Espaces vectoriels euclidiens

Espaces vectoriels euclidiens (16h) On définit la notion de produit scalaire dans un cadre plus général que celui de la géométrie. A partir de cette notion, on redéfinit les notions de distance, d’orthogonalité, d’angles,...

E désigne un ℝ -espace vectoriel. n et p désignent des entiers naturels.

I. Produit scalaire 1°) Définition

E ×E → ℝ Déf : On appelle produit scalaire sur E toute application ϕ :  telle que :  (x , y ) ֏ ϕ (x , y ) 1. ϕ est une forme bilinéaire 2. ϕ est symétrique i.e. ∀x , y ∈ E , ϕ (x , y ) = ϕ (y , x ) 3. ϕ est positive i.e. ∀x ∈ E , ϕ (x , x ) ≥ 0 4. ϕ est définie i.e. ∀x ∈ E , ϕ (x , x ) = 0 ⇒ x = 0 .

2°) Notions métriques a) inégalité de Cauchy Schwarz Théorème : ∀x , y ∈ E , (x | y ) 2 ≤ (x | x )(y | y ) .

De plus, il y a égalité ssi x et y sont colinéaires.

 n   n  n  Cor : Pour x1 ,…, x n , y1 ,…, yn on a ∑ x i yi  = ∑ x i2 ∑ yi2  .  i =1  i =1    i =1 2

 b   b  b  Pour f , g ∈ C 0 ([a ,b ], ℝ ) on a  ∫ fg  ≤  ∫ f 2  ∫ g 2  .  a   a  a  2

b) norme euclidienne Déf : Soit x ∈ E , on appelle norme euclidienne (ou longueur) du vecteur x le réel x = (x | x ) .

Prop : ∀x , y ∈ E et ∀λ ∈ ℝ :

x ≥0, x =0⇔x =0,

λ.x = λ x , (x | y ) ≤ x . y avec égalité ssi x et y sont colinéaires.

Théorème : (Inégalité triangulaire) ∀x , y ∈ E , x + y ≤ x + y .

De plus, il y a égalité ssi x et y colinéaires et (x | y ) ≥ 0 (i.e. x et y ont même direction et même sens)

Cor : (Inégalité triangulaire renversée) ∀x , y ∈ E , x − y ≤ x − y ≤ x + y .

Prop : (Identités remarquables) ∀x , y ∈ E :

x +y

2

= x + 2(x | y ) + y ,

2

2

x −y

2

= x − 2(x | y ) + y ,

2

2

2

2

(x + y | x − y ) = x − y ,

(

2

=2 x + y

2

2

= 4(x | y ) (identité de polarisation)

x + y − x −y

2

2

) et

2

x + y + x −y

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c) distance euclidienne Déf : Soit x et y deux vecteurs de E . On appelle distance euclidienne de x à y le réel : d (x , y ) = y − x Prop : ∀x , y , z ∈ E : d (x , y ) = 0 ⇔ x = y

d (x , y ) = d (y , x ) d (x , z ) ≤ d (x , y ) + d (y , z ) d (x + z , y + z ) = d (x , y ) . d) écart angulaire formé par deux vecteurs Soit u et v deux vecteurs non nuls de E . (u | v ) Par l’inégalité de Cauchy Schwarz on a : ∈ [−1,1] . u .v Donc ∃!θ ∈ [0, π ] tel que (u | v ) = u . v .cos θ .

Déf : Ce réel θ est appelé écart angulaire entre les vecteurs u et v .

On note θ = Ecart(u , v ) (∈ [ 0, π ]) .

Prop : Ecart(u , v ) = Ecart(v , u )

Ecart(−u , v ) = π − Ecart(u , v ) Ecart(u , v ) = 0 ssi u et v ont même direction et même sens.

Ecart(u , v ) = π ssi u et v ont même direction et sont de sens opposés.

Déf : On dit que u et v forment un angle aigu (resp. obtus, droit) ssi Ecart(u , v ) ∈ [0, π 2] (resp.

Ecart(u , v ) ∈ [ π 2, π ] , Ecart(u , v ) = π 2 ).

3°) Vecteurs orthogonaux a) famille orthogonale Déf : Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux ssi (x | y ) = 0 .

Déf : On dit qu’une famille F = (e1 , …,en ) de vecteurs de E est orthogonale ssi F est constituée de vecteurs deux à deux orthogonaux i.e. ∀1 ≤ i ≠ j ≤ n , (ei | e j ) = 0 .

Prop : Toute famille orthogonale ne comportant pas le vecteur nul est libre.

Théorème : de Pythagore Si F = (e1 , …,en ) une famille orthogonale : e1 + ⋯ + en

2

2

2

= e1 + ⋯ + en .

b) famille orthonormée Déf : On dit qu’un vecteur x de E est unitaire (ou normé) ssi x = 1 .

Normer un vecteur non nul x , c’est considérer le vecteur unitaire u = x x .

Déf : Soit F = (e1 , …,en ) un famille de vecteurs de E . On dit que F est une famille orthonormée ssi F est constituée de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux i.e. ∀1 ≤ i , j ≤ n , (ei | e j ) = δi , j .

Prop : Toute famille orthonormée est libre. c) procédé d’orthonormalisation de Schmidt Théorème : Soit F = (e1 , …,en ) une famille libre de vecteurs de E .

On peut construire une famille orthonormée (v1 , …, vn ) telle que :

∀1 ≤ k ≤ n , Vect(e1 ,…,ek ) = Vect(v1 ,…, vk ) Supposons la propriété établie au rang n ∈ ℕ * .

Soit (e1 ,...,en ,en +1 ) une famille libre.

Par HR, il existe (v1 , …, vn ) famille orthonormée telle que ∀1 ≤ k ≤ n , Vect(e1 ,…,ek ) = Vect(v1 ,…, vk ) .

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Reste à déterminer vn +1 de sorte que :

(v1 ,…, vn +1 ) est une famille orthonormée et Vect(e1 ,…,en ,en +1 ) = Vect(v1 , …, vn , vn +1 ) .

Analyse : Si vn +1 convient alors vn +1 ∈ Vect(e1 ,…,en +1 ) , on peut donc écrire

vn +1 = λ1e1 + ⋯ + λnen + λen +1 = µ1v1 + ⋯ + µn vn + λen car Vect(e1 ,…,en ) = Vect(v1 , …, vn ) .

∀1 ≤ i ≤ n , (vn +1 | vi ) = 0 donc µi = −λ (en +1 | vi ) . n

Par suite vn +1 = λ (en +1 − ∑ (en +1 | vi )vi ) = λw . i =1

vn +1 = 1 donc λ w = 1 d’où λ = 1 w .

Synthèse : n

Posons w = en +1 − ∑ (en +1 | vi )vi ( w ≠ 0 car en +1 ∉ Vect(e1 ,...,en ) ) i =1

Prenons vn +1 = w w .

On a (v1 ,…, vn +1 ) famille orthonormée et Vect(e1 ,…,en ,en +1 ) = Vect(v1 , …, vn , vn +1 ) par inclusion et égalité des dimensions.

4°) Orthogonal d’une partie Déf : Soit A une partie de E .

On appelle orthogonal de A l’ensemble noté A⊥ constitué des vecteurs orthogonaux a tout vecteur de A i.e. A⊥ = {x ∈ E / ∀a ∈ A, (a | x ) = 0} .

Prop : Soit A et B deux parties de E : A⊥ est un sous-espace vectoriel de E .

A ⊂ A⊥⊥ A ⊂ B ⇒ B ⊥ ⊂ A⊥ A⊥ = Vect(A)⊥ .

5°) Sous-espaces vectoriels orthogonaux Déf : Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E . On dit que F et G sont orthogonaux ssi ∀ (x , y ) ∈ F ×G , (x | y ) = 0 . On note F ⊥ G .

Prop : Si F et G sont orthogonaux alors F ∩G = {o } .

Prop : Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E .

On a équivalence entre : (i) F et G sont orthogonaux (ii) F ⊂ G ⊥ (iii) G ⊂ F ⊥ .

II. Espaces vectoriels euclidiens 1°) Définition Déf : On appelle espace vectoriel euclidien tout ℝ -espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire.

Désormais, E désigne un espace vectoriel euclidien.

2°) Base orthonormée Déf : On appelle base orthonormée d’un espace vectoriel euclidien E toute base de E constituée de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux.

Théorème : Tout espace vectoriel euclidien E possède une base orthonormée.

Théorème : de la base orthonormée incomplète Soit E une espace vectoriel euclidien de dimension n .

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Si B = (e1 ,…,e p ) est une famille orthonormée de vecteurs de E alors on peut compléter B en une base orthonormée de E de la forme (e1 ,…,e p ,e p +1 , …,en ) .

Théorème : Soit E un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée B = (e1 , …,en ) . Pour tout x ∈ E , on n

a x = ∑ (ei | x )ei . i =1

Par suite les composantes de x dans B sont les (e1 | x ),…,(en | x ) .

Théorème : Soit E un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée B = (e1 , …,en ) .

Pour x , y ∈ E de composantes : x1 ,…, x n et y1 , …, yn , on a :

(x | y ) = x1y1 + ⋯ + x n yn et x = x12 + ⋯ + x n2 .

3°) Supplémentaire orthogonal Théorème : Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien E .

F ⊥ est un supplémentaire de F dans E .

Déf : F ⊥ est appelé supplémentaire orthogonal de F .

Cor : dim F ⊥ = dim E − dim F et F ⊥⊥ = F .

Prop : Soit F et G sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel euclidien E .

(F +G )⊥ = F ⊥ ∩G ⊥ et (F ∩G )⊥ = F ⊥ +G ⊥ .

4°) Vecteur normal à un hyperplan

E désigne un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ ℕ * .

Déf : Soit H un hyperplan de E . La droite vectorielle H ⊥ est appelée droite normale à H et tout vecteur directeur de celle-ci est appelé vecteur normal à H .

Prop : Soit B = (e1 , …,en ) une base orthonormée de E et H un hyperplan de E .

Un vecteur a de composantes a1 , …, an est normal à H ssi a1x1 + ⋯ + an x n = 0 est une équation de H .

5°) Représentation d’une forme linéaire Soit E un espace vectoriel euclidien. E → ℝ Pour a ∈ E , on note ϕa :  .  x ֏ (a | x ) ⊥

Prop : ϕa est une une forme linéaire sur E de noyau {a } .

Théorème : ∀f ∈ E *, ∃!a ∈ E tel que f = ϕa i.e. tel que ∀x ∈ E , f (x ) = (a | x ) .

6°) Produit mixte Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n ∈ ℕ * .

Prop : Soit B = (e1 ,...,en ) et B ′ = (ε1 ,..., εn ) deux bases orthonormées de E .

On a det B B ′ = ±1 .

Théorème : Si (x1 ,..., x n ) est une famille de n = dim E vecteurs de E alors la quantité det B (x1 ,…, x n ) est indépendante de la base orthonormée directe B choisie.

Déf : Cette quantité est appelée produit mixte des vecteurs (x1 ,…, x n ) , on la note Det(x1 ,..., x n ) ou [x1 ,..., x n ] .

E n → ℝ Prop : L’application  est une forme n linéaire alternée et antisymétrique.  (x1 ,..., x n ) ֏ [x1 ,..., x n ]  De plus

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[x1 ,..., x n ] = 0 ⇔ (x1 ,..., x n ) est liée. [x1 ,..., x n ] > 0 ⇔ (x1 ,…, x n ) base directe. [x1 ,..., x n ] < 0 ⇔ (x1 ,…, x n ) base indirecte.

7°) Produit vectoriel en dimension 3 Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

Soit u et v deux vecteurs de E . L’application f : E → ℝ définie par f (x ) = Det(u , v , x ) est une forme linéaire sur E , donc : ∃!w ∈ E , ∀x ∈ E , Det(u , v , x ) = (w | x ) .

Déf : Ce vecteur w est appelé produit vectoriel de u par v , on le note u ∧ v .

E ×E → E Prop : L’application  est bilinéaire antisymétrique.  (u , v ) ֏ u ∧ v Prop : ∀u , v ∈ E , (u ∧ v | u ) = (u ∧ v | v ) = 0 Prop : ∀u , v ∈ E , (u , v ) est libre ssi u ∧ v ≠ 0 .

De plus, si tel est le cas, (u , v , u ∧ v ) est une base directe.

Prop : Si (i , j , k ) est une base orthonormée directe de E alors i ∧ j = k , j ∧ k = i et k ∧ i = j .

Prop : Soit (i , j , k ) une base orthonormée directe de E .

Soit u = xi + yj + zk , v = x ′i + y ′j + z ′k .

On a u ∧ v = (yz ′ − y ′z )i + (zx ′ − z ′x ) j + (xy ′ − x ′y )k .

Prop : (Formule du double produit vectoriel) ∀u , v , w ∈ E , u ∧ (v ∧ w ) = (u | w )v − (u | v )w .

Prop : (Identité de Lagrange)

∀u , v ∈ E , (u | v ) 2 + u ∧ v

2

= u

2

2

v .

Prop : ∀u , v ∈ E non nuls. Notons θ = Ecart(u , v ) . On a u ∧ v = u v sin θ .

III. Projection et symétries orthogonales Soit E un espace vectoriel euclidien.

1°) Projection orthogonale Soit F un sous-espace vectoriel de E , F et F ⊥ sont supplémentaires dans E .

Déf : On appelle projection orthogonale sur F la projection vectorielle pF sur F selon la direction F ⊥ .

Prop : pF ∈ L(E ), pF 2 = pF ,Im pF = F et ker pF = F ⊥ .

De plus I − pF est la projection orthogonale sur F ⊥ .

Prop : Si B = (e1 ,…,e p ) est une base orthonormée de F alors : p

∀x ∈ E , pF (x ) = ∑ (x | e j )e j . j =1

Théorème : (caractérisation des projections orthogonales) Soit p ∈ L(E ) .

On a équivalence entre : (i) p est une projection orthogonale (ii) p 2 = p et ∀x , y ∈ E , (p (x ) | y ) = (x | p (y )) .

Cor : La matrice représentative d’une projection orthogonale p dans une base orthonormée B = (e1 ,...,en ) est symétrique.

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2°) Distance à un sous-espace vectoriel Déf : Soit F un sous-espace vectoriel de E et x ∈ E .

On appelle distance de x à F le réel d (x , F ) = inf d (x , y ) = inf y − x ∈ ℝ + . y ∈F

y ∈F

Prop : Soit F un sous-espace vectoriel de E , x ∈ E . ∀y ∈ F , x − y ≥ x − pF (x ) avec égalité ssi y = pF (x ) .

Par suite, d (x , F ) = x − pF (x ) .

Prop : On suppose E muni d’une base orthonormée B = (e1 ,...,en ) .

Soit H un hyperplan d’équation a1x1 + ⋯ + an x n = 0 et x un vecteur de E de composantes dans B :

x1 ,..., x n . On a d (x , H ) =

a1x1 + ⋯ + an x n a12 + ⋯ + an2

.

3°) Symétrie orthogonale Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien E .

F et F ⊥ sont supplémentaires dans E .

Déf : On appelle symétrie orthogonale par rapport à F la symétrie vectorielle sF par rapport à F et selon la direction F ⊥ . Si F est un hyperplan de E , on dit que sF est la réflexion par rapport à F .

Prop : sF ∈ L(E ) , sF 2 = Id , ker(sF − I ) = F et ker(sF + I ) = F ⊥ .

−sF = sF ⊥ et sF = 2pF − Id Prop : Si B = (e1 ,...,e p ) est une base orthonormée de F alors : n

∀x ∈ E , sF (x ) = 2∑ (x | ei )ei − x . i =1

Théorème : Soit s ∈ L(E ) . On a équivalence entre : (i) s est un symétrie orthogonale (ii) s 2 = Id et ∀x , y ∈ E , (s (x ) | y ) = (x | s (y )) .

Cor : La matrice d’une symétrie orthogonale dans une base orthonormée est symétrique.

Cor : Les symétries orthogonales conservent le produit scalaire : ∀x , y ∈ E , (s (x ) | s (y )) = (x | y ) .

En particulier, les symétries orthogonales conservent la norme : ∀x ∈ E , s (x ) = x .

IV. Automorphismes orthogonaux

E désigne un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ ℕ * .

1°) Matrices orthogonales Déf : Une matrice A ∈ M n ( ℝ ) est dite orthogonale ssi A est inversible et A−1 = t A .

On note O (n ) l’ensemble de ces matrices.

Prop : O (n ) est un sous-groupe de GLn ( ℝ ) .

Déf : O (n ) est appelé groupe orthogonal d’ordre n .

Prop : ∀A ∈ O (n ) on a det A = ±1 .

Déf : Les matrices orthogonales de déterminant 1 (resp. −1 ) sont qualifiées de positives (resp. négatives).

Prop : SO (n ) = {A ∈ O (n ) / det A = 1} est un un sous-groupe de GLn ( ℝ ) .

Déf : SO (n ) est appelé groupe spécial orthogonal d’ordre n .

Prop : Soit B = (e1 , …,en ) une base orthonormée de E .

Soit B ′ = (ε1 ,…, εn ) une famille de vecteurs de E et P = Mat B B ′ .

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On a équivalence entre : (i) B ′ est une base orthonormée de E (ii) P ∈ O (n ) .

De plus, si tel est le cas, P apparaît comme étant la matrice de passage de B à B ′ tandis que t P = P −1 est la matrice de passage de B ′ à B .

2°) Caractérisation des matrices orthogonales Le produit scalaire canonique sur M n ,1 ( ℝ ) est défini par :

 x1   y1        Pour X =  ⋮  et Y =  ⋮  on pose (X |Y ) = x1y1 + ⋯ + x n yn .     x n  yn  Le produit scalaire canonique sur M1,n ( ℝ ) est définie par : Pour X = (x1 … x n ) et Y = (y1 … yn ) on pose (X |Y ) = x1y1 + ⋯ + x n yn .

Théorème : Soit A ∈ M n ( ℝ ) de colonnes C1 , …,C n et de lignes L1 , …, Ln .

On a équivalence entre : (i) A est orthogonale (ii) la famille (C 1 ,…,C n ) est orthonormale (iii) la famille (L1 ,…, Ln ) est orthonormale.

Par suite A ∈ O (n ) ⇔ t AA = I n ⇔ ∀1 ≤ i , j ≤ n , (C i | C j ) = δi , j Ainsi (i ) ⇔ (ii ) .

De même, en calculant A tA , on obtient (i ) ⇔ (iii )

3°) Automorphismes orthogonaux Déf : On appelle endomorphisme orthogonal de E tout f ∈ L(E ) qui conserve le produit scalaire i.e. tel que :

∀x , y ∈ E , ( f (x ) | f (y )) = (x | y ) .

On note O (E ) l’ensemble de ces applications.

Prop : Si f ∈ O (E ) alors f conserve : la norme : ∀x ∈ E , f (x ) = x l’orthogonalité : ∀x , y ∈ E , (x | y ) = 0 ⇒ ( f (x ) | f (y )) . les écarts angulaires : ∀x , y ∈ E non nuls, Ecart( f (x ), f (y )) = Ecart(x , y ) .

Prop : Si f ∈ O (E ) alors f est un automorphisme.

On parle indifféremment d’endomorphisme ou d’automorphisme orthogonal voire d’isométrie.

Prop : O (E ) est un sous-groupe de GL (E ) .

Déf : On l’appelle groupe orthogonal de E .

Théorème : Soit f ∈ L(E ) et B = (e1 , …,en ) une base orthonormée de E .

On a équivalence entre : (i) f ∈ O (E ) (ii) f (B ) est une base orthonormée (iii) Mat B ( f ) ∈ O (n ) .

Cor : Etant donnés deux bases orthonormées B et B ′ , il existe un unique automorphisme orthogonal transformant B et B ′ .

Cor : Si f ∈ O (E ) alors det( f ) = ±1 .

Déf : Les automorphismes orthogonaux de déterminant 1 (resp. −1 ) sont qualifiés de positifs (resp. négatifs).

Prop : SO (E ) = { f ∈ O (E ) / det f = 1} est un sous-groupe de GL (E ) .

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Déf : SO (E ) est appelé groupe des isométries positives de E .

V. Automorphismes orthogonaux du plan euclidien E désigne un plan euclidien orienté, par exemple E peut être l’ensemble des vecteurs du plan géométrique ou ℝ2 .

1°) Matrice de rotation

cos θ − sin θ   ∈ O + (2) .

Déf : Pour θ ∈ ℝ , on appelle matrice de rotation d’angle θ la matrice R (θ ) =   sin θ cos θ  Prop : ∀θ, θ ′ ∈ ℝ : R (θ ) = R (θ ′) ⇔ θ = θ ′ [ 2π ]

R (θ )R (θ ′) = R(θ + θ ′) = R(θ ′)R (θ ) R (θ )−1 = tR (θ ) = R(−θ ) .

Théorème :

cos θ − sin θ  . ∀M ∈ O + (2) , ∃θ ∈ ℝ unique à 2π près tel que : M =   sin θ cos θ  Cor : O + (2) = {R (θ ) / θ ∈ ℝ } et par suite O + (2) est un groupe abélien.

2°) Rotation du plan euclidien orienté Théorème : La matrice de tout endomorphisme r ∈ O + (E ) est la même dans toute base orthonormée directe B . Plus cos θ − sin θ   . précisément il existe θ ∈ ℝ , unique à 2π près tel que : Mat B (r ) = R (θ ) =   sin θ cos θ  Déf : L’automorphisme orthogonale représenté par R(θ ) dans les bases orthonormées directes est appelée rotation d’angle θ et est notée Rot θ .

Prop : ∀θ, θ ′ ∈ ℝ

Rot θ = Rot θ ′ ⇔ θ = θ ′ [ 2π ] Rot θ Rot θ ′ = Rot θ +θ ′ = Rot θ ′ Rot θ Rot θ−1 = Rot −θ .

Cor : O + (E ) = {Rot θ /θ ∈ ℝ } est un groupe abélien.

3°) Angle orienté dans le plan a) angle de deux vecteurs Soit u et v deux vecteurs non nuls de E .

Posons U = u u et V = v v . Montrons : ∃θ ∈ ℝ unique à 2π près tel que V = Rot θ (U ) .

Soit B une base orthonormée directe du plan de la forme B = (U ,U ′) .

Comme V est unitaire : ∃α ∈ ℝ tel que : V = cos αU + sin αU ′ . cos θ − sin θ   on a Rot θ (U ) = cos θU + sin θU ′ .

Comme Mat B (Rot θ ) =   sin θ cos θ  Donc Rot θ (U ) =V ⇔ θ = α [ 2π ] .

Ceci définit et détermine θ de manière unique.

Déf : Ce réel θ , défini à 2π près, est appelé mesure de l’angle orienté de u à v . On note θ = (u , v ) [ 2π ] . b) propriétés Prop : ∀u , v ∈ E \ {0} , ∀λ, µ ∈ ℝ + * : (λu , µv ) = (u , v ) [ 2π ] .

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Prop : ∀u , v , w ∈ E \ {0} :

(u , v ) = (u , w ) + (w , v ) [ 2π ] (v , u ) = −(u , v ) [ 2π ] .

Prop : Soit u , v ∈ E \ {0} et θ = (u , v ) [ 2π ] On a (u | v ) = u v cos θ et Det(u , v ) = u v sin θ .

De plus ces deux relations déterminent θ à 2π près.

Cor : u et v sont orthogonaux ssi (u , v ) = π 2 [π ]

u et v sont colinéaires ssi (u , v ) = 0 [π ] . c) lien entre angle orienté et écart angulaire Soit u , v ∈ E \ {0} .

Notons α = Ecart(u , v ) .

α est déterminé par (u | v ) = u v cos α et α ∈ [ 0, π ] .

Notons θ = (u , v ) [ 2π ] .

(u | v ) = u v cos θ θ est déterminé à 2π près par  . Det(u , v ) = u v sin θ  On a donc cos θ = cos α puis θ = α [ 2π ] ou θ = −α [ 2π ] .

Si (u , v ) est une base directe alors Det(u , v ) > 0 et alors θ = α [ 2π ] .

Si (u , v ) est une base indirecte alors θ = −α [ 2π ] .

d) angle orienté de deux droites Soit D et D ′ deux droites vectorielles Montrons ∃θ ∈ ℝ , unique à π près tel que : D ′ = Rot θ (D ) .

Soit u et v deux vecteurs unitaires de D et D ′ .

D ′ = Rot θ (D ) ⇔ Rot θ (u ) ∈ D ′

⇔ Rot θ (u ) = v ou Rot θ (u ) = −v ⇔ θ = (u , v ) ou θ = (u , −v ) [ 2π ] ⇔ θ = (u , v ) ou θ = (u , v ) + π [ 2π ] ⇔ θ = (u , v ) [ π ] Déf : Ce réel θ , défini à π près, est appelé mesure de l’angle orienté de D à D ′ . On note θ = (D , D ′) [π ] .

Prop : Soit D , D ′, D ′′ des droites vectorielles de E .

(D , D ′) + (D ′, D ′′) = (D , D ′′) [ π ] ,

(D ′, D ) = −(D , D ′) [π ] , D ⊥ D ′ ⇔ (D , D ′) = π 2 [π ] , D = D ′ ⇔ (D , D ′) = 0 [ π ] .

4°) Classification Théorème : Soit B = (i , j ) une base orthonormée de E . Pour tout automorphisme orthogonal négatif s de E il cos ϕ sin ϕ  . existe ϕ ∈ ℝ tel que Mat B (s ) =   sin ϕ − cos ϕ  De plus s correspond alors à la réflexion par rapport à la droite vectorielle dirigée par u = cos(ϕ 2)i + sin(ϕ 2) j .

Théorème : Les automorphismes orthogonaux positifs sont les rotations vectorielles, celles-ci commutent entres elles

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et ont même représentation dans toutes bases orthonormées directes.

Les automorphismes orthogonaux négatifs du plan sont les réflexions.

Cor : La composée de deux rotations est une rotation.

La composée de deux réflexions est une rotation.

La composée d’une rotation et d’une réflexion est une réflexion.

Prop : Toute rotation du plan peut s’écrire comme produit de deux réflexions, l’une d’elle étant quelconque.

Cor : Tout automorphisme orthogonal du plan peut s’écrire comme un produit d’au plus deux réflexions.

5°) Composition d’automorphismes orthogonaux.

Prop : Les rotations du plan conservent les angles orientés et les réflexions du plan les changent en leur opposé.

Prop : Soit σ et σ ′ deux réflexions par rapport à deux droites D et D ′ .

On a σ ′ σ = Rot 2θ où θ = (D , D ′) [π ] .

Prop : Soit r une rotation d’angle θ et σ une réflexion par rapport à D . σ ′ = r σ est la réflexion par rapport à D ′ = Rot θ 2 (D )

σ ′′ = θ r est la réflexion par rapport à D ′′ = Rot −θ 2 (D ) .

VI. Automorphismes orthogonaux de l’espace de dimension 3 E désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. (par ex. E peut être l’ensemble des vecteurs de l’espace géométrique ou ℝ 3 ) 1°) Orientation induite Soit P un plan de E et D = P ⊥ sa droite normale.

Il n’existe pas d’orientation préférentielle ni sur P , ni sur D .

Choisissons une orientation sur D et soit u un vecteur unitaire direct de D .

Complétons u en une base orthonormée directe B = (u , v , w ) de E .

La famille (v , w ) est une base orthonormée de P . En choisissant celle-ci pour base orientée de référence, on dit qu’on a muni le plan P de l’orientation induite de celle de D . En effet on peut montrer que cette orientation est indépendante de la manière dont on a complété u en une base orthonormée directe B = (u , v , w ) .

2°) Rotation de l’espace de dimension 3 a) définition Soit θ ∈ ℝ et D une droite vectorielle orientée par un vecteur unitaire u .

Notons P = D ⊥ muni de l’orientation induite.

Soit p la projection orthogonale sur D et q = Id− p celle sur P . ∀x ∈ E , on pose f (x ) = p (x ) + Rot θ (q (x )) où Rot θ est la rotation d’angle θ du plan euclidien P .

p (x )

f (x )

x

Rot θ (q (x )) q (x )

θ

P D Déf : L’application f est appelée rotation d’axe dirigé et orienté par u et d’angle θ . On note f = Rot u ,θ .

Prop : f est un endomorphisme tel que : f|D = IdD et f|P = Rot θ .

Prop : Si θ = 0 [ 2π ] alors f = Id Si θ ≠ 0 [ 2π ] alors les vecteurs invariants par f sont ceux de D .

Prop : Si B est une base orthonormée directe de E de la forme B = (u , v , w ) alors

 0 0  1   Mat B ( f ) = 0 cos θ −sin θ  ∈ SO (3) .   0 sin θ cos θ  Cor : Les rotations sont des automorphismes orthogonaux positifs de E .

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Prop : ∀θ, θ ′ ∈ ℝ .

Rot u ,θ = Rot u ,θ ′ ⇔ θ = θ ′ [ 2π ]

Rot u ,θ Rot u ,θ ′ = Rot u ,θ +θ ′ = Rot u ,θ ′ Rot u ,θ .

Rot −u ,1θ = Rot u ,−θ . b) représentation matricielle dans une base orthonormée quelconque Prop : Soit f la rotation d’axe D dirigé et orienté par un vecteur unitaire u et d’angle θ . ∀x ∈ D ⊥ , f (x ) = cos θ.x + sin θ.(u ∧ x ) . c) retournement Déf : Soit D une droite vectorielle de E . On appelle retournement (ou demi-tour) autour de D la rotation d’axe D et d’angle π . On la note Ret D .

Prop : Ret D est aussi la symétrie orthogonale par rapport à D .

3°) Classification des automorphismes orthogonaux de l’espace a) préliminaires lemme :( E espace vectoriel quelconque) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E et f , g ∈ L(E ) .

Si ∀x ∈ F , f (x ) = g(x ) et ∀x ∈ G, f (x ) = g(x ) alors f = g .

lemme : ( E espace vectoriel euclidien quelconque) Soit f ∈ O (E ) et F = ker( f − Id) le sous-espace vectoriel formé des vecteurs invariants par f .

F ⊥ est stable par f et f|F ⊥ : F ⊥ → F ⊥ est un automorphisme orthogonal de F ⊥ dont le vecteur nul est le seul vecteur invariant. lemme : ( E espace vectoriel euclidien de dimension 3) ∀f ∈ SO (E ), ∃u ∈ E unitaire tel que f (u ) = u .

b) classification Théorème : Soit f ∈ O (E ) et F = ker( f − Id) le sous-espace vectoriel formé des vecteurs invariants par f .

Si dim F = 3 alors f = Id .

Si dim F = 2 alors f est la réflexion de plan P = F .

Si dim F = 1 alors f est une rotation vectorielle autour de D = F .

Si dim F = 0 alors f est la composée commutative d’une réflexion par rapport à un plan P et d’une rotation autour de sa droite normale D = P ⊥ Cor : Les automorphismes orthogonaux positifs de E sont les rotations.

Cor : Les automorphismes orhogonaux negatifs possédant d'autres vecteurs invariants que le vecteur nul sont les réflexions.

4°) Composition d’automorphismes orthogonaux Prop : La composée de deux rotations de l’espace est une rotation.

Prop : La composée de deux réflexions distinctes de l’espace est une rotation autour de la droite intersection des plans de réflexion.

Prop : Toute rotation f d’axe D peut s’écrire comme produit de deux réflexions par rapport à des plans contenant D l’une d’elles pouvant être choisie de manière quelconque.

Cor : Tout automorphisme orthogonal de l’espace peut s’écrire comme un produit d’au plus trois réflexions.

5°) Réduction d’automorphismes orthogonaux a) principe Soit f ∈ L(E ) connu par sa matrice A dans une base orthonormée directe B = (i , j , k ) .

Si A ∈ O (3) alors f ∈ O (E ) . Etudions f .

On détermine l’ensemble des vecteurs invariants par f : F = ker( f − Id) .

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Si dim F = 3 alors f = Id .

Si dim F = 2 alors f est la réflexion par rapport au plan F .

Si dim F = 1 alors f est une rotation autour de la droite D = F .

On choisit alors un vecteur unitaire u de D . On oriente D par celui-ci et on munit P = D ⊥ de l’orientation induite. Déterminons l’angle θ de notre rotation. 1 0 0    Dans une base orthonormée directe de la forme B ′ = (u , v , w ) , on a Mat B ′ ( f ) = 0 cos θ − sin θ  .   0 sin θ cos θ  On a tr( f ) = 2 cos θ + 1 = tr(A) , ceci donne cos θ .

Pour conclure il suffit de déterminer le signe de sin θ .

Soit x = α.u + β .v + γ .w ∉ D .

1 α α Det(u , x , f (x )) = 0 β β cos θ − γ sin θ = (β 2 + γ 2 )sin θ .

0 γ β sin θ + γ cos θ Ainsi le signe de sin θ est celui de Det(u , x , f (x )) .

Si dim F = 0 : hors-programme.

b) exemples Soit B = (i , j , k ) une base orthonormée directe de E et f l’endomorphisme de E de matrice A dans B .

Etudions f .

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