CONSULTA AO SOFTWARE GEOGEBRA NA CONSTRUÇÃO DE TRIANGULOS NOTÁVEIS
TRIÂNGULOS
O USO DO GEOGEBRA COMO FERRAMENTA PARA CONSTRUÇÃO,A INTERPRETAÇÃO E A APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA PLANA
Este material é apresentado através de textos explicativos e informativos quanto a utilização e construção dos triângulos notáveis com a utilização do software Geogebra e uma breve história da aplicabilidade do triângulo no decorrer da vida humana. O livro produzido, tem como objetivo abordar o assunto,procurando enfocar os triângulos notáveis, para que os alunos possam ter como consulta, sempre que encontrarem dúvidas nas suas atividades. Vejo a necessidade de trabalhar a construção das figuras planas, uma vez que, o ensino e a aprendizagem da geometria, é algo que ainda hoje é desafiante para educadores e escola. Quando se trata do ensino da geometria para alunos de 8º ano do Ensino Fundamental, ampliam-se as dificuldades pela exigência
de
interpretação,
raciocínio
lógico,
cálculos
algébricos,
representação, classificação, identificação de regularidades e o conhecimento das relações quantitativas e qualitativas que esta linguagem matemática necessita. Vive-se um momento de intensas transformações que aceleram o processo de aquisição de informações e de conhecimento por meio da utilização da informática e de recursos tecnológicos de comunicação, os quais o público jovem tem acesso e um domínio técnico, muitas vezes, maior que outros públicos, inclusive os professores. Diante disso, este livro on-line se justifica por aliar conhecimentos de informática e aprendizagem da Geometria Plana. Através da utilização do software Geogebra, alunos de 8º ano do Colégio Estadual Eleodoro Ébano Pereira, terão meios de ampliar os conhecimentos obtidos em sala de aula, com uma ferramenta de aprendizagem interativa. Assim, estes estudantes terão a oportunidade de descobrir, por meio de uma nova ferramenta, meios para visualizar, explorar, socializar e fazer conjecturas, ampliando com isso seus conhecimentos geométricos.
HISTÓRIA DA UTILIDADE DO TRIÂNGULO
Pode ser que ao longo de sua evolução, o homem sentiu necessidade de tornar as construções rígidas e mais seguras. Por exemplo nos tempos primitivos da civilização Grega, foi usado pelos gregos o triângulo de descarga, onde permite descarregar as pressões exercidas por grandes pesos que se encontram por cima das portas.
Fig.01 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Imagens/Image01.jpg
Geralmente esses triângulos eram abertos, mas temos exemplos como na cidade de Mecenas, onde a porta dos leões é decorada.
Fig.02 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Imagens/porta600.jpg
No princípio da idade Média, apareceu pela primeira vez no mediterrâneo, uma vela triangular, porém não se sabe quem a usou primeiro.
Fig.03 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000700.htm
VELA TRIÂNGULAR
Os Portugueses mantiveram durante muitos anos, o segredo desta arte no Oceano. Por isso chegaram até ao Cabo da Boa Esperança, sem a concorrência do resto da Europa. Em 1575, o escritor Escalante de Mendonça escrevia:..."A Caravela Portuguesa foi a melhor invenção que até ao tempo se alcançou para a navegação de bolina." Mas os triângulos continuam sendo utilizados, veja exemplos:
FIGURA 04 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000710.htm
FIGURA 04 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000710.htm
FIGURA 05 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000730.htm
TUTORIAL (PASSO A PASSO)
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO Instalação do programa no Microsoft Windows Proceda da seguinte forma: 1.Acesse a página oficial do programa: WWW.geogebra.org; 2.Clique na opção Download que fica na coluna esquerda da tela. 3.Clique em: Download Geogebra. 4.Aparecerá em parte da tela, a figura 1 deste texto, onde deverá selecionar a opção de acordo com o seu sistema operacional. 5.Ao aparecer a próxima tela, clique em salvar. 6.Crie uma pasta para o GEOGEBRA, clicando em “nova pasta”. 7.Dê dois cliques na nova pasta para selecioná-la, em seguida cliqu SALVAR. 8.Aguarde e ao concluir o donwload, clique em FECHAR. 9.Finalmente aparecerá a tela do GEOGEBRA para iniciar o trabalho. Observação: Caso não consiga executar o programa, será necessário baixar a máquina virtual Java, a partir do site http://www.getjava. Após baixado o arquivo de instalação. Após instalar o programa GEOGEBRA,estude o software, verifique o que fazer com os botões básicos para que possa descobrir o que é possível fazer. Abaixo, pode verificar seguindo o passo a passo.
Na parte superior à esquerda está a parte algébrica, que pode ser fechada se necessário, e à direita a parte geométrica. Para reativar a parte algébrica basta ir ao item exibir do menu e clicar em "janela de álgebra". Neste mesmo item podemos ativar/desativar os eixos, a malha e o protocolo de construção. Na tela abaixo temos cada ícone com várias opções de acordo com o desenho.
Por exemplo
ao clicar na parte inferior a direita do ícone conhecemos
seus nomes e utilidades. O conhecimento e exploração das ferramentas é fundamental para execução das atividades.
Na sequência explore todos os ícones da barra de ferramentas e exercite atividades simples como, apagar, alterar, limpar tela, construir figuras planas, para que brincando possa conhecer e executar atividades. Construa vários triângulos com o botão segmento de reta definido por dois pontos, em seguida,use também ponto médio, perpendicular,bissetriz e se desafie a construir triângulos retângulo, eqüilátero, e isósceles como também em mover, fazer, desfazer e medir os ângulos dos triângulos, no intuito de usar o dinamismo do programa,como também experimentando a propriedade da soma dos ângulos internos de qualquer dos triângulos que sempre é 1800.
Observação: Precisamos lembrar que o sistema decimal aparece ponto no lugar da vírgula.
Espécies de triângulos: eqüilátero, escaleno, isósceles e retângulo. a)Triângulo eqüilátero. Tem os três lados e três ângulos iguais.
b)Triângulo retângulo. Possui um ângulo reto.
Triângulo escaleno. Tem todos os ângulos e lados desiguais.
Triângulo isósceles.Tem dois lados e, portanto, dois ângulos iguais.
PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Será estudado os pontos notáveis de um triângulo:Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro, construindo os triângulos, retângulo, isósceles, escaleno e eqüilátero, através do Software Geogebra. Através das Ceviana Mediana,Bissetriz interna e altura. O nome Ceviana, foi dado em homenagem ao matemático italiano Giovani Ceva(16481734), que demonstrou teoremas importantes sobre elas. Ceviana é todo segmento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta oposta a esse vértice.
a) Mediana é toda Ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
b) Bissetriz Interna é um segmento de reta ou ceviana que divide o ângulo interno .em dois ângulos congruentes.
c) Altura é uma perpendicular que une o vértice ao seu lado oposto.
d) Mediatrizes são retas perpendiculares, passando pelo ponto médio, a cada um dos lados de um triângulo.
A) BARICENTRO As três medianas de um Triângulo interceptam-se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes, sendo que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.
Uma estrada muito inclinada, poderá causar o tombamento de um veículo cujo o centro de gravidade seja muito alto, como um jipe ou um caminhão.
Propriedade: O ponto de encontro das três medianas de um triângulo qualquer é o centro de massa desse triângulo, denominado Baricentro, denotado por(G).
b) INCENTRO
O ponto de intersecção das três bissetrizes é denominado INCENTRO, denotado por (I) e se encontra a igual distância dos lados do triângulo. O INCENTRO é o centro da circunferência inscrita num triângulo.
c) CIRCUNCENTRO é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo, denotado por ( O ). É também o centro da circunferência circunscrita a um triângulo.
O Circuncentro pode ser: Interno: se o triângulo for acutângulo. Externo: se o triângulo for obtusângulo Coincidente: se o triângulo for retângulo d) ORTOCENTRO O ponto de intersecção das alturas de um triângulo é chamado de Ortocentro e denotado por ( H ).
O Ortocentro pode ser: Interno: se o triângulo for acutângulo. Externo: se o triângulo for obtusângulo Coincidente: se o triângulo for retângulo. Procure realizar as atividades na ordem proposta, no passo a passo, pois as definições e ferramentas estão sendo exploradas gradativamente.
Passo a passo: clicar em assim um triângulo.
polígonos e ligar os pontos ABC, formando
Clicar em e nos vértices ABC,BCD e CAB que automaticamente surge a medida de cada ângulo.
CONDIÇÃO DE EXISTENCIA DE UM TRIÂNGULO -Desenhar triângulos com medidas quaisquer Passo a passo
Clicar no programa Geogebra, e no ícone segmento definido por dois pontos. Ligar os pontos AB, BC,CD com medidas quaisquer. Clicar em ângulos
e somar os ângulos . Â +B +Ĉ = 180 0 Construir vários triângulos e aplicar a propriedade. Outro modo de construir triângulos Clicar em ângulos e ligar os pontos formando triângulos
1-CONSTRUÇÃO DO BARICENTRO Após construir o triângulo clique em
na tecla ponto médio
, e nos pontos AB, BC e CA formando
os pontos médios, em seguida una seguimento definido por dois pontos unindo o ponto médio a seus respectivos vértices.
2. ORTOCENTRO: Construa um triângulo qualquer, clicando em polígonos e clique na tela janela três alturas.
unindo os três vértices, em seguida determine as suas três alturas através da 4a reta perpendicular e clicar em cada vértice ao seu lado oposto, onde formará as
Para medir o ângulo dos triângulos Clicar ângulo. Veremos que cada altura medirá 900.
nos três ângulos teremos a medida de cada
3-CIRCUNCENTRO Construa um triângulo equilátero, seguindo os passos abaixo.
.Clicar em segmento de reta .construir uma reta de tamanho qualquer.
Clicar em círculo dados centro e um de seus pontos extremidade da reta
Abrir até a
.Repetir, abrindo o circulo até a outra extremidade.
.Clicar em formando o ponto C. É só unir os três pontos com polígonos e está concluído o triângulo eqüilátero.
Para eliminar, clicar com o mause, botão direito, em cima da circunferência, aparece o ícone exibir objeto, clicar e apaga.Ficando apenas o triângulo equilátero.
Para determinar as mediatrizes clicar no ícone que surgem com a união das três
mediatriz, em cada reta
o ponto de intercecção.
Em seguida clicar círculo dados centro e um de seus pontos,em cima do ponto de união das três mediatrizes, a circunferência se abre até o vértice. Surgindo assim a circunferência circunscrita.
4-INCENTRO Construa um triângulo qualquer
Clicar em
e em A^BC , BCA e CAB, onde forma as bissetrizes.
5-CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA -Construa um triângulo e encontre suas bissetrizes
-Clique em e com o rato no ponto de intersecção das bissetrizes (incentro) abrindo o circulo até atingir o lado dos triângulos.
Proponho que a partir dos conhecimentos adquiridos construam: triângulos isósceles triângulos eqüiláteros triângulos escaleno triângulos retângulos determinem o baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro de cada um, observando e registrando as conjecturas em cada caso.
TEOREMA DE PITÁGORAS O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração.
Pitágoras descobriu que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Traduzindo para uma equação, temos: H2 = C2 + C2 Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:
Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa, é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos, assim temos a equação: c2 = a2 + b2
ou seja : H2 = C2 + C2
O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).
Podemos fazer a verificação Observe os triângulos abaixo:
CURIOSIDADES
Por que Triângulo das Bermudas ?
ILHA DAS BERMUDAS
: FLÓRIDA PORTO RICO Ufa!!!chamado Mar do diabo”” Cemitério de barcos””...
barcos e aviões sumiram e não deixaram vestígios.
Somem sem deixar Vestígios!!!
Alguns foram encontrados, porém sem nenhuma pessoa a bordo
Existem no planeta vários outros pontos conhecidos como portais do diabo ou triângulos de tempestades magnéticas, mas o mais famoso, sem dúvida é o Triângulo das Bermudas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALBUQUERQUE, Luciane de. O uso do programa Geogebra no ensino de Geometria de 5ª a 8ª séries do ensino fundamental das escolas públicas do Paraná. Caderno Pedagógico do PDE. SEED. Curitiba, 2008. CANÃO, Donzília Ramalho Dos Santos; SANTOS, Maria Paula Trindade Ferreira. O triângulo. Disponível em: <http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Index.htm>. Acesso em: 14 ago. 2012. Galvez José, et alii, Enciclopédia Audiovisual Educativa, "Matemática", vol. 2, Lisboa, Liarte, Editora de Livros, Lda., 1996, págs. 188 a 193. GERÔNIMO,João Roberto;OLIVEIRA BARROS,Rui marco e FRANCO,Valdeni soliani. Geometria Euclidiana plana-Um estudo com o Software Geogebra. Neves, Maria Augusta et alii, Matemática, 1ª Parte, 7º Ano, 1ª Edição, Porto, Porto Editora 2002, págs. 20 a 31. NÓBREGA, J. cássio. Aprendendo MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA.
Desejo que este tutorial, seja útil, como apoio, em suas consultas. Professora: Maria Deolinda Scremin
CASCAVEL, PDE 2012 QUE TENHA ÓTIMO APROVEITAMENTO