Apuntes calculo by Martin Pinedo G

Universidad de los Andes Facultad de Ingenierı́a y Ciencias Aplicadas

Apuntes de Álgebra e Introducción al Cálculo R. Ballesteros y J. Carvajal

Índice general 1. Lógica y Conjuntos 1.1. Lógica proposicional . . . . . . . . . . 1.1.1. Elementos de Lógica . . . . . . 1.1.2. Funciones proposicionales . . . 1.1.3. Cuantificadores . . . . . . . . . 1.2. Introducción a la Teorı́a de Conjuntos . 1.2.1. Elementos básicos . . . . . . . . 1.2.2. Álgebra de conjuntos . . . . . . 1.3. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Método de puntos crı́ticos. . . . 1.3.2. Inecuaciones de 2◦ grado . . . . 1.4. Anexo: Números Reales . . . . . . . . .

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2. Funciones 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Gráfico de una función real . . . . . 2.2.2. Álgebra de funciones . . . . . . . . . 2.3. Composición de funciones . . . . . . . . . . 2.4. Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad 2.5. Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Elementos de análisis de funciones reales . . 2.7. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . 2.8. Función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . 3. Trigonometrı́a 3.1. Introducción . . . . . . . . . . 3.1.1. Ángulo . . . . . . . . . 3.1.2. Radian . . . . . . . . . 3.2. Funciones seno y coseno . . . 3.2.1. Dominio . . . . . . . . 3.2.2. Recorrido . . . . . . . 3.2.3. Ceros . . . . . . . . . . 3.2.4. Periodicidad . . . . . . 3.2.5. Signos . . . . . . . . . 3.2.6. Paridad . . . . . . . . 3.2.7. Gráficos . . . . . . . . 3.3. Propiedades del seno y coseno 3.3.1. Traslaciones tı́picas . . 3.3.2. Coseno de la diferencia

. . . . . . . . . . . . . y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . suma de ii

. . . . . . . . . . .

1 1 1 6 7 9 9 12 14 16 16 17

. . . . . . . . . .

22 22 23 23 26 27 28 29 31 39 40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ángulos

. . . . . . . . . . . . . .

44 44 44 44 45 46 46 47 47 48 48 49 50 50 52

. . . . . . . . . .

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.3.3. Seno de la diferencia y suma de ángulos . . . . . . . 3.3.4. Ángulos dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Ángulos medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Multiplicación de senos y cosenos . . . . . . . . . . . Funciones trigonométricas compuestas . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6. Paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7. Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrı́a en el triángulo rectángulo . . . . . . . . . . . 3.5.1. Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Arcoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4. Aplicación a resolución de ecuaciones trigonométricas 3.6.5. Aplicación a gráficos de funciones sinusoidales . . . . Razones trigonométricas sobre un triángulo cualquiera . . . 3.7.1. Teorema del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Inducción y Sumatorias 4.1. Principio de Inducción 4.2. Sumatorias . . . . . . 4.2.1. Progresiones . . 4.3. Teorema del binomio .

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52 53 53 54 54 55 55 55 55 56 56 56 58 58 59 61 61 62 62 63 66 67 67 68

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71 71 73 76 77

5. Números Complejos 82 5.1. Definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2. Forma Polar de un Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.3. Raı́ces n-ésimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6. Polinomios 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. División sintética y Teorema del Resto . . . . . 6.3. Raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Teorema fundamental del Álgebra . . . . . . . . 6.5. Técnicas de resolución de ecuaciones . . . . . . 6.6. Anexo 1: Demostración Teorema de la División 6.7. Anexo 2: Raı́ces racionales . . . . . . . . . . . . 7. Geometrı́a 7.1. Geometrı́a Analı́tica . . . 7.1.1. Definiciones previas 7.1.2. Circunferencia . . . 7.1.3. Recta . . . . . . .

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iii

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100 . 100 . 102 . 108 . 109 . 112 . 113 . 115

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116 . 116 . 116 . 117 . 118

7.1.4. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.1.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8. Lı́mites 8.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Lı́mite de Funciones . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Lı́mites laterales y lı́mites al infinito . 8.2.2. Ası́ntotas y lı́mites infinitos . . . . . 8.2.3. Lı́mites de funciones trigonométricas 8.2.4. Otros lı́mites importantes . . . . . . 8.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Continuidad puntual . . . . . . . . . 8.3.2. Continuidad por intervalos . . . . . . 8.3.3. Teoremas clásicos de continuidad . .

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137 . 137 . 150 . 155 . 157 . 162 . 164 . 165 . 165 . 167 . 170

Índice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Diagrama de Venn. . . . . Conjunto complemento. . Unión de conjuntos. . . . . Intersección de conjuntos. Diferencia de conjuntos . . Diferencia Simétrica . . .

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9 10 11 11 13 13

2.1. Ejemplo de gráfico . . . . . . 2.2. Gráfico f (x) = c . . . . . . . . 2.3. Gráfico f (x) = x . . . . . . . 2.4. Gráfico f (x) = x2 . . . . . . . 2.5. Gráfico f (x) = x3 . . . . . . . 2.6. Gráfico f (x) = ax2 + bx + c . 2.7. Función periódica . . . . . . . 2.8. Función par . . . . . . . . . . 2.9. Función impar . . . . . . . . . 2.10. Gráfico ax con a > 1 . . . . . 2.11. Gráfico ax con 0 < a < 1 . . . 2.12. Gráfico loga (x) con a > 1 . . . 2.13. Gráfico loga (x) con 0 < a < 1

. . . . . . . . . . . . .

23 24 24 24 25 27 31 32 32 40 40 41 41

3.1. Ángulo . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Radián . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Cı́rculo trigonométrico . . . . . . 3.4. Ceros de cos(x) . . . . . . . . . . 3.5. Ceros de sen(x) . . . . . . . . . . 3.6. Periodicidad . . . . . . . . . . . . 3.7. Signos cos(x) y sen(x) . . . . . . 3.8. Paridad . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Gráfico cos(x) en un periodo . . . 3.10. Gráfico cos(x) . . . . . . . . . . . 3.11. Gráfico sen(x) en un periodo . . . 3.12. Gráfico sen(x) . . . . . . . . . . . 3.13. Gráficos sen(x) y cos(x) . . . . . 3.14. Gráfico cos(x) y cos(x − π) . . . . 3.15. Gráfico sen(x) y sen(x − π) . . . 3.16. Coseno de la diferencia de ángulos 3.17. Gráfico tan(x) . . . . . . . . . . . 3.18. Gráfico cotan(x) . . . . . . . . . 3.19. Gráfico sec(x) . . . . . . . . . . . 3.20. Gráfico cosec(x) . . . . . . . . . .

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44 44 45 47 47 47 48 48 49 49 49 50 50 51 51 52 56 57 57 58

3.21. Teorema de Tales . . . . . . . . . . 3.22. Triángulo rectángulo . . . . . . . . 3.23. Triángulo equilátero lado 2 . . . de π π 3.24. Gráfico sen(x) en − 2 , 2 . . . . . 3.25. Gráfico arcsen(x) . . . . . . . . . . 3.26. Gráfico cos(x) en [0, π] . . . . . . . 3.27. Gráfico arccos(x) . . . . . . . . . . 3.28. Gráfico tan(x) en − π2 , π2 . . . . . 3.29. Gráfico arctan(x) . . . . . . . . . . 3.30. Ecuación trigonométrica del coseno 3.31. Ecuación trigonométrica del seno . 3.32. Gráfico f (x) = A sen(ωx + φ) . . . 3.33. Triángulo ABC . . . . . . . . . . . 3.34. Teorema del seno . . . . . . . . . . 3.35. Teorema del coseno . . . . . . . . . 3.36. Esquema muro y nube. . . . . . . .

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58 59 60 61 61 62 62 63 63 64 65 67 67 67 68 70

7.1. Distancia entre dos puntos. . . . . . . . . . 7.2. Traslación paralela de ejes. . . . . . . . . . 7.3. Circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Simetral de A y B . . . . . . . . . . . . . 7.6. Distancia de un punto a una recta . . . . . 7.7. División de trazo . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Parábola horizontal con p > 0 . . . . . . . 7.10. Parábola horizontal con p < 0 . . . . . . . 7.11. Parábola vertical con p > 0. . . . . . . . . 7.12. Parábola vertical con p < 0. . . . . . . . . 7.13. Parábola horizontal desplazada con p > 0. 7.14. Parábola vertical desplazada con p > 0 . . 7.15. Elipse con b < a. . . . . . . . . . . . . . . 7.16. Elipse con a < b. . . . . . . . . . . . . . . 7.17. Hipérbola horizontal. . . . . . . . . . . . . 7.18. Hipérbola vertical. . . . . . . . . . . . . . 7.19. Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.20. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.21. Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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116 117 117 118 122 123 124 125 126 127 127 127 128 129 131 131 133 134 135 136 136

8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Sucesión convergente Función sinc . . . . . Lı́mite de funciones . 3 Función f (x) = x2x−4

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

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138 150 151 160

6x exp(x) 8.5. Función f (x) = 2(x+1)(exp(x)+1) 8.6. Sector circular OAB . . . . . 8.7. Función continua . . . . . . . 8.8. Discontinuidad reparable . . . 8.9. Discontinuidad no reparable . 8.10. Bolzano 1 . . . . . . . . . . . 8.11. Bolzano 2 . . . . . . . . . . .

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161 162 165 169 170 170 171

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Capı́tulo 1 Lógica y Conjuntos 1.1. 1.1.1.

Lógica proposicional Elementos de Lógica

Proposición: Una proposición es una expresión de la cual se puede decir siempre si es verdadera o es falsa (V ó F ). Por este motivo se dice que las proposiciones son bivalentes. Conviene observar que no compete a la Lógica establecer el valor de verdad de las proposiciones, es decir, se considerarán las proposiciones simples con su valor ya asignado. Por costumbre a las proposiciones las denotaremos mediante las letras: p, q, r, etc. Conectivos o sı́mbolos: Ocuparemos los siguientes sı́mbolos, llamados también conectivos lógicos: ∼ ∧ ∨ Y ⇒ ⇔

: : : : : :

Negación Conjunción Disyunción inclusivo Disyunción excluyente implicancia Doble implicancia

Negación: Dada una proposición p, simbolizamos mediante ∼ p la negación de esta proposición. Por ejemplo, si p: “6 es un número par”, entonces, ∼ p: “6 no es un número par”. Conjunción: La relación que establece la conjunción “y” (que en sı́mbolos hemos denotado por ∧) entre dos proposiciones en el lenguaje común es perfectamente clara, es decir, no da lugar a ninguna ambigüedad. Por ejemplo, consideramos las proposiciones p : “5 es un número”, q : “el caballo es un animal”, al decir 5 es un número y el caballo es un animal ( afirmamos que las dos cosas se cumplen a la vez), esta relación se simboliza en lógica por: p ∧ q. Disyunción inclusiva y excluyente: La relación establecida entre dos proposiciones por la disyunción “o” ya no es tan directa. En efecto, analicemos que en el lenguaje corriente no tiene significado preciso ni único. Por ejemplo, si consideramos las proposiciones “hoy a las 15:00 estaré en el cine” y “hoy a las 15:00 estaré en el estadio”, resulta claro que si voy a estar en un lugar en determinado momento entonces no voy a estar en otro lugar en el mismo momento, es decir, que una de las acciones que realizaré excluye la otra y viceversa. Si, en cambio se dice: “regalaré los zapatos viejos o los zapatos negros”, se entiende que los zapatos que puedo 1

regalar son los viejos o también los negros (aunque no sean viejos). El o no es en este caso es excluyente. Si en ambos casos se comprende lo que se quiere decir es por el sentido general de la frase, pero desde el punto de vista lógico si nos preocupamos exclusivamente en su valor de verdad o falsedad es claro que hay dos interpretaciones diferentes para la relación establecida entre proposiciones por “o”. En forma simbólica, entonces, consideramos Y para el o excluyente y ∨ para el o inclusivo. Definición 1.1. Sean p y q dos proposiciones, definiremos las proposiciones ∼ p, p ∧ q, p ∨ q y p Y q mediante las tablas de verdad. p ∼p V F F V

p V V F F

q p∧q p∨q pYq V V V F F F V V V F V V F F F F

Implicancia: Dadas dos proposiciones p y q nos interesa la operación implicación, la que se lee si p entonces q y que simbolizaremos por p ⇒ q. Esta operación también suele llamarse relación de implicancia o condicional. Sin considerar el contenido de la operación entre proposiciones y de las cuales sólo interesan el valor de verdad, p ⇒ q será F si q es falsa. Su tabla de verdad corresponde a: p V V F F

q p⇒q V V F F V V F V

El lector puede probar sin dificultad que: p ⇒ q posee la misma tabla de verdad que ∼ p ∨ q. Trataremos de explicar en lo posible la arbitrariedad de esta definición. El uso del condicional para vincular proposiciones sin relación entre sı́, puede hacer ver como paradojales ciertas afirmaciones, por ejemplo: “Si la escalera es de madera, entonces, el perro es un mamı́fero,” la que se trata de una proposición compuesta, verdadera si las dos proposiciones simples son verdaderas. Sin embargo, debe recordarse que la proposición compuesta anterior no tiene ni más ni menos significado que lo que resulta aplicando la conjunción de las mismas dos proposiciones simples, “La escalera es de madera y el perro es un mamı́fero.” Lo importante es indicar que cuando el condicional se usa para expresar que una proposición implica lógicamente otra, lo que se expresa al escribir p ⇒ q significa que q es verdadera en todos los casos lógicamente posibles en que p sea verdadera. En tal caso el condicional no es una operación entre dos proposiciones simples sino una relación entre la proposición simple p y la compuesta p ⇒ q. Por tanto p ⇒ q debe entenderse como: Si p es verdadera implicará q es verdadera, si y sólo sı́, el condicional p ⇒ q es lógicamente verdadero. Dicho de otra forma p ⇒ q significa: q es verdadera siempre que p sea verdadera.

Doble implicancia: Finalmente definimos la doble implicancia, que denotaremos por ⇔, mediante la tabla de verdad p q p⇔q V V V V F F F V F F F V Es decir, la doble implicancia p ⇔ q es verdadera cuando las proposiciones p y q lo son, este operador binario también se llama bicondicional. Profundizaremos en este concepto en lo que sigue. Definición 1.2. Diremos que una proposición es una tautologı́a si para cualquier valor de verdad para las proposiciones simples que la componen, su valor final es siempre V . Es decir, si la columna final de su tabla de verdad sólo tiene V. Diremos que una proposición es una contradicción si para cualquier valor de verdad para las proposiciones simples que la componen, su valor final es siempre F. Diremos que dos proposiciones p y q son equivalentes, en sı́mbolos p ≡ q, si y sólo sı́, la tabla asociada a p ⇔ q es una tautologı́a. A continuación daremos una lista de algunas equivalencias de uso frecuente. Sus demostraciones se dejan al lector.

Proposición 1.1. p ∧ V ≡ p; p ∧ F ≡ F . p ∨ V ≡ V ; p ∨ F = p. p ∧ p ≡ p; p ∨ p ≡ p. ∼ (∼ p) ≡ p; ∼ F ≡ V ; ∼ V ≡ F . p ∧ (∼ p) ≡ F ; p ∨ (∼ p) ≡ V . p ∧ q ≡ q ∧ p; p ∨ q ≡ q ∨ p. p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r; p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r); p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q; ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q. p ∧ (p ∨ q) ≡ p; p ∨ (p ∧ q) ≡ p. Ahora presentamos un par de ejemplos a modo de referencia del tipo de ejercicios que el lector pueda verse enfrentado.

Ejemplo: Sean p: “tengo un loro” y q: “tengo un gato”. Escribir en lenguaje corriente y luego simplificar la proposición ∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p). Notemos previamente que: ∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p) ≡∼ [(∼ p∨ ∼ (∼ q)) ∨ (∼ p)], lo cual se puede escribir como: “No es cierto que no tengo un loro o no es cierto que no tengo un gato, o bien, no tengo un loro.” Simplificando, ∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p) ≡ (p∧ ∼ q) ∧ p ≡ p ∧ (∼ q ∧ p) ≡ p ∧ (p∧ ∼ q) ≡ (p ∧ p)∧ ∼ q ≡ p ∧ (∼ q). Ası́, la proposición es equivalente a afirmar: “tengo un loro y no tengo un gato”. Ejemplo: Pruebe utilizando tablas de verdad que: a) (p ∧ q) ⇔∼ (p ⇒ (∼ q)). b) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [p ∧ (∼ q) ⇒ r]. Usaremos tablas de verdad: a) p V V F F

q ∼ p ∼ q p ∧ q p ⇒∼ q ∼ (p ⇒∼ q) (p ∧ q) ⇔ ∼ (p ⇒∼ q) V F F F F V V V F F F V F V F V V F V F V F V V F V F V

b) p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r ∼ q q ∨ r p ∧ (∼ q) p ⇒ (q ∨ r) p ∧ (∼ q) ⇒ r V F V F V V F F V F V V V V V V V V F V F V F F V F V F V V F F V F V V V V V F V V F V F F V V

⇔ V V V V V V V V

Ejemplo: Siendo p y q proposiciones cualesquiera. La proposición (p ⇒ q) ⇔ [(p ∨ q) ⇔ q]: a) ¿Es siempre verdadera? b) ¿Es verdadera si y sólo si p lo es? c) ¿Es verdadera si y sólo si q es falsa? d) ¿Es verdadera si y sólo si p y q lo son? Construyendo su tabla de verdad, tenemos: p V V F F

q p∨q p⇒q p∨q ⇔q V V V V F V F F V V V V F F V V

⇔ V V V V

La tabla de verdad de esta proposición nos indica que esta es siempre verdadera (es decir es una tautologı́a). Ejemplo: Pruebe, sin hacer uso de tablas de verdad, que: p ∧ (∼ q)) ⇒ r ≡ (∼ p) ∨ (q ∨ r) es tautologı́a. Teniendo presente las propiedades del álgebra de proposiciones se cumple: (p ∧ (∼ q)) ⇒ r ≡∼ (p ∧ (∼ q)) ∨ r ≡ ((∼ p) ∨ q) ∨ r ≡ (∼ p) ∨ (q ∨ r). Luego es tautologı́a. Teoremas: En Matemática la relación de implicancia se usa como un método de razonamiento: p ⇒ q significa ahora q se deduce lógicamente de p. Este razonamiento lógico suele llamarse demostración o prueba. En general, un teorema expresa lo siguiente: si p es verdadera entonces q es verdadera, ası́ se dice que p es una hipótesis y q es una tesis. El teorema p ⇒ q puede leerse de las siguientes maneras: si p entonces q, p es condición suficiente para q, q es condición necesaria para p, q si p, p sólo si q. Si la afirmación p ⇒ q es verdadera diremos que se trata de un teorema directo. Si la afirmación q ⇒ p es verdadera diremos que se trata de un teorema recı́proco. Si la afirmación ∼ p ⇒∼ q es verdadera diremos que se trata de un teorema inverso. Si la afirmación ∼ q ⇒∼ p es verdadera diremos que se trata de un teorema contrarecı́proco o reducción al absurdo.

Nótese que sus tablas de verdad son fácilmente construibles, es decir: p V V F F

q p ⇒ q q ⇒ p ∼ p ⇒∼ q ∼ q ⇒∼ p V V V V V F F V V F V V F F V F V V V V

De estas tablas se tiene que los teoremas directo y contrarecı́proco tienen el mismo valor de verdad. Esto significa que si queremos demostrar un teorema tenemos básicamente dos formas de hacerlo: en forma directa o por reducción al absurdo. Nótese también que p ⇒ q ≡∼ p ∨ q ≡ q∨ ∼ p (conmutatividad) ≡∼ (∼ q)∨ ∼ p (doble negación) ≡∼ q ⇒∼ p. En Matemática el si y sólo si simbólicamente corresponde a la doble implicancia ⇔ . Otra forma de decir p si y sólo si q es afirmar que p es condición necesaria y suficiente para q. Notamos que se cumple p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), Esto último es fácil ver de la tabla de verdad de ambas proposiciones p V V F F

1.1.2.

q p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ q (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) V V V V V F F V F F V V F F F F V V V V

Funciones proposicionales

Definición 1.3. (Función proposicional): Una función proposicional p es una expresión descrita en función de algún parámetro x que satisface lo siguiente: cada vez que x se reemplaza, p(x) se transforma en una proposición normal. Veamos algunos ejemplos de las funciones proposicionales. Ejemplo: x + 1 = 3. x2 − 5x + 6 = 0. x2 − 9 = (x − 3)(x + 3). x2 = 25 ∧ x + 1 = 6.

De estas afirmaciones no es posible decir si son verdaderas o falsas, porque aún no hemos fijado el valor de x, ası́ en: Es verdadera para x = 2 y falsa para otro valor de x. Es verdadera para x = 2 Y x = 3 y falsa para otros valores de x. Verdadera para todos los valores numéricos de x; falsa para ningún x. Verdadera para x = 5 y falsa para otro valor de x.

1.1.3.

Cuantificadores

Observe el siguiente par de ejemplos: a) Si k es un número entero impar, entonces k 2 es un número entero impar. b) x2 = 1 si y sólo si (x − 1)(x + 1) = 0, para todo x número real. Como vimos anteriormente, en el caso del primer ejemplo escribimos: “Si pk entonces qk ” o simplemente, pk ⇒ qk donde pk : “k es un número entero impar”, qk : “k 2 es un número entero impar”. En el caso del segundo ejemplo simplemente escribimos px ⇔ qx , donde px : “x2 = 1, con x ∈ ”, qx : “(x − 1)(x + 1) = 0, con x ∈ ”. No obstante, algo se nos ha escapado y que a menudo se ignora para el primer ejemplo: si k es un entero impar, entonces k 2 es un entero impar, realmente queremos decir, para todos los números enteros k, si k es impar, entonces k 2 es impar. En otras palabras, nuestras implicancias son proposiciones generales que tienen que ser verdaderas para todos los valores de la variable incluida.

Definición 1.4. (Cuantificador Universal): La proposición (∀x)p(x) se lee “para todo x tal que p(x)” y es verdadera si y solo si p(x) es verdadera para cualquier valor de x. Ejemplo: Supongamos que tenemos la siguiente expresión: (∀x) x > 0 Acá la proposición es p(x) = x > 0, que con el cuantificador universal claramente es falsa, pues basta escoger x = −1 para que no se cumpla. Sin embargo, le podemos poner un contexto a la variable: (∀x ∈

N) x > 0

y aquı́ la proposición es verdadera. Definición 1.5. (Cuantificador existencial): La proposición (∃x)p(x) se lee “existe un x tal que p(x)” y es verdadera si y solo si existe al menos un valor de x tal que p(x) es verdadera.

Ejemplo: Ocupemos un ejemplo parecido al anterior (∃x) x < 0 Acá la proposición es verdadera, pues basta cualquier x < 0 para que se cumpla. Sin embargo, la siguiente proposición (∀x ∈

N) x < 0

es falsa, pues todos los números naturales son positivos. Notamos que es posible concatenar uno o más de estos cuantificadores, por ejemplo, la frase hay un elemento en que es mayor que todos los demás, se escribe en términos de cuantificadores como (∃ x ∈ )(∀ y ∈ )(x > y).

Notamos que esta proposición es falsa. En cambio (∀ x ∈

N)(∃ y ∈ N)(x > y)

es verdadera. Se deduce por lo tanto que los cuantificadores no siempre se pueden intercambiar sin cambiar el valor de verdad de la proposición. En general, la verdad o falsedad de proposiciones como las que hemos escrito depende del conjunto referencial y de las operaciones definidas en este. Ejemplo: Averiguamos el valor de verdad de los siguientes enunciados: p:∀x∈ q:∃y∈

Q, ∃ y ∈ Q Q, ∀ x ∈ Q

: 2x + y = 0, : 2x + y = 0

Para p: Notamos que para cualquier x ∈ existe y ∈ (que corresponde a y = −2x) tal que 2x+y = 0, por tanto p es verdadera. Para q: Si y = 21 la igualdad 2x + 12 = 0 no se cumple ∀ x ∈ , por tanto q es falsa

Negación de cuantificadores: La regla general para construir la negación de una forma proposicional es la siguiente: Los ∀ se cambian por ∃ y los ∃ se cambian por ∀ y después se niega la forma proposicional. De esta forma la negación se construye mecánicamente del mismo modo como se realiza la negación de una proposición. Ejemplo: a) La proposición ∼ (∀ x ∈ X, ∃ y ∈ X : x + y = 5 ⇒ x = y) corresponde a ∃ x ∈ X, ∀ y ∈ X :∼ [∼ (x + y) = 5 ∨ (x = y)] la cual es equivalente a ∃ x ∈ X, ∀ y ∈ X : x + y = 5 ∧ x 6= y. b) La negación de la proposición ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ X, ∃ z ∈ X : (x < y ⇒ x + z = y) corresponde a ∃ x ∈ X, ∃ y ∈ X, ∀ z ∈ X :∼ (x < y ⇒ x + z = y),

la cual, es equivalente a ∃ x ∈ X, ∃ y ∈ X, ∀ z ∈ X : x < y ∧ x + z 6= y. 8

1.2. 1.2.1.

Introducción a la Teorı́a de Conjuntos Elementos básicos

Los conjuntos se acostumbran a denotar con las letras mayúsculas A, B, C, D, . . . Los elementos de un conjunto se denotan con las letras minúsculas a, b, c, . . . La expresión: a es un elemento de A es una proposición lógica. Si es verdadera se escribe a ∈ A, en tanto que si es falsa se escribe a 6∈ A. Donde “∈” es el sı́mbolo de la relación pertenencia, y se lee “pertenece a”. Un conjunto A se dice definido por extensión si se da la lista completa de todos sus elementos. Los elementos de un conjunto definido por extensión se colocan entre llaves separados por comas, como por ejemplo: A = {1, 2, 3, 4}. Definición 1.6. (Igualdad de conjuntos): Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, lo que denotaremos por A = B, en caso contrario A 6= B. Ejemplo: Dados C = {a, b, c} y D = {c, a, b} se tiene C = D, lo que significa que en un conjunto no importa el orden en el que se encuentran sus elementos. Asumiremos que cualquiera que sea el objeto a, existe un conjunto notado por {a} el cual tiene a a por elemento: a ∈ {a}. Los elementos de un conjunto suelen ser representados por puntos situados en una región plana interior a una curva cerrada esta representación se llama diagrama de Venn. Si el conjunto tiene un gran número de elementos, el conjunto se representa como toda la región en el interior de la curva. A

B d b

a b

Figura 1.1: Diagrama de Venn. Por ejemplo en la Figura 1.2.1 se representan A = {a, b, c, d} y B con un gran número de elementos. Notamos que los diagramas de Venn son una ayuda para entender la operatoria de conjuntos, pero su uso no puede, en ningún caso, ser parte de una demostración rigurosa. Definición 1.7. (Inclusión): Diremos que un conjunto A está contenido o incluı́do en un conjunto B, si todo elemento de A es elemento de B. En tal caso se denotará por A ⊆ B, y se lee: “A está contenido en B”, o “A es un subconjunto de B”, o bien “B contiene a A”. Nótese que las proposiciones: A = B y [A ⊆ B ∧ B ⊆ A] son lógicamente equivalentes. Por lo tanto, la proposición A = B ⇔ [A ⊆ B ∧ B ⊆ A] es una tautologı́a.

Definición 1.8. (Conjunto referencia): Se asume la existencia de un conjunto referencia X en el que viven todos los elementos donde se va a trabajar. En decir, X es un conjunto tal que la proposición a ∈ U es siempre verdadera. Definición 1.9. (Conjunto vacı́o): Definimos el conjunto vacı́o como aquel que no tiene elementos, y se denota ∅. Notemos que si A es un conjunto cualquiera, ∅ es un subconjunto A. Definición 1.10. (Complemento): Sea X un conjunto referencia y A un conjunto tal que A ⊆ X. El complemento de A se define como: Ac = {a ∈ X|a 6∈ A} Osea, son todos los que viven en X, pero no en A. Es evidente que este conjunto depende tanto de A como del referencia X. El conjunto Ac está representado en la figura por el diagrama de Venn, X

Figura 1.2: Conjunto complemento.

Además, para X referencia: X c = ∅,

∅c = X

Definición 1.11. (Unión): Sea X un conjunto referencia y A, B ⊆ U conjuntos. Definimos la unión entre A y B como el conjunto que contiene a todos los elementos de A y todos los elementos de B. Ası́, A ∪ B = {x ∈ X | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

El conjunto A ∪ B está representado en la Figura 1.3 por el diagrama de Venn. X

Figura 1.3: Unión de conjuntos. Definición 1.12. (Intersección): Sea X un conjunto referencia y A, B ⊆ X conjuntos. Definimos la intersección entre A y B como el conjunto que contiene a los elementos están tanto en A como en B. Ası́, A ∩ B = {x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∈ B}. El diagrama de Venn del conjunto A ∩ B está representado en la Figura 1.4. X

A∩B

Figura 1.4: Intersección de conjuntos.

1.2.2.

Álgebra de conjuntos

A continuación revisaremos brevemente las propiedades más importantes del complemento, unión e intersección ası́ como la relaciones entre estas operaciones. Definiremos además dos nuevas operaciones, la diferencia y la diferencia simétrica de conjuntos. En lo que sigue A, B, C son subconjuntos de un conjunto de referencia X. Proposición 1.2. Se cumplen las siguientes propiedades Leyes distributivas: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Leyes de D’Morgan: (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ,

(A ∪ B)c = Ac ∩ B c . Ley de absorción: A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A. Se tienen las siguientes propiedades: Propiedades del conjunto complemento: a) (Ac )c = A. b) Si Ac = B c ⇒ A = B. c) X c = ∅ y ∅c = X.

Propiedades de la Unión: a) A ∪ ∅ = A, A ∪ X = X.

b) A ∪ Ac = X. c) A ∪ A = A.

d) A ∪ B = B ∪ A.

e) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

Propiedades de la Intersección: a) A ∩ ∅ = ∅, A ∩ X = A.

b) A ∩ Ac = ∅. c) A ∩ A = A.

d) A ∩ B = B ∩ A.

e) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

Propiedades de la relación de Subconjunto. a) A ⊆ A.

b) Si A ⊆ B y B ⊆ A ⇒ A = B. 12

c) Si A ⊆ B y B ⊆ C ⇒ A ⊆ C.

d) A ⊆ B ⇔ B c ⊆ Ac .

e) A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A.

Se deja como ejercicio al lector el identificar la ley lógica de la cual se desprende cada una de las propiedades anteriores, ası́ como su interpretación utilizando diagramas de Venn. Definición 1.13. (Diferencia): Sean A y B subconjuntos de X. La diferencia de A con B se define por el conjunto A \ B = {x ∈ X | x ∈ A ∧ x 6∈ B}. Es decir, x ∈ A pero x 6∈ A ∩ B. Note que de la definición se tiene que A \ B = A ∩ B c . El diagrama de Venn de A \ B está dado por: X B

A A\B

Figura 1.5: Diferencia de conjuntos

Definición 1.14. (Diferencia simétrica): La diferencia simétrica de A con B se define por el conjunto A4B = {x ∈ X | x ∈ A Y x ∈ B}. Es decir, x ∈ A ∪ B pero x 6∈ A ∩ B. El diagrama de Venn de A4B está dado por: X

A4B

Figura 1.6: Diferencia Simétrica

Propiedades de la diferencia y diferencia simétrica a) A4∅ = A. b) A4X = Ac . c) A4A = ∅.

d) A4B = B4A. e) A4(B4C) = (A4B)4C. f) A ∩ (B4C) = (A ∩ B)4(A ∩ C).

g) A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Definición 1.15. (Conjunto Potencia): Para todo conjunto X, existe un nuevo conjunto llamado conjunto potencia de X, denotado por P(X), cuyos elementos son todos los subconjuntos de X, es decir P(X) = {A | A ⊆ X}. Por ejemplo: sea X = {a, b, c}, el conjunto potencia de X es: P(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Es importante observar que el mismo objeto matemático es simultáneamente considerado como conjunto y como elemento. Notamos que si A es un subconjunto de X y a un elemento de A entonces las siguientes proposiciones son verdaderas: a ∈ A, A ⊆ X, A ∈ P(X); mientras que A ⊆ P(X) y a ∈ P(X) no lo son.

1.3.

Inecuaciones

En lo que sigue veremos metodologı́as para resolver ciertas inecuaciones, en estos apuntes sólo abordaremos las inecuaciones con una variable real, eventualmente lo haremos también con dos variables. Asumiremos que el lector ya está familiarizado con las propiedades de los números reales, y ante cualquier duda puede dirigirse al anexo incluido al final de este capı́tulo. Antes de continuar, recordemos el concepto de función: Dados dos conjuntos no vacı́os, se dice que f : A → B es una función si y sólo si para todo x ∈ A existe un único y ∈ B tal que y = f (x). Una función f : A → B se dice que es una función real si A y B son subconjuntos de . Las funciones se abordarán en profundidad en el siguiente capı́tulo, aunque antes de ver la definición propia de una inecuación nos adelantaremos a ver lo que es el valor absoluto, que puede ser muy útil para lo que queda del capı́tulo.

Definición 1.16 (Valor Absoluto). El valor absoluto o módulo de un número real x se define por   x si x > 0, 0 si x = 0, |x| =  −x si x < 0.

Proposición 1.3. Sean x, y ∈

R, entonces se tiene:

a) |x| ≥ 0. b) x ≤ |x| c) |x| = |−x|. d) |x|2 = |x2 | = x2 . e) |xy| = |x||y|.

x |x| . f ) Para y 6= 0,

= y |y| g) (|x| ≤ a ∧ a > 0) ⇔ −a ≤ x ≤ a. h) |x| ≥ a ⇔ (x ≤ −a ∨ x ≥ a). i) |x + y| ≤ |x| + |y|. Demostraremos solo la última propiedad, el resto se deja como ejercicio para el lector. Demostración: Notemos que |x + y|2 = (x + y)2 y desarrollando este último término tenemos |x + y|2 = (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 ≤ x2 + 2|xy| + y 2 .

En donde utilizamos que xy ≤ |xy| y ahora utilizando el hecho que x2 = |x|2 y lo mismo para y 2 nos queda que x2 + 2|xy| + y 2 = |x|2 + 2|x| · |y| + |y|2 = (|x| + |y|)2 . Ası́ nos queda que |x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2 ⇔ |x + y| ≤ |x| + |y|, lo que concluye la demostración. Definición 1.17. Una inecuación es una relación de desigualdad para una o más variables reales, que puede ser verdadera o falsa según sean los valores que puedan tomar dichas variables. Una inecuación de una variable real la denotaremos por: f (x) ≥ 0,

f (x) ≤ 0

f (x) > 0,

o bien f (x) < 0,

donde f es una función real. Definición 1.18 (Solución de una inecuación). Sea una inecuación de la forma f (x) ≥ 0

(1.1)

Resolver esta inecuación es, determinar un conjunto de números reales para los cuáles (1.1) es verdadera. Por tanto x = a, con a ∈ es solución de (1.1) si y sólo si f (a) ≥ 0. Dos inecuaciones son equivalentes si y sólo si toda solución de una de ellas es solución de la otra.

Las siguientes propiedades son útiles a la hora de encontrar las soluciones de una inecuación. Proposición 1.4. Para f , g, h funciones reales y ∀x ∈

R se cumplen:

a) f (x) ≥ g(x) ⇔ f (x) + h(x) ≥ g(x) + h(x).

R, f (x) ≥ g(x) ⇔ f (x)h(x) ≥ g(x)h(x), con h(x) > 0. ∀x ∈ R, f (x) ≥ g(x) ⇔ f (x)h(x) ≤ g(x)h(x), con h(x) < 0.

b) ∀x ∈ c)

d) |f (x)| ≤ g(x) ⇔ −g(x) ≤ f (x) ≤ g(x), con g(x) ≥ 0. e) |f (x)| ≥ g(x) ⇔ (f (x) ≤ −g(x) ∨ f (x) ≥ g(x)). Las demostraciones se dejan propuestas. Observación: En general, tal como para las ecuaciones no hay un método único para resolver una inecuación, todo depende de la destreza algebraica y de la aplicación adecuada de los teoremas y definiciones precedentes. Las inecuaciones conteniendo módulos se resuelven aplicando la definición de módulo y en algunos casos aplicando el teorema precedente incisos d) o e).

1.3.1.

Método de puntos crı́ticos.

Una gran parte de las inecuaciones que resolveremos lo haremos por el siguiente método, el cuál hemos llamado método de los puntos crı́ticos para el que, daremos el siguiente procedimiento. Resolver: f (x) ≥ 0 ∨ f (x) > 0 ∨ f (x) ≤ 0 ∨ f (x) < 0 a) Se determinan los puntos crı́ticos de f (x). Se dice que x0 es un punto crı́tico de f (x) si y solo si f (x0 ) = 0 ∨ f (x0 ) no existe. b) Se ordenan todos los puntos crı́ticos obtenidos en el eje real. Si es el caso de un punto crı́tico de: f (x) ≥ 0 ∨ f (x) ≤ 0 tal que f (x0 ) = 0 dicho punto debe considerarse en la solución. Si es el caso de un crı́tico de: f (x) > 0 ∨ f (x) < 0, estos aparecen en el eje real como referencia, no deben estar en la solución. Si es un punto crı́tico tal que f (x0 ) no existe, dicho punto en ningún caso debe considerarse en la solución. c) Se determinan los signos de f (x), en los intervalos determinados entre puntos crı́ticos. d) Si la inecuación en cuestión es: f (x) ≥ 0 ∨ f (x) > 0 la solución se encuentra en los intervalos señalados con signo (+). Si la inecuación en cuestión es: f (x) ≤ 0 ∨ f (x) < 0 la solución se encuentra en los intervalos señalados con signo (−). Debe considerarse para la soluci’on lo expuesto en el inciso 2).

1.3.2.

Inecuaciones de 2◦ grado

Sea f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 y su discriminante ∆ = b2 − 4ac y sean también x1 y x2 sus raı́ces reales. Sin perder generalidad asumiremos que x1 < x2 . I) a > 0 ∧ ∆ > 0; i) f (x) > 0 ⇔ x < x1 ∨ x > x2 , 16

ii) f (x) < 0 ⇔ x1 < x < x2 . II) a > 0 ∧ ∆ = 0;

R con x 6= x1 se tiene f (x) > 0. La inecuación f (x) < 0 no tiene solución en R.

i) Se cumple que x1 = x2 , además, ∀x ∈

ii)

III) a > 0 ∧ ∆ < 0; i) f (x) > 0 ⇔ ∀x ∈

ii) La inecuación f (x) ≤ 0 no tiene solución en

IV) a < 0 ∧ ∆ > 0; i) f (x) > 0 ⇔ x1 < x < x2

ii) f (x) < 0 ⇔ x < x1 ∨ x > x2 V) a < 0 ∧ ∆ = 0; i) La inecuación f (x) > 0 no tiene solución en ii) Se cumple que x1 = x2 , además, ∀x ∈

R con x 6= x1 se tiene f (x) < 0.

VI) a < 0 ∧ ∆ < 0; i) La inecuación f (x) ≥ 0 no tiene solución en

ii) ∀x ∈

1.4.

R, f (x) < 0.

Anexo: Números Reales

Suponemos la existencia de un conjunto cuyos elementos se llaman números reales y que satisfacen diversas propiedades. Las propiedades que creemos fundamentales para definir este conjunto se conocen como Axiomas de los Números Reales. Un axioma es un afirmación que supondremos verdadera. En este sentido los axiomas de los números reales son útiles para definir las operaciones usuales. Supondremos, por ejemplo que hay una operación suma, una multiplicación, la existencia del número 0, del número 1, la existencia de inversos, entre otras. Estos axiomas nos permitirán construir un concepto consecuente con lo que entendemos por número real y son la base de toda la Matemática en Ingenierı́a. Dejamos claro que lo que veremos a continuación no es más que dar el formalismo necesario para definir la operatoria ya conocida y, en este sentido, no veremos ningún concepto nuevo. Por ejemplo, los primeros axiomas hablan de la aritmética de los reales: establecer formalmente la suma, la multiplicación y las relaciones entre ellas. Luego veremos los axiomas de orden que dan sentido a los sı́mbolos usuales “mayor que”, “mayor o igual que”, “menor que” y “menor o igual que”.

Axioma 1 (Axiomas de suma) En se define una operación que se llama suma que verifica para todo x, y, z reales arbitrarios los siguientes axiomas: i) (Clausura de la adición) (x + y) ∈

ii) (Conmutatividad de la adición) x + y = y + x. iii) (Asociatividad de la adición) x + (y + z) = (x + y) + z.

iv) (Neutro Aditivo) El conjunto y que verifica x + 0 = x.

R contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 0 R

v) (Inverso Aditivo) El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por −x y que verifica x + (−x) = 0.

Axioma 2 (Axiomas de la multiplicación) Análogamente, en definimos una segunda operación llamada multiplicación que verifica para todo x, y, z reales arbitrarios los siguientes axiomas: i) (Clausura de la multiplicación) (x · y) ∈

ii) (Conmutatividad de la multiplicación) x · y = y · x. iii) (Asociatividad de la multiplicación) x · (y · z) = (x · y) · z.

iv) (Neutro Multiplicativo) El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 1 que es distinto del neutro aditivo 0 y que verifica x · 1 = x.

v) (Inverso Multiplicativo) El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por x−1 con x 6= 0 y que verifica x · x−1 = 1. Observación: Es costumbre escribir x − y en vez de x + −y, además por convención se suele obviar el signo de la multiplicación (·), de forma que x · y = xy. Por último, también es usual 1 escribir al inverso multiplicativo de x con x 6= 0 mediante 1/x ó por , siguiendo esta costumbre x y 1 es común usar las notaciones en vez de y e y/x en vez de y(1/x). x x Axioma 3 (Axiomas de distribución) Para todo x, y, z reales arbitrarios se tiene x(y + z) = xy + xz. A partir de estos axiomas se fundamentan las reglas del álgebra elemental de reales, que expondremos a continuación como propiedades. Proposición 1.5. Sean x, y, z reales arbitrarios. a) El elemento neutro aditivo, 0, es único. b) El opuesto o inverso aditivo, (−x), para cada real x, es único. c) El opuesto de (−x) es x, es decir −(−x) = x. d) (x + z = y + z) ⇒ x = y. e) Dados x, y existe un único z tal que x + z = y, el cual se acostumbra a denotar z = y − x. f) x(−y) = −(xy) = (−x)y. g) x(y − z) = xy − xz. h) 0x = 0. i) xy = 0 ⇒ (x = 0 ∨ y = 0). 18

j) El elemento neutro multiplicativo 1 es único. k) El inverso multiplicativo x−1 de x 6= 0 es único. l) El inverso multiplicativo de x−1 es x, es decir (x−1 )−1 = x. m) z 6= 0 ∧ xz = yz ⇒ x = y. n) Dados x, y con x 6= 0 existe un único z tal que xz = y, a saber yx−1 . ñ) ∀x, y 6= 0; (xy)−1 = x−1 y −1 . o) ∀x 6= 0; (−x)−1 = −(x−1 ) = −x−1 . Axioma 4 (Axiomas de Orden) Asumiremos que existe un subconjunto de + , cuyos elementos satisfacen los siguientes axiomas

R denotado por un

R+. ii) ∀x, y ∈ R+ , (x + y) ∈ R+ ∧ (xy) ∈ R+ . iii) ∀x ∈ R, con x 6= 0; x ∈ R+ ∨ −x ∈ R+ . Definición 1.19. El conjunto R+ se llama conjunto de los reales positivos. Mientras que el i) 0 6∈

conjunto

R− = {x ∈ R | −x ∈ R+}

se llama conjunto de los reales negativos. Proposición 1.6. a) 1 ∈ b) c) d) e)

R+, entonces podemos notar que R+ 6= ∅.

R− 6= ∅. 0 6∈ R− . R+ ∩ R− = ∅. R− ∪ {0} ∪ R+ = R.

Observe que 3, 4, 5 garantizan la Ley de Tricotomı́a es decir que cada real es: negativo, nulo o es positivo, utilizando la lógica proposicional esto se escribe como: ∀x ∈

R : (x ∈ R−) Y (x = 0) Y (x ∈ R+).

Definición 1.20. ∀x, y ∈ se definen las relaciones; “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) por: i) x > y ⇔ (x − y) ∈ ii) x < y ⇔ y > x. iii) x ≥ y ⇔ (x − y) ∈

R+. R+ ∨ x = y.

iv) x ≤ y ⇔ y ≥ x. 19

A partir de los axiomas de orden y de la definición anterior se derivan todas las reglas para operar con desigualdades, las cuales se expondrán en las siguientes Propiedades. Proposición 1.7. a) ∀x, y ∈

R se tiene una y sólo una de las siguientes relaciones: x < y ∨ x = y ∨ x > y.

b) Si x > y ∧ y > z ⇔ x > z. c) x > y ⇒ x + z > y + z. d) Si x > y ∧ z > 0 ⇒ xz > yz. e) Si x > y ∧ z < 0 ⇒ xz < yz. f) Si x 6= 0, ∀x ∈

R, ⇒ x2 > 0, donde x2 = x · x.

g) Si xy > 0 ⇒ (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0). h) Si x > y ∧ z > w ⇒ x + z > y + w. i) Si x > 0 ⇒ x−1 > 0. j) Si x > y > 0 ⇒ y −1 > x−1 . k) Si x > y > 0 ∧ z > w > 0 ⇒ xz > yw.

R se tiene: x2 + y2 ≥ 2xy. Si x > y, existe z ∈ R, tal que x > z > y.

l) Para todo x, y ∈ m)

n) Si x ≥ y ∧ y ≥ x ⇒ x = y. Con los axiomas anteriores diremos que el conjunto de números reales es ordenado. Contruı́mos los Números Naturales de forma inductiva como sigue 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, etc Definimos el número 2 como 1 + 1 (se deja al lector demostrar que 2 6= 0 y 2 6= 1), el número 3 como 2 + 1, 4 como 3 + 1, etc. Denotaremos el conjunto de los números naturales como . Algunos autores incluyen el cero dentro de los números naturales, preferimos no seguir esta tendencia y cada vez que sea necesario diremos explı́citamente si consideramos el cero o no según el contexto. Definimos el conjunto de los Números Enteros al conjunto que incluye al cero, los números naturales y sus inversos aditivos. Este conjunto lo denotaremos por y está dado por = {n ∈ | n ∈ ∨ −n ∈ ∨ n = 0}.

Definimos el conjunto de los Números Racionales, que denotaremos por , como el conjunto que contiene a los números enteros, sus inversos multiplicativos y todas sus posibles multiplicaciones. Esto se resume como p = x ∈ | x = , p ∈ , q ∈ y q 6= 0 . q

De nuestros conocimientos adquiridos en la Enseñanza Media tenemos la intuición que es distinto de . Sin embargo, con los axiomas propuestos hasta el momento no es posible demostrarlo. Trabajar solamente con números racionales no es útil para el desarrollo matemático que se requiere en Ciencias de la Ingenierı́a. Existe un último axioma (llamado Axioma del Supremo) que nos permite definir conceptos como raı́ces, exponenciales, logaritmos y lı́mites. Utilizando el Axioma del Supremo es posible probar que \ 6= ∅. Llamaremos al conjunto √ \ conjunto de Números Irracionales y lo denotaremos por la letra . Por ejemplo, 2, π y e son números irracionales.

R Q

Capı́tulo 2 Funciones 2.1.

Introducción

Antes de definir la noción de función, revisaremos el concepto de producto cruz entre dos conjuntos. Definición 2.1. Sean A y B dos conjuntos. Definimos el producto cruz entre A y B (que lo denotaremos por A × B) mediante A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. En la definición anterior se ha introducido el elemento (a, b) que suele llamarse par ordenado. Es importante observar que dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si y sólo si componente a componente son iguales, es decir a = c y b = d. Un ejemplo importante y que será frecuentemente utilizado es el conjunto

R2 = R × R = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R}, y que suele llamarse plano cartesiano. Estamos en condiciones de definir el concepto de función. Definición 2.2. Dados A y B dos conjuntos no vacı́os diremos que f es una función de A en B si f define una regla o ley que asigna a cada elemento de A un único elemento de B. De manera más formal, f se dice función si y sólo si (∀x ∈ A)(∃! y ∈ B) y = f (x). Es costumbre escribir f : A → B para indicar que f es una función de A en B, otra costumbre es escribir a 7→ b para indicar que b = f (a). Notamos que es posible identificar una función de A en B a partir de un subconjunto de A × B. Es decir, F ⊆ A × B representa una función si (∀x ∈ A)(∃! y ∈ B) (x, y) ∈ F. Ahora veamos algunas definiciones importantes para el desarrollo: Definición 2.3. Sea f : A → B una función. El conjunto A se llama dominio y se denota como Dom f . El conjunto A también se suele llamar conjunto de definición o conjunto de partida. Al conjunto B se suele llamar codominio o conjunto de llegada y se denota Codom f . 22

Definimos la imagen de f o recorrido de f que denotaremos por Img f o Rec f mediante la imagen de A bajo f , es decir Img f = Rec f = {f (a) ∈ B | a ∈ A}. A partir de la definición anterior concluimos que dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, estas son iguales si los dominios son iguales, los codominios son iguales y la regla que las define son iguales, es decir: a) Dom f = Dom g. b) Codom B = Codom D. c) (∀x ∈ Dom f ) f (x) = g(x).

2.2.

Funciones reales

Diremos que f es una función real si f : A → B con A, B ⊆

2.2.1.

Gráfico de una función real

R R

En lo que sigue llamaremos plano cartesiano al conjunto × . El gráfico de una función f : A → B se define como el conjunto de todos los pares ordenados (x, f (x)), como subconjunto del plano cartesiano. Representa gráficamente la relación de los elementos del dominio de la función con respecto a sus imágenes. Denotando y = f (x), el eje vertical, correspondiente a la variable y, es llamado ordenada. El eje horizontal, que corresponde a la variable x , es llamado abcisa. Con esto, un gráfico de una función es algo como lo siguiente: y

Figura 2.1: Ejemplo de gráfico

Veremos ahora algunas funciones tı́picas.

Función constante Una función constante es una función que siempre tiene el mismo valor, sin importar en que x ∈ la evaluemos, es decir f (x) = c ∀x ∈ , con c ∈ fijo. Esta se grafica como una linea horizontal, como vemos a continuación:

y 4 3 2 1

−5

−4

−3

−2

−1

Figura 2.2: Gráfico f (x) = c

Función identidad Una función identidad es una función que siempre devuelve el mismo valor entregado, es decir f (x) = x ∀x ∈ . Esta se grafica como una linea diagonal, como vemos a continuación:

y 4 3 2 1

−5

−4

−3

−2

−1

−1 −2 −3 −4 −5

Figura 2.3: Gráfico f (x) = x

Función cuadrática Una función identidad es una función que siempre devuelve el cuadrado del valor entregado, es decir f (x) = x2 ∀x ∈ . Esta se grafica como vemos a continuación:

y 4 3 2 1

−5

−4

−3

−2

−1

Figura 2.4: Gráfico f (x) = x2

Función cúbica Una función identidad es una función que siempre devuelve el cubo del valor entregado, es decir f (x) = x3 ∀x ∈ . Esta se grafica como vemos a continuación:

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2−1 −1

1 2 3 4 5 6 7 8 9x

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10

Figura 2.5: Gráfico f (x) = x3

2.2.2.

Álgebra de funciones

Sean f y g funciones de dominio Dom f y Dom g respectivamente y sea también λ ∈ constante fija. Se definen las funciones:

R una

a) Función suma: f + g : Dom f ∩ Dom g →

R, (f + g)(x) = f (x) + g(x).

b) Función diferencia: f − g : Dom f ∩ Dom g →

R, (f − g)(x) = f (x) − g(x).

c) Ponderación de una función:: λf : Dom f →

R, (λf )(x) = λf (x).

d) Función producto: f · g : Dom f ∩ Dom g →

R, (f · g)(x) = f (x) · g(x).

e) Función cuociente: f :A→ g

f f (x) , (x) = g g(x)

donde A = Dom f ∩ Dom g \ {x ∈ Dom g | g(x) = 0}.

Ejemplo: Analicemos la función f (x) = ax2 + bx + c, con a 6= 0, b, c ∈ . Por las propiedades anteriores, está bien definido como función f : → . Recordemos que para graficar esta, necesitamos saber el signo de a, la ubicación del vértice y los cortes a los ejes.

a) Lo primero es bastante sencillo, basta ver el número que acompaña a x2 para saber su signo. b . Reemplazando esto en f (x) b) Recordemos que la ubicación en el eje OX del vértice es − 2a obtendremos la coordenada OY : 2 b b 4ac − b2 b =a − +b − +c= f − 2a 2a 2a 4a

b 4ac−b2 Con esto, el punto − 2a , 4a será el punto más bajo de f (x) si a > 0 y será el punto más alto de f (x) si a < 0. c) El corte en el eje OY es bastante sencillo, basta simplemente evaluar f (x) en 0, es decir este corte es f (0) = c. Recordemos√ que, en caso de existir (b2 − 4ac ≥ 0), los cortes de esta 2 función en el eje OX son x = −b± 2ab −4ac . Con todo esto, el gráfico para el caso a > 0 es algo de la forma: El caso a < 0 es al revés.

b − 2a √ −b− b2 −4ac 2a 4ac−b2 4a

√ −b+ b2 −4ac 2a

Figura 2.6: Gráfico f (x) = ax2 + bx + c

2.3.

Composición de funciones

Sean A, B, C, D conjuntos no vacı́os y las funciones f : A → B, g : C → D. Definición 2.4. (Composición de funciones): Se define la función composición de f y g, denotada por (g ◦ f ) por la ley: (g ◦ f )(x) = g(f (x)), donde Dom(g ◦ f ) = {x ∈ A | f (x) ∈ Dom(g)}, además Codom(g ◦ f ) = D Además, para que Dom(g ◦ f ) 6= ∅ se debe tener que B ⊆ C. La composición de funciones no es, en general, conmutativa como muestran los ejemplos siguientes: Ejemplo: Sean las funciones f : → definida por f (x) = 1 − x y g : → definida por g(x) = −1 − x. Podemos notar que (g ◦ f ) : → está definida por

R R

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(1 − x) = −1 − (1 − x) = x − 2. También, podemos ver que (f ◦ g) :

R → R está definida por

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (−1 − x) = 1 − (−1 − x) = x + 2. Claramente podemos ver que (g ◦ f ) 6= (f ◦ g). Ejemplo: Sean las funciones f : + → definida por f (x) = 2 g(x) = x . Para calcular (g ◦ f ) primero debemos notar que

y para todo x ∈

R+ tenemos que

(g ◦ f ) :

1 x

y g:

R → R definida por

R+ → R,

2 1 1 1 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g = = 2. x x x Ahora bien, ¿es lo mismo (g ◦ f ) que (f ◦ g)? Para este caso, primero notemos que: (f ◦ g) :

R \ {0} → R 27

y para todo x ∈

R \ {0} tenemos que (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 ) =

1 . x2

En resumen, tenemos: (g ◦ f ) :

R+ → R

(g ◦ f )(x) =

1 x2

(f ◦ g) :

R\{0} → R

(f ◦ g)(x) =

1 x2

Notemos que, pese a que la ley que definen g ◦ f y f ◦ g son iguales, los dominios son distintos, por lo que (g ◦ f ) 6= (f ◦ g). En general no hay conmutatividad de la composición, como vimos en los ejemplos anteriores. Observación: Sean A, B, C, D conjuntos no vacı́os y las funciones f : A → B, g : B → C, h : C → D, entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f , siempre y cuando las composiciones estén bien definidas. Se deja al lector demostrar esta afirmación, es decir, verificar la igualdad de funciones: igual regla o ley, igualdad dominios e igualdad de codominios de ambas composiciones.

2.4.

Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad

Ahora definiremos los conceptos de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. Definición 2.5. Sea f : A → B. Diremos que f es: a) Inyectiva si y sólo si (∀x1 , x2 ∈ A) f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 . Es decir que cada preimagen de f es única. b) Sobreyectiva o epiyectiva si y sólo si (∀y ∈ B)(∃x ∈ A) y = f (x). Es decir Rec f = B. c) Biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva. Formalmente se debe tener que (∀y ∈ B)(∃! x ∈ A) | y = f (x). Observación: Dada una función f : A → B no necesariamente sobreyectiva, siempre es posible encontrar una función con la misma ley que sı́ sea sobreyectiva. Para ello basta restringir el codominio: es decir tomar f¯ con la misma ley de f considerada como f¯: A → Rec f

R R

Ejemplo: Consideremos la función f (x) = x2 definida de en . Claramente f no es inyectiva, (por ejemplo f (−1) = f (1)), tampoco es sobreyectiva (por ejemplo, −1 ∈ Codom f , pero −1 ∈ / Rec f ). Sin embargo, gracias a la observación anterior, si consideramos ahora f¯: → + con la misma ley f¯(x) = x2 entonces f¯ es sobreyectiva. Por otro lado g : → dada por √ g(x) = x no es función, (por ejemplo g(−1) no está definido). Sin embargo si restringimos el dominio, por ejemplo a + ∪ {0} entonces sı́ obtenemos una función: ḡ : + ∪ , √ √{0} → √ dada por ḡ(x) = x es función (compruébelo), además si 0 ≤ x < y entonces x < y y por lo tanto ḡ es inyectiva. Además ḡ no es sobreyectiva (por ejemplo −1 ∈ Codom ḡ, pero + ¯ −1 ∈ / Rec ∪ {0} → + ∪ {0} con √ ḡ). Sin embargo si ahora restringimos el codominio: ḡ : ḡ¯(x) = x entonces obtenemos una función inyectiva y sobreyectiva, es decir biyectiva.

R R

2.5.

Función inversa

Dada una función f : A → B, queremos construir otra función g : B → A tal que sea el “camino contrario” de f . Es decir, si para x ∈ A, y ∈ B se tiene f (x) = y, ahora queremos encontrar g(y) = x. Para que g quede bien definida como función, necesitamos que f cumpla ciertas condiciones con respecto a su dominio y recorrido. Enumeremos estas condiciones: a) Notemos que Dom g = Rec f , por lo que necesitamos que para todo y ∈ B exista g(y). Esto se puede asegurar si la función f cumple que Rec f = B, dado que ası́ cada elemento de su recorrido tiene preimagen. Esto es exactamente la definición de que f sea sobreyectiva. b) Otra cosa que podemos observar, es que si tenemos x1 , x2 ∈ A, y ∈ B tales que x1 6= x2 y f (x1 ) = f (x2 ) = y, entonces g(y) = x1 = x2 , lo cual es una contradicción. Para evitar este problema, debemos evitar que existan x1 , x2 ∈ A tales que f (x1 ) = f (x2 ), lo que se puede lograr imponiendo que f sea inyectiva, ası́ cada elemento del recorrido de f tiene única preimagen. Resumiendo lo anterior, tenemos que la función f : A → B debe ser inyectiva y sobreyectiva, es decir, debe ser biyectiva. Ası́ aseguramos que g sea función. Definición 2.6. (Función inversa) Dada f : A → B una función biyectiva, se define la función inversa, denotada por f −1 , como la función que satisface (∀x ∈ A)(∀y ∈ B) f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. A las funciones biyectivas, también se les suele llamar funciones invertibles. A algunas propiedades importantes sobre una función f y su inversa son Proposición 2.1. Sea f : A → B biyectiva y su inversa f −1 : B → A, entonces: a) (∀x ∈ A), f −1 (f (x)) = x b) (∀y ∈ B), f (f −1 (y)) = y c) f −1 es biyectiva y (f −1 )−1 = f . Esto último quiere decir que la inversa de f −1 es justamente f . Demostración: a) Sea y ∈ B y llamaremos x = f −1 (y) ∈ A. Por definición de f −1 , tenemos que f (x) = y. Reemplazando se llega a que: f −1 (f (x)) = x. b) Basándonos en la demostración anterior y reemplazando al revés se llega a que: f (f −1 (y)) = y. c) Primero veamos la inyectividad. Sean y1 , y2 ∈ B tales que f −1 (y1 ) = f −1 (y2 ). Llamaremos x1 = f −1 (y1 ) y x2 = f −1 (y2 ), entonces por definición f (x1 ) = y1 y f (x2 ) = y2 . Como x1 = x2 , tenemos que:

f (x1 ) = f (x2 )

f (f −1 (y1 )) = f (f −1 (y2 )).

⇒

Usando la propiedad anteriormente demostrada, se tiene que y1 = y2 , por lo tanto f −1 es inyectiva. Veamos ahora la sobreyectividad. Sea x ∈ A, entonces debemos encontrar y ∈ B tal que f −1 (y) = x. Tomando y = f (x) ∈ B por definición, entonces por la primera propiedad f −1 (y) = f −1 (f (x)) = x. Con esto, f −1 es sobreyectiva y en consecuencia es biyectiva. Falta demostrar que la inversa de la inversa es la función original. Para esto sea h = f −1 , entonces debemos demostrar que h−1 = f ⇔ (∀x ∈ A) h−1 (x) = f (x). Como h : B → A, entonces h−1 : A → B. Entonces, podemos ver que Dom f = A = Dom h−1 Rec f = B = Rec h−1 Notemos que h−1 cumple que (∀x ∈ A)(∀y ∈ B) h−1 (x) = y

⇔

h(y) = x.

Sea x ∈ A, entonces: f −1 (y) = x ⇔

h(y) = x ⇔

f (x) = y

Podemos concluir entonces que h−1 (x) = f (x)

⇔

(f −1 )−1 (x) = f (x).

Entonces, por la propiedad de igualdad de funciones, tenemos que (f −1 )−1 = f. Observación: Note que en todo momento hemos hablamos de “la inversa” pues en caso de existir esta es única . En efecto, consideremos g1 , g2 : B → A inversas de f, que verifican las propiedades anteriores. Para todo y ∈ B se sigue que f (g2 (y)) = y y por lo tanto g1 (y) = g1 (f (g2 (y)), sabemos además que g1 (f (x)) = x para todo x en A y como y como g2 (y) ∈ A se concluye que g1 (y) = g1 (f (g2 (y)) = g2 (y) y por lo tanto g1 = g2 . Se deja al lector verificar que se cumple la igualdad de dominios y codominios.

Ejemplo: Sea f : → la función f (x) = x2 . Sabemos que f no tiene inversa pues no es inyectiva ni sobreyectiva. Sin embargo, la función definida por la misma regla f¯(x) = x2 , restringiendo los dominios y codominios f¯: + → + sı́ tiene inversa que corresponde a la raı́z √ cuadrada: (f¯)−1 (x) = x.

Proposición 2.2. (Propiedades con la función inversa): a) Sean A, B conjuntos no vacı́os, donde B = f (A), función biyectiva f : A → B y g : B → A función, entonces: • Si (g ◦ f ) = x entonces g = f −1 , 30

• Si (f ◦ g) = x entonces g = f −1 . Observación: Esta propiedad es biyectiva, por ejemplo √ en general no es cierta si f no + consideremos las funciones x definida como función de y x2 definida como √ a √ función de a + se sigue que ( x)2 = x, en cambio x2 = |x|. Notamos que si redefinimos x2 como función de + a + la propiedad es cierta.

R R

b) Sean A, B conjuntos no vacı́os y las funciones f : A → B, g : B → A. Entonces si (g ◦ f ) = x y (f ◦ g) = x se tiene que g = f −1 . Notar que esta propiedad es parecida a la anterior, pero no se necesita saber previamente que f es biyectiva. c) Inversa de una composición: Sean A, B, C conjuntos no vacı́os y las funciones biyectivas f : A → B, g : B → C, entonces (g ◦ f )−1 = (f −1 ◦ g −1 ). Sólo demostraremos la última de estas propiedades. Demostración: Como g ◦ f es biyectiva, basta probar que (f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = x. Por asociatividad: (f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = f −1 ◦ (g −1 ◦ g) ◦ f

Pero g −1 ◦ g = x, entonces:

(f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = f −1 ◦ f Y esto por definición es x, entonces se puede concluir, gracias a la unicidad de la inversa que (g ◦ f )−1 = (f −1 ◦ g −1 ).

2.6.

Elementos de análisis de funciones reales

Definición 2.7. (Periodicidad): Diremos que f es periódica si existe T 6= 0 tal que • ∀x ∈ Dom f ⇒ (x + T ) ∈ Dom f . • f (x + T ) = f (x). Al menor T > 0 que satisface esta propiedad se llama periodo de la función. y

x T

Figura 2.7: Función periódica

Definición 2.8. (Paridad): La paridad es una manera de clasificar funciones según caracterı́sticas puntuales de su simetrı́a. Podemos dividir esto en dos tipos: a) La función f par si • ∀x ∈ Dom f entonces −x ∈ Dom f . • f (−x) = f (x).

Geométricamente hablando, una función par es simétrica con respecto al eje y, es decir su gráfico no cambia al reflejarse con respecto a este eje. y

−x0

Figura 2.8: Función par b) La función f impar si • ∀x ∈ Dom f entonces −x ∈ Dom f . • f (−x) = −f (x).

Geométricamente hablando, una función impar es simétrica con respecto al origen. y

−x0

Figura 2.9: Función impar Se puede notar que una función no necesariamente debe ser par o impar.

Definición 2.9. (Monotonı́a): Diremos que: a) Una función es creciente si (∀x1 , x2 ∈ Dom f ) (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )) . Diremos que f es estrictamente creciente si la desigualdad última anterior es estricta. b) Una función es decreciente si (∀x1 , x2 ∈ Dom f ) (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )) . Diremos que f es estrictamente decreciente si la desigualdad última anterior es estricta. c) Decimos que una función es monótona si es creciente o decreciente. Conocidas las definiciones anteriores, podemos enunciar los siguientes teoremas: Teorema 2.1. Sea f (x) una función real tal que es estrictamente creciente o estrictamente decreciente ∀x ∈ Dom f , entonces f (x) es una función inyectiva ∀x ∈ Dom f . Demostración: Veremos el caso f (x) creciente, dado que el otro caso es análogo. Tenemos que ∀x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). Dada la monotonı́a de la función, podemos ver que no existe forma de que para x1 < x2 se cumpla que f (x1 ) = f (x2 ). La única forma de cumplir esto es que x1 = x2 , es decir que f (x) sea inyectiva. Teorema 2.2. Sea f (x) una función real y biyectiva tal que es creciente o decreciente ∀x ∈ Dom f , entonces f −1 (y) también es una función creciente o decreciente respectivamente ∀y ∈ Dom f −1 . Demostración: Veremos el caso f (x) creciente, dado que el otro caso es análogo. Sean y1 , y2 ∈ Dom f −1 , y tales que y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), supongamos que y1 < y2 . Por definición de función inversa, tenemos que f −1 (y1 ) = x1 , f −1 (y2 ) = x2 . Se tienen los casos: x1 = x2 , x1 > x2 o bién x1 < x2 . Si x1 = x2 entonces y1 = y2 , que contradice la hipótesis y de la misma forma descartamos el caso x1 > x2 . Necesariamente x1 < x2 , o en forma equivalente, f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ). Como y1 < y2 , tenemos que f −1 (y) es creciente. Definición 2.10. (Ceros de una función): El conjunto de ceros de una función son todos los valores de su dominio donde la función se anula. De manera más formal podemos decir que define como: {x ∈ Dom f | f (x) = 0}. Definición 2.11. (Signos de una función): Caracterizar los signos de una funci’on consiste en indicar los puntos del dominio donde la funci’on es positiva o negativa. De esta forma diremos que una función es positiva en A si A ⊆ Dom f y f (x) > 0 para todo x ∈ A. En forma análoga se define f negativa en A. 33

Definición 2.12. (Función acotada): a) Diremos que f es acotada superiormente si y sólo si ∃M ∈

R : f (x) ≤ M

∀x ∈ Dom f.

Cualquier valor M que cumpla lo anterior le llamaremos cota superior de f . b) Diremos que f es acotada inferiormente si y sólo si ∃m ∈

R : f (x) ≥ m

∀x ∈ Dom f.

Cualquier valor m que cumpla lo anterior le llamaremos cota inferior de f . c) Cuando una función es acotada inferior y superiormente simplemente diremos que es acotada. Lo anterior es equivalente a que existe c > 0 tal que |f (x)| ≤ c para todo x ∈ Dom(f ). Notemos también que una función no necesariamente debe tener cota inferior y/o superior. Para funciones acotadas, dependiendo de si son acotadas inferior y/o superiormente podemos definir el concepto de supremo, infimo, máximo y mı́nimo de funciones. Definición 2.13. (Supremo e ı́nfimo de funciones): Consideremos f una función real y A ⊂ Dom(f ) un conjunto no vacı́o. a) Si f es acotada superiormente se define el supremo de la función f en A como el número real sup f := sup{f (x) | x ∈ A}. A

Si supA f ∈ Rec f , entonces a este valor se le llama máximo de f en A y lo denotamos por máxA f . b) Para f acotada inferiormente, definimos el ı́nfimo de la función f en A al valor ı́nf f := ı́nf{f (x) | x ∈ A}. A

Si se cumple que ı́nf A f ∈ Rec f entonces a este valor se le llama mı́nimo de f en A y lo denotamos por mı́nA f .

Veamos algunos ejemplos de todo lo anterior. Para las siguientes funciones f : Dom f → , determine su dominio, recorrido, paridad, monotonı́a, ceros, signos, acotamiento, inyectividad, sobreyectividad, biyectividad y función inversa. En caso de no tener inversa, restrinja la función de forma de que tenga y encuéntrela. p a) f (x) = |x| • Dominio: para encontrar el dominio, básicamente debemos ver donde se puede evaluar la función. Recordemos que la raı́z cuadrada puede ser evaluada sólo en números positivos o en cero. Por otro lado, el valor absoluto para cualquier x ∈ devuelve un número ≥ 0. Con todo esto podemos ver que la función queda bien definida para todo x ∈ , es decir que Dom f = .

O bien, notemos que esta composición de fun√ función se puede escribir como una + ciones g ◦ h con g(x) = x y h(x) = |x|. Notemos que g : ∪ {0} → + ∪ {0} y + que h : → ∪ {0}, entonces por definición de composición de funciones tenemos que g ◦ h : → + ∪ {0}. Por lo tanto, Dom f = .

R R R R

• Recorrido: de lo hecho anteriormente, es fácil ver que Rec f =

R+ ∪ {0}.

• Paridad: si tenemos que x es un número positivo, debemos ver cuanto da f (−x), entonces: f (−x) =

p p | − x| = |x| = f (x)

Como f (−x) = f (x) tenemos que la función es par. • Monotonı́a: aprovechando la paridad de la función, solo veremos la monotonı́a para los números positivos. Para los negativos será lo contrario. Entonces, sean x1 , x2 ∈ + tales que x1 < x2 . Como el valor absoluto es estrictamente creciente para los números positivos, tenemos que

|x1 | < |x2 | Como la raı́z cuadrada es una función estrictamente creciente, si la aplicamos a esta desigualdad se mantiene el sentido, entonces: p p |x1 | < |x2 |

⇒

f (x1 ) < f (x2 )

Con esto, tenemos que f es estrictamente creciente ∀x ∈ R+ . Luego, dado que f es par tenemos que es decreciente ∀x ∈ − .

• Ceros: por positividad de la raı́z cuadrada, los ceros se encuentran donde |x| = 0, pero también por positividad del valor absoluto tenemos que el único cero de esta función es x = 0. • Signos:: dado el conjunto imagen de f , tenemos que la función es positiva ∀x ∈ Dom f .

• Acotamiento: dado que el conjunto imagen es + ∪ {0}, podemos notar que f es acotada inferiormente. Más aún, dado que 0 ∈ Rec f entonces 0 es el mı́nimo de f , el cual se alcanza en x = 0, dado que es el único cero de f como vimos anteriormente. • Inyectividad: como la función es par, para cualquier x 6= 0 se tiene que f (−x) = f (x) y x 6= −x. Esto contradice la inyectividad, por lo tanto f no es inyectiva. • Sobreyectividad: como tenemos que Rec f 6=

R, entonces f no es sobreyectiva.

• Biyectividad: como f no es inyectiva ni sobreyectiva, tampoco es biyectiva. Además, al no ser biyectiva no existe inversa. Ahora bien, veamos lo siguiente: p f (x) = |x| • Inyectividad: lo que negó la inyectividad a la función fue su paridad, por lo que si restringimos su dominio a Dom f = + tenemos que f es inyectiva por el teorema 2.1. • Sobreyectividad: basta con restringir el conjunto de llegada a su recorrido, es decir que f : Dom f → B con B = + . √ Como x ∈ + , podemos escribir f de manera más sencilla, esto es f (x) = x. Despejando x en función de f se tiene que:

x = f2 Entonces, se tiene que la función inversa de f es f −1 (x) = x2 . 35

b) f (x) = |x| −

√

1 − x2

• Dominio: recordemos que la raı́z cuadrada puede ser evaluada sólo en números ≥ 0. Entonces se debe tener que: 1 − x2 ≥ 0

1 ≥ x2

⇒

−1 ≤ x ≤ 1

Entonces, tenemos que Dom f = [−1, 1]. • Paridad: si tenemos que x es un números positivo, debemos ver cuanto da f (−x), entonces: f (−x) = | − x| −

p √ 1 − (−x)2 = |x| − 1 − x2 = f (x)

f (x) = x −

√ 1 − x2

∀x ∈

R+

Como tenemos que x1 < x2 , entonces como las potencias de x son estrictamentes crecientes para números positivos tenemos que: x21 < x22

1 − x21 > 1 − x22

⇒

También la raı́z cuadrada es estrictamente creciente, entonces: q q 2 1 − x1 > 1 − x22

q q 2 − 1 − x1 < − 1 − x22

⇒

Sumando esta ’ultima desigualdad a x1 < x2 se tiene que: q q 2 x1 − 1 − x1 < x2 − 1 − x22

⇒

f (x1 ) < f (x2 )

Por lo tanto f es estrictamente creciente en [0, 1] y por paridad es estrictamente decreciente en [−1, 0]. • Recorrido: dada la monotonı́a, el conjunto imagen será [f (0), f (1)]. Podemos encontrar estos valores directamente evaluando, entonces:

f (0) = |0| −

f (1) = |1| −

√

1 − 02 = −1 1 − 12 = 1

Luego, tenemos que Rec f = [−1, 1]. • Ceros: debemos ver cuando se cumple f (x) = 0. Entonces: √ √ |x| − 1 − x2 = 0 ⇒ |x| = 1 − x2 . Elevando esta igualdad al cuadrado tenemos que: x2 = 1 − x2 36

⇒

1 x2 = , 2

por lo tanto,

√

√ 2 2 x=− ∨ x= . 2 2 n √ √ o Entonces los ceros de f son − 22 , 22 . • Signos:: dadohel conjunto imagen ver que la función h √ i de f y la monotonı́a h √podemos √ i √ i 2 2 2 2 es positiva en −1, − 2 ∪ 2 , 1 y es negativa en − 2 2 . • Acotamiento: dado que el conjunto imagen es [−1, 1], podemos notar que f es acotada. Más aún, dado que los extremos del intervalo pertenecen al imagen, entonces −1 es el mı́nimo de f , el cual se alcanza en x = 0 y 1 es el máximo de f . el cual se alcanza en x = ±1.

• Inyectividad: como la función es par, para cualquier x 6= 0 se tiene que f (−x) = f (x) y x 6= −x. Esto contradice la inyectividad, por lo tanto f no es inyectiva.

• Sobreyectividad: como tenemos que Rec f 6=

R, entonces f no es sobreyectiva.

• Biyectividad: como f no es inyectiva ni sobreyectiva, tampoco es biyectiva. Además, al no ser biyectiva no existe inversa. Ahora bien, veamos lo siguiente: • Inyectividad: lo que negó la inyectividad a la función fue su paridad, por lo que si restringimos su dominio a Dom f = [0, 1] tenemos que f es inyectiva por el teorema 2.1. • Sobreyectividad: basta con restringir el conjunto de llegada a su recorrido, es decir que f : Dom f → B con B = [−1, 1].

Como x ∈ [0, 1], podemos escribir f de manera más sencilla, esto es f (x) = x − √ 1 − x2 . Despejemos la raı́z cuadrada y elevando al cuadrado: √ 1 − x2 = x − f, luego, elevando al cuadrado 1 − x2 = (x − f )2 = x2 − 2xf + f 2 . Ordenando, queda una ecuación cuadrática para x, entonces: 2x2 − 2xf + f 2 − 1 = 0, se sigue que p

p 4f 2 − 8(f 2 − 1) f ± 2 − f2 x= = 4 2 Como x ∈ [0, 1] nos quedamos con el signo positivo. Notemos también que la raı́z cuadrada está bien definida dado que f ∈ [−1, 1]. Entonces la función inversa de f es: √ x + 2 − x2 −1 f (x) = . 2 2f ±

c) f (x) =

2 |x| − 1

• Dominio: al tener una fracción, debemos tener que el denominador no se anule. Para que se anule el denominador tenemos que: |x| − 1 = 0 Entonces, tenemos que Dom f =

⇒

|x| = 1

R\{−1, 1}. 37

⇒

x = ±1

• Paridad: si tenemos que x es un números positivo, debemos ver cuanto da f (−x), entonces: f (−x) =

2 2 = = f (x) | − x| − 1 |x| − 1

Como f (−x) = f (x) tenemos que la función es par.

• Monotonı́a: aprovechando la paridad de la función, solo veremos la monotonı́a para los números positivos. Para los negativos será lo contrario. Entonces, sean x1 , x2 ∈ + tales que x1 < x2 . Notemos que para este caso |x| = x, entonces

f (x) =

2 x−1

∀x ∈

R+\{1}

Como tenemos que x1 < x2 , entonces : x1 − 1 < x2 − 1

1 1 > x1 − 1 x2 − 1

⇒

Multiplicando por 2 esto se conserva la desigualdad, entonces: 2 2 > x1 − 1 x2 − 1

⇒

Por lo tanto f es estrictamente decreciente en creciente en − \{−1}.

f (x1 ) > f (x2 )

R+\{1} y por paridad es estrictamente

• Ceros: como el numerador es constante e igual a 2, tenemos que f no tienes ceros.

• Signos:: haremos el análisis para x ∈ + \{1} y por paridad esto se reflejará. Notemos que para x > 1 la función f (x) será positiva dado que tanto el numerador como el denominador son siempre positivos y para 0 < x < 1 se tiene lo contrario. Con esto más la paridad se tiene que f es positiva en (−∞, −1) ∪ (1, +∞) y negativa en (−1, 1). • Acotamiento: la función a medida que se acerca a los valores fuera del dominio, empieza a crecer o decrecer sin cota, por lo que la función f no es acotada. • Recorrido: dadas las dos propiedades anteriores, podemos concluir que Rec f =

• Inyectividad: como la función es par, para cualquier x 6= 0 se tiene que f (−x) = f (x) y x 6= −x. Esto contradice la inyectividad, por lo tanto f no es inyectiva. • Sobreyectividad: como tenemos que Rec f =

R, entonces f es sobreyectiva.

• Biyectividad: como f no es inyectiva , tampoco es biyectiva. Además, al no ser biyectiva no existe inversa. Ahora bien, solo es necesario arreglar la inyectividad, dado que f ya es sobreyectiva. Lo que impide la inyectividad a la función es su paridad, por lo que si restringimos su dominio a Dom f = + \{1} tenemos que f es inyectiva por el teorema 2.1. Como x ∈ + , podemos escribir f de manera más 2 sencilla, esto es f (x) = x−1 . Despejando x en función de f se tiene que:

2 + 1. f

Recordemos que f no tiene ceros, por lo que esto queda bien definido. Entonces, se tiene que la función inversa de f es f −1 (x) =

2 + 1. x

2.7.

Función exponencial

Previo a la definición de la función exponencial, debemos tener en cuenta el siguiente resultado: Teorema 2.3. Sea a ∈

R tal que a > 1. Entonces, para p, q ∈ Q tales que p < q se tiene que: ap < aq

Corolario 2.1. Para la propiedad anterior, si ahora a ∈ (0, 1) se tiene que: aq < ap Con todo esto ya podemos ver la siguiente definición: Definición 2.14. Sean a, x ∈ ax =

R tal que a > 0. Definimos la función exponencial como   sup{ap | p ≤ x ∧ p ∈ Q} si a > 1 

1 ı́nf{ap | p ≤ x ∧ p ∈

si a = 1 si a < 1

Ya con la definición, podemos pasar a ver los siguientes teoremas: Teorema 2.4. Sean a, b ∈

R+. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

a) (ab)x = ax bx a x ax = x b) b b Teorema 2.5. Sea a ∈

R+. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

a) ax+r = ax ar b) ax−r =

ax ar

c) (ax )r = axr El siguiente teorema resume las propiedades de la función exponencial como función real:

R+. Definimos f (x) = ax la función exponencial, entonces: De su definición, podemos ver que Dom f = R

Teorema 2.6. Sea a ∈ a)

b) La función f (x) = ax no es periódica ni posee algún tipo de paridad. c) La función f (x) = ax es estrictamente creciente si a > 1 y estrictamente decreciente si 0 < a < 1. d) La función f (x) = ax es estrictamente positiva ∀x ∈ Dom f . e) De lo anterior, podemos ver que f (x) = ax no es acotada inferiormente. Por esto, no posee supremo pero si ı́nfimo, el cual es 0. Este ’ultimo no es un mı́nimo dado que como la función es estrictamente positiva, nunca vale 0. f) Se tiene que f (0) = a0 = 1 y f (1) = a1 = a. g) Del punto anterior, podemos concluir que Rec f =

R+

A partir de las propiedades anteriores podemos graficar la función exponencial para cualquier valor de a ∈ + . Para a > 1 tenemos que el gráfico es:

5 4 3 2 1

−5

−4

−3

−2

−1

−1 −2

Figura 2.10: Gráfico ax con a > 1 Y para 0 < a < 1: 5 4 3 2 1

−5

−4

−3

−2

−1

−1 −2

Figura 2.11: Gráfico ax con 0 < a < 1

2.8.

Función logaritmo

En esta sección nos enfocaremos en estudiar su función inversa de la función ax con a ∈ + . Recordemos que como la función exponencial es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, entonces por el teorema 2.1 se tiene que la funci’on ax es inyectiva. La sobreyectividad se asegura dado que la función esta restringida a su imagen, entonces tenemos que ax es función biyectiva y por lo tanto posee función inversa.

Definición 2.15. Sea a ∈ + . Si tenemos que f (x) = ax , definimos la función logaritmo en base a, denotada por loga (x), a la función inversa de f . Formalmente esto es que loga (x) = f −1 (x). A partir de las propiedades algebraicas de la función exponencial, se puede enunciar el siguiente teorema: Teorema 2.7. Sean a, b ∈

R+. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

a) loga (xy) = loga (x) + loga (y) 40

b) loga

x y

= loga (x) − loga (y)

c) loga (xy ) = y loga (x) d) logb (x) =

loga (x) loga (b)

También aprovechando las propiedades de la función exponencial como función real, podemos enunciar lo siguiente:

R+. Definimos f (x) = loga(x) la función logaritmo en base a, entonces: De su definición, podemos ver que Dom f = R+ e Rec f = R+ .

Teorema 2.8. Sea a ∈ a)

b) La función loga (x) no es periódica ni posee algún tipo de paridad. c) La función f (x) = loga (x) es estrictamente creciente si a > 1 y estrictamente decreciente si 0 < a < 1. d) La función f (x) = loga (x) es positiva ∀x > 1 y negativa para 0 < x < 1. e) De su imagen, podemos ver que f (x) = loga (x) no es acotada. Por esto, no posee supremo pero ni ı́nfimo. f) Se tiene que f (1) = loga (1) = 0 y f (a) = loga (a) = 1. Finalmente, podemos recordar que el gráfico de una función inversa es la reflexión de la función original con respecto al origen. Con esto podemos graficar el logaritmo en base a para cualquier a ∈ + . Para a > 1 tenemos que el gráfico es:

2 1

−2

−1

−1 −2 −3 −4 −5

Figura 2.12: Gráfico loga (x) con a > 1 Y para 0 < a < 1: 5 4 3 2 1

−2

−1

−1 −2

Figura 2.13: Gráfico loga (x) con 0 < a < 1

Ejemplo: Sea a > 1, un número real fijo. Considere la expresión fa (x) = loga a) Determinar el mayor subconjunto A tal que fa : A →

√1 a− a−x

R sea una función.

b) Estudiar el crecimiento de fa . c) Demostrar que fa tiene un único cero que denotaremos como z(a). d) Calcular, en caso de existir: ı́nf{ fa (x) | x ∈ A}

∧

sup{ z(a) | a > 1}.

Solución: a) Recordemos que el dominio de la función logaritmo en base a es imponer que: √ √ a − a − x > 0 ⇒ a > a − x.

R+, por lo tanto debemos

Como ambos lados son números positivos, al elevar al cuadrado se mantiene la desigualdad, entonces: a2 > a − x ⇒ x > a − a2 = a(1 − a) También debemos imponer que x ≤ a para que quede bien definida la raı́z cuadrada. Luego, tenemos que Dom fa = {x ∈ | a(1 − a) < x ≤ a}.

b) Sean x1 , x2 ∈ Dom fa tales que x1 < x2 . Se sigue de esta desigualdad que a − x1 > a − x2 , aplicando raı́z cuadrada (recordando que la raı́z cuadrada es una función estrictamente creciente y no altera la desigualdad) entonces: √ √ √ √ a − x1 > a − x2 ⇒ a − a − x1 < a − a − x2 . Por lo tanto, 1 1 √ √ > . a − a − x1 a − a − x2

Finalmente, recordemos que el logaritmo en base a es estrictamente creciente para a > 1, entonces esta no altera la desigualdad: 1 1 √ √ loga > loga , a − a − x1 a − a − x2 se sigue que fa (x1 ) > fa (x2 ) y, entonces, la función fa es estrictamente decreciente. c) Recordemos √ que loga (1) = 0, por lo que para encontrar los ceros de fa debemos imponer que a − a − x = 1. Despejando la raı́z cuadrada y elevando al cuadrado la igualdad: √ a − x = a − 1 ⇒ a − x = (a − 1)2 . Entonces, podemos ver que z(a) = a − (a − 1)2 . Este es único dado que fa es decreciente, por lo que en caso de cortar la abscisa sólo puede hacerlo una vez.

ı́nf{ fa (x) | x ∈ A}: Como fa es estrictamente decreciente y a ∈ Dom fa , basta con calcular: 1 fa (a) = loga = − loga (a) = −1. a Luego, ı́nf{ fa (x) | x ∈ A} = −1. Como −1 ∈ Rec fa podemos decir que es el mı́nimo de la función fa . sup{ z(a) | a > 1}: Notemos que z(a) = a − (a − 1)2 = −a2 + 3a − 1, la cual es una = 32 . Entonces el supremo, parábola cóncava, por lo tanto se maximiza en a = −3 −2 que en este caso también es máximo, es: 3 5 sup{ z(a) | a > 1} = z = . 2 4

Capı́tulo 3 Trigonometrı́a 3.1.

Introducción

3.1.1.

Ángulo

Para la siguiente figura: A

α O

Figura 3.1: Ángulo podemos definir como ángulo a la cantidad de cuanto debe rotar el lado OB para quedar en la misma linea que OA, lo que denotamos en el dibujo como α. Este ángulo será positivo cuando vaya en el sentido contrario a las manillas del reloj, tal como se muestra en la figura, y claramente será negativo si va en el sentido a favor de las manillas del reloj.

3.1.2.

Radian

Para medir ángulos, usaremos una medida llamada radian. Esta corresponde a una proporción entre el arco de una circunferencia y su radio. Ahora bien, para verlo de manera más simple, tomemos la siguiente circunferencia y los puntos A, B, C, D marcados en la figura: B b

b b

C b

Figura 3.2: Radián 44

Definiremos que, sobre la circunferencia, para llegar de A a B, siguiendo el sentido positivo dado por las flechas, se necesitan π2 radianes. Notemos que entonces cada cuarto de circunferadianes rencia son π2 radianes, por lo que llegar de A a C son π radianes, de A a D son 3π 2 π y la vuelta completa son 2π radianes. A cualquier ángulo de 2 radianes lo llamaremos ángulo recto. Podrı́amos ver que hacer medio camino de A a B son π4 radianes. Cando hablemos de una cantidad x radianes, simplemente diremos x. Además, hay otras formas de medidas conocidas, como por ejemplo la medida sexagesimal, el cual usa como medida base al grado. Si tenemos un ángulo α, del cual sus medidas en radianes y grados son αrad y α◦ , se tiene la siguiente relación: α◦ =

180 · αrad π

De esta forma, podemos notar las equivalencias: 0 π 4 π 2 π 3π 2 2π

3.2.

←→

0◦

←→

45◦

←→

90◦

←→

180◦

←→

270◦

←→

360◦

Funciones seno y coseno

Volviendo a trabajar en un cı́rculo, tomemos la siguiente figura:

(a, b)

1 x a

Figura 3.3: Cı́rculo trigonométrico la cual es simplemente una circunferencia de radio 1 y centro en O = (0, 0). A esta figura la llamaremos cı́rculo trigonométrico. Notemos que para el ángulo x, el punto que intercepta a la circunferencia es (a, b). A la abscisa de este punto la llamaremos coseno de x, lo cual denotaremos por cos(x). Del mismo modo, a la ordenada de este punto la llamaremos seno de x, denotado por sen(x). Es decir, simplemente se tiene que a = cos(x) ; 45

b = sen(x)

Con esto, para cualquier punto del cı́rculo trigonométrico, su largo corresponde al coseno del ángulo y altura corresponde al seno del ángulo. Dicho esto, podemos ver rápidamente algunos valores para estas funciones: cos(0) = 1 π cos =0 2 cos(π) = −1 3π cos =0 2 cos(2π) = 1

; ; ; ; ;

sen(0) = 0 π sen =1 2 sen(π) = 0 3π sen = −1 2 sen(2π) = 0

Más aún, podemos ver algunas propiedades. Como (a, b) es punto del cı́rculo trigonométrico, tenemos que tanto su largo como su altura son como mı́nimo −1 y como máximo 1, es decir −1 ≤ a ≤ 1 y −1 ≤ b ≤ 1, entonces: −1 ≤ cos(x) ≤ 1 ;

−1 ≤ sen(x) ≤ 1 √ Por otro lado, notemos que la diagonal que define al punto (a, b) es a2 + b2 , lo cual corresponde al radio de esta circunferencia, por lo que entonces a2 + b2 = 1. De esto, se puede obtener la identidad fundamental del seno y coseno, la cual es: cos2 (x) + sen2 (x) = 1 Ahora bien, podemos notar que tanto seno como coseno son funciones respecto al ángulo x, por lo que podemos analizarlas como función.

3.2.1.

Dominio

Notemos que en el cı́rculo trigonométrico podemos definir el valor de estas funciones para cualquier ángulo en [0, 2π], pero pensando que esta circunferencia es como una rueda, esta podrı́a seguir girando en el sentido positivo y obtener valores para ángulo mayores, o bien girar en el sentido contrario para obtener a estas funciones para ángulos negativos. Es decir, para cualquier ángulo que se nos ocurra, existe valor de seno y coseno, basta tomar el punto A = (1, 0) y llevarlo hasta el ángulo pedido, girando tanto y hacia donde corresponda. Con esto, podemos decir entonces que Dom(cos) = Dom(sen) =

3.2.2.

Recorrido

Recordemos que tanto seno como coseno están acotados por −1 y 1, además del mismo cı́rculo se puede notar que se toman todos los valores intermedios a estos, por lo que entonces Rec(cos) = Rec(sen) = [−1, 1] Hasta aquı́, ya podemos ver que cos, sen :

R −→ [−1, 1] 46

3.2.3.

Ceros

Para analizar los ceros, veremos por separado. Recordemos que el coseno es el largo del punto, por lo que este valor será nulo cuando los puntos estén sobre el eje vertical, es decir: b

Figura 3.4: Ceros de cos(x) Para llegar al punto superior de la figura, notemos que un valor posible es el ángulo π2 . Luego, para llegar al siguiente punto basta con avanzar o retroceder en π. Desde el siguiente punto, para llegar al próximo, nuevamente se puede avanzar o retroceder en π. Entonces, podemos ver que los valores que hacen cos(x) = 0 son x = π2 + kπ, ∀k ∈ , donde k indica la cantidad de vueltas desde el punto superior y su signo indica el sentido de este giro.

El caso de la función seno es similar. Recordemos que el seno es simplemente la altura del punto, por lo que para que esta sea nula los puntos deben estar ubicado en el eje horizontal, es decir:

Figura 3.5: Ceros de sen(x) Se puede notar que el análisis es análogo al del coseno, solo que tomando como partida el ángulo 0, por lo que entonces los valores que hacen sen(x) = 0 son x = kπ, ∀k ∈ .

3.2.4.

Periodicidad

Veamos lo siguiente en el cı́rculo trigonométrico:

Figura 3.6: Periodicidad

Notemos que para obtener los mismos valores del seno y coseno, es necesario dar la vuelta completo al cı́rculo, ya sea en el sentido positivo (como muestra la figura) o negativo. Es claro ver que aumentar el número de vueltas sigue dejándonos parados en el mismo punto. Por esto, se dice que las funciones seno y coseno son de periodo 2π, es decir: cos(x + 2kπ) = cos(x) ;

3.2.5.

sen(x + 2kπ) = sen(x) ∀k ∈

Signos

Dada la periodicidad, basta analizar los signos en una vuelta. Nuevamente, aprovechando el cı́rculo trigonométrico, podemos ver que:

cos(x)

sen(x)

−

Figura 3.7: Signos cos(x) y sen(x) Es decir, cos(x) > 0 para x ∈ − π2 , π2 y cos(x) < 0 para x ∈ x ∈ (0, π) y sen(x) < 0 para x ∈ (π, 2π).

3.2.6.

π 3π , 2 2

. Además, sen(x) > 0 para

Paridad

Usemos la siguiente configuración del cı́rculo trigonométrico:

(a, b) b

b x −x −b

a (a, −b)

Figura 3.8: Paridad De las definiciones de seno y coseno, para el ángulo −x se tiene que cos(−x) = a y sen(−x) = −b. Con esto, recordando que cos(x) = a y sen(x) = b, tenemos que: cos(−x) = cos(x) ;

sen(−x) = − sen(x) ∀x ∈

Es decir, la función coseno es par y la función seno es impar.

3.2.7.

Gráficos

Aprovecharemos la periodicidad nuevamente para graficar ambas funciones en el plano, por lo que analizaremos cada función en [0, 2π] y replicaremos para el resto. Empecemos con la función coseno, recordando que este es el largo de un punto en el cı́rculo trigonométrico. Notemos que esta parte en el valor 1 y luego decrece su valor a −1 cuando llegamos al ángulo π. Luego, su valor nuevamente empieza a crecer hasta volver a ser 1 para el ángulo 2π, es decir al terminar la vuelta. En este giro, notemos que pasamos por dos de sus . De todo esto, podemos concluir que el gráfico de cos(x) para una ceros, los cuales son π2 y 3π 2 vuelta es: y

π 2

3π 2

2π

−1

Figura 3.9: Gráfico cos(x) en un periodo Ahora, como mencionamos antes, mediante la periodicidad podemos hacer el gráfico completo: y

x −1

Figura 3.10: Gráfico cos(x) Para con la función seno es similar, recordando que este es la altura de un punto en el cı́rculo trigonométrico. Notemos que esta parte en el valor 0 y luego crece su valor a 1 cuando llegamos al ángulo π2 . Luego, su valor empieza a decrecer hasta −1 para el ángulo 3π y finalmente crece 2 hasta ser nuevamente 0 para el ángulo 2π, es decir al terminar la vuelta. En este giro, notemos que pasamos por tres de sus ceros, los cuales son 0 π y 2π. De todo esto, podemos concluir que el gráfico de sen(x) para una vuelta es: y

π 2

3π 2

2π

−1

Figura 3.11: Gráfico sen(x) en un periodo

Ahora, como mencionamos antes, mediante la periodicidad podemos hacer el gráfico completo: y

x −1

Figura 3.12: Gráfico sen(x)

3.3. 3.3.1.

Propiedades del seno y coseno Traslaciones tı́picas

Partamos por ver algunas propiedades sencillas de estas funciones. Supongamos que tenemos el siguiente gráfico simultaneo de las funciones seno y coseno (en rojo y azul respectivamente): −2π

− 3π 2

−π

− π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

Figura 3.13: Gráficos sen(x) y cos(x) Notemos que si hacemos “retroceder” a la función sen(x) en π2 , las lineas azules y rojas coincidirán, por lo que ambas funciones serán iguales. De aquı́, se desprende que: π π sen x − = cos(x) ⇐⇒ sen(x) = cos x + ∀x ∈ 2 2

O bien, “avanzando” a la función sen(x) en π2 , las lineas rojas serán un reflejo de las azules con respecto al eje OX, por lo que entonces: π π sen x + = − cos(x) ⇐⇒ sen(x) = − cos x − ∀x ∈ 2 2 De manera similar, notemos que si la función sen(x) retrocede en 3π , obtenemos un reflejo del 2 coseno con respecto al eje OX, entonces: 3π 3π sen x − = − cos(x) ⇐⇒ sen(x) = − cos x + ∀x ∈ 2 2

O bien, avanzando a sen(x) en 3π , las lineas azules y rojas nuevamente coincidirán, es decir: 2 3π 3π = cos(x) ⇐⇒ sen(x) = cos x − ∀x ∈ sen x + 2 2

Ahora, supongamos que tenemos el gráfico de la función cos(x) y de ella misma pero retrocedida en π (azul y verde respectivamente): −2π

− 3π 2

−π

− π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

Figura 3.14: Gráfico cos(x) y cos(x − π) Podemos ver que las lineas verdes son un reflejo de las lineas azules con respecto al eje OX, por lo que se tiene lo siguiente: cos(x − π) = − cos(x)

⇐⇒

cos(x) = − cos(x + π)

∀x ∈

Haciendo lo mismo para sen(x) y ella misma retrocedida en π (rojo y verde respectivamente): −2π

− 3π 2

−π

− π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

Figura 3.15: Gráfico sen(x) y sen(x − π) Podemos ver que las lineas verdes son un reflejo de las lineas rojas con respecto al eje OX, por lo que se tiene lo siguiente: sen(x − π) = − sen(x)

⇐⇒

sen(x) = − sen(x + π)

∀x ∈

Con todo hecho anteriormente, tenemos varias propiedades de traslación de ángulos tı́picos para el seno y coseno. Ahora bien, esto se puede plantear para ángulos genéricos, aunque para hacerlo necesitaremos hacer un análisis distinto.

3.3.2.

Coseno de la diferencia y suma de ángulos

Consideremos las figuras que se indican a continuación, dentro del cı́rculo trigonométrico: y b

Q′

b b

α−β b

P′

Figura 3.16: Coseno de la diferencia de ángulos Podemos ver que los triángulos OP Q y O0 P 0 Q0 son congruentes. Más aún, podemos ver que: P = (cos(β), sen(β)) ; P 0 = (1, 0) ; Q = (cos(α), sen(α)) ; Q0 = (cos(α − β), sen(α − β))

Los lados QP y Q0 P 0 son iguales, entonces también (Q0 P 0 )2 = (QP )2 , lo cual es lo mismo que (cos(α − β) − 1)2 + (sen(α − β))2 = (cos(α) − cos(β))2 + (sen(α) − sen(β))2 desarrollando se obtiene cos2 (α − β) − 2 cos(α − β) + 1 + sen2 (α − β) = cos2 (α) − 2 cos(α) cos(β) + cos2 (β) + sen2 (α) − 2 sen(α) sen(β) + sen2 (β) Simplificando obtenemos que cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β) Esta propiedad se conoce como coseno de la diferencia o resta de ángulos. Si queremos una expresión similar para la suma de ángulos dentro del coseno, basta tomar β = −γ y se obtiene cos(α + γ) = cos(α) cos(−γ) + sen(α) sen(−γ) = cos(α) cos(γ) − sen(α) sen(γ)

3.3.3.

Seno de la diferencia y suma de ángulos

Para buscar algo parecido para el seno, notemos que se tiene: π π − (α − β) = cos −α +β sen(α − β) = cos 2 2 Aplicando la identidad ya demostrada se obtiene π π sen(α − β) = cos − α cos(β) − sen − α sen(β) = sen(α) cos(β) − cos(α) sen(β) 2 2 Esta propiedad se conoce como seno de la diferencia o resta deángulos. Haciendo β = −γ, se demuestra el resultado para el seno de la suma de ángulos: sen(α + γ) = sen(α) cos(−γ) − cos(α) sen(−γ) = sen(α) cos(γ) + cos(α) sen(γ) En resumen, para cualquier par de ángulos α, β ∈

R, se tiene que:

cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sen(α) sen(β) sen(α ± β) = sen(α) cos(β) ± cos(α) sen(β) Todas las traslaciones tı́picas las podrı́amos calcular con estas fórmulas y los valores conocidos del seno y coseno vistos al principio. 52

3.3.4.

Ángulos dobles

Para cada función, tomando su propiedad para la suma de ángulos, tomando α = β, se tiene que: cos(α + α) = cos(α) cos(α) − sen(α) sen(α) sen(α + α) = sen(α) cos(α) + cos(α) sen(α) Ordenando cada lado, podemos ver que: cos(2α) = cos2 (α) − sen2 (α) sen(2α) = 2 sen(α) cos(α) De la identidad fundamental, notemos que también se tiene que cos(2α) = 2 cos2 (α) − 1 = 1 − 2 sen2 (α).

3.3.5.

Ángulos medios

De lo último mencionado, despejando se obtiene que: 1 + cos(2α) 2 1 − cos(2α) sen2 (α) = 2 cos2 (α) =

Lo cual también se suele escribir como: α

1 + cos(α) 2 2 α 1 − cos(α) = sen2 2 2 2

cos

Por ejemplo, reemplazando α = π2 , tenemos que: 1 + cos cos = 4 2 π 1 − cos sen2 = 4 2 2

π 2

1 2 π 1 2 = 2 =

Como el ángulo π4 está en el primer cuadrante, entonces su seno y coseno son positivos, por lo √2 π π que entonces sen 4 = cos 4 = 2 .

3.3.6.

Multiplicación de senos y cosenos

Anotemos por separado las fórmulas del seno de la suma y resta de ángulos: sen(α − β) = sen(α) cos(β) − cos(α) sen(β) sen(α + β) = sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β) Mediante la suma de estas dos ecuaciones y despejando, podemos obtener que: sen(α) cos(β) =

1 1 sen(α − β) + sen(α + β) 2 2

Ahora bien, hagamos algo similar para las fórmulas del coseno: cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β) cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α) sen(β) De la suma y resta de estas ecuaciones, podemos obtener respectivamente: 1 cos(α − β) + 2 1 sen(α) sen(β) = cos(α − β) − 2 cos(α) cos(β) =

3.4.

1 cos(α + β) 2 1 cos(α + β) 2

Funciones trigonométricas compuestas

Además de las funciones seno y coseno, existen más funciones trigonométricas. Ahora bien, vimos primero el seno y coseno dado que el resto se definen en base a estas. Por esto, es importante dominar todos los aspectos de las funciones sen(x) y cos(x) previo a ver las funciones trigonométricas compuestas. Definimos la función tangente como la aplicación que tiene por regla sen(x) , cos(x)

tan(x) =

cos(x) 6= 0

La cotangente corresponde a la función que tiene por regla cotan(x) =

cos(x) , sen(x)

sen(x) 6= 0

La secante corresponde a la función que tiene por regla sec(x) =

1 , cos(x)

cos(x) 6= 0

Finalmente, la cosecante corresponde a la función que tiene por regla cosec(x) =

1 , sen(x)

sen(x) 6= 0

A partir de las propiedades vistas para seno y coseno podemos deducir las propiedades de las funciones trigonométricas compuestas antes definidas. 54

3.4.1.

Dominio

Por las definiciones de las funciones seno y coseno se sigue que las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante tendrán sentido cuando los denominadores en sus propias definiciones sean distintos de cero. Por lo tanto

R \ { π2 + kπ | k ∈ Z}. Dom(cotan) = Dom(cosec) = R \ {kπ | k ∈ Z}. Dom(tan) = Dom(sec) =

3.4.2.

Recorrido

Además, usando que | sen(x) ≤ 1 y | cos(x)| ≤ 1 se sigue, tomando los valores recı́procos, que 1 1 ≤ −1 o bien, ≥ 1, sen(x) sen(x)

por lo tanto, | cosec(x)| ≥ 1

En forma análoga, 1 1 ≤ −1 o bien, ≥ 1, cos(x) cos x

por lo tanto, | sec(x)| ≥ 1

Se deja como ejercicio al lector probar que todo real que satisface |y| ≥ 1 tiene una pre-imágen para las funciones secante y cosecante. Por lo tanto Rec(cosec) = Rec(sec) = [−∞, −1) ∪ [1, ∞). Además las funciones tangente y cotangente son sobreyectivas, esto es Rec(tan) = Rec(cotan) =

3.4.3.

Ceros

Claramente sec(x) y cosec(x) son funciones no nulas, esto dado que los numeradores de cada fracción son 1. Para las funciones tan(x) y cotan(x), estas conservan los ceros de sus numeradores, es decir son los mismos de sen(x) y cos(x) respectivamente.

3.4.4.

Periodicidad

Las funciones trigonométricas secante y cosecante tienen periodo 2π, dado su directa relación con las funciones seno y coseno. En efecto, para k ∈ :

1 1 = = sec(x) cos(x + 2kπ) cos(x) 1 1 cosec(x + 2kπ) = = = cosec(x) sen(x + 2kπ) sen(x) sec(x + 2kπ) =

Esto es distinto para las funciones tangente y cotangente. Estas tienen periodo π, lo cual podemos verlo a continuación: tan(x + π) =

sen(x + π) − sen(x) sen(x) = = = tan(x) cos(x + π) − cos(x) cos(x)

Claramente, para cotan(x) es el mismo cálculo. Con esto, tenemos que ∀k ∈ : tan(x + kπ) = tan(x) ;

cotan(x + kπ) = cotan(x) 55

3.4.5.

Signos

De la relación directa que tienen las funciones sec(x) y cosec(x) con cos(x) y sen(x) respectivamente, estas conservan sus signos. Ahora bien, recordando el esquema de signos del seno y coseno, podemos notar que para tan(x) y cotan(x) tenemos lo siguiente:

tan(x), cotan(x)

3.4.6.

−

Paridad

Se tiene que la función tangente es impar, en efecto tan(−x) =

− sen(x) sen(−x) = = − tan(x). cos(−x) cos(x)

Análogamente, se prueba que cotan(x) es impar. Haciendo algo similar para sec(x) y cosec(x): 1 1 = = sec(x) cos(−x) cos(x) 1 1 cosec(−x) = =− = − cosec(x) sen(−x) sen(x) sec(−x) =

Con esto, tenemos que sec(x) es par y cosec(x) es impar.

3.4.7.

Gráficos

Tangente Al tener periodo π, basta analizarla en el intervalo (− π2 , π2 ), donde esta es creciente. Si bien, la función tangente no está difinida en π2 , evaluando la función en un punto x muy cercano a π/2 por la izquierda (i.e. x < π/2) se sigue que sen(x) es cercano a uno, en cambio cos(x) es un número positivo muy pequeño y por lo tanto tan(x) será cada vez más grande mientras más cerca esté x de π2 . Ası́, diremos que tan(x) tiene una ası́ntota vertical en el punto π2 , para ser más especı́fico diremos que tan(x) tiende a +∞ en este caso. Como tan(x) es impar, diremos entonces que tiene una ası́ntota vertical en − π2 , pero tendiendo a −∞. Su gráfico es entonces −2π

− 3π 2

−π

− π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

Figura 3.17: Gráfico tan(x)

Cotangente En forma análoga que para el caso de la función tangente, obtenemos Dom(cotan) =

R \ {kπ, | k ∈ Z} y

Rec(cotan) =

R Z

Note que la cotangente no está definida en los puntos donde sen(x) = 0, esto es x = kπ, k ∈ . Además, es una función impar y periódica de periodo π. Además, del análisis de la tangente se deduce que la cotangente es decreciente en el intervalo (0, π) con ası́ntotas verticales en los puntos de la forma kπ, k ∈ . Con esto, el gráfico es:

−2π

− 3π 2

−π

− π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

Figura 3.18: Gráfico cotan(x)

Secante Dom(sec) =

R \ {(2k + 1) π2 , | k ∈ Z}

y Rec(sec) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞)

La secante es par y periódica de periodo 2π. Dada la periodicidad podemos analizar cualquier intervalo de tamaño 2π para conocer el comportamiento de la función en todo su dominio. Tomemos por ejemplo el intervalo [−π, π], como esta función es par es suficiente hacer la descripción en el intervalo [0, π]. Por el comportamiento de la función coseno se sigue inmediatamente que la función sec(x) es creciente en [0, π/2) y decreciente en (π/2, π], además, no está definida en π/2. Más aún, siguiendo un razonamiento análogo al utilizado para la tangente, se tiene que la función secante tiene una ası́ntota vertical en π/2. Su gráfico está dado por: −2π

− 3π 2

−π

− π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

Figura 3.19: Gráfico sec(x)

Cosecante Dom(cosec) =

R \ {kπ | k ∈ Z}

y Rec(cosec) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞)

Es impar y periódica de periodo 2π. En forma análoga al caso de la secante basta conocer el comportamiento de la función en el intervalo [0, π] para conocerla en todo su dominio. Por su definición la cosecante es decreciente en el intervalo (0, π2 ] y creciente en el intervalo [ π2 , π), con asintotas verticales en los puntos de la forma kπ con k ∈ . Con esto, su gráfico viene dado por:

−2π

− 3π 2

−π

− π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

Figura 3.20: Gráfico cosec(x)

3.5. 3.5.1.

Trigonometrı́a en el triángulo rectángulo Teorema de Tales

A continuación recordaremos uno de los teoremas más importantes de Geometrı́a Plana. Si en un triángulo se traza una lı́nea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. P′ P

α O

Q′

Figura 3.21: Teorema de Tales Este teorema dice que la razón entre los trazos OA y AP es igual a la razón entre los trazos OA0 y A0 P 0 , es decir OQ OQ0 = 0 0. QP QP

3.5.2.

Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

En particular, en el caso de que OP 0 = 1, sabemos que sen α = P 0 Q0 , y en base al Teorema de Tales se obtiene QP sen(α) = OP Dicho de otra forma, sin importar cual sea el triangulo OQP rectángulo en Q se va a tener sen(α) =

cateto opuesto a α QP = hipotenusa OP P

α O

Figura 3.22: Triángulo rectángulo De igual manera te tiene OQ cateto adyacente a α = , hipotenusa OP cateto opuesto a α QP tan α = = , cateto adyacente a α OQ cos α =

cotan α =

OQ cateto adyacente a α = , cateto opuesto aα QP

sec α =

hipotenusa OP = , cateto adyacente a α OQ

cosec α =

hipotenusa OP = , cateto opuesto a α PQ

Veamos una aplicación, donde usaremos el siguiente triángulo de lado 2:

π 6

√ 3

π 3

Figura 3.23: Triángulo equilátero de lado 2 Usando lo visto recientemente, podemos ver que: π sen = 6 π sen = 3 π = cos 6 π cos = 3

1 2√

3 √2 3 2 1 2

Recordando que más atrás calculamos el seno y coseno de siguiente tabla: 0 sen 0 cos 1

π 6 1 √2 3 2

π √4 2 √2 2 2

π √3 3 2 1 2

π , 4

entonces podemos construir la

π 2

1 0

Cuadro 3.1: Valores tı́picos del seno y coseno

3.6.

Funciones trigonométricas inversas

Basta ver los gráficos de las funciones trigonométricas expuestas anteriormente para darse cuenta que estás no son invertibles, dado que una propiedad como la periodicidad “mata” la inyectividad, y para las funciones que tienen cotas, estas “matan” la sobreyectividad. Por lo tanto, para definir inversas de las funciones trigonométricas, tendremos que restringir sus dominios y codominios. Veremos este análisis solo para las funciones seno, coseno y tangente.

3.6.1.

Arcoseno

Tomemos el gráfico de la función seno para x ∈ − π2 , π2 : y

− π2

π 2

−1

Figura 3.24: Gráfico sen(x) en − π2 , π2 Notemos que en este intervalo sen(x) es estrictamente creciente, por lo que es inyectiva. Además, restringiendo el codominio al recorrido de esta, entonces sen(x) es sobreyectiva. Con todo esto, la función sen : − π2 , π2 −→ [−1, 1] es biyectiva, ası́ que tiene inversa. Se define la función arcsen : [−1, 1] −→ [− π2 , π2 ] como la inversa de la función seno, es decir, la función que satisface h π πi , tal que sen(y) = x x ∈ [−1, 1] 7→ y = arcsen(x) ∈ − , 2 2 Para graficar esta función, recordemos que basta cambiar los roles de los ejes OX y OY de la función original, es decir que el gráfico del arcoseno es simplemente: y π 2

−1

− π2

Figura 3.25: Gráfico arcsen(x)

3.6.2.

Arcocoseno

Tomemos el gráfico de la función coseno para x ∈ [0, π]: y

π −1

Figura 3.26: Gráfico cos(x) en [0, π] Notemos que en este intervalo cos(x) es estrictamente decreciente, por lo que es inyectiva. Además, restringiendo el codominio al recorrido de esta, entonces cos(x) es sobreyectiva. Con todo esto, la función cos : [0, π] −→ [−1, 1] es biyectiva, ası́ que tiene inversa. Se define la función arccos : [−1, 1] −→ [0, π] como la inversa de la función coseno, es decir, la función que satisface x ∈ [−1, 1] 7→ y = arccos(x) ∈ [0, π] , tal que cos(y) = x Nuevamente cambiando los roles de los ejes OX y OY de la función original, el gráfico del arcocoseno es simplemente: y π

−1

Figura 3.27: Gráfico arccos(x)

3.6.3.

Arcotangente

Tomemos el gráfico de la función tangente para x ∈ − π2 , π2 : Notemos que en este intervalo tan(x) es estrictamente creciente, por lo que es inyectiva. Además, su recorrido sigue siendo , por lo que es sobreyectiva. Con todo esto, la función tan : − π2 , π2 −→ [−1, 1] es biyectiva, ası́ que tiene inversa.

− π2

π 2

Figura 3.28: Gráfico tan(x) en − π2 , π2

Se define la función arctan : [−1, 1] −→ (− π2 , π2 ) como la inversa de la función tangente, es decir, la función que satisface π π , tal que tan(y) = x x ∈ [−1, 1] 7→ y = arctan(x) ∈ − , 2 2 Nuevamente cambiando los roles de los ejes OX y OY de la función original, el gráfico del arcotangente es simplemente: y π 2

x − π2

Figura 3.29: Gráfico arctan(x)

3.6.4.

Aplicación a resolución de ecuaciones trigonométricas

Lo que queremos hacer ahora es resolver ecuaciones de la forma: cos(x) = a sen(x) = b tan(x) = c donde x es la incógnita y a, b, c datos. Veamos una por una:

Ecuación trigonométrica del coseno Nuevamente, para que esta tenga sentido, tomaremos a ∈ [−1, 1], sino el problema no tendrá solución. Si ubicamos el largo a en el cı́rculo trigonométrico, notemos que hay dos puntos que cumplen esto:

x −x

a b

Figura 3.30: Ecuación trigonométrica del coseno Es decir, tanto los ángulos x y −x tienen el mismo largo asociado. Con esto, basta conocer un ángulo x que cumpla y reemplazarlo en lo anterior, para luego por la periodicidad del coseno encontrar a todos los valores. De lo anteriormente expuesto, notemos que si α ∈ [0, π], entonces ⇒

cos(α) = a

α = arccos(a)

Con esto, los ángulos solución del problema son arccos(a) y − arccos(a). Luego, por periodicidad del coseno, todas las soluciones buscadas son: x = − arccos(a) + 2kπ

∨

x = arccos(a) + 2kπ

, k∈

Ambas expresiones se pueden escribir en una sola como a continuación: x = 2kπ ± arccos(a) , k ∈

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: cos(x) + cos(2x) = 0 Solución: Por el coseno del ángulo doble tenemos que: cos(x) + 2 cos2 (x) − 1 = 0 la cual es una ecuación cuadrática para el coseno, entonces: √ −1 ± 1 + 8 cos(x) = 4 −1 ± 3 = 4 de donde tenemos que: cos(x) =

1 2

∨

cos(x) = −1

π , k∈ 3

∨

x = 2mπ ± π , m ∈

Entonces: x = 2kπ ±

Ecuación trigonométrica del seno Primero, para que esto tenga sentido, es necesario que b ∈ [−1, 1], sino el problema claramente no tiene solución. Si ubicamos la altura b en el cı́rculo trigonométrico, notemos que hay dos puntos que cumplen esto:

b b

Figura 3.31: Ecuación trigonométrica del seno Es decir, tanto los ángulos x y π − x tienen la misma altura. Con esto, basta conocer un ángulo x que cumpla y reemplazarlo en lo anterior, para luego por la periodicidad seno encontrar π del π a todos los valores. De lo anteriormente expuesto, notemos que si β ∈ − 2 , 2 , entonces sen(β) = b

⇒

β = arcsen(b)

Con esto, los ángulos solución del problema son arcsen(b) y π − arcsen(b). Luego, por periodicidad del seno, todas las soluciones buscadas son: x = (π − arcsen(b)) + 2kπ

∨

x = arcsen(b) + 2kπ

, k∈

Ambas expresiones se pueden escribir en una sola como a continuación: x = (−1)k arcsen(b) + kπ , k ∈

Ejemplo: Resuelva la ecuación trigonométrica: cos(x) =

2 tan(x) 1 + tan2 (x)

Solución: Primero notar que cos(x) 6= 0, para que no se indefina la tangente, entonces x 6= π + kπ. Ahora desarrollemos la expresión: 2 2 tan(x) 1 + tan2 (x) ⇒ cos(x)(1 + tan2 (x)) = 2 tan(x) 2 cos (x) + sen2 2 sen(x) cos(x) = 2 cos (x) cos(x) ⇒ 1 = 2 sen(x) 1 π ⇒ sen(x) = ⇒ x = k̃π + (−1)k̃ 2 6 cos(x) =

⇒

k̃ ∈

Ecuación trigonométrica de la tangente Este caso es un poco más sencillo de analizar. Como la tangente es una función estrictamente en un periodo, basta con encontrar un valor solución y luego aplicar la periodicidad de la tangente para encontrar a los demás. A diferencia de los casos anteriores, c puede ser cualquier real, dado que el recorrido de la tangente es , es decir c ∈ . Recordemos que, de lo anteriormente expuesto, si γ ∈ − π2 , π2 , entonces;

tan(γ) = c

⇒

γ = arctan(c)

Luego, todas las soluciones buscadas son: x = arctan(c) + kπ , k ∈

3.6.5.

Aplicación a gráficos de funciones sinusoidales

Supongamos que tenemos a ω ∈

R+, c1, c2 ∈ R \ {0} y la función

f (x) = c1 cos(ωx) + c2 sen(ωx) Por ahora, solo sabemos graficar a seno y coseno por separado. Veremos una técnica para poder transformar a la expresión de f (x) a una que podamos graficar de manera sencilla. Primero, π π definiremos las nuevas constantes A ∈ y φ ∈ − 2 , 2 , tales que:

A sen(φ) = c1 A cos(φ) = c2 Con esto, mediante la propiedad del seno de la suma de ángulos, tenemos que: f (x) = A sen(φ) cos(ωx) + A cos(φ) sen(ωx) = A sen(ωx + φ) A las contantes A y φ las llamaremos amplitud y desfase respectivamente. Ahora bien, ¿como obtenemos los valores de A y φ? Podemos, por ejemplo, elevar al cuadrado y sumar las ecuaciones de donde las definimos, con esto: q A2 sen2 (φ) + A2 cos2 (φ) = c21 + c22 ⇒ A2 = c21 + c22 ⇒ A = ± c21 + c22 El signo podremos determinarlo cuando tengamos al desfase, viendo que signo calza en las ecuaciones originales. Para obtener a φ, podemos dividir las ecuaciones originales A sen(φ) c1 c1 c1 = ⇒ tan(φ) = ⇒ φ = arctan A cos(φ) c2 c2 c2 donde esto se tiene dado que φ ∈ − π2 , π2 Ahora, analicemos la función f (x). Primero, recordando que −1 ≤ sen(α) ≤ 1, se tiene entonces que −A ≤ f (x) ≤ A. Como esta función es un seno desfasado, en vez de anularse en kπ, se anula en los siguientes valores: A sen(ωx + φ) = 0

⇒

ωx + φ = kπ

⇒

x=−

φ kπ + , k∈ ω ω

Además, podemos ver que su periodo es T = 2π . En efecto: ω 2π f (x + T ) = A sen ω x + + φ = A sen(ωx + φ + 2π) = A sen(ωx + φ) = f (x) ω 66

Con lo anterior, podemos ver que el gráfico de f (x) es: y 2π ω

A − ωφ

x −A

Figura 3.32: Gráfico f (x) = A sen(ωx + φ)

3.7.

Razones trigonométricas sobre un triángulo cualquiera

Para ver los siguientes teoremas, tomaremos en cuenta el siguiente dibujo: C γ

α A

Figura 3.33: Triángulo ABC

3.7.1.

Teorema del seno

Si trazamos la altura desde C al lado AB tenemos lo siguiente: C a b hc β

α A

Figura 3.34: Teorema del seno Como ambas mitades del triángulo original son triángulo rectángulos, podemos notar que: hc hc sen(α) = ; sen(β) = b a 67

Despejando hc de ambas ecuaciones e igualando las dos expresiones, tendremos que: b a = sen(α) sen(β) De manera análoga, si trazaremos la altura desde B al lado AC, se puede demostrar que c a = sen(α) sen(γ) En resumen, podemos ver que: a b c = = sen(α) sen(β) sen(γ) lo cual se conoce como teorema del seno. Es importante recalcar que, como usamos en nuestros cálculos, los valores a, b, c son lados de un triángulo y α, β, γ sus ángulos interiores opuestos respectivos.

3.7.2.

Teorema del coseno

Sobre el mismo dibujo del teorema anterior, podemos notar lo siguiente: C a b b sen(α) β

A b cos(α)

c − b cos(α)

Figura 3.35: Teorema del coseno Como el triángulo de la derecha es rectángulo, tenemos que: a2 = (b sen(α))2 + (c − b cos(α))2 = b2 sen2 (α) + c2 − 2bc cos(α) + b2 cos2 (α) = b2 (sen2 (α) + cos2 (α)) + c2 − 2bc cos(α) Recordando que sen2 (α) + cos2 (α) = 1, entonces: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) Trazando las demás alturas y razonando de forma similar, se pueden obtener las mismas expresiones para los ángulos β y γ, por lo que entonces tendremos: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β) c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) lo cual se conoce como teorema del coseno. Nuevamente, como usamos en nuestros cálculos, los valores a, b, c son lados de un triángulo y α, β, γ sus ángulos interiores opuestos respectivos. 68

Ejemplo: Construya, de ser posible, los siguientes triángulos ABC: i) a = b = 1, γ = π6 . Solución: Por el teorema del coseno, tenemos que 2

c = a + b − 2ab cos(γ) = 2 − 2 cos

π 6

=2−

√

⇒

q √ c= 2− 3

Además, notemos que el triángulo es isósceles, por lo que α = β, entonces 2α + ii) a =

√1 , 3

β = π6 , γ =

π =π 6

⇒

α=β=

5π 12

2π . 3

Solución: Como tenemos dos ángulos, el tercero es: α+

π 2π + =π 6 3

⇒

α=

π 6

Como α = β, el triángulo es isósceles, entonces b = a = √13 . Para encontrar a c, podemos usar el teorema del seno: π π 2π sen(γ) 2 4 sen(α) = ⇒ c = √ sen = √ sen cos =1 a c 3 3 3 3 3 Ejemplo: Sean α, β, γ ángulos interiores de un triángulo, con a, b, c sus lados correspondientes. Supongamos que para α 6= β se cumple que sen(α + β) a2 + b 2 = 2 2 a −b sen(α − β) Demostrar que necesariamente el triángulo es rectángulo. Solución: Desarrollamos la igualdad:

⇒

(a2 + b2 ) sen(α − β) = (a2 − b2 ) sen(α + β) (a2 + b2 )(sen(α) cos(β) − sen(β) cos(α) = (a2 − b2 )(sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α) ⇒ a2 sen(β) cos(α) = b2 sen(α) cos(β)

Por el teorema del seno, tenemos que

sen(α) a

sen(β) , b

entonces reemplazando en lo anterior:

b a a2 sen(α) cos(α) = b2 sen(β) cos(β) a b

⇒

sen(2α) = sen(2β)

Recordemos que α 6= β, por lo que podemos recordar que sen(π − 2α) = sen(2α), entonces sen(π − 2α) = sen(2β)

⇒

π − 2α = 2β

Con esto tenemos que α + β = π2 , por lo que necesariamente γ = interiores sume π.

π 2

para que la suma de ángulos

Ejemplo: Desde un punto S en el suelo, se ve con un angulo de elevación β el vertice superior P de un muro vertical de hormigón de altura H. Desde el mismo punto S también se ve una nube más alta que el muro con un angulo de elevación γ. El angulo de elevación de P con respecto a la nube es α. Demuestre que la altura l de la nube es: x=

H sen(γ) sen(α + β) sen(β) sen(α + γ)

Solución: El esquema es el siguiente

Figura 3.36: Esquema muro y nube.

Donde se han agregado datos por ángulos alternos internos y ángulos complementarios. Podemos ver que en el triángulo SP M , tenemos que tan(β) =

H SM

⇒

SM = H cot(β)

H ⇒ SP = H sec(β) SP Luego, en el triángulo SP N , por el teorema del seno, se tiene que: sen(β) =

SP SN = sen(π − α − β − (γ − β)) sen(α + β)

⇒

SN =

H sen(α + β) H sen(α + β) = sen(β) sen(π − (α + γ)) sen(β) sen(α + γ)

Finalmente, podemos ver en el triángulo SON que: sen(γ) =

x SN

Por lo que, reemplazando SN y despejando, se tiene finalmente que: x=

H sen(γ) sen(α + β) sen(β) sen(α + γ)

Capı́tulo 4 Inducción y Sumatorias 4.1.

Principio de Inducción

En esta parte estudiaremos el Teorema de Inducción y sus consecuencias. Este teorema, que enunciaremos sin demostración, define una metodologı́a que nos indica bajo que condiciones una forma proposicional abierta (ver Capı́tulo 1) que depende de n ∈ es verdadera para todo natural. Recordemos que en el capı́tulo anterior definimos los naturales sin incluir al cero, en lo que sigue llamaremos 0 al conjunto ∪ {0}.

Teorema 4.1. (Principio de Inducción): Consideremos la proposición P (n), con n ∈ Se sigue que ∀n ∈ , P (n), n ≥ n0

N0 .

es verdadera si y sólo si P (n0 ) es verdadera. si P (n) verdadera implica que P (n + 1) es verdadera. Basados en el teorema anterior entonces los pasos a seguir para probar que una proposición P (n) es verdadera ∀n ≥ n0 son: i) Caso base: se verifica que P (n0 ) es verdadero. ii) Se asume que P (n) es verdadera para n ∈ (H.I).

N genérico, esto se llama hipótesis de inducción

iii) Se prueba usando la Hipótesis de Inducción que la proposición P (n + 1) es también verdadera. Los pasos ii) y iii) en conjunto se conocen como el paso inductivo.

Ejemplo: Probaremos que (∀n ∈ ) se tiene que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7. Esto es lo mismo que decir que 32n+1 + 2n+2 = 7 · k con k ∈ . Entonces: i) Caso base:

Como n ∈

N, entonces n0 = 1. Podemos ver que

32·1+1 + 21+2 = 33 + 23 = 27 + 8 = 35 = 7 · 5. Por lo que tenemos que la proposición es verdadera para n0 = 1.

ii) Suponemos que se cumple que 32n+1 + 2n+2 = 7 · k con k ∈ (H.I).

N para algún n ∈ N genérico

iii) Acá debemos demostrar que 32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 = 7 · k̃ para algún valor k̃ ∈ que:

N. Notemos

32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 = 32n+3 + 2n+3 = 9 · 32n+1 + 2 · 2n+2 = 2 · (32n+1 + 2n+2 ) + 7 · 32n+1 . Por (H.I) se tiene que: 32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 = 2 · 7 · k + 7 · 32n+1 = 7 · (2k + 32n+1 )

Si definimos k̃ = 2k + 32n+1 , claramente se tiene que k̃ ∈ , por lo que tenemos que la proposición se cumple para n + 1. Con el caso base y el paso inductivo listos, tenemos que se cumple la proposición (∀n ∈ ) se tiene que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7.

Ejemplo: Consideremos i, j números naturales distintos, Probaremos que (i − j) es un factor de in − j n para todo n ∈ esto es in − j n = (i − j)k donde k es algún valor natural.

i) Caso base: para n0 = 1 podemos ver que i1 − j 1 = i − j = (i − j) · 1. Por lo que tenemos que la proposición es verdadera para el caso base. ii) Suponemos que se cumple que in − j n = (i − j) · k con k ∈ (H.I).

N para algún n ∈ N genérico

iii) Acá debemos demostrar que in+1 − j n+1 = (i − j) · k̃ con k̃ ∈

N. Notemos que:

in+1 − j n+1 = in+1 − j n y + in j − j n+1 = in (i − j) + j(in − j n ). Por (H.I) se tiene que: in+1 − j n+1 = in (i − j) + j(i − j) · k = (i − j) · (in + jk).

Si definimos k̃ = in + jk, claramente se tiene que k̃ ∈ , por lo que tenemos que la proposición se cumple para n + 1. Con el caso base y el paso inductivo listos, tenemos que se cumple la proposición (∀n ∈ ) se tiene que (i − j) es un factor de in − j n in − j n .

Ejemplo: Probaremos que (∀n ∈

N0)(n < 2n):

i) Caso base: en este ejemplo n0 = 0. Es fácil ver que 0 < 1 = 20 . Por lo que tenemos que la proposición es verdadera para el caso base. ii) Suponemos que se cumple que n < 2n para algún n ∈

N genérico (H.I).

iii) Acá debemos demostrar que n + 1 < 2n+1 . Recordando que la función exponencial es estrictamente creciente y que 20 = 1, entonces tenemos que 1 < 2n . También por (H.I) se tiene que n < 2n . Sumando ambas desigualdades: n + 1 < 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1 . Por lo que tenemos que la proposición se cumple para n + 1. Con el caso base y el paso inductivo listos, tenemos que se cumple la proposición (∀n ∈ )(n < 2n ).

Observación: a) Note que en el principio de inducción n es genérico y por lo tanto el lector puede asumir la hipótesis de inducción para n − 1 y demostrar el paso inductivo de n − 1 a n. En ocasiones se asume la hipótesis de inducción válida hasta n, es decir la propiedad es verdadera para P (n0 ), P (n0 + 1), . . . , P (n). Bajo estas hipótesis se demuestra la propiedad P (n + 1). b) Es posible usar inducción sobre otro tipo de conjuntos, por ejemplo probar propiedades sobre los pares, los impares o propiedades que actúan sobre números en progresión aritmética.

4.2.

Sumatorias

Definición 4.1. (Sumatoria): Sean a0 , a1 , a2 , . . . , an una sucesión de números reales. Definimos la suma o sumatoria de estos términos como: n X

ak = a0 + a1 + a2 + . . . + an

k=0

Observación: Los lı́mites superior e inferior de la suma no tienen por que ser 0 y n, pues la sumatoria puede partir y terminar donde nosotros lo impongamos. Al término ak se le conoce como término general de la sumatoria. Proposición 4.1. Sean a0 , a1 , . . . , an y b0 , b1 , . . . , bn sucesiones de números reales. Entonces: a) El valor de una sumatoria no depende de la letra que se use como ı́ndice, es decir para una sucesión de términos a0 , a1 , a2 , . . . , an se tiene que n X

ak =

n X

m=0

k=0

b) Se pueden sumar ambas sucesiones n X k=0

c) Para λ ∈

ak +

n X

bk =

k=0

n X

(ak + bk )

k=0

R se tiene n X

λak = λ

k=0

n X k=0

d) Sean n, m, p ∈

N. Con esto, se cumple que: n X

n+m X

ak =

k=p

ak−m

k=p+m

Esta propiedad de suele llamar cambio de ı́ndice. Si se tiene además que n ≥ p ≥ m, se puede desprender de lo anterior que: n X k=p

n−m X

ak =

ak+m

k=p−m

e) Se conoce como propiedad telescópica a la igualdad: n X k=p

(ak+1 − ak ) = an+1 − ap

Todas estas propiedades se pueden demostrar fácilmente por inducción y las dejamos como tarea para el lector. Ejemplo: Veamos un ejemplo para las dos últimas propiedades. Supongamos que tenemos una sucesión de tres términos a1 , a2 y a3 : 3 X

ak = a1 + a2 + a3

k=1

Veamos que es lo que pasa con la suma cuando cambiamos el ı́ndice, por ejemplo si aumentamos en 4: 7 X

ak−4 = a5−4 + a6−4 + a7−4 = a1 + a2 + a3 =

3 X

k=1

k=5

Ahora veamos que pasa con la propiedad telescópica: 2 X k=1

ak − ak+1 = (a1 − a1+1 ) + (a2 − a2+1 ) = a1 + (−a2 + a2 ) − a3 = a1 − a3

Estas dos propiedades son muy útiles para el cálculo de sumas. Calculemos algunas a continuación: Calculemos la mas sencilla de todas: n X k=1

1 = 1| + 1 + {z. . . + 1} = n n

Ahora, si cambiamos la partida también cambia el resultado: n X k=0

1 = |1 + 1 + {z. . . + 1} = n + 1 n+1

La fórmula general para sumar unos será: n X k=m

1=n−m+1

Calculemos ahora la suma de los primeros n números naturales: n X k=0

k = 0 + 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n

Si ordenamos esto de la siguiente manera tendremos:

0 + 1 + 2 + ... n + n − 1 + n − 2 + ... n + n + n + ...

+ + +

n−1 + n 1 + 0 n + n

Con esto nos damos cuenta de que 2

n X k=0

k=n {z. . . + n} = n(n + 1) | +n+ n+1 veces

luego concluimos que n X

k=0

Calculemos ahora

n X

n(n + 1) 2

k 2 . Para esto ocuparemos una técnica distinta:

k=1 n n X X 3 (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 k=0

k=0

Vemos que al desarrollar la sumatoria aparece el término k 2 , y como las sumas se pueden separar, podemos despejar la que nos interesa calcular: n X

k2 =

k=0

1 3

n X k=0

(k + 1)3 −

n X k=0

k3 −

n X k=0

3k −

n X

! 1

k=0

Notemos que con lo que ya sabemos podemos calcular todas las sumas, si hacemos una presentación conveniente:  n X



 n  n n X X X  1 3 3  k =  (k + 1) − k −3 k− 1  3  k=0 k=0 k=0 k=0  | {z } 2

telescópica

1 n(n + 1) 3 3 = (n + 1) − 0 − 3 − (n + 1) 3 2 75

Con un poco de álgebra nos quedará una fórmula un poco más amigable: (n + 1) = 3

3n (n + 1) (n + 1) − −1 = (2(n2 + 2n + 1) − 3n − 2) 2 6 2

(n + 1) (n + 1) n(n + 1)(2n + 1) (2n2 + 4n + 2 − 3n − 2) = (2n2 + n) = 6 6 6 Luego la fórmula general es: n X

k2 =

k=0

n(n + 1)(2n + 1) 6

Una última que puede interesar es: n X

k =

k=1

n(n + 1) 2

Esta se calcula de la misma manera que el ejemplo anterior, pero ahora usando el término (k + 1)4 . Observación: Todas estas fórmulas se pueden demostrar también por inducción y recomendamos al lector hacerlas como ejercicio.

4.2.1.

Progresiones

En está sección veremos tres tipos especiales de funciones de progresión aritmética, geométrica y ármonica.

N en R llamadas progresiones, la

Definición 4.2. Una función an : → se llamará progresión aritmética si y sólo si ak+1 − ak = d. Es directo verificar que una una progresión aritmética tiene la forma a1 = A, a2 = A + d, a3 = A + 2d, . . . , ak = A + (k − 1)d, donde al valor A se le llama primer término de la progresión aritmética y al valor d su diferencia. Abreviaremos progresión aritmética como P.A. Teorema 4.2. Los n primeros términos de una P.A. suman

n {2a 2

+ (n − 1)d}.

Demostración: Notemos que lo pedido se puede definir con la sumatoria: n X

ak =

k=1

separando la sumatoria: =a

n X

n X k=1

1+d

k=1

a + (k − 1)d,

n X k=1

k−d

n X

k=1

reemplazando las sumas conocidas: = an + d ·

n(n + 1) − dn. 2 76

Factorizando por n2 :

n {2a + d(n + 1) − 2d} 2 Agrupando de buena manera, finalmente: =

n X

ak =

k=1

n {2a + (n − 1)d}. 2

Definición 4.3. Una función a :

N → R se llamará progresión geométrica si y sólo si

a0 = A , a1 = A · q , a2 = A · q 2 , . . . , ak = A · q k , donde al valor A se le llama primer término de la progresión geométrica y al valor q su razón. Abreviaremos progresión aritmética como P.G. Teorema 4.3. Los n primeros términos de una P.G. suman a ·

q n −1 , q−1

con razón q 6= 1.

Demostración: Buscamos el valor S=

n−1 X k=0

A · qk .

Notemos que son n términos pues la suma parte de cero. Multiplicando el valor S por q y restando S se tiene qS − S =

n−1 X k=0

(q − 1)S = A ·

A·q n−1 X k=0

k+1

−

n−1 X k=0

A · q k , por lo tanto

q k+1 − q k .

Notemos que el lado derecho es una suma telescópica, entonces: (q − 1)S = A · (q n − q 0 ) y luego qn − 1 S =A· q−1 Con lo que se concluye lo pedido. Para el caso q = 1, es fácil ver que S = A · n.

4.3.

Teorema del binomio

El propósito de esta sección es encontrar una fórmula de fácil manejo para (x + y)n , donde x, y ∈ y n es un entero no negativo. Escribamos las fórmulas para n pequeño:

(x + y)0 =

(x + y)1 = (x + y)2 =

2xy

(x + y)3 = x3 + 3x2 y 77

3xy 2 + y 3

(4.1)

La tercera y cuarta fórmula se conocen por cuadrado y cubo de binomio respectivamente. Para obtener esta última procedemos como sigue: (x + y)3 = (x + y)(x + y)2 = x(x2 + 2xy + y 2 ) + y(x2 + 2xy + y 2 ) = x3 + 2x2 y + xy 2 + x2 y + 2xy 2 + y 3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3

(4.2)

Notemos que astutamente hemos escrito (x + y)3 en términos del cuadrado de binomio. Esto mismo puede aplicarse en el caso general: (x + y)n = (x + y)(x + y)n−1 = x(x + y)n−1 + y(x + y)n−1 = x(x + y)(x + y)n−2 + y(x + y)(x + y)n−2 = (x2 + xy)(x + y)n−2 + (xy + y 2 )(x + y)n−2 . En este instante podrı́amos continuar el proceso de escribir (x + y)n−2 en términos de (x + y)n−3 hasta eventualmente llegar a utilizar las expresiones en (4.2), sin embargo el proceso de ordenar y contabilizar los distintos coeficientes y potencias parece ser engorroso. Afortunadamente existe una fórmula que precisamente toma en cuenta todos estos coeficientes y potencias. Para ello al observar más de cerca las expresiones en (4.1) notamos que si x e y son no nulos entonces (x + y)0 contiene 1 sumando de la forma xi y j tales que i + j = 0 (x + y)1 contiene 2 sumandos de la forma xi y j tales que i + j = 1 (x + y)2 contiene 3 sumandos de la forma xi y j tales que i + j = 2

(4.3)

(x + y)3 contiene 4 sumandos de la forma xi y j tales que i + j = 3 Esto nos sugiere que si x e y son no nulo entonces (x + y)n tiene n + 1 sumandos no nulos de la forma xi y j con 0 ≥ i, j ≥ n, i + j = n, es decir (x + y)n =

n X

ak xn−k y k

k=0

donde ak son ciertos coeficientes. El teorema del binomio que enunciaremos a continuación da cuenta de como calcular los coeficientes ak . Para ello, primero necesitamos una definición. Definición 4.4. Dados n, k ∈ k mediante

N0 con 0 ≤ k ≤ n se define el coeficiente binomial n sobre n n! = k (n − k)!k!

(4.4)

Aquı́ n! se lee “n factorial” y se define mediante n! = n(n−1)(n−2) · · · 1, donde por convención 0! = 1. De lo anterior se tiene que n! = n(n − 1)!.

Las principales propiedades de los coeficientes binomiales son Proposición 4.2. Sea n ∈

N0 entonces

Sea n ∈

N0, para todo k = 1, . . . , n se tiene

n n = =1 n 0

n−1 n−1 n + = k k−1 k

Sea n ∈

N0, para todo k = 1, . . . , n se tiene

n n−k

n = k

Demostración: Recordando que 0! = 1, la afirmación sigue fácil.

n−1 (n − 1)! n−1 (n − 1)! + + = k k−1 (n − 1 − k)! (n − 1 − (k − 1))!(k − 1)! (n − 1)! (n − 1)! + = k(n − k − 1)! (n − k)(n − k − 1)!(k − 1)! (n − k)(n − 1)! + k(n − 1)! = (n − 1)k(n − k − 1)!(k − 1)! n n! n(n − 1)! = = = k (n − k)!k! (n − k)!k! La última propiedad la dejamos como tarea para el lector. Ahora estamos en condiciones de enunciar el Teorema del binomio.

Teorema 4.4. (Teorema del binomio): Sean x, y ∈ , n ∈ n X n n−k k n (x + y) = x y k k=0

N0, entonces

Demostración: Si x o y son nulos entonces el teorema es evidente, asumamos pues que x e y son no nulos. La demostración es por inducción en n: (i) Caso base: debemos mostrar la afirmación para n = 0, notemos que en ese caso la sumatoria se reduce a un término: 00 x0 y 0 = 1. (ii) Hipótesis inductiva: Asumamos que la afirmación para n−1 es cierta, es decir supongamos que n−1 X n−1 (x + y) = xn−1−k y k k=0

(iii) Paso inductivo: Debemos mostrar que la afirmación para n es verdadera. Para ello escribimos (x + y)n = (x + y)(x + y)n−1 = x(x + y)n−1 + y(x + y)n−1 , luego, gracias a la hipótesis de inducción se tiene n−1 n−1 X X n − 1 n−1−k k n − 1 n−1−k k (x + y) = x x y +y x y k k k=0 k=0 n−1 n−2 X n − 1 n−k k X n − 1 n−1−k k+1 n =x + x y + x y + yn k k k=1 k=0 n

Ahora quisiéramos juntar ambas sumas, para ello notamos que el ı́ndice k en la segunda sumatoria está desfasado en 1, luego, haciendo el cambio k → k + 1 se obtiene n−2 n−1 X n − 1 n−1−k k+1 X n − 1 n−k k x y = x y k k−1 k=0 k=1 reemplazando se obtiene n

(x + y) = x +

n−1 X n−1 k=1

n X n n−k k n−1 n−k k n + x y +y = x y . k−1 k k=0

donde hemos aplicando las dos primeras propiedades de los coeficientes binomiales. Ejemplo:

Lo más fácil que nos podrı́an pedir con el teorema del binomio podrı́a ser calcular una suma de este estilo: n X n n−k k 2 3 = (2 + 3)n = 5n k k=0

Sin embargo, nos podrı́an poner algo del estilo: n X n k=0

Que tiende a confundir, pues no aparecen los términos que acompañan al coeficiente binomial. Aunque los podemos hacer aparecer de la siguiente forma: n X n n−k k 1 1 k k=0

Pues todos sabemos que 1 elevado a cualquier cosa sigue siendo 1, luego esta suma queda: n X n n−k k 1 1 = (1 + 1)n = 2n k k=0

Otra suma un poco más complicada puede ser: n−1 X k=1

1 k!(n − k)!

Que no es el binomio directamente, si no que tenemos que formarlo nosotros, de hecho falta un n! en el numerador: n−1 X k=1

n−1

1 1 X n! = k!(n − k)! n! k=1 k!(n − k)! n−1 1 X n = n! k=1 k

Ahora, para poder aplicar el teorema del binomio, necesitamos que la suma parta y termine donde nos pide el teorema. Para esto agreguemos y saquemos los términos que nos faltan: " n−1 # " n # X n 1 n n n n 1 X n = + + − − = −2 n! 0 k n 0 n n! k=0 k k=1 Y acá reconocemos el binomio de Newton: =

1 n [2 − 2] n!

Capı́tulo 5 Números Complejos Les habrá pasado en algún momento de sus vidas, en el que creyeron sentirse superiores a los demás e intentaron resolver la ecuación: x2 + 1 = 0 Pero lamentablemente son personas comunes y corrientes y como todos los demás no lograron dar con el resultado. Es claro que no existe x ∈ que satisface tal ecuación, ya que todo número real al cuadrado es no negativo. Pero, si nos inventáramos un “número”, que denotaremos por i, con la propiedad:

i2 = −1 entonces podrı́amos resolver la ecuación x2 + 1 = 0, y de hecho con x = ±i tenemos las soluciones al problema. Ok, es verdad, puede sonar un poco ilegal lo que estamos haciendo, porque cualquiera podrı́a decirnos que resolvamos la siguiente ecuación: √ √ −1 ± −3 −1 ± 1 − 4 · 1 2 = x +x+1=0⇒x= 2 2 Y con esto tendrı́amos que inventar un nuevo número llamado k, tal que k 2 = −3. Y ası́ con una infinidad de problemas. Sin √ embargo, notemos que no es necesario inventar este número ya que si elevamos al cuadrado i 3 ¡nos da justo -3! Luego las soluciones de la ecuación x2 + x + 1 = 0 son: √ −1 ± i 3 x= 2 Que es una especie de número hı́brido entre números reales y nuestro invento imaginario. Intentaremos darle sentido a este invento, de tal manera que podamos utilizarlo sin traumas.

5.1.

Definiciones previas

Definición 5.1. (Conjunto de los Complejos): Definimos el conjunto de √los números complejos (denotado por ) como el binomio z = a + ib, en donde a, b ∈ e i = −1. Dentro de este conjunto definimos las operaciones usuales de suma(+) y multiplicación (·).

Notemos que si tenemos z1 , z2 ∈ tales que z1 = a+ib y z2 = c+id, la suma y la multiplicación va a ser igual que en los números reales: z1 + z2 = a + ib + c + id = (a + c) + i(b + d) z1 · z2 = (a + ib) · (c + id) = ac + iad + ibc + i2 bd = ac + i2 bd + i(ad + bc) Recordando que i2 = −1 el resultado de la multiplicación nos queda: z1 · z2 = (ac − bd) + i(ad + bc) Observación: Hasta ahora todo ha sido definido muy informalmente y proseguiremos un poco ası́ hasta darnos cuenta de que el conjunto de los números complejos puede tratarse con mucho mayor rigurosidad matemática. Definición 5.2. (Partes real e imaginaria): Sea z ∈ partes real e imaginaria de z como a los números:

Re(z) = a (Parte real),

C tal que z = a + ib. Definimos las

Im(z) = b (Parte imaginaria)

Notemos que cada una de las partes de un número complejo, pertenece al conjunto de los reales. Es importante tener esta noción, sobre todo porque el nombre parte imaginaria tiende √ a confundir. Se llama ası́ porque es la parte que acompaña a i = −1, pero es un número real común y silvestre. Proposición 5.1. Sean z, w ∈

C, entonces se tiene que:

Re(z + w) = Re(z) + Re(w) ∧ Im(z + w) = Im(z) + Im(w) ∀α ∈ R, Re(αz) = αRe(z) ∧ Im(αz) = αIm(z)

Demostración: La demostración de estas propiedades es muy sencilla y solo haremos la primera. Como z, w ∈ se pueden escribir cada uno como z = a + ib y w = c + id. Al sumar cada uno nos queda:

Re(z + w) = a + b ∧ Im(z + w) = b + d Como Re(z) = a y Re(w) = c, nos queda que Re(z + w) = Re(z) + Re(w). Lo mismo pasa con z + w = a + ib + c + id = (a + c) + i(b + d) ⇒

las partes imaginarias.

Definición 5.3. (Igualdad de números complejos): Sean z, w ∈ si y solo si e(z) = e(w) ∧ Im(z) = Im(w).

C. Diremos que z = w

Observación: Esta definición suena un poco obvia, pero va a ser muy útil a la hora de resolver ecuaciones con números complejos. Definición 5.4. (Complejo conjugado): Sea z ∈ gado de z al número complejo:

C tal que z = a + ib. Definimos el conju-

z = a − ib Proposición 5.2. Sean z, w ∈

C, entonces se tiene que:

1. z + w = z + w 2. z · w = z · w 3. z = z

R⇔z=z z + z = 2Re(z),

4. z ∈ 5.

z − z = 2iIm(z)

Demostración: Solo demostraremos la número 2, el resto se deja como ejercicio para el lector. Teniendo en cuenta que z, w ∈ podemos escribirlos como z = a + ib y w = c + id, luego:

z · w = (a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) Aplicando la definición del conjugado nos queda que: z · w = (ac − bd) − i(ad + bc) Reordenando los términos podemos factorizar más fácilmente: (ac − bd) − i(ad + bc) = ac − iad − ibc − bd = a(c − id) − ibc + i2 bd = a(c − id) − ib(c − id) = (a − ib)(c − id) = (a + ib) · (c + id) = z · w Por lo tanto z · w = z · w.

Definición 5.5. (Módulo de un complejo): Sea z ∈ módulo de z como el número: |z| =

C tal que z = a + ib. Definimos el

√ a2 + b 2

Observación: Notemos que el módulo de un complejo siempre es real y positivo. Veremos que este módulo tiene ciertas similitudes con el valor absoluto que vimos para los números reales. Proposición 5.3. Para z, w ∈

C se tiene que:

1. |z|2 = z · z 2. |z| = |z| 3. z = 0 ⇔ |z| = 0

4. | e(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z| 5. |z · w| = |z| · |w| 6. |z + w| ≤ |z| + |w| 7. Si z 6= 0 se tiene que z −1 =

z |z|2

Demostración: 1. z · z = (a + ib)(a − ib) = a2 − i2 b2 = a2 + b2 = |z|2 p √ 2. |z| = |a − ib| = a2 + (−b)2 = a2 + b2 = |z| 3. Acá hay √ que demostrar la doble implicancia. Supongamos primero que z = 0 = 0 + i0 ⇒ |z| = 02 + 02 = 0. Ahora, si |z| = 0 ⇒ a2 + b2 = 0 ⇒ a2 = −b2 ⇔ a = b = 0. Con esto z = 0. 4. Demostremos solo para la parte real, ya que para la parte imaginaria la demostración es identica:

Re2(z) ≤ Re2(z) + Im2(z) = |z|2 ⇔ |Re(z)| ≤ |z| 5. Esta demostración es muy algebraica y se recomienda al lector hacerla el mismo antes de leerla:

|z · w| = |(a + ib)(c − id)| = |(ac − bd) + i(ad + bc)| = =

√

a2 b2 − 2abcd + b2 d2 + a2 d2 + 2abcd + b2 + c2 = =

p (ac − bd)2 + (ad + bc)2

p a2 (c2 + d2 ) + b2 (c2 + d2 )

p p p (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (a2 + b2 ) (c2 + d2 ) = |z| · |w| 85

6. Esta demostración es un poco más larga, pero es interesante comprender lo que hay detrás, pues ocupa casi todo lo que hemos visto hasta acá en este capı́tulo. Lo primero que haremos será usar el hecho de que |z|2 = zz: |z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = z · z + z · w + w · z + w · w = |z|2 + z · w + z · w + |w|2

Notemos que z · w = z ·w, y con esto tenemos que z ·w+z ·w = 2 e(z ·w). Reemplazando esto en la igualdad nos queda que:

|z + w|2 = |z|2 + 2 e(z · w) + |w|2

Recordando que | e(z)| ≤ |z| concluimos que:

|z|2 + 2 e(z · w) + |w|2 ≤ |z|2 + 2|z| · |w| + |w|2 Y como |w| = |w|, la desigualdad queda:

|z|2 + 2 e(z · w) + |w|2 ≤ |z|2 + 2|z| · |w| + |w|2 = (|z| + |w|)2 Por la tanto, hemos llegado a que: |z + w|2 ≤ (|z| + |w|)2 ⇔ |z + w| ≤ |z| + |w| Este resultado es conocido como la desigualdad triangular. 7. Notemos que: z −1 =

1 z 1 z = · = 2 z z z |z|

Ejemplo: Con las herramientas que tenemos hasta ahora, intentemos expresar en la a + ib los siguientes números complejos: (1 − i)4 (1 + i)4

1+i+

i−1 i + |1 − i|2

Notemos que el primer número se puede expresar como [(1 − i)(1 + i)]4 y nos damos cuenta que es la multiplicación de un complejo por su conjugado, y eso nos da el módulo al cuadrado: (1 − i)(1 + i) = |1 + i|2 = 12 + 12 = 2

Luego, nos queda que (1 − i)4 (1 + i)4 = 24 = 16 que expresado en su forma a + ib queda como 16 + i · 0. 86

El otro número es un poco más difı́cil, pero solo porque intenta meternos miedo con la fracción. Veamos primero como es el denominador: i + |1 − i|2 = i + (12 + (−1)2 ) = i + 2 = 2 + i Luego el número original queda un poco más fácil de abordar: 1+i+

1−i i−1 i−1 =1+i− =1+i+ 2 i + |1 − i| 2+i 2+i

Si nos concentramos solo en la fracción vemos todavı́a un denominador que complica, pero podemos multiplicar por algún uno conveniente que salve la situación: 1−i 2−i (1 − i)(2 − i) 1−i 2 − i − 2i + i2 1 − 3i = · = = = 2 2 2 2+i 2+i 2−i |2 + i| 2 +1 5

Con esta fracción las cosas son mucho más fáciles, ya que el número original queda como sigue: 1 3 i−1 1 3i − = 1− +i 1+ 1+i+ =1+i− i + |1 − i|2 5 5 5 5 4 8 +i· 5 5 Que es justo la forma en que nos estaban pidiendo expresar el número. =

Ejemplo: Considere z ∈

C. Demuestre que |z + i| = |z − i| ⇔ z ∈

Recordemos que tenemos una doble implicancia en este ejercicio, luego hay que ir de izquierda a derecha y después al revés. Tomemos primero como hipótesis que |z + i| = |z − i|. Cuando tenemos un número complejo genérico como z, es muy útil escribirlo como z = a + ib. De esto desarrollamos lo siguiente: |z + i| = |z − i| ⇔ |a + ib + i| = |a + ib − i| Para desarrollar los módulos juntemos lo que tenga el número i: |a + i(b + 1)| = |a + i(b − 1)| Recordemos que estamos trabajando sobre la hipótesis, y que para nosotros esta es la verdad absoluta para esta parte del ejercicio. Desarrollando los módulos nos queda que: p

a2 + (b + 1)2 =

p a2 + (b − 1)2 ⇔ a2 + (b + 1)2 = a2 + (b − 1)2 ⇔

a2 + b2 + 2b + 1 = a2 + b2 − 2b + 1

Eliminando los términos semejantes a ambos lados de la ecuación nos queda que: 4b = 0 ⇒ b = 0

Luego tenemos que z = a + i · 0 ⇒ z ∈ . Con esto tenemos demostrada la primera parte, pero no olvidemos que nos falta el camino de vuelta. Para esto, tomamos como hipótesis que z ∈ . Con esto tenemos que z − i es el conjugado de z + i. Y como vimos, el conjugado siempre tiene el mismo módulo que el complejo original. Luego:

|z + i| = |z − i| Ejemplo: Consideremos un último ejemplo antes de cambiar de tema. Sea a ∈ z1 , z2 , · · · , zn ∈ que satisfacen |zi | = 1, ∀i ∈ {1, 2, · · · , n}. Demostrar que

n X i=1

zi = a ⇒

R, n ∈ N y

n X 1 =a z i i=1

Uno tiende a asustarse con las sumatorias y con números genéricos, pero lo primero que tenemos que tener Pn claro es que nuestra hipótesis (para efectos del ejercicio) es la verdad absoluta, es decir i=1 zi = a es dato y tenemos que aprovecharlo a nuestro favor. Para esto, calculemos la suma de la derecha y ojalá que nos de a: n n n X X 1 1 zi X zi = · = z z zi |zi |2 i i i=1 i=1 i=1

Con esto ya tenemos casi todo el trabajo hecho, pues recordemos que en el enunciado sale que |zi | = 1 ⇒ |zi |2 = 1. De aquı́ en adelante solo hay que aplicar propiedades de los complejos conjugados: n n n X X X zi = z = zi i 2 |z | i i=1 i=1 {z } |i=1

Suma de los conjugados es el conjugado de la suma

Ocupando la hipótesis tenemos como resultado que: n X

Y como a ∈

R tenemos que a = a, luego:

zi = a

i=1

n X 1 =a z i i=1

5.2.

Forma Polar de un Complejo

Al principio del capı́tulo dijimos que el conjunto de los números complejos se puede tratar con mucho más rigurosidad matemática. La verdad es que el conjunto viene de 2 o del plano cartesiano, y tiene una estructura algebraica de cuerpo con operaciones propias. No vamos a profundizar mucho en esto último, pero si vale la pena ver a los números complejos como vectores en el plano cartesiano, cuyas coordenadas son las partes real e imaginaria:

Im ~z = (a, b)

Con este sistema, en vez de hablar de abscisas y ordenadas, podemos hablar de eje real y eje imaginario y podemos aplicar las propiedades que vimos recientemente. Si nos fijamos bien, el módulo de un complejo será la distancia de este al origen del plano y el conjugado será el reflejo con respecto al eje real:

~z = (a, b)

|z |

= √ a2

→ − z = (a, −b)

−b

Además, al igual que en trigonometrı́a, podemos ver que se forma un ángulo entre nuestro vector ~z y el eje real:

Im ~z = (a, b)

θ a

√ Si llamamos r = a2 + b2 al módulo de z, nos damos cuenta de que formamos un triángulo rectángulo y podemos aplicar trigonometrı́a:

r= √ a2

cos(θ) = b

a r

b sen(θ) = r

a = r cos(θ) ⇒

b = r sen(θ)

a z = a + ib = r · (cos(θ) + i sen(θ)) Con esto, nuestro número complejo queda representado según su distancia al origen o radio y su ángulo. Esto es lo que se llama la forma polar de un complejo, aunque aún hace falta un concepto para definirla formalmente. Definición 5.6. (Relación de Euler): Sea θ ∈

R. La relación de Euler está definida como:

eiθ = cos(θ) + i sen(θ) Observación: Más que una definición, la relación de Euler es una propiedad de la función exponencial. Lamentablemente no tenemos las herramientas para demostrarlo ahora, ya que se necesitan conceptos de Cálculo I. Notar que al ser la función exponencial, hereda todas las propiedades vistas en el capı́tulo de funciones.

Definición 5.7. (Forma polar de un Complejo): Sea z = a + ib un complejo. Siendo √ 2 2 r = a + b el módulo y θ el ángulo de z con respecto al eje real, definimos la forma polar de z como: z = r · eiθ Observación: Notemos que si z = a + ib, entonces z se verá de la siguiente manera en el plano complejo: Im ~z = (a, b)

θ −θ

−b

~z = (a, −b)

Luego si z = r · eiθ , entonces z = r · e−iθ . Ejemplo: Encuentre la forma polar de los siguientes números complejos √ 1+i 3

1+i

√ −1+i 3

Lo primero que uno puede hacer para encontrar la forma polar, es calcular el módulo del complejo en cuestión: q √ 2 √ √ |1 + i 3| = 12 + 3 = 1 + 3 = 2 Teniendo el módulo uno puede hacer un dibujo en el plano cartesiano: Im √ 3

√ ~z = 1, 3 2 θ 1

Probablemente lo más complicado de la forma polar es encontrar el ángulo, pero el dibujo nos puede dar una noción si lo analizamos convenientemente:

θ 2

2 √

θ 1

⇒θ=

π 3

θ 1

Al proyectar la otra mitad del triángulo, nos damos cuenta que es equilátero, o sea que todos sus ángulos interiores son iguales a π3 . También podı́amos resolver alguna de las siguientes ecuaciones: √ √ 1 3 , tan(θ) = 3 cos(θ) = , sen(θ) = 2 2 Y llegamos al mismo resultado. Luego la forma polar del primer número complejo es: √ π 1 + i 3 = 2ei 3

Ocupemos la misma estrategia para el número 1 + i: |1 + i| =

√

12 + 12 =

√

Hacemos el dibujo en el plano cartesiano:

Im ~z = (1, 1)

θ 1

Acá el ángulo es un poco más fácil, ya que se forma un triángulo rectángulo isósceles y eso implica que θ = π4 . También se pudo haber resuelto: √ 2 cos(θ) = sen(θ) = , tan(θ) = 1 2 √ π Con esto 1 + i = 2ei 4 .

Veamos el último caso: √ | − 1 + i 3| =

q √ 2 (−1)2 + 3 = 2 Im

√ ~z = −1, 3

√ 3

π 3

−1

√ Vemos que este complejo es el reflejo del primer ejemplo que hicimos (1 + i 3), luego su ángulo es θ = π − π3 = 2π . Con esto la forma polar queda: 3 √ 2π −1 + i 3 = 2ei 3

Ejemplo: Determine los valores de z ∈

C que cumplan

1 = 2 cos(α) z

y demuestre que zn +

1 = 2 cos(nα) zn

Notemos que si multiplicamos por z la primera ecuación, nos queda una cuadrática: p 2 cos(α) ± 4 cos2 (α) − 4 2 z − 2 cos(α)z + 1 = 0 ⇒ z = 2 2 2 Recordando que 1 − cos (α) = sen (α) tenemos que: p 2 cos(α) ± −4 sen2 (α) z= = cos(α) ± i sen(α) 2 Notemos que podemos pasar estas soluciones a su forma polar (el radio es 1 y el ángulo es α): z1 = cos(α) + i sen(α) = eiα z2 = z1 = e−iα Si queremos demostrar la segunda ecuación, calculamos z1n = (eiα )n = einα y e−inα (el caso de z2 es análogo): z1n +

1 z1n

= (z1n )−1 =

1 = einα + e−inα = cos(nα) + i sen(nα) + cos(nα) − i sen(nα) = 2 cos(nα) z1n 93

Ejemplo: Ahora haremos un ejemplo un poco más complicado que engloba varias cosas. Consideremos las siguientes sumas S1 =

n X n k=0

cos(kα),

S2 =

n X n

k=0

sen(kα)

La idea de este ejemplo es calcular ambas, pero ocupando las herramientas que nos dan los números complejos. Desarrollemos S1 + iS2 : n X n

S1 + iS2 =

k=0

n X n k=0

cos(kα) + i ·

n X n k=0

sen(kα)

[cos(kα) + i sen(kα)] {z } | =eikα

Con un poco de ingenio, podemos formar el binomio de Newton: n X n S1 + iS2 = (eiα )k · 1n−k = (eiα + 1)n k k=0

Con esto hemos calculado la suma S1 +iS2 , pero no sabemos distinguir la parte real e imaginaria del resultado y ası́ ver cuanto valen lo que nos piden originalmente. Como el resultado es un número complejo elevado a n, lo mejor es trabajar con la forma polar: eiα + 1 = cos(α) + i sen(α) + 1 = (cos(α) + 1) + i sen(α) 2 α 2 α Recordemos algunas propiedades trigonométricas, por ejemplo que cos(α) = cos −sen 2 2 y que sen(α) = 2 cos α2 sen α2 . Aplicando estas identidades a nuestro número complejo nos queda que: α α α α − sen2 + 1 + 2i cos sen eiα + 1 = (cos(α) + 1) + i sen(α) = cos2 2 2 2 2 = cos2 α2 , luego nos queda que: α α iα 2 α e + 1 = 2 cos + 2i cos sen 2 2 2 α α α = 2 cos cos + i sen 2 | 2 {z 2 }

Además, sabemos que 1 − sen2

α 2

iα 2

Y con esto tenemos la forma polar de eiα + 1, pero ¿para qué la querı́amos? Recordemos que estamos calculando S1 y S2 y tenı́amos el siguientes resultado: S1 + iS2 = (eiα + 1)n Y con la forma polar lo pasamos a: α iα n S1 + iS2 = 2 cos e2 2

Calculando la potencia nos queda: α iα n α inα S1 + iS2 = 2 cos e2 e 2 = 2n cosn 2 2 = 2n cosn

nα α nα α nα α nα cos + i sen = 2n cosn · cos + i2n cosn · sen 2 2 2 2 2 2 2

Osea que en resumen: S1 + iS2 = 2n cosn

· cos

nα

+ i2n cosn

· sen

nα

2 2 2 2 Y como dos números complejos son iguales cuando tienen parte real e imaginaria iguales nos queda que: nα n n α S1 = 2 cos · cos 2 2 nα α · sen S2 = 2n cosn 2 2

5.3.

Raı́ces n-ésimas

Definición 5.8. (Raı́z n-ésima de la unidad): Sea z ∈ n-ésima de la unidad si es solución de la ecuación:

C y n ∈ N. Diremos que z es raı́z

zn = 1 Notemos que con z = 1 tenemos una solución trivial a esta ecuación, sin importar el valor de n. Lo que es interesante, es ver si hay más números complejos que elevados a n den 1. Por ejemplo, para la ecuación z 2 = 1, las soluciones son 1 y -1 ¿pero para z 3 = 1? Busquemos una solución general.

Notemos que el número 1 puede escribirse en su forma polar, aunque sea real: Im

2π

Podemos ver que su radio o módulo es 1 y que su ángulo puede ser 0 o 2π. En cualquiera de los dos casos estará bien: :0 :1 + ei2π = cos(2π) i sen(2π) =1

Ahora, como bien sabemos del capı́tulo de trigonometrı́a, tanto la función seno como la función coseno son periódicas, y de periodo 2π. Es por esto que podemos hacer una representación polar aún más general: 1 = ei2kπ , k ∈

Para la ecuación z n = 1, podemos asumir que el módulo de z es igual a 1. Con esto, escribimos z = eiθ , donde θ es la variable a descubrir. Ası́ nuestra ecuación queda de la siguiente manera: z n = 1 ⇔ (eiθ )n = ei2kπ ⇔ 2kπ ,k∈ n Luego, la solución general de la ecuación z n = 1 es: nθ = 2kπ ⇒ θ =

zk = ei

2kπ n

,k∈

Osea que en principio habrı́an infinitas soluciones, pero esto no es cierto: solo van a haber n soluciones. Esto lo veremos un poco más adelante, pero lo cierto es que la fórmula general para las raı́ces n-ésimas es: zk = ei

2kπ n

, k = 0, 1, . . . , n − 1.

Ejemplo: Caso n = 2: Aquı́ nuestro k = 0, 1. De aquı́ salen las soluciones z0 = ei z1 = ei

2·1·π 2

2·0·π 2

= e0 = 1

= eiπ = cos(π) + i sin(π) = −1

Recomendamos al lector reemplazar con k = 2, 3 y ver que ¡siempre da 1 y -1 con n = 2!

Caso n = 3: Veamos solo el caso k = 1, 2, pues queda claro que en k = 0 nos da como solución el 1. i 2·1·π 3

z1 = e

i 2·2·π 3

z2 = e

= cos = cos

2π 3

4π 3

2π 3

√ 3 1 =− +i 2 2

4π 3

√ 1 3 =− −i 2 2

+ i sen

Son números raros, pero tienen algunos datos curiosos. Por ejemplo z1 = z2 . También z12 = z2 y z22 = z1 (¡hagan la prueba!), pero lo más impactante es que z13 = z23 = 1. Veamos que ası́ es: √ !3 3 2 3 1 1 1 − +i = − +3 − 2 2 2 2

√ ! √ !2 3 1 3 i +3 − i + 2 2 2

√ !3 3 i 2

√ √ 3 3 9 3 8 1 + −i = =1 =− +i 8 8 8 8 8 Notar que si buscamos las soluciones k = 3, 4, 5, . . . vamos a dar vueltas en cı́rculos, porque nos van a dar exactamente las mismas soluciones.

Proposición 5.4. Sea n ≥ 2 y z0 , z1 , . . . , zn−1 las raı́ces n-ésimas de la unidad. Entonces: z0 + z1 + z2 + . . . + zn−1 = 0 Demostración: Supongamos que las raı́ces están ordenadas de forma ascendente y con esto podemos decir que 2kπ zk = ei n , luego z0 + z1 + z2 + . . . + zn−1 =

n−1 X

zk =

k=0

n−1 X

i 2kπ n

n−1 X 2π = (ei n )k k=0

k=0

Notemos que la última sumatoria es una geométrica con lo queda: n−1 X k=0

1 *

2π

i2π k

) =

1 − (ei n )n 2π

1 − ei n

1 − ei2π 2π

1 − ei n

Ejemplo: Sea w una raı́z cúbica de la unidad tal que w 6= 1. Calcular (1 + w)3 + (1 + w2 )6 + (1 + w3 )9 Recordemos que cuando vimos el ejemplo de raı́z cúbica, nos dimos cuenta de al elevar al cuadrado una de las raı́ces distintas de 1, nos daba justo la otra raı́z. Luego si W es una raı́z cúbica, w2 también lo es. Entonces por la última propiedad tenemos que: 1 + w = −w2 2 1+w+w =0⇒ 1 + w2 = −w Además w3 = 1, pues es raı́z cúbica de la unidad. Con esto la ecuación nos queda: (1 + w)3 + (1 + w2 )6 + (1 + w3 )9 = (−w2 )3 + (−w)6 + (1 + 1)9 = −w6 + w6 + 29 = 512 Proposición 5.5. Sean zj y zl dos raı́ces n-ésimas de la unidad. Entonces: (zj )l = (zl )j zj · zl = zj+l zj+n = zj Animamos al lector a hacer estas 3 demostraciones usando el hecho de que cada raı́z tiene la 2jπ forma zj = ei n . Proposición 5.6. Sea w una raı́z n-ésima de la unidad tal que w 6= 1. Entonces: 1 + w + w2 + . . . + wn−1 = 0 Demostración: 2

1 + w + w + ... + w

n−1

n−1 X k=0

wk =

1 − wn =0 1−w

Pues w es raı́z n-ésima de unidad y por esto w = 1.

Definición 5.9. (Raı́z n-ésima de un complejo cualquiera): Sea w ∈ tal que w = ρeiφ , donde ρ > 0 y φ ∈ son el módulo y el ángulo respectivamente de w, ambos conocidos. Diremos que z ∈ es raı́z n-ésima de w si cumple que:

zn = w Acá el análisis es un poco más complicado que en las raı́ces n-ésimas, pero igual se parecen. Primero que todo, recalcar la periodicidad del seno y del coseno, pues para w nos queda: w = ρeiφ = ρ(cos(φ) + i sen(φ)) = ρ(cos(φ + 2kπ) + i sen(φ + 2kπ)) = ρei(φ+2kπ) Para z podemos asumir que tiene la forma z = reiθ con r > 0 y theta a descubrir. Con esto la ecuación queda z n = w ⇔ (reiθ )n = ρei(φ+2kπ) ⇔ rn = ρ,

nθ = φ + 2kπ ⇔

√ n

φ + 2kπ n Luego nuestra solución a la ecuación tiene la forma: r=

zk =

√ n

ρei

ρ,

φ+2kπ n

θ=

, k = 0, 1, . . . , n − 1

Ejercicio: Encuentre las soluciones de la ecuación z 4 = 1 + i ¿cuánto da la suma de dichas soluciones?

Capı́tulo 6 Polinomios 6.1.

Introducción

Una ecuación que sale corrientemente en matemáticas es la famosa cuadrática: ax2 + bx + c = 0 donde a 6= 0, pues si no pierde toda su gracia. No sabemos quién fue la primera persona que logró encontrar una expresión general para resolverla, pero el hecho es que primero dividió la ecuación por a quedando: b c x2 + x + = 0 a a No solo eso, si no que al segundo término lo expresó de manera distinta: b c x+ =0 2a a Y luego, como quien no quiere la cosa, le agregó un término a ambos lados de la ecuación: x2 + 2

x2 + 2

b2 c b2 b b2 b2 c b x + 2 + = 2 ⇔ x2 + 2 x + 2 = 2 − 2a 4a a 4a 2a 4a 4a a ⇔ 2 b b2 − 4ac x+ = 2a 4a2

Lo que es una genialidad, porque ahora solo hay que aplicar raı́z cuadrada y la solución queda como la famosa fórmula que conocemos y ocupamos: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a Y ahora también nos da lo mismo si el término b2 − 4ac es positivo o negativo, pues acabamos de ver el capı́tulo de números complejos. En este capı́tulo veremos ecuaciones que vayan más allá de la cuadrática y sus método de resolución.

100

Definición 6.1. (Función polinomio): Un polinomio es una función definida como sigue: p:

→

x → p(x) =

n X

ak x k

k=0

Donde a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ son los coeficientes que caracterizan a nuestro polinomio. Dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales. Claramente la función f (x) = ax2 + bx + c es un polinomio, donde sus coeficiente son a, b y c. Estos últimos pueden pertenecer a o a .

Definición 6.2. (Grado de un polinomio): Sea p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 un polinomio con an 6= 0. Diremos que el grado de p(x) es gr(p(x)) = n. Si p(x) = 0 (el llamado polinomio nulo) diremos que gr(p(x)) = −∞. Ejemplo: gr(4x3 + x − 1) = 3 gr(−x7 + x4 − 3x3 + 2x2 − 1) = 7 gr(x2 + x + 1) = 2 gr(8) = 0 gr(0) = −∞ Observación: Notemos que el grado de un polinomio está determinado por la potencia más alta de la variable x. Por eso el polinomio p(x) = 8 tiene grado igual a 0, pues se puede escribir como p(x) = 8x0 . Definición 6.3. (Polinomio mónico): Sea p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 un polinomio tal que gr(p(x)) = n. Diremos que p(x) es mónico si y solo si an = 1. Ejemplo: x3 + x − 1 x7 + x4 − 3x3 + 2x2 − 1 x2 + πx + 3

Observación: Los polinomios son -como dijimos al principio del capı́tulo- funciones. Luego heredan todas las propiedades algebraicas de las funciones como tal. Esto quiere decir que se suman y se multiplican como siempre lo hemos hecho. Sin embargo, a diferencia de los que 1 ocurre con las funciones en general, si p(x) es un polinomio, p(x) no es necesariamente un polinomio. Esto solo va a hacer ası́ si gr(p(x)) = 0. Luego, los polinomios no tienen inverso multiplicativo (o por lo menos no todos), pero si tienen inverso aditivo. 101

Proposición 6.1. Sean p(x) y q(x) dos polinomios tales que gr(p(x)) = n y gr(q(x)) = m. Entonces: gr(p(x) + q(x)) ≤ máx(n, m) gr(p(x) · q(x)) = n + m Es importante recalcar que en el caso de la suma sólo tenemos una desigualdad, y no una igualdad. Un posible ejemplo es considerar p(x) = 7x2 + 5x + 1 y q(x) = −7x2 + 8x + 2. Se tiene que gr(p) = gr(q) = 2, pero gr(p(x) + q(x)) = gr(3 + 13x) = 1. Observemos que la fórmula para calcular el grado de un producto también es válida cuando alguno de los polinomios es el polinomio nulo: en efecto, si p(x) = 0, entonces p(x) · q(x) = 0, por lo que: gr(0) = gr(p(x) · q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)) = (−∞) + gr(q) y ambos lados valen −∞.

6.2.

División sintética y Teorema del Resto

1 no lo es necesariamente. En la sección anterior dijimos que si p(x) es un polinomio, entonces p(x) Esto no significa que no podamos dividir entre polinomios y es justamente lo que explicaremos a continuación.

Teorema 6.1. (Teorema de la división): Sean p(x), d(x) dos polinomios, con d(x) 6= 0. Entonces, existe un único par de polinomios q(x) y r(x) tales que: p(x) = q(x) · d(x) + r(x) gr(r(x)) < gr(d(x))

Demostración: Es un poco técnica y la dejaremos en un anexo al final del capı́tulo para quien quiera profundizar. Observación: Notemos que el teorema de la división es análogo a lo que probablemente aprendimos en el colegio con la división de números enteros. En este caso tenemos los mismos elementos: dividendo (p(x)), divisor (d(x)), cuociente (q(x)) y resto (r(x)).

102

Para la aplicación de este teorema, nos concentraremos en el caso donde gr(p(x)) > gr(d(x)). Si gr(p(x)) = n, tenemos 3 situaciones para analizar: gr(d(x)) = 0, gr(d(x)) = 1 y 1 < gr(d(x)) < n. Veamos que se hace en cada caso: gr(d(x)) = 0: Aquı́ estamos en la situación más fácil, pues nuestros polinomios son de la n X forma p(x) = ak xk y d(x) = d0 . Luego, al dividir p(x) por d(x) nos queda que: k=0 n

p(x) X ak k = x = q(x) d(x) k=0 d0 Es decir, nuestro cuociente va a ser el mismo polinomio p(x), pero con todos sus coeficientes divididos por d(x) = d0 . El resto obviamente será 0. Ejemplo: Supongamos que p(x) = 3x2 +4x−1 y que d(x) = 5. Entonces nuestro cuociente q(x) = 35 x2 + 45 x − 15 . De hecho

3 2 4 1 3x 4x − 1} = x + x− | +{z 5 5 5 | {z p(x) 2

q(x)d(x)+r(x)

·5+0 }

gr(d(x)) = 1: En este caso d(x) = x − a para alguna constante a, mientras que el grado de r es −1 ó 0, es decir r(x) = r0 , con r0 una constante que puede ser nula. Pn Por otro k lado necesariamente gr(q(x)) = n − 1. De esta forma escribimos p(x) = k=0 ak x y Pn−1 q(x) = k=0 bk xk . Luego p(x) = (x − a)q(x) + r0 =

n−1 X

bk x

k+1

k=0

= bn−1 xn +

n−1 X

−

abk xk + r0

k=0

n−1 X k=1

(bk−1 − ak )xk + (r0 − ab0 ).

Igualando los coeficientes de ambos polinomios se obtiene bn−1 = an bk−1 = abk + ak ∀k = n − 1, n − 2, . . . , 1 r0 = a0 + ab0 . Ejemplo: Supongamos que nuestro polinomio dividendo es p(x) = 4x3 − 4x2 + x + 6 y que el divisor es d(x) = x − 1. Nuestros coeficientes serán entonces a3 = 4, a2 = −4, a1 = 1, a0 = 6 Tomando en cuenta que nuestro a = 1 calculamos los coeficientes de q(x) que serán b2 , b1 y b0 : b 2 = a3 = 4 b1 = a · b2 + a2 = 1 · 4 − 4 = 0 b0 = a · b1 + a1 = 1 · 0 + 1 = 1 103

Por último, nuestro resto será r(x) = a · b0 + a0 = 1 · 1 + 6 = 7. Escribiendo los coeficientes, nuestro cuociente queda como q(x) = 4 · x2 + 0 · x + 1 y de hecho: (x − 1)(4x2 + 1) + 7 = 4x3 + x − 4x2 − 1 + 7 = 4x3 − 4x2 + x + 6 Una forma esquemática y ordenada de escribir estos coeficientes se conoce por Regla de Ruffini o Esquema de Hörner: se crea una tabla cuya primera fila está compuesta por los coeficientes de p(x), en la tercera fila se encuentran los coeficientes bk ordenados desde k = n − 1 hasta k = 0 junto con r(x) = r0 . Como ya sabemos bn−1 = an , para calcular bn−2 primero calculamos abn−1 cuyo resultado se ubica en la segunda fila bajo an−1 y luego sumamos verticalmente. Luego, para calcular bn−3 multiplicamos abn−2 cuyo resultado se ubica en la segunda fila bajo an−2 y sumamos verticalmente, ası́ sucesivamente hasta completar la tabla:

an a bn−1 an

an−1 abn−1 = bn−2 = an−1 + abn−1

an−2 abn−2 bn−3 = an−2 + abn−2

··· ··· ··· ···

ak abk bk−1 = abk + ak

··· ··· ··· ···

a1 ab1 b0 = a1 + ab1

a0 ab0 r0 = a0 + ab0

Nuestro ejemplo se verı́a de la siguiente manera: 4 −4 ↓ ↓ 1 4% 0%

1 6 ↓ ↓ 1% 0

1 < gr(d(x)) < n: Este sistema es un poco más difı́cil de explicar por escrito, pero la idea es parecida a como dividimos con números enteros. Supongamos que p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 y que d(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 . Para hacer la división, los expresamos como sigue an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 : bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 =? Para armar nuestro polinomio cuociente, nos vamos a fijar principalmente en el primer término del divisor d(x) y nos preguntaremos “cuantas veces cabe” en el primer término de nuestro polinomio p(x):

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 : bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 =

104

an n−m x bm

Luego armamos un nuevo polinomio que llamaremos r1 (x) = d(x) · bamn xn−m y lo ponemos “debajo”de p(x) para restarlos y que nos de un nuevo polinomio: an n−m x an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 : bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 = bm an n−m bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 (−) x bm c` x ` + . . . + c1 x + c0 Si el grado ` es mayor que m repetimos el proceso con el polinomio c` x` + . . . + c1 x + c0 , en caso contrario definimos c` x` + . . . + c0 como nuestro resto y terminamos con la división. Ejemplo: Sea p(x) = 4x5 + 3x4 − 2x3 + x2 − x + 7 y d(x) = x2 + 3x − 1 y dividamos 4x5 + 3x4 − 2x3 + x2 − x + 7 : x2 + 3x − 1 = El primer término de d(x) es x2 y vemos que “cabe 4x3 veces.en el primer término de p(x). Multiplicamos d(x) con 4x3 para hacer la resta 4x5 + 3x4 − 2x3 + x2 − x + 7 : x2 + 3x − 1 = 4x3 − 4x5 + 12x4 − 4x3 −9x4 + 2x3 + x2 − x + 7 Nos damos cuenta que el nuevo polinomio tiene grado 4 > 2, ası́ que repetimos el proceso viendo que x2 cabe −9x3 4x5 + 3x4 − 2x3 + x2 − x + 7 : x2 + 3x − 1 = 4x3 − 9x2 − 4x5 + 12x4 − 4x3 −9x4 + 2x3 + x2 − x + 7 − −9x4 − 27x3 + 9x2 29x3 − 8x2 − x + 7

105

Nuevamente repetimos viendo que x2 cabe 29x en el primer término de nuestro nuevo polinomio: 4x5 + 3x4 − 2x3 + x2 − x + 7 : x2 + 3x − 1 = 4x3 − 9x2 + 29x − 4x5 + 12x4 − 4x3 −9x4 + 2x3 + x2 − x + 7 − −9x4 − 27x3 + 9x2 29x3 − 8x2 − x + 7 − 29x3 + 87x2 − 29x −95x2 + 28x + 7 Vamos terminando y nos damos cuenta que x2 cabe −95 veces en el primer término del último polinomio: 4x5 + 3x4 − 2x3 + x2 − x + 7 : x2 + 3x − 1 = 4x3 − 9x2 + 29x − 95 − 4x5 + 12x4 − 4x3 −9x4 + 2x3 + x2 − x + 7 − −9x4 − 27x3 + 9x2 29x3 − 8x2 − x + 7 − 29x3 + 87x2 − 29x −95x2 + 28x + 7

− −95x2 − 285x + 95

313x − 88 Como el grado de 313x − 88 es menor que el de x2 + 3x − 1 terminamos el proceso de división. Ası́, por el teorema de la división nos queda que:

4x5 + 3x4 − 2x3 + x2 − x + 7 = (4x3 − 9x2 + 29x − 95) · (x2 + 3x − 1) + |313x{z− 88} {z } | {z } | q(x)

106

d(x)

r(x)

Definición 6.4. (Factor): Sea p(x) un polinomio tal que gr(p(x)) > 1 y d(x) un polinomio tal que gr(d(x)) < gr(p(x)). Diremos que d(x) es factor de p(x) si al dividirlo por d(x), la división deja resto r(x) = 0.

Teorema 6.2. (Teorema del Resto): Sea p(x) un polinomio tal que gr(p(x)) > 1 y d(x) = x − c. Entonces el resto que deja la división entre p(x) y d(x) es r(x) = p(c) Demostración: Primero notemos que gr(d(x)) = 1 y por el teorema de la división al resto r(x) no le queda otra que gr(r(x)) ≤ 0, es decir que es un polinomio constante (r(x) = Cte). Además, también por el teorema de la división, tenemos que: p(x) = q(x) · (x − c) + r(x) Evaluando p(x) en x = c nos queda que: :0 p(c) = q(c) (c − c) + r(c) ⇒ p(c) = r(c)

Pero como r(x) es constante, vale lo mismo para todo x. Luego r(x) = p(c). Ejemplo: Supongamos que p(x) = x2 + x + 1 y que d(x) = x − 2. Utilicemos la regla de Ruffini para dividir: 1

1 2 3

2 1

1 6 7

Es decir que por la división queda: x2 + x + 1 = (x + 3)(x − 2) + 7 Pero si solo quisiéramos calcular el resto, nos basta con evaluar el polinomio en x = 2: p(2) = 22 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7

107

6.3.

Raı́ces

Definición 6.5. (Raı́z): Diremos que c ∈ p(c) = 0.

C es raı́z del polinomio p(x) si se cumple que

Proposición 6.2. Si c es raı́z de p(x), entonces x − c es factor de p(x). Demostración: Notemos que por el teorema del resto r(x) = p(c) y que por el teorema de la división nos queda: p(x) = q(x)(x − c) + p(c) Pero como c es raı́z, tenemos que p(c) = 0. Luego p(x) = q(x)(x − c) Observación: Notemos también que si x − c es factor de p(x), entonces c es raı́z de p(x). Proposición 6.3. : Si c1 , c2 , . . . , ck son raı́ces distintas de p(x), entonces el polinomio d(x) = (x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck ) es factor de p(x). Sea n ≥ 1. Si p(x) es un polinomio tal que gr(p(x)) = n, entonces p(x) tiene a lo más n raı́ces distintas. Demostración: La primera propiedad la haremos por inducción sobre k, donde ya tenemos el caso base por la propiedad anterior. Como hipótesis de inducción suponemos que: p(x) = q(x)(x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck−1 ) Como ck también es raı́z de p(x) tenemos que: 0 = p(ck ) = q(ck )(ck − c1 ) . . . (ck − ck−1 ) Por hipótesis tenemos que todas las raı́ces son distintas, luego la única opción que queda es que q(ck ) = 0. Luego tenemos que: q(x) = q̃(x)(x − ck ) Con esto p(x) = q̃(x)(x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck−1 )(x − ck ), es decir d(x) = (x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck−1 )(x − ck ) es factor de p(x).

108

Sea k el número de raı́ces distintas de p(x) y sean c1 , . . . , ck estas raı́ces. Aplicando el teorema de la división tenemos que existe un polinomio q(x) tal que: p(x) = q(x)(x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck ) Luego n = gr(p(x)) = gr(q(x)) + gr(x − c1 ) + gr(x − c2 ) + . . . + gr(x − ck−1 ) ⇔ n = gr(q(x)) + k Obviamente q(x) 6= 0, pues si no p(x) = 0 y sabemos que gr(p(x)) = n ≥ 1. Luego gr(q(x)) ≥ 0 y tenemos que: k = n − gr(q(x)) ≤ n Luego p(x) tiene a lo más n raı́ces distintas.

6.4.

Teorema fundamental del Álgebra

Teorema 6.3. (Teorema fundamental del Álgebra): Sea p(x) un polinomio cualquiera con coeficientes en o en , tal que gr(p(x)) ≥ 1. Entonces p(x) posee al menos una raı́z (real o compleja).

Lamentablemente no podemos demostrar este teorema, porque las herramientas para hacerlo están fuera del alcance de este curso. Sin embargo, lo aprovecharemos para mostrar ciertas aplicaciones.

Proposición 6.4. (Factorización en ): Sea p(x) un polinomio tal que gr(p(x)) = n ≥ 1. Entonces, existen α, c1 , c2 , . . . , cm ∈ y naturales `1 , `2 , . . . , `m tales que:

p(x) = α(x − c1 )`1 (x − c2 )`2 . . . (x − cm )`m Demostración: Como gr(p(x)) ≥ 1 podemos asegurar, gracias al Teorema fundamental del Álgebra, la existencia de una raı́z r1 en

p(x) = q1 (x)(x − r1 ) Para algún polinomio q1 (x). Es claro que gr(q1 (x)) = n − 1 y si n − 1 ≥ 1, podemos nuevamente asegurar la existencia de otra raı́z r2 ∈ tal que:

q1 (x) = q2 (x)(x − r2 ) 109

Reemplazando este resultado en p(x), tenemos que: p(x) = q2 (x)(x − r2 )(x − r1 ) Si seguimos iterando este proceso vamos a llegar a que p(x) = qn (x)(x − rn ) . . . (x − r2 )(x − r1 )

Donde gr(qn (x)) = 0 y r1 , r2 , . . . rn ∈ . Ahora, estas raı́ces no tienen porque ser iguales, sino que algunas se pueden repetir, dejando el número de raı́ces distintas en m ≤ n. Llamemos ci a la raı́z que se repite `i veces. Con esto, tenemos que nuestro polinomio se puede escribir como: p(x) = qn (x)(x − c1 )`1 (x − c2 )`2 . . . (x − cm )`m Como qn (x) tiene grado 0 es constante, es decir qn (x) = α. Luego: p(x) = α(x − c1 )`1 (x − c2 )`2 . . . (x − cm )`m Observación: Al número `i se le llama multiplicidad algebraica de la raı́z ci , es decir que la multiplicidad algebraica de ci es la cantidad de veces que se repite ci . Además no es difı́cil demostrar que m X

`k = n

k=1

Ejercicio que dejamos al lector. Proposición 6.5. Sea p(x) un polinomio a coeficientes reales y sea z ∈ Entonces, z también es raı́z de p(x).

Demostración: Tenemos que p(x) =

n X

C una raı́z de p(x).

ak xk . Evaluemos p(x) en z:

k=0

p(z) =

n X

ak z k

k=0

Sabemos que z k = z k y como ak ∈ n X k=0

R tenemos que ak = ak , luego la suma queda: k

ak z =

n X

k=0

n X

ak z k = p(z)

k=0

Como z es raı́z de p(x) tenemos que p(z) = 0, luego: p(z) = p(z) = 0 = 0 Con esto, z es raı́z de p(x).

110

Ejemplo: Se sabe que 1 + i es raı́z del polinomio p(x) = x4 + x3 + x2 − 4x + 10. Encuentre todas las raı́ces de p(x) y factorı́celo. Notemos que como p(x) es a coeficientes reales x = 1 − i también es raı́z, y por lo tanto el polinomio (x − (1 + i))(x − (1 − i)) = x2 − 2x + 2 divide a p(x) : x4 + x3 + x2 − 4x + 10 : x2 − 2x + 2 = x2 + 3x + 5 − x4 − 2x3 + 2x2 3x3 − x2 − 4x + 10 − 3x3 − 6x2 + 6x 5x2 − 10x + 10

− 5x2 − 10x + 10

Del cuociente podemos deducir: x=

−3 ±

√ √ 9 − 20 −3 ± i 11 = 2 2

Luego, las raı́ces de p(x) son: (

√ √ ) −3 + i 11 −3 − i 11 1 + i, 1 − i, , 2 2

Y su factorización serı́a: p(x) = (x − (1 + i)) (x − (1 − i)) x −

√ !! −3 + i 11 x− 2

√ !! −3 − i 11 2

Ejemplo: Sabiendo que el polinomio p(x) = x4 − 4x3 + 31x2 − 54x + 50 tiene solo raı́ces complejas y que una de ellas tiene módulo 5, encontrar todas las raı́ces de p(x). Sean α, β, γ y δ las raı́ces de p(x), luego: p(x) = (x − α)(x − β)(x − γ)(x − δ) ⇔ p(x) = x4 − (α + β + γ + δ)x3 + (αβ + (α + β)(γ + δ) + γδ)x2 − (αβ(γ + δ) + γδ(α + β))x + αβγδ De aquı́ sale el siguiente sistema de ecuaciones: α+β+γ+δ αβ + (α + β)(γ + δ) + γδ αβ(γ + δ) + γδ(α + β) αβγδ

111

= 4 = 31 = 54 = 50

Teniendo en cuenta que todas las raı́ces son complejas, podemos imponer que α = β, que γ = δ y que |α| = |β| = 5, y con esto el sistema queda:

R R R

R R

2 e(α) + 2 e(γ) |α| + 2 e(α) · 2 e(γ) + |γ|2 |α|2 2 e(γ) + |γ|2 2 e(α) |α|2 |γ|2 2

= 4 = 31 = 54 = 50

Al saber que |α|2 = 25 nos queda que |γ|2 = 2 y de esto nos facilita algunas cosas: e(α) + e(γ) = 2 e(α) = 1 ⇒ 25 e(γ) + 2 e(α) = 27 e(γ) = 1 √ Como sabemos los módulos de cada raı́z, nos queda que Im(α) = 24 y Im(γ) = 1. Con esto las raı́ces son: n √ o √ 1 + i, 1 − i, 1 + i 24, 1 − i 24

R R

6.5.

R R

Técnicas de resolución de ecuaciones

En resumen, hasta ahora hemos visto que todo polinomio tiene siempre a lo más n raı́ces. Sin embargo, hay veces en que es extremadamente difı́cil encontrar esas soluciones. En esta sección pretendemos entregar algunas propiedades que nos ayuden a encontrar las raı́ces, aunque no siempre abarcan todos los problemas que se presentan.

Proposición 6.6. Sea p(x) =

n X k=0

ak xk un polinomio donde a0 , a1 , . . . , an ∈

Z. Si r = uv ∈ Q

es raı́z de p(x), entonces u divide a a0 y v divide a an . Demostración: Esta también es un poco técnica y se dejará en un anexo al final del capı́tulo para quien tenga interés en revisarla.

Ejemplo: Consideremos el polinomio p(x) = x3 + 6x2 − 3x − 4. Gracias a la propiedad anterior, si p(x) tiene raı́ces racionales solo pueden ser los factores de 4. Es decir, la posibilidades son:±1, ±2, ±4. Podrı́amos intentar con x = 170.456.321 pero ¿para qué? Siempre hay que intentar primero con ±1 para cualquier polinomio: p(1) = 13 + 6 · 12 − 3 · 1 − 4 = 1 + 6 − 3 − 4 = 0 p(−1) = (−1)3 + 6 · (−1)2 − 3 · (−1) − 4 = −1 + 6 + 3 − 4 = 4 Ahora veamos con ±2: p(2) = 23 + 6 · 22 − 3 · 2 − 4 = 8 + 24 − 6 − 4 = 22 p(−2) = (−2)3 + 6 · (−2)2 − 3 · (−2) − 4 = −8 + 24 + 6 − 4 = 18 112

Por último probemos con ±4: p(4) = 43 + 6 · 42 − 3 · 4 − 4 = 64 + 96 − 12 − 4 = 144 p(−4) = (−4)3 + 6 · (−4)2 − 3 · (−4) − 4 = −64 + 96 + 12 − 4 = 40 Luego, p(x) solo tiene una raı́z racional x = 1. Ocupemos Ruffini para dividir a este polinomio: 1 1 1

6 1 7

−3 7 4

−4 4 0

Con esto tenemos que: p(x) = (x2 + 7x − 4)(x − 1) Con este resultado, podemos calcular las otras raı́ces aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática: √ √ −7 ± 65 −7 ± 72 + 4 · 1 · 4 = x= 2 2

6.6.

Anexo 1: Demostración Teorema de la División

(Teorema de la división): Sean p(x), d(x) dos polinomios, con d(x) 6= 0. Entonces, existe un único par de polinomios q(x) y r(x) tales que: p(x) = q(x) · d(x) + r(x) gr(r(x)) < gr(d(x)) Demostración: Veamos primero la existencia. Sea j ∈ proposicional:

N ∪ {0} y definamos la siguiente forma

P (j) = (∀p(x) ∈ P[x] con gr(p(x)) < j ∃q(x), r(x) tales que (p(x) = q(x) · d(x) + r(x) ∧ gr(r(x)) < gr(d(x))) Mostremos que P (j) es verdadero para todo j ∈

N ∪ {0}, para ello usamos inducción en j.

i) Caso Base j = 0. Que P (0) se cumpla significa que existen polinomios q(x) y r(x) que satisfacen las ecuaciones cuando gr(p(x)) < 0 es decir cuando p(x) = 0 el polinomio nulo. Esto es verdadero cuando se toman q(x) = 0 y r(x) = 0, ya que 0 = 0 · d(x) + 0 y gr(r(x)) = −∞ < gr(d(x)).

113

ii) Hipótesis de Inducción: asumamos que la afirmación P (j) es verdadera. iii) Debemos demostrar que P (j + 1) es cierto, es decir ∀p(x) ∈ P[x] con gr(p(x)) < j + 1 ∃q(x), r(x) tales que (p(x) = q(x) · d(x) + r(x) ∧ gr(r(x)) < gr(d(x))) P P k Para ello sean p(x) = nk=0 aj xk con an 6= 0, d(x) = m k=0 bk x con bm 6= 0, es decir gr(p(x)) = n < j + 1 y gr(d(x)) = m. Distinguimos dos casos n < m ó n ≥ m. a) Caso n < m: En este caso tomamos q(x) = 0 y r(x) = p(x), de esta manera p(x) = 0 · d(x) + p(x) y gr(r(x)) = gr(p(x)) = n < m = gr(p(x)). b) Caso n ≥ m: En este caso consideramos el polinomio s(x) dado por an n−m x d(x). s(x) = p(x) − bm Observemos que en s(x) hemos reducido el grado de p(x) puesto que el coeficiente principal de bamn xn−m d(x) es an y an n−m x d(x) = gr xn−m + gr(d(x)) gr bm = n − m + m = n, es ası́ que gr(s(x)) < n < j + 1, es decir gr(s(x)) < j, y según nuestra hipótesis de inducción existen q0 (x), r(x) ∈ P[x] tales que s(x) = d(x)q0 (x) + r(x) y gr(r(x)) < gr(d(x)). Finalmente an n−m x d(x) p(x) = s(x) + bm an n−m x d(x) = d(x)q0 (x) + r(x) + bm an n−m = q0 (x) + x d(x) + r(x), bm por lo tanto, los polinomios q(x) = q0 (x) − requeridas.

an n−m x bm

y r(x) cumplen las condiciones

Veamos ahora la unicidad. Asumamos que existen q1 , q2 , r1 , r2 ∈ P[x], con r1 6= r2 y sin perder generalidad gr(r1 ) > gr(r2 ), tales que q1 (x)d(x) + r1 (x) = p(x) = q2 (x)d(x) + r2 (x), de aquı́ obtenemos (q1 (x) − q2 (x))d(x) = r2 (x) − r1 (x),

al calcular los grados obtenemos:

gr(d(x)) ≤ gr((q1 (x) − q2 (x))d(x)) = gr(q1 (x) − q2 (x))d(x) + gr(d(x)) = gr(r2 (x) − r1 (x)) = gr(r1 (x)) < gr(d(x))

lo que es un absurdo y por lo tanto r1 (x) = r2 (x). Para finalizar, tenemos que (q1 (x) − q2 (x))d(x) = 0 ⇒ q1 (x) = q2 (x). 114

6.7.

Anexo 2: Raı́ces racionales

Sea p(x) =

n X k=0

ak xk un polinomio donde a0 , a1 , . . . , an ∈

Z. Si x∗ =

u v

∈

Q es raı́z de p(x),

entonces u divide a a0 y v divide a an . Demostración: Escribimos ∗

p(x ) =

n X

k=0

Esto es equivalente a

n X

u k v

ak uk v n−k = 0

k=0

y por lo tanto n

a0 v = −

n X

ak uk v n−k

k=1 n X

= −u

ak uk−1 v n−k

k=1

P dado que ak , u, v ∈ se tiene que v n , nk=1 ak uk−1 v n−k ∈ , por lo tanto u divide a a0 v n , sin embargo, debido a que u/v no se puede simplificar tampoco se puede simplificar u/v n , por lo que necesariamente u divide a a0 . De manera similar a partir de (6.7) se obtiene n

an u =

n−1 X

ak uk v n−k

k=0

= −v

n−1 X

ak uk v n−k−k

k=0

P k n−k ∈ , por lo tanto v divide Nuevamente, gracias a que ak , u, v ∈ se tiene que un , n−1 k=0 ak u v n a an v , sin embargo, debido a que u/v no se pueden simplificar tampoco se puede simplificar un /v, por lo que necesariamente v divide a an .

115

Capı́tulo 7 Geometrı́a 7.1. 7.1.1.

Geometrı́a Analı́tica Definiciones previas

Distancia entre dos puntos La distancia d ≥ 0 entre dos puntos P y Q del plano cartesiano se suele denotar como d(P, Q). Sean los puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ), como se muestra a continuación: y

y1 b

P d

y2 b

Figura 7.1: Distancia entre dos puntos. Por el teorema de pitagoras tenemos que d2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 Pero como d ≥ 0, entonces:

p (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2

Traslación paralela de ejes Sean S = {OXY } y S 0 = {O0 X 0 Y 0 } dos sistemas coordenados de tal modo que los ejes OX y O0 X 0 son paralelos y tienen mismo sentido. Lo anterior tambi’en se debe tener para los ejes OY y O0 Y 0 . El origen O0 tiene coordenadas (x0 , y0 ) en S, tal como se muestra a continuación: Un punto P de coordenadas (x, y) en S tendrá coordenadas (x0 , y 0 ) en S 0 , donde se puede ver gráficamente que la relación entre estas variables es: x = x0 + x0 y = y 0 + y0 116

O′

Figura 7.2: Traslación paralela de ejes. o bien, de manera inversa como: x0 = x − x0 y 0 = y − y0 Esto será de bastante utilidad más adelante. Lugar geométrico Un lugar geométrico es un conjunto de puntos en el plano cartesiano que cumplen ciertas condiciones o propiedades geométricas. Estas propiedades suelen estar asociadas a distancias entre puntos u otras distancias.

7.1.2.

Circunferencia

Consideremos r ≥ 0 y C = (x0 , y0 ) un punto en el plano cartesiano. La circunferencia corresponde al lugar geométrico de los puntos del plano que están a distancia r de un punto fijo C llamado centro. Formalmente esto es: K = P ∈ 2 | d(P, C) = r .

Si tenemos que P = (x, y), entonces se puede escribir de forma equivalente como: K = (x, y) ∈ 2 | (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 .

Al valor r ≥ 0 se le conoce como radio de la circunferencia. En la siguiente figura se muestra una circunferencia como la descrita anteriormente: y

r b

Figura 7.3: Circunferencia.

117

Definición 7.1. (Ecuación canónica de la circunferencia): Consideremos una circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r. La ecuación (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 , se conoce como ecuación canónica de la circunferencia. Notemos que si desarrollamos la ecuación canónica obtenemos 0 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r2 = x2 − 2xx0 + x20 + y 2 − 2yy0 + y02 − r2 = x2 + y 2 − 2x0 x − 2y0 y + x20 + y02 − r2 . Denotando A = −2x0 , B = −2y0 y S = x20 + y02 − r2 , esta ecuación queda como: x2 + y 2 + Ax + By + S = 0.

(7.1)

Reciprocamente, desarrollando los términos, la Ecuación 7.1 se puede escribir como la ecuación canónica de la circunferencia, lo que motiva la siguiente definición. Definición 7.2. (Ecuación general de la circunferencia): La ecuación x2 + y 2 + Ax + By + S = 0 corresponde a una circunferencia y se le conoce como ecuación general de la circunferencia. Queda como ejercicio al lector completar cuadrados y desarrollar la ecuación general para obtener la ecuación canónica, identificando centro y radio.

7.1.3.

Recta

Considere dos puntos fijos A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ) y sea P = (x, y) un punto variable como se muestra en la Figura 7.4 a continuación: y P′ b

B′ b

P b

B A′

A′′

B ′′

P ′′

Figura 7.4: Recta. En la figura, los puntos A0 , A00 , B 0 , B 00 , P 0 , P 00 son sus respectivas imágenes sobre los ejes. Por semejanza de triángulos, podemos ver que se cumple: d(P, A) d(P 0 , A0 ) d(P 00 , A00 ) = = d(P, B) d(P 0 , B 0 ) d(P 00 , B 00 ) Con esto se tiene la igualdad:

y − y1 x − x1 = . y − y2 x − x2 118

Desarrollando esto: (y − y1 )(x − x2 ) = (x − x1 )(y − y2 ) xy − x2 y − y1 x + x2 y1 = xy − xy2 − x1 y + x1 y2 (y2 − y1 )x + (x1 − x2 )y + y1 x2 − x1 y2 = 0. Llamando a = y2 − y1 , b = x1 − x2 y c = y1 x2 − x1 y2 , la última ecuación queda como: ax + by + c = 0. De esto último podemos ver las siguientes condiciones: (i) Si se tiene a = 0 y b 6= 0, entonces la ecuación queda como by + c = 0. Despejando y se tiene: c y=− . b Que corresponde a una recta horizontal. (ii) Si se tiene a 6= 0 y b = 0, entonces la ecuación queda como ax + c = 0. Despejando x se tiene: c x=− . a Que corresponde a una recta vertical. (iii) Sean a, b 6= 0 y la recta L : ax + by + c = 0. Sean A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ) puntos que satisfacen L. Si P = (x, y) es cualquier punto de la recta, sumado a lo anterior tenemos que se cumplen las siguientes tres igualdades: P ∈L A∈L B∈L

⇔ ⇔ ⇔

ax + by + c = 0 ax1 + by1 + c = 0 ax2 + by2 + c = 0

Restando la primera ecuación con las otras dos por separado tenemos que: y − y1 a a(x − x1 ) + b(y − y1 ) = 0 ⇔ =− x − x1 b y − y2 a a(x − x2 ) + b(y − y2 ) = 0 ⇔ =− x − x2 b

Igualando ambos resultados, podemos ver que: y − y1 y − y2 y − y1 x − x1 = ⇔ = x − x1 x − x2 y − y2 x − x2

De acuerdo a esto último, concluimos que toda ecuación de primer grado en x, y corresponde a una recta, y recı́procamentetoda recta es representada por una ecuación de primer grado. Definición 7.3. (Pendiente de una recta): Consideremos dos puntos A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ) de la recta L : ax + by + c = 0 con x1 6= x2 . Tenemos que: A∈L B∈L

⇔ ⇔

ax1 + by1 + c = 0 ax2 + by2 + c = 0

restando ambas ecuaciones y ordenando: y1 − y2 a =− . x1 − x 2 b

En la recta L : ax + by + c = 0, a la cantidad m = − ab se le llama pendiente de la recta L. 119

Definición 7.4. (Ecuación de la recta por dos puntos): Sean los puntos fijos A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ) y P = (x, y) un punto variable de la recta L : ax + by + c = 0. Podemos ver que: P ∈L A∈L

⇔ ⇔

ax + by + c = 0 ax1 + by1 + c = 0

Restando ambas y dividiendo por b tenemos que: a (x − x1 ) + y − y1 = 0 ⇒ b

y − y1 = m(x − x1 )

donde m es la pendiente de la recta. Recordando que m = y − y1 =

y2 −y1 , x2 −x1

tenemos que:

y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1

la cual es la ecuación de la recta teniendo conocidos los puntos A y B. Definición 7.5. (Tipos de ecuaciones de rectas): Dependiendo la forma en que se escriba la ecuación o de la información que conozcamos de la recta, existen los siguientes tipos de ecuaciones: (i) La ecuación ax + by + c = 0 es llamada la ecuación general de la recta. (ii) Conocidos dos puntos A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ) de la recta L, la ecuación de la recta por dos puntos como vimos anteriormente es: y − y1 =

y2 − y1 (x − x1 ). x2 − x1

(iii) Del mismo desarrollo anterior, si conocemos un punto A = (x1 , y1 ) y la pendiente m de la recta, entonces la ecuación punto pendiente de la recta es: y − y1 = m(x − x1 ). (iv) La ecuación y = mx + n, es llamada ecuación principal de la recta, donde m es la pendiente y el valor n corresponde a la intersección con el eje OY . Definición 7.6. (Rectas Paralelas): Dos rectas L1 y L2 son paralelas si L1 = L2

o bien L1 ∩ L2 = ∅.

Sean L1 : ax + by + c = 0 y L2 : a0 x + b0 y + c0 = 0 rectas paralelas. Notemos que las pendientes 0 respectivas son mL1 = − ab y mL2 = − ab0 . Busquemos la solución del sistema de ecuaciones que definen L1 y L2 : ax + by + c = 0 / · b0 a0 x + b0 y + c0 = 0 / · −b Sumando estas ecuaciones: ⇒

ab0 x − a0 bx = c0 b − cb0 (ab0 − a0 b)x = c0 b − cb0 c0 b − cb0 ⇒ x= 0 ab − a0 b 120

Pero como las rectas son paralelas, no debe haber intersección, entonces este resultado no debe existir. Para esto, debemos tener que ab0 − a0 b = 0, entonces: a0 a = 0 b b

⇒

a0 a − =− 0 b b

⇒

mL1 = mL2

Es fácil notar que esto es una doble implicancia, dado que al tener pendientes iguales es imposible encontrar valores de x e y que cumplan ambas ecuaciones de las rectas.

121

Definición 7.7. (Simetral de un trazo): Sean A y B dos puntos distintos del plano. A la recta L la llamaremos simetral de A y B si para cualquier punto P ∈ L se satisface: d(A, P ) = d(B, P )

A L

Figura 7.5: Simetral de A y B Sea P = (x, y), A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ). Imponiendo que d(A, P ) = d(B, P ), tenemos que: p p (x − x1 )2 + (y − y1 )2 = (x − x2 )2 + (y − y2 )2 ⇔ (x − x1 )2 + (y − y1 )2 = (x − x2 )2 + (y − y2 )2 ⇔ x2 − 2xx1 + x21 + y 2 − 2yy1 + y12 = x2 − 2xx2 + x22 + y 2 − 2yy2 + y22 ⇔ 2(x2 − x1 )x + 2(y2 − y1 )y + x21 + y12 − x22 − y22 = 0 −x1 De acá podemos ver que la pendiente de la simetral es ms = − xy22 −y . También podemos ver 1 y2 −y1 que la pendiente de la recta que une los puntos A y B es m = x2 −x1 . Notemos que entonces estas pendientes cumplen la relación:

m · ms = −1. Definición 7.8. (Rectas perpendiculares): Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si para todo par de puntos distintos A y B en L, la simetral de A y B es paralela a L2 . Se puede observar que la recta L1 es perpendicular a L2 si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: L1 es horizontal y L2 es vertical. L1 es vertical y L2 es horizontal. L1 y L2 son oblicuas con pendientes mL1 y mL2 respectivamente y se tiene que mL1 ·mL2 = −1. Definición 7.9. (Distancia de un punto a una recta): Se define como la distancia de un punto a una recta como la distancia más corta entre tal punto y la recta.

122

Sea L la recta definida por su ecuación general ax + by + c = 0 y A = (x0 , y0 ) un punto que no está en la recta. Podemos observar que la distancia más corta entre el punto y la recta es el segmento de recta perpendicular que une el punto A con la recta L en el punto B como se muestra a continuación: L B b

d b

Figura 7.6: Distancia de un punto a una recta donde d define la distancia que buscamos. Tenemos que la pendiente de la recta L es m = − ab , entonces la pendiente de la recta L0 que contiene el trazo AB es m0 = ab dado que son perpendiculares. Usando la ecuación punto pendiente, tenemos que L0 está definida por la ecuación: b b y − y0 = (x − x0 ) ⇒ y = (x − x0 ) + y0 a a Reemplazando esto en la ecuación de L: b (x − x0 ) + y0 + c = 0 / · a ax + b a ⇒ (a2 + b2 )x − b2 x0 + aby0 + ac = 0 b2 x0 − aby0 − ac ⇒ xB = a2 + b 2 Reemplazando en la ecuación de L0 : b b2 x0 − aby0 − ac y= − x0 + y 0 a a2 + b 2 b b2 x0 − aby0 − ac − (a2 + b2 )x0 + y0 = · a a2 + b 2 abx0 + b2 y0 + bc =− + y0 a2 + b2 (a2 + b2 )y0 − abx0 − b2 y0 − bc = a2 + b 2 2 a y0 − abx0 − bc ⇒ yB = a2 + b 2 Con esto, el punto B queda definido como 2 b x0 − aby0 − ac a2 y0 − abx0 − bc B= , a2 + b 2 a2 + b2

123

Luego, tenemos que la distancia d que buscamos es simplemente la distancia entre A y B, entonces: s 2 2 2 b2 x0 − aby0 − ac a y0 − abx0 − bc d= − x0 + − y0 a2 + b 2 a2 + b2 s 2 2 2 b2 x0 − aby0 − ac − (a2 + b2 )x0 a y0 − abx0 − bc − (a2 + b2 )y0 + = a2 + b 2 a2 + b 2 s 2 2 2 a2 x0 + aby0 + ac b y0 + abx0 + bc = + a2 + b 2 a2 + b 2 s 2 2 ax0 + by0 + c ax0 + by0 + c 2 2 = a +b a2 + b 2 a2 + b 2 s 2 ax0 + by0 + c = · (a2 + b2 ) a2 + b 2 r (ax0 + by0 + c)2 = a2 + b 2 √ Recordando que |x| = x2 , finalmente tenemos que la distancia entre un punto y una recta se calcula como: |ax0 + by0 + c| √ d= a2 + b 2 Definición 7.10. (División de un trazo en una razón dada): Sean A = (xA , yA ), B = (xB , yB ), P = (xP , yP ) puntos que pertenecen a una misma recta. Supongamos que se tiene la siguiente configuración: y yB b

B b

P yA b

Figura 7.7: División de trazo

) = λ, con λ ∈ , podemos encontrar las coordenadas del Si sabemos que P es tal que d(A,P d(P,B) punto P en función de las coordenadas de A, B y del escalar λ. Despejando tenemos que:

d(A, P ) = λ d(P, B) Luego, se tendrán independientemente las siguientes igualdades: xP − xA = λ(xB − xP ) yP − yA = λ(yB − yP ) Con esto, las coordenadas del punto P serán: xA + λxB yA + λyB P = , 1+λ 1+λ 124

Definición 7.11. (Punto medio de un trazo): Se define como punto medio de un trazo, al punto que encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos del trazo. Aprovechando la definión anterior, será el caso d(A, P ) = d(P, B), es decir que λ = 1. Con esto, las coordenadas del punto medio del trazo AB son: xA + xB y A + y B , P = 2 2

7.1.4.

Cónicas

A continuación estudiaremos tres figuras clásicas de la Geometrı́a Analı́tica, a saber: la parábola, la elipse y la hipérbola. Estas figura reciben el nombre de cónicas debido a que pueden ser obtenidas mediante secciones de un cono tridimensional. Definición 7.12. (Cónica): Consideremos D una recta, F un punto del espacio euclidiano tal que F ∈ / D y e un número real positivo. Una cónica es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que satisfacen que la distancia a F es e veces la distancia a la recta D. Es decir, P ∈ 2 pertenece a la cónica si satisface:

d(P, F ) = e d(P, D).

Figura 7.8: Cónica A la recta D se le denomina directriz, al punto F se le llama foco y al valor e excentricidad. Separaremos el análisis de las cónicas según el valor de la excentricidad, tomando los casos e = 1, e < 1 y e > 1: La parábola En este caso e = 1. Por simplicidad tomaremos al foco como F = (p, 0) y la directriz será la recta vertical de ecuación x = −p, donde p ∈ . Sea P = (x, y) un punto del plano, entonces de la definición de cónica tenemos que:

d(P, F ) = d(P, D) p Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, podemos ver que d(P, F ) = (x − p)2 + y 2 . También, de la distancia entre un punto y una recta, tenemos que d(P, D) = |x + p|. Reemplazando en lo anterior tenemos que: p (x − p)2 + y 2 = |x + p|, 125

elevando al cuadrado obtenemos y desarrollando términos

⇔

(x − p)2 + y 2 = (x + p)2 , x2 − 2px + p2 + y 2 = x2 + 2px + p2

de donde se obtiene y 2 = 4px. Esta última es la ecuación de la parábola. Veamos su gráfico para el caso p > 0, donde primero debemos observar lo siguiente: a) La parábola pasa por el origen, dado que el punto (0, 0) cumple la ecuación, a este punto se le llama vértice de la parábola. b) Dado que y 2 ≥ 0 y p > 0, entonces necesariamente se debe cumplir que los puntos de la parábola tienen coordenada x positiva, es decir, estará ubicada en el primer y cuarto cuadrante del plano. c) Notemos que el punto P 0 = (x, −y) también cumple la ecuación, por lo tanto tenemos simetrı́a con respecto al eje OX. √ d) En el primer cuadrante tenemos que la parábola es equivalente a la función y = 2 px, la cual es estrictamente creciente en este cuadrante. En el último cuadrante, dada la simetrı́a con respecto al eje OX, la curva es decreciente. Con esto, el gráfico de la parábola corresponde al de la Figura 7.9 y

x = −p

Figura 7.9: Parábola horizontal con p > 0

126

Podemos ver que el análisis para p < 0 es análogo al anterior, pero con la parábola abierta hacia la izquierda. Entonces su gráfico será el de la Figura 7.10: y

x = −p

Figura 7.10: Parábola horizontal con p < 0 Todo esto también se puede hacer para el caso donde el foco es F = (0, p) y la directriz la recta horizontal y = −p. Desarrollando de manera análoga al caso anterior la ecuación de la parábola corresponde a: x2 = 4py. En este caso para p > 0, el gráfico corresponde a la Figura 7.11: y

y = −p

Figura 7.11: Parábola vertical con p > 0. Notando la misma analogı́a para el caso p < 0, el gráfico respectivo es: y

y = −p

Figura 7.12: Parábola vertical con p < 0.

127

Definición 7.13. Consideremos a, b, c ∈

R donde a 6= 0. La ecuación

x = ay 2 + by + c representa una parábola horizontal y se conoce como ecuación general de la parábola. Veamos que podemos llevar esta ecuación a una similar a las mencionadas en las partes anteriores, mediante la completación de cuadrados. Primero, dividiendo la ecuación (7.13) por a y luego sumando b2 /4a2 resulta: x b2 b2 b c + 2 = y 2 + 2y + 2 + , a 4a 2a 4a a agrupando términos x b2 c + − = y+ a 4a2 a b2 − 4ac 1 x+ = y+ a 4a

⇔ Definiendo p =

1 , 4a

x0 =

4ac−b2 4a

b 2a

2 .

b e y0 = − 2a , la ecuación queda como:

(y − y0 )2 = 4p(x − x0 ). Notemos que si tomamos x0 = x − x0 e y 0 = y − y0 , obtenemos la ecuación y 02 = 4px0 , que corresponde a una parábola con sus ejes trasladados a las variables x0 e y 0 . Podemos ver que para que se tenga x0 = y 0 = 0, necesariamente x = x0 e y = y0 . El punto (x0 , y0 ) corresponde al vértice de la parábola. Por ejemplo, si tenemos que a > 0, x0 > 0 e y0 > 0, el gráfico de esta parábola será el que se muestra en la Figura 7.13, donde la directriz está dada por la recta x = x0 − p y el foco es el punto F = (x0 + p, y0 ). y′

x′ = −p

y0 b

x0 − p

x0 + p

x′

Figura 7.13: Parábola horizontal desplazada con p > 0. Todo este análisis se puede hacer de forma análoga para la ecuación y = ax2 + bx + c, donde se llega a: (x − x0 )2 = 4p(y − y0 ). 1 b con p = 4a , x0 = − 2a e y0 = (4ac − b2 )/4a. En este caso la directriz está dada por la recta y = y0 − p y el foco es el punto F = (x0 , y0 + p).

128

El gráfico de esta parárola es: y′

y0 + p b

x′

y ′ = −p

y0 − p

Figura 7.14: Parábola vertical desplazada con p > 0 donde la directriz está dada por la recta y = y0 − p y el foco es el punto F = (x0 , y0 + d) Elipse Este caso es donde 0 < e < 1. Nuevamente, por simplicidad tomemos al foco como F = (c, 0) y la directriz D como la recta vertical p x = d con d > c > 0. Usando la distancia entre dos puntos, podemos ver que d(P, F ) = (x − c)2 + y 2 . También de la distancia entre un punto y una recta, tenemos que d(P, D) = |x − d|. Reemplazando en la definición resulta p (x − c)2 + y 2 = e|x − d|, elevando al cuadrado y desarrollando términos se tiene

⇔

(x − c)2 + y 2 = e2 (x − d)2 x2 − 2cx + c2 + y 2 = e2 (x2 − 2dx + d2 )

agrupando (1 − e2 )x2 − 2(c − e2 d)x + y 2 = e2 d2 − c2 .

Si imponemos que c − e2 d = 0, estamos diciendo que el centro de la elipse es el origen (no hay cuadrados que completar). Luego c2 = e4 d2 y reemplazando en la ecuación anterior se tiene

⇔ dado que e ∈ (0, 1) se sigue

(1 − e2 )x2 + y 2 = e2 d2 − e4 d2 (1 − e2 )x2 + y 2 = e2 d2 (1 − e2 ) y2 x2 + = 1. e2 d2 e2 d2 (1 − e2 )

√ Si llamamos a = ed y b = ed 1 − e2 , la última ecuación queda como: x2 y 2 + 2 = 1. a2 b √ √ Notemos que b = a 1 − e2 , pero como e ∈ (0, 1), entonces 1 − e2 < 1, luego en este caso tenemos que b < a.

129

Definición 7.14. Dados a, b > 0 en lo que sigue se le llamará Elipse de semiejes a y b al lugar geométrico de los puntos del plano que satisfacen la ecuación: x2 y 2 + 2 = 1. a2 b Notemos que en el desarrollo previo elevamos al cuadrado la ecuación (7.12) agregando soluciones, por lo tanto, la Elipse descrita por la ecuación anterior tendrá dos focos y dos directrices simétricas respecto al origen. Traslaciones paralelas a los ejes también definirán una elipse. Para 0 < b < a observamos lo siguiente: a) Si el punto (x, y) está en la elipse, es fácil ver que los puntos (−x, y), (−x, −y), (x, −y) también lo están. Es decir que tenemos simetrı́as con los ejes OX y OY . Dado esto, en lo que sigue analizaremos sólo el primer cuadrante. b) Como b < a, al eje OX se le llama eje principal de la elipse y al eje OY se le llama eje secundario. c) Haciendo y = 0 en la ecuación de la elipse, se tiene que x = ±a. Es decir que los puntos A = (a, 0) y A0 = (−a, 0) pertenecen a la elipse. Estos puntos son llamados vértices del eje principal. d) Haciendo x = 0 en la ecuación de la elipse, se tiene que y = ±b. Es decir que los puntos B = (0, b) y B 0 = (0, −b) pertenecen a la elipse. Estos puntos son llamados vértices del eje secundario. e) Despejando y en función de x tenemos que en el primer cuadrante la ecuación de la elipse es equivalente a b√ 2 a − x2 y= a la cual es una función decreciente, donde a medida que x se acerca al valor a tenemos que y se acerca a 0. También podemos calcular algunos parámetros importantes de la elipse: √ a) Excentricidad : Recordemos que b = a 1 − e2 , despejando e tenemos que la excentricidad vale: √ a2 − b 2 e= a Esto está bien definido dado que b < a. b) Focos: Como impusimos antes, tenemos que c = e2 d, pero como a = ed entonces c = ae. Recordando los argumentos de simetrı́a que posee la elipse, podemos ver que los focos son: F = (ae, 0) y F 0 = (−ae, 0). c) Directrices: Tenemos que a = ed, entonces d = ae . Nuevamente por simetrı́a, tenemos que las directrices son: a a D: x= y D0 : x = − e e d) Al trazo OA del eje principal se le llama semieje mayor y al trazo OB se le llama semieje menor. 130

Con toda esta información, podemos ver que el gráfico de la elipse es: y

x = − ae

A′

a e

B b

b b

F′

B′

Figura 7.15: Elipse con b < a.

Ahora bien, si al principio tomábamos el foco como F = (0, c) y la directriz D como la recta horizontal y = d, tendremos el caso a < b. Con esto se tiene que: a) e =

√

b2 −a2 . b

b) F = (0, be) ; F 0 = (0, −be). c) D : y =

b e

; D0 : y = − eb .

Con esto el gráfico de este caso corresponde a la Figura 7.16. y

b e

B b b

A′

F′

B′ y = − eb

Figura 7.16: Elipse con a < b.

131

Hipérbola Este caso e > 1. Nuevamente, por simplicidad tomemos al foco como F = (c, 0) y la directriz D como la recta vertical x = d con d > c > 0. Usando la distancia entre dos puntos, podemos p ver que d(P, F ) = (x − c)2 + y 2 . También, de la fórmula de la distancia entre un punto y una recta, tenemos que d(P, D) = |x − d|. Reemplazando en la definición de cónica y siguiendo un desarrollo análogo al caso de la elipse se obtiene la ecuación (1 − e2 )x2 − 2(c − e2 d)x + y 2 = e2 d2 − c2 . Si imponemos que c − e2 d = 0, estamos diciendo que el centro de la hipérbola es el origen (no hay cuadrados que completar). Luego c2 = e4 d2 . Reemplazando: (1 − e2 )x2 + y 2 = e2 d2 − e4 d2

⇔

(1 − e2 )x2 + y 2 = e2 d2 (1 − e2 ),

y como e > 1 conviene escribir esto como: x2 y2 = 1. − e2 d2 e2 d2 (e2 − 1)

√ Si llamamos a = ed y b = ed e2 − 1, la última ecuación queda como: x2 y 2 − 2 = 1. a2 b Notamos que b está bien definido pues e > 1. Definición 7.15. En lo que sigue le llamaremos Hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano que satisfacen la ecuación: x2 y 2 − 2 = 1, a2 b donde a, b > 0. Notemos que en el desarrollo previo elevamos al cuadrado la ecuación de la cónica agregando soluciones, por lo tanto, la Hipérbola descrita por la ecuación anterior tendrá dos focos y dos directrices simétricas respecto al origen. Traslaciones paralelas a los ejes también definirán una Hipérbola. Observemos lo siguiente: a) Si el punto (x, y) está en la Hipérbola, es fácil ver que los puntos (−x, y), (−x, −y), (x, −y) también lo están. Es decir, tenemos simetrı́as con respecto a los ejes OX y OY . Dado esto, en lo que sigue analizaremos sólo el primer cuadrante. b) Haciendo y = 0 en la ecuación de la hipérbola, se tiene que x = ±a. Es decir que los puntos A = (a, 0) y A0 = (−a, 0) pertenecen a la hipérbola. A estos puntos se les llaman vértices. Podemos ver que en la hipérbola no existen puntos con x = 0. c) Despejando y en función de x, tenemos que en el primer cuadrante la hipérbola es equivalente a b√ 2 y= x − a2 , a la cual es una función creciente, donde a medida que x se acerca al valor a tenemos que y se acerca a 0. Para que esto esté bien definido, necesitamos que |x| ≥ a. 132

También, a partir de los valores a y b, podemos calcular todos los parámetros importantes de la hipérbola: √ a) Excentricidad : Podemos ver que b = a e2 − 1. Despejando e tenemos que la excentricidad vale: √ a2 + b 2 . e= a b) Focos: Como impusimos antes, tenemos que c = e2 d, pero como a = ed entonces c = ae. Recordando los argumentos de simetrı́a que posee la hipérbola, podemos ver que los focos son: F = (ae, 0) y F 0 = (−ae, 0) c) Directrices: Tenemos que a = ed, entonces d = ae . Nuevamente por simetrı́a, tenemos que las directrices son: D:

a e

D0 :

a x=− . e

d) Ası́ntotas: Recordemos que b b√ 2 x − a2 = x y= a a Si x es “muy grande”, podemos ver que el valor Con esto, se definen las rectas: b y= x a

a2 x2

r 1−

a2 . x2

es muy pequeño. Entonces

q 1−

a2 x2

≈ 1.

b y=− x a

las cuales son llamadas ası́ntotas. Tales rectas tienen la propiedad de que para x cada vez mayor, la hipérbola se va pareciendo a sus ası́ntotas, pero nunca las intersecta. Con toda esta información, podemos ver que el gráfico de la hipérbola corresponde a la Figura 7.17, donde las lineas verticales representan las directrices D y D0 , en cambio las oblicuas representan las ası́ntotas: y

y = ab x

y = − ab x x = − ae

F′

A′

Figura 7.17: Hipérbola horizontal.

133

a e

Notemos que, si al principio tomámos el foco como F = (0, c) la directriz D como la recta horizontal y = d y siguiendo un desarrollo análogo al anterior, se tiene que la ecuación que describe el lugar geométrico está dada por y 2 x2 − 2 = 1. b2 a Con esto se cumple a) e =

√

a2 +b2 . b

b) F = (0, be) ; F 0 = (0, −be). c) D : y =

b e

; D0 : y = − eb .

d) Ası́ntotas: y = ab x ; y = − ab x. Con esto el gráfico de este caso es (ver Figura 7.18): y

F b

b e

B b

y = ab x

y = − ab x

B′

y = − eb b

F′

Figura 7.18: Hipérbola vertical.

134

7.1.5.

Ejemplos

Al igual que en el caso de la parábola, las ecuaciones de la elipse e hipérbola pueden estar trasladadas a un centro distinto del origen. Para encontrar los elementos de estas cónicas trasladas, basta con usar la traslación paralela de ejes como vimos al inicio de la sección. Vamos ahora al ejemplo: Ejemplo: Determine que tipo de cónica representan las siguientes ecuaciones, indicando claramente su centro, vértices, focos, directrices y ası́ntotas según corresponda. a) 8x + y 2 + 10y + 1 = 0 b) x2 + 4x + 2y 2 + 16y = 0 c) 3x2 − 2y 2 + 9x + 4y + 1 = 0 Solución: a) Completamos cuadrados: 8x + (y + 5)2 − 25 + 1 = 0 Ordenando tenemos que: (y + 5)2 = −8(x − 3) la cual es una parábola horizontal de vértice C = (3, −5) y p = −2. Con esto, el foco es F = (3 + p, −5) = (1, −5) y la directriz es D : x = 3 − p = 5. Finalmente, el gráfico es: y

5 x

D: x=5

−5

F = (1, −5)

C = (3, −5)

Figura 7.19: Parábola b) Completando cuadrados obtenemos: (x + 2)2 + 2(y 2 + 8y) = 4 ⇔ (x + 2)2 + 2(y + 4)2 = 36 (x + 2)2 (y + 4)2 ⇔ + =1 36 18 √ la cual es una elipse de centro C = (−2, −4), a = 6 y b = 3 2. Como a > b, los vertices principales son V1 = (−2 + a, −4) = (4, −4), V2 √ = (−2 − a, −4) = (−8, −4), y los vértices √ −4 − 3 2). secundarios son V3 = (−2, −4 + b) = (−2, −4 + 3 2), V4 = (−2, −4 − b) = (−2, √ √ √ a2 −b2 2 Nuevamente, como a > b, tenemos que b = a 1 − e , ası́ que entonces e = = 22 . a 135

V3 b

b b

C = (−2, −4)

Figura 7.20: Elipse √ 2, −4) y F2 = (−2 Con esto, los focos son F = (−2 + ae, −4) = (−2 + 3 1 √ − ae, −4) = √ a (−2 − 3 2, −4). Por último, las directrices son D1 : x = −2 + e = −2 + 6 2 y D2 : x = √ −2 − ae = −2 − 6 2. A continuación tenemos su dibujo: c) Completando cuadrados obtenemos: 3(x2 + 3x) − 2(y 2 − 2y) = −1 2 15 3 − 2(y − 1)2 = ⇔ 3 x+ 2 4 2 x + 32 (y − 1)2 ⇔ − =1 5 15 4

√ √ la cual es una hipérbola de centro C = − 23 , 1 , a = 25 y b = 430 . Como es una hipérbola √ −√5−3 5−3 3 3 horizontal, los vertices son V1 = − 2 + a, 1 = , 1 y V2 = − 2 − a, 1 = ,1 . 2 2 √ √ √ 2 2 Además, para este caso, tenemos que b = a e2 − 1, ası́ que entonces e = a a+b = 210 . Con √ √ − 10−3 10−3 3 esto, los focos son F1 = − 23 + ae, 1 ) = , 1 y F = − − ae, 1 ) = , 1 . 2 2 2 2 √

√

Las directrices son D1 : x = − 32 + ae =√ 2−3 y D2 : x = − 32 − ae = − 2+3 . Por √último, las 2 2 ası́ntotas son A1 : y−1 = ab x + 23 = 26 x + 23 y A2 : y−1 = − ab x + 32 = − 26 x + 23 . A continuación tenemos su dibujo: D2

V2 b

V1 b b

C x

Figura 7.21: Hipérbola

136

Capı́tulo 8 Lı́mites 8.1.

Sucesiones

Definición 8.1. (Sucesión): Una sucesión de números reales es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. A partir de ahora en adelante usaremos el término sucesiones a secas, ya que subentenderemos que se trata de una sucesión de números reales. Si a : → es una sucesión mediante a(n) deberı́amos denotar a la regla que la define, sin embargo se dispone de una notación que es mucho más útil y práctica, a saber: an . Ejemplos simples de sucesiones son:

1 ; bn = n; cn = (−1)n . n Debido a que las sucesiones son funciones es posible definir operaciones algebraicas entre ellas: dadas an y bn sucesiones, definimos: an =

la sucesión suma entre an y bn mediante la sucesión an + bn . la sucesión resta entre an y bn mediante la sucesión an − bn . la sucesión multiplicación entre an y bn mediante an bn . la sucesión inversa de bn mediante la sucesión b−1 n = 1/bn . Para que esta sucesión esté bien definida es necesario que bn 6= 0 para todo n. El comportamiento de una sucesión queda determinado por la tendencia o aproximación de los valores de an cuando n es “grande”. Intuitivamente una sucesión “se acerca” o converge a cierto valor ` si la distancia entre an y ` es “pequeña” a medida que n “crece”. La definición siguiente tiene por finalidad entregar el significado riguroso de convergencia y de paso entrega una noción precisa de los adjetivos “pequeño” y “grande”. Definición 8.2. (Sucesión convergente): La sucesión an se dice convergente si existe ` ∈ que satisface (∀ε > 0) (∃n0 ∈

N) (∀n > n0) |an − `| < ε.

137

En caso de que an sea convergente diremos que an tiende o converge a ` y usaremos la siguiente notación: lı́m an = ` n→∞

que se lee “lı́mite cuando n tiende a infinito de an es igual a `”. Otra notación que es usual es an → ` la cual se lee “an tiende o converge a `” . Si la sucesión an no es convergente diremos que an es divergente. Finalmente, el número ` al cual an converge se llama el lı́mite de an . Gráficamente esto se ve de la siguiente manera:

`+ε ` `−ε

n0 n > n0

|an − `| < ε

Figura 8.1: Gráfico sucesión convergente

En la medida en que vamos achicando ε tenemos que agrandar nuestro n0 , de tal manera que todos los términos de la sucesión desde n0 en adelante estén en la “caja”que forma ε. Observación: Es probable que el lector también se encuentre con otras notaciones, dentro de las cuales podemos destacar: lı́m an = `; lı́m an = `; n

Observación: Algo que es importante de precisar y que muchas veces causa confusión es que cuando escribimos lı́m an = ` n→∞

estamos diciendo dos cosas al mismo tiempo: la sucesión an es convergente, es decir el lı́mite anterior existe, y el lı́mite anterior tiene por valor `.

138

Notemos que en la definición anterior hemos dicho que ` es “el” lı́mite de an pues, en caso de que an converja, el lı́mite es único, tal como lo enuncia el siguiente teorema: Teorema 8.1. (Unicidad del lı́mite): Si an converge a `, entonces ` es único. Es decir si an converge a ` y a `0 entonces ` = `0 . Demostración: Supongamos que ` 6= `0 y consideremos ε = |` − `0 |/2 > 0. Dado que an converge a ` y a l0 existen N y N 0 tales que ∀n > N |an − `| < ε y ∀n > N 0 |an − `0 | < ε de esta forma, para cualquier n > N y n > N 0 (por ejemplo n = máx{N, N 0 }) se tiene |` − `0 | = |` − an + an − `0 | ≤ |an − `| + |an − `0 | <ε+ε |` − `0 | |` − `0 | + = 2 2 0 = |` − ` | es decir |` − `0 | < |` − `0 | lo cual es absurdo.

Ejemplo: Supongamos que an es una sucesión constante, es decir an = a para todo n ∈ , mostremos que an es convergente y que su lı́mite es a. Para ello, sea ε > 0 y tomemos N = 1, luego si n > N entonces |an − a| = |a − a| = 0 < ε. Anteriormente definimos el concepto de sucesión que diverge mediante la negación de convergencia, es decir una sucesión diverge si ∼ [∀ε > 0 ∃N ∈

N∀n > N |an − `| < ε].

Usando lógica proposicional podemos deducir que la sentencia de arriba es equivalentes a la siguiente: ∃ε > 0 ∀N ∈

N ∃n > N |an − `| ≥ ε

Ejemplo: Mostremos que la sucesión an = (−1)n es divergente. Para ello supongamos que an es convergente a a y veamos como esto conduce a una contradicción. Tomemos ε = 1, entonces existe N ∈ tal que |an − a| < 1 para todo n > N , en particular, al tomar n0 > N par se tiene que |an0 − an0 +1 | = |(−1)n0 − (−1)n0 +1 | = 2, luego

2 = |an0 − an0 +1 | = |an0 − a + a − an0 +1 | ≤ |an0 − a| + |a − an0 +1 | <1+1=2 es decir 2 < 2, lo cual es falso. 139

Proposición 8.1. La sucesión an = 1/n es convergente y lı́m 1/n = 0. n→∞

Demostración: Sea ε > 0. Aplicamos la Propiedad Arquimediana con x = ε y M = 1, de esta forma existe N ∈ tal que N · ε > 1, finalmente, si n > N entonces

− 0 = 1 < 1 < ε.

n N

Este lı́mite nos va a permitir calcular algunos otros por definición. Ejemplo: Demuestre por definición que 2n + 1 =2 n+4 Para demostrar esto, tenemos que ser capaces de encontrar un n0 a partir del cual todos los términos de la sucesión estén a una distancia menor que ε del lı́mite:

2n + 1

2n + 1 − 2n − 8 −7

= 7

n + 4 − 2 =

n+4 n + 4 n + 4 lı́m

n→∞

Notemos que el último término lo podemos acotar por lo siguiente: 7 7 < n+4 n Si escogemos n0 >

7 ε

tendremos que ∀n > n0 se cumple: 7 <ε n

Luego tenemos que:

2n + 1

2n + 1 (∀n > n0 )

− 2

< ε ⇔ lı́m =2 n→∞ n + 4 n+4

Definición 8.3. (Sucesión Acotada): La sucesión an se dice acotada superiormente si el conjunto {an : n ∈

N} es acotado superiormente.

acotada inferiormente si −an es acotada superiormente. acotada si an es acotada superior e inferiormente.

140

En estos términos se tiene el siguiente teorema Teorema 8.2. Toda sucesión convergente es acotada. Demostración: Sea an sucesión convergente y ` su lı́mite. Sea N tal que |an − `| < 1 para todo n > N , ası́ |an | = |an − ` + `| ≤ |an − `| + |`| < 1 + |`| para todo n > N de este modo |an | ≤ máx{|a1 |, . . . , |aN |, 1 + |`|} para todo n ∈

Observación: La afirmación inversa no es cierta: la sucesión an = (−1)n es acotada pero no es convergente. Observación: Usando lógica proposicional nos damos cuenta que este teorema nos entrega un criterio de convergencia, a saber: si an no es acotada entonces an no converge. Proposición 8.2. Sea an una sucesión convergente tal que lı́m an = a 6= 0. Entonces existe N∈

N tal que ∀n > N |an| > |a|/2.

n→∞

Demostración: Dado que |a|/2 > 0 existe N ∈ n > N se tiene

N tal que ∀n > N

|an − a| ≤ |a|/2. Ası́, si

|a| = |a − an + an | ≤ |an − a| + |an | |a| + |an | < 2 es decir ∀n > N |an | > |a|/2. Teorema 8.3. (Álgebra de lı́mites): Asumamos que las sucesiones an y bn son convergentes y que convergen a a y b respectivamente. Entonces −an es convergente y converge al valor −a. an ± bn es convergente y converge al valor a ± b. an bn es convergente y converge a ab. Si además ∀n ∈

N bn 6= 0 y b 6= 0 entonces an/bn es convergente y converge a a/b.

Lo anterior se resume en sı́mbolos mediante: lı́m −an = −a

n→∞

lı́m (an ± bn ) = lı́m an ± lı́m bn n→∞ n→∞ lı́m an bn = lı́m an lı́m bn

n→∞

lı́m an

an = n→∞ n→∞ bn lı́m bn lı́m

n→∞

141

n→∞

Demostración: Basta notar que |a − an | = |(−a) − (−an )|. Primero consideramos el caso lı́m an + bn . Sea ε > 0. Dado que ε/2 > 0 y lı́m an = a y n→∞ n→∞ lı́m bn = b se tiene que existen N1 , N2 ∈ tales que

n→∞

ε ∀n > N1 |an − a| < , 2

ε ∀n > N2 |bn − b| < . 2

De este modo, si tomamos n > N1 , N2 (por ejemplo n > máx{N1 , N2 }) se tiene que ∀n > N |an + bn − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| ε ε < + = ε. 2 2 Para el caso lı́m an − bn basta observar que an − bn = an + (−bn ) y aplicar lo recién hecho n→∞ y el apartado anterior. Sea ε > 0. Como an es convergente se tiene es acotada, es decir existe C ≥ 0 tal que |an | ≤ C para todo n ∈ . Consideramos dos casos:

a) b = 0. Dado que bn converge a 0 y ε/C > 0 se tiene que existe N ∈ |bn − 0| = |bn | ≤ ε/C, es ası́ que

N tal que ∀n > N

∀n > N |an bn − ab| = |an bn − 0| |bn | ≤C C ε <C =ε C b) b 6= 0. Dado que an converge a a y

ε 2|b|

> 0 se tiene que existe N1 ∈

∀n > N1 |an − a| < Además, dado que bn converge a b y

ε 2C

ε . 2|b|

> 0 se tiene que existe N2 ∈

∀n > N2 |bn − b| <

N tal que n

Finalmente, si tomamos N ∈ N ≥ máx{N1 , N2 }) se tiene que

N tal que

ε . 2C

> N1 y n > N2 (por ejemplo tomar

∀n > N |an bn − ab| = |an bn − an b + an b − ab| ≤ |an b − ab| + |an bn − an b| = |b||an − a| + |an ||bn − b| ε ε < |b| +C 2|b| 2C ε ε = + =ε 2 2

142

N tal que

Antes de mostrar el caso general, mostremos el caso particular en que an es la sucesión constante an = 1, es decir mostremos que que la sucesión 1/bn converge a 1/b. Para ello, sea ε > 0. Como bn → b, sabemos que existe N1 ∈ tal que

∀n > N1

1 2 < , |bn | |b|

además, dado que bn converge a b y |b|2 ε/2 > 0 se tiene que existe N2 ∈ ∀n > N2 |bn − b| < Finalmente, si tomamos N ∈ máx{N1 , N2 }) se tiene que

N tal que

|b|2 ε 2

tal que N ≥ N1 y N ≥ N2 (por ejemplo N ≥

1 1 1 |bn − b| ∀n > N

−

= bn b |bn | |b| 2 |b|2 ε < =ε |b| 2 Concluimos con la observación an /bn = (an )(1/bn ), por lo que podemos usar el inciso anterior para mostrar el caso general. Teorema 8.4. (Teorema del Sándwich): Sean an y bn dos sucesiones convergentes. Supongamos que cn es una sucesión y que existe un N ∈ , tal que an ≤ cn ≤ bn para todo n > N . Si lı́m an = lı́m bn = `, entonces cn es convergente y lı́m cn = `.

n→∞

Demostración: Como an y bn son convergentes, existen n1 , n2 ∈ (∀n > n1 )|an − `| < ε,

N tales que:

(∀n > n2 )|bn − `| < ε ⇔

(∀n > n1 ) − ε < an − ` < ε,

(∀n > n2 ) − ε < bn − ` < ε

Escogiendo n0 = máx{N, n1 , n2 } tenemos que para todo n > n0 : −ε < an − ` < cn − ` < bn − ` < ε ⇒ |cn − `| < ε Luego lı́m cn = `. n→∞

143

Un tipo importante de sucesiones y que merecen ser estudiadas son aquellas que convergen a cero. Dentro de sus propiedades podemos mencionar las que entregan los siguientes lemas: Lema 8.1. Sea an una sucesión tal que lı́m = 0 y bn una sucesión acotada. Entonces an bn es n→∞ convergente y tiene lı́mite nulo. Demostración: Sea ε > 0. Dado que bn es acotada, existe una constante M > 0 tal que |bn | ≤ M para todo n ∈ . Dado que lı́m an = 0 tenemos que existe N ∈ tal que ∀n > N

|an | ≤

ε , M

n→∞

de esta forma, también para n > N se tiene |an bn | = |an ||bn | ≤ M

ε =ε M

Lema 8.2. an es una sucesión que converge a 0 si y sólo si |an | converge a 0. Demostración: Es claro que |an − 0| = ||an | − 0|, de este modo las afirmaciones:

N∀n > N |an − 0| < ε. ∀ε > 0 ∃N ∈ N∀n > N ||an | − 0| < ε. ∀ε > 0 ∃N ∈

son equivalentes. Otra relación entre las sucesiones convergentes y acotadas viene dada por la siguiente proposición. Proposición 8.3. Asumir que an es convergente y acotada superiormente por c, entonces lı́m an ≤ c. n→∞

Demostración: Demostremos la proposición por reducción al absurdo. Asumamos que ` = lı́m an > c, dado que ` − c > 0 consideremos este número como el ε de la definición de

n→∞

convergencia de an , es decir existe N ∈ tal que |an − `| < ` − c para todo n > N , en particular ` − an < ` − c, es decir an > c, lo que contradice nuestra hipótesis inicial.

Ejemplo: Para todo k ∈

N la sucesión 1/nk es convergente y 1 = 0. n→∞ nk lı́m

En efecto, para todo k ∈ para todo n ∈

N se tiene

1 1 ≤ k n n . Gracias al Teorema del Sándwich se concluye. 0≤

Definamos la sucesión sn =

ap np + ap−1 nn−1 + · · · + a0 bq nq + bq−1 nn−1 + · · · + b0 144

donde p, q ∈

N. luego   si p < q    si p = q    si p > q

entonces lı́m sn = 0; n→∞ ap entonces lı́m sn = ; n→∞ bq entonces sn no es acotada y por lo tanto no converge.

Definición 8.4. La sucesión an se dice a) creciente si an+1 ≥ an ∀n ∈

b) estrictamente creciente si an+1 > an ∀n ∈

c) decreciente si −an es creciente. d) estrictamente decreciente si −an es estrictamente creciente. e) monótona si es creciente o decreciente. f) estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Necesitamos además un Teorema que caracteriza a los números reales que son supremos de conjuntos. Teorema 8.5. Supongamos que A ⊆ valentes.

R tiene supremo. Las siguientes afirmaciones son equi-

s = sup A. Para todo ε > 0 existe a ∈ A tal que s − ε < a. Demostración Primero mostremos que s = sup A ⇒ Para todo ε > 0 existe a ∈ A tal que s − ε < a. Supongamos lo contrario, es decir existe ε > 0 tal que para todo a ∈ A se tiene s − ε ≥ a, luego s−ε es cota superior de A, pero s es la menor de las cotas superiores, luego s−ε ≥ s y por lo tanto ε ≤ 0, lo que contradice nuestra hipótesis inicial. Segundo asumamos pues que existe z cota superior de A tal que z < s. Consideremos ε = s − z > 0, luego si a ∈ A entonces s − ε = s − (s − z) =s−s+z = z ≥ a. pues z es cota superior de A.

145

Como es de esperar el ı́nfimo de un conjunto cumple una propiedad análoga: Corolario 8.1. Supongamos que A tiene ı́nfimo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes. i = ı́nf A. Para todo ε > 0 existe a ∈ A tal que a < i + ε Finalmente estamos en condiciones de enunciar uno de los resultados más importantes de sucesiones. Este teorema tiene por finalidad mostrar que existen muchas sucesiones convergentes y además muestra como calcular su lı́mite. La herramienta fundamental, tal como era de esperar y tal como anticipábamos, es el Axioma del Supremo. Teorema 8.6. Si an es creciente y acotada superiormente entonces an es convergente y

N}.

lı́m an = sup{an : n ∈

n→∞

Demostración: Consideremos el conjunto {an : n ∈ } el cual es no vacı́o y acotado superiormente, luego existe s = sup{an : n ∈ }. Mostremos que s es el lı́mite de an . Sea ε > 0. Según el teorema 8.5 existe aN tal que s − ε < aN , debido a que an es creciente se tiene que si n > N entonces aN ≤ an , por tanto

s − an ≤ s − aN < ε para todo n > N.

N, es decir an − s < ε para todo n ∈ N.

(8.1)

por otro lado, se tiene an ≤ s < s + ε para todo n ∈

(8.2)

Juntando (8.1) y (8.2) se tiene que −ε < an − s < ε para todo n > N. es decir |an − s| < ε para todo n > N . Corolario 8.2. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente, y lı́m an = ı́nf{an : n ∈

n→∞

N}.

Podemos juntar el Teorema 8.6 y su Corolario 8.2 en un sólo teorema: Teorema 8.7. Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Un ejemplo de sucesión creciente y acotada es n 1 an = 1 + n Luego, por el teorema recién anunciado tenemos que esta sucesión es convergente y posee lı́mite. De hecho: n 1 lı́m 1 + =e n→∞ n 146

Otros lı́mites importantes en sucesiones son: lı́m n!n n→∞ n

n lı́m a n→∞ n!

= 0, a ∈

lı́m

√ n

a = 1, a > 0

lı́m

√ n

n=1

n→∞

 a=1  1 si a ∈] − 1, 1[ lı́m an = 0 si n→∞  6 ∃ si ] − ∞, −1]∪]1, ∞[

Definición 8.5. Dada una sucesión an definimos una subsucesión de an como una sucesión de la forma an1 , an2 , . . . , ank , . . . donde nk son números naturales que satisfacen n1 < n2 < · · · < nk < · · · . Dicho de otra manera nk = φ(n), donde φ : → es una función estrictamente creciente. Esta subsucesión la denotaremos por ank .

N N

Ejemplo: Escribamos los términos de la sucesión an = (−1)n −1, 1, −1, 1, . . . Entonces al tomar nk = 2k tenemos n1 = 2 < n2 = 4 < n3 = 6 < · · · . Por lo tanto la subsucesión ank está formada por los términos 1, 1, 1, 1 . . . En forma análoga al tomar los términos impares se obtiene la subsucesión −1. − 1, −1, −1 . . . Ejemplo: Consideremos la sucesión an = n, y consideremos la sucesión nk = k con k = 2, 3, 5, 7, . . . los números primos ordenados de manera creciente (pruebe que hay infinitos números primos). Luego, los términos de la subsucesión ank corresponden a 2, 3, 5, 7, . . . Un hecho notable es que si se escogen adecuadamente algunos términos de una sucesión entonces podemos obtener una subsucesión monótona, la demostración del siguiente lema nos enseña como se deben escoger dichos términos.

147

Lema 8.3. Toda sucesión contiene una subsucesión monótona. Demostración: Sea an sucesión. Diremos que n es un punto cumbre de an si an ≥ am para todo m > n. Bajo esta terminologı́a puede darse sólo uno de los dos casos siguientes:

an tiene una cantidad finita de puntos cumbres. En este caso consideremos un n1 ∈ mayor que el más grande de los puntos cumbres de an . Dado que n1 no es punto cumbre necesariamente existe n2 > n1 tal que an2 ≥ an1 . Dado que n2 no es punto cumbre necesariamente existe n3 > n2 tal que an3 ≥ an2 . Continuando de esta forma se tiene que la subsucesión de términos an1 , an2 , an3 , . . . es creciente. an no tiene una cantidad finita de puntos cumbres. En este caso sean n1 < n2 < n3 < · · · los puntos cumbre, luego an1 ≥ an2 ≥ an3 ≥ · · · , de este modo la subsucesión de términos an1 , an2 , an3 , . . . es decreciente. Teorema 8.8. (Teorema de Bolzano-Weierstrass): Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Demostración: Es claro que si una sucesión es es acotada entonces todas sus subsucesiones son acotadas, en particular aquella que es creciente o decreciente cuya existencia está asegurada según el último lema, por tanto tal subsucesión es convergente gracias al Teorema 8.7.

Un tipo de sucesiones especiales que nos va tocar estudiar son aquellas que se definen por recursión, que son aquellas que parten de un caso base y los siguientes términos dependen de valores anteriores. Veamos un ejemplo definiendo la sucesión an como sigue: r 9 + a2n a1 = 1, an+1 = 2 Nos damos cuenta que an+1 depende del valor de an , y nosqgustarı́a saber si esta sucesión √ 2 converge. Primero veamos el crecimiento. Se tiene que a2 = 9+1 = 5 ≥ 1. Luego podrı́a 2 ser creciente, y como ya tenemos un caso base procedamos a demostrar por inducción que es creciente, tomando como hipótesis que an ≥ an−1 de donde sale que: an ≥ an−1 ⇔ a2n ≥ a2n−1 ⇔ 9 + a2n ≥ 9 + a2n−1 ⇔

9 + a2n−1 9 + a2n ≥ 2 2

⇔ r

9 + a2n ≥ 2

9 + a2n−1 ⇔ an+1 ≥ an 2 148

Con esto, la sucesión es creciente. Además, tenemos que a1 = 1 < 3 y tal vez podrı́amos probar que toda la sucesión está acotada por 3, asumiendo que an < 3 y probando lo mismo para an+1 : r r 9 + a2n 9 + 32 an+1 = ≤ =3 2 {z 2 } | Por hipótesis de inducción

Luego an ≤ 3, ∀n ∈ . De aquı́ tenemos que la sucesión es monótona y acotada, luego converge ¿cómo calculamos el lı́mite? Sabemos que tiene que pasar lı́m an = `, y que todas sus subsucesiones tienen que tender al mismo lı́mite, en particular an+1 . Luego tenemos que: r 9 + a2n lı́m an+1 = lı́m n→∞ n→∞ 2 ⇔ r `=

9 + `2 ⇔ `2 = 9 ⇒ ` = 3 2

149

8.2.

Lı́mite de Funciones

En esta sección revisaremos uno de los conceptos más importantes del Cálculo: el lı́mite. Como motivación primero consideremos la función f:

R \ {0} → R x 7→ f (x) =

sen x x

cuyo gráfico puede apreciarse en la Figura 8.2. Observamos que, por definición el valor de x = 0

Figura 8.2: Función f (x) =

sen x x

no pertenece al dominio de f , sin embargo si quisiéramos definir el valor f (0) tenemos muchas opciones, pero de alguna manera una de ellas se asoma con particular tendencia: f (0) = 1, esto pues para x “cercanos” o “cuando x tiende a” 0 (pero no iguales a 0) la función f “se acerca” o “tiende” a 1. La siguiente definición recoge en forma precisa lo que significa acercarse: Definición 8.6. Diremos que f tiende hacia ` cuando x tiende al valor x0 si: (∀ε > 0) (∃δ > 0)( tal que 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − `| < ε) Observación: En nuestra definición notamos que hemos escrito f (x), por lo que x es parte del dominio de f , no es el caso del número x0 : no nos interesa el valor de f (x0 ) el cual de hecho no tiene ni siquiera porqué estar definido. Observación: En nuestra hipótesis hemos puesto la condición 0 < |x − x0 |, pues bien, es claro que 0 ≤ |x − x0 | y por lo tanto el asumir que 0 < |x − x0 | nos dice simplemente que |x − x0 | = 6 0 lo que es equivalente a que x 6= x0 , es decir, en términos intuitivos esto dice que “x se acerca a x0 ” sin tomar el valor de x0 .

150

Gráficamente para una función cualquiera, lo que tenemos es lo siguiente:

`+ε ` `−ε

x0 − δ

x0 x0 + δ

Figura 8.3: Lı́mite de funciones

Los “x cercanos a x0 ”serán aquellos que estén en la vecindad ]x0 − δ, x0 + δ[ y δ dependerá de que tan exigente sea la tolerancia, pues a medida que ε se va achicando δ también lo hace. Teorema 8.9. El valor al cual f tiende cuando x tiende a x0 es único, es decir, si f tiende a ` y a m cuando x tiende a x0 entonces ` = m. Demostración: Primero escribimos en sı́mbolos matemáticos nuestras hipótesis: que f tienda a ` cuando x tiende a x0 significa que ∀ε > 0 ∃δ1 > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ1 entonces |f (x) − `| < ε. en forma análoga, que f tienda a m cuando x tiende a a significa que ∀ε > 0 ∃δ2 > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ2 entonces |f (x) − m| < ε. Los números δ1 y δ2 son necesariamente distintos pues a priori no sabemos si uno de los deltas servirá para el otro, sin embargo, es claro que al tomar δ < mı́n{δ1 , δ2 } si 0 < |x − x0 | < δ entonces |f (x) − `| < ε y |f (x) − m| < ε. Veamos como en el caso en que ` 6= m se obtiene una contradicción: aún tenemos la libertad el cual ciertamente es mayor que de escoger un ε adecuado, es ası́ que consideremos ε = |`−m| 2 0. Reescribiendo lo ya obtenido llegamos a si 0 < |x − x0 | < δ entonces |f (x) − `| <

|` − m| |` − m| y |f (x) − m| < . 2 2

luego, para 0 < |x − a| < δ se tiene |` − m| = |` − f (x) + f (x) − m| ≤ |f (x) − ` + |f (x) − m| <

|` − m| |` − m| + = |` − m| 2 2

es decir |` − m| < |` − m| lo que es obviamente un absurdo.

151

De esta forma podemos hablar sin confusiones de el lı́mite de f cuando x tiende a x0 (siempre y cuando este lı́mite exista) y usaremos los siguientes sı́mbolos matemáticos que dejan plasmados estas ideas lı́m f (x) = `. x→x0

Observación: Al igual que ocurrı́a en el estudio de sucesiones, cuando escribimos lı́m f (x) = `

x→x0

estamos diciendo dos cosas al mismo tiempo: el lı́mite anterior existe, y el lı́mite anterior tiene por valor `. Ejemplo: Supongamos que f (x) = c es una función constante. Mostremos que lı́m f (x) = c. x→x0

Sea ε > 0. Debemos ser capaces de encontrar δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ entonces |f (x) − c| < ε para ello consideramos cualquier δ > 0, por ejemplo δ = 1, luego es claro que si 0 < |x − x0 | < δ entones |f (x) − c| = |c − c| = 0 < ε. Por lo que lı́m f (x) = c. x→x0

Ejemplo: Mostremos usando la definición de lı́mite que lı́m 2x + 3 = 5. Para ello sea ε > 0. x→1 Debemos ser capaces de encontrar un δ > 0 para el cual si 0 < |x − 1| < δ entonces |(2x + 3) − 5| < ε. Para ello analicemos la expresión |(2x + 3) − 5|: |(2x + 3) − 5| = |2x − 2| = 2|x − 1| Ahora la parte esencial: escojamos el número δ = ε/2, de esta forma: si 0 < |x − 1| < δ =

ε 2

entonces |(2x + 3) − 5| = 2|x − 1| < 2 2ε = ε.

lo que muestra que lı́m 2x + 3 = 5. x→1

Ejemplo: Probemos por definición que lı́m

x→−4

x 3

de encontrar δ > 0 tal que

Analicemos

x 3

+ 1 = − 13 . Sea ε > 0. Debemos ser capaces

si 0 < |x − −4| < δ entonces x3 + 1 − − 31 < ε.

+ 1 − − 13 :

x 1

3 + 1 − −3 = 3 + 1 + 3

x 4

= +

3 3 1 = |x + 4| . 3

Ahora la parte esencial: escojamos el número δ = 3ε, de esta forma 152

si 0 < |x + 4| < δ entonces

x x→−4 3

lo que muestra que lı́m

x 3

+ 1 − − 13 = 13 |x + 4| = 13 3ε = ε.

+ 1 = − 13 .

Como problema propuesto muestre que, dados b, c ∈

R con b 6= 0 entonces x→a lı́m bx + c = ba + c.

Ejemplo: Mostremos por definición que lı́m x2 + x − 5 = 7.

x→3

Sea ε > 0. Debemos ser capaces de encontrar un δ > 0 tal que si 0 < |x − 3| < δ entones |(x2 + x − 5) − 7| < ε. Para ello analicemos |x2 + x − 5 − 7|: |x2 + x − 5 − 7| = |x2 + x − 12| = |x2 − 9 + x + 3| ≤ |x2 − 9| + |x − 3| Ahora debemos analizar |x2 − 9|, para ello |x2 − 9| = |(x + 3)(x − 3)| = |x + 3||x − 3|. Sabemos que el término |x − 3| no causa problemas, lo complicado ocurre al analizar el término |x + 3|. Pero lo importante es que si x está “cercano” a 3 entonces x + 3 está “cercano” a 6 y por lo tanto x no se “escapa” es decir es “controlable”, por ejemplo si δ ≤ 1 entonces |x − 3| < 1 equivale a que −1 < x − 3 < 1, al sumar 6 a ambos lados de esta última desigualdad llegamos a que 5 < x + 3 < 7 y por lo tanto |x + 3| < 7, luego |(x2 + x − 5) − 7| ≤ |x + 3||x − 3| + |x − 3| < 7δ + δ = 8δ, para finalizar, tomamos δ = mı́n{1, 8ε }, con esta elección de δ aseguramos dos cosas: primero que δ < 1 y por lo tanto |x + 3| < 7 y que δ < 8ε y por lo tanto si 0 < |x − 3| < δ entonces |(x2 + x − 5) − 7| ≤ |x + 3||x − 3| + |x − 3| < 7δ + δ = 8δ = 8 8ε = ε. Observación: Como el lector ya se habrá dado cuenta es primordial buscar el término de la forma |x − a| en la expresión |f (x) − `|, por lo que las habilidades algebraicas que el lector haya aprendido son fundamentales. Teorema 8.10. (Álgebra de lı́mites): Supongamos que lı́m f (x) = ` y lı́m g(x) = m

x→a

entonces a) lı́m (f + g)(x) = ` + m. x→a

b) lı́m (f g)(x) = `m. x→a

1 x→a g(x)

c) Si m 6= 0 entonces lı́m

1 . m

153

Demostración a) Sea ε > 0, dado que ε/2 es también un número mayor que 0 ciertamente ∃δ1 , δ2 > 0 tales que si 0 < |x − a| < δ1 entonces |f (x) − `| < 2ε , y si 0 < |x − a| < δ2 entonces |g(x) − m| < 2ε , Sea δ = mı́n{δ1 , δ2 }, de esta forma, si 0 < |x − a| < δ entonces 0 < |x − a| < δ1 y 0 < |x − a| < δ2 , y a su vez, si 0 < |x − a| < δ entonces simultáneamente se tiene |f (x) − a| <

ε ε y |g(x) − a| < 2 2

y de acuerdo la primera parte del lema esto último implica que |(f + g)(x) − (` + m)| < ε. b) Procedemos de forma similar a lo hecho anteriormente: Sea ε > 0. Es claro que ε mı́n 1, >0 2(|b| + 1) ε >0 2(|a| + 1) de esta forma ∃δ1 , δ2 > 0 tales que n o ε si 0 < |x − a| < δ1 entonces |f (x) − `| < mı́n 1, 2(|b|+1) ,y ε si 0 < |x − a| < δ2 entonces |g(x) − m| < 2(|a|+1) , al tomar δ = mı́n{δ1 , δ2 } si 0 < |x − a| < δ entonces 0 < |x − a| < δ1 y 0 < |x − a| < δ2 , y a su vez, si 0 < |x − a| < δ entonces simultáneamente se tiene ε ε |f (x) − `| < mı́n 1, y |g(x) − m| < 2(|b| + 1) 2(|a| + 1) y según la segunda parte del lema anterior concluimos que |(f g)(x) − `m| < ε. c) Sea ε > 0. Dado que mı́n

|b| ε|b|2 , 2 2

existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |g(x) − m| < mı́n

|b| ε|b|2 , 2 2

según la tercera parte del lema anterior se tiene g(x) 6= 0 de modo que 1/g(x) tiene sentido y además

g(x) − m < ε

154

Teorema 8.11. (Teorema del Sándwich): Supongamos que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x, y que lı́m g(x) = lı́m h(x) = `, entonces lı́m f (x) existe y es igual a `. x→a

x→a

Demostración: Sea ε > 0. Por hipótesis existen δ1 > 0 y δ2 tales que si 0 < |x − a| < δ1 entonces |g(x) − `| < ε y si 0 < |x − a| < δ2 entonces |h(x) − `| < ε. para asegurar que estas dos cosas ocurren al mismo tiempo consideramos δ = mı́n δ1 , δ2 , luego si 0 < |x − a| < δ entonces |g(x) − `| < ε y |h(x) − `| < ε. estas dos últimas desigualdades podemos escribirlas mediante: ` − ε < g(x) < ε + ` y ` − ε < h(x) < ε + `, y por hipótesis ` − ε < g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) < ε + ` es decir, si 0 < |x − a| < δ entonces ` − ε < f (x) < ε + `, y esto último es lo mismo que decir que |f (x) − `| < ε. La relación más importante entre el lı́mite de sucesiones y el lı́mite de funciones está dada por el siguiente teorema que, dados los objetivos de este apunte, enunciamos sin dempostración. Teorema 8.12. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) El lı́mite lı́m f (x) existe y es igual a `. x→a

b) Para toda sucesión an que satisface lı́m an = a se tiene lı́m f (an ) existe y es igual a `. n→∞

n→∞

A modo de ejemplo si an > 0 es una sucesión convergente a ` se tiene que

8.2.1.

√

an converge a

√

Lı́mites laterales y lı́mites al infinito

Recordemos que el conjunto A = {x ∈ : 0 < |x − x0 | < δ} corresponde a los x que están a distancia menor que δ de x0 , por lo que podemos dividir este conjunto en dos: A = A+ ∪ A− , donde en A+ están los x menores que x0 que están a distancia menor que δ de a, y en A− están los x mayores que x0 que están a distancia menor que δ de x0 , en sı́mbolos esto queda expresado mediante: A+ = {x ∈ = {x ∈ = {x ∈ − A = {x ∈ = {x ∈ = {x ∈

R : 0 < |x − x0| < δ ∧ x0 < x} R : 0 < x − x0 < δ} R : x0 < x < x0 + δ}; R : 0 < |x − x0| < δ ∧ x < x0} R : 0 < x0 − x < δ} R : x0 − δ < x < x0},

esta descomposición conlleva a la definición de lı́mites laterales: 155

Definición 8.7. (Lı́mites laterales):Diremos que f tiende a ` cuando x tiende a x0 por la derecha si (∀ε > 0) (∃δ > 0) tal que 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − `| < ε, y lo denotaremos por lı́m f (x) = `

x→x+ 0

En forma similar, diremos que f tiende a ` cuando x tiende a x0 por la izquierda si (∀ε > 0) (∃δ > 0) tal que 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − `| < ε, y lo denotaremos por lı́m f (x) = `

x→x− 0

Ahora, diremos que el lı́mite lı́m f (x) existe si los lı́mites laterales lı́m+ f (x) y lı́m− f (x) existen x→x0

x→x0

y son iguales. Aparte de los lı́mites ya presentados es posible definir lı́mites cuando x es “muy grande” y en tal caso es posible que f tienda a cierto valor. Informalmente esto hace referencia a los lı́mites “al infinito” los que pasaremos a definir de manera rigurosa a continuación: Definición 8.8. Diremos que f tiende a ` cuando x tiende a infinito si ∀ε > 0 ∃N > 0 ∀x ∈ Dom f (x > N ⇒ |f (x) − `| < ε), y en sı́mbolos esto queda representado con la siguiente notación: lı́m f (x) = `.

x→∞

En forma similar, diremos que f tiende a ` cuando x tiende a menos infinito si ∀ε > 0 ∃N > 0 ∀x ∈ Dom f (x < −N ⇒ |f (x) − `| < ε), y su respectiva notación es lı́m f (x) = `.

x→−∞

Observación: Al igual que ocurrió con las sucesiones, hemos introducido la palabra “infinito” la cual es de mero apoyo en nuestro estudio y (tal como lo mencionamos cuando estudiamos sucesiones) en ningún caso este “objeto” representa un número real. Observación: Como es de esperar, en caso de que el lı́mite hacia infinito o a menos infinito exista, éste debe ser único (después de todo los lı́mites hacia más o menos infinito también son lı́mites). La demostración de este hecho queda propuesta para el lector. Hemos definimos el lı́mite de una función f (x) cuando x tiende a infinito, mientras que la Sección 8.1 hablamos del lı́mite de una sucesión an cuando n tiende a infinito, por lo que de cierta manera estos dos conceptos deben estar ligados. Tal como se dijo en su momento an es una función cuyo dominio son los naturales y como tal es natural expresarla mediante a(x). Por un lado es claro que el lı́mite cuando x tiende a infinito de la función a(x) está condicionada a la convergencia de la sucesión an . Inversamente: f (n) es una sucesión cuya convergencia está condicionada al lı́mite de f (x) cuando x tiende a infinito. En otras palabras: Teorema 8.13. Asumir que an es convergente y lı́m an = `, entonces lı́m a(x) = `. Inversan→∞

x→∞

mente, asumir que lı́m f (x) = `, entonces la sucesión f (n) es convergente y lı́m f (n) = `. x→∞

n→∞

156

8.2.2.

Ası́ntotas y lı́mites infinitos

En ocasiones ocurre que una función determinada toma valores que no se pueden acotar a medida que nos acercamos a ciertos puntos crı́ticos, tı́picamente formas indeterminadas o ceros del denominador. Daremos una nomenclatura a tales casos especiales donde la objetivo principal es formalizar lo que entendemos por tendencia o lı́mite de una función a más o menos infinito, ya sea por la derecha o izquierda. Las posibles combinaciones están descritas en la siguiente lista: Definición 8.9 (Funciones que tienden a infinito y menos infinito). a) Diremos que f tiende a infinito cuando x tiende a x0 por la derecha si ∀K > 0 ∃δ > 0 tal que 0 < x − x0 < δ ⇒ f (x) > K, y lo denotaremos por lı́m f (x) = ∞

x→x+ 0

b) Diremos que f tiende a infinito cuando x tiende a x0 por la izquierda si ∀K > 0 ∃δ > 0 tal que 0 < x0 − x < δ ⇒ f (x) > K, y lo denotaremos por lı́m f (x) = ∞

x→x− 0

c) Diremos que f tiende a menos infinito cuando x tiende a x0 por la derecha si ∀K > 0 ∃δ > 0 tal que 0 < x − x0 < δ ⇒ f (x) < −K, y lo denotaremos por lı́m f (x) = −∞

x→x+ 0

d) Diremos que f tiende a menos infinito cuando x tiende a x0 por la izquierda si ∀K > 0 ∃δ > 0 tal que 0 < x0 − x < δ ⇒ f (x) < −K, y lo denotaremos por lı́m f (x) = −∞

x→x0 a−

En el caso en que ocurra a. y b. al mismo tiempo escribiremos lı́m f (x) = ∞

x→x0

y en forma similar, en el caso en que ocurra c. y d. al mismo tiempo escribiremos lı́m f (x) = −∞

x→x0

157

Ejemplo: Es claro que lı́m+ x→0

1 x

= ∞ y que lı́m+ − x1 = −∞, de este modo x→0

lı́m

x→0

1 = ∞, |x|

pero el lı́mite 1 x→0 x no existe, pues al acercarnos a cero por la derecha obtenemos un lı́mite distinto al que se obtiene por acercarnos por la izquierda. lı́m

Proposición 8.4. Si f (x) y g(x) son tales que lı́m± f (x) = ±∞ y lı́m± g(x) = b, entonces x→a

x→a

lı́m [f (x) + g(x)] = ±∞.

x→a±

Note que esto también es válido si b se reemplaza por ±∞. Sin embargo si lı́m± f (x) = ∞ y x→a

lı́m± g(x) = −∞ entonces no podemos asegurar nada sobre lı́m± [f (x)+g(x)], por ejemplo

x→a

lı́m+

x→0

1 x

x→a

= ∞ y lı́m+ − x1 = −∞, sin embargo lı́m± [ x1 + − x1 ] = 0, por otro lado, si f (x) =

y g(x) =

− x 1

x→0

x→a

2 x

entonces lı́m+ [f (x) + g(x)] = ∞. x→0

Si f (x) y g(x) son tales que lı́m± f (x) = ±∞ y lı́m± g(x) = b > 0 entonces x→a

x→a

lı́m f (x)g(x) = ±∞.

x→a±

Note que esto también es válido cuando b se reemplaza por ±∞, de forma equivalente, en el caso en que lı́m± f (x) = ±∞ y lı́m± g(x) = b < 0 entonces lı́m± f (x)g(x) = x→a

x→a

∓∞, afirmación que sigue siendo válida en el caso en que b se reemplaza por ∓∞. Sin embargo, si lı́m± f (x) = ∞ y lı́m± g(x) = −∞ entonces no podemos asegurar nada sobre x→a

x→a

lı́m± f (x)g(x) (modifique los ejemplos anteriores para confirmar esta afirmación).

x→a

El siguiente teorema nos dice como encontrar funciones que tienden a más o menos infinito a partir de funciones que tienden a cero, y viceversa. Teorema 8.14. Sea f una función. Si lı́m± f (x) = ∞ entonces x→a

1 = 0. x→a f (x) Para el recı́proco necesitamos una condición extra: lı́m±

Supongamos que lı́m± f (x) = 0 y que existe ` > 0 tal que en los conjuntos I ± de la forma x→a

I + = {x ∈ I − = {x ∈

R : a < x < a + `} = {x ∈ R : 0 < x − a < l}, R : a − ` < x < a} = {x ∈ R : a < x + a < l}

se tiene f (x) > 0 para todo x ∈ I ± . Entonces lı́m±

x→a

1 =∞ f (x)

158

Definición 8.10. Usaremos la notación lı́m f (x) = ∞

x→∞

para indicar que ∀K > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ Dom f (x > M ⇒ f (x) > K). El lector podrá ahora sin problemas entregar las definiciones de otros lı́mites similares, por ejemplo lı́m f (x) = ±∞. x→±∞

Ası́ntotas horizontales. Están representadas por rectas paralelas al eje x y que cruzan el eje y en un valor a. Estas ası́ntotas están presentes si los lı́mites a infinito o menos infinito son iguales a este valor a,es decir si se cumple alguna de las siguientes condiciones: lı́m f (x) = a

x→±∞

Ası́ntotas verticales. Están representadas por rectas paralelas al eje y y que cruzan el eje x en un valor a. Estas ası́ntotas están presentes si los lı́mites por la izquierda o derecha son infinito o menos infinito,es decir si se cumple alguna de las siguientes condiciones: lı́m f (x) = ±∞;

x→a+

lı́m f (x) = ±∞.

x→a−

En el caso en se cumpla el primer lı́mite es costumbre decir que f tiene una ası́ntota vertical por la derecha en x = c, análogamente, para el segundo lı́mite la costumbre es decir que f tiene una ası́ntota vertical por la izquierda en x = c. Ası́ntotas oblicuas. Están representadas por rectas de la forma y = mx + n, en el caso en que m = 0 la ası́ntota se llama horizontal. Estas ası́ntotas están presentes si lı́m (f (x) − (mx + n)) = 0.

x→±∞

En el caso que exista una ası́ntota oblicua en el estudio del lı́mite cuando x tiende a infinito (respectivamente, menos infinito) diremos que f tiene una ası́ntota oblicua al infinito (respectivamente, al menos infinito). Los valores de m y n pueden calcularse con las siguientes fórmulas f (x) ; x→±∞ x

m = lı́m

n = lı́m f (x) − mx. x→±∞

Ejemplo: Sea f (x) =

am xm + am−1 xm−1 + · · · + a0 . bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b0

Las ası́ntotas verticales aparecen en las raı́ces del denominador, siempre y cuando ésta última no sea raı́z del numerador. En el caso en que ambos polinomios tengan una raı́z en común se debe estudiar la multiplicidad de tal raı́z: aparece una ası́ntota vertical si la multiplicidad de la raı́z del denominador es mayor estricto que la multiplicidad de tal raı́z del numerador. 159

Si m < n entonces lı́m f (x) = 0 y por lo tanto hay una ası́ntota horizontal al infinito y x→±∞

menos infinito, ambas de ecuación y = 0. Si n = m entonces lı́m f (x) = x→±∞

ap . bq

Si m > n entonces f (x) no es acotada y por lo tanto no hay ası́ntota horizontal al infinito ni a menos infinito. En el caso que el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, hay una ası́ntota oblicua cuya ecuación viene dada por el cociente de la división de los polinomios. x3 . Las raı́ces del denomix2 − 4 3 nador son x = ±2, dado que ambos valores no son raı́ces de x se tiene que f tiene dos ası́ntotas verticales en x = ±2, de hecho se tiene:

Presentemos un ejemplo concreto: estudiemos la función f (x) =

lı́m ±

x→−2

x3 x3 = ±∞; lı́m = ±∞. x→2± x2 − 4 x2 − 4

Para estudiar las ası́ntotas al infinito buscamos los lı́mites: x3 1 = 1; 2 x→∞ (x − 4) x x3 x3 − x(x2 − 4) n = lı́m 2 − x = lı́m =0 x→∞ (x − 4) x→∞ (x2 − 4)

m = lı́m

y por lo tanto hay una ası́ntota al infinito de ecuación y = x. Finalmente, para estudiar el limite al menos infinito buscamos los lı́mites: x3 1 = 1; 2 x→−∞ (x − 4) x x3 − x(x2 − 4) x3 − x = lı́m =0 n = lı́m x→−∞ x→−∞ (x2 − 4) (x2 − 4)

m = lı́m

y por lo tanto hay una ası́ntota al menos infinito también de ecuación y = x. El gráfico de f puede observarse el la Figura 8.4.

Figura 8.4: Función f (x) =

160

x3 x2 −4

Ejemplo: Consideremos la función definida por la ley f (x) =

x2 exp(x) . 2(x + 1)(exp(x) + 1)

Veamos si hay ası́ntota al infinito: 1 x2 exp(x) = ; x→∞ 2(x + 1)(exp(x) + 1)x 2

m = lı́m

x2 exp(x) x 1 − =− . x→∞ 2(x + 1)(exp(x) + 1) 2 2

n = lı́m

Por lo tanto hay una ası́ntota oblicua al infinito de ecuación y = x/2 − 1/2. Ahora estudiemos si hay ası́ntota al menos infinito: x2 exp(x) = 0; x→−∞ 2(x + 1)(exp(x) + 1)x

m = lı́m

x2 exp(x) = 0. x→−∞ 2(x + 1)(exp(x) + 1)

n = lı́m

Por lo tanto hay una ası́ntota horizontal al menos infinito. Para las ası́ntotas verticales tenemos que el denominador se anula en x = −1 y lı́m ±

x→−1

x2 exp(x) = ±∞. 2(x + 1)(exp(x) + 1)

Un esbozo de la gráfica de f se puede apreciar en la Figura: 8.5.

Figura 8.5: Función f (x) =

161

6x2 exp(x) 2(x+1)(exp(x)+1)

8.2.3.

Lı́mites de funciones trigonométricas

Son de suma importancia los siguientes lı́mites: sen x = 1; (L2 ) x los que pasaremos a demostrar a continuación. (L1 )

lı́m

x→0

lı́m

x→0

cos x − 1 = 0, x

B C

Figura 8.6: Sector circular OAB La Figura: 8.6 muestra un arco de circunferencia de ángulo x ∈ (0, π/2), donde el radio es 1, por lo que A = (1, 0), B = (cos x, sen x) y C = (1, tan x). Es claro que el área del triángulo OAB es menor que el área del sector angular OAB y éste último menor que el área del triángulo OAC es decir: 1 1 1 sen x ≤ x ≤ tan x. 2 2 2 Multiplicando por 2/ sen x obtenemos 1≤

x 1 ≤ , sen x cos x

o equivalentemente cos x ≤

sen x ≤ 1. x

(8.3)

sen x se tiene que la desigualdad anterior sigue siendo válida x para todo x ∈ (−π/2, π/2) \ {0}. Ahora, restando 1 a ambos lados obtenemos

Dado que cos es par al igual que

cos(x) − 1 ≤

sen x −1≤0 x

por lo que al tomar valor absoluto se llega a

sen x

− 1 ≤ |1 − cos x|.

x Con las desigualdades ya obtenidas veremos como el término |1 − cos x| puede hacerse tan pequeño como queramos cuando x está suficientemente cerca de 0. Para ello notemos que gracias a (8.3) para x ∈ (−π/2, π/2) se tiene sen2 x ≤ x2 y además en el mismo intervalo, 1 + cos x ≥ 1, usando estas dos estimaciones podemos deducir que

1 − cos2 x

(1 + cos x)

= sen x ≤ x2 . |1 − cos x| =

(1 − cos x) (1 + cos x) 1 + cos x 1 + cos x

162

Con √lo anterior estamos en condiciones de mostrar el lı́mite (L1 ): sea ε > 0 y consideremos δ = ε,

sen x

si |x − 0| < δ entonces

− 1 ≤ |x|2 < δ 2 = ε. x Recalcamos que que el ángulo x de la Figura 8.6 está medido en radianes y por tal motivo se obtiene la desigualdad (8.3). En contraparte consideremos la función sen◦ que denota la función trigonométrica seno para el ángulo medido en grados sexagesimales. De la relación sen◦ (x) = sen(πx/180) se sigue que sen◦ (x) 180 = x→0 x π lı́m

De aquı́ se ve la simplicidad de trabajar con funciones trigonométricas que utilizan ángulos medidos en radianes y la razón de llamar a esta medida natural. De lo contrario en cada cálculo . Todo el que implique lı́mites de funciones trigonométricos deberı́amos arrastrar un factor 180 π Cálculo diferencial e integral utiliza lı́mites en sus desarrollo. Otro de los lı́mites útiles y que se obtienen como corolario es sen x sen x lı́m sen x = lı́m x = lı́m x lı́m = 0 · 1 = 0. x→0 x→0 x→0 x→0 x x Note que en la segunda igualdad hemos usado álgebra de lı́mites, propiedad ya sea para la suma o multiplicación será utilizada en lo que sigue sin que hagamos mención a ella, por lo que en los pasos siguientes se deja al lector la tarea de descubrir las partes en las que se utiliza tales propiedades. Ahora mostraremos el lı́mite (L2 ). Primero reescribimos 1 − cos x convenientemente: x x x x x x x + = 1 − cos2 + sen2 = sen2 + sen2 = 2 sen2 . 1 − cos x = 1 − cos 2 2 2 2 2 2 2 Junto con lo anterior se tiene sen2 x2 sen2 x2 sen x2 1 − cos x x =2 = x = sen , x x x 2 2 2 por lo que concluimos que 1 − cos x lı́m = x→0 x

lı́m

sen x2

x→0

x 2

lı́m sen

x→0

x = 1 · 0 = 0. 2

Nuevamente como corolario se puede deducir con argumentos similares que el lı́mite lı́m cos x = x→0 1, para ello reescribimos cos x adecuadamente: x x x x x cos x = cos + = cos2 − sen2 = 1 − 2 sen2 , 2 2 2 2 2 utilizando lo anterior se tiene: 2 x 2 x lı́m cos x = lı́m 1 − 2 sen = lı́m 1 − 2 lı́m sen = 1 − 0 = 1. x→0 x→0 x→0 x→0 2 2 Otros lı́mites trigonométricos Con las herramientas ya desarrolladas podemos mostrar otros lı́mites que son importantes y que serán retomados en el curso de Cálculo I, nos referimos a (L3 ) (L5 )

lı́m sen x = sen a; sen(x + h) − sen x lı́m = cos x; h→0 h

(L4 )

x→a

(L6 ) 163

lı́m cos x = cos a; cos(x + h) − cos h lı́m = − sen x. h→0 h x→a

Para el primero de ellos hacemos el cambio de variables x − a = h por lo que (L3 ) es equivalente a mostrar que lı́m sen(a + h) = sen a, h→0

considerando que sen(a + h) = sen a cos h + sen h cos a, obtenemos

lı́m sen(a + h) = lı́m (sen a cos h + sen h cos a)

x→0

h→0

= (sen a) lı́m (cos h) + cos a lı́m sen h h→0

h→0

= (sen a) · 1 + (cos a) · 0 = sen a. El lı́mite (L4 ) se deja al lector. Para (L5 ) usamos la misma idea: lı́m

h→0

sen(x + h) − sen x sen x cos h + sen h cos x − sen x = lı́m h→0 h h sen h cos h − 1 + cos x = lı́m sen x h→0 h h cos h − 1 sen h = lı́m sen x + lı́m cos x h→0 h→0 h h cos h − 1 sen h = (sen x) lı́m + (cos x) lı́m h→0 h→0 h h = cos x.

Finalmente dejamos invitado al lector a que verifique (L6 ).

8.2.4.

Otros lı́mites importantes

Por último, dos lı́mites muy importantes para el curso son: ex − 1 = 1, x→0 x lı́m

lı́m

164

ln(x + 1) =1 x

8.3.

Continuidad

El concepto de continuidad es clave para el entendimiento del cálculo. En palabras sencillas, diremos que una función es continua en un intervalo [a, b] si somos capaces de dibujarla sin levantar el lápiz del cuaderno:

Figura 8.7: Ejemplo de función continua en un intervalo [a, b].

Para poder definir bien la continuidad de una función en su dominio, hablaremos primero de la continuidad puntual.

8.3.1.

Continuidad puntual

Definición 8.11. (Función continua en un punto): Sea f : A ⊆ Diremos que f es continua en x0 si:

R → R y sea x0 ∈ A.

(∀ε > 0) (∃δ > 0) (|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε) Podemos notar que esta definición es exactamente la que se ve para lı́mite de funciones, pero con una diferencia: el lı́mite de nuestra función en cuestión tiene que valer f (x0 ). En el fondo es poder decir que lı́m f (x) existe, pero que además vale f (x0 ). x→x0

De aquı́ podemos decir que f va a ser continua en x0 si cumple que: lı́m f (x) = f (x0 ) ⇔ lı́m f (x0 + h) = f (x0 )

x→x0

h→0

Esto nos facilita las cosas, ya que cualquier definición que ocupemos para demostrar la continuidad puntual estará bien, y convendrá ocupar una u otra dependiendo el caso. Otra definición de continuidad puntual que nos puede servir -aunque un poco más complicadaes a través de sucesiones: (∀ xn ⊆ A)( lı́m xn = x0 ) ⇒ ( lı́m f (xn ) = f (x0 )) n→∞

n→∞

Ejemplos de funciones continuas son las que se ven a continuación: f (x) = c, c ∈

f (x) = x f (x) = sen(x) f (x) = cos(x) f (x) = ex 165

f (x) = ln(x) Es fácil ver que cada una de estas funciones es continua puntualmente en cada uno de los puntos de su dominio. La exponencial por ejemplo, es continua ∀ x0 ∈ pues lı́m ex = ex0 . Lo mismo

x→x0

pasa con el resto de las funciones presentadas.

Observación: Notar que ln(x) es continua, pero para x0 > 0, ya que su dominio es

R+.

Proposición 8.5. (Álgebra de funciones continuas): Sean f : A ⊆ → yg:B ⊆ → dos funciones continuas en x0 ∈ A ∩ B. Luego las siguientes funciones son continuas en x0 :

1. λ · f, con λ ∈ 3. f · g

2. f ± g

4. f /g, cuando g(x0 ) 6= 0

La demostración de cada una de estas operaciones son consecuencia directa del álgebra de lı́mites, ası́ que se deja como tarea para el lector.

Proposición 8.6. (Composición de funciones continuas): Sean f : A ⊆ → yg: B ⊆ → dos funciones tales que f es continua en x0 ∈ A y g continua en y0 = f (x0 ) ∈ B. Entonces, g ◦ f es continua en x0 .

R R

Gracias a estas dos propiedades podemos concluir que las siguientes funciones son continuas: f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 f (x) =

an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 bm xm + bm−1 xm−1 + · · · b1 x + b0

f (x) = ax , con a > 0 f (x) = loga (x), a > 0 ∧ a 6= 1 f (x) = xx , x > 0 f (x) = tan(x) Intentemos demostrar alguna de estas, por ejemplo: f (x) = xx . Notemos que como x > 0, f se puede escribir como una exponencial: f (x) = xx = eln(x

Aprovechando las propiedades del logaritmo tenemos que f está construida como: f (x) = ex·ln(x) Vista ası́, es mucho más fácil analizar f , pues la podemos separar por partes y nos encontramos con tres funciones distintas: Primero está x y ln(x). Cada una de ellas es continua en x0 > 0, luego la multiplicación va a ser continua, o sea que x · ln(x) es continua en x0 > 0. 166

La tercera función es ex , que también es continua en x0 > 0. Por último f es una composición entre ex y x ln(x). Luego f es continua para x0 > 0, por álgebra y composición de funciones continuas. Ejercicio: Sea f (x) = x2 cos continua en 0.

1 x

con x 6= 0. Determinar el valor de f (0), para que f sea

Solución: La condición necesaria para que f sea continua en 0 es que lı́m f (x) = f (0). Luego, x→0

calculemos dicho lı́mite e impongamos el resultado a f (0): 1 2 lı́m f (x) = lı́m x cos =0 x→0 x→0 x | {z } nula por acotada

Entonces -para que f sea continua en 0- f (0) = 0.

8.3.2.

Continuidad por intervalos

Definición 8.12. (Continuidad lateral): Sea f : A ⊆ es lateralmente continua en un punto x0 ∈ A si:

R → R una función. Diremos que f

lı́m f (x) = f (x0 ) ∨ lı́m− f (x) = f (x0 )

x→x+ 0

x→x0

Definición 8.13. (Función continua): Sea f : [a, b] → una función. Diremos que f es continua en [a, b] si ∀x0 ∈]a, b[, f es continua en x0 y además es lateralmente continua es sus extremos. Con esta definición podemos hablar de la continuidad de una función en su dominio. Básicamente, para que sea continua en todo el intervalo, tiene que cumplir con la continuidad puntual en cada uno de los elementos del conjunto donde está definida la función. Con lo que hemos visto hasta acá, podemos hacer algún ejercicio un poco más avanzado: Ejercicio: Sea f (x) con x ∈

R tal que: f (x) =

  

1−cos(ax) bx2

2   (a+bx)2 −a2 sen(x)

x>0 x=0 x<0

Encuentre los valores de las constantes reales a y b de modo que la función sea continua en el intervalo ] − π, ∞[. Solución: Notemos que f es continua para x > 0 por álgebra y composición de funciones continuas. Lo mismo pasa para x ∈ ] − π, 0[. Luego, para que f sea continua en todo su dominio, debe ser necesariamente continua en x = 0, es decir: lı́m f (x) = 2

x→0

167

Calculemos entonces los lı́mites laterales: lı́m+ f (x) = lı́m+

x→0

lı́m− f (x) = lı́m−

x→0

= lı́m− x→0

1 − cos(ax) 1 − cos(ax) a2 a2 lı́m = = bx2 b x→0+ (ax)2 2b

(a + bx)2 − a2 a2 + 2abx + b2 x2 − a2 = lı́m− x→0 sen(x) sen(x)

2ab + b2 · 0 x(2ab + b2 x) 2ab + b2 x = lı́m− sen(x) = = 2ab x→0 sen(x) 1 x

Para que f sea continua estos dos lı́mites tienen que ser iguales a 2: a2 = 2 ⇒ a2 = 4b 2b |

∧ {z

2ab = 2 ⇒ ab = 1 } √ 3 a3 = 4ab ⇒ a = 4

Con esto, para que f sea continua en ] − π, ∞[, los valores de a y b tienen que ser respectivamente.

√ 3

√ 4 y 1/ 3 4

Definición 8.14. (Tipos de discontinuidad): Sea f : A ⊆ → una función. Esta función puede ser clasificada como:  continua      reparable f (x) primera categorı́a discontinua     no reparable segunda categorı́a Para analizar mejor estos casos, veamos su aplicación en ejemplos concretos: Ejemplo: Sea la función definida como: ( f (x) =

sen(x) x 1

si x 6= 0 si x = 0

Esta función es claramente continua en x 6= 0 por álgebra y composición de funciones continuas, y además es continua en x = 1, pues lı́m f (x) = 1. Ası́, decimos que f (x) es continua en todo x→0 su dominio. Supongamos ahora que f está definida de otra manera: ( sen(x) si x 6= 0 f (x) = x 2 si x = 0

168

Vemos que es prácticamente el mismo caso anterior, con la salvedad de que lı́m f (x) 6= f (0). x→0 Entonces f tiene una discontinuidad en x = 0, como se ve en el siguiente gráfico:

Figura 8.8: Ejemplo de discontinuidad reparable.

Se dice que f tiene una discontinuidad reparable en x = 0, pues f tiene la potencialidad de ser continua en este punto. Solo hay que asignar f (0) = lı́m f (x). x→0

Otro caso serı́a el de una función g definida como sigue:  sen(x)   si x < 0   x 1 si x = 0 g(x) =   1 − cos(x)   si x > 0 x2 Esta función tiene el problema de que lı́m+ g(x) 6= lı́m− g(x). Este tipo de discontinuidad se x→0

x→0

llaman de primera categorı́a o primera especie. Esta en particular, es de salto finito:

Otras discontinuidades no reparables son las de salto infinito y también las de crecimiento asintótico.

169

Figura 8.9: Ejemplo de discontinuidad no reparable de salto finito.

8.3.3.

Teoremas clásicos de continuidad

Teorema 8.15. (Bolzano): Sea f : [a, b] → una función continua en [a, b] tal que f (a) · f (b) ≤ 0. Entonces existe x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = 0. Demostración: Antes de la demostración misma, notemos que nos dicen que la función es positiva en un extremo y negativa en el otro, como se representa en la siguiente figura:

f (a)

b a f (b) Figura 8.10: Cambio de signo en los extremos.

Como la función es continua, para dibujarla, necesariamente tiene que pasar por 0: Para la demostración, definamos el intervalo I0 = [a, b] y escojamos c = a+b su punto medio. Si 2 pasa qie f (a) · f (c) ≤ 0, definimos nuevos extremo a1 = a y b1 = c. En caso contrario, es decir que sucede que f (b) · f (c) ≤ 0, hacemos que a1 = c y que b1 = b. Una vez definidos a1 y b1 , nuestro nuevo intervalo I1 = [a1 , b1 ] ⊆ I0 tendrá, además, largo b1 − a1 = b−a . Si repetimos esta operación varias veces, obtendremos un intervalo con las 2 siguientes caracterı́sticas: In = [an , bn ], bn − an =

b−a , f (an ) · f (bn ) ≤ 0 2n

170

f (a)

b a

f (b)

Figura 8.11: f necesariamente pasa por el 0 en el punto x = x0 .

Luego, por el teorema de los intervalos encajonados, cuando n → ∞ pasará que bn → x0 y an → x0 , con x0 ∈ [a, b]. Con esto, tendremos que: f (an ) · f (bn ) ≤ 0 ⇒n→∞ f (x0 ) · f (x0 ) ≤ 0 f 2 (x0 ) ≤ 0 ⇒ f (x0 ) = 0 Observación: Para una función que cumpla con las caracterı́sticas del teorema de Bolzano, tiene al menos un cero, pero esto no significa que no pueda tener más. √ Ejercicio: Demuestre que el polinomio p(x) = πx3 − 2x2 + x + 1 tiene al menos una raı́z real.

Solución: Notemos que p(x) es una función continua en todo por álgebra de funciones continuas y en particular en el intervalo [−1, 0]. Evaluemos en los extremos del intervalo: f (−1) = −π −

√

2 − 1 + 1 = −(π +

√

2) < 0,

f (0) = 1 > 0

Luego, por el teorema de Bolzano ∃ x0 ∈ [−1, 0] tal que p(x0 ) = 0. Lo que quiere decir que una raı́z de p(x) es x0 y además es real.

Teorema 8.16. (Valor Intermedio): Sea f : [a, b] → una función continua en [a, b]. Si c, d ∈ f ([a, b]) (es decir, que pertenecen al recorrido de f ), entonces ∀e tal que c < e < d, existe x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = e. Demostración: Como c y d pertenecen al recorrido o imagen de f , podemos suponer que existen a0 , b0 ∈ [a, b] tales que f (a0 ) = c y que f (b0 ) = d. Definamos ahora la siguiente función:

g : [a0 , b0 ] → x → g(x) = f (x) − e

Notemos que g(x) es continua por álgebra de funciones continuas y que además g(a0 ) = f (a0 ) − e = c − e < 0 y que g(b0 ) = f (b0 ) − e = d − e > 0. Luego g(a0 ) · g(b0 ) ≤ 0. Entonces, -por Bolzano- existe x0 ∈ [a0 , b0 ] ⊆ [a, b] tal que g(x0 ) = 0 ⇒ f (x0 ) − e = 0 ⇒ f (x0 ) = e. 171

Ejercicio: Sea la función definida como f (x) = 1 + xe1/x . Muestre que existe un x0 ∈ [1, 10] tal que f (x0 ) = 5. Solución: Primero, notemos que f es continua en [1, 10] por álgebra de funciones continuas. Evaluando en los extremos, tenemos que: f (1) = 1 + 1 · e1/1 = 1 + e < 5 f (10) = 1 + 10 ·

√

e>5

Como f (1) < 5 < f (10), por el teorema del valor intermedio, tenemos que existe x0 ∈ [1, 10] tal que f (x0 ) = 5. Observación: Notar que el teorema del valor intermedio es una generalización del teorema de Bolzano. Teorema 8.17. (Weierstrass para máximos y mı́nimos): Sea f : [a, b] → continua. Entonces, f es acotada y alcanza su máximo y su mı́nimo.

R una función

Demostración: Supongamos, por contradicción, que f no está acotada. Al igual que en el teorema de Bolzano, podemos dividir el intervalo en dos partes, y elegir aquel donde f no está acotada (en al menos uno de estos va a pasar esta condición). Al hacer esta división varias veces, vamos a converger necesariamente a un punto x0 , en donde f no está acotada. Pero f , al ser continua, cumple que lı́m f (x) = f (x0 ), y con esto f está acotada en x0 , lo que es una x→x0

contradicción. Demostrado ya que f es acotada, tenemos que el conjunto f ([a, b]) posee supremo M e ı́nfimo m. Sea n ∈ , sean (an , bn ∈ [a, b]) tales que:

1 1 ∧ M − < f (bn ) < M n n Como an y bn cambian en la medida en que n crece, podemos decir que convergen. Luego por el teorema del sandwich, tenemos que: m < f (an ) < m +

lı́m f (an ) = m ∧

n→∞

lı́m f (bn ) = M

n→∞

Siendo a0 y b0 los lı́mites de an y bn respectivamente. Luego, f alcanza su mı́nimo y su máxino, en a0 y b0 . Ejercicio: Sea f : [a, b] → [a, b] tales que:

R una función continua. Demostrar que existen puntos xm, xM ∈

f (xm ) ≤

f (x1 ) + f (x2 ) ≤ f (xM ), ∀x1 , x2 ∈ [a, b] 2

Solución: Sean x1 , x2 ∈ [a, b] y sin perder generalidad, supongamos que f (x1 ) ≤ f (x2 ). Como f es continua, por el teorema del valor intermedio, existe x0 ∈ [x1 , x2 ] tal que: f (x0 ) =

f (x1 ) + f (x2 ) 2 172

Además, por el teorema de Weiertrass, existen xm , xM ∈ [a, b] tales que: f (xm ) ≤ f (x0 ) ≤ f (xM ) ⇒ f (xm ) ≤

f (x1 ) + f (x2 ) ≤ f (xM ) 2

Definición 8.15. (Función uniformemente continua): La función f : A ⊆ dice uniformemente continua si:

R → R se

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈ A, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε)

R R

Teorema 8.18. (Continuidad de funciones monótonas): Sea f : I ⊆ → continua y estrictamente monótona (creciente o decreciente) e I un intervalo cerrado. Entonces J = f (I) es intervalo cerrado y f −1 : J → I es continua. Demostración: Que J sea cerrado ya está asegurado por los teoremas de Weiertrass y valor intermedio, ya que f al ser continua en un intervalo cerrado, alcanza su máximo y su mı́nimo, y todos los valores entre medio. Para la continuidad, sea y0 ∈ J. Como f es monótona estricta, podemos asegurar que existe x0 ∈ I tal que f (x0 ) = y0 ⇔ f −1 (y0 ) = x0 . Para la continuidad, veamos que pasa con el lı́mite: lı́m f −1 (y)

y→y0

Podemos hacer el cambio de variable y = f (x0 ), en donde si x → x0 , tendremos que f (x) → f (x0 ) = y0 , pues f es continua: lı́m f −1 (y) = lı́m f −1 (f (x)) = lı́m x = x0 = f −1 (y0 )

y→y0

Entonces f

−1

x→x0

es continua ∀y0 ∈ J.

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