EL PANDEO EN ESTRUCTURAS by Mayra Atencio

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

INTRODUCCION:

Al principio de la materia se estableció que la selección de elementos estructurales y de máquinas se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de deformación dado para un sistema particular. Este problema es diferente de cualquier otro de los vistos anteriormente. Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza axial de compresión. Si tal barra actuando como “columna”, fuera de longitud D, no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar una fuerza considerable. Por otra parte, la misma barra tuviera una longitud de varios diámetros, al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar a ser lateralmente inestable, presentándose en ella pandeo lateral y podría fallar o sufrir colapso. Una regla delgada ordinaria, si se somete a compresión axial, fallará de esta manera. La consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para predecir el comportamiento de tal miembro. El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de compresión. Placas delgadas, completamente capaces de resistir cargas de tracción, resultan muy ineficaces para transmitir compresión. Vigas angostas, sin arriostramiento lateral, pueden doblarse lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques al vacío, así como cascos de submarinos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la presión externa y asumir formas que difieren en forma notable de su configuración geométrica original. Un tubo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como papel de seda cuando se somete a torsión1 . Durante algunas etapas de su encendido, las delgadas cubiertas de los cohetes o proyectiles autopropulsados se cargan críticamente a compresión. Estos son problemas de primordial importancia en el diseño de ingeniería. Además, por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta razón, muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas. El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista anterior está fuera del alcance de esta materia. Aquí solo se considerará el problema de la columna. Utilizándolo como ejemplo, sin embargo se ponen de relieve las características esenciales del fenómeno de pandeo y algunos procedimientos básicos para su análisis.

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

PANDEO EN ESTRUCTURAS La aparición de deflexión por pandeo limita severamente la resistencia en compresión de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga axial de compresión, denominada carga crítica de pandeo, puede producirse una situación de inestabilidad elástica y entonces fácilmente la deformación aumentará produciendo tensiones adicionales que superarán la tensión de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. Además del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elástica provocado por un momento torsor excesivo. Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las cargas están lejos de las cargas críticas asociadas a cada modo o manera de pandear. Los modos típicos son: a) Pandeo flexional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta lateralmente sin giro ni cambios en su sección transversal. b) Pandeo torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión gira alrededor de su centro de corte. c) Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta y gira simultáneamente sin cambios en su sección transversal. d) Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexión que involucra deflexión normal al plano de flexión y, de manera simultánea, giro alrededor del centro de corte En forma normal se piensa que las deflexiones dentro del límite elástico varían en forma lineal con la carga, sin embargo ocurren varias excepciones notables, como la falla por estabilidad o pandeo cuando se aplican cargas de compresión. Se entiende por estabilidad la propiedad del sistema de mantener su estado durante las acciones exteriores. Si el sistema no tiene esta propiedad se dice que el sistema es inestable. En la misma medida se puede afirmar que su estado es inestable. En las condiciones reales siempre existen causas que pueden conducir a la perturbación del estado original de equilibrio. Es decir, que siempre se realiza la posibilidad del paso del sistema inestable a un nuevo estado. En este caso se dice que no tiene lugar la pérdida de estabilidad. Al perder la estabilidad, el sistema se puede comportar de diversas formas. Generalmente, tiene lugar el paso a un nuevo estado estado de equilibrio, lo que, en la mayoría de los casos va acompañado de grandes deformaciones, de deformaciones plásticas o de una rotura completa. En algunos casos, después de perder la estabilidad, la estructura sigue trabajando y cumple, como antes, sus funciones principales. Pueden ocurrir, por fin, casos cuando el sistema perdió estabilidad, al no tener una posición estable de equilibro, pasa al régimen de las oscilaciones no amortiguadas. Es necesario destacar que el fenómeno de la pérdida de estabilidad se manifiesta de la forma más clara en las estructuras ligeras de paredes delgadas: en las cáscaras comprimidas y en las paredes delgadas. Tal vez los más comunes son las columnas largas esbeltas trabajando a la compresión. Los ejemplos incluyen columnas en edificios, eslabones estructurales a la compresión (como en puentes), bielas conectadas a pistones, resortes helicoidales a la compresión y tornillos de gatos; también los tubos de paredes delgadas solicitado por una presión exterior es capaz de perder estabilidad. En este caso, la forma circular de la sección pasa a ser elíptica y el tubo se aplasta, a pesar de que, en el momento de perder la estabilidad, las tensiones están lejos de alcanzar el límite de fluencia.

En las siguientes figuras se muestran algunos elementos con falla por pandeo:

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

En el

caso de barras esbeltas, debemos tener en cuenta que si la fuerza aplicada sobre una barra “perfecta” sigue la dirección exacta del lugar geométrico de los centros de gravedad de la sección no se producirá el pandeo. Pero en las condiciones reales en que actúa el sistema pueden existir una o más de las siguientes causas que determina el pandeo, como por ejemplo: a. Irregularidades en la forma. b. Irregularidades en la estructura. c. Excentricidad de la carga respecto al centroide geométrico. d. Pequeña flexión del eje. En el caso de barras esbeltas sometidas a fuerzas axiales de compresión, éstas corresponden al caso general tratado por Leonard Euler en 1744 cuando publicó el primer tratado conocido sobre la estabilidad elástica. La carga axial que da inicio a la inestabilidad por pandeo en un elemento estructural se conoce como carga crítica de pandeo del elemento o carga de Euler. Para el análisis de Euler se considera que la barra está articulada en ambos extremos. Se puede tomar como referencia a un elemento estructural ideal de eje recto, sin imperfecciones del material ni de alineación del elemento, con una longitud L, de sección constante A e inercia I, constituido por un material lineal elástico cuyo módulo de elasticidad es E. En uno de sus extremos se coloca un apoyo fijo y en el otro, un apoyo deslizante longitudinal. Al elemento mencionado se lo somete a una carga axial de compresión en el extremo del apoyo deslizante, y se le proporciona una elástica de deformación flexionante continua similar a la que se observa en piezas de libre rotación en sus extremos (elementos articulados- articulados), debido a la inestabilidad por pandeo.

El momento flector M inducido por la deformación inicial, a una distancia genérica x, determinado sobre la pieza deformada sera:

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

M(x, y) = P . y Las deformaciones transversales del elemento por el efecto de flexión se pueden describir mediante la Ecuación General de la Flexión, tomada de la Resistencia de Materiales:

Reemplazando la ecuación de momentos flectores en la ecuación general de flexión, y considerando la sección constante del elemento y un único material elástico, se obtiene la siguiente ecuación diferencial: Rescribiendo:

Se define un parámetro auxiliar C , donde C es siempre positiva y se puede calcular con la expresión:

Entonces la ecuación diferencial se puede rescribir como: y'' + C2 . y = 0 La solución a la ecuación diferencial planteada es: y = A . Sen (C . x) + B . Cos (C. x) Por la condición de borde del extremo inferior: para x = 0 y = 0, de donde: B = 0 La solución simplificada es: y = A . Sen (C . x) Por la condición de borde del extremo superior: para x = L y = 0, por lo que: 0 = A . Sen (c . L) Como A0 Sen (c . L) = 0 Por lo tanto: C . L = n . p

Despejando C: Elevando al cuadrado:

Donde n puede tomar cualquier valor entero mayor o igual a 1 (n = 1, 2, 3, ....). Igualando los valor definidos anteriormente para C2 se obtiene:

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

Despejando P de la igualdad, se obtienen las cargas axiales específicas o cargas críticas de pandeo correspondientes a todos los modos de deformación por pandeo:

La menor carga crítica está asociada a n = 1, y corresponde al primer modo de deformación por pandeo:

Las cargas críticas para los restantes modos de deformación se obtienen con los otros valores que puede tomar n (n = 2, 3, 4, ...).

A continuación se presenta un gráfico que describe la geometría de las deformaciones causadas por el pandeo de acuerdo con los tres primeros modos de deformación.

Debe anotarse que, en el presente caso, la carga crítica de pandeo para el segundo modo de deformación es 4 veces mayor que la carga crítica de pandeo para el primer modo de deformación, y la carga crítica de pandeo para el tercer modo de deformación es 9 veces mayor que la carga crítica de pandeo para el primer modo de deformación. Es evidente que el primer modo de deformación controlará el pandeo de las columnas. El segundo modo de deformación tiene utilidad por su semejanza a las deformaciones producidas por estados de carga flexionantes frecuentes, que afectan a las columnas, lo que podría provocar un amortiguamiento temporal del primer modo de deformación en elementos estructurales reales (no ideales). Los restantes modos de deformación tienen una utilidad estrictamente académica, por lo que no son trascendentales para la práctica ingenieril. Para otros tipos de condiciones de borde (bordes empotrados, bordes libres, bordes elásticamente sustentados, etc.), la ecuación básica de Euler para el primer modo de deformación se ve modificada por un factor de forma de la elástica de deformación que afecta a la longitud de pandeo:

donde Lp toma los siguientes valores para condiciones de borde bien definidas:  Barras articuladas-articuladas en los extremos:

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

Lp = L

 Barras empotradas en un extremo y libres en el otro : Lp = 2xL

 Barras empotradas en los dos extremos : Lp =0.5L

 Barras empotradas en un extremo y articulada en el otro : Lp = 0.70.L

 Barra empotrada en un extremo y empotrada monodeslizante en el otro extremo: Lp = 0.70.L

 Barra articulada-empotrada monodeslizante : Lp = 0.70.L

Ahora sí podemos generalizar la expresión que nos da Pcr para n=1; para cualquier caso de extremos del elemento analizado, pero no con la longitud real L sino con la equivalente o efectiva Lp.

El esfuerzo correspondiente será: Y el factor de esbeltez queda redefinido como:

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

Debemos definir también el plano crítico de pandeo; que es el plano en el cual es más probable que se produzca el pandeo teniendo en cuenta no solo el tipo de apoyo en las distintas direcciones sino también el momento de inercia en los ejes correspondientes a cada una de estas direcciones. En muchos casos el plano crítico de pandeo no es fácil de identificar y por ello se deberán realizar cálculos previos. El plano para el que se obtenga el mayor coeficiente de esbeltez será el critico.

TIPOS DE PANDEO 1.

PANDEO FLEXIONAL

Los pilares y barras comprimidas de celosías pueden presentar diversos modos de fallo en función de su esbeltez mecánica:  Los pilares muy esbeltos suelen fallar por pandeo elástico y son sensibles tanto al pandeo local el propio pilar como al pandeo global de la estructura completa.  En los pilares de esbeltez media las imperfecciones constructivas como las heterogeneidades son particularmente importantes pudiéndose presentar pandeo anelástico.  Los pilares de muy baja esbeltez fallan por exceso de compresión, antes de que los efectos del pandeo resulten importantes.  Pandeo local Modelo de los distintos tipos de pandeo de Euler. Como se puede ver, según las coacciones externas de la viga, la deformación debida al pandeo será distinta. El pandeo local es el que aparece en piezas o elementos aislados o que estructuralmente pueden considerarse aislados. En este caso la magnitud de la carga crítica viene dada según el caso por la fórmula de Leonhard Euler o la de Engesser. La carga crítica de Euler depende de la longitud de la pieza, del material, de su sección transversal y de las condiciones de unión, vinculación o sujeción en los extremos. Para una pieza que puede considerarse biarticulada en sus extremos la carga crítica de Euler viene dada por:

(1)Siendo: Fcrit, la carga crítica; E, Módulo de Young del material de que está hecha la barra; Imin, momento de inercia mínimo de la sección transversal de la barra; L, longitud de la barra y λ la esbeltez mecánica de la pieza. Cuando las condiciones de sujeción de los extremos son diferentes la carga crítica de Euler viene dada por una ecuación del tipo:

(2)Al producto se le llama longitud de pandeo.  Pandeo global En una estructura compleja formada por barras y otros elementos enlazados pueden aparecer modos de deformación en los que los desplazamientos no sean proporcionales a las cargas y la estructura puede pandear globalmente sin que ninguna de las barras o elementos estructurales alcance su propia carga de pandeo. Debido a este factor, la carga crítica

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

global de cierto tipo de estructuras (por ejemplo en entramados de cúpulas monocapa) es mucho menor que la carga crítica (local) de cada uno de sus elementos. El tipo de estructura más simple que presenta pandeo global para carga crítica diferente de la de sus elementos está formado por dos barras articuladas entre sí y a la cimentación, que se muestra en la figura.

Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la estructura son:  Ecuación de equilibrio:



Relación elástica entre acortamiento y esfuerzo axial:



Relación geométrica de las configuraciones no-deformada y deformada:

Donde: N, esfuerzo axial de cada una de las barras; ΔL, acortamiento sufrido por las barras para adoptar la configuración deformada; Δθ = θ-θ', es la diferencia de ángulos mostrada en la figura; E, módulo de Young del material de las barras; A, área transversal de cada una de las barras; L, longitud inicial de cada una de las dos barras. Substituyendo la segunda de las ecuaciones en la primera, despejando ΔL de la tercera y substituyendo su valor también su valor en la primera se llega a:

El valor de Δθ para el que se alcanza el máximo es precisamente la carga crítica global. Las cargas de pandeo global y local vienen dadas por:

Cada una estas cargas presenta modos de fallo diferentes en la estructura. De entre los dos posibles modos de fallo por pandeo ocurrirá el que presente un ángulo de aparición mayor donde estos ángulos vienen dados por:

 Plano de pandeo El plano de pandeo se refiere al plano que contendrá el inicio de la deformada de una pieza sometida a compresión dominante. El plano de pandeo contiene el eje baricéntrico de la viga y sobre él la deflexión por pandeo es máxima. Para una pieza sometida sólo a compresión sin momentos apreciables adicionales, el plano de pandeo coincidirá con el plano perpendicular sea paralela al eje de menor inercia de la sección.  Teoría de la bifurcación

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

Matemáticamente el pandeo local está asociado a una bifurcación tridente, es decir, cuando se plantean las ecuaciones exactas no lineales que describen la forma de una pieza prismática, incluyendo la carga axial y los parámetros relacionados con las imperfecciones, los posibles comportamientos cualitativos están separados unos de otros por una bifurcación tridente. Eso lleva que en estos casos la carga real que puede soportar una barra venga dada por la ley 2/3 de Koiter:

Donde: Pc, carga crítica corregida por las imperfecciones. , es una constante que depende del patrón de imperfección dado por . , es un parámetro escalar que cuantifica el grado de imperfección para un patrón de imperfección dado. Si las imperfecciones tienen naturaleza estadística y vienen dadas por una distribución normal multivariante entonces la carga crítica tiene una distribución dada por:

Esta distribución de probabilidad permite ajustar las curvas reales de pandeo observadas, ya que en condiciones normales una barra recta de sección constante tiene una resistencia inferior debido a paredicha por la teoría de Euler por el efecto de las imperfecciones.

PANDEO TORSIONAL:

En vigas de alas anchas o de escasa rigidez torsional, el pandeo flexional convencional puede ir acompañado de la aparición de una torsión de la sección, resultando un modo de fallo mixto conocido como pandeo torsional o pandeo lateral. El momento torsor crítico para el cual aparecería ese tipo de fallo viene dado por:

Donde las nuevas magnitudes son: , es el momento de inercia mínimo en flexión. , son respectivamente el módulo de alabeo y el módulo de torsión. , el módulo de elasticidad transversal. Y el resto de magnitudes tienen el mismo significado que para el pandeo flexional puro. En piezas donde el momento de alabeo es despreciable puede usarse la expresión aproximada:

A. Cálculo de cargas críticas

Curva elástica

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

Forma cualitativa de pandeo de un pilar empotrado en su base y libre en su extremo superior. Una manera de encontrar la carga crítica de una estructura consiste en presuponer la forma cualitativa en que esta pandeará, parametrizando esa forma cualitativa mediante varios parámetros incógnita. Introduciendo esa forma cualitativa en la ecuación de la curva elástica y buscando que la solución parametrizada satisfaga las condiciones de contorno cualitativas, que normalmente se refieren a desplazamientos y giros de los nudos de las barras de la estructura, se obtienen relaciones entre los parámetros incógnita introducidos. El valor de la carga crítica es precisamente el que hace que dichas relaciones se cumplan. El método de Euler para barras aisladas es un ejemplo de uso de este método. Por ejemplo para determinar la carga de un pilar empotrado en su base y libre en el extremo tratamos de resolver la ecuación de la curva elástica bajo las siguientes condiciones:

crítica

La solución de esa ecuación, en función del parámetro de desplazamiento horizontal del pilar, resulta ser:

La condición de contorno en el extremo superior (donde h = H y wsup = δ) sólo se cumple para ciertos valores de P, que cumplen:

El menor de estos valores es precisamente el valor aceptado para la carga crítica de Euler de un pilar empotrado en su base y libre en su parte superior:

Métodos energéticos Para estructuras de una cierta complejidad el método anterior resulta de muy difícil aplicación, ya que requiere integrar un número elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura. Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación Wint con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo Wext durante la deformación, Wint = Wext. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados. Para cada elemento lineal la energía de deformación y el trabajo exterior vienen dados por:

Donde: es el momento flector sobre la sección de abscisa x, es el producto de módulo de Young por el momento de inercia de la sección, es la defleción o desplazamiento seccional de la sección de abscisa x. es la carga crítica de pandeo. es la longitud total del elemento susceptible de sufrir pandeo. Cuanto más ajustado sea el campo de desplazamientos supuesto w(x) mejores resultados da el método anterior.

Dimensionado de elementos sometidos a pandeo

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

En ingeniería estructural existe una necesidad práctica de dimensionar los elementos lineales sometidos a compresión con la suficiente sección transversal como para que no fallen por pandeo. La sección transversal necesaria para que eso no ocurra es muchas veces mayor que la que sería necesaria para soportar un esfuerzo de tracción de la misma magnitud (entre 1,5 y 6 veces en la mayoría de casos). La mayoría de normas usan un coeficiente de reducción de la resistencia cuando el esfuerzo sobre el elemento lineal es de compresión y no de tracción. El Eurocódigo por ejemplo da para la resistencia de un pilar sometido a compresión y tracción simples las siguientes resistencias:

Donde: son respectivamente el esfuerzo axial último en tracción y el esfuerzo axial último en compresión. son el área bruta de la sección transversal y el área efectiva de la sección transversal (para la mayoría de secciones transversales, ambas coinciden). , es la tensión máxima admisible sobre el material. , es el coeficiente ji de reducción de la resistencia por pandeo. El mismo coeficiente se puede usar para estimar por exceso la tensión y determinar si un elemento es seguro. Así cuando un elemento está sometido a flexión o compresión compuestas la tensión de referencia para calcular si el elemento es seguro o no se toma aproximadamente como:

Donde: es el esfuerzo axial a que está sometido el elemento. , son los momentos flectores medidos según las dos direcciones principales de inercia. , son los momentos resistentes asociados a los momentos principales de inercia de la sección transversal. En situaciones donde las tensiones tangentes y el alabeo seccional de la sección sean importantes debe substituirse el miembro antes del signo de menor que, por la tensión de Von Mises y en la expresión de Navier debe contabilizarse el efecto del bimomento.

3. Carga crítica y longitud de pandeo La carga crítica de un elemento estructural unidimensional esbelto corresponde a un esfuerzo axial por encima de la cual cualquier pequeña imperfección impide que exista un equilibrio estable. Para una pieza prismática recta muy esbelta, de material elástico y con extremos articulados, la carga crítica se aproxima mucho a la llamada carga crítica de Euler:

Donde: es el módulo de Young del material. es el segundo momento de área. la longitud total de la pieza. En otros casos más complejos con otras condiciones en los extremos, con sección variable, etc, la carga crítica anterior debe ser corregida por un factor constante. En piezas de sección constante puede definirse además la longitud de pandeo o como:

Donde: es el radio de giro mínimo de la sección transversal. es la esbeltez reducida. la tensión mecánica usada para el cálculo de la esbeltez.

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

ESCUELA DE ARQUITECTURA

Si la pieza no es de sección constante no existe una manera de definir la longitud de pandeo, aunque el concepto de carga crítica sigue estando perfectamente definido. En el enfoque moderno de la teoría de bifurcación corresponde a un punto del espacio de configuración tal que cualquier entorno de ese punto se interseca con más de una solución de las ecuaciones de comportamiento estructural. Los elementos bidimensionales comprimidos como los muros de carga, entre otros, también pueden sufrir pandeo, aunque en ese caso la carga crítica se define en términos de la carga compresiva sobre el borde de la misma, para la que aparecen fenómenos de pandeo. 4. Esbeltez y coeficientes de pandeo Usualmente las diferentes normas tecnológicas preven una reducción de la resistencia de pilares y otras piezas en términos de su esbeltez mecánica. Cuanto más esbelto sea el elemento tanto mayor será la reducción de su resistencia debida al probable efecto de pandeo sobre el mismo. Existen varias maneras, todas ellas esencialmente equivalentes, de tratar esta reducción de la resistencia por efecto del pandeo, por ejemplo el eurocódigo y el CTE definen la esbeltez mecánica reducida o razón entre la resistencia plástica de la sección de cálculo y la compresión crítica por pandeo, como:

Donde: es el área transversal efectiva para el elemento que pretender dimensionarse para resistir el pandeo. es la tensión mecánica máxima usada para caracterizar el comportamiento del material. es la carga crítica de pandeo del elemento. El factor de reducción de la resistencia por pandeo o (coeficiente ji), se de acuerdo con el CTE simplemente como:

Donde en la fórmula anterior: , por lo que afectos de cálculo no debe tomarse un valor inferior a ese. , es el coeficiente de imperfección que depende del tipo de sección transversal.