TEORÍA DE CONJUNTOS (Y LÓGICA) DEFINICIÓN DE CONJUNTO Y PERTENENCIA
SÍMBOLOS
DEFINICIONES BÁSICAS
COMUNES El concepto de conjunto es un concepto primitivo en matemáticas. Un conjunto es simplemente una colección de elementos distintos. Los conjuntos están únicamente determinados por sus miembros. Así, dos conjuntos son iguales ssi tienen exactamente los mismos miembros (éste se conoce como el axioma de extensionabilidad). Definimos x ∈A como “el elemento x pertenece al conjunto A”, y x∉A como “el elemento x no pertenece al conjunto A”.
UNIÓN (∪) Y DISYUNCIÓN (∨)
Ø , {}: El conjunto vacío. U: El universo de discurso (notado también como I). ℘(A) : Partes de A. ~(A), A’, Ac : El complemento de A.
| (A ∨ B ⇔ B ∨ A ) simetría: A ∪ B = B ∪ A. asociatividad: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) | (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) | A∨A⇔A idempotencia: A ∪ A = A | A ∨ falso ⇔ A identidad de ∪/∨: A ∪ ∅ = A | A ∨ verdadero ⇔ verdadero cero de ∪/∨: A ∪ U = U | A⇐A∨B debilitamiento: A ⊆ A ∪ B C | A ∨ ¬A ⇔ verdadero medio excluido: A ∪ A = U
INTERSECCIÓN (∩)Y CONJUNCIÓN (∧) | A∧B⇔B∧A simetría: A ∩ B = B ∩ A asociatividad: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) | (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) | A∧A⇔A idempotencia: A ∩ A = A | A ∧ verdadero ⇔ A identidad de ∩/∧: A ∩ U = A | A ∧ falso ⇔ falso cero de ∩/∧: A ∩ ∅ = ∅ | A∧B⇒A fortalecimiento: A ∩ B ⊆ A C | A ∧ ¬A ⇔ falso contradicción: A ∩ A = ∅
Sean A, B, conjuntos, y U el universo. Igualdad de conjuntos: A = B ssi (∀x : x∈A ⇔ x∈B). Def. unión (∪). A ∪ B = {x | x ∈A∨x∈B} Def. intersección (∩). A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} Def. diferencia de conjuntos: A \ B = A – B = { x | x ∈A ∧ x ∉ B} Def. Subconjunto: A ⊆ B ssi (∀x | x ∈ A : x ∈ B). Def. Subconjunto propio: A ⊂ B ssi (A ⊆ B) ∧ (A ≠ B). Def. Complemento: Sea U el universo. Ac = U – A Def. Partes de A (en inglés, power set of A): ℘(A) = { B | B ⊆ A}. Def. Conjuntos disyuntos: A y B con disyuntos ssi A ∩ B = ∅ Def. Colección: Una colección es un conjuntos cuyos elementos son conjuntos (ej. Partes de A).
TEOREMAS Distribución de ∩/∧ sobre ∪/∨ y de ∪/∨ sobre ∩/∧ : a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) | A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (B ∧ C) b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) | A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (B ∨ C)
A⊆B∧C⊆D⇒A∪B⊆C∪D A⊆B∧C⊆D⇒A∩B⊆C∩D A⊆B⇔A∪B=B A⊆B⇔A∩B=A A ∪ B = U ⇔ (∀x | x ∈ U: x ∉ A ⇒ x ∈ B) A∪B=∅⇔A=∅ ∧B=∅ A∩B=U⇔A=U ∧B=U A ∩ B = ∅ ⇔ (∀x |: x ∈ A ⇒ x ∉ B)
Def. Predicado característico de A: Sea A = { x | P }, con P un predicado. Entonces P es el predicado característico de A. Def. Partición: Un conjunto A de conjuntos es una partición de B si todo elemento de B está en uno y sólo uno de los elementos de A. Def. Producto cartesiano: El producto cartesiano de A y B se denota A x B, y se tiene que A x B = { (a,b) | a ∈A ∧ b∈ B }
TEOREMAS (CONTINUACIÓN)
RELACIÓN DE TEORÍA DE CONJUNTOS CON LÓGICA
Leyes de De Morgan:
Nótese que muchas propiedades de teoría de conjuntos tienen mucha similitud con propiedades lógicas. Por ejemplo, considere la similitud de A ⊆ A ∪ B, con A ⇐ A ∨ B. De la primera podríamos construir la segunda reemplazando ⊆ con ⇐ y ∪ con ∨. Además (y esto no es una casualidad), ambas son válidas (es decir, siempre verdaderas).
a) (A ∪ B) = A ∩ B c
c
c
¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B c c c b) (A ∩ B) = A ∪ B ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B Propiedades del complemento: c c
(A ) = A
∅ =U Uc = ∅ c
| ¬(¬A) ⇔ A | ¬(falso) ⇔ verdadero | ¬(verdadero) ⇔ falso
Unicidad de ∅ :
∅ es único.
Propiedades de ℘: a) ℘(∅) = { ∅ } b) A ∈℘(A) |A| c) |℘(A) | = 2 . Propiedades de la diferencia de conjuntos:
Definición: Sea E[C] una expresión construida con variables de tipo conjunto (es decir, letras que denotan conjuntos), ∅, U, ~ (complemento), ∪ y ∩. Entonces para E[C] definimos E[L] como una expresión construida a partir de E[C] mediante el reemplazo de ∅ por falso, U por verdadero, ~ por ¬ , ∪ por ∨ , y ∩ por ∧. Ejemplos: Si E[C] es (~A ∩ B) ∪ ∅, E[L] es (¬A ∧ B) ∨ falso. Si F[C] es ~(U ∩ A), F[L] es ¬(verdadero ∧ A). Teorema: Sean E[C] y F[C] expresiones con sus correspondientes E[L] y F[L] según la definición anterior. Entonces: i) E[C] = F[C] es válida ssi E[L] ⇔ F[L] es válida ii) E[C] ⊆ F[C] es válido ssi E[L] ⇒ F[L] es válida iii) E[C] = U ssi E[L] es válido.
A – B = A ∩ Bc A–B ⊆A A–∅ =A A ∩ (B – A) = ∅ A ∪ (B – A) = A ∪ B A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
[ NOTA: la prueba de este teorema es por inducción matemática. ]
Propiedades de subconjuntos
Sea A = {1, 2, 3}. El diagrama de Hasse de (℘(A), ⊆) es:
(∀x |: P ⇒ Q) ⇔ {x | P} ⊆ { x | Q } Antisimetría de ⊆: A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇔ A = B Reflexividad de ⊆: A ⊆ A Transitividad de ⊆: A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C ∅⊆A A⊂B⇒A⊆B
La importancia de este teorema es que relaciona la lógica con la teoría de conjuntos, mostrando su similitud estructural. Además si por ejemplo usted ha probado (A ∪ B) c = Ac ∩ Bc , por el teorema anterior ha probado también ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B.
EJEMPLO DE UN DIAGRAMA DE HASSE
De un elemento X sale una flecha a Y ssi Y ⊆ X. ∅ es un elemento minimal, y A es un elemento maximal.
A
{1,2}
{1,3}
{2,3}
{1}
{2}
{3}
∅