνωστούς τρόπους. Έχουν σχεδιαστεί όχι μόνο για να αποκαλύψουν τις χωρικές επιπτώσεις των διαφόρων διαμορφώσεων (π.χ., ρυθμιστικών, τον καθορισμό ζωνών, νομικών, οικονομικών και υλικοτεχνικών κανόνων και όρων), αλλά επίσης και για την κατασκευή ενός ιδιαιτέρως ζωντανού επιχειρήματος». Οι ορισμοί αυτοί ορίζουν έμμεσα την έννοια του datascape ως τη δημιουργία ενός τοπίου, ή τοπογραφίας μέσω του χειρισμού ποσοτικοποιήσιμων δεδομένων. 23. Charles Jencks, The New Paradigm in Arhitecture, Yale University Press, ΗΠΑ, Αύγουστος, 2001, σελ. 155

πολυπλοκότητα και αρχιτεκτονική θεωρητικές προσεγγίσεις

πως ενώ η κλίμακα του αστικού περιβάλλοντος γίνεται ολοένα και μεγαλύτερη και οι υποδομές και ο περιφερειακός προγραμματισμός αλλάζουν, οι αντιξοότητες για την αρχιτεκτονική και την κλίμακά της αυξάνονται. Καλωσορίζω αυτά τα προβλήματα και εκμεταλλεύομαι τις αβεβαιότητες που φέρνουν. Με την αποδοχή της αντίφασης, καθώς επίσης και της πολυπλοκότητας, στοχεύω στη ζωτικότητα και ταυτόχρονα στην εγκυρότητα .24 Το μοντέρνο κίνημα ίσως αποφάσισε να αντιμετωπίσει την αυξανόμενη πολυπλοκότητα με την παραγκώνισή της πιστεύοντας πως οι βασικοί δομικοί κανόνες θα υπερισχύσουν και θα προσαρμοστούν στο εκάστοτε περιβάλλον. Κάποιοι πιο τολμηροί μεταμοντέρνοι όπως ο Venturi έφτασαν τόσο μακριά ώστε να πουν πως αυτοί που ασπάστηκαν το μοντέρνο και τις καινούργιες λειτουργίες που έφερε το έκαναν σε βάρος του ποικιλόμορφου και του εξελιγμένου. Μάλλον η αλήθεια βρίσκεται κάπου στη μέση. Όπως συμβαίνει και με όλα τα κινήματα, έτσι ήρθε και γι’ αυτό η ώρα να κάνει χώρο για την τεχνολογική και επιστημονική πρόοδο. Είναι αλήθεια ότι οι πρακτικές που σχετίζονται με την πολυπλοκότητα έχουν μεγαλύτερη συνάφεια με τις αντιλήψεις του μεταμοντέρνου για την οργανική πόλη και λιγότερη με την άποψη του LeCorbusier για έναν καθολικό σχεδιασμό ανεξαρτήτως περιβάλλοντος και context. Εντούτοις η στροφή στην πολυπλοκότητα δεν σημαίνει απόρριψη της απλοποίησης. Αντιθέτως, η απλοποίηση είναι στόχος της πολυπλοκότητας και του αποτελεσματικού σχεδιασμού. Η πολυπλοκότητα υπάρχει γύρω μας, δεν την δημιουργούμε. Στόχος μας είναι η βέλτιστη απόδοση των συστημάτων που δημιουργούμε, απλοποιώντας όσο είναι δυνατόν τις μεθόδους και τα συστήματα αυτά μεγιστοποιώντας την απόδοσή τους και ικανοποιώντας όλες τις παραμέτρους. Όλα τα φυσικά πολύπλοκα συστήματα παρουσιάζουν ακριβώς αυτή την ιδιότητα. Απλότητα και αποδοτικότητα της μορφής με στόχο να απαντά με τον καλύτερο δυνατό τρόπο στις πολύπλοκες και πολλαπλές ανάγκες.

24. Robert Venturi, Complexity and Contradiction in Architecture, The Museum of Modern Art, Νέα Υόρκη, 1977, σελ. 16 25. Christopher Alexander, Sara Ishikawa, Murray Silverstein, A Pattern Language, Oxford University Press, Νέα Υόρκη, 1977

Ένα παράδειγμα που δείχνει πραγματικά αυτή την αντιμετώπιση του πολύπλοκου μέσα από την απλοποίηση είναι τα βιβλία Pattern Language25 του Christopher Alexander. Σ’ αυτή την τριλογία ο Alexander συστηματοποιεί τις διαδικασίες με απώτερο στόχο η πολυπλοκότητα της ζωής να ανάγεται σε ένα σύστημα κανόνων και διαγραμμάτων. Ως αρχιτέκτονας και μαθηματικός, ο Alexander διαμορφώνει ένα σύστημα το οποίο αφορά όλο το φάσμα της διαδικασίας από την αρχική ιδέα στο σχεδιασμό μέχρι την πραγματοποίησή της. Οι αρχιτέκτονες συνηθίζουν άλλωστε τη χρήση διαγραμμάτων, η οποία απλοποιεί συχνά κάποια ζητούμενα που χρήζουν απάντησης. O Salingaros σχολίασε για το βιβλίο Pattern Language ότι ο Alexander καταφέρνει να δείξει πως η αρχιτεκτονική συνδέει τους ανθρώπους με το

πολυπλοκότητα και αρχιτεκτονική θεωρητικές προσεγγίσεις

περιβάλλον τους με άπειρους τρόπους, οι περισσότεροι εκ των οποίων είναι στο υποσυνείδητο μας. Για το λόγο αυτό, είναι σημαντικό να καταλάβουμε τι δουλεύει πραγματικά, τι αισθανόμαστε ευχάριστο, τι μας τρέφει ψυχολογικά, τι προσελκύει παρά απωθεί. Οι γνώσεις αυτές, που υπήρχαν σε ένα μεγάλο μέρος στην παραδοσιακή αρχιτεκτονική, αντλήθηκαν από τον Alexander και συντίθενται εκ νέου υπό μια νέα σκοπιά στο Pattern Language. Ο Alexander στη μακρά ερευνητική πορεία του δεν σταμάτησε σ’ αυτό το βιβλίο. Μέσα από μια έρευνα που διεξήχθη σε βάθος χρόνου 30 χρόνων, εξέτασε παρατηρητές αρχιτεκτονικής με σκοπό να διακρίνει κατά πόσο μπορούν να αντιληφθούν ποια αρχιτεκτονική είναι εκείνη που εμπεριέχει τάξη και πολυπλοκότητα. Σύμφωνα με την έρευνά του σε οποιαδήποτε δύο συστήματα που παρουσιάζονται ως οπτικές εικόνες για τον ίδιο πληθυσμό των παρατηρητών, η συντριπτική πλειοψηφία των παρατηρητών αυτών (άνω του 80%) θα συμφωνήσουν σχετικά με το ποιο από τα δύο συστήματα εμφανίζει μεγαλύτερο βαθμό ζωής26 . Με βάση τα ευρήματα αυτά, ο Alexander καταλήγει στο συμπέρασμα ότι μέσα σε μια ορισμένη «σφαίρα» πολιτισμού, υπάρχουν σχεδόν οικουμενικές αντιλήψεις για την τάξη, οι οποίες αποδεικνύονται από τη διαίσθηση της ζωής που βιώνουν οι παρατηρητές βλέποντας κατασκευές, δομές, χώρους, κτίρια, δρόμους, ή τοπία. Ισχυρίζεται, επίσης, ότι το πείραμα αυτό μπορεί να διεξαχθεί για κάθε χώρο στον οποίο τα αντικείμενα και οι σχέσεις τους μπορούν να παρατηρηθούν. Φαίνεται ότι οι θεωρίες του Alexander μπορούν να χρησιμοποιηθούν με σκοπό να δημιουργηθούν μοντέλα πληροφοριακών συστημάτων που θα παρουσιάζουν «ζωή». Αν η έννοια του κάθε χώρου εκτείνεται πέρα από τη δόμηση φυσικών αντικειμένων στη δόμηση εννοιολογικών τεχνουργημάτων και οι ίδιες αρχές τάξης διέπουν μοντέλα συστημάτων που είναι φτιαγμένα σε έναν ιδεατό τόπο, τότε τα μοντέλα πληροφοριακών συστημάτων διέπονται από τους ίδιους σχετικούς βαθμούς ζωής που παρατηρούμε σε φυσικά κτήρια και στην αρχιτεκτονική γενικότερα. Ίσως είναι πιο δύσκολο να επιβεβαιώσει κανείς αυτόν τον ισχυρισμό, ότι τα μοντέλα αυτά έχουν ζωή , αλλά η θεωρία αυτή βασίζεται στις βασικές αρχές τάξης του Alexander.

26. Όπως έχει αναφερθεί πιο πάνω συστήματα που είναι πολύπλοκα και βρίσκονται σε μια λεπτή ισορροπία τάξης και αταξίας παρουσιάζουν μια συμπεριφορά που προσομοιάζει τη φυσική δραστηριότητα. Με λίγα λόγια είναι οι βασικοί κανόνες που διέπουν τη ζωή την ίδια όπως αυτή γίνεται αντιληπτή από τον φυσικό κόσμο.

πολυπλοκότητα και αρχιτεκτονική διεπιστημονικότητα και μεταφορά εννοιών

διεπιστημονικότητα και μεταφορά εννοιών Καθώς μιλάμε συχνά για διεπιστημονικότητα πλέον και ειδικά στις θεωρίες που αναλύονται εδώ, είναι εύλογο να δανειζόμαστε έννοιες από τα υπόλοιπα επιστημονικά πεδία. Προκύπτει, λοιπόν, το ερώτημα κατά πόσο είναι σωστή η χρήση των εννοιών αυτών στον τομέα της αρχιτεκτονικής και κατά πόσο προσαρμόζεται ή αλλοιώνεται η σημασία τους. Θα μπορούσε να πει κανείς ότι υπάρχουν δύο προσεγγίσεις που είναι εμφανείς μέχρι σήμερα στην αντιμετώπιση του ζητήματος. Η πρώτη προσέγγιση που ακολουθούν συνήθως επιστήμονες, όπως ο Salingaros, είναι η αυτούσια σημασία του όρου χωρίς αλλοιώσεις και παραλείψεις. Συνήθως ασκούν σφοδρή κριτική σε περιπτώσεις παράλειψης ή αλλαγής νοήματος. Η δεύτερη προσέγγιση που συναντάμε συνήθως είναι μια πιο ελεύθερη μετάφραση των εννοιών και όρων με στόχο να προσαρμοστούν καλύτερα στο αντικείμενο, στην περίπτωσή μας στην αρχιτεκτονική. Αυτή την τακτική ακολουθούν αρχιτέκτονες, θεωρητικοί και μη, που δεν προσκολλώνται στην ακριβή ορολογία και την επιστημονικότητα των όρων αλλά χρησιμοποιούν τις έννοιες με μια σχετική ευελιξία προκειμένου αυτοί να υπηρετήσουν το σκοπό τους. Με λίγα λόγια έννοιες όπως χάος, πολυπλοκότητα, ανάδυση, τυχαιότητα, αυτοοργάνωση χρησιμοποιούνται πολλές φορές με μια σχετική ασάφεια, ή παραλείποντας στοιχεία του νοήματος που κανονικά εμπεριέχουν. Η δημιουργία οπτικής εικόνας του περιεχομένου είναι σίγουρα ένας παράγοντας που πάει χέρι-χέρι με την αρχιτεκτονική, κάτι το οποίο συμβαίνει και με της έννοιες αυτές με αποτέλεσμα να μεταφέρεται ένα συγκεκριμένο κομμάτι του νοήματος, συνήθως αυτό που μπορεί να οπτικοποιηθεί στο μυαλό μας. Μάλλον δεν είναι τυχαίο, λοιπόν, διαβάζοντας τις προηγούμενες σελίδες να σχηματίσει κανείς εικόνες για την πολυπλοκότητα μπερδεμένων στοιχείων γραμμών ή με όποιον άλλο τρόπο μπορεί να δημιουργήσει η φαντασία. Ανάλογα και με το χάος μπορεί εύκολα κανείς να συνδέει εικόνες στο μυαλό με το απέραντο σύμπαν, ή μια ατέρμονη δίνη, χωρίς όμως να δίνει σημασία στην φυσική τους έννοια, στον πραγματικό ορισμό αυτών των εννοιών. Αν αποστασιοποιηθεί κανείς από το οπτικό υλικό το οποίο αντανακλαστικά αναπαράγει ο εγκέφαλός μας, ίσως καταστεί πιο εύκολο να διακρίνει τη σύνδεσή των εννοιών με την αρχιτεκτονική και πως μπορούν να μετατραπούν σε σχεδιαστικά εργαλεία με στόχο τη βελτίωση του σχεδιασμού. Στη δεύτερη προσέγγιση εννοιολογικής μεταφοράς εντάσσονται ο Peter Eisenman, ο οποίος βασίζεται στα κείμενα του Derrida, και τη θεωρία καταστροφών του Thom, αλλά και ο Charles Jencks, που χρησιμοποιεί όρους όπως πολυπλοκότητα, ,αυτοοργάνωση και ανάδυση, για να περιγράψει τη νέα στροφή στην αρχιτεκτονική και έργο αρχιτεκτόνων όπως του Eisenman, του Frank Gehry, αλλά και του Libeskind. Στο A New Paradigm in Architecture, ο Jencks απλουστεύει τους όρους αυτούς

ελκυστές

τυχαίο

complexity fractals

entropy

αναδρομικό

CHAOS ανάδυση

ATTRACTORS RECURSIVE emergence 34

random

πολυπλοκότητα

πολυπλοκότητα και αρχιτεκτονική διεπιστημονικότητα και μεταφορά εννοιών

για να περιγράψει το έργο και να το αντιτάξει έναντι του μοντέρνου, το οποίο στα μάτια του δεν έχει καμία σχέση με την πολυπλοκότητα. Με τον τρόπο αυτό, όμως, περιορίζει πολύ τη σημασία των όρων των νέων επιστημών, όπως fractals, emergence, αυτοομοιότητα, καθώς η πολυπλοκότητα δεν αφορά μόνο τη στιλιστική τάση και δεν έχει νόημα η σύγκριση αν υπάρχει πολυπλοκότητα στο μοντέρνο ή όχι, καθώς είναι μια επιστήμη η οποία γεννήθηκε μετά την παγίωση του μοντέρνου και αποτελεί μια τελείως διαφορετική προσέγγιση σχεδιασμού.

27. Nikos A. Salingaros, δοκίμιο New Paradigm Architecture,στο Chaos and Complexity in the Arts and Architecture, Nova Science Publishers, Inc., Νέα Υόρκη, 2007, σελ. 130

Ο Salingaros από την άλλη μεριά που ανήκει στο πρώτο ρεύμα, όντας και μαθηματικός μπορούμε να καταλάβουμε καλύτερα την προσκόλλησή του στην ολοκληρωμένη απόδοση της σημασίας των όρων. Εκείνος πιστεύει πως είναι ψεύτικη αυτή η σχέση επιστήμης και αρχιτεκτονικής. Φαίνεται πως υπάρχει μια βασική σύγχυση στην σύγχρονη αρχιτεκτονική ανάμεσα στις διαδικασίες και στις τελικές εμφανίσεις. Οι επιστήμονες μελετούν το πώς πολύπλοκες μορφές γεννιούνται από διαδικασίες οι οποίες οδηγούνται από ανάπτυξη φράκταλ, ανάδυση, προσαρμοστικότητα και αυτοοργάνωση. Όλα αυτά δρουν για κάποιο λόγο. Ο Jencks και οι αρχιτέκτονες της αποδόμησης από την άλλη, βλέπουν μόνο το τελικό αποτέλεσμα τέτοιων διαδικασιών και απλά βάζουν αυτές τις εικόνες στα κτήριά τους. Όμως αυτό είναι επιπόλαιο και δίχως νόημα. Θα μπορούσαν αντίστοιχα να παίρνουν εικόνες από άλλους κλάδους μιας και αυτή η επιφανειακή εφαρμογή δεν έχει καμία σχέση με την επιστήμη .27 Αυτή η διαφορά απόψεων περί μεταφοράς εννοιών έχει τη σημασία της καθώς η λογική που κρύβει από πίσω φαίνεται τελικά και στο αποτέλεσμα του σχεδιασμού. Θα δώσουμε δύο παραδείγματα που παρουσιάζουν μια διαφορετική λογική αντιμετώπισης της πολυπλοκότητας ως έννοια και πως σχετίζονται με τις δύο προηγούμενες προσεγγίσεις. Το 1985, ο φουτουριστής Yona Friedman εισήγαγε την ιδέα της δημιουργίας μιας πόλης υπερυψωμένη από το έδαφος, στην οποία οι άνθρωποι θα μπορούσαν να δημιουργήσουν το δικό τους χώρο δουλειάς και εργασίας. Αυτή ήταν η ιδέα της Ville Spatiale, με την οποία ο Friedman ήλπιζε να εισαγάγει μια μεθοδική προσέγγιση, που θα δίνει τη δυνατότητα ανάπτυξης των πόλεων, περιορίζοντας όμως τη χρήση γης. Αυτό το οικοδόμημα, πάνω από το επίπεδο του εδάφους, προτάθηκε ως ριζοσπαστική λύση ακόμα και σε υπαρκτά σημεία, τα οποία ήταν δομημένα κανονικά. Με τον τρόπο αυτό ο Friedman έδειχνε πως η ιδέα του είναι ένα πραγματικό πλεονέκτημα, αφού μπορεί κανείς να χτίσει μια πόλη πάνω από μια ήδη υπάρχουσα, αφήνοντας την ιστορική κληρονομιά και την παραδοσιακή πόλη ανέπαφη. Έτσι, η πόλη θα μπορούσε να συνεχίσει να αναπτύσσεται χωρίς να επεκτείνεται προς τα έξω. Ο Friedman εκτός από το οικοδόμημα αυτό, σχεδίασε μεθόδους επιλογής των μελλοντικών κατοίκων για το πώς θα μπορούν

πολυπλοκότητα και αρχιτεκτονική διεπιστημονικότητα και μεταφορά εννοιών

Εικ. 6 Μελέτη για τη Ville Spatiale πάνω από το κέντρο Pompidou στο Παρίσι. Απο τον Yona Friedman.

28. Salingaros, ibid. σελ. 130

να κατοικήσουν την πόλη αυτή με τον δικό τους τρόπο στο χώρο που θα επιλέξουν. Το σύστημα της Ville Spatiale συνδύαζε πολλές από τις αρχές του Yona Friedman, καθώς προσέφερε ευελιξία στην κατοίκηση με στόχο την ελευθερία της επιλογής του ατόμου, την ευέλικτη και πολυεπίπεδη χρήση του χώρου στις πόλεις, και την ευκαιρία στους κατοίκους να δώσουν οι ίδιοι νόημα στο περιβάλλον τους. Με λίγα λόγια, μέσα από τη Ville Spatiale, ο Friedman προσπάθησε να αντιμετωπίσει την πολυπλοκότητα της ζωής στην πόλη μετά την αστικοποίηση αλλά χωρίς να καταπατάται το δικαίωμα της προσωπικής έκφρασης του ατόμου στον συλλογικό χώρο, καθώς και την αυξανόμενη ανάγκη για κατοικία, ειδικά σε μια μητρόπολη όπως το Παρίσι που είναι πολύ σφιχτά χτισμένη χωρίς να δίνει πολλά περιθώρια για το καινούργιο. Το μοντέλο αυτό μπορούμε να ισχυριστούμε ότι είναι μια πρώιμη προσπάθεια αυτοοργάνωσης στον κοινωνικό συλλογικό χώρο, αγκαλιάζοντας όλα τα προβλήματα της εσωτερικής πολυπλοκότητας που αυτός θέτει. Από την άλλη ο Charles Jencks στο βιβλίο του A New Paradigm in Architecture, παρότι μιλάει για την πολυπλοκότητα που διακρίνει στη σχολή της αποδόμησης όπως αναφέρθηκε πιο πάνω για τον Eisenman, τον Gehry και τον Libeskind, παραμένει αυστηρά θα λέγαμε στην μορφολογική πολυπλοκότητα χωρίς να επεξεργάζεται κατά πόσο οι δομές αυτές εμπεριέχουν εσωτερική πολυπλοκότητα και αν αυτή έχει ληφθεί υπόψιν στη διαδικασία του σχεδιασμού των κτηρίων. Ο Jencks πιστεύει πως η πολυπλοκότητα είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την αρχιτεκτονική μορφή και ότι αυτό από μόνο του είναι ικανή συνθήκη να δώσει το νέο παράδειγμα για την αρχιτεκτονική, όμως η πολυπλοκότητα έχει σίγουρα πολύ περισσότερες εκφάνσεις από το μορφολογικό αποτέλεσμα και δεν είναι αυτό ικανό από μόνο του να χαρακτηρίσει ένα κτήριο πολύπλοκο ή όχι, ενώ σίγουρα δεν θα έπρεπε αυτή η αναζήτηση να σταματάει στο επίπεδο του ορατού, αλλά να επεκτείνεται και στο επίπεδο της δομής. Ο Saligaros δε που κατακρίνει τον Jencks για το βιβλίο του A New Paradigm In Architecture υποστηρίζει πως ο δεύτερος κάνει κακή χρήση του όρου fractal και τον χρησιμοποιεί λάθος ως ανάλογο του όρου «σπασμένος», ενώ προφανώς δεν έχει κατανοήσει την κεντρική ιδέα του όρου, η οποία είναι η αναδρομικότητα που παράγει μια ιεραρχία εσωτερικών συνδέσεων .28

χαος και αρχιτεκτονική θεωρητικές προσεγγίσεις

Χάος και αρχιτεκτονική Η θεωρίες της πολυπλοκότητας και του χάους προσφέρουν ένα θεωρητικό υπόβαθρο για μια νέα κατεύθυνση σχεδιασμού, οι οποίες όμως πρέπει να βρουν εφαρμογή με συγκεκριμένες μεθόδους σε ένα πρακτικό πλαίσιο. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναλύσουμε ποια είναι αυτά τα εργαλεία τα οποία γεννιούνται μέσα από τη θεωρία του χάους και είναι ικανά να δώσουν απαντήσεις στην αυξανόμενη πολυπλοκότητα στα στάδια του σχεδιασμού. Η φρακταλική γεωμετρία θα σε κάνει να δεις τα πάντα διαφορετικά. Υπάρχει κίνδυνος αν διαβάσεις παρακάτω. Διακινδυνεύεις να χάσεις την παιδική σου άποψη των σύννεφων, των δασών, των γαλαξιών, των φύλλων, των φτερών, των λουλουδιών, των βράχων, των βουνών, των χειμάρρων, του εδάφους, των τούβλων, και πολλών άλλων. Ποτέ ξανά η ερμηνεία σου γι’ αυτά τα αντικείμενα δεν θα είναι ίδια. 29

fractals Το 1982 ο γαλλο-αμερικάνος μαθηματικός Benoît Mandelbrot εξέδωσε το βιβλίο The fractal Geometry of Nature, στο οποίο παρουσίασε ολοκληρωμένα για πρώτη φορά ένα καινούργιο κεφάλαιο στην επιστήμη των μαθηματικών, τα fractals. Τα fractals είναι ένα σύνολο πολύπλοκων γεωμετρικών μορφών που συνίσταται από επαναλαμβανόμενα μοτίβα. Διαφέρουν από τα απλά σχήματα της κλασικής ή ευκλείδειας γεωμετρίας [το τετράγωνο, τον κύκλο, την σφαίρα κ.λπ.]. Μπορούν να περιγράψουν πολλά αντικείμενα με ακανόνιστη μορφή ή χωρικά ανόμοια φαινόμενα στην φύση, τα οποία δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν με την ευκλείδεια γεωμετρία. Ο όρος fractal προέρχεται από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος, τού οποίου οι διαστάσεις δεν περιγράφονται με ακέραιο αριθμό. I coined fractal from the Latin adjective fractus. The corresponding Latin verb frangere means ‘to break’ to create irregular fragments. It is therefore sensible – and how appropriate for our needs!- that, in addition to ‘fragmented’, fractus should also mean ‘irregular’, both meanings being preserved in ‘fragment’ 30 (Επινόησα τη λέξη Fractal από το λατινικό επίθετο

29. Michael Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann, 2η έκδοση, San Diego, Η.Π.Α., 1993, σελ. 1 30. Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and Company, Νέα Υόρκη, 1977, σελ. 4

χαος και αρχιτεκτονική fractals

fractus, Το αντίστοιχο λατινικό ρήμα frangere σημαίνει «σπάω» για να δημιουργήσω ακανόνιστα θραύσματα. Είναι, λοιπόν λογικό – και πόσο αρμοστό για τις ανάγκες μας!- πως, επιπρόσθετα με το «σπασμένος», fractus έπρεπε ακόμη να σημαίνει και «ακανόνιστος», και οι δύο αυτές έννοιες να διατηρούνται στο «θραύσμα».) . Στα Ελληνικά ο όρος fractal αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη από το Στέφανο Πνευματικό και τον καθηγητή Ιωάννη Νίκολη. Ο όρος Fractal δεν είναι μόνο μια γλωσσική μεταφορά, είναι μια οπτική μεταφορά για να απεικονίσει την πολυπλοκότητα. Τα μαθηματικά αυτά σύνολα, δεν είναι διαφορικά, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να μετρηθούν με τους παραδοσιακούς τρόπους. Χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα που έχουν να εξελίσσονται ‘μαιανδρικά’ και να αυτοδιαιρούνται. Στην ουσία μιλάμε για μια γεωμετρία, η οποία αντί να ακολουθεί τις Ευκλείδειες παραδοχές, υποτάσσεται στο αλγεβρικό σύστημα, γεγονός που την κάνει πολύ πιο ελεύθερη, διευρυμένη και σαφώς όχι πεπερασμένη όπως η Ευκλείδεια γεωμετρία. Τι μπορεί να σημαίνει όμως, μια τέτοια ανακάλυψη στο επιστημονικό πεδίο των μαθηματικών για την αρχιτεκτονική και πως την επηρεάζει; Για πρώτη φορά, έχουμε στα χέρια μας ένα εργαλείο, το οποίο μπορεί να περιγράψει σχέσεις και μορφές πολύ πιο περίπλοκες από τα απλά βασικά σχήματα. Γνωρίζοντας πως η αρχιτεκτονική πρακτική βασιζόταν για τόσους αιώνες στις απλές μαθηματικές σχέσεις, αξιοποιώντας τα μαθηματικά εργαλεία που ήταν διαθέσιμα, καταλαβαίνουμε ότι βρισκόμαστε μπροστά σε μια επανάσταση ως προς τον τρόπο σκέψης και δομής ενός αρχιτεκτονικού λεξιλογίου. Από το σημείο που δουλεύουμε με τα απολύτως βασικά σχήματα και τις σχέσεις που τα διέπουν, παράγοντας μια συγκεκριμένη αρχιτεκτονική, όπως ήταν αυτή του μοντέρνου κινήματος, ξαφνικά έχουμε στα χέρια μας σχέσεις και εργαλεία τα οποία μπορούν να παραγάγουν ακόμα και τη μορφή ενός δένδρου με όλες τις ανεξέλεγκτες παραμέτρους που μπορεί να επέμβουν κατά τη διάρκεια της ανάπτυξής του. Η ανακάλυψη των fractals ήθελε να υποδείξει ότι ο κόσμος των καθαρών μαθηματικών περιλαμβάνει έναν πλούτο δυνατοτήτων, που φτάνουν πέρα από τις απλές δομές που έβλεπαν μέχρι τότε στη φύση.

31. Ibid. σελ. 1

Γιατί η γεωμετρία συχνά αποκαλείται κρύα και αποστειρωμένη; Ένας λόγος έγκειται στην ανικανότητά της να περιγράψει το σχήμα ενός σύννεφου, ενός βουνού, μιας ακτογραμμής ή ενός δέντρου. Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι και φλοιός δεν είναι λείος, ούτε το φως ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή.31

χαος και αρχιτεκτονική fractals

Τα fractals είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με την ιδέα πως μια επαναλαμβανόμενη ενέργεια μπορεί να εξελιχθεί σε πολύπλοκα οπτικά αντικείμενα. Όπως και τα κυτταρικά αυτόματα που θα δούμε παρακάτω, τα fractals και η δημιουργία τους διέπονται από αυστηρούς κανόνες. Υπό αυτή την έννοια είναι ντετερμινιστικά, αλλά και απρόβλεπτα δεδομένου πως και η παραμικρή αλλαγή σε αυτούς τους αρχικούς κανόνες ή στη διαδικασία επανάληψης θα επιφέρει ένα τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα (αρχή θεωρίας του χάους). Με βάση αυτούς τους κανόνες μπορούν να αναπτύσσονται άπειρα γι’ αυτό το λόγο μπορούμε να τα επεξεργαστούμε ανεξαρτήτως κλίμακας. Τα στοιχεία που εμπεριέχονται στα fractals μπορεί να είναι σημεία, γραμμές, πολύγωνα ή pixel, αλλά περισσότερη σημασία έχει ότι είναι αυτοόμοια. Για παράδειγμα μια γραμμή μπορεί να διαιρεθεί σε δύο, εν συνεχεία αυτές οι δύο γραμμές σε τέσσερις, οκτώ κ.ο.κ. . Οι αλλαγές σ’ αυτή τη διαδικασία μπορούν να παραγάγουν αμέτρητα μοτίβα τα οποία έχουν σχεδόν μια δικιά τους ζωή και να αναπαραστήσουν οποιαδήποτε μορφή ζωής. Η διαδικασία που κατασκευάζονται τα γεωμετρικά fractals ονομάζεται recursive function (αναδρομική συνάρτηση) και εκφράζει αυτή την επανάληψη σε άπειρους κύκλους σύμφωνα με τους ντετερμινιστικούς κανόνες. Ο Salingaros χωρίζει τα fractals σε δύο βασικά είδη˙ τα διάτρητα και τα αυξητικά:

Εικ. 7 Η διαδικασία μετασχηματισμού του Sierpinski Gasket. Τα τρίγωνα ολοένα και διαιρουνται. Στην 5η επανάληψη η μορφή είναι αρκετά περίπλοκη.

τα διάτρητα (perforated) είναι fractal που αφαιρούν όλο και μικρότερα κομμάτια τους. Είδη διάτρητων fractal είναι τα gaskets, sponges και sieves.

τα αυξητικά (accretive) αντίστοιχα προσθέτουν ολοένα και μικρότερα κομμάτια δημιουργώντας τη λεπτή δομή τους. Μπορούμε να έχουμε και τρισδιάστατα αυξητικά fractal με την ίδια λογική επανάληψης-πρόσθεσης σε τρεις διαστάσεις.

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα διάτρητου βασικού fractal είναι το Sierpinski Gasket. Πρόκειται για ένα τρίγωνο, στο οποίο σε κάθε κύκλο επανάληψης αφαιρείται από το εσωτερικό του ένα τρίγωνο του οποίου οι κορυφές του είναι τα μέσα των πλευρών του εξωτερικού τριγώνου. Αναφέραμε πως το Sierpinski Gasket είναι ένα βασικό fractal αφενός μεν γιατί πρόκειται για ένα βασικό σχήμα –το τρίγωνο- που επαναλαμβάνεται συνεχώς και είναι πολύ εύκολο να δημιουργηθεί και αφετέρου γιατί η αυτό-ομοιότητά του έγκειται στο γεγονός ότι κάθε μέρος είναι ακριβώς μια μικρογραφία του όλου.

χαος και αρχιτεκτονική αυτο-ομοιότητα

αυτο-ομοιότητα Όπως αναφέρθηκε το Sierpinski Gasket είναι αυτό-όμοιο με τη στενή έννοια, αφού το ίδιο μοτίβο του τριγώνου επαναλαμβάνεται συνεχώς και εκφράζει ταυτόχρονα το όλο. Παρόλα αυτά, όμως, δεν είναι όλα τα fractals κατά την ίδια έννοια αυτόόμοια. Όπως όλοι οι άνθρωποι δεν είναι ακριβώς ίδιοι μεταξύ τους ή τα δέντρα παρότι μοιάζουν όλα ίδια κανένα δεν είναι ακριβώς ίδιο με κάποιο άλλο, έτσι και τα περισσότερα fractals είναι μόνο στατιστικά αυτό-όμοια. Αυτό σημαίνει πως μεγεθύνοντας μικρά κομμάτια τους δεν βλέπουμε ολόκληρο το fractal όπως γίνεται με το Sierpinski, αλλά έστω κι αυτό το μικρό κομμάτι παρουσιάζει μια γενική εικόνα του όλου. Δηλαδή η δομή του ουσιαστικά είναι η ίδια και διέπεται από τους ίδιους κανόνες. Η αναδρομικότητα που έχουν μας βοηθάει να καταλάβουμε ότι η αυτό-ομοιότητά τους είναι κλιμακωτή και η ιεραρχία παίζει σημαντικό ρόλο στη δημιουργία ενός fractal, όπως και ότι η κλίμακα δεν παίζει ρόλο γιατί πρακτικά όσο και να εστιάσει κανείς σε κάποιο σημείο αυτό δεν θα παρουσιάζει ποτέ λιγότερη λεπτομέρεια ή πολυπλοκότητα από την ολότητα. Η αυτό-ομοιότητα είναι εύκολα αντιληπτή ως μια διαφορετική έννοια τη συμμετρίας. Η συμμετρία, την οποία από αρχαιοτάτων χρόνων θαύμαζαν στη φύση και οι αρχιτέκτονες ασπάζονταν, ήταν στην πραγματικότητα η έννοια της αυτό-ομοιότητας. Τα φυσικά στοιχεία γύρω μας αν παρατηρήσει κανείς σωστά δεν είναι ποτέ ακριβώς συμμετρικά. Υπάρχει αυτή η αίσθηση συμμετρικότητας, αλλά αυτό που τα κάνει τέλεια είναι οι μικρές ατέλειες - παρεκκλίσεις από την απόλυτη συμμετρία, γιατί αυτό είναι που εκφράζει την πραγματική ποικιλία που προφέρει η φύση. Μια πολύ γνωστή αυτό-όμοια κλίμακα είναι η χρυσή τομή, η οποία ήταν η πιο χρησιμοποιημένη αρχή διαστασιολόγησης των αρχιτεκτόνων. Η χρυσή τομή δημιουργεί μια αυτό-όμοια σπείρα από τετράγωνα. Η ακολουθία των αυτό-όμοιων αναλογιών δημιουργεί αυτή τη «μαγεία» που ευχαριστεί το μάτι. Ίσως το πιο γνωστό στατιστικά αυτό-όμοιο fractal να είναι το Mandelbrot Set, το οποίο ανακάλυψε το 1978 ο ιδρυτής της φρακταλικής γεωμετρία, όπως προδίδει το όνομά του. Κάποιοι θεωρούν ότι αυτό το fractal είναι τόσο σημαντικό που το αποκαλούν ως η πραγματική γεωμετρία της φύσης. Ο Mandelbrot χρησιμοποίησε τον υπολογιστή για να απεικονίσει μια πολύ απλή εξίσωση, τη xt+1 = xt2 + c . Είναι προφανές από την έκφραση της εξίσωσης, ότι λειτουργεί αναδρομικά, δηλαδή η νέα κατάσταση μετατρέπεται στην τωρινή κ.ο.κ. . Εκείνος όμως ήθελε να δει τι θα συνέβαινε αν ο άγνωστος χ βρισκόταν στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών και για ποια σταθερά c το μήκος του xt θα σταματούσε να αυξάνεται καθώς το η εξίσωση θα εφαρμοζόταν άπειρες φορές. Εν τέλει ανακάλυψε πως όταν το μήκος ξεπερνούσε

χαος και αρχιτεκτονική αυτο-ομοιότητα

32. Η μαύρη βούλα που σχημάτιζε ο υπολογιστής είχε συντεταγμένες από τον μιγαδικό αριθμό c με τον οποίο έτρεχε το σύστημα. Καθώς οι μιγαδικοί αριθμοί εκφράζονται με την μορφή (m + ni), το σημείο είχε συντεταγμένες (m,n).

την τιμή 2, τότε η συνάρτηση δεν είχε όριο και άρα θα αυξανόταν στο άπειρο, αλλά για τις σωστές μιγαδικές τιμές του c το αποτέλεσμα απλά μεταβαλλόταν σε διάφορες τιμές, πάντα μικρότερες του 2. Έτσι έτρεξε το σύστημα στον υπολογιστή πολλές φορές για διαφορετικές τιμές της σταθεράς και αν το μήκος του χt ξεπερνούσε γρήγορα την τιμή 2, τότε αυτό σταματούσε αυτόματα, αν όμως, το σύστημα δεν σταματούσε σχημάτιζε μια μαύρη βούλα32. Το αποτέλεσμα της εικόνας που σχηματίστηκε από όλες αυτές τις βούλες ήταν το Mandelbrot Set, μια μαύρη στάμπα από μελάνι που μοιάζει με συμπιεσμένο μαμούνι με κάποιες έλικες στα άκρα. Αντί να είναι μια καθαρή γεωμετρική μορφή, όπως ένα τετράγωνο ή ένας κύκλος, φαινόταν εξαιρετικά οργανικό. Η εμφάνισή του ήταν τόσο περίεργη, που ο Mandelbrot προσπάθησε να μεγεθύνει την εικόνα για να δει τι συμβαίνει και ήρθε αντιμέτωπος με ακόμα μεγαλύτερη λεπτομέρεια. Όσο περισσότερο μεγέθυνε την εικόνα, τόσο πιο περίπλοκη γινόταν η δομή. Δικαιολογείται λοιπόν η φράση του Mandelbrot πως κοιτώντας τα fractals είναι σαν να κοιτάς το άπειρο, αφού όσο μεγεθύνει κανείς τόσο περισσότερη δομή βλέπει˙ ουσιαστικά ακολουθείς αυτή την εξίσωση στο άπειρο.

Εικ. 8,9,10,11 Οι εικόνες που ακολουθούν απεικονίζουν το mandelbrot set σε διάφορες κλίμακες καθώς μεγενθύνουμε στο άπειρο.

χαος και αρχιτεκτονική IFS | το παιχνίδι του χάους

IFS | το παιχνίδι του χάους Τεχνικά υπάρχει ένα εργαλείο που μας βοηθά να απεικονίσουμε τη δημιουργία των fractal μέσα από την απεικόνιση της αλγοριθμικής διαδικασίας των κανόνων με τους οποίους αναπαράγονται τα αρχικά μοτίβα. Προφανώς αναφερόμαστε σε μια διαδικασία που πραγματοποιείται σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, αφού αυτός μα δίνει τη δυνατότητα να επαναλάβουμε τη διαδικασία πολλές φορές. Τα εργαλεία αυτά ονομάζονται iterated function systems (συστήματα αναδρομικών συναρτήσεων ή IFS) και μας βοηθάνε να ανακαλύψουμε τους κανόνες εκείνους που διέπουν τις φυσικές μορφές, οι οποίοι είναι πιο εμφανής στα βασικά fractals όπως στην καμπύλη Koch και το Sierpinski Gasket Που αναφέραμε πιο πάνω. Η διαδικασία στην εφαρμογή της είναι απλή. Επιλέγεται το αρχικό μοτίβο, στη συνέχεια οι κανόνες βάσει των οποίων γίνεται η επανάληψη και ακολουθεί η απεικόνιση. Αυτό που δεν είναι τόσο απλό είναι να βρεθεί αυτό το αρχικό μοτίβο που αναπαραγόμενο θα μας δώσει τη μορφή που θέλουμε. Το κλαδί μιας φτέρης απεικονίζεται μετά από άπειρες επαναλήψεις μιας αρχικής εικόνας, η οποία είναι ένα παραλληλόγραμμο που μέσα του περιλαμβάνει ένα χοντρό «Γ». Δεν είναι κάτι τόσο εύκολο να φανταστεί κανείς πως από αυτό το απλό γεωμετρικό σχήμα μπορεί να προκύψει ένα ολόκληρο κλαδί μιας φτέρης. Παρόλα αυτά το αρχικό σχήμα δεν έχει την απόλυτη σημασία, αφού παρόμοια σχετικά σχήματα που αναπαράγονται με τους κατάλληλους κανόνες στο άπειρο θα μας δώσουν τελικά το ίδιο αποτέλεσμα, ή πιο σωστά η απειροελάχιστη διαφορά τους δεν θα είναι διακριτή στο μάτι μας. Άρα το πιο σημαντικό απ’ όλα είναι να ορίσουμε σωστά τους κανόνες. Τα IFS επιτρέπουν την διάτμηση, τη περιστροφή και τον κατοπτρισμό της αρχικής εικόνας ως μέρος της διαδικασίας. Στα μαθηματικά αυτές οι ενέργειες αναφέρονται ως συσχετισμένοι γραμμικοί μετασχηματισμοί. Τα IFS μπορούν να έχουν οσεσδήποτε διαστάσεις, αλλά συνήθως υπολογίζονται και απεικονίζονται σε δύο. Κάθε επανάληψη του μοτίβου, όπως είπαμε, γίνεται βάσει μιας συνάρτησης - εξ ’ου και το function στο iterated function systems. Οι συναρτήσεις είναι κανονικά συσταλτικές, πράγμα που σημαίνει ότι φέρνουν τα σημεία πιο κοντά και κάνουν τα σχήματα μικρότερα. Ως εκ τούτου, το σχήμα ενός IFS fractal αποτελείται από πολλά, ενδεχομένως επικαλυπτόμενα, μικρότερα αντίγραφα του εαυτού του, καθένα από τα οποία επίσης αποτελείται από αντίγραφα του εαυτού του, επ’ άπειρον. Αυτή είναι η πηγή της αυτό-όμοιας μορφοκλασματικής φύσης του. IFS εικόνες μπορούν να παραχθούν πιο αποτελεσματικά μέσω μιας τυχαίας διαδικασίας. Η τυχαία αυτή διαδικασία ονομάζεται random iterated function systems (RIFS). Μια τέτοια διαδικασία είναι και το παιχνίδι του χάους (Chaos Game) που δημιούργησε ο Michael Barnsley το 1988. Το παιχνίδι του χάους είναι ουσιαστικά

Εικ. 12 Η δημιουργία ενός κλαδιού φτέρης από το αρχικό σχήμα (πάνω αριστερά), μετά από μια επανάληψη (πάνω δεξιά) και μετά από άπειρες.

χαος και αρχιτεκτονική IFS | το παιχνίδι του χάους

μια μέθοδος δημιουργίας fractals με ένα αρχικό πολύγωνο και ένα τυχαίο σημείο μέσα σ ’αυτό. Το fractal φτιάχνεται δημιουργώντας συνεχώς μια ακολουθία σημείων, αρχίζοντας με το αρχικό, τυχαίο, σημείο. Στην ακολουθία κάθε σημείο είναι ένα δεδομένο κλάσμα της απόστασης μεταξύ του προηγούμενου σημείου και μίας εκ των κορυφών του πολυγώνου. Η κορυφή επιλέγεται τυχαία σε κάθε επανάληψη. Επαναλαμβάνοντας αυτή την διαδικασία πολλές φορές και επιλέγοντας την κορυφή τυχαία σε κάθε επανάληψη, απορρίπτουμε τα πρώτα σημεία στην ακολουθία με αποτέλεσμα συχνά (αλλά όχι πάντα) να παράγεται ένα φράκταλ σχήμα. Χρησιμοποιώντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο και το συντελεστή 1/2 θα δημιουργήσουμε το τρίγωνο Sierpinski, με τέσσερα σημεία και παράγοντα 1/2 θα δημιουργηθεί στην οθόνη ένα “Sierpinski τετράεδρο”, το τρισδιάστατο ανάλογο του τριγώνου Sierpinski. Καθώς ο αριθμός των σημείων αυξάνεται σε έναν αριθμό Ν, η διάταξη σχηματίζει ένα αντίστοιχο (Ν-1) διάστατο Sierpinski πολύεδρο. Παρότι οι κανόνες αναπαραγωγής είναι ίδιοι η διαφορά αυτής της μεθόδου και των IFS είναι ότι στα IFS και οι τρείς μετασχηματισμοί (διάτμηση – περιστροφή – κατοπτρισμός) συμβαίνουν ταυτόχρονα, ενώ στο παιχνίδι του χάους οι μετασχηματισμοί γίνονται σημείο το σημείο, μετασχηματισμός στον μετασχηματισμό. Ο κάθε μετασχηματισμός επιλέγεται τυχαία ώστε τελικά να απεικονισθεί ολόκληρη η εικόνα. Δύο γνωστά συστήματα IFS είναι το Fractal Attraction από τον Kevin Lee και τον Yosef Cohen και το The Desktop Fractal Design System από τον Michael Barnsley.

Εικ. 13 Το τετράεδρο Sierpinski. Η ίδια επανάληψη της διαδικασίας με το δισδιάστατο ομόλογό του στον τρισδιάστατο χώρο.

χαος και αρχιτεκτονική fractal architecture | δύο ρεύματα

fractal architecture | δύο ρεύματα Παρότι δεν υπάρχει κάποιος γενικά αποδεκτός προσδιορισμός για τον όρο ‘fractal architecture’, θα μπορούσαμε να πούμε ότι διαπιστώνονται δύο βασικά ρεύματα στη σύγχρονη βιβλιογραφία. Το πρώτο ρεύμα είναι η αντίληψη των μορφοκλασματικών καμπύλων ως εργαλείο κριτικής. Αυτό σημαίνει ότι μέσα από το εργαλείο αυτό προσπαθούμε να μετρήσουμε την πολυπλοκότητα στη μορφή ενός έργου. Στην ουσία είναι μια θεωρία που βασίζεται στον υπολογισμό της κλασματικής διάστασης του αρχιτεκτονικού αποτελέσματος με σκοπό να δημιουργήσει κριτήρια αξιολόγησής του. Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό να παραθέσουμε ότι οι μορφοκλασματικές καμπύλες δεν διαθέτουν μία ακέραια διάσταση. Η διάσταση τους είναι μετρήσιμη [από τη σχέση D=2-H, όπου Η ο εκθέτης Hurst] και διαφορετική για την κάθε μία, ενώ κυμαίνεται μεταξύ 1 και 2. Αυτό τους το χαρακτηριστικό προσδιορίζει και την πολυπλοκότητά τους. Στο ρεύμα αυτό μελετητές έχουν εντάξει κατά καιρούς αρχιτεκτονικά έργα των Alvar Aalto και του Frank Lloyd Right, αφού μετά από έρευνα έχει διαπιστωθεί ότι οι όψεις πολλών κτηρίων τους υπακούν σε ρυθμό fractal. Αυτό διαπιστώνεται μέσα από μια διαδικασία που ονομάζεται ‘Box Counting Dimension’ (Db), η οποία σχηματίζει έναν ορθοκανονικό κάναβο σε δισδιάστατες εικόνες (π.χ. η εικόνα μιας κάτοψης ή μιας όψης) για να ανακαλύψει τη ‘διάσταση’ (Db) της κάτοψης, όψης κ.λπ. με την φόρμουλα: Db=([log(N(s2 ))-log(N(s1 ))])/([log(1/s2)-log(1/s1)]) , όπου s ο αριθμών των τετραγώνων στη βάση του κανάβου. Το δεύτερο ρεύμα είναι η αντίληψη των μορφοκλασματικών καμπύλων ως εργαλείο σχεδίασης. Αυτή η προσέγγιση προσπαθεί να προσομοιώσει φρακταλικές δομές ή να χρησιμοποιήσει ίδια σχήματα διαφορετικών μεγεθών σε διαφορετικές κλίμακες στη σχεδιαστική διαδικασία ενός αρχιτεκτονικού έργου. Γίνεται, έτσι, μια προσπάθεια να δημιουργηθεί μια σύνθετη μορφή, που έχει σαν θεμελιώδη αρχή την ‘τάξη’ (order), η οποία βρίσκεται σε διαφορετικά στρώματα της αρχιτεκτονικής κατασκευής. Με τον τρόπο αυτό προσπαθεί το έργο να προσομοιάσει την δομή των φυσικών μορφών, που αναλύονται σε μορφοκλασματικές καμπύλες. Ενώ το Art Nouveau θα λέγαμε ότι προσπαθούσε μορφικά και ζωγραφικά να εντάξει το φυτικό στοιχείο, ο σχεδιασμός με τα fractals προσεγγίζει τον φυσικό ρυθμό. Αν τα στοιχεία της φύσης έχουν έναν ρυθμό επαναληψιμότητας, αυτόν προσπαθούν να περάσουν στην συνθετική διαδικασία.

χαος και αρχιτεκτονική κλασματική διάσταση

κλασματική διάσταση Το δεύτερο ρεύμα είναι η αντίληψη των μορφοκλασματικών καμπύλων ως εργαλείο σχεδίασης. Αυτή η προσέγγιση προσπαθεί να προσομοιώσει φρακταλικές δομές ή να χρησιμοποιήσει ίδια σχήματα διαφορετικών μεγεθών σε διαφορετικές κλίμακες στη σχεδιαστική διαδικασία ενός αρχιτεκτονικού έργου. Γίνεται, έτσι, μια προσπάθεια να δημιουργηθεί μια σύνθετη μορφή, που έχει σαν θεμελιώδη αρχή την ‘τάξη’ (order), η οποία βρίσκεται σε διαφορετικά στρώματα της αρχιτεκτονικής κατασκευής. Με τον τρόπο αυτό προσπαθεί το έργο να προσομοιάσει την δομή των φυσικών μορφών, που αναλύονται σε μορφοκλασματικές καμπύλες. Ενώ το Art Nouveau θα λέγαμε ότι προσπαθούσε μορφικά και ζωγραφικά να εντάξει το φυτικό στοιχείο, ο σχεδιασμός με τα fractals προσεγγίζει τον φυσικό ρυθμό. Αν τα στοιχεία της φύσης έχουν έναν ρυθμό επαναληψιμότητας, αυτόν προσπαθούν να περάσουν στην συνθετική διαδικασία. Σε κάθε στάδιο της δημιουργίας μιας μορφοκλασματικής καμπύλης, προστίθεται κι άλλο μήκος στο συνολικό, αφού δημιουργούνται επιπλέον «κομμάτια» της τελικής δομής. Είναι εύκολο να καταλάβουμε πως αφού αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται επ’ άπειρον, έτσι και το τελικό μήκος της καμπύλης θα είναι άπειρο. Ανάλογα την καμπύλη και τους κανόνες με τους οποίους αναπτύσσεται έχει και ένα μοναδικό ρυθμό ανάπτυξης. Αυτός ο ρυθμός ανάπτυξης της καμπύλης την χαρακτηρίζει και εκφράζει την κλασματική της διάσταση. Για να κατανοήσει κανείς τα fractals και πως λειτουργούν σύμφωνα με τον Carl Bovill θα πρέπει να εξοικειωθεί με τρεις ορισμούς της φρακταλικής διάστασης: >

την διάσταση αυτό-ομοιότητας (self-similar dimension Ds)

τη μετρημένη διάσταση (measured dimension d) και

τη διάσταση μέτρησης κουτιών (box counting dimension Db)

χαος και αρχιτεκτονική κλασματική διάσταση

self-similar dimension Το να διαιρέσει κανείς μια δομή σε μικρότερα κομμάτια δεν παράγει απαραίτητα ένα fractal. Αν τα μικρότερα κομμάτια είναι ανάλογα με το αρχικό με έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα και την ευκλείδεια διάσταση του αντικειμένου, τότε αυτό που παρήχθη δεν είναι fractal. Αντιθέτως η σχέση ανάμεσα στον αριθμό των κομματιών και του πολλαπλασιαστικού παράγοντα για την καμπύλη Koch δεν είναι ένας ακέραιος αριθμός. Ο πολλαπλασιαστικός παράγοντας είναι 1/3 και ο αριθμός των κομματιών στα οποία μετασχηματίζεται είναι 4, άρα από τον τύπο που μας δίνει τη self-similar dimension έχουμε: 4=1/(1/3)D=3D άρα log(4)=D log(3) άρα D= log(4)/log(3)=1.26 Σημασία δεν έχουν τόσο οι πράξεις, αλλά η απόδειξη ότι η διάσταση αυτό-ομοιότητας ενός fractal, όπως η καμπύλη Koch δεν είναι ακέραιος αριθμός και βρίσκεται ανάμεσα στο ένα και στο δύο. Εφόσον οι μορφοκλασματικές καμπύλες έχουν άπειρο μήκος, καθώς διαμορφώνονται με άπειρο αριθμό επαναλήψεων, το μήκος είναι αδύνατον να χρησιμοποιηθεί ως μοναδικό χαρακτηριστικό της καμπύλης, ενώ η διάσταση σ’ αυτήν την περίπτωση μας δίνει ένα πολύ ξεχωριστό χαρακτηριστικό για το συγκεκριμένο fractal. Αυτό που εκφράζει η διάσταση είναι με ποιο ρυθμό η καμπύλη πλησιάζει το άπειρο. Οπτικά η διάσταση μεταφράζεται ως το μέτρο που μας δείχνει πόση «υφή» (texture) έχει η καμπύλη.

measured dimension Πολλά φυσικά αντικείμενα παρουσιάζουν μια πολυπλοκότητα και εξαιρετική λεπτομέρεια. Ο Mandelbrot στο The Fractal Geometry of Nature παρουσιάζει μια σχέση ανάμεσα στα φυσικά αντικείμενα και τα fractals μέσα από μια συζήτηση για το πώς μπορεί να μετρηθεί η ακτογραμμή της Αγγλίας. Καθώς η ακτογραμμή περιλαμβάνει ένα σωρό κολπίσκους, μεγάλες εσοχές κι ένα σωρό διαφορετικές λεπτομέρειες σημασία έχει το μέγεθος του μέσου μέτρησης που θα χρησιμοποιήσουμε για να τη μετρήσουμε. Όσο πιο μικρό το μέσο, τόσο περισσότερη λεπτομέρεια θα μπορούμε να μετρήσουμε, αφού το μέτρο θα «χωράει» σε όλες τις εξοχές και εσοχές, επομένως θα μεγαλώνει το μήκος. Αυτή η αναλογία θυμίζει την αύξηση του μήκους σε κάθε επανάληψη της διαδικασίας δημιουργίας ενός fractal. Με τη Measured dimension μετράμε αυτή την αύξηση του μήκους όσο η ακρίβεια του μέσου μέτρησης αυξάνεται. Σύμφωνα με τα λόγια του Mandelbrot η ακτογραμμή μετατρέπεται σε μια φευγαλέα έννοια που ξεφεύγει συνεχώς από τα χέρια εκείνου

Εικ. 14 Η καμπύλη Koch στις πρώτες πέντε επαναλήψεις και η αντίστοιχη αύξηση μήκους της.

μήκος =1

μήκος =4/3

μήκος =16/9

μήκος =64/27

μήκος =256/81

μήκος =1024/243

χαος και αρχιτεκτονική κλασματική διάσταση

που προσπαθεί να την πιάσει. Όλοι οι τρόποι μέτρησης στο τέλος καταλήγουν στο συμπέρασμα πως είναι αδύνατο να μετρήσει κανείς ακριβώς την ακτογραμμή, αφού εν τέλει αυτή θεωρείται άπειρη.

σύνδεση self-similar και measured διάστασης Αν μετρήσουμε τα δύο είδη διαστάσεων για την καμπύλη Koch θα δούμε πως συνδέονται οι δυο διαστάσεις μεταξύ τους. Υπολογίσαμε την Ds=1.26 επειδή ο μειούμενος παράγοντας είναι 1/3, είναι λογικό το γραμμικό μέσο που θα χρησιμοποιήσουμε για να μετρήσουμε την measured dimesion να μικραίνουν σε πολλαπλάσια του 1/3. Άρα μια καλή ακολουθία αριθμών θα ήταν το [1, 1/3, 1/9, 1/27] του μήκους μέτρησης. Ολοκληρώνοντας τη διαδικασία θα βρούμε πως η διάσταση είναι d=0.26 , όπου καταλαβαίνουμε πως οι δύο διαστάσεις συνδέονται με τον τύπο Ds=1+d . Η σχέση των δύο αυτών διαστάσεων μας προδίδει ακόμα ένα τρόπο να προσδιορίσουμε τη φρακταλική διάσταση αυτο-ομοιότητας ενός φυσικού αντικειμένου. Καθώς δεν γνωρίζουμε πως κάθε αντικείμενο στη φύση είναι φτιαγμένο και ποιοι είναι εκείνοι οι κανόνες με τους οποίους αναπαράγεται και δημιουργείται, υπολογίζοντας την measured dimension εύκολα σχετικά μπορούμε να βρούμε το βαθμό αυτο-ομοιότητας. Αν σχηματίσουμε ένα γράφημα διαδοχικών γραμμικών μετρήσεων συγκρινόμενων με την ακρίβεια του μέσου μέτρησης που χρησιμοποιούμε σε λογαριθμικό άξονα, η κλίση της καμπύλης που προκύπτει (δλδ. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης των λογαρίθμων με βάσεις τη μέτρηση και την ακρίβεια αντίστοιχα) θα είναι ένας αριθμός πολύ κοντά στην διάσταση αυτο-ομοιότητας. Το αποτέλεσμα αυτό έχει το ενδιαφέρον του, καθώς μας υποδεικνύει κατά πόσο είναι σωστή η κλίμακα του μέσου μέτρησης που διαλέξαμε. Για παράδειγμα αν κάποιος παρατηρεί την ακτογραμμή από ένα σκάφος θα την βλέπει αρκετά ομαλή, αν διατηρεί την σωστή απόσταση ασφαλείας. Αντίθετα, αν κάποιος περπατάει στην ακτογραμμή βλέπει όλη την λεπτομέρεια και τις τοπικές ανωμαλίες και συνεπώς έχει μια εντελώς διαφορετική αντίληψη για την υφή της.

box counting dimension Αν κάποιος θέλει να μετρήσει την φρακταλική διάσταση μιας δισδιάστατης εικόνας δεν είναι τόσο εύκολο να το κάνει με τις δύο προηγούμενες μεθόδους. Δεν είναι

Εικ. 15 Η ακτή της Αγγλίας μεγαλώνει σε μήκος καθώς τη μετράμε με όλο και πιο μικρό μέσο μέτρησης.

μέσο μέτρησης= 200 μίλια

μέσο μέτρησης= 50 μίλια

μέσο μέτρησης= 100 μίλια

μέσο μέτρησης= 25 μίλια

χαος και αρχιτεκτονική κλασματική διάσταση

εύκολα διακριτό ένα δισδιάστατο αυτο-όμοιο μοτίβο που να διευκολύνει τη διαδικασία, όπως στο παράδειγμα της καμπύλης Koch ή κάποια μοναδική καμπύλη όπως γίνεται με την ακτογραμμή. Μια εικόνα ή ένα σχέδιο έχει πολλές πληροφορίες που δεν μπορούν να μετρηθούμε με ένα και μόνο μέτρο. Η box-counting dimension δίνει λύση σ’ αυτό το πρόβλημα σχηματίζοντας έναν κάναβο, ο οποίος αυτοδιαιρείται συνεχώς, όπως γίνεται με τη σμίκρυνση του μέσου μέτρησης στην measured dimension. Μετρώντας τα κουτάκια που περιέχουν κάποια πληροφορία σε κάθε στάδιο του κανάβου σύμφωνα με τη λογαριθμική πάλι φόρμουλα που αναφέρθηκε στο κεφάλαιο της αυτο-ομοιότητας υπολογίζεται η box-counting dimension Db. Η διάσταση μέτρησης κουτιών ίσως δεν είναι η πιο ακριβής από όλες, αφού αν την εφαρμόσουμε σε κάποιο μοτίβο ευκλείδειας γεωμετρίας θα μας δώσει για κάποιες αρχικές κλίμακες μια μη-ακέραιη διάσταση, παρόλα αυτά όμως, όσο ο κάναβος μικραίνει θα φτάσει σε μια κλίμακα όπου η διάσταση θα γίνει 1.0 . Αυτό είναι μια ένδειξη ότι για κάποιο εύρος κλίμακας συγκεκριμένα μοτίβα και σχέδια παρουσιάζουν ένα βαθμό πολυπλοκότητας, που είναι κι αυτό χρήσιμο ως πληροφορία σχεδιασμού, το να γνωρίζει κανείς σε τι εύρος παρουσιάζει το σχέδιό του μια «υφή» και μια οργανικότητα.

Εικ. 16 Ο κάναβος τοποθετείται πάνω από την κάτοψη της ακτογραμμής της καλιφόρνια. Ο μεγαλύτερος κάναβος έχει διαστάσεις 400 πόδια/μονάδα, ο επόμενος 200 πόδια/μονάδα και ο μικρότερος 100 πόδια/μονάδα.

χαος και αρχιτεκτονική fractals πριν από τα fractals

fractals πριν από τα fractals Παρότι τα fractals ανακαλύφθηκαν μόλις τον 20ο αιώνα υπάρχουν αρχιτεκτονικά παραδείγματα που ακολουθούν αυτές τις μορφές και χρονολογούνται πολύ πιο πίσω. Ο μαθηματικός Ron Eglash παρατήρησε τη δεκαετία του ’80 κοιτάζοντας μια αεροφωτογραφία ενός αφρικανικού χωριού φρακταλικές δομές και ξεκίνησε μια πολυετή έρευνα σχετικά με τη μορφολογία στα οικοδομήματα του αφρικανικού πολιτισμού και τη σχέση τους με τις μορφοκλασματικές καμπύλες. Στο βιβλίο του African fractals αναλύει περιπτώσεις χωριών και μοτίβων που ανακάλυψε στους μήνες που πέρασε στην Αφρική κάνοντας έρευνα. Όπως αποδείχθηκε οι γηγενείς πολιτισμοί γνώριζαν για την αναδρομική διαδικασία σχηματισμού αντικειμένων και μοτίβων αλλά και για την αυτό-ομοιότητα. Έτσι λοιπόν, το βασικό έμβλημα στο παλάτι του αρχηγού ενός χωριού ήταν ουσιαστικά ένα παραλληλόγραμμο, μέσα σε ένα παραλληλόγραμμο κ.ο.κ. και το μονοπάτι που οδηγούσε μέσα στο παλάτι ήταν μια σπείρα, στη οποία καθώς προχωρούσε κανείς έπρεπε να έχει ολοένα και καλύτερους τρόπους. Είναι φανερό, λοιπόν, πως κατά κάποιο τρόπο ταύτιζαν την κοινωνική κλιμάκωση με την γεωμετρική κλιμάκωση με ένα απόλυτα συνειδητό τρόπο. Παράλληλα στο χωριό Ba-ila, που βρίσκεται στη Νότια Ζάμπια, παρατηρείται ακόμα ένα εξαίρετο δείγμα φρακταλικής οργάνωσης. Πρόκειται για ένα πεταλόσχημο χωριό το οποίο έχει περίπου 400m διάμετρο και αποτελείται από μικρότερου δακτυλίους, οι οποίοι με τη σειρά τους αποτελούνται πάλι από μικρότερους δακτυλίους. Κάθε οικογένεια αποτελεί μικρογραφία του όλου, καθώς είναι κυκλικού σχήματος και στο κέντρο έχει έναν βωμό. Μετά δημιουργείται η οικογένεια σπιτιών από πολλά τέτοια σπίτια, όπου στο κέντρο μένει ο επικεφαλής της οικογένειας. Ένας μεγάλος δακτύλιος δημιουργείται από όλες αυτές τις οικογένειες η μία δίπλα στην άλλη, στο κέντρο του οποίου είναι η κατοικία του αρχηγού. Στην κορυφή του δακτυλίου μένει η άμεση οικογένεια του αρχηγού και γύρω γύρω η έμμεση οικογένεια. Στη συνέχεια, στο κέντρου του δεύτερου δακτυλίου των αρχηγών υπάρχει ο οίκος των προγόνων, ένας μικρός οίκος δηλαδή για τα πνεύματα. Ουσιαστικά μόλις περιγράψαμε ένα fractal. Αυτή η διαδικασία επανάληψης και αυτό-ομοιότητας μεταξύ των επιμέρους στοιχείων και του συνόλου μας κάνει να αναρωτιόμαστε πως είναι δυνατόν αυτοί οι άνθρωποι τόσα χρόνια πριν στον αναπτυσσόμενο κόσμο να δημιουργούν τέτοια αρχιτεκτονική, βασισμένη σε μια γεωμετρία που ανακαλύφθηκε τόσο αργά στον δυτικό κόσμο. Ίσως η μόνη λογική απάντηση που μπορεί να βρει κανείς είναι πως αυτοί οι άνθρωποι ζώντας μέσα και από τη φύση ανέπτυξαν ένα τέτοιο ένστικτο που είναι

χαος και αρχιτεκτονική fractals πριν από τα fractals

ταυτόσημο με τη φυσική δημιουργία. Η πολυπλοκότητα που εντάσσουν στην καθημερινότητά τους δεν σχετίζεται μόνο με τα παραπάνω παραδείγματα, αλλά μπορεί να την εντοπίσει κανείς και σε άλλους οικισμούς, μοτίβα, τοιχοποιίες, ακόμα και σε παιχνίδια που φτιάχνουν. Το πιο πολύπλοκο παράδειγμα αλγοριθμικού fractal που αντίκρισε πάντως ο Eglash στην Αφρική ήταν ένας συμβολικός κώδικας, ο οποίος ήταν άρρηκτα συνδεδεμένος με τη θρησκεία και μέσα από μια διαδικασία ψευδοτυχαίου δυαδικού κώδικα προσέγγιζαν το ντετερμινιστικό χάος. Ένα άλλο παράδειγμα φρακταλικής γεωμετρίας στον Ευρωπαϊκό χώρο αυτή τη φορά είναι η μπαρόκ Όπερα του Παρισιού του Charles Garnier. Η όπερα χτισμένη το 1875, έναν αιώνα πριν το άρθρο του Mandelbrot για τα fractals, παρουσιάζει ένα συνδυασμό ρυθμών που λειτουργεί απολύτως αρμονικά. Πλησιάζοντας στο κτήριο αποκαλύπτεται όλο και περισσότερη πολυπλοκότητα, καθώς εστιάζει κανείς σε λεπτομέρειες που γίνονται εμφανείς και είναι αυτό-όμοιες με την προηγούμενη κλίμακα. Σύμφωνα με τον Mandelbrot από μακριά το πιο ευδιάκριτο μέρος του κτηρίου που τραβάει το βλέμμα είναι η οροφή, αλλά πλησιάζοντας εμφανίζονται άλλα μέρη του κτηρίου που εμφανίζουν προσεγγιστικά τον ίδιο βαθμό πολυπλοκότητας. Αυτή η ιδιότητα παρατηρείται και σε άλλα γοτθικά και μπαρόκ κτήρια και ιδιαιτέρως σε ναούς, όπου οι λεπτομέρειες είναι άφθονες και υπάρχει πολυπλοκότητα στην αρχιτεκτονική κλίμακα. Μπορεί τα παραδείγματα αυτά να μην είναι ακριβώς fractals, αλλά παρουσιάζουν ιδιότητες των fractals όχι με την στενή έννοια του όρου.

Εικ. 17 κατω: οι τρεις διαδοχικές φάσεις της φρακταλικής δομής του χωριού Μπαϊλά. Εικ.18 πάνω δεξιά: αεροφωτογραφία του χωριού Μπαϊλά στην Αφρική. Εικ. 19 κάτω δεξιά: κάτοψη της φράκταλικής δομής του χωριού Μπαϊλά.

χαος και αρχιτεκτονική φρακταλική αρχιτεκτονική μετά τον Mandelbrot

φρακταλική αρχιτεκτονική μετά τον Mandelbrot Έγινε λόγος για τα δυο ρεύματα που επικρατούν στην βιβλιογραφία σχετικά με την φρακταλική αρχιτεκτονική και για φρακταλικές δομές που υπήρχαν ενστικτωδώς από ανθρώπους πολύ πριν ανακαλυφθεί η φρακταλική γεωμετρία. Υπάρχουν, όμως τελικά, αρχιτεκτονικά έργα, που μπορούμε να αποκαλέσουμε φρακταλική αρχιτεκτονική; Κι αν αυτό ισχύει, υπάρχουν κριτήρια τα οποία μπορούν να χαρακτηρίσουν ένα αρχιτεκτονικό έργο ως «fractal»; Σύμφωνα με την πρώτη προσέγγιση που έγινε παραπάνω, θα λέγαμε πως υπάρχουν έργα τα οποία ακολουθούν τις φρακταλικές δομές και υπάρχουν μάλιστα και επιστημονικές μέθοδοι που υποδεικνύουν ακριβώς το βαθμό στον οποίο αυτό επιτυγχάνεται. Παρόλα αυτά, η δεύτερη ερώτηση δεν είναι το ίδιο εύκολο να απαντηθεί. Δεν υπάρχουν συγκεκριμένα κριτήρια ή χαρακτηριστικά, τα οποία μπορούν να μας υποδείξουν ποια είναι αυτά τα κτήρια που ξεχωρίζουν τυπολογικά ως fractals. Μπορούμε εύκολα να νομίσουμε σε κάποιες περιπτώσεις ότι μια σύνθεση έχει φρακταλικές δομές, ενώ στην πραγματικότητα κάτι τέτοιο να μην ισχύει. Η επαναληψιμότητα στοιχείων σχεδιασμού και η εναλλαγή της κλίμακας δεν προϋποθέτει απαραίτητα ότι το αποτέλεσμα είναι κάτι που παράχθηκε από δομή μορφοκλασματικής καμπύλης. Θα παραθέσουμε δύο παραδείγματα μη-φρακταλικής αρχιτεκτονικής, ώστε να γίνει αντιληπτή η διαφορά αυτή. O Charles Alexander Jencks το 2002 ένα χρόνο μετά από τα εγκαίνια του Εβραϊκού Μουσείου στο Βερολίνο, που ολοκληρώθηκε από τον αρχιτέκτονα Daniel Libeskind το 1999, μιλά για όμοιες φόρμες, γραμμές και γωνίες στο κτήριο αυτό που υποδεικνύουν τη χρήση ενός φρακταλικού συντακτικού. Παρόλα αυτά, αν παρατηρήσουμε το Μουσείο από κοντινή απόσταση οι φόρμες και τα στοιχεία αυτά δεν αποκαλύπτουν καμία παραπάνω αυτό-ομοιότητα ή λεπτομέρεια. Μάλιστα, στο επίπεδο αυτό παρατήρησης, μοιάζει σαν να είναι τελείως επίπεδο και η ομοιότητα των στοιχείων δεν ξεπερνά τα δύο στάδια. Πριν μιλήσαμε για τη διάσταση των μορφοκλασματικών καμπύλων, ότι ξεπερνά τον ακέραιο 1. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι μια φρακταλική μορφή δεν είναι επίπεδη αλλά δίνει την αίσθηση παραπάνω διάστασης. Συνεπώς, το μουσείο αυτό παρότι σ’ ένα πρώτο επίπεδο μοιάζει να ακολουθεί τους κανόνες των μορφοκλασματικών καμπυλών, κάτι τέτοιο δεν ισχύει πραγματικά. Αντίστοιχο είναι και το παράδειγμα του συγκροτήματος Federation Square στη Μελβούρνη, καθώς οι αρχιτέκτονες –LAB Architecture Studio- υποστηρίζουν πως προσπάθησαν στο έργο αυτό να χρησιμοποιήσουν τη φρακταλική γεωμετρία ως

Εικ. 20 ‘Οψη του εβραϊκού μουσείου στο Βερολίνο του Liebeskind, Βλέπουμε τις σχισμές που σχηματίζουν μοτίβα, τα οποία όμως δεν είναι παρά μια απλή παραλλαγή της ίδιας σχισμής.

χαος και αρχιτεκτονική φρακταλική αρχιτεκτονική μετά τον Mandelbrot

33. Jencks, ibid. σελ. 262 34. Bernard Tschumi, AD Architectural Design, Decontruction in Architecture, Τόμος 58, Τεύχος 3|4, Academy Group Ltd., Λονδίνο, 1988

οργανωτικό μέσο. Θεωρούν πως το κτήριο ‘διαλύει’ τον κάναβο της πόλης από το βορρά μέσα από το πάρκο προς το νότο χρησιμοποιώντας τα fractals σε διαφορετικές κλίμακες33. Κέρδισαν την ανάθεση μέσα από διαγωνισμό που έγινε το 1996 και το κτήριο άνοιξε τις πόρτες του το 2002. Η πρόσοψη του κτηρίου είναι κατασκευασμένη από τρίγωνα με αναλογίες πλευρών 1:2:√5, τα οποία συνδυάζονται μεταξύ τους για να δημιουργήσουν μεγαλύτερα τρίγωνα. Με τον τρόπο αυτό δημιουργείται ένα μοτίβο στην όψη, το οποίο δεν επαναλαμβάνεται ακριβώς, αλλά διαφοροποιείται ελαφρώς στις επαναλήψεις. Η αλήθεια, όμως, μάλλον βρίσκεται μακριά απ’ αυτή την πραγματικότητα. Η φαινομενικά δυνατή υφή του έργου δεν προβάλλει καμία σχέση με το συνολικό σχήμα. Είναι απλά μια επανάληψη του τριγωνικού ευκλείδειου σχήματος και δεν δημιουργεί το κατασκευαστικό βάθος που συναντάμε στη φρακταλική μονάδα της φύσης. Στα έργα αυτά και σε πολλά άλλα τα οποία προσπαθούν να μιμηθούν τέτοιες μορφές αντιμετωπίζεται το βασικό πρόβλημα: η έλλειψη μιας γεωμετρίας που εκτυλίσσεται. Με τον όρο αυτό εννοούμε μορφές που δεν παράγονται από μια διαδικασία προσαρμογής βήμα-βήμα, η οποία επιδέχεται αλλαγές με το χρόνο.

Εικ. 21 Τμήμα της όψης του δημαρχίου στη Federation square στη Μελβούρη. Κοιτώντας τα μοτίβα από τόσο κοντινή απόσταση γίνεται εμφανές πως πρόκειται για απλή επανάληψη του μοτίβου και όχι αναπαραγωγή αυτο-όμοιων τριγώνων.

Στον αντίποδα βρίσκονται άλλα παραδείγματα αρχιτεκτονικής, τα οποία καταφέρνουν με πολύ διακριτικό τρόπο και εξαιρετικά πετυχημένο, να δημιουργήσουν αυτές τις συνθήκες οργάνωσης και χάους ή όπως θα έλεγαν μερικοί a mix of order and surprise (μια μίξη τάξης και έκπληξης). Ένα τέτοιο παράδειγμα αποτελεί το κίνημα της αποδόμησης και ο Bernard Tschumi. Στο διαγωνισμό για το πάρκο της Villette ο Tschumi πετυχαίνει να διαλύσει το αρχικό του πρόγραμμα και να τοποθετήσει τα κομμάτια σε ένα κάναβο, τον οποίο αν μελετήσει κανείς περιγράφεται από ένα φρακταλικό νέφος. Ο ίδιος έχει παραθέσει εικόνες από μορφοκλασματικές καμπύλες στο Architectural Design: Deconstruction in Architecture34. Γράφει ακόμα ότι τα έργα δεν έχουν αρχή, ούτε τέλος και ότι το έργο ποτέ δεν κατακτιέται, ούτε τα όρια του είναι ποτέ πεπερασμένα . Έτσι θα μπορούσαμε να παρομοιάσουμε το έργο αυτό με το «Julia Set», το οποίο μπορεί κανείς να το εξετάζει σε όλο και πιο κοντινές αποστάσεις και τα όριά του να μην τελειώνουν ποτέ. Στη γενικότητά τους, τα fractals έχουν αρχή αλλά δεν έχουν ποτέ τέλος. Ο Tschumi ακόμα γράφει στο ίδιο κείμενο πως η ιδέα της οργάνωσης αμφισβητείται συνεχώς, πιέζεται στα όριά της. Ένα ακόμα παράδειγμα που ενσωματώνει πραγματικά τα fractal στην δομή του είναι το νέο Λούβρο στο Abu Dhabi. Το γραφείο Jean Nouvel, επέλεξε τη φρακταλική

χαος και αρχιτεκτονική φρακταλική αρχιτεκτονική μετά τον Mandelbrot

γεωμετρία για να δημιουργήσει ένα στέγαστρο-θόλο διαμέτρου 180 μέτρων, το οποίο θα προσφέρει σκίαση αλλά και φως στο αποπνικτικό κλίμα των Αραβικών Εμιράτων. Το μοτίβο του στεγάστρου πηγάζει από την υπέρθεση της ίδιας δομής σε πολλές κλίμακες. Παίζοντας με την κλίμακα και την στροφή δημιουργείται ένα «σάντουιτς» από στρώματα, που όλα γεννήθηκαν από το ίδιο αρχικό μοτίβο, σχηματίζοντας ένα πολύπλοκο και κομψό στέγαστρο, το οποίο εξυπηρετεί τον καλά το σκοπό του. Η μορφή των επιμέρους στοιχείων ελέγχεται από πέντε βασικές παραμέτρους: τον κάναβο, το βασικό μοτίβο, τον περιστροφικό προσανατολισμό τους, και την κλίμακα και το πάχος των μερών. Η φαινομενικά τυχαία γεωμετρία του διάτρητου θόλου επιτυγχάνεται και αναδύεται φυσικά από τα κριτήρια απόδοσης, την τυποποίηση των στοιχείων και την εξέταση των κατασκευαστικών περιορισμών. Αυτή η πολύπλοκη αισθητική είναι μια έκφραση της λειτουργίας του, στο να αποφράσσει φως και την οικονομία του μηχανισμού στήριξης, ενώ έχει σχεδιαστεί για να λειτουργεί σε συνδυασμό με το φυσικό περιβάλλον. Έτσι λοιπόν ακολουθεί τη λογική της φρακταλικής πολυπλοκότητας και δεν παραμένει σε μια επανάληψη μορφολογικών στοιχείων. Το ίδιο το στέγαστρο είναι αυτοφερόμενο και η πολυπλοκότητα αυτή διαπερνά και τον μηχανισμό στήριξής του και εν τέλει αυτό που αισθάνεται κανείς είναι μια φυσική σκιά, σαν να έχει πυκνή φυλλωσιά από πάνω. Το ερευνητικό γκρουπ OCEAN Design Research Association κατέβασε μια πρόταση στη Biennale της Βενετίας του 2004 για ένα κέντρο μουσικής και τεχνών στο Jyväskylä της Φιλανδίας. Ο Achim Menges μαζί με τον Michael Hensen σχεδίασαν ένα κέντρο το οποίο θα μπορούσε να φιλοξενήσει τόσο συμφωνικές ορχήστρες και εκθέσεις, όσο και καθημερινές πολιτιστικές εκδηλώσεις. Το δομικό πλέγμα καθώς και η οι επιφάνειες που προσδιορίζουν το εσωτερικό αφήνουν περιθώρια για μια ad-hoc λειτουργία. Το δομικό πλέγμα καλύπτεται από μια διάφανη και ανακλαστική επιδερμίδα, την οποία επηρεάζουν οι εσωτερικές και εξωτερικές συνθήκες φωτισμού. Οι διαφοροποιήσεις στην ανακλαστικότητα και τη διαφάνεια της επιδερμίδας δημιουργούν την αίσθηση ενός απέραντου χώρου χωρίς όρια. Το πλέγμα σχεδιάστηκε με μια αναδρομική διαδικασία ανάπτυξης, η οποία λάμβανε συνεχώς πληροφορίες που αφορούσαν >

τη θέση, τον προσανατολισμό και την πυκνότητα των στηρίξεων που υποστηρίζουν το πλέγμα

δομικές, ακουστικές απαιτήσεις, καθώς και απαιτήσεις φωτισμού

ειδικές κατευθυντήριες γραμμές του σχεδιασμού.

Εικ. 22 Το στέγαστρο πάνω απ’ το νέο Λούβρο στο Abu Dhabi. Είναι εμφανής η μορφογενετική διαδικασία μέσα από το αρχικό μοτίβο, το οποίο πολλααπλασιάζεται αυτο-όμοια για να δημιουργήσει μια σύνθεση επιδερμίδα.

χαος και αρχιτεκτονική φρακταλική αρχιτεκτονική μετά τον Mandelbrot

Εικ. 23, 24 Η μελέτη του κέντρου τεχνών και μουσικής στην περιοxή Jyväskylä της Φιλανδίας από τον Achim Menges. Εικ, 25 Αλληλουχία βημάτων σε ψηφιακό περιβάλλον που δείχνουν την ανάπτυξη της δομής του πλέγματος.

Το πλέγμα που σχηματίζεται κάθε φορά δίνει πληροφορίες στο δάπεδο, στο δομικό σύστημα και στην επιδερμίδα, όπως και στο σύστημα κυκλοφορίας και ακουστικής ενεργοποίησης. Η διαδικασία ανάπτυξης ξεκίνησε από τον καθορισμό και την κατανομή εικονικών όγκων που τροφοδοτούνταν από τις προγραμματικές απαιτήσεις του κτηριολογικού. Μια σειρά διαβαθμισμένοι χάρτες οργάνωναν στα επίπεδα x,y,z την ανάπτυξη των πλεγμάτων και τροφοδοτούσαν το σύστημα με πληροφορίες για την αποδοτικότητά τους. Ένα πρώτο σύνολο με σημεία αναφοράς εισάγεται στο σύστημα, το οποίο αντιπροσωπεύει τις στηρίξεις και από αυτό ένα δεύτερο σύστημα επιφανειών γεννιέται, από το οποίο ορίζεται ένα άλλο σύνολο σημείων. Μετά από πολλές επαναλήψεις της διαδικασίας σχηματίζεται το τελικό πλέγμα επιφανειών. Από τη διαφορά πυκνότητας και τη γωνιακή μεταβολή του πλέγματος, αλλά και την ποικίλη κατανομή των ηχητικών στοιχείων, εξελίσσεται μια χωρική και ατμοσφαιρική διαφοροποίηση του συστήματος. Ένας ετερογενής χώρος στον οποίο αυξάνεται η χωρική και ατμοσφαιρική διαφοροποίηση παρέχει μια γκάμα επιλογών για τα τοπικά περιβάλλοντα, τα οποία με τη σειρά τους παρέχουν επιλογές για προσωρινές κάθε φορά ειδικές απαιτήσεις των χρηστών. Αυτή η διαδικασία ανάδυσης του αρχιτεκτονικού προϊόντος είναι ακολουθεί ευλαβικά την μορφογενετική διαδικασία των φρακταλικών δομών. Το αρχικό σύστημα μεταβάλλεται με συγκεκριμένους κανόνες και ανατροφοδοτείται συνεχώς μέχρι να ολοκληρωθεί η τελική δομή. Το αρχιτεκτονικό αποτέλεσμα δεν προσπαθεί να κρύψει την σύνθετη δομή και πολυπλοκότητα που έχει αυτό το κτήριο, ενώ η πολυπλοκότητα αυτή δεν περιορίζεται στην μορφολογία του κτηρίου αλλά ταυτίζεται με την δομή και την κατασκευή του. Δεν υπάρχουν στοιχεία που πολλαπλασιάζονται ακέραια ή περιστρέφονται, αλλά ένα module δομείται και προσαρμόζεται μέσα από επαναληπτικές διαδικασίες για να δημιουργήσει την τελική μορφή, όπως και στα fractals, γεγονός που σίγουρα εντάσσει την προσπάθεια του Menges και Hensen στα επιτυχημένα παραδείγματα φρακταλικής αρχιτεκτονικής.

χαος και αρχιτεκτονική φρακταλική αρχιτεκτονική μετά τον Mandelbrot

Ποια είναι, όμως, τα κριτήρια αυτά που μπορούν να μας υποδείξουν τα κτήρια εκείνα , τα οποία έχουν γεννηθεί από μια διαδικασία φρακταλικής αναπαραγωγής και συνέπειας σ’ αυτά τα μαθηματικά μοντέλα; Θα επιχειρήσουμε να θέσουμε κάποια κριτήρια βάσει των οποίων μπορεί κάποιο έργο να θεωρηθεί ότι ακολουθεί φρακταλικές δομές. Αυτά είναι: >

Ακεραιότητα και Πολλαπλότητα Ένας πολύ μικρός αριθμός στοιχείων δεν μπορεί να δημιουργήσει πολυπλοκότητα. Μια φρακταλική μορφή παρουσιάζει πολυπλοκότητα και η πολύπλοκη φόρμα συντίθεται από ένα μεγάλο αριθμό στοιχείων σε διάφορες κλίμακες. Η πολυπλοκότητά της αποκαλύπτεται σταδιακά, παρουσιάζοντας όλο και μεγαλύτερη λεπτομέρεια, καθώς πλησιάζει κανείς. Πάραυτα, η πολλαπλότητα αυτή δεν είναι άναρχη, αλλά ακολουθεί μια εσωτερική δομή που υπακούει σε κάποιους κανόνες, οι οποίοι με τη σειρά τους δημιουργούν φρακταλικά μοτίβα.

Αυτό-ομοιότητα- Αυτό-συγγένεια Αυτό είναι το πιο κοινό χαρακτηριστικό των μορφοκλασματικών καμπυλών όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο της αυτό-ομοιότητας. Αντικείμενα που έχουν σχεδιαστεί με τη λογική αυτή, πρέπει λοιπόν, να παρουσιάζουν αυτό-όμοια μοτίβα τα οποία επαναλαμβάνονται σε διαφορετικές κλίμακες. Με άλλα λόγια τα υπό κλίμακα στοιχεία σε ένα έργο θα πρέπει να αναφέρονται στις αναλογίες του όλου και κάθε ένα να είναι αναλογικό ως προς αυτό, ακολουθώντας κάποιους μαθηματικούς κανόνες, οι οποίοι δημιουργούν μια λογική ιεραρχία σε μορφή και δομή.

Βαθμός φυσικής πολυπλοκότητας (fractal complexity) Αναφέρθηκε νωρίτερα ότι οι μορφοκλασματικές καμπύλες διαθέτουν διάσταση μεταξύ των ακέραιων αριθμών 1 και 2. Μια μορφοκλασματική καμπύλη δεν χάνει την πολυπλοκότητά της αν την παρατηρήσουμε σε κοντινή απόσταση, αλλά κάποια μέρη της όσο πιο κοντά τα κοιτάμε, ίσως φαίνονται πιο επίπεδα σε μικρές κλίμακες. Ένα παράδειγμα είναι το κτήριο στη Federation Square που παρατέθηκε παραπάνω. Έτσι, η διάσταση μας δίνει έναν ακριβή βαθμό πολυπλοκότητας και μπορεί εύκολα να μετρηθεί με τη μέθοδο Box Counting Dimension που αναφέραμε.

χαος και αρχιτεκτονική φρακταλική αρχιτεκτονική μετά τον Mandelbrot

35. John Ruskin, The elements of drawing, Smith, Elder & Co., Λονδίνο, 1857, σελ. 260

Ιεραρχία των συνδέσεων Οι μορφοκλασματικές καμπύλες δομούνται με στοιχεία τα οποία έχουν μια καθορισμένη ιεραρχία σύνδεσης μεταξύ τους. Τα πιο μικρά στοιχεία είναι περισσότερα σε αριθμό και ζευγαρώνονται ανά δύο που έχουν σχεδόν το ίδιο μέγεθος, για να συγκροτήσουν ένα στοιχείο του αμέσως μεγαλύτερου μεγέθους. Άρα αυτή η ιεραρχία για την οποία μιλάμε είναι που εν τέλει μορφοποιεί το τελικό σχήμα. Όπως θα ήταν φυσικό οι πιο ισχυροί δεσμοί είναι τοπικοί (δηλαδή, αυτοί που έχουν μικρή διακύμανση- close range). Άρα σε ένα αρχιτεκτονικό έργο τα στοιχεία που αποτελούν το όλο θα πρέπει να συνδέονται με πολύ συγκεκριμένο τρόπο μεταξύ τους και ο κανόνας αυτός σύνδεσης να διέπει όλο το σχεδιασμό.

Αλλαγή στο χρόνο Σε πολλές μορφοκλασματικές καμπύλες παρατηρείται αλλαγή στο χαρακτήρα τους και στο μέγεθός τους. Κατά τα λόγια του Ruskin στο βιβλίο του The elements of drawing [1857], αν δεν υπάρχει καθόλου αλλαγή στο σχήμα ή στο μέγεθος των αντικειμένων, τότε δεν υπάρχει συνέχεια, υπάρχει μόνο επανάληψη – μονοτονία. Είναι η αλλαγή στο σχήμα που υποδηλώνει την ιδέα ότι είναι μεμονωμένα ελεύθερα και ικανά να αποδράσουν, αν το ήθελαν, από το νόμο που τα διέπει, αλλά παρόλα αυτά υποτάσσονται σ ’αυτόν35 . Η διαδικασία παραγωγής έργων βασισμένων σε φρακταλικές δομές προϋποθέτει την παραδοχή ότι αυτό θα αλλάζει με τον χρόνο και στον χώρο. Η αλλαγή στον χώρο μιας αρχιτεκτονικής σημαίνει ότι ο σχεδιαστής παρέχει στον παρατηρητή του έργου από έξω προς τα μέσα μια ποικιλία προοπτικών. Δηλαδή, για παράδειγμα, τα στοιχεία της όψης μπορούν να ομαδοποιηθούν με τέτοιο τρόπο ώστε να προσφέρουν στον θεατή περισσότερες από μια ερμηνείες.

χαος και αρχιτεκτονική αντίκτυπος στον ψυχισμό και το συναίσθημα

αντίκτυπος στον ψυχισμό και το συναίσθημα Ενδιαφέρον παρουσιάζει μια έρευνα που αφορά στον αντίκτυπο που προκαλούν τα fractal στον άνθρωπο και ο συσχετισμός τους με βιολογικά χαρακτηριστικά του ανθρώπου. Τα περιβάλλοντα που περιέχουν φρακταλική οργάνωση ασκούν μια υποσυνείδητη γοητεία στον άνθρωπο. Η φύση, τα δάση, τα βουνά. Η μουσική και άλλα στοιχεία που είναι δομημένα φρακταλικά ελκύουν τους ανθρώπους, που βλέπουν τη φύση ως κάτι το τέλειο και κάτι που προκαλεί ηρεμία-αρμονία. Όπως αναφέρει ο Yannick Joye στο άρθρο του Fractal Architecture Could be Good for you, υπάρχει λόγος που είμαστε υπο μία έννοια εναρμονισμένοι στα fractal και στην φρακταλική αρχιτεκτονική, καθώς έχει βρεθεί ότι το ανθρώπινο νευρικό σύστημα αποτελείται από time fractals. Πιο συγκεκριμένα οι αναλύσεις της λειτουργίας του εγκεφάλου δείχνει ότι παρουσιάζει τυπικά σήματα θορύβου, που συνήθως αναφέρονται ως 1/f noise ή pink noise. Ο φρακταλικός χαρακτήρας των εν λόγω θορύβων μπορεί εύκολα να εκτιμηθεί, γιατί όπως και στα χωρικά fractal, δείχνει αυτό-όμοια λεπτομέρεια όταν το μεγεθύνουμε. Αλλά ποια είναι η λειτουργία αυτών των time fractals; Μια απάντηση είναι ότι ο φυσικός κόσμος –και ο τρόπος που αλλάζει με το χρόνοχαρακτηρίζεται επίσης από pink noise, κάτι που δείχνει ότι το φρακταλικό μυαλό μας είναι βελτιστοποιημένο για να επεξεργάζεται τα φρακταλικά χαρακτηριστικά του φυσικού περιβάλλοντος. […] Η υπόθεση αυτή ενισχύεται από τη διαπίστωση ότι είναι πιο εύκολο να διακρίνει κάποιος μορφοκλασματικές καμπύλες που έχουν τις ίδιες φρακταλικές ιδιότητες με φυσικά περιβάλλοντα.[…] Εϊναι ενδιαφέρον ότι αυτά τα ευρήματα μπορούν (υποθετικά) να εξηγήσουν τη δημιουργία των φρακταλικών έργων τέχνης και αρχιτεκτονικής. Οι εν λόγω τέχνες θα πρέπει να εκλαμβάνονται ως εξωτερικεύσεις των φρακταλικών πτυχών της λειτουργίας του εγκεφάλου.36 Βέβαια αυτή η εξήγηση δεν είναι αρκετά ικανοποιητική για να εξηγήσει πραγματικά γιατί οι φρακταλικές μορφές μας ελκύουν. Όμως ο ίδιος ο Joye στο άρθρο του αναζητά περισσότερους λόγους στο πεδίο της περιβαλλοντικής ψυχολογίας. Μας εξηγεί πως στην λογοτεχνία και την τέχνη φαίνεται η συναισθηματική ανταπόκριση του ανθρώπου προς κάποια φυσικά περιβάλλοντα όπως η βλάστηση. Ερευνητές έχουν βρει πως τα συγκεκριμένα στοιχεία οδηγούν σε θετικές αισθητικές αποκρίσεις, ενώ ταυτόχρονα μειώνουν το άγχος που βιώνει ο άνθρωπος. Οι αποκρίσεις αυτές των αισθήσεών μας βρίσκονται βαθιά μέσα στον ανθρώπινο εγκέφαλο και αποτελούν απομεινάρια της ανθρώπινης εξέλιξης. Πιστεύεται, δηλαδή, ότι αυτές οι βιοφιλικές αποκρίσεις αναπτύχθηκαν για λόγους επιβίωσης, αφού τα στοιχεία βλάστησης αποτελούσαν πηγή τροφής, κάλυψης και προστασίας. Σύμφωνα με τον Joye υπάρχει, λοιπόν, μια βάση να πιστεύουμε πως η φρακταλική γεωμετρία μας ελκύει, αφού δεν είναι το ίδιο το φυσικό περιβάλλον που μας προκαλεί συναισθήματα ευφορίας,

36. Yannick Joye, Fractals Could be Good for You, περιοδικό NEXUS NETWORK JOURNAL, Birkhäuser Τόμος. 9, Τεύχος. 2, 2007, σελ. 317

χαος και αρχιτεκτονική αντίκτυπος στον ψυχισμό και το συναίσθημα

αλλά η φρακταλική δομή του. Σύμφωνα με την έρευνα της Caroline Hagerhall η ανταπόκριση του εγκεφάλου μεγεθύνεται όταν η φρακταλική διάσταση του περιβάλλοντος έχει μια μέση τιμή, γύρω στο 1.3 με 1.5 . Θεωρούν ότι η πρωτόγονη λειτουργία του εγκεφάλου συνεχώς αξιολογεί υποσυνείδητα τα τοπία ως προς την κατοικησιμότητά τους, προτιμώντας έτσι μέρη με μεσαία πολυπλοκότητα. Πολύ πολύπλοκα περιβάλλοντα θα μπορούσαν να περιέχουν κινδύνους, όπως κρυμμένους θηρευτές, ενώ όχι αρκετά πολύπλοκα περιβάλλοντα δεν περιέχουν αρκετά στοιχεία είτε για τροφή είτε για προστασία.

37. Ibid. σελ. 318-319

Μεγάλο ενδιαφέρον έχει πως καταλήγει το άρθρο του Joye, προσπαθώντας να δώσει μια μαθηματική ερμηνεία για το σύγχρονο τρόπο ζωής. Ένας από τους λόγους που μας αρέσουν τα fractal στην γοτθική και ινδουιστική αρχιτεκτονική είναι ότι μας θυμίζουν τα αρχαία, φυσικά τοπία κατοικίας μας. Επειδή οι εγκέφαλοί μας δεν έχουν αλλάξει ουσιαστικά από την προϊστορία, οι βιοφιλικές μας αντιδράσεις δουλεύουν ακόμη. Ωστόσο, στο σύγχρονο κόσμο, οι φρακταλικές μορφές π.χ. τα δέντρα, που ποθούμε συνεχώς, απομακρύνονται από τα περιβάλλοντα που ζούμε και συχνά αντικαθίστανται από απλές ευκλείδειες μορφές. Ορισμένοι μελετητές υποστηρίζουν ότι η τάση αυτή μπορεί να οδηγήσει σε αυξημένη απελευθέρωση στρεσογόνων ορμονών, οι οποίες μακροπρόθεσμα, μπορεί να έχουν καταστροφικές συνέπειες στην ανθρώπινη υγεία. […] Άλλοι πάλι πιστεύουν ότι αυτό το γεγονός θα μπορούσε να είναι ένα από τα βαθύτερα αίτια ψυχοπαθολογικών καταστάσεων στις δυτικοποιημένες κοινωνίες.37 Με λίγα λόγια το άρθρο αυτό μας κρούει τον κώδωνα του κινδύνου για το μέλλον της αστυφιλικής κοινωνίας και θέτει ένα πραγματικό ερώτημα στο τραπέζι, αν οι αρχιτέκτονες πρέπει να κάνουν σήμερα μια στροφή 180 μοιρών προς μια αρχιτεκτονική που υποτάσσεται κι αυτή στους γενεσιουργούς κανόνες της φύσης.

Εικ. 26 Οι παρακάτω εικόνες απεικονίζουν μια αεροφωτογραφία των ορέων του Θηβέτ, μια εικόνα από σχηματισμούς συνέφων και από κάτω ακριβώς φαίνεται η φρακταλική αντίστοιχη δομή, ενός τμήματος του Mandelbrot set.

πολυπλοκότητα και πολεοδομία

Πολυπλοκότητα και πολεοδομία Τα αστικά περιβάλλοντα είναι από τη δημιουργία τους πολύπλοκα. Ενέχουν τόσες πολλές δραστηριότητες και αλληλένδετα στοιχεία τόσο φυσικά όσο και ανθρώπινα, που είναι σχεδόν ακατόρθωτο να καταγραφούν ή να προβλεφθούν μόνο από μια ομάδα ανθρώπων. Στα αστικά περιβάλλοντα ζουν άνθρωποι διαφόρων ηλικιών, οικονομικών στρωμάτων, επαγγελμάτων κ.ο.κ. οι οποίοι αλληλεπιδρούν και συνδέονται μεταξύ τους, παράγοντας όλο το φάσμα της ανθρώπινης δραστηριότητας. Οι άνθρωποι και τα άψυχα στοιχεία του αστικού χώρου δεν είναι στατικά, αλλά δυναμικά, καθώς αλλάζουν στο χρόνο τόσο οι ίδιοι αλλά και οι σχέσεις τους. Πρόκειται ουσιαστικά για ένα σύστημα που συνεχώς η ισορροπία του μετατοπίζεται, εφόσον αλλάζουν συνεχώς οι τοπικές συνθήκες. Τα αστικά περιβάλλοντα ίσως είναι η πιο εύκολα κατανοητή εφαρμογή της θεωρίας του χάους και του φαινομένου της πεταλούδας. Το πιο απλό παράδειγμα είναι η οικονομική κρίση του 2008 που ξεκίνησε από μια εταιρεία στην Καλιφόρνια και σταδιακά άρχισε να εξαπλώνεται εκτός συνόρων, σε παγκόσμιο επίπεδο. Οι τοπικές ισορροπίες και οι ισοτιμίες νομισμάτων άλλαξαν, σύμφωνα με το πώς η εκάστοτε χώρα μπορούσε να αντιμετωπίσει την κατάσταση. Αυτή η ισορροπία ακόμα και σήμερα μεταβάλλεται διαρκώς, αφού ανατροφοδοτείται από τις εξελίξεις. Η κρίση από οικονομική έγινε πολιτισμική, ψυχολογική, άλλαξε το αστικό σκηνικό και περιβάλλον. Έγινε μια ανακατανομή στην ιδιοκτησία του κτισμένου χώρου. Προφανώς, λοιπόν, το συνολικό σύστημα είναι δυναμικό και μελλοντικά έχει άπειρα σενάρια εξέλιξης για το πώς θα διαμορφωθεί το αστικό περιβάλλον τοπικά και παγκόσμια. Στην πραγματικότητα οι πόλεις χτίζονται ιεραρχικά από κάτω προς τα πάνω, αφού είναι το προϊόν εκατομμυρίων ατομικών αποφάσεων σε πολλές διαφορετικές κλίμακες και σε διαφορετικές χρονικές περιόδους, που επηρεάζουν την μορφή και τη λειτουργία της πόλης. Η μεγαλύτερη ανάπτυξη στις πόλεις έρχεται χωρίς κεντρικό σχεδιασμό, αλλά παρόλα αυτά εκείνες συνεχίζουν να λειτουργούν σχετικά αποτελεσματικά χωρίς κεντρικό έλεγχο και αναπτύσσουν τον δικό τους συντονισμό από τα τοπικά σημεία στο όλο. Η τάξη τους αναδύεται από όλες αυτές τις ανεξάρτητες αποφάσεις που όπως αναφέρει και ο Michael Batty εκφράζουν τον χαρακτηρισμό του Adam Smith για την οικονομία, η οποία διοικείται από ένα αόρατο χέρι. Ανέκαθεν παρατηρείται θα λέγαμε, μια ανεπάρκεια χρήσης υπαρχουσών επιστημονικών μεθόδων και οργανωτικών δομών που βασίζονται σε λογικές/ θε-

πολυπλοκότητα και πολεοδομία

τικιστικές ιδέες, όπως ο ρασιοναλισμός, η αναγωγή και ένας συνολικός σχεδιασμός μεγάλης χρονικής εμβέλειας. Η έλευση της θεωρίας της πολυπλοκότητας ως μέσο κατανόησης και σχεδιασμού του αστικού περιβάλλοντος ανοίγει νέους δρόμους σκέψης για τον συγκερασμό όλων αυτών των διαφορετικών παραμέτρων. Παρότι δεν είναι πανάκεια, είναι σίγουρο πλέον πως οι υπάρχουσες μέθοδοι σχεδιασμού δεν έχουν κριθεί επαρκείς ώστε να αντιμετωπίσουν τα προβλήματα του αστικού τοπίου, που εξελίσσεται συνεχώς.

πολυπλοκότητα και πολεοδομία θεωρητικές προσεγγίσεις

θεωρητικές προσεγγίσεις O Stan Allen το 1997 στο άρθρο του From Object to Field38 , κάνει λόγο για την έννοια της μετάβασης από το “αντικείμενο” στο “πεδίο”, δηλαδή σε μια πιο ευρεία αντιμετώπιση της αρχιτεκτονικής, της τέχνης και του χώρου. Στα πλαίσια της έννοιας αυτής αναζητά τις αναφορές της στο πεδίο του μαθηματικού χώρου, στις δυναμικές της μη-γραμμικής ανάπτυξης και στην ψηφιακή απεικόνιση της εξελικτικής μετάβασης. Στην ουσία, ο Allen προσπαθεί να εντοπίσει εκείνες τις γενεσιουργές μεθόδους, οι οποίες βασίζονται στην θεωρία της πολυπλοκότητας ώστε να “γεννηθεί” ένα αποτέλεσμα μέσα από επιμέρους δυναμικές διαδικασίες βάσει μιας εξελικτικής ανάπτυξης. Χρησιμοποιεί ως παράδειγμα μουσικούς συνθέτες της μεταπολεμικής περιόδου, οι οποίοι αποστασιοποιήθηκαν από τους περιορισμούς του Σειραϊσμού και εφάρμοσαν νέες μεθόδους σύνθεσης, όπως ηχητικά “σύννεφα”, ή “στατιστική” μουσική στην περίπτωση του Ιάννη Ξενάκη, όπου τα πολύπλοκα ακουστικά γεγονότα είναι αδύνατον να διασπαστούν στα επιμέρους στοιχεία που τα απαρτίζουν. Παρομοίως, οι υποδομές της μοντέρνας πόλης, ενωμένες από τη σύλληψή τους σε ένα ανοικτό δίκτυο, προσφέρουν ακόμα ένα παράδειγμα “πεδίου” σε ένα πολύπλοκο αστικό περιβάλλον. Οι συνθήκες που αναφέρονται στο “πεδίο” είναι φαινόμενα που εξελίσσονται ιεραρχικά από κάτω προς τα πάνω. Δεν καθορίζονται από τα γενικά γεωμετρικά σχήματα, αλλά από πολύπλοκες τοπικές σχέσεις. Form matters, but not so much the form of things as the form between things (η μορφή μετράει, αλλά όχι τόσο η μορφή των πραγμάτων όσο η μορφή μεταξύ των πραγμάτων). Συμφωνα με τον Allen οι διαμορφώσεις αυτές είναι εγγενώς επεκτάσιμες, καθώς η δυνατότητα της ολοένα αυξανόμενης ανάπτυξης βασίζεται στις μαθηματικές σχέσεις των μερών. Το “κλειδί” πάντα βρίσκεται την ύπαρξη των μερών, ως αυτοτελή μέρη του συνόλου, κι όχι ως απλά κομμάτια που σχηματίζουν ένα όλον, δηλαδή φράγματα. Τα μέρη αυτά πρέπει να είναι ικανά να υπάρχουν μόνα τους και να ανήκουν χαρακτηριστικά στο σύνολο, ώστε να είναι δυνατή αυτή η εξελικτική διαδικασία και ταυτόχρονα το αποτέλεσμα να είναι αυτοτελές σε κάθε στάδιο. Στο άρθρο αναφέρεται ως παράδειγμα το τζαμί στην Cordoba της Ισπανίας, όπου κάθε στάδιο κατασκευής είναι αυτοτελές ενώ ταυτόχρονα συμπληρώνει το προηγούμενο. Ο Ισπανός αρχιτέκτονας Rafael Moneo παρατήρησε για το ίδιο κτήριο: δεν πιστεύω πως το τζαμί της Cordoba καταστράφηκε μετά από όλες αυτές τις αλλαγές. Αντίθετα, πιστεύω πως το γεγονός ότι το τζαμί συνεχίζει να είναι ο εαυτός του μετά από όλες αυτές τις παρεμβάσεις είναι ένας φόρος τιμής στην ακεραιότητά του .39

38. Stan Allen, άρθρο ‘From Object to field’ στο Architecture after Geometry, AD Profile 127, Architectural Design Magazine, Volume 67, Μάιος-Ιούνιος 1997, σελ. 24-31. 39 Το παραπάνω απόφθεγμα παρατίθεται από τη συζήτηση με τον Rafael Moneo στο άρθρο “La vida de los edificios”, Architecture 256, τεύχος Σεπτέμβριος-Οκτώβριος, 1985, σελ. 27-36

πολυπλοκότητα και πολεοδομία θεωρητικές προσεγγίσεις

40. Rafael Moneo στο άρθρο “La vida de los edificios”, Architectue 256, τεύχος Σεπτέμβριος-Οκτώβριος, 1985, σελ. 27-36 41. Ο Barry Le Va είναι Αμερικανός γλύπτης και installation artist, γεννήθηκε στη Καλιφόρνια το 1941. Σήμερα ζει και εργάζεται στη Νέα Υόρκη ως καλλιτέχνης. Ανήκει στο κίνημα process art και το 1968 του απονεμήθηκε το Young Talent Grant του Los Angeles County Museum of Art. 42. Jane Livingston, ‘Barry Le Va: Distributional Sculpture’, Artforum, Νοέμβριος, 1968

Ακόμη, ο Allen συμμερίζεται την άποψη των καλλιτεχνών Donald Judd και Robert Morris, οι οποίοι εκφράζουν μια κριτική στάση απέναντι στην Ευρωπαϊκή τέχνη που κατά τη γνώμη τους μετά τον Κυβισμό υπακούει σε μια νόρμα σχέσεων κριτικής και μόνο ανάμεσα σε έργο και θεατή40 . Παρότι ο Judd και ο Morris κινήθηκαν σε μια πιο μινιμαλιστική πρακτική, η οποία παρουσιάζει μια σημαντική εξέλιξη από αυτήν που υπήρχε προπολεμικά, ο Allen ψάχνει αυτό το παραπάνω στοιχείο που θα δώσει νόημα στην μετάβαση από το “αντικείμενο” στο “πεδίο”, τοπικές σχέσεις που θα αναδείξουν το αποτέλεσμα. Τελικά το στοιχείο αυτό το βρίσκει στον Barry Le Va41 . Ο Le Va καθώς είχε παρακολουθήσει και μαθήματα αρχιτεκτονικής μπορούσε πολύ καλά να αντιληφθεί το χώρο πίσω απ’ το γλυπτό. Από τα μέσα της δεκαετίας του ‘60 άρχισε να παράγει γλυπτά που προσπαθούσαν να καταρρίψουν την ιδέα ότι το γλυπτό είναι μια σαφώς ορισμένη ενότητα, ένα αντικείμενο ανεξάρτητο από το πεδίο στο οποίο βρίσκεται. Αποκαλούσε τα έργα αυτά “κατανομές”. Είτε τυχαία είτε οργανωμένα, η “κατανομή” ορίζεται ως “σχέσεις σημείων και η διάρθρωση αυτών” ή αλλιώς “μια σειρά γεγονότων”42 . Εδώ οι τοπικές συνδέσεις είναι πιο σημαντικές από την τελική μορφή. Η γέννηση της μορφής μέσα από “μια σειρά γεγονότων” συνδέεται επίσης με τους γενετικούς κανόνες που διέπουν τη συμπεριφορά του σμήνους, όπως θα δούμε στο πείραμα του Craig Reynolds. Ο Le Va χρησιμοποιεί μια συνθετική αρχή “κλειδί” του μετά-μινιμαλισμού (post-minimalism), τη μετατόπιση του ελέγχου σε μια σειρά από πολύπλοκους τοπικούς κανόνες για συνδυασμούς, ή σε “μια σειρά γεγονότων”, η οποία αντικαθιστά την γενική σύνθεση της μορφής. Στην περίπτωση της τέχνης, αυτή η επιλογή μετατόπισης του ελέγχου στη διαδικασία εμφανίζεται με την επιλογή των υλικών, καθώς υπάρχουν υλικά τα οποία μπορούν να έχουν μια απρόβλεπτη συμπεριφορά όπως για παράδειγμα το να φυσάς αλεύρι όπως έκανε ο Le Va ή το να ρίχνεις λάτεξ όπως έκανε η Linda Benglis. Τα έργα δε, στα τέλη της δεκαετίας του ’60 χρησιμοποιούσαν τόσο εφήμερα υλικά, τα οποία πια δεν ήταν παρά ένα μέσο καταγραφής της διαδικασίας και της αλλαγής. Έτσι λοιπόν, ο Allen αναφερόμενος σε δυο παραδείγματα στο χώρο της αρχιτεκτονικής αλλά και της τέχνης προσπαθεί να δώσει έμφαση σ’ αυτή την τάση αλλαγής στον τρόπο σχεδιασμού, όπου σημασία δεν έχει πια το τελικό αποτέλεσμα αλλά η διαδικασία η ίδια• από την αφαίρεση της μορφής στην έμφαση της διαδικασίας. Προτείνει μια προσπάθεια να ξεπεραστεί η συμβατική εναντίωση απέναντι στην κατασκευή και τη διαδικασία γέννησης της μορφής, δίνοντας έμφαση στην επαναλαμβανόμενη σύνδεση μεταξύ των διαδικασιών της μορφής και τη γέννηση της μορφής μέσα όμως από σύνθεση όλων των επιμέρους μερών. Υποστηρίζει πως κατανοώντας αυτή την αλληλουχία γεγονότων είναι πλέον δυνατό κάποιος να φανταστεί έναν σχεδιασμό που είναι ικανός να ανταποκριθεί στις τοπικές διαφοροποιήσεις ενώ

πολυπλοκότητα και πολεοδομία θεωρητικές προσεγγίσεις

43. Ο όρος “boids” είναι συντόμευση του όρου birdoid objects, που στα ελληνικά σημαίνει αντικείμενα που μοιάζουν με πουλιά. 44. M Mitchell Waldrop, Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos, Simon and Schuster, Νέα Υόρκη, 1992, σελ. 240-241

ταυτόχρονα να διατηρεί μια γενική σταθερότητα. Στα τέλη της δεκαετίας του 1980 ο θεωρητικός Craig W. Raynolds, ειδικός στα ζητήματα τεχνητής ζωής (artificial life) και ψηφιακών συστημάτων, δημιούργησε ένα ψηφιακό πρόγραμμα για να προσομοιάσει τη συμπεριφορά του σμήνους των πουλιών. Όπως περιγράφεται από τον Mitchell Waldrop στο Complexity: The emerging science at the edge of order and chaos, ο Reynolds έπλασε ένα μεγάλο αριθμό από αυτόνομους παράγοντες, που έμοιαζαν με πουλιά σε ένα ψηφιακό περιβάλλον, τους οποίους ονόμαζε boids43 . Όπως οι περισσότερες προσομοιώσεις τεχνητής ζωής, έτσι και το πρόγραμμα αυτό είναι ένα παράδειγμα μιας αναδυόμενης συμπεριφοράς, δηλαδή μιας συμπεριφοράς στην οποίας η πολυπλοκότητα δημιουργείται μέσω της διάδρασης των μεμονωμένων παραγόντων - των boids- οι οποίοι ακολουθούν ένα σύνολο κανόνων. Έτσι, τα boids ήταν προγραμματισμένα:

Εικ. 27 πάνω: Palms Down- Bearings Roll, έργο του Barry Le Va που δείχνει έξι “ζαριές”, έξι διατάξεις χωρίς συγκεκριμένη τάξη-σειρά. 1961-967 Μελάνι σε χαρτί. Εικ, 28 κάτω: Disentangle, έργο του Barry Le Va, μάλλινο ύψασμα σκορπισμένο “τυχαία”. 1968, μαλλί, Sonnabend Gallery

να διατηρούν μια ελάχιστη απόσταση από τα άλλα αντικείμενα στο περιβάλλον τους (άλλα boids, αλλά και εμπόδια)

να προσπαθούν να ταυτίσουν την επιτάχυνσή τους μετά άλλα boids στο περιβάλλον τους και

να κινούνται προς το αντιληπτό κέντρο της γειτονικής μάζας.

Αυτό που είναι ενδιαφέρον σ΄αυτή την έρευνα είναι ότι κανείς δεν όρισε με κάποια διαδικασία να αναπτυχθούν σμήνη, παρόλα αυτά κάθε φορά, σε κάθε προσομοίωση σχηματιζόταν σμήνος πουλιών. Οι κανόνες ήταν απόλυτα τοπικοί και αναφέρονταν μόνο σε τι μπορούσε να κάνει κάθε boid σε συνάρτηση με τα γειτονικά του, ενώ δεν υπήρχε κανένας κανόνας που να αφορά το σύνολο. Αν ένα σμήνος επρόκειτο να δημιουργηθεί, αυτό θα έπρεπε να γίνει ιεραρχικά “από κάτω προς τα πάνω”, ως ένα αναδυόμενο φαινόμενο44 . Τα σμήνη είναι αδιαμφισβήτητα ένα αυτοοργανούμενο σύστημα, το οποίο διέπεται από τοπικούς κανόνες και ακριβώς γι’ αυτό το λόγο, επειδή οι κανόνες ορίζονται τοπικά, τυχόν εμπόδια δεν είναι καταστροφικά για το σύνολο. Διαφοροποιήσεις και εμπόδια στο περιβάλλον αντιμετωπίζονται με ευέλικτη συμπεριφορά και προσαρμοστικότητα. Ένα μικρό σμήνος δεν έχει μεγάλες διαφορές με ένα μεγάλο, αφού και τα δύο έχουν βασικά την ίδια δομή. Μετά από πολλές επαναλήψεις του αλγορίθμου, γίνονται εμφανή διάφορα μοτίβα. Χωρίς να έχουμε την

πολυπλοκότητα και πολεοδομία θεωρητικές προσεγγίσεις

45. Elias Canetti, Crowd and Power, μετφ. στα αγγλικά Carol Stewart, Farrar, Straus and Giroux, Νέα Υόρκη, 1984

την ίδια ακριβώς επανάληψη, παρατηρούμε ότι τα μοτίβα παραλλάσσονται με σχετικά παρόμοιους σχηματισμούς, όχι ως ένας σταθερός τύπος, αλλά ως το συσσωρευτικό αποτέλεσμα των εντοπισμένων προτύπων συμπεριφοράς.

46. Ελκυστές είναι κάποια σημεία, τα οποία έχουν μεγάλη επιρροή στο χώρο και «τραβούν» όλα τα στοιχεία κοντά τους.

Παρόμοια συμπεριφορά θα μπορούσαμε να πούμε πως έχουν και τα ανθρώπινα πλήθη. Παρόλα αυτά εκεί υπάρχουν πολλές περισσότερες παράμετροι που πρέπει να ληφθούν υπόψιν. Τα ανθρώπινα πλήθη παρουσιάζουν μια διαφορετική δυναμική, η οποία συνήθως οδηγείται από πολύπλοκες επιθυμίες των μονάδων, οι οποίες δρουν μεταξύ τους και παράγουν όχι τόσο αναμενόμενα μοτίβα. Ο Elias Canetti στο Crowds and Power45 πρότεινε μια πιο ευρεία ταξινόμηση του πλήθους, το οποίο μπορεί να είναι ανοιχτό ή κλειστό, ρυθμικό ή στάσιμο, αργό ή γρήγορο. Έτσι, σύμφωνα με τον Canetti, το πλήθος έχει τέσσερα βασικά γνωρίσματα, με την ίδια λογική που τα boids είχαν τρεις κανόνες που διέπουν τη συμπεριφορά τους. Πρώτον, το πλήθος θέλει συνέχεια να μεγαλώνει σε μέγεθος, δεύτερον, όλα τα μέλη του πλήθους είναι ισότιμα, τρίτον, στο πλήθος αρέσει η πυκνότητα και τέταρτον, το πλήθος πάντα έχει ανάγκη από ηγεσία και κατεύθυνση.

Εικ. 29 Διαφορετικές χρονικές στιγμές της προσωμοίωσης των Boids που αλλάζουν διαρκώς διάταξη ανάμεσα σε ένα οργανωμένο σύνολο και σε αταξία.

Τόσο τα σμήνη όσο και τα πλήθη λειτουργούν στα όρια του ελέγχου. Παρουσιάζουν και τα δύο πολύπλοκες συμπεριφορές που προκύπτουν από την δράση διάφορων συνιστωσών και παραγόντων, ενώ τείνουν μακροπρόθεσμα σε μια χαοτική συμπεριφορά. Ο λόγος για τον οποίο αυτές οι δύο συμπεριφορές παρουσιάζονται εδώ, είναι για να δοθούν δύο παραδείγματα από τα οποία η αρχιτεκτονική έρευνα θα μπορούσε να λάβει στοιχεία και να στραφεί σε μια διεργασία αποκάλυψης του αρχιτεκτονικού αποτελέσματος, μακριά από το συνηθισμένο τρόπο σχεδιασμού, όπου ο αρχιτέκτονας έχει το μόνο λόγο για την παραγωγή του αρχιτεκτονικού αποτελέσματος. Με αυτόν τον τρόπο τόσο η αρχιτεκτονική όσο και η πολεοδομία έχει την ευκαιρία να αντιμετωπίσει τα εκάστοτε προβλήματα με έναν πιο ευέλικτο τρόπο δίνοντας σημασία στις τοπικές δυναμικές καταστάσεις σε μια λογική ανάδυσης “από κάτω προς τα πάνω”. Από μια άλλη σκοπιά που πραγματεύεται κι αυτή την έννοια της αυτό-οργάνωσης μπορούμε να μεταφέρουμε τις ιδέες του Ilya Prigogine στην οργάνωση της πόλης. Οι δύο μορφές αυτό-οργάνωσης στην πόλη είναι η τοπική και παγκόσμια μακροσκοπική, ενώ αντίστοιχα μιλάμε για το μικροσκοπικό χάος και το ντετερμινιστικό χάος. Η κίνηση των πεζών και των αυτοκινήτων σε ένα δρόμο είναι παράδειγμα τοπικής χαοτικής συμπεριφοράς, μιας και αναφέρεται σε ξεχωριστές οντότητες της πόλης. Η ντετερμινιστική χαοτική συμπεριφορά υπάρχει στις πόλεις, όταν οι ξεχωριστές αυτές οντότητες έλκονται από κάποιους ελκυστές46 . Έτσι, η πόλη αμφιταλαντεύεται από τον

πολυπλοκότητα και πολεοδομία θεωρητικές προσεγγίσεις

έναν ελκυστή στον άλλο. Ένα παράδειγμα είναι οι αυτοκινητόδρομοι, στους οποίους τη νύχτα η κίνηση πολώνεται σε συγκεκριμένα σημεία, ενώ τη μέρα είναι συνήθως κατανεμημένη ομοιόμορφα κατά τις ώρες αιχμής. Πρόκειται, λοιπόν, για μια μετατόπιση της κατάστασης του συστήματος ανάμεσα στην οργάνωση και το χάος. Τέτοιες αλλαγές παρατηρούνται και σε άλλα σημεία μέσα στην πόλη, όπως π.χ. σε μουσεία όταν πραγματοποιείται μια έκθεση ή ένα αντίστοιχο γεγονός. Οι ελκυστές κάποιες φορές μπορεί να είναι πολύ ισχυροί και απρόβλεπτοι, άρα όσο καλά και να σχεδιάζουμε τις κινήσεις και τις δράσεις σε ένα περιβάλλον πάντα θα υπάρχει μια άγνωστη περιοχή που θα είναι μη προβλέψιμη και θα ανατροφοδοτεί τη χαοτική συμπεριφορά.

Εικ. 30 Τάξη και χάος, σμήνη και πλήθη.

πολυπλοκότητα και πολεοδομία cellular automata | το παιχνίδι της ζωής

cellular automata | το παιχνίδι της ζωής Τη δεκαετία του 1940 αναπτύχθηκαν από τους Stanislaw Ulam και John Von Neumann η αρχική ιδέα που οδήγησε στα ‘κυτταρικά αυτόματα’ για αναπαραγόμενα συστήματα και τη μελέτη της κρυσταλλικής ανάπτυξης στο εργαστήριο Los Alamos στο New Mexico. Τα κυτταρικά αυτόματα σήμερα χρησιμοποιούνται στον αστικό σχεδιασμό για να προσομοιώσουν τις διαδικασίες ανάπτυξης πόλεων και αστικών συγκροτημάτων, αφού μπορούμε να πούμε ότι βασίζονται στο ίδιο μαθηματικό υπόβαθρο και είναι κι αυτά μια μέθοδος δημιουργίας πολύπλοκων συστημάτων, όπως είναι τα IFS. Αλγοριθμικά, ο κώδικας που δημιουργεί τα IFS και τα κυτταρικά αυτόματα έχει πολλά κοινά σημεία, αφού οι διαδικασίες δεν απέχουν πολύ μεταξύ τους. Η βασική ιδέα των κυτταρικών αυτόματων (cellular automata στη διεθνή βιβλιογραφία ή CA) είναι ένας ορθοκανονικός κάναβος «κυττάρων», όπου κάθε κύτταρο διαθέτει έναν πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων-φάσεων, όπως ON και OFF. Η διάσταση του κανάβου αυτού μπορεί να ποικίλει μέσα στο εύρος του πεπερασμένου Ν-διάστατου χώρου, δηλαδή, ανάλογα με τις παραμέτρους που ορίζουμε, μπορούμε να μιλάμε για κυτταρικά αυτόματα δύο διαστάσεων, τριών κ.λπ.. Παρότι ο αρχικός προβληματισμός για μια μηχανή η οποία θα μπορεί να φτιάχνει αντίγραφα του εαυτού της ήταν του Ulam και του Von Neumann, το πρώτο πραγματικό κυτταρικό αυτόματο που δημιουργήθηκε ήταν το παιχνίδι της ζωής (game of life) του Βρεττανού μαθηματικού John Horton Conway το 1970. Ο Conway βασίστηκε στον προβληματισμό που είχαν οι προκάτοχοί του και προσπαθώντας να βρει λύση στο πρόβλημα κατέληξε να δημιουργήσει το μαθηματικό αυτό μοντέλο για μια μηχανή με πολύ περίπλοκους κανόνες σε ένα ορθοκανονικό κάναβο. Το παιχνίδι της ζωής δημιουργήθηκε απλοποιώντας δραματικά τις ιδέες των προκατόχων του και έκανε την πρώτη του εμφάνιση το στο περιοδικό Scientific American. Το παιχνίδι της ζωής είναι ένα δισδιάστατο CA , το οποίο έχει μηδενικούς παίκτες, εννοώντας πως η εξέλιξή του βασίζεται αυστηρά και μόνο στο αρχικό του σχήμα και δεν χρειάζεται κάποια περαιτέρω εισαγωγή πληροφορίας. Οποιοσδήποτε χρήστης μπορεί να αλληλοεπιδρά με το παιχνίδι της ζωής, δημιουργώντας μια αρχική διαμόρφωση και παρατηρώντας πώς εξελίσσεται ή, για προχωρημένους παίκτες, δημιουργώντας πρότυπα με συγκεκριμένες ιδιότητες, πειράζοντας δηλαδή τις αρχικές συνθήκες. Είναι προφανές ότι πρόκειται για ένα χαοτικό σύστημα αφού, είναι εξαιρετικά ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες, είναι τοπολογικά μεταβλητό και πυκνό, πληροί δηλαδή όλα τα χαρακτηριστικά ενός τέτοιου συστήματος.

Εικ. 31 πάνω: Οι βασικοί κανόνες του παιχνιδιού της ζωής του Conway. Εικ. 32 κάτω: Ένα στιγμιότυπο του κυτταρικού αυτόματου του Conway.

πολυπλοκότητα και πολεοδομία cellular automata | το παιχνίδι της ζωής

Το παιχνίδι διαδραματίζεται σε έναν άπειρο δισδιάστατο ορθοκανονικό κάναβο, τετράγωνων κυττάρων, καθένα από τα οποία βρίσκεται σε μία εκ των δύο πιθανών καταστάσεων, είναι ζωντανό ή νεκρό. Κάθε κύτταρο αλληλεπιδρά με τους οκτώ γείτονές τους, που είναι τα κύτταρα που βρίσκονται οριζόντια, κάθετα και διαγώνια. Οι κανόνες με τους οποίου παίζεται το παιχνίδι είναι οι εξής. Σε κάθε βήμα του παιχνιδιού: >

Κάθε ζωντανό κύτταρο με λιγότερους από δύο ζωντανούς γείτονες πεθαίνει, λόγο υποπληθυσμού.

Κάθε ζωντανό κύτταρο με δύο ή τρεις ζωντανούς γείτονες ζει στην επόμενη γενιά.

Κάθε ζωντανό κύτταρο με πάνω από τρεις ζωντανούς γείτονες πεθαίνει από υπερπληθυσμό.

Κάθε νεκρό κύτταρο με τρεις ακριβώς ζωντανούς γείτονες ζωντανεύει από αναπαραγωγή.

Εικ. 33 πάνω αριστερά: Κάναβος 10χ6 με νεκρά και ζωντανά κύτταρα. Δεξιά: ο μετασχηματισμός μετά από ένα κύκλο του αυτόματου

Το αρχικό μοτίβο που εισάγεται στο σύστημα αποτελεί την τροφοδότησή του. Στη συνέχεια οι παραπάνω κανόνες εφαρμόζονται ταυτόχρονα σε όλα τα κύτταρα μιας γενιάς. Γεννήσεις και θάνατοι, συμβαίνουν όλα ταυτόχρονα, προκειμένου να δημιουργηθεί η επόμενη γενιά. Οι κανόνες εξακολουθούν να εφαρμόζονται κατ’ επανάληψη δημιουργώντας συνεχώς καινούργιες γενιές. Το παιχνίδι του Conway έγινε τόσο γνωστό γιατί έδωσε τρόπο σε πολλές επιστήμες να καταφέρουν να παρακολουθούν πως αναδύονται πολύπλοκα μοντέλα από πολύ απλούς κανόνες. Έτσι το χρησιμοποίησαν μαθηματικοί, βιολόγοι, φυσικοί, προγραμματιστές και πολλοί άλλοι, δίνοντας ώθηση για ένα καινούργιο πεδίο μαθηματικής έρευνας, τα κυτταρικά αυτόματα. Στο σημείο αυτό μπορούμε να κάνουμε ένα απλοϊκό πείραμα για να δημιουργήσουμε ένα CA ώστε να υπάρχει ένα οπτικό παράδειγμα για το πως δουλεύουν τα συστήματα αυτά. Έχουμε έναν κάναβο 10χ6 ο οποίος περιέχει κύτταρα που μπορεί να είναι είτε ζωντανά είτε νεκρά. Τα ζώντα κύτταρα απεικονίζονται με μαύρο και με λευκό τα νεκρά. Το μοντέλο λειτουργεί σε κάποια στάδια. Στα μεμονωμένα αυτά στάδια, κάποια κύτταρα πεθαίνουν σύμφωνα με τους κάτωθι κανόνες: ένα κύτταρο μπορεί να παραμείνει ζωντανό αν και μόνο αν στο περιβάλλον του υπάρχουν τουλάχιστον

Εικ. 34 Στην εικόνα φαίνεται μια αλληλουχία μετασχηματισμών η οποία θα μπορούσε να προσομοιάσει την εξέλιξη του Λονδίνου στην πάροδο του χρόνου, το οποίο απεικονίζεται τέρμα δεξιά, όπως ήταν το 1939.

πολυπλοκότητα και πολεοδομία cellular automata | το παιχνίδι της ζωής

πέντε (5) κύτταρα ζωντανά (στο περιβάλλον εννοούμε από το ίδιο κύτταρο μέχρι και το όγδοο γειτνιάζον). Σε αντίθετη περίπτωση πεθαίνει λόγω «μοναχικότητας».

πολυπλοκότητα και πολεοδομία cellular automata | το παιχνίδι της ζωής

Η αρχική διάταξη των κυττάρων, όπως φαίνεται στις εικόνες, αλλάζει μετά από ένα κύκλο του αυτόματου. Κάποια κύτταρα έζησαν, κάποια πέθαναν και κάποια άλλα έμειναν στην ίδια κατάσταση. Για παράδειγμα, το κύτταρο στη θέση Ε2 πέθανε επειδή υπήρχαν μόνο τρία ζωντανά κύτταρα στο περιβάλλον του, ενώ αντίθετα το Ε3 είναι ζωντανό γιατί υπήρχαν έξι κύτταρα ζωντανά γύρω του. Βλέπουμε, λοιπόν, μέσω αυτού του απλού παραδείγματος πως μπορεί να μεταλλαχθεί μια χωρική συγκρότηση καθορίζοντας κάποιους κανόνες-όρους-παραμέτρους. Εμβαθύνοντας κανείς σε πιο πολύπλοκα συστήματα, ελέγχει τις παραμέτρους και μεγιστοποιεί τους συντελεστές με σκοπό μετά από πολλούς κύκλους να ανακαλύψει πως έχει διαμορφωθεί ο αστικός χώρος με την πάροδο του χρόνου. Ο Stephen Wolfram στο βιβλίο του A New Kind of Science διακρίνει τέσσερις κατηγορίες στις οποίες μπορούν να ενταχθούν τα κυτταρικά αυτόματα και άλλα παρόμοια υπολογιστικά μοντέλα, ανάλογα με τη συμπεριφορά τους. Παρότι είχαν ξαναγίνει προσπάθειες να κατηγοριοποιηθούν τα CA βάσει των παραγόμενων μοτίβων από συγκεκριμένους κανόνες, η κατηγοριοποίηση του Wolfram ήταν η πρώτη ουσιαστική, η οποία διέκρινε και τους κανόνες. Έτσι οι τέσσερις κατηγορίες είναι οι εξής: >

Όλα τα αρχικά μοτίβα εξελίσσονται γρήγορα σε μια σταθερή, ομοιογενής κατάσταση. Κάθε τυχαιότητα στο αρχικό μοτίβο εξαφανίζεται.

Όλα τα αρχικά μοτίβα εξελίσσονται γρήγορα σε μια σταθερή δομή ή μια περιοδική δομή. Κάποια τυχαιότητα του αρχικού μοτίβου εξαλείφεται, ενώ κάποια διατηρείται. Τοπικές αλλαγές στο αρχικό μοτίβο τείνουν να παραμείνουν τοπικές. Δηλαδή τα μοτίβα επαναλαμβάνουν μια συγκεκριμένη μορφή ανά συγκεκριμένες επαναλήψεις.

Όλα τα αρχικά μοτίβα εξελίσσονται με έναν ψευδοτυχαίο ή χαοτικό τρόπο. Όποια σταθερή δομή εμφανιστεί, σύντομα θα διαλυθεί από το κοντινό νέφος. Τοπικές αλλαγές στο αρχικό μοτίβο τείνουν να εξαπλώνονται επ’ αόριστον και δεν εντοπίζονται επαναλαμβανόμενα μοτίβα.

Όλα τα αρχικά μοτίβα εξελίσσονται σε δομές που αλληλοεπιδρούν με πολύπλοκους και ενδιαφέροντες τρόπους, δημιουργώντας τοπικές δομές, οι οποίες μπορούν να επιβιώσουν για μεγάλα χρονικά διαστήματα. Κάποια από αυτά τα CA μπορεί εν τέλει να καταλήξουν στην κατηγορία 2, δηλαδή να ταλαντώνονται διαρκώς ανάμεσα σε δύο ή τρεις καταστάσεις, αλλά οι

πολυπλοκότητα και πολεοδομία cellular automata | το παιχνίδι της ζωής

επαναλήψεις που θα χρειαστούν για να καταλήξουν σε μια δομή είναι πάρα πολλές, ακόμα κι αν το αρχικό μοτίβο είναι σχετικά απλό. Τα αυτόματα που ανήκουν στην τελευταία κατηγορία θεωρούνται ικανά να προσομοιώσουν κάθε ψηφιακό υπολογισμό και πρόγραμμα. Βρίσκουν δηλαδή εφαρμογή σε όλο το πεδίο της πληροφορικής. Ένα αυτόματο είναι αναστρέψιμο, αν για κάθε τρέχουσα κατάσταση υπάρχει μια παρελθοντική από την οποία προέκυψε. Αν το αυτόματο είναι αναστρέψιμο, τότε και η αντίστροφη διαδικασία του είναι επίσης ένα κυτταρικό αυτόματο. 47. Το όνομα Rule 30 προέκυψε από τον κωδικό Wolfram που ορίζει τις πιθανές καταστάσεις των διπλανών κυττάρων σε μια δεδομένη στιγμή. Αυτή η μέθοδος ονομασίας εφαρμόζεται και σε άλλα βασικά κυτταρικά αυτόματα όπως το Rule 110. 48. Τα διπλανά κύτταρα είναι μόνο δύο κι όχι οκτώ, αφού πρόκειται για μονοδιάστατο κυτταρικό αυτόματο.

Ο Wolfram πέρα από την κατηγοριοποίηση, δημιούργησε ένα βασικό μονοδιάστατο κυτταρικό αυτόματο το 1983, το Rule 3047 . Ανήκει στην τρίτη κατηγορία του Wolfram και παρουσιάζει χαοτική και απεριοδική συμπεριφορά. Παρουσιάζει φαινομενικά τυχαία μοτίβα από απλού, καλοδιατυπωμένους κανόνες. Για το λόγο αυτό ο Wolfram πιστεύει πως τα κυτταρικά αυτόματα είναι το κλειδί να κατανοήσουμε πως απλοί κανόνες της φύσης παράγουν πολύπλοκες μορφές και συμπεριφορές. Ο τρόπος που λειτουργεί το συγκεκριμένο CA είναι μια σειρά κυττάρων, η οποία βρίσκεται σε μια αρχική κατάσταση. Σε διακριτά χρονικά διαστήματα η κατάσταση κάθε κυττάρου αλλάζει σύμφωνα με την κατάσταση του τη δεδομένη στιγμή και την κατάσταση των δύο διπλανών κυττάρων48 . Ως παρατηρητές των CA θα βλέπαμε πως ο πληθυσμός συνεχώς αλλάζει καθώς αλλάζουν οι γενιές από το αρχικό μοτίβο. Τα μοτίβα που προκύπτουν από τους απλούς κανόνες μπορούν να θεωρηθούν ως μια έκφανση «ομορφιάς». Τα μικρά μοτίβα που συγκροτούν το όλο τείνουν να γίνουν συμμετρικά και διαλύονται μόνο αν έρθει κάποιο άλλο μοτίβο κοντά και διαταράξει την ισορροπία του. Επομένως, με πολλές επαναλήψεις το σύστημα τείνει να καταλήξει σε μια αρμονική, ισορροπημένη μορφή.

current pattern new state for center cell

111 110 101 100 011 010 001 000 0 0 0 1 1 1 1 0

πολυπλοκότητα και πολεοδομία εφαρμογή στο σχεδιασμό

Εικ. 35 Το σύνολο των κανόνων που καθορίζει την κατάσταση του κυττάρου στην επόμενη γενιά. Τα τρία ψηφία συμβολίζουν το εν λόγω κύτταρο και τα διπλανά του και το 1/0 την κατάστασή τους [ζωντανό/ νεκρό]. Εικ. 36 Τα κυτταρικά αυτόματα που προκύπτουν από τον κώδικα του Wolfram. Εικ. 37 Το μοτίβο που αναδύεται από το Rule 30 με αρχική συνθήκη ένα κύτταρο ζωντανό.

εφαρμογή στο σχεδιασμό Τι εννοούμε όμως με τον όρο «κύτταρα» και τι σχέση έχει τελικά με τον σχεδιασμό; Προφανώς δεν αναφερόμαστε στην κυριολεξία του όρου. Η λέξη αναφέρεται στην αντίληψη της μεταμοντέρνας πόλης. Η πόλη γίνεται αντιληπτή ως κυτταρικές δομές, οι οποίες γειτονεύουν και αλληλοεπιδρούν μεταξύ τους μέσα από μια σειρά σχέσεων. Από τη δεκαετία του ’60 και μετά πολλά άλλαξαν στην αντίληψη που έχουμε για τις πόλεις. Από τη θετικιστική, ουμανιστική και στρουκτουραλιστική εικόνα της πόλης του μοντερνισμού, περνάμε στη χαοτική πόλη του μεταμοντερνισμού. Η ισορροπία των πόλεων έχει διαταραχθεί, καθώς τόσο η παγκοσμιοποίηση και η δυνατότητα να ζει κανείς οπουδήποτε στον κόσμο, όσο και η αστάθεια και ρευστότητα των οικονομικών δραστηριοτήτων δημιουργούν σχέσεις, οι οποίες δεν ισορροπούν αλλά πολώνονται σε διάφορα κέντρα συναλλαγών των μητροπόλεων. Είναι δύσκολο να βρεθούν αποτελεσματικές στρατηγικές οι οποίες λειτουργούν με μια λογική αποκέντρωσης. Αυτό συμβαίνει κυρίως γιατί η κατανόηση που έχουμε για τις πόλεις δεν συμβάδιζε με την επιθυμία μας να εφαρμόσουμε αποτελεσματικές, αλλά ταυτόχρονα “αόρατες” και “ασυνείδητες” πολιτικές χωροταξικού και αστικού σχεδιασμού. Στην πραγματικότητα το σημείο «κλειδί» είναι η άποψη ότι οι πόλεις συγκεκριμένα και η αστική ανάπτυξη (urban development) γενικά, αναδύονται από κάτω τα πάνω κι όχι το αντίστροφο (bottom-up development). Όσο απομακρυνόμαστε από τη λογική του σχεδιασμού “από πάνω- προς τα κάτω” σε μια λογική “από κάτω προς τα πάνω”, η αντίληψη που έχουμε για τις πόλεις και τον σχεδιασμό τους αλλάζει, καθώς επίσης και το σύστημα αξιών, αφού εκεί ένας ήταν ο παντογνώστης που γνώριζε τα πάντα για το σύστημα, ενώ πλέον αυτό δεν ισχύει πια. Αυτή η προσέγγιση των πόλεων και πολλών άλλων συστημάτων είναι σημαντική γιατί αλλάζει την στάση μας έναντι στον σχεδιασμό και την παρέμβαση. Παρά το θεωρητικό υπόβαθρο που απαιτείται για να απεικονίσουμε αυτές τις ιδέες σε μετρήσιμους όρους, η προσέγγιση αυτή συνάδει με το πως αντιλαμβανόμαστε τα όρια των ικανοτήτων μας στο σχεδιασμό και τη διαχείριση. Όταν η Jane Jacobs μιλούσε για ένα νέο μοντέλο ανάπτυξης των πόλεων το 1961, έκανε λόγο για μια νέα κατανόηση του αστικού περιβάλλοντος και των προβλημάτων του. Θα σχεδιάζονταν λύσεις βάσει των τρόπων με τους οποίους λειτουργεί η πόλη σε όρους ανθρώπινης συμπεριφοράς και διαδικασιών που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι για να αναπτύξουν το περιβάλλον τους. Στην ουσία πρότεινε έναν τρόπο σχεδιασμού αντιδιαμετρικό από αυτόν που επικρατούσε την εποχή εκείνη. Με κάποιο τρόπο πρέπει να υπερβούμε την αμάθειά μας και να μάθουμε να κατανοούμε την πόλη ως ένα προϊόν ενός τεράστιου δικτύου διαδικασιών και ποια στοιχεία είναι εκείνα που μπορούν να κάνουν αυτές τις διαδικασίες να παράγουν ένα σύνολο (a whole). Γι’ αυτό το λόγο πρέπει να μάθουμε

πολυπλοκότητα και πολεοδομία εφαρμογή στο σχεδιασμό

να κατανοούμε τους νόμους, οι οποίοι παράγουν τη “συνολικότητα” στην πόλη. 49 Η χωρική οργάνωση, στην οποία συναντάμε μοτίβα μεγαλύτερων κλιμάκων μπορεί να αναλυθεί ίσως μόνο με τα συστήματα των κυτταρικών αυτομάτων. Δηλαδή, προσπαθούμε να προδιαγράψουμε την εξέλιξη ενός πολύ μεγάλου αστικού κομματιού με όλες τις σχέσεις και δράσεις που αναπτύσσονται μέσα σ’ αυτό στην πορεία του χρόνου. Ο τρόπος που απεικονίζουμε τη δομή και τις σχέσεις αυτές είναι ο εξής: η φυσική και χωρική δομή της πόλης αναπαρίσταται με τα κύτταρα (cells) και οι ανθρώπινες και κοινωνικές μονάδες που κινούν, θα λέγαμε, τα νήματα της πόλης αναπαρίστανται μέσα από κάποιους συντελεστές (agents). Υπάρχουν, όμως, και οι super agents, όπως μας αναφέρει ο McAdams50 , που έχουν περισσότερη επιρροή από άλλους. Τέτοιου είδους συντελεστές μπορεί να είναι κυβερνητικοί αξιωματούχοι, πολιτικοί, μη κυβερνητικές οργανώσεις και άλλοι. Μια ειδική κατηγορία των super agents είναι οι visionary agents (οραματιστές), οι οποίοι έχουν δραματική επίδραση στους υπόλοιπους και στο περιβάλλον τους. Τέτοιος παράγοντας θα μπορούσε να είναι ο Nelson Mandela, ή ο Martin Luther King. Τα πιο απλά μοντέλα αναπαράστασης συγκρίνουν τοποθεσίες που περιέχουν δραστηριότητα (δηλαδή κύτταρα στα οποία παρατηρείται αλλαγή λόγω κάποιων δράσεων που συμβαίνουν στα γειτονικά τους). Στα μοντέλα αυτά η τοπική δράση είναι αυτή που εν τέλει δημιουργεί την χωρική οργάνωση σε μεγαλύτερες κλίμακες. Η χωρική οργάνωση, λοιπόν, προκύπτει από μια μορφή «επιδημίας», αφού οι δράσεις και οι ανταλλαγές επηρεάζουν μόνο τα διπλανά κύτταρα, αυτά που έρχονται σε επαφή. Σε αντίθεση με τα κύτταρα, τα οποία είναι σταθερά και επιδέχονται αλλαγές μόνο στην κατάστασή τους, οι συντελεστές είναι κινητοί και μετακινούνται μεταξύ τοποθεσιών στο πλέγμα. Μέσα από τους συντελεστές αυτούς, οι οποίοι αντιμετωπίζονται σαν κινούμενα κύτταρα, έχουμε εγγράψει τις πληροφορίες του περιβάλλοντος που θέλουμε να δημιου¬ργήσουν την αλλαγή. Πολλές φορές αυτοί οι συντελεστές χρησιμοποιούνται για να αντιπροσωπεύσουν οργανισμούς, επιχειρήσεις κ.ά. Σε πιο σπάνιες περιπτώσεις πάλι μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως φυσικά αλλά μη-ανθρώπινα αντικείμενα, όπου αυτό είναι απαραίτητο. Τα μοντέλα συντελεστών ονομάζονται ABS (agent-based models) ή MAS (multiagent models). Η διαδικασία αυτή εφαρμόζεται σχεδόν για να φανταστούμε την ιδεατή πόλη. Ορίζοντας όλους αυτούς τους παράγοντες και συντελεστές, προσπαθώντας να βρούμε την απόλυτα επιθυμητή κατάσταση. Η ιδέα ότι ο χώρος μπορεί να χαρακτηρισθεί από ένα σύνολο κυττάρων δίνει μια γεωμετρική δομή στο πρόβλημα και παρότι έχουμε θεωρήσει δεδομένο ότι προσομοιώνεται ακριβώς με αυτόν τον

49. Christopher Alexander, Hajo Neis, Artemis Anninou, A New Theory of Urban Design, Oxford University Press, Οξφόρδη, 1987 50. Michael A. McAdams, Complexity Theory and Urban Planning, Fatih University, Κωνσταντινούπολη, Τουρκία, Μάιος 2008

Εικ. 38. Αναπαραγωγή αστικών μορφών a. Η απλή λογική του μοντέλου βασίζεται στην τυχαία εξερεύνηση του αστικού χώρου b. Ανάπτυξη της δομής από το αρχικό κύτταρο c. Η δενδρική δομή που προκύπτει όταν ο χώρος διευρύνεται

πολυπλοκότητα και πολεοδομία εφαρμογή στο σχεδιασμό τρόπο, στην πραγματικότητα θα μπορούσε η απεικόνιση να έχει οποιοδήποτε σχήμα και οποιαδήποτε διάσταση. Εικ. 39 Διαμόρφωση των κανόνων που δημιουργούν αστική μορφολογία από κυτταρικά αυτόματα a. Κανόνες που προσανατολίζουν την πόλη προς τα βορειοανατολικά b. Κανόνες που εξαναγκάζουν τη μορφολογία σε μια γραμμική πόλη καταστρέφοντας την ποικιλία της μορφής c. Κανόνες που κρατούν την ανάπτυξη συμπαγή και γραμμική d.. Κανόνες που κρατούν την ανάπτυξη συμπαγές και σποραδική. Εικ. 40 Αναπτυσσόμενες πόλεις σε φυσικά περιορισμένο χώρο a. Γύρω από μια εκβολή ποταμού b. Στην άκρη ενός ακρωτηρίου c. Το Κάρντιφ υπό το πρότυπο μοντέλο ανάπτυξης περιορισμένης διάχυσης συνάθροισης d. Το Κάρντιφ υπό από ένα σύνολο κανόνων που ενισχύουν την πυκνότητα.

Για να εξερευνήσουμε, λοιπόν, τις δυνατότητες της ιδεατής πόλης χρησιμοποιώντας τα κυτταρικά αυτόματα, σύμφωνα με τον Michael Batty χρειαζόμαστε ένα σύνολο ρεαλιστικών κανόνων για τις μετατροπές των γενεών. Κατ’ ελάχιστον αυτοί οι κανόνες πρέπει να αντιπροσωπεύουν δύο βασικές δυνάμεις. Πρώτον, οι άνθρωποι συγκεντρώνονται στις πόλεις για να δημιουργήσουν οικονομίες αντίστοιχης κλίμακας, που σημαίνει πως οι άνθρωποι πρέπει πάντα να συνδέονται μεταξύ τους, και δεύτερον οι άνθρωποι θα πρέπει να ζουν με όσο περισσότερο δυνατόν χώρο γύρω τους. Αυτές οι δύο δυνάμεις αντιπαλεύονται η μία την άλλη, αφού η πρώτη ορίζει την κεντρομόλο δύναμη της ανάπτυξης, ενώ η δεύτερη τη φυγόκεντρο. Για να δημιουργήσουμε νέα σχέδια, οι κανόνες αυτοί πρέπει να διαμορφώνονται έτσι ώστε να αντιπροσωπεύουν τις αρχές τις ανάπτυξης. Αντιπροσωπεύουν έναν γενετικό κώδικα με την έννοια ότι προστάζουν στη τοποθεσία πώς να ανταποκριθεί σε έναν παράγοντα-συντελεστή και αντιστρόφως. Οι κανόνες ενσωματώνουν πληροφορίες και όταν αφορούν τους συντελεστές τους υποδεικνύουν πώς να ορίζουν τη θέση τους αν άλλοι συντελεστές έχουν ήδη εγκατασταθεί στην περιοχή. Έτσι γραμμικές πόλεις μπορούν να δημιουργηθούν μόνο όπου γραμμικά συνδεόμενα κύτταρα μπορούν να αναπτυχθούν ή αν κάποιες πόλεις αλλάζουν τον προσανατολισμό τους, λόγω άλλων συνθηκών, όπως ισχυροί άνεμοι, που δεν επιτρέπουν την εγκατάσταση αλλιώς. Η γενική ιδέα πάντως είναι ο ορισμός ρεαλιστικών και βέλτιστων κανόνων, που δεν αλλοιώνουν τη διαδικασία της συνηθισμένης λήψεως αποφάσεων. Η πρόκληση έγκειται στον προσδιορισμό των αλλαγών εκείνων στους συνηθισμένους κανόνες που θα βελτιώσουν τη λειτουργία των υπαρχουσών πόλεων, επιτυγχάνοντας στόχους που αφορούν τις κινήσεις, την πυκνότητα και την οικονομία. Οι ιδανικές πόλεις συχνά σχεδιάζονται με αφορμή την ιδέα να καλύψουν κάποιους πρωταρχικούς σκοπούς λειτουργίας, όπως η μείωση της πυκνότητας [BroadAcre city του Frank Lloyd Wright], ή την αύξηση της πυκνότητας [Ville Radieuse του Le Corbusier]. Συνήθως, ο σχεδιασμός των πόλεων δεν βασίζεται σε μια μακρόχρονη, επαναληπτική γενεσιουργό διαδικασία, γιατί συνηθίζεται η στιγμιαία σύλληψη της ιδέας, χωρίς να αφήνουμε περιθώριο για το απρόβλεπτο και το μελλοντικό. Όμως, τα κυτταρικά αυτόματα μας δίνουν τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε αστικά μοντέλα που θα εξελίσσονται με το χρόνο και θα αλλάζουν συνεχώς τους κανόνες, με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται και η ιδεατή κατάσταση της πόλης. Αυτή η μέθοδος σίγουρα αφήνει περισσότερο χώρο για το απρόβλεπτο από την συνηθισμένη και μπορεί να προσαρμοστεί ευκολότερα στις καινούργιες συνθήκες που πλέον

πολυπλοκότητα και πολεοδομία εφαρμογή στο σχεδιασμό

αλλάζουν πυρετωδώς. Ακόμα, γίνεται εμφανές πως η εικόνα για την ιδεατή πόλη δεν είναι στατική, άρα και κάτι ουτοπικό, το οποίο συλλαμβάνεται εν μία νυκτί, αφού η ιδέα του ιδεατού, μαζί με την πόλη και τις εξελίξεις, αλλάζει στην αντίληψή μας αδιάκοπα. Αν ο αποτελεσματικός αστικός σχεδιασμός μπορεί να προσαρμοστεί αντιμετωπίζοντας την υπάρχουσα πολυπλοκότητα, τότε μπορούμε να είμαστε σίγουροι πως μια πιο ευαίσθητη και λιγότερο επεμβατική παρέμβαση του περιβάλλοντος θα συμβαδίζει με το μήνυμα του Δαρβίνου ότι οι μικρές αλλαγές που εντοπίζονται στο αστικό περιβάλλον εν αντιθέσει με τα μαζικά και μνημειώδη σχέδια, οδηγούν σε ένα βιώσιμο και αειφόρο περιβάλλον.

Εικ. 41 πάνω: Το σχέδιο για την Broad Acre City του Frank Lloyd Wright Εικ. 42 κάτω: Το σχέδιο της Ville Radieuse από τον Le Corbusier.

Επίλογος

Επίλογος Η αρχιτεκτονική θεωρείται ένα παιχνίδι που παίζεται με καθαρούς στόχους, αλλά δίχως ένα σύνολο κατευθυντήριων κανόνων. Από την άλλη, τα μαθηματικά ανέκαθεν περιγράφονταν ως ένα παιχνίδι που παίζεται με πολλούς κανόνες, αλλά δίχως καθαρούς στόχους. Παρά τη διαφορά στη σκέψη και την εκτέλεση των δυο αυτών επιστημονικών πεδίων υπήρχε πάντα μια αφανής σύνδεση μεταξύ τους, η οποία βασίζεται και συνδέεται άρρηκτα με τη γεωμετρία και κατ’ επέκταση με τα μαθηματικά. Η έλευση νέων θεωριών στο πεδίο των μαθηματικών τον 20ό αιώνα έδωσε μια νέα βάση στους αρχιτέκτονες, ώστε να επανεξετάσουν τον παραδοσιακό τρόπο σχεδιασμού. Η θεωρία της πολυπλοκότητας και η θεωρία του χάους αποκαλύπτουν πολλές πτυχές του κόσμου και του φυσικού περιβάλλοντος που αγνοούσαμε και προσφέρουν σχεδιαστικά εργαλεία που γεννούν αρμονικές μορφές συμφυείς με τους κανόνες της φύσης, που είναι ικανές να μειώσουν τις στρεσογόνες ορμόνες του ανθρώπου, πολύτιμη ιδιότητα στις σύγχρονες συνθήκες ζωής. Μελέτες που αναλύουν τον αντίκτυπο των φρακταλικών δομών στο ψυχισμό του ανθρώπου μας κρούουν τον κώδωνα του κινδύνου. Ο άνθρωπος σιγά σιγά καταστρέφει το φυσικό του περιβάλλον και πρέπει να το αναδομήσει όχι προσπαθώντας να επαναφέρει τη φύση έναντι του τεχνητού περιβάλλοντος, αλλά αλλάζοντας πρακτική σχεδιασμού. Οφείλει να εκμεταλλευτεί το έμφυτο και συνάμα ξεχασμένο fractal ένστικτό του, προκειμένου να δημιουργήσει εκ νέου σύμφωνα με τις φρακταλικές δομές. Η πολυπλοκότητα υπάρχει παντού γύρω μας και είναι αναγκαίο να αντιμετωπίσουμε τα προβλήματα που θέτει. Όσο την αγνοούμε, τόσο θα μειώνεται η ποιότητα του χτισμένου περιβάλλοντος και της ζωής μας. Η συνεργασία των διαφορετικών επιστημονικών πεδίων, όμως, δημιουργεί και επιπλέον ερωτήματα ως προς το πώς χειρίζεται κανείς αυτή τη διεπιστημονικότητα. Ανεξαρτήτως με ποιο από τα δύο ρεύματα που αναφέρθηκαν τάσσεται κανείς είναι σίγουρα ένα σημείο που θέλει προσοχή. Η σωστή στάση μάλλον βρίσκεται κάπου στη μέση, καθώς η απόλυτη αυθαιρεσία στη χρήση των όρων δεν επιφέρει τα επιθυμητά αποτελέσματα ως προς την επίλυση, αφού γίνεται αφαίρεση του νοήματος και μείωση των απαιτήσεων. Από την άλλη η απόλυτη προσκόλληση στους όρους θολώνει τον τελικό στόχο, αφού δεν γίνονται οι απαραίτητες προσαρμογές για το εκάστοτε αντικείμενο. Οι ιδιότητες, πάντως, που διέπουν τα χαοτικά συστήματα δίνουν πολύτιμες κατευθυντήριες γραμμές για το σχεδιασμό. Οι τρεις ιδιότητες της μεταβλητότητας,

100

Επίλογος

της πυκνότητας και της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες είναι σημαντικές παράμετροι τόσο για την αρχιτεκτονική κλίμακα όσο και για την πολεοδομία και θα έπρεπε να βρίσκονται σε κάθε μελέτη. Τίποτα δεν μένει αναλλοίωτο στο χρόνο όσο καλοσχεδιασμένο και να είναι, γι’ αυτό πρέπει να προβλέπεται η εξέλιξή του. Κάθε τι που δημιουργούμε έχει ένα σύνολο αναφοράς είτε βρίσκεται σε πόλη, είτε στην ύπαιθρο και επομένως το σύνολό στο οποίο ανήκει είναι πυκνό. Τα fractals, δομές που εκτείνονται στο άπειρο και σε κάθε κλίμακα, δίνουν τη δυνατότητα για ένα σχεδιασμό που αγκαλιάζει την πολυπλοκότητα του περιβάλλοντος και υπηρετεί τα χαρακτηριστικά του χάους. Δημιουργεί την τάξη μέσα από το απρόσμενο και δεν έχει καμία σχέση με την τυχαιότητα. Λανθασμένα, πολλοί αρχιτέκτονες σήμερα χειρίζονται παραμετρικά σχεδιαστικά προγράμματα παράγοντας τυχαία αποτελέσματα, τα οποία μοιάζουν οργανικά. Σημασία έχει η σωστή χρήση των κανόνων και παραμέτρων σχεδιασμού για να προκύψει το τελικό αποτέλεσμα και όχι το αποτέλεσμα αυτό καθαυτό. Για το λόγο αυτό, πρέπει να εστιάζουμε την προσοχή μας στη διαδικασία και να αποσυνδεθούμε από το αποτέλεσμα. Είναι επιτακτικό να υπάρξει σωστή ενημέρωση σχετικά με τις θεωρίες αυτές και να μην συγχέονται με το τυχαίο και το ευφάνταστο. Δεν πρόκειται για παιχνίδι εντυπώσεων, αλλά για μια στροφή 180 μοιρών στην αντίληψή μας για τον κόσμο και για το περιβάλλον στο οποίο ζούμε.

51. Michael Batty, Cities and Complexity: understanding cities with Cellular Automata, AgentBased Models, and Fractals, 1η έκδοση, MIT Press, Cambridge, MA, 2007, σελ. 4 preface

Ακόμα και στον τομέα της πολεοδομίας και της χωροταξίας, όταν πρόκειται κυρίως για τον καθορισμό λειτουργιών και της εξέλιξης της ζωής και δραστηριότητας στο αστικό χαλί, η στροφή αυτή μοιάζει ακόμα πιο επιτακτική. Χρησιμοποιώντας συνολικά αυτή τη γνώση της προσομοίωσης της εξέλιξης στο αστικό περιβάλλον, μπορούμε να βελτιώσουμε το σχεδιασμό μας σήμερα για ένα καλύτερο μελλοντικό και παγκόσμιο περιβάλλον. Πειραματιζόμενοι με τα κυτταρικά αυτόματα και προσδιορίζοντας με μεγάλη προσοχή και ακρίβεια τις δράσεις των υποκειμένων, διαθέτουμε ανά χείρας μια ποικιλία λύσεων και πιθανών εξελίξεων του αστικού χώρου, γεγονός που μας εξοπλίζει με ένα πανίσχυρο εργαλείο κατανόησης του αστικού χώρου με συνέπεια έναν ορθό σχεδιασμό αστικής κλίμακας. Όπως έγραψε και ο Michael Batty πάντα πίστευα ότι καθώς η κατανόηση μας για τις πόλεις βελτιώνεται, θα γινόμαστε σοφότεροι ως προς τους τρόπους με τους οποίους επεμβαίνουμε στην ανάπτυξη και τη λειτουργία τους. Κατά συνέπεια, οι προσεγγίσεις του αστικού σχεδιασμού θα γίνουν πολύ λιγότερο παρεμβατικές από αυτές που κυριαρχούσαν στο σχεδιασμό τον τελευταίο αιώνα .51

101

Επίλογος

Σίγουρα, είναι σχεδόν αδύνατον, να προβλέψουμε όλες τις πιθανές παραμέτρους, καθώς θα υπάρχουν πάντα αστάθμητοι παράγοντες όπως σεισμοί, φυσικές καταστροφές κ.ά. αλλά μειώνουμε σίγουρα την αβεβαιότητα ως προς πολλούς άλλους παράγοντες, που μέχρι σήμερα δεν τους λαμβάνουμε σοβαρά υπόψιν. Αυτό γίνεται εμφανές και από τα μέχρι τώρα πολεοδομικά και χωροταξικά σχέδια που αδυνατούν να προβλέψουν σωστά την εξέλιξη των πόλεων και έτσι εμφανίζονται πολλές παθογένειες, όπως αυθαίρετα, άναρχη δόμηση κ.ά. Η έρευνα αυτή, συμπερασματικά, προσπαθεί να παρουσιάσει τις θεωρίες αυτές υπό ένα νέο πρίσμα, τονίζοντας τα οφέλη που έχουν στο σχεδιασμό και προτείνει έναν απολογισμό στο μέχρι σήμερα τρόπο σχεδιασμού, ενώ ταυτόχρονα θέτει ένα ερώτημα ως προς την αποτελεσματικότητά του. Ακόμα, στοχεύει στην ανάδειξη των νέων θεωριών ως κάτι προσιτό και όχι απόμακρο και περίπλοκο που χρειάζεται κανείς ανώτερες μαθηματικές γνώσεις για να κατανοήσει.

102

Βιβλιογραφία

βιβλιογραφία

Abrams I.& Sardar Z. , Introducing Chaos, a graphic guide, Icon Books, Λονδίνο, 2008 Alexander C., Sara Ishikawa, Murray Silverstein, A Pattern Language , Oxford University Press, Νέα Υόρκη, 1977 Allen S., άρθρο ‘From Object to field’ στο Architecture after Geometry, AD Profile 127, Architectural Design Magazine, Volume 67, Μάιος-Ιούνιος 1997 Barnsley Μ., Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann, 2η έκδοση, San Diego, Η.Π.Α., 1993 Batty M., A digital Breeder for designing Cities, στο AD Digital Cities, Wiley & Sons, Τεύχος 79, Τόμ ος 4, Ιούλιος - Αύγουστος 2009 Li T., Yorke J.A., «Period Three Implies Chaos», American Mathematical Monthly 82 , 1975 Batty M., Cities and Complexity: understanding cities with Cellular Automata, Agent-Based Models, and Fractals, 1η έκδοση, MIT Press, Cambridge, MA, 2007 Batty M., Longley P., Fractal Cities, Academic Press, Λονδίνο, 1994 Bovill C., Fractal Geometry in architecture and design, Birkhauser, Βοστώνη, 1996 Burry Mark + Jane, The new mathematics of Architecture, Thames and Hudson, Λονδίνο , 2012 Canetti E., Crowd and Power, μετφ. στα αγγλικά Carol Stewart, Farrar, Straus and Giroux, Νέα Υόρκη, 1984 Durán Β., Toward A ’Chaotic’ Cognitive Architecture, Italian Institute of Technology, University of Genova Eglash R., African Fractals, modern computing and indigenous design, Rutgers University Press, 3η έκδοση, Μάρτιος, 1999 Frankhauser P., La fractalite des structures urbaines, Anthropos Diffusion, Economica, Παρίσι, 1994 Gleick J., Chaos, the amazing since of the unpredictable, Vintage, Λονδίνο, 1998 Goguen J., The logic of inexact concepts, Synthese, Τεύχος 19, Νούμερο 3-4, 1969 Jencks, C, Kropf, K., Theories and Manifestos of Contemporary Architecture, Academy Editions, Λονδίνο, 1999 Jencks C., The New Paradigm in Arhitecture, Yale University Press, ΗΠΑ, Αύγουστος, 2001 Joye Υ., Fractals Could be Good for You, περιοδικό NEXUS NETWORK JOURNAL, Birkhäuser Τόμος. 9, Τεύχος. 2, 2007

104

βιβλιογραφία

Livingston J., ‘Barry Le Va: Distributional Sculpture’, Artforum, Νοέμβριος, 1968 McAdams M. A., Complexity Theory and Urban Planning, Fatih University, Κωνσταντινούπολη, Τουρκία, Μάιος 2008 Mandelbrot, B. , The Fractal Geometry of Nature , W.H. Freeman and Company, Νέα Υόρκη, 1977 Moneo R. στο άρθρο “La vida de los edificios”, Architectue 256, τεύχος Σεπτέμβριος-Οκτώβριος, 1985, σελ. 27-36 Morris, R., “Anti Form,” Artforum, Απρίλιος 1968 Picon A., Architecture and Mathematics, Between hubris and restraint, AD Volume 81 Τεύχος 4: Mathematics of Space, 1η έκδοση, John Wiley & Sons, Ltd. , Ιούλιος, 2011 Picon A., ‘Between Intuition and the Quest for Operative Techniques’, ανοιχτή διάλεξη, Symposium on ‘Mathematics in Space’, Harvard Graduate School of Design, 5 Μαρτίου 2010 Prigogine I., From Being to Becoming: Time and complexity in the physical sciences, W H Freeman & Co, ΗΠΑ, Μάρτιος, 1981 Rubinowicz P., Journal for Geometry and Graphics, Τόμος 4 , Heldermann, 2000 Ruskin J., The elements of drawing, Smith, Elder & Co., Λονδίνο, 1857 Sagdic Z. , Ottoman architecture: relationships between architectural design and mathematics in architect Sinan’s works, Nexus III : architecture and mathematics, Pacini Editore, Πίζα, 1 Ιουνίου, 2000, σελ 123-132. Sala N., Chaos and Coplexity in the Arts and Architecture, Nova Science Publishers, Νέα Υόρκη, 2007 Salingaros N. A., Complexity in Architecture and Design, Oz journal, τεύχος 36, Μάιος, 2014 Salingaros N.A., δοκίμιο New Paradigm Architecture,στο Chaos and Complexity in the Arts and Architecture, Nova Science Publishers, Inc., Νέα Υόρκη, 2007 Shan, Η., Traffic Simulation lecture, State University of New York, 2010 Venturi R., Complexity and Contradiction in Architecture, The Museum of Modern Art, Νέα Υόρκη, 1977 Waldrop M.M., Complexity: The Emerging Science ath the Edge of Order and Chaos, Simon and Schuster, Νέα Υόρκη, 1992 Werndl C., Are deterministic descriptions and indeterministic descriptions observationally equivalent?, Studies in History and

105

βιβλιογραφία

Philosophy of Modern Physics, τόμος 40, Αύγουστος, 2009 Μπούρας X. και Φιλιππίδης Δ., Αρχιτεκτονική, εκδοτικός οίκος Μέλισσα, Αθήνα, 2013 Παπαϊωάννου Ε., Φράκταλς και αρχιτεκτονική, Διάλεξη, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, 2009

106

Διαδικτυακές πηγές

διαδικτυακές πηγές

http://www-history.mcs.stand.ac.uk/HistTopics/Architecture.html http://www.terrapapers.com/?p=24528 http://www.xfe.gr/index.php/2014-03-08-12-13-23/334-2014-01-03-12-33-46 http://zeta.math.utsa.edu/~yxk833/fractals.html http://zeta.math.utsa.edu/~yxk833/contr.arch.html http://www.yonafriedman.nl/ http://www0.cs.ucl.ac.uk/staff/p.bentley/teaching/L6_CAs_and_Complexity.pdf https://www.ted.com/talks/ron_eglash_on_african_fractals/transcript?language=el#t-6637 http://paperity.org/p/9078787/fractal-architecture-late-twentieth-century-connections-between-architecture-and-fractal http://paperity.org/p/9165313/fractal-architecture-could-be-good-for-you http://paperity.org/p/9019731/the-fractal-nature-of-the-architectural-orders http://paperity.org/p/9173864/can-chaos-theory-explain-complexity-in-urban-fabric-applications-in-traditional-muslim http://en.wikipedia.org/ http://classes.yale.edu/fractals http://natureofcode.com/ https://jmichaelbatty.wordpress.com/fractals/

108

Πηγές εικονογράφησης

πηγές εικονογράφησης

Εικ. 1.

http://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_effect http://pixgood.com/lorenz-attractor-wallpaper.html

Εικ. 2

https://sarcasticresonance.files.wordpress.com/2013/08/pendulum_leo_sutic_2.png http://i.ytimg.com/vi/QXf95_EKS6E/maxresdefault.jpg

Εικ. 3.

http://socratic.org/questions/what-does-entropy-measure

Εικ. 4.

http://chaoticatmospheres.deviantart.com/art/Strange-Attractors-The-TSUCS-2-Attractor-376643751

Εικ. 5.

Nikos A. Salingaros, Complexity in Architecture and Design, Oz journal, τεύχος 36, Μάιος, 2014

Εικ. 6.

https://dprbcn.wordpress.com/2011/05/08/lordre-des-simulacres/msr_friedman-pompidou-01/

Εικ. 7.

Carl Bovill, Fractal Geometry in architecture and design, Birkhauser, Βοστώνη, 1996, σελ. 10

Εικ. 8.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set

Εικ. 9.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set

Εικ. 10.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set

Εικ. 11.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set

Εικ. 12.

Carl Bovill, Fractal Geometry in architecture and design, Birkhauser, Βοστώνη, 1996, σελ. 52

Εικ. 13.

http://galleryhip.com/sierpinski-triangle-3d.html

Εικ. 14.

http://www.people.vcu.edu/~mikuleck/Image15.gif

Εικ. 15.

Carl Bovill, Fractal Geometry in architecture and design, Birkhauser, Βοστώνη, 1996, σελ. 28-31

Εικ. 16.

Carl Bovill, Fractal Geometry in architecture and design, Birkhauser, Βοστώνη, 1996, σελ. 41

Εικ. 17.

http://homepages.rpi.edu/~eglash/eglash.dir/afractal/2.3.2.gif

Εικ. 18.

http://homepages.rpi.edu/~eglash/eglash.dir/afractal/2.3.3.gif

110

πηγές εικονογράφησης

Εικ. 19.

http://homepages.rpi.edu/~eglash/eglash.dir/afractal/2.3.1.gif

Εικ. 20.

https://cherilucas.files.wordpress.com/2011/03/jewish-museum-exterior-berlin.jpg

Εικ. 21.

http://imgkid.com/federation-square-sketch.shtml

Εικ. 22.

Mark + Jane Burry, The new mathematics of Architecture, Thames and Hudson, Λονδίνο, 2012, σελ. 64

Εικ. 23.

http://www.achimmenges.net/?p=4454

Εικ. 24.

http://www.achimmenges.net/?p=4454

Εικ. 25.

Mark + Jane Burry, The new mathematics of Architecture, Thames and Hudson, Λονδίνο, 2012, σελ. 68

Εικ. 26.

http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-natural-fractals.html

Εικ. 27.

http://www.nolan-judin.de/artists/barry-le-va/works/20.html

Εικ. 28.

http://www.wsj.com/articles/SB10001424052702304526204579097144213992878

Εικ. 29.

http://natsarkissian.flavors.me/#flashy-programming

Εικ. 30.

Stan Allen, άρθρο ‘From Object to field’ στο The digital Turn in Architecture 1992-2012, AD Reader, Wiley & Sons, 2013, σελ. 74.

Εικ. 31.

http://38.media.tumblr.com/tumblr_ky8qn3m5dm1qav3uso1_500.gif

Εικ. 32.

http://www.radicaleye.com/lifepage/

Εικ. 33.

Journal for Geometry and Graphics, Vol. 4

Εικ. 34.

Journal for Geometry and Graphics, Vol. 4

Εικ. 35.

http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_30

Εικ. 36.

http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html

Εικ. 37.

http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_30

111

πηγές εικονογράφησης

Εικ. 38.

Michael Batty, A digital Breeder for designing Cities, στο AD Digital Cities, Wiley & Sons, Τεύχος 79, Τόμος 4, ΙούλιοςΑύγουστος 2009, σελ. 47

Εικ. 39.

Michael Batty, A digital Breeder for designing Cities, στο AD Digital Cities, Wiley & Sons, Τεύχος 79, Τόμος 4, ΙούλιοςΑύγουστος 2009, σελ. 48

Εικ. 40.

Michael Batty, A digital Breeder for designing Cities, στο AD Digital Cities, Wiley & Sons, Τεύχος 79, Τόμος 4, ΙούλιοςΑύγουστος 2009, σελ. 49

Εικ. 41.

https://progressivetimes.files.wordpress.com/2011/03/broadacre-city.jpg

Εικ. 42.

https://expedictionary.files.wordpress.com/2014/01/radiantcity.jpg

112