الصف األول الثانوي
منهاج موهبة اإلضافي المتقدم
الرياضيـات
كتـاب الطالب
مت تطوير مادة منهاج موهبة الإ�ضايف املتقدم لت�ستعمل يف املدار�س املن�ضوية يف مبادرة موهبة لل�رشاكة مع املدار�س.
حقوق الن�شر محفوظة لم�ؤ�س�سة الملك عبد العزيز ورجاله للموهبة والإبداع �شارع تركي بن عبدالعزيز الأول �صندوق بريد 300820الريا�ض ،11372المملكة العربية ال�سعودية www.mawhiba.org.sa - الإ�شارة الواردة في هذا الكتاب �إلى ت�صنيف �آير للأداء المعرفي المتقدم مطبوعة بت�صريح من البروف�سور ديبورا �آير ،مالك جميع الحقوق المتعلقة بهذا الت�صنيف.
المحتويات ا�ستعمال كتاب الطالب
6
الوحدة الأولى :المنطق واال�ستدال ل العبارات المتكافئة الن�شاط الأول جداول ال�صواب الن�شاط الثاني لي�س مع ً ا الن�شاط الثالث تب�سيط الرموز المنطقية الن�شاط الرابع
7 8 9 10 11
الوحدة الثانية :المجموعات والبرها ن الن�شاط الأول �إثبات عبارات ب�سيطة المثال الم�ضاد الن�شاط الثاني البرهان الخط�أ الن�شاط الثالث الن�شاط الرابع �أ�شكال فن البيانية
12 13 13 14 15
الوحدة الثالثة :الم�ستقيمات المتوازي ة الأ�شكال المتوازية الن�شاط الأول الم�ستقيمات المتوازية في الأ�شكال الن�شاط الثاني متوازي الأ�ضالع الن�شاط الثالث المربعات في الم�ستوى الإحداثي الن�شاط الرابع
16 17 18 20 22
الوحدة الرابعة :ميل الخط الم�ستقيم ومعادالت ه تقاطع الم�ستقيمات الن�شاط الأول الن�شاط الثاني �إزاحة الم�ستقيمات الن�شاط الثالث �إن�شاء مثلثات من م�ستقيمات الم�سافة الهند�سية الن�شاط الرابع
24 25 26 28 29
الوحدة الخام�سة :تطابق المثلّثا ت العالقات بين �أنواع المثلثات الن�شاط الأول المثلثات ذات الزوايا بالن�سبة : n + 1 : n + 2 : n الن�شاط الثاني تجزئة المثلث �إلى مثلثات متطابقة الن�شاط الثالث المثلثات الم�شتركة ب�ضلع الن�شاط الرابع �شروط التطابق المتعلقة بالم�ساحة الن�شاط الخام�س التحويالت الهند�سية للمثلثات الن�شاط ال�ساد�س
30 31 31 32 32 33 34
الوحدة ال�ساد�سة :العالقات في المثلثا ت ن�صفة الزوايا الن�شاط الأول الأقطار ُم ِّ متباينات المثلث الن�شاط الثاني حركة الو�سيط الن�شاط الثالث المثلثات في دوائر النقاط الت�سع الن�شاط الرابع الج ُزر الن�شاط الخام�س ربط ُ
36 37 37 40 41 43
الوحدة ال�سابعة :الأ�شكال الرباعي ة ت�صغير المربعات الن�شاط الأول تجزئة المثلث �إلى �أ�شكال رباعية الن�شاط الثاني الزوايا الداخلية في الم�ضلعات المنتظمة الن�شاط الثالث حذف مربعات من الم�ستطيالت الن�شاط الرابع
45 46 48 49 50
الوحدة الثامنة :التنا�سب والت�شاب ه الم�ساحات والمثلثات المت�شابهة الن�شاط الأول المثلثات قائمة الزاوية المت�شابهة الن�شاط الثاني الأ�شكال المت�شابهة الن�شاط الثالث تق�سيم الكعكة الن�شاط الرابع
52 53 55 57 59
الوحدة التا�سعة :التحويالت الهند�سي ة الدوران واالنعكا� س الن�شاط الأول تركيب التحويالت الهند�سية الن�شاط الثاني معكو�س التحويالت الهند�سية الن�شاط الثالث هل ي�ؤثر الترتيب في التحويالت الهند�سية؟ الن�شاط الرابع
61 62 63 64 65
الوحدة العا�شرة :الدوائر
الن�شاط الأو ل الن�شاط الثاني الن�شاط الثالث الن�شاط الرابع
ن�سب الدوائر المخروط المثلثات المتما�سة مع الدوائر معادلة الدائرة
الوحدة الحادية ع�شرة :قاعدة بنفورد معلومات عن الوحدة
66 67 68 70 71 72 73
كيفية ا�ستعمال هذا الكتاب الغر�ض من الأن�شطة المت�ضمنة في هذا الكتاب هو م�ساعدتك على �أن ت�صبح متعلم ًا متقدم ًا ،ولهذا ف�إنها �سوف تتحدى قدراتك وتحفزك على القيام ب�أ�شياء عدة ،منها على �سبيل المثال: • ا�ستخدام المهارات التي تعلمتها في درو�سك الأخرى بحيث تطبق مهاراتك على م�شاكل وم�سائل جديدة �أو غير م�ألوفة • التميز باالبداع والمرونة عند القيام بحل هذه الم�شاكل والم�سائل • المثابرة في تنفيذ المهام ،مع تجريب طرق عمل بديلة �إذا لم يحالفك التوفيق من �أول مرة • تطوير مهارات التفكير واال�ستدالل • �شرح نتائج عملك وا�ستنتاجاتك للآخرين لم�ساعدتهم على الفهم والإبداع. لكي ي�صبح طلبة المدار�س الم�شاركة في م�شروع موهبة متعلمين متقدمين ،ف�إن هذه الأن�شطة تركز على �ست قيم واتجاهات و�سمات �أ�سا�سية تعزز هذا النوع من التعلم والتفكير .وهي:
اال�ستق�صاء
�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح اال�ستق�صاء .و�سيكونوا راغبين في التعلم الذاتي ونا�شطين فيه وتواقين �إليه .و�ستظهر عليهم �سمات المبادرة والتفكير الم�ستقل وتحدي االفترا�ضات وطلب البرهان على الم�س ّلمات والتوكيدات .و�سينظمون م�سيرة تعلمهم بفعالية ،منتقلين من ا�ستيعاب المعارف و�إتقان الخطوات العملية �إلى تطوير وجهات النظر ال�شخ�صية والحلول الفردية.
المجازفة
�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح المجازفة .و�سيظهرون الثقة بالنف�س ،ويتناولون الأفكار والظواهر الجديدة عليهم بالتجربة والنقد ،ويقدمون على التخمين وطرح الفر�ضيات ،ولن يزعجهم العمل في ظل ظروف جديدة عليهم .و�سوف يرجئون التو�صل �إلى اال�ستنتاجات قبل ن�ضوجها في �أذهانهم ،ويتحملون نق�ص اليقين الم�ؤقت.
الإبداع
�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح الإبداع واالبتكار .و�سي�صبحوا متفتحو العقول ومرنون في طريقة تفكيرهم ،مع �إظهار اال�ستعداد لالبتكار و�إيجاد حلول متعددة للم�شاكل والمواقف .مع التحلي بالقدرة على تكييف �أ�ساليب عملهم لتتالءم مع الظروف. و�سوف يغدو عملهم مثاراً للده�شة ودلي ًال على الإ�صالة ومتميزاً ب�أ�سلوبهم ال�شخ�صي الخا�ص.
المثابرة
�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح المثابرة .ولن تثبط العقبات وال�صعوبات من عزائمهم ،بل �سي�صرون على موا�صلة بذل الجهود .و�سوف يبرهنون على تميزهم بالت�أني في العمل وااللتزام بالأ�سلوب المنهجي المنظم ،ولن يكلوا �إلى �أن يحققوا النتائج المرجوة ب�أعلى م�ستويات الجودة والدقة الممكنة.
التعاون
�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح التعاون والعمل الجماعي .و�سي�سعون للح�صول على المالحظات والتعليقات على عملهم ،والإدالء ب�آرائهم و�أفكارهم بو�ضوح واخت�صار مع الإ�صغاء �إلى وجهات نظر الآخرين و�أفكارهم ،و�سيتمتعوا بالقدرة على العمل الجماعي واال�ستعداد له ،مع ت�أدية �أدوار متنوعة �ضمن فرق العمل والتمكن من تقييم �أفكارهم و�إ�سهاماتهم.
االهتمام بالمجتمع
�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح االهتمام بالمجتمع .ففي حين يكونوا مدفوعين بالطموح ال�شخ�صي والرغبة في قويا ب�أهمية الإ�سهامات التي يقدمونها للمجتمع تحقيق ًا لم�صلحة الوطن ومنفعة أي�ضا � تحقيق النجاح ،ف�إنهم �سيمتلكون � ً إح�سا�سا ً ً َمن هم �أقل ن�صيب ًا من �أنف�سهم .و�سيكونوا مثا ًال للمواطن ال�صالح المتعاطف مع الم�صلحة الجماعية لمحيطه االجتماعي ،المدرك لأوجه التباين والت�شابه بين الأفراد وال�شعوب ،والواعي بتراثه الثقافي والتراث الثقافي للآخرين ،كما �سيكون الطلبة متجاوبين مع الق�ضايا الأخالقية التي تثار في �سياق درا�ساتهم.
ت�سجيل عملك 6
�سوف يح�صل طلبة المدار�س المن�ضوية في مبادرة موهبة لل�شراكة مع المدار�س على دفتر ي�سجلون فيه جميع الأعمال المتعلقة بهذا الكتاب ،ليتوفر لهم �سجل متكامل عن تح�صيلهم و�إنجازهم في هذا المادة ،ويواكب اكت�ساب وتطوير المهارات وال�سمات التي تجعل منهم متعلمين متقدمين.
الوحدة الأولى المنطق واال�ستدالل
7
معلومات عن الوحدة الأهداف التعليمية للوحدة •الثقة عند تطبيق المنطق الريا�ضي على م�سائل متنوعة •الطالقة في ا�ستخدام المنطق ال�شكلي والرموز المرتبطة به
الن�شاط الأول العبارات المتكافئة � -1ضع �إ�شارة (� )üأمام العبارة ال�صحيحة و�إ�شارة (� )ûأمام العبارة غير ال�صحيحة فيما يلي: � )aإذا كان هذا تمراً فهو ينمو على الأ�شجار. � )bإذا كان ينمو على الأ�شجار فهو تمر. � )cإذا لم يكن تمراً فهو ينمو على الأ�شجار. تمرا فهو ال ينمو على الأ�شجار. � )dإذا لم يكن ً
تمرا فهو ال ينمو على الأ�شجار. � )eإذا كان هذا ً
تمرا. � )fإذا كان ينمو على الأ�شجار فهو لي�س ً
تمرا. � )gإذا لم يكن ينمو على الأ�شجار فهو لي�س ً )h
�إذا لم يكن ينمو على الأ�شجار فهو تمر.
ود ّل ( )Tعلى العبارة (ينمو على الأ�شجار) ،فيمكن كتابة العبارة ()a �إذا َد ّل الحرف ( )Dعلى العبارة (هذا تمر)َ ، بال�صيغة.G D → : � -2أعد كتابة العبارات في ال�س�ؤال الأول با�ستخدام الرموز D :و Gو→ و ~. -3ان�شئ جدول ال�صواب لتثبت �أن .D → G ≡~G → ~D
D → Gو ~G → ~Dهما زوجان متكافئان. -4اكتب جميع �أزواج العبارات المتكافئة في ال�س�ؤال الأول.
8
الن�شاط الثاني جداول ال�صواب الحرف Pيمثل العبارة n" :عدد من م�ضاعفات الرقم ."3 الحرف Qيمثل العبارة n" :عدد زوجي" الحرف Rيمثل العبارة n" :من م�ضاعفات الرقم ."6 عبر عن العبارة R ↔ P ∧ Qبلغتك الخا�صة. َّ -1 -2اثبت �أن � R ↔ P ∧ Qصائبة دائم ًا. عبر عن العبارة المنطقية ~P ∨ ~Q → ~Rبلغتك الخا�صة. -3 ّ � -4أن�شئ جدول ال�صواب لتبين �أن .~P ∨ ~Q → ~R " -5ا�ستخدم جدول ال�صواب لإثبات �أن العبارة التالية خط�أ: عددا زوجي ًا. �إذا لم يكن عدد ما من م�ضاعفات ،6ف�إنه لي�س من م�ضاعفات ،3ولي�س ً -6اكتب مثا ًال عددي ًا يثبت �أن العبارة ال�سابقة خط�أ.
9
الن�شاط الثالث لي�س معاً � -1أن�شئ جدول ال�صواب لإثبات �أن "نفي � Pأو نفي "Qمكافئ لـ "نفي ( Pو ")Q
) P ∨ ~Q → ~(P ∧ Q ~ هذا هو املق�صود بــــِ " لي�س معاً"� ،أو ما يعرف با�سم �رشط .NANDوي�ستخدم يف بع�ض الأحيان الرمز ↑ للداللة عليه. وبذلك ف�إن P ↑ Qتكافئ .~P ∨ ~Q وينتج �إثبات ال�صواب من هذه العملية ال�صواب �إذا كانت قيمة واحدة على الأقل خط�أ.
وبلغة الحياة اليومية ف�إن ذلك يماثل المنطق في العبارة "يموت الإن�سان �إذا لم يح�صل على الماء والغذاء" ،و"يموت الإن�سان �إذا لم يح�صل على الغذاء �أو لم يح�صل على الماء".
بين �إمكانية تطبيق "لي�س مع ًا" لى �أ�شكال ِفن. ّ -2
من الممكن تعريف �أدوات الربط الأخرى بداللة ↑ ،فعلى �سبيل المثال ~P ≡ P ↑ P
معا "pتكافئ «لي�س .»p كون جدول ال�صواب لإثبات �أن « pلي�س ً ّ -3 كون جدول ال�صواب لإثبات �أن P ∨ Q = ( P ↑ P) ↑ (Q ↑ Q). ّ -4 عبر عن P ∧ Qبداللة ↑ فقط. ّ -5 عبر عن P → Qبداللة ↑ فقط. ّ -6
10
الن�شاط الرابع تب�سيط الرموز المنطقية يقول فريد: ،~(a ∧ b) ≡ a ∨ ~bولذلك فنحن ال نحتاج �إىل الرمز ∧. -1هل ما يقوله فريد �صحيح؟ �إذا كان �صحيحاً ،فاكتب ،a ∧ bدون ا�ستخدام الرمز ∧. -2علق على �صواب العبارة:
"�إذا كانت aتق�سم ،bوكانت aتق�سم ،cف�إن aتق�سم ."b ⋅ c -3العبارة ( aتق�سم )bتكتب بالرموز .a | b
�أعد كتابة العبارة يف ال�س�ؤال 2با�ستخدام الرموز.→ ،∧ ,c ، b ، a ، | : � -4أعد كتابة الإجابة على ال�س�ؤال 3با�ستخدام الرموز.→ ،∨،~ ,c ، b ، a ، | : -5لماذا يحتاج عالم المنطق الريا�ضي �إلى ا�ستخدام �أقل عدد ممكن من الرموز ؟
11
الوحدة الثانية المجموعات والبرهان
12
معلومات عن الوحدة الأهداف التعليمية للوحدة •الثقة والقدرة على ا�ستعمال طرائق متنوعة للبرهان مثل (المثال الم�ضاد ،الجدل المنطقي� ،أو الجدل غير المبا�شر).
الن�شاط الأول �إثبات عبارات ب�سيطة �سي�ساعدنا التكاف�ؤ التايل a ⟹ b ≡ ~b ⟹ ~aيف الربهان. يف الأ�سئلة التالية ،يكون mو nعددان �صحيحان موجبان. -1ا�ستخدم العبارة a ⟹ b ≡ ~b ⟹ ~aلإثبات �أن: عددا زوجيا ⟸ mو � nإما زوجيان كالهما �أو فرديان كالهما. �إذا كان ً m + n ً زوجيا ⟸ nعدد زوجي. � -2أثبت �أنه� :إذا كان 2nعدداً ً 3 فرديا ⟸ nعدد فردي. � -3أثبت �أنه� :إذا كان ً n عددا ً
الن�شاط الثاني المثال الم�ضاد العبارات التالية جميعها خط�أ. �أثبت خط�أ ك ٍّل منها ب�إعطاء مثال م�ضاد. -1كل عدد �صحيح يمكن كتابته على ال�صورة 2nيوجد بجانبه عدد �أولي يكبره بواحد �أو ي�صغره بواحد. -2كل عدد �صحيح يمكن كتابته على ال�صورة 6nيوجد بجانبه عدد �أولي يكبره بواحد �أو ي�صغره بواحد. -3كل عدد يمكن كتابته على ال�صورة n2 + 41n + 41هو عدد �أولي. -4كل عدد �صحيح له عدد زوجي من العوامل ،فعلى �سبيل المثال ،عوامل العدد 24هي 1و 2 ،24و 3 ،12و 4 ،8و6 (عددها .)8 � -5أعلى قيمة للزاوية الداخلية في ال�شكل الرباعي هي ( 179°مقربة �إلى �أقرب عدد �صحيح). -6الفرق بين مربعي عددين �صحيحين مختلفين يكون دائم ًا �أكبر من الفرق بين العددين ال�صحيحين. � -7ضمن كل 1000عدد( ،مثل 1000و )1999يوجد عدد مربع واحد على الأقل. -8يوجد عدد �أولي واحد على الأقل في كل عقد من ال�سنوات (مث ًال :العقد 39-30ي�ضم ال�سنوات 31و.)37 13
الن�شاط الثالث البرهان الخط�أ فيما ي�أتي برهانني لإثبات �أن ( 1 = 2من البديهي �إنهما برهانان غري �صحيحني). -1يقول محمد:
2 =1وبرهاين هو: باجلمع ،نح�صل على 3 = 3 من البديهي �أن عبارة � 3 = 3صحيحة ،مما يثبت �صحة فر�ضيتي ،وهي �أن .1 = 2 ا�ستخدم املنطق الريا�ضي لإثبات خط�أ هذا الربهان. -2يقول عبد اللـه:
افر�ض �أن x = y ا�رضب كل طرف من الطرفني يف x 2 اطرح yمن كل طرف من الطرفني حلل كل طرف �إىل عوامله اق�سم كال الطرفني على ( )x-y �إذا كانت ،x = 1ف�إن ،y = 1وبالتعوي�ض يف املعادلة
x=y x = xy 2 2 x -y = xy - y2 )(x + y) (x - y) = y(x-y x +y = y 1 +1 =1 ف�إن 2 = 1 2
ا�ستخدم اال�ستدالل الريا�ضي لإثبات خط�أ هذا الربهان. -3كيف يمكنك التفريق بين (ا�ستخدام) المنطق الريا�ضي واال�ستدالل الريا�ضي لإثبات خط�أ عبارة ما؟
14
الن�شاط الرابع �أ�شكال ِفن البيانية ومو�ضح عليها المناطق الثمانية ،من � 1إلى .8 �إليك �أ�شكال فن لثالث مجموعات ،C ،B ،A َّ A
B 2
3
1
4 6
C
5
7
8
-1اكتب الرموز الدالة على كل منطقة من � 1إلى 8م�ستخدم ًا الرموز ،∪ ،∩ ،C، B، Aو ‘. كون جدو ًال لكل منطقة با�ستخدام العالقة بين المجموعات .C ،B ،A ّ -2 -3اختر �إحدى المناطق ،مثل المنطقة .1
كون جدول ال�صواب با�ستخدام الرموز التي ا�ستخدمت في الإجابة على ال�س�ؤال .1 ّ
-4هل تتفق القيم الموجودة في جداول ال�صواب الخا�صة بال�س�ؤالين 3و 4مع القيم المقابلة لها في جدول ال�صواب الخا�ص بال�س�ؤال 2؟ و�إذا كانت تتفق ،فهل هذا يعني �أن �إجابتك عن ال�س�ؤال الأول �صحيحة؟
15
الوحدة الثالثة الم�ستقيمات المتوازية
16
معلومات عن الوحدة الأهداف التعليمية للوحدة •تو�سيع فهم الم�ستقيمات المتوازية •زيادة الإدراك بالم�ستقيمات المتوازية في الأ�شكال الهند�سية •القدرة على ا�ستعمال الفرق في الإحداثيات لح�ساب الم�سافات
الن�شاط الأول الأ�شكال المتوازية � -1إليك مثل ًثا متطابق الأ�ضالع. A
C
B
�إذا ر�سم خط م�ستقيم موازٍ ل ـِ ،ABو�آخر موازٍ ل ـِ ،BCوثالث موازٍ ل ـِ � ،ACسوف يتكون مثلث جديد� ،إال �إذا تقاطعت هذه الخطوط الثالث في النقطة نف�سها. )aجرب هذا �أكثرمن مرة وتحقق من �صحته. )bهل لجميع المثلثات الأبعاد نف�سها التي للمثلث الأ�صلي؟ )cهل المثلثات الجديدة جميعها متطابقة الأ�ضالع؟ )dهل المثلثات الناتجة من ر�سم م�ستقيمات موازية لأ�ضالع المثلث المتطابق الأ�ضالع �ستكون متطابقة الأ�ضالع �أي�ض ًا؟ و�ضح كيف عرفت. � -2أعد تطبيق الن�شاط مع مثلث متطابق ال�ضلعين ،هل تح�صل دائم ًا على مثلث متطابق ال�ضلعين قيا�سات زواياه هي قيا�سات زوايا المثلث الأ�صلي نف�سها؟ -3كرر الن�شاط ال�سابق بمثلث مختلف الأ�ضالع ،هل تت�ساوى قيا�سات زوايا المثلثات الجديدة مع قيا�سات الزوايا في المثلث الأ�صلي بغ�ض النظر عن مقا�س المثلث؟ -4الآن ،ابد�أ بمربع ،هل تح�صل على مربعات �أخرى؟ متى تح�صل على مربعات؟ -5الآن ،ابد�أ بخما�سي منتظم .ماذا �سيحدث؟ 17
الن�شاط الثاني الم�ستقيمات المتوازية في الأ�شكال الهند�سية في هذه الأ�سئلة ،يجب عليك ا�ستخدام قيم الزوايا المكتوبة في الر�سم ،ولي�س القيا�سات الحقيقية. و�ضح كيف عرفت. -1في هذا ال�شكل الخما�سي المحدب ،هل BCيوازي DE؟ ِّ A E
110° 130° B
120°
120°
60°
C
الر�سم غير دقيق
D
� -2إذا قمنا بمد �أ�ضالع الخما�سي في االتجاهين ف�إننا نح�صل على �شكل النجمة. A
B
C
D
E
)aق�س الزوايا الداخلية E ،D ،C ،B ،Aلهذا ال�شكل �أو ل�شكل م�شابه. ما مجموع هذه الزوايا؟
18
أ�ضالعا متوازية ،فهل يت�ساوى مجموع زواياه الداخلية مع � )bإذا مدت �أ�ضالع �أي �شكل خما�سي محدب �آخر ال يحوي � ً مجموع الزوايا الداخلية لل�شكل �أعاله؟
� )cإذا تم َمد �أ�ضالع ال�شكل في ال� س�ؤال ،1فكم عدد النقاط المتكونة؟ وما مجموع الزوايا الداخلية الناتجة عند تلك النقاط؟
)dهل مجموع الزوايا الناتجة من َمد �أ�ضالع ال�شكل الخما�سي ال�سابق لها المجموع نف�سه لكل �شكل خما�سي م�شابه له يحوي عدداً من الأ�ضالع المتوازية. -3في ال�شكل ال�سدا�سي التالي: A
B 135° C
135° 90°
90° 130° D
140°
F
الر�سم غير دقيق
E
)aهل الم�ستقيمان ABو DEمتوازيتان؟ ف�سر كيف عرفت. )bهل الم�ستقيمان BCو EFمتوازيتان؟ ف�سر كيف عرفت. )cهل الم�ستقيمان CDو AFمتوازيتان؟ ف�سر كيف عرفت.
19
الن�شاط الثالث متـوازي الأ�ضـالع Activity 2 .متوازي الأ�ضالع هو �شكل رباعي فيه كل �ضلعين متقابلين متوازيين Parallelograms
.المربع والم�ستطيل والمعين كلها حاالت خا�صة من متوازي الأ�ضالع
Parallelograms are quadrilaterals in which both pairs of opposite sides are parallel.
.BC وAD ي�ساوي طول كل منAE وطول الخط، م�ستقيم في ال�شكل التاليCDE -1 Squares and rectangles and rhombuses are special cases of parallelograms.
. متوازي �أ�ضالع؟ و�ضح تف�سير �إجابتكABCD هل ال�شكل
1.
A In this figure, CDE is a straight line, and AE is equal in length to AD and to BC. B Is ABCD a parallelogram? Explain how you know. A
105°
B
105°
Not drawn
الر�سم غير دقيق
accurately
75° 75°
E
D
E
C
D C
2.
: نقاط في الم�ستوى الإحداثي4 �إليك-2
Here are four points on a coordinate grid.
y (24, 19) (5, 16)
(17, 10)
(–2, 7)
x a.
Do they form a parallelogram? Explain how you know.
b.
Can you tell if these sets of coordinates would form a parallelogram, without putting them on grid? Can you visualise them and explain their position?
.) هل ت�شكل النقاط متوازي �أ�ضالع؟ و�ضح �إجابتكa
) هل يمكنك تحديد �إذا كانت الإحداثيات التالية تمثل متوازي �أ�ضالع دون تمثيلها على الم�ستوى الإحداثي؟ هل يمكنكb ر�سمها؟ تكوين �صورة ذهنية هذه النقاط (i) (7, 5) (8, 11) مواقعها دون (9, 6) و�شرح (6, 10) (ii)
20
(8, 3)
(10, 10)
)10 ,6( )5 ,10(
(8, 7)
(10, 5)
) 6 ,9( )7 ,8(
) 11 ,8( )10 ,10(
) 5 ,7( ) 1( )3 ,8( )2( 20
.3 3.
y
(48, 59) (–36, 47)
x
الر�سم غير دقيق
(–20, –80) Not drawn accurately
.تكون متوازي �أ�ضالع؟ اكتب الإجابات الثالث الممكنة جميعها ِّ ) ما �إحداثيات النقطة الرابعة التيa مدعمة و�ضح � متوازيof ال�شكل الرابعةthat النقطة لإيجادa طريقة ِ�ص ف،نقاط ثالث � )b a. طريقتك What are the.أ�ضالع coordinates the لي�صبح fourth point will form parallelogram with theأعطيت three� إذا given .بالأمثلة points? Give all three possible answers.
b.
21
escribe a method for finding the coordinates of a point that forms a parallelogram with three given points. D Illustrate your method with an example.
الن�شاط الرابع Activity 4 Squares on a grid المربعات في الم�ستوى الإحداثي
When two pairs of parallel lines are perpendicular, a rectangle is formed. If the p البعد العمودي بين الم�ستقيمات �إذا تعامد زوجان من الم�ستقيمات المتوازية ف�إن ال�شكل الناتج يكون ُ �إذا كان.م�ستطيال perpendicular distance between them, it is a square. . ف�إننا نح�صل على مربع،مت�ساويا المتوازية ً
1.
Draw a pair of parallel lines and measure the perpendicular distance betwe another pair of parallel lines with the same perpendicular distance between of lines are perpendicular to each other.
البعد بينهما ي�ساوي البعد بين ُ ثم ار�سم م�ستقيمين �آخرين متوازيين،البعد بينهما ُ ار�سم م�ستقيمين متوازيين وق�س-1 .الم�ستقيمين ال�سابقين ويكونا متعامدين على الم�ستقيمين ال�سابقين This will form a square.
.نح�صل بذلك على مربع
ما م�ساحة المربع المتكون؟
What is the area of the square that they form? 2.
x =3
-2
x =8
y y =9
y =4 x a.
What are the coordinates of the vertices of this square?
b.
What is the area of the square?
3.
How can you express the coordinates of the vertices of a square that has and which is made from horizontal and vertical parallel lines.
) ما �إحداثيات ر�ؤو�س هذا المربع؟a ) ما م�ساحة المربع؟b
ومكون من م�ستقيمين �أفقيين متوازيين وحدة مربعة100 كيف يمكنك و�صف �إحداثيات ر�ؤو�س مربع م�ساحته-3 ّ وم�ستقيمين ر�أ�سيين متوازيين؟
22
22
-4ما م�ساحة المربع؟ ?What is the area of this square
4.
y )(5, 9
)(9, 6 )(2, 5
)(6, 2
x
Give the coordinates of the vertices of a square made from parallel lines that ar vertical, and which has an area of 100 square units.
5.
-5اكتب �إحداثيات ر�ؤو�س مربع مكون من م�ستقيمات متوازية لي�ست ر�أ�سية �أو �أفقية ،وم�ساحته 100وحدة مربعة.
6a. U sing parallel lines that are not horizontal or vertical, draw some different squar on grid intersections. theirعلى تقاطعات �شبكة الم�ستوى الإحداثي با�ستخدام verticesؤو�سها بحيث تقع ر� إحداثي �6أ -ار�سم مربعات مختلفة في الم�ستوى ال
م�ستقيمات متوازية لي�ست �أفقية وال ر�أ�سية.
Explain how you can be sure they are square.
b.
)bو�ضح كيف يمكنك الت�أكد من �أنها مربعات. ?How do you know that the parallel lines are parallel
)(i
ِ that the two متوازي ٌة الم�ستقيمات من � ّأن التحقق ( )1كيف يمكنك المتوازي َ Howفع ً ال؟)(ii youة do know pairs are perpendicular ?to each other
بع�ضا؟ عمودية على الم�ستقيمات مجموعتي � معرفة �أن perpendicularكيف ( )2 How do أزواجyou know that the two pairs يمكنكhave the same distance as ) (iiiبع�ضها ً ( )3كيف يمكنك معرفة �أن مجموعات الم�ستقيمات لهما البعد العمودي نف�سه عن بع�ضها؟ Work out the areas of the squares you have made.
c.
)cاح�سب م�ساحة المربعات التي ح�صلت عليها.
Give the coordinates of the vertices of a square that has an area of 10 square u
7.
-7اكتب �إحداثيات ر�ؤو�س المربع الذي م�ساحته 10وحدات مربعة.
Only some squares with whole number unit areas can be made by joining coord example an area of 2 is possible, but an area of 3 is not.
وتتكون من تو�صيل النقاط على ال يمكن الح�صول �سوى على عدد محدود من المربعات التي م�ساحتها �أعداد كلية َّ مربع 8. When making squares on grids where the vertices are grid intersections, which م�ساحته ،2ولكن ال يمكن الح�صول على مربع الم�ستوى الإحداثي .فعلى �سبيل المثال ،يمكن الح�صول على possible, and which are not? Explain why others are not possible. م�ساحته .3 -8عند عمل مربعات في الم�ستوى الإحداثي بحيث تكون ر�ؤو�سها عند تقاطعات الم�ستقيمات المكونة للم�ستوى ،ما القيم الممكنة لوحدات الم�ساحة (حتى 20قيمة) ،وما هي القيم غير الممكنة؟ و�ضح لماذا هناك قيم غير ممكنة. 23
الوحدة الرابعة ميل الخط الم�ستقيم ومعادالته
24
معلومات عن الوحدة
About this unit
Unit learning objectives الأهداف التعليمية للوحدة About this unit • Deeper understanding of line equations and their relationship to slopes and intercepts
. •تعميق فهم معادالت الم�ستقيم وعالقتها بالميل والتقاطع
Unit learning objectives
Activity 1 Where lines meet
الن�شاط الأول تقاطع الم�ستقيمات
• Deeper understanding of line equations and their relationship to slopes and intercepts
1.
Activity 1 Differentlines line segments Where meet can be formed by joining up these points.
1.
Different line segments can be formed by joining up these points.
Two of the line segments, when extended, go through the origin.
بنقطة يمران وعند تمديد جزءان منها ف�إنهما. يمكن تكوين �أجزاء مختلفة من خط واحد بتو�صيل النقاط الآتية-1 Two of the line segments, when extended, go through the origin. .الأ�صل direction yyاالتجاه (60, 48)
y direction
(63, 45) (60, 48) (64, 40) (63, 45) (49, 35)
(64, 40)
(50, 32) (48, 30) (49, 35)
x االتجاه x direction
a.
Which pairs of points (50, are on 32)lines that go through the origin?
b.
(48, 30)of these two lines? What are the equations
a. 2.
ما معادلة كل منهما؟ Which pairs of points are on lines that go through the origin? Here are four points. Each pair of points is on a line, making six lines altogether.
b.
are the equations of these two lines? yWhat direction
2.
Here are four points. Each pair of points is on a line, making six lines altogether.
) ما النقطتان من هذه النقاط تقعان على الم�ستقيمين اللذين يمران بنقطة الأ�صل؟a x direction
)b
. م�ستقيمات في الإجمالي6 ومكونة،(على م�ستقيم64, تقع18) كل نقطتين منها، نقاط4 �إليك-2 (40, 16)
yyاالتجاه direction
(64, 18) (40, 16) (32, 10)
(64, 10)
(32, 10)
(64, 10)
x direction a.
What are the equations of the six lines?
b. Apart from the point (64,10) which are the other three coordinates of the points where the lines meet? a.
What are the equations of the six lines?
x االتجاه x direction
) ما معادالت الم�ستقيمات ال�ستة؟a
b. Apart from the point (64,10) which are the other three coordinates of the points where the lines meet?
25
25
ما �إحداثيات النقاط الثالث التي تلتقي فيها الم�ستقيمات؟،)64, 10( ) بخالف النقطةb
25
الن�شاط الثاني �إزاحة الم�ستقيمات يبين ال�شكل نقطة على الم�ستقيم الغامق� ،أزيحت �إلى نقطة مقابلة لها على الم�ستقيم الموازي المنقط. y
b a x
يمكن �إجراء �إزاحة لم�ستقيم بهذه الطريقة عن طريق �إزاحة كل نقطة من نقاطه بمقدار عدد�أ من الوحدات في االتجاه، x مث ًال ،aوعدداً �آخر من الوحدات في االتجاه ،yمث ًال .bويمكن التعبير عن ذلك بالرمز ) .T( a فمث ًال� ،إذا كانت معادلة الم�ستقيم هي ،y = -x + 1ف�إن �صورة النقطة ( )0, 1بت�أثير الإزاحة (T)2, 5 ت�صبح (.)2, 6( = )5 + 1 ،2 + 0 � )a1إذا �أجرينا �إزاحة للم�ستقيم y = 2x + 1بنقل كل نقطة مقدار وحدتين في االتجاه ،xوثالث وحدات في االتجاه � ،yأي بالإزاحة .)2, 3(T
فما معادلة الم�ستقيم بعد الإزاحة؟ � )bإذا �أجرينا الإزاحة )3, 5(Tللم�ستقيم ،y = 2x + 1فما معادلة الم�ستقيم بعد الإزاحة؟ � )cأوجد �إزاحتين تنقالن الم�ستقيم � y = 2x + 1إلى �صورته في الإزاحة ال�سابقة. )dما القاعدة العامة للإزاحة التي تكون �صورة الم�ستقيم y = 2x + 1عندها هي نف�سها؟
26
� )a2أوجد ثالثة �إزاحات تجعل � ًّأيا من الم�ستقيمين � y = -3x + 2 ،y = -3 x + 4صورة للآخ ر. )bما القاعدة العامة لتلك الإزاحات؟ � )a3أوجد �إزاحتين تنقالن الم�ستقيم � y = 5x + 5إلى نف�سه. )bما قاعدة الإزاحة العامة التي تنقل هذا الم�ستقيم �إلى نف�سه؟ )cما قاعدة الإزاحة العامة التي تنقل الم�ستقيم � y = mx + cإلى نف�سه؟ -4ما قاعدة الإزاحة العامة التي تنقل الم�ستقيم � y = mx + cإلى نف�سه؟
27
الن�شاط الثالث �إن�شاء مثلثات من م�ستقيمات �سوف يتكون مثلث من �أية ثالثة م�ستقيمات في الم�ستوى نف�سه ،وذلك ما لم يكن اثنان من الم�ستقيمات متوازيين� ،أو تالقت جميعها في نقطة واحدة. )a1ما ر�ؤو�س المثلث الناتج من الم�ستقيمات الثالثة الآتية؟
y=x+1
y = 2x + 1
y = 3x – 1
)bاكتب معادلة م�ستقيم ال ي�شكل مثلث ًا مع الم�ستقيمين الآتيين:
y = x +2
y = 2x + 2
تكون الم�ستقيمات الثالثة الآتية مثل ًثا؟ و�ضح كيف عرفت ذلك. )cهل ّ
y=x+6
y = 2x + 2
y = 3x – 2
)a2هل ت�شكل الم�ستقيمات الثالثة الآتية مثل ًثا قائم الزاوية؟ و�ضح كيف عرفت ذلك. (y = x + 4 )1
y = 2x + 2
y=6 – x
(y = x + 4 )2
y = 2x + 2
y=8 – x
(y = x + 4 )3
y = 2x + 2
y = 10 – x
) bلكل م�ستقيمين من الم�ستقيمات الآتية اكتب معادلة م�ستقيم ثالث بحيث ت�شكل الم�ستقيمات الثالثة مثل ًثا قائم الزاوية. في كل حالة� ،أوجد �إحداثيات ر�ؤو�س المثلثات التي ح�صلت عليها. هل هناك � ّأي ا�ستثناءات؟
28
(y = x + 5 )1
y = 5x + 5
(y = x – 2 )2
y = 1 – 2x
الن�شاط الرابع الم�سافة الهند�سية أعدادا �صحيحة تبعد 5وحدات عن نقطة الأ�صل. اكتب النقاط جميعها بحيث تكون �إحداثياتها � ً )a2بالن�سبة للم�ستقيمين y = 2xو � y = 3xأوجد: ( )1قيمة xالتي تجعل الم�سافة الر�أ�سية بين الم�ستقيمين ت�ساوي 10وحدات. ( )2قيمة yالتي تجعل الم�سافة الأفقية بين الم�ستقيمين ت�ساوي 10وحدات
ُ )bر�سم م�ستقيمان يمران بنقطة الأ�صل� .أحدهما ،y = 2xوالم�سافة الأفقية بينهما 40وحدة عندما .y = 100 ما معادلة الم�ستقيم الثاني؟ (هناك حالن ممكنان)
-3اثبت �أن الم�سافة العمودية dبين الم�ستقيمين المتوازيين y = 2xو y = 2x + c
يمكن التعبير عنها بالعالقة .d = 0.8 c
� -4أوجد �أق�صر م�سافة ممكنة بين ك ّل م�ستقيمين من الم�ستقيمات المتوازية الآتية: y = x )aو y = x + 1 y = x )bو y = x + 2 y = x )cو) c > 0( ، y = x + c y = x + c )dو )d > c( ،y = x + d "� -5إذا كانت الم�سافة الر�أ�سية بين الم�ستقيمين y = mx - 2و ،y = -2x + c ت�ساوي 5وحدات عندما ،x = 2وت�ساوي 40وحدة عندما ، x = 7ف�أوجد: ( )1قيمتي الثابتين cو .m ( )2ح ًال �آخر لقيمتي الثابتين cو .m
29
الوحدة الخام�سة تطابق المث ّلثات
30
معلومات عن الوحدة الأهداف التعليمية للوحدة ريا�ضية •اكت�ساب القدرة على تطبيق المعرفة ال�سابقة عن التطابق على مهام و�أن�شطة ّ •زيادة فهم كيفية �صياغة براهين التطابق •الفهم المتعمق ل�شروط التطابق
الن�شاط الأول العالقات بين �أنواع المثلثات يوجد �س ّتة �أ�سما ٍء لأنواع المثلثات:
(حاد الزوايا ،منفرج الزاوية ،قائم الزاوية). •ثالثة منها بداللة الزاوية ّ
•وثالثة بداللة الأ�ضالع (مختلف الأ�ضالع ،متطابق ال�ضلعين ،متطابق الأ�ضالع) -1اكتب �أكبر ٍ عدد ممكن من العبارات ال�صحيحة التي تربط بين �أنواع المثلثات بح�سب زواياها و�أ�ضالعها م�ستعم ًال الكلمات "جميع"" ،بع�ض"" ،ال يوجد" .وفيما يلي ثالثة �أمثلة:
حادة الزوايا. المثلثات المتطابقة الأ�ضالع جميعها تكون مثلثات ّ
بع�ض المثلثات قائمة الزاوية تكون مثلثات مختلفة الأ�ضالع.
ال يوجد مثلث منفرج الزاوية ومتطابق الأ�ضالع. -2احذف "العبارات ال�ضعيفة" في �إجابتك عن ال� س�ؤال .1ومن الأمثلة على "العبارات ال�ضعيفة" العبارة "بع�ض زوجية" .ومع �أن هذه العبارة �صحيحة� ،إ ّال �أن العبارة "م�ضاعفات العدد 4جميعها �أعداد م�ضاعفات العدد � 4أعداد ّ أي�ضا وتعتبر عبارة �أقوى. زوجية" �صحيحة � ً ّ منا�سبا (قائمة �أو جدول �أو م�صفوفة) لتعر�ض العبارات ال�صحيحة. �صمم تمثي ًال -3 ً ّ
الن�شاط الثاني المثلثات ذات الزوايا بالن�سبة n : n + 1 : n + 2 -1ما قيا�سات زوايا مثلث الن�سبة بين قيا�ساتها 1 : 2 : 3؟ -2ما قيا�سات زوايا مثلث الن�سبة بين قيا�ساتها 2 : 3 : 4؟ -3اكتب جميع زوايا المثلثات التي تكون الن�سبة بين قيا�ساتها .n: n + 1: n + 2 � -4أكتب �أكبر ٍ اعتمادا على نتائجك ال�سابقة. عدد ممكن من خ�صائ�ص المثلثات ً -5حاول برهنة الخ�صائ�ص التي الحظتها.
31
الن�شاط الثالث تجزئة المثلث �إلى مثلثات متطابقة وعين نقطة المنت�صف لكل �ضلع فيه (ِ .)F ،E ،D و�ص ْل بين كل نقطتين منها لت�شكل �أربعة -1ار�سم المثلث ّ ،CBA مثلثات داخل المثلث الأ�صلي. � -2أثبت �أن المثلثات الأربعة DFE ،DEB ،FCE ،AFDالمر�سومة داخل المثلث الأ�صلي متطابقة.
الن�شاط الرابع المثلثات الم�شتركة ب�ضلع يبين ال�شكل الآتي مثلثين م�شتركين في �ضلع ،هما المثلث ABDو.BCD ّ D C A
B
� -1إذا كان قيا�س الزاوية ABDي�ساوي قيا�س الزاوية ،DBCو ADي�ساوي .DCف�أي العبارات الآتية �صحيحة؟ )aالمثلثان ABDو BCDغير متطابقين. )bقد يتطابق المثلثان ABDو.BCD حتما. )cالمثلثان ABDو BCDمتطابقان ً ار�سم �شك ًال دقي ًقا ي�ؤكد �إجابتك.
32
-2افر�ض الآن �أن المعلومة الوحيدة لدينا حول المثلثين هي �أن قيا�سات الزوايا الثالث ( ،yو xو )zفي المثلث BCD ت�ساوي قيا�سات الزوايا الثالث في المثلث � .BDAأي ،xو ،yو .z )aما عدد الطرق المختلفة لترتيب الزوايا ،xو ،yو zفي المثلث BCD؟ وفيما يلي مثال على ذلك. D C
x
z
y x y
A
z
B
زوجا مختل ًفا من المثلثات. )bكل طريقة لترتيب الزوايا تعطي ً
فما ال�شروط التي تجعل �أزواج المثلثات مت�شابهة؟ وما ال�شروط التي تجعل �أزواج المثلثات متطابقة؟
برر �إجابتك. ّ
الن�شاط الخام�س �شروط التطابق المتعلقة بالم�ساحات المثلثان المتطابقان لهما الم�ساحة نف�سها� ،أما المثلثان اللذان لهما الم�ساحة نف�سها فلي�س بال�ضرورة �أن يكونا متطابقين. ِ �صحة العبارة ال�سابقة. -1 هات مثا ًال يدعم ّ �شرطا للتطابق. -2حدد � ّأي العبارات في ال�صفحتين الآتيتين تمثل ً
وفي كل حالة� ،إذا كانت ال�شروط لي�ست كافية للتطابق ،ف� ِ يبين �أنها لي�ست كافية. أعط تبريرا �أو مثا ًال ّ ً
و�إذا اعتقدت �أنها كافية فبرر ذلك. )aالمثلثان مت�ساويان في الم�ساحة ،وقيا�سا زاويتين في �أحدهما ي�ساويان قيا�سي زاويتين في المثلث الآخ ر. )bالمثلثان مت�ساويان في الم�ساحة ،وطوال �ضلعين في �أحدهما ي�ساويان طولي �ضلعين في المثلث الآخ ر.
33
)cالمثلثان مت�ساويان في الم�ساحة ،وقيا�سا �ضلع وزاوية مجاورة له في �أحدهما ي�ساويا قيا�سي �ضلع وزاوية مجاورة له في المثلث الآخ ر. )dالمثلثان مت�ساويان في الم�ساحة .وقيا�سا �ضلع والزاوية المقابلة له في �أحدهما ي�ساويا قيا�سي �ضلع والزاوية المقابلة له في المثلث الآخ ر. )3هل كل مثلثين لهما الم�ساحة نف�سها والمحيط نف�سه متطابقان؟ تبريرا� ،أو � ِ يبين �أ ّنهما لي�سا متطابقين بال�ضرورة .و�إن اعتقدت �أنهما متطابقان، فقدم �إن كان الجواب الّ ، أعط مثا ًال ّ ً تبريرا لذلك. فقدم ّ ً
الن�شاط ال�ساد�س التحويالت الهند�سية للمثلثات يبين ال�شكل �أدناه المثلث ،T1ور�ؤو�سه هي :نقطة الأ�صل ،و ( )1, 3و (.)4, 0 ّ
أفقية ويطابق المثلث � .T1أما المثلث T2فهو ناتج �إزاحة المثلث .T1 والمثلث المن ّقط T2قاعدته � ّ ()1, 3 31
T2 2T
y
T1 1T x
()4, 0 04
� )1aأوجد معادالت الم�ستقيمات الثالثة التي ت�شكل �أ�ضالع المثلث .T1 � )bإذا �أزيح ر�أ�س المثلث T1الواقع عند نقطة الأ�صل �إلى النقطة ( ،)6, 3فما �إحداثيات الر�أ�سين الآخرين للمثلث T2؟ ؤو�سا للمثلث .T2 )c ّ و�ضح لماذا ال يمكن �أن تكون النقاط ( ،)25, 2( ،)21, 2و ( )22, 6ر� ً � )dإذا ُ�س ِح َب ر�أ�س المثلث T1الواقع عند نقطة الأ�صل �إلى النقطة ( ،)a, 1فاكتب �إحداثيات الر�أ�سين الآخرين للمثلث T2 بداللة .a � )eإذا وقع ر�أ�سان للمثلث T2على الم�ستقيم ،y = -x + 15ووقع ر�أ�سان على الم�ستقيم ،y = 1فما معادلة الم�ستقيم الثالث الذي يقع عليه ر�أ�سا المثلث .T2
34
ُ -2د ّور المثلث T1بزاوية 90ºعك�س اتجاه عقارب ال�ساعة حول نقطة الأ�صل لي�شكل مثلثا ثال ًثا .T3 � )aأوجد �إحداثيات ر�ؤو�س المثلث .T3 � )bأوجد ميل كل �ضلع من الأ�ضالع الثالثة للمثلث .T3 )cقارن بين ميل كل �ضلع للمثلث T3بميل ال�ضلع المناظر له في المثلث T1الذي وجدته في ال� س�ؤال .1ما العالقة بين كل ميلين؟
35
الوحدة ال�ساد�سة العالقات في المثلثات
36 38 21
معلومات عن الوحدة الأهداف التعليمية للوحدة • القدرة على ا�ستعمال الخ�صائ�ص الهند�سية للمثلثات ،وتطبيقها في البراهين ،وحل الم�سائل • الألفة بالبرمجيات الهند�سية ،والقدرة على �إن�شاء �أ�شكال ذات خ�صائ�ص محددة
الن�شاط الأول ن�صفة الزوايا الأقطار ُم ِّ ين�صف الزاويتين ،BADو .BCD -1القطر ACلل�شكل الرباعي ّ ABCD )aما اال�سم الريا�ضي لل�شكل ABCD؟ ريا�ضيا يثبت �صحة �إجابتك على ال�س�ؤال .a1 )bاكتب برها ًنا ًّ -2ين�صف قطرا ال�شكل الرباعي EFGHزوايا الر�ؤو�س الأربعة. )aما اال�سم الريا�ضي لل�شكل EFGH؟ ريا�ضيا يثبت �صحة �إجابتك على ال� س�ؤال .a2 )bاكتب برها ًنا ًّ
الن�شاط الثاني متباينات المثلث -1ما مجال القيم الممكنة لمحيط المثلث الآتي؟
x
3
y ال�شكل ال يلتزم بمقيا�س ر�سم
37 x 9
x
5
يبين ال�شكل �أدناه �أطوال �أ�ضالع مثلثين .وفي الحالتين ت�أخذ xالقيمة نف�سها. ّ -2
x
x
5 ال�شكل ال يلتزم بمقيا�س ر�سم
9 3
15
)aاكتب �أدق متباينة تحققها xفي ك ّل مثلث )bما القيمة الوحيدة الممكنة ِلـ xفي مجموعة الأعداد ال�صحيحة؟ يبين ال�شكل �أدناه �أطوال �أ�ضالع مثلثين .وفي الحالتين ت�أخذ yالقيمة نف�سها. ّ -3
y
y
2
5
2
5
y
y
2
2
ال�شكل ال يلتزم بمقيا�س ر�سم
z
)aما مجال القيم الممكنة ِلـ z؟ و�ضح تبريرك. )b ّ
38
z
-4ا�ستعمل متباينة المثلث لإثبات �أنه ال يمكن ر�سم ال�شكل الرباعي �أدناه بالأبعاد المعطاة. 3 12
2 7
� -5أوجد مجال القيم الممكنة ِلـ xفي ال�شكل الرباعي �أدناه: 4 3
x 5
4 3
x 5
39
الن�شاط الثالث حركة الو�سيط ُع ّينت ثالث نقاط هي ،A :و Bو Gعلى الم�ستوى الإحداثي �أدناه.
y
G
x
A
B
حيث يمثل جزء الخط الم�ستقيم � ABأحد �أ�ضالع المثلث. وتمثل النقطة Gمركز المثلث. � -1أوجد �إحداثيات الر�أ�س الثالث cللمثلث. � -2إذا ُح ّر ِ كت النقطة � Gإلى موقع �آخر على الم�ستقيم y = 2نف�سه ،فما الإحداثيات الجديدة للر�أ�س C؟ دائما. ّ -3 و�ضح كيف يمكنك الت� ّأكد من �أن ذلك �صحيح ً � -4أوجد قاعدة لإيجاد الإحداثي xالجديد للر�أ�س Cبداللة الإحداثي xللنقطة .G دائما على الم�ستقيم ،y = xفما معادلة الم�ستقيم الذي يجب �أن تبقى عليه � -5إذا �أمكن تحريك النقطة Gبحيث تبقى ً النقطة C؟
40
الن�شاط الرابع المثلثات في دوائر النقاط الت�سع يبين ال�شكل �أدناه دائرة عليها ت�سع نقاط .والم�سافات بين كل نقطتين متتاليتين على الدائرة مت�ساوية .ويمكن تكوين ّ مثلثات بالتو�صيل بين هذه النقاط.
عد النقاط بعك�س اتجاه ّ عقارب ال�ساعة!
-1ما عدد المثلثات المتمايزة التي يمكن ر�سمها على دائرة النقاط الت�سع؟
ثالثي الأرقام. حدد ك َّل مثلث با�ستعمال نظام الترميز ّ ّ
مرة واحدة. ار�شاد :تح�سب المثلثات المت�شابهة التي في مواقع مختلفة� ،أو التي كل منها انعكا�س للآخر ّ
-2كيف تت�أكد من �أنك وجدت المثلثات جميعها؟ حددتها؟ -3ما قيا�سات الزوايا في ك ِّل مثلث من المثلثات التي ّ -4ما العالقة بين المثلث وزواياه؟ ناتجا من تو�صيل النقاط على دائرة النقاط الع�شرة؟ -5كيف �ستكون العالقة بين المثلث وزواياه �إذا كان المثلث ً -6كيف �ستكون العالقة بين المثلث وزواياه على دائرة النقاط التي عددها �( nأي دائرة عليها nمن النقاط على � ٍ أبعاد مت�ساوية).؟
41
42
الن�شاط الخام�س الجزُر ربط ُ في عام 1410هجري 1989 /ميالدي �أكمل اتحاد من �شركات االت�صاالت مد خط رئي�س جديد من الألياف ال�ضوئية عبر المحيط الهادئ ُيدعى ،TPC–3يربط بين اليابان وجزيرتي جوام وهاواي. (تقريبا بين � 200ألف ريال جدا مدها عبر قاع المحيط مكلف ًّ وبما �أن ك ًّال من الألياف ال�ضوئية هي نف�سها ،و�أن عملية ّ ً و� 400ألف ريال لكل ميل) ،فقد كان من المهم ل�شركات االت�صاالت �أن تجد طريقة لربط الجزر الثالث ب�أقل تكلفة ممكنة.
N
3910 1620
3820
مهمتك المطلوبة �إذا كنت تعمل م�ست�شار ريا�ضيات لدى اتحاد ال�شركات .وما تريده ال�شركة هي نقطة و�صل مركزية،X ، حيث يكون � XJ + XG + XHأق�صر م�سافة ممكنة -انظر ال�شكل �أدناه. J
H
X
G
43
هند�سيا دينامي ًا ،مثل Geo Gebraلمعرفة النقطة التي مجموع �أبعادها عن ر�ؤو�س المثلث �أقل ما نظاما ًّ -1ا�ستعمل ً يمكن .هل هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث �أم مركز الدائرة التي تمر بر�ؤو�س المثلث؟ �أم مركز المثلث؟ �أم ملتقى االرتفاعات؟
ثم يقوم زميل لك بر�سم ال�شكل �أدناه قائ ًال" :هذا ال�شكل �سي�ساعدك". ثم ير�سم دائرة تمر بر�ؤو�س ك ّل مثلث. فير�سم مثل ًثا متطابق الأ�ضالع على كل �ضلع للمثلث الأ�صلي ،ومن َّ وتعرف النقطة التي تلتقي عندها الدوائر الثالث با�سم نقطة �ستاينر ( ،)Steiner pointحيث تكون نقطة الو�صل المركزية الممكنة.
كلية �أق�صر من تلك التي نظاما ً هند�سيا مثل Geo Gebraلمعرفة ما �إذا كان هذا المدخل يعطيك م�سافة َّ -2ا�ستعمل ً وجدتها في ال� س�ؤال رقم .1 المركزية ،مرف ًقا بمبررات اقت راحاتك. تبين فيه �أين �ستقع نقطة الو�صل تقريرا -3اكتب ّ مخت�صرا لمدير ال�شركات ّ ً ً 44
الوحدة ال�سابعة الأ�شكال الرباعية
45 18
معلومات عن الوحدة الأهداف التعليمية للوحدة • تطوير فهم الطالب لخ�صائ�ص الأ�شكال الرباعية المختلفة
الن�شاط الأول ت�صغير المربعات يبين ال�شكل الآتي �أربعة مربعات .وتقع ر�ؤو�س كل مربع من المربعات الثالثة الداخلية عند نقطة منت�صف �ضلع من �أ�ضالع المربع الأكبر التالي له.
)a1افر�ض �أن م�ساحة المربع الأكبر �100سم ،2اح�سب �أطوال �أ�ضالع المربعات جميعها وم�ساحاتها ،وا�ستخدم هذه النتائج لإكمال الجدول الآتي:
المربع
طول ال�ضلع
1 2 3 4 � )bصف النمط في م�ساحة هذه المربعات. 46
الم�ساحة
ن�سبة م�ساحة المربع �إلى م�ساحة �أكبر مربع
جديدا .ا�ستمر في الطريقة نف�سها )a2ار�سم م�ستطي ًال �أبعاده �16سم ،و�12سم� ،صل بين منت�صفات �أ�ضالعه لتكون �شك ًال ً لعمل �سل�سلة من الأ�شكال المتداخلة. )bماذا تالحظ من هذه الأ�شكال؟ وكون جدو ًال لح�ساب �أطوال �أ�ضالع الم�ستطيالت الداخلية وم�ساحاتها ،ثم )cاتبع الطريقة نف�سها في ال� س�ؤال الأولّ ، اح�سب ن�سبة هذه الم�ساحة �إلى م�ساحة الم�ستطيل التالي الأكب ر. � )dصف النمط في م�ساحة هذه الأ�شكال. -3ار�سم عدة �أ�شكال رباعية مختلفة على ال�صفحة المقابلة مثل :متوازي �أ�ضالع ،و�شبه المنحرف ،وطائرة ورقية� ،أو �أي �شكل رباعي مختلف الأ�ضالع ،واتبع الأ�سلوب نف�سه في الأ�سئلة ال�سابقة .ما الأ�شكال التي �ستح�صل عليها؟ وهل يوجد النمط نف�سه في م�ساحة الأ�شكال المتتالية؟
47
الن�شاط الثاني تجزئة المثلث �إلى �أ�شكال رباعية �إذا و�صلت نقطة داخل المثلث بر�ؤو�سه ،ف�إنها ت�شكل ثالثة مثلثات.
دت نقطتان داخل مثلث ،وو�صل بينهما وبين ر�ؤو�س المثلث ،ف�سينتج عدة ت راتيب .ومختلفة �إليك ثالثة منها: �إذا ُح ِّد ْ مثلثان و�شكل خما�سي واحد
�شكالن رباعيان ومثلث واحد
�شكل رباعي و�شكل خما�سي
)a1ما الأ�شكال الناتجة من و�صل ثالث نقاط داخل المثلث مع بع�ضها ومع ر�ؤو�س المثلث وبطرق مختلفة؟ )bهل يوجد ترتيب منها يت�ضمن �أ�شكا ًال رباعية فقط. معينة كما في ال�شكل �أدناه .فتم تجزئة ُ -2ح ِّددت �أربع نقاط داخل المثلث ،ثم و�صلت ببع�ضها وبر�ؤو�س المثلث بطريقة ّ المثلث �إلى �أربعة �أ�شكال رباعية ،ومثلث واحد هو .1T
1T
)aار�سم مثلث ًا وحدد �أربع نقاط داخله .هل يمكن الو�صل بين النقاط ور�ؤو�س المثلث بطريقة مختلفة بحيث ال يتبقى في الأ�شكال الناتجة �سوى �أ�شكال رباعية فقط (�أي بدون المثلث )T1؟ )bهل تت�أثر النواتج �إذا تغير �شكل المثلث؟ 48
�ست �أو �أكثر داخل المثلث هل ب�إمكانك عمل ت�صميم يق�سم مثل ًثا �إلى �أ�شكال )cماذا ينتج �إذا ُح ِّد َد ْت خم�س نقاط �أو ّ ُ رباعية فقط؟ � )dإذا كانت الإجابة ال ،فما ال�سبب باعتقادك؟ معا ومع ر�ؤو�سه؟ �إذا كانت -3هل يمكن تق�سيم �شكل خما�سي �إلى �أ�شكال رباعية فقط عند و�صل نقاط محددة داخله ً الإجابة ال ،فما ال�سبب باعتقادك؟
الن�شاط الثالث الزوايا الداخلية في الم�ضلعات المنتظمة -1مجموع قيا�سات الزوايا الخارجية لم�ضلع منتظم عدد �أ�ضالعه nي�ساوي ،360°ا�ستخدم هذه القاعدة لإثبات �أن قيا�س زاوية الم�ضلع المنتظم الداخلية الذي عدد �أ�ضالعه nتعطى بالمعادلة:
f (n) = 180 (1– 2 )° جزء من م�ضلع منتظم عدد �أ�ضالعه n
الداخليةelgna الزاويةroir etni الخارجيةelgn الزاويةa roir etxe
-2كم عدد �أ�ضالع �أ�صغر م�ضلع منتظم قيا�س زاويته الداخلية عدد غير �صحيح؟ � -3أوجد عدد �أ�ضالع م�ضلع منتظم قيا�س زاويته الداخلية .156º � -4أثبت �أنه ال يوجد م�ضلع منتظم عدد �أ�ضالعه nيكون قيا�س زاويته الداخلية .155º �صحيحا. عددا -5ما الم�ضلع المنتظم الذي لديه �أكبر عدد من الأ�ضالع ،ويكون قيا�س زاويته الداخلية ً ً � -6أوجد �صيغة ) g(nتمثل الفرق بين قيا�س الزاوية الداخلية لم�ضلع منتظم عدد �أ�ضالعه nوم�ضلع �آخر منتظم عدد �أ�ضالعه ،n - 1واكتبها في �أب�سط �صورة. -7ا�ستخدم ال�صيغة ) g(nفي ال� س�ؤال ال�سابق لإيجاد قيمة nعندما يكون .g(n) = 4º -8ا�شتق ال�صيغة ) h(nمن ال�صيغة ) f(nفي ال� س�ؤال الأول لإيجاد مجموع قيا�سات الزوايا الداخلية لم�ضلع منتظم عدد �أ�ضالعه .n دائما بمقدار ثابت� ،أوجد هذا الثابت. � -9أثبت �أنه �إذا زاد nبمقدار ،1ف�إن )� h(nستزداد ً
49
الن�شاط الرابع حذف مربعات من الم�ستطيالت -1اتبع الخطوات في هذا الن�شاط ،وا�ستخدم النتائج التي �ستح�صل عليها لإكمال الجدول المرفق في الجزء ( )dمن هذا ال� س�ؤال. )aار�سم م�ستطي ًال ،وق�س طوله وعر�ضه ،ثم �أوجد م�ساحته.
2qs
1sq1 المربع
sq2 المربع 2 1qs
)bاحذف �أكبر مربع ممكن (المربع )1واح�سب م�ساحته ،ثم اح�سب م�ساحة الم�ستطيل المتبقي. )cاحذف �أكبر مربع ممكن من الم�ستطيل المتبقي (المربع )2واح�سب م�ساحته ،ثم اح�سب م�ساحة الم�ستطيل المتبقي. �سج ل م�ساحة ك ّل من المربع و الم�ستطيل المتبقي. )d كرر هذه العملية قدر الإمكان ،ثم ّ ّ
الم�ساحة الم�ستطيل المربع ()1 المربع ()2
50
ن�سبة م�ساحة المربع ن�سبة م�ساحة المربع المحذوف �إلى م�ساحة �إلى م�ساحة المربع الم�ستطيل ال�سابق
َ -2ك ِّر ِر الخطوات من ال� س�ؤال ال�سابق با�ستخدام م�ستطيالت �أخرى. -3قارن النتائج التي ح�صلت عليها لك ّل م�ستطيل مع نتائج الطالب الآخرين .هل هناك نمط في التنا�سب في �آخر عمودين من الجدول؟ )a4هل يوجد م�ستطيل من النتائج ال�سابقة كانت الن�سبة بينه وبين المربع هي نف�سها في الخطوات جميعها؟ � )bإذا كانت الإجابة ال ،هل ت�ستطيع �إيجاد هذا الم�ستطيل؟
م�ساعدة :ابحث عن الم�ستطيل الذهبي في المراجع �أو الإنترنت. )cما الن�سبة بين �أ�ضالعه؟ )dما ن�سبة الم�ساحة بين المربعات في هذا الم�ستطيل؟
51
الوحدة الثامنة التنا�سب والت�شابه
52 18
About this unit
معلومات عن الوحدة
Unit learning objectives
الأهداف التعليمية للوحدة
• To understand the effect of similarity on areas
•فهم ت�أثير الت�شابه على الم�ساحات
Activity 1 Areas and similar triangles
الن�شاط الأول الم�ساحات والمثلثات المت�شابهة
1a. A right-angled triangle has an area of 15 units2 and a height of 10 units.
مناظرا له قائما �آخر ً وي�شابه مثل ًثا، وحدات10 وحدة مربعة وارتفاعه15 ) مثلث قائم الزاوية م�ساحتهa1" ً A triangle similar to this first triangle has a corresponding height of 20 units. What is its area? ما م�ساحة هذا المثلث؟، وحدة20 ارتفاعه
b.
What didn’t know the� �ستختلف two triangles your ؤال؟if�سyou �من ال a الجزء فيthat إجابتك كيفwere ،الزاويةright-angled? المثلثين قائماHow ب�أنwould نكن نعلم ماذا لو لم findings in part a differ?
)b
مثلثين .A2 B2 C2 والمثلث،A1 B1C1 المثلث:منفرجي الزاوية مت�شابهين هما B C and A2Bأدناه C .� يمثل ال�شكل 2a. This diagram shows two similar obtuse-angled triangles, A 1 1 1 2 2
)a2
A2 A1
h2 h1
B2 B1
l1
l2
C2
C1
Prove that the corresponding altitudes h and h of the two triangles are in the
2 القاعدتين معامل الت�شابه هوlengths h1 2 ,h1 lالمتناظرين ,l1 المتناظرتينsame ratioلطولي as theنف�سه corresponding base and l2 . �أثبت �أن معامل الت�شابه لالرتفاعين 1 .l2
b.
Two similar triangles have the same area. What can you deduce?
c.
If two triangles are similar, with scale factor R, write down an expression in terms of R for .R فاكتب الن�سبة بين م�ساحتيهما بداللة،R ) �إذا كان معامل الت�شابه بين مثلثينc the ratio of the areas of the triangles.
ماذا ت�ستنتج عن قاعدتيهما وارتفاعيهما؟،) مثلثان مت�شابهان لهما الم�ساحة نف�سهاb
2 and 5 one side� length of 5،مربعة units.وحدة A triangle similar to 3. Aوحدات triangle has an area units،وحدات ما طول،مربعة 7 م�ساحته ا �آخرof مثل ًث175 وي�شبه أ�ضالعه وطول �أحد 175 مثلث م�ساحة -3 this first triangle has an area of 7 units2. ال�ضلع المناظر في هذا المثلث ل�ضلع المثلث الأول المعلوم؟
What is the corresponding side length?
53
وحدات مربعة �أوجد معامل الت�شابه10 الذي م�ساحته2 وي�شبه المثلث، وحدة مربعة1000 م�ساحته1 المثلث-4 4. Triangle 1 has an area of 1,000 units2 and triangle 2 has an area of.بينهما 10 units2. They are similar.
Find the scale factor between them.
ومن،2T �إلىT1 منR وقد تم تكرار معامل التنا�سب،T1 ,T2 ,T3 : ال�شكل �أدناه يمثل ثالثة مثلثات مت�شابهة هي-5 .T3 �إلىT2 5. This diagram shows three similar triangles, T , T and T , with the scale factor R repeated 1
across T1 to T2 , and T2 to T3 .
T1
a.
T1
R
R T2
R
T2
3
3
R T3
T3
The following table shows some possible areas with different scale factors. Complete
مقربا الإجابة �إلى �أقرب جزء من �أكمل.) يمثل الجدول الآتي بع�ض الم�ساحات الممكنة ومقايي�س ر�سم مختلفةa ً الجدول the table, giving answers to three decimals places where necessary. .�ضروريا �ألف �إن كان ذلك ً R
Area T1
2
1
T3 الم�ساحة 10
Area T2
T2 الم�ساحة
1
2
10 6.25
100
5
0.5
5 64
64 12
R
22.5
6.25
2
T1 الم�ساحة
22.5
100
0.5
Area T3
10
10
2
12
b. Now add a new line in the table. Fill in two cells and give it to another student to complete. م�ستخدما �أمثلة لي�ست �سهلة ثم �أعطه لأحد الطالب ليكمله، واملأ خليتين منه،جديدا للجدول �أ�ضف �صن ًفا،) الآنb ً ً Use an example that is not too easy, but involves only whole numbers or simple decimals. .ك�سورا ع�شرية ب�سيطة أعدادا كلية �أو ً � تحتوي ً
R
Area T1 T الم�ساحة 3
Area T2 T الم�ساحة 2
Area T3 T الم�ساحة 1
R
54 54
الن�شاط الثاني
Activity 2 المثلثات قائمة الزاوية المت�شابهة Similar right-angled triangles
، بحيث يقوم ك ّل طالب بر�سم مثلث قائم الزاوية كبير كما في ال�شكل الذي على الي�سار، نفذ الن�شاط ب�شكل مجموعات-1 1. Work in small groups. Each person should draw a large right-angled triangle to look rough .وبحيث تكون هذه المثلثات مختلفة في �أطوال �أ�ضالعها وقيا�س زواياها shown here on the left. Each person’s right-angled triangle should be different, with differen and different angles (other than the right angle).
C β
α A
E
β
G α
α
B
A 2.
C
C
A
B
A
F
C
β
E
β
G αD
F
B
D
B
orking individually, measure the angle α on your triangle. This is now your angle for the re W activity.
. وقم بقيا�س الزاوية ؟ في المثلث الذي ر�سمت ُه وا�ستخدم هذا القيا�س لبقية الن�شاط،منفردا اعمل-2 ً 3.
On your triangle draw lines DE and FG parallel to BC, as in the triangle on the right.
4.
Measure the different lengths of line segments on your diagram.
. في المثلث الذي ر�سمت ُه كما في ال�شكل ال�سابقBC موازيتين ِل ـFG, DE ار�سم القطعتين الم�ستقيمتين-3
Then copy جداول and complete the tables of ratiosالم�ستقيمة below. Express your� ratios مقربا �إجاباتك �إلى �أقرب منزلتين الن�سب ال ثم �أكمل،ر�سمك المختلفة في أطوال القطع ق�س-as4decimals to ً آتية two decimal places. .ع�شريتين
C
BC/AB
DE/AD
FG/AF
BC/AC
DE/AE
FG/AG
AB/AC
AD/AE
AF/AG
B
) ماذا تالحظ من هذه النتائج؟a
a.
What do you notice about these results?
b.
ال�شكل؟ Explain why the results are as they are.و�ضح لماذا ظهرت النتائج على هذا
)b
إجابتك؟ هل يمكنك تف�سير ذلك؟ � ماذا تالحظ؟ ما الت�شابه واالختالف مع،) قارن نتائجك بنتائج الطالب الآخرينc c. Compare your results with those of other students. What do you notice?
What are similarities and differences in your answers ? Can you find the reasons for these?
55
قدر مع زميلك كيف �ستجيبون عن الأ�سئلة الآتية (تذكر �أن -5 اعتمد قيا�س الزاويتين β ، αفي المثلث الذي ر�سمت ُهِّ ، α الإجابات �ستكون مختلفة لأن قيا�س الزاويتين β ،αمختلفة عن قيا�س زميلك). 35
)aما ارتفاع ال�شجرة؟
α
35
قائما ارتفاعه � 3.5أمتار ،تم تدعيمه وتثبيته بوا�سطة حبلين في الأر�ض ،قيا�س الزاوية )bيو�ضح ال�شكل الآتي ً عمودا ً بين الحبل والأر�ض هو βوهي نف�سها βالتي ا�ستعملتها في مثلثك.
β
�أوجد الحد الأدنى لطول الحبال الداعمة.
β
56
الن�شاط الثالث الأ�شكال المت�شابهة 3
4
ال�شكالن الهند�سيان Pو Qمت�شابهان. Q
P
3 P
4 Q
� -1إذا كان محيط ال�شكل Pهو 40وحدة: )aما محيط ال�شكل Q؟ �إذا كانت م�ساحة ال�شكل Pهي 30وحدة مربعة. )bما م�ساحة ال�شكل Q؟ � -2أعد حل ال� س�ؤال الأول مع القيا�سات gو hالجديدة .ولكن بالمحيط نف�سه لـ Pالذي ي�ساوي 40وحدة ،وم�ساحته 30 وحدة مربعة.
g P
h Q
g )aما محيط P ال�شكل Q؟
h Q
)bما م�ساحة ال�شكل Q؟
57
K
-3المثلث JKLفي ال�شكل الآتي ي�شبه المثلث .NMLوم�ساحة المثلث JKLهي وحدة مربعة واحدة. M
K
M
N
L N
L
J
J
ريا�ضيا لم�ساحة جزء ال�شكل الرباعي المظلل بداللة ك ّل من ،LKو.LM تعبيرا اكتب ً ً طوليا من المنت�صف لت�شكل م�ستطي ًال �أ�صغ ر. � -4أبعاد قطعة ورقة م�ستطيلة ال�شكل هي rو .tوقد طويت الورقة ً
r
r
وكان الم�ستطيل ال�صغير ي�شبه الم�ستطيل الأ�صلي الكبير . اح�سب الن�سبة .t : r -5الم�ستطيالت الثالثة الآتية مت�شابهة لها الأبعاد:
• u, v • w, x • y, z
y
z
w x
u v
�أثبت �أن الم�ستطيل ذا الأبعاد ( )v + x + z( ،)u + w + yي�شبه الم�ستطيالت التي في ال�شكل.
58
الن�شاط الرابع تق�سيم الكعكة لق�سمة قالب الكعك الدائري �إلى قطع مت�ساوية ،ف�إن قيا�س زوايا القطع المركزية ي�ساوي .120° يمثل ال�شكل الأيمن �سطح قالب كعك مربع طول �ضلعه �21سم ،وتمثل النقطة مركز المربع� ،سيتم تق�سيم القالب �إلى ثالث قطع مت�ساوية.
120º
120º 120º 12
� -1إذا تم تق�سيم قالب الكعك المربع �إلى ثالث قطع مت�ساوية بحيث يكون لها محور تماثل واحد ،ويكون قيا�س الزوايا المركزية ،120°فهل القطع الثالث لها الم�ساحة نف�سها؟ 120º
120º
120º120º
120º
120º
12
12
-2فيما يلي طريقة �أخرى مختلفة لتق�سيم الكعك: 6 4
6
6 6
4
6 6
8
6
8
4 6
8
�أثبت �أن القطع الثالث لها الم�ساحة نف�سها. 8
4
59
ِ ا�ستق�ص الأ�سئلة الآتية على ورقة منف�صلة. -3محيط قالب الكعك المربع هو �48سم ،طول الحرف الخارجي لكل قطعة �16سم ،فهل �صحيح �أنه �إذا كان طول الحرف الخارجي لكل قطعة �16سم ،ف�إن القطع الثالث لها الم�ساحة نف�سها؟
هل يمكن تطبيق ذلك على مربعات بقيا�سات مختلفة؟ مربعا �إلى �أربع (ق�س م ً � -4إذا اختلف عدد القطع؟ فهل يمكن تطبيق عالقة مكافئة للعالقة ال�سابقة؟ على �سبيل المثال ّ قطع مت�ساوية ،طول الحرف الخارجي �12سم لكل قطعة ،ت�أكد �أن القطع كلها لها الم�ساحة نف�سها). -5ماذا لو كان قالب الكعك على �شكل م�ضلع خما�سي منتظم� ،أو م�ضلع �سدا�سي منتظم؟ فهل يمكن تطبيق عالقة مكافئة للعالقة ال�سابقة؟ (مث ًال� :إذا ق�سم مربع �إلى �أربع قطع ،هل �أن طول "الحافة الخارجية" لكل قطعة ي�ساوي �12سم ي�ضمن �أن القطع الأربع �ستكون بنف�س الحجم؟) -6ماذا لو كان قالب الكعك على �شكل م�ضلع خما�سي منتظم� ،أو م�ضلع �سدا�سي منتظم؟ فهل تنطبق عالقة التكاف�ؤ ال�سابقة؟
60
الوحدة التا�سعة التحويالت الهند�سية
61 18
معلومات عن الوحدة الأهداف التعليمية للوحدة والتمدد. • تطوير فهم التحويالت الهند�سية الآتية :الدوران ،واالنعكا�س ،والإزاحة، ّ
الن�شاط الأول الدوران واالنعكا�س ا�ستخدم ورقة الر�سم البياني� ،أو ورقة الر�سم البياني المرفقة في البرمجية ال�ستك�شاف حل الم�سائل الآتية: � )a1أوجد �صورة النقطة ( )3، 4بعد انعكا�سها في الم�ستقيم .y = x � )bأكمل هذه الجملة عن االنعكا�س في الم�ستقيم .y = x �إذا انعك�ست النقطة ( )b ,aفي الم�ستقيم ،y = x ف�إن �إحداثيات النقطة بعد االنعكا�س هي................. )cما النقاط التي ال يتغير �إحداثياتها ج راء انعكا�سها في الم�ستقيم y = x؟ )a2انعك�ست النقطة ( )3، 4في الم�ستقيم ،y = xثم انعك�ست في الم�ستقيم ،y = -xما �إحداثيات النقطة الناتجة من تركيب التحويلين الهند�سيين؟ � )bأكمل العبارة الآتية المتعلقة باالنعكا�س في الم�ستقيم ،y = xثم االنعكا�س في الم�ستقيم .y = -x �إذا انعك�ست النقطة ( )a, bفي الم�ستقيم ،y = xثم ا ّتبع بانعكا�س في الم�ستقيم y = -xف�إن �إحداثياتها الجديدة هي ......... )cما النقاط التي ال يتغير �إحداثياتها في تركيب هذين التحويلين الهند�سيين؟ -3ما ت�أثير تركيب التحويلين الهند�سيين؛ انعكا�س �شكل هند�سي في الم�ستقيم ،y = xثم انعكا�سه في محور x؟ -4ما ت�أثير تركيب التحويلين الهند�سيين؛ انعكا�س �شكل هند�سي في الم�ستقيم ،y = xثم انعكا�سه في محور y؟ )a5ما ناتج تركيب التحويالت الهند�سية الأربعة في ال� س�ؤالين 4و � ،3أي االنعكا�س في الم�ستقيم ،y = xثم في محور ،xثم في الم�ستقيم ،y = xثم انعكا�س في محور y؟
62
)bهل ي�ؤثر ترتيب تركييب التحويالت الهند�سية ال�سابقة في النتائج؟ � -6إذا انعك�س ال�شكل في الم�ستقيم ،y = 2xف�أوجد االنعكا�س الثاني �إذا علمت �أن تركيب التحويلين الهند�سيين يكافئ دوران ال�شكل 90°حول نقطة الأ�صل باتجاه عك�س عقارب ال�ساعة.
الن�شاط الثاني تركيب التحويالت الهند�سية في هذا الن�شاط: • • •
تمد ًدا. ن�ستخدم الحرف Tللداللة على �أي تحويل هند�سي �سواء كان انعكا�سا� ،أو �إزاحة� ،أو دورا ًنا �أو ّ ً �إذا كان هناك �أكثر من تحويل واحد� ،سندل عليها با�ستخدام الرموز ، T2 ,T1وهكذا. �إذا كانت Aنقطة ،ف�إن ) T(Aهي �صورة هذه النقطة تحت ت�أثير التحويل الهند�سي .T
ا�ستخدم ورقة الر�سم البياني للم�ساعدة في حل الأ�سئلة الآتية: � -1أوجد � )A(Tإذا كانت ) A(2, 3و Tهو: )a انعكا�سا في الم�ستقيم ).y = x (T1 ً � )bإزاحة بمقدار ).( 2 )(T2 3 2
)cدورا ًنا 90°باتجاه عك�س عقارب ال�ساعة حول نقطة الأ�صل ).)T3( (0، 0 تمد ًدا معامله 2ومركزه (.)T4( ،)1، 1 )d ّ � -2إن االنعكا�س في الم�ستقيم ) y = x (T1الذي تبعه �إزاحة بمقدار ( )T2( ) 1هو مثال على تركيب التحويالت 2 الهند�سية� .سنرمز �إلى ذلك بالرمز)). T2 (T1 (A الحظ �أن الترتيب في �إج راء التحويالت الهند�سية لي�س كما هو مرتب في الكتابة.
ا�ستخدم التحويالت الهند�سية في ال� س�ؤال الأول لإيجاد ك ّل من:
T1 (T2(A)) )a T3 (T4(A)) )b T1(T1(A)) )c T2 (T2 (A)) )d T1(T2 (T3 (T4 (A)))) )e
63
وحيدا يكافئ ك ّل تركيب من التحويالت الهند�سية في ال� س�ؤال الثاني. هند�سيا � -3أوجد تحوي ًال ً ً � -4إذا �أجرينا تركيب التحويالت الهند�سية نف�سه في ال� س�ؤال الثاني على النقطة .Bفهل �سيكافئ التحويل الهند�سي الوحيد نف�سه في ال� س�ؤال الثالث؟
الن�شاط الثالث معكو�س التحويالت الهند�سية معكو�س التحويل الهند�سي Tيعيد النقطة �إلى مو�ضعها الأ�صلي الذي كانت عليه قبل �إجراء التحويل الهند�سي ،ويرمز �إلى معكو�س التحويل الهند�سي بالرمز .T-1 تركيب التحويل الهند�سي مع معكو�سه ال يحدث � ّأي ت�أثي ر؛ �أي �أن: ، T-1 (T(A)) = Aو T (T-1 (A)) = A م�ستخدما ورقة الر�سم البياني. ا�ستق�ص حل الأ�سئلة الآتية ً " -1ما معكو�س التحويل الهند�سي لك ٍّل من التحويالت الآتية ،وفي كل حالة ،ت�أكد من � ّأن ،T-1 (T (A)) = A و T (T-1 (A)) = Aلأكثر من نقطة ،ولي�س لنقطة واحدة. )aاالنعكا�س في y = x � )bإزاحة بمقدار ( .) 2 3 2
)cدوران 90°عك�س اتجاه عقارب ال�ساعة حول ()0، 0 تمدد معامله 2ومركزه ()1، 1 )d ّ -2اعمل مع زمالئك �ضمن مجموعات �صغيرة ل�صياغة عبارات منا�سبة تلخ�ص النتائج التي تو�صلت �إليها في ال� س�ؤال 2ب� ش�أن معكو�س التحويالت الهند�سية ،وذلك كما يلي: )aمعكو�س االنعكا�س في [حدد خط م�ستقيم] هو ............ )bمعكو�س الإزاحة بمقدار [حدد المتجه] هو ............ الدوران بمقدار [حدد المقدار واالتجاه ونقطة الدوران] هو ............. )cمعكو�س ّ التمدد بمقدار [حدد معامل المقا�س ومركز التمدد] هو ................... )dمعكو�س ّ
64
الن�شاط الرابع هل ي�ؤثر الترتيب في التحويالت الهند�سية؟ ي�ستعمل م�صطلح "االبدالية" في الريا�ضيات للداللة على الحاالت التي ال يكون الترتيب مهم ًا فيها. ففي الأرقام ،مث ًال ،تعتبر عملية الجمع ابدالية� ،أي � ّأن ،a + b = b + aولكن عملية الطرح لي�ست ابدالية، وذلك لأن � ،b - a ≠ a - bإ ّال �إذا كانت .a = b يحقق التحويالن الهند�سيان � T2 ,T1شروط االبدالية �إذا كان ترتيب �إج رائهما غير مهم� ،أي �أن: )).T2 (T1 (A)) = T1 (T2 (A ا�ستق�ص ح ّل الأ�سئلة الآتية على ورقة منف�صلة. اعتمد التحويالت الهند�سية الأربعة الآتية: 1 • انعكا�س في ).y = x (T1 • �إزاحة بمقدار (.)T2 • دوران 90°عك�س اتجاه عقارب ال�ساعة حول (.)T3( )0، 0 تمدد بمعامل مقيا�س ي�ساوي 2ومركزه (.)T4( )1، 1 • ّ • ا�ستق�ص � ّأي تركيب من التحويالت الهند�سية ال�سابقة يحقق �شروط االبدالية ،فعلى �سبيل المثال: متبوعا بالتحويل T1؟ متبوع�أ بالتحويل T2يكافئ التحويل T2 هل التحويل T1 ً ً متبوعا بالتحويل T3؟ وهكذا. متبوعا بالتحويل T4يكافئ التحويل T4 وهل التحويل T3 ً ً اعر�ض نتائجك م�ستعم ًال عبارات مثل. "التحويالت Tx ,Tyيحققان �شروط االبدالية"� ،أو "التحويالت Tx ,Tyال يحققان �شروط االبدالية". بين �أي تركيب من التحويالت الهند�سية الآتية يحقق الخا�صية االبدالية: ّ -2 )aانعكا�س في م�ستقيم يتبعه انعكا�س �آخر في م�ستقيم �آخ ر. � )bإزاحة تتبعها �إزاحة �أخرى مختلفة. )cدوران حول نقطة يتبعه دوران �آخر حول النقطة نف�سها. تمدد حول النقطة نف�سها. )d تمدد يتبعه ّ ّ عك�سيا �أو برها ًنا على كل ا�ستنتاجاتك. قدم مثا ًال ً
65
الوحدة العا�شرة الدوائر
66
18
معلومات عن الوحدة الأهداف التعليمية للوحدة •
تعميق فهم العالقات بين الدوائر مختلفة المقا�سات
الن�شاط الأول ن�سب الدوائر مربعا ر�سمت بداخله دائرة تم�س �أ�ضالع المربع جميعها. يمثل ال�شكل �أدناه ً
ثم ر�سمت دائرة خارجية �أخرى تمر بر�ؤو�س المربع الأربعة.
-1افر�ض �أن طول �ضلع المربع هو �10سم. )aما م�ساحة الدائرة الدخلية؟ )bما طول قطر المربع؟ )cما م�ساحة الدائرة الخارجية؟ )dما العالقة بين م�ساحتي الدائرتين الداخلية والخارجية؟ � -2إذا كانت نتيجة ما ح�صلت عليه من العالقة بين م�ساحتي الدائرتين �صحيحة في ال� س�ؤال ،d1فهل تكون �صحيحة مهما كان طول �ضلع المربع؟ �أثبت ذلك. كبيرا يم�س الدائرة الخارجية: مربعا � -3إذا َ ر�سمت ً ً خارجيا ً )aفما م�ساحته؟ أي�ضا مهما كان طول �ضلع المربع الأ�صلي؟ �أثبت ذلك. )bهل العالقة بين م�ساحتي المربعين �صحيحة � ً
67
الن�شاط الثاني المخروط A
مخروطا و�شبكة �سطحه دون قاعدته. يمثل ال�شكل �أدناه ً A A ارتفاع الخط المائل �سطح مقو�س تمت �إزالة هذا الجزء من الدائرة
B القاعدة
االرتفاع الر�أ�سي
BB
دائري قطاع �شبكة المخروط هي دائرة �أُ ِخ َذ منها ٌ ٌّ مخروطا. -1ا�صنع �شبكة المخروط ،و�صل بين النقطتين Aو ،Bو�أل�صقهما لت�ش ِّك َل ً )aهل تغيير زاوية القطاع الدائري ت�ؤثر في ارتفاع المخروط؟ )bهل تغيير زاوية القطاع الدائري ت�ؤثر في م�ساحة قاعدة المخروط؟ دائري منها زاويته .90° -2يمثل ال�شكل �أدناه �شبكة مخروط من دائرة ن�صف قطرها �5سم ،تم اقتطاع قطاع ّ
� 5سم
mc5
° °90 09 mc5
)aاح�سب م�ساحة المخروط الجانبية. � )bأوجد محيط قاعدة المخروط الدائرية.
68
°09
دائري منها زاويته .120° -3يمثل ال�شكل �أدناه �شبكة مخروط من دائرة ن�صف قطرها �10سم ،تم اقتطاع قطاع ّ
� 10سم m c01
120 º02°1
� )aأوجد طول االرتفاع الجانبي المائل للمخروط. )bاح�سب طول ن�صف قطر قاعدة المخروط الدائرية. )cاح�سب م�ساحة قاعدة المخروط. -4تم اقتطاع مخروط �صغير من �أعلى المخروط الكبير حيث كان ارتفاعه ي�ساوي ن�صف ارتفاع المخروط الكبي ر..
ار�سم �شبكة المخروط الدائري الناق�ص المتبقي. -5االرتفاع الجانبي المائل للمخروط في ال�شكل �أدناه ي�ساوي �25سم ،وطول ن�صف قطر قاعدته �20سم. �25سمm c52
�20سمmc 02
)aاح�سب ارتفاع المخروط. )bاح�سب قيا�س زاوية القطاع الدائري الذي تم اقتطاعه من دائرة �شبكة المخروط .b 69
الن�شاط الثالث المثلثات المتما�سة مع الدوائر �سوف تتعاون مع طالب �آخرين في هذا الن�شاط ،علم ًا ب�أنك �ستبد�أ العمل بمفردك في بادئ الأم ر. -1اتبع التعليمات الآتية مع االنتباه لعمل الر�سم ب�شكل متقن. )aار�سم دائرة ن�صف قطرها �6سم. تماما عن المحيط. )bار�سم � َّأي ن�صف قطر ّ ومده �إلى الخارج لت�صل �إلى النقطة Aالتي تبعد �4سم ً و�س ِّم نقطتي التما�س .C ,B )cوالآن ،ار�سم م�ستقيمين متما�سين مع الدائرة، ً ابتداء من النقطة َ ،A مما�سا للدائرة عند النقطة Dيالقي الم�ستقيم )dاختر � َّأي نقطة Dعلى القو�س الوا�صل بين النقطتين Bو ،Cوار�سم ً ABفي ،Eويالقي الم�ستقيم ACفي .F )eالآن� ،أوجد محيط المثلث .AEF -2قارن بين قيمتي المحيط للمثلث AEFفي ر�سمك مع المحيط المثلث الموجود في ر�سم كل زميل.
موقعا مختل ًفا للنقطة Dعلى القو�س ،ABومن المحتمل �أن بع�ض هذه النقاط متطابق .على �أي يختار كل منكم ً حال ،افتر�ض �أن اختياراتكم �صحيحة ،وعليه ،يجب �أن تكون قيمة المحيط �16سم.
و�ضح ذلك. محيط المثلث AEFثابت بغ�ض النظر عن موقع النقطة ّ ،D -3ما محيط المثلث � AEFإذا كان طول ن�صف قطر الدائرة ي�ساوي �5سم ،وبعد النقطة Aي�ساوي �8سم عن محيط الدائرة؟ � -4أوجد معادلة تعطي محيط المثلث AEFل ِّأي دائرة ن�صف قطرها ي�ساوي � rسم ،والنقطة Aتبعد م�سافة � yسم عن محيط الدائرة.
70
الن�شاط الرابع معادلة الدائرة معادلة الدائرة التي مركزها ( )b, aوطول ن�صف قطرها ،rهي: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 حدد �إذا كانت ك ّل من المعادالت الآتية تمثل معادلة دائرة �أم ال .ثم �أوجد مركز الدائرة وطول ن�صف قطرها. ّ -1 (y – 1)2 = –(x – 2) (x + 2) )a + 100 = 0 ) b 2 x 2 2 3x – 3x + 3y – 2y + 1 = 0 )c 2
1 +y
� -2أوجد معادلة �صورة ك ّل دائرة من الدوائر الآتية بعد االنعكا�س في الم�ستقيم الم�شار �إليه: )aالمعادلة x2 + y2 = 1في الم�ستقيم .x = 10 )bالمعادلة x2 + (y + 4)2 = 1002في الم�ستقيم .y = 5 )cالمعادلة 4 = (x-3)2 + (y-2)2في الم�ستقيم .y = -x � )a3أوجد معادلة الدائرة التي تقع بين الم�ستقيمات الأربعة الآتية: y = 4 ,y = 2 ,x = 3 ,x = 1وتم�سها. ) bما معدلة الدائرتين اللتين تقعان بين الم�ستقيمات الثالثة الآتية: y = 5 ,x = 8 ,x = -2وتم�سها. )cهناك عدة دوائر تقع بين الم�ستقيمين y = 4 ,x = 2وتم�سهما. �أوجد معادلة الم�ستقيمين اللذين تقع عليهما م راكز هذه الدوائر.
71
الوحدة الحادية ع�شرة قاعدة بنفورد
72 18
معلومات عن الوحدة الأهداف التعليمية للوحدة • تقدير قيمة تطبيق الريا�ضيات على الم�سائل والم�شاكل اليومية في الحياة
االستقصاء
�ضمن الدول من41 وكان ترتيبها، مليون ن�سمة28.687 كان عدد �سكان المملكة العربية ال�سعودية،م2009 في عام .حيث عدد ال�سكان . �ضمن الدول من حيث عدد ال�سكان139 وترتيبها، مليون ن�سمة2.693 �أما عدد ال�سكان الكويت فكان
250 250
50
73
0
25 50
25
0
نالحظ �أن الرقم " "2يظهر في بداية العدد الذي يمثل ال�سكان في البلدين. الرقم " "2هو الرقم الأول في عدد �سكان %14من دول العالم ،هل هذا ما كنت تتوقعه؟ لماذا تجيب بنعم؟ �أو لماذا تجيب بال؟ كيف تتوقع �أن يتوزع الرقم الأول من عدد �سكان دول العالم؟ تماما كيف يتوزع الرقم الأول فيها؟ -1قم ب�إعداد بحث عن عدد �سكان دول العالم لتعرف ً -2ابحث عن "قاعدة بنفورد". -3هل يتبع عدد ال�سكان في مختلف دول العالم قاعدة بنفورد؟ -4ابحث كيف تمكن المحا�سبون القانونيون من ك�شف الحيلة �أو التزوير بعد ا�ستخدامهم لقاعدة بنفورد. -5قم ب�إعداد عر�ض موجز �أو ت�سجيل �صوتي ،ت�شرح فه لطالب من مدار�س �أخرى كيف ت�ستخدم قاعدة بنفورد لك�شف حاالت التزوير .
مالحظة :تم �إعداد الإح�صائيات ال�سكانية الم�ستخدمة في هذه الوحدة من دليل بيانات العالم ال�صادر عن وكالة اال�ستخبارات المركزية: https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/index.html
74
�شكر وعرفان
الوحدة ( 6الن�شاط الخام�س) يعتمد الن�شاط على بحث بعنوان" :ا�ستعمال الربجميات الهند�سية الدينامية ملحاكاة مواقف من واقع احلياة داخل غرفة ال�صف :خربة معلمي الريا�ضيات املتدربني باحلد الأدنى من م�سائل ال�شبكات" ،بقلم بولنت غوفن ( ،)2008( )Guven, Bمن�شور يف دورية "تدري�س الريا�ضيات وتطبيقاتها" ،املجلد ،27العدد ،1ال�صفحات .24-37وقد �أعيد ن�رشه مبوافقة م�شكورة من مطبعة جامعة اك�سفورد نيابة عن بولنت غوفن.
75
بوابة موهبة اإللكترونية شاركنا التجربة واكتشف عالم بوابة موهبة المرجع الرئيسي للموهبة واإلبداع واالبتكار في العالم العربي
ٌ بوابة علمية متخصصة في إرساء أسس تربية الموهوبين والمبدعين في المملكة العربية السعودية والعالم بوابة موهبة اإللكترونية معرفيًا متجددً ا ومجا ً ال تفاعليًا للمشاركة المجتمعية. تقدم خدمات متنوعة للموهوبين والقائمين على رعايتهم ،وتعتبر مصدرًا العربي. ّ ّ
Info@mawhiba.org.sa الرقم المجاني8 0 0 6 1 2 3 3 3 3 :