Eléments d'algèbre générale

Eléments d’algèbre générale I. Relation d’équivalence 1°) Relation binaire Déf : On appelle relation binaire R sur E toute propriété vraie pour certains couples (x , y ) d’éléments de E et fausse pour les autres. Lorsqu’un couple (x , y ) vérifie la relation R , on écrit x Ry . Sinon, on écrit

x Ry .

Déf : Soit R une relation binaire sur E . On dit que : R est réflexive ssi ∀x ∈ E , x Rx , R est symétrique ssi ∀x , y ∈ E , x Ry ⇒ y Rx , R est transitive ssi ∀x , y , z ∈ E , x Ry et y Rz ⇒ x Rz , R est antisymétrique ssi ∀x , y ∈ E , x Ry et y Rx ⇒ x = y .

2°) Relation d’équivalence Déf : On appelle relation d’équivalence toute relation binaire à la fois réflexive, symétrique et transitive.

3°) Classe d’équivalence R désigne une relation d’équivalence sur E .

Déf : Soit x ∈ E . On appelle classe d’équivalence de x pour la relation R , le sous-ensemble noté Cl (x ) formé des éléments qui sont en relation avec x : Cl (x ) = {y ∈ E / x Ry } . La classe d’équivalence de x est encore parfois notée xɺ , x , xˆ ,…

Prop : ∀x ∈ E , x ∈ Cl (x ) et par suite une classe d’équivalence n’est jamais vide.

Prop : ∀x , y ∈ E , x Ry ⇒ Cl (x ) = Cl (y ) et x R y ⇒ Cl (x ) ∩Cl (y ) = ∅ .

Déf : Tout élément y d’une classe d’équivalence est appelé représentant de celle-ci.

Déf : On appelle ensemble quotient de E par R l’ensemble des classes d’équivalence pour relation R . On le note E R .

4°) Ensemble ℤ n ℤ Soit n ∈ ℕ∗ .

Déf : Deux entiers a ,b sont dits congrus modulo n ssi b −a ∈ n ℤ . On note alors a ≡ b [n ] .

Prop : La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence sur ℤ .

Déf : Pour a ∈ ℤ , on note a la classe d’équivalence de a ∈ ℤ pour la relation de congruence modulo n .

Ainsi a = a + n ℤ = {a + kn / k ∈ ℤ} .

Déf : On note ℤ n ℤ l’ensemble quotient de ℤ par la relation de congruence modulo n .

Théorème : ℤ n ℤ est un ensemble fini à n éléments qui sont 0, 1,…,(n −1) .

Prop : ∀a ,b ,a ′,b ′ ∈ ℤ , a ≡ a ′ [n ] et b ≡ b ′ [n ] ⇒ a + b ≡ a ′ + b ′ [n ] et ab ≡ a ′b ′ [n ] .

Déf : On définit deux lois de composition internes notées + et × sur ℤ n ℤ en posant : a + b = a + b et a ×b = ab .

II. Groupes 1°) Généralités a) définition Déf : On appelle groupe tout couple (G , ⊻ ) formé d’un ensemble G et d’une loi de composition interne ⊻ sur G vérifiant :

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1) ⊻ est associative i.e. ∀a, b, c ∈ G,(a ⊻ b) ⊻ c = a ⊻ (b ⊻ c) , 2) ⊻ possède un neutre i.e. ∃e ∈ G,(a ⊻ e) = a = (e ⊻ a ) , 3) tout élément de G est inversible pour ⊻ i.e. ∀a ∈ G, ∃b ∈ G , a ⊻ b = e = b ⊻ a .

Si de plus ⊻ est commutative, on parle de groupe abélien.

Lorsque la loi est notée × ou., on dit que le groupe est noté multiplicativement.

Lorsque la loi est notée +, on dit que le groupe est noté additivement (réservé au groupe commutatif).

Théorème : (ℤ n ℤ , +) est un groupe abélien à n élément de neutre 0 .

De plus, pour tout a ∈ ℤ n ℤ , −a = (−a ) .

b) sous-groupe Déf : On appelle sous-groupe d’un groupe (G , ⊻ ) toute partie H de G vérifiant : 1) H ≠ ∅ . y −1 ∈ H .

2) ∀x , y ∈ H , x ⊻ Théorème : Les sous-groupes de (ℤ, +) sont les nℤ avec n ∈ ℕ . c) morphisme de groupes Déf : On appelle morphisme d’un groupe (G , ⊻ ) vers un groupe (H , ⊤) toute application f :G → H vérifiant

∀x , y ∈G , f (x ⊻ y ) = f (x ) ⊤ f (y ) . ker f = f −1 ({eH }) et Im f = f (G ) sont alors des sous-groupes de (G , ⊻ ) et (H , ⊤) . d) produit de deux groupes Déf : Etant données deux loi de compositions internes ⊤ et ⊥ définies sur des ensembles E et F , on appelle ′, y ⊥ y ′ ) . loi produit sur E ×F la loi ⊻ définie par la relation (x , y ) ⊻ (x ′, y ′) = (x ⊤ x  Prop : Si (G , ⊤) et (H , ⊥) sont deux groupes de neutres e et f alors G ×H muni de la loi produit ⊻ est un groupe de neutre ε = (e , f ) . De plus l’inverse d’un élément (x , y ) ∈ G ×H est donné par la relation

(x , y )−1 = (x −1 , y −1 ) .

2°) Groupes finis Déf : On appelle ordre d’un groupe son cardinal.

Théorème : Si H est un sous-groupe d’un groupe (G , ⊻ ) fini alors Card H | CardG .

3°) Groupe engendré par un élément Soit (G , ⊻ ) un groupe de neutre e .

a) itéré d’un élément Déf : Pour Pour Pour Pour

a ∈G k >0 k =0 k <0

et k ∈ ℤ , on note a k itéré d’ordre k de l’élément a : : a k = a ⊻ ⋯ ⊻ a ( k termes) : a0 =e : a k = a −1 ⊻ ⋯ ⊻ a −1 ( k termes).

Prop : ∀k , ℓ ∈ ℤ , a k ⊻ a ℓ = a k +ℓ et (a k ) ℓ = a k ℓ .

Théorème : L’application ϕa : ℤ → G définie par ϕa (k ) = a k est un morphisme de groupes. b) sous-groupe engendré par un élément.

Déf : On note < a >= {a k / k ∈ ℤ} , l’image du précédent morphisme.

Théorème : < a > est un sous-groupe de G .

De plus, si H est un sous-groupe de G contenant a , < a >⊂ H .

Ainsi < a > apparaît comme le plus petit sous-groupe contenant a .

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c) ordre d’un élément Déf : On appelle ordre d’un élément, l’ordre du sous-groupe engendré par cet élément.

Théorème : Soit a un élément de G .

Si a est d’ordre infini alors < a > est isomorphe à (ℤ, +) .

Si a est d’ordre fini égal à n alors < a >= {e ,a ,a 2 ,…,a n −1 } est un sous-groupe à n éléments isomorphe à (ℤ n ℤ , +) .

Cor : Si a est d’ordre fini alors son ordre n apparaît comme le plus petit entier naturel non nul vérifiant a n = e (ou n .a = 0 en notation additive).

Cor : Si a est un élément d’ordre n , alors ∀k , ℓ ∈ ℤ , a k = a ℓ ⇔ k = ℓ [n ] .

4°) Groupe cyclique Déf : Un groupe (G , ⊻ ) est dit monogène ssi il existe a ∈ G tel que < a >= G . Cet élément a est alors appelé générateur du groupe.

Déf : Un groupe est dit cyclique ssi il est monogène et fini.

Théorème : (ℤ n ℤ , +) est un groupe cyclique dont les générateurs sont les m avec m ∧ n = 1 .

Théorème : Tout groupe cyclique de cardinal n est isomorphe à (ℤ n ℤ , +) .

Cor : Les générateurs de (U n ,×) sont les ω k = e2ik π n avec k ∧ n = 1 Ces éléments sont appelés racines primitives n ème de l’unité.

5°) Partie génératrice d’un groupe Soit (G , ⊻ ) un groupe de neutre e .

Prop : Pour toute partie A de G , il existe un unique sous-groupe K de (G , ⊻ ) vérifiant : 1) A ⊂ K 2) Pour tout sous-groupe H de G , A ⊂ H ⇒ K ⊂ H .

K apparaît comme étant le plus petit sous-groupe contenant A .

Déf : Avec les notations précédentes, on dit que K est le sous-groupe engendré par A .

Déf : On appelle partie génératrice d’un groupe toute partie engendrant le groupe en question.

III. Anneaux et corps 1°) Généralités a) définition Déf : On appelle anneau tout triplet (A, +,×) formé d’un ensemble A et de deux lois de composition interne

+ et × sur A vérifiant : (1) (A, +) est un groupe abélien de neutre 0, (2) × est associative et possède un neutre 1, (3) × est distributive sur + i.e. ∀a ,b ,c ∈ A,a (b + c ) = ab + ac et (b + c )a = ba + ca .

Théorème : Si a et b sont deux éléments commutant (i.e. ab = ba ) d’un anneau A on a pour n ∈ ℕ : n n −1 n  (a + b )n = ∑  a kb n −k et a n −b n = (a −b )∑ a kb n −1−k . k  k =0 k =0 Déf : Un élément a d’un anneau (A, +,×) est dit inversible ssi il existe b ∈ A tel que ab = ba = 1 . Cet élément est alors unique et est noté a −1 .

Prop : L’ensemble U (A) des éléments inversibles de l’anneau est un groupe multiplicatif.

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b) sous-anneau Déf : On appelle sous-anneau d’un anneau (A, +,×) toute partie B de A vérifiant : (1) 1 ∈ B , (2) ∀a ,b ∈ B ,a −b ∈ B , (3) ∀a ,b ∈ B ,ab ∈ B . c) morphisme d’anneaux Déf : On appelle morphisme d’un anneau (A, +,×) vers un anneau (B , +,×) toute application f : A → B vérifiant : (1) f (1A ) = 1B (2) ∀a ,b ∈ A, f (a + b ) = f (a ) + f (b ) , (3) ∀a ,b ∈ A, f (ab ) = f (a ) f (b ) .

Prop : Soit f est un morphisme d’anneaux de (A, +,×) vers (B , +,×) .

f (0A ) = 0B , f (−x ) = −f (x ) et si x ∈ A est inversible alors f (x ) aussi et f (x )−1 = f (x −1 ) .

Prop : L’image d’un morphisme d’anneaux est un sous-anneau. d) produit de deux anneaux Prop : Si (A, +,×) et (B , +,×) sont des anneaux alors en notant encore + et × les lois produits sur A×B alors

(A×B , +,×) est un anneau de neutre (0A ,0B ) et (1A ,1B ) .

De plus un élément (a ,b ) ∈ A×B est inversible ssi a et b le sont et son inverse est alors (a −1 ,b −1 ) .

2°) L’anneau (ℤ n ℤ , +,×) Théorème : (ℤ n ℤ , +,×) est un anneau commutatif de neutres 0 et 1 .

De plus, dans ℤ n ℤ , m est inversible ssi m ∧ n = 1 .

3°) Idéal d’un anneau commutatif Soit (A, +,×) un anneau commutatif.

a) définition Déf : On appelle idéal de l’anneau (A, +,×) toute partie I de A vérifiant : 1) I ≠ ∅ , 2) ∀x , y ∈ I , x + y ∈ I , 3) ∀a ∈ A, ∀x ∈ I ,ax ∈ I (absorption) Prop : Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal.

Prop : Si I et J sont deux idéaux de (A, +,×) alors I + J = {x + y / x ∈ I , y ∈ J } et I ∩ J sont des idéaux de

(A, +,×) . b) idéaux principaux Déf : Soit x ∈ A , on note xA (ou Ax ) l’ensemble {xa / a ∈ A} .

Prop : xA est un idéal contenant x inclus dans tout idéal contenant x .

Déf : xA est appelé idéal principal engendré par x .

Théorème : Les idéaux de (ℤ, +,×) sont les n ℤ avec n ∈ ℕ .

Théorème : Les idéaux de (K [X ], +,×) sont les P .K [X ] avec P ∈ K [X ] .

4°) Anneau intègre Soit (A, +,×) un anneau.

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Déf : On appelle diviseur de zéro d’un anneau (A, +,×) tout élément a ∈ A \ {0} tel qu’il existe un élément

b ∈ A \ {0} tel que ab = 0 ou ba = 0 .

Déf : Un anneau (A, +,×) est dit intègre ssi il est commutatif, non réduit à {0} et ne possède pas de diviseurs de zéros.

Prop : Si (A, +,×) est un anneau intègre alors ∀a ,b ∈ A,ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0 .

Théorème : Pour p ≥ 2 , l’anneau (ℤ pℤ , +,×) est intègre ssi p est un nombre premier.

5°) Corps a) définition Déf : On appelle corps tout anneau commutatif (K , +,×) non réduit à {0} dont tous les éléments, sauf le nul, sont inversibles.

Prop : Les seuls idéaux d’un corps sont {0} et lui-même.

Prop : Tout corps est intègre.

Théorème : (ℤ pℤ , +,×) est un corps ssi p est un nombre premier b) sous-corps Déf : On appelle sous-corps d’un corps (K , +,×) toute partie L de K vérifiant : 1) L est un sous-anneau de (K , +,×) , 2) ∀x ∈ L \ {0} , x −1 ∈ L .

c) caractéristique d’un corps Soit (K , +,×) un corps. L’application f : ℤ → K définie par f (k ) = k .1K (itéré additif de 1K ) est un morphisme d’anneaux (non trivial). Son noyau est un idéal de ℤ donc il existe un unique n ∈ ℤ tel que ker f = n ℤ .

Déf : L’entier n est appelé caractéristique du corps K .

Prop : La caractéristique d’un corps est soit nulle, soit égale à un nombre premier.

IV. Application à l’arithmétique 1°) Arithmétique dans un anneau intègre Soit (A, +,×) un anneau intègre.

Déf : On dit que a ∈ A divise b ∈ A ssi il existe c ∈ A tel que ac = b . On note alors a | b .

Prop : ∀a ,b ,c ∈ A , α ) a | b et b | c ⇒ a | c .

β ) a | b et b | a ⇒ ∃u ∈U (A),b = au .

Prop : ∀a ,b ∈ A , a | b ⇒ bA ⊂ aA .

2°) Arithmétique dans ℤ Théorème : ∀a ,b ∈ ℤ, ∃!d ∈ ℕ,a ℤ + b ℤ = d ℤ .

Cor : Pour cet entier d , d | a , d | b et pour tout c ∈ ℤ , c | a et c | b ⇒ c | d . d apparaît comme étant le pgcd de a et b .

Théorème : ∀a ,b ∈ ℤ, ∃!m ∈ ℕ,a ℤ ∩ bℤ = m ℤ Cor : Pour cet entier m , a | m , b | m et pour tout c ∈ ℤ , a | c et b | c ⇒ m | c . m apparaît comme étant le ppcm de a et b .

Théorème de Bézout Pour a ,b ∈ ℤ , on a équivalence entre :

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(i) a et b sont premiers entre eux, (ii) ∃u , v ∈ ℤ,au + bv = 1 .

Théorème de Gauss Pour tout a ,b ,c ∈ ℤ . a | bc et a ∧ b = 1 ⇒ a | c .

3°) Arithmétique dans K [X ] Théorème : ∀A, B ∈ K [X ], ∃D ∈ K [X ] tel que AK [X ] + B K [X ] = D K [X ] .

On dit que D est un pgcd de A et B .

Théorème : ∀A, B ∈ K [X ], ∃M ∈ K [X ] tel que AK [X ] ∩ B K [X ] = M K [X ] .

On dit que M est un ppcm de A et B .

4°) Fonction indicatrice d’Euler Déf : Pour n ∈ ℕ∗ , on pose ϕ (n ) le nombre d’entiers k ∈ {1,…, n } premiers avec n . La fonction ϕ : ℕ∗ → ℕ∗ ainsi définie est appelée fonction indicatrice d’Euler.

Prop : Si p est un nombre premier et α ∈ ℕ∗ alors ϕ (p α ) = p α−1 (p −1) .

Prop : Si n et m sont deux entiers naturels non nuls premiers entre eux alors ϕ (nm ) = ϕ (n )ϕ (m ) .

Théorème : Si n est entier supérieur à 2 de décomposition primaire n = p1α1 …pNαN (avec p1 ,…, pN nombres premiers N  1 deux à deux distincts et α1 ,…, αn ∈ ℕ ∗ ) alors ϕ (n ) = n ∏1−  . pi  i= 

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