Analisi non lineare della risposta ad azioni sismiche di strutture irregolari - Ing. Annamaria Avers

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Indice Introduzione

8 1

Comportamento sismico degli edi ci esistenti in c.a.

14

1.1

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2

Comportamento lineare / non-lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1

Non-linearità geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.2

Non-linearità meccanica dei materiali . . . . . . . . . . . . . .

23

Forme strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3 2

Edi ci esistenti e irregolarità

2.1

32

Problematiche strutturali negli edi ci esistenti irregolari soggetti ad azioni sismiche 2.1.1

2.1.2

2.1.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

De nizione di irregolarità: le Normative . . . . . . . . . . . .

35

2.1.1.1

Eurocodice 8 (EC8) [64] . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1.1.2

D.M. 14 gennaio 2008 (NTC 2008) [68] . . . . . . . .

39

2.1.1.3

Uniform Buildings Code 1997 (UBC 1997) [63]

41

. . .

Meccanismi di collasso e probabilità sismica di strutture irregolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Scenari post-sisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

1


2

INDICE

2.1.3.1

Managua, Nicaragua: il terremoto del 23 Dicembre 1972 [39]

3

56

2.1.3.2

Messico: il terremoto del 19 settembre 1985 . . . . .

60

2.1.3.3

Kobe, Giappone: il terremoto del 17 gennaio 1995 . .

61

2.1.3.4

Aquila, Italia: il terremoto del 6 Aprile 2009

63

. . . .

Metodi di analisi strutturale per azioni sismiche

76

3.1

GeneralitĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.2

Valutazione della sicurezza e livelli prestazionali degli edi ci esistenti

77

3.3

Evoluzione dei metodi di analisi nella normativa sismica

80

3.4

Analisi strutturale degli edi ci esistenti: la normativa italiana attual-

. . . . . . .

mente vigente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

3.5

Analisi statica lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

3.6

Analisi dinamica lineare (modale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

3.7

Analisi statica non-lineare (pushover) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.7.1 3.8 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Metodo N2 convenzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Analisi non lineare dinamica (time history) . . . . . . . . . . . . . . . 115

Sviluppo delle procedure di analisi statica non-lineare

4.1

118

Background teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.1.1

Analisi di Pushover per strutture spaziali irregolari: i primi studi131 4.1.1.1

Moghadam e Tso [1996],

Demage assessment of ec-

centric multistory buildings using 3D Pushover analysis - (Valutazione del danno per strutture multipiano eccentriche utilizzando l'analisi di pushover 3D)

4.1.1.2

. . . 131

Moghadam e Tso [2000], Pushover analysis for asymmetric and set-back multi-storey buildings - (Analisi di pushover per strutture asimmetriche e con set-back) 135


3

INDICE

4.1.1.3

Kilar e Fajfar [1996],

Sempli ed Pushover analysis

of buildings structures - (Analisi di pushover sempli cata per le strutture di edi ci)

4.1.1.4

Faella e Kilar [1998], frame structures:

. . . . . . . . . . . 138

Asymmetric multistorey R/C

Pushover versus nonlinear dyna-

mic analysis - (Strutture asimmetriche multipiano in cemento armato: l'analisi di pushover a confronto con le analisi dinamiche non-lineari)

4.1.2

. . . . . . . . . 142

Analisi di pushover per strutture spaziali irregolari: estensione del metodo pushover N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.1.2.1

Kilar Fajfar [2002], Simpli ed nonlinear seismic analysis of asymmetric multistorey R/C building - (Analisi sismica non-lineare sempli cata di un edi cio in cemento armato multipiano asimmetrico)

4.1.2.2

Fajfar, Maru²i¢ [2006],

. . . . . . 145

The N2 method for asym-

metric buildings - (Il metodo N2 per le strutture asimmetriche).

4.1.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Analisi di pushover per strutture spaziali irregolari: analisi di pushover modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.1.3.1

Chopra e Goel [2001]

A Modal Pushover Analysis

Procedure to Estimate Seismic Demands for Buildings : Theory and Preliminary Evaluation - (Analisi di pushover modale per stimare la domanda sismica di edi ci: teoria e valutazione preliminare)

. . . . . 151


4

INDICE

4.1.3.2

Chopra e Goel [2004]

A modal Pushover analysis

procedure to estimate seismic demands for unsymmetricplan buildings - (Analisi di pushover modale per stimare la domanda sismica di edi ci non simmetrici in pianta)

4.1.3.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Yu, Pugliesi, Allen, Bischo [2004],

Assessment of

modal pushover analysis procedure and its application to seismic evaluation of existing buildings - (Valutazione della procedura di analisi di pushover modale e della sua applicazione nell'ambito della valutazione sismica degli edi ci esistenti).

4.1.3.4

. . . . . . . . . . . . . 158

Reyes e Chopra [2011] Three-dimensional

modal pu-

shover analisys of buildings subjected to two components of ground motion, including its evaluation for tall buildings - (Analisi di pushover modale 3D per strutture soggette a due componenti dell'azione sismica, con valutazione di alti edi ci)

4.1.3.5

. . . . . . . . 160

Reyes e Chopra [2011] Evaluation of three-dimensional modal Pushover analisys for unsymmetric-plan buildings subjected to two components of ground motion - (Valutazione dell'analisi di pushover modale 3D per edi ci non simmetrici in pianta e soggetti a due componenti dell'azione sismica)

4.1.4

. . . . . . . . . . . . . . 164

Analisi di pushover per strutture spaziali irregolari: analisi di pushover adattivo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166


5

INDICE

4.1.4.1

Antoniou, Rovithakis, Pinho, [2002] Developed and veri cation of a fully adaptive Pushover procedure -

(Sviluppo e veri ca di una procedura di pushover

completamente adattiva)

4.1.4.2

. . . . . . . . . . . . . . . . 166

Meireles, Pinho, Bento, Antoniou, [2006] Veri cation of an adaptive pushover tecnique for 3D case

-

(Veri ca di una tecnica di pushover adattivo nel caso di analisi 3D)

4.2 5

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Modal Pushover Analysis

173

5.1

Veri ca strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2

Considerazioni sui parametri di output di un'analisi spaziale . . . . . 200

Modellazione a bre per telai elastoplastici

202

6.1

La modellazione strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.2

Discretizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.3

6.2.1

Obiettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.2.2

Cause di errore e approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti . . . . . . . . . . . . . . 206 6.3.1

6.4

Caratteristiche degli elementi niti . . . . . . . . . . . . . . . 207

Modellazione a bre degli elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.4.1

Modellazione a plasticitĂ concentrata . . . . . . . . . . . . . . 209

6.4.2

Modellazione a plasticitĂ di usa . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.4.2.1

Integrazione numerica: i metodi di Gauss e GaussLobatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6.4.3

Modellazione a plasticitĂ di usa e FEM

. . . . . . . . . . . . 218

6.4.4

Procedimenti di risoluzione del sistema di equazioni non-lineari 220


6

INDICE

6.5

Software di calcolo: SeismoStruct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.5.1

Modellazione a bre degli elementi beam in SeismoStruct . . . 224

6.5.2

Procedimenti di risoluzione del sistema algebrico di equazioni non-lineari in SeismoStruct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7

Caso di studio: un edi cio irregolare in pianta

7.1

7.2

227

Descrizione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.1.1

Geometria strutturale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.1.2

Veri ca della regolaritĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.1.3

Modellazione delle azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.1.3.1

Analisi dei carichi verticali . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.1.3.2

Azione sismica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Modellazione delle strutture in SeismoStruct . . . . . . . . . . . . . . 242 7.2.1

Discretizzazione degli elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.2.2

Caratteristiche meccaniche dei materiali . . . . . . . . . . . . 243 7.2.2.1

Modellazione non-lineare del calcestruzzo . . . . . . . 243

7.2.2.2

Modellazione non-lineare dell'acciaio . . . . . . . . . 247

7.2.3

Modellazione della sezione trasversale . . . . . . . . . . . . . . 249

7.2.4

Vincoli interni ed esterni - modellazione del solaio . . . . . . . 250

7.3

Caratteristiche dinamiche della struttura . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.4

Pro li di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.5

Curve di capacitĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

7.6

Determinazione della domanda in spostamento . . . . . . . . . . . . . 263

7.7

Combinazione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

7.8

Risultati ed osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.9

Confronto tra MPA e ADNL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

7.10 Confronto MPA 3D/pushover N2 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280


7

INDICE

Conclusioni 281


INDICE

8

Introduzione L'esigenza di valutare le prestazioni sismiche delle strutture in campo non-lineare richiede l'esecuzione di analisi dinamiche non-lineari time-history che risultano essere molto complesse da eseguire, ed i cui risultati sono di di cile interpretazione. In altre parole si tratta ancora oggi di analisi di di cile applicazione nella comune pratica professionale. Pertanto negli ultimi anni si è registrato un forte interesse verso lo sviluppo di procedure sempli cate per condurre analisi non-lineari mediante approccio di tipo statico che siano in grado di fornire indicazioni sui successivi e etti (spostamenti, sollecitazioni, ecc) che la struttura non-lineare e ettivamente esibirebbe se soggetta ad sisma. Tali analisi statiche non-lineari sono le cosiddette analisi di spinta o di pushover. Ad oggi sussistono, comunque, di coltà nel caso si voglia studiare il comportamento sismico di strutture irregolari: in tal caso infatti, a causa dell'asimmetria nella distribuzione delle rigidezze e delle masse, la risposta sismica delle strutture è infatti caratterizzata da un moto roto-traslazionale spaziale i cui e etti non possono essere colti dalle procedure standard, che sono analisi di tipo piano, nelle quali si suppone che la risposta sismica delle strutture sia governata, anche aldilà del campo elastico, da un solo modo principale di vibrare, di tipo puramente traslazionale. Ciò ha spinto la comunità scienti ca a studiare nuovi approcci all'analisi di pushover, che possano cogliere gli e etti legati alla spiccata tridimensionalità del moto delle strutture irregolari, governato da e etti torsionali che comportano, tra l'altro, l'accoppiamento della risposta nelle due direzioni principali. In quest'ambito, una delle proposte piÚ interessanti, appare essere l'analisi di pushover modale (MPA, Modal Pushover Analysis) che sembra coniugare brillantemente un'elevata accuratezza nella valutazione dei necessari parametri di risposta strutturale ed una relativa semplicità di esecuzione.


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9

É opportuno sottolineare che l'interesse verso procedure sempli cate, ma rappresentative, di analisi non-lineare delle strutture soggette a sollecitazioni sismiche è particolarmente legato alla necessitĂ di valutare la risposta sismica degli edi ci esistenti: si è infatti osservato che, a di erenza degli edi ci di nuova progettazione, -per le quali i tecnici possono basare la progettazione sismoresistente sui risultati di semplici analisi elastiche lineari avendo poi la possibilitĂ di tener conto degli aspetti della non-linearitĂ tramite l'adozione di opportuni criteri di progetto- nel caso di strutture esistenti ci si ritrova dinnanzi a costruzioni risalenti ad un periodo temporale caratterizzato da una conoscenza piĂš limitata delle strutture, dei materiali e delle azioni e, soprattutto da un corpo normativo inadeguato a garantire su cienti livelli di sicurezza. Per tali strutture, i risultati delle analisi lineari (come ad esempio l'analisi dinamica modale lineare) sono di regola scarsamente rappresentative e risultano pertanto necessariamente analisi non-lineari. All'esigenza di disporre di procedure di analisi in grado di consentite l'analisi sismica degli edi ci esistenti si aggiunge la necessitĂ di maggiori ri essioni riguardo al comportamento al sisma delle strutture irregolari. Dall'osservazione degli scenari post-sismici, si evince infatti che i danni subiti dagli edi ci sono funzione non solo della qualitĂ costruttiva -in termini di materiali, dettagli costruttivi, accuratezza di esecuzione- ma anche della loro con gurazione generale. La presenza di irregolaritĂ strutturali -siano esse in pianta e/o in altezza- aumenta sistematicamente l'esposizione al rischio sismico: nelle strutture irregolari si generano e etti di deformazione e meccanismi di collasso locali e non globali comprensibili solo attraverso analisi in campo plastico. Per e etto delle accelerazioni sismiche orizzontali, infatti, nelle strutture degli edi ci irregolari vengono attivate forti oscillazioni torsionali, con conseguenti rotazioni degli impalcati nel proprio piano; queste ultime producono aggravi nello stato di sollecitazione, specie per i telai di perimetro della costruzione.


INDICE

10

La quanti cazione di tali e etti è resa particolarmente complessa nelle analisi allo stato limite ultimo, nelle quali si studia la risposta a terremoti molto intensi, per i quali le strutture entrano in campo plastico. Il principale obiettivo di questo lavoro di tesi è l'implementazione di procedure di analisi statica non-lineare, basata sulla teoria della Dinamica delle strutture le quali, pur mantenendo la semplicità e il basso onere computazionale delle analisi di pushover con distribuzione di forze invariante, forniscano una maggiore accuratezza nella stima della domanda sismica delle strutture. Lo studio della letteratura scienti ca sull'estensione alle strutture irregolari ed ai problemi spaziali dei metodi di analisi statica non-lineare ha condotto a focalizzare l'attenzione sulla procedura di pushover modale MPA tridimensionale, prima richiamata. In particolare, con l'analisi di pushover modale MPA la risposta sismica massima viene determinata sottoponendo la struttura a pro li di carico di forma costante e monotonicamente crescenti no al raggiungimento del collasso, individuato attraverso lo spostamento di un opportuno punto di controllo. L'MPA è una procedura multimodale, che permette di tener conto del numero di modi di vibrare di una struttura non-lineare a piÚ gradi di libertà che si ritengono signi cativi nella ricostruzione della risposta sismica. La struttura infatti è sottoposta a piÚ pro li di carico monotonicamente crescenti, ciascuno dei quali è proporzionale ad una forma modale. Ciò comporta l'applicazione di forze orizzontali nelle due direzioni (x, y) e di un momento torcente. La risposta massima viene determinata e questa è una peculiarità dell'MPA attraverso la combinazione dei contributi calcolati in corrispondenza dei vari modi. Aspetti importanti di tale procedura di pushover sono la costruzione di una curva di capacità che rappresenti la capacità globale della struttura ed il passaggio dal modello a piÚ gradi di libertà ad un sistema equivalente ad un solo grado di libertà .


INDICE

11

PoichÊ l'analisi dinamica non-lineare è certamente la procedura piÚ accurata per lo studio della risposta sismica non-lineare delle strutture, la valutazione delle potenzialità e delle criticità dell'applicazione dell'analisi di pushover modale MPA è stata condotta principalmente attraverso il confronto fra i risultati ottenuti mediante quest'utlima procedura e quelli dell'analisi dinamica non-lineare. Avendo come obiettivo quello di indagare gli e etti della non-linearità nel comportamento sismico delle strutture irregolari, nella presente tesi sono state esaminate alcune tematiche relative all'analisi strutturale in campo elastoplastico con il metodo agli elementi niti. In particolare, si è ritenuto opportuno adottare una descrizione della non-linearità delle sezioni attraverso l'approccio a plasticità di usa della modellazione a bre. Tale scelta è giusti cata dalla maggiore accuratezza nella descrizione dell'e ettiva geometria e delle proprietà meccaniche delle sezioni, e soprattutto dalla possibilità di seguire meglio, nel corso del calcolo, l'e ettiva di usione della plasticizzazione all'interno delle membrature. D'altra parte, è opinione prevalente in letteratura che l'adozione della modellazione a plasticità di usa abbia una sensibile in uenza sull'accuratezza dei risultati dell'analisi: questo giusti ca l'abbandono dei piÚ semplici modelli a plasticità concentrata, che possono portare ad errori non solo quantitativi, ma anche qualitativi nella previsione del comportamento della struttura. Tutte le analisi di pushover e dinamiche non-lineari si sono pertanto avvalse di elementi niti a plasticità di usa, e sono state condotte con l'ausilio del software SeismoStruct 5.0.5.

Sommario Nel primo capitolo si studia il comportamento sismico degli edi ci esistenti in c.a. con riferimento alle varie comuni forme strutturali. Ci si so erma sullo studio del comportamento non-lineare delle strutture e sulle di erenze con il comportamento


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12

strutturale elastico lineare. A tal ne si approfondiscono i concetti di non-linearitĂ geometrica e non-linearitĂ dei materiali. Nel secondo capitolo si concentra lo studio sugli edi ci irregolari evidenziando le problematiche strutturali connesse agli e etti dell'azione sismica su tali edi ci. Dopo un'analisi del quadro normativo Italiano, Europeo e di un codice Americano in riferimento alla de nizione della non regolaritĂ strutturale, si riporta una rassegna dei danni indotti su strutture irregolari da alcuni degli ultimi eventi sismici veri catisi nel mondo. Nel terzo capitolo si a ronta il tema delle analisi strutturali. Si sottolinea la di erenza tra le analisi necessarie per la progettazione di nuove strutture e quelle necessarie per indagare il comportamento non-lineare, al ne di eseguire veri che strutturali, degli edi ci esistenti. Si descrivono, sottolineando punti di forza e di debolezza, le analisi strutturali previste dalle normative; a tal ne si riportano le analisi lineari e non-lineari, statiche e dinamiche. Nel quarto capitolo lo studio si incentra sulle procedure di analisi statiche non-lineari. Si evidenzia L'ina dabilitĂ e l'inadeguatezza delle procedure standard e si riporta una analisi di letteratura circa i nuovi approcci all'analisi di pushover proposti dalla comunitĂ scienti ca. Ci si so erma in particolare sul background teorico riguardante le procedure di analisi di pushover da poter eseguire su strutture irregolari e tridimensionali. In quest'ambito, una delle proposte piĂš interessanti, appare essere l'analisi di pushover modale (MPA, Modal Pushover Analysis) che sembra coniugare brillantemente un'elevata accuratezza nella valutazione dei necessari parametri di risposta strutturale ed una relativa semplicitĂ di esecuzione. Nel quinto capitolo si descrivono nel dettaglio i concetti base e gli aspetti analitici dell'analisi MPA per analisi 3D. Nel sesto capitolo si a rontano alcune tematiche relative all'analisi strutturale in


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13

campo elastoplastico ed in particolar modo si a ronta il tema del metodo agli elementi niti e della descrizione della non-linearità delle sezioni attraverso l'approccio a plasticità di usa della modellazione a bre. Nel settimo capitolo si riporta il caso studio di una struttura fortemente irregolare in pianta su cui è eseguita, grazie all'ausilio del software SeismoStruct, una analisi di pushover modale 3D. Volendo veri care l'a dabilità dei risultati di questa analisi si riporta il confronto tra i risultati ottenuti con quelli ottenuti con un'analisi dinamica non-lineare.


Capitolo 1 Comportamento sismico degli edi ci esistenti in c.a. 1.1

Introduzione

In Italia il tessuto edilizio esistente in cemento armato, dagli edi ci privati a quelli pubblici, è la sintesi di un processo di progettazione e realizzazione datato più di 50 anni. Sebbene negli ultimi anni la normativa ha garantito la realizzazione di edi ci resistenti alle azioni sismiche attese, la quasi totalità degli edi ci già esistenti presenta una notevole vulnerabilità nei confronti di eventi sismici. Accanto all'evoluzione delle normative, delle tecniche e tecnologie costruttive e dei materiali strutturali, il grande problema che accompagna gli edi ci esistenti è l'evoluzione avutasi nell'ambito della classi cazione sismica del territorio Nazionale. Molte strutture infatti sono sorte in zone inizialmente considerate non sismiche e poi invece classi cate come sismiche. É opportuno sottolineare che la progettazione di strutture esistenti -antecedenti all'emanazione delle più recenti normative antisismiche- era retta dalle resistenze locali

14


CAPITOLO 1.

COMPORTAMENTO SISMICO DEGLI EDIFICI ESISTENTI IN C.A.

15

per un solo livello prestazionale (il superamento della tensione ammissibile), mentre per gli edi ci di nuova progettazione tutto il processo progettuale è retto da un principio semiprobabilistico e prestazionale ed è volto alla realizzazione di strutture che possiedano sia un certo livello di rigidezza e resistenza elastiche -che entrano in gioco in presenza di terremoti di bassa e media intensitĂ , ossia di terremoti che probabilmente la struttura subirĂ nella sua vita in esercizio- sia un certo livello di resistenza in campo anelastico accompagnato da opportuni livelli di duttilitĂ sia locale che globale -che entrano in gioco in presenza di sismi di notevole intensitĂ , che rappresentano eventi eccezionali ma pur possibili. Tale di erenza è l'esito dell'evoluzione della concezione progettuale. Mentre gli edi ci di nuova progettazione sono fondati sul principio del Performance Based Design (ovvero su una progettazione di tipo semiprobabilistico (agli stati limite) guidata dalla probabilitĂ di superamento di pre ssati livelli prestazionali ed in cui la struttura è concepita nel rispetto del principio di gerarchia delle resistenze in modo da soddisfare con la massima prestazione i vari stati limite che può raggiungere durante la sua vita utile, gli edi ci esistenti sono il frutto di una concezione ingegneristica che è basata su modelli di azioni e di resistenze di tipo deterministico ed in cui la struttura viene veri cata solo nei confronti della massima resistenza (in termini puntuali) degli elementi strutturali che la compongono. Tale concezione ha portato in passato alla realizzazione di strutture spesso facilmente esposte ad eventi sismici. É da sottolineare che quando investite dall'azione dinamica di un terremoto, le strutture, in funzione alla propria concezione progettuale e -come si vedrĂ nel seguito- alla conformazione geometrica e alla distribuzione delle caratteristiche strutturali, presentano una risposta di erente. In tal senso è importante valutare in tal senso il loro comportamento non-lineare in termini geometrici e materiali.


CAPITOLO 1.

1.2

COMPORTAMENTO SISMICO DEGLI EDIFICI ESISTENTI IN C.A.

16

Comportamento lineare / non-lineare

Un qualsiasi edi cio, quando sollecitato da un sistema di forze, può manifestare un comportamento elastico lineare o non-lineare. Una struttura manifesta un comportamento elastico lineare quando si stabilisce una relazione lineare tra la sollecitazione imposta e la risposta ad essa associata e quando la risposta è completamente reversibile. Un tale comportamento consente di applicare il principio di sovrapposizione degli e etti secondo cui l'e etto di un qualunque sistema di sollecitazioni applicate è pari alla somma degli e etti di ciascuna di esse. In linea di principio, l'ipotesi di elasticità lineare richiede che:

ˆ

i materiali abbiano comportamento elastico lineare a qualunque livello di deformazione;

ˆ

la loro resistenza a rottura sia in nita;

ˆ

la con gurazione corrente del sistema sia indistinguibile dalla con gurazione iniziale (ipotesi di piccole deformazioni).

La risposta lineare di una struttura può essere considerata un'approssimazione del reale comportamento allorquando avvengano piccole perturbazioni della struttura in condizioni lontane dal collasso. Se la risposta del sistema è invece non-lineare non è applicabile il principio di sovrapposizione degli e etti; in questo caso alla struttura si associa un comportamento irreversibile in corrispondenza del quale un ciclo di carico-scarico provoca deformazioni e spostamenti residui. É noto che la risposta non-lineare di una struttura dipende soprattutto da aspetti legati al materiale (legame non-lineare tra tensioni e deformazioni: plasticitĂ ) e da aspetti geometrici (legame non-lineare tra deformazioni e spostamenti: instabilitĂ ).


CAPITOLO 1.

Figura 1.1:

COMPORTAMENTO SISMICO DEGLI EDIFICI ESISTENTI IN C.A.

Esempio di diagrammi

Îľ/Ďƒ

17

rappresentativi del comportamento elastico lineare e

non-lineare

1.2.1 Non-linearità geometrica Una struttura, soggetta all'azione sismica può, in generale, subire grandi spostamenti e deformazioni tali da far perdere di validità una delle ipotesi alla base della teoria dell'elasticità lineare: non si può piÚ confondere la con gurazione deformata con quella indeformata. L'equilibrio va pertanto imposto in una con gurazione che varierà durante l'analisi, modi candosi in funzione delle deformazioni intervenute. Per comprendere come la non-linearità geometrica intervenga sul comportamento della struttura, si può far riferimento ai seguenti tre di erenti tipi di comportamento che la struttura può esibire.

ˆ

Grandi rotazioni/spostamenti Per poter comprendere in che modo l'intervento di grandi rotazioni/spostamenti viola le ipotesi della teoria dell'elasticità lineare, si può studiare il caso semplice di una mensola caricata sull'estremo libero con un carico crescente nel tempo e inizialmente diretta ortogonalmente all'asse della trave. Se la mensola


CAPITOLO 1.

COMPORTAMENTO SISMICO DEGLI EDIFICI ESISTENTI IN C.A.

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si comportasse in maniera lineare, ci si dovrebbe aspettare che, per tutta la storia deformativa dell'elemento, con gurazione iniziale e nale siano indistinguibili ai ni dell'equilibrio. In tal caso il carico rimane sempre ortogonale all'asse della trave ed il taglio cresce linearmente con lo spostamento verticale dell'estremo libero.

Figura 1.2: Risultati esempli cativi di un'analisi lineare

Un modello pi첫 realistico del comportamento meccanico richiederebbe di considerare che, man mano che il carico cresce, la trave cambi con gurazione rispetto a quella iniziale e assunto un sistema di riferimento locale solidale con il corpo, questo risulti ruotato rispetto alla direzione del carico in modo tale che la componente del carico ortogonale all'asse non cresca pi첫 linearmente con lo spostamento. Come conseguenza il taglio si trasforma, per una quota parte, in sforzo normale.


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Figura 1.3: Risultati esempli cativi di un'analisi non-lineare

Figura 1.4: a) mensola soggetta a carico ortogonale; b) non-linearitĂ della risposta per e etto dei

grandi spostamenti/rotazioni

ˆ

E etti del secondo ordine Per poter comprendere in che modo gli e etti del secondo ordine violino le ipotesi della teoria dell'elasticità lineare, si può studiare il caso semplice di una mensola verticale soggetta all'estremo libero ad un carico verticale V ed uno orizzontale H che determina uno spostamento

d dell'estremo stesso in direzione

trasversale. Se, in questo caso, si supponesse che la con gurazione indeformata


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e deformata coincidano, allora il carico verticale è da considerare sempre parallelo all'asse della colonna: la struttura è così soggetta ad una azione assiale pari a V ed un momento alla base pari ad H·h.

Figura 1.5: Comportamento lineare

Figura 1.6: Risultati esempli cativi di un'analisi lineare

Se si considera, invece, un modello più realistico e cioè che a causa dello spostamento

d l'elemento cambi con gurazione rispetto a quella iniziale, a seguito

dell'in essione, il sistema di riferimento locale, considerato solidale con il corpo, risulta ruotato rispetto alla direzione dei carichi agenti, in modo tale che il carico V contribuisca, oltre che all'azione assiale, anche al taglio e al momento


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nell'elemento. Il momento alla base risulterĂ aumentato di un valore pari a

d

V¡ .

Figura 1.7: Comportamento non-lineare

Figura 1.8: Risultati esempli cativi di un'analisi non-lineare

ˆ

E etto trave-colonna Per comprendere, in ne, come l'e etto trave-colonna viola le ipotesi della teoria dell'elasticità lineare, si può considerare una trave soggetta contemporaneamente ad azione assiale e a momento ettente. Se si assume che la con gurazione indeformata e deformata coincidano, allora le due azioni producono e etti distinti; l' azione assiale e il momento producono sforzi e deformazioni


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costanti lungo l'asse dell'elemento e, rispettivamente, uniformi e lineari sulla sezione. Considerando , invece, la situazione piÚ meccanicamente corretta e cioè il caso in cui con gurazione deformata e indeformata sono di erenti si osserva che a causa dell'in essione indotta dal momento, l'elemento cambia con gurazione rispetto a quella indeformata; vi sarà , quindi, una interazione tra la deformazione trasversale indotta dal momento ettente e quella dell' azione assiale. Un'azione assiale di compressione riduce la rigidezza essionale, mentre un'azione di trazione la incrementa. Ciò comporta che la matrice di rigidezza dell'elemento sarà caratterizzata dai contributi assiali, essionali e taglianti accoppiati.

Figura 1.9: Non-linearitĂ geometrica: e etto trave-colonna

Figura 1.10: Risultati esempli cativi di un'analisi (a) lineare e una (b) non-lineare


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Per poter tener conto delle non-linearitĂ geometriche appena discusse, soprattutto in sede di studio di strutture esistenti progettate per i soli carichi gravitazionali -e quindi predisposte ai grandi spostamenti quando investite dall'azione di un sisma- si deve in de nitiva adottare una modellazione che abbandoni l'ipotesi di coincidenza tra con gurazione deformata e indeformata.

1.2.2 Non-linearità meccanica dei materiali Tutti i materiali sono caratterizzati da un limite elastico e cioè da un valore di deformazione/tensione oltre al quale il comportamento elastico del materiale cessa di essere. Oltre tale soglia la maggior parte dei materiali ingegneristici si deforma plasticamente, acquistando deformazioni permanenti. Il comportamento non-lineare del materiale può essere rappresentato essenzialmente in due modi:

ˆ

a livello di legge costitutiva puntuale, cioè mediante un legame sforzi/deformazioni;

ˆ

a livello di legge costitutiva sezionale, ad esempio mediante legami momenti/curvature.

La plasticitĂ si di onde progressivamente nella struttura all'incrementare del carico; i modelli meccanici piĂš rigorosi e realistici assumono un approccio a plasticitĂ di usa . Sono tuttavia molto di usi modelli a plasticitĂ concentrata che a scapito dell'accuratezza, conducono a considerazioni notevolmente piĂš semplici.

1.3

Forme strutturali

Il comportamento di una struttura durante un terremoto dipende oltre che dal tipo di azione sismica che la investe anche dalle caratteristiche e dalle qualitĂ complessive


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della struttura, intendendo con ciò la tipologia strutturale, la procedura di progettazione, l'attenzione ai dettagli costruttivi e alle cura della realizzazione della costruzione. La resistenza alle azioni orizzontali indotte dal sisma è a data nei piani verticali ai telai a nodi rigidi, ai telai controventati ed alle pareti di taglio, mentre nei piani orizzontali ai diaframmi costituenti i solai e le coperture. Un buon comportamento sismico delle strutture prevede la crisi per formazione di un meccanismo di collasso globale,nel quale la plasticità coinvolge l'intera struttura soggetta all'azione sismica. La risposta di erisce a seconda della forma strutturale utilizzata: telai resistenti a momento, telai con controventi, sistemi a parete singola o accoppiata, sistemi telaioparete secondo quanto descritto rispettivamente nel seguito:

Telai resistenti a momento:

sono costituiti da travi rigidamente connesse ai pila-

stri e costituiscono una delle tipologie comunemente utilizzate per realizzare edi ci in cemento armato. Il comportamento dei telai piani in presenza di azioni orizzontali è intermedio tra quello di sistemi con travi in nitamente deformabili essionalmente e quello con travi in nitamente rigide essionalmente. A nchÊ una struttura intelaiata abbia una buona duttilità , e quindi sia in grado di garantire un meccanismo di rottura globale, deve permettere la formazione di cerniere plastiche (deformazioni anelastiche) solo ai due estremi delle travi di tutti i piani e alla base dei pilastri del piano terra. Questo signi ca che le colonne debbano presentare una resistenza maggiore rispetto alle travi in modo che queste possano ruotare garantendo una buona regolarità nella distribuzione delle rigidezze e resistenze in verticale. Tale con gurazione assicura che l'e etto delle forze laterali venga assorbito tramite una distribuzione uniforme del danno e con conseguente minimizzazione delle deformazioni locali.


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Figura 1.11: Meccanismo di deformazione di un telaio a travi deboli-colonne forti

La realizzazione di un tale meccanismo richiede, però, che le strutture siano progettate secondo il principio della gerarchia delle resistenze (o Capacity Design). In Italia tale loso a di progettazione è stata introdotta a livello normativo solo a partire dalla recente OPCM 3274/2003 [65], per poi essere confermata nelle NTC08 [68]. Dall'osservazione degli scenari post-sismici si può a ermare che sono proprio la non adozione di tali principi di progettazione e la generale mancanza di duttilità ad essere le cause fondamentali delle scadenti prestazioni sismiche di edi ci esistenti progettati per soli carichi da gravità . Infatti a livello globale ne deriva un sistema a travi-forti e colonne-deboli con pericolosa propensione alla formazione di meccanismi di piano debole. A livello locale è lecito attendersi la formazione di meccanismi di collasso di tipo fragile negli elementi strutturali ed una protezione inadeguata della regione nodale. E' bene ricordare a quali incrementi di sollecitazioni sono soggetti gli elementi strutturali di un edi cio durante un evento sismico per comprendere i meccanismi di danno


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che solitamente si manifestano su queste tipo di strutture. I pilastri sono sottoposti ad una notevole sollecitazione essionale e tagliante. Le massime sollecitazioni essionali, accompagnate dallo sforzo assiale indotto dalla sovrapposizione dei carichi gravitazionali e delle forze sismiche, si registrano in prossimità delle estremità del pilastro; proprio in queste zone, in relazione all'entità del sisma, può concentrarsi la richiesta di duttilità rotazionale. Nei pilastri si possono presentare crisi per taglio in colonne corte, come ad esempio nei telai delle scale e nelle campate con tamponamenti parziali, con un conseguente comportamento fragile della struttura; il basso grado di con namento, dovuto a poche sta e e/o sta e aperte, può determinare una crisi essionale al piede dei pilastri principalmente del primo piano con instabilità delle barre in compressione, s lamento delle barre in trazione e schiacciamento del calcestruzzo compresso non con nato. Il nodo trave-colonna -zona di rilevante importanza- è soggetto a sollecitazioni provenienti dagli elementi adiacenti -le travi e i pilastri- che si concentrano sul pannello di calcestruzzo e sulle barre di armatura, spesso con gradienti molto elevati. Il comportamento del nodo in uenza signi cativamente la risposta dell'intero sistema strutturale, sia in termini di deformabilità -causata dalla fessurazione del pannello di calcestruzzo e dallo scorrimento delle armature longitudinali- che in termini di resistenza se sopraggiunge in maniera prematura una crisi a taglio del pannello nodale. In corrispondenza dei nodi si possono presentare fenomeni di s lamento delle barre nel caso dell'impiego di barre lisce senza su cienti ancoraggi. I nodi esterni appaiono i piÚ critici, ma anche i nodi intermedi nel caso di armature longitudinali non continue possono presentare analoghi processi di collasso. L'assenza di una su ciente sta atura del pannello del nodo e le forti sollecitazioni taglianti possono condurre ad una crisi a taglio del pannello. La crisi del pannello nodale è legata principalmente alla crisi dei meccanismi resistenti a taglio e dei meccanismi di


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aderenza. La distribuzione con cui vengono trasferite le azioni ettenti e taglianti applicate al pannello nodale conduce, infatti, ad una fessurazione diagonale che può eventualmente condurre ad una crisi per eccessiva compressione diagonale del nodo con conseguente riduzione di resistenza e di rigidezza della connessione. Il degrado ciclico delle prestazioni di aderenza, invece, conduce da un lato ad una riduzione della resistenza essionale e della duttilità degli elementi che concorrono nel nodo e dall'altro ad un incremento della deformabilità di piano. Le travi sono sollecitate a essione e taglio e presentano problemi di collasso per taglio dovuti da un lato alla modesta armatura e dall'altro all'incremento delle sollecitazioni all'estremità per l'azione sismica. In maniera riassuntiva si può a ermare che le possibili carenze strutturali di edi ci a telaio possono essere: 1) inadeguato con namento nelle zone di potenziale formazione di cerniere plastiche; 2) armatura trasversale nella regione nodale insu ciente, se non totalmente assente; 3) insu ciente armatura longitudinale nelle colonne; 4) dettagli inadeguati nell'ancoraggio delle armature sia longitudinali che trasversali; 5) sovrapposizione dell'armatura longitudinale delle colonne al di sopra del livello di piano; 6) scarsa qualità dei materiali (calcestruzzo e acciaio) rispetto alle caratteristiche attualmente adottate per zone sismiche, in particolare: (i) utilizzo di barre lisce sia per l'armatura longitudinale che trasversale (ii) utilizzo di calcestruzzo con bassi valori di resistenza.


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Figura 1.12: Schema delle zone critiche negli elementi strutturali in c.a.

Telai con controventi concentrici o eccentrici:

è la tipologia più utilizzata per la

progettazione di edi ci in acciaio con elevato numero di piani. Sotto l'azione di forze laterali, gli elementi di controvento eccentrici presentano una maggiore duttilità strutturale rispetto a quelli concentrici. Questi ultimi sono soggetti in prevalenza a forze assiali e le zone dissipative sono pertanto concentrate nelle aste tese per cui dissipazione di energia risulta molto meno vantaggiosa rispetto a quella che si ottiene in elementi con sollecitazioni di tipo essionale. A ciò si aggiunge che detta dissipazione può realizzarsi solo in presenza di collegamenti a completo ripristino di resistenza e cioè a patto che la plasticizzazione delle aste tese preceda il collasso dei giunti. Da prove sperimentali si è evinto che i controventi eccentrici ed in particolare, i controventi a Y, introducono un regime essionale che si sovrappone al tipico regime estensionale e aumenta la capacità dissipativa della travatura.

Sistemi a parete singola o accoppiate:

sono sistemi in cui la resistenza necessaria

a sopportare le forze orizzontali dell'azione sismica è sostanzialmente attribuita a


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COMPORTAMENTO SISMICO DEGLI EDIFICI ESISTENTI IN C.A.

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pareti strutturali in muratura o cemento armato. Agli altri elementi strutturali presenti spetta di fatto il solo compito di resistere ai carichi gravitazionali. L'azione di forze applicate staticamente o ciclicamente su pareti strutturali può dare origine a diversi fenomeni, che in uenzano il comportamento e la risposta degli elementi in oggetto. In linea generale si può a ermare che sotto azioni laterali le pareti si comportano come una mensola. Nel caso di carichi laterali monotonicamente crescenti, l'asse neutro, in corrispondenza della generica sezione trasversale, si sposta verso la bra maggiormente compressa generando il rocking e ect (Figura 1.13 a), per il quale la parete tende a ruotare attorno ad un asse prossimo al bordo compresso. In particolare, in presenza di carico ciclico si genera un'oscillazione della sezione trasversale. Lo spostamento dell'asse neutro determina, cosÏ, un allungamento delle bre tese piÚ esterne con la conseguente degradazione del legame di aderenza tra calcestruzzo e barre di acciaio e lo s lamento delle armature tese nella sezione di base, in corrispondenza dell'interfaccia tra parete e fondazione. Si osserva allora il fenomeno del xed end rotation (sensibili rotazioni alla base)(Figura 1.13b).

Figura 1.13: E etti delle azioni laterali sulle pareti in c.a.. a) rocking e ect; b) xed and rotation

Gli spostamenti relativi dei piani sono associati alla deformazione essionale delle pareti: ne consegue che gli spostamenti tra i piani sono piĂš alti nella parte superiore dell'edi cio.


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La rottura di una parete in cemento armato può avvenire secondo di erenti modalità . In particolare, quando l'armatura a taglio è su ciente per la trasmissione degli sforzi corrispondenti ad elevati valori dell'azione ettente, si può veri care una rottura di tipo essionale. Quando invece l'armatura a taglio non è in grado di trasferire le sollecitazioni corrispondenti alla capacità di resistenza a essione dell'elemento, può avvenire una rottura a taglio, tipica delle pareti caratterizzate da un rapporto tra altezza e larghezza limitato (pareti tozze). In presenza di un'adeguata armatura a taglio si veri ca la rottura del tipo sliding shear caratterizzata da un forte degrado del calcestruzzo, che si veri ca sotto l'azione di carichi ciclici di forte intensità e nelle zone maggiormente sollecitate con conseguente scorrimento alla base.

Figura 1.14:

Schematizzazione gra ca meccanismi di rottura delle pareti in c.a.: a) rottura di

tipo essionale; b) rottura a taglio; c) rottura di tipo sliding shear (Park and Paulay, 1975)

Sistemi telaio-parete:

sono costituiti da telai in cemento armato accoppiati a pa-

reti in muratura o cemento armato, i quali contribuiscono insieme sia alla necessaria resistenza ai carichi orizzontali, che alla capacitĂ portante per i carichi verticali. L'accoppiamento consente di usufruire dei vantaggi dei due sistemi strutturali: la duttilitĂ del telaio e la rigidezza della parete. Infatti, i telai consentono un'elevata dissipazione di energia, in particolare in corrispondenza dei piani superiori degli edi ci, mentre le pareti, grazie alla loro elevata rigidezza, permettono un buon con-


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trollo degli spostamenti di piano. Il risultato è un edi cio che mostra una risposta duttile con un'uniforme e signi cativa capacità di dissipazione di energia lungo tutta la struttura ed una deformabilità controllata. Anche in questi edi ci, comunque, si possono veri care condizioni di elevate concentrazioni di danno o di rottura fragile soprattutto a causa dell'interazione spaziale travi-pareti-pilastri. Sistemi a nucleo:

i nuclei in cemento armato, usati spesso per la realizzazione di

vani scala o vani ascensore, pur presentando caratteristiche simili alle pareti sopra descritte, si di erenziano da queste per due principali ragioni: (a) i nuclei o rono resistenza tridimensionale alle forze orizzontali sismiche, (b) la tridimensionalità del nucleo conferisce al sistema una rigidezza ben superiore a quella che si otterrebbe con le pareti isolate. Ciò è molto importante dal punto di vista della distribuzione in pianta delle rigidezze.

Figura 1.15: Forme strutturali (alzato): (a) telaio resistente a momento; (b) telaio a controventi

concentrici; (c) telaio a controventi eccentrici; (d) telaio a pareti in c.a accoppiate; (e) sistema telaio-parete; (f ) sistema a nucleo


Capitolo 2 Edi ci esistenti e irregolaritĂ 2.1

Problematiche strutturali negli edi ci esistenti irregolari soggetti ad azioni sismiche

L'osservazione degli e etti prodotti da numerosi terremoti sugli edi ci ha confermato come la maggior parte dei danneggiamenti e dei collassi delle strutture siano da attribuire ad una loro con gurazione irregolare. Il comportamento delle strutture è infatti notevolmente in uenzato dalla presenza di regolaritĂ /irregolaritĂ strutturali. Tale in uenza è maggiormente rilevante quando oltre ai carichi verticali agiscono anche azioni sismiche. Le strutture irregolari esibiscono un comportamento sismico sfavorevole, caratterizzato dalla concentrazione delle domanda plastica in un numero limitato di sezioni, che può condurle ad un collasso prematuro sotto azioni sismiche violente. Quando si parla di regolaritĂ si tiene implicitamente conto di due concetti distinti : semplicitĂ strutturale e uniformitĂ . Il primo fa riferimento all'esistenza di percorsi chiari di trasmissione dei carichi dal punto di applicazione alle fondazioni attraverso elementi strutturali e non. Il secondo si riferisce contemporaneamente all'uniformitĂ

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EDIFICI ESISTENTI E IRREGOLARITÀ

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della distribuzione dei carichi e all'uniformità di distribuzione degli elementi resistenti. In presenza di un evento sismico infatti, risultano importanti la distribuzione delle masse, delle rigidezze, delle resistenze e della duttilità. L'azione sismica è proporzionale alle masse presenti. In fase elastica si distribuisce fra le membrature in funzione alle rigidezze mentre le resistenze e la duttilità governano il comportamento post-elastico della struttura. Quando si parla di irregolarità strutturale ci si riferisce fondamentalmente alle irregolarità in elevazione - cioè lungo l'altezza dell'edi cio - e alle irregolarità in pianta. Si considerano irregolarità in elevazione tutte le brusche variazioni di rigidezza o di massa lungo lo sviluppo in altezza dell'edi cio. Esse possono essere dovute al cambiamento della pianta architettonica da un livello all'altro, a brusche variazioni degli elementi strutturali, alla diversa distribuzione degli elementi non strutturali. Esempi sono: edi ci che presentano pilastri o pareti che si interrompono o cambiano notevolmente le dimensioni da un piano all'altro; edi ci con forte riduzione dell'armatura nei pilastri passando da un piano all'altro; edi ci che presentano un piano pilotis o un piano terra destinato a negozi e altri livelli a residenza con la compresenza di grandi vetrate e grandi tamponamenti; edi ci con diverse destinazioni d'uso ai vari piani; presenza di elementi particolari quali giardini pensili o piscine; piani arretrati o attici. Si considera irregolarità in pianta la non coincidenza tra il baricentro di massa e il baricentro delle rigidezze. Questa è dovuta principalmente alla asimmetria della pianta architettonica. Qualora la struttura risulti geometricamente simmetrica eventuali asimmetrie possono essere causate dalla posizione dei pannelli murari. Come esempi si citano: edi ci con piante irregolari; edi ci con nuclei resistenti (vano scala, pareti di taglio. ecc) che creano eccentricità. La comunità scienti ca internazionale ha mostrato vivo interesse nei confronti dello


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studio del comportamento sismico di edi ci irregolari. Gli studi sulla risposta sismica di strutture irregolari hanno inizio giĂ prima degli anni Trenta, quando l'attenzione era posta sulla distribuzione in elevazione dei parametri rigidezza e resistenza ; negli anni Sessanta, con gli studi di Berg (1962) [7], Jhaveri (1967) [28], Penzien (1969) [47], si approfondisce anche il tema degli edi ci con set-backs (rientranze lungo lo sviluppo in verticale della struttura). Agli anni Ottanta si riferiscono i primi studi orientati verso la valutazione del comportamento di strutture aventi discontinuitĂ in l'altezza di massa, rigidezza e resistenza condotti ad esempio da Moelhe (1984) [41] e Mohele e Alarcon (1986) [40] i quali e ettuarono anche studi su modelli in scala con l'uso della tavola vibrante. Prove sperimentali su un edi cio intelaiato in cemento armato di due piani con set-backs vennero condotte da Shahrooz e Moehle (1990) [56]. Negli anni Novanta l'interesse verso il comportamento sotto l'azione del sisma di strutture irregolari (sia in pianta che in elevazione) è ulteriormente cresciuto. Tra i vari contributi si annovera la nascita nel 1994, sotto la proposta della Commissione Esecutiva dell'EAEE,1 del Task Group 8 (TG8), coordinato dal professor A. Rutemberg avente l'obiettivo di approfondire il comportamento sismico delle strutture irregolari e complesse2 . Al 1998 risale l'indagine numerica sul comportamento sismico di strutture intelaiate irregolari in elevazione condotta da Al-Ali e Krawinkler [2] nel cui studio si prende in considerazione un sistema intelaiato con traversi in nitamente rigidi, ma dotati di discontinuitĂ in termini di massa, rigidezza e resistenza. Interessanti sono anche i contributi degli studi dell'in uenza sulla risposta sismica della struttura, della distribuzione discontinua delle tamponature. A tal riguardo si possono citare gli apporti di Ă–zmen et al. (1999) [44], Fardis et al. (1999) [24], Kappos e Ellul (2000) [31], Dol sek & Fajfar (2001), Das e Nau (2003) [9]. A partire 1 EAEE: European Association of Earthquake Engineering 2 Rutenberg, A., EAEE Task Group (TG) 8: Behaviour of Irregular and Complex Structures. State of the Art Report: Seismic Nonlinear Response of Code-Designed Asymmetric Structures


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dalla ne degli anni Novanta, poi numerosi sono stati gli studi e ettuati sulle analisi non lineari delle strutture irregolari; argomento , questo, trattato in maniera piĂš approfondita nel Capitolo 4.

2.1.1 De nizione di irregolarità : le Normative L'esame dei danni indotti da un evento sismico sulle costruzioni e l'evoluzione della ricerca scienti ca si è ri essa nel contestuale sviluppo delle normative sismiche internazionali, nelle quali è stata posta crescente attenzione sul tema della regolarità . Di seguito si riportano le de nizioni di struttura regolare proposte dalla normativa Europea, Italiana e da un codice Americano. 2.1.1.1

Eurocodice 8 (EC8) [64]

L'Eurocodice prevede la distinzione tra regolaritĂ in pianta e regolaritĂ in elevazione fornendo criteri qualitativi e quantitativi. Al Â&#x;4.2.3.2 si de niscono le condizioni che una struttura deve soddisfare a nchĂŠ si possa de nire regolare in pianta:

ˆ

la struttura dell'edi cio deve essere approssimativamente simmetrica in pianta rispetto a due assi ortogonali in relazione alla distribuzione della rigidezza laterale e della massa;

ˆ

la con gurazione della pianta deve essere compatta, cioè ogni impalcato deve essere delimitato da una linea convessa poligonale. Se sono presenti arretramenti in pianta (angoli rientranti o rientranze ai bordi), la regolarità in pianta può ancora essere considerata soddisfatta, a patto che queste rientranze non in uenzino la rigidezza in pianta del piano e che, per ogni rientranza, l'a-


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rea compresa tra il perimetro del piano e una linea poligonale convessa che racchiude il piano non superi il 5% dell'area del piano;

ˆ

la rigidezza in pianta degli impalcati deve essere su cientemente grande rispetto alla rigidezza laterale degli elementi strutturali verticali, in modo che la deformazione dell'impalcato abbia un e etto piccolo sulla distribuzione delle forze tra gli elementi strutturali verticali. A questo riguardo, si raccomanda che le con gurazioni in pianta a L, C, H, I, e X siano attentamente esaminate, soprattutto per quello che riguarda la rigidezza dei tratti laterali, che dovrebbe essere paragonabile a quella della parte centrale, al ne di soddisfare la condizione di impalcato rigido;

ˆ

la snellezza l

= Lmax/Lmin

4, dove

e

Lmax

Lmin

dell'edi cio in pianta non deve essere maggiore di

sono rispettivamente la maggiore e la minore dimensione

in pianta dell'edi cio, misurate nelle direzioni ortogonali;

ˆ

ad ogni livello e per ogni direzione di analisi e il raggio torsionale

r

x

e y, l'eccentricitĂ strutturale eo

devono essere in accordo con le due condizioni riportate

di seguito, che sono espresse relativamente alla direzione

y

:

eox ≤ 0,30¡rx ; rx ≼ ls

dove: eox è la distanza tra il centro delle rigidezze e il centro di massa, misurata lungo

la direzione x, che è normale alla direzione dell'analisi considerata; rx è la radice quadrata del rapporto tra la rigidezza torsionale e la rigidezza

laterale nella direzione

y

("raggio torsionale");

ls è il raggio d'inerzia polare della massa del piano in pianta;


CAPITOLO 2.

EDIFICI ESISTENTI E IRREGOLARITĂ€

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Al Â&#x;4.2.3.3 si de niscono le condizioni che una struttura deve soddisfare a nchĂŠ si possa de nire regolare in elevazione:

ˆ

tutti i sistemi resistenti ai carichi laterali, come nuclei irrigidenti, pareti strutturali o telai, si devono sviluppare senza interruzioni dalle loro fondazioni no alla sommitĂ dell'edi cio o, se sono presenti arretramenti a di erenti altezze, no alla sommitĂ della rispettiva parte dell'edi cio;

ˆ

sia la rigidezza laterale sia la massa dei singoli piani devono rimanere costanti o ridursi gradualmente, senza brusche variazioni, dalla base alla sommitĂ di un particolare edi cio;

ˆ

in edi ci intelaiati, si raccomanda che il rapporto tra la resistenza e ettiva di un certo piano e quella richiesta dall'analisi, non vari sproporzionalmente tra piani successivi.

La norma si so erma poi sulle prescrizioni circa gli edi ci che presentano set-backs:

ˆ

nel caso di arretramenti graduali che conservino la simmetria assiale, l'arretramento ad un certo piano non deve essere maggiore del 20% della dimensione in pianta del piano precedente nella direzione dell'arretramento;

ˆ

nel caso di un unico arretramento entro l'inferiore 15% dell'altezza totale del sistema strutturale principale, l'arretramento non deve essere maggiore del 50% della dimensione in pianta del piano precedente. In tal caso, si raccomanda che la prima parte della struttura che cade nel perimetro descritto dai piani dopo l'arretramento sia progettata in modo da sopportare almeno il 75% delle forze orizzontali di taglio che si svilupperebbero in tale zona in un analogo edi cio senza la base allargata;


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ˆ

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nel caso in cui gli arretramenti non conservassero la simmetria, la somma degli arretramenti di tutti i piani in una data direzione non deve essere maggiore del 30% della corrispondente dimensione in pianta al piano terra sopra la fondazione o sopra la sommitĂ di un basamento rigido; i singoli arretramenti non devono essere maggiori del 10% della dimensione in pianta del piano precedente.

L'EC8 pone l'attenzione anche verso le irregolaritĂ dovute alla presenza di tamponamenti in muratura. Al Â&#x;4.3.6.3.1 si prescrive che:

ˆ

nel caso di severe irregolarità in pianta, dovute alla disposizione non simmetrica dei tamponamenti (per esempio l'esistenza di tamponamenti principalmente lungo due facce consecutive dell'edi cio), si raccomanda di utilizzare modelli spaziali dell'edi cio per l'analisi della struttura. Si raccomanda che nel modello siano inclusi i tamponamenti e che sia eseguita un'analisi di sensibilità relativa alla posizione e alle proprietà dei tamponamenti (per esempio trascurando una delle tre o quattro pareti di tamponamento in un telaio piano, specialmente sui lati piÚ essibili). Si raccomanda di prestare particolare attenzione alla veri ca di elementi strutturali sui lati essibili della pianta (cioè piÚ lontani dal lato dove sono concentrati i tamponamenti) contro gli e etti di qualsiasi risposta torsionale causata dai tamponamenti;

ˆ

si raccomanda che pareti di tamponamento con piĂš di un'apertura o perforazione signi cativa (per esempio una porta e una nestra, ecc.) siano trascurate nei modelli di analisi;

ˆ

quando i tamponamenti di muratura non sono distribuiti in maniera regolare, ma non in modo tale da costituire una severa irregolaritĂ in pianta, queste


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irregolaritĂ possono essere tenute in conto aumentando di un fattore 2,0 gli e etti dell'eccentricitĂ accidentale. Al Â&#x;4.3.6.3.2 si prescrive che:

ˆ

se ci sono considerevoli irregolaritĂ in elevazione (per esempio una riduzione drastica di tamponamenti in uno o piĂš piani rispetto ad altri), devono essere aumentati gli e etti dell'azione sismica negli elementi verticali dei rispettivi piani;

ˆ

se non si utilizza un modello piÚ preciso, è necessario ampli care gli e etti dell'azione sismica calcolati sono ampli cati di un coe ciente de nito come segue:

Ρ = (1 + ∆VRw /

P

VEd )

dove: ∆VRw è la riduzione totale della resistenza delle pareti di muratura nel piano

considerato, paragonata al piano con piÚ tamponamenti al di sopra di esso; P VEd è la somma delle azioni sismiche di taglio agenti su tutte le membrature sismiche verticali primarie del piano considerato;

ˆ

se l'espressione (di h) porta a un coe ciente di ampli cazione minore di 1,1, non è necessario modi care gli e etti delle azioni.

2.1.1.2

D.M. 14 gennaio 2008 (NTC 2008) [68]

Il D.M. italiano accoglie l'impostazione dell'EC8, e distingue tra la regolaritĂ in pianta e in elevazione. Al Â&#x;7.2.2 la norma prevede che a nchĂŠ una struttura possa de nirsi regolare in pianta deve rispettare le seguenti prescrizioni:


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ˆ

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la con gurazione in pianta deve essere compatta e approssimativamente simmetrica rispetto a due direzioni ortogonali, in relazione alla distribuzione di masse e rigidezze;

ˆ

il rapporto tra i lati di un rettangolo in cui la costruzione risulta inscritta deve essere inferiore a 4;

ˆ

nessuna dimensione di eventuali rientri o sporgenze può superare il 25% della dimensione totale della costruzione nella corrispondente direzione;

ˆ

gli orizzontamenti possono essere considerati in nitamente rigidi nel loro piano rispetto agli elementi verticali e su cientemente resistenti.

Sempre allo stesso punto si a erma che a nchĂŠ una struttura si possa de nire regolare in elevazione deve rispettare le seguenti prescrizioni:

ˆ

tutti i sistemi resistenti verticali (quali telai e pareti) si estendono per tutta l'altezza della costruzione;

ˆ

massa e rigidezza devono rimanere costanti o possono variare gradualmente, senza bruschi cambiamenti, dalla base alla sommitĂ della costruzione (le variazioni di massa da un orizzontamento all'altro non devono superare il 25%, la rigidezza non si deve ridurre da un orizzontamento a quello sovrastante piĂš del 30% e non deve aumentare piĂš del 10%); ai ni della rigidezza si possono considerare regolari in altezza strutture dotate di pareti o nuclei in c.a. o pareti e nuclei in muratura di sezione costante sull'altezza o di telai controventati in acciaio, ai quali sia a dato almeno il 50% dell'azione sismica alla base;

ˆ

nelle strutture intelaiate progettate in classe di duttilità B il rapporto tra resistenza e ettiva3 e resistenza richiesta dal calcolo non è signi cativamente

3 La resistenza e ettiva è la somma dei tagli nelle colonne e nelle pareti compatibili con la resistenza a presso essione e a taglio dei medesimi elementi.


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diverso per orizzontamenti diversi (il rapporto fra la resistenza e ettiva e quella richiesta, calcolata ad un generico orizzontamento, non deve di erire piÚ del 20% dall'analogo rapporto determinato per un altro orizzontamento); può fare eccezione l'ultimo orizzontamento di strutture intelaiate aventi almeno tre orizzontamenti;

ˆ

eventuali restringimenti della sezione orizzontale della costruzione devono avvenire in modo graduale da un orizzontamento al successivo, rispettando i seguenti limiti: ad ogni orizzontamento il rientro non deve superare il 30% della dimensione corrispondente al primo orizzontamento, nĂŠ il 20% della dimensione corrispondente all' orizzontamento immediatamente sottostante. Fa eccezione l'ultimo orizzontamento di costruzioni di almeno quattro piani per il quale non sono previste limitazioni di restringimento.

2.1.1.3

Uniform Buildings Code 1997 (UBC 1997)4 [63]

L' UBC fornisce criteri di irregolaritĂ strutturale verticale e in pianta (Table 16-L. Table 16-M UBC) di tipo quantitativo. Si de niscono cinque tipi di irregolaritĂ verticali:

ˆ

sti ness irregularity - soft story. Un piano so ce è quello in cui la rigidezza laterale totale è inferiore al 70% di quella del piano superiore o minore all'80% della media delle rigidezze dei tre piani superiori;

ˆ

weight (mass) irregularity. Tale irregolarità dovrà considerarsi quando la massa di un piano qualsiasi è superiore al 150% della massa di un piano adiacente. La copertura, essendo il piano piÚ leggero, non va considerata;

4 L' UBC è un codice realizzato dall' International Conference of Building O cials la cui prima versione risale al 1927 mentre quella de nitiva al 1997. Il codice è principalmente utilizzato nelle zone occidentali degli Stati Uniti.


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vertical geometric irregularity. Tale irregolarità dovrà considerarsi allorquando la dimensione orizzontale di un sistema resistente laterale ad un qualsiasi piano è maggiore al 130% di un piano adiacente;

in-plane discontinuity in vertical lateral-force-resisting element. Questa irregolarità è presente quando gli spostamenti di elementi fuori dal piano, sono di quantità maggiore della loro altezza;

discontinuity in capacity - weak story. Un piano debole è quello nel quale la resistenza di piano nella direzione della forzante è minore dell'80% della resistenza del piano superiore.

Vengono de niti anche cinque tipi di irregolarità in pianta:

torsional irregularity - da considerare quando il diaframma di piano non è essibile. L'irregolarità torsionale può essere presa in considerazione quando il massimo spostamento orizzontale di piano, ortogonale ad uno degli assi principali del sistema e calcolato applicando le azioni orizzontali con la prescritta eccentricità accidentale, è superiore a 1.2 volte la media degli spostamenti orizzontali delle due estremità del piano;

re-entrant corners. Le con gurazioni piane di una struttura e i sistemi laterali resistenti presentano rientranze allorquando entrambe le proiezioni della struttura oltre alla rientranza è maggiore del 15% della dimensione della struttura in quella direzione;

diaphragm discontinuity. La discontinuità negli impalcati di piano si presenta quando vi sono brusche discontinuità o variazioni di rigidezza fra essi, come ad esempio in presenza di vuoti all'interno del perimetro degli stessi con area mag-


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giore del 50% dell'intera area o in presenza di variazioni di rigidezza maggiori del 50% da un piano all'altro;

ˆ

out-of-plane o sets. Tale irregolaritĂ si ha quando sono presenti discontinuitĂ negli elementi resistenti laterali, come spostamenti di elementi verticali fuori dal piano, tali da modi care il percorso delle forze;

ˆ

nonparallel systems. Tale situazione riguarda la presenza di elementi resistenti laterali disposti in modo non simmetrico o non parallelo rispetto ai due assi ortogonali principali del sistema resistente alle azioni orizzontali.

2.1.2 Meccanismi di collasso e probabilità sismica di strutture irregolari Per comprendere come l'irregolarità strutturale possa in uire sul comportamento sismico di una struttura, è opportuno procedere ad una esposizione qualitativa dei meccanismi di deformazione e rottura e dei danni di strutture soggette all'azione di forze orizzontali in presenza di particolari irregolarità . Irregolarità di distribuzione di rigidezza.

In conseguenza al terremoto, sulle costruzioni, si genera un sistema di forze interne che vengono convogliate attraverso gli elementi sismo-resistenti alle fondazioni. Ogniqualvolta il usso tensionale incontra sul suo percorso un' improvvisa variazione di resistenza oppure di rigidezza, ed in particolar modo un brusco indebolimento, in questa zona si genera uno stato localizzato di sforzo ed un conseguente potenziale innesco di collasso. Tale situazione diventa sempre piĂš pericolosa man mano che ci si avvicina alla base della struttura dal momento che l'intensitĂ delle forze interne tende ad aumentare in prossimitĂ del terreno. La presenza nell'organismo strutturale di un piano la cui resistenza o la cui rigidezza


CAPITOLO 2.

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sono sensibilmente inferiori di quelle proprie degli altri piani (questo piano viene normalmente chiamato "so ce", "debole", " essibile") rappresenta in zona sismica una delle condizioni di massimo rischio.

Figura 2.1: Meccanismo di piano debole. a) piano terra; b) piano intermedio

La formazione di un meccanismo di piano debole si può acere ad esempio: 1) Quando le colonne di un piano sono sensibilmente più lunghe, e pertanto più essibili, di quelle degli altri piani o quando una parte degli elementi resistenti verticali è interrotta in corrispondenza di un piano. Queste realizzazioni sono frequenti nei casi in cui un piano strutturale è adibito ad uso speciale (autorimesse, grandi magazzini, cinema, teatri, sale conferenza, impianti ginnici, . . .) o si è in presenza di particolari con gurazioni orogra che del sito;


CAPITOLO 2.

Figura 2.2:

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Esempi di irregolarità di distribuzione di rigidezza: diversità di dimensionamento

degli elementi strutturali verticali

2) Quando i muri di tamponamento sono interrotti in corrispondenza di un piano. Questa situazione si veri ca molto spesso quando il piano terra dell'edi cio è adibito a negozi e le murature perimetrali vengono pertanto sostituite dalle vetrine, oppure quando la costruzione è realizzata su "pilotis" ed il piano terra è conseguentemente libero e pedonabile (alberghi, scuole); oppure ancora quando ad un piano sono praticamente assenti tutte le tramezzature interne (cinema, teatri, autorimesse).

Figura 2.3: Esempi di irregolarità di distribuzione di rigidezza: a) assenza di muratura al P.T.;

b-c) compresenza di campate tamponate/vetrate


CAPITOLO 2.

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3) Quando i tamponamenti in muratura o in calcestruzzo, pur svolgendo una funzione non strutturale, irrigidiscono le travi e limitano la deformabilità delle colonne nel solo tratto di altezza lasciato libero dai riempimenti. L'accorciamento della lunghezza libera delle colonne e quindi la creazione di pilastri tozzi, può causare fenomeni di frattura per taglio prima o immediatamente dopo il raggiungimento della resistenza essionale nelle travi. Questa situazione è tipica degli edi ci che presentano nestre a nastro.

Figura 2.4: Esempio di irregolaritĂ di rigidezza con meccanismo di rottura: rottura a taglio per

la riduzione della luce del pilastro

Ulteriori irregolarità di distribuzione di rigidezza insorgono anche in presenza di con gurazioni planimetriche irregolari (L, T, H). Gli angoli rientranti, costituiscono normalmente la zona di massima debolezza nella costruzione. In questa situazione è infatti frequente che si creino stati deformativi di erenziati che spesso producono elevate concentrazioni di sforzo in prossimità delle rientranze.


CAPITOLO 2.

Figura 2.5:

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Esempi di irregolarità di distribuzione di rigidezza:

con gurazioni planimetriche

irregolari

Irregolarità torsionale

Un problema molto importante è legato alla posizione reciproca tra il centro di massa (CM) e il centro di rigidezza (CR). Il CM è il punto dove, ad ogni piano, agisce la forza di inerzia provocata dall'accelerazione indotta dal sisma alla struttura, mentre il CR è il centro delle reazioni taglianti V (forze resistenti) che nascono in conseguenza allo spostamento indotto dall'azione sismica. Se il centro di massa e il centro di rigidezza coincidono il moto di piano conseguente all'applicazione di forze orizzontali nelle due direzioni è puramente traslatorio, se invece tale coincidenza non sussiste si generano momenti torcenti. In particolare quando il CM e il CR non coincidono, a nché la forza agente (Fi ) e la forza resistente (V) si equilibrino, si ha la necessità di un momento (M) che induce una rotazione relativa del piano.


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Figura 2.6: E etti torsionali indotti dall'eccentricitĂ tra il CM e il CR - sistema di forze

E etti torsionali si possono avere, ad esempio, in presenza di una posizione eccentrica di un elemento rigido (scale, pareti, nucleo, ascensori), che determinano grandi spostamenti e rotazioni della parte piĂš lontana dal centro di rigidezza. Questo comporta un danneggiamento localizzato (deformazioni anelastiche) negli elementi soggetti a deformazione maggiore (elementi piĂš lontani dal centro di rigidezza), con collasso precoce per avvitamento della struttura. Un'eccessiva domanda di duttilitĂ in una determinata zona potrebbe determinare un signi cante degrado della rigidezza del telaio nelle zone piĂš lontane dal centro di rigidezza con un conseguente ulteriore spostamento del centro di rigidezza e quindi un' ulteriore ampli cazione degli e etti torsionali. Problemi torsionali possono insorgere anche in presenza di con gurazioni planimetriche complesse; in questi casi la presenza di angoli rientranti, infatti, tende ad allontanare il centro di rigidezza dal centro di massa, inducendo sulla costruzione e etti torsionali. Tali e etti possono essere risolti attraverso l'introduzione di pareti (o elemento) strutturale (resistente) disposto in modo da ripristinare la coincidenza tra CM e CR.


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Figura 2.7:

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a) esempi di disposizioni sfavorevoli degli elementi strutturali resistenti alle forze

orizzontali nei confronti degli e etti torsionali; b) esempi di con gurazioni con coincidenza tra CM e CR

In generale sono sempre previsti e etti torsionali accidentali che, entro determinati limiti, possono essere trascurati. IrregolaritĂ di distribuzione di massa.

Si può a ermare che una distribuzione uniforme di massa determini una migliore ripartizione delle forze inerziali, mentre una distribuzione simmetrica di massa eviti


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eccentricità tra centro di massa e di rigidezza. Si può altrettanto sostenere che situazioni sfavorevoli si manifestano quando sono presenti concentrazioni asimmetriche della massa in pianta e in elevazione. Tali situazioni si possono avere negli edi ci a sviluppo in elevazione a T -con concentrazione della massa nella parte superiorenegli edi ci a sviluppo in elevazione a L -con concentrazione della massa nella parte inferiore- o in presenza di distribuzione sfavorevole di elementi non strutturali pesanti: serbatoi d'acqua, piscine, biblioteche.

Figura 2.8: Esempi di irregolarità di distribuzione di massa: sviluppo verticale (x >1)

Irregolarità geometriche in pianta

La presenza di irregolarità geometriche in pianta fa crescere la probabilità di danneggiamento della struttura. Di seguito sono riportate le con gurazioni planimetriche più comuni e le conseguenti tipologie di danneggiamento della costruzione soggetta ad un'azione sismica. a) Con gurazione simmetrica. Esempio: comuni edi ci per civile abitazione. Se non vi sono altri fattori aggravanti tale lay-out risulta quello che possiede il minor rischio


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di danneggiamento; b) Edi ci con planimetria rettangolare. Esempio: Edi ci di dimensioni elevate a sviluppo longitudinale ad uso residenziale. Pur possedendo una con gurazione regolare, presentano problemi conseguenti alla non uniformitĂ nell'arrivo dell'energia del sisma lungo l'edi cio e alla possibile presenza di moti di erenziali del suolo. c) Edi ci a pianta curvilinea. Esempio: edi ci - a diversa destinazione d'uso - progettati in particolari composizioni architettoniche. Tali strutture presentano asimmetrie e sviluppo in lunghezza elevato da cui deriva una maggiore esposizione al danneggiamento. d) Edi ci con planimetrie aventi angoli diversi da quelli retti. Esempio: edi ci posizionati in prossimitĂ di incroci o comunque di angoli di strada. Tali strutture possono essere soggetti ad e etti torsionali; e) Edi ci con corti interne o patii. Esempi: ville unifamiliari o complessi edi ci condominiali. Tali strutture potrebbero incorrere in un aumento della probabilitĂ di danneggiamento quando un diverso scuotimento dei bordi causa pericolose distorsioni nelle sezioni d'angolo; f) Edi ci con pianta ad L. Esempio: edi ci scolastici. Tali strutture presentano rischi di danneggiamento nelle zone laterali; g) Edi ci con pianta a T. Tali strutture presentano maggiori probabilitĂ di danneggiamento nelle zone di intersezione tra le due porzioni ortogonali e negli elementi puntuali piĂš esterni; h) Edi ci con pianta a U. Esempio: edi ci scolastici. Presentano una maggiore esposizione al danneggiamento in entrambi gli angoli di intersezione; i) Edi ci con planimetrie ad H. Esempio: strutture ospedaliere. Tali strutture presentano una maggiore esposizione al danneggiamento nelle zone d'angolo; l) Edi ci con planimetrie complesse. Tali strutture presentano diverse zone di pro-


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babile danneggiamento localizzate nelle zone di intersezione tra parti strutturali e negli angoli; m) Planimetrie dalla con gurazione tipica delle halls, auditorium, teatri, ecc. Tali strutture presentano rischi di sollecitazioni torsionale; n) Edi ci con planimetrie circolari. Esempio: edi ci a torre. Tali strutture. se non presentano ulteriori irregolarità e sono organizzate in una con gurazione simmetrica, non presentano particolari problemi di vulnerabilità sismica; o) Composizione irregolare di strutture circolari. Tale con gurazione può causare sollecitazioni torsionali.

Quando non è possibile evitare una forma planimetrica complessa, risulta comunque consigliabile adottare alcuni accorgimenti: a) suddivisione del complesso strutturale in strutture semplici mediante giunti di separazione;


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b) irrigidimento delle zone d'angolo; c) distribuzione di elementi irrigidenti tali da uniformare lo stato deformativo della costruzione; d) modi ca della forma planimetrica, sostituendo gli angoli retti con angoli ottusi.

Irregolarità geometriche in elevazione

La presenza di irregolarità geometriche in elevazione fa crescere la probabilità di danneggiamento della struttura. Di seguito sono riportate le con gurazioni altimetriche e le tipologie di danneggiamento più comuni di tali strutture quando soggette ad un'azione sismica. a) Con gurazione regolare e simmetrica. Esempio: comuni edi ci per civile abitazione. Se non vi sono altri fattori aggravanti questo è il lay-out con minor rischio di danneggiamento sia della componente strutturale che di quella non strutturale; b) Edi ci con uno sviluppo piramidale da uno o da entrambi i lati di elevazione. Se la simmetria è rispettata in tutti gli altri parametri geometrico-meccanici tali edi ci


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presentano un basso rischio di danneggiamento, alcune volte minore della con gurazione a). Le costruzioni a forma rientrante infatti, risultano ottimali nei riguardi dell'azione sismica in quanto producono un abbassamento del baricentro delle masse e quindi una sensibile riduzione del momento ribaltante. Si osserva anche che tanto più ampia è la base strutturale rispetto l'altezza, tanto minori sono le sollecitazioni indotte sugli elementi di perimetro; c) Edi ci con andamento a piramide inversa. Tale con gurazione produce un innalzamento del baricentro delle masse e quindi un sensibile aumento del momento ribaltante. La resistenza e la rigidezza alla base risultano generalmente minori e di conseguenza si manifesta una maggiore probabilità di danneggiamento rispetto alle prime due con gurazioni; d) Edi ci con elevazione a forma di L. Esempio: edi ci con diverse destinazioni d'uso (commerciale/residenziale). Tali strutture presentano una maggiore esposizione al danneggiamento nella zona di transizione dal corpo a sviluppo orizzontale a quello a sviluppo verticale; e) Edi ci con elevazione a forma di T rovescia. Tali strutture presentano una maggiore esposizione al danneggiamento nella zona di passaggio dalla base alla torre; f) Edi ci con diversi set-backs. Tale andamento a zig-zag del prospetto comporta variazioni di massa, rigidezza e smorzamento ai vari livelli causando una elevata esposizione al danneggiamento; g) Edi ci con il primo piano sporgente. Esempio: edi ci che presentano una zona di passaggio coperto dinnanzi agli edi ci commerciali. Tale con gurazione porta ad una sostanziale esposizione al danneggiamento, soprattutto se lo sporto è accentuato; h) Edi ci con piano debole in una sola zona. Esempio: edi ci con porticato lungo un lato. Tale con gurazione potrebbe essere pericolosa per la irregolarità di distribuzione della rigidezza tra la parte pilastrata e la parte con parete, nonché tra il piano


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debole e gli altri livelli. i) Edi ci con piano debole lungo tutto un livello. Esempio: edi ci a pilotis. Tale con gurazione determina una forte irregolarità di rigidezza tra la parte inferiore e quella superiore, mostrandosi molto esposta al danneggiamento. l) Edi ci con parte porticata e parte a sbalzo al piano terra. Tale con gurazione presenta forti asimmetrie e di conseguenza un'elevata vulnerabilità sismica; m) Edi ci su terreni in pendenza. Esempi: edi ci realizzati in contesti collinari o montuosi. Tali strutture presentano forti irregolarità -soprattutto della dimensione degli elementi strutturali verticali- ed hanno quindi una elevata vulnerabilità sismica; n) Edi ci a sviluppo verticale irregolare con piano debole nella parte inferiore. Esempio: strutture per palazzetti dello sport. Tali strutture presentano un elevato rischio di danneggiamento soprattutto quando investiti dall'azione sismica in presenza di un elevato a ollamento e cioè quando parte della capacità strutturale è già impegnata per condizioni di carico presenti.


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2.1.3 Scenari post-sisma L'osservazione degli scenari post-terremoto di recenti eventi sismici permette di a ermare che le strutture irregolari presentano sistematicamente maggiori danni rispetto alle strutture regolari. In generale si può osservare che le principali cause di danno da sisma riscontrate negli edi ci in calcestruzzo armato di tutto il mondo sono: - fenomeni di meccanismo di piano so ce; - rottura del con namento nei pilastri; - e etti di irrigidimenti non previsti dovuto a pareti non strutturali; - architravi deboli nelle strutture a pareti di taglio; - rotture nei nodi trave-pilastro. Di seguito si riportano dei brevi resoconti dei danni subiti soprattutto dalle strutture che presentavano conformazioni irregolari in occasione di quattro importanti eventi sismici. 2.1.3.1

Managua, Nicaragua: il terremoto del 23 Dicembre 1972 [39]

Il terremoto di Managua del 1972 fu un sisma di magnitudo 6.2 nella scala Richter, che distrusse la capitale del Nicaragua a partire dalle 12:35 (6:35 UTC) della mattina del 23 dicembre. La prima scossa fu seguita da altre ed ebbe epicentro nel lago di XolotlĂĄn. Il sisma distrusse tutto il centro della cittĂ causando numerosissimi morti e feriti. Il Banco Centrale e il Banco d'America due edi ci di Managua posizionati agli angoli opposti di uno stesso isolato e che, investiti dal sisma, hanno subito danneggiamenti notevolmente di erenti in funzione alla loro diversa conformazione.


CAPITOLO 2.

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Figura 2.9: Vista generale sul Banco Centrale (sin.) e sul Banco d'America (des.)

Il Banco Centrale è un edi cio di 15 piani con 2 piani interrati, con struttura a telaio in c.a.. L'edi cio presentava una con gurazione non simmetrica. Complessivamente la planimetria era rettangolare, ma la presenza di un diverso sistema strutturale lungo i due lati corti dell'edi cio e del nucleo eccentrico in c.a. che delimitava il centro servizi, generava una forte eccentricità tra il centro di massa e il centro di rigidezza. In conseguenza di ciò l'edi cio subì forti deformazioni torsionali.

Figura 2.10: Banco centrale: piante e sezione


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I danni subiti dalla dalla componente strutturale e non-strutturale portarono alla necessità di demolire l'edi cio in alcuni livelli. Nella zona più vicina al centro di rigidezza i danni furono limitati ai tamponamenti mentre ad esempio le scale interne subirono forti danni così come mostrano le immagini seguenti.

Figura 2.11: Banco centrale: vista dal lato con maggiore resistenza; vista dei danni delle scale

Il Banco di America, il più alto edi cio di Managua degli anni '70, è un edi cio di 17 piani, con due livelli interrati, caratterizzato dalla compresenza di telai in c.a. e pareti di taglio. La sua eccezionale performance al sisma è da attribuire alla simmetria e alla uniformità della distribuzione della massa e della rigidezza strutturale lungo l'edi cio stesso.


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Figura 2.12: Banco di America: sezione e piante

Il Banco di America non subì gravi danni e necessitò di pochi interventi di ripristino. L'immagine seguente mostra le pareti del core a livello del secondo piano da cui si può notare che il danno è limitato al rivestimento in lastre di marmo, che ricopre le pareti in c.a..

Figura 2.13: Banco d'America: danni al core in c.a.


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2.1.3.2

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Messico: il terremoto del 19 settembre 1985

Il 19 settembre 1985 un terremoto di magnitudo 8.1 Richter colpì la Città del Messico alle 7:19 (ora locale) causando ingenti morti e danni. Città del Messico è organizzata in circoscrizioni, Cuauhtémoc, che comprende il centro storico, è quella che subì i danni maggiori: 258 edi ci crollarono completamente, 143 parzialmente e 181 furono gravemente danneggiati. L'altra area gravemente colpita fu Venustiano Carranza, dove 83 edi ci crollarono, 128 parzialmente e 2.000 strutture furono gravemente danneggiate. Il danno fu localizzato nella parte centrale della città, lasciando gran parte della cerchia residenziale esterna illesa; tuttavia il danno nell'area interessata fu esteso. Di seguito si riportano alcune immagini emblematiche di edi ci che hanno subito meccanismi di piano in conseguenza alla irregolarità di distribuzione di massa e rigidezza.

Figura 2.14: Esempi di danneggiamento causato da irregolarità di massa e rigidezza


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2.1.3.3

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Kobe, Giappone: il terremoto del 17 gennaio 1995

Il grande terremoto di Kobe si è veri cato il 17 gennaio 1995, alle 05:46 (ora locale), nella parte sud della Prefettura di Hy ogo in Giappone, ed è stato causato da uno spostamento della crosta terrestre lungo la Faglia Nojima. Questo fu il primo terremoto la cui intensità sismica venne certi cata sopra ai 7 shindo della Japan Meteorological Agency seismic intensity scale, una scala sismica analoga alla Scala Mercalli e derivate. La ragione principale per cui il terremoto fu in grado di mettere in ginocchio il Giappone si deve soprattutto ad un difetto di previsione e prevenzione. Pur disponendo di una delle migliori reti sismologiche del mondo, in questa zona infatti non erano stati previsti nÊ sismi di tale intensità e nÊ sismi avente una componente sussultoria elevata. I danni furono pertanto notevoli. Una valutazione complessiva sui danni alle costruzioni ha confermato che a crollare per primi, indipendentemente dai materiali e dalle tecniche costruttive utilizzate, furono gli edi ci che presentavano irregolarità nella distribuzione delle rigidezze. Di maggiore vulnerabilità al danno sono state le strutture che presentavano brusche variazioni di rigidezza lungo l'elevazione: strutture portanti verticali composte in acciaio e calcestruzzo, con colonne metalliche rivestite da calcestruzzo solo nei piani inferiori. Molti edi ci intelaiati degli anni Ottanta hanno subito crolli di piani intermedi per la presenza di piani so ci e crolli ai piani terra per la presenza del piano pilotis e piani superiori molto piÚ rigidi. Altri edi ci invece si sono mostrati vulnerabili al sisma a causa di modi che costruttive operate nel tempo per adeguamenti funzionali e distributivi, e ettuate senza alcuna valutazione delle possibili alterazioni del comportamento sismico delle strutture, in tale contesto, il maggiore esempio è costituito dall'edi cio del Municipio di Kobe di seguito descritto.


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Municipio di Kobe

L'organismo edilizio che ospita gli u ci municipali era costituito da due distinti edi ci poco distanti e realizzati dalla stessa societĂ ma in due periodi di erenti: uno di otto piani realizzato nel 1971, l'altro di 30 piani realizzato nel 1992. Entrambi gli edi ci erano caratterizzati da una con gurazione abbastanza regolare. Nella concezione originaria del progetto tali due strutture dovevano essere mantenute indipendenti, ma poco dopo l'ultimazione del grattacielo furono collegate attraverso delle gallerie sospese. Tali gallerie, per le quali era stato solo previsto ma non realizzato l'inserimento di giunti, hanno indotto una irregolaritĂ nella struttura mostrandosi come elemento di disturbo all'oscillazione libera delle strutture adiacenti. La conseguenza di questo intervento fu il collasso dei pilastri intermedi con il conseguente collasso del sesto piano.

Figura 2.15: Municipio di Kobe


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Altre immagini possono chiarire i danni che hanno subito altre strutture di Kobe interessate dal sisma:

Figura 2.16:

(a) Collasso del primo piano per piano debole a causa della presenza di numero-

se aperture; (b,c) Collasso di un piano intermedio per variazione di rigidezza; (d) deformazione torsionale con collasso e ribaltamento causato da eccentricitĂ CM-CR

2.1.3.4

Aquila, Italia: il terremoto del 6 Aprile 2009

Il 6 aprile 2009, alle ore 3.32, un forte terremoto di magnitudo Richter pari a 5.8 ha colpito la cittĂ di L'Aquila e i suoi dintorni. La profonditĂ dell'epicentro del terremoto fu stimata in soli 8 km, come spesso accade per i terremoti appenninici. Gli e etti del terremoto sono stati particolarmente distruttivi in prossimitĂ dell'epicentro, con numerosi morti e feriti, diverse decine di migliaia di sfollati e danni soprattutto concentrati nella cittĂ di L'Aquila e dintorni. Attraverso l'osservazione di alcuni scenari post evento sismico si possono evidenziare i danni subiti dalle strutture in relazione anche alle loro morfologie.


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Residenza privata sita nella frazione di Pettino

Pettino è una frazione dell'Aquila, ed è il sito dove è stato localizzato l'epicentro del sisma. Uno degli edi ci che ha subito gravi danni è il seguente:

Figura 2.17: Viste aeree pre-sisma dell'edi cio in esame

L'osservazione dei danni subiti dall'edi cio a seguito del sisma, mette in luce quanto l'irregolarità strutturale in uisca sulla risposta sismica. L'edi cio presentava una struttura in c.a. di tre piani più un piano mansardato, irregolare in pianta con una forma approssimativamente a T, ampie aperture al piano terra dove erano localizzati garage e ingressi. Investita dall'azione sismica, la struttura ha subito ingenti danni a causa del movimento torsionale attivatosi e della scarsa qualità di costruzione della stessa. L'edi cio ha presentato un meccanismo di piano debole al primo livello con crisi completa delle tamponature presenti; ai piani superiori non si è registrato un danno strutturale, ma esclusivamente fessurazione dei tamponamenti. Le posizioni dei pilastri al primo livello rispetto alla sovrastante struttura fanno apprezzare il movimento torsionale che l'edi cio ha subito durante il sisma. La scarsa presenza di armature nei nodi ha provocato l'espulsione del copriferro e la conseguente instabilizzazione delle armature longitudinali. I pilastri sono stati scalzati dalla posizione originaria. La gura seguente mostra chiaramente una ricostruzione plausibile della struttura, la risposta torsionale subita durante il sisma e le tipologie di danno che si sono attivate.


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Figura 2.18: Planimetria con meccanismo di deformazione e immagini post evento sismico

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Di seguito si mostrano i danni subiti da tre complessi scolastici aquilani.

Complesso scolastico Giuseppe Mazzini

Figura 2.19:

Complesso scolastico G. Mazzini. (in alto) schema organizzativo del complesso; (al

centro) pianta piano terra; (in basso) vista aerea


CAPITOLO 2.

EDIFICI ESISTENTI E IRREGOLARITĂ€

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Il complesso è stato realizzato negli anni Settanta ed Ê articolato in quattro blocchi destinati ad aule scolastiche e laboratori, u ci, palestra e spazi comuni. Le varie parti sono indipendenti tra di loro e sono collegate mediante rampe di scala, essendo posizionate su livelli di erenti; sono presenti giunti tecnici di modesto spessore in corrispondenza delle varie parti del complesso edilizio. I fabbricati si distinguono tra di loro per forma, dimensioni numero di piani (come è possibile leggere nell'immagine 2.19). L'altezza media di piano è compresa tra 3,50m e 5,00m, fatta eccezione della palestra , univo volume di altezza superiore ai 5,00m. I due blocchi aule sono caratterizzati da una struttura a telaio in c.a. su pianta rettangolare, con una distribuzione abbastanza regolare dei pilastri e tramezzi interni. I due blocchi presentano una scala di collegamento priva di idoneo giunto strutturale, questo rende gli edi ci irregolari sia in elevato che in pianta, i solai sono in laterocemento, i tamponamenti esterni sono doppi con interposta un'intercapedine d'aria; i paramenti interni sono costituiti da laterizi forati mentre quelli esterni da laterizi pieni; i tramezzi interni sono anch'essi in laterizio forato. Il blocco centrale, adibito ad u ci, presenta tipologia strutturale e di chiusura orizzontale e verticale uguale ai blocchi aule. Il volume presenta nella parte centrale un ampio pozzo luce per garantire una idonea illuminazione degli ambienti. Il blocco della palestra, a pianta rettangolare, presenta pilastri rientrati rispetto al lo esterno del fabbricato e di conseguenza travi a sbalzo. A seguito dell'evento sismico i maggiori danni si sono riscontrati in corrispondenza delle sommità di alcuni pilastri. Alcuni di questi hanno mostrato lesioni da taglio in corrispondenza dell'attacco delle nestre a nastro. Non sono stati riscontrati danni a travi e pilastri mentre sono presenti lesioni in corrispondenza delle scale. L'insu cienza delle dimensioni del giunto strutturale in corrispondenza delle scale dei


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EDIFICI ESISTENTI E IRREGOLARITĂ€

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blocchi aule ha causato e etti di martellamento. Alcuni tamponamenti hanno subito il crollo del paramento interno.

Figura 2.20: Complesso scolastico G.Mazzini. da sinistra a destra : (in alto) lesione da taglio in

sommitĂ del pilastro, (in basso a sx) crollo del paramento interno del tamponamento esterno, (in basso a dx) martellamento del giunto del vano scala


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Istituto Tecnico per le Attività Sociali E. di Savoia

Figura 2.21: ITAS E. Savoia. Vista aerea

Figura 2.22: ITAS E. Savoia. Pianta piano terra

L'edi cio, realizzato nel 1959, è composto da due blocchi con cinque piani fuori terra ed uno seminterrato. Gli ultimi due piani fuori terra sono relativi ad una sola porzione del fabbricato. Il blocco delle aule scolastiche, dei laboratori e degli u ci ha una struttura in c.a., con altezza media di piano di 3,50m (fatta eccezione del piano seminterrato) e interasse tra i pilastri variabile. Il blocco aule presenta una forte irregolarità sia in pianta che in altezza essendo a sua volta composto da più volumi connessi solo in alcuni punti da giunti tecnici di modeste dimensioni. Complessivamente il complesso presenta una pianta ad L, con angolo di circa 70° fra le due ali.


CAPITOLO 2.

EDIFICI ESISTENTI E IRREGOLARITĂ€

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Tre vani scala connettono i vari livelli. Le scale interne sono a soletta rampante, in perfetta adiacenza alla struttura verticale portante senza la presenza di giunti di separazione. I tamponamenti esterni sono costituiti da pareti doppie di laterizi forati con interposta camera d' aria, i tramezzi interni sono di fattura diversa, i solai sono in c.a.. I maggiori danni subiti dalla zona aule sono stati rilevati in corrispondenza delle scale e di alcuni elementi strutturali. Numerose sono le lesioni da taglio sui pilastri e sulle travi. La presenza di tamponamenti rigidi sotto le ampie nestre a nastro ha provocato lesioni di taglio sui pilastri adiacenti, a livello dell'attacco tra elemento strutturale portante e parete esterna.

Figura 2.23: ITAS E. Savoia. (in alto) lesioni del vano scala; (in basso a sx) lesioni del vano scala;

(in basso a dx) lesioni della colonna corta


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EDIFICI ESISTENTI E IRREGOLARITĂ€

Istituto Tecnico Commerciale L. Rendina

Figura 2.24: ITC L. Rendina. Vista aerea

Figura 2.25: ITC Rendina. Planimetria generale di inquadramento

Figura 2.26:

ITC L. Rendina. Schema organizzativo

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EDIFICI ESISTENTI E IRREGOLARITĂ€

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L'edi cio è stato realizzato negli anni 1965-1975. Il complesso scolastico si compone di sei blocchi edilizi (destinati a diverse attivitĂ ) come si può vedere dall'immagine 2.26. I diversi fabbricati, adiacenti e con interposti giunti tecnici di separazione, hanno diverse altezze e si trovano su quote di erenti. Il blocco A (vedi g.2.26) presenta una struttura a telaio in c.a. con altezza media di piano variabile in funzione della destinazione d'uso e comunque sempre maggiore di 4,00m. I pilastri sono disposti in maniera complessivamente irregolare. Le travi del piano seminterrato sono disposte irregolarmente e mancano alcune travi di collegamento. Da ciò si evince che il blocco è irregolare sia in pianta che in altezza. I solai di calpestio sono in laterocemento; la copertura dell'auditorium, a due falde, è realizzata mediante travi in c.a. con solaio in laterocemento. I tamponamenti sono doppi, costituiti da blocchi di laterizio forato con intercapedine e si estendono per tutta l'altezza dell'edi cio, fatta eccezione per l'inserimento di nestre a nastro immediatamente sotto l'attacco della copertura. Ăˆ presente un vano scala di collegamento con giunto tecnico di inadeguata dimensione. Il blocco non presenta danni evidenti al piano seminterrato, mentre completamente diversa è la situazione nel doppio volume che ospita l'auditorium. Qui si sono veri cati danni e lesioni sia degli elementi strutturali che degli elementi non strutturali: i pilastri centrali presentavano gravi lesioni a taglio in sommitĂ , in corrispondenza dell'attacco con la copertura e delle nestre a nastro, i tamponamenti, di notevole luce, hanno subito danni da distacco del paramento interno, i pilastri del vano scala hanno riportato lesioni da taglio.


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EDIFICI ESISTENTI E IRREGOLARITÀ

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Figura 2.27: ITC Rendina. in alto (a sx) Fessura da taglio, (in alto a dx e in basso) Distacco di

paramenti murari

Il blocco B (vedi g.2.26) è separato dall'adiacente parte dell'edi cio mediante un giunto tecnico di modeste dimensioni. La struttura portante e le tramezzature sono analoghe a quelle descritte in precedenza. Come è accaduto per l'altro blocco, il piano seminterrato non ha riportato gravi lesioni, mentre i piani superiori sono quelli che hanno palesemente riportato maggiori danni. I pilastri del piano terra hanno riportato gravissime lesioni a taglio, in corrispondenza sia della base che della sommità, spesso aggravate dalla presenza di tamponamenti rigidi posti a sostegno di grandi nestre a nastro. Si sono veri cati anche notevoli danni in corrispondenza dei


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nodi trave-pilastro. Per quanto riguarda gli elementi non strutturali, al piano terra si sono veri cati di usi crolli di tamponamenti o porzioni di essi. Le scale hanno mostrato di use lesioni in corrispondenza degli attacchi delle solette rampanti ai pianerottoli.

Figura 2.28:

ITC L. Rendina.

(in alto) lesioni sui pilastri d'angolo e particolare, (al centro)

danni dei nodi trave-pilastro, lesioni da taglio all'attacco trave-pilastro, lesioni da taglio all'attacco pilastro-tamponamento, (in basso) lesioni vano scala

Il blocco aule 1 (vedi g.2.26)costituisce la parte piÚ ampia del complesso scolastico. Al suo interno è presente un solo corpo scala. Il blocco è separato dagli adiacenti corpi mediante l'interposizione di giunti tecnici di dimensione ridotte. L'e-


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EDIFICI ESISTENTI E IRREGOLARITĂ€

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di cio presenta un evidente irregolarità a livello planimetrico -a causa della presenza di numerose rientranze e sporgenze ai vari livelli, nonchÊ la contiguità con gli altri blocchi- che in elevazione. La tipologia strutturale e delle chiusure verticali è analoga alla precedente. A seguito del sisma il blocco ha subito di usi danni sia alla componente strutturale che alla componente non strutturale. I pilastri presentano lesioni da taglio in corrispondenza del vano scala; analogamente le travi intermedie delle scale presentano lesioni da taglio in corrispondenza delle estremità . Sono evidenti fenomeni di martellamento in corrispondenza della scala situata in corrispondenza del giunto tecnico di separazione con il blocco aule 2. Si sono veri cati danni ai tamponamenti con ampi crolli di porzione degli stessi.

Figura 2.29: Lesione da taglio in corrispondenza della trave del vano scala, martellamento tra il

vano scala e il blocco A1 con espulsione del tamponamento

Il blocco aule 2 (vedi g.2.26), separato da un giunto tecnico dal blocco aule 1, è regolare in pianta, ma non in elevazione. La tipologia strutturale e dei tamponamenti e analoga a quelle prima descritte; la copertura è piana. A seguito dell'evento sismico il blocco ha subito danna confrontabili con quelli del blocco aule 1. Il blocco C (vedi g.2.26), adibito a funzioni di erenti, presenta una certa irregolarità in pianta e nella distribuzione dei tamponamenti. La struttura è nuovamente a telaio in c.a., solai in laterocemento e copertura a due falde. Questa è la parte del complesso che a seguito dell'azione sismica ha subito minori danni.


Capitolo 3 Metodi di analisi strutturale per azioni sismiche 3.1

GeneralitĂ

Il problema della valutazione della sicurezza strutturale e della riduzione della vulnerabilità sismica degli edi ci esistenti è un tema diventato negli ultimi anni di estrema importanza. Ciò soprattutto in seguito a catastro ci eventi sismici che hanno colpito il territorio mondiale. Nell'ambito nazionale, negli ultimi trent'anni, i terremoti dell'Irpinia (1980), Umbria e Marche (1997), Molise (2002) e Abruzzo (2009) hanno provocato ingenti danni in termini economici ma soprattutto di perdita di vite umane. L'Italia è un paese caratterizzato da una pericolosità sismica medio-alta, rispetto ad altri paesi del bacino mediterraneo, e ad un'elevata vulnerabilità del patrimonio edilizio. La classi cazione sismica del territorio italiano è stata e ettuata in gran parte soltanto a partire dal 1981 e sostanzialmente completata solo con le piÚ recenti normative. A questo si aggiunga che le prime normative italiane -a di erenza di quelle piÚ

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METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

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moderne- non erano in grado di assicurare in modo soddisfacente i livelli prestazionali oggi richiesti rispetto al danno ed al collasso. Pertanto, il problema dell'esposizione al danno sismico delle costruzioni in generale, e di quelle in c.a. in particolare, riguarda, oltre agli edi ci progettati per soli carichi verticali in zone poi classi cate sismiche, anche gli edi ci progettati con normative sismiche ormai obsolete o in zone in cui classi cazioni successive hanno determinato un incremento della sismicitĂ attesa. Le norme sismiche recenti emanate sia a livello mondiale che europeo e nazionale a rontano in modo speci co la valutazione della sicurezza degli edi ci esistenti, mettendo in evidenza la necessitĂ di e ettuare un controllo globale della vulnerabilitĂ sismica del patrimonio esistente ed incoraggiando la comunitĂ tecnico scienti ca ad avviare numerosi studi sulle strategie e tecniche di analisi strutturale ed adeguamento.

3.2

Valutazione della sicurezza e livelli prestazionali degli edi ci esistenti

L'analisi strutturale di un edi cio esistente, nalizzata alla determinazione del suo livello di sicurezza nei confronti dei carichi agenti o prevedibili durante la sua vita residua, in particolare dell'azione sismica, presenta numerosi ulteriori problemi rispetto all'analisi strutturale per il progetto di edi ci di nuova costruzione. La morfologia della struttura e la tipologia di materiali impiegati ri ettono la prassi e le norme progettuali vigenti all'epoca della costruzione, se non addirittura modi cazioni incontrollate che si sono susseguite durante la vita del manufatto. Tale situazione dĂ origine a fattori di vulnerabilitĂ . La progettazione sismica prestazionale, a cui ormai la normativa nazionale ed inter-


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nazionale si riferisce, ha la nalità di richiedere determinate prestazioni strutturali agli edi ci, in particolare quelli esistenti, sottoposti a determinati eventi sismici. In particolare basa sulla de nizione di livelli di prestazione strutturale multipli, intesi in genere come livello di danneggiamento delle membrature e/o degli elementi secondari, che possono essere raggiunti, o non superati, quando la struttura è soggetta a vari livelli dell'azione sismica, identi cati in genere con parametri quali l'accelerazione di picco al suolo. La Circolare del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti 617/09 [69] de nisce il concetto di valutazione della sicurezza di un edi cio esistente come un procedimento quantitativo nalizzato a :

ˆ stabilire se una struttura esistente sia in grado o meno di resistere alle combinazioni delle azioni di progetto contenute nel D.M. 14 gennaio 2008 Norme tecniche per le costruzioni di seguito abbreviate in NTC08 , oppure

ˆ a determinare l'entitĂ massima delle azioni, considerate nelle combinazioni di progetto previste, che la struttura sia capace di sostenere con i margini di sicurezza richiesti dalle NTC08, de niti dai coe cienti parziali di sicurezza sulle azioni e sui materiali. La procedura di valutazione di un edi cio esistente dovrĂ essere caratterizzata da un insieme di attivitĂ preliminari nalizzate alla corretta conoscenza della struttura. CosĂŹ come indicato al Â&#x; 8.2 della citata Circolare 617/09 nelle costruzioni esistenti è cruciale la conoscenza della struttura e dei materiali che la costituiscono . Per tale motivo la normativa italiana introduce i fattori di con denza che hanno lo scopo -in funzione al livello di conoscenza- di ridurre i valori medi di resistenza dei materiali, per ricavare i valori da adottare nel progetto di adeguamento e nella veri ca. Tale loso a era giĂ presente nell'OPCM 3274/2003 e s.m.i. Nel Â&#x; 8.2 delle NTC08 viene inoltre sottolineata la di erenza che sussiste tra gli


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edi ci esistenti e quelli di nuova progettazione. Nei primi si deve tener conto che:

ˆ la costruzione ri ette lo stato delle conoscenze al tempo della sua realizzazione; ˆ possono essere insiti e non palesi difetti di impostazione e di realizzazione; ˆ la costruzione può essere stata soggetta ad azioni, anche eccezionali, i cui e etti non siano completamente manifesti;

ˆ le strutture possono presentare degrado e/o modi cazioni signi cative rispetto alla situazione originaria. La conoscenza approfondita delle caratteristiche delle strutture di un edi cio, attraverso l'esame dei progetti originari, delle relazioni di calcolo, dei certi cati di prova sui materiali impiegati e di collaudo, il tutto integrato con la stima in situ delle proprietĂ meccaniche dei materiali, il rilievo dei dettagli costruttivi e il loro stato, fornisce il livello di conoscenza della struttura indagata, fondamentale per la valutazione del grado di sicurezza posseduto dall'edi cio nei confronti delle azioni sismiche. Le vigenti normative nazionali (NTC08) ed Europee (Eurocodice 8 di seguito abbreviato in EC8 ), prevedono tre livelli di conoscenza (LC): LC1 - conoscenza limitata; LC2 - conoscenza adeguata; LC3 - conoscenza accurata. Il livello di conoscenza è un parametro che in uenza anche la metodologia di analisi da e ettuare sulla struttura dell'edi cio. Una conoscenza approssimativa delle proprietĂ meccaniche dei materiali richiede la de nizione di modelli di calcolo sempli cati ed a comportamento lineare. In questi casi l'utilizzo di modelli e teorie piĂš so sticate potrebbe portare a risultati solo apparentemente piĂš accurati, mantenendo nascoste numerose sempli cazioni irrealistiche. Una conoscenza approfondita della costruzione, sia in termini di dettagli strutturali che di caratteristiche meccaniche, consente la realizzazione di modelli di calcolo che siano in grado di cogliere anche la risposta non-lineare dei materiali sottoposti ad azioni sismiche. Sia le NTC08 che


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l' EC8 prendono in considerazione quattro diversi metodi di analisi: analisi statica lineare; analisi dinamica modale; analisi statica non-lineare; analisi dinamica nonlineare, che saranno discussi nel Â&#x;3.4. La scelta di metodologia è conseguenza delle caratteristiche strutturali (regolaritĂ , periodi propri caratteristici) e dall'importanza della struttura che si sta studiando. I criteri generali appena descritti per la valutazione della sicurezza delle costruzioni esistenti, sono l'esito di una continua evoluzione normativa, che dura da piĂš di cento anni.

3.3

Evoluzione dei metodi di analisi nella normativa sismica

Negli ultimi cinquanta anni le normative tecniche che regolano ed indirizzano l'attività professionale dei tecnici hanno subito, in concomitanza allo sviluppo dell'ingegneria sismica, una notevole evoluzione. Una prima problematica che l'ambiente scienti co e politico-decisionale ha dovuto a rontare è l'imprevedibilità del terremoto associato alle intrinseche variabili aleatorie come il periodo di ritorno, l'intensità , il contenuto in frequenza dell'azione sismica e la conseguente incertezza degli e etti indotti sulle costruzioni. Solo con lo svilupparsi di potenti mezzi di calcolo è stato possibile modellare la variazione temporale dell'input sismico ed elaborare complessi modelli non lineari, indispensabili per l'analisi in presenza di azioni di grande intensità . Le normative tecniche, già a partire dalle prime versioni, hanno puntato l'attenzione sulla progettazione di nuove costruzioni soggette ad azioni sismiche, e solo successivamente hanno allargato il proprio contesto alla valutazione della sicurezza dell'apparato edilizio esistente. Si può infatti osservare, che oltre la metà del patrimonio


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edilizio italiano con strutture in c.a. sia stato realizzato dal secondo dopoguerra agli anni '80 e cioè in un periodo antecedente alla prima Legge che introduceva prescrizioni per le zone sismiche: la Legge 64 de 1974. In realtà le prime indicazioni per la progettazione di strutture in zona sismica, furono redatte nel XIX secolo a seguito dei danni provocati dai terremoti di Messina (1783), Ancona (1857) e Norcia (1859). Tali norme non davano informazioni sull'entità dell'azione sismica e non prevedevano alcun dimensionamento degli elementi resistenti al sisma sulla base di una analisi strutturale. Tale approccio, seppur discutibile, si mostrava adeguato all'apparato normativo delle norme sulle costruzioni dell'epoca. Si tenga presente che solo nel 1907 il Regio Decreto del 10 gennaio [58] introdusse nella progettazione di opere in cemento armato la necessità di a ancare, alle regole tecniche, il rispetto di livelli tensionali nelle componenti strutturali. Da questa data, infatti, si impose la presentazione dei calcoli statici allegati al progetto a dimostrazione del rispetto delle tensioni ammissibili dei materiali, e l'obbligatorietà di prove sperimentali su provini codi cati di conglomerato cementizio. In quegli anni sia in Italia che negli Stati Uniti (soprattutto dopo il terremoto di Messina del 1908 e San Francisco del 1906), si gettarono le basi dell'ingegneria moderna, da cui nasceranno le normative sismiche nazionali. I primi importanti studi interessarono la modellazione dell'azione sismica e quindi la possibilità di rappresentare l'e etto delle azioni dinamiche sulle strutture attraverso forze orizzontali proporzionali alle masse. Non possedendo, però, misurazioni dirette degli input sismici, si assumeva come valore di progetto quello calcolato su strutture che avevano superato indenni il sisma; si ammise la possibilità di danneggiamento - e non di collasso - della struttura in presenza di terremoti di forte intensità , allorquando la progettazione in campo elastico di strutture resistenti a tali sollecitazioni fosse troppo oneroso, tenendo nello stesso tempo in considerazione la salvaguardia della vita umana.


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Successivamente negli Stati Uniti si introdussero le prime formulazioni matematiche per il calcolo sismico delle strutture. Dall'osservazione dei danni subiti dagli edi ci in c.a., progettati per resistere alle azioni del vento, colpiti dai terremoti avvenuti tra il 1925 e il 1935, si potÊ veri care che questi presentavano una data resistenza anche all'azione sismica. Questo portò alla possibilità di modellare l'azione sismica per mezzo di una forza statica orizzontale monodirezionale e costante, indipendentemente dall'altezza, supponendo l'utilizzo di un modello lineare. Solo nel 1940 si iniziò a studiare e comprendere l'importanza di considerare, per la valutazione degli e etti dell'azione sismica, il comportamento dinamico della struttura. Risalgono infatti a questi anni le prime registrazioni digitali dei terremoti ed in particolare l'evento sismico di El Centro in California. Sulla base di questo rilevamento, il cui accelerogramma è ancora attualmente utilizzato dai ricercatori, fu sviluppata l'analisi modale dinamica con spettro di risposta, che permette di calcolare i massimi valori degli e etti che caratterizzano il comportamento della struttura sotto l'azione sismica, una volta noti i modi di vibrare. L' Uniform Building Code (UBC) - Normativa Statunitense - redatto nel 1961 pose l'attenzione sulla necessità di garantire una limitazione dei danni gravi con lo scopo della salvaguardia della vita umana. Nel codice l'azione sismica viene modellata attraverso una forza statica monodirezionale e costante lungo l'altezza. Ciò che varia rispetto le precedenti Normative è la valutazione dell'intensità dell'azione. Viene introdotta la dipendenza della risposta strutturale alle caratteristiche proprie del sistema e dalla località in cui è sita l'opera: l'azione sismica sulla struttura, infatti, risulta dipendente al periodo fondamentale della struttura e da fattori caratteristici della zona sismica dell'appartenenza. In Italia la Legge 1684 del 1962 [59] ancora non prevedeva speci che indicazioni sui dettagli costruttivi o sui requisisti di regolarità atti a garantire un buon comporta-


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mento all'azione del sisma. Negli stessi ann1 del terremoto di Ancona, (1972), venne emanata la Legge n.64 [60] nella quale si intravede una loso a di progettazione già a ermatasi nel Nuovo Continente. Tale norma rappresentò a livello nazionale una svolta nell'ambito della valutazione delle azioni sismiche e della concezione della progettazione sismica. Fino ad allora venivano considerate sismiche solo le zone in cui era già in passato avvenuto un evento sismico, senza però che per esse venissero fornite prescrizioni sulle modalità con cui esercitare un'azione di prevenzione verso gli e etti eventuali futuri terremoti. Nella L. 64/74 si introdusse una espressione per il calcolo dell'azione sismica molto simile a quella di concezione americana, che poneva in relazione l'azione con un coe ciente sismico - funzione dell'intensità sismica, del grado di sismicità del sito dal periodo fondamentale della struttura e della distribuzione delle forze orizzontali - e con il peso della struttura. Nel 1971 i danni subiti dagli edi ci in seguito al terremoto di San Fernando in California, indussero drastici cambiamenti nella loso a base delle normative sismiche. La registrazione di accelerazioni al suolo superiori ad 1g e gli e etti devastanti del terremoto su alcune strutture, tra cui la piÚ famosa resta l'Olive View UCLA Medical Center, mise in luce come azioni sismiche cosÏ forti non potevano essere sopportate dalla struttura in campo elastico. Fu adottato un nuovo modello per considerare il comportamento dinamico della struttura sotto l'azione sismica e si ammise la possibilità per la struttura di entrare in campo plastico con conseguente dissipazione di energia. Il sisma del 1976 in Friuli diede impulso all'attività di ricerca anche in Italia, seguendo quanto già fatto negli Stati Uniti, anche in Italia ci si so ermò sulla non-linearità del comportamento strutturale. Lo studio della plasticità di strutture in calcestruzzo armato e acciaio divenne un tema importante dell'ingegneria strutturale e sismica italiana. In questo senso venne introdotto il concetto di duttilità come utile descrit-


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tore del comportamento plastico. La duttilità venne intesa come il rapporto tra lo spostamento ultimo e lo spostamento allo snervamento. L'idea di ammettere l'ingresso in campo plastico delle strutture portò ad una nuova concezione progettuale: il comportamento non-lineare è associato ad una riduzione delle forze di reazione negli elementi strutturali e quindi consente una progettazione strutturale con forze sismiche abbattute in funzione del coe ciente di duttilità; si ammise che in condizioni ordinarie un progetto che preveda un comportamento ancora elastico, sotto azioni con piccola probabilità di accanimento nella vita utile della costruzione, fosse un progetto inutilmente oneroso dal punto di vista economico. La Legge n.219 del 1981 [61], emanata per risolvere l'emergenza successiva al terremoto dell'Irpinia del 1980, venne subito sostituita nel 1984 da una Normativa sismica nazionale che, per la prima volta, considerava tutto il territorio nazionale come soggetto a rischio sismico. Sempre in conseguenza ad eventi sismici catastro ci, come ad esempio quello di Loma Prieta del 1989 e quello di Kobe del 1995, la Normativa internazionale si aggiornò continuamente ponendo però ancora l'attenzione principalmente sulla progettazione di nuove strutture. In questi anni si assistette al passaggio da normative prescrittive -nel quale la maggiore attenzione era posta alla de nizione di adeguate condizioni di veri ca- a normative prestazionali - nelle quali si richiede una maggiore competenza dello strutturista nel de nire il comportamento dei singoli elementi strutturali per ottenere la performance globale. In Italia ulteriori modi che e miglioramenti alle normative sismiche post 1984 risalgono al 1986 e al 1996, pur mantenendo la classi cazione sismica del territorio introdotta nel 1956. Si assistette al passaggio dal metodo delle tensioni ammissibili al metodo agli stati limite; la loso a di base delle normative previde la possibilità di realizzare strutture che resistano a terremoti di minore intensità senza subire danni, a terremoti di modesta entità subendo danni non strutturali e preservando gli


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elementi strutturali e a terremoti di elevata intensità senza che la struttura collassi e senza perdita di vite umane. Per la prima volta venne prevista la possibilità di adottare una analisi dinamica modale in sostituzione dell'analisi statica equivalente; si tenne conto della diversa ampli cazione della risposta dinamica associata ai periodi di vibrare dei modi signi cativi, facendo cosÏ dipendere la risposta strutturale dalle proprietà modali intrinseche della struttura, che determinano l'ampli cazione e la forma di eccitazione per e etto del moto del suolo. Per conservare un impianto dell'analisi di tipo elastico, viene introdotto il concetto di fattore di struttura: tale fattore abbatte lo spettro di risposta elastico simulando la riduzione delle forze reattive che si ha negli elementi strutturali in seguito all'entrata in campo plastico ed alla conseguente dissipazione di energia. Fino al 1996 tuttavia le normative italiane, pur soggette a periodiche revisioni, rimasero alquanto obsolete. Un vero e proprio salto generazionale, nel tentativo di riallineare tali norme ai piÚ avanzati standard internazionali è avvenuta nel 2003 con l'introduzione dell' OPCM 3274 [65] cosÏ come modi cata ed integrata con l'OPCM 3431 [66] e successivamente integrata dal Decreto Ministeriale 14 settembre 2005 Norme tecniche per le costruzioni . Tale processo è culminato con l'emanazione delle NTC08 (Decreto Ministeriale 14 gennaio 2008 Norme tecniche per le costruzioni ) e dalla relativa Circolare (Circolare del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti 617/09). Seguendo un principio ormai consolidato e di uso a livello internazionale, anche la normativa italiana, si è rapidamente avvicinata ai metodi moderni di progettazione e veri ca delle strutture in ambito sismico, introducendo una radicale riorganizzazione nella classi cazione sismica del territorio nazionale (OPCM 3274), dando ampio risalto ai metodi dinamici di dimensionamento e condividendo in modo completo e de nitivo valutazioni della sicurezza basate sugli stati limite che si possono veri care durante la vita della struttura. Con l'Ordinanza si introduce la


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possibilità di considerare esplicitamente la duttilità strutturale; il fattore di struttura infatti non è considerato implicitamente, ma quanti cato attraverso l'assunzione di determinati valori forniti dalla normativa stessa in base alle caratteristiche della struttura o mediante calcoli piÚ accurati. L'azione è de nita in termini probabilistici. Per la prima volta viene introdotta la possibilità di utilizzare modelli non-lineari per l'analisi della struttura. Vengono introdotti gli stati limite e la metodologia del capacity design, già ampiamente sperimentata negli Stati Uniti. Per la prima volta l'OPCM 3274 de nisce i criteri per la veri ca dell'adeguatezza sismica delle strutture esistenti e idonee metodologie di analisi strutturali. A di erenza di quanto proposto sino ad allora per la progettazione, la valutazione della capacità viene sviluppata in termini di spostamento e rotazione dei singoli elementi strutturali sulla base del performance based design . Con la NTC08 la normativa italiana trova ampia rispondenza alle istruzioni europee da tempo redatte con l'emissione degli Eurocodici (EN). Nelle NTC viene posta maggiore attenzione al capacity design e viene introdotto uno stato limite per le strutture strategiche. Si mostra particolare interesse verso edi ci esistenti e le idonee metodologie di analisi strutturali.

3.4

Analisi strutturale degli edi ci esistenti: la normativa italiana attualmente vigente

La veri ca strutturale degli edi ci esistenti si pone come obiettivo la determinazione della capacità strutturale - dipendente dalla resistenza massima e soprattutto dalla duttilità - che le strutture indagate siano in grado di esibire se soggette ad azioni quali quelle sismiche. A di erenza della nuova progettazione - in cui è obbligatorio garantire un adeguato livello di duttilità ed il rispetto della gerarchia delle resistenze - per gli edi ci esistenti - per i quali non si ha la certezza assoluta sulle caratteristiche


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METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

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strutturali - lo studio del comportamento in campo anelastico risulta indispensabile. Nella progettazione di nuove costruzioni il progettista valuta quale tipo di analisi possa fornire le informazioni su cienti per la realizzazione di un' opera che abbia i requisiti prestazionali richiesti ed è quindi sua discrezione utilizzare metodi più o meno so sticati. Nell'ambito della veri ca di edi ci esistenti, invece, l'analisi non-lineare, risulta necessaria per valutare in maniera su cientemente attendibile la sicurezza della struttura; pertanto le norme ne raccomandano l'utilizzo. Nelle moderne norme italiane ed europee (NTC08 ed EC8) sono ammessi quattro metodi di analisi caratterizzati da complessità e precisioni crescenti, distinte a seconda del campo di comportamento della struttura e della modalità di modellazione delle forze orizzontali:

analisi statica lineare analisi dinamica lineare (modale) analisi statica non-lineare (pushover) analisi dinamica non-lineare (time-history) I metodi di analisi lineare tengono conto del comportamento non-lineare della struttura tramite l'introduzione del fattore di struttura q che ha lo scopo di ridurre le ordinate dello spettro di risposta elastico. Questo tipo di approccio, però, non permette di risolvere tutti i problemi legati alla inelasticità della struttura. Le analisi lineari hanno infatti l'inconveniente di non cogliere i cambiamenti che si veri cano nella risposta dinamica delle strutture man mano che i singoli elementi si plasticizzano. Sono queste le motivazioni che hanno spinto la comunità scienti ca a sviluppare metodi di calcolo non-lineari. Questi permettono di comprendere nel dettaglio il comportamento delle strutture: come la struttura raggiunga la crisi, che tipo di crisi si inneschi, dove siano localizzate le debolezze strutturali, dove e con quale progressione si formino le cerniere plastiche, quale sia la domanda della struttura e


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come cambia la risposta nel passaggio da comportamento lineare a comportamento non-lineare. In linea generale lo sviluppo di una analisi non-lineare è simile ad una convenzionale procedura lineare, in cui l'ingegnere costruisce un modello della struttura che è soggetta all'azione sismica prevista. I risultati dell'analisi sono la previsione dei parametri di domanda che vengono poi utilizzati per determinare, sulla base di criteri di accettazione, la performance. I parametri di domanda sono gli spostamenti generali di punti di controllo, la storia degli spostamenti, la storia delle forze, le deformazioni e le sollecitazioni dei componenti strutturali.

Figura 3.1: Descrizione schematica dell'uso di una procedura di analisi non-lineare per il calcolo

di forze e deformazioni anelastiche in corrispondenza di un dato evento sismico ed un modello strutturale non-lineare (FEMA440)

3.5

Analisi statica lineare

L'analisi statica lineare equivalente si esegue mediante l'applicazione di forze statiche distribuite lungo l'altezza dell'edi cio e simulanti le massime forze d'inerzia che si attivano in presenza di un evento sismico. Una volta de nite le azioni sismiche orizzontali da applicare alla struttura, il calcolo degli e etti indotti si basa sull'analisi


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di un modello elastico-lineare della struttura. Secondo quanto previsto dal D.M. 14 gennaio 2008 Norme tecniche per le costruzioni di seguito abbreviate in NTC08 , l'entità di tali forze si ottiene dall'ordinata dello spettro di progetto corrispondente al primo periodo T1 della struttura, mentre la loro distribuzione in altezza segue la forma del modo di vibrare principale nella direzione in esame che si approssima ad una legge lineare di forma triangolare. La forza da applicare a ciascuna massa della costruzione è data dall'espressione:

Fh zi Wi Fi = P j zj Wj

(3.1)

con:

Fh =

Sd (T1 )λ ; g

Fi : la forza da applicare alla massa i-esima; Wi e Wj : i pesi, rispettivamente, della massa i e della massa j ; zi e zj : le quote, rispetto al piano di fondazione, delle masse i e j ; Sd (T1 ) : l'ordinata dello spettro di risposta di progetto; W : il peso complessivo della costruzione; λ: un coe ciente pari a 0,85 se la costruzione ha almeno tre orizzontamenti e se T1 < 2TC pari a 1,0 in tutti gli altri casi TC è il periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro di risposta;

g : l'accelerazione di gravità. L'Eurocodice 8 sottolinea che il coe ciente λ tiene conto del fatto che negli edi ci con almeno tre piani e con gradi di libertà traslazionali in ogni direzione orizzontale, la massa modale e cace del modo di vibrare fondamentale è minore, in media del 15%, della massa totale dell'edi cio.


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Condizioni di applicabilitĂ

L'analisi statica equivalente può essere utilizzata per costruzioni regolari in altezza e che presentano un periodo di vibrazione T1 , nella direzione in esame, non superiore di

2, 5TC . In particolare per edi ci che non superano i 40 metri di altezza, la normativa consente di stimare T1 senza e ettuare l'analisi modale, tramite la relazione:

T1 = C t H

3/4

(3.2)

dove H è l'altezza dell'edi cio, in metri, dal piano di fondazione e Ct vale 0,085 per edi ci con struttura a telaio in acciaio, 0,0075 per edi ci con struttura a telaio in calcestruzzo e 0,050 per edi ci con qualsiasi altro tipo di struttura. L'Eurocodice 8 precisa, inoltre, che questo tipo di analisi può essere applicato ad edi ci la cui risposta non è signi cativamente in uenzata dai contributi dei modi di vibrare superiori a quello fondamentale in riferimento ad ogni direzione principale. Tale requisito è soddisfatto quando i periodi fondamentali di vibrazione T1 nelle due direzioni principali risultano:

   4TC T1 ≤   2.0s

(3.3)

e la struttura soddisfa il criterio di regolaritĂ in elevazione. Determinazione delle sollecitazioni e deformazioni

Le sollecitazioni degli elementi duttili sono ricavate direttamente dall'analisi della struttura, mentre le sollecitazioni degli elementi fragili devono essere valutate distinguendo il caso in cui le analisi sono e ettuate utilizzando lo spettro elastico o il fattore di struttura q. L'azione sismica di riferimento, per lo stato limite ultimo, viene ridotta attraverso il fattore di struttura per consentire una veri ca in campo elastico; in questo modo si tiene implicitamente conto delle ulteriori capacitĂ di spo-


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stamento, una volta raggiunta la resistenza limite, prima che la struttura arrivi allo stato limite ultimo. E etti torsionali

Durante la sua azione il sisma induce un'accelerazione nella struttura è associata alla nascita di forze di inerzia orizzontali; l'e etto di tali forze su un generico piano della struttura comporta anche e etti torsionali; schematicamente il generico piano infatti, tende a traslare e ruotare orizzontalmente come un corpo rigido rispetto al piano sottostante. Gli e etti si incrementano allorquando si presentano eccentricità della con gurazione planimetrica della struttura. Nell'EC8 e nelle NTC08 si sottolinea che se la rigidezza laterale e la massa sono distribuite simmetricamente in pianta e a meno che l'eccentricità accidentale non sia tenuta in conto mediante un metodo piÚ rigoroso, si può tener conto di e etti torsionali accidentali ampli cando gli e etti delle azioni nei singoli elementi resistenti ai carichi mediante un coe ciente δ dato da:

δ = 1 + 0, 6

x Le

(3.4)

con:

x : la distanza dell'elemento considerato dal baricentro dell'edi cio in pianta, misurata perpendicolarmente alla direzione dell'azione sismica considerata;

Le : la distanza tra i due elementi resistenti ai carichi laterali piÚ esterni, misurata perpendicolarmente alla direzione dell'azione considerata. immagine In particolare, se l'analisi è eseguita utilizzando due modelli piani, uno per ogni direzione orizzontale principale, gli e etti torsionali possono essere presi in considerazione raddoppiando l'eccentricità accidentale e incrementando il coe ciente 0,6


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dell'espressione di δ a 1,2. Punti di forza e punti di debolezza

L'analisi statica lineare, seppur di semplice applicazione, non può essere impiegata per tutte le strutture, ma risulta adatto solamente per gli edi ci con regolarità geometrica, di rigidezza e di massa. Per questi edi ci poi, si presuppone che il modo di vibrare fondamentale della struttura sia di forma quasi lineare sull'altezza e con massa partecipante di almeno 85% di quella totale nella direzione prescelta. E' ovvia conseguenza che l'analisi statica lineare non può essere utilizzata per strutture molto alte, deformabili e irregolari: nelle strutture molto alte, i modi di vibrare superiori al fondamentale non sono trascurabili e su strutture irregolari i modi torsionali e torso-traslazionali possono avere masse partecipanti importanti. Altro problema riguarda la de nizione del fattore di struttura nel caso di edi ci esistenti e soprattutto storici. Quanto appena detto porta a concludere che per strutture molto alte, molto deformabili, fortemente irregolari, strutture esistenti o storiche, l'analisi statica lineare non è il metodo di analisi piÚ e cace per cogliere gli e etti signi cativi; in questi casi non sono soddisfatte le ipotesi di applicabilità del metodi, il comportamento dinamico-strutturale è in uenzato dai modi superiori, la distribuzione delle forze equivalenti è poco attendibile, le caratteristiche dei materiali esistenti e delle escursioni in campo anelastico risultano parametri meno signi cativi di quanto in realtà lo siano.

3.6

Analisi dinamica lineare (modale)

L'analisi dinamica lineare si basa sul calcolo dei parametri di risposta del sistema strutturale, che si suppone avere comportamento elastico lineare, mediante la tecnica di disaccoppiamento nota come analisi modale.


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L'ipotesi di base è che una struttura possa essere modellata come un sistema elastico (non dissipativo, con la terminologia delle NTC08) avente un numero nito di gradi di libertĂ L'approccio dell'analisi modale consente di disaccoppiare le equazioni di erenziali dl moto, riconducendo il sistema ad n gradi di libertĂ ed n sistemi ad un grado di libertĂ , ossia decomponendo la risposta complessiva di n modi principali di vibrare. l massimo valore della risposta relativa a ciascun modo principale di vibrare può essere dedotto a partire da spettri di risposta, elastici o anelastici. Tali massimi vanno poi opportunamente sovrapposti per ottenere i massimi della risposta globale. L'impiego di spettri anelastici permette di estendere l'analisi dinamica lineare alle strutture dissipative (ad esempio ai ni della veri ca di una struttura nei confronti di uno stato limite ultimo) a patto che la struttura sia concepita con regole di progetto di dettaglio in grado di confessare gli errori derivanti dall'applicazione di una teoria di analisi elastica ad una struttura elastoplastica, secondo gli approcci usualmente adottati per la progettazione delle nuove strutture. In alternativa all'impiego degli spettri, che costituisce in ogni caso l'approccio fondamentale proposto dalla norma, è possibile, nel solo caso di strutture non dissipative, rappresentare l'azione sismica per mezzo di accelerogrammi. In particolare le NTC08 al Â&#x; 7.3.3.1 a ermano che l'analisi dinamica lineare consiste nell'implementazione di una analisi modale, nel calcolo degli e etti dell'azione sismica rappresentata dallo spettro di risposta di progetto per ciascuno dei modi di vibrare e nella combinazione di tali e etti. Condizioni di applicabilitĂ

L'analisi dinamica modale è applicabile anche per edi ci che non soddis no le condizioni di applicabilità del metodo di analisi lineare statica. Può essere quindi applicata anche alle strutture spaziali irregolari, di discreta altezza o molto deformabili. L'a-


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nalisi deve essere e ettuata ad un modello tridimensionale dell'edi cio o, nel caso in cui siano rispettati opportuni criteri di regolaritĂ in pianta, a due modelli separati piani. Determinazione delle sollecitazioni e deformazioni

Deve essere tenuta in conto la risposta di tutti i modi di vibrare che contribuiscono in modo signi cativo alla risposta globale; questo signi ca che la somma delle masse modali e caci dei modi presi in esame deve rappresentare almeno il 90% della massa totale della struttura per l'EC8 o dell'85% per le NTC08 e che devono essere presi in considerazione tutti i modi caratterizzati da una massa modale e cace maggiore del 5% della massa totale. L'analisi dinamica lineare con spettro di risposta prevede il calcolo, tramite l'utilizzo dello spettro di risposta in pseudo-accelerazione, dei valori massimi delle sollecitazioni e degli spostamenti associati a ciascun modo di vibrare. Secondo quanto previsto dall'EC8, se le risposte modali principali possono essere considerate come indipendenti le une dalle altre ( questo accade per ogni coppia di periodi Tj < Ti si ha

Tj ≤ 0, 9Ti ), il valore massimo EE di un e etto dovuto all'azione sismica può essere ricavato dalla combinazione SRSS (Square Root of the Sum of the Square):

EE =

qX

2 EEi

(3.5)

con:

EE : l'e etto dovuto all'azione sismica che si sta considerando (forza, spostamento, ...);

EEi : il valore dell'e etto considerato dovuto all'i-esimo modo di vibrazione. Se l'ipotesi non è veri cata, allora si devono adottare procedure piÚ accurate di combinazione dei massimi modali. Le NTC08 propongono la combinazione CQC


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(Complete Quadratic Combination):

E = (ÎŁj ÎŁi Ď ij Ei Ej ) /2 1

(3.6)

con:

Ej : valore dell'e etto relativo al modo j ; Ď ij : coe ciente di correlazione tra il modo i e il modo j , basato sulle considerazioni probabilistiche sopra accennate. Tali relazioni sono descritte nel dettaglio successivamente (Cap. 5). E etti torsionali

Durante la sua azione il sisma induce forze di inerzia orizzontali le quali, a livello del generico piano della struttura, hanno anche l'e etto di attivare e etti torsionali; il generico piano infatti tende a traslare orizzontalmente e ruotare come un corpo rigido rispetto al piano sottostante. Gli e etti torsionali si incrementano in presenza di eccentricitĂ della struttura. Secondo le NTC08 e l'EC8 anche se si utilizzi un modello tridimensionali, gli e etti della eccentricitĂ accidentale del centro di massa possono essere stimati mediante l'applicazione di carichi statici costituiti da momenti torcenti di valore pari alla risultante orizzontale della forza agente al piano moltiplicata per l'eccentricitĂ accidentale del baricentro delle masse rispetto alla sua posizione di calcolo:

Mai = eai Fi

(3.7)

con:

Mai : momento torcente relativo all'asse verticale dell'i-esimo piano; eai : l'eccentricitĂ accidentale della massa dell'i-esimo piano per tutte le direzioni; Fi : la forza orizzontale agente sull'i-esimo piano per tutte le direzioni principali come de nita dalla (3.1).


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Punti di forza e di debolezza

L'analisi modale con spettro di risposta, è un'analisi dinamica vera e propria, e poi applicata alle piÚ svariate classi di strutture. Il vantaggio di tale analisi risiede nella capacità di cogliere il comportamento torsionale della struttura attraverso l'introduzione delle coppie torcenti descritte al [sub:E etti-torsionali modale]. Nonostante ciò però, l'analisi dinamica modale, presenta le limitazioni proprie di un'analisi lineare; in particolare è sicuramente rappresentativa del comportamento della struttura allo SLU. Pertanto la sua applicazione riguarda le analisi di strutture elastiche (ad esempio per simulare il comportamento allo SLE, ed il progetto allo SLU tramite spettri inelastici convenzionali). In quest'ultimo caso alla scarsa rappresentatività dell'analisi si sopperisce mediante l'adozione di opportuni criteri costruttivi e di dettaglio.

3.7

Analisi statica non-lineare (pushover)

La capacità di una struttura di resistere ad un evento sismico dipende fortemente dalla sua capacità deformativa in regime anelastico, ovvero alla sua duttilità . I metodi di analisi elastici non sono però in grado di tener conto dell'evoluzione del comportamento non-lineare della struttura. Queste analisi non sono perciò in grado di cogliere i cambiamenti nella risposta della struttura man mano che gli elementi che la compongono entrano in campo plastico. A ciò si aggiunge la mancanza di informazioni sulla distribuzione della domanda di inelasticità della struttura. I metodi di analisi statica non-lineare, comunemente de niti in letteratura metodi di analisi di pushover , permettono, invece, di cogliere gli aspetti appena descritti. L'analisi di pushover, cosÏ come annunciato dal termine stesso, è un'analisi di spinta. Al modello strutturale si applicano, oltre ai carichi gravitazionali, particolari


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distribuzioni di carico orizzontali che, mantenendo invariati i rapporti relativi fra le forze stesse, sono incrementate con lo scopo di spingere in campo non-lineare la struttura no a portarla al collasso. Secondo quanto speci cato nell'EC8 e nelle NTC08, tali forze orizzontali distribuite devono essere applicate ad ogni livello della struttura nella direzione dell'azione sismica considerata proporzionalmente alle forze d'inerzia. Parametro importante per quanti care tali distribuzioni è il taglio alla base (risultante) Fb . Le azioni sono applicate incrementalmente in modo da far crescere monotonicamente e no al raggiungimento delle condizioni di collasso locale e globale, lo spostamento orizzontale dc di un punto di controllo, solitamente coincidente con il centro di massa (CM) dell'ultimo livello della costruzione. Risultato nale dell'analisi è la curva Fb − dc ,detta curva di capacitĂ , che descrive il valore dello spostamento del punto di controllo della struttura dc al crescere del taglio alla base Fb . Tale curva rappresenta la capacitĂ della struttura che verrĂ confrontata con la domanda rappresentata da punti sulla stessa curva. Questo tipo di analisi può essere utilizzato come metodo di progetto per gli edi ci di nuova costruzione, in sostituzione di quelli elastico-lineari, o come metodo di valutazione della capacitĂ degli edi ci esistenti. Questo metodo permette di ricavare interessanti informazioni sulla risposta di sistemi strutturali soprattutto se viene utilizzato come metodo di veri ca. Pertanto i campi di applicazione dell'analisi di pushover sono i seguenti:

ˆ valutazione dei rapporti di sovraresistenza Îąu/Îą1; ˆ veri ca dell'e ettiva distribuzione della domanda inelastica negli edi ci progettati con il fattore di struttura q ;

ˆ come metodo di progetto per gli edi ci di nuova costruzione sostitutivo dei metodi di analisi lineari;

ˆ come metodo per la valutazione della capacitĂ di edi ci esistenti.


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Carichi laterali

In base a quanto previsto già nell'EC8, le NTC08 prescrivono di considerare almeno due distribuzioni di forze di inerzia, di cui una nelle distribuzioni principali (Gruppo 1) e l'altra nelle distribuzioni secondarie (Gruppo 2), così de nite dalla normativa (che introduce tre tipi di distribuzioni principali e due secondarie):

Gruppo 1 - distribuzioni principali: (a)

distribuzione proporzionale alle forze statiche che si considerano nell'analisi statica lineare; tale distribuzione è applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75% ed a condizione di utilizzare come seconda distribuzione la 2 a);

(b)

distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale alla forma del modo di vibrare fondamentale, applicabile solo se tale modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%;

(c)

distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in un'analisi dinamica lineare, applicabile solo se il periodo fondamentale della struttura è superiore a TC (ossia del periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro di risposta).

Gruppo 2 - distribuzioni secondarie: (a)

distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l'altezza della costruzione;

(b)

distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura, per tenere conto della variazione di rigidezza e conseguentemente di risposta indotta dalla plasticizzazione.


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Condizioni di applicabilitĂ

Per poter e ettuare in maniera soddisfacente l'analisi statica non-lineare sarebbe opportuno disporre di un su ciente livello di conoscenza della struttura. L'EC8 prescrive che per edi ci conformi al criterio di regolarità , l'analisi può essere eseguita utilizzando due modelli piani, uno per ogni direzione orizzontale principale; al contrario, se ciò non accade, gli edi ci devono essere analizzati utilizzando un modello spaziale o possono essere eseguite due analisi indipendenti con carichi laterali applicati in una sola direzione. Passi dell'analisi

1. de nizione del modello geometrico della struttura; 2. de nizione delle masse interessate dall'evento sismico e la loro applicazione nel modello sotto forma di carichi gravitazionali; 3. scelta del pro lo di carico,del punto di controllo e dello spostamento target; 4. analisi di spinta; 5. determinazione della curva di capacitĂ per il sistema MDOF; 6. de nizione del sistema equivalente SDOF; 7. calcolo della domanda dell'oscillatore semplice; 8. calcolo della domanda del sistema MDOF; 9. veri ca strutturale. Determinazione delle sollecitazioni e deformazioni

La domanda , in termini di sollecitazioni e deformazioni, si ottiene in corrispondenza dei valori di spostamento individuati sulla curva di capacitĂ della struttura e letti


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in corrispondenza della massima risposta attesa per le azioni sismiche di riferimento ai diversi stati limite. Per poter calcolare i suddetti punti è necessario ridurre la struttura ad un modello equivalente ad un grado di libertà . Il passaggio dal modello iniziale a piÚ gradi di libertà (MDOF) a quello equivalente ad un grado di libertà (SDOF) permette di sfruttare le informazioni derivanti dagli spettri elastici di risposta, e quindi di calcolare le sollecitazioni a cui la struttura deve essere in grado di resistere per i diversi stati limite. I risultati ricavati dal modello SDOF vengono poi riconvertiti al modello MDOF. E etti torsionali

Durante la sua azione il sisma induce un'accelerazione nella struttura che si accompagna alla nascita di forze di inerzia orizzontali; l'e etto di tali forze su un generico piano della struttura comporta anche e etti torsionali; schematicamente il generico piano infatti tende a traslare e ruotare orizzontalmente come un corpo rigido rispetto al piano sottostante. Gli e etti si incrementano allorquando si presentano eccentricità della con gurazione planimetrica della struttura. Nell'EC8 si sottolinea che quando si è in presenza di strutture torsionalmente essibili - cioè che presentano un primo modo di vibrare predominante torsionale l'analisi di pushover può sottostimare in maniera signi cativa le deformazioni sul lato rigido/forte.1 In tali condizioni gli spostamenti sul lato rigido/forte devono essere incrementati in modo tale che risultino paragonabili a quelli di una corrispondente struttura equilibrata dal punto di vista torsionale. Gli e etti torsionali in modelli a pianta regolare invece possono essere stimati in accordo con quanto prescritto per le analisi statica e dinamica lineari. Punti di forza e punti di debolezza 1 L'EC8 de nisce lato rigido/forte in pianta quello che sviluppa spostamenti orizzontali piÚ piccoli rispetto al lato opposto, sotto forze statiche laterali parallele ad esso. Per strutture essibili torsionalmente, gli spostamenti dinamici sul lato rigido /forte possono considerevolmente aumentare a causa dell'in uenza del modo torsionale predominante.


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Il metodo di analisi statica non-lineare è ancora oggetto di studio, sperimentazione e validazione da parte della comunità scienti ca e di conseguenza presenta ancora alcuni aspetti da migliorare. Tale analisi non riesce ancora a prevedere, e etti e risposte strutturali che ad oggi solo un'analisi dinamica non-lineare riesce a cogliere, soprattutto in presenza di strutture irregolari. In particolare, dai risultati presenti in letteratura si evince che per quanto l'analisi di pushover possa ritenersi in generale piÚ accurata rispetto ad una analisi dinamica lineare, i risultati ottenibili risultano a dabili solo in casi particolarmente semplici: viceversa , si ha la possibilità di previsioni fortemente imprecise. Tale analisi infatti, è caratterizzata dall' incapacità di tenere in conto gli e etti che il progressivo degrado della rigidezza - tipico delle strutture investite da un'azione elevata del sisma - ha sulle caratteristiche della risposta dinamica delle strutture, che si ri ette, come vedremo, sulla distribuzione delle forze statiche equivalenti incrementali applicate durante l'analisi. La natura statica della distribuzione dei carichi laterali applicati quindi non coglie la potenziale ridistribuzione delle forze durante la storia del moto della struttura, fondamentale ai ni dello studio dinamico. Tale comportamento induce a inaccuratezze non trascurabili in questo che non considera le modi che intervenute nelle caratteristiche modali della struttura (ad esempio l'incremento del periodo) e le conseguenti variazioni nell'ampli cazione della risposta dinamica. Per alcune strutture, poi, potrebbe essere limitativa la scelta di sole due distribuzioni di forze proporzionali rispettivamente alle masse e alle masse moltiplicate per la deformata del modo fondamentale di vibrare. In alcuni casi pertanto, può risultare che i primi modi di vibrare presentino delle masse partecipanti confrontabili tra loro senza una netta prevalenza del primo rispetto agli altri rendendo quindi di cile la scelta di un modo a discapito dell'altro. Possibili soluzioni a tali problemi saranno discusse nel dettaglio nel capitolo 4.


CAPITOLO 3.

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3.7.1 Metodo N2 convenzionale Le NTC08 non mostrano esplicitamente il metodo da eseguire per linearizzare la curva di capacità e determinare la risposta massima della struttura in termini di spostamento, ma speci ca soltanto che per eseguire l'analisi statica non-lineare è necessario associare al sistema strutturale reale un sistema equivalente ad un grado di libertà . Il metodo a cui si fa riferimento è quello descritto nella Circolare del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti n. 617/2009, al quale la normativa italiana consente di far rifermento e che a sua volta si basa sul metodo N2 formulato per la prima volta da Peter Fajfar negli anni '80. (Fajfar e Fishinger 1987, Fajfar e Fishinger 1988 [20]). Il metodo ha subito negli anni numerose evoluzioni no a pervenire alla sua formulazione in termini di accelerazione-spostamenti. Il metodo N2 è in e etti, in tale formulazione, una variante del metodo dello spettro di capacità basato sullo spettro anelastico, nel quale gli spettri di domanda anelastica sono determinati a partire dagli spettri di domanda elastica attraverso fattori di riduzione (fattori di struttura). Le forze laterali sono relazionate con lo spostamento assunto dalla struttura. La denominazione del metodo N2 richiama il carattere non-lineare dell'analisi (N) e l'adozione di due modelli di analisi (2): uno ad un grado di libertà (SDOF) ed uno a piÚ gradi di libertà (MDOF). Il metodo N2 si basa infatti sull'assunzione secondo cui un sistema MDOF non-lineare possa essere correlato alla risposta di un sistema equivalente SDOF. Le ipotesi di base sono che:

ˆ

il comportamento del sistema reale MDOF sia governato principalmente da un unico modo di vibrare fondamentale;

ˆ

la forma di tale modo principale di vibrare rimane invariata durante l'analisi,


CAPITOLO 3.

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all'incrementarsi del carico. Tali ipotesi possono essere considerate soddisfatte per gli edi ci di nuova costruzione, progettati secondo le norme, e caratterizzati da regolaritĂ in altezza e in pianta: in tali presupposti infatti la risposta dinamica della struttura risulta di regola caratterizzata dal modo di vibrare fondamentale. Il venir meno di una o entrambe le ipotesi suddette rende il metodo N2 poco rappresentativo della risposta reale della struttura. Ăˆ opportuno far presente che per superare questo limite sono stati sviluppati metodi di pushover innovativi che prendono in considerazione i contributi dei modi superiori (pushover multimodale) o distribuzioni di forze che variano durante l'analisi con lo scopo di considerare l'e ettivo modo di deformarsi della struttura. Per comprendere la procedura di pushover proposta dalla Circolare 617/09 è opportuno descrivere il metodo N2 cosĂŹ come proposto da Fajfar. Il metodo N2 si presenta come un metodo non-lineare concettualmente semplice, che combina l'analisi di pushover di sistemi MDOF con l'analisi con lo spettro di risposta di un sistema SDOF equivalente. Il metodo è formulato in termini di accelerazione-spostamento (ossia è traducibile gra camente nel cosiddetto piano acceleration-displacement, AD); in tal modo è possibile una piĂš immediata interpretazione visiva della procedura e delle relazioni tra dei parametri di base che controllano la risposta sismica.

ˆ

Domanda sismica nel diagramma AD

Partendo dallo spettro elastico in accelerazione è possibile costruire lo spettro anelastico nel diagramma accelerazione-spostamento: per un sistema ad un grado di libertà accelerazione e spostamento spettrali sono infatti posti in relazione dalla seguente formula:

Sde =

T2 1 S = Sae ae ω2 4π 2

(3.8)


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dove:

ω : è la pulsazione naturale del sistema; Sae , Sde : sono l'accelerazione e lo spostamento spettrale in corrispondenza di un periodo T e di un ssato coe ciente di smorzamento. Un esempio di spettro di risposta elastica in termini di accelerazione al 5% di smorzamento normalizzato rispetto all'accelerazione di picco di 1g e il corrispondente spettro di spostamento elastico sono mostrati nella seguente gura:

Figura 3.2: a) Piano di riferimento standard; b) Piano di riferimento AD

Per un sistema SDOF anelastico caratterizzato da una relazione bilineare tra la forza e lo spostamento, l'accelerazione spettrale (Sa ) e lo spostamento spettrale (Sd ) sono determinati dalla seguenti relazioni:

Sae R

(3.9)

µ µ 1 µ T2 Sde = S = Sae a Rµ Rµ ω 2 Rµ 4π 2

(3.10)

Sa =

Sd = dove:

µ: è il fattore di duttilità de nito come il rapporto tra il massimo spostamento e lo spostamento allo snervamento;


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Rµ : è un fattore di riduzione delle ordinate spettrali dovuto alla duttilità (associato ad esempio alla dissipazione isteretica nelle strutture duttili). Nel metodo N2 sempli cato il fattore di riduzione Rµ può essere valutato tramite la:

Rµ = (µ − 1)

T +1 TC

Rµ = µ

T < Tc

T ≥ TC

(3.11) (3.12)

dove TC è il periodo caratteristico del moto del suolo, de nito come il periodo in corrispondenza del quale si ha il passaggio dal tratto si spettro di risposta ad accelerazione costante a quello a velocità costante. Dalle 3.10 e 3.12 si osserva che per intervalli di periodi medio-alti gli spostamenti del sistema anelastico sono uguali a quelli del corrispondente sistema elastico avente medesimo periodo. Da ciò si comprende che lo spettro di domanda si deduce direttamente dallo spettro di risposta utilizzando -nel piano AD- le espressioni di Rµ su riportate.

Analisi di pushover

L'analisi di pushover è eseguita sottoponendo la struttura in esame a forze laterali, che vengono incrementate monotonamente e che simulano le forze di inerzia massime che saranno sopportate dalla struttura quando saranno soggetta allo scuotimento del suolo. A causa dell'incrementarsi di tali forze orizzontali, gli elementi strutturali entrano in sequenza in campo plastico: ciò comporta che la struttura esibisca durante la storia dell'incremento del carico una perdita graduale di rigidezza; in tal modo la struttura viene progressivamente spinta no al collasso. Elemento importante nell'impostazione delle analisi di pushover è la scelta dei pro li di carico laterali; essi devono approssimare la distribuzione delle forze di inerzia


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presenti sulla struttura durante il sisma. In particolare, il vettore dei carichi da applicare al modello strutturale presenta la seguente forma: (3.13)

{F } = Îť {Ψ} = Îť [M ] {φ} dove:

Îť: è il fattore di carico e cioè il fattore che controlla l'ampiezza dei carichi laterali; [M ]: è la matrice diagonale delle masse; {φ}: è il vettore che de nisce la forma modale fondamentale in funzione del quale è de nita la distribuzione dei carichi laterali. Nella formulazione generale del metodo N2 non vi sono alcune restrizioni riguardanti la forma modale da considerare. Generalmente {φ} consiste in tre gruppi di componenti (due nelle direzioni orizzontali e una di rotazioni torsionali); la procedura può essere sostanzialmente sempli cata quando si esegue una analisi piana. In tal caso i carichi sono applicati in una sola direzione, ad esempio lungo x; in tal caso {φ} deve avere la forma: T

{φ} =

T

{φx }

{0}

T

T

{0}

Dalle suddette relazioni segue che la forza orizzontale applicata nella direzione x all'i-esimo piano è proporzionale alla componente φx,i di {φx }, pesata dalla massa di piano mi :

Fx,i = Νmi φx,i

(3.14)

Tale relazione è suscettibile della seguente interpretazione meccanica: se la forma di spostamento assunta fosse uguale alla forma modale e fosse costante durante il sisma, allora la distribuzione delle forze laterali scelta sarebbe uguale alla esatta distribuzione delle forze d'inerzia sismiche. In campo anelastico, tuttavia, la deformata modale in genere cambia ad ogni passo di carico e l'equazione 3.13 rappresenta


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

107

quindi un'approssimazione; nonostante ciò essa permette che la trasformazione dal sistema MDOF in un sistema SDOF equivalente e viceversa segua semplici formule matematiche nel tempo sia elastico che anelastico.

ˆ

Sistema equivalente SDOF e curva di capacitĂ

Nel metodo N2 la domanda sismica è determinata dall'uso degli spettri di risposta, una volta associato alla struttura MDOF una struttura equivalente ad un grado di libertà ; ciò può avvenire in di erenti modi, ad esempio come descritto nel seguito. Il punto di partenza è costituito dall'equazione del moto di un sistema MDOF, priva del contributo dello smorzamento, la cui in uenza è presa in considerazione direttamente nell'ambito della de nizione dello spettro di progetto:

[M ] {¨ u} + {R} = − [M ] {l} u¨g (t)

(3.15)

dove:

[M ]: è la matrice massa; {¨ u}: è il vettore degli spostamenti; {R}: è il vettore delle resistenze al moto; {l}: è il vettore unitario che de nisce la direzione del sisma ed è tale che il vettore massa risulta dato da {M } = [M ] {l};

u¨g (t) : è l'accelerazione del suolo in funzione del tempo. La forma dello spostamento {φ} si considera costante durante la storia di carico della struttura. Il vettore degli spostamenti è dato quindi da:

{u} = dc {φ}

(3.16)


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

108

dove dc è lo spostamento di un pre ssato punto di controllo e {φ} la forma modale, normalizzata solitamente in modo che la componente corrispondente allo spostamento dell'ultimo piano sia pari all'unità. Dalle equazioni della statica si ha che: (3.17)

{F } = {R}

e cioè le sollecitazioni interne uguagliano i carichi esterni applicati. Introducendo le (3.13), (3.16) e (3.17) nell'equazione (3.15), e premoltiplicando per {φ}T si ottiene:

{φ}T {M } {φ} d¨t + {φ}T {M } {φ} λ = − {φ}T [M ] {l} u¨g

(3.18)

che dopo ulteriori passaggi fornisce l'equazione del moto del sistema SDOF equivalente:

m∗ d¨∗c + F ∗ = −m∗ u¨g

(3.19)

dove m∗ è la massa equivalente del sistema S-DOF e pari a:

m∗ = {φ}T [M ] {l} =

X

mi φxi

(3.20)

e d∗c e Fc∗ lo spostamento e la forza del sistema equivalente SDOF sono rispettivamente:

d∗c =

dc Γ

(3.21)

Fc∗ =

V Γ

(3.22)


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

109

dove V è il taglio alla base del sistema MDOF che, per spostamenti in direzione x vale:

V =

X

Fi = λ {φ}T [M ] {l} = λ

i

X

mi φx,i = λm∗

(3.23)

i

La costante Γ controlla dunque la trasformazione dal sistema MDOF al sistema SDOF e viceversa; tale costante è detta coe ciente di partecipazione modale, ed è de nita dalla relazione:

Γ=

{φ}T [M ] {l}

m∗ m∗ P = = mi φ2i L∗ {φ}T [M ] {φ}

(3.24)

Si osserva che m∗ dipende dalla direzione del sisma e conseguentemente dipendono dalla direzione del sisma anche Γ, d∗c ed F ∗ . Nel caso di sisma nella direzione x si ha, ad esempio:

P mi φx,i Γ= P mi φ2x,i

(3.25)

Dato che il fattore di partecipazione modale compare nelle espressioni sia dello spostamento che delle forze, la relazione forza-spostamento valida per il sistema MDOF vale anche per il sistema SDOF. Inoltre, dalla curva di forza-spostamento del sistema MDOF si ricava la curva del sistema SDOF dividendo le coordinate del primo per il fattore Γ. Quando si intende analizzare la risposta di strutture reali, si può ulteriormente sempli care il problema linearizzando a tratti la risposta del sistema MDOF, e quindi la curva di capacità, adottando approssimazioni bilineari o trilineari secondo criteri ingegneristici. Il metodo N2 prevede in particolare che la rigidezza post-snervamento sia nulla, ossia che il sistema equivalente abbia un comportamento elastoplastico perfetto. Anche la Normativa Italiana prescrive che alla curva di capacità del sistema equi-


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

110

valente occorre sostituire una curva bilineare avente un primo tratto elastico e un secondo tratto perfettamente plastico. Determinata la resistenza massima del sistema strutturale reale Fbu , la resistenza massima del sistema equivalente è data da: ∗ Fbu =

Fbu Γ

(3.26)

Si assume che il tratto elastico della bilatera si individui imponendo il passaggio della curva di capacità del sistema equivalente dal punto 0, 6Fbu e che la forza di plasticizzazione si individui Fy∗ imponendo l'uguaglianza delle aree sottese dalla curva bilineare e della curva di capacità reale no allo spostamento massimo d∗u con il signi cato di uguaglianza tra deformazione reale e deformazione idealizzata.

Figura 3.3: Sistema e diagramma bilineare equivalente - Circolare n.617

Secondo quanto prescritto nell'EC8, fatta l'ipotesi dell'uguaglianza delle aree, lo spostamento a snervamento d∗y del sistema SDOF equivalente è dato da:

d∗y

=2

d∗m

E∗ − m∗ Fy

(3.27)

∗ dove Em è l'energia di deformazione reale no alla formazione del meccanismo pla-

stico.


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

111

Il periodo elastico del sistema bilineare T ∗ può essere determinato con la classica relazione:

s T ∗ = 2π

m∗ d∗y Fy∗

(3.28)

dove Fy∗ e d∗y sono la forza e lo spostamento del sistema SDOF in corrispondenza dello snervamento. In ne lo spettro di capacità nel piano AD è ottenuto dividendo le forze del diagramma forze-deformazione (F ∗ − D∗ ) per la massa equivalente m∗ :

Sa =

F∗ m∗

(3.29)

Presupponendo il classico legame elastico fra spostamento ed accelerazione, e quindi forze d'inerzia.

Domanda sismica per il sistema equivalente SDOF

La domanda sismica del sistema SDOF può essere determinata attraverso la procedura prima descritta e qui illustrata:

Figura 3.4: Spettro di risposta elastica e anelastica e spettro di capacità

Lo spettro di risposta elastico e lo spettro di capacità sono inseriti nello stesso piano AD; l'intersezione della linea corrispondente al ramo elastico del sistema bilineare


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

112

idealizzato, di pendenza T ∗ , con lo spettro di risposta elastica de nisce in termini di accelerazione (Sae ) e spostamento (Sde ) la domanda elastica. L'accelerazione allo snervamento Say rappresenta sia la domanda in accelerazione che la capacità del sistema anelastico. Il fattore di riduzione Rµ può essere determinato attraverso il rapporto tra l'accelerazione del sistema elastico e quella del sistema anelastico, e cioè:

Rµ =

Sae (T ∗ ) Say

(3.30)

É da sottolineare che il fattore di riduzione Rµ non coincide con il fattore di struttura

q utilizzato nella normativa. Come già anticipato, se il periodo T ∗ è maggiore o uguale a TC , la domanda in spostamento anelastica Sd è uguale alla domanda in spostamento elastica Sde e cioè:

Sd = Sde (T ∗ )

T ∗ ≥ TC

(3.31) (3.32)

µ = Rµ

Se il periodo elastico del sistema è minore di TC , la domanda in duttilità può essere calcolata come:

µ = (Rµ − 1)

TC +1 T∗

T ∗ < TC

(3.33)

La domanda in spostamento può essere determinata o a partire dalla de nizione di duttilità o dalle equazioni (3.10) e (3.33) come:

Sd =

µd∗y

Sde TC = 1 + (Rµ − 1) Rµ T

(3.34)

In entrambi i casi T ∗ < TC e T ∗ ≥ TC la domanda anelastica in termini di accelerazione e spostamenti corrisponde al punto di intersezione tra lo spettro di capacità e


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

113

lo spettro di domanda corrispondete alla duttilitĂ Âľ (performance point).

ˆ

Domanda sismica locale e globale del sistema MDOF

La domanda in spostamento per il modello SDOF, Sd , è trasformata nello spostamento massimo dc,max del sistema MDOF con la relazione:

dc,max = ΓSd = Γd∗c,max

(3.35)

La richiesta sismica locale può quindi essere determinata con un'analisi di pushover: sotto l'incremento delle forze laterali, la struttura è spinta no al massimo spostamento target e si deve veri care che durante l'analisi sia stato raggiunto un valore di spostamento dc almeno pari a dc,max . CosÏ come suggerisce l'EC8, è buona norma aver spinto l'analisi no al superamento del limite oggetto di veri ca, in genere eccedendo del 150%.

ˆ

Valutazione della performance (analisi del danno)

La valutazione della prestazione attesa può essere e ettuata comparando la domanda sismica con la capacità strutturale in corrispondenza dei vari livelli di prestazione. La prestazione globale può essere stimata comparando la capacità in spostamento con la domanda.

ˆ

Osservazioni sulle prescrizioni normative

Basandosi sul metodo N2, la Circolare 617/09 permette di calcolare la domanda in spostamento utilizzando le seguenti espressioni:

-

se T ∗ ≼ TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico è assunta uguale a quella


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

114

di un sistema elastico di pari periodo: (3.36)

d∗max = d∗e,max = SDe (T ∗ )

-

se T ∗ < TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico è maggiore di quella di un sistema elastico di pari periodo e si ottiene dall'espressione:

d∗max

d∗e,max TC ∗ = 1 + (q − 1) ∗ ≥ d∗e,max q∗ T

(3.37)

con:

q ∗ : il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente:

q∗ =

Se (T ∗ )m∗ Fy∗

Figura 3.5: Spostamento di riferimento per

T > TC e T ≤ TC ,

(3.38)

Circolare n.617/09


CAPITOLO 3.

3.8

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

115

Analisi non lineare dinamica (time history)

L'analisi dinamica non-lineare è a tutt'oggi sicuramente il metodo piĂš a dabile per lo studio di strutture soggette all'azione sismica, in quanto permette di conoscere l'evoluzione nel tempo dei di erenti parametri di risposta della struttura (spostamenti, deformazioni, tensioni e sollecitazioni). L'analisi dinamica non-lineare ha lo scopo di valutare il comportamento dinamico della struttura in campo non-lineare, permettendo il confronto tra duttilitĂ richiesta e duttilitĂ disponibili e la veri ca dell'integritĂ degli elementi strutturali nei confronti di speci ci meccanismi fragili. L'analisi time history, infatti, permette di valutare la risposta di un edi cio per un certo accelerogramma che, rappresentando il moto del terreno, risulta essere una forzante esterna variabile nel tempo. Tale risposta è ottenuta attraverso l'integrazione nel tempo delle equazioni non-lineari del moto del sistema di un modello tridimensionale. Criteri di applicabilitĂ

Nell'ambito dell'analisi dinamica non-lineare assume molta importanza la modellazione della struttura. L'EC8 e la Circolare esplicativa delle NTC08 raccomandano che i modelli strutturali debbano consentire una corretta rappresentazione del comportamento degli elementi strutturali in termini di resistenza, anche in funzione di possibili fenomeni di degrado associati alle deformazioni cicliche, ed il comportamento post-elastico. Quando si utilizza un'analisi non lineare in funzione del tempo e un modello strutturale spaziale, l'EC8, prescrive di considerare accelerogrammi che agiscono simultaneamente come agenti in entrambe le direzioni orizzontali. L'analisi dinamica non-lineare deve essere svolta con almeno tre gruppi di accele-


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

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rogrammi; in tal caso si deve far riferimento ai risultati piÚ sfavorevoli. se invece la risposta è ottenuta da almeno 7 analisi temporali non-lineari, allora i valori di domanda da utilizzare nelle veri che sono le medie dei valori massimi ottenuti in corrispondenza di ogni gruppo di accelerogrammi. In caso contrario, i valori di domanda da impiegare nelle veri che sono direttamente ricavabili dall'inviluppo dei valori massimi ottenuti in corrispondenza di ogni gruppo di accelerogrammi. In ne è da osservare che la normativa raccomanda di e ettuare anche una analisi non-lineare per la valutazione degli e etti dei carichi gravitazionali. Passi dell'analisi

L'esecuzione di una analisi dinamica non-lineare prevede le seguenti fasi: 1. de nizione del modello geometrico tridimensionale della struttura; 2. de nizione delle masse interessate dall'evento sismico e la loro applicazione nel modello sotto forma di carichi gravitazionali; 3. de nizione dello smorzamento della struttura che nel problema dinamico governa l'equazione del moto attraverso la matrice di smorzamento; 4. de nizione del legame costitutivo non-lineare dei materiali; 5. de nizione dell'input sismico; 6. veri ca strutturale. Determinazione delle sollecitazioni e deformazioni

Svolta l'analisi e calcolata la risposta nel tempo della struttura sollecitata da un evento sismico rappresentato da un gruppo di accelerogrammi, è possibile conoscere l'andamento nel tempo delle grandezze di interesse (sollecitazioni, spostamenti e rotazioni). Di tali andamenti si individuano i valori massimi ottenendo cosÏ per ogni


CAPITOLO 3.

METODI DI ANALISI STRUTTURALE PER AZIONI SISMICHE

117

sezione strutturale di interesse tanti valori quante sono le analisi dinamiche condotte. Nel caso in cui il numero di gruppi di accelerogrammi utilizzati è almeno pari a sette, i valori di riferimento di taglio e spostamento/rotazione sono dati dalla media aritmetica dei valori massimi (in modulo) di ogni analisi. Se tale condizione non sussiste, allora è necessario considerare il massimo (in modulo) tra i valori massimi ottenuti. Punti di forza e punti di debolezza

L'analisi time history è da considerare il metodo di analisi piÚ avanzato, accurato e a dabile. La sua peculiarità è proprio la capacità di determinare l'evoluzione temporale dei diversi parametri strutturali di interesse. Un primo svantaggio, contropartita dell'alta a dabilità del metodo, è costitutivo dall'onere computazionale necessario e la complessità concettuale dell'interpretazione dei risultati. In particolare, tale problema è legato alla necessità di svolgere piÚ volte le analisi, ossia sotto l'e etto di di erenti accelerogrammi, sia per la natura iterativa del metodo stesso che per garantire una validità di tipo probabilistico alle previsioni. Da non trascurare è la necessità di costruire un modello che sia realmente capace di descrivere il comportamento post-elastico della struttura sotto un percorso di carico ciclico, e la necessità di rappresentare gli eventi sismici attesi nella zona in cui l'edi cio è situato, ossia di de nire un insieme di accelerogrammi signi cativi, che siano in grado di rappresentare il rischio sismico speci co per il sito. La Circolare del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti 617/09 presenta ulteriori speci che circa l'esecuzione delle suddette analisi sulle costruzioni esistenti.


Capitolo 4 Sviluppo delle procedure di analisi statica non-lineare: le strutture 3D irregolari Benché l'analisi dinamica non-lineare rappresenti il metodo più accurato per la previsione della risposta sismica delle strutture, l'analisi statica non-lineare viene generalmente ritenuta più adatta nella pratica professionale poiché consente di tener conto del comportamento inelastico pur conservando una notevole semplicità di impianto. In particolare, l'analisi di pushover appare molto conveniente per la veri ca sismica di edi ci esistenti, poiché consente di introdurre nella modellazione le caratteristiche meccaniche non-lineare dei materiali e costituisce una e cace alternativa all'analisi dinamica non-lineare, tanto che tutte le principali normative sismiche mondiali la annoverano fra i metodi di calcolo utilizzabili per gli le analisi degli edi ci regolari, che presentano comportamento prevalentemente traslazionale sotto azioni sismiche. Per tale ragione, tra l'altro, negli ultimi venti anni sono stati proposti numerosi metodi alternativi e/o sempli cati di analisi non-lineare di tipo pushover.

118


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

119

L'analisi di pushover è stata ampiamente sperimentata e validata nell'ambito delle strutture piane. Solo negli ultimi tempi sono apparsi diversi contributi volti ad estendere i metodi proposti a strutture 3D, con particolare attenzione nei confronti delle strutture irregolari. In presenza di strutture regolari lo studio del comportamento del telaio spaziale può essere infatti condotto attraverso la scomposizione dello stesso in telai piani equivalenti nelle due direzioni, ai quali poter applicare metodologie di analisi Pushover 2D. Le analisi piane condotte nelle strutture regolari forniscono una buona descrizione del comportamento strutturale del telaio soggetto all'azione sismica. In presenza di strutture irregolari, invece, tale procedura non produrrebbe risultati attendibili. inoltre quando si estende l'analisi ad una struttura 3D si deve far fronte ad ulteriori problematiche. Prima di tutto bisogna de nire un modello strutturale che sia in grado di descrivere il reale comportamento non-lineare della struttura (non-linearità geometrica, non-linearità meccanica dei materiali e dell'intera struttura) e che debba prevedere una idonea conformazione degli elementi strutturali. L'ulteriore problema riguarda la de nizione delle forze laterali da applicare: quando si studia un problema spaziale le distribuzioni di forze lungo l'altezza devono tender conto sia degli e etti traslazionali che di quelli torsionali. Si può infatti osservare che nell'ambito delle strutture piane le forze applicate sono contenute nel piano, senza che esse diano vita a moti torsionali della struttura; in presenza di strutture spaziali, soprattutto irregolari, invece, i moti torsionali possono avere masse partecipanti non trascurabili. In queste situazioni, le tradizionali distribuzioni di carico condurrebbero a risultati poco veritieri. Schematizzando i solai come in nitamente rigidi, un'analisi di pushover 3D richiede la de nizione di forze e coppie torcenti da applicare nei centri di massa dei piani. Tale approccio diventa però inadeguato allorquando non sia possibile ritenere i solai in nitamente rigidi.


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

120

Quando si studia una procedura di analisi sempli cata 8come quella di pushover) è necessario validarla confrontando i risultati con quelli ottenuti con analisi piÚ accurate, come l'analisi dinamica non-lineare e l'analisi incrementale dinamica non-lineare. Il confronto tra due o piÚ metodologie di analisi necessita la scelta di idonei parametri di ra ronto: molti Autori ritengono opportuno confrontare le curve di capacità taglio alla base-spostamento massimo di un punto in sommità , dove tale punto solitamente corrisponde al centro di massa, da qui in poi abbreviato con CM dell'ultimo piano oppure le curve taglio alla base - rotazione massima corrispondente del CM di sommità . In realtà il confronto dei risultati non è sempre semplice, e ad oggi non esiste un metodo di confronto universalmente riconosciuto dalla comunità scienti ca. Una panoramica della letteratura sull'analisi di pushover di strutture spaziali e/o irregolari permette di evidenziare peculiarità e criticità dei metodi proposti.

4.1

Background teorico

L'analisi di Pushover è stata utilizzata per la prima volta nell'ambito dell'ingegneria sismica da Gulkan e Sozen nel 1974 [27]. L'analisi era formulata con riferimento ad un sistema equivalente ad un grado di libertà e nell'ipotesi secondo cui il primo modo di vibrare della struttura fosse quello dominante e la cui deformata rimanesse costante durante l'analisi. Degli stessi anni sono -tra i vari- gli studi di Freeman et al. (1975), Shibata and Sozen (1976), Saiidi and Sozen (1981), Fajfar and Fischinger (1988) [20]. Ad oggi sono state proposte molteplici formulazioni del metodo e l'analisi è stata estesa allo studio di edi ci multipiano regolari ed irregolari, nonchÊ a strutture di ponti.


CAPITOLO 4.

121

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

Di particolare interesse sono i tentativi -proposti a partire dagli anni Novanta- di nuove procedure di analisi di pushover che fossero in grado di prevedere la risposta sismica di strutture irregolari estendendo le analisi anche a modellazioni tridimensionali. Uno dei primi apporti in questa direzione è stato quello di

Moghadam e Tso

(1996)

[42] nel quale la deformazione e il danneggiamento degli elementi perimetrali della struttura è stimata attraverso l'applicazione di due analisi pushover 3D assieme ad una analisi dinamica non-lineare di un sistema equivalente ad un grado di libertà . L'a dabilità della procedura viene discussa attraverso la sua applicazione ad un edi cio in cemento armato di sette piani con telai eccentrici soggetto ad un insieme di input sismici aventi caratteristiche diverse.

Successivamente, nel 2000, Moghadam e Tso [43] hanno proposto un nuovo approccio che fosse in grado di considerare gli e etti torsionali per strutture irregolari ed in particolare dell'estensione dell'analisi di pushover a edi ci multipiano eccentrici. La procedura utilizza l'analisi dello spettro di risposta elastico della struttura allo scopo di ottenere lo spostamento target e determinare la distribuzione dei carichi da applicare nelle analisi di pushover condotte successivamente. Per validare il metodo con riferimento a di di erenti tipi di eccentricitĂ , i due Autori applicano il metodo a tre di erenti modelli (frame building, set-back building, wall-frame structure), confrontando i risultati con quelli ottenuti con un'analisi dinamica non-lineare 3D.

Contemporaneamente ai primi studi di Moghadam e Tso,

Killar e Fajfar

nel 1996

[32] propongono un ulteriore metodo sempli cato per l'analisi di pushover di strutture irregolari. Il punto di partenza del metodo è quello di creare un pseudo modello 3D che consiste nell'assemblaggio di macroelementi piani o sottostrutture, con i quali


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

122

modellare pareti, telai, pareti accoppiate, pareti su colonne. Per ogni macroelemento piano viene assunta una relazione taglio alla base - spostamento in sommitĂ bilineare o multilineare. Attraverso un'analisi al passo viene computata una relazione approssimata tra il taglio alla base e lo spostamento in sommitĂ globale. Durante l'analisi si riesce a monitorare la progressiva formazione delle cerniere plastiche. Il metodo viene applicato su un edi cio in cemento armato frame walls di sette piani prima simmetrico e poi reso asimmetrico e su un complesso edi cio del tipo wall di 21 piani e asimmetrico.

Nel 1998 gli studiosi

Faella e Kilar

si concentrano sulla applicabilitĂ dell'analisi

pushover 3D su una struttura irregolare in pianta. Oggetto dell'analisi è un edi cio regolare, progettato secondo le prescrizioni dell'EC8, che viene reso irregolare attraverso l'introduzione di uno spostamento del centro di massa. La validazione della metodologia adottata viene condotta attraverso il confronto tra i risultati di un'analisi dinamica non-lineare condotta utilizzando tre input sismici diversi e le analisi di pushover. Le analisi di pushover vengono spinte no al massimo spostamento ottenuto nell'analisi dinamica non lineare. Vengono presi in considerazione quattro diversi punti di applicazione dei carichi di pushover e quattro diversi pro li di deformazione. Le rotazioni torsionali dei piani dell'edi cio sono confrontate con la massima risposta ottenuta con l'analisi dinamica non-lineare. I due ricercatori evidenziano anche le di erenze tra le risposte della struttura simmetrica e di quella non simmetrica.

Alla ne degli anni '90 prende piede una nuova generazione di analisi di pushover che utilizza i concetti del progetto sismico performace-based. La procedura combina analisi di pushover di sistemi MDOF con l'analisi con spettro di risposta di un


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

123

sistema equivalente SDOF formulata nello spazio accelerazione-spostamento (AD). Da subito tale procedura si di onde in America e viene ben presto inclusa nelle linee guida degli Stati Uniti e nei nuovi codici Giapponesi. In Europa, il metodo N21 , sviluppato dall'UniversitĂ della Ljubljana, viene riformulato nello spazio AD (Fajfar e Kilar 2000) e implementato nell'Eurocodice 8. Al 2002 risalgono gli studi di

Kilar e Fajfar

[33] i quali estendono il metodo N2,

originalmente formulato per analisi piane, alle strutture asimmetriche. L'approccio N2 modi cato prevede l'esecuzione di due analisi di pushover indipendenti condotte sui modelli strutturali 3D oggetto di studio con pro li di carico orizzontali rispettivamente nelle due direzioni. La validazione del metodo è fatta attraverso il confronto con i risultati del metodo proposto da Moghadam e Tso e con l'analisi dinamica non-lineare. Nello studio vengono presi in considerazione edi ci a quattro piani (che presentano anche pareti di taglio) caratterizzati da diversi valori delle resistenze e rigidezze eccentriche. Tutti i modelli studiati sono varianti di una struttura progettata secondo le indicazioni dell'Eurocodice 8. Gli autori a ermano che l'estensione del metodo N2 è un buon approccio capace di prevedere in maniera accurata la risposta di edi ci multipiano asimmetrici rigidi torsionalmente.

Gli studi sull'estensione del metodo N2 alle strutture asimmetriche vengono ripresi nel 2005 e 2006 da

Fajfar, Marusic e Perus,

[23, 21] che propongono una procedura

proposta che prevede che le analisi di pushover siano e ettuate utilizzando un modello 3D ed applicando le forze orizzontali nel centro di massa separatamente nelle due direzioni orizzontali; al ne di considerare gli e etti torsionali, si determina un fattore di correzione moltiplicativo dei risultati delle analisi pushover, come rapporto tra due spostamenti sommitali normalizzati, rispettivamente ottenuti da un'analisi 1 Il metodo N2 rappresenta uno dei metodi piÚ di usi per l'analisi statica non lineare delle strutture: è previsto sia dall'EC8 che da tutte le piÚ importanti normative sismiche moderne.


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

124

dinamica modale e da un'analisi di Pushover. Lo spostamento normalizzato è valutato, per ogni telaio, come il rapporto tra lo spostamento all'ultimo piano e quello sempre in sommità ma in corrispondenza del centro di massa (CM). Il fattore ampli cativo è da applicare a tutti i telai che si trovano sul lato rigido dell'edi cio.

Magliulo, Maddaloni e Cosenza

[34] propongono invece, nel 2008, tre metodi diversi

per applicare ad un edi cio irregolare in pianta il metodo N2 come formulato da Fajfar, con l'obiettivo di prendere in considerazione gli e etti dell'eccentricitĂ accidentale; tali metodi, caratterizzati da livelli diversi di accuratezza, sono descritti e illustrati con un'applicazione ad un edi cio di tre piani in c.a..

Si deve osservare che normative come la FEMA-356(USA) e l'Eurocodice 8 prevedono che le analisi di pushover consistano nel sottoporre la struttura ad un vettore di forze orizzontali caratterizzato da una forma costante all'incrementarsi dell'ampiezza. Sempre secondo le prescrizioni normative, sia la distribuzione delle forze che gli spostamenti target si basano sulle ipotesi che la risposta sia controllata dal modo fondamentale di vibrare e che la deformata modale rimanga invariata no al raggiungimento del collasso. Tuttavia, numerosi studi recenti, molti dei quali riportati nella FEMA-440 [67], mostrano dubbi sull'e cacia dei metodi convenzionali di analisi di pushover force-based circa la stima della domanda sismica attraverso l'intero range di deformazione. In particolare, tali metodologie risultano poco attendibili nel caso di strutture spaziali con forti irregolarità di distribuzione di massa e rigidezza. In queste strutture, infatti, il comportamento dinamico è governato spesso dai modi di vibrare torsionali, i quali possono essere predominanti rispetto a quelli traslazionali. A seguito dei confronti eseguiti tra i risultati di analisi pushover e quelli di analisi dinamiche


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non-lineari -ritenute di riferimento per il loro notevole grado di a dabilità - si può in particolare a ermare che per strutture spaziali lievemente irregolari gli errori commessi dalle analisi di spinta nella previsione del comportamento della struttura sono di piccola entità , mentre risultano non trascurabili nel caso di strutture fortemente irregolari. CosÏ come già in passato sottolineato da Moghadam e Tso (1996), Kilar e Fajfar (2002), Penelis e Kappos (2002) e Chopra e Goel (2004), a contribuire in modo determinante alla risposta sismica di strutture irregolari -soprattutto in presenza di comportamento altamente inelastico- sono piÚ modi di oscillare e no il solo modo fondamentale. L'utilizzo di una distribuzione di forze triangolare o uniforme comporta l'applicazione di sole forze orizzontali nei baricentri dei piani, cosÏ trascurando di considerare le coppie di inerzia torsionali che si generano nelle strutture irregolari per via dell'in uenza non trascurabile dei modi torsionali. Da ciò si comprende come l'analisi di pushover con le distribuzioni do forze standard appena descritte permette di cogliere approssimativamente le risposte traslazionali delle strutture irregolari in pianta (e regolari in altezza) con un numero piccolo di piani, ma non riesce a cogliere le risposte torsionali. Nel caso di distribuzione di forze proporzionale ai modi di vibrare, invece, oltre all'applicazione di forze orizzontali vengono applicati anche coppie torcenti, che tengono cosÏ conto delle suddette forze di inerzia rotazionali. Inoltre, nel caso di strutture spaziali irregolari, il sorge il problema di scegliere il modo fondamentale di vibrare: in queste strutture infatti accade che i movimenti traslazionali e rotazionali si accoppiano fra loro, generando dei modi roto-traslazionali che presentano componenti di spostamento nelle due direzioni di pianta. In tali situazioni si tende a prendere in considerazione il modo che possiede la maggior massa partecipante lungo la direzione di provenienza dell'input sismico. Al contrario di quanto accade nel pushover con distribuzione di forze uniforme o triangolare, in que-


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sto caso si hanno forze anche nella direzione ortogonale a quella di provenienza del sisma, in modo da generare coppie torcenti. Pur ottenendo una migliore stima delle rotazioni di piano rispetto alle procedure standard, si può osservare, sulla base degli studi e ettuati, che tali distribuzioni conducono comunque ad una serie di previsioni inaccurate: inaccurata previsione delle deformazioni quando i modi superiori sono importanti e/o le strutture sono largamente spinte in campo non-lineare, inaccurata previsione di eventuali danni localizzati, responsabili del cambiamento della risposta modale, inabilità nel riprodurre peculiari e etti dinamici, trascurando cause di dissipazione di energia, di coltà nella considerazione di e etti di carico dovuti a terremoti tridimensionali e ciclici. Si può quindi a ermare che una idonea soluzione potrebbe essere l'implementazione di metodi di analisi di pushover multimodali, che prevedano l'applicazione di distribuzioni di forze proporzionali anche ai modi superiori. Quindi con lo scopo di considerare anche gli e etti dei modi superiori, sono stati proposti numerosi metodi di analisi multimodali (MMP-Multi Modal Procedure). In realtà si può a ermare che tali metodi sono Pushover-Based Procedures e cioè metodi che si basano sulle procedure del pushover. Con tali analisi si stima la domanda sismica in uno o piÚ speci ci livelli di intensità sismica piuttosto che ricavare una curva di capacità per l'intero range deformativo.

Uno dei primi studi in cui si prendono in considerazione anche gli e etti dei modi superiori è quello condotto da

Paret e Sasaki

nel 1998, nel quale si pre gura un

metodo sempli cato ed e ciente di procedura di pushover multimodale (MMP) secondo cui, per poter determinare la risposta sismica delle strutture, si può procedere con l'esecuzione di diverse analisi di pushover in corrispondenza di vettori di carico laterali proporzionali ai vari modi.


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Un ra namento della procedura del pushover multimodale è il metodo PRC (Pushover Result Combination) che è stato proposto da

Moghadam e Tso

nel 2002. In tal

caso la massima risposta sismica si ottiene combinando i risultati di diverse analisi di pushover che sono eseguite usando uno schema di carico che corrisponde alla forma modale di un prede nito numero di modi di vibrare. La risposta nale è ottenuta attraverso la somma pesata dei risultati delle varie analisi di pushover (solitamente vengono considerati i primi 3 o 4 modi).

Una simile procedura, basata sempre sulla MMP è l'analisi pushover modale (Modal Pushover Analysis - MPA). I contributi piÚ signi cativi sono stati pubblicati soprattutto a partire dal 2001 da Chopra [52, 53]

e Goel

[11, 12, 13]e poi da Chopra

e Reyes,

i quali hanno proposto e validato una procedura di pushover modale con l'e-

stensione a modelli tridimensionali, irregolari ed a modelli soggetti a due componenti dell'azione sismica. Altri studi sono stati condotti da

Yu, Pugliesi, Allen e Bischo

. L'analisi di Pushover modale è un' estensione dell'analisi modale con spettro di risposta al caso non-lineare al ne di determinare lo spostamento massimo di una struttura a fronte di una data azione sismica. La MPA ha forti radici teoriche nella Dinamica delle Strutture e consente di prendere in considerazione gli e etti dei modi superiori di vibrare sulla risposta sismica. L'analisi di spinta viene condotta a forze imposte adottando di erenti distribuzioni invarianti di forze orizzontali proporzionali -tramite la matrice diagonale delle masse M- alle forme modali φm :

S = [M ] {φn }

(4.1)


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ossia, a livello di singolo DOF:

Si = mi φni dove: 

 mx  M = my  

   è la matrice massa del sistema;  

(4.2)

mi : è la massa i-esima nella direzione di studio;

   φnx    φn = φny      φnθ rato;

     

è il pro lo di deformazione della struttura relativo al modo conside-

    

Nella proposta del 2001 di

Chopra e Goel

le curve di pushover -corrispondenti ai

vettori delle forze relativi ai vari modi di vibrare- vengono idealizzate e trasformate nelle curve bilineari di un sistema equivalente ad un grado di libertà, in modo da poter calcolare separatamente le deformazioni target e i corrispondenti parametri di risposta per ciascun modo. La domanda totale è poi determinata combinando i picchi modali di domanda utilizzando la regola SRSS. Solitamente si prendono in considerazione due o tre modi. Nel 2004 gli stessi Autori propongono l'estensione di tale metodo alle strutture irregolari. Nell'MPA la domanda sismica è determinata attraverso una analisi statica non-lineare usando una distribuzione di forze di inerzia per ogni modo che, per le strutture asimmetriche, consiste in due forze laterali e una coppia torcente nel piano


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di ogni livello. Le domande modali richieste dai primi modi vengono combinate con la regola CQC al ne di ottenere la stima della richiesta globale del sistema inelastico. Le analisi svolte evidenziano l'a dabilitĂ dei risultati per strutture asimmetriche rigide essionalmente e torsionalmente ma una scarsa a dabilitĂ nel caso di particolari movimenti nel terreno. Infatti per strutture rigide torsionalmente per particolari movimenti del terreno gli spostamenti di copertura sono sottostimati con l'utilizzo della regola CQC essendo i modi elastici fortemente accoppiati.

Gli ultimi contributi in questo ambito risalgono al 2011, quando Chopra

e Reyes

pro-

pongono e validano anche una procedura sempli cata di analisi di pushover modale (Pratical Modal Pushover Analysis - PMPA) ed estendono l'analisi anche a strutture tridimensionali irregolari soggetti a due componenti dell'azione sismica.

Sebbene gli approcci appena elencati costituiscano un miglioramento signi cativo rispetto alle tecniche tradizionali di analisi di pushover, ulteriori studi hanno posto l'attenzione sulla necessitĂ di considerare gli e etti dell'accumulo del danno indotto dal crescente livello di deformazione. É dunque opportuno tenere in conto i possibili cambiamenti del comportamento strutturale indotti dalle riduzioni delle rigidezze degli elementi e dei conseguenti incrementi dei periodi relativi ai diversi modi di vibrare: nascono cosĂŹ le procedure di pushover adattivo, che hanno come peculiaritĂ principale la variabilitĂ durante l'analisi del vettore dei carichi laterali, sia esso rappresentativo del solo modo di vibrare fondamentale o di piĂš modi . la prima proposta di una procedura adattiva è dovuta a

Bracci

e altri (1997) [8] che

proposero i criteri di modellazione dei successivi incrementi dei carichi orizzontali in funzione del taglio alla base ed ai diversi piani dell'edi cio, calcolati al passo precedente.


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Una di erente metodologia fu proposta da

Gupta e Kunnath

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nel 2000. In tal caso i

carichi applicati sono costantemente aggiornati in funzione delle caratteristiche dinamiche della struttura ad ogni passo di integrazione e viene usato no speci co spettro per de nire la distribuzione dei carichi.

Un altro metodo adattivo è quello proposto da poi originano gli schemi adattivi proposti da e Pinho

Requena e Ayala

Elnashai

nel 2000, dal quale

nel 2001 [18] e da

Antoniou

[5] a partire dal 2002. Un elemento innovativo di questi due ultimi studi

è l'implementazione della procedura utilizzando un approccio a plasticità di usa (a bre) che, per sua natura, richiede un aggiornamento continuo, invece che discreto, della distribuzione di forze laterali. Le deformazioni plastiche sono infatti, in un modello di questo genere, distribuite sull'intera lunghezza degli elementi strutturali e non concentrate in corrispondenza di cerniere e, pertanto, la rigidezza strutturale cambia ad ogni passo del processo di analisi. Le procedure adattive hanno portato un miglioramento nell'accordo tra i risultati delle analisi statiche e quelli delle analisi dinamiche, grazie anche alla considerazione degli spettri scalati, del contributo dei modi superiori, della modi ca delle resistenze locali e delle caratteristiche modali dovute all'accumulo del danno.

Nonostante gli evidenti vantaggi dal punto di vista teorico la procedura adattiva basata sulle forze- non forniscono tuttavia delle soluzioni qualitativamente migliori rispetto al pushover convenzionale, soprattutto nella stima dell'andamento delle deformazioni delle strutture. Per tale motivo Antoniou e Pinho nel 2004 hanno proposto un nuovo approccio: si passa da foce-based adaptive pushover procedure (FAP) a displacement-based adaptive procedure (DAP).


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Nel 2006

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Meireles, Pinho, Bento e Antoniou

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propongono procedure per l'estensione

del pushover adattivo DAP ad una struttura 3D irregolare. Gli Autori confrontano la procedura proposta con i risultati di un'analisi di pushover non adattivo e con l'analisi dinamica non-lineare, ottenendo risultati soddisfacenti. In tal caso i carichi sono applicati simultaneamente nelle due direzioni ortogonali, permettendo di dedurre lo stato deformativo della struttura mediante una singola analisi.

Si riassumo nel seguito in modo piĂš dettagliato alcuni tra i succitati studi proposti in letteratura anche al ne di discutere vantaggi e svantaggi delle metodologie proposte.

4.1.1 Analisi di Pushover per strutture spaziali irregolari: i primi studi 4.1.1.1

Moghadam e Tso [1996], Demage assessment of eccentric mul-

tistory buildings using 3D Pushover analysis - (Valutazione del danno per strutture multipiano eccentriche utilizzando l'analisi di pushover 3D)

Al ne di valutare il danneggiamento di una struttura multipiano eccentrica Moghadam e Tso propongono una procedura sempli cata che utilizza un sistema equivalente ad un grado di libertà -per la prima volta proposto da Saiidi e Sozen nel 1981- utilizzato per stimare la risposta sismica. La procedura comporta l'analisi dinamica non-lineare di un sistema SDOF insieme a due analisi statiche non-lineari di una struttura tridimensionale soggetta a carichi statici incrementali. La procedura è applicata al caso di un edi cio multipiano che presenta un asse di simmetria lungo la


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direzione X, soggetto ad un'azione sismica agente in direzione perpendicolare all'asse di simmetria. Le 2N equazioni che descrivono la deformazione della struttura possono essere scritte come:

         ¨     M 0  δ  M 0  1 + {R} = −  u¨g (t)     θ¨    0   0 In  0 In  

(4.3)

con:

[M ]: matrice massa; [In ]: matrice dei momenti d'inerzia polari attorno ai CM; u¨g (t) : input sismico (accelerazione al suolo); {δ}: vettore degli spostamenti in direzione y dei CM di piano; {θ}: vettore delle rotazioni di piano; {R}: vettore delle forze. Se si assume che la struttura risponde all'azione sismica secondo un solo modo di vibrare, il sistema MDOF può essere ridotto ad un sistema equivalente SDOF usando le coordinate generalizzate così come delineato da Collins (1995), ossia ponendo:

    δ  

= {φ} Y (t)

(4.4)

  θ   con:

{φ} : pro lo di deformazione della struttura relativo al modo considerato, assunto costante;

Y (t) : coordinate generalizzate; Il modo {φ} va normalizzato in modo tale che Y (t) rappresenti lo spostamento del CM del piano di copertura della struttura. Il pro lo di deformazione è ottenuto dalla media delle analisi di pushover 3D della


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struttura, applicando le forze laterali distribuite V {f } ai CM della struttura, dove

V rappresenta il taglio alla base ed {f } la distribuzione delle forze normalizzate. Durante l'analisi viene monitorata la relazione tra il taglio alla base e lo spostamento del centro di massa del piano copertura. La curva risultante ha l'espressione:

V = KG(Y )

(4.5)

dove K è la pendenza iniziale della curva V − Y e G(Y ) descrive l'approssimazione bilineare della curva. Assumendo che il vettore delle forze {R} possa essere rappresentato da un set di forze usate nell'analisi di pushover, il sistema di equazioni può essere ridotto ad una singola equazione, valida per il sistema SDOF:

m∗ Y¨ + k ∗ G(Y ) = −l∗ u¨g (t)

(4.6)

dove m∗ , k ∗ , l∗ denotano la massa, la rigidezza e il fattore di eccitazione del sisma per il sistema equivalente SDOF. La soluzione all'equazione (4.6) è ottenuta attraverso una procedura di integrazione step-by-step. Il massimo assoluto di Y (t) denotato con

Ymax , rappresenta il massimo spostamento del CM della copertura della struttura. De nito Ymax , viene avviata una seconda analisi di pushover 3D che termina quando lo spostamento del centro di massa della copertura uguaglia Ymax . A questo livello di analisi la deformazione e il danno degli elementi posizionati sul lato essibile della struttura a questo livello dell'analisi possono essere considerati indicativi della deformazione e del danno che gli stessi elementi subiscono quando la struttura è soggetta all'azione sismica. In particolare gli Autori hanno sperimentato la procedura proposta su un edi cio in cemento armato di sette piani che presenta le seguenti caratteristiche:


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Figura 4.1: Pianta della struttura

Il CM è spostato di 2,4m rispetto al baricentro geometrico presentando una eccentricità del 10% della dimensione della pianta in ogni livello. Per l'analisi dinamica non-lineare sono stati utilizzati 13 accelerogrammi aventi diverse caratteristiche, con l'obiettivo di validare la procedura in presenza di di erenti eventi sismici. Il primo step della procedura consiste in una analisi di pushover 3D condotta per mezzo dell'applicazione con l'applicazione di una distribuzione di carico triangolare, ed il cui risultato è una curva taglio alla base-spostamento del CM di copertura; curva che è approssimata con una curva bilineare per determinare la funzione G(Y ) del sistema equivalente SDOF. Al ne di ottenere il valore di Ymax viene quindi eseguita un'analisi dinamica non-lineare per ciascun degli accelerogrammi considerati, e in ne viene svolta una seconda analisi di pushover con lo scopo di determinare lo stato di deformazione della struttura ed in particolare del lato essibile in corrispondenza di uno spostamento del CM di copertura pari al valore di Ymax . Quindi lo step nale è il confronto fra i risultati dell'analisi statica e l'analisi dinamica non lineare.


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Figura 4.2: a1) massimo spostamento del lato essibile; a2) massimo spostamento di interpiano

del lato essibile; b1) massima duttilità in travi; b2) massima duttilità in colonne

Tale confronto evidenzia come la procedura proposta risulta fornire una buona approssimazione del danno sismico nei lati e nei telai critici della struttura sotto una grande varietà di input sismici. Fanno eccezione solo la classe di terremoti near eld per i quali la procedura proposta sottostima il danno.

Si può osservare che l'ipotesi di base della procedura in essere secondo cui la struttura si comporta secondo un solo modo di vibrare durante l'evento sismico, risulta essere una drastica sempli cazione; in realtà, a contribuire alla risposta sismica di strutture irregolari - soprattutto in presenza di comportamento altamente inelastico - sono più modi. Anche l'assunzione di un input sismico unidirezionale, utilizzata per l'analisi dinamica, risulta essere limitativa; tale ipotesi potrebbe condurre a risultati inattendibili, specialmente in termini di spostamento. 4.1.1.2

Moghadam e Tso [2000], Pushover analysis for asymmetric and

set-back multi-storey buildings - (Analisi di pushover per strutture asimmetriche e con set-back)

Viene proposta una procedura che permette di estendere l'analisi di pushover a strutture eccentriche multipiano, con lo scopo di stimare la deformazione e il danno delle


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stesse. La procedura consiste in due step: la de nizione di uno spostamento target e l'implementazione di analisi pushover piane su speci che porzioni di struttura. In particolare, gli spostamenti massimi sono determinati attraverso l'analisi dello spettro elastico della struttura; dato che gli spostamenti dei vari elementi resistenti sono di erenti, si necessita la determinazione di molti spostamenti target. Il danneggiamento raggiunto dalla costruzione in corrispondenza di questo spostamento è considerato rappresentativo del danno che la struttura subirebbe se soggetta all'azione sismica di progetto. La distribuzione dei carichi laterali usata nell' analisi di pushover è ricavata dallo spettro, al ne di prendere in considerazione gli e etti dei modi di ordine maggiore, ed è poi confrontata con una distribuzione con andamento triangolare. Fissati gli spostamenti target e la distribuzione delle forze, viene condotta una analisi di pushover 2D sulle porzioni di struttura selezionati (telai piani) spingendo queste no allo spostamento ssato. Per testare il metodo. Moghadam e Tso utilizzano tre diversi tipi di edi ci: uniform moment resisting frame , setback moment resisting frame e uniform wall-frame buildings . Tutti e tre gli edi ci presentano una massa eccentrica pari al 10% della larghezza della struttura. In particolare il primo edi cio si presenta a pianta rettangolare di 24m x 17m e interpiano di 3m. L'analisi è condotta su un telaio interno (frame2) e due telai esterni (frame 1 e 3). Il secondo edi cio di erisce dal primo solo per la presenza di set-back, il terzo edi co risulta essere identico al primo con la sola eccezione della sostituzione del frame 2 con una parete:


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Figura 4.3: a) pianta edi cio tipo 1 e 2 (frame building) ; b) pianta edi cio tipo 3 (wall building);

c) sezione edi cio tipo 1 e 3; d) sezione edi cio tipo 2

Per l'implementazione dell'analisi dinamica non-lineare sono stati utilizzati 10 accelerogrammi arti ciali. L'aspetto importante di questa procedura è l'uso dello spettro di risposta elastica al ne di ottenere gli spostamenti target e il tipo di distribuzione di carichi da utilizzare. Non si ritiene necessario modellare il comportamento non lineare di tutti gli elementi della costruzione, ma solamente degli elementi considerati nelle analisi di pushover piane. Il confronto tra le curve di pushover ed i risultati dell'analisi dinamica non-lineare mostra che la procedura proposta censente in generale una buona stima dei risultati, e solo negli edi ci con set-beck comporta una leggera sovrastima.


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Figura 4.4:

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a) confronto dei massimi spostamenti; b) confronto dei massimi spostamenti di

interpiano

I limiti della procedura sono legati alla scelta di un pro lo di carico sso che ignora le variazioni di rigidezza che si hanno in conseguenza del comportamento anelastico; lo studio è inoltre circoscritto all'esame degli e etti di una azione sismica unidirezionale. 4.1.1.3

Kilar e Fajfar [1996], Sempli ed Pushover analysis of buildings

structures - (Analisi di pushover sempli cata per le strutture di edi ci)

Il punto di partenza della procedura proposta è la creazione di un modello matematico pseudo tridimensionale in campo anelastico. Il modello consiste nell'assemblaggio di macroelementi piani o sottostrutture (che rappresentano pareti, telai, pareti su colonne) orientati arbitrariamente in pianta.


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Figura 4.5: Macroelementi bidimensionali

Ogni macroelemento è pensato come resistente solo nel suo piano, ma la struttura presenta nel suo complesso resistenza in ogni direzione. Ogni macroelemento è connesso ad ogni livello attraverso diaframmi che sono assunti rigidi solo nel proprio piano. Il modello ha tre gradi di libertà per ogni piano (due spostamenti orizzontali e una rotazione rispetto all'asse verticale); tutti gli altri gradi di libertà sono o ignorati o condensati tramite rigid link. Il vantaggio dell'approccio proposto sta nella facile preparazione e interpretazione dei dati ed in una alta e cienza computazionale, mentre un limite è legato ai codici di calcolo che ne permettono l'implementazione. Per ogni macroelemento sono stati de niti i relativi meccanismi plastici.

Figura 4.6: Meccanismi plastici assunti per il regular orthogonal frame


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Durante l'analisi viene monitorato lo sviluppo delle cerniere plastiche all'interno della struttura. Gli autori propongono per ciascuno dei modelli di macroelementi ra gurati nella 4.5 una relazione fra taglio alla base e spostamento in sommità, di tipo bilineare a condizione che la distribuzione verticale dei carichi laterali sia uniforme. Quando ad esempio in corrispondenza dello snervamento o della variazione di resistenza della struttura la distribuzione dei carichi varia, allora anche la curva taglio alla basespostamento di sommità cambia pendenza. Il metodo di analisi proposto prevede una sequenza di analisi lineari secondo una procedura evento per evento2 . La procedura prevede: 1. la conoscenza di tutti i dati strutturali: oltre a quelli necessari per l'analisi elastica si necessita della conoscenza del momento di snervamento delle sezioni critiche; 2. la scelta della distribuzione dei carichi orizzontali da applicare lungo l'altezza (ad esempio triangolare) e i fattori di incremento di carico. Nel caso di strutture asimmetriche in cui è necessaria una analisi di pushover 3D, la conoscenza delle coordinate dei punti di applicazione (solitamente si tratta del centro di massa dei vari impalcati) e della direzione di applicazione dei carichi stessi; 3. l'esecuzione di un'analisi statica di tipo elastico per ogni incremento di carico considerato. Per ogni macroelemento si calcolano: gli incrementi globali di spostamento, la distribuzione del carico, gli spostamenti e le forze interne; 4. il calcolo, per tutti gli eventi aspettati, dei fattori di evento, utilizzando una relazione approssimata non-lineare taglio alla base-spostamento in sommità. 2 Per evento gli autori intendono un cambiamento della rigidezza strutturale in corrispondenza del quale si ha la formazione di una o più contemporanee cerniere plastiche nel macroelemento


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Il fattore di evento è dato dal rapporto fra il carico incrementato che causa l'evento e il carico incrementale esterno. 5. l'unione dei risultati ottenuti al punto 3, scalati con il fattore di evento minimo, e quelli del punto 4; 6. considerare che il modello matematico e/o la rigidezza del macroelemento che fa scattare l'evento cambia; 7. la riesecuzione dei passaggi da 3 a 6 utilizzando un nuovo modello; 8. la scelta della modalità con cui terminare l'analisi: ad esempio la formazione di meccanismi plastici, o in superamento dello spostamento massimo. La procedura proposta è applicabile a strutture di ogni materiale, ma gli autori si sono concentrati sull'applicazione nell'ambito delle strutture in cemento armato con comportamento duttile. In particolare, si è considerata una struttura di sette piani in c.a. sia nella con gurazione simmetrica che in quella resa asimmetrica con l'introduzione di pareti.

Figura 4.7: Pianta e sezione della struttura esaminata dagli autori

Il modello matematico della struttura irregolare è ottenuto con cinque macroelementi in direzione X e quattro in direzione Y. Il carico orizzontale è stato applicato


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nel centro di massa in direzione X con una distribuzione triangolare lungo l'altezza. Il massimo spostamento nella direzione X è monitorato nel telaio interno. I risultati dell'analisi di tale modello sempli cato sono stati confrontati con i risultati di analisi di pushover svolte attraverso modelli non lineari a plasticità di usa ( tramite il software CANNY) e a plasticità concentrata (tramite il software NEAVEK).

Figura

4.8:

Curva taglio alla base-massimo spostamento in sommitĂ per per la struttura

simmetrica e asimmetrica

Da tale confronto si può osservare che la procedura riesce a ricostruire il comportamento della struttura, e pertanto gli Autori ne consigliano l'utilizzo sia per le nuove costruzioni che per quelle esistenti. Un punto debole del metodo è l'utilizzo di una condizione di carico ssa. 4.1.1.4

Faella e Kilar [1998], Asymmetric multistorey R/C frame struc-

tures: Pushover versus nonlinear dynamic analysis - (Strutture asimmetriche multipiano in cemento armato: l'analisi di pushover a confronto con le analisi dinamiche non-lineari)

Gli autori incentrano lo studio sulla applicabilitĂ del pushover 3D -con distribuzione di carico triangolare- per l'analisi sismica di strutture asimmetriche in pianta. Come struttura test viene considerato un edi cio simmetrico a telaio di quattro piani in c.a..


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Al ne di considerare alcune varianti asimmetriche della struttura di partenza, gli autori propongono quattro diverse possibilitĂ in funzione alla posizione del CM: CM, CM-0,05L, CM+0,05L, CM+0,15L. L'analisi pushover viene condotta applicando il sisma in una sola direzione. I risultati ottenuti sono validati dal confronto con i risultati di un'analisi dinamica non-lineare, eseguita con l'uso di tre distinti accelerogrammi sismici.. In tutti i casi, l'analisi di pushover viene eseguita considerando uno spostamento target ricavato da una analisi dinamica non-lineare.

Figura 4.9: Pianta e sezione tipo della struttura oggetto di studio

Un elemento innovativo della procedura proposta sta nella scelta di quattro diversi punti di applicazione dei carichi di Pushover. Il confronto fra i risultati delle analisi non-lineari (pushover e time-history) mostra un buon accordo e per il lato rigido (X1) con sisma di bassa intensitĂ (0,35g) e una sottostima da parte dell'analisi di pushover dello spostamento del lato essibile (X6).


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Figura 4.10: Confronto fra i pro li piano-spostamento ottenuti dall'analisi di Pushover con diverso

CM e analisi dinamica per tre sismi con intensitĂ del sisma a) 0,70g , b) 0,35g

Osservando i diagrammi degli spostamenti si osserva che in tutti i casi esaminati le rotazioni torsionali ottenute dall'analisi dinamica non-lineare sono maggiori di quella ottenuta dall'analisi di pushover. Da un attento confronto fra la sequenza dei massimi si può osservare che il massimo spostamento nelle zone laterali della struttura non viene raggiunto contemporaneamente al raggiungimento delle massime rotazioni torsionali. Per questa ragione si può a ermare che l'analisi di pushover non descrive adeguatamente le rotazioni torsionali dinamiche. I risultati, limitati agli esempi scelti, mostrano che i pro li di deformazione dipendono anche dall'intensità del sisma applicato. In particolare, è stato riscontrato che in molti casi i pro li di risposta dinamica possono essere meglio approssimati attraverso lo spostamento delle forze statiche equivalenti nella minima e nella massima eccentricità proposta dall'Eurocodice 8. Gli Autori stessi sottolineano la necessità di sviluppare procedimenti piÚ semplici per determinare lo spostamento massimo in copertura per l'esecuzione dell'analisi di


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pushover.

4.1.2 Analisi di pushover per strutture spaziali irregolari: estensione del metodo pushover N2 4.1.2.1

Kilar Fajfar [2002], Simpli ed nonlinear seismic analysis of asym-

metric multistorey R/C building - (Analisi sismica non-lineare sempli cata di un edi cio in cemento armato multipiano asimmetrico)

Gli Autori propongono un'estensione del metodo N2 -originariamente formulato per le strutture piane e regolari e basato sull'impiego di spettri di risposta- a strutture irregolari. La procedura consiste in due analisi di pushover indipendenti eseguite su un modello tridimensionale, con l'applicazione dei carichi laterali rispettivamente in direzione X e in direzione Y in corrispondenza dei centri di massa. La domanda in spostamento è determinata distintamente per ciascuna direzione utilizzando la metodologia classica dell'analisi N2 e gli output necessari (spostamenti, spostamenti di piano, rotazioni, duttilità) sono determinati combinando - attraverso la combinazione SRSS - i risultati ottenuti dalle analisi suddette. La sperimentazione condotta dai due studiosi ha previsto analisi di pushover con diverse distribuzioni di carico: triangolare inversa, proporzionale alla distribuzione di massa, proporzionale al primo modo. La curva di pushover è trasformata in una curva bilineare secondo la regola dell'equivalenza energetica e lo spostamento target in sommità è assunto pari all'1% dell'altezza dell'edi cio. Le curve di pushover del sistema MDOF sono trasformate in quelle dell'equivalente sistema SDOF dividendo sia le forze che gli spostamenti per il fattore di trasformazione partecipazione modale. Si assume che nel metodo N2 standars lo spostamento target è dedotto in base alla regola dell'uguaglianza degli spostamenti: lo spostamento inelastico è uguale allo


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spostamento del sistema elastico avente medesimo periodo. Nel metodo N2 esteso, gli spostamenti target del sistema equivalente ad un grado di libertà sono de niti attraverso i punti di intersezione delle linee che rappresentano il periodo elastico del sistema e lo spettro di risposta elastica. Al ne di ottenere la domanda in termini di spostamento in sommità del sistema MDOF, è eseguita una ritrasformazione dal sistema ad un grado di libertà nel sistema MDOF utilizzando il medesimo fattore di trasformazione utilizzato in precedenza. Per validare il metodo, gli Autori confrontano il risultati ottenuti con quelli ritrovati applicando il metodo MT3 e con i risultati dell'analisi dinamica non-lineare 3D. Il modello di strutture esaminate presenta telai di quattro livelli con due pareti (wall A-B) che racchiudono il vano scala e una terza (wall C) inserita per rispettare le prescrizioni previste dall'Eurocodice 8.

Figura 4.11: Pianta e sezione della struttura esaminata

Le analisi dinamiche condotte fanno riferimento a 5 diversi accelerogrammi nelle due direzioni tale che la media degli spettri delle accelerazioni dei diversi accelerogrammi sia confrontabile con lo spettro elastico del EC8. L'e etto delle due componenti orizzontali dell'azione sismica sono considerati con un contributo del 100% in una direzione e del 30% nell'altra ortogonale. La componente orizzontale maggiore 3 L'MT method è un altro metodo di analisi proposto da Moghdame A.S. e Tso W. K. nel 2000


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è applicata in direzione y. Dai risultati del confronto, si evince che il metodo N2 esteso ha la capacità di prevedere in maniera accurata la risposta di edi ci a piÚ piani asimmetrici torsionalmente resistenti ad eccezione di qualche dispersione nei risultati. Si osserva, infatti, una generale sovrastima degli spostamenti dei CM e, nel modello senza la parete C, una sovrastima dello spostamento del lato essibile (Y4, Y5) e una sottostima degli spostamenti del lato rigido (Y1, Y2). Tale risultato è anche in uenzato dall'idealizzazione bilineare della curva che determina la rigidezza elastica.

Figura 4.12: Massimo spostamento ottenuto dall'analisi dinamica non-lineare (valori medi delle

analisi) e metodo sempli cato. Il valore in parentesi rappresenta la percentuale rispetto al valore ottenuto con l'analisi dinamica

4.1.2.2

Fajfar, Maru²i¢ [2006], The N2 method for asymmetric buil-

dings - (Il metodo N2 per le strutture asimmetriche).

Gli Autori si occupano dell'estensione del metodo N2 alle strutture asimmetriche attraverso modelli strutturali 3D. Il loro studio si basa sull'osservazione che nella maggior parte dei casi un limite superiore per gli e etti torsionali può essere stimato


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attraverso una analisi dinamica lineare. Ciò ammesso, ci si propone di combinare i risultati ottenuti da una analisi di pushover di un modello 3D con quelli ottenuti tramite l'analisi dinamica lineare. Dalla prima analisi si può ottenere il controllo degli spostamenti target e la distribuzione di deformazione lungo l'altezza dell'edi cio, mentre con la seconda analisi si possono de nire le ampli cazioni torsionali. Nello studio gli Autori propongono diversi esempi-test, comparando i risultati ottenuti con quelli di una analisi dinamica non-lineare. Gli Autori discutono inoltre una variante della modalità di schematizzazione della curva di pushover avente rigidezza positiva dopo lo snervamento. Il metodo proposto può essere schematizzato sintetizzato nei seguenti passi: 1. esecuzione dell'analisi di pushover attraverso un modello 3D. I carichi sono applicati ai centri di massa, indipendentemente nelle due direzioni e in ciascuna con segno positivo e negativo; determinazione dello spostamento target per ciascuna delle due direzioni (è il valore maggiore dei due ottenuti con i due segni); 2. esecuzione di una analisi elastica sul modello 3D indipendentemente per le azioni sismiche nelle due direzioni orizzontali e combinando i risultati con la regola SRSS; 3. determinazione del fattore correttivo da applicare ai risultati rilevanti dell'analisi di pushover. Il fattore correttivo è nalizzato a prendere in considerazione gli e etti torsionali, determinati con l'analisi elastica modale allo step 2. Questo fattore è calcolato come rapporto tra lo spostamento della copertura normalizzato ottenuto dall'analisi elastica modale e dall'analisi di pushover. Lo spostamento di copertura normalizzato è lo spostamento di un punto arbitrario diviso lo spostamento del centro di massa. Non vi deve essere una deampli -


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cazione e di conseguenza, se lo spostamento di copertura normalizzato risulta minore di 1, si considera proprio il valore 1 come fattore correttivo; 4. determinazione della domanda sismica attraverso il prodotto di tutte le quantità rilevanti ottenute dall'analisi di pushover (deformazione degli elementi duttili che hanno superato lo snervamento, sforzo degli elementi fragili che restano in campo elastico) per il fattore correttivo. Gli autori propongono l'estensione del metodo N2 a tre diverse tipologie di strutture: SPEAR building, edi cio con telai in acciaio di 5 piani, edi cio con pareti in c.a. a 8 piani. In particolare, la prima struttura rappresenta una tipica soluzione con irregolarità planimetrica. L'analisi di pushover è condotta utilizzando distribuzioni di carico laterali nelle due direzioni orizzontali con segno positivo e negativo, basate sulla deformata modale fondamentale. Sono prese in considerazione due idealizzazioni della curva di capacità: una con rigidezza nulla dopo il punto di snervamento (nominata EP) e l'altra con una rigidezza post snervamento che segue più da vicino la curva del pushover (nominata BIL).

Figura 4.13: (a) Schema della planimetria dello SPEAR building, (b) Curva di Pushover e due

idealizzazioni bilineari per i carichi con segno positivo nella direzione X


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Gli e etti torsionali sono normalizzati in termini di u/uCM . Dal confronto dei risultati dell'analisi di pushover proposta e dell'analisi non-lineare time history si osserva che il metodo N2 risulta piÚ conservativo. Si evince inoltre che gli e etti torsionali sono generalmente piÚ alti se l'intensità del sisma è piÚ bassa (Fajfar et al., 2005) e quindi che qualche particolare terremoto di intensità particolarmente elevata potrebbe produrre in uenze torsionali molto alte. Gli Autori sottolineano che un'analisi di pushover con forze applicate al centro di massa di ogni livello no allo stesso spostamento target produce rotazioni torsionali piccole. In accordo con la procedura proposta, i risultati dell'analisi di pushover sono quindi corretti moltiplicandoli per il rapporto tra gli spostamenti normalizzati della procedura N2 e gli spostamenti normalizzati dell'analisi di pushover. Alla luce dei tre esempi a rontati dagli Autori (di cui si è descritto solo il primo) e dal confronto con i risultati dell'analisi dinamica non-lineare si può osservare che l'estensione del metodo N2 conduce sempre a risultati piÚ conservativi. Questo comportamento è in uenzato dalla determinazione dello spostamento target in corrispondenza del centro di massa e dalla modalità di determinazione degli e etti torsionali. Noto che l'accuratezza della stima dello spostamento target dipende dalla idealizzazione bilineare della curva di pushover, ultimato l'idealizzazione che presenta una rigidezza post snervamento positiva, si ottiene uno spostamento target ridotto.


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4.1.3 Analisi di pushover per strutture spaziali irregolari: analisi di pushover modale 4.1.3.1

Chopra e Goel [2001] A Modal Pushover Analysis Procedure to

Estimate Seismic Demands for Buildings : Theory and Preliminary Evaluation - (Analisi di pushover modale per stimare la domanda sismica di edi ci: teoria e valutazione preliminare)

In questo studio il principale obiettivo di Chopra e Goel è quello di sviluppare una migliore -rispetto a quanto disponibile in letteratura- procedura di analisi di pushover basata sulla teoria della dinamica strutturale che possa avere sia i vantaggi della semplicitĂ concettuale e computazionale tipici di una analisi condotta con l'uso di sistemi di forze invarianti, sia una maggiore accuratezza nella stima della domanda sismica degli edi ci. Nello studio viene eseguita una analisi di pushover modale su strutture a comportamento elastico-lineare e viene proposta un'estensione della procedura alle strutture con comportamento non-lineare, sottolineando, allo stesso tempo, le discordanze rispetto ai risultati dell'analisi non-lineare RHA4 . Un ulteriore confronto viene svolto con i risultati della procedura prevista dalla norma FEMA273. Tralasciando le considerazioni svolte per gli edi ci ad un piano e per gli edi ci pluripiano con comportamento elastico, a grandi linee la procedura proposta prevede due distinte fasi. Nella prima si determina -attraverso una analisi di pushover- il valore del picco di risposta rno del sistema inelastico MDOF in corrispondenza dei termini del singolo modo, pef f,n (t) = −sn u ¨g (t), dello sviluppo modale dell'e ettiva azione sismica, pef f,n (t) = −m¨ ug (t). 4 L' RHA è la Response History Analisys ossia l'analisi dinamica non-lineare


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In particola si può speci care che:

   {sxn }    pef f,n (t) = −sn ¡ u¨g (t) = − {syn }      {sθn }

   [m] {φxn }    u¨g (t) = −Γ [m] {φyn }          [Io ] {φθn }       

     

u¨g (t)

(4.7)

    

con:

{φxn }, {φyn }, {φθn } i vettori degli spostamenti e delle rotazioni in corrispondenza del modo n ;

Γn il coe ciente di partecipazione modale relativo al modo n. Si determina quindi la curva taglio alla base-spostamento di copertura (Vbn − urn ) a partire dall'analisi di pushover condotta utilizzando una distribuzione di forze

{s∗n } = [M ] {φn }. Tale curva è idealizzata come una bilineare e convertita in una curva forza-deformazione per l'n-esimo modo del sistema inelastico SDOF. Il valore massimo di deformazione del sistema SDOF è utilizzato per determinare lo spostamento massimo di copertura in corrispondenza del quale, attraverso l'analisi di pushover, viene determinata la risposta sismica rno . La seconda fase riguarda la determinazione della domanda totale ro attraverso le combinazione dei valori rno con n=1,2,..., e ettuata con una appropriata regola di combinazione modale.

Alla luce dei numerosi esempi riportati nell'articolo -al quale si rimanda per gli approfondimenti- si può concludere che :

ˆ

dal confronto tra il picco di risposta inelastica dell'edi cio SAC di 9 piani determinata con l'MPA e con la rigorosa RHA non-lineare, si assume che la procedura MPA o re una buona stima degli spostamenti di piano e di interpiano ed un'accurata identi cazione della localizzazione della maggior parte delle cerniere plastiche. La procedura MPA presenta limitazioni nella determinazione


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-con accettabile accuratezza- delle rotazioni plastiche delle cerniere.

Figura 4.14: Confronto dei risultati riguardanti gli spostamenti di piano e di interpiano ottenuti

con la procedura MPA e RHA

Figura 4.15: Errori nella valutazione degli spostamenti di piano, di interpiano e della rotazione

delle cerniere plastiche stimati dalla MPA includendo i primi tre modi e per 1,5xEl Centro sisma

ˆ

confrontando la domanda sismica richiesta dalla struttura a 9 piani -presa ad esempio- determinata con l'analisi di pushover secondo le tre distribuzioni di carico della FEMA-273, secondo la MPA e la RHA non-lineare, si osserva che: le distribuzioni di forze della FEMA conducono a valori sottostimati, mentre risultano piĂš accurati i risultati della MPA. Si osserva comunque che nessuna delle due procedure di pushover riesce a cogliere in maniera dettagliata ed accettabile le risposte locali -come le rotazioni delle cerniere plastiche.


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Figura 4.16: Confronto dei risultati riguardanti gli spostamenti di piano e di interpiano ottenuti

con la procedura FEMA, MPA e RHA

4.1.3.2

Chopra e Goel [2004] A modal Pushover analysis procedure to

estimate seismic demands for unsymmetric-plan buildings - (Analisi di pushover modale per stimare la domanda sismica di edi ci non simmetrici in pianta)

Gli autori estendono la procedura di analisi di Pushover modale (MPA) già proposte nell'articolo del 2001 a strutture asimmetriche, svolgendo diverse analisi di pushover applicando distribuzioni di forze proporzionali ai modi di vibrare considerati e invarianti durante l'analisi. La risposta sismica complessiva è valutata combinando i risultati ottenuti da ciascuna analisi con la regola CQC. Il metodo proposto può essere esteso a strutture di N piani non simmetriche in pianta. La non simmetria può dipendere dalla distribuzione delle masse ai piani, ma anche dalla rigidezza degli elementi strutturali. Ogni piano è da considerarsi rigido e quindi a tre gradi di libertà rispetto al centro di massa: traslazione lungo la direzione x, traslazione lungo la direzione y e rotazione attorno alla verticale. Il caso di studio prende in considerazione un edi cio di 9 piani con struttura metallica, resa asimmetrica lungo la sola direzione y. Il centro di massa risulta eccentrico rispetto al centro di rigidezza lungo l'asse x per una quantità pari al 10% della dimensione in pianta.


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Figura 4.17: Pianta della struttura esaminata

A partire dalla struttura di origine, variando il rapporto fra le masse di piano e il momento di inerzia, si sono modellate tre strutture che presentano parametri modali di erenti. La prima (U1) rappresenta la struttura torsionalmente rigida: il primo modo è prevalentemente traslazionale mentre il secondo è torsionale. La seconda (U2) rappresenta la struttura con rigidezza essionale e traslazionale simile: con l'incremento del momento di inerzia ad ogni piano rispetto ad U1 - di un valore pari a 2,95 - si ha un accoppiamento traslazione-torsione nei primi due modi. La terza (U3) è la struttura con essionalmente rigida: con l'incremento del momento di inerzia rispetto ad U1 - di un valore pari a 6,0 - il periodo torsionale è predominante rispetto a quello traslazionale. In particolare gli Autori conducono due procedure di erenti per approssimare l'analisi di strutture inelastiche: la Uncoupled Modal Responce History Analysis (UMRHA) e Modal Pushover Analysis (MPA). La prima analisi è sviluppata per fornire un razionale background e una motivazione per l'implementazione dell'MPA. Per la validazione dei metodi attraverso il confronto con le analisi dinamiche non-lineari sono stati considerati 20 accelerogrammi con la probabilità del 2% di ripetersi in 50 anni. Nella procedura UMRHA, la risposta nel tempo (response history) di una struttura soggetta alle forze pef f (t) è determinata attraverso una analisi non-lineare time-


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history (RHA) di un sistema inelastico ad un grado di libertà , mentre la sovrapposizione delle risposte modali portano alla risposta complessiva. Nella MPA il massimo spostamento rn di una struttura con comportamento anelastico, soggetta alle forze sismiche pef f,n (t) è stimato attraverso l'esecuzione di una analisi statica-non lineare che prevede l'applicazione di forze laterali e di momenti torcenti:

   [m] {φxn }    {s∗n } = [m] {φyn }      [Ip ] {φθn }

          

distribuiti lungo l'altezza dell'edi cio e che spingono la struttura stessa no al raggiungimento degli spostamenti target del punto di riferimento di copertura pari a

urxn , uryn , urθn . La stima della risposta totale è e ettuata attraverso una regola di combinazione modale CQC e no SRSS come proposto nel 2001. L'analisi statica non-lineare permette anche di valutare, oltre che al valore massimo dello spostamento, anche i valori degli spostamenti di piano e di interpiano. Si può osservare che il valore rn determinato per strutture con comportamento inelastico è una stima del valore massimo della risposta rn (t), mentre nel caso di sistema elastico si riuscirebbe tramite le procedure proposte a valutare il valore esatto. Condotte le due analisi suddette, gli Autori hanno potuto concludere che l'UMRHA e la MPA stimano in maniera approssimata e di erente la massima risposta modale. La di erenza deriva dalle ipotesi di base delle stesse procedure. La MPA rappresenta meglio il comportamento non-lineare della struttura rispetto all'UMRHA, anche se in ogni caso presenta numerose approssimazioni. Nello studio condotto da Chopra e Goel applicando la procedura di pushover modale per i 3 modelli studiatisi sono ottenuti risultati corretti per i modelli U1 e U3 (simili


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a strutture simmetriche) mentre per il modello U2 i risultati non risultano essere chiari, ciò dipende da due diversi motivi: il forte accoppiamento dei modi elastici e la regola di combinazione CQC che sottostima gli spostamenti di copertura. Non si ottiene cosÏ una precisa risposta in termini di picco di spostamento cosÏ come visualizzabile in:

Figura 4.18: Spostamenti di piano e di interpiano determinati con l'analisi MPA per i modi accop-

piati e singoli confrontati con il Response History Analisys non-lineare: a) struttura asimmetrica-, b)sistema U1; c) sistema U2; d)sistema U3.

Rispetto alla prima proposta dell'MPA dovuta ai due ricercatori e pubblicata nel 2002, nella procedura estesa alle strutture irregolari si ottengono alcuni miglioramenti. Vengono presi in considerazione per tutti i modi i carichi gravitazionali e i loro e etti P − ∆ e non solo il primo. BenchĂŠ gli spostamenti totali di piano e i drift di piano siano calcolati attraverso la combinazione dei valori ottenuti dal carico gravitazione e analisi modale di pushover (step 10), le rotazioni plastiche non possono essere valutate con questa procedura. Tale valutazione sarĂ possibile, partendo dai valori totali degli spostamenti di interpiano, attraverso una procedura che sarĂ proposta dagli stessi autori nel 2004. Alla luce di quanto detto, l'MPA è un metodo approssimato che non permette di de-


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terminare esattamente la domanda strutturale con una analisi RHA, ma ha lo scopo di stimare tale domanda con un adeguato grado di accuratezza per le applicazioni pratiche, pure in presenza di minori oneri computazionali rispetto ad una analisi time-history. 4.1.3.3

Yu, Pugliesi, Allen, Bischo [2004], Assessment of modal pusho-

ver analysis procedure and its application to seismic evaluation of existing buildings - (Valutazione della procedura di analisi di pushover modale e della sua applicazione nell'ambito della valutazione sismica degli edi ci esistenti).

Gli Autori hanno condotto una analisi di pushover modale su un edi cio simmetrico e una estensione dell'analisi MPA atta ad una applicazione a strutture asimmetriche 3D soggette a forze orizzontali e in ambo le direzioni momento torcente. In particolare, viene preso in considerazione un edi cio esistente di 15 piani del tipo pier-spandrel, irregolare in pianta.

Figura 4.19: (a) Planimetria , (b) Elevazione alla linea 10

Nello studio viene valutata l'accuratezza della procedura MPA e della procedura di analisi non-lineare proposta dalla FEMA356 attraverso il confronto dei risultati con una analisi non-lineare time-history.


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La procedura di l'analisi di pushover modale 3D, proposta dagli autori, è molto simile a quella proposta da Chopra e Goel. Gli Autori hanno condotto la modellazione utilizzando il software SAP2000, che implementa anche elementi niti di tipo pier e spendrel. Dal punto di vista dinamico, la struttura presenta i primi due modi prevalentemente traslazionali e per tale motivo la struttura è classi cata come torsionalmente rigida, il terzo modo, torsionale, è ignorato per l'avvio della procedura MPA, i modi 4° e 5° sono ancora traslazionali. A causa della irregolarità in pianta e del set-back presente al settimo livello, i modi traslatori sono comunque accoppiati con la torsione. Ad analisi avvenuta si sono ottenute le seguenti curve di capacità (per i primi quattro modi considerati):

Figura 4.20: Curva di pushover per i primi due modi traslazionali in ciascuna direzione

In conclusione, gli Autori sostengono che la procedura si rivela concettualmente


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semplice e può essere agiatamente implementata per valutare la performance sismica degli edi ci utilizzando comuni programmi commerciali di analisi strutturale. 4.1.3.4

Reyes e Chopra [2011] Three-dimensional modal pushover ana-

lisys of buildings subjected to two components of ground motion, including its evaluation for tall buildings - (Analisi di pushover modale 3D per strutture soggette a due componenti dell'azione sismica, con valutazione di alti edi ci)

Gli Autori, dopo aver proposto e validato -negli studi precedenti- l'analisi di pushover modale per strutture regolari e irregolari in pianta e soggette all'azione sismica lungo una direzione, propongono la sua estensione al caso di due componenti sismiche. Oltre a tale estensione, Reyes e Chopra propongono anche una metodologia sempli cata: la PMPA, ossia la procedura di analisi di pushover modale pratica che prevede la stima della domanda sismica direttamente dallo spettro di risposta (o di progetto). L'accuratezza della stima della domanda sismica è valutata nel caso di alti edi ci concludendo che questa procedura è più accurata della procedura di analisi dinamica lineare con spettro di progetto. La PMPA rende possibile evitare l'operazione di selezione e scalo dell'azione sismica tipica delle analisi dinamiche time-history optando alla stima diretta della domanda sismica a partire dallo spettro. Gli Autori propongono anche l'applicazione e la valutazione della procedura a strutture alte site in zone ad alto rischio sismico, analizzando due distinti edi ci facenti parte del progetto del Paci c Earthquake Engineering Reasearch Center (PEER), aventi rispettivamente 48 e 62 piani. Tali edi ci sono dotati di pilastri (a cui è lasciato il compito di resistere ai carichi gravitazionali) e di pareti in c.a (a cui è a data la resistenza ai carichi orizzontali).


CAPITOLO 4.

Figura 4.21:

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

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(a) planimetria schematica (1) edi cio di 48 Piani (2) edi cio di 64 piani; (b)

elevazione (1) edi cio di 48 piani (2) edi cio di 64 piani)

Per le analisi non-lineari time-history si sono considerati 30 accelerogrammi di 9 di erenti eventi sismici, nella scelta dei modi di vibrare si sono trascurati quelli torsionali perchĂŠ presentavano una massa modale partecipante lungo x e y molto bassa. Di seguito sono riportati i diagrammi che mettono a confronto il valori medi degli spostamenti del CM ottenuti con le analisi non lineari dinamiche, modali, modali modi cate e modali pratiche:


CAPITOLO 4.

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162

Figura 4.22: valori a confronto degli spostamenti medi di piano e drift di piano al CM dei due

edi ci

I valori delle caratteristiche della sollecitazione di alcune travi sono riportate nella seguente gura:

Figura 4.23: Caratteristiche della sollecitazione in alcune travi

Alla luce dei risultati ottenuti gli Autori sottolineano che:

ˆ

i valori ottenuti dalla procedura MPA sono simili a quelli dell'analisi dinamica non-lineare;


CAPITOLO 4.

ˆ

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

163

la procedura MPA può essere sempli cata considerando il comportamento come lineare nella stima dei contributi dei modi superiori sulla domanda sismica;

ˆ

la procedura PMPA eseguita per edi ci alti presenta alcune convenienti approssimazioni, di cui le prime tre sono comuni alla MPA:

1. non considerazione dell'accoppiamento delle risposte modali nella de nizione della forza e ettiva pef f,n (t); 2. utilizzo di regole di combinazione modali, analoghe a quelle impiegate per le strutture elastiche, per la determinazione della risposta totale in corrispondenza di una componente del sisma; 3. uso di regole di combinazione multicomponente, analoghe a quelle impiegate per le strutture elastiche, per determinare la risposta in corrispondenza della simultanea presenza delle due componenti del sisma; 4. stima del picco di deformazione del sistema SDOF inelastico Dn per l'n -esimo modo del sistema SDOF inelastico a partire dallo spettro elastico di progetto usando un'equazione empirica per la de nizione del coe ciente di deformazione anelastica; 5. analisi della struttura in campo lineare per la stima del contributo alla domanda sismica dei modi piĂš alti; 6. non considerazione della degradazione ciclica della rigidezza degli elementi strutturali.


CAPITOLO 4.

4.1.3.5

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

164

Reyes e Chopra [2011] Evaluation of three-dimensional modal

Pushover analisys for unsymmetric-plan buildings subjected to two components of ground motion - (Valutazione dell'analisi di pushover modale 3D per edi ci non simmetrici in pianta e soggetti a due componenti dell'azione sismica)

Nello studio pubblicato nello stesso anno del precedente, Reyes e Chopra valutano l'accuratezza della procedura dell'MPA per il calcolo della domanda sismica di edi ci che presentano asimmetria in pianta e sono soggette simultaneamente alle due componenti del sisma. La validazione del metodo avviene attraverso e il confronto dei risultati della procedura MPA e di analisi time-history per diversi sistemi strutturali, progettati in accordo a vari codici Americani. La procedura proposta non presenta modi che rispetto a quando descritto nel paragrafo precedente per cui è opportuno solo illustrare le tipologie strutturali e i risultati ottenuti, traendo le conclusioni dal confronto fra i due tipi di analisi non-lineare. Le strutture considerate sono edi ci a struttura metallica a telai duttili di 3 e 9 piani, quattro di essi hanno lo scopo di rappresentare edi ci di vecchia concezione (progettati secondo l'Uniform Building Code del 1985), mentre e altri quattro edi ci di nuova concezione (progettati secondo l'International Building Code del 2006, rappresentano edi ci di nuova concezione). Le planimetrie degli edi ci sono le seguenti:

Figura 4.24: Planimetria schematizzata dei sistemi strutturali esaminati in cui sono evidenziati i

telai resistenti a momento - strutture progettate secondo l'Uniform Building Code del 1985


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

165

Figura 4.25: Planimetria schematizzata dei sistemi strutturali esaminati in cui sono evidenziati i

telai resistenti a momento - strutture progettate secondo l'International Building Code del 2006

L'accuratezza del metodo MPA è stimata attraverso il confronto dei valori medi di domanda dovuti ad un dato insieme di azioni sismiche con quelli ottenuti dall'analisi dinamica non-lineare.

Figura 4.26:

Spostamenti di un piano medio e spostamenti di piano in corrispondenza del CM

degli edi ci UBC85 (a dx) e IBC06 (a sx) ottenuti con l'analisi dinamica non-lineare, l'MPA e la PMPA


CAPITOLO 4.

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In conclusione dello studio si può a ermare che:

ˆ

la procedura MPA, considerando i primi 6 modi di vibrare prevede in maniera molto e ciente le domande sismiche;

ˆ

la procedura PMPA generalmente sovrastima gli spostamenti di piano nei telai posizionati sul lato essibile della struttura e stima in maniera corretta quelli del lato rigido;

ˆ

anche se che la procedura PMPA risulta conservativa, (anche se non in maniera eccessiva), si può utilizzare per le applicazioni pratiche nella stima della domanda sismica (spostamenti di piano, spostamenti di interpiano, rotazioni e forze interne) di edi ci esistenti o di nuova progettazione.

4.1.4 Analisi di pushover per strutture spaziali irregolari: analisi di pushover adattivo 4.1.4.1

Antoniou, Rovithakis, Pinho, [2002] Developed and veri cation of a fully adaptive Pushover procedure - (Sviluppo e veri ca di una procedura di pushover completamente adattiva)

Lo studio si pone l'obiettivo di proporre una nuova metodologia di analisi di pushover che possa sopperire ad alcuni limiti delle analisi statiche non-lineare. La procedura proposta dagli Autori è multimodale e completamente adattiva, e prende in considerazione la stato di rigidezza corrente e le proprietà modali della struttura man mano che viene spinta in campo anelastico al ne di aggiornare la distribuzione delle forze lungo la verticale. La procedura è stata veri cata dagli autori con l'utilizzo del software agli elementi niti SeismoStruct. Il maggior vantaggio dell'algoritmo proposto è la possibilità dell'applicazione di un pro lo di forze di piano continua-


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

167

mente aggiornato calcolato attraverso una analisi modale eseguita ad ogni step di integrazione senza problemi di instabilitĂ computazionale. Ăˆ un metodo essibile che consente molte opzioni come ad esempio:

ˆ

la possibilità di scalare le forze con o senza considerare l'ampli cazione spettrale. Nel primo caso può essere e ettuata una analisi site speci c , mentre nel secondo caso, la distribuzione delle forze è aggiornata solo in funzione delle proprietà modali della struttura;

ˆ

l'introduzione uno spettro de nito dall'utente per ottenere le coordinate spettrali;

ˆ

l'aggiornamento della distribuzione del carico ad ogni step per una migliore accuratezza e stabilitĂ computazionale o dopo un numero di step prede nito per ridurre l'onere computazionale;

I passaggi fondamentali della metodologia proposta dagli autori sono: 1. ad ogni step, prima dell'applicazione di ogni altro carico addizionale, si esegue l'analisi modale della struttura tenendo conto dello delle rigidezze determinate alla ne del precedente step di carico e si calcolano il periodi e i vettori modali. Per tale motivo viene utilizzato il metodo di Lanczos, molto e ciente; 2. per ciascun modo si determinano separatamente le distribuzioni dei carichi di piano basate sulla deformata modale e sui fattori modali; 3. il pro lo delle forze laterali dei modi è combinato utilizzando o la regola SRSS o quella CQC; 4. il fattore di carico Ν viene aggiornato. Le forze applicate ad ogni piano si calcolano con il prodotto tra il fattore di carico aggiornato, la forza nominale del piano e la forza di piano ricavata precedentemente;


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

168

5. si applicano al sistema le nuove forze e si risolve il sistema di equazioni nonlineare per ottenere la risposta strutturale nel nuovo stato equilibrato; 6. si calcola la matrice di rigidezza tangenziale aggiornata della struttura e si ritorna al primo step dell'algoritmo per poter proseguire nell'analisi di pushover adattiva. La correttezza del metodo è veri cata attraverso l'uso di un insieme di modelli strutturali complessi su cui vengono eseguite -per confronto- anche analisi convenzionali di pushover e procedure di analisi dinamica non-lineari. In particolare per validare il metodo gli Autori eseguono i confronti su strutture caratterizzate da telai regolari, telai irregolari e una soluzione mista telaio-parete. Assegnando diverse classi di duttilità , e presi in considerazione diversi accelerogrammi, si sono studiati in totale 6 modelli.

Figura 4.27: I sistemi strutturali considerati


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

169

Figura 4.28: Caratteristiche geometriche delle strutture considerate

Nell'articolo in esame gli Autori non mostrano i risultati dei confronti rimandando per le analisi a pubblicazioni future.

PoichÊ questa procedura è un a namento dell'analisi di pushover a pro li di carico ssi, già abbondantemente consolidata, il suo obiettivo dovrebbe essere quello di mostrarsi come un giusto compromesso tra a dabilità e facilità applicativa. Il tempo di calcolo e la stabilità del metodo sono, di conseguenza, due aspetti molto importanti. In generale, il tempo necessario a completare l'analisi di pushover adattiva è decisamente maggiore rispetto al tempo necessario per una procedura convenzionale; ovviamente, la durata varia anche in base alla capacità di calcolo della stazione di lavoro utilizzata, nonchÊ con le caratteristiche del modello. In ogni caso, il pushover adattivo può essere no a dieci volte piÚ veloce di un'analisi dinamica non-lineare (si tiene presente che nel lavoro in esame è stata adottata una modellazione agli elementi niti a plasticità di usa).


CAPITOLO 4.

4.1.4.2

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

170

Meireles, Pinho, Bento, Antoniou, [2006] Veri cation of an adaptive pushover tecnique for 3D case - (Veri ca di una tecnica di pushover adattivo nel caso di analisi 3D)

Gli Autori propongono una procedura di pushover adattivo Displacement-Based (DAP) 3D da applicare su strutture irregolari. Per la validazione del metodo proposto si è studiata la struttura SPEAR building 5 tale struttura è caratterizzata da irregolarità in pianta ma non in elevazione, dov'è irregolarità è dovuta soprattutto alla presenza di un balcone su un lato.

Figura 4.29: a) pianta della struttura; b)sistema di numerazione dei nodi

Al ne della validazione del metodo, la struttura è stata sottoposta a due tipi di analisi statiche non-lineari, un pushover convenzionale e un pushover adattivo Displacement-Based (DAP), e ad analisi dinamiche non-lineari. Nell'analisi DAP il vettore dei carichi (spostamenti) interessa tutti i nodi travepilastro; per il calcolo del vettore dei carichi si è usata la regola delle combinazioni 5 La SPEAR building è una struttura progettata all'interno del progetto di ricerca SPEAR (Seismic Performance Assessment and Rehabilitation of Existing Building), e rappresenta una tipica costruzione di vecchia concezione dell'Europa meridionale, progettata senza alcuna disposizione antisismica.


CAPITOLO 4.

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

171

CQC, con il 5% di smorzamento. I carichi sono applicati simultaneamente in ambo le direzioni xx e yy. In ne, dato che la struttura presenta caratteristiche asimmetriche di resistenza e rigidezza sia lungo i due assi ortogonali che nei due versi dello stesso asse, i carichi sono applicati in entrambe le direzioni nel verso positivo (x+ , y + ) e in quello negativo (x− , y − ) e in maniera alternata (x+ , y − ) e (x− , y + ). In realtĂ gli Autori hanno preferito tralasciare i risultati ottenuti in questa ultima modalitĂ in quanto meno a dabile a causa di problemi di calcolo; tale scelta non comporta grossi errori in quanto le di erenze di rigidezza e resistenza lungo lo stesso asse sono trascurabili rispetto e quelle tra due assi distinti. I confronti tra le analisi condotte riguardano le curve di capacitĂ , gli spostamenti di interpiano, pro li di spostamento e di taglio. Osservando le curve di capacitĂ si evidenzia che i risultati dell'analisi DAP sono fortemente in accordo con quelli dell'analisi dinamica non-lineare. Dal confronto tra le due analisi pushover invece si osserva che le curve sono sovrapposte no al momento del collasso della struttura il pushover convenzionale fornisce risultati poco accurati, mentre la DAP segue ancora i risultati dell'analisi dinamica.

Figura 4.30: Curve di capacitĂ (in corrispondenza del carico simultaneo e dell'input bidirezionale)

Dal confronto delle curve degli spostamenti di interpiano (IDs) e dei pro li di taglio (SPs) si evidenzia ancora meglio il vantaggio dell'uso della DAP rispetto al pushover convenzionale.


CAPITOLO 4.

4.2

SVILUPPO DELLE PROCEDURE DI ANALISI STATICA NON-LINEARE

172

Conclusioni

Alla luce della letteratura portata in rassegna si può evidenziare che:

ˆ

in presenza di strutture irregolari, al ne di tener conto della di erente risposta spaziale della struttura, è opportuno svolgere analisi di pushover 3D;

ˆ

nell'esecuzione di analisi statiche non lineari su modelli tridimensionali con solai rigidi nel proprio piano il punto piÚ idoneo per l'applicazione delle distribuzioni di forze è il CM di ogni livello;

ˆ

distribuzioni di carico uniformi o triangolari non permettono di valutare in maniera idonea gli e etti torsionali indotti dal sisma sulle;

ˆ

distribuzioni di carico proporzionali al solo primo modo di vibrare non permettono di valutare gli e etti dei modi superiori, in uenti soprattutto negli edi ci alti;

ˆ

le procedure di pushover che meglio sopperiscono alle carenze di quelle tradizionali sono quelle multi modali e quelle adattive.

In conclusione però si può a ermare che, dato l'onere computazionale necessario per le procedure di analisi di pushover adattivo, nella valutazione del comportamento sismico di edi ci complessi -come ad esempio strutture irregolari che richiedono modellazioni tridimensionali- la procedura MPA risulta essere l'opzione piÚ conveniente perchÊ conduce ad un soddisfacente bilancio tra accuratezza e facilità di applicazione.


Capitolo 5 Modal Pushover Analysis Il principale obiettivo del presente lavoro di tesi è stato quello di implementare una procedura di analisi di pushover evoluta basata sulla teoria della Dinamica delle Strutture che potesse avere sia i vantaggi della semplicità concettuale e computazionale tipica di una analisi condotta con l'uso di forze invarianti, che una maggiore accuratezza nella stima della domanda sismica degli edi ci rispetto alle procedure convenzionali. Tra le varie metodologie proposte dalla comunità scienti ca, visto quanto piÚ dettagliatamente discusso nel capitolo precedente, si è scelto di implementare e discutere l'impiego dell'analisi di pushover modale 3D secondo quanto proposto da Chopra e Goel, e tenendo conto delle indicazioni normative italiane. Come già ampiamente discusso, l'analisi MPA 3D permette di superare i limiti delle procedure di pushover convenzionali, prendendo in considerazione gli e etti torsionali che si innescano nelle strutture irregolari soggette all'azione sismica attraverso l'applicazione di pro li di carico di spinta caratterizzati da due forze orizzontali orientate nelle due direzioni ortogonali e di un momento torcente. Di seguito si descrivono i concetti di base e gli aspetti analitici dell'analisi MPA per

173


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

174

modelli 3D. Innanzitutto è importante evidenziare che il sisma è un processo estremamente complesso, caratterizzato dalla propagazione tridimensionale nel suolo di onde dovute principalmente ad un rilascio improvviso di energia, legato a fenomeni di frattura o movimenti lungo faglie già esistenti della crosta terrestre. L'azione sismica sulle costruzioni è quindi generata dal moto non uniforme del terreno di fondazione degli edi ci per e etto della propagazione delle onde sismiche, il moto sismico eccita la struttura provocandone la risposta dinamica. L'organismo portante di una struttura è composto solitamente da due ordini di telai; anche un'azione sismica che risultasse parallela ad uno di tali ordini coinvolgerebbe in realtà l'intero complesso strutturale, generando una risposta spaziale. Il comportamento di un edi cio investito da un sisma può quindi essere analizzato con modelli piani solo se l'edi cio possiede piani verticali di simmetria sia in funzione alla distribuzione delle masse che dell'organizzazione strutturale. In caso contrario si deve a rontare un problema in termini spaziali. Se si ammette che i solai abbiano un comportamento rigido nel piano, ogni livello di un edi cio spaziale multipiano presenta tre gradi di libertà : traslazione lungo l'asse x

(ujx ), traslazione lungo l'asse y (ujy ) e la rotazione torsionale lungo l'asse verticale

z (ujθ ), dove l'indice j denota il piano. Nel caso di edi ci multipiano con solai rigidi è quindi possibile schematizzare la struttura considerando le masse concentrate nei piani e assumendo i suddetti tre gradi di liberà per piano. Gli edi ci, quando investiti da un evento sismico, sono soggetti a due componenti orizzontali note dell'accelerazione del suolo ugx (t) e ugy (t); la variazione spaziale di tali componenti dell'azione sismica può essere rappresentata attraverso una rotazione della base della costruzione supposta rigida ugθ (t).


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

175

Figura 5.1: DOFs di un sistema spaziale

L'equazione che governa il moto dei 3N (con N il numero dei piani) DOFs del sistema a comportamento inelastico con diaframmi rigidi di piano è:

fu¯¨ + C eu¯˙ + f¯s (u, u) M ˙ =

3 X

[Mj ] ¯li u¨ig (t) = − {M }x u¨xg (t) − {M }y u¨yg (t) − {M }θ u¨θg (t)

i=1

(5.1)

dove:

   {ux }    u= {uy }      {uθ }

     

: vettore degli spostamenti, di ordine 3N, con:

    

{ux } = {u1x , u2x , ..., uN x }T ,{uy } = {u1y , u2y , ..., uN y }T e {uθ } = {u1θ , u2θ , ..., uN θ }T ;


CAPITOLO 5.

176

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

 [Mx ]  f= M [My ]  

[I0 ]

    

matrice massa composta da sottomatrici diagonali di ordine N, con mjx , mjy le masse al j-esimo piano rigido nella direzione x ed y rispettivamente e Ijθ il momento d'inerzia di ogni livello rispetto all'asse verticale passante per il centro di massa: 

 m1x    [Mx ] =    

m2x ... mN x

  m1y       ,[My ] =       

 m2y ... mN y

  I1θ       ,[Iθ ] =       

 I2θ ... IN θ

    ;   

e = αM f + βK e matrice di smorzamento classico (nel caso in cui si prenda in C considerazione l'ipotesi di Reyleigh) con:

 [Kxx ] [Kxy ] [Kxϕ ]  e =  [K ] [K ] [K ] K yx yy yϕ   [Kϕx ] [Kϕy ] [Kϕϕ ]

     

matrice di rigidezza con [Kij ] sottomatrici di ordine n.

f¯s (u, u) ˙ : vettore delle forze resistenti al moto;

li : vettore di in uenza di ordine 3N rappresentante gli spostamenti di massa risultati dall'applicazione statica di uno spostamento unitario nella direzione 00 i00 :


CAPITOLO 5.

177

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

     {1}  {0}          , ly = lx = {0} {1}             {0} {0}

    

   {0}        , lθ = {0}             {1}

con:

{1} = {1, ..., 1}T vettore unitario di ordine N e {0} = {0, ..., 0}T vettore nullo di ordine N.

f {l} per cui {M } = M f {l} , {M } = M f {l} , {M } = M f {l} . {M }i = M i x x y y θ θ

Si ha quindi che le forze sismiche e caci, limitando lo studio alle due componenti orizzontali dell'accelerazione, sono:

   [Mx ]    pef f (t) = − {sx } u¨gx (t) − {sy } u¨gy (t) = − 0      0

     

u¨gx (t) −

    

     

0

     

[M y]     

0

u¨gy (t)

     (5.2)

La distribuzione spaziale di queste forze è de nita dai vettori {sx } ed {sy }, mentre la variazione nel tempo da u ¨gx (t) e da u¨gy (t). Queste distribuzioni di forze possono essere scritte come somma di distribuzioni di forze di inerzia adottando la seguente espressione modale

{sx } =

3N P

{snx } =

n=1

{sy } =

3N P n=1

3N P

fφn , Γnx M

n=1

{sny } =

3N P

fφn , Γny M

n=1


CAPITOLO 5.

178

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

dove:

   {φxn }    φn = {φyn }      {φθn }

          

è il vettore di forze normalizzato dell'n-esimo modo di vibrare naturale del sistema sotto vibrazioni di piccola ampiezza (calcolato come autovettore generalizzato normalizzato, assumendo un comportamento lineare). Se la risposta traslazionale è accoppiata con la risposta torsionale, la deformata modale consiste in tre sottovettori {φxn },{φyn },{φθn }, tutti diversi da zero;

Γn =

Ln Mn

fattore di partecipazione modale con:    φ¯T M flx per u¨gx (t) xn Ln =  fly per u¨gy (t)  φ¯Tyn M

fφ¯n Mn = φ¯Tn M

Alla luce di questo si può scrivere che la

n-esima

componente modale della forza

sismica e cace è:

pef f,n (t) = −snx u¨gx (t) − sny u¨gy (t)

(5.3)

Con la procedura del Pushover Modale (MPA), la risposta massima di una struttura soggetta all'azione sismica de nita dall'equazione 5.3 è data da una combinazione dei risultati di procedure di analisi statiche non-lineari unidirezionali della struttura soggetta a forze laterali e momento torcente.


CAPITOLO 5.

179

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

Nel seguito, per una piĂš immediata comprensione, si riportano i passi necessari per la determinazione della domanda massima della struttura a piĂš gradi di libertĂ . 1. Costruzione del modello Si realizza il modello strutturale che meglio riesca a descrivere le caratteristiche geometriche e meccaniche della costruzione che si sta studiando. Il modello quindi deve rappresentare in maniera adeguata la distribuzione e ettiva delle geometrie, delle masse e delle rigidezze e tener conto dell'eventuale in uenza di elementi non strutturali, tenendo in conto tutte le non-linearitĂ , meccaniche e geometriche. 2. Determinazione delle caratteristiche modali Modellata la struttura, si esegue l'analisi modale per determinare le frequenze naturali ωn e le forme modali {φn } corrispondenti alle vibrazioni naturali della struttura. In particolare, trattandosi di una struttura spaziale, il vettore φn è della forma descritta in precedenza. Dato che il vettore modale φn rappresenta un modo naturale di vibrare, qualsiasi altro vettore proporzionale rappresenta la medesima caratteristica. Alla luce di questo, solitamente le forme modali vengono riscalate tramite procedure di normalizzazione. In linea generale sono possibili numerose modalitĂ di normalizzazione, ma la procedura accettata piĂš comunemente è quella di normalizzare rispetto al valore massimo, in modo che uno dei termini sia pari all'unitĂ . N ORM φn

=

          

{φxn } φin,M AX {φyn } φin,M AX {φθn } φin,M AX

          

(5.4)


CAPITOLO 5.

180

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

3. De nizione del pro lo di carico In corrispondenza del modo n-esimo si costruisce la distribuzione di forze data da: (5.5)

fφn {Sn } = M

Tale vettore delle forze è caratterizzato da 3N elementi, con N il numero dei piani, ed ha le seguenti componenti nelle tre direzioni: due forze orizzontali ed un momento torcente:

[Mx ]

  {Sn } =  

[My ]

    {φxn }    {φyn }     [I0 ] {φθn }

    

  {Sx }    = {Sy }         {Sθ }

        

=

                                                

  Sx1    ...     Sxn   Sy1    ...     Syn    Sθ1   ...     Sθn

             

                        

(5.6)

        

                           

4. Analisi di spinta De nito il pro lo di carico in corrispondenza del modo scelto, lo si applica in corrispondenza dei centri di massa di ogni livello. L'analisi in controllo di spostamento richiede la struttura venga spinta no al raggiungimento di uno spostamento target nella direzione in esame (solitamente si considera un valore di tentativo, scelto in base alla conoscenza del comportamento usuale delle strutture). Per ottenere ciò, il vettore delle forze viene fatto crescere monotonicamente no al raggiungimento, da parte del CM dell'ultimo impalcato, dello spostamento pre ssato:

{S}f inale = α {S}

0

uCM,copertura = utarget


CAPITOLO 5.

181

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

Figura 5.2: Esempio di distribuzione di carico. Nell'esempio l'analisi è condotta lungo X e di conseguenza (considerando il caso semplice in cui non si attivano movimenti torsionali) le distribuzioni di carico crescono no a quando 33x,CM 3 ≡ ux,target

5. Determinazione della curva di capacità Il risultato più immediato di un'analisi di pushover è la de nizione della curva di capacità (detta anche curva di pushover) della struttura. Tale curva forza-spostamento è espressa solitamente in termini di taglio alla base (Vb ) e spostamento in sommità (uCM i ), e rappresenta la capacità esibita dal sistema nel rispondere ad una data azione esterna. Se si considera un sistema SDOF, l'andamento della curva di capacità è strettamente connesso alle caratteristiche geometriche e meccaniche del sistema attraverso la rigidezza K o la deformabilità K −1 del sistema, funzioni non-lineari rispettivamente dello spostamento e della forza applicata al sistema:

V = K(U ) ;

U = K −1 (V )

(5.7)


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

182

L'andamento della curva di capacità risulta quindi rappresentativo del comportamento strutturale. Generalmente tale curva presenta un andamento caratteristico: un primo tratto rettilineo, corrispondente al comportamento elastico lineare della struttura, a cui segue un tratto curvilineo, non-lineare, rappresentativo della fase di plasticizzazione degli elementi strutturali. In particolare, il tratto a comportamento elastico lineare termina con il raggiungimento del punto di snervamento, a cui segue un comportamento post-elastico; incrudente -se il valore massimo della forza cresce oltre il punto di snervamento-, oppure perfetto -se il valore della forza si mantiene costante e pari al valore di snervamento-, oppure ancora degradante o softening -se il valore del taglio subisce un decremento dopo il raggiungimento del punto di snervamento- come visualizzato nella gura seguente:

Figura 5.3: Curva di capacità

Nel caso di sistemi a più gradi di libertà, la curva di capacità mostra andamenti e caratteristiche simili. Da quanto esposto, si evince che la curva di capacità della struttura risulta indipendente dalla speci ca richiesta sismica, ma descrive le caratteristiche intrin-


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

183

seche del sistema resistente come se volesse rappresentare un legame costitutivo sempli cato della struttura stessa. 6. Determinazione del sistema equivalente SDOF e linearizzazione della curva di capacità

Attraverso la curva di capacità è possibile di ricondurre la ricerca dello spostamento massimo di un sistema a più gradi di libertà soggetto ad una certa azione esterna a quella di un sistema SDOF equivalente. Nel caso di sistemi SDOF l'analisi di spinta è particolarmente intuitiva. Un sistema SDOF può essere idealizzato come una massa concentrata m sorretta da un elemento privo di massa con rigidezza laterale

k

e collegato ad un elemento (privo di massa

e rigidezza) responsabile dello smorzamento. Il campo di spostamento del sistema è de nito quindi da un unico parametro e cioè lo spostamento relativo della massa rispetto al suolo (spostamento orizzontale Ut ).

Figura 5.4: Schematizzazione di un sistema ad un grado di libertà (SDOF)

Numerose sono state le proposte fatte dalla comunità scienti ca al ne di de nire un criterio rigoroso di trasformazione di un sistema MDOF in uno SDOF. Quella che sembrerebbe maggiormente accreditata, e conseguentemente inclusa nelle normative sismiche, prevede l'assunto secondo cui la risposta della struttura sia dominata da un modo la cui forma resti costante durante la storia


CAPITOLO 5.

184

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

temporale della risposta stessa. Di conseguenza la trasformazione di un sistema a più gradi di libertà in quello SDOF avviene attraverso una semplice relazione del tipo:

R∗ = cR

(5.8)

dove R∗ rappresenta le grandezze caratteristiche delle risposte del sistema ad un grado di libertà (F ∗ forze, U ∗ spostamenti, E ∗ energia) e R rappresenta le quantità corrispondenti del sistema MDOF (V tglio alla base, U spostamenti,

E energia). La costante c è de nita da :

c=

fφ¯n φ¯Tn M fli φ¯T M

(5.9)

in

fli rappresenta la massa del sistema equivadove il denominatore m∗ = φ¯Tin M lente SDOF. Assunto che il coe ciente c è pari all'inverso del fattore di partecipazione modale Γ, si può anche scrivere che:

R∗ =

R Γ

(5.10)

Secondo quanto previsto dall'EC8 e dall'NTC08, il sistema SDOF (per un problema piano) è ottenuto dividendo le ascisse e le ordinate della curva di capacità MDOF per un fattore di partecipazione modale Γ de nito nel modo seguente:

Per la Circolare n.617; annessa alla NTC08:

Γ=

ϕT M τ ϕT M ϕ

(5.11)


CAPITOLO 5.

185

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

con:

τ : il vettore di trascinamento corrispondente alla direzione del sisma; ϕ: il modo di vibrare fondamentale del sistema normalizzato; M

: la matrice massa del sistema.

EC8:

P¯ Fi m∗ = P ¯2 Γ= P 2 Fi mi φi

(5.12)

mi

con:

m∗ : la massa equivalente del sistema SDOF: m∗ =

X

mi φi =

X

F¯i

(5.13)

con:

mi :la massa dell'i -esimo piano; φi : spostamenti modali normalizzati. Consegue che forza F ∗ e lo spostamento u∗ del sistema equivalente SDOF sono legati alle corrispondenti grandezze Fb e dc del sistema reale MDOF dalle relazioni:

F∗ =

Fb Γ

(5.14)

u∗ =

dc Γ

(5.15)

con:

Fb : la forza di taglio alla base del nodo di controllo del sistema MDOF; dc : lo spostamento del nodo di controllo del sistema MDOF. É utile comprendere come, partendo dall'equazione del moto del sistema MDOF inelastico, si giunga a questa formulazione.


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

186

Data l'ipotesi secondo cui il comportamento del sistema MDOF sia controllato da un solo modo, la cui forma {φ} rimane costante durante l'analisi a prescindere dal livello di deformazione, l'equazione di erenziale di un sistema MDOF, per una struttura multipiano lineare, costituita da n impalcati e sollecitata da un'accelerazione al piede

u¨g (t) provocata da un evento sismico, può essere scritta come1 :

[M ] {¨ u (t)} + [C] {uË™ (t)} + [K] {u (t)} = − [M ] {i} u¨g (t)

(5.16)

Nel caso di comportamento non-lineare del sistema, l'equazione 5.16del moto del sistema si scrive come:

[M ] {¨ u (t)} + [C] {uË™ (t)} + {fs } = − [M ] {i} u¨g (t)

(5.17)

dove nelle (5.16) e (5.17):

[M ] è la matrice delle masse, le cui componenti sono le masse m concentrate in corrispondenza dei gradi di libertà ;

[C] è la matrice di smorzamento viscoso equivalente; [K] è la matrice delle rigidezze della struttura; {fs } è il vettore delle forze resistenti interne ed esterne, funzione degli spostamenti {u (t)}, e della storia degli spostamenti attraverso {uË™ (t)} e quindi {fs } = n o Ë™ fs u (t) , u (t) ;

{i} è il vettore d'in uenza del moto del terreno, le cui componenti rappresentano gli spostamenti di gradi di libertà che derivano dall'applicazione statica di uno spostamento unitario nella direzione d'ingresso del sisma. Risolvendo direttamente il sistema di equazioni di erenziali non-lineari accoppiate 1 Si segnala che nella seguente trattazione si utilizza una simbologia sempli cata rispetto a quella utilizzata in precedenza ricordando comunque che si tratta di un sistema spaziale e che quindi si lavora con matrici di matrici e vettori di vettori.


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

187

(5.17), si otterrebbe come relazione la risposta non-lineare del sistema nel tempo. Sebbene le classiche procedure di analisi modale non siano valide per sistemi anelastici, è utile trasformare l'equazione 5.17 introducendo le coordinate modali ricavate dal corrispondente sistema elastico. (Si ricorda infatti che i vettori modali normalizzati rappresentano una base ortonormale dello spazio a 3N dimensioni). Ciascun elemento strutturale di quest'ultimo sistema ha una rigidezza pari alla rigidezza iniziale del corrispondente sistema anelastico, entrambi i sistemi presentano medesima massa e smorzamento: i periodi di vibrazione naturale e i modi del sistema lineare corrispondente sono quindi uguali a quelli del sistema anelastico, se quest'ultimo viene sottoposto a piccole oscillazioni. Esprimendo gli spostamenti del sistema anelastico in funzione dei modi di vibrare del sistema lineare corrispondete, l'equazione del moto risulta costituita da n equazioni di erenziali le cui incognite sono gli spostamenti relativi di ogni impalcato {u (t)}, espressi come combinazione lineare di vettori di forma {φi }, tra loro ortogonali, e di ampiezze che variano nel tempo secondo le corrispondenti coordinate generalizzate

qi (t):

{u (t)} =

n X

{φi } qi (t) ⇒ {ui (t)} = {φi } qi (t)

(5.18)

i=1

Sostituendo la 5.18 nell'equazione del moto 5.17si ha:

[M ]

n X i=1

{φi } q¨i (t) + [C]

n X

{φi } qË™i (t) + {fs } = − [M ] {i} u¨g (t)

(5.19)

i=1

Premoltiplicando ambo i termini per φTi si ha:

φTi [M ] {φi } q¨i + φTi [C] {φi } qË™i + φTi {fs } = − φTi [M ] {i} u¨g (t)

(5.20)


CAPITOLO 5.

188

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

Ricordando le proprietà di ortogonalità degli autovettori (modi di vibrare) rispetto alla matrice massa e smorzamento, e dividendo ambo i membri per φTi [M ] {φi }, si ottiene:

q¨i + 2ζi ωi q˙i +

Fsi = −Γi u¨g (t) Mi

i = 1, ...n

(5.21)

dove:

r ωi = Mi = φTi [M ] {φi }

Ki Mi

ζi =

Ci 2Mi ωi

Ci = φTi [C] {φi }

(5.22)

Fsi = φTi {fs } (5.23)

Γi =

Li Mi

Li = φTi [M ] {i}

L'equazione 5.21 rappresenta un sistema di n equazioni accoppiate nelle coordinate modali qi (t); la risoluzione di tale equazione non presenta particolari vantaggi rispetto alla risoluzione della 5.17. Dalla 5.21 si deduce che, quando la struttura oscilla in campo anelastico, anche se dotate di smorzamento classico, la forza resistente interna

{fs } rimane ancora funzione dell'intero vettore di spostamento {u (t)} = [Φ] {q}, per cui le equazioni del moto non sono disaccoppiate. Dato che per sistemi elastici lineari risulta qj (t) = 0 per j6=i, si può assumere che, anche in campo non lineare, quando l'eccitazione è proporzionale al modo i-esimo, la risposta sia ancora prevalentemente fornita dallo stesso modo ossia che {u (t)} ∼ = {φi } qi (t). Trascurare l'accoppiamento tra le coordinali modali dovuto alla plasticizzazione del sistema comporta il disaccoppiamento delle equazioni modali, in tal caso l'equazione 5.21 diventa:

q¨i + 2ζi ωi q˙i +

Fsi = −Γi u¨g (t) Mi

(5.24)


CAPITOLO 5.

189

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

con Fsi = φTi {fs [{φi } qi (t) , {φi } q˙i (t)]}. Ponendo:

Di =

qi Γi

(5.25)

l'equazione 5.24 può essere scritta come:

¨ i + 2ζi ωi D˙ i + Fsi = −¨ ug (t) D Li

(5.26)

io n h fsi Γi Di {φi } , Γi D˙ i {φi } . con Fsi = φTi L'equazione 5.24 rappresenta l'equazione del moto di un sistema SDOF non lineare le cui caratteristiche dinamiche (frequenza naturale ωi e rapporto di smorzamento

ζi ) sono quelle dell'i-esimo modo del sistema MDOF lineare, ed il legame costitutivo forza-spostamento è dato dalla relazione

Fsi/Lm

− Di tra la forza resistente e

la coordinata modale Di , soluzione dell'equazione del moto 5.26 è lo spostamento del sistema SDOF Di . Dalla formula inversa della 5.25 si ha che qi = Di Γi , che, sostituita nell'espressione dello spostamento del sistema MDOF porta a:

{u (t)} = {φi } Di Γi

(5.27)

Grazie all'ausilio di software di calcolo strutturali, è allora possibile costruire la curva del sistema MDOF che mette in relazione il taglio alla base, Vbi allo spostamento del CM dell'ultimo impalcato, uri . La conversione dal sistema MDOF a quello SDOF è regolato dalle espressioni:

Di =

uri Γi φri

(5.28)

Vbi Γi

(5.29)

Fsi =


CAPITOLO 5.

190

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

1. Linearizzazione della curva di capacità Quando si intende analizzare la risposta di strutture reali, si può ulteriormente sempli care l'analisi linearizzando a tratti la risposta del sistema, e quindi la sua curva di capacità, tramite approssimazioni bilineari o trilineari. Non esiste un criterio standard di linearizzazione; tuttavia la normativa prescrive che alla curva di capacità del sistema equivalente occorre sostituire una curva bilineare avente un primo tratto elastico e un secondo tratto perfettamente plastico. De nita la resistenza massima del sistema strutturale reale Fbu , la resistenza massima del sistema equivalente è data da: ∗ Fbu =

Fbu Γ

(5.30)

Si assume che il tratto elastico si individui imponendone il passaggio dal punto

0, 6Fbu della curva di capacità del sistema equivalente e che la forza di plasticizzazione Fy∗ si determini, imponendo l'uguaglianza delle aree sottese dalla curva bilineare e dalla curva di capacità no allo spostamento massimo d∗u , con il signi cato di uguaglianza tra deformazione reale e deformazione idealizzata.

Figura 5.5: Sistema e diagramma bilineare equivalente - Circolare n.617


CAPITOLO 5.

191

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

Infatti, secondo quanto prescritto nell'EC8, fatta l'ipotesi dell'uguaglianza delle aree, lo spostamento allo snervamento del sistema SDOF u∗y è dato da:

u∗y

∗ Em ∗ = 2 um − ∗ Fy

(5.31)

∗ è l'energia di deformazione reale no alla formazione del meccanismo dove Em

plastico. 2. Determinazione della domanda massima del sistema SDOF Avendo ridotto il sistema a più gradi di libertà ad un sistema ad un solo grado di libertà equivalente, i metodi di analisi per determinare la domanda massima attesa per sistemi SDOF non-lineari possono essere adottati anche nel caso di sistemi MDOF non-lineari. Di seguito si riporta la metodologia proposta dalla normativa italiana e quella detta metodo dello spettro di capacità . (a)

Procedura della normativa italiana

La normativa italiana (NTC08 e Circolare n.617/09) permette di individuare la domanda in spostamento associata ad un dato evento sismico attraverso l'utilizzo degli spettri in accelerazione o spostamento. De nito il periodo del sistema SDOF equivalente idealizzato come:

s T ∗ = 2π

con

u∗y/F ∗ y

m∗ u∗y Fy∗

(5.32)

= k ∗ la rigidezza del tratto elastico della curva bilineare,

la Circolare n.617/09 prescrive che:

se T ∗ ≥ TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico è assunta uguale


CAPITOLO 5.

192

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

a quella di un sistema elastico di pari periodo: (5.33)

u∗max = u∗e,max = SDe (T ∗ )

se T ∗ < TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico è maggiore di quella di un sistema elastico di pari periodo, e si ottiene dall'espressione:

u∗max

u∗e,max TC ∗ = 1 + (q − 1) ∗ ≥ u∗e,max ∗ q T

(5.34)

con:

q ∗ : il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente:

q∗ =

Figura 5.6: Spostamento di riferimento per

Se (T ∗ )m∗ Fy∗

T > TC

e

T ≤ TC ,

(5.35)

Circolare n.617


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

193

Se q ∗ ≤ 1 allora si pone

u∗max = u∗e,max = SDe (T ∗ )

(5.36)

Figura 5.7: Esempio di spettro

(b)

Capacity Spectrum Method

Il Metodo dello Spettro di capacità (Capacity Spectrum Method, CSM), originariamente proposto da Freeman (1975, 1978) e poi ampiamente discusso da Fajfar, è una procedura di analisi statica non-lineare per la valutazione dello spostamento massimo atteso in una struttura per e etto dell'azione sismica. La richiesta sismica (nonchÊ l'azione sismica) è de nita mediante uno spettro di risposta elastico mentre il comportamento della struttura viene rappresentato dalla curva di capacità (normale o linearizzata) del sistema SDOF equivalente alla struttura stessa. Il metodo si presenta come una procedura gra ca nel quale sia lo spettro di domanda che lo spettro di capacità sono riportati nel medesimo diagramma. Lo


CAPITOLO 5.

194

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

spostamento atteso viene infatti determinato individuando sulla curva di capacità lo spostamento compatibile con la richiesta sismica. L'individuazione di tale spostamento viene raggiunta all'interno dello spazio ADRS (Acceleration Displacement Response Spectrum) e quindi trasformando la curva di capacità in termini di accelerazione e spostamento spettrali e rappresentando così lo spettro di capacità insieme allo spettro di domanda. La prestazione sismica del sistema SDOF equivalente soggetto ad un dato terremoto viene individuata dall'intersezione dello spettro di capacità con lo spettro di risposta rappresentativo della richiesta indotta dal terremoto. Le coordinate del punto determinato, denominato punto di performance della struttura, rappresentano lo spostamento e l'accelerazione massima attesa dal sistema SDOF. Il punto ricavato deve quindi appartenere allo spettro di capacità in quanto rappresentativo del comportamento della struttura in corrispondenza di un dato spostamento, e appartenere allo spettro anelastico, quest'ultimo ottenuto riducendo opportunamente lo spettro elastico al 5% di smorzamento, rappresentare la domanda non-lineare in corrispondenza dello stesso spostamento strutturale.

Figura

5.8:

Eeeri(2000)

Spettro di domanda elastico ed anelastico/Spettro di capacità.

fonte:Fajfar,


CAPITOLO 5.

195

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

Quando i valori spettrali sono rappresentati in formato ADRS, le rette uscenti dall'origine degli assi rappresentano i periodi. 3. Determinazione della domanda massima del sistema MDOF Determinata la domanda in spostamento relativa al sistema ad un grado di libertĂ , per convertirla in termini di domanda del sistema strutturale reale si invertono le relazioni 5.14 e5.15:

Fi = Fi∗ Γi

(5.37)

ui = u∗i Γi φi

(5.38)

si ottiene quindi che la con gurazione deformata e ettiva della struttura è data dal vettore degli spostamenti:

{d} = Γd∗max {φ}

(5.39)

4. Determinazione della domanda in corrispondenza dei vari modi Essendo l'analisi MPA una analisi multimodale, è necessario determinare, per ogni direzione dell'azione sismica, i valori della domanda in corrispondenza del CM dell'ultimo livello quando la struttura è spinta con pro li di carico di erenti e di volta in volta proporzionali ad un certo modo di vibrare. Eseguendo gli step da 1 a 4 per ogni direzione del sisma e per ciascuno dei modi scelti si ottengono due insiemi di spostamenti: uno lungo x e uno lungo y: u1,x ,

ui,x ,un,x ; u1,y , ui,y ,un,y . É opportuno sottolineare la necessità di dover determinare opportunamente a priori il numero di modi di vibrare da considerare, in particolare, si opta per la scelta dei modi con maggiore massa partecipante tendendo a considerare,


CAPITOLO 5.

196

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

nel caso di edi ci alti, un numero di modi maggiore. Tale scelta è validata dai risultati ottenuti dalle ricerche e ettuate e riportati in letteratura. Per determinare la risposta dinamica totale in una data direzione si compongono i risultati ottenuti in corrispondenza dei vari pro li. In letteratura vengono proposte due regole di combinazione dei risultati:

ˆ

CQC (Complete

):

Quadratic Combination

Uk = (ÎŁj ÎŁi Ď ij uix ujx ) /2 1

(5.40)

con:

Uk : spostamento totale nella direzione interessata dovuto all'azione sismica che si sta considerando;

Ď ij : coe ciente di correlazione tra il modo

i

e il modo j, calcolato con formu-

le di comprovata validitĂ ; i Ď ij sono funzione della durata e del contenuto in frequenza del carico, delle frequenze modali e del coe ciente di smorzamento della struttura. Se la durata del sisma è lunga rispetto al periodo della struttura, se lo spettro di risposta è continuo su un campo ampio di frequenza per un dato smorzamento, i coe cienti di correlazione possono essere calcolati con la formula di Der Kiureghiam :

√ 2/3 8 Îśi Îśn (Îśi + βin Îśn )βin Ď in = 2 2 2 2 (1 − βin ) + 4Îś1 Îśn βin (1 + βin ) + 4(Îśi2 + Îśn2 )βin

(5.41)

dove:

βin : rapporto delle frequenze modali

ωi ; ωn

Îśi/n :smorzamento in corrispondenza del modo i/n (valore per la cui de nizione si rimanda all'ALLEGATO D)


CAPITOLO 5.

ˆ

197

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

SRSS (Square

Root of the Sum of the Square

Uk =

s X

):

u2ki

(5.42)

i

con:

Uk : spostamento totale nella direzione interessata dovuto all'azione sismica che si sta considerando;

uk : spostamento dovuto all'i-esimo modo di vibrazione. É una semplice regola del modulo. 1. Determinazione della domanda totale Eseguendo gli step precedenti lungo x e y si ottengono i risultati della risposta dinamica nelle due direzioni, che possono essere nuovamente combinati per ottenere la risposta dinamica complessiva della struttura sollecitata dalle due componenti orizzontali del sisma, Chopra propone, a tal ne, la regola di combinazione SRSS. Si deve osservare che le regole di combinazione (SRSS o CQC), sebbene formulate per sistemi elastici lineari, sono impiegate in questo metodo di analisi per combinare gli e etti in campo inelastico. Inoltre con le analisi multi-modali è come combinare la risposta di strutture diverse in quanto si combinano risposte da stati strutturali inomogenei (dato che in ogni modo si ottengono di erenti livelli di inelasticitĂ ). Nonostante ciò, confronti e ettuati in letteratura tra metodi unimodali, multimodali e dinamiche hanno dimostrato l'applicabilitĂ e la relativa accuratezza degli approcci multi-modali. La procedura MPA per la stima della domanda sismica degli edi ci soggetti al sisma può essere estesa alla stima delle sollecitazioni degli elementi strutturali. In aggiunta si può a ermare che la procedura può essere impiegata sia per condurre veri che


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

198

strutturali, che come mezzo di ricerca per indagare in maniera approfondita problematiche legate al comportamento non-lineare delle strutture come è brevemente descritto di seguito.

5.1

Veri ca strutturale

Per poter veri care le capacità delle strutture è necessario e ettuare veri che di tipo globale e locale; le prime interessano ad esempio gli spostamenti di interpiano, mentre le seconde le deformazioni, gli spostamenti, le rotazioni e le caratteristiche della sollecitazione nei singoli elementi strutturali duttili e fragili. La curva di capacità rappresenta approssimativamente la performance globale della struttura, cioè rappresenta sostanzialmente, sotto le ipotesi di partenza, il comportamento complessivo dell'edi cio sottoposto ad un sistema di forzanti laterali crescenti monotonicamente, il cui pro lo è direttamente in uenzato dalle caratteristiche dinamiche strutturali e dalla distribuzione delle masse inerziali. Il gra co ottenuto, in termini di taglio alla base/spostamento di copertura, rappresenta dunque una caratteristica meccanica intrinseca dell'edi cio che deve essere confrontata con la domanda stimata attraverso gli spettri elastici validi per gli stati limite in esame. In sede di veri ca strutturale e in base alle varie esigenze sarà quindi necessario considerare gli spettri elastici in corrispondenza dei diversi stati limite: stato limite di danno, di operatività , di salvaguardia della vita e di collasso.


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

199

Figura 5.9: Spettri di risposta elastici per i diversi Stati Limite

In termini pratici, una volta determinata la domanda in spostamento dmax per lo stato limite in esame, si veri ca che sia dmax ≤ du e si procede alla veri ca della compatibilità degli spostamenti per gli elementi/meccanismi duttili e delle resistenze per gli elementi/meccanismi fragili.

Figura 5.10: Esempio di veri ca soddisfatta per ogni Stato Limite


CAPITOLO 5.

5.2

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

200

Considerazioni sui parametri di output di un'analisi spaziale

L'esecuzione di analisi spaziali, ed in particolare di una analisi che considera in maniera esplicita gli e etti torsionali sulla struttura, può essere utile non solo per la veri ca strutturale, ma anche per indagare eventuali comportamenti strutturali che una analisi di spinta piana non permette di cogliere. Esempio può essere l'in uenza delle irregolaritĂ nella risposta delle strutture soggette all'azione sismica. É il caso di sottolineare come, a confronto con una analisi piana, il numero di parametri di risposta di una struttura tridimensionale aumentano notevolmente: in una struttura spaziale a solai rigidi, infatti, è necessario determinare sei parametri -riferiti al centro di massa- per ogni livello: tre di spostamento (ux CMi , uy CMi , rzCMi ) e tre di sollecitazione (Txi , Tyi , Mti ). Rispetto ad una analisi piana, l'analisi spaziale presenta la peculiaritĂ di poter indagare il comportamento torsionale della struttura, o in particolare, l'applicazione della procedura di pushover 3D, permette una valutazione piĂš accurata di tali aspetti. A seguito delle rotazioni torsionali della struttura spaziale i parametri di risposta possono dipendere l'un l'altro anche in maniera non esplicita: se la relazione spostamento/sollecitazione nella medesima direzione (ad esempio, ux CMi /Txi ) è ovvia, di maggiore interesse risulta l'indagine dei legami spostamenti/sollecitazioni in direzioni diverse. A tal ne si possono studiare le seguenti rappresentazioni gra che dei parametri globali di risposta: - pro lo lungo l'altezza degli spostamenti in direzione x ,y e delle rotazioni intorno a z dei CMi ; - pro lo lungo l'altezza degli spostamenti di interpiano in direzione x ,y e delle


CAPITOLO 5.

MODAL PUSHOVER ANALYSIS

201

rotazioni di interpiano attorno a z dei CMi ; - pro lo lungo l'altezza dei tagli di piano in direzione x , y e dei momenti torcenti attorno a z dei CMi ; a cui possono essere a ancate le rappresentazioni combinate degli stessi parametri come ad esempio: - andamento lungo l'altezza della rotazione attorno all'asse z con il modulo degli spostamenti dei CMi ; - momento torcente con la rotazione intorno l'asse z ; - spostamento lungo l'asse x con lo spostamento lungo l'asse y . É di immediata intuizione che non sempre tutti gli output citati risultano utili per il tipo di struttura indagata e per gli scopi dello studio: di volta in volta è quindi necessario individuare gli accoppiamenti dei parametri di reale interesse.

Si deve sottolineare che la possibilitĂ di rappresentare gra camente i parametri di spostamento dei CMi si ha solo nel caso di strutture a solai rigidi, altrimenti devono essere ricercate di erenti soluzioni. Infatti, nel caso in cui la struttura tridimensionale presentasse solai deformabili, gli spostamenti dei punti appartenenti ad un piano non risultano piĂš essere legati rigidamente allo spostamento ed alla rotazione del centro di massa del livello considerato.


Capitolo 6 Modellazione a bre per telai elastoplastici 6.1

La modellazione strutturale

Il progettista, al ne di comprendere al il comportamento di una struttura, ha la necessità di tradurre l'aspetto sico di un manufatto in termini matematici, ovvero in un modello, composto da equazioni e regole, che sia rappresentativo del problema reale oggetto di studio. La modellazione richiede l'introduzione di una serie di sempli cazioni che se da un lato si rivelano essenziali poichÊ senza di esse si avrebbe un sistema matematico tanto perfetto quanto risolutivamente complesso dall'altro risultano assai delicate da gestire dato che un'errata schematizzazione porterebbe a risultati molto lontani dalla realtà . Inoltre, il modo e la fase in cui l'approssimazione viene introdotta in uenza notevolmente la tecnica risolutiva da adottare, condizionando, anche in maniera signi cativa, la precisione della soluzione. Tale concetto è sempli cato dalle seguenti gure:

202


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

203

Figura 6.1: Schema di due possibili procedimenti risolutivi di un problema sico

Il primo passo della modellazione è quello del processo di schematizzazione delle strutture, in cui il progettista deve essere in grado di cogliere il reale comportamento della struttura ed evidenziare gli aspetti sici che ne caratterizzano in modo determinante la risposta.

Figura 6.2: Processo di modellazione per una struttura semplice . In questo caso, la modellazione

conduce ad un modello discreto


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

204

A questo punto è necessario scegliere un approccio con il quale ottenere una soluzione analitica rigorosa del modello sempli cato oppure un approccio che, mantenendo la complessità degli aspetti basilari del problema, giunga ad una soluzione numerica, e dunque approssimata, del modello complesso. Il metodo degli elementi niti rientra nel secondo approccio risolutivo: tale procedura consiste nel discretizzare opportunamente una qualsiasi struttura complessa, ovvero nel suddividerla in parti elementari standard che vengono risolte separatamente una volta per tutte e successivamente riassemblate al ne di ricostruire il problema iniziale. La discretizzazione associa al problema un sistema lineare di equazioni, che può essere risolto anche in modo numerico. Schematizzando tutti i passaggi del processo di analisi computazionale di un problema sico si ha dunque:

Figura 6.3: Schematizzazione del processo di analisi computazionale di un problema sico.

Data l'introduzione di approssimazioni nella fase di modellazione, si va necessariamente incontro ad imprecisioni nella soluzione. Tali inesattezze scaturiscono, ad esempio, da una idealizzazione del sistema sico tramite leggi matematiche sempli cative, dalla discretizzazione di un corpo continuo, da inevitabili errori di modellazione delle azioni sollecitanti, dei vincoli, del comportamento dei materiali che, di conseguenza, si ripresentano nel procedimento risolutivo numerico. Il progettista, comunque, deve essere in grado di contenere l'errore commesso durante tutto il pro-


CAPITOLO 6.

205

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

cesso computazionale entro limiti ingegneristicamente accettabili, ovvero entro limiti che conservino l'entitĂ e la signi cativitĂ del problema sico oggetto di studio.

6.2

Discretizzazione

6.2.1 Obiettivo La modellazione è un passo fondamentale per la sempli cazione di un problema complesso, tuttavia, come già detto in precedenza, il comportamento dei sistemi sici è spesso di di cile interpretazione e idealizzazione, e i modelli sono di regola continui, e quindi caratterizzati da

in niti

numeri di gradi di libertĂ .

Circa la scelta del tipo di soluzione da preferire (numerica o analitica), le soluzioni analitiche, dette anche closed form solution , sono le piÚ accurate, soprattutto applicabili ad un'ampia gamma di problemi: è possibile ottenere di erenti casi particolarizzando i valori dei parametri della soluzione. Tuttavia le soluzioni analitiche sono in genere possibili solo in presenza di restrizioni quali la regolarità geometrica e le condizioni al contorno semplici. La maggior parte dei problemi progettuali è invece talmente complessa che la simulazione numerica è di fatto una indispensabile alternativa: in questo ambito si inserisce il metodo degli elementi niti. In tal caso, si riduce il numero di gradi di libertà del problema ad un numero

nito,

tale declassamento prende il nome di discretizzazione , e il prodotto di tale processo è un modello discreto . Tale modello, per sistemi ingegneristici complessi, può essere il risultato di una scomposizione multilivello. Inoltre la discretizzazione può interessare tanto la dimensione spaziale quando ci si occupa soltanto di questioni di tipo statico quanto la dimensione temporale quando si a rontano problematiche di tipo dinamico.


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

206

6.2.2 Cause di errore e approssimazioni Come illustrato nella gura 6.3, ad ogni passo della modellazione si accumula un errore; nella pratica ingegneristica gli errori sono di di cile e dispendiosa valutazione. Infatti la veri ca e la validazione del modello richiede il confronto con risultati sperimentali che, per alcune tipologie di strutture, posso essere scarsi o non direttamente adoperabili. Un'altra classe di errori deriva dalla discretizzazione: anche se gli errori di soluzione venissero ignorati così come usualmente accade la computazione di un modello discreto è, in generale, solo un'approssimazione della soluzione esatta di un modello continuo. Una misura quantitativa di questa discrepanza è detta, appunto,

errore di discretizzazione ;

alla de nizione e allo studio di tale tipologia di errore

si dedica un ramo della matematica numerica, chiamata Teoria dell'Approssimazione. Intuitivamente, si potrebbe pensare che a nando l'accuratezza della soluzione del modello discreto (e quindi aumenti il numero di gradi di libertà), l'errore di discretizzazione tenda a zero. Tuttavia in pratica le cose stanno diversamente, e vengono studiati appropriati requisiti di

convergenza

delle approssimazioni di una

discretizzazione.

6.3

Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti

Il metodo degli elementi niti (FEM) è la principale tecnica di discretizzazione nella meccanica delle strutture. Il concetto chiave di tale teoria si basa sulla suddivisione del un modello matematico di un corpo continuo in un insieme di elementi disgiunti (e non sovrapposti) di geometria più semplice chiamati elementi niti , la cui risposta è espressa da un numero nito di gradi di libertà. Il continuo è quindi assimilabile ad un modello discreto ottenuto dal riassemblaggio di tutti gli elementi tra loro interconnessi in punti prede niti (nodi).


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

207

Figura 6.4: Esempi di geometrie di elementi niti, da una a tre dimensioni.

6.3.1 Caratteristiche degli elementi niti Le caratteristiche principali dei singoli elementi niti sono:

Dimensionalità intrinseca: gli elementi possono avere una, due o tre dimensioni nello spazio; nell'analisi dinamica, il tempo costituisce un'ulteriore dimensione. Esistono anche particolari elementi a zero dimensioni come molle concentrate o masse puntiformi.

Punti nodali: ogni elemento possiede una serie di punti distintivi detti punti nodali o, in breve, nodi . I nodi rispondono a due obiettivi: de nire la geometria degli elementi e i loro gradi di libertà; usualmente sono collocati agli angoli o nei punti terminali degli elementi, ma negli elementi più complessi sono posizionati anche sui lati, sulle facce o all'interno dell'elemento stesso.


CAPITOLO 6.

208

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

Geometria: la geometria dell'elemento è de nita dalla posizione dei nodi. Gli elementi adoperati più spesso nella pratica sono quelli che possiedono geometrie semplici. In tale ambito si distinguono: elementi monodimensionali,

adoperati per modellare strutture con mem-

brature caratterizzate da una dimensione prevalente rispetto alle altre due; i più comuni sono gli elementi elementi bidimensionali,

truss, beam, spring, rigel.

a cui si fa ricorso per modellare parti strutturali

con due dimensioni prevalenti; i più comuni sono

piastra, shell, plane

stress, plane strain, elemento assialsimmetrico.

elementi tridimensionali, solido

o

la cui con gurazione più comune è l'elemento

brick.

Gradi di libertà: i gradi di libertà (DOF o GdL) individuano lo stato di un elemento. I DOF vengono de niti come i valori di una variabile primaria ai punti nodali. Per gli elementi niti strutturali, la variabile primaria è il campo degli spostamenti e i DOF sono in genere le componenti degli spostamenti ai nodi.

Forze nodali: sono in corrispondenza biunivoca con i gradi di libertà. Negli elementi niti strutturali la corrispondenza si ottiene attraverso considerazioni energetiche.

Proprietà costitutive: è necessario speci care relazioni che descrivano il comportamento meccanico del materiale. Per esempio, in un elemento-asta elastico lineare, è su ciente speci care il modulo elastico E e il coe ciente di espansione

a

termica .


CAPITOLO 6.

6.4

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

209

Modellazione a bre degli elementi

Le analisi non lineari di strutture intelaiate, tamponate e non, richiedono l'utilizzo di un modello numerico nell'ambito di un programma di calcolo agli elementi niti che, attraverso una discretizzazione del problema ne garantisca la soluzione, rappresentando il miglior compromesso possibile tra accuratezza delle previsioni e oneri computazionali. L'aspetto primario da valutare al ne di garantire una corretta scelta dello strumento analitico è quella della metodologia di modellazione delle inelasticità. Le possibili alternative sono due: i modelli a plasticità concentrata sulle estremità dell'elemento (modelli a cerniere plastiche) o i modelli a plasticità distribuita sull'intero elemento (modelli a bre).

6.4.1 Modellazione a plasticità concentrata Con l'approccio a plasticità concentrata o a cerniera plastica, si ammette che tutte le risorse inelastiche vengano concentrate in alcune sezioni le cerniere plastiche appunto. Nell'ambito di una modellazione FEM, in tal caso si adoperano elementi niti elastico-lineari dove alle estremità (o dove necessario) vengono introdotte delle zone a comportamento elasto-plastico o genericamente non lineare. Tale approccio garantisce un minor onere computazionale e consente, attraverso la scelta di un opportuno legame costitutivo della cerniera, di descrivere diversi aspetti tra i quali: il comportamento essionale, la deformabilità a taglio, lo scorrimento delle armature, la essibilità del nodo trave-colonna e l'interazione fra telaio e tamponamenti, garantendo una buona accuratezza di modellazione soprattutto di strutture esistenti.


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

210

Per de nire l'elemento cerniera plastica è necessario:

ˆ

decidere la localizzazione della cerniera e il tipo di attivazione;

Figura 6.5: Esempio di localizzazione delle cerniere plastiche in un telaio.

ˆ

stimare in maniera adeguata, nella sezione critica, il legame costitutivo momentocurvatura in presenza o assenza dell'azione assiale e di degrado nel tempo, causato dall'azione ciclica del sisma, scegliendo in maniera adeguata - tra quelli proposti in letteratura e inseriti nelle librerie dei codici di calcolo - i modelli di interazione M-N e di isteresi;

Figura 6.6:

Esempio di a) modello di interazione momento-carico assiale; b) legame isteretico

momento-curvatura


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

211

prevedere la lunghezza della cerniera plastica equivalente in modo tale da de nire, attraverso il prodotto di questa per la curvatura, una rotazione confrontabile con quella reale. Alcuni valori sono proposti dalle normative o comunque presenti in letteratura. La Circolare annessa alla NTC08 considera ad esempio al C8A.6 una lunghezza della cerniera plastica Lpl , nelle struttuere esistenti in c.a., data da:

dbL · fy Lpl = 0, 1LV + 0, 17h + 0, 24 √ fc

(6.1)

con:

LV : la luce di taglio; h: l'altezza della sezione; dbL : il diametro (medio) delle barre longitudinali; fc e fy : la resistenza a compressione del calcestruzzo e la resistenza a snervamento dell'acciaio longitudinale (in MPa), ottenute come media delle prove eseguite in sito e da fonti aggiuntive di informazione, divise per il fattore di con denza appropriato in relazione al Livello di Conoscenza raggiunto. In particolare, i tre addendi presenti in questa formulazione rappresentano rispettivamente i contributi deformativi essionali, taglianti e di aderenza acciaiocalcestruzzo. Si osserva inoltre che la corretta valutazione del punto di nullo del diagramma dei momenti, ossia della luce di taglio LV , non è in genere agevole: attraverso una semplice analisi lineare si può valutare in maniera esatta la posizione del punto di nullo durante il comportamento lineare della struttura mentre, nel momento che entra in campo plastico - e di conseguenza si ha una redistribuzione delle sollecitazioni ettenti - il punto di nullo trasla. Dato che la


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

212

caratterizzazione meccanica della cerniera plastica è direttamente in uenzata dalla posizione del punto di nullo e che quindi la sua variazione comporterebbe una diversa caratterizzazione della stessa, generalmente si assume LV costante lungo tutto il programma di carico. In particolare la luce di taglio può essere valutata :

come metĂ della luce dell'elemento (Lv = 0.5L);

a partire dal diagramma del momento ettente presente lungo l'elemento risultato di una analisi elastica lineare (statica o modale);

a partire dal diagramma del momento ettente risultato di una analisi non lineare corrispondente ad una con gurazione deformata caratterizzata da uno spostamento del punto di controllo pari alla richiesta simica.

Concludendo, dati i vari aspetti da de nire, la modellazione a plasticitĂ concentrata richiede esperienza da parte dell'operatore e comporta il conseguente rischio di poca accuratezza dell'analisi svolta.

6.4.2 Modellazione a plasticitĂ di usa Con questo tipo di approccio si ammette che gli elementi tipo trave con comportamento anelastico presentino una plasticitĂ di usa in tutto l'elemento strutturale. Attraverso l'utilizzo di elementi a bre si rende possibile valutare una inelasticitĂ sia longitudinalmente che trasversalmente all'elemento. L'elemento strutturale viene discretizzato longitudinalmente in sottoelementi monodimensionali - legati tra loro da condizioni di congruenza - delimitati dalle sezioni di controllo (sezioni

di Gauss )

che a loro volta sono discretizzate in areole - dette bre

- caratterizzate da un dato legame costitutivo elastoplastico.


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

213

Figura 6.7: Esempio di discretizzazione in bre di un elemento strutturale in c.a. utilizzando i

punti di controllo (sezioni

di Gauss ) lungo l'elemento.

In un elemento in calcestruzzo armato, ad esempio, la sezione di controllo generica è data dall'insieme delle bre del calcestruzzo non con nato, di quelle di calcestruzzo con nato e delle bre delle armature longitudinali.

Figura 6.8: Discretizzazione di una sezione di Gauss.

In questo tipo di modellazione, lo stato di sforzo e deformazione di una sezione


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

214

dell'elemento strutturale si ottiene attraverso l'integrazione della risposta uniassiale non lineare sforzo-deformazione di ciascuna delle bre in cui è suddivisa la sezione di controllo. La modellazione della non linearità del materiale della sezione è tanto piÚ accurata quanto piÚ opportuna è la scelta del numero di bre di cui è composta la sezione (solitamente 100-400 in strutture 3D). Impiegando legami costitutivi non lineari lungo tutto l'elemento strutturale, il metodo a plasticità di usa risulta essere piÚ oneroso rispetto ad un modello a plasticità concentrata, ma nello stesso tempo non richiede grande esperienza di modellazione da parte dell'operatore; con questo approccio, infatti, ci si limita a de nire le caratteristiche geometriche della sezione e le caratteristiche del comportamento anelastico dei materiali. Il vantaggio principale di considerare l'elemento strutturale composto da tante bre la cui sezione è piÚ piccola rispetto alla sezione trasversale dell'elemento stesso, è dato dalla possibilità di utilizzare legami costitutivi monodimensionali. Tale modo di procedere si rivela particolarmente favorevole nel caso di trave alla Eulero-Bernoulli, nella quale, essendo nulla la deformazione di taglio, la sola deformazione assiale delle bre è suf ciente a descrivere il comportamento dell'elemento. CosÏ facendo, allora, è possibile implementare legami monodimensionali dei materiali che risultano piÚ semplici da sviluppare e da gestire numericamente, anche se in presenza di azioni cicliche. Un limite del modello a plasticità di usa è legato al fatto che solitamente prende in considerazione la sola componente essionale della deformazione e di conseguenza, per poter descrivere fenomeni come la deformabilità a taglio, lo scorrimento delle armature, la essibilità del nodo trave-colonna e l'interazione fra telaio e tamponamenti, è necessario introdurre ulteriori elementi cerniere parziali piuttosto che bielle incrementando l'onere computazionale. Le di erenze nell'implementazione di un elemento a bre rispetto ad un elemento trave tradizionale riguardano principalmente la determinazione del modulo di legame ET e la determinazione del vettore delle forze


CAPITOLO 6.

215

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

interne. In particolare, facendo l'ipotesi di piccole deformazioni e di conservazione delle sezioni piane, la deformazione lungo la generica bra è pari a: (6.2)

(x, y) = 0 − y ¡ ÎŚz − z ¡ ÎŚy con

0 : la deformazione in corrispondenza del baricentro della sezione; Όy , Όz : le curvature rispettivamente intorno agli assi baricentrici Y e Z . Avendo assegnato ad ognuna delle bre un legame costitutivo e con le associate le leggi che regolano il comportamento ciclico, è noto per ciascuna bra il modulo tangente ET in ogni istante:

ET =

âˆ‚Ďƒz ∂ z

(6.3)

Introdotto il vettore delle sollecitazioni:

con:

dMy (x) =

´ ´

A

{dSs (x)} = {dMy (x), dMz (x), dN (x)}T

(6.4)

{dSs (x)} = KsT (x) {d s (x)}

(6.5)

Ďƒx zdA

dMz (x) = A Ďƒx ydA ´ dN (x) = A Ďƒx dA si può scrivere:

essendo:

  t  KS (x) =   

´

2

ET z dA

´ ´

ET yzdA ET y 2 dA

´



ET zdA   ET ydA    ´ ET dA

´


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

216

la matrice delle rigidezze incrementali; e

{d s (x)} = {dΌy (x), dΌz (x), d 0 (x)} il vettore delle deformazioni incrementali. Si osserva in ne che è possibile determinare la matrice delle rigidezze dell'intero elemento scegliendo tra tre procedure di erenti: metodo della rigidezza, metodo della deformabilità e metodo misto. Alla luce di ciò, si osserva che la costruzione del sistema di equazioni risolventi richiede il calcolo - elemento per elemento - della matrice di rigidezza e dei vettori delle forze nodali. Ciò comporta il calcolo di integrali che però non può essere svolto in forma chiusa. Si ricorre pertanto a tecniche (approssimate) di integrazione numerica. Tra quelle disponibili, il metodo di Gauss è quello piÚ universalmente utilizzato. 6.4.2.1

Integrazione numerica: i metodi di Gauss e Gauss-Lobatto

L'integrazione numerica poggia su un'ampia famiglia di algoritmi per il calcolo del valore numerico di un integrale de nito e quindi, estendendo il signi cato, l'integrazione numerica rappresenta la soluzione numerica di equazioni di erenziali. Solitamente quando l'integrazione riguarda problemi di dimensione superiore ad uno si parla di quadratura numerica. Il problema di base dell'integrazione numerica è la risoluzione approssimata di un integrale de nito :

ˆ I(f ) =

b

f (x)dx

(6.6)

a

Una formula esplicita che permetta di approssimare I(f ) viene detta formula di quadratura o formula d'integrazione numerica; i metodi di integrazione numerica,


CAPITOLO 6.

217

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

quindi, possono essere de niti come combinazione di funzioni integrande f (x) che danno una buona approssimazione dell'integrale I(f ). Un modo naturale di procedere per l'integrazione numerica consiste nel considerare un polinomio interpolatore della funzione integranda del tipo

Pnf , de nito su n+1 nodi distinti {xi}ni=0 ⊂ [a, b],

Pnf ). Per ottenere una maggiore accuratezza si potrebbe ricorrere al-

e calcolare I(

l'integrazione composita in cui si divide l'intervallo di integrazione in N sottointervalli

Tj = [zj =1, zj ], j = 1, ..., N , con zj = a + jH , j = 0, ..., N , e H = ˆ

b

f (x)dx = a

N ˆ X j=1

b−a N

ottenendo:

zj

f (x)dx

(6.7)

zj −1

e andando quindi, ad utilizzare in ogni sottolivello una formula interpolatoria. Le f (x) sono calcolate in corrispondenza di un insieme di punti del dominio di integrazione detti punti di integrazione e di una somma pesata che è funzione del metodo utilizzato e della precisione che si vuole ottenere dall'approssimazione. Tra i veri metodi di integrazione numerica, quello maggiormente utilizzato nell'ambito dell'ingegneria è il metodo di quadratura di Gauss e le sue opportune varianti. Si tratta di impiegare formule di quadratura interpolatorie a nodi non equidistanti costruite in modo da massimizzare il grado di precisione. Le regole di quadratura di Gauss sono strutturate in modo da ottenere un risultato esatto per polinomi di grado 2n + 1 o inferiore attraverso un'adeguata scelta dei punti xi e dei pesi wi , con i = 1, ..., n. In particolare i punti xi considerati nella formula di quadratura di Gauss a n + 1 nodi sono le radici del polinomio Pn+1 (x) :

Pn+1 =

n 2n + 1 Pn (x) − Pn−1 (x) n+1 n+1

(6.8)


CAPITOLO 6.

218

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

P0 (x) = 1 , P1 (x) = x dove PK (x), k = 1, ..., n, sono i polinomi di Legendre, ossia i polinomi tali che:

ˆ

1

(6.9)

Pk (x)Pm (x)dx = 0 −1

se k 6= m. Per i primi valori di n, gli n + 1 nodi e pesi sono forniti dalla seguente tabella: numero dei punti 2 3

punti xi - √1 , √13 q 3 q - 35 , 0, 35

pesi wi 1 ,1 5 8 5 , , 9 9 9

... Tabella 6.1: Punti di integrazione xi

Il metodo di Gauss-Lobatto o semplicemente di Lobatto, a di erenza del metodo di quadratura di Gauss, include all'interno dell'intervallo di integrazione anche i punti nali, ed è utilizzato per la risoluzione di polinomi di grado 2n − 3, con n il numero dei punti di integrazione.

6.4.3 Modellazione a plasticità di usa e FEM E' opportuno sottolineare che l'anelasticità dei materiali può essere implementata sia in una formulazione negli spostamenti del problema che in una formulazione nelle forze. La prima rappresenta la metodologia piÚ comunemente utilizzata, in cui il campo delle deformazioni sull'elemento viene ottenuto a partire dagli spostamenti dei nodi di estremità attraverso opportune funzioni interpolanti. L'elemento nito di riferimento - che in letteratura viene chiamato

displacement-based element

- è

caratterizzato dal fatto che la compatibilità delle deformazioni è assicurata, mentre l'equilibrio delle forze è soddisfatto soltanto quando il corpo viene discretizzato in un


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

219

numero adeguato di elementi niti. La limitazione fondamentale di un tale approccio è legata alla scarsa precisione nel descrivere comportamenti altamente non lineari, a causa dell'inadeguatezza nella rappresentazione dell'andamento delle curvature lungo l'elemento. Nella formulazione nelle forze invece, per descrivere in modo esatto l'andamento delle sollecitazioni sull'elemento in base alle forze nodali e le funzioni, vengono utilizzate le funzioni di forma; queste riproducono il campo di spostamenti e si modi cano nel corso delle analisi in base al di ondersi delle deformazioni inelastiche sulla sua lunghezza. In questo caso, mentre l'equilibrio delle forze è sempre soddisfatto, la compatibilità delle deformazioni viene soddisfatta per via integrale. Questo tipo di formulazione dell'elemento nito - che viene chiamato

force-based element

- pur

richiedendo un aumento del costo computazionale, assicura, anche nel caso di comportamenti fortemente inelastici, previsioni accurate utilizzando un ridotto numero di elementi niti. L'impiego di force-based element può però esporre al rischio di un'eccessiva ed irrealistica localizzazione delle deformazioni rispetto ad una modellazione con elementi formulati in rigidezza. Nel caso in cui i materiali abbiano un comportamento spiccatamente di tipo softening, i risultati possono essere estremamente sensibili alla discretizzazione adottata ed in particolare al numero di punti di integrazione disposti sugli elementi per via della localizzazione delle deformazioni. Si sottolinea però che il fenomeno della localizzazione delle deformazioni comporta di coltà di calcolo sia con approcci nelle forze che in approcci agli spostamenti: questo porta a comprendere l'importanza di un'attenta scelta della mesh, la quale deve essere su cientemente tta per cogliere i comportamenti fortemente non lineari, ma non troppo per evitare di rappresentare fenomeni irrealistici.


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

220

6.4.4 Procedimenti di risoluzione del sistema di equazioni nonlineari Quando l'analisi strutturale viene svolta in presenza di comportamenti materiali e geometrici non-lineari, è necessario conoscere i concetti base riguardanti le strategie di risoluzione. Le strategie di soluzione numerica maggiormente di use è il metodo di Newton-Raphson o di Newton-Raphson-modi cato. Facendo riferimento ad un approccio agli spostamenti -che è quello maggiormente utilizzato nei codici strutturali- se si considera una struttura lineare sollecitata da un carico applicato incrementalmente pari a i -esimo,

liP0, con li fattore di carico all'incremento

la soluzione della struttura consiste nel veri care che, ad ogni incremento,

sia veri cato l'equilibrio tra le forze interne resistenti Fs e i carichi esterni. Essendo Fs una funzione lineare degli spostamenti, tramite la matrice di rigidezza

K , il problema si riduce nel risolvere il sistema lineare:

KUi =

l i P0

(6.10)

con Ui il vettore degli spostamenti. Se, invece, si considera una struttura con comportamento non-lineare l'equilibrio risulta di piĂš di cile determinazione, l'equazione di equilibrio si presenta nella seguente forma:

R(Ui ) =

l i P0

(6.11)

dove R(Ui ) rappresentano le forze resistenti, funzione non-lineare degli spostamenti.


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

221

Figura 6.9: Confronto fra la risposta di un sistema lineare e quella di un sistema non-lineare

La soluzione dell'equazione (6.11) si consegue utilizzando una approssimazione in base alla quale si assume che per il passo elementare δU , la funzione δR sia rappresentabile in forma lineare e pari a: (6.12)

δR = KT δU

essendo KT la matrice di rigidezza tangente. La soluzione U dell'equazione (6.11) si ottiene quindi attraverso una procedura incrementale. La procedura di Newton-Raphson (NR) e quella di Newton-Raphson modi cato (NRm) prevedono il calcolo dell'incremento

l

carico [ i (P0 ) −

DUi

corrispondente all'incremento di

li−1(P0)] tramite iterazioni successive per cui: DUi = DUi0 + DUi1 + ... + DUij + ...DUin

(6.13)

DUji è calcolato a partire dalla soluzione ottenuta nell'iterazione precedente Rj (Ui−1 + DUiK ) con k = 0, j − 1, Nel caso del metodo di NR, lo spostamento correttivo


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

222

supponendo la funzione R lineare, secondo la relazione:

∆Uij = (KTi )−1 · (λi P0 − Rj )

(6.14)

Il metodo prevede che ad ogni iterazione venga calcolata la matrice tangente KTj ,

D

nella iterazione iniziale Ui0 la rigidezza tangente verrà calcolata in corrispondenza della soluzione precedente Ui−1 . La gura seguente mostra gra camnente quando descritto.

Figura 6.10: Quadro sinottico del metodo iterativo Newton-Raphson

Nel metodo NRm, gli spostamenti correttivi sono invece determinati utilizzando in tutte le iterazioni la rigidezza iniziale K0T (vedi g.6.11 ) ottenendo:

∆Uij = (KT0 )−1 · (λi P0 − Rj )

(6.15)

Rispetto al metodo NR si ha un vantaggio in termini di onere computazionale, do-


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

223

vendo calcolare solo una volta per ogni passo di carico la matrice di rigidezza, a fronte però di un maggior numero di iterazioni necessarie a convergere alla soluzione.

Figura 6.11: Quadro sinottico del metodo iterativo Newton-Raphson modi cato

Ăˆ inoltre possibile utilizzare altri metodi, detti ibridi, derivanti dalla combinazione dei due descritti, che si di erenziano per il numero di volte in cui nel singolo passo di carico viene ricalcolata la matrice di rigidezza, solitamente le prestazioni migliori si ottengono aggiornando la matrice nei primi passi e poi mantenendola costante. In tutti i metodi il calcolo iteratico si arresta quando è soddisfatto un pre ssato criterio di convergenza, che solitamente si basa sulla norma dello spostamento correttivo e/o sulla norma dello sbilanciamento delle forze. Sebbene gran parte dei codici di calcolo permettono all'utente di svolgere analisi non-lineari senza dover compiere alcuna scelta in termini di parametri o metodi, è d'altra parte preferibile e ettuare le analisi non-lineari con software che consentono di modi care le modalitĂ di esecuzione del calcolo, ed ovviamente possedere le nozioni necessarie e gestire tale processo.


CAPITOLO 6.

6.5

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

224

Software di calcolo: SeismoStruct

Nell'ambito di tale lavoro di tesi le analisi strutturali sono state eseguite utilizzando il software SeismoStruct. Tale programma di calcolo strutturale agli elementi niti è in grado di prevedere il comportamento in termini di forze e/o spostamenti di una struttura soggetta a carichi statici o dinamici, tenendo conto sia degli e etti delle non-linearità geometriche, che quelli dovuti al comportamento anelastico del materiale attraverso una modellazione a bre. L'ambito applicativo del programma è quello delle strutture in cemento armato e in acciaio, con la possibilità di e ettuare analisi statiche e dinamiche, lineari e non-lineari.

6.5.1 Modellazione a bre degli elementi beam in SeismoStruct In SeismoStruct la modellazione a bre può essere implementata in due possibili versioni alternative, basate su una formulazione in rigidezza o in deformabilità . La prima rappresenta la metodologia piÚ comunemente utilizzata, in cui il campo delle deformazioni sull'elemento viene ottenuto a partire dagli spostamenti dei nodi di estremità attraverso opportune funzioni interpolanti. In questo tipo di elemento nito, che in letteratura viene chiamato displacement-based element (DB), la compatibilità delle deformazioni è dunque assicurata, mentre l'equilibrio delle forze può essere soddisfatto soltanto quando il singolo elemento strutturale viene discretizzato in un numero adeguato di elementi niti. Nella formulazione in deformabilità invece le funzioni di forma vengono utilizzate per descrivere in modo esatto l'andamento delle sollecitazioni sull'elemento strutturale in base alle forze nodali mentre altre funzioni, che riproducono il campo di spostamenti, si modi cano nel corso delle analisi in


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

225

base al di ondersi delle deformazioni inelastiche sulla lunghezza della membratura. Vale a dire che, mentre l'equilibrio delle forze è sempre soddisfatto, la compatibilitĂ delle deformazioni viene soddisfatta per via integrale. Questo tipo di formulazione è propria dell'elemento nito chiamato force-based element (FB). Gli elementi niti utilizzanti nella presente tesi sono caratterizzati dal fatto di possedere due sole sezioni di Gauss. Ăˆ importante inoltre sottolineare che in SeismoStruct gli spostamenti vengono approssimati con funzioni di forma di tipo cubico, come descritto da Izzudin (1991), vale a dire attraverso polinomi di Hermite di terzo grado. Questo comporta che l'andamento della curvatura può essere al massimo lineare e che, quindi, per poter ottenere una accurata e completa modellazione della risposta non-lineare, gli elementi utilizzati devono avere una lunghezza limitata, vincolando l'utente all'impiego di piĂš elementi niti per ogni trave o pilastro. A tal scopo il software consente di suddividere automaticamente gli elementi strutturali in 2, 4, 5, 6 parti, la cui lunghezza può essere de nita dall'utente, in modo di erenziato per i tratti di estremitĂ e quelle centrali. Questo permette di rin ttire la discretizzazione in corrispondenza dei punti in cui si concentreranno le deformazioni inelastiche, garantendo un grado di accuratezza maggiore. In questa maniera è possibile anche de nire correttamente eventuali cambi di armature lungo le sezioni trasversali degli elementi strutturali. All'interno del software è possibile scegliere, tra le numerose bre di cui è composta la sezione, le bre di cui si vogliono conoscere gli output. Per un'e cace utilizzo delle bre di controllo sarebbe opportuno localizzarle in posizioni sicuramente critiche come ad esempio nelle zone piĂš esterne delle sezioni situate agli estremi degli elementi strutturali, in prossimitĂ dei nodi trave-colonna. Per quanto riguarda le non-linearitĂ di tipo geometrico, in SeismoStruct vengono considerate automaticamente sia quelle derivanti da e etti locali (comportamento


CAPITOLO 6.

MODELLAZIONE A FIBRE PER TELAI ELASTOPLASTICI

226

trave-colonna), che quelle prodotte globalmente dai grandi spostamenti, attraverso l'utilizzo di una formulazione co-rotazionale, nella quale, gli spostamenti locali e le forze interne all'elemento sono riferite ad un sistema mobile di corde.

6.5.2 Procedimenti di risoluzione del sistema algebrico di equazioni non-lineari in SeismoStruct In SeismoStruct, per tutte le tipologie di analisi possibili vengono utilizzati gli schemi risolutivi di tipo incrementale iterativo descritti al Â&#x;6.4.4. La procedura iterativa si arresta nel momento in cui la convergenza è veri cata (message: Converg) o si raggiunge il massimo numero di iterazioni de nite dall'utente (message: Max_Ite). Per quanto riguarda i criteri di convergenza, SeismoStruct consente all'utente la possibilitĂ di scegliere fra tre diversi schemi di controllo, basati o sulla veri ca degli spostamenti e delle rotazioni, o su quella delle forze e dei momenti, o su entrambe. La padronanza degli algoritmi risolutivi permette all'utente di impostare il settaggio di tali parametri al ne di ottenere la massima accuratezza nella convergenza durante le analisi eseguite.


Capitolo 7 Caso di studio: un edi cio irregolare in pianta Come applicazione dei concetti teorici discussi nei capitoli precedenti si presenta lo studio di un modello strutturale tridimensionale caratterizzato da irregolarità . Nello speci co, come già anticipato, grazie al supporto del software SeismoStruct viene costruito un modello agli elementi niti a plasticità di usa sul quale si esegue un'analisi modale (per la determinazione delle caratteristiche dinamiche), un'analisi statica non-lineare MPA ed un'analisi dinamica non-lineare, con lo scopo di e ettuare un confronto qualitativo e quantitativo dei risultati delle due metodologie di analisi non-lineari. L'attenzione è soprattutto posta sull'implementazione della procedura MPA 3D.

227


CAPITOLO 7.

7.1

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

228

Descrizione del modello

7.1.1 Geometria strutturale La struttura presenta una con gurazione planimetrica ad L, regolare in altezza. Il sistema strutturale è caratterizzato da tre telai in una direzione e quattro nella direzione ortogonale, che individuano quattro di erenti campate di dimensioni uguali. Il modello è a due piani con una altezza di piano costante pari a 3.00 metri. Nella gura 7.1(a) è riportata la planimetria della struttura con le relative quote generali e denominazione dei pilastri [Pn°] e delle travi [T(Pn°-Pn°)], mentre nelle gure 7.1(b)(c) sono riportate due sezioni trasversali signi cative.

Figura 7.1:

Planimetria


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

229

Figura 7.2: (a) Sezione AA'; (b) Sezione BB'

Si rimanda all'ALLEGATO A per una piĂš dettagliata visione della carpenteria della struttura. Di seguito, per una maggiore chiarezza, si riportano delle tabelle in cui sono indicate le dimensioni degli elementi strutturali (travi e pilastri):

Tutte le pilastrate presentano continuitĂ di sezione e di armatura proseguendo dalla base alla copertura. L'armatura delle travi e dei pilastri, rappresentata nella


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

230

seguente gura, è stata dimensionata in base agli standard usati per strutture con analoghe caratteristiche:

Il solaio tipo è in latero cemento con travetti prefabbricati, blocchi di alleggerimento in laterizio ed una soletta collaborante in c.a. di 5 cm , per uno spessore strutturale complessivo di 25 cm, la seguente gura rappresenta il solaio alle relative niture:

Figura 7.3: Sezione solaio

Il modello scelto per indagare la validità dell'analisi di pushover modale, rappresenta in modo sempli cato una struttura a telaio in c.a. caratterizzata da due fon-


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

231

damentali irregolarità: irregolarità geometrica ed eccentricità tra il centro di massa e il centro di rigidezza.

Figura 7.4: Vista spaziale del modello

7.1.2 Veri ca della regolarità Al ne di discutere le caratteristiche di irregolarità del modello scelto è possibile esaminare i criteri di regolarità stabiliti dalle NTC08 e ampiemente esposti nel 2.1.1.

Regolarità in pianta

(i) la con gurazione in pianta non è compatta e non presenta assi di simmetria ( g. 7.1 (a))

Veri ca non soddisfatta

(ii) rapporto dei lati del rettangolo circoscritto: vedi g.7.5(a) (iii) dimensione dei rientri: vedi g.7.5(b)


CAPITOLO 7.

232

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

Figura 7.5: (a) Rettangolo circoscritto; (b) Dimensione sporti/rientranze

(iv) gli orizzontamenti possono essere considerati in nitamente rigidi nel loro piano rispetto agli elementi verticali e su cientemente resistenti dato che presentano una soletta di 5cm così come previsto dal 7.2.6 delle NTC08 1 .

Veri ca soddisfatta

Regolarità in altezza

(i) tutti i sistemi resistenti verticali si estendono per tutta l'altezza della costruzione: Fig.7.1(b)(c).

Veri ca soddisfatta

(ii) essendo i due impalcati identici nelle caratteristiche geometriche-strutturali, massa e rigidezza rimangono costanti dalla base alla sommità della costruzione stessa. Veri ca soddisfatta

(iii) non vi sono restringimenti lungo la verticale. Fig.7.1(b)(c).

Veri ca soddisfatta

Un ulteriore elemento di veri ca è la presenza di eccentricità tra il centro di massa 1 7.2.6: Gli orizzontamenti possono essere considerati in nitamente rigidi nel loro piano, a condizione che siano realizzati in cemento armato, oppure in latero-cemento con soletta in c.a. di almeno 40 mm di spessore ...


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

233

(CM) e il centro di rigidezza (CR), come per altro prescritto in dettaglio dall'EC8. Nel caso dell'esempio in esame ci si limita a veri care la posizione relativa tra il CM e il CR con lo scopo di sottolineare le caratteristiche generali di irregolarità del modello scelto. Si precisa come spesso il baricentro geometrico viene confuso con il centro di massa, in e etti il primo riguarda le proprietà geometriche della super cie mentre il secondo le proprietà della distribuzione delle masse; di conseguenza i due punti coincidono solo nel caso di distribuzione omogenea di masse. Considerando la planimetria della struttura composta da due rettangoli di area A1 e A2 e noto il baricentro di tali gure, la posizione del baricentro geometrico è data da:

P A1 XG1 + A2 XG2 Ai X i = XCM = P A1 + A2 Ai P A1 YG1 + A2 YG2 Ai Y i YCM = P = Ai A1 + A 2

(7.1) (7.2)

con XGi e YGi le ascisse e le ordinate dei baricentri delle due aree rispetto al sistema di riferimento scelto (vedi g. 7.6); per cui si ha:

Figura 7.6: Determinazione CM


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

234

La determinazione del CM si esegue considerando la distribuzione delle masse del sistema: a tal ne è possibile considerare le masse dei pilastri concentrate nei nodi, le masse delle travi concentrate nel loro baricentro e le masse del solaio condensate nel baricentro delle porzioni di solaio considerate. Le coordinate del CM rispetto ad un sistema di riferimento scelto si calcolano come:

XCM

P rix mi = P mi

(7.3)

YCM

P riy mi = P mi

(7.4)

dove:

rix e rix sono rispettivamente le distanze della i -esima massa dall'asse x ed y del sistema di riferimento globale;

mi sono le i -esime masse dei singoli elementi del sistema strutturale. Nel modello in esame si ha:

Figura 7.7: Distribuzione delle masse puntuali


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

235

Si ottiene quindi che il centro di massa ha le medesime coordinate del baricentro. Per quanto concerne la determinazione del CR si deve tener conto della distribuzione delle rigidezze dei singoli elementi resistenti approssimativamente calcolate in funzione del solo contributo essionale. Le coordinate del centro di rigidezza rispetto al sistema di riferimento prescelto sono:

xCR

P i xi ¡ Kx,i = P i Kx,i

(7.5)

yCR

P i yi ¡ Ky,i = P i Ky,i

(7.6)

con:

xi : distanza lungo x dell'elemento resistente rispetto al CM; yi : distanza lungo x dell'elemento resistente rispetto al CM; Kx,i : rigidezza essionale dell'elemento resistente per spostamenti in direzione x; Ky,i : rigidezza essionale dell'elemento resistente per spostamenti in direzione y ; La tabella successiva riassume, in riferimento alla Fig.7.9, i calcoli e ettuati per la determinazione delle coordinate del CR:

Figura 7.8: Determinazione delle coordinate del CR


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

236

Figura 7.9: CM e CR

Alla luce di quanto ricavato si può a ermare che la struttura presenta, oltre che ad una forma planimetrica irregolare anche una considerevole eccentricità tra CM e CR; tale situazione è determinante nel caratterizzare l'irregolarità della struttura.

7.1.3 Modellazione delle azioni Preliminarmente all'analisi è necessario determinare le masse strutturali e l'azione sismica.


CAPITOLO 7.

7.1.3.1

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

237

Analisi dei carichi verticali

Si e ettua l'analisi dei carichi relativa alle azioni gravitazionali agenti sulla struttura in esame. Si considerano le azioni permanenti e variabili che agiscono sul solaio2 , nonchè il peso delle pareti di tamponamento agente sulle travate dei telai esterni. Le azioni cosÏ de nite sono inserite nel modello sotto forma di carichi concentrati sui nodi, calcolati attraverso il metodo delle aree di in uenza.

ˆ

Solaio

carichi permanenti

- pacchetto strutturale (20+5)cm - pacchetto di nitura 12,5cm - incidenza tramezzi

3, 51 kN/m2 2, 50 kN/m2 2, 00 kN/m2 ______________

Gtot solaio

8, 01 kN/m2

carichi variabili

i carichi variabili sono computati con riferimento alla normativa italiana vigente (NTC08, Â&#x;2.5.3) ed in particolare considerando la Categoria C (ambienti suscettibili ad a ollamento) per la quale i carichi variabili sono pari a : qk = 3 kN/m2 .

Carico totale solaio = Gtot + qk = 11, 01 kN/m2

ˆ

Tamponamenti

- termolaterizio 20cm - blocco di tufo 10cm - intonaco 5cm

2., 20 kN/m2 1, 70 kN/m2 1, 00 kN/m2 ______________

Gtot tamponamenti

4, 90 kN/m2

2 Per motivi di semplicità si è considerato la medesima tipologia strutturale di solaio per ogni impalcato, ivi compresa la copertura e medesima


CAPITOLO 7.

ˆ

238

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

Elementi strutturali

- travi (50x25)cm - pilastri (30x30)cm - pilastri (60x30)cm

3, 13 kN/m 2, 25 kN/m2 4, 5 kN/m2

Masse sismiche

In accordo con quanto previsto in normativa, gli e etti dell'azione sismica sono valutati tenendo conto delle masse associate ai seguenti carichi gravitazionali:

G1 + G2 +

X

Ďˆ2j Qkj

(7.7)

j

con:

G1 : carichi permanenti strutturali; G2 : carichi permanenti non strutturali; Ψ2j : coe ciente di combinazione; Qkj : carichi variabili; Dato che il software di calcolo utilizzato valuta automaticamente i pesi degli elementi strutturali, e data comunque la necessità di costruire successivamente la matrice di massa della struttura, è stato necessario il calcolo dei pesi sismici totali e i quelli depurati dei pesi strutturali. I valori sono quelli riportati nella seguente tabella:

Non potendo inserire la massa di piano all'interno del software direttamente nel centro di massa,tale massa è stata suddivisa in masse concentrate da inserire in corrispondenza dei vari nodi del modello, valutate attraverso la per zone di in uenza.


CAPITOLO 7.

7.1.3.2

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

239

Azione sismica

Per e ettuare l'analisi di pushover è necessario applicare al modello un sistema di forze che hanno il compito di spingere la struttura in campo plastico no al raggiungimento del collasso. É quindi necessario determinare la domanda e, in una fase di veri ca strutturale, confrontarla con la capacitĂ . La domanda è da riferire all'evento sismico ed è associata allo spettro di risposta relativo al sisma di progetto della zona considerata. Per e ettuare il confronto tra l'analisi statica e l'analisi dinamica non-lineare è ne-


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

240

cessario considerare in quest'ultima un insieme di accelerogrammi che siano spettrocopatibili rispetto allo spettro di risposta selezionato. Tale aspetto verrà descritto successivamente con maggiore dettaglio. Nell'ambito dell'analisi svolta si è scelto di localizzare la struttura nella città di Foggia, considerata come città signi cativa della sismicità pugliese. Attraverso l'utilizzo del foglio di calcolo Excel Spettri-NTC è stato possibile ricavare gli spettri di risposta rappresentativi delle componenti (orizzontale e verticale) delle azioni sismiche. La de nizione degli spettri relativi ad un dato stato limite è articolata in tre fasi, ciascuna delle quali necessita della de nizione di determinati parametri da parte dell'utente. Le seguenti immagini mostrano le schermate delle fasi e il riepilogo dei parametri impostati.


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

241


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

242

Inseriti i dati si ricavano gli spettri elastici e anaelastici in funzione allo stato limite in esame e alla componente di interesse. (Vedi ALLEGATO B)

7.2

Modellazione delle strutture in SeismoStruct

De niti i dati necessari dell'analisi, è necessario procedere alla modellazione della struttura all'interno del software SeismoStruct. Per facilitare la creazione degli elementi e della struttura il software presenta una procedura guidata (SeismoStruct Wizard) in cui l'utente de nisce il modello strutturale (2D o 3D), la con gurazione strutturale con la scelta del numero di telai, campate e piani e la de nizione delle loro dimensioni. La fase di modellazione della una struttura spaziale necessita di particolari attenzioni in relazione alle caratteristiche meccaniche dei materiali, alla modellazione del solaio e del centro di massa.

7.2.1 Discretizzazione degli elementi Lavorando nell'ambito di un software agli elementi niti ed a plasticità di usa, al ne di ottenere una maggiore accuratezza nella soluzione dei problemi, soprattutto ai ni delle eventuale localizzazione di bre di controllo di particolare rilevanza (ad esempio in prossimità dei nodi trave-colonna), il software permette di scindere ogni elemento strutturale in piÚ elementi niti, nel caso studio si è optato per suddividere ogni elemento strutturale in 4 diversi elementi.


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

243

Figura 7.10: Esempio di discretizzazione degli elementi strutturali

7.2.2 Caratteristiche meccaniche dei materiali Per poter ottenere risultati realistici in termini di comportamento strutturale nonlineare, è opportuno compiere una scelta oculata delle caratteristiche meccaniche dei materiali, in particolare, sono stati scelti modelli costitutivi del calcestruzzo e dell'acciaio che tenessero conto, seppur in maniera sempli cata, del comportamento plastico del materiale, della non-linearità post snervamento e relativamente al solo calcestruzzo, dell'in uenza del con namento. Il software presenta librerie di materiali che possono essere adattati in funzione delle caratteristiche delle strutture, ma non o re la possibilità di implementare modelli costruttivi ulteriori.. 7.2.2.1

Modellazione non-lineare del calcestruzzo

Si è adottato un modello costitutivo del calcestruzzo di erente per la zona con nata (core) e quella non con nata; la principale di erenza è nella scelta del coe ciente di con namento: il calcestruzzo con nato (con_cc) segue un legame uniassiale non-lineare caratterizzato da un con namento costante lungo l'intero range di sforzo/deformazione, garantito dall'armatura trasversale. Tale modello è stato inizialmente proposto da Madas (1993) e segue la relazione costitutiva dovuta a Mander,


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

244

Priesley e Park (1988) e modi cata successivamente da Martinez-Rueda ed Elnashai (1997) per risolvere problemi di instabilità numerica in presenza dei grandi spostamenti. La risposta uniassiale tipica di questo modello costitutivo è rappresentata dall'immagine seguente:

Figura 7.11: Comportamento a compressione nel modello di cls proposto da Mander,Priesley e

Park

dove fco e εco rappresentano rispettivamente la tensione e la deformazione corrispondenti al punto di picco di resistenza a compressione per il calcestruzzo non con nato mentre fcc e εcc quelle relative al materiale con nato. Lo sforzo longitudinale di compressione del calcestruzzo, in corrispondenza di carichi monotoni e quasi-statici è dato da:

fc =

fc · x · r r − 1 + xr

εc εcc

r=

(7.8)

in cui:

x=

Ec Ec − Esec

(7.9)


CAPITOLO 7.

245

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

con:

Îľcc = Îľco 1 + 5

fcc −1 fco

p Ec = 5000 fco

Esec =

fcc Îľcc

(7.10)

Per calibrare il modello e quindi descrivere le caratteristiche meccaniche del materiale SeismoStruct richiede la de nizione di cinque parametri:

ˆ

Resistenza a compressione - fc É la resistenza a compressione di un provino cilindrico (100x200 mm); in genere tale valore varia da 15MPa e 45Mpa. É un parametro assimilabile a quello proposto dalla normativa italiana (fck = valore caratteristico della resistenza a compressione del cls) osservando però che in questo ultimo caso i provini presentano dimensioni di erenti ma rapporti b/h uguali (cilindri 150x300 mm). Per le analisi è stato assunto fc = 30000 kP a (valore corrispondente circa ad N un Rck = 35 mm 2 );

ˆ

Resistenza a trazione - ft Rappresenta la capacitĂ del materiale di resistere agli sforzi di trazione. Per la sua determinazione il software consiglia l'uso della formulazione proposta da Priestley (1995) che pone tale parametro pari a:

ft = kt

p

fc

(7.11)

con kt che varia da 0,5 per calcestruzzo in trazione pura e 0,75 per il calcestruzzo in essione. Si assume che quando il calcestruzzo raggiunge la resistenza di trazione non si abbia una tension softening . Per le analisi si è posto ft =

2000 kP a;

ˆ

Deformazione al picco di tensione - ξco É la deformazione in corrispondenza al punto di picco della forza di com-


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

246

pressione fc ; nelle comuni applicazioni tale parametro presenta un intervallo di variazione da 0,002 a 0,0022. Nel caso in esame è stato considerato ξco = 0., 002;

ˆ

Fattore di con namento - kc La formulazione di questo parametro è stata proposta in maniera di erente da numerosi ricercatori; nel software in esame è inteso come il rapporto tra la resistenza di compressione del calcestruzzo con nato e quello del calcestruzzo non con nato. Il parametro kc è utilizzato per scalare la relazione sforzodeformazione su tutto il range di sforzo e cioè:

kc =

fcc fco

(7.12)

fi fi −2 − 1, 254 fco fco

(7.13)

Per Mander si ha:

s kc = 2, 354

1 + 7, 94

essendo fl la pressione laterale di con namento. Nel modello in esame kc = 1, 2;

ˆ

Peso speci co - γ Rappresenta il peso per unità di volume del calcestruzzo ed è stato assunto pari a 24 kN/m3 .

Per il calcestruzzo non con nato l'unico parametro che varia è il coe ciente di con namento, che risulta essere pari a 1. Alla luce di ciò i due diagrammi sforzo-deformazione del calcestruzzo con nato e non con nato per stato di sforzo monodirezionale sono :


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

Figura 7.12: Diagrammi

7.2.2.2

σ/ε:

247

(a) calcestruzzo con nato; (b) calcestruzzo non con nato

Modellazione non-lineare dell'acciaio

L'armatura degli elementi strutturali in calcestruzzo è stata modellata attraverso il modello bilineare (stl_bl) della libreria del software, de nendo i parametri secondo le esigenze del caso. Si tratta di un modello costitutivo con incrudimento cinematico, per cui il range elastico rimane costante per tutte le fasi di carico, mentre l'incremento


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

248

della deformazione plastica è rappresentata da una funzione lineare caratteristica dell'incrudimento. Per la calibrazione del modello sono richiesti i seguenti parametri:

Modulo di elasticità - Es É la rigidezza elastica iniziale del materiale, si è considerato Es = 2, 00·108 kP a;

Resistenza allo snervamento - fy Rappresenta la deformazione in corrispondenza dello snervamento, è stata assunta pari a 500000 kP a;

Coe ciente di incrudimento nelle tensioni - µ É dato dal rapporto tra la rigidezza post-snervamento (Esp ) e la rigidezza elastica iniziale (Es ) del materiale. In particolare si avviene

Esp =

fult − fy εult −

fy Es

(7.14)

dove fult e εult rappresentano la massima resistenza e deformazione del materiale. Si è assegnato fy = 0, 005;

Peso speci co - γ Rappresenta il peso per unità di volume dell'acciaio ed è stato assunto pari a

78 kN/m3 .


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

249

Il diagramma sforzo/deformazione di riferimento , per sollecitazione :

Figura 7.13: Diagramma

Ďƒ/Îľdell'acciaio

7.2.3 Modellazione della sezione trasversale Sono state modellate cinque di erenti sezioni, aventi le proprietĂ geometriche e strutturali sopra descritte al Â&#x;7.1.1. Ad ogni componente della sezione trasversale è stato assegnato il materiale di riferimento:

Figura

7.14:

trasversale

Schermata del software SeismoStruct relativa alla modellazione della sezione


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

250

7.2.4 Vincoli interni ed esterni - modellazione del solaio L'edi cio è stato vincolato al suolo con vincoli incastro. I vincoli di piano e quindi la modellazione del solaio hanno richiesto particolare attenzione. Quando si a ronta la schematizzazione/modellazione di una struttura bisogna porsi l'obiettivo di rendere il modello rispondente alla realtà . A nchè si possa a ermare che una struttura spaziale presenti tre gradi di libertà per ogni piano i solai devono risultare su cientemente rigidi: questo comporta la possibilità di condensare le masse e i momenti di inerzia degli impalcati nei baricentri di piano. A questo si aggiunge la necessità di ripartire le forze orizzontali sugli elementi resistenti senza che si abbiano deformazioni anelastiche durante il sisma. Solitamente si parla di diaframma rigido e cioè di un piano la cui deformabilità non in uisce sugli spostamenti orizzontali. Veri cata l'indeformabilità del solaio reale (la normativa italiana pone un limite inferiore alla dimensione della soletta a nchÊ si possa de nire tale un solaio) bisogna tradurre questo nel modello. All'interno del software si può procedere in piÚ modalità di erenti; le due principali sono l'inserimento di un vincolo diaframma o l'inserimento di bielle equivalenti. In particolare, se nel caso dell'analisi modale per la determinazione delle caratteristiche dinamiche della struttura entrambe le modellazioni hanno dato risultati soddisfacenti, nel caso dell'analisi MPA si è costretti ad utilizzare la modellazione a bielle. La necessità di individuare il CM, in corrispondenza del quale applicare i pro li di carico, ha richiesto l'inserimento di un nodo strutturale ttizio de nito come l'incrocio delle bielle e da queste connesso ai vincoli e, come si può osservare nell'immagine:


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

251

Figura 7.15: Modellazione solaio: disposizione delle bielle

Le bielle sono state modellate come elemento beam elastico avente un modulo elastico elevato.

7.3

Caratteristiche dinamiche della struttura

Modellata la struttura, si prosegue con la determinazione delle caratteristiche dinamiche della struttura attraverso l'avvio di una analisi agli autovalori (analisi modale). L'individuazione dei periodi di vibrazione e delle forme modali risulta indispensabile sia per la de nizione dei pro li di carico da applicare alla struttura che per analizzare le caratteristiche modali della struttura irregolare. Si riportano di seguito i risultati del modello con le bielle sottolineando che quelli ottenuti modellando il solaio con il vincolo diaframma presentano di erenze minime.


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

252

Tabella 7.1: Periodi, frequenze e masse modali

Dai risultati dell'analisi modale si può osservare come i periodi dei primi modi siano molto vicini tra di loro, in conseguenza all'eccentricità in entrambe le direzioni tra il CM e il CR, in tutti i modi si ha un accoppiamento latero-torsionale: ai moti traslazionali si associano anche rotazioni. Il primo modo ha una componente traslazionale prevalente lungo l'asse x mentre il terzo modo lungo l'asse y; il secondo ed il quarto modo risultano essere modi torsionali dato che attivano masse partecipanti simili nelle due direzioni. A nchè si attivi una massa totale dell'85/90% nelle due direzioni si devono quindi considerare almeno i primi quattro modi di vibrare. Da quanto detto si può osservare come in una struttura irregolare -a di erenza di una regolare- a contribuire alla risposta strutturale intervengono anche i modi superiori al primo: quest'ultimo non è piÚ de nibile come modo principale. Detto questo, si può a ermare che la risposta della struttura non può essere valutata impiegando analisi 2D in ogni direzione ortogonale separatamente e che quindi un modello spaziale della struttura risulta necessario per l'analisi. L'accoppiamento dei modi è ben visibile nelle immagini seguenti


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

Figura 7.16: Modo 1

Figura 7.17: Modo 2

253


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

Figura 7.18: Modo 3

Figura 7.19: Modo 4

254


CAPITOLO 7.

255

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

Non meno importante è la considerazione che, dato che la struttura non si comporta in modo indipendente nelle due direzioni ortogonali e, cioè,che il movimento in direzione x in uenza il movimento in direzione y, sembra più ragionevole analizzare la struttura nel suo insieme (in un'analisi 3D) e non con analisi separate per ogni direzione ortogonale, anche quando si lavori con un modello spaziale della struttura. Poiché che utilizzare un modello spaziale su cui eseguire analisi distinte nelle due direzioni comporta la necessità di una successiva combinazione dei risultati, questo implicitamente signi ca che,così come appare più realistico considerare due o più componenti dell'azione sismica agente contemporaneamente, sembra anche più realistico eseguire analisi pushover 3D, e non solo l'analisi pushover di un modello 3D, applicando il carico contemporaneamente nelle due direzioni di eccitazione.

7.4

Pro li di carico

Ricordando che l'analisi MPA prevede l'impiego di più pro li di carico proporzionali ai modi di vibrare presi in esame secondo l'espressione:

   {Sn } =  

[Mx ] [My ]

   {φxn }     {φyn }     [I0 ] {φθn }

  Sx1    {S1 } = Sy1     Sθ1

        

=

  {Sx }   

    

   

   

{Sy } {Sθ }

=

   Sx2        ... ; {S2 } = Sy2             Sθ2     

                        

  Sx1    ...     Sxn   Sy1    ...     Syn   S    θ1

                  ...           Sθn

             

                        

(7.15)

        

                           

(7.16)

è opportuno de nire la matrice massa e le forme modali in riferimento ai centri di massa dei vari impalcati. Nel caso di strutture spaziali risulta importante la scelta


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

256

del punto di applicazione delle forze di piano. Diversi Autori hanno mostrato che la soluzione piÚ e ciente e logica sia quella di applicare la risultante delle forze di piano nel centro di massa (CM) del piano considerato. Tale assunto è validato dal fatto che le forze laterali di spinta cercano di simulare le forze di inerzia che si innescano in seguito all'azione sismica e che quindi non possono che essere distribuite proporzionalmente alla distribuzione delle masse a livello dei singoli piani. Dalla geometria delle masse si ricorda che la forza risultante passa per il centro di massa del piano considerato. Se la struttura presenta solai in nitamente rigidi, è allora possibile applicare direttamente un'unica forza di pushover per ogni piano direttamente nel CM del piano considerato; l'in nita rigidità del solaio farà si che le forze siano distribuite a livello di piano fra i vari elementi della struttura.Dato che il modello di studio presenta tali caratteristica è possibile condensare l'intera massa nei CM di piano ottenendo quindi la matrice:        f M =     

            

0

0

0

mCM 2

0

0

0

mCM 3

   

   

216.84





mCM 1

   

0

0

0

[My = Mx ]

0

0

0

[I0 = Mx ]

0

0

0

216.84

0

0

0

180.58

(7.17)



    

      ton =     

0

0

0

[My = Mx ]

0

0

0

[I0 = Mx ]

      ton     

(7.18)

Per quanto riguarda le forme modali , queste sono state ricavate direttamente dal software in termini di spostamento dei centri di massa che sono stati normalizzati rispetto il valore massimo delle componenti di ogni vettore modale. Si può osservare che la normalizzazione può avvenire secondo diverse modalità ottenendo di conseguenza valori di erenti del pro lo di carico; questo non deve destare preoccupazione perchÊ quello che interessa sono i rapporti relativi tra le componenti del vettore di carico. I carichi infatti saranno comunque ampli cati proporzionalmente attraverso un fattore di carico no al raggiungimento, da parte del punto di controllo scelto, dello spostamento target: non importa quindi il valore di partenza del vettore forza ma l'andamento del pro lo.


CAPITOLO 7.

257

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

In particolare i primi quattro modi sono rappresentati dai seguenti vettori:                     2.01E − 01  8.44E − 06  −3.07E − 01  −1.36E − 05                                                  5.16E − 01 2.16E − 05 −7.26E − 01 −3.22E − 05                                                         7.47E − 01 3.13E − 05 −1.00E + 00 −4.44E − 05                                                 2.84E − 01 1.19E − 05 1.34E − 01 5.94E − 06                         ¯ ¯ ¯ ¯ ⇒ φ2,N OR = ; φ2 = ⇒ φ1,N OR = φ1 = 7.03E − 01 2.95E − 05 3.06E − 01 1.36E − 05                                         1.00E + 00 4.19E − 05 4.12E − 01 1.83E − 05                                                        1.22E − 06  2.16E − 02 9.06E − 07 2.75E − 02                                                5.07E − 02  2.12E − 06  6.23E − 02        2.77E − 06                                  6.89E − 02   2.89E − 06   8.28E − 02   3.68E − 06          −3.49E − 06  −1.03E − 01                  −9.48E − 06  −2.80E − 01                     −4.22E − 01 −1.43E − 05                    2.39E − 01 8.10E − 06          ¯ φ¯3 = ⇒ φ = 2.22E − 05 6.55E − 01 3,N OR                3.39E − 05  1.00E + 00                     −5.01E − 02 −1.70E − 06                  −1.26E − 01 −4.27E − 06                 −6.12E − 06    −1.81E − 01

   3.25E − 05       2.25E − 05        −3.15E − 05       −1.71E − 05    ; φ¯4 = −1.13E − 05           1.64E − 05               −3.48E − 06             −2.18E − 06            3.59E − 06                          

                        

(7.19) 

⇒ φ¯4,N OR

                       

   1.00E + 00       6.93E − 01        −9.70E − 01       −5.26E − 01    = −3.47E − 01      5.03E − 01        −1.07E − 01       −6.72E − 02       1.10E − 01

(7.20)

e hanno le forme rappresentate nella seguente gura:

Figura 7.20: Forme modali nelle due direzioni x,y

Utilizzando come ausilio il software Matlab si sono determinati i seguenti quattro

                                               


CAPITOLO 7.

258

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

pro li di carico, implementando la relazione 5.5:         −6.66E + 01                    −1.58E + 02                      −1.81E + 02                   2.90E + 01          ; {S2 } = {S1 } = 6.63E + 01                7.44E + 01                     5.97E + 00                       1.35E + 01               1.49E + 01 

     4.37E + 01             1.12E + 02               1.35E + 02             6.16E + 01        ; {S3 } = 1.52E + 02          1.81E + 02               4.69E + 00              1.10E + 01             1.24E + 01

     −2.24E + 01             −6.07E + 01               −7.62E + 01              5.19E + 01       ; {S4 } = 1.42E + 02          1.81E + 02               −1.09E + 01              −2.74E + 01             −3.27E + 01

        1.50E + 02        −1.75E + 02       −1.14E + 02     −7.53E + 01     9.09E + 01        −2.32E + 01       −1.46E + 01       1.99E + 01  2.17E + 02

(7.21)

I pro li di carico sono rappresentati nella seguente gura:

Figura 7.21: Pro li di carico

S1 ,S2


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

Figura 7.22: Pro li di carico

259

S3 , S4

L'ALLEGATO C mostra come a seconda della normalizzazione scelta per la forma modale, si ottengano pro li di carico di medesimo andamento ma con valori di erenti ma rapporti relativi uguali. Determinati i pro li di carico, è possibile applicarli al modello costruito per l'analisi di spinta

Figura 7.23: Esempio di sistema di pro li di carico nelle tre direzioni (x, y, θ )

Dopo aver riscontrato un non convincente comportamento del software all'applicazione del momento torcente sotto la forma di una coppia, si è pensato di applicare


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

260

ad ogni livello un sistema di coppie staticamente equivalenti. A titolo esempli cativo nella seguente gura si riporta come si è proceduto per il pro lo di carico proporzionale al primo modo:

Figura 7.24: Schematizzazione delle forze equivalenti al momento torcente, esempio di pro lo di

carico

De niti i pro li di carico, si eseguono, per ognuno di essi, analisi di pushover nelle due direzioni del piano x, y.

7.5

Curve di capacitĂ

Come ampiamente discusso nei capitoli precedenti il risultato immediato di una analisi di pushover sono le curve di capacitĂ . De nito uno spostamento target al centro di massa del terzo livello (copertura), si avviano le analisi e si ricavano le curve relative di pushover, due per ogni pro lo


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

261

di carico proporzionale al modo (x,y). A partire dalle curve di capacità riferite al sistema MDOF si ricavano quelle del sistema SDOF equivalente per mezzo del coe ciente di partecipazione modale (vedi cap. 5). Un primo elemento che evidenzia la maggiore complessità di un problema spaziale rispetto ad uno piano è la determinazione del coe ciente di partecipazione. Infatti, a partire dalle relazioni:

Γn =

Ln Mn

   φ¯T M flx xn Ln =  fl  φ¯T M

fφ¯n Mn = φ¯Tn M

y

yn

per u¨gx (t)

(7.22)

per u¨gy (t)

si ha che per ogni modo si devono identi care i valori di Γ per ogni direzione e per ogni modo(per lo studio in esame interessano Γix e Γiy ). Di seguito si riporta la determinazione della curava di capacità corrispondente al primo modo.

Si ha:

fφ¯1,N ORM M1 = φ¯T1,N ORM M T     −3.07E − 01              −7.26E − 01                216.84 −1.00E + 00                    0 1.34E − 01           = 0 3.06E − 01                 4.12E − 01               2.75E − 02            6.23E − 02            8.28E − 02 

0

0

216.84

0

0

180.58

    

0

0

[My = Mx ]

0

0

(7.23)

     −3.07E − 01              −7.26E − 01              −1.00E + 00              0 1.34E − 01           3.06E − 01  = 3.72E+2       0   4.12E − 01              2.75E − 02  [I0 = Mx ]             6.23E − 02            8.28E − 02 


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

fl1 = L1x = φ¯T1n M T     −3.07E − 01             −7.26E − 01                 216.84 −1.00E + 00                    0 1.34E − 01           = 0 3.06E − 01               4.12E − 01                2.75E − 02             6.23E − 02            8.28E − 02 

0

0

216.84

0

0

180.58

    

0

0

[My = Mx ]

0

0

262

(7.24)                       0         0         [I0 = Mx ]            

  1       1        1       0     = −4.04E + 2 0      0       0       0       0 

Eseguendo tutti i calcoli, si ottiene riassuntivamente:

Tabella 7.2: Coe cienti di partecipazione modale

Determinati i coe cienti di partecipazione modale, è ora possibile determinare le curve di capacità. Si riporta a titolo esempli cativo la curva del sistema MDOF scalata per dare le curve del sistema SDOF equivalente in corrispondenza di uno spostamento target lungo x del CM3 di 0,20m:


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

263

Figura 7.25: Curva di capacità MDOF/SDOF

7.6

Determinazione della domanda in spostamento

Dall'analisi del sistema SDOF si determinano le domande massime in spostamento che vengono convertite nuovamente -attraverso il coe ciente di partecipazione- in domande del sistema MDOF. Facendo ora riferimento alla sola curva del sistema equivalente SDOF si determina prima la curva bilineare; come già descritto in precedenza la determinazione della curva linearizzata si basa su due ipotesi: il passaggio del tratto elastico per il valore ∗ 0.6Fbu e l'uguaglianza delle aree.


CAPITOLO 7.

264

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

Figura 7.26: (a) costruzione bilineare; (b) curva bilineare

La determinazione della bilineare quindi richiede la soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite (taglio di snervamento Fy∗ e relativo spostamento d∗y ). In riferimento all'immagine (7.26a) si deve risolvere il sistema:

  ∗ ∗ ∗ ∗    area(curva.di.capacit`a) = area(bilineare)  A = [du +(du −dy )]Fy 2 = 0.6Fy∗ Fy∗    pendenza(0.6F ∗ ) = pendenza(F ∗ )  = d d∗ ∗ bu

y

0.6Fy

(7.25)

y

dove l'area sottesa dalla curva può essere calcolata in maniera molto semplice come somma di trapezi in nitesimi:

Figura 7.27: Schema della procedura di calcolo dell'area sottesa la curva di pushover


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

265

n

d1 V1 X [Vi + (Vi+1 − Vi )](di+1 − di ) A= + 2 2 i=2 Procedendo in tal modo per le varie distribuzioni e nelle due direzioni si ottengono le seguenti curve:


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

266

Determinato il sistema equivalente ad un grado di libertà, si procede con l'individuazione della domanda massima in spostamento. A tal ne si calcola il periodo del sistema SDOF, e in funzione di tale valore dello spettro elastico preso in considerazione (vedi ALLEGATO B) determina lo spostamento massimo d∗max impiegando la relazione proposta dalla normativa e riepilogata nel capitolo 5. Si riporta la procedura eseguita per il solo modo 1 e in direzione x. Il periodo elastico del sistema SDOF è:

s

m∗1x d∗y,1x ∗ Fy,1x

(7.26)

flx m∗ = L1x = φ¯T1 M

(7.27)

∗ T1x

= 2π

dove nel caso spaziale:

e quindi:

s ∗ T1x = 2π

4, 04 · 102 7.56 · 10−2 = 1, 42 s 5, 99 · 102

Noti i parametri dipendenti e indipendenti dello spettro, nel caso in esame risulta


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

267

∗ < TD e di conseguenza che TC ≤ T1x

SDe = Se (T )

T∗ 2π

2

(7.28)

con:

Se (T ) = ag SηF0

TC T∗

= 2, 17 m/s2

(7.29)

da cui:

dmax,SDOF = 0, 11 m

(7.30)

che per il sistema MDOF diventa:

dmax,M DOF = Γdmax,SDOF = 1, 087 · 0, 11 = 0, 12 m

(7.31)

Tale valore ha il signi cato della massima domanda in spostamento nella direzione x del centro di massa dell'ultimo impalcato quando la struttura è soggetta al pro lo di carico proporzionale al primo modo, esso può essere rappresentato anche nello spettro elastico in spostamento:

Figura 7.28: Spettro di risposta in spostamento


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

268

Come precedentemente illustrato nel 3.7.1 tale valore può essere determinato attraverso il metodo dello spettro di capacità, nel piano AD. A tal proposito, noto lo spettro si risposta elastico, si determina quello anelastico. Si necessità di calcolare il fattore di duttilità µ e il fattore di riduzione Rµ così de niti:

µ=

Rµ = (µ − 1)

dmax dy

T +1 TC

(7.32)

T < TC

(7.33)

T ≥ Tc

Rµ = µ

da cui l'accelerazione e lo spostamento spettrale del sistema anelastico sono dati da:

Sa = Sd = Nel caso che si sta descrivendo si ha:

µ=

Sde (T ∗ ) d∗y

=

0.111cm 0.075cm

= 1.48

Rµ = (1.48 − 1) 1.419sec = 2.14 per T < TC 0.599sec

Rµ = 1.48 per T ≥ TC

Sae Rµ

µ S Rµ de

(7.34)


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

269

Dall'applicazione delle formule 7.34 con i valori determinati si ottiene:

Figura 7.29: Domanda in spostamento del sistema elastico e anelastico

che permette di ottenere d∗max con una di erenza molto limitata rispetto alla 7.30. A partire dallo spostamento di CM3 si ottiene il pro lo degli spostamenti dei CM degli altri piani dell'edi cio attraverso il vettore degli spostamenti di seguito de nito:

   −3, 07 ¡ 10−1    {d} = Γd∗max {φ1x,N ORM } = 1, 09 ¡ 0., 11 −7, 26 ¡ 10−1      −1.00

          

dmax,CM 3 = −0, 12m ⇒ dmax,CM 2 = −0, 09m dmax,CM 1 = −0, 04m (7.35)


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

270

La stessa deformata si ritroverebbe se si facessero calcolare al software gli spostamenti di CM2 e CM1 in corrispondenza dello spostamento dmax,CM 3 .

Figura 7.30: Schermata del software relativa agli spostamenti dei tre centri di massa

Di seguito si riportano i risultati delle analisi condotte in corrispondenza dei pro li di carico proporzionali ai primi quattro modi, con le relative deformate.

Tabella 7.3: Tabella riassuntiva dei valori delle domande


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

271

Figura 7.31: Rappresentazione gra ca delle domande in spostamento ad ogni livello e per ogno

modo

7.7

Combinazione dei risultati

Per valutare lo spostamento massimo nelle due direzioni (dx e dy ) si procede alla combinazione dei risultati. A tal ne si può procedere con le due di erenti regole di combinazione descritte nel capitolo 5 Se si limita il calcolo agli spostamenti assoluti si ottengono i seguenti risultati, molto simili tra loro con un'inversione di valori nelle due direzioni: lungo l'asse x la regola di combinazione quadratica completa (CQC) fornisce valori inferiori rispetto la regola SRSS, mentre lungo l'asse y la situazione è invertita mantenendo però lo stesso ordine di di erenza tra i valori.

Figura 7.32: Risultati dell'MPA conclusa con due distinte regole di combinazione


CAPITOLO 7.

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

272

Tabella 7.4: Risultati nali (in metri) dell'MPA attraverso due regole di combinazione

Data comunque la sostanziale equivalenza dell'applicazione delle due regole, nel presente caso di studio, i risultati mostrati di seguito fanno riferimento alla sola regola CQC.

7.8

Risultati ed osservazioni

Per presentare i risultati dell'analisi, si è scelto di diagrammare i parametri di spostamento del centro di massa di ogni piano, di quelli di interpiano e gli spostamenti relativi in corrispondenza del piano di copertura. Questi parametri sono stati ritenuti importanti per una descrizione della risposta traslazionale e torsionale della struttura.

Spostamenti assoluti

Come si è visto al punto precedente, un risultato dell'analisi di pushover è l'andamento della domanda in spostamento lungo l'altezza. Confrontando i pro li relativi ai singoli modi e alla loro combinazione si evidenzia l'importanza di una analisi multimodale.


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CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

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Figura 7.33: Pro li degli spostamenti assoluti (metri)

Infatti la risposta complessiva è molto di erente da quella ottenibile con il solo modo di massa partecipante piÚ elevato.

Drift di interpiano

Un parametro essenziale da visualizzare sono i drift (spostamenti relativi) di interpiano, questi sono infatti strettamente correlati alla capacità dell'edi cio di subire un determinato danno. Ciò che interessa allo strutturista -soprattutto nell'ambito della veri ca strutturale- non è tanto il valore degli spostamenti assoluti quanto quello relativo tra i vari livelli in quanto associati al livello di sollecitazione e quindi al livello di danno nell'edi cio. I drift di interpiano sono particolarmente importanti anche per valutare i danni agli elementi non strutturali come tramezzi e tamponature.


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Figura 7.34: Drift di interpiano

Spostamenti torsionali

Un parametro di risposta fondamentale per le strutture spaziali -soprattutto se irregolari- è quello legato alla descrizione degli e etti torsionali. A tal ne un'idea adottata da diversi ricercatori (come ad esempio Fajfar e MarÝsi¢ in [21]) è quella di presentare i risultati delle analisi in termini di spostamento normalizzato rispetto allo spostamento del centro di massa (u/uCM ). Infatti in sistemi che presentano eccentricità di massa il lato essibile è quello piÚ vicino al centro di massa, mentre il lato rigido è quello piÚ lontano. Di seguito sono rappresentati gli spostamenti separatamente in direzione x ed y ottenuti dall'analisi di pushover in corrispondenza dei singoli modi e della combinazione dei risultati.


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Figura 7.35: Visualizzazione dei movimenti torsionali lungo la direzione x

Figura 7.36: Visualizzazione degli e etti torsionali lungo la direzione y

Dalle gure emerge come in questo caso gli e etti torsionali interessano -in entrambe le direzioni- sia il lato rigido che quello essibile, e come i contributi dei vari modi sono di erenti tra di loro.


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7.9

CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

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Confronto tra MPA e ADNL

Al ne di e ettuare considerazioni e valutazioni circa l'a dabilitĂ e l'accuratezza della procedura di pushover modale MPA, si è pensato di confrontare i risultati in termini di pro lo di spostamento e di drift di interpiano ottenuti della suddetta analisi con quelli di una analisi dinamica non-lineare (ADNL). Si deve sottolineare, tuttavia, che nel confronto tra i risultati di una analisi statica equivalente e quelli di un'analisi dinamica è di cile identi care con estrema accuratezza i parametri da rapportare. Nel caso di strutture spaziali la descrizione della risposta dinamica e ettiva (simulata dall'analisi dinamica non-lineare) si complica rispetto al caso piano: a seguito dell'input sismico (che a rigore deve prevedere la contemporanea applicazione delle tre componenti del sisma) si attiva una risposta che mette in gioco tre parametri di spostamento per piano: lo spostamento del CM nella direzione x, lo spostamento del CM nella direzione y , la rotazione di piano. La risposta è associata al taglio alla base nelle due direzioni ed al momento torcente. É evidente come giĂ in un telaio piano il legame taglio alla base-spostamento in copertura -seppur univocamente de nitonon presenta un medesimo istante di tempo in cui si raggiungono i valori massimi di entrambe le grandezze; in una struttura spaziale la situazione si complica e alla variabilitĂ temporale si accompagna una varietĂ di possibili legami parametro di sollecitazione-parametro di spostamento. In ogni caso i massimi degli spostamenti, delle rotazioni, del taglio avvengono tutti in istanti di erenti. In una analisi statica di pushover -caratterizzata da un sistema di carico crescente monotonicamente- invece i valori massimi vengono in genere raggiunti in corrispondenza del medesimo incremento di carico. Tornando al confronto, questo è stato per semplicitĂ limitato ai solo spostamenti. A seconda dell'accelerogramma utilizzato nell'ADNL si sono rapportati tra loro i valori


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CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

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medi e/o i massimi dello spostamento ottenuto dall'analisi dinamica e le domande in spostamento ricavate con l'MPA. Le modalitĂ con cui sono state avviate le ADNL sono riportate nell'ALLEGATO D. Nei diagrammi riassuntivi del confronto sono state riportate le curve relative a: - analisi di pushover MPA; -ADNL con insieme di accelerogrammi naturali; valori medi; - ADNL con insieme di accelerogrammi naturali; valori massimi; - ADNL con accelerogrammi arti ciali spettrocompatibili; valori massimi

Figura 7.37: Confronto in termini di spostamento tra MPA e ADNL


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CASO DI STUDIO: UN EDIFICIO IRREGOLARE IN PIANTA

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Figura 7.38: Confronto tra drift di interpiano ottenuti con diverse analisi

Dal confronto fra i valori di spostamento assoluto dei CM dei vari piani si nota come lungo la direzione x vi è una sostanziale coincidenza tra i risultati dell'MPA e l'ADNL condotta con gli accelerogrammi arti ciali, e una leggera sovrastima rispetto ai risultati massimi dell'ADNL condotta attraverso accelerogrammi narurali; invece i risultati dell'MPA sono da ritenersi conservativi in confronto con i risultati medi dell'ADNL con accelerogrammi naturali. Nella direzione y , invece, l'analisi statica non-lineare sovrastima sempre i risultati dedotti con l'analisi dinamica non-lineare. Il risultato notevolmente conservativo relativo dell'MPA è da attribuire sia alle caratteristiche intrinseche della struttura particolarmente irregolare (eccentricità nelle due direzioni tra CM e CR) sia alle


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approssimazioni alla base della MPA. Si può comunque sostenere che l'MPA, pur essendo in alcuni casi più conservativa, consente una buona approssimazione dei risultati delle ADNL, non possibili con le tecniche di pushover standard. Tale risultato si de nisce evidente al caso studio in esame. Conclusioni di carattere generale potrebbero essere tratte solo con un approfondimento dello studio esteso a più casi. Un confronto sicuramente più corretto sarebbe quello tra i risultati in spostamento in corrispondenza di un determinato paramento di performance, quale ad esempio il raggiungimento della deformazione massima da parte del cls. Va comunque sottolineato che il confronto con i valori medi dei risultati dell'ADNL con accelerogrammi naturali può essere del tutto trascurato: in letteratura è ormai assodato che questo tipo di valori sono sempre ad una fortemente sottostimati.


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7.10

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Confronto MPA 3D/pushover N2 2D

Al ne di evidenziare l'inne cacia della procedura di pushover di normativa (ossia del pushover piano secondo il metodo N2) nel caso di strutture irregolari, si è pensato di confrontare, limitamente alla direzione x, i risultati dell'MPA 3D e di un'analisi di Pushover N2 piano. L'analisi piana è stata condotta con la modalità descritta nell'ALLEGATO E. Il confronto in termini di spostamenti è riassunto nella seguente gura:

Figura 7.39: Confronto tra N2 piana/MPA in termini di spostamento

Ad una prima analisi sembrerebbe che l'analisi piana conduce a risultati ancora piÚ conservativi dell'analisi MPA. Tuttavia questa considerazione non è generalizzabile; piuttosto bisognerebbe osservare che l'andamento dei risultati dell'analisi piana risulta di erente da quella dell'ADNL, al contrario di quello dell'MPA, e che pertanto in presenza di irregolarità le analisi di pushover piane sono poco rappresentative ed i risultati ottenuti sono ina dabili.


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Conclusioni

L'analisi statica non-lineare o analisi di pushover è in pratica la via obbligata -alternativa alla più complessa e di cile da implementare analisi dinamica nonlineare- per la valutazione e la veri ca di edi ci esistenti, spesso progettati per i soli carichi verticali e comunque senza gli opportuni accorgimenti in chiave antisismica. In questi casi infatti, l'analisi elastica lineare conduce a risultati di scarso interesse tecnico: solo un'analisi non-lineare è in grado di valutare in maniera realistica la performance della struttura nei confronti del sisma. Quando l'oggetto dell'indagine è una struttura irregolare, allora le procedure di analisi statica non-lineare comunemente adoperate -e previste dalle normative attualmente in vigore- non permettono di ricostruire in modo realistico le massime risposte che caratterizzano il comportamento della struttura. Per poter migliorare le potenzialità applicative delle analisi di pushover è quindi necessario lavorare fondamentalmente in due direzioni: lo studio di modelli spaziali e lo sviluppo di procedure che tengano conto dell'accoppiamento latero-torsionale degli spostamenti associato all'irregolarità di queste strutture. Tale innovazione delle procedure di analisi di pushover è ad oggi ancora oggetto di studio; tuttavia la procedura presa in esame in questa tesi -ossia l'analisi di pushover modale MPA- si è dimostrata, alla prova di un esempio numerico, estremamente interessante. Tale tecnica di analisi, essendo basata sulla teoria della Dinamica delle Strutture, è concettualmente chiara ed i risultati sono di agevole interpretazione. Il caso applicativo esaminato ha dimostrato come l'applicazione della MPA sia alquanto semplice, e comporti un onere computazionale accettabile, al pari delle convenzionali analisi statiche non-lineari con distribuzione di forze invariante. Ciò, ad esempio, non è riscontrabile nelle procedure di tipo adattivo, che possono costituire una risposta alternativa al problema in esame. Il caso di studio ha riguardato un modello strutturale semplice, ma al contempo fortemente irregolare, che


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potesse mettere in luce potenzialità e criticità della procedura di analisi esaminata. Dal confronto dei risultati ottenuti applicando la procedura di pushover modale MPA ed e ettuando -per lo stesso modello strutturale- analisi dinamiche non-lineari time-history con accelerogrammi naturali e simulati si è potuto riconoscere come la procedura MPA fornisca con accettabile accuratezza la stima della domanda sismica delle strutture irregolari. In particolare, dal confronto in termini di spostamenti tra i risultati delle analisi dinamiche non-lineari e dell'MPA si è osservato che l'MPA fornisce risultati generalmente conservativi ma in generale poco discosti da quelli dell'analisi dinamica non-lineare. Il caso di studio esaminato non è di certo esaustivo ai ni della validazione della procedura MPA. A tal ne va rilevato come anche i risultati presenti in letteratura risultino piuttosto limitati. Innanzitutto, infatti, l'estensione della procedura MPA a strutture irregolari ha riguardato quasi sempre strutture con eccentricità in una sola direzione tra il centro di massa e il centro di rigidezza, mentre nell'esempio numerico discusso nella presente tesi l'eccentricità è -come spesso accade- nelle due direzioni. Inoltre, ai ni del confronto con l'analisi dinamica non-lineare, va osservata una di erenza concettuale di fondo tra i due metodi: l'analisi statica non-lineare spinge la struttura no al collasso, in corrispondenza del quale tutti i parametri di risposta strutturale assumono i valori massimi, mentre l'analisi dinamica non-lineare fornisce come risultato la variazione nel tempo della risposta, e non sempre i massimi di tutti i parametri di risposta vengono raggiunti allo stesso istante. Per superare questo limite, un confronto sicuramente piÚ signi cativo dovrebbe riguardare i risultati in spostamento delle due analisi in corrispondenza del raggiungimento un determinato valore di un parametro di controllo, ad esempio il raggiungimento della deformazione massima da parte del cls. Ulteriore confronto sviluppato nella presente tesi riguarda i risultati dell'analisi MPA e quelli di una convenzionale analisi di pushover piana (secondo il metodo N2, imple-


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mentato dalla normativa). Il paragone degli spostamenti sembrerebbe portare alla conclusione che l'analisi N2 sia ancora piÚ conservativa dell'analisi MPA, e quindi in de nitiva preferibile ai ni dell'impiego progettuale vista la maggiore semplicità di esecuzione. Tuttavia va considerato che se si tengono presenti anche i risultati delle analisi dinamiche non lineari il metodo N2 porta non solo ad errori quantitativi, ma anche e soprattutto ad andamenti qualitativi dei risultati di erenti. In de nitiva, le analisi di pushover piane di tipo N2 si dimostrano inadeguate per edi ci irregolari: la stessa normativa mette in guardia nei confronti di queste -improprieapplicazioni del metodo N2, senza tuttavia o rire soluzioni alternative quali l'analisi MPA, che si dimostra essere un buon compromesso tra e cienza computazionale e a dabilità . In conclusione, si può a ermare che l'analisi di pushover modale MPA è un procedimento promettente, di indubbio interesse. Si deve tener conto però che le valutazioni svolte sono state e ettuate alla luce dell'analisi di un singolo edi cio, caratterizzato da una complessa irregolarità in pianta, localizzato in una ben de nita zona sismica e sollecitato da particolari input sismici spettro compatibili. Sarebbe di certo auspicabile approfondire le potenzialità dell'analisi MPA eseguendo molteplici esperimenti numerici, indagando insiemi di modelli strutturali caratterizzati da una variazione graduale dei parametri che in uiscono sulla risposta. Ad esempio, sarebbe opportuno studiare:

ˆ

un insieme di edi ci a pianta geometricamente regolare con eccentricitĂ , prima unidirezionale e poi bidirezionale, tra il centro di massa e il centro di rigidezza;

ˆ

la variazione dei risultati -anche in confronto con l'analisi dinamica non-lineareal variare dell'intensità sismica e quindi delle caratteristiche di sito. La procedura quindi andrebbe estesa allo studio di edi ci di altezza elevata, in cui l'e etto dei modi superiori è ancora piÚ importante, ed a sistemi strutturali piÚ complessi come ad esempio le strutture miste a telai e pareti.


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