Primera parte desarrollando mis h by Josebreisem

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

BREISEM TORRES VILLAVICENCIO

¿Qué puedes hacer con los círculos y los dígitos?

Escribe los dígitos dentro de los círculos de modo que la suma de los dos de debajo de el de arriba

Breisem Torres Villavicencio

HECHO A COMPUTADORA

Título: Desarrollando mis habilidades lógico matemáticas Autor: Breisem Torres Villavicencio Diseño de portada y digitación: Breisem Torres Villavicencio Edición 2015 Dirección de web: http://matesencontextos.blogspot.com/ Se permita la reproducción parcial o total con fines educativos y de capacitación.

Fortaleciendo mis habilidades lรณgico matemรกticas

AGRADECIMIENTO A todos los maestros y maestras que participaron en el taller gratuito sobre fortalecimiento de habilidades lรณgico matemรกticas en octubre-noviembre 2009, que permitieron validar las prรกcticas y autoevaluaciones que se incluyen en el presente material.

DEDICATORIA A todos los maestros y maestras con mentalidad abierta al cambio, que se superan continuamente para dar lo mejor a sus queridos alumnos, demostrando su amor a nuestra patria.

Breisem Torres Villavicencio

PREFACIO El presente trabajo tiene como propósito servir de apoyo a todos los colegas de los distintos niveles y modalidades de la Educación Básica, que desean auto - capacitarse para presentarse a los concursos tanto de ingreso como de ascenso de la Ley de Reforma Magisterial de nuestro país. Aunque también puede servir de material complementario en el desarrollo de las capacidades y habilidades lógico matemáticas de nuestros estudiantes de Educación Secundaria. De manera especial vengo tomándolo como base para la preparación de los estudiantes que postulan al Colegio Mayor Secundario Presidente del Perú. Es el resultado de varios meses de trabajo de investigación bibliográfica en diferentes fuentes físicas y virtuales, de nuestra experiencia como docente del nivel secundario y en actividades de formación y capacitación realizadas en estos últimos años, de nuestros humildes conocimientos, así como de nuestra vocación permanente de servicio en bien del logro de las políticas educativas que buscan mejorar la calidad educativa de los que menos tienen. El contenido del presente trabajo ha sido elaborado, adecuado y compilado teniendo en cuenta las tabla de especificaciones de la matriz de evaluación para el concurso de ingreso y contrato docente y prospecto de admisión al Colegio Mayor. Su estructura consta de tres partes; la primera de repaso de los conocimientos básicos de matemática, que inicia con una situación problemática de contexto real o matemático que se plantean como elemento motivador y un desafío, seguido de su aplicación en variadas situaciones prácticas y problemáticas; culminando con problemas propuestos con sus respectivas claves de solución. La segunda parte contiene un conjunto de prácticas que abarcan todos los temas en forma integral, con sus respuestas respectivas al final de cada práctica. Se incluyen como elementos imprescindibles autoevaluaciones para que vayas viendo tu avance y hagas los correctivos en tu preparación si fuera el caso. Lo que recomendamos a todos los colegas es que tengan una preparación sistemática, para alcanzar sus metas, y no esperen el último momento. Hay que dejar en el recuerdo todo tipo de improvisaciones y planificar con tiempo nuestras actividades. Finalmente, agradeceré mucho me hagan llegar sus sugerencias para mejorar este trabajo, así como cualquier error que pudieran encontrar. Breisem Torres Villavicencio.

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas CONTENIDO Contenido – N° de pág. Prefacio Autoevaluación de entrada – 11 Capítulo 1: Empleamos nuestra lógica e ingenio – 15 Capítulo 2: Verdades y mentiras – 23 Capítulo 3: Aplicamos los conjuntos – 28 Capítulo 4: Aplicamos el principio de las casillas – 32 Capítulo 5: Aplicamos el principio de conteo – 35 Capítulo 6: Aplicamos criterios de ordenación – 40 Capítulo 7: Sucesiones lindas – 44 Capítulo 8: Aplicamos analogías gráficas y numéricas – 46 Capítulo 9: Aplicamos los operadores – 50 Capítulo 10: Aplicamos las fracciones – 53 Capítulo 11: Aplicamos las ecuaciones – 59 Segunda autoevaluación – 61 Capítulo 12: Desafíos sobre áreas y perímetros - 65 Práctica N° 1 – 68 Práctica N° 2 – 72 Práctica N° 3 – 76 Práctica N° 4 – 81 Práctica N° 5 – 86 Tercera autoevaluación – 90 Práctica N° 6 – 94 Práctica N° 7 – 97 Cuarta autoevaluación – 110 Práctica N° 8 – 105 Práctica N° 9 – 110 Práctica N° 10 - 115 Autoevaluación de salida – 121 Claves autoevaluaciones - 126 Bibliografía – 127

Breisem Torres Villavicencio

1ra AUTOEVALUACIÓN DE ENTRADA 1. Observa la siguiente secuencia de figuras:

Fig. Nº 1 Fig. Nº 2

Fig.Nº 3

Fig.Nº 4 Dar como respuesta la suma del número de círculos blancos de la figura 1 y 6. A) 36

B) 37

C) 35)

…………..

D) 6

2. Observa la siguiente secuencia de figuras, con triángulos y puntos negros:

Fig. Nº1 Fig. Nº 2 Fig. Nº 3 Fig. Nº 4 Dar como respuesta el número de puntos negros de la figura número 7. A) B) C) D)

………………….

84 63 64 83

3. Juan compró 10 docenas de huevos, el taxi en el que viajaba sufre un accidente y se rompieron la tercera parte, si vendió la cuarta parte de los huevos que quedan. ¿Cuántos huevos le sobran a Juan? A) B) C) D)

60 58 56 54

4. En el parque Urpicha el último viernes entraron 160 personas. Si por cada 6 niños entraron 2 adultos. ¿Cuántos niños entraron al parque? A) B) C) D)

80 110 100 120

5. Por la compra de una docena de cuadernos regalan uno. ¿Cuántas docenas compré si recibí en total 780 cuadernos? A) B) C) D)

70 56 60 50

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas 6. El señor Cárdenas da una propina de 30 soles a cada uno de sus hijos, pero un sobrino a su cargo se quedaría sin propina por lo que decide dar a 24 soles a cada uno de ellos con lo que resultaron beneficiados todos ellos con la misma cantidad de propina. ¿Cuántos hijos tiene el señor Cárdenas? A) B) C) D)

5 3 4 6

7. Alejandro y Sebastián son dos antiguos compañeros de colegio, se ponen de acuerdo para visitar a su profesora de primaria, que se encuentra delicada de salud. Alejandro la visita cada 12 días y Sebastián cada 15 días. Si se encontraron en casa de la profesora el día 31 de Mayo del presente año. ¿En qué fecha se encontraran nuevamente? A) B) C) D)

29 de Julio 30 de Julio 28 de Julio 31 de Julio

8. Ana, Carlos, Diego y Benito están sentados en una fila de 4 asientos como se muestra en el diagrama. José los mira y dice:  Carlos está al lado de Diego.  Ana está entre Carlos y Diego. Sucede que cada una de las afirmaciones que hizo José es falsa, en verdad, Carlos está sentado en el asiento número tres. ¿Quién está sentado en el asiento número cuatro?. Asiento Asiento Asiento Asiento 1 2 3 4 A) B) C) D)

Ana Benito Carlos Diego

9. En el aula del cuarto grado de una Institución Educativa, hay entre 40 y 60 estudiantes. Si la Profesora desea formar grupos de 3 alumnos sobran 2, si forma grupos de 4 sobran 2 y si forma grupos de 6 estudiantes también sobran 2. ¿Cuántos estudiantes hay en dicha aula? A) 48 B) 51 C) 50 D) 42

10. Un comerciante que pretende atraer clientes, utiliza la siguiente estrategia: primero aumenta el costo de sus artículos en 20%, luego en la tienda rebaja el 20%. Entonces, el comerciante: A) Pierde 8% B) Gana 4% C) No gana ni pierde D) Pierde 4 %

11. Al elaborar mermelada de frutas, el 10% de la fruta comprada se desperdicia; si para un pedido se necesita 27 Kg. netos de fruta. ¿Cuántos kilogramos se debe comprar? A) 30 B) 33 C) 36 D) 28

Breisem Torres Villavicencio 12. Los ingresos económicos de una familia es de 1600 nuevos soles, los cuales se distribuyen de acuerdo al diagrama siguiente.

¿Cuánto nuevos soles se utiliza en alimentación y educación? A) 608 B) 620 C) 650 D) 600

13. Estaban reunidas, Ana, Betty y Carla. Ana le dice a la profesora que la otra amiga es obstetra. Betty le dice a la obstetra, que estaba de vacaciones. Si entre ellas, una es profesora, la otra obstetra y la otra abogada, aunque no necesariamente en este orden; Indicar la relación correcta. A) Ana-profesora

B) Betty- obstetra

C) Carla-abogada

D) Betty-profesora

14. En un salón de 45 alumnos, 24 juegan fútbol, de los cuales 12 juegan solo fútbol; 23 juegan básquet, 8 sólo básquet; 19 juegan vóley y 5 sólo vóley; 5 juegan fútbol, básquet y vóley y 9 juegan fútbol y básquet. ¿Cuántos no juegan ni Fútbol, ni Básquet ni Vóley? A) 4 B) 19 C) 2 D)6 15. Para rifar un premio se utilizará una ruleta justo como la mostrada. El número ganador se obtendrá girando dos veces la ruleta y sumando los resultados obtenidos en cada giro. ¿Cuál de las siguientes sumas tiene más opción de salir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12

16. En la figura hay seis círculos iguales, tangentes entre sí y a los lados del rectángulo. Los vértices del rectángulo pequeño son los centros de 4 círculos. El perímetro del rectángulo pequeño es 60 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo grande?

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

A) 160 cm

B) 140 cm

C) 120 cm

D)100 cm

17. Si el área de la región sombreada es 7 m2. El área del cuadrado ABCD en m2 es:

A) 13,5

B) 14

C) 28

D) 21

18. Tenemos un cubo 4x4x4 formado por 64 cubos 1x1x1. Hacemos seis agujeros de tamaño 4x1x1 atravesando el cubo grande como se indica en la figura. ¿Cuántos cubos 1x1x1 quedan del cubo inicial?

A) 40

B) 42

C) 44D) 46

19. Hallar el número que falta: 47

A) 50

B) 48

C) 46

D) 44

20. Indique que figura no corresponde a la serie:

Breisem Torres Villavicencio

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA “¿Qué dijo el anciano? Dos jóvenes cosacos, excelentes jinetes, con frecuencia hacían apuestas de quién adelantaría a quién. Más de una vez, bien uno bien otro, salía victorioso pero, al fin y al cabo, esto les aburrió. - Mira -dijo Grigori- vamos a apostar al contrario. Ganará la apuesta aquél, cuyo caballo llegue a la meta segundo. - Bueno - respondió Mijail. Los cosacos montaron en sus caballos y salieron a la estepa. Se reunió una multitud de espectadores: todos querían presenciar una apuesta tan extraña. Un viejo cosaco comenzó a contar dando palmadas: - ¡Uno!... ¡Dos!... ¡Tres!... Pero los competidores, claro está, ni se movieron de sus sitios El público comenzó a reír, criticar y discutir, decidiendo que una apuesta así era imposible y que los competidores permanecerían en sus sitios, como se dice, hasta el fin de los siglos. En este momento, a la muchedumbre se acercó un anciano canoso, muy experto en cosas de la vida. - ¿Qué pasa? - preguntó. Le explicaron la situación. - ¡Pues, veréis! - dijo el anciano - bastará con unas palabras que yo les diga para que se lancen a galope como si les hubiesen escaldado. Y efectivamente… se acercó el anciano a los cosacos, les dijo unas palabras y al cabo demedio minuto los cosacos salieron galopando desesperadamente por la estepa, empeñados en adelantar uno al otro a todo trance. Pero la apuesta de todos modos, la ganó el jinete cuyo caballo llegó segundo. ¿Qué le dijo el anciano a los cosacos?” (1)

Te presentamos una serie de situaciones para que pongas a prueba tu imaginación, creatividad y razonamiento; la mayoría han sido tomadas de un interesante libro del matemático ruso E. I. Ignatiev, que pongo a tu alcance. (1)

En el Reino del Ingenio de E. I. Ignátiev El más antiguo que conozco sobre matemática recreativa, su primera edición data de 1908. Esta es la fuente primigenia de muchos otros problemas que se puede encontrar en variedad de libros posteriores tanto de autores nacionales como extranjeros.

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

El reparto

Repartir cinco manzanas entre cinco personas, de tal forma que a cada persona le toque una manzana y que una manzana quede en la cesta. 2.

¿Cuántos gatos?

El cuarto tiene cuatro ángulos. En cada ángulo está sentado un gato. Frente a cada gato hay sentados tres gatos. En cada rabo esté sentado un gato. ¿Cuántos gatos hay en total en el cuarto? 3.

El sastre

Un sastre tiene un trozo de paño de 16 metros del cual corta cada día un trozo de dos metros. ¿Al cabo ele cuántos días el sastre cortará el último trozo? 4.

El número 666

Aumentar el número 666 a una vez y media sin realizar con él ninguna clase de operaciones aritméticas. 5.

El quebrado

¿Puede un quebrado (una fracción), en el que el numerador es menor que el denominador, ser igual a otro quebrado en el que el numerador es mayor que el denominador? 6.

Partir una herradura

Con dos golpes de hacha partir una herradura en seis pedazos, pero sin mover los pedazos después de dar el golpe. 7.

La casita

Se ha construido una casa utilizando cerillas (fig. 4). Cambiar en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.

Breisem Torres Villavicencio 8.

La balanza.

Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en estado de desequilibrio (fig.6). Espreciso cambiar la posici贸n de cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio

El hacha

Cambiando de posici贸n cuatro cerillas, transformar un hacha (fig.11), en tres tri谩ngulos iguales.

10. En el dibujo representado quita tres cerillas de modo que resulten tres cuadrados iguales.

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas 11. La oruga El domingo, a las seis de la mañana, una oruga comienza a subir por un árbol. Durante el día, o sea, hasta las 18 horas, sube a una altura de 5 m, mientras que durante la noche baja2 metros. Al cabo de cuántos días y a qué hora, la oruga alcanza la altura de 9 metros?

12. El lobo, la cabra y la berza Un campesino necesita pasar un río con un lobo, una cabra y unas berzas. Pero la barca es tan pequeña que en ella cabe el campesino y con él solamente el lobo, o la cabra, o las berzas. Si deja al lobo con la cabra, el lobo se come la cabra; si deja a la cabra con las berzas, la cabra se come las berzas. ¿Cómo pasó el campesino su carga? 13. Partes grandes en lugar de pequeñas Dividir en partes iguales 5 rosquillas entre seis niños, pero sin cortar ninguna rosquilla en seis partes iguales. Problemas semejantes se pueden inventar cuantos se quieran. Así, por ejemplo, en este problema en lugar de 5 rosquillas y 6 niños se puede poner 7 rosquillas y 6 niños; 7 y 10; 9y 10; 10 y 11 y 13 y 10; 7 y 12; 11 y 12; 13 y 12; 9 y 14; 11 y 14; 13 y 14; 15 y 14; 17 y14, etc. En todos los problemas de esta clase las partes pequeñas deben transformarse en partes más grandes. Variar estos problemas se puede de muchas formas, por ejemplo, proponiendo preguntas como ésta:¿Se puede dividir 5 pliegos de papel entre ocho escolares, no dividiendo ningún pliego en ocho partes? Estos problemas son muy útiles para la comprensión clara y rápida del contenido de los Quebrados 14. Reparto entre dos Dos personas deben repartir, en partes iguales, 8 calderos de kvas, depositado en una barrica grande. Pero para ello tienen solamente dos barricas, en una de las cuales caben 5calderos y en otra, 3 calderos. ¿Podrán dividir el kvas utilizando solamente estas tres barricas? 15. Los campesinos y las patatas Tres campesinos entraron en una posada a descansar y comer. Encargaron a la dueña que les cociese patatas y se durmieron. La dueña coció las patatas, pero no despertó a los campesinos, sino que puso la olla con la comida sobre la mesa y se fue. Se despertó uno delos campesinos, vio las patatas y, para no despertar a sus compañeros, las contó, comió su parte y se durmió de nuevo. Al poco rato se despertó otro; no sabiendo que uno de sus compañeros ya se había comido su parte, contó las patatas que quedaban, comió la tercera parte y otra vez se echó a dormir. Después se despertó el tercero; creyendo que era el primero en despertarse contó las patatas que quedaban en la olla y se comió la tercera parte. En este momento se despertaron sus compañeros y vieron que en la olla quedaban 8patatas. Entonces, todo quedó claro. Hallar cuántas patatas sirvió a la mesa la dueña, cuántas se comió y cuántas más deberían comer cada campesino, para que a todos les tocasen partes iguales.

Breisem Torres Villavicencio 16. El reparto de camellos Un anciano, que tenía tres hijos, les ordenó que después de su muerte repartieran un rebaño de camellos de su pertenencia, de tal forma que al hijo mayor le tocase la mitad de todos los camellos, al mediano, una tercera parte y al menor, una novena. Falleció el anciano y les dejó 17 camellos. Los hijos comenzaron el reparto, pero resultó que el número 17 no se dividía por 2, ni por 3 ni por 9. Desconcertados sin saber qué hacer, los hermanos se dirigieron a un sabio. Este vino donde ellos en su propio camello e hizo el reparto conforme al testamento del anciano. ¿Cómo lo logro? 17. Distribuir 9 números

aaa aaa Aaa

En un cuadrado, dividido en 9 casillas, distribuir las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, de talforma que las sumas de las cifras escritas en cada fila, columna y en cualquier diagonal delcuadrado sean iguales.

Aaa Aaa

18. Entre familia Si la mamá de Carmen es la hermana de mi padre, ¿Qué es respecto de mí el abuelo de Carmen? 19. Con los días Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿Qué día fue el ayer del ayer de anteayer? 20. De padres e hijos En un taller trabajan tres padres y cuatro hijos. ¿Cuál es el mínimo número de personas que trabajan en dicho taller?

Resolución 1. Una persona toma una manzana junto con la sesta. 2. Cuatro gatos. 3. Séptimo día. 4. Escribir ese número después girar ese papel “cabeza abajo” (en 180°). Resultará 999. 5. Se puede, por ejemplo:

3 5  6  10

6. Los cortes pueden ser así:

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas . 7. Queda así:

8. Queda así:

9. Queda así:

10. Queda así:

11. Al final del segundo día, o sea, el martes a las seis de la mañana, la oruga estará a una altura de 6 m; pero ese mismo día, comenzando desde las seis de la mañana y hasta las seis de la tarde, puede subir otros 5 m más. Por lo tanto, a una altura de 9 m como eso fácil calcular, la oruga se encontrará el martes a las 13 h 12 min. (Naturalmente, debe considerarse que la oruga avanza con velocidad constante)

Breisem Torres Villavicencio 12. Por supuesto, se debe comenzar por la cabra. El campesino pasa la cabra a la otra orilla y regresa a la primera solo. Aquí toma el lobo y pasa con él a la otra orilla, lo deja en ella y coge la cabra, con la que regresa a la primera orilla. Deja en esta orilla a la cabra y toma las berzas. Es la otra orilla deja las berzas con el lobo y regresa donde está la cabra. Coge la cabra y pasa con ella a la otra milla. De tal forma la travesía del río concluye con éxito. 13. Si de las 5 rosquillas que tenemos partimos 3 en dos mitades cada una, entonces, tendremos dos partes iguales y damos una parte a cada niño. Después partimos las dos rosquillas restantes en 3 partes iguales cada una y otra vez tendremos 6 partes que también repartimos entre los niños. De tal forma, el problema se resuelve sin partir ninguna rosquilla en 6 partes. 14. Una solución:

Antes del trasvase Después de trasvase N° 1 Después de trasvase N° 2 Después de trasvase N° 3 Después de trasvase N° 4 Después de trasvase N° 5 Después de trasvase N° 6 Después de trasvase N° 7

Barrica grande 8 5 5 2 2 7 7 4

de 5 calderos 0 0 3 3 5 0 1 4

de 3 calderos 0 3 0 3 1 1 0 0

15. El tercer campesino dejó para sus compañeros 8 patatas, o sea, 4 patatas para cada uno. El comió 4. Entonces, sucedió que el segundo campesino dejó a sus compañeros 12patatas, o sea, 6 para cada uno. Él comió 6 patatas. Resulta pues que el primer campesino dejó a sus compañeros 18 patatas, o sea, 9 para cada uno, Él se comió 9.Entonces, la dueña sirvió en total a la mesa 27 patatas lo que supone 9 para cada campesino. Pero el primer campesino se comió su parte. Por consiguiente, de las ocho patatas que quedaron, 3 pertenecen al segundo campesino y 5 al tercero. 16. El sabio obró con audacia, Temporalmente unió al rebaño su camello y con él resultaron18 camellos. Una vez dividido este número conforme al testamento (el hermano mayor recibió 18 x 1/2 = 9 camellos, el mediano 18 x 1/3 = 6 camellos, el menor 18 x 1/9 = 2 camellos) el sabio se apoderó otra vez de su camello (9 + 6 + 2 + 1=18). El secreto, lo mismo que en el problema anterior, consiste en que las partes conforme el testamento deberían dividir el rebaño los hermanos, en suma no dan 1. En efecto, 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 . 17. Una forma:

18. .El siguiente gráfico nos permite ver mejor estas relaciones de parentesco:

4 9 2 Abuelo

3 5 7 8 1 6

Hermana Mamá

Padre

Carmen

R: Es mi abuelo

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

19. En este tipo de problemas nos puede ayudar la técnica con la recta numérica. Si convenimos que: 0(hoy), +1(mañana, +2(pasado mañana, etc.; para los negativos: -1 (ayer), -2 (anteayer, etc. Para nuestro caso específico: Anteayer del mañana de pasado mañana es martes -

= martes

Significa que mañana es martes, luego hoy es lunes. En la pregunta: ayer del ayer de anteayer -1

-1

-2 -4

Ahora: -4 Jueves

-3 viernes

-2 sábado

-1

domingo

lunes

martes

R: Es jueves. 20. Trabajan un padre con sus dos hijos y un hijo de cada uno de estos últimos.

Padre 1 (abuelo))

Hijo 1 (padre 2)

Hijo 2 (padre 3)

Hijo 3 (nieto 1)

Hijo 4 Nieto 2)

Breisem Torres Villavicencio

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Cielo, Rosa, Inés y Ana son cuatro compañeras de aula del cuarto grado de secundaria del colegio “José Gálvez” que se reunieron para averiguar quién de ellas contó el secreto a Luis. Las aseveraciones de cada una con respecto al tema fueron las siguientes: -

Cielo: Rosa contó el cuento. - Rosa: Inés contó el cuento. Inés: Rosa no dice la verdad. - Ana: Yo no fui.

Si además se sabe que sólo una de las cuatro compañeras contó el secreto a Luis y sólo una de ellas miente, ‘quién contó el secreto? Aunque la lógica es inherente a la persona, pues en forma permanente en nuestras vidas debemos tomar decisiones y actuar en forma coherente, adecuada y correcta. Se trata de comprender y aplicar “algunas vías, métodos y procedimientos de cómo enfrentarse a problemas de razonamiento lógico”. Veremos estas formas de un modo separado por razones didácticas: problemas utilizando tablas de verdad, el principio de las casillas, conjuntos, combinatoria, problemas utilizando fracciones y geometría.

Problemas utilizando tabla de valores de verdad En algunas veces, para resolver problemas de razonamiento lógico, es conveniente utilizar tablas de valores de verdad, asignando un valor de verdad (V o F) a una proposición, y a partir de aquí deducir los valores de verdad de las otras proposiciones y si no existen contradicciones ya tenemos la anhelada solución.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Ante un robo producido en un puesto del mercado, la policía detiene a 4 sospechosos que al ser interrogados hacen las siguientes declaraciones. Andrés: “Eduardo es el culpable” Eduardo: “Jesús es el culpable” Jesús: “Eduardo miente cuando dice que yo soy el culpable” Rafael: “Yo no soy el culpable” Conociendo que sólo uno de ellos dice la verdad, ¿Quién es el culpable?

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas Resolución Construimos una tabla con los nombres de los sospechosos y analizamos los diferentes casos que se pueden dar y teniendo en cuenta la última condición del problema: “que sólo uno dice la verdad”. Por ejemplo, si suponemos que Andrés dice la verdad (V) entonces los otros tres mentirán (F). Si hay contradicciones hacemos una nueva suposición y cuando no haya contradicciones llegamos a la solución. Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

Andrés

Eduardo

Jesús

Rafael

Caso 1: Si suponemos que Andrés dice la verdad, él es inocente(I), luego Eduardo es culpable(C) y también Rafael, pues lo que afirma: “Yo no soy el culpable” es falsa (F), quiere decir que si es culpable. Lo que afirma Eduardo es falso, luego Jesús es inocente; pero lo que afirma Jesús es falso, quiere decir que Eduardo no miente, y en consecuencia Jesús es culpable. Como vemos aquí se presenta una contracción: Jesús resulta ser inocente y culpable a la vez. Caso 2: Si suponemos que Eduardo dice la verdad este sería inocente al igual que Andrés, entonces Jesús y Rafael serían culpables, y como uno sólo es el culpable se descarta esta posibilidad. Caso 3: suponiendo que Jesús diga la verdad, deducimos que Andrés, Eduardo y Jesús son inocentes y sólo Rafael aparece como único culpable; siendo esta una posible solución. Caso 4: Si Rafael dice la verdad, deducimos que Jesús es inocente al considerar lo que dice Eduardo falso. Por otro lado, si lo que dice Jesús es falso, sería culpable; pues la negación de lo que afirma Jesús sería que es culpable. La tabla quedaría así: Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

Andrés

V-I

F-I

Eduardo

F-C

V-I

F-I

Jesús

F-I-C

F-C-C

V-I-I

F-I-C

Rafael

F-C

V-I

Por lo tanto, el único caso donde no se llega a contradicción y no contradice el enunciado del problema es el Caso 3, luego Rafael es el culpable. 2. En cierto planeta cada habitante es veraz o mentiroso. Al llegar a este planeta encontramos tres extraterrestres: ET1dice: “ET2 y yo somos iguales” ET2 dice: “ET3 es veraz”

Breisem Torres Villavicencio ET3 dice:”ET1 y yo somos diferentes” ¿Cómo es cada uno de ellos veraz o mentiroso” Resolución Caso 1: Suponemos que ET1 dice la verdad. Luego ET2 también es veraz, pues ET1 afirma que ET2 y el son iguales; y por lo dice ET2 (que dice la verdad), ET3 es veraz. Esto contradice lo que afirma ET3: que él y ET1 son diferentes. Queda desechada esta posibilidad. Caso 2: Ahora suponemos que ET2 dice la verdad (es veraz), entonces ET3 es veraz; y por lo que dice ET3, ET1 es mentiroso y lo que afirma es mentira; es decir, ET1 y ET2 son diferentes. Al no haber contradicción en este caso, ya tenemos la solución. Caso 1

Caso 2

ET1

ET2

ET3

Por lo tanto, ET1 es el mentiroso, mientras que ET2 y ET3 dicen la verdad. 3. Ana miente los miércoles, jueves y viernes y dice la verdad los demás días de la semana. Pablo miente los domingos, lunes y martes y dice la verdad el resto de la semana. Si ambos dicen: “mañana es un día en el que yo miento” ¿Qué día de la semana fue antes de ayer? Resolución Construimos una tabla con los días de la semana donde aparezcan los días que dicen la verdad (V) y los días que mienten (F): L

Ana

Pablo

Observando esta tabla nos damos cuenta que el día martes Ana dice la verdad, luego el miércoles miente; mientras que Pablo el martes miente, entonces el miércoles dice la verdad. Por lo tanto el día que afirman esto es martes, y antes de ayer será el domingo.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Alicia, tras atravesar el espejo, se encuentra vagabundeando por el Bosque del Olvido, donde es incapaz de recordar que día de la semana es. En el bosque viven el León y el Unicornio. El león miente los lunes, martes y miércoles. El Unicornio miente los jueves, viernes y sábados. En todas las demás ocasiones ambos personajes dicen siempre la verdad. Alicia les pregunta qué día es, a lo que el León dice: “ayer me tocó mentir”, mientras que el Unicornio asegura: “a mí también me tocó mentir ayer”. ¿Qué día de la semana es? 2. Alberto dice: “Bernardo miente” Bernardo dice: “César miente” César dice: “Alberto y Bernardo mienten” Según estas afirmaciones, ¿es posible decir quiénes mienten y quiénes dicen la verdad”

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas 3. La policía detuvo a sospechosos del robo de una computadora. Al ser interrogados respondieron: Pedro: Juan se robó la computadora Juan: Eso es verdad Alan; Yo no robé la computadora Si al menos uno de ellos miente y al menos uno dice la verdad, ¿Quién robó la computadora? 4. La princesa Anastasia presenta a sus pretendientes tres cofres, cada uno con una inscripción. En uno de ellos se encuentra su retrato y quién lo descubra podrá casarse con la bella princesa. La princesa Anastasia (quién siempre dice la verdad) asegura que a lo más una de las tres inscripciones es verdadera. Las inscripciones de los tres cofres pueden verse en el dibujo. ¿En cuál de ellos se encuentra el retrato de la princesa Anastasia?

El retrato está en este cofre

El retrato no está en este cofre

El retrato no está en el primer cofre

5. Arturo, Bertha y Diana estaban hablando sobre las notas que posiblemente iban a obtener en Matemáticas en el próximo bimestre. Arturo dijo: “Si me ponen quince, entonces le pondrán quince a Bertha” Bertha dijo: “Si me ponen quince, por ello pondrán quince a diana” Todas estas afirmaciones eran verdaderas, pero sólo dos de los estudiantes recibieron quinces. ¿Cuáles fueron estos dos? 6. Ana, Bernardo, Carlos y Diana están sentados en una fila de cuatro asientos numerados del 1 al 4 (de izquierda a derecha). José los mira y dice: - “Bernardo está al lado de Carlos” -

“Ana está entre Bernardo y Carlos”

Sucede que cada una de las afirmaciones que hizo José es falsa. En verdad, Bernardo está sentado en el asiento N° 3. ¿Quién está sentado en el asiento N° 2? 7.

Karim, Úrsula, Tania y Liliana participaron en un concurso de equitación. Cuando un periodista que había llegado tarde les preguntó en qué puestos habían llegado, respondieron así: Karim

: “Liliana fue primera y Úrsula fue segunda”

Úrsula

: “Liliana fue segunda y Tania fue tercera”

Breisem Torres Villavicencio

Liliana

: “Tania fue última y Karim fue segunda”

Si cada una dijo una verdad y una mentira. ¿Cuál fue el orden en el que quedaron en este concurso? 8. El señor “Carpintero”, el señor “Mayordomo”, el señor “Ingeniero” y el señor “Lechero” están empleados como carpintero, mayordomo, ingeniero y lechero, aunque sus nombres no corresponden, con sus profesiones. Cada uno de ellos hace una afirmación: 

Señor Carpintero: “Yo soy el lechero”



Señor Ingeniero: “Yo soy el carpintero”



Señor Mayordomo:



Señor Lechero:

“Yo no soy el lechero”

“Yo no soy el mayordomo”

Si tres de las cuatro afirmaciones anteriores son falsas. ¿Quién es el ingeniero? 9. Ernesto dice la verdad los días lunes, miércoles y viernes, pero miente los demás días de la semana. Un día Ernesto dijo: “Mañana yo diré la verdad” ¿Qué día era cuando dijo esto? 10. Amalia, Blas y Cecilia son tres amigos de distintas edades. Exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera.   

Blas no es el mayor. Amalia es la mayor. Cecilia no es la menor.

Ordenar los amigos de mayor a menor.

RESPUESTAS: 1. Jueves 2. No 5. Bertha y Diana 6. Diana 8. El señor carpintero 9. Sábado

3. Alan 4. En el segundo 7. Liliana, Karim, Tania y Úrsula 10. Amelia, Blas y Cecilia SP: Rosa

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA En un salón hay 32 alumnos. Se sabe que 11 alumnos no aprobaron Historia y 19 alumnos no aprobaron Comunicación. ¿Cuál es la diferencia entre el número de alumnos que aprobaron ambas áreas y el número de alumnos que no aprobaron ninguna de esas áreas de estudio? (ONEM 2014 1° Fase) Se trata de que utilicemos las ideas básicas de la Teoría de Conjuntos, como herramienta que nos ayude a tener éxito en la resolución de determinados problemas. En tal sentido, debemos estar bien atentos a la interpretación de los sectores determinados al graficar dos o más conjuntos no disjuntos ni incluidos. Para esto debemos tener en cuenta lo siguiente:  Para dos conjuntos A y B: (Gráfico 1) A -

Sólo a A

Elementos que pertenecen a A y no a B

Sólo a B

Elementos que pertenecen a B y no a A.

B–A

A-B -

Sector común a ambos

Elementos comunes

A  B

 Para tres conjuntos A, B y C (Gráfico 2) A

Al observar el gráfico en su totalidad:

S2 S3

S1, S3 y S7 pertenecen sólo a uno de los conjuntos (S1 pertenece a A pero no a B ni a C

S2, S4 y S6 pertenecen sólo a dos conjuntos(S2 pertenece a A y a B pero no a C)

S2, S5, S4 y S6 pertenecen al menos a dos conjuntos

S1, S2, S3, S4, S6 y S7 pertenecen a lo más a dos conjuntos

S5 S4

S6 S7

C 25

Breisem Torres Villavicencio

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Durante la segunda semana de diciembre Luis tomó quinua o leche en su desayuno. Si 5 días tomó quinua y 3 tomó leche: a) ¿Cuántos días tomó quinua con leche? b) ¿Cuántos días tomó sólo leche? c) ¿Cuántos días tomó quinua o leche? d) ¿Cuantos días tomó sólo uno de estos dos alimentos? Resolución

Sean: x el número de días que tomó ambas cosas, luego 5 – x , el número de días que tomó sólo quinua

5-x

3 – x , el número de días que tomó sólo leche

3-x

La suma de los tres sectores debe ser 7: (5-x) + x + (3-x) = 7

/ resolvemos

8–x=7 x=1

Ahora, damos respuesta a las preguntas: a) Tomó quinua con leche 1 día b) Tomó sólo leche 2 días c) Tomó quinua o leche: 4+1+2 = 7 días d) Tomó sólo uno de estos dos alimentos: 4+2 = 6 días. 2. Si en una encuesta que realizaron a 50 amas de casa, que asistieron el domingo al mercado, y que compraron menestras, papas o verduras, arrojó que: 23 compraron menestras; 27, papas; 26, verduras; 9, menestras y papas; 10, menestras y verduras; 11, papas y verduras; y 4 compraron las tres cosas; entonces: a) ¿Cuántas amas de casa compraron sólo menestras? b) ¿Cuántas compraron menestras y papas? c) ¿Cuántas compraron papas y verduras pero no menestras? d) ¿Cuántas compraron menestras o papas? e) ¿Cuántas compraron sólo un producto? f)

¿Cuántas compraron al menos dos productos?

g) ¿Cuántas compraron sólo dos productos? h) ¿Cuántas compraron a lo más dos productos? i)

¿Cuántas compraron al menos un producto?

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas Resolución

Completamos el gráfico. -

Colocamos 4 en la intersección de los tres conjuntos. - Compraron sólo menestras y papas: 9-4=5 - Compraron sólo menestras y verduras: 10-4=6 - Compraron sólo papas y verduras: 11-4=7 a) Compraron sólo menestras: 23-(6+4+5)=8 - Sólo compraron papas: 27-(5+4+7)=11 -

Sólo compraron verduras: 26-(6+4+7)=9

b) c) d) e) f) g) h) i)

Compraron menestras y papa: 5+4=9 Compraron papas y verduras pero no menestras: 7 Compraron menestras o papas: 8+5+11+6+4+7=41 Compraron sólo un producto: 8+11+9=28 Compraron al menos dos productos: 5+4+6+7=22 Compraron sólo dos productos: 5+6+7=18 Compraron a lo más dos productos: 8+5+11+6+7+9=46 Compraron al menos un producto: 50

PROBLEM AS P ROPUESTOS 1.

Durante el mes de febrero de un año no bisiesto, Graciela hizo deporte durante 15 días e hizo deporte y estudió 5 días. ¿Cuántos días estudió? a. 10

b. 13

c. 18

d. 19

De 50 alumnos de un aula de Primer Grado: 23 tienen libro de Matemática, 26 de Comunicación; 8, de Matemática y Comunicación. a. ¿Cuántos tienen sólo libro de Matemática? b. ¿Cuántos no tienen ninguno de estos libros? a. 26 y 1

d. 23 y 9

b. 14

c. 17

d. 21

Una encuesta realizada a 50 agricultores para ver si cultivan papas o maíz arroja que: 24 cultivan papas, 25 cultivan maíz y 10 no cultivan ninguno de estos productos. ¿Cuántos cultivan sólo uno de estos productos? a. 25

c. 23 y 1

Durante el mes de mayo, Hugo ha tomado jugo de manzana o de naranja. Si 14 días tomó jugo de manzana y 21 días jugo de naranja, ¿Cuántos días tomó jugo sólo de manzana? a. 10

b. 15 y 9

b. 24

c. 28

d. 31

Una empresa para empezar a funcionar a convocado a concurso de personal al que se presentaron 150 postulantes que fueron sometidos a tres pruebas: aptitud, conocimientos y entrevista personal. Se sabe que 77 aprobaron la prueba de aptitud, 56 la de conocimientos, 59 la entrevista, 33 la de aptitud y conocimientos, 27 la de aptitud y la entrevista, 30 la de

Breisem Torres Villavicencio conocimientos y la entrevista. Asimismo se sabe que han tomado a 18 de estos postulantes por haber aprobado las tres pruebas. ¿Cuántos no aprobaron ninguna de estas tres pruebas? a. 20 6.

c. 100

d. 110

b. 21

c. 12

d. 16

1y2

b. 3 y 2

c. 4 y 2

d. 6 y 3

b. 40

c. 10

d. 20

Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes: -

11.

b. 150

En un restaurante habían 180 personas, de las cuales 110 pagan con billetes, 50 con monedas y 30 tienen sólo tickets. ¿Cuántos pagaron con billetes y monedas a la vez? a.

10.

200

En un concurso de belleza se encontraron en los 10 finalistas los siguientes secretos: 7 tenían peluca, 5 eran gorditas, 4 eran casadas, una tenía peluca y era gordita pero no era soltera, una era gordita y casada pero su cabello era natural, 2 tenían peluca y eran casadas pero no eran gorditas, 3 tenían solamente peluca. ¿Cuántas eran sólo solteras y cuántas tenían cabello natural? a.

d. 35

De un grupo de 48 personas, 25 no saben jugar ajedrez y 16 no saben jugar damas. Además 9 no saben jugar ajedrez ni damas. ¿Cuántos saben jugar los dos juegos? a.

c. 30

De un grupo de estudiantes el 80% son hinchas de Universitario, 40 lo son sólo del Cristal, y un 10% de ambos equipos. ¿Cuántos son estos estudiantes? a.

b. 11

Motocicleta solamente 5 Motocicleta 38 No gustan del automóvil 9 Motocicleta y bicicleta pero no automóvil 3 Motocicleta y automóvil pero no bicicleta 20 No gustan de la bicicleta 72 Ninguna de las tres cosas 1 No gustan de la motocicleta 61 a. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? b. ¿A cuántos les gustaba la bicicleta solamente? c. ¿A cuántos les gustaba el automóvil solamente? d. ¿A cuántos les gustaba las tres cosas? e. ¿A cuántos les gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

De 80 profesores de la Facultad de Matemáticas, 50 no practican ni fulbito ni atletismo, 16 practican fulbito, 5 practican fulbito y atletismo. ¿Cuántas practican solamente uno de estos deportes? a. 25

b. 20

c. 30

d. 18

RESPUESTAS: 1. c

2. b b. 0

3. a c. 46

4. d 5. c 6. a d. 10 e. 14 11. a

7. d

8. b 9.c SP: 2

10. a. 99

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Un criador de caballos peruanos de paso tiene 20 caballos. Se sabe que 14 caballos son marrones, 15 pesan más de 400 kg y 16 han participado en algún concurso. ¿Cómo mínimo cuántos caballos reúnen estas tres características a la vez? (ONEM 2014 1° Fase) Imaginemos 21 palomas introduciéndose en los 20 agujeros de un palomar. Es claro que al menos dos de las palomas se meterán en el mismo agujero. Este simple hecho recibe el nombre de Principio de Dirichlet o Principio del palomar o también principio de los casilleros. Si las palomas fueran 41 y 20 los agujeros del palomar, podemos asegurar que por lo menos tres de las palomas se han metido en el mismo agujero. Bajo este mismo razonamiento, por ejemplo, si hay 5 marcianos para repartir entre 4 niños, a un niño le toca al menos dos marcianos. El principio de Dirichlet dice básicamente, y sin pretender precisión, que si hay muchas cosas y se meten en pocos casilleros, habrá bastantes en algún casillero.

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Del periódico La República se escogen al azar 29 palabras. Demuestre que al menos dos de las palabras empiezan con la misma letra. Resolución Como todos sabemos el periódico la República está escrito en español, que tiene 28 letras, por ello se podrían encontrar 28 palabras que empiezan con letras distintas, pero la palabra 29 tendrá que empezar necesariamente con una de las letras anteriores. Por lo tanto, al escoger 29 palabras al menos dos empiezan con la misma letra.

En el cajón de un ropero que se encuentra en una habitación completamente oscura, hay 63 medias de 7 colores diferentes. ¿Cuál es el menor número de medias que se debe extraer, para asegurar que se tiene al menos un par de medias del mismo color? Resolución En el peor de los casos, al sacar 7 medias, las 7 pueden ser de diferente color, entonces la octava media tiene que coincidir con alguno de los colores anteriores, y formar el par de medias del mismo color. Por lo tanto, debemos extraer al menos 8 medias para tener la certeza de que habrá un par de medias del mismo color.

Se tiene una caja con 6 bolas negras, 11 bolas marrones y 18 bolas celestes. ¿Cuántas bolas se tendrán que extraer al azar para tener la certeza de haber extraído 2 bolas marrones?

Breisem Torres Villavicencio Resolución El caso más desfavorable sería extraer 6 bolas negras y 18 celestes, pero las dos siguientes serán necesariamente marrones. Por lo tanto, el número de bolas extraídas será:

6 negras 4.

18 celestes

2 marrones

= 26

En una urna hay 9 bolas amarillas, 13 bolas verdes y 20 bolas blancas. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que se deben sacar para tener la seguridad de haber extraído 6 bolas de uno de los colores? Resolución

En los casos más desfavorables sería extraer 5 bolas de cada color, por consiguiente la próxima bola completara cualquiera de los colores. Luego el mínimo número de bolas que se deberá extraer será: 5 amarillas

verdes

1 Cualquier color

blancas

= 16

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿Cuántas veces hay que tirar un dado para asegurarse de sacar por lo menos dos veces el mismo número? A. 4

B. 6

C. 7

D. 37

2. En una caja hay 10 libros de Matemática, 20 de Comunicación, 8 de Ciencias Sociales, 15 de CTA y 25 de Inglés. ¿Cuántos libros debo sacar para estar seguro de que tengo 12 de una misma área? A. 52

B. 79.

C. 55

D.30

3. De un grupo de 8 personas, ¿Cuántas al menos cumplen años el mismo día de la semana? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4. A un estadio asistieron 3 700 espectadores. ¿Cuántos de ellos, como mínimo, cumplen años la misma fecha? A. 36

B. 12

C. 10

D. 365

5. Una urna contiene 13 bolas negras, 12 rojas y 7 blancas. La menor cantidad que debe sacarse para obtener el menor número de bolas de cada color es: A. 25

B. 19

C. 21

D. 26

6. De 6 bolas rojas, 8 azules y 10 verdes, ¿Cuál es el mínimo número que se debe extraer para tener la certeza de haber sacado un color por completo? A. 22

B. 18

C. 20

D. 23

7. Si 1 kg de manzanas contiene entre 6 y 8 manzanas, ¿Cuál es el menor peso que pueden tener dos docenas de manzanas?

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas A. 5 kg

B. 3 kg

C. 7 kg

D. 6 kg

8. ¿Cuántas personas deben estar reunidas como mínimo, para tener cuatro con el mismo mes de cumpleaños? A. 49

B. 48

C. 37

D.15

9. Se tienen 7 llaves y 4 candados. ¿Cuántos intentos como mínimo se pueden realizar para abrirlos todos? A. 22

B- 18

C. 25

D.17

10. En una bolsa se tienen 12 bolas blancas, 18 bolas negras y 15 bolas rojas. Halla el número mínimo de bolas que se deben sacar, al azar, para tener con certeza: - Una bola de cada color. - Tres bolas de cada color. - Tres bolas de uno de los colores. A. .29, 32 y 9 B. 34, 36 y 7

C. 32, 35 y 3

D. 33, 36 y 4

11. Se tienen cuatro candados A, B, C y D; y dos llaves X e Y. Si cada llave abre sólo un candado, ¿cuál es el número de veces que las llaves deben insertarse en los candados para saber con certeza cuál es la llave que abre cada candado? A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

12. Lenin guarda en un depósito doce medias rojas, seis azules, diez blancas y ocho medias

negras ¿Cuántas medias se tendrán que extraer al azar, para obtener con certeza un par del mismo color? A. 3

B. 4

C. 5

D. 9

13. ¿Cuántas personas deben estar reunidas como mínimo, para tener cuatro con el mismo día

de la semana en la fecha de su cumpleaños? A. 28

B. 21

C. 21

D. 22

14. Un kg de naranjas contiene entre 6 y 8 naranjas. ¿Cuál es el mayor peso que puede tener cuatro docenas de naranjas? A.

12 kg

B. 8 kg

C. 2 kg

D. 6 kg

15. En una urna hay 4 bolitas negras, 6 blancas, 11 rojas, 13 azules y 14 verdes. ¿Cuál es el menor número de bolitas que se debe extraer al azar para tener la certeza de haber extraído 8 bolitas del mismo color? A.

B. 22

C. 18

D. 32

“Todo es difícil hasta, que se logra. Todo da miedo, hasta que se conoce. Todo importa poco, hasta que se pierde”

RESPUESTAS: 1. C

2. A

3. B 4. C 5. D

6. A 7. B

13. D 14. B 15. D SP: 5

8. C

9. A

10. B 11. A 12. C

Breisem Torres Villavicencio

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Carlos tiene seis monedas: dos de 10 céntimos, dos de 20 céntimos y dos de 50 céntimos. Él va a escoger 3 monedas para colocarlas en una fila. ¿Cuántas filas diferentes puede obtener? (ONEM 20014 1° Fase) Existen algunos problemas en los cuales podemos calcular el número de casos posibles sin necesidad de estar contando de uno en uno, como que en otros es necesario ser meticulosos; aquí nos es de utilidad los dos principios de conteo: Principio de multiplicación o multiplicativo Supongamos que una persona desea preparar un almuerzo para sus amigos y tiene dos recetas para la sopa, tres para el plato principal y dos para el postre. ¿De cuántas maneras puede el anfitrión hacer su menú? En la siguiente figura se señalan todas las maneras posibles para preparar el almuerzo Diagrama de las posibles opciones para preparar un menú:

3 4

7 Postre

Plato principal

Sopa

Las alternativas que tendrá son: {1,3,6}

{1,3,7}

{1,4,6}

{1,4,7}

{1,5,6}

{1,5,7}

{2,3,6}

{2,3,7}

{2,4,6}

{2,4,7}

{2,5,6}

{2,5,7}

En total se tienen 12 maneras diferentes de preparar un delicioso almuerzo. Aplicando el principio de multiplicación se tiene: 2 x 3 x 2 = 12 Generalizando, si un evento determinado puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, además, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente, y si al mismo tiempo cada evento es independiente del otro, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto: n1 x n2x n 3 x …

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas Principio de adición o aditivo Este principio tiene las mismas premisas del principio multiplicativo, pero con la condición no de que los eventos sean independientes sino de que sean mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que otro lo haga. El número total de maneras en las que pueden realizarse los eventos es la adición:

n1  n2  n3  ... Suponga, ahora, que la persona que prepara el menú para sus amigos preparará pescado como plato principal. Para preparar el pescado, él encuentra cinco maneras diferentes de hacerlo al horno, dos para hacerlo frito y tres para prepararlo cocido. ¿De cuántas maneras diferentes puede cocinar su pescado? Cada una de las maneras de preparar el pescado es excluyente de las otras dos. Es decir, si el cocinero decide preparar el pescado cocido, ya no podrá prepararlo ni frito ni al horno; de igual manera sucede si decide hacerlo al horno o frito. Así que en total, y de acuerdo con el principio aditivo, sólo hay 5+2+3=10 maneras diferentes de cocinar el pescado. Esquema de interpretación de los principios multiplicativo y aditivo

...

n2 n3 .

Principio multiplicativo

Principio aditivo

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hay 5 tipos de sobres sin sellos y 4 tipos de sellos de un mismo valor. ¿De cuántas maneras se puede escoger un sobre y un sello para escribir una carta? Resolución Se puede escoger para cada uno de los tipos de sobres, 4 tipos de sellos, luego habrá 5.4=20 maneras de escoger un sobre y un sello para escribir una carta. 2. Doce empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entre Cajamarca y Lima. Tres empresas de aviación tienen vuelo diario entre Cajamarca y Lima. ¿Cuántas formas hay de viajar de Cajamarca a Lima por vía terrestre o en avión? Resolución En este caso nos damos cuenta que si viajamos en avión ya no viajamos por vía terrestre, es decir, estas acciones son excluyentes. Luego hay 12+3 maneras de ir de Cajamarca a Lima en avión o en ómnibus. 3. Si tengo una moneda de S/. 0,50, una de S/. 1, una de S/. 2 y una moneda de S/.5, ¿Cuál es el número total de precios que puedo pagar usando alguna o todas mis monedas?

Breisem Torres Villavicencio Resolución Este es un buen ejemplo de una situación en la que se necesita un listado sistemático. Como tenemos 4 monedas, debemos considerar 4 casos. Éstos son, los precios que podemos cubrir con 1 moneda, con 2 monedas, con 3 monedas y con 4 monedas. Debemos examinar cada uno de estos casos y luego aplicar el principio de adición. 

Con una moneda podemos tener 4 precios: S/. 0,50; S/. 1; S/. 2; y S/. 5



Con dos monedas, podemos listar sistemáticamente las combinaciones: Las quetienen S/. 0,50 son: S/.0,50 + S/.1 = S/.1,50, S/.0,50+S/.2 = S/.2,50, S/.0,50 + S/.5 = S/.5,50 Las que tienen S/.1 y no hemos listado aún: S/.1 + S/.2 = S/.3, S/.1+S/.5 = S/.6 Y las que tienen S/.2 y tampoco hemos listado: S/.2 + S/.5 = S/.7



Con tres monedas, listamos todas las combinaciones (una para cada moneda que falta): S/.0,50 + S/.1 + S/.2 = S/.3,50

S/.0,50 + S/.1 + S/.5 = S/.6,50

S/.0,50 + S/.2 + S/.5 = S/.7,50

S/.1+ S/.2 + S/.5 = S/.8

Con las cuatro monedas S/.0, 50 + S/.1 + S/.2 + S/.5 = S/.8,50 Todos los precios obtenidos son diferentes, luego la respuesta es 4+6+4+1=15 precios posibles.

4. ¿Cuántos códigos de una letra y un número de un dígito se pueden formar con las 26 letras del alfabeto y los números 0, 1, 2,...,9? Resolución Analizando vemos que hay 26 maneras de elegir la letra y para cada una de ellas hay 10 maneras de elegir el número, de modo que son 26  10  260 códigos. 5.

¿Cuántos números de tres cifras comienzan y/o terminan en 7? Resolución Debemos considerar ambos casos en forma separada. -

Los que comienzan en 7: Para la primera cifra tendremos una sola posibilidad (7). Para la segunda y tercera cifra tendremos 10 posibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Es decir: 1.10.10=100 números.

Los que terminan en 7: Para la primera cifra tendremos 8 posibilidades (no contamos al 7, porque ya lo hicimos en el caso anterior, ni contamos el 0, para que el número sea de tres cifras). Para la asegunda cifra tendremos 10 posibilidades. Para la tercera cifra tendremos una sola posibilidad(7). Luego: 8.10.1=80 números. Por lo tanto el total de números que cumplen con lo pedido será: 100+80=180.

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿Cuántas rutas posibles existirán para ir de A a D, de modo que no se pase por un mismo punto dos veces? A A. 7 E B. 8

C. 9 D

D. 2

C 2. En una ciudad “A” los números telefónicos se forman con 4 dígitos (0 a 9) no pudiendo ser 0 el primero de ellos. En la ciudad “B” se forman con 5 dígitos y con las mismas condiciones. ¿Cuántas comunicaciones pueden establecerse entre los ciudadanos de A con los ciudadanos de B? A. 8.105

B. 8.103

C. 8.106

D. 8.107

3. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5? A. 8

B. 10

C. 25

D. 20

4. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra PAPAYA?. Tenga en cuenta que no importa el significado, sólo interesa que la palabra sea de seis letras y estas sean las de la palabra PAPAYA. A. 120

B. 720

C. 10

D. 60

5. En el diagrama se muestra la red de carreteras que unen los pueblos A, B, C y D. ¿De cuántas formas diferentes se puede viajar de A a C, sin retroceder? A. 18

B. 20

C. 24 D

D. 12

6. Juana tiene 6 libros diferentes: 3 con pasta roja y 3 con pasta azul. ¿De cuántas formas diferentes podrá arreglar estos libros en un estante de tal manera que los libros vecinos no tengan pasta del mismo color? A. 72

B. 360

C. 36

D. 48

7. ¿Cuántos grupos de dos o más personas se pueden formar con cuatro personas? A. 24

B. 11

C. 12

D. 10

8. ¿Cuántos son los números enteros positivos de dos o tres dígitos? A. 5

B. 12

C. 990

D. 60

9. ¿De cuántas maneras 3 peruanos, 2 colombianos y 5 chilenos pueden sentase en fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? A. 1 270

B. 8 640

C. 1720

D. 1440

Breisem Torres Villavicencio 10. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 4 personas alrededor de una mesa? A. 4

B. 5

C. 6

D. 24

11. De A a B existen 5 rutas distintas y de B a C, 3. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta de A a C pasando por B? A. 30

B. 8

C. 16

D. 225

12. Se tiene 2 camisas blancas, 2 rojas, 3 verdes y 1 negra. ¿De cuántas maneras diferentes e podrán ordenar en un ropero según el color? A. 12

B. 1680

C. 2840

D. 576

13. Un alumna tiene para vestirse 4 camisas, 3 faldas, 2 pantalones y 6 pares de zapatos. ¿De cuántas formas se podrá vestir? A. 120

B. 144

C. 64

D. 100

14. ¿De cuántas maneras se puede colocar en una cubeta 2 bolas azules, 3 amarillas y 1 blanca? A. 6

B. 60

C. 12

D. 24

15. Con 2 mujeres y 3 hombres, ¿de cuántas maneras se pueden formar en filas de 5, si las damas van siempre juntas? A. 24

B. 96

C. 48

D. 72

16. Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de 4 dígitos. Si solamente sabe que los dígitos posibles son 2, 4, 6 y 8, ¿cuál es el mayor número de combinaciones erradas que podrá intentar? A. 1 280

B. 384

C. 1 110

D. 255

17. ¿De cuántas maneras se puede confeccionar una bandera de 3 colores de franjas verticales, si se tiene telas de 5 colores, sabiendo además que una franja debe ser roja? A. 64

B. 36

C. 28

D. 25

18. En un estante pueden colocarse 2 libros de Física, 3 de Química y 4 de Historia. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar si los libros de una misma materia deben estar juntos? Dar como respuesta la suma de sus cifras. A. 18

B. 12

C. 16

D. 9

19. Un profesor pide a sus estudiantes que pinten los cuatro cuadraditos de la figura, usando sus colores verde o azul. ¿De cuántos colores diferentes se pueden pintar los cuadraditos? A. 8

B. 32

C. 16

D. 62

20. En cada uno de los círculos de la figura se debe escribir un entero positivo, de tal manera que si dos círculos estánunidos por un segmento, entonces estos círculos contienen números diferentes. ¿Cuál es el menor valor que pueden tomarla suma de los 6 números escritos?(ONEM 2014 1° Fase) A. 12

B. 13

C. 14

A A

D. 15

Respuestas: 1. A, 2. D, 3. C, 4. D, 5. A, 6. A, 7. B, 8. C, 9. B, 10. C, 11.D, 12.B, 13.B, 14.B, 15.C, 16.D, 17.B, 18.A, 19.C, 20. B SP:24

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Ana, Beatriz, Celia, Diana y Esmeralda son 5 niñas que están sentadas en una fila de 5 asientos, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que entre Beatriz y Diana hay exactamente 3 niñas, además, Esmeralda y Celia se sentaron juntas. ¿Quién no está sentada en el asiento central necesariamente? (ONEM 2014 1° Fase) En este modelo siempre se presentan una serie de datos desordenados, que necesariamente contienen toda la información que requerimos para poder ordenarlos entre sí. Lo más recomendable para resolverlos en relacionar la información en gráficos, y no tratar de mantenerlos todo en la memoria. Veamos los casos más notables.

6.1 Ordenar por posición de datos:. Se debe de representar gráficamente lo que se está tratando de ubicar. Ejemplo Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia Castilla vive un piso más arriba que la familia Muñoz. La familia Fernández habita más arria que la familia Díaz y la familia Castilla más abajo que la familia Díaz. ¿En qué piso vive la familia Castilla? Resolución En primer lugar dibujamos la casa de cuatro pisos: 4 3 2 1

La primera premisa dice que la familia Castilla vive un piso más arriba que la familia Muñoz, por lo cual tendremos tres posiciones:

Luego el enunciado dice que la familia Fernández vive más arriba que la familia Díaz. Por lo que completamos las distribuciones:

2 C

1 M

4 F

3 D

2 C

M F

1 M D

Por último dice que la familia Castilla vive más abajo que la familia Díaz, luego la segunda y tercer distribución se descartan.

Por lo tanto, queda la primera columna como la que contiene la ordenación correcta. Entonces la familia Castilla vive en el segundo piso.

Breisem Torres Villavicencio

6.2 Relacionar datos entre sí. La mejor forma de resolver estos problemas es hacer un cuadro en el cual podamos ir marcando las deducciones que vamos haciendo. Ejemplo Tres amigos con nombres diferentes tienen cada uno un animal diferente. Si se sabe que: -

El perro y el gato peleaban

Rafael le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario.

Joaquín le dice a Guillermo que su hijo es veterinario.

Joaquín le dice al dueño del gato que éste quiso comerse el canario.

¿Qué animal tiene Guillermo? Resolución En este caso vamos a relacionar personas y mascotas. Dibujamos un cuadro: Perro Gato Canario La primera premisa sirve sólo para saber que hay un gato y un perro

Rafael Joaquín Guillermo

La segunda premisa permite deducir que Rafael no es el dueño del gato ni del canario, por lo cual marcamos con una X estos casilleros.

Perro Gato Canario Rafael

Joaquín

Guillermo

De aquí deducimos que Rafael es el dueño del perro. La tercera premisa sólo sirve para deducir que los otros amigos son Joaquín y Guillermo. La cuarta premisa nos permite deducir que Joaquín no es el dueño del gato, por lo cual debemos marcar con una X el casillero correspondiente a Joaquín con el gato. Por descarte en el cuadro, Joaquín debe ser el dueño del canario. Al tachar la columna correspondiente, sólo queda que Guillermina sea el dueño del gato. Luego, el cuadro queda finalmente así: Perro Gato Canario Rafael

Joaquín

Guillermo

Rpta: Guillermo es el dueño del gato.

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Se tiene cuatro ciudades, X, Y, Z y W; X tiene más habitantes que W, W tiene menos habitantes que Y pero más que Z. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones será necesariamente cierta? a) b) c) d)

X tiene más habitantes que Z. Y tiene menos habitantes que Z. X tiene menos habitantes que Y. X tiene igual número de habitantes que Y.

2. Seis personas juegan póker alrededor de una mesa redonda. Luis Antonio no está sentado al lado de Daniel ni de Gonzalo. Diego no está al lado de Ricardo ni de Gonzalo. Daniel no está al lado de Ricardo ni de Diego. Guillermo está al lado de Daniel, a su derecha. ¿Quién está sentado a la izquierda de Daniel? a) Guillermo

b) Gonzalo

c) Ricardo

d) Luis Antonio

e) Diego

3. Tres amigas, Andrea, Inés y Luciana estudian en tres universidades X, Y y Z. Cada una de las tres estudia una carrera diferente A, B o C. Andrea no está en X y Luciana no está en Y. La que está en X no estudia A. La que está en Y estudia B. Luciana no estudia C. ¿Qué estudia Inés y dónde? a) B en Y

b) A en Z

c) C en Z

d) C en X

e) No se puede determinar.

4. Tres amigos ejercen tres oficios distintos. Por casualidad sus apellidos coinciden con los oficios, aunque no cada uno con el suyo. Al ser preguntados por sus respectivos oficios, nos contestaron con el siguiente enigma: “De las siguientes afirmaciones, tres son falsas y una es verdadera”. I. II. III. IV.

El señor Carpintero no es pintor. El señor Albañil no es carpintero. El señor Carpintero es carpintero. El señor Albañil no es pintor. ¿Cuál es la afirmación verdadera?

b) I I

b) I

c) IV

d) III

e) los datos son contradictorios

5. Vilma, Olga, Beatriz, Rosa y Norma son las esposas (en otro orden) de Juan, Lucas, Mateo, Marcos y Jesús. Todos pertenecen a una orquesta municipal. Rosa está en el coro como Jesús y uno de los otros hombres. Mateo es violinista al igual que dos de las mujeres, una de las cuales es su mujer. Norma toca el mismo instrumento que Juan; el marido de Rosa canta junto a ella en el coro, la mujer de Jesús es flautista, como el marido de Olga. Marcos y Vilma tocan el trombón. ¿Qué toca Beatriz y quién es su esposo? a) Violín, Mateo

b) violín, Juan

c) flauta, Jesús

d) trombón, Marcos

d) María Luisa

e) No se puede determinar

6. Dani es mayor que Lourdes. Cecilia es menor que María Luisa. Lourdes es menor que Cecilia. ¿Quién es la mayor? a) Dani

b) Lourdes

c) Cecilia

Breisem Torres Villavicencio 7. Tres representantes, un presidente, un vicepresidente y u tesorero, deben ser designados por el Comité Estudiantil. Sólo cinco personas son elegibles (dos mujeres; Sandra y Mariela; y tres hombres: Daniel, Miguel y César). Se sabe que: -

Sandra no puede ser presidente. Daniel y Mariela no pueden servir juntos. Miguel y Mariela no pueden servir juntos. Los tres representantes no pueden ser del mismo sexo. ¿Cuál de las siguientes combinaciones es posible? a) b) c) d) e)

Daniel como vicepresidente y Miguel como tesorero. Daniel como vicepresidente y César como tesorero. Sandra como vicepresidente y César como tesorero. César como vicepresidente y Daniel como tesorero. Miguel como vicepresidente y César como tesorero.

8. Hay cuatro amigos, cada uno con una determinada afición a un juego (sapo, ajedrez, dominó, damas); a tener una mascota (loro, gallo, perro, canario) y a ver películas (ficción, comedias, terror, dramas). -

Rafael ve ficción. El que juega sapo tiene el loro. Lucho no tiene el canario. El que ve comedias juega ajedrez. Pepe juega dominó. El que ve terror tiene el perro. David no juega ajedrez. El que juega damas ve drama. ¿Quién ve película de terror? a) Pepe

b) Rafael

c) Lucho

d) Daniel

e) Cualquiera

9. Si Carla es mayor que Félix, Lila y Eduardo tienen la misma edad. Lila es menor que Félix. Lucía y Eduardo han nacido el mismo mes y año: es siempre cierto que a. Lila es menor que Lucía

c. Félix es menor que Eduardo

b. Carla y Eduardo nacieron el mismo año

d. Lucía es menor que Carla

10. En una reunión se encuentran un médico, un escrito, un abogado y un ingeniero. Ellos se llaman Bruno, Franco, Erick y Luis, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que: - Bruno y el médico estudiaron en el mismo colegio que Erick. - Franco es primo del ingeniero. - El escritor es vecino de Erick. - El abogado es amigo de Luis y del ingeniero. - Bruno es escritor. ¿Quién es el abogado y que profesión tiene Erick? a. Franco-abogado

c. Franco-escritor

b. Franco-ingeniero

d. Franco-médico

RESPUESTAS: 1. a 2. b SP: Ana

3. d

4. c

5. A

6. e

7. c

8. a

9. d

10. b

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Halla el valor de la incógnita x en: 163, 77, 35, 15, x

(UNI 2014 I)

Una sucesión es un conjunto de objetos (números, letras, etc.) que guardan una determinada RELACIÓN de formación. Esta LEY puede ser aritmética (sumando o restando), geométrica (multiplicando o dividiendo) o simplemente posicional (depende de la ubicación de sus elementos). En cualquiera de los casos mencionados los elementos de la sucesión deben permitir encontrar y comprobar dicha LEY.

EJEMPLOS 1. ¿Qué número sigue: -1; 0; 2; 5; 9: … Tenemos: -1;

x Por lo tanto, la respuesta será: 9+5=14.

2. ¿Qué número sigue: 3; 6; 12; 24; … Tenemos: 3;

24;

x Por lo tanto, la respuesta será: 24x2=48

3. ¿Qué número sigue: 3; 4; 12; 14; 42; 45; … Tenemos: 3;

12;

14;

42;

45;

x Luego, el número que sigue es: 45x3=135

4. ¿Qué número sigue: 1; 6; 3; 4; 5; 2; 7; 0; … Tenemos:

Breisem Torres Villavicencio

-2

En consecuencia, el número que sigue es: x=7+2=9, y el que sigue: 0 – 2 = - 2 . 5. ¿Qué letras siguen: a; b; c; A; e; f; g; B; B; j; k; l; C; C; … Veamos: a;

…….. ……..

Por consiguiente, las letras que siguen son C y o.

En las siguientes sucesiones determina el elemento que sigue:

16.

1. 1; 11; 23; 39; 61; … 2. 2; 17; 28; 34; …

….

17. Halla (x + y) en la sucesión:

3. 10; 13; 15; 15; 12; …

-10; -9; -y; -4; 0; x; 11

4. 3; -6; -12; 24; …

18. BA; DI; FU; HE; …

5. 1/3; 2/9; 4/27; 8/81; …

19. x+3; - 2 x+1; 4x – 1 ; - 8x – 3 ; …

6. 48; 24; 20; 10; 6; 3; …

20. ¿Cuáles son las dos letras que sigue:

7. 5; 5; 6; 7; 7; 10; 8; …

P, Ñ, L, H, …

8. 0; 3/2; 2/3; 5/4; 4/5; 7/6; 6/7; … 9. 1; 8; 27; 64; … 10. 3; 11; 8; 10; 13; 9; 18; … 11. B; E; I; N; … 12. Q; P; N; K; G; … 13. A; C; F; H; K; M; … 14. A; B; p; B; C; s; C; D; …

RESPUESTAS: 1. 91 2. 34 3. 5 4. 48 5. 16/243 6. -1 7. 14 8. 9/8 9. 125 10. 8 11. T 12. B 13. P 14. V 15.M, 16. 55 17. 12 18. JU 19. 16x-5 20. C SP: 6

15. B; A; F; E; J; I; …

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA

8 5 1 3 2

Determina el valor de x en:

4 5 11 5 9

6 4 x 8 7

(UNI 2013-II) Al igual que en las sucesiones numéricas las figuras guardan una determinada ley de formación que depende básicamente de la posición y el número de los elementos que intervienen. En cuanto a las distribuciones numéricas la relación debemos buscarla entre sus elementos utilizando las relaciones operacionales entre ellas. En este caso no existen reglas predeterminadas.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dibuja acá tu solución

es a

Como

‘es a ¿?

2. Completar : 12

¿?

Primera fila: 12+8 =5x4 = 20 Solución

Segunda fila: 9+9 = 6x3 = 18 Tercera fila: 13+¿? = 2x15 = 30 Luego: ¿? = 17 (R)

3. Determina el valor de “x” en la distribución numérica siguiente: 5

7 1

10 3

Breisem Torres Villavicencio Solución Buscamos relaciones operacionales entre los elementos de las dos primeras figuras; luego procedemos en forma análoga con la tercera figura para determinar el valor de “x”. Primera figura: (1+3+5) – 2 = 7 Segunda figura: (2+4+6) – 2 = 10 Tercera figura: (0+3+x) – 2 = 6 ,

x=5(R)

4. El número que falta es:

Solución En este caso nos damos cuenta que las relaciones numéricas son: Primera figura: (7+4) – (6+3) = 2 Segunda figura: (7+6) – (9+1) = 3 Tercera figura: (7+5) – (7+4) = 1 ( R ) 5. ¿Qué figura completa la serie siguiente?

…… Resolución Observamos que cada vez aumenta en una línea y en forma continua. Luego la figura que sigue debe tener siete líneas, es decir, ser un heptágono. 6. ¿Qué figura continua?

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas Solución Observamos que todas las series de figuras están compuestas por líneas rectas y quebradas. De las alternativas sólo la e) cumple con esta relación.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Halla el número que falta en: 40

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

2. Halla el número que falta en: 25

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

3. ¿Cuál es el número que falta? 3

¿?

2 b) 12

a) 15

c) 20

d) 18

3 e) 14

4. Halla el valor de “x” en: 14

(10)

125

(70)

(x)

a) 18 b) 34 c) 15 d) 40 e) 71

5. ¿Cuál es el valor de “x”? 3

4 2

3 6

2 3

a) 2

3 9

4 2

b) 3

c) 5

e) 7

6 4

d) 6

Breisem Torres Villavicencio 7. Calcula el valor de “x”: a) 129 3

b) 76

17 65

c) 32 d) 21

e) 127

8. Calcular el valor de “x” en:

7 2

a) 12

1 9

c) 13

6 x

b) 6

d) 8

e) 10

9. Calcula el valor de “x” en: 4

(7)

(14)

(x)

a) 25 b) 21 c) 28 d) 16 e)17

10. Calcula el valor de “x” en:

Respuestas: 1. e

144

(36)

2. e

(5)

3. a

(x)

a) 80 b) 6

c) 10 d) 40 e) 7

11. ¿Qué número falta?

5. e

a) 36

6. a 120

b) 48 c) 84

¿? 3

7. e 2

d) 68 e) 72

4. c

8. d 9. c

10. c SP: 10

Fortaleciendo mis habilidades lĂłgico matemĂĄticas

SITUACIĂ&#x201C;N PROBLEMĂ TICA Si aď&#x201A;Š b =

đ?&#x2018;&#x17D;2 +đ?&#x2018;? 2

ecuaciĂłn:

, calcula el mayor valor que puede tomar x en la siguiente

1ď&#x201A;Š2 + 2ď&#x201A;Š3 + 3ď&#x201A;Š4 = 2ď&#x201A;Š(xď&#x201A;Š2)

(ONEM 2010 2Â° Fase)

El operador matemĂĄtico es un sĂmbolo (#, $, %, &, â&#x2C6;&#x2020;, â&#x2122;Ľ, etc.) que representa un proceso de transformaciĂłn de una o mĂĄs cantidades en otra (resultado), bajo ciertas reglas arbitrarias como operar, que se definen o establecen en cada problema.

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Si a * b = 3b â&#x20AC;&#x201C; 2 a 4, calcula 5 * 7. ResoluciĂłn El proceso de transformaciĂłn serĂĄ: a * b = 3b â&#x20AC;&#x201C; 2 a 4

5 * 7 = 3(7) â&#x20AC;&#x201C; 2(5 4) = 21 â&#x20AC;&#x201C; 2(625) = 21 â&#x20AC;&#x201C; 1250 = - 1229 ( R ). 2.

Si a â&#x2C6;&#x2020; b = ab % (a + b), y a % b = 2 a + b, calcula 2 â&#x2C6;&#x2020; 3. ResoluciĂłn Por la definiciĂłn de la operaciĂłn â&#x2C6;&#x2020;,, tendremos: a â&#x2C6;&#x2020; b = ab % (a + b), / reemplazamos 2 â&#x2C6;&#x2020; 3 = 2.3 % (2 + 3) / operando 2 â&#x2C6;&#x2020; 3 = 6 % 5 / ahora, aplicamos la definiciĂłn de la operaciĂłn % 6 % 5 = 2 . 6 + 5 = 12 + 5 = 17 ( R )

Puesto que x & y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 5y, cuando x > y x& y = 3 x â&#x20AC;&#x201C; 7 y, cuando x < y. Determina el valor de ( - 2 & - 1 ) â&#x20AC;&#x201C; ( - 1 & - 2 )

ResoluciĂłn Aplicamos la segunda condiciĂłn:

Reemplazando en

- 2 & - 1 = 3(-2) â&#x20AC;&#x201C; 7(-1) = - 6 + 7 = 1

(-2&-1)â&#x20AC;&#x201C;(-1&-2)

Aplicamos la primera condiciĂłn:

-1 & - 2 = 2 (-1) â&#x20AC;&#x201C; 5 (-2) = - 2 + 10 = 8

-8

- 7(R)

Breisem Torres Villavicencio

a*b = 2a–b y

Dado que

= 6 x + 7. Halla N en

N*5

= 25

Resolución Hallamos

N*5

= 2 N – 5, ahora reemplazamos y aplicamos la operación

N*5

= 6 ( 2N – 5 ) + 7 = 12N – 30 + 7 = 12N -23.

N-5

Como:

lo reemplazamos por 12N – 23:

= 25, la operación

N*5

12 N – 23 = 25

12N = 48

N=4(R)

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si

a * b = 3 a + b – 8, halla 2 * 6.

a)3

b) 4

c) 5

d) 7

2. Se define 5 a # b 3 = a 3 – 2b, calcula 125 # 27. a)21 3. Si

b) 27 x+5

a)23

c) 23

= 3x + 5, determina b) 34

d) 24 9

c) 43

12 d) 27

4. Si 3x-4

a) 8

= x 2 + 1, determina el valor de

b) 36

c) 34

d) 51

m 2  10 5. Dado que m & n = , determina el valor de ( 5 & 2) & ( 4 & 1 ) n2 1 a)1/3

b) 1/10

c) – 1/10

d) – 1/7

6. Si dos operaciones # y * se definen como: a # b = a – b , a * b =

a + 1, el valor de “x” en la b

expresión (4 # 5) * x = 5 / 6 es: a) 6

b) – 1/6

c) 1/6

d) – 6

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

x+2

7. Si a) 2

= x 2009 +

1 x

2010

, determina el valor de c) – 1

b) 1

1 d) 0

8. Definimos las operaciones: a = 2 a – ab, a & b = a + ( a # b) y x # y = y 2 – x. Halla el valor de: b 2&3 + { [ 2 # (-1) ] & 2 } 2&1 a)

c) – 2

b) 5

d) – 1

9. Sea la operación % definida en los reales por: p % q =

pq . Calcula el valor de “x” en: pq

x%2 =(2x)%4. a) 0

b) 5

d) R – {2}

c) 2

10. Sea “x” la operación definida en A = { a, b, c } mediante la tabla: x

a b C

a a b c b b c c

a b

Determina el valor de M = a 2 x b x c 3 a)

b) b

c) c

d) falta información

RESPUESTAS: 2. d 7. d

8. b

2. a

3. c 9. d

4. b 10. B

5. c SP : 6

6. a

Breisem Torres Villavicencio

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Rolando leyó ayer la quinta parte de las páginas de un libro, hoy leyó la mitad de lo que le quedaba por leer y todavía le faltan 80 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro? (ONEM 2004 2° Fase). Recuerda las diferentes interpretaciones que se pueden dar a una fracción; y en consecuencia la variedad de problemas que abarca este tema.

3:4

75% Porcentaje

Tres es a cuatro Razón

0,75 Notación decimal

75 Fracción 100 decimal

Probabilidad 3 de 4

Relación parte todo en material continuo

Instrucción: multiplicar por 3 y luego dividirlo por 4

Relación parte todo en material discontinuo

Operador 3:4 división Medida lineal

Medida de capacidad

Medida de tiempo 50

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Qué fracción de 8 es 2? Resolución Tenemos: fracción =

parte 2 1   (R) todo 8 4

2. En una reunión hay 25 damas y 35 caballeros, ¿Qué porcentaje de los reunidos son mujeres? Resolución Tenemos: fracción =

parte 25 5   todo 60 12

Porcentaje: fracción x 100 % = 3.

5 x100%  41,7% (R) 12

¿Qué porcentaje del total representa la parte sombreada de la siguiente figura?

Resolución Observamos que la parte sombreada es los ¾ de ¼ de ¼ del 100 %. Lo cual escribimos:

3 1 1 3 x x x100%  x100% = 4,7 % (R). 4 4 4 64

4. De los 30 pollos que tengo, vendo 2/5. ¿con cuántos me quedo? Resolución Si se vende 2/5 de 30, queda 3/5 de 30. O sea: 3/5 x (30) = 18 pollos (R). 5. Juan hace una obra en 60 días y José lo hace en 40 días. Si trabajan juntos, ¿en cuánto tiempo harían la obra? Resolución Juntos en un día harán:

Juan en un día hace: 1/60 de la obra.

1/60 + 1/40 = 1 / 24 de la obra, luego toda la obra lo harán en 24 días.

José en un día hace 1/40 de la obra.

6. Calcula el 30 % de 40. Resolución El 30 % de 40 =

30 x 40 = 12 (R). 100

7. ¿Qué tanto por ciento de 35 es 14? 51

Breisem Torres Villavicencio Resolución De 35 es 14 = 14 / 35. Luego: lo pedido será:

14 x100% = 40 % (R). 35

8. ¿A qué descuento único equivale dos descuentos sucesivos de 20 % Y 30 %? Resolución ¡Ojo! No es a 50 %. Cantidad total 100 % Descuento

queda

20 %

80 %

30 %

70 %

Cantidad final: 70% x 80% x100% = 70/100 x 80/100 x 100 % = 56 % Luego, el descuento único será de: 100% - 56% = 44% (R)

9. ¿En qué porcentaje variará el área de un rectángulo, si la base se incrementa en un 60% y su altura disminuye en un 30%? Resolución Por conveniencia damos los valores apropiados y con ellos hacemos los cálculos según los datos. Inicio:

Final:

b = 10

b = 160%(10) = 16

h = 10

h = 70%(10) = 7

A = b x h = 10 x 10 = 100

A = 16 x 7 = 112

Luego, el área aumenta: 112% - 100% = 12% (R) 10. ¿Cuál fue el precio de lista de una muñeca que se vendió en S/. 160, habiéndose efectuado un descuento del 20%? Resolución Como nos damos cuenta: precio de lista (PL)– 20% de este = precio de venta (PV) Lo cual abreviamos: PL – 20% PL = PV, reemplazando los otros datos y efectuando: PL – 20/100 PL = 160

80 /100 PL = 160

PV = S/. 200 (R)

11. Los estudiantes de una escuela realizan una rifa para recaudar fondos destinados a la compra de útiles escolares. Si se venden 200 números, ¿Qué probabilidad tiene de ganar la mamá de Roberto si compra 15 números? Resolución Total de números vendidos (casos posibles): 200 Cantidad de números comprados (casos favorables): 15

Fortaleciendo mis habilidades lĂłgico matemĂĄticas Por definiciĂłn: Probabilidad de un evento =

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;

Reemplazando y operando: P(ganar) = 15/200 = 0,075 En porcentaje: 0,075 x 100% = 7,5% (R) 12. Ernesto gasta un tercio de su dinero, luego gasta un cuarto del resto y por Ăşltimo gasta un quinto del nuevo resto. Si al final le quedan 360 soles, ÂżquĂŠ cantidad de dinero gastĂł en total Ernesto? ResoluciĂłn SegĂşn la informaciĂłn presente en el enunciado, y siendo D (dinero), tendremos: Primer gasto: 1/3 D

le queda: 2/3 D

Segundo gasto: Âź de 2/3 D

le queda: Âž de 2/3 D

Tercer gasto: 1/5 de Âž de 2/3 D

le queda: 4/5 de Âž de 2/3 D, que es igual a 360.

Es decir: 4/5 x Âž x 2/3 D = 360 tenĂa.

2/5 D = 360

D = 900, que es el dinero que

Por lo tanto, lo que gasto es 900 â&#x20AC;&#x201C; 360 = S/. 540 (R) 13. En un congreso mĂŠdico, la mitad de los participantes son cardiĂłlogos, la tercera parte ginecĂłlogos, una sĂŠptima parte son cirujanos y sĂłlo uno es neurĂłlogo. ÂżCuĂĄntos fueron los participantes? (concurso pĂşblico para nombramiento de docentes-15 nov. 2009) ResoluciĂłn Si convenimos en designar con â&#x20AC;&#x153;pâ&#x20AC;? al total de participantes, segĂşn la informaciĂłn del enunciado, tendremos: Â˝ p + 1/3 p + 1/7 p + 1 = p

resolvemos esta ecuaciĂłn (sacamos el mcm a toda):

21 p + 14 p + 6 p + 42 = 42 p

p = 42

Luego, los participantes fueron 42 mĂŠdicos (R)

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Laura compra manzanas a 3 por S/. 2,50 y los vende a 2 por S/. 2,50. Un dĂa ella obtuvo una ganancia de S/. 10 ÂżCuĂĄntas naranjas vendiĂł Laura ese dĂa? R: 24 2. En un salĂłn de clase donde hay menos de 50 estudiantes, se sabe que la sĂŠptima parte de los estudiantes usan anteojos y que la sexta parte pertenece al club de matemĂĄtica. ÂżCuĂĄntos alumnos de la clase no usan lentes? R: 35 3. Tres niĂąos compran dulces en una tienda. El primero compra la mitad de los dulces que hay; el segundo compra la tercera parte de los dulces que quedan; el tercero compra 20 dulces y se acaban los dulces. ÂżCuĂĄntos dulces habĂa en la tienda? R: 60

Breisem Torres Villavicencio 4. De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una al azar. Para cada caso, calcular la probabilidad de que la bola extraída: a) Sea una bola verde. b) No sea roja c) Sea una bola roja o verde.

R: a) 7/20

b) 3/5 c) ¾

5. Se lanzan dos monedas juntas. Calcula la probabilidad de que salga: a) En las dos monedas escudo. b) En una moneda escudo y en la otra cara opuesta de la moneda. R: a) 25%

b) 50%

6. Dos jarra, con capacidad de 600 ml cada una, contiene jugo de naranja. Se ha llenado un tercio de una de las jarras y dos quintos de la otra jarra. Se añade agua hasta llenar cada una de las jarra completamente, y luego se vacía el contenido de las dos jarra en una vasija grande. ¿Qué fracción del líquido en la vasija grande es jugo de naranja? R: 11/30 7. Una vendedora llevó cierto número de paltas al mercado. Primero vendió la mitad del total que llevó, más media palta, y luego vendió la mitad de lo que le quedó después de la primera venta, más media palta. Si luego de estas dos ventas le quedó una palta. ¿Cuántas paltas había llevado al mercado, si se sabe además que en ningún momento cortó ninguna palta? R: 4 8. En una reunión, 5/9 de los asistentes son mujeres, de las cuales 1/3 son solteras y las otras 10 son casadas, además, asistieron 9 hombres casados. Al finalizar la reunión, las solteras y los solteros decidieron ir a la Plaza. ¿Cuántos hombres y mujeres fueron al cine? R: 8 9. Un virus en un computador se está comiendo el espacio en el disco duro. El primer día se come 1 del espacio. Durante el segundo día se come 1 del espacio que quedaba. El tercer 2

día se come 1 de lo que aún quedaba y el cuarto día se come 1 de lo restante. ¿Qué fracción 5 4 del espacio original no se comió el virus?

R: 1/5

10. En un supermercado hay cajeros, supervisores y reponedores. Si el 60 % de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y estos son un tercio de los cajeros, ¿cuál es el total de los trabajadores? (UNC 2014) R: 150 11. En un acuario hay 200 peces. El 1% de ellos son azules, y todos los demásson amarillos. ¿Cuántos peces amarillos habría que sacar del acuario para que el porcentaje de peces azules fuese el 2% del total de peces en el acuario? R: 100 12. David tiene entre sus tesoros una bolsa que contiene bolitas; la tercera parte del total de bolitas son rojas, 18 bolitas son verdes y el resto son azules. David calculó que si el agregara 6 bolitas azules a la bolsa, entonces la mitad del total de bolitas serían azules. ¿Cuántas bolitas rojas tiene David? R: 30 13. Natalia compró pinturas de colores amarillo, azul y blanco para hacer una mezcla para pintar toda su casa. La octava parte de la mezcla es de pintura amarilla, mientras que dos terceras partes de la mezcla es de pintura azul; el resto de la mezcla es de pintura blanca. Si Natalia

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas utilizó 10 galones de pintura blanca para su mezcla, ¿cuántos galones de mezcla de pinturas hizo en total? R: 48 14. Dos discos compactos tienen igual precio. Por una venta especial, a uno de los CD lo rebajan en un 5% de su precio, mientras que el otro se incrementa en un 15% de su precio. Ahora los nuevos precios difieren en S/.6. ¿Cuál es el precio del CD más barato? R: 28,5 15. Una casa tiene un patio rectangular. Los dueños deciden agrandar el patio incrementando tanto el ancho como el largo en un 10%. ¿Cuánto aumentó el área del nuevo patio?R: 21% 16. El otro día tuve dificultad para resolver un examen de inglés. Al principio lo hice muy bien: 9 de las primeras 10 preguntas las respondí correctamente. Luego, me fue mal: sólo sabía el 30% del resto de las preguntas. Al final, el 50% de la prueba fue respondida correctamente. ¿Cuántas preguntas tenía la prueba? R: 30 17. La entrada de un club es 60% más barata para los miembros que para los que no son miembros. ¿Qué tanto por ciento más caro es una entrada para los que no son miembros que para los que son miembros? R: 250% 18. Raúl tiene 2004 metras. La mitad de ellas son azules, un cuarto son rojas y un sexto son verdes. ¿Cuántas metras son de algún otro color? R: 167 19. Las dos terceras partes de las personas en un salón están sentadas ocupando las tres cuartas partes de las sillas. Las demás personas están de pie. Si hay 6 sillas desocupadas, ¿Cuántas personas hay en el salón? R: 27 20. Dos velas son de diferente tamaño y de diferente grosor. La más larga dura 7 horas en gastarse completamente, y la más corta dura 10 horas. Después de estar prendidas durante 4 horas, las dos velas tienen el mismo largo. ¿Cuál es la razón entre la longitud original de la vela más corta y el de la vela más larga? R: 7/10 21. A una fiesta asistieron solamente mujeres solteras y hombres casados con sus esposas. La probabilidad de que una mujer, seleccionada al azar, sea soltera es 1/5. ¿Qué fracción de las personas en la fiesta son hombres casados? R: 2/5 22. Ruth tiene una manera particular de leer un libro: cada día lee la mitad de las páginas que le quedan por leer más cinco páginas. Si Ruth leyó los “Los perros hambrientos”, de Ciro Alegría en exactamente 4 días, ¿Cuántas páginas tiene este libro? R: 150 pág. 23. Una máquina regalona duplica el dinero que lleva cada persona, con la condición de recibir como pago 8 soles después que ha duplicado el dinero. Un joven acepta la condición, pero en la tercera operación de pago se queda sin dinero. ¿Cuánto llevaba inicialmente el joven? (UNC 2014) R: 7 soles

Breisem Torres Villavicencio

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Entre tres alumnas tienen 28 libros. Betty tiene tres menos que Alicia, y Caty tiene dos menos que Betty. El número de libros que tiene Caty es: (UNC 2014) A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

E. 10

Hablando en lenguaje cotidiano y en tres dimensiones, una ecuación es una balanza de platillos que está en equilibrio. Es decir, en ambos platillos existe la misma cantidad de masa de un determinado cuerpo. El uso de las ecuaciones es una poderosa herramienta para la resolución de múltiples tipos de problemas. El método más arraigado para resolverlas es la transposición de términos, aunque no la más correcta, desde el punto de vista matemático. ¿En qué consiste este método? Como su nombre lo dice: en transponer o pasar términos (números o letras) de un lado a otro de la ecuación, bajo las siguientes reglas: -

Si un término está en un lado sumando pasa al otro lado a restar o viceversa. Si un término está en un lado multiplicando pasa al otro lado a dividir o viceversa.

Es decir, un término pasa de un lado a otro haciendo la operación inversa. SIMBOLIZACIÓN DE ENUNCIADOS

A la derecha de cada frase escribe su representación algebraica: 1. El cuádruplo de un número disminuido en 20. ................. 2. 2/3 de mi peso, disminuido en 12. ................... 3. El triple de tu nota en lenguaje, aumentado en 5.

................

4. Tu edad más 6 años y dividida entre 2. ....................... 5. Un número aumentado en su cuarta parte. ............... 6. N veces la inversa de un número .............. 7. 5 veces la suma de m y a.

........................

8. Un número elevado al cubo y disminuido en 12. ............... 9. El cuadrado de la inversa de la suma de a, b y c. ...............

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas 10. El doble del largo de un terreno.

...................

11. Se divide 4 entre la suma de p y r.

......................

12. 5f restado de 2f. ............................ 13. El triple del dinero que tengo, menos 3 soles. ................... 14. El doble de mi edad dentro de 7 años.

....................

15. Nueve veces la diferencia entre 11 y 2s.

....................

16. El recíproco de b-2.

...................

17. El exceso de H sobre K. ......................... 18. Los 3/7 de un número exceden en 222 a sus 2/5. ................... 19. El cuadrado de la suma de dos edades. ................. 20. La suma de los cuadrados de dos temperaturas. ................. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Si un estudiante tiene x soles y compra n lápices a y soles cada uno, le sobran p soles, entonces p es igual a: A. ny B. x – n C. x – n – y D. x – ny E. x + ny Resolución De los x soles que tiene gasta ny, entonces le sobran x – ny. Lo cual sería igual a p. Luego: p = x – ny. Respuesta: p es igual a: x – ny. 2. La edad de juan es el cuádruplo de la edad de su hermana, y dentro de 10 años será el triple. ¿Cuál es la edad actual de Juan? A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 E. 80 Resolución Sean: La edad de su hermana: x La edad de juan: 4x Dentro de 10 años, la edad de su hermana será: x + 10, y la de Juan: 4x + 10. En estas condiciones la edad de Juan será el triple de la edad de su hermana. O sea que: 4x + 10 = 3 (x + 10) Resolviendo esta ecuación: 4x + 10 = 3x + 30  4x – 3x = 30 – 10  x = 20. La edad actual de Juan: 4x = 4(20) = 8. 0. Respuesta: la edad actual de Juan es 80 años. 3. (ONEM 2013) Kevin tiene un total de 20 monedas de 5 soles y de 3 soles. Si la cantidad de monedas de cada valor se intercambian, la cantidad total de dinero aumentaría en 18 soles. ¿Cuánto dinero tenía Kevin al inicio? A. 61 soles

B. 79 soles

C. 85 soles

D. 59 soles

E. 48 soles

Breisem Torres Villavicencio ResoluciĂłn Sean: NĂşmero de monedas de 5 soles: n ď&#x192; el nĂşmero de monedas de 2 soles es: (20 â&#x20AC;&#x201C; n). El monto en monedas de 5 soles serĂĄ: 5n, y el monto en monedas de 2 soles serĂĄ: 2(20 â&#x20AC;&#x201C; n). Siendo el monto total de: 5n + 2(20 â&#x20AC;&#x201C; n). Ahora, al intercambiar los valores de las monedas, resultan: n monedas de 2 soles y 20 â&#x20AC;&#x201C; n monedas de 5 soles. Siendo el nuevo monto total de: 5(n â&#x20AC;&#x201C; 20) + 2n. Como la cantidad total de dinero aumentarĂa en 18, tenemos la ecuaciĂłn: [5(20 - n) +2n] â&#x20AC;&#x201C; [5n + 2(20 â&#x20AC;&#x201C; n)] = 18 Resolviendo: 100 â&#x20AC;&#x201C; 5n + 2n â&#x20AC;&#x201C; 5n â&#x20AC;&#x201C; 40 + 2n = 18 ď&#x192; - 6n + 60 = 18 ď&#x192; - 6n = -42 ď&#x192; n = 7. Monto en monedas de 5 soles: 5 x 7 = 35 soles. Monto en monedas de 2 soles: 2 (20 â&#x20AC;&#x201C; 7) = 2 x 13 = 26 soles. Siendo el total: 35 + 26 = 61 soles. Respuesta: Kevin tenĂa al inicio 61 soles. 4. Si reparto a cada compaĂąero tantos caramelos como compaĂąeros tengo, me faltarĂan dos caramelos; pero si cada uno recibe un caramelo me sobrarĂan 70. ÂżCuĂĄntos caramelos tengo? A. 79 B. 81 C. 84 D. 89 E. 74 ResoluciĂłn Sean El nĂşmero de alumnos: a El nĂşmero de caramelos: c Total de caramelos: me faltan 2 serĂĄ igual: a x a â&#x20AC;&#x201C; 2; me sobran 70 serĂĄ igual: a + 70. Es decir: a x a â&#x20AC;&#x201C; 2 = a + 70 Resolviendo: a x a â&#x20AC;&#x201C; a = 70 + 2 ď&#x192; a (a â&#x20AC;&#x201C; 1) = 72 ď&#x192; a(a â&#x20AC;&#x201C; 2) = 9 (9 â&#x20AC;&#x201C; 1) ď&#x192; a = 9 luego, el total de caramelos es: a x a â&#x20AC;&#x201C; 2 = 9 x 9 â&#x20AC;&#x201C; 2 = 79. Respuesta: tengo 79 caramelos. 5. Se ha comprado cierto nĂşmero de libros por 150 soles. Si cada libro hubiese costado un sol mĂĄs, se hubiese comprado 5 libros menos con el mismo dinero. ÂżCuĂĄntos libros se compraron? ResoluciĂłn Sean: El costo de cada libro: c ď&#x192; un sol mĂĄs por cada libro, su costo serĂĄ: c + 1 El nĂşmero de libros serĂĄ:

150 đ?&#x2018;?

en el primer precio; y

150 đ?&#x2018;?+1

en el segundo cas.

Luego, como la diferencia de las cantidades de libros es 5, tenemos: 150 150 â&#x2C6;&#x2019; =5 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?+1 1 30 30 Multiplicando a todo por , resulta: â&#x2C6;&#x2019; = 1, Realizando las transformaciones: 5

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?+1

Fortaleciendo mis habilidades lĂłgico matemĂĄticas 30(c + 1) â&#x20AC;&#x201C; 30c = c (c + 1) ď&#x192; 30c + 30 â&#x20AC;&#x201C; 30 c = c(c + 1) ď&#x192; c(c + 1) = 30 ď&#x192; c(c + 1) = 5 (5 + 1) ď&#x192; c = 5. El nĂşmero de libros que se compraron: 150 = 30 5 Respuesta: se compraron 30 libros.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un niĂąo compra manzanas a 3 por 2 soles y los vende a 4 por 3 soles. ÂżCuĂĄntas manzanas debe vender para ganar 5 soles? A. 80

B. 90

C. 100

D. 60

2. Juan siembra un sĂŠtimo de su terreno con naranjas y la mitad del resto con algodĂłn. Si permanecen sin sembrar 1 500 m2, ÂżcuĂĄl es el ĂĄrea del terreno? A. 2 500 m2

B. 2 800 m2

C. 3 500 m2

D. 3 800 m2

3. Un comerciante regalo lapiceros a sus clientes. Si regala 8 a cada uno le sobran 15, si regala 11 a cada uno le faltan 3. ÂżCuĂĄntos clientes tiene el comerciante? A. 6

B. 73

C. 72

D. 8

4. Un examen consta de 80 preguntas. Si hasta el momento ha resuelto 1/3 de lo que le falta por resolver, suponiendo que resuelve consecutivamente desde la primera pregunta. La siguiente pregunta que le toca resolver es: A. 20

B. 21

C. 61

D. 22

5. En un examen de 40 preguntas, por cada respuesta correcta se da 3 puntos y por cada incorrecta se quita 1 punto. Si un alumno obtiene en dicha prueba 88 puntos, habiendo respondido todas. ÂżEn cuĂĄntas se equivocĂł? A. 8

B. 7

C. 9

D. 10

6. La edad de Alejandra es la mitad de la edad de Carmen. La edad de MarĂa es el doble que la edad de Carmen. Entonces es cierto que: A. B. C. D.

La edad de Carmen es el cuĂĄdruplo de la edad de Alejandra. La edad de Alejandra es la mitad de la de MarĂa La edad de Alejandra es la cuarta parte de la edad de MarĂa. Carmen tiene la misma edad que MarĂa.

7. Un cajĂłn de manzanas trae 100 manzanas de las cuales 20 salen malogradas. Si se reparten las que quedan entre n niĂąos y m niĂąas, ÂżcuĂĄntas manzanas se deben dejar para repartir entre las niĂąas?

đ?&#x2018;&#x203A;+đ?&#x2018;&#x161; 80

80 đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x161;

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161;

C.100 -

20 đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x161;

80 đ?&#x2018;&#x203A;+đ?&#x2018;&#x161;

8. Si p lĂĄpices cuestan a soles y q cuadernos cuestan b soles, ÂżcuĂĄnto cuestan n lĂĄpices y m cuadernos? A. np + mq

B. na + mb

C. anp + bmq D.

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x17E;

9. Si a la edad que tenĂa hace 5 aĂąos, le sumamos la mitad de los que tendrĂŠ dentro de 10 aĂąos, resulta el quĂntuple de lo que tenĂa hace 7 aĂąos. ÂżCuĂĄl es mi edad actual? A. 10 aĂąos

B. 12 aĂąos

C. 15 aĂąos

D. 18 aĂąos

Breisem Torres Villavicencio 10. Un matrimonio dispone de cierta cantidad de dinero para ir a la feria agropecuaria con sus hijos. Si compra entradas de 7 soles le faltaría 17 y si adquiere entradas de 4 soles le sobraría 10. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio? A. 3

B. 4

C. 7

D. 9

11. En la final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática participaron estudiantes de dos categorías: 160 en la categoría Alfa y 130 en la categoría Beta. Se sabe que el número de varones en la categoría Alfa fue el doble del número de mujeres de la categoría Beta; además, el número de mujeres en la categoría Alfa fue igual al número de varones en la categoría Beta. ¿Cuántas mujeres participaron en la categoría Alfa?(ONEM 2014 Fase I Nivel 2)

A. 30

B. 60

C. 50

D. 100

12. Una persona invierte dos quintos de su sueldo (mensual) en la educación de su hijo y la mitad del resto en su alimentación. Si para otros gastos aún le sobran 360 soles, determina la magnitud del sueldo. (UNI 2013-1) A. S/. 1 200

B. S/. 1 500

C. S/. 1 800

D. S/. 2 100

13. Mateo es el triple de rápido que Omar al realizar una tarea. Si juntos pueden culminar la tarea en 15 días, ¿Cuántos días emplearía Mateo en realizar la misma obra trabajando solo? (UNI 2013-I) A. 16

B. 18

C. 20

D. 22

14. Alicia le dice a Olga: “Si me prestas 10 soles me alcanza para comprar tres polos”, y Olga le responde: “Si tú me prestas 8 soles, nos alcanza para comprarnos dos polos cada una”. Si hablan de cantidades exactas y los polos tiene igual precio cada uno, ¿cuánto dinero tiene Olga? (UNMSM 2014-II) A. S/. 28

B. S/. 24

C. S/. 20

D. S/. 44

15. La edad actual, en años, de mi abuelo es mayor en 12 años que el cuadrado de la edad de José y el próximo año será menor en 4 años que el cuadrado de la edad de José. ¿Cuántos años tiene José? A. 74

B. 76

RESPUESTAS: 1) D 2) C

C. 70.

3) A

4) B

D. 73

5) A

11. D 12. A 13. C 14. A 15. B SP: 7

6) C

7) D

8) D

9) A

10) C

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas S E GU N D A A U TO EV A LUA C IÓ N 31. ¿Cuántas caras del cubo A están en contacto con los otros cubos? a) 2 b) 3 c) 1 A d) 4 32. ¿Qué figura continua?

33. ¿Qué figura continua?

34. es a

es a

como:

es a

Breisem Torres Villavicencio 35. Hallar las letras que siguen en la siguiente secuencia ( no considerar CH, LL): B, E, I, N, ? a) R b) T c) S d) Q 36. ÂżQuĂŠ nĂşmero falta? a) 1 28 b) 65 ? 9 c) 60 d) 5

2 3

37. Si

A#B=

đ??´+đ??ľ 2

, A % B = A x B, hallar el valor de ( 6 # 2 ) + ( 5 % 2 ):

a) 5 b) 14 c) 7 d) 4 38. El nĂşmero que sigue es: 3, 5, 7, 11, 17, 27, â&#x20AC;Ś a) 37 b) 44 c) 41 d) 39 39. Cinco amigos salieron de Arequipa rumbo a Lima: - Rosa llegĂł despuĂŠs que Carla. - Ruth llegĂł antes que Flor. - MarĂa llegĂł antes que Ruth pero despuĂŠs que Rosa. ÂżQuiĂŠn llegĂł en primer lugar? a) Flor b) MarĂa c) Carla d) Rosa 40. Cinco personas son comparadas respeto a su sueldo y se sabe que: - Luz gana 50 nuevos soles menos que Antonio. - Antonio gana 50 nuevos soles mĂĄs que MĂłnica. - Manuel gana 100 nuevos soles mĂĄs que Antonio. - Luz gana 100 nuevos soles mĂĄs que Mirtha. ÂżQuiĂŠn gana mĂĄs? a) Manuel b) Luz c) Mirtha d) Antonio 41. Cinco amigas se sientan alrededor de una mesa circular: - Cecilia se sienta junto y a la derecha de Camila. - Jenny no se sienta junto a Lesly. ÂżEntre quienes se sienta Karla? a) Lesly y Jenny b) Cecilia y Lesly c) Camila y Lesly d) Cecilia y Jenny 42. Alejandro, Rodrigo, Juan y Gabriel viven en paĂses diferentes: Argentina, Brasil, Ecuador y Paraguay. AdemĂĄs se sabe que: - Alejandro vive en Ecuador. - Rodrigo y Juan nunca han estado en Brasil. - El que vive en Paraguay es el Ăşnico primo de Juan. ÂżQuiĂŠn es primo de Juan?

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas a) Faltan datos b) Alejandro c) Gabriel d) Rodrigo 43. Para recoger el premio de la lotería se presentan tres personas: el ganador y dos amigos: - Roberto dice: Soy un desafortunado más. - Víctor dice: Carlos es el nuevo millonario. - Carlos dice: Yo no gané. Si uno de ellos dice la verdad, ¿Quién es el nuevo millonario? a) Roberto b) Carlos c) Víctor d) Faltan datos 44. Gladys, Erika e Isabel responden un examen de tres preguntas de la siguiente manera: Pregunta

Gladys

Erika

Isabel

1 2 3

V V F

V F F

F F V

Si se sabe que una de ellas contestó todas las preguntas correctamente, otra falló en todas y la otra falló sólo en una, ¿Quién acertó en todas las peguntas? a) Gladys b) Erika c) Isabel d) Faltan datos 45. Cuatro hermanas son interrogadas por su madre pues una de ellas se comió el postre sin su permiso. En la conversación cada una de ellas afirmó: - Judith: lo comió María. - María: Norma lo comió. - Norma: Yo no fui. - Rosario: Lo hizo Judith. Si una de ellas lo comió, si no fue Norma y sólo una dice la verdad, ¿Quién lo comió? a) María b) Judith c) Norma d) Rosario 46. El resultado a una encuesta a 200 adolescentes de Breña sobre su preferencia por el fútbol señala: de los 110 hombres encuestados a 100 les gusta el fútbol, de las mujeres encuestadas a 20 no les gusta el fútbol. ¿a cuántos adolescentes en total les gusta el fútbol? a) 180 b) 110 c) 170 d) 30 47. En el campeonato de fulbito de “El Porvenir” participan 10 equipos. Si todos deben jugar partido contra los demás(todos contra todos). ¿Cuántos encuentros se programarán? a) 36 b) 45 c) 55 d) 90 48. Hay cuatro bloques A, B, C y D que se encuentran en balanzas equilibradas. ¿Cuántos bloques c equivalen 8 D? A C

a) 16

b) 8

c) 4

d) 63

Breisem Torres Villavicencio 49. En una encuesta sobre la preferencia por las gaseosas InkaKola y Coca Cola, se encuentra que por 2 personas que gustan Coca Cola hay 3 personas que gustan InkaKola. Si se sabe que de los encuestados 60 prefirieron InkaKola, ¿cuántos prefirieron Coca Cola? b) 90 b) 20 c) 40 d) 36 50. De acuerdo con información publicada por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI), el alza de precios de abril fue de apenas 0,02 %. (En Perú 21-2 mayo 2009). Según el texto si un electrodoméstico costaba en marzo 650 nuevos soles, ¿cuánto costó en abril? a) S/. 650,13 b) S/. 665 c) S/. 637 d) S/. 663

RESPUESTAS: 31. b

32. a

33. d

34.a

35. c

36. b

37. b

38. c

39. c

40. a

41. a

42. d

43. a

44. a

45. d

46. c

47. b

48. a

49. c

50. a

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Tres “cuartos de circunferencia” y un “tres cuartos de circunferencia” – todas de 10 centímetros de radio – forman esta atractiva forma de jarra. ¿Cuál es su área en centímetros cuadrados?

Recordemos: el área es la medida de la superficie de una figura y se expresa en unidades cuadradas; el volumen es la medida del espacio que ocupa un cuerpo y se expresa en unidades cúbicas. El perímetro es la medida del contorno de la figura. Grafica las siguientes figuras señalando sus elementos y escribe la fórmula para calcular su área y perímetro o volumen respectivamente. Rectángulo

Circunferencia

Triángulo

Cubo

Cuadrado

Esfera

Trapecio

Pirámide

Rombo

Breisem Torres Villavicencio

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Si Juan tiene un terreno de forma cuadrangular y disminuye su lado en un cuarto, entonces ¿en qué porcentaje varía su área? Resolución Suponemos que el lado del terreno es de 10 m, entonces su área será 100 m 2. Ahora disminuimos su lado en un cuarto:

1 (10 m) = 2,5 m. Queda: 10 m – 2,5 m = 7,5 m. 4

Luego la nueva área será: 7,5 m x 7,5 m = 56,25 m 2. Su variación es: 100 – 56,25 = 43,75. Este valor respecto de 100 es el 43,75 por ciento. Respuesta: El área del terreno de Juan disminuye 43,75 por ciento. 2. Hugo siembra un sétimo de su terreno con guanábanas y la mitad del resto con maíz. Si permanecen sin cultivar 3 000 m 2, ¿cuál es el área del terreno? Resolución Sea x el área del terreno de Hugo. Siembra guanábanas:

1 6 16  3 x , le queda: x , luego siembra maíz:  x   x . 27  7 7 7

Terreno sembrado con guanábanas o maíz:

4 3 1 3 4 x  x  x , y queda: x  x  x ; esto 7 7 7 7 7

vendría a ser la cantidad de terreno sin sembrar, lo cual lo igualamos a 3 000.

3 x  3000  x = 7 000. 7 Respuesta: El área del terreno es 7 000 m 2. 3. En la figura que se muestra, ABCD y AFED son cuadrados con un lado común que es AD, cuya longitud es de 10 cm. Los arcos BD y DF son, cada uno de ellos, un cuarto de circunferencia. ¿Cuál es el área de la parte sombreada? Resolución

Aplicando la estrategia de la TRASLACIÓN de figuras se resuelve fácilmente el problema:

Una forma sería trasladamos el cuarto de círculo sombreado del cuadrado AFED al lugar del cuarto de círculo en blanco del cuadrado BADC, con lo cual el área sombreada sería equivalente al área del cuadrado BADC. Es decir: 100 cm 2. Con esta misma estrategia ¿cuál sería otra forma de resolver el problema?

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas 4. En la figura se muestra un rectángulo que ha sido dividido en tres rectángulos A, B y C , cuyas áreas son 6 cm2 , 12 cm2 y 24 cm2 , respectivamente. Si los perímetros de los rectángulos A, B y C son 14 cm, 16 cm y P cm, respectivamente. Halla el valor de P.

Resolución Sean las dimensiones de los rectángulos: a, b, c y d como se observa en las figuras:

Según los datos de las áreas y perímetros de los rectángulos, tenemos:

Si a = 1 

AA = ab = 6

A B = cb = 12

A C = db = 24

PA = 2 a + 2 b = 14

P B = 2 c + 2 b =16

PC=2d+2b=?

PA = a + b = 7

P B= c + b = 8

P C = d + b = 12

b = 6,

c = 2,

d=4

Luego: P c = 2 (4) + 2 (6) = 20. Respuesta: El perímetro del rectángulo C es 20 cm. 5. Si se quiere pintar la fachada de la casa de la figura, ¿cuántos metros cuadrados se necesita pintar?

1 cm V

V = 2 cm x 1 cm P1 = 1 cm x 2,5 cm

18 cm

P1 20 cm Resolución

¿Cuál sería tu estrategia para resolver el problema? Verifica el resultado: 0,03605 m2.

P2 = 2 cm x 1,5 cm

Breisem Torres Villavicencio

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En la siguiente figura halla el área de la región sombreada, si el perímetro del rectángulo es 100 m. 4k a) b) c) d)

100 m 200 m 250 m 150 m

2. ¿Cuál es el número máximo de vasos que pueden colocarse sobre una mesa de 48 cm por 32 cm, si cada vaso tiene una circunferencia de 4 cm y la mesa es rectangular? a) 86 b) 98 c) 92 d) 96 3. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura? a) 48 m b) 46 m 8m c) 26 m d) 30 m 15m 4. Halla la relación de la región sombreada entre la no sombreada, según la figura siguiente: a)

b) c) 10 cm

5. Dos cajas rectangulares tienen el mismo volumen. Las dimensiones de una son: 5, 7 y “x”. Las dimensiones de la otra son: 4, 10 y “x – 1”. ¿Cuánto vale “x”? a) 6 b) 8 c) 9 d) 4 6. Un conjunto de ocho triángulos equiláteros pueden ser unidos para formar un octaedro regular. Para construir un octaedro mágico, reemplaza las letras A, B, C, D y E con los números 2, 4, 6, 7 y 8 (sin repetición) de forma que la suma de las cuatro caras que comparten vértices tengan siempre la misma suma. En el octaedro mágico, la suma B + D es:

a) 8

b) 9

c) 7

d) 6

Fortaleciendo mis habilidades lógico matemáticas 7. ¿Cuántas cuaternas de aristas de un cubo poseen la propiedad de que ningún par de aristas de la cuaterna tienen vértices comunes. a) 9

b) 8

c) 7

d) 12

8. Un paralelepípedo ha sido construido con tres piezas como se muestra en la figura. Cada pieza consiste en cuatro cubitos del mismo color. ¿Cómo se ve la pieza que está formado por cubitos blancos? a)

9. La señora Silvia cultiva zanahorias y papas. Este año ella ha convertido el terreno de las zanahorias en un cuadrado, alargando 3 metros unos de sus lados. Como resultado, el ´área del terreno de las papas se ha reducido en 15 m 2 ¿Cuál era el ´área del terreno de las zanahorias al inicio? Terreno inicial

Terreno final

zanahorias

papas

a) 5 m 2

b) 9 m 2

papas

c) 10 m 2

d) 15 m 2

10. En la siguiente figura, los radios de los dos círculos más pequeños son un sexto del radio del círculo más grande. El radio del círculo de tamaño mediano el doble del radio de los círculos pequeños. ¿Qué fracción del círculo grande está sombreada? R: 5/6 11. Se pinta de rojo las 6 caras de un cubo de 3 cm de arista. Luego se recorta el cubo en pequeños cubos de arista 1 cm, tal como se muestra en la figura. ¿Cuántos de estos cubitos de arista 1 cm tienen dos o más caras pintadas de rojo? R: 18