Teoria das categorias by Mateuss Raúll

Teoria das categorias • Uma classe de objetos a, b, c, ...

A teoria das categorias é uma teoria matemática que trata de forma abstrata das estruturas matemáticas e dos relacionamentos entre elas. É conhecida, em parte como brincadeira, como “generalização do sem-sentido abstrato”. Teoria das categorias foi pela primeira vez apresentada por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane em 1945, como uma teoria relacionada com topologia algébrica.

• Para cada par de objetos a, b , uma classe de morﬁsmos ou setas de a para b , denotados por f : a → b (e neste caso se diz que a é o objeto origem e b é o objeto destino da seta); • Para cada objeto a, um morﬁsmo chamado identidade em a, ida : a → a que tem origem e destino em a ;

Ela é uma generalização da teoria dos conjuntos. Nela são estudados objetos e morﬁsmos entre estes. Estes objetos podem ser entendidos como conjuntos estruturados e os morﬁsmos (também chamados de setas) como funções entre estes conjuntos, embora, nos casos mais gerais de categorias, este paralelo não possa ser feito.

• Uma operação de composição que associa a cada par de morfismos f : a → b e g : b → c um morfismo g ◦ f : a → c chamado morfismo composto de f e g , tais que os seguintes axiomas são satisfeitos:

Teoria das categorias pode ser entendida como um “jogo de setas”, em que se abstrai o signiﬁcado das construções.

• (associatividade) Sejam f : a → b , g : b → c e h : c → d . Então (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) ;

Ela fornece uma descrição abstrata de problemas de matemática, desta forma se constituindo em um jargão e um ambiente consistente e uniﬁcado para o estudo de diversas áreas da matemática. A capacidade de generalização, abstração e uniﬁcação de teorias é o grande mérito de teoria das categorias.

• (identidade) Para todo objeto a , existe um morﬁsmo ida : a → a chamado morﬁsmo identidade de a , tal que para todo f : a → b , tem-se f ◦ ida = f e para todo g : c → a , tem-se ida ◦ g = g .

Assim, ela fornece mecanismos para representar várias estruturas matemáticas, como por exemplo transformações naturais, produtos cartesianos, funções, topologias, etc.

3 Diagramas

As aplicações de teoria das categorias estendem-se por áreas como álgebra, teoria da recursividade, semântica Diagramas servem para representar categorias. Se a composição de todos os caminhos entre dois objetos de um formal, etc. diagrama são iguais, diz-se que o diagrama comuta ou que ele é comutativo. Podemos expressar propriedades de teoria das categorias através de diagramas comutativos. Um exemplo é o diagrama ilustrado ao lado. Dados h : a → b , g : b → c A única operação exigida em uma categoria é a composi- e f : c → d que representa a propriedade associativa, ção. Composição em categorias é uma generalização da (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) . composição de funções de teoria dos conjuntos.

Composição

Em teoria dos conjuntos, dadas duas funções f : A → B (tendo como domínio o conjunto A e como codomínio o conjunto B ) e g : B → C , deﬁnimos h : A → C como sendo a composição de f e g , h = g ◦ f , desde que h(x) = g(f (x)) para todo x ∈ A .

4 Exemplos de categorias • A categoria dos conjuntos, denotada por Set ou Ens. Tem por objetos conjuntos e por morﬁsmos as funções entre conjuntos. A composição de morﬁsmos é dada pela composição usual de funções.

Deﬁnição de categoria

• A categoria dos grupos. Tem por objetos grupos e por morﬁsmos os homomorﬁsmos de grupos. A composição é dada pela composição de funções; a

Uma categoria consiste nos seguintes elementos: 1

8 OBJETOS INICIAL E TERMINAL

Seja uma categoria C e objetos a e b desta categoria. Uma seta h : a → b é dita monomorﬁsmo (ou mono) se e somente se h ◦ g = h ◦ f ⇒ g = f . Ou seja, uma seta é mono se ela pode ser cancelada a esquerda de uma composição. Em Set uma seta mono pode ser entendida como uma função injetora.

6 Mono, Epi e Iso

Uma seta h : a → b é dita epimorﬁsmo (ou epi) se e somente se g ◦h = f ◦h ⇒ g = f . Ou seja, uma seta é epi se ela pode ser cancelada a direita de uma composição.

Diagrama comutativo da propriedade da associatividade

Em Set uma seta epi é uma função sobrejetora. Finalmente, uma seta h : a → b é isomorfismo (ou iso) se e somente se existe g : b → a tal que g ◦ h = ida e h ◦ g = idb . Toda seta iso é mono e epi, embora o contrário não seja necessariamente verdade. Por exemplo, na categoria formada por dois objetos a e b , os morfismos identidade, e um único morfismo f : a → b , f é um monomorfismo e um epimorfismo, porém não é um isomorfismo.

composição de homomorfismos de grupo é ainda Em Set podemos pensar uma seta iso como sendo uma um homomorfismo de grupo. função bijetora. • A categoria dos espaços topológicos. Os objetos são os espaços topológicos; os morfismos são as aplicações contínuas. A composição é a usual.

7 Objetos isomórﬁcos

Dois objetos a e b de uma categoria são isomórficos, a ∼ =b • A categoria dos espaços vetoriais. Os objetos são os , se existe uma seta h : a → b que é iso. espaços vetoriais; os morfismos são as transformaIsomorfismo estabelece, em certo grau de abstração, uma ções lineares. relação de “semelhança” ou “equivalência” entre objetos. • Um grafo orientado define uma categoria, tendo por objetos os nós ou vértices do grafo e por morfismos os caminhos ao longo do grafo. A composição 8 Objetos inicial e terminal de morfismos é definida pela concatenação de caminhos. Assim, existe um morfismo entre dois nós se Objeto inicial e objeto terminal são as construções mais existir um caminho, no grafo, que ligue os dois nós. simples em Teoria das Categorias. • Um conjunto parcialmente ordenado A define uma categoria, tendo por objetos os elementos do conjunto A . Um único morfismo entre dois elementos a e b é definido se a ≤ b . A lei de composição decorre da transitividade da relação de ordem.

Dualidade

Dualidade é uma das noções mais poderosas de teoria das categorias. Ela permite herdar resultados da categoria original para a dual e vice-versa. Nesse caso dada uma deﬁnição em uma categoria, para obter o conceito dual basta inverter as setas.

Seja C uma categoria. Um objeto 0 é inicial se e somente se para qualquer objeto b existe um único f : 0 → b . O objeto inicial é uma noção universal, ou seja, definida pela existência e unicidade de morfismos. Um exemplo de objeto inicial em Set é o conjunto vazio, ∅ , pois existe uma única função total que tem como origem ∅ e tem como destino qualquer outro conjunto, e esta é a função vazia (ou seja, aquela em que o gráfico da função é vazio). O objeto inicial é único, a não ser por isomorfismos. O objeto terminal, t , é simplesmente a noção dual de objeto inicial. Significa que, dado um objeto b da categoria, existe um único f : b → t . Em Set qualquer conjunto unitário (conjunto com um

3 único elemento) é terminal. Isto ocorre pois, dado qualquer outro conjunto, só existe uma função total com origem neste conjunto e destino no conjunto unitário, que é a função constante (aquela em que os valores da função para todo o domínio são iguais).

Produtos e limites

homomorﬁsmos na categoria de todas as categorias pequenas (ou seja, a categoria que tem como objetos todas as categorias compostas por objetos que são conjuntos). Um functor (covariante) F da categoria C para a categoria D: 1. associa para cada objeto x em C um objeto F (x) em D;

O conceito de limite incorpora a ideia de uma construção 2. associa para cada morfismo f : x → y um morfismo universal, ou seja, uma construção que tem um comporF (f ) : F (x) → F (y) tamento privilegiado ("ótimo”) em relação a todas as outras que satisfazem determinada propriedade. O limite é tal que as seguintes propriedades valem: dado pela existência de uma seta única entre todas estas construções e a construção que é considerada "ótima”. 1. F (idx ) = idF (x) 2. F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ) para todos os morfismos f :x→yeg:y→z.

11 Aplicações de teoria das categorias • Álgebra Diagrama comutativo do produto categorial.

• Semântica categorial

Um dos exemplos mais simples de limite em teoria das categorias é o produto categorial. Ele é uma generalização do produto cartesiano. O produto categorial também é uma noção universal.

• Lógica categorial

Seja C uma categoria e a e b dois objetos da categoria C. O produto categorial de a e b é um objeto a × b e dois morfismos pa : a × b → a e pb : a × b → b , tal que dado qualquer objeto c da categoria e para quaisquer morfismos f : c → a e g : c → b existe exatamente um h : c → a × b tal que o diagrama da figura ao lado comuta. Os morfismos pa e pb são chamados projeções. Podemos chamar o objeto c junto com as setas f e g de pré-produto. Naturalmente podemos definir o conceito dual ao produto categorial que é chamado de coproduto. Para isto basta inverter as setas do diagrama do produto. O produto categorial é um exemplo de limite, pois é dado pela existência de uma seta única (neste caso a seta h ) entre qualquer outro pré-produto e ele. Outros exemplos da noção de limites em Teoria das Categorias são o equalizador, o produto fibrado, e o Cone.

Functores

Functores são mapeamentos entre categorias que preservam estruturas. Eles podem ser entendidos como

12 Bibliograﬁa • BARR, Michael; WELLS, Charles. Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990. • MAC LANE, Saunders. Categories for the Working Mathematician. 2 ed. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.

13 Ver também • Matemática • Ciência da computação

14 Ligações externas • Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo • Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

14 LIGAÇÕES EXTERNAS

Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem

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Texto

• Teoria das categorias Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria%20das%20categorias?oldid=40101487 Contribuidores: Muriel Gottrop, Mschlindwein, Campani, RobotQuistnix, Lijealso, YurikBot, Cícero, Fernando S. Aldado, Roberto Cruz, Villarinho, Salgueiro, LijeBot, He7d3r, Julian Mendez, Thijs!bot, Vfbsilva, JAnDbot, Albmont, SieBot, Kaktus Kid, Laurentius, Gerakibot, Numbo3-bot, Luckas-bot, AlnoktaBOT, LaaknorBot, Amirobot, Eamaral, ArthurBot, Xqbot, RibotBOT, Faustino.F, Ripchip Bot, EmausBot, MerlIwBot, Makecatbot, Gauravjuvekar, Legobot e Anónimo: 9

15.2

Imagens

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Licença

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